TÀI LIỆU MÔN TOÁN LỚP 9
vectorstock.com/8334283
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
Giải bài tập Toán 9 Tập 2 TS Vũ Thế Hựu PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
PHẦN ĐẠI SỐ Chương III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN §1. Phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn Định nghĩa 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình dạng: ax by c 1 , trong đó a, b, c là các số đã biết ( a 0 hoặc b 0 ); x và y là các ẩn. Định nghĩa 2: Nếu tại x x0 và y y0 mà vế trái của phương trình (1) có giá trị bằng vế phải thì cặp số
x0 ; y0
được gọi là một nghiệm của phương trình đó.
Chú ý quan trọng: Khi nói đến cặp số x0 ; y0 thì cần kể đến thứ tự của chúng. Như vậy, chẳng hạn ta có
2;3 3; 2 . 2. Tập nghiệm và biểu diễn hình học của nó - Mỗi nghiệm x0 ; y0 của phương trình ax by c được biểu diễn bởi một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy. - Tập nghiệm của phương trình ax by c được biểu diễn bởi một đường thẳng (d), ta cũng gọi là đường thẳng ax by c . 3. Kết luận - Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c luôn có vô số nghiệm số. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bằng đường thẳng ax by c . - Các trường hợp cần lưu ý: + Nếu a 0, b 0 thì tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c là đồ thị của hàm số a c y x . b b
+ Nếu a 0 và b 0 thì đường thẳng (d) song song với trục hoành. + Nếu a 0 và b 0 thì đường thẳng (d) song song với trục tung. BÀI TẬP 1. Trong các cặp số 2;1 ; 0; 2 ; 1;0 ; 1,5;3 và 4; 3 , cặp số nào là nghiệm của phương trình: a) 5 x 4 y 8
b) 3 x 5 y 3? Hướng dẫn
Để giải các bài tập dạng này, ta đem các giá trị của cặp số đã cho thế vào biểu thức vế trái với chú ý là số thứ nhất thay vào biến x, số thứ hai thay vào biến y và tính toán để: + Nếu kết quả có được bằng với vế phải thì cặp số đã cho là nghiệm của phương trình. + Nếu kết quả có được không bằng vế phải thì cặp số đã cho không phải là nghiệm của phương trình. a) Xét phương trình 5 x 4 y 8
+ Với cặp số 2;1 , ta có: 5 2 4.1 10 4 6 Vì 6 8 nên cặp số 2;1 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. + Với cặp số 0; 2 , ta có: 5.0 4.2 8 Vì 8 8 nên cặp số 0; 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Tương tự, ta có kết quả: + Cặp 1;0 không phải là nghiệm của phương trình. + Cặp 1,5;3 : không phải là nghiệm của phương trình đã cho. + Cặp 4; 3 : là nghiệm của phương trình đã cho. b) Với phương trình 3 x 5 y 3 thì: + Các cặp 1;0 và 4; 3 là nghiệm. + Các cặp 2;1 ; 0; 2 và 1,5;3 không phải là nghiệm. 2. Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó: a) 3 x y 2 ;
b) x 5 y 3;
c) 4 x 3 y 1;
d) x 5 y 0;
e) 4 x 0 y 2;
f) 0 x 2 y 5.
Hướng dẫn a c Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình ax by c ta vẽ đồ thị của hàm số y x . Đồ thị này là b b
một đường thẳng.
x a) 3 x y 2 có nghiệm tổng quát là: y 3x 2 Để vẽ đồ thị hàm số y 3 x 2 biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3 x y 2 , ta lấy hai điểm: A 0; 2 , B 1;1 .
Đường thẳng AB là đồ thị hàm số y 3 x 2 hay cũng là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3 x y 2 Chú ý: Có thể viết nghiệm tổng quát của phương trình 3 x y 2 là:
1 2 x y 3 3 y b) Phương trình x 5 y 3
x x 3 5y Nghiệm tổng quát . 1 3 hoặc y y 5 x 5
Đồ thị qua hai điểm: A 2;1 , B 3;0 ta được đồ thị hàm số: 1 3 y x . 5 5
c) Phương trình 4 x 3 y 1 Nghiệm tổng quát: 3 1 x x y 4 4. 4 1 hoặc y y 3 x 3
Tập hợp nghiệm là đồ thị hàm số y
4 1 x đi qua hai điểm: 3 3
1 A 1; 1 , B ;1 . 2
d) x 5 y 0 Nghiệm tổng quát:
x x 5 y . 1 hoặc y y 5 x 1 Tập hợp nghiệm là đồ thị hàm số y x đi qua gốc tọa độ 5
O và điểm A 5;1 . e) Phương trình 4 x 0 y 2 y Nghiệm tổng quát 1. x 2 1 Đồ thị là đường thẳng đi qua điểm ;0 và song song với trục 2
tung. f) Phương trình 0 x 2 y 5. x Nghiệm tổng quát 5. y 2
Đồ thị biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng song song với trục hoành và đi qua điểm có tung độ y
5 trên trục tung. 2
a c Chú ý chung: Khi vẽ đồ thị hàm y x biểu diễn tập nghiệm của phương trình ax by c , ta cần b b
chọn hai điểm thuộc đồ thị. Nên chú ý chọn các điểm có tọa độ là các số nguyên để việc vẽ đồ thị được dễ dàng và chính xác hơn. 3. Cho hai phương trình x 2 y 4 và x y 1 . Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của phương trình nào? Hướng dẫn Để vẽ đồ thị đường thẳng xác định bởi phương trình x 2 y 4 , ta lấy hai điểm A 0; 2 ; B 4;0 . Để vẽ đường thẳng xác định bởi x y 1 , ta lấy hai điểm C 0; 1 ; D 1;0 . Hai đường thẳng AB và CD giao nhau tại điểm M có tọa độ 2;1 Vì M nằm trên AB nên tọa độ của M là nghiệm của phương trình x 2y 4 .
Vì M nằm trên CD nên tọa độ của M là nghiệm của phương trình x y 1.
Vậy tọa độ của M là nghiệm của cả hai phương trình x 2 y 4 và x y 1 .
§2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
ax by c ax by c
1 2
Trong đó ax by c và ax by c là các phương trình bậc nhất hai ẩn. Nếu hai phương trình (1) và (2) có một nghiệm chung thì nghiệm chung ấy được gọi là nghiệm của hệ. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ được gọi là vô nghiệm. 2. Minh họa hình học Gọi (d) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của ax by c
d
là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của ax by c thì:
a) Nếu (d) cắt d thì hệ có 1 nghiệm duy nhất. Tọa độ của giao điểm là nghiệm của hệ. b) Nếu (d) song song với d thì hệ vô nghiệm. c) Nếu (d) trùng với d thì hệ vô số nghiệm. Chú ý: Trong chương II ta đã biết hai đường thẳng y ax b và y ax b có các vị trí tương đối như sau: a) Nếu a a thì hai đường thẳng cắt nhau. b) Nếu a a và b b thì hai đường thẳng song song với nhau. c) Nếu a a và b b thì hai đường thẳng trùng nhau. 3. Hệ phương trình tương đương Định nghĩa: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. BÀI TẬP 4. Chỉ dựa vào các phương trình trong hệ, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao: 1 y 2 x 3 b) y 1 x 1 2
y 3 2x a) y 3x 1
2 y 3 x c) 3 y 2 x Hướng dẫn
a) Đường thẳng y 2 x 3 có hệ số góc a 2 y 3 x 1 có hệ số góc a 3
Vì a a nên hai đường thẳng này cắt nhau. Hệ có 1 nghiệm duy nhất.
3 x y 3 d) 1 x 3 y 1
1 1 1 b) Đường thẳng y x 3 và y x 1 có cùng hệ số góc nhưng có tung độ gốc 3 1 nên chúng 2 2 2
song song với nhau. Hệ vô nghiệm. c) 2 y 3 x y Vì
3 2 x;3 y 2 x y x 2 3
2 3 hai đường thẳng cắt nhau. 3 2
Dễ thấy hai đường thẳng này cùng đi qua gốc tọa độ O 0;0 nên hệ có 1 nghiệm 0;0 . 1 d) 3 x y 3 y 3 x 3; x y 1 y 3 x 3 . 3
Hai đường thẳng này trùng nhau. Hệ có vô số nghiệm. 5. Đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau bằng hình học:
2 x y 1 a) x 2 y 1
2 x y 4 b) . x y 1 Hướng dẫn
2 x y 1 a) Để đoán nhận số nghiệm của hệ bằng phương pháp hình học, ta xét hai đường thẳng x 2 y 1 2 x y 1 và x 2 y 1 , tức là vẽ đồ thị hai hàm số y 2 x 1 và y
1 1 x . 2 2
1 Hai đường thẳng này có hệ số góc khác nhau 2 nên chúng cắt nhau tại một điểm. 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
y 2 x 4 b) Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ y x 1 Hệ số góc của hai đường thẳng y 2 x 4 và y x 1 khác nhau 2 1 nên chúng cắt nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất. 6. Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau. Theo em, ý kiến của bạn Nga và bạn Phương đúng hay sai? Vì sao? (có thể cho ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị). Hướng dẫn - Ý kiến của Nga là đúng vì theo định nghĩa của hệ phương trình tương đương, chúng có tập nghiệm là tập .
- Ý kiến của Phương là sai. Chẳng hạn xét hai hệ:
x y 3 x y 4 và II 2 x 2 y 6 2 x 2 y 8
I
Cả hai hệ này đều là hệ có vô số nghiệm. Cặp x; y 1; 2 là nghiệm của hệ (I) Thế vào hệ (II) thì: 1 2 4 . Vậy x; y 1; 2 không phải là nghiệm của hệ (II). Do vậy, hai hệ vô số nghiệm không tương đương với nhau. Minh họa bằng đồ thị, ta được hai đường thẳng khác nhau. LUYỆN TẬP 7. Cho hai phương trình: 2 x y 4 và 3 x 2 y 5 . a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên. b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ tọa độ rồi xác định nghiệm chung của chúng. Hướng dẫn
x a) Nghiệm tổng quát của phương trình 2 x y 4 là: y 2 x 4 Nghiệm tổng quát của phương trình 3 x 2 y 5 là: x 3 5 y x . 2 2
b) - Đường thẳng xác định bởi phương trình 2 x y 4 là đồ thị hàm số y 2 x 4 .
Đồ thị này đi qua hai điểm A 0; 4 ; B 2;0 . - Đường thẳng xác định bởi phương trình 3 x 2 y 5 là đồ thị hàm số 3 5 5 y x . Đồ thị này đi qua hai điểm C 1;1 ; D 0; . 2 2 2
Hai đồ thị này cắt nhau tại điểm M 3; 2 . Vậy nghiệm chung của hai phương trình 2 x y 4 và 3 x 2 y 5 là
3; 2 . 8. Cho các hệ phương trình sau:
x 2 a) 2 x y 3
x 3y 2 b) 2 y 4
Trước hết hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do), sau đó giải các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
Hướng dẫn a) Đồ thị biểu diễn tập nghiệm của phương trình x 2 là đường thẳng (d) song song với trục Oy. Đồ thị biểu diễn tập nghiệm của phương trình 2 x y 3 là đường thẳng d y 2 x 3 có hệ số góc a 2 . Rõ ràng (d)
x 2 và d là hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Do vậy hệ 2 x y 3 có 1 nghiệm duy nhất. Ta vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy hai đường thẳng d x 2
d y 2 x 3 . Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm M 2;1 .
x 2 Vậy nghiệm của hệ là 2;1 . 2 x y 3 1 2 b) Đường thẳng x 3 y 2 hay y x có hệ số góc 3 3 1 a . 3
Đường thẳng 2 y 4 y 2 song song với trục Ox. Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm N 4; 2 . Hệ có nghiệm duy nhất 4; 2 . 9. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
x y 2 a) 3 x 3 y 2
3 x 2 y 1 b) 6 x 4 y 0 Hướng dẫn
a) Đường thẳng (d) biểu diễn tập nghiệm của phương trình x y 2 là đồ thị hàm số y x 2 có hệ số góc a 1 và tung độ gốc b 2 . Đường thẳng d biểu diễn tập nghiệm của phương trình 3 x 3 y 2 là đồ thị hàm số y x góc a 1 và tung độ gốc b
2 có hệ số 3
2 . 3
Vì a a và b b nên (d) và d song song với nhau. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. b) Tương tự như trên, ta xét hai đường thẳng y thẳng y
3 1 3 1 x có hệ số góc a , tung độ gốc b và đường 2 2 2 2
3 3 x có hệ số góc a , tung độ gốc b 0 . Hai đường thẳng này song song với nhau. 2 2
Hệ đã cho vô nghiệm.
10. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
2 1 x y b) 3 3 x 3 y 2
4 x 4 y 2 a) 2 x 2 y 1
Hướng dẫn Xét tương tự như bài 9. a) Xét hai đường thẳng d : 4 x 4 y 2 y x
1 2
1 đường thẳng d : 2 x 2 y 1 hay y x . 2
Hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm. b)
1 2 1 2 1 2 x y y x ; x 3y 2 y x 3 3 3 3 3 3
Hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm. 11. Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai đồ thị phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao? Hướng dẫn Ta biết rằng tập nghiệm của một trình được biểu diễn bằng một đường thẳng. Khi có hai nghiệm phân biệt của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai phương trình của hệ phải trùng nhau (vì qua hai điểm chỉ có một đường thẳng duy nhất) như vậy, trong trường hợp này hai phương trình có chung nhau vô số nghiệm hay hệ vô số nghiệm.
§3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ 1. Quy tắc thế Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế cho phép ta thực hiện các bước: Bước 1: Từ một phương trình của hệ, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn). Bước 2: Dạng phương trình mới, thay thế cho phương trình còn lại (và giữ nguyên phương trình thứ nhất). 2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta thực hiện các bước: 1. Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn. 2. Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Chú ý: Thông thường để để tính toán, người ta hay biểu diễn ẩn có hệ số nhỏ (nhất là các ẩn có hệ số 1 ) qua ẩn kia. BÀI TẬP 12. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
x y 3 a) 3 x 4 y 2
7 x 3 y 5 b) 4 x y 2
x 3 y 2 c) 5 x 4 y 11
Hướng dẫn
x y 3 a) Hệ 3 x 4 y 2
1 2
Từ (1) ta biểu diễn x theo y: x y 3 x y 3 . Đem thế vào (2) ta được: 3 y 3 4 y 2 3 y 9 4 y 2 y 7
x y 3 x 10 Ta đưa hệ đã cho về hệ: y 7 y 7 Đáp số: x; y 10;7 .
7 x 3 y 5 b) Hệ 4 x y 2 Biểu diễn y theo x từ 4 x y 2 y 4 x 2 rồi thế vào phương trình 7 x 3 y 5 . Kết quả
x; y
11 6 ; . 19 19
25 21 c) Biểu diễn x theo y từ x 3 y 2 . Kết quả x; y ; . 19 19
x y 1 b) 2 3 5 x 8 y 3
3 x 2 y 11 13. a) 4 x 5 y 3
Hướng dẫn a) Biểu diễn y theo x từ 3 x 2 y 11 y Thế vào 4 x 5 y 3 4 x 5.
3 x 11 2
3 x 11 3 2
8 x 5 3 x 11 6 7 x 49 x 7
Thế giá trị x 7 vào y
3 x 11 ta tính ra y 5 2
Đáp số: 7;5 . 3 b) Đáp số: x; y 3; . 2
2 3 x 3y 2 5 3 b) 4 x y 4 2 3
x y 5 0 14. a) x 5 3 y 1 5
Hướng dẫn a) Biểu diễn x theo y từ x y 5 0 x y 5 Thế vào x 5 3 y 1 5 ta được: 5 y 3 y 1 5 y
Ta tính ra: x
5 1 0, 62 2
5 5 1,38 . 2
b) Biểu diễn y theo x từ 4 x y 4 2 3 y 4 x 4 2 3 Ta tính ra x 1; y 2 3 3, 46 . Đáp số: x; y 1; 3, 46 . LUYỆN TẬP
x 3 y 1 15. Giải hệ phương trình 2 trong mỗi trường hợp sau a 1 x 6 y 2a a) a 1 ;
b) a 0;
c) a 1. Hướng dẫn
x 3y 1 x 3y 1 a) Với a 1 ta được hệ: 2 x 6 y 2 x 3 y 1 Từ x 3 y 1 x 1 3 y
Thế vào x 3 y 1 1 3 y 3 y 1 0. y 2 Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ vô nghiệm.
x 3y 1 b) Với a 0 ta được hệ x 6 y 0 1 Hệ này cho ta x; y 2; 3
x 3y 1 x 3y 1 c) Với a 1 , ta có hệ: 2 x 6 y 2 x 3y 1 hệ vô số nghiệm. Giải các hệ sau bằng phương pháp thế (bài 16, 17)
3 x y 5 16. a) 5 x 2 y 23
x 2 c) y 3 x y 10 0
3 x 5 y 1 b) 2 x y 8 Hướng dẫn
a) Đáp số: x; y 3; 4 b) Đáp số: x; y 3; 2 c) Đáp số: x; y 4;6
x 2 y 3 1 17. a) x y 3 2
2 1 x y 2 c) x 2 1 y 1
x 2 2 y 5 b) x 2 y 1 10
Hướng dẫn a) Ta tính ra: x 1; y y
3 2 1 1, 73. 1, 41 1 2 1 3 3 3
0.71 y 0, 24 3
Đáp số: x; y 1;0, 24 . b) Đáp số: x
2 2 3 5 1 2 10 ;y . 5 5
3 2 2, 21; x 2 c) Đáp số: y 1 0,5 2
2 x by 4 18. a) Xác định các hệ số a, b biết rằng hệ phương trình: có nghiệm là 1; 2 . bx ay 5 b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm là
2 1; 2 .
Hướng dẫn a) Hệ đã cho nhận cặp x; y 1; 2 là nghiệm nên:
2 2b 4 2.1 b 2 4 * b 2a 5 b.1 a 2 5 Giải hệ (*) với các ẩn là a, b bằng phương pháp thế. Từ phương trình 2 2b 4 2b 6 b 3 .
b 2 Ta đưa hệ đã cho về b 2a 5 Thế b 3 vào phương trình b 2a 5 Ta có: 3 2a 5 a 4 . Kết quả, các giá trị cần tìm là a 4; b 3 và có hệ:
2 x 3 y 4 3 x 4 y 5
2 2 1 2b 4 b) Tương tự, ta giải hệ: 2 1 b 2a 5
và được: a 5
2 1 ; b
22 .
19. Biết rằng: Đa thức P x chia hết cho đa thức x a khi và chỉ khi P a 0 . Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x 1 và x 3 . P x mx 3 m 2 x 2 3n 5 x 4n
Hướng dẫn Đa thức P x mx 3 m 2 x 2 3n 5 x 4n chia hết cho nhị thức x 1 khi: P 1 m m 2 3n 5 4n 0 hay n 7 0 1 P x chia hết cho x 3 khi: P 3 27 m 9 m 2 3 3n 5 4n 0 hay 36m 13n 3 0
2
n 7 0 Ta giải hệ sau đây với m, n là các ẩn: bằng phương pháp thế, từ n 7 0 n 7 36m 13n 3 Thế vào 36m 13n 3 ta rút ra m
22 . 9
§4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 1. Quy tắc cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số được thực hiện qua các bước: Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới. Bước 2: Dùng phương trình mới có được để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ, giữ nguyên phương trình kia. 2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Ta thực hiện các bước: 1. Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau. 2. Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0. 3. Giải hệ vừa thu được: Ta giải phương trình một ẩn vừa thu được và suy ra nghiệm kia. BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
3 x y 3 1. a) 2 x y 7
2 x 5 y 8 b) 2 x 3 y 0
2 x 3 y 2 d) 3 x 2 y 3
0,3 x 0,5 y 3 e) 1,5 x 2 y 1,5
4 x 3 y 6 c) 2 x y 4
Hướng dẫn
3 x y 3 1 a) 2 x y 7 2 Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được 5 x 10
3
5 x 10 và được hệ tương đương: 2 x y 7
x 2 3 Từ (3) ta có x 2 . Thế vào (2) ta được hệ: 4 y 7 4
x 2 Từ đây ta có hệ . Hệ có nghiệm duy nhất x; y 2; 3 . y 3 2 x 5 y 8 1 b) 2 x 3 y 0 2 Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế, ta có 8 y 8 3 và được hệ mới tương đương: y 1 8 y 8 3 y 1 3 2 x 3 0 x 2 2 x 3 y 0 2
3 2
4 x 3 y 6 1 c) 2 x y 4 2 4 x 3 y 6 1 Nhân hai vế của (2) với 2 , ta có hệ mới 4 x 2 y 8 3 Cộng (1) và (3) vế với vế, ta có hệ mới:
y 2 y 2 y 2 2 x y 4 2 x 2 4 x 3 Đáp số: x; y 3; 2
2 x 3 y 2 1 d) 3 x 2 y 3 2
3 4
6 x 9 y 6 Nhân (1) với 3 và (2) với 2 ta có hệ: 6 x 4 y 6 Tiếp tục biến đổi, ta có kết quả: x; y 1;0 .
0,3 x 0,5 y 3 1 e) 1,5 x 2 y 1,5 2 1, 2 x 2 y 12 Nhân (1) với 4 ta được hệ tương đương: 1,5 x 2 y 1,5
3 4
0,3 x 0,5 y 3 Cộng (3) với (4), ta được hệ tương đương: 2, 7 x 13,5 Từ hệ này ta tính ra x; y 5;3
1,5 x 2,5 y 15 Chú ý: Có thể nhân (1) với -5 để đưa về hệ 1,5 x 2 y 1,5 x 2 3 y 1 21. a) 2 x y 2 2
5 x 3 y 2 2 b) x 6 y 2 2 Hướng dẫn
x 2 3 y 1 1 a) 2 x y 2 2 2
Nhân cả hai vế của (1) với 2 , ta có hệ tương đương
2 x 3 2 y 2 4 2 y 2 2 2 x y 2 2 2 x y 2 2 Từ hệ này giải ra ta có: x
1 8
2 6 ;y
1 4
2 1 .
1 2
5 x 3 y 2 2 b) x 6 y 2 2
Nhân cả hai vế của (1) với
2 , ta có hệ:
5 x 6 y 2 4 6 6 x 6 x 6 y 2 2 x 6 y 2 2 Từ đây ta tính ra: x
6 2 1 1 0, 42; y 0, 70 . ;y hay x 6 2 6 2
LUYỆN TẬP 22. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
5 x 2 y 4 a) 6 x 3 y 7
2 x 3 y 11 b) 4 x 6 y 5 Hướng dẫn
5 x 2 y 4 1 a) 6 x 3 y 7 2 Hướng dẫn: Nhân (1) với 3 và (2) với 2. 2 11 Đáp số: x; y ; . 3 3
2 x 3 y 11 b) 4 x 6 y 5
1 2
Nhân (1) với 2, ta được hệ tương đương
4 x 6 y 22 0.x 0. y 27 4 x 6 y 5 4 x 6 y 5 Phương trình 0.x 0. y 27 vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 3 x 2 y 10 c) 2 1 x y 3 3 3
1 2
Nhân (2) với 3 ta có hệ tương đương x 3 x 2 y 10 3 x 10 . Hệ vô số nghiệm. y 3 x 2 y 10 2
1 2 x 1 2 y 5 23. Giải hệ phương trình sau: 1 2 x 1 2 y 3
3 x 2 y 10 c) 2 1 x 3 y 3 3
Hướng dẫn
1 2 x 1 2 y 5 1 2 x 1 2 y 3 Lấy (1) trừ cho (2). Ta tính ra y
1 2
2 1 ; x 7 2 6 . 2 2
24. Giải hệ phương trình:
2 x y 3 x y 4 a) x y 2 x y 5
2 x 2 3 1 y 2 b) 3 x 2 2 1 y 3 Hướng dẫn
2 x y 3 x y 4 a) Hệ x y 2 x y 5
2 X 3Y 4 Cách 1: Đặt ẩn phụ X x y; Y x y ta đưa hệ đã cho về hệ X 2Y 5 x y 7 Giải hệ này ta có X 7; Y 6 . Ta trở về hệ x y 6 1 13 Hệ này cho ta nghiệm x ; y . 2 2
5 x y 4 Cách 2: Thực hiện việc rút gọn các phương trình của hệ đã cho, ta đưa về hệ: 3 x y 5 1 13 Giải hệ này ta cũng có kết quả x ; y . 2 2
b) Có thể giải bằng hai cách:
2 X 3Y 2 Cách 1: Đặt ẩn phụ X x 2; Y 1 y để đưa về hệ 3 X 2Y 3 2 x 3 y 1 Cách 2: Rút gọn đưa về hệ 3 x 2 y 5 Đáp số: x 1; y 1 . 25. Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau đây (với biến số x) bằng đa thức 0. P x 3m 5n 1 x 4m n 10 .
Hướng dẫn
3m 5n 1 0 3m 5n 1 P x 0 khi và chỉ khi: 4m n 10 0 4m n 10 Giải hệ này ta được m 3; n 2 .
26. Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: a) A 2; 2 và B 1;3
c) A 3; 1 và B 3; 2
b) A 4; 2 và B 2;1
d) A
3; 2 và B 0; 2 .
Hướng dẫn a) Đường thẳng AB đi qua A 2; 2 ; B 1;3 cho ta: 2 2.a b và 3 1.a b .
2a b 2 5 4 Ta giải hệ a ;b 3 3 a b 3 5 4 Đường thẳng AB có phương trình y x . 3 3
b) Đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm A 4; 2 và B 2;1 cho ta:
2 a 4 b 1 a ;b 0 2 1 a 2 b 1 1 c) ĐS: a ; b 2 2
d) ĐS: a 0; b 2 27. Bằng cách đặt ẩn phụ, đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải: 1 1 x y 1 a) 3 4 5 x y
1 1 Hướng dẫn: đặt u ; v . x y
1 x2 b) 2 x 2
Hướng dẫn: đặt u
1 2 y 1 3 1 y 1
1 1 ;v . x2 y 1
Hướng dẫn 1 1 a) Đặt u ; v ta đưa hệ phương trình đã cho về dạng: x y
u v 1 1 3u 4v 5 2 4u 4v 4 Nhân phương trình (1) với 4, ta được hệ: 3u 4v 5
1 2
7u 9 Áp dụng phương pháp cộng đại số, ta cộng 1 với (2) và được phương trình 7u 9 và có hệ: 3u 4v 5 Từ đây ta tính ra u
9 2 và đem thế vào 3u 4v 5 ta tính ra v . 7 7
Từ u
9 1 9 7 x 7 x 7 9
v
2 1 2 7 y 7 y 7 2
b) Đặt u
1 1 ;v ta đưa hệ đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u, v: x2 y 1
Giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số, ta được: u
7 1 7 19 x 5 x2 5 7
v
3 1 3 8 y 5 y 1 5 3
u v 2 2u 3v 1
§5. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta cũng tiến hành các bước như đối với giải bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp 8.. Bước 1: Lập phương trình. Bước này gồm các khâu: - Chọn ẩn và đặt điều kiện. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác qua ẩn và các giả thiết. - Lập phương trình hoặc lập hệ phương trình. Bước 2: Giải hệ phương trình. Bước 3: Trả lời. Xét xem nghiệm của hệ có thỏa mãn điều kiện bài toán hay không và ghi đáp số. Chú ý: - Trong các bài toán sau, ta chọn hai ẩn và lập hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn vừa chọn. - Cũng có thể giải bài toán bằng các phương trình bậc nhất 1 ẩn nhưng ta sẽ gặp phức tạp hơn trong khâu suy luận để lập phương trình. Giải bằng hệ phương trình thường đơn giản và rõ ràng hơn. BÀI TẬP 28. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2, số dư là 124. Hướng dẫn Gọi x, y là hai số tự nhiên cần tìm và giả sử x y và x 1006 , y 1006 (x là số lớn, y là số nhỏ), ta có hệ
1 2
x y 1006 x 2 y 124
Thế x từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: 2 y 124 y 1006 3 y 882 y 294
Từ đây ta có: x 2.294 124 712 Thử lại: ta có x y 294 712 1006 712 2.294 124
Vậy hai số cần tìm là x 712, y 294 . Chú ý: Có thể giải bài này bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn như sau: Gọi x là số tự nhiên lớn hơn thì số tự nhiên kia là 1006 x với x 1006 Theo bài ra ta có phương trình: x 1006 x .2 124 3 x 2136 x 712 .
Suy ra số còn lại: 1006 712 294 . 29. Giải bài toán cổ sau đây: Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui. Chia ba mỗi quả quýt rồi, Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh. Trăm người, trăm miếng ngọt lành. Quýt, cam mỗi loại tính rành ra sao? Hướng dẫn Gọi x là số cam và y là số quýt; x, y nguyên dương. Ta có phương trình: x y 17 Mỗi quả cam chia làm 10, vậy x quả chia được 10x miếng Tương tự, y quả quýt được chia thành 3y miếng
x y 17 Theo bài ra ta có hệ 10 x 3 y 100 Giải hệ này, ta rút ra x 7; y 10 . Thử lại: x y 7 10 17 10 x 3 y 10.7 3.10 100 .
Đáp số: Số cam: 7 quả; Số quýt: 10 quả. 30. Một chiếc ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A. Hướng dẫn Gọi x là độ dài quãng đường AB và y là thời gian người đó dự định đi từ A đến B. x 0 và tính bằng km; y 0 và tính bằng h.
Nếu người ấy đi với vận tốc 35km/h thì thời gian người ấy đi từ A đến B là người ấy đến chậm mất 2 giờ, tức là thời gian đi đường là y 2 . Ta có phương trình:
x x y 2 . Tương tự ta có: y 1. 35 50
x 35 y 2 Ta có hệ . Giải hệ này ta rút ra: x 350 km ; y 8h . x y 1 50
Đáp số: - Khoảng đường AB dài 350km - Thời gian xuất phát 4 giờ sáng.
x và như vậy, so với dự định, 35
§6. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH (tiếp theo) BÀI TẬP 31. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 36cm 2 , và nếu một cạnh giảm đi 4cm còn cạnh kia giảm đi 2cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26cm 2 . Hướng dẫn Gọi x, y là các cạnh góc vuông của tam giác vuông; x 0, y 0 và tính bằng cm.
x 3 y 3 xy 72 Ta có hệ: xy x 2 y 4 52
3 x 3 y 72 Rút gọn ta đưa về hệ: 4 x 2 y 60 Giải hệ này, ta được: x 9; y 12 . Dễ thấy x 9; y 12 cũng là đáp số của bài toán. Kết quả: Độ dài hai cạnh góc vuông là 9cm và 12cm. 32. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn thì sau 4 nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau
4 giờ bể đầy. Nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ 5
6 giờ mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai 5
thì sau bao lâu bể mới đầy? Hướng dẫn Gọi x, y là thời gian để vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể, x 0, y 0 và tính bằng h. 4 24 4 h h 5 5
Vòi thứ nhất mất x giờ mới đầy bể nên 1h chảy được
1 9 thì trong 9 giờ vòi thứ nhất chảy được phần của x x
bể.
1 1 Một giờ hai vòi chảy được phần của bể x y Hai vòi chảy được trong
1 5 24 h mới đầy bể, nên mỗi giờ hai vòi chảy được (bể) 24 24 5 5
9 6 5 x 5 . 24 1 Ta có hệ phương trình: 1 1 5 x y 24
Giải hệ này ta được: x 12; y 8
Thử lại:
1 1 1 1 23 5 x y 12 8 24 24
Thời gian cả hai vòi cần để chảy đầy bể là:
24 5 24 4 : 4. h 24 24 5 5
Đáp số: Thời gian để vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể là 8h. 33. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu? Hướng dẫn Gọi x, y là thời gian mà mỗi người làm riêng thì hoàn thành công việc; x 0, y 0 và tính bằng h Trong một giờ người thứ nhất làm được Trong một giờ người thứ hai làm được
1 công việc x
1 công việc y
1 1 Trong một giờ hai người làm được công việc x y Ta có phương trình: 25% công việc tức
1 1 1 x y 16
1 công việc. 4
Trong 3h người thứ nhất làm được Trong 6h người thứ hai làm được Theo bài ra ta có phương trình: 1 1 1 x y 16 Ta có hệ: . 3 6 1 x y 4
3 công việc. x
6 công việc. y
3 6 1 x y 4
Đặt ẩn phụ:
1 1 X; Y x y
1 X Y 16 Ta đưa về hệ: 3 X 6Y 1 4
Giải hệ này, ta được: X Thử lại:
1 x 24; 24
1 1 3 1 ; 24 48 48 16
Y
1 y 48 48
3 6 12 1 24 48 48 4
Kết quả: Nếu làm một mình thì: - Người thứ nhất phải làm trong 24h - Người thứ hai phải làm trong 48h LUYỆN TẬP 34. Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây bắp cải. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp? Hướng dẫn Gọi x là số luống rau mà Lan trồng, x 0; y là số cây cải bắp mà Lan trồng trên mỗi luống, với điều kiện
y nguyên, dương. Ta có hệ: xy x 8 y 3 54 3 x 8 y 30 3 x 8 y 30 2 x 4 y 40 x 2 y 20 x 4 y 2 xy 32 Giải hệ này ta được x 50; y 15 Vậy số cải bắp trồng trong vườn nhà Lan: 15 50 750 cây 35. (Bài toán cổ Ấn Độ) Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi? Hướng dẫn Gọi x là giá tiền mua mỗi quả thanh yên, x 0
y là giá tiền mua mỗi quả táo rừng, y 0
9 x 8 y 107 9 x 8 y 107 Ta có hệ: 7 x 7 y 91 x y 13 Giải hệ này ta được: x 3 rupi ; y 10 rupi 36. Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *): Điểm số của mỗi lần bắn
10
9
8
7
6
Số lần bắn
25
42
*
15
*
Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó. Hướng dẫn Gọi số lần bắn được điểm 8 là x, x nguyên và 0 x 100 số lần bắn được điểm 6 là y, y nguyên và 0 y 100
25.10 42.9 8 x 15.7 6 y 869 Ta có hệ: 25 42 x 15 y 100
8 x 6 y 116 4 x 3 y 58 x y 18 x y 18 Giải hệ này ta được: x 4; y 14 37. Hai vật chuyển động trên một đường tròn đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật. Hướng dẫn Gọi x, y là vận tốc của các vật, x 0, y 0 và tính bằng cm/s 20 x y 4 Ta có hệ: 20 20 x y
Giải hệ này, ta được: x 3 cm / s ; y 2 cm / s 38. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được
2 bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng 15
vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu? Hướng dẫn Ta có: 1 giờ 20 phút = 80 phút. Gọi x là thời gian vòi thứ nhất cần để chảy đầy bể, x 0 , tính bằng phút thì trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được
1 (bể) x
y là thời gian vòi thứ hai cần để chảy đầy bể, y 0 , tính bằng phút thì trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được
1 (bể) y
1 1 1 x y 80 Ta có hệ: 10 12 2 x y 15
Đáp số: x 120 phút;
y 240 phút
39. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng? Hướng dẫn Gọi x và y là số tiền mua mỗi loại hàng, không kể thuế VAT, x 0, y 0 , đơn vị triệu đồng, ta có hệ:
110 x 108 y 217 110 x 108 y 217 109 x 109 y 218 x y 2 1 3 Giải hệ này ta được: x ; y 2 2
Vậy số tiền người ấy mua mỗi loại là: 500000đ và 1500000đ.
ÔN TẬP CHƯƠNG III CÂU HỎI
x y 3 1. Sau khi giải hệ , bạn Cường kết luận rằng hệ phương trình có hai nghiệm: x 2 và y 1 . Theo x y 1 em điều đó đúng hay sai? Nếu sai thì phải phát biểu thế nào cho đúng? Hướng dẫn Kết luận của bạn Cường là sai vì nghiệm của hệ là một cặp x; y , chứ không phải là mỗi số riêng biệt. Phát biểu đúng: “Nghiệm duy nhất của hệ là x; y 2; 1 ” 2. Dựa vào minh họa hình học (xét vị trí tương đối của hai đường thẳng xác định bởi hai phương trình trong hệ), em hãy giải thích các kết luận sau:
ax by c Hệ phương trình ax by c + có vô số nghiệm nếu + vô nghiệm nếu
( a, b, c, a, b, c khác 0)
a b c a b c
a b c a b c
+ có một nghiệm duy nhất nếu
a b a b
Hướng dẫn Ta biết tập nghiệm của phương trình ax by c được biểu diễn bằng đường thẳng ax by c và tập nghiệm của phương trình ax by c được biểu diễn bằng đường thẳng ax by c - Với
a b c thì hai đường thẳng ax by c và ax by c trùng nhau, mọi điểm của đường thẳng a b c
này cũng là điểm của đường thẳng kia, do đó hai phương trình có chung nhau vô số nghiệm. Hệ đã cho vô số nghiệm. - Với
a b c thì hai đường thẳng ax by c và ax by c song song với nhau, tức là chúng không a b c
cắt nhau, suy ra không có điểm nào chung cho hai đường thẳng hay không có điểm nào mà tọa độ của nó thỏa mãn cả hai phương trình. Vậy hệ vô nghiệm. - Khi
a b thì hai đường thẳng ax by c và ax by c cắt nhau tại 1 điểm duy nhất, tọa độ của giao a b
điểm thỏa mãn cả hai phương trình của hệ. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
3. Khi giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta biến đổi hệ phương trình đó để được một hệ phương trình mới tương đương, trong đó có một phương trình một ẩn. Có thể nói gì về số nghiệm của hệ đã cho nếu phương trình một ẩn đó: a) Vô nghiệm?
b) Có vô số nghiệm? Hướng dẫn
a) Hệ đã cho vô nghiệm bởi vì mỗi nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình, một phương trình vô nghiệm thì hệ không có nghiệm chung. b) Hệ đã cho có vô số nghiệm. BÀI TẬP 40. Giải các hệ phương trình sau, và minh họa hình học kết quả tìm được:
2 x 5 y 2 a) 2 5 x y 1
0, 2 x 0,1 y 0,3 b) 3 x y 5 Hướng dẫn
2 x 5 y 2 2 x 5 y 2 a) Ta giải hệ 2 2 x 5 y 5 5 x y 1 Vì
2 5 2 2 5 5
Hệ vô nghiệm Hai đường thẳng: 2 x 5 y 2 và nhau
0, 2 x 0,1 y 0,3 b) 3 x y 5 2 x y 3 3 x y 5 Giải hệ này, ta được nghiệm
x; y 2; 1 1 3 3 x 2 y 1 x y c) 2 2 6 x 4 y 2 6 x 4 y 2
2 x y 1 song song với 5
1 3 x y c) 2 2 6 x 4 y 2
3 x 2 y 1 3 x 2 y 1
Hệ vô số nghiệm.
x Công thức nghiệm tổng quát 3x 1 y 2 Chú ý chung: Khi các hệ số là các số thập phân hoặc các phân số, ta nên tìm cách biến đổi để có các phương trình với các hệ số là các số nguyên giúp cho việc tính toán đơn giản và ít nhầm lẫn hơn. 41. Giải các hệ phương trình sau:
2x x 1 b) x x 1
x 5 1 3 y 1 a) 1 3 x y 5 1
y 2 y 1 3y 1 y 1
Hướng dẫn: đặt ẩn phụ. Hướng dẫn a) Đáp số: x b) Đặt ẩn phụ:
5 3 1 5 3 1 ; y 3 3
x y u; v ta đưa về hệ x 1 y 1
Giải hệ này, ta có u Giải tiếp:
2 2 2 3 2 1 ;v 5 5
2u v 2 u 3v 1
x 3 2 1 1 3 2 22 15 2 x x 1 5 2 43 2
2 2 y 2 2 12 5 2 y y 1 5 47 7 2
2 x y m 42. Cho hệ phương trình . Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau: 2 4 x m y 2 2
a) m 2
b) m 2
c) m 1 Hướng dẫn
2 x y 2 a) Với m 2 , hệ đã cho trở thành 4 x 2 y 2 2 Như vậy
2 1 2 . Vậy hệ vô nghiệm. 4 2 2 2
Với giá trị m 2 thì hệ vô nghiệm.
2 x y 2 b) Với m 2 , hệ đã cho trở thành 4 x 2 y 2 2
Rõ ràng
2 1 2 1 . Hệ vô số nghiệm. 4 2 2 2 2
Vậy hệ vô số nghiệm khi m 2 x Trong trường hợp này, nghiệm tổng quát của hệ là: y 2 x 2 2 x y 1 c) Với m 1 , hệ có dạng: 4 x y 2 2
1 x 2 2 1 2 y 2 2 2
Giải hệ này ta được:
43. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A 2km. Nếu cả hai giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. Hướng dẫn Gọi x là vận tốc của người đi nhanh hơn, x 0 tính bằng km/h;
y là vận tốc của người đi chậm hơn, y 0 tính bằng km/h. Từ giả thiết họ gặp nhau tại một địa điểm cách A 2km (tức là cách B: 1,6km) ta suy ra người xuất phát từ A là người đi nhanh còn người xuất phát từ B là người đi chậm hơn Từ lúc bắt đầu đi đến khi gặp nhau, người nhanh hơn đi mất
2 1, 6 h và người đi chậm đi mất h , vì họ ra x y
đi cùng một lúc nên khi gặp nhau thì thời gian họ đi bằng nhau, ta có phương trình Ta có: 6 phút
1 h 10
Khi họ gặp nhau giữa đường, thì mỗi người đã đi được 1,8km Người thứ nhất đi mất Người thứ hai đi mất
1,8 h x
1,8 1 h x 10
Ta cũng có phương trình:
1,8 1,8 1 x y 10
2 1, 6 x y Ta được hệ: 1,8 1,8 1 x y 10
2 1, 6 x y
Giải hệ này, ta rút ra x 2,5km / h; y 2km / h (Học sinh thử lại và ghi đáp số). 44. Một vật có khối lượng 124g và thể tích 15cm3 là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3 . Hướng dẫn Gọi x, y theo thứ tự là thể tích của đồng và của kẽm tính bằng cm3 và 0 x 15; 0 y 15
x y 15 Ta có phương trình 89 x 10 7 y 124 Giải hệ này ta được: x 10 cm3 ; y 5 cm3 Chú ý: nếu gọi x, y là khối lượng của đồng và kẽm, ta có hệ
10 x y 15 89 7 x y 124 45. Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên? Hướng dẫn Gọi x, y theo thứ tự là thời gian mà mỗi đội làm một mình thì hoàn thành công việc, với năng suất ban đầu: x, y 0 và tính theo đơn vị ngày.
Trong 1 ngày đội I làm được
1 công việc. x
1 ngày đội II làm được
1 công việc. y
1 ngày cả hai đội làm được Ta có phương trình:
1 công việc. 12
1 1 1 (công việc) x y 12
Trong 8 ngày cả hai đội làm được: 8. Số công việc còn lại
1 2 (công việc) 12 3
3 2 1 (công việc) 3 3 3
Sau khi đội I nghỉ, năng suất của đội II là
2 y
Họ phải làm trong 3,5 ngày thì xong công việc nên ta có phương trình
1 2 7 : 3 y 2
1 1 1 x y 12 Ta có hệ 1 : 2 7 3 y 2
Giải hệ này, ta được x 28 (ngày); y 21 (ngày). Chú ý: Ta có thể đặt hệ:
1 1 1 1 1 1 x y 12 x y 12 8 1 1 7 . 2 1 8 15 1 x y 2 y x y 46. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệm thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái, do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc? Hướng dẫn Gọi x, y theo thứ tự là số thóc mỗi đơn vị thu hoạch được, x, y 0 và tính theo đơn vị tấn.
x y 720 Ta có hệ 115 x 112 y 81900 Giải hệ này, ta có x 420 (tấn);
y 300 (tấn).
Chương IV. HÀM SỐ y ax 2 a 0 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN §1. Hàm số y ax 2 a 0 Hàm số y ax 2 a 0 có tính chất sau đây: - Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 và đồng biến khi x 0 . - Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 . - Nếu a 0 thì y 0 với mọi x 0 , y 0 khi x 0 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y 0 . - Nếu a 0 thì y 0 với mọi x 0 , y 0 khi x 0 . Giá trị lớn nhất của hàm số là y 0 . BÀI TẬP 1. Điền vào những ô trống các giá trị tương ứng của y trong hai bảng sau:
x
3
y 2x2
18
x
3
y 2 x 2
18
2
1
0
1
2
3
8
2
1
0
1
2
3
8
2. Đối với hàm số y 2 x 2 , nhờ bảng các giá trị vừa tính được, hãy cho biết: - Khi x tăng nhưng luôn luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm. - Khi x tăng nhưng luôn luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm. Nhận xét tương tự đối với hàm số y 2 x 2 . Hướng dẫn
x
3
2
1
0
1
2
3
y 2x2
18
8
2
0
2
8
18
x
3
2
1
0
1
2
3
y 2 x 2
18
8
2
0
2
8
18
Đối với hàm số y 2 x 2 , qua bảng các giá trị trên ta thấy: - Khi x tăng nhưng luôn luôn âm 3 2 1 0 thì giá trị tương ứng của y giảm 18 8 2 0 . - Khi x tăng nhưng luôn luôn dương 0 1 2 3 thì giá trị tương ứng của y tăng 0 2 8 18 . Đối với hàm số y 2 x 2 ta thấy: - Khi x tăng nhưng luôn luôn âm 3 2 1 0 thì giá trị tương ứng của y tăng 18 2 0 . - Khi x tăng nhưng luôn luôn dương 0 1 2 3 thì giá trị tương ứng của y giảm 0 2 8 18 .
LUYỆN TẬP 1. Diện tích S của hình tròn được tính bởi công thức S R 2 , trong đó R là bán kính của hình tròn. a) Dùng máy tính bỏ túi, tính các giá trị của S rồi điền vào các ô trống trong bảng sau ( 3,14 , làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
R cm
0,57
1,37
2,15
4,09
S R 2 cm 2
b) Nếu bán kính tăng gấp 3 lần thì diện tích tăng hay giảm bao nhiêu lần? c) Tính bán kính của hình tròn, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, nếu biết diện tích của nó bằng
79,5cm 2 . Hướng dẫn a) Dùng máy tính bỏ túi (CASIO FX – 220) Nhấn các nút sau:
Kết quả: 1,02
Điền các kết quả vừa tính trên ta được bảng sau:
R cm
0,57
1,37
2,15
4,09
S R 2 cm 2
1,02
5,89
14,51
52,53
b) Nếu R1 3R thì diện tích của hình tròn bán kính R1 là: S R12 3R 9 R 2 9 S 2
Vậy nếu bán kính hình tròn tăng lên 3 lần thì diện tích của nó tăng lên 9 lần. c) Từ công thức S R 2 ta có: R 2
S
R
S
79,5 5, 03cm . 3,14
2. Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường chuyển động S (mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) bởi công thức: S 4t 2 . a) Sau 1 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét? Tương tự sau 2 giây? b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất ? Hướng dẫn a) Sau 1 giây, vật rơi đi được quãng đường:
S 4 12 4m
Vậy sau 1 giây, vật cách mặt đất khoảng cách là:
d 100 4 96m . Tương tự, sau 2 giây, vật rơi ở cách mặt đất khoảng cách là: d 100 4 22 84m .
b) Gọi t (giây) là thời gian kể từ lúc bắt đầu rơi (ở độ cao 100m) đến khi tiếp đất. Trong t (giây) vật đi được quãng đường là 100m. Vậy: 100 4 t 2 t
100 5 4
Thời gian từ lúc bắt đầu rơi đến lúc tiếp đất là 5 giây. 3. Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là F av 2 . Khi vận tốc gió bằng 2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của
một con thuyền bằng 120 N (Niu-tơn). a) Tính hằng số a. b) Hỏi khi v 10m / s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi này khi
v 20m / s ? c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000 N, hỏi con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc gió 90km/h hay không ? Hướng dẫn a) Ta có: a
F 120 2 30 . v2 2
b) Lực của gió thổi vào buồm khi vận tốc gió bằng l0m/s là: F 30.102 3000 N
Khi vận tốc gió là 20m/s thì lực gió đẩy vào buồm là: F 30.202 12000 N
c) Theo câu b) lực gió thổi vuông góc với buồm bằng 12000 N khi gió có vận tốc 20m/s. Vận tốc gió là 90km/h tương ứng với vận tốc
90000 25m / s 3600
Với vận tốc gió 25m/s thì lực gió thổi vào buồm sẽ là: F 30.252 18750 N
Vậy con thuyền không thể đi được trong gió bão với vận tốc gió 90km/h.
§2. Đồ thị hàm số y ax 2 a 0 Đồ thị của hàm số y ax 2 a 0 là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là parabol với đỉnh O. Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Cách vẽ đồ thị hàm số y ax 2 . Cho x một số giá trị và tính các giá trị tương ứng của y lập thành bảng các cặp giá trị tương ứng (x; y). Biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; y) bằng các điểm trên một hệ trục tọa độ rồi nối các điểm biểu diễn trên một đường cong. Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y
1 2 x 2
Cho x các giá trị: 4, 2, 1, 0,1, 2, 4 ta được bảng sau:
y
x
4
2
1
0
1
2
4
1 2 x 2
8
2
1 2
0
1 2
2
8
Biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x, y) trên hệ trục tọa độ ta có các điểm: 1 1 N 4;8 , N 4;8 , M 2; 2 M 2; 2 , K 1; và K 1; , O 0;0 rồi nối chúng bằng đường cong thì 2 2
được đồ thị là hình dưới.
Nhận xét rằng đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. BÀI TẬP 4. Cho hai hàm số: y
3 2 3 x , y x 2 . Điền vào những ô trống của các bảng sau rồi vẽ hai đồ thị trên cùng 2 2
một mặt phẳng tọa độ.
x
2
1
0
1
2
y
3 2 x 2
x
2
1
0
1
2
3 y x2 2
Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị đối với trục Ox. Hướng dẫn Các bảng các cặp giá trị tương ứng như sau:
x
2
1
0
1
2
3 2 x 2
6
3 2
0
3 2
6
x
2
1
0
1
2
3 y x2 2
6
3 2
0
y
3 2
6
Các đồ thị của hai hàm số vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ như hình bên. Nhận thấy đồ thị hàm số y
3 2 3 x và đồ thị hàm số y x 2 đối xứng với nhau qua trục 2 2
hoành xx . Tổng quát: Các đồ thị của các hàm số y ax 2 và y ax 2 mà a a thì đối xứng với nhau qua trục hoành. 5. Cho ba hàm số: y
1 2 x ; y x2 ; y 2x2 2
a) Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm ba điểm A, B, C có cùng hoành độ x 1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ tương ứng của chúng. c) Tìm ba điểm A, B, C có cùng hoành độ x 1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiểm tra tính đối xứng của A và A , B và B , C và C . d) Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị của x để hàm số đó có giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn a) Đồ thị của ba hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ (hình bên). b) Điểm A trên đồ thị hàm số y y
1 2 1,5 1,125 . 2
1 2 x có hoành độ x 1,5 thì tung độ là: 2
Điểm B thuộc đồ thị hàm số y x 2 có hoành độ x 1,5 , có tung độ là y 1,5 2, 25 . 2
Điểm C trên đồ thị hàm số y 2 x 2 có hoành độ x 1,5 , có tung độ là y 2 1,5 4,5 . 2
Viết gọn là A 1,5;1,125 , B 1,5; 2, 25 , C 1,5; 4,5 . c) Làm tương tự câu b). Các điểm A, B, C có cùng hoành độ x 1,5 theo thứ tự tung độ thuộc các đồ thị hàm số y
1 2 x ; y x 2 ; y 2 x 2 có tung độ tương ứng y 1,125, y 2, 25, y 4,5 . Viết gọn là 2
A 1,5;1,125 , B 1,5; 2, 25 , C 1,5; 4,5 . Nhận xét rằng các điểm A và A có hoành độ đối nhau, tung độ bằng nhau. Chúng đối xứng với nhau qua trục tung y'y. Cũng như vậy các cặp điểm B và B , C và C đối xứng với nhau qua trục tung y’y. d) Tất cả ba hàm số đã cho đều có giá trị nhỏ nhất y 0 khi x 0 . 6. Cho hàm số y f x x 2 . a) Vẽ đồ thị của hàm số đó. b) Tính các giá trị f 8 ; f 1,3 ; f 0, 75 ; f 1,5 . c) Dùng đồ thị để ước lượng các giá trị 0,5 ; 1,5 ; 2,5 . 2
2
2
d) Dùng đồ thị để ước lượng vị trí các điểm trên trục hoành biểu diễn các số
3; 7 .
Hướng dẫn a) Lập bảng giá trị tương ứng:
x y x2
3
2
1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
Biểu diễn các cặp giá trị tương ứng 3; 9 , 2; 4 , ... trên mặt phẳng tọa độ và nối các điểm ta được đường cong là parabol (P) (hình vẽ trang sau). b) Ta có: f 8 8 64 2
f 0, 75 0, 75 0,5625 2
f 1,3 1,3 1, 69 2
f 1,5 1,5 2, 25 . 2
c) + Từ điểm 0,5; 0 trên trục hoành kẻ đường thẳng song song với trục tung Oy cắt (P) ở điểm A. Qua A kẻ đường thẳng song song với trục Ox cắt Oy tại điểm có tung độ khoảng giữa 0,2 và 0,3. Vậy ước lượng giá trị 0,5 khoảng 0,25. 2
+ Tương tự, để ước lượng giá trị 1,5 , ta kẻ qua điểm 1,5; 0 đường thẳng song song với trục Oy cắt 2
(P) tại điểm B. Kẻ qua B đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ khoảng 2,2. Vậy
1,5
2
2, 2 .
+ Kẻ qua 2,5; 0 đường thẳng song song với Oy cắt (P) tại C. Kẻ qua C đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ khoảng 6,2. Vậy 2,5 6, 2 . 2
d) + Qua điểm 0; 3 kẻ đường thẳng song song với Ox cắt (P) tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với Oy cắt Ox tại điểm D'. Điểm D' biểu diễn số
3.
+ Qua điểm 0; 7 kẻ đường thẳng song song với Ox cắt (P) tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với Oy cắt trục hoành xx tại E'. Điểm E' biểu diễn số
7.
7. Trên mặt phẳng tọa độ có một điểm M thuộc đồ thị của hàm số y ax 2 (hình bên). a) Tìm hệ số a. b) Điểm A 4; 4 có thuộc đồ thị không? c) Hãy tìm thêm hai điểm nữa (không kể điểm O) để vẽ đồ thị. Hướng dẫn a) Điểm M có tọa độ x 2, y 1 , thuộc đồ thị hàm số y ax 2 nên ta có: 1 a. 2 a 2
b) Ta có: 4
1 4
1 1 2 4 , nghĩa là tọa độ điểm A thỏa mãn công thức y x 2 . Vậy điểm A 4; 4 thuộc đồ thị 4 4
hàm số . c) Theo tính chất đối xứng của đồ thị qua trục Oy, ta có: M 2;1 thuộc đồ thị suy ra M ' 2;1 thuộc đồ thị và A 4; 4 thuộc đồ thị suy ra A 4; 4 thuộc đồ thị. Vẽ parabol qua các điểm O 0;0 , A 4; 4 , A ' 4; 4 và M 2;1 , M ' 2;1 ta được đồ thị của hàm số . Bạn đọc tự vẽ.
8. Biết rằng đường cong trong hình bên là một parabol y ax 2 . a) Tìm hệ số a. b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ
x 3 . c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ y 8 .
Hướng dẫn a) Ta thấy điểm 2; 2 thuộc đồ thị parabol y ax 2 , nên ta có hệ thức: 2 = a ( 2) Þ a = 2
2 1 = 4 2
b) Tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ x 3 là: y
1 9 2 3 . 2 2
c) Hoành độ các điểm thuộc parabol có tung độ y 8 là x thỏa mãn hệ thức: 8
1 2 x x 4 2
Vậy các điểm thuộc parabol có tung độ y 8 là A 4;8 , A ' 4;8 . 9. Cho hai hàm số: y
1 2 x và y x 6 . 3
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm giá trị gần đúng của tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó. Hướng dẫn a) Đồ thị các hàm số y
1 2 x và y x 6 trên cùng một mặt 3
phẳng tọa độ (hình vẽ). b) Các giao điểm A và B của hai đồ thị có các tọa độ
A 6;12 , B 3;3 . Thử lại bằng phép tính, ta được: Đối với điểm A: 12 Đối với điểm B: 3
1 2 6 6 6 (Đúng). 3
1 2 3 3 6 (Đúng). 3
10. Cho hàm số y 0, 75 x 2 . Qua đồ thị của hàm số đó, hãy cho biết khi x tăng từ 2 đến 4 thì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y là bao nhiêu?
Hướng dẫn Trước hết, vẽ đồ thị hàm số y 0, 75 x 2 ta được một parabol như hình bên. Qua đồ thị ta thấy, khi x tăng từ 2 đến 4 thì giá trị lớn nhất của y là: max y 0 đạt được khi x 0 . Giá trị nhỏ nhất của y là: min y y 4 12 .
§3. Phương trình bậc hai một ẩn 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax 2 bx c 0
trong đó x là ẩn số ; a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số với a 0 . Ví dụ: 2 x 2 5 x 2 0 . 2. Giải các phương trình bậc hai đặc biệt a) Phương trình bậc hai có hệ số tự do bằng 0 c 0 Đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích ax 2 bx 0 a 0 x ax b 0
b x 0 hoặc x . a
Ví dụ: 3 x 2 2 x 0 x 3 x 2 0
x 0 hoặc x
2 . 3
b) Phương trình bậc hai có hệ số bậc nhất bằng 0 ( b 0 ) ax 2 c 0 a 0
- Nếu ac 0 phương trình có 2 nghiệm đối nhau
x1
c c , x2 a a
Ví dụ: 3 x 2 4 0 x1, 2
4 2 3 3 3
- Nếu ac 0 phương trình vô nghiệm. c) Phương trình đưa về dạng aX 2 c 0 , trong đó X là một biểu thức bậc nhất của x . Ví dụ: Giải phương trình 3 x 2 6 x 1 0 3 x 2 6 x 1 0 3 x 2 6 x 1 2 2 3 x 1 2 2
x 1
2 2 2 x1 1 ; x2 1 3 3 3 BÀI TẬP
11. Đưa các phương trình sau về dạng ax 2 bx c 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c: a) 5 x 2 2 x 4 x ;
b)
3 2 1 x 2 x 7 3x ; 5 2
c) 2 x 2 x 3 3 x 1 ; d) 2 x 2 2 m 1 x m 2 0 , m là một hằng số.
Hướng dẫn a) 5 x 2 2 x 4 x 5 x 2 3 x 4 0 các hệ số : a 5, b 3, c 4 . b)
3 2 1 3 15 x 2 x 7 3x x 2 x 0 5 2 5 2
3 15 các hệ số : a , b 1, c . 5 2
c) 2 x 2 x 3 3 x 1 2 x 2 1 3 x
3 1 0 có các hệ số : a 2, b 1 3, c
3 1 .
d) 2 x 2 2 m 1 x m 2 0 có các hệ số a 2, b 2 2m, c m 2 . 12. Giải các phương trình sau: c) 0, 4 x 2 1 0 ;
a) x 2 8 0 ;
b) 5 x 2 20 0 ;
d) 2 x 2 2 x 0
e) 0, 4 x 2 1, 2 x 0 . Hướng dẫn
a) x1,2 2 2 , d) x1 0, x2
b) x1,2 2 ; 2 , 2
c) Vô nghiệm
e) x1 0, x2 3 1 b) x 2 2 x . 3
13. Cho các phương trình: a) x 2 8 x 2
Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương. Hướng dẫn a) x 2 8 x 2 x 2 2.4 x 42 2 42 x 4 14 x 4 14 2
x1 4 14, x2 4 14 . b) x 2 2 x x1 1
1 1 2 x 2 2 x 1 1 x 1 3 3 3
2 3 2 3 . , x2 1 3 3
14. Hãy giải phương trình: 2 x 2 5 x 2 0 theo các bước như ví dụ 3 trong bài học. Hướng dẫn 2 x 2 5 x 2 0 2 x 2 5 x 2 x 2
5 x 1 2
2
2
2
5 5 9 5 5 x 2 2. .x 1 x 4 4 16 4 4
x
5 9 5 3 1 5 3 x1 , x2 2 . 4 16 4 4 2 4 4
§4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 a 0 Gọi b 2 4.a.c là biệt thức của phương trình Nếu 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1
b b và x2 2a 2a
Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 x2
b 2a
Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. BÀI TẬP 15. Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau: b) 5 x 2 2 10 x 2 0 ;
a) 7 x 2 2 x 3 0 ; c)
1 2 2 x 7x 0 ; 2 3
d) 1, 7 x 2 1, 2 x 2,1 0 . Hướng dẫn
a)
7 x2 2x 3 0
có
các
hệ
số
a 7, b 2, c 3 .
Biệt
thức
b 2 4.a.c 2 4. 7 . 3 80 0 . 2
Phương trình vô nghiệm.
b) 2 10
2
4. 5 . 2 0 , phương trình có nghiệm kép.
1 2 153 c) 7 2 4 0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 3 2 3
d) 1, 2 4 1, 7 2,1 15, 72 0 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 2
16. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau: a) 2 x 2 7 x 3 0 ;
b) 6 x 2 x 5 0 ;
c) 6 x 2 x 5 0 ;
d) 3 x 2 5 x 2 0 ;
e) y 2 8 y 16 0 ;
f) 16 z 2 24 z 9 0 . Hướng dẫn
a) 7 4. 2 3 25 . Phương trình có hai nghiệm: 2
x1
7 25 7 25 1 3 và x2 2 2 2 2 2
b) 1 4. 6 5 0 . Phương trình vô nghiệm. 2
c) 1 4. 6 5 121 . Phương trình có hai nghiệm: 2
của
phương
trình:
x1
1 121 5 1 121 1 và x2 2 6 6 2 6
2 d) Đáp số: x1 , x2 1 3 3 f) Đáp số: z1 z2 . 4
e) Đáp số: y1 y2 4
§5. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 a 0 và b 2b , ta tính biệt thức thu gọn b2 ac Nếu ' 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1
b b và x2 a a
Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 x2
b a
Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. BÀI TẬP 17. Xác định a, b ', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình : a) 4 x 2 4 x 1 0 ;
b) 13852 x 2 14 x 1 0 ;
c) 5 x 2 6 x 1 0 ;
d) 3 x 2 4 6 x 4 0 . Hướng dẫn
a) Phương trình 4 x 2 4 x 1 0 có các hệ số a 4, b
b 4 2, c 1 . 2 2
Biệt thức b2 ac 2 4. 1 0 . Phương trình có nghiệm kép: x1 x2 2
b) Các hệ số a 13852, b
2 1 4 2
b 14 7, c 1 . 2 2
Biệt thức b2 ac 7 13852. 1 0 . Phương trình vô nghiệm. 2
c) Các hệ số a 5, b
b 6 3, c 1 2 2
Biệt thức 3 5. 1 4 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 2
x2
3 4 1 5
và
3 4 1 5 5
d) Đáp số: x1
2 6 6 2 6 6 2 6 6 ; x2 3 3 3
18. Đưa các phương trình sau về dạng ax 2 bx c 0 và giải chúng. Sau đó dùng bảng số hoặc máy tính để viết kết quả gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
2
1 x 1 x 1 ;
a) 3 x 2 2 x x 2 3 ;
b) 2 x 2
c) 3 x 2 3 2 x 1 ;
d) 0,5 x x 1 x 1 . 2
Hướng dẫn a) 3 x 2 2 x x 2 3 2 x 2 2 x 3 0 . 1 2. 3 7 0 . Phương trình có hai nghiệm: 2
x1
1 7 1 7 1 7 1, 22 và x2 0,55 . 3 3 3
b) 2 x 2
2
1 x 1 x 1 4 x 2 4 2 x 2 1 x 2 1
3x 2 4 2 x 2 0
Biệt thức 2 2
2
3. 2 2 0 .
Phương trình có hai nghiệm: x1
2 2 2 2 2 2 1, 41 và x2 0, 47 . 3 3
c) Vô nghiệm. d) 0,5 x x 1 x 1 0,5 x 2 0,5 x x 2 2 x 1 2
0,5 x 2 2,5 x 1 0 Biệt thức thu gọn 1, 25 0,5. 1 1, 06 0 . 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1
1, 25 1, 06 1, 25 1, 06 4,56 và x2 0, 44 . 0,5 0,5
19. Đố. Đố em biết vì sao khi a 0 và phương trình ax 2 bx c 0 vô nghiệm thì ax 2 bx c 0 với mọi giá trị của x ? Hướng dẫn b c Ta có: ax 2 bx c a x 2 x a 0 a a 2 2 2 b c b b a x a x 2 2a a 2a 2a 4a 2
b Theo giả thiết, phương trình đã cho vô nghiệm nên 0 . Do đó x 2 0 với mọi giá trị của x 2a 4a
Từ đó suy ra ax 2 bx c 0 với mọi giá trị của x . LUYỆN TẬP 20. Giải các phương trình: a) 25 x 2 16 0
b) 2 x 2 3 0
c) 4, 2 x 2 5, 46 x 0
d) 4 x 2 2 3 x 1 3 Hướng dẫn
4 a) Đáp số : x , 5
b) Vô nghiệm,
c) x1 0; x2
5, 46 1,3 . 4, 2
d) 4 x 2 2 3 x 1 3 4 x 2 2 3 x 3 1 0
3
2
4
3 1 7 4 3 2 3
2
0.
Phương trình có hai nghiệm: x1
2 3
3
4
2
3 1 và x2 2
2 3 4
2
3 1 . 2
21. Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem toán 7, tập 2, trang 26). a) x 2 12 x 288
b)
1 2 7 x x 19 12 12
Hướng dẫn a) x 2 12 x 288 x 2 12 x 288 0 6 1 288 324 0 . Phương trình có hai nghiệm: 2
x1 6 324 24 và x2 6 324 12 . b)
1 2 7 x x 19 x 2 7 x 12.(19) 0 12 12
7 4 228 961 0 . Phương trình có hai nghiệm: 2
x1
7 961 7 961 12 và x2 19 . 2 2
22. Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm. a) 15 x 2 4 x 2005 0
b)
19 2 x 7 x 1890 0 5
Hướng dẫn a) 2 15 2005 0 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Lưu ý rằng ở đây phương trình có hệ số a 15 0 và hệ số c 2005 0 (hai hệ số a và c trái dấu nhau) nên chắc chắn b 2 4ac 0 và phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Lập luận như câu a. 23. Rađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc v của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức: v 3t 2 30t 135 , (t tính bằng phút, v tính bằng km/h). a) Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút. b) Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hướng dẫn
a) Vận tốc của ôtô khi t = 5 phút: v 3 5 30 5 135 60km / h 2
b) Giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120km/h là nghiệm dương của phương trình: 120 3t 2 30t 135 3t 2 30t 15 0 t1
15 152 3 15
t2
3
9, 47 928 ,
15 180 0,53 32 3
24. Cho phương trình: x 2 2 m 1 x m 2 0 . a) Tính . b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Vô nghiệm? Có nghiệm kép? Giải a) m 1 m 2 2m 1 . 2
b) + Nếu 2m 1 0 , tức là nếu m
1 phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2
+ Nếu 2m 1 0 , tức là nếu m
1 phương trình vô nghiệm. 2
+ Nếu 2m 1 0 , tức là nếu m
1 phương trình có nghiệm kép. 2
§6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng 1. Định lí Vi-ét Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 bx c 0 a 0 thì: b x x 1 2 a x .x c 1 2 a
2. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai + Nếu phương trình ax 2 bx c 0 a 0 có a b c 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 1 , còn nghiệm kia là x2
c . a
Ví dụ: Phương trình 4 x 2 7 x 3 0 có 4 7 3 0 . Các nghiệm của phương trình là x1 1, x2
3 4
Nếu phương trình ax 2 bx c 0 a 0 có a b c 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 1 , còn c nghiệm kia là x2 . a 2 Ví dụ: Phương trình 3 x 2 5 x 2 0 có 3 5 2 0 . Phương trình này có các nghiệm là x1 1, x2 . 3
3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x 2 Sx P 0 . Ví dụ: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 15 . Hướng dẫn Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình: x 2 2 x 15 0 x1 1 16 5 , x2 1 16 3
Vậy hai số cần tìm là 5 và 3 . BÀI TẬP 25. Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ còn trống (...): a) 2 x 2 17 x 1 0 ,
....,
x1 x2 ...... ,
x1 x2 ...... ,
b) 5 x 2 x 35 0 ,
....,
x1 x2 ...... ,
x1 x2 ...... ,
c) 8 x 2 x 1 0 ,
....,
x1 x2 ...... ,
x1 x2 ...... ,
d) 25 x 2 10 x 1 0 ,
....,
x1 x2 ...... ,
x1 x2 ...... ,
Hướng dẫn
a) 281 ,
x1 x2
17 , 2
x1 x2
1 . 2
b) 701 ,
x1 x2
1 , 5
x1 x2 7 .
c), d) Bạn tự giải. 26. Dùng điều kiện a b c 0 hoặc a b c 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau : a) 35 x 2 37 x 2 0 ;
b) 7 x 2 500 x 507 0 ;
c) x 2 49 x 50 0 ;
d) 4321x 2 21x 4300 0 . Hướng dẫn
a) Phương trình 35 x 2 37 x 2 0 , có 35 37 2 0 . Theo hệ thức Vi-ét phương trình có một nghiệm
x1 1 và còn nghiệm kia x2
2 . 35
b) Các nghiệm: x1 1 , x2
507 7
c) Phương trình x 2 49 x 50 0 có 1 49 50 0 . Phương trình có một nghiệm x1 1 , còn nghiệm thứ hai x2
50 50 . 1
d) Như câu c), các nghiệm x1 1 , x2
4300 . 4321
27. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình. a) x 2 7 x 12 0 ;
b) x 2 7 x 12 0 . Hướng dẫn
a) 7 2 4.12 1 0 . Phương trình có hai nghiệm. Tổng của hai nghiệm x1 x2 7 , tích x1 x2 12 . Nhẩm thấy 3 4 7;3 4 12 . Vậy các nghiệm của phương trình này là 3 và 4. b) Tương tự câu a, các nghiệm là 3 và 4 . 28. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a) u v 32 , uv 231 ;
b) u v 8 , uv 105 ;
c) u v 2 , uv 9 . Hướng dẫn a)
u v 32 ,
uv 231
thì
u
và
v
là
hai
nghiệm
của
phương
trình
x 2 32 x 231 0
x1 16 25 21, x2 16 25 11 . Vậy u 21, v 11 hoặc u 11, v 21 . b) Đáp số: u 7, v 15 hoặc u 15, v 7 c) Phương trình x 2 2 x 9 0 vô nghiệm. Vậy không có cặp số nào thỏa mãn các điều kiện trên. LUYỆN TẬP 29. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a) 4 x 2 2 x 5 0 ;
b) 9 x 2 12 x 4 0 ;
c) 5 x 2 x 2 0 ;
d) 159 x 2 2 x 1 0 . Hướng dẫn
a) Phương trình có dạng ax 2 bx c 0 với ac 0 nên chắc chắn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với x1 x2
2 1 5 , x1 x2 . 4 2 4
b) 62 9.4 0 , phương trình có nghiệm kép x1 x2 x1 x2
12 2 . 18 3
4 4 , x1 x2 . 3 9
c) Phương trình vô nghiệm. d) x1 x2
2 1 , x1 x2 . 159 159
30. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m. b) x 2 2 m 1 x m 2 0 .
a) x 2 2 x m 0 ;
Hướng dẫn a) 1 m . Phương trình có nghiệm nếu 1 m 0 , tức là với m 1 . Khi đó các nghiệm của phương trình là x1 và x2 với
x1 x2 2 , x1 x2 m . b) Điều kiện m
1 2
x1 x2 2 1 m , x1 x2 m 2 . 31. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình. a) 1,5 x 2 1, 6 x 0,1 0 ;
3 x
3x 2 1 3 x 1 0
b)
c) 2
2
2 3x 2 3 0
d) m 1 x 2 2m 3 x m 4 0 với m 1 . Hướng dẫn a) Phương trình 1,5 x 2 1, 6 x 0,1 0 có 1,5 1, 6 0,1 0 . Nó có một nghiệm x1 1 và nghiệm kia x2
0,1 1 1,5 15
b) Từ hệ thức
1 3 1 3 1 0 , suy ra phương trình có các nghiệm x1 1, x2 . 3
c) x1 1, x2
2 3 7 4 3 2 3
d) Với m 1 , x1 1, x2
m4 m 1
32. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau : a) u v 42 , uv 441 ;
b) u v 42 , uv 400 ;
c) u v 5 , uv 24 . Hướng dẫn a) u, v là hai nghiệm của phương trình x 2 42 x 441 0
u v 21 . b) u 8, v 50 hoặc u 50, v 8 . c) Đặt u u , v v ta có u v 5, u v 24 . u , v là các nghiệm của phương trình x 2 5 x 24 0 . Từ đó u 8, v 3 hoặc u 3, v 8 .
Suy ra u 8, v 3 hoặc u 3, v 8 . 33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax 2 bx c 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức ax 2 bx c phân tích được thành nhân tử như sau:
ax 2 bx c a x x1 x x2 Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 2 x 2 5 x 3 ;
b) 3 x 2 8 x 2 .
Hướng dẫn Phương trình ax 2 bx c 0 có nghiệm là x1 , x2 thì b 2 4ac 0 . Khi đó ta có: b c ax 2 bx c a x 2 x a a 2 2 2 b c b b a x a x 2 2a a 2a 2a 4a
b b a x x 2a 2a 2a 2a b b a x x a x x1 x x2 2a 2a Áp dụng: a) 2 x 2 5 x 3 0 x1
5 1 3 5 1 , x2 1 4 2 4
3 Vậy 2 x 2 5 x 3 2 x x 1 2
b) 3 x 2 8 x 2 0 x1
4 10 4 10 , x2 3 3
4 10 4 10 Vậy 3 x 2 8 x 2 3 x x . 3 3
§7. Phương trình quy về phương trình bậc hai 1. Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax 4 bx 2 c 0 a 0
Cách giải: Đặt ẩn phụ x 2 t . Điều kiện t 0 . Giải phương trình at 2 bt c 0 . Chọn các nghiệm ti không âm của phương trình ẩn số t. Nghiệm của phương trình ban đầu là x ti với ti 0 . Ví dụ: Giải phương trình 2 x 4 3 x 2 5 0 . Đặt t x 2 0 , ta có 2t 2 3t 5 0
t1 1 (nhận), t2
5 (loại). 2
Phương trình ẩn x có các nghiệm x 1 1 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức : Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (ĐKXĐ). Đó là tập hợp tất cả các giá trị của ẩn x sao cho tất cả các mẫu thức trong phương trình khác 0. Bước 2: Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung. Bước 3: Giải phương trình nhận được sau bước 2. Loại đi các nghiệm của phương trình này mà chúng không thỏa ĐKXĐ. Các nghiệm còn lại là các nghiệm của phương trình ban đầu. Ví dụ: Giải phương trình:
2 x4 1 2 2 x 4 x 2x x 2x 2
ĐKXĐ: x 0, x 2 MTC: x x 2 4 . Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung thì được: 2 x x 4 x 2 x 2 x 2 5 x 6 0 x1 2 (loại), x2 3 (nhận).
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x 3 . 3. Phương trình tích Ví dụ: Giải phương trình x 3 x 2 10 x 8 0 . Phân tích vế trái thành nhân tử để biến phương trình đã cho thành phương trình tích. x 3 x 2 10 x 8 x 3 x 2 2 x 2 2 x 8 x 8
x 2 x 1 2 x x 1 8 x 1 x 1 x 2 2 x 8 x 3 x 2 10 x 8 0 x 1 0 hoặc x 2 2 x 8 0
x1 1, x2 2, x3 4 BÀI TẬP 34. Giải các phương trình trùng phương:
a) x 4 5 x 2 4 0 ;
b) 2 x 4 3 x 2 2 0 ;
c) 3 x 4 10 x 2 3 0 . Hướng dẫn a) Đặt t x 2 0 , ta được: t 2 5t 4 0 t1 4 (nhận), t2 1 (nhận). Tập nghiệm của phương trình đã cho S 1; 2 . b) Đặt t x 2 0 thì được: 2t 2 3t 2 0 t1 2 (nhận), t2
Kết quả S 2
1 (loại). 2
c) Đặt x 2 t 0 , ta được: 3t 2 10t 3 0 t1 3 (loại), t2
1 (loại). 3
Kết quả: Phương trình đã cho vô nghiệm. 35. Giải các phương trình: a)
x 3 x 3 2 x 3
1 x ;
b)
x2 6 ; 3 x 5 2 x
4 x2 x 2 c) x 1 x 1 x 2 Hướng dẫn a) Đáp số: x1
3 57 3 57 , x2 8 8
b) ĐKXĐ: x 5, x 2 . MTC: x 5 2 x . Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung thì được:
x 2 2 x 3 x 5 2 x 6 x 5 1 4 x 2 15 x 4 0 x 4 (nhận), x (nhận). 4
c) ĐKXĐ: x 1, x 2 . Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung thì được:
4 x 2 x2 x 2 x2 5x 6 0
x 2 (loại), x 3 (nhận). 36. Giải các phương trình: a) 3 x 2 5 x 1 x 2 4 0 ;
b) 2 x 2 x 4 2 x 1 0 . 2
Hướng dẫn a) 3 x 2 5 x 1 x 2 4 0 3 x 2 5 x 1 0 hoặc x 2 4 0 3 x 2 5 x 1 0 x1
5 13 5 13 , x2 6 6
2
x 2 4 0 x3 2, x4 2
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho: 5 13 5 13 S 2; ; 6 6
b) 2 x 2 x 4 2 x 1 0 2
2
2 x 2 x 4 2 x 1 2 x 2 x 4 2 x 1 0 2 x 2 3 x 5 0 hoặc 2 x 2 x 3 0 .
2 x 2 3 x 5 0 x1 1; x2
2 x 2 x 3 0 x3 1; x4
5 2
3 2
5 3 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho: S 1; ; 2 2
37. Giải phương trình trùng phương a) 9 x 4 10 x 2 1 0 ;
b) 5 x 4 2 x 2 16 10 x 2 ;
c) 0,3 x 4 1,8 x 2 1,5 0 ;
d) 2 x 2 1
1 4 x2
Hướng dẫn a) Đặt x 2 t 0 , ta được: 9t 2 10t 1 0 t1 1 (nhận), t2
1 (nhận). 9
1 Đáp số: S ; 1 3
b) 5 x 4 2 x 2 16 10 x 2 5 x 4 3 x 2 26 0 Đặt x 2 t 0 thì được: 5t 2 3t 26 0 t1 2 (nhận), t2 2, 6 (loại).
Đáp số: S 2
c) Vô nghiệm. d) ĐKXĐ: x 0 . Khử mẫu thức thì được: 2 x4 x2 1 4 x2 2 x4 5x2 1 0
Đặt x 2 t 0 thì được: 2t 2 5t 1 0 t1
5 33 5 33 (nhận), t2 (loại). 4 4
5 33 Đáp số: S 2 LUYỆN TẬP
38. Giải các phương trình : a) x 3 x 4 23 3 x ; 2
2
b) x3 2 x 2 x 3 x 1 x 2 2 ; 2
c) x 1 0,5 x 2 x x 2 1,5 ; 3
e)
14 1 ; 1 2 x 9 3 x
d)
x x 7 x x4 1 ; 3 2 3
f)
2x x2 x 8 x 1 x 1 x 4
Hướng dẫn 1 a) Đáp số: x1 , x2 2 2
b) Đáp số: x1
4 38 4 38 , x2 2 2
c) Vô nghiệm. d) Đáp số: x1
15 337 15 337 , x2 4 4
e) ĐKXĐ: x 3 . Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung thì được: 14 = x 2 - 9 + x + 3 Þ x 2 + x - 20 = 0 x1 4 (nhận), x2 5 (nhận)
f) ĐKXĐ: x 1; x 4 . Quy đồng rồi khử mẫu thức chung thì được:
2x x 4 x2 x 8 x2 7 x 8 0 x1 8 (nhận), x2 1 (nhận) 39. Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích :
a) 3 x 2 7 x 10 2 x 2 1 5 x 5 3 0 ; c) x 2 1 0, 6 x 1 0, 6 x 2 x ;
b) x 3 3 x 2 2 x 6 0 ;
d) x 2 2 x 5 x 2 x 5 . 2
2
Hướng dẫn a) Phương trình đã cho tương đương với:
3 x 2 7 x 10 0 hoặc 2 x 2 1 5 x 5 3 0
3 x 2 7 x 10 0 x1 1, x2
10 3
2x2 1 5 x 5 3 0 x1
5 1 30 10 5 5 1 30 10 5 3 5 1, x2 4 4 2
10 3 5 Đáp số: S 1; ; 3 2
b) x3 3 x 2 2 x 6 0 x 3 x 2 2 0
x 3 0 hoặc x 2 2 0
Đáp số: S 3; 2
c) x 2 1 0, 6 x 1 0, 6 x 2 x 0, 6 x 1 x 2 x 1 0 0, 6 x 1 0 hoặc x 2 x 1 0 .
5 1 5 1 5 Đáp số: S ; ; 2 2 3 1 10 d) Đáp số: S 0; ; . 2 3
40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: a) 3 x 2 x 2 x 2 x 1 0 ;
b) x 2 4 x 2 x 2 4 x 4 0 ;
c) x x 5 x 7 ;
d)
2
2
x x 1 10. 3. x 1 x
Hướng dẫn a) Đặt x 2 x t thì được: 3t 2 2t 1 0 t1 1, t2 Giải phương trình x 2 x 1 ta được x1 Giải phương trình x 2 x
1 3
1 5 1 5 , x2 2 2
1 ta thấy vô nghiệm. 3
1 5 1 5 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho S ; 2 2
b) x 2 4 x 2 x 2 4 x 4 0 2
x2 4x 2 x2 4x 2 6 0 2
Đặt x 2 4 x 2 t thì được t 2 t 6 0 t1 2, t2 3 . Giải phương trình x 2 4 x 2 2 được các nghiệm x1 0 , x2 4 . Giải phương trình x 2 4 x 2 3 ta thấy vô nghiệm. Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho S 0; 4 . c) Đặt
x t 0 ta được: t 2 6t 7 0
t1 1 (loại), t2 7 (nhận)
Kết quả: x t 2 49 . c) ĐKXĐ: x 1, x 0 . Đặt t
x t 0 thì được: x 1
10 3 t 2 3t 10 0 t
t1 5 (nhận), t2 2 (nhận) Gải các phương trình
x 5 2 x 2 ta được các nghiệm x1 (nhận) và x2 (nhận). 5 và x 1 4 3 x 1
5 2 Kết quả: Tập nghiệm của phương trình đã cho: S ; . 4 3
§8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta tiến hành các bước sau: Bước 1: Lập phương trình bao gồm: + Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn. Đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. + Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác qua ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập phương trình biểu thị tương quan giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình nhận được ở bước 1. Bước 3: Thử các nghiệm của phương trình đã nhận được ở bước 2 xem có thỏa mãn các điều kiện đặt ra cho ẩn không. Loại các nghiệm không thỏa mãn điều kiện đặt ra và kết luận bài toán. BÀI TẬP 41. Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào? Giải Gọi x là số Minh chọn, thì số Lan chọn là x 5 (Điều kiện cho x : là số thực). Ta có phương trình:
x x 5 150 x 2 5 x 150 0 x1 15, x2 10 Kết luận: Các bạn cần phải chọn các số 15 và 10 hoặc 10 và 15 . Ghi chú: Ta cũng có thể đặt các số cần tìm là x và x 5 thì có phương trình x 2 5 x 150 0 x1 10, x2 15 . Kết quả không khác cách trên. 42. Bác Thời vay 2000000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2420000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm? Giải Gọi x % là lãi suất vay ngân hàng trong một năm. Điều kiện x 0 . Tiền lãi năm thứ nhất là 2000000x . Cả tiền vay và tiền lãi phải trả sau 1 năm là 2000000 2000000 x 2000000 1 x . Số tiền trả cả vốn và lãi sau năm thứ hai là: 2000000 1 x 2000000 1 x x 2000000 1 x
2
Theo đề ta có phương trình: 2000000 1 x 2420000 x 2 2 x 2
Giải phương trình x 2 2 x x1
21 0 100
21 0 ta được các nghiệm 100
110 10 (nhận) và x2 (loại). 100 100
Kết luận. Bác Thời đã vay ngân hàng với lãi suất 10%/năm.
43. Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài 120km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi. Hướng dẫn Gọi vận tốc xuồng lúc đi là x (km/h) thì vận tốc lúc trở về là x 5 km/h. Điều kiện x 5 . Thời gian chạy xuồng lúc đi (không kể thời gian nghỉ) là trình:
120 125 , thời gian chạy xuồng trên đường về là . Ta có phương x x 5
125 120 1 x 5 x
Giải phương trình trên ta được các nghiệm:
x1 30 (nhận), x2 20 (loại). Kết luận: Tốc độ xuồng khi đi là 30km/h. 44. Đố: Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị. Hướng dẫn Gọi số phải tìm là x . Ta có phương trình: x 1 x 1 2 x x 2 0 x1 2, x2 1 2 2 2 2
Kết luận: Số cần tìm là 2 hoặc 1 . LUYỆN TẬP 45. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó. Hướng dẫn Đặt x là số tự nhiên nhỏ thì số kế tiếp nó là x 1 x . Ta có phương trình: x x 1 x x 1 109 . Đáp số: 11 và 12. 46. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240m 2 . Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất. Hướng dẫn Gọi x m là chiều dài hình chữ nhật thì chiều rộng của nó là
240 . x
240 Điều kiện x 4 . Ta có phương trình: x 4 3 240 . x
Đáp số: 20m và 12m. 47. Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
Hướng dẫn Gọi x km / h là vận tốc xe bác Hiệp. Điều kiện x 3 . Ta có phương trình:
30 1 30 x 2 x 3
Đáp số: 15km/h, 12km/h. 48. Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích 1500dm3 . Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
Hướng dẫn Gọi x dm là chiều rộng tấm tôn, chiều dài là 2x dm . Khi đó đáy của các thùng là hình chữ nhật có chiều rộng là x 10 dm chiều dài là 2 x 10 dm. Ta có phương trình: 5 x 10 2 x 10 1500 Đáp số: 20dm và 40dm. 49. Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc? Hướng dẫn Gọi x (ngày) là thời gian riêng đội I hoàn thành công việc. Thời gian đội II làm riêng là x 6 ngày. Trong 1 ngày đội I hoàn thành
1 1 công việc, đội II hoàn thành công việc. Cả hai đội cùng làm thì trong 1 x x6
ngày họ hoàn thành được
1 công việc. 4
Ta có phương trình:
1 1 1 x x6 4
Đáp số: 6 ngày, 12 ngày. 50. Miếng kim loại thứ nhất nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích miếng thứ hai là 10cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại. Hướng dẫn Gọi x (cm3) là thể tích miếng kim loại thứ nhất, x 10 cm3 là thể tích của miếng kim loại thứ hai. Ta có phương trình:
880 858 1 x x 10
Đáp số: 8,8g/cm3; 7,8g/cm3. 51. Người ta đổ thêm 200g nước vào dung dịch chứa 40g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước? Hướng dẫn Gọi x (g) là khối lượng nước có trong dung dịch lúc đầu, khối lượng nước sau khi đổ thêm là x 200 g. Ta có phương trình:
40 40 10 x x 200 100
Đáp số: 200g nước. 52. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3km/h. Hướng dẫn Gọi x (km/h) là vận tốc của canô trong nước yên lặng. Vận tốc canô lúc xuôi dòng và ngược dòng theo thứ tự là x 3 km/h và x 3 km/h. Quy 40 phút thành
2 30 30 2 giờ ta có phương trình: 6 3 x 3 x 3 3
Đáp số: 12km/h. 53. Tỉ số vàng. Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn. Hãy tìm tỉ số ấy. Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.
Hướng dẫn Giả sử M là điểm chia và AM BM Gọi tỉ số cần tìm là x ta có: x x
AM MB AB AM AB 1 AB AM AM AM
1 1 5 1 x 0, 618 x 2
Vậy tỉ số vàng là x 0, 618 .
ÔN TẬP CHƯƠNG IV CÂU HỎI 1. Hãy vẽ đồ thị của các hàm số y 2 x 2 , y 2 x 2 . Dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi sau: a) Nếu a 0 thì hàm số y ax 2 đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất không? Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không? b) Đồ thị của hàm số y ax 2 có những đặc điểm gì (trường hợp a 0 , trường hợp a 0 )? Trả lời a) Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 . Với x 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0. Không có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất. Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 . Hàm số đạt giá trị lớn nhất y 0 khi x 0 . Không có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. b) Đồ thị hàm số y ax 2 là đường cong (đặt tên là parabol) đi qua gốc tọa độ nhận trục tung y'y làm trục đối xứng. Nếu a 0 thì đồ thị nằm bên trên trục hoành, điểm O là điểm thấp nhất đồ thị (gọi là đỉnh của parabol). Nếu a 0 thì đồ thị nằm bên dưới trục hoành, điểm O là điểm cao nhất của đồ thị. 2. Đối với phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 a 0 , hãy viết công thức tính , . Khi nào thì phương trình vô nghiệm? Khi nào phương trình có hai nghiệm phân biệt? Viết công thức nghiệm. Khi nào phương trình có nghiệm kép? Viết công thức nghiệm. Vì sao khi a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Trả lời b 2 4.a.c , b2 ac trong đó b 2b
Nếu 0 (hoặc 0 ) phương trình vô nghiệm. Nếu 0 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt. x1
b b b b , x2 (hay x1 , x2 ). 2a 2a a a
Nếu 0 0 phương trình có nghiệm kép
x1 x2
b b x1 x2 2a a
- Nếu a và c trái dấu thì ac < 0, D = b 2 - 4ac > 0 (D ' = b '2 - ac > 0) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. 3. Viết hệ thức Vi-ét đối với các nghiệm của phương trình bậc hai: ax 2 bx c 0 a 0
Nêu điều kiện để phương trình ax 2 bx c 0 a 0 có nghiệm bằng 1. Viết công thức nghiệm thứ hai. Nhẩm nghiệm của phương trình: 1954 x 2 21x 1975 0
Nêu điều kiện để phương trình ax 2 bx c 0 a 0 có nghiệm bằng 1 . Viết công thức nghiệm thứ hai. Nhẩm nghiệm của phương trình: 2005 x 2 104 x 1901 0
Trả lời + Nếu phương trình bậc hai trình ax 2 bx c 0 x1 x2
a 0
có các nghiệm x1 , x2 thì ta có hệ thức Vi-ét:
b c , x1 x2 . a a
+ Phương trình ax 2 bx c 0
a 0
nghiệm kia x2
c . a
Phương
1954 x 2 21x 1975 0
trình
x1 1, x2
thỏa mãn điều kiện a b c 0 thì nó có một nghiệm x1 1 ,
thỏa
mãn
1954 21 1975 0
nên
có
các
nghiệm
1975 . 1954
+ Phương trình ax 2 bx c 0
a 0
thỏa mãn điều kiện a b c 0 thì nó có một nghiệm x1 1 ,
c nghiệm kia x2 . a
Phương trình 2005 x 2 104 x 1901 0 thỏa mãn: 2005 104 1901 0 nên nó có nghiệm x1 1 , nghiệm kia x2
1901 . 2005
4. Nêu cách tìm hai số, biết tổng S và tích P của chúng. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
u v 3 a) uv 8
u v 5 b) uv 10 Trả lời
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì các số này là hai nghiệm của phương trình x 2 Sx P 0 .
a) Giải phương trình: x 2 3 x 8 0 ta được các nghiệm x1
3 41 3 41 , x2 2 2
Vậy nếu hai số u, v sao cho u v 3, uv 8 thì : u
3 41 3 41 3 41 3 41 , v hoặc u , v . 2 2 2 2
b) Giải phương trình: x 2 5 x 10 0 ta thấy phương trình này vô nghiệm. Vậy không có cặp số u, v nào thỏa mãn các điều kiện u v 5, uv 10 . 5. Nêu cách giải phương trình trùng phương ax 4 bx 2 c 0 a 0 (1). Trá lời Để giải phương trình ax 4 bx 2 c 0
a 0
ta đặt ẩn phụ t x 2 . Đặt điều kiện t 0 và giải phương
trình: at 2 bt c 0 (2). Với mỗi nghiệm ti không âm của phương trình (2) ta tìm nghiệm x ti của phương trình (1). BÀI TẬP 54. Vẽ đồ thị của hai hàm số y
1 2 1 x và y x 2 trong cùng một hệ tọa độ. 4 4
a) Qua điểm B 0; 4 kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số y
1 2 x tại hai điểm 4
M và M'. Tìm hoành độ của M và M'. 1 b) Tìm trên đồ thị của hàm số y x 2 điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N' có cùng hoành độ với 4 M . Đường thẳng NN' có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N' bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ; - Tính toán theo công thức. Hướng dẫn a) Đồ thị các hàm số y
1 2 1 x và y x 2 ở hình trên. Để xác định hoành độ M và M' ta kẻ từ M, M' các 4 4
đường vuông góc MH và M'K vuông góc với trục hoành (hay các đường song song với trục tung). Số đo các đoạn OH và OK là 4. Vậy hoành độ của M là 4 , hoành độ của M' là 4.
1 1 b) Các điểm N và N' thuộc đồ thị hàm số y x 2 . Theo tính chất đối xứng của đồ thị hàm số y x 2 4 4
đối với trục tung thì N và N' có cùng tung độ. Do đó đường thẳng NN' song song với Ox. - Ước lượng tung độ của N và N' bằng 4 . - Kiểm tra bằng tính toán. Tung độ của N và N' được tính theo công thức: y
1 1 2 2 4 4 4 4 4
55. Cho phương trình x 2 x 2 0 . a) Giải phương trình. b) Vẽ hai đồ thị y x 2 và y x 2 trong cùng một hệ trục tọa độ. c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Hướng dẫn a) 1 4 2 9 2
x1
1 9 1 9 2 , x2 1 2 2
b) Đồ thị các hàm số y x 2 và y x 2 trên cùng hệ trục tọa độ (hình bên). c) Hoành độ các giao điểm của hai đồ thị là 1 và 2, chính là các nghiệm của phương trình đã cho. 56. Giải các phương trình: a) 3 x 4 12 x 2 9 0 ;
b) 2 x 4 3 x 2 2 0 ;
c) x 4 5 x 2 1 0
Hướng dẫn a) Đặt x 2 t 0 , ta được: 3t 2 12t 9 0
t1 3 (nhận), t2 1 (nhận).
Tập nghiệm của phương trình đã cho S 1; 3 . b) Đặt x 2 t 0 , ta được: 2t 2 3t 2 0 t1
1 (nhận), t2 2 (loại). 2
2 Đáp số: S 2
c) Vô nghiệm. 57. Giải các phương trình: a) 5 x 2 3 x 1 2 x 11 ; c)
x 10 2 x ; 2 x 2 x 2x
b)
x2 2x x 5 ; 5 3 6
d)
x 0,5 7 x 2 ; 3x 1 9 x 2 1
e) 2 3 x 2 x 1 3 x 1 ;
f) x 2 2 2 x 4 3 x 2
Hướng dẫn a) Đưa về dạng ax 2 bx c 0 a 0 rồi áp dụng công thức tính nghiệm. 5 x 2 3 x 1 2 x 11 5 x 2 5 x 10 0
5 4 5 10 225 2
Các nghiệm: x1
5 225 5 225 2, x2 1 10 10
5 b) Biến phương trình về dạng: 6 x 2 25 x 25 0 .Đáp số: 5; . 6
c) ĐKXĐ: x 0, x 2 . Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung thì được: x 2 10 2 x x 2 2 x 10 0
' 1 1 10 11 ; 2
x1 1 11 (nhận), x2 1 11 (nhận).
Tập nghiệm của phương trình đã cho S x1 1 11; x2 1 11 . d) Làm như câu c. Đáp số:
5 1 ; . 2 3
e) 2 3 x 2 x 1 3 x 1 2 3 x 2 1 3 x 1 3 0
1 3
x1
2
3 1
8 3 1 3 28 10 3 5 3
5 3
4 3
2
2
3 3 1 5 3 1 3 , x2 3 2 4 3
f) Cách 1: Đưa về phương trình x 2 2 2 3 x 4 3 2 0 rồi áp dụng công thức. Cách 2: Đặt x 2 t , ta được t 2 3t 2 0 t1 2, t2 1 . Suy ra x1 2 2, x2 1 2
58. Giải các phương trình: a) 1, 2 x 3 x 2 0, 2 x 0 ;
b) 5 x3 x 2 5 x 1 0 . Hướng dẫn
a) Đưa về phương trình tích x 1, 2 x 2 x 0, 2 0 x1 0, x2 1, x3
1 6
b) 5 x 3 x 2 5 x 1 0 5 x 1 x 2 1 0 1 x1 , x2 1, x3 1 5
59. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: 2
1 1 a) 2 x 2 x 3 x 2 x 1 0 ; b) x 4 x 3 0 . x x 2
2
2
Hướng dẫn 1 a) Đặt x 2 2 x t thì được 2t 2 3t 1 0 t1 , t2 1 2
Giải phương trình x 2 2 x x1
1 được các nghiệm: 2
2 2 2 2 , x2 2 2
Giải phương trình x 2 2 x 1 được nghiệm kép x3 1 . 2 2 2 2 Tập nghiệm của phương trình đã cho: S 1; ; . 2 2
b) Đặt x
1 t thì được t 2 4t 3 0 t1 3, t2 1 x
Giải phương trình x x1
1 3 cho các nghiệm: x
3 5 3 5 và x2 . 2 2
Giải phương trình x
1 1 vô nghiệm. x
3 5 Tập nghiệm của phương trình đã cho: S . 2
60. Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia: a) 12 x 2 8 x 1 0, x1
1 ; 2
c) x 2 x 2 2 0, x1 2 ;
b) 2 x 2 7 x 39 0, x1 3 d) x 2 2mx m 1 0, x1 2
Đáp số a) x2
1 ; 6
b) x2 2 1 ;
c) x2
13 ; 2
d) x2 0 .
61. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau : a) u v 12, uv 28 và u v ;
b) u v 3, uv 6 . Hướng dẫn
a) u, v là các nghiệm của phương trình: x 2 12 x 28 0 Đáp số: u 6 8, v 6 8 b) Phương trình x 2 3 x 6 0 vô nghiệm. Vậy không có các số u, v thỏa mãn các điều kiện đã cho. 62. Cho phương trình: 7 x 2 2 m 1 x m 2 0 . a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm? b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình. Hướng dẫn a) Biệt thức của phương trình là m 1 7 m 2 8m 2 2m 1 0 với mọi giá trị của m. Vậy với mọi giá 2
trị của m phương trình luôn có nghiệm. b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình ta có: x1 x2
2 m 1 2 1 m m2 , x1 x2 7 7 7
x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 2
18m 2 8m 4 . 49
63. Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2000000 người lên 2020050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm? Hướng dẫn Gọi x (%) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố. Điều kiện x 0 . Số dân tăng sau năm thứ nhất là 2000000x, sau năm thứ nhất dân thành phố là: 2000000 2000000 x 2000000 1 x Sau năm thứ hai số dân của thành phố là 2000000 1 x . 2
Ta có phương trình: 2000000 1 x 2020050 2
Đáp số: 0,5% hay
5 . 1000
64. Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu? Hướng dẫn
Gọi x là số dương cần tìm. Theo Quân thì x thỏa mãn phương trình
x x 2 120 x 2 2 x 120 0 x1 1 11 12 Nếu đúng đề bài thì các số phải tìm là 12 và 14, và ta có tích: 12.14 168 . 65. Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng quãng đường Hà Nội - Bình Sơn dài 900km. Hướng dẫn Gọi x (km/h) là tốc độ của xe lửa đi từ Hà Nội. Điều kiện x 0 . Tốc độ xe lửa đi từ Bình Sơn x 5 (km/h). Ta có phương trình:
450 450 1 x x5
Đáp số: 45km/h, 50km/h. 66. Cho tam giác ABC có BC 16cm , đường cao AH 12cm . Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc AB, đỉnh N thuộc AC còn hai đỉnh P và Q thuộc BC. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật bằng 36cm2. Hướng dẫn Diện tích hình chữ nhật MNPQ là :
S MNPQ MN .PQ MN AH AK 36cm 2 (1) Các tam giác AMN và ABC đồng dạng nên: AM MN AK k MN k .BC 16k , AK 12k AB BC AH
3 1 Thay vào (1), ta được: 16k 12 12k 36 k1 , k2 . 4 4
Vậy điểm M cần chọn trên cạnh AB sao cho
AM 3 AM 1 hoặc . AB 4 AB 4
PHẦN HÌNH HỌC Chương III.
GÓC Ở ĐƯỜNG TRÒN § 1. Góc ở tâm. Số đo cung
1. Góc ở tâm Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm chia đường tròn thành hai cung.
AmB , Với 0 180 , cung nằm trong góc : AnB gọi là cung nhỏ, cung nằm ngoài góc : là cung lớn. Ta còn nói cung AmB là cung bị chắn bởi góc AOB. Trường hợp AOB là góc bẹt ta nói góc chắn nửa đường tròn. 2. Số đo cung Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng 360 trừ số đo của cung nhỏ.
Số đo của nửa đường tròn bằng 180 .
Số đo của cung AB, kí hiệu là s® AB . Trong hình: AOB 60 s® AmB 60,s® AnB 300. 3. So sánh hai cung Trong một đường tròn hai hay đường tròn bằng nhau: Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn. 4. Số đo của cung tổng Điểm C nằm trên cung AB thì ta nói điểm C chia cung AB thành hai cung AC uà CB. Định lí.
AB s® AC s® CB. Nếu điểm C nằm trên cung AB thì: s® BÀI TẬP 1. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào những thời điểm sau: a) 3 giờ;
b) 5 giờ;
c) 6 giờ;
đ) 12 giờ; Giải
e) 20 giờ.
360 5 150 12
a) 90
b)
c) 180;
d) 0;
e)
360 4 120. 12
2. Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành có góc 40 . Vẽ một đường tròn tâm O. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O. Giải
yOt 40, xOs 40, sOy 140. xOt 140, sOt 180, xOy 180. 3. Trên các hình 5, 6 hãy dùng dụng cụ đo góc để tìm số đo cung AmB, sau đó tính số đo cung AnB tương ứng.
Đáp số:
AmB 120. Hình 5:
AmB 60. Hình 6:
AnB 240.
AnB 300. LUYỆN TẬP
4. Xem hình bên. Tính số đo của góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB. Giải Tam giác AOT vuông cân đỉnh A nên số
AOB 45. đo góc ở tâm AB lí n 360 45 315. Số đo cung lớn AB là: s® 5. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O)
AMB 35 tại A và B cắt nhau tại M. Biết a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB. b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ). Giải a) Từ tính chất tổng các góc của một tứ giác (lồi) ta có :
AOB OBM BMA MAO 360. AOB 90 35 90 360
AOB 360 215 145. Góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB là 145. b) s® AmB 145,s® AnB 360 145 215. 6. Cho tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C. a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC. b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C. Giải
AOB 180 OAB OBA a)
180 30 30 120.
AOC BOC 120. Tương tự b) s® AB nhá 120,s® AB lí n 240
s® AC nhá 120,s® AC lí n 240
s® BC nhá 120,s® BC lí n 240 . 7. Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q (hình bên). a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ? b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau. c) Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau. Giải
AOM COP (đối đỉnh) nên s® AM nhá AOM COP s® CP nhá . a) Vì BN s® DQ. Tương tự: s®
Ghi chú. Từ nay, khi không có chú thích gì thêm, thì ta viết s® AB có nghĩa là số đo của cung nhỏ AB. b) Các cung nhỏ bằng nhau:
AM DQ, AQ DM ,BN CP,BP CN . AQM QAD. c) Ví dụ hai cung lớn bằng nhau:
8. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao? a) Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau. b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau. c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn. d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn. Giải
a) Khẳng định đúng. Vì ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau. Khi đó hai cung bằng nhau, vì chúng có số đo bằng nhau. b) Cần nói thêm là hai cung của một đường tròn (hay của hai đường tròn bằng nhau) thì khẳng định mới đúng. c) Như câu b).
d) Đúng.
9. Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A, B, C sao cho AOB 100,s® AC 45. Tính số đo của cung nhỏ BC và cung lớn BC. (Xét cả hai trường hợp: điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm C nằm trên cung lớn AB). Giải a) Trường hợp C nằm trên cung nhỏ AB (hình a). Ta có:
s® BA s® BC s® CA 100. Suy ra: s® BC 55,
s® BC lí n 360 55 305.
b) Trường hợp C nằm trên cung lớn AB (hình b). Ta có:
s® BC s® BA s® AC 100 45 145,
s® BC lí n 215 .
§ 2. Liên hệ giữa cung và dây 1. Cung và đây Cho hai điểm A, B trên một đường tròn tâm O. Phần đường tròn nằm trong một nửa mặt phẳng bờ AB là một cung của đường tròn (O). Đoạn thẳng AB là dây cung căng cung AB. Ta cũng nói cung AB căng dây AB. Dưới đây ta xét các cung nhỏ. 2. Các định lí Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
AB CD AB CD Trong hình: AB CD AB CD Định lí 2 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau. a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
AB CD AB CD Trong hình: AB CD AB CD. BÀI TẬP 10. a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60 . Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimét? b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình bên. Giải
AB 60 . Nối OA, OB. Tam giác a) Giả sử s® AOB 60 . Vậy OAB là OAB cân có góc tam giác đều có OA = OB = AB. Cách vẽ. Lấy điểm A tùy ý trên đường tròn. Vẽ đường tròn tâm A bán kính bằng
AB 60 và AB = 2cm. OA = 2cm, cắt đường tròn (O) tại B thì s® b) Muốn chia đường tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau ta lấy điểm A bất kì thuộc (O; R). Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường tròn (O; R) tại các điểm B và C. Kẻ các đường kính BD, CE và AF. Các điểm A, B, C, D, E, F chia đường tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau.
AB BE EF FD DC CA. Hoặc có thể đặt liên tiếp 6 cung 11. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và O cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AOD . Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn O . a) So sánh các cung nhỏ BC, BD. b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung lớn ED thành hai cung bằng nhau: BE BD ). Giải a) Tứ giác AOBO là hình thoi (4 cạnh bằng nhau) do đó
AOB AOB BOC BOD , suy ra Suy ra
s® BC s® BD . Do (O) và O là các đường tròn bằng nhau, từ s® BC s® BD suy ra BC BD. b) Gọi I là giao điểm của OB và DE. Vì OA OB , theo định lí Ta-lét ta có:
DI DO 1 I là trung DE DA 2
điểm của DE. Mặt khác tam giác EAD vuông tại E (vì EO OA OD ) nên DE AO . Suy ra DE BO (do AO BO ). Tam giác BED có BI vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên nó là tam giác cân đỉnh B. Do
BD BE hay B là điểm chính giữa cung đó: BD BE EBD . 12. Cho ABC . Trên tia đối của AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD H BC,K BD . a) Chứng minh rằng OH > OK. b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC. Giải a) Các tam giác OBD và OBC cân đỉnh O có các đường cao kẻ từ đỉnh theo thứ tự là OK và OH nên chúng đồng thời các trung tuyến. Do đó: KD
1 1 BD,HC BC. 2 2
Mặt khác, trong tam giác DBC có:
BD BA AD BA AC BC
Suy ra KD HC. Trong các tam giác vuông OKD và OHC ta có: OK OD 2 KD 2 OC 2 KD 2 OC 2 HC 2 OH ,
(tức là OK OH ).
BD BC . b) Từ BD BC ta có: 13. Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Giải Giả sử AB và CD là các dây song song của đường tròn (O). Kẻ OI AB I AB và OK CD K CD . Do AB CD nên I, O,
K thẳng hàng. Do các tam giác OAB, OCD là các tam giác cân đỉnh O nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là các phân giác.
O1 O2 ,O O4 . Vì vậy ta có: 3 Giả sử AB nằm ngoài góc COD, ta có:
AOC 180 O1 O3 180 O2 O4 BOD. AC BD . Nghĩa là hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Các trường hợp khác ta Suy ra chứng minh tương tự. 14. a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng. b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. Giải a) Giả sử đường kính CD của đường tròn (O) có C là điểm chính giữa của cung AB, tức
O1 O2 . Gọi I AC CB , suy là ta có: là giao điểm của CD và AB: OI là phân giác, đồng thời là trung tuyến của tam giác OAB (do OAB cân đỉnh O). Vậy I là trung điểm của AB. Mệnh đề đảo không đúng vì rằng nếu dây AB cũng là một đường kính thì dây CD đi
qua trung điểm của dây AB nhưng không đi qua điểm chính giữa của cung AB. Để mệnh đề đảo đúng, ta cần bổ sung thêm: đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm của đường tròn thì nó vuông góc với dây đó.
AC CB . Suy ra AOC COB . OC là tia b) Đường kính CD đi qua C là điểm chính giữa cung AB nên AOB . Vì OAB cân đỉnh O nên đường phân giác đồng thời là đường cao. Vậy phân giác của góc OC AB hay CD AB .
§ 3. Góc nội tiếp 1. Định nghĩa Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị
BAC là góc nội tiếp, cung chắn. Trong hình, BC là cung bị chắn. 2. Định lí Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Trong hình: 1 BAC s® BC. 2
3. Hệ quả Trong một đường tròn: a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc uuông. BÀI TẬP 15. Các khẳng định sau đây đúng hay sai? a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung. Giải a) Đúng.
b) Sai.
16. Xem hình bên (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).
MAN 30 , tính a) Biết PCQ. MAN có số PCQ 136 thì b) Nếu đo là bao nhiêu ? Giải
2.30 60. PBQ MBN s® MN 2MAN a) 2 60 120. PCQ s® PQ 2PBQ 1 136 PCQ 136 MAN PCQ 34. b) 4 4
17. Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?
Giải - Kẻ đường thẳng cắt đường tròn tại A và B. - Qua B, dùng êke kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B. Đường thẳng này cắt đường tròn tại D. Giao điểm của AC và BD là tâm của đường tròn. 18. Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình
PAQ,PBQ,PCQ. bên. Hãy so sánh các góc Giải PAQ PBQ PCQ vì chúng là các góc nội tiếp chắn cùng một Ta có PQ. cung
LUYỆN TẬP 19. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB. Giải
ANB là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AMB và BMA ANB 90. Do đó BM AS , AN SB và H là trực tâm của tứ giác SAB. Vì vậy SH AB . 20. Cho hai đường tròn (O) và O cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng. Giải
ABC là góc nội tiếp của đường tròn (O) ABC 90 . chắn nửa đường tròn. Vậy ABD 90. Tương tự, ta có ABC ABD 90 90 180. Suy ra Vậy B, C, D thẳng hàng. 21. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và O cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt O tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao? Giải Hai đường tròn (O) và O bằng
nhau nên AOBO' là hình thoi. Do đó
AOB AOB Theo tính chất của góc nội tiếp ta có: 1 1 NMB AMB AOB AOB ANB MNB 2
2
Vậy tam giác BMN là tam giác cân đỉnh B. 22. Trên đường tròn (O), đường kính AB lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: MA2 MB.MC. Giải Ta có CA AB (tính chất của tiếp tuyến) ABC vuông tại A.
AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa Mặt khác đường tròn) nên AM là đường cao của ABC . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
MA2 MB
23. Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng minh: MA.MB MC.MD. Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M ở bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng. Giải a) Trường hợp M nằm trong đường tròn (hình a). Nối AD và BC. Ta có MBC MDA vì:
MBC MDA (các góc +
nội tiếp cùng chắn cung AC)
BMC AMD (đối đỉnh) + Do đó
MB MC MA.MB MC.MD. MD MA
b) Trường hợp M ở ngoài đường tròn (hình b).
MBC MDA , Ta cũng có MBC MDA (góc M chung, góc nội tiếp cùng chắn cung AC). Từ đó suy ra kết quả trên. 24. Một chiếc cầu được thiết kế như M hình bên có độ đài AB = chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của cung tròn AMB. Giải
các 40m,
Chiếc cầu là một cung của đường tròn có tâm O. Gọi MM là đường kính của
MBM 90 vì chắn nửa đường tròn. đường tròn thì Tam giác MBM có đường cao từ đỉnh góc vuông là BK. 2
AB 2 Ta có: BK MK .M K 2 3 2R 3 400
trong đó R là bán kính của cung tròn AMB Từ đó suy ra: R
409 68,17m. 6
25. Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm. Giải Giả sử dựng được tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = 4cm, cạnh góc vuông AB = 2,5cm. Gọi O là trung điểm của BC. Ta có: OB OC OA 2cm.
Vậy tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đường kính BC có đỉnh A cách đỉnh B khoảng cách 2,5cm. Cách dựng: - Dựng đường tròn bán kính R = 2cm. - Dựng đường kính BC (kẻ đường thẳng qua tâm O cắt đường tròn tại B và C). - Dựng đường tròn tâm B bán kính 2,5cm cắt đường tròn (O) tại A và A (hoặc dựng đường tròn tâm C bán kính 2,5cm). Các tam giác ABC hoặc ABC thỏa mãn yêu cầu đề bài. 26. Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh: SM SC và SN SA . Giải Nối AM và NC. Xét các tam giác AMS và NCS có:
MAS CNS (các góc nội tiếp cùng chắn cung MBC ),
AMS NCS (các góc nội tiếp cùng chắn cung AN nhỏ). Ta lại có: MB MA (M điểm chính giữa cung AB )
MB NC (hai cung chắn giữa hai dây song song. Xem bài tập 13).
MB NC , do đó: MA CN . Từ đó suy ra:
Vậy AMS NCS (góc-cạnh-góc) Từ đó suy ra SM SC và SN SA .
§4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung 1. Tia tiếp tuyến Đường thẳng xy tiếp xúc uới đường tròn (O) tại điểm A. Điểm A chia tiếp tuyến xy thành hai ta chung gốc A và đối nhau là Ax và Ay. Mỗi tia Ax hay Ay gọi là một tia tiếp tuyến của đường tròn (O). 2. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Góc BAy có đỉnh A nằm trên đường tròn, cạnh Ay là một tia tiếp tuyến, cạnh còn lại chứa dây cung AB của đường tròn. Ta gọi góc BAy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. 3. Cung bị chắn bởi góc tạo bởi tia tiếp tuyến và ở dây cung Trong hình, dây AB căng hai cung, cung nhỏ AB và cung lớn AB. Cung nhỏ AB nằm trong góc BAy gọi là cung bị chắn bởi góc BAy. Cung lớn AB nằm trong góc BAx gọi là cung bị chắn bởi góc Bax. 4. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Định lí. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 1 1 s® BAy s® AB nhá ,BAx AB lí n . 2
2
BÀI TẬP 27. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm
APO PBT . của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh: Giải 1 PBT s® PB Ta có: 2
(1)
1 PAB s® PB
(2)
2
Từ (1) và (2) suy ra PBT PAB
(3)
Tam giác OAP cân đỉnh O nên ta có
APO PAB
(4)
APO PBT (đpcm). Từ (3) và (4) suy ra 28. Cho hai đường tròn (O) và O cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn O cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn O tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O). Giải Trong đường tròn (O) ta có: 1 PAB s® PB (góc nội tiếp chắn cung PB ) 2
1 BPy s® PB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến Py và dây 2
cung PB) BPy PAB Suy ra:
(1)
Trong đường tròn O ta có: 1 AQB s® AmB (góc nội tiếp chắn cung AmB ) 2
1 PAB s® AmB (góc tạo bởi tiếp tuyến AP và dây AB) 2
Suy ra: AQB PAB
(2)
Từ (1) và (2) ta được BPy AQB
(3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ AQ xy (hai góc so le bằng nhau) 29. Cho hai đường tròn (O) và O cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn O cắt (O)
CBA DBA. tại C và đối với đường tròn (O) cắt O tại D. Chứng minh Giải Xét các tam giác ABC và ABD ta thấy: Trong đường tròn (O) 1 ACB s® AmB BAD 2
Trong đường tròn O 1 ADB s® AnB BAC 2
Hai tam giác ABC và DBA có hai cặp góc bằng nhau nên cặp góc còn lại cũng bằng nhau. Suy ra
CBA ABD. 30. Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và đây cung cụ thể là: Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa đây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn. Gợi ý: Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng. Giải Kẻ đường kính AC và nối BC. Ta có
1 BCA s® AB (góc nội tiếp chắn cung AB ) 2
1 BAx s® AB (giả thiết) 2
BCA BAx
(1)
CBA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác Mặt khác ABC vuông tại B. Do đó:
BCA CAB 90
(2)
BAx CAB CAx 90 Từ (1) và (2), suy ra: Tia Ax vuông góc đường kính đi qua A nên Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn. LUYỆN TẬP 31. Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở A.
Tính ABC,BAC. Giải Ta có: BC OB OC R .
BOC 60. Vậy OBC đều,
s® BC BOC 60 1 ABC s® BC 30 2
1 ACB s® BC 30 2
BAC 180 ABC ACB 180 30 30 120. 32. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T
90. BTP 2.TPB (điểm B nằm giữa O và T). Chứng minh Giải 1 1 1 TPB s® PB POB POT Ta có: 2 2 2
2TPB POT . Do PT là tia tiếp tuyến tại P nên OP PT . Tam giác OPT vuông tại P,
POT BTP BTP 2TPB. do đó 90 33. Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh AB.AM AC.AN . Giải
1 CAt ABC s® AC Ta có: 2
CAt ANM (do MN At ) ABC ANM BAC chung, ABC ANM ) ABC ANM (
AB AC AB.AM AC.AN . AN AM
34. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Chứng minh MT 2 MA.MB . Giải Ta có AMT TMB (góc M chung,
ATM ABT ). Do đó
AM MT MT 2 MA.MB . TM MB
35. Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km (hình bên). Hướng dẫn: Áp dụng kết quả của bài tập 34. Giải Người quan sát B bắt đầu nhìn thấy ngọn hải đăng A khi AB là đường tiếp tuyến của Trái Đất. Giả sử tiếp tuyến AB tiếp xúc với đường tròn lớn Trái Đất tại T. Đường thẳng AO và BO cắt đường tròn lớn Trái Đất theo thứ tự tại C, E và D, F. Ta có khoảng cách:
AB AT BT
(1) trong đó (theo kết quả bài 34)
AT AC. AE
(2)
BT BD.BF
(3)
Trong đó AC 40m 0,04km, AE AC CE 0,04 2 6400
12800,04, BD 10m 0,01km,BF 12800,01.
Thay các số trên vào các đẳng thức (1), (2) và (3) thì được: AT 22,267km; BT 11,313km; AB AT BT 33,940 km .
Vậy người quan sát đứng ở vị trí cách mặt biển 10m bắt đầu nhìn thấy ngọn hải đăng cao 40m khi cách ngọn hải đăng khoảng 34km.
§5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn 1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc AEB có đỉnh E ở bên trong đường tròn (O) gọi là góc có đỉnh bên trong đường tròn đó. Cung AmB nằm trong góc AEB và cung CnD nằm trong góc đối đỉnh của
AmB và CnD là các cung bị chắn bởi góc AEB. góc AEB. Ta bảo Định lí. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. 1 AEH s® AmB s® CnD . 2
2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
Trong các hình a, b, c vẽ các góc có đỉnh ở ngoài đường tròn (O) và có các cạnh có điểm chung với (O). Ta gọi các góc này là các góc có đỉnh ở ngoài đường tròn (O). Mỗi góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn hai cung của đường tròn đó. Trong hình a góc BED chắn hai cung BnD và AmC. Trong hình b góc AEC chắn các cung AnC và AmB. Trong hình c góc AEB chốn các cung AnB và AmB. Định lí. Số do của góc có đỉnh ở ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của các cung bị chắn. 1 BED s® BnD s® AmC , 2
1 AEC s® AnC s® AmB , 2
1 AEB s® AnB s® AmB . 2
BÀI TẬP
AC . Đường 36. Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của AB và thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân. Giải
AEH Ta có:
1 BM s® AN s® 2 1 AM AHE s®CN s® 2
Vậy tam giác AEH cân đỉnh A. 37. Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao
ASC MCA. điểm của AM và BC. Chứng minh Giải ASC Ta có:
1 CM s® AB s® 2
1 CM s® AC s® 2
1 s® AM MCA. 2
AC s® CD s® DB 60 . Hai 38. Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho s® đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng: a) AEB BTC;
BCT . b) CD là tia phân giác của Giải
AB 360 s® AC s® CD s® DB 180 a) Ta có: s® 1 1 AEB s® AB s® CD 180 60 60 2
2
1 BTC s® BA s® AC s® CD s® DB 2
1 180 60 60 60 60 2
AEB BTC. 1 1 BCD s® BD s® CD DCT . b) Ta có: 2 2
BCT . Vậy CD là tia phân giác của góc LUYỆN TẬP 39. Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S. Chứng minh ES EM .
Giải ESM Ta có:
1 1 BM s® CB s® BM EMS. s® AC s® 2 2
Suy ra tam giác ESM cân đỉnh E. Do đó ES EM . 40. Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA SD. Giải Gọi E là giao điểm của tia phân giác góc BAC với đường tròn (O). Ta có 1 1 s®CE CAE EAB s®BE 2 2
CE BE 1 1 SAD s® AB s® BE s® AB s® CE SDA 2
2
Suy ra tam giác SAD cân đỉnh S. Do đó SA SD. 41. Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại S nằm trong đường tròn.
. BSM 2.CMN Chứng minh: A Giải 1 CN s® BM Ta có: A s® 2 1 BSM s® CN s® BM 2
. A BSM s® CN 2CMN 42. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. P, Q, R theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB. a) Chứng minh AP QR. b) AP cắt CR tại I. Chứng minh CPI là tam giác cân. Giải a) Gọi K là giao điểm AP và RQ. Ta có: 1 AKR s® AR s® CQ s® CP 2
1 1 1 1 s® AB s® AC s® BC 2 2 2 2
1 AC s® BC 90 s® AB s® 4
Vậy AP QR. CIP b)
1 1 CP s® BR s® BP ICP s® AR s® 2 2
CPI cân đỉnh P.
43. Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD); AD cắt BC tại I.
AOC AIC. Chứng minh Giải AIC Ta có:
1 BD s® AC s® 2
(1)
AC BD (Xem bài 13) Do AB CD nên AIC Thay vào (1) ta được:
1 AC s® AC AOC . s® AC s® 2
§6. Cung chứa góc 1. Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn đoạn thẳng cho trước dưới góc cho trước Định lí. Cho trước đoạn thẳng AB (hai điểm A, B cố định cho trước) và góc 0 180 cho trước thì quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa
AMB là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB. Mỗi cung trên mãn được gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn AB. Ghi chú + Ta cũng gọi quỹ tích vừa nói trên là: “Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn AB cho trước dưới góc cho trước”. + Khi 90 thì mỗi cung AMB, AM B là một nửa đường tròn đường kính AB. Ghép hai nửa đường tròn này thành đường tròn đường kính AB. Trường hợp này có thể phát biểu như sau: “Quỹ tích các điểm nhìn đoạn AB cho trước dưới góc vuông là đường tròn đường kính AB”. + Để chứng minh một quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H thì phải chứng minh hai phần. Phần thuận. Chứng minh nếu điểm M có tính chất T thì M thuộc H. Phần đảo. Chứng minh mỗi điểm M H thì M có tính chất T 2. Cách vẽ cung chứa góc dựng trên đoạn AB - Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
BAx . - Vẽ góc - Vẽ tia Ay Ax . Gọi O là giao điểm của Ay với đường trung trực d. - Vẽ cung AmB tâm O bán kính OA và cung AnB đối xứng với AmB qua AB. BÀI TẬP 44. Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi Giải B C BIC 180 IBC ICB 180 Ta có: 2 2
180
1 90 B C 180 135. 2 2
B, C cố định, A thay đổi, I luôn luôn nhìn BC dưới một góc 135 . Quỹ tích điểm I là hai cung chứa góc 135 dựng trên BC; đối xứng nhau qua BC.
45. Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo trong các hình thoi đó. Giải Theo tính chất của hình thoi, các đường chéo hình thoi vuông góc với nhau. Như vậy, nếu cạnh AB cố định, giao điểm O của các đường chéo hình thoi ABCD nhìn AB dưới A góc 90 không đổi. Vậy quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo hình thoi ABCD khi AB cố định là đường D tròn đường kính AB. 46. Dựng một cung chứa góc 55 trên đoạn thẳng AB = 3cm. Giải - Dựng đoạn AB = 3cm. -
BAx 55. Dựng góc
xAy 90 (hay là Ay Ax ). - Dựng góc
- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB cắt Ay tại O. - Dựng cung tròn bán kính OA trên đoạn AB.
AmB . Lấy điểm M 1 nằm bên 47. Gọi cung chứa góc 55 ở bài tập 46 là trong và điểm M 2 nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho
M 1 ,M 2 và cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:
AM 2 B 55. b)
AM 1 B 55; a)
Giải
AmB là cung chứa góc 55 dựng trên đoạn AB. Điểm M 1 nằm trong đường tròn chứa cung AmB . Giả sử AmB tại C. Nối BC. Đường thẳng AM 1 cắt cung AM 1 B là góc ngoài của tam giác M 1 BC nên Ta có:
AM 1 B ACB CBM 1 ACB 55. AmB . Điểm M 2 ngoài đường tròn chứa cung AmB (xét D nằm giữa M 2 Gọi D là giao điểm của M 2 B với cung và B). Nối AD ta có:
AM B M AD ADB 55 AM B 55. 2
2
2
AmB thì xét D là giao điểm của AM 2 và cung AmB ). (Nếu M 2 B không cắt cung LUYỆN TẬP
48. Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm. Giải Theo tính chất của tiếp tuyến thì AT BT (T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn tâm B). Như vậy A, B cố định, T nhìn AB dưới góc vuông. Quỹ tích tiếp điểm T là đường tròn đường kính AB. 49. Dựng tam giác ABC, biết BC 6cm,A 40 và đường cao AH 4cm. Giải Phân tích: Giả sử dựng được tam giác ABC thỏa mãn các điều kiện:
BC 6cm,A 40, AH 4cm thì đỉnh A nằm trên đường thẳng d song song với đường thẳng BC cách BC khoảng cách 4cm. Mặt
BAC 40 nên A nằm trên cung chứa góc 40 dựng trên BC. khác Cách dựng: + Trên đường thẳng lấy đoạn thẳng BC = 6cm. + Dựng các đường thẳng d1 và d 2 cách khoảng cách 4cm. + Dựng các cung chứa góc 40 dựng trên
40 . Cắt d ,d tại A , A , A , A . BC là BmC 40,BnC 1 2 1 2 3 4 Các tam giác A1 BC, A2 BC, A3 BC và A4 BC thỏa mãn các điều kiện đề ra. 50. Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB. a) Chứng minh AIB không đổi. b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên. Giải a) Tam giác MBI vuông tại M (vì góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Ta có: tg AIB tg MIB
MB 1 MI 2
AIB không đổi (xấp xỉ bằng 26 34 ) khi M chạy trên đường tròn (không trùng với A, B).
AIB 26 34 không đổi. Tập hợp các điểm I là hai b) Do cung chứa góc dựng trên AB.
51. Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC với A 60 . Gọi H là giao điểm của các đường cao BB và CC . Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn. Giải Xét tứ giác ABHC ta có
BHC 360 A B C
360 60 90 90 120
BHC 120 (đối đỉnh với góc BHC ) Trong tam giác BIC ta có B C BIC 180 IBC ICB 180
180
2
2
1 1 180 A 180 180 60 120 2 2
Như vậy H, I đều nằm trên cung chứa góc 120 dựng trên BC. Mặt khác tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O nên góc nội tiếp BAC trong đường tròn (O) có số đo 1 1 60 BAC s® BC BOC BOC 120. 2 2
Vậy O cũng nằm trên cung chứa góc 120 dựng trên BC. Điều này có nghĩa là 5 điểm B, C, O, H, I nằm trên cùng một đường tròn chứa cung chứa góc 120 dựng trên BC. 52. "Góc sút" của quả phạt đến 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét. Giải Gọi H là trung điểm của vạch ngang cầu môn BC. BH
1 1 BC 7,32 3,66m. 2 2
Điểm chấm phạt đền cách trung điểm cầu môn H là AH = 11m.
BAC . Góc sút phạt đền Tam giác AHB vuông tại H có góc BAH tg BAH tg
2
2
thỏa mãn điều kiện.
BH 3,66 1824 AH 11 2 3648.
Như vậy góc sút của quả phạt đền xấp xỉ 36 48 .
BAC 36 48 Dựng cung chứa góc 36 48 trên cầu môn BC. Lấy hai điểm A1 , A2 tùy ý trên cung chứa góc thì các điểm này cũng có góc sút như góc sút của quả phạt đền 11m.
§7. Tứ giác nội tiếp 1. Định nghĩa Một tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Ví dụ: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. Định lí Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo của hai góc đối diện bằng 180 .
D 180. Tứ giác ABCD nội tiếp A C B 3. Định lí đảo Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
D 180 ) Tứ giác ABCD có: A C 180 (hoặc B ABCD là tứ giác nội tiếp. BÀI TẬP 53. Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bảng sau (nếu có thể): Trường hợp Góc
1)
A
80
B
70
2)
3)
4)
5)
60
95 40
C
105
D
75
6)
65 74 98
Giải Điền các số vào ô trống sao cho tổng các số trong mỗi cột bằng 360 và trong một cột tổng hai số ở dòng 1 và dòng 3 bằng 180 .
360 80 70 100 110. Chẳng hạn cột 1): C 100,D 120, Cột 3): B 80,C
D 360 60 80 120 100. Chú ý rằng mỗi số điền vào một ô phải nhỏ hơn 180 .
ABC ADC 180 . Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi 54. Tứ giác ABCD có qua một điểm. Giải
ABC ADC 180 , nên nó là Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O. Đường tròn (O) cũng là
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm các đường trung trực của AB, AC. Tương tự, (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên O nằm trên đường trung trực của BD. Vậy các trung trực của AB, BD, AC cùng đi qua điểm O.
30,BMC 70. 55. Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết DAB 80,DAM , và BCD. Hãy tính số đo các góc MAB,BCM AMB,DMC, AMD,MCD Giải
MAB DAB DAM 80 30 50. Ta có:
BCD 180 DAB 180 80 100. Kẻ đường kính CC , ta có: 1 BCM BCC s® CC s® BC 2
1 180 70 55. 2
Suy ra:
MCD BCD BCM 100 55 45
AMD 180 DAM AMD 180 30 30 120
70 160 70 90. DMC s® CD s® DCB s® BC 2DAB
AMB 360 BMC CMD DMA
360 70 90 120 80.
LUYỆN TẬP 56. Xem hình dưới. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD.
Giải Ta có: F
1 CD 20 s® AB s® CD 40 s® AB s® 2
E 1 s® AD s® CB 40 s® AD s® BC 80 2
s® AB s® AD s® BC s® CD 120
s® BAD s® BCD 120
s® BAD 360 s® BAD 120 s® BAD 240 1 C s® BAD 120,A 60. 2
D 360 A B C 360 60 120 100 80.
B E BCE 40 180 C 40 180 120 100.
57. Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn: Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao? Giải Các hình nội tiếp được trong một đường tròn là: hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân vì có tổng các góc đối bằng 180 . Các hình bình hành, thang (thường), thang vuông không nội tiếp được trong một đường tròn. 58. Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB DC và 1 DCB ACB. 2
a)
Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) Vẽ đường tròn đi qua A, B, D, C. Giải a)
1 DBC DCB ACB 30. Tam giác DBC cân đỉnh D nên 2
CDB 180 DBC DCB 120. Suy ra Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối
A D 60 120 180. Vậy ABCD nội tiếp được. b) Do đường tròn ngoại tiếp ABC cũng đồng thời là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC nên để xác định tâm đường tròn qua A, B, C, D chỉ cần tìm giao điểm O của AD (AD là trung trực của BC) với đường cao của tam giác ABC. Đường tròn (O; OA) đi qua A, B, C, D. 59. Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD. Giải
APC 180 (ABCP tứ giác nội tiếp) Ta có: B
D APC 180 ( D B , tính chất hình bình hành)
APD APC 180 (hai góc kề bù) D APD A PD cân đỉnh A AP AD. 60. Xem hình bên dưới. Chứng minh QR ST .
PST ,SRQ. Hướng dẫn: Xét cặp góc so le trong Giải Trong đường tròn O2 ta có:
QHI QRI 180 (tứ giác QHIR nội tiếp)
QRS QRI 180 (hai góc kể bù) QHI QRS
(1)
Tương tự, trong đường tròn O3 ta có:
IST IKP
(2)
Trong đường tròn O1 ta có:
QHI IKP
(3)
QRS IST . Từ đó suy ra QR ST (có các góc so le trong bằng nhau). Từ (1), (2) và (3) suy ra:
§8. Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp 1. Định nghĩa a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác. Khi đó đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. Trong hình a, đường tròn (O) ngoại tiếp đa giác ABCDEF và ABCDEF là đa giác nội tiếp đường tròn (O). b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác. Khi đó đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. Trong hình b, đường tròn (O) nội tiếp đa giác ABCDE và đa giác ABCDE ngoại tiếp đường tròn (O). 2. Định lí Bất kì đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. BÀI TẬP 61. a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm. b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a). c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O, r). Giải a) Xem hình. b) Cách vẽ: Từ điểm A vẽ đường kính AC. Vẽ đường kính BD vuông góc với đường O kính AC. A, B, C, D là 4 đỉnh hình vuông nội tiếp đường tròn O. d)
Đường tròn nội tiếp hình vuông có đường kính bằng cạnh của hình vuông ABCD. Ta có: OE 2 EA2 OA2 hay 2r 2 2 2 r 2cm 1,41cm.
Cách vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông: Kẻ đường vuông góc OE AB . Vẽ đường tròn (O; OE). 62. a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm. b) Vẽ tiếp đường tròn (O, R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R. c) Vẽ tiếp đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r. d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O, R). Giải a) Vẽ BC = 3cm. Vẽ các đường tròn (B; 3cm) và (C; 3cm) cắt nhau tại A. Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh a = 3cm.
b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó. Ta có bán kính R
của
đường tròn ngoại tiếp ABC là: R
2 2 3 2 3 AH AB .3. 3cm. 3 3 2 3 2
c) Bán kính r của đường tròn nội tiếp ABC là: r
1 1 3 3 AH AB cm. 3 3 2 2
d) Vẽ các đường tròn (A; AB), (B; AB) và (C; AB). Các đường tròn này cắt nhau tại I, J, K thì IJK là tam giác ngoại tiếp đường tròn (O; R). 63. Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O, R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R. Giải Trong đường tròn (O; R), lục giác đều nội tiếp ABCDEF, hình vuông nội tiếp AGDH, tam giác đều nội tiếp ACE. + Cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) là R (vì OAB đều, tâm O và 2 đỉnh kế tiếp của lục giác đều tạo
thành 3 đỉnh của tam giác đều). + Cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) là R 3. Vì R
2 2 3 3R EI AE AE AC EC R 3. 3 3 2 3
+ Cạnh của hình uuông nội tiếp đường tròn (O; R) là R 2 . Vì các đường chéo AD và GH của hình vuông nội tiếp giao nhau tại O tạo thành 4 hình tam giác vuông cân đỉnh O có cạnh bằng R. Do đó cạnh của hình vuông là: AH HD DG AG OA2 OG 2 R 2 R 2 R 2.
64. Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao
CD 120. cho s® AB 60,s® BC 90 và s® a) Tứ giác ABCD là hình gì? b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau. c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R. Giải
1 1 D s® BC s® CD s® AB s® BC a) Ta có: A 2 2
1 90 120 60 90 180. 2
Suy ra AB CD . Vậy ABCD là hình thang. (1)
ABC 60 90 150 Ta có: s®
s® DAB 360 90 120 150 s® ABC s® DAB AC DB
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình thang cân. b) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác ABCD. Ta có :
1 1 AIB s® AB s® CD 60 120 90. 2
2
Vậy AC BD. c) Theo kết quả bài 62, ta có: AB R,BC AD R 2 ,CD R 3.
§9. Độ dài đường tròn, cung tròn 1. Công thức tính độ dài đường tròn Độ dài đường tròn hay chu vi hình tròn được kí hiệu là C. Đường tròn bán kính R có độ dài C được tính theo công thức: C 2 R hoặc C d (d = 2R là đường kính).
2. Công thức tính độ dài cung tròn Trên đường tròn bán hính R, độ dài l của cung n0 được tính theo công thức: l
Rn 180
BÀI TẬP 65. Lấy giá trị gần đúng của là 3,14, hãy điển vào các ô trống trong bảng sau (đơn vị đo: cm, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai): Bán kính đường tròn (R)
10
Đường kính đường tròn (d)
3 10
3
Độ dài đường tròn (C)
20
25,12
Giải Bán kính đường tròn (R)
10
5
3
1,5
3,18
4
Đường kính đường tròn (d)
20
10
6
3
6,36
8
62,8
31,4
18,84
9,42
20
25,12
Độ dài đường tròn (C)
66. a) Tính độ dài cung 60 của một đường tròn có bán kính 2dm. b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm. Giải a) l
2.60 180
2 dm 2,09dm (lấy 3,14 ). 3
b) C .650 mm 2210mm. 67. Lấy giá trị gần đúng của là 3,14 hãy điển vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất và đến độ): Bán kính R Số đo độ của cung tròn (n0)
10cm 90
Độ dài của cung tròn (l)
21cm 50
35,6cm
6,2cm 41
20,8cm
25
9,2cm
Giải Bán kính R Số đo độ của cung tròn (n0) Độ dài của cung tròn (l)
10cm
40,8cm
21cm
6,2cm
21,1cm
90
50
57
41
25
15,7cm
35,6cm
20,8cm
4,4cm
9,2cm
Ghi chú: Lấy 3,14;l
Rn0 180
;R
180l 0 180l ;n . n0 R
68. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC. Giải Độ dài nửa đường tròn đường kính AB: 1 C1 AB 2
Độ dài nửa đường tròn đường kính BC: 1 C2 BC 2
Tổng các độ dài của hai nửa đường tròn trên là: 1 1 1 1 C1 C2 AB BC AB BC AC 2 2 2 2
Vế phải là độ dài nửa đường tròn đường kính AC. 69. Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng? Giải Số vòng bánh trước quay được khi bánh sau quay 10 vòng là: (vì cả 2 bánh cùng đi được độ dài quãng đường bằng nhau) n
10. .1,672 19 (vòng) .0,88
LUYỆN TẬP 70. Vẽ lại ba hình tạo bởi các cung tròn dưới đây và tính chu vi mỗi hình (có gạch chéo):
Giải 1 Trong cả ba hình, chu vi của mỗi hình là đường cong ghép bởi 4 đoạn, mỗi đoạn là đường tròn bán kính 4
2cm. Vậy chu vi của mỗi hình là: C 4 12,56cm. 3,14
71. Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn dưới đây với tâm lần lượt là B, C, D, A theo đúng kích thước đã cho (cạnh hình vuông ABCD dài lcm). Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH. Tính độ dài đường xoắn đó. Giải a) Cách vẽ đường xoắn AEFGH:
AE của đường tròn (B; 1cm) (tức là - Vẽ cung tròn 90
1 đường tròn (B; 1cm)). 4
EF của đường tròn (C; 2cm). - Vẽ cung tròn 90
FG của đường tròn (D; 3cm). - Vẽ cung tròn 90 GH của đường tròn (A; 4cm). - Vẽ cung tròn 90 b) Độ dài đường xoắn AEFGH: l AE EF FG GH
2
3 2 5 cm 15,7cm. 2
72. Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 540mm. Dây cua-roa bao bánh xe theo cung AB có độ dài 200mm. Tính góc AOB. Giải
AOB có số đo bằng: Góc 180l 180.200 AOB n0 13320 . 540 R 2
73. Đường tròn lớn của Trái Đất dài khoảng 40000km. Tính bán kính Trái Đất. Giải Gọi R là bán kính Trái Đất. Mỗi vòng kinh tuyến là một đường tròn bán kính R. Ta có: 2 R 40000km R
40000 6369km. 2
74. Vĩ độ của Hà Nội là 2001 . Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40000km. Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo. . Giải Cả đường tròn lớn có số đo: 360 360 60 21600.
Số đo của cung từ Hà Nội đến xích đạo là: 2001 20 60 1 1201 .
Độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo là: l
40.000 1201 2224km. 21600
75. Cho đường tròn (O), bán kính OM. Vẽ đường tròn tâm O , đường kính OM. Một bán kính OA của đường tròn (O) cắt đường tròn O ở B. Chứng minh MA và MB có độ dài bằng nhau. Giải Trong đường tròn O , ta có: 1 1 AOM BOM s® MB BOM 2
2
BOM 2 AOM 2 Độ dài cung MA là: l
.OM .
Độ dài cung MB là: l
(1)
180
.OM .2 180
.OM . 180
(2)
Từ (1) và (2) ta thấy độ dài các cung MA và MB bằng nhau. 76. Xem hình bên và so sánh độ dài của cung AmB với độ dài đường gấp khúc AOB Giải Độ dài đường gấp khúc AOB là l = 2OA
AmB là: Độ dài cung l
.OA.120 180
2,09.OA 2.OA
AmB lớn hơn độ dài đường gấp khúc AOB. Vậy độ dài cung
§10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn 1. Công thức tính diện tích hình tròn Hình tròn có bán hính R thì có diện tích S được tính theo công thức: S R2
d2 4
d 2R .
2. Cách tính diện tích hình quạt tròn Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua 2 đầu mút của cung đó. Diện tích của hình quạt tròn bán kính R và cung n0 được tính theo công thức: S
R 2 .n 360
hay S
R.l 2
trong đó l là độ dài của cung n độ. BÀI TẬP 77. Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4cm. Giải Hình tròn nội tiếp hình vuông có đường kính d bằng cạnh hình vuông: d = 4cm. Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông cạnh 4cm là S
d2 4
42 4
4 12,56cm 2 .
78. Chân một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi 12m. Hỏi chân đống cát đó chiếm một diện tích là bao nhiêu mét vuông? Giải Gọi R là bán kính của hình tròn chân đống cát. Chu vi của chân đống cát: 2 R 12m R 2
36 6 Diện tích chân đống cát là: S R 2 11,46m 2 . 79. Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính 6cm, số đo cung là 36 . Giải
OAB có OA 6cm, Diện tích hình quạt AOB 36 là S
.6 2 .36 360
3,6 11,30cm 2 .
80. Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB = 40m, AD = 30m. Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:
Mỗi dây thừng dài 20m.
6
m.
Một dây thừng dài 30m và dây thừng kia dài 10m.
Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn (hình dưới)? Giải Theo cách buộc thứ nhất, tổng diện tích cổ hai con dê có thể ăn được là:
.20 2 2 2 S1 2 m 200 m . 4 Theo cách buộc thứ hai, tổng điện tích cỏ mà dê có thể ăn là: S2
.30 2
4
.10 2 4
250 m 2 200 m 2 .
Vậy cách buộc thứ hai, diện tích cỏ hai con dê ăn được nhiều hơn. 81. Diện tích hình tròn sẽ thay đổi thế nào nếu: a) Bán kính tăng gấp đôi?
b) Bán kính tăng gấp ba?.
c) Bán kính tăng k lần (k > 1)? Giải Ta có diện tích hình tròn có bán kính k.R là: S k kR 2 k 2 kR 2
Vậy nếu hình tròn có bán kính tăng lên k lần thì diện tích của nó tăng k 2 lần. Như vậy nếu bán kính hình tròn tăng gấp đôi thì diện tích tăng gấp 4, bán kính tăng gấp 3 lần thì diện tích tăng gấp 9 lần. 82. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất): Bán kính
Độ dài
Diện tích
Số đo
Diện tích
đường tròn
đường tròn
hình tròn
của cung
hình quạt
(R)
(C)
(S)
(n0)
(n0)
47,5
13,2cm
12,50cm2
2,5cm 37,80cm2
10,60cm2
Giải Lấy 3,14 . Áp dụng các công thức: C 2 R,S R 2 ,S
R 2 .n0 360
.
Ta được kết quả sau: Bán kính
Độ dài
Diện tích
Số đo
Diện tích
đường tròn
đường tròn
hình tròn
của cung
hình quạt
(R)
(C)
(S)
(n0)
(n0)
2,1cm
13,2cm
13,8cm2
47,5
1,8cm2
2,5cm
15,7cm
19,6cm2
229,2
12,5cm2
3,5cm
21,7cm
37,8cm2
100,9
10,6cm2
LUYỆN TẬP 83. a) Vẽ hình bên tạo bởi các cung tròn với HI = 10cm và HO = BI = 2cm. Nêu cách vẽ. b) Tính diện tích hình HOABINH (miền gạch sọc). c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó. Giải a) Bạn tự giải. b) Diện tích hình gạch sọc là S S
HI 2 OB 2 HO 2 100 36 4 16 cm 2 . 8 8 4 8 8 4
c) Ta có: AN 3 5 8cm. Diện tích hình tròn đường kính NA là: S
.8 2 4
16 cm 2 bằng diện tích hình gạch sọc.
84. a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1cm. Nêu cách vẽ (hình bên). b) Tính diện tích miền gạch sọc. Giải a) Vẽ cung CD có số đo bằng 120 của đường tròn (A; 1cm) rồi vẽ cung DE có số đo bằng 120 của đường tròn (B; 2cm). Cuối cùng vẽ cung EF có số đo bằng 120 của đường tròn (C; 3cm). b) Diện tích miền gạch sọc: S
3
.2 2 3
.32 3
14 cm 2 14,65cm 2 . 3
85. Hình viên phân là phân hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình
AOB 60 và bán kính đường tròn là 5,1cm viên phân AmB, biết góc ở tâm Giải Diện tích hình quạt tròn OAmB là: S1
.5,12 .60
Diện tích tam giác đều OAB là: S2
1 3 26 ,01. 3 2 .OA.OA. cm . 2 2 4
360
26 ,01 6
cm 2 .
Diện tích hình viên phân AmB là: 3 2 S S1 S 2 26 ,01 2,35cm . 6 4
86. Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (hình bên). a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R1 và R2 (giả sử R1 R2 ). b) Tính diện tích hình vành khăn khi R1 10,5cm,R2 7,8cm. Giải a) Diện tích của hình vành khăn các bán kính R1 ,R2 là: S R12 R22 R1 R2 R1 R2 .
b)
Thay ta được: S 10,5 7,8 10,5 7,8 49,41 155,15cm 2 .
87. Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành. Giải Gọi O là trung điểm của BC ta có: OB OC
a . 2
Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC. Dễ thấy ODB, OEC là các tam giác đều.Từ đó ta tính được diện tích của hai hình viên phân gạch sọc là: S 2 dt qu¹t OBmD dt ODB .a 2 1 a a 3 3 2 2 2 . . . a 0,045a . 2 2 2 2 12 8 24
ÔN TẬP CHƯƠNG III CÂU HỎI 1. Góc ở tâm là gì? 2. Góc nội tiếp là gì? 3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là gì? 4. Tứ giác nội tiếp là gì? 5. Với ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn, khi nào thì:
s® AB s® AC s® CB? Trả lời 1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. 2. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh cắt đường tròn đó. 3. Đường thẳng xt tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm A thì tiếp điểm A chia tiếp tuyến xt thành hai tia đối nhau Ax và At. Mỗi tia như vậy gọi là một tia tiếp tuyến. Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến với một dây cung của đường tròn có một đầu mút là gốc của tia tiếp tuyến gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Ví dụ góc BAt trong hình bên là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. 4. Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn.
AB s® AC s® CB. 5. Khi điểm C nằm trên cung AB thì: s® CÂU HỎI 6. Phát biểu các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường tròn. 7. Phát biểu định lí về hệ quả về các góc nội tiếp cùng chắn một cung. 8. Phát biểu định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. 9. Phát biểu quỹ tích cung chứa góc. 10. Phát biểu điểu kiện để một tứ giác nội tiếp được đường tròn. Trả lời 6. Với hai cung nhỏ của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau thì: - hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. - hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. - cung lớn hơn căng dây lớn hơn. - dây lớn hơn căng cung lớn hơn. 7. - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. - Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. 8. Định lí thuận: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Định lí đảo: Một góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung, có số đo bằng nửa số đo cung căng dây đó và cung này nằm bên trong góc thì cạnh kia là một tia tiếp tuyến. 9. Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc không đổi là hai cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng đó 0 180 . 10. Một tứ giác nội tiếp được đường tròn nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: + Tổng của hai góc đối điện bằng 180 . + Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. + Hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới góc bằng nhau. + Bốn đỉnh cách đều một điểm cố định. CÂU HỎI 11. Phát biểu một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. 12. Phát biểu định lí về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của đa giác đều. 13. Nêu cách tính số đo cung nhỏ, cung lớn. 14. Nêu cách tính số đo của góc nội tiếp theo số đo của cung bị chắn. 15. Nêu cách tính số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung theo số đo của cung bị chắn. . 16. Nêu cách tính số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn theo số đo của các cung bị chắn. 17. Nêu cách tính số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn theo số đo của các cung bị chắn. 18. Nêu cách tính độ dài cung n0 của hình quạt tròn, bán kính R. 19. Nêu cách tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0. Trả lời 11. - Tổng hai góc đối diện bằng 180 . - Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện. - Hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc. - Bốn đỉnh cách đều một điểm cố định. 12. Mỗi đa giác đều có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. 13. Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng 360 trừ đi số đo của cung nhỏ cùng căng dây cung. 14. Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 15. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 16. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo các cung bị chắn. 17. Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của các cung bị chắn. 18. Độ dài l của cung n0 của hình quạt tròn bán kính R được tính theo công thức: l 19. Diện tích S của hình quạt tròn bán kính R, cung n0 được tính theo công thức: S BÀI TẬP
.R.n 180
.
R 2 .n 360
.
88. Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây: (Ví dụ. Góc trên hình b là góc nội tiếp).
Bạn tự giải 89. Trong hình bên, cung AmB có số đo là 60 . Hãy: a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB. b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB. c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt.
ACB. d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh ADB với e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối
ABC. với AB). So sánh AEB với Giải
AOB 60. (Bạn đọc tự vẽ) a) 1 ACB s® AmB 30. (Bạn đọc tự vẽ) b) 2 1 ABt s® AmB 30 nếu cung nhỏ AmB nằm trong góc ABt (hình a). c) 2 1 ABt s® AB lí n 150 nếu góc ABt chứa cung lớn AB (hình b). 2
1 1 1 ADB s® AmB s® KN ACB s® KN ACB. d) 2 2 2
e) Giả sử EA cắt đường tròn tại P và EB cắt đường tròn tại Q. Ta có:
1 1 1 AEB s® AmB s® PQ ACB s® PQ ACB. 2
2
2
90. a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm. b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này. c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này. Giải a) Hình vuông ABCD: AB BC CD AD 4cm.
A B C D 90. b) Bán kính OA của đường tròn ngoại tiếp ABCD bằng nửa đường chéo của hình vuông. R OA
1 1 1 2 AC AB 2 BC 2 4 4 2 2 2cm. 2 2 2
c) Đường kính của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD bằng cạnh hình vuông. Bán kính r của nó bằng: r
1 1 AD BC 2cm. 2 2
91. Trong hình bên, đường tròn tâm O có bán kính R 2 cm, AOB 75 a) Tính s® ApB . b) Tính độ dài cung AqB và ApB. c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB. Giải a) s® ApB 360 s® AqB 360 75 285.
,l ApB b) Độ dài của các cung AqB và ApB kí hiệu tương ứng là l l AqB Ta có: l AqB
.OA.75 180
5 cm 2,62cm. 6
C l 2 .OA l ApB AqB
5 5 19 4 9,94cm. 6 6 6
c) Diện tích quạt tròn OAqB là: S
.OA2 .75 180
5 cm 2 2,62cm 2 . 6
92. Hãy tính diện tích miễn gạch sọc trong các hình dưới đây (đơn vị dài: cm).
Giải a) Diện tích hình vành khăn (hình a)
S1 .1,5 2 .12 1,25 cm 2 3,93cm 2 . b) Diện tích miền gạch sọc trong hình b bằng S2
80 diện tích hình vành khăn trong hình a 360
80S1 2 1,25 cm 2 0,87cm 2 . 360 9
c) Diện tích hình gạch sọc hình c bằng 4 lần điện tích hình vuông cạnh 1,5cm đã bớt
1 hình tròn bán 4
kính 1,5cm. Điều này có nghĩa diện tích hình gạch sọc hình c bằng điện tích hình vuông cạnh 3cm trừ diện tích hình tròn đường kính 3cm. S3 32
.32 4
1,94cm 2 .
93. Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 1cm. Hỏi: a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng? b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng? c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu? Giải a) Theo cách chuyển động của các bánh xe thì mỗi bánh xe trong hệ thống chuyển được một răng cưa thì mỗi bánh xe khác của hệ cũng chuyển một răng cưa. Vì vậy: Khi bánh xe C quay 60 vòng tức đã chuyển số răng cưa là: 60 20 1200 răng cưa.
Số vòng bánh xe B đã quay băng: n1
1200 30 vòng. 40
b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì số vòng bánh xe B quay là:
n2
80 60 120 vòng. 40
c) Gọi bán kính các bánh xe A, B, C theo thứ tự là R1 ,R2 ,R3
2 R1 60 răng, 2 R2 40 răng, 2 R3 20 răng. Từ đó suy ra 2 R1 3 2 R3 R1 3R3 3cm.
2 R2 2 2 R3 R2 2R3 2cm. Vậy bán kính bánh xe A và B theo thứ tự là 3cm và 2cm. 94. Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (hình dưới). Hãy trả lời các câu hỏi sau: a) Có phải
1 số học sinh là học sinh ngoại trú không? 2
1 b) Có phải số học sinh là học sinh bán trú không? 3
c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm? d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em. Giải a) Tổng số học sinh biểu diễn bởi nửa đường tròn, tức là hình quạt tròn có góc 180 . Số học sinh ngoại trú biểu điễn bằng hình quạt tròn 90 . Tỉ lệ học sinh ngoại trú so với học sinh toàn trường là
90 1 1 . Vậy 180 2 2
số học sinh là học sinh ngoại trú. b) Cũng như câu a) tỉ lệ học sinh bán trú là Vậy
18 90 30 1 . 180 3
1 số học sinh là học sinh bán trú. 3
c) Tỉ số phần trăm học sinh nội trú là: 30 100 100% % 16 ,67%. 180 6
d) - Số học sinh nội trú là:
1800 30 300 học sinh. 180
- Số học sinh bán trú là: 1800 : 3 600 học sinh. - Số học sinh ngoại trú là: 1800 : 2 900 học sinh. 95. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) CD CE;
b) BHD cân;
c) CD CH . Giải
a) Trong các tam giác vuông ABH và BAH ta có:
A1 H1 H2 B2 90 H1 H 2 (đối đỉnh) suy ra A1 B2 Do 1 1 s® Vì A1 s® CD,B CE 2 2 2
A1 B2 s® CD s® CE CD CE.
b) Trong tam giác BHD ta có BA là đường cao kẻ từ B. Mặt khác ta có: 1 1 B1 s® CD s® CE B2 2
2
Đường cao BA đồng thời là đường phân giác. Vậy BHD cân đỉnh B. c) Do đường thẳng BA là đường trung trực của DH (tính chất tam giác cân) mà C nằm trên đường trung trực của BH nên CD CH . 96. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng: a) OM đi qua trung điểm của dây BC; b) AM là tia phân giác của góc OAH. Giải a) Tia AM là tia phân giác góc BAC nên 1 1 BAM MAC s® BM s® MC 2
2
BM MC . Điểm M là điểm chính giữa của cung BC . Do BOM MOC . đó ta có Tam giác BOC cân đỉnh O nên tia phân giác kẻ từ O chứa đường trung tuyến kẻ từ O. Vậy OM đi qua trung điểm của BC. b) Trung tuyến OI của OBC đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó AH OI (cùng vuông góc với BC). Suy ra
OMA MAH (hai góc so le trong)
(1)
OMA OAM (2) Mặt khác tam giác OAM cân đỉnh O nên OAM MAH . Từ (1) và (2) ta được: Vậy AM là tia phân giác của góc OAH. 97. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng : a) ABCD là một tứ giác nội tiếp;
b) ABD = ACD; c) A là tia phân giác của góc SCB. Giải
BAC 90 , A nằm trên đường tròn đường kính BC. a) Ta có: BDC MDC 90 Ta lại có MDC chắn nửa đường A tròn đường kính MC). (góc Vậy D cũng nằm trên đường tròn đường kính BC. Các điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn đường kính BC nên ABCD là một tứ giác nội tiếp.
ACD là các b) Trong đường tròn ngoại tiếp ABCD thì ABD và ABD ACD . góc nội tiếp cùng chắn cung AD . Vậy c) Trong đường tròn ngoại tiếp ABCD ta có:
ADB SDM ACB (các góc nội tiếp cùng chắn cung AB )
(1)
Trong đường tròn đường kính CM ta có:
SDM SCM (các góc nội tiếp cùng chắn cung SM )
(2)
SCM SCA ACB Từ (1) và (2) ta có
(3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ CA là tia phân giác của góc SCB. 98. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó. Giải M là trung điểm của AB nên OM là trung tuyến của tam giác cân OAB
AMO 90 . Điểm A cố đỉnh O nên OM đồng thời là đường cao. Do đó định, B di động nên M di động, nhưng M luôn nhìn đoạn thẳng OA cố định dưới góc vuông nên quỹ tích các trung điểm M của AB là đường tròn đường kính AO.
80 , đường cao AH có độ dài là 99. Dựng ABC , biết BC 6cm,BAC 2cm. Giải (Xem bài tập 49). - Dựng đoạn BC 6cm . Dựng hai đường thẳng d1 BC và d 2 BC cách BC khoảng cách 2cm. - Vẽ các cung chứa góc 80 dựng trên BC (cách dựng cung chứa góc trên BC xem Sách giáo khoa).
Các cung chứa góc này cắt d1 và d 2 tại 4 điểm A1 , A2 , A3 , A4 . Các các tam giác A1 BC, A2 BC, A3 BC và A4 BC thỏa mãn các yêu cầu của đề bài.
PHẦN Chương IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU § 1. Hình trụ Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ Công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r:
S xq 2 rh;
Stp 2 rh 2 r 2 ;
V r 2 h Sh
BÀI TẬP 1. Hãy điền thêm các tên gọi vào dấu ...
Hướng dẫn (Học sinh tự giải) 2. Lấy một băng giấy hình chữ nhật ABCD (hình dưới). Biết AB 10 cm , BC 4 cm ; dán băng giấy như hình vẽ (B sát với A và C sát với D, không được xoắn).
Có thể dán băng giấy có tạo nên mặt xung quanh của hình trụ được không ? Hướng dẫn Có. 3. Quan sát ba hình dưới đây và chỉ ra chiều cao, bán kính đáy của mỗi hình.
Hướng dẫn
1 : h 10cm; r 4cm
2 : h 11cm; r 0,5cm
3 : h 3cm; r 3,5cm 4. Một hình trụ có bán kính đáy là 7cm, diện tích xung quanh bằng 352cm 2 . Khi đó, chiều cao của hình trụ là:
A
3,2cm
B
4,6cm
C
D
2,1cm
E
Một kết quả khác.
1,8cm
Hãy chọn kết quả đúng. Hướng dẫn Ta có: r 7 ; Sxq 352 . Từ công thức Sxq 2rh h
Sxq 2r
352 352 8 cm 2.7 14.3,14
Vậy E đúng. 5. Điền đủ các kết quả vào những ô trống của bảng sau: Hình
Bán kính
Chiều cao
Chu vi đáy
đáy (cm)
(cm)
(cm)
1
10
5
4
Diện tích
Diện tích xung
Thể tích
đáy cm 2
quanh cm 2
cm
Diện tích
Diện tích xung
Thể tích
3
8 Hướng dẫn Hình
Bán kính
Chiều cao
Chu vi đáy
đáy (cm)
(cm)
(cm)
đáy cm 2
quanh cm 2
cm
1
10
2
20
10
5
4
10
25
40
100
2
8
4
4
32
32
3
6. Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy. Diện tích xung quanh của hình trụ là 314cm 2 . Hãy tính bán kính đường tròn đáy và thể tích hình trụ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hướng dẫn Gọi bán kính đáv của hình trụ là r thì chiều cao h r Sxq 2rh 2r 2 314
Lấy 3,14 r 2
314 50 2.3,14
r 5 2 7, 07 cm Thể tích hình trụ: V r 2 h .50.5 2 250. 2. 1110,16 cm3
7. Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2m, đường kính đường tròn đáy 4cm được đặt khít vào một ống giấy cứng dạng hình hộp (hình bên dưới). Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm một hộp. (Hộp hở hai đầu, không tính lề và mép dán). Hướng dẫn - Chu vi đáy hộp 2p 16 cm . - Diện tích xung quanh hình hộp 16 120 1920 cm 2 . Đáp số: 1920 cm 2 . LUYỆN TẬP 8. Cho hình chữ nhật ABCD AB 2a, BC a . Quay hình chữ nhật đó quanh AB thì được hình có thể tích
V1 , quanh BC thì được hình có thể tích V2 . Trong các đẳng thức dưới đây, hãy chọn đẳng thức đúng.
A
V1 V2
B
V1 2V2
D
V2 3V1
E
V1 3V2 . Hướng dẫn
Khi quay hình chữ nhật xung quanh AB thì ta được hình trụ có
và
chiều cao
h AB 2a
bán kính đáy
r BC a
thể tích
V1 a 2 .2a 2a 3 .
Khi quay hình chữ nhật xung quanh BC thì ta được hình trụ có h BC a r AB 2a
và
V2 2a .a 4a 3 2
C
V2 2V1
V2 4a 3 2 V1 2a 3
Vậy
Đẳng thức C V2 2V1 đúng. 9. Dưới đây là một hình trụ cùng với hình khai triển của nó kèm theo kích thước.
Hãy điền vào các ô trống và các dấu ... những cụm từ và các số cần thiết. ....:10. :
....: 10.2. ....: .2
.
cm 2
cm 2
cm 2
Hướng dẫn
Sñaùy 10. 2 . 20 cm2
Sxq 10.2. .12 240 cm 2 Stp 20 .2 240 280 cm 2
10. Hãy tính : a) Diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi đường tròn đáy 13cm và chiều cao 3cm. b) Thể tích của hình trụ có bán kính đường tròn đáy 5mm và chiều cao 8mm. Giải a) Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq 13.3 39 cm 2 . b) Ta có: V r 2 h 3,14.52.8 V 628 mm3 .
11. Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng đá nhỏ vào một lọ thủy tinh có nước dạng hình trụ. Diện tích đáy lọ thủy tinh là 12,8cm 2 . Nước trong ống nghiệm dâng lên thêm 8,5mm. Hỏi thể tích của tượng đá là bao nhiêu? Hướng dẫn
Thể tích tượng đá bằng thể tích phần nước dâng lên trong ống nghiệm và bằng: 12,8 0,85 10,88 cm3 .
12. Điền đủ các kết quả vào những ô trống của bảng sau: Hình
Bán kính
Đường
đáy
kính đáy
Chiều cao
25mm
Chu vi
Diện tích
Diện tích
đáy
đáy
xung quanh
Thể tích
7cm 6cm
1m
5cm
1 lít Hướng dẫn
Hình
Bán kính
Đường kính
đường tròn
đường tròn
đáy
đáy
25mm 3cm 5cm
Chiều
Chu vi
Diện tích
Diện tích
cao
đáy
đáy
xung quanh
50mm
7cm
50 mm
625 mm 2
3500 mm 2
43750 mm3
6cm
1m
6 cm
9 cm 2
600 cm 2
900 cm3
10cm
40 cm
20 cm
25 cm 2
800 cm 2
1 lít
Chú ý: 1 lít tương đương với 1dm3 1000 cm3 13. Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình bên (lỗ khoan dạng hình trụ), tấm kim loại dày 2cm, đáy của nó là hình vuông có cạnh là 5cm. Đường kính của mũi khoan là 8mm. Hỏi thể tích phần còn lại của tấm kim loại là bao nhiêu? Hướng dẫn Ta có: 502 4..42 20 45980,8 mm3 (lấy 3,14 ) 14. Đường ống nối hai bể cá trong một “thủy cung” ở miền nam nước Pháp có dạng một hình trụ, độ dài của nó là 30m (hình bên). Dung tích của “đường ống” nói trên là 1800000 lít. Tính diện tích đáy của đường ống. Giải Ta có: 1 lít tương đương 1dm3 0, 001m3 . Vậy 1800000 lít tương đương với 1800m3 . Diện tích một đáy là 1800 : 30 60 m 2 .
Thể tích
PHẦN Chương IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU §2. Hình nón – Hình nón cụt – Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
S xq
Stp
V
Hình nón
rl
rl r 2
1 2 r h 3
Hình nón cụt
r1 r2 l
r1 r2 l r12 r22
1 h r12 r22 r1r2 3
Chú ý:
r: bán kính đáy;
h: đường cao;
l: đường sinh.
BÀI TẬP 15. Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương là 1). Hãy tính: a) Bán kính đáy của hình nón. b) Độ dài đường sinh. Giải 1 . 2
a) Bán kính đáy hình nón: r
b) Chiều cao hình nón cũng là chiều cao của hình lập phương nên HA
SH 1
1 2 2
1 5 l SA mà SA 1 4 2 2
l
2
5 2
16. Cắt một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Bán kính hình tròn chứa hình quạt bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy. Quan sát hình dưới đây và tính số đo cung của hình quạt.
Gọi số đo cung hình quạt là x . Bán kính hình tròn chứa hình quạt là R 6 cm , chu vi của đường tròn này là 2R 2.6 12 . Độ dài cung của hình quạt là 2.2. 4 . Ta tính ra x
4 .360 120 . Đáp số: x 120 . 12
15. Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như ở hình dưới thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón. Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là 30°, độ dài đường sinh là a, tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh hình nón. Giải Bán kính đáy hình nón: 1 a r OC a.cos30 a. r . 2 2
Ta gọi n° là độ lớn của góc ở tâm của khai triển hình nón thì a r n .360 2 360 n 180 l a
18. Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra
A
Một hình trụ.
B
Một hình nón.
C
Một hình nón cụt.
D
Hai hình nón.
E
Hai hình trụ. Hãy chọn câu trả lời đúng. Hướng dẫn Câu D đúng. Ta có hai hình nón có chung nhau một đỉnh S là giao điểm của AD và BC.
19. Hình khai triển của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình tròn chứa hình quạt là 16cm, góc ở tâm là 120° thì độ dài đường sinh của hình nón là:
A
16cm
B
8cm
C
16 cm 3
Hãy chọn kết quả đúng. Hướng dẫn Câu A đúng: Độ dài đường sinh hình nón là 16cm. 20. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:
D
4cm
E
16 cm. 5
Bán kính đáy (r)
Đường kính đáy (d)
10
Chiều cao (h)
Độ dài đường sinh (l)
Thể tích (V)
10 10
10 10
1000
10
1000 10
1000
Hướng dẫn Bán kính đáy
Đường kính đáy
Độ dài đường
Thể tích
(r cm)
(d cm)
sinh (l cm)
(V cm3)
10
(20)
10
100 2
1 .1000 3
5
10
10
5 5
1 .250 3
10 3
20 3
10
10
3
1000
10
20
30
10 9 2
1000
5
10
120
5 576 2
1000
Chiều cao (h)
21. Cái mũ của chú hề với các kính thước cho theo hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa). Giải - Bán kính đáy hình nón: r
35 10 7,5cm 2
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq rl .7,5.30 225 cm 2 - Diện tích phần vành khăn S 17,52 7,52 . 250 cm 2 .
Tổng số diện tích vải cần để làm mũ 225 250 475 706 cm 2 . 22. Hình vẽ cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo OA OB . Hãy so sánh thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ. Hướng dẫn 1 Thể tích hai hình nón V R 2 h 3
Thể tích hình trụ
V R 2 h
1 2 R h V 3 1 Vậy 2 V R h 3
LUYỆN TẬP 23. Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón. (Góc của tam giác vuông AOS - hình bên) sao cho diện tích mặt khai triển của hình nón bằng một phần tư diện tích của hình tròn (bán kính SA). Giải Gọi là nửa góc ở đỉnh hình nón, ta có sin
r trong đó l là l
đường sinh, r là bán kính đáy hình nón. 1 r 1 Theo giả thiết ta có rl .l2 4 l 4
Vây sin
1 . Từ đây ta tính được góc 1428 . 4
24. Hình khai triển mặt xung quanh của hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16cm, số đo cung là 120°. Tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón là:
A
2 4
B
2 2
C
2
Hãy chọn kết quả đúng. Giải Ta có: Gọi l, r là đường sinh và bán kính đáy hình nón thì 2r
2l.120 r 1 360 l 3
r 1 1 8 mà sin sin cos 2 1 l 3 9 9 cos
8 3
D
2 2
1 sin 1 2 tg 3 . Vậy câu A) đúng. cos 4 8 2 2 3
25. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a, b a b và độ dài đường sinh l (a, b, l có cùng đơn vị đo). Hướng dẫn Đáp số: Sxq l b a . 26. Hãy điền đủ vào ô trống cho bảng sau (đơn vị độ dài là cm): Hình
Bán kính
Đường kính
Chiều cao
Độ dài đường
Thể tích
đáy (r)
đáy
(h)
sinh (l)
(V)
5
12 16
15
7
25 40
29 Giải
Bán kính
Đường kính
Chiều cao
Độ dài đường
đáy (r)
đáy
(h)
sinh (l)
5
10
12
13
100 314cm3
8
16
15
17
320 1005cm3
7
14
24
25
392 1231cm3
20
40
21
29
2800 8792cm3
Thể tích (V)
27. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính: a) Thể tích của dụng cụ này. b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy). Giải a) Thể tích phần hình nón:
1 2 V1 . 70 .90 147000 cm3 . 3
Thể tích phần hình trụ:
V2 . 70 .70 343000 cm3 . 2
Thể tích của dụng cụ: 147000 343000 490000 1538600 cm3 1,54 m3 .
b) Diện tích phần hình trụ:
2.70.70 9800 cm 2 .
Đường sinh của hình nón:
l 2 902 702 13000 l 114 cm .
Diện tích phần hình nón:
.70.114 7980 cm 2
Diện tích mặt ngoài của dụng cụ: 7980 9800 17780 55829 cm 2 5, 6 m 2
28. Một cái xô bằng inốc có các kích thước cho ở hình vẽ (đơn vị cm). a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô (không tính nắp đậy). b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu? Giải a) Ta có r1 21 ; r2 9 ; l 36 Vậy diện tích xung quanh của xô là: S 21 9 .36 1080 3391 cm 2 .
b) Trước hết ta tính chiều cao của xô: h 2 362 21 9 1152 2
h 34
1 Thể tích của xô là: V 212 92 21.9 .34 3
8058 cm3 25302 cm3
29. Cối xay gió của Đôn-ki-hô-tê (từ tác phẩm của Xéc-van-téc (Cervantes)). Phần trên của một cối xay gió có dạng một hình nón (xem hình dưới). Chiều cao của hình nón là 42cm và thể tích của nó là 17600cm3 . Lấy
22 . Em hãy giúp chàng Đôn-ki-hô-tê tính bán kính đáy của hình nón (làm tròn kết quả đến chữ số 7
thập phân thứ hai).
Hướng dẫn Áp dụng công thức:
1 V r 2 h 3
1 1 22 17600 .42.r 2 17600 . .42.r 2 3 3 7
r 2 17600 : 44 400 r 20 m
PHẦN Chương IV. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU §3. Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Diện tích mặt cầu bán kính R:
S 4 R 2 d 2 (d là đường kính)
Thể tích hình cầu bán kính R:
4 V R3 3
BÀI TẬP 1 30. Nếu thể tích của một hình cầu là 113 cm3 thì trong các số sau đây, số nào là bán kính của nó? (Chọn 7
22 ) 7
A
2cm;
B
3cm;
C
D
6cm;
E
Một kết quả khác.
5cm;
Đáp số: B R 3cm . 31. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau : Bán kính hình cầu
0,3mm
6,21dm
0,283m
100km
6hm
50dam
Diện tích mặt cầu Thể tích hình cầu Giải Bán kính
0,3mm
6,21dm
0,283m
100km
6hm
50dam
S
0,36mm 2
154, 26dm 2
0,320m 2
40000km 2
144hm 2
10000dam 2
V
0, 036mm3
319,31dm 2
0, 030m3
1333333km3
288hm3
166667dam3
32. Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r. Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình. Hãy tính diện tích bề mặt của vật thể. (Diện tích cả ngoài lẫn trong). Giải 1 Diện tích 2 nửa mặt cầu: 2. 4r 2 4r 2 2
Diện tích mặt trụ: 2r.2r 4r 2 Diện tích bề mặt vật thể: 4r 2 4r 2 8r 2 .
33. Dụng cụ thể thao Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
Loại bóng
Quả bóng gôn
Đường kính
42,7 mm
Quả khúc côn cầu
Độ dài đường
Quả tennit
Quả bóng bàn
Quả bi-a
6,5cm
40mm
61mm
Quả tennit
Quả bóng bàn
Quả bi-a
23cm
tròn lớn Diện tích Thể tích
Giải Quả khúc côn
Loại bóng
Quả bóng gôn
Đường kính
42,7 mm
7,3cm
6,5cm
40mm
61mm
134,1mm
23cm
20,4cm
125,6mm
191,5mm
Diện tích
5725, 0mm 2
167,3cm 2
132, 7cm 2
5024mm 2
11683,9mm 2
Thể tích
40743,8mm3
203, 6cm3
143, 7cm3
33493,3mm3
118786, 7mm3
Độ dài đường tròn lớn
cầu
34. Khí cầu của nhà Mông-gôn-fie (Montgolfier). Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fie phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính 11m. Hãy tính diện tích khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chừ số thập phân thứ hai). Giải Diện tích khinh khí cầu: S 4.3,14. 5,5 379,94 2
LUYỆN TẬP 35. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (hình bên). Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ. Giải Bồn xăng gồm có 1 hình trụ có bán kính đáy r 0,90m và chiều cao h 3, 62m và hai nửa hình cầu có bán kính r 0,90m . Thể tích của bồn là: 4 4 2 r 2 h r 3 r 2 h r . 0,9 3, 62 1, 20 3 3
Lấy 3,14 ta tính ra V 12, 26 m3
36. Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước cho trên hình bên (đơn vị đo: cm). a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA có độ dài không đổi và bằng 2a. b) Với điều kiện ở a) hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của hình theo x và a. Giải a) Bán kính hình cầu là x. Ta có:
AA h 2x
2a h 2x
b) Từ hệ thức h 2x 2a ta có:
h 2 a x
Diện tích phần hình trụ:
2x.h 4 a x .x
Diện tích hai nửa mặt cầu:
4x 2
Diện tích bề mặt chi tiết máy:
4 a x .x 4x 2 4ax
Thế tích phần hình trụ:
V1 x 2 h 2x 2 a x
Thể tích 2 nửa hình cầu:
V2
Thể tích chi tiết máy:
4 V1 V2 2x 2 a x x 3 3
V
4 3 x 3
2 2 x 3a 1 3
37. Cho nửa đường tròn đường kính AB 2R , Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N. a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng. b) Chứng minh đẳng thức AM.BN R 2 . c) Tính tỉ số
SMON R khi AM 2 SAPB
d) Tính Thể tích hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra. Giải a) AOP cân tại O nên:
P A 1 1 Ta lại có
P (vì cùng phụ với O ) M 1 1 1
Suy ra
A M 1 1
1
Tương tự, ta chứng minh được
B N 1 1
2
Từ 1 và 2 suy ra MON vuông tại O và MON ∽ APB . b) MON vuông tại O, OP MN nên MP.NP OP 2 mà MP AM ; NP BN và OP R .
Vậy AM.BN R 2 .
S MN MN c) MON ∽ APB tỉ số đồng dạng , cho nên: MON AB SAPB AB Với AM
2
R AM.BN R 2 BN 2R 2
Từ đây ta có MN MP NP AM BN MN
R 5R 2R ; 2 2
AB 2R
5R S MN 5 25 2 . Vậy MON AB 2R 4 SAPB 16
d) Khi quay xung quanh AB, nửa hình tròn APB tạo thành hình cầu đường kính AB. V
4 3 R 3
BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM A. PHẦN ĐẠI SỐ 1. Xét các mệnh đề sau: I.
4 . 25
4. 25 ;
II.
III. 100 10 ;
4 . 25
100 ;
IV. 100 10 .
Những mệnh đề nào là sai? Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu A, B, C, D dưới đây: A. Chỉ có mệnh đề I sai
B. Chỉ có mệnh đề II sai
C. Các mệnh đề I và IV sai
D. Không có mệnh đề nào sai. Trả lời Chọn (C)
M 3 2 2 6 4 2 ;
2. Rút gọn các biểu thức:
N 2 3 2 3 .
Giải a) M 3 2 2 6 4 2
2
2 1
2 2
2
2 1 2 2 2 1 2 2 3 2
b) N 2 3 2 3 4 2 2
2 3 2 3
4 2 22 3 6 N 6
3. Giá trị của biểu thức
A.
2
2 6
3 2 3
2 2 2
B.
bằng: 2 3 3
C. 1
Chọn câu trả lời đúng Trả lời
2
2 2 6 4 8 2 12 16 2 2 6 4 Ta có: 9 3 9 2 3 3 2 3 3 2 3
Vậy chọn D. 4. Nếu
2 x 3 thì x bằng:
D.
4 3
A. 1
B.
7
C. 7
D. 49
Chọn câu trả lời đúng. Trả lời 2
2 x 3 32 2 x 9 x 7 x 49
Chọn D. 5. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
2 x x 2 x x x x 1 . x 2 x 1 x 1 x Giải Với điều kiện x 0 , x 1, biểu thức đã cho được viết thành: 2 x 2 x 1
x 2 . x 1 x 1
2 x x 1
x 2
x
x 1
2
x 1
x
2
x 1
x
x x
2 không phụ thuộc x.
6. Cho hàm số y ax b Tìm a và b, biết rằng đồ thị của hàm số đã cho thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) Đi qua hai điểm A 1;3 và B 1; 1 ; b) Song song với đường thẳng y x 5 và đi qua điểm C 1;2 . Giải a) Điểm A 1;3 thuộc đồ thị nên: 3 a.1 b b 3 a Điểm B 1; 1 thuộc đồ thị nên: 1 a l 3 a a 2,b 3 a 3 2 l .
b) Đồ thị hàm số y ax b song song với đường thẳng y x 5 nên a 1. Điểm C 1;2 thuộc đồ thị nên: 2 1.1 b b 1 . Đáp số: a 1, b 1. 7. Cho hai đường thẳng: y m 1 x 5 d1 ; y 2x n d2 Với giá trị nào của m và n thì: a) d1 trùng d2 ?
b) d1 cắt d2 ?
c) d1 song song với d2 ? Giải
a) d1 trùng d2 m 1 2 , n 5 , nghĩa là với m 1 , n 5 b) d1 cắt d2 m 1 2 , tức là với m 1 c) d1 / /d2 m 1 2 , n 5 , tức là m 1 , n 5 8. Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng k 1 x 2y 1 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. Giải Với mọi giá trị của k thì cặp số x 0 , y
1 luôn luôn nghiệm đúng phương trình k 1 x 2y 1. Vậy 2
1 đường thẳng k 1 x 2y 1 luôn đi qua điểm A 0; cố định khi k thay đổi. 2 9. Giải các hệ phương trình: 3 x 2 y 2 b) 2 x y 1
2x 3y 13 a) 3x y 3 Giải a) Với y 0 , hệ phương trình có dạng:
2x 3y 13 2x 3y 13 2x 3y 13 x 2 3x y 3 9x 3y 9 11x 22 y 3 Với y 0 , hệ phương trình có dạng:
2x 3y 13 2x 3y 13 2x 3y 13 3x y 3 9x 3y 9 7x 4 x y
4 7 33 7
4 33 Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm 2;3 và ; 7 7 b) ĐKXĐ: x 0 , y 0 . Đặt
x u 0,
y v 0 ta được:
3u 2v 2 3u 2v 2 3u 2v 2 2u v 1 4u 2v 2 7u 0 u 0 n v 1 nhaä x u 0 x 0,
Đáp số x 0 , y 1 .
y v 1 y 1.
10. Giải các hệ phương trình: x 12 2y 2 b) 2 3 x 1 3y 1
2 x 1 y 1 1 a) x 1 y 1 2
Giải a) ĐKXĐ: x 1 , y 1 . Đặt
x 1 u 0 ,
y 1 v 0 ta được
2u v 1 2u v 1 u 1 u v 2 3u 3 v 1 x 1 1 x 2 ,
y 1 1 y 2 .
Đáp số: x 2 , y 2 . b) Đặt x l u 0 , ta có: 2
8 u u 2y 2 3u 6y 6 9 3u 3y 1 3u 3y 1 v 5 9
u x 1 2
8 2 2 x 1 9 3
2 2 5 ; , Đáp số: 1 3 9
2 2 5 ; . 1 3 9
11. Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng
4 số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trong mỗi giá. 5
Giải Đặt x là số cuốn sách ở giá thứ nhất, y là số cuốn sách ở giá thứ hai. Điều kiện x, y nguyên dương. Ta có hệ phương trình:
x y 450 4 y 50 5 x 50 Giải hệ phương trình ta được: x 300 , y 150 . Kết luận số cuốn sách ở các giá sách theo thứ tự là 300 cuốn và 150 cuốn. 12. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc. Giải Gọi x (km/phút), y (km/phút) là vận tốc xe lúc lên dốc và xuống dốc ta được hệ phương trình:
4 5 x y 40 5 4 41 x y
Giải hệ phương trình trên ta được Suy ra x
1 1 5, 4. x y
1 1 , y . 5 4
Kết luận: Vận tốc lên dốc 0,2 km/phút, xuống dốc 0,25 km/phút. 13. Xác định hệ số a của hàm số y ax 2 , biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A 2;1 . Vẽ đồ thị của hàm số đó. Giải Thay x 2 , y 1 vào công thức của hàm số ta được: 1 a 2 a 2
Bạn tự vẽ đồ thị hàm số y
1 4
1 2 x . 4
14. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình 3x 2 ax b 0 . Tổng x1 x 2 bằng: A.
a 3
B.
a 3
C.
b 3
D.
b 3
Chọn câu trả lời đúng. Giải Chọn B. 15. Hai phương trĩnh: x 2 ax 1 0 và x 2 x a 0 có một nghiệm thực chung khi a bằng: A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Chọn câu trả lời đúng. Giải Điều kiện để cả hai phương trình có nghiệm là a 2 . Thử thấy khi a 2 thì hai phương trình có nghiệm chung x 1 . Chọn C. 16. Giải các phương trình: b) x x l x 4 x 5 12 .
a) 2x 3 x 2 3x 6 0 ; Giải a) Phân tích vế trái thành nhân tử: 2x 3 x 2 3x 6 2x 3 2x 2 3 x 2 x 6 x 1 2x 2 x 1 3x x 1 6 x 1
x 1 2x 2 3x 6 2x 3 x 2 3x 6 0 x 1 0 hoặc 2x 2 3x 6 0
Phương trình 2x 2 3x 6 0 vô nghiệm, phương trình x 1 0 có nghiệm x 1 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất X = -1. b) x x 1 x 4 x 5 12 x 2 5x x 2 5x 4 12 0
x 2 5x 4 x 2 5x 12 0 2
Đặt x 2 5x t , ta được: t 2 4t 12 0 t 6 hoặc t 2 Giải phương trình x 2 5x 6 ta được: x1 2 , x 2 3 Giải phương trình x 2 5x 2 ta được: x 3
5 33 5 33 , x4 2 2
5 33 5 33 ; Tập nghiệm của phương trình đã cho là: 2; 3; 2 2
17. Một lớp học có 40 học sinh được sắp xếp ngồi đều nhau trên các ghế băng. Nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải xếp thêm 1 học sinh. Tính số ghế băng lúc đầu. Giải Cách 1. Đặt x là số học sinh ngồi trên một ghế băng lúc đầu. Điều kiện x nguyên dương. Ta có phương trình:
40 40 2 x1 4, x 2 5 (loại) x x 1
Suy ra số ghế lúc ban đầu là 10 ghế. Cách 2. Đặt x là số ghế băng lúc ban đầu. Điều kiện x nguyên dương. Ta có phương trình:
40 40 1 x1 10, x 2 8 (loại) x x2
Vậy số ghế lúc ban đầu là 10 chiếc. 18. Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. Giải Gọi cạnh góc vuông nhỏ có độ dài là x (cm). Điều kiện x 0 . Ta có: x 2 x 2 102 x1 6, x 2 8 (loại) 2
Vậy các cạnh góc vuông của tam giác có độ dài lần lượt là 6cm, 8cm. B. PHẦN HÌNH HỌC 1. Chu vi hình chữ nhật ABCD là 20cm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường chéo AC. Giải Gọi AB x , AD y , ta có x 0 , y 0
x y 10 2 2 2 x y AC AC2 x 2 y 2 x y 2xy 100 2xy 100 2
Từ hệ thức AC2 100 2xy , ta nhận thấy AC nhỏ nhất khi tích xy lớn nhất. Hai số dương x, y có tổng x y 10 không đổi nên tích của chúng xy lớn nhất khi x y 5 . Lúc đó AC2 52 52 AC 5 2 cm . Chú ý: AC đạt giá trị nhỏ nhất khi ABCD là hình vuông, cạnh 5cm.
45 , C 30 . Nếu AC 8 thì AB bằng: 2. Tam giác ABC có B A. 4
C. 4 3
B. 4 2
D. 4 6
Chọn câu trả lời đúng. Giải
30 , Kẻ đường cao AH. Tam giác vuông AHC có AC 8 , C AH 8. 1 4 cho ta AH ACsin C 2
45 nên Trong tam giác vuông AHB, có AH 4 và B
AB
AH 4 8 AB 4 2 sin B 2 2 2
Vậy B đúng. 3. Cho tam giác ABC vuông ở C có trung tuyến BN vuông góc với trung tuyến CM, cạnh BC a . Tính độ dài trung tuyến BN. Giải Ta có: CM
a 1 a , GM CM 2 3 6 2
a a Trong tam giác vuông BGM thì BG 2 BM 2 GM 2 2 6 BG 2 BN
2
8a 2 a 2 BG 36 3
3 3 a 2 a 2 BG BN . BN 2 2 3 2
4. Tam giác ABC vuông tại C có sin A A.
3 5
Chọn câu trả lời đúng.
B.
5 3
2 thì tgB bằng : 3
C.
2 5
D.
5 2
Giải ABC vuông tại C nên A và B là hai góc phụ nhau, cho ta cos B sin A cos B
sin 2 B 1 cos 2 B sin 2 B 1
2 3
4 5 5 sin B 9 9 3
5 sin B 5 tgB 3 tgB 2 cos B 2 3
Vậy D đúng. 5. Tam giác ABC vuông tại C có AC 15cm . Đường cao CH chia AB thành hai đoan AH và HB. Biết HB 16cm , tính diện tích tam giác ABC.
Giải Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AC2 AH.AB AC2 AH. AH 16
225 AH 2 16AH
AH 2 16AH 225 0
1
Phương trình 1 có 289 , có hai nghiệm 9 và –25. Ta nhận giá trị dương, vậy AH 9 AB 25 . BC2 AB2 AC2 252 152 400 BC 20 . SABC
1 AC.BC 150 cm 2 . 2
6. Một hình chữ nhật cắt đường tròn như hình vẽ. Biết AB 4 , BC 5 , DE 3 với cùng đơn vị đo. Độ dài EF bằng:
A. 6 C.
20 3
B. 7 D. 8
Chọn câu trả lời đúng. Giải Kẻ EH AC , BK EF , CI EF . Ta có EK 4 3 1 Do tính chất đối xứng, ta có EK IF IF 1
BCIK là hình chữ nhật: KI BC 5 Vậy EF EK KI IF l 5 l 7
Vậy B đúng. 7. Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D
60 . và E sao cho DOE a) Chứng minh tích BD.CE không đổi. . b) Chứng minh BOD ∽ OED . Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của ADE
c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE. Giải a) Ta có:
O O 180 O 1 2 3
O 120 O 1 3
1
B O 180 D 1 1 D 120 O 1 1
2
COE O hay BDO Từ 1 và 2 suy ra D 1 3 Hai
tam
giác
BOD
và
CEO
có
COE BDO
và
OCE 60 nên BOD ∽ CEO DBO 2
BD CO BC BD.CE BO.CO không đổi BO CE 2
b) Từ BOD ∽ CEO , ta có: OD BD OD BD hay (vì BO CO ) OE OC OE BO
EOD 60 . Suy ra BOD ∽ OED . Kết hợp với DBO
ODE Từ BOD ∽ OED ta suy ra BDO hay OD là phân giác của góc BDE. c) Kẻ OK BD và OH DE . Vì OD là phân giác của góc BDE nên OK OH . Đường tròn tâm O tiếp xúc với cạnh AB tại K, bán kính OK. Do OH OK nên H nằm trên đường tròn này. Mặt khác DE OH chứng tỏ DE là tiếp tuyến của đường tròn này tại điểm H. Vậy đường tròn tâm O tiếp xúc với AB luôn tiếp xúc với DE. 8. Cho hai đường tròn O, R và O, r tiếp xúc ngoài R r . Hai tiếp tuyến chung AB và AB của hai đường tròn O , O cắt nhau tại P (A và A thuộc đường tròn O , B và B thuộc đường tròn O ). Biết PA AB 4cm . Tính diện tích hình tròn O .
Giải
Ta
có:
Kẻ
OK OB KB OA r
và
OK AB 4
OA PA r 1 R 2r OB PB R 2
Từ đây, ta có: OO R r 3r OK R r r
Trong tam giác vuông OKO thì: OO2 OK 2 OK 2 9r 2 r 2 16 r 2 2
Diện tích hình tròn tâm O là: r 2 2 cm 2 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O và ngoại tiếp đường tròn O . Tia AO cắt đường tròn O tại D. Ta có: A. CD BD OD
B. AO CO OD
C. CD CO BD
D. CD OD BD
Hãy chọn câu trả lời đúng. Giải
Tia AO là phân giác của góc BAC A BD CD A 1 2 CD BD
1
O là tâm đường tròn nội tiếp nên BO là phân giác của góc B, cho
B . Mặt khác B A (cùng chắn cung DC). ta B 1 2 3 2 B B B A hay OBD B A Vì vậy OBD 2 3 1 2 1 1
là góc ngoài của AOB nên BOD B A . Góc BOD 1 1 BOD hay BOD cân tại D, cho ta Từ đây suy ra OBD BD OD
2
Từ 1 và 2 suy ra CD OD BD . Vậy D đúng. 10. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O . Các cung nhỏ AB, BC, CA có số đo lần lượt là x 75 , 2x 25 , 3x 22 . Một góc của tam giác ABC có số đo là:
A. 575
B. 59
C. 61
Chọn câu trả lời đúng. Giải
sđBC sđCA 360 Ta có: sđAB x 75 2x 25 3x 22 360 6x 282 x 47
D. 60
Ta tính x 75 47 75 122 Góc nội tiếp chắn cung 122° là 61°. Vậy C đúng. 11. Từ một điếm P ở ngoài đường tròn O ta kẻ hai cát tuyến PAB và PCD tới đường tròn. Gọi Q là một 42 và sđQD 38 . Tính tổng điểm nằm trên cung nhỏ BD không chứa A và C sao cho sđBQ AQC . BPD
Giải 1 sđAC Ta có: AQC 2
1 sđBD sđAC BPD 2
BPD 1 sđBD 1 42 38 BP 40 AQC D AQC 2 2
12. Một hình vuông và một hình tròn có chu vi bằng nhau. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn ? Giải Gọi cạnh hình vuông là a thì chu vi hình vuông là 4a và diện tích hình vuông là a 2 . Gọi r là bán kính hình tròn thì chu vi của hình tròn là 2r và diện tích là r 2 . Giả thiết cho 2r 4a a
r 2 2
2 r 2 2 r Diện tích hình vuông tính theo r là: .r 4 4 2 Vì 4 nên
2 r 2 r 2 . 1 . Suy ra 4 4
Vậy hình tròn có diện tích lớn hơn. 13. Cho đường tròn O , cung BC có số đo bằng 120°, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD AC . Hỏi điểm D di chuyển trên đường nào? Giải 1 sđBC 60 Ta có: BAC 2
ACD CDB 60 BAC
1
CDB , Vì AD AC , suy ra ACD 60 CDB 30 do đó từ 1 suy ra: 2CDB 30 không đổi. Vậy D chạy trên cung chứa góc B, C cố định, góc CDB 30° dựng trên BC khi A chạy trên cung lớn BC.
60 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1cm. 14. Dựng tam giác ABC, biết BC 4cm , A
Giải
60 và đường tròn nội tiếp I;1cm tiếp xúc Phân tích: Giả sử dựng được tam giác ABC có BC 4cm , A với cạnh BC tại E. IE BC , IE 1cm . Vậy I nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC khoảng cách 1cm.
180 IBC ICB 180 1 B C Mặt khác: BIC 2
180
1 180 A 2
180
1 180 60 120 2
Vậy I nằm trên cung chứa góc 120° dựng trên BC. Cách dựng: – Dựng đoạn thẳng BC 4cm . – Dựng đường thẳng d song song với BC cách BC khoảng cách 1cm. – Dựng cung chứa góc 120° trên BC. Đường thẳng d cắt cung chứa góc tại điểm I. – Dựng đường tròn tâm I, bán kính 1cm. Đường tròn này tiếp xúc với BC tại điểm E. – Từ B và C dựng các tiếp tuyến với đường tròn I . Các tiếp tuyến này cắt nhau tại điểm A. Tam giác ABC là tam giác cần dựng. 15. Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn O . Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. Chứng minh: a) BD 2 AD.CD b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp c) BC song song với DE. Giải
B (cùng chắn cung BC) a) Ta có A 1 Hai tam giác ABD và BCD có: chung. B và D A 1 ABD ∽ BCD
BD CD AD BD
BD 2 AD.CD
C (cùng chắn cung BC) b) Ta cũng có A 1
C ABD ACE Suy ra B 1 1 chung và AB AC , suy ra Kết hợp với A
BEC ABD ACE BDC Hai điểm D và E cùng nhìn hai điểm B, C dưới những góc bằng nhau. Suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn. c) Từ ABD ACE AD AE ADE cân đỉnh A
AED ED / /BC . ABC 16. Một mặt phẳng chứa trục OO của một hình trụ, phần mặt phẳng nằm trong hình trụ là một hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ. Giải Xét hai trường hợp: a) V . 1,5 .2 4,5 cm3 2
S 2..1,5.2 6 cm 2
b) V .12.3 3 cm3 S 2..1.3 6 cm 2
17. Khi quay tam giác ABC vuông ở A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định, ta được một hình nón.
30 . Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón. Biết rằng BC 4dm , ACB Giải Ta có: Đường sinh l BC 4dm 1 Bán kính đáy r AB CB.sin 30 4. 2 2
Đường cao h CA CB.cos 30 4. Vậy:
3 2 3 2
Sxq .2.4 8 1 1 8 3 V r 2 h .22.2 3 3 3 3
18. Một hình cầu có số đo diện tích (đơn vị: m 2 bằng số đo thể tích (đơn vị: m3 ). Tính bán kính hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu. Giải Gọi R là bán kính hình cầu, ta có: 4 3 R 4R 2 R 3 m 3
36 m 113 m
Scaàu 36 m2 113 m2 Vcaàu
3
3
PHẦN Ôn tập chương IV CÂU HỎI 1. Hãy phát biểu bằng lời a) Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ. b) Công thức tính thể tích hình trụ. c) Công thức tính diện tích xung quanh hình nón. d) Công thức tính thể tích hình nón. e) Công thức tính diện tích mặt cầu. g) Công thức tính thể tích hình cầu. Giải a) Diện tích xung quanh hình lăng trụ thì bằng chu vi đường tròn đáy nhân với chiều cao. b) Thể tích hình trụ thì bằng tích của diện tích hình tròn đáy nhân với đường cao. c) Diện tích xung quanh hình nón thì bằng d) Thể tích hình nón thì bằng
1 tích của chu vi đường tròn đáy với đường sinh. 2
1 tích của diện tích hình tròn đáy với đường cao. 3
e) Diện tích mặt cầu thì bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn. g) Thể tích hình cầu thì bằng Chú ý: Vcaàu
4 tích của diện tích hình tròn lớn với bán kính. 3
4 3 4 2 r r .r với r 2 là diện tích hình tròn lớn. 3 3
2. Nêu cách tính diện tích xung quanh, thể tích của hình nón cụt. Giải Cách 1. Áp dụng công thức. - Với hình nón cụt có các bán kính các đáy là r1 , r2 , đường sinh l chiều cao h thì Sxq r1 r2 .l ; 1 V h r12 r22 r1r2 . 3
Như vậy: - Diện tích xung quanh hình nón cụt thì bằng tích của số với tổng hai bán kính và với đường sinh. - Thể tích của hình nón cụt thì bằng
1 tích của số với đường cao h và tổng của bình phương các bán kính 3
cộng thêm tích của hai bán kính. Cách 2. Vì hình nón cụt được cắt ra từ hình nón nên ta có thể tính
Vnoùn cuït Vnoùn lôùn Vnoùn nhoû
Sxq noùn cuït Sxq noùn lôùn Sxq noùn nhoû
BÀI TẬP 38. Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt các chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình vẽ. Giải Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh hai hình trụ và diện tích hai hình tròn. - Hình trụ thứ nhất có đường kính đáy 11cm và chiều cao 2cm, có diện
tích: S1 .11.2 22 cm2
- Hình trụ thứ hai có đường kính đáy 6cm và chiều cao 7cm, có diện
tích: S2 .6.7 42 cm2
- Phần còn lại có liên quan đến + Một hình tròn bán kính đáy 5,5cm. + Một hình vành khăn bán kính lớn là 5,5cm và bán kính nhỏ là 3cm. + Một hình tròn có bán kính 3cm. Tổng diện tích các hình tròn này thì bằng 2 lần diện tích hình tròn bán kính 5,5cm:
S3 . 5,5 . 5,52 32 32 2 5,5 60,5. 2
2
Diện tích chi tiết máy là
22 42 60,5 124,5 390,93 S 391 cm2
Thể tích của chi tiết là . 5,5 .2 .32.7 123,5 2
V 387,79 hay V 388cm3
38. Một hình chữ nhật ABCD có AB AD , diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a2 và 6a. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này. Hướng dẫn Gọi AB x , AD y ta có
1 3
x và y là nghiệm của phương trình bậc hai X 2 3aX 2a2 0 Giải phương trình này, ta được x 2a , y a . Khi quay xung quanh AB, ta được hình trụ có chiều cao h AB 2a , bán kính đáy r AD a . Vậy: S 2rh 4a 2 ;
V r 2 h 2a 3
40. Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình. Đáp số
20, 25 63, 6 m 2
và 30, 24 99,9 100 m 2 . 41. Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA a , OB b . Qua A và B vẽ theo thứ tự các nửa đường thẳng Ax và By cùng vuông góc với AB. Qua O vẽ hai nửa đường thẳng vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D (xem hình). a) Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích AC.BD không đổi.
60 . b) Tính diện tích hình thang ABDC khi COA 60 cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số thể tích các c) Với COA hình do những tam giác AOC và BOD tạo thành. Giải a) Ta có:
O 90 O 1 2 O 90 D 1 2
D O 1 2
AOC ∽ BDO
AC BO AO BD
AC.BD AO.BO AC.BD a.b không đổi.
60 ta có b) Với COA
AC a.tg60 a 3 BD b.tg30
SABCD
b 3 3
1 1 b 3 AB AC BD a b a 3 2 2 3
SABCD
3 a b 3a b 6
c) Khi quay xung quanh AB thì tam giác AOC tạo thành hình nón, bán kính đáy r1 AC a 3 , chiều cao AO a .
1 Thể tích V1 .AC2 .AO V1 a 3 3
Khi quay xung quanh AB thì tam giác BOD tạo thành hình nón có bán kính đáy r2 BD BO b .
b 3 chiều cao 3
1 1 Thể tích V2 .BD 2 .OB V2 b3 3 9
Vậy:
V1 9a 3 V2 b3
42. Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo các kích thước đã cho.
Giải Hình a: Phần hình nón có bán kính đáy
17,5 , chiều cao 8,5. 2
2
1 17,5 Thể tích V1 .8,5 216,9 3 2 Phần hình trụ có bán kính đáy
17,5 , chiều cao 5,8. 2
2
17,5 Thể tích V2 .5,8 444,1 2 Thể tích của hình: V V1 V2 661 cm3 hay V 2075,5 cm3 Chú ý: Có thể tính đơn giản hơn: 2
2
1 17,5 17,5 Ta có: V1 V2 .8,5 .5,8 3 2 2 2
17,5 8,5 5,8 . 2 3 Hình b: Thể tích hình nón lớn, đỉnh B, đáy là hình tròn bán kính OC là 1 2 2 16, 4 V1 7, 6 . 8, 2 8, 2 7, 6 . 315, 75 3 3
Thể tích hình nón nhỏ, đỉnh B, đáy là hình tròn đường kính AD là 1 2 V2 3,8 .8, 2 39, 47 3
Thể tích hình nón cụt là: V1 V2 276, 28 V 867,5cm3 Có thể thấy
V2 1 7 V V1 V1 8 8
43. Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo các kích thước đã cho.
Giải a) Đáp số: V 333, 4 166, 7 500 1570cm3 . b) V 219 317, 4 536, 4 1684,3cm3 . c) Vật thể gồm 3 phần: - Bán cầu có bán kính 2,0cm. 1 4 16 V1 . .23 cm3 2 3 3
- Hình trụ, bán kính đáy 2,0cm, chiều cao 4,0cm: V2 r 2 h .22.4 16 cm3
- Hình nón, bán kính đáy 2,0cm, chiều cao 4,0cm 1 16 V3 .22.4 3 3
Thể tích chung: V V1 V2 V3
80 V 83, 7 cm3 . 3
44. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (hình bên). Cho hình vẽ quay xung quanh trục GO. Chứng minh rằng:
a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra. b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón. Giải a) Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có - Cạnh hình vuông:
AB AD r 2
- Cạnh tam giác đều: EF r 3 . Khi quay xung quanh GO, hình vuông tạo thành một hình trụ 1 r 2 AB ; 2 2
có bán kính đáy
R
chiều cao
h AD r 2
Thể tích
r 2 r 3 2 V1 .r 2 2 2
2
Khi quay xung quanh GO, tam giác đều GEF tạo thành hình nón có bán kính đáy R Chiều cao bằng chiều cao tam giác đều GEF h r 3.
3 3r 2 2 2
Thể tích
1 1 r 3 3r 3 3 V2 R 2 h . r 3 2 2 2 8
Khi quay xung quanh GO, hình tròn tạo thành hình cầu bán kính r và: Thể tích V3
4 3 r . 3 2
Ta có:
r 3 2 2 r 6 V 2 2
1
3 4 2 r 6 V2 .V3 r 3 . r 3 8 3 2
2
2 1
Từ 1 và 2 suy ra:
V12 V2 .V3 .
b) Tương tự, ta có diện tích toàn phần hình trụ:
S1 3r 2
Diện tích toàn phần hình nón:
S2
Diện tích mặt cầu:
S3 4r 2 .
Từ đây ta có: S12 3r 2 92 r 4 2
9 2 r 4
1 r 3 EF . 2 2
S2 .S3
9 2 r .4r 2 92 r 4 4
Vậy: S12 S2 .S3 . 45. Hình bên mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ bằng thủy tinh, các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính: a) Thể tích của hình cầu. b) Thể tích của hình trụ. c) Thể tích hình trụ trừ đi thể tích hình cầu. d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r cm và chiều cao 2r cm. e) Từ các kết quả a, b, c, d hãy tìm mối liên hệ giữa chúng. Giải a) Thể tích hình cầu: Vcaàu
4 3 r cm3 . 2
b) Thể tích hình trụ, với bán kính đáy r và chiều cao 2r:
Vtruï 2r 3 cm3
1
4 2 c) Vtruï Vcaàu 2r 3 r 3 r 3 cm3 3 3
2
d) Thể tích hình nón bán kính đáy r và đường cao 2r: Vnoùn
1 2 2 r 2r r 3 cm3 2 3
e) Từ 1 ; 2 ; 3 ta có: Vtruï Vcaàu Vnoùn .
3