PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN” LỚP 12 TRUNG HỌC by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

LUẬN VĂN SIÊU CẤP CHANNEL

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

DẠY KÈM QUY NHƠN DISSERTATION PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN” LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (2019) WORD VERSION | 2019 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

BÙI THỊ THANH HƯƠNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN” LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2019 i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

BÙI THỊ THANH HƯƠNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN” LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. Vũ Đình Hòa

HÀ NỘI - 2019

iii

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, hội đồng khoa học và các thầy cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS.TSKH Vũ Đình Hòa - người đã trực tiếp hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo tác giả trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm tạo điều kiện của Ban lãnh đạo Sở Giáo Dục - Đào tạo Hà Nội và Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Thạch Thất - Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài. Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia đình và bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học (bộ môn Toán) khóa QH-2017-S trường Đại học Giáo Dục Đại học Quốc gia Hà Nội, vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ, động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa đổi. Tác giả mong được lượng thứ và rất mong những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2019 Tác giả

Bùi Thị Thanh Hương

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CHỮ VIẾT TẮT

VIẾT ĐẦY ĐỦ

ĐC

Đối chứng

Giáo viên

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

SGK

Sách giáo khoa

Thực nghiệm

THPT

Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1. Đồ thị biểu diễn đường quỹ tích của bài kiểm tra......................84 Bảng 3.1. Bảng phân bố kết quả bài kiểm tra 45 phút của học sinh...............85 Biểu đồ 3.2. Đồ thị phân loại kết quả học tập của học sinh bài kiểm tra .......85 Bảng 3.2. Mô tả và so sánh dữ liệu kết quả bài kiểm tra................................85 Bảng 3.3. Mô tả kết quả kiểm định Z.............................................................86

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................. i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................. v DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ .......................................................... vi MỤC LỤC ................................................................................................... vii MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 3 4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu ............................................................ 4 5. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 4 6. Vấn đề nghiên cứu...................................................................................... 4 7. Giả thuyết nghiên cứu ................................................................................ 4 8. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 5 9. Đóng góp của luận văn ............................................................................... 5 10. Cấu trúc luận văn...................................................................................... 6 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................ 7 1.1. Tư duy ..................................................................................................................... 7 1.1.1. Khái niệm tư duy ............................................................................................... 7 1.1.2. Các đặc điểm cơ bản của tư duy ........................................................... 8 1.1.3. Các giai đoạn hoạt động của tư duy ...................................................... 9 1.1.4. Các thao tác của tư duy......................................................................... 9 1.2. Sáng tạo ................................................................................................. 10 1.2.1. Khái niệm ........................................................................................... 10 1.2.2. Quá trình sáng tạo............................................................................... 11

vii

1.3. Tư duy sáng tạo ..................................................................................... 12 1.3.1. Khái niệm tư duy sáng tạo .................................................................. 12 1.3.2. Một số yếu tố đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo ........................... 13 1.4. Dạy học giải toán................................................................................... 16 1.4.1. Vai trò của việc giải toán .................................................................... 16 1.4.2. Yêu cầu đối với lời giải toán ............................................................... 16 1.4.3. Các bước của hoạt động giải toán ....................................................... 17 1.5. Nội dung kiến thức liên quan đến giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” lớp 12 Trung học phổ thông ............................................................... 17 1.5.1. Nguyên hàm ....................................................................................... 18 1.5.2. Tích phân............................................................................................ 21 1.5.3. Ứng dụng của tích phân ...................................................................... 24 1.5.4. Các dạng bài tập Nguyên hàm – Tích phân ......................................... 25 1.6. Thực trạng dạy và học thông qua hoạt động giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường phổ thông hiện nay............................................................................ 26 1.7. Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán ..................................................................................................... 29 1.8. Phương hướng dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” ............................................................... 31 Kết luận chương 1 ........................................................................................ 32 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN” LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO ............................................. 34 2.1. Đề xuất một số biện pháp dạy học thông qua hoạt động giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh........ 34 2.1.1. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua giải bài tập “Nguyên hàm - Tích phân”........................................................................... 34 viii

2.1.2. Khuyến khích cho học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán “Nguyên hàm - Tích phân”........................................................................... 45 2.1.3. Khuyến khích học sinh tìm con đường ngắn nhất đi tới lời giải .......... 53 2.1.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc xây dựng bài toán mới từ bài toán đã cho ................................................................................................... 59 2.2. Thiết kế một số bài tập chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” vận dụng các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh......................................... 65 2.2.1. Sáng tạo bài toán tương tự từ bài toán đã cho ..................................... 65 2.2.2. Tìm một lời giải mới cho bài toán đã biết ........................................... 68 2.2.3. Từ bài toán đã cho áp dụng giải bài toán khác .................................... 69 2.2.4. Vận dụng tích phân giải các bài toán thực tế ....................................... 72 Kết luận chương 2 ........................................................................................ 74 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................. 76 3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm .................................. 76 3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm .......................................................... 76 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm ......................................................... 76 3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm............................................................ 77 3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................. 77 3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm ............................................................ 78 3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................... 80 3.5.1 Phân tích định lượng............................................................................ 80 3.5.2. Phân tích định tính .............................................................................. 87 Kết luận chương 3 ........................................................................................ 88 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 89 1. Kết luận .................................................................................................... 89 2. Khuyến nghị ............................................................................................. 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 91 PHỤ LỤC ix

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa của nước ta đang mở cửa để hội nhập với cộng đồng các nước trên thế giới, đòi hỏi nguồn nhân lực không chỉ đủ về số lượng và còn phải có chất lượng. Nguồn nhân lực giữ vai trò hết sức quan trọng đối với sự phát triển của mỗi cơ quan, đơn vị cũng như của đất nước. Kiến thức và sự hiểu biết về nguyên tắc đảm bảo chất lượng ngày càng được mở rộng, đòi hỏi công tác giáo dục và đào tạo ở nước ta phải có những đổi mới tốt hơn và toàn diện hơn. Tiếp nối chủ trương đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo mà Đại hội lần thứ XI đã đề ra, Đại hội Đảng lần thứ XII xác định: “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo theo hướng mở, hội nhập, xây dựng xã hội học tập, phát triển toàn diện năng lực, thể chất, nhân cách, đạo đức, lối sống, ý thức tôn trọng pháp luật và trách nhiệm công dân...” [10]. Để thực hiện tốt yêu cầu đó, việc đổi mới giáo dục cần tập trung vào việc coi trọng phát triển phẩm chất và năng lực của người học. Một trong những hướng đổi mới giáo dục là chuyển từ nền giáo dục mang tính chất hàn lâm, xa rời với thực tiễn sang nền giáo dục chú trọng phát huy tính tự lực, chủ động và sáng tạo của người học. Cụ thể, trong dạy học phổ thông cần đổi mới theo hướng chuyển từ lối truyền thụ một chiều, ghi nhớ máy móc sang tập trung dạy cách học, cách nghĩ, phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức theo phương châm “giảng ít, học nhiều”. Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học cũng được xác định và được thể chế hóa trong Luật Giáo dục sửa đổi ban hành ngày 27/06/2005, điều 2.4 đã ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng

thú học tập cho học sinh” [21]. Như vậy việc rèn luyện, phát huy khả năng sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ rất quan trọng, cần thiết của nhà trường phổ thông hiện nay. Ở trường phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học sinh, có thể nói giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Thông qua việc giải toán giúp học sinh nắm vũng tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải toán là điều kiện thực hiện các mục tiêu dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay. Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Với tác phẩm nổi tiếng “Sáng tạo toán học”, G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học. Ở nước ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức,... đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề lý luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Ngoài ra, có một số luận văn nghiên cứu về các hướng: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học; Khai thác sách giáo khoa hình học 10 trung học phổ thông hiện hành qua một số dạng bài tập điển hình nhằm phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh; Bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo lý thuyết đồ thị;... Như vậy việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt động dạy học toán được nhiều nhà quan tâm, nghiên cứu. Tuy nhiên, chưa khai thác và đi sâu nghiên cứu cụ thể, đầy đủ về phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân trung học phổ thông. Đối với học sinh lớp 12 thì tính tích phân là một phần mới, khó trong quá trình học và gặp nhiều trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Để học tốt vấn đề này đòi hỏi học sinh phải nắm vững và có cái nhìn sâu sắc hơn về các phương

pháp, cách giải cũng như biết vận dụng nó một cách sáng tạo các phương pháp giải toán. Vì vậy bài tập Nguyên hàm - Tích phân chứa đựng nhiều cơ hội để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, để giúp cho học sinh có thể tư duy một bài toán nhanh nhất đáp ứng được yêu cầu đổi mới của việc học và thi, đó là sự sáng tạo trong làm bài. Xuất phát từ những lý do trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: “Phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 Trung học phổ thông” để góp phần về đổi mới căn bản giáo dục và đào tạo đó là chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở nghiên cứu cơ sở lý luận liên quan đến tư duy sáng tạo, luận văn khẳng định vai trò, ý nghĩa và các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo. Đồng thời qua đó đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 Trung học phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo. - Điều tra thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo chủ đề Nguyên hàm - Tích phân cho học sinh ở một số trường trung học phổ thông (THPT) tại Hà Nội. Qua đó đề xuất biện pháp dạy học thông qua hoạt động giải toán Nguyên hàm - Tích phân nhằm rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. - Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập Nguyên hàm - Tích phân nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực và tính hiệu quả của đề tài nghiên cứu. 4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 4.1. Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 ở trường trung học phổ thông. 4.2. Đối tượng nghiên cứu Là các biện pháp sư phạm nhằm phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 ở trường Trung học phổ thông. 5. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các biện pháp nhằm rèn luyện, khuyến khích để phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo qua dạy học giải bài tập Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 Trung học phổ thông thuộc chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Mẫu khảo sát: Học sinh hai lớp 12A1, 12A2 trường THPT Thạch Thất, huyện Thạch Thất, thành phố Hà Nội. - Phạm vi về thời gian: Từ tháng 9/2018 đến 6/2019 6. Vấn đề nghiên cứu Vận dụng phương pháp dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân theo hướng nào thì khi đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh? Các bài tập triển khai theo hướng nào nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh? 7. Giả thuyết nghiên cứu Theo phân phối chương trình của Bộ giáo dục đào tạo và chương trình sách giáo khoa, nếu xây dựng được hệ thống bài tập theo hướng phát triển tư duy sáng tạo và có biện pháp sử dụng hợp lý sẽ góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh.

8. Phương pháp nghiên cứu 8.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Nghiên cứu lý luận dựa vào những tài liệu có sẵn về giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học môn Toán. - Nghiên cứu sách giáo khoa Giải tích 12 hiện hành, sách toán tham khảo liên quan đến phần Nguyên hàm - Tích phân lớp 12. - Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích các tài liệu sách, tạp chí khoa học trong nước và ngoài nước và các công trình khoa học khác liên quan tới đề tài nghiên cứu. 8.2. Phương pháp quan sát, điều tra - Dự giờ để quan sát tiến trình dạy học, thái độ học tập của học sinh trong những giờ dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với đồng nghiệp về thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và những khó khăn trong khi dạy và học phần Nguyên hàm - Tích phân lớp 12. - Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn, các chuyên gia lý luận và phương pháp bộ môn Toán. - Điều tra thực trạng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh trước và sau khi làm thực nghiệm. 8.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm Tiến hành dạy thực nghiệm ở các lớp 12A1, 12A2 trường THPT Thạch Thất, huyện Thạch Thất, thành phố Hà Nội năm học 2018 - 2019 để xét tính khả thi và hiệu quả của việc phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán Nguyên hàm - Tích phân ở trường Trung học phổ thông. 8.4. Phương pháp thống kê toán học Xử lý các số liệu thu thập được sau khi tiến hành thực nghiệm. 9. Đóng góp của luận văn Trình bày cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo: khái niệm tư duy, sáng tạo, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo...

Thực trạng của việc dạy học thông qua hoạt động giải bài tập chủ đề Nguyên hàm - Tích phân nhằm phát triển tư duy sáng tạo ở nhà trường phổ thông hiện nay. Đề xuất được các biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân”. Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng nghiệp và cho những ai quan tâm đến dạy học thông phát triển tư duy sáng tạo và góp phần hữu ích cho việc giảng dạy bài tập chuyên đề “Nguyên hàm Tích phân”. 10. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương 2: Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” lớp 12 Trung học phổ thông. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tư duy 1.1.1. Khái niệm tư duy Trong thế giới hiện thực có rất nhiều cái mà con người chúng ta chưa biết, chưa nhận thức được. Nhiệm vụ của cuộc sống luôn luôn đòi hỏi con người phải thấu hiểu những cái chưa biết đó, phải vạch được ra bản chất cũng như quy luật hoạt động của chúng. Quá trình nhận thức như vậy gọi là tư duy. Theo từ điển Tiếng Việt: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu và bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”[23, tr. 1437]. Tác giả Trần Thúc Trình đã định nghĩa về tư duy trong cuốn “Rèn luyện tư duy trong dạy học Toán” như sau: “Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết” [20, tr. 1]. Theo quan niệm của tâm lý học, tư duy là thuộc tính đặc biệt của vật chất có tổ chức cao - bộ não người. Tư duy phản ánh thế giới vật chất dưới dạng các loại hình ảnh lý tưởng: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [22, tr. 79]. Quá trình phản ánh này là quá trình được thực hiện một cách gián tiếp, độc lập với nhau và mang tính khái quát, nó được nảy sinh trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ sự nhận thức cảm tính nhưng vượt xa giới hạn của nhận thức cảm tính. Từ những phân tích một số quan điểm về tư duy ở trên, ta có thể hiểu trước tiên tư duy nó là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là hệ thống thần kinh cao cấp, nó không chỉ gặp với bộ não của từng người mà nó còn gắn liền với sự tiến hóa của xã hội và trở thành sản phẩm có tính xã hội đồng thời vẫn duy trì được tính cá thể của mỗi người nhất định. Bên cạnh đó nó còn là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan dưới dạng

các khái niệm, phán đoán, suy luận của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó chưa biết. Như vậy, tư duy có tác dụng rất lớn đối với đời sống xã hội của con người. Mỗi người chúng ta đều có thể dựa vào tư duy để nhận thức được các quy luật của thế giới tự nhiên, xã hội đồng thời lợi dụng nó trong hoạt động thực tiễn, quá trình lao động sáng tạo của mình. 1.1.2. Các đặc điểm cơ bản của tư duy Tư duy với tư cách là một mức độ của hoạt động nhận thức khi đó có những đặc điểm sau: Tính có vấn đề của tư duy Tính gián tiếp của tư duy Tính trừu tượng hóa và tính khái quát hóa của tư duy Tính chất lý tính của tư duy Tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Từ những đặc điểm cơ bản trên của tư duy ta có thể hiểu tư duy là sản phẩm của sự phát triển lịch sử - xã hội, nó mang bản chất xã hội. Và cũng từ những đặc điểm này ta rút ra được những một số yếu tố quan trọng trong quá trình dạy học như sau: - Trước tiên giáo viên cần phải coi trọng việc phát triển tư duy cho học sinh. Bởi vì nếu một học sinh không có khả năng tư duy thì học sinh đó không có hiểu biết do vậy không học tập và rèn luyện bản thân được. - Muốn kích thích học sinh tư duy đầu tiên phải đưa học sinh vào những tình huống có vấn đề tạo sự tò mò cho học sinh mong muốn giải quyết nó và sau đó tổ chức cho học sinh tư duy độc lập, sáng tạo giải quyết tình huống có vấn đề. - Việc phát triển tư duy phải được tiến hành song song giữa quan sát tìm hiểu thực tế và rèn luyện cảm giác, năng lực trí nhớ... thông qua việc

truyền thụ tri thức. Mọi tri thức đều mang tính khái quát, nếu không tư duy thì không thực sự tiếp thu, đồng thời không vận dụng được tri thức đó. - Việc phát triển tư duy phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ, bởi vì ngôn ngữ là cái vỏ để thể hiện tư duy. Từ đó mới biểu đạt được tư duy của bản thân cũng như lĩnh hội tư duy của đối tượng khác. - Tăng cường khả năng trừu tượng hóa và khái quát hóa trong suy nghĩ của học sinh. - Việc phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lực quan sát và trí nhớ bởi vì thiếu những tài liệu cảm tính thì tư duy không thể diễn ra được. - Để phát triển tư duy không còn cách nào khác là thường xuyên tham gia các hoạt động nhận thức, các mối quan hệ giao tiếp và thực tiễn xã hội. Qua đó tư duy của con người sẽ không ngừng được nâng cao. 1.1.3. Các giai đoạn hoạt động của tư duy Giai đoạn 1: Xác định được vấn đề, diễn đạt nó thành các câu hỏi cần giải đáp. Tức là đi tìm các câu hỏi tạo thành nhiệm vụ của tư duy. Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm có liên quan, những liên tưởng nhất định của bản thân chủ thể đến vấn đề đã được xác định. Sau đó hình thành giả thiết về cách giải quyết, cách trả lời câu hỏi. Giai đoạn 3: Xác minh giả thiết trong thực tế, sàng lọc các ý tưởng nếu giả thiết không đúng thì chuyển sang bước sau, nếu sai thì phủ định giả thiết đó và hình thành giả thiết mới. Giai đoạn 4: Đưa ra quyết định, sử dụng, đánh giá kết quả. 1.1.4. Các thao tác của tư duy Quy trình tư duy với tư cách là một hành động. Xét về bản chất thì tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ nhất định để giải quyết nhiệm vụ hay vấn đề đặt ra. Mỗi một cá nhân được coi là có tư duy hay không có tư duy chính là ở chỗ họ có tiến hành các thao tác này ở trong đầu

của mình hay không? Do vậy các thao tác trí tuệ này còn gọi là những quy luật bên trong của tư duy bao gồm: Phân tích Tổng hợp So sánh - Tương tự Khái quát hóa - Trừu tượng hóa Ngoài những thao tác tư duy trên còn có một số thao tác tư duy khác là: cụ thể hóa, phân loại và hệ thống hóa. 1.2. Sáng tạo 1.2.1. Khái niệm Theo từ điển Tiếng việt: “Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất và tinh thần. Hay là tìm ra cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có” [23, tr. 1130]. Nội dung của sáng tạo được hiểu cụ thể hơn bao gồm hai ý cơ bản là có tính mới (khác cái đã biết, cái cũ) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Do đó sáng tạo là hết sức cần thiết cho bất kỳ ai, bất kỳ lĩnh vực hoạt động xã hội trong cuộc sống của con người cả vật chất và tinh thần. Theo Bách khoa toàn thư Việt Nam: “Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và yêu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất” [11]. Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ những nhận thức, hiểu biết đã có cho đến những nhận thức, hiểu biết mới. Vận động đi liền với biện chứng nên tư duy biện chứng sẽ là trọng tâm suốt toàn quyển sách, các tư duy khác, nhất là tư duy logic cũng đóng một vai trò quan trọng...” [21, tr. 7]. Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo đối với người học toán: “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ

chưa từng biết” [20]. Như vậy trong các bài tập đưa ra cho học sinh giải thì đối với mỗi một bài tập toán cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), điều đó có nghĩa là nếu người làm toán chưa biết trước thuật toán, phương pháp để giải bài toán đó thì đầu tiên phải tiến hành tìm hiểu từng bước đi chưa biết đó. Trong nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sẵn sàng các hoạt động sáng tạo nội dung vừa trình bày. Qua các khái niệm trên ta có thể hiểu một cách ngắn gọn: “Sáng tạo là một sản phẩm của tư duy, nó là sự say mê nghiên cứu, tìm tòi để tạo ra những giá trị mới về cả vật chất và tinh thần hoặc tìm ra cái mới, cách giải quyết mới có ích, độc đáo mà không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có, nó cần thiết cho bất kỳ một lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người”. 1.2.2. Quá trình sáng tạo Giai đoạn chuẩn bị: là giai đoạn chủ thể chuẩn bị cho công việc, hình thành vấn đề và thử giải quyết vấn đề bằng các cách khác nhau như huy động các thông tin có ích để có thể cho lời giản cần tìm và đưa ra những suy luận và trực giác. Giai đoạn ấp ủ: giai đoạn được bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề bị ngừng lại, chỉ còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm. Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn được ấp ủ kéo dài đến khi có sự "bừng sáng" trực giác, có sự nhảy vọt về chất trong quá trình nhận thức, nó xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo. Đây là giai đoạn nhảy vọt về chất trong quá trình nhận thức từ đó đi đến việc quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải. Giai đoạn kiểm chứng: là giai đoạn chủ thể kiểm chứng trực giác, triển khai các luận chứng logic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề. Giai đoạn này là cần thiết vì tri thức nhận được bằng

trực giác chưa chắc chắn và chính xác về bản chất vì nó có thể đánh lừa, đánh lạc hứng, gây cản trở cho việc tìm kiếm kết quả. Khi được kiểm chứng lúc này sự sáng tạo mới được khẳng định. 1.3. Tư duy sáng tạo 1.3.1. Khái niệm tư duy sáng tạo Theo quan điểm của nhà tâm lý học G. Mehlhorn: “Tư duy sáng tạo hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục”. Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [12, tr. 50]. Theo nhà sư phạm G. Polya cho rằng: “Mỗi tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải của bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu, muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao” [13]. Tác giả Iarosepki M. G và Petropski A. V (dẫn theo Lê Hải Yến) đã đưa ra khái niệm của tư duy sáng tạo: “Tư duy sáng tạo là một trong các dạng của tư duy, được đặc trưng bởi sự tạo nên sản phẩm mới và những cấu thành mới trong hoạt động nhận thức. Cái mới đó, cấu thành mới đó có liên quan đến động cơ, mục đích, sự đánh giá và các ý tưởng của chủ thể. Tư duy sáng tạo phân biệt với các quá trình tiếp nhận tri thức kỹ năng có sẵn, các tri thức và kỹ năng có sẵn được tạo ra bởi tư duy tái tạo” [24]. Từ các khái niệm về tư duy sáng tạo, ta có thể hiểu tư duy sáng tạo là một thuộc tính, một phẩm chất trí tuệ đặc biệt của con người, nó tạo ra ý tưởng mới, có hiệu quả cao trong việc giải quyết vấn đề. Hoạt động sáng tạo

được diễn ra ở mọi lĩnh vực, mọi nơi và mọi thời điểm, bản chất của nó là tìm ra cái mới, độc đáo và có giá trị xã hội. Tuy nhiên, tư duy sáng tạo có tính chất tương đối vì trong một tình huống hay hoàn cảnh nào đó một phát hiện có thể được coi là sáng tạo nhưng chưa chắc được coi là sáng tạo trong một tình huống hay hoàn cảnh khác. Hay được coi là sáng tạo đối với người này nhưng không sáng tạo đối với người khác... Mặc dù vậy tư duy sáng tạo luôn là một dạng của tư duy độc lập, không bị gò bó, phụ thuộc vào những cái đã có. Tính độc lập của nó thể hiện ở việc đặt mục đích, tìm giải pháp. Đồng thời sản phẩm cuối cùng của quá trình tư duy sáng tạo đều mang đậm dấu ấn của bản người đã tạo ra nó. 1.3.2. Một số yếu tố đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học và các nhà khoa học giáo dục khi nói đến cấu trúc của tư duy sáng tạo thì có năm yếu tố đặc trưng cơ bản sau: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện và tính nhạy cảm vấn đề. a. Tính mềm dẻo Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo là khả năng chủ thể biến đổi các thông tin, kiến thức được tiếp thu một cách dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, chuyển đổi từ sơ đồ tư duy có sẵn trong đầu sang một hệ tư duy khác, chuyển từ phương pháp tư duy cũ sang phương pháp tư duy mới; định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật, hiện tượng. Tính mềm dẻo của tư duy được thể hiện ở các đặc trưng sau: - Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác. Đó là năng lực chuyển dịch dễ dàng, nhanh chóng và có trật tự của hệ thống tri thức tạo nên cách tư duy mới, tạo nên sự vật mới trong các mối quan hệ mới. Vận dụng linh hoạt các

hoạt động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, tương tự hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác. - Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ mới nếu hướng suy nghĩ cũ gặp trở ngại. - Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng máy móc kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong điều kiện, hoàn cảnh mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi. - Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng đã biết. - Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, phương pháp, cách thức suy nghĩ đã có hay quen thuộc. Như vậy, trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán, việc đưa ra hệ thống bài tập cho học sinh là rất quan trọng giúp cho các em có khả năng rèn luyện được tính mềm dẻo thông qua các thao tác tư duy của chính bản thân mình. b. Tính nhuần nhuyễn Tính nhuần nhuyễn thể hiện khả năng làm chủ tư duy, làm chủ kiến thức, kỹ năng, đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng được sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá tính sáng tạo. Tính nhuần nhuyễn của tư duy được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng trong một thời gian nhất định. Số ý tưởng càng nhiều thì khả năng xuất hiện có nhiều những ý tưởng lạ và độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng của ý tưởng đó. Tính nhuần nhuyễn còn được thể hiện rõ nét bởi đặc trưng: - Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, xem xét đối tượng ở nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn đa chiều, toàn diện với một vấn đề.

- Khả năng tìm được nhiều giải pháp trên các góc độ, khía cạnh và tình huống khác nhau. - Khả năng tìm và đề xuất nhiều phương án, từ đó tìm ra những phương án tối ưu mới, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía với sự vật, hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. Người có tư duy nhuần nhuyễn là người đứng trước một vấn đề cần giải quyết thì họ nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương pháp khác nhau để từ đó tìm ra được phương án tối ưu. c. Tính độc đáo Tính độc đáo là khả năng tự mình tìm kiếm phát hiện vấn đề, tự phát hiện phương hướng và tìm ra những phương thức giải quyết lạ hoặc duy nhất. Tính độc đáo được thể hiện bởi đặc trưng: - Khả năng tìm ra các hiện tượng và những kết hợp mới. - Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong sự kiện bên ngoài tưởng như không có gì liên hệ với nhau. - Khả năng tìm ra được những giải pháp lạ, độc đáo tuy đã biết những giải pháp khác. d. Tính hoàn thiện Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa ý nghĩ và hành động với nhau, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng. e. Tính nhạy cảm vấn đề Tính nhạy cảm vấn đề được đặc trưng bởi: - Khả năng nhanh chóng tìm và phát hiện ra vấn đề. - Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu, từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra sản phẩm mới lạ, có thể phát triển và ứng dụng rộng rãi. Trong các yếu tố trên thì ba yếu tố đầu tiên là ba yếu tố quan trọng và được sự nhất trí cao trong các công trình nghiên cứu về cấu trúc của tư duy

sáng tạo. Tất cả các yếu tố đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo ở trên có quan hệ mật thiết, hỗ trợ và bổ sung cho nhau, trong đó tính độc đáo được cho là quan trọng nhất trong biểu đạt sự sáng tạo, tính nhạy cảm vấn đề đi liền với cơ chế xuất hiện của sự sáng tạo. Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần có các phương pháp dạy học thích hợp, tạo cơ hội cho học sinh được phân tích bài toán, tìm các cách giải, xét bài toán dưới nhiều góc độ. Từ đó lựa chọn được phương án giải tối ưu qua việc tìm lời giải cho từng bài toán, giáo viên có thể giúp học sinh hiểu sâu, nắm vững và biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo khi giải toán từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở phổ thông. 1.4. Dạy học giải toán 1.4.1. Vai trò của việc giải toán Bài tập và việc giải được một bài tập toán có vai trò rất quan trọng trong quá trình học tập môn Toán ở trường trung học phổ thông. Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt động như bao gồm cả nhận dạng, thể hiện định nghĩa, khái niệm, định lý, quy tắc - phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, phổ biến hay hoạt động ngôn ngữ trong toán học. Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: mục tiêu dạy học, nội dung dạy học và phương pháp dạy học trong quá trình giảng dạy. 1.4.2. Yêu cầu đối với lời giải toán Lời giải đúng, tốt và hoàn chỉnh một bài toán cần được thực hiện các yêu cầu sau đây: - Kết quả đúng, lời giải không có chứa sai lầm kể cả bước trung gian. - Lập luận phải có căn cứ chính xác và thuyết phục. - Lời giải phải chi tiết và đầy đủ các bước. Ngoài các yêu cầu trên, trong dạy học giải toán còn yêu cầu lời giải cần

ngắn gọn, ngôn ngữ chính xác, cách trình bày rõ ràng, mạnh lạc và hợp lý, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. 1.4.3. Các bước của hoạt động giải toán Hoạt động giải toán thường được diễn ra theo các bước sau: - Tìm hiểu đề bài. - Tìm kiếm phương pháp giải cho bài toán. - Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành trình bày lời giải theo hướng đã được chọn. - Kiểm tra, đánh giá kết quả và viết lời giải chi tiết. 1.5. Nội dung kiến thức liên quan đến giải toán chủ đề “Nguyên hàm Tích phân” lớp 12 Trung học phổ thông Trong chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 (Nâng cao) đã xem nguyên hàm là công cụ dùng để định nghĩa tích phân và đã giành một chương để trình bày chủ đề “ Nguyên hàm - Tích phân”. Nội dung chương III của Giải tích 12: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bao gồm các bài sau: Bài 1: Nguyên hàm (2 tiết). Bài 2: Một số phương pháp tìm nguyên hàm (2 tiết). Bài 3: Tích phân (2 tiết). Bài 4: Một số phương pháp tính tích phân (2 tiết). Bài 5: Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng (2 tiết). Bài 6: Ứng dụng của tích phân để tính vật thể (2 tiết). Theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chủ đề Nguyên hàm - Tích phân (chương trình nâng cao) ở trường THPT được dạy đầu học kỳ II với thời gian 20 tiết trong đó có 12 tiết lý thuyết và 8 tiết bài tập, với thời gian như trên giáo viên chỉ có thể giúp học sinh hiểu được các khái niệm và biết được phương pháp tính nguyên hàm, tích phân cơ bản. Để

có yêu cầu cao hơn thì giáo viên cần phải tận dụng các giờ học luyện tập hay giờ tự chọn để rèn luyện phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Với nội dung lý thuyết cơ bản cần nắm được cụ thể như sau: 1.5.1. Nguyên hàm 1.5.1.1. Khái niệm nguyên hàm, họ nguyên hàm (tích phân bất định) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x ∈ (a; b); ta có F ′( x) = f ( x ). x3 Ví dụ. a) Hàm số F ( x) = là nguyên hàm của hàm số f ( x) = x 2 trên R vì ta 3 ′  x3  có   = x 2 với mọi x ∈ R .  3

b) Hàm số F ( x) = − cos x là nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x trên R vì ta

′ có ( − cos x ) = sin x với mọi x ∈ R . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] nếu với mọi x ∈ [ a; b] , ta có F ′( x ) = f ( x ) , các đẳng thức F ′(a ) = f (a ) và F ′(b) = f (b) được hiểu là:

lim+

x→a

F ( x) − F (a ) F ( x) − F (b) = f (a) và lim = f (b). x−a x−b x→a −

Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm F(x) thì nó có vô số nguyên hàm và tất cả các nguyên hàm đó đều có dạng F(x)+C, trong đó C là hằng số tùy ý ′ (vì ( F ( x) + C ) = f ( x) ) nêu F(x)+C gọi là họ nguyên hàm của f(x). Ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là

bất định của f(x) hay họ các nguyên hàm của f(x)). 1.5.1.2. Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

•∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x)dx , (k là hằng số, k ≠ 0) ; •∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx;

∫ f ( x)dx (đọc là tích phân

′ •  ∫ f ( x )dx  = f ( x );   • d  ∫ f ( x )dx  = f ( x )dx;   • ∫ f ( x )dx = F( x ) + C ⇒ ∫ f ( t )dt = F( t ) + C;

• ∫ d( f ( x )) = f ( x ) + C. 1.5.1.3. Bảng nguyên hàm một số hàm số thường gặp

Trước khi giới thiệu các phương pháp tính tích phân thì việc đầu tiên ta cần quan tâm tới cách thức sử dụng bảng nguyên hàm. Đây không phải là phương pháp tính tích phân mà là kỹ thuật đương nhiên là học sinh phải biết muốn tính tích phân, nhưng thực tế thì do học sinh THPT đang giải những bài toán tích phân đơn giản nên cách thức sử dụng bảng nguyên hàm không kém phần quan trọng.

Để học sinh có thể nâng cao được kĩ năng này thì chúng ta cần nhớ bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp. Bảng này nhiều học sinh nói là khó nhớ, nhưng bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm. Việc ta tìm nguyên hàm của một hàm số bất kỳ thường

được đưa về tìm nguyên hàm của hàm số cơ bản và đơn giản hơn. Sau đây là nguyên hàm của một số hàm số cơ bản thường gặp:

1) ∫ 0dx = C , ∫ dx = ∫1dx = x + c; 2) ∫ x n dx =

x n +1 (n ≠ −1); n +1

1 3) ∫ dx = ln | x | +C ; x 1 dx = tan x + C ; cos 2 x 1 b) ∫ 2 dx = − cot x + C. sin x

4) a ) ∫

5) Với k là hằng số khác 0:

a ) ∫ sin kxdx = − b) ∫ cos kxdx =

cos kx + C; k

sin kx + C; k

c ) ∫ e kx dx =

e kx + C; k

d ) ∫ a x dx =

ax + C (0 < a ≠ 1). ln a

Ta dễ dàng chứng minh các công thức trên bằng cách tính đạo hàm vế

′  sin kx  phải. Chẳng hạn, vì   = cos kx nên ta có công thức 7.1.  k  1.5.1.4. Các phương pháp tính tích phân bất định a. Phương pháp đổi biến: Trong nhiều bài toán tích phân, khi ta tính tích phân

∫ f ( x)dx , nếu để

biến tích phân là x thì không thể thấy được tích phân cần tính đó gần với dạng tích phân cơ bản nào (để có thể áp dụng được tích phân cơ bản). Để tính được tích phân ta tìm cách đổi sang biến mới, để hi vọng với biến mới thì tích phân cần tính gần với tích phân cơ bản hơn. Không có một quy tắc cụ thể nào giúp ta thực hiện phép đổi biến thích hợp được, tuy nhiên cũng có thể phát biểu một cách tổng quát quy tắc của phép đổi biến, đó là mệnh đề: Nếu biết rằng

∫ g (t )dt = G (t ) + C

thì

∫ g (w( x))w′( x)dx = G (w( x)) + C

trong đó các hàm số g (t ); w( x); w′( x) đều được giả thiết là những hàm số liên tục. b. Phương pháp tích phân từng phần: Giả sử u = f ( x) và v = g ( x) là hai hàm số khả vi và có đạo hàm

u′ = f ′( x); v′ = g ′( x) là hai hàm số liên tục. Khi đó theo quy tắc lấy vi phân

của tích phân ta có: d (uv ) = vdu + udv hay udv = d (uv) − vdu ; vì nguyên hàm của d (uv ) là uv nên suy ra:

∫ udv = uv − ∫ vdu. Để tính được tích phân dạng

∫ p( x) f ( x)dx

theo phương pháp tích phân

từng phần việc đầu tiên chúng ta phải xác định được u; dv, xác định được u thì hiển nhiên phần còn lại trong dấu tích phân ban đầu là dv. Ở đây chúng ta lưu ý khi chọn u; dv cho hợp lý. Sau đây là một số chú ý học sinh cần nhớ trong quá trình tính tích phân: - Nếu f ( x) là một trong các hàm lnx; arcsinx; arccosx; arctanx; arccotx thì

đặt u = f ( x ) . - Nếu f ( x) là một trong các hàm e x ;sin x;cos x; tan x;cot x thì đặt u = p ( x ) .

1.5.2. Tích phân 1.5.2.1. Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K nào đó và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số:

F (b) − F (a ). b

được gọi là tích phân của f từ a đến b và được ký hiệu là:

∫ f ( x)dx . Tích a

phân này còn được gọi là tích phân xác định vì kết quả của tích phân là một hằng số. b

Trong trườ ng h ợp a < b , ta g ọ i

∫ f ( x)dx là

tích phân c ủ a f trên

đ o ạn [ a, b ]. Ở đây chúng ta quan tâm nhiều đến cách tính tích phân theo công thức Newton - Leibnitz. Nếu f(x) liên tục trong khoảng đóng [ a, b ] và nếu F(x) là

một nguyên hàm của f(x) (luôn tồn tại nguyên hàm này, theo nhận xét trên) trong khoảng đó thì: b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a). a

Đây là công thức Newton - Leibnitz và cũng thường được viết dưới dạng: b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b a

1.5.2.2. Tính chất cơ bản của tích phân Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K.

• Có thể đưa thừa số là hằng số ra ngoài dấu tích phân. b

∫ Cf ( x)dx = C ∫ f ( x)dx. • Tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng hai tích phân. b

∫ ( f ( x) + g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx. • Cho 3 khoảng đóng [ a, b ];[ a, c ];[ c, b ] nếu f(x) khả tích trên đó có độ dài dài nhất thì cũng khả tích trên hai khoảng còn lại và: b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx. • Với điều kiện a < b ta có: b

- Nếu f ( x) ≥ 0, x ∈ [a, b] ⇒ ∫ f ( x) dx ≥ 0. a b

- Nếu f ( x) ≤ g ( x), x ∈ [a, b] ⇒ ∫ f ( x) dx ≤ ∫ g ( x )dx.

- Nếu m ≤ f ( x ) ≤ M , x ∈ [a, b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a ). a

1.5.2.3. Các phương pháp tính tích phân a. Phương pháp đổi biến

Đây là phương pháp tính tích phân cơ bản nhất, việc đổi biến về bản chất là đưa một tích phân phức tạp về một tích phân đơn giản hơn. Tuy nhiên các em học sinh cần lưu ý và đổi biến phải tuân thủ nguyên tắc chung của nó. b

Giả sử muốn tính tích phân ∫ f ( x)dx trong trường hợp với biến x, hàm a

số f phức tạp không tính được nguyên hàm thì ta thay biến x bằng biến t. Tương tự tích phân bất định, trong trường hợp tích phân xác định, người ta cũng dùng các phép biến đổi thích hợp để tính tích phân:

• Đổi biến đặt: t = ψ ( x). b

Xét tích phân ∫ f ( x)dx , với f(x) liên tục trong [a,b]. Nếu phép biến đổi a

t = ψ ( x) thỏa mãn: + ψ ( x) biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a,b]. + f ( x) dx trở thành g (t ) dt , trong đó g(t) là một hàm số liên tục trong khoảng đóng [ ψ (a ), ψ (b) ] thì: b

ψ (b )

∫ f ( x)dx = ∫ a

g (t ) dt.

ψ(a)

• Đổi biến đặt: x = ψ (t ). b

Xét tích phân

∫ f ( x)dx , với f(x) liên tục trong [a,b]. Giả sử thực hiện a

đổi biến x = ψ(t ) thỏa mãn: + ψ (t ) có đạo hàm liên tục trong [ α, β] .

+ ψ (α) = a; ψ (β) = b . + Khi t biến thiên trong [ α, β] thì x biến thiên nhưng không ra ngoài khoảng liên tục của hàm số f(x). Khi đó: b

∫ f ( x)dx = ∫ f [ψ(t )ψ′(t )]dt. b. Phương pháp tích phân từng phần Bản chất của phương pháp này là tách biểu thức dưới dấu tích phân b

thành hai phần, cụ thể là giả sử ta muốn tính tích phân ∫ f ( x)dx trong trường a

hợp biến x là hàm số f phức tạp không tính được nguyên hàm thì: Bước 1: Ta tách f(x)dx thành hai phần là u, dv, giả sử u = u ( x ) và

dv = g ( x) dx (dx luôn thuộc dv). Bước 2: Từ đó ta tính du = u′( x)dx, v là một nguyên hàm của g(x). b

Bước 3: Áp dụng công thức

∫ a

b b f ( x)dx = uv − ∫ vdu. a a

1.5.3. Ứng dụng của tích phân 1.5.3.1. Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng + Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi một đường cong (C) và trục hoành Ox.

 y = f ( x) (C )  (H ) :  y = 0  x = a, x = b(a < b).  b

Diện tích được tính theo công thức: S = ∫ f ( x ) dx. a

+ Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi 2 đường cong.  y = f ( x) (C1 )  ( H ) :  y = g ( x) (C2 )   x = a, x = b(a < b).

Diện tích được tính theo công thức: S = ∫ f ( x) − g ( x) dx. a

1.5.3.2. Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay + Cho hàm y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi (H) là hình thang cong giới hạn bởi các đường sau: (C ) : y = f ( x)  (H ) :  y = 0  x = a; x = b(a < b).  Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình (H) xoay quanh trục Ox là: b

V = π ∫ f 2 ( x) dx . a

+ Cho 2 hàm số y = f ( x ) và y = g ( x) cùng liên tục trên đoạn [ a; b ] và thỏa mãn điều kiện f ( x) ≥ g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b] . Gọi (H) là hình phẳng giới (C ) : y = f ( x)  hạn bởi các đường sau ( H ) : (C ′) : y = g ( x)  x = a, x = b(a < b).  Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình phẳng (H) quay quanh trục Ox b

là: V = π ∫  f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx. a

1.5.4. Các dạng bài tập Nguyên hàm – Tích phân Trong sách giáo khoa (SGK) Giải tích, hệ thống bài tập thường được ôn luyện theo hướng phân thành 3 dạng theo nội dung lý thuyết đã được học như sau: Dạng 1: Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, tính chất của tích phân. Dạng 2: Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. Dạng 3: Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.

1.6. Thực trạng dạy và học thông qua hoạt động giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường phổ thông hiện nay Trong chương trình giải tích lớp 12 trung học phổ thông, kiến thức về Nguyên hàm - Tích phân chiếm một phần rất quan trọng của giải tích nói riêng và môn Toán ở bậc phổ thông nói chung. Tuy nhiên các bài toán về Nguyên hàm - Tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập chưa nhiều dạng và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều bài toán có phương pháp giải hay và độc đáo. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó theo phương pháp của dạng đã được giới thiệu trước. Do đó mà các bài toán về nguyên hàm, tích phân chưa khai thác hết được, chưa phát huy được tính sáng tạo, khả năng khám phá và tìm tòi của học sinh. Nội dung tích phân lớp 12 là một nội dung tương đối mới, gây khó đối với học sinh vì nội dung này mang tính trừu tượng cao. Rất nhiều học sinh khi học phần này cho biết học nó vì nó xuất hiện trong kỳ thi quan trọng, bài kiểm tra trên lớp chứ chưa thực sự yêu thích nội dung học phần này. Trong một tiết học tích phân, nhiều học sinh chưa tìm được hứng thú thậm chí cảm thấy căng thẳng, chưa tích cực chủ động và có ý tưởng mới, độc

đáo, tìm ra phương pháp giải cho bài toán. Có nhiều bài tập tích phân giáo viên đưa ra hay một số ví dụ trong SGK khi giải xong học sinh vẫn chưa hiểu tại sao lại giải như vậy và tự đặt câu hỏi những bài toán như thế nào thì vận dụng phương pháp giải đó. Và khi gặp bài toán có số điểm tương tự với bài toán đã giải là học sinh cứ mặc nhiên máy móc vận dụng đến khi đến bước nào đó vướng mắc, loay hoay không tính được tiếp mà không phát hiện sai lầm của mình ở chỗ nào. Trong quá trình giảng dạy, biết được những khó khăn nhất định khi dạy chủ đề này nhiều giáo viên đã đưa ra phương pháp giải quyết vấn đề đó để có hiệu quả như là: phân dạng bài tập theo phương pháp giải và giải nhiều bài tập cho học sinh ghi nhớ. Theo đó phương pháp này đôi

khi học sinh cảm thấy sợ vì phải ghi nhớ quá nhiều, đồng thời sẽ gây cho học sinh nhầm lẫn từ phương pháp của dạng này với phương pháp của dạng kia, hay thậm chí còn có học sinh tưởng mình biết được tất cả các phương pháp giải rồi dẫn đến không còn hứng thú trong giải các bài toán tích phân mới. Theo nội dung chương trình toán THPT ta thấy rằng đã cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ những kiến thức lý thuyết căn bản về tích phân và các ứng dụng tích phân. Tuy nhiên thời gian luyện tập bài tập tích phân trên lớp theo phân phối chương trình quá ngắn do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều, các dạng bài tập trong sách giáo khoa mới chỉ dừng ở bề nổi tức là phân dạng theo nội dung lý thuyết đã được học, có phương pháp giải cho từng dạng cụ thể. Học sinh chưa nghiên cứu sâu đến việc tự tìm tòi lời giải mà chỉ biết vận dụng máy móc các phương pháp cho từng dạng bài cụ thể. Vì vậy học sinh dễ bị thụ động trong tiếp thu bài, ít có sự linh hoạt sáng tạo trong tư duy vì thế đứng trước một bài tích phân khác dễ bị bế tắc trong việc tìm tòi lời giải. Bên cạnh đó đa số học sinh chỉ biết giải các bài toán tích phân tương tự với những bài đã giải rồi với chỉ một cách giải, rồi bế tắc khi gặp các bài toán tích phân mới, hoặc có bài có cách giải tương tự lại bị gặp sai lầm mà không biết tại sao lại sai, hoặc trong quá trình làm bài đến bước nào đó bế tắc không thể tìm được kết quả cuối cùng vì quá phức tạp... Nhiều học sinh không hứng thú học khi đó dẫn đến khi học phần này không hề muốn suy nghĩ hay tìm tòi lời giải khi gặp những bài toán tích phân mới. Hay có cố gắng suy nghĩ nhưng không biết bắt đầu từ đâu và làm như thế nào gây ra chán nản. Thời gian tiếp cận với chương trình SGK, với yêu cầu đổi mới phương pháp còn chưa nhiều, còn thiếu nhiều những tài liệu về tổ chức dạy học tích cực nên giáo viên lúng túng trong việc tổ chức dạy học theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy một số giáo viên còn

nặng nề về thuyết trình, chưa phát huy được năng lực tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh trong học tập. Mặt khác với bài toán Nguyên hàm - Tích phân có nhiều cách giải tuy nhiên đa số học sinh dừng ở việc tìm ra được cách giải quyết bài toán mà chưa cố gắng xem bài toán đó có cách giải nào khác không? Cách giải nào là hay, độc đáo, tối ưu nhất? Bài toán đó có thể khái quát hóa, tương tự hóa không? Có thể mở rộng hay sáng tạo bài toán trên như thế nào? Như vậy, trong quá trình giảng dạy cần phải hướng thêm cho học sinh cách tự học, tự nghiên cứu thêm tài liệu đồng thời phải rèn k ỹ năng tính nhiều tích phân để qua đó rèn kỹ năng tính toán cũng như phương pháp giải toán tích phân để tìm tòi ra nhiều cách giải. Bên cạnh đó, mỗi giáo viên chúng ta cần xây dựng, vận dụng phương pháp dạy học để phát huy tính sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân như sáng tạo được những bài toán tương tự; tự tìm và giải, khái quát

được bài toán tổng quát; tìm được nhiều lời giải trong một bài toán tích phân, hay đưa ra được cách giải tối ưu của bài toán đó... Để thực hiện tốt nhiệm vụ học tập, học sinh cần nỗ lực không ngừng theo hướng học tập tự giác, chủ động, tích cực và sáng tạo. Bên cạnh đó, chủ trương giảm tải SGK và sách bài tập chỉ cung cấp một số ít các ví dụ, bài tập của phần Nguyên hàm - Tích phân trong khi các đề thi và Đại học, Cao đẳng lại phong phú, đa dạng và hóc búa. Vì vậy giáo viên cần tìm ra các mối quan hệ giữa các bài toán, phát triển từ bài toán cơ bản đến những bài toán ở mức động khó hơn tạo được các lớp bài tập phong phú và có hệ thống phù hợp với từng nhóm học sinh. Cách dạy mới làm sao phải phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập và rèn luyện ở trên lớp cũng như tự nghiên cứu ở nhà. Để phát huy được nó chúng ta phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lý nhằm tạo cho

học sinh có hứng thú trong từng tiết học, trong mỗi bài tập để đem lại kết quả cao trong học tập và có hiệu quả giảng dạy cao hơn. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy có rất nhiều tiềm năng để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo thông qua giải các bài toán Nguyên hàm - Tích phân.

1.7. Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học môn Toán Trong quá trình học tập môn Toán thì việc vận dụng Toán học để phát triển tư duy sáng tạo rất quan trọng, ở trường phổ thông học sinh không chỉ

được cung cấp các kiến thức Toán học mà còn rèn luyện để phát triển khả năng tư duy độc lập, khả năng sáng tạo có những ý tưởng hay và độc đáo. Do vậy việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình dạy học giải toán là điều rất cần thiết bởi vì nó giúp cho người học tích cực, chủ động, kích thích sự sáng tạo trong cả giai đoạn còn ngồi trên ghế nhà trường cũng như trong thực tiễn cuộc sống. Nhiệm vụ của người truyền thụ kiến thức là phải tìm ra được những phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, khi dạy học giải toán giáo viên cần phải khai thác hệ thống bài tập và sử dụng hợp lý thì mới đạt được hiệu quả cao. Để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh có thể khái quát thành một số biện pháp sau: - Để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, dự đoán, bác bỏ, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa, trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng. - Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần tập trung chú trọng vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy tìm tòi ra ý tưởng mới và độc đáo. Khi giáo viên dạy lý thuyết cần tạo ra những tình huống có vấn đề

để kích thích, dẫn dắt học sinh tìm tòi và tự khám phá ra được kiến thức mới. Tùy từng đối tượng học sinh với lực học khác nhau mà ta có những phương

pháp tiếp cận kiến thức ở mức độ khó, dễ khác nhau. Khi giáo viên dạy bài tập củng cố cần phải lựa chọn các ví dụ khác nhau có các cách giải riêng hơn là ví dụ cho học sinh áp dụng máy móc công thức tổng quát tránh học sinh suy nghĩ máy móc, rập khuôn, không biết thay đổi sao cho phù hợp với điều kiện mới. Nên chú trọng vào các bài tập chưa rõ vấn đề cần phải chứng minh

để học sinh tự tìm tòi và phát hiện ra vấn đề và cách giải quyết vấn đề. - Trong quá trình dạy học, giáo viên cần tập trung bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo như bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, hay tính độc đáo. Để bồi dưỡng được từng yếu tố đó giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và xây dựng hệ thống bài tập để tác động đến từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo. Ví dụ như giáo viên cần xây dựng và đưa ra các bài có cách giải riêng độc đáo hơn là việc áp dụng máy móc công thức, hay các bài tập có nhiều cách giải khác nhau. Lúc này đòi hỏi học sinh phải chuyển hóa từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác để giải quyết bài toán đồng thời học sinh hình thành các liên tưởng thuận nghịch. Bên cạnh đó giáo viên cần khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán, đối với các bài tập tìm được nhiều lời giải mặc dù mỗi lời giải có một nghĩa khác nhau nhưng cũng cần rèn luyện cho học sinh ý thức tự đánh giá và lựa chọn cách giải hay và tối ưu nhất cho bài toán. Việc tìm được nhiều cách giải cho bài toán cũng đồng nghĩa với việc lúc này học sinh nhìn nhận vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau từ đó hình thành sự sáng tạo phong phú. - Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh là cả một quá trình, cần được tiến hành thường xuyên và liên tục. Được thực hiện cụ thể từ hết tiết học này sang tiết học khác, hết ngày này sang ngày khác, hết năm này sang năm khác và thực hiện ở tất cả các khâu của quá trình dạy học. Cần tạo điều kiện cho học sinh có điều kiện để rèn luyện, nghiên cứu phát huy khả năng tư duy sáng

tạo giải toán bằng các tình huống thực tế, hay hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu tự viết một vấn đề chuyên sâu của toán...

1.8. Phương hướng dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” Để bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập, tư duy tích cực và tư duy sáng tạo của học sinh, trước tiên phải trang bị cho học sinh có nền kiến thức cơ bản phổ thông vững chắc, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt như: phân tích mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được bản chất của các khác niệm, định nghĩa, định lý đó. Đưa ra từng loại ví dụ đặc trưng khác nhau, phản ví dụ để minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lý. Đồng thời so sánh giữa các khái niệm, các quy tắc với nhau để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng để từ đó mới hiểu sâu, hiểu rõ bản chất của từng khái niệm hay quy tắc. Từ đó có thể đưa ra các ví dụ để chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. Thứ hai là rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy toán học, kỹ năng giải toán và phương pháp giải. Thứ ba giáo viên phải có sự linh hoạt vận dụng phương pháp dạy học khác nhau phù hợp với hoàn cảnh thực tế để từ đó tạo sự tò mò, tạo hứng thú

đam mê, khơi dậy tình yêu môn học cho học sinh. Thứ tư giáo viên phải vận dụng có phương pháp dạy học khác nhau, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. Muốn vậy các phương pháp, hướng học sinh vào một môi trường hoạt động tích cựu, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục. Thứ năm là đưa được ra các bài tập tương tự, bài tập tổng quát, hoặc cụ thể hóa bài toán đó. Sau mỗi lời giải giáo viên cần có nhận xét, củng cố, suy ra kết quả và phát triển bài toán, sáng tạo bài toán mới. Cần hiểu được học sinh mạnh ở điểm nào và yếu ở phần nào, cần bổ sung kiến thức nào, có đủ

khả năng sáng tạo ra bài toán mới ít nhất về mặt hình thức hay không, có thể tìm ra mối quan hệ giữa bài toán mới với bài toán đã biết hay chưa. Từ đó giáo viên có thể yêu cầu học sinh bổ sung thêm kiến thức về mảng còn yếu đó có như vậy học sinh sẽ mới có tư duy linh hoạt và sáng tạo được. Chủ đề Nguyên hàm - Tích phân có số lượng bài tập rất đa dạng và phong phú với mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau nên nó chứa đựng tiềm năng lớn trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Do vậy giáo viên cần chú trọng trong việc xây dựng hệ thống bài tập, sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh các đặc điểm của tư duy sáng tạo. Các dạng bài tập hướng tới cụ thể bồi dưỡng từng đặc điểm của tư duy sáng tạo: tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn, độc đáo... Giúp cho học sinh nhận thức được rằng học tập phải thật sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của bản thân mỗi học sinh. Bên cạnh đó trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn luôn tích cực đưa ra các gợi mở, câu hỏi giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán thuộc đã biết cách giải. Biết phân tích, tổng hợp và so sánh từng trường hợp chung cũng như riêng lẻ để đem đến cái chung nhất mang đậm tính chân lý của bài toán. Từ đó học sinh áp dụng các phương pháp toán học đã có để giải quyết các bài toán đặt ra.

Kết luận chương 1 Trong chương này luận văn đã đưa ra các cơ sở khoa học của quan

điểm dạy học phát triển tư duy sáng tạo, đã phân tích và làm rõ khái niệm tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo, nêu được 5 yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Đặc biệt là đã tìm hiểu, đưa ra thực trạng dạy và học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân ở trường phổ thông hiện nay. Đó là căn

cứ để giáo viên đề xuất các biện pháp để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình dạy học giải toán Nguyên hàm - Tích phân. Việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua hoạt động giải toán là rất cần thiết vì qua đó giáo viên giúp cho học sinh học tập tích cực, kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập, đáp ứng được một số yêu cầu về vấn đề dạy học tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh cũng như trong cuộc sống đáp ứng được yêu cầu của xã hội. Công việc của mỗi người giáo viên trong quá trình dạy học toán là tìm được ra các biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh. Căn cứ vào lý luận và thực tiễn dạy và học chủ đề Nguyên hàm - Tích phân đã trình bày trong chương 1 chúng ta nhận thấy rằng: việc đổi mới phương pháp dạy học vào giảng dạy bộ môn Toán ở các trường THPT chưa thật đồng bộ. Việc phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán nói chung và dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân nói riêng là hết sức cần thiết, vì vậy chúng tôi đề xuất ra được một số biện pháp và thiết kế một số bài tập nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân.

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ “NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN” LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO 2.1. Đề xuất một số biện pháp dạy học thông qua hoạt động giải toán chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 2.1.1. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua giải bài tập “Nguyên hàm - Tích phân” Các hoạt động trí tuệ của học sinh trong môn Toán có thể kể đến như: dự đoán, bác bỏ, lật ngược vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề từ đó tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo, khái quát hóa, tổng quát hóa, các thao tác tư duy toán học (so sánh, phân tích, tổng hợp…) trong quá trình giải toán. Rèn cho học sinh những hoạt động này có ý nghĩa quan trọng trong dạy học phát triển tư duy sáng tạo giúp cho học sinh có cái nhìn tổng thể về kiến thức trong chương trình, thấy được mối liên hệ giữa các phần đã học, từ đó học sinh sẽ nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa và phương pháp giải các bài tập toán, góp phần rèn luyện tính mềm dẻo và độc đáo của tư duy sáng tạo cho học sinh. Như vậy có thể nói rằng quá trình học toán đòi hỏi học sinh cần phải thường xuyên rèn luyện các hoạt động trí tuệ bằng việc giải các bài tập. Thông qua việc vận dụng các hoạt động trí tuệ để tìm lời giải và khái quát bài toán, có thể nói rằng các hoạt động trí tuệ giúp học sinh mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức từ một bài toán đã tìm được lời giải. Cụ thể trong quá trình dạy học, để bồi dưỡng yếu tố đặc trưng của tư duy là tính mềm dẻo và tính nhuần nhuyễn giáo viên cần luyện tập cho học sinh thường xuyên có năng lực tiến hành phân tích bài toán, tìm ra mối liên hệ với các kiến thức đã học sau đó tổng hợp để nhìn thấy bài toán dưới nhiều góc cạnh khác nhau, trong những mối liên hệ khác nhau để tìm ra cách giải độc

đáo. Trên cơ sở so sánh các trường hợp chung và riêng đã có, dùng linh hoạt phép tư duy tương tự, liên tưởng để chuyển từ trường hợp này sang trường hợp khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa bài toán xuất phát và lời giải tìm được bằng hoạt động trí tuệ: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự và tổng quát hóa. Do đó các những hoạt động trí tuệ có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học. Minh họa cho thao tác tư duy quan trọng nhất là phân tích – tổng hợp để khái quát, các thao tác tư duy đó có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ của học sinh bằng ví dụ sau:

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: 1

1 dx; 1 + x2 0

a) I = ∫

b) I =

3 5

∫ 9 + 25 x

dx.

3 5

a) Để giải được bài toán này đòi hỏi học sinh phải có tư duy phân tích, tổng hợp khéo léo trong cách đổi biến số thì mới thực hiện giải bài toán này dễ dàng được. Với bài tập này khi dạy giáo viên có thể tổ chức các hoạt động như sau: Giáo viên (GV): Tích phân trên có đặc điểm gì? Hãy nêu cách giải? Lúc này học sinh (HS) sẽ phân tích và trả lời: biểu thức dưới dấu tích phân là một phân thức với mẫu là một đa thức, tử là một số, do đó thường dùng phương pháp đổi biến số.

Đến đây HS thường nghĩ rằng có thể tính được tích phân trên dễ dàng bằng cách đặt t = 1 + x 2 . Tuy nhiên với hướng đổi biến như trên của học sinh quay trở lại tích phân ban đầu theo biến t và lời giải sẽ gặp bế tắc. Do đó với cách thông thường học sinh không thể tính được tích phân trên và phải chuyển hướng để tìm ra cách đổi biến khác cho bài toán. GV có thể gợi ý cho HS bằng câu hỏi: biểu thức 1 + x 2 gợi cho em liên tưởng tới công thức lượng giác nào?

HS trả lời: đó công thức tan 2 x + 1 =

1 . cos 2 x

Từ gợi ý như vậy học sinh có thể chuyển tích phân hàm vô tỷ thành tích phân hàm lượng giác, ta có lời giải: Giải: Đặt x = tan t ⇒ dx =

1 dt. cos 2t

t = 0 x = 0  ⇒ π Đổi cận:  = x 1  t = 4 . π

4 π π 1 2 4 = Ta có: I = ∫ .(1 + tan ) = = . t dt dt t ∫ 2 0 4 0 1 + tan t 0 4

GV nhận xét: Cách đặt x = tan t có đặc điểm? Em nêu đổi biến số theo cách nào để việc tính toán tích phân thuận lợi? HS suy nghĩ tìm được ra cách đặt x = cot t làm xuất hiện dấu “ - ” ở biểu thức dưới dấu tích phân, do đó phải thay đổi vị trí cận của tích phân để

đổi dấu tích phân nếu không sẽ hay nhầm lẫn trong việc tính toán. Vậy ta nên đặt x = tan t để thuận lợi trong quá trình tính toán. Từ đây yêu cầu học sinh nêu ra dạng tổng quát của bài toán trên: β

1 dx ( a > 0). x2 + a2 α

I =∫

GV yêu cầu học sinh nêu ra cách giải cho bài toán tổng quát này:

Đặt x = a tan t ⇒ dx =

a dt. cos 2t

b) Với bài toán này học sinh có thể hoàn toàn dễ dàng giải bài toán tương tự. Giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng trình bày lời giải và sửa lại nếu học sinh làm sai.

π π 3 Đặt x = tan t ,với t ∈ [ ; ] . 5 6 4

3 3 ⇒ dx = 5 2 dt = (1 + tan 2 t )dt. cos t 5  3  π t=  x =  6 5 Đổi cận:  ⇒ x = 3 t = π .  4 5  Khi đó ta có: π

π 1 3 1 4 1 4 2 . . (1 tan ) I =∫ + t dt = dt = t = ∫ 2 15 π 15 π 180 π 9 + 9 tan t 5 4

Nhận xét: Như vậy thông qua cách tổ chức hoạt động của bài toán trên, khi đứng trước một bài toán tích phân, giáo viên hướng dẫn cho học sinh để học sinh rèn kỹ năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ để đưa ra cách giải phù hợp không suy nghĩ rập khuôn, máy móc mà phân tích tổng thể bài toán (từ biểu thức dưới dấu tích phân nghĩ ra phương pháp đổi biến số, quan sát chi tiết đồng thời tư duy tìm các mối liên hệ để chọn biến số, đặt biến

đó bằng gì cho hợp lý cho bài toán). Biết so sánh, linh hoạt chuyển hướng tư duy từ trường hợp riêng này không còn phù hợp với trường hợp riêng khác, liên tưởng tới các kiến thức đã học (từ một đa thức đại số đã nhìn liên tưởng tới mối liên hệ giữa các đẳng thức trong tam giác đã được học ở lớp 11) để tìm được cách giải cho bài toán. Đồng thời khái quát bài toán, tìm ra được cách giải tổng quát cho bài toán đó. Qua đó ta rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo cho học sinh. 3

Ví dụ 2. Tính tích phân sau I = ∫ 9 − x 2 dx. 0

Nếu như ở ví dụ 1 có chút khó khăn trong việc đổi biến như thế nào thì bài toán này HS dễ dàng liên tưởng đến công thức lượng giác và dùng phương pháp đổi biến để thực hiện dễ dàng bài toán bằng cách làm tương tự:

Giải: Đặt x = 3sin t ⇒ dx = 3cos tdt .

π Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 3 ⇒ t = . 2 π 2

π 2

π 1 + cos2t 9 sin 2t 9π Khi đó: I = 3∫ 3cos tdt = 9 ∫ )2= . dt = (t + 2 2 2 4 0 0 0 2

Giáo viên có thể cho học sinh rèn luyện tương tự hóa thông qua giải nhiều bài tập tương tự, trừu tượng hóa bằng cách yêu cầu học sinh khai thác lời giải bài toán và tìm ra bản chất của các bài toán cụ thể, cụ thể bằng ví dụ như sau: 3

Ví dụ 2.1. Tính tích phân sau I1 = ∫ x 2 9 − x 2 dx. 0 3

Ví dụ 2.2. Tính tích phân I 2 = ∫ (9 − x 2 ) 9 − x 2 dx. 0

Xét ví dụ 2.1, ở bài toán này với mức độ khó khăn tăng dần của các bài toán, với cách giải tương tự hóa qua bài tập ở ví dụ 2 giúp cho HS tự định hướng được cách thức suy nghĩ không rập khuôn, tìm tòi ra lời giải. Ở bài tập này, biểu thức dưới dấu tích phân phức tạp hơn HS cần quan tâm đến phần nào khi tìm lời giải cho bài toán, nó liên hệ như thế nào với ví dụ trên? Khi đã có những nhận định trên HS giải quyết bài toán này một cách dễ dàng: Giải: Đặt x = 3sin t ⇒ dx = 3cos tdt.

π Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 3 ⇒ t = . 2 Khi đó: π 2

π 2

π 91 91  1 91π  . I = ∫ 27sin t 9 − 9sin t cos tdt = ∫ (1 − cos4t ) dt =  t − sin 4t  2 = 8 0 8 4  0 16 0 2

Qua bài này giáo viên khuyến khích học sinh đưa ra dạng tổng quát của bài toán: β

I = ∫ x 2 a 2 − x 2 dx (a > 0). α

Tương tự như vậy học sinh cũng dễ dàng đưa ra được cách giải tổng quát của bài toán này.  π Đặt x = a sin t ⇒ dx = a cos tdt , t ∈ 0;  (hoặc đặt x = a cos t ).  2

Đến đây từ việc học sinh đưa ra dạng và cách giải tổng quát của bài toán được rút ra từ ví dụ 2.1. Không nên dừng ở đó, giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh để có thể tiếp tục mở rộng thêm bài toán: - Để ý biểu thức dưới dấu tích phân nếu thay thế

a 2 − x 2 bằng

a 2 + b 2 . Được tích phân mới dạng β

I = ∫ x 2 a 2 + x 2 dx (a > 0). α

Khi đó ta sẽ tính tích phân này như thế nào? Khi đó giúp cho học sinh kích thích hứng thú sự tò mò, tìm tòi để đưa ra cách giải quyết bài toán giáo viên đưa ra. Học sinh sẽ suy nghĩ và tìm ra cách đổi biến mới, và có sự so sánh với ví dụ ban đầu, thay bằng việc đặt x = a sin t với bài này sẽ đặt x = a tan t . - Tiếp tục giáo viên gợi ý đưa ra tình huống có vấn đề: nếu ta đổi biểu thức dưới dấu căn a 2 − x 2 bằng

x 2 − a 2 . Lúc này được tích phân mới là:

I = ∫ x 2 x 2 − a 2 dx (a > 0). α

Với tích phân này khi đó ta sẽ đổi biến như thế nào? Học sinh có sự so sánh biểu thức dưới dấu căn và đưa ra cách đổi biến không còn đặt x = a sin t hay đặt x = a tan t nữa mà ta sẽ đặt x =

a sin t

Khi đã làm ví dụ 2.1 và nghiên cứu ví dụ, đã hiểu sâu về bản chất, lật đi lật lại vấn đề thì với ví dụ 2.2 học sinh có thể làm hoàn toàn dễ dàng, giáo viên yêu cầu học sinh tự về nhà làm. Nhận xét: Từ việc giải các bài tập, học sinh được rèn luyện hoạt động

trí tuệ, các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, phương pháp suy luận tương tự, không áp dụng máy móc những kinh nghiệm, kiến thức và k ỹ năng

đã có vào hoàn cảnh mới trong đó có nhiều yếu tố đã thay đổi (ở ví dụ trên biểu thức dưới dấu căn thay đổi) tìm giải pháp khác khi gặp trở ngại. Cộng với sự tích cực của giáo viên, định hướng, mở đường tạo ra những tình huống có vấn đề để tạo hứng thú cho học sinh có sự linh hoạt trong tư duy, nhạy cảm với vấn đề. Từ đó giúp học sinh rèn luyện tính nhuần nhuyễn đồng thời bồi dưỡng được các thành phần khác của tư duy sáng tạo. Chủ đề Nguyên hàm - Tích phân khá phong phú và đa dạng, chứa nhiều tiềm năng phát triển tư duy và các hoạt động trí tuệ cho học sinh. Qua quá trình giải các bài toán về Nguyên hàm - Tích phân vận dụng nhiều kiến thức, k ỹ năng cũng như phương pháp giải cũng từ đó tìm ra được những sai lầm thường gặp nên sẽ có cơ hội nhiều để rèn luyện hoạt động trí tuệ để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Thể hiện cụ thể qua ví dụ minh họa sau: 1 4

Ví dụ 3. Tính tích phân I = ∫ 0

x3 1 − x2

dx.

Thông thường HS quan sát và làm như sau:

Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt.

x = 0 t = 0   Đổi cận:  1⇒ 1 x t = arc sin . =   4  4 arcsin

∫

⇒I =

1 4

arcsin

sin t 2

1 − cos t

cos tdt =

∫ 0

1 4

sin t cos tdt = cos t

arcsin

∫

1 4

sin 3 tdt.

Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì biểu thức dưới dấu tích phân phức tạp, sau khi thay cận số lẻ, do đó các em không tìm ra được đáp số cho bài toán này. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trên của học sinh là: Theo cách thông thường đã có khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1 − x 2 thường ta đặt x = sin t ( hoặc x = cos t ) nhưng đối với ví dụ này nếu là theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận. Cụ thể khi x =

1 không 4

phải là các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt nên ta không tìm chính xác

được t. Do đó ta có lời giải đúng như sau: Giải: Đặt t = 1 − x 2 ⇒ t 2 = 1 − x 2 ⇒ 2tdt = −2 xdx ⇒ xdx = −tdt. t = 0 x = 0   Đổi cận  1⇒ 15 .  x = 4 t =  4 15 4

⇒I =

∫ 1

(1 − t )(−tdt ) =− t

15 4

∫ 1

15  t3  (1 − t ) dt =  − t  4 3 1 2

15 15 15 2 −33 15 2 − + = + . 192 4 3 192 3 Như vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần đưa ra chú ý cho học

sinh khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1 − x 2 , nếu cận của tích

phân là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì ta mới tính tích phân bằng cách

đặt x = sin t ( hoặc x = cos t ) còn nếu không thì ta phải tìm phương pháp khác. Nhận xét: Đây là ví dụ minh họa cho sai lầm khó phát hiện đối với học sinh. Sai lầm này xuất phát từ sự thiếu chắc chắn, hoặc chưa hiểu sâu về kiến thức lý thuyết, thói quen làm bài gặp những tình huống “thuận lợi” nên chủ quan không quan sát và suy luận. Khắc phục sai lầm này giáo viên cần tạo cho học sinh tư duy phân tích, liên hệ, thói quen tự vấn, tự phản biện, khái quát hóa, đồng thời giáo viên đưa ra những sai lầm học sinh thường gặp phải trong quá trình suy luận để hướng các em tìm ra cách thức biến đổi, chọn biến phù hợp với bài toán cụ thể để lời giải chính xác. Do vậy để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khi tính tích phân giáo viên tập trung vào việc rèn các bài tập dễ tạo cho học sinh dẫn đến sai lầm, các bài tập tìm chỗ sai trong lời giải, các bài tập đặt vào nhiều tình huống khác nhau. Qua đó rèn luyện tính linh hoạt cho học sinh khi tiến hành các thao tác tư duy, rèn khả năng nhạy cảm vấn đề, phát hiện ra những sai lầm và thiếu logic, không suy nghĩ rập khuôn phát hiện chính xác vấn đề và tìm được phương án giải quyết tối ưu. Sau đây là một ví dụ minh họa cho bài tập tìm chỗ sai trong lời giải.

Ví dụ 4. Tìm sai lầm trong lời giải sau và đưa ra lời giải chính xác của việc π

dx : cos x + 1 0

tính tích phân I = ∫

1 1+ t2 x 2dt . Đặt t = tan ⇒ dx = . V ậ y = sinx + 1 (1 + t ) 2 2 1+ t2 Khi đó ta có:

I =∫

dx 2dt 2 =∫ = ∫ 2(t + 1) −2 dt = − +C 2 sinx + 1 (t + 1) t +1 π

π dx 2 2 2 . =− =− − x π 0 sinx + 1 tan 0 + 1 0 tan + 1 tan + 1 2 2

⇒I =∫

Do tan

π không tồn tại nên tích phân trên không tồn tại. 2

Hướng dẫn: Lời giải này sai vì khi đặt t = tan

tan

x với x ∈ [0;π] tại x = π thì 2

x không xác định nên đã dẫn đến sai lầm. Lời giải đúng là: 2

π  dx−  dx dx π 2  π =∫ =∫  = tan − tan  −  = 2. I =∫ π π sinx + 1 0   4  4 0 cos  x −  + 1 0 cos 2  x −  2 2   Qua việc giải toán dạng bài tập này giúp cho học sinh phát triển được π

tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo. Trong quá trình dạy học, một điều quan trọng nữa của người giáo viên là cần đưa ra bài toán mà khi nhìn vào bài toán đó học sinh nhìn ra bài toán đó có những điểm gần tương tự, giống giống bài đã làm, lúc này học sinh có suy nghĩ chủ quan là sẽ làm bài toán đó theo cách đã biết. Tuy nhiên khi làm theo cách đã định HS sẽ gặp khó khăn, phức tạp thậm chí bế tắc. Do đó học sinh cần phải thay đổi hướng tư duy ngay khi gặp khó khăn, biết phân tích các yếu tố gây khó khăn của bài toán để tìm ra được các ý tưởng mới để từ đó tìm ra

được cách giải quyết bài toán sáng tạo và độc đáo. 1

Ví dụ 5. Tính tích phân I = ∫ x 2020 sin xdx. −1

Với tích phân này, học sinh chưa có nhiều kinh nghiệm làm toán tích phân sẽ suy nghĩ theo 2 cách như sau: Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, và đặt u = x 2020 , phần còn lại là dv. Nhưng khi tích phân từng phần sẽ thấy ∫ vdu có biến x chỉ giảm được 1 bậc so với tích phân ban đầu, như vậy có nghĩa là cần phải thực hiên 2020 lần tích phân từng phần và thực tế không thể tính được.

Cách 2: Đối với học sinh có tư duy khá sẽ sử dụng phương pháp tích phân 1

từng phần cho tích phân I n = ∫ x n sin xdx . Sau đó tạo công thức truy hồi cho −1

I n và sử dụng phương pháp truy hồi, ta sẽ tính được tích phân đã cho. Tuy nhiên cách này không hề đơn giản. Với học sinh có nhiều kinh nghiệm sẽ quan sát cận của tích phân đã cho có tính chất đối xứng và hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ. Do vậy HS đã nghĩ

đến phương pháp đổi biến đặt x = −t mà không làm thay đổi cận của tích phân. Đó là một ý tưởng hay và độc, khi này tích phân được giải quyết một cách khá đơn giản Giải:

Đặt x = −t ⇒ dx = −dt.  x = −1 t = 1 Đổi cận:  ⇒ x = 1 t = −1. Khi đó: −1

−1

I = − ∫ ( −t ) 2020 sin(−t )dt = − ∫ t 2020 sin tdt 1

= − ∫ x 2020 sin xdx = − I . −1

Vậy I = 0 . GV: Qua ví dụ trên ta rút được một nhận xét quan trọng gì? α

HS:

∫α f (t )dt = 0 nếu

f (−t ) = − f (t )

−

Nhận xét: Qua bài toàn trên, HS đã thoát khỏi những suy nghĩ kìm hãm của những kinh nghiệm, phương pháp làm toán đã có từ trước để tìm ra được những liên tưởng và kết hợp mới. Từ đó dẫn đến một cách giải toán ngắn

ngọn, đơn giản cho bài toán mà độc đáo giúp cho HS rèn luyện được đặc trưng mềm dẻo và độc đáo của tư duy sáng tạo

2.1.2. Khuyến khích cho học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán “Nguyên hàm - Tích phân” Biện pháp này nói về chiến thuật giải một bài toán cụ thể, khi học sinh gặp khó khăn một bài toán, học sinh phân tích bài toán đó dưới nhiều góc độ khác nhau, không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất, biết liên kết các kiến thức đã học để đưa ra các các giải quyết bài toán. Ta biết rằng tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng các ý tưởng nhất định. Số lượng ý tưởng càng nhiều thì khả năng xuất hiện các ý tưởng độc đáo càng lớn. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nhất ở hai đặc trưng đó là tính đa dạng trong cách xử lý khi giải toán và xem xét đối tượng ở nhiều khía cạnh khác nhau. Cụ thể, với một bài toán được giải bằng nhiều cách khác nhau, học sinh sẽ tiếp cận theo nhiều đường lối, kiến thức rộng hơn, sâu sắc hơn và toàn diện hơn. Tìm tòi ra được những lời giải khác giúp cho học sinh bồi dưỡng năng lực tìm hiểu nhiều giải pháp cho một vấn đề một cách nhuần nhuyễn, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc cạnh khác nhau, biết hệ thống hóa và sử dụng các kiến thức, các kỹ năng và phương pháp giải một cách chắc chắn và mềm dẻo, linh hoạt điều này giúp cho học sinh phát triển năng lực giải toán. Từ phương pháp tiếp cận như vậy ta có thể giải quyết được vấn đề một cách nhanh chóng và linh hoạt. Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng tìm được nhiều cách giải khác nhau, song đối với một số bài toán về Nguyên hàm - Tích phân ta có thể giải được nhiều cách khác nhau để từ đó phát hiện ra các vấn đề mới. Từ cơ sở lý luận đã được nêu ra ở trên, trước tiên giáo viên cần đưa ra các bài toán có nhiều cách giải khác nhau. Sau đó có thể rèn luyện học sinh giải bài toán một cách nhuần nhuyễn, bước tiếp theo là khuyến khích học sinh

khai thác và giải bài toán bằng nhiều cách giải khác nhau theo quy trình sau

để rèn luyện: Bước 1: Đưa ra bài toán tích phân có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, từ đó phân tích bài toán, tìm tòi lời giải của bài toán. Bước 2: Trình bày lời giải của bài toán tích phân đó. Bước 3: Khai thác và giải bài toán theo các cách khác nhau dựa trên sự phân tích bài toán theo các góc độ khác nhau. 3

Ví dụ 6. Tính tích phân sau I =

∫ 0

x3 dx. x2 + 1

Phân tích: Bài toán này có nhiều cách giải, tùy theo sự nhuần nhuyễn về kiến thức mà HS có thể có các cách tiếp cận khác nhau. Bước 1: Để giải bài toán này, HS thường nhìn thấy ngay được phân thức có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu nên sẽ chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản. Bước 2: Cách 1. Chia tử cho mẫu để tách thành tổng hai tích phân đơn giản. 3

∫ 0

x3 x  x2  dx = x − dx = ∫0  x 2 + 1  2 x2 + 1

3 1 − ln( x 2 + 1) 2 2

3 0

−

1 2

∫ 0

d ( x 2 + 1) x2 + 1

3 − ln 2. 2

Nhận thấy rằng tích phân trên là tích phân hàm phân thức hữu tỉ có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu, chính vì thế ta chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tích phân đơn giản hơn so với tích phân ban đầu là phương pháp tối

ưu nhất. Bước 3: GV rèn luyện cho HS khả năng tìm được các cách giải dưới góc độ và tình huống khác nhau, khả năng xem xét bài toán ở nhiều khía cạnh. GV có thể hướng dẫn cho HS tìm các cách giải khác nhau theo các hướng sau:

Tiếp cận theo hướng 1: GV: các em hãy cho biết biểu thức dưới mẫu của phân thức trong dấu tích phân này có đặc điểm gì? Nó làm em liên tưởng đến biểu thức lượng giác nào? HS suy nghĩ và trả lời: Biểu thức dưới mẫu của phân thức là vế phải của đẳng thức 1 + tan 2 x =

1 nếu ta đặt x = tan t . cos 2 x

GV: yêu cầu học sinh tính tích phân theo hướng trên? HS suy nghĩ và làm bài: Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến.

Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan 2 t ) dt . π  x = 3 t = ⇒  3 . Khi đó: Đổi cận   x = 0 t = 0 π 3

π 3

I = ∫ tan 3 tdt = ∫ tan t (tan 2 t + 1 − 1)dt = ∫ tan t (tan 2 t + 1) dt − ∫ tan tdt π 3

π 3

 d (cos t )  tan 2 t = ∫ tan td (tan t ) + ∫ = + ln | cos t |  cos t  2  0 0

π 3 0

3 − ln 2. 2

GV kết luận và sửa lại (nếu học sinh làm sai). Tiếp cận theo hướng 2: GV gợi ý bằng cách viết x 3 = x 2 .x và ( x 2 + 1)′ = 2 x . Khi đó nếu như ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần thì đặt u và v thế nào hợp lý nhất để giải quyết được bài toán?

HS suy nghĩ và đưa ra câu trả lời đặt u = x 2 và dv là phần còn lại của tích phân. HS làm bài và đưa ra lời giải: Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

u = x 2 du = 2 xdx   ⇒ Đặt  x ln( x 2 + 1) . Khi đó: dv dx = v =   x2 + 1 2   1 I = x 2 ln( x 2 + 1) 2

3 0

−

∫ 0

1 x ln( x + 1)dx = 3ln 2 − ∫ ln( x 2 + 1)d ( x 2 + 1). 20 2

Tính tích phân: J =

∫ ln( x

+ 1) d ( x 2 + 1).

 d ( x 2 + 1) 2 u = ln( x + 1) du = 2 Đặt  ⇒ x +1 2 = + dv d ( x 1)  v = x 2 + 1.  Khi đó: 1 I = 3ln 2 −  ( x 2 + 1)ln( x 2 + 1) 2 

 3 2 ( 1) d x +  = − ln 2. ∫0  2 3

3 0

−

GV kết luận, sửa lại nếu HS làm sai và đưa ra nhận xét: Sở dĩ ở bài toán này ta sử dụng được phương pháp này là vì khi tính tích phân hàm phân thức ta phân tích được về dạng sau: P ( x) f ( x)Q′( x ) I =∫ dx = ∫ dx. Q′′( x ) Q′′( x) thì ta đặt: u = f ( x )  Q′( x)  dv dx =  ′′ ( ) Q x  Tiếp cận theo hướng 3: Nhận xét: ta có x 3 = x 2 .x và ( x 2 + 1)′ = 2 x từ đó ta định hướng như sau: Cách 4: Kỹ thuật tách tích kết hợp với sử dụng phương pháp đổi biến số. 3

Phân tích I =

∫ 0

x3 dx = x2 + 1

∫ 0

x 2 .x dx. x2 + 1

 x2 = t − 1  Đặt: t = x 2 + 1 ⇒  dt  xdx = .  2  x = 3 t = 4 ⇒ Đổi cận:   x = 0 t = 1. 4

1 t −1 1 3 Khi đó: I = ∫ dt = (t − ln | t |) 14 = − ln 2. 21 t 2 2 Tiếp cận theo hướng 4: Từ nhận xét ở hướng thứ 3 ta cũng có cách giải khác: Cách 5: Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân và đưa vào vi phân ta được. 1 I= 2

∫ 0 3

x2 1 d ( x 2 + 1) = 2 x +1 2

1 = ∫ d ( x 2 + 1) − 20

∫ 0

( x 2 + 1) − 1 1  1  2 d ( x 2 + 1) = ∫ 1 − 2  d ( x + 1) 2 x +1 2 0  x +1

d ( x 2 + 1) x 2 = x2 + 1 2

3 0

− ln( x 2 + 1)

3 0

3 − ln 2 . 2

Nhận xét: Với cách tổ chức hoạt động như trên học sinh được rèn luyện không rập khuôn máy móc, biết nhìn bài toán tích phân với nhiều góc độ khác nhau để tìm cho ra nhiều cách giải của bài toán đó, biết chuyển hướng tư duy, biết liên tưởng kiến thức đã học trong hoàn cảnh của bài toán mới. Cách giải thứ 3 thể hiện tính sáng tạo khá cao, nó là bước chuyển mình, là bước gợi ý cho sự liên tưởng tới cách giải thứ 4 và thứ 5. Với bài toán này giáo viên gợi ý khuyến khích học sinh tìm thêm nhiều cách giải khác, qua đó bồi dưỡng cho học sinh tính nhuần nhuyễn, linh hoạt, nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo. 1

ex dx. Ví dụ 7. Tính tích phân I = ∫ 1 + 2e x 0 Giải: Với bài toán này học sinh dễ dàng giải được theo 2 cách như sau Cách 1: Ta có nhận xét rằng: 1 (1 + 2e x ) = 2e x ⇒ 2e x dx = d (1 + 2e x ) ⇒ e x dx = d (1 + 2e x ). 2

Từ đó: 1

1 d (1 + 2e x ) 1 1 1 + 2e . I= ∫ = ln |1 + 2e x | 10 = ln x 2 0 1 + 2e 2 2 3 Cách 2: Đặt (1 + 2e x ) = u , du = 2e x dx ⇒ e x dx =

du . 2

x = 0 ⇒ u = 3 Đổi cận:   x = 1 ⇒ u = 1 + 2e. 1 ⇒I = 2

1− 2 e

∫ 3

du 1 = ln | u | u 2

1− 2 e 3

1 1 + 2e . = ln 2 3

Giáo viên chỉ cho học sinh thấy rằng cách 1 thực chất là phép đổi biến giống cách 2. Đây là phương pháp dựa vào vi phân để tính tích phân. Tuy nhiên sử dụng cách 1 ở một số bài tập có nhiều ưu điểm như không cần thực hiện phép đổi cận không cần thiết và cách làm khá ngắn gọn, đơn giản, không mất nhiều thời gian. Ở cách 2 biến đổi dài hơn nhưng một số bài tập tích phân phức tạp và cồng kềnh thì phương pháp đổi biến là sự lựa chọn thích hợp để tránh nhầm lẫn. Nó được thể hiện cụ thể qua ví dụ 8: 1

x 2 + e x + 2 x 2e x Ví dụ 8. Tính tích phân I = ∫ dx (Đại học Khối A - 2010). 1 + 2e x 0

Đây là bài toán phức tạp hơn các bài toán vừa nêu ở trên, đứng trước bài toán này ta có nhận xét: tử có thể phân tích thành nhân tử chung, từ đó biến đổi hàm số để đưa về dạng quen thuộc. Khi giải bài tập này ta làm như sau: 1

⇒I =∫ 0

1 1 1  2 x 2 (1 + 2e x ) + e x ex  ex 2 dx x dx x dx = + = + ∫0  1 + 2e x  ∫0 ∫0 1 + 2e x dx. 1 + 2e x

Tiếp theo ta sử dụng kết quả tính tích phân ở ví dụ trên ta được:

x 3 1 1 1 + 2e 1 1 1 + 2e ln . I= = + ln 0+ 3 2 3 3 2 3

Với ví dụ 7 ở trên học sinh thông thường chỉ làm theo cách 1 hoặc cách 2. Nhưng trong quá trình giảng dạ y giáo viên gợi ý, định hướng cho học sinh làm bài tập bằng nhiều cách có thể, vừa có mụ c đích khắc sâu, củng cố kiến thức qua đó HS có thể lựa chọn cho mình cách giải thích hợp, tối ưu nhất cho mỗ i dạng bài tập đồng thời từ đó phát triển được tính mề m dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy sáng tạo cho HS. Như vậ y, sau khi giải xong một bài toán theo một cách nào đó, giáo viên có thể định hướng cho học sinh tìm tòi, phát minh ra những lời giải theo sự suy nghĩ tự nhiên của học sinh, cũng nên hỏi học sinh: “Bài toán này có cách giải nào khác nữa hay không?”. Nếu giáo viên không đặt ra câu hỏ i này e rằng có nhiều học sinh sẽ tỏ ra bức xúc và biết đâu các em còn có nhiều cách giải, phương pháp khác hay hơn nhiều cách giải vừa

được trình bày. Đồng thời câu hỏi đó kích thích tính tích cực của mỗi học sinh để học sinh liên tưởng, huy động kiến thức khác tùy vào khả năng tư duy giải quyết vấn đề của các em. Không nên áp đặt hay chỉ vẽ nên mộ t

đường cho học sinh, nếu làm như vậ y sẽ làm thui chột khả năng sáng tạo củ a học sinh. Giáo viên phải là người biết gợi mở cho học sinh sự sáng tạo

đó. Tiếp theo ta xét một ví dụ khác về sự đ a dạng trong cách tìm lời giải cho một bài toán tính tích phân khác. e

Ví dụ 9. Tính tích phân sau I = ∫ 1

ln x dx (Đại học Khối B - 2010). x(2 + ln x) 2

Sử dụng phương pháp đổi biến ta có thể giải như sau: Cách 1: Đặt t = ln x ⇒

dx = dt. x

 x = e t = 1 Đổi cận  ⇒ . x = 1 t = 0   Khi đó:

1 1 1  1 udu 2  d (2 + u ) d (2 + u ) I =∫ = ∫ − du = ∫ − 2∫ 2 2  (2 + u ) 2 + u (2 + u )  2+u (2 + u ) 2 0 0 0 0 2 1 3 1  =  ln | 2 + u | +  0 = ln − . 2+u  2 3 

Cũng là phương pháp đổi biến nhưng học sinh có thể đặt t bởi 2 + ln x . Lúc này cho ta được cách giải ngắn gọn và đơn giản hơn:

ln x = t − 2  Cách 2: Đặt t = 2 + ln x ⇒  dx  x = dt. 3

3 23 3 1 t−2 1 2   Khi đó: I = ∫ 2 dt = ∫  − 2  dt =  ln | t | +  = ln − . 2 3 t t t  t 2  2 2

Nếu học sinh có tính nhuần nhuyễn, linh hoạt hơn sẽ quan sát biểu thức mẫu của hàm dưới dấu tích phân để suy nghĩ đến các đưa vào biểu thức vi phân: Cách 3: Đưa vào biểu thức vi phân. e

ln x ln xd (2 + ln x ) (2 + ln x ) − 2 =∫ I =∫ dx = ∫ d (2 + ln x) 2 2 (2 + ln x) (2 + ln x ) 2 x(2 + ln x ) 1 1 1 e

e 2 e 3 1 d (2 + ln x) d (2 + ln x)  =∫ −∫ =  ln | 2 + ln x | +  = ln − . 2 (2 + ln x ) 1 (2 + ln x) 2 + ln x  1 2 3  1

Học sinh có chút mềm dẻo sẽ khéo léo đặt u và dv sao cho hợp lý để có cách tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: Cách 4: Phương pháp tích phân từng phần. 1  u = ln x du = dx    x Đặt  ⇒ 1 dv = x(2 + ln x) 2 dx v = − 1 .  2 + ln x  Khi đó: 3 e e 1 1 1 d (2 + ln x ) I = − ln x. +∫ dx = − + ∫ 2 + ln x 1 1 x(2 + ln x) 3 1 2 + ln x

e 1 1 3 = − + ln(2 + ln x) = − + ln . 1 3 3 2

Tóm lại, điều rất quan trọng trong quá trình dạy học của người giáo viên là phải cho học sinh tập biến đổi đối tượng về những cách nhìn nhận khác nhau để tìm ra những lời giải khác nhau nó có tác dụng phát huy năng lực sáng tạo của học sinh, tổng kết được các phương pháp giải bài toán, so sánh và đánh giá được các phương pháp giải. Qua đó kích thích học sinh tìm tòi, học sinh được rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, nhạy cảm vấn

đề, linh hoạt và mục đích cuối cùng là nhằm phát triển tư duy cho học sinh đặc biệt là tư duy sáng tạo.

2.1.3. Khuyến khích học sinh tìm con đường ngắn nhất đi tới lời giải Đứng trước một bài toán dài, phức tạp học sinh phải nghĩ ngay đến các giải ngắn gọn hơn và sáng sủa hơn. Từ đây học sinh suy nghĩ và có thể lựa chọn được cách giải nào tối ưu nhất. Biện pháp giúp cho học sinh có hướng nhìn nhận vấn đề một cách toàn diện, không phiến diện, một chiều hay cứng nhắc, học sinh sẽ phát triển được tư duy mềm dẻo, linh hoạt, tính nhuần nhuyễn đồng thời nó còn thể hiện được tính độc đáo của tư duy sáng tạo với

đặc trưng là khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới; nhìn ra được những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài tưởng không có liên hệ với nhau, tìm ra được những cách giải lạ, ngắn gọn tối ưu cho một bài toán tuy đã biết được các cách giải khác. Biện pháp này yêu cầu học sinh tự vận dụng linh hoạt, nhuần nhuyễn các kiến thức, phương pháp để đưa đến các giải độc đáo. 1

2x + 5 dx. ( x 2 + 3 x + 2)( x 2 + 7 x + 12) 0

Ví dụ 10. Tính tích phân I = ∫

Trong quá trình dạy học, GV có thể tổ chức các hoạt động sau trên lớp: GV: yêu cầu HS làm tính tích phân này? HS: suy nghĩ và tìm ra lời giải cho bài toán. Thông thường với bài toán này HS quan sát biểu thức dưới dấu tích phân thấy mẫu số là một tích, nên thường suy nghĩ sẽ tách tích phân.

Mặt khác, HS nhận thấy tiếp đây là dạng tích phân hữu tỉ mà mẫu số của phân thức phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất là:

( x 2 + 3 x + 2)( x 2 + 7 x + 12) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4). Cụ thể HS có lời giải chi tiết của bài toán là: Cách 1: Dùng cách thức tách tích phân. Sử dụng phương pháp tách phân thức ta có: 2x + 5 A B C D = + + + ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 ⇔ 2 x + 5 = A( x + 2)( x + 3)( x + 4) + B ( x + 1)( x + 3)( x + 4) + C ( x + 1)( x + 2)( x + 4) + D( x + 1)( x + 2)( x + 3). Đến đây HS sẽ rất dễ bị nhầm lẫn bởi các biểu thức ở vế phải rất phức tạp, HS không khéo léo trong đưa ra các bước tiếp theo sẽ rất khó khăn hoặc thậm chí không thể được các hệ số A, B, C, D dẫn đến không làm được bài này. HS phải thật khéo léo và chắc về kiến thức mới tìm được phương án giải quyết và cụ thể ta nhận thấy: Vì đẳng thức trên phải thỏa mãn với mọi giá trị của x nên cũng thỏa mãn với những giá trị x bất kỳ.

Cho x = −1 ⇒ 3 = A(−1 + 2)(−1 + 3)( −1 + 4) + B.0 + C.0 + D.0 1 ⇒ 3 = 6A ⇒ A = . 2 Cho x = −2 ⇒ 1 = A.0 + B.( −2 + 1)( −2 + 3)(−2 + 4) + C.0 + D.0 1 ⇒ 1 = −2 B ⇒ B = − . 2

Cho x = −3 ⇒ −1 = A.0 + B.0 + C.( −3 + 1)(−3 + 2)(−3 + 4) + D.0 1 ⇒ −1 = 2C ⇒ C = − . 2 Cho x = −4 ⇒ −1 = A.0 + B.0 + C.0 + D.(−4 + 1)(−4 + 2)( −4 + 3) 1 ⇒ −3 = −6 D ⇒ D = . 2

Đây là bước khó khăn nhất của cách này mà không mấy HS tìm ra được. Đến đây tích phân cần tính sẽ được tách thành 4 tích phân đơn giản sau: 1 1 1   1   I = ∫  2 − 2 − 2 + 2 dx x +1 x + 2 x + 3 x + 4  0   1 1 1 1 1  d ( x + 1) d ( x + 2) d ( x + 3) d ( x + 4)  = ∫ −∫ −∫ +∫  2 0 x +1 x+2 x+3 x+4  0 0 0 1

1 = ln | x + 1| 10 − ln | x + 2 | 10 − ln | x + 3 | 10 + ln | x + 4 | 10   2 1 1 5 = ( 2ln 2 − 2ln 4 + ln 5 ) = ln . 2 2 4 GV có nhận xét: ở cách 1 giải quyết được bài toán nhưng ta thấy có vẻ khá dài, đồng thời để khéo léo trong việc đồng nhất hệ thức thì không được mấ y các em nhận được ra. Bài toán này còn cách giải nào khác không? GV gợi ý tiếp: nhưng nếu ta để ý một chút thì sẽ có được cách làm khác ngắn gọn hơn. Trên cơ sở thừa kế cái ở cách 1: ( x 2 + 3 x + 2)( x 2 + 7 x + 12) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = ( x + 1)( x + 4)( x + 2)( x + 3). HS nghe, suy nghĩ hướng tiếp theo: nếu HS có tư duy sáng tạo hơn sẽ khéo léo hơn trong cách tính bằng cách quan sát và nhận thấy được ta có thể viết là:

= ( x 2 + 5 x + 4)( x 2 + 5 x + 6). GV tiếp tục gợi ý nếu đến đây HS chưa biết hướng tiếp theo là gì?

Đến đây ta lại thấy: d ( x 2 + 5 x) = (2 x + 5)dx đến đây có vẻ bài toán đã được giải quyết. Cụ thể lời giải như sau: Cách 2: Dùng phương pháp đổi biến kết hợp với tách tích phân. 1

dx . 2 2 ( + 5 + 4)( + 5 + 6) x x x x 0

Từ cách phân tích phân tử trên suy ra ta có: I = ∫

Đặt: t = x 2 + 5 x ⇒ dt = (2 x + 5) dx. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 6. 6 6 6 1 (t + 6) − (t + 4) 1  d (t + 4) dt d (t + 6)  = ∫ dt =  ∫ −∫  (t + 4)(t + 6) 2 0 (t + 4)(t + 6) 2  0 (t + 4) 0 (t + 6)  0 6

I =∫

1 1 5 = ln | t + 4 | 60 − ln | t + 6 | 60  = ln .  2 4 2 GV nhận xét: Nhận thấy rằng cách 2 đã được đơn giản hơn rất nhiều, nhưng vẫn chưa là cách tối ưu nhất. GV gợi ý cho HS để HS để ý được rằng:

d ( x 2 + 5 x + 4) = d ( x 2 + 5 x + 6) = (2 x + 5)dx. Ta có thể giải bài tập này một cách ngắn gọn hơn nữa theo cách làm khác như sau: Cách 3: 1

I =∫ 0

(2 x + 5) ( x 2 + 5 x + 6) − ( x 2 + 5 x + 4)  ( x 2 + 5 x + 4)( x 2 + 5 x + 6)

1 1 1  d ( x 2 + 5 x + 4) d ( x 2 + 5 x + 6)  1  x 2 + 5 x + 4 1  1 5 ln . = ∫ 2 −∫ 2  = ln 0 = 2  0 x + 5x + 4 x + 5x + 6  2  x2 + 5x + 6  2 4 0

Nhận xét: Cách này quả thật khéo léo về cách thêm bớt và sử dụng vi phân để tách thành hai tích phân, đồng thời là cách giải nhanh nhất. Do đó

đây là cách giải tối ưu nhất cho bài toán tích phân trên. Như vậy thông qua cách thức tổ chức hoạt động trên, giáo viên là người luôn luôn gợi ý, hướng dẫn phân tích cho học sinh, kích thích học sinh tìm tòi những lời giải để từ đó chọn được cách giải tối ưu nhất. π 2

Ví dụ 11. Tính tích phân sau I =

∫ sinx + 3cos x + 3.

−

π 2

Với bài toán này, khi HS đọc đề bài và quan sát thường suy nghĩ đến việc dựa vào phương pháp giải toán cho từng dạng đã được học từ trước để

làm bài. Cụ thể là từ việc quan sát biểu thức dưới dấu tích phân, mà cụ thể hơn là mẫu của phân thức chỉ chứa hai hàm sinx và cosx. Từ đây HS sử dụng

x phương pháp đổi biến đặt t = tan . Do vậy cách giải thông thường bài toán 2 trên là:

x Cách 1: Đặt t = tan . 2 dx 1 x 1 ⇒ dt = = (1 + tan 2 )dx = (1 + t 2 )dx. x 2 2 2 2cos 2 2 2t 1− t2 sinx = ;cos x = . 1+ t2 1+ t2 π   x = − 2 t = −1 ⇒ Đổi cận:  π t = 1. x =  2 Khi đó:

2 1 dt 2 1 2dt + 1 t =∫ = ln | 2t + 6 | = 2ln 3 − 2ln 2. I=∫ 2 − 1   + 2 t 6 2 t 1 − t −1 + 3 + 3 −1 2  1+ t2 1 + t   1

Cách giải trên là cách giải quen thuộc của học sinh, không dừng lại ở lời giải này, học sinh có tư duy sáng tạo sẽ tìm ra mối liên hệ giữa hàm sinx và cosx bằng việc sử dụng có sáng tạo công thức nhân đôi và công thức hạ

x x x bậc là: sinx = 2sin cos và cos x = 2cos 2 − 1. 2 2 2 Cách 2: π 2

π 2

dx dx =∫ x x x x x   2 x π π cos + 6cos 2 − 3 + 3 cos + 3 2cos − 1 + 3 − 2sin − 2sin   2 2 2 2 2 2 2 2  

∫

x   d  2 tan + 6  dx 2  =∫ = ∫  x x  π   2 x π − cos  2 tan + 6  − 2  2 tan + 6  2 2 2 2    π x 2 = ln 2 tan + 6 = 2ln 3 − 2ln 2. π 2 − 2 π 2

π 2

Như vậy với cách giải trên HS đã không bị ảnh hưởng những kinh nghiệm giải toán của bản thân, những phương pháp đã được học từ trước và tìm ra được cách giải mới tối ưu hơn cách giải cũ. π

cos 6 x Ví dụ 12. Tính tích phân sau I = ∫ 4 dx. π sin x 2

Thông thường theo kinh nghiệm và phương pháp đã biết bước, học sinh nhận thấy rằng hàm dưới dấu tích phân là hàm số chẵn với cả sinx và cosx nên có thể đặt t = t anx . Nhưng theo cách biến đổi này, sẽ dẫn đến tích phân của một hàm hữu tỉ rất khó. Tuy nhiên nếu học sinh có tính linh hoạt, nhuần nhuyễn trong cách giải toán sẽ nhanh chóng chuyển hướng suy nghĩ từ việc

đổi biến sang thực hiện biến đổi lượng giác hàm dưới dấu tích phân ta sẽ có được một cách giải khá nhanh và ngắn hơn. Giáo viên hướng dẫn cho học sinh khéo léo biến đổi hàm dưới dấu tích phân bằng các công thức biến đổi lượng giác hợp lý. π

2 cos x (1 − sin 2 x)  cos 2 x − 2cos 2 x sin 2 x + cos 2 x sin 4 x  I =∫ dx = ∫ dx sin 4 x sin 4 x π π 2

2 1 2 = ∫ cot x 2 dx − 2 ∫ cot xdx + ∫ cos 2 xdx sin x π π π 2

= − ∫ cot 2 xd (cot x) − 2 ∫ (cot 2 x + 1) − 1dx +

π 3

12 ∫ (1 + cos2 x)dx 2π 4

− cot x 2 1 sin 2 x  2  1  − 2 ∫  2 − 1dx +  x +  π 3 2 2 π π  sin x  4 4 4 2

π 1 2 1π 1 = − 2(− cot x − x) +  −  π 2 4 2 3 4 1  π  1  π 1  5π 23 = − 2  − + 1 +  −  = − . 3  4  2  4 2  8 12

2.1.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc xây dựng bài toán mới từ bài toán đã cho Trong quá trình học, một phương án được gọi là phát triển tư duy sáng nếu các bài tập giải xong tạo nên các bài tập khác. Từ cơ sở lý luận, giáo viên có thể rèn luyện được kỹ năng này theo quy trình giải toán theo trình tự sau: - Phân tích tìm lời giải bài toán (xem xét bài toán thuộc dạng nào? Lựa chọn, huy động kiến thức thích hợp để tìm lời giải). - Trình bày lời giải. - Khai thác bài toán dựa trên: + Sự linh hoạt khi chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác. + Sử dụng các thao tác tư duy: tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa để khai thác bài toán theo các hướng như phát biểu bài toán tương tự, khái quát bài toán, thay đổi giải thiết để có bài toán mới và nghiên cứu các

ứng dụng của bài toán. Sáng tạo bài toán mới là một bước khá quan trọng trong quá trình giải toán, nó là một phương pháp phát triển tư duy sáng tạo trong toán học đồng

thời là một trong những mục tiêu chính của học tập sáng tạo. Để xây dựng bài toán mới, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh theo các cách sau đây: - Sử dụng các thao tác tư duy như: tương tự hóa, tổng quát hóa hay đặc biệt hóa... để đi đến một loạt bài toán tương tự khác, hay các bài toán nghịch. - Nghiên cứu sâu bản chất của bài toán, dự đoán nhận được cơ sở sự hình thành bài toán... để từ đó xây dựng được các bài toán cùng dạng. - Xét sự vận động của giải thiết, dẫn đến sự vận động tương ứng của kết luận, từ đó xây dựng được bài toán mới. Trở lại ví dụ 1 ý a, sau khi giảng giải cho HS hiểu một cách tường minh bài toán trên tại sao lại chọn cách đặt đó mà không lựa chọn các đặt khác, từ việc quan sát biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân tổng quát, GV có thể hướng dẫn cho HS mở rộng bài toán, đào sâu kiến thức thức, đi sâu vào từng trường hợp đặc biệt có ý nghĩa toán học để sáng tạo ra một loạt bài toán mới cụ thể như sau: Hướng sáng tạo 1: Khi ta đặt x vào vị trí tan t của bài toán tích phân hàm số lượng giác đơn giản lúc này ta sáng tạo được các tích phân sau: 1

2 + x + x2 dx; 2 1 + x 0

1+ x dx; 2 1 + x 0

a) I1 = ∫

b) I 2 = ∫

x4 c) I 3 = ∫ dx; 1 + x2 0

d) I 4 = ∫ 0

1 + x2 dx. x2

Hướng sáng tạo 2: ta thay x bằng ln t vào tích phân trên ta có: ln 4 x dx. b) J 2 = ∫ x(1 + ln 2 x) 1

1 dx; a) J1 = ∫ x(1 + ln 2 x) 1 b

Hướng sáng tạo 3: Từ công thức ∫ udv = (u.v) a − ∫ vdu , ta xem tích phân a

trong ví dụ 1 là biểu thức ∫ vdu để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức a b

∫ udv , ta có các tính tích phân: a

a) I = ∫ ln(1 + x )dx ; 2

b) I =

x ln x dx . 2 2 )

∫ (1 + x 2 2

   1 1  dt. Ví dụ 13. Tính tích phân I = ∫  − 1 t +1 2t +  2   2 1

1 Giải: I = ln | t + | 2

 3 1+ 2   1+ 2  2 − ln | t + 1| 2 =  ln 2 − ln 2  −  ln 2 − ln 2      2 2

3 = ln . 4 Đây là bài tập tích phân khá đơn giản tuy nhiên khi dạy đến bài tập này ta không nên dừng lại ở đó, giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh xây dựng hệ thống bài tập mới trên bài tập cơ bản, sau đó nâng thành dạng tổng quát, xây dựng hệ thống bài tập tương tự tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình. Trên cơ sở các bước giải của tích phân, GV đưa ra cách sáng tạo bài tập mới từ bài toán ban đầu như sau để gợi ý cho HS thực hiện: Bước 1: Biến đổi bài toán ban đầu. Bước 2: thay x bằng các hàm số của biến x để tạo ra các bài tập mới. Bước 3: tạo ra bài tập mới. HS lắng nghe, quan sát và suy nghĩ để vận dụng làm theo các bước mà GV đưa ra. GV: HS thực hiện bước 1? HS: suy nghĩ và trả lời. Bước 1: Từ ví dụ 13 trên ta có 1

1 2

dt I= ∫ dt = ∫ = 1 (2 1)( 1) t + t + 2 (t + )(t + 1) 2 2 2 2

∫ 2t 2 2

3 dt = ln . 4 + 3t + 1

GV yêu cầu HS thực hiện tiếp bước 2: Bước 2: • Nếu đặt t = cos x từ đó suy ra dt = d (cos x ) = − sin xdx.

 π  2 t = x = Đổi cận  4 2 ⇒ t = 1  x = 0.  π 4

− sin xdx sin xdx =∫ . cos 2 x + 3cos x + 2 π 2cos x + 3cos x + 1 0

Vậy I = ∫

Dừng lại ở phép biến đổi này ta có thể dựa trên cơ sở thực hiện bước 2 xây dựng được bài toán tương tự. Vậy ta có hai bài toán mới sau: π 4

sin xdx

∫ cos 2 x + 3cos x + 2 ( Đề thi thử THPT Quốc gia

Ví dụ 13.1. Tính tích phân

chuyên Hưng Yên 2015). 0

Ví dụ 13.2. Tính tích phân

∫ 2cos π 4

• Nếu đặt t =

− sin xdx . x + 3cos x + 1

1 x ⇒ dt = dx . 2 2

Đổi cận t = 1 ⇒ x = 2, t =

2 ⇒ x = 2. 2

1 dx 2 ⇒∫ = 2 x x 2 2 + 3 +1 4 2

dx . + 3x + 2

∫x 2

Dừng lại ở phép biến đổi thay hàm t =

x ta xây dựng được bài toán tương tự. 2

Vậy ta có bài toán mới: 2

Ví dụ 13.3. Tính tích phân

∫x 2

dx . + 3x + 2

Nhận xét: Thông qua ví dụ trên ta thấy rằng cách sáng tạo ra các bài tập tích phân phức tạp thực ra chỉ là tổng các tích phân đơn giản bằng cách biến đổi qua nhiều phép tính. Qua cách tổ chức hoạt động như trên giúp cho HS

không những hiểu hơn, đào sâu hơn về các phép biến đổi bài toán mà còn sáng tạo được các bài toán tích phân mới, đồng thời nhờ cách sáng tạo đó GV cũng có thể tự mình tạo ra các bài tập mới nhằm tạo nên cho bản thân mình các tài liệu phong phú hơn. π 4

Ví dụ 14. Tính tích phân I = ∫ 0

x cos xdx . x sin x + cos x

π 4

d ( x sin x + cos x ) = ln x sin x + cos x Giải: I = ∫ x sin x + cos x 0

π 4 0

= ln

2 π 1 +  . 2  4

Ở ví dụ này ta thấy mấu chốt ở đây là HS phải tìm được ra vi phân

x cos xdx = d ( x sin x + cos x ) . GV có thể hướng dẫn cho học sinh sáng tạo bài toán bằng cách để ý rằng ở mẫu có biểu thức x sin x + cos x , khi đó ta thêm vào tử số một lượng bằng mẫu số ta được bài toán mới mà cách giải gần như tương tự. Từ đây ta có thể sáng tạo ra một bài toán khác sau: π 4

Ví dụ 14.1. Tính tích phân I = ∫ 0

x sin x + cos x + x cos x dx ( Đạ i h ọ c Kh ố i x sin x + cos x

A-2011). Giải: π 4

π 4

x cos x x cos x   I = ∫ 1 + dx dx = ∫ dx + ∫ x x x x x x sin + cos sin + cos   0 0 0 =x

π 4 0

+ ln |

2 π π 2 π 1 +  | = + ln | 1 +  . 2  4 4 2  4

Theo phương pháp dạy học truyền thống thông thường nếu học sinh π 4

làm xong bài toán I = ∫ 0

x cos xdx giáo viên dừng lại ngay. Sẽ không có x sin x + cos x

định hướng để các em tiếp tục phát triển tư duy sáng tạo, chính vì vậy không π 4

có nhiều em giải chính xác bài toán I = ∫ 0

x sin x + cos x + x cos x dx (Đại học x sin x + cos x

Khối A - 2011), nhưng nếu người thầy sử dụng theo phương pháp mới đưa ra các bài toán tương tự và liên hệ chúng với nhau nhờ đó học sinh có thể dễ dàng giải được bài toán tưởng chừng khá phức tạp này. Từ đó giúp tư duy của học sinh linh hoạt hơn, các em sẽ giải rất nhanh bài toán này. Ta cũng có thể tương tự với cách sáng tạo như trên để phát triển được một bài toán phức tạp hơn nhưng không mấy khó khăn cho việc giải nó minh họa bằng ví dụ sau: π 4

Ví dụ 14.2. Tính tích phân I = ∫ 0

x sin 2 x + sin x cos x + x cos x dx. x sin x + cos x

π 4

sinx(xsinx+cos x ) + x cos x x cos x   dx = ∫  sin x+ dx x x + x x x + x sin cos sin cos   0 0

Giải: I = ∫ π 4

π 4

x cos x x cos x   dx = ∫  sinx + dx = ∫ sin xdx + ∫ x sin x + cos x  x sin x + cos x 0 0 0 = − cos x

π 4 0

+ ln

π 2 π 2 π 1 +  = −(cos − cos 0) + ln 1 +  2  4 4 2  4

 2  2 π 2 2 π = − − 1 + ln + ln 1 +  = 1 − 1 +  . 2  4 2 2  4  2  Với cách làm hoàn toàn tương tự như trên, có thể theo cách biến đổi tương tự ta có bài tập mới sau:

π 4

x sin 3 x + sin 2 x cos x + x cos x dx. Ví dụ 14.3. Tính tích phân sau: I = ∫ x sin x + cos x 0

2.2. Thiết kế một số bài tập chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” vận dụng các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 2.2.1. Sáng tạo bài toán tương tự từ bài toán đã cho Bài toán 1. Xét bài toán đơn giản π 2

Tính tích phân I = ∫ (3sin x + 4cos x) dx. 0

π 2

Giải: I = ∫ (3sin x + 4cos x)dx = (−3cos x + 4sin x ) 02 = 4 + 3 = 7. 0

Nhận xét: Muốn đưa tích phân trên trở thành bài toán phức tạp hơn ta làm như sau: Bước 1: Phân tích

3sin x + 4cos x = A(sinx − cos x) + B(sinx + cos x ) = sinx( A + B) + cos x( B − A). Bước 2: Đồng nhất hệ số ta được

1  A=−  A + B = 3  2 ⇒  B − A = 4 B = 7 .  2 Bước 3: Đưa 1 7 3sin x + 4cos x = − (sinx − cos x ) + (sinx + cos x ) 2 2

1 7 − (sinx − cos x) 2 + (sinx + cos x)(sinx − cos x ) 2 = 2 sinx − cos x 1 3sin 2 x − 4cos 2 x + sin 2 x 2 . = sin x − cos x

Vậy ta có bài toán phức tạp hơn sau: 1 3sin 2 x − 4cos 2 x + sin 2 x 2 dx. Bài toán 1.1. Tính tích phân I = ∫ sin x − cos x 0 π 2

Bằng cách làm tương tự ta có thể có các bài tập sau:

Bài toán 1.2. Tính các tích phân sau π 2

π 2

14cos 2 x − 5sin 2 x − 2 b) ∫ dx. sinx − cos x 0

10cos x − 3sin 2 x − 2 a) ∫ dx; sinx − cos x 0 π 4

2sin x + 16cos x dx. 2sin x + 3cos x 0

Bài toán 2. Tính tích phân I = ∫ Giải: π 4

π 4

2sin x + 16cos x 2sin x + 16cos x dx = ∫ dx 2sin x + 3cos x 2sin x + 3cos x 0 0

I =∫ π 4

π 4

2(2cosx − 3sin x ) + 4(2sin x + 3cos x) 2cosx − 3sin x dx = 2∫ dx + 4∫ dx 2sin x + 3cos x 2sin x + 3cos x 0 0 0

=∫

π 4

d (2cosx + 3sin x) + 4∫ dx 2sin + 3cos x x 0 0

= 2∫

π π 5 = 2ln | 2sin x + 3cos x | 4 + 4π 4 = 2ln + π. 3 2 0 0 Nhận xét: Trong bài tập trên ta tách 2sin x + 16cos x 2(2cos x − 3sin x) + 4(2sin x + 3cos x) . = 2sin x + 3cos x 2sin x + 3cos x Vậy làm thế nào để có thể tách ra như vậy, hệ số 2 và 4 tìm như thế nào? Ta có: (2cos x − 3sin x) = (2sin x + 3cos x ).

Phương pháp. Tách 2sin x + 16cos x = A(2cos x − 3sin x) + B(2sin x + 3cos x).

Hay 2sin x + 16cos x = (2 B − 3 A)sinx + (2 A + 3B)cos x. Đồng nhất hệ số ta được:

2 B − 3 A = 2 A = 2 ⇒  2 A + 3B = 16  B = 4. Vậy

2sin x + 16cos x 2(2cos x − 3sin x) + 4(2sin x + 3cos x) . = 2sin x + 3cos x 2sin x + 3cos x b

Tổng quát: Tính tích phân

m sin x + n cos x

∫ a sin x + b cos x dx. a

Bước 1: Đưa m sin x + n cos x = A(a sin x − b cos x ) + B (a sin x + b cos x ) Bước 2: Đồng nhất hệ số để tìm A và B. b

Bước 3: Tách

m sin x + n cos x

∫ a sin x + b cos x dx thành tổng 2 tích phân mới. a

Các bước sáng tạo ra bài tập mới để có hệ số A, B đẹp: - Lấy mẫu bất kỳ: ví dụ 5sin x + 3cos x. - Tính đạo hàm của mẫu số: ( 5sin x + 3cos x )′ = 5cos x − 3sin x. - Lấy A, B là 2 số bất kì: ví dụ A = 1, B = 5. - Tử số:

= (5cos x − 3sin x) + 5(5sin x + 3cos x ) = 22sin x + 20cos x. Vậy ta có bài tập tích phân mới: π 4

Bài toán 2.1. Tính tích phân

22sin x + 20cos x dx. 5sin x + 3cos x 0

∫

Với cách làm như trên ta có thể tạo ra vô số các bài tập tính tích phân mới có kết quả ra số đẹp. GV có thể định hướng cho HS thực hiện các em sẽ rất hứng thú và say mê tìm tòi hơn, giúp cho HS phát triển tư duy, kết quả học tập sẽ tốt hơn rất nhiều. Ta sáng tạo ra được các bài toán tương tự như sau:

Bài tập 2.2. Tính các tích phân sau π 4

11sin x + 10cos x dx; − 4sin x cos x 0

π 4

− sin x + 8cos x dx; x x + 3sin 2cos 0

a) ∫

b) ∫

π 4

19sin x − 9cos x dx; 3sin x − 5cos x 0

− sinx + 7 cos x dx. 2sin x + cos x 0

c) ∫

d) ∫

2.2.2. Tìm một lời giải mới cho bài toán đã biết Việc dạy và học toán không nên dừng lại ở việc giải bài tập sau đó gấp sách lại ta nên xem xét lật đi lật lại bài toán xem có còn cách nào để giải bài tập đó khác không, bài tập này có liên hệ với các bài tập khác không? Hoặc khuyến khích HS tự tìm được cách giải nào là hay nhất của bài toán. Trong quá trình giảng dạy, nếu GV giúp cho HS thường xuyên luyện tập các kỹ năng như vậy các em học sinh sẽ cảm thấy môn Toán không còn khó và khô khan nữa, các em sẽ thấy hứng thú hơn khi học môn Toán nhiều hơn, GV không nên ép buộc các em chọn một cách giải nào mà mang tính chủ quan của cá nhân. 2

Bài toán 3. Tính tích phân sau bằng ít nhất 2 cách giải: I = ∫ 1

xdx (Đại x −1 +1

học khối A-2004). Giải:

Cách 1: Đặt t = x − 1 thì t 2 = x − 1 hay x = t 2 + 1 , từ đó dx = 2tdt.

 x = 1 t = 0 Đổi cận  ⇒  x = 2 t = 1. 1

t2 +1 2   Vậy I = 2∫ dt = 2∫  t 2 − t + 2 −  dt t +1 t +1 0 0  t3 t2  1 11 = 2  − + 2t − 2ln | t + 1|  = − 4ln 2. 3 2 0 3

dx = 2(t − 1) dt Cách 2: Đặt t = 1 + x − 1 ⇒  2  x = (t − 1) + 1.  x = 2 t = 2 ⇒ Đổi cận:   x = 1 t = 1.

Khi đó ta có: 2

I = 2∫

(t − 1) (t − 1) 2 + 1 t

t 3 − 3t 2 + 4t − 1 dt t 1

dt = 2∫

 t3  2 11 1 t2  2 = 2∫  t − 3t + 4 − dt = 2  − 3 + 4t − ln | t |  = − 4ln 2. t 2 3 1 3 1 Đến đây học sinh có thể khái quát được cách tính tích phân với bài toán b

tổng quát

∫ a

p( x) dx với p( x) là một đa thức chứa x, m, n, c là các hằng ax + b + c

số ta đặt t = ax + b + c hoặc t = ax + b . GV có thể cho HS về nhà làm bài tập sau để rèn luyện cho HS khả năng tìm được nhiều lời giải cho một bài toán.

Bài toán 4. Tính các tích phân sau bằng ít nhất 3 cách giải π 2

dx dx; 3 x sin π

a) I1 = ∫

e x dx ; b) I 2 = ∫ x e + e− x 0

3 3

c) I3 =

∫ 0

dx 3 + x2

π 4

;

d ) I 4 = ∫ ln(1 + t anx) dx. 0

2.2.3. Từ bài toán đã cho áp dụng giải bài toán khác Bài toán 5. Tính tích phân bất định sau: I = ∫ Giải: Sử dụng đồng nhất thức ta có : sin(a − b) sin[( x + a) − ( x − b)] 1= . = sin(a − b) sin(a − b) Ta được:

dx . sin( x + a)sin( x + b)

I =∫

dx 1 sin[( x + a) − ( x − b)] = ∫ sin( x + a)sin( x + b) sin(a − b) sin( x + a)sin( x + b)

1 sin( x + a)cos( x − b) − sin( x − a)cos( x − a) dx sin(a − b) ∫ sin( x + a)sin( x + b)

 cos( x + b) 1 cos( x + a)  dx − ∫ sin( x + a) dx  sin(a − b)  ∫ sin( x + b)

1 [ln | sin( x + b) | − ln | sin( x + a) |] sin(a − b)

1 sin( x + b) ln + C. sin(a − b) sin( x + a ) Từ bài toán 5 ta có thể áp dụng tính được các tích phân trong các ví dụ

sau với phương pháp như trên:

Bài toán 5.1. Tính tích phân bất định I1 = ∫

1 . π  cos x.cos  x +  4 

Bài toán 5.2. Tính tích phân bất định I 2 = ∫

dx . sin( x + a)cos( x + b)

Gợi ý: sử dụng đồng nhất thức: 1 =

cos( a − b) cos [ ( x + a ) − ( x − b) ] . = cos( a − b) cos( a − b)

Bài toán 5.3. Tính tích phân bất định sau I 3 = ∫

1 dx. 2sin x + 1

Để làm bài toán này ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Biến đổi I1 về dạng như bài toán 5. Bước 2: Áp dụng bài toán 5 để giải. Giải: Biến đổi f ( x) về dạng: f ( x) =

1 1 1 1 . (1) = . = . π 4 6x + π 6x − π 1 2  sinx + sin sin .cos 2  sinx +  6 12 12 2 

Sử dụng đồng nhất thức:

π cos  6 x + π − 6 x − π   12 12  6= 1= π 3 cos 6 2 cos

 6x + π   6x − π   6x + π   6x − π  cos  .cos  + sin  .sin      2 12  12  12  12      . = 6x + π 6x − π 3 sin .cos 12 12 Ta được:

  6x + π   6x − π   cos  sin     2 12  12     I2 = dx − ∫ dx    6x − π   3  ∫ sin  6 x + π  cos       12   12   =

2   6x + π   6x − π    ln sin   − ln cos   +C 3  12   12  

 6x + π  sin   2  12  + C. = ln 3 cos  6 x − π     12  Từ bài toán 5.3 ta có thể tổng quát lên các dạng tích phân sử dụng phương pháp giải của bài toán 5: dx ; m ≤ 1. sinx + m dx dx 2. ∫ ; ∫ ; m ≤ 1. cos x + m cos x + cosα

1. ∫

Bài toán 5.4. Tính tích phân bất định I 4 = ∫ tan x tan( x + α)dx. Bước 1: Biến đổi I3 về dạng:

 sin x sin( x + α) + cos x cos( x + α)  I3 = ∫  − 1dx cos x cos( x + α )     cosα =∫ dx − ∫ dx   cos x cos( x + α)  1 = cosα ∫ dx − x. cos x cos( x + α)

(1)

Bước 2: Áp dụng bài toán 5 để giải (1). Tương tự ta cũng có thể áp dụng bài toán 5 vào giải được các tích phân dạng:

1. ∫ tan( x + α)cot( x + β)dx. 2. ∫ cot( x + α )cot( x + β)dx.

Bài tập tương tự a) ∫

dx ; 2cos x + 1

b) ∫

dx . π  sin x cos  x +  4 

2.2.4. Vận dụng tích phân giải các bài toán thực tế Để tính diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật, hay hình vuông, hay hình tròn là chuyện quá dễ dàng, chỉ cần áp dụng công thức đã học là xong. Vì khi đó chúng ta dễ dàng áp dụng công thức tính đối với từng hình. Nhưng trong thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kỹ thuật, người ta cần tính những diện tích của những mảnh vườn có hình dạng phức tạp. Trước khi phép tính tích phân ra đời với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy thì người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính. Sự ra đời của phép tính tích phân hiện đại sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán trên một cách đơn giản hơn. Không dừng lại ở đó, phép tính tích phân phát huy ưu thế của nó qua nhiều ứng dụng rất thực

tế phải kể đến là tính thể tích của vật thể có hình dạng phức tạp (không phải hình hộp có sẵn công thức tính. Tuy nhiên, trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 hiện nay chỉ thiên về những bài toán tính diện tích và thể tích khô khan, học sinh chỉ biết tính

toán một cách máy móc mà không thấy được những ứng dụng thực tế của nó. Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì bài toán ứng dụng thực tế của

tích phân đang là chủ đề rất cần thiết cho học sinh. Trong phần này, trên cơ sở là các bài tập diện tích và thể tích nhưng ta diễn đạt nó thông qua các bài toán thực tiễn.

Bài toán 6: Vòm cửa lớn của một ngôi nhà có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắm cửa kính cho vòm của này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắm vào

biết vòm cửa cao 8 m và rộng 8 m. Giải: Không làm mất tính tổng quát, ta xét dạng hình parabol vòm cửa lớn như hình vẽ sau:

Xét (P): y = ax 2 + bx + c.

1  a=−   A(0;8) ∈ ( P) c = 8 2    Ta có:  B (4;0) ∈ ( P) ⇔ 16a + 4b + c = 0 ⇔ b = 0 C ( −4;0) ∈ ( P ) 16a − 4b + c = 0 c = 8.     1 ⇒ ( P) : y = − x 2 + 8. 2 4

 x3  4 128 2  1  ( m ). Do đó: S H = 2∫  − x 2 + 8  dx = 16 x −  = 0 2 3 3     0

Bài toán 7. Tính thể tích của một thùng đựng rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là 2 hình tròn bằng nhau và có chiều cao bình là 16 cm. Đường cong của

bình là một cung tròn của đường tròn bán kính là 9 cm. Giải: Không làm mất tính tổng quát ta xem tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ, khi đó ta có phương trình: x 2 + y 2 = 81. Lúc này thể tích của bình là hình tròn xoay bị giới hạn bởi đường tròn x 2 + y 2 = 81, và y = 0; x = −8; x = 8. 8

Vậy thể tích là: V = π ∫ −8

(

81 − x 2

)

dx = π ∫ ( 81 − x 2 ) dx = −8

2864 π(cm3 ). 3

Bài tập tương tự: Một quán cà phê muốn làm cái bảng hiệu là một phần của Elip có kích thước và hình dạng giống hình vẽ và có chất lượng bằng gỗ. Diện tích gỗ bề mặt bảng hiệu là bao nhiêu ? (làm tròn sau dấu phải 2 chữ số thập phân).

Kết luận chương 2 Căn cứ vào yêu cầu về nội dung kiến thức của chủ đề Nguyên hàm Tích phân và kỹ năng HS cần đạt được sau khi học xong chương này, chúng tôi đã đưa ra được các biện pháp đồng thời thiết kế được một số bài tập Nguyên hàm - Tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Để phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán chủ đề Nguyên

hàm - Tích phân, chúng tôi đã đưa ra được các biện pháp phù hợp với trình độ nhận thức của HS từ việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, lật ngược vấn đề... hay tìm ra nhiều lời giải cho một bài toán để nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ, từ đó tìm con đường ngắn nhất tối ưu nhất cho bài toán tránh cái nhìn phiến

diện, bất biến, khả năng tìm được các sai lầm, thiếu logic đến việc phát triển, đề xuất bài toán tương tự, bài toán tổng quát, hay sáng tạo các bài toán tích

phân gây được hứng thú cho HS để HS chủ động khám phá những điều mình

chưa rõ, tích cực giải quyết nhiều bài tập hơn. Thông qua việc giải các ví dụ và bài tập này đã rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt khi tiếp hành các thao tác tư duy, hoạt động trí tuệ, đồng thời điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, rèn luyện suy nghĩ không rập khuôn máy móc, có khả năng thoát khỏi những ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã có trước qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong quá trình dạy học giải toán Nguyên hàm - Tích phân căn cứ vào trình độ nhận thức của học sinh, mục đích và nội dung dạy học, căn cứ vào điều

kiện về thời gian mà giáo viên có thể lựa chọn các bài tập phù hợp cũng như tìm kiếm các bài toán tương tự để làm tài liệu sử dụng trong quá trình giảng dạy, các bài tập đó có thể đưa vào giờ học lý thuyết, giờ bài tập hay cho bài tập về nhà. Giải các bài toán đó có ý nghĩa to lớn là cơ sở để đánh giá việc phát triển các thành phần của tư duy sáng tạo. Chúng tôi hi vọng tạo được hứng thú và tình yêu toán học cho HS góp phần mang lại hiệu quả trong đổi mới phương pháp dạy học môn Toán. Kết quả thực nghiệm việc sử dụng những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân đã soạn thảo được chúng tôi trình bày trong chương thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm Việc tổ chức thực nghiệm sư phạm về việc phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học giải bài tập chủ đề Nguyên hàm - Tích phân nhằm các mục đích sau:

- Bước đầu kiểm chứng giả thiết khoa học đã đề ra cho đề tài, kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc đưa ra các biện pháp rèn luyện phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân trong trường Trung học phổ thông khi áp dụng vào thực tế giảng dạy và học tập. - So sánh kết quả học tập của HS lớp thực nghiệm và đối chứng sau khi dạy học. - Quá trình thực nghiệm là cơ sở khách quan để tìm ra ưu, nhược điểm của đề tài, nhằm hoàn thiện đề tài.

3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm Khi tiến hành thực nghiệm sư phạm gồm có các nhiệm vụ: - Xây dựng hệ thống bài tập theo bốn biện pháp đã được trình bày ở chương 2. - Biên soạn tài liệu vận dụng theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học một số tiết học chủ đề Nguyên hàm- Tích phân. Tài liệu để tiến hành thực nghiệm được trình bày dưới dạng giáo án bài giảng và đề kiểm tra. - Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng; đồng thời tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết học (5 tiết) chủ đề Nguyên hàm - Tích phân. - Đánh giá kết quả thực nghiệm bằng bài kiểm tra theo góc độ: chất lượng, hiệu quả và khả thi của việc đưa ra các biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân.

- Thăm dò ý kiến của giáo viên và học sinh về việc vận dụng các biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân. - Phân tích số liệu và xử lý kết quả sau khi tiến hành thực nghiệm.

3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm Căn cứ vào kết quả thi học kỳ I môn Toán năm học 2018-2019 của khối 12, căn cứ vào số lượng HS mỗi lớp cũng như kết quả thi môn Toán trong học kỳ I lớp 12 thực nghiệm sư phạm được tiến hành ở 12A1 (42 HS), 12A2 (40 HS) trường THPT Thạch Thất, huyện Thạch Thất, thành phố Hà Nội năm học 2018 - 2019 vì số lượng HS bằng nhau, trình độ nhận thức và kết quả học tập môn Toán là tương đương nhau trong đó: - Lớp 12A1 là lớp đối chứng (lớp ĐC) được dạy theo phương pháp truyền thống. - Lớp 12A2 là lớp thực nghiệm (lớp TN) được dạy theo áp dụng các biện pháp sư phạm đã được đề xuất ở chương 2.

3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm Căn cứ vào phân phối chương trình môn Toán 12 (chương trình Nâng cao) quá trình thực nghiệm được thực hiện linh hoạt vào trong quá trình dạ y học một số tiết cụ thể như sau: Tiết Tên bài dạy 1

Một số phương HS biết được cách tính tích phân bằng phương pháp

tính

phân (Tiết 1) 2

tích pháp đổi biến và phương pháp tích phân từng phần. Qua đó HS sử dụng và kết hợp thành thạo các

Một số phương phương pháp này để tính được các tích phân, phát pháp

tính

phân (Tiết 2) 3

Mục đích, yêu cầu

tích triển năng lực biến đổi các tích phân về dạng đơn giản để giải.

Luyện tập (Tiết 1) Tập trung vào việc vận dụng các phương pháp tính

Luyện tập (Tiết 2) tích phân, các kỹ thuật tổng hợp để tính tích phân.

Tự chọn Giải tích Qua đó rèn cho HS các kỹ năng, các hoạt động trí 12 Nâng cao ( Bài tuệ, nhìn nhận bài toán qua nhiều góc độ khác nhau, tập)

tìm được nhiều cách giải cho bài toán đã cho. Đồng thời khuyến khích học sinh liên hệ các kiến thức đã học để tìm ra lời giải tối ưu nhất, ngắn gọn nhất cho bài toán, rèn luyện phát triển tư duy sáng tạo, sáng tạo được các bài toán tích phân mới từ tích phân đã cho. Qua đó giúp HS có cái nhìn linh hoạt khi giải toán phát triển tư duy sáng tạo cho HS.

Số tiết thực nghiệm: 05 tiết Thời gian thực nghiệm được tiến hành từ ngày 10/02/2019 đến ngày 31/3/2019, tại trường THPT Thạch Thất, Hà Nội. Nội dung các tiết dạy được soạn theo hướng tăng cường vào tổ chức các hoạt động cho HS theo hướng học sinh tích cực và làm chủ tiết học. Trong đó sử dụng phối hợp các biện pháp sư phạm và hệ thống bài tập được thiết kế theo hướng cụ thể đã được nêu ở chương 2. Xậy dựng các tình huống sư phạm thể hiện được các biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT trong dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân. Sử dụng phiếu học tập để học sinh hoạt động nhóm, tạo niềm vui, hứng thú trong học tập tạo điều kiện cho việc lĩnh hội kiến thức.

3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm Trước khi tiến hành thực nghiệm, tôi trao đổi cùng với giáo viên dạy thực nghiệm nghiên cứu và sử dụng tài liệu. Cùng trao đổi về mục đích, nội dung, kế hoạch cụ thể, cùng thống nhất mục đích, nội dung và phương pháp dạy các tiết học thực nghiệm.

Hướng dẫn giáo viên thực nghiệm sử dụng giáo án đã soạn theo nội dung của đề tài. Thực nghiệm sư phạm được tiến hành song song giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. Đối với lớp đối chứng tiến hành dạy như bình thường với giáo án giáo viên tự soạn. Trong tất cả các tiết dạy thực nghiệm và tiết dạy đối chứng có mời các GV tổ Toán - Tin trong trường đi dự giờ. - Tổ chức cho HS hai lớp thực nghiệm và đối chứng kiểm tra cùng một đề bài và cùng một GV chấm theo cùng một biểu điểm.

- So sánh, đối chiếu kết quả của 2 lớp và rút ra kết luận. Theo phân phối chương trình, tôi tiến hành dạy thực nghiệm 3 tiết đó là 2 tiết luyện tập và 1 tiết bài tập tự chọn, còn giao cho giáo viên dạy 2 tiết một số phương pháp tính tích phân từng và kiểm tra 45 phút và cụ thể thời gian như sau: Ngày dạy Nội

Lớp 12A1

Lớp 12A2

dung

(đối

(thực

chứng)

nghiệm)

Nội dung

chú

Giáo Tiết 2 ngày Tiết 2 ngày Bài: Một số phương pháp tính tích án 1.

3/3/2019

5/3/2019

phân (tiết 1).

Giáo Tiết 3 ngày Tiết 3 ngày Bài: Một số phương pháp tính tích án 2.

5/3/2019

7/3/2019

phân (tiết 2).

Giáo Tiết 2 ngày Tiết 2 ngày Luyện tập (tiết 1). án 3.

6/3/2019

9/3/2019

Giáo Tiết 3 ngày Tiết 3 ngày Luyện tập (tiết 2). án 4

10/3/2019

12/3/2019

Giáo Tiết 2 ngày Tiết 2 ngày Bài tập (tự chọn). án 5.

13/3/2019

15/3/2019

Tiết 3 ngày Tiết 3 ngày Kiểm tra 45 phút. 20/3/2019

20/3/2019

Ghi

3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm Sau quá trình tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết học dựa vào quan sát cá nhân về hoạt động dạy học ở cả 2 lớp đối chứng và thực nghiệm, dựa vào đánh giá và nhận xét của giáo viên dự giờ, dựa vào kết quả của bài kiểm tra

của học sinh, dựa vào phỏng vấn trao đổi với học sinh hai lớp, tôi thu được một số kết quả và tiến hành phân tích trên hai phương diện: đánh giá về mặt định lượng và đánh giá về mặt định lượng.

3.5.1 Phân tích định lượng a. Đề kiểm tra Sau đợt thực nghiệm sư phạm, tôi đã tổ chức cho học sinh hai lớp 12A1 và 12A2 làm một bài kiểm tra 45 phút để đánh giá kết quả.

Đề kiểm tra 45 phút Câu 1 (4 điểm): Tính tích phân sau bằng các cách khác nhau (ít nhất 2 cách). Từ đó chỉ ra cách tối ưu nhất để giải bài toán này. 1

x2 − 2 I =∫ 4 dx. 3 2 1 x + 2 x + 5x + 4 x + 4 2

Câu 2 (4 điểm): Cho tích phân I =∫

4sin x cos x dx; 2(cos 2 x + 2sin 2 x)

J =∫

sin 4 x dx. cos x + sin 4 x 4

a. Tính các tích phân trên. b. Có thể sáng tạo ra được tích phân tương tự không? Bằng cách nào?

Câu 3 (2 điểm): Một chiếc cổng của một trung tâm văn hóa có dạng là một parabol, có khoảng cách giữa hai chân của cổng là 8 mét, chiều cao từ đỉnh của vòm cửa là 8 mét (như hình vẽ). Tính diện tích tích mặt kính cần phải lắp.

Những dụng ý sư phạm mà đề kiểm tra đưa ra Câu 1. Thuộc dạng bài tập có nhiều cách giải nhằm kiểm tra khả năng nhìn một bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, khả năng tìm ra giải pháp hay, lạ tuy biết giải pháp khác. Để giải được bài toán này nhiều học sinh nghĩ tới việc phân tích mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân thành nhân tử. Sau đó sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số. Tuy nhiên, thấy rằng mặc dù có thể đi đến lời giải nhưng khá dài và phức tạp. Học sinh có tư duy sáng tạo sẽ chuyển

hướng suy nghĩ, liên tưởng và phát hiện ra: nếu chia cả tử và mẫu cho x 2 ≠ 0 và đặt t = x +

2 thì sẽ dễ dàng giải quyết bài toán này. Nếu học sinh khá hơn, x

thành thục kỹ năng hơn sẽ đưa biểu thức vào vi phân có thể thực hiện thêm được một cách giải khác nữa. Từ đó rèn luyện cho học sinh không áp dụng

máy móc, suy nghĩ không rập khuôn, biết linh hoạt và liên tưởng đến những kiến thức khác khi cách cũ không còn phù hợp với bài toán, xem xét bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau và tìm được nhiều cách giải nhằm đem lại cho

bài toán những cách giải hay, ngắn gọn và tối ưu hơn. Qua đó nhằm rèn luyện tính mềm dẻo, độc đáo và nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo. Cũng từ bài tập này kiểm tra được tính khả thi mà biện pháp 1, 2, và 3 đưa ra.

Câu 2. Không chỉ đơn thuần rèn luyện cho học sinh sử dụng nhuần nhuyễn các phép biến đổi lượng giác, còn khai thác sâu hơn bài toán này từ việc giải 2 tích phân trên bằng phương pháp đổi biến, từ việc xét sự tương tự lời giải của bài toán học sinh có thể sáng tạo ra được bài toán mới dựa vào bài toán ban đầu. Rèn luyện cho học sinh thao tác so sánh (biện pháp 1), suy nghĩ không

rập khuôn máy móc, lật ngược được vấn đề cụ thể biết lấy một hàm bất kỳ f(x) sau đó lấy đạo hàm để tìm df(x) để sáng tạo được ra một loạt các bài toán mới tương tự (biện pháp 4). Từ đó rèn luyện cho học sinh yếu tố đặc trưng đó là tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo.

Câu 3. Biết vận dụng tích phân thông qua bài toán về thể tích để giải các bài toán thực tiễn từ đó nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

Đáp án Câu 1 (4 điểm). Cách 1: Ta chia cả tử và mẫu biểu thức dưới dấu tích phân cho x 2 ≠ 0 ta có: 2 x2 I =∫ 4  1  2 x + + 2 x +  2  2 x    1

Đặt t = x +

1−

2 +5 x

dx.

2 2  ⇒ dt = 1 − 2  dx. x  x 

1  9  x = t = Đổi cận  2⇒ 2  x = 1 t = 3 Khi đó: 9 2

9 1 3 dt d (t + 1) . I =∫ 2 = −∫ = = − 2 (t + 1) 2 t + 1 44 9 t + 2t + 1 3 3 2 3

Cách 2: Đưa biểu thức vào vi phân

2  2 d x +   1 2 x  x I =∫ dx = ∫ 2 4 2  1  2 1  2 2   + 2 x +  + 5 + 2 x +  + 1 2 x + 2 x + 2   x  x   x x   1

1−

2  1 dx+  3 −1 x  =∫ 1 =− . 2 = 2 44  1  2  x + + 1 2 x + + 1   2   x  x    1

Cách 3: Phân tích mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân

x4 + 2 x3 + 5x2 + 4 x + 4 = ( x4 + 2 x3 + x2 ) + 4 ( x2 + x ) + 4 = ( x 2 + x) 2 + 4( x 2 + x) + 4 = ( x 2 + x + 2) 2 . Dùng phương pháp tách tích phân ta có phân tích: x2 − 2 x2 − 2 Ax + B Cx + D = = + 2 2 . 4 3 2 2 x + 2 x + 5x + 4 x + 4 ( x2 + x + 2) x + x + 2 ( x2 + x + 2) Sau đó sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta sẽ tìm được A, B, C, D. Tuy nhiên ta thấy rằng mặc dù vẫn có thể đi đến lời giải nhưng thực hiện theo phương pháp này khá dài và phức tạp.

Câu 2 (4 điểm). a) Tính tích phân •I =∫

4sin x cos x 2sin x cos xdx dx = ∫ cos2 x + 2sin 2 x . 2(cos 2 x + 2sin 2 x)

Đặt t = cos 2 x + 2sin 2 x ⇒ dt = 2sin x cos xdx = sin 2 xdx. Khi đó: I = ∫ •J =∫

dt = ln t + C. t

sin 4 x dx. cos x + sin 4 x 4

Đặt t = sin 4 x + cos 4 x ⇒ dt = ( −4cos3 x sin x + 4sin 3 x cos x ) dx ⇒ −dt = sin 4 xdx.

Khi đó: J = ∫

−dt = − ln t + C. t

b) Cả hai tích phân trên có đạo hàm của mẫu là tử số hay một phần của tử số. Do vậy để sáng tạo ra được các tích phân tương tự ta chỉ cần làm các bước như sau: - Lấy một hàm số bất kỳ f(x) làm mẫu. - Đạo hàm mẫu để tìm df(x). Khi đó ta được một tích phân mới. Ví dụ:

I =∫

sin 2 xcos2 x

( sin

x + cos 4 x )

2019

dx;

cos x sin 3 x J =∫ dx. 1 + sin 2 x

Câu 3 (2 điểm). Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Ta có: Gọi P1 : y = ax 2 + c là parabol đi qua hai điểm

A(4;0), B(0;8) . Do vậy ta có hệ phương trình: 1  0 = a.16 + c 1 2 a = − ⇔ 2 ⇒ ( P1 ) : y = x + 8.  2 c = 8 c = 8 4

1 128 2 S = ∫ − x2 + 8 = (m ). 2 3 4 b. Kết quả kiểm tra Biểu đồ 3.1. Đồ thị biểu diễn đường quỹ tích của bài kiểm tra

Nhìn vào đồ thị các đường lũy tích của lớp TN luôn nằm bên phải và phía dưới các đường lũy tích của lớp ĐC (Hình 1). Như vậy, có thể nói rằng chất lượng học tập của lớp TN tốt hơn lớp ĐC.

Bảng 3.1. Bảng phân bố kết quả bài kiểm tra 45 phút của học sinh Miền

Yếu

Đi ể m

0→4

L ớp Số học sinh Tỉ l ệ

Trung

Khá

Giỏi

7→8

9 → 10

bình 5→6

Tổng

ĐC

ĐC TN

ĐC

100

28.57 7.5

33.33 37.5 33,33 42,5

4,76 12.5

Biểu đồ 3.2. Đồ thị phân loại kết quả học tập của học sinh bài kiểm tra số 1

Kết quả bài kiểm tra sau tác động của lớp TN có điểm trung bình là 6,73; kết quả của bài kiểm tra sau tác động tương ứng của lớp ĐC có điểm trung bình là 5,68. Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp này của bài kiểm tra là 6,73 - 5,68 = 1,05; điều này cho thấy điểm trung bình của hai lớp ĐC và TN

đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp TN được tác động có điểm trung bình cao hơn lớp ĐC (Bảng 2). Bảng 3.2. Mô tả và so sánh dữ liệu kết quả bài kiểm tra Bài kiểm tra

Các dữ liệu Lớp Mốt Trung vị

TN 6 7

ĐC 7 6

Giá trị trung bình Độ lệch chuẩn Chênh lệch giá trị trung bình Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của

6.73 5.68 1.45 2 1.05 0.52 bài kiểm tra là 0,52. Điều này

có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là trung bình. Điều đó cũng có nghĩa là sự tăng điểm số do tác động của việc sử dụng các biện pháp sư phạm có mức độ ảnh hưởng trung bình (Bảng 3). Bảng 3.3. Mô tả kết quả kiểm định Z Z- Test: Two Sample for Means L ớp Mean Known Variance Observations Hypothesizel mean difference Z P(Z<=z) one- tail z Crititical one- tail P(Z<=z) two- tail z Crititical two- tail

Bài kiểm tra TN 6.725 2.10192 40 0 2.801108 0.002546 1.644854 0.005093 1.959964

ĐC 5.666667 3.78861 42

Câu hỏi đặt ra là có phải phương pháp dạy học ở lớp thực nghiệm tốt hơn phương pháp dạy học ở lớp đối chứng, hay chỉ do ngẫu nhiên mà có? Tôi

đề ra giả thuyết thống kê H 0 : Không có sự khác nhau giữa hai phương pháp. Và tiến hành kiểm định giả thuyết theo phương pháp kiểm định Z. Kết quả kiểm định (Bảng 3) được thực hiện bằng phần mềm Microsoft Excel và thấy rằng từ bảng 3 cho thấy Z > Z 0,05 nên bác bỏ giả thuyết H 0 . Nhu vậy có thể kết luận rằng phương pháp dạy học đưa ra ở lớp thực nghiệm tốt hơn phương pháp dạy học đưa ra ở lớp đối chứng. Dựa vào kết quả đã được phân tích ở trên ta có thể thấy rằng mặc dù mới dạy có 5 tiết học nhưng kết quả thu

được tương đối khả quan và điều này đã thể hiện mức độ hiệu quả của việc

phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chủ đề Nguyên hàm - Tích phân.

3.5.2. Phân tích định tính Sau quá trình tổ chức dạy thực nghiệm sư phạm, tôi đã theo dõi sự chuyển biến trong hoạt động học tập của học sinh, và có sự so sánh nhận thấy lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực hơn so với lớp đối chứng. - Ở lớp thực nghiệm học sinh học tập tích cực, hứng thú tham gia các hoạt động dạy học trên lớp mà giáo viên tổ chức. Sự tương tác giữa giáo viên với các thành viên trong lớp cao hơn. Chịu khó suy nghĩ tìm tòi cách giải bài tập, các em tự tin hơn trong hoạt động trao đổi, thảo luận, phát biểu ý kiến diễn ra sôi nổi, có nhiều ý kiến hay, sáng tạo hơn lớp đối chứng. - Khả năng tiếp thu kiến thức mới, khả năng tiếp nhận những bài toán mới tốt, phát hiện ra sai lầm nhanh, tích cực suy nghĩ tìm tòi được nhiều cách giải và có những cách giải hay độc đáo hơn của học sinh thực nghiệm hơn hẳn lớp đối chứng. Tích cực tiến hành các hoạt động trí tuệ để huy động kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan để giải quyết vấn đề bài toán đưa ra. Học sinh lớp thực nghiệm có khả năng tư duy sáng tạo, sáng tạo ra các bài tập tương tự từ các bài toán đã biết, sáng tạo bài toán mới, khả năng nhạy cảm linh hoạt giải quyết các bài toán thực tế tốt hơn so với lớp đối chứng. Ở lớp đối chứng mới chỉ dừng ở các kiến thức cơ bản chưa có khả năng vận dụng cao, thậm chí có nhiều em chưa đảm bảo được mảng bài tập mà giáo viên đưa ra ở lớp. - Qua quá trình dạy trên lớp và kiểm tra nhận thấy cả hai lớp học sinh

đều nắm vững kiến thức cơ bản. Tuy nhiên các lời giải ở lớp thực nghiệm mạch lạc, ngắn gọn, chính xác, lập luận chặt chẽ hơn lớp đối chứng. Đặc biệt

đối với các câu hỏi đòi tính tư duy sáng tạo thì học sinh lớp thực nghiệm là tốt hơn so với học sinh lớp đối chứng.

Kết luận chương 3 Kết quả thực nghiệm sư phạm đưa ra được đánh giá khách quan qua bài kiểm tra sau thực nghiệm sư phạm và các ý kiến đánh giá từ giáo viên chuyên môn và học sinh hai lớp thực nghiệm. Kết quả cho thấy các đề xuất đều có tính khả thi và hiệu quả cao. Khi kiểm định giả thiết cho thấy kết quả học tập

ở lớp thực nghiệm sư phạm tốt hơn lớp đối chứng một cách thực sự và có ý nghĩa thống kê cũng như ý nghĩa thực tiễn. Việc xây dựng và sử dụng các biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán Nguyên hàm - Tích phân một cách hợp lý và sáng tạo đã đem lại hiệu quả cao, có tính khả thi khi áp dụng dạy cho các em học sinh ôn thi tốt nghiệp, đại học và học sinh giỏi cấp tỉnh, quá trình này giúp các em phát huy tính sáng tạo, phát triển kỹ năng giải bài tập và khả năng ứng biến trước những bài tập mới lạ. Mỗi một biện pháp rất quen thuộc nhưng giáo viên cần có sự vận dụng hợp lý các biện pháp vào từng nội dung, từng tiết học và lớp học khác nhau. Vì vậy học sinh học tập tích cực và năng động hơn, đạt hiệu quả cao hơn. Như vậy có thể nói rằng phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học giải toán đã góp phần đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạy học bộ môn toán nói riêng. Việc dạy học giải toán chủ đề Nguyên hàm - Tích phân lớp 12 Trung học phổ thông với mục đích sư phạm đã được hoàn thành tốt và giả thuyết khoa học đã đề ra có thể chấp nhận được.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận Qua thời gian thực hiện đề tài đến khi đề tài hoàn thành, tôi thu được một số kết quả chính như sau: - Bước đầu hệ thống các cơ sở lý luận về rèn luyện tư duy sáng tạo trong giải toán. - Bước đầu xác định được các biện pháp để rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán chủ đề “Nguyên hàm Tích phân” lớp 12 trung học phổ thông. - Thiết kế được các hoạt động dạy học các tình huống điển hình trong dạy học giải toán chủ đề “ Nguyên hàm - Tích phân” theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Những kết quả đạt được về mặt lý luận và thực tiễn cho phép kết luận: Giả thuyết khoa học của luận văn là chấp nhận được, mục đích nghiên cứu của luận văn đã hoàn thành.

2. Khuyến nghị Ngoài ra, tôi cũng thu nhận được nhiều kiến thức bổ ích qua các tài liệu về các lĩnh vực liên quan đến đề tài của luận văn. Tôi mạnh dạn đưa ra một số ý kiến đề xuất sau: - Cần tăng thời gian số tiết học dành cho nội dung toán tích phân ở trường phổ thông vì đây là nội dung toán học quan trọng, gặp nhiều trong k ỳ thi Trung học phổ thông quốc gia, đồng thời nó có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống. Việc tăng thời gian cũng giúp cho giáo viên triển khai tốt hơn kế hoạch, phương pháp cũng như nội dung giảng dạy của mình. - Giáo viên cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy, cần có nhiều tìm tòi, sáng tạo trong việc nghiên cứu nội dung chương trình cũng như cần chú trọng hơn đến việc rèn luyện tư duy sáng tạo trong

giải toán cho học sinh. Giáo viên cũng cần được bồi dưỡng thường xuyên về các bài toán nâng cao để có thể dạy học tốt hơn và có thể giúp các em tự tìm tòi sáng tạo từ bài toán gốc ban đầu chứ không phải theo lối tư duy áp dụng máy móc. Do khả năng và thời gian nghiên cứu đề tài có hạn nên một số kết quả của luận văn mới dừng lại ở những kết luận ban đầu, một số vấn đề của luận văn có thể chưa được phát triển sâu hơn và có khả năng sai sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu giáo dục và các bạn đồng nghiệp có ý kiến để bổ sung tốt hơn trong đề tài.

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Bộ giáo dục đào tạo (2007), Bài tập Giải tích nâng cao 12, Nxb Giáo dục, Hà nội. [2]. Bộ giáo dục đào tạo (2007), Giải tích nâng cao 12, Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3]. Bộ giáo dục và đào tạo (2010), Phân phối chương trình môn Toán trung học phổ thông. [4]. Nguyễn Hữu Châu, Phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán trong dạy học toán, tập bài giảng dành cho học viên cao học, Đại học Giáo dục -

Đại học Quốc gia Hà Nội, 2018. [5]. Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học ở phổ thông, Nxb Giáo dục, Hà Nội. [6]. Phan Dũng (2010), Các thủ thuật (nguyên tắc) sáng tạo cơ bản, Nxb Trẻ Thành phố Hồ Chí Minh. [7]. Trần Việt Cường, Bùi Hải Linh (2015), “Vận dụng một số nguyên tắc của Altshuller nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân”, Tạp trí Giáo dục số đặc biệt tháng 5, tr 157-161. [8]. Lưu Trọng Đại, Lưu Xuân Sang (2009), Các phương pháp tính tích phân và các bài toán có nhiều cách giải, Nxb Giáo dục Việt Nam. [9]. Vũ Cao Đàm (2006), Giáo trình phương pháp luận nghiên cứu khoa học, Nxb Giáo dục. [10]. Đảng Cộng Sản Việt Nam (2016), Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XII, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội. [11]. Hội đồng Quốc gia chỉ đạo biên soạn Từ điển bách khoa Việt Nam, Từ điển Bách khoa Việt Nam, tập 4 (2005), Nxb Từ điển bách khoa. [12]. Nguyễn Bá Kim (1994), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm. [13]. G. Polia (1978), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

[14]. G. Pôlia (1977), Giải Toán như thế nào? Nxb Giáo dục, Hà Nội. [15]. Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005), Luật giáo dục 2005, Nxb Chính trị Quốc gia. [16]. Đinh Văn Quyết (2011), Phương pháp giải toán Đại số và Giải tích, Nxb

Đại học Quốc gia Hà Nội. [17]. Đoàn Quỳnh (chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục. [18]. Rubinstein (1960), Tư duy sáng tạo bắt đầu từ một tình huống gợi vấn đề. [19]. Tôn Thân (1995), Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi ở trường trung học cơ sở Việt Nam, Luận án Tiến sĩ Khoa học sư phạm – Tâm lý, Viện Khoa học giáo dục. [20]. Trần Thúc Trình (2003), Rèn luyện tư duy trong dạy học Toán, Viện Khoa học Giáo dục - Tài liệu dùng cho học viên cao học, chuyên ngành Phương pháp giảng dạy môn Toán. [21]. Nguyễn Cảnh Toàn, Phương pháp duy vật biện chứng với việc dạy học và nghiên cứu Toán học, tập 1, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [22]. Nguyễn Công Uẩn (chủ biên), Nguyễn Quang Lũy, Đinh Văn Vang (2012), Tâm lý học đại cương, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [23]. Viện ngôn ngữ học (2005), Từ điển Tiếng việt, Nxb thành phố Hồ Chí Minh. [24]. Lê Hải Yến (2008), Dạy và học cách tư duy, Nxb Đại học Sư phạm.

PHỤ LỤC Giáo án số 1: Tiết 55

§2 TÍCH PHÂN (tt)

1. Mục tiêu 1.1 Kiến thức + Biết khái niệm về diện tích hình thang cong. + Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit. + Biết các tính chất của tích phân.

1.2 Kĩ năng + Tính được tích phân của 1 số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần. + Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá 1 lần) để tính tích phân.

1.3 Thái độ + Biết đưa những KT-KN mới về KT-KN quen thuộc. + Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập.

2. Trọng tâm - Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

3. Chuẩn bị - Giáo viên: Bảng phụ. - Học sinh: học lý thuyết, làm bài tập, máy tính cầm tay. 4. Tiến trình 4.1 Ổn định tổ chức và kiểm diện: ổn định lớp, kiểm tra sĩ số, đồng phục. 4.2. Kiểm tra miệng: - Nêu định nghĩa của tích phân.

- Áp dụng tính tích phân:

∫ ( cos

− π4

− 3sin x )dx

4.3 Bài mới Nội dung bài học

1. Hoạt động của GV và HS Hoạt động 1:

III. Các phương pháp tính tích phân:

- GV: giới thiệu cách đổi biến dạng 1

2. Phương pháp đổi biến số:

* Bước 1: Đặt x = u (t ) ⇒ dx = u '(t )dt * Bước 2: đổi cận x = a ⇒ u (t ) = a ⇒ t = α x = b ⇒ u (t ) = b ⇒ t = β

* Bước 3: thay vào b

∫

a/ Đổi biến dạng 1: * Bước 1: Đặt x = u (t ) ⇒ dx = u '(t )dt * Bước 2: đổi cận x = a ⇒ u (t ) = a ⇒ t = α x = b ⇒ u (t ) = b ⇒ t = β

f ( x)dx = ∫ f [u (t )].u '(t )dt

∫

* Bước 3: thay vào

f ( x)dx = ∫ f [u (t )].u '(t )dt α

- HS: theo dõi, ghi chép.

Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới

- GV: chú ý các trường hợp đặt biến

dấu tích phân có dạng: t∈ − ;  2 2

a2 − x 2 thì đặt x = a tant

t∈  − ;   2 2

x 2 − a2 thì đặt x =

Ví dụ: Tính

∫

a sin t

1 − x 2 dx = I

 π

Đặt x = sin t với t ∈  0;  2 

Hoạt động 2: - GV: áp dụng tính tích phân

 π π

a2 − x 2 thì đặt x = a sint

⇒ dx = cos tdt







 π π

 π π

t ∈  − ;  \ {0} 2 2 



 π

- HS: x = sin t với t ∈  0;  và giải 2 



x = 0 ⇒ sin t = 0 ⇒ t = 0

Khi

x = 1 ⇒ sin t = 1 ⇒ t =

- GV: nhận xét, sửa sai. π

1 − sin 2 t cos tdt = ∫ cos 2 t cos tdt

∫ 0

= ∫ | cos t | cos tdt = ∫ cos 2 tdt = ∫

1 + cos 2t 2

1 1 2 π =  t + sin 2t  = 2 2 0 4

b/ Đổi biến dạng 2: * Bước 1: đặt t = u ( x) ⇒ dt = u '( x)dx * Bước 2: đổi cận: x = a ⇒ t = u (a ) x = b ⇒ t = u (b)

* Bước 3: thay vào

∫ a

Ví dụ: tính: Hoạt động 3:

- GV: giới thiệu cách đổi biến dạng 2

a/ ∫ e x 2 xdx = I 0

* Bước 1: đặt t = u ( x) ⇒ dt = u '( x)dx

Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx

* Bước 2: đổi cận:

Vớ i

x = a ⇒ t = u (a ) x = b ⇒ t = u (b)

x =0⇒t =0 x =1⇒ t =1 1

I = ∫ et dt = et 0 = e − 1 0

* Bước 3: thay vào

u (b )

u( )

∫ f [u ( x)]u '( x)dx = ∫α

f (t )dt

- HS: theo dõi, ghi chép. - GV: chú ý các trường hợp đặt biến

b/ ∫ x3 1 − xdx = I 0

Đặt: t = 1 − x ⇒ t 2 = 1− x

u (b )

f [u ( x)]u '( x)dx =

∫ u (α )

f (t )dt

⇒ x = 1− t 2

⇒ dx = −2tdt

Hoạt động 4:

x = 0 ⇒ t =1 x =1⇒ t = 0

Vớ i

- GV: gọi học sinh tính câu a - HS: câu a đặt t = x2 - HS: giải - GV: nhận xét, sửa sai.

2 3

∫ (1 − t )

t (−2t )dt

1 1

= 2 ∫ (1 − 3t 2 + 3t 4 − t 6 ) t 2 dt 0 1

= 2 ∫ ( t 2 − 3t 4 + 3t 6 − t 8 ) dt 0 1

 t 3 3t 5 3t 7 t 9  32 = 2 − + −  = 5 7 9  0 315 3 π

- GV: áp dụng tính tích phân - HS2: câu b: đặt t = 1 − x - HS: giải - GV: nhận xét, sửa sai.

c/ ∫ sin 3 x cos xdx = I 0

Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx x =0⇒t =0 π x = ⇒ t =1

Vớ i

1 t4 I = ∫ t dt = = 40 4 0 3

- GV: áp dụng tính tích phân - HS2: câu c: đặt t = sin x

- HS: giải - GV: nhận xét, sửa sai.

4.4 Câu hỏi, bài tập củng cố: Giáo viên nhắc lại các vấn đề về trọng tâm của bài: - Định nghĩa tích phân. - Phương pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số

4.5 Hướng dẫn học sinh tự học: - Đối với bài học ở tiết học này: Học thuộc các định nghĩa, phương pháp giải toán, xem các ví dụ. - Đối với bài học ở tiết học tiếp theo: xem tiếp phần còn lại của bài “Tích phân”

5. Rút kinh nghiệm: Giáo án số 2: Tiết 56

§2 TÍCH PHÂN (tt)

1. Mục tiêu: 1.1 Kiến thức + Biết khái niệm về diện tích hình thang cong. + Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit. + Biết các tính chất của tích phân.

1.3 Thái độ + Biết đưa những KT-KN mới về KT-KN quen thuộc. + Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập.

2. Trọng tâm - Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.

∫x 0

x dx +8

4.3 Bài mới: Nội dung bài học

2. Hoạt động của GV và HS

III. Các phương pháp tính tích phân:

Hoạt động 1:

- GV: giới thiệu phương pháp tích phân 3. Phương pháp tích phân từng phần: từng phần

∫ udv = uv a − ∫ vdu

- HS: theo dõi, ghi chép.

Lưu ý: thứ tự ưu tiên khi đặt u: lốc, đa, lũy, mũ, lượng.

- GV: chú ý các trường hợp đặt u: ưu Ví dụ: Tính các tích phân tiên theo thứ tự: lốc, đa, lũy, mũ, lượng

a/ ∫ x 2 ln xdx = I 1

1 x

Đặt u = ln x ⇒ du = dx Hoạt động 2: - GV: áp dụng tính tích phân 1 - HS: Đặt u = ln x ⇒ du = dx x dv = x 2 dx ⇒ v =

x3 3

- GV: nhận xét, sửa sai.

dv = x 2 dx ⇒ v =

x3 3

e x3 x3 1 I = = ln x − ∫ . dx 3 3 x 1 1 e

e x3 1 ln x − ∫ x 2 dx 3 31 1

 e3 1  x3 =  ln e − ln1 − 3  91 3

e3 3

 e3

1  e3 e 3 1 − = − +  9 9 3 9 9

−

b/ ∫ xe x dx = I 0

Đặt u = x ⇒ du = dx ; dv = e x dx ⇒ v = e x 1

I = xe x 0 − ∫ e x dx = e − e x 0 = e − (e − 1) = 1 0

Hoạt động 3: π

- GV: áp dụng tính tích phân - HS: Đặt u = x ⇒ du = dx

c/ ∫ ( x −1) cos xdx 0

dv = e x dx ⇒ v = e x

Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx

- GV: nhận xét, sửa sai.

dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π

I = ( x − 1)sin x 02 − ∫ sin xdx 0

Hoạt động 4: - GV: gọi học sinh tính câu a - HS: Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx

π 2

− 1 + cos x 02 =

π 2

−1 −1 =

π 2

−2

dv = cos xdx ⇒ v = sin x

- GV: nhận xét, sửa sai.

4.4 Câu hỏi, bài tập củng cố: Giáo viên nhắc lại các vấn đề về trọng tâm của bài: - Phương pháp tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.

4.5 Hướng dẫn học sinh tự học: - Đối với bài học ở tiết học này: Học thuộc các định nghĩa, phương pháp giải toán, xem các ví dụ. - Đối với bài học ở tiết học tiếp theo: làm các bài tập SGK trang 112, 113

5. Rút kinh nghiệm:

Giáo án số 3: Tiết 57, 58

LUYỆN TẬP ( Giải tích 12, ban nâng cao)

1. Mục tiêu 1.1. Kiến thức + Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit. + Biết các phương pháp tính tích phân

1.2. Kĩ năng + Tính được tích phân của 1 số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần. + Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá 1 lần) để tính tích phân.

1.3. Thái độ

+ Biết đưa những kiến thức – kỹ năng mới về kiến thức – kỹ năng quen thuộc. + Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập.

2. Trọng tâm - Tính tích phân bằng phương pháp dựa vào định nghĩa và tính chất của tích phân.

3. Chuẩn bị - Giáo viên: Bảng phụ. - Học sinh: học lý thuyết, làm bài tập, máy tính cầm tay.

4. Tiến trình 4.1. Ổn định tổ chức và kiểm diện: ổn định lớp, kiểm tra sĩ số, đồng phục. 4.2. Kiểm tra miệng - Nêu định nghĩa của tích phân. - Nêu nguyên hàm của 1 số hàm thường gặp

4.3. Bài mới Hoạt động của GV và HS

Nội dung bài học

Hoạt động 1:

Bài 1: Tính tích phân sau:

- GV: tính tích phân - HS: sử dụng phương pháp đổi biến

đặt: x =

1 . cos t

- GV: yêu cầu 1 học sinh lên bảng làm và chỉ rõ lỗi sai đối với cách

đổi biến trên Do điều kiện của bài toán là:  2;3 ∉ [ −1;1]  

∫

x 2 − 1dx.

x  dx u = x 2 − 1 du = Đặt  ⇒ x2 −1 du = dx  v = x. 

- GV: gợi mở để học sinh có hướng tính theo cách khác. - HS: sử dụng phương pháp tích

I = x x −1

u = x 2 − 1

−

∫x 2

=5 2−

phân từng phần với cách đặt u và dv là



∫ 

x2 −1 +

=5 2−

∫

dx x2 −1  dx x2 −1  1

x − 1dx −

x2 −1

Đặt 

= 5 2 − ln | x + x 2 − 1 |

- GV: yêu cầu học sinh lên bảng

du = dx

∫ 3 2

5 2 1 − ln( 2 + 1) + ln 2. 2 4

làm và sửa sai (nếu có). GV nhận xét: đối với mỗi bài toán tích phân trước tiên ta phải hiểu

định nghĩa, điều kiện cận của tích phân. Không vận dụng máy móc phương pháp tính tích phân mà không hiểu bản chất.

Hoạt động 2: - GV: yêu cầu học sinh tính tích phân trên theo 3 bước đã đưa ra ở cơ sở lý luận Bước 1: phân tích bài toán, tìm tòi lời giải của bài toán.

Bài 2: Tính tích phân sau ít nhất bằng

- HS: sử dụng công thức góc nhân

2 cách:

đôi biến đổi sin 2x = 2sin x cos x , sau đó sử dụng phương pháp đổi biến số, cụ thể đặt t = 1 + cos x . Bước 2: Trình bày lời giải của bài toán tích phân đó.

π 2

sin 2x cos x dx. 1 + cos x 0

I=∫

- HS: Trình bày lời giải lên bảng Bước 3: Khai thác và giải bài toán theo các cách khác nhau dựa trên sự phân tích bài toán theo các góc

độ khác nhau.

Cách 1:

- GV có thể hướng dẫn cho các em

Phân tích

tìm cách giải khác theo định hướng sau:

Định hướng 1: Vẫn sử dụng công thức góc nhân đôi biến đổi: sin 2x = 2sin x cos x .

Sau đó biến đổi vi phân:

sin xdx = −d(cos x) . - GV: lúc này thấy có điều gì đặc biệt - HS: nghĩ đến việc giải bài toán bằng cách viết

− cos 2 x = (1 − cos 2 x) − 1 . Và dễ dàng tìm ra cách thứ 2

- GV gợi ý tiếp

Định hướng 2 : Nhận xét, ta thấy d(cos x) = d(1 + cos x) , ta có thể đặt t = cos x

- HS : lên bảng làm cách giải thứ 3

π 2

2 sin 2x cos x sin x cos 2 x I=∫ dx = 2 ∫ dx. 1 + cos x 1 + cos x 0 0

dt = − sin xdx cos x = t − 1.

Đặt t = 1 + cos x ⇒ 

π  t = 1 x = Đổi cận:  2⇒  t = 2.  x = 0

Khi đó: 2

(t − 1) 2 1  dt = 2 ∫  t − 2 + dt t t 1 1

I = −2 ∫

 t2  = 2  − 2t + ln | t |  2  = 2ln 2 − 1.

Cách 2:

2 1

- GV có thể gợi ý HS đề xuất các bài toán tương tự: hãy sáng tạo ra bài toán tương tự như bài toán trên. - HS: Tính tích phân sau: - GV yêu cầu học sinh về nhà tự sáng tạo và tự giải một ví dụ.

π 2

2 sin 2x cos x sin x cos 2 x I=∫ dx = 2 ∫ dx 1 + cos x 1 + cos x 0 0 π 2

(1 − cos 2 x) − 1 = 2∫ d(cos x) 1 + cos x 0 π 2

1   = 2 ∫ 1 − cos x − d(cos x) 1 + cos x  0

- GV khái quát bài toán:

cos x   =  sin x − − ln |1 + cos x |  2  

Tổng quát lên khi ta tính tích phân

= 2ln 2 − 1.

a sin 2x cos x dx ta đặt: b + c.cos x α

I=∫

t = b + c cos x hoặc t = cos x .

Hoạt động 3: - GV: Tích phân đã cho có dạng gì? Hãy nêu cách tính tích phân trên

Ví dụ. Tính tích phân

- HS: suy nghĩ trả lời b

Tích phân dạng ∫ P( x )cosα xdx và a

sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần. - GV: Các em hãy tính tích phân đã cho theo hướng trên? - HS: suy nghĩ làm bài và lên bảng thực hiện GV nhận xét: cách làm trên hoàn

π 2

5sin 2x cos x dx. 2 + 3cos x 0

I=∫

π 2 0

toàn đúng, tuy nhiên sẽ rất đơn

điệu nhất là khi gặp vào các đa thức bậc cao hơn như

π 2

Bài 3: Tính tích phân I = ∫ x 2 cos xdx. 0

4 x

x sinx; x e ... vì phải lặp đi lặp lại

Giải:

tính tích phân từng phần nhiều lần.

u = x 2 du = 2 xdx ⇒ dv = cos xdx v = sinx.

- GV gợi ý: ta luôn có

Đặt 

∫ u ( x)v ( x)dx = u ( x)v( x) + C

Ta có:

Vậy để áp dụng công thức trên bằng cách thêm bớt các số hạng tương ứng để làm xuất hiện đại lượng có dạng:

I = x sinx 2 − 2∫ x sin xdx = − 2∫ x sin xdx. 4 0 0 0 2

u′( x)v( x) + u ( x )v′( x)

y = x dy = dx Đặt  ⇒ dt = sin xdx t = − cos x.

- GV: Em hãy tính tích phân đã

Khi đó:

cho theo hướng trên. - HS: lên bảng làm bài

π   π 2 π   I= − 2  − x cos x 2 + ∫ cos xdx  4 0 0   2

Hoạt động 4: Thảo luận nhóm

- GV: cho HS làm việc nhóm, mỗi bàn là một nhóm, mỗi thành viên trong nhóm tích cực suy nghĩ và tìm câu trả lời. GV yêu cầu mỗi nhóm HS hoạt động theo quy định sau: + Mỗi thành viên trong nhóm đều

− 2 ∫ cos xdx 0

π2

− 2sin x 2 = − 2. 4 4 0

Cách 2: π 2

I = ∫ x 2 cos xdx 0

π 2

= ∫  x 2 cos x + 2 x sin x − 2 x sin x + 2 − cos x − 2 − cos x  dx 0

suy nghĩ và có câu trả lời của riêng mình. Sau đó thảo luận trong nhóm

= ∫  x 2 cos x + 2 x sin x − 2sin x − 2cos x + 2cos x  dx 0

và tổng hợp ý kiến. + GV gọi một thành viên bất kỳ trong nhóm trình bày kết quả của nhóm (trong khoảng thời gian quy

π 2

∫  x

cos x + 2 x sin x + 2cos x − 2 x sin x − 2cos x dx

π 2

π2

= ( x sinx + 2 x cos x − 2sin x ) 2 = − 2. 4 0

định) + GV đánh giá câu trả lời của các nhóm + GV đưa ra kết luận vấn đề của các nhóm đã thảo luận. - HS thảo luận và trả lời các nhiệm vụ thảo luận.

Phiếu học tập: Câu 1: Em hãy nêu các cách tính tích phân hàm lượng giác mà em biết? Câu 2: Em hãy tính tích phân sau bằng các cách khác nhau π 2

4sin x dx. 3 (s inx + cos x ) 0

I=∫

Câu 3:Trong các cách giải trên, em thích cách giải nào nhất? Vì sao? Cách 1: Ta sử dụng kỹ thuật thêm bớt để trên tử xuất hiện một đại lượng giống mẫu, từ đó tách tích phân đã cho thành hai tích phân

đơn giản và dễ tính hơn. Ta có lời giải sau:

Câu 1: Các cách tính tích phân hàm lượng giác là sử dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các

nguyên hàm cơ bản, đổi biến số, tích phân từng phần, tích phân liên kết... Câu 2: Cách 2: Sử dụng phép biến đổi

Cách 1:

lượng giác kết hợp với phương

4sin x 2 2cos x − sinx . = − 2 2 (sinx + cos x) (sinx + cos x) (sinx + cos x)3

pháp đổi biến số ta có lời giải sau:

Khi đó: π

2 dx dx − 2 2 ∫ (sinx + cos x) (s inx + cos x)3 0 0

I = 2∫ π

2 cos x − sinx dx dx − 2∫ π (sinx + cos x)3 2 0 2 cos  x −  4 

= 2∫ 0

π π  dx−  2 d (s inx + cos x) 4  =∫ − 2∫ π (sinx + cos x)3  0 2cos 2 x − 0   4  π

1 π  = tan  x −  2 − 2 = 2. 4 (s inx + cos x) 2  0 0

Cách 2: π

Cách 3: Dựa vào mối liên hệ giữa cận của tích phân và các hàm số lượng giác cos, sin học sinh phát hiện ra nếu đặt t =

π 2

− x thì cận của

tích phân không thay đổi. Ta có lời giải sau:

1 2

4sin xdx . π  0 cos 3 x −   4 

2∫

Đặt t = x −

π 4

⇒ dt = dx . Khi đó:

2 2

∫π

−

 π 4sin  t +  4  dt = 3 cos t

sin t dt + cos3t

∫π

−

=−∫ −

Cách 4: Dựa vào mối quan hệ giữa số và tính chất của đạo hàm của các hàm số lượng giác, học sinh sẽ nghĩ đế vệc giải bài toán trên bằng

−

sin t + cos t dt cos3t

cos t 3

−

d (cos t ) + cos3t

∫π cos t 2

−

π =

∫π

∫π cos t dt

dạng của tử số với dạng của mẫu

1 4 4 + tan = 2. 2 π 2cos t π − − 4 4

Cách 3: Đặt t =

cách sử dụng tích phân liên kết. Do đó ta có đó, ta có cách giải bài toán trên 0

π 2

− x ⇒ dt = − dx . Khi

π  4sin  − t  2 

2 4cos tdt dt = 3 ∫ (cos t + sint)3 π  π   π  0 t c t sin − + os − 2       2   2 

như sau:

I =∫

Bài toán này có thể khiến HS liên tưởng tới một số ý tưởng khá hay

π 2

4cos xdx . (cos x + sinx)3 0

=∫

như: - Liên tưởng đến việc giải phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai

đối với sinx và cosx, căn cứ vào phương pháp giải phương trinh lượng giác nên hướng HS đên việc 3

nhân và chia mẫu thức với cos x

2 4sin xdx 4cos xdx I + I = 2I = ∫ + 3 ∫ (cos x + sinx) 0 (cos x + s inx)3 0

2 dx = 4∫ = 4 ∫0 (cos x + s inx) 2 0

π  = 2 tan  x −  2 = 4. 4  0

dx π  2cos 2  x −  4 

hay sin 3 x . Khi đó: π 2

4sin x I=∫ dx (s inx + cos x)3 0

Vậ y I = 2 Cách 4: π

π 2

t anx(tan x + 1) dx =∫ (t anx + 1)3 0

Đặt t = t anx nhưng sẽ gặp bế tắc ở cận tích phân không xác định.

4 cos x dx. 3 (s inx + cos x ) 0

Xét J = ∫

2 4cos x ⇒ I + J = 4∫ dx = 4 ∫0 (sinx + cos x) 2 0

- HS liên lưởng đến việc đặt t = tan

x để đại số hóa biểu thức 2

lượng giác. Nhưng sẽ gặp bế tắc về cận tích phân không xác định. Câu 3: Mỗi em có thể thích một cách giải khác nhau với những lý do mà các em đưa ra. GV không nên ép buộc với các em chon một cách giải mang tính chủ qua của cá nhân mình mà nên hướng dẫn, khuyến khích các em nên tự tìm ra cách giải nào hay nhất. - GV gọi lần lượt một số HS lên trình bày kết quả của nhóm mình. Sau đó cả lớp thảo luận và cho ý kiến. - GV nhận xét đánh giá và củng cố hệ thống phương pháp giải cho HS

Hoạt động 4: GV tổ chức các hoạt động

dx π  2cos 2  x −  4 

π  = 2 tan  x −  2 = 4. 4  0 π

2 cos x − sinx cos x − sinx dx dx = 4 3 ∫ (sinx + cos x) (sinx + cos x)3 0 0

J − I = 4∫

2 =− 2 = 0. (sinx + cos x)2 0

Giải hệ phương trình I + J = 4 ⇒ I = J = 2.  J − I = 0

Vậy I = 2.

- GV: Tích phân có đặc điểm gì? Hãy nêu cách giải? - HS: biểu thức dưới dấu tích phân có chứa căn bậc ai, do đó thường dùng phương pháp đổi biến số

1 2

Bài 4: Tính tích phân I = ∫ 0

bằng cách đặt t = 1 − x . - GV: hướng dẫn cho học sinh làm theo định hướng HS đã suy nghĩ và nhận xét được tình huống có vấn

đề, với hướng đổi biến như trên của học sinh quay trở lại tích phân ban đầu theo biến t và lời giải sẽ gặp bế tắc - GV gợi ý biểu thức 1 − x 2 gợi cho em liên tưởng tới công thức lượng giác nào? - HS: công thức 1 − sin 2 x = cos 2 x Từ đây học sinh đã phát hiện ra cách giải quyết bài toán. - GV: yêu cầu một HS lên bảng trình bày

Giải:

Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt.

1 1 − x2

dx.

 π

Vì t ∈ 0;  nên 1 − sin 2 t = cos t .  6 - GV: Cách đặt x = cos t có đặc

điểm? Em nêu đổi biến số theo cách nào để việc tính toán tích phân thuận lợi. - HS: phát hiện ra và trả lời - GV phát triển: yêu cầu học sinh

Do đó: 1 2

I=∫ 0

π 6

1 1− x

dx = ∫ 0

cos tdt 2

1 − sin t

π 6

π π = ∫ dt = t 6 = . 6 0 0

- HS trả lời - GV lưu ý cho HS nên chọn cận

α, β sao cho t dễ tính toán nhất: thường chọn một trong các giá

Sau khi giảng giải cho HS hiểu một cách tường minh bài toán trên tại sao lại chọn cách đặt đó mà không lựa chọn các đặt khác, từ việc quan sát biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân tổng quát. GV hướng dẫn cho HS mở rộng bài toán để sáng tạo ra một loạt bài toán mới. GV gợi mở: Hướng sáng tạo 1: Qua bài toán ở trên, xuất hiện các biểu thức lượng

Dạng tổng quát: β

I=∫ α

1 a2 − x2

cos tdt cos t 0

=∫

đưa dạng tổng quát và cách giải

a 2a 3a trị: 0, , ; ;a . 2 2 2

π 6

dx (a > 0)

Đặt x = a sin t ⇒ dx = a cos tdt.

giác sin t và cos t thay thế vị trí

a 2 − x 2 , bài toán

của biến x và

tích phân hàm số vô tỉ được chuyển thành bài toán tích phân hàm lượng giác. Do vậy ta nghĩ

đến việc thay thế các biểu thức sin t và cos t trong bài toán tích

phân hàm số lượng giác đơn giản

a 2 − x 2 để được các

bởi biến x và

bài toán tích phân mới nào? - HS trả lời Hướng sáng tạo 2: Do

f (x) = a 2 − x 2 là hàm số chẵn nên ta nghĩ đến bài toán α

f (x) ∫ a x + a dx = ∫0 f (x)dx −α

I1 = ∫ 0

1 1+ 4 − x2

dx, I 2 = ∫ 0

1 1− 4 − x2

dx.

(với a > 0, α > 0,f (x) chẵn trên [-α;α] ) đồng thời chọn một số hàm số chẵn đơn giản có chứa biểu thức

a 2 − x 2 để tạo ra các tích

phân mới: Hướng sáng tạo 3: Nếu ta thay thế biểu thức thức

a 2 − x 2 bỏi cặp biểu

a + x và

a − x ta có các

tích phân mới như sau:

J1 =

∫ −2

4 − x2 2x 4 − x 2 dx;J = 2 ∫−1 1 + 2x dx. 1 + 2x

Hướng sáng tạo 4: Từ các bài toán tích phân ở hướng 3, ta đưa ra các bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức

a + x và

a − x nhưng giải được theo

K1 = ∫ 0

1− x 1+ x dx; K 2 = ∫ dx 1+ x 1− x 0

phương pháp đặt t = a + x ( hoặc t = a − x ) để ghép vào và

được tích phân mới: Hướng sáng tạo 5: Từ các bài toán tích phân trên, ta thấy cặp biểu thức

a + x và

a − x quá quen

x + 1− x x + 1+ x H1 = ∫ dx; H 2 = ∫ dx 1+ x 1− x 0 0

thuộc nên ta tìm cách thay đổi cặp biểu thức đó, ví dụ thay t = a − x ( với a > 0) vào các tích phân ở hướng 3 ta được các tích phân mới như sau: Hướng sáng tạo 6: Từ việc quá quen thuộc với cách giải đối với bài toán tích phân có chứa biểu thức

a 2 − x 2 ở trên nên ta đưa ra

các bài toán tích phân mới có chứa biểu thức

a 2 − x 2 nhưng giải

được theo phương pháp đổi biến khác (đặt t = a 2 − x 2 ) để so sánh, như tính tích phân ở ví dụ 2.1 bằng

M1 = ∫ 1 2

x 4−x dx; M 2 = ∫ dx 4−x x 1 2

cách đặt t = 4 − x 2 . -GVgiao bài tập về nhà

Tính tích phân sau: 1

a. ∫ x 2019 sin xdx −1

b.∫

x cos x − s inx dx x2

4.4. Câu hỏi, bài tập củng cố Giáo viên nhắc lại các vấn đề về trọng tâm của bài: - Các công thức tìm nguyên hàm. - Các công thức về lượng giác: công thức nhân đôi, hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

4.5. Hướng dẫn học sinh tự học - Đối với bài học ở tiết học này: Học thuộc các định nghĩa, phương pháp giải toán, xem các ví dụ. - Đối với bài học ở tiết học tiếp theo: làm các bài tập SGK trang 112, 113 và bài tập giáo viên cho.

5. Rút kinh nghiệm - Nội dung: - Phương pháp: - Sử dụng đồ dùng, thiết bị dạy học:

Giáo án số 4: Tiết 58

TỰ CHỌN

(Bài tập về tích phân hàm số hữu tỷ) 1. Mục tiêu Sau bài học học sinh có khả năng :

1.1. Về kiến thức + Sử dụng linh hoạt các cách tính tích phân + Cách tính tích phân của các hàm phân thức hữu tỷ.

1.2. Về kỹ năng + Thành thạo cách tính tích phân đối với phân thức hữu tỷ + Biến đổi và tính được cách tích phân bất định và tích phân xác định của tích phân dạng là phân thức . + Tìm được một số cách giải trong một bài toán , từ đó có thể phát triển bài toán theo các hướng khác nhau.

1.3. Thái độ, tư duy + Tự tin vào năng lực của bản thân khi giải quyết vấn đề + Đoàn kết , hợp tác nhóm trong các hoạt động học tập theo nhóm . + Linh hoạt , độc lập và không theo lối mòn trong giải toán. 1.4. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh + Năng lực giải quyết vấn đề . + Năng lực sáng tạo. + Năng lực áp dụng thực tế,.....

2. Phương pháp giảng dạy Kết hợp linh hoạt nhiều phương pháp nhưng tập trung chủ yếu vào phương pháp dạy học giải quyết vấn đề ,phương pháp hoạt động nhóm,...

3. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh. 3.1. Chuẩn bị của giáo viên. - Kịch bản dạy học. - Phiếu học tập, phấn, máy chiếu… 3.2. Chuẩn bị của học sinh.

+Thành thạo cách giải các tích phân dạng phân thức hữu tỷ. + Ôn tập theo phiếu học tập và làm bài tập được giao. + Giấy A0, nam châm gắn bảng...

4. Tiến trình dạy học. 4.1. Ổn định tổ chức lớp (1 phút) 4.2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong quá trình giảng bài 4.3. Tiến trình bài học: Gồm 4 hoạt động Hoạt động 1 (10-15 phút) Tính tích phân sau: I=

∫ 0

x2 + 1

Yêu cầu : + Chia lớp thành 4 nhóm + Mỗi nhóm trình bày ít nhất 2 cách giải + Có thể tổng quát bài toán này lên được không ? Nêu ví dụ? Thời gian cho mỗi nhóm chuẩn bị là 5-7 phút , sau đó treo sản phẩm lên bảng cho cả lớp cùng theo dõi. Sau khi treo sản phẩm các nhóm cử đại diện lên trình bày.(mỗi nhóm khoảng 2-3 phút). Giáo viên và học sinh cùng chốt lại kiến thức của hoạt động 1(2-3 phút).

Học sinh

Giáo viên 3

Hoạt động 1: Tính tích phân sau: I =

∫ 0

x3 dx. x2 + 1

Học sinh 1 (HS1): Sử dụng phương pháp đổi biến số Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan 2 t )dt.

- Phổ biến rõ: khi mỗi nhóm trình bày xong , các thành viên khác trong nhóm có quyền bổ

sung và tự đánh

 π  x = 3 t = ⇒ Đổi cận:  3  x = 0 t = 0. π 3

giá nhóm của mình. Các nhóm

π 3

còn lại có thể đặt

câu hỏi thêm và

Khi đó: I = ∫ tan 3 tdt = ∫ tan t (tan 2 t + 1 − 1) dt 0

π 3

đánh giá nhóm

2 = ∫ tan t (tan t + 1)dt − ∫ tan tdt

= ∫ tan td (tan t ) + ∫ 0

vừa trình bày.

-Điều hành lớp, nhận xét, đánh

 d (cos t )  tan t = + ln cos t  cos t  2  2

π 3 0

3 ln 2. 2

Cách giải thể hiện theo lối tư duy thông thường

giá các hoạt

động của học sinh và định

nhưng cách giải này thể hiện tốt kỹ năng tính toán cũng

hướng khi học

như kiến thức lý thuyết chắc chắn đồng thời cách này

sinh gặp khó

vẫn đúng khi ta mở rộng đối với tích phân dạng :

khăn.

I = ∫ R (u , u 2 + a 2 ) du , u = u ( x ) đặt u = a tan t. α

HS2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần u = x du = 2 xdx   Đặt  xdx ⇒  ln( x 2 + 1) du = . v =   x2 + 1  2 

Ví dụ đặt câu hỏi : + có còn cách

1 Khi đó: I = x 2 ln( x 2 + 1) 2

= 3ln 2 −

∫ ln( x

không? + có thể sử dụng

3 0

−

∫ x ln( x

+ 1) dx

công thức …ở

đây được không?

1 2

giải nào khác

+ 1)d ( x 2 + 1).

+Khi đó cách

0 3

Tính J = ∫ ln( x 2 + 1) d ( x 2 + 1). 0

giải nào còn phù hợp ? cách giải nào không còn

phù hợp.

 d ( x 2 + 1) u = ln( x 2 + 1) = du  ⇒ x2 + 1 Đặt dv = d ( x 2 + 1)  2 v = x + 1.

1 Khi đó I = 3ln 2 − ( x 2 + 1)ln( x 2 + 1) 2  =

+ Bài toán này có thể tổng quát

−∫ 0

 d ( x 2 + 1)   

3 − ln 2. 2

hóa như thế nào? Nhận xét :Trong các giải trên thì HS 1,2 thể hiện

Cách giải thể hiện sự linh hoạt, thể hiện sự nắm chắc

được tư duy

kiến thức cơ bản và sâu hơn là tư duy ra được sở dĩ sử

thông thường và

dụng được phương pháp này là vì khi tính tích phân

mở rộng được

hàm phân thức mà ta phân tích về dạng

khi dạng của tích

I =∫

P ( x) f ( x )Q '( x ) dx = ∫ dx thì đặt: Q '( x ) Q ''( x )

u = f ( x) v  Q '( x) ⇒   dv = Q ''( x) dx  du 

trên ). Còn các

biến số. Học sinh này đã nhận xét được ta có x3 = x 2 .x và ( x 2 + 1) = 2 x từ đó định hướng được cách giải như sau Phân tích I =

∫

dx = x +1 2

∫

x 2 .x

dx. x +1

Khi đó: I=

lời giải của học sinh 3,4,5,6 theo lối tư duy sáng tạo . (đơn giản trong tình huống

 x2 = t − 1  x = 3 t = 4  Đặt t = x 2 + 1 ⇒  ⇒ dt . Đổi cận:  x = 0 = xdx  t = 1.   2 

dạng tổng quát như đã nêu ở

HS3: Kỹ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi

phân ở dưới

1 t −1 1 1 1 3 dt = ∫ (1 − )dt = (t − ln t ) 14 = − ln 2. ∫ 21 t 21 t 2 2

này nhưng khi mở rộng bài toán thì sẽ gặp khó khăn) trong

đó cách giải của HS5 là phương

HS4: Phân tích và đưa vào vi phân I=

1 2

∫

x2 = 2

x2 + 1

1 = 2

d ( x 2 + 1) =

1 2

∫

án tối ưu nhất,

( x 2 + 1) − 1 x2 + 1

1 (1 − 2 )d ( x + 1) = 2 x +1 2

∫ d (x

ngắn gọn nhất.

d ( x 2 + 1) 3

+ 1) −

∫

Vì vậy cần tư

d ( x 2 + 1) x2 + 1

duy linh hoạt , sáng tạo khi giải toán cũng như

3 = − 2ln 2. 2

xử lý các vấn đề

HS5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn

trong cuộc sống.

− ln( x + 1)

giản hơn 3

∫

x2 + 1

3 2

dx =

∫

1 2

= − ln( x 2 + 1)

x2 ( x − 2 )dx = 2 x +1 x

1 − 2

∫

d ( x 2 + 1) x2 + 1

3 − ln 2. 2

->Cách giải thể hiện sự linh hoạt ,sáng tạo, lời giải ngắn ngọn chính xác, không quá nhiều phép tính gây nhầm lẫn,đây chính là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức để tách thành toogr các tích phân là phương án giải tối ưu nhất.

HS6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) Ta có: x3 = x( x 2 + 1) − x. 3

Khi đó: I =

∫ 0

x2 2

3 0

−

1 2

∫ 0

x3 dx = x2 + 1

∫ (x − x 0

x )dx +1

d ( x 2 + 1) 3 1 = − ln( x 2 + 1) 2 x +1 2 2

Hoạt động 2 (10-15 phút)

3 0

3 − ln 2. 2

Tìm nguyên hàm sau: I = ∫

x3 x2 + 2x + 1

dx = ∫

x3 ( x + 1) 2

dx.

Yêu cầu: Học sinh làm việc cá nhân trong khoảng từ 3-5 phút . Học sinh

Giáo viên

HS1 (tư duy thông thường): Sử dụng phương pháp đổi biến

+ Còn

số

cách giải nào khác

du = dx x = u −1

Đặt u = x + 1 ⇒  Khi đó I = ∫

(u − 1)3

không ?

du = ∫ (u − 3 +

+ Ta có

3 1 − )du u u2

thể thay

u2 1 = − 3u + 3ln u + + C với u = x + 1 . 2 u

đổi cách

HS2 (tu duy thông thường): Sử dụng phương pháp tích phân

toán này

từng phần

như thế

hỏi bài

u = x du = 3 x 2dx   Đặt  . Khi đó: dx ⇒  1 = − v dv =  ( x + 1) 2 x +1   3

I =−

nào ? + Nêu ví dụ về bài

x x x x −1 +1 + 3∫ + 3∫ dx = − dx x +1 x +1 x +1 x +1 3

 x2  x 1 x =− + 3∫ ( x − 1 + )dx = − + 3  − x  + ln x + 1 + C.  x +1 x +1 x + 1  2 

HS2 (tư duy sáng tạo): Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức Phân tích: x3 = x( x 2 + 2 x + 1) − 2( x 2 + 2 x + 1) + 3( x + 1) − 1. Khi đó: I = ∫ =∫

dx x2 + 2x + 1

x( x 2 + 2 x + 1) − 2( x 2 + 2 x + 1) + 3( x + 1) − 1

x2 + 2 x + 1

toán mới

được phát triển từ bài toán trên.

 3 1  dx = ∫ x − 2 + − 2 1 x + ( 1) x +   2 x 3 = − 2 x + 3ln x + 1 + ln x 2 + 2 x + 1 + C. 2 2

HS3 (tư duy sáng tạo): Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức 3 2

Phân tích x3 = x( x 2 + 2 x + 1) − 2( x 2 + 2 x + 1) − 1 + (2 x + 2) 3 x( x 2 + 2 x + 1) − 2( x 2 + 2 x + 1) − 1 + (2 x + 2) 2 Khi đó I = ∫ dx 2 x + 2x + 1 1  3 2x + 2  dx = ∫ x − 2 − dx + ∫ 2 x +1 2 x + 2x + 1 

x2 3 − 2 x + 3ln x + 1 + ln x 2 + 2 x + 1 + C. 2 2

HS4 (tư duy sáng tạo): Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức Phân tích x3 = x( x 2 + 2 x + 1) − 2( x 2 + 2 x + 1) + 3x + 2 . Khi đó I =∫

x2 + 2 x + 1

= ∫ ( x − 2) dx + ∫

dx = ∫

x( x 2 + 2 x + 1) − 2( x 2 + 2 x + 1) + 3 x + 2

x2 + 2x + 1

3x + 2 x2 + 2 x + 1

dx =

x2 − 2 x + I1. 2

Tính I1 bằng phương pháp đồng nhất thức.

HS5 (tư duy sáng tạo): Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản I =∫

x3 2

x + 2x + 1

dx = ∫

 3 1  dx = ∫  x − 2 + − dx x + 1 ( x − 1) 2  ( x + 1)  2

x2 1 − 2 x + 3ln x + 1 + + C. 2 x +1

Từ đặc điểm trên của bài toán ta có thể đưa ra bài toán mới như sau: Bài 1: Tìm nguyên hàm I = ∫ Bài 2: Tìm nguyên hàm I = ∫

x 2 dx (1 − x)39 x3

( x − 1)10

dx.

Với hai bài toán trên ta cũng có thể có các cách giải: Sử dụng đưa vào vi phân Sủ dụng phương pháp tích phân từng phần

Nhận xét: Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I = ∫

P( x)

( x + a)n

thì đặt

t=x+a là một phương pháp hiệu quả nhất. Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng: I =∫

Tổng kết

P( x) f ( x)Q '( x) dx thì ta sử dụng phương pháp tích =∫ Q ''( x) Q′′( x)

nhận xét cần lưu ý

phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của (x+a) là n=1,2. Khi khi làm

đó ta đặt

bài tập

u = f ( x) v  Q′( x) ⇒  .  dv = Q′′( x) dx du 

tích phân dạng này.

Hoạt động 3 : (7-10 phút) Tính tích phân bất định sau: I = ∫

3 x 4 − 5 x3 + 7 x − 8 ( x + 2)50

dx.

Mục tiêu: rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác .

Yêu cầu:

+ Học sinh làm việc theo cặp (2 bạn ngồi cạnh nhau ghép thành 1 cặp) + Thời gian thực hiện 3-5 phút. + Gọi đại diện 2 bạn lên trình bày sản phầm (trình bày bằng giấy A0) Giáo viên

Học sinh I =∫

3 x 4 − 5 x3 + 7 x − 8 ( x + 2)50

(1)

dx.

Có thể tạo

HS1 (tư duy thông thường): Sử dụng phương pháp đổi

được các bài

biến

toán tương tự x = t − 2 . Khi đó : dx = dt

không?

Đặt x + 2 = t ⇒  I =∫

3x 4 − 5 x3 + 7 x − 8 ( x + 2)50

dx = ∫

3(t − 2) 4 − 5(t − 2)3 + 7(t − 2) − 8 t 50

dt.

HS2 (tư duy thông thường): Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức Phân tích: 3 x 4 − 5 x3 + 7 x − 8 = a ( x + 2) 4 + b( x + 2)3 + c( x + 2) 2 + d ( x + 2) + e...

Đồng nhất để tìm a, b, c, d, e...

HS3 (tư duy sáng tạo- tính độc đáo): Khai triển Taylor Đặt P4 ( x) = 3x 4 − 5 x3 + 7 x + 8. Áp dụng khai triển Taylor ta có: P4 ( x) = P4 ( −2) +

P4′ ( −2) P′′( −2) ( x + 2) + 4 ( x + 2) 2 1! 2!

P (4) ( −2) P4′′′( −2) ( x + 2)3 + 4 ( x + 2) 4 3! 4! ⇔ P4 ( x) = 66 − 149( x + 2) + 48( x + 2) 2 − 29( x + 2)3 + 3( x + 2) 4

⇒ ∫  66( x + 2) −50 − 149( x + 2) −49 + 48( x + 2) −47 + 3( x + 2) −46  dx  

= −

−66 49( x + 2) 49 3 45( x + 2) 45

149

48( x + 2) 48

−

47( x + 2) 47

46( x + 2) 46

+ C.

Hoạt động 4 (Bài tập có tính chất đặc thù: 3-5 phút) 2

x2 − 1 dx. 4 1 x +1

Tính tích phân sau: I = ∫

Yêu cầu: Làm việc cá nhân từ 2-4 phút. Mục tiêu: Giúp học sinh chống suy nghĩ dập khuôn, áp dụng công thức, thuật toán một cách máy móc vì đây là loại bài tập có số liệu cụ thể, có cách giải riêng do tính cá biệt của nó.

Học sinh

Giáo viên

Lời giải của HS

Từ lời giải này em có thể tạo ra

Phân tích x 4 + 1 = ( x 2 + 1)2 − 2 x 2

các bài toán có cách giải tương

= ( x 2 − 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1).

tự ? Ví dụ?

Và sử dụng đồng nhất thức x2 − 1 4

x +1

Ax + B 2

x − 2x + 1

Cx + D 2

x + 2x + 1

...

Đồng nhất tìm hệ số tìm A, B, C và D Khi giải thì học sinh này làm quá dài và rất phức tạp nên không ra kết quả. Nhận xét: Với bài này nếu không nhìn

đúng đặc điểm riêng mà cứ máy móc sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì sẽ rất nan giải mà không ra được

+Nhờ việc phát hiện đặc thù của tích phân ta thấy kỹ thuật chia thực sự hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích phân đơn giản hơn.

Lời giải tối ưu nhất:

kết quả.

Chia cả tử và mẫu cho x 2 ≠ 0 ta

được: biến đổi 1 x 2 dx I =∫ 1 2 1x + x2 2

1−

=∫

1 x2

1 2 1 (x + ) −2 x

dx.

1 x

 

Đặt u = x + ⇒ du = 1 − 5 2

Khi đó: I = ∫

u− 2 = ln 2 2 u+ 2 =

Bài học:

1 2 2

1   dx. x2 

−2 5 2 2

(5 − 2 2)(2 + 2) 6− 2

Bài học rút ra ?

Thông thường để sử dụng kỹ thuật chia + Việc giải các bài toán mang tính chất đặc thù tạo cho học thì tên tử là một đa thức bậc hai P( x) = x 2 − 1 còn mẫu là một đa thức

bậc 4: Q( x) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e Sao cho hệ số a = e = 1 - Tích phân trên đưa về dạng: 1 1  1  I = ∫ f ( x ± )  1 ∓ 2) dx đặt t = x ± x x  x 

sinh thói quen biết nghiên cứu những điều kiện cụ thể của bài toán trước khi áp dụng các thuật toán tổng quát, có tác dụng lớn trong việc rèn luyện sự suy nghĩ linh hoạt sáng tạo.

1   ⇒ dt = 1 ∓ 2  dx. x  

Bài tập tương tự Bài 3: Tính tích phân 4 2

I =∫

x +1

4 1 x +1

dx.

Bài 4: Tìm nguyên hàm I =∫

x2 − 1

( x 2 + 5 x + 1)( x 2 − 3 x + 1)

dx.

5. Củng cố (3 phút) Yêu cầu học sinh rút ra được những kinh nghiệm khi tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ nói riêng (Thông qua 4 hoạt động trên) và cách tư duy khi giải 1 bài toán tích phân nói chung. Từ đó có những bài học liên hệ khi giải quyết vấn đề trong thực tế .

6. Giáo viên giao việc về nhà cho học sinh (2 phút) Yêu cầu học sinh làm việc cá nhân: Hoàn thiện lời giải cho các bài toán từ Bài tập 1- Bài tập 4 được rút ra ở trên.