GIÚP HỌC SINH RÈN KỸ NĂNG VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY TRONG DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC MÔN TOÁN KHỐI 9 by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

SÁNG KIẾN GIÚP HỌC SINH RÈN KỸ NĂNG VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY TRONG DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC MÔN TOÁN KHỐI 9 WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1 . TÊN SÁNG KIẾN :

“Giúp học sinh rèn kỹ năng và phát triển tư duy trong dạng toán rút gọn biểu thức ’’. 2 . LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN : Giáo dục Cụ thể: Môn Toán, Khối 9 3 . THỜI GIAN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN : Từ tháng 09 năm 2017 đến tháng 05 năm 2018 4 . TÁC GIẢ : Họ và tên : ... Ngày sinh : ... Nơi thường trú : ... Trình độ chuyên môn : ... Chức vụ công tác : Giáo viên Nơi làm việc : ... Địa chỉ liên hệ : ... 5 . ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Tên đơn vị : ....

I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Môn toán ở trung học cơ sở có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để học sinh tiếp tục lên trung học phổ thông, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đều đòi hỏi những hiểu biết nhất định về toán học. Bên cạnh đó, Toán học còn có mối quan hệ gắn bó chặt chẽ và tác động qua lại với các môn khoa học khác. Nhiều kiến thức, kĩ năng đạt được qua môn toán là cơ sở cho việc học tập tốt một số môn học khác như: Vật lý, hoá học, sinh học, địa lí, công nghệ … Trong học toán cũng như trong việc học các môn khác việc tiếp thu kiến thức một cách linh hoạt và xuyên suốt sẽ giúp cho học sinh linh hoạt hơn trong việc vận dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống để có hiệu quả trong việc học tập và lao động. Vì vậy việc giảng dạy môn Toán ở các trường THCS nói chung và môn Toán lớp 9 nói riêng là một vấn đề hết sức quan trọng, nó đòi hỏi giáo viên phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, gợi mở cho học sinh tìm tòi các phương pháp giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ. Trong chương trình toán trung học cơ sở và cụ thể là trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9, các em học sinh được học về căn thức bậc hai và vận dụng các quy tắc liên quan đến căn thức bậc hai vài dạng toán rút gọn biểu thức ở lớp 9 và đặc biệt trong vài năm trở lại đây trong các đề thi tuyển sinh vào 10 của các trường đại học, các trường trung học phổ thông của tỉnh, trong các kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 xuất hiện các bài toán rút gọn biểu thức khá phổ biến trong khi đó nội dung và thời lượng về phần kiến thức này trong sách giáo khoa và sách bài tập còn rất ít, lượng bài tập chưa có sự đa dạng, đòi hỏi học sinh tư duy ở mức độ cao. Trong khi bài tập trong các đề thi thường phong phú và đa dạng. Mặt khác trong các sách tham khảo có trình bày thì chỉ có bài tập và lời giải vắn tắt do đó học sinh rất lúng túng khi giải các bài tập về thể loại này. Thường là học sinh chưa nắm rõ cách giải, không biết trình bày như thế nào, trình bày thiếu căn cứ, lập luận không chặt chẽ. Mặt khác số học sinh có điều kiện để mua sách tham khảo không nhiều hoặc nếu có các tài liệu tham khảo các em cũng không biết cách phân tích để tóm lại cho mình những kỹ năng cần thiết để giải quyết tốt dạng toán này. Chính vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các học sinh, giúp học sinh học phần nào tháo gỡ được những khó khăn, vướng mắc trong quá trình vận dụng các kiến thức liên quan đến căn bậc hai vào rút gọn biểu thức và giải quyết các bài tâp có liên quan .Đồng thời

giúp các em biết tư duy, phân tích, tổng hợp các kiến thức liên quan một cách có hệ thống từ đó hình thành kỹ năng giải dạng toán này, góp phần để các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển nên tôi chọn đề tài:

“Giúp học sinh rèn kỹ năng và phát triển tư duy trong dạng toán rút gọn biểu thức ’’. II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP: 1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến: Như chúng ta đã biết các kiến thức liên quan đến căn bậc hai của một số hay một biểu thức trong chương trình sách giáo khoa 9 chủ yếu ứng dụng vào các dạng toán liên quan đến dạng toán rút gọn biểu thức và vận dụng giải quyết các dạng bài tập khác có liên quan. Để nắm bắt được nội dung này chúng ta cần nắm vững các đơn vị kiến thức cơ bản về căn thức. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh đại trà rất lúng túng mỗi khi giải toán, các em thường mắc lỗi khi xác định hướng làm của từng bài vì chưa được tiếp cận và truyền dạy theo dạng, trong khi đó dạng bài rút gọn biểu thức và các dạng bài tập có liên quan tương đối nhiều và đa dạng, được hỏi với nhiều câu hỏi khác nhau đòi hỏi học sinh phải có sự nhanh nhạy. Một số học sinh biết làm nhưng lập luận không chặt chẽ, suy luận thường thiếu căn cứ. Một số học sinh khác trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng nguyên bản. Không biết rút kinh nghiệm về bài toán vừa giải, nên rất lúng túng trước những bài toán khác tương tự với bài toán vừa giải. Qua điều tra học sinh bằng nhiều biện pháp và kết quả điều tra 28 bài kiểm tra của lớp 9C Trường THCS B Hải Minh trước khi áp dụng sáng kiến như sau: Lớp 9C

Khá

Giỏi

Sĩ

Yếu- kém

số

7,14

42,86

Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm toán về dạng toán vẫn còn rất mơ hồ, học một cách máy móc thụ động. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài. Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu. Do thời gian trên lớp có hạn nên học sinh chưa

được rèn kỹ năng, chưa nắm được các phương pháp để giải quyết tốt tất cả những bài toán được đưa ra. Trước thực trạng trên, là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán 9 tôi thấy: Trong việc học toán để các em tự tìm tòi lời giải để đưa ra phương án giải một bài toán đúng và hoàn chỉnh thì đa số học sinh thường lúng túng trước những vấn đề mới, đặc biệt các em là những học sinh đại trà, chỉ một số ít học sinh có nhận thức và tư duy tốt là có thể tự mình tìm ra hướng đi đúng đắn. Vì vậy việc đưa ra và khái quát cho các em một phương pháp chung cho một dạng toán nào đó là thật sự cần thiết, cần phân tích để học sinh có thể lựa chọn cho mình hướng đi chính xác trong những hướng đi là vấn đề vô cùng quan trọng và trong công việc này người thầy đóng vai trò chủ đạo còn học sinh chủ động tìm tòi kiến thức. 2. Mô tả giải pháp sau khi tạo ra sáng kiến Đối với học sinh để tổng hợp và khái quát một đơn vị kiến thức một cách lô gic và xuyên suất là một công việc không hề dễ. Để làm được điều đó đòi hỏi các em phải có lòng say mê và một sự nhiệt tình với việc tìm tòi các kiến thức mới. Bên cạnh đó đòi hỏi các em phải dành ra một quỹ thời gian tương đối nhiều để nghiên cứu và phân tích, trong khi quỹ thời gian của các em tương đối hạn hẹp, cộng với điều kiện kinh tế của các em đa số còn khó khăn không thể mua cho mình những cuốn sách để có thể tự đọc và tự nghiên cứu . Do đó để học sinh học tập có hiệu quả cao với chủ đề này thì giáo viên cần phải tổng hợp kiến thức có liên quan từ đó phân ra làm các dạng toán“ từ cơ bản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp” để luyện tập cho học sinh. Trong giảng dạy giáo viên cần chỉ ra phương pháp giải đối với từng dạng, chỉ ra những điểm nhấn thể hiện đặc điểm riêng của từng dạng, chỉ ra những chỗ mà học sinh hay mắc sai lầm đồng thời phải giúp cho các em học sinh biết liên kết kiến thức giữa mảng này với mảng khác theo một hệ thống. Trong sáng kiến này tôi đã phân ra các dạng bài, chỉ ra phương pháp giải đối với từng dạng và thông qua các ví dụ, các bài tập áp dụng, bài tập tự luyện trong từng dạng giúp giáo viên rèn kỹ năng trình bày bài làm của học sinh, giúp học sinh phân tích tìm cách giải và biết cách làm bài toán tương tự, biết cách vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết tốt các tình huống trong mỗi bài toán cụ thể. Qua đây cũng hình

thành tư duy lôgíc, sáng tạo cho các em trong việc giải toán. Các dạng bài mà tôi đã phân cụ thể là: Dạng 1: Rút gọn các biểu thức số Dạng 1.1: Rút gọn biểu thức nhờ sử dụng hằng đẳng thức

A2 = A

Dạng 1.2: Rút gọn biểu thức nhờ vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia căn bậc hai. Dạng 1.3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai bằng phương pháp khử mẫu, trục căn thức ở mẫu ( phương pháp nhân liên hợp). Dạng 1.4: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai nhờ phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn phân thức. Dạng 1.5: Rút gọn nhờ phương pháp bình phương một biểu thức. Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa chữ và các bài toán có liên quan. Dạng 2.1: Rút gọn biểu thức chứa chữ Dạng 2.1A. Rút gọn biểu thức có dạng tổng

A C E + + B D F

Dạng 2.1B. Rút gọn biểu thức là tích hay thương của hai biểu thức. Dạng 2.1C. Rút gọn biểu thức nhờ phối hợp các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa và thứ tự thực hiện phép tính. Dạng 2.2 : Các dạng toán phụ của bài toán rút gọn Dạng 2.2A: Tính giá trị của biểu thức P khi biết giá trị của x. Dạng 2.2B: Tìm giá trị của x khi P = a ( a là một giá trị hoặc một biểu thức) Dạng 2.2C: Tìm giá trị của x biết P > a, P < a; P ≥ a; P ≤ a. Dạng 2.2D: So sánh biểu thức P với một số a. Dạng 2.2E: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên. Dạng 2.2G: Tìm GTLN; GTNN của biểu thức P. Dạng 2.2H: Tìm giá trị của tham số m thỏa mãn một đẳng thức hay một bất đẳng thức. Dạng 2.3 : Bài tập tổng hợp Để học sinh nắm vững các dạng toán trên giáo viên cần hệ thống lại cho học sinh các kiến thức sau: * Các kiến thức về căn thức ở lớp 9: Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.

- Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm) - Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau: A 2 = | A| AB =

A = B

(với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức )

A B

( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0) ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0)

A 2 B =| A | B

( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )

A 1 = B B

( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )

A B B

C A±B

C A± B

( với A, B là biểu thức và B > 0)

C ( A ∓ B) A − B2 =

C( A ∓ B ) A− B

(với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B2 ) ( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )

* Các kiến thức có liên quan: + Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ( Lớp 8) + Các cách phân tích đa thức thành nhân tử ( lớp 8): Bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử ở cả tử thức và mẫu thức của một phân thức ta có thể biến đổi phân thức trở về phân thức tối giản + Các tính chất cơ bản của phân thức ( Lớp 8). + Cách biến đổi về dấu của phân thức ( lớp 8) −A A A A −A −A A = =− ; = =− =− B −B B B −B B −B

+ Định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số  A khi A ≥ 0 A = − A khi A < 0

Sau đây tôi xin trình bày cụ thể những dạng toán đã đưa ra và phương pháp giải những bài toán đó.

DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ Phương pháp giải: Vận dụng các kiến thức về căn thức, kiến thức về hằng đẳng thức, về phân thức để rút gọn biểu thức. Dạng 1.1: Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức

A2 = A

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a.

( −3) 2 + 42

b. (3 − 5 )2

(1 − 2)2 − (1 + 2) 2

( 5 − 3) 2 + (2 − 5) 2

Lưu ý: Giáo viên phân tích cho học sinh thấy được những sai lầm có thể mắc phải trong khi làm ví dụ 1 A2 = A

+ Sai lầm do học sinh chưa hiểu đúng về hằng đẳng thức Ví dụ: Học sinh có thể sai lầm khi tính kết quả của

(−3)2 là bằng -3

+ Sai lầm do học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số  A khi A ≥ 0 A = − A khi A < 0

Để khắc phục sai lầm đó giáo viên cần phân tích, củng cố lại kiến thức về hằng đẳng thức

A2 = A và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số . Phải nhấn mạnh được cho học

sinh thấy được lợi ích khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta cho trong giá trị tuyệt đối để tránh nhầm dấu, và giá trị tuyệt đối của một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0 để tránh trường hợp học sinh tính −3 bằng - 3 Hướng dẫn giải: a.

(−3)2 + 42 = −3 + 4 = 3 + 4 = 7

(3 − 5) 2 = 3 − 5 = 3 − 5 ( vì 3 − 5 > 0 )

(1 − 2)2 − (1 + 2) 2 = 1 − 2 − 1 + 2 = 2 − 1 − 1 + 2 ( Vì 1 − 2 < 0 ; 1 + 2 > 0 )

(

= d.

( 5 − 3) 2 + (2 − 5) 2 =

)

2 − 1 − 1 − 2 = −2 5 − 3 + 2 − 5 = 3 − 5 + 5 − 2 ( Vì

5 −3 < 0 ; 2− 5 < 0)

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a. A =

(

b. B = 9 − 4 5. 2 + 5

7+4 3

c. C = 4 + 2 3 − 28 − 10 3

)

d. D = 5 − 2 7 − 2 6

Lưu ý: Những sai lầm có thể mắc phải trong ví dụ 2 đó là + Học sinh nhầm lẫn hằng đẳng thức bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương + Không nhận biết nhanh được dạng của hằng đẳng thức + Những sai lầm ở ví dụ 1 Giáo viên tiếp tục phân tích để học sinh thấy được những bài tập trong ví dụ 2 được phát triển từ ví dụ một đòi hỏi có sự tư duy chứ không chỉ là áp dụng các công thức; việc biến đổi một biểu thức về dạnh bình phương của một biểu thức khác, yêu cầu học sinh phải nắm vững hai hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu một cách thành thạo theo cả hai chiều và chủ yếu theo chiều ngược từ a 2 + 2ab + b 2 chính 2

bằng ( a + b ) hoặc a 2 − 2ab + b 2 chính bằng ( a − b )

Hướng dẫn giải: a. A =

7 + 4 3 = 4 + 4 3 + 3 = 22 + 2.2 + ( 3) 2 = (2 + 3)2 = 2+ 3 = 2+ 3

(

)

(

( vì 2 + 3 > 0 )

)

(

b. B = 9 − 4 5. 2 + 5 = 4 − 4 5 + 5. 2 + 5 = (2 − 5)2 . 2 + 5

(

) (

= 2− 5 . 2+ 5 =

)(

)

5 − 2 . 2 + 5 ( Vì 2 − 5 < 0 )

= ( 5) 2 − 22 = 5 − 4 = 1

c. C = 4 + 2 3 − 28 − 10 3 = 1 + 2 3 + 3 + 25 − 10 3 + 3 = (1 + 3) 2 − (5 − 3) 2 = 1 + 3 − 5 − 3 = 1 + 3 − (5 − 3) (Vì 1 + 3 > 0 ; và 5 − 3 > 0 ) = 1 + 3 − 5 + 3 = −4 + 2 3

d. D = 5 − 2 7 − 2 6 = 5 − 2 6 − 2 6 + 1 = 5 − 2 ( 6 − 1)2 = 5 − 2. 6 − 1 = 5 − 2.( 6 − 1) = 5 − 2 6 + 2 = 7 − 2 6 = 6 − 2 6 + 1 = ( 6 − 1)2 =

6 −1 = 6 −1

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A = 3 − 5 + 3 + 5 Lưu ý: Trong nội dung bài tập này học sinh sẽ lúng túng khi thấy biểu thức trong căn không biến đổi được về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu . Giáo viên có thể phân tích và yêu cầu học sinh tìm cách để đưa biểu thức trong căn về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu Hướng dẫn giải: Cách 1: Gợi ý: Nhân biểu thức A với số nào để xuất hiện 2 5 Nhân biểu thức A với 2 .A =

2 ta có:

2 .( 3 − 5 + 3 + 5 ) = 2. 3 − 5 + 2. 3 + 5 = 2.(3 − 5) + 2.(3 + 5)

6 − 2 5 + 6 + 2 5 = 5 − 2 5 +1 + 5 + 2 5 +1 =

(

)

5 −1 +

(

5 −1+ 5 +1 = 2 5

Suy ra A = 2 5 : 2 = 4.5 : 2 = 20 : 2 = 20 : 2 = 10 Vậy A = 10 Cách 2 : Tính A2 (Cách này sẽ được trình bày chi tiết trong dạng 1.5) Bài tập tự luyện Bài 1: Rút gọn biểu thức: a.

(2 − 3)

( −2 )

c. 4. ( −3) + 5. ( −2 )

Hướng dẫn: Câu c

( −3)

(

3−4

(

8 −7

)

−

(2 − 3)

− 8

3 = ( −3)  = (−27)2 = −27 = 27  

Bài 2: Rút gọn biểu thức: a. 8 − 2 7

b, 15 − 4 14 − 8 − 2 7

Hướng dẫn: Câu b giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích để có được

(

15 − 4 14 = 2 2 − 7

)

Bài 3: Rút gọn biểu thức: a. A =

3 − 1 − 21 − 12 3

c. C =

6+2 3+2 2 +2 6

b. B = 2 − 3 + 2 + 3

)

5 +1

Hướng dẫn:

(

Câu a:

21 − 12 3 = 2 3 − 3

)

Câu b: Làm tương tự ví dụ 3

(

)

Câu c: 6 + 2 3 + 2 2 + 2 6 = (1 + 2 3 + 3) + (2 2 + 2 6) + 2 = 1 + 3 + 2 2.(1 + 3) + ( 2) 2 = (1 + 3 + 2 ) 2

Hoặc: biến đổi về dạng hằng đẳng thức ( a + b + c )2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 6 = 1 + 2 + 3 + 2.1. 2 + 2.1. 3 + 2. 2. 3 = (1 + 2 + 3) 2

Dạng 1.2: Rút gọn biểu thức vận dụng các quy tắc khai phương, nhân, chia các căn bậc hai. Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc khai phương, nhân, chia các căn bậc hai để đua về thực hiện cộng trừ các căn thức đồng dạng và các căn thức có thể khai căn được rồi thực hiện phép tính Ví dụ 1: Tính: a.

(−9).(−4)

b. 14. 56

c. 4 − 7 . 4 + 7

d. (−810). ( −40 )

e. 81 + 9.2 10

( −4 )

.5 + 6 − 2 5

Lưu ý: Những sai lầm học sinh có thể mắc phải trong khi làm bài tập trên đó là + Sai lầm khi học sinh chưa chú ý đến điều kiện để có căn bậc hai Ví dụ: trong câu a nhiều học sinh sẽ làm sai khi vận dụng (−9).(−4) bằng

−9. −4

+ Sai lầm khi chưa biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích đã thực hiện phép khai phương Ví dụ: Trong câu e học sinh có thể nhầm lẫn tính 81 + 9 bằng 81 + 9 + Sai lầm khi chưa nắm vững quy tắc

A2 .B = A . B với B ≥ 0

Ví dụ: Trong câu e học sinh sẽ sai khi vận dụng

( −4 )

.5 bằng −4 5

Để khắc phục các sai lầm khi học sinh làm các bài tập trên giáo viên cần yêu cầu học sinh nắm vững định nghĩa căn bậc hai của một số và điều kiện để

A tồn tại đồng thời yêu

cầu học sinh học thuộc quy tắc và viết các công thức biểu thị các quy tắc đó với điều kiện kèm theo một cách thành thạo

Hướng dẫn giải a.

( −9).( −4) = 36 = 6 2 = 6

b. 14. 56 = 14.56 = 784 = 282 = 28

(

)

c. 4 − 7 . 4 + 7 = (4 − 7). 4 + 7 = 42 −

( 7)

= 16 − 7 = 9 = 32 = 3

d. (−810). ( −40 ) = 810.40 = 81.10.4.10 = 81.4.100 = 81. 4. 100 = 9.2.10 = 180 e. 81 + 9.2 10 = 90.2 10 = 9.10.2 10 = 3 10.2 10 = 6.( 10) 2 = 6.10 = 60 f.

( −4 )

.5 + 6 − 2 5 = −4 . 5 + 5 − 2 5 + 1 = 4 5 + ( 5 − 1) 2 5 −1 = 4 5 + 5 −1= 5 5 −1

=4 5+

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a. A = ( 18 + 32 − 50). 2

b. B = 50 − 18 + 200 − 162

Lưu ý: Để tránh làm sai trong dạng toán này giáo viên cần yêu cầu học sinh biến đổi theo đầy đủ các bước tránh làm tắt, nắm chắc được các sai lầm sẽ gặp phải trên ví dụ 1 để tránh. Ngoài ra cần nắm vững kiến thức về cộng trừ các căn thức đồng dạng, kiến thức về tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Hướng dẫn giải: a. A = ( 18 + 32 − 50). 2 Cách 1: Sử dụng phép khai phương một tích của các số không âm và nhân các căn thức bậc hai của các số không âm. A = ( 18 + 32 − 50). 2 =

(

)

(

)

9.2 + 16.2 − 25.2 . 2 = 3 2 + 4 2 − 5 2 . 2

= ( 3 + 4 − 5 ) . 2. 2 = 2 2. 2 = 2.

( 2)

= 2.2 = 4

Cách 2: Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép nhân các căn thức bậc hai của các số không âm. A = ( 18 + 32 − 50). 2 = 18. 2 + 32. 2 − 50. 2 = 18.2 + 32.2 − 50.2 = 36 + 64 − 100 = 6 + 8 − 10 = 4

b. B = 50 − 18 + 200 − 162 = 2.25 − 9.2 + 100.2 − 81.2 = 5 2 − 3 2 + 10 2 − 9 2 = ( 5 − 3 + 10 − 9 ) . 2 = 3 2

Bài tập tự luyện Bài 1: Thực hiện phép tính

(

)

a. 12 − 27 + 3

c. 252 − 700 + 1008 − 448

d. 3. 12 + 27 − 3

12 − 2 75 . 3

(

)

Bài 2: Tính a.

b. 5. 45

(−16).(−9)

c. 2 − 3. 2 + 3

d. (−270). ( −30 )

e. 36 + 4 − 9 10

( −5 )

.3 + 4 + 2 3

Dạng 1.3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai bằng phương pháp khử mẫu và trục căn thức ở mẫu ( phương pháp nhân với biểu thức liên hợp). A 1 = B B

Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc khử mẫu biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 ) ; quy tắc trục căn thức

A B

AB ( với A, B là hai

A B B

( với A, B là biểu

thức và B > 0) C A±B

C A± B

C ( A ∓ B) A − B2 =

C( A ∓ B ) A− B

(với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B2 ) ( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )

để biến đổi và rút gọn biểu thức. Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau: a.

1 3− 2

1 2+ 5

1 1 + 1+ 2 1− 2

Phân tích: Giáo viên phân tích kỹ để học sinh có thể nhận biết được biểu thức liên hợp khi trục căn thức. Để nhận biết được phải nắm chắc được hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương A2 − B 2 = ( A − B ) . ( A + B ) . Hướng dẫn giải: a.

1 3− 2

Học sinh xác định được biểu thức liên hợp là 3 + 2 vì ( 3 + 2).

(

) ( 3)

3−2 =

− 22

Ta có:

1 3+ 2 = = 3 − 2 ( 3 − 2). 3 + 2

(

3+ 2 2

) ( 3) − ( 2 )

3+ 2 3+ 2 = = 3+ 2 3−2 1

1 2− 5 2− 5 = = 2+ 5 2+ 5 . 2− 5 22 − 5

1 1 1− 2 1+ 2 1− 2 1+ 2 + = + = + 1− 2 1− 2 1+ 2 1− 2 1+ 2 . 1− 2 1+ 2 . 1− 2

(

)(

)

(

( )

)(

2− 5 2− 5 = = 5−2 4−5 −1

) (

)(

)

1− 2 1+ 2 + = 2 − 1 − 1 − 2 = −2 −1 −1

Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu: 2 3−2 2

7 5+3 2

Lưu ý: Sai lầm của học sinh trong bài tập này là học sinh tính (2 2) 2 bằng 2.2 và bằng 4, và lỗi viết 2 2

Giáo viên củng cố lại cho học sinh kiến thức (a.b) m = a m .b m và nhắc nhở học sinh dùng ngoặc khi viết bình phương của một biểu thức. Hướng dẫn giải: a.

2 = 3−2 2

(

3+2 2

)(

3−2 2 .

)

3+2

) 2 ) ( 3) − (2 2 ) =

(

)

(

3+2 2

2 3+4 2 3 − 4.2

2 3 + 4 2 −2 3 − 4 2 = −5 5

(

)

(

)

(

)

7. 5 − 3 2 7. 5 − 3 2 7. 5 − 3 2 7. 5 − 3 2 7 = = = = = 5−3 2 2 25 − 9.2 7 5+3 2 5+3 2 . 5−3 2 52 − 3 2

(

)(

)

(

)

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A=

2 2 2+ 3 − −4: 5− 3 5+ 3 3−2

Lưu ý: Trong bài toán này những học sinh trung bình có thể nhầm lẫn về việc áp dụng thứ tự thực hiện phép tính trong tính toán. Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại thứ tự thực hiện phép tính và yêu cầu học sinh thực hiện rút gọn. Hướng dẫn giải:

(

)

2. 5 + 3 2 2 2+ 3 − −4: = − 5− 3 5+ 3 3 − 2 ( 5 − 3). 5 + 3

(

2. 5 + 2. 3 − 2. 5 + 2. 3 2

( 5) − ( 3)

A=2 3−

− 4.

) (

( 3 − 2) 2

( 2 + 3 ) .(

3−2

)

(

5− 3

)(

5− 3 .

)

5+ 3

)

− 4.

3−2 2+ 3

4 3 3−4 3 + 4 4 3 7 − 4 3 − = − 5 − 3 ( 3)2 − 22 2 3− 4

7−4 3 = 2 3+7−4 3 = 7−2 3 −1

Bài tập tự luyện: Bài 1: Trục căn thức ở mẫu a.

2 5

2+ 7 2− 7

1− 2 2+3 2

Bài 2: Rút gọn biểu thức a. A = 5 3 + 27 − 3 c. C =

1 3

b. B =

1 1 + 2 2− 6 2 2+ 6

4 4 + 3− 5 3+ 5

5 2 5 3− 2 + −2: 5 +3 5 −3 10 + 1

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau a. c.

1 − 3 2− 3

−

3 + 1 −1

3 3 +1 +1

1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − 1− 2 2− 3 3− 4 4− 5 5− 6 6− 7 7− 8 8− 9

Dạng 1.4: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai nhờ phân tích tử và mẫu của một phân thức thành nhân tử và rút gọn phân thức Phương pháp giải: áp dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử đã học ở lớp 8 phân tích tử và mẫu của các phân thức ban đầu thành nhân tử và chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung để đưa phân thức về phân thức tối giản rồi thực hiện phép tính. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a.

3− 3 3 −1



d.  2 + 

6−2 3 1− 3

3+ 3   3− 3   .  2 −  3 +1   3 − 1 

3 − 6 2+ 6 − 1− 2 1+ 2

7 + 6 7 11 + 11 + 7 −1 − 11

Lưu ý: Đối với các bài toán này học sinh có thể đi theo hướng của các bài tập trên là trục căn thức tuy nhiên khi làm bài sẽ phải trình bày dài hơn và phức tạp hơn, nên đối với dạng bài này ta nên đi theo hướng phân tích tử thức và mẫu thức của phân thức rồi rút gọn và đặc biệt đối với học sinh trung bình sẽ mắc phải sai lầm trong quá trình biến đổi liên quan đến đổi dấu của tử thức hoặc mẫu thức của phân thức để xuất hiện được nhân tử chung rồi rút gọn. Chính vì thế giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh thấy được sự quan trọng của việc quan sát các biểu thức đã cho để nhận biết cách làm, nêu lại cách đổi dấu ở phân thức

−A A A A −A −A A = =− ; = =− =− B −B B B −B B −B

Hướng dẫn giải: 3− 3 a. = 3 −1

( 3)

− 3

3 −1

( )

(

3 −1

(

)

(

)

6 − 2 3 2. 3 − 2 3 2 3. 3 − 1 2 3. 3 − 1 2 3 b. = = = = = −2 3 −1 1− 3 1− 3 1− 3 − 3 −1

(

)

3− 6 2+ 8 3 − 2.3 2 + 4.2 3 − 2. 3 2 + 2 2 − = − = − 1− 2 1+ 2 1− 2 1+ 2 1− 2 1+ 2

(

3. 1 − 2 =

1− 2

(

)  . 2 − 3.(  

3−2

1+ 2

  3+ 3   3− 3   d.  2 + . 2 − =     2 + 3 + 1 3 − 1       3. 3 + 1 = 2+  3 +1 

) − 2.(1 + 2 ) = + 3   . 2− 3 + 1   

( 3)

− 3  3 − 1  

( 3)

3 −1   = 2+ 3 . 2− 3 3 −1  

)

( ) (

(

)(

7. 11 + 11 7 + 6 7 11 + 11 ( 7) 2 + 6 7 e. = + = + 7 −1 − 11 7 − 1 + 11

)

= 7 + 6 − 11

(

)

= 22 −

( 3)

)−

(

7 +6 7

11.

= 4 −3 =1

)

11 + 1

1 + 11

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:  2+ 2 3 +3 1 +  − 1: 2 3 +1  2+ 3 

a. A = 

( Trích đề thi kỳ I lớp 9 của Sở GD- ĐT Nam Định năm học 2008 – 2009)  6− 3 −  1− 2

b. B = 

 15 − 2 5 . 2 + 3  : 

(

)(

) (

3− 5

)

( Trích đề thi kỳ I Lớp 9 của Sở GD- ĐT Nam Định năm học 2010 – 2011) Lưu ý: Nội dung bài tập trong ví dụ 2 đòi hỏi học sinh nắm kiến thức một cách linh hoạt, có khả năng phân tích bài toán chính xác và đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng làm bài tốt. Chính vì thế học sinh cần nắm được tất cả những lỗi sai hay mắc phải trong nội dung phần rút gọn kết hợp với việc thực hiện chính xác các bước của bài toán thực hiện phép tính để có được một lời giải chính xác. Những lỗi sai mà học sinh hay mắc phải khi làm dạng bài tập này là: + Xác định thứ tự thực hiện phép tính sai ( Trong câu a học sinh có thể thực hiện phép chia sau cùng ) + Khi biến đổi phép chía phân thức về phép nhân với phân thức nghịch đảo học sinh 1 học sinh có thể viết 2+ 3

không đóng mở ngoặc khi nhân với một biểu thức ( ví dụ 1: ra kết quả 1. 2 + 3 )

+ Khả năng quan sát nhận biết phân thức chưa tối giản còn yếu + Còn hay sai khi nhân mở ngoặc đằng trước có dấu trừ Hướng dẫn giải:   2+ 2 3 +3 1 a. A =  + =  − 1: 2 3 +1  2+ 3     2. 2 + 1 3. 1 + 3 A= +  2 3 +1 

(

)

(

)  −  

( 2)

+ 2 2

2− 3=

(

 6− 3 −  1− 2

 15 − 2 5 . 2 + 3  : 

(

 2.3 − 3 B= −  1− 2

)(

(

) (

 3.5 − 2 5 . 2 + 3  : 

)(

3− 5

) (

3 +1

)

3− 5

( 3)

  − 1.  

2 +1+ 3 − 2 − 3

A = 2 +1+ 3 − 2 − 3 = 1

b. B = 

)

(

2+ 3

)

 2.3 − 3 B= − 3.5 − 2 5 . 2 + 3  1− 2  2. 3 − 3 B= − 3. 5 − 2 5 . 2 + 1 − 2 

(

)(

(



) : ( 

3− 5

 3 : 

)(

) (

)

3− 5

)

 3. 2 − 1  B= − 5. 3 − 2 . 2 + 3  : 3 − 5  − 2 −1    2 B =  − 3 − 5.  3 − 22   : 3 − 5 =  − 3 − 5. ( 3 − 4 )  :    

(

)

(

)(

( )

B =  − 3 − 5. ( −1)  :

(

) (

)

) (

)(

3− 5 = − 3+ 5 :

(

3− 5

)

3 − 5 =1

Bài tập tự luyện: Bài 1: Rút gọn biểu thức a.

3+ 3 1+ 3 

d. 1 + 

14 − 7 2− 2

5+ 5   5− 5   . 1 −  5 + 1   5 − 1 

5 − 5 10 − 5 −1 5

2−3 2 2−2 3 + 2 3 −1

Bài 2: Rút gọn biểu thức 5+ 5 2 2 + 2  1 +  − 1: 5 2 +1  2− 5 

 14 − 7  − 2− 7 :  1− 2 

a. A = 

b. B = 

(

) (

3− 5

)

Thông qua các ví dụ trên giáo viên cần chốt lại cho học sinh những chú ý cần thiết khi làm dạng toán 1 là: Nhận xét biểu thức trong dấu căn, phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng đúng cho từng bài tập: + Vận dụng các phép biến đổi thành thạo + Phân tích các biểu thức số tìm cách đưa về các số có căn bậc hai đúng A2 = A hoặc hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu và áp dụng khai căn bậc hai. + Luôn chú ý đến dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích và rút gọn. + Triệt để sử dụng các phép biến đổi liên quan tới căn bậc hai như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu...

Dạng 1.5: Rút gọn nhờ phương pháp bình phương một biểu thức Ví dụ : Rút gọn biểu thức sau: a. A =

3− 5 + 3+ 5

( Ví dụ 3 dạng 1.1)

b. B = 109 − 36 7 + 109 + 36 7 c. C = 2 +

5+ 5 5+ 5 + 2− − 3 − 5 −1 2 2

Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp bình phương biểu thức sau đó sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu để khai triển và rút gọn. a. A =

3− 5 + 3+ 5

Phân tích: Ta nhận thấy trong biểu thức A có chứa hai dấu căn và trong hai dấu căn là hai biểu thức liên hợp. Do đó ta có thể bình phương cả hai vế để rút gọn biểu thức trên. Ta có A2 = ( 3 − 5 + 3 + 5 )2 = ( 3 − 5 ) 2 + 2. 3 − 5. 3 + 5 +

(

3+ 5

)

= 3 − 5 + 2. 32 − ( 5) 2 + 3 + 5 = 3 − 5 + 2. 9 − 5 + 3 + 5 = 6 + 2. 4 = 6 + 2.2 = 6 + 4 = 10 Vì A > 0 và A2 = 10 nên A = 10 b. B = 109 − 36 7 + 109 + 36 7 Phân tích: đối với ví dụ này học sinh sẽ thiên về phương pháp sử dụng hằng đẳng thức A2 = A vì nhận thấy 36 7 có thể viết được thành hai lần số thứ nhất nhân số thứ hai.

Học sinh sẽ lúng tứng khi đi theo phương pháp này vì biến đổi biểu thức trong căn thành bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu găp nhiều khó khăn. Giáo viên cung cấp cho học sinh phương pháp rút gọn biểu thức nhờ việc bình phương biểu thức đó cụ thể như sau: Ta có: B2 =

(

109 − 36 7 + 109 + 36 7

)

B2 =

(

)

109 − 36 7

+ 2. 109 − 36 7 . 109 + 36 7 +

(

)(

(

109 + 36 7

)

B 2 = 109 − 36 7 + 2. 109 − 36 7 109 + 36 7 + 109 + 36 7

(

B 2 = 109 − 36 7 + 109 + 36 7 + 2 1092 − 36 7

)

B 2 = 218 + 2. 11881 − 9072 B 2 = 218 + 2. 2809 = 218 + 2.53 B 2 = 218 + 106 = 324

Vì B > 0 Suy ra

c. C = 2 +

B = 18

5+ 5 5+ 5 + 2− − 3 − 5 −1 2 2

Phân tích: Qua câu a học sinh cần nắm được dạng của biểu thức rút gọn theo phương pháp bình phương biểu thức . Cụ thể trong câu b này ta không thể dùng bình phương của cả biểu thức B mà chỉ sử dụng bình phương một biểu thức nhỏ trong biểu thức B đã cho cụ thể: Đặt D = 2 +

5+ 5 5+ 5 + 2− 2 2

;

  5+ 5 5+ 5  Ta có D 2 =  2 + + 2−  2 2   

    5+ 5  5+ 5 5+ 5  5+ 5  2  D = 2+ +2 2+ . 2− + 2−   2  2 2 2      2

 5+ 5  5+ 5 5+ 5  + 2− D = 2+ + 2 4−   2 2 2   2

D 2 = 4 + 2. 4 −

5+ 5 2

D 2 = 4 + 16 − 10 − 2 5 = 4 + 6 − 2 5 D2 = 4 +

(

)

5 −1

= 4+

5 −1 = 4 + 5 −1

D2 = 3 + 5

Vì D > 0 Suy ra D = 3 + 5 Khi đó ta có C = 3 + 5 − 3 − 5 + 1 Đến đây học sinh vẫn có thể sử dụng phương pháp bình phương biểu thức lần nữa, khi đó bài làm sẽ dài và cồng kềnh, chính vì thế giáo viên cần phân tích để học sinh có thể vận dụng những phương pháp đã được học để giảm bớt sự cồng kềnh đó C = 3 + 5 − 3 − 5 +1 =

(

)

5 +1 2

−

(

)

5 −1 2

6+2 5 6−2 5 − +1 2 2

5 +1 − 2

5 −1 +1 2

5 +1− 5 +1 2 +1 = +1 2 2

C = 2 +1

Bài tập tự luyện Bài 1 : Tính giá trị của biểu thức P = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

Kết quả : P = 5 + 1 Bài 2 : Tính giá trị của biểu thức P=

5+ 3 + 5− 3 5 + 22

+ 11 − 6 2

( Trích đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nam Định năm học 2015 – 2016) Kết quả : P = 3 Thông qua các ví dụ trên giáo viên cần chốt lại cho học sinh những chú ý cần thiết khi làm dạng toán 1 là: Nhận xét biểu thức trong dấu căn, phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng đúng cho từng bài tập: + Vận dụng các phép biến đổi thành thạo + Phân tích các biểu thức số tìm cách đưa về các số có căn bậc hai đúng A2 = A hoặc hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu và áp dụng khai căn bậc hai. + Luôn chú ý đến dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích và rút gọn. + Triệt để sử dụng các phép biến đổi liên quan tới căn bậc hai như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu...

DẠNG 2. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CHỮ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp giải: Một số chú ý khi làm dạng toán rút gọn biểu thức chứa chữ: Bước 1: Điều kiện để giá trị của biểu thức được xác định (Nếu đề bài chưa cho): + Căn thức được xác định ( biểu thức thức trong căn có giá trị ≥ 0) + Phân thức được xác định ( mẫu thức có giá trị khác 0) + Điều kiện để thực hiện phép chia ( biểu thức chia có giá trị khác 0) Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử ( áp dụng thành thạo các phép biến đổi với căn thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung + Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của các mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng, rút gọn, kết hợp với điều kiện đề bài để kết luận Bước 4: Làm các câu hỏi phụ theo yêu cầu của bài toán: + Tuân thủ nghiêm ngặt các quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình. + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toán để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận. Dạng 2.1: Rút gọn biểu thức chứa chữ A C E + + B D F

Dạng 2.1A: Biểu thức có dạng tổng Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau: x

a, P =

x +3 1

b, D =

x−

c, B = d, A = e, P = f, P =

3x + 9 x −3 x − 9

2 x

2 a -2

2 a +2 -

x- x +1 2 x -9 x -5 x +6 1 2(1 + x )

a -1

x2 + x

víi x ≥ 0;x ≠ 9

−

x-1

a +1

−

x-1

2 1-a

3x + x

x -2

víi a ≥ 0; a ≠ 1

+ 1 víi x > 0

x x +3

− 2 x - 1 víi x ≥ 1

1 2(1 - x )

2 x +1 x -3 -

víi x ≥ 0, x ≠ 4 vµ x ≠ 9

x2 + 2 víi x ≥ 0, x ≠ 1 1 - x3

Phương pháp giải: Học sinh phân tích các mẫu thành nhân tử, tìm Mẫu thức chung, Quy đồng, biến đổi và thực hiện các phép tính theo thứ tự thực hiện phép tính để rút gọn biểu thức và kết luận.

Những sai lầm học sinh thường mắc phải: - Áp dụng không đúng các hằng đẳng thức - Áp dụng không đúng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Vận dụng sai quy tắc đổi dấu của phân thức Khắc phục : Giáo viên nêu lại và phân tích kỹ cho học sinh thấy sai lầm qua từng ví dụ để từ đó học sinh rút ra kinh nghiệm cho bản thân khi làm dạng bài tập này. Hướng dẫn gải: a, P =

x x +3

3x + 9 x −3 x −9

2 x

−

víi x ≥ 0;x ≠ 9

Phân tích: Đối với câu này các phân thức trong biểu thức đã tối giản nên Giáo viên yêu cầu học sinh quan sát các mẫu thức để nhận thấy: với x ≥ 0 thì x - 9 = ( x - 3)( x + 3) , Từ đó tìm được mẫu thức chung của các mẫu là ( x - 3)( x + 3) và các nhân tử phụ tương ứng để quy đồng, biến đổi và rút gọn được biểu thức. Cụ thể : Với x ≥ 0; x ≠ 9 ta có P=

x x +3

3x + 9 x −3 x −9

2 x

−

x( x − 3)

2 x( x + 3)

3x + 9

−

( x + 3)( x − 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( x)2 − 3 x + 2( x )2 + 6 x - (3x + 9) ( x + 3)( x − 3)

Trong bước này Giáo viên cần lưu ý học sinh: khi thực hiện phép trừ để tránh sai lầm thì nên để kết quả trong ngoặc rồi thêm bước bỏ dấu ngoặc. P=

x − 3 x + 2x + 6 x - 3x - 9 ( x + 3)( x − 3) 3 x -9 ( x + 3)( x − 3)

3( x - 3) ( x + 3)( x − 3)

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 9 ta có P =

3 x +3

Lưu ý: Chỉ quy đồng và thực hiện cộng, trừ đồng thời nhiều phân thức khi xuất hiện một mẫu thức chia hết cho các mẫu thức còn lại. Ví dụ: x – 9 chia hết cho

x +3;

x −3

b, D =

1 x−

x-1

−

x-1

− 2 x - 1 víi x ≥ 1

Phân tích: Trong biểu thức D ta dễ dàng xác định được ngay Mẫu thức chung của các mẫu là

(

x − x −1

)(

)

x + x − 1 nhưng ta không quy đồng cùng lúc cả ba mẫu thức mà

chỉ quy đồng mẫu của hai phân thức đầu rồi thực hiện phép tính trừ để tránh trường hợp phải làm quá dài. Khi thực hiện phép trừ hai phân thức đầu ta thu được kết quả là một phân thức đơn giản hơn và dễ dàng thực thiện phép trừ còn lại. Cụ thể : Với x ≥ 1 ta có: D=

1 x−

−

x-1 x+

−2 x - 1

x-1

−

( x−

x - 1)( x +

x - 1)

x -1 -( x−

x - 1)

( x−

x - 1)( x +

x - 1)

x− ( x+

x-1

x - 1)( x −

-2 x - 1 =

x - 1)

−2 x - 1

x - 1 - x + x - 1)

-2 x - 1

( x )2 − ( x - 1)2

2 x-1 2 x-1 -2 x - 1 = -2 x - 1 1 x − (x - 1)

D= 0

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 9 ta có D = 0 c, B =

a +1 2 a -2

a -1 2 a +2

2 1-a

víi a ≥ 0; a ≠ 1

Phân tích: Trong biểu thức B khi phân tích các mẫu thành nhân tử 2 a −2= 2

(

)

a −1 ; 2 a + 2 = 2

(

)

(

)(

)

a + 1 ;1 − a = 1 − a 1 + a

(

)

Ta xác định được Mẫu thức chung là 2 1 − a 1 + a hoặc 2

(

)(

a −1

)

a +1

Tuy nhiên để tiến hành quy đồng về mẫu thức chung ta phải áp dụng quy tắc đổi dấu để biến đổi 1 − a = − ( a − 1) . Cụ thể : Với a ≥ 0; a ≠1 ta có: B=

a +1 2 a -2

a +1

a -1 2 a +2

2 1-a

a -1

2( a - 1) 2( a + 1)

a +1 a -1 2 2 = + a- 1 2( a - 1) 2( a + 1) ( a- 1)( a +1)

( a + 1)( a + 1)

( a - 1)( a - 1)

2( a - 1)( a + 1) 2( a + 1)( a - 1) ( a + 1)2 - ( a - 1)2 + 4 2( a - 1)( a + 1)

2.2 2( a- 1)( a +1)

a + 2 a + 1 - (a - 2 a + 1) + 4 2( a - 1)( a + 1)

a +2 a +1- a +2 a -1+4 2( a - 1)( a + 1) 4 a +4 2( a - 1)( a + 1)

4( a + 1) 2( a - 1)( a + 1)

x2 + x x- x +1

a -1

Vậy với a ≥ 0; a ≠1 thì B =

d, A =

a -1

3x + x x

+ 1 víi x > 0

Phân tích : Quan sát từng phân thức trong biểu thức A ta thấy nếu phân tích cả tử và mẫu của từng phân thức thành nhân tử sẽ xuất hiện nhân tử chung và sẽ rút gọn được hai phân thức đầu. Do đó để rút gọn biểu thức A trước tiên ta đi rút gọn các phân thức có trong A. Cụ thể: Với x > 0 ta có : A=

x2 + x x- x +1

3x + x

x[( x )3 + 1] x- x +1

x -

x(3 x + 1) x

x( x + 1)(x - x + 1) x- x +1

x(3 x + 1) x

Trong khi rút gọn các phân thức riêng lẻ và đặc biệt trong biểu thức A ở trên, nhiều học sinh mắc lỗi không để biểu thức 3 x + 1 trong ngoặc. Giáo viên cần phân tích kỹ để học sinh tránh mắc lỗi sai này. A=

x( x + 1) (3 x + 1) +1 1 1

A=x+ x -3 x -1+1=x-2 x

Vậy với x > 0 ta có A = x - 2 x Lưu ý: Khi rút gọn các biểu thức liên quan đến công trừ các phân thức ta không nên quy đồng luôn mà cần quan sát và nhận xét từng phân thức. Nếu có thể rút gọn thì ta nên rút gọn trước khi quy đồng để biểu thức đơn giản hơn.

2 x -9

e, P =

x +3

x -5 x +6

x -2

2 x +1 x -3

víi x ≥ 0, x ≠ 4 vµ x ≠ 9

Phân tích: Đối với ví dụ này ta nhận thấy trong khi phân tích các mẫu thành nhân tử không thể dùng phương pháp dùng hằng đẳng thức đòi hỏi học sinh có độ tư duy cao hơn khi nhận biết và phân tích được x − 5 x + 6 =

(

x −3

)(

)

x − 2 . Trong quá trình làm

đòi hỏi học sinh vận dụng nhân đa thức với đa thức một cách chính xác và lưu ý khi bỏ ngoặc đằng trước ngoặc có dấu trừ. Cụ thể: Với x ≥ 0 ta có x - 5 x + 6 = x - 2 x - 3 x + 6 = (x - 2 x ) - (3 x - 6) = x( x - 2) - 3( x - 2) = ( x - 2)( x - 3)

Với x ≥ 0; x ≠ 4 và x ≠ 9

2 x -9 x -5 x +6

x +3 x -2

2 x -9 ( x - 2)( x - 3) 2 x -9 ( x - 2)( x - 3)

2 x +1 x -3

x +3

x -2

2 x +1 x -3

( x + 3)( x - 3) ( x - 2)( x - 3)

(2 x + 1)( x - 2)

2 x - 9 - (x - 9) + (2x - 4 x + x - 2) ( x - 2)( x - 3) x- x -2 ( x - 2)( x - 3)

( x - 2)( x + 1) ( x - 2)( x - 3)

(x - 2 x ) + ( x - 2) ( x - 2)( x - 3)

( x - 2)( x - 3)

2 x - 9 - x + 9 + 2x - 4 x + x - 2

( x - 2)( x - 3)

x( x - 2) + ( x - 2) ( x - 2)( x - 3)

x +1 x -3

Lưu ý : + Phân tích mẫu riêng trước khi thực hiện phép tính để tránh viết đi viết lại nhiều lần. + Nhắc lại phân tích tam thức bậc 2: ax2 + bx + c thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử:

- Cách 1. Tách hạng tử bậc 1: * Tính tích a.c = m * Phân tích m = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b * Tách bx thành b1x + b2x sau đó thực hiện nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ: Phân tích tam thức : x2 - 5x + 6 Ta có a.c = 1.6 = (-2)(-3) mà -2 + (-3) = -5 Nên x2 - 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = (x2 – 2x) – ( 3x – 6) = x(x – 2) – 3( x – 2) = (x – 2)(x – 3) - Cách 2. Tách hạng tử bậc 0 ( hạng tử tự do): Ví dụ : Phân tích tam thức x 2 - 5x + 6 = x 2 - 2.x. = (x 2 - 2.x.

5 25 1 5 25 1 + - = (x 2 - 2.x. + ) - ( )2 2 4 4 2 4 2

5 25 1 5 1 5 1 5 1 + ) - ( )2 = (x - )2 - ( )2 = (x - - )(x - + ) = (x - 3)(x - 2) 2 4 2 2 2 2 2 2 2

f, P =

1 2(1 + x )

1 2(1 - x )

x2 + 2 víi x ≥ 0, x ≠ 1 1 - x3

Phân tích: Trong biểu thức này ta thấy với x ≥ 0 thì 1 - x 3 = (1 − x)(1 + x + x 2 ) = [1 - ( x )2 ](1 + x + x 2 ) = (1 - x )(1 + x )(1 + x + x 2 )

Mặc dù 1 – x3 chia hết cho 1 - x vµ 1 + x nhưng với biểu thức P trong câu này ta không quy đồng đồng thời cả ba phân thức vì sẽ rất phức tạp và phép tính sẽ dài không viết hết trong một dòng. Nên chúng ta cần quan sát lựa chọn quy đồng hai phân thức đầu để kết quả đơn giản hơn và dễ thực hiện hơn. Cụ thể: Với x ≥ 0; x ≠ 1 P=

P= P= P=

1 2(1 + x )

1 2(1 - x )

1- x 2(1 + x )(1 - x ) 1- x +1+ x 2(1 + x )(1 - x ) 2 2(1 + x )(1 - x )

x2 + 2 1 - x3

1+ x 2(1 + x )(1 - x )

x2 + 2 1 - x3

x2 + 2 1 x2 + 2 = 1 - x3 1 - x (1 - x)( 1 + x + x 2 )

1 + x + x2 x2 + 2 1 + x + x 2- (x 2 + 2) = (1 - x)( 1 + x + x 2 ) (1 - x)( 1 + x + x 2 ) (1 - x)( 1 + x + x 2 ) 1 + x + x2- x 2 - 2 x-1 -(1 - x) -1 P= = = = 2 2 2 (1 - x)( 1 + x + x ) (1 - x)( 1 + x + x ) (1 - x)( 1 + x + x ) 1 + x + x 2 -1 Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 thì P = 1 + x + x2 P=

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau: a, P = b, Q = c, R =

x +1 x+ 2 x +1 x-1 x x -1 x+ x+1 x2 -

x+ x +1 2x + 2 x

2x + x x

x x -1

x- x

2(x - 1) x-1

x x +1 x+ x

víi x ≥ 0; x ≠ 1

víi x > 0; x ≠ 1

Phương pháp giải: Học sinh phân tích dựa trên phương pháp giải của Ví dụ 1 + Quan sát nhận xét về từng phân thức đơn lẻ trong biểu thức để rút gọn nếu được + Tìm Mẫu thức chung rồi quy đồng ( nhóm các phân thức nếu cần) + Vận dụng các phép biến đổi liên quan đến căn bậc hai để thực hiện phép tính. Hướng dẫn giải : a, P =

x +1 x +2 x +1 x-1 x x -1 x+ x +1

víi x ≥ 0; x ≠ 1

Phân tích: Học sinh cần nhận biết với x ≥ 0 ta có x x = ( x )3 và biết vận dụng chính xác hằng đẳng thức a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) kết hợp việc phân tích tử và mẫu của các phân thức thành nhân tử để thu gọn phân thức. Cụ thể: Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có : P=

x +1 x +2 x +1 x-1 x x -1 x+ x+1 x +1 ( x - 1)( x + 1)

x +2 ( x - 1)(x + x + 1)

x +1 x+ x+1

Trong trường hợp này giáo viên phân tích để học sinh thấy được không nên quy đồng đồng thời cả ba phân thức cũng không thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải mà cần nhận xét để thấy nên nhóm 2 phân thức -

x +2 ( x - 1)(x + x + 1)

x +1 x+ x+1

để thực hiện

trước. Khi thực hiện phải nhóm hai phân thức này vào trong ngoặc và đặt dấu trừ ra ngoài ngoặc. P=

 x +2 x +1  - +  ( x - 1)( x + 1)  ( x - 1)(x + x + 1) x + x + 1 

 x +2 ( x + 1)( x - 1)  - +  ( x - 1)( x + 1)  ( x - 1)(x + x + 1) ( x - 1)(x + x + 1) 

x +1

x +1 ( x - 1)( x + 1) 1

x -1

x +2+x-1

( x - 1)(x + x + 1)

x +1 ( x - 1)( x + 1)

x+ x +1 ( x - 1)(x + x + 1)

1 x -1

P=0

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì P = 0 b, Q =

x2 -

x+ x +1

2x + x x

2(x - 1) x-1

víi x > 0; x ≠ 1

Phân tích: Quan sát, nhận xét các phân thức trong biểu thức đều có thể rút gọn và sau khi rút gọn thì các mẫu bằng 1. Do đó ta không quy đồng mà đi rút gọn sau đó thực hiện phép tính. Cụ thể : Với x > 0; x ≠ 1 ta có Q=

x2 -

x+ x +1

x[( x )3 - 1] x+ x +1

2x + x x -

2(x - 1) x-1

x(2 x +1) x

x( x - 1)(x + x + 1) x+ x +1

2( x - 1)( x + 1) x-1

x(2 x +1) x

2( x - 1)( x + 1) x-1

Trong bài tập này học sinh sẽ mắc sai lầm khi rút gọn phân thức -

x(2 x +1) x

thành kết

quả - 2 x +1 . Giáo viên cần rèn cho học sinh đưa kết quả vào dấu ngoặc khi mẫu thức x(2 x +1)

của phân thức bằng 1. Kết quả đúng phải là -

x( x - 1)(x + x + 1) x+ x +1

x(2 x +1) x

= - (2 x +1)

2( x - 1)( x + 1) x-1

x( x - 1) 2 x + 1 2( x + 1) + 1 1 1

Q = x( x - 1) - (2 x + 1) + 2( x + 1) = x - x - 2 x - 1 + 2 x + 2

Q=x- x +1

Vậy với x > 0; x ≠ 1 thì Q = x - x + 1

c, R =

2x + 2 x

x x -1

x x +1

x- x

víi x > 0; x ≠ 1

x+ x

Phân tích: Phân tích tử và mẫu của từng phân thức thành nhân tử bằng các phương pháp, rút gọn từng phân thức ( nếu có thể) trước khi thực hiện phép tính. Cụ thể: Với x >0; x ≠ 1 ta có: R=

2x + 2 x 2x + 2 x 2x + 2 x

x x -1 x- x

x x +1

x+ x

( x - 1)(x + x + 1) x( x - 1) x+ x +1 x

2x + 2

( x )3 - 1 x( x - 1)

( x )3 + 1 x( x + 1)

( x + 1)(x - x + 1)

x( x + 1)

x- x +1 x

Khi cộng trừ các tử của các phân thức có cùng mẫu thức cần chú ý tử của phân thức đứng sau phép toán trừ phải được đặt trong dấu ngoặc sau đó bỏ ngoặc rồi thực hiện . R=

2x + 2 + x + x + 1 - (x - x + 1) x

2x + 2 + x + x + 1 - x + x - 1 x

2x + 2 x + 2 x 2x + 2 x + 2

Vậy với x >0; x ≠ 1 thì R =

Bài tập tự luyện: Rút gọn các biểu thức sau. a, P =

m- n

n + m + 2 mn m+ n

víi m ≥ 0; n ≥ 0; m ≠ n

Kết quả: P = 2( m + n ) b, P =

x+1 x x -1

x +1

x+ x +1

x +1 víi x ≥ 0; x ≠ 1 x-1

Kết quả: P = c, P =

x +2 x -2

2 x x +2

2 x -1 x -1

2 x+1 x +1

x x −1

2+5 x víi x ≥ 0; x ≠ 4 4-x

Kết quả: P = d, P =

1− x − x

3x - 5 x + 6 x -4

víi x ≥ 0; x ≠ 1

Kết quả: P =

2 x x-1

7 x +1

e, P =

x +5 x +4

x-3

x +4

x -1

víi x ≥ 0

x +1

Kết quả: P = f, P =

3(x + 2 x )

x+2

x+ x -2

x +1

x -1

3 x +2 x-1

víi x ≥ 0; x ≠ 1

x +2

Kết quả: P = g, P =

x x +1

−x x +x-2 x

x−

x +2

x +3 x +2

víi x ≥ 0

x +1

Kết quả: P = 0 Dạng 2.1B: Rút gọn biểu thức là tích hoặc thương của hai biểu thức: Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau: a, Q =

b, P =

x+2 x x+2 x +1 1 2

x +1 x

víi x > 0

x +1

x - x x x +x+ x

1 - a a  1 c, M =  + a .  1- a  1+ a  

víi x > 0; x ≠ 1

víi a ≥ 0; a ≠ 1

3 x +6 x  x-9 d, S =   :  x-4 2 x   x -3

víi x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4

Lưu ý: Đối với dạng bài tập này giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ năng biến đổi, kỹ năng trình bày sao cho mạch lạc và khoa học. Những lỗi thường mắc phải như: + Viết thiếu dấu ngoặc. Ví dụ: 3 :

1 x +2

học sinh có thể viết thành 3 x +2

+ Áp dụng sai quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức. Ví dụ: 3(x2 + 2) = 3x2 + 2 + Không nắm vững tính chất của phép cộng dẫn đến áp dụng quy tắc đổi dấu sai. Ví du:

x +1 1+ x

−(1 + x )

= -1

Hướng dẫn giải:

a, Q =

x+2 x x+2 x +1

x +1 x

víi x > 0

Phân tích: Trong trường hợp này ta chỉ cần áp dụng quy tắc nhân hai phân thức sau đó áp dụng quy tắc rút gọn phân thức. Cụ thể: Với x > 0 ta có: Q=

x+2 x x+2 x +1

x +1 x

x( x + 2)( x + 1) 2

[( x ) + 2 x + 1] x

Vậy với x > 0 thì

x( x + 2)( x + 1) ( x + 1)

x +2

x +1

x +2 x +1

Lưu ý: + Trong khi thực hiện phép tính nhân trên học sinh rất hay quên mở đóng ngoặc biểu thức

x + 1 dẫn đến kết quả phép tính sai. Giáo viên đưa ra ví dụ bổ xung để phân tích

lỗi sai quên dấu ngoặc từ đó rèn kỹ năng này: Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau : Q =

x+2 x x+2 x +1

Trong biểu thức trên cần biến đổi − x − 1 = −

(

− x -1

)

x +1

để có thể rút gọn biểu thức . Tuy

nhiên học sinh có thể lúng túng khi đặt vị trí của dấu “–”. Học sinh có thể viết như sau: Q=

x( x + 2). - ( x +1) ( x + 1)2 . x

Nhấn mạnh tầm quan trọng khi sử dụng dấu ngoặc trong trường hợp này Q=

x( x + 2). [- ( x +1)] ( x + 1)2 . x

+ Học sinh còn có thể mắc sai lầm nữa là tiếp tục rút gọn biểu thức Q = kết quả là

2 bằng cách rút gọn 1

x +2 x +1

và cho

x trên tử và dưới mẫu. Giáo viên phải nhắc lại

và nhấn mạnh quy tắc rút gọn phân thức: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho một nhân tử chung của chúng. Trong sai lầm trên của học sinh rõ ràng không phải là nhân tử chung của tử và mẫu nên rút gọn như thế là sai quy tắc.

b, P =

x +1

x - x x x +x+ x

víi x > 0; x ≠ 1

Phân tích: Trong biểu thức này học sinh cần nắm vững và vận dụng thành thạo quy tắc chia hai phân thức, quy tắc rút gọn phân thức. Cụ thể: Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có: P=

P= P=

x +1

x - x x x +x+ x 1 x( x - 1)(x + x + 1) 1 ( x - 1)( x + 1)

x[( x ) - 1] x(x + x + 1)

x +1

x(x + x + 1) =

x +1

1. x(x + x + 1) x( x - 1)(x + x + 1)( x + 1)

1 x-1

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 thì P =

1 x-1

Mở rộng: Khi rút gọn biểu thức là phép chia hai phân thức mà tử thức của phân thức chia là 1. Khi biến phép chia thành phép nhân thì được phân thức có mẫu là 1, khi đó học sinh bỏ qua không viết mẫu này từ đó có thể mắc lỗi không sử dụng dấu ngoặc. Ví dụ : P=

1 3

x[( x ) - 1] x + x + 1

1 x( x - 1)(x + x + 1)

.x+ x +1

Lời giải đúng phải là : P=

1 3

x[( x ) - 1] x + x + 1

1 x( x - 1)(x + x + 1)

1 - a a  1 c, M =  + a .  1- a    1+ a

. (x + x + 1) =

1 x( x - 1)

víi a ≥ 0; a ≠ 1

Phân tích: Việc rút gọn biểu thức không đơn giản là thực hiện cộng, trừ hoặc nhân, chia hai phân thức mà có sự kết hợp của các phép tính có thứ tự ưu tiên thực hiện khác nhau. Giáo viên cần nhắc lại và nhấn mạnh thứ tự thực hiện phép tính trong một biểu thức đó là: Nhân chia trước, cộng trừ sau, trong ngoặc trước ngoài ngoặc sau. Trong biểu thức M ở trên ta phải thực hiện phép tính cộng trước phép tính nhân sau. Cụ thể: Với a ≥ 0; a ≠ 1 ta có: 1 - a a  1 M=  + a .  1- a  1+ a    1 - ( a )3   (1 - a )(1 + a + a)  1 1 M=  + a . = + a .  1- a  1+ a   1- a     1+ a

) 1 +1 a

(

M= 1+ a +a+ a .

M = (1 + a )2 .

1 1+ a

= ( 1 + 2 a + a).

1 1+ a

= 1+ a

Vậy với a ≥ 0; a ≠ 1 thì M = 1 + a 3 x +6 x  x-9 d, S =  :  x -4 2 - x  x - 3 

víi x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4

Hướng dẫn giải: Với x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4 ta có: 3 x +6 x  x-9 S=  :  x-4 2 - x  x - 3 

 3( x + 2)  x  ( x ) 2 - 32 3( x + 2) S=  + = +  :  ( x )2 - 2 2  x -2 x -3   ( x - 2)( x + 2)  3 x  3+ x 1 1 S =  + . =  : ( x + 3) = x -2 x -2 x+3 x -2  x -2

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4 thì S =

x  ( x - 3)( x + 3) : x - 2  x -3

1 x-2

Bài tập tự luyện: Rút gọn các biểu thức sau: a, A =

2x + 1 x -2 x + 1 . 2 x - 1 1 - 4x

víi x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠

1 2

Kết quả : với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ b, B =

x-2 x+1 : 3 2 x - 1 x + x 2 − x -1

1 x −1 ta có P = 1 − 2x 2

víi x ≠ 1;x ≠ -1

Kết quả : Với x ≠ 1; x ≠ −1 ta có B = x – 2  1 5 x -4 2 + x c, C =  + :  x 2 x - x   x 

x   x -2 

víi x ≥ 0; x ≠ 4

Kết quả : Với x ≥ 0; x ≠ 4 ta có C =  x- 1 d, D =   x +1 

x +1   1 x  .   2  x - 1  2 x

2 x −1 2

víi x > 0; x ≠ 1

Kết quả : Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có D = 2 x x+5 x + 6 e, P =  −  x+ x -2 

 1 + 2 : víi x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4  x -1  x-1 Kết quả : Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4 ta có P = 3x + 3 x 1

Dạng 2.1C: Rút gọn biểu thức nhờ phối hợp các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa và thứ tự thực hiện phép tính.

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:  x-2 x + 2  1 - x  a, P =  − .   x-1 x + 2 x + 1   2  

víi x ≥ 0; x ≠ 1 2

 1+ 1 - x 1 - 1 + x  x2 - 1 b, P =  + + 1 víi -1 ≤ x ≤ 1; x ≠ 0  . 1- x + 1 - x 2 1 + x 1 + x     x   1 2 x c, P =  1 + :   - 1 víi x ≥ 0; x ≠ 1  x + 1   x - 1 x x + x - x - 1  

d, P =

e, E =

2 xy

 1 1  :   x y  

x−1 x+ x -2

x+y víi x > 0 ; y > 0; x ≠ y ( x - y )2

x+1  2  . + 1  víi x ≥ 0; x ≠ 1 x+ 2  x +1 

* Với tất cả các bài tập dã được làm quen và được trực tiếp giải trong các phần trên, học sinh đã có thể hình thành cho bản thân những phương pháp giải liên quan đến rút gọn biểu thức đồng thời có thể khắc phục những sai lầm trong các ví dụ trên. Những lỗi sai học sinh có thể mắc phải : + Không thực hiện các phép tính theo thứ tự thực hiện phép tính + Áp dụng sai hoặc không nhớ các công thức lũy thừa Hướng dẫn giải:  x -2 x + 2  1 - x  a, P =  −  .   x-1 x + 2 x + 1   2  

víi x ≥ 0; x ≠ 1

Phân tích: Để rút gọn biểu thức cần thực hiện đồng thời phép tính trong ngoặc và triển khai lũy thừa của một thương A

+) Nhắc học sinh nhớ lại công thức :   = m ; (A.B)m = A m .B m B B

Cụ thể : với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có:  x-2 x + 2  1 - x  P=  −  .   x-1 x + 2 x + 1   2  

2  x-2 x + 2  (1 - x) P=  − .  ( x - 1)( x + 1) ( x + 1)2  ( 2)2   2  ( x - 2)( x + 1) ( x + 2)( x - 1)  (1 - x) − P=  .   ( x - 1)( x + 1)2 ( x - 1)( x + 1)2  2 

Giáo viên lưu ý cho hoc sinh ở bước này, học sinh có thể bỏ mất dấu ngoặc và viết như 2

x-2 x + x-2

x + 2 x - x - 2) [(1 - x )(1 + x )] sau: P = − . là sai. 2 2 ( x - 1)( x + 1) ( x - 1)( x + 1)2

Tiếp tục ta có  x-2 x + x-2 x + 2 x - x - 2)  [(1 - x )(1 + x )] P=  − . 2   ( x - 1)( x + 1)2 2 ( x 1)( x + 1)  

x - 2 x + x - 2 - ( x + 2 x - x - 2) (1 - x )2 (1 + x ) P= . 2 ( x - 1)( x + 1)2

- 2 x(1 - x )2 (1 + x )2 x - x - 2 - x - x + 2 (1 - x )2 (1 + x ) P= . = 2 ( x - 1)( x + 1)2 ( x - 1)( x + 1)2 .2 P=

2 x(1 - x )2 (1 + x )2 (1 - x)( x + 1)2 .2

= x(1 - x ) = x - x

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 thì P = x - x Lưu ý: Học sinh có thể sai trong việc biến đổi về dấu để xuất hiện nhân tử chung. Ví dụ: (1 - x )2 = -( x - 1)2 hoặc (1 + x )2 = -( x + 1)2 do đó giáo viên cần củng cố và nhắc lại

để học sinh thấy được A 2 = (- A)2; A + B = B + A ( phép cộng có tính chất giao hoán) 2

 1+ 1 - x 1 - 1 + x  x2 - 1 b, P =  + + 1 víi -1 ≤ x ≤ 1; x ≠ 0  . 1- x + 1 - x 2 1 + x 1 + x  

Phân tích: với biểu thức này nhiều học sinh sẽ lúng túng vì trong những bài tập trước, biểu thức trong căn chủ yếu là x, y, .. còn trong biểu thức này biểu thức trong căn là đa thức 1 – x Giáo viên cần khẳng định và trò của x hay 1 – x dưới dấu căn là như nhau để học sinh dễ thấy được với x ≤ 1 thì 1 - x = ( 1 - x )2 Giáo viên nhắc lại về thứ tự thực hiện phép tính đối với biểu thức này: thực hiện trong ngoặc, phép nâng lên lũy thừa, phép nhân rồi mới đến phép cộng

Cụ thể : Với -1 ≤ x ≤ 1; x ≠ 0 ta có: 2

 1+ 1 - x 1 - 1 + x  x2 - 1 P=  + +1  . 1- x + 1 - x 2 1 + x - 1 + x   2

  x2 - 1 1+ 1 - x 1- 1+x P=  + +1  .  ( 1 - x )2 + 1 - x 2 ( 1 + x )2 - 1 + x   2

 1+ 1 - x P=  +  1 - x.(1 + 1 - x ) 

 x2 - 1 1- 1+x +1  . 2 1 + x.( 1 + x − 1) 

Nhiều học sinh sẽ mắc phải sai lầm là lấy

x2 - 1 + 1 thực hiện trước do đó giáo viên cần 2

nhắc lại về thứ tự thực hiện phép tính.  1 P=  −  1- x 

 1 + x - 1 - x  x2 - 1 1  x2 - 1 +1 =  . +1  .  1 - x. 1 + x  2 2 1+x  

( 1 + x )2 - 2 1 + x. 1 - x + ( 1 - x)2 x 2 - 1 ( 1 + x - 1 - x)2 x 2 - 1 . + 1 = . +1 2 2 ( 1 - x. 1 + x )2 ( 1 - x 2 )2

1 + x - 2 1 - x2 + 1 - x x2 - 1 2 - 2 1 - x2 x2 - 1 . + 1 = . +1 1 - x2 2 −(x 2 - 1) 2

2(1 - 1 - x 2 ) x 2 - 1 . +1 −(x 2 - 1) 2

P = -(1 - 1 - x 2 ) + 1 = -1 + 1 - x 2 + 1 = 1 - x 2

Vậy với -1 ≤ x ≤ 1; x ≠ 0 thì

P = 1 - x2

  x   1 2 x c, P =  1 + :   - 1 víi x ≥ 0; x ≠ 1  x + 1   x - 1 x x + x - x - 1  

Phân tích: Để rút gọn biểu thức ta thực hiện đồng thời các phép toán trong cả hai dấu ngoặc sau đó thực hiện phép chia và cuối cùng là thực hiện phép trừ Giáo viên nhắc lại các bước phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử. Nêu những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải khi thực hiện phép trừ. Cụ thể: Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có:

(

)

x x + x - x - 1= x x + x − ( x + 1) = x ( x + 1) − ( x + 1) = ( x + 1)

Khi đó   x   1 2 x P = 1 + :   -1  x + 1   x - 1 x x + x - x - 1  

(

x −1

)

 x+ x + 1  1 2 x :  - 1  x+1  x - 1 ( x - 1)(x + 1) 

x+ x + 1 x + 1 - 2 x x+ x + 1 ( x - 1)2 : -1 = : -1 x+1 x+1 ( x - 1)(x + 1) ( x - 1)(x + 1)

x+ x + 1 x - 1 : x+1 x+1

x+ x + 1

-1=

x -1

x+ x + 1 x + 1 . -1 x+1 x -1

-1 =

x+ x + 1 x -1

x -1

x+ x + 1- x + 1 x -1

x+2 x -1

x+2

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 thì: P =

x -1

Lưu ý: Với các trường hợp phân tích mẫu phức tạp để tránh việc phải viết đi viết lại biểu thức nhiều lần trong khi phân tích mẫu, Ta nên phân tích mẫu riêng trước khi thực hiện phép tính.Ví dụ trong biểu thức trên ta có thể phân tích mẫu trước rồi áp dụng để rút gọn biểu thức.

d, P =

2 xy

 1 1  :   x y  

x+y víi x > 0 ; y > 0; x ≠ y ( x - y )2

Cụ thể: Với x > 0; y > 0; x ≠ y ta có: P=

 y- x  :  xy  x. y 

x+y ( x - y)

( xy )2

xy ( y - x )

x+y ( x - y )2

Học sinh khi thực hiện đến bước này thường mắc lỗi sai khi nhận thấy hai phân thức : ( xy )2 ( y - x)

;

x+y ( x - y)

có thể đưa về cùng mẫu chung là ( x - y )2 nên chuyển sang

thực hiện phép trừ hai phân thức đó trước. Sai lầm thứ hai mà học sinh có thể mắc phải là viết ( y - x )2 = -( x - y )2 . P=

2 xy ( x - y)

x+y ( x - y)

2 xy - x - y ( x - y )2

Học sinh có thể không nhận thấy nếu đặt đấu trừ ra ngoài thì sẽ xuất hiện hằng đẳng thức và biểu thức có thể rút gọn tiếp. P=

2 xy - x - y ( x - y )2

−(x - 2 xy + y)

( x - y )2

−( x - y ) 2

( x - y )2

Vậy với x > 0; y > 0; x ≠ y thì P = -1

= -1

e, E =

x−1

x+1  2  . + 1  víi x ≥ 0; x ≠ 1 x + 2  x +1 

x+ x -2

Phân tích: Mẫu thức x + x - 2 phân tích thành nhân tử nhờ phương pháp tách hạng tử và nên làm trước khi thực hiện phép tính . Với x ≥ 0 ta có: x + x - 2 = x - x + 2 x - 2 = (x - x ) + (2 x - 2) =

x( x - 1) + 2( x - 1) = ( x - 1)( x + 2)

Cụ thể: với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có: E=

x−1 x+ x -2

 x+1  2 . + 1 x+ 2  x+1 

( x − 1)( x + 1) ( x - 1)( x + 2)

x+ 1  .1 + x+2 

x + 1 2( x + 2) . =2 x+2 x+1

( x )2 − 1

( x - 1)( x + 2)

 x+1  2 . + 1 = x + 2  x+ 1 

 + 1 = x+ 1  2

x+ 1  . 2 + x+2 

x+ 1 x+2   = x+ 1 

x+1  2  . + 1 x + 2  x +1 

 x+1  2 . + 1 x + 2  x+ 1 

x + 1 2 x+2+2 . x+2 x+1

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 thì E = 2 Bài tập tự luyện: Rút gọn các biểu thức sau:  1 a, B =  + x- x

x +1  : x - 1  ( x - 1)2 1

víi x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠

Kết quả : với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠  2 x b, P =  +  x +3 

x x -3

3x + 9 x-9

 x +1  :  x− 6 x +9

1 2

1 2 x -1 ta có B = 2 x

víi x ≥ 0; x ≠ 9

Kết quả : Với x ≥ 0; x ≠ 9 ta có P = Một số lưu ý khi làm dạng toán 2

Nắm chắc các hằng đẳng thức.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

Thứ tự thực hiện phép tính.

Quy đồng, biến đổi dấu, rút gọn phân thức

Các kiến thức về căn bậc hai.

Linh hoạt trong quá trình biến đổi.

9 x +1

Dạng toán rút gọn biểu thức là kiến thức căn bản để ta làm các dạng toán liên quan như: Chứng minh đẳng thức, Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến, tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước của biến,… Dạng 2.2. Các dạng toán phụ của bài toán rút gọn Trước khi làm các dạng toán phụ thì phải có được kết quả bài toán rút gọn chính xác. Chính vì vậy việc rút gọn biểu thức là việc quan trọng đầu tiên chúng ta phải làm. Sau khi có kết quả chính xác ta đi vào nội dung các dạng toán phụ như sau: Dạng 2.2A Tính giá trị cuả biểu thức tại giá trị cho trước cuả biến Phương pháp giải: + Đối chiếu giá trị của biến với điều kiện xác định của biểu thức: + Thay giá trị của biến nếu thỏa mãn điều kiện xác định vào biểu thức đã rút gọn, thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức số để tính giá trị của biểu thức. Lưu ý: Giáo viên cần củng cố và nhắc lại cho học sinh một số cách biến đổi giá trị của biến trước khi thay vào biểu thức để tính giá trị. Ví dụ: a, x = 4 - 2 3 = 3 - 2 3 + 1 = ( 3 - 1)2 b, x =

c, x =

2 2+ 3

2(2 - 3) (2 + 3)(2 - 3)

4-2 3 = ( 3 - 1)2 4-3

3- 5 2(3 - 5) 6-2 5 5 - 2 5 + 1 ( 5 - 1)2 = = = = 2 4 4 4 4

Ví dụ 1: Cho biểu thức: P=

x x +3

2 x x− 3

3x + 9 víi x ≥ 0; x ≠ 9 x-9

Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4 - 2 3 Phân tích : Sử dụng các kiến thức đã học rút gọn biểu thức P rồi từ đó thay giá trị x = 4 - 2 3 đã được biến đổi thành x = ( 3 - 1)2 vào biểu thức P rút gọn và tính giá trị

Chú ý : Giá trị của x trước khi thay vào biểu thức cần được đối chiếu với điều kiện xác định Hướng dẫn giải: Với kết quả rút gọn của biểu thức đã được thực hiện trong câu a của Ví dụ 1 dạng 2.1A ta có: Với x ≥ 0; x ≠ 9 ta có P =

3 x +3

x = 4 - 2 3 = 3 - 2 3 + 1 = ( 3 - 1)2 (Thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 9)

Thay x = ( 3 - 1)2 vào biểu thức P = 3

( 3 - 1)2 + 3

3 3-1+3

x +3

3 3+2

ta có: 3( 3 - 2)

( 3 + 2)( 3 - 2)

3 3-6 = -(3 3 - 6) = 6 - 3 3 3-4

Vậy với x = 4 - 2 3 thì P = 6 - 3 3 Đối với giá trị của biểu thức P cần phải thực hiện các phép biến đổi để mẫu không còn căn thức. Ví dụ 2: Cho biểu thức: P=

2 x-9 x-5 x +6

x +3

x− 2

2 x+ 1 x -3

Tính giá trị của biểu thức P khi x =

víi x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9

3- 5 2

Hướng dẫn giải: Kết quả rút gọn của biểu thức đã được thực hiện trong câu e của Ví dụ 1 dạng 2.1A Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 ta có P =

x +1 x -3

 5 - 1 3- 5 2(3 - 5) 6-2 5 5 - 2 5 + 1 ( 5 - 1)2 x= = = = = =  2  2 4 4 4 4  

(Thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9) Trong nội dung bài tập này ta thấy x có dạng một phân thức , biểu thức P cũng có dạng phân thức

A nên khi thay giá trị của x vào P ta được một biểu thức khá cồng kềnh và B

sẽ khó thực hiện với học sinh. Vì thế nên viết biểu thức P dưới dạng A:B để dễ thực hiện hơn. P=

x +1 x -3

= ( x + 1) : ( x - 3)

 5 - 1 Thay x =    2   P=   

vào biểu thức P ta được:

2    5 - 1     + 1  :  2      

5 +1 5 -7

Vậy với x =

2   5 - 1   5 - 1 + 1 :  5 - 1 - 3    - 3  =       2  2    2  

( 5 + 1)( 5 + 7) ( 5 - 7)( 5 + 7)

5 + 7 5 + 5 + 7 12 + 8 5 3+2 5 = = 5 - 49 - 44 11

3- 5 3+2 5 thì P = 2 11

Một số bài tập cho với dạng câu hỏi khác nhưng bản chất vẫn là dạng bài tìm giá trị của biểu thức P khi x = a. Ví dụ như: 

x 

Ví dụ 3: Cho biểu thức: P =  + . x + 1  x + x + 2  x −1

với x ≥ 0; x ≠ 1

Chứng minh rằng khi x = 3 + 2 2 thì P =

1 2

( Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2010 – 2011 của SGD – ĐT Nam Định) Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có P =

(

)

(

)

Lại có x = 3 + 2 2 = 1 + 2

x x −1

( thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1 )

Thay x = 3 + 2 2 = 1 + 2 vào biểu thức P =

(1 + 2 )

3 + 2 2 −1

1+ 2 2+2 2

1+ 2

(

2 1+ 2

Vậy khi x = 3 + 2 2 thì P =

)

x ta có: x −1

1 2

Lưu ý: Linh hoạt trong khi thay giá trị của x vào biểu thức. Ví dụ trong bài tập này trên

(

tử của phân thức rút gọn nên thay x = 1 + 2

)

nhưng dưới mẫu của phân thức thu gọn

nên thay x = 3 + 2 2 . Bài tập tự luyện: 1, Cho biểu thức:

 1 P=  + x - x

 x+ 1 : x − 1  (1 - 2 x + x) x

víi x ≥ 0; x ≠ 1

Tính giá trị biểu thức P khi x = 3 + 2 2 Kết quả: với x = 3 + 2 2 thì P = 2

(Trích đề khảo sát CL HKI của Sở GDĐT Nam Định năm học 2003 – 2004) 2, Cho biểu thức:

x+ x  x− x  P=  + 1 . - 1  víi x ≥ 0; x ≠ 1  x +1       x -1 

Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4 + 2 3 Kết quả: với x = 4 + 2 3 thì P = 3

(Trích đề khảo sát CL HKI của Sở GDĐT Nam Định năm học 2013 – 2014) 41

Dạng 2.2B Tìm giá trị của biến biết biểu thức P = a ( a là một giá trị hoặc một biểu thức) Phương pháp giải: Cho biểu thức P = a, giải phương trình tìm ra giá trị của x, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận. Lưu ý: Bản chất của dạng bài tập này là giải phương trình nên cần chú ý những nội dung sau: + Nắm vững cách giải của các dạng phương trình. + Đối chiếu giá trị tìm được của ẩn với điều kiện trước khi kết luận. x2 + x

Ví dụ 1: Cho biểu thức: A =

x- x +1

3x + x x

+ 1 víi x > 0

Tìm x để A = -1. Hướng dẫn giải: Kết quả rút gọn của biểu thức đã được thực hiện trong câu d của Ví dụ 1 dạng 2.1A Với x > 0 ta có A = x - 2 x A = -1 ⇔ x - 2 x = -1 ⇔ x - 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1)2 = 0 ⇔

x − 1=0⇔

x =1

⇔ x = 1 ( thỏa mãn x > 0)

Vậy với x = 1 thì A = -1 Ví dụ 2: Cho biểu thức:  x +2 Q=  x +2 x +1 

x-2 x-1

  . 

x +1 x

víi x > 0; x ≠ 1

a, Tìm giá trị của x để Q = x b, Tìm giá trị của x để Q.( x + 1) = x + 3 Hướng dẫn giải: Kết quả

rút gọn của biểu thức Q là: Với x > 0; x ≠ 1 ta có

2 2 x(x - 1) =x⇔ = x-1 x -1 x-1 2 2 ⇒ 2 = x(x - 1) ⇔ 2 = x - x ⇔ x - x - 2 = 0 a, Q = x ⇔

⇔ (x + 1)(x - 2) = 0 ⇔ x + 1 = 0 hoÆc x - 2 = 0 ⇔ x = -1 hoÆc x = 2

Ta có x = 2 thỏa mãn x > 0; x ≠ 1. x = -1 không thỏa mãn x > 0; x ≠ 1. Vậy với x = 2 thì P = x

2 x-1

2 .( x + 1) = x + 3 x-1 2 2 .( x + 1) = x + 3 ⇔ = x +3 ⇔ ( x - 1)( x + 1) x -1 b, Q.( x + 1) = x + 3 ⇔

⇒ ( x - 1)( x + 3) = 2 ⇔ x + 3 x - x - 3 = 2 ⇔ x + 2 x - 5 = 0 (*)

Đặt

x = t (t ≥ 0)

Phương trình (*) trở thành: t 2 + 2t - 5 = 0 ∆′ = 12 + 5 = 6 > 0

Vì ∆′ > 0 , nên phương trình (*)có hai nghiệm phân biệt: t1 = t2 =

Với t = − 1 + 6 ⇔

−1 + 6 = − 1 + 6 ( tháa m·n t > 0) 1

−1 - 6 = − 1 - 6 ( kh«ng tháa m·n t > 0) 1

x = -1 + 6

⇔ ( x )2 = (-1 + 6)2 ⇔ x = 1 - 2 6 ⇔ x = 7 - 2 6 ( tháa m·n x > 0; x ≠ 1)

Vậy với x = 7 - 2 6 thì Q.( x + 1) = x + 3 Bài tập tự luyện: 1, Cho P =

x x −1

x- x

x x+1 x+ x

Tìm giá trị của x để P =

x+1 x

víi x ≥ 0; x ≠ 1

9 2

Kết quả: Với x = 4 hoặc x =  x−2

2, Cho P = 

x +2 x

1 9 thì P = 4 2

 x+1 víi x > 0; x ≠ 1 . x + 2 x − 1 1

Tìm giá trị của x để 2P = 2 x + 5 Kết quả: Với x = 3, Cho P =

1 2

x+1

x - x x x + x+ x

1 thì 2P = 2 x + 5 4

víi x > 0; x ≠ 1

Tìm giá trị của x để 3P = 1 + x Kết quả: Với x = 2 thì 3P = 1 + x

Dạng 2.2C Tìm giá trị của biến biết P > a; P < a; P ≥ a; P ≤ a ( a là một giá trị hoặc một biểu thức) Phương pháp giải: + Rút gọn biểu thức + Giải bất phương trình P > a; P < a; P ≥ a; P ≤ a + Đối chiếu kết quả vừa tìm được với điều kiện xác định của biểu thức và kết luận Lưu ý : + Nắm chắc và áp dụng đúng các quy tắc biến đổi bất phương trình. + Cách biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số và kết hợp tập nghiệm trên trục số. + Cách giải bất phương trình tích, bất phương trình thương: A.B > 0 hay

A > 0 A < 0 A >0 ⇔ hoÆc  B B > 0 B < 0

A.B < 0 hay

A > 0 A < 0 A <0 ⇔  hoÆc  B B < 0 B > 0

A ≥ 0 A ≤ 0 A.B ≤ 0 ⇔  hoÆc  B ≤ 0 B ≥ 0

A ≥ 0 A ≤ 0 A.B ≥ 0 ⇔  hoÆc  B ≥ 0 B ≤ 0

A ≥ 0 A ≤ 0 A ≥ 0 ⇔ hoÆc  B B > 0 B < 0

A ≥ 0 A ≤ 0 A ≤ 0 ⇔  hoÆc  B B < 0 B > 0

Ví dụ 1: Cho biểu thức:  9−3 x   9− x x −3 x −2 P =  + −  :   với x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4 x −2 x + 3   x −9   x + x −6

a. Tìm giá trị của x để A < 0 b. Tìm giá trị của x để A > 1 Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4 ta có P = a. Nhận xét về kết quả P =

x −2

ta có tử thức là số đã xác định được dấu 3 > 0

Giải: Để P < 0 thì

3 x −2

3 <0 x −2

Vì 3 > 0 nên

x −2

< 0 ⇔ x −2< 0 ⇔ 0 ≤ x < 2 ⇔ 0≤ x < 4

( thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4 ) Vậy với 0 ≤ x < 4 thì P < 0 b. Lưu ý: học sinh mắc phải sai lầm là quy đồng khử mẫu Giải: Để P > 1 thì 3

x −2

>1⇔

x −2

−1 > 0 ⇔

x −2

−

x −2 3− x + 2 1− x >0⇔ >0⇔ >0 x −2 x −2 x −2

1 − x > 0 1 − x < 0 hoặc  ⇔  x − 2 > 0  x − 2 < 0 1 − x > 0 0 ≤ x < 1 0 ≤ x < 1 *  ( vô lý) ⇔ ⇔ x > 4  x − 2 > 0  x > 2 1 − x < 0  x > 1 x > 1 * ⇔ ⇔ ⇔ 1 < x < 4 ( thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 4 ) 0 ≤ x < 4  x − 2 < 0 0 ≤ x < 2

Vậy với 1 < x < 4 thì P > 1 2

Ví dụ 2: Cho biểu thức:

 x −1 x +1  1 x P =  − −  .   với x > 0; x ≠ 1  2  x −1   2 x  x +1

Tìm giá trị của x để

P >2 x

Hướng dẫn giải: - Lưu ý: Cách viết

P > 2 thành P : x > 2 để biểu thức cần thực hiện đỡ cồng kềnh x

- Kết quả rút gọn với x > 0; x ≠ 1 ta có P = − - Để −

x −1 x

P > 2 hay P : x > 2 thì x

x −1 x −1 1 x −1 x −1 2x : x >2⇔ . <2⇔ −2<0⇔ − < 0 ( với x >0 ) x x x x x x ⇔

− ( x + 1) x −1 − 2x −1 − x x +1 <0⇔ <0⇔ <0⇔ >0 x x x x

Ta có với x > 0; x ≠ 1 thì x > 0 và x + 1 >0

Nên với x > 0; x ≠ 1 thì

x +1 >0 x

Vậy với x > 0; x ≠ 1 thì

P >2 x

- Chú ý: học sinh có thể giải theo phương pháp giải bất phương trình thương như ví dụ 1 rồi kết hợp với điều kiện xác định để ra kết quả. Cần phân tích để học sinh khá,giỏi có thể nhận biết được cách giải nhanh. Bài tập tự luyện a+ a

 a− a



+ 1 :  − 1 1. Cho biểu thức P =   a + 1   a −1 

với a ≥ 0; a ≠ 1

Tìm giá trị của a để biểu thức P < 1 Kết quả: Với 0 ≤ a < 1 thì P <1  2 x

3x + 3   2 x − 2

2. Cho biểu thức P =  + − : x − 3 x − 9    x +3 Tìm giá trị của x để P <

 − 1 x −3 

với x ≥ 0; x ≠ 9

−1 2

Kết quả: Với 0 ≤ x < 9 thì P < 3. Cho biểu thức P( x) =

1 9− x − và Q ( x ) = x x+3 x

Tìm giá trị x nguyên nhỏ nhất thỏa mãn

−1 2

x +1 x

P ( x) 1 ≤ Q ( x) 2

Kết quả: Với x = 25 thì

P ( x) 1 ≤ Q ( x) 2

Dạng 2.2D: So sánh biểu thức P với một số a. Phương pháp giải: Xét hiệu P – a . - Nếu P – a > 0 thì P > a - Nếu P – a < 0 thì P < a Sai lầm học sinh thường mắc phải: - Nhầm lẫn với dạng bài tìm giá trị của x để P > a; P < a . - Sai lầm khi xét dấu của các biểu thức có liên quan đến biểu thức P mà bỏ quên khoảng giá trị của x cho trước.

 x −2 x + 2  1− x  Ví dụ 1: Cho biểu thức: P =  −  .   với x ≥ 0; x ≠ 1  x −1 x + 2 x + 1   2 

Chứng tỏ rằng khi 0 < x < 1 thì P > 0 Phân tích: Khi xét hiệu P – 0 = P nên ta đi chứng minh trực tiếp. Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có P = − x + x - Nhận xét : Với x ≥ 0; x ≠ 1 thì – x và

x là hai số có giá trị trái dấu nên không xác định

được dấu của P bằng cách cộng trực tiếp nên trước khi chứng minh ta phải đi biến đổi P - Giải: Ta có 0 < x < 1 thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1 Mà P = − x + x = −( x ) 2 + x ( khi x ≥ 0 ) P = − x.

(

)

x −1

Vì 0 < x < 1 nên 0 < x < 1 và nên Mà

x > 0 nên -

Khi đó với 0 < x < 1 thì -

x −1 < 0 x <0

x .( x − 1) > 0 hay P > 0

Vậy với 0 < x < 1 thì P > 0 1  −1  x+2 − : x −1  x  x x -1

Ví dụ 2: Cho biểu thức: M= 

với x > 0; x ≠ 1

Với x > 0; x ≠ 1 hãy so sánh giá trị của biểu thức M với Phân tích: Khi so sánh giá trị của biểu thức M với trong khoảng x > 0; x ≠ 1 thì M -

1 3

1 1 ta đi xét hiệu của M - sau đó xét 3 3

1 lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0. 3

Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x > 0; x ≠ 1 ta có biểu thức M = - Sai lầm học sinh gặp phải: Xét dấu của M minh là đã biết trước dấu của biểu thức P – a.

x x + x +1

1 sai vì không giống dạng toán chứng 3

- Giải: Xét hiệu: 1 x 1 3 x x + x +1 3 x − x − x −1 −x + 2 x −1 − = − = = M− = 3 x + x + 1 3 3( x + x + 1) 3( x + x + 1) 3( x + x + 1) 3( x + x + 1)

(

) = −(

)

− x − 2 x +1

1 M− = 3 3( x + x + 1)

x −1

3( x + x + 1)

Với x > 0; x ≠ 1 ta có x > 0;

x > 0 mà 1 > 0 nên x + x + 1 > 0 ⇔ 3 x + x + 1 > 0 ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra

(

x −1 > 0 ⇔ −

(

)

(

−

)

Cách 1: Với x > 0; x ≠ 1 ta có

x − 1 < 0 (1)

(

)

x −1

)

1 1 < 0 Hay M − < 0 ⇔ M < 3 3 3( x + x + 1)

Vậy với x > 0; x ≠ 1 thì M <

1 3

Cách 2: 2

1 1 3  1 3 Ta có : Với x > 0; x ≠ 1 thì x + x + 1 = ( x ) + 2. x . +   + =  x +  + > 0 2 2 4  2 4 2



1

Nên 3.  x +  + > 0 hay 3( x + x + 1) > 0 2 4  Mà với x > 0; x ≠ 1 ta có Do đó

−

(

( )

x −1

)

x −1 > 0 ⇔ −

(

)

x −1 < 0

1 1 < 0 Hay M − < 0 ⇔ M < 3 3 3( x + x + 1)

 3 3x 3 + 1  ( 3x + 1) 2 + 3x  : x+4  x 3x + x 

Ví dụ 3: Cho biểu thức: M= 

với x > 0

Chứng minh rằng khi x > 0 , ta luôn có M ≥ 4 Hướng dẫn giải: - Kết quả thu gọn với x > 0 của biểu thức M =

x+4 x

- Phân tích: Nếu áp dụng như đối với ví dụ 1 và ví dụ 2 thì học sinh có thể mắc sai lầm Với x > 0 thì x + 4 > 0 và

x > 0 . Xét thương

x+4 4 4 > ( là một phân thức không 0 0 x

xác định). Học sinh lúng túng khi không thấy xuất hiện dấu bằng trong bất đẳng thức. - Giáo viên cung cấp cho học sinh nội dung của bất đẳng thức cauchy Với x , y là các số không âm ta có : x + y ≥ 2 xy Dấu “ = ” xảy ra khi x = y

Chứng minh: Với a, b là các số không âm ta luôn có

( x − y)

≥ 0 ⇔ x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + 2 xy + y 2 − 4 xy ≥ 0 2

⇔ ( x + y ) ≥ 4 xy ⇔

( x + y)

≥ 4 xy ( Vì ( x + y ) ≥ 0 và 4 xy ≥ 0

⇔ x + y ≥ 2. xy ⇔ x + y ≥ 2. xy vì x + y ≥ 0. 2

Dấu bằng xảy ra khi ( x − y ) = 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y - Giải:

( x)

x+4 x 4 Cách 1: Với x >0 ta có M = = + = x x x

Vì với x > 0 ta có

x > 0;

4 >0 , x 4 x

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương x ; Ta có

4 ≥ 2. x

4 4 = x+ x x

4 4 4 4 ⇔ x+ ≥ 2. 4 ⇔ x + ≥ 2.2 ⇔ x + ≥4 x x x x

Vậy với x > 0 ta có M ≥ 4 Lưu ý: Khi giải theo cách này ta phải đi chứng minh được bất đẳng thức cauchy rồi mới được áp dụng. Cách 2:

Dựa vào cách chứng minh bất đẳng thức cauchy để chứng minh trực tiếp. 2

4   Với x > 0 Ta có  x −  ≥0⇔ x 

( x)

⇔

( )

4  4  − 2. x . +  ≥0 x  x

+ 2. x .

4  4  + ≥0  − 4. x . x  x x

4  4 4    ⇔ x+ ⇔ x+  ≥ 4. x .  ≥4 x x x  

Vì x > 0 nên 2

Do đó

4    x+  ≥ 16 ⇔ x 

Vậy với x > 0 ta có M ≥ 4

x > 0;

4 4 >0 ⇒ x+ >0 x x

≥4⇔ x+

4 x

≥ 4 ( Vì

4 x

>0)

Bài tập tự luyện: 

1. Cho biểu thức A = 

 x− x

x   2 + : x − 1   x − 1

  x +1  1

Với x > 0; x ≠ 1

Chứng minh rằng A – 2 > 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện x > 0; x ≠ 1 ( Trích đề tuyển sinh lớp 10 PTTH năm học 2012 – 2013 của SGD – ĐT Nam Định ). 

2. Cho biểu thức: P = 1 + 

x+2 x +4   với x ≥ 0; x ≠ 4  .  x − x −2  x + 3  5

Với 0 ≤ x < 4. Hãy so sánh P Với 1 Kết quả: P > 1 

3. Cho biểu thức P = 1 − 

x  x + 2 x +1 : x − x +1 x x +1

với x ≥ 0

Chứng minh rằng với mọi 0 ≤ x < 1 thì P > 0. Dạng 2.2 E : Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức p có giá trị nguyên Phương pháp giải: Dựa vào dấu hiệu chia hết của một số để thực hiện bài toán và qua các ví dụ sau đây sẽ giúp học sinh nắm được phương pháp làm bài và các dạng bài thường gặp để từ đó có lời giải chính xác ngắn gọn. 

x −2

x +2

Ví dụ 1: Cho biểu thức: Q =  −  .  x + 2 x +1 x −1 

x +1 x

với x > 0; x ≠ 1

Tìm số nguyên x lớn nhất để biểu thức Q có giá trị là một số nguyên. ( Trích đề tuyển sinh lớp 10 PTTH năm học 2004 – 2005 của SGD – ĐT Nam Định ). Hướng dẫn giải: - Kết quả thu gọn với x > 0; x ≠ 1 của biểu thức Q = - Phân tích: phân thức rút gọn Q =

2 x −1

2 có : x −1

Tử thức của là một số Mẫu thức là biểu thức x – 1 không chứa căn bậc hai nên x có giá trị nguyên thì x – 1 cũng có giá trị nguyên Biểu thức Q có giá trị nguyên khi 2 chia hết cho x – 1. - Giải: Với x > 0; x ≠ 1 và x nguyên thì x – 1 cũng nguyên Để biểu thức Q =

2 có giá trị là một số nguyên thì 2⋮ ( x − 1) x −1

hay x – 1 ∈ Ư(2) = {−2; −1;1; 2} Với x − 1 = −2 ⇔ x = −2 + 1 ⇔ x = −1 ( Không thỏa mãn x > 0) Với x − 1 = −1 ⇔ x = −1 + 1 ⇔ x = 0 ( Không thỏa mãn x > 0) Với x − 1 = 1 ⇔ x = 1 + 1 ⇔ x = 2

( Thỏa mãn x > 0; x ≠ 1 và x ∈ Z )

Với x − 1 = 2 ⇔ x = 2 + 1 ⇔ x = 3

( Thỏa mãn x > 0; x ≠ 1 và x ∈ Z )

Suy ra x ∈ {2;3} thì biểu thức P có giá trị là một nguyên Nên x = 3 là giá trị nguyên lớn nhất để biểu thức P có giá trị là một nguyên Vậy 3 là giá trị nguyên lớn nhất để biểu thức P có giá trị là một nguyên - Lưu ý :+ Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh lập bảng Để biểu thức Q =

2 có giá trị nguyên thì 2⋮ ( x − 1) hay x – 1 x −1

∈ Ư(2) = {−2; −1;1; 2}

Ta có bảng sau: x −1

-2

-1

Đối chiếu với

Không

Thỏa mãn

x > 0; x ≠ 1 và x ∈ Z

thỏa mãn

Nhìn vào kết quả của bảng ta có x = 3 là giá trị nguyên lớn nhất để biểu thức Q có giá trị là số nguyên + Giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh loại bớt giá trị khi tính toán Để biểu thức Q =

2 có giá trị nguyên thì 2⋮ ( x − 1) hay x – 1 ∈ Ư(2) = {−2; −1;1; 2} x −1

Ta có x > 0 nên x – 1 > −1 Do đó x – 1 ∈ {1; 2} Giải tiếp với một trong hai cách trên. 3 x +6 x  x −9 + : x − 2  x − 3  x−4

Ví dụ 2: Cho biểu thức: S = 

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9

Tìm giá trị x nguyên để biểu thức S có giá trị nguyên Hướng dẫn giải: - Kết quả thu gọn với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 ta có biểu thức P = - Phân tích: Phân thức rút gọn P =

1 có: x −2

1 x −2

Tử thức là một số Mẫu thức là biểu thức chứa căn thức bậc hai nên với x nguyên thì hoặc x là một số vô tỉ dẫn đến

x − 2 là một số nguyên hoặc

x là số nguyên

x − 2 là một số vô tỉ. Do

đó khi xét giá trị nguyên của biểu thức P ta phải xét hai trường hợp. - Giải: Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 và x nguyên thì + Nếu P=

x là một số nguyên thì

1 x −2

x là số nguyên hoặc

x là số vô tỉ

x − 2 cũng là một số nguyên nên để biểu thức

có giá trị là một số nguyên thì 1⋮

(

)

x − 2 hay

x −2

∈ Ư(1) = {−1;1}

Với

x − 2 = −1 ⇔ x = −1 + 2 ⇔ x = 1 ⇔ x = 1 ( Thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 )

Với

x − 2 = 1 ⇔ x = 1 + 2 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9 ( không thỏa mãn x ≠ 9 )

+ Nếu

x là một số vô tỉ thì

x − 2 cũng là một số vô tỉ nên biểu thức P =

1 x −2

không có giá trị là một số nguyên 1 có giá tri là một số nguyên. x −2

Vậy với x = 1 thì biểu thức P =

(

)

 x x −1 x x + 1  2 x − 2 x + 1 −  : x −1 x − x x + x  

Ví dụ 3: Cho biểu thức: A = 

với x > 0; x ≠ 1

Tìm giá trị x nguyên đề biểu thức A có giá trị là một số nguyên. Hướng dẫn giải: - Kết quả thu gọn với x > 0; x ≠ 1 ta có biểu thức A = - Phân tích: Phân thức rút gọn A =

x +1 x −1

có:

+ Tử thức và mẫu thức đều là các biểu thức chứa biến ( Khác với ví dụ 1 và ví dụ 2) + Biến đổi biểu thức A về dạng cuả biểu thức ở ví dụ 2 - Giải: Với x > 0; x ≠ 1 , ta có A =

x +1 x −1

x −1 + 2 x −1

x −1 x −1

2 x −1

= 1+

Với x > 0; x ≠ 1 và x nguyên thì

x là số nguyên hoặc

+ Nếu

x − 1 cũng là một số nguyên

x là một số nguyên thì

2 x −1

x là số vô tỉ

Ta có 1 là số nguyên nên để biểu thức A có giá trị là một số nguyên thì biểu thức 2 x −1

có giá trị là một số nguyên ⇔ 2⋮

Vì x > 0; x ≠ 1 nên

(

)

x − 1 hay

x > 0 ⇔ x − 1 > −1 . Do đó

x −1

∈ Ư(2) = {−2; −1;1; 2}

∈ {1; 2} .

Với

x − 1 = 1 ⇔ x = 1 + 1 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 ( thỏa mãn x > 0; x ≠ 1 )

Với

x − 1 = 2 ⇔ x = 2 + 1 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9 ( thỏa mãn x > 0; x ≠ 1 )

+ Nếu

x là một số vô tỉ thì

x − 1 cũng là một số vô tỉ nên biểu thức

2 x −1

không có

giá trị là một số nguyên do đó biểu thức A cũng không có giá trị nguyên. Vậy với x = 1 thì biểu thức P =

1 có giá tri là một số nguyên. x −2

- Lưu ý: Với bài tập nào có thể loại bớt giá trị khi tính toán thì giáo viên nên hướng dẫn, phân tích và yêu cầu học sinh chứng minh để loại bớt những giá trị không thỏa mãn. Như vậy đối với dạng toán này giáo viên cần phân tích kỹ để học sinh có sự linh hoạt khi lựa chọn pương pháp giải và cách trình bày bài sao cho ngắn gọn và dễ hiểu. Tránh cho học sinh quên đối chiếu với điều kiện của đầu bài khi xác định được giá trị của x. Bài tập tự luyện: 

x +2



1 

1. Cho biểu thức: M =  −  . x −  với x > 0 x + 1   x  x +1+ 2 x Tìm x là số nguyên dương để M có giá trị là một số nguyên. Kết quả: x = 1 2. Cho biểu thức: A =

x −1

( x + x )( x −

)

x +1

1 x + x 2

Tìm x là số nguyên để biểu thức

với x > 0

1 có giá trị là một số nguyên. A

Kết quả: x = 2 1   x+4   2x +1 −  : 1 −  Với x > 0; x ≠ 1; x ≠ 9 x −1   x + x +1   x x −1

3. Cho biểu thức: P = 

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương. Kết quả: x ∈ {16;36}

Dạng 2. 2 G: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức rút gọn P Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức rút gọn P ≥ a ; hoặc P ≤ a trong khoảng giá trị nào đó và xét dấu “=” xảy ra khi nào.  x −2 x + 2  x2 − 2 x + 1 −  . 2  x −1 x + 2 x + 1 

Ví dụ 1: Cho biểu thức : A = 

với x ≥ 0; x ≠ 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có A = x − x - Phân tích: Đưa biểu thức A về dạng : − P 2 + a ≤ a ( a là một số ) Dấu “ = ”xảy ra khi P 2 = 0 - Giải: Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có 1 1 1 1  A = x − x = −x + x − + = −  x − x +  + 4 4 4 4   A= − 

( x)

1 1 − 2. x . +   2 2

2  1 1 1   + = − x −  + 2 4   4 2

1 1 1 1 1    Ta có Với x ≥ 0; x ≠ 1  x −  ≥ 0 ⇔ −  x −  ≤ 0 ⇔ −  x −  + ≤ 2 2 2 4 4   

Hay A ≤

1 4

Giá trị lớn nhất của A là

1 1  khi  x −  = 0 4 2 

1 1 1 1   x −  = 0 ⇔ x − = 0 ⇔ x = ⇔ x = ( thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1 ) 2 2 2 4 

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 ,Giá trị lớn nhất của biểu thức A là

Ví dụ 2: Cho biểu thức: P =

1 1 khi x = . 4 4

2 x −1 2 x +1 − với x ≥ 0; x ≠ 1 x −1 x +1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có P =

2 x x −1

(

)

x − 4 ( x − 1) .P

Khi đó biểu thức A =

(

)

x − 4 ( x − 1) .

2 x = x −1

(

)

x − 4 .2 x = 2 x − 8 x

- Phân tích: Biểu thức A đưa được về dạng P 2 + a ≥ a Dấu “ = ” xảy ra khi P 2 = 0 - Giải: Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có A = 2x − 8 x = 2 Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có

(

( x)

)

(

x − 2 ≥ 0 ⇔ 2.

(

x −2

)

(

Biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 8 khi

(

( x)

−8 x +8−8 = 2

)

− 8 x + 8 − 8 = 2.

≥0⇔ x −2

)

(

)

(

)

x −2 −8

x − 2 − 8 ≥ −8 hay A ≥ −8

= 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 ( Thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1 )

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là – 8 khi x = 4. Ví dụ 3: Cho biểu thức :  2 x x 3x + 3   2 x − 2  P =  + − − 1 với x ≥ 0; x ≠ 9 : x − 3 x − 9   x − 3  x +3 

Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x ≥ 0; x ≠ 9 ta có P =

−3 x +3

- Phân tích: Biểu thức P có kết quả rút gọn là một phân thức có tử thức là một số không đổi, mẫu thức là một biểu thức dương. - Giải: Ta có x ≥ 0; x ≠ 9 thì

x ≥ 0 ⇔ x +3≥ 3⇔ ⇔

1 1 ≤ x +3 3

vì

−3 −3 ≥ ⇔ x +3 3

x + 3 > 0;3 > 0 −3 ≥ −1 x +3

Hay P ≥ −1 Biểu thức P đạt giá tri nhỏ nhất bằng – 1 khi

x = 0 ⇔ x = 0 ( thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 9 )

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 9 , biểu thức P có giá tri lớn nhất là – 1 khi x = 0 - Lưu ý: Phương pháp này chỉ áp dụng với phân thức có tử thức là một số dương và mẫu thức là một biểu thức luôn dương

Ví dụ 4: Cho biểu thức: P =

7 x +1 2 x −3 x −1 − − x+5 x +4 x +4 x +1

với x ≥ 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x ≥ 0 ta có P =

8−3 x x +4

- Phân tích: Biểu thức P có kết quả rút gọn là một phân thức với mẫu thức luôn dương với x ≥ 0 . Tử thức là một biểu thức liên quan đến x nên giá trị của tử thức không cố định. Ta biến đổi đưa về dạng ví dụ 2 - Giải: Với x ≥ 0 ta có P=

8 − 3 x −3 x − 12 + 12 + 8 −3 = = x +4 x +4

Với x ≥ 0 ta có

(

)

x + 4 + 20 x +4

x ≥0⇔ x +4≥4⇔

⇔

−3

(

1 1 ≤ ( vì x +4 4

20 20 ≤ ⇔ x +4 4

x +4 x +4

20 20 = −3 + x +4 x +4

x + 4 > 0; 4 > 0 )

20 −3 ≤ 5−3 ⇔ x +4

20 −3 ≤ 2 x +4

Hay P ≤ 2 Biểu thức P có giá trị lớn nhất là 2 khi

x = 0 ⇔ x = 0 ( thỏa mãn x ≥ 0 )

Vậy với x ≥ 0 , GTLN của P là 2 khi x = 0 Ví dụ 5: Cho biểu thức: P =

2x + 2 x x − 8 x x + 8 + − x x−2 x x+2 x

với x > 0; x ≠ 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x > 0; x ≠ 4 ta có P =

2x + 2 + 4 x x

- Phân tích: Mặc dù mẫu dương nhưng phân thức rút gọn không biến đổi đưa về dạng ví dụ 2. Ta áp dụng bất đẳng thức cauchy để giải - Giải: với x > 0; x ≠ 4 nên

x ≠ 0 ta có P =

2x + 2 + 4 x 2x 2 4 x = + + x x x x

P=2 x+

2 1   + 4 = 2.  x + + 2 x x  

Cách 1: Dựa vào bất dẳng thức cauchy với hai số không âm Ta có x > 0; x ≠ 4 nên

x > 0;

1 >0 x

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương

1 ≥ 2. x

⇔ x+

1 ta có x

x và

1 1 1 ⇔ x+ ≥2⇔ x+ +2 ≥ 2+2 x x x

1 1   + 2 ≥ 4 ⇔ 2 x + + 2 ≥ 8 x x  

Hay P ≥ 8 Dấu “= ” xảy ra khi

1 ⇔ ( x ) 2 = 1 ⇔ x = 1 ⇒ x = 1 ( vì x > 0) ( thỏa mãn x

x > 0; x ≠ 4 )

Vậy với x > 0; x ≠ 4 GTNN của biểu thức P là 8 khi x = 1. Cách 2: Chứng minh trực tiếp Ta có x > 0; x ≠ 4 thì 2

1    x−  ≥0⇔ x  ⇔

( x)

( ) x

− 2. x .

1  1  +  ≥0 x  x

1  1  1 1  1    + 2. x . + ≥0⇔ x+  − 4 x.  −4≥ 0 ⇔  x +  ≥4 x  x x x x   2

1   ⇔  x+  ≥ 4 ( vì x 

1 > 0; 4 > 0 ) x

1 1 ≥2⇔ x+ +2≥ 2+2 x x 1 1 ⇔ 2.( x + + 2) ≥ 2.4 ⇔ 2.( x + + 2) ≥ 8 x x

⇔ x+

Hay P ≥ 8 2

1  1  =0⇔ Dấu “=” xảy ra khi  x −  =0⇔ x− x x 

⇔ x =1⇒ x =1

(Vì x >0)

( x)

−1 = 0

( Thỏa mãn x > 0; x ≠ 4 )

Vậy với x > 0; x ≠ 4 GTNN của biểu thức P là 8 khi x = 1.

 x x +1

x −1 

Ví dụ 6: Cho biểu thức: A =  − : x + 1  2 x  x −1

với x > 0; x ≠ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P khi x > 1 Hướng dẫn giải: 2x x −1

- Kết quả thu gọn với x > 0; x ≠ 1 ta có A = - Phân tích: Với x > 1 ta có

x > 1 ⇔ x −1 > 0

- Giải: Ta có x > 1 thỏa mãn x > 0; x ≠ 1 . Với x > 1 thì:

(

)

(

)

x −1 x −1

+4+

2 =2 x −1

(

x − 1 > 0 và

(

)

x −1 +

)

2 +4 x −1

2 >0 x −1

Áp dụng bất đẳng thức cauchy với hai số dương 2

(

)

Với x > 1 ta có 2

(

2x 2 x − 4 x + 2 + 4 x − 4 + 2 2 x − 2 x + 1 4. x − 1 2 = = + + x −1 x −1 x −1 x −1 x −1

2 ≥ 2. 2 x −1

)

x −1 +

⇔2

(

⇔2

(

)

x −1 .

2 ≥ 2.2 ⇔ 2 x −1 2 x −1 + +4≥8 x −1

)

x −1 +

(

2 ⇔2 x −1

)

x −1 +

(

( )

x −1 +

)

x − 1 và

2 ta có x −1

2 ≥ 2. 4 x −1

2 ≥4 x −1

)

Hay A ≥ 8 Dấu bằng xảy ra khi 2

⇔

(

)

x −1 =

2 x −1

 x −1 = 1 2 x −1 = 1 ⇔  ⇒ x − 1 = 1 (Vì  x − 1 = −1

)

x > 1 ⇔ x −1 > 0 )

⇔ x = 2 ⇔ x = 4 ( thỏa mãn x > 1)

Vậy với x > 1, GTNN của biểu thức A là 8 khi x = 4.

Ví dụ 7: Cho biểu thức: A =

x+8 x −2 1 + − x x +8 x −2 x + 4 2+ x

Với x ≥ 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A Hướng dẫn giải: - Kết quả rút gọn với x ≥ 0 ta có A =

x x−2 x +4

- Phân tích: Kết hợp phương pháp của ví dụ 3 và ví dụ 4 - Giải: + Với x = 0 ta có biểu thức A bằng A =

0 0 = =0 0−2 0 +4 4

Với x = 0 giá trị của biểu thức A là 0 ( 1) + Với x ≠ 0 ; x > 0 suy ra A=

x ≠ 0 , ta có:

x 1 = = 4 x−2 x +4 x 2 x − + x x x

Với x > 0 ta có

x > 0;

1 4 x

x −2+

1 4 x+ −2 x

4 > 0. x

Áp dụng bất đẳng thức cauchy với hai số dương

x và

4 ta có: x

4 4 4 4 ≥ 2. x . ⇔ x+ ≥ 2. 4 ⇔ x + ≥ 2.2 x x x x 4 4 4 ⇔ x+ ≥4⇔ x+ −2≥ 4−2 ⇔ x + −2≥ 2 x x x x+

⇔

1 1 ≤ 4 x+ −2 2 x

Hay A ≤

( vì

4 − 2 > 0; 2 > 0 ) x

1 2

Dấu “=” xảy ra khi

4 ⇔ x

( x)

= 4 ⇔ x = 4 ⇒ x = 4 ( Vì x > 0 )( thỏa mãn x > 0 )

Với x > 0, giá trị lớn nhất của biểu thức A là

1 khi x = 4 ( 2) 2

Từ ( 1) và ( 2) ta có với x ≥ 0 giá trị lớn nhất của biểu thức A là

1 khi x = 4 2

Bài tập tự luyện: 1. Cho biểu thức:  x−5 x   25 − x x +3 x −5 − 1 :  − + A =   với x ≥ 0; x ≠ 25; x ≠ 9 x +5 x − 3   x − 25   x + 2 x − 15

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Kết quả: với x ≥ 0; x ≠ 25; x ≠ 9 , GTLN của A là 

2. Cho biểu thức: P =  x − 

5 khi x = 0 3

x+2   x x −4 −  với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4  :  x + 1   x + 1 1 − x 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Kết quả: với x ≥ 0; x ≠ 25; x ≠ 9 , GTNN của P là − 3. Cho biểu thức: A =

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3 + − x + 2 x − 3 1− x x +3

1 khi x = 0 2

với x ≥ 0; x ≠ 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Kết quả: với x ≥ 0; x ≠ 1 , GTLN của A là  3 3x 3 + 1

 3x 2 + 1

4. Cho biểu thức: M =  + 3 x  :  x 3x + x  x+4

2 khi x = 0. 3

với x > 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M. Kết quả: với x > 0 , GTNN của M là 4 khi x = 4. 5. Cho biểu thức: A =

x x +8 x−4 − + x x−4 x +2

với x ≥ 0; x ≠ 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của A khi x > 4. Kết quả: Với x > 4, GTNN của A là 8 khi x = 16. Dạng 2.2H Tìm giá trị của tham số m thỏa mãn một đẳng thức, một bất đẳng thức.  2 x 4 x −  .( x + 2)  x −2 x−4

Ví dụ 1: Cho biểu thức: P = 

Tìm m để có một giá trị x thỏa mãn P.

(

Hướng dẫn giải: - Kết quả thu gọn với x ≥ 0; x ≠ 4 ta có P = Mà P.

(

2x x −2

)

x − 2 + x ( m − 2 x ) − x = m − 1 nên ta có

)

với x ≥ 0; x ≠ 4

x − 2 + x ( m − 2x) − x = m −1

2x . x −2

(

)

x − 2 + x (m − 2 x) − x = m − 1(*)

(

) (

⇔ 2x + m x − 2x x − x − m +1 = 0 ⇔ 2x − 2x x + m x − m − ⇔ 2x

(

) (

x −1 + m

) (

x −1 −

)

x −1 = 0 ⇔

(

)

x −1 = 0

)

x − 1 ( 2 x + m − 1) = 0

x = 1  x −1 = 0  x =1 ⇔ ⇔ ⇔ x = 1− m 2 x + m − 1 = 0 2 x = 1 − m    2

Ta có với mọi giá trị của m thì phương trình (*) luôn có một nghiệm là x = 1 Vậy để chỉ có một giá trị của x thỏa mãn P.

(

)

x − 2 + x ( m − 2 x ) − x = m − 1 thì

1− m 1− m 1− m = 1 hoặc < 0 hoặc =4 2 2 2

1− m = 1 ⇔ 1 − m = 2 ⇔ m = 1 − 2 ⇔ m = −1 2

1− m < 0 ⇔ 1 − m < 0 ⇔ −m < −1 ⇔ m > 1 2

1− m = 4 ⇔ 1 − m = 8 ⇔ m = 1 − 8 ⇔ m = −7 2

Vậy với m = - 1 hoặc m > 1 hoặc m = - 7 thì chỉ có một giá trị của x thỏa mãn P.

(

)

x − 2 + x ( m − 2x) − x = m −1

 x x + 3x + 9 x 2  x +2 + : x x − 27 x − 3  4 x 

Ví dụ 2: Cho biểu thức: P = 

với x > 0; x ≠ 9

Tìm giá trị của m để phương trình P = − m + 3 x có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải: - Kết quả thu gọn với x > 0; x ≠ 9 ta có P =

4x x −3

- Vì P = − m + 3 x nên ta có: 4x = −m + 3 x ⇔ 4 x = − m + 3 x x −3

(

)(

)

x − 3 ( với x > 0; x ≠ 9 )

⇔ 4 x = −m x + 3m + 3 x − 9 x ⇔ 4 x + m x − 3m − 3 x + 9 x = 0 ⇔ x + ( m + 9 ) x − 3m = 0

Đặt

x = t ĐK: t > 0 , t ≠ 3 ( vì x > 0; x ≠ 9 )

Ta có phương trình: t 2 + ( m + 9 ) t − 3m = 0(*)

∆ = ( m + 9 ) − 4.(−3m) = m 2 + 18m + 81 + 12m 2

∆ = m 2 + 30m + 225 − 144 = ( m + 15 ) − 144 ∆ = ( m + 15 − 12 )( m + 15 + 12 ) = ( m + 3)( m + 17 )

Để phương trình P = − m + 3 x có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm dương ∆ > 0 t + t > 0  Phương trình (*) có hai nghiệm dương ⇔  1 2 t1.t2 > 0 t ≠ 3 m + 3 > 0 m + 17 > 0

m + 3 < 0 m + 17 < 0

+ ∆ > 0 ⇔ ( m + 3)( m + 17 ) ⇔ 

hoặc 

m > −3 ⇔ m > −17

m < −3 m < −17

hoặc 

⇔ m > −3 hoặc m < −17

(1)

+ Với m > −3 hoặc m < −17 thì ∆ > 0 phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t + t2 = − ( m + 9 ) t1.t2 = −3m

Áp dụng hệ thức vi ét ta có  1

t1 + t2 > 0 ⇔ − ( m + 9 ) > 0 ⇔ m + 9 < 0 ⇔ m < −9 (2)

(3)

t1.t2 > 0 ⇔ −3m > 0 ⇔ m < 0

Kết hợp (1); (2); (3) ta có m < −17 Vậy với m < −17 thì phương trình P = −m + 3 x có hai nghiệm phân biệt.  x −2 x + 2  x2 − 2 x + 1 − với x >0; x ≠ 1  . 2. x  x −1 x + 2 x +1 

Ví dụ 3: Cho biểu thức: A = 

Tìm giá trị của m thỏa mãn A.

(

)

x +1 > x + m

Hướng dẫn giải: - Kết quả thu gọn với x >0; x ≠ 1 ta có A = 1 − x Vì A.

(

)

(

)(

)

x + 1 > x + m nên ta có 1 − x 1 + x > x + m ⇔ 1 − x > x + m 1 5  ⇔ x + x + m −1 < 0 ⇔  x + x +  + m − < 0 4 4  2

1 5  ⇔ x +  < −m 2 4 

( 1)

Lai có: với x >0; x ≠ 1 ta có

x >0⇔ x+

1 1 1 1  > ⇔ x+  > 2 2 2 4 

(2)

5 1 5 1 − m > ⇔ − > m ⇔1> m ⇔ m <1 4 4 4 4

Từ (1); (2) ta có

Vậy với m < 1 thì A.

(

)

x +1 > x + m

3 x +6

x 

Ví dụ 4: Cho biểu thức: S =  − : 2 − x  3  x−4 Tìm m để với mọi x > 9 ta có x  S 

x−9

(

x −3

)

với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9

x − 2 + 2m  < 1 + 4 x 

(

)

Hướng dẫn giải: 3 x −2

- Kết quả rút gọn với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 ta có S = Ta có x > 9 thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 - Vì x  S 

(

 3 x  x −2

(

x − 2 + 2m  < 1 + 4 x nên ta có: 

)

 x − 2 + 2 m  < 1 + 4 x ⇔ x ( 3 + 2 m ) < 1 + 4 x ⇔ x ( 3 + 2m ) − 4 x < 1 

)

⇔ x ( 3 + 2m − 4 ) < 1 ⇔ x ( 2m − 1) < 1 ⇔ 2m − 1 <

Ta xó x > 9 nên

1 x

( Vì x > 9 )

1 1 < x 9

1 9

Do đó 2m − 1 < ⇔ 18m − 9 < 1 ⇔ 18m < 10 ⇔ m < Vậy với m <

5 thì với mọi x > 9 ta có x  S  9

5 9

x − 2 + 2m  < 1 + 4 x 

(

)

Bài tập tự luyện 

5 x −4   2+ x x  −  x x − 2 

1. Cho biểu thức: P =  +  :   x −2 2 x − x 

với x > 0; x ≠ 4

Tìm m để có x thỏa mãn P = mx x − 2mx + 1 Kết quả: m > 0; m ≠ 4  4 x

8x  

x −1

2 

2. Cho biểu thức: P =  + −  :   với x > 0; x ≠ 4; x ≠ 9 x   2+ x 4− x   x−2 x Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m

(

)

x − 3 .P > x + 1

Kết quả: m ≥

5 18



x −4

3. Cho biểu thức: P = 

 x. 

(

x −2

)

 3   x +2 x  :  −  x −2  x x − 2  

Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn :

(

với x > 0; x ≠ 4

)

x + 1 .P > x + n

Kết quả: n <

5 4

Sau khi đã đưa ra các dạng bài riêng lẻ và rèn kỹ năng làm bài cũng như cách trình bày bài của từng dạng. Giáo viên cho học sinh luyện tập theo sự tổng hợp trong dạng bài rút gọn, để học sinh có thể có một kiến thức tổng thể và khái quát về dạng toán này Dạng 2.3 Bài tập tổng hợp 

1 1  + : x −1   x− x

Bài 1: Cho biểu thức A = 

x +1

(

)

x −1

a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A =

1 3

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A − 9 x Kết quả: a. Với x > 0; x ≠ 1 ta có A =

x −1 x

b. x =

9 1 thì A = 4 3

c. Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có GTLN của P là – 5 khi x =

Bài 2: a. Cho biểu thức A =

1 9

x +4 . Tính giá trị của A khi x = 36 x +2 

 x + 16

b. Rút gọn biểu thức B =  + Với x ≥ 0; x ≠ 16 . : x − 4  x + 2  x +4 c. Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B ( A – 1 ) là số nguyên. Kết quả: a. Với x = 36 ta có A = c. B ( A – 1 ) =

5 4

b. Với x ≥ 0; x ≠ 16 ta có B =

x +2 x − 16

2 nên với x ∈ {14;15;17;18} thì B ( A – 1 ) có giá trị nguyên. x − 16

 a 1  Bài 3: Cho biểu thức P =  −   2 2 a

 a −1 a +1  −   với a > 0; a ≠ 1 . a + 1 a − 1  

a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm a để P < 0. Kết quả: a. Với a > 0; a ≠ 1 ta có P =

1− a a

b. Với a > 1 thì P < 0

 4 x 8x   x − 1 2  + −  :   x   2+ x 4− x   x−2 x

Bài 4: Cho biểu thức P = 

a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm giá trị của x để P = - 1 c. Tìm n để với mọi giá trị của x ta có 3n Kết quả: a. Với x > 0; x ≠ 4; x ≠ 9 ta có P = b. x =

(

)

x − 3 .P > 3 x + 3

4x x −3

9 thì P = - 1 16

c. Với n ≥

5 thì 18

Bài 5: Cho biểu thức: P =

(

)

x − 3 .P > 3 x + 3

2 ( x − 1) x2 − x − 2 x −1+ x + x +1 x −1

a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b. Tính giá trị của P với x =

3+ 5 2

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. d.

Tìm giá trị của x để biểu thức Q =

Kết quả: a. Với x ≥ 0; x ≠ 1 ta có P = x − x + 1

c. GTNN của P là

3 1 khi x = 4 4

2 x nhận giá trị nguyên P

b. Với x =

3+ 5 thì P = 2. 2

d. Với x = 1 thì Q =

2 x có giá trị nguyên P

III. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Qua thực tế giảng dạy năm nay tôi đã áp dụng đưa nội dung kiến thức hệ thống các dạng toán của rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai ,các em đã lĩnh hội được kiến thức một cách vững chắc, các em đã nắm được bài toán đã cho thuộc dạng nào, đã vận dụng phương pháp giải dạng toán đó rất tốt. Đặc biệt các em rất tự tin giải và trình bày lời giải bài toán một cách chặt chẽ, lôgíc, có căn cứ. Sau khi nghiên cứu và giảng dạy chuyên đề này tôi thấy học sinh không những làm tốt được bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức mà còn giải quyết tốt các dạng toán có liên quan như giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức. Đặc biệt là liên hệ, sâu chuỗi các kiến thức để đưa ra phương pháp giải và trình bày cách giải một cách linh hoạt và khoa học. Kết quả 3 bài kiểm tra sau khi áp dụng sáng kiến:

Lớp

Số HS

Giỏi

Bài

Khá

Yếu- kém

kiểm SL

Số 1

14,29

42,86

28,57

14,28

Số 2

21,43

46,43

21,43

10,71

Số 3

28,57

46,43

17,86

7,14

tra

Nhờ áp dụng kinh nghiệm đã trình bày ở trên chất lượng môn toán do tôi giảng dạy đã được nâng cao rõ rệt. Kết quả chất lượng qua các kì thi đều xếp thứ cao trong huyện và vượt chỉ tiêu kế hoạch của nhà trường giao. Trên đây là một số dạng toán về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai với mục đích giúp học sinh có kĩ năng nhận dạng các dạng và phương pháp giải của từng dạng, có kĩ năng lập luận lôgíc. Cách rèn kỹ năng để lấy điểm tối đa về dạng toán này trong các kỳ thi của lớp 9 và kỳ thi vào 10 . Trong sáng kiến này, tôi đã phân loại các dạng toán một cách cụ thể. Và trong mỗi dạng tôi cũng đã nêu lên những cách giải cơ bản, những kiến thức cần thiết. Tôi hi vọng rằng sáng kiến này sẽ góp phần nhỏ vào việc giúp học sinh học tốt hơn dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các bài toán phụ có liên quan.

Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng tìm tòi, nghiên cứu nhưng do trình độ và thời gian có hạn chắc chắn sáng kiến không tránh khỏi thiếu sót hạn chế. Tôi rất mong được sự góp ý xây dựng của Hội đồng khoa học, các bạn đồng nghiệp để nội dung sáng kiến được phong phú, đầy đủ hơn và hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! IV. CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tôi xin cam đoan sáng kiến này là không sao chép.

CƠ QUAN ĐƠN VỊ

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

(Ký tên)

(xác nhận) ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... .........................................................................

(Ký tên, đóng dấu)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ( Xác nhận, đánh giá, xếp loại ) (LĐ phòng ký tên, đóng dấu) .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .....................................................................................................................................

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Toán 9 tập 1 – NXB Giáo dục. 2. Sách bài tập Toán 9 tập 1 – NXB Giáo dục. 3. Sách giáo viên Toán 9 – NXB giáo dục. 4. Toán nâng cao đại số 9 của tác giả: Vũ Hữu Bình, Tôn Thân - Nhà xuất bản Giáo dục 5. Nâng cao và phát triển toán 9 tập 1 của tác giả: Vũ Hữu Bình, Tôn Thân - Nhà xuất bản Giáo dục . 6. Hướng dẫn học sinh lớp 9 ôn luyện thi vào lớp 10 THPT, tác giả Đoàn Phế Phiệt – Nguyễn Hữu Thiêm – Nhà xuất bản Đại học sư phạm. 7. Website: http://google.com.vn http:/www.giaoan.violet.vn http:/www.tailieu.vn.com

MỤC LỤC Mục

Nội dung

Trang

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến

Mô tả giải pháp

Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

2.1

Dạng 1: Rút gọn biểu thức số

Dạng 1.1: Rút gọn biểu thức nhờ sử dụng hằng đẳng thức

A2 = A

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa chữ và các bài toán có liên quan. Dạng 2.1: Rút gọn biểu thức chứa chữ Dạng 2.1A. Rút gọn biểu thức có dạng tổng

A C E + + B D F

6 9

13 17 20 20 20 29 33

Dạng 2.2 : Các dạng toán phụ của bài toán rút gọn

Dạng 2.2A: Tính giá trị của biểu thức P khi biết giá trị của x.

Dạng 2.2B: Tìm giá trị của x khi P = a ( a là một giá trị hoặc một biểu thức)

Dạng 2.2C: Tìm giá trị của x biết P > a, P < a; P ≥ a; P ≤ a.

Dạng 2.2D: So sánh biểu thức P với một số a.

Dạng 2.2E: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên. Dạng 2.2G: Tìm GTLN; GTNN của biểu thức P. Dạng 2.2H: Tìm giá trị của tham số m thỏa mãn một đẳng thức hay một bất đẳng thức.

49 53 59

Dạng 2.3 Bài tập tổng hợp

III

Hiệu quả do sáng kiến đem lại

Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyến

Tài liệu tham khảo

Mục lục