Sách giáo trình Giải tích 1 Đỗ Công Khanh (chủ biên) Hutech, 2015

Page 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP.HCM

GIẢI TÍCH 1 Biên Soạn: GS.TSKH. Đỗ Công Khanh (chủ biên) ThS. Lê Thị Hồng Ngọc ThS. Nguyễn Cao Trí

www.hutech.edu.vn

GIẢI TÍCH 1 Ấn bản 2015

MᝤC LᝤC

I

MᝤC LᝤC MᝤC LᝤC ...................................................................................................................I HĆŻáťšNG DẪN ........................................................................................................... VI BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN .................................................... 1 1.1 GIáťšI Háş N CᝌA HĂ€M Sáť? ....................................................................................... 1 1.1.1 Ä?áť‹nh nghÄŠa ..................................................................................................... 1 1.1.2 CĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘ ..................................................................... 2 1.1.3 Giáť›i hấn lim u(x)v(x), dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 1ď‚Ľ ................................................................. 3 1.2 VĂ” CĂ™NG BÉ, VĂ” CĂ™NG LáťšN VĂ€ GIáťšI Háş N ........................................................... 6 1.3 HĂ€M Sáť? LIĂŠN TᝤC ............................................................................................... 9 TĂ“M TẎT ................................................................................................................ 12 BĂ€I TẏP ................................................................................................................. 13 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM .......................................................................................... 14 BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN ........................................................... 15 2.1 CĂ C QUY TẎC TĂ?NH Ä?áş O HĂ€M............................................................................ 15 2.2 KHẢ VI, VI PHĂ‚N .............................................................................................. 17 2.2.1 Khả vi, vi phân.............................................................................................. 17 2.2.2 Vi phân cᝧa hĂ m hᝣp, tĂ­nh bẼt biáşżn cᝧa dấng vi phân (cẼp máť™t) ......................... 18 2.2.3 Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ ........................................... 19 2.2.4 Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn ..................................................................................... 19 2.3 Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N CẤP CAO ........................................................................ 21 2.3.1 Ä?ấo hĂ m cẼp cao .......................................................................................... 21 2.3.2 CĂ´ng thᝊc Leibniz .......................................................................................... 21 2.3.3 Vi phân cẼp cao ............................................................................................. 22 2.3.4 ᝨng d᝼ng vi phân tĂ­nh gần Ä‘Ăşng ..................................................................... 22 2.4 CĂ C Ä?ᝊNH LĂ? Vᝀ GIĂ TRᝊ TRUNG BĂŒNH .............................................................. 23 2.5 CĂ”NG THᝨC TAYLOR ......................................................................................... 26 2.5.1 CĂ´ng thᝊc Taylor váť›i phần dĆ° Peano ................................................................ 27 2.5.2 CĂ´ng thᝊc Maclaurin máť™t sáť‘ hĂ m sĆĄ cẼp .......................................................... 28 2.5.3 Sáť­ d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂ­nh gần Ä‘Ăşng cĂł Ä‘ĂĄnh giĂĄ sai sáť‘ ................................ 30 2.5.4 Sáť­ d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂ­nh giáť›i hấn ............................................................ 31 2.6 QUY TẎC L’HOSPITAL ....................................................................................... 31 TĂ“M TẎT ................................................................................................................ 33 BĂ€I TẏP ................................................................................................................. 34 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM .......................................................................................... 37 BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN ........................................................................ 39 3.1 DĂ™NG Ä?áş O HĂ€M KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) ...................................................... 39 3.2 KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? CHO BáťžI PHĆŻĆ NG TRĂŒNH THAM Sáť? ..................................... 42

II

MỤC LỤC

3.3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG TỌA ĐỘ CỰC ................................................... 45 3.3.1 Hệ tọa độ cực ................................................................................................45 3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng....................................................................................46 3.3.3 Đường cong trong tọa độ cực ...........................................................................47 3.3.4 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong trong tọa độ cực ............................................48 TÓM TẮT ................................................................................................................ 51 BÀI TẬP ................................................................................................................. 51 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 53 BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG ................................................................................... 54 4.1 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN, CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNIZ 54 4.1.1 Tích phân xác định .........................................................................................54 4.1.2 Các tính chất của tích phân xác định .................................................................55 4.1.3 Tích phân với cận trên thay đổi ........................................................................55 4.1.4 Công thức Newton - Leibniz - định lý cơ bản của phép tính tích phân ....................56 4.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 (KHOẢNG LẤY TÍCH PHÂN VÔ HẠN).................... 58 4.2.1 Tích phân suy rộng loại 1 ................................................................................58 4.2.2 Sử dụng công thức Newton - Leibniz .................................................................59 4.2.3 Tích phân không âm. Các định lý so sánh ..........................................................59 4.2.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................61 4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 (HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN KHÔNG BỊ CHẶN) .. 62 4.3.1 Tích phân suy rộng loại 2 ................................................................................62 4.3.2 Tích phân hàm không âm. Các định lý so sánh ...................................................63 4.3.3 Công thức Newton - Leibniz trong tích phân suy rộng .........................................64 4.3.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................64 4.3.5 Một số ví dụ ..................................................................................................64 TÓM TẮT ................................................................................................................ 67 BÀI TẬP ................................................................................................................. 67 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 68 BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................................... 70 5.1 MẶT BẬC HAI .................................................................................................... 70 5.1.1 Ellipsoid ........................................................................................................70 5.1.2 Elliptic paraboloid ...........................................................................................71 5.1.3 Hyperboloid một tầng .....................................................................................71 5.1.4 Hyperboloid hai tầng ......................................................................................72 5.1.5 Hyperbolic paraboloid .....................................................................................73 5.1.6 Mặt trụ bậc hai ..............................................................................................73 5.1.7 Mặt nón bậc hai .............................................................................................74 5.2 HÀM NHIỀU BIẾN ............................................................................................. 75 5.3 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ..................................................................................... 76 5.4 ĐẠO HÀM RIÊNG ............................................................................................... 79 5.4.1 Đạo hàm riêng ...............................................................................................79

MỤC LỤC

III

5.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao .................................................................................. 80 5.5 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG, GRADIENT ................................................................. 82 5.5.1 Đạo hàm theo hướng và gradient của hàm 𝒇(𝒙, 𝒚) .............................................. 82 5.5.2 Đạo hàm theo hướng và gradient đối với hàm 3 biến ......................................... 84 TÓM TẮT ................................................................................................................ 86 BÀI TẬP ................................................................................................................. 87 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 89 BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .................................................... 90 6.1 KHẢ VI VÀ VI PHÂN .......................................................................................... 90 6.1.1 Khả vi và vi phân .......................................................................................... 90 6.1.2 Các tính chất của vi phân ............................................................................... 93 6.1.3 Tính gần đúng .............................................................................................. 93 6.1.4 Vi phân cấp cao ............................................................................................ 94 6.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP ..................................................... 96 6.2.1 Vi phân của hàm hợp. Tính bất biến của dạng vi phân cấp một ........................... 98 6.2.2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp ................................................ 99 6.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN ..................................................... 100 6.3.1 Hàm ẩn ....................................................................................................... 100 6.3.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ............................................................ 101 6.4 CÔNG THỨC TAYLOR ....................................................................................... 105 TÓM TẮT .............................................................................................................. 108 BÀI TẬP ............................................................................................................... 110 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 112 BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................... 113 7.1 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN (CỰC TRỊ TỰ DO) ................................................... 113 7.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ................................................................................... 117 7.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT .......................................................... 125 TÓM TẮT .............................................................................................................. 130 BÀI TẬP ............................................................................................................... 132 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 134 BÀI 8: TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................................ 135 8.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP ......................................................................... 135 8.1.1 Bài toán thể tích........................................................................................... 135 8.1.2 Định nghĩa tích phân kép ............................................................................... 136 8.1.3 Tính chất ..................................................................................................... 137 8.2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................ 138 8.3 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP..................................................... 145 8.3.1 Diện tích hình phẳng..................................................................................... 145 8.3.2 Thể tích vật thể............................................................................................ 145 8.3.3 Diện tích mặt cong ....................................................................................... 145 TÓM TẮT .............................................................................................................. 147

IV

MᝤC LᝤC

BĂ€I TẏP ............................................................................................................... 148 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM ........................................................................................ 150 BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP ................................................................ 152 9.1 TĂ?CH PHĂ‚N KÉP TRONG TáťŒA Ä?áť˜ Cáť°C............................................................... 152 9.2 Ä?áť”I BIáşžN Táť”NG QUĂ T .................................................................................... 156 9.3 ᝨNG DᝤNG CĆ HáťŒC CᝌA TĂ?CH PHĂ‚N KÉP ........................................................ 157 9.3.1 Kháť‘i lưᝣng cᝧa mảnh pháşłng .......................................................................... 157 9.3.2 MĂ´-men quĂĄn tĂ­nh (mĂ´-men thᝊ hai) cᝧa mảnh pháşłng ..................................... 158 9.3.3 MĂ´-men tÄŠnh (mĂ´-men thᝊ nhẼt) cᝧa mảnh pháşłng ........................................... 158 9.3.4 Tráť?ng tâm ................................................................................................... 158 TĂ“M TẎT .............................................................................................................. 161 BĂ€I TẏP ............................................................................................................... 162 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM ........................................................................................ 164 BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N ........................................................................... 165 10.1 KHĂ I NIᝆM CĆ BẢN ...................................................................................... 165 10.1.1 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân .................................................................................. 165 10.1.2 Nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân ................................................................. 166 10.2 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 1 .................................................................... 167 10.2.1 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh cẼp máť™t ................................................................................. 167 10.2.2 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cᝧa háť? Ä‘Ć°áť?ng cong ....................................................... 169 10.3 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP Máť˜T CĂ“ BIáşžN PHĂ‚N LY ................................... 171 10.4 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N Ä?ẲNG CẤP............................................................. 172 10.5 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TOĂ€N PHẌN .......................................................... 176 10.6 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TUYáşžN TĂ?NH CẤP 1 ................................................ 178 10.6.1 PhĆ°ĆĄng phĂĄp biáşżn thiĂŞn háşąng sáť‘ (phĆ°ĆĄng phĂĄp Lagrange) ............................... 178 10.6.2 PhĆ°ĆĄng phĂĄp thᝍa sáť‘ tĂ­ch phân .................................................................... 179 10.7 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH BERNOULLI ........................................................................ 180 TĂ“M TẎT .............................................................................................................. 182 BĂ€I TẏP ............................................................................................................... 183 CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM ........................................................................................ 185 BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2 ................................................................. 186 11.1 KHĂ I NIᝆM CHUNG ....................................................................................... 186 11.2 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH GIẢM CẤP Ä?ƯᝢC ................................................................. 188 11.2.1 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa y vĂ y’ .................................................................. 188 11.2.2 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa y .......................................................................... 188 11.2.3 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa đ?’™ .......................................................................... 189 11.3 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TUYáşžN TĂ?NH CẤP 2 ................................................ 189 11.3.1 KhĂĄi niᝇm .................................................................................................. 189 11.3.2 Xây dáťąng nghiᝇm thᝊ hai khi biáşżt máť™t nghiᝇm ............................................... 195 11.3.3 PhĆ°ĆĄng phĂĄp biáşżn thiĂŞn háşąng sáť‘ (TĂŹm nghiᝇm riĂŞng cᝧa ‌ thuần nhẼt) ............. 196 11.3.4 NguyĂŞn lĂ˝ xáşżp cháť“ng nghiᝇm ....................................................................... 198

MỤC LỤC

V

11.4 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP CAO ......................................................... 199 11.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng ................................... 200 11.4.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp cao hệ số hằng .................................. 203 11.4.3 Nghiệm riêng phương trình không thuần nhất cấp hai. … bất định..................... 204 11.4.4 Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất cấp cao hệ số hằng .............. 207 TÓM TẮT .............................................................................................................. 208 BÀI TẬP ............................................................................................................... 208 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 209

VI

HƯỚNG DẪN

HƯỚNG DẪN MÔ TẢ MÔN HỌC Môn học trang bị các kiến thức về giải tích các hàm một biến, giải tích các hàm

n

hàm một biến và ứng dụng; hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục; tích phân suy rộng;

hơ

N

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến; tích phân kép, chuyển tích phân

uy

sang tọa độ cực; phương trình vi phân cấp 1, cấp 2 và phương trình vi phân tuyến

Q

tính cấp cao hệ số hằng.

Kè

m

NỘI DUNG MÔN HỌC

Bài 1. Trình bày về giới hạn và liên tục của hàm số một biến cùng với khái niệm về

Bài 2. Nhắc lại đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp. Khái niệm và cách tìm đạo hàm

/+ D

ạy

vô cùng bé.

của hàm ẩn, đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số. Trình bày các định lí

co

m

về giá trị trung bình và công thức Taylor.

Bài 3. Ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số ở dạng tường minh,

Bài 4. Tích phân suy rộng loại 1, loại 2. Một số tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ của

oo

gl

e.

dạng phương trình tham số và trong tọa độ cực.

tích phân suy rộng.

Bài 5. Khái niệm hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến. Đạo

.g

us

hàm riêng cấp một và cấp cao của hàm nhiều biến. Khái niệm đạo hàm theo hướng và gradient của hàm nhiều biến.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

đạo hàm riêng và vi phân, đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn, gradient; cực trị và

Bài 6. Tính khả vi và vi phân của hàm nhiều biến. Tìm đạo hàm riêng của hàm hợp, hàm ẩn, hàm cho bởi phương trình tham số. Công thức Taylor của hàm hai biến.

Bài 7. Tìm cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

nhiều biến và phương trình vi phân. Nội dung bao gồm: phép tính vi tích phân đối với

HƯỚNG DẪN

VII

Bài 8. Trình bày về tích phân kép, đưa về tích lặp để tích tính tích phân kép và đổi thứ tự lấy tích phân. Ứng dụng của tích phân kép.

Bài 9. Đổi biến trong tích phân kép. Đổi sang tọa độ cực và tính tích phân kép trong tọa độ cực.

Bài 10. Khái niệm chung về phương trình vi phân. Một số dạng và cách giải một số

N

cấp cao hệ số hằng.

Q

uy

KIẾN THỨC TIỀN ĐỀ

Kè

đạo hàm và tính tích phân của hàm một biến số.

m

Môn Giải tích 1 yêu cầu sinh viên có kĩ năng cơ bản tìm giới hạn của hàm số, tìm

ạy

YÊU CẦU MÔN HỌC

/+ D

Người học vận dụng được lí thuyết để tính các giới hạn và xét sự liên tục của hàm một biến; tính các đạo hàm của hàm hợp, hàm ẩn, và hàm cho bởi phương trình

m

tham số; khảo sát và vẽ đồ thị của hàm một biến trong tọa độ cực, từ phương trình

co

tham số, của các mặt bậc hai; khảo sát sự hội tụ và tính tích phân suy rộng; tìm cực

e.

trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm số 2, 3 biến số; tìm giá trị lớn nhất, giá trị

gl

nhỏ nhất của hàm số hai biến trên miền đóng, bị chặn; tích được tích phân kép, đưa

oo

về tính trên tọa độ cực trong những điều kiện cho phép; giải được phương trình vi

.g

phân cấp 1, cấp 2 và cấp cao tuyến tính hệ số hằng.

us

Sử dụng thành thạo các phương pháp diễn dịch, quy nạp trong toán học. Khuyến khích sinh viên sử dụng máy tính bỏ túi và các chương trình trên máy tính hỗ trợ việc tính toán trong môn học. Người học cần đi học đầy đủ, đọc các nội dung sẽ được học trước khi đến lớp, làm các bài tập về nhà và đảm bảo thời gian tự học ở nhà.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

Bài 11. Trình bày phương trình vi phân cấp 2 (tổng quát) và phương trình vi phân

hơ

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

dạng phương trình vi phân cấp 1 (tách biến, đẳng cấp, tuyến tính,…).

VIII

HƯỚNG DẪN

CÁCH TIẾP NHẬN NỘI DUNG MÔN HỌC Để học tốt môn này, người học cần đọc trước các nội dung chưa được học trên lớp; tham gia đều đặn và tích cực trên lớp; hiểu các khái niệm, tính chất và ví dụ tại lớp học. Sau khi học xong, cần ôn lại bài đã học và làm các bài tập, câu trắc nghiệm. Tìm

hơ

Hằng, và Ngô Thu Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm một biến và lí thuyết chuỗi,

N

NXB ĐHQG TPHCM, 2009" và "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, và Ngô Thu

uy

Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm nhiều biến, NXB ĐHQG TPHCM, 2009". Hầu

Q

hết các kết quả lí thuyết trong bài giảng này đều không có chứng minh. Sinh viên có

m

thể tìm đọc thêm cuốn sách nêu trên để tìm hiểu các chứng minh chi tiết cho những

Kè

kết quả trong bài giảng, cũng như làm thêm bài tập để rèn luyện từ nguồn bài tập và

ạy

các ví dụ đã giải sẵn trong đó.

/+ D

PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC

m

Môn học được đánh giá gồm hai thành phần.

Phần điểm quá trình chiếm 30%, hình thức và nội dung đánh giá điểm quá trình do

.g

oo

gl

e.

Phần điểm cuối khóa chiếm 70%, hình thức bài thi trắc nghiệm trong 90 phút.

us

co

giảng quyết định và công bố cho người học đầu khóa học.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

n

Tài liệu này được biên soạn dựa theo cuốn sách "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

đọc thêm các tài liệu khác liên quan đến bài học và làm thêm bài tập.

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

1

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC

Kè

m

XĂŠt tĂ­nh liĂŞn t᝼c cᝧa hĂ m sáť‘ máť™t biáşżn sáť‘ trĂŞn máť™t khoảng xĂĄc Ä‘áť‹nh.

ấy

1.1 GIáťšI Háş N CᝌA HĂ€M Sáť?

/+ D

1.1.1 Ä?áť‹nh nghÄŠa

m

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.1 (TrĂŞn ngĂ´n ngᝯ â€œď Ľ -ď ¤â€?)

co

Cho hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) váť›i miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh đ??ˇ. Ta nĂłi sáť‘ đ?‘Ž lĂ giáť›i hấn cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0

e.

(hay là khi � tiến t᝛i �0 ), nếu:

lim f ( x)  a.

oo

khi Ẽy ta viết:

gl

ď€˘ď Ľ > 0, ď€¤ď ¤ = ď ¤ (ď Ľ ): đ?‘Ľ ďƒŽ đ??ˇ, 0 < ď ź đ?‘Ľ – đ?‘Ľ0 ď ź < ď ¤ ďƒžď źđ?‘“(đ?‘Ľ) − đ?‘Žď ź < ď Ľ (1) x ď‚Ž x0

us

.g

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.2 (TrĂŞn ngĂ´n ngᝯ dĂŁy) Cho hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) váť›i miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh đ??ˇ vĂ đ?‘Ľ0 . Ta nĂłi sáť‘ đ?‘Ž lĂ giáť›i hấn cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 , náşżu

đ?‘Ľđ?‘› ďƒŽ đ??ˇ, đ?‘Ľđ?‘› ď‚š đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľđ?‘› ď‚Ž đ?‘Ľ0 ďƒž đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› ) ď‚Ž đ?‘Ž. ďƒŚ ďƒś CĂĄc khĂĄi niᝇm giáť›i hấn vĂ´ cĂšng ďƒ§ďƒ§ lim f ( x)  ď‚Ľ ďƒˇďƒˇ ďƒ¨ x ď‚Ž x0 ďƒ¸

ďƒŚ lim f ( x) ďƒś ďƒ§ ďƒˇ Ä‘ưᝣc Ä‘áť‹nh nghÄŠa nhĆ° sau: ďƒ¨ x  ďƒ¸

hoạc giáť›i hấn tấi vĂ´ cĂšng

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Q

Ä‘ạc biᝇt lĂ cĂĄc vĂ´ cĂšng bĂŠ tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng. -

hĆĄ

TĂŹm giáť›i hấn cᝧa hĂ m sáť‘ máť™t biáşżn sáť‘ dĂšng máť™t sáť‘ káťš thuáş­t biáşżn Ä‘áť•i tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng,

uy

-

N

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần tháťąc hiᝇn Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáť u sau.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

2 1. 2.

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

lim f (x)   ď‚Ľ ďƒ› E  0,

ď€¤ď ¤ = ď ¤ (E):

x ď‚Ž xo

đ?‘“(đ?‘Ľ) > đ??¸, x ďƒŽ D f, 0 < |đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 | < đ?›ż|.

lim f (x)  a ďƒ› ď€˘ď Ľ  0, ď€¤ď „  ď „(ď Ľ) : f (x)  a  ď Ľ, x ďƒŽ Df , x  ď „

x  

hĆĄ uy

1 1 , xn’ = . Khi Ẽy ta cĂł 2nď ° 2nď °  2ď °

Q

ďƒŠ Tháş­t váş­y, lẼy xn =

N

1 VĂ­ d᝼ 1.1.1. Chᝊng táť? ráşąng khĂ´ng táť“n tấi lim sin . x xď‚Ž0

Kè

Váş­y khi x ď‚Ž 0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng cĂł giáť›i hấn ďƒť.

m

f(xn) ď‚Ž 0; f(x'n) = 1 ď‚Ž 1.

ấy

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.1.1. CĂĄc khĂĄi niᝇm giáť›i hấn nĂŞu trong hai Ä‘áť‹nh nghÄŠa trĂŞn lĂ tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng.

/+ D

1.1.2 CĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘

m

Tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa giáť›i hấn trĂŞn ngĂ´n ngᝯ dĂŁy vĂ cĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa dĂŁy háť™i t᝼ ta cĂł cĂĄc

co

tính chẼt sau:

e.

1) Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł giáť›i hấn khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 thĂŹ giáť›i hấn Ä‘Ăł lĂ duy nhẼt. x ď‚Ž xo

oo

x ď‚Ž xo

gl

2) Náşżu lim f (x)  a, lim g(x)  b , thĂŹ a) lim ď ›Cf (x)ď ?  Ca

(C- háşąng sáť‘)

us

.g

x ď‚Ž xo

b) lim ď › f (x)  g(x)ď ?  a  b x ď‚Ž xo

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

ChĂş Ă˝ 1.1.3. Tᝍ Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.2, Ä‘áťƒ chᝊng táť? hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng tiáşżn táť›i đ?‘Ž khi đ?‘Ľ ď‚Ž đ?‘Ľ0 ta thĆ°áť?ng lĂ m nhĆ° sau: xây dáťąng hai dĂŁy đ?‘Ľđ?‘› vĂ đ?‘Ľđ?‘›â€˛ cĂšng tiáşżn táť›i đ?‘Ľ0 , nhĆ°ng sao cho đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› ) ď‚Ž đ?‘?, đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘›â€˛ ) ď‚Ž đ?‘? vĂ Ă­t nhẼt máť™t trong hai sáť‘ đ?‘? hoạc đ?‘? phải khĂĄc đ?‘Ž.

c) lim ď › f (x)g(x)ď ?  ab x ď‚Ž xo

f (x) a  b x  xo g(x)

d) v᝛i b  0, lim

3) Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ) trong máť™t lân cáş­n nĂ o Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 vĂ

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

TĆ°ĆĄng táťą váť›i cĂĄc trĆ°áť?ng hᝣp -ď‚Ľ.

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

3

lim g(x)  b

lim f (x)  a ;

x ď‚Ž xo

x ď‚Ž xo

khi Ä‘Ăł ta cĂł a ď‚Ł b. 4) Náşżu trong máť™t lân cáş­n nĂ o Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 ta cĂł:

lim f (x)  a  lim h(x)

x ď‚Ž xo

hĆĄ

n

x ď‚Ž xo

lim g(x)  a .

khi Ä‘Ăł ta cĂł:

uy

N

x ď‚Ž xo

Q

1.1.3 Giáť›i hấn lim u(x)v(x), dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 1ď‚Ľ

m

TrĆ°áť›c tiĂŞn, ta xĂŠt máť™t vĂ i vĂ­ d᝼. x

Kè

VĂ­ d᝼ 1.1.2. lim a x  a 0 , a  0.

ấy

x ď‚Ž x0



1 n



ď‚Ž 1 , cho nĂŞn

m

ď‚Ž 1, a



co

Mạt khåc, vÏ

1 n a

/+ D

ďƒŠ Ta chᝉ cần xĂŠt trĆ°áť?ng hᝣp a > 1. Ta cĂł: a x  a xo  a xo a x  xo  1



1

1

e.

ď€˘ď Ľ> 0,  N:  n > N ďƒž 1 – ď Ľ< a n < a n < 1 + ď Ľ

gl

1 N

ta cĂł

oo

khi Ẽy, váť›i ď ź x – đ?‘Ľ0 ď ź<

.g

1 – ď Ľ< a-1/N < a x  xo <a1/N < 1 + ď Ľ

us

ďƒž lim a x  xo = 1 ďƒž lim a x  a xo ďƒť. x ď‚Ž xo

x ď‚Ž xo

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

vĂ

VĂ­ d᝼ 1.1.3. lim ln x  ln x0 , x0  0. x ď‚Ž x0

Bấn Ä‘áť?c táťą chᝊng minh. Bây giáť?, ta chᝊng minh mᝇnh Ä‘áť sau.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

�(�) ≤ �(�) ≤ ℎ(�)

4

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

Mᝇnh Ä‘áť 1.1.2. Cho đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0 đ?‘˘(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž > 0; đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0 đ?‘Ł(đ?‘Ľ) = đ?‘?, khi Ẽy ta cĂł lim đ?‘˘(đ?‘Ľ)đ?‘Ł(đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘? .

�→�0

ďƒŠ

Theo b) vĂ cĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘ ta cĂł lim v(x) ln u(x)  b ln a

n

uy Q

ď‚Že

ďƒŚ 1 ďƒś  ďƒ§1  ďƒˇ n 1ďƒ¸ ďƒ¨

n 1

m

ďƒŚ 1 ďƒś ďƒž ďƒ§1  ďƒˇ n 1ďƒ¸ ďƒ¨

 e.

n 1 e n  2

Kè

n 1

x

N



n 1

n

ďƒŚ 1 ďƒś ; ďƒ§1  ďƒˇ  e ď€Ťď Ľ n 1ďƒ¸ ďƒ¨

/+ D

1ďƒś ďƒŚ do Ä‘Ăł  ď Ľ  0,  N :  n  N ďƒž e – ď Ľ< ďƒ§ 1  ďƒˇ nďƒ¸ ďƒ¨

ấy

1ďƒś

ďƒŚ

Ta cĂł ďƒ§ 1  ďƒˇ nďƒ¸ ďƒ¨

m

váť›i x > N +1, ta cĂł phần nguyĂŞn [x] > N, cho nĂŞn [x]

ďƒŚ x  ďƒ¨

1ďƒś

e.

co

ďƒŚ 1 ďƒś e  ď Ľ  ďƒ§1  ďƒˇ [x]  1 ďƒ¸ ďƒ¨ x

x

[x]  1

1ďƒś 1 ďƒś ďƒŚ ďƒŚ  ďƒ§1  ďƒˇ  ďƒ§1  ďƒˇ x [x] ďƒ¨ ďƒ¸ ďƒ¨ ďƒ¸

 e ď Ľ

.g

oo

ďƒ¸

gl

Váş­y lim ďƒ§ 1  ďƒˇ = e ďƒť. x

us

Dáť… thẼy, ta cĹŠng lấi cĂł:

1ďƒś ďƒŚ e = lim ďƒ§ 1  ďƒˇ xďƒ¸ x  ďƒ¨

x

= lim (1  x o

1 x) x

Bây giáť? cĂł tháťƒ xĂŠt giáť›i hấn dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 1ď‚Ľ qua cĂĄc vĂ­ d᝼ sau.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

 x

VĂ­ d᝼ 1.1.4. Chᝊng minh: lim 1  1x

hĆĄ

x ď‚Ž xo

x ď‚Ž xo

ďƒŠ

n

váş­y theo a) ta Ä‘ưᝣc lim u(x) v(x) = lim ev(x) ln u(x) = eb lna = abďƒť.

ďƒŚ x2  1 ďƒś ďƒˇ VĂ­ d᝼ 1.1.5. TĂŹm lim ďƒ§ x ď‚Žď‚Ľ ďƒ§ x2  2 ďƒˇ ďƒ¨ ďƒ¸ ďƒŚ x2  1 ďƒś ďƒŠ Ta cĂł: ďƒ§ 2 ďƒˇ ďƒ§ x  2ďƒˇ ďƒ¨ ďƒ¸

x2

x2

. 3x2 x  2 ďƒš x2  2 ďƒś 3 ďƒş

ďƒŠ ďƒŞďƒŚ 3 = ďƒŞďƒ§ 1  ďƒˇ 2 x  2ďƒ¸ ďƒŞďƒ¨ ďƒŤ

2

ďƒş ďƒş ďƒť

ď‚Ž e3

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

x ď‚Ž xo

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

5

trĆ°áť›c tiĂŞn sáť­ d᝼ng c) ta cĂł [‌] → đ?‘’, sau Ä‘Ăł sáť­ d᝼ng Mᝇnh Ä‘áť 1.1.2. ďƒť. VĂ­ d᝼ 1.1.6. 1/sin x

lim(cos x) x ď‚Ž0

ď ť

1/(cos x 1)

 lim [1  (cos x  1) ] x 0

ď ˝

cos x 1 sin x

 e0  1.

uy

TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł khĂĄi niᝇm giáť›i hấn phải: đ?‘? = limđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0+ đ?‘“(đ?‘Ľ); đ?‘? = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ). x ď‚Ž 0

x  0

Kè

x 1

m

x 1

Q

VĂ­ d᝼. lim [x]  1 ; lim [x]  0 ; lim 21 / x   ; lim 2 1/ x  0.

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.1.3. HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł giáť›i hấn tấi đ?‘Ľ0 khi vĂ chᝉ khi nĂł cĂł cĂĄc giáť›i hấn trĂĄi –

ấy

đ?‘“(đ?‘Ľ0− ), giáť›i hấn phải đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) vĂ chĂşng báşąng nhau đ?‘“(đ?‘Ľ0 ) = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) = đ?‘Ž, khi Ẽy đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0 đ?‘“(đ?‘Ľ) =

/+ D

đ?‘Ž.

m

Bấn Ä‘áť?c táťą chᝊng minh.

co

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.5. HĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™) Ä‘ưᝣc gáť?i tăng (tĆ°ĆĄng ᝊng tăng chạt) trĂŞn đ?‘¨, náşżu:

e.

∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??´; đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 ⇒ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) (tĆ°ĆĄng ᝊng đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) < đ?‘“(đ?‘Ľ2 )).

gl

TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł khĂĄi niᝇm hĂ m giảm vĂ giảm chạt. CĂĄc hĂ m tăng, hĂ m giảm Ä‘ưᝣc

oo

gáť?i chung lĂ cĂĄc hĂ m Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu. CĂĄc hĂ m tăng chạt, hĂ m giảm chạt Ä‘ưᝣc gáť?i chung lĂ

.g

cĂĄc hĂ m Ä‘ĆĄn Ä‘iᝇu chạt.

náşżu:

us

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.6. HĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™) Ä‘ưᝣc gáť?i báť‹ chạn trĂŞn (tĆ°ĆĄng ᝊng báť‹ chạn dĆ°áť›i) trĂŞn A

∃đ??ś ∈ â„?: đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ??ś (tĆ°ĆĄng ᝊng đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ đ??ś), ∀đ?‘Ľ ∈ đ??´.

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.1.4. Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng vĂ báť‹ chạn trĂŞn trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy táť“n tấi giáť›i hấn trĂĄi tấi đ?‘?: lim f ( x). xď‚Žb

TĆ°ĆĄng táťą, náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) giảm vĂ báť‹ chạn dĆ°áť›i trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ táť“n tấi giáť›i hấn phải tấi đ?‘Ž,

lim f ( x).

x a 

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

đ?‘Ž = đ?‘“(đ?‘Ľ0− ).

N

x x0 

hĆĄ

a  lim f ( x) hoạc

Khi Ẽy ta viết:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

âˆ€ď Ľ > 0 âˆƒď ¤ âˆś ∀ đ?‘Ľ ∈ đ??ˇ, 0 < đ?‘Ľ0 – đ?‘Ľ < ď ¤ â&#x;š | đ?‘“(đ?‘Ľ)– đ?‘Ž | < ď Ľ.

n

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.1.4. Cho hĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn đ??ˇ. Sáť‘ đ?‘Ž Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ giáť›i hấn trĂĄi cᝧa hĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 (hay lĂ giáť›i hấn khi đ?‘Ľ tiáşżn táť›i đ?‘Ľ0 tᝍ bĂŞn trĂĄi), náşżu:

6

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

1.2 VĂ” CĂ™NG BÉ, VĂ” CĂ™NG LáťšN VĂ€ GIáťšI Háş N Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.2.1. HĂ m sáť‘ ď Ą(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc gáť?i vĂ´ cĂšng bĂŠ (viáşżt tắt VCB) khi đ?‘Ľ ď‚Ž đ?‘Ľ0 náşżu lim ď Ą ( x)  0 (áť&#x; Ä‘ây đ?‘Ľ0 cĂł tháťƒ lĂ ď‚ą ď‚Ľ ). xď‚Ž 0

Cåc tính chẼt cᝧa VCB

N

đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 .

đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 , ď ˘(đ?‘Ľ) báť‹ chạn trong lân cáş­n nĂ o Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 . Khi Ẽy

uy

b) ď Ą(đ?‘Ľ) lĂ VCB khi

Q

ď Ą(đ?‘Ľ) ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 .

m

c) lim  a ďƒ› f ( x)  a  ď Ą( x).

Kè

xď‚Ž xo

1 1 - VCB, khi x ď‚Ž 0, vĂŹ x - VCB vĂ sin báť‹ chạn. x x

/+ D

VĂ­ d᝼ 1.2.1. ď Ą(x) = xsin

ấy

trong Ä‘Ăł ď Ą(đ?‘Ľ)lĂ VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 .

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.2.2. Cho ď Ą(x), ď ˘(x) - VCB khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 . ChĂşng Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ nhᝯng VCB so ď Ą(x)  c (c cĂł tháťƒ ď‚ąď‚Ľ). Khi Ä‘Ăł, náşżu x ď‚Ž xo ď ˘(x)

co

m

sĂĄnh Ä‘ưᝣc náşżu táť“n tấi giáť›i hấn: lim

e.

a) c ď‚š 0, c ď‚šď‚Ľ thĂŹ ta nĂłi ď Ą(x), ď ˘(x) lĂ nhᝯng VCB cĂšng cẼp.

gl

b) c = 0, ta nĂłi ď Ą(x) lĂ VCB cẼp cao hĆĄn ď ˘(x), vĂ kĂ˝ hiᝇu:

oo

ď Ą(x) = 0 (ď ˘(x)) (khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 ) (Ä‘áť?c lĂ O - micro cᝧa ď ˘(x))

.g

c) Táť“n tấi r > 0 sao cho ď Ą(x) cĂšng cẼp váť›i [ď ˘(x)]r thĂŹ ta nĂłi ď Ą(x) lĂ VCB cẼp r Ä‘áť‘i

us

váť›i VCB ď ˘(x). VĂ­ d᝼ 1.2.2. a) lim

xď‚Ž0

1  cos x x

2



1 , nhĆ° váş­y 1 − đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ vĂ đ?‘Ľ 2 lĂ nhᝯng VCB cĂšng cẼp, hĆĄn nᝯa ta cĂł 2

1 – đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ = 0(đ?‘Ľ), đ?‘Ľ ď‚Ž 0. b)

1

ďƒŚ1ďƒś  0 ďƒ§ ďƒˇ , x ď‚Ž ď‚Ľ. ďƒ¨xďƒ¸ x 2

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ

a) Náşżu ď Ą(đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ nhᝯng VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 thĂŹ ď Ą(đ?‘Ľ) ď‚ą ď ˘(đ?‘Ľ), ď Ą(đ?‘Ľ) ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ nhᝯng VCB khi

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

Tᝍ cĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘ ta cĂł:

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

c)

lim x3 / 2 ( x3  2 

x 

x3 / 2 .4

x3  2) = lim

x 

3

3

x 2 x 2

 lim

x 

4 1

2 x3

 1  23

7 2

x

NhĆ° váş­y, cĂĄc VCB ď Ą(x)  x3  2  x3  2 vĂ ď ˘(x)  x3/ 2 cĂšng cẼp. Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.2.3. Cho ď Ą(đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ cĂĄc VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 . ChĂşng Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ nhᝯng VCB

ď Ą( x )  1. xď‚Ž xo ď ˘( x)

Q

a) ď Ą(đ?‘Ľ) ď žď ˘ (đ?‘Ľ) ďƒ›ď Ą (đ?‘Ľ) – ď ˘ (đ?‘Ľ) = 0(ď Ą(đ?‘Ľ)) ďƒ›ď Ą (đ?‘Ľ) – ď ˘ (đ?‘Ľ) = 0(ď ˘(đ?‘Ľ)).

m

b) ď Ą(đ?‘Ľ) ď žď Ą(đ?‘Ľ).

Kè

c) ď Ą1(x) ď žď ˘1(x), ď Ą2(x) ď žď ˘2(x) ďƒžď Ą1(x) ď Ą2(x) ď žď ˘1(x) ď ˘2(x)

ấy

d) ď Ą(đ?‘Ľ) ď žď ˘(đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) ď žď §(đ?‘Ľ) ďƒžď Ą(đ?‘Ľ) ď žď §(đ?‘Ľ)

/+ D

e) Cho ď Ą(đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) lĂ nhᝯng VCB khĂĄc cẼp. Khi Ẽy

m

ď Ą(đ?‘Ľ) + ď ˘(đ?‘Ľ) tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng váť›i VCB cẼp thẼp hĆĄn.

e.

co

f) ď Ą(đ?‘Ľ) ď žď Ą1 (đ?‘Ľ), ď ˘(đ?‘Ľ) ď žď ˘1 (đ?‘Ľ). Khi Ẽy:

ď Ą( x) ď Ą ( x)  lim 1 . xď‚Ž xo ď ˘( x) xď‚Ž xo ď ˘1 ( x) lim

gl

g) (Quy tắc ngắt báť? VCB cẼp cao) Náşżu cĂĄc VCB ď Ą(x) vĂ ď ˘(x) lĂ táť•ng cᝧa cĂĄc VCB ď Ą (x) báşąng giáť›i hấn cᝧa tᝡ sáť‘ hai VCB cẼp thẼp cᝧa táť­ ď ˘(x)

.g

và mẍu.

oo

khĂĄc cẼp thĂŹ giáť›i hấn cᝧa tᝡ sáť‘

us

Ta cĂł máť™t vĂ i VCB tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng Ä‘ĂĄng nháť› sau Ä‘ây (khi đ?‘Ľ ď‚Ž 0): sin đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ, tan đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ.

(1)

arcsin đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ, ln(1 + đ?‘Ľ) ď ž đ?‘Ľ, đ?‘’ đ?‘Ľ – 1 ď ž đ?‘Ľ.

(2)

n 1 x

1 ~

1 x. n

VĂ­ d᝼ 1.2.3. TĂ­nh I  lim

xď‚Ž0

(3)

sin





x  2  2  x2  3tg 2 x sin x3  2 x

.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n uy

N

Ta cĂł cĂĄc tĂ­nh chẼt sau cᝧa VCB tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng (khi đ?’™ ď‚Ž đ?’™đ?&#x;Ž ):

hĆĄ

Khi Ä‘Ăł ta viáşżt ď Ą(đ?‘Ľ)ď žď ˘(đ?‘Ľ)(đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 ).

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng náşżu lim

8

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

Ta cĂł sin





x2 2 ~

x2 2 ~

x 2 2

;

đ?‘Ľ 2 3đ?‘Ąđ?‘”3 đ?‘Ľ = đ?‘‚(đ?‘Ľ); đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ + đ?‘‚(đ?‘Ľ). x

x

 0( x)

uy

N

đ?‘™đ?‘›(1 – 2đ?‘Ľ sin2 đ?‘Ľ)ď ž − 2đ?‘Ľđ?‘ đ?‘–đ?‘›2 đ?‘Ľ ď ž − 2đ?‘Ľ 3 ;

Q

đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ 2 đ?‘Ąđ?‘”đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ 2 đ?‘Ąđ?‘”đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ 3 .

m

Do Ä‘Ăł, đ??ź = −2.

xď‚Ž x0

1 lĂ VCB. f (x)

/+ D

RĂľ rĂ ng váť›i đ?‘“(đ?‘Ľ) ≠0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) lĂ VCL ďƒ›

ấy

Kè

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.2.4 (vĂ´ cĂšng láť›n). HĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ vĂ´ cĂšng láť›n (viáşżt tắt VCL) khi đ?‘Ľ ď‚Ž đ?‘Ľ0 náşżu lim f ( x)  .

m

TĆ°ĆĄng táťą nhĆ° VCB ta cĹŠng cĂł tháťƒ phân loấi cĂĄc VCL. f (x)  C. x ď‚Ž xo g(x)

e.

co

Cho �(�), �(�) là cåc VCL khi �  �0 và  lim

gl

a) Náşżu C ď‚š 0, C ď‚šď‚Ľ ta nĂłi đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) lĂ cĂĄc VCL cĂšng cẼp.

oo

b) C =1, ta nĂłi chĂşng lĂ cĂĄc VCL tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng.

.g

f (x) - VCL ta nĂłi đ?’‡(đ?’™) -VCL cẼp cao hĆĄn đ?‘”(đ?‘Ľ). g(x)

us

c) Náşżu

d) Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) - cĂĄc VCL khĂĄc cẼp, thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ) tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng VCL cẼp cao

hĆĄn.

e) Giáť›i hấn cᝧa

f (x) cĂł tháťƒ Ä‘ưᝣc thay báşąng giáť›i hấn cĂĄc VCL tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng. g(x) n

n

VĂ­ d᝼ 1.2.5. Ta cĂł a0  a1 x  ...  an x ~ an x , x ď‚Ž 

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n hĆĄ

ln(1  2 x sin 2 x) . VĂ­ d᝼ 1.2.4. TĂ­nh I  lim xď‚Ž x0 sin x 2tgx

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

1  lim 2 2  NhĆ° váş­y, I  lim 2 2 ďƒť. x ď‚Ž xo 2 x  0( x) x ď‚Ž0 2 x 4 2

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

a0  a1 x  ...an xn

cho nĂŞn lim

x

 lim

b0  b1 x  ...bm xm

x

an xn

bm xm

9

.

1 ln x  lim ln x x  0. x x x

Ví d᝼ 1.2.6. lim

n  1  1.

ln x  0. x  x



hĆĄ

N

ď‚Ž 1.

Q

 1.

Tᝍ Ä‘ây ta cĂł lim



VĂ­ d᝼ 1.2.7. lim x  ln x  .

/+ D

x 

ď‚Ł [ x]

1 |  1) x|

m

x 

 ([ x]

1  1) x

Kè

NhĆ° váş­y, lim

1 xx

1 xx

m

Theo VĂ­ d᝼ 1.2.6 thĂŹ đ?‘Ľ lĂ VCL cẼp cao hĆĄn đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ, cho nĂŞn: đ?‘Ľ − đ?‘™đ?‘›đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ.

co

1.3 HĂ€M Sáť? LIĂŠN TᝤC

e.

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.3.1. HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 náşżu nĂł xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi Ä‘iáťƒm Ẽy vĂ lim f ( x)  f ( x0 ).

gl

xď‚Ž x0

oo

HĂ m sáť‘ Ä‘ưᝣc xem lĂ liĂŞn t᝼c tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm xĂĄc Ä‘áť‹nh cĂ´ láş­p.

us

.g

Tᝍ cĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa giáť›i hấn hĂ m sáť‘ ta cĂł Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.1. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 . Khi Ẽy cĂĄc hĂ m sáť‘ đ??śđ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘“(đ?‘Ľ) + đ?‘”(đ?‘Ľ), đ?‘“(đ?‘Ľ). đ?‘”(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 . NgoĂ i ra náşżu đ?‘”(đ?‘Ľ0 ) ≠0 thĂŹ hĂ m sáť‘

đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘”(đ?‘Ľ)

cĹŠng liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 .

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.2. Náşżu đ?’‡(đ?’™) liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 vĂ đ?‘“(đ?‘Ľ0 ) > 0, khi Ẽy sáş˝ cĂł máť™t ď ¤ - lân cáş­n cᝧa đ?‘Ľ0 , sao cho váť›i máť?i x thuáť™c lân cáş­n Ẽy (vĂ thuáť™c miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ)) ta cĂł đ?‘“(đ?‘Ľ) > 0.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

uy

Mạt khĂĄc, váť›i đ?‘Ľ > 1 ta cĂł 1 

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n 

n  1 , tᝍ Ä‘ây dáť… nhĂŹn thẼy

n

n

ấy

Ta cĂł lim

10

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.3 (tĂ­nh liĂŞn t᝼c cᝧa hĂ m hᝣp). Cho đ?’‡(đ?’™) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn A, f(A) ďƒŒ B, g(y) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn B. Náşżu đ?’‡(đ?’™) liĂŞn t᝼c tấi đ?’™đ?&#x;Ž ∈ đ?‘¨, đ?’ˆ(đ?’š) liĂŞn t᝼c tấi đ?’šđ?&#x;Ž = đ?’‡(đ?’™đ?&#x;Ž ), thĂŹ hĂ m hᝣp đ?’ˆ(đ?’‡(đ?’™)) liĂŞn t᝼c tấi đ?’™đ?&#x;Ž . Tᝍ cĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn ta cĂł

hĆĄ

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.3.2. HĂ m đ?’‡(đ?’™) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ liĂŞn t᝼c trĂĄi tấi đ?’™đ?&#x;Ž náşżu nĂł xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi đ?’™đ?&#x;Ž vĂ

N

lim f ( x)  f ( xo ) (tᝊc lĂ f ( x0 )  f ( xo )) .

uy

x xo 

Q

TĆ°ĆĄng táťą ta cĂł khĂĄi niᝇm liĂŞn t᝼c phải.

m

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.5. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 khi vĂ chᝉ khi nĂł liĂŞn t᝼c trĂĄi vĂ liĂŞn t᝼c phải

Kè

tấi Ä‘iáťƒm Ẽy.

lim ďƒŠďƒŤ x ďƒšďƒť  k ; 

lim ďƒŠďƒŤ x ďƒšďƒť  k  1. 

xď‚Ž k

/+ D

xď‚Ž k

ấy

VĂ­ d᝼ 1.3.1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) = [đ?‘Ľ] liĂŞn t᝼c phải tấi đ?‘˜ ∈ ℤ nhĆ°ng khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi Ä‘Ăł.

m

Ví d᝼ 1.3.3. Hà m Dirichlet

co

1, đ?‘Ľ ∈ â„š đ?œ’(đ?‘Ľ) = { khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ ∈ â„?. 0, đ?‘Ľ ∈ â„?\â„š

e.

Cho đ?‘Ľ0 ∈ â„š, theo tĂ­nh chẼt cᝧa sáť‘ tháťąc, táť“n tấi dĂŁy sáť‘ vĂ´ tᝡ đ?‘Ľđ?‘› háť™i t᝼ Ä‘áşżn đ?‘Ľ0 . Khi Ẽy,

oo

gl

�(�� ) = 0  0 ≠�(�0 ) = 1.

.g

Váş­y đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 . TĆ°ĆĄng táťą đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm vĂ´ tᝡ.

us

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.3.4. Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 thĂŹ Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ). a) Náşżu táť“n tấi cĂĄc giáť›i hấn hᝯu hấn

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

Ä‘iáťƒm xĂĄc Ä‘áť‹nh cᝧa nĂł.

f(xo-) = lim f (x) x  xo 

;

f(xo+) =

lim f (x)

x  xo 

nhĆ°ng ba sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ0 ), đ?‘“(đ?‘Ľ0− ), đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) khĂ´ng Ä‘áť“ng tháť?i báşąng nhau thĂŹ Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn. Khi Ẽy ta gáť?i đ?‘Ľ0 lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi 1. CĂĄc Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi 1 cĂł tháťƒ Ä‘ưᝣc phân ra hai loấi: -

Ä?iáťƒm kháť­ Ä‘ưᝣc náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ0− ) = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) ≠đ?‘“(đ?‘Ľ0 ).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.4 (tĂ­nh liĂŞn t᝼c cᝧa cĂĄc hĂ m sĆĄ cẼp). HĂ m sáť‘ sĆĄ cẼp liĂŞn t᝼c tấi cĂĄc

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

-

11

Ä?iáťƒm nhảy, náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ0− ) ≠đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ). Khi Ẽy hiᝇu sáť‘: â„Ž = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) − đ?‘“(đ?‘Ľ0− ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ bĆ°áť›c nhảy cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 . b) Ä?iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn khĂ´ng thuáť™c loấi 1 Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi 2. NhĆ° váş­y

tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi 2 khĂ´ng táť“n tấi Ă­t nhẼt máť™t giáť›i hấn (hᝯu hấn) máť™t phĂ­a.

uy

N

hĆĄ

1 1  VĂ­ d᝼ 1.3.6. Khảo sĂĄt hĂ m sáť‘ y  x x  1 . 1 1  x 1 x

x 1

x ď‚Ž1

/+ D

x ď‚Ž0

x 1 0 x 1 x  1

lim y(x)  lim

ấy

x 1  1 ; x 0 x  1

lim y(x)  lim

Kè

x 1

x 1  . x1

m

lim y( x)  lim

Q

HĂ m sáť‘ khĂ´ng xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi đ?‘Ľ = −1, 0, +1. Ta cĂł

Váş­y đ?‘Ľ = −1 lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi hai. CĂĄc Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ = 0 vĂ đ?‘Ľ = 1 lĂ cĂĄc Ä‘iáťƒm giĂĄn

m

Ä‘oấn kháť­ Ä‘ưᝣc.

co

Ä?áť‹nh nghÄŠa 1.3.7. HĂ m sáť‘ Ä‘ưᝣc gáť?i liĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] náşżu nĂł liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm cᝧa khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ liĂŞn t᝼c phải tấi đ?‘Ž, liĂŞn t᝼c trĂĄi tấi đ?‘?.

gl

e.

HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t Ä‘oấn cĂł cĂĄc tĂ­nh chẼt sau.

oo

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.6. HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t Ä‘oấn thĂŹ báť‹ chạn trĂŞn Ä‘oấn Ä‘Ăł.

.g

Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa lĂ âˆƒđ??´, đ??ľ: đ??´ ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ??ľ, ∀đ?‘Ľ ďƒŽ [đ?‘Ž, đ?‘?].

us

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.7. HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t Ä‘oấn thĂŹ Ä‘ất cĂĄc giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ nháť? nhẼt trĂŞn Ä‘oấn Ẽy.

Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa lĂ táť“n tấi cĂĄc sáť‘ x1, x2ďƒŽ [đ?‘Ž, đ?‘?] sao cho đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ2 ), ∀ đ?‘Ľ ∃ [đ?‘Ž, đ?‘?]. GiĂĄ tráť‹ đ?‘š = đ?‘“(đ?‘Ľ1 ), đ?‘€ = đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ cĂĄc giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt vĂ láť›n nhẼt tĆ°ĆĄng ᝊng.

Ä?áť‹nh lĂ˝ 1.3.8. HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ Ä‘ất tẼt cả cĂĄc giĂĄ tráť‹ trung gian giᝯa đ?‘“(đ?‘Ž) vĂ đ?‘“(đ?‘?).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

cĂł đ?’™ = đ?&#x;? lĂ Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn kháť­ Ä‘ưᝣc.

n

x2  4 x2

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

VĂ­ d᝼ 1.3.5. đ?’‡(đ?’™) =

12

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

TĂ“M TẎT Trong bĂ i háť?c nĂ y háť?c viĂŞn, trĆ°áť›c háşżt, Ă´n lấi viᝇc tĂ­nh giáť›i hấn cᝧa hĂ m máť™t biáşżn. Sau lĂ m quen váť›i khĂĄi niᝇm vĂ´ cĂšng bĂŠ, dĂšng nĂł Ä‘áťƒ tĂ­nh giáť›i hấn. VĂ xĂŠt tĂ­nh liĂŞn t᝼c cᝧa máť™t biáşżn sáť‘.

uy

x ď‚Ž xo

hĆĄ

TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł giáť›i hấn phải: b  lim  f ( x) hay đ?‘? = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ).

N

ď€˘ď Ľ > 0 ď€¤ď ¤ âˆś đ?‘ĽďƒŽđ??ˇ, 0 < đ?‘Ľ0 – đ?‘Ľ < ď ¤ďƒžď źđ?‘“(đ?‘Ľ) – đ?‘Žď ź < ď Ľ.

Q

HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł giáť›i hấn tấi đ?‘Ľ0 khi vĂ chᝉ khi nĂł cĂł cĂĄc giáť›i hấn trĂĄi đ?‘“(đ?‘Ľ0− ), giáť›i hấn

m

phải đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) vĂ chĂşng báşąng nhau đ?‘“(đ?‘Ľ0− ) = đ?‘“(đ?‘Ľ0+ ) = đ?‘Ž, khi Ẽy lim f ( x)  a.

Kè

xď‚Žx0

ấy

2. HĂ m sáť‘ ď Ą(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc gáť?i vĂ´ cĂšng bĂŠ (viáşżt tắt VCB) khi đ?‘Ľď‚Žđ?‘Ľ0 náşżu lim ď Ą ( x)  0 (áť&#x; Ä‘ây đ?‘Ľ0 xď‚Ž 0

/+ D

cĂł tháťƒ lĂ ď‚ą ď‚Ľ ). Cần lĆ°u Ă˝ cĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa VCB Ä‘áťƒ ĂĄp d᝼ng tĂ­nh giáť›i hấn. Cho ď Ą(x), ď ˘(x) lĂ cĂĄc VCB khi đ?‘Ľ ď‚Žđ?‘Ľ0 . ChĂşng Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ nhᝯng VCB tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng

ď Ą( x)  1. xď‚Ž xo ď ˘( x )

co

m

náşżu: lim

e.

3. HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 náşżu nĂł xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi Ä‘iáťƒm Ẽy vĂ đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0 đ?‘“(đ?‘Ľ) =

us

.g

oo

gl

đ?‘“(đ?‘Ľ0 ).

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

x x0 

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

1. Sáť‘ đ?‘Ž Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ giáť›i hấn trĂĄi cᝧa hĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi Ä‘iáťƒmđ?‘Ľ0 , viáşżt a  lim f ( x) , náşżu:

13

BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

BÀI TẬP Bài 1. Tính giới hạn của hàm số sau. f)

x 1 . x1 n x  1

1  g) lim   cot gx  .

  lim  x  x  x  x  . x  

h)

1 lim x sin . x x

i)

lim

j)

2

x .  1  x 

e) lim

 cos x

.

n

3 cos x

x2

hơ

x0

3x4

N

uy

.

.

1

Q

n) lim  cos x  x 2 .

b) lim x

x0

1

 1  tgx  sin x o) lim  .  x0  1  sin x 

1  cos x . sin x

e.

co

m

1 x 2 1.

lim

.

 x2

/+ D

Bài 2. Tính các giới hạn một phía sau.

x 1

x

x2

m) lim   x  x  3 

1  sin x  1  sin x . x x0 lim

x 0 5 1  5 x

a) lim

1  cos x

x 0

l)

m

1  x n1

x1

 sin x

2

ln cos x

x0

Kè

d)

x0

1  x  1  3 x ...1  n x  . lim

k) lim

ạy

c)

m

ln 1  2 x  2

.

us

.g

x0

sin 2 3x

oo

a) lim

gl

Bài 3. Dùng vô cùng bé tương đương, tính các giới hạn sau b) lim

x0

ln  cos x 

ln 1  x 2

.

Bài 4. So sánh các vô cùng bé sau (khi x0), các vô cùng bé nào là tương đương?

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

b) lim

sin 5 x . x0 tg 8 x lim

a)   x   1  cos3 x,   x   x sin x. b)   x   sin x  tgx,   x   1  cos x. c)   x   x sin 2 x,   x   x2 sin x.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1  2x  3 . x 4 x 2

a) lim

14

BĂ€I 1: GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC CᝌA HĂ€M Máť˜T BIáşžN

Bà i 5. XÊt tính liên t᝼c cᝧa cåc hà m sau.

n hĆĄ

 

ấy

Kè

CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM

m

Q

uy

N

ďƒŹ x ln x 2 , x ď‚š 0 ďƒŻ c) f ( x)  ďƒ­ ďƒŻ a, x  0. ďƒŽ

m

/+ D

ďƒŹ e2 x  2  1 ďƒŻ ,ď€ x ď‚š 1 Câu 1. XĂĄc Ä‘áť‹nh a Ä‘áťƒ hĂ m sáť‘ y  f ( x)  ďƒ­ 1  x liĂŞn t᝼c trĂŞn â„?. ďƒŻ a  1, x 1 ďƒŽ B. 2.

Câu 2. TĂ­nh giáť›i hấn

L  lim

e.

gl

1 . 2

1 L . 4

oo

L

B.

us

ďƒŹ sin 5 x ďƒŻ Câu 3. Cho hĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™) = ďƒ­ e3 x  1 ďƒŻ ďƒŽm B. m =

A. m = 1; Câu 4. Tính A. 0.

lim�→0

D. -2.

2(1  cos x ) . x0 x2

.g

A.

C. 1.

co

A. -1.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

1 ďƒŹ 2 ďƒŻ x sin x , x ď‚š 0 b) f ( x)  ďƒ­ ďƒŻ x  0. ďƒŽ 0,

5 ; 3

C.

khi x ď‚š 0

L  1.

D. L 

. Ä?iáť u kiᝇn Ä‘áťƒ hĂ m sáť‘ liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ = 0 lĂ

khi x= 0 C. m =

3 ; 5

D. m = 0 .

2đ?‘Ľâˆ’sin 2đ?‘Ľ . đ?‘Ľâˆ’sin đ?‘Ľ

B. 8.

1 . 4

C. 4.

D. 2.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

ďƒŹ sin x , xď‚š0 ďƒŻ a) f ( x)  ďƒ­ x ďƒŻ x  0. ďƒŽ 1,

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

15

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N

Q

ᝨng d᝼ng vi phân tĂ­nh gần Ä‘Ăşng.

TĂ­nh Ä‘ấo hĂ m cᝧa hĂ m cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘, Ä‘ấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn.

-

Viáşżt cĂ´ng thᝊc Taylor cho máť™t hĂ m sáť‘ máť™t biáşżn sáť‘ trong lân cáş­n cᝧa máť™t Ä‘iáťƒm.

Kè

m

-

ᝨng d᝼ng cᝧa Ä‘ấo hĂ m trong viᝇc kháť­ dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh, tĂŹm giáť›i hấn hĂ m sáť‘.

/+ D

-

ấy

ᝨng d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂ­nh giáť›i hấn hĂ m sáť‘.

co

m

2.1 CĂ C QUY TẎC TĂ?NH Ä?áş O HĂ€M

ď „y f  xo  ď „x   f  xo   ď „x ď „x

oo

gl

e.

Ä?áť‹nh nghÄŠa 2.1.1. Cho hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong lân cáş­n cᝧa Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 . Giáť›i hấn (náşżu cĂł) cᝧa tᝉ sáť‘:

us

�′(�0 ).

.g

khi ď „x ď‚Ž 0, Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘ấo hĂ m cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 vĂ Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu đ?‘“′(đ?‘Ľ0 ) hay

Ta cĂł cĂĄc tĂ­nh chẼt sau cᝧa Ä‘ấo hĂ m. TĂ­nh chẼt 2.1.1 1) Ä?ấo hĂ m cᝧa táť•ng, tĂ­ch, thĆ°ĆĄng:

u  v

,

,  u  v, ;

 uv 

,

, ,  u v  uv ;

, , , u v  uv ďƒŚuďƒś  ďƒ§ ďƒˇ ďƒ¨vďƒ¸ v2

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ

XĂŠt tĂ­nh khả vi vĂ tĂ­nh Ä‘ấo hĂ m, vi phân cẼp máť™t vĂ cẼp cao cᝧa hĂ m sáť‘ máť™t biáşżn.

uy

-

N

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần tháťąc hiᝇn Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáť u sau.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

HĂ€M Máť˜T BIáşžN

16

BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

2) Đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số u(x) có đạo hàm u’(𝑥0 ) tại 𝑥0 , hàm y(u) có đạo hàm tại uo = u(𝑥0 ) khi , , , ấy hàm hợp 𝑓(𝑥) = 𝑦(𝑢(𝑥)) có đạo hàm tại 𝑥0 và f  xo   y  uo  u  xo  . 3) Đạo hàm của hàm ngược:

n

hơ

g(y) sẽ có đạo hàm tại 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) và

uy

1 xx

Q

,

N

1 , g  yo   , . f  xo 

m

Ta thường viết công thức ở dạng: x y  , .

Kè

4) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm 𝑥0 thì nó liên tục tại điểm ấy. Ngược lại nói

ạy

chung không đúng.

/+ D

Ví dụ 2.1.1. Hàm số 𝑦 = |𝑥| liên tục tại 𝑥 = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.

m

Định nghĩa 2.1.2. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trong lân cận phải [𝑥0 , 𝑥0 + 𝜖) của điểm 𝑥0 . Đạo hàm phải của 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 là giới hạn (nếu có) của tỉ số

co

f  x0  x   f  x0  y  x x

gl

e.

, , khi x  0+. Khi ấy đạo hàm phải được ký hiệu f   x0  hoặc y   x0  . ,

.g

oo

Tương tự, ta có đạo hàm trái f   0  lim

us

Ví dụ 2.1.2. f  x   x ; f

, 

f  xo  x   f  xo 

x0

0 

lim

x0

x

.

x , x  lim  1; f   0   1 . x x0 x

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

song ánh từ Y lên X). Nếu 𝑓(𝑥) có đạo hàm hữu hạn khác không f’(𝑥0 ) tại 𝑥0 , thì hàm

Lưu ý 2.1.3. Hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0 khi và chỉ khi nó có các đạo hàm trái và đạo hàm phải tại 𝑥0 và chúng bằng nhau. Khi ấy , , , f  xo   f   xo   f   xo  Trong trường hợp lim

x0

f  xo  x   f  xo    ta nói 𝑓(𝑥) có đạo hàm  tại 𝑥0 . x

Tương tự, ta có đạo hàm trái và đạo hàm phải .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) là một song ánh từ X lên Y và 𝑥 = 𝑔(𝑦) là hàm ngược của nó (là

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN 2

17

1

2

ta cĂł: đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) = 3 . đ?‘Ľ −3 khĂ´ng xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi

VĂ­ d᝼ 2.1.3. XĂŠt hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 . Tấi đ?‘Ľ ≠0

đ?’™đ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž. Ta cĂł tháťƒ tĂ­nh Ä‘ấo hĂ m tấi đ?‘Ľ0 = 0 theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa: f  0  ď „x   f  0 ď „x



 ď „x 2 / 3 ď „x



1

 ď „x 1 / 3

.

hĆĄ

N

Ta xÊt ví d᝼ sau.

uy

1 ďƒŹ 2 ďƒŻ x sin , x ď‚š 0 x ďƒŻ x0 ďƒŽ0,

Kè

, 1 1 f  x   2x .sin  cos x x

m

Dáť… thẼy hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c tấi đ?‘Ľ0 = 0. Tấi đ?‘Ľ ≠0 ta cĂł

Q

VĂ­ d᝼ 2.1.4. Cho hĂ m f  x   ďƒ­

ấy

(*)

/+ D

Váş­y háť?i: hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł Ä‘ấo hĂ m tấi đ?‘Ľ0 = 0 ? Ta tĂ­nh theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa:

co

m

, f  0  ď „x   f  0  1 f  0   lim  lim ď „x .sin  0. ď „x ď „x ď „xď‚Ž0 ď „xď‚Ž0

gl

e.

NhĆ° váş­y ta thẼy đ?‘“′(0) khĂ´ng tháťƒ Ä‘ưᝣc tĂ­nh tᝍ cĂ´ng thᝊc (*) ráť“i cho đ?‘Ľ = 0 hoạc đ?‘Ľď‚Ž 0.

oo

2.2 KHẢ VI, VI PHĂ‚N

us

.g

2.2.1 Khả vi, vi phân Ä?áť‹nh nghÄŠa 2.2.1. HĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ khả vi tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 náşżu sáť‘ gia hĂ m sáť‘ tấi đ?‘Ľ0 cĂł tháťƒ Ä‘ưᝣc biáťƒu diáť…n áť&#x; dấng:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

ChĂş Ă˝ 2.1.4. Trong máť™t sáť‘ trĆ°áť?ng hᝣp, Ä‘áťƒ tĂ­nh Ä‘ấo hĂ m tấi máť™t Ä‘iáťƒm Ä‘ạc biᝇt cần dĂšng Ä‘áť‹nh nghÄŠa máť›i káşżt luáş­n Ä‘ưᝣc.

ď „ f  xo   f  xo  ď „x   f  xo   A ď „ x  0  ď „x  .

(1)

váť›i A lĂ háşąng sáť‘ vĂ 0(ď „x) lĂ VCB cẼp cao hĆĄn ď „x khi ď „x ď‚Ž 0. Khi Ẽy Ä‘ấi lưᝣng Aď „x Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ vi phân cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 vĂ Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ0 ) hoạc đ?‘‘đ?‘Ś(đ?‘Ľ0 ). Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.2.1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi tấi đ?‘Ľ0 khi vĂ chᝉ khi nĂł cĂł Ä‘ấo hĂ m tấi Ä‘iáťƒm Ẽy. Váş­y náşżu hĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi tấi đ?‘Ľ0 thĂŹ ta cĂł

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

, , Tᝍ Ä‘ây ta cĂł f  0   ď‚Ľ, f   0   ď‚Ľ .

18

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

df  xo   f '  xo  dx.

(2)

Tᝍ Ä‘ây ta cĂł cĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa vi phân a) đ?‘‘đ??ś = 0. b) đ?‘‘(đ?‘“ + đ?‘”) = đ?‘‘đ?‘“ + đ?‘‘đ?‘”.

uy

2.2.2 Vi phân cᝧa hà m hᝣp, tính bẼt biến cᝧa dấng vi phân

m

Q

(cẼp máť™t)

Kè

Cho đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ). Ta viáşżt (2) áť&#x; dấng

(3)

ấy

, dy  y x dx

/+ D

Bây giáť? cĂł x=ď Ş(t), váş­y ta cĂł hĂ m hᝣp y=f(ď Ş(t)). Váť›i biáşżn Ä‘áť™c láş­p t ta cĂł vi phân (4)

m

, dy  yt dt

co

Mạt khåc

(5)

e.

, , , y t  y x xt

oo

gl

váş­y

�� = ��′ ��′ �� = ��′ ��.

(6)

.g

NhĆ° váş­y, ta quay lấi cĂ´ng thᝊc (3) Ä‘ĂŁ biáşżt. Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa lĂ : Dấng (3) cᝧa vi

us

phân khĂ´ng thay Ä‘áť•i dĂš x lĂ biáşżn Ä‘áť™c láş­p hay lĂ máť™t hĂ m sáť‘. TĂ­nh chẼt Ä‘Ăł Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ tĂ­nh bẼt biáşżn cᝧa dấng vi phân cẼp máť™t. Váş­y Ä‘ấo hĂ m cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng tᝉ sáť‘ cᝧa cĂĄc vi phân. , dy yx  dx

(Váşż phải cᝧa (7) lĂ cĂĄc vi phân Ä‘ưᝣc tĂ­nh theo cĂšng máť™t biáşżn).

(7)

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

.

N

g2

n

gdf  fdg

hĆĄ

ďƒŚ f ďƒś

d) d ďƒ§ ďƒˇ  ďƒ¨gďƒ¸

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

c) �(��) = ��� + ���.

19

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

2.2.3 Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ Giả sáť­ hĂ m sáť‘ y ph᝼ thuáť™c biáşżn x khĂ´ng tráťąc tiáşżp mĂ thĂ´ng qua máť™t biáşżn trung gian t: x=ď Ş(t),

y=ď š(t),

(8)

hĆĄ

, , dy y t dt y t hà m). Theo (7) ta có yx   ,  , , vậy dx x t dt x t

N

,

uy

, yt yx  , xt

(9)

m

Q

,

Kè

VĂ­ d᝼ 2.2.1. HĂ m sáť‘ y  1  x2 , −1 < đ?‘Ľ < 1, cĂł tháťƒ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘

ấy

x=sint, y=cost,  2ď °  t  2ď ° . Khi Ẽy

/+ D

, ďƒŚ y sin t ďƒ§ x , yx  t,    ďƒ§ xt cos t 1  x2 ďƒ¨

ďƒś ďƒˇ. ďƒˇ ďƒ¸

co

m

2.2.4 Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn

gl

e.

Náşżu hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tháť?a mĂŁn phĆ°ĆĄng trĂŹnh (10)

đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0

oo

váť›i máť?i đ?‘ĽďƒŽ(đ?‘Ž, đ?‘?), tᝊc lĂ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘“(đ?‘Ľ)) = 0, đ?‘ĽďƒŽ(đ?‘Ž, đ?‘?), thĂŹ ta nĂłi nĂł lĂ máť™t hĂ m Ẋn cho báť&#x;i

.g

phĆ°ĆĄng trĂŹnh (10).

us

VĂ­ d᝼ 2.2.2. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 1 xĂĄc Ä‘áť‹nh hai hĂ m Ẋn

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Khi Ẽy hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = Ψ(đ?œƒ(đ?‘Ľ)) = đ?‘“(đ?‘Ľ) sáş˝ cĂł Ä‘ấo hĂ m (váť›i giả thiáşżt cĂĄc hĂ m ď Ş, ď š cĂł Ä‘ấo

y1  1  x2 ;

y 2   1  x 2 x ďƒŽ (1,1)

Ä?áťƒ tĂ­nh Ä‘ấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn, chᝉ cần lĆ°u Ă˝ ráşąng đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś(đ?‘Ľ)) = 0, đ?‘ĽďƒŽ(đ?‘Ž, đ?‘?)

(11)

NĂŞn ta cĂł tháťƒ lẼy Ä‘ấo hĂ m hᝇ thᝊc (11) theo đ?‘Ľ, coi váşż trĂĄi cᝧa nĂł nhĆ° lĂ máť™t hĂ m hᝣp. Khi Ẽy sáş˝ xuẼt hiᝇn Ä‘ấo hĂ m đ?‘Śâ€™(đ?‘Ľ) trong phĆ°ĆĄng trĂŹnh máť›i. , VĂ­ d᝼ 2.2.3. TĂ­nh yx biáşżt đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 1.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

hĂ m sáť‘ x= ď Ş(t) cĂł hĂ m ngưᝣc t=ď ą(x) vĂ hĂ m ď ą(x) cĂł Ä‘ấo hĂ m.

20

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

LẼy Ä‘ấo hĂ m theo đ?‘Ľ cả hai váşż, ta Ä‘ưᝣc , , x 2x  2yy  0 ďƒž y   y

(12)

LĆ°u Ă˝ ráşąng vĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 1 xĂĄc Ä‘áť‹nh hai hĂ m Ẋn, nĂŞn Ä‘ấo hĂ m (12)

1  x2

x

y2  x 

x2 a2



a

2



2yy ' b2

0.

m

2x

Kè

LẼy Ä‘ấo hĂ m hai váşż ta Ä‘ưᝣc

Cho � = �0 , thÏ � = �0 và �0′ = �′(�0 ) b2

 0

m

b2 xo . a2 yo

co

vậy y '  xo   

2y o y '  xo 

/+ D

a2



ấy

2xo

e.

Ta Ä‘ưᝣc phĆ°ĆĄng trĂŹnh tiáşżp tuyáşżn

gl

b2 xo  x  xo  a2 yo

oo

y  yo  

.g

ďƒž a2 y o y  b2 xo x  a 2yo2  b2 xo2

us

x x y y x 2 y 2 ďƒ› o  o  o  o 1 a2 b2 a2 b2

Vậy phưƥng trÏnh tiếp tuyến có dấng

b2

xo x a

2

1  x2

y y  o  1. b2

.

 1 tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) trĂŞn

Q

ellipse.

y2

x



Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

, y2  x   

;

hĆĄ

x

N

y1  x 

 

uy

x

VĂ­ d᝼ 2.2.4. Viáşżt phĆ°ĆĄng trĂŹnh tiáşżp tuyáşżn Ä‘áť‘i váť›i elip

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

, y1  x   

n

cĹŠng lĂ Ä‘ấo hĂ m cᝧa hai hĂ m Ẋn

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

21

2.3 Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N CẤP CAO 2.3.1 Ä?ấo hĂ m cẼp cao

2

x  3x  2

, tĂ­nh đ?‘Ś (đ?‘›) .

n hĆĄ

Q m

1

Kè

VĂ­ d᝼ 2.3.1. Cho y 

uy

dn y . Ä?ấo hĂ m cẼp đ?‘› còn Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu dxn

N

, n n 1 y   x   ďƒŠ y   x ď€Šďƒš . ďƒŞďƒŤ ďƒşďƒť

n

n

tĂ­nh đ?‘Ś (đ?‘›) .

1 1 nď ° ďƒś ďƒŚ n  cos 2x ďƒž y    2n1 cos ďƒ§ 2x  ďƒˇ. 2 2 2 ďƒ¸ ďƒ¨

co

y

m

VĂ­ d᝼ 2.3.2. Cho đ?‘Ś = sin2 đ?‘Ľ,

/+ D

ấy

 1 n!   1 n! . 1 1 n y  ďƒž y   x  2 x 1  x  2n1  x  1n1

gl

e.

2.3.2 Công thᝊc Leibniz

oo

Ta cĂł cĂ´ng thᝊc Leibniz sau Ä‘ây: n

k  k   n k  ; Cnk  ď “ Cn f g

k o

n! k ! n  k !

us

.g

 fg  n  

Sinh viĂŞn cĂł tháťƒ dáť… dĂ ng chᝊng minh báşąng quy nấp cĂ´ng thᝊc trĂŞn.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ä?ấo hĂ m cẼp đ?‘› lĂ Ä‘ấo hĂ m cᝧa Ä‘ấo hĂ m cẼp đ?‘›â€“ 1

LĆ°u Ă˝ 2.3.1. Náşżu hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘Ą) thĂŹ ta cĂł , y , yx  t, . xt

Cho nên y ''xx 

 y 'x  't , xt



ďƒŚ ďƒ§ ďƒ¨

, yt , xt

, xt

, ďƒś ďƒˇ ďƒ¸t



, , y ''t xt  x ''tt y t .  xt, 3

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ä?ấo hĂ m cẼp hai cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) lĂ Ä‘ấo hĂ m (náşżu cĂł) cᝧa Ä‘ấo hĂ m cẼp máť™t: , ,, , y  x   ďƒŠďƒŤ y  x  ďƒšďƒť .

22

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

2.3.3 Vi phân cẼp cao Vi phân cẼp hai cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) (tấi máť™t Ä‘iáťƒm nĂ o Ä‘Ăł) lĂ vi phân (tấi Ä‘iáťƒm Ẽy) cᝧa vi phân cẼp máť™t vĂ Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘ 2 đ?‘Ś, váş­y đ?‘‘ 2 đ?‘Ś = đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś). TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł vi phân cẼp cao

hĆĄ

N

nĂŞn Ä‘ấo hĂ m (hoạc vi phân) cᝧa nĂł sáş˝ báşąng 0.



uy

, , , ,, ,, Vậy d2y  d  dy   d  y .dx   dy .dx   y dx .dx  y dx2



m Kè

n Tưƥng t᝹: dn y  y dxn

(13)

Q

,, ,, ,,, ,,, d 3 y  d y dx2  d  y  dx2  y dx .dx2  y dx3

(14)

ấy

KhĂĄc váť›i vi phân cẼp máť™t, cĂ´ng thᝊc vi phân cẼp cao (13), (14) khĂ´ng còn Ä‘Ăşng

/+ D

náşżu x khĂ´ng phải lĂ biáşżn Ä‘áť™c láş­p mĂ lĂ máť™t hĂ m sáť‘.

Tháş­t váş­y, giả sáť­ x=x(t), khi Ẽy dx khĂ´ng lĂ háşąng sáť‘, mĂ ph᝼ thuáť™c t, cho nĂŞn nhĂŹn





m

chung d(dx) = d2x ď‚š 0.

Khi Ẽy d 2 y  d y 2dx  d y  dx  y d  dx   y dx2  y d 2 x . ,

,,

,

e.

co

,

oo

gl

2.3.4 ᝨng d᝼ng vi phân tĂ­nh gần Ä‘Ăşng

us

.g

Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi tấi đ?‘Ľ0 , váş­y ta cĂł , f  xo  ď „x   f  xo   f  xo  ď „x  0  ď „x 

Náşżu báť? phần VCB cẼp cao 0(ď „x) ta cĂł cĂ´ng thᝊc gần Ä‘Ăşng:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ä?áťƒ tĂ­nh vi phân cẼp cao, cần biáşżt ráşąng đ?‘‘đ?‘Ľ lĂ máť™t sáť‘ bẼt káťł khĂ´ng ph᝼ thuáť™c đ?‘Ľ, cho

, f  xo  ď „x  ď‚ť f  xo   f  xo  ď „x

CĂ´ng thᝊc Ẽy cĂł tháťƒ dĂšng Ä‘áťƒ tĂ­nh gần Ä‘Ăşng giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 + Δđ?‘Ľ thĂ´ng qua tĂ­nh giĂĄ tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ vĂ Ä‘ấo hĂ m cᝧa nĂł tấi đ?‘Ľ0 . VĂ­ d᝼ 2.3.3. HĂŁy tĂ­nh gần Ä‘Ăşng sáť‘ sin29o. ďƒŠ XĂŠt hĂ m sáť‘ y = sinx, đ?’™đ?&#x;Ž =

ď ° , 6

ď „x  

ď ° 180

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

đ?‘‘ 3 đ?‘Ś = đ?‘‘(đ?‘‘ 2 đ?‘Ś), ‌ , đ?‘‘ đ?‘› đ?‘Ś = đ?‘‘(đ?‘‘ đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ś).

BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

23

 3  Ta có y,  cos x , y’    cos  6 2 4    3    0, 484 . Cho nên sin 29o  sin     sin  6 2 180  6 180 

n 1 1  y  xo   1, y,  xo   27 3

1  1 1  28  3 y  xo   y,  xo  x  3 1  .   3   3, 04 . 3 27  27 

Q

3

x , xo  1, x 

m

Vậy:

3

Kè

2.4 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

/+ D

ạy

Định nghĩa 2.4.1. Hàm 𝑓(𝑥) được gọi đạt cực đại (hay là cực đại theo nghĩa rộng) tại 𝒙𝟎 , nếu: tồn tại một lân cận của 𝒙𝟎 ,  xo  , xo     Df : f  x   f  xo  , x xo  , xo   

m

Nếu f  x   f  xo  , x xo  , xo    thì ta nói 𝑓(𝑥) đạt cực đại chặt (hay là cực đại theo

co

nghĩa hẹp) tại 𝑥0 .

gl

e.

Các khái niệm cực tiểu, cực tiểu chặt được định nghĩa tương tự.

oo

Hàm đạt cực đại, cực tiểu, được gọi chung là đạt cực trị, hàm đạt cực đại chặt, cực

.g

tiểu chặt được gọi chung là đạt cực trị chặt.

us

Định lý 2.4.1 (Fermat). Cho hàm 𝑓(𝑥) xác định trong lân cận điểm 𝑥0 và đạt cực trị tại 𝑥0 . Nếu tại 𝑥0 tồn tại đạo hàm 𝑓′(𝑥0 ) thì 𝑓′(𝑥0 ) = 0. Giả sử 𝑓(𝑥) đạt cực đại tại 𝑥0 , vậy trong một lân cận của 𝑥0 ta có: f  xo  x   f  xo   0

Mặt khác, vì hàm số có đạo hàm tại 𝑥0 , nên f '  xo   f '  xo   lim

x0

f ( xo  x)  f  xo  x

0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Xét hàm số y =

1 27

hơ

 3 27  1  3 3 1 

uy

3 28

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Ta có

3 28.

N

Ví dụ 2.3.4. Tính gần đúng

24

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

f '  xo   f '  xo   lim

f  xo  ď „x   f  xo  ď „x

ď „xď‚Ž0

Tᝍ Ä‘Ăł ta cĂł f'(đ?’™đ?&#x;Ž ) = 0

ď‚Ł 0

ďƒť.

Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.4.2 (Rolle). Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ)

n hĆĄ N

3) đ??š(đ?‘Ž) = đ?‘“(đ?‘?).

uy

Khi Ẽy ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?): đ?‘“ ′ (đ?‘?) = 0.

m

Náşżu đ?‘€ = đ?‘š thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ą trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] ⇒ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) ≥ 0.

Q

ďƒŠ Theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Weierstrass, hĂ m sáť‘ Ä‘ất giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt M vĂ nháť? nhẼt m trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?].

Kè

Náşżu đ?‘€ ≠đ?‘š, khi Ẽy máť™t trong hai sáť‘ đ?‘š, đ?‘€ phải khĂĄc đ?‘“(đ?‘Ž) = đ?‘“(đ?‘?), giả sáť­ đ?‘€ ≠đ?‘“(đ?‘Ž) =

ấy

đ?‘“(đ?‘?). Váş­y hĂ m đ?’‡(đ?’™) Ä‘ất giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt đ?‘€ tấi Ä‘iáťƒm bĂŞn trong đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?). Cho nĂŞn đ?‘? sáş˝ lĂ

/+ D

Ä‘iáťƒm cáťąc Ä‘ấi (vĂŹ đ?‘“(đ?‘?) = đ?‘€ ≼ đ?‘“(đ?‘Ľ) váť›i đ?‘Ľ trong máť™t lân cáş­n cᝧa đ?‘?). Tháşż thĂŹ theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Fermat, ta cĂł đ?‘“ ′(đ?‘?) = 0. ďƒť.

co

1) LiĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?];

m

Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.4.3 (Lagrange). Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ)

gl

e.

2) Khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?).

f b  f  a   f ' c . ba

.g

oo

Khi Ẽy ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) :

g  x  f  x 

us

ďƒŠ XĂŠt hĂ m:

f  b  f a  ba

x  a

Dáť… thẼy g(x) tháť?a Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle g(a) = g(b) = f(a) váş­y ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?): đ?‘”′ (đ?‘?) = 0

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

2) Khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?);

ďƒž g ' c  f ' c  

f  b  f  a  ba

 0 ďƒť.

RĂľ rĂ ng Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle lĂ hᝇ quả cᝧa Ä‘áť‹nh lĂ˝ Lagrange. Náşżu lẼy b = a + h, thĂŹ cĂ´ng thᝊc Lagrange cĂł dấng: f  a  h   f  a   f '  a  ď ą h  , 0 ď€źď ąď€ź 1

(1)

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

1) LiĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?];

25

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

CĂ´ng thᝊc (1) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ cĂ´ng thᝊc sáť‘ gia giáť›i náť™i. Ta xĂŠt Ă˝ nghÄŠa hĂŹnh háť?c cᝧa cĂ´ng thᝊc Lagrange. Giả B

A

sáť­ (ď §) lĂ Ä‘áť“ tháť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) vĂ đ??´(đ?‘Ž, đ?‘“(đ?‘Ž)), đ??ľ(đ?‘?, đ?‘“(đ?‘?)) lĂ hai Ä‘iáťƒm thuáť™c (ď §).

. CĂ´ng thᝊc Lagrange chᝊng táť? lĂ táť“n tấi Ä‘iáťƒm

n N

Q

uy

Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.4.4 (Cauchy). Cho cĂĄc hĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™), đ?’ˆ(đ?’™)

/+ D

f  b   f  a  f '(c)  . g  b   g  a  g '(c )

ấy

3) g,(x) ď‚š 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?).

Kè

m

2) khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?);

Khi Ẽy: ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?):

c

HĂŹnh 1

đ??ś(đ?‘?, đ?‘“(đ?‘?)) sao cho tiáşżp tuyáşżn tấi đ??ś song song cĂĄt tuyáşżn AB (H.1).

1) liĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?];

b

ďƒŠ RĂľ rĂ ng g(b) ď‚š g(a) vĂŹ náşżu ngưᝣc lấi thĂŹ ∃đ?‘Ľ0 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) sao cho đ?‘”’(đ?‘Ľ0 ) trĂĄi váť›i giả thiáşżt

co

m

3).

f  b  f  a 

g  b  g  a 

 g  x   g a 

gl

e.

Hà m sᝑ: h  x   f  x   f  a  

oo

tháť?a Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?]: h(a)=h(b)=0. Váş­y ∃đ?‘? ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?): ℎ’(đ?‘?) = 0. f  b  f  a 

g  b  g  a 

g '  c   0 ďƒť.

us

.g

ďƒž f , c 

Ä?áť‹nh lĂ˝ Lagrange lĂ hᝇ qᝧa Ä‘áť‹nh lĂ˝ Cauchy khi đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ba

a

hĆĄ

f  b  f  a 

k =

VĂ­ d᝼ 2.4.1. Cho đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľâ€“ 1)(đ?‘Ľâ€“ 2)(đ?‘Ľâ€“ 3)(đ?‘Ľâ€“ 4). Khi Ẽy phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘ƒâ€™(đ?‘Ľ) = 0 cĂł ba nghiᝇm tháťąc. ďƒŠTháş­t váş­y vĂŹ đ?‘ƒ(1) = đ?‘ƒ(2) = đ?‘ƒ(3) = đ?‘ƒ(4)(= 0) nĂŞn theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle  x1ďƒŽ (1, 2), x2 ďƒŽ (2, 3), x3ďƒŽ (3, 4): P’(x1) = 0, P’(x2) = 0, P’(x3) = 0 ďƒť.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Khi Ẽy cĂĄt tuyáşżn AB cĂł hᝇ sáť‘ gĂłc

26

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

VĂ­ d᝼ 2.4.2. Cho đ?‘“′(đ?‘Ľ) > 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy hĂ m sáť‘ tăng trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). LẼy ∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 , ta cĂł theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Lagrange: f  x2   f  x1   f '  c  x2  x1   0.

VĂ­ d᝼ 2.4.3. Chᝊng minh đ?‘’ đ?‘Ľ ≼ 1 + đ?‘Ľ, ∀đ?‘Ľ ∈ â„?.

-

Váť›i x  0 ďƒž 1  ex  eo  ex  ed  0  x    x ďƒž ex  1  x. ďƒť.

hĆĄ N uy

Q

2.5 CĂ”NG THᝨC TAYLOR

m

Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.5.1. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi Ä‘áşżn cẼp đ?‘› + 1 trong khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy váť›i đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ ∈

Kè

(đ?‘Ž, đ?‘?) ta cĂł cĂ´ng thᝊc Taylor sau

k n 1 f    xo  f   c k f  x  ď “  x  xo    x  xo n1 . k! k 0  n  1

(1)

/+ D

ấy

n

k f    xo 

ďƒŠ Ä?ạt R  x   f  x   ď “

k 0

k!

 x  xo k ;

co

n

m

váť›i đ?‘? lĂ Ä‘iáťƒm trung gian giᝯa đ?‘Ľ0 vĂ đ?‘Ľ, đ?‘? = đ?‘Ľ0 + ď ą (đ?‘Ľ – đ?‘Ľ0 ), 0 < ď ą < 1. n1

G  x    x  xo 

gl

e.

Ta có R  xo   R,  xo   ....R(n)  xo   0

.g

oo

G  xo   G,  xo   ....G(n)  xo   0

us

Theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Cauchy ta cĂł:

(2)

R  x  R  x   R  xo  R '  x1    G  x  G  x   G  xo  G '  x1 

váť›i đ?‘Ľ1 náşąm giᝯa đ?‘Ľ0 vĂ đ?‘Ľ. Ta lấi sáť­ d᝼ng Ä‘áť‹nh lĂ˝ Cauchy vĂ (2) máť™t lần nᝯa: R '  x1  R '  x1   R '  xo  R ''  x2    G '  x1  G '  x1   G '  xo  G ''  x2 

váť›i x2 náşąm giᝯa đ?‘Ľ0 vĂ x1. Tiáşżp t᝼c quĂĄ trĂŹnh Ẽy sau n + 1 bĆ°áť›c ta Ä‘ưᝣc: R  x

G  x



R '  x1 

G '  x1 

 ... 



R(n  1) xn  1 G

 n1 ( x

  f (n 1)  xn 1 

n 1 )

(n  1)!

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Váť›i x  0 ďƒž ex  1  ex  eo  ec  x  0  ec . x  x ďƒž ex  1  x.

n

-

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ďƒŠ DĂšng Ä‘áť‹nh lĂ˝ Lagrange cho hĂ m ex:

27

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

váť›i xn+1 náşąm giᝯa xn, đ?‘Ľ0 nĂŞn cĹŠng náşąm giᝯa x vĂ đ?‘Ľ0 . Ä?áť‹nh lĂ˝ Ä‘ưᝣc chᝊng minh váť›i c=xn+1ďƒť. Biáťƒu thᝊc: Rn  x  

f

n 1

 c  x  x n1 Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ phần dĆ° dấng Lagrange.  o  n  1

Khi Ẽy váť›i đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) ta cĂł:

hĆĄ

(4)

 Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ phần dĆ° dấng Peano.

ấy

Kè



Biáťƒu thᝊc Rn  x   0  x  xo n



m



Q

k f    xo  f  x  ď “  x  xo k  0  x  xo n k! k 0 n

uy

N

Náşżu đ?’‡(đ?’™) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], khả vi Ä‘áşżn cẼp (đ?‘›â€“ 1) trong (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ âˆƒđ?‘“ đ?‘› (đ?‘Ľ0 ) (đ?‘Ľ0 ∃(đ?‘Ž, đ?‘?)).

/+ D

CĂ´ng thᝊc (4) cĂł tháťƒ chᝊng minh nhĆ° sau: váť›i R(x) nhĆ° trong chᝊng minh cᝧa Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn, ta cĂł theo tĂ­nh khả vi

 x   R n1  x   R n1  xo 

m

n 1

co

R

(5)

e.

n  R   xo  x  xo   0   x  xo    0   x  xo  

 x   R n2  x   R n2  xo   R n1  c   x  xo 

oo

n 2 

.g

R

gl

Ta lấi cĂł (theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Lagrange):



us

 0   c  xo    x  xo   0  x  xo 

2



(6)

Hᝇ thᝊc (6) rĂşt ra tᝍ (5) vĂ vĂŹ c náşąm giᝯa đ?‘Ľ0 vĂ x; tiáşżp t᝼c quĂĄ trĂŹnh nhĆ° trĂŞn ta

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Nhiáť u lĂşc, cĂ´ng thᝊc Taylor tiᝇn dĂšng áť&#x; dấng sau Ä‘ây:





Ä‘ưᝣc R  x    x  xo n . CĂ´ng thᝊc Taylor váť›i đ?‘Ľ0 = 0 Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ cĂ´ng thᝊc Maclaurin, tᝊc lĂ k f    0 k f  x  ď “ x  Rn  x  k! k 0 n

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

2.5.1 CĂ´ng thᝊc Taylor váť›i phần dĆ° Peano

28

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

f    ď ąx  n 1 x hoạc Rn  x   0 x n . ( n  1)! n 1

váť›i phần dĆ°: Rn  x  

 

2.5.2 CĂ´ng thᝊc Maclaurin máť™t sáť‘ hĂ m sĆĄ cẼp f  x  ex.

n hĆĄ

x2 xn  ....   0 xn 2! n!

N

 

uy

ďƒž ex  1  x 

Q

2) đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ.

ďƒ¨

f

2 m 1

Kè

 0   sin  mď °   0,

 0   sin  mď °  ď °2 

ấy

2m 

2ďƒ¸

  1

m 1

, m = 1,2,3‌

2 m1 x3 x5 m1 x   ...   1  0 x 2m . 3! 5!  2m  1!

/+ D

f

m

ď ° Ta cĂł f  k   x   sin ďƒŚďƒ§ x  k ďƒśďƒˇ , cho nĂŞn

m

Vậy sin x  x 

 

e.

co

2m x2 x 4 m1 x   ...   1  0 x2m1 . 3) cos x  1  2! 4!  2m!





 

4) 1  x   1  Cď Ą1 x  Cď Ą2 x2  Cď Ąn x n  0 x n , x   1, ď Ą ďƒŽ R, Cď Ąk 

oo

gl

ď Ą

ď Ą  ď Ą  1 ...  ď Ą  k  1 k!

.g

1  1  x  x2  0 x2 . 1 x

 

us

Ä?ạc biᝇt,

5) ln 1  x   x 

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

k k Ta có f    x   ex , f    0   1

n x2 x3 n1 x  ...   1  0 xn , x  1, n ďƒŽ N. 2 3 n

 

VĂ­ d᝼ 2.5.1. Viáşżt cĂ´ng thᝊc Maclaurin cho esinx Ä‘áşżn cẼp x3. Theo 1), ta cĂł esin x  1  sin x  1 6

 

Mạt khĂĄc sin x  x  x3  0 x4



1 2 1 sin x  sin 3 x  0 sin 3 x 2 6



.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

1)

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

2

1 6

cho nĂŞn: sin 2 x  ďƒŚďƒ§ ( x  x3  0( x4 ) ďƒśďƒˇ  x2  ďƒ¨

ďƒ¸

+ 2x . 0(x4) -



29



2 1 1 6 x  0( x4 )  x4 36 3

1 3 x . 0(x4) = x2 + 0(x5) + 0(x8) + 0(x3) 3

 

 

n hĆĄ



  

1

  ďƒśďƒ¸

ďƒŚ1 ďƒ¨

ďƒś ďƒ¸

  ďƒśďƒ¸  

ďƒŚ1 ďƒ¨

 

Ä‘áşżn báş­c 4 cᝧa đ?‘Ľ. TĂ­nh đ?‘“ (4) (0).

/+ D

1x x

2

ấy

1  x  x2

Kè

m

1 2 x  0 x3 2

VĂ­ d᝼ 2.5.2. Khai triáťƒn đ?‘“(đ?‘Ľ) =

1  x  x2 1  x 1  x3  2x  2x 2 .   1  2x  2x2 1  x  x2 1  x 1  x3



1



 1 x3 

 

 1  x 3  0 x5

e.





co

Mạt khĂĄc theo (4): 1  x3

m

ďƒŠ Ta cĂł: f  x  

Q

váş­y esin x  1  ďƒ§ x  x3 ďƒˇ  ďƒ§ x2  0 x3 ďƒˇ  ďƒ§ x3  0 x3 ďƒˇ  0 x3 6 2 6 1 x 

uy

ďƒŚ ďƒ¨

N

vĂ vĂŹ sin 3 x ~ x3 neân 0 sin 3 x  0 x 3



 

f  x   1  2x  2x2 1  x3  0 x5

oo

gl

váş­y:

 

.g

 1  2x  2x2  2x 4  0 x 4

us

Ä?áťƒ tĂ­nh f(4) (0) ta lĆ°u Ă˝ ráşąng, theo cĂ´ng thᝊc Maclaurin thĂŹ:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

sin 3 x  x3  0 x 4

cho nĂŞn:

2x4  4 f    0    2 . 4 !   48 ďƒť.

4 f    0 4 x 4!

1

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

+ 0(x5) + 0(x7)  x2  0 x3 ;

30

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

2.5.3 Sáť­ d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂ­nh gần Ä‘Ăşng cĂł Ä‘ĂĄnh giĂĄ sai sáť‘ Trong cĂ´ng thᝊc (1) náşżu báť? phần dĆ° Rn(x) ta cĂł cĂ´ng thᝊc gần Ä‘Ăşng: k f    xo   x  xo k k! k 0 n

 xo  ď ąď€¨ x xo    n1!

 x  xo n1

ď‚Ł M, x ďƒŽ [a, b]

m

 x

Kè

n 1

Q

Náşżu f(n+1) (x) báť‹ chạn Ä‘áť u trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?], tᝊc lĂ : f

hĆĄ

n 1 

N

f

uy

Rn  x  

M n1 x  xo  n  1 !

/+ D

Rn  x  

ấy

Khi Ẽy váť›i đ?‘Ľ, đ?‘Ľ0 ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?], sai sáť‘ Rn(x) cĂł tháťƒ Ä‘ĂĄnh giĂĄ Ä‘ĆĄn giản:

m

VĂ­ d᝼ 2.5.3. TĂ­nh sáť‘ đ?‘’ chĂ­nh xĂĄc Ä‘áşżn ď Ľ = 0,001.

e.

eď ą , ď ą ďƒŽ  0,1  n  1 !

3 .  n  1!

us

váş­y ď Ľ ď‚Ł

.g

oo

ď Ľ  Rn  x  

1 1 v᝛i sai sᝑ:  ...  2! n!

gl

e1  1  1 

co

ďƒŠ Trong cĂ´ng thᝊc Maclaurin cᝧa đ?‘’ đ?‘Ľ lẼy đ?‘Ľ = 1, ta cĂł:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Khi Ẽy ta cĂł sai sáť‘:

Ä?áťƒ ď Ľ< 0,001 chᝉ cần lẼy n = 6. Khi Ä‘Ăł ta cĂł: e ď‚ť 2 

1 1 1 1 1     2 3! 4! 5! 6!

LĆ°u Ă˝ ráşąng Ä‘áťƒ tĂ­nh c᝼ tháťƒ thĂ nh sáť‘, sáş˝ còn xuẼt hiᝇn cĂĄc sai sáť‘ (do phĂŠp chia sinh ra) áť&#x; Ä‘ây ta chᝉ Ä‘áť cáş­p Ä‘áşżn sai sáť‘ do phĆ°ĆĄng phĂĄp sinh ra. ďƒť.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

f  x ď‚ť ď “

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

31

2.5.4 Sáť­ d᝼ng cĂ´ng thᝊc Taylor tĂ­nh giáť›i hấn CĂ´ng thᝊc Taylor váť›i phần dĆ° áť&#x; dấng Peano cĂł tháťƒ dĂšng Ä‘áťƒ tĂ­nh giáť›i hấn.

ex  1  x 

x2 x3   0 x3 ; 2 3!

e x  1  x 

x2 x3 x3   0 x3 ; sin x  x   0 x3 . 2 3! 3!

hĆĄ

uy m

Q

 x  0.

ấy

2.6 QUY TẎC L’HOSPITAL

Kè

   

x

N

 

 

x3  0 x3 e  e  2x Vậy:  33 2 x  sin x x 3 0 x 3! x

n

 

lim f  x   0 ;

lim g  x   0 ;

x  b

x  b

m

1)

/+ D

Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.6.1. Cho cĂĄc hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ

f ' x

A.

oo

x  b g '  x 

gl

3) lim

e.

co

2) g,  x  ď‚š 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?);

.g

Khi Ẽy táť“n tấi giáť›i hấn: lim

g  x

 A.

us

xb

f  x

ChĂş Ă˝ 1. RĂľ rĂ ng Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn cĹŠng Ä‘Ăşng cho trĆ°áť?ng hᝣp đ?‘Ľ → đ?‘Ž+ .

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ta cĂł:

ChĂş Ă˝ 2. Ä?áť‹nh lĂ˝ vẍn Ä‘Ăşng náşżu đ?‘? = +ď‚Ľ.

Ä?áť‹nh lĂ˝ 2.6.2. Cho cĂĄc hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khả vi trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ 1) lim f  x    ď‚Ľ, lim g  x    ď‚Ľ; xď‚Žb

xb

2) g ,  x   0 trên  a, b  ;

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

e x  e x  2 x . VĂ­ d᝼ 2.5.4. TĂ­nh lim x ď‚Ž0 x  sin x

32

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

f '( x)  A; g x b  '( x )

3) lim

khi Ẽy: lim

x b 

f ( x)  A. g ( x)

Dáť… thẼy ráşąng Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn Ä‘Ăşng cho cả cĂĄc trĆ°áť?ng hᝣp đ?‘Ľď‚Žđ?‘Ž+ , hoạc đ?‘? = +∞ hoạc

n sin x 1  . 2 x0 2x

N

 lim

x2

x ď‚Ž0

hĆĄ

1  cos x

uy

1) lim

1 ďƒś x 2  sin 2 x lim .   ďƒˇ ďƒ¨ sin 2 x x 2 ďƒ¸ xď‚Ž0 x 2 sin 2 x 1

m

Q

ďƒŚ

2) I  lim ďƒ§ xď‚Ž0

Kè

TẼt nhiĂŞn cĂł tháťƒ dĂšng ngay quy tắc L’Hospital, nhĆ°ng Ä‘áťƒ Ä‘ĆĄn giản hĆĄn, trĆ°áť›c khi

x 2  sin 2 x

x ď‚Ž0

x

4

 lim

2 x  2sin x cos x 4x

3

 lim

/+ D

I  lim

ấy

dĂšng quy tắc L’Hospital ta sáť­ d᝼ng vĂ´ cĂšng bĂŠ tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng đ?‘Ľ 2 sin2 đ?‘Ľ ď ž đ?‘Ľ 4 , váş­y 2  2cos 2 x

x ď‚Ž0

12 x

2

4sin 2 x 1  . 3 x0 24 x

 lim

e.

xď‚Ž1

Ta cĂł dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 1ď‚Ľ. Sáť­ d᝼ng cĂ´ng thᝊc u v  ev ln u  u  0, v  0 , ráť“i sáť­

co

3) I  lim

1 1  x x.

m

áťž Ä‘ây ta Ä‘ĂŁ sáť­ d᝼ng quy tắc L’Hospital ba lần.

oo

gl

d᝼ng quy tắc L’Hospital ta Ä‘ưᝣc I  e

ln x

lim1 x x1

us

.g

1 ln x  lim x  0. 4) I  lim x ln x  lim 1 x0 x0 x0 1 x x2

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ví d᝼ 2.6.1



ďƒŚ 1ďƒś limďƒ§  ďƒˇ x ď‚Ž1ďƒ¨ x ďƒ¸ e

 e1.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

đ?‘Ž = −∞, hoạc đ?‘Ž = +∞.

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

33

TĂ“M TẎT Trong bĂ i nĂ y, háť?c viĂŞn cᝧng cáť‘ kiáşżn thᝊc váť Ä‘ấo hĂ m cᝧa hĂ m máť™t biáşżn, Ä‘áť“ng tháť?i nắm rĂľ cĂĄch tĂ­nh Ä‘ấo hĂ m cᝧa hĂ m hᝣp, cĂĄch tĂ­nh Ä‘ấo hĂ m cᝧa hĂ m cho báť&#x;i

f  xo  ď „x   f  xo 

uy

,

TĆ°ĆĄng táťą ta cĂł Ä‘ấo hĂ m trĂĄi: f   0  lim

ď „x

Q

ď „xď‚Ž0

N

hĆĄ

, , khi ď „đ?‘Ľ ď‚Ž0+ . Khi Ẽy Ä‘ấo hĂ m phải Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu f   x0  hoạc y  x0  .

n

f  xo  ď „x   f  xo  ď „y  ď „x ď „x

m

HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł Ä‘ấo hĂ m tấi đ?‘Ľ0 khi vĂ chᝉ khi nĂł cĂł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m trĂĄi vĂ Ä‘ấo hĂ m phải

Kè

tấi đ?‘Ľ0 vĂ chĂşng báşąng nhau. Khi Ẽy đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ0 ) = đ?‘“+′ (đ?‘Ľ0 ) = đ?‘“âˆ’â€˛ (đ?‘Ľ0 ).

2. HĂ m đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ khả vi tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 náşżu sáť‘ gia hĂ m sáť‘ tấi đ?‘Ľ0 cĂł tháťƒ Ä‘ưᝣc

/+ D

ấy

biáťƒu diáť…n áť&#x; dấng: ď „ f  xo   f  xo  ď „x   f  xo   A ď „ x  0  ď „x  . 3. Giả sáť­ hĂ m sáť‘ đ?‘Ś ph᝼ thuáť™c biáşżn đ?‘Ľ thĂ´ng qua máť™t biáşżn trung gian đ?‘Ą: đ?‘Ľ = ď Ş (đ?‘Ą), đ?‘Ś = đ?‘Ś = ď š (ď ą(đ?‘Ľ)) = đ?‘“(đ?‘Ľ) sáş˝ cĂł Ä‘ấo hĂ m (váť›i giả thiáşżt cĂĄc hĂ m ď Ş, ď š cĂł Ä‘ấo

co

hĂ m sáť‘:

m

ď š (đ?‘Ą), vĂ hĂ m sáť‘ đ?‘Ľ = ď Ş (đ?‘Ą) cĂł hĂ m ngưᝣc đ?‘Ą = ď ą(đ?‘Ľ) vĂ hĂ m ď ą(đ?‘Ľ) cĂł Ä‘ấo hĂ m. Khi Ẽy

yt, , yx  , . xt

oo

gl

e.

hĂ m):

.g

4. Náşżu hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) tháť?a mĂŁn phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 váť›i máť?i đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), tᝊc lĂ

us

đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘“(đ?‘Ľ)) = 0, đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), thĂŹ ta nĂłi nĂł lĂ máť™t hĂ m Ẋn cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

1. Ä?ấo hĂ m phải cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) tấi đ?‘Ľ0 lĂ giáť›i hấn (náşżu cĂł) cᝧa tᝉ sáť‘

5. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi Ä‘áşżn cẼp đ?‘› + 1 trong khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy váť›i đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) ta cĂł cĂ´ng thᝊc Taylor sau: k n 1 f    xo  f   c k f  x  ď “  x  xo    x  xo n1 . k! k 0  n  1 n

CĂ´ng thᝊc Taylor váť›i đ?‘Ľ0 = 0 Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ cĂ´ng thᝊc Maclaurin.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

phĆ°ĆĄng trĂŹnh hĂ m Ẋn, viáşżt cĂ´ng thᝊc Taylor cᝧa hĂ m sáť‘.

34

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

BĂ€I TẏP BĂ i 1. TĂ­nh Ä‘ấo hĂ m cĂĄc hĂ m sáť‘ sau (tấi nhᝯng Ä‘iáťƒm mĂ Ä‘ấo hĂ m táť“n tấi). a) y 

tgx 3 2

.

x b) y  cos2 ďƒŚďƒ§ sin ďƒśďƒˇ .

hĆĄ

n

3ďƒ¸

N

c) y  sin x .

uy

BĂ i 2. TĂ­nh Ä‘ấo hĂ m y’(x) cᝧa cĂĄc hĂ m cho sau Ä‘ây theo tham sáť‘:

m

Q

a) � = ln(1 + � 2 ), � = � – arctan �.

ấy

BĂ i 3. TĂ­nh Ä‘ấo hĂ m đ?‘Śâ€˛(đ?‘Ľ0 ) cᝧa cĂĄc hĂ m

Kè

b) x  2t , y  22t.

/+ D

a) đ?‘Ľ = đ?‘Ą 3 + 3đ?‘Ą + 1, đ?‘Ś = 3đ?‘Ą 5 + 5đ?‘Ą 2 + 1, đ?‘Ľ0 = 1. b) đ?‘Ľ = đ?‘Ž cos đ?‘Ą , đ?‘Ś = đ?‘Ž sin đ?‘Ą , đ?‘Ľ0 = 0.

co

m

c) đ?‘Ľ = đ?‘’ −đ?‘Ą , đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ą cos đ?‘Ą , đ?‘Ľ0 = 0.

gl

a) x3 + lny – x2ey = 0.

e.

BĂ i 4. TĂ­nh Ä‘ấo hĂ m cᝧa cĂĄc hĂ m Ẋn đ?‘Ś(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i cĂĄc phĆ°ĆĄng trĂŹnh sau:

oo

b) xy = yx.

2

.g

c) ex + ey – 2xy – 1 = 0.

us

d) x y  y2 ln x  4  0 .

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ďƒ¨

Bà i 5. Tính vi phân cᝧa cåc hà m sau: a) y =

a x  arctg ; x a

b) y = ln x  x2  a 2 ;

c) y = arccos

1 . x

Bà i 6. Tính vi phân cᝧa cåc hà m Ẋn y(x): a) y5 + y = x2 + 1 ;

b) x + y = ey;

c) cos(xy) = x.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

x

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

ďƒŹ ďƒŻ x2  2x, ďƒŻ ďƒŽax  b,

BĂ i 7. Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) = ďƒ­

35

x0 x0

4 17

b) tg 46o

n

Q

c) arctg 0,97

d)

1 4 0, 983

m

a)

uy

N

BĂ i 9. Ă p d᝼ng vi phân cẼp 1 Ä‘áťƒ tĂ­nh gần Ä‘Ăşng cĂĄc giĂĄ tráť‹ sau:

hĆĄ

TĂŹm a, b sao cho đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c vĂ khả vi tấi máť?i đ?‘Ľ ∈ â„?.

Kè

BĂ i 10. Váť›i cĂĄc hĂ m sau cĂł ĂĄp d᝼ng Ä‘ưᝣc Ä‘áť‹nh lĂ˝ Rolle khĂ´ng, náşżu cĂł hĂŁy tĂŹm Ä‘iáťƒm c. a) y = x trĂŞn [-1, 1].

ấy

b) y =

trĂŞn [0, 8].

/+ D

ď °ďƒš . 2 ďƒşďƒť

3 x 8  x

m

ďƒŠ ď ° c) y = sin x treân ďƒŞ  , ďƒŤ 2

co

BĂ i 11. Chᝊng táť? phĆ°ĆĄng trĂŹnh 16x2 – 64x + 31 = 0 khĂ´ng tháťƒ cĂł hai nghiᝇm phân

e.

biᝇt náşąm trong khoảng (0,1).

gl

BĂ i 12. Cho đ?’‡(đ?’™) = đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ + 2)(đ?‘Ľ + 3).

oo

Chᝊng minh phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘“′(đ?‘Ľ) = 0 cĂł ba nghiᝇm tháťąc.

.g

BĂ i 13. Chᝊng minh cĂĄc bẼt Ä‘áşłng thᝊc:

us

a) arctgx  arctgy ď‚Ł x  y , x, y ďƒŽ R.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ďƒŹ1 x ď‚ł1 ďƒŻ , BĂ i 8. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) = ďƒ­ x ďƒŻ 2 ďƒŽax  b, x  1

b) c)

x y 

1 x  y , x, y ďƒŽ [1, ). 2

x  ln 1  x   x, x  0. x 1

BĂ i 14. Viáşżt cĂ´ng thᝊc Taylor cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 4, áť&#x; lân cáş­n đ?‘Ľ0 = 1.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

TĂŹm a, b sao cho đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c vĂ khả vi tấi máť?i Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ ∈ â„?.

36

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

BĂ i 15. Viáşżt cĂ´ng thᝊc Maclaurin váť›i phần dĆ° Peano cᝧa cĂĄc hĂ m sau. 1 đ?‘Ľ 2 +3đ?‘Ľ+2

2 b) đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘’ 2đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ Ä‘áşżn đ?‘Ľ 3 .

Ä‘áşżn đ?‘Ľ 4 ;

BĂ i 16. TĂ­nh giáť›i hấn (Kháť­ cĂĄc dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh

0 ď‚Ľ ). , 0 ď‚Ľ

e x  e x  2 x ; x  sin x x0

n hĆĄ

ln cos 2 x ; xď‚Ž0 sin x

N

b) lim

uy

etgx  e x ; x 0 tgx  x

m

ď °  2arctgx ; ďƒŚ 1ďƒś x ln ďƒ§1  ďƒˇ ďƒ¨ xďƒ¸

ấy

lim

/+ D

e)

b  0;

Kè

ea x  1 , sin bx x0

d) lim

Q

c) lim

x

lim

x

x  ex

.

m

f)

xe 2

gl

ďƒŚ

1

1 ďƒś

b) lim ďƒ§  ďƒˇ. xď‚Ž0 ďƒ¨ x sin x x 2 ďƒ¸

oo

ďƒŚ 1 ďƒś a) lim x ďƒ§ e x  1ďƒˇ ; ďƒˇ x ďƒ§ ďƒ¨ ďƒ¸

e.

co

BĂ i 17. TĂ­nh giáť›i hấn (Kháť­ cĂĄc dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 0.ď‚Ľ vĂ ď‚Ľ-ď‚Ľ).

us

.g

BĂ i 18. TĂ­nh giáť›i hấn (Kháť­ cĂĄc dấng vĂ´ Ä‘áť‹nh 1ď‚Ľ , ď‚Ľo , 0o ).

a) lim 1  x ln x ;

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

a) lim

xď‚Ž0

1

tgx ďƒś x2 b) lim ďƒŚďƒ§ ďƒˇ ; xď‚Ž0 ďƒ¨ x ďƒ¸

1

c) lim  cot gx  ln x . x0

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

a) đ?’‡(đ?’™) =

BĂ€I 2: Ä?áş O HĂ€M VĂ€ VI PHĂ‚N HĂ€M Máť˜T BIáşžN

37

CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM

A. f ''(0) 

f ( x)  ln(2  x) . TÏm f ''(0) .

1 . 4

B. f ''(0) 

1 . 4

C. f ''(0) 

1 . 2

D. f ''(0) 

n

C. d 2 y  (1  tg 2 x)dx 2

D. d 2 y  (1  tg 2 x)dx

hĆĄ

B. d 2 y  (1  tg 2 x)dx

Q

uy

N

A. d 2 y  (1  tg 2 x)dx 2

m

Câu 3. TĂŹm Ä‘ấo hĂ m y’(x) cᝧa hĂ m sáť‘ y = y(x) Ä‘ưᝣc cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘:

2t 2 . 1 t2

B. y’(x) =

 2t 2 . 1 t2

/+ D

A. y’(x) =

ấy

Kè

ďƒŹ x  ln(1  t 2 ) ďƒ­ ďƒŽ y  2t  2arctgt

C. y’(x) = -t.

D. y’(x) = t.

m

Câu 4. TĂŹm Ä‘ấo hĂ m đ?‘Śâ€™(đ?‘Ľ) cᝧa hĂ m Ẋn đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Śâ€“ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ś) =

sin y . (1  x)cos( y )

C. y ' 

 sin y . (1  x)cos( y )

us

.g

oo

gl

A. y ' 

e.

co

0.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Câu 2. Vi phân cẼp hai cᝧa hĂ m sáť‘ y  ln cos x lĂ :

1 . 2

B. y '  D.

sin y . 1  x cos( y )

y '  sin y.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Câu 1. Cho

38

BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Câu 5. Viết khai triển Maclaurin của hàm số f  x   5x  1 đến cấp 3 với số hạng dư dạng Peano.

2

2

x

2

 ln 5 

3

x3  0  x3 

6

2

 ln 5

3

6

x3  0  x3  .

Câu 6. Viết công thức Taylor của hàm A. y  ( x  2)   x  2    x  2   O 3

B. y   x   x  2    x  2   O

tại điểm c = 2 đến cấp 3.

  x  2  . 3

  x  2  . 3

co

m

3

x x 1

y

/+ D

2

2

uy

x2 

Q

2

m

 ln 5

Kè

D. f  x   x ln 5 

N

x 2 x3   0  x3  2 6

ạy

C. f  x   x 

6

x3  0  x3 

n

2

3

C. y  2  ( x  2)   x  2    x  2   O 3

e.

2

oo

gl

2 3 x  2 x  2   y  2  ( x  2)   O

2!

3!

.g

D.

  x  2  .

us

Câu 7. Cho hàm số f  x   x2e2x . Tính f  2 220 A. C20

2 18 2 B. C20

3

  x  2  .

20 

3

 0. C. 0

2 19 2 D. C20

4 C.  . 3

2 D.  . 3

2

Câu 8. Tính giới hạn lim

e2 x  1

x 0 3x 2

A.

2 . 3

B.

4 . 3

 x3

.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x  2

 ln 5  1  x ln 5 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. f  x 

 ln 5

2

hơ

A. f  x   x ln 5 

 ln 5

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

39

n

-

Khảo sĂĄt vĂ váş˝ Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘.

-

Khảo sĂĄt vĂ váş˝ Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ Ä‘ưᝣc cho trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc.

hĆĄ

Khảo sĂĄt vĂ váş˝ Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ).

Q

uy

N

-

Kè

m

3.1 DĂ™NG Ä?áş O HĂ€M KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) Ta nĂłi hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) náşżu:

ấy

Ä?áť‹nh nghÄŠa 3.1.1

/+ D

∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 â&#x;š đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ2 ),

m

ta nĂłi đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng chạt trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?), náşżu:

co

x1 , x2 ďƒŽ  a, b  ; x1  x2 ďƒž f  x1   f  x2 

e.

TĆ°ĆĄng táťą ta cĂł cĂĄc khĂĄi niᝇm giảm vĂ giảm chạt.

gl

Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.1. Cho đ?’‡(đ?’™) khả vi trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?). HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) khi vĂ chᝉ

oo

khi đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) ≼ 0, ∀đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?).

us

.g

ďƒŠ Cho đ?’‡(đ?’™) tăng, khi Ẽy ta cĂł:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần tháťąc hiᝇn Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáť u sau.

f '  x   f ' (x)  lim  ď „x ď‚Ž0

f  x  ď „x   f  x  ď „x

ď‚ł0

vĂŹ f  x  ď „x   f  x  ď‚ł 0, ď „x  0. Ngưᝣc lấi, náşżu f ′ (x) ≼ 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?), thĂŹ váť›i đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Lagrange ta cĂł f  x2   f  x1   f '  c   x2  x1  ď‚ł 0. ďƒť

Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.2. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) tăng chạt trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) khi vĂ chᝉ khi

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

40

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

1) f '( x) ď‚ł 0, x ďƒŽ  a, b  . 2) KhĂ´ng táť“n tấi khoảng (đ?›ź, đ?›˝) ⊂ (đ?‘Ž, đ?‘?) sao cho đ?‘“’(đ?‘Ľ) = 0 trĂŞn (đ?›ź, đ?›˝). ChĂş Ă˝ 3.1.2. CĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ˝ tĆ°ĆĄng táťą dáť… dĂ ng phĂĄt biáťƒu vĂ chᝊng minh cho cĂĄc hĂ m khĂ´ng tăng hoạc giảm.

hĆĄ

n

x2 2

uy

N

ďƒž f ' (x)  ex  1  x

Q

f ' ' (x)  ex  1  0, x  0

m

Cho nĂŞn đ?‘“′(đ?‘Ľ) tăng trĂŞn (0, +ď‚Ľ). NhĆ°ng đ?‘“ ′ (0) = 0, váş­y đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) > 0, ∀đ?‘Ľ > 0. Ä?iáť u Ä‘Ăł lĂ

Kè

chᝊng táť? đ?’‡(đ?’™) tăng trĂŞn (0, +ď‚Ľ), tᝊc lĂ đ?‘“(đ?‘Ľ) > đ?‘“(0) = 0. ďƒť

ấy

Ä?iáť u kiᝇn cần cᝧa cáťąc tráť‹ Ä‘ĂŁ xĂŠt trong Ä‘áť‹nh lĂ˝ Fermat

/+ D

Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.3. Cho đ?’‡(đ?’™) xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi đ?‘Ľ0 vĂ khả vi trong lân cáş­n đ?‘Ľ0 (cĂł tháťƒ trᝍ Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 ). Khi qua đ?‘Ľ0 :

m

1- Náşżu f’(x) Ä‘áť•i dẼu tᝍ âm sang dĆ°ĆĄng thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ất cáťąc tiáťƒu tấi đ?‘Ľ0

co

2- Náşżu f’(x) Ä‘áť•i dẼu tᝍ dĆ°ĆĄng sang âm thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ất cáťąc Ä‘ấi tấi đ?‘Ľ0

gl

e.

3- Náşżu f’(x) khĂ´ng Ä‘áť•i dẼu thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ tấi đ?‘Ľ0 .

oo

Ä?áť‹nh lĂ˝ lĂ hᝇ quả tráťąc tiáşżp cᝧa Ä‘áť‹nh lĂ˝ 2, sinh viĂŞn táťą chᝊng minh.

.g

Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.4. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi trong lân cáş­n đ?‘Ľ0 vĂ đ?‘“′(đ?‘Ľ0 ) = 0

us

1- Náşżu đ?‘“′′(đ?‘Ľ0 ) < 0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ất cáťąc Ä‘ấi chạt tấi đ?‘Ľ0 ; 2- Náşżu đ?‘“′′(đ?‘Ľ0 ) > 0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ất cáťąc tiáťƒu chạt tấi đ?‘Ľ0 .

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ďƒŠ Ä?ạt: đ?‘“(đ?‘Ľ) = e x  1  x 

x2 2

Táť•ng quĂĄt hĆĄn, dĂšng cĂ´ng thᝊc Taylor cho cẼp n ta cĂł Ä‘áť‹nh lĂ˝ sau: Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.5. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) tháť?a mĂŁn cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn 1- Khả vi Ä‘áşżn cẼp n –1 trong lân cân đ?‘Ľ0 vĂ tấi đ?‘Ľ0 (tᝊc lĂ táť“n tấi đ?‘“ (đ?‘›â€“1) (đ?‘Ľ) trong lân cáş­n đ?‘Ľ0 vĂ tấi đ?‘Ľ0 ) 2- ∃đ?‘“ (đ?‘›) (đ?‘Ľ0 )

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

VĂ­ d᝼ 3.1.1. Chᝊng minh váť›i đ?‘Ľ > 0 ta cĂł e x  1  x 

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

41

3- đ?‘“’(đ?‘Ľ0 ) = đ?‘“’’(đ?‘Ľ0 ) = ‌ = đ?‘“ (đ?‘›â€“1) (đ?‘Ľ0 ) = 0, đ?‘“ (đ?‘›) (đ?‘Ľ0 ) ≠0; Khi Ẽy náşżu n cháşľn thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ất cáťąc tráť‹ tấi đ?‘Ľ0 , c᝼ tháťƒ náşżu đ?‘“ (đ?‘›) (đ?‘Ľ0 ) > 0 ta cĂł cáťąc tiáťƒu chạt, náşżu đ?‘“ (đ?‘›) (đ?‘Ľ0 ) > 0 ta cĂł cáťąc Ä‘ấi chạt. Náşżu n láşť thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ) khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ tấi đ?‘Ľ0 .

∀đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ2 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?), ∀đ?›ź ∈ [0; 1]

n

(1)

A1

N

XĂŠt Ă˝ nghÄŠa hĂŹnh háť?c cᝧa hĂ m lĂľm. XĂŠt Ä‘áť“ tháť‹ cᝧa hĂ m sáť‘

hĆĄ

f(ď Ąx1 + (1 – ď Ą)x2) ď‚Łď Ąf(x1) + (1 – ď Ą)f(x2)

x1

Ao

xo

x2

uy

đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) vĂ hai Ä‘iáťƒm A1(x1,(f(x1)), A2(x2,(f(x2)) trĂŞn Ä‘áť“ tháť‹. Váşż

A2

m

đ?‘Ľ0 = ď Ąđ?‘Ľ1 + (1 – ď Ą)đ?‘Ľ2

Q

trĂĄi cᝧa (1) lĂ tung Ä‘áť™ cᝧa Ä‘iáťƒm đ??´0 (đ?‘Ľ0 , (đ?‘“(đ?‘Ľ0 )) trĂŞn Ä‘áť“ tháť‹ váť›i:

Kè

còn váşż phải cᝧa (1) lĂ tung Ä‘áť™ Ä‘iáťƒm B náşąm trĂŞn dây trĆ°ĆĄng cung A 1A2 váť›i hoĂ nh Ä‘áť™

ấy

đ?‘Ľ0 .

/+ D

LĆ°u Ă˝ ráşąng đ?‘Ľ0 náşąm giᝯa x1 vĂ x2, váş­y bẼt Ä‘áşłng thᝊc (1) chᝊng táť? ráşąng Ä‘iáťƒm A0 náşąm dĆ°áť›i Ä‘iáťƒm B, nĂłi máť™t cĂĄch táť•ng quĂĄt lĂ cung A1A2 náşąm dĆ°áť›i dây trĆ°ĆĄng cung A1A2.

m

HĂ m Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ láť“i trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) náşżu trong (1) ta cĂł bẼt Ä‘áşłng thᝊc ngưᝣc chiáť u, nĂłi

co

cĂĄch khĂĄc hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) láť“i náşżu hĂ m −đ?‘“(đ?‘Ľ) lĂľm.

e.

Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.6. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả vi Ä‘áşżn cẼp hai trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). Khi Ẽy hĂ m sáť‘ lĂľm trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?)

gl

khi vĂ chᝉ khi f’’(x) ď‚ł 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?).

oo

TĆ°ĆĄng táťą, ta cĹŠng cĂł đ?‘“(đ?‘Ľ) láť“i ďƒ› f’’(x) ď‚Ł 0.

us

.g

Ä?áť‹nh nghÄŠa 3.1.4 (Ä?iáťƒm uáť‘n). Ä?iáťƒm đ?‘€(đ?‘Ľ0 , đ?‘“(đ?‘Ľ0 )) cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm uáť‘n náşżu nĂł phân cĂĄch cung láť“i vĂ cung lĂľm cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong. Ä?áť‹nh lĂ˝ 3.1.7. Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł Ä‘ấo hĂ m cẼp hai đ?‘“′′(đ?‘Ľ) trong lân cáş­n Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ0 . Náşżu khi

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ďƒž

B

qua đ?‘Ľ0 , Ä‘ấo hĂ m cẼp hai đ?‘“′′(đ?‘Ľ) Ä‘áť•i dẼu thĂŹ Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘“(đ?‘Ľ0 )) lĂ Ä‘iáťƒm uáť‘n. Ä?Ć°áť?ng tiᝇm cáş­n Ä?Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ tiᝇm cáş­n cᝧa Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) (khi xď‚Ž+ď‚Ľ hoạc xď‚Ž-ď‚Ľ) náşżu lim (f (x)  ax  b)  0 hoaĂŤc

x

lim (f (x)  ax  b)  0

x

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ä?áť‹nh nghÄŠa 3.1.3 (Láť“i, lĂľm, Ä‘iáťƒm uáť‘n). HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh vĂ liĂŞn t᝼c trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ lĂľm trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) náşżu:

42

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

Ä?Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ľ = đ?‘Ž Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ tiᝇm cáş­n Ä‘ᝊng cᝧa Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) náşżu tháť?a mĂŁn Ă­t nhẼt máť™t trong hai Ä‘iáť u kiᝇn sau: () ;

lim (f (x)  

x a 

lim (f (x)  

()

x a 

RĂľ rĂ ng tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa, náşżu đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? lĂ tiᝇm cáş­n thĂŹ: f ( x) ; b  lim [ f ( x)  ax]. x x x

m ấy

Kè

ďƒŹ x  x(t ) (1) ďƒ­ y  y ( t ) ďƒŽ

Cho hai hĂ m sáť‘:

Q

PhĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong

Khi đ?‘Ą thay Ä‘áť•i, Ä‘iáťƒm đ?‘€(đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą)) váş˝ Ä‘Ć°áť?ng cong (C) trong mạt pháşłng táť?a Ä‘áť™. CĂĄc

coi chĂşng lĂ cost vĂ sint:

m

2 x2 y x y   1 , vĂŹ táť•ng bĂŹnh phĆ°ĆĄng cᝧa , báşąng 1, nĂŞn cĂł tháťƒ 2 2 a b a b

co

Ví d᝼ 3.2.1. Cho ellipse

/+ D

hĂ m sáť‘ (1) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong (C).

gl

e.

x y  cos t;  sin t; t ďƒŽ [0, 2ď ° ]. a b

oo

Váş­y ta cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ cᝧa ellipse:đ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą; đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ą.

us

.g

VĂ­ d᝼ 3.2.1. Cycloid lĂ quáťš Ä‘ấo cᝧa máť™t Ä‘iáťƒm M náşąm trĂŞn máť™t Ä‘Ć°áť?ng tròn bĂĄn kĂ­nh a khi vòng tròn Ä‘Ăł lăn khĂ´ng trưᝣt trĂŞn máť™t Ä‘Ć°áť?ng tháşłng. Giả sáť­ vòng tròn lăn váť phĂ­a hĆ°áť›ng dĆ°ĆĄng tr᝼c Ox (lăn trĂŞn tr᝼c hoĂ nh), váť‹ trĂ­ ban Ä‘ầu cᝧa M trĂšng váť›i gáť‘c táť?a Ä‘áť™ O. XĂŠt váť‹ trĂ­ máť›i cᝧa vòng tròn, váť›i Ä‘iáťƒm tiáşżp xĂşc lĂ N vĂ Ä‘iáťƒm M nhĆ° HĂŹnh 3.2. VĂŹ lăn Ě‚ = đ?‘‚đ?‘ . khĂ´ng trưᝣt nĂŞn: đ?‘€đ?‘ Ě‚ . Váş­y táť?a Giả sáť­ tâm vòng tròn lĂ đ??ˇ, Ä‘ạt đ?‘Ą = đ?‘ đ??ˇđ?‘€ Ä‘áť™ cᝧa M sáş˝ Ä‘ưᝣc tĂ­nh nhĆ° sau:

M 0

F

t

D G N

x

HĂŹnh 3.2

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n hĆĄ

uy

N

3.2 KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? CHO BáťžI PHĆŻĆ NG TRĂŒNH THAM Sáť?

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

a  lim

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

43

Ě‚ – đ?‘€đ??ş = đ?‘Žđ?‘Ą – đ?‘Ž sin đ?‘Ą , đ?‘Ľ = đ?‘‚đ??š = đ?‘‚đ?‘ – đ??šđ?‘ = đ?‘ đ?‘€ đ?‘Ś = đ??šđ?‘€ = đ?‘ đ??ş = đ?‘ đ??ˇ – đ??şđ??ˇ = đ?‘Ž – đ?‘Ž cos đ?‘Ą. Váş­y ta cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ cᝧa cycloid: đ?‘Ľ = đ?‘Ž(đ?‘Ą – sin đ?‘Ą); đ?‘Ś = đ?‘Ž(1 – cos đ?‘Ą).

ấy

t ď‚Žt o

lim x(t)  , lim y ( t)  b , ta cĂł tiᝇm cáş­n ngang đ?‘Ś = đ?‘?.

t ď‚Žt o

t ď‚Žt o

y (t )  a; x (t)

lim [ y (t)  ax (t)]  b

t ď‚Žt o

co

lim

t ď‚Žt o

m

Náşżu: khi t ď‚Ž to, x ď‚Ž +ď‚Ľ, y ď‚Ž +ď‚Ľ vĂ :

gl

e.

thĂŹ: đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? lĂ tiᝇm cáş­n xiĂŞn.

oo

VĂ­ d᝼ 3.2.2. Khảo sĂĄt vĂ váş˝ Ä‘áť“ tháť‹ cycloid đ?‘Ľ = đ?‘Ž(đ?‘Ąâ€“ sin đ?‘Ą), đ?‘Ś = đ?‘Ž(1– cos đ?‘Ą). ďƒŠ VĂŹ đ?‘Ľ(đ?‘Ą + 2ď °) = đ?‘Ľ(đ?‘Ą) + 2ď °đ?‘Ž, đ?‘Ś(đ?‘Ą + 2ď °) = đ?‘Ś(đ?‘Ą), cho nĂŞn hĂ m sáť‘ đ?‘Ś (theo biáşżn đ?‘Ľ) cĂł chu

us

.g

káťł 2đ?œ‹đ?‘Ž. Váş­y chᝉ cần khảo sĂĄt vĂ váş˝ trong Ä‘oấn 0 ď‚Ł đ?‘Ľ ď‚Ł 2đ?œ‹đ?‘Ž ᝊng váť›i 0 ≤ đ?‘Ą ≤ 2đ?œ‹. đ?‘Ľđ?‘Ąâ€˛ = đ?‘Ž(1 − cos đ?‘Ą) = 0 â&#x;ş đ?‘Ą = 0, đ?‘Ą = 2đ?œ‹, đ?‘Śđ?‘Ąâ€˛ = đ?‘Ž sin đ?‘Ą = 0 â&#x;ş đ?‘Ą = 0, đ?‘Ą = 2đ?œ‹, y 'x 

ďƒŹ y 't sin t ďƒŻ0, t  ď °  ď€˝ďƒ­ x 't 1  cos t ďƒŽ ďƒŻď‚Ľ, t  0, t  2ď °

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ

Kè

lim x(t)  a, lim y (t)   , ta cĂł tiᝇm cáş­n Ä‘ᝊng đ?‘Ľ = đ?‘Ž.

t ď‚Žt o

/+ D

Náşżu:

m

- Tiᝇm cận: Nếu:

uy

y't . x't

Q

- Khảo sĂĄt chiáť u biáşżn thiĂŞn, lĆ°u Ă˝: y'x 

N

- TĂŹm miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh, tĂ­nh cháşľn láşť, tuần hoĂ n.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ta cŊng tiến hà nh cåc bư᝛c như đᝑi v᝛i hà m sᝑ � = �(�), đó là :

n

SĆĄ Ä‘áť“ khảo sĂĄt

44

BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ta có bảng biến thiên t x’t x y’t y

hơ N uy Q m Kè

Ví dụ 3.2.3. Lá Descartes

ạy

x3 + y3 – 3axy = 0 (a > 0)

(10)

Đặt t = y , thế y = xt vào (10) ta được phương trình tham số của đường (10): 3at ; 1  t3

x'  3a

m

3at 2 (11) 1  t3

1  2t 3 1 0t 3 3 2 (1  t ) 2

e.

ta có:

y

co

x

/+ D

x

gl

2  t 3 t

(1  t 3 ) 2

0t 

oo

y'  3a

t 2  t3

vậy

us

.g

y' x 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Vậy đồ thị có dạng sau:

1  2t

3

0t

3

3

2, t  0

2, t  0

y'x = 0 khi t = 0 và t =

y''xx   khi t 

1 3

2

3

2 , và:

vaø t  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

y’x

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

45

Ta có bảng biến thiên t

-

x’t

+ +

x

n hĆĄ uy

lim y(t)  

t1

Q

t1

y (t )  lim t  1 x(t) t 1

m

lim

t 1

lim y(t)   lim x(t)   ;

t1

lim [ y (t)    1x t ]  lim

t 1

3at  t  1

t 1

t3  1

 a

Kè

vĂ

lim x(t)   ;

t1

ấy

ta cĂł

N

y’x

y

3

co

a

m

3

x + y - 3axy = 0

/+ D

Váş­y ta cĂł tiᝇm cáş­n xiĂŞn: đ?‘Ś =– đ?‘Ľâ€“ đ?‘Ž. Ä?Ć°áť?ng cong Ä‘ưᝣc biáťƒu diáť…n áť&#x; HĂŹnh 3.7.

x

a

a

a 0

oo

x +y =a x+y+a=0

HĂŹnh 6

HĂŹnh 7

HĂŹnh 3.7

HĂŹnh 3.8

us

.g

X

a

gl

e.

0

y

3.3 KHẢO SĂ T Ä?ĆŻáťœNG CONG TRONG TáťŒA Ä?áť˜ Cáť°C

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

y

3.3.1 Hᝇ táť?a Ä‘áť™ cáťąc Trong mạt pháşłng cháť?n máť™t Ä‘iáťƒm O cáť‘ Ä‘áť‹nh gáť?i lĂ cáťąc vĂ máť™t tia Ox gáť?i lĂ tia cáťąc. Váť‹ trĂ­ cᝧa máť™t Ä‘iáťƒm M trĂŞn mạt pháşłng hoĂ n toĂ n xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i hai Ä‘ấi lưᝣng:

r  OM; ď Ş  (Ox, OM )

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

y’t

46

BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN

trong đó r là bán kính vectơ;  là góc cực của điểm M. Chú ý rằng,  là góc định hướng có chiều dương ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Cặp (r, ) được gọi là các tọa độ cực của điểm M.

n

hơ

tương ứng với một điểm. Với gốc O thì r = 0 và  bất kỳ.

N

Bây giờ lấy trục tọa độ Đề Các sao cho gốc tọa độ trùng với cực và nửa dương của

x  r cos y  r sin 

m Kè

(2)

ạy

y tg  x

/+ D

Ngược lại ta có:

r  x 2  y2

(1)

Q

uy

trục hoành trùng với trục cực . Vậy ta có:

Để từ (2) xác định được góc  ta cần chọn  sao cho sin cùng dấu với y.

3

gl

vì sin

3

3

 0 cùng dấu với y 

3

3    2 . Vậy M  1,  . 2  3

.g

oo

Ta chọn  

1 3 , y . 2 2

3 , ta có hai góc 1   ,  2    .

e.

Vậy: r = 1, tg =

co

m

Ví dụ. Điểm M trong tọa độ Descartes là x =

us

3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng Bây giờ cho M(r,), với r,  không bị hạn chế như ở trên (r  0, 0  2), mà được

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

 2. Khi ấy, mỗi điểm M  O sẽ có một cặp (r, ) tương ứng và mỗi cặp (r, ) sẽ

lấy các giá trị bất kỳ. Khi ấy ta có tọa độ cực mở rộng. Như vậy một điểm có thể có nhiều tọa độ cực khác nhau. Quy ước: điểm (r,) là điểm sau: vẽ tia Ou tạo với Ox một góc . Trên tia Ou kéo dài lấy điểm M sao cho OM  r.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Để biểu diễn được tất cả các điểm của mặt phẳng, rõ ràng chỉ cần hạn chế r  0, 0

47

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

VĂ­ d᝼. Cho M cĂł toấ Ä‘áť™ r = –1, ď Ş  4ď ° . 3

TrĂŞn tia Ou (kĂŠo dĂ i) tấo váť›i Ox gĂłc ď Ş  4ď ° , Ä‘áťƒ lẼy Ä‘iáťƒm M cĂł OM  1 thĂŹ M phải 3

ngưᝣc hĆ°áť›ng váť›i Ou.

ďƒŚ ď °ďƒś ďƒ§ 1, ďƒˇ , ďƒ¨ 3ďƒ¸

táť?a

Ä‘áť™

cáťąc

máť&#x;

r᝙ng,

ďƒŚ 5ď ° ďƒś ďƒ§ 1, ďƒˇ ,... 3 ďƒ¨ ďƒ¸

vĂ­

d᝼:

uy

ďƒś ďƒˇ, ďƒ¸

trong

o

u

Kè

ďƒŚ 4ď ° ďƒ§ 1, 3 ďƒ¨

diáť…n

Q

biáťƒu

m

cĂĄch

M

N

tᝊc lĂ ta lấi Ä‘ưᝣc Ä‘iáťƒm M trong vĂ­ d᝼ 1. NhĆ° váş­y M cĂł nhiáť u

hĆĄ

n

4ď ° 1 4ď ° 3  , y  1sin  3 2 3 2

F(ď Ş,r) = 0

hoạc:

r = f(ď Ş)

/+ D

Hᝇ thᝊc:

ấy

3.3.3 Ä?Ć°áť?ng cong trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc

(3) (4)

m

xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t hĂ m sáť‘. Quáťš tĂ­ch nhᝯng Ä‘iáťƒm M(r,ď Ş) tháť?a mĂŁn (3) hoạc (4) sáş˝ lĂ máť™t

co

Ä‘Ć°áť?ng cong trong mạt pháşłng.

gl

e.

Ví d᝼.

oo

a) đ?‘&#x; = 1 lĂ Ä‘Ć°áť?ng tròn tâm O bĂĄn kĂ­nh 1, đ?œ‘ =

đ?œ‹ 3

đ?œ‹

lĂ tia đ?‘‚đ?‘˘ tấo váť›i đ?‘‚đ?‘Ľ máť™t gĂłc đ?œ‘ = . 3

.g

b) Láş­p phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘Ć°áť?ng tròn bĂĄn kĂ­nh a, Ä‘i qua cáťąc O vĂ cĂł tâm trĂŞn tr᝼c cáťąc.

us

ďƒŠ Ta cĂł hai cĂĄch: CĂĄch 1: Cho tâm áť&#x; tấi Ä‘iáťƒm ď ˇ(a,0). Giả sáť­ tᝍ M thuáť™c Ä‘Ć°áť?ng tròn váť›i

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

x  1cos

( Ox, OM)  ď Ş thĂŹ r = 2a cosď Ş. CĂĄch 2: Ä?Ć°áť?ng tròn Ä‘Ăł cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh (trong táť?a Ä‘áť™ Decac): ( x  a) 2  y 2  a 2

Tháşż x = r cosď Ş, y = r sinď Ş vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh trĂŞn ta Ä‘ưᝣc r = 2a cosď Şďƒť.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Sang táť?a Ä‘áť™ Descartes thĂŹ

48

BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN

c) Chứng tỏ rằng đường r = a sin (a > 0) là đường tròn đường kính a.  Với r  0, phương trình trên tương đương với: r2 = ar sin Mặt khác điểm cực cùng thuộc vào cả hai đường, vậy hai phương trình trên có

n hơ

uy

N

a 2 a 2  0, a .   x 2   y      - đường tròn tâm  0, a  , bán kính  2  2   2 2

Q

3.3.4 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong trong tọa độ cực

-

Lập bảng biến thiên

-

Tiệm cận nếu có

-

Xác định một số điểm đặc biệt

Kè

Miền xác định, tuần hoàn, đối xứng…

m

/+ D

ạy

-

m

Ta cũng tiến hành theo các bước thông thường:

co

Ta cần lưu ý một số điểm sau đây:

e.

1- Tuần hoàn: nếu hàm số có chu kỳ T thì ta chỉ cần vẽ đồ thị trong góc 0  T, rồi

gl

sau đó xoay những góc T (quanh cực O).

.g

oo

2- Đối xứng: ta có các trạng thái đối xứng thường gặp sau (H.3.13)

us

(r, )

( r, )

(r,)

(r,)



 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Thế x2 + y2 = r2, y = r sin ta được: x2 + y2 = ay

(r, ) (r, ) Ñoái xöùng qua ñöôøng  =

Ñoái xöùng qua truïc cöïc

2

 +

(r,) 

( r,) (r,  ) Ñoái xöùng qua cöïc O

Ta có vài nhận xét sau: -

Nếu khi thay (r, ) bởi (r,  - ) hoặc (-r, -) mà hàm số vẫn không thay đổi thì đồ thị đối xứng qua đường  = 

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

chung đồ thị.

49

BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN

-

Nếu khi thay (r, ) bởi (r, - ) hoặc (-r,  - ) mà hàm số không thay đổi thì đồ thị đối xứng qua trục cực

-

Nếu khi thay (r, ) bởi (-r, ) hoặc(r,  + ) mà hàm số không thay đổi thì đồ thị đối xứng qua cực O.

-

Nếu r = f(cos) trường hợp riêng là hàm chẵn theo  thì đồ

N

hơ

2

uy

thị đối xứng qua trục cực.

Q

3- Tiếp tuyến của đường cong

m

Gọi  là góc giữa bán kính vectơ OM với tiếp tuyến tại M(r,)

Kè

(H.3.14) .

M r

Hình 3.14

tg  tg . 1  tg tg

/+ D

tg  tg(   ) 

(6)

m

vậy:

ạy

Với ký hiệu  - góc của tiếp tuyến tại M với Ox, ta có:  =  - ,

co

Mặt khác đường cong r = f() có thể viết ở dạng tham số sau:

e.

x = r() cos();

y ' x '

r 'sin   r cos  , r ' cos   r sin 

dr . d

us

.g

ở đây: r ' 

oo

gl

Cho nên hệ số góc bằng: tg 

y = r() sin().

Thế (7) vào (6) ta được: tg 

r . r'

4- Tiệm cận: coi  là tham số và đưa đường cong về dạng tham số

 x  r( )cos   y  r( )sin .

(7)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nếu r = f(sin) hoặc là hàm lẻ theo  thì đồ thị đối xứng qua  =  .

n

-

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Như là hệ quả ta có quy tắc rất tiện sử dụng sau:

50

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

a VĂ­ d᝼ 3.3.1. r  . ď Ş

a ď Ş

Ä?Ć°a váť tham sáť‘: x r= cosď Ş, y r= a sinď Ş. ď Ş

Khi ď Şď‚Ž 0 thĂŹ x ď‚Žď‚Ľ, y ď‚Ž a nĂŞn y = a lĂ tiᝇm cáş­n ngang.

hĆĄ

r’ = –asinď Ş

N

r 1  cos ď Ş ďƒŹ ďƒŻ0, ď Ş  ď °  ď€˝ďƒ­ r' sin ď Ş ďƒŻď€Ťď‚Ľ, ď Ş  0 ďƒŽ

uy

tgď ˇ 

/+ D

ấy

Kè

m

Q

Bảng biến thiên

us

.g

oo

gl

e.

co

m

Váş­y Ä‘áť“ tháť‹ cĂł dấng (sau khi Ä‘áť‘i xᝊng qua tr᝼c cáťąc)

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

ďƒŠ HĂ m sáť‘ cháşľn, chu káťł 2ď °. Váş­y chᝉ cần khảo sĂĄt váť›i 0 ď‚Ł ď Ş ď‚Ł ď ° ráť“i lẼy Ä‘áť‘i xᝊng qua tr᝼c cáťąc.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

VĂ­ d᝼ 3.3.2. Khảo sĂĄt vĂ váş˝ Ä‘áť“ tháť‹ Ä‘Ć°áť?ng cardioid: đ?‘&#x; = đ?‘Ž(1 + cos đ?œ‘), đ?‘Ž > 0.

BĂ€I 3: KHẢO SĂ T HĂ€M Sáť? Máť˜T BIáşžN

51

TĂ“M TẎT Trong bĂ i háť?c nĂ y, háť?c viĂŞn cᝧng cáť‘ lấi khảo sĂĄt máť™t sáť‘ hĂ m sáť‘ dấng đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ), ngoĂ i ra, cần lĂ m quen váť›i cĂĄch khảo sĂĄt hĂ m sáť‘ cho áť&#x; dấng phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘,

hĆĄ

n

BĂ i 2. Chᝊng minh cĂĄc bẼt Ä‘áşłng thᝊc sau. a) sinx + tgx ď‚ł 2x, x ďƒŽ ďƒŚďƒ§ 0, ď ° ďƒśďƒˇ 2ďƒ¸

co

x>0

m

arctgx , 1 x

/+ D

b) 2xarctgx  ln(1 + x2), x c) ln(1+x) >

uy

ấy

ďƒ¨

x . ln x

m

b) y =

Q



Kè



a) y = x 1  x ;

N

BĂ i 1. TĂŹm cĂĄc khoảng tăng giảm cᝧa cĂĄc hĂ m sau.

ďƒŠ

e.

BĂ i 3. TĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ bĂŠ nhẼt cᝧa hĂ m sáť‘y = 2tgx – tg2x trĂŞn ďƒŞ 0,

ď °ďƒš

2 ďƒşďƒť

.

gl

ďƒŤ

oo

BĂ i 4. TĂŹm tiᝇm cáş­n cᝧa Ä‘áť“ tháť‹ cĂĄc hĂ m sáť‘ y(x) sau:

.g

x2  3

a) y =

us

x

b) y =

;

ln  x  1 x2

 2x

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

BĂ€I TẏP

BĂ i 5. XĂŠt tĂ­nh láť“i, lĂľm, Ä‘iáťƒm uáť‘n cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘: a) x = tlnt, y = –6et – 3t2;



b) x = 1  t



1 t ,y



= 1 t

1



1 t.

BĂ i 6. TĂŹm tiᝇm cáş­n cᝧa cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘: x = t3 - 3ď °, y = t3 – 6arctgt.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĂ m sáť‘ trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc.

52

BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN

Bài 7. Khảo sát và vẽ đồ thị của các đường cong sau: a) x = t2, y = t3;

b) x = 2t – t2, y = 2t2 – t3.

d) x2 + 9y2 = 9.

N

Bài 9. Đưa các phương trình trong tọa độ cực về phương trình trong tọa độ đề các

c) r =

Q

b) r = 1 – sin ;

Kè

m

a) r = 2cos ;

uy

vuông góc.

ạy

Bài 10. Khảo sát và vẽ đồ thị các đường cong sau:

b) r = 1 + sin

/+ D

a) r = 2 (1 - cos); c) r = acos 3, a > 0;

m co e. gl oo .g us

 3

d) r = a cos 3 , a > 0.

1 . sin 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

c) x2 + y2 + 2x = 0.

n

b) y2 = 8x.

hơ

a) x = 4.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Bài 8. Đưa các phương trình sau về tọa độ cực:

BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN

53

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hàm số

y

x 1 có các khoảng tăng giảm là: x 1

n hơ N

C. y giảm trên từng khoảng ( ,1) , (1,  ) .

Q

/+ D

B. lồi trên  0;  , lõm trên  ;0  .

ạy

A. lõm trên  ;0  1;   , lồi trên  0;1 .

m

1  x 2 . Đồ thị hàm số này: x

Kè

Câu 2. Cho hàm số f  x  

uy

D. y giảm trên ( ,  ) .

C. lồi trên 1;  , lõm trên  ;1 .

co

m

D. lồi trên  ;0  1;   , lõm trên  0;1 .

y

gl

e.

Câu 3. Tìm tất cả các tiệm cận của hàm số

y  1.

C.

x  1, x  1, y  1.

us

.g

oo

A.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

B. y tăng trên ( ,  ) .

x 4

x4  1

.

B.

x  1, x  1.

D.

y  1, y  1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

A. y tăng trên ( ,1) , giảm trên (1,  ) .

54

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

n

Nháş­n diᝇn tĂ­ch phân suy ráť™ng loấi 1, loấi 2.

-

Ă p d᝼ng cĂĄc tiĂŞu chuẊn háť™i t᝼ khĂĄc nhau xĂŠt sáťą háť™i t᝼ (hay phân kĂŹ) cᝧa tĂ­ch phân

N

hĆĄ

-

Q

TĂ­nh tĂ­ch phân suy ráť™ng loấi 1, loấi 2 trong trĆ°áť?ng hᝣp nĂł háť™i t᝼.

m

-

uy

suy ráť™ng loấi 1, loấi 2.

m

Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.1.1 (Phân hoấch)

/+ D

4.1.1 TĂ­ch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh

ấy

Kè

4.1 Ä?ᝊNH LĂ? CĆ BẢN CᝌA PHÉP TĂ?NH TĂ?CH PHĂ‚N, CĂ”NG THᝨC NEWTON - LEIBNIZ

co

1) Phân hoấch cᝧa Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] lĂ táş­p cĂĄc Ä‘iáťƒm: đ?‘ƒ = {đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› } sao cho: đ?‘Ž = đ?‘Ľ0 < đ?‘Ľ1 <

max

n  i  n 1

xi1  xi ,0 ď‚Ł i  n, Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ chuẊn cᝧa phân hoấch P.

oo

gl

2) Ä?ấi lưᝣng: P 

e.

â‹Ż < đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?.

.g

3) Phân hoấch Q cᝧa Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] Ä‘ưᝣc gáť?i máť‹n hĆĄn phân hoấch đ?‘ƒ náşżu đ?‘ƒ ⊂ đ?‘„.

us

Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.1.2 (Táť•ng Riemann). Cho hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] vĂ đ?‘ƒ = {đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› } lĂ máť™t phân hoấch cᝧa [đ?‘Ž, đ?‘?]. Táť•ng Riemann cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) ᝊng váť›i phân hoấch đ?‘ƒ lĂ táť•ng

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần tháťąc hiᝇn Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáť u sau.

S( P ) 

n1

ďƒĽ f ( ď ¸i ) ď „xi ;

i0

ď „xi  xi1  xi ,

Váť›i ď ¸ i lĂ máť™t Ä‘iáťƒm bẼt káťł cᝧa [đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Ľđ?‘–+1 ]. Táť•ng Riemann (gáť?i theo tĂŞn nhĂ toĂĄn háť?c Ä?ᝊc Georg Friedrich Bernhaed Riemann (1826 – 1866) rĂľ rĂ ng ph᝼ thuáť™c vĂ o hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ), phân hoấch đ?‘ƒ vĂ cĂĄc Ä‘iáťƒm trung gian ď ¸i .

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

55

Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.1.3 1) Ta nĂłi táť•ng Riemann đ?‘†(đ?‘ƒ) cĂł giáť›i hấn đ?‘† khi P ď‚Ž 0 náşżu: ď€˘ď Ľ  0, ď€¤ď ¤ : P , P  ď ¤ ďƒž S( P )  S  ď Ľ (váť›i máť?i Ä‘iáťƒm trung gian ď ¸ i ).

2) Náşżu táť•ng Riemann đ?‘†(đ?‘ƒ) cĂł giáť›i hấn đ?‘† thĂŹ ta gáť?i đ?‘† lĂ tĂ­ch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ)

ďƒ˛

hĆĄ

S  f ( x )dx.

N

a

uy

Khi Ẽy hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?].

Q

LĆ°u Ă˝ ráşąng khi P ď‚Ž 0 thĂŹ sáť‘ cĂĄc Ä‘iáťƒm chia n cĹŠng Ä‘Ć°ĆĄng nhiĂŞn tiáşżn táť›i ď‚Ľ. Ä?iáť u

Kè

m

ngưᝣc lấi nĂłi chung khĂ´ng Ä‘Ăşng.

ấy

4.1.2 CĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa tĂ­ch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh

/+ D

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ khả tĂ­ch trĂŞn Ä‘oấn Ẽy. Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.2. Náşżu hĂ m liĂŞn t᝼c tᝍng khĂşc trĂŞn máť™t Ä‘oấn thĂŹ nĂł khả tĂ­ch trĂŞn Ä‘oấn

m

Ẽy.

co

(HĂ m sáť‘ Ä‘ưᝣc gáť?i liĂŞn t᝼c tᝍng khĂşc trĂŞn máť™t Ä‘oấn náşżu trĂŞn Ä‘oấn Ẽy nĂł chᝉ cĂł hᝯu

gl

e.

hấn cĂĄc Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi máť™t, khĂ´ng cĂł Ä‘iáťƒm giĂĄn Ä‘oấn loấi hai).

oo

4.1.3 TĂ­ch phân váť›i cáş­n trĂŞn thay Ä‘áť•i

us

.g

Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?]. Váť›i đ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?] ta xĂŠt hĂ m sáť‘:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

b

đ?‘Ľ

đ?œ™(đ?‘Ľ) = âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą. đ?‘Ž

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.3. Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ đ?œ™(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?]. Chᝊng minh. TrĆ°áť›c háşżt ta lĆ°u Ă˝ ráşąng náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ nĂł báť‹ chạn trĂŞn Ä‘oấn Ä‘Ăł (tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa), giả sáť­ f ( x ) ď‚Ł M , x ďƒŽ ď › a,bď ? .

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] vĂ kĂ˝ hiᝇu

56

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

Khi Ẽy váť›i ∀đ?‘Ľ, đ?‘Ľâ€™ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?] ta cĂł: ď Ś( x ) ď€­ď Ś( x )  ,,

,

x,,

x,

x,,

x,,

a

a

x,

x,

ďƒ˛ f (t) dt  ďƒ˛ f (t) dt  ďƒ˛ f (t) dt ď‚Ł M ďƒ˛ dx  M

x,,  x, .

Váş­y đ?œ™(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?].



ďƒ˛

hĆĄ

uy

xď€Ťď „x

f (t) dt  f (ď ¸).

x

Q

ď †( x  ď „x)  ď †( x) 1  ď „x ď „x

N

Chᝊng minh. Cho đ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?], lẼy Δđ?‘Ľ ≠0, đ?‘Ľ + Δđ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?], khi Ẽy ta cĂł

m

Trong Ä‘áşłng thᝊc cuáť‘i ta Ä‘ĂŁ sáť­ d᝼ng Ä‘áť‹nh lĂ˝ giĂĄ tráť‹ trung bĂŹnh, áť&#x; Ä‘ây ď ¸ = x + ď ąď „x

Kè

(0 <ď ą< 1).

ấy

Sáť­ d᝼ng tĂ­nh liĂŞn t᝼c cᝧa đ?’‡(đ?’™), cho ď „x ď‚Ž 0 ta cĂł Ä‘pcm.



/+ D

áťž Ä‘ây lĆ°u Ă˝ ráşąng hĂ m đ?œ™(đ?‘Ľ) cĂł Ä‘ấo hĂ m trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] cĂł nghÄŠa lĂ nĂł cĂł Ä‘ấo hĂ m

m

trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ cĂł Ä‘ấo hĂ m phải tấi đ?‘Ž, Ä‘ấo hĂ m trĂĄi tấi đ?‘?.

co

NhĆ° lĂ hᝇ quả tráťąc tiáşżp cᝧa Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.4 ta cĂł

e.

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.5. Náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ nĂł cĂł nguyĂŞn hĂ m trĂŞn Ä‘oấn

gl

Ẽy.

oo

4.1.4 CĂ´ng thᝊc Newton - Leibniz - Ä‘áť‹nh lĂ˝ cĆĄ bản cᝧa phĂŠp

us

.g

tĂ­nh tĂ­ch phân Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.6 (Newton - Leibniz). Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] vĂ đ??ş(đ?‘Ľ) lĂ máť™t nguyĂŞn hĂ m bẼt káťł cᝧa nĂł. Khi Ẽy ta cĂł:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

đ?œ™â€˛(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘Ľ).

b

ďƒ˛ f (x) dx  G(b)  G(a).

a

Chᝊng minh. Gáť?i ÎŚ(đ?‘Ľ) lĂ nguyĂŞn hĂ m cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ), khi Ä‘Ăł đ??ş(đ?‘Ľ) = ÎŚ(đ?‘Ľ) + đ??ś, ∀đ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?]. Cho x = a vĂ lĆ°u Ă˝ ď †(a) = 0 ta Ä‘ưᝣc C = G(a).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.4. Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] thĂŹ đ?œ™(đ?‘Ľ) cĂł Ä‘ấo hĂ m trĂŞn Ä‘oấn Ẽy vĂ

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

57

Cho x = b, ta cĂłG(b) = ď †(b) + C = ď †(b) + G(a), hay lĂ b

ďƒ˛ f (x) dx  ď †(b)  G(b)  G(a).



a

Ä?áť‹nh lĂ˝ trĂŞn cĂł tháťƒ máť&#x; ráť™ng áť&#x; dấng sau.

n hĆĄ

b

ďƒ˛ f ( x) dx  G(b)  G(a).

Q

a

uy

N

2- CĂł nguyĂŞn hĂ m trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] vĂ đ??ş(đ?‘Ľ) lĂ máť™t nguyĂŞn hĂ m bẼt káťł cᝧa nĂł. Khi Ẽy,

Kè

m

Chᝊng minh. LẼy phân hoấch bẼt káťł cᝧa [đ?‘Ž, đ?‘?]; a = x0< x1< ‌ < xn = b ta cĂł

ấy

G  b – G  a   ď ›G( x1 )  G( x0 )ď ?  ď ›G( x2 )  G( x1 )ď ?  ...  ď ›G( xn )  G( xn1 )ď ? .

/+ D

Sáť­ d᝼ng cĂ´ng thᝊc Lagrange cho tᝍng Ä‘oấn [xi,xi+1] ta Ä‘ưᝣc

co

váť›i ď ¸i ďƒŽ ď › xi , xi1 ď ? , i  0, 1,....,n  1.

m

G( b )  G( a )  f ( ď ¸0 ) ď „x0  f ( ď ¸1 ) ď „x1  ... f ( ď ¸n1 ) ď „xn1 ,

NhĆ° váş­y G(b) – G(a) Ä‘ưᝣc biáťƒu diáť…n áť&#x; dấng táť•ng tĂ­ch phân cᝧa hĂ m đ?’‡(đ?’™) trĂŞn Ä‘oấn

e.

b

ďƒ˛

gl

[đ?‘Ž, đ?‘?]. Cho max ď „xiď‚Ž 0 ta Ä‘ưᝣc G( b)  G(a)  f ( x) dx.



oo

a

.g

ChĂş Ă˝ 4.1.4. CĂ´ng thᝊc Newton - Leibniz thĆ°áť?ng Ä‘ưᝣc viáşżt áť&#x; dấng: b

a

2

x3 VĂ­ d᝼ 4.1.1. ďƒ˛ x dx  3 1 2

e2

Ví d᝼ 4.1.2.

ďƒ˛ e

b

ďƒ˛ f (x) dx  G(x) a .

us pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

1- Khả tĂ­ch trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?].

dx  x ln x

e2

ďƒ˛ e

23  1   3. 3 3 3

2 1 

d (ln x )  ln ln x ln x

e2 e

 ln 2.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.1.7 (New – Leibniz). Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ)

58

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

4.2 TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG LOáş I 1 (KHOẢNG LẤY TĂ?CH PHĂ‚N VĂ” Háş N) 4.2.1 TĂ­ch phân suy ráť™ng loấi 1

n

ďƒ˛ f ( x ) dx

hĆĄ

(4.1)

ďƒ˛

lĂ giáť›i hấn (náşżu cĂł)

f ( x) dx  lim

b

b

a

Q

a

ďƒ˛ f ( x) dx. .

uy



N

a

m

Khi Ẽy ta nĂłi ráşąng tĂ­ch phân (1) háť™i t᝼. Náşżu ngưᝣc lấi ta nĂłi tĂ­ch phân (4.1) phân

dx

ďƒ˛ 1  x2

 arctgx 

dx

ďƒ˛ xď Ą

Ví d᝼ 4.2.2. XÊt tích phân

(ď Ą> 0).

dx

ďƒ˛ xď Ą

1 1ď€­ď Ą b 1 x  b1ď€­ď Ą  a1ď€­ď Ą . 1ď€­ď Ą 1  ď Ą a



co

b



gl

1ď€­ď Ą

0ďƒž

oo

Náşżu ď Ą  1 ďƒž lim b

.g

b

1ď€­ď Ą

us

Náşżu ď Ą  1 ďƒž lim b b b

dx

ďƒ˛x



ďƒ˛

a

dx

xď Ą



a1ď€­ď Ą ďƒž háť™i t᝼. ď Ą 1 b

dx

ďƒž phân káťł. b ďƒ˛ xď Ą

  ď‚Ľ ďƒž lim

a

 ln b  ln a ď‚Ž  ď‚Ľ ( b ď‚Ž  ď‚Ľ) ďƒž phân káťł.

a



Vậy tích phân

ďƒ˛

a



e.

a

Náşżu ď Ą  1 ďƒž

m

a

Náşżu ď Ą ď‚š 1 ďƒž

0

 arctgb, b  0, suy ra

/+ D

0

b

ấy

b

Ví d᝼ 4.2.1. Ta có

Kè

káťł.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş



dx xď Ą

ďƒŹhoäi tuĂŻ neĂĄu ď Ą  1 ďƒ­ ďƒŽphaân kyø neĂĄu ď Ą ď‚Ł 1



dx

ď °

lim arctgb  . ďƒ˛ 1  x2  b 2 0

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.2.1. Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž. TĂ­ch phân suy ráť™ng loấi 1 cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn [đ?‘Ž, +ď‚Ľ), Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

59

TĆ°ĆĄng táťą ta cĂł Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.2.2 b

b



a

lim ďƒ˛ f ( x ) dx; ďƒ˛ f ( x ) dx  a

ďƒ˛ f ( x ) dx ( c ďƒŽ R ). c



4.2.2 S᝭ d᝼ng công thᝊc Newton - Leibniz

uy

Giả sáť­ đ??š(đ?‘Ľ) lĂ nguyĂŞn hĂ m cᝧa đ?’‡(đ?’™) trĂŞn [đ?‘Ž, +ď‚Ľ], khi Ä‘Ăł

ď › F (b)  F (a)ď ?. ďƒ˛ f ( x) dx  blim 

m

lim

a

Kè

b

Q

b

Váş­y ta cĂł tháťƒ viáşżt

ďƒ˛

/+ D



ấy

Cho nĂŞn tĂ­ch phân suy ráť™ng táť“n tấi khi vĂ chᝉ khi  lim F (b) :  F ().

f ( x) dx  F ()  F ( a)  F ( x)

 a .

m

a

b

co

4.2.3 TĂ­ch phân khĂ´ng âm. CĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ˝ so sĂĄnh

b

ďƒ˛

ď †( b)  f ( x) dx

(2)

a

.g

oo

gl

e.

Náşżu đ?’‡(đ?’™) ≼ 0 vĂ khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, +ď‚Ľ), thĂŹ:

us

lĂ máť™t hĂ m khĂ´ng giảm trĂŞn [đ?‘Ž, +ď‚Ľ), cho nĂŞn giáť›i hấn

lim ď †(b) táť“n tấi khi vĂ chᝉ khi

b

nĂł báť‹ chạn, ď †(b) ď‚Ł M (b ďƒŽ [a,  ď‚Ľ)). Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.1. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ 0 vĂ khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž. Khi Ẽy tĂ­ch phân (2) háť™i t᝼ b

khi và chᝉ khi  M:

ďƒ˛ f ( x )dx ď‚Ł M ,b ďƒŽ [ a, ). a

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.2. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khĂ´ng âm vĂ khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] váť›i ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž vĂ đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ) áť&#x; lân cáş­n cᝧa +ď‚Ľ. Khi Ẽy náşżu

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N



n

ďƒ˛

f ( x ) dx 

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş



c

hĆĄ

ďƒ˛

f ( x ) dx 

N



60

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG



a)

ďƒ˛

g( x ) dx háť™i t᝼ thĂŹ

a



b)

ďƒ˛



ďƒ˛

f ( x ) dx háť™i t᝼.

a

f ( x ) dx phân kᝳ thÏ



ďƒ˛

g( x ) dx phân kᝳ.

a

a

b

a

a

n

Q

Tiáşżp theo sáť­ d᝼ng Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.1.

N

ďƒ˛ f (x) dx ď‚Ł ďƒ˛ g(x) dx.

hĆĄ

b

uy

đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ), ∀đ?‘Ľ ∈ [đ?‘Ž, +ď‚Ľ) ďƒž

Kè

x

f ( x)  K, g ( x)

ấy

Giả sáť­  lim

m

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.3. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khĂ´ng âm vĂ khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?] váť›i ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž.





/+ D

ďƒ˛ g(x) dx háť™i t᝼, ta cĂł ďƒ˛ f (x) dx

a) K = 0 thĂŹ náşżu

háť™i t᝼

a

m

a



ďƒ˛ f (x) dx

gl

a

háť™i t᝼, ta cĂł

e.

c) K = +ď‚Ľ thĂŹ náşżu

co

b) 0 < K < +ď‚Ľ thĂŹ hai tĂ­ch phân cĂšng háť™i t᝼ hoạc cĂšng phân káťł 

ďƒ˛ g(x) dx háť™i t᝼.

a

oo

Chᝊng minh. K = 0 ďƒž váť›i ď Ľ> 0, áť&#x; lân cáş­n +ď‚Ľ, ta cĂł: f ( x)  ď Ľ ďƒž f (x)  ď Ľ g(x).

.g

g ( x)

us

Tᝍ Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.2. ta cĂł Ä‘pcm. b) 0 < K < +ď‚Ľďƒž váť›i 0 <ď Ľ< K, áť&#x; lân cáş­n +ď‚Ľ, ta cĂł K  ď Ľ  f ( x)  K  ď Ľ,

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

đ?‘“(đ?‘Ľ) áť&#x; lân cáş­n +ď‚Ľ. NĂŞn khĂ´ng lĂ m giảm tĂ­nh táť•ng quĂĄt cĂł tháťƒ giả thiáşżt

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa ta thẼy tĂ­nh háť™i t᝼ cᝧa tĂ­ch phân suy ráť™ng ph᝼ thuáť™c dĂĄng Ä‘iᝇu cᝧa

g ( x)

(K  ď Ľ) g ( x)  f ( x)  f ( x)  (K  ď Ľ) g( x).

Tiáşżp theo lấi sáť­ d᝼ng Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.2.2. c) K = 0 ďƒž lim

x

g ( x)  0. Ráť“i sáť­ d᝼ng phần a). f ( x)



BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG



61

cos2 x

 1  x2 dx .

Ví dụ 4.2.3. Xét tính hội tụ của

0 

1 x

2

x 1  x2

~

dx

2 1 x 1 x

. 

dx ( x   ) mà hội tụ (xem Ví dụ 4.2.2), vậy tích phân đã 2 2 x x 1 1

dx;

dx

1

( x   ).

1/ 2

x

phân kỳ. Vậy tích phân đã cho phân kỳ.

x1/ 2 1



m

b

/+ D

4.2.4 Hội tụ tuyệt đối Đặt (b) 

~

ạy



Tích phân

1 x

2

Kè

1

x3/ 2

Q

x3/ 2

 1  x2

Ví dụ 4.2.5. Khảo sát

m



uy

cho hội tụ.

 f ( x) dx,

 f (x) dx

như vậy sự hội tụ của tích phân

tương đương với sự

a

co

a

e.

tồn tại lim ( b). Cho nên, từ tiêu chuẩn hội tụ Cauchy ta có

gl

b



oo

Định lý 4.2.4. Nếu tích phân

.g

us

f ( x) dx hội tụ thì tích phân

a

1 Chứng minh. Đặt f   f  f  , 2

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Ví dụ 4.2.4. Khảo sát 1

hội tụ nên tích phân đã cho hội tụ.

0



Ta có

dx

 1  x2 dx

, mà



 f (x) dx

hội tụ.

a

1 f   f  f  , ta có: 0  f   f , f  f   f  mà 2 



f

dx

a



hội tụ, nên

 f dx

hội tụ.

a



Ví dụ 4.2.6. Tích phân

 1 x 0



Nếu tích phân

a

cos x

dx hội tụ vì 2



cos x

 1  x2 dx

hội tụ (như Ví dụ 4.2.3).

0

f  x  dx hội tụ thì tích phân



 f (x) dx

a

được gọi hội tụ tuyệt đối.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1

n

1 x

2

hơ

cos2 x

N

Vì

62

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

4.3 TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG LOáş I 2 (HĂ€M DĆŻáťšI DẤU TĂ?CH PHĂ‚N KHĂ”NG Bᝊ CHáşśN) 4.3.1 TĂ­ch phân suy ráť™ng loấi 2 Ä?áť‹nh nghÄŠa 4.3.1. Cho đ?’‡(đ?’™) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong [đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ lim f ( x )   ď‚Ľ, Ä‘áť“ng tháť?i đ?’‡(đ?’™) khả xď‚Žb

hĆĄ

a

thĂŹ giáť›i hấn Ä‘Ăł

n

ďƒ˛ f ( x ) dx

Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ tĂ­ch phân suy ráť™ng loấi 2 cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?] vĂ Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu

N

b

uy

ďƒ˛ f ( x ) dx. cď‚Žb

a

c

bď€­ď Ľ

ďƒ˛ f ( x) dx  lim

ď Ľď‚Žo

a

ďƒ˛

f ( x) dx.

a

b

ďƒ˛ f ( x) dx

háť™i t᝼. Trong trĆ°áť?ng hᝣp ngưᝣc lấi ta nĂłi phân káťł.

ấy

Khi Ẽy ta nói tích phân

1

Ta cĂł

ďƒ˛

1  x2

 lim arcsin (1  ď Ľ)  arcsin 1  ď Ľď‚Žo

gl

0

dx

 arcsin (1  ď Ľ).

m

1  x2

0

co

dx

ďƒ˛

e.

Ví d᝼ 4.3.1.

/+ D

a

1ď€­ď Ľ

b

VĂ­ d᝼ 4.3.2. Khảo sĂĄt tĂ­nh háť™i t᝼ cᝧa ďƒ˛

dx

ď Ź a b  x

oo

m

ďƒ˛ f ( x) dx  lim

Kè

b

Váş­y

Q

a

ď ° . 2 (b  a).

us

.g

Váť›i ď Źď‚Ł 0 thĂŹ ta Ä‘ưᝣc tĂ­ch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh thĂ´ng thĆ°áť?ng. Váť›i ď Źď‚š 1 ta cĂł:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

cb

1ď€­ď Ź

Náşżu ď Ź  1 thĂŹ ď Ľ

bď€­ď Ľ

dx

ďƒ˛  b  x ď€Šď Ź a



1 ďƒŠ 1ď€­ď Ź ď Ľ  (b  a)1ď€­ď Ź ďƒš . ďƒť 1ď€­ď Ź ďƒŤ b

ď‚Ž 0 (ď Ľ ď‚Ž 0 ) , váş­y

dx

1

1ď€­ď Ź

ďƒ˛  b  x ď€Šď Ź  ď Ź  1 ( b  a )

a

Náşżu ď Ź  1 thĂŹ ď Ľ1ď€­ď Ź ď‚Ž  (ď Ľ ď‚Ž 0 ) , váş­y tĂ­ch phân phân káťł.

.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

c

tĂ­ch trong [đ?‘Ž, đ?‘?] váť›i ∀đ?‘?: đ?‘Ž ≤ đ?‘? < đ?‘?. Náşżu táť“n tấi giáť›i hấn:  lim

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

Náşżu ď Ź  1 ďƒž

bď€­ď Ľ

ďƒ˛

a

dx  ln ( b  a)  ln ď Ľ ď‚Ž  (ď Ľ ď‚Ž 0), váş­y tĂ­ch phân phân káťł. bx

b

Tóm lấi ta có

63

dx

ďƒ˛  b  x ď€Šď Ź

háť™i t᝼ khi ď Ź< 1; phân káťł khi ď Źď‚ł 1.

a

b

a

c

a ď€Ťď Ľ

Q

m

Náşżu Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ lĂ máť™t Ä‘iáťƒm trong cᝧa Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?]

f ( x) dx.

N

b

uy

b

lim ďƒ˛ ďƒ˛ f ( x) dx  clim ďƒ˛ f ( x) dx  ď Ľď‚Ž ď‚Ža 0

lim f ( x)   ď‚Ľ, c ďƒŽ ( a, b),

Kè

xď‚Žc

ďƒ˛

b

ďƒ˛

ďƒ˛

a

c

m

a

c

f ( x) dx  f (x) dx  f (x) dx.

/+ D

b

ấy

thĂŹ theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa ta cĂł

co

4.3.2 TĂ­ch phân hĂ m khĂ´ng âm. CĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ˝ so sĂĄnh

e.

Cho đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) khả tĂ­ch trĂŞn [a,c] c : a ď‚Ł c < b vĂ khĂ´ng âm trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?].

b

ďƒ˛

g( x ) dx háť™i t᝼ thĂŹ

.g

Náşżu

oo

gl

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.3.1. Cho trong lân cáş­n trĂĄi cᝧa b ta cĂł đ?‘“(đ?‘Ľ) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ) b

ďƒ˛ f ( x ) dx

háť™i t᝼.

a

us

a

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.3.2. Giả sáť­  lim f ( x )  K . Khi Ẽy:

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

nghÄŠa

hĆĄ

n

xa 

xb

g( x )

b

a) Náşżu K = 0 thĂŹ náşżu

ďƒ˛ g( x ) dx a

b

háť™i t᝼ ta cĂł

ďƒ˛ f ( x ) dx háť™i t᝼; a

b) Náşżu 0 < K < +ď‚Ľ thĂŹ hai tĂ­ch phân cĂšng háť™i t᝼ hoạc cĂšng phân káťł;

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

TĆ°ĆĄng táťą náşżu lim f (x)   ď‚Ľ vĂ đ?’‡(đ?’™) khả tĂ­ch trĂŞn (c, b] váť›i máť?i c: a<cď‚Łb. Ta cĂł Ä‘áť‹nh

64

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

b

b

ďƒ˛ f ( x ) dx háť™i t᝼ ta cĂł ďƒ˛ g( x ) dx

c) Náşżu K = +ď‚Ľ thĂŹ náşżu

a

háť™i t᝼.

a

Náşżu Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ lĂ cáş­n trĂĄi hoạc áť&#x; giᝯa ta cĹŠng cĂł cĂĄc káşżt quả tĆ°ĆĄng táťą. 1

Ví d᝼ 4.3.3. Khảo såt

dx

ďƒ˛ 4 1  x4 ; Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ lĂ cáş­n phải x = 1, ta cĂł 4 (1  x)

(1  x  x 2  x 3 )

ď ž

1 . 4 4(1  x)

n

1

hĆĄ

1  x4

1

dx

ďƒ˛ 4 4(1  x)

háť™i t᝼, nĂŞn tĂ­ch phân Ä‘ĂŁ cho cĹŠng háť™i t᝼.

uy

Mạt khåc tích phân



N

4

Q

0

Kè

m

4.3.3 CĂ´ng thᝊc Newton - Leibniz trong tĂ­ch phân suy ráť™ng CĹŠng giáť‘ng nhĆ° tĂ­ch phân suy ráť™ng loấi 1, náşżu đ??š(đ?‘Ľ) lĂ nguyĂŞn hĂ m cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn

ấy

[đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ ta cĂł:

/+ D

b

lim ď ›F( b  ď Ľ)  F(a)ď ?  F( b)  F(a), ďƒ˛ f (x) dx  ď Ľď‚Ž o

ta viáşżt

ďƒ˛

b

co

b

m

a

f ( x) dx  F( b)  F(a)  F( x) . a

gl

e.

a

.g

oo

4.3.4 Háť™i t᝼ tuyᝇt Ä‘áť‘i

us

Ä?áť‹nh lĂ˝ 4.3.3. Náşżu tĂ­ch phân

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

1

b

ďƒ˛

a

f ( x ) dx háť™i t᝼ thĂŹ tĂ­ch phân

b

ďƒ˛ f ( x ) dx

háť™i t᝼. (Váť›i Ä‘iáť u

a

kiᝇn lĂ đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂ­ch trĂŞn [a, b - ď Ľ], ď Ľ> 0). Khi Ẽy ta nĂłi tĂ­ch phân

b

ďƒ˛ f ( x ) dx

háť™i t᝼ tuyᝇt

a

Ä‘áť‘i.

4.3.5 Máť™t sáť‘ vĂ­ d᝼ Ta xĂŠt thĂŞm máť™t vĂ i vĂ­ d᝼ cả hai loấi tĂ­ch phân suy ráť™ng. LĆ°u Ă˝ ráşąng cĂ´ng thᝊc Newton - Leibniz cĂł tháťƒ dĂšng cho cả hai trĆ°áť?ng hᝣp nhĆ° Ä‘ĂŁ nĂŞu áť&#x; cĂĄc phần trĂŞn, cho

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

0

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

65

nĂŞn ta cĹŠng cĂł tháťƒ sáť­ d᝼ng cĂĄc phĆ°ĆĄng phĂĄp Ä‘áť•i biáşżn vĂ tĂ­ch phân tᝍng phần, chᝉ cần nháť› lĂ cĂĄc cáş­n Ä‘ạc biᝇt thĂŹ phải coi lĂ giáť›i hấn tĆ°ĆĄng ᝊng. 1

ln x

ďƒ˛ 1  x2 dx .

VĂ­ d᝼ 4.3.4. XĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa tĂ­ch phân

0

1

arctgx dx. x 0

xo

1

ln x

arctgx dx. x 0

ďƒ˛ 1  x2 dx   ďƒ˛

Do lim ln x arctgx  lim x ln x  0, cho nên xo

hĆĄ

1

0

N

0

n

ďƒ˛ 1  x2 dx  ďƒ˛ ln x d (arctgx)  lnx arctgx 0  ďƒ˛

0

TĂ­ch phân cuáť‘i khĂ´ng phải lĂ tĂ­ch phân suy ráť™ng, mĂ lĂ tĂ­ch phân xĂĄc Ä‘áť‹nh thĂ´ng

Q

arctgx  1. Váş­y tĂ­ch phân Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. x ď‚Ž0 x 

ďƒ˛

1

1

cos x x

 1



1

cos 1 , và tích phân 1

e.

VĂŹ

ďƒ˛

d cos x cos x  x x





/+ D

ďƒ˛



m

Ta cĂł

sin x dx   x

co



sin x dx . x

ấy

VĂ­ d᝼ 4.3.5. XĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa tĂ­ch phân

Kè

m

thĆ°áť?ng, vĂŹ lim



ďƒ˛

1

cos x

1

x2

gl



oo

VĂ­ d᝼ 4.3.6. XĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa tĂ­ch phân



ďƒ˛

1

cos x x2

dx.

dx háť™i t᝼, nĂŞn tĂ­ch phân Ä‘ĂŁ cho háť™i t᝼. ln x

ďƒ˛ 1  x2 dx. 0

.g

áťž Ä‘ây ta cĂł cả hai loấi tĂ­ch phân: miáť n lẼy tĂ­ch phân vĂ´ hấn, hĂ m dĆ°áť›i dẼu tĂ­ch

us

phân khĂ´ng báť‹ chạn (khi đ?‘Ľ → 0+ ). 

ln x

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

1

uy

Ta cĂł

1

ln x

Ta cĂł

1

ln x



ln x

ďƒ˛ 1  x2 dx  ďƒ˛ 1  x2 dx  ďƒ˛ 1  x2 dx.

0

0

1

TĂ­ch phân thᝊ nhẼt cᝧa váşż phải háť™i t᝼ (VĂ­ d᝼ 4.3.4). XĂŠt tĂ­ch phân thᝊ hai.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

1

66

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

LẼy 1 <ď Ź< 2, khi Ẽy

ln x 1  x2

:

1 xď Ź



x2

ln x

1  x2 x2ď€­ď Ź 

ln x

ďƒ˛ 1  x2 dx

(ď Ź> 1), nĂŞn theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ so sĂĄnh thĂŹ

ď‚Ž 0 ( x ď‚Ž ), mĂ tĂ­ch phân



dx

ďƒ˛ xď Ź

háť™i t᝼

1

háť™i t᝼.

1

1

hĆĄ

ln x

ln t

ln x

ďƒ˛ 1  x2 dx  0.

m

Cho nĂŞn

Q



0

uy

1

N

ďƒ˛ 1  x2 dx   ďƒ˛ 1  t2 dt .

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

ấy

Kè

0

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş



Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

1

HĆĄn nᝯa, náşżu trong tĂ­ch phân thᝊ hai ta dĂšng Ä‘áť•i biáşżn đ?‘Ľ = đ?‘Ą , ta Ä‘ưᝣc

n

Váş­y tĂ­ch phân Ä‘ĂŁ cho cĹŠng háť™i t᝼.

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

67

TĂ“M TẎT Qua bĂ i háť?c nĂ y, háť?c viĂŞn biáşżt váť 1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) khả tĂ­ch trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], ∀đ?‘? ≼ đ?‘Ž, tĂ­ch phân suy ráť™ng loấi 1 cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn

b

ďƒ˛ f ( x) dx. a

N

a

b

n

f ( x) dx  lim

hĆĄ

ďƒ˛

2. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong [đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ lim f ( x)   ď‚Ľ, tĂ­ch phân suy ráť™ng loấi 2 cᝧa hĂ m

uy

xb

cb

a

c

ďƒ˛ f ( x) dx  lim a

bď€­ď Ľ

m

ďƒ˛ f ( x) dx  lim

ď Ľď‚Ž o

Kè

b

Q

đ?‘“(đ?‘Ľ) trĂŞn Ä‘oấn [đ?‘Ž, đ?‘?],

ďƒ˛

f ( x) dx.

a

/+ D

ấy

3. CĂĄc tiĂŞu chuẊn xĂŠt sáťą háť™i t᝼ cᝧa tĂ­ch phân suy ráť™ng: so sĂĄnh, háť™i t᝼ tuyᝇt Ä‘áť‘i,‌

co

m

BĂ€I TẏP

;

dx ď Ą

ď ˘

x ln x

;

us

g)

ďƒ˛0

5

gl

1 x



d)

dx

oo



ďƒ˛0

.g

a)

e.

BĂ i 1. HĂŁy cho biáşżt tĂ­ch phân suy ráť™ng sau háť™i t᝼ hay phân kĂŹ?



ďƒ˛0

x ln x

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş



i)

k)

1

ďƒ˛0

1

ďƒ˛0

1  x 

2 2

sin 2x 1  x2 dx x  x2

dx;

.

dx;

xdx



b)

ďƒ˛0

e)

ďƒ˛0

3

x  2x  1



1

;

x .e x dx;

xndx

h)

ďƒ˛0

j)

ďƒ˛ 0 esin x  1;

l)

ďƒ˛ 0 ex  cos x .

1  x4

1

x dx

1

dx

(váť›i n ďƒŽ N)

 sin 2 x

c)

ďƒ˛0

f)

ďƒ˛1

x

dx;

1ďƒś ďƒ§ 1  cos ďƒˇ dx; xďƒ¸ ďƒ¨

 ďƒŚ

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

[đ?‘Ž, +ď‚Ľ) lĂ giáť›i hấn (náşżu cĂł)

68

BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Bài 2. Hãy cho tính các tích phân suy rộng sau. a)

dx



0

1 x

3

b) 

;

dx

3 1

2

4x  x  3

c)

;

dx



 

1  x 

2 2

.

Bài 3. Hãy cho biết tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kì? Trong trường hợp nó

 

1

1 f)  2 dx ; x 1

x

 1  x2 dx ;

d)

hơ

2 dx ;

1 g)  dx ; 4x 1 0

2

h)

x 3

 2 x  3dx . 0

m

0

x

b)

2

 0

dx ; x sin x

/+ D

1

dx ; x  e2 x

ạy



a)

Kè

Bài 4. Hãy xác định tích phân sau hội tụ hay phân kì.



x

  x2  1  3x  1 dx

hội tụ.

0

co

m

Bài 5. Hãy xác định hằng số  để tích phân

e x  x dx . 0 1

c)

oo

gl

e.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

us

.g

Câu 1. Xét các tích phân suy rộng: 

(1)

 1

1 dx và (2) x



 1

1 x

2

dx .

Khẳng định nào sau đây đúng ? A. (1) Phân kì và (2) hội tụ.

B. (1) Hội tụ và (2) phân kì.

C. Cả (1) và (2) cùng hội tụ.

D. Cả (1) và (2) cùng phân kì

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

e)

e

4

0

1 dx ; x

c)

N

3

1  2 x  5dx ; 

uy

1

b)

Q



0

1 dx ; (3x  1)2

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú



a)

n

hội tụ, hãy tính tích phân; trong trường hợp nó phân kì, hãy giải thích lí do.

BĂ€I 4: TĂ?CH PHĂ‚N SUY Ráť˜NG

Câu 2. Cho tĂ­ch phân suy ráť™ng

ďƒ˛

 2

69

2 x3  1 dx , váť›i ď Ą lĂ tham sáť‘. XĂĄc Ä‘áť‹nh ď Ą Ä‘áťƒ xď Ą  2 x 2  3

Câu 3. TĂ­nh tĂ­ch phân suy ráť™ng I 

ďƒ˛ xďƒ—

B. đ??ź = 1;

C. đ??ź = 2;

dx . ln x

D. đ??ź = +∞.

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

ấy

Kè

m

Q

uy

A. đ??ź = 0;

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

1

D. � ≤ 1.

n

e

C. � > 1;

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

B. � ≤ 4;

N

A. � > 4;

hĆĄ

tĂ­ch phân nĂ y háť™i t᝼.

70

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

n

Vẽ mạt bậc hai trong không gian.

-

TĂ­nh cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t vĂ cẼp cao Ä‘áť‘i váť›i hĂ m nhiáť u biáşżn sáť‘.

uy

N

hĆĄ

-

Q

5.1 MẜT BẏC HAI

m

ChĂşng ta Ä‘ĂŁ biáşżt mạt pháşłng cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh báş­c nhẼt. Trong phần nĂ y chĂşng ta sáş˝

Kè

khảo sĂĄt cĂĄc mạt cong mĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng báş­c hai, chĂşng Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ cĂĄc mạt

ấy

báş­c hai.

/+ D

PhĆ°ĆĄng trĂŹnh báş­c hai ba biáşżn táť•ng quĂĄt cĂł dấng

m

đ??´đ?‘Ľ 2 + đ??ľđ?‘Ś 2 + đ??śđ?‘§ 2 + đ??ˇđ?‘Ľđ?‘Ś + đ??¸đ?‘Ľđ?‘§ + đ??šđ?‘Śđ?‘§ + đ??şđ?‘Ľ + đ??ťđ?‘Ś + đ??žđ?‘§ + đ?‘€ = 0.

co

Báşąng máť™t sáť‘ biáşżn Ä‘áť•i khĂ´ng phᝊc tấp (cĂł tháťƒ sáť­ d᝼ng phĆ°ĆĄng phĂĄp Lagrange), cĂł

gl

oo

5.1.1 Ellipsoid

e.

tháťƒ Ä‘Ć°a phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť máť™t trong cĂĄc dấng dĆ°áť›i Ä‘ây.

z

(5.1)

c

.g

x 2 y2 z2   1 a 2 b2 c2

us

Mạt ellipsoid cắt cĂĄc tr᝼c táť?a Ä‘áť™ tấi (Âą đ?‘Ž, 0,0), (0, Âąđ?‘?, 0) vĂ (0, 0, Âąđ?‘?). NĂł Ä‘áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần tháťąc hiᝇn Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáť u sau.

vĂŹ cĂĄc biáşżn Ä‘áť u báş­c hai. Mạt (5.1) cắt cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™ theo cĂĄc ellipse. VĂ­ d᝼, khi đ?‘§ = 0

ďƒž

x 2 y2  1 a 2 b2

đ?‘Ľ = 0

ďƒž

y2 z2  1 b2 c2

b a

O

x

HĂŹnh 1.7

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

71

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

Cho mạt (5.1) cắt mạt đ?‘§ = đ?‘§0 (– đ?‘? ≤ đ?‘§0 ≤ đ?‘?), ta Ä‘ưᝣc ellipse x2 a 2 (1  (

zo 2 ) ) c



y2 b 2 (1  (

zo 2 ) ) c

(5.2)

1

Khi cho đ?‘§0 chấy tᝍ –c Ä‘áşżn c, Ä‘Ć°áť?ng ellipse (5.2) sáş˝ chấy vĂ váş˝ toĂ n báť™ mạt

hĆĄ

cĂł cĂĄc mạt tròn xoay khi a = c hoạc b = c. Khi a = b = c, ta Ä‘ưᝣc mạt cầu tâm O, bĂĄn

uy

N

kĂ­nh a.

m

x 2 y2  a 2 b2

(5.3)

Kè

z

Q

5.1.2 Elliptic paraboloid

ấy

Ä?áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™ đ?‘Ľ = 0 vĂ đ?‘Ś = 0, cắt cĂĄc z

/+ D

mạt táť?a Ä‘áť™ ďƒžz 

y2 (parabola) b2

đ?‘Ś = 0

ďƒžz 

y2 (parabola) a2

� = 0

ďƒž Ä‘iáťƒm (0,0,0).

h

m

đ?‘Ľ = 0

co

y

e.

x

HĂŹnh 1.8

gl

z

oo

Náşąm áť&#x; náť­a khĂ´ng gian trĂŞn: đ?‘§ ≼ 0.

.g

Cắt mạt pháşłng đ?‘§ = đ?‘§0 (đ?‘§0 > 0) theo Ä‘Ć°áť?ng ellipse

us

x2 y2  1 2 zo a zob2

(5.4)

a

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

Trư�ng hᝣp a = b, ta có mạt ellipsoid tròn xoay (quanh tr᝼c oz). Tưƥng t᝹, ta cŊng

o

b

y

x

Cho đ?‘§0 chấy tᝍ 0 Ä‘áşżn +ď‚Ľ, cĂĄc ellipse (5.4) váť›i cĂĄc bĂĄn

tr᝼c tăng dần sáş˝ váş˝ toĂ n báť™ mạt paraboloid (H.1.8)

5.1.3 Hyperboloid máť™t tầng x 2 y2 z 2   1 a 2 b2 c2

(5.5)

HÏnh 1.9: Hyperboâlit moät taà ng

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

ellipsoid (5.1) (xem H.1.7).

72

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

Ä?áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™. Cắt cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™ theo cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng sau

(hyperbola)

đ?‘Ś = 0,

x 2 z2  1 a 2 c2

(hyperbola)

hĆĄ

n

y2 z2  1 b2 c2

a 2 (1 

zo2 ) c2

y2



b2 (1 

zo2 ) c2

1

uy

x2

Q

� = �0 ,

N

Mạt đ?‘§ = đ?‘§0 cắt mạt (5.5), theo cĂĄc ellipse

x 2 y2 z 2    1 a 2 b2 c2

O

m

(5.6)

x

/+ D

5.1.4 Hyperboloid hai tầng

ấy

tầng) (H.1.9)

Kè

m

Khi đ?‘§0 thay Ä‘áť•i tᝍ −∞ Ä‘áşżn +∞ cĂĄc ellipse trĂŞn váş˝ toĂ n báť™ mạt hyperboloid (máť™t

co

Ä?áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™. KhĂ´ng cắt mạt táť?a Ä‘áť™

a -a

y

e.

đ?‘§ = 0. Cắt cĂĄc mạt táť?a Ä‘áť™ đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ś = 0 theo cĂĄc hyperbola

y2 z 2   1 b2 c2

z

HĂŹnh 1.10: Hyperboloit hai taĂ ng

.g

oo

đ?‘Ľ = 0,

gl

váť›i tr᝼c tháťąc đ?‘‚đ?‘§.

us

đ?‘Ś = 0,

x2 z2   1 a 2 c2

Mạt cong Ä‘ưᝣc chia hai phần riĂŞng biᝇt: đ?‘§ ≤– đ?‘? vĂ đ?‘§ ≼ đ?‘?. Mạt pháşłng đ?‘§ = đ?‘§0 (váť›i đ?‘§0 ≼

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

đ?‘Ľ = 0,

đ?‘?) sáş˝ cắt mạt (5.6) theo ellipse đ?‘§ = đ?‘§0 ;

x2 y2   1. 2 2 2 zo 2 zo a ( 2  1) b ( 2  1) c c

Khi đ?‘§0 thay Ä‘áť•i tᝍ c Ä‘áşżn +ď‚Ľ vĂ tᝍ -c Ä‘áşżn – thĂŹ cĂĄc ellipse trĂŞn váş˝ toĂ n báť™ mạt hyperboloid hai tầng (H.1.10).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

x 2 y2   1 (ellipse) a 2 b2

� = 0,

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

73

5.1.5 Hyperbolic paraboloid z 2

2

y x  z b2 a 2

(5.7)

O y

Ä?áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ś = 0 vĂ cắt cĂĄc mạt Ä‘Ăł theo cĂĄc parabol

m

x 2 yo2  . a 2 b2

Kè

� = �0 , z  

Q

Mạt pháşłng đ?‘Ś = đ?‘Ś0 cắt mạt (5.7) theo Ä‘Ć°áť?ng parabol

ấy

Khi đ?‘Ś0 thay Ä‘áť•i tᝍ – Ä‘áşżn ď‚Ľ cĂĄc parabola trĂŞn váş˝ toĂ n báť™ mạt hyperbolic

/+ D

paraboloid.

y2 b2



x2 a2

 zo .

co

� = �0 ;

m

Mạt đ?‘§ = đ?‘§0 cắt mạt (5.7) theo Ä‘Ć°áť?ng hyperbola

gl

e.

5.1.6 Mạt tr᝼ bậc hai

oo

Máť™t cĂĄch táť•ng quĂĄt, mạt tr᝼ lĂ mạt Ä‘ưᝣc sinh báť&#x;i máť™t Ä‘Ć°áť?ng tháşłng ď „ (Ä‘Ć°áť?ng sinh)

.g

di đ᝙ng trong không gian luôn luôn song song v᝛i m᝙t phưƥng cᝑ đᝋnh và t᝹a và o m᝙t

us

Ä‘Ć°áť?ng (ď §) cho trĆ°áť›c (Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘Ć°áť?ng chuẊn). XĂŠt mạt cong S xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa đ?‘§, đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0. Khi Ẽy, náşżu Ä‘iáťƒm đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) thuáť™c mạt S (tᝊc lĂ đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) = 0), thĂŹ rĂľ rĂ ng toĂ n báť™ Ä‘Ć°áť?ng tháşłng ď „ Ä‘i qua đ?‘€0 vĂ song song tr᝼c Oz cĹŠng thuáť™c S. VĂŹ váş­y cĂł tháťƒ coi mạt S sinh báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng ď „ luĂ´n luĂ´n song song tr᝼c Oz vĂ táťąa vĂ o Ä‘Ć°áť?ng (ď §) cᝧa mạt pháşłng z = 0: (ď §):

ďƒŹ f ( x, y)  0 ďƒ­ z 0 ďƒŽ

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ N

x2 . a2

uy

� = 0, z  

n

y2 . b2

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

� = 0, z 

x

HÏnh 1.11: Paraboloâit hyperboâlic

74

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

TĆ°ĆĄng táťą, phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa x xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t mạt tr᝼ váť›i Ä‘Ć°áť?ng sinh song song tr᝼c Ox. Nhᝯng mạt tr᝼ mĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng báş­c hai Ä‘áť‘i váť›i táť?a Ä‘áť™ chấy, Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ mạt tr᝼ báş­c hai. Ta cĂł cĂĄc mạt tr᝼ báş­c hai Ä‘iáťƒn hĂŹnh sau:

n hĆĄ uy Q

x2 . a2

z

m

Mạt tr᝼ parabĂ´lic (H.1.14): z 

N

x 2 y2  1 a 2 b2

z

Kè ấy

-a

z

a

/+ D

0

x

x

HĂŹnh 1.13: MaĂŤt truĂŻ hyperbolic

HÏnh 1.14: MaÍt truï paraboâlic

e.

co

HĂŹnh 1.12: MaĂŤt truĂŻ eliptic

x y

m

b

0

z

gl

5.1.7 Mạt nón bậc hai

oo

Mạt nĂłn lĂ mạt sinh ra báť&#x;i máť™t Ä‘Ć°áť?ng tháşłng D di Ä‘áť™ng táťąa vĂ o

.g

máť™t Ä‘Ć°áť?ng chuẊn (ď §) vĂ luĂ´n Ä‘i qua máť™t đᝉnh A cáť‘ Ä‘áť‹nh. Ä?Ć°áť?ng

us

tháşłng D Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘Ć°áť?ng sinh. Ta xĂŠt mạt nĂłn báş­c hai sau x 2 y2 z 2    0. a 2 b2 c2

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Mạt tr᝼ hyperbôlic (H.1.13):

(5.8)

Cắt nĂł báť&#x;i mạt pháşłng z = h ta Ä‘ưᝣc ellipse x2 a2



y2 b2



h2 c2

; � = ℎ.

y

x

HĂŹnh 1.15: MaĂŤt noĂšn

(5.9)

Mạt khĂĄc, náşżu Ä‘iáťƒm đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) thuáť™c mạt (5.8) thĂŹ toĂ n báť™ Ä‘Ć°áť?ng tháşłng qua O vĂ đ?‘€0 cĹŠng thuáť™c mạt (5.8). [Máť?i Ä‘iáťƒm thuáť™c Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘‚đ?‘€0 cĂł táť?a Ä‘áť™ (ď Źđ?‘Ľ0 ), ď Źđ?‘Ś0 , ď Źđ?‘§0 )].

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

x 2 y2  1 a 2 b2

Mạt tr᝼ eliptic (H.1.12);

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

75

NhĆ° váş­y, mạt (5.8) lĂ mạt nĂłn tấo báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng qua gáť‘c O vĂ táťąa vĂ o Ä‘Ć°áť?ng chuẊn (5.9) (H.1.9). Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.1.1 (Mạt táťąa tháşłng). Mạt đ?‘† Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ mạt táťąa tháşłng náşżu qua máť—i Ä‘iáťƒm đ?‘€ thuáť™c đ?‘† cĂł máť™t Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘™ Ä‘i qua vĂ đ?‘™ thuáť™c đ?‘†. RĂľ rĂ ng mạt pháşłng, mạt tr᝼, mạt nĂłn lĂ cĂĄc mạt táťąa tháşłng. NgoĂ i ra còn cĂł cĂĄc

hĆĄ N

tháşłng.

uy

5.2 HÀM NHIᝀU BIẞN

m

Q

Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.2.1 (hĂ m nhiáť u biáşżn). Cho â„?đ?‘› lĂ khĂ´ng gian sáť‘ háť?c n chiáť u, máť—i máť™t Ä‘iáťƒm Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu (x1, x2,..., xn) hoạc M(x1, x2,..., xn). Khoảng cĂĄch giᝯa hai Ä‘iáťƒm ,

, 2

, 2

,

( x1  x1 )  ( x2  x2 )  ď Œ  ( xn  xn )

2

ấy

,

d(M, M ) 

Kè

M(x1, x2,..., xn) vĂ M ( x1, , x2, , . . ., xn, ) Ä‘ưᝣc tĂ­nh báť&#x;i cĂ´ng thᝊc

/+ D

Cho D ďƒŒ Rn. HĂ m sáť‘ tháťąc f trĂŞn D lĂ máť™t ĂĄnh xấ tᝍ D vĂ o R. Khi Ẽy, náşżu

m

f : M ( x1 , x2 ..., xn ) ď‚Ž u

co

thĂŹ ta viáşżt

hoaĂŤ c

u  f (M)

e.

u  f ( x1 , x2 ..., xn )

gl

Táş­p D Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh cᝧa hĂ m sáť‘ f, vĂ thĆ°áť?ng ta kĂ˝ hiᝇu Df.

oo

Táş­p Rf=ď ťuďƒŽ R: u = f (M), MďƒŽD)ď ˝ Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ miáť n giĂĄ tráť‹ cᝧa f.

.g

Giᝯa hĂ m máť™t biáşżn vĂ hĂ m nhiáť u biáşżn cĂł nhiáť u khĂĄc biᝇt rẼt căn bản, song giᝯa

us

hà m hai biến và hà m nhiᝠu hƥn hai biến không khåc nhau vᝠnguyên tắc. VÏ vậy, chúng ta thư�ng khảo såt cåc hà m hai biến, còn cåc hà m nhiᝠu hƥn hai biến, nếu cần,

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.1.1. CĂĄc mạt hyperbolic máť™t tầng vĂ hyperbolic paraboloid lĂ cĂĄc mạt táťąa

sáş˝ nĂŞu cĂĄc káşżt quả tĆ°ĆĄng ᝊng. Trong trĆ°áť?ng hᝣp hĂ m hai biáşżn, ta sáş˝ dĂšng kĂ˝ hiᝇu đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) hoạc đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘€), coi đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ Ä‘iáťƒm cᝧa mạt pháşłng đ?‘‚đ?‘Ľđ?‘Ś. CĹŠng nhĆ° trong trĆ°áť?ng hᝣp hĂ m máť™t biáşżn, náşżu miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh D khĂ´ng cho trĆ°áť›c, mĂ hĂ m f cho báť&#x;i máť™t hoạc vĂ i biáťƒu thᝊc, thĂŹ theo qui Ć°áť›c, ta hiáťƒu miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh lĂ táş­p tẼt cả nhᝯng Ä‘iáťƒm M sao cho cĂĄc biáťƒu thᝊc Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

mạt t᝹a thẳng khåc.

76

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

VĂ­ d᝼ 5.2.1. TĂŹm miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh vĂ miáť n giĂĄ tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘§ = ln(đ?‘Ľâ€“ đ?‘Ś 2 ). ďƒŠ

Ta cĂł miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh â„?.

Df =ď ť(x, y): x – y2> 0ď ˝ Ä‘Ăł lĂ nhᝯng Ä‘iáťƒm náşąm trong parabola y2= x (khĂ´ng káťƒ parabola Ä‘Ăł)

Ä‘Ăł lĂ miáť n náşąm giᝯa hai vòng tròn

ấy

1 1 (x  ) 2  y2  2 4

/+ D

( x  1) 2  y 2  1,

n

Kè

ď ˝

vĂ bao gáť“m cả vòng tròn nháť?, mĂ khĂ´ng lẼy vòng tròn láť›n ďƒť .

m

Ä?áť‹nh nghÄŠa . Ä?áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ táş­p đ??şđ?‘“ (thuáť™c khĂ´ng gian R3)

co

đ??şđ?‘“ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)| đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) thuáť™c miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh đ??ˇđ?‘“ }.

e.

VĂ­ d᝼ 5.2.3. Cho đ?‘§ = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 . Ä?áť“ tháť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ Ä‘Ăł chĂ­nh lĂ paraboloid Ä‘ĂŁ xĂŠt.

oo

gl

Ä?áť‹nh nghÄŠa . Táş­p tẼt cả cĂĄc Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) sao cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ą Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ táş­p Ä‘áşłng tráť‹ (hoạc táş­p Ä‘áť“ng mᝊc) cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). x2 + y2= 4

us

.g

VĂ­ d᝼ 5.2.4. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 . Váş­y táş­p cĂĄc Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn

lĂ máť™t táş­p Ä‘áť“ng mᝊc, trong trĆ°áť?ng hᝣp nĂ y lĂ máť™t Ä‘Ć°áť?ng tròn tâm O, bĂĄn kĂ­nh 2. Ta gáť?i nĂł lĂ Ä‘Ć°áť?ng Ä‘áşłng tráť‹. Ä?áť‘i váť›i hĂ m 3 biáşżn thĂŹ táş­p Ä‘áť“ng mᝊc thĆ°áť?ng lĂ mạt cong, Ä‘ưᝣc gáť?i mạt Ä‘áşłng tráť‹.

5.3 GIáťšI Háş N VĂ€ LIĂŠN TᝤC Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.3.1 (giáť›i hấn). Sáť‘ đ?‘Ž Ä‘ưᝣc gáť?i giáť›i hấn cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś → đ?‘Ś0 (hay lĂ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) → đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ). Náşżu

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

ď ť

Q

ďƒŹ x 2  y2  x ď‚ł 0 ďƒź 2 2 D f  ďƒ­( x, y) : ďƒ˝  ( x, y) : x ď‚Ł x  y  2 x 2 x  x 2  y 2  0ďƒž ďƒŽ

uy

N

ďƒŹ ďƒź x 2  y2  x D f  ďƒ­( x, y) : ď‚ł 0ďƒ˝ 2 2 2x  x  y ďƒŽ ďƒž

m

ďƒŠ

hĆĄ

VĂ­ d᝼ 5.2.2. TĂŹm miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh hĂ m sáť‘ z 

x 2  y2  x . 2 x  x 2  y2

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Miáť n giĂĄ tráť‹ rĂľ rĂ ng lĂ toĂ n báť™ R ďƒť.

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

77

ď€˘ď Ľ> 0, ď€¤ď ¤> 0:  (x, y) ď‚š (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ), (x, y) ďƒŽ Df ( x  xo ) 2  ( y  yo ) 2  ď ¤ ďƒž f ( x, y)  a  ď Ľ

Khi Ẽy ta viáşżt lim đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ž hoạc lim f(M)=a, Mď‚Žđ?‘€0 hoạc lim đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ž, (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) → (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ).

hĆĄ

uy

N

Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.3.2. Sáť‘ đ?‘Ž Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ giáť›i hấn cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś → đ?‘Ś0 náşżu váť›i máť?i dĂŁy Ä‘iáťƒm đ?‘€đ?‘› (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) ∈ đ??ˇđ?‘“ : đ?‘€đ?‘› → đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) → đ?‘Ž.

Q

Dáť… dĂ ng chᝊng minh cĂĄc tĂ­nh chẼt giáť›i hấn cᝧa táť•ng, tĂ­ch, thĆ°ĆĄng

m

Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.3.1. Cho đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ž vĂ đ?‘™đ?‘–đ?‘š đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘? khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś → đ?‘Ś0 . Khi Ẽy ta cĂł

Kè

1) lim [f (x,y) + g (x,y)] = a + b

ấy

2) lim f (x,y) g(x,y) = ab

f ( x, y) a  nếu b  0. g( x, y) b

m

4) lim

/+ D

3) lim K f (x,y) = Ka

e.  1.

Sáť­ d᝼ng Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.3.2, lẼy xnď‚Ž 0, ynď‚Ž 1, suy ra

.g

ďƒŠ

x  y2

oo

x ď‚Ž0 y ď‚Ž1

x 1 2

gl

Ví d᝼ 5.3.1. lim

co

TẼt cả cĂĄc giáť›i hấn Ä‘ưᝣc lẼy khi đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś → đ?‘Ś0 .

us

lim

x ď‚Ž0 y ď‚Ž1

x 1 x 2  y2

 lim

nď‚Žď‚Ľ

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng váť›i Ä‘áť‹nh nghÄŠa qua dĂŁy sau Ä‘ây.

xn  1

xn2  yn2

 1.

áť&#x; bĆ°áť›c cuáť‘i cĂšng ta sáť­ d᝼ng cĂĄc tĂ­nh chẼt giáť›i hấn cᝧa dĂŁy.ďƒť VĂ­ d᝼ 5.3.2. KhĂ´ng táť“n tấi giáť›i hấn lim

x ď‚Ž0 y ď‚Ž0

ďƒŠ

1

x y

1

1

LẼy xn  yn  ďƒž n n  ď‚Ž . n xn2  yn2 2 2

xy x 2  y2

.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

Giáť‘ng nhĆ° hĂ m máť™t biáşżn, cĂł tháťƒ chᝊng minh Ä‘ưᝣc ráşąng Ä‘áť‹nh nghÄŠa giáť›i hấn Ä‘Ăł

78

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

LẼy xn, 

x , y, 1 , 2 2 2 , yn  ďƒž , 2 n n , 2  ď‚Ž . n n 5 5 ( x )  (y ) n

n

Tᝊc lĂ váť›i hai dĂŁy Ä‘iáťƒm đ?‘€đ?‘› (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) vĂ đ?‘€â€˛ (đ?‘Ľđ?‘›â€˛ , đ?‘Śđ?‘›â€˛ )ď‚Ž (0,0) ta cĂł hai giáť›i hấn khĂĄc nhau, nĂŞn khĂ´ng táť“n tấi giáť›i hấn.ďƒť .

n hĆĄ

2) Táť“n tấi lim f ( x , y ).

uy

lim f ( x , y )  f ( xo , yo ).

Q

x ď‚Ž xo y ď‚Ž yo

m

3)

N

x ď‚Ž xo y ď‚Ž yo

Kè

HĂ m Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ hĂ m liĂŞn t᝼c náşżu nĂł liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm cᝧa miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh Df.

ấy

LĆ°u Ă˝ ráşąng Ä‘áť‹nh nghÄŠa liĂŞn t᝼c áť&#x; trĂŞn cĹŠng dĂšng cho nhᝯng Ä‘iáťƒm biĂŞn cᝧa Df (vĂ

/+ D

thu᝙c Df).

Tᝍ Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.3.1 ta thẼy táť•ng, hiᝇu, tĂ­ch cᝧa hĂ m liĂŞn t᝼c (tấi máť™t Ä‘iáťƒm nĂ o Ä‘Ăł) lĂ

m

máť™t hĂ m liĂŞn t᝼c (tấi Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł), thĆ°ĆĄng cᝧa hai hĂ m liĂŞn t᝼c lĂ máť™t hĂ m liĂŞn t᝼c (náşżu

co

hĂ m áť&#x; mẍu khĂĄc 0).

e.

Váş­y cĂĄc Ä‘a thᝊc, cĂĄc hĂ m hᝯu tᝡ liĂŞn t᝼c tấi nhᝯng Ä‘iáťƒm mĂ chĂşng xĂĄc Ä‘áť‹nh. CĹŠng

gl

giáť‘ng nhĆ° hĂ m máť™t biáşżn, hᝣp cᝧa hai hĂ m liĂŞn t᝼c lĂ máť™t hĂ m liĂŞn t᝼c (áť&#x; cĂĄc Ä‘iáťƒm

oo

thích hᝣp).

.g

Ví d᝼ 5.3.3.

us

a) HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľđ?‘Ś liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm. b) HĂ m sáť‘

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

1) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh tấi (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ).

ďƒŹ xy , ( x, y) ď‚š (0,0) ďƒŻ f ( x, y)  ďƒ­ x 2  y2 ďƒŻ 0, ( x, y)  (0,0) ďƒŽ

liĂŞn t᝼c tấi máť?i Ä‘iáťƒm khĂĄc (0,0). Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.3.2 (Weierstrass). Cho E lĂ táş­p compact khĂĄc tráť‘ng trong R2 vĂ f lĂ hĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn E. Khi Ẽy,

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.3.3 (liĂŞn t᝼c). HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Ä‘ưᝣc gáť?i liĂŞn t᝼c tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) náşżu

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

79

1) f báť‹ chạn trĂŞn E. 2) f Ä‘ất giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt vĂ láť›n nhẼt trĂŞn E. Tᝊc là  (x1, y1) ďƒŽ E, (x2, y2) ďƒŽ E: f (x1, y1) ď‚Ł f (x, y) ď‚Ł f (x2, y2),  (x, y) ďƒŽ E. Ta cĂ´ng nháş­n Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn.

hĆĄ

máť™t sáť‘ náşąm giᝯa a vĂ b. Khi Ẽy táť“n tấi máť™t Ä‘iáťƒm đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) ∈ đ??¸ sao cho đ?‘“0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) = đ?‘?.

uy

N

ChĂş Ă˝ 5.3.4. Ä?áť‘i váť›i hĂ m hĆĄn hai biáşżn, cĂĄc khĂĄi niᝇm giáť›i hấn liĂŞn t᝼c Ä‘ưᝣc phĂĄt biáťƒu máť™t cĂĄch hoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą, bấn Ä‘áť?c cĂł tháťƒ dáť… dĂ ng táťą tháťąc hiᝇn Ä‘iáť u Ä‘Ăł.

m

Q

5.4 Ä?áş O HĂ€M RIĂŠNG

Kè

5.4.1 Ä?ấo hĂ m riĂŞng

ấy

Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.4.1. Ä?ấo hĂ m riĂŞng theo biáşżn đ?‘Ľ cᝧa hĂ m đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) lĂ giáť›i hấn (náşżu cĂł)

f ( xo  ď „x , yo )  f ( xo , yo ) ď „x

/+ D

lim

co

ď‚śz ď‚śf ( x , y ). ( xo , yo ),hoạc f x, ( xo , yo ), hoạc ď‚śx o o ď‚śx

e.

vĂ Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu

m

ď „x ď‚Ž0

f d ( xo , yo )  f ( x, yo ) x  xo . x dx

.g

oo

gl

RĂľ rĂ ng ta cĂł

us

NhĆ° váş­y, chĂşng ta Ä‘áť‹nh nghÄŠa Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) theo biáşżn đ?‘Ľ tấi Ä‘iáťƒm (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) nhĆ° lĂ Ä‘ấo hĂ m thĆ°áť?ng cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś0 ) tấi Ä‘iáťƒm đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 .

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

trĂŞn E. Cho a=f(x1,y1) ď‚š f(x2,y2)=b váť›i hai Ä‘iáťƒm M1(x1,y1), M1(x2 y2) thuáť™c E, vĂ c lĂ

TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł Ä‘ấo hĂ m riĂŞng theo y

f ( xo , yo  ď „y )  f ( xo , yo ) ď‚śf ( xo , yo )  lim . ď „y ď‚Ž0 ď‚śy ď „y VĂ­ d᝼ 5.4.1. TĂ­nh

f (1, 2), biết f ( x, y)  3x 2 y  2 y  x. x

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.3.3 (váť giĂĄ tráť‹ trung gian). Cho E lĂ táş­p liĂŞn thĂ´ng trong â„?2 , đ?‘“ liĂŞn t᝼c

80 ďƒŠ

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

Ä?áťƒ tĂ­nh Ä‘ấo hĂ m theo x, ta chᝉ viᝇc xem biáşżn y nhĆ° lĂ máť™t háşąng sáť‘.

f   (3x 2 y  2 y  x )  6 xy  1, x x

n

f x , biết f ( x , y )  xy  arctg . y y

1

x x (  )  x  . 1  ( x / y)2 y 2 x 2  y2

m

Q

x

uy

N

f   x 1  x  ( xy)  (arctg )  x  ( ) 2 y y y y 1  ( x / y) y y

Kè

HoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą ta cĂł Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cᝧa hĂ m hĆĄn 2 biáşżn.

/+ D

ấy

ChĂş Ă˝ 5.4.2. Ä?áť‘i váť›i hĂ m máť™t biáşżn ta Ä‘ĂŁ biáşżt, náşżu hĂ m cĂł Ä‘ấo hĂ m thĂŹ nĂł liĂŞn t᝼c (tấi Ä‘iáťƒm khảo sĂĄt). Ä?áť‘i váť›i hĂ m nhiáť u biáşżn, viᝇc táť“n tấi cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng chĆ°a Ä‘ảm bảo sáťą liĂŞn t᝼c cᝧa hĂ m sáť‘.

ďƒŹ0, neĂĄu xy  0 cĂł Ä‘ấo hĂ m riĂŞng tấi (0,0), nhĆ°ng khĂ´ng liĂŞn ďƒŽ1, neĂĄu xy ď‚š 0

m

VĂ­ d᝼ 5.4.3. HĂ m f ( x, y)  ďƒ­ t᝼c tấi Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł. ď „x ď‚Ž0

oo

gl

��′ (0,0) = 0.

f (ď „x,0)  f (0,0) 00  lim  0. ď „x ď‚Ž0 ď „x ď „x

co

f ' x (0,0)  lim

e.

ďƒŠ

1 1 ) vĂ n n

.g

Ä?áťƒ thẼy hĂ m sáť‘ khĂ´ng liĂŞn t᝼c tấi (0,0), chᝉ cần lẼy hai dĂŁy Ä‘iáťƒm M n ( ,

us

1 N n (0, ) tiến t᝛i 0 (0,0). n

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ví d᝼ 5.4.2. Tính

Khi Ẽy f (Mn )  1, f ( Nn )  0, n. ďƒť.

5.4.2 Ä?ấo hĂ m riĂŞng cẼp cao Ä?ấo hĂ m riĂŞng cẼp hai lĂ Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cᝧa Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t. Giả sáť­ xĂŠt hĂ m hai biáşżn z  f ( x, y) , ta cĂł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m cẼp hai sau:

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

ď‚śf (1,2)  13. ďƒť ď‚śx

hĆĄ

váş­y

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś2 f  fyx,, ; ďƒ§ ďƒˇď€˝ ď‚śx ďƒ¨ ď‚śy ďƒ¸ ď‚śyď‚śx

ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f ,, ,, ďƒ§ ďƒˇ  2  f xx  f x2 ; ď‚śx ďƒ¨ ď‚śx ďƒ¸ ď‚śx

ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f  f xy,, ; ďƒ§ ďƒˇď€˝ ď‚śy ďƒ¨ ď‚śx ďƒ¸ ď‚śxď‚śy

ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f ,, ,, ďƒ§ ďƒˇ  2  f yy  fy2 . ď‚śy ďƒ¨ ď‚śy ďƒ¸ ď‚śy

81

Q

,, ,, Chᝊng minh ráşąng f xy (0,0)  1, f yx (0,0)  1.

Tấi (0,0) ta lấi cĂł f x, (0,0)  lim

ď „x ď‚Ž0

m

Kè

f (ď „x ,0)  f (0,0)  0. ď „x

m

Tᝍ Ä‘Ăł ta Ä‘ưᝣc

ďƒŠ x 2  y2 4 x 2 y2 ďƒš yďƒŞ 2  2 ďƒş. 2 ( x  y 2 )2 ďƒťďƒş ďƒŤďƒŞ x  y

ấy

V᝛i (x, y)  (0, 0) ta có

f x, ( x, y) 

/+ D

ďƒŠ

f x, (0, ď „y)  f x, (0, 0) lim ď „y ď‚Ž0 ď „y ď€­ď „y  lim  1. ď „y ď‚Ž0 ď „y

oo

gl

e.

co

,, f xy (0,0) 

.g

,, HoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą ta cĂł f yx (0, 0)  1. ďƒť

us

Tuy váş­y, náşżu cĂĄc Ä‘ấo hĂ m háť—n hᝣp liĂŞn t᝼c thĂŹ chĂşng báşąng nhau, Ä‘iáť u Ä‘Ăł tháťƒ hiᝇn

pl

trong Ä‘áť‹nh lĂ˝ Schwarz sau Ä‘ây Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.4.1 (váť Ä‘ấo hĂ m háť—n hᝣp). Náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng ,,

,,

,,

,,

f x , f y , f xy , f yx xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n máť&#x; G chᝊa (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) vĂ liĂŞn t᝼c tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ), thĂŹ ,, ,, f xy ( xo , yo )  f yx ( xo , yo ).

HoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą ta cĂł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cẼp 3, 4,... VĂ­ d᝼ nhĆ°

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

N

, ( x, y)  (0,0).

hĆĄ

, ( x, y) ď‚š (0,0)

uy

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ďƒŹ x 2  y2 ďƒŻ xy f ( x, y)  ďƒ­ x 2  y 2 ďƒŻ 0 ďƒŽ

n

VĂ­ d᝼ 5.4.4. Cho hĂ m sáť‘

82

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

ď‚ś3 f ď‚śxď‚śy 2



ď‚ś ďƒŚ ď‚ś2 f ďƒś ď‚ś3 f ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ,  ďƒ§ ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ ,... ď‚śy ďƒ¨ďƒ§ ď‚śxď‚śy ďƒˇďƒ¸ ď‚śx 2ď‚śy ď‚śy ďƒ¨ ď‚śx 2 ďƒ¸

HĆĄn nᝯa, náşżu chĂşng liĂŞn t᝼c thĂŹ viᝇc lẼy Ä‘ấo hĂ m háť—n hᝣp khĂ´ng ph᝼ thuáť™c vĂ o

N

hĆĄ

5.5.1 Ä?ấo hĂ m theo hĆ°áť›ng vĂ gradient cᝧa hĂ m đ?’‡(đ?’™, đ?’š)

NhĆ° Ä‘ĂŁ biáşżt, Ä‘ấo hĂ m riĂŞng fx, ( xo , yo ) vĂ f y ( xo , yo ) Ä‘ạc trĆ°ng táť‘c Ä‘áť™ thay Ä‘áť•i cᝧa

uy

,

Q

hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) theo hĆ°áť›ng tr᝼c Ox vĂ Oy. Ä?áťƒ Ä‘o lĆ°áť?ng táť‘c Ä‘áť™ thay Ä‘áť•i cᝧa hĂ m sáť‘

m

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) theo máť™t hĆ°áť›ng khĂĄc, chĂşng ta cần Ä‘áşżn khĂĄi niᝇm táť•ng quĂĄt hĆĄn Ä‘ấo hĂ m

Kè

riĂŞng - Ä‘Ăł lĂ Ä‘ấo hĂ m theo hĆ°áť›ng.

ấy

Ä?áť‹nh nghÄŠa 5.5.1. Cho u  u1i  u2 j lĂ máť™t vector Ä‘ĆĄn váť‹. Ä?ấo hĂ m cᝧa hĂ m sáť‘

( x0 , y0 )  lim t 0

co

ď‚śu

ď‚śu

( x0 , y0 ) hoạc Du f ( x0 , y0 ) lĂ giáť›i hấn

f ( x0  tu1 , y0  tu2 )  f ( x0 , y0 ) . t

m

sau

ď‚śf

ď‚śf

/+ D

f ( x , y ) theo hĆ°áť›ng u tấi ( x0 , y0 ) Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu

e.

Tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa ta thẼy cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng chᝉ lĂ trĆ°áť?ng hᝣp riĂŞng cᝧa Ä‘ấo hĂ m cĂł

gl

ď‚śf

ď‚śi

( x, y) 

oo

hư᝛ng. Rþ rà ng ta có

f f f ( x0 , y0 ), ( x, y)  ( x0 , y0 ). x y j

us

.g

Ä?áť‹nh lĂ˝ 5.5.1. Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi tấi ( x0 , y0 ) khi Ẽy ta cĂł

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

5.5 Ä?áş O HĂ€M THEO HĆŻáťšNG, GRADIENT

f f f ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 )u1  ( x0 , y0 )u2 . u x y

(5.10)

ChĂş Ă˝: thĆ°áť?ng vector chᝉ hĆ°áť›ng u Ä‘ưᝣc viáşżt áť&#x; dấng u  cos ď Ąi  cos ď ˘ j ( cos ď Ą, cos ď ˘ Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ cĂĄc cosin chᝉ hĆ°áť›ng). Khi Ẽy ta cĂł

ď‚śf ď‚śu

( x 0 , y0 ) 

ď‚śf ď‚śf ( x0 , y0 )cosď Ą  ( x0 , y0 )cos ď ˘ . ď‚śx ď‚śy

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

thᝊ t᝹ cåc biến.

83

BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN

Ví dụ 5.5.1. Tính đạo hàm của f  3xy2  y theo hướng của a  2i  j tại điểm M(1,2). 

Ta có

f (1, 2)  3 y2  12 ; (1, 2) x

f (1, 2)  6 xy  1  13 , (1, 2) y

hơ

n

a 2 1  i j. |a| 5 5

uy

N

Vậy đạo hàm theo hướng a bằng

m

Q

2 1 37 f (1, 2)  12 .  13  u 5 5 5

f f ( x , y ) i  ( x , y ) j. x y

ạy

grad f ( x, y) là vector f ( x, y) 

Kè

Định nghĩa 5.5.2. Gradient của f tại điểm (x,y) được ký hiệu f ( x, y) hoặc

( x, y)  (f ( x, y), u).

(5.11)

co

u

m

f

/+ D

Từ định nghĩa của đạo hàm theo hướng, ta có

e.

Từ (5.11) ta thấy tính chất sau của đạo hàm theo hướng:

gl

a) Đạo hàm có giá trị lớn nhất theo hướng của vector gradient, và giá trị đó bằng

oo

f ( x, y) .

.g

b) Đạo hàm có giá trị nhỏ nhất theo hướng đối với vector gradient và giá trị nhỏ

us

nhất đó bằng  f (x, y) . Các kết luận vừa nêu trên rút trực tiếp từ biểu thức của tích vô hướng.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

u

f u

 (f , u)  f cos (- góc giữa

f và u )

Một tính chất khác của gradient được phát biểu như sau: vector gradient f ( x0 , y0 ) ( 0) là vector pháp tại ( x0 , y0 ) đối với đường đẳng trị f ( x , y )  C . Thật vậy, lấy đạo hàm tại ( x0 , y0 ) biểu thức f ( x , y )  C ta được

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

với hướng a ta cần lấy vector đơn vị của hướng đó, tức là

84

BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN

f f ( x0 , y0 )  ( x0 , y0 ) y '( x0 )  0 x y

Vậy f ( x0 , y0 ) vuông góc với vector v  i  y '( xo ) j  1, y '( xo )

mà vector đó chính là

hơ

Ta nêu các kết quả tương ứng đối với hàm 3 biến.

N

 u

cho bởi công thức sau

Q

đạo hàm của f tại ( xo , yo , zo ) theo hướng

uy

Cho hàm số f ( x, y, z) khả vi tại ( xo , yo , zo ) và vector đơn vị u  u1 i  u2 j  u3 k . Khi ấy

f ( x0 , y0 , z0 ) u f f f  ( x0 , y0 , z0 ) u1  ( x0 , y0 , z0 ) u2  ( x0 , y0 , z0 )u3 . x y z

ạy

Kè

m

Du f ( x0 , y0 , z0 ) 

/+ D

Vector gradient của f tại ( x0 , y0 , z0 ) xác định bởi công thức

f f f ( x0 , y0 , z0 )i  ( x0 , y0 , z0 ) j  ( x0 , y0 , z0 )k . x y z

e.

co

m

f ( x0 , y0 , z0 )  grad f ( x0 , y0 , z0 )

gl

Ta có Du f ( x0 , y0 , z0 )  (f ( x0 , y0 , z0 ), u ).

.g

f ( x0 , y0 , z0 ) , nó đạt giá trị nhỏ nhất khi hướng của

 u

trùng với f ( xo , yo , zo )

us

đó bằng

oo

Nó đạt giá trị lớn nhất khi hướng của u trùng với f ( x0 , y0 , z0 ) và giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất đó bằng  f ( x0 , y0 , z0 ) .

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

n

5.5.2 Đạo hàm theo hướng và gradient đối với hàm 3 biến

Ví dụ 5.5.2. Tính đạo hàm theo hướng a (6, 3,  6) của hàm số

f ( x, y, z)  

x y z   . 2 3 6

Theo công thức đạo hàm theo hướng ta có

f f f f 1 2 1 1 1 2 1 ( x0 , y0 , z0 )  .cos   .cos   .cos   .  .  .  . a x y z 2 3 3 3 6 3 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

vector tiếp tuyến của đường f ( x , y )  C tại ( x0 , y0 ).  .

BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN

85

Ví dụ 5.5.3. Tìm giá trị và hướng của gradient của hàm

f  x 2  2 y 2  3z2  xy  3x  2 y  6z tại các điểm a) O(0,0,0);

b) A(1,1,1);

c) B(2,0,1).

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

ạy

Kè

m

grad f (2,0,1)  7 i ; grad f (B)  7. 

n

Q

grad f (1,1,1)  6 i  3 j; grad f ( A)  3 5;

grad f ( M )  0 tại M(–2,1,1).

N

grad f (O)  7,

hơ

grad f (0,0,0)  3 i  2 j  6k

uy

vậy:

f f f  2 x  y  3;  4 y  x  2;  6 z  6. x y z

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Ta có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Tại điểm nào thì grad f  0?

86

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

TĂ“M TẎT Trong bĂ i nĂ y, háť?c viĂŞn lĂ m quen váť›i hĂ m nhiáť u biáşżn, Ä‘ạc biᝇt lĂ hĂ m hai biáşżn. TĂ­nh giáť›i hấn vĂ xĂŠt sáťą liĂŞn t᝼c cᝧa hĂ m hai biáşżn. PhĂŠp tĂ­nh Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t vĂ

vĂ Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu

hĆĄ

Kè

m

RĂľ rĂ ng ta cĂł

N

ď‚śz ď‚śf ( x , y ). ( xo , yo ),hoạc f x, ( xo , yo ), hoạc ď‚śx o o ď‚śx

uy

ď „x ď‚Ž0

f ( xo  ď „x , yo )  f ( xo , yo ) ď „x

Q

lim

x  x0

.

/+ D

TĆ°ĆĄng táťą ta cĂł Ä‘ấo hĂ m riĂŞng theo y

ấy

d f ( x0 , y0 )  f ( x, y0 ) dx x

co

m

f ( xo , yo  ď „y )  f ( xo , yo ) ď‚śf ( xo , yo )  lim . ď „y ď‚Ž0 ď‚śy ď „y

e.

2. Ä?ấo hĂ m riĂŞng cẼp hai lĂ Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cᝧa Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t. Giả sáť­ xĂŠt

gl

hĂ m hai biáşżn z  f ( x , y ) , ta cĂł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m cẼp hai sau:

ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f ,, ,, ďƒ§ ďƒˇ  2  f xx  f x2 ; ď‚śx ďƒ¨ ď‚śx ďƒ¸ ď‚śx

ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f  f xy,, ; ďƒ§ ďƒˇď€˝ ď‚śy ďƒ¨ ď‚śx ďƒ¸ ď‚śxď‚śy

ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś 2 f ,, ,, ďƒ§ ďƒˇ  2  f yy  fy2 . ď‚śy ďƒ¨ ď‚śy ďƒ¸ ď‚śy

us

.g

oo

ď‚ś ďƒŚ ď‚śf ďƒś ď‚ś2 f  fyx,, ; ďƒ§ ďƒˇď€˝ ď‚śx ďƒ¨ ď‚śy ďƒ¸ ď‚śyď‚śx

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

1. Ä?ấo hĂ m riĂŞng theo biáşżn đ?‘Ľ cᝧa hĂ m đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) lĂ giáť›i hấn (náşżu cĂł)

,,

,,

,,

,,

3. Ä?áťƒ Ă˝ Ä‘áşżn Ä?áť‹nh lĂ­ Schwarz. Náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng f x , f y , f xy , f yx xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n máť&#x; G chᝊa (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) vĂ liĂŞn t᝼c tấi (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ), thĂŹ ,, ,, f xy ( xo , yo )  f yx ( xo , yo ).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

cẼp cao cᝧa hà m nhiᝠu biến.

87

BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN

4. Hoàn toàn tương tự ta có các đạo hàm riêng cấp 3, 4,... 5. Cho u  u1i  u2 j là một vector đơn vị. Đạo hàm của hàm số f ( x , y ) theo hướng u

( x0 , y0 )  lim t 0

ký

hiệu

f u

( x 0 , y0 )

hoặc

Du f ( x0 , y0 )

là

f ( x0  tu1 , y0  tu2 )  f ( x0 , y0 ) . t

giới

hạn

sau

uy

N

f f ( x , y ) i  ( x , y ) j. x y

Q

f ( x, y) 

hơ

6. Gradient của f tại điểm (x,y) được ký hiệu f ( x , y ) hoặc Gradf ( x , y ) là vector

Kè

m

BÀI TẬP

m

a) f ( x , y ) 

x sin  e  y .

/+ D

ạy

Bài 1. Tính các đạo hàm riêng của các hàm sau

b) f ( x, y)  ln( x 2  y 2 ).

c) f ( x, y, z) 

co

e. gl oo

2

2

x y z

2

.

3y

e) g ( x, y ) 

us

.g

1

d) f ( x, y)  xe .

3 3 3 Bài 2. Chứng minh rằng nếu f ( x , y, z)  ln x  y  z  3 xyz thì

x y . x y

f f f 3    . x y z x  y  z

Bài 3. Cho hàm f ( x , y, z)  ( x  y )( y  z)(z  x ). Chứng minh rằng hàm thỏa phương trình

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

u

được

f f f    0. x y z

x r Bài 4. Cho x  r cos ; y  r sin  , tính y r

x  . y 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

f

( x0 , y0 )

n

tại

BÀI 5: HÀM NHIᝀU BIẞN

n

f f  x 2  y và  y 2  x. x y

uy

N

BĂ i 7. Cho f ( x, y )  sin(2 x  3 y ) . TĂ­nh đ?‘“đ?‘Ś (−6,4).

Q

x . Tính �� (3,2,1). yz

m

Bà i 8. Cho f ( x, y, z ) 

ď‚śx ď‚śď ą ď‚śy . ď‚śď ą ď‚śz ď‚śď ą

co

3 f nếu f ( x , y )  x ln( xy ). x 2y

e.

BĂ i 12. TĂ­nh

m

/+ D

ď‚ś 4u BĂ i 11. TĂŹm váť›i đ?‘˘ = đ?‘Ľ đ?‘š đ?‘Ś đ?‘› đ?‘§ đ?‘? . ď‚ś xď‚ś y 2 ď‚ś z

x . x y

ấy

Bà i 10. TÏm fxxy, fyyy v᝛i �(�, �) = 3�� 4 + � 3 � 2 .

Kè

BĂ i 9. TĂŹm cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cẼp 2 cᝧa : f ( x, y )  x 4  3 x 2 y 3 , g ( x, y ) 

gl

BĂ i 13. TĂŹm gradient cᝧa hĂ m đ?‘“ tấi Ä‘iáťƒm đ?‘ƒ vĂ Ä‘ấo hĂ m cᝧa đ?‘“ tấi đ?‘ƒ theo hĆ°áť›ng cᝧa

f ( x, y)  1  2 x y , đ?‘ƒ(3 ; 4), đ?‘Ł = (4 ; −3).

.g

a)

oo

vector đ?‘Ł Ä‘ưᝣc cho nhĆ° sau.

us

b) f ( s, t )  s 2et , đ?‘ƒ(2; 0), đ?‘Ł = (1; 1).

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

BĂ i 6. TĂŹm hĂ m f ( x, y) náşżu biáşżt ráşąng

ď‚śx ď‚śď Ś ď‚śy ď‚śď Ś ď‚śz ď‚śď Ś

c) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 , đ?‘ƒ(1; 1), đ?‘Ł = (6,8). đ?‘Ľ

d) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = đ?‘Ś+đ?‘§ , đ?‘ƒ(4; 1; 1), đ?‘Ł = (1; 1; 3). BĂ i 14. TĂŹm gradient cᝧa hĂ m đ?‘“ tấi Ä‘iáťƒm đ?‘ƒ vĂ Ä‘ấo hĂ m cᝧa đ?‘“ tấi đ?‘ƒ theo hĆ°áť›ng cᝧa vector cĂł gĂłc đ?œ‘. 2 3 4 a) f ( x, y )  x y  y , đ?‘ƒ(2; 1), đ?œ‘ = đ?œ‹/4.

b) f ( x, y)  5x  4 y , đ?‘ƒ(4; 1), đ?œ‘ = −đ?œ‹/6.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

ď‚śx ď‚śď ˛ ď‚śy BĂ i 5. Cho x  ď ˛ cos ď ą cos ď Ş; y  ď ˛ cos ď ą sin ď Ş; z  ď ˛ sin ď ą. TĂ­nh ď‚śď ˛ ď‚śz ď‚śď ˛

hĆĄ

88

BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN

89

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM x

D. xzx  yzy  xy  z

uy

2x y Câu 2. Cho hàm hai biến z  e . Tính đạo hàm riêng z x 63 y3 ?

B. zx 63 y3  6e2 x  y

1 8

C. zx3 y3  e

D. zx 63 y3  8e2 x  y

m

 6

2x y

Kè

6

Q

  2x y A. z x3 y3  e

A. zx (1,2)  1 5, zy (1,2)  2 5

B. zx (1,2)  1 5, zy (1,2)  2 5 D. zx (1,2)   1 5, zy (1,2)  2 5 .

e.

co

C. zx (1,2)   2 5, zy (1,2)  1 5

m

/+ D

ạy

y Câu 3. Hàm hai biến z  arctan( ) có các đạo hàm riêng tại điểm (1,2) là: x

B. zyy  e2x  y

us

.g

A. zxy  2e2 x  y

oo

gl

2x y Câu 4. Cho hàm hai biến z  e . Kết quả nào sau đây sai?

Câu 5. Cho hàm

f ( x, y , z ) 

C. zxy  2e2 x  y

D. zxx  4e 2 x y .

y xe z . Tìm f(x,y,z).

 yz x yz xy zy  A. f ( x, y , z )   e , e ,  2 e  . z z   y y  y z z C. f ( x, y, z )   xe , xye , xze z  .    

 yz x yz xy yz  e  B. f ( x, y , z )   e , e , z z   y y  y z z D. f ( x, y, z )   e , xe , xe z     

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C. yzx  xzy  xy  z

hơ

B. xzx  yzy  xy  z

N

A. yzx  xzy  xy  z

n

có đạo hàm riêng thỏa:

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Câu 1. Hàm hai biến z  xy  xe y

90

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA

Q

ᝨng d᝼ng vi phân tĂ­nh xẼp xᝉ.

TĂŹm Ä‘ấo hĂ m riĂŞng vĂ vi phân cᝧa hĂ m sáť‘ cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh hĂ m Ẋn.

-

TĂŹm Ä‘ấo hĂ m riĂŞng vĂ vi phân cᝧa hĂ m hᝣp.

-

Viáşżt cĂ´ng thᝊc Taylor cᝧa hĂ m hai biáşżn trong lân cáş­n cᝧa máť™t Ä‘iáťƒm.

/+ D

ấy

Kè

m

-

m

6.1 KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N

co

6.1.1 Khả vi và vi phân

e.

Ä?áť‹nh nghÄŠa 6.1.1. Cho (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) lĂ Ä‘iáťƒm trong cᝧa miáť n xĂĄc Ä‘áť‹nh Df cᝧa hĂ m đ?’‡(đ?’™, đ?’š),

gl

cho cĂĄc sáť‘ gia ď „x, ď „y sao cho ( xo  ď „x , yo  ď „y ) ďƒŽ D f . Sáť‘ gia toĂ n phần cᝧa đ?’‡(đ?’™, đ?’š) tấi

ď „f ( xo , yo )  f ( xo  ď „x, yo  ď „y)  f ( xo , yo ).

us

.g

oo

Ä‘iáťƒm (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) lĂ Ä‘ấi lưᝣng sau

HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Ä‘ưᝣc gáť?i khả vi tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) náşżu sáť‘ gia toĂ n phần ∆đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) cĂł tháťƒ biáťƒu diáť…n Ä‘ưᝣc áť&#x; dấng

ď „f ( xo , yo )  Aď „x  Bď „y  ď Ąď „x  ď ˘ď „y

(6.1)

áť&#x; Ä‘ây A, B lĂ cĂĄc háşąng sáť‘, ď Ą, ď ˘ď‚Ž 0 khi ď „x, ď „y ď‚Ž 0. Khi Ẽy Ä‘ấi lưᝣng Aď „x + Bď „y Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ vi phân cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) vĂ Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ

XĂŠt tĂ­nh khả vi vĂ tĂŹm dấng vi phân cẼp máť™t vĂ cẼp cao cᝧa hĂ m nhiáť u biáşżn sáť‘.

uy

-

N

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần tháťąc hiᝇn Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáť u sau.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

HÀM NHIᝀU BIẞN

91

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

VĂ­ d᝼ 6.1.1. Cho f ( x, y)  x 2  xy. Khi Ẽy

ď „f ( xo , yo )  ( xo  ď „x )2  ( xo  ď „x )( yo  ď „y)  xo2  xo yo  (2 xo  yo )ď „x  xo ď „y  ď „x 2  ď „xď „y.

n hĆĄ

N

Biáťƒu thᝊc vĂ´ cĂšng bĂŠ ď Ąď „x  ď ˘ď „y cĂł tháťƒ biáťƒu diáť…n áť&#x; dấng khĂĄc nháť? khoảng cĂĄch

ď „x

ď ˛

ď „y

ď€Ťď ˘

ď ˛

ď „y

ď ˛

ď‚Ł ď Ą 2  ď ˘ 2 ď‚Ž 0.

co

ď ˛

ď€Ťď ˘

m

ď „x

/+ D

Tháş­t váş­y, khi ď ˛ ď‚Ž 0, thĂŹ ď „x , ď „y ď‚Ž 0. Khi Ẽy | ď Ľ | ď Ą

Q

tiáşżn Ä‘áşżn 0 khi ď ˛ ď‚Ž 0.

ấy

Ä?ấi lưᝣng ď Ľ  ď Ą

ď ˛

ď „y ďƒś ď ˛  ď Ľď ˛ , ( ď ˛ ď‚š 0). ď ˛ ďƒˇďƒ¸

Kè

ďƒ¨

ď€Ťď ˘

m

ďƒŚ ď „x

ď Ąď „x  ď ˘ď „y  ďƒ§ ď Ą

uy

ď ˛  ď „x 2  ď „2y nhĆ° sau

e.

Váş­y biáťƒu thᝊc (6.1) cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng (6.2)

oo

gl

ď „f ( xo , y0 )  Aď „x  Bď „y  0(ď ˛ )

.g

0(ď ˛) lĂ VCB cẼp cao hĆĄn ď ˛(=ď Ľď ˛).

ďƒŠ

us

Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.1. Náşżu hĂ m đ?’‡(đ?’™, đ?’š) khả vi tấi (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) thĂŹ nĂł liĂŞn t᝼c tấi Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł. VĂŹ khả vi, nĂŞn tᝍ (6.1) ta cĂł

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

df ( xo , yo )  (2 xo  yo )ď „x  xo ď „y. ďƒť .

lim [ f ( xo  ď „x, yo  ď „y)  f ( xo , yo )]  0

ď „x ď‚Ž0 ď „y ď‚Ž0

tᝊc lĂ hĂ m liĂŞn t᝼c tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 )

ďƒť.

,

,

Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.2. Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) thĂŹ nĂł cĂł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng f x , f y tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) vĂ chĂşng tĆ°ĆĄng ᝊng báşąng A, B trong biáťƒu thᝊc (6.1).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Váş­y A  2 xo  yo , B  xo , ď Ą  ď „x, ď ˘  ď „x, cho nĂŞn hĂ m sáť‘ khả vi tấi (đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) vĂ

92 ďƒŠ

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

Trong (6.1) cho ď „y  0 , ta Ä‘ưᝣc f ( xo  ď „x, yo )  f ( xo , yo )  Aď „x  ď Ąď „x

Váş­y lim

ď „x ď‚Ž0

f ( xo  ď „x , yo )  f ( xo , yo )  lim ( A  ď Ą )  A ďƒž f x, ( xo , yo )  A. ď „x ď‚Ž0 ď „x

,

uy

N

(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) vĂ cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng f x , f y liĂŞn t᝼c tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ). Ta xĂŠt máť™t vĂ­ d᝼ chᝊng táť? ráşąng sáťą táť“n tấi cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng chĆ°a Ä‘ảm bảo cho

m

Q

hà m khả vi.

Kè

VĂ­ d᝼ 6.1.2. Chᝊng táť? ráşąng hĂ m sáť‘ z  3 xy khĂ´ng khả vi tấi (0,0), mạc dĂš táť“n tấi cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng tấi Ä‘Ăł.

z (ď „x,0)  z (0,0) 00  lim  0. ď „x ď‚Ž0 ď „x ď‚Ž0 ď „x ď „x

ấy

Ta có z,x (0,0)  lim

/+ D

ďƒŠ

m

, Tưƥng t᝹, ta có zy (0,0)  0.

co

Giả sáť­ hĂ m khả vi tấi (0,0), cĂł nghÄŠa lĂ tᝍ Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.4 vĂ (6.2) ta phải cĂł

gl

e.

ď „z(0,0)  0( ď ˛ ), ď ˛  ď „2x  ď „2y .

oo

Mạt khĂĄc, ď „z (0,0)  z (ď „x , ď „y )  z (0,0)  3 ď „x.ď „y khĂ´ng lĂ VCB cẼp cao hĆĄn ď ˛. Tháş­t

us

.g

váş­y, lẼy ď „x  ď „y , ta cĂł

ď „z (0,0)

ď ˛



ď „x 2/3 2 ď „x

Váş­y hĂ m sáť‘ khĂ´ng khả vi tấi (0,0).ďƒť .

ď‚Ž ď‚Ľ khi ď „x ď‚Ž 0.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

,

hĆĄ

Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.3 (Ä?iáť u kiᝇn Ä‘ᝧ khả vi). Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n máť&#x; chᝊa Ä‘iáťƒm

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

, TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł f y ( xo , yo )  B. ďƒť .

93

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

6.1.2 CĂĄc tĂ­nh chẼt cᝧa vi phân Tᝍ Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.1.2 ta cĂł biáťƒu thᝊc cᝧa vi phân

df ( xo , yo )  f x, ( xo , yo )ď „x  f y, ( xo , yo )ď „y.

n hĆĄ

f (váť›i Ä‘iáť u kiᝇn mẍu sáť‘ khĂĄc khĂ´ng tấi Ä‘iáťƒm Ä‘ang xĂŠt) cĹŠng tháť?a mĂŁn Ä‘iáť u kiᝇn g

uy

vĂ

N

Bây giáť? giả sáť­ f ( x, y) vĂ g( x, y) tháť?a mĂŁn Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ᝧ khả vi, rĂľ rĂ ng khi Ẽy f+g, fg

m

,

Q

Ä‘ᝧ khả vi, nĂŞn chĂşng khả vi. Khi Ẽy ta cĂł ,

Kè

d( fg )  ( fg ) x dx  ( fg ) y dy  [ f x, g  fg ,x ]dx  [ f y, g  fg ,y ]dy

ấy

 [ f x, dx  f y, dy] g  f [ g ,x dx  g ,y dy]  (df ) g  f (dg )

/+ D

Vậy d ( fg)  (df )g  f (dg).

ďƒŚ f ďƒś (df )g  fd ( g) . ďƒˇď€˝ g2 ďƒ¨gďƒ¸

co

m

TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł d ( f  g)  df  dg, d ďƒ§

e.

2 2 VĂ­ d᝼ 6.1.3. TĂ­nh vi phân cᝧa hĂ m f ( x , y )  ln( x  x  y ).

ďƒś ďƒˇď€˝ ďƒˇ x 2  y2 ďƒ¸

gl

ďƒŚ ďƒ§1  ďƒ§ x 2  y2 ďƒ¨

f  x x 

f  y x 

ďƒŚ y ďƒ§ ďƒ§ x 2  y2 ďƒ¨ x 2  y2

x

oo

1

.g us

Vậy df 

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Vậy df ( xo , yo )  f x, ( xo , yo )dx  f y, ( xo , yo )dy

1

dx

2

x y

2



ďƒś ďƒˇď€˝ ďƒˇ ďƒ¸

1 2

x  y2 y

x 2  y2 (x 

ydy 2

2

2

2

x  y (x  x  y )

x 2  y2 )

. ďƒť

6.1.3 TĂ­nh gần Ä‘Ăşng Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ), khi Ẽy ta cĂł ,

,

f ( x o  ď „x, yo  ď „y)  f ( x o , yo )  f x ( x o , yo )ď „x  f y ( x o , yo )ď „y  0(ď ˛)

(6.3)

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Dáť… thẼy ráşąng dx  ď „x, dy  ď „y (lẼy f  x ďƒž dx  ď „x )

94

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

Váş­y, sau khi báť? VCB 0(ď ˛) ta Ä‘ưᝣc cĂ´ng thᝊc tĂ­nh gần Ä‘Ăşng ,

,

f ( x o  ď „x, yo  ď „y) ď‚ť f ( x o , yo )  f x ( x o , yo )ď „x  f y ( x o , yo )ď „y

V᝛i ký hiᝇu

,

,

hĆĄ

n

(6.4)

Váşż phải cᝧa (6.4) lĂ máť™t hĂ m báş­c nhẼt, ta kĂ˝ hiᝇu nĂł lĂ đ??ż(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). NhĆ° váş­y, trong lân

N

cáş­n (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Ä‘ưᝣc xẼp xᝉ báşąng máť™t hĂ m tuyáşżn tĂ­nh đ??ż(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). HĂ m sáť‘

Q

uy

L( x, y)  f ( xo , yo )  fx, ( xo , yo )( x  xo )  f y, ( xo , yo )( y  yo )

m

Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ xẼp xᝉ tuyáşżn tĂ­nh cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trong lân cáş­n cᝧa Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ).

XĂŠt hĂ m sáť‘ f ( x, y)  x 3  y 3 xo  1; y0  2; ď „x  0,02; ď „y  0,03

Váş­y

A  f ( xo  ď „x, yo  ď „y)

m

/+ D

LẼy

ấy

ďƒŠ

Kè

VĂ­ d᝼ 6.1.4. TĂ­nh gần Ä‘Ăşng sáť‘ A  1,023  1,973 . KhĂ´ng Ä‘ĂĄnh giĂĄ sai sáť‘.

3

2

e.

3x

,

2 x y

3

(1, 2)

3

(1, 2)



gl

f x ( x o , yo ) 

co

f ( x o , yo )  1  2 3  3

Ta cĂł

2

oo

yo ) 

3y 3

2 x y

.g

, f y (xo ,

1 2

2

1 0,02  2(0,03)  2,95 ďƒť . 2

us

Vậy A  3 

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

f ( x, y)  f ( x o , yo )  f x ( x o , yo )( x  x o )  f y ( x o , yo )( y  yo )

6.1.4 Vi phân cẼp cao (1) TrĆ°áť?ng hᝣp hĂ m hai biáşżn đ?’š = đ?’‡(đ?’™, đ?’š) Bản thân đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĹŠng lĂ máť™t hĂ m sáť‘ cᝧa cĂĄc biáşżn đ?‘Ľ, đ?‘Ś

df ( x , y )  f x, ( x , y )dx  f y, ( x , y )dy

(6.5)

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

x  xo  ď „x, y  yo  ď „y , ta cĂł

95

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

vĂ náşżu đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł Ä‘ấo hĂ m liĂŞn t᝼c (chᝉ cần hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cẼp hai liĂŞn t᝼c), thĂŹ cĂł tháťƒ nĂłi váť vi phân cᝧa nĂł đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)), ta gáť?i lĂ vi phân cẼp hai cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘ 2 đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). Váş­y

d 2 f ( x, y)  d (df ( x, y)).

n hĆĄ

,

,

,,

,,

,,

uy

,,

N

 d ( f x ( x, y)) dx  d ( f y ( x, y)) dy

2

,,

,,

Q

 ( f xx dx  f xy dy) dx  ( f yx dx  f yy dy) dy ,,

Kè

m

 f xx dx  2 f xy dxdy  f yy dy 2

ấy

,, ,,  f yx (áť&#x; Ä‘ây ta sáť­ d᝼ng f xy )

/+ D

Váş­y ta cĂł tháťƒ ,,

,, ,, dxdy  f yy d 2 f  f xx dx 2  2 f xy dy 2

ď‚śx 2

dx 2  2

2 f 2 f dxdy  2 dy 2 xy y

m

ď‚ś2 f

(6.6)

co



gl

e.

CĂĄc cĂ´ng thᝊc vi phân (6.5) (6.6) cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng sau

oo

ď‚ś ďƒŚ ď‚ś ďƒś df  ďƒ§ dx  dy ďƒˇ f ď‚ś x ď‚ś y ďƒ¨ ďƒ¸

(6.7) 2

(6.8)

us

.g

ď‚ś ďƒŚ ď‚ś ďƒś d2 f  ďƒ§ dx  dy ďƒˇ f ď‚ś x ď‚ś y ďƒ¨ ďƒ¸

CĂĄc biáťƒu thᝊc (6.7) (6.8) phải hiáťƒu nhĆ° sau: Sau khi bĂŹnh phĆ°ĆĄng theo qui tắc thĂ´ng thĆ°áť?ng, thĂŹ f Ä‘ưᝣc viáşżt vĂ o táť­ sáť‘ áť&#x; cháť— cĂł ď‚ś hoạc ď‚ś2.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

d 2 f ( x, y)  d( f x, ( x, y)dx  f y, ( x, y)dy)

TĆ°ĆĄng táťą, váť›i vi phân cẼp n, ta cĂł n

ďƒŚ ď‚ś ďƒś ď‚ś d f  ďƒ§ dx  dy ďƒˇ f . ď‚śy ďƒ¸ ďƒ¨ ď‚śx n

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

TrĆ°áť›c háşżt, ta cần lĆ°u Ă˝ ráşąng đ?‘‘đ?‘Ľ, đ?‘‘đ?‘Ś lĂ cĂĄc háşąng sáť‘, ta cĂł

96

BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

(2) Trường hợp Hàm nhiều hơn hai biến Hàm u  f ( x, y, z) khả vi tại Po ( xo , yo , zo ) nếu u  u( P)  u( Po )  Ax  By  Cz  x  y  z

,

hơ ,

N

Vi phân tại Po có dạng ,

Q

uy

df ( Po )  f x ( Po ) dx  f y ( Po ) dy  f z ( Po ) dz

m

Hàm f(P) được tính gần đúng bởi

,

,

/+ D

 f ( xo , yo , zo )  df ( xo , yo , zo )

ạy

 f y ( x o , yo , zo ) dy  f z ( x o , yo , zo ) dz

Kè

,

f ( x, y, z)  f ( x o , yo , zo )  f x ( x o , yo , zo ) dx

m

Vi phân cấp n có dạng n

co

     dn f   dx  dy  dz  f  x  y  z  

gl

e.

Trường hợp tổng quát n biến: u  f ( x1 , x2 , . . ., xn ) thì m

.g

oo

     dm f   dx1  dx 2  . . .  dx n  f  x  x  x   2 n

us

và ta cũng có công thức xấp xỉ f (M)  f (M o )  df (M o )

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

x  y  z  0()

6.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Cho z  f ( x , y ) khả vi trong miền mở D và x, y là các hàm của biến t

x  x(t); y  y(t); t1  t  t2 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

với , ,   0 khi x, y, z  0

97

BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Ngoài ra, khi t thay đổi trong khoảng (t1,t2), thì (x,y) luôn thuộc D. Khi ấy

z  f [ x (t ), y(t )] là hàm hợp biến t, xác định trong khoảng (t1,t2). Định lý 6.2.1. Nếu z  f ( x , y ) khả vi trong miền D và x  x (t ), y  y (t ) khả vi trong

hơ

n

dz  (2 x  y)2t  ( x )3  (2t 2  3t )2t  t 2 3  4t 3  9t 2 .  dt

N

dz . dt

uy

2

Q

2

(6.9)

Ví dụ 6.2.1. Cho z  x  xy; x  t ; y  3t . Hãy tính

Ví dụ 6.2.2. Cho z  x  sin ; y  x2 . Tính

y y  z  1  cos   2  , x x  x

m

Ta có

dz z . và dx x

co

ạy

y x

(6.10)

/+ D

dz z z dy   . dx x y dx

Kè

m

Chú ý . Cho z  f ( x , y ), y  y( x ), khi ấy từ Định lý 6.2.1 (xem t=x), ta được

oo

gl

e.

z y 1 dy  cos ;  2 x, y x x dx

us

.g

 x2 dz  y y 1 y x2   1 x2    1  2 cos    cos  2 x   1  2 cos    cos  2 x  1  cos x.  .  x dx  x x x x x   x x  

Tất nhiên để có kết quả đó có thể thay y  x 2 vào ngay hàm số ban đầu rồi lấy đạo

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

dz z dx z dy   . dt x dt y dt

hàm theo x ta sẽ được

dz . dx

Bây giờ xét trường hợp tổng quát hơn: cho z  f ( x, y) và x, y là các hàm của hàm hai biến x  x (u, v), y  y(u, v). Cho các hàm z, x, y khả vi tại các điểm tương ứng. Như vậy z là hàm hợp của hai biến u, v và vì quá trình lấy đạo hàm riêng ta luôn cố định một biến, cho nên thực chất ta lại quay về trường hợp đã xét. Vậy ta có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(t1,t2), khi ấy hàm hợp z  f [ x (t ), y(t )] cũng khả vi trong (t1, t2) và

98

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

Ä?ấo hĂ m

z z x z y   . u x u y u

(6.11)

Hà m hᝣp

z z x z y   . v x v y v

(6.12)

Q

TrĆ°áť?ng hᝣp táť•ng quĂĄt

Kè

m

w  f ( x1, x2 ,..., xn ), xk  ď Śk (u1, u2 ,..., um ); k  1,2,..., n.

ấy

Khi Ẽy ta có

/+ D

w w x1 w x2 w xn , i  1, 2, ..., m.    ...  ui x1 ui x2 ui xn ui

z,y  xe xy ,

xu,  2u,

xv,  0,

gl

z,x  ye xy ,

co

Ta cĂł

yu,  v,

e.

ďƒŠ

m

ď‚śz ď‚śz VĂ­ d᝼ 6.2.3. Cho z  e xy , váť›i x  u 2 , y  uv , hĂŁy tĂ­nh ,

ď‚śv

yv,  u

3

ďƒž zu,  z,x xu,  z,y zu,  ye xy 2u  xe xy v  3u 2 ve u

oo

ď‚śu

v

3

us

.g

ďƒž zv,  z,x xv,  z,y yv,  ye xy .0  xe xy u  u 3e u v ďƒť .

6.2.1 Vi phân cᝧa hĂ m hᝣp. TĂ­nh bẼt biáşżn cᝧa dấng vi phân cẼp máť™t

Ta Ä‘ĂŁ biáşżt, náşżu hĂ m đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi, cĂĄc biáşżn đ?‘Ľ, đ?‘Ś lĂ nhᝯng biáşżn Ä‘áť™c láş­p thĂŹ

dz 

z z dx  dy. x y

trong Ä‘Ăł dx  ď „x , dy  ď „y.

(6.13)

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

uy

N

hĆĄ

n

w w x w y w z    ; u x u y u z u w w x w y w z    . v x v y v z v

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ä?áť‘i váť›i hĂ m ba biáşżn w  f ( x, y, z) , trong Ä‘Ăł x, y, z lĂ cĂĄc hĂ m cᝧa u, v. Khi Ẽy ta cĂł

BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

99

Bây giờ xét hàm hợp z  f ( x , y ) , với x  x (u, v), y  y (u, v), và u, v là các biến độc lập. Vậy ta có

dz 

ạy

Ta quay lại công thức (6.13). Điều đó có nghĩa là dạng của vi phân toàn phần

/+ D

(6.13) là không đổi, cho dù x và y là các biến độc lập hay là các hàm số. Tính chất đó thường được gọi là tính bất biến của dạng vi phân cấp một. Ở đây lưu ý trước rằng,

co

m

tính chất bất biến đó không còn đúng cho vi phân cấp cao.

e.

6.2.2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp

gl

Cho z  f ( x , y ), x  x (u, v), y  y (u, v) và giả thiết rằng tất cả các hàm số đều có các

oo

đạo hàm riêng liên tục cấp hai. Ta tính các đạo hàm riêng cấp hai theo u và v cũng

.g

như vi phân d 2 z.

us

, , , , , Ta có zu  zx xu  zy yu . Vậy

,, ,, ,, zuu  (z,x ),u xu,  z,x xuu  (zy, ),u yu,  zy, yuu ,, ,, , ,, , , ,,  (z,,xx xu,  z,,xy yu, ) xu,  z,x xuu  (zyx xu  zyy yu )yu  z,y yuu .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

z z dx  dy. x y

Kè

m

Q

uy

N

 z x z y   z x z y  dz      du    dv  x u y u   x v y v  z  x x  z  y y    du  dv    du  dv  x  u v  y  u v 

hơ

n

z z , được tính theo (6.11) (6.12). u v

Vậy ta được

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

trong đó các đạo hàm riêng

z z du  dv u v

100

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

,

,

,, ,, TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł zuv , zvv . Bây giáť? tĂ­nh d 2 z. Ta cĂł dz  zx dx  zy dy.

ďƒž d 2 z  d (dz)  d (z,x )dx  z,x d (dx )  d (zy, )dy  zy, d (dy ) ,, ,,  (z,,xx dx  z,,xy dy )dx  z,x d 2 x  (zyx dx  zyy dy )dy  zy, d y2

hĆĄ

NhĆ° váş­y dấng cᝧa vi phân cẼp hai d 2 z Ä‘ĂŁ thay Ä‘áť•i khi x, y lĂ cĂĄc hĂ m sáť‘ so váť›i khi x,

uy

N

y là cåc biến đ᝙c lập.

m

Q

6.3 Ä?áş O HĂ€M RIĂŠNG VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M ẨN

Kè

6.3.1 Hà m Ẋn

ấy

Cho hĂ m sáť‘ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n máť&#x; D chᝊa Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ). Giả thiáşżt ráşąng váť›i máť?i x ďƒŽ ( xo  ď Ľ, xo  ď Ľ) , táť“n tấi duy nhẼt máť™t giĂĄ tráť‹ y sao cho (x,y)ďƒŽD vĂ F (x, y)  0 . NhĆ°

/+ D

váş­y ta Ä‘ĂŁ xĂĄc Ä‘áť‹nh hĂ m sáť‘ y  y (x) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong khoảng ( xo  ď Ľ, xo  ď Ľ) vĂ tháť?a mĂŁn

m

F ( x, y ( x))  0 váť›i máť?i x ďƒŽ ( xo  ď Ľ, xo  ď Ľ) . Khi Ẽy ta nĂłi phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x, y)  0 xĂĄc Ä‘áť‹nh y

co

nhĆ° lĂ máť™t hĂ m Ẋn cᝧa x trong khoảng ( xo  ď Ľ, xo  ď Ľ) .

e.

VĂ­ d᝼ 6.3.1. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh x 2  2  y  0 rĂľ rĂ ng xĂĄc Ä‘áť‹nh hĂ m sáť‘ y   x 2  2 trĂŞn â„?.

gl

VĂ­ d᝼ 6.3.2. XĂŠt phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x, y)  x 2  y 2  1  0.

oo

HĂ m sáť‘ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn toĂ n mạt pháşłng. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh xĂĄc Ä‘áť‹nh vòng tròn C

.g

tâm O(0,0) bån kính 1.

us

Cho D lĂ náť­a mạt pháşłng trĂŞn y>0 vĂ đ?‘€(đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’šđ?&#x;Ž ) lĂ máť™t Ä‘iáťƒm thuáť™c D vĂ náşąm trĂŞn vòng tròn C.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

áťž Ä‘ây lĆ°u Ă˝ ráşąng, nĂłi chung d 2 x ď‚š 0 (vĂŹ x lĂ hĂ m sáť‘ nĂŞn dx khĂ´ng phải lĂ háşąng sáť‘).

Khi Ẽy 1  xo  1, yo  1  x2 . Váş­y phĆ°ĆĄng trĂŹnh x 2  y 2  1  0 xĂĄc Ä‘áť‹nh trong D máť™t hĂ m Ẋn y  1  x 2 cᝧa x trĂŞn khoảng (-1,1). Náşżu lẼy N(1,0) thĂŹ trong miáť n máť&#x; D’ chᝊa N, vĂ­ d᝼ D’ lĂ hĂŹnh tròn máť&#x; tâm N bĂĄn kĂ­nh ď Ľ, phĆ°ĆĄng trĂŹnh trĂŞn khĂ´ng xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t hĂ m Ẋn.

M

N

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

,,  z,,xx dx 2  2z,,xy dxdy  zyy dy 2  z,x d 2 x  zy, d 2 y.

101

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

Tháş­t váş­y, váť›i x ďƒŽ (1  ď Ľ , 1  ď Ľ ), thĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh x 2  y 2  1 hoạc vĂ´ nghiᝇm (náşżu x>1), hoạc cĂł hai nghiᝇm y1,2  ď‚ą 1  x 2 (khi Ẽy Ä‘iáťƒm (x,y1) vĂ (x,y2) Ä‘áť u thuáť™c D’). Váş­y hĂ m Ẋn khĂ´ng Ä‘ưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh.

n hĆĄ

N

1) XĂĄc Ä‘áť‹nh vĂ liĂŞn t᝼c trong hĂŹnh tròn máť&#x; B(M,ď Ľ) tâm M ( xo , yo ) , bĂĄn kĂ­nh ď Ľ.

Q

Kè

ď‚śF ( xo , yo ) ď‚š 0. ď‚śy

ấy

4)

ď‚śF ď‚śF , . ď‚śx ď‚śy

m

3) Táť“n tấi trong B(M, ď Ľ ) cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng liĂŞn t᝼c

uy

2) đ??š(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) = 0.

/+ D

thĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x , y )  0, xĂĄc Ä‘áť‹nh trong máť™t lân cáş­n U ( xo  ď ¤ , xo  ď ¤ ) cᝧa đ?‘Ľ0 , máť™t hĂ m sáť‘ y  y( x ) sao cho yo  y( xo ) vĂ F ( x , y( x )) ď‚ş 0 trong lân cáş­n Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 . HĆĄn nᝯa,

co

m

hĂ m sáť‘ y  y( x ) khả vi liĂŞn t᝼c (tᝊc lĂ cĂł Ä‘ấo hĂ m liĂŞn t᝼c) trong U, vĂ

F, dy   x, ( Fy,  0). dx F

gl

e.

(6.14)

y

oo

Ta cĂ´ng nháş­n Ä‘áť‹nh lĂ˝ trĂŞn. Tuy váş­y cĂ´ng thᝊc (6.14) cĂł tháťƒ thiáşżt láş­p máť™t cĂĄch dáť…

us

.g

dĂ ng. Tháş­y váş­y, vĂŹ F ( x , y( x )) ď‚ş 0 trong U, ta cĂł

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.3.1. Cho hĂ m sáť‘ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tháť?a cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn

d F ( x , y( x ))  0  Fx,  Fy, y '. dx

tᝍ Ä‘Ăł cĂł (6.14).ďƒť VĂ­ d᝼ 6.3.3. Cho hĂ m y  y( x) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i ďƒŠ

Ä?ạt F  x 2  y 2  R 2 ďƒž Fx,  2 x, Fy,  2 y ďƒž y , ( x)  

2x x  ďƒť 2y y

x2  y2  R2 . Hãy tính y '( x ).

(6.15)

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

6.3.2 Ä?ấo hĂ m riĂŞng vĂ vi phân cᝧa hĂ m Ẋn

102

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

VĂ­ d᝼ 6.3.4. TĂŹm y '( x ) tấi x = 1 vĂ y = – 1, biáşżt x 2 y3  2 x 2 y  3x 4  y  1  0. RĂľ rĂ ng x  1, y  1 tháť?a mĂŁn phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho. Ta cĂł ,

Fx

 2 xy3  4 xy  12 x;

F y,

 3x 2 y 2  2 x 2  1. 3 2

n hĆĄ

uy

N

ChĂş Ă˝ 6.3.1. Ä?áťƒ tĂŹm Ä‘ấo hĂ m cᝧa đ?‘Ś(đ?‘Ľ) tᝍ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 ta cĂł tháťƒ coi đ?‘Ś lĂ hĂ m cᝧa đ?‘Ľ, vĂ Ä‘ấo hĂ m biáťƒu thᝊc đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 khi Ẽy sáş˝ xuẼt hiᝇn đ?‘Ś ′ (đ?‘Ľ), tᝍ Ä‘Ăł tĂŹm đ?’šâ€˛ (đ?’™).

Ta thẼy x  1, y  ď ° tháť?a mĂŁn phĆ°ĆĄng trĂŹnh. LẼy Ä‘ấo hĂ m biáťƒu thᝊc trĂŞn theo x

m

ďƒŠ

Q

VĂ­ d᝼ 6.3.5. TĂŹm đ?‘Śâ€˛(đ?‘Ľ) cᝧa hĂ m Ẋn xy  e x sin y  ď ° , khi x  1, y  ď ° .

Kè

(coi y là hà m cᝧa x)

ấy

y  xy,  e x sin y  e x cos yy,  0.

/+ D

Cho x  1, y  ď ° ta Ä‘ưᝣc ď °  y ,  ey ,  0 ďƒž y , (1) 

ď€­ď ° .ďƒť 1 e

,,

,

co

,,

m

LĆ°u Ă˝ 6.3.2. Ä?áťƒ tĂŹm Ä‘ấo hĂ m cẼp hai đ?‘Śâ€˛â€˛ ta lẼy Ä‘ấo hĂ m hᝇ thᝊc (6.15) (6.16)

e.

,, , , , Fxx  Fxy y  ( Fyx  Fyy y ) y  F y, y,,  0 .

gl

Tháşż (6.14) vĂ o (6.16), tᝍ Ä‘Ăł tĂŹm đ?‘Śâ€˛â€˛.

LẼy Ä‘ấo hĂ m biáťƒu thᝊc Ä‘ĂŁ cho ta Ä‘ưᝣc

us

.g

ďƒŠ

oo

VĂ­ d᝼ 6.3.6. TĂ­nh y’, y’’ biáşżt x  y  arctg y  0.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

, , Cho x  1, y  1 ďƒž Fx  6, Fy  4. Váş­y y '(1)   . ďƒť

1  y, 

y, 1  y2

 0 ďƒž y, 

1  y2 y2

.

(6.17)

2 2 2 2 Ta cĂł y y '  1  y , lẼy Ä‘ấo hĂ m biáťƒu thᝊc trĂŞn: 2 yy '  y y ''  2 yy '.

Tháşż (6.17) vĂ o (6.18) ta Ä‘ưᝣc y ''  

2(1  y 2 ) y5

(6.18)

.ďƒť

Tᝍ phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x , y, z)  0 cĂł tháťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t hĂ m Ẋn z  z( x , y ) váť›i cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn sau.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

ďƒŠ

103

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

Ä?áť‹nh lĂ˝ 6.3.2. Cho hĂ m F ( x , y, z) tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn 1) XĂĄc Ä‘áť‹nh liĂŞn t᝼c trong hĂŹnh cầu máť&#x; B( M ,ď Ľ ) tâm tấi M ( xo , yo , zo ) bĂĄn kĂ­nh ď Ľ. 2) F ( xo , yo, zo )  0.

Q

uy

ď ˝

hĆĄ

n ď ť

ď —  ( x , y ) : ( x  xo )2  ( y  yo )2  ď ¤

N

Khi Ä‘Ăł, phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x , y, z)  0 xĂĄc Ä‘áť‹nh trong máť™t lân cáş­n

m

cᝧa Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ), máť™t hĂ m hai biáşżn z  z( x , y ) sao cho zo  z( xo , yo ) vĂ F ( x , y, z( x , y ) ď‚ş 0)

Fx,

  , , zy, Fz



Fy, Fz,

,(Fz, ď‚š 0).

(6.19)

/+ D

z,x

ấy

Kè

trong ď —. HĆĄn nᝯa hĂ m z  z( x , y ) cĂł Ä‘ấo hĂ m riĂŞng liĂŞn t᝼c trong ď — vĂ

x y F , x  2 x , F , y  2 y, F ,z  2 z ďƒž z,x   , zy,   (z ď‚š 0). ďƒť z z

gl

e.

ďƒŠ

co

m

, , VĂ­ d᝼ 6.3.7. Cho F  x 2  y 2  z2  R2  0, tĂ­nh zx , zy .

Ta cĂł cĂ´ng thᝊc tĂ­nh gần Ä‘Ăşng

us

.g

ďƒŠ

oo

VĂ­ d᝼ 6.3.8. Cho hĂ m Ẋn z  z( x, y) xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i z  ye x / z  0 . HĂŁy tĂ­nh gần Ä‘Ăşng z(0,02; 0,99).

z (0,02;0,99)  z (0,1)  z,x (0,1)0,02  zy, (0,1)(  0,01).

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

, 4) Fz ( xo , yo , zo ) ď‚š 0.

Cho x = 0, y= 1 vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh ban Ä‘ầu, ta Ä‘ưᝣc z (0, 1) = 1. Ta lấi cĂł F

,

x



y x/ z e , z

F

,

Tấi x  0, y  1, khi Ẽy z = 1, ta Ä‘ưᝣc F

y

,

x

  ex / z,

F,z  1 

xy z

2

 1, F , y  1, F ,z  1.

ex / z

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

3) Táť“n tấi cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng liĂŞn t᝼c Fx, , Fy, , Fz, trong B( M , ď Ľ ).

104

BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

, , Vậy zx (0,1)  1; zy (0,1)  1. Cho nên cuối cùng ta có

z(0,02; 0,99)  1  1 0,02  1 0,01  1,01.  Ví dụ 6.3.9. Cho xyz  x  y  z , tìm dz.

hơ

N

yz  1 , xz  1 1 ( yz  1)dx  ( xz  1)dy  . , zy   , dz   xy  1 yx  1 xy  1 

uy

Vậy z,x  

Q

Cách 2. Xem z là hàm của hai biến độc lập x, y thỏa điều kiện: xyz  x  y  z  0.

ạy

1 ( yz  1)dx  ( xz  1)dy  .  xy  1 

/+ D

 dz  

Kè

m

Lấy vi phân biểu thức đó, ta được yzdx  xzdy  xydz  dx  dy  dz  0,

Đối với đạo hàm riêng và vi phân cấp cao ta cũng làm tương tự.

2z 2z , . xy x 2

Lấy đạo hàm phương trình đã cho theo x

e.

co

m

Ví dụ 6.3.10. Cho x  y  z  e z , tìm

1  z,x  ez z,x

oo

gl

(6.20)

1

ez  1

.

(6.21)

us

.g

 z,x 

Tiếp theo, lấy đạo hàm biểu thức (6.20) theo x

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

F  xyz  x  y  z, F , x  yz  1, F , y  xz  1, F ,z  xy  1.

2

z,,xx  ez z,x  ez z,,xx .

(6.22)

Thế (6.21) vào (6.22), từ đó ta được

z,,xx 

ez z 3

(1  e )

xyz (1  x  y  z)3

.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

, , Cách 1. Tìm zx , zy theo công thức (6.19) ta có

n

105

BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

,, Để tìm zxy , trước tiên lấy đạo hàm phương trình ban đầu theo y

1  zy,  e z zy, , 1 z

e 1

.

(6.24)

.

N

xyz

hơ

n

(6.25)

(1  x  y  z)3

uy

Thế (6.21), (6.24) vào (6.25) từ đó tìm được z,,xy 

m

Q

6.4 CÔNG THỨC TAYLOR

Kè

Cho hàm z  f ( x , y ) có đạo hàm riêng đến cấp n+1 trong Q(xo+x, yo+y)

ạy

miền mở D chứa điểm P( xo , yo ) . Giả thiết rằng:

M

Q( xo  x, yo  y)  D và cả đoạn PQ  D.

/+ D

P(xo, yo)

m

Đặt x  xo  tx, y  yo  ty,0  t  1 M( x, y)  PQ  D.

co

Xét hàm số z  f ( x, y)  f ( xo  tx, yo  ty)   (t ).

gl

e.

Đó là hàm hợp một biến t, có đạo hàm cấp n+1. Theo công thức Taylor ta có

 '(0) 1

t  ... 

 ( n) (0) n!

n

t 

 ( n1) ( t ) (n  1)!

t n1, 0    1.

.g

oo

 (t )   (0) 

us

Cho t = 1 ta được

 (1)   (0) 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

,, z , , z ,, Tiếp theo lấy đạo hàm (6.20) theo y zxy  e zy zx  e zxy .

 '(0)  ''(0) 1

2!

Ta có

 (1)  f ( xo  x, yo  y),  (0)  f ( xo , yo ). Hơn nữa ta lại có

 ... 

 ( n) (0)  ( n1) ( ) n!

(n  1)!

.

(6.26)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 zy, 

(6.23)

106

BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

 '(t )  f ' x ( x , y )x  f 'y ( x , y )y,  dx  dy  y    x, dt  dt 

(6.27)

2

   x  y  f ( x, y) y   x

hơ

n

(6.28)

N

Hoàn toàn tương tự, theo qui nạp ta được k

(6.29)

Q

uy

     (k) (t)   x  y  f ( x, y) y   x

xo , y

t0 

yo (x, y - các hằng số), ta được

Kè

t0 

ạy

 '(0)  f x, ( xo , yo )x  fy, ( xo , yo )y  df ( xo , yo )

/+ D

 ''(0)  f xx,, ( xo , yo )x 2  2 f xy,, ( xo , yo )xy  f yy,, ( xo , yo )y 2  d 2 f ( xo , yo )

m

...

k

e.

( n 1)

    ( )   x  y  y   x

gl

co

    (0)   x  y  f ( x , y )  d k f ( x o , yo ) ( x , y )  x  y   o o

(k )

n 1

f ( x, y)

( xo  x , yo  y )

.g

oo

 d n1 f ( xo  x , yo  y ).

Vậy ta có công thức Taylor sau:

us

x

m

Trong các công thức (6.27), (6.28) và (6.29), cho t=0, khi ấy chú ý rằng

n

1 k 1 d f ( xo , yo )  d n1 f ( xo  x , yo  y ), 0<<1. (n  1)! k 0 k !

f ( xo  x, yo  y )  

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

= 

Phần dư

Rn (x , y ) 

1 d n1 f ( xo  x , yo  y ) (n  1)!

(6.30)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

,, ,, ,, ( x, y)xy  f yy ( x, y) y 2 , , (t)  f xx ( x, y) x 2  2 f xy

BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

107

được gọi là phần dư dạng Lagrange. Có thể chứng minh được rằng có thể viết phần dư ở dạng Peano sau đây

Rn (x, y)  0(S n ), S  x 2  y 2 . Lấy xo  0, yo  0, x  x, y  y ta có công thức Maclaurin

1 k 1 d f (0,0)  d n1 f ( x,  y); 0    1. (n  1)! k 0 k !

n

hơ

N

uy

Ta có theo công thức Taylor, n = 2

Q

Kè

m

1 ,, ,, ,, f ( x, y)  f (0, 0)  f x (0, 0) x  f y, (0, 0) y  [ f xx (0, 0) x2  2 f xy (0, 0) xy  f yy (0, 0) y2 ]  R2 , 2

/+ D

ạy

1 ,,, 3 ,,, 2 ,,, ,,, R2  [ fxxx x  3 fxxy x y  3 fxyy xy2  f yyy y3 ] (x, y) 6

co

 0; fy, (0,0)  sin x cos y

(0,0)

(0,0)

e.

f x, (0,0)  cos x sin y

f (0,0)  0;

m

Ta có f ( x , y )  sin x sin y;

 0; f xy,,  cos x cos y

gl

f xx,, (0,0)   sin x sin y

oo

(0,0)

(0,0)

1 6

 0;

 1; fyy,,   sin x sin y

(0,0)

us

.g

Vậy sin x sin y  xy, với sai số | R2 ( x , y ) | [0,13  3  0,13  3  0,13  0,13 ] 

 0.

4 3 0,1 (ở đây sử 3

dụng | f ,,, | 1 ).

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Ví dụ 6.4.1. Tìm xấp xỉ bậc hai của hàm z  sin x sin y tại lân cận gốc tọa độ. Đánh giá sai số biết | x | 0,1; | y | 0,1 ?

Công thức Taylor với n=2 đối với hàm số f ( x , y )  sin x sin y có thể nhận được nhờ

sử dụng công thức Taylor của các hàm một biến

sin x  x  0( x ), sin y  y  0( y)  sin x sin y  [ x  0( x )][y  0( y)]  xy  0(  );   x 2  y 2 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

f ( x, y)  

108

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

VĂ­ d᝼ 6.4.2. Khai triáťƒn Taylor hĂ m f ( x , y )  y x áť&#x; lân cáş­n Ä‘iáťƒm (1,1) Ä‘áşżn báş­c 2. ďƒŠ

Ta cĂł

f (1,1)  1 f x, ( x , y )  y x ln y ďƒž

f x, (1,1)  0

,, f xx  y x ln2 y,

,, f xx (1,1)  0

m

Q

ďƒť

ấy

Kè

TĂ“M TẎT

/+ D

Trong bĂ i háť?c nĂ y, háť?c viĂŞn cần nắm máť™t sáť‘ Ä‘iáť u sau. 1. HĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Ä‘ưᝣc gáť?i khả vi tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) náşżu sáť‘ gia toĂ n phần ď „đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) cĂł tháťƒ

m

biáťƒu diáť…n Ä‘ưᝣc áť&#x; dấng

co

ď „f ( xo , yo )  Aď „x  Bď „y  ď Ąď „x  ď ˘ď „y,

e.

áť&#x; Ä‘ây đ??´, đ??ľ lĂ cĂĄc háşąng sáť‘, ď Ą, ď ˘ď‚Ž 0 khi ď „đ?‘Ľ, ď „đ?‘Ś ď‚Ž 0. Khi Ẽy Ä‘ấi lưᝣng đ??´ď „đ?‘Ľ + đ??ľď „đ?‘Ś Ä‘ưᝣc gáť?i

oo

gl

lĂ vi phân cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tấi (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) vĂ Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ).

.g

, , Biáťƒu thᝊc df ( x , y )  f x ( x , y )dx  f y ( x , y )dy cĹŠng lĂ máť™t hĂ m sáť‘ cᝧa cĂĄc biáşżn x,y, vi

us

phân cᝧa nĂł đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)), ta gáť?i lĂ vi phân cẼp hai cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ kĂ˝ hiᝇu đ?‘‘ 2 đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś),

d 2 f ( x , y )  d (df ( x , y ))d 2 f ( x , y )  f xx,, dx 2  2 f xy,, dxdy  f yy,, dy 2 n

ďƒŚ ď‚ś ďƒś ď‚ś dy ďƒˇ f . TĆ°ĆĄng táťą, váť›i vi phân cẼp n, ta cĂł d f  ďƒ§ dx  ď‚śy ďƒ¸ ďƒ¨ ď‚śx n

TrĆ°áť?ng hᝣp táť•ng quĂĄt n biáşżn: u  f ( x1, x2 ,..., xn ) thĂŹ

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

f yy,, (1,1)  0

hĆĄ

f yy,,  x ( x  1)y x 2 ,

N

, f xy (1,1)  1

uy

,, f xy  y x 1 ( x ln y  1),

n

f y, (1,1)  1

Váş­y ta Ä‘ưᝣc đ?‘Ś đ?‘Ľ = 1 + (đ?‘Ś − 1) + (đ?‘Ľ − 1) + đ?‘‚(đ?œŒ2 ), đ?œŒ = √(đ?‘Ľ − 1)2 + (đ?‘Ś − 1)2 .

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

f y, ( x , y )  xy x 1 ,

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

109

m

ďƒŚ ď‚ś ďƒś ď‚ś ď‚ś d f  ďƒ§ dx1  dx2  ...  dxn ďƒˇ f . ďƒ§ ď‚śx ďƒˇ ď‚śx2 ď‚śxn ďƒ¨ ďƒ¸ m

2. Náşżu z  f ( x , y ) khả vi trong miáť n D vĂ x  x (t ), y  y (t ) khả vi trong (t1,t2), khi Ẽy hĂ m

n hĆĄ

N

Cho z  f ( x , y ) vĂ x, y lĂ cĂĄc hĂ m cᝧa hĂ m hai biáşżn x  x (u, v), y  y(u, v). Cho cĂĄc

uy

hĂ m z, x, y khả vi tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm tĆ°ĆĄng ᝊng. NhĆ° váş­y z lĂ hĂ m hᝣp cᝧa hai biáşżn u, v vĂ

Q

ta cĂł

Kè

m

z z x z y z z x z y   ;   . u x u y u v x v y v

ấy

3. Ä?áť‹nh lĂ­ váť Ä‘ấo hĂ m cᝧa hĂ m Ẋn Ä‘ưᝣc cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 vĂ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) =

/+ D

0 lần lưᝣt cho ta

co

m

Fy, Fx, , Fx, , dy ,   , ( Fy  0); và zx   , zy   ,(Fz,  0). dx Fy Fz, Fz,

e.

4. CĂ´ng thᝊc Taylor cᝧa z  f ( x , y ) cĂł Ä‘ấo hĂ m riĂŞng Ä‘áşżn cẼp n+1 trong miáť n máť&#x; D

oo

gl

chᝊa Ä‘iáťƒm P( xo , yo ) ,

n

1 k 1 d f ( xo , yo )  d n1 f ( xo  ď ąď „x , yo  ď ąď „y ), 0<ď ą<1. (6.30) (n  1)! k 0 k !

us

.g

f ( xo  ď „x, yo  ď „y )  ďƒĽ

LẼy xo  0, yo  0, x  ď „x, y  ď „y ta cĂł cĂ´ng thᝊc Maclaurin :

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

dz z dx z dy   . dt x dt y dt

n

1 k 1 d f (0,0)  d n1 f (ď ą x, ď ą y); 0  ď ą  1. (n  1)! k 0 k !

f ( x, y)  ďƒĽ

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hᝣp z  f [ x (t ), y(t )] cĹŠng khả vi trong (t1, t2) vĂ

110

BĂ€I 6: KHẢ VI VĂ€ VI PHĂ‚N CᝌA HĂ€M NHIᝀU BIáşžN

BĂ€I TẏP BĂ i 1. TĂ­nh vi phân cᝧa cĂĄc hĂ m sau.





n hĆĄ

z . x  y2

N

2

uy

c) Tính ��(1, 2, 1) nếu f ( x , y, z) 

4,052  3,072 .

/+ D

b) (2,01)3,03 biết rẹng �� 2 = 0,69.

ấy

a)

Kè

m

BĂ i 2. TĂ­nh gần Ä‘Ăşng cĂĄc giĂĄ tráť‹ sau nháť? vi phân cẼp 1

Q

d) Tính ��(1,1) nếu f ( x , y )  ( x  y )e xy .

m

ďƒŚď ° ďƒś ď °  0,017 ). c) đ?‘ đ?‘–đ?‘›280 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 610 (biáşżt ráşąng cos ďƒ§ ďƒˇ  0,87; 180 ďƒ¨6ďƒ¸

e.

gl

a) f ( x , y )  x y ( x  0).

co

BĂ i 3. TĂŹm d 2 f náşżu

oo

b) f ( x , y, z)  xy  yz  zx.

.g

2 2 2 Bà i 4. TÏm d f (1,1) nếu f ( x, y)  x  xy  y  4 ln x  2 ln y.

df náşżu dt

us

BĂ i 5. TĂ­nh

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

b) f ( x , y )  ln y  x 2  y 2 .

y a) f ( x , y )  x và x  ln t, y  sin t.

b) f ( x , y )  arctg

c) f ( x , y, z) 

y 2t 2t và x  e  1, y  e  1. x

yz df t 2 và x  e , y  ln t, z  t  1 , sau đó tính (1). dt x

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

a) f ( x , y )  e xy .

BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Bài 6. Tính

df và dx

f nếu f ( x, y)  ln e x  e y x

 và y  13 x

3

111

 x.

Bài 7. Chứng minh rằng hàm g  y . f (cos( x  y)) thỏa phương trình

dx 2

hơ

d2 y

nếu x  y  e x  y

N

dy ; dx

2 f  0 xy

uy

Bài 9. Tính

Q

Bài 10. Tính y’(1) và y’’(1) nếu biết

Kè

ạy

xy  0. Bài 11. Tính z ; z nếu z ln( x  z)  x y z

m

x 2  2xy  y2  4 x  2 y  2  0 và khi x = 1 thì y = 1

/+ D

3 Bài 12. Giả sử z  z( x, y) là hàm khả vi được xác định từ phương trình z  xz  y  0.

m

Biết rằng tại x = 3; y = –2 thì z = 2. Tính dz (3, –2) và d2z (3, –2) Bài 13. Tính u ; u nếu u  x  z trong đó z  z( x, y) được xác định từ phương trình y

e.

ze z  xe x  ye y .

y z

co

x

oo

gl

Bài 14. Khai triển Maclaurin đến bậc 2 hàm f ( x , y )  ln(1  y  x ).

.g

Bài 15. Khai triển Maclaurin đến bậc 3 hàm f ( x , y )  ln(1  x ).ln(1  y).

us

Bài 16. Khai triển Taylor đến bậc 3 hàm f ( x, y) 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Bài 8. Tìm tất cả các hàm f ( x, y) thỏa phương trình

y ở lân cận điểm (1,1). x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

với giả thiết f là hàm khả vi.

n

g g g   x y y

112

BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm vi phân cấp một của hàm hai biến z  x 2 3 y. A. dz  x3y  2dx  x ln 3dy 

uy

N

Câu 2. Vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số z  ye x  xe y là:

B. d 2 z  ye x dx 2  (e x  e y )dxdy  xe y dy 2

C. d 2 z  xe x dx 2  2(e x  e y )dxdy  ye y dy 2

D. d 2 z  ye x dx 2  2(e x  e y )dxdy  xe y dy 2

Kè

m

Q

A. d 2 z  ye x dx 2  2(e x  e y )dxdy  xe y dy 2

ạy

u Câu 3. Hàm hợp z  arctan( ) với u  x sin y, v  x cos y có đạo hàm riêng: v B. zx  0, zy  1.

/+ D

A. zx  1, zy  0.

co

D. zx  1, zy  1.

e.

y df 2 2 2 biết f (u, v)  u sin v, u  x  y , v  . dx x

oo

gl

Câu 4. Tìm

m

C. zx  0, zy  0.

df yu 2  2 xu sin v  2 cos v. B. dx x

us

.g

df yu 2  4 xu sin v  2 cos v. A. dx x df yu 2  4 xu sin v  2 cos v. C. dx x

df yu 2  4 xu sin v  2 cos v. D. dx x

x y Câu 5. Hàm ẩn y  y( x ) xác định từ phương trình y  x có:

A. y( x ) 

x 2 ln x  1 y 2 ln y  1

B. y( x ) 

y 2 ln y  1 x 2 ln x  1

C. y( x ) 

y 2 ln x  1 x 2 ln y  1

D. y( x ) 

x 2 ln y  1 . y 2 ln x  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

D. dz  x3y  2dx  x ln3dy 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

hơ

y y 1 C. dz  x3 2dx  xy3 dy

B. dz  x3y  2dx  xdy 

113

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

n

TĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m hai biáşżn sáť‘.

-

TĂŹm cáťąc tráť‹ cĂł (máť™t) Ä‘iáť u kiᝇn cᝧa hĂ m hai biáşżn sáť‘.

-

TĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt, giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt cᝧa hĂ m hai biáşżn sáť‘ trĂŞn miáť n Ä‘Ăłng, báť‹ chạn.

-

TĂŹm Ä‘ấo hĂ m riĂŞng theo hĆ°áť›ng cᝧa vĂŠc-tĆĄ, tĂ­nh gradient cᝧa hĂ m nhiáť u biáşżn sáť‘.

m

Q

uy

N

hĆĄ

-

ấy

Kè

7.1 Cáť°C TRᝊ HĂ€M NHIᝀU BIáşžN (Cáť°C TRᝊ Táť° DO) Ä?áť‹nh nghÄŠa 7.1.1. Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong miáť n D vĂ Ä‘iáťƒm P0 ( x0 , y0 ) lĂ Ä‘iáťƒm

/+ D

trong miáť n D.

Ta nĂłi P0 ( x0 , y0 ) lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tiáťƒu chạt (hay lĂ cáťąc tiáťƒu theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa háşšp), náşżu

co

m

táť“n tấi ď Ľ - lân cáş­n B(Po ,ď Ľ ) cᝧa P0 sao cho

(7.1)

e.

f ( x0 , y0 )  f ( x, y), ( x, y) ďƒŽ B(P0 ,ď Ľ ), ( x, y) ď‚š ( x0 , y0 ).

oo

gl

Náşżu táť“n tấi ď Ľ lân cáş­n B(P0 ,ď Ľ ) cᝧa P0 sao cho (7.2)

.g

f ( x0 , y0 )  f ( x, y), ( x, y) ďƒŽ B(P0 ,ď Ľ ), ( x, y) ď‚š ( x0 , y0 ).

us

thĂŹ Ä‘iáťƒm Po Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc Ä‘ấi chạt (còn gáť?i lĂ cáťąc Ä‘ấi theo nghÄŠa háşšp). TrĆ°áť?ng hᝣp cĂĄc bẼt Ä‘áşłng thᝊc chạt (7.1), (7.2) Ä‘ưᝣc thay tháşż báşąng cĂĄc Ä‘áşłng thᝊc

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần tháťąc hiᝇn Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáť u sau.

không chạt.

f ( xo , yo ) ď‚Ł f ( x, y);

f ( xo , yo ) ď‚ł f ( x, y).

thĂŹ Po Ä‘ưᝣc gáť?i tĆ°ĆĄng ᝊng lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tiáťƒu vĂ Ä‘iáťƒm cáťąc Ä‘ấi (chĂşng còn Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tiáťƒu, Ä‘iáťƒm cáťąc Ä‘ấi theo nghÄŠa ráť™ng).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

114

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

CĂĄc Ä‘iáťƒm cáťąc Ä‘ấi vĂ cáťąc tiáťƒu Ä‘ưᝣc gáť?i chung lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tráť‹. KhĂĄi niᝇm cáťąc tráť‹ nĂŞu trĂŞn cĂł tĂ­nh Ä‘áť‹a phĆ°ĆĄng. GiĂĄ tráť‹ hĂ m f chᝉ so sĂĄnh tấi P0 váť›i cĂĄc Ä‘iáťƒm áť&#x; gần nĂł. Máť™t hĂ m sáť‘ cĂł tháťƒ cĂł nhiáť u Ä‘iáťƒm cáťąc Ä‘ấi, cáťąc tiáťƒu. VĂ­ d᝼ 7.1.1. TĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ z  x  y . 2

2

n hĆĄ

Ta cĂł z  (0, 0)  0 . Trong máť?i ď Ľ lân cáş­n cᝧa (0,0) cĂł nhᝯng Ä‘iáťƒm mĂ tấi Ä‘Ăł z  0

uy

N

(gĂłc I), vĂ nhᝯng Ä‘iáťƒm mĂ z  0 (gĂłc II). Váş­y hĂ m sáť‘ khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ tấi (0,0). VĂ­ d᝼ 7.1.3. Khảo sĂĄt cáťąc tráť‹ hĂ m sáť‘ z  x y .

RĂľ rĂ ng z(0, 0)  0 vĂ z( x, y) ď‚ł 0, ( x, y) , nĂŞn hĂ m Ä‘ất cáťąc tiáťƒu (theo nghÄŠa ráť™ng)

m

ďƒŠ

2

Q

2

Kè

tấi (0,0). TĆ°ĆĄng táťą, hĂ m Ä‘ất cáťąc tiáťƒu theo nghÄŠa ráť™ng trĂŞn cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng x  0 vĂ

ấy

y  0.

Ä‘iáťƒm P(0, y1 ) trĂŞn tr᝼c tung

x  0.

/+ D

Tuy váş­y, hĂ m khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ chạt (tᝊc lĂ theo nghÄŠa háşšp). Tháş­t váş­y, xĂŠt máť™t Ta cĂł z ( P)  0 , nhĆ°ng trong máť?i lân cáş­n cᝧa P, luĂ´n

co

m

táť“n tấi Ä‘iáťƒm Q (cĹŠng thuáť™c tr᝼c tung) sao cho z (Q)  0 ( z ( P)). ďƒť

ďƒŹ ďƒŻ x 2  y 2 , ( x , y ) ď‚š (0,0) , ( x , y )  (0,0). ďƒŻ ďƒŽ1

gl

Váť›i 0  ď Ľ  1, ( x, y) ďƒŽ ď Ľ - lân cáş­n cᝧa Ä‘iáťƒm O(0,0) ta cĂł

oo

ďƒŠ

e.

VĂ­ d᝼ 7.1.4. XĂŠt cáťąc tráť‹ hĂ m sáť‘ z  ďƒ­

ďƒť.

.g

z(x, y)  x 2  y2  ď Ľ 2  1  z(0, 0) , cho nĂŞn hĂ m Ä‘ất cáťąc Ä‘ấi tấi O(0,0)

us

Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.1.1 (Ä?iáť u kiᝇn cần cᝧa cáťąc tráť‹). Náşżu hĂ m sáť‘ z  f ( x , y ) cĂł cáťąc tráť‹ tấi

Po ( xo , yo ) thĂŹ tấi P0, hĂ m sáť‘ cĂł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng báşąng 0 hoạc khĂ´ng cĂł Ä‘ấo hĂ m.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

VĂ­ d᝼ 7.1.2. HĂ m z  xy cĂł cáťąc tráť‹ tấi (0,0) hay khĂ´ng?

ďƒŠ

Giả sáť­ hĂ m Ä‘ất cáťąc Ä‘ấi tấi Po ( xo , yo ) vĂ cĂł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng tấi Po. XĂŠt hĂ m máť™t

biáşżn f ( x, yo ), váş­y trong máť™t lân cáş­n nĂ o Ä‘Ăł cᝧa đ?‘Ľ0 ta cĂł f ( x, yo ) ď‚Ł f ( xo , yo ) , tᝊc hĂ m máť™t biáşżn f ( x, yo ) Ä‘ất cáťąc Ä‘ấi tấi đ?‘Ľ0 , cho nĂŞn ď‚śf (xo, yo) d f (x, yo)  0 x  x dx ď‚śx o

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ta cĂł z(0, 0)  0  z( x, y) váť›i ( x, y) ď‚š (0, 0) . Váş­y hĂ m sáť‘ Ä‘ất cáťąc tiáťƒu chạt tấi (0,0).

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

TĆ°ĆĄng táťą, ta cĂł

115

ď‚śf ( x o , yo )  0 ďƒť . ď‚śy

ChĂş Ă˝ ráşąng Ä‘iáť u kiᝇn trĂŞn cĹŠng lĂ Ä‘iáť u kiᝇn cần Ä‘áť‘i váť›i cáťąc tráť‹ chạt vĂŹ tᝍ cáťąc tráť‹ chạt ta cĂł cáťąc tráť‹. Ä?iáťƒm mĂ tấi Ä‘Ăł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng báşąng 0 hoạc khĂ´ng cĂł Ä‘ấo hĂ m Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ

n hĆĄ

RĂľ rĂ ng Ä‘iáť u kiᝇn cần áť&#x; trĂŞn chĆ°a phải lĂ Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ᝧ. XĂŠt hĂ m sáť‘ đ?‘§ = đ?‘Ľđ?‘Ś cᝧa VĂ­ d᝼

uy

N

7.1.2 ta thẼy z,x (0, 0)  z,y (0, 0)  0 nhĆ°ng khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ tấi (0,0).

Q

Ä?iáťƒm ( xo , yo ) mĂ tấi Ä‘Ăł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng báşąng 0 vĂ trong máť™t lân cáş­n bẼt káťł cᝧa

m

nĂł táť“n tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) sao cho f ( x1 , y1 )  f ( xo , yo )  f ( x2 , y2 ) , Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm

Kè

yĂŞn ngáťąa.

ấy

Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.1.2 (Ä?iáť u kiᝇn Ä‘ᝧ cáťąc tráť‹ chạt). Cho f ( x , y ) xĂĄc Ä‘áť‹nh, liĂŞn t᝼c vĂ cĂł cĂĄc

/+ D

Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cẼp hai liĂŞn t᝼c tấi lân cáş­n cᝧa Ä‘iáťƒm dᝍng ( x0 , y0 ) . Khi Ẽy

m

1) Náşżu dấng toĂ n phĆ°ĆĄng d 2 f ( x0 , y0 ) xĂĄc Ä‘áť‹nh dĆ°ĆĄng thĂŹ hĂ m sáť‘ Ä‘ất cáťąc tiáťƒu chạt

co

tấi ( x0 , y0 ) ;

e.

2) Náşżu dấng toĂ n phĆ°ĆĄng d 2 f ( x0 , y0 ) xĂĄc Ä‘áť‹nh âm thĂŹ hĂ m sáť‘ Ä‘ất cáťąc Ä‘ấi chạt tấi

oo

gl

( x0 , y0 ) ;

us

( x0 , y0 ) .

.g

3) Náşżu dấng toĂ n phĆ°ĆĄng d 2 f ( x0 , y0 ) khĂ´ng xĂĄc Ä‘áť‹nh thĂŹ hĂ m khĂ´ng Ä‘ất cáťąc tráť‹ tấi

ChĂş Ă˝ 7.1.2.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

0 Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm dᝍng.

(1) VĂŹ cáťąc tráť‹ chạt cĹŠng lĂ cáťąc tráť‹, nĂŞn Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ᝧ nĂŞu trong Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.1.2 cĹŠng lĂ Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ᝧ cho cáťąc tráť‹ (theo nghÄŠa ráť™ng). (2) Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.1.2 cĹŠng Ä‘Ăşng cho hĂ m nhiáť u hĆĄn 2 biáşżn (chᝊng minh hoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą), ta phĂĄt biáťƒu cho hĂ m 3 biáşżn.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ä‘iáťƒm táť›i hấn, Ä‘Ăł lĂ Ä‘iáťƒm nghi ngáť? cĂł cáťąc tráť‹. Ä?iáťƒm mĂ tấi Ä‘Ăł cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng báşąng

116

BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

Định lý 7.1.3. Cho hàm f ( x , y , z) xác định liên tục và có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục tại lân cận của điểm dừng ( x0 , y0 , z0 ) . Khi ấy nếu dạng toàn phương

d 2 f ( x0 , y0 , z0 ) là:

n hơ N

3) Không xác định thì hàm không đạt cực trị tại ( x0 , y0 , z0 ) .

uy

Trong sử dụng thực tế, đối với hàm hai biến, định lý được dùng ở dạng sau đây.

Q

Định lý 7.1.4. Cho hàm số f ( x , y ) xác định liên tục và các đạo hàm liên tục tại lân

Kè

m

cận của điểm dừng ( x0 , y0 ) .

ạy

,, ,, ,, 2 Đặt A  f xx ( xo , yo ), B  f xy ( xo , yo ), C  f yy ( xo , yo ),   AC  B .

/+ D

1) Nếu   0, A  0, hàm đạt cực tiểu chặt tại ( x0 , y0 ) ;

m

2) Nếu   0, A  0, hàm đạt cực đại chặt tại ( x0 , y0 ) ;

co

3) Nếu   0, hàm không đạt cực trị tại ( x0 , y0 ) , khi ấy ( x0 , y0 ) là điểm yên ngựa. Ví dụ 7.1.5. Tìm cực trị của hàm số z  x  xy  y  3x  6 y.

e.

2

gl

Trước tiên ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ

oo

2

zx,  2 x  y  3  0; z,y  x  2 y  6  0 y3

.g

 x  0,

us

,, ,, zxx  2; zxy  1;

z,,yy  2

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2) Xác định âm thì hàm đạt cực đại tại ( x0 , y0 , z0 ) ;

Vậy

  AC  B2  4  1  0; A  2  0, hàm

zmin  z(0, 3)  9.  Ví dụ 7.1.6. Tìm cực trị hàm số z  x  y  3xy. 3

, 2   zx  3 x  3 y  0 Giải hệ  , 2   zy  3 y  3x  0.

3

đạt

cực

tiểu

tại

(0,3)

và

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1) Xác định dương thì hàm đạt cực tiểu tại ( x0 , y0 , z0 ) ;

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

117

Ta Ä‘ưᝣc hai Ä‘iáťƒm dᝍng M1 (1,1), M2 (0, 0). Ta cĂł

,, ,, zxx  6x; zxy  3; z,,yy  6 y.

Tấi M1 ta Ä‘ưᝣc A  6; B  3; C  6; ď „  36  9  0 ďƒž cáťąc tiáťƒu chạt zmin  z(1,1)  1.

VĂ­ d᝼ 7.1.7. Khảo sĂĄt cáťąc tráť‹ hĂ m sáť‘ z  x  y  x  2 xy  y . 2

hĆĄ N

ďƒŹ zx,  4 x3  2 x  2 y  0 ďƒŻ Giải hᝇ ďƒ­ , 3 ďƒŻ ďƒŽ zy  4 y  2 x  2 y  0.

m

Kè

,, ,, zxx  12x2  2; zxy  2; z,,yy  12 y2  2.

Q

Ta Ä‘ưᝣc ba Ä‘iáťƒm dᝍng M1 (0, 0), M2 (1,  1), M3 (1,1). Ta cĂł

n

2

uy

ďƒŠ

4

ấy

Tấi M1 ta lấi cĂł A  2; B  2; C  2; ď „  0.

1 ta Ä‘ưᝣc n

m

Ta có z ( M1 )  0 . V᝛i x  y 

/+ D

Trư�ng hᝣp nà y cần phải khảo såt thêm bẹng phưƥng phåp khåc.

e.

co

ďƒŚ1 1ďƒś 2 ďƒŚ 1 ďƒś z ďƒ§ , ďƒˇ  2 ďƒ§ 2  2 ďƒˇ  0 váť›i n> 1. ďƒ¨ n nďƒ¸ n ďƒ¨ n ďƒ¸

gl

ďƒŚ1 1ďƒś 2 ,  ďƒˇ  2  0. ďƒ¨n nďƒ¸ n

oo

Mạc khĂĄc, ta cĂł z ďƒ§

us

.g

Váş­y trong lân cáş­n M1 (0, 0) hĂ m sáť‘ Ä‘áť•i dẼu, hĂ m khĂ´ng Ä‘ất cáťąc tráť‹ tấi M1. Tấi M2 vĂ M3 ta cĂł A  10, B  2, C  10, ď „  96 . Cho nĂŞn hĂ m Ä‘ất cáťąc tiáťƒu chạt

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

4

tấi M2 vĂ M3 vĂ zmin  2. ďƒť

7.2 Cáť°C TRᝊ CĂ“ Ä?IᝀU KIᝆN Trong phần trĂŞn ta Ä‘ĂŁ xĂŠt bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ z  f ( x , y ) , trong Ä‘Ăł hai biáşżn Ä‘áť™c láş­p đ?‘Ľ, đ?‘Ś khĂ´ng cĂł Ä‘iáť u kiᝇn rĂ ng buáť™c, ngĆ°áť?i ta gáť?i lĂ cáťąc tráť‹ khĂ´ng Ä‘iáť u kiᝇn hay lĂ cáťąc tráť‹ táťą do.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Tấi M2 ta cĂł A  0; B  3; C  0; ď „  9  0 , khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹ tấi M2.

118

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

NhĆ°ng Ä‘áť“ng tháť?i ta rẼt thĆ°áť?ng gạp cĂĄc bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹, mĂ trong Ä‘Ăł cĂĄc biáşżn x, y báť‹ rĂ ng buáť™c báť&#x;i máť™t Ä‘iáť u kiᝇn nĂ o Ä‘Ẽy. TrĆ°áť?ng hᝣp 3 biáşżn cĹŠng tĆ°ĆĄng táťą. VĂ­ d᝼ 7.2.1. TĂŹm Ä‘iáťƒm náşąm trĂŞn mạt pháşłng 2 x  y  z  5  0 gần gáť‘c táť?a Ä‘áť™ nhẼt.

n

x 2  y 2  z2 , trong đó cåc biến x, y, z bᝋ rà ng

N

buáť™c báť&#x;i Ä‘iáť u kiᝇn 2 x  y  z  5  0.

uy

RĂľ rĂ ng Ä‘ấi lưᝣng ď ˛  x 2  y 2  z 2 Ä‘ất cáťąc tiáťƒu khi f  x 2  y 2  z 2 Ä‘ất cáťąc tiáťƒu. Váş­y ta

m

Q

xĂŠt bĂ i toĂĄn tĂŹm cáťąc tiáťƒu cᝧa

(7.3)

Kè

f  x 2  y 2  z2

(7.4)

ấy

v᝛i điᝠu kiᝇn 2 x  y  z  5  0.

/+ D

Tᝍ (7.4) ta cĂł z  2x  y  5 , tháşż vĂ o (7.3) ta Ä‘ưᝣc

m

g( x, y)  f ( x, y,2 x  y  5)  x 2  y 2  (2 x  y  5)2

e.

 10 x  4 y  20  0  4x

 4 y  10

5 5 ďƒž xo  , yo  , 3 6  0

oo

gl

ďƒŹďƒŻ g, x ďƒ­ , ďƒŻďƒŽ gy

co

vĂ dẍn Ä‘áşżn bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ táťą do cᝧa hĂ m hai biáşżn g( x , y ) . Ta cĂł

us

.g

,, g,,xx  10, g,,xy  4, gyy  4 ďƒž ď „  10.4  42  0, , hĂ m Ä‘ất cáťąc tiáťƒu tấi ( x0 , y0 ). .

ďƒŚ5 5 5 , ďƒ¨3 6 6

Váş­y Ä‘iáťƒm phải tĂŹm lĂ ďƒ§ ,

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

bĂ i toĂĄn sau: tĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ ď ˛ 

x 2  y 2  z2 . VĂŹ váş­y, ta dẍn Ä‘áşżn

ďƒś ďƒˇ. ďƒť . ďƒ¸

ChĂş Ă˝: BĂ i toĂĄn cĂł tháťƒ giải theo phĆ°ĆĄng phĂĄp hĂŹnh giải tĂ­ch, báşąng cĂĄch tĂŹm hĂŹnh chiáşżu cᝧa gáť‘c táť?a Ä‘áť™ xuáť‘ng mạt pháşłng. Bấn Ä‘áť?c táťą tháť­ lĂ m theo cĂĄch nĂ y. Ä?áť‹nh nghÄŠa 7.2.1. Ta nĂłi hĂ m f ( x , y ) váť›i Ä‘iáť u kiᝇn ď Ş ( x , y )  0

)= ,y ď Ş(x

Ä‘ất cáťąc Ä‘ấi chạt tấi Ä‘iáťƒm Mo ( xo , yo ) náşżu táť“n tấi máť™t lân cáş­n đ?‘Ť Mo

0

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Khoảng cĂĄch tᝍ M ( x , y, z) Ä‘áşżn gáť‘c táť?a Ä‘áť™ báşąng ď ˛ 

hĆĄ

ďƒŠ

119

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

cᝧa đ?‘´đ?&#x;Ž sao cho f ( M )  f ( Mo ), váť›i M ďƒŽ D, M ď‚š Mo vĂ tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn rĂ ng buáť™c

ď Ş ( M )  0. ThĂ´ng thĆ°áť?ng phĆ°ĆĄng trĂŹnh ď Ş ( x, y)  0 cho ta máť™t Ä‘Ć°áť?ng cong L. NhĆ° váş­y ta chᝉ so sĂĄnh f (M o ) váť›i f (M ) khi M náşąm trĂŞn L.

n hĆĄ N

NhĆ° váş­y bĂ i toĂĄn Ä‘ưᝣc phĂĄt biáťƒu nhĆ° sau

uy

TÏm c᝹c trᝋ hà m sᝑ z  f ( x , y )

Q

ď Ş ( x , y )  0.

v᝛i điᝠu kiᝇn

(7.5) (7.6)

Kè

m

Trong VĂ­ d᝼ 7.2.1 ta Ä‘ĂŁ xĂŠt bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m 3 biáşżn.

ď Ş ( x, y, z)  0.

(7.7) (7.8)

/+ D

v᝛i điᝠu kiᝇn

ấy

TÏm c᝹c trᝋ hà m sᝑ u  f ( x , y, z)

Qua VĂ­ d᝼ 7.2.1 ta thẼy, náşżu tᝍ Ä‘iáť u kiᝇn (6) ta xĂĄc Ä‘áť‹nh Ä‘ưᝣc hĂ m 2 biáşżn khả vi

m

z  ď Ş ( x , y ) , tháşż vĂ o (5) ta thu Ä‘ưᝣc u  f ( x , y, z( x , y )) vĂ Ä‘i tĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m Ä‘Ăł

co

(khĂ´ng Ä‘iáť u kiᝇn). Ä?Ăł lĂ phĆ°ĆĄng phĂĄp rẼt thĆ°áť?ng dĂšng.

BĂ i toĂĄn dẍn Ä‘áşżn tĂŹm cáťąc tiáťƒu cᝧa hĂ m

gl

ďƒŠ

x2  z2  1  0 gần gáť‘c táť?a Ä‘áť™ nhẼt.

e.

VĂ­ d᝼ 7.2.2. TĂŹm Ä‘iáťƒm trĂŞn mạt

.g

oo

f ( x, y, z)  x 2  y 2  z2

x 2  z2  1  0.

us

váť›i Ä‘iáť u kiᝇn Tᝍ (7.10)

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

tiáťƒu theo nghÄŠa ráť™ng cĂł Ä‘iáť u kiᝇn.

Giải hᝇ

2 2 ďƒž z2  x2  1 tháşż vĂ o (7.9) ďƒž h( x, y)  f ( x, y, z)  2x  y  1.

(7.9) (7.10) (7.11)

, ďƒŹ ďƒŻ hx  4 x  0 ďƒž x  0, y  0 . ďƒ­ , ďƒŻ ďƒŽ hy  2 y  0

Ta sáş˝ tiáşżp t᝼c bĂ i toĂĄn tháşż nĂ o, khi mĂ Ä‘iáťƒm cĂł táť?a Ä‘áť™ x  0, y  0 khĂ´ng thuáť™c mạt

x2  z2  1  0 ? CĂł Ä‘iáť u gĂŹ sai áť&#x; Ä‘ây hay khĂ´ng ?

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

HoĂ n toĂ n tĆ°ĆĄng táťą ta cĂł cĂĄc khĂĄi niᝇm cáťąc tiáťƒu chạt cĂł Ä‘iáť u kiᝇn vĂ cáťąc Ä‘ấi, cáťąc

120

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

Khi Ä‘Ć°a váť hĂ m hai biáşżn h( x, y) theo (7.11), ta thẼy hĂ m sáť‘ xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn toĂ n báť™ mạt pháşłng Oxy. NhĆ°ng Ä‘iáť u Ä‘Ăł khĂ´ng Ä‘Ăşng, vĂŹ tᝍ Ä‘iáť u kiᝇn

x2  z2  1  0 ta có

| x |ď‚ł 1, nhĆ° váş­y cần khảo sĂĄt hĂ m sáť‘ h( x, y) trong miáť n | x |ď‚ł 1 . HĂ m h( x, y) rĂľ rĂ ng khĂ´ng cĂł cáťąc tráť‹, vĂŹ náşżu cĂł cáťąc tráť‹ thĂŹ, theo Ä‘áť‹nh nghÄŠa, Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł phải thuáť™c miáť n máť&#x;

hĆĄ

x2  z2  1 ďƒž xĂŠt hĂ m

Ä?áťƒ trĂĄnh Ä‘iáť u Ä‘Ăł ta cĂł tháťƒ lĂ m nhĆ° sau: tᝍ Ä‘iáť u kiᝇn rĂşt ra

N

g( y, z)  ( z2  1)  y2  z2  1  y2  2z2 trĂŞn toĂ n mạt pháşłng Oyz. Dáť… dĂ ng thẼy hĂ m

m

ď Ş( x, y)  0.

v᝛i điᝠu kiᝇn

Kè

Bà i toån 7.2.2. XÊt bà i toån c᝹c trᝋ hà m z  f ( x, y)

ďƒť.

Q

uy

Ä‘ất cáťąc tiáťƒu tấi y  0, z  0 ďƒž x  ď‚ą1 . Tᝊc lĂ cĂĄc Ä‘iáťƒm (ď‚ą1, 0, 0) gần gáť‘c táť?a Ä‘áť™ nhẼt

(7.12)

ấy

Ä?iáťƒm ( x0 , y0 ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ cᝧa Ä‘Ć°áť?ng cong (7.12) náşżu

/+ D

ď Ş,x ( x0 , y0 )  0; ď Ş,y ( x0 , y0 )  0.

m

Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.2.1. Cho Ä‘iáťƒm M0 ( x0 , y0 ) tháť?a cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn

co

1) đ?‘€0 khĂ´ng lĂ Ä‘iáťƒm káťł dáť‹ cᝧa Ä‘Ć°áť?ng (7.12) ;

gl

e.

2) CĂĄc hĂ m sáť‘ f ( x , y ), ď Ş ( x , y ) vĂ cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng cẼp máť™t cᝧa chĂşng liĂŞn t᝼c

oo

trong lân cáş­n cᝧa đ?‘€0 ;

.g

3) HĂ m f ( x, y) váť›i Ä‘iáť u kiᝇn (7.12) Ä‘ất cáťąc tráť‹ tấi M0.

us

Khi Ẽy táť“n tấi máť™t sáť‘ ď Ź sao cho

f x, ( x0 , y0 )  ď Źď Ş x, ( x0 , y0 )  0

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

khĂ´ng cĂł. (HĂ m Ä‘ất cáťąc tráť‹ tuyᝇt Ä‘áť‘i - giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt tấi biĂŞn | x | 1 , ta sáş˝ xĂŠt sau).

f y, ( x0 , y0 )  ď Źď Ş y, ( x0 , y0 )  0,

ď Ş ( x0 , y0 )  0.

(7.13)

(7.14)

Sáť‘ ď Ź Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ nhân táť­ Lagrange. HĂ m sáť‘ L ( x, y)  f ( x, y)  ď Źď Ş( x, y) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ hĂ m Lagrange.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

| x |ď‚ł 1 , mĂ trong Ä‘Ăł hĂ m h khả vi nĂŞn cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng phải báşąng 0, mĂ Ä‘iáť u Ä‘Ăł

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

121

Ä?áť‹nh lĂ˝ chᝉ cho ta Ä‘iáť u kiᝇn cần cᝧa cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn. Tuy váş­y, trong nhiáť u bĂ i toĂĄn c᝼ tháťƒ, dáťąa vĂ o Ă˝ nghÄŠa tháťąc táşż cĂł tháťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh Ä‘ưᝣc đ?‘€0 cĂł phải lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tráť‹ hay khĂ´ng. VĂ­ d᝼ 7.2.3. TĂŹm cáťąc tráť‹ hĂ m z  3x  4 y váť›i Ä‘iáť u kiᝇn x 2  y 2  1.

2

2

ďƒŚ3 4ďƒś , ďƒˇ. ďƒ¨5 5ďƒ¸

/+ D

Ta Ä‘ưᝣc hai Ä‘iáťƒm dᝍng ď‚ą ďƒ§

ấy

Kè

5 3 4 ďƒŚ 3 ďƒś ďƒŚ2ďƒś ďƒ§ ďƒˇ ď€Ťďƒ§ ďƒˇ 1ďƒž ď Ź  ď‚ą ďƒž x  ď‚ą ; y  ď‚ą . 2 5 5 ďƒ¨ 2ď Ź ďƒ¸ ďƒ¨ ď Ź ďƒ¸

y

m

Váť mạt hĂŹnh háť?c thĂŹ cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng Ä‘áşłng tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘

co

z  3x  4 y là cåc đư�ng thẳng song song nhau 3x  4 y  C .

e.

NhĆ° váş­y ta cần tĂŹm Ä‘iáťƒm ( xo , yo ) thuáť™c vòng tròn x2  y2  1

gl

vĂ cĹŠng thuáť™c Ä‘Ć°áť?ng tháşłng 3x  4 y  C sao cho C láť›n nhẼt

oo

vĂ nháť? nhẼt. Ä?iáť u Ä‘Ăł xảy ra khi Ä‘Ć°áť?ng tháşłng tiáşżp xĂşc

.g

vòng tròn (như hÏnh vẽ).

us

BĂ i toĂĄn cĂł máť™t cáťąc Ä‘ấi vĂ máť™t cáťąc tiáťƒu, chĂşng tĆ°ĆĄng ᝊng váť›i hai Ä‘iáťƒm tĂŹm Ä‘ưᝣc. Ta cĂł

ďƒŚ3 4ďƒś z ďƒ§ , ďƒˇ  5; ďƒ¨5 5ďƒ¸

ďƒŚ 3 4ďƒś z ďƒ§  ,  ďƒˇ  5. ďƒ¨ 5 5ďƒ¸

Váş­y zmax  5, zmin  5. ďƒť ChĂş Ă˝: BĂ i toĂĄn cĂł tháťƒ dáť… dĂ ng giải báşąng hĂŹnh háť?c giải tĂ­ch.

O

x

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ N

Q

3 2 , y   , tháşż vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh cuáť‘i 2ď Ź ď Ź

m

ďƒžx

 2ď Źx  0  2ď Źy  0  y2  1  0

 3  4  x2

uy

ďƒŹ L,x ďƒŻ , Giải hᝇ phĆ°ĆĄng trĂŹnh ďƒ­ Ly ďƒŻ L, ďƒŽ ď Ź

n

Ta cĂł hĂ m Lagrange L ( x, y)  3x  4 y  ď Ź ( x2  y2  1) .

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ďƒŠ

122

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

Trong vĂ­ d᝼ trĂŞn, ta thẼy cĂł tháťƒ dĂšng Ă˝ nghÄŠa hĂŹnh háť?c Ä‘áťƒ láş­p luáş­n sáťą táť“n tấi cĂĄc giĂĄ tráť‹ cáťąc Ä‘ấi, cáťąc tiáťƒu. Tuy nhiĂŞn, trong trĆ°áť?ng hᝣp táť•ng quĂĄt, Ä‘iáť u Ä‘Ăł rẼt khĂł tháťąc hiᝇn, ta cần phải sáť­ d᝼ng Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ᝧ cᝧa cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn. Ä?iáť u kiᝇn Ä‘ᝧ cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn

hĆĄ

f ( x , y ) váť›i Ä‘iáť u kiᝇn ď Ş ( x , y )  0 sang bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ khĂ´ng Ä‘iáť u kiᝇn cᝧa hĂ m

uy

L ( x , y )  f ( x , y )  ď Źď Ş ( x , y ).

N

Lagrange

Q

Giả thiáşżt thĂŞm ráşąng cĂĄc hĂ m f, ď Ş cĂł Ä‘ấo hĂ m riĂŞng Ä‘áşżn cẼp 2 liĂŞn t᝼c trong lân cáş­n

Kè

m

Ä‘iáťƒm đ?‘€0 vĂ ď Ź lĂ giĂĄ tráť‹ tĆ°ĆĄng ᝊng váť›i xo , yo (nghiᝇm cᝧa hᝇ (7.13), (7.14)). Ta cĂł Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ᝧ cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn sau Ä‘ây.

/+ D

ấy

XÊt vi phân cẼp hai cᝧa hà m L ( x , y ) tấi ( x0 , y0 )

m

d 2 L ( xo , yo )  L,,xx ( xo , yo )dx 2  2 L,,xy ( xo , yo )dxdy  L,,yy ( xo , yo )dy 2 .

co

NhĆ°ng cĂĄc vi phân dx, dy khĂ´ng phải táťą do, mĂ báť‹ rĂ ng buáť™c báť&#x;i Ä‘iáť u kiᝇn

e.

dď Ş ( x0 , y0 )  ď Ş x, ( x0 , y0 )dx  ď Ş y, ( x0 , y0 )dy  0,

(7.15)

gl

dx 2  dy2  0.

d 2 L ( x0 , y0 )  0 thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł cáťąc tiáťƒu cĂł Ä‘iáť u kiᝇn, náşżu

oo

Khi Ẽy, nếu

us

.g

d 2 L ( x0 , y0 )  0 thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł cáťąc Ä‘ấi cĂł Ä‘iáť u kiᝇn. (ChĂş Ă˝: biáťƒu thᝊc d 2 L ( x0 , y0 )  0 cĂł nghÄŠa lĂ dấng toĂ n phĆ°ĆĄng d 2 L ( x0 , y0 ) xĂĄc Ä‘áť‹nh

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

lĂ Ä‘iáťƒm dᝍng cᝧa bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn). Ta chuyáťƒn bĂ i toĂĄn cáťąc tráť‹ hĂ m

dĆ°ĆĄng. TĆ°ĆĄng táťą váť›i d 2 L ( x0 , y0 )  0 ). VĂ­ d᝼ 7.2.4. TĂŹm cáťąc tráť‹ hĂ m sáť‘ z  6  4 x  3 y váť›i Ä‘iáť u kiᝇn x 2  y 2  1. ďƒŠ

Ta cĂł L ( x, y)  6  4 x  3 y  ď Ź ( x2  y2  1).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Giả sáť­ f ( x, y), ď Ş ( x, y), M0 ( x0 , y0 ) tháť?a mĂŁn Ä?áť‹nh lĂ˝ 7.2.1 (Ä‘iáťƒm M0 ( x0 , y0 ) Ä‘ưᝣc gáť?i

123

BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

 L,x  , Giải hệ  Ly  L,  

 4  2x  0  3  2y  0 2 2  x  y  1  0

Đồng thời, Lxx  2, Lxy  0, Lyy  2. ,,

hơ

n

,,

N

Do vậy, d2 L  2 (dx2  dy2 ).

uy

5 2 4 3  4 3 , d L ( , )  0  đạt cực tiểu tại M1  ,  và zmin  1. 2 5 5  5 5

Q

Với 1 

m

5 2 4 3  4 3 , d L( ,  )  0  đạt cực đại tại M2   ,   và zmax  11. 2 5 5  5 5

Kè

Với  2  

 8

 y2  1 2 

m

 x2

Ta có L( x, y)  xy   

co

/+ D

ạy

x 2 y2   1. Ví dụ 7.2.5. Tìm cực trị hàm z  xy với điều kiện 8 2

e.

Giải hệ

x 0 4

(7.16)

L ' y  x  y  0

(7.17)

.g

oo

gl

L 'x  y 

us

x2 y2 L '   1  0 8 2

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

,,

 2 y Từ (7.16) và (7.17) ta có y  (y)   y  0 hoặc   2 . 4 4 Nếu y  0  x  0  không thỏa (7.18), loại bỏ. Vậy y  0,

  2  x  2 y từ (7.18) thế vào (7.17) ta được

(7.18)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

5 4 3 5 4 3  1  , x1  , y1  ;  2   , x2   , y2   . 2 5 5 2 5 5

124

BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

4 y2 y2   1  0, y   1. 8 2 Vậy ta có hai điểm dừng M1(–2,1), M2 (2,–1). Tương tự, với  = –2 ta có 2 điểm dừng M3 (2,1), M4 (2,  1).

hơ N

 2 dx  2dxdy  dy2 . 4

m

Q

x 2 y2 Từ điều kiện   1, 8 2

Ta xét lần lượt 4 điểm 𝑀𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, 4.

m

1 2 1 dx  2dxdy  2dy2  ( dx  2dy)2 . 2 2

(7.21)

co

  2  d2 L( M1 ) 

/+ D

a) Tại M1 (2, 1), khi ấy

(7.20)

ạy

Kè

x dx  ydy  0. 4

ta có

(7.19)

uy

d2 L 

n

 , L,,xy  1, L,,yy  , 4

oo

gl

dx  dy  0 . 2

.g

e.

Hệ thức liên kết (7.20) tại M1 (2, 1) có dạng

d2 L( M1 )  2dx2  0 (vì

dx  0 ), nếu ngược lại thì từ

us

Thế (7.22) vào (7.21) ta được

(7.22)

(7.22) ta cũng có dy  0).

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

L,,xx 

Vậy hàm đạt cực tiểu tại M1 (2, 1) , zmin  z ( M1 )  2. b) Tương tự, tại M2 (2,  1) hàm cũng đạt cực tiểu, zmin  2. c) Tại M3 (2,1), khi ấy

1 1   2  d2 L( M3 )   dx2  2dxdy  2dy2   ( dx  2dy) 2 . 2 2

(3.31)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Lấy các đạo hàm riêng cấp hai

125

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

Hᝇ thᝊc liĂŞn káşżt (21) tấi M3 (2, 1) cĂł dấng

dx  dy  0. 2

(3.32)

Tháşż (3.32) vĂ o (3.31) ta Ä‘ưᝣc

d2 L ( M3 )  0 . Váş­y hĂ m Ä‘ất cáťąc Ä‘ấi tấi M3 vĂ

n hĆĄ

uy

N

7.3 GIĂ TRᝊ LáťšN NHẤT, GIĂ TRᝊ NHᝎ NHẤT

Q

BĂ i toĂĄn 7.3.1.

m

TĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt (còn Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ cáťąc tráť‹ tuyᝇt Ä‘áť‘i) cᝧa hĂ m

Kè

liĂŞn t᝼c đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trong miáť n Ä‘Ăłng, báť‹ chạn G.

ấy

Theo Ä‘áť‹nh lĂ˝ Weierstrass, cáťąc tráť‹ tuyᝇt Ä‘áť‘i sáş˝ Ä‘ất Ä‘ưᝣc tấi máť™t Ä‘iáťƒm đ?‘€0 (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) cᝧa G. Náşżu đ?‘€0 lĂ Ä‘iáťƒm trong cᝧa G, thĂŹ đ?‘€0 lĂ Ä‘iáťƒm cáťąc tráť‹, tᝊc đ?‘€0 lĂ Ä‘iáťƒm táť›i hấn cᝧa hĂ m

/+ D

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). Tuy nhiĂŞn hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł tháťƒ Ä‘ất cĂĄc giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ bĂŠ nhẼt trĂŞn biĂŞn ď‚ś G.

m

Váş­y ta cĂł káşżt luáş­n Ä‘áťƒ tĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt cᝧa hĂ m liĂŞn t᝼c ,

co

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trong miáť n Ä‘Ăłng, báť‹ chạn G ta cần: TĂŹm nhᝯng Ä‘iáťƒm táť›i hấn (tᝊc lĂ nhᝯng Ä‘iáťƒm ,

e.

mĂ tấi Ä‘Ăł f x  0, f y  0 hoạc khĂ´ng táť“n tấi máť™t Ä‘ấo hĂ m riĂŞng) bĂŞn trong miáť n G, tĂ­nh

gl

giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm Ẽy, so sĂĄnh chĂşng váť›i giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm nghi ngáť?

oo

cĂł cáťąc tráť‹ trĂŞn biĂŞn (tᝊc lĂ cáťąc tráť‹ cĂł Ä‘iáť u kiᝇn). Sáť‘ láť›n nhẼt (nháť? nhẼt) trong chĂşng sáş˝

.g

lĂ giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt (nháť? nhẼt) cᝧa đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn G.

us

VĂ­ d᝼ 7.3.1. TĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt, nháť? nhẼt cᝧa hĂ m sáť‘ z  x 2 y(2  x  y ) trong tam giĂĄc Ä‘Ăłng đ?‘Ž giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

d) TĆ°ĆĄng táťą hĂ m Ä‘ất cáťąc Ä‘ấi tấi M4 vĂ zmax  z( M4 )  2. ďƒť

ďƒŠ

x  0, y  0, x  y  6.

TrĆ°áť›c háşżt tĂŹm Ä‘iáťƒm táť›i hấn bĂŞn trong miáť n đ??ş, vĂŹ hĂ m khả vi nĂŞn chĂşng lĂ cĂĄc

Ä‘iáťƒm dᝍng , ďƒŹ ďƒŻ zx ďƒ­ , ďƒŻ ďƒŽ zy

 xy (4  3 x  2 y )  0  x 2 (2  x  2 y)

 0.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

zmax  z( M3 )  2.

126

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

1 VĂŹ chᝉ cần tĂŹm cĂĄc Ä‘iáťƒm dᝍng bĂŞn trong đ??ş, nĂŞn x  0, y  0. Váş­y ta Ä‘ưᝣc x  1, y  . 2 1 1 Ä?iáťƒm M 0 (1, ) náşąm bĂŞn trong tam giĂĄc, z ( M0 )  . 2 4 Bây giáť? xĂŠt trĂŞn biĂŞn. BiĂŞn bao gáť“m 3 Ä‘oấn OA, OB, AB.

6

B x +

TrĂŞn OA vĂ OB: z = 0.

N uy Q m

ấy

1 vĂ giĂĄ tráť‹ nháť? nhẼt lĂ z (M2 )  128 ďƒť . 4

/+ D

Váş­y giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt lĂ z ( M0 ) 

A

Kè

Ä?iáťƒm M1 (0, 0) ďƒŽ OA Ä‘ĂŁ Ä‘ưᝣc xĂŠt. z ( M2 )  128.

6

HĂŹnh

VĂ­ d᝼ 7.3.1. TĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt, nháť? nhẼt cᝧa hĂ m f ( x, y)  x 2  y2  12 x  16y trĂŞn

ďƒŹď‚śf  2 x  12  0 ďƒŻ ďƒŻď‚śx ďƒ­ ďƒŻ ď‚śf  2 y  16  0 ďƒŻ ďƒŽ ď‚śy

us

.g

oo

gl

Tᝍ hᝇ phĆ°ĆĄng trĂŹnh

co

TrĆ°áť›c háşżt ta xĂŠt cĂĄc Ä‘iáťƒm dᝍng trong miáť n x 2  y2  25.

e.

ďƒŠ

m

miᝠn x 2  y2  25.

ta Ä‘ưᝣc Ä‘iáťƒm (6,–8), Ä‘iáťƒm nĂ y khĂ´ng náşąm trong miáť n x 2  y2  25.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

z  4 x 2 (6  x ), 0 ď‚Ł x ď‚Ł 6, dz  12 x ( x  4)  0 ďƒ› x1  0, x2  4, dx ďƒž y1  0, y2  2.

hĆĄ

n

=6

O

Ta xĂŠt tiáşżp cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m f ( x, y) váť›i Ä‘iáť u kiᝇn x 2  y2  25. Tᝍ hᝇ phĆ°ĆĄng trĂŹnh

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

y

TrĂŞn AB: tháşż y = 6 – x vĂ o hĂ m Ä‘ĂŁ cho ta Ä‘ưᝣc

127

BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

 f   x   x  2 x  12  2 x  0    f  2 y  16  2 y  0    y  y   ( x , y )  x 2  y 2  25  0  

Q

125 và giá trị nhỏ nhất là -75.

uy

N

Vậy giá trị lớn nhất của hàm f ( x, y)  x 2  y2  12 x  16y trong miền x 2  y2  25 là

m

Ví dụ 7.3.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Kè

f ( x, y)  x 2  y2  xy  x  y

Ta tìm điểm dừng của f ( x, y) bên trong miền tam giác từ hệ

/+ D

ạy

trong miền D : x  0, y  0, x  y   3.

co

m

 f  2 x  y  1  0   x   f  2 y  x  1  0   y

gl

e.

Điểm dừng là P (1,  1) , tại đó f (1,  1)   1 .

oo

Ta tìm điểm nghi ngờ có cực trị của f ( x, y) trên biên của tam giác, biên này gồm ba

.g

đoạn AB, AO, BO. Trong đó AO là đoạn x  0;  3  y  0 , trên AO hàm f ( x, y) chỉ còn 1 phụ thuộc theo y : f (0, y)  y2  y , trên đó hàm có ba điểm nghi ngờ là y   và hai

us

2

điểm đầu mút y  0; y   3 . 1 1 Ta có f  0,     ; f (0, 0)  0; f (0,  3)  6 

Trên

đoạn

2

4

BO thì

y  0;  3  x  0

ta

1 1 f   , 0    ; f (0, 0)  0; f (3, 0)  6  2  4

Trên đoạn AB thì x  y   3 , từ đó y   3  x

cũng có ba

giá trị nghi ngờ là

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

f (3, 4)  125

hơ

Ta có f (3,  4)   75;

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

ta có hai điểm nghi ngờ là P1 (3,  4) và P2 (3, 4) tương ứng với   3 và    1

128

BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

Thay vào, hàm f chỉ còn phụ thuộc theo x : f  3x 2  9x  6 , ở đây ta có ba điểm 3 3 nghi ngờ là   ,  ; (0,  3); (3, 0) . 2

2

3 3 3 Ta có f   ,     (còn hai giá trị sau f (0,  3); f (3, 0) đã xét ở trên). 

2

2

4

n hơ

Ví dụ 7.3.3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

2

uy

.

 Ta tìm điểm dừng nằm trong miền mở 0  x  , 2

Q

2

,0  y 

0  y 

Kè

m

trong miền 0  x 

N

f ( x , y )  sin x  sin y  sin( x  y )

 từ hệ phương trình 2

m

/+ D

ạy

f  cos x  cos( x  y )  0  x   f  cos y  cos( x  y )  0.  y 

e.

co

   3 3   Điểm dừng là  ,  tại đó f  ,   .  3 3 2 3 3

gl

Ta lần lượt xét các điểm nghi ngờ có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên 4 cạnh biên của

oo

hình vuông.

 Trên cạnh AO : x  0 và 0  y 

.g

2

us

 hàm f trở thành f (0, y)  2 sin y , nó có hai điểm nghi ngờ là y  0 và y  và tại đó 2

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

giá trị nhỏ nhất là –1 tại (–1;–1).

 f (0, 0)  0; f (0, )  2 . 2   Trên cạnh AB : y  và 0  x  hàm f trở thành 2

2

f ( x, )  1  sin x  sin( x, )  1  sin x  cos x, 2 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

So sánh các giá trị nghi ngờ ta suy ra giá trị lớn nhất là 6 tại (0;–3) và (–3;0) và

BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

nó có ba điểm nghi ngờ là x  0, x 

2

,x 

 4

129

và tại đó

       f (0, )  2; f  ,   2; f  ,   1  2. 2 2 2 4 2

 2

n

và 0  y 

.

ta có kết quả tương tự vì vai trò của x, y là như

uy

nhau.

Q

So sánh các giá trị của hàm tại các điểm nghi ngờ ta có: hàm đạt giá trị lớn nhất là

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

ạy

Kè

m

  3 3 tại điểm  ,  , hàm đạt giá trị nhỏ nhất là 0 tại điểm (0;0).  3 3 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

2

hơ

N

Trên cạnh CB : x 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Trên cạnh CO : y  0 và 0  x 

130

BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

TÓM TẮT Trong bài này, học viên làm quen với khái niệm cực trị của hàm nhiều biến. Có thể tìm cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm hai, ba biến qua các điều kiện cần và

n hơ

Ta lưu ý một số trường hợp sau.

N

1. Hàm f ( x , y , z) xác định liên tục và có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục tại lân

Q

uy

cận của điểm dừng ( x0 , y0 , z0 ) . Khi ấy nếu dạng toàn phương d 2 f ( x0 , y0 , z0 ) là:

m

(1) Xác định dương thì hàm đạt cực tiểu tại ( x0 , y0 , z0 ) ;

Kè

(2) Xác định âm thì hàm đạt cực đại tại ( x0 , y0 , z0 ) ;

/+ D

ạy

(3) Không xác định thì hàm không đạt cực trị tại ( x0 , y0 , z0 ) . 2. Hàm số f ( x , y ) xác định liên tục và các đạo hàm liên tục tại lân cận của điểm dừng ,, A  f xx,, ( xo , yo ), B  f xy ( xo , yo ), C  f yy,, ( xo , yo ),   AC  B 2 .

co

m

( x0 , y0 ) .Đặt

e.

(1) Nếu   0, A  0, hàm đạt cực tiểu chặt tại ( x0 , y0 ) ;

oo

gl

(2) Nếu   0, A  0, hàm đạt cực đại chặt tại ( x0 , y0 ) ;

.g

(3) Nếu   0, hàm không đạt cực trị tại ( x0 , y0 ) , khi ấy ( x0 , y0 ) là điểm yên ngựa.

us

3. Giả sử f ( x, y),  ( x, y), M0 ( x0 , y0 ) thỏa mãn Định lý 7.2.4 (điểm M0 ( x0 , y0 ) được gọi là điểm dừng của bài toán cực trị có điều kiện). Ta chuyển bài toán cực trị hàm

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

hàm theo hướng và gradient của hàm nhiều biến.

f ( x , y ) với điều kiện  ( x , y )  0 sang bài toán cực trị không điều kiện của hàm Lagrange

L ( x , y )  f ( x , y )   ( x , y ). 2 ,, 2 ,, ,, 2 Xét d L ( x0 , y0 )  L xx ( x0 , y0 )dx  2 L xy ( x 0 , y0 )dxdy  L yy ( x 0 , y0 )dy .

Và các vi phân dx, dy bị ràng buộc bởi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

đủ, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng, bị chặn, tìm đạo

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

131

dď Ş ( x0 , y0 )  ď Ş x, ( x0 , y0 )dx  ď Ş y, ( x0 , y0 )dy  0, dx 2  dy2 ď‚š 0. Khi Ẽy, náşżu d 2 L ( x0 , y0 )  0 thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Ä‘ất cáťąc tiáťƒu cĂł Ä‘iáť u kiᝇn tấi, náşżu

hĆĄ

chạn G ta cần: TĂŹm nhᝯng Ä‘iáťƒm táť›i hấn bĂŞn trong miáť n G, tĂ­nh giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi

N

cĂĄc Ä‘iáťƒm Ẽy, so sĂĄnh chĂşng váť›i giĂĄ tráť‹ hĂ m sáť‘ tấi cĂĄc Ä‘iáťƒm nghi ngáť? cĂł cáťąc tráť‹ trĂŞn

uy

biĂŞn. Sáť‘ láť›n nhẼt (nháť? nhẼt) trong chĂşng sáş˝ lĂ giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt (nháť? nhẼt) cᝧa

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

ấy

Kè

m

Q

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn G.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

4. Ä?áťƒ tĂŹm giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ nháť? nhẼt cᝧa hĂ m liĂŞn t᝼c đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trong miáť n Ä‘Ăłng, báť‹

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

d 2 L ( x0 , y0 )  0 thĂŹ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł cáťąc Ä‘ấi cĂł Ä‘iáť u kiᝇn.

132

BÀI 7: CᝰC TRᝊ HÀM NHIᝀU BIẞN

BĂ€I TẏP BĂ i 1. TĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa cĂĄc hĂ m sau. a) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 9 − 2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś – đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ś 2 .

uy

N

d) f ( x , y )  3 x 2  x 3  2 y 2  4 y.

m

f ( x , y )  4 xy  x 4  y 4 .

Kè

f)

Q

3 3 e) f ( x , y )  x  3 xy  y .

ấy

g) f ( x , y )  y .sin x.

f ( x, y)  xy  5x, x  y  1.

m

x y  , x 2  y 2  1 (a, b  0). a b

f ( x, y)  x 2  y 2 ,

x 2  y 2  1.

d)

f ( x, y)  4 x  6 y,

e)

f ( x, y)  x 2 y, x 2  2 y 2  6.

f)

f ( x , y )  x 2  12 xy  2 y 2 , 4 x 2  y 2  25.

e.

c)

gl

b) f ( x , y ) 

co

a)

/+ D

BĂ i 2. TĂŹm cáťąc tráť‹ cᝧa hĂ m sáť‘ váť›i Ä‘iáť u kiᝇn tĆ°ĆĄng ᝊng Ä‘ưᝣc cho sau Ä‘ây.

us

.g

oo

x 2  y 2  13.

2 2 g) f ( x , y )  x  y  xy  x  y  4 , x  y  3  0.

h) f ( x , y ) 

xy 2

 2 2 , x 2  y 2  1.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n hĆĄ

2 4 2 2 c) f ( x, y)  x  y  2 x  4 xy  2 y .

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

b) f ( x, y )  x 2  xy  y 2  3x  6 y.

BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

133

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền được cho như sau. a)

f ( x, y)  1  4 x  5 y trên tam giác có các đỉnh là (0;0), (2;0) và (0;3).

b) f ( x , y )  x 3  y 3  3 xy trên miền 0  x  2, 1  y  2.

uy Q

f ( x , y )  x 2  xy  y 2 trên miền x  y  1.

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

ạy

Kè

m

f)

N

e) f ( x , y )  x 2  2 y 2  x trên miền x 2  y 2  1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n hơ

d) f ( x , y )  xy 2 trên miền x 2  y 2  1.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

c) f ( x , y )  x 2  y 2  xy  x  y trên miền x  0, y  0, x  y  3.

134

BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

B. M không là điểm dừng.

C. M là điểm cực đại.

D. M là điểm yên ngựa.

hơ

Câu 2. Cho hàm z = x4 - 8x2 +y2 + 5. Và các điểm I(0,0), J(2,0), K(-2,0), L(1,1).

uy

N

Khẳng định nào sau đây đúng ?

B. z đạt cực đại tại I, L.

C. z đạt cực tiểu tại J, K và đạt cực đại tại I, L.

D. z đạt cực tiểu tại I, J, K.

Kè

m

Q

A. z đạt cực tiểu tại J, K.

/+ D

A. z đạt cực tiểu tại (-3,10) và (1,2).

ạy

Câu 3. Tìm cực trị của hàm hàm z = x3/3 -3x+y, với điều kiện -x2 + y + 1 =0.

B. z đạt cực đại tại (-3,10) và (1,2).

m

C. z đạt cực đại tại (-3,10) và cực tiểu tại (1,2).

co

D. z đạt cực tiểu tại (-3,10) và cực đại tại (1,2).

gl

oo

D = [-1,0][-1,1].

e.

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất M và trị nhỏ nhất m của hàm: z = x2 + 2y +1 trong miền

.g

A. M = 4, m =-1.

us

C. M = 3, m =-1.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

n

A. M là điểm cực tiểu.

B. M = 3, m = 0. D. M = 4, m =-2.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Câu 1. Cho hàm số z  xe y  ye x  2 và điểm M(-1,-1). Khẳng định nào sau đây đúng?

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

135

n

TĂ­nh tĂ­ch phân kĂŠp cᝧa máť™t hĂ m sáť‘ khả tĂ­ch trĂŞn miáť n Ä‘Ăłng, báť‹ chạn.

-

Phân tĂ­ch miáť n lẼy tĂ­ch phân kĂŠp vĂ xĂĄc Ä‘áť‹nh cáş­n cᝧa tĂ­ch phân khi Ä‘Ć°a váť tĂ­ch

N

hĆĄ

-

uy

phân lạp.

Ä?áť•i thᝊ táťą lẼy tĂ­ch phân ᝊng váť›i miáť n lẼy tĂ­ch phân thĂ­ch hᝣp.

-

Biáşżt Ä‘Ć°a cĂĄc bĂ i toĂĄn tĂ­nh diᝇn tĂ­ch pháşłng, diᝇn tĂ­ch mạt cong, tháťƒ tĂ­ch váş­t tháťƒ váť

Kè

m

Q

-

ấy

tính tích phân kÊp.

m

8.1.1 BĂ i toĂĄn tháťƒ tĂ­ch

/+ D

8.1 Ä?ᝊNH NGHĨA TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

co

Ta bắt Ä‘ầu phần nĂ y báşąng bĂ i toĂĄn tĂ­nh tháťƒ tĂ­ch V cᝧa máť™t kháť‘i tr᝼ cong trong khĂ´ng

e.

gian, kháť‘i nĂ y cĂł Ä‘ĂĄy lĂ miáť n pháşłng D Ä‘Ăłng, giáť›i náť™i trong mạt pháşłng Oxy, phĂ­a trĂŞn lĂ

gl

mạt cong liĂŞn t᝼c, giáť›i náť™i cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś), vĂ xung quanh lĂ mạt tr᝼ cĂł

oo

Ä‘Ć°áť?ng sinh song song váť›i tr᝼c Oz.

.g

Ä?áťƒ giải bĂ i toĂĄn nĂ y, trĆ°áť›c háşżt, ta tĂŹm cĂĄch tĂ­nh xẼp xᝉ tháťƒ tĂ­ch cᝧa kháť‘i tr᝼ Ẽy báşąng

us

cĂĄch chia miáť n D thĂ nh n mảnh nháť? tĂšy Ă˝ D1, D2,..., Dn khĂ´ng cháť“ng lĂŞn nhau (nghÄŠa lĂ cĂĄc mảnh nĂ y chᝉ cĂł chung nhau cĂšng lắm lĂ phần biĂŞn cᝧa chĂşng) lần lưᝣt cĂł diᝇn tĂ­ch lĂ ď „S1, ď „S2,‌, ď „Sn, Ä‘iáť u nĂ y cĹŠng Ä‘áť“ng nghÄŠa váť›i viᝇc kháť‘i tr᝼ ban Ä‘ầu Ä‘ưᝣc phân thĂ nh

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần tháťąc hiᝇn Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáť u sau.

n kháť‘i tr᝼ nháť? hĆĄn. Ä?áťƒ tĂ­nh xẼp xᝉ tháťƒ tĂ­ch cᝧa tᝍng kháť‘i tr᝼ nháť? hĆĄn Ä‘Ăł, ta lẼy Ä‘iáťƒm Mk(xk,yk) bẼt kĂŹ trĂŞn mảnh Dk ráť“i tĂ­nh tĂ­ch cᝧa diᝇn tĂ­ch Ä‘ĂĄy ď „Sk váť›i chiáť u cao f(xk,yk) thĂŹ Ä‘ưᝣc tháťƒ tĂ­ch xẼp xᝉ váť›i tháťƒ tĂ­ch (tháş­t) cᝧa kháť‘i tr᝼ nháť? thᝊ k. NhĆ° váş­y, táť•ng cĂĄc tháťƒ tĂ­ch xẼp xᝉ cᝧa n kháť‘i tr᝼ nháť? lĂ tháťƒ tĂ­ch xẼp xᝉ cᝧa kháť‘i tr᝼ ban Ä‘ầu,

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

136

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

n

đ?‘‰ď‚ť ∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜ . k=1

RĂľ rĂ ng, viᝇc xẼp xᝉ tháťƒ tĂ­ch cĂ ng chĂ­nh xĂĄc náşżu miáť n D Ä‘ưᝣc chia cĂ ng nháť?. Do Ä‘Ăł, tháťƒ tĂ­ch V sáş˝ báşąng giáť›i hấn, náşżu cĂł, cᝧa táť•ng trĂŞn khi nď‚Ž+ď‚Ľ Ä‘áť“ng tháť?i max{ď „Sk}ď‚Ž0,

∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜ .

lim

hĆĄ

n

đ?‘›ď‚Ž+ď‚Ľ max{ď „đ?‘†đ?‘˜}ď‚Ž0 k=1

N

Trong tháťąc táşż cĂł nhiáť u bĂ i toĂĄn dẍn Ä‘áşżn viᝇc tĂŹm giáť›i hấn nhĆ° trĂŞn, táť•ng quĂĄt hĂła bĂ i

uy

toĂĄn nĂ y ta cĂł Ä‘áť‹nh nghÄŠa sau Ä‘ây.

m

Q

8.1.2 Ä?áť‹nh nghÄŠa tĂ­ch phân kĂŠp

Kè

Cho hĂ m đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn miáť n Ä‘Ăłng giáť›i náť™i D trong mạt pháşłng xy. Phân hoấch D thĂ nh n phần D1, D2,..., Dn khĂ´ng dẍm lĂŞn nhau (cĂĄc phần trong cᝧa Dk khĂ´ng

ấy

cĂł phần chung). Gáť?i ď „SklĂ diᝇn tĂ­ch cᝧa Dk. Trong máť—i miáť n Dk lẼy máť™t Ä‘iáťƒm bẼt káťł

/+ D

Mk(xk,yk). Thiáşżt láş­p táť•ng

n

m

đ?‘†đ?‘› = ∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜

co

k=1

e.

Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ táť•ng tĂ­ch phân kĂŠp cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn D.

gl

RĂľ rĂ ng táť•ng Sn ph᝼ thuáť™c vĂ o phân hoấch miáť n D vĂ cĂĄch lẼy Ä‘iáťƒm Mk.

oo

Gáť?i dk = d(Dk) lĂ Ä‘Ć°áť?ng kĂ­nh cᝧa mảnh Dk, tᝊc dk lĂ khoảng cĂĄch láť›n nhẼt giᝯa hai

.g

Ä‘iáťƒm bẼy káťł thuáť™c Dk. Cho nď‚Ž+ď‚Ľ sao cho max{dk}ď‚Ž0, náşżu khi Ẽy táť•ng Sn tiáşżn Ä‘áşżn

us

máť™t giáť›i hấn hᝯu hấn S khĂ´ng ph᝼ thuáť™c vĂ o cĂĄch chia miáť n D cĹŠng khĂ´ng ph᝼ thuáť™c cĂĄch lẼy Ä‘iáťƒm Mk, thĂŹ giáť›i hấn S Ä‘Ăł Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ tĂ­ch phân kĂŠp cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

�=

miáť n D vĂ Ä‘ưᝣc kĂ˝ hiᝇu lĂ

âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ hay âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. Váş­y n

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ = đ??ˇ

lim

max{đ?‘‘đ?‘˜ }ď‚Ž0

∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜ . k=1

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

137

Khi Ẽy ta nĂłi hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả tĂ­ch trĂŞn D. HĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ hĂ m dĆ°áť›i dẼu tĂ­ch phân, D lĂ miáť n lẼy tĂ­ch phân, x vĂ y lĂ cĂĄc biáşżn tĂ­ch phân vĂ đ?‘‘đ?‘ lĂ yáşżu táť‘ diᝇn tĂ­ch. Ä?áť‹nh nghÄŠa 8.1.1. Ä?Ć°áť?ng cong đ?‘Ş váť›i phĆ°ĆĄng trĂŹnh tham sáť‘ đ?’™ = đ?’™(đ?’•), đ?’š = đ?’š(đ?’•) Ä‘ưᝣc gáť?i trĆĄn, náşżu cĂĄc Ä‘ấo hĂ m đ?’™â€˛ (đ?’•), đ?’šâ€˛ (đ?’•) liĂŞn t᝼c vĂ khĂ´ng Ä‘áť“ng tháť?i báşąng khĂ´ng. Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł

N

trĆĄn.

uy

Ä?áť‹nh lĂ­ 8.1.1. HĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn máť™t miáť n Ä‘Ăłng, giáť›i náť™i, cĂł biĂŞn trĆĄn tᝍng khĂşc thĂŹ

Q

khả tích trên miᝠn Ẽy.

m

Ta cĂ´ng nháş­n Ä‘áť‹nh lĂ˝ nĂ y.

ấy

Kè

Tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa tĂ­ch phân kĂŠp, ta cĂł tháťƒ rĂşt ra cĂĄc tĂ­nh chẼt sau Ä‘ây.

/+ D

8.1.3 Tính chẼt

Cho đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ hai hĂ m khả tĂ­ch trĂŞn D vĂ ď Ą lĂ háşąng sáť‘ bẼt kĂŹ,

co

m

khi Ä‘Ăł

gl

ď Ąđ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = ď Ą âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.

oo

(2)âˆŹđ??ˇ

e.

(1)Diᝇn tĂ­ch cᝧa miáť n D lĂ đ?‘†đ??ˇ = âˆŹđ??ˇ 1đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.

.g

(3)âˆŹđ??ˇ (đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) + đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś))đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś + âˆŹđ??ˇ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.

us

(4)Náşżu D Ä‘ưᝣc chia thĂ nh hai phần D1 vĂ D2 khĂ´ng dẍm nhau thĂŹ

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś + âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ

đ??ˇ1

đ??ˇ2

(5)Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≤ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trong đ??ˇ thĂŹ

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś ≤ âˆŹ đ?‘”(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś . đ??ˇ

đ??ˇ

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ

Ä?Ć°áť?ng cong đ??ś Ä‘ưᝣc gáť?i trĆĄn tᝍng khĂşc náşżu cĂł tháťƒ chia nĂł thĂ nh hᝯu hấn cung

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

âƒ—âƒ—âƒ—â€˛ = đ?’™â€˛ (đ?’•)đ?’Š + đ?’šâ€˛ (đ?’•)đ?’‹ lĂ máť™t hĂ m vĂŠc-tĆĄ liĂŞn t᝼c khĂĄc khĂ´ng. nghÄŠa lĂ vĂŠc-tĆĄ Ä‘ấo hĂ m đ?’“

138

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

(6)Náşżu M vĂ m lần lưᝣt lĂ cĂĄc giĂĄ tráť‹ láť›n nhẼt vĂ nháť? nhẼt cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn D thĂŹ

đ?‘šđ?‘†đ??ˇ ≤ âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś ≤ đ?‘€đ?‘†đ??ˇ . đ??ˇ

Ä?áť‹nh lĂ­ (váť giĂĄ tráť‹ trung bĂŹnh). Cho hĂ m đ?’‡(đ?’™, đ?’š) liĂŞn t᝼c trong miáť n Ä‘Ăłng, giáť›i náť™i, liĂŞn

1 đ?‘†đ??ˇ

âˆŹđ??ˇ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ giĂĄ tráť‹ trung bĂŹnh cᝧa hĂ m

Q

Ä?ấi lưᝣngđ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) =

uy

đ??ˇ

Kè

m

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn D.

ấy

8.2 Cà CH T�NH T�CH PHÂN KÉP

/+ D

Ä?áťƒ tĂ­nh tĂ­ch phân kĂŠp, ngĆ°áť?i ta tĂŹm cĂĄch Ä‘Ć°a váť tĂ­ch phân lạp. Káşżt quả Ä‘ưᝣc trĂŹnh bĂ y qua Ä‘áť‹nh lĂ­ sau.

(1)

co

m

Ä?áť‹nh lĂ­ 8.2.1 (Fubini). Cho hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) liĂŞn t᝼c trĂŞn miáť n D. Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘?, đ?‘”1 (đ?‘Ľ) ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘”2 (đ?‘Ľ)}, đ?‘”1 (đ?‘Ľ) vĂ đ?‘”2 (đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c

oo

gl

e.

trĂŞn [đ?‘Ž, đ?‘?], thĂŹ

đ?‘?

đ?‘”2 (đ?‘Ľ)

.g

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ľ . đ?‘Ž

đ?‘”1 (đ?‘Ľ)

us

đ??ˇ

(2)

Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘? ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘‘, â„Ž1 (đ?‘Ś) ≤ đ?‘Ľ ≤ â„Ž2 (đ?‘Ś)}, â„Ž1 (đ?‘Ś) vĂ â„Ž2 (đ?‘Ś) liĂŞn t᝼c

trĂŞn [đ?‘?, đ?‘‘], thĂŹ đ?‘‘

â„Ž2 (đ?‘Ś)

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ

đ?‘?

â„Ž1 (đ?‘Ś)

LĆ°u Ă˝ 8.2.1. Ä?áťƒ thuáş­n tiᝇn cho viᝇc trĂŹnh bĂ y, ta qui Ć°áť›c gáť?i miáť n D cĂł dấng (1) trong Ä?áť‹nh lĂ­ 8.2.1 lĂ miáť n loấi I, vĂ miáť n D cĂł dấng (2) trong Ä?áť‹nh lĂ­ 8.2.1 lĂ miáť n

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ N

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 )đ?‘†đ??ˇ .

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

thĂ´ng D. Khi Ẽy, trong D cĂł Ă­t nhẼt máť™t Ä‘iáťƒm M(x0,y0) sao cho

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

139

loấi II. CĂĄc tĂ­ch phân lạp nhĆ° trong Ä?áť‹nh lĂ­ 8.2.1 còn Ä‘ưᝣc viáşżt áť&#x; dấng đ?‘”2 (đ?‘Ľ)

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘”2 (đ?‘Ľ)

đ?‘? đ?‘”2 (đ?‘Ľ)

âˆŤ ( âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ ; â„Ž2 (đ?‘Ś)

đ?‘‘

đ?‘Ž đ?‘”1 (đ?‘Ľ)

â„Ž2 (đ?‘Ś)

đ?‘‘ â„Ž2 (đ?‘Ś)

n

đ?‘‘

đ?‘”1 (đ?‘Ľ)

đ?‘Ž

â„Ž1 (đ?‘Ś)

đ?‘? â„Ž1 (đ?‘Ś)

N

đ?‘?

hĆĄ

â„Ž1 (đ?‘Ś)

đ?‘?

uy

VĂ­ d᝼ 8.2.1. TĂ­nh đ?‘° = âˆŹđ?‘Ť đ?’™đ?&#x;? đ?’šđ?’…đ?’™đ?’…đ?’š, váť›i D lĂ tam giĂĄc cĂł cĂĄc đᝉnh O(0;0), A(1;0),

Q

B(1;1).

Kè

(đ?‘Ś = 0), AB (đ?‘Ľ = 1) vĂ BO (đ?‘Ś = đ?‘Ľ ).

m

Tam giĂĄc D lĂ miáť n Ä‘ưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng OA

ấy

Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ 0 = đ?‘Ľđ?‘‚ ≤

/+ D

đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ??´ = 1. ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Ľđ?‘€ sao cho 0 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n

co

m

giao váť›i Ä‘oấn OA tấi đ?‘€1 (đ?‘Ľđ?‘€ , 0)vĂ OB tấi đ?‘€2 (đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Ľđ?‘€ ), Ä‘áťƒ

e.

Ä‘iáťƒm M thuáť™c miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ .

gl

NhĆ° váş­y, khi Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a 0 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1 vĂ 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ , nĂłi

.g

oo

cĂĄch khĂĄc

đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1, 0 ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ},

us

lĂ miáť n loấi I, do Ä‘Ăł

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

âˆŤ ( âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś.

1 đ?‘Ľ

1

đ?‘Ľ

1

đ?‘Ś2 1 1 2 2 2 đ??ź = âˆŹ đ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ 4 đ?‘‘đ?‘Ľ = . | 2 10 2 đ?‘Ś=0 đ??ˇ

0 0

0

0

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

đ?‘”1 (đ?‘Ľ)

đ?‘Ž

140

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

VĂ­ d᝼ 8.2.2. TĂ­nh tĂ­ch phân đ??ź = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś trong Ä‘Ăł D lĂ

miáť n Ä‘ưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i parabola đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 vĂ Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ś = 2 − đ?‘Ľ. Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ

−2 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1. ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Ľđ?‘€ sao cho −2 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤

n hĆĄ

N

Ä‘Ć°áť?ng đ?‘Ś = 2 − đ?‘Ľ tấi đ?‘€2 (đ?‘Ľđ?‘€ , 2 − đ?‘Ľđ?‘€ ). Ä?áťƒ Ä‘iáťƒm M thuáť™c miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm

uy

2 trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 2 − đ?‘Ľđ?‘€ .

Q

2 NhĆ° váş­y, muáť‘n Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a −2 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1 vĂ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 2 −

m

đ?‘Ľđ?‘€ , nĂłi cĂĄch khĂĄc

lĂ miáť n loấi I, do Ä‘Ăł 1 2−đ?‘Ľ

/+ D

1

đ??ź = âˆŹ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = −2 đ?‘Ľ 2

âˆŤđ?‘Ľđ?‘Ś|2−đ?‘Ľ đ?‘Ś=đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ

m

−2

1

9 = âˆŤ(2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 3 )đ?‘‘đ?‘Ľ = − . 4 −2

co

đ??ˇ

ấy

Kè

đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): −2 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1, đ?‘Ľ 2 ≤ đ?‘Ś ≤ 2 − đ?‘Ľ}

e.

VĂ­ d᝼ 8.2.3. TĂ­nh đ??ź = âˆŹđ??ˇ (3 + đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś, trong Ä‘Ăł D lĂ hĂŹnh tròn Ä‘ĆĄn váť‹.

gl

Nháş­n thẼy ráşąng, D lĂ miáť n đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1 Ä‘ưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tròn Ä‘ĆĄn váť‹

oo

đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 1, Ä‘Ć°áť?ng tròn nĂ y giao váť›i tr᝼c Ox (cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ś = 0) tấi hai Ä‘iáťƒm lần

.g

lưᝣt lĂ (-1;0) vĂ (1;0). Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ −1 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1.

us

ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Ľđ?‘€ sao cho −1 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng Ä‘ᝊng cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i náť­a Ä‘Ć°áť?ng tròn phĂ­a dĆ°áť›i Ox tấi

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

2) tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i parabola tấi đ?‘€1 (đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Ľđ?‘€ vĂ váť›i

2 2 đ?‘€1 (đ?‘Ľđ?‘€ , −√1 − đ?‘Ľđ?‘€ ) vĂ náť­a Ä‘Ć°áť?ng tròn phĂ­a trĂŞn Ox tấi đ?‘€2 (đ?‘Ľđ?‘€ , √1 − đ?‘Ľđ?‘€ ). Ä?áťƒ M thuáť™c 2 2 miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ âˆ’âˆš1 − đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ √1 − đ?‘Ľđ?‘€ .

NhĆ° váş­y, muáť‘n Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a −1 ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1 vĂ 2 2 −√1 − đ?‘Ľđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ √1 − đ?‘Ľđ?‘€ , nĂłi cĂĄch khĂĄc

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

1, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng Ä‘ᝊng cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

141

đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): −1 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1, −√1 − đ?‘Ľ 2 ≤ đ?‘Ś ≤ √1 − đ?‘Ľ 2 } lĂ miáť n loấi I, do Ä‘Ăł √1−đ?‘Ľ 2

1

hĆĄ

uy

N

VĂ­ d᝼ 8.2.4. TĂ­nh diᝇn tĂ­ch cᝧa miáť n D giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc parabola đ?‘Ľ = đ?‘Ś 2 vĂ đ?‘Ľ = 2 − đ?‘Ś 2.

Q

Diᝇn tĂ­ch cᝧa miáť n D Ä‘ưᝣc tĂ­nh báť&#x;i tĂ­ch phân kĂŠp lĂ đ?‘†đ??ˇ = âˆŹđ??ˇ

1. đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś (theo TĂ­nh

Kè

m

chẼt 8.1.3-(1)).

Ta tĂŹm Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáťƒm giao cᝧa hai parabola Ä‘ĂŁ cho

ấy

lĂ (1;-1) vĂ (1;1). Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong

/+ D

miáť n D, thĂŹ −1 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1.

ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Śđ?‘€ sao cho −1 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1, xĂŠt

m

Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ .

co

Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i parabola đ?‘Ľ = đ?‘Ś 2 tấi

e.

2 đ?‘€1 (đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) vĂ váť›i parabola đ?‘Ľ = 2 − đ?‘Ś 2 tấi đ?‘€2 (2 −

oo

2 2 đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 2 − đ?‘Śđ?‘€ .

gl

2 đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ). Ä?áťƒ Ä‘iáťƒm M thuáť™c miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2, tᝊc lĂ

.g

2 NhĆ° váş­y, muáť‘n Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a −1 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1 vĂ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤

us

2 2 − đ?‘Śđ?‘€ , nĂłi cĂĄch khĂĄc

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

−1

−√1−đ?‘Ľ 2

n

−1

đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): −1 ≤ đ?‘Ś ≤ 1, đ?‘Ś 2 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2 − đ?‘Ś 2 }

lĂ miáť n loấi II, do Ä‘Ăł 1

2−đ?‘Ś 2

1

8 đ?‘†đ??ˇ = âˆŹ 1đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ 1đ?‘‘đ?‘Ľ = 2 âˆŤ(1 − đ?‘Ś 2 )đ?‘‘đ?‘Ś = . 3 đ??ˇ

−1

đ?‘Ś2

−1

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

âˆŤ (3 + đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 6 âˆŤ √1 − đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ = 3.

đ??ź = âˆŹ(3 + đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??ˇ

1

142

B├ђI 8: T├ЇCH PH├ѓN K├ЅP

Lк░u ├й 8.2.2. Khi D l├а h├гnh chр╗» nhр║Гt, ­Юљи = [­ЮЉј; ­ЮЉЈ] ├Ќ [­ЮЉљ, ­ЮЉЉ] = {(­ЮЉЦ, ­ЮЉд): ­ЮЉј РЅц ­ЮЉЦ РЅц ­ЮЉЈ, ­ЮЉљ РЅц ­ЮЉд РЅц ­ЮЉЉ} th├г ­ЮЉЈ ­ЮЉЉ

­ЮЉЉ ­ЮЉЈ

Рѕг ­ЮЉЊ(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд = РѕФ РѕФ ­ЮЉЊ(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉд­ЮЉЉ­ЮЉЦ = РѕФ РѕФ ­ЮЉЊ(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд. ­Юљи

­ЮЉј ­ЮЉљ

­ЮЉљ ­ЮЉј

n

0

hкА

4

4

0

0 Рѕњ2

­Юљи

0

Q

4

uy

N

­ЮЉд2 2 2 2 ­Юљ╝ = Рѕг(­ЮЉЦ ­ЮЉд Рѕњ 2­ЮЉЦ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд = РѕФ РѕФ(­ЮЉЦ Рѕњ 2­ЮЉЦ)­ЮЉд­ЮЉЉ­ЮЉд­ЮЉЉ­ЮЉЦ = РѕФ(­ЮЉЦ Рѕњ 2­ЮЉЦ) | ­ЮЉЉ­ЮЉЦ 2 ­ЮЉд=Рѕњ2 32 . 3

m

= Рѕњ2 РѕФ(­ЮЉЦ 2 Рѕњ 2­ЮЉЦ)­ЮЉЉ­ЮЉЦ = Рѕњ

K├е

0

р║Аy

Lк░u ├й 8.2.3. Nр║┐u h├аm ­ЮЉЊ(­ЮЉЦ, ­ЮЉд) c├│ thр╗Ѓ ph├бn t├Гch ─Љк░р╗Бc р╗Ъ dр║Аng ­Юљи l├а h├гnh chр╗» nhр║Гt, ­Юљи = [­ЮЉј; ­ЮЉЈ] ├Ќ [­ЮЉљ, ­ЮЉЉ], th├г

/+ D

­ЮЉЈ

­ЮЉЊ(­ЮЉЦ, ­ЮЉд) = ­ЮЉћ(­ЮЉЦ). Рёј(­ЮЉд) v├а

­ЮЉЉ

m

Рѕг ­ЮЉЊ(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд = РѕФ ­ЮЉћ(­ЮЉЦ)­ЮЉЉ­ЮЉЦ . РѕФ Рёј(­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉд. ­ЮЉј

­ЮЉљ

co

­Юљи

gl

e.

V├Г dр╗Ц 8.2.6. Xem lр║Аi V├Г dр╗Ц 8.2.5 tr├фn, ta thр║Цy h├аm dк░р╗Џi dр║Цu t├Гch ph├бn c├│ thр╗Ѓ ph├бn t├Гch ─Љк░р╗Бc th├аnh ­ЮЉЊ(­ЮЉЦ, ­ЮЉд) = (­ЮЉЦ 2 ­ЮЉд Рѕњ 2­ЮЉЦ­ЮЉд) = (­ЮЉЦ 2 Рѕњ 2­ЮЉЦ)­ЮЉд vр╗Џi miр╗Ђn lр║Цy t├Гch ph├бn D l├а h├гnh chр╗» nhр║Гt [0; 4] ├Ќ [Рѕњ2,0], do ─Љ├│ t├Гch ph├бn n├аy c├│ thр╗Ѓ ─Љк░р╗Бc t├Гnh bр║▒ng c├Аch kh├Аc 4

0

4

0

.g

us

­Юљи

oo

­ЮЉЦ3 ­ЮЉд2 2 ) ­Юљ╝ = Рѕг(­ЮЉЦ Рѕњ 2­ЮЉЦ)­ЮЉд­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд = РѕФ(­ЮЉЦ Рѕњ 2­ЮЉЦ)­ЮЉЉ­ЮЉЦ . РѕФ ­ЮЉд­ЮЉЉ­ЮЉд = ( Рѕњ ­ЮЉЦ | ) ( | 3 2 ­ЮЉЦ=0 ­ЮЉд=Рѕњ2 2

pl

Diр╗Ёn ─Љ├аn hр╗Ќ trр╗Б gi├Аo dр╗Цc : ─љ/C 1000B Trр║Дn Hк░ng ─љр║Аo Tp Quy NhкАn Ngк░р╗Юi s├Аng lр║Гp : Nguyр╗Ёn Thanh Tuр║Цn - Chр╗Д quр║Бn t├аi nguy├фn : Nguyр╗Ёn Thanh T├║

Vр╗Џi h├гnh chр╗» nhр║Гt D nhк░ ─Љ├Б cho, th├г

2

0

Рѕњ2

=(

16 32 ) (Рѕњ2) = Рѕњ . 3 3

Lк░u ├й 8.2.4. Nр║┐u miр╗Ђn D c├│ thр╗Ѓ ph├бn t├Гch ─Љк░р╗Бc th├аnh miр╗Ђn loр║Аi I v├а c┼Еng ph├бn t├Гch ─Љк░р╗Бc th├аnh miр╗Ђn loр║Аi II,

­Юљи = {(­ЮЉЦ, ­ЮЉд): ­ЮЉј РЅц ­ЮЉЦ РЅц ­ЮЉЈ, ­ЮЉћ1 (­ЮЉЦ) РЅц ­ЮЉд РЅц ­ЮЉћ2 (­ЮЉЦ)} = {(­ЮЉЦ, ­ЮЉд): ­ЮЉљ РЅц ­ЮЉд РЅц ­ЮЉЉ, Рёј1 (­ЮЉд) РЅц ­ЮЉЦ РЅц Рёј2 (­ЮЉд)} th├г ta c├│ c├┤ng thр╗Еc ─Љр╗Ћi thр╗Е tр╗▒ lр║Цy t├Гch ph├бn:

Dр║аY K├ѕM QUY NHкаN OFFICIAL ST&GT : ─љ/C 1000B TRр║дN Hк»NG ─љр║аO TP.QUY NHкаN

V├Г dр╗Ц 8.2.5. T├Гnh t├Гch ph├бn ­Юљ╝ = Рѕг­Юљи (­ЮЉЦ 2 ­ЮЉд Рѕњ 2­ЮЉЦ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд vр╗Џi ­Юљи = [0; 4] ├Ќ [Рѕњ2,0].

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

đ?‘? đ?‘”2 (đ?‘Ľ)

143

đ?‘‘ â„Ž2 (đ?‘Ś)

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś. đ?‘Ž đ?‘”1 (đ?‘Ľ)

đ??ˇ

đ?‘? â„Ž1 (đ?‘Ś)

VĂ­ d᝼ 8.2.7. XĂŠt tĂ­ch phân kĂŠp áť&#x; VĂ­ d᝼ 8.2.1, đ??ź = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľ 2 đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś, váť›i D lĂ tam giĂĄc cĂł cĂĄc đᝉnh O(0;0), A(1;0), B(1;1).

hĆĄ

Q

0 ≤ �� ≤ 1, xÊt đư�ng thẳng nẹm ngang có phưƥng trÏnh

uy

0 = đ?‘Ľđ?‘‚ ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Śđ??ľ = 1. ᝨng váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ đ?‘Śđ?‘€ sao cho

N

Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D thĂŹ

m

đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i Ä‘oấn OB tấi

Kè

đ?‘€1 (đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ )vĂ AB tấi đ?‘€2 (đ?‘Ľđ??´ , đ?‘Śđ?‘€ ), Ä‘áťƒ Ä‘iáťƒm M thuáť™c miáť n D thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤

ấy

đ?‘Ľđ??´ = 1.

/+ D

NhĆ° váş­y, khi Ä‘iáťƒm M thuáť™c D thĂŹ nĂł phải tháť?a 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1 vĂ đ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 1, nĂłi

m

cĂĄch khĂĄc

e.

lĂ miáť n loấi II, do Ä‘Ăł

co

đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ś ≤ 1, đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ ≤ 1}

gl

1 1

1

1

1

0 đ?‘Ś

0

.g

đ??ˇ

oo

đ?‘Ľ3 1 1 2 2 đ??ź = âˆŹ đ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘Ś | đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ(đ?‘Ś − đ?‘Ś 4 )đ?‘‘đ?‘Ś = . 3 đ?‘Ľ=đ?‘Ś 3 10 0

us

VĂ­ d᝼ 8.2.8. XĂŠt tĂ­ch phân kĂŠp áť&#x; VĂ­ d᝼ 8.2.2, đ??ź = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś trong Ä‘Ăł D lĂ miáť n Ä‘ưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i parabola đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 vĂ Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ś = 2 − đ?‘Ľ.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

tích thà nh miᝠn loấi II như sau.

Ta Ä‘ĂŁ phân tĂ­ch D thĂ nh miáť n loấi I, váť›i miáť n D nĂ y

ta cĹŠng cĂł tháťƒ phân tĂ­ch thĂ nh miáť n loấi II nhĆ° sau. Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 4. Miáť n D Ä‘ưᝣc phân thĂ nh hai miáť n D1vĂ D2báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang đ?‘Ś = 1.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

Ta Ä‘ĂŁ phân tĂ­ch D thĂ nh miáť n loấi I, váť›i miáť n D nĂ y ta hoĂ n toĂ n cĂł tháťƒ phân

144

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

TrĂŞn miáť n D1, Ä‘iáťƒm M cĂł 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 1, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i náť­a trĂĄi parabola (theo tr᝼c Oy) tấi đ?‘€1 (−√đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) vĂ váť›i náť­a phải parabola tấi đ?‘€2 (√đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ). Ä?áťƒ M thuáť™c miáť n D1thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 , tᝊc lĂ âˆ’âˆšđ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ √đ?‘Śđ?‘€ . NhĆ° váş­y, miáť n D1 loấi II cĂł dấng

hĆĄ

đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i parabola tấi đ?‘€1 (−√đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) vĂ váť›i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng

uy

tᝊc lĂ âˆ’âˆšđ?‘Śđ?‘€ ≤ đ?‘Ľđ?‘€ ≤ 2 − đ?‘Śđ?‘€ . NhĆ° váş­y, miáť n D2 loấi II cĂł dấng

N

đ?‘Ś = 2 − đ?‘Ľ tấi đ?‘€2 (2 − đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ). Ä?áťƒ M thuáť™c miáť n D2thĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 ,

m

Q

đ??ˇ2 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 1 ≤ đ?‘Ľ ≤ 4, −√đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ ≤ 2 − đ?‘Ś}

Kè

Váş­y tĂ­ch phân kĂŠp Ä‘ĂŁ cho Ä‘ưᝣc tĂ­nh lĂ

√đ?‘Ś

1

4

2−đ?‘Ś

1

đ?‘Ś

đ?‘Ľ2 √ =âˆŤ | 2 đ?‘Ľ=−

4

0

2−đ?‘Ś

đ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ś + âˆŤ | 2 đ?‘Ľ=− đ?‘Ś

√

1

co

0

đ??ˇ2

/+ D

đ??ˇ1

m

đ??ˇ

ấy

đ??ź = âˆŹ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś + âˆŹ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ

2

ďƒ˛

gl

e.

VĂ­ d᝼ 8.2.9. TĂ­nh tĂ­ch phân kĂŠp I  dx 0

−√đ?‘Ś

1

−√đ?‘Ś

4

1 9 đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ(2 − đ?‘Ś)2 − đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ś = − . 2 4 đ?‘Ś

√

4 x 2

ďƒ˛ 0

1

xe2 y dy . 4 y

oo

Náşżu Ä‘áťƒ nguyĂŞn thᝊ táťą lẼy tĂ­ch phân nhĆ° Ä‘áť bĂ i

.g

thĂŹ sáş˝ gạp khĂł khăn khi tĂŹm nguyĂŞn hĂ m. Trong

us

trĆ°áť?ng hᝣp nĂ y ta nĂŞn Ä‘áť•i thᝊ táťą lẼy tĂ­ch phân. Miáť n D Ä‘ưᝣc viáşżt (loấi I) lĂ

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

TrĂŞn miáť n D2, Ä‘iáťƒm M cĂł 1 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 4, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh

đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2, 0 ≤ đ?‘Ś ≤ 4 − đ?‘Ľ 2 }

NhĆ° váş­y, D Ä‘ưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼ 0, đ?‘Ś ≤ 4 − đ?‘Ľ 2 (lĆ°u Ă˝ ráşąng parabola đ?‘Ś = 4 − đ?‘Ľ 2 giao váť›i Ä‘Ć°áť?ng đ?‘Ś = 0 tấi hai Ä‘iáťƒm cĂł hoĂ nh Ä‘áť™ đ?‘Ľ = Âą2). Gáť?i đ?‘€(đ?‘Ľđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ) lĂ Ä‘iáťƒm náşąm trong miáť n D, thĂŹ 0 ≤ đ?‘Śđ?‘€ ≤ 4, xĂŠt Ä‘Ć°áť?ng tháşłng náşąm ngang cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘Ś = đ?‘Śđ?‘€ . Ä?Ć°áť?ng tháşłng nĂ y luĂ´n giao váť›i tr᝼c Oy tấi đ?‘€1 (0, đ?‘Śđ?‘€ ) vĂ

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

đ??ˇ1 = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1, −√đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ ≤ √đ?‘Ś}

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

145

váť›i náť­a phải parabola tấi đ?‘€2 (√4 − đ?‘Śđ?‘€ , đ?‘Śđ?‘€ ). Ä?áťƒ M thuáť™c miáť n DthĂŹ Ä‘iáťƒm M phải náşąm trĂŞn Ä‘oấn đ?‘€1 đ?‘€2 . NhĆ° váş­y, miáť n D loấi II cĂł dấng đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 0 ≤ đ?‘Ś ≤ 4, 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ √4 − đ?‘Ś} Khi Ä‘Ăł tĂ­ch phân Ä‘ĂŁ cho Ä‘ưᝣc Ä‘áť•i thĂ nh

0

x 0

uy

N

8.3 ᝨNG DᝤNG HĂŒNH HáťŒC CᝌA TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

m

Q

8.3.1 Diᝇn tích hÏnh phẳng

Kè

Tᝍ Ä‘áť‹nh nghÄŠa cᝧa tĂ­ch phân kĂŠp, diᝇn tĂ­ch cᝧa miáť n D lĂ đ?‘†đ??ˇ = âˆŹđ??ˇ đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.

ấy

8.3.2 Tháťƒ tĂ­ch váş­t tháťƒ

/+ D

Ta Ä‘ĂŁ biáşżt tháťƒ tĂ­ch V cᝧa hĂŹnh tr᝼ cong giáť›i hấn trĂŞn báť&#x;i mạt đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≼ 0, giáť›i hấn dĆ°áť›i báť&#x;i đ?‘§ = 0 vĂ giáť›i hấn xung quanh báť&#x;i mạt tr᝼ song song tr᝼c Oz vĂ Ä‘Ć°áť?ng chuẊn

đ?‘‰ = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ

gl

e.

co

m

lĂ biĂŞn miáť n D Ä‘ưᝣc tĂ­nh báť&#x;i cĂ´ng thᝊc

oo

VĂŹ váş­y náşżu miáť n ď — giáť›i hấn trĂŞn báť&#x;i đ?‘§ = đ?‘“2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), giáť›i hấn dĆ°áť›i báť&#x;i đ?‘§ = đ?‘“1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), giáť›i

.g

hấn xung quanh báť&#x;i mạt tr᝼ song song tr᝼c Oz vĂ Ä‘Ć°áť?ng chuẊn lĂ biĂŞn miáť n D, giả sáť­

us

ráşąng đ?‘“1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≤ đ?‘“2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn D. Khi Ä‘Ăł tháťƒ tĂ­ch cᝧa kháť‘i ď — lĂ

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ďƒ˛

4

1 e8 1 dy  ďƒ˛ e2 y dy   . 2 4 4 0

đ?‘‰(ď —) = âˆŹ[đ?‘“2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) − đ?‘“1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)]đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ

8.3.3 Diᝇn tĂ­ch mạt cong Cho mạt cong S cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) vĂ D

là hÏnh chiếu cᝧa S lên mạt

pháşłng Oxy. Giả thiáşżt ráşąng hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) khả vi liĂŞn t᝼c trĂŞn D. Khi Ä‘Ăł, diᝇn tĂ­ch cᝧa mạt S Ä‘ưᝣc tĂ­nh qua tĂ­ch phân kĂŠp lĂ

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

0

ďƒ˛ dy

4 y

4

xe2 y e2 y x 2 dx  ďƒ˛ 4 y 4 y 2 0

n

4 y

hĆĄ

4

146

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

đ?‘† = âˆŹ √(đ?‘“đ?‘Ľâ€˛ )2 + (đ?‘“đ?‘Śâ€˛ )2 + 1đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ

VĂ­ d᝼ 8.3.1. TĂ­nh tháťƒ tĂ­ch V đ?‘Ľ 2 + đ?‘§ 2 = đ?‘Ž2 .

cᝧa váş­t tháťƒ giáť›i hấn báť&#x;i hai mạt tr᝼ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž2 vĂ

Náşżu xĂŠt hᝇ táť?a Ä‘áť™ Oxyz váť›i tr᝼c Ä‘ᝊng lĂ Oz thĂŹ mạt tr᝼ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž2 lĂ mạt tháşłng

hĆĄ

0, đ?‘§ ≼ 0. HĂŹnh chiáşżu cᝧa phần nĂ y xuáť‘ng mạt pháşłng Oxy lĂ máť™t phần tĆ° hĂŹnh tròn bĂĄn

uy

N

kính � trong góc � ≼ 0, � ≼ 0.

√đ?‘Ž 2 −đ?‘Ľ 2

−

= 8 âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ

đ??ˇ

0

đ?‘Ž

√đ?‘Ž2

0

−

m

�=

đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ś

= 8 âˆŤ(đ?‘Ž2 − đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ľ =

Kè

đ?‘Ž

8 âˆŹ √đ?‘Ž2

Q

Váş­y ta cĂł

0

2đ?‘Ľâˆšđ?‘Ľ 3

/+ D

Ta tĂ­nh cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng đ?‘§đ?‘Ľâ€˛ = √đ?‘Ľ, đ?‘§đ?‘Śâ€˛ = 0. Diᝇn tĂ­ch cᝧa mạt S lĂ 1 2

1

2

us

.g

oo

gl

e.

co

m

2 đ?‘† = âˆŤ âˆŤ √1 + đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś. âˆŤ √1 + đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = (2√2 − 1). 3 0 1

0

1

16 3 đ?‘Ž . 6

; 0 < đ?‘Ľ < 1 vĂ 1 < đ?‘Ś < 2.

ấy

VĂ­ d᝼ 8.3.2. TĂŹm diᝇn tĂ­ch mạt S cho báť&#x;i đ?‘§ =

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

pháşłng táť?a Ä‘áť™, ta chᝉ cần tĂ­nh máť™t phần tĂĄm kháť‘i Ä‘ĂŁ cho, náşąm trong gĂłc đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ä‘ᝊng còn mạt tr᝼ đ?‘Ľ 2 + đ?‘§ 2 = đ?‘Ž2 lĂ mạt tr᝼ náşąm ngang. Do tĂ­nh Ä‘áť‘i xᝊng qua cĂĄc mạt

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

147

TĂ“M TẎT Trong bĂ i háť?c nĂ y háť?c viĂŞn lĂ m quen váť›i khĂĄi niᝇm tĂ­ch phân kĂŠp, cĂĄchtĂ­nh tĂ­ch phân kĂŠp, cĂĄch xĂĄc Ä‘áť‹nh cáş­n tĂ­ch phân, Ä‘áť•i thᝊ táťą tĂ­ch phân và ᝊng d᝼ng cᝧa tĂ­ch

hĆĄ

hoấch D thĂ nh n phần khĂ´ng dẍm lĂŞn nhau cĂł diᝇn tĂ­ch lĂ ď „S1, ď „S2,‌,ď „Sn. Thiáşżt láş­p

N

táť•ng táť•ng tĂ­ch phân vĂ lẼy giáť›i hấn, náşżu giáť›i hấn táť“n tấi hᝯu hấn, ta Ä‘áť‹nh nghÄŠa tĂ­ch

uy

phân kÊp

∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ , đ?‘Śđ?‘˜ )ď „đ?‘†đ?‘˜ . đ?‘˜=1

Kè

đ??ˇ

���

đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ{đ?‘‘đ?‘˜ }ď‚Ž0

m

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ =

Q

đ?‘›

ấy

2. TĂ­ch phân kĂŠp Ä‘ưᝣc tĂ­nh báşąng cĂĄch Ä‘Ć°a váť tĂ­ch phân lạp qua Ä‘áť‹nh lĂ­ Fubini.

/+ D

Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘?, đ?‘”1 (đ?‘Ľ) ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘”2 (đ?‘Ľ)} thĂŹ đ?‘?

đ?‘”2 (đ?‘Ľ)

co

đ??ˇ

m

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś. đ?‘Ž

đ?‘”1 (đ?‘Ľ)

oo

gl

e.

Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘? ≤ đ?‘Ś ≤ đ?‘‘, â„Ž1 (đ?‘Ś) ≤ đ?‘Ľ ≤ â„Ž2 (đ?‘Ś)} thĂŹ đ?‘‘

â„Ž2 (đ?‘Ś)

us

.g

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś âˆŤ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ . đ??ˇ

đ?‘?

â„Ž1 (đ?‘Ś)

3. ᝨng d᝼ng hĂŹnh háť?c lĂ dĂšng tĂ­ch phân kĂŠp Ä‘áťƒ tĂ­nh diᝇn tĂ­ch miáť n pháşłng, tĂ­nh tháťƒ tĂ­ch váş­t tháťƒ trong khĂ´ng gian vĂ tĂ­nh diᝇn tĂ­ch mạt cong trong khĂ´ng gian.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

1. Cho hĂ m đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn miáť n Ä‘Ăłng giáť›i náť™i D trong mạt pháşłng xy. Phân

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

phân trong hÏnh h�c.

148

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

BĂ€I TẏP BĂ i 1. TĂ­nh cĂĄc tĂ­ch phân sau. 2ď ° 2

4 1

bď€˝ďƒ˛

a  ďƒ˛ ďƒ˛ ( x  y )dydx; 2

2

hĆĄ

1 ey

f ď€˝ďƒ˛

0 0

ďƒ˛

N

1 x2

uy

R

xdxdy.

m

Q

0 y

Kè

BĂ i 2. HĂŁy tĂ­nh cĂĄc tĂ­nh phân sau váť›i miáť n D Ä‘ưᝣc cho tĆ°ĆĄng ᝊng.

ấy

a  ďƒ˛ďƒ˛ x3 y 2dS , D  {( x, y ) | 0 ď‚Ł x ď‚Ł 2,  x ď‚Ł y ď‚Ł x};

b  ďƒ˛ďƒ˛

x2  1

dS , D  {( x, y) | 0  x  1, 0  y  x};

m

D

2y

/+ D

D

co

c  ďƒ˛ďƒ˛ ( x  y )2 dS , D lĂ miáť n Ä‘ưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng y  x  2, y  x 2  1, x  1;

e.

D

gl

2 2 d  ďƒ˛ďƒ˛ ( x  y )2 dS , lĂ miáť n Ä‘ưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i y  x  1, y   x , x  0, x  1.

oo

D

.g

BĂ i 3. TĂ­nh tĂ­ch phân cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn miáť n D.

us

a) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 4đ?‘Ľ + 2váť›i D lĂ miáť n Ä‘ưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2; đ?‘Ľ 2 ≤ đ?‘Ś ≤ 2đ?‘Ľ. b) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 5 váť›i D lĂ miáť n Ä‘ưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i 0 ≤ đ?‘Ś ≤ 2; đ?‘Ś ≤ đ?‘Ľ ≤ √đ?‘Ś. c) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ váť›i D lĂ tam giĂĄc cĂł cĂĄc đᝉnh A(2;3), B(7;2) vĂ C(4;5). BĂ i 4. HĂŁy Ä‘áť•i thᝊ táťą tĂ­ch phân Ä‘áť‘i váť›i cĂĄc trĆ°áť?ng hᝣp sau. 4 x

aď€˝ďƒ˛

ďƒ˛

0 0

3

1 4

f ( x, y )dydx;

bď€˝ďƒ˛

ďƒ˛

0 4x

f ( x, y )dydx;

cď€˝ďƒ˛

9 y 2

ďƒ˛

0  9 y 2

f ( x, y )dxdy;

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

2

d  ďƒ˛ďƒ˛ xye x y dS , R  [0,1] ď‚´ [0,2].

R

ďƒ˛ ( x  2 y)dydx.

n

0 0

c  ďƒ˛ďƒ˛ x sin( x  y )dS , R  [0, ď ° 6 ] ď‚´ [0, ď ° 3 ];

eď€˝ďƒ˛

x sin ydydx;

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

2 1

ďƒ˛

BÀI 8: T�CH PHÂN KÉP

1

d

1 x 2

ďƒ˛ dx ďƒ˛

1

2

2 x  x2

1

2 x

e  ďƒ˛ dx

f ( x, y )dy;

0

ďƒ˛

149

f ( x, y) dy.

BĂ i 5. TĂ­nh diᝇn tĂ­ch cᝧa miáť n D giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong sau. a) đ?‘Ľ = đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ś; đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 0.

N

BĂ i 7. TĂ­nh diᝇn tĂ­ch phần mạt pháşłng đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = đ?‘Ž báť‹ cắt báť&#x;i mạt cong đ?‘Ś 2 = đ?‘Žđ?‘Ľ vĂ mạt

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

ấy

Kè

m

Q

uy

pháşłng đ?‘Ľ = đ?‘Ž (đ?‘Ž > 0).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ

BĂ i 6. TĂ­nh tháťƒ tĂ­ch váş­t tháťƒ Ί giáť›i hấn báť&#x;i đ?‘Ś = 1 + đ?‘Ľ 2 ; đ?‘§ = 3đ?‘Ľ; đ?‘Ś = 5; đ?‘§ = 0 (phần đ?‘Ľ > 0).

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

b) đ?‘Ś 2 = 10đ?‘Ľ + 25; đ?‘Ś 2 = −6đ?‘Ľ + 9.

150

BÀI 8: TÍCH PHÂN KÉP

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Biểu diễn cận lấy tích phân của miền phẳng  sau đây trong hệ tọa độ Descartes Oxy

D. Đáp án khác.

1

 f  x , y  dx.

0

3y

1

3y

I   dy

B.

I   dy 0

 f  x , y  dx.

D.

0

N uy

0

 f  x , y  dx.

I

3y

3y

1

0

0

 dx  f  x , y  dy.

m

0

Q 1

ạy

C.

I   dy

0

/+ D

A.

0

I   dx  f  x , y  dy .

Kè

1

x3

m

Câu 2. Hãy đổi thứ tự tính tích phân

1

co

Câu 3. Tính I  12 ydxdy với D là miền phẳng kín giới hạn bởi các đường x  y 2 , x  y.

e.

D

B. I  4.

gl

A. I  1.

C. I 

3 . 20

D. Đáp án khác.

D

.g

oo

Câu 4. Hãy biểu diễn I   f x , y  dxdy ở dạng tích lặp với D là miền xác định bởi

us

x2 y 2   1. 4 9 3

A.

C.

I

I

 dy

2 9 y 2 /3

f  x , y  dx.

B.

3

2 9 y 2 /3

I   dy

3

2 9 y 2 /3

0

2 9 y 2 /3

2

4 x 2 /3

2

4 x 2

 dx 

2

 4 x 2 /3

f  x , y  dy.

D.

I

 dx 

2

 4 x 2

f  x , y  dx.

f  x , y  dy.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C.  2  x  2, 4  x 2  y  x 2 .

n

B. 2  x  2, x 2  y  4  x 2 .

hơ

A.  2  x  2, x 2  y  4  x 2 .

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

   x; y  | y  x 2 , y  4  x 2 .

BÀI 8: TÍCH PHÂN KÉP

Câu 5. Hãy đổi thứ tự tính tích phân

 dy  0

I

f  x , y  dx.

2

y

0

2 y 2

 dy 

m

y

f  x , y  dx.

/+ D

D.

0

Kè

I

 dy  f  x , y  dx. 1

2 y 2

2

C.

f  x , y  dx 

16 2 . 3

32 . 3

co

B. S =

us

.g

oo

gl

e.

A. S =

m

Câu 6. Tính diện tích S của miền D giới hạn bởi y = 4-x2; y = x2.

C. S =

32 2 . 3

D. S =

8 2 . 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

0

n

0

I   dy

y

2

hơ

2 y 2

0

N

1

f  x , y  dy .

f  x , y  dx.

 dy  1

x

uy

0

0

I   dx

Q

0

I   dy  f  x , y  dx 

2 y 2

2

2 x 2

ạy

B.

y

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

A.

1

1

151

152

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH

m

Ä?áť•i biáşżn, Ä‘Ć°a tĂ­ch phân váť dấng thuáş­n tiᝇn cho viᝇc tĂ­nh toĂĄn tĂ­ch kĂŠp trong máť™t

TĂ­nh kháť‘i lưᝣng, cĂĄc mĂ´-men vĂ tráť?ng tâm cᝧa mảnh pháşłng báşąng tĂ­ch phân kĂŠp.

ấy

-

Kè

sáť‘ trĆ°áť?ng hᝣp Ä‘ĆĄn giản.

/+ D

9.1 TĂ?CH PHĂ‚N KÉP TRONG TáťŒA Ä?áť˜ Cáť°C

m

Khi Ä‘áť‹nh nghÄŠa tĂ­ch phân kĂŠp cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) trĂŞn miáť n D cᝧa mạt pháşłng xy, ta cĂł tháťƒ

co

chia D thĂ nh cĂĄc phần nháť? hĂŹnh chᝯ nháş­t báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng song song cĂĄc tr᝼c táť?a Ä‘áť™.

e.

Giả sáť­ hĂ m đ?‘“(đ?‘&#x;, đ?œ‘) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn miáť n D giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc tia đ?œ‘ = đ?›ź, đ?œ‘ = đ?›˝ vĂ cĂĄc

thiáşżt

ráşąng

0 ≤ đ?‘Ž ≤ đ?‘&#x;1 (đ?œ‘) ≤ đ?‘&#x; ≤

.g

Giả

oo

gl

Ä‘Ć°áť?ng cong đ?‘&#x; = đ?‘&#x;1 (đ?œ‘), đ?‘&#x; = đ?‘&#x;2 (đ?œ‘).

us

đ?‘&#x;2 (đ?œ‘) ≤ đ?‘?, tᝊc lĂ miáť n D xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i đ?›ź ≤ đ?œ‘ ≤ đ?›˝, đ?‘&#x;1 (đ?œ‘) ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?‘&#x;2 (đ?œ‘), (đ?›˝ − đ?›ź ≤ 2đ?œ‹). Chia D thĂ nh cĂĄc mảnh nháť? báť&#x;i lĆ°áť›i cĂĄc tia cho báť&#x;i phĆ°ĆĄng trĂŹnh

đ?œ‘ = đ?›ź, đ?œ‘ = đ?›ź + Δđ?œ‘, đ?œ‘ = đ?›ź + 2Δđ?œ‘, ‌ vĂ cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tròn Ä‘áť“ng tâm cho báť&#x;i cĂĄc phĆ°ĆĄng trĂŹnh

đ?‘&#x; = đ?‘Ž, đ?‘&#x; = đ?‘Ž + Δđ?‘&#x;, đ?‘&#x; = đ?‘Ž + 2Δđ?‘&#x;, ‌

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Q

cáťąc, vĂ tĂ­nh Ä‘ưᝣc tĂ­ch phân nĂ y. -

hĆĄ

Ä?Ć°a bĂ i toĂĄn tĂ­nh tĂ­ch phân kĂŠp trong táť?a Ä‘áť™ Ä?ĂŞ-cĂĄc váť tĂ­nh tĂ­ch phân trong táť?a Ä‘áť™

uy

-

N

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần tháťąc hiᝇn Ä‘ưᝣc cĂĄc Ä‘iáť u sau.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

PHÂN KÉP

BÀI 9: ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP

153

Khi ấy tổng tích phân có dạng n

𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑟𝑘 , 𝜑𝑘 )𝑆𝑘 . k=1

Giả sử mảnh Dk là mảnh ABCD (như hình vẽ) có phương trình biểu diễn của tia AB

n

là tâm của mảnh Dk thì

hơ

1

𝑀𝑘 (𝑟𝑘 , 𝑘 )

1

N

𝑟𝑘 = 𝑎 + (𝑗 + ) Δ𝑟, 𝜑𝑘 = 𝛼 + (𝑖 + ) Δ𝜑. 2 2

uy

Diện tích của mảnh Dk, kí hiệu Δ𝑆𝑘 , khi đó là

Kè

m

Q

1 1 Δ𝑆𝑘 = 𝑆𝑂𝐵𝐶 − 𝑆𝑂𝐴𝐷 = Δ𝜑(𝑎 + (𝑗 + 1)Δ𝑟)2 − Δ𝜑(𝑎 + 𝑗Δ𝑟)2 = 𝑟𝑘 Δ𝑟Δ𝜑. 2 2

n

ạy

Vậy

/+ D

𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑟𝑘 , 𝜑𝑘 )𝑟𝑘 Δ𝑟Δ𝜑. k=1

co

m

Qua giới hạn ta được

e.

∬ 𝑓(𝑟, 𝜑)𝑑𝑠 = ∬ 𝑓(𝑟, 𝜑)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑. 𝐷

gl

𝐷

oo

Ta đã biết công thức liên hệ giữa tọa độ Đê-cac vuông góc và tọa độ cực là

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, từ đó ta có công thức chuyển từ tích phân kép trong tọa độ

us

.g

Đê-cac sang tọa độ cực

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

của cung tròn BC là 𝑟 = 𝑎 + (𝑗 + 1)Δ𝑟. Lấy điểm

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑. 𝐷

𝐷

Lưu ý 9.1.1. Định lý Fubini trong tọa độ cực được thể hiện như sau. (1) Nếu có biểu diễn 𝐷 = {(𝑟, 𝜑): 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽, 𝑟1 (𝜑) ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2 (𝜑)},𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋, thì 𝛽

𝑟2 ( 𝜑 )

∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑟𝑑𝑟. 𝐷

𝛼

𝑟1 ( 𝜑 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

là 𝜑 = 𝛼 + 𝑖Δ𝜑, của tia DC là 𝜑 = 𝛼 + (𝑖 + 1)Δ𝜑, của cung tròn AD là 𝑟 = 𝑎 + 𝑗Δ𝑟 và

154

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

Ä?ạc biᝇt, khi miáť n D chᝊa Ä‘iáťƒm O vĂ biĂŞn cᝧa D lĂ Ä‘Ć°áť?ng cong đ?‘&#x; = đ?‘&#x;(đ?œ‘) bao gáť‘c táť?a Ä‘áť™ O thĂŹ ta cĂł đ?‘&#x;( đ?œ‘ )

2Ď€

âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;.

đ?‘Ž

n

đ?œ‘1 (đ?‘&#x;)

uy

đ??ˇ

đ?‘“(đ?‘&#x;cosđ?œ‘, đ?‘&#x;sinđ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;.

N

âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;cosđ?œ‘, đ?‘&#x;sinđ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ

hĆĄ

đ?œ‘2 (đ?‘&#x;)

đ?‘?

m

Q

2 2 VĂ­ d᝼ 9.1.1. TĂ­nh tĂ­ch phân đ??ź = âˆŹđ??ˇ đ?‘’ đ?‘Ľ +đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś báşąng cĂĄch Ä‘Ć°a váť táť?a Ä‘áť™ cáťąc, váť›i D lĂ hĂŹnh tròn Ä‘ĆĄn váť‹.

Kè

Nháş­n thẼy ráşąng D lĂ miáť n chᝊa gáť‘c táť?a Ä‘áť™ O vĂ biĂŞn cᝧa nĂł lĂ Ä‘Ć°áť?ng tròn cĂł

ấy

phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘&#x; = 1 bao quanh gáť‘c O, ta cĂł biáťƒu diáť…n

/+ D

đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): 0 ≤ đ?œ‘ ≤ 2đ?œ‹, 0 ≤ đ?‘&#x; ≤ 1}, vĂ lĆ°u Ă˝ ráşąng đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘&#x; 2 do Ä‘Ăł

1

m

2Ď€

2

co

đ??ź = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘’ đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = đ?œ‹(đ?‘’ − 1). 0

e.

0

oo

gl

VĂ­ d᝼ 9.1.2. TĂ­nh tĂ­ch phân đ??ź = âˆŹđ??ˇ 2đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś trong Ä‘Ăł D lĂ máť™t phần hĂŹnh vĂ nh khăn Ä‘ưᝣc náşąm trong gĂłc phần tĆ° thᝊ nhẼt Ä‘ưᝣc giáť›i hấn báť&#x;i Ä‘Ć°áť?ng tròn bĂĄn kĂ­nh 2 vĂ Ä‘Ć°áť?ng tròn bĂĄn kĂ­nh 5.

.g

Miáť n D Ä‘ưᝣc biáťƒn diáť…u trong táť?a Ä‘áť™ Ä?ĂŞ-cac báť&#x;i 4 ≤ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤

us

25, đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≼ 0; biáťƒu diáť…n trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc báť&#x;i 2 ≤ đ?‘&#x; ≤ 5, 0 ≤ đ?œ‘ < đ?œ‹/2. Do Ä‘Ăł

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

(2) Náşżu cĂł biáťƒu diáť…n đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): đ?‘Ž ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?‘?, đ?œ‘1 (đ?‘&#x;) ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?œ‘2 (đ?‘&#x;)}, thĂŹ

Ď€/2

5

Ď€/2

5

đ??ź = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ 2(đ?‘&#x;cosđ?œ‘)(đ?‘&#x;sinđ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = âˆŤ sin(2đ?œ‘)đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘&#x;3 đ?‘‘đ?‘&#x; = 0

2

0

2

609 . 4

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

0

0

đ??ˇ

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

VĂ­ d᝼ 9.1.3. TĂ­nh đ??ź = âˆŹđ??ˇ

1 √4−đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ś2

155

đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś váť›i D lĂ miáť n Ä‘ưᝣc

cho báť&#x;i: (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1, đ?‘Ś ≼ 0. Ä?áťƒ tĂŹm biáťƒu diáť…n cᝧa Ä‘Ć°áť?ng tròn (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 = 1, cĹŠng lĂ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 2đ?‘Ľ , trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc, ta thay đ?‘Ľ =

hĆĄ

đ?œ‹ , 0 ≤ đ?‘&#x; ≤ 2đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘. 2

N

0≤đ?œ‘≤

n

2đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘. NhĆ° váş­y, cĂšng váť›i yĂŞu cầu đ?‘&#x; ≼ 0 vĂ đ?‘Ś ≼ 0 ta cĂł biáťƒu diáť…n miáť n D lĂ

Ď€ 2

uy

Khi Ä‘Ăł

√4 − đ?‘&#x; 2

Kè

0

đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = đ?œ‹ − 2.

m

1

đ??ź = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ 0

Q

2đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘

ấy

VĂ­ d᝼ 9.1.4. TĂ­nh diᝇn tĂ­ch miáť n giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng:

/+ D

(đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 = 1, (đ?‘Ľ − 2)2 + đ?‘Ś 2 = 4, đ?‘Ś = đ?‘Ľ, đ?‘Ś = 0. Gáť?i D lĂ miáť n cần tĂ­nh giáť›i hấn – cĂł biĂŞn lĂ cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng

co

phĆ°ĆĄng trĂŹnh lần lưᝣt lĂ

m

Ä‘ĂŁ cho, chuyáťƒn sang táť?a Ä‘áť™ cáťąc thĂŹ báť‘n Ä‘Ć°áť?ng trĂŞn cĂł

gl

e.

đ?‘&#x; = 2 cos(đ?œ‘) , đ?‘&#x; = 4 cos(đ?œ‘) , đ?œ‘ =

đ?œ‹ , đ?œ‘ = 0. 4

oo

NhĆ° váş­y, miáť n D Ä‘ưᝣc biáťƒu diáť…n trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc lĂ

đ?œ‹ , 2 cos(đ?œ‘) ≤ đ?‘&#x; ≤ 4 cos(đ?œ‘)}. 4

us

.g

đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): 0 ≤ đ?œ‘ ≤

Diᝇn tĂ­ch cᝧa miáť n D khi Ä‘Ăł lĂ

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ä‘ưᝣc đ?‘&#x; =

Ď€ 4

đ?‘†đ??ˇ = âˆŹ 1đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ đ??ˇ

đ??ˇ

0

4cos(đ?œ‘)

âˆŤ 2cos(đ?œ‘)

3 đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = (đ?œ‹ + 2). 4

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘Ś = đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘ vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘Ć°áť?ng tròn nĂ y vĂ thu

156

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

9.2 Ä?áť”I BIáşžN Táť”NG QUĂ T Giả sáť­ táş­p Ä‘Ăłng D’ cᝧa mạt pháşłng uv Ä‘ưᝣc biáşżn Ä‘áť•i vĂ o táş­p Ä‘Ăłng D cᝧa mạt pháşłng xy nháť? cĂ´ng thᝊc: đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł), áť&#x; Ä‘ây đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł) lĂ cĂĄc hĂ m khả vi liĂŞn t᝼c

trĂŞn D’. Ä?áť‹nh thᝊc trĂŞn Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘áť‹nh thᝊc Jacobi cᝧa cĂĄc hĂ m x, y. Khi Ẽy ta cĂł

m

Q

cĂ´ng thᝊc Ä‘áť•i biáşżn sau

ấy

đ??ˇâ€˛

đ??ˇ

Kè

ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł)) | | đ?‘‘đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł. ď‚ś(đ?‘˘, đ?‘Ł)

/+ D

Ta cĂ´ng nháş­n cĂ´ng thᝊc biáşżn Ä‘áť•i trĂŞn.

m

Nháş­n xĂŠt 9.2.1. TrĆ°áť?ng hᝣp táť?a Ä‘áť™ cáťąc lĂ máť™t trĆ°áť?ng hᝣp riĂŞng cᝧa phĂŠp Ä‘áť•i biáşżn táť•ng quĂĄt váť›i đ?‘Ľ = đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘Ś = đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘ vĂ Ä‘áť‹nh thᝊc Jacobi

−đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘ | = đ?‘&#x;, đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘

gl

e.

co

đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘ ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =| ď‚ś(đ?‘˘, đ?‘Ł) đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘

oo

thay vĂ o cĂ´ng thᝊc Ä‘áť•i biáşżn thĂŹ ta cĂł

đ??ˇ

us

.g

ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ(đ?‘&#x;, đ?œ‘), đ?‘Ś(đ?‘&#x;, đ?œ‘)) | | đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘. ď‚ś(đ?‘&#x;, đ?œ‘) đ??ˇ

đ??ˇ

VĂ­ d᝼ 9.2.1. TĂ­nh âˆŹđ??ˇ (2đ?‘Ľ − đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś, trong Ä‘Ăł D lĂ hĂŹnh bĂŹnh hĂ nh giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng: đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1, đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2,2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 1 vĂ 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3. Ä?ạt đ?‘˘ = đ?‘Ľ + đ?‘Ś, đ?‘Ł = 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś, nĂłi cĂĄch khĂĄc đ?‘Ľ =

�+� 3

,đ?‘Ś =

2đ?‘˘âˆ’đ?‘Ł 3

.

Khi Ẽy cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1, đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2trong mạt pháşłng xy lần lưᝣt Ä‘ưᝣc biáşżn thĂ nh cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘˘ = 1, đ?‘˘ = 2 trong mạt pháşłng uv. CĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś =

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n uy

đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ł

|≠0 |

hĆĄ

đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ł

N

đ?œ•đ?‘Ľ ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) |đ?œ•đ?‘˘ = ď‚ś(đ?‘˘, đ?‘Ł) |đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘˘

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

th�a điᝠu kiᝇn

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

157

1, 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3 lần lưᝣt Ä‘ưᝣc biáşżn thĂ nh cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ł = 1, đ?‘Ł = 3. NhĆ° váş­y, miáť n D’ trong mạt pháşłng uv lĂ hĂŹnh chᝯ nháş­t 1 ≤ đ?‘˘ ≤ 2, 1 ≤ đ?‘Ł ≤ 3.

−

3

1 3

| = − 1. | 3

2

uy

N

Váş­y

3

Q

1 4 1 âˆŹ(2đ?‘Ľ − đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘Ł |− | đ?‘‘đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł = âˆŤ đ?‘‘đ?‘˘ âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = . 3 3 3 đ??ˇâ€˛

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž

m

1

đ?‘Ś2

− đ?‘?2 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś, trong Ä‘Ăł D lĂ hĂŹnh ellipse 2

đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

+ đ?‘?2 ≤ 1. đ?‘Ž2

ấy

VĂ­ d᝼ 9.2.2. TĂ­nh đ??ź = âˆŹđ??ˇ √1 −

1

Kè

đ??ˇ

Ä?ạt đ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘&#x;sinđ?œ‘ (gáť?i lĂ táť?a Ä‘áť™ cáťąc máť&#x; ráť™ng). Khi Ẽy miáť n D’ tĆ°ĆĄng ᝊng

/+ D

Ä‘ưᝣc biáťƒu diáť…n báť&#x;i 0 ≤ đ?œ‘ ≤ 2đ?œ‹, 0 ≤ đ?‘&#x; ≤ 1 ; vĂ Ä‘áť‹nh thᝊc Jacobi tĂ­nh Ä‘ưᝣc

co

m

ď‚ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;. ď‚ś(đ?‘˘, đ?‘Ł)

gl

e.

LĆ°u Ă˝ ráşąng đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘&#x; 2 (đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ), do Ä‘Ăł 2đ?œ‹

đ??ˇâ€˛

0

1

.g

oo

2 đ??ź = âˆŹ √1 − đ?‘&#x; 2 đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;√1 − đ?‘&#x; 2 đ?‘‘đ?‘&#x; = đ?œ‹đ?‘Žđ?‘?. 3 0

us

9.3 ᝨNG DᝤNG CĆ HáťŒC CᝌA TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

(�, �) | = (�, �) | 2

n

1 3

hĆĄ

1 3

9.3.1 Kháť‘i lưᝣng cᝧa mảnh pháşłng Giả sáť­ mảnh D thuáť™c mạt pháşłng Oxy cĂł giĂĄ tráť‹ kháť‘i lưᝣng riĂŞng tấi Ä‘iáťƒm (x,y) lĂ ď ¤(x,y). Báşąng cĂĄch chia D thĂ nh cĂĄc mảnh nháť? tĆ°ĆĄng táťą nhĆ° bĂ i toĂĄn tháťƒ tĂ­ch (BĂ i toĂĄn 8.1.1), kháť‘i lưᝣng cᝧa mảnh D Ä‘ưᝣc tĂ­nh báşąng tĂ­ch phân kĂŠp

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Ta lấi có

158

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

đ?‘šđ??ˇ = âˆŹ ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś. đ??ˇ

9.3.2 MĂ´-men quĂĄn tĂ­nh (mĂ´-men thᝊ hai) cᝧa mảnh pháşłng Ta biáşżt ráşąng mĂ´-men quĂĄn tĂ­nh cᝧa máť™t chẼt Ä‘iáťƒm kháť‘i lưᝣng m Ä‘áť‘i váť›i máť™t Ä‘Ć°áť?ng

m

Kè

Ä‘áť‘i váť›i gáť‘c O lĂ đ??źđ?‘‚ = âˆŹđ??ˇ (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 )ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.

Q

Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Oy lĂ đ??źđ?‘Ś = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľ 2 ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś;

ấy

9.3.3 Mô-men tĊnh (mô-men thᝊ nhẼt) cᝧa mảnh phẳng

/+ D

Ta Ä‘ĂŁ biáşżt mĂ´-men tÄŠnh cᝧa máť™t chẼt Ä‘iáťƒm kháť‘i lưᝣng m Ä‘ạt tấi Ä‘iáťƒm cĂł táť?a Ä‘áť™ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox vĂ Oy lần lưᝣt lĂ

co

m

�� = �� và �� = ��.

e.

Tᝍ Ä‘Ăł, ta tĂ­nh Ä‘ưᝣc mĂ´-men tÄŠnh cᝧa mảnh D cĂł kháť‘i lưᝣng riĂŞng ď ¤(x,y)

gl

Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox lĂ đ?‘€đ?‘Ľ = âˆŹđ??ˇ đ?‘Śď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś;

.g

oo

Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Oy lĂ đ?‘€đ?‘Ś = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ľď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś.

us

9.3.4 Tráť?ng tâm Cho n chẼt Ä‘iáťƒm cĂł kháť‘i lưᝣng m1, m2,..., mn lần lưᝣt Ä‘ưᝣc Ä‘ạt tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ). Khi Ä‘Ăł mĂ´-men tÄŠnh cᝧa cả hᝇ n chẼt Ä‘iáťƒm Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox, Oy lĂ đ?‘›

đ?‘›

đ?‘€đ?‘Ľ = ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ; đ?‘€đ?‘Ś = ∑ đ?‘šđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– ; đ?‘–=1

đ?‘–=1

vĂ tráť?ng tâm cᝧa hᝇ n chẼt Ä‘iáťƒm nĂ y lĂ Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) váť›i

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ

uy

N

Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox lĂ đ??źđ?‘Ľ = âˆŹđ??ˇ đ?‘Ś 2 ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś;

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

tĂ­nh Ä‘ưᝣc cĂĄc mĂ´-men quĂĄn tĂ­nh cᝧa mảnh D cĂł kháť‘i lưᝣng riĂŞng ď ¤(x,y)

n

tháşłng lĂ mr2, trong Ä‘Ăł r lĂ khoảng cĂĄch tᝍ chẼt Ä‘iáťƒm Ä‘áşżn Ä‘Ć°áť?ng tháşłng L. Tᝍ Ä‘Ăł ta

B├ђI 9: ─љр╗ћI BIр║ЙN TRONG T├ЇCH PH├ѓN K├ЅP

­ЮЉЦ0 =

159

­ЮЉђ­ЮЉд ­ЮЉђ­ЮЉЦ ; ­ЮЉд0 = ­ЮЉџ ­ЮЉџ

trong ─Љ├│ ­ЮЉџ = РѕЉ­ЮЉЏ­ЮЉќ=1 ­ЮЉџ­ЮЉќ . Tр╗Ћng qu├Аt, ─Љр╗Љi vр╗Џi mр║Бnh D c├│ khр╗Љi lк░р╗Бng ri├фng №Ђц(x,y) th├г trр╗Їng t├бm cр╗Дa D l├а ─Љiр╗Ѓm

hкА

N

uy

Q

K├е

№Ђё = {(­ЮЉЦ, ­ЮЉд): 0 РЅц ­ЮЉЦ РЅц 1, 0 РЅц ­ЮЉд РЅц 2­ЮЉЦ}.

m

Mр║Бnh №Ђё ─Љк░р╗Бc ph├бn t├Гch th├аnh miр╗Ђn loр║Аi I c├│ dр║Аng

2­ЮЉЦ

/+ D

1

р║Аy

Khi ─Љ├│, khр╗Љi lк░р╗Бng cр╗Дa mр║Бnh №Ђё ─Љк░р╗Бc t├Гnh qua t├Гch ph├бn k├Еp l├а ­ЮЉџ№Ђё = Рѕг №Ђц(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд = РѕФ ­ЮЉЉ­ЮЉЦ РѕФ 6(1 + ­ЮЉЦ + ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉд 0 1

0

m

­Юљи

co

= РѕФ[6(1 + ­ЮЉЦ)­ЮЉд + 3­ЮЉд 2 |2­ЮЉЦ ­ЮЉд=0 ]­ЮЉЉ­ЮЉЦ

e.

0

1

1

gl

2 РѕФ[6(1 + ­ЮЉЦ)­ЮЉд + 3­ЮЉд 2 |2­ЮЉЦ ­ЮЉд=0 ]­ЮЉЉ­ЮЉЦ = РѕФ 12(­ЮЉЦ + 2­ЮЉЦ )­ЮЉЉ­ЮЉЦ = 14. 0

oo

0

us

.g

M├┤-men t─Еnh cр╗Дa №Ђё ─Љр╗Љi vр╗Џi trр╗Цc Ox, Oy lр║Дn lк░р╗Бt l├а

pl

Diр╗Ёn ─Љ├аn hр╗Ќ trр╗Б gi├Аo dр╗Цc : ─љ/C 1000B Trр║Дn Hк░ng ─љр║Аo Tp Quy NhкАn Ngк░р╗Юi s├Аng lр║Гp : Nguyр╗Ёn Thanh Tuр║Цn - Chр╗Д quр║Бn t├аi nguy├фn : Nguyр╗Ёn Thanh T├║

V├Г dр╗Ц 9.3.1. Cho mр║Бnh tam gi├Аc phр║│ng №Ђё giр╗Џi hр║Аn bр╗Ъi c├Аc ─Љк░р╗Юng ­ЮЉЦ = 1, ­ЮЉд = 2­ЮЉЦv├а trр╗Цc Ox; khр╗Љi lк░р╗Бng ri├фng cр╗Дa №Ђё tр║Аi ─Љiр╗Ѓm (­ЮЉЦ, ­ЮЉд) l├а №Ђц(­ЮЉЦ, ­ЮЉд) = 6(­ЮЉЦ + ­ЮЉд + 1). H├Бy t├Гnh khр╗Љi lк░р╗Бng, c├Аc m├┤-men qu├Аn t├Гnh, m├┤-men t─Еnh v├а trр╗Їng t├бm cр╗Дa mр║Бnh №Ђё ─Љ├Б cho.

1

2­ЮЉЦ

­ЮЉђ­ЮЉЦ = Рѕг ­ЮЉд№Ђц(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд = РѕФ ­ЮЉЉ­ЮЉЦ РѕФ 6(1 + ­ЮЉЦ + ­ЮЉд)­ЮЉд­ЮЉЉ­ЮЉд = 11. ­Юљи

0 1

0 2­ЮЉЦ

­ЮЉђ­ЮЉд = Рѕг ­ЮЉЦ№Ђц(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд = РѕФ ­ЮЉЉ­ЮЉЦ РѕФ 6­ЮЉЦ(1 + ­ЮЉЦ + ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉд = 10. ­Юљи

0

0

Trр╗Їng t├бm cр╗Дa №Ђё l├а ─Љiр╗Ѓm ­ЮљХ(­ЮЉЦ0 , ­ЮЉд0 ) c├│ c├Аc tр╗Їa ─Љр╗Ў l├а ­ЮЉЦ0 =

­ЮЉђ­ЮЉд 10 ­ЮЉђ­ЮЉЦ 11 = ; ­ЮЉЦ0 = = . ­ЮЉџ 14 ­ЮЉџ 14

Dр║аY K├ѕM QUY NHкаN OFFICIAL ST&GT : ─љ/C 1000B TRр║дN Hк»NG ─љр║аO TP.QUY NHкаN

­ЮЉђ­ЮЉд Рѕг­Юљи ­ЮЉЦ№Ђц(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд ­ЮЉђ­ЮЉЦ Рѕг­Юљи ­ЮЉд№Ђц(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд = ; ­ЮЉд0 = = . ­ЮЉџ ­ЮЉџ Рѕг­Юљи №Ђц(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд Рѕг­Юљи №Ђц(­ЮЉЦ, ­ЮЉд)­ЮЉЉ­ЮЉЦ­ЮЉЉ­ЮЉд

­ЮЉЦ0 =

n

(­ЮЉЦ0 , ­ЮЉд0 ) vр╗Џi

160

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

MĂ´-men quĂĄn tĂ­nh cᝧa ď „ Ä‘áť‘i váť›i tr᝼c Ox, Oy lần lưᝣt lĂ 2đ?‘Ľ

1

đ??źđ?‘Ľ = âˆŹ đ?‘Ś ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ 6(1 + đ?‘Ľ + đ?‘Ś)đ?‘Ś 2 đ?‘‘đ?‘Ś = 12. 2

đ??ˇ

0

0

1

2đ?‘Ľ

đ??źđ?‘Ś = âˆŹ đ?‘Ľ ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ 6đ?‘Ľ 2 (1 + đ?‘Ľ + đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 39/5. 2

0

hĆĄ

uy

N

VĂ­ d᝼ 9.3.2. TĂŹm kháť‘i lưᝣng cᝧa máť™t Ä‘ÄŠa tròn bĂĄn kĂ­nh R, náşżu biáşżt kháť‘i lưᝣng riĂŞng tấi máť—i Ä‘iáťƒm tᝡ lᝇ váť›i khoảng cĂĄch tᝍ Ä‘iáťƒm Ä‘Ăł táť›i tâm vĂ kháť‘i lưᝣng riĂŞng lĂ 3 tấi biĂŞn cᝧa Ä‘ÄŠa.

Q

Tᝍ Ä‘áť bĂ i ta suy ra kháť‘i lưᝣng riĂŞng tấi Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cᝧa Ä‘ÄŠa tròn nĂ y lĂ ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =

m

đ?‘˜âˆšđ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 .

Kè

3

So sĂĄnh váť›i Ä‘iáť u kiᝇn trĂŞn biĂŞn ta cĂł ď ¤(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 . Kháť‘i lưᝣng cᝧa Ä‘ÄŠa Ä‘ưᝣc đ?‘…

ấy

tĂ­nh báť&#x;i tĂ­ch phân kĂŠp lĂ

/+ D

2đ?œ‹

đ?‘…

3 3 đ?‘š = âˆŹ √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘&#x;. đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; = 2đ?œ‹đ?‘…3 . đ?‘… đ?‘… 0

us

.g

oo

gl

e.

co

m

đ??ˇ

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

MĂ´-men quĂĄn tĂ­nh cᝧa ď „ Ä‘áť‘i váť›i gáť‘c O lĂ đ??źđ?‘‚ = đ??źđ?‘Ľ + đ??źđ?‘Ś = 99/5.

0

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

0

n

đ??ˇ

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

161

TĂ“M TẎT Trong bĂ i háť?c nĂ y, háť?c viĂŞn Ä‘ĂŁ biáşżt cĂĄch tĂ­nh tĂ­ch phân kĂŠp trong táť?a Ä‘áť™ cáťąc, Ä‘áť•i biáşżn trong tĂ­ch phân kĂŠp vĂ giải máť™t sáť‘ bĂ i toĂĄn trong cĆĄ háť?c báşąng tĂ­ch phân kĂŠp. 1. CĂ´ng thᝊc liĂŞn hᝇ giᝯa táť?a Ä‘áť™ Ä?ĂŞ-cac vuĂ´ng gĂłc vĂ táť?a Ä‘áť™ cáťąc lĂ đ?‘Ľ = đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘Ś =

hĆĄ N

đ??ˇ

Q

đ??ˇ

uy

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘.

đ?‘&#x;2 ( đ?œ‘ )

Kè

đ?›˝

m

2. Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): đ?›ź ≤ đ?œ‘ ≤ đ?›˝, đ?‘&#x;1 (đ?œ‘) ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?‘&#x;2 (đ?œ‘)},đ?›˝ − đ?›ź ≤ 2đ?œ‹, thĂŹ

ấy

âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;. đ?‘&#x;1 ( đ?œ‘ )

�

/+ D

đ??ˇ

m

Náşżu đ??ˇ = {(đ?‘&#x;, đ?œ‘): đ?‘Ž ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?‘?, đ?œ‘1 (đ?‘&#x;) ≤ đ?‘&#x; ≤ đ?œ‘2 (đ?‘&#x;)} thĂŹ đ?‘?

đ?œ‘2 (đ?‘&#x;)

đ?‘Ž

đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;.

đ?œ‘1 (đ?‘&#x;)

e.

đ??ˇ

co

âˆŹ đ?‘“(đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘, đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘)đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œ‘ = âˆŤ đ?‘‘đ?œ‘ âˆŤ

gl

3. Táť•ng quĂĄt, giả sáť­ táş­p Ä‘Ăłng D’ cᝧa mạt pháşłng uv Ä‘ưᝣc biáşżn Ä‘áť•i vĂ o táş­p Ä‘Ăłng D cᝧa

oo

mạt pháşłng xy nháť? cĂ´ng thᝊc: đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś = đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł), cĂĄc hĂ m đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł) lĂ khả vi ď‚ś(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)

us

.g

liĂŞn t᝼c cĂł Ä‘áť‹nh thᝊc Jacobi đ??˝ = ď‚ś(đ?‘˘,đ?‘Ł) ≠0 trĂŞn D’. Khi Ẽy ta cĂł cĂ´ng thᝊc Ä‘áť•i biáşżn

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ä‘áť™ cáťąc

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ(đ?‘˘, đ?‘Ł), đ?‘Ś(đ?‘˘, đ?‘Ł))|đ??˝|đ?‘‘đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł. đ??ˇ

đ??ˇâ€˛

4. Máť™t sáť‘ bĂ i toĂĄn trong cĆĄ háť?c tĂ­nh cĂĄc mĂ´-men tÄŠnh, mĂ´-men quĂĄn tĂ­nh, tráť?ng tâm cᝧa mảnh pháşłng Ä‘ưᝣc tĂ­nh dĂšng tĂ­ch phân kĂŠp.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘, tᝍ Ä‘Ăł ta cĂł cĂ´ng thᝊc chuyáťƒn tᝍ tĂ­ch phân kĂŠp trong táť?a Ä‘áť™ Ä?ĂŞ-cac sang táť?a

162

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

BĂ€I TẏP BĂ i 1. HĂŁy xĂĄc Ä‘áť‹nh cáş­n cᝧa tĂ­ch phân I 

ďƒ˛ďƒ˛ f ( x, y )dS

sau khi Ä‘áť•i sang táť?a Ä‘áť™ cáťąc ᝊng

D

n hĆĄ

b) đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 4 ≤ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤ 5, đ?‘Ś ≤ 0};

uy

N

c) đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): 4 ≤ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤ 5, đ?‘Ľ ≼ 0, đ?‘Ś ≤ 0};

Q

d) đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): (đ?‘Ľ − 3)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 9, đ?‘Ś ≤ 0}.

1 √đ?‘Ž2 −đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ś 2

váť›i đ??ˇ lĂ máť™t phần tĆ° hĂŹnh tròn bĂĄn kĂ­nh đ?‘Ž, tâm đ?‘‚(0,0) trong gĂłc

Kè

a) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =

m

BĂ i 2. TĂ­nh tĂ­ch phân cᝧa hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)trĂŞn miáť n đ??ˇ.

ấy

phần tư thᝊ nhẼt.

/+ D

b) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľđ?‘Ś váť›i đ??ˇ lĂ náť­a trĂŞn cᝧa hĂŹnh tròn (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1; đ?‘Ś ≼ 0.

m

c) đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľđ?‘Ś váť›i đ??ˇ lĂ hĂŹnh tròn (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1.

co

BĂ i 3. Ä?áť•i sang táť?a Ä‘áť™ cáťąc ráť“i tĂ­ch tĂ­ch phân.

e.

a  ďƒ˛ďƒ˛ xydS váť›i đ??ˇ lĂ Ä‘ÄŠa tròn tâm đ?‘‚ bĂĄn kĂ­nh 3.

gl

D

oo

b  ďƒ˛ďƒ˛ ( x  y )dS váť›i đ??ˇ lĂ miáť n náşąm giᝯa cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng tròn x 2  y 2  1, x 2  y 2  4.

.g

D

us

c  ďƒ˛ďƒ˛ cos( x 2  y 2 )dS , đ??ˇ lĂ miáť n náşąm phĂ­a trĂŞn tr᝼c đ?‘Ľ vĂ trong Ä‘Ć°áť?ng tròn đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 9. D

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

a) đ??ˇ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś): đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 ≤ 3, đ?‘Ś ≼ 0, đ?‘Ľ ≤ 0};

BĂ i 4. Báşąng cĂĄch Ä‘áť•i biáşżn thĂ­ch hᝣp hĂŁy tĂ­nh cĂĄc tĂ­ch phân sau. đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś

a) đ??ź = âˆŹđ??ˇ

đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 +1

b) đ??ź = âˆŹđ??ˇ

đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2

đ?‘Ľ+đ?‘Ś

váť›i đ??ˇ lĂ miáť n giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ngđ?‘Ś = √1 − đ?‘Ľ 2 vĂ đ?‘Ś = 0.

đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Śváť›i đ??ˇ lĂ náť­a trĂŞn hĂŹnh tròn (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 ≤ 1; đ?‘Ś ≼ 0.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

váť›i miáť n đ??ˇ Ä‘ưᝣc cho nhĆ° sau.

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

163

BĂ i 5. TĂ­nh diᝇn tĂ­ch cᝧa miáť n đ??ˇ giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong sau a) Phần phĂ­a trong cardioid cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh đ?‘&#x; = đ?‘Ž(1 + cos φ)vĂ phĂ­a ngoĂ i Ä‘Ć°áť?ng tròn đ?‘&#x; = đ?‘Ž cos φ , đ?‘Ž > 0. b) Phần phĂ­a ngoĂ i cᝧa đ?‘&#x; = đ?‘Ž(1 − cos φ) vĂ phĂ­a trong Ä‘Ć°áť?ng tròn đ?‘&#x; = đ?‘Ž.

n hĆĄ

BĂ i 7. TĂŹm táť?a Ä‘áť™ tráť?ng tâm cᝧa miáť n pháşłng Ä‘áť“ng chẼt giáť›i hấn báť&#x;i cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng

uy

N

đ?‘Ś 2 = 4(đ?‘Ľ + 1); đ?‘Ś 2 = −2đ?‘Ľ + 4.

BĂ i 8. TĂ­nh mĂ´men quĂĄn tĂ­nh cᝧa váş­t tháťƒ đ??ˇ Ä‘áť“ng chẼt Ä‘áť‘i váť›i Ä‘Ć°áť?ng tháşłng (hoạc

m

Q

Ä‘iáťƒm) Ä‘ưᝣc chᝉ ra sau Ä‘ây.

Kè

a) Váş­t đ??ˇ lĂ hĂŹnh vĂ nh khăn cĂł tâm tấi gáť‘c táť?a Ä‘áť™ váť›i bĂĄn kĂ­nh nháť? lĂ r vĂ bĂĄn kĂ­nh láť›n lĂ R váť›i gáť‘c táť?a Ä‘áť™.

ấy

b) Miáť n đ??ˇ giáť›i hấn báť&#x;i máť™t nháť‹p Cycloid đ?‘Ľ = đ?‘Ž(đ?‘Ą − đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘Ą) ; đ?‘Ś = đ?‘Ž(1 − đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą); 0 ≤ đ?‘Ą ≤ 2đ?œ‹ Ä‘áť‘i

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

váť›i tr᝼c Ox.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

� 2 + � 2 = 1.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

BĂ i 6. TĂ­nh diᝇn tĂ­ch phần mạt paraboloid đ?‘Ľ = 1 − đ?‘Ś 2 − đ?‘§ 2 náşąm phĂ­a trong hĂŹnh tr᝼

164

BĂ€I 9: Ä?áť”I BIáşžN TRONG TĂ?CH PHĂ‚N KÉP

CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM D

, trong Ä‘Ăł đ??ˇ lĂ hĂŹnh tròn x 2  y 2 ď‚Ł 9.

C. I  3ď ° .

B. I  9ď ° .

Câu 2. Tính tích phân I =

D. I  18ď ° .

( x 2  y 2 )dxdy váť›i D  ď ť( x, y ) | x 2  y 2 ď‚Ł 4 y; x ď‚ł 0ď ˝ .

ďƒ˛ďƒ˛

hĆĄ

A. I  6ď ° .

128 . 6

128 . 9

C. I =

D. I =

Q

B. I =

uy

128 . 3

A. I =

N

D



0

0

ďƒ˛ dď Ş ďƒ˛ rf  r  dr.

ď ° /2

1

0

0

ďƒ˛ dď Ş ďƒ˛ rf  r  dr.

B. I 

/+ D

A. I 

1

ấy

náť­a hĂŹnh tròn x 2  y 2 ď‚Ł 1, y ď‚ł 0 . 2ď °

m

1

ď ° /2

ďƒ˛

D. I 

co

C. I  ď ° ďƒ˛ rf  r  dr.

0

1

dď Ş ďƒ˛ f  r  dr. 0

e.

0



Kè

D

128 . 15

x 2  y 2 dxdy, trong Ä‘Ăł đ??ˇ lĂ

m

Câu 3. Chuyáťƒn tĂ­ch phân sau sang hᝇ táť?a Ä‘áť™ cáťąc I  ďƒ˛ďƒ˛ f

gl

Câu 4. Chuyáťƒn tĂ­ch phân sau sang táť?a Ä‘áť™ cáťąc I  ďƒ˛ďƒ˛ f  x, y  dxdy, trong Ä‘Ăł đ??ˇ lĂ hĂŹnh tròn D

2ď °

ďƒ˛ dď Ş ďƒ˛ f  r cos ď Ş , r sin ď Ş  dr. 0

us

A. I 

4

.g

oo

x 2  y 2 ď‚Ł 4 y . Ä?áşłng thᝊc nĂ o sau Ä‘ây Ä‘Ăşng?

0

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

2

ď °

2

C. I  ďƒ˛ dď Ş ďƒ˛ rf  r cos ď Ş , r sin ď Ş  dr. 0

0

ď ° 2

4cos ď Ş

0

0

B. I  ďƒ˛ dď Ş

ďƒ˛

ď °

4sin ď Ş

0

0

D. I  ďƒ˛ dď Ş

ďƒ˛

rf  r cos ď Ş , r sin ď Ş  dr.

rf  r cos ď Ş , r sin ď Ş  dr.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

x y 2

n

dxdy

Câu 1. TĂ­nh tĂ­ch phân I  ďƒ˛ďƒ˛

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

165

n

Phân biệt được nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị của PTVP.

-

Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng tách biến (có biến phân ly).

-

Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng đẳng cấp.

-

Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng vi phân toàn phần.

-

Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng tuyến tính cấp 1.

-

Biết cách giải PTVP cấp 1 dạng Bernoulli.

ạy

Kè

m

Q

uy

N

hơ

-

/+ D

10.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

m

10.1.1 Phương trình vi phân

co

Một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của một hoặc một vài hàm cần tìm

e.

được gọi là phương trình vi phân.

oo

gl

Nếu phương trình chỉ chứa các đạo hàm của một biến độc lập thì nó được gọi là phương trình vi phân thường, nếu nó chứa các đạo hàm riêng thì được gọi là phương

.g

trình vi phân đạo hàm riêng.

us

Cấp cao nhất của đạo hàm chứa trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đó.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Học xong bài này người học cần nắm được các nội dung sau.

Ví dụ 10.1.1. Các phương trình vi phân thường

dy  2 y 1 ; dx

 x  y  dy

du dv 3  0; dx dx

 y ,, 

2

 2 ydx  0 ;

,  3y  1  0 .

Các phương trình sau là phương trình vi phân đạo hàm riêng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

166

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

 2u  2u u   . t x 2 t 2

u u x y  u; x y Các phương trình vi phân sau 3

n

N

hơ

hàm riêng cấp 3.

uy

10.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân

ạy

và nếu giải được theo y(n) thì nó có dạng

Kè

m

F (x , y , y ,, ..., y ( n ) )  0

Q

Dạng tổng quát của phương trình vi phân (thường) cấp n có dạng

/+ D

y ( n )  y ( x, y, y , ,..., y ( n1) ) Nghiệm của phương trình vi phân trên khoảng I là một hàm số y = (x) xác định

m

trên I sao cho khi thay vào phương trình vi phân đó ta được đồng nhất thức trên I.

co

Nói cách khác, đó là một hàm số y = (x) ít nhất phải có đạo hàm đến cấp n trên

e.

I, sao cho

oo

gl

F ( x, ( x),  , ( x),..., ( n) ( x))  0, x  I .

.g

Tất nhiên, nghiệm y = (x) có thể cho ở dạng tường minh hoặc cho ở dạng ẩn.

us

Đồ thị của nghiệm y = (x) được gọi đường cong tích phân. x x x x x x Ví dụ 10.1.2. Các hàm số y  e , y  e , y  c1e , y  c2e và y  c1e  c2e đều là

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

lần lượt là các phương trình vi phân thường cấp 2, cấp 1 và phương trình vi phân đạo

nghiệm của phương trình y’’ – y = 0. Ví dụ 10.1.3. Hàm số (cho ở dạng ẩn) y  arctg( x  y)  C là nghiệm của phương trình

 x  y 

2

dy  1. dx

Theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm ẩn, ta được

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

d2y  3u 4 2u  dy  5 dy 2    5 y 1; xy  3 y  1  0;  u0   dx dx 2 x3 xy  dx 

167

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

dy dy 1 dx ďƒž dy   . 2 dx 1   x  y  dx  x  y 2 1

Tháşż vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh ta Ä‘ưᝣc Ä‘áť“ng nhẼt thᝊc.ďƒť

N

PhĆ°ĆĄng trĂŹnh cẼp máť™t táť•ng quĂĄt cĂł dấng

(1)

Q

uy

F( x, y, y ,)  0.

m

Náşżu giải Ä‘ưᝣc theo y’, ta Ä‘ưᝣc

(2)

ấy

BĂ i toĂĄn Cauchy

Kè

y,  y( x, y).

/+ D

BĂ i toĂĄn Cauchy lĂ bĂ i toĂĄn tĂŹm nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân (1) hoạc (2) tháť?a

m

Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu

y ( x 0 )  y0

co

(3)

e.

hay nĂłi cĂĄch khĂĄc lĂ tĂŹm máť™t Ä‘Ć°áť?ng cong tĂ­ch phân cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân (1) hoạc

oo

gl

(2) Ä‘i qua Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ).

.g

VĂ­ d᝼ 10.2.1. XĂŠt bĂ i toĂĄn Cauchy y ' 

y, 1 , y Tᝍ y  , ta cĂł  ďƒž y  Cx. Tᝍ Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu x0  1, y0  2 , ta tĂŹm Ä‘ưᝣc C  2. x y x

us

ďƒŠ

y , y(1)  2. x

Váş­y nghiᝇm cᝧa bĂ i toĂĄn lĂ y = 2x.

ďƒť

Ä?áť‹nh lĂ˝ 10.2.1 (táť“n tấi vĂ duy nhẼt nghiᝇm). Náşżu hĂ m sáť‘ đ?’‡(đ?’™, đ?’š) liĂŞn t᝼c trong





2 miáť n máť&#x; D ďƒŒ R , thĂŹ váť›i máť?i Ä‘iáťƒm x0 , y0 ďƒŽ D , bĂ i toĂĄn Cauchy (2) (3) cĂł nghiᝇm xĂĄc

Ä‘áť‹nh trong máť™t lân cáş­n cᝧa x0. Náşżu ngoĂ i ra, Ä‘ấo hĂ m riĂŞng thĂŹ nghiᝇm Ä‘Ăł lĂ duy nhẼt.

ď‚śf cĹŠng liĂŞn t᝼c trong đ?‘Ť ď‚śy

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n hĆĄ

10.2.1 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh cẼp máť™t

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

10.2 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 1

168

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

Ä?áť‹nh lĂ˝ trĂŞn thĆ°áť?ng Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘áť‹nh lĂ˝ Peano-Cauchy-Picard, ta cĂ´ng nháş­n vĂ khĂ´ng chᝊng minh Ä‘áť‹nh lĂ˝ nĂ y. Ä?áť‘i váť›i phĆ°ĆĄng trĂŹnh (1) vĂ Ä‘iáť u kiᝇn (3), Ä‘áť‹nh lĂ˝ táť“n tấi vĂ duy nhẼt nghiᝇm Ä‘ưᝣc phĂĄt biáťƒu nhĆ° sau: náşżu hĂ m sáť‘ F vĂ cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng

ď‚śF ď‚śF liĂŞn t᝼c trong miáť n , ď‚śy ď‚śy '

uy

táť“n tấi duy nhẼt máť™t nghiᝇm cᝧa (1) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong lân cáş­n cᝧa x0 vĂ tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn

Q

(3).

x , C ďƒŽ D 0

(miᝠn mà bà i toån Cauchy có nghiᝇm) thÏ

Kè

x0 cáť‘ Ä‘áť‹nh, lẼy C = y0, sao cho

m

NhĆ° ta thẼy, phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp máť™t thĆ°áť?ng ph᝼ thuáť™c vĂ o máť™t háşąng sáť‘. Váť›i

ấy

ta Ä‘ưᝣc nghiᝇm, cho nĂŞn nĂłi chung nghiᝇm cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng

/+ D

y  ď Ş  x, C  .



m

Ä?áť‹nh nghÄŠa 10.2.1 (Nghiᝇm táť•ng quĂĄt). HĂ m sáť‘ y  ď Ş x , C



Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ nghiᝇm

co

táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp máť™t trong miáť n D ďƒŒ R 2 náşżu váť›i máť?i Ä‘iáťƒm

 x , y  ďƒŽ D,



e.

táť“n tấi duy nhẼt máť™t sáť‘ C0 sao cho y  ď Ş x , C0

0

gl

0

oo

Cauchy váť›i Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu y( x0 )  y0 .



.g

Ä?iáť u Ä‘Ăł cĂł nghÄŠa lĂ táť“n tấi duy nhẼt C0 sao cho



lĂ nghiᝇm trong lân cáş­n đ?‘Ľ0 ;

us

1- y  ď Ş x , C0





2- y0  ď Ş x 0 , C0 .



lĂ nghiᝇm cᝧa bĂ i toĂĄn

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n hĆĄ

ď‚śF (x , y , y ' ) ď‚š 0 ď‚śy ' 0 0 0

N

F( x0 , y0 , y '0 )  0,

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

D ďƒŒ R 3 thĂŹ váť›i máť?i Ä‘iáťƒm (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘Ś0′ ) ∈ đ??ˇ sao cho

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

169

, y VĂ­ d᝼ 10.2.2. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh y  cĂł nghiᝇm y = Cx lĂ nghiᝇm táť•ng quĂĄt trong x miáť n D  x , y : x ď‚š 0 (mạt pháşłng báť? tr᝼c tung).

ď ťď€¨

ď ˝







 

Tháş­t váş­y, váť›i máť?i x0 , y0 ďƒŽ D , tᝊc lĂ đ?‘Ľ0 ≠0 thĂŹ hĂ m sáť‘ f x , y 

y ď‚śf 1 và  liĂŞn t᝼c x ď‚śy x

hĆĄ

n

y0 . x0

uy

khi cho háşąng sáť‘ C máť™t giĂĄ tráť‹ c᝼ tháťƒ Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ nghiᝇm riĂŞng.

N

Ä?áť‹nh nghÄŠa 10.2.2 (Nghiᝇm riĂŞng). Nghiᝇm bẼt káťł nháş­n Ä‘ưᝣc tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt

m

Q

TẼt nhiĂŞn nghiᝇm cᝧa máť?i bĂ i toĂĄn Cauchy Ä‘áť u lĂ nghiᝇm riĂŞng.

Kè

LẼy lấi VĂ­ d᝼ 10.2.2 áť&#x; trĂŞn, khi cho C lần lưᝣt cĂĄc giĂĄ tráť‹ lĂ : 1, 2, 10 ta lần lưᝣt

ấy

Ä‘ưᝣc cĂĄc nghiᝇm riĂŞng: y = x, y = 2x, y = 10x.

LĆ°u Ă˝ ráşąng khĂ´ng phải bẼt káťł nghiᝇm nĂ o cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cĹŠng nháş­n

/+ D

Ä‘ưᝣc tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt báşąng cĂĄch cho háşąng sáť‘ C nhᝯng giĂĄ tráť‹ c᝼ tháťƒ. Nghiᝇm khĂ´ng tháťƒ nháş­n Ä‘ưᝣc tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt cho dĂš C lẼy bẼt káťł giĂĄ tráť‹ nĂ o Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ

m

nghiᝇm kᝳ dᝋ.

e.

co

VĂ­ d᝼ 10.2.3. XĂŠt phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y ,  1  y 2 . Ta Ä‘ưᝣc

 dx ďƒž arcsin y  x  C ďƒž y  sin  x  C  .

gl

dy

oo

1  y2

.g

Ä?Ăł lĂ nghiᝇm táť•ng quĂĄt. NgoĂ i ra, ta thẼy y = 1 vĂ y = –1 cĹŠng lĂ nghiᝇm, nhĆ°ng

us

chĂşng khĂ´ng Ä‘ưᝣc nháş­n tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt, Ä‘Ăł lĂ cĂĄc nghiᝇm káťł dáť‹.

10.2.2 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cᝧa háť? Ä‘Ć°áť?ng cong

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

đó chính là y = C0x v᝛i C0 

Ta thẼy nghiᝇm cᝧa máť™t phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp máť™t ph᝼ thuáť™c vĂ o máť™t háşąng sáť‘ bẼt káťł C, tᝊc lĂ cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong tĂ­ch phân tấo thĂ nh máť™t háť? Ä‘Ć°áť?ng cong ph᝼ thuáť™c vĂ o máť™t tham sáť‘ C.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

trong lân cáş­n cᝧa Ä‘iáťƒm (x0,y0), cho nĂŞn bĂ i toĂĄn Cauchy cĂł nghiᝇm duy nhẼt, nghiᝇm

170

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

Ta Ä‘ạt vẼn Ä‘áť ngưᝣc lấi. Cho trĆ°áť›c máť™t háť? cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong ph᝼ thuáť™c tham sáť‘ C, hĂŁy tĂŹm phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân sao cho cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng cong cᝧa háť? Ä‘ĂŁ cho lĂ Ä‘Ć°áť?ng cong tĂ­ch phân cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân Ä‘Ăł. PhĆ°ĆĄng phĂĄp chung Ä‘áťƒ giải bĂ i toĂĄn Ä‘Ăł nhĆ° sau. Giả sáť­ háť? Ä‘Ć°áť?ng cong cĂł phĆ°ĆĄng trĂŹnh

Q

Tᝍ Ä‘ây, kháť­ C ta Ä‘ưᝣc máť™t phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân mĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh F ( x, y, C )  0 lĂ

Kè

m

Ä‘Ć°áť?ng cong tĂ­ch phân cᝧa nĂł.

LẼy Ä‘ấo hĂ m y’ = 3Cx2, tᝍ giả thiáşżt ta suy ra C 

/+ D

ďƒŠ

ấy

VĂ­ d᝼ 10.2.4. TĂŹm phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cᝧa háť? Ä‘Ć°áť?ng cong y=Cx3.

ďƒŚ y ďƒś y y , ďƒž y  3ďƒ§ 3 ďƒˇ. x 2  3 . 3 x x ďƒ¨x ďƒ¸

m

Váş­y ta Ä‘ưᝣc phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân xy’ – 3y = 0.ďƒť

ďƒŠ

co

VĂ­ d᝼ 10.2.5. Láş­p phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cᝧa háť? cĂĄc Ä‘Ć°áť?ng ellipse cĂł tr᝼c láť›n báşąng 2a. Trong hᝇ tr᝼c táť?a Ä‘áť™ vuĂ´ng gĂłc, ta lẼy sao cho tr᝼c láť›n náşąm trĂŞn tr᝼c hoĂ nh vĂ

oo

gl

e.

ellipse cắt tr᝼c hoĂ nh tấi (–a,0) vĂ (a,0). Khi Ẽy phĆ°ĆĄng trĂŹnh ellipse cĂł dấng

x2 y2  1 a2 c2

us

.g

váť›i c - háşąng sáť‘ bẼt káťł vĂ 0 < đ?‘? ≤ đ?‘Ž. LẼy Ä‘ấo hĂ m cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh trĂŞn theo x ta Ä‘ưᝣc

2x 2 yy ,   0. a2 c2

Kh᝭ ctᝍ hai phưƥng trÏnh trên, ta có





ďƒŚ xy x2 ďƒś ,  1  y  0 , biáşżn Ä‘áť•i tĆ°ĆĄng Ä‘Ć°ĆĄng, ta ďƒ§ 2 ďƒˇ a2 a ďƒ¨ ďƒ¸

thu Ä‘ưᝣc phĆ°ĆĄng trĂŹnh a 2  x 2 y ,  xy  0 .ďƒť

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

uy

N

F F ,  y  0. x y

hĆĄ

LẼy Ä‘ấo hĂ m phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y theo x (C lĂ háşąng sáť‘) ta Ä‘ưᝣc

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

F ( x, y, C )  0.

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

171

10.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CÓ BIẾN PHÂN LY Phương trình vi phân cấp một gọi là có biến phân ly nếu nó có dạng f ( x )dx  g( y )dy  0 .

N

1 1 Lấy tích phân phương trình ta được ln 1  x 2  ln 1  y 2  C1, và đưa được về 2 2



ạy

Kè

dạng 1  x 2 1  y 2  C (hằng C tùy ý).

Q

m

x y dx  dy  0 . 2 1 x 1  y2

uy

Ví dụ 10.3.1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

Lưu ý 10.3.1. Phương trình dạng

/+ D

f 1 (x )g 1 ( y )dx  f 2 (x )g 2 ( y )dy  0

m

có thể đưa về dạng phương trình có biến phân li theo cách như sau. Nếu g1(y) = 0 tại b (tức g1(b) = 0) thì y = b là nghiệm.

-

Nếu f2(x) = 0 tại a thì x = a là nghiệm.

-

Các nghiệm khác tìm được bằng cách chia hai vế cho g1(y)f2(x) rồi lấy tích phân

f1 ( x )

g2 ( y )

 f ( x ) dx   g (y) dy  C. 2

1

us

.g

oo

gl

e.

co

-

Ví dụ 10.3.2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y  xy( y  2) . 

Từ phương trình đã cho, ta viết lại được ở dạng dy  xy ( y  2) dx . Và nhận xét rằng

y(y + 2) = 0 khi y = 0 hay y = –2, nên y = 0 và y = –2 là nghiệm của phương trình đã cho. Các nghiệm khác tìm bằng cách chia hai vế cho y(y + 2) rồi lấy tích phân

dy

 y ( y  2)   xdx

0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n hơ

 f ( x )dx   g( y)dy  C.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Bằng cách lấy tích phân phương trình này, ta được nghiệm tổng quát

172

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

ta Ä‘ưᝣc ln

y y  Cx 2 , (C  0).  x 2  ln C , nói cåch khåc y2 y2

,





LĆ°u Ă˝ 10.3.2. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh y  f ax  by  c cĂł tháťƒ Ä‘Ć°a váť biáşżn phân ly báşąng cĂĄch Ä‘áť•i biáşżn z  ax  by  c .

,





Ä?ạt z  x  y  1 , khi Ä‘Ăł z’ = 1 – y’, viáşżt lấi phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho theo biáşżn z, ta

hĆĄ

Ä‘ưᝣc 1 – z’ = cos z, hayz’ = 1 – cos z, nĂłi cĂĄch khĂĄc dz  (1  cos z) dx .

N

Nháş­n xĂŠt ráşąng 1 – cosz = 0 khi z = 2kď °, k ďƒŽ z nĂŞn z = 2kď ° lĂ cĂĄc nghiᝇm.

uy

Tiáşżp theo, Ä‘Ć°a phĆ°ĆĄng trĂŹnh dz  (1  cos z) dx váť dấng tĂĄch biáşżn vĂ tĂ­ch phân

dz

Kè

ďƒ˛ 1  cos z  ďƒ˛ dx

m

Q

phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y

ấy

z  x  C , hay z  2 arccot(C  x )  2nď ° . Thay tráť&#x; lấi biáşżn ban Ä‘ầu, ta Ä‘ưᝣc 2

/+ D

ta Ä‘ưᝣc  cot

x  y  1  2arc cot(C  x )  2nď ° .

co

m

TĂłm lấi, nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 1 + 2đ?‘˜đ?œ‹, đ?‘˜ ∈ ℤ;

gl

e.

đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 1 − 2 arccot(đ??ś − đ?‘Ľ) + 2đ?‘›đ?œ‹, đ?‘› ∈ ℤ.ďƒť

oo

10.4 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N Ä?ẲNG CẤP

us

.g

HĂ m đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) Ä‘ưᝣc gáť?i Ä‘áşłng cẼp báş­c k náşżu váť›i máť?i ď Ź> 0, ta cĂł

F  ď Ź x , ď Ź y   ď Ź k F ( x , y ).

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

ďƒŠ

PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y '  f (x , y )

Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân Ä‘áşłng cẼp náşżu hĂ m sáť‘ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ hĂ m sáť‘ Ä‘áşłng cẼp báş­c 0.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

VĂ­ d᝼ 10.3.3. TĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh y  cos x  y  1 .

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

173

PhĆ°ĆĄng trĂŹnh P (x , y ) dx  Q (x , y ) dy  0 sáş˝ lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘áşłng cẼp náşżu cĂĄc hĂ m sáť‘ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś), đ?‘„(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ Ä‘áşłng cẼp cĂšng báş­c. Mᝇnh Ä‘áť 10.4.1. Náşżu hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ Ä‘áşłng cẼp báş­c 0 thĂŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) lĂ hĂ m sáť‘ cᝧa máť™t biáşżn

n hĆĄ

y ďƒž f ( x, y)  f ( x, ux )  x 0 f (1, u)  f (1, u) (áť&#x; Ä‘ây x Ä‘Ăłng vai trò tham sáť‘ ď Ź cᝧa x

N

Ä?ạt u 

uy

ďƒŠ

m

y , Ä‘Ć°a phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť phĆ°ĆĄng trĂŹnh x

Kè

Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘áşłng cẼp, Ä‘áť•i biáşżn u 

Q

Ä‘áť‹nh nghÄŠa hĂ m Ä‘áşłng cẼp).ďƒť

ấy

có biến phân ly.

/+ D

ďƒŚyďƒś y Tháş­t váş­y, vĂŹ y  ď Ş ďƒ§ ďƒˇ váť›i u  ta suy ra đ?‘Śâ€™ = đ?‘˘ + đ?‘Ľđ?‘˘â€™, đ?‘˘ + đ?‘Ľđ?‘˘â€™ = đ?œ‘(đ?‘˘) vĂ nhĆ° váş­y x ďƒ¨xďƒ¸

du dx  x ď Ş (u)  u

e.

co

m

đ?‘Ľđ?‘˘â€˛ = đ?œ‘(đ?‘˘)– đ?‘˘, nĂłi cĂĄch khĂĄc ta Ä‘Ć°a phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť dấng

gl

là phưƥng trÏnh có biến phân ly.

oo

Tᝍ nhᝯng Ä‘iáť u trĂŞn, ta Ä‘i Ä‘áşżn giả thiáşżt ď Ş (u)  u ď‚š 0 . Náşżu ď Ş (u0 )  u0  0 thĂŹ rĂľ rĂ ng y

us

.g

ďƒŚyďƒś y , y = u0x lĂ máť™t nghiᝇm. Náşżu ď Ş (u) ď‚ş u thĂŹ ď Ş ďƒ§ ďƒˇ ď‚ş , tᝊc lĂ y  . x ďƒ¨xďƒ¸ x VĂ­ d᝼ 10.4.1. TĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh y , 

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

ďƒŚyďƒś f ( x, y)  ď Ş ďƒ§ ďƒˇ . ďƒ¨xďƒ¸

x 2  xy  y 2 . xy

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

y , tᝊc lĂ hĂ m đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng x

174 ďƒŠ

Ä?ạt

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

u

y , phĆ°ĆĄng trĂŹnh viáşżt lấi Ä‘ưᝣc thĂ nh (1  u)dx  xudu  0 , vĂ Ä‘Ć°a Ä‘ưᝣc váť x

dấng tåch biến

dx udu   0 , tĂ­ch phân hai váşż ta Ä‘ưᝣc x (u  1)eu  C , thay tráť&#x; lấi biáşżn x u 1

hƥ 1  u2 , viết cåch khåc

Kè

lĂ

x du uu dx x

Q

Ä?ạt đ?‘Ś = đ?‘˘đ?‘Ľ, thay vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh ta Ä‘ưᝣc x

m

ďƒŠ

dy y  x 2  y 2  . dx x

uy

VĂ­ d᝼ 10.4.2. TĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh

N

phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho.ďƒť

ấy

co

m

ďƒŹ1, x  0 ďƒŽď€­1, x  0.

trong Ä‘Ăł sign ( x )  ďƒ­

du  sign ( x ) 1  u2 , dx

/+ D

x

oo

gl

e.

Ta tiáşżp t᝼c Ä‘Ć°a Ä‘ưᝣc váť dấng phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł biáşżn phân li

du 1  u2

 sign( x )

dx . x

us

.g

LẼy tĂ­ch phân, ta Ä‘ưᝣc arcsin u  sign( x ) ln x  C , tᝊc lĂ arcsin

y  sign( x ) ln x  C. x

NgoĂ i ra, phĆ°ĆĄng trĂŹnh còn cĂł cĂĄc nghiᝇm u  ď‚ą 1 tᝊc lĂ y  ď‚ą x lĂ nghiᝇm cᝧa

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

NgoĂ i ra, ta cĂł nháş­n xĂŠt ráşąng uď‚ş1 cĹŠng lĂ nghiᝇm, tᝊc lĂ y = x lĂ nghiᝇm cᝧa

phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho.ďƒť

,

ďƒŚ a1x  b1 y  c1 ďƒś ďƒˇ cĂł tháťƒ Ä‘Ć°a váť phĆ°ĆĄng trĂŹnh   a x b y c ďƒ¨ 2 2 2 ďƒ¸

LĆ°u Ă˝ 10.4.1. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh dấng y  f ďƒ§ Ä‘áşłng cẼp theo cĂĄch sau.

1- Hai Ä‘Ć°áť?ng tháşłng a1 x  b1 y  c1  0, a2 x  b2 y  c 2  0 cắt nhau tấi máť™t Ä‘iáťƒm (x0,y0). NĂłi cĂĄch khĂĄc, hᝇ

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

y ďƒŚy ďƒś y ban Ä‘ầu ta x ďƒ§  1ďƒˇ e x  C hay ( y  x )e x  C . ďƒ¨x ďƒ¸

175

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

 a1x  b1 y  c1  0   a2 x  b2 y  c 2  0 có một nghiệm duy nhất (x0,y0). Khi ấy đặt x  u  x0 , y  v  y0 . Vì y’x = v’u, khi đó

hơ

z  a1

, phương trình đã cho đưa về dạng

   z c  1 f    z c   2   

ạy

b1

z

uy

b2

  . Đặt z  a1 x  b1 y  a2 x  b2 y 

Q

b1

m

a2

Kè

a1

N

2- Hai đường thẳng trên không cắt nhau, khi ấy chúng song song nhau và

/+ D

là phương trình có biến phân ly.

2x  4 y  6 x  y 3

co

y , 

e.

m

Ví dụ 10.4.3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 2 x  4 y  6 dx  x  y  3 dy  0 .

oo

gl

2 x  4 y  6  0 Giải hệ  ta được nghiệm x0  1, y0  2 . x  y  3  0

us

.g

Đặt x  1  u, y  2  v , khi đó phương trình được viết lại 2u  4v du  u  v dv  0 là phương trình đẳng cấp. Đặt z 

v , v  uz , dv  udz  zdu ta được u

 2  3z  z  du  u 1  z dz  0. 2

Và đưa về dạng phương trình có biến phân li

được

u  z  2

 z  1

2

3

C.

1 z du   0 , lấy tích phân ta u 2  3z  z 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

  a u  b1v  f  1   a2u  b2v   

là phương trình vi phân đẳng cấp.

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

 a1 u  x o   b1 v  y o   c1 v , f   a2 u  x o   b2 v  y o   c 2 

176

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ngoài ra vì 2  3z  z 2  0 tại z = 1 và z = 2 nên phương trình còn có thêm hai nghiệm z 1 và z 2. Tóm lại, ta đưa nghiệm về biến x, y  C u  v    y  2x   C  y  x  1 . 2

2

y  x  1 và y = 2x (chú ý rằng nghiệm

hơ

y=2x nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho C=0).

uy

x  y  2  0 vô nghiệm.  2 x  2 y  1  0

Q

Hệ

m

N

Ví dụ 10.4.4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình  x  y  2 dx   2 x  2 y  1 dy  0 .

Kè

Đặt x  y  t, dy  dt  dx  (t  2) dx  (2t  1)(dt  dx )  0 , rút gọn ta được

ạy

(3  t) dx  (2t  1) dt  0 , đưa về dạng phương trình có biến phân li rồi lấy tích phân ta

/+ D

được 2t  5ln t  3  x  C , tức là x  2 y  5ln x  y  3  C.

m

Ngoài ra, phương trình còn có nghiệm t=3, tức là x+y=3.

co

10.5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

e.

Phương trình vi phân có dạng

oo

gl

P( x, y) dx  Q( x, y) dy  0 (*)

du( x, y)  P( x, y) dx  Q( x, y) dy.

us

.g

được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm u(x,y) sao cho

Ta biết điều kiện để là vi phân toàn phần được biểu diễn ở dạng sau

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Với các nghiệm z = 1 và z = 2 ta có

3

Q  x , y  x

trong một miền nào đó của mặt phẳng xy.

P (x , y ) y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

n

v  2u 

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

177

Giải phương trình vi phân toàn phần Có nhiều cách để giải phương trình loại này, vì giới hạn của môn học, ta giới thiệu cách sau đây. Nếu biết hàm U(x,y) thì nghiệm của (*) là U(x,y) = C.

m

Q

U (x , y )   P (x , y ) dx   (x , y )  C ( y )

Kè

ở đây C(y) là hằng số đối với biến x và là một hàm bất kỳ (khả vi) theo y, hàm (x,y)

U  Q  x, y  ta có y

/+ D

ý đến

ạy

là nguyên hàm của P(x,y). Tiếp theo, lấy đạo hàm của hàm U(x,y) này theo y và chú

m

  x, y 

dC( y)  Q( x, y). dy

co

y

e.

Từ đây, giải ta tìm được C(y).

2

 2 xy  2 x dx  6 xy  x 2  3 dy  0 .

Đó là phương trình vi phân toàn phần, vì

us

 3y

.g

oo

gl

Ví dụ 10.5.1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

  3 y 2  2 xy  2 x   6 y  2 x   6 xy  x 2  3 .  y x

Để tìm U(x,y), trước hết, lấy tích phân

U  x , y  y

 6xy  x 2  3 theo y, ta được

U ( x , y )  3 xy 2  x 2 y  3y  g( x ) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

hơ N

U  P( x, y) theo x ta được x

uy

Lấy tích phân của

n

U U  P( x, y);  Q  x, y  . x y

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Để tìm U(x,y), ta lưu ý rằng

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

U  x , y 

Ä?ấo hĂ m phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y theo x, chĂş Ă˝ Ä‘áşżn

3y 2  2 xy 

 3 y 2  2xy  2x , ta Ä‘ưᝣc

dg ( x )  3y 2  2 xy  2 x . dx

uy

10.6 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TUYáşžN TĂ?NH CẤP 1

m

Q

Phưƥng trÏnh vi phân tuyến tính là phưƥng trÏnh vi phân có dấng

y  p( x ) y  f ( x ).

Kè

(L)

ấy

Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) ≥ 0 thĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh (L) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt. Náşżu đ?‘“(đ?‘Ľ) ≠0 thĂŹ (L) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng thuần nhẼt. Sau Ä‘ây, sáş˝ trĂŹnh bĂ y máť™t sáť‘

/+ D

phưƥng phåp giải phưƥng trÏnh vi phân tuyến tính nà y.

co

m

10.6.1 PhĆ°ĆĄng phĂĄp biáşżn thiĂŞn háşąng sáť‘ (phĆ°ĆĄng phĂĄp Lagrange)

y   p (x ) y  0

(H)

gl

e.

TrĆ°áť›c háşżt xĂŠt phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt tĆ°ĆĄng ᝊng cᝧa (L)

 p( x )dx y  Ce ďƒ˛ .

us

.g

oo

Nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa (H) cĂł dấng

Tiáşżp theo, nghiᝇm cᝧa (L) Ä‘ưᝣc tĂŹm áť&#x; dấng  p( x )dx . y  ď Ş ( x )e ďƒ˛

Tháşż nghiᝇm nĂ y vĂ o (L) Ä‘áťƒ tĂŹm ď Ş(x) ta Ä‘ưᝣc

ď Ş '( x )  f ( x )eďƒ˛

p( x )dx

.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

3 xy 2  yx 2  3y  x 2  C . ďƒť

N

Váş­y nghiᝇm táť•ng quĂĄt cĂł dấng

n

dg ( x )  2 x ďƒž g( x )  x 2  C . NhĆ° váş­y, U ( x , y )  3 xy 2  yx 2  3y  x 2 . dx

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Suy ra

ď‚śx

hĆĄ

178

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

179

Từ đó ta có

 ( x )  C   f ( x )e

p( x )dx

dx

với C là hằng số bất kỳ. Nghiệm của (L) khi đó là p( x )dx

dx  . 

hơ

Xét phương trình thuần nhất

N

m

Q

phương trình này có nghiệm y  C e sin x .

uy

y   y cos x  0 ,

Kè

Tiếp theo, ta tìm nghiệm phương trình không thuần nhất đã cho ở dạng

ạy

y   ( x) e sin x

/+ D

Lấy đạo hàm rồi thế vào phương trình đã cho ta được

m

 '( x)e sin x  cos xe sin x  ( x)   ( x)e sin x cos x  e sin x

co

Từ đó, ta tính được   '  1   ( x )  x  C , vậy nghiệm tổng quát của phương trình

e.

đã cho là y  ( x  C) e sin x .

oo

gl

10.6.2 Phương pháp thừa số tích phân

us

.g

 Nhân cả hai vế của (L) với e

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Ví dụ 10.6.1. Giải phương trình y  y cos x  e sin x .

y ,e

p( x )dx

p ( x )dx

ta được

 p( x)ye

Phương trình được viết lại ở dạng

p( x )dx

 f ( x)e

.

d   p( x )dx   p( x )dx  ye   f (x) e .  dx 

Lấy tích phân cả hai vế ta được

y e

p( x )dx

p( x )dx

 C   f ( x ) e

p( x )dx

dx

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 f ( x)e

n

 p( x )dx  y  e  C 

180

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

 p( x )dx  p( x )dx Như vậy, nghiệm của (L) có dạng y  e  C   f ( x ) e dx  .  

, Ví dụ 10.6.2. Giải phương trình y  ytgx  Nhân hai vế với e 

tan xdx

1 sin x 1 1 y , y  ta được . Viết phương trình cos x cos x cos2 x cos2 x

n hơ uy

y  C  tan x , nghiệm của phương trình đã cho là cos x

Q

Lấy tích phân hai vế ta được

,

Ví dụ 10.6.3. Giải phương trình y ( x  y 2 )  y.

Kè

m

y  C cos x  sin x. 

Nhận xét rằng phương trình đã cho không phải tuyến tính nhưng có thể xem x là

ạy

N

d  1  1 . y  dx  cos x  cos2 x

/+ D

hàm số, y là đối số. Khi đó, ta viết được ở dạng

e.

dx x   y , đây là một phương trình tuyến tính theo hàm x, và dễ dàng dy y

gl

cách khác là

co

m

dx x y2  dy y

oo

giải được nghiệm của phương trình này là x  Cy  y 2 .

us

.g

10.7 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Phương trình Bernoulli là phương trình vi phân có dạng

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

trên ở dạng

dy  p( x )y  f ( x )y n dx

(B)

trong đón là số thực. Với n = 0 hay n = 1 ta được phương trình tuyến tính.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 . cos x

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

181

PhĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y Ä‘ưᝣc giải báşąng cĂĄch Ä‘Ć°a váť dấng phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂ­nh. Khi đ?‘› ≠0 vĂ đ?‘› ≠1, Ä‘ạt đ?‘¤ = đ?‘Ś 1−đ?‘› , thay vĂ o (B) ta Ä‘ưᝣc

dw  1  n  p (x )w  (1  n )f (x ) dx

n hĆĄ

, 1 Ä?ạt w  y 1 , thay vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh ta Ä‘ưᝣc w  w   x lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂ­nh x

w   x 2  Cx , nói cåch khåc, phưƥng trÏnh đã cho có nghiᝇm

Q

cĂł nghiᝇm lĂ

uy

N

ďƒŠ

1 .  x  Cx

y

Taviáşżt lấi phĆ°ĆĄng trĂŹnh áť&#x; dấng

/+ D

ďƒŠ

dy 3 dy x sin y  2 y  x . dx dx

ấy

Ví d᝼ 10.7.2. Giải phưƥng trÏnh

Kè

m

2

dx  x   x 3 sin y dy

co

m

2y

gl

ta Ä‘ưᝣc phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂ­nh

C  cos y ďƒž y  C  cos y  x 2 . y

us

.g

w 

1 x2

oo

Ä?ạt w 

e.

là phưƥng trÏnh Bernoulli v᝛i hà m x, biến y.

Chú ý rẹng y 0 cŊng là nghiᝇm.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

, 1 VĂ­ d᝼ 10.7.1. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh y  y  xy 2 . x

y

dw  w  sin y dy

có nghiᝇm

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂ­nh.

182

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TÓM TẮT Trong bài này, học viên làm quen với cách giải một số dạng phương trình vi phân cấp 1. Cụ thể như sau :

n hơ N

3. Dạng vi phân toàn phần (xem phần 10.5).

uy

4. Dạng tuyến tính cấp 1 (xem phần 10.6).

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

ạy

Kè

m

Q

5. Dạng Bernoulli (xem phần 10.7).

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

2. Dạng đẳng cấp (xem phần 10.4).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1. Dạng tách biến (xem phần 10.3).

BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

183

BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình vi phân dạng tách biến sau.

2

2

hơ

1  y  xdx  1  y  dy

n

3y  2 , .y x 1 0

,

Q

uy

d) y (x  y )  1

Kè

m

e) 1  e 2 x y 2dy  e x dx thỏa y (0)  0

ạy

  , f) y tgx  y thỏa y    1 2

/+ D

Bài 2. Giải các phương trình vi phân dạng đẳng cấp sau.

y y  1 x x

co

e

e.

,

gl

b) y

m

y , a) xy  x sin  y x

xy  x dy  ydx  0 thỏa y (1)  1

.g

us

d)

oo

y , y 0 c) xy  xtg x

y , e) xy  y ln thỏa y (1)  1 x

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

c)

x 2  4x  13

N

4 y2

b)

Bài 3. Giải các phương trình vi phân dạng tuyến tính cấp 1 sau: a) 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑒 𝑏𝑥 (𝑎 + 𝑏 ≠ 0); b) 𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = 1 − 2𝑥 2 ; c) 𝑥(1 + 𝑥 2 )𝑦 ′ + 𝑦 = arctan 𝑥.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a) tgydx  x ln xdy  0

184

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

BĂ i 4. Giải cĂĄc phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân dấng Bernoulli: a) đ?‘Ś ′ +

đ?‘Ľđ?‘Ś 1−đ?‘Ľ 2

= đ?‘Ľ √đ?‘Ś ;

b) đ?‘Ľđ?‘Ś ′ − đ?‘Ś(2đ?‘Ś ln đ?‘Ľ − 1) = 0; đ?‘Ś

c) � ′ + � = � 2 � 4 ;

n hĆĄ uy

N

a) (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś )đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0;

Q

b) (đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘Ś + sin đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘’ đ?‘Ś + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ cos đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0;

us

.g

oo

gl

e.

co

m

/+ D

ấy

Kè

m

c) (2đ?‘Ś + đ?‘Ľđ?‘Ś 3 )đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 )đ?‘‘đ?‘Ś = 0, (đ?‘Ľ > 0).

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Bà i 5. Giải cåc phưƥng trÏnh vi phân dấng toà n phần:

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

đ?œ‹

d) 3đ?‘‘đ?‘Ś + (1 + 3đ?‘Ś 3 )đ?‘Ś sin đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 0 tháť?a đ?‘Ś ( 2 ) = 1.

BĂ€I 10: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

185

CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM

B. arctan y  arcsin x  C

C. arctan x  arcsin y  C

D. arctan x  ln y  1  y 2  C

N

hĆĄ

n

A. arctan x  arcsin y  C

uy

Câu 2. Nghiᝇm riĂŞng cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân (1  e x ) yy  e x tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn ban Ä‘ầu

2

 e (1  e x ) 2

B. 2e y  e(1  e x ) 2

 e (1  e x )

y D. e

2

2

 e (2  e x )

ấy

C. 2e y

2

m

2

Kè

A. e y

Q

đ?‘Ś(0) = −1 lĂ :

y2  1) x  3 x2

m

y B. (  1) x  3 x

co

A. (

/+ D

dy x 2  y 2  ; y (1)  2 . Câu 3. TĂŹm nghiᝇm riĂŞng cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân: dx 2 xy y C. (  1) x  3 x

D. (

y2  1) x  3 x2

oo

gl

e.

Câu 4. TĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tòan phần

e

y

 1 dx   xe y  1 dy  0. B. x  y  xe y  C

C. xy  xe y  C

D. Ä?ĂĄp ĂĄn khĂĄc.

us

.g

A. x  y  xe y  C

Câu 5. Theo phĆ°ĆĄng phĂĄp biáşżn thiĂŞn háşąng sáť‘ Lagrange, nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân đ?‘Ś ′ − đ?‘Ś cot đ?‘Ľ = sin đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ľ cĂł dấng: đ??ś(đ?‘Ľ)

A. đ?‘Ś = đ??ś(đ?‘Ľ) sin đ?‘Ľ ;

B. đ?‘Ś = sin đ?‘Ľ ;

C. đ?‘Ś = đ??ś(đ?‘Ľ) + sin đ?‘Ľ ;

D. đ?‘Ś = đ??ś(đ?‘Ľ) + sin đ?‘Ľ.

2 Câu 6. TĂŹm nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y 'cos x  y  0 , váť›i Ä‘iáť u kiᝇn y(0)= 1.

A.

y  e  tan x ;

B.

y  ecot x ;

C. đ?‘Ś = 0;

D.

y  e  tan x  1

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

dx dy   0. 2 1 x 1  y2

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Câu 1. TĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân

186

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N

Biáşżt cĂĄch giải PTVP cẼp 2 dấng giảm cẼp Ä‘ưᝣc.

-

Biáşżt cĂĄch giải PTVP tuyáşżn tĂ­nh cẼp 2 hᝇ sáť‘ háşąng.

-

Biáşżt cĂĄch giải PTVP tuyáşżn tĂ­nh cẼp cao hᝇ sáť‘ háşąng.

Kè

m

Q

uy

-

ấy

11.1 KHà I NIᝆM CHUNG

/+ D

PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp hai táť•ng quĂĄt cĂł dấng

(1)

m

, ,, F ( x , y, y , y )  0

co

Náşżu giải Ä‘ưᝣc theo y’’ thĂŹ cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng

y ''  f ( x , y, y ')

e.

(2)

,

,

oo

2 2 Ä?ạt y   z ďƒž z  2x  1 ďƒž z  x  x  c1 ; tᝊc lĂ y  x  x  c1 .

.g

ďƒŠ

gl

VĂ­ d᝼ 11.1.1. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân đ?‘Śâ€™â€™ = 2đ?‘Ľ + 1.

us

Váş­y nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho lĂ y 

x3 x2   c1 x  c 2 , (c1, c2ďƒŽâ„?). ďƒť 3 2

Ta thẼy phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp hai cĂł nghiᝇm ph᝼ thuáť™c vĂ o hai háşąng sáť‘, nĂŞn Ä‘áťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh máť™t nghiᝇm c᝼ tháťƒ (nghiᝇm riĂŞng) cần cĂł hai Ä‘iáť u kiᝇn nĂ o Ä‘Ăł. NgĆ°áť?i ta thĆ°áť?ng xĂŠt bĂ i toĂĄn Cauchy (bĂ i toĂĄn Ä‘ầu). BĂ i toĂĄn Cauchy lĂ bĂ i toĂĄn tĂŹm nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp hai tháť?a mĂŁn Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu

y ( x 0 )  y0 ,

y '( x0 )  y '0

(3)

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ N

Háť?c xong bĂ i nĂ y ngĆ°áť?i háť?c cần nắm Ä‘ưᝣc cĂĄc náť™i dung sau.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

CẤP 2

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

187

váť›i x0, y0, y’0 lĂ nhᝯng sáť‘ cho trĆ°áť›c. Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.1.1 (Táť“n tấi vĂ duy nhẼt nghiᝇm). Náşżu hĂ m sáť‘ f(x,y,y’) vĂ cĂĄc Ä‘ấo hĂ m riĂŞng

ď‚śf ď‚śf 3 , liĂŞn t᝼c trong miáť n máť&#x; D ďƒŒ R thĂŹ váť›i máť?i Ä‘iáťƒm ( x0 , y0 , y '0 ) ďƒŽ D , ď‚śy ď‚śy '

táť“n tấi duy nhẼt máť™t nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh (2) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong máť™t lân cáş­n cᝧa x 0,

hĆĄ

N

ď‚śF ď‚śF ď‚śF , ,, ,, liĂŞn t᝼c trong miáť n máť&#x; ď‚śy ď‚śy ď‚śy

m

F  x , y , y ' , y ''   0 y 0 0 0 0

Kè

F  x0 , y0 , y '0 , y ''0   0,

Q

D ďƒŒ R 4 . Khi Ẽy váť›i máť?i Ä‘iáťƒm ( x0 , y0 , y '0 , y ''0 ) ďƒŽ D , sao cho

uy

sau:Cho hĂ m F ( x , y, y ', y '') vĂ cĂĄc Ä‘ấo hĂ m

ấy

thĂŹ táť“n tấi duy nhẼt máť™t nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh (1) xĂĄc Ä‘áť‹nh trong lân cáş­n cᝧa x 0,

/+ D

th�a điᝠu kiᝇn (3).

Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.1.2 (nghiᝇm táť•ng quĂĄt). HĂ m sáť‘ y  ď Ś ( x, c1, c2 ) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp hai trong miáť n đ??ˇ ⊂ â„?3 , náşżu váť›i máť?i Ä‘iáťƒm

m



co

( x0 , y0 , y '0 ) ďƒŽ D , táť“n tấi duy nhẼt máť™t cạp sáť‘ c10 , c20 sao cho y  ď Ś x, c10 , c20



là nghiᝇm

e.

cᝧa bĂ i toĂĄn Cauchy váť›i Ä‘iáť u kiᝇn y(x0) = y0, y’(x0) = y’0. VĂ­ d᝼ 11.1.2. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh y’’ + y = 0 cĂł nghiᝇm táť•ng quĂĄt y  c1 cos x  c 2 sin x

oo

gl

trong â„?3.

Tháş­t váş­y, trĆ°áť›c tiĂŞn ta thẼy hĂ m sáť‘ Ä‘Ăł lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť›i máť?i háşąng

us

.g

sáť‘ c1, c2. LẼy (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘Ś0′ ) ∈ â„?3 , Ä‘iáť u kiᝇn (3) cĂł dấng

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ä?áť‘i váť›i phĆ°ĆĄng trĂŹnh (1), Ä‘áť‹nh lĂ˝ táť“n tấi vĂ duy nhẼt nghiᝇm Ä‘ưᝣc phĂĄt biáťƒu nhĆ°

y0  c1 cos x0  c2 sin x0 , y '0   c1 sin x0  c2 cos x0

(4)

xem c1, c2 là Ẋn, hᝇ phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂ­nh cĂł nghiᝇm duy nhẼt vĂŹ Ä‘áť‹nh thᝊc cᝧa hᝇ 0 0 0 0 báşąng 1 ď‚š 0. Váş­y táť“n tấi duy nhẼt máť™t cạp c1 , c2 Ä‘áťƒ y  c1 cos x  c2 cos x lĂ nghiᝇm tháť?a

Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu (4). ďƒť

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

th�a mãn điᝠu kiᝇn (3).

188

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.1.3 (nghiᝇm riĂŞng). Nghiᝇm nháş­n Ä‘ưᝣc tᝍ nghiᝇm táť•ng quĂĄt y  ď Ś (x , c1 , c 2 ) báşąng cĂĄch cho cĂĄc háşąng sáť‘ c1, c2 nhᝯng giĂĄ tráť‹ c᝼ tháťƒ Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ nghiᝇm riĂŞng. Váş­y máť?i nghiᝇm cᝧa bĂ i toĂĄn Cauchy Ä‘áť u lĂ nghiᝇm riĂŞng. NgoĂ i bĂ i toĂĄn Cauchy, nghiᝇm riĂŞng cĂł tháťƒ xĂĄc Ä‘áť‹nh tᝍ cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn biĂŞn, ngĆ°áť?i ta gáť?i lĂ bĂ i toĂĄn biĂŞn. Ä?iáť u

n

m

Q

11.2.1 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa y vĂ y’

uy

N

11.2 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH GIẢM CẤP Ä?ƯᝢC

hĆĄ

nghiᝇm duy nhẼt cho dĂš cĂĄc hĂ m sáť‘ cĂł mạt áť&#x; phĆ°ĆĄng trĂŹnh lĂ rẼt táť‘t.

Kè

LĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng F ( x , y '')  0 .

ấy

, Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y, Ä‘ạt y’ = z ta Ä‘Ć°a váť phĆ°ĆĄng trĂŹnh cẼp máť™t F (x , z )  0 .

z  y ' ďƒž z'  x4, z 

x5 x5 x6  c1 tᝊc lĂ y '   c1 ďƒž y   c1 x  c 2 .ďƒť 5 5 30

m

ďƒŠ

/+ D

VĂ­ d᝼ 11.2.1. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân đ?‘Śâ€˛â€˛ = đ?‘Ľ 4 .

co

11.2.2 Phưƥng trÏnh không chᝊa y

gl

e.

LĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng F ( x , y ', y '')  0 .

oo

Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y ta cĹŠng hấ báş­c báşąng cĂĄch Ä‘ạt y’=z.

.g

x 2 VĂ­ d᝼ 11.2.2. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y '' 2 y '  e y ' .

,

us

x 2 ďƒŠÄ?ạt z = y’, thay vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho ta Ä‘ưᝣc z  2z  e z .

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

LĆ°u Ă˝ ráşąng, khĂĄc váť›i bĂ i toĂĄn Cauchy, bĂ i toĂĄn biĂŞn khĂ´ng phải lĂşc nĂ o cĹŠng cĂł

RĂľ rĂ ng cĂł ngay máť™t nghiᝇm đ?‘§ = 0. NgoĂ i nghiᝇm đ?‘§ = 0, chĂş Ă˝ Ä‘Ăł lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh Bernoulli ta Ä‘Ć°a váť dấng

z2 z ' 2 z1  e x . Ä?ạt đ?‘§ −1 = đ?‘˘, ta Ä‘ưᝣc đ?‘˘â€˛ − 2đ?‘˘ = −đ?‘’ đ?‘Ľ lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂ­nh cẼp 1 cĂł nghiᝇm táť•ng quĂĄt đ?‘˘ = đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘’ 2đ?‘Ľ .

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

kiᝇn biĂŞn Ä‘ưᝣc cho khĂ´ng tấi máť™t Ä‘iáťƒm x0 mĂ tấi hai Ä‘ầu mĂşt cᝧa máť™t Ä‘oấn [đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 ].

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

Như vậy, y ' 

189

1 dx ďƒžy ď€˝ďƒ˛ x  c 2  e x  c1 x  c1 ln 1  c1e x  c2 lĂ nghiᝇm 2x 2x e  c1e e  c1e x

cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho.ďƒť

11.2.3 PhĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng chᝊa đ?’™

hĆĄ



dz dz dy dz   z. . Thay vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh ban Ä‘ầu, ta Ä‘ưᝣc phĆ°ĆĄng trĂŹnh dx dy dx dy

N

,,

uy

Ä‘ưᝣc y

m

Q

ďƒŚ dz ďƒś cẼp máť™t F ďƒ§ y , z , z ďƒˇ  0. dy ďƒ¸ ďƒ¨

Kè

VĂ­ d᝼ 11.2.3. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân đ?‘Śđ?‘Ś ′′ − đ?‘Ś ′2 = 0, đ?‘Ś(0) = 1, đ?‘Ś ′ (0) = 2.

dy

dy

ấy

dz dz ,, , ďƒž yz .  z2  0 , viáşżt lấi Ä‘ưᝣc Ä?ạt z  y ta cĂł y  z .

m

/+ D

dz ďƒŚ dz ďƒś  z  0. z ďƒ§y  z ďƒˇ  0 ďƒž z  0 vĂ y dy ďƒ¨ dy ďƒ¸ Náşżu đ?‘§ = 0 ⇒ đ?‘Ś ′ = 0 ⇒ đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ą (háşąng), khĂ´ng tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu.

-

Nếu z  y

co

-

gl

e.

dz dy dz ďƒž  , z  c1 y hay lĂ y’ = c1y. Cho x = 0 ďƒž y = 1, y’ = 2 (Ä‘iáť u dy y z

oo

kiᝇn Ä‘ầu), váş­y c1 = 2, tᝊc lĂ y’ = 2yďƒžy = c2e2x, tᝍ Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu y(0) = 1 ďƒžc2 = 1.

.g

Váş­y y = e2x. ďƒť

us

11.3 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N TUYáşžN TĂ?NH CẤP 2

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh, Ä‘ạt z = y’ nhĆ°ng xem y lĂ biáşżn vĂ z lĂ hĂ m sáť‘. Khi Ẽy ta

11.3.1 KhĂĄi niᝇm PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tuyáşżn tĂ­nh cẼp hai lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng

y ''  p( x ) y '  q( x ) y  f ( x ), a  x  b

(LF)

CĂĄc hĂ m đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ), đ?‘“(đ?‘Ľ) xĂĄc Ä‘áť‹nh trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?). Ä?áť‹nh lĂ˝ táť“n tấi duy nhẼt nghiᝇm cĂł dấng: náşżu cĂĄc hĂ m sáť‘ đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ), đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

, ,, LĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł dấng F ( x , y , y )  0.

190

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ váť›i máť?i đ?‘Ľ0 ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?) vĂ máť?i giĂĄ tráť‹ đ?‘Ś0 , đ?‘Ś0′ , phĆ°ĆĄng trĂŹnh (LF) cĂł nghiᝇm duy nhẼt tháť?a mĂŁn Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu

y ( x 0 )  y0 ,

y '( x0 )  y '0

(I)

Trong phần nĂ y, ta giả thiáşżt cĂĄc hĂ m sáť‘ đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ) vĂ đ?‘“(đ?‘Ľ) liĂŞn t᝼c trong khoảng

hĆĄ

n

(HF)

N

Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt tĆ°ĆĄng ᝊng váť›i phĆ°ĆĄng trĂŹnh (LF).

Q

L ( y )  y ''  p( x ) y '  q( x )y

uy

KĂ˝ hiᝇu váşż trĂĄi cᝧa (LF) lĂ L(y), tᝊc lĂ

ấy

1- L (ď Ą y )  ď Ą L ( y ), ď Ą háşąng sáť‘

Kè

TĂ­nh tuyáşżn tĂ­nh cᝧa nĂł tháťƒ hiᝇn nhĆ° sau

m

khi Ẽy L lĂ máť™t ĂĄnh xấ tuyáşżn tĂ­nh, nĂł Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ toĂĄn táť­ vi phân tuyáşżn tĂ­nh cẼp hai.

/+ D

2- L ( y 1  y 2 )  L ( y 1  y 2 )

m

CĂĄc tĂ­nh chẼt nĂ y Ä‘ưᝣc kiáťƒm tra máť™t cĂĄch dáť… dĂ ng. Váş­y phĆ°ĆĄng trĂŹnh (LF) vĂ (HF)

L ( y)  f ( x ) L ( y)  0

gl

e.

co

cĂł tháťƒ viáşżt áť&#x; dấng

oo

Tᝍ cĂĄc tĂ­nh chẼt tuyáşżn tĂ­nh ta thẼy, náşżu y 1 (x ), y 2 (x ) lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh

us

.g

thuần nhẼt (HF) thĂŹ C 1 y 1 (x )  C 2 y 2 (x ) cĹŠng lĂ nghiᝇm thuần nhẼt (HF). Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.3.1. CĂĄc hĂ m sáť‘ đ?’šđ?&#x;? (đ?’™), đ?’šđ?&#x;? (đ?’™), ‌ , đ?’šđ?’Ž (đ?’™) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ ph᝼ thuáť™c tuyáşżn tĂ­nh trĂŞn khoảng (đ?’‚, đ?’ƒ), náşżu táť“n tấi cĂĄc sáť‘ ď Ą1 , ď Ą 2 ,..., ď Ą m khĂ´ng Ä‘áť“ng tháť?i báşąng 0, sao cho

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

y ''  p( x ) y '  q( x ) y  0

ď Ą1 y 1 (x )  ď Ą 2 y 2 (x )  ...  ď Ą m y m (x )  0, x ďƒŽ (a, b ) TrĆ°áť?ng hᝣp ngưᝣc lấi, tᝊc lĂ khi hᝇ thᝊc trĂŞn chᝉ Ä‘Ăşng váť›i ď Ą1=ď Ą2=‌ = ď Ąm =0 thĂŹ cĂĄc hĂ m sáť‘ y1( x), y2 ( x ), ..., ym ( x) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

(đ?‘Ž, đ?‘?). PhĆ°ĆĄng trĂŹnh

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

191

VĂ­ d᝼ 11.3.1. CĂĄc hĂ m sáť‘ đ?&#x;?, đ?’™, đ?’™đ?&#x;? Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh trĂŞn khoảng (đ?’‚, đ?’ƒ) bẼt káťł. VĂ­ d᝼ 11.3.2. CĂĄc hĂ m sáť‘ |đ?‘Ľ| vĂ đ?‘Ľ ph᝼ thuáť™c tuyáşżn tĂ­nh trĂŞn (0,+ď‚Ľ) nhĆ°ng Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh trĂŞn (–, ď‚Ľ). Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.3.2. Cho cĂĄc hĂ m sáť‘ y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y m (x ) cĂł Ä‘ấo hĂ m Ä‘áşżn cẼp m–1

uy

Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ Ä‘áť‹nh thᝊc Wronski cᝧa cĂĄc hĂ m y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y m (x ) .

m

Q

Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.1. Náşżu cĂĄc hĂ m sáť‘ y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y m (x ) cĂł Ä‘ấo hĂ m Ä‘áşżn cẼp (m–1) vĂ

 a, b : W ( x)  0, x ďƒŽ (a, b). Giả sáť­  x0 ďƒŽ (a, b) : W ( x0 ) ď‚š 0 vĂ

/+ D

ďƒŠ

ấy

Kè

ph᝼ thuáť™c tuyáşżn tĂ­nh trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ Ä‘áť‹nh thᝊc Wronski cᝧa chĂşng báşąng 0 trĂŞn

m

ď Ą1 y 1 (x )  ď Ą 2 y 2 (x )  ...  ď Ą m y m (x )  0, x ďƒŽ (a, b )

co

LẼy Ä‘ấo hĂ m (m – 1) lần ta Ä‘ưᝣc

e.

ď Ą1y ,1 ( x )  ď Ą 2 y ,2 ( x )  ...  ď Ą m y ,m ( x )  0

oo

gl

...

ď Ą1y1( m1) ( x )  ď Ą 2 y2( m1) ( x )  ...  ď Ą m ym ( m1) ( x )  0

us

.g

CĂĄc Ä‘áşłng thᝊc trĂŞn Ä‘Ăşng váť›i máť?i đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?). Cho đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 ta Ä‘ưᝣc

ďƒŹď Ą1y1 ( x0 )  ď Ą 2 y2 ( x0 )  ...  ď Ą m ym ( x0 )  0 ďƒŻ , , , ďƒŻď Ą1y 1 ( x0 )  ď Ą 2 y 2 ( x0 )  ...  ď Ą m y m ( x0 )  0 ďƒ­ ďƒŻ... ďƒŻď Ą y ( m1) ( x )  ď Ą y ( m1) ( x )  ...  ď Ą y ( m1) ( x )  0 m m 0 2 2 0 0 ďƒŽ 1 1

Xem Ä‘ây nhĆ° máť™t hᝇ phĆ°ĆĄng trĂŹnh váť›i cĂĄc Ẋn ď Ą1 , ď Ą 2 ,..., ď Ą m . Hᝇ Ä‘Ăł cĂł Ä‘áť‹nh thᝊc

W ( x0 ) ď‚š 0 , váş­y nĂł cĂł nghiᝇm tầm thĆ°áť?ng duy nhẼt ď Ą1  ď Ą 2  ...  ď Ą m  0 , tᝊc y 1 , y 2 ,..., y m Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh.ďƒť

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ

n

... y m (x ) , ... y m (x ) ... ... ( m 1) ... y m (x )

N

y 1 (x ) y 2 (x ) , , y 1 (x ) y 2 (x ) W (x )  W ďƒŠďƒŤ y 1 , y 2 ,..., y m ďƒšďƒť  ... ... ( m 1) ( m 1) y 1 (x ) y 2 (x )

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?), khi Ẽy Ä‘áť‹nh thᝊc sau

192

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

VĂ­ d᝼ 11.3.3. CĂĄc hĂ m y 1  e

k 1x

, y 2  e k 2x v᝛i k 1  k 2 là đ᝙c lập tuyến tính trên m�i

khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?), vĂŹ kx

e1

W ďƒŠďƒŤ y1, y2 ďƒšďƒť 

k1e

k1x

e

k2 x

k2e

k2 x

( k1  k2 ) x

 (k2  k1 )e

ď‚š 0.

hĆĄ

Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.2. Cho phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF) cĂł cĂĄc hᝇ sáť‘ p(x), q(x) liĂŞn t᝼c.

N

CĂĄc nghiᝇm y1(x), y2(x) cᝧa nĂł Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh khi vĂ chᝉ khi W[y1,y2]ď‚š0 váť›i máť?i

Náşżu W[y1,y2] ď‚š 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) thĂŹ theo Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.1, cĂĄc hĂ m y1, y2 Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn

Q

ďƒŠ

uy

đ?‘Ľ ∈ (đ?‘Ž, đ?‘?).

m

tĂ­nh.

Kè

Ngưᝣc lấi, cho cĂĄc nghiᝇm y1(x), y2(x) Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?), ta cần chᝊng

ấy

minh W ( x ) ď‚š 0, x ďƒŽ (a, b) . Giả thiáşżt ngưᝣc lấi,  x0 ďƒŽ (a, b): W ( x0 )  0 . Khi Ẽy, hᝇ

m

/+ D

ďƒŹ ďƒŻď Ą y ( x )  ď Ą 2 y2 ( x0 )  0 (*) ďƒ­ 1 1, 0 , ďƒŻ ďƒŽď Ą1y 1 ( x0 )  ď Ą 2 y 2 ( x0 )  0

co

cĂł Ä‘áť‹nh thᝊc W ( x0 )  0 , nĂŞn cĂł nghiᝇm khĂ´ng tầm thĆ°áť?ng ď Ą1 , ď Ą 2 (khĂ´ng Ä‘áť“ng tháť?i

y  ď Ą1 y 1 ( x )  ď Ą 2 y 2 ( x )

oo

gl

e.

báşąng 0). XĂŠt hĂ m sáť‘

cĹŠng lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF), hĆĄn nᝯa, theo (*) thĂŹ nghiᝇm Ä‘Ăł

us

.g

tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu

y( x0 )  0,

, y ( x0 )  0.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

n

(HF), khi Ẽy mᝇnh Ä‘áť Ä‘ảo cᝧa Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.1 cĹŠng Ä‘Ăşng.

NhĆ°ng theo tĂ­nh duy nhẼt nghiᝇm cᝧa bĂ i toĂĄn Cauchy, Ä‘Ăł chĂ­nh lĂ nghiᝇm yď‚ş0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?), váş­y

ď Ą1 y 1 (x )  ď Ą 2 y 2 (x ) ď‚ş 0 trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) tᝊc lĂ y1, y2 ph᝼ thuáť™c tuyáşżn tĂ­nh. Ä?áť‹nh lĂ˝ Ä‘ưᝣc chᝊng minh.ďƒť

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

Bây giáť? ta xĂŠt cĂĄc nghiᝇm phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tuyáşżn tĂ­nh cẼp hai thuần nhẼt

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

193

Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.3. Cho y1(x), y2(x) lĂ cĂĄc nghiᝇm Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF) (váť›i cĂĄc hᝇ sáť‘ p(x), q(x) liĂŞn t᝼c). Khi Ẽy máť?i nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh (HF) cĂł dấng

y  C 1 y 1 ( x )  C 2 y 2 (x ) RĂľ rĂ ng hĂ m sáť‘ cĂł dấng y  C 1 y 1 (x )  C 2 y 2 (x ) lĂ nghiᝇm cᝧa (HF) váť›i máť?i háşąng

n hĆĄ

u '( x0 )  u '0 ,

x0 ďƒŽ (a, b)

uy

u( x0 )  u0 ,

N

Ngưᝣc lấi, giả sáť­ u = u(x) lĂ máť™t nghiᝇm cᝧa (HF) tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn Ä‘ầu

m

Q

0 0 Ta cần chᝊng minh ráşąng, táť“n tấi duy nhẼt cạp háşąng sáť‘ C1 , C2 sao cho

Kè

u  C10 y1( x)  C20 y2 ( x).

ấy

Váť›i x0 , u0 , u '0 ta xĂŠt hᝇ phĆ°ĆĄng trĂŹnh (Ẋn C1, C2)

m

/+ D

ďƒŹC y ( x )  C2 y2 ( x0 )  u0 ďƒŻ (*) ďƒ­ 1 1, 0 , ďƒŻ ďƒŽC1y 1 ( x0 )  C2 y 2 ( x0 )  u '0

y (x ) y (x ) W ( x0 )  1, 0 2 , 0 0 y 1 ( x0 ) y 2 ( x0 )

gl

e.

co

Ä?áť‹nh thᝊc cᝧa hᝇ nĂ y lĂ

cĂł

nghÄŠa

.g

Ä‘Ăł

lĂ

C10 y1( x)  C20 y2 ( x) lĂ

m᝙t

nghiᝇm

tháť?a

Ä‘iáť u

kiᝇn

Ä‘ầu

us

Ä?iáť u

oo

0 0 vĂŹ cĂĄc nghiᝇm y1, y2 Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh. Váş­y hᝇ (*) cĂł máť™t nghiᝇm C1 , C2 duy nhẼt.

u( x0 )  u0 , u '( x0 )  u '0 , x0 ďƒŽ (a, b) , tᝊc lĂ báşąng nghiᝇm u = u(x).ďƒť

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

sáť‘ C1, C2.

Ä?áť‹nh nghÄŠa 11.3.3. Táş­p hai nghiᝇm Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF) Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ hᝇ nghiᝇm cĆĄ bản cᝧa (HF). Váş­y, Ä‘áťƒ tĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa (HF), chᝉ cần tĂŹm hai nghiᝇm Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh (hᝇ nghiᝇm cĆĄ bản), ráť“i lẼy táť• hᝣp tuyáşżn tĂ­nh cᝧa chĂşng. ChĂş Ă˝. áťž Ä‘ây cĂł tháťƒ nảy sinh câu háť?i: Liᝇu phĆ°ĆĄng trĂŹnh (HF) (váť›i cĂĄc hĂ m p(x), q(x) liĂŞn t᝼c) cĂł hay khĂ´ng cĂĄc nghiᝇm Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh, náşżu cĂł thĂŹ bao nhiĂŞu nghiᝇm? Ta thẼy táť“n tấi hai nghiᝇm Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh y1, y2, váť›i cĂĄc Ä‘iáť u kiᝇn sau

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

ďƒŠ

194

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

y1 ( x0 ) 1, y ,1 ( x0 )  0 y ( x )  0, y , ( x )  1 2

0

2

0

VĂŹ W ďƒŤďƒŠ y1 , y2 ďƒšďƒť ( x0 )  1 ď‚š 0 . HĆĄn nᝯa, máť?i nghiᝇm cᝧa (HF) theo Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.3 Ä‘áť u lĂ táť• hᝣp tuyáşżn tĂ­nh cᝧa y1, y2.

n hĆĄ

Dáť… thẼy ráşąng: náşżu y0(x) lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF) vĂ yr(x) lĂ

uy

N

máť™t nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng thuần nhẼt thĂŹ y0 ( x )  yr ( x ) lĂ nghiᝇm cᝧa

Tháş­t váş­y, vĂŹ y0(x) lĂ nghiᝇm cᝧa (HF) nĂŞn

Kè

L ( y0 )  0

m

Q

phưƥng trÏnh không thuần nhẼt (LF).

ấy

vĂ yr(x) lĂ nghiᝇm cᝧa (LF), nĂŞn L ( y r )  f (x ) , nhĆ° váş­y

/+ D

L ( y0  yr )  L ( y0 )  L ( yr )  0  f ( x )  f ( x ).

m

HĆĄn nᝯa, ta cĂł Ä‘áť‹nh lĂ˝ váť nghiᝇm táť•ng quĂĄt sau.

co

Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.4. Cho y 1 (x ), y 2 (x ) lĂ cĂĄc nghiᝇm Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?) cᝧa

e.

phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF) vĂ yr(x) lĂ máť™t nghiᝇm riĂŞng cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng

y  C 1 y 1 (x )  C 2 y 2 (x )  y r (x )

.g

oo

gl

thuần nhẼt (LF). Khi Ẽy máť?i nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh (LF) cĂł dấng

ďƒŠ

us

váť›i cĂĄc háşąng sáť‘ C1, C2 thĂ­ch hᝣp. Giả sáť­ y(x) lĂ máť™t nghiᝇm cᝧa (LF). VĂŹ yr(x) cĹŠng lĂ nghiᝇm cᝧa (LF) nĂŞn dáť… thẼy

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

(HF) váť›i cĂĄc hĂ m p (x ), q (x ), f (x ) liĂŞn t᝼c trĂŞn khoảng (đ?‘Ž, đ?‘?).

hĂ m sáť‘ u (x )  y (x )  y r (x ) lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt (HF). Tháş­t váş­y

L (u)  L ( y  yr )  L ( y )  L ( yr )  f ( x )  f ( x )  0. 0 0 Váş­y theo Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.3.9, táť“n tấi (duy nhẼt) cĂĄc hᝇ sáť‘ C1 , C2 sao cho

u( x)  C10 y1( x)  C20 y2 ( x)

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

XÊt phưƥng trÏnh không thuần nhẼt (LF) có phưƥng trÏnh thuần nhẼt tưƥng ᝊng

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

195

0 0 Vậy y  C1 y1( x)  C2 y2 ( x )  yr ( x ). 

11.3.2 Xây dựng nghiệm thứ hai khi biết một nghiệm Việc tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (HF) là rất

n hơ

y2  y1 ( x ) u( x ).

N

với u (x )  const (khi ấy y1, y2 độc lập tuyến tính).

,

,,

,

uy

Ta có y 2  y '1 u  y1u ', y ''2  y ''1 u  2 y ' u ' y1u '' , thế chúng vào (HF) và chú ý rằng y1 là

,

m

,

Q

nghiệm của (HF) ta được y 1u  (2 y 1  py 1 )u  0 .

,

1   p ( x )dx e y 12

y12 ( x )

dx.

m

 p ( x ) dx e 

co

Vậy u 

/+ D

ạy

z 

Kè

Đặt z = u’ ta được phương trình phân ly y 1 z  (2 y 1  py 1 ) z  0 , giải ra ta được

.g

oo

gl

e.

Tóm lại, nghiệm thứ hai được tính bởi công thức

us

Ví dụ 11.3.4. Phương trình y

y2 ( x )  y1( x ) 

 p( x ) dx e 

y12 ( x )

dx

sin x ,,  2 y ,  y  0 . có một nghiệm y1  x x

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Giả sử ta biết y1(x) là một nghiệm của (HF). Ta tìm nghiệm thứ hai dạng

Khi ấy nghiệm thứ hai tính được

y 2 (x ) 

sin x x



e

2

dx

x

sin x     x 

2

dx 

sin x x

dx

 sin

2

x



cos x x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

quan trọng. Ta trình bày phương pháp tìm nghiệm thứ hai khi biết một nghiệm.

196

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Vậy nghiệm tổng quát có dạng (trên khoảng (0, )) y  C1

sin x cos x  C1 x x

11.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số (Tìm nghiệm riêng

hơ

N

một nghiệm riêng của nó. Sau đây, ta trình bày phương pháp biến thiên hằng số để

uy

tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất khi biết hệ nghiệm cơ bản của

m

Xét phương trình không thuần nhất có dạng như (LF)

Q

phương trình thuần nhất tương ứng.

Kè

y ,,  p( x )y ,  q( x )  f ( x ),

ạy

giả thiết rằng y 1 (x ), y 2 (x ) là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần

/+ D

nhất (HF) tương ứng

m

y ,,  p (x ) y ,  q (x )  0

e.

co

Khi ấy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất này có dạng

y0 ( x )  c1y1 ( x )  c2 y2 ( x )

oo

gl

với các hằng số c1, c2. Ta tìm nghiệm riêng yr ( x ) của phương trình không thuần nhất

us

.g

cũng có dạng như y0 ( x ) nhưng c1, c2 là các hàm số của x:

y r  c1 ( x ) y 1 ( x )  c 2 ( x ) y 2 ( x ) ,

,

,

,

,

Từ đó, tính được các đạo hàm: y r  c1y 1  c2 y 2  c 1 y1  c 2 y2 .

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Như đã xét ở trên, để giải được phương trình không thuần nhất, ta cần biết ít nhất

Để đơn giản hơn trong tính toán, ta yêu cầu các hàm c1 (x ), c 2 (x ) thỏa mãn thêm

,

điều kiện c 1 y 1  c

, y 0 . Khi ấy 2 2 y 'r  c1y '1  c2 y '2 và y ''r  c '1 y '1  c '2 y '2  c1 y ''1  c2 y ''2 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

của phương trình không thuần nhất)

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Thế chúng vào (LF), y

197

,,  p( x )y ,  q( x )y  f ( x ) , ta được r r r

, , , , c1 ( y ,,1  py ,1  qy1 )  c2 ( y ,,2  py ,2  qy2 )  c 1 y 1  c 2 y 2  f ( x ) Vì y1, y2 là nghiệm của phương trình thuần nhất, tức là

, ,  c 2 y 2  f (x ) . Như vậy, c1, c2 có thể tìm được hệ

n

1

uy

N

, , c 1 y 1  c 2 y 2  0  , , , , c 1 y 1  c 2 y 2  f (x )

Q

Tóm lại. Một nghiệm riêng yr của phương trình không thuần nhất

m

y ,,  p (x ) y ,  q (x ) y  f (x )

Kè

có thể tìm được ở dạng yr  c1 ( x )y1 ( x )  c2 ( x )y2 ( x ), trong đó y1, y2 là các nghiệm độc lập

ạy

tuyến tính của phương trình thuần nhất tương ứng. Các hàm c1 (x ), c 2 (x ) thỏa hệ

m

/+ D

c,1 ( x )y1( x )  c ,2 ( x )y2 ( x )  0  , , , , c 1 ( x )y 1 ( x )  c 2 ( x)y 2 ( x)  f ( x).

co

,, , 2x Ví dụ 11.3.5. Tìm nghiệm của phương trình y  4 y  4 y  ( x  1) e . Biết rằng phương

e.

trình thuần nhất tương ứng có hệ nghiệm cơ bản là y1  e2 x , y2  xe2 x .

us

.g

oo

gl

Ta tìm c1 (x ), c 2 (x ) theo hệ phương trình

Ta được c1  

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

,

hơ

,

cho nên c 1 y

, 2x , 2x  c 1 e  c 1 xe  0  , c 1 2e 2 x  c ,2 e 2 x  2xe 2 x  (x  1)e 2 x  

x3 x2 x2  , c2   x. 3 2 2

Vậy một nghiệm riêng của phương trình đã cho là

 x 3 x 2  2x  x 2   x 3 x 2  2x yr     x  xe 2 x    e   e 2  2   3  2   6

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

y ,,1  py ,1  qy 1  0, y ,, 2  py ,2  qy 2  0

198

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

Nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh lĂ

ďƒŚ x6 x2 ďƒś 2x y  c1e2 x  c2 xe2 x  ďƒ§  ďƒˇe . 6 2 ďƒ¨ ďƒ¸

11.3.4 Nguyên lý xếp chᝓng nghiᝇm

hĆĄ uy

Q

,, , y  p( x )y  q( x )y  f1 ( x ), y ,,  p( x )y ,  q( x )y  f2 ( x )

N

Náşżu y1, y2 lần lưᝣt lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh

Kè

m

thĂŹ y 1  y 2 lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh

,,

,

ấy

y ,,  p( x )y ,  q( x )y  f1 ( x )  f2 ( x ).

/+ D

VĂ­ d᝼ 11.3.6. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh y  2 y  2 cos2 x. Biáşżt phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt tĆ°ĆĄng ᝊng cĂł hᝇ nghiᝇm cĆĄ bản lĂ 1 vĂ đ?‘’ 2đ?‘Ľ .

m

Váşż phải cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho cĂł dấng

co

f ( x )  2 cos2 x  1  cos2 x  f1( x )  f2 ( x ).

oo

gl

e.

Nghiᝇm riĂŞng ᝊng váť›i váşż phải f1 ( x)  1  e ox . 1 lĂ

y1  xAe0 x  Ax .

us

.g

0x Nghiᝇm riĂŞng ᝊng váť›i váşż phải f2 ( x)  cos2 x  e (1.cos2 x  0.sin2 x) lĂ

y2  e0 x (B cos2 x  C sin2 x)  B cos2 x  C sin2 x

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

mᝇnh Ä‘áť sau rẼt tiᝇn lᝣi (Ä‘ưᝣc gáť?i lĂ nguyĂŞn lĂ˝ xáşżp cháť“ng).

Theo nguyĂŞn lĂ˝ cháť“ng chẼt nghiᝇm thĂŹ máť™t nghiᝇm riĂŞng cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh

,, , y  2 y  1  cos2 x lĂ

y ( x )  y1( x )  y2 ( x )  Ax  B cos2 x  C sin 2 x

1 1 1 TĂ­nh Ä‘ấo hĂ m ráť“i thay vĂ o phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho ta Ä‘ưᝣc A   , B   , C   . 2 8 8

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

Ä?áťƒ tĂŹm nghiᝇm riĂŞng cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh tuyáşżn tĂ­nh khĂ´ng thuần nhẼt, nhiáť u lĂşc

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

199

Váş­y nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh cần giải lĂ

y  y0  y  c1  c2e2 x 

1 1 x  (cos2 x  sin 2 x ). 2 8

11.4 PHĆŻĆ NG TRĂŒNH TUYáşžN TĂ?NH CẤP CAO

hĆĄ

(LHF)

uy

N

ta cŊng có kết quả hoà n toà n tưƥng t᝹.

Q

Ä?áť‹nh lĂ˝ 11.4.1. Giả sáť­ y1 , y2 ,..., yn lĂ cĂĄc nghiᝇm Ä‘áť™c láş­p tuyáşżn tĂ­nh cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh

m

thuần nhẼt tĆ°ĆĄng ᝊng thĂŹ nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh thuần nhẼt cĂł dấng

Kè

y0  c1y1 ( x )  c2 y2 ( x )  ...  cn yn ( x )

ấy

Náşżu yr(x) lĂ nghiᝇm riĂŞng cᝧa (LHF) thĂŹ nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa (LHF) cĂł dấng

/+ D

y  yr ( x )  c1y1 ( x )  c2 y2 ( x )  ...  cn yn ( x ).

m

Nghiᝇm riĂŞng yr(x) cĂł tháťƒ tĂŹm Ä‘ưᝣc áť&#x; dấng

co

y r (x )  c1 (x ) y 1 (x )  c 2 (x ) y 2 (x )  ...  c n (x ) y n (x )

us

.g

oo

phĆ°ĆĄng trĂŹnh sau

gl

e.

(phưƥng phåp biến thiên hẹng sᝑ), trong đó cåc hà m c1 (x ), c 2 (x ), ..., c n (x ) th�a hᝇ

ďƒŹc,1 y1  c,2 y2  ...  c,n yn  0 ďƒŻ , , , , , , ďƒŻc 1 y 1  c 2 y 2  ...  c n y n  0 ďƒŻ ďƒ­... ďƒŻc, y ( n2)  c, y ( n2)  ...  c, y ( n2)  0 n n 2 2 ďƒŻ 1 1 , , , n  n  ( 1) ( 1) ( n 1) ďƒŻc y ďƒŽ 1 1  c 2 y2  ...  c n yn  f ( x ).

Ví d᝼ 11.4.1. Giải phưƥng trÏnh vi phân y

,,,  3y ,,  2 y , 

lĂ hᝇ nghiᝇm cĆĄ bản. Ta tĂŹm nghiᝇm riĂŞng áť&#x; dấng yr  c1( x)  c2 ( x)e x  c3 ( x )e2 x .

ex 1e

x

x 2x , biáşżt ráşąng 1, e , e

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

n

y(n)  p1( x)y( n1)  ...  pn ( x)y  f ( x),

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

Váť›i phĆ°ĆĄng trĂŹnh cẼp n (cĂĄc hᝇ sáť‘ hĂ m liĂŞn t᝼c trĂŞn (đ?‘Ž, đ?‘?))

200

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Các hàm c1 , c 2 , c 3 thỏa hệ

1 x 1 1 e  1  ln e x  1 , c2   ln e x  1 , c3   ln 1  e  x . 2 2 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

1 x 1 1 e  1  ln e x  1  e x ln e x  1  e2 x ln 1  e  x . 2 2 2

Kè

ạy

y  c1  c2ex  c3e2 x 

uy

Q

m

Từ đó tính được c1 

N

hơ

/+ D

11.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng

m

Xét phương trình thuần nhất có dạng

co

,, , y  py  qy  0

(H)

e.

trong đó p, q là các hằng số.

.g

oo

gl

kx Ta tìm nghiệm của (H) ở dạng y  e . Thế vào (H) ta được

e kx  k 2  pk  q   0

us

kx Vậy hàm y  e là nghiệm của phương trình (H) khi và chỉ khi

k 2  pk  q  0

(C)

Phương trình (C) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (H) (hoặc còn gọi là phương trình phụ trợ của (H)). Có những khả năng sau đây:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

1  ex  , 1 e x , , ,c (x)  . Giải hệ này, ta tìm được c 1 ( x )    ,c (x)   2  1  e x  2 1  e x 3 2 1  e x

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

 c ,1  c ,2 e x  c ,3 e2 x  0  , x , 2x  c 2 e  2c 3 e  0  x  c , e x  4c , e 2 x  e 2 3 1  e x 

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

201

(1)Trường hợp 1: phương trình (C) có hai nghiệm thực phân biệt k1 và k2. Khi ấy phương trình (H) có hai nghiệm y  e

k 1x

, y 2  e k 2 x . Chúng rõ ràng độc lập tuyến

tính (trên (-, )) nên (H) có nghiệm tổng quát

y  c1e k1x  c 2e k 2 x

hơ

Q

e2 kx dx  xekx . 2 kx e

/+ D

ạy

y2  ekx 

p , do đó 2

Kè

Lưu ý rằng, k là nghiệm kép của (C) nên k  

uy

e px dx. e2 kx

m

y  ekx 

N

thức

Vậy nghiệm tổng quát của (H) có dạng

m

y  c1e kx  c 2 x e kx

co

(3)Trường hợp 3: phương trình (C) có hai nghiệm phức liên hợp

(  0)

gl

e.

k1    i  , k 2    i 

y  c1e ( i  )x  c 2e ( i  )x

us

.g

oo

Về nguyên tắc, giống như trường hợp 1, nghiệm tổng quát có thể viết dưới dạng

Tuy vậy, ta thường làm việc với các nghiệm thực hơn là có số phức ở số mũ. Để tìm các nghiệm thực độc lập tuyến tính ta làm như sau. Do

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

n

phân (H) tạm thời chỉ có một nghiệm y 1  e kx . Ta tìm nghiệm thứ hai theo công

y 1  e (  i  ) x  e  x  cos  x  i sin  x  y 2  e (  i  ) x  e  x  cos  x  i sin  x 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(2)Trường hợp 2: phương trình (C) có một nghiệm thực kép là k. Vậy phương trình vi

202

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất cho nên tổ hợp tuyến tính của

1  y 1  y 2   e  x cos  x 2

y2 

1  y  y 2   e  x sin  x 2i  1

n

y1 

,,

hơ

uy

,

Q

Ví dụ 11.4.2. Giải phương trình y  4 y  3y  0 .

Xétphương trình đặc trưng ứng với phương trình vi phân đã cho

Kè

k 2  4k  3  0,

m

N

y  e  x c1 cos  x  c 2 sin  x 

ạy

phương trình này có hai nghiệm k1=-1, k2=-3. Vậy nghiệm tổng quát của phương

/+ D

trình đã cho là

y  c1e x  c2e3 x . 

,

m

,,

,

Phương trình đặc trưng ứng với phương trình vi phân đã cho k 2  10 k  25  0 có

e.

co

Ví dụ 11.4.3. Giải y  10 y  25y  0, y(0)  1, y (0)  5.

oo

gl

nghiệm kép k = 5, cho nên nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu có dạng

y  c1e5 x  c2 x e5 x .

us

.g

, Thay vào điều kiện đầu y(0)  1  c1  1; y (0)  5  c2  1. 5x Vậy nghiệm của bài toán đã cho là y  e (1  x ). 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Rõ ràng các nghiệm này độc lập tuyến tính. Vậy nghiệm tổng quát có dạng

,,

,

Ví dụ 11.4.4. Giải y  2 y  4 y  0. 

Phương trình đặc trưng ứng với phương trình vi phân đã cho k 2  2 k  4  0 có các

nghiệm phức k   1  i 3 .

x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y  e c1 cos 3 x  c2 sin 3 x . 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

chúng cũng là nghiệm. Ta lấy

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

203

11.4.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp cao hệ số hằng Ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng cấp n y ( n )  p1y ( n1)  ...  pn y  0,

(HHC)

n

hơ

đối với phương trình cấp hai.

uy

N

Phương trình đặc trưng ứng với (HHC) có dạng

Q

k n  p1k n1  ...  pn  0.

Kè

m

Nếu k 1 , k 2 ,..., k i là các nghiệm của (HHC) với các bội tương ứng là

ạy

m1 , m2 ,..., mi , (m1  m2  ...  mi  m).

kx

kx

/+ D

thì các hàm số

e 1 , e 1 ,..., x , xe

ki x

e

, ..., x

,e

k2 x

, xe

k2 x

,..., x

m2 1 k2 x

e

,...,

mi 1 ki x

m

e

ki x

m1 1 k1x

e

co

tạo thành hệ nghiệm cơ bản của (HHC).Nghiệm tổng quát của (HHC), tất nhiên có thể

e.

viết ở dạng tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm cơ bản này,tuy nhiên, để tiện lợi hơn khi

gl

làm việc với các nghiệm thực, ta xét hai trường hợp sau.

oo

Trường hợp 1: k là nghiệm thực bội m của phương trình đặc trưng. Khi ấy, ứng với

us

.g

k, phương trình (HHC) có m nghiệm y1  ekx , y2  xekx ,..., ym  x m 1e kx .

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Ta cũng tìm các nghiệm độc lập tuyến tính ở dạng ekx, các kết quả tương tự như

Trường hợp 2: k    i  là cặp nghiệm phức liên hợp bội mcủa phương trình đặc

trưng. Tiến hành như đối với phương trình cấp hai, ta có 2m nghiệm

y1  e x cos  x,

y2  x e x cos  x, ..., ym  x m1 e x cos  x

ym1  e x sin  x, ym2  x e x sin  x, ..., y2 m  x m1 e x sin  x.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

trong đó p1 , p 2 , ..., p n các hằng số thực.

204

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

VĂ­ d᝼ 11.4.5. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y '''  8y  0. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ạc trĆ°ng tĆ°ĆĄng ᝊng lĂ ď Ź 3  8  0 cĂł cĂĄc nghiᝇm ď Ź1   2, ď Ź2,3  1 ď‚ą i 3. NhĆ° váş­y, nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho lĂ





Kè

Nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ĂŁ cho lĂ

m

Q

x x x x Suy ra hᝇ nghiᝇm cĆĄ bản lĂ 1, x , e cos x , e sin x , x e cos x, x e sin x.

ấy

y  c1  c2 x  e x (c3 cos x  c4 sin x  c5 x cos x  c6 x sin x ).

/+ D

11.4.3 Nghiᝇm riĂŞng phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng thuần nhẼt cẼp

m

hai. PhĆ°ĆĄng phĂĄp hᝇ sáť‘ bẼt Ä‘áť‹nh.

co

Ä?áťƒ giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng thuần nhẼt ,,

,  py  qy  f (x )

(L)

gl

e.

y

oo

máť™t Ä‘iáť u quan tráť?ng lĂ phải tĂŹm Ä‘ưᝣc máť™t nghiᝇm riĂŞng yr cᝧa nĂł. Trong phần trĂŞn Ä‘ĂŁ trĂŹnh bĂ y phĆ°ĆĄng phĂĄp biáşżn thiĂŞn háşąng sáť‘. TẼt nhiĂŞn phĆ°ĆĄng phĂĄp Ä‘Ăł ĂĄp d᝼ng Ä‘ưᝣc

us

.g

cho trĆ°áť?ng hᝣp hᝇ sáť‘ háşąng. áťž Ä‘ây ta trĂŹnh bĂ y máť™t phĆ°ĆĄng phĂĄp khĂĄc tĂŹm nghiᝇm riĂŞng, tiᝇn lᝣi cho trĆ°áť?ng hᝣp hᝇ sáť‘ háşąng khi váşż phải đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł dấng Ä‘ạc biᝇt - Ä‘Ăł lĂ phĆ°ĆĄng phĂĄp hᝇ sáť‘ bẼt Ä‘áť‹nh. Giả sáť­ váşż phải đ?‘“(đ?‘Ľ) cĂł cĂĄc dấng sau TrĆ°áť?ng hᝣp 1: f ( x)  eď Ą x Pn ( x) , trong Ä‘Ăł ď Ą lĂ sáť‘ tháťąc, Pn(x) lĂ Ä‘a thᝊc báş­c n. a) Náşżu ď Ą khĂ´ng lĂ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ạc trĆ°ng (C) thĂŹ ta tĂŹm nghiᝇm riĂŞng yr áť&#x; dấng y r  e ď Ą x Q n (x ) , váť›i Qn(x) lĂ Ä‘a thᝊc báş­c n váť›i n + 1 hᝇ sáť‘ chĆ°a Ä‘ưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

hĆĄ

uy

k1  k2  0, k3  k4  1  i, k5  k6  1  i .

N

PhĆ°ĆĄng trĂŹnh Ä‘ạc trĆ°ng tĆ°ĆĄng ᝊng lĂ k 6  4k 5  8k 4  8k 3  4k 2  0 cĂł nghiᝇm

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

,, (6) (5) (4) (3) VĂ­ d᝼ 11.4.6. Giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y  4 y  8y  8y  4 y  0 .

n

y  c1e2 x  e x c2 cos 3 x  c3 sin 3 x .

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

205

b) Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (C) thì ta tìm nghiệm riêng ở dạng y r  x e  x Q n (x ) . c) Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (C) thì tìm nghiệm riêng ở dạng y r  x 2e  x Q n (x ) .

n

hơ

N

dạng

uy

yr  x se x  Rk ( x )cos  x  Hk ( x )sin  x  ,

m

Q

trong đó   i  là nghiệm bội s của phương trình đặc trưng (C) và k  max n , m 

Kè

(nếu   i  không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì s = 0), Rk, Hk là các đa

ạy

thức bậc k.

/+ D

Tất nhiên trường hợp 1 là trường hợp riêng của trường hợp 2.

,,

,

2 Ví dụ 11.4.7. Giải phương trình vi phân y  y  4 x .

Nhận thấy  = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng (có nghiệm

m

yr  Ax 2  Bx  C.

gl

e.

co

k 1   1, k 2  2 ) nên nghiệm riêng cần tìm ở dạng đa thức bậc hai

2 A   2 Ax  B   2 Ax 2  Bx  C  4 x 2 .

us

.g

oo

Lấy đạo hàm rồi thế vào phương trình đã cho, ta được

Cân bằng hệ số hai vế, rồi giải ra ta được A   2, B  2, C   3. Như vậy,

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

thực, Pn (x ), Q m (x ) là các đa thức bậc n, m tương ứng. Khi ấy nghiệm riêng được tìm ở

yr   2 x 2  2 x  3.

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y   2 x 2  2 x  3  c1e x  c2e2 x . 

,, x x Ví dụ 11.4.8. Giải phương trình vi phân y  y  xe  2e . 

Phương trình đặc trưng có nghiệm k 1,2   i . Sử dụng nguyên lý xếp chồng, ta tìm

nghiệm riêng ở dạng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

f (x )  e  x  Pn (x ) cos  x  Q m (x )sin  x  , trong đó ,  - các hằng số

Trường hợp 2:

206

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

yr  y1  y2   Ax  B  e x  Ce  x ,

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là y  c1 cos x  c2 sin x 

1 ( x  1)e x  e  x .  2

hơ

Ví dụ 11.4.9. Hãy xác định dạng nghiệm riêng của phương trình ,  2 y  3 y  g( x)

N

,,

uy

y

Q

với g(x) là các hàm số sau b) 3xex, e) tgx.

m

d) 3xexsinx + excosx,

c) (x + 1) cosx,

Kè

a) 2 cos 3x,

ạy

Phương trình đặc trưng có nghiệm k1 = 1, k2 = –3.

/+ D

a)   0,   3, n  m  0 , như vậy   i   3i không là nghiệm phương trình đặc trưng cho nên

co

m

yr  A cos3 x  B sin3 x.

e.

b)   1,   0, n  1, m  0 , như vậy   i   1 là nghiệm phương trình đặc trưng,

oo

gl

cho nên s = 1, dạng của nghiệm riêng là

yr  x  Ax  B  e x .

us

.g

c) Tương tự,   0,   1, n  1, m  0, s  1 , ta có

yr  ( Ax  B)cos x  (Cx  D)sin x.

d) Tương tự,   1,   1, s  0, n  0, m  1 , ta có

yr  e x  Ax  B  cos x  (Cx  D)sin x  . e) Không có dạng đặc biệt. Trường hợp này cần sử dụng phương pháp biến thiên hằng số.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 1 , B   , C  1. 2 2

n

Tính các đạo hàm rồi thế vào phương trình, ta tìm được A 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

(y1, y2 là các nghiệm riêng ứng với các vế phải xex và 2e–x).

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

207

Ví dụ 11.4.10. Tìm nghiệm tổng quát y ,,  y  3sin x 

Phương trình đặc trưng có nghiệm

k1,2   i,   0,   1  s  1, n  m  0. Vậy ta tìm nghiệm riêng của phương trình ở dạng

3 x cos x.  2

Q

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y  c1 cos x  c2 sin x 

ạy

cấp cao hệ số hằng

Kè

m

11.4.4 Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

/+ D

Đối với phương trình cấp n: y(n)  p1 y( n1)  ...  pn y  f ( x) với vế phải có dạng đặc biệt

m

f ( x )  e x  Pn ( x )cos  x  Qm ( x )sin  x  ,

co

ta cũng tìm nghiệm riêng hoàn toàn như với phương trình cấp hai, tức là

e.

yr  x s e x  Rk ( x )cos  x  H k ( x )sin  x 

oo

gl

khi   i  là nghiệm bội s của phương trình đặc trưng, k  max n, m và Rk ( x ), H k ( x )

us

.g

các đa thức bậc k.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

uy

N

hơ

3 3 Thế vào phương trình ta tìm được A   , B  0 , như vậy yr   x cos x. 2 2

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

n

yr  x( A cos x  B sin x).

208

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

TĂ“M TẎT Trong bĂ i nĂ y, háť?c viĂŞn lĂ m quen váť›i cĂĄch giải máť™t sáť‘ dấng phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân cẼp 2. C᝼ tháťƒ nhĆ° sau:

n hĆĄ

uy

N

3. Dấng PTVP tuyáşżn tĂ­nh cẼp cao hᝇ sáť‘ háşąng (xem phần 11.4)

m

Q

BĂ€I TẏP

Kè

Bà i 1. Giải cåc phưƥng trÏnh dấng giảm cẼp sau:

/+ D

,,

, , y  y ln ďƒŚďƒ§ ďƒśďƒˇ . ďƒ¨ xďƒ¸

, y   x ( x  1) tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn đ?‘Ś(2) = 1, đ?‘Ś ′ (2) = −1. x 1

co

c) y

,,

m

b) xy

ấy

a) � ′′ = � 2 + �� � + 1.

e.

d) đ?‘Śđ?‘Ś ′′ − đ?‘Ś ′2 = 0 tháť?a đ?‘Ś(0) = 1, đ?‘Ś ′ (0) = 2.

.g

,,

1 , 1 y  2 y  0 biết m᝙t nghiᝇm riêng là y1  ln x . x x

oo

,,

a) (1  ln x) y 

gl

Bà i 2. Giải cåc phưƥng trÏnh vi phân tuyến tính thuần nhẼt

,

,

us

b) y  (tgx) y  y cos2 x  0 tháť?a Ä‘iáť u kiᝇn y (0)  3, y (0)  2 . c) y1 ( x)  cos (sin x) lĂ máť™t nghiᝇm riĂŞng cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh.

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

2. Dấng PTVP tuyến tính cẼp 2 (xem phần 11.3)

BĂ i 3. PhĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân tuyáşżn tĂ­nh cẼp 2 váť›i hᝇ sáť‘ háşąng a) đ?‘Ś ′′ − 5đ?‘Ś ′ + 6đ?‘Ś = 0. b) đ?‘Ś ′′ − 4đ?‘Ś ′ + 4đ?‘Ś = 0. c) đ?‘Ś ′′ + 4đ?‘Ś = 0. d) đ?‘Ś ′′′ − 4đ?‘Ś ′′ + 3đ?‘Ś ′ = 0.

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

1. Dấng giảm cẼp Ä‘ưᝣc (xem phần 11.2)

BĂ€I 11: PHĆŻĆ NG TRĂŒNH VI PHĂ‚N CẤP 2

209

e) đ?‘Ś (5) − 6y (4) + 9đ?‘Ś (3) = 0. BĂ i 4. Giải cĂĄc phĆ°ĆĄng trĂŹnh khĂ´ng thuần nhẼt a) đ?‘Ś ′′ − 3đ?‘Ś ′ + 2đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ 3 − 30. b) đ?‘Ś ′′ − 2đ?‘Ś ′ + 2đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 . 3

đ?œ‹

đ?œ‹

sin 2� th�a �(0) + � ′ (0) = 2 ; � ( 2 ) + � ′ ( ) = 0. 2

N

hĆĄ

d) đ?‘Ś ′′ − 4đ?‘Ś ′ + 4đ?‘Ś = sin đ?‘Ľ cos 2đ?‘Ľ.

Q

uy

CĂ‚U HᝎI TRẎC NGHIᝆM

A. đ?‘Ś = đ??ś1 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ??ś2 đ?‘’ 2đ?‘Ľ ; đ??ś1 , đ??ś2 ∈ â„?.

ấy

B. đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ľ (đ??ś1 cos(2đ?‘Ľ) + đ??ś2 sin(2đ?‘Ľ)) ; đ??ś1 , đ??ś2 ∈ â„?.

Kè

m

Câu 1. TĂŹm nghiᝇm táť•ng quĂĄt cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh y '' 3 y ' 2 y  0.

m

D. đ?‘Ś = đ??ś1 đ?‘’ −đ?‘Ľ + đ??ś2 đ?‘’ −2đ?‘Ľ ; đ??ś1 , đ??ś2 ∈ â„?.

/+ D

C. đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ľ (đ??ś1 cos(3đ?‘Ľ) + đ??ś2 sin(3đ?‘Ľ)) ; đ??ś1 , đ??ś2 ∈ â„?.

co

Câu 2. TĂŹm nghiᝇm riĂŞng cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân đ?‘Śâ€™â€™ + đ?‘Śâ€™ − 2đ?‘Ś = 0 tháť?a: đ?‘Ś(0) =

e.

0, �’(0) = 1.

1 x 1 2 x B. y  e  e . 3 3

1 2 x 1 x C. y  e  e . 3 3

D. y 

1 x 1 2 x e  e . 2 2

us

.g

oo

gl

1 x 1 2 x A. y  e  e . 3 3

Câu 3. Nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh vi phân y '' 9 y  0 , váť›i Ä‘iáť u kiᝇn y(0)=3 vĂ y’(0)=3 lĂ :

A. y  3cos(3 x)  sin(3 x).

B. y  3cos(3x)  3sin(3x).

C. y  3cos(3 x)  3sin(3 x).

D. y  cos(3 x)  3sin(3 x).

Dáş Y KĂˆM QUY NHĆ N OFFICIAL ST&GT : Ä?/C 1000B TRẌN HĆŻNG Ä?áş O TP.QUY NHĆ N

4

n

9đ?‘Ľ

pl

Diáť…n Ä‘Ă n háť— trᝣ giĂĄo d᝼c : Ä?/C 1000B Trần HĆ°ng Ä?ấo Tp Quy NhĆĄn NgĆ°áť?i sĂĄng láş­p : Nguyáť…n Thanh TuẼn - Chᝧ quản tĂ i nguyĂŞn : Nguyáť…n Thanh TĂş

c) đ?‘Ś ′′ + đ?‘Ś = −3 cos 2đ?‘Ľ +

210

BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Câu 4. Một nghiệm riêng của phương trình y '' 4 y ' 5 y  xe x có dạng: A. yr  x  ax  b  e x

B. yr   ax  b  e x

x C. yr  axe

x 5 x D. yr  C1e  C2e ; C1 , C2 

D. yr  ax cos  2 x 

N

uy

y '' 2 y ' y  2e x , biết

phương trình này có một nghiệm riêng là : y  x e .

y  x 2 e x  C1e x  C2 xe x .

C. y  x e  C1e  C2 e . x

x

D.

y  x 2 e x  C1 xe x  C2 x 2 e x .

m

2 x

y  x 2 e x  Ce x .

ạy

B.

/+ D

A.

Kè

2 x

m

Q

Câu 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:

co

Câu 7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:

 C2 e 5 x .

gl

x

oo

A. y  cos x  C1e

e.

biết phương trình này có một nghiệm riêng là :

C. y  cos x  C1e  C2e

us

.g

x

5 x

.

y '' 4 y ' 5 y  4sin x  6cos x ,

y  cos x.

B. y  cos x  (C1 cos5 x  C2 sin 5 x)e . x

D. y  cos x  C1e

x

 C2 xe5 x .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C. yr  a cos  2 x 

n

B. yr  e x  a cos  2 x   b sin  2 x  

hơ

A. yr  a cos  2 x   b sin  2 x 

pl

Diễn đàn hỗ trợ giáo dục : Đ/C 1000B Trần Hưng Đạo Tp Quy Nhơn Người sáng lập : Nguyễn Thanh Tuấn - Chủ quản tài nguyên : Nguyễn Thanh Tú

Câu 5. Một nghiệm riêng của phương trình y '' 2 y ' 5 y  cos  2 x  có dạng:

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.