GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 GV NGÔ THỊ LIÊN TRƯỜNG THCS AN HOÀ NS 2016 by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 22/9/2016 Ngày dạy: 1/10/2016

Buổi 1: Chuyªn ®Ò 1: Sè chÝnh ph−¬ng I- §Þnh nghÜa: Sè chÝnh ph−¬ng lµ sè b»ng b×nh ph−¬ng ®óng cña mét sè nguyªn. II- tÝnh chÊt:

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

1- Sè chÝnh ph−¬ng chØ cã thÓ cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0, 1, 4, 5, 6, 9; kh«ng thÓ cã ch÷ tËn cïng b»ng 2, 3, 7, 8. 2- Khi ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè, sè chÝnh ph−¬ng chØ chøa c¸c thõa sè nguyªn tè víi sè mò ch½n. 3- Sè chÝnh ph−¬ng chØ cã thÓ cã mét trong hai d¹ng 4n hoÆc 4n+1. Kh«ng cã sè chÝnh ph−¬ng nµo cã d¹ng 4n + 2 hoÆc 4n + 3 (n ∈ N). 4- Sè chÝnh ph−¬ng chØ cã thÓ cã mét trong hai d¹ng 3n hoÆc 3n +1. Kh«ng cã sè chÝnh ph−¬ng nµo cã d¹ng 3n + 2 ( n ∈ N ). 5- Sè chÝnh ph−¬ng tËn cïng b»ng 1, 4 hoÆc 9 th× ch÷ sè hµng chôc lµ ch÷ sè ch½n. Sè chÝnh ph−¬ng tËn cïng b»ng 5 th× ch÷ sè hµng chôc lµ 2. Sè chÝnh ph−¬ng tËn cïng b»ng 6 th× ch÷ sè hµng chôc lµ ch÷ sè lÎ. 6- Sè chÝnh ph−¬ng chia hÕt cho 2 th× chia hÕt cho 4. Sè chÝnh ph−¬ng chia hÕt cho 3 th× chia hÕt cho 9 Sè chÝnh ph−¬ng chia hÕt cho 5 th× chia hÕt cho 25 Sè chÝnh ph−¬ng chia hÕt cho 8 th× chia hÕt cho 16. III- Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ sè chÝnh ph−¬ng.

A- D¹ng 1: chøng minh mét sè lµ sè chÝnh ph−¬ng.

Bµi 1: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn x, y th×: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 lµ sè chÝnh ph−¬ng.

Gi¶i : Ta cã A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 2 2 2 2 4 = ( x + 5 xy + 4 y )( x + 5 xy + 6 y ) + y

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

§Æt x 2 + 5 xy + 5 y 2 = t

(t ∈ Z ) th×

A = ( t − y 2 )(t + y 2 ) + y 4 = t 2 − y 4 + y 4 = t 2 = ( x 2 + 5 xy + 5 y 2 ) 2 V× x, y, z ∈ Z nªn x 2 ∈ Z , 5 xy ∈ Z , 5 y 2 ∈ Z ⇒ x 2 + 5 xy + 5 y 2 ∈ Z VËy A lµ sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 2: Chøng minh tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp céng 1 lu«n lµ sè chÝnh ph−¬ng. Gi¶i : Gäi 4 sè tù nhiªn, liªn tiÕp ®ã lµ n, n+1, n+2, n+3 (n ∈ Z). Ta cã: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1 = ( n 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 (*) ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------§Æt n 2 + 3n = t (t ∈ N ) th× (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2

= (n2 + 3n + 1)2 V× n ∈ N nªn n2 + 3n + 1 ∈ N. VËy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 lµ sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) Chøng minh r»ng 4S + 1 lµ sè chÝnh ph−¬ng. 1 1 k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). [ (k + 3) − (k − 1) ] 4 4 1 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 4

Gi¶i : Ta cã: k(k + 1)(k + 2) =

Kè

Q uy

hơ

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 Theo kÕt qu¶ bµi 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 lµ sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 4: Cho dZy sè 49; 4489; 444889; 44448889; . . . - DZy sè trªn ®−îc x©y dùng b»ng çch thªm sè 48 vµo gi÷a çc ch÷ sè ®øng tr−íc vµ ®øng sau nã. Chøng minh r»ng tÊt c¶ çc sè cña dZy trªn ®Òu lµ sè chÝnh ph−¬ng. Ta cã 44 ...488...89 = 44...488...8 + 1 = 44...4 . 10n + 8 . 11 ... 1 + 1

4.102 n − 4.10n + 8.10n − 8 + 9 4.102 n + 4.10n + 1 = 9 9

n ch÷ sè 1

m /+

10 n −1 10 n −1 n .10 + 8. +1 = 4. 9 9

n ch÷ sè 4

ạy

n ch÷ sè 4 n - 1 ch÷ sè 8 n ch÷ sè 4 n ch÷ sè 8

 2.10 n + 1  =  3   Ta thÊy 2.10n + 1 = 200...01 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 3 nªn nã chia hÕt cho 3 n - 1 ch÷ sè 0

 2.10 n + 1  =>   ∈ Z hay c¸c sè cã d¹ng 44 ... 488 ... 89 lµ sè chÝnh ph−¬ng. 3  

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C¸c bµi t−¬ng tù: Chøng minh r»ng sè sau ®©y lµ sè chÝnh ph−¬ng. A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1 2n ch÷ sè 1

n ch÷ sè 4

B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8 2n ch÷ sè 1

n+1 ch÷ sè 1

n ch÷ sè 6

C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7 ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2n ch÷ sè 4

n+1 ch÷ sè 2

n ch÷ sè 8

D = 22499 . . .9100 . . . 09 n-2 ch÷ sè 9

n ch÷ sè 0

E = 11 . . .155 . . . 56 n ch÷ sè 1

n-1 ch÷ sè 5 2

 10 n + 2  KÕt qu¶: A=   ;  3  n

 10 n + 8  B=  ;  3   10 n + 2   E =   3 

D = (15.10 - 3)

 2.10n + 7  C =  3  

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

Bµi 5: Chøng minh r»ng tæng çc b×nh ph−¬ng cña 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng thÓ lµ mét sè chÝnh ph−¬ng. Gäi 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp ®ã lµ n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n ∈ N, n >2). Ta cã (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2) V× n2 kh«ng thÓ tËn cïng bëi 3 hoÆc 8 do ®ã n2 + 2 kh«ng thÓ chia hÕt cho 5 => 5. (n2 + 2) kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng hay A kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 6: Chøng minh r»ng sè cã d¹ng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong ®ã n ∈ N vµ n >1 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng. n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) Víi n ∈ N, n > 1 th× n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2 Vµ n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2 VËy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 kh«ng ph¶i lµ mét sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 7: Cho 5 sè chÝnh ph−¬ng bÊt kú cã ch÷ sè hµng chôc kh¸c nhau cßn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ®Òu lµ 6. Chøng minh r»ng tæng çc ch÷ sè hµng chôc cña 5 sè chÝnh ph−¬ng ®ã lµ mét sè chÝnh ph−¬ng. Ta biÕt mét sè chÝnh ph−¬ng cã ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 6 th× ch÷ sè hµng chôc cña nã lµ sè lÎ. V× vËy ch÷ sè hµng chôc cña 5 sè chÝnh ph−¬ng ®ã lµ 1,3,5,7,9 khi ®ã tæng cña chóng b»ng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 lµ sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 8: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph−¬ng cña 2 sè lÎ bÊt kú kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng. a vµ b lÎ nªn a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Víi k, m ∈ N). => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4 (k2 + k + m2 + m) + 2 => a2 + b2 kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 9: Chøng minh r»ng nÕu p lµ tÝch cña n (víi n > 1) sè nguyªn tè ®Çu tiªn th× p - 1 vµ p + 1 kh«ng thÓ lµ çc sè chÝnh ph−¬ng. V× p lµ tÝch cña n sè nguyªn tè ®Çu tiªn nªn p⋮2 vµ p kh«ng thÓ chia hÕt cho 4 (1) ----------------------------------------------------------------------------------------------

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a- Gi¶ sö p + 1 lµ sè chÝnh ph−¬ng. §Æt p + 1 = m2 ( m ∈ N).

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

V× p ch½n nªn p + 1 lÎ => m2 lÎ => m lÎ. §Æt m = 2k + 1 (k ∈ N). Ta cã m2 = 4k2 + 4k + 1 => p + 1 = 4k2 + 4k + 1 => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) ⋮ 4 m©u thuÉn víi (1). => p + 1 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng. b- p = 2.3.5... lµ sè chia hÕt cho 3 => p - 1 cã d¹ng 3k + 2. => p - 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng. VËy nÕu p lµ tÝch n (n >1) sè nguyªn tè ®Çu tiªn th× p - 1 vµ p + 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 10: Gi¶ sö N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011 Chøng minh r»ng trong 3 sè nguyªn liªn tiÕp 2N - 1, 2N vµ 2N + 1 kh«ng cã sè nµo lµ sè chÝnh ph−¬ng. a- 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1 Cã 2N ⋮ 3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k ∈ N) => 2N - 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng. b- 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N ch½n. => N lÎ => N kh«ng chia hÕt cho 2 vµ 2N ⋮ 2 nh−ng 2N kh«ng chia hÕt cho 4. 2N ch½n nªn 2N kh«ng chia cho 4 d− 1 hoÆc d− 3 => 2N kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng. c- 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1 2N + 1 lÎ nªn 2N + 1 kh«ng chia hÕt cho 4 2N kh«ng chia hÕt cho 4 nªn 2N + 1 kh«ng chia cho 4 d− 1. => 2N + 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 11: Cho a = 11 . . . 1 ; b = 100 . . . 05 2010 ch÷ sè 1

Chøng minh ab + 1 lµ sè tù nhiªn. b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6

Gi¶i:

2009 ch÷ sè 0

2010 ch÷ sè 0

2010 ch÷ sè 9

⇒ ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a + 6a + 1 = (3a + 1)2 ab + 1 = (3a + 1) 2 = 3a + 1 ∈ N

⇒

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 1/10/2016 Ngày dạy: 8/10/2016

Buổi 2: B. d¹ng 2: t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc lµ sè chÝnh ph−¬ng

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

Bµi 1: T×m sè tù nhiªn n sao cho çc sè sau lµ sè chÝnh ph−¬ng a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) d) n2 + n + 1589 c) 13n + 3 Gi¶i: a) V× n2 + 2n + 12 lµ sè chÝnh ph−¬ng nªn ®Æt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∈ N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n + 1)2 = 11 ⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 NhËn xÐt thÊy k + n + 1 > k - n - 1 vµ chóng lµ nh÷ng sè nguyªn d−¬ng, nªn ta cã thÓ viÕt (k ⇔ + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 ⇔ k + n + 1 = 11 k=6 k-n–1=1 n=4 2 2 2 2 2 b) ®Æt n(n + 3) = a (n ∈ N) ⇒ n + 3n = a ⇔ 4n + 12n = 4a ⇔ (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 ⇔ (2n + 3)2 – 4a2 = 9 ⇔ (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 NhËn xÐt thÊy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a vµ chóng lµ nh÷ng sè nguyªn d−¬ng, nªn ta cã thÓ viÕt (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + 3 + 2a = 9 n=1 ⇔ 2n + 3 – 2a = 1 a=2 2 2 c) §Æt 13n + 3 = y (y ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = y – 16 ⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4) ⋮ 13 mµ 13 lµ sè nguyªn tè nªn y + 4 ⋮ 13 hoÆc y – 4 ⋮ 13 ⇒ y = 13k ± 4 (víi k ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ 13k2 ± 8k + 1 VËy n = 13k2 ± 8k + 1 (víi k ∈ N) th× 13n + 3 lµ sè chÝnh ph−¬ng ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 d) §Æt n2 + n + 1589 = m2 (m ∈ N) ⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 NhËn xÐt thÊy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 vµ chóng lµ nh÷ng sè lÎ, nªn ta cã thÓ viÕt (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy ra n cã thÓ cã çc gi¸ trÞ sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bµi t−¬ng tù : T×m a ®Ó çc sè sau lµ nh÷ng sè chÝnh ph−¬ng a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 a2 + 31a + 1984 c) KÕt qu¶: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bµi 2 : T×m sè tù nhiªn n ≥ 1 sao cho tæng 1! + 2! + 3! + … + n! lµ mét sè chÝnh

ạy

Kè

Q uy

hơ

ph−¬ng. Víi n = 1 th× 1! = 1 = 12 lµ sè chÝnh ph−¬ng Víi n = 2 th× 1! + 2! = 3 kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng Víi n = 3 th× 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 33 lµ sè chÝnh ph−¬ng Víi n ≥ 4 ta cã 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 cßn 5!; 6!; …; n! ®Òu tËn cïng bëi 0 do ®ã 1! + 2! + 3! + … n! cã tËn cïng bëi ch÷ sè 3 nªn nã kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng. VËy cã 2 sè tù nhiªn n tho¶ mZn ®Ò bµi lµ n = 1; n = 3 Bµi 3: Cã hay kh«ng sè tù nhiªn n ®Ó 2010 + n2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. Gi¶ sö 2010 + n2 lµ sè chÝnh ph−¬ng th× 2010 + n2 = m2 (m ∈ N ) Tõ ®ã suy ra m2 - n2 = 2010 ⇔ (m + n) (m – n) = 2010 Nh− vËy trong 2 sè m vµ n ph¶i cã Ýt nhÊt 1 sè ch½n (1) MÆt kh¸c m + n + m – n = 2m ⇒ 2 sè m + n vµ m – n cïng tÝnh ch½n lÎ (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ m + n vµ m – n lµ 2 sè ch½n. ⇒ (m + n) (m – n) ⋮ 4 nh−ng 2006 kh«ng chia hÕt cho 4 ⇒ §iÒu gi¶ sö sai. VËy kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n ®Ó 2006 + n2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. Bµi 4: BiÕt x ∈ N vµ x > 2. T×m x sao cho x( x − 1).x( x − 1) = ( x − 2) xx( x − 1) 2

m /+

§¼ng thøc ®Z cho ®−îc viÕt l¹i nh− sau: x( x − 1) = ( x − 2) xx( x − 1) Do vÕ tr¸i lµ mét sè chÝnh ph−¬ng nªn vÕ ph¶i còng lµ mét sè chÝnh ph−¬ng. Mét sè chÝnh ph−¬ng chØ cã thÓ tËn cïng bëi mét trong çc ch÷ sè 0; 1; 4; 5; 6; 9 nªn x chØ cã thÓ tËn cïng bëi mét trong çc ch÷ sè 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1) Do x lµ ch÷ sè nªn x ≤ 9, kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ®Ò bµi ta cã x∈ N vµ 2 < x ≤ 9 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ x chØ cã thÓ nhËn mét trong çc gi¸ trÞ 5; 6; 7 B»ng phÐp thö ta thÊy chØ cã x = 7 tho¶ mZn ®Ò bµi, khi ®ã 762 = 5776 Bµi 5: T×m sè tù nhiªn n cã 2 ch÷ sè biÕt r»ng 2n + 1 vµ 3n + 1 ®Òu lµ çc sè chÝnh ph−¬ng. Ta cã 10 ≤ n ≤ 99 nªn 21 ≤ 2n + 1 ≤ 199. T×m sè chÝnh ph−¬ng lÎ trong kho¶ng trªn ta ®−îc 2n + 1 b»ng 25; 49; 81; 121; 169 t−¬ng øng víi sè n b»ng 12; 24; 40; 60; 84 Sè 3n + 1 b»ng 37; 73; 121; 181; 253. ChØ cã 121 lµ sè chÝnh ph−¬ng. VËy n = 40 Bµi 6: Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè tù nhiªn sao cho n + 1 vµ 2n + 1 ®Òu lµ çc sè chÝnh ph−¬ng th× n lµ béi sè cña 24 V× n + 1 vµ 2n + 1 lµ çc sè chÝnh ph−¬ng nªn ®Æt n + 1 = k2, 2n + 1 = m2 (k, m ∈ N ) Ta cã m lµ sè lÎ ⇒ m = 2a + 1 ⇒ m2 = 4a(a + 1) + 1

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Mµ n =

m 2 − 1 4a (a + 1) = = 2a (a + 1) 2 2

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------⇒ n ch½n ⇒ n + 1 lÎ ⇒ k lÎ ⇒ ®Æt k = 2b + 1 (víi b ∈ N ) ⇒ k2 = 4b(b+1) + 1 ⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n ⋮ 8 (1)

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

Ta cã: k2 + m2 = 3n + 2 ≡ 2 (mod3) MÆt kh¸c k2 chia cho 3 d− 0 hoÆc 1, m2 chia cho 3 d− 0 hoÆc 1 Nªn ®Ó k2 + m2 ≡ 2 (mod3) th× k2 ≡ 1 (mod3) m2 ≡ 1 (mod3) (2) ⇒ m2 – k2 ⋮ 3 hay (2n + 1) – (n + 1) ⋮ 3 ⇒ n ⋮ 3 Mµ (8; 3) = 1 (3) Tõ (1), (2), (3) ⇒ n ⋮ 24 Bµi 7: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n sao cho sè 28 + 211 + 2n lµ sè chÝnh ph−¬ng Gi¶ sö 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) th× 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p. 2q = (a + 48) (a – 48) víi p, q ∈ N ; p + q = n vµ p > q a + 48 = 2p ⇒ 2p 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q – 1) = 25.3 ⇒ a – 48 = 2q ⇒ q = 5 vµ p – q = 2 ⇒ p = 7 ⇒ n = 5 + 7 = 12 Thö l¹i ta cã: 28 + 211 + 2n = 802

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 8/10/2016 Ngày dạy: 15/10/2016

Buổi 3: C.d¹ng 3 : T×m sè chÝnh ph−¬ng

Bµi 1 : Cho A lµ sè chÝnh ph−¬ng gåm 4 ch÷ sè. NÕu ta thªm vµo mçi ch÷ sè cña A mét ®¬n vÞ th× ta ®−îc sè chÝnh ph−¬ng B. HZy t×m c¸c sè A vµ B. Gäi A = abcd = k 2 . NÕu thªm vµo mçi ch÷ sè cña A mét ®¬n vÞ th× ta cã sè B = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = m 2 víi k, m ∈ N vµ 32 < k < m < 100

hơ

⇒ Ta cã:

a, b, c, d = 1; 9 A = abcd = k 2

ạy

Kè

Q uy

B = abcd + 1111 = m 2 . §óng khi céng kh«ng cã nhí ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111 (*) NhËn xÐt thÊy tÝch (m – k)(m + k) > 0 nªn m – k vµ m + k lµ 2 sè nguyªn d−¬ng. Vµ m – k < m + k < 200 nªn (*) cã thÓ viÕt (m – k) (m + k) = 11.101 ⇔ ⇔ Do ®ã: m – k = 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bµi 2: T×m mét sè chÝnh ph−¬ng gåm 4 ch÷ sè biÕt r»ng sè gåm 2 ch÷ sè ®Çu lín h¬n sè gåm 2 ch÷ sè sau mét ®¬n vÞ. §Æt abcd = k 2 ta cã ab − cd = 1 vµ k ∈ N, 32 ≤ k < 100

m /+

Suy ra : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) ⇒ k + 10 ⋮ 101 hoÆc k – 10 ⋮ 101 Mµ (k – 10; 101) = 1 ⇒ k + 10 ⋮ 101 V× 32 ≤ k < 100 nªn 42 ≤ k + 10 < 110 ⇒ k + 10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281 Bµi 3: T×m sè chÝnh ph−¬ng cã 4 ch÷ sè biÕt r»ng 2 ch÷ sè ®Çu gièng nhau, 2 ch÷ sè cuèi gièng nhau. Gäi sè chÝnh ph−¬ng ph¶i t×m lµ: aabb = n2 víi a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 Ta cã: n2 = aabb = 11. a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) NhËn xÐt thÊy aabb ⋮ 11 ⇒ a + b ⋮ 11 Mµ 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 nªn 1 ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11 Thay a + b = 11 vµo (1) ®−îc n2 = 112(9a + 1) do ®ã 9a + 1 lµ sè chÝnh ph−¬ng B»ng phÐp thö víi a = 1; 2;…; 9 ta thÊy chØ cã a = 7 tho¶ mZn ⇒ b = 4 Sè cÇn t×m lµ: 7744 Bµi 4: T×m mét sè cã 4 ch÷ sè võa lµ sè chÝnh ph−¬ng võa lµ mét lËp ph−¬ng. Gäi sè chÝnh ph−¬ng ®ã lµ abcd . V× abcd võa lµ sè chÝnh ph−¬ng võa lµ mét lËp ph−¬ng nªn ®Æt abcd = x2 = y3 víi x, y ∈ N V× y3 = x2 nªn y còng lµ mét sè chÝnh ph−¬ng.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ta cã : 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 vµ y chÝnh ph−¬ng ⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

Bµi 5 : T×m mét sè chÝnh ph−¬ng gåm 4 ch÷ sè sao cho ch÷ sè cuèi lµ sè nguyªn tè, c¨n bËc hai cña sè ®ã cã tæng çc ch÷ sè lµ mét sè chÝnh ph−¬ng. Gäi sè ph¶i t×m lµ abcd víi a, b, c, d nguyªn vµ 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b, c, d ≤ 9 abcd chÝnh ph−¬ng ⇒ d ∈ {0,1, 4, 5, 6, 9} d nguyªn tè ⇒ d = 5 §Æt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100 k lµ mét sè cã hai ch÷ sè mµ k2 cã tËn cïng b»ng 5 ⇒ k tËn cïng b»ng 5 Tæng çc ch÷ sè cña k lµ mét sè chÝnh ph−¬ng ⇒ k = 45 ⇒ abcd = 2025 VËy sè ph¶i t×m lµ: 2025 Bµi 6: T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè biÕt r»ng hiÖu çc b×nh ph−¬ng cña sè ®ã vµ viÕt sè bë hai ch÷ sè cña sè ®ã nh−ng theo thø tù ng−îc l¹i lµ mét sè chÝnh ph−¬ng Gäi sè tù nhiªn cã hai ch÷ sèph¶i t×m lµ ab (a, b ∈ N, 1 ≤ a, b ≤ 9) Sè viÕt theo thø tù ng−îc l¹i ba Ta cã ab 2 - ba 2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) ⋮ 11 ⇒ a2 – b2 ⋮ 11 Hay (a - b) (a + b) ⋮ 11 V× 0 < a – b ≤ 8, 2 ≤ a + b ≤ 18 nªn a + b ⋮ 11 ⇒ a + b = 11 Khi ®ã: ab 2 - ba 2= 32 . 112 . (a – b) §Ó ab 2 - ba 2 lµ sè chÝnh ph−¬ng th× a – b ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng do ®ã a – b = 1 hoÆc a–b=4 NÕu a – b = 1 kÕt hîp víi a + b = 11 ⇒ a = 6, b = 5 , ab = 65 Khi ®ã 652 – 562 = 1089 = 332 NÕu a – b = 4 kÕt hîp víi a + b = 11 ⇒ a = 7,5 lo¹i VËy sè ph¶i t×m lµ 65 Bµi 7: Cho mét sè chÝnh ph−¬ng cã 4 ch÷ sè. NÕu thªm 3 vµo mçi ch÷ sè ®ã ta còng ®−îc mét sè chÝnh ph−¬ng. T×m sè chÝnh ph−¬ng ban ®Çu. (KÕt qu¶: 1156) Bµi 8: T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ b×nh ph−¬ng cña sè Êy b»ng lËp ph−¬ng cña tæng çc ch÷ sè cña nã. Gäi sè ph¶i t×m lµ ab víi a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 Theo gi¶ thiÕt ta cã: ab = (a + b)3 ⇔ (10a +b)2 = (a + b)3 ⇒ ab lµ mét lËp ph−¬ng vµ a + b lµ mét sè chÝnh ph−¬ng §Æt ab = t3 (t ∈ N), a + b = 12 (1 ∈ N) V× 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 hoÆc ab = 64

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------NÕu ab = 27 ⇒ a + b = 9 lµ sè chÝnh ph−¬ng

NÕu ab = 64 ⇒ a + b = 10 kh«ng lµ sè chÝnh ph−¬ng ⇒ lo¹i VËy sè cÇn t×m lµ ab = 27

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

Bµi 9 : T×m 3 sè lÎ liªn tiÕp mµ tæng b×nh ph−¬ng lµ mét sè cã 4 ch÷ sè gièng nhau. Gäi 3 sè lÎ liªn tiÕp ®ã lµ 2n - 1 ; 2n + 1 ; 2n + 3 (n ∈ N) Ta cã : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 Theo ®Ò bµi ta ®Æt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 . a víi a lÎ vµ 1 ≤ a ≤ 9 ⇒ 12n(n + 1) = 11(101a – 1) ⇒ 101a – 1 ⋮ 3 ⇒ 2a – 1 ⋮ 3 V× 1 ≤ a ≤ 9 nªn 1 ≤ 2a – 1 ≤ 17 vµ 2a – 1 lÎ nªn 2a – 1 ∈ {3; 9;15} ⇒ a ∈ {2; 5; 8} V× a lÎ ⇒ a = 5 ⇒ n = 21 3 sè cÇn t×m lµ: 41; 43; 45 Bµi 10 : T×m sè cã 2 ch÷ sè sao cho tÝch cña sè ®ã víi tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng tæng lËp ph−¬ng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã. ab (a + b) = a3 + b3 ⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab ⇔ 3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1) a + b vµ a + b – 1 nguyªn tè cïng nhau do ®ã a + b = 3a hoÆc a + b – 1 = 3a a+b–1=3+b a+b=3+b a = 4, b = 8 hoÆc a = 3, b = 7 ⇒ VËy ab = 48 hoÆc ab = 37

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 15/10/2016 Ngày dạy: 22/10/2016

Buổi 4: Chuyªn ®Ò 2: ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn

y −1 11 − 3 y = 5− y − 2 2

y −1 =t∈Z 2

⇒

y = 2t + 1

Kè

§Æt

y −1 nguyªn 2

§Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn ⇔

Q uy

⇔x=

hơ

1. T×m nghiÖm nguyªn cña Ph−¬ng tr×nh vµ hÖ ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Tuú tõng bµi cô thÓ mµ lµm çc çch kh¸c nhau. VD1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh: 2x + 3y = 11 (1) Çch 1: Ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t: Ta cã: 2x + 3y = 11

m /+

ạy

x = -3t + 4 C¸ch 2 : Dïng tÝnh chÊt chia hÕt V× 11 lÎ ⇒ 2x + 3y lu«n lµ sè lÎ mµ 2x lu«n lµ sè ch½n ⇒ 3y lÎ ⇒ y lÎ Do ®ã : y = 2t + 1 víi t ∈ Z x = -3t + 4 C¸ch 3 : Ta nh©n thÊy ph−¬ng tr×nh cã mét cÆp nghiÖm nguyªn ®Æc biÖt lµ x0 = 4 ; y 0 = 1 ThËt vËy : 2 . 4 + 3.1 = 11 (2) Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã : 2(x - 4) + 3(y - 1) = 0 (3) ⇔ 2(x -4) = -3(y -1) Tõ (3) ⇒ 3(y - 1) ⋮ 2 mµ (2 ; 3) = 1 ⇒ y - 1 ⋮ 2 ⇔ y = 2t + 1 víi t ∈ Z

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Thay y = 2t + 1 vµo (3) ta cã : x = -3t + 4 NhËn xÐt : Víi çch gi¶i nµy ta ph¶i mß ra mét cÆp nghiÖm nguyªn (x0, y0) cña ph−¬ng tr×nh ax + by = c ; çch nµy sÏ gÆp khã kh¨n nÕu hÖ sè a, b, c qu¸ lín. Çc bµi tËp t−¬ng tù : T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh. a) 3x + 5y = 10 b) 4x + 5y = 65 c) 5x + 7y = 112 ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VD2 : HÖ ph−¬ng tr×nh. T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña hÖ ph−¬ng tr×nh sau : 3x + y + z = 14 (1) 5x + 3y + z = 28 (2) Gi¶i : Tõ hÖ ®Z cho ta cã : 2(x + y) = 14 vËy x = 7 - y (*) Thay (*) vµo (1) ta ®−îc z = 14 - y - 3x = 2y -7 V× x > 0 nªn 7 - y > 0 ⇒ y < 7 mµ z > 0 nªn 2y - 7 > 0 ⇒ y > 7 < y < 7 vµ 2

y ∈ Z ⇒ y ∈ {4; 5; 6}

VËy

7 2

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

Gi¶i tiÕp hÖ ®Z cho cã 3 nghiÖm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5) Bµi tËp t−¬ng tù: a) T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ 2x -5y = 5 2y - 3z = 1 b) Tr¨m tr©u ¨n tr¨m bã cá – tr©u ®øng ¨n n¨m, tr©u n»m ¨n ba, tr©u giµ 3 con 1 bã. T×m sè tr©u mçi lo¹i. c) T×m sè nguyªn d−¬ng nhá nhÊt chia cho 1000 d− 1 vµ chia cho 761 d− 8.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 22/10/2016 Ngày dạy: 29/10/2016

Buổi 5:

hơ

2. T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh, hÖ ph−¬ng tr×nh bËc cao. Ph−¬ng ph¸p 1 : Dïng dÊu hiÖu chia hÕt ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh. VD1: a) T×m cÆp sè nguyªn (x ; y) tho¶ mZn ph−¬ng tr×nh 6x2 + 5y2 = 74 (1) 2 2 C¸ch 1 : Ta cã : 6 (x - 4) = 5 (10 - y ) (2) 2 2 Tõ (2) ⇒ 6(x - 4) ⋮ 5 vµ (6 ; 5) = 1 ⇒ x - 4 ⋮ 5 ⇒ x2 = 5t + 4 víi t ∈ N

Q uy

4 5 < t < víi 5 3

t∈N

⇒ −

Thay x2 - 4 = 5t vµo (2) ta cã : y2 = 10 – 6t 5t + 4 > 0 V× x2 > 0 vµ y2 > 0 ⇒ 10 - 6t > 0

Kè

⇒ t = 0 hoÆc t = 1

m /+

ạy

Víi t = 0 ⇒ y2 = 10 (lo¹i) 2 Víi t = 1 ⇒ x =9 x = ±3 ⇔ y2 = 4 y = ±2 VËy çc cÆp nghiÖm nguyªn lµ :........................ Çch 2 : Tõ (1) ta cã x2 + 1 ⋮ 5 0 < x2 ≤ 12 ⇒ x2 = 4 hoÆc x2 = 9 Víi x2 = 4 ⇒ y2 = 10 (lo¹i) Víi x2 = 9 ⇒ y2 = 4 (tho¶ mZn) VËy..................... Çch 3 : Ta cã : (1) ⇒ y2 ch½n 0 < y2 ≤ 14 ⇒ y2 = 4 ⇒ x2 = 9 VËy............... VD2 : Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn a) x5 + 29x = 10(3y + 1) b) 7x = 2y - 3z - 1 Gi¶i : x5 - x + 30x = 10(3y+1) VP ⋮ 30 cßn VT ⋮ 30 ⇒ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm Ph−¬ng ph¸p 2: Ph©n tÝch mét vÕ thµnh tÝch, mét vÕ thµnh h»ng sè nguyªn VD1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh: a) xy + 3x - 5y = -3

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) 2x2 - 2xy + x - y + 15 = 0 c) x2 + x = y2 - 19 Gi¶i : a) C¸ch 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = -18 ⇔ (x – 5) (y + 3) = -18... C¸ch 2 : x =

5y − 3 18 = 5− y+3 y+3

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

b) T−¬ng tù. c) 4x2 + 4x = 4y2 - 76 ⇔ (2x + 1)2 - (2y)2 = -75... Ph−¬ng ph¸p 3 : Sö dông tÝnh ch½n lÎ (®Æc biÖt cña chia hÕt) VD2 : T×m nghiÖm nguyªn. x3 - 2y3 - 4z3 = 0 Gi¶i : ⇔ x3 = 2(y3 + 2z3) VP ⋮ 2 ⇒ x3 ⋮ 2 ⇒ x ⋮ 2 ®Æt x = 2k 8k3 = 2(y3 + 2z3) ⇔ 4k3 = y3 + 2z3 ⇒ y3 = 4k3 - 2z3 = 2(2k3 - z3) ⇒ y ch½n. §Æt y = 2t ta cã : 8t3 = 2(2k3 - z3) ⇒ 4t3 = 2k3 - z3 ⇒ z3 = 2k3 - 4t3 ⇒ z ch½n ⇒ z = 2m ⇒ 8m3 = 2(k3 - 2t3) ⇒ ......k ch½n....... Ph−¬ng ph¸p 4 : Ph−¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt cña sè chÝnh ph−¬ng VD1 : T×m nghiÖm nguyªn cña. a) x2 - 4xy + 5y2 = 169 b) x2 - 6xy + 13y2 = 100 Gi¶i : a) (x - 2y)2 + y2 = 169 = 0 + 169 = 25 + 144... b) (x – 3y)2 + (2y)2 = 100 = 0 + 100 = 36 + 64 = ... Ph−¬ng ph¸p 5 : Ph−¬ng ph¸p c«ng thøc nghiÖm ph−¬ng tr×nh bËc 2 VD1 : T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh. a) 2x2 -2xy + x + y + 15 = 0 b) 5(x2 + xy + y2) = 7(x+2y) (®Ò thi häc sinh giái tØnh 2009 – 2010) c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2) Ph−¬ng ph¸p 6 : Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

VD: T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh:

x 2 + 2x + 1 x 2 + 2x + 2 7 + = x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 3 6

(1)

§Æt y = x2 + 2x + 2 (y ∈ Z)

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y −1 y 7 (1) ⇔ ⇔ 5y2 – 7y – 6 = 0 + = y y +1 6 y1 = −

3 5

(lo¹i) ;

y2 = 2

(tho¶ mZn) ⇒ x1 = 0; x2 = -2

C¸c bµi tËp t−¬ng tù: a) x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3 b)

1 1 1 − = 2 x ( x + 2) ( x + 1) 12

Q uy

hơ

* Mét sè ph−¬ng ph¸p kh¸c. VD1 : T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh : 2x2 + 4x = 19 -3y2 Gi¶i : ⇔ 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2 (2x + 2)2 = 6 (7 - y2) V× (2x + 2)2 ≥ 0 ⇒ 7 - y2 ≥ 0 ⇒ y 2 ≤ 7

m /+

ạy

Kè

Mµ y ∈ Z ⇒ y = 0 ; ± 1 ; ± 2 Tõ ®©y ta t×m ®−îc gi¸ trÞ t−¬ng øng cña x

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ngày soạn: 29/10/2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày dạy: 5/11/2016

Buổi 6:

hơ

3. Mét sè bµi to¸n liªn quan tíi h×nh häc. a) Cho tam gi¸c cã ®é dµi cña 3 ®−êng cao lµ nh÷ng sè nguyªn d−¬ng vµ ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ®ã cã b¸n kÝnh b»ng 1(®.v.®.d). Chøng minh tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu Gi¶i: Gäi ®é dµi c¸c c¹nh vµ c¸c ®−êng cao t−¬ng øng theo thø tù lµ a; b; c vµ x; y; z. R lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp. Ta cã R = 1 ⇒ x; y; z > 2 vµ gi¶ sö x ≥ y ≥ z > 2 Ta cã : ax = by = cz = (a + b+ c).1 (=2S) a+b+c a+b+c a+b+c ; y= ; z= a b c a 1 b c 1 1 ; ; = ⇒ = = x a+b+c z a+b+c y a+b+c

3 ⇒ z≤3 ⇒ z=3 z

⇒ 1≤

Q uy

1 1 1 1 1 1 1 3 ≥ vµ ≥ nªn + + ≤ z x z y x y z z

⇒

Kè

1 1 1 + + = 1 mµ x ≥ y ≥ z > 2 x y z

ạy

⇒

Suy ra: x =

m /+

T−¬ng tù ta cã: x = 3; y = 3 ⇒ tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu b) T×m tÊt c¶ çc h×nh ch÷ nhËt víi ®é dµi çc c¹nh lµ çc sè nguyªn d−¬ng cã thÓ c¾t thµnh 13 h×nh vu«ng b»ng nhau sao cho mçi c¹nh cña h×nh vu«ng lµ sè nguyªn d−¬ng kh«ng lín h¬n 4 (®.v.®.d) Gi¶i : Gäi çc c¹nh h×nh ch÷ nhËt cÇn t×m lµ a vµ b, c¹nh h×nh vu«ng lµ c. Tõ gi¶ thiÕt h×nh ch÷ nhËt c¾t thµnh 13 h×nh vu«ng nªn ph¶i cã: ab = 13c2 (1) víi 0 < c ≤ 4 (2) Tõ (1) suy ra a hoÆc b chia hÕt cho 13. V× vai trß a, b nh− nhau ta cã thÓ gi¶ gi¶ sö a chia hÕt cho 13, tøc lµ a = 13d Thay vµo (1) ta ®−îc : 13db = 13c2 Hay db = c2 Ta hZy xÐt çc tr−êng hîp cã thÓ cã cña c. Víi c = 1, chØ cã thÓ: d = 1, b = 1, suy ra a = 13 Víi c = 2, chØ cã thÓ: d = 1, b = 4, suy ra a = 13 d = 2, b = 2, suy ra a = 26 d = 4, b = 1, suy ra a = 52

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Víi c = 3, chØ cã thÓ:

d = 1, b = 9, suy ra a = 13

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

m /+

ạy

Kè

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Q uy

hơ

d = 3, b = 3, suy ra a = 39 d = 9, b = 1, suy ra a = 117 Víi c = 4, chØ cã thÓ: d = 1, b = 16, suy ra a = 13 d = 2, b = 8, suy ra a = 26 d = 4, b = 4, suy ra a = 52 d = 8, b = 2, suy ra a = 104 d = 16, b = 1, suy ra a = 208 Víi 12 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) chØ cã 4 tr−êng hîp tho¶ mZn bµi to¸n. Bµi to¸n cã 4 nghiÖm. Ta t×m ®−îc 4 h×nh ch÷ nhËt tho¶ mZn ®Ò bµi: (a = 13, b = 1); (a = 26, b = 2); (a = 39, b = 3); (a = 52, b = 4)

Ngày soạn: 5/11/2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày dạy: 12/11/2016

Buổi 7: Chuyªn ®Ò 3:

Gi¶i ph−¬ng tr×nh v« tû vµ hÖ ph−¬ng tr×nh I. Gi¶i ph−¬ng tr×nh v« tû

* C¸c ph−¬ng ph¸p

hơ

1. Luü thõa khö c¨n 2. §Æt Èn phô

Q uy

3. Dïng bÊt ®¼ng thøc 4. XÐt kho¶ng

II. ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p

Kè

A. Phương pháp luỹ thừa khử căn

1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh

3 PT (1) 2

⇔ x − 1 + 2x − 3 + 2 2x 2 − 5x + 3 = 4

Víi x ≥

3 ≤x 2

§iÒu kiÖn:

ạy

x − 1 + 2 x − 3 = 2(1)

m /+

⇔ 2 2 x 2 − 5 x + 3 = 8 − 3x

4(2 x 2 − 5 x + 3) = 64 + 9 x 2 − 48 x(2)  ⇔ 8 x ≤ 3 

PT (2) ⇔ x 2 − 28x + 52 = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 x = 2(tm) ⇔  x = 26( Kotm)

VËy PT ®Z cho cã nghiÖm x=2 b) 3( x 2 − x + 1) = ( x + x − 1) 2 (1) §K:

x ≥1

Víi x ≥ 1 PT (1) ⇔ 3( x 2 − x + 1) = x 2 + 2 x x − 1 + x − 1 ⇔ 2x 2 − 4x + 4 = 2x x − 1

⇔ x 2 − 2x + 2 = x x − 1

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Do x ≥ 1 nªn 2 vÕ cña PT nµy kh«ng ©m v× vËy PT nµy ⇔ x 4 − 4x 2 + 4 − 4x 3 − 8x + 4x 2 = x 3 − x 2 ⇔ x 4 − 5x 3 + 9x 2 − 8x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 ( x 2 − x + 1) = 0

x − 2 = 0 ⇔ 2 x − x + 1 = 0 ⇔x=2 ™

c) 3 x − 2 − 3 2 x − 2 = −1 (1)

x − 2 − 3 2x − 2

)

= −1

(

Q uy

Pt (1) ⇔

hơ

Gi¶i:

⇔ x − 2 − 2 x + 2 − 33 ( x − 2)(2 x − 2) .(3 ( x − 2) − 3 (2 x − 2) = −1

⇒ 1 − x = 33 2 x 2 − 6 x + 4

Kè

⇔ 1 − 3 x + 3 x 2 − x 3 = 27( 2 x 2 − 6 x + 4)

ạy

⇔ x 3 + 51x 2 − 159 x + 107 = 0 ⇔ ( x − 1)( x 2 + 52 x − 107) = 0

x = 1  ⇔  x = −26 + 783  x = −26 − 783 

m /+

x = 1 ⇔ 2  x − 52 x + 107 = 0

B. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô

x − 2 + x +1 = 3

Gi¶i:

(2) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh:

§K: x ≥ −1

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

§Æt

x −2 = a;

x +1 = b (b ≥ 0 )

a 3 − b 2 = −3

Ta cã hÖ PT 

a + b = 3

Suy ra a 3 − a 2 + 6a − 6 = 0

⇔ ( a − 1)( a 2 + 6) = 0

⇔ a = 1 ⇒ x = 3(T / m)

VËy ph−¬ng tr×nh nghiÖm x = 3 b. x 2 − x + 5 = 5(1) ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------§K: x ≥ −5

§Æt : x + 5 = y ( y ≥ 0) ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh  x 2 − y = 5  2  y − x = 5 ⇒ ( x 2 − y 2 ) + ( x − y) = 0 x = y ⇔ x + y + 1 = 0

x ≥ 0

+) x = y ⇒ x + 5 = x ⇔ 

1 + 21 2

(Ko T/m)

⇒ x + x + 5 +1 = 0

⇔ x +1 = − x + 5

⇔

Kè

ạy (ko t/m)

 − 1 + 17 x = 2 ⇔  − 1 − 17 x =  2

m /+

PT (*) x 2 + x − 4 = 0

x + 5 = −( x + 1)

x + 1 ≤ 0 ⇔ 2  x + 2 x + 1 = x + 5(*)

+) x + y + 1 = 0

⇔x=

Q uy

x ≥ 0  ⇔ 1 ± 21 x = 2 

hơ

2 x − x − 5 = 0

VËy PT v« nghiÖm

c) ( x + 2)( x + 4) + 5( x + 2).

x+4 =6 x+2

x+4 ≥0 x+2

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

§K:

§Æt

x+4 .( x + 2) = a ⇒ a 2 = ( x + 4)( x + 2) x+2

Ta cã PT: a 2 + 5a − 6 = 0 a = 1  a = −6 

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+) a = 1 ⇒ x 2 + 6 x + 8 − 1 = 0 ⇒ x 2 + 6x + 7 = 0

 −3+ 2 (tm) x = 1   x = −3 − 2

+) a = −6 ⇒ x 2 + 6 x + 8 − 36 = 0 ⇒ x 2 + 6 x − 28 = 0

hơ

 x = −3 + 37   x = −3 − 37 (tm)

VËy pt cã 2 nghiÖm

Q uy

x = −3 + 2 ;−3 − 37

C. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc

(3) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh

5 PT (1) 2

Ta cã:

2x − 5 − 1 ≥ 4

2x − 5 + 3 +

2x − 5 − 1 = 4

2x − 5 + 3 +

⇔

Víi §k: x ≥

ạy

5 2

m /+

§K: x ≥

Kè

a) 2 x + 4 + 6 2 x − 5 + 2 x − 4 − 2 2 x − 5 = 4 (1)

( 2 x − 5 + 3)( 2 x − 5 − 1) ≤ 0 5 x ≥ 2 

§¼ng thøc xÈy ra ⇔ 

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔

5 ≤ x≤3 2

VËy nghiÖm cña PT ®Z cho lµ

5 ≤x≤3 2

b) x − 4 + 6 − x = x 2 − 10 x + 27(1) Gi¶i §K 4 ≤ x ≤ 6 ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trªn TX§ x − 4 + 6 − x ≤ (12 +12 )( x − 4 + 6 − x) ⇔

x−4 + 6− x ≤ 2

L¹i cã x 2 − 10 x + 27 = ( x − 5) 2 + 2 ≥ 2 ⇒ x 2 − 10 x + 27 ≥

x−4 + 6− x

§¼ng thøc xÈy ra

hơ

 x−4 = 6− x  ⇔ x = 5 ⇔ x=5 4 ≤ x ≤ 6 

Q uy

VËy PT (1) cã nghiÖm lµ x=5 c) Gi¶i ph−¬ng tr×nh

x + x −1 + x − x2 +1 = x2 − x + 2

Kè

Gi¶i x 2 + x − 1 ≥ 0 §K:  2

ạy

− x + x + 1 ≥ 0

¸p dông B§T c« si cho c¸c sè kh«ng ©m ta cã

m /+

x2 + x −1+1   2 ⇒ − x 2 + x + 1 + 1 2 (− x + x + 1).1 ≤  2 ( x 2 + x − 1).1 ≤

Ta cã

x2 + x −1 + x − x2 +1 ≤ x +1

x2 − x + 2 ≥ x +1

(V× ( x − 1) 2 ≥ 0 )

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇒ x2 + x −1 + x − x2 +1 ≤ x2 − x + 2

§¼ng thøc xÈy ra ⇔ x = 1 VËy pt cã nghiÖm lµ x=1 D. XÐt kho¶ng (4) Gi¶i c¸c PT a) x 2 + 48 = 4 x − 3 + x 2 + 35 (1) Gi¶i ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TX§: ∀x

PT(1) ⇔ x 2 + 48 − x 2 + 35 = 4 x − 3 13

⇔

x + 48 + x 2 + 35

= 4x − 3

ThÊy x = 1 lµ nghiÖm cña PT (1) +) x > 1 ⇒ x 2 + 48 + x 2 + 35 > 13 13

hơ

 < 1 x + 48 + x + 35  ⇒ PT v« nghiÖm  4x − 3 > 1 

⇒

3 4

Q uy

+) ≤ x < 1

⇒ x 2 + 48 + x 2 + 35 < 13 13

Kè

 > 1 ⇒ x + 48 + x + 35  ⇒ PT v« nghiÖm  4x − 3 < 1  2

ạy

m /+

b) 5 − x 6 − 3 3x 4 − 2 = 1 (1)

VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ x=1

Gi¶i

Ta cã:

x > 1 th× x 4 ; x 6 > 1

x < 1 th× x 4 ; x 6 < 1

+) XÐt x > 1 ⇒ 5 − x 6 < 4;3x 4 − 2 > 1

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇒ 5 − x 6 − 3 3x 4 − 2

PT (1) v« nghiÖm Xet

x < 1 tương tự ta suy ra phương trình vô nghiệm

ThÊy x= 1 hoÆc x= -1 lµ nghiÖm cña PT (1) Bµi tËp: Gi¶i c¸c PT (1) a) 2( x 2 + 2) = 5 x 3 + 1( B) ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

(b) x + 17 − x 2 + x. 17 − x 2 = 9( B) (2) (3)

3 − x = x.

3 + x (A)

x 2 + 24 + 1 = 3x + x 2 + 8 (D)

(4) 6 − x + x + 2 = x 2 − 6 x + 13(C ) (5) 4 − 3 10 − 3 x = x − 2 ( A)

m /+

ạy

Kè

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Q uy

hơ

(6) 5 27 .x 10 − 5 x 6 + 5 864 = 0 (C)

Ngày soạn: 12/11/2016 Ngày dạy: 19/11/2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Buổi 8: III. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh * C¸c ph−¬ng ph¸p: 1. Ph−¬ng ph¸p thÕ 2. C«ng thøc trõ, nh©n, chia c¸c vÕ 3. §Æt Èn phô

4. Dïng bÊt ®¼ng thøc.

hơ

IV. ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p.

A. Ph−¬ng ph¸p thÕ.

Q uy

1. Gi¶i c¸c hÖ pg−¬ng tr×nh 3 x + y = 11 7 x + 4 y = 29

a) 

Kè

Gi¶i HÖ ®Z cho t−¬ng ®−¬ng víi

x = 3  y = 2

m /+

 y = 11 − 3 x ⇔ 5 x = 15

ạy

 y = 11 − 3 x  7 x + 4(11 − 3 x) = 29

VËy hÖ ®Z cho cã nghiÖm lµ:

(x;y) = (3;2)

 x 2 − 5 xy + 6 2 = 0 b)  2

Gi¶i

4 x + 2 xy + 6 y − 27 = 0

HÖ ®Z cho t−¬ng ®−¬ng víi

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

( x − 2 y )( x − 3 y ) = 0  2 4 x + 2 xy + 6 y − 27 = 0

 x = 2 y  2 20 y + 6 y − 27 = 0 ⇔ x = 3y  42 y 2 + 6 y − 27 = 0

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

HoÆc

 − 3 − 3 127 x =  14   y = − 1 − 127  14

HoÆc

 − 3 − 549 x =  10   y = − 3 − 549  20

ạy

 x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx  2003  x + y 2003 + z 2003 = 3 2004

Kè

 − 3 + 3 127 x =  14   y = − 1 + 127  14

Q uy

 − 3 + 549 x =  10   y = − 3 + 549  20

hơ

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ x = 2 y  549 − 3    y = 20   − 3 − 549    y = 20 ⇔  x = 3 y   y = 1 + 127   14    y = − 1 − 127  14

m /+

Gi¶i:

PT (1)

⇔ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 2 yz − 2 zx = 0

Ta cã:

 x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx (1)  2003  x + y 2003 + z 2003 = 3 2004 (2)

⇔ ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2 = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔x= y=z

ThÕ vµo (2) ta cã: 3 x 2003 = 3 2004 x 2003 = 3 2003 x=3

Do ®ã x= y=z = 3 VËy nghiÖm cña hÖ ®Z cho lµ: (x;y;z) = (3;3;3) ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B. Ph−¬ng ph¸p céng, trõ, nh©n, chia c¸c vÕ (2) Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh 5 x 3 + y = 2 2 a)   x 6 − y 2 = 2

Gi¶i: HÖ ®Z cho t−¬ng ®−¬ng víi:

hơ

5 x 6 + y 2 = 4   x 6 − y 2 = 2

Q uy

6 6 x = 6 ⇔ 5 x 3 + y = 2 2

1   x = 6  y = −1  2

x = 2 y + 1 b)  3 3

Kè

 y = 2 x + 1

m /+

 x 3 = 2 y + 1  3  x − y 3 + 2( x − y ) = 0

HÖ ®Z cho t−¬ng ®−¬ng víi

ạy

Gi¶i:

 x 3 = 2 y + 1 ⇔ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 2) = 0

(do x 2 + xy + y 2 + 2 > 0 )

x 3 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = y

( x + 1)( x 2 − x − 1) = 0 ⇔ x = y

x 3 = 2 y + 1 ⇔ x = y

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

  x = −1  1− 5   x = ⇔ 2  1+ 5  x =  2   x = y

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  1− 5 1+ 5 x=  x =  x = −1   2 2 ⇔ hoÆc  hoÆc  y = − 1  y = 1− 5 y = 1+ 5   2 2

( x + xy + y = 1 c)  y + yz + z = 4  z + zx + x = 9 

trong ®ã x, y, z ≻ 0

Gi¶i

hơ

HÖ ®¸ cho t−¬ng ®−¬ng víi

Q uy

( x + 1)( y + 1) = 2  ( y + 1)( z + 1) = 5 ( z + 1)( x + 1) = 10 

Kè ạy

x = 1  ⇔ y = 0 z = 4 

z + 1 = 5  ⇔ x + 1 = 2 y +1 = 1 

(Do x,y,z>0)

m /+

( x + 1)( y + 1)( z + 1) = 10 ( x + 1)( y + 1) = 2  ⇔ ( y + 1)( z + 1) = 5 ( z + 1)( x + 1) = 10

[( x + 1)( y + 1)( z + 1)]2 = 100  ( x + 1)( y + 1) = 2 ⇔ ( y + 1)( z + 1) = 5 ( z + 1)( x + 1) = 10 

VËy hÖ ®Z cho cã nghiÖm lµ (x;y;z)=(1;0;4)

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô (3). Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh x2 + x = 5 + y 2 + y

a) 

 x 3 + y 3 = x 2 y + xy 2 + 6

§Æt: x-y=a;

x+y =b

HÖ ®Z cho trë thµnh ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ab + a = 5(1)  2  a b = 6( 2)

Tõ PT (2) ta suy ra a ≠ 0 Do ®ã: b =

6 a2

ThÕ vµo (1) ta ®−îc: 6 +a =5 a

hơ

⇔ a 2 − 5a + 6 = 0 (V× a ≠ 0 )

⇔ ( a − 2)( a − 3) = 0

2 3

Kè

m /+

+) a = 3 ⇒ b =

7  3 x=  x + y =  4 Hay  2⇔  x − y = 2 y = −1  4

3 2

ạy

+) a = 2 ⇒ b =

Q uy

a = 2 ⇔ a = 3

11  2 x=   x+ y =  6 Hay  3⇔  x − y = 3 y = − 7  6

Tãm l¹i hÖ ph−¬ng tr×nh ®Z cho cã nghiÖm lµ:

7 − 1 11 − 7 (x;y) =  ; ;  ; 

4 4   6

6 

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17  x + xy + y = 5

b) 

Gi¶i: §Æt x+y = a; xy=b HÖ ®Z cho trë thµnh a 3 + b 3 − 3ab = 17  a + b = 5

a = 5 − b ⇔ 2 b − 5b + 6 = 0

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a = 5 − b ⇔ (b − 2)(b − 3) = 0

a = 3 ⇔ b = 2

a = 2  b = 3

HoÆc

a = 3 b = 2

x + y = 3  xy = 2

Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh 

x = 3 − y ⇔ 2  y − 3y + 2 = 0

x = 3 − y ⇔ ( y − 1)( y − 2) = 0

x = 2 ⇔ y = 1

x = 1 y = 2

x + y = 2  xy = 3

a = 2 b = 3

hơ

HoÆc 

x = 2 − y ⇔ 2 y − 2y + 3 = 0

(V« nghiÖm)

Q uy

Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh 

HÖ nµy v« nghiÖm

ạy

VËy nghiÖm cña hÖ ®Z cho lµ:

Kè

+) 

(x;y) = (1;2); (2;1) (x + y )4 = 6 x 2 y 2 − 215   xy ( x 2 + y 2 ) = −78

m /+

+) 

Gi¶i

HÖ ®Z cho t−¬ng ®−¬ng víi

 x 4 + 4 x 3 y + 4 xy 3 + y 4 = −215  3  x y + xy 3 = −78 78 x 4 + 312 x 3 y + 312 xy 3 + 78 y 4 = −16770 ⇔ 215 x 3 y + 215 xy 3 = −16770

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

78 x 4 + 97 x 3 y + 97 xy 3 + 78 y 4 = 0(1) ⇔ 3  x y + xy 3 = −78

§Æt t =

x PT (1) trë thµnh y

78t 4 + 97t 3 + 97t + 78 = 0 ⇔ (3t + 2)(2t + 3)(13t 2 − 12t + 13) = 0

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ −2 t = 3 ⇔ t = − 3  2

+) t =

−2 −2 ⇒x= y 3 3

ThÕ vµo (2) ta ®−îc

26 4 y = 78 27

 x = −2 y = 3

hơ

HoÆc y = −3

⇔ y=3

x = 2  y = −3

HoÆc 

Q uy

Suy ra: 

−3 −3 ⇒x= y 2 2 39 4 y = 78 8

Kè

ThÕ vµo (2) ta ®−îc

+) t =

⇔ y 4 = 81

⇔ y 4 = 16

ạy

HoÆc y = −2

x = 3  y = −2

HoÆc 

m /+

 x = −3 y = 2

Suy ra: 

⇔ y=2

Tãm l¹i hÖ ®Z cho cã nghiÖm lµ:

(x;y) = (-2;3); (2;-3); (-3;2) ; (3;-2)

D. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc

(4) Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh

x + y + z = 1

a) 

4 4 4  x + y + z = xyz

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Gi¶i: NhËn xÐt:

Tõ B§T (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ≥ 0

Ta suy ra: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca(*) ¸p dông liªn tiÕp B§T (*) ta ®−îc x 4 + y 4 + z 4 ≥ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ xyz( x + y + z )

⇔ x 4 + y 4 + z 4 ≥ xyz

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 §¼ng thøc xÈy ra khi: x = y = z = 3 1 1 1 ( x; y; z ) =  ; ;  3 3 3

VËy hÖ ®Z cho cã nghiÖm lµ:  x + 4 32 − x = y 2 − 3 b)  4 x + 32 − x = 24 − 6 y

Gi¶i: §K: 0 ≤ x ≤ 32

hơ

HÖ ®Z cho t−¬ng ®−¬ng víi

Q uy

Theo bÊt ®¼ng thøc BunhiaCèp xki ta cã

( x + 32 − x ) 2 ≤ (12 + 12 )( x + 32 − x) = 64

) ≤ [2( 4

]

x + 32 − x ) ≤ 256

x + 4 32 − x ≤ 4

⇒

x + 4 32 − x

ạy

Kè

⇒ x + 32 − x ≤ 8

(

( x + 32 − x ) + (4 x + 4 32 − x ) = y 2 − 6 y + 21   x + 4 32 − x = y 2 − 3

m /+

Suy ra ( x + 32 − x ) + ( 4 x + 4 32 − x ) ≤ 12 MÆt kh¸c y 2 − 6 y + 21 = ( y − 3)2 + 12 ≥ 12

§¼ng thøc xÈy ra khi x= 16 vµ y=3 (t/m)

VËy hÖ ®Z cã nghiÖm lµ (x;y) = (16;3)

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 19/11/2016 Ngày dạy: 26/11/2016

Buổi 9: Chuyªn ®Ò 4: BẤT ĐẲNG THỨC

hơ

1) Phương pháp đổi tương đương • Để chứng minh: A ≥ B Ta biến đổi A ≥ B ⇔ A1 ≥ B1 ≥ … An ≥ Bn (đây là bất đẳng thức đúng) Hoặc từ bất đẳng thức đứng An ≥ Bn , ta biến đổi An ≥ Bn ⇔ An −1 ≥ Bn −1 ≥ … A1 ≥ B1 ⇔ A ≥ B Ví dụ 1.1 2 (1) CMR : a ) 2 ( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b )

Q uy

b) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (1)

Giải 2

Kè

a) (1) ⇔ 2 ( a 2 + b 2 ) − ( a + b ) ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0 2

ạy

⇔ ( a − b ) ≥ 0 (2) Do bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.

m /+

b) (1) ⇔ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 ( ab + bc + ca ) ≥ 0

⇔ ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 ) + ( c 2 − 2ca + a 2 ) ≥ 0 2

⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0 (2)

Bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 1.2 CMR a ) 2 ( a 4 + b 4 ) ≥ ( a + b ) ( a 3 + b3 )

(1)

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b) 3 ( a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ ( a + b + c ) ( a 3 + b3 + c 3 ) (1)

Giải 4

a) (1) ⇔ 2a + 2b − ( a + a b + ab + b ) ≥ 0 ⇔ ( a 4 − a 3b ) − ( ab3 − b3 ) ≥ 0 ⇔ a 3 ( a − b ) − b3 ( a − b ) ≥ 0 2

⇔ ( a − b ) ( a 3 − b3 ) ≥ 0 ⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) ≥ 0

( 2)

Do bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh. ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) (1) ⇔ 3a 4 + 3b 4 + 3c 4 − ( a 4 + a 3b + a 3c + b 4 + ab3 + b3c + ac 3 + bc 3 + c 4 ) ≥ 0 ⇔ ( a 4 + b 4 − a3b − ab3 ) + ( b 4 + c 4 − b3c − bc 3 ) + ( a 4 + c 4 − a 3c − ac 3 ) ≥ 0 2

⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + ( b − c ) ( b 2 + bc + c 2 ) + ( a − c ) ( a 2 + ac + c 2 ) ≥ 0

Ví dụ 1.3 b)

+ b 2 )( x 2 + b 2 ) ≥ ( ax + by )

a 2 + b2 + c2 + d 2 ≥

(1) 2

( a + c) + (b + d )

(1)

CMR : a)

2 2

Q uy

⇔ a 2 y 2 − 2abxy + b 2 y 2 ≥ 0 2

⇔ ( ay − bx ) ≥ 0

+ b 2 )( c 2 + d 2 ) ≥ ( a + c ) + ( b + d )

+ b 2 )( c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd

Nếu ac + bd < 0 thì (2) đúng Nếu ac + bd ≥ 0 thì

(2)

Kè

ạy

⇔

b) (1) ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2

hơ

Giải a) (1) ⇔ a x + a y + b x + b y ≥ a x + 2abxy + b 2 y 2 2 2

m /+

( 2 ) ⇔ ( a 2 + b2 )( c 2 + d 2 ) ≥ ( ac + bd )

⇔ a 2c 2 + a 2 d 2 + b 2c 2 + b 2 d 2 ≥ a 2c 2 − 2abcd + b 2 d 2 2

Ví dụ 1.4

Suy ra đpcm.

⇔ ( ad − bc ) ≥ 0

(1)

a 2 b2 c2 + ≥ a+b+c Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng: b c a Giải 3 3 3 2 2 2 (1) ⇔ a c + b a + c b − a bc − b ac − c ab ≥ 0

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔ ac ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ab ( b 2 − 2bc + c 2 ) + bc ( c 2 − 2ca + a 2 ) ≥ 0 2

⇔ ac ( a − b ) + ab ( b − c ) + bc ( c − a ) ≥ 0 ⇒ đpcm. Ví dụ 1.5 Cho a, b, c > 0. CMR: a 2 ( b + c − a ) + b 2 ( a + c − b ) + c 2 ( b + a − c ) ≤ 3abc (1) Giải

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

G / s a, b ≥ c > 0

(1) ⇔ 3abc − a 2 ( b + c − a ) + b2 ( a + c − b ) + c 2 ( b + a − c ) ≥ 0 ⇔ a ( a 2 − ab − ac + bc ) + b ( b 2 − bc − ba + ac ) + c ( c 2 − ac − bc + ab ) ≥ 0 ⇔ a ( a − b )( a − c ) + b ( b − c )( b − a ) + c ( c − a )( c − b ) ≥ 0 ⇔ ( a − b ) ( a 2 − ac − b 2 + bc ) + c ( a − c )( b − c ) ≥ 0 2

⇔ ( a − b ) ( a + b − c ) + c ( a − c )( b − c ) ≥ 0 Suy ra ĐPCM.

b) a 2 + 4b 2 + 4c 2 ≥ 4ab − 4ac + 8bc

(1) (1)

Kè

Ví dụ 2.1 Chứng minh rằng: a) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ ab + ac + ad

Q uy

hơ

2) Phương pháp biến đổi đồng nhất Để chứng minh BĐT: A ≥ B. Ta biến đổi biểu thức A – B thành tổng các biểu thức có giá trị không âm.

Giải 2

ạy

a ) Ta có a + b + c + d − ab − ac − ad

m /+

 a2   a2   a2  a2 =  − ab + b 2  +  − ac + c 2  +  − ad + d 2  +  4   4   4  4 2

2 a  a  a  a =  − b +  − c +  − d  + ≥ 0 4 2  2  2 

b) Ta có : a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab + 4ac − 8bc

= ( a 2 − 4ab + 4b 2 ) + 4c 2 + ( 4ac − 8bc )

= ( a − 2b ) + 4c 2 + 4c ( a − 2b ) 2

= ( a − 2b + 2c ) ≥ 0 Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng: 3 a) 4 ( a3 + b3 ) ≥ ( a + b ) với a, b > 0

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b) 8 ( a3 + b3 + c 3 ) ≥ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) với a, b, c > 0 3

≥ a 3 + b3 + c3 + 24abc với a, b, c ≥ 0 Giải 3 2 a) Ta có : 4 ( a3 + b3 ) − ( a + b ) = ( a + b )  4 ( a 2 − ab + b 2 ) − ( a + b )   

(a + b + c)

= 3 ( a + b )( a − b ) ≥ 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3

b) Ta có :8 ( a 3 + b3 + c 3 ) − ( a + b ) − ( b + c ) − ( c + a )

3 3 3 =  4 ( a 3 + b3 ) − ( a + b )  +  4 ( a 3 + c 3 ) − ( c + a )  +  4 ( b3 + c 3 ) − ( b + c )        2

= 3 ( a + b )( a − b ) + 4 ( a + c )( a − c ) + 3 ( b + c )( b − c ) ≥ 0 3

c ) Ta có : ( a + b + c ) − a 3 − b3 − c 3 − 24abc 3

= ( a + b ) + 3 ( a + b ) c + 3 ( a + b ) c 2 + c 3 − a 3 − b3 − c 3 − 24abc = 3 ( a 2b + c 2b − 2abc ) + 3 ( a 2 c + b 2c − 2abc ) + 3 ( b 2a + c 2 a − 2abc ) 2

hơ

= 3b ( a − c ) + 3c ( a − b ) + 3a ( b − c ) ≥ 0

= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 + 3a 2c + 6abc + 3ac 2 + 3bc 2 − a 3 − b3 − 24abc

Q uy

Ví dụ 2.3

Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 b) + + ≥ a b c a+b+c

Kè

Giải

3 a b c + + ≥ b+c c+a a+b 2

1 1 4 a) + ≥ a b a+b

(b − c ) + bc

(a − c) + ac

≥0

m /+

( a − b) =

ạy

( a + b ) − 4ab = ( a − b ) ≥ 0 1 1 4 a ) Ta có : + − = a b a+b a+b a+b 1 1 1 a b  b c  a c  b)Ta có : ( a + b + c )  + +  − 9 =  + − 2  +  + − 2  +  + − 2  a b c b a  c b  c a 

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

c)Ta có :

3  a 1  b 1  c 1 a b c + + − = − + − + −  b+c c+a a+b 2 b+c 2 c+a 2 a+b 2

( a − b ) + ( a − c ) + (b − a ) + (b − c ) + ( c − a ) + ( c − b ) 2(b + c) 2(c + a ) 2(a + b)

1 1 1  1 1  1 1   1  1 − − − ( a − b )   + (b − c)   + (c − a )  2 b+c c+a 2 a+c a+b 2 a+b b+c

2 2 2  b − c) a − c) 1  (a − b) ( ( =  + + ≥0 2  ( a + c )( b + c ) ( a + c )( a + b ) ( a + b ) ( b + c ) 

hơ

3  a 1  b 1  c a b c  + + − = + + + + + 1 − 3 b+c c+a a+b 2 b+c 2 c+a 2 a+b 

Ta có :

Cách 2

Kè

Q uy

 1  ( a + b) + ( a + c) ( a + b) + (b + c ) ( a + c) + (b + c) =  + + − 6 2 b+c a+c a+b  1  a + b b + c  b+c a+c   a+c a+b  =  + − 2 +  + − 2 +  + − 2  ≥ 0 2  b + c a + b  a+c b+c  a+b a+c 

ạy

Ví dụ 2.4

a) Cho a, b ≥ 0. CMR: a + b ≥ 2 ab

b) Cho a, b, c ≥ 0. CMR: a + b + c ≥ 3 3 abc c ) Cho a ≥ b ≥ c và x ≤ y ≤ z.CMR ( a + b + c )( x + y + z ) ≥ 3( ax + by + cz )

m /+

(Bất đẳng thức Cô – si)

Giải

( a − b) ≥ 0 1 abc = ( a + b + c ) (  2

(Bất đẳng thức Trê bư sếp)

a) Ta có: a + b − 2 ab = b) a + b + c − 3 3

(Bất đẳng thức Cô – si)

a−3b

) ( +

c−3b

) ( +

2 a − 3 c ≥0 

)

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

( a + b + c )( x + y + z ) − 3( ax + by + cz ) = ( y − x )( a − b ) + ( z − x )( b − c ) + ( x − z )( c − a ) ≥ 0

Ví dụ 2.5 Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

bc ac ab + + ≥a+b+c a b c bc ac ab + ≥ 3( a 2 + b2 + c2 ) b) + a b c a)

Giải 2 2 2 bc ac ab 1 ( a − b) 1 ( a − c ) 1 (b − c ) + − (a + b + c) = c + b + a ≥0 a) + a b c 2 ab 2 ac 2 bc 2

hơ

2 2 2 1  c2 a2 b2 =  2 2 ( a 2 − b2 ) + 2 2 ( c2 − b2 ) + 2 2 ( a 2 − c2 )  ≥ 0 2 a b cb ac 

 bc ac ab  b)  + +  − 3( a 2 + b2 + c2 ) b c   a

m /+

ạy

Kè

Chứng minh rằng 1 1 2 nếu ab ≥ 0 a) + ≥ 2 2 1 + a 1 + b 1 + ab 1 1 2 b) + ≤ nếu a2 + b2 < 2 2 2 1 + a 1 + b 1 + ab 1 1 2 nếu -1 < a, b < 1 c) + ≥ 2 2 1 − a 1 − b 1 − ab 1 1 1 d) + ≥ nếu a, b > 0 2 2 (1 + a ) (1 + b ) 1 + ab

Q uy

Ví dụ 2.6

Giải 1 1 2 1   1 1   1 a) + − = − − +  2 2 2 2 1 + a 1 + b 1 + ab  1 + a 1 + ab   1 + b 1 + ab 

( a − b ) ( ab − 1) ≥ 0 (1 + a 2 )(1 + b2 ) ( ab + 1) 2

ab + 1 ≥ 0 ( a − b ) ( ab − 1) ≤ 0 a2 + b2 =1⇒  ⇒ b) ab ≤ 2 2 2 ab − 1 ≤ 0 (1 + a )(1 + b ) ( ab + 1)

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 2 1   1 1   1 + − − − = +  2 2 2 2 1 − a 1 − b 1 − ab  1 − a 1 − ab   1 − b 1 − ab 

(1 − a2

(1 − a b ) )(1 − b ) ( ab − 1)

(a − b)

2 2

≥0 2

ab ( a − b ) + ( ab − 1) 1 + − = ≥0 d) 2 2 2 2 (1 + a ) (1 + b ) 1 + ab (1 + a ) (1 + b ) (1 + ab ) ---------------------------------------------------------------------------------------------1

Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 26/11/2016 Ngày dạy: 3/12/2016

Buổi 10:

hơ

3) Phương pháp sử dung tính chất của bất đẳng thức Cơ sở của phương pháp này là các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức cơ bản như: a ) a ≥ b, b ≥ c ⇒ a ≥ c 1 1 b) a ≥ b và a.b > 0 ⇒ ≤ a b a ≥ b ≥ 0 c)  ⇒ ac ≥ bd 0 c ≥ d ≥  2

⇒a +b

(a ≥

(a + b) ≥ 2

2 2

)

1 8

1 2

ạy

≥0⇒a +b

m /+

(a − b)

1 8 Giải

Kè

Cho a + b > 1 . Chứng minh: a 4 + b 4 >

Q uy

Ví dụ 3.1

1 1 4 + ≥ a b a+b

e) a, b > 0 ⇒

d )( a − b) ≥ 0

Ví dụ 3.2 Với a, b, c > 0. CMR a 3 b3 c 3 a) + + ≥ ab + ac + bc b c a a 3 b3 c 3 b) 2 + 2 + 2 ≥ a + b + c b c a

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a) Ta có :

Giải

x ≥ x 2 + xy − y 2 y

( x, y > 0 )

a 3 b3 c 3 ⇒ + + ≥ ( a 2 + ab − b 2 ) + ( b 2 + bc − c 2 ) + ( c 2 + ac − a 2 ) = ab + ac + bc b c a x3 b) Ta có : 2 ≥ 3x − 3 y ( x, y > 0 ) y a 3 b3 c 3 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ ( 3a − 2b ) + ( 3b − 2c ) + ( 3c − 2a ) = a + b + c b c a

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 3.3 Cho a, b, c > 0. CMR: bc ac ab a) + + ≥a+b+c a b c a2 b2 c2 a+b+c b) + + ≥ b+c c+a a+b 2

Giải

hơ

bc ac + ≥ 2c ⇒ đpcm a b

Q uy

a2 b+c b) dễ dàng chứng minh + ≥ a ⇒ đpcm b+c 4

a) dễ dàng chứng minh

Ví dụ 3.4

Kè

1 1 1 1 1 1 + + = 4.CMR : + + ≤1 x y z 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a +b−c a +c−b b+c−a a b c c) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: abc = ab + bc + ca. Chứng minh: 1 1 1 3 + + ≤ a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 16

m /+

ạy

a) cho x, y, z >0. t/m:

Giải 1 1 4 a) Ta có : a, b > 0 ⇒ + ≥ a b a+b 1 1 1 1 1  1 2 1 1 ⇒ = ≤  + ≤  + +  2 x + y + z ( x + y ) + ( x + zx ) 4  x + y x + z  16  x y z 

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ≤  + + ; ≤  + +  x + 2 y + z 16  x y z  x + y + 2 z 16  x y z  1 1 1 4 1 1 1 + + ≤  + +  =1 2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2 z 16  x y z 

Tương tự:

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 4 2 + ≥ = a + b − c a − b + c 2a a 1 1 2 + ≥ ; a+b−c b+c−a b 1 1 2 + ≥ a −b+c b+c−a c 1 1 1 1 1 1 ⇒ + + ≥ + + a +b−c a −b+c b+c−a a b c 1 1 1 1 1  1 1 3 c) = ≤  + + + ≤ a + 2b + 3c ( a + c ) + 2 ( b + c ) 4  a + c 2 ( b + c )  16a 32b 32c

hơ

1 3 1 1 1 1 3 1 ≤ + + ; ≤ + + 3a + b + 2c 32a 16b 32c 2a + 3b + c 32a 32b 16c 1 1 1 6  1 1 1 3 ⇒ + + ≤  + + = a + 2b + 3c 3a + b + 2c 2a + 3b + c 32  a b c  16 Ví dụ 3.5 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a b c a) + + <2 a+b b+c c+a a b c a b c + + ≥ + + b) 2 2 b + c c + a a + b 1 + a 1 + b 1 + c2

ạy

Kè

Q uy

tt:

m /+

Giải y y+t a) áp dụng BĐT: x > y > 0, t > 0. ta có: < x x+t a a+c b b+a c c+b Ta có : < ; < ; < a+b a+b+c b+c b+c+a c+a a+b+c a b c ⇒ + + <2 a+b b+c c+a 1 a ≤ Ta có : a 2 + 1 ≥ 2a ⇒ 2 a +1 2 3 a b c b) ⇒ 2 + 2 + 2 ≤ a +1 b +1 c +1 2 a b c 3 + + ≥ mà b+c c+a a+b 2 suy ra điều phải chứng minh.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 3/12/2016 Ngày dạy: 10/12/2016

Buổi 11: 4)Phương pháp sử dung bất đẳng thức kinh điển

hơ

4.1)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Co-si *) Cho a1 , a2 ,..., an ≥ 0, ta có : a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1.a2 ...an Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = ... = an ≥ 0

Giải

Áp dụng BĐT Cosi ta có a 2 + b 2 ≥ 2ab = 2

Kè

a + b ≥ 2 ab = 2

ạy

4 =4 a+b 4 4 ⇒ ( a + b + 1) ( a 2 + b 2 ) + ≥ 2 ( a + b + 1) + a+b a+b 4   = a + b +  + (a + b) + 2 ≥ 4 + 2 + 2 = 8 a+b  Ví dụ 4.2 Chứng minh rằng: 2 a + b) ( a+b a) + ≥ a b + b a với a, b ≥ 0 2 4

(a + b)

m /+

a+b+

4 ≥2 a+b

4 ≥8 a+b

Q uy

Cho a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. CMR: ( a + b + 1) ( a 2 + b 2 ) +

Ví dụ 4.1

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a b c + + > 2 với a,b,c > 0 b+c c+a a+b Giải

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(a + b) a) Ta có :

1 1 a+b a+b  =  a + b +  ≥ ab  a + b +  2 4 2  2 2  1 1 1  mà a + ≥ a , b + ≥ b ⇒  a + b +  ≥ a + b 4 4 2 

(a + b) ⇒

a+b ≥a b +b a 2 4 b+c 1b+c  a +b+c b) ⋅1 ≤  + 1 = a 2 a a 

a a ≥ b+c a+b+c

hơ

⇒

b b c c ≥ ; ≥ a+c a+b+c a+b a+b+c a b c Cộng vế với vế ta được: + + ≥2 b+c c+a a+b a = b + c  Dấu “=” xảy ra khi b = a + c ⇒ a + b + c = 0 vô lí. c = a + b  Vậy dấu “=” không xảy ra. Ví dụ 4.3 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 a) 2 + + ≤ 2abc b + c2 c2 + a 2 a 2 + b2 3 1 1 1 a + b3 + c 3 b) 2 + + ≤ + 3; (a 2 + b 2 + c 2 = 1) 2 2 2 2 2 a +b b +c c +a 2abc Giải 2 2 2 2 a a b b c2 c2 a) Ta có : 2 ≤ ; ≤ ; ≤ b + c 2 2bc a 2 + c 2 2ac a 2 + b 2 2ab a2 b2 c2 a2 b2 c2 a 3 + b3 + c 3 ⇒ 2 + + ≤ + + = b + c 2 a 2 + c 2 a 2 + b 2 2bc 2ac 2ab 2abc 1 1 1 1 1   1 b) Ta có : 2 + 2 + 2 = ( a2 + b2 + c2 )  2 + 2 + 2  2 2 2 2 2 a +b b +c c +a c + a2  a +b b +c

m /+

ạy

Kè

Q uy

tt:

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

c2 a2 b2 a3 + b3 + c3 = 2 + + +3≤ +3 a + b2 b2 + c2 c2 + a 2 2abc Ví dụ 4.4 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 3 3 + 3 ≤ 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải Ta có : a + b ≥ 2ab ⇒ a + b ≥ ab ( a + b ) > 0 2

abc abc c ≤ = 3 a + b + abc ab ( a + b ) + abc a + b + c abc a abc b ≤ ≤ tt: 3 3 ; 3 3 b + c + abc a + b + c c + a + abc a + b + c Cộng vế với vế suy ra điều phải chứng minh Ví dụ 4.5 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 +b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng ab bc ca + + ≥ 3 (1) c a b Gải 2 2 2 2 2 2 ab bc ca (1) ⇔ 2 + 2 + 2 + 2 ( a 2 + b2 + c 2 ) ≥ 3( a 2 + b 2 + c 2 ) c a b a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 ab bc ab ac bc ca ⋅ + ⋅ + ⋅ = a 2 + b2 + c2 mà : 2 + 2 + 2 ≥ c a b c a c b a b Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 4.6 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh 3 x3 y3 z3 + + ≥ a) (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) 4

ạy

Kè

Q uy

hơ

⇒

m /+

xy yz zx + 5 + 5 ≤1 5 5 x + xy + y y + yz + z z + zx + x 5 Giải a) Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: x3 1 + y 1 + z 3x + + ≥ 8 4 (1 + y )(1 + z ) 8 5

x + y + z 3 3 3 xyz 3 3 − ≥ − = 2 4 2 4 4 2 2 5 5 2 2 b) Ta có : x + y ≥ 2 xy ⇒ x + y ≥ x y ( x + y ) > 0

Tương tự suy ra VT ≥

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

xy xy z 1 ≤ = = x 5 + xy + y 5 xy + x 2 y 2 ( x + y ) 1 + xy ( x + y ) x + y + z yz x zx y ; ≤ ≤ y 5 + yz + z 5 x + y + z z 5 + xz + x 5 x + y + z xy yz zx ⇒ 5 + 5 + 5 ≤1 5 5 x + xy + y y + yz + z z + xz + x 5 tt:

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 4.7 Cho x, y, z > 0. Chứng minh x3 y 3 z 3 + + ≥x+ y+z yz zx xy Giải Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x3 y3 z3 + z + y ≥ 3x; + z + x ≥ 3 y; + x + y ≥ 3z yz zx xy x3 y 3 z 3 + + ≥x+ y+z yz zx xy 4.2)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Bunhiacopski a = kx 2 *) ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ≥ ( xa + by ) dấu “=” xảy ra khi  b = ky

a = kx  dấu “=” xảy ra khi b = ky c = kz 

*) ( a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( xa + by + cz )

Q uy

hơ

⇒

ạy

Kè

Tổng quát: ( a12 + a22 + ... + an2 )( x12 + x22 + ... + xn2 ) ≥ ( a1x1 + a2 x2 + ... + an xx )2 dấu “=” xảy ra khi ai =

m /+

kxi Ví dụ 5.1 Cho a, b > 0. Chứng minh

n2 m2 ( m + n ) b) + ≥ a b a+b Giải a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

1 1 4 a) + ≥ a b a+b

1  1  1 1 . a+ . b =4  + (a + b) ≥  b a b  a  1 1 4 ⇒ + ≥ a b a+b 2 2  n2 m2  m n2 m2 ( n + m ) 2  n  b)  + . a+ . b  = ( n + m) ⇒ + ≥ (a + b) ≥  b  a b a+b b  a   a

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Tổng quát: 2 2 2 a + a + ... + an ) • Cho bi > 0, i = 1.n thì a1 + a2 + ... + an ≥ ( 1 2

b1 + b2 + ... + bn

(1) 2

( a1 + a2 + ... + an ) (2) a a a • Với ai ci > 0 với i = 1.n thì 1 + 2 + ... + n ≥ c1 c2 cn a1c1 + a2c2 + ... + ancn Thật vậy: ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

 a1   a12 a22 an2  a a 2 + + ... + . b1 + 2 . b2 + ... + n . bn  = ( a1 + a2 + ... + an )   ( b1 + b2 + ... + bn ) ≥   bn  b2 bn  b1 b2  b1  2

hơ

đặt aici = bi > 0 thay vào (1) được (2) Ví dụ 5.2 Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh a 2 b2 c2 a2 b2 c2 a+b+c a ) + + ≥ a + b + c. b) + + ≥ b c a b+c c+a a+b 2 3 3 3 3 3 3 2 a b c a b c a + b2 + c2 c) + + ≥ a 2 + b 2 + c 2 d ) + + ≥ b c a b+c c+a a+b 2 Giải

a2 a2 a 2 ( a + a + ... + an ) ⇒ 1 + 2 + ... + n ≥ 1 2 b1 b2 bn b1 + b2 + ... + bn

Q uy

a2 b2 c2 ( a + b + c ) a ) Ta có : + + ≥ =a+b+c b c a a+b+c 2

(a + b + c) = a + b + c a2 b2 c2 b) + + ≥ 2 b + c c + a a + b 2(a + b + c) 2

ạy

Kè

2 2 2 a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 ( a + b + c ) c) + + = + + ≥ ≥ a2 + b2 + c2 b c a ab bc ca ab + bc + ca 3 3 3 4 a b c a b4 c4 a 2 + b2 + c2 d) + + = + + ≥ b + c a + c a + b ab + ac ab + bc ac + bc 2

m /+

Ví dụ 5.3

25a 16b c + + >8 b+c c+a a+b Giải

Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

c  a   b  + 1 + 16  + 1 + + 1 − 42 = Ta có : VT = 25  b+c  c+a  a+b 2

25 16 1  ( 5 + 4 + 1) − 42 = 8 + + ( a + b + c )   ≥ (a + b + c) 2( a + b + c) b+c c+a a+b

Dấu “=” xảy ra khi

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b+c a+c a+b = + ⇒ a = 0 vô lí suy ra điều phải chứng minh. 5 4 1

2 2 2 Ví dụ 5.4 Cho x, y, z > 0. Chứng minh: x 2 + y2 + z 2 ≥ x + y + z

Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki ta có 2

x 2 y 2 z 2 1  x y z  1  x y z  x y z  x y z + + ≥ + + ≥ + +  + +  ≥ + + y 2 z 2 x 2 3  y z x  3  y z x  y z x y z x

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 10/12/2016 Ngày dạy: 17/12/2016

Buổi 12: Chuyªn ®Ò 5: CỰC TRỊ

Cho biểu thức f(x,y…) • Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y…) kí hiệu maxf(x,y…) = M, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: - Với mọi x,y… để f(x,y…) xá định thì f(x,y…) ≤ M - Tồn tại x0, y0… sao cho f(x0,y0…) = M

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

• Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y…) kí hiệu minf(x,y…) = m, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: - Với mọi x,y… để f(x,y…) xá định thì f(x,y…) ≥ m - Tồn tại x0, y0… sao cho f(x0,y0…) = m I) TÌM GTLN, GTNN CỦA ĐA THỨC BẬC HAI 1) Đa thức bậc hai một biến Ví dụ 1.1 a) Tìm GTNN của A = 3x2 – 4x + 1 b) Tìm GTLN của B = - 5x2 + 6x – 2 c) Tìm GTNN của C = (x – 2)2 + (x – 3)2 d) Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN của P nếu a > 0 Tìm GTNN của P nếu a > 0 Giải 2 4 1 2 1 1 1 2  2 4  a) A = 3 x − x +  − = 3 x −  − ≥ − . Vậy minA= − khi x = 3 9 3 3 3 3 3 3   2

6 9  1 3 1 1 1 3   b) B = −5  x 2 − x +  − = −5  x −  − ≤ − . Vậy maxB = − khi x = 5 25  5 5 5 5 5 5   2 25  1 5 1 1   c) C = x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 6 x + 9 = 2  x 2 − 5 x +  + = 2  x −  + ≥ . 4  2 2 2 2   1 5 Vậy maxC = khi x = 2 2 2  2 b b2  b2 b  b2  d) Ta có: P = a  x + x + = a a + +c−  +c− a 4a  4a 2a  4a  

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b2 b2 b Nếu a > 0 thì P ≥ c − . Vậy minP = c − khi x = − 4a 4a 2a 2 2 b b b Nếu a < 0 thì P ≤ c − . Vậy maxP = c − khi x = − 4a 4a 2a Ví dụ 1.2

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Q uy

hơ

a) Tìm GTNN của M = x2 – 3x + 1 với x ≥ 2 b) Tìm GTLN của N = x2 – 5x + 1 với −3 ≤ x ≤ 8 Giải a) M = ( x − 1)( x − 2 ) − 1 ≥ −1 . Vậy minM = -1 khi x = 2 b) N = ( x + 3)( x − 8 ) + 25 ≤ 25 . Vậy maxN = 25 khi x = -3, x = 8 2. Đa thức bậc hai hai biến a) Đa thức bậc hai hai biến có điều kiện Ví dụ 2a.1 a) Cho x + y = 1. Tìm GTLN của P = 3xy – 4 b) Cho x – 2y = 2. Tìm GTNN của Q = x2 + 2y2 – x + 3y Giải 2 1  13 −13  a) x + y = 1 ⇒ x = 1 − y ⇒ P = 3 (1 − y ) y − 4 = −3  y −  − ≤ 2 4 4  −13 1 khi x = Vậy maxP = 4 2 b) x − 2 y = 2 ⇒ x = 2 y + 2 ⇒ Q = 4 y 2 + 8 y + 4 + 2 y 2 − 2 y − 2 + 3 y

m /+

ạy

Kè

3 9  11 11  = 6 y2 + 9 y + 2 = 6 y2 + y +  − ≥ − 2 16  8 8  11 3 Vậy minQ = − khi x = − 8 4 Ví dụ 2a.2 Tìm GTLN của của P = xy vói x, y thỏa mãn a) x + y = 6, y ≥ 4 S b) x + y = S , y ≥ a > 2 a) P = ( 6 − y ) y = 8 − ( y − 2 )( y − 4 ) ≤ 8 . Vậy maxP = 8 khi x = 2, y = 4

b) Q = ( S − y ) y = ( S − a ) a − ( y − a )( y + a − S ) ≤ ( S − a ) a . Vậy maxQ = (S – a)a khi x = S – a, y = a b) Đa thức bậc hai hai biến Cho đa thức: P(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + h (1), với a,b,c ≠ 0 Ta thường đưa P(x, y) về dạng P(x, y) = mF2(x, y) + nG2(y) + k (2) P(x, y) = mH2(x, y) + nG2(x) + k (3) Trong đó G(y), H(x) là hai biểu thức bậc nhất một ẩn, H(x, y) là biểu thức bậc nhất hai ẩn. Chẳng hạn nếu ta biến đổi (1) về (2) với a, (4ac – b2) ≠ 0

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4aP( x, y ) = 4a 2 x 2 + 4abxy + 4acy 2 + 4adx + 4aey + 4ah

= 4a 2 x 2 + b 2 y 2 + d 2 + 4abxy + 4adx + 2bdy + ( 4ac − b 2 ) + 2 ( 2ae − bd ) y + 4ah − d 2 2

2ae − bd  ( 2ae − bd )  = ( 2ax + by + d ) + ( 4ac − b )  y + + 4ahd 2 − 2  4ac − b  4ac − b 2  (Tương tự nhân hai vế của (1) với 4c để chuyển về (3)) Ví dụ 3.1 a) Tìm GTNN của P = x2 + y2 + xy + x + y b) Tìm GTLN của Q = -5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – 1 Giải 2 2 2 a) 4 P = 4 x + 4 y + 4 xy + 4 x + 4 y = 4 x + y 2 + 1 + 4 xy + 4 x + 2 y + 3 y 2 + 2 y − 1 2

hơ

1 4 4  = ( 2 x + y + 1) + 3  y +  − ≥ − 3 3 3  4 1 Vậy minP = − khi x = y = − 3 3 2 2 2 2 b) − 5Q = 25 x + 10 xy + 10 y − 70 x − 50 y + 5 = ( 5 x − y − 7 ) + ( 3 y − 6 ) − 80

Q uy

1 9 2 2 ( 5 x − y − 7 ) − ( y − 2 ) + 16 ≤ 16 5 5 Vậy maxQ = 16 khi x = 1, y = 2 Ví dụ 3.2 Tìm cặp số (x, y) với y nhỏ nhất thỏa mãn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0 (*) Giải 2 2 2 (*) ⇔ ( x − 2 y ) + ( y + 1) = 4 ⇒ ( y + 1) ≤ 4 ⇒ ( y + 3)( y − 1) ≤ 0

m /+

ạy

Kè

⇒Q=−

⇒ −3 ≤ y ≤ 1 Vậy miny = -3 khi x = -6. Vậy ccawpj số (x, y) = (-6; -3) Ví dụ 3.3 Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức x2 + 2xy + 7(x + y) + 7y2 + 10 = 0 (**). Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x + y + 1. Giải 2 2 (**) ⇔ 4 x + 8 xy + 28 x + 28 y + 4 y + 40 = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔ ( 2x + 2 y + 7) + 4 y2 = 9 ⇒ ( 2x + 2 y + 7) ≤ 9

x + y + 5 ≥ 0 ⇔ ( x + y + 5 )( x + y + 2 ) ≤ 0 ⇔  ( vì x + y + 2 ≤ x + y + 5) x y + + 2 ≤ 0  ⇔ −4 ≤ S ≤ −1 Vậy minS = -4 khi x = -5, y = 0. maxS = -1 khi x = -2, y = 0.

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 17/12/2016 Ngày dạy: 24/12/2016

hơ

II. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ Ví dụ 1 x2 + 4 2 x + 3 Tìm GTLN, GTNN của A = x2 + 1 Giải Biểu thức A nhận giá trị a khi phương trình sau đây cóa nghiệm x2 + 4 2 x + 3 a= x2 + 1 ⇔ ( a − 1) x 2 − 4 2 x + a − 3 = 0 (1)

Buổi 13:

m /+

ạy

Kè

Q uy

2 4 2 Nếu a ≠ 1 thì phương trình (1) có nghiệm khi –a + 4a +5 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ a ≤ 5. Vậy minA = -1 khi x = − 2 2 maxA = 5 khi x = 2 Ví dụ 2 x + 2y +1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B = 2 x + y2 + 7 Giải Biểu thức B nhận giá trị b khi phương trình sau có nghiệm x + 2y +1 b= 2 x + y2 + 7 ⇔ bx 2 − x + by 2 − 2 y + 7b − 1 = 0 ( 2 ) Trong đó x là ẩn, y là tham số và b là tham số có điều kiện Nếu b = 0 ⇒ x + 2 y + 1 = 0 Nếu b ≠ để (2) có nghiệm x khi 1 – 4b(by2 – 2y + 7b -1) ≥ 0 (3) Coi (3) là bất phương trình ẩn y. BPT này xảy ra với mọi giá trị của y khi 16b2 + 4b2(-28b2 + 4b + 1) ≥ 0 5 1 ⇔ −28b 2 + 4b + 5 ≥ 0 ⇔ − ≤ b ≤ 14 2 5 7 14 Vậy minB = − khi x = - , y = − 14 5 5 1 maxB = khi x = 1, y = 2 2

Nếu a = 1 thì phương trình (1) có nghiệm x = −

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 23/12/2016 Ngày dạy: 30/12/2016

hơ

III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 1) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si Ví dụ 1.1 5 7 Tìm GTLN, GTNN của A = 3x − 5 + 7 − 3x với ≤ x ≤ 3 3 Giải 2 A = 3 x − 5 + 7 − 3 x + 2 ( 3 x − 5 )( 7 − 3 x ) = 2 + 2 ( 3x − 5 )( 7 − 3 x )

Buổi 14:

5 7 2 khi x = , y = 3 3 2 A ≤ 4 ⇒ A ≤ 2 ⇒ max A = 2 khi x = 2 (Biểu thức được cho dưới dạng tổng hai căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng là hằng số) Ví dụ 1.2 6 8 Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6 . Hãy tìm GTNN của P = 3x + 2 y + + x y Giải 3 3x 6 y 8 3 3x 6 y 8 + + + ≥ .6 + 2 . + 2 . = 9 + 6 + 4 = 19 Ta có: P = ( x + y ) + 2 2 x 2 y 2 2 x 2 y Vậy minP = 19 khi x = 2, y = 4.

m /+

ạy

Kè

Q uy

Vậy A2 ≥ 2 ⇒ A ≥ 2. Vậy minA =

Ví dụ 1.3

Tìm GTLN của biểu thức M =

x y −2 + y x−3 với x ≥ 3; y ≥ 2 xy Giải

y−2 x−3 + x y Theo bất đẳng thức Cô – si ta có: 3 x x−3 y 3 ( x − 3) ≤ ⇒ ≤ ; 2( y − 2) ≤ ⇒ x 2 6 2

To có: M =

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

y−2 2 ≤ y 4

3 2 3 2 + ⇒ max M = + khi x = 6; y = 4 6 4 6 4 Ví dụ 1.4 1 1 1 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: + + ≥ 2 (1) . Tìm TGLN của P = xyz 1+ x 1+ y 1+ z Giải

⇒M ≤

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(1) ⇒

 1 1   1  y z ≥ 1 − + ≥2 =  + 1 + 1+ x  1+ y   1+ z  1+ y 1+ z

Tương tự:

1 ≥2 1+ y

xz 1 ; ≥2 (1 + x )(1 + z ) 1 + z

(1 + y )(1 + z )

xy (1 + x )(1 + y )

hơ

1 1 1 Nhân vế với vế của ba BĐT trên ⇒ P = xyz ≤ ⇒ max P = khi x = y = z = 8 8 2 Ví dụ 1.5 3 4 Cho 0 < x < 1, Tìm GTNN của Q = + 1− x x Giải 2 4 (1 − x ) 3x 3 x 4 (1 − x ) Ta có : P = . + +7≥2 +7= 2+ 3 1− x x 1− x x 2 2 4 (1 − x ) 3x ⇒ minP = 2 + 3 khi = ⇒ x = 3 −1 1− x x 3ax 4b (1- x ) + + c đồng nhất hệ số suy ra a = b = 1; c = 7) (Đặt P = 1- x x Ví dụ 1.6 Cho x, y, z, t > 0. Tìm GTNN của biểu thức. x−t t − y y − z z − x M= + + + t + y y+ z z+ x x+t Giải 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: + ≥ với a, b > 0. a b a+b

Q uy

)

(

)

m /+

ạy

Kè

(

)

(

 x−t  t−y   y−z  z−x  Ta có : M = M + 4 − 4 =  + 1 +  + 1 +  + 1 +  + 1 − 4  t + y   y + z   z+ x   x+t  1  1 1  1  x+ y t + z y+ x z+t = + + + − 4 = ( x + y ) + + ( z + t ) +   t + y y+ z z + x x+t t+ y z+ x  y+ z x+t 

4( x + y ) 4( z + t ) + −4=0 x+ y+ z +t x+ y+ z +t ⇒ minM = 0 khi x = y và z = t ≥

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2. Sử dụng BĐT Bunhiacopski (BCS) Ví dụ 2.1 Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1. Tìm GTNN của biểu thức A = x4 + y4 + z4 Giải Áp dụng BĐT BCS ta có

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

1 = ( xy + yz + zx ) ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = ( x 2 + y 2 + z 2 )

⇒ 1 ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≤ (1 + 1 + 1) ( x 4 + y 4 + z 4 )

Q uy

hơ

Giải 1  1 1  29 a b c   P = 4 +  + 9 +  + 16  + − b+c−a 2 c+a −b 2 a+b−c 2 2 a+b+c 4 9 16  29 = + +  − 2 b+c−a c+a −b a +b−c 2

1 1 3 ⇒ P ≥ ⇒ minP = khi x = y = z = 3 3 3 Ví dụ 2.2 4a 9b 16c Tìm GTNN của P = trong đó a, b, c là độ dài ba + + b+c−a c+a −b a +b−c cạnh của một tam giác.

Kè

( 2 + 3 + 4) a+b+c 29 ≥ . − 2 (b + c − a ) + (c + a − b ) + ( a + b − c ) 2

a+b+c 81 29 81 29 . − = − = 26 2 a+b+c 2 2 2 a b c ⇒ minP = 26 khi = = 7 6 5 Ví dụ 2.3 a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = + + 1+b-a 1+c-b 1+a-c trong đó a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1

m /+

ạy

Giải 2

a b c ( a + b + c) ( a + b + c ) ≥ 1 b2 − 4ac Ta có : Q = + + ≥ = 2b + c 2c + a 2a + b a ( 2b + c ) + b ( 2c + a ) + c ( 2a + b ) 3 ( ab + bc + ca ) ⇒ minQ = 1 khi a = b = c =

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 3

Ví dụ 2.4 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của 1 1 1 1 + + + P= 2 2 2 a +b +c ab bc ca Giải

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1 1 1 9 + + ≥ ab bc ca ab + bc + ca 1 9 ⇒P≥ 2 + 2 2 a +b +c ab + bc + ca   1 4 7 = 2 + + 2 2 2 ( ab + bc + ca )  ab + bc + ca a +b +c

(a + b + c)

9 21 ≥9+ = 30 2 ab + bc + ca (a + b + c) 1 3

m /+

ạy

Kè

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Q uy

⇒ minP = 30 khi a = b = c =

hơ

≥

(1 + 2 )

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 30/12/2016 Ngày dạy: 7/1/2017

Buổi 15: Chuyªn ®Ò 5: Tø gi¸c néi tiÕp I -c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp

Q uy

hơ

1- Tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 2- Hai gãc liªn tiÕp cïng nh×n mét c¹nh d−íi hai gãc b»ng nhau. 3- NÕu hai c¹nh ®èi diÖn cu¶ gi¸c ABCD c¾t nhau t¹i M tháa mZn: MA.MB =MC.MD ; hoÆc hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i O tháa mZn OA.OC = OB.OD th× ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp 4- Sö dông ®Þnh lý Pt«lªmª II- C¸c vÝ dô

m /+

ạy

Kè

VÝ dô1: Cho ®−êng trßn t©m O vµ mét ®iÓm C ë ngoµi ®−êng trßn ®ã. Tõ C kÎ hai tiÕp tuyÕn CE ; CF ( E vµ F lµ c¸c tiÕp ®iÓm) vµ c¸t tuyÕn CMN ( N n»m gi÷a C vµ M ) tíi ®−êng trßn.§−êng th¼ng CO c¾t ®−êng trßn t¹i hai ®iÓm A vµ B. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AB víi EF. Chøng minh r»ng: a, Bèn ®iÓm O, I, M, N cïng thuéc mét ®−êng trßn b, AIM = BIN Gi¶i

a, Do CE lµ tiÕp tuyÕn cña (O) nªn: = CNE (Cïng ch¾n ME ) CEM ∆CEM ~ ∆CNE . CE CN = CM CE CM.CN =CE2

M B C

MÆt Kh¸c , do CE; CF lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña (O) nªn AB⊥ EF t¹i I v× vËy trong tam gi¸c vu«ng CEO ®−êng cao EI ta cã: CE2 = CI.CO CM CO Tõ (1) vµ (2) suy ra CM.CN = CI.CO => = CI CN

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

∆CMI ~ ∆CON = CNO CIM Tø gi¸c OIMN néi tiÕp

b KÐo dµi NI c¾t ®−êng trßn t¹i M’. ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Do tø gi¸c IONM néi tiÕp nªn : = I NM = 1 s® NM IOM 2 => AM = AM ' . Do ®ã: AIM = AIM ' = BIN VÝ Dô 2 Cho tam gi¸c ABC cã Â = 450 ; BC =a néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O; c¸c ®−êng cao BB’ vµ CC’. Gäi O’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña O qua ®−êng th¼ng B’C’. a. Chøng minh r»ng A; B’; C’; O’ cïng thuéc mét ®−êng trßn b. TÝnh B’C’ theo a.

hơ

Lêi gi¶i

a. Do O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC nªn = 2 BAC =900 BOC

gi¸c

m /+

ạy

Kè

Q uy

Tõ ®ã suy ra c¸c ®iÓm O; B’; C’ Cïng thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC.XÐt tø néi tiÕp CC’OB’ cã : O C ' OB ' = 1800 - C ' CB ' B' 0 0 0 = 180 - ( 90 - Â ) =135 . Mµ O’ ®èi xøng víi O qua B’C’ nªn: O' 0 0 C ' O ' B ' = C ' OB ' = 135 =180 - Â B Hay tø gi¸c AC’O’B’ néi tiÕp. b. Do Â = 450 nªn ∆BB’A vu«ng c©n t¹i B’ V× vËy B’ n»m trªn ®−êng trung trùc cña ®o¹n AB hay B’O ⊥ AB C’OB’C lµ h×nh thang c©n nªn B’C’ =OC

BC 2 a 2 = 2 2

MÆt kh¸c ∆BOC vu«ng c©n nªn: B’C’ =OC =

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 7/1/2017 Ngày dạy: 14/1/2017

Buổi 16: Tø gi¸c néi tiÕp (tiếp) III bµi tËp ¸p dông

m /+

ạy

Kè

Q uy

hơ

Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiế đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh: a/ Tứ giác EBEF, tứ giác DCEF nội tiếp. b/ CA là phân giác của BCF c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp. Bài tập 2: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh: a/ CEFD là tứ giác nội tiếp b/ Tia FA là phân giác của góc BFM c/ BE.DN = EN.BD. Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh: a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b/ Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được một đường tròn c/ AC song song với FG d/ Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy. Bài tập 4: Cho tam giác ABC có Aˆ = 900 ; AB > AC, và một điểm M nằm trên đoạn AC ( M không trùng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đường tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a/ Bốn điểm A, M, N, B cùng thuộc một đường tròn b/ CM là phân giác của góc BCS.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TA TC = TD TB

Bài tập 5: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( M, N là các tiếp điểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ. a/ Chứng minh 5 điểm: O, L, M, A, N cùng thuộc một đường tròn b/ Chứng minh LA là phân giác của góc MLN c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh: MA 2 = AI. AL

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng: KN // AQ e/ Chứng minh tam giác KLN cân.

ạy

Kè

Q uy

hơ

Bài tập 6: Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H ) a/ Chứng minh: góc ABE bằng góc EAH và tam giác AHB đồng dạng với tam giác EAH. b/ Lấy điểm C trên d sao cho H lá trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh: AHEK là tứ giác nội tiếp c/ Xác định vị trí của điểm H để AB = R 3 Bài tập 7: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O) ( M, N là tiếp điểm ). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh: a/ Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn b/ Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn c/ Tam giác PQO cân d/ MP 2 = PE. PF ∃ ∃ e/ PHM = PHN

m /+

Bài tập 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng: a/ Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp. b/ Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. c/ AE. AC = AH. AD và AD. BC = BE. AC d/ H và M đối xứng nhau qua BC e/ Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài tập 9: Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: a/ Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn tâm N và HE // CD. b/ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF. Bài tập 10: Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của DE. a/ CMR: A, B,H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này. ∃ b/ Chứng minh: HA là tia phân giác . DHC

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

c/ Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB 2 = AI.AH d/ BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Q uy

hơ

Bài tập 11: Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó. a/ Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn. b/ Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? Tại sao?. AB.CD c/ CMR: AC.BD = BC.DA = 2 Bài tập 12: Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. a/ Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn b/ Chứng minh: AI. BK = AC. CB c/ Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất.

m /+

ạy

Kè

Bài tập 13: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC. a/ Chứng minh: △ DMC đều b/ Chứng minh: MB + MC = MA c/ Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp được. d/ Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào?. Bài tập 14: Cho đường tròn (O;R), từ một điểm A trên O kẻ tiếp tuyến d với O. Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kỳ ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp điểm ). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. a/ Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp b/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. c/ Chứng minh OI. OM = R 2 ; OI. IM = IA 2 d/ Chứng minh OAHB là hình thoi e/ chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng f/ Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d. Bài tập 15: Cho hình thang cân ABCD ( AB > CD; AB // CD ) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. a/ Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp. b/ Chứng minh AB // EI c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh: * I là trung điểm của RS

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 2 = = AB CD RS

Bài tập 16:

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PQ với đường tròn (O). a/ Chứng minh: PT 2 = PM. PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, Q thuộc một đường tròn cố định. b/ Gọi giao điểm của TQ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN. Chứng minh các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp. c/ CMR: Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TQ luôn đi qua điểm cố định. ∃ d/ Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để TPQ =600

Q uy

hơ

Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M ≠ A và C). Vẽ đường tròn đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối BM kéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh: a/ Tứ giác ABTM nội tiếp. ∃ b/ Khi M chuyển động trên AC thì ADM có số đo không đổi

m /+

ạy

Kè

c/ AB // ST. Bài tập 18: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp. b/ Chứng minh: ∆AME ~ ∆ACM c/ Chứng minh AM 2 = AE. AC d/ chứng minh AE. AC – AI. IB = AI 2 e/ Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Bài tập 19:Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE. a/ Chứng minh năm điểm: A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn. ∃ b/ Chứng minh AH là tia phân giác của DHC

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

c/ DE cắt BC tại I. Chứng minh: AB 2 = AI. AH d/ Cho AB = R 3 và OH =

R . Tính HI theo R. 2

Bài tập 20: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M ≠ A, M ≠ Q, Q ≠ A. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh: a/ Tích BN. BM không đổi b/ Tứ giác MNPQ nội tiếp c/ Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R.

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 14/1/2017 Ngày dạy: 21/1/2017

Buổi 17: Chuyªn ®Ò 6: ®−êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh Trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái, thi vµo tr−êng chuyªn, líp chän th−êng cã nh÷ng bµi

to¸n liªn quan ®Õn t×m ®iÓm cè ®Þnh, chøng minh ®−êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh. Thùc tÕ

hơ

cho thÊy ®©y lµ bµi to¸n khã, häc sinh th−êng khã kh¨n khi gÆp ph¶i bµi to¸n d¹ng nµy.

Q uy

Bµi to¸n “§−êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh” ®ßi hái HS ph¶i cã kÜ n¨ng nhÊt ®Þnh céng víi sù ®Çu t− suy nghÜ, t×m tßi nh−ng ®Æc biÖt ph¶i cã ph−¬ng ph¸p lµm bµi.

T×m hiÓu néi dung bµi to¸n

Kè

Dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh Tr×nh bµy lêi gi¶i

T×m hiÓu bµi to¸n:

ạy

T×m tßi h−íng gi¶i

m /+

YÕu tè cè ®Þnh.( ®iÓm, ®−êng …)

YÕu tè chuyÓn ®éng.( ®iÓm, ®−êng …)

YÕu tè kh«ng ®æi.( ®é dµi ®o¹n, ®é lín gãc … )

Quan hÖ kh«ng ®æi ( Song song, vu«ng gãc, th¼ng hµng … )

Kh©u t×m hiÓu néi dung bµi to¸n lµ rÊt quan träng. Nã ®Þnh h−íng cho c¸c thao t¸c tiÕp theo. Trong kh©u nµy ®ßi hái häc sinh ph¶i cã tr×nh ®é ph©n tÝch bµi to¸n, kh¶ n¨ng

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ph¸n ®o¸n tèt. Tuú thuéc vµo kh¶ n¨ng cña tõng ®èi t−îng häc sinh mµ gi¸o viªn cã thÓ ®−a ra hÖ thèng c©u hái dÉn d¾t thÝch hîp nh»m gióp häc sinh t×m hiÓu tèt néi dung bµi to¸n. CÇn x¸c ®Þnh râ yÕu tè cè ®Þnh, kh«ng ®æi, çc quan hÖ kh«ng ®æi vµ çc yÕu tè thay ®æi, t×m mèi quan hÖ gi÷a çc yÕu tè ®ã. Dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh:

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dùa vµo nh÷ng vÞ trÝ ®Æc biÖt cña yÕu tè chuyÓn ®éng ®Ó dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh. Th«ng th−êng ta t×m mét hoÆc hai vÞ trÝ ®Æc biÖt céng thªm víi c¸c ®Æc ®iÓm bÊt biÕn kh¸c nh− tÝnh chÊt ®èi xøng, song song, th¼ng hµng … ®Ó dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh T×m tßi h−íng gi¶i Tõ viÖc dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh t×m mèi quan hÖ gi÷a ®iÓm ®ã víi c¸c yÕu tè chuyÓn ®éng, yÕu tè cè ®Þnh vµ yÕu tè kh«ng ®æi. Th«ng th−êng ®Ó chøng tá mét ®iÓm lµ cè ®Þnh ta chØ ra ®iÓm ®ã thuéc hai ®−êng cè ®Þnh, thuéc mét ®−êng cè ®Þnh vµ tho¶ mZn

mét ®iÒu kiÖn (thuéc mét tia vµ c¸ch gèc mét ®o¹n kh«ng ®æi, thuéc mét ®−êng trßn vµ

hơ

lµ mót cña mét cung kh«ng ®æi ...) th«ng th−êng lêi gi¶i cña mét bµi to¸n th−êng ®−îc

c¾t bá nh÷ng suy nghÜ bªn trong nã chÝnh v× vËy ta th−êng cã c¶m gi¸c lêi gi¶i cã c¸i

Q uy

g× ®ã thiÕu tù nhiªn, kh«ng cã tÝnh thuyÕt phôc chÝnh v× vËy khi tr×nh bµy ta cè g¾ng lµm cho lêi gi¶i mang tÝnh tù nhiªn h¬n, cã gi¸ trÞ vÒ viÖc rÌn luyÖn t− duy cho häc

sinh.

Kè

mét vµi vÝ dô:

ạy

Bµi 1: Cho ba ®iÓm A, C, B th¼ng hµnh theo thø tù ®ã. VÏ tia Cx vu«ng gãc víi CE CA = = 3 . §−êng trßn ngo¹i tiÕp tam CB CD

m /+

AB.Trªn tia Cx lÊy hai ®iÓm D, E sao cho

gi¸c ADC c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BEC t¹i H kh¸c C. Chøng minh r»ng:

§−êng th¼ng HC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi C di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB.

T×m hiÓu ®Ò bµi:

* YÕu tè cè ®Þnh: §o¹n AB * YÕu tè kh«ng ®æi:

+ Gãc BEC = 300, Gãc ADB = 600 do ®ã s® cung BC,

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

cung CA kh«ng ®æi + B, D, H th¼ng hµng; E, H, A th¼ng hµng

C D h

Dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh: khi C trïng B th× (d) t¹o víi BA mét gãc 600 => ®iÓm cè ®Þnh thuéc tia By t¹o víi tia BA mét gãc 600 E

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

khi C trïng A th× (d) t¹o víi AB mét gãc 300 => ®iÓm cè ®Þnh thuéc tia Az t¹o víi tia AB mét gãc 300 By vµ Az c¾t nhau t¹i M th× M lµ ®iÓm cè ®Þnh? NhËn thÊy M nh×n AB cè ®Þnh d−íi 900 => M thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB.

T×m h−íng chøng minh: M thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB cè ®Þnh do ®ã cÇn chøng minh s® cung AM kh«ng

hơ

s® cung AM = 2s®Gãc MCA=2s®Gãc CHA =2s®Gãc CDA = 1200

®æi thËt vËy:

Lêi gi¶i:

cã Gãc CHA = Gãc CDA = 600

Kè

G/s ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB c¾t CH t¹i M

Q uy

CA = 3 => Gãc D=600 CD

Ta cã tgD =

ạy

ta cã Gãc MHA= 600 => s® cung MA kh«ng ®æi l¹i cã ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB cè ®Þnh vËy:

m /+

M cè ®Þnh do ®ã CH lu«n qua M cè ®Þnh.

Bµi 2: Cho ®−êng trßn (O) vµ ®−êng th¼ng (d) n»m ngoµi ®−êng trßn. I lµ ®iÓm di ®éng

trªn (d). §−êng trßn ®−êng kÝnh OI c¾t (O) t¹i M, N. Chøng minh ®−êng trßn ®−êng

®iÓm cè ®Þnh.

kÝnh OI lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh kh¸c O vµ ®−êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét M

O F

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

E N I

H−íng dÉn: do tÝnh chÊt ®èi xøng nªn ®iÓm cè ®Þnh n»m trªn trôc ®èi xøng hay ®−êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi (d) Gi¶i: KÎ OH vu«ng gãc víi (d) c¾t MN t¹i E. ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ta cã H cè ®Þnh vµ H thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh OI vËy ®−êng trßn ®−êng kÝnh OI lu«n ®i qua K cè ®Þnh. XÐt tam gi¸c OEF vµ tam gi¸c OIH cã gãc O chung, gãc OFE = gãc OHI = 900 Nªn tam gi¸c OEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c OIH do ®ã: OF/ OE = OH/ OI => OE. OH = OF. OI L¹i cã gãc IMO = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh OI ) XÐt tam gi¸c vu«ng OMI cã ®−êng cao øng víi c¹nh huyÒn MF nªn:

hơ

OM 2 = h»ng sè v©y E cè ®Þnh do ®ã MN ®i qua E cè ®Þnh. OH

m /+

ạy

Kè

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Q uy

Do ®ã: OE =

OF. OI = OM2

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 27/1/2017 Ngày dạy: 4/2/2017

Buổi 18: Chuyªn ®Ò 6: ®−êng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh (tiếp) Bµi 3: Cho ®−êng trßn (O; R) vµ d©y AB cè ®Þnh. C lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn

®−êng trßn vµ M lµ trung ®iÓm cña AC. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng kÎ tõ M vu«ng

hơ

gãc víi BC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

Q uy

Kè

m /+

VÏ ®−êng kÝnh BD => D cè ®Þnh.

ạy

Gi¶i:

M O

Gi¶ sö ®−êng th¼ng qua M vµ vu«ng gãc víi BC c¾t BC c¾t AD t¹i I.

DÔ thÊy gãc BCD = 900 hay MI // CD.

XÐt tam gi¸c ACD cã MC = MA; MI // CD => I lµ trung ®iÓm cña DA cè ®Þnh hay

®−êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi BC ®i qua I cè ®Þnh.

Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC vµ hai ®iÓm M, N thø tù chuyÓn ®éng trªn hai tia BA, CA sao cho BM= CN. Chøng minh r»ng ®−êng trung trùc cña MN lu«n ®i

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

I A

H−íng dÉn: Khi M ≡ B th× N ≡ C khi ®ã ®−êng trung trùc cña

M N

MN lµ trung trùc cña BC. VËy ®iÓm cè ®Þnh n»m trªn ®−êng trung trùc cña BC

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gi¶i: Gi¶ sö trung trùc cña BC c¾t trung trùc cña MN t¹i I DÔ thÊy tam gi¸c IMB = tam gi¸c INC (c-c-c) vËy gãc MBI = gãc NCI XÐt tø gi¸c ABCI cã gãc MBI = gãc NCI vËy tø gi¸c ABCI néi tiÕp hay I thuéc ®−êng trßn Ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cè ®Þnh, mµ Trung trùc cña BC cè ®Þnh VËy I cè ®Þnh hay trung trùc cña MN ®i qua I cè ®Þnh. Bµi 5: Cho ®−êng trßn (O; R) vµ d©y cung AB = R 3 . §iÓm P kh¸c A vµ B. Gäi (C;

hơ

R1) lµ ®−êng trßn ®i qua P tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O; R) t¹i A.Gäi (D; R2) lµ ®−êng ®−êng trßn (C; R1) vµ (D; R2) c¾t nhau t¹i M kh¸c P.

Q uy

Chøng minh r»ng khi P di ®éng trªn AB th× ®−êng th¼ng

trßn ®i qua P tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O; R) t¹i B. C¸c

PM lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

T×m hiÓu ®Ò bµi:

C A

Kè

* YÕu tè cè ®Þnh: (O; R), d©y AB

ạy

* YÕu tè kh«ng ®æi: DPCO lµ h×nh b×nh hµnh. S® cung I

m /+

BP cña (D), s® cung AP cña (C), Gãc BMA kh«ng ®æi

Dù ®o¸n Khi P ≡ A th× PM lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) => ®iÓm cè ®Þnh n»m trªn tiÕp tuyÕn cña (O; R) t¹i A Khi P ≡ B th× PM lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R)=> ®iÓm cè ®Þnh n»m trªn tiÕp tuyÕn cña (O; R) t¹i B Do tÝnh chÊt ®èi xøng cña h×nh => §iÓm cè ®Þnh n»m trªn ®−êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi AB => §iÓm cè ®Þnh n»m trªn ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB Lêi gi¶i: VÏ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB c¾t PM t¹i I . v× AB = R 3 => s® cung AB cña (O) b»ng 1200

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

tam gi¸c BDP c©n do ®ã gãc OBA = gãc DPB tam gi¸c OAB c©n do ®ã gãc OBA = gãc OAB => gãc BDP = gãc BOA => s®cung BP cña (D) = s® cung BA cña (O) = 1200 . t−¬ng tù s® cung PA cña (C) = 1200 .

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ta cã gãc BMP =

1 s® cung BP cña (D) = 600 2

ta cã gãc AMP =

1 s® cung AP cña (C) = 600 2

VËy gãc BMA = gãc BMP + gãc AMP = 1200 = gãc BOA xÐt tø gi¸c BMOA cã gãc BMA = gãc BOA do ®ã tø gi¸c BMOA néi tiÕp hay M thuéc ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BOA.

1 1 s® cung IA = gãc IMA = gãc PMA = s® cung PA cña (C) = 1200 .VËy I 2 2

hơ

VËy

thuéc ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AOB vµ s® cung IA = 1200 => I cè ®Þnh hay MP

Q uy

®i qua I cè ®Þnh.

Bµi 6: Cho ®o¹n AB cè ®Þnh, M di ®éng trªn AB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB

vÏ hai h×nh vu«ng MADE vµ MBHG. Hai ®−êng trßn ngo¹i tiÕp hai h×nh vu«ng c¾t

Kè

nhau t¹i N. Chøng minh ®−êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di chuyÓn trªn AB.

ạy

H−íng dÉn:

T−¬ng tù bµi 1

m /+

Gi¶i:

Gi¶ sö MN c¾t ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB t¹i I

N D

Ta cã Gãc ANM = Gãc ADM = 45 ( gãc néi tiÕp cïng A

AMDE)

ch¾n cung AM cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh vu«ng

Ta cã Gãc BNM = Gãc BGM = 450( gãc néi tiÕp cïng ch¾n I

cung BM cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh vu«ng MBGH)

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

=> gãcANB = Gãc ANM + Gãc BNM = 900 => N thuéc ®−êng trßn ®−êng ®−êng kÝnh AB vËy s® cung AI = 2s®Gãc ANI =2s®Gãc ANM = 900 VËy I thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB vµ sè ®o cung AI b»ng 900=> I cè ®Þnh hay MN ®i qua I cè ®Þn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 4/2/2017 Ngày dạy: 11/2/2017

Buổi 19: Vµi ®Þnh h−íng khai th¸c bµi to¸n h×nh häc Bài toán 1: Cho ∆ABC đều cạnh a, gọi O là trung điểm của BC. Trên cạnh AB, AC theo thứ tự lấy M, N sao cho góc MON = 600. a) Chứng minh

BM .CN =

a2 4

;

hơ

b) Gọi I là giao điểm của BN và OM. Chứng minh BM.IN = BI.MN; c) Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Q uy

Phân tích bài toán:

hệ thức, chính vì vậy việc hướng dẫn học

Kè

sinh tìm lời giải bài toán hết sức quan

a) Ở phần a là một dạng toán chứng minh

ạy

học sinh.

trọng nhằm phát triển tư duy hình học ở

m /+

Chúng ta có thể dùng phương pháp phân

tích đi lên để tìm lời giải bài toán. Với sơ

⇑

BM .CN =

a2 BM .CN = 4

đồ như sau:

a a . 2 2

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇑ BM .CN = BO.CO ⇑

BM CO = BO CN ⇑

Căn cứ vào sơ đồ ta có lời giải sau: Ta có ∆BMO: gócB+gócM+gócO = 1800 gócBMO+gócMON+gócNOC = 1800 (gócBOC = 1800) ⇒ gócBMO = gócCON; lại có Bˆ = Cˆ = 600 (vì∆ABCđều) ⇒ ∆BMO đồng dạng ∆CON (g.g), từ đó suy ra

hay BM .CN = BO.CO ; mà BO = CO = BM .CN =

BM CO = BO CN

BC a = do đó 2 2

a2 (đpcm) 4

∆BMO đồng dạng ∆CON ---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------⇑

Bˆ = Cˆ = 600

gócBMO = gócCON ⇑

gócB+gócBMO+gócBOM = gócBMO+gócMON+gócNOC (= 1800). b) Cũng tương tự như vậy ở phần b) thày giáo cũng giúp học sinh phát triển tư duy lôgic, thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, đặc biệt là tư duy phân tích đi lên- một

hơ

thao tác tư duy đặc trưng của môn hình học. Với sự phân tích như vậy học sinh sẽ thấy

đó chính là sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác BMN. Nghĩa là học sinh

Theo phần a) ∆BMO đồng dạng ∆CON suy ra

Q uy

cần chỉ ra MI là tia phân giác của gócBMN. Từ đó ta có lời giải sau:

BM MO BM MO lại có gócB = = hay = CO ON BO ON

gócMON (=600) ⇒ ∆BMO đồng dạng ∆OMN (c.g.c). Từ đó suy ra gócBMO =

Kè

gócOMN do đó MO là tia phân giác của góc BMN hay MI là tia phân giác gócBMN.

MB IB = MN IN

hay

BM .IN = BI .MN (đpcm).

trong tam giác ta có

ạy

Xét ∆BMN có MI là tia phân giác của gócBMN, áp dụng tính chất đường phân giác

m /+

c) Đây là một dạng toán liên quan giữa tính bất biến (cố định) và tính thay đổi:

Ứng với mỗi điểm M, N thì ta có vị trí của đoạn thẳng MN thay đổi theo (chuyển

động) nhưng lại luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định (bất biến). Vậy trước khi tìm

lời giải của bài toán giáo viên cần cho học sinh chỉ ra yếu tố cố định, yếu tố nào thay

đổi.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

M H

K I

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ta có lời giải sau: Từ O kẻ OH, OK theo tứ tự vuông góc với AB và MN. Do O, AB cố định nên OH cố định Vậy đường tròn (O;OH) là đường tròn cố định. Vì MO là tia phân giác của góc BMN nên OK = OH (t/c đường phân giác)

→ K ∈ (O;OH)

(1)

lại có OK ⊥ MN ( cách dựng)

(2)

từ (1) và (2) suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn (O;OH). Vậy MN luôn tiếp xúc với một đường tròn (O;OH) cố định.

Khai thác bài toán:

hơ

Ở phần a) của bài toán ta thấy tích BM.CN không đổi, nếu sử dụng BĐT Côsi ta có thêm câu hỏi sau:

1.1: Tìm vị trí của M, N trên AB, AC để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất.

Q uy

Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm là BM, CN ta có

Kè

a2 = a (không đổi). 4

ạy

do đó BM + CN ≥ 2

a2 BM + CN ≥ 2 BM .CN dấu "=" xảy ra ⇔ BM = CN. Theo phần a) BM .CN = 4

Vậy GTNN của BM+CN = a ⇔ BM = CN =

m /+

AB và AC.

a ⇔ M, N theo thứ tự là trung điểm của 2

1.2: Ta thử suy nghĩ nếu tam giác ABC là tam giác cân thì bài toán còn đúng

không? và giả thiết như thế nào? từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC cân ở A, O là trung điểm BC. Trên cạnh AB, A AC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho gócBMO = gócCON.

Chứng minh rằng:

BC 2 ; 4 b) BN ∩ MO = {I }, Chứng minh

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a) BM .CN =

N Vớ

BI.MN = IN.BM; c) Khi M, N thay đổi trên AB, AC thì MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

M I B

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC cân ở A, O thuộc cạnh BC đường tròn tâm O tiếp xúc với các cạnh AB, AC của tam giác. Trên AB, AC theo thứ tự lấy hai điểm M, N. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đ ường tròn (O) ⇔ BM .CN = A N

hơ

Q uy

Kè

Giải: Giải:Vì Vì(O) (O)titiếếpp xúc xúc vvớớii các các ccạạnh nh AB, AB, AC AC Onên O đề cách đều AC AB,doAC ó ộOc tia nên cách u AB, đódo O đthu thu ộ c tia phân giác c ủ a góc A. L ạ i có nên phân giác của góc A. Lại có ∆ ABC cân phân A tuy đồng ∆ ABC phân giáccân gócnên A đồ ng thgiác ời làgóc trung ến mà th ờ i là trung tuy ế n mà O ∈ BC nên O là O ∈ BC nên O là trung điểm cạnh BC. trung điểm cạnh BC. ( ⇒ ): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). ( ⇒ ): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). NNốối iOM, OM,ON. ON. MB, MP Do Do MB, MP làlà hai hai titiếếpp tuy tuyếếnn ccắắtt nhau nhau của (O), ũng clàũng hailàtiếhai p tuy cắtếnnhau của NP, (O), NC NP,cNC tiếếpn tuy ccủắat (O), t hai p ấtuy ến cắt nhausửcủdaụng (O),tính sử ch dụấng tínhtiếch t hai nhau tiếp tuy ta suy ến cra ắt đượ nhau c ta suy ra được

BC 2 4

góc MON = gócB; gócBOM = gócONC; gócNOC = gócBMO; từ đó suy ra ∆BMO

ạy

BC 2 cần phải chứng minh MN là tiếp tuyến của (O). 4

m /+

( ⇐ ) Giả sử có BM .CN =

BM BO BC 2 = ⇒ BM .CN = (đpcm). CO CN 4

đồng dạng ∆CON (g.g) ⇒

Cách 1: Chứng minh tương tự bài toán 1;

Cách 2: Từ M dựng tiếp tuyến với (O) cắt AC ở N'. Ta chứng minh N' ≡ N.

BC 2 Theo phần thuận ta có BM .CN ' = kết hợp với giả thiết ta suy ra BM.CN' = BM.CN 4

⇔ CN' = CN. Mà N', N cùng thuộc cạnh AC do đó N' ≡ N (đpcm).

Chú ý: - Nếu M nằm trong đoạn AB thì N nằm trong đoạn AC.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

- Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì N cũng nằm ngoài đoạn AC.

Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC cân ở B có gócB = 400, O là trung điểm cạch AC, K là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống AB, (O) là đường tròn tâm O bán kính OK. 1) Chứng minh (O) tiếp xúc với BC; 2) Giả sử E là một điểm thay đổi trên cạnh AC sao cho

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------góc AOE = α (200 < α < 900 ) , kẻ tiếp tuyến EF với đường tròn (O) tiếp súc với (O) tại

a) Tính theo α các góc của tứ giác AEFC; b) ∆ AEO đồng dạng với ∆ COF; c) Tính α để AE + CF nhỏ nhất. (Đề thi chuyên toán ĐHSP H N năm 2005)

Kè

Q uy

hơ

HD Giải: Giải: Vì (O) tiếp xúc với các cạnh AB, B 1)AC Kẻnên OH O vuông i BC.AC do do tamđgiác cáchgóc đềuvớAB, ó O ABC B nêngiác OH c=ủOK do A. đó L Hạni ằcó m thuộccân tiaởphân a góc F P ∆ ABC giác gócnên A BC đồng ⊥ BC (O), cân lại cónên OHphân tại H là trên E ∈ th ờ i là trung tuy ế n mà O BC nên O là tiếp tuyến của (O). trung điểm cạnh BC.0 ˆ =Cˆ = 70 , tương tự bài toán 2)( ⇒a)):Ta GiảcósửAMN là tiếp tuyến (O). O 0 A C α ta suy ra góc AEF = 2(110 trên ), Nối OM, ON. MB,= MP DoCFE góc 2 α . là hai tiếp tuyến cắt nhau củb) a (O), NP, ngvlà tiếp(c.g.c) tuyến đồNC ng dcạũng ới hai ∆ AEO ∆ COF cắt nhau của (O), sử dụng tính chất hai c) Tương tự lời giải bài ý 1.1 ta suy ra tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được E, F là trung điểm của BA, BC ⇔ α = 700 Bài toán 1.5: Cho đường tròn (I) tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy tại A và B.

ạy

Từ C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn (I) cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M,

N. Xác định vị trí của C trên cung nhỏ AB để MN có độ dài nhỏ nhất.

m /+

Giải: Ta hãyVìđư(O) a bài tiếtoán p xúcvềvbài ới các toáncạquen nh AB, ACộcnên O cách cách qua đềuI AB, AC đó O thu bằng kẻ đườ ng do thẳng thuộc tia phân giác của góc A. Lại có song song với AB cắt Ox, Oy thứ tự ở P ∆ ABC cân nên phân giác góc A đồng vàờQ. có ∆tuy ∆ POQ AOB th i làTatrung ến cân mà nên O ∈ BC nên cân O là trung ểm mà cạnhMN BC.là tiếp tuyến của (I). ở O, Iđ∈iPQ ( ⇒ ): Giả sử MN là tiếp tuyến (O). 2 PQ N ON.toán trên ⇒ PM .QN = ÁpốidOM, ụng bài . 4 Do MB, MP là hai tiếp tuyến cắt nhau L chung O ến POQcũcân củạai do (O),∆AOB NP,, ∆NC ng là hai tiđỉếnh p tuy c⇒ ắt nhau ủa (O), sử đổ dụi) ng tính chất hai AP =cBQ (không tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra được

O M

A I

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta có MN = AM + BN = MP + NQ - AP - BQ = MP + NQ - 2AP. Do đó MN nhỏ nhất ⇔ MP + NQ nhỏ nhất (Áp dụng kết quả bài toán 1.1) ta có được C là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Nếu vẫn tiếp tục khai thác bài toán ban đầu ta có thể đưa ra một số bài toán cho học sinh tự làm, coi như bài tập về nhà để học sinh tự giải quyết.

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài toán 1.6: Cho ∆ ABC cân ở A. Lấy M, N trên cạnh AB, AC sao cho

BM .CN =

BC 2 . Tìm vị trí của M, N sao cho ∆ AMN có diện tích lớn nhất. 4

Bài toán 1.7: Cho M, M' trên tia AB và tia đối của tia BA; N, N' thuộc tia CA và tia đối của tia CA. Chứng minh rằng: 1) Nếu MB.NC = M'B.N'C =

BC 2 thì tứ giác MM'N'N ngoại tiếp được một 4

hơ

đường tròn; 2)Phân giác tạo bởi MN và MM' đi qua một điểm cố định. Bài toán 1.8:

1) Cho ∆ ABC. Dựng hai điểm P, Q thứ tự trên AB và AC sao cho AP = AQ và

Q uy

PQ 2 ; BP.CQ = 4

2) Cho hình vuông ABCD, lấy điểm F thuộc CD, G thuộc BC sao cho EG//AF

(với E là trung điểm của AB). Chứng minh rằng FG là tiếp tuyến của đường tròn

Kè

nội tiếp hình vuông.

ạy

Bài toán 1.9: Cho tam giác ABC cân ở A. Đường tròn có tâm O là trung điểm

của BC tiếp xúc với AB, AC thứ tự ở H và K. Lấy P thuộc đoạn AB, Q thuộc đoạn AC

m /+

sao cho PQ là tiếp tuyến của (O). Tìm quĩ tích tâm O' của đường tròn ngoại tiếp tam giác OPQ.

Với cách làm tương tự trên, bằng phương pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá,

tương tự và thao tác tư duy thuận đảo ta cũng hình thành cho học sinh tư duy lôgíc, tư

duy sáng tạo, tính độc đáo trong toán học. Chẳng hạn ta có bài toán sau:

Bài toán 2: Cho đường tròn (O) đường kính CD. Từ C và D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy với đường tròn. Từ một điểm E nằm trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó y cắt Cx tại A và Dy tại B. Chứng minh góc AOB = 900.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Phân tích bài toán:

B E

A K C

J O

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Để chứng minh góc AOB = 900, ta có thể làm bằng nhiều cách khác nhau.

Chẳng hạn: - Ta chứng minh OA, OB là hai tia phân giác của cặp góc kề bù; - Ta chứng minh góc AOB = góc CED, mà góc CED = 900 gócAOB = 900.

nên Do

+) ∆AOB đồng dạng với ∆CED (g.g) nên góc AOB = góc CED,

mà góc CED = 900

vậy góc AOB = 900.

hơ

+) Tứ giác OKEJ là hình chữ nhật ( có ba góc vuông) nên góc AOB = 900. Tiếp tục tư duy chúng ta còn tìm được thêm một vài cách giải khác nữa. Sau đây

ta xét một trong các cách giải đó:

Q uy

Ta có góc ACO = gócAEO = 900 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra gócACO + góc AEO = 1800 suy ra tứ giác ACOE nội tiếp

Do đó ta có gócEAO = gócECO (hai góc cùng chắn một cung OE)

Kè

Tương tự ta cũng có gócEBO = gócEDO, mà gócECO + gócEDO = 900 (vì gócCEO =

ạy

900-góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Nên gócEAO + gócEBO = 900. Từ đó suy ra

m /+

Khai thác bài toán:

gócAOB = 900. (Đpcm).

- Nếu ta thay đổi một vài điều kiện của bài toán, chẳng hạn vị trí của điểm O

thay bằng điểm M bất kì trên CD. Khi đó đường thẳng vuông góc với ME tại E không

còn là tiếp tuyến nữa mà trở thành cát tuyến với (O). Thế thì yêu cầu của bài toán

chứng minh gócAMB = 900 còn đúng nữa hay không?. Điều này vẫn còn đúng, từ đó

ta có bài toán khác như sau:

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 11/2/2017 Ngày dạy: 18/2/2017

Buổi 20: Vµi ®Þnh h−íng khai th¸c bµi to¸n h×nh häc (tiếp) Bài toán 2.1: Cho đường tròn (O) đường kính CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy. Một điểm E bất kỳ nằm trên đường tròn, điểm M bất kỳ nằm trên CD (M không trùng với C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với ME cắt Cx, Dy theo

- Vì nếu M ≡ O thì trở lại bài toán trên.

m Kè

ạy

M≡C

O y

D≡B

m /+

Nếu M ≡ D thì tương tự trên.

- Còn nếu M ≡ C thì đường thẳng ⊥ ME có góc AMB = 900.

hơ

Q uy

C, D, O.

-)Tại sao ta lại đặt vấn đề M khác

cắt Cx tại A, cắt Dy tại B ≡ D. Khi đó ta

thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng gócAMB = 900.

oo G

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta trở lại bài toán: Như vậy tương tự bài toán trên ta cũng có: gócMAB = gócECM (do tứ giác ACME nội tiếp) gócEBM = gócEDM (do tứ giác BDME nội tiếp) mà gócECM + góc EDM = 900 (do gócCED = 900). Nên gócAMB = 900.

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-) Ta tiếp tục khai thác và mở rộng bài toán, chẳng hạn điểm M không nằm trong đoạn CD mà nằm trên đường thẳng CD và giữ nguyên các điều kiện của bài toán 2.1 thì sao? từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 2.2: Cho đường tròn (O) đường kính CD. Từ C, D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy. Một điểm E bất kỳ nằm trên đường tròn, điểm M bất kỳ nằm trên đường thẳng CD (M không trùng với C, D, O). Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với ME cắt Cx, Dy theo thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng gócAMB = 900.

hơ

ạy

Kè

Q uy

m /+

- Muốn chứng minh góc AMB = 900 ta dựa vào cách chứng minh bài toán trên. Ta chứng minh gócMAB + gócMBA = 900.

Muống chứng minh gócMAB + góc MBA = 900 ta chứng minh

gócMAB + gócMBA = gócCDE + gócDCE = 900

Để chứng minh điều này ta cần chứng minh gócMAB = gócECD,

gócMBA = gócMDE. Như vậy ta cần phải chứng minh các tứ giác AMCE, MEDB nội tiếp.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Từ đó ta có lời giải sau:

Chứng minh: Ta có gócACM = gócAEM = 900, do đó tứ giác AMCE nội tiếp ⇒ gócMAB = góc ECD (cùng bù gócMCE)

Tương tự tứ giác MEDB nội tiếp ⇒ gócMAB = gócMDE (cùng chắn một cung). Mà gócECD + gócEDC = 900. Do đó gócMBA + gócMAB = 900. Suy ra gócAMB = 900. Như vậy nhìn lại bài toán trên ta có thể đưa thành bài toán tổng quát hơn như sau:

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài toán 2.3: (Bài toán tổng quát) Cho đường tròn (O) đường kính CD. Một điểm E thuộc đường tròn (O). M là

điểm bất kì thuộc đường thẳng CD. Kẻ đường thẳng vuông góc với ME tại E cắt các tiếp tuyến Cx, Dy của đường tròn tại A và B. Chứng minh góc AMB = 900. Vẫn tiếp tục bài toán 2 ta khai thác theo khía cạnh khác, ta có bài toán sau:

Bài toán 2.4: Cho đường tròn (O;

AB ), qua A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của 2

đường tròn. Một điểm M thuộc đường tròn, qua M kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By theo thứ tự

hơ

ở C và D.

1) Chứng minh CD = AC + BD;

định khi M thay đổi trên đường tròn.

3) AD cắt BC ở H chứng minh MH // AC.

Q uy

2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác COD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố

Kè

y D

C H A

m /+

ạy

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Phân tích bài toán: 1) Với phần này rất phù hợp với học sinh trung bình khi học xong bài tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, Ta thấy ngay CM = CA; DM = DB từ đó suy ra CM + DM = CA + DB mà M nằm giữa C và D nên CD = CA + DB.

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Cũng tương tự bài toán trên ta có ∆ COD vuông ở O. Mặt khác gọi I là trung

điểm của CD thì O ∈  I ; 

CD   2 

(1).

Lại có tứ giác ABDC là hình thang, OI là đường trung bình nên OI // CA, mà CA ⊥ AB do đó IO ⊥ AB

(2)

Từ (1) và (2) suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD. Mà AB là đường thẳng cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác COD luôn tiếp xúc

với đường thẳng AB cố định khi M thay đổi trên đường tròn.

hơ

3) Với phần này là một bài toán rất hay vì nó đòi hỏi học sinh phải dùng phương

Q uy

còn phải huy động kiến thức về định lí Talét đảo.

pháp phân tích đi lên để tìm lời giải của bài toán. Hơn nữa để tìm ra lời giải học sinh Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải của bài toán bằng sơ đồ phân tích đi

Kè

lên, như sau: MH //AC

ạy

Từ đó yêu cầu học sinh lên bảng căn cứ vào sơ đồ trình bày lời giải của bài toán:

⇑

Ta có AC, BD là hai tiếp tuyến của (O) đường kính

m /+

DM DH = MC HA

AB nên AC ⊥ AB, BD ⊥ AB do đó AC // BD.

⇑

Xét ∆ ACH có AC // BD áp dụng hệ quả định lí

DB DH (vì DM=DB; = AC HA

Talét, ta có

⇑

MC=CA)

AC // DB ( ⊥ AB)

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ta có

DB DH = mà DB = DM; AC = MC nên AC HA

DM DH = áp dụng định lí Talét đảo trong tam MC HA

giác DAC suy ra MH // AC.

Khai thác bài toán: -) Giáo viên đặt vấn đề cho học sinh suy nghĩ. Gọi giao điểm của MH và AB là K, có nhận xét gì về vị trí của H đối với MK? Từ đó ta có bài toán:

Bài toán 2..5: Với giả thiết của bài toán trên. Chứng minh H là trung điểm của MK.

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-) Nếu gọi P là giao điểm của BM và Ax. Thì ta cũng có kết quả C là trung điểm của AP. -) Nếu giáo viên cho thêm điều kiện AC = R 3 (AB = 2R) thì chúng ta lại có bài toán liên quan đến tính toán. Từ đó ta có bài toán sau: AB Bài toán 2.6: Cho  O;  , từ A, B kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. 2 



Một điểm C trên tia Ax sao cho AC = R 3 . Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường tròn cắt

By ở D. AD cắt BC ở H.

hơ

1) Tính số đo gócAOM;

2) Chứng minh trực tâm của tam giác ACM nằm trên (O);

Q uy

3) Tính MH theo R.

-) Bây chúng ta lại xét bài toán không tĩnh như trên nữa, mà cho điểm C thay đổi

trên tia Ax sao cho AC ≥ R 3 thì khi đó trực tâm của ∆ ACM cũng thay đổi theo. Từ



AB   , từ A, B kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. 2 

ạy

Bài toán 2.7: Cho  O;

Kè

đó ta có bài toán sau:

m /+

Một điểm C trên tia Ax sao cho AC ≥ R 3 . Từ C kẻ tiếp tuyến CM tới đường tròn cắt By ở D.Gọi H là trực tâm của tam giác ACM. Tìm quĩ tích điểm H.

-) Lại nhìn bài toán dưới góc độ bài toán cực trị hình học, ta có bài toán sau:

AB Bài toán 2.8: Cho  O;  từ A, B kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. 2 



Một điểm M trên đường tròn, từ M kẻ tiếp tuyến của (O) cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Tìm vị trí của điểm M để: 1) CD có độ dài nhỏ nhất;

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2) Diện tích tam giác COD nhỏ nhất.

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 18/2/2017 Ngày dạy: 25/2/2017

Buổi 21: RÈN LUYỆN MỘT ĐỀ THI ĐỀ 1 Bài 1 1

1

1.1 . Rút gọn biểu thức A =  +  . +  x y  x + y + 2 xy

(

x+ y

)

 1 x− y 1  . +  :  x y  xy xy 

1.2 Tính giá trị biểu thức: M = ( x − y ) + 3( x − y )( xy + 1) , biết

hơ

x = 3 3 + 2 2 − 3 3 − 2 2 , y = 3 17 + 12 2 − 3 17 − 12 2

Bài 2 Cho các số x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 5 và xy + yz + zx = 8, 7 3 2 2 (1)  x + y + 3 = 4 x Bài 3 Giải hệ phương trình:  3 3 2  x + 12 x + y = 6 x +9 (2)

Q uy

chứng minh rằng 1 ≤ x, y, z ≤

Bài 4. Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số

x4 y4 z4 + + ( x 2 + y 2 )( x + y ) ( y 2 + z 2 )( y + z ) ( z 2 + x 2 )( z + x)

ạy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F =

Kè

của nó. Bài 5. Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.

m /+

Bài 6. Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. b. Gọi α là số đo của góc BFE. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì biểu thức P = sin 6 α + cos 6 α . Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó.

c. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và

BE 3 CE = . BF 3 DF

Bài 7. Cho một cái bàn hình chữ nhật. Hai người chơi như sau: người thứ nhất dùng 1 đồng xu màu trắng đặt lên bàn, sau đó người thứ hai đặt 1 đồng xu đen lên bàn ở vị trí mà trước đó chưa có đồng xu nào đặt và cứ như vậy cho đến khi không còn chỗ để đặt đồng xu nào nữa. Biết rằng tất cả các đồng xu là bằng nhau. Người nào đến lượt đi mà không đặt được đồng xu nào lên bàn thì người đó thua cuộc. Chứng minh rằng có cách chơi để người thứ nhất luôn luôn thắng cuộc. ------Hết------

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ĐÁP ÁN Câu 1.1

Đáp án

Điểm

ĐKXĐ : x >0 ; y>0 ; x ≠ y

1 1 1 +  + .  x y  x + y + 2 xy

(

x+ y

)

 1 x− y 1  . +  :  x xy xy y 

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

xy.

x+ y

(

x+ y

xy xy x−

) (

x+ y .

)

x. y

)

xy xy x−

1 điểm

x+ y 3

) ( )

(

x−

Ta có 3

3+ 2 2 − 3 3−2 2

)

(

)(

3+ 2 2 − 3 3− 2 2

)

= 3 + 2 2 − 3 + 2 2 − 33 3 + 2 2 3 − 2 2 .

hơ

x3 =

0,25 đ

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được

0,25đ

x3 = 4 2 − 3 x ⇒ x3 + 3 x = 4 2

(1).

Q uy

1.2

(

x + y + 2 xy

x+ y

y 3 + 3 y = 24 2 (2)

Tương tự:

x 3 − y 3 + 3( x − y ) = ( x − y )3 + 3( x − y )( xy + 1) = −20 2

Theo bài

0,5 đ

ạy

Kè

Vậy M = −20 2

0,25 đ

 y + z = 5 − x  y.z = 8 − ( xy + xz ) = 8 − x ( 5 − x )

Ta có 

m /+

Do đó y, z là nghiệm của phương trình bậc hai u2 + (x - 5)u + x2 - 5x + 8 = 0 (1) 2 2 ∆ = (x - 5) – 4(x - 5x + 8) 2 = -3x + 10x -7 7 Vì (1) có nghiệm nên ∆ ≥ 0 ⇔ -3x + 10x -7 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 7 Vai trò của x, y, z như nhau nên 1 ≤ x, y, z ≤ (đpcm) 3

0,25 đ 0,25đ 0,25đ

(1)  x + y + 3 = 4 x 3 3 2  x + 12 x + y = 6 x +9 (2) 2

Giải hệ phương trình: 

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Từ phương trình (1) ta suy ra: 9 = 12 x − 3 x 2 − 3 y 2 thế vào phương trình (2) thu gọn ta được: x + y = 0 x3 + y 3 = 3( x 2 − y 2 ) ⇔ ( x + y )( x 2 − xy + y 2 − 3x + 3 y ) = 0 ⇔  2 2  x − xy + y − 3x + 3 y = 0

0,25 đ

* Nếu x + y = 0 ⇔ y = − x ⇒ y 2 = x 2 thế vào phương trình (1) ta được 2 x 2 + 3 = 4 x ⇔ 2( x − 1) 2 + 1 = 0 phương trình này vô nghiệm.

0,25đ

* Nếu x − xy + y − 3 x + 3 y = 0 , trừ vế theo vế của phương này với phương trình 2

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(1) ta được: x = 3 − xy − 3x + 3 y − 3 = −4 x ⇔ xy − x − 3 y + 3 = 0 ⇔ ( x − 3)( y − 1) = 0 ⇔  y =1

Gọi số phải tìm là ab với a,b Theo giả thiết ta có : ab

∈

N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9

= ( a + b )3 ⇔ (10a+b)2 = ( a + b )3

hơ

∈

N),a+b=l2(l

∈

Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 hoặc ab = 64

Q uy

= t3 ( t

⇒ ab là một lập phương và a+b là một số chính phương

Đặt ab

• Nếu ab = 27 ⇒ a + b = 9 là số chính phương

0,25 đ

0,25đ 0,25đ

ạy

Kè

Vậy số cần tìm là ab = 27

0,25đ

Ta có:

a2 + b2 2 ≥ ( a + b ) (dấu “=” xảy ra khi a = b) 2

m /+

Ta có (a − b) 2 ≥ 0 ⇔

x4 y4 − = x− y; ( x 2 + y 2 )( x + y ) ( x 2 + y 2 )( x + y )

0,25 đ

0,25đ

⇒ a + b = 10 không là số chính phương ⇒ loại

• Nếu ab = 64

0,25đ

+ Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = 0 suy ra y = 0, cặp (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2). + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = 0 suy ra x = 2, cặp (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2). Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0), (2; 1).

Tương tự:

y4 z4 z4 x4 − 2 = y − z; 2 − 2 = z−x 2 2 2 ( y + z )( y + z ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) ( z + x 2 )( z + x) 2

Do đó F =

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x4 y4 z4 + + ( x 2 + y 2 )( x + y ) ( y 2 + z 2 )( y + z ) ( z 2 + x 2 )( z + x)

0,25đ

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 x4 + y 4 y4 + z4 z4 + x4 =  2 + +  2 2 2 2 2 2  ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x ) 

0,25đ

2 2 2 2 2   y2 + z2 ) z 2 + x2 ) ( ( 1  (x + y )  ≥ + + 4  ( x 2 + y 2 )( x + y ) ( y 2 + z 2 )( y + z ) ( z 2 + x 2 )( z + x)    2 2 2 2 2 2 1  (x + y ) ( y + z ) (z + x )   =  + + 4  ( x + y) ( y + z) ( z + x)   

Q uy

B 1 D

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

hơ

2 2 2 1  ( x + y) ( y + z) ( z + x)  1 1 ≥  + +  = (x + y + z) = 8  ( x + y ) ( y + z) ( z + x)  4 4 1 1 Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi x = y = z = 4 3

Kè

O C

ạy

1 E P

0,25 đ

m /+

BA là đường cao của tam giác BPQ suy ra H thuộc BA Nối OE, ∆ BEF vuông tại B; BA ⊥ EF nên AB2 = AE. AF

0,25 đ

AE AB AE AE AB AB ⇒ = ⇒ = ⇒ = 1 1 AB AF OA AQ AB AF 2 2 Vậy ∆ AEO ∼ ∆ ABQ(c.g.c). (góc có các cạnh tương ứng vuông góc) Suy ra ABQ = AEO mà ABQ = P 1 nên AEO = P , 1

mà hai góc đồng vị => PH // OE. Trong ∆ AEO có PE = PA (giả thiết); PH// OE suy ra H là trung điểm của OA.

0,5 đ

Ta có: 3

P = sin 6 α + cos 6 α = ( sin 2 α ) + ( co s 2 α )

P = ( sin 2 α + cos 2 α ) sin 4 α − sin 2 α cos 2 α + cos 4 α  2

P = ( sin 2 α + cos 2 α ) − 3sin 2 α cos 2 α = 1 − 3sin 2 α cos 2 α

0,25

Ta có:

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 1 0,25đ sin 2 α + cos 2 α ≥ 4sin 2 α cos 2 α ⇔ 1 ≥ 4sin 2 α cos 2 α ⇔ sin 2 α cos 2 α ≤ 4 .

(

)

3 1 = 4 4 1 2 2 Do đó: Pmin = khi và chỉ khi: sin α = cos α ⇔ sin α = cos α 2

Suy ra: P = 1 − 3sin α cos α ≥ 1 −

0,25đ .

(vì α là góc nhọn)

⇔

sin α = 1 ⇔ tan α = 1 ⇔ α = 450 cos α Khi đó CD vuông góc với AB

0,25đ

Ta có ∆ ACB và ∆ ADB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên

hơ

Ta có: CD2 = AB2 = AE. AF => CD4 = AB4 = AE2. AF2

ACB = ADB = 900 => ADBC là hình chữ nhật.

Ta có:

Q uy

= (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF

⇒ AB3 = CE.DF.EF. Vậy CD3 = CE.DF.EF

Ta tô đen - trắng các ô bàn cờ như hình vẽ. Khi đó số ô đen nhiều hơn số ô trắng. Như vậy số con bọ dừa ở ô đen sẽ nhiều hơn số con bọ dừa ở ô trắng. Do mỗi con bọ dừa chỉ di chuyển sang ô bên cạnh(ngang hoặc dọc), vì thế sau khi di chuyển các ô đen sẽ chứa các con bọ dừa ở ô trắng. Mà số con bọ dừa ở ô đen nhiều hơn số con bọ dừa ở ô

0,25đ 0,25đ 0,25đ

m /+

ạy

Kè

BE 3 CE BE 2 EA.EF AE BE 4 AE 2 CE.BE = ⇒ = = ⇒ = = BF 3 DF BF 2 FA.EF AF BF 4 AF 2 DF .BF

0,25đ

1đ

trắng nên sau khi các con bọ dừa bò đi sẽ có ít nhất một ô đen bị bỏ trống . Vậy : Có thể khẳng định rằng sau khi di chuyển sẽ luôn có ít nhất một ô trong bàn cờ không có con bọ dừa nào trong đó.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày soạn: 25/2/2017 Ngày dạy: 4/3/2017

Buổi 22: RÈN LUYỆN MỘT ĐỀ THI ĐỀ 2 Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh rằng:

hơ

Câu 2 (3 điểm): Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn phương trình: x + y + z + 4 = 2 x−2 + 4 y−3 + 6 z −5

1  1  1  1 + 1 + 1 +  ≥ 64 a  b  c 

Q uy

Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:

Kè ạy 2

Câu 4 (2 điểm): Cho x =

 xyz x + y = 2  1  xyz =1  5 y+ z  xyz 1 =1  2 x + z

m /+

2 +1 − 1

−

1 2 +1 + 1

Tính giá trị của biểu thức: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003

Câu 5 (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N. 1 1 4 + = 2 2 AM AN 3 AB 2

Chứng minh:

Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông tại D, lấy C là điểm thuộc cạnh AB. Kẻ CH vuông góc với AD (H ∈ AD). Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường kính AB tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K. a) Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp. b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng. c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (I ∈ DK). Chứng minh CI = CB và DF là đường trung tuyến của tam giác ADC. ĐÁP ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 1 (3 điểm):

Ta có 1 +

a +1 a+a+b+c 1 = = a a a

(0,5 điểm)

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Do a, b, c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+

2 a 2 + 2 bc a+a+b+c 2.2 1 = ≥ ≥ a a a

Vậy: 1 +

a 2 . bc 44 a 2 bc = a a

44 a 2 bc 1 ≥ a a

(0,5 điểm)

Tương tự: 1+

1 4 4 b 2 ac ≥ b b

(0,5 điểm)

44 c 2 ab 1 ≥ c c

(0,5 điểm)

hơ

(1 điểm)

4 1  1  1 a 4b 4c 4  = 64 (đpcm) 1 + 1 + 1 +  ≥ 64. a  b  c abc 

Từ đó, suy ra:

Q uy

Câu 2 (3 điểm): ĐK: x ≥ 2 ; y ≥ 3 ; z ≥ 5 Ta có: x + y + z + 4 = 2 x − 2 + 4 y −3 + 6 z −5

Kè

⇔ (x - 2 - 2 x − 2 + 1) + (y - 3 - 2.2 y − 3 + 4) + (z-5 - 2.3 z − 5 + 9) = 0 2

D m /+

(0,5 điểm)

 x − 2 −1 = 0  ⇔  y−3 −2 = 0   z − 5 − 3 = 0  x − 2 =1  ⇔  y −3 = 2   z − 5 = 3 x − 2 = 1  ⇔ y − 3 = 4 z − 5 = 9 

ạy

⇔ ( x − 2 -1) + ( y − 3 - 2) + ( z − 5 - 3) = 0

(0,5 điểm) (0,5 điểm)

(0,5 điểm)

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x = 3  ⇔ y = 7  z = 14 

(0,5 điểm)

Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình:

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x + y 1 1 1 1  xyz  xyz = 2  yz + xz = 2 (1) x + y = 2    y+ z 5 1 1 1 5  xyz (1 điểm) ⇔  =1 = ⇔  + = (2)  5 6 y+ z  xyz  xz xy 6  xyz x + z 2 1 1 1 2 =1 = = (3)    + 2 3 x + z  xyz  yz xy 3

1 1 1 + + = 1 (4) xz xy yz 1 1 (4) – (1): = xy 2 1 1 (4) – (2): = yz 6 1 1 (4) – (3): = xz 3

(0,5 điểm)

Lấy

(0,5 điểm)

hơ

(1) + (2) + (3):

Q uy

(0,5 điểm)

Câu 4 (2 điểm): 1

−

2 +1 − 1

2 +1 + 1

m /+

(0,5 điểm) (0,5 điểm)

ạy

Ta có x =

(0,5 điểm)

Kè

Vậy xy = 2, yz = 6, xz = 3 Ta có: (xyz)2 = 36 ⇒ xyz = 6 hay xyz = -6 Trường hợp 1: xyz = 6. Ta có: x = 1, y = 2, z = 3 Trường hợp 2: xyz = -6. Ta có: x = -1, y = -2, z = -3

2 +1 +1 −

(0,5 điểm)

2 +1 +1

2 +1−1

2 = 2 2 2

(0,5 điểm)

Ta lại có: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003 2003 = [( x − 1)(x 3 − x + 1)] Thay x = 2 vào A, ta được:

(0,5 điểm)

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

[(

)(

)]

2 −1 2 2 − 2 +1

2003

[(

)(

2 −1

)]

2 +1

2003

= 12003 = 1

(0,5 điểm)

Câu 5 (4 điểm):

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vẽ hình; viết GT, KL đúng

(0,75 điểm) ∧

Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho góc DAE bằng 15 , suy ra NAE = 90 (0,5 điểm) ⇒ ΛDAE = ΛBAM (g.c.g) (0,5 điểm) (0,25 điểm) ⇒ AE =AM Xét tam giác EAN vuông tại A, đường cao AH,

1 1 1 + = 2 2 AE AN AH 2 1 1 1 suy ra: + = 2 2 AM AN AH 2

ta có:

hơ

(0,5 điểm)

(1)

Q uy

Xét tam giác đều ADC, đường cao AH

3 3 (2) AB 2 4 4 1 1 4 (Đpcm) Từ (1), (2) suy ra + = 2 2 AM AN 3 AB 2

Kè

ta có: AH2 = AD 2 =

Câu 6 (4 điểm): Vẽ hình và viết giả thiết kết luận đúng và đầy đủ

(0,5 điểm)

ạy

(0,5 điểm)

m /+

(0,5 điểm)

C I

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

K a) Ta có CH ⊥ AD và BD ⊥ AD (gt) ∧

∧

⇒ HCA = DBA ( hai góc đồng vị) mà DKA = DBA = ∧

∧

1 Sđ DA 2

(0,5 điểm)

⇒ HCA = DKA Mà HCA, DKA cùng chắn FA nên tứ giác AFCK nội tiếp.

(0,5 điểm)

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∧ ∧ 1 b) Ta có DKE = DAE = Sđ DE 2 ∧ ∧ 1 FAC = DKC = SđFC do tứ giác AFCK nội tiếp. (0,5 điểm) 2 ∧

∧

Mà FAC = DAE (gt) ⇒ DKE = DKC vậy hai tia KC và KE trùng nhau Vậy K, C, E thẳng hàng ∧

(0,5 điểm)

∧

c) Ta có AD//IC (gt) suy ra DAB = ICA (đồng vị) ∧

∧

Mà DAB = DKB = ∧

1 Sđ DEB 2

∧

(0,25 điểm)

⇒ DKB = ICA ∧

⇒ ICB + ICA = ICB + DKB = 180 0 nên tứ giác KBCI nội tiếp ∧ ∧ ∧ ∧ 1 1 ⇒ EKB = CIB = Sđ BC và DKE = IBA = Sđ IC 2 2 ∧

∧

hơ

∧

(0,25 điểm)

∧

⇒ IBA = CIB vậy tam giác BIC cân tại C nên BC = IC

Q uy

Mặt khác EKB = DKE ( vì cùng chắn hai cung EB, ED bằng nhau)

(0,5 điểm)

ạy

Kè

* Ta có AD = BC và AD//IC (gt) ⇒ IC = AD và AD//IC nên tứ giác ADCI là hình bình hành ⇒ DF đi qua trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành ) Vậy DF là đường trung tuyến của tam giác ADC.

(0,5 điểm)

m /+

Ghi chú: Thí sinh có thể giải nhiều cách khác nhau nếu đúng, chặt chẽ, vẫn được điểm tối đa.

www.daykemquynhon.ucoz.com Produced by Nguyen Thanh Tu

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú # Google.com/+DạyKèmQuyNhơn

---------------------------------------------------------------------------------------------Giáo viên: Ngô Thị Liên

Trường THCS An Hoà

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định