CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

TÀI LIỆU MÔN TOÁN LỚP 12

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

FF IC IA L

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải Dạng 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu Dạng 2.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I

Dạng 2.1.1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và bán kính R

Dạng bài 2.1.2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Dạng bài 2.1.3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và tiếp xúc với đường thẳng

Dạng bài 2.1.4: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 theo một đường tròn có bán kính r

Dạng bài 2.1.5: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt đường thẳng ∆ theo một dây cung có độ dài l cho trước

Dạng 2.2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường đẳng d

KÈ

Dạng 2.2.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B

ẠY

Dạng 2.2.2: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r và tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng h

Dạng 2.2.3: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt đường thẳng ∆ theo một dây cung có độ dài l và tâm I cách đường thẳng ∆ một khoảng là h

Dạng 2.2.4: Mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và thỏa mãn một điều kiện cho trước

FF IC IA L

Dạng 2.3: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P Dạng 2.4: Viết phương trình mặt cầu tiếp ngoại tiếp tứ diện Dạng 2.5: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm

60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 1)

60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 2)

ẠY

KÈ

60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 3)

Chủ đề: Phương trình mặt cầu

FF IC IA L

họ có lời 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học giải nh tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện ện để một Dạng 1: Xác định phương trình là phương trình một mặt cầu. 1. Phương pháp giải

● Xét phương trình (S): (x- a)2 + ( y- b)2 + ( z- c)2 = R2.

Khi đó mặt cầuu có tâm I (a; b;c), bán kính R

● Xét phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

2. Ví dụ minh họa

Khi đó mặt cầu có

Điểu kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu là: a2 + b2 + c2 – d>0

ẠY

KÈ

Ví dụ 1: Mặt cầuu (S): 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 12y + 2 = 0 có bán kính bằng:

Hướng dẫn giải:

Ta có (S): 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x +12y +2 = 0

⇔ x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2/3 = 0

kính

FF IC IA L

Đây là phương trình đường tròn có tâm I( 1; -2; 0), bán

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian vvới hệ tọa độ Oxyz, cho mặt ặt cầu c (S) có 2 2 2 phương trình: x + y +z + 2x - 4y + 6z – 2= 0 . Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

D. Tâm I(1; -2; 3) và bán kính R=

C.Tâm I(-1; 2; 3) và bán kính R= 4. 16.

A.Tâm I( -1; 2; -3) và bán kính R=4. B. Tâm I( 1; -2; 3) và bán kính R = 4.

Hướng dẫn giải:

KÈ

ầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 6z – 2 = 0 có: Phương trình mặt cầu

Chọn A.

ẠY

ng trình (S): x2 + y2 + z2 + 2( 3 – m)x – 2( m+ 1)y – Ví dụ 3: Cho phương 2mz + 2m2 + 7 = 0 . Tìm tất cả giá trị của m để ( S) là một phương trình mặt cầu.

Ta có: a= m - 3 ; b = m + 1; c = m và d= 2m2 + 7

Điều kiện để ( S) là mặt ccầu là a2 + b2 + c2 - d > 0

FF IC IA L

Hướng dẫn giải:

⇔ ( m- 3)2 + ( m+1)2 + m2 – 2m2 - 7 > 0 hay m2 – 4m + 3 > 0

Chọn C.

ặt cầu c (S) có Ví dụ 4: Trong không gian vvới hệ tọa độ Oxyz, cho mặt 2 2 2 phương trình: x + y + z – (2m - 2) x + 3my + ( 6m – 2)z – 7= 0 . Gọi trị nhỏ nhất của R bằng: R là bán kính củaa (S) , giá tr B. √377/7

C. √377

A. 7

D. √377/4

KÈ

Hướng dẫn giải:

ẠY

Ta có (S): x2 + y2 + z2 - ( 2m – 2)x + 3my + ( 6m -2) z – 7 = 0

hay

Suy ra bán kính

FF IC IA L

ng trình mặt cầu biết tâm và bán kính . Dạng 2: Lập phương 1. Phương pháp giải

ng kính AB: Tâm I là trung điểm củaa AB và bán kính + Mặt cầu có đường R = AB/2 .

cầu đi qua bốn điểm m A, B, C, D không đồng Lập phương trình mặt cầ phẳng

Cách 1:

+ Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by - 2cz + d = 0 ( *)

(với a2 + b2 + c2 – d > 0 )

ương trình (*), ta + Bước 2: Thay tọa độ bbốn điểm A, B, C, D vào phương được hệ 4 phương trình.

KÈ

chiế điều kiện + Bước 3: Giải hệ trên tìm được a, b, c, d( chú ý đốii chiếu 2 2 2 a + b + c – d > 0 ).

ẠY

Thay a, b, c, d vào (*) ta được phương trình mặt cầu cần lập. ập.

Cách 2:

m A, B, C, D + Bước 1: Gọii I(a, b, c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm

FF IC IA L

Suy ra: + Bước 2: Giải hệ trên để tìm a, b, c. + Bước 3: Tìm bán kính R = IA.

Từ đó, viết phương trình mặt cầu cần tìm có dạng (x- a)2 + ( y – b)2 + ( z - c)2 = R2

2. Ví dụ minh họa

B. x2 +( y +2)2 + ( z- 1)2 = 10

A. (x + 2)2 + ( y -1)2 + ( z+ 1)2 = 8

ng trình mặt cầu Ví dụ 1: Cho hai điểm A( -2; 1; 0) và B( 2;3 ; -2). Phương đường kính AB là:

Hướng dẫn giải:

D. (x – 2)2 + (y +1)2 + (z -1)2 = 8

C. x2 + ( y - 2)2 + ( z+ 1)2 = 6

ẠY

KÈ

ủa AB, ttọa độ điểm M là : Gọi M là trung điểm của

Độ dài MA là :

Mặt cầu cần tìm nhận M(0; 2; -1) làm tâm và có bán kính là R= MA = √6.

cầu là : (x - 0)2 + ( y - 2)2 + ( z+ 1)2 = 6 Ta có phương trình mặt cầ

FF IC IA L

Hay x2 + ( y -2)2 + (z +1)2 = 6 Chọn C.

ầu (S) đi qua bốn điểm m M(2; 2;2); N( 4; 0; 2); P( 4; Ví dụ 2: Nếu mặt cầu 2; 0) và Q(4;2;2) thì tâm I của (S) có toạ độ là:

A. (-1;-1; 0) B. (3; 1; 1) C. (1; 1; 1) D. (1; 2;1)

Hướng dẫn giải:

cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2ax – 2by – 2cz + d= 0 ( Gọi phương trình mặt cầ a2 + b2 + c2 - d > 0) .

Do M(2;2;2) ∈ (S) 22 + 22 + 22 – 2.2a- 2.2b – 2.2c + d = 0 hay – 4a – 4b – 4c + d= -12 (1)

Do N( 4; 0; 2) ∈ (S) nên 42 + 02 + 22 - 2.4a- 2.0b - 2.2c + d = 0 hay – 8a – 4c + d= - 20 (2)

Do P(4; 2; 0) ∈ (S) nên 42 + 22 + 02 – 2.4a - 2.2b - 2.0.c + d = 0 hay – 8a – 4b + d = -20 (3)

KÈ

Do Q(4; 2; 2) ∈ (S) nên 42 + 22 + 22 - 2.4 a -2.2b – 2.2c + d = 0 hay – 8a – 4b – 4c + d = -24 (4)

ẠY

Từ (1); (2); (3) và (4) ta có hệ phương trình:

ỏa mãn có tâm I(1; 2; 1) Suy ra, mặt cầu (S) thỏa Chọn A.

A. (x- 1)2 +( y+2)2 + (z- 3)2 = 2

FF IC IA L

ặt phẳng phẳ (P): x+ Ví dụ 3: Mặt cầuu (S) tâm I( -1; 2; -3) và tiếp xúc với mặt 2y + 2z + 6 = 0có phương ương trình: B. (x+ 1)2 + ( y – 2)2 + (z + 3)2 = 4

C. (x+ 1)2 + (y -2)2 + (z + 3)2 =1

D. (x+1)2 + ( y - 2)2 +(z + 3)2 = 25

đến mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ tâm I đế

Hướng dẫn giải:

ên d( I; (P)) = R = 1 Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới mặt phẳng (P) nên

Suy ra, phương trình mặt ccầu cần tìm là:

(x+1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 1

Chọn C.

KÈ

Ví dụ 4: Cho các đđiểm A(-2; 4; 1); B(2; 0; 3) và đường

ẠY

. Gọi (S) là mặt cầu đi qua A; B và có tâm thuộc thẳng ng d. Bán kính m mặt cầu (S) bằng: đường thẳng A. 3√3

B. √6

C.3.

Hướng dẫn giải:

D.2√3

Tâm I ∈d => I(1+t;1+2t;-2+t) . => AI→(3+t;-3+2t;-3+t); BI→(-1+t;1+2t;-5+t)

FF IC IA L

Vì (S) đii qua A và B nên ta có IA = IB => IA2 = IB2 ⇔ (3+ t)2 + (-3+ 2t)2 + ( -3+ t)2 = ( -1+ t)2 + (1+ 2t)2 + (- 5+ t)2

⇔ 9+ 6t + t2 + 9 – 12t + 4t2 + 9 – 6t + t2 = 1- 2t+ t2 + 1+ 4t + 4t2 + 25 10t + t2 ⇔ 6t2 - 12t + 27 = 6t2 – 8t + 27

⇔ -4t = 0 nên t = 0

=> AI→(3 ; -3 ; -3) nên AI = 3√3

ầu (S) là R = AI = 3√3 Vậy bán kính mặt cầu

Chọn A.

ng thẳ thẳng ẳng (P): x+ 2y + và hai mặt phẳng Ví dụ 5: Cho đường 2z+3 = 0, (Q): x+ 2y + 2z + 7 = 0. M Mặt cầu u (S) có tâm I thuộc thu đường ới hai m mặt phẳng (P) và (Q) có phương ương trình thẳng d và tiếp xúc với

KÈ

A. (x+ 3)2 + (y+1)2 + (z - 3)2 = 4/9 . .

D. (x-3)2 +( y+1)2 + (z+ 3)2 = 4/9 .

ẠY

C. (x+3)2 +(y+ 1)2 +(z+3)2 = 4/9 .

B. (x- 3)2 +(y - 1)2 + (z+ 3)2 = 4/9

Hướng dẫn giải:

Do tâm I ∈ d nên I(t; -1; - t) Mà mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới hai mặt phẳng (P) vàà (Q) nên ta có: R= d(I; (P)) = d(I; (Q))

FF IC IA L

⇔ | -t+ 1| = | -t + 5| ⇔ t2 – 2t +1= t2 – 10t + 25 ⇔8t = 24 nên t = 3.

Vớii t= 3,ta có tâm I (3; -1; -3) và bán kính R= d( I;

(P))=

Phương trình mặt cầu là (x-3)2 + ( y+1)2 + (z+ 3)2 = 4/9

Chọn D.

ng trình mặt cầu biết tâm I, một đường thẳng th ( Dạng 3. Viết phương ầu th thỏa mãn điều kiện T. mặt phẳng) cắt mặt cầu

1. Phương pháp giải

ẠY

KÈ

ầu (S) bi biết tâm I và cắt đường thẳng ẳng d theo dây * Phương trình mặt cầu cung AB

ảng cách ttừ tâm I đến đường thẳng d • Bước 1: Tính khoảng thuyết đề cho, ta tính độ dài ài dây cung AB. Suy ra • Bước 2: Dựa vào giả thuy độ dài AH (với H là trung điểm AB)

FF IC IA L

định nh lý Pitago cho tam giác vuông AIH. Suy ra • Bướcc 3: Tính IA theo đị bán kính R= IA.

ầu (S) bi biết tâm I và cắt mặt phẳng ng (P) theo đường * Phương trình mặt cầu tròn giao tuyến (C)

• Bước 1: Tính khoảng ảng cách ttừ tâm I đến mặt phẳng (P)

thuyết đề cho, ta tính bán kính r của ủa đường tròn • Bước 2: Dựa vào giả thuy

n. Suy ra bán kính m mặt cầu giao tuyến.

2. Ví dụ minh họa

ẠY

KÈ

Ví dụ 1: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường

thẳng

tại hai điểm A, B vớii AB = 16.

A.( x- 2)2 + ( y- 3)2 +(z + 1)2 = 76 . C. (x- 2)2 +( y - 3)2 + (z+ 1)2 = 56. Hướng dẫn giải:

B. (x-2)2 + (y - 3)2 + (z+ 1)2 = 46 . D. ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+1)2 = 66

Chọn M(-1; 1; 0) ∈ ∆ => IM→(-3; -2; 1) . Đường thẳng ∆ có một VTCP là u→(1; -4; 1). Ta có: [IM→; u→] = (2; 4; 14)

FF IC IA L

ừ I đế đến ∆ là : Từ đó, khoảng cách từ

là

bán

mặt

kính

cầu u

(S).

Khi

Gọi

ủa AB ta có: AH= HB= AB/2 = 8 Gọi H là trung điểm của

đó

Do đó, phương trình mặt ccầu là: ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+ 1)2 = 76

(S): ( x- 2)2 +( y – 3)2 + (z+ 1)2 = 76 .

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳ phẳng (P): 5x – 4y + z - 6 = 0; (Q): 2x - y+ z +7 =

KÈ

0 và đường thẳng . Viết phương trình mặt cầu (S) của (P) và ∆ sao cho (Q) cắtt (S) theo một m hình có tâm I là giao điểm củ tròn có diện tích là 20π .

ẠY

A.( x-1)2 + y2 +( z+1)2 = 110/3 . B. (x- 1)2 + y2 + (z -1)2 = 110/3

C.(x- 1)2 + y2 +( z- 1)2 = 110/3 . D. (x- 1)2 + y2 + (z - 1)2 = 110. Hướng dẫn giải:

FF IC IA L

của đường thẳng ∆: Phương trình tham số củ

của đường thẳng ∆ và (P) nên tọa độ I là nghiệm Do tâm I là giao điểm củ của hệ phương trình:

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5(1+7t) – 4. 3t + (1 – 2t) – 6 =0

⇔ 21t = 0 ⇔ t= 0

Khi đó, tọa độ điểm I(1 ; 0 ; 1).

KÈ

m I đế đến mặt phẳng (Q) là : Khoảng cách từ điểm

phẳ (Q). Ta Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng có:

ẠY

20π = πr2 ⇔ r = 2√5

Gọi R là bán kính mặt cầ cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

Vậy phương trình mặt cầu ( S) cần tìm là: (x- 1)2 + y2+ (z-1)2 = 110/3 Chọn B.

A. S = √7

B. S= 4 C. S = 2√7

FF IC IA L

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1/2;√3/2;0) và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 8. Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB. D. S = 2√2

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 2√2 .

Vì OM= 1 < R nên M thuộc miền trong của mặt cầu (S).

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu. Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB.

Đặt x= OH, ta có , đồng thời

Vậy diện tích tam giác OAB là :

KÈ

Khảo sát hàm số f(x) = x√(8-x2) trên (0 ; 1] , ta được max f(x) = f(1) = √7 .

ẠY

Vậy giá trị lớn nhất của SOAB = √7 , đạt được khi x= 1 hay H≡M , nói cách khác là d⊥OM

Chọn A

FF IC IA L

điể A(0; -1; Ví dụ 4: Trong không gian vvới hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 2 2 2 cầu (S): x + y + z – 2x + 4y – 2z – 3 = 0. Mặt 0); B(1; 1; -1) và mặt cầ phẳng (P) đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhấtt có phương trình là A. x- 2y + 3z – 2 = 0. B. x - 2y – 3z – 2= 0. C. x+ 2y – 3z - 6 = 0

D. 2x- y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nh thì (P) Để (P) cắtt (S) theo giao tuy phải qua tâm I(1; -2; 1)của (S).

Ta có AI→(1; -1; 1); BI→(0; -3; 2)

ến củ của mặt phẳng (P) là: Một vecto pháp tuyến

n→= [AI→; BI→] = (1; -2; -3).

Mặt phẳng (P) đii qua A( 0; -1;0) và nhận vecto n→(1; -2; -3) làm VTPT nên có phương trình:

Chọn B.

1( x- 0) – 2( y+1) – 3( z- 0) = 0 hay x- 2y - 3z – 2= 0

ẠY

KÈ

ặt phẳng ph ( α): Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 1), mặt 2 2 2 x+ y + z – 4 = 0 và mặt ccầu (S): x + y + z – 6x – 6y – 8z+ 18 = 0. ng thẳng ∆ đi qua M và nằm trong (α) cắt mặt cầu (S) Phương trình đường ng có độ dài nhỏ nhất là: theo một đoạn thẳng

từ

tâm

đến

cách

mặtt

phẳng phẳ

(α)

ng Khoảng

Mặt cầuu (S) có tâm I(3; 3;4) và bán kính R= 4.

FF IC IA L

Hướng dẫn giải:

là:

ắt mặ mặt phẳng (α) theo một đường tròn. Suy ra mặt cầu (S) cắt

m trong mặt m cầu Ta có điểm M ∈ (α) < ; IM = √14 < R nên điểm M nằm (S).

Gọi H là hình chiếuu vuông góc ccủa I lên (P) => H(1; 1;2)

KÈ

ầu (S) theo một m Để đường thẳng ∆ đi qua M và nằm trong (α) cắt mặt cầu đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất thì ∆ ⊥MH .

ẠY

Từ đó suy ra ∆ có véctơ chỉ phương là: u→= [nα→; MH→] = (1; -2; 1)

Vậy phương trình Chọn B.

ng trình mặt cầu tiếp xúc với đường ng thẳng, thẳ mặt Dạng 4: Lập phương kiện T phẳng và thỏa mãn điều ki 1. Ví dụ minh họa

Hướng dẫn giải:

D.(x- 16)2+ ( y- 4)2 +(z+ 7)2 =

C. (x + 16)2 + ( y+4)2 + (z- 7)2 = 196 196

B. (x + 82 +(y+ 8)2 + (z - 1)2 =

A. (x- 8)2 + ( y- 8)2 + (z+ 1)2 = 196 196

FF IC IA L

m A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z + 24= 0, Ví dụ 1: Cho điểm H là hình chiếuu vuông góc ccủa A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt tiếp xúc với mặt phẳng (P) tạii H, sao cho điểm A cầu (S) có diện tích và ti nằm trong mặt cầu là:

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc vớii (P). Suy ra, một m VTCP của d là:

ud→= nP→( 6; 3; -2)

Phương trình đường thẳng ẳng d là

KÈ

Vì H là hình chiếuu vuông góc ccủa A trên (P) nên H= d ∩ (P) .

ẠY

Vì H ∈ d nên H( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t. Mặt khác, H ∈ (P) nên ta có:

6(2+ 6t) + 3(5+ 3t) – 2( 1- 2t) + 24 = 0 ⇔ t= - 1 Do đó, H( -4; 2; 3).

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.

mặt cầu bằng 784π , suy ra 4πR2 ⇔ R = 14 . Theo giả thiết diệnn tích m

FF IC IA L

ới m mặt phẳng (P) tại H nên IH⊥ (P) => I ∈ d . Vì mặt cầu tiếp xúc với m I có dạ dạng I( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t), với t ≠ -1 . Do đó tọa độ điểm

Do đó: I(8; 8; -1).

điểm I thỏa mãn: Theo giả thiết, tọa độ điể

Chọn A.

cầu (S): (x- 8)2 +( y – 8)2 + (z+1)2 = 196. Vậy phương trình mặt cầ

KÈ

ẳng (P): x+ 2y – 2z + 2= 0 và điểm m A(2; -3; 0). Gọi Ví dụ 2: Cho mặt phẳng mặt cầu tâm B, tiếp p xúc với vớ mặt phẳng B là điểm thuộcc tia Oy sao cho m ng 2. Tọ Tọa độ điểm B là: (P) có bán kính bằng

ẠY

A. (0; 1; 0) B.(0; -4; 0) C.(0; 2; 0) hoặc (0; -4; 0) D. (0; 2; 0) Hướng dẫn giải:

Vì B thuộc tia Oy nên B(0; b; 0) (với b > 0)

ầu tâm B, ti tiếp xúc với (P) làà R= d(B; (P))= |2b+2|/3 . Bán kính của mặt cầu Theo giả thiết R= 2 nên:

FF IC IA L

Do b > 0 nên chọnn b= 2. Vậy tọa độ B(0; 2; 0).

Chọn D.

A. (x+ 3)2 + (y+ 7)2 + (z – 3)2 = 56

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P): 2x+ 3y – z + 2 = 0; (Q): 2x - y – z +2 = 0. Phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A(1; -1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là:

C. ( x+3)2 + ( y+ 7)2 +( z - 3)2 = 14

D. (x- 3)2 +( y- 7)2+ ( z+ 3)2 = 14

Hướng dẫn giải:

B. (x-3)2 + ( y- 7)2 + (z+ 3)2 = 56

KÈ

Gọi d đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Nên 1 VTCP của d là: ud→= nP→(2; 3; -1).

Ta có; phương trình đường th thẳng d là:

ẠY

Tâm I ∈ d nên I( 1+ 2t; -1+ 3t; 1- t).

Do điểm I nằm trên mp (Q) nên ta có: 2( 1+ 2t) - ( -1+ 3t ) – (1 – t) + 2 = 0 ⇔t = - 2 nên I ( -3; -7; 3)

Bán kính mặt cầu là R= IA =

FF IC IA L

ầu (S): ( x+3)2 +(y+ 7)2 + (z- 3)2 = 56 Phương trình mặt cầu Chọn A.

phẳng (P);(Q) có phương trình (P): x- 2y + z - 1= Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳ ph (P) và 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0 . Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng ẳng (Q) ttại điểm M, biết rằng M thuộc ộc mặt m phẳng tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ xM = 1 có phương trình là:

D. (x+ 21)2 + ( y+ 5)2 + (z -

C. (x- 21)2 + (y - 5)2 + (z + 10)2 = 100 10)2 = 600

B. (x+19)2 + ( y+ 15)2 + (z -

A.(x - 21)2 + ( y - 5)2 + ( z + 10)2 = 600 10)2 = 600

Hướng dẫn giải:

Vì M ∈ (Oxy) và có hoành độ bằng 1 nên M(1; y ; 0).

Lại có, mặt cầu tiếpp xúc vvới mặt phẳng (Q) nên M ∈ Q

=> 2.1 + y - 0+ 3 = 0 => y = -5

Tọa độ điểm M(1; -5; 0).

KÈ

mặt cầu (S) cần tìm. Gọi I(a; b; c) là tâm của m ới mp (Q) ttại M nên IM⊥(Q) . Ta có (S) tiếp xúc với

ẠY

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n→(2; 1; -1).

Ta có: IM⊥(Q)

Do I ∈ (P) nên 1+ 2t – 2( - 5+ t) - t – 1 = 0 ⇔ t = 10 nên I(21; 5; -10)

FF IC IA L

Bán kính mặt cầu R= d(I; (Q)) = 10√6 Vậy phương trình mặt cầu (S): ( x- 21)2 + ( y- 5)2 + ( z +10)2 = 600. Chọn A.

A. 4x + 2y + z - 8 = 0 hoặc 4x – 2y – z + 8= 0

Ví dụ 5: Cho hai điểm M(1;0;4); N(1; 1; 2) và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 2= 0 . Mặt phẳng (P) qua M; N và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

B. 2x + 2y +z – 6= 0 hoặc 2x – 2y – z + 2= 0

C. 2 x+ 2y + z – 6 = 0

Hướng dẫn giải:

D. 2x – 2y – z + 2 = 0

- Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 0) và bán kính R= 2; MN→(0; 1; -2)

- Gọi n→(A;B;C) với A2 + B2 + C2 > 0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

KÈ

- Vì (P) qua M, N nên n→⊥ MN→=> n→.MN→= 0 ⇔ B - 2C = 0 (1)

ẠY

- Mặt phẳng (P) qua M(1; 0; 4) và nhận ( A, B, C) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình

A(x-1)+ B( y – 0) + C( z- 4) = 0 hay Ax + By +Cz – A - 4C =0. - Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d(I ; (P)) = R

FF IC IA L

Từ (1) và (2) => A2 - 4C2 = 0 (*)

v C - Trong (*), nếuu C = 0 thì A= 0, và từ (1) suy ra B = 0 (vô lí). Do vậy, ≠0 Chọn C=1 => A = ±2

Vớii A=2 ; C = 1, ta có B = 2 . Khi đó; (P); 2x + 2y + z - 6 = 0 .

Với A= -2; C= 1, ta có B= 2. Khi đó, (P): 2x – 2y – z + 2 = 0 .

phẳng (P):2x + 2y + z – 6= 0 hoặc (P): 2x – 2y - Vậy phương trình mặt ph –z+2=0.

Chọn B.

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu

dụ A. Phương pháp giải & Ví d

+ Phương trình (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R

KÈ

+ Phương trình (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện ương trình mặt cầu u tâm I (a; b; c); bán kính a2+b2+c2-d>0 là phương

ẠY

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây ầu, nnếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và là phương trình mặt cầu, bán kính của mặt cầu đó a) (x-2)2+(y+3)2+z2=5

b) x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0 c) 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0

a) Phương trình (x-2)2+(y+3)2+z2=5 có dạng

FF IC IA L

Hướng dẫn:

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm I (2; -3; 0) và bán kính R=√5.

b) Phương trình x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0 có dạng

x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1

⇒ a2+b2+c2-d=13>0

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R=√13.

⇔ x2+y2+z2-2x+y+7=0

c) Phương trình 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0

Phương trình có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với

a=1;b=(-1)/2;c=0;d=7 ⇒a2+b2+c2-d=(-23)/4<0

KÈ

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

ẠY

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu. a) x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0

b) x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0

Hướng dẫn: a) Phương trình x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0 có

a=m;b=-(m+1); c=2;d=1. Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

FF IC IA L

⇔ m2+(m+1)2+22-1>0⇔2m2+2m+3>0 ⇔m∈R. b) Phương trình x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0 có a=m-3; b=0;c=2m;d=8

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔a2+b2+c2-d>0

⇔(m-3)2+4m2-8>0 ⇔5m2-6m+1>0

Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cảả các giá trị tr thực 2 2 2 2 của tham số m để phương trình x +y +z +2(m+2)x-2(m-3)z+m -1=0 là ặt cầu có bán kính nhỏ nhất. phương trình của mặt

Hướng dẫn:

Phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 có:

a=-(m+2);b=0;c=m-3;d=m2-1

KÈ

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0 ⇔ (m+2)2+(m-3)2-m2+1>0 ⇔ m2-2m+14>0 ⇔ m∈R.

ẠY

Khi đó, bán kính mặt cầu là:

Dấu bằng xảyy ra khi m = 1.

cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13. Vậy với m = 1 thì mặt cầ

B. Bài tập vận dụng Bài 1: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

FF IC IA L

A. x2+y2+z2-2x=0 B. x2+y2 - z2+2x-y+1=0 C. 2x2+2y2 = (x+y)2 - z2+2x-1 D. (x+y)2 = 2xy - z2 - 1

Bài 1: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

A. x2+y2+z2-2x=0

B. x2+y2 - z2+2x-y+1=0

C. 2x2+2y2 = (x+y)2 - z2+2x-1

D. (x+y)2 = 2xy - z2 - 1

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0

KÈ

Bài 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu? A. x2 + y2 + z2 + 2x - 2y + 1 = 0.

ẠY

B. x2 + y2 + z2 - 2x = 0.

C. 2x2 + 2y2 = (x + y)2 - z2 + 2x - 1.

D. ( x + y)2 = 2xy - z2 + 1 - 4x.

Hiển thị đáp án Đáp án : C

Giải thích : Bài 3: Cho các phương trình sau:

FF IC IA L

( x - 1)2 + y2 + z2 = 1 x2 + ( 2y - 1)2+ z2 = 4 x2 + y2 + z2 + 1 = 0 ( 2x + 1)2+ ( 2y - 1)2 + 4z2 = 16

Số phương trình là phương trình mặt cầu là: A. 1 B. 3

C. 4 D. 2

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Các phương trình mặt cầu là:

( x - 1)2 + y2 + z2 = 1

x2 + ( 2y - 1)2 + z2 = 4

KÈ

Bài 4: Mặt cầu ( S ): x2+ y2+ z2- 2x + 10y + 3z + 1 = 0 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?

ẠY

A. (3; - 2; - 4) B. ( 2;1;9) C. ( 4; - 1;0) D.(- 1;3; - 1)

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

FF IC IA L

Thử trực tiếp đáp án, điểm (2; 1; 9) thỏa mãn phương trình mặt cầu.

Bài 5: Mặt cầu ( S ): x2+ y2 + z2 - 4x + 1 = 0 có tọa độ tâm và bán kính R là:

A. I(-2;0;0), R = √3

B. I(2;0;0), R = √3

Hiển thị đáp án Đáp án : B

D. I(2;0;0), R = 3

C. I(0;2;0), R = √3

Giải thích :

KÈ

( S ): x2 + y2 + z2- 4x + 1 = 0

ẠY

⇔ (x-2)2+y2+z2=3 Phương trình có tâm I (2 ; 0 ; 0), bán kính R=√3

Bài 6: Phương trình mặt cầu có tâm I(-1;2;3), bán kình R=3 là: A. (x + 1)2+ ( y - 2)2 + ( z + 3)2 = 9 B. ( x + 1)2+ ( y - 2)2+ ( z + 3)2 = 3

C. ( x - 1)2+ ( y + 2)2 + ( z - 3)2 = 9 D. ( x + 1)2+ ( y - 2)2+ ( z + 3)2 = 9

FF IC IA L

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c), bán kính R là: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

Bài 7: Mặt cầu ( S ): ( x + y)2= 2xy - z2 + 1 - 4x có tâm là:

A. I(2;0;0) B. I(4;0;0)

Hiển thị đáp án Đáp án : D

C. I(-4;0;0) D. I(-2;0;0)

Giải thích :

(x+y)2=2xy-z2+1-4x ⇔ x2+y2+z2+4x=1 Phương trình có a=-2;b=0;c=0 ⇒ I(-2;0;0)

Bài 8: Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I(-1;1;0) ?

KÈ

A. x2+ y2 + z2+ 2x - 2y + 1 = 0.

ẠY

B. x2 + y2+ z2 - 2x + 2y = 0.

C. 2x2 + 2y2 = ( x + y)2 - z2+ 2x - 1 - 2xy.

D. ( x + y)2 = 2xy - z2+ 1 - 4x.

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích : A. x2+ y2 + z2 + 2x - 2y + 1 = 0.

Phương trình có tâm I (-1 ; 1 ; 0), bán kính R =1 B. x2 + y2 + z2 - 2x + 2y = 0. ⇔ (x-1)2+(y+1)2+z2=2

Phương trình có tâm I (1 ; -1 ; 0), bán kính R=√2 C.2x2+ 2y2= ( x + y )2 - z2 + 2x - 1 - 2xy.

⇔ x2+y2+z2-2x+1=0

FF IC IA L

⇔ (x+1)2+(y-1)2+z2=1

⇔ (x-1)2+y2+z2=0

⇔(x+2)2+y2+z2=5

⇔ x2+y2+z2+4x-1=0

D. (x + y)2= 2xy - z2+ 1 - 4x.

Đây không phải là phương trình mặt cầu.

Phương trình có tâm I (-2 ; 0 ; 0), bán kính R=√5

KÈ

Bài 9: Gọi I là tâm mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z - 2)2= 4. Độ dài OI→(O là gốc tọa độ) bằng?

ẠY

A. 1 B. 4

C. 2 D. √2

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Mặt cầu ( S ): x2 + y2 + ( z - 2)2= 4 có tâm I (0; 0; 2) ⇒ OI=2 Bài 10: Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ ?

FF IC IA L

A. x2+ y2 + z2 - 6x = 0. B. x2 + y2 + z2 - 6y = 0. C. x2 + y2 + z2 - 6z = 0. D. x2 + y2 + z2 = 9.

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Giao điểm của 3 trục tọa độ là điểm O (0; 0; 0)

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm O (0; 0; 0) và bán kính R = 3 là

x2+y2+z2=9

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu Dạng 2.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I

KÈ

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và bán kính R Phương pháp giải

ẠY

Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

Ví dụ minh họa Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5.

Hướng dẫn: Phương trình chính tắc củ của mặt cầu có tâm I (a; b; c) vàà bán kính R là:

FF IC IA L

(S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5 là: (S): (x-2)2+(y-3)2+(z+1)2=25.

ới A (4; -3; 7), Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với B(2; 1; 3)

Hướng dẫn:

ủa AB Gọi I là trung điểm của

ng kính củ của mặt cầu I là tâm mặt của mặt cầu. ầu. Do AB là đường

Bán kính mặt cầu là:

⇒ I(3; -1;5)

R=IA

Vậy phương trình mặt cầ cầu có đường kính AB là:

KÈ

(x-3)2+(y+1)2+(z-5)2=9

ẠY

ng trình mặt cầu nhận AB là đường ng kính thì ta tìm Chú ý: Để lập phương ủa AB và bán kính R=AB/2 tâm I là trung điểm của

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -2; 2) và đi qua A(-2; 0; 1) Hướng dẫn:

Vì mặt cầu (S) đii qua A nên (S) có bán kính

R=IA

=√38

Vậy phương trình mặt cầ cầu có tâm I (3; -2; 2) và bàn kính R=√38 là:

FF IC IA L

(x-3)2+(y+2)2+(z-2)2=38

Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu khi biếtt tâm I (a; b; c) và đi qua ph trình một điểm A cho trước thì ta tìm bán kính R = IA. Khi đó, phương mặt cầu (S) có dạng:

(S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

ẳng m A (5; 4; -2). Viết Bài 4: Cho đường thẳng và điểm ầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của c d với phương trình mặt cầu mặt phẳng (Oxy)

Mặt phẳng (Oxy): z = 0

Hướng dẫn:

ủa d và mặt phẳng Oxy Gọi I là giao điểm của

Do I∈d nên I (t; 1 + 2t; -1-t)

KÈ

ng (Oxy) nên -1-t=0 ⇔ t=-1 I thuộc mặt phẳng ⇒ I(-1; -1;0)

ẠY

= √65

Phương trình mặt cầu ầu đi qua A và có tâm I (-1; -1; 0) là (x+1)2+(y+1)2+ z2=65

ng trình mặt cầu biếtt tâm I (a; b; c) và bán kính Dạng 2.1.1: Viết phương R

FF IC IA L

Dạng bài 2.1.2: Viết phương trình mặt cầu biếtt tâm I (a; b; c) và mặt ẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 cầu tiếp xúc với mặt phẳng Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biếtt tâm I (a; b; c) và mặt cầu ẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 tiếp xúc với mặt phẳng Phương pháp giải

ng cách từ t tâm I Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới mặt phẳng (P) nên khoảng đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R

(S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

Khi đó, phương trình mặặt cầu cần tìm là:

R=d(I;(P))

Ví dụ minh họa

v mặt Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0.

Hướng dẫn:

KÈ

Khoảng cách từ I đến mặặt phẳng (P) là:

d(I;(P))

= 8/3

ẠY

ặt cầ cầu (S) nên bán kính mặt cầu u R=d(I;(P))=8/3 Do (P) tiếp xúc với mặt p xúc với v (P) là: Khi đó, phương trình mặặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp

(x-1)2+(y+2)2+z2=64/9

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)

Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng ẳng (Oxy) là: z = 0

FF IC IA L

mặt phẳng Oxy là: Khoảng cách từ I đến mặ d(I;(Oxy))=|-2|/√(12 )=2

ầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với ới mặt m phẳng Phương trình mặt cầu (Oxy) là: (x-3)2+(y+1)2+(z+2)2=4

m A (3; -2; -2), B (3; 2; 0), C (0; 2; 1) và D (-1; 1; 2). Bài 3: Cho 4 điểm cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ẳng (BCD). Viết phương trình mặt cầ

Hướng dẫn:

⇒ [BC→, BD→]=(1;2;3)

BC→=(-3;0;1); BD→=(-4; -1;2)

ủa m mặt phẳng (BCD) là: n→=(1;2;3) ⇒ Vecto pháp tuyến của

ẳng (BCD) có VPPT n→=(1;2;3) và đi đ qua điểm Phương trình mặt phẳng B(3; 2; 0) là: x-3+2(y-2)+3z=0

⇔ x+2y+3z-7=0

KÈ

mặt phẳng (BCD) là: Khoảng cách từ A đến mặ

ẠY

d(A;(BCD))

= √14

Khi đó, phương trình mặặt cầu tâm A và tiếp xúc vớii (BCD) là: (x-3)2+(y+2)2+(z+2)2=14

ầu (S) có tâm I Bài 4: Cho mặt phẳng ( P ): 2x + 3y + z - 2 = 0. Mặt cầu ặt phẳng phẳ (P) có thuộc trụcc Oz, bán kính bbằng 2/√(14) và tiếp xúc mặt phương trình:

FF IC IA L

Hướng dẫn: Tâm I thuộc trục Oz nên I (0; 0; c)

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

d(I;(P))

ếp xúc với mặt cầu nên khoảng ng cách từ I đến mặt Do mặt phẳng (P) tiếp ng bán kính ccủa mặt cầu. phẳng (P) bằng

m I th thỏa mãn là (0; 0; 2) và (0; 0; 0) Khi đó, tồn tại 2 điểm

x2 +y2 +z2=2/7

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

x2 +y2 +(z-2)2=2/7

ẠY

KÈ

Dạng bài 2.1.3: Viết phương trình mặt cầu biếtt tâm I (a; b; c) và tiếp xúc với đường thẳng Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp giải Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới mặt phẳng (d) nên khoảng ng cách từ t tâm I ằng bán kính R đến mặt phẳng (d) bằng

FF IC IA L

Gọi M là điểm bất kì trên d, u→là vecto chỉ phương của d. Khi đó, khoảng cách từ I đếnn d được tính theo công thức:

R=d(I;(d)) Khi đó, phương trình mặặt cầu cần tìm là: (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 Ví dụ minh họa

v trục Bài 1: Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; -2; 3) và tiếp xúc với Oy

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng ẳng Oy là

Vecto chỉ phương của Oy là u→=(0;1;0)

M (0; 1; 0) ∈ Oy ⇒ IM→=(-1;3; -3)

⇒ [IM→, u→]=(-3;0;1)

ẠY

KÈ

trục Oy là: Khoảng cách từ I đến trụ

d(I;(Oy))

= √10

ới tr trục Oy nên khoảng cách từ tâm I đến đế trục Oy Do mặt cầu tiếp xúc với ầu. là bán kính của mặt cầu. cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=10

FF IC IA L

ng trình: Bài 2: Cho điểm A ( -3; 1; 4) và đường thẳng d có phương

ầu tâm A, ti tiếp xúc với d là: Phương trình mặt cầu Hướng dẫn:

ng d có VTCP u→=(2; 1; -1) và đi qua điểm M (-1; 2; -3) Đường thẳng Ta có: AM→=(2;1; -7)

[ AM→, u→]=(6; -12;0)

√30 =√

d(I;(d))

Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là:

ng cách từ tâm I đến Do mặt cầu tiếpp xúc với đường thẳng d nên khoảng mặt cầu. trục d là bán kính của mặ

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

KÈ

(x+3)2+(y-1)2+(z-4)2=30

ẠY

m I (0; 1; 2); B (-1; 1; 0) và C (2; -3; 1). Viết phương Bài 3: Cho điểm trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng BC Hướng dẫn:

ng BC có VTCP BC→=(3;-4; 1) Đường thẳng IB→=(-1;0; -4) [IB→; BC→]=(16;11; -4)

FF IC IA L

Khoảng cách từ I đến đường thẳng BC là:

d(I;BC)

với đường thẳng BC nên khoảng ng cách từ I đến Do mặt cầu tiếpp xúc vớ đường thẳng BC là bán kính mặt cầu tâm I cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

x2+(y-1)2+(z-2)2=393/26

ẠY

KÈ

Phương pháp giải

Dạng bài 2.1.4: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu ng (P): Ax + By + Cz + D = 0 theo m một đường ng tròn có bán cắt mặt phẳng kính r Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt ng (P): Ax + By + Cz + D = 0 theo m một đường tròn có bán mặt phẳng kính r

Khoảng cách từ tâm I đế đến mặt phẳng P là:

d=d(I;(P))

FF IC IA L

ầu được tính theo công thức: Bán kính R của mặt cầu R=√(r2+d2 )

Khi đó phương trình mặt ccầu có tâm I (a; b; c) vàà bán kính R là: (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 ương trình mặt cầu (S) tâm I cắt ắt mặt mặ phẳng (P) và điểm I (2; 1; 3). Phươ theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 là:

Hướng dẫn:

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

d(I;P)

Bán kính R của mặt cầu ầu là: =5

KÈ

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu

ẠY

(x-2)2+(y-1)2+(z-3)2=25

m A (1; 2; 4) và mặt phẳng ng (P): x + y + z =1. Viết Vi Bài 2: Cho điểm ầu (S) có tâm A, bi biết mặt cầu (S) cắt ắt mặt mặ phẳng (P) phương trình mặt cầu theo một thiết diện là mộột đường tròn có chu vi 4π Hướng dẫn:

diện Gọi r là bán kính thiết diệ Theo bài ra, đường tròn thiết diện có chu vi 4π

FF IC IA L

⇒ 2πr = 4π ⇒ r=2

ẳng (P): x + y + z – 1 = 0 Phương trình mặt phẳng mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

= 2√3

d(I;P)

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

⇒ R=√(r2+d2 )=4

Phương trình mặt cầu ầu tâm I, bán kính R = 4 là:

(x-1)2+(y-2)2+(z-4)2=16

ẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = Bài 3: Cho hai mặt phẳng

KÈ

c (S) có 0 và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu ủa (P) và ∆ sao cho (Q) cắt (S) theo một ột đường tròn tâm I là giao điểm của có diện tích là 20π. Hướng dẫn:

ẠY

I là giao điểm của (P) và ∆ I thuộc ∆ nên I (1+7t; 3t; 1 – 2t)

Lại có I thuộc (P) nên: 5(1+7t) -4.3t+1 -2t-6=0 ⇔ t=0 ⇒ I(1;0;1)

mặt phẳng (Q) là: Khoảng cách từ I đến mặ

FF IC IA L

= (5√6)/3

d(I;(Q))

phẳ (Q). Ta Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng có: πr2 =20π ⇒ r=2√5

cầu, ta có: Gọi R là bán kính mặt cầ

⇒ R=√(r2 +d2 )

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

= √(330)/3

(x-1)2+y2+(z-1)2=110/3

Dạng bài 2.1.5: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt đường thẳng ∆ theo một dây cung có độ dài l cho trước Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt đường thẳng ∆ theo mộột dây cung có độ dài l cho trước

ẠY

KÈ

Phương pháp giải

FF IC IA L O N Ơ H N

Độ dài dây cung l=AB

+ Khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ là:

d=d(I;(∆))

m thuộc ∆, u→là VTCP của ∆ trong đó M là điểm

ẠY

KÈ

mặt cầu + Gọi R là bán kính của m

Ví dụ minh họa Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng

FF IC IA L

tại 2 điểm A, B vớii AB = 16 Hướng dẫn: Chọn M (-1; 1; 0) ∈ ∆ ⇒ IM→=(3;2; 1)

Đường thẳng ∆ có một vecto ch chỉ phương là u→=(1; -4;1)

Ta có: [IM→; u→]=(2;4;14)

Ta có:

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

= 2√3

⇒ d(I,∆)

= 2√(19)

KÈ

cầu là: Vậy phương trình mặt cầ

ẠY

(x-2)2+(y-3)2+(z+1)2=76

m I (0; 0; 3) và đường thẳng Bài 2: Cho điểm Viết ầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại ại hai điểm A, phương trình mặt cầu B sao cho tam giác IAB vuông

Hướng dẫn: Điểm M (-1; 0; 2) ∈d

FF IC IA L

⇒ IM→=(-1;0; -1) Đường thẳng ∆ có một vecto ch chỉ phương là u→=(1; 2;1) Ta có: [IM→; u→]=(2;0;-2)

⇒ d(I,∆)

+ Do tam giác IAB cân tại I nên IAB sẽ vuông cân tạii I có IA=R

⇒ AB= R√2

Ta có:

⇒ R2=8/3

Phương trình mặt cầu ầu cần tìm là:

ẠY

KÈ

x2 +y2+ (z-3)2=8/3

Viết Bài 3: Cho điểm m I (1; 0; 0) và đường thẳng ầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại ại hai điểm A, phương trình mặt cầu B sao cho tam giác IAB đều: Hướng dẫn:

Điểm M (1; 1; -2) ∈d ⇒ IM→=(0;1; -2)

FF IC IA L

Đường thẳng ∆ có một vecto ch chỉ phương là u→=(1; 2;1) Ta có: [IM→; u→]=(5;-2;-1)

⇒ d(I,∆)

ạnh R + Tam giác IAB đều cạnh

⇒ AB=R

Ta có:

⇒ R2 =20/3

Phương trình mặt cầu ầu cần tìm là:

KÈ

(x-1)2 +y2 +z2=20/3

ẠY

m I (1; 1; -2) và đường thẳng Bài 4: Cho điểm Viết ầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại ại 2 điểm A, B phương trình mặt cầu 0 sao cho IABˆ=30

Hướng dẫn:

FF IC IA L O N Ơ

ng vuông góc ccủa I trên AB Gọi H là chân đường

Xét tam giác AHI vuông tại H, AI = R có:

Điểm M (-1; 3; 2) ∈d

=R.sin (300)=R/2 IH=AI.sin (IABˆ))=R.sin

⇒ IM→=(-2;2; 4)

Đường thẳng ∆ có một vecto ch chỉ phương là u→=(1; 2;1)

ẠY

KÈ

Ta có: [IM→; u→]=(-6;6;-6)

⇒ d(I,∆)

Ta có: IH = d(I,∆) ⇒ R/2=3√2 ⇒ R=6√2

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

(x-1)2 +(y-1)2 +(z+2)2=72

tr Oz tại 2 Bài 5: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; 6; -4) và cắt trục ện tích tam giác IAB bbằng 6√5 điểm A, B sao cho diện

FF IC IA L

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng ẳng Oz là :

Một vecto chỉ phương củủa Oz là u→= (0; 0; 1)

⇒ [OI→; u→]=(6; -3;0)

ẠY

KÈ

trục Oz là: Khoảng cách từ I đến trụ

ộc Oz ⇒ OI→=(3;6; -4) Điểm O(0; 0; 0) thuộc

Ta có: SIAB=1/2 IH .AB=1/2 .3√5 .AB=6√5 ⇒ AB=4

⇒ R 2=

FF IC IA L

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

+d2=22+45=49

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ (x-3)2 +(y-6)2 +(z+4)2=49

đẳ d Dạng 2.2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường đẳng ờ thẳng d Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường và đi qua 2 điểm A, B Phương pháp giải

Viết phương trình đường th thẳng d về dạng tham số:

Tâm I thuộc đường thẳng ẳng d nên I (x0+at; y0+bt; z0+ct)

ểm A, B cho trước nên IA = IB Mặt cầu đi qua 2 điểm

KÈ

⇒ IA2= IB2

ẠY

⇒ Tìm được t

⇒ Tọa độ tâm và bán kính ⇒ Phương trình mặt cầu

Ví dụ minh họa

m A (1; 3; 1); B(3; 2; 2). Vi Viết phương ng trình mặt cầu Bài 1: Cho các điểm đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz

Hướng dẫn: Do tâm I thuộc trụcc Oz nên I (0; 0; z)

FF IC IA L

IA2 =12 +32 +(z-1)2 IB2=32 +22+(z-2)2 Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB ⇒ IA2= IB2

⇒ 12 +32 +(z-1)2=32 +22+(z-2)2 ⇔ 2z=6 ⇔ z=3

⇒ I (0; 0; 3); R2 =IA2 =14

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

x2 +y2 +(z-3)2 =14

Bài 2: Cho các điểm A (0; 1; 3) vvàà B (2; 2; 1) và đường

ẠY

KÈ

Hướng dẫn:

ầu đi đ qua hai thẳng Viết phương trình mặt cầu điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d

Phương trình tham số củ của

ầu, do I thu thuộc d nên I (1+2t; 2 – t; 3 – 2t) Gọi I là tâm của mặt cầu, Ta có: IA2= (1+2t)2+(2-t-1)2+(3-2t-3)2=9t2+2t+2

IB2= (1+2t-2)2 +(2-t-2)2 +(3-2t-1)2= 9t2 -4t+5 Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

FF IC IA L

⇒ IA2= IB2 ⇒9t2+ 2t +2= 9t2 -4t+5 ⇔ t=1/2 ⇒ I(2; 3/2;2); R2= IA2=21/4

cầu cần tìm là Vậy phương trình mặt cầ (x-2)2 +(y-3/2)2 +(z-2)2 =21/4

Bài 3: Cho các điểm A (-2; 4; 1) và B (2; 0; 3) và đường

thẳng Gọi (S) là mặt cầu đii qua A, B và có tâm ng d. Tính bán kính m mặt cầu (S) thuộc đường thẳng

KÈ

Hướng dẫn:

Phương trình tham số củ của

ẠY

ầu, do I thu thuộc d nên I (1 + 2t; -2 – t; 3 – 2t) Gọi I là tâm của mặt cầu, Ta có: IA2=(1+2t+2)2 +(-2-t-4)2 +(3-2t-1)2 =9t2 +16t +49

IB2=(1+2t-22 +(-2-t)2 +(3-2t-3)2 =9t2 +8t +5 Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB ⇒ IA2= IB2

⇒ 9t2+16t+49= 9t2 +8t+5 ⇔ t=(-11)/2

FF IC IA L

⇒ R2 =IA2=933/4 ⇒ R=√(933)/2

u có tâm thu thuộc d, cắt mặt phẳng ng (P) theo giao Dạng bài: Mặt cầu mặtt phẳng phẳ (P) một tuyến là đường tròn có bán kính r và tâm I cách m khoảng h. Phương pháp giải

Viết phương trình đường th thẳng d về dạng tham số:

Tâm I thuộc đường thẳng ẳng d nên I (x0+at; y0+bt; z0+ct)

Sử dụng công thức

d(I;(P))

d(I;(P))=h

KÈ

⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

ẠY

⇒ R=√(r2 +h2 )

Ví dụ minh họa Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

ầu (S) có tâm I và (P): 2x – y – 2z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu khoảng bằng 2 và (P) cắt mặt cầu ầu (S) theo một m thuộc ∆; I cách (P) một kho đường tròn giao tuyến (C) có bán kính bbằng 3.

FF IC IA L

Hướng dẫn:

Phương trình tham số củ của

I thuộc ∆ nên I (-t; -1 + 2t; 1+ t)

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

h=d(I;(P))

=|-1-2t|

Theo đề bài, I cách (P) một khoảng bằng 2 nên d(I;(P))=2

KÈ

⇔ |-1-2t|=2

Gọi R là bán kính của mặ mặt cầu

ẠY

Ta có: R

=√13

Vậy có hai phương trình mặt cầu thỏa mãn là: (x+1/2)2 +y2 +(z-3/2)2=13 (x-3/2)2 +(y+4)2 +(z-1/2)2=13

FF IC IA L

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 3y – z – 2 = 0. cầu (S) có tâm E thuộcc tia Ox sao cho mặt m phẳng Viết phương trình mặt cầ ảng bbằng √14 và cắt mặt cầu u (S) theo thiết thi diện là (P) cách E một khoảng ng kính bbằng 4. đường tròn có đường Hướng dẫn: Tâm E thuộc tia Ox nên E (a; 0; 0)

Khoảng cách từ E đến mặt phẳng (P) là:

d(E;(P))

ng cách ttừ E đến mặt phẳng (P) bằng √14 Theo giả thiết, khoảng

= √14 ⇔ |2a-2|=14

KÈ

Ta có: R

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

ẠY

= √18

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn:

(x-8)2 +y2 +z2=18

(x+6)2 +y2 +z2=18 Phương pháp giải

Gọi M (a; b; c) thuộc ∆, u→là một vecto chỉ phương

FF IC IA L

ừ I đế đến đường thẳng ∆ đượcc tính theo công thức: th Khi đó, khoảng cách từ

h=d(I;(d))= ⇒ Tìm được t ⇒ tọa độ đđiểm I

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

⇒ R2=(l/2)2 +h2

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hhệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường

,t' ∈ R. Lập thẳng , t∈R và ầu (S) có tâm I ∈∆1, biết ∆2 cắt mặt ặt cầu cầ theo dây phương trình mặt cầu cung có độ dài là 8 và I cách ∆2 một khoảng bằng 3

Hướng dẫn:

Tâm I ∈∆1 nên I(1;-t; -2+t)

KÈ

mặt cầu Gọi R là bán kính của mặ ⇒ R2 =(l/2)2 +h2 =(8/2)2 +32=25

ẠY

Ta có: M (3; -2; 0) ∈∆2, một Vecto chỉ phương của ∆2 là u→=(0;1;1)

IM→=(2; -2+t;2-t) ⇒ [IM→; u→]=(t-4;-2;2)

ừ I đế đến ∆2 là: Khi đó, khoảng cách từ

FF IC IA L

d(I; ∆2 )

=3 ⇔ t2 -8t +24 =18

(x-1)2 +(y+4 +√10)2 +(z-2-√10)2=25

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

Với t=4 -√10 thì I(1; -4 +√10;2 -√10)

Với t=4 +√10 thì I(1; -4 -√10;2 +√10)

(x-1)2 +(y+4 -√10)2 +(z-2+√10)2=25

Bài 2: Trong không gian hhệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường

KÈ

thẳng , t∈R và , t'∈R. Lập phương bi trình mặt cầuu (S) có tâm I ∈∆1 và I cách ∆2 một khoảng bằng 3, cho biết ng (P): 2x + 2y – 7z = 0 cắt mặt cầu (S) theo một ột đường tròn mặt phẳng giao tuyếnn có bán kính r = 5.

ẠY

Hướng dẫn:

Tâm I thuộc ∆1 nên I (t; -t; 0) Điểm M (5; -2; 0) thuộc ∆2 và một vecto chỉ phương là u→=(-2;0;1) IM→=(5-t; -2+t;0)

⇒ [IM→; u→]=(t-2;t-5;2t-4)

FF IC IA L

ừ I đế đến ∆2 là: Khi đó, khoảng cách từ

d(I; ∆2 )

=3 ⇔ 6t2 -30t+45=45

x2 +y2 +z2=25

Phương trình mặt cầu là:

+ Điểm I1(0;0;0) thuộc m mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao mặt cầu. tuyến là bán kính củaa mặ

+ Điểm I2 (5; -5;0) thuộộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính củủa mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

KÈ

(x-5)2 +(y+5)2 +z2=25

ẠY

u có tâm thu thuộc d, tiếp xúc với mặt ặt phẳng phẳ (P) và Dạng bài: Mặt cầu u kiện cho trước thỏa mãn một điều Phương pháp giải

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

d(I;(P))=

+ Điều kiện cho trước: 1) Mặt cầu đii qua A cho trước:

FF IC IA L

Do mặt cầu đii qua A cho trước và tiếp xúc với (P) nên IA = d(I;(P))=R ⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I và bán kính R

ủa mặ mặt cầu 2) Biết bán kính R của Khi đó d(I;(P))=R

3) 2 mặt phẳng cùng tiếp xúc vvới mặt cầu

⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I

ng cách ttừ tâm đến các mặt phẳng bằng ng nhau và cùng Khi đó, cho khoảng bằng bán kính mặt cầu.

Ví dụ minh họa

KÈ

Hướng dẫn:

và mặt m A (1; 3; 2), đường thẳng Bài 1: Cho điểm u (S) đi đ qua A, có phẳng (P): 2x – 2y +z – 6 = 0. Phương trình mặt cầu ời tiế tiếp xúc với (P) là: tâm thuộc d, đồng thời

ẳng Phương trình đường thẳng

ẠY

u, do I thu thuộc d nên I (-1+2t; 4 – t; -2t) Gọi I là tâm mặt cầu,

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

d(I;(P))

FF IC IA L

Do mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với (P) nên d(I;(P))=IA=R

Khi đó, phương trình mặặt cầu cần tìm là:

⇔ 65t2 +110t-175=0

(x-1)2 +(y-3)2 +(z+2)2=16

(x+(83/13))2 +(y -(87/13))2 +(z -(70/13))2=13456/169

Hướng dẫn:

m A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1) và mặt phẳng ng (P): x + y + z Bài 2: Cho hai điểm mặt cầu u (S) có bán kính AB/6 có tâm thuộc thu + 4 =0. Viết phương trình m đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)

KÈ

AB→=(-2;2;-2) ⇒ AB=|AB→|=2√3

mặt cầu (S). Theo giả thiết ta có: Gọi R là bán kính của mặ

ẠY

R=AB/6= √3/3

Đường thẳng AB đii qua A (1; -2; 3) và có một vecto chỉ phương ươ

ương trình là: AB→=(-2;2;-2) có phương

ẳng AB nên I(1-2t; -2+2t;3-2t) Tâm I thuộc đường thẳng

FF IC IA L

đến mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ tâm I đế

d(I;(P))

ới (P) nên d(I;(P))=R Do mặt cầu tiếp xúc với

Với t=5/2 thì I ( -4; 3; -2)

⇔ |-2t+6|=1

Với t=7/2 thì I ( -6; 5; -4)

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn là :

(x+4)2 +(y-3)2 +(z+2)2=1/3

ẠY

KÈ

(x+6)2 +(y-5)2 +(z+4)2=1/3

ẳng ẳng (P): x + 2y Bài 3: Cho đường thẳng và hai mặt phẳng u có tâm I nằm nằ trên d và + 2z – 2 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 1 = 0. Mặt cầu ẳng (P) và (Q) có phương trình là? tiếp xúc với 2 mặt phẳng Hướng dẫn:

FF IC IA L

d(I;(P))

d(I;(Q))

Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên

⇔ |8t+9|=|9t+9|

Với t=0 thì I(1;2;3);R=3

Với t=-18/17 thì I(-19/17; 16/17; 15/17); R=3/17 Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2=9

ẠY

KÈ

(x+(19/17))2 +(y-(16/17))2 +(z-(15/17))2=9/289

ẳng ẳng (P): 2x + y Bài 4: Cho đường thẳng và mặt phẳng ương trình mặt cầu (S) có tâm nằm ằm trên đường – 2z + 2 = 0. Viết phươ ng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm ể A (1; -1; thẳng 1) Hướng dẫn:

của đường thẳng d là: Phương trình tham số củ

FF IC IA L

u, do I thu thuộc đường thẳng d nên I(1+3t; -1+t;t) Gọi I là tâm mặt cầu, m I đế đến mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ điểm

IA2 =(1+3t-1)2 +(-1+t+1)2 +(t-1)2 =11t2 -2t +1

d(I;(P))

ới (P) và đi qua A nên d(I;(P))=IA Do mặt cầu tiếp xúc với

⇔ (5t+3)2 =11t2 -2t +1

Với t = 0, ta có I (1; -1; 0), R = IA = 1

KÈ

Vớii t=24/37, ta có I(109/37; (-13)/37; 24/37); R= IA =5929/1369

ẠY

ết phương trình mặt cầu u có bán kính nhỏ nh nhất nên Theo bài ra, cần viết cầu có tâm I (1; -1; 0), R = 1 viết phương trình mặt cầ (x-1)2 +(y+1)2 +z2=1

ng trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng th d và Dạng 2.2.1: Viết phương đi qua 2 điểm A, B ờ thẳng d Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường và đi qua 2 điểm A, B

Phương pháp giải

FF IC IA L

Viết phương trình đường th thẳng d về dạng tham số:

ẳng d nên I (x0+at; y0+bt; z0+ct) Tâm I thuộc đường thẳng Mặt cầu đi qua 2 điểm A, B cho trước nên IA = IB

⇒ IA2= IB2

⇒ Tìm được t

⇒ Tọa độ tâm và bán kính ⇒ Phương trình mặt cầu

Ví dụ minh họa

m A (1; 3; 1); B(3; 2; 2). Vi Viết phương ng trình mặt cầu Bài 1: Cho các điểm đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz

Hướng dẫn:

Do tâm I thuộc trụcc Oz nên I (0; 0; z)

IA2 =12 +32 +(z-1)2

KÈ

IB2=32 +22+(z-2)2

Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

ẠY

⇒ IA2= IB2

⇒ 12 +32 +(z-1)2=32 +22+(z-2)2 ⇔ 2z=6 ⇔ z=3 ⇒ I (0; 0; 3); R2 =IA2 =14

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ x2 +y2 +(z-3)2 =14

FF IC IA L

Bài 2: Cho các điểm A (0; 1; 3) vvàà B (2; 2; 1) và đường

ầu đi đ qua hai thẳng Viết phương trình mặt cầu điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d

Hướng dẫn:

Phương trình tham số củ của

ầu, do I thu thuộc d nên I (1+2t; 2 – t; 3 – 2t) Gọi I là tâm của mặt cầu,

Ta có: IA2= (1+2t)2+(2-t-1)2+(3-2t-3)2=9t2+2t+2

IB2= (1+2t-2)2 +(2-t-2)2 +(3-2t-1)2= 9t2 -4t+5

Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

KÈ

⇒ IA2= IB2

⇒9t2+ 2t +2= 9t2 -4t+5

ẠY

⇔ t=1/2

⇒ I(2; 3/2;2); R2= IA2=21/4

cầu cần tìm là Vậy phương trình mặt cầ (x-2)2 +(y-3/2)2 +(z-2)2 =21/4

Bài 3: Cho các điểm A (-2; 4; 1) và B (2; 0; 3) và đường

FF IC IA L

thẳng Gọi (S) là mặt cầu đii qua A, B và có tâm ng d. Tính bán kính m mặt cầu (S) thuộc đường thẳng

Hướng dẫn:

Phương trình tham số củ của

ầu, do I thu thuộc d nên I (1 + 2t; -2 – t; 3 – 2t) Gọi I là tâm của mặt cầu,

Ta có: IA2=(1+2t+2)2 +(-2-t-4)2 +(3-2t-1)2 =9t2 +16t +49

IB2=(1+2t-22 +(-2-t)2 +(3-2t-3)2 =9t2 +8t +5

Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

⇒ IA2= IB2

⇒ 9t2+16t+49= 9t2 +8t+5

KÈ

⇔ t=(-11)/2

⇒ R2 =IA2=933/4 ⇒ R=√(933)/2

ẠY

u có tâm thu thuộc d, cắt mặt phẳng ng (P) theo giao tuyến tuy Dạng 2.2.2: Mặt cầu mặt phẳng ng (P) một mộ khoảng h là đường tròn có bán kính r và tâm I cách m u có tâm thuộc d, cắt mặt phẳng ng (P) theo giao Dạng bài: Mặt cầu mặtt phẳng phẳ (P) một tuyến là đường tròn có bán kính r và tâm I cách m khoảng h. Phương pháp giải

FF IC IA L

thẳng d về dạng tham số: Viết phương trình đường th

ẳng d nên I (x0+at; y0+bt; z0+ct) Tâm I thuộc đường thẳng Sử dụng công thức

d(I;(P))

d(I;(P))=h

⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm

⇒ R=√(r2 +h2 )

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

Ví dụ minh họa

KÈ

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

ẠY

ầu (S) có tâm I và (P): 2x – y – 2z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu ầu (S) theo một m thuộc ∆; I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt mặt cầu đường tròn giao tuyến (C) có bán kính bbằng 3.

Hướng dẫn:

của Phương trình tham số củ

I thuộc ∆ nên I (-t; -1 + 2t; 1+ t)

FF IC IA L

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

=|-1-2t|

h=d(I;(P))

Theo đề bài, I cách (P) một khoảng bằng 2 nên d(I;(P))=2

Gọi R là bán kính của mặ mặt cầu

⇔ |-1-2t|=2

Ta có: R

=√13

Vậy có hai phương trình mặt cầu thỏa mãn là:

(x+1/2)2 +y2 +(z-3/2)2=13

(x-3/2)2 +(y+4)2 +(z-1/2)2=13

ẠY

KÈ

Hướng dẫn:

Tâm E thuộc tia Ox nên E (a; 0; 0)

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ E đến mặ

d(E;(P))

FF IC IA L

ng cách ttừ E đến mặt phẳng (P) bằng √14 Theo giả thiết, khoảng

= √14 ⇔ |2a-2|=14

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

Ta có: R

= √18

(x-8)2 +y2 +z2=18

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn:

(x+6)2 +y2 +z2=18

ẠY

KÈ

Dạng 2.2.3: Mặt cầu u có tâm thu thuộc d, cắt đường thẳng ∆ theo một dây cung có độ dài l và tâm I cách đường thẳng ∆ một khoảng là h u có tâm thu thuộc d, cắt đường thẳng ∆ theo một dây Dạng bài: Mặt cầu ảng là h. cung có độ dài l và tâm I cách đường thẳng ∆ một khoảng

Phương pháp giải Gọi M (a; b; c) thuộc ∆, u→là một vecto chỉ phương

ừ I đế đến đường thẳng ∆ đượcc tính theo công thức: th Khi đó, khoảng cách từ

h=d(I;(d))=

FF IC IA L

⇒ Tìm được t ⇒ tọa độ đđiểm I

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ ⇒ R2=(l/2)2 +h2 Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hhệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường

,t' ∈ R. Lập thẳng , t∈R và phương trình mặt cầu ầu (S) có tâm I ∈∆1, biết ∆2 cắt mặt ặt cầu cầ theo dây cung có độ dài là 8 và I cách ∆2 một khoảng bằng 3

Hướng dẫn:

Tâm I ∈∆1 nên I(1;-t; -2+t)

mặt cầu Gọi R là bán kính của mặ

⇒ R2 =(l/2)2 +h2 =(8/2)2 +32=25

KÈ

Ta có: M (3; -2; 0) ∈∆2, một Vecto chỉ phương của ∆2 là u→=(0;1;1) IM→=(2; -2+t;2-t)

ẠY

⇒ [IM→; u→]=(t-4;-2;2)

ừ I đế đến ∆2 là: Khi đó, khoảng cách từ

d(I; ∆2 )

FF IC IA L

=3 ⇔ t2 -8t +24 =18

Với t=4 +√10 thì I(1; -4 -√10;2 +√10) Với t=4 -√10 thì I(1; -4 +√10;2 -√10)

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

(x-1)2 +(y+4 -√10)2 +(z-2+√10)2=25

(x-1)2 +(y+4 +√10)2 +(z-2-√10)2=25

Bài 2: Trong không gian hhệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường

thẳng , t∈R và , t'∈R. Lập phương ằng 3, cho biết bi trình mặt cầuu (S) có tâm I ∈∆1 và I cách ∆2 một khoảng bằng ng (P): 2x + 2y – 7z = 0 cắt mặt cầu (S) theo một ột đường tròn mặt phẳng giao tuyếnn có bán kính r = 5.

KÈ

Hướng dẫn:

Tâm I thuộc ∆1 nên I (t; -t; 0)

ẠY

Điểm M (5; -2; 0) thuộc ∆2 và một vecto chỉ phương là u→=(-2;0;1) IM→=(5-t; -2+t;0)

⇒ [IM→; u→]=(t-2;t-5;2t-4)

ừ I đế đến ∆2 là: Khi đó, khoảng cách từ

FF IC IA L

d(I; ∆2 )

=3 ⇔ 6t2 -30t+45=45

+ Điểm I1(0;0;0) thuộc m mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao mặt cầu. tuyến là bán kính củaa mặ

Phương trình mặt cầu là:

x2 +y2 +z2=25

+ Điểm I2 (5; -5;0) thuộộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính củủa mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

(x-5)2 +(y+5)2 +z2=25

KÈ

Dạng 2.2.4: Mặt cầu u có tâm thu thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng ẳng (P) và ện cho trước thỏa mãn một điều kiện Phương pháp giải

ẠY

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

d(I;(P))= + Điều kiện cho trước:

1) Mặt cầu đii qua A cho trước:

Do mặt cầu đii qua A cho trước và tiếp xúc với (P) nên IA = d(I;(P))=R ⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I và bán kính R

FF IC IA L

ủa mặ mặt cầu 2) Biết bán kính R của Khi đó d(I;(P))=R ⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I 3) 2 mặt phẳng cùng tiếp xúc vvới mặt cầu

ng cách ttừ tâm đến các mặt phẳng bằng ng nhau và cùng Khi đó, cho khoảng bằng bán kính mặt cầu.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho điểm và mặt m A (1; 3; 2), đường thẳng u (S) đi đ qua A, có phẳng (P): 2x – 2y +z – 6 = 0. Phương trình mặt cầu ời tiế tiếp xúc với (P) là: tâm thuộc d, đồng thời

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng ẳng

KÈ

u, do I thu thuộc d nên I (-1+2t; 4 – t; -2t) Gọi I là tâm mặt cầu,

ẠY

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

d(I;(P)) IA

FF IC IA L

Do mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với (P) nên d(I;(P))=IA=R

⇔ 65t2 +110t-175=0

(x-1)2 +(y-3)2 +(z+2)2=16

Khi đó, phương trình mặặt cầu cần tìm là:

(x+(83/13))2 +(y -(87/13))2 +(z -(70/13))2=13456/169

Hướng dẫn:

AB→=(-2;2;-2) ⇒ AB=|AB→|=2√3

mặt cầu (S). Theo giả thiết ta có: Gọi R là bán kính của mặ

KÈ

R=AB/6= √3/3

ẠY

ươ Đường thẳng AB đii qua A (1; -2; 3) và có một vecto chỉ phương

ương trình là: AB→=(-2;2;-2) có phương ẳng AB nên I(1-2t; -2+2t;3-2t) Tâm I thuộc đường thẳng đến mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ tâm I đế

d(I;(P))

FF IC IA L

ới (P) nên d(I;(P))=R Do mặt cầu tiếp xúc với

⇔ |-2t+6|=1

Với t=5/2 thì I ( -4; 3; -2)

Với t=7/2 thì I ( -6; 5; -4)

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn là :

(x+4)2 +(y-3)2 +(z+2)2=1/3

(x+6)2 +(y-5)2 +(z+4)2=1/3

ẠY

KÈ

ẳng ẳng (P): x + 2y Bài 3: Cho đường thẳng và hai mặt phẳng u có tâm I nằm nằ trên d và + 2z – 2 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 1 = 0. Mặt cầu ẳng (P) và (Q) có phương trình là? tiếp xúc với 2 mặt phẳng

Hướng dẫn:

d(I;(P))

d(I;(Q))

FF IC IA L

Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên

⇔ |8t+9|=|9t+9|

Với t=0 thì I(1;2;3);R=3

Với t=-18/17 thì I(-19/17; 16/17; 15/17); R=3/17

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2=9

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:

(x+(19/17))2 +(y-(16/17))2 +(z-(15/17))2=9/289

ẠY

KÈ

Hướng dẫn:

của đường thẳng d là: Phương trình tham số củ

u, do I thu thuộc đường thẳng d nên I(1+3t; -1+t;t) Gọi I là tâm mặt cầu,

FF IC IA L

m I đế đến mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ điểm

d(I;(P)) IA2 =(1+3t-1)2 +(-1+t+1)2 +(t-1)2 =11t2 -2t +1

ới (P) và đi qua A nên d(I;(P))=IA Do mặt cầu tiếp xúc với

⇔ (5t+3)2 =11t2 -2t +1

Với t = 0, ta có I (1; -1; 0), R = IA = 1

Vớii t=24/37, ta có I(109/37; (-13)/37; 24/37); R= IA =5929/1369

ết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất nên Theo bài ra, cần viết cầu có tâm I (1; -1; 0), R = 1 viết phương trình mặt cầ

KÈ

(x-1)2 +(y+1)2 +z2=1

ẠY

mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ẳng P Dạng 2.3: Viết phương trình m ặt phẳng ph (P): Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt Ax + By + Cz + D = 0 tạại điểm M (x0; y0; z0) thuộcc (P) cho trước Phương pháp giải Gọi I (a; b; c) ⇒ IM→=(x0 - a ; y0 - b ; z0 - c)

ng (P) có vecto pháp tuy tuyến n→=(A;B;C) Mặt phẳng

FF IC IA L

ặt ph phẳng (P) tại điểm M Mặt cầu tiếp xúc với mặt

ện cho trước để tìm k Sử dụng các điều kiện

⇒ I; R

Ví dụ minh họa

ẳng (P) và (Q) có phương trình (P): x – 2y + z – 1 Bài 1: Cho hai mặt phẳng ầu có tâm nằm n = 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm ểm M, biết bi rằng trên mặt phẳng (P) và ti ng (Oxy) và có hoành độ xM=1 M thuộc mặt phẳng

Hướng dẫn:

ẳng Oxy và có hoành độ xM=1 nên M (1; y0; 0) Điểm M thuộc mặt phẳng

ặt ph phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0 =-5 Mặt khác M thuộc mặt

⇒ M (1; -5;0)

KÈ

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt ccầu ⇒ IM→=(1-a; -5-b; -c)

ẠY

Mặt phẳng ng (Q) có vecto pháp tuy tuyến n→=(2;1;-1)

với (Q) tại điểm M nên IM→vuông góc với mặt Do mặt cầu tiếpp xúc vớ phẳng (Q)

FF IC IA L

⇒ IM→= k n→

Mặt khác I thuộc mặt ặt phẳ phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)

⇒ a-2b+c-1=0

⇔ 1-2k+2(5+k)+k-1=0

⇔ k=-10

Với k=-10 thì I (21; 5; -10)

Bán kính của mặt cầu là R=|IM→|=|k n→|

= 10√6

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

(x-21)2 +(y-5)2 +(z+10)2 =600

ẠY

KÈ

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 2 = 0, (Q): 2x - y - z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A (1; -1; 1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) Hướng dẫn:

mặt cầu Gọi I (a; b; c) là tâm của m ⇒ IA→=(1-a; -1-b; 1-c)

ng (P) có vecto pháp tuy tuyến n→=(2;3;-1) Mặt phẳng

với (P) tại điểm A nên IA→vuông góc với mặt Do mặt cầu tiếpp xúc vớ phẳng (P)

FF IC IA L

⇒ IA→= k n→

Lại có I thuộc mặt phẳng ẳng (Q) nên ta có:

2a-b-c+2=0

⇔ k=2

⇔ 2(1-2k)+(1+3k)-1-k+2=0

Với k = 2 thì I (-3; -7; 3)

Bán kính mặt cầu: R=|IA→|=|k n→|

KÈ

Vậy phương trình mặt cầầu cần tìm là: (x+3)2 +(y+7)2 +(z-3)2=56

ẠY

m A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z + 24 = 0, H Bài 3: Cho điểm ết phương trình là hình chiếuu vuông góc ccủa A trên mặt phẳng (P). Viết ng (P) tại t H, sao mặt cầu (S) có diệnn tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng m trong mặ mặt cầu. cho điểm A nằm Hướng dẫn:

Gọi H (a; b; c).

⇒ AH→=(a-2;b-5;c-1) Mặt phẳng ng (P) có vecto pháp tuy tuyến n→=(6;3;-2)

FF IC IA L

ph (P) Do H là hình chiếu vuông góc ccủa A trên mặt phẳng mặt phẳng (P). nên AH→vuông góc với m

⇒ AH→=k n→

Lại có H thuộc (P) nên 6a + 3b – 2c + 24 = 0

⇔ 6(6k+2)+3(3k+5)-2(-2k+1)+24=0

⇔ k=-1

⇒ H(-4;2;3)

Gọi R là bán kính mặt cầ cầu.

Mặt cầu (S) có diệnn tích là 784π

KÈ

⇒ 4πR2 =784π ⇒ R=14 Gọi I (m, n, p) là tâm mặặt cầu

ẠY

⇒ IH→=(-4-m;2-n;3-p)

Do mặt cầu tiếp xúc với ới m mặt phẳng (P) tại H nên ta có

FF IC IA L

Xét (*): |t n→|=R =14 ⇔ |t|=2 ⇔ t= ±2 Với t = 2 ta có I (-16; -4; 7)

Khi đó:

Khi đó

⇒ A nằm ngoài mặt cầu. ầu. Với t = - 2 ta có I (8; 8; -1)

=21>R

= 7<R

⇒ A nằm trong mặt cầu. ầu.

KÈ

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ (x-8)2 +(y-8)2 +(z+1)2=196

ẠY

ếp xúc với v mặt Bài 4: Viết phương trình ccủa mặt cầu (S) biết (S) tiếp m A(2;2;1) phẳng tọa độ Oxz tại điểm M(- 2;0;1) và (S) đi qua điểm

Hướng dẫn:

Gọi I (a; b; c) là tọa độ tâm ccủa mặt cầu. ⇒ IM→=(-2-a; -b;1-c)

ng (Oxz) có vecto pháp tuy tuyến n→=(0 ;1 ;0) Mặt phẳng

FF IC IA L

Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới mặt phẳng tọa độ (Oxz) tạii M nên

Giải (1) :

Ta có : IA2 =42 +(k+2)2 =k2 +4k +20

Do mặt cầu đii qua A(2; 2;1) nên IA = R

IM→= k n→

Từ (2) ⇒ IA2 =R2 =k2 ⇒ k2 +4k +20 =k2

⇒ k=-5

Vậy I (-2 ; 5 ; 1) và R = 5

ầu cần tìm là : Phương trình mặt cầu

KÈ

(x+2)2 +(y-5)2 +(z-1)2=25

ẠY

mặt cầu tiếp ngoại tiếp tứ diện ện Dạng 2.4: Viết phương trình m ện ABCD, biết bi Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nh A, B, C, D tọa độ các đỉnh

Phương pháp giải Gọi I (x; y; z ) là tâm mặặt cầu

ếp tứ diện ABCD nên ên ta có IA = IB = IC = ID Do mặt cầu ngoại tiếp

FF IC IA L O Ơ

⇒ Tọa độ điểm I ⇒ R2 =IA2 Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho ba điểm m A (6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). Viết ầu ngo ngoại tiếp tứ diện ABCD phương trình mặt cầu

Hướng dẫn:

mặt cầu Gọi I (x; y; z) là tâm của m

ẠY

KÈ

ếp tứ diện ABCD nên ên ta có IA = IB = IC = ID Do mặt cầu ngoại tiếp

FF IC IA L

Khi đó: R2 =IA2=17

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu (x-2)2 +(y+1)2 +(z-3)2=17

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A (1; 2; -4); B (1; -3; 1), C (2; 2; 3), D (1; 0; 4).

Hướng dẫn:

ẠY

KÈ

t: IA = IB = IC = ID Theo giả thiết:

Cách 1: Gọi I (x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm

Do đó I (-2; 1; 0) và R2 =IA2 =26

cầu cần tìm là : Vậy phương trình mặt cầ (x+2)2 +(y-1)2 +z2 =26

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S):

x2 +y2 +z2 -2ax -2by -2cz +d =0 (a2 +b2 +c2 -d>0).

FF IC IA L

điểm A, B, C, D nên tọa độ của 4 điểm điể thỏa mãn Do mặt cầu đi qua 4 điể phương trình mặt cầu

Vậy phương trình mặt cầ cầu cần tìm là;

x2 +y2 +z2 +4x -2y -21=0

Phương pháp giải

Dạng 2.5: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm

ẠY

KÈ

⇔ IA=IB=IC

Gọi I (x; y; z ) là tâm mặặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C

+ Dựa vào điều kiệnn cho trước để tìm phương trình còn lại

⇒ Tọa độ tâm I, R2 =IA2

ầu ccần tìm. ⇒ Phương trình mặt cầu

Ví dụ minh họa

FF IC IA L

Bài 1: Cho 3 điểm m A ( 2; 0; 1), B (1; 0; 0), C (1; 1; 1) và mặt ặ phẳng (P): ểm A, B, C và x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 đđiểm ẳng (P) có tâm thuộc mặt phẳng Hướng dẫn:

Gọi I (x; y; z) là tâm mặt ccầu đi qua 3 điểm A, B, C

⇔ IA=IB=IC

Do tâm của mặt cầuu thuộ thuộc mặt phẳng (P) nên: x + y + z – 2 = 0

KÈ

Ta có hệ phương trình

ẠY

Vậy I (1; 0; 1) và R2 =IA2=1

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

(x-1)2 +y2 +(z-1)2 =1

m A (1; 0; 0), B (0; Bài 2: : Trong không gian hhệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm 3; 0), C (0; 0; 6). Tìm phương trình mặt cầu (S) tiếp p xúc với vớ Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C và đđi qua A

Hướng dẫn: Gọi I (a; b; c) là tâm mặt ccầu

FF IC IA L

IB→=(-a;3-b; -c); IC→=(-a; -b;6-c)

Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới Oy tại B, tiếp xúc với Oz tạii C nên

⇒ I(a;3;6)

I đii qua A nên ta có IA = IB

⇔ IA2 =IB2 ⇔ (a-1)2 +32 +62 =a2 +62

⇔ a=5

Khi đó, I (5; 3; 6) và R2=IA2 =61

cầu cần tìm là : Vậy phương trình mặt cầ

(x-5)2 +(y-3)2 +(z-6)2 =61

KÈ

mặt cầu (S) đii qua A (0; 8; 0), B (4; 6; 2), C (0; Bài 3:Viết phương trình m mặt phẳng (Oyz) 12; 4) và có tâm I thuộc m

ẠY

Hướng dẫn:

Do tâm I thuộc mặt phẳng ẳng (Oyz) nên I (0; b; c)

Mặt cầu đii qua A, B, C nên IA = IB = IC

FF IC IA L

Vậy I (0; 7; 5); R2 =IA2 =26

cầu cần tìm là Vậy phương trình mặt cầ

x2 +(y-7)2 +(z-5)2 =26

m Viế Viết phương trình mặt cầu chọn lọc ọc có đáp án 60 bài tập trắc nghiệm chi tiết (phần 1)

Bài 1: Cho đường ng thẳ thẳng m A(5;4; - 2). và điểm ầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của c d với Phương trình mặt cầu mặt phẳng (Oxy) là:

A. ( S): (x + 1)2 + (y + 1)2 + z2= 65.

B. ( S): ( x + 1)2 + ( y - 1)2 + z2= 9.

C. ( S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 64.

D. ( S): (x + 1)2 + ( y - 1)2 + (z + 2)2= 65.

KÈ

Hiển thị đáp án Đáp án : A

ẠY

Giải thích :

Phương trình tham số củ của đường thẳng

ầu. Do I thu thuộc d nên I(t;1+2t; -1-t) Gọi I là tâm của mặt cầu.

ặt ph phẳng Oxy nên -1-t=0 ⇔ t= -1 Mặt khác do I thuộc mặt Khi đó I (-1; -1; 0)

Vậy pt mặt cầu cần tìm là: (x+1)2 +(y+1)2 +z2 =65

FF IC IA L

m A nên R2 =IA2 =(5+1)2+ (4+1)2 +(-2+0)2=65 Mặt cầu đi qua điểm

m A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0). Khi đó Bài 2: Cho bốn điểm ứ diệ diện ABCD có phương trình là: mặt cầu ngoại tiếp tứ A. x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 6z - 3 = 0.

D. x2 + y2 + z2 + 2x - y + 3z - 3 = 0.

C. x2 + y2 + z2 - 2x + y - 3z - 3 = 0.

B. x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z - 3 = 0.

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt ccầu

ẠY

KÈ

ếp tứ diện ABCD D nên IA = IB = IC = ID Do mặt cầu ngoại tiếp

Bán kính R = IA = √17

cầu cần tìm là Vậy phương trình mặt cầ

FF IC IA L

(x-2)2 +(y+1)2 +(z-3)2 =17 ⇔ x2 +y2 +z2 -4x +2y -6z -3 =0

m A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng phẳ (P): x + Bài 3: Cho ba điểm ng trình mặt cầu đi qua ba điểm m A, B, C và có tâm y + z - 2 = 0. Phương thuộc mặt phẳng (P) là:

A. x2 + y2 + z2 - 2x + 2y + 1 = 0.

B. x2 + y2 + z2 - x - 2y + 1 = 0.

D. x2 + y2 + z2 - x + 2z + 1 = 0.

C. x2 + y2 + z2 - 2x - 2z + 1 = 0.

Hiển thị đáp án Đáp án : C

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt ccầu

KÈ

Do mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C nên ta có IA = IB = IC

ẠY

ặt ph phẳng (P) nên a + b + c – 2 = 0 (2) Mặt khác do I thuộc mặt

Từ (1) và (2) ta có

u: R=IA=1 Bán kính mặt cầu:

Vậy pt mặt cầu là (x-1)2 +y2 +(z-1)2 =1

FF IC IA L

⇔ x2 +y2 +z2 -2x -2z +1 =0 Bài 4: Phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) và tiếp xúc với trục Oy là: A. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10. B. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 16.

C. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 8. D. (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9.

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích : Chú ý:

Khoảng cách từ điểm I (a; b; c ) đến trục Ox là d= √(b2 +c2 )

Khoảng cách từ điểm I (a; b; c ) đến trục Oy là d= √(a2 +c2 )

Khoảng cách từ điểm I (a; b; c ) đến trục Oz là d= √(a2 +b2 )

KÈ

Khoảng cách từ I (1; -2; 3) đến Oy là: d= √(12 +32) = √10 Mặt cầu tiếp xúc với Oy nên R = d= √10

ẠY

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y+2)2 +(z-3)2 =10

FF IC IA L

Bài 5: Cho các điểm A(--2;4;1), B(2;0;3) và đường thẳng ng thẳng thẳ d. Bán . Gọi (S) là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường kính mặt cầu (S) bằng: A. 2√3 B. √6 C. 3 D. 3√3

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Do mặt cầu đii qua A, B nên IA = IB

u, do I thu thuộc d nên I(1+t;1+2t; -2+t) Gọi I là tâm mặt cầu,

⇔ IA2 =IB2

⇔ t=0

⇔ (t+3)2 +(2t-3)2 +(t-3)2 =(t-1)2 +(2t+1)2 +(t-5)2

Khi đó I (1; 1; -2)

KÈ

Bán kính mặt cầuu R=IA= 33√3

ẠY

m A(1;-2;3) và đường thẳng ng d có phương Bài 6: Cho điểm

trình là:

u tâm A, tiếp tiế xúc với d Phương trình mặt cầu

A. (x-1)2 + (y + 2)2 + (z-3)2 = √50. B. (x-1)2 + (y + 2)2 + (z-3)2 = 5.

C. ( x-1)2 + (y + 2)2 + (z-3)2 = 50. D. (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 50.

FF IC IA L

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

điểm M (-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương ươ Đường thẳng d đii qua điể

AM→=(-2;4; -6); [AM→; u→]=(2; -14; -10)

u→=(2;1;-1)

với d nên khoảng cách từ A đến đường thẳng d Do mặt cầu tiếpp xúc vớ ặt ccầu bằng bán kính R của mặt

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu

(x-1)2 +(y+2)2 +(z-3)2 =50

KÈ

ẳng ẳng (P): 2x + y Bài 7: Cho đường thẳng và mặt phẳng - 2z + 2 = 0 Phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d ất tiếp xúc vvới (P) và đi qua điểm A(1;-1;1) là: có bán kính nhỏ nhất

ẠY

A. (x - 1)2 + (y + 1)2 + z2 = 1.

B. (x - 4)2 + y2 + (z - 1)2 = 1. C. (x + 2)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 1. D. (x - 3)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1.

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

FF IC IA L

Giải thích :

Phương trình tham số củ của đường thẳng d là:

u, do I thu thuộc đường thẳng d nên I(1+3t; -1+t;t) Gọi I là tâm mặt cầu,

m I đế đến mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ điểm

d(I;(P))

IA2 =(1+3t-1)2 +(-1+t+1)2 +(t-1)2=11t2 -2t +1

ới (P) và đi qua A nên d(I;(P))=IA Do mặt cầu tiếp xúc với

ẠY

KÈ

⇔ (5t+3)2 =11t2 -2t +1

Với t = 0, ta có I (1; -1; 0), R = IA = 1 Vớii t=24/37, ta có I(109/37; (-13)/37; 24/37); R =IA =5929/1369

ết phương trình mặt cầu u có bán kính nhỏ nh nhất nên Theo bài ra, cần viết cầu có tâm I (1; -1; 0), R = 1 viết phương trình mặt cầ

FF IC IA L

(x-1)2 +(y+1)2 +z2 =1

A. x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 6z - 10 = 0.

Bài 8: Phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) là:

B. x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 10 = 0.

C. x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 6z + 10 = 0.

Hiển thị đáp án Đáp án : B

D. x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 6z - 10 = 0.

KÈ

Giải thích :

Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: y = 0

ẠY

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (Oxz) là: d = 2 Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2 =4

⇔ x2 +y2 +z2 -2x -4y -6z +10=0

Bài 9: Cho 4 điềm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). Mặt cầu ới mặ mặt phẳng (BCD) có phương trình là: tâm A và tiếp xúc với A. (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = √14.

FF IC IA L

B. (x + 3)2 + (y - 2)2 + (z - 2)2 = 14. C. (x + 3)2 + (y - 2)2 + (z - 2)2 = √14. D. (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 14.

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

BC→=(-3;0;1); BD→=(-4; -1;2)

⇒ [BC→, BD→]=(1;2;3)

ủa m mặt phẳng (BCD) là: n→=(1;2;3) ⇒ Vecto pháp tuyến của

⇔ x +2y +3z -7 =0

ẳng (BCD) có VPPT n→=(1;2;3) và đi đ qua điểm Phương trình mặt phẳng B(3; 2; 0) là: x -3 +2(y-2) +3z =0

KÈ

Khoảng cách từ A đến mặ mặt phẳng (BCD) là:

d(A;(BCD))

= √14

ẠY

Khi đó, phương trình mặặt cầu tâm A và tiếp xúc vớii (BCD) là:

(x-3)2 +(y+2)2 +(z+2)2=14

ẳng (P): 2x + 3y + z - 2 = 0. Mặt cầu ầu (S) có tâm I Bài 10: Cho mặt phẳng ặt phẳng phẳ (P) có thuộc trụcc Oz, bán kính bbằng 2/(√14) và tiếp xúc mặt phương trình:

A. x2 + y2 + (z - 3)2 = 2/7 hoặc x2 + y2 + (z - 4)2 = 2/7. B. x2 + y2 + (z - 1)2 = 2/7 hoặc x2 + y2 + (z + 2)2 = 2/7.

FF IC IA L

C. x2 + y2 + z2 = 2/7 hoặc x2 + y2 + (z - 4)2 = 2/7. D. x2 + y2 + z2 = 2/7 hoặc x2 + y2 + (z - 1)2 = 2/7. Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Tâm I thuộc trục Oz nên I (0; 0; c)

mặt phẳng (P) nên khoảng ng cách từ I đến mặt Do mặt cầu tiếpp xúc với m ng bán kính m mặt cầu phẳng (P) bằng

⇒ R=2/√(14)

⇒ |c-2|=2

Vậy I (0; 0; 0) hoặcc I (0; 0; 4)

cầu cần tìm là Vậy phương trình mặt cầ

KÈ

x2 +y2 +z2 =2/7

ẠY

x2 +y2 +(z-4)2 =2/7

Bài 11: Cho đường thẳng ẳng m I(4;1;6). Đường và điểm m A, B sao cho AB=6. Phương thẳng d cắt mặt cầuu (S) tâm I ttại hai điểm trình của mặt cầu (S) là: A. (x - 4)2 + (y - 1)2 + (z - 6)2 = 18.

B. (x - 4)2 + (y - 1)2 + (z - 6)2 = 12. C. (x - 4)2 + (y - 1)2 + (z - 6)2 = 16.

FF IC IA L

D. (x - 4)2 + (y - 1)2 + (z - 6)2 = 9. Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

Đường thẳng d đii qua điể điểm M (-5; 7; 0) và có vecto chỉ phương phươ u→=(2; -2;1)

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là :

IM→=(-9;6; -6) ⇒ [ IM→; u→]=(-6; -3;6)

⇒ R2 =d2 +(AB2)/4=18

mặt cầu Gọi R là bán kính của mặ

cầu cần tìm là Vậy phương trình mặt cầ

(x-4)2 +(y-1)2 +(z-6)2 =18

ẠY

KÈ

phẳng (P), (Q) có phương trình (P): x - 2y + z - 1 = Bài 12: Cho hai mặtt phẳ ph (P) và 0 và (Q): 2x + y - z + 3 = 0. Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng ẳng (Q) ttại điểm M, biết rằng M thuộc ộc mặt m phẳng tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ XM=1, có phương trình là: A. (x + 19)2 + (y + 15)2 + (z - 10)2 = 600. B. (x - 21)2 + (y - 5)2 + (z + 10)2 = 600. C. (x - 21)2 + (y - 5)2 + (z + 10)2 = 100.

D. (x + 21)2 + (y + 5)2 + (z - 10)2 = 600. Hiển thị đáp án Đáp án : B

FF IC IA L

Giải thích :

ẳng Oxy và có hoành độ xM =1 nên M (1; y0; 0) Điểm M thuộc mặt phẳng ặt ph phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0= -5 Mặt khác M thuộc mặt ⇒ M (1; -5;0)

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt ccầu

⇒ IM→=(1-a; -5-b; -c)

ng (Q) có vecto pháp tuy tuyến n→=(2;1;-1) Mặt phẳng

với (Q) tại điểm M nên IM→vuông góc với mặt Do mặt cầu tiếpp xúc vớ phẳng (Q)

ẠY

KÈ

⇒ IM→=k n→

Mặt khác I thuộc mặt ặt phẳ phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) ⇒ a -2b +c -1 =0 ⇔ 1 -2k +2(5+k) +k -1 =0

⇔ k =-10 Với k =-10 thì I (21; 5; -10)

FF IC IA L

Bán kính của mặt cầu là: R =|IM→|=|k n→|

Vậy phương trình mặt cầ cầu cần tìm là:

(x-21)2 +(y-5)2 +(z+10)2 =600

m A(1;-2;3), B(-1;0;1) và mặt phẳng ng (P): x + y + z + Bài 13: Cho hai điểm ng AB/6 có tâm thuộc thu 4 = 0. Phương trình mặt ccầu (S) có bán kính bằng đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. (x + 4)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 1/3 hoặc (x + 6)2 + (y - 5)2 + (z + 4)2 = 1/3.

B. (x - 4)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 1/3 hoặc (x - 6)2 + (y + 5)2 + (z 4)2 = 1/3.

C. (x + 4)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 1/3.

D. (x - 4)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 1/3.

KÈ

Hiển thị đáp án Đáp án : C

ẠY

Giải thích :

AB→=(-2;2;-2) ⇒ AB=|AB→|= 2√3

mặt cầu (S). Theo giả thiết ta có: Gọi R là bán kính của mặ R =AB/6 = √3/3

ươ Đường thẳng AB đii qua A (1; -2; 3) và có một vecto chỉ phương

ương trình là: AB→=(-2;2;-2) có phương

FF IC IA L

ẳng AB nên I(1-2t; -2+2t; 3-2t) Tâm I thuộc đường thẳng đến mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ tâm I đế

d(I; (P))

ới (P) nên d(I;(P)) =R Do mặt cầu tiếp xúc với

KÈ

⇔ |-2t+6|=1

Với t=5/2 thì I ( -4; 3; -2)

ẠY

Với t=7/2 thì I ( -6; 5; -4) Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn là :

(x+4)2 +(y-3)2 +(z+2)2 =1/3 (x+6)2 +(y-5)2 +(z+4)2=1/3

FF IC IA L

ng thẳ thẳng và hai mặt phẳng Bài 14: Cho đường cầ có tâm I (P1): x, + 2y + 2z - 2 = 0; (P2): 2x + y + 2z - 1 = 0. Mặt cầu với 2 mặt phẳng (P1), (P2) có phương ương trình: nằm trên d và tiếpp xúc vớ A. (S): (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 9.

B. (S): (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 9 hoặc

C. (S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 9.

D. (S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 9 hoặc

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

KÈ

Do I nằm trên d nên I (1 + 2t; 2 + t; 3 + 2t)

ẠY

d(I;(P))

d(I;(Q))

FF IC IA L

Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên

⇔ |8t+9| =|9t+9|

Với t=0 thì I(1;2;3); R=3

Với t= -18/17 thì I(-19/17; 16/17; 15/17); R= 3/17

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2 =9

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:

(x+19/17)2 +(y-16/17)2 +(z-15/17)2 =9/289

KÈ

m A(1;3;2), đường thẳng Bài 15: Cho điểm và mặt u (S) đi đ qua A, có phẳng (P): 2x - 2y + z - 6 = 0. Phương trình mặt cầu ời tiế tiếp xúc với (P) là: tâm thuộc d đồng thời

ẠY

A. (S): (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 16 hoặc

B. (S): (x + 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 16 hoặc

FF IC IA L

C. (S): (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 16. D. (S): (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 4. Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích :

Phương trình đường thẳng ẳng

u, do I thu thuộc d nên I (-1+2t; 4 – t; -2t) Gọi I là tâm mặt cầu,

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

ẠY

KÈ

d(I;(P)

Do mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với (P) nên d(I; (P)) =IA =R

⇔ 65t2 +110t -175 =0

FF IC IA L

Khi đó, phương trình mặặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-3)2 +(z+2)2 =16 (x +83/13)2 +(y -87/13)2 +(z -70/13)2 =13456/169

ẳng (P): x - 2y - 2z + 10 = 0 và hai đường Bài 16: Cho mặt phẳng

cầ (S) có thẳng . Mặt cầu với ∆2 và mặt phẳng (P), có phương trình: tâm thuộc ∆1, tiếpp xúc vớ

A. (x + 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 9 hoặc (x + 11/2)2 + (y + 7/2)2 + (z 5/2)2 = 81/4.

B. (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 9 hoặc (x - 11/2)2 + (y - 7/2)2 + (z + 5/2)2 = 81/4.

C. (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 9.

KÈ

D. (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 3.

ẠY

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích :

Phương trình tham số củ của đường thẳng

ẳng ∆1 nên I ( 2+t; t; 1- t) Do I thuộc đường thẳng

IM→=(-t; -t;t-4) ⇒ [ IM→, u→] =(4 -5t; 5t -4; 0) Khoảng cách từ I đến ∆2 là:

d(I; ∆2 )

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

FF IC IA L

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M (2; 0; -3) và có vecto chỉ phương u→=(1;1;4)

d(I;(P))

Theo bài ra, mặt cầuu tiếp xúc vvới ∆1 và mặt phẳng (P) nên:

KÈ

d(I; ∆1 )= d(I;(P)) =R

ẠY

⇔ |5t -4| =|t +10|

Với t=7/2, I(11/2; 7/2; (-5)/2), R=9/2 Với t = - 1, I (1; -1; 2); R= 3

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ (x -11/2)2 +(y -7/2)2 +(z +5/2)2 =81/4

FF IC IA L

(x -1)2 +(y +1)2 +(z -2)2 =9

m A(2;5;1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z + 24 = 0, H Bài 17: Cho điểm là hình chiếuu vuông góc ccủa A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt ng (P) tại H, sao cho cầu (S) có diệnn tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng ặt cầ cầu là: điểm A nằm trong mặt A. (x + 16)2 + (y + 4)2 + (z - 7)2 = 196.

D. (x - 16)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 196.

C. (x - 8)2 + (y - 8)2 + (z + 1)2 = 196.

B. (x + 8)2 + (y + 8)2 + (z - 1)2 = 196.

Hiển thị đáp án Đáp án : C

Giải thích :

Gọi H (a; b; c).

⇒ AH→=(a -2; b -5; c -1)

KÈ

ng (P) có vecto pháp tuy tuyến n→=(6;3;-2) Mặt phẳng ph (P) Do H là hình chiếu vuông góc ccủa A trên mặt phẳng mặt phẳng (P). nên AH→vuông góc với m

ẠY

⇒ AH→=k n→

Lại có H thuộc (P) nên 6a + 3b – 2c + 24 = 0

⇔ 6(6k+2) +3(3k+5) -2(-2k+1) +24 =0 ⇔ k= -1

FF IC IA L

⇒ H(-4;2;3)

cầu. Gọi R là bán kính mặt cầ Mặt cầu (S) có diệnn tích là 784π ⇒ 4π R2=784π ⇒ R=14

Gọi I (m, n, p) là tâm mặặt cầu

⇒ IH→=(-4-m; 2-n; 3-p)

Do mặt cầu tiếpp xúc vvới mặt phẳng (P) tạii H nên ta có

KÈ

Xét (*): |t n→|=R

⇔ |t| =2 ⇔ t =±2

Với t = 2 ta có I (-16; -4; 7)

ẠY

Khi đó:

ầu. ⇒ A nằm ngoài mặt cầu. Với t = - 2 ta có I (8; 8; -1)

= 21 > R

Khi đó: IA

= 7<R

FF IC IA L

⇒ A nằm trong mặt cầu. ầu.

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ (x-8)2 +(y-8)2 +(z+1)2 =196

A. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 6.

C. (x - 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 6.

B. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 6.

ể A(0;0;4), Bài 18: Cho mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0 và các điểm v mặt B(2;0;0). Phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với phẳng (P) là:

D. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 6.

U Q

Giải thích :

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt ccầu

ẠY

KÈ

Lại có mặt cầu đii qua O; A; B nên IO = IA = IB

⇒ I(1;b;2)

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

FF IC IA L

d(I;(P))

⇔ (b+5)2/6 =5 +b2⇔ 5b2 -10b +5 =0 ⇔ b=1

Vậy I (1; 1; 2) và R = √6

Do mặt cầu tiếp xúc với ới m mặt phẳng (P) nên d(I;(P))=IO

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu

(x-1)2 +(y-12 +(z-2)2 =6

Bài 19: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 2 = 0, (Q): 2x - y - z + 2 = ầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A(1;0. Phương trình mặt cầu 1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là:

A. (S): (x - 3)2 + (y - 7)2 + (z + 3)2 = 56. B. (S): (x + 3)2 + (y + 7)2 + (z - 3)2 = 56.

KÈ

C. (S): (x + 3)2 + (y + 7)2 + (z - 3)2 = 14. D. (S): (x - 3)2 + (y - 7)2 + (z + 3)2 = 14.

ẠY

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích : Gọi I (a; b; c) là tâm của m mặt cầu ⇒ IA→=(1 -a; -1 -b; 1 -c)

ng (P) có vecto pháp tuy tuyến n→=(2;3; -1) Mặt phẳng

FF IC IA L

với (P) tại điểm A nên IA→vuông góc với mặt Do mặt cầu tiếpp xúc vớ phẳng (P)

2a -b -c +2 =0

⇔ 2(1 -2k) +(1 +3k) -1 -k +2 =0

Lại có I thuộc mặt phẳng ẳng (Q) nên ta có:

⇔ k=2

Với k = 2 thì I (-3; -7; 3)

KÈ

Bán kính mặt cầu: R=|IA→| =|k n→|

= 2√14

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

ẠY

(x+3)2 +(y+7)2 +(z-3)2 =56

⇒ IA→= k n→

FF IC IA L

. Phương Ph trình Bài 20: Cho điểm I(0;0;3) và đường thẳng m A, B sao cho tam mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm giác IAB vuông là: A. x2 + y2 + (z - 3)2 = 4/3. B. x2 + y2 + (z - 3)2 = 3/2.

C. x2 + y2 + (z - 3)2 = 2/3.

D. x2 + y2 + (z - 3)2 = 8/3.

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 0; 2) và có vecto chỉ phương u→=(1;2;1)

IM→=(-1;0; -1) ⇒ [IM→; u→]=(2;0;-2)

KÈ

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là

d(I;d)

ẠY

Tam giác IAB có IA = IB = R, vuông cân tại I nên AB= R√2

Mặtt khác ta có: IA. IB = d(I;d).AB

⇔ R2

⇔ R=(2√6)/3

ầu cần tìm là Phương trình mặt cầu

x2 +y2 +(z-3)2 =8/3

FF IC IA L

60 bài tập trắc nghiệm m Viế Viết phương trình mặt cầu chọn lọc ọc có đáp án chi tiết (phần 2)

m I(1;0;0) và đường thẳng Bài 21: Cho điểm . ầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại ại hai điểm A, Phương trình mặt cầu B sao cho AB=4 là: A. (x - 1)2 + y2 + z2 = 9.

B. (x - 1)2 + y2 + z2 = 3.

C. (x + 1)2 + y2 + z2 = 3.

Hiển thị đáp án Đáp án : A

D. (x + 1)2 + y2 + z2 = 9.

Giải thích :

Đường thẳng (d) đi qua điểm M (1; l; -2) và có vecto chỉ phương u→=(1;2;1)

IM→=(0;1; -2) ⇒ [IM→; u→]=(5; -2; -1)

KÈ

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là:

ẠY

h =d(I;d)

Gọi R là bán kính của mặ mặt cầu. Ta có: R2 =h2 +(AB/2)2 =5 +22 =9

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

FF IC IA L

(x-1)2 +y2 +z2 =9

Bài 22: Cho điểm m I(1;0;0) và đường thẳng . Phương Ph trình m A, B sao cho tam mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm giác IAB đều là: A. (x - 1)2 + y2 + z2 = 16/4.

B. (x + 1)2 + y2 + z2 = 20/3.

C. (x - 1)2 + y2 + z2 = 20/3.

D. (x - 1)2 + y2 + z2 = 5/3.

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Đường thẳng (d) đi qua điểm M (1; l; -2) và có vecto chỉ phương u→=(1;2;1) IM→=(0;1; -2) ⇒ [IM→; u→]=(5; -2; -1)

KÈ

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là:

ẠY

h =d(I;d)

Do tam giác IAB đều nên ta có:

√3)/2 ⇒ R=(2√15)/3 h =(IA√3)/2 ⇒ √5=(R√3)/2 cầu là Vậy phương trình mặt cầ (x-1)2 +y2 +z2 =20/3

FF IC IA L

m I(1;1;-2) đường thẳng Bài 23: Cho điểm . ầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại ại hai điểm A, Phương trình mặt cầu 0 B sao cho IABˆ= 30 là: A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 36. B. (x - 1)2 + y - 1)2 + (z + 2)2 = 72. C. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 66.

D. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 46.

Hiển thị đáp án Đáp án : B

ẠY

KÈ

Giải thích :

Gọi H là chân đường ng vuông góc ccủa I trên AB

Xét tam giác AHI vuông tại H, AI = R có: IH=AI.sin (IABˆ) =R.sin (300)=R/2

Điểm M (-1; 3; 2) ∈d ⇒ IM→=(-2;2; 4)

FF IC IA L

Đường thẳng ∆ có một vecto ch chỉ phương là u→=(1; 2;1) Ta có: [IM→; u→]=(-6;6;-6)

⇒ d(I,∆)

Ta có: IH = d(I,∆)

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

⇒ R/2=3√2 ⇒ R=6√2

(x-1)2 +(y-1)2 +(z+2)2 =72

tr tung Bài 24: Phương trình mặt cầu có tâm I(3; √3; -7) và tiếp xúc trục là:

A. (x + 3)2 + (y + √3)2 + (z - 7)2 = 58.

B. (x - 3)2 + (y - √3)2 + (z + 7)2 = 61.

C. (x - 3)2 + (y - √3)2 + (z + 7)2 = 58.

KÈ

D. (x - 3)2 + (y - √3)2 + (z + 7)2 = 12.

ẠY

Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích :

Khoảng cách từ điểm m I đế đến trục Oy là d= √(32 +72) =58

ới Oy nên R = d Do mặt cầu tiếp xúc với

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (x -3)2 +(y -√3)2 +(z+7)2 =72

FF IC IA L

Bài 25: Phương trình mặt cầu có tâm I(√5; 3; 9) và tiếp xúc trục hoành là: A. (x - √5)2 + (y - 3)2 + (z - 9)2 = 90. B. (x - √5)2 + (y - 3)2 + (z - 9)^} = 14. C. (x + √5)2 + (y + 3)2 + (z + 9)2 = 86.

Hiển thị đáp án Đáp án : A

D. (x + √5)2 + (y + 3)2 + (z + 9)2 = 90.

Giải thích :

Khoảng cách từ điểm I đến trục Ox là

d=√(32 +92)=90

Do mặt cầu tiếp xúc với Ox nên R = d Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

ẠY

KÈ

(x -√5)2 +(y-3)2 +(z-9)2 =72

FF IC IA L

Bài 26: Phương trình mặt cầu có tâm I(-√6; -√3; √2 -1) và tiếp xúc trục Oz là:

A. (x + √6)2 + (y + √3)2 + (z - √2 + 1)2 = 3.

B. (x + √6)2 + (y + √3)2 + (z - √2 - 1)2 = 9.

C. (x + √6)2 + (y + √3)2 + (z - √2 - 1)2 = 3.

D. (x + √6)2 + (y + √3)2 + (z - √2 + 1)2 = 9.

Giải thích :

Hiển thị đáp án Đáp án : D

KÈ

Khoảng cách từ I đến trục Oz là d=√(6+3)=9

ẠY

Do mặt cầu tiếp xúc với Ox nên R = d Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x -√6)2 +(y-√3)2 +(z-√2+1)2 =9

Bài 27: Phương trình mặt cầu có tâm I(4;6;-1) và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

A. (x - 4)2 + (y - 6)2 + (z + 1)2 = 26. B. (x - 4)2 + (y - 6)2 + (z + 1)2 = 74.

FF IC IA L

C. (x - 4)2 + (y - 6)2 + (z + 1)2 = 34. D. (x - 4)2 + (y - 6)2 + (z + 1)2 = 104. Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Khoảng cách từ I đến trục Ox là:

h =√(62 +1)=√37

Vì tam giác IAB cân tại I nên tam giác IAB vuông cân tại I

Gọi R là bán kính mặt cầu ⇒ IA=IB=R;AB=R√2

Ta có: IA . IB = h . AB ⇒ R2 =√37 . R√2 ⇒ R=√74

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x-4)2 +(y-6)2 +(z+1)2 =74

Bài 28: Phương trình mặt cầu có tâm I(3;6;-4) và cắt trục Oz tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6√5 là:

KÈ

A. (x - 3)2 + (y - 6)2 + (z + 4)2 = 49.

ẠY

B. (x - 3)2 + (y - 6)2 + (z + 4)2 = 45.

C. (x - 3)2 + (y - 6)2 + (z + 4)2 = 36. D. (x - 3)2 + (y - 6)2 + (z + 4)2 = 54.

Hiển thị đáp án Đáp án : A

Giải thích : Khoảng cách từ điểm m I đế đến trục Oz là:

FF IC IA L

h=√(32 +62)= 3√5 Ta có: SIAB=1/2 h . AB ⇒ AB=(2SIAB)/h =4

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

⇒ R2 =h2 +(AB/2)2 =49

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu

(x-3)2 +(y-6)2 +(z+4)2 =49

A. (x + 1)2 + y2 + z2 = 10.

m I(-1;0;0) và đường thẳng Bài 29: Cho các điểm ầu (S) có tâm I và tiếp xúc d là: Phương trình mặt cầu

B. (x - 1)2 + y2 + z2 = 5.

C. (x + 1)2 + y2 + z2 = 5.

D. (x - 1)2 + y2 + z2 = 10.

KÈ

Hiển thị đáp án Đáp án : C

ẠY

Giải thích :

Đường thẳng d đi qua điểm M (2; 1; 1) vàà có vecto chỉ phương u→=(1;2;1) IM→=(3;1;1) ⇒ [IM→, u→]=(-1; -2;5)

m I đế đến đường thẳng d là: Khoảng cách từ điểm

d(I,d)

FF IC IA L

ới d nên d(I,d)=R Do mặt cầu tiếp xúc với cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ (x+1)2 +y2 +z2 =5

Bài 30: Cho các điểm m A(1;3;1) và B(3;2;2). Mặt cầu đii qua hai điểm A, B và tâm thuộc trụcc Oz có đường kính là:

A. 2√6 B. √(14)

C. 2√(10) D. 2√(14)

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

Gọi I là tâm của mặt cầu, ầu, do I thu thuộc trục Oz nên I (0; 0; c)

⇒ IA2 =IB2

ểm A, B nên IA = IB = R Mặt cầu đi qua 2 điểm

KÈ

⇔ 12 +32 +(c-1)2 =32 +22 +(c-2)2 ⇔ 2c=6 ⇔ c=3

ẠY

Vậy I (0; 0; 3); R= IA = √14

ặt cầ cầu là 2√14 ⇒ Đường kính của mặt

Bài

31: Cho

các

điểm

A(0;1;3),

B(2;2;1)

và

đường

ểm A, B và tâm thẳng . Mặt cầu đi qua hai điểm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là:

A. (3/2; 3/2; 2) B. (13/10; 17/10; 12/5) C. (4/3; 2/3; 7/3) D. (6/5; 9/5; 13/5)

FF IC IA L

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Phương trình tham số củ của đường thẳng d:

u, do I thu thuộc đường thẳng d nên I(1+t;2-t;3-2t) Gọi I là tâm mặt cầu,

ểm A, B nên IA = IB = R Mặt cầu đi qua 2 điểm

⇒ IA2 =IB2

⇔ t=(-3)/10

điểm

32: Cho

các

Bài

⇒ I(17/10; 17/10; 12/5)

⇔ (1+t)2 +(1-t)2 +4t2 =(t-1)2 +t2 +(2-2t)2

A(-2;4;1),

B(2;0;3)

và

đường

KÈ

thẳng . Gọi (S) là mặt cầu đii qua A, B và có tâm ng d. Bán kính m mặt cầu (S) bằng: thuộc đường thẳng A. (√1169)/4 B. (√873)/4

ẠY

967)/2 C. 1169/16 D. (√967)/2

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích :

của đường thẳng d là: Phương trình tham số củ

Mặt khác mặt cầu đii qua A, B nên IA = IB = R ⇒ IA2 =IB2 ⇔ (2t+3)2 +(t+6)2 +(2-2t)2 =(2t-1)2 +(t+2)2 +4t2

⇔ t=(-11)/4

FF IC IA L

ầu, do I thu thuộc d nên I (1+2t; -2-t; 3-2t) Gọi I là tâm của mặt cầu,

⇒ R=IA= √(1169)/4

ẳng (Oxy) có Bài 33: Mặt cầuu tâm I(2;4;6) và tiếp xúc với mặt phẳng phương trình:

A. (x - 2)2 + (y - 4)2 + (z - 6)2 = 36.

B. (x - 2)2 + (y - 4)2 + (z - 6)2 = 16.

C. (x - 2)2 + (y - 4)2 + (z - 6)2 = 4.

KÈ

Hiển thị đáp án Đáp án : A

D. (x - 2)2 + (y - 4)2 + (z - 6)2 = 56.

Giải thích :

ẠY

Chú ý:

Khoảng cách từ điểm ểm I (a; b; c) đến mặt phẳng (Oxy) là: à: d=|c|

ểm I (a; b; c) đến mặt phẳng (Oyz) là: à: d=|a| Khoảng cách từ điểm ểm I (a; b; c) đến mặt phẳng (Oxz) là: à: d=|b| Khoảng cách từ điểm

Khoảng cách từ điểm I (2; 4; 6) đến mặt phẳng Oxy là d = 6 Khi đó, mặt cầu tâm I(2; 4; 6) và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy là:

FF IC IA L

(x-2)2 +(y-4)2 +(z-6)2 =36 Bài 34: Mặt cầu tâm I(2;4;6) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình: A. (x - 2)2 + (y - 4)2 + (z - 6)2 = 36. B. (x - 2)2 + (y - 4)2 + (z - 6)2 = 4.

Hiển thị đáp án Đáp án : B

D. (x - 2)2 + (y - 4)2 + (z - 6)2 = 56.

C. (x - 2)2 + (y - 4)2 + (z - 6)2 = 16.

Bài 35: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có đường kính AB với A(4; 3;7), B(2;1;3) là:

A. (x + 3)2 + (y - 1)2 + (z + 5)2 = 9

B. (x - 3)2 + (y + 1)2 + (z - 5)2 = 9

C. (x + 3)2 + (y - 1)2 + (z + 5)2 = 3

KÈ

D. (x - 3)2 + (y + 1)2 + (z - 5)2 = 3

ẠY

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

Mặt cầu có đường kính AB nên trung điểm I của AB là tâm mặt cầu và R= IA= AB/2

⇒ I(3; -1;5); R=AB/2

FF IC IA L

Vậy pt mặt cầu cần tìm là: (x-3)2 +(y+1)2 +(z-5)2 =9

mặt cầu tâm I(1;2;4) tiếp ếp xúc với v mặt Bài 36: Trong không gian Oxyz, m phẳng (α): 2x + 2y + z - 1 = 0 có phương trình là : A. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 1

B. (x - 4)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 1

Hiển thị đáp án Đáp án : C

D. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 3

C. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 9

Giải thích :

d(I; (α))

đến mặt phẳng (α) là : Khoảng cách từ tâm I đế

KÈ

ới m mặt phẳng nên khoảng cách từ I đến mặt m phẳng Do mặt cầu tiếp xúc với bằng R

ẠY

cầu là : Vậy phương trình mặt cầ

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-4)2 =9 Bài 37: Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1;1;2) và đi qua A(-2; 1; 6) có phương trình là : A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 25

B. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 5 C. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 5

FF IC IA L

D. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 25 Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Gọi R là bán kính mặt cầu

(x-1)2 +(y-1)2 +(z-2)2 =25

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là :

⇒ R =IA = √(32 +42)=5

Bài 38: Trong không gian Oxyz, mặt cầu đi qua bốn điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1) và D(4; 1; 0) có phương trình là:

A. x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z - 3 = 0

B. 2x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z - 3 = 0

C. x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 6z - 3 = 0

D. x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z + 3 = 0

KÈ

Hiển thị đáp án Đáp án : A

ẠY

Giải thích :

Gọi I (x; y; z) là tâm của mặt cầu

Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có IA = IB = IC = ID

FF IC IA L O N Ơ H N

Khi đó: R2 =IA2 =17

Phương trình mặt cầu ầu cần tìm là:

(x-2)2 +(y+1)2 +(z-3)2 =17

⇔ x2 +y2 +z2 -4x +2y -6z -3 =0

KÈ

m A(1;1;0), B(0;1;0), Bài 39: Trong không gian Oxyz, cho bbốn điểm C(0;0;1) và O(0;0;0). Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình là :

ẠY

A. x2 + y2 + z2 + x + y + z = 0

B. x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z = 0 C. x2 + y2 + z2 - x - y - z = 0 D. x2 + y2 + z2 + 2x + 2y + 2z = 0

Hiển thị đáp án

Đáp án : C Giải thích :

FF IC IA L

Gọi Phương trình mặt cầu cần tìm là x2 +y2 +z2 -2ax -2by -2cz +d =0 Ta có : O(O;0;0)∈(S) ⇒ d=0 A(1;0;0)∈(S) ⇒ 1-2a+d=0

B(0;1;0)∈(S) ⇒ 1-2b+d=0

C(0;1;0)∈(S) ⇒ 1-2c+d=0

⇒ a=b=c=1/2

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là :

x2 +y2 +z2 -x -y -z =0

Bài 40: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1; -2; 4), B(1; 3; -1), C(2; -2; -3) và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy là :

A. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 21 = 0

B. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 3z - 21 = 0

KÈ

C. x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 21 = 0

ẠY

D. x2 + y2 + z2 + 4x + 2y - 21 = 0

Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Gọi I là tâm mặt cầu, do I nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên I (a; b; 0)

FF IC IA L

Do mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C nên IA = IB = IC = R

Vậy I (-2 ; -1 ; 0); R=IA=√26

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu

(x+2)2 +(y+1)2 +z2 =26

⇔ x2 +y2 +z2 +4x +2y -21 =0

m Viế Viết phương trình mặt cầu chọn lọc có đáp án 60 bài tập trắc nghiệm chi tiết (phần 3) m A(1;2;0), B(-3;4;2) và I Bài 41: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm u tâm I qua A, B có phương là điểm thuộc trụcc Ox. Phương trình mặt cầu trình là:

A. (x - 3)2 + y2 + z2 = 20

KÈ

B. (x + 3)2 + y2 + z2 = 20

ẠY

C. (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 11/4 D. (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 = 20

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

I thuộc trục Ox nên I (a; 0; 0) Mặt cầu đi qua A, B nên IA = IB = R

FF IC IA L

⇒ IA2=IB2 ⇔ (a-1)2 +22 =(a+3)2 +42 +22 ⇔ a= -3 ⇒ I(-3;0;0); R= IA= √20

Phương trình mặt cầu là: (x+3)2 +y2 +z2 =20

Giải thích :

Hiển thị đáp án Đáp án : B

C. (1;0;1) D. (1;0;-1)

A. (-2;0;2) B. (-1;0;1)

Bài 42: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(-3;1;2) điểm B(1;-1;0) phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính có tọa độ tâm là:

KÈ

AB là đường kính mặt cầu nên trung điểm I của AB là tâm của mặt cầu ⇒ I(-1;0;1)

ẠY

Bài 43: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(5;1;0) và điểm I(1;2;3) mặt cầu tâm I đi qua A có phương trình là. A. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 26

B. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = √26 C. (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 26

D. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = √26 Hiển thị đáp án Đáp án : C

FF IC IA L

Giải thích : Do mặt cầu đi qua A nên IA = R IA= √(42 +12 +32)=26 Phương trình mặt cầu ầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2=26

A. (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 4

Bài 44: Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1;2;-3) tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x+2y-z-3=0 có pt là :

B. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 4

C. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 16

Hiển thị đáp án Đáp án : B

D. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 2

KÈ

Giải thích :

ẠY

Khoảng cách từ tâm I(1; 2; -3) đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu (x-1)2 +(y-2)2 +(z+3)2 =4

Bài 45: Trong không gian Oxyz, mp (P): √(3)x – y + 6 = 0 cắt mc (S) tâm O theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 4. PT mặt cầu (S) là :

FF IC IA L

A. x2 + y2 + z2 = 25 B. x2 + y2 + z2 = 5 C. x2 + y2 + z2 = 1 D. x2 + y2 + z2 = 7

Giải thích :

mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ O đến mặ

Hiển thị đáp án Đáp án : A

d=d(I;(P))=

mặt cầu Gọi R là bán kính của mặ

⇒ R2 =r2 +d2 =42 +32 =25

KÈ

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ x2 +y2 +z2 =25

ẠY

Bài 46: Cho mặt cầuu (S); x2 + y2 + z2 – 2x – 2y + 2z – 1 = 0. chọn phát biểu đúng : A. (S) có tâm I(-1;-1;1) B. (S) có bán kính bằng 4 C. điểm A(1;1;-3) thuộộc (S)

D. điểm B(-1;-1;-3) thuộc (S) Hiển thị đáp án Đáp án : C

FF IC IA L

Giải thích : (S): x2 +y2 +z2 -2x -2y +2z -1 =0

Mặt cầu (S) có tâm (1; 1; -1) ; R = √(a2 +b2 +c2 -d)=2

Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình mặt cầu (S) thì tọa độ điểm A thỏa mãn

Vậy đáp án đúng là C

Bài 47: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ các đỉnh là A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - 3z - 6 = 0

B. x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - 3z + 6 = 0

C. x2 + y2 + z2 - 3x + 3y - 3z + 6 = 0 D. x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - 3z + 12 = 0

KÈ

Hiển thị đáp án Đáp án : B Giải thích :

ẠY

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có IA = IB = IC = ID = R.

ầu ngo ngoại tiếp tứ diện ABCD là: Phương trình mặt cầu

(x-3/2)2 +(y-3/2)2 +(z-3/2)2 =3/4

FF IC IA L

⇒ R=IA= √3/2

⇔ x2 +y2 +z2 -3x -3y -3z +6 =0

mặt phẳng ng (P): 2x + y - 2z + 10 = Bài 48: Trong không gian Oxyz, cho m m I(2;1;3). Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt ắt mặt m phẳng 0 và điểm (P)theo một đường tròn (C)có bán kính bằng 4 là

A. (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 25

B. (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 3)2 = 7

C. (x + 2)2 + (y - 1)2 + ( z - 3)2 = 9

D. (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 3)2 = 25

KÈ

Hiển thị đáp án Đáp án : D

ẠY

Giải thích :

Khoảng cách từ điểm m I đế đến mặt phẳng (P) là:

d=d(I;(P))

cầu Gọi R là bán kính mặt cầ Ta có: R2 =d2 +r2 =32 +42 =25

FF IC IA L

cầu cần tìm là: Vậy phương trình mặt cầ

(x-2)2 +(y-1)2 +(z-3)2 =25

Bài 49: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường

KÈ

thẳng t1 ∈ R và t2 ∈ R. Lập phương ảng bằng b 3. Cho trình mặt cầuu (S) có tâm I∈(∆1) và I cách (∆2) một khoảng ): 2x + 2y – 7z = 0 cắt mặt cầu u (S) theo một m đường biết mặt phẳng (α): tròn giao tuyếnn có bán kính r = 5 . A. (S1): x2 +y2 +z2 =25

ẠY

(S2 ): (x-5)2 +(y+5)2 +z2 =25

B. (S1 ): x2 +y2 +z2 =16

(S2): (x+5)2 +(y-5)2 +z2 =16 C. (S1 ): (x-1)2 +(y+1)2 +z2 =25; (S2 ): (x-5)2 +(y+5)2 +z2 =25

D. (S1 ): (x-1)2 +(y+1)2 +z2 =16; (S2 ): (x-5)2 +(y+5)2 +z2 =16

FF IC IA L

Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Tâm I thuộc ∆1 nên I (t; -t; 0)

Điểm M (5; -2; 0) thuộc ∆2 và một vecto chỉ phương là u→=(-2;0;1)

IM→=(5-t; -2+t; 0)

ừ I đế đến ∆2 là: Khi đó, khoảng cách từ

⇒ [IM→; u→]=(t-2; t-5; 2t-4)

d(I; ∆2 )

KÈ

=3 ⇔ 6t2 -30t +45 =45

ẠY

+ Điểm I1 (0;0;0) thuộc m mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính củủa mặt cầu. Phương trình mặt cầu là:

x2 +y2 +z2 =25

+ Điểm I2 (5; -5;0) thuộộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính củủa mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là: (x-5)2 +(y+5)2 +z2 =25

FF IC IA L

Bài 50: Trong không gian vvới hệ tọa độ Oxyz : Cho đường thẳng và (P): 2x – y – 2z – 3 = 0. Viết phương thuộc (∆); I cách (P) một khoảng ảng bằng b 2 và trình mặt cầuu (S) có tâm I thu ột đường tròn giao tuyến n (C) có bán kính bằng 3. (P) cắt mặt cầu (S) một A. (S1 ): x2 +(y-1)2 +(z+2)2 =13

(S2 ): (x+2)2 +(y-5)2 +z2 =13

C. (S1 ): (x-1)2 +(y-3)2 +(z-2)2 =13

(S2 ): (x-2)2 +(y+5)2 +z2 =13

B. (S1 ): x2 +(y+1)2 +(z-2)2 =13

(S2): (x+3)2 +(y-5)2 +(z-3)2 =13

D. (S1 ): (x-1)2 +(y-3)2 +(z-2)2 =13

Hiển thị đáp án Đáp án : B

(S2 ): (x+3)2 +(y-5)2 +(z-3)2 =13

ẠY

KÈ

Giải thích :

Phương trình tham số củ của đường thẳng

ẳng ∆ nên I(-t; -1+2t;2+t) Do I thuộc đường thẳng mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ I đến mặ

=|2t+2|

d(I;(P))

FF IC IA L

Theo đề bài: d(I;(P))=2 ⇒ |2t+2|=2 ⇔ |t+1|=1 ⇔ Với t = 0, ta có I (0; -1; 2) Với t = -2, ta có I (2; -5; 0)

mặt cầu Gọi R là bán kính của mặ

⇒ R2 =r2 +d2 =32 +22 =13

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:

(S2 ): (x-2)2 +(y+5)2 +z2 =13

(S1 ): x2 +(y+1)2 +(z-2)2 =13

Bài 51: Phương trình củủa mặt cầu đi qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm nằm trên mặt phẳng tọa độ Oxy là : A. x2 + y2 + z2 + 4x - 2y - 21 = 0

KÈ

B. x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 21 = 0 C. x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 21 = 0

ẠY

D. x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 21 = 0

Hiển thị đáp án Đáp án : Giải thích :A Bài 51: Chọn A

thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy nên ên I (a; b; 0) Do tâm I của mặt cầuu thuộ

FF IC IA L

Lại có mặt cầu đii qua 3 đđiểm A, B, C nên IA = IB = IC = R

⇔ x2 +y2 +z2 + 4x -2y -21 =0

(x+2)2 +(y-1)2 +z2 =26

ầu cần tìm là : Phương trình mặt cầu

Vậy I (-2 ; 1 ; 0), R=IA= √26

Bài 52: Viết phương trình ccủa mặt cầu (S) biếtt (S) có tâm I(3;-2;0) và điểm A,B mà AB=8: (S) cắt trục Oy tại hai điể

A. (x - 3)2 +(y + 2)2 +z2 = 9

B. (x - 3)2 +(y + 2)2 +z2 = 64

KÈ

C. (x + 3)2 +(y - 2)2 +z2 = 25 D. (x - 3)2 +(y + 2)2 +z2 = 25

ẠY

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích :

trục Oy là : d= √(32 +0)=3 Khoảng cách từ I đến trụ cầu Gọi R là bán kính mặt cầ

⇒ R2 =d2 +(AB/2)2 =32 +42 =25 Phương trình mặt cầu cần tìm là :

FF IC IA L

(x-3)2 +(y+2)2 +z2 =25 Bài 53: Biết mặt cầu (S) có tâm tâm I(-1; -4; 3) và (S) cắt mặt phẳng tọa độ Oxz theo một đường tròn có diện tích bằng 9π. Khi đó phương trình của (S) là: A. (x - 1)2 + (y - 4)2 + (z + 3)2 = 16

B. (x + 1)2 + (y + 4)2 + (z - 3)2 = 9

D. (x + 1)2 + (y + 4)2 + (z - 3)2 = 25

C. (x - 1)2 + (y - 4)2 + (z + 3)2 = 25

Hiển thị đáp án Đáp án : C

Giải thích :

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Oxz) là d = 4

Mặt phẳng (Oxz) cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích bằng 9π

⇒ S=πr2 =9π ⇒ r=3

KÈ

Gọi R là bán kính mặt cầu ⇒ R2 =r2 +d2 =32 +42 =25

ẠY

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là :

(x+1)2 +(y+4)2 +(z-3)2 =25

Bài 54: Viết phương trình của mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oxz tại điểm M(-2; 0; 1) và (S) đi qua điểm A(2;2;1) A. (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 20

B. (x + 2)2 +y2 + (z - 1)2 = 20 C. (x + 2)2 + (y - 5)2 + (z - 1)2 = 25

FF IC IA L

D. (x + 2)2 + (y - 5)2 + (z - 1)2 = 20 Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Gọi I (a; b; c) là tọa độ tâm ccủa mặt cầu.

⇒ IM→=(-2-a; -b; 1-c)

Mặt phẳng (Oxz) có vecto pháp tuyến n→=(0 ;1 ;0)

Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới mặt phẳng tọa độ (Oxz) tạii M nên

KÈ

IM→=k n→

Giải (1) :

Do mặt cầu đii qua A(2; 2;1) nên IA = R

ẠY

Ta có : IA2 =42 +(k+2)2 =k2 +4k+20

Từ (2) ⇒ IA2 =R2 =k2 ⇒ k2 +4k +20 =k2 ⇒ k= -5 Vậy I (-2 ; 5 ; 1) và R = 5

ầu cần tìm là : Phương trình mặt cầu ⇒ (x+2)2 +(y-5)2 + (z-1)2 =25

FF IC IA L

Bài 55: Trong không gian vvới hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

ng (P): x+2y + z + 9 = 0. Phương và mặt phẳng với mặt phẳng (P) có tâm thuộc đường thẳng th d và trình mặt cầu tiếpp xúc vớ (3/2) là: có bán kính R = √(3/2) A. (x-5)2 +(y+10)2 +(z-3)2= 3/2

B. x2 + ( y - 1)2 + ( z + 1)2 = 4

Hiển thị đáp án Đáp án : A

D. (x+5)2 + (y-10)2 + (z+3)2 = 3/2

C. x2 + ( y + 1)2 + ( z - 1)2 = 9

Giải thích :

Phương trình tham số củ của đường thẳng

KÈ

ng thẳ thẳng d nên I(2+t; -1-3t; -3+2t) Do tâm I thuộc đường

ẠY

m I đế đến mặt phẳng (P) là: Khoảng cách từ điểm

d(I;(P))

ặt ph phẳng (P) nên d(I;(P))=R Mặt cầu tiếp xúc với mặt

FF IC IA L

⇔ |-t+2|=1 ⇔ Với t = 1 thì I (3; -4; -1) Với t = 3 thì I (5; -10; 3)

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn là:

(x-3)2 +(y+4)2 +(z+1)2 =3/2

(x-5)2 +(y+10)2 +(z-3)2 =3/2

điể A(1;0;0), Bài 56: Trong không gian vvới hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm B(0;3;0), C(0;0;6). Tìm phương trình mặt cầu (S) tiếp p xúc với vớ Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C và đđi qua A ?

A. (x - 5)2 + (y - 3)2 + (z - 6)2 = 61

B. (x - 5)2 + (y + 3)2 + (z - 6)2 = 61 C. (x + 5)2 + (y - 3)2 + (z - 6)2 = 61

KÈ

D. (x - 5)2 + (y - 3)2 + (z + 6)2 = 61 Hiển thị đáp án Đáp án : A

ẠY

Giải thích :

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt ccầu IB→=(-a;3-b; -c); IC→=(-a; -b; 6-c) Do mặt cầu (S) tiếpp xúc vvới Oy tại B, tiếp xúc với Oz tạii C nên

FF IC IA L

⇒ I(a;3;6)

I đii qua A nên ta có IA = IB

⇔ IA2 =IB2 ⇔ (a-1)2 +32 +62 =a2 +62

Khi đó, I (5; 3; 6) và R2 =IA2 =61

cầu cần tìm là : Vậy phương trình mặt cầ

⇔ a=5

(x-5)2 +(y-3)2 +(z-6)2 =61

m A(1;2;4) và mặt phẳng ng (P): x + y + z + 1 = 0. Phương Bài 57: Cho điểm biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng ẳng (P) theo thiết thi trình mặt cầuu (S) có tâm A, bi diện là một đường tròn có chu vi 4π là:

A. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 76/3

B. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 9

KÈ

C. (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 4)2 = 9 D. (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 4)2 = 76/3

ẠY

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích : Khoảng cách từ A đến mặ mặt phẳng (P) là:

FF IC IA L

Gọi r là bán kính của đường tròn thiết diện Ta có: Chu vi của đường tròn là 2πr=4π ⇒ r=2

cầu, ta có: Gọi R là bán kính mặt cầ R2 =r2 +d2 =76/3

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-4)2 =76/3

ẳng Oxyz, Cho đường thẳng Bài 58: Trong mặt phẳng và 2 mp (P): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 7 = 0. Mặt cầu (S) có tâm ng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng ng (P) và (Q) có I thuộc đường thẳng phương trình

A. (x + 3)2 +(y + 1)2 +(z - 3)2 = 4/9

B. (x - 3)2 +(y - 1)2 +(z + 3)2 = 4/9

KÈ

C. (x + 3)2 +(y + 1)2 +(z + 3)2 = 4/9 D. (x - 3)2 +(y + 1)2 +(z + 3)2 = 4/9

ẠY

Hiển thị đáp án Đáp án : D

Giải thích : Do I thuộc đường thẳng ẳng d nên I(t; -1; -t) Ta có:

FF IC IA L

d(I;(P))

d(I;(Q))

ới 2 m mặt phẳng nên ên d(I;(P))= d(I;(Q)) =R Do mặt cầu tiếp xúc với

⇔ t=3

Vậy phương trình mặt cầầu cần tìm là:

Với t = 3 thì I(3; -1; -3); R= 2/3

(x-3)2 +(y+1)2 +(z+3)2 =4/9

ểm A(1; -2; -4), Bài 59: Trong không gian vvới hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm B(2;3;4), C(3;5;7). Tìm phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với BC ?

A. (x+1)2 +(y-2)2 +(z-4)2 =5/2

B. (x-1)2 +(y+2)2 +(z+4)2 =5/2

C. (x+1)2 +(y-2)2 +(z-4)2 =25/4

KÈ

D. (x-1)2 +(y+2)2 +(z+4)2 =25/4

ẠY

Hiển thị đáp án Đáp án : B

Giải thích : Đường thẳng BC đii qua B (2; 3; 4) và có vecto chỉ phương BC→=(1;2;3) AB→=(1;5;8); BC→=(1;2;3)

⇒ [AB→, BC→]=(-1;5;-3)

FF IC IA L

Khoảng cách từ A đến BC là:

d(A;BC)

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu (x-1)2 +(y+2)2 +(z+4)2 =5/2

m A (6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0). Viết Bài 60: Cho ba điểm ầu ngo ngoại tiếp tứ diện ABCD phương trình mặt cầu

A. (x+2)2 +(y-1)2 +(z-3)2 =17

C. (x-2)2 +(y+1)2 +(z-3)2 =17

B. (x-2)2 +(y-1)2 +(z-3)2 =17

D. (x+2)2 +(y+1)2 +(z+3)2 =17

Giải thích :

Hiển thị đáp án Đáp án : C

KÈ

Gọi I (x; y; z) là tâm của m mặt cầu

ẠY

ếp tứ diện ABCD nên ên ta có IA = IB = IC = ID Do mặt cầu ngoại tiếp

FF IC IA L

Khi đó: R2 =IA2 =17

ầu cần tìm là: Phương trình mặt cầu

ẠY

KÈ

(x-2)2 +(y+1)2 +(z-3)2 =17