XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG QUA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ, ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CỬA LÒ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG QUA BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ.

Cửa Lò

MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Đối tượng nghiên cứu 4. Giới hạn của đề tài 5. Nhiệm vụ của đề tài 6. Phương pháp nghiên cứu PHẦN II- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng II. Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra III. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả IV. Cơ sở lý luận 1. Năng lực toán học 2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh 3. Tiêu chí hành động mà học sinh thực hiện được 4. Một số kiến thức cơ sở trong đề tài V. Nội dung đề tài 1. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = a , f ( u ( x ) ) = a . ( a là hằng số hoặc a = g ( m ) là tham số) 2. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = a ; f ( x ) = a ;

(

)

f u ( x ) = a ; f ( u ( x ) ) = a . ( a là hằng số hoặc a = g ( m ) là tham số)

3. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = g ( x ) ; f ( u ( x ) ) = g ( v ( x ) ) . 4. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) ... . 5. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ' ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = 0; f ( u ( x ) ) = 0; f ( x ) = g ( x ) ; f ( u ( x ) ) = g ( v ( x ) ) ... 6. Bài toán cho biết số nghiệm của phương 2rinh f ( x ) = 0 , xét các bài toán liên quan đến phương trình có chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) ... . 7. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện PHẦN III. KẾT LUẬN I. Những kết luận II. Những kiến nghị đề xuất

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

I.Lý do chọn đề tài: Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Trong quá trình giảng dạy, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tôi luôn ý thức tìm tòi nâng cao chất lượng dạy và học. Bản thân nhận thấy rằng phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám phá những điều chưa biết. Để có một bài giảng thu hút được học sinh, giúp học sinh phát triển năng lực toán học đòi hỏi mỗi giáo viên phải tìm tòi, cập nhật các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với từng đối tượng học sinh. Dạy học dựa trên phát triển năng lực là chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy và học. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân. Thông qua dạy học nội dung xác định số nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Các bài toán xét số nghiệm của phương trình liên quan đến dạng hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gây nhiều khó khăn cho học sinh trong quá trình vận dụng kiến thức để giải quyết. Vì vậy, tôi viết đề tài nghiên cứu cho sáng kiến của mình: “Phát triển năng lực toán học cho học sinh phổ thông qua bài toán xác định số nghiệm của phương trình dựa vào tương giao của đồ thị các hàm số.”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tương giao của đồ thị các hàm số . Phát triển năng lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư duy và lập

luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Đặc biệt, đối với học sinh lớp 12 có thêm một tài liệu tham khảo tốt để ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2020. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh lớp 12 THPT. - Giáo viên giảng dạy toán bậc THPT.

IV. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU. Quá trình giảng dạy được áp dụng cho các lớp và đối tượng học sinh khác nhau để hoàn thiện dần. Từ đó tìm kiếm thêm các khó khăn, sai lầm mà học sinh thường gặp. Trao đổi chuyên môn cùng quý Thầy, Cô môn Toán trong tổ, ngoài trường và trên các diễn đàn toán học. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn liên quan đến xác định số nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị các hàm số, phương pháp dạy học theo phát triển năng lực.Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện. Giảng dạy tại các lớp 12 trường THPT Cửa lò. PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG. Trong chương trình sách giáo khoa giải tích 12 vấn đề xác định số nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị các hàm số được trình bày đơn giản. Vì vậy gặp các bài toán về vấn đề tìm số nghiệm trong các đề thi thử và thi THPTQG học sinh lúng túng và thường bỏ qua. Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao năng lực giải quyết bài tập xác định số nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị các hàm số, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp hoặc làm mẫu, các em chưa ý thức được việc tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo niềm vui, sự hứng khởi trong khám phá, giải toán. II. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA. Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy. Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học và 50% trong số đó biết cách tìm tòi, xây dựng những bài toán tương tự, bài toán mới. Trong các kỳ thi thử THPT quốc gia trên toàn quốc có 90% học sinh các lớp được dạy thử nghiệm có thể giải quyết những bài toán xác định số nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị các hàm số III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ. Đề tài là tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia cho các học sinh đang học lớp 12 THPT. Đề tài có thể áp dụng để phát triển thêm những lớp bài toán khác cho giáo

viên Toán ở trường THPT. Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy môn toán. IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN. 1. Năng lực toán học. Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động. Năng lực toán học phổ thông không đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện.

1.1. Năng lực tư duy và lập luận. Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. Năng lực lập luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận để đưa ra kết luận đúng. 1.2. Năng lực mô hình hóa toán học. Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng cá nhân về phiên dịch các vấn

đề thực tiễn thông qua phương tiện ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu, bảng biểu, đồ thị… 1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học. Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết các tình huống mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường. 1.4. Năng lực giao tiếp toán học. Năng lực giao tiếp toán học là khả năng cá nhân sử dụng ngôn ngữ toan học để tiếp nhận, chuyển tải các ý tưởng, kiến thức, đưa ra lập luận, chứng minh, phản ánh, thảo luận trong quá trình giao tiếp để đạt được mục tiêu dạy học. 1.5. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện dạy học toán là khả năng của cá nhân hiểu, biết sử dụng, bảo quản các công cụ, phương tiện khoa học để đạt được mục tiêu dạy học. 2. Dạy học hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh 2.1. Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh. Phương pháp dạy học phải đi từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó; không chỉ coi trọng tính logic của khoa học toán học mà cần chú ý cách tiếp cận dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của học sinh. 2.2. Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”. Phương pháp dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh; tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề. 2.3. Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp kỹ thuật dạy học tích cực. Kết hợp được nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng các phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp các hoạt động dạy học trong lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn. Cấu trúc bài học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa giữa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng và các thành phần khác. 2.4. Sử dụng được các phương tiện, thiết bị dạy học. Sử dụng đủ và hiệu quả các phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định đối với môn Toán; có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm phù hợp với nội dung học và các đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ thông tin và các phương tiện, thiết bị dạy học hiện đại một cách phù hợp và hiệu quả. 3. Tiêu chí của hành động mà học sinh thực hiện được. TT Thành tố của năng

Các tiêu chí

lực toán học

Năng lực tư duy và lập luận toán học

- Thực hiện được các thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp, diễn dịch. - Biết đặt và trả lời câu hỏi; biết chỉ ra chứng cứ, lí lẽ và lập luận hợp lí trước khi kết luận. - Giải thích và điều chỉnh cách thực giải quyết vấn đề về phương tiện toán học.

Năng lực mô hình hóa toán học

- Sử dụng được các phép toán và công thức để mô tả các tình huống đặt ra trong thực tế. - Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập. - Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu có cách giải không phù hợp.

Năng lực giải quyết vấn đề toán học

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học. - Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề bằng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích. - Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự.

Năng lực giao tiếp toán học

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin cần thiết được trình bày dạng văn bản toán học. - Trình bày, diễn đạt các ý tưởng giải pháp toán học khi tương tác với người khác. - Sử dụng được ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng khi thảo luận với người khác.

Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

- Biết gọi tên, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản, các phương tiện khoa học công nghệ phục vụ cho việc học toán. - Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi và giải quyết các vấn đề toán học phù hợp

lứa tuổi - Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của các công cụ, phương tiện hỗ trợ để cách sử dụng hợp lý.

4. Đánh giá kết quả giáo dục môn toán. 4.1. Mục tiêu đánh giá. Cung cấp thông tin chính xác, kịp thời, có giá trị về sự phát triển năng lực và sự tiến bộ của học sinh trên cơ sở yêu cầu cần đạt ở mỗi lớp học, cấp học. Điều chỉnh các hoạt động dạy học, bảo đảm sự tiến bộ của từng học sinh và nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung. 4.2. Hình thức đánh giá. Đánh giá quá trình (hay đánh giá thường xuyên) do giáo viên phụ trách môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá của giáo viên môn học khác; của bản thân học sinh được đánh giá và của các học sinh khác trong tổ, trong lớp hoạc đánh giá của cha mẹ học sinh; đi liền với tiến trình hoạt động học tập của học sinh, tránh tình trạng tách rời giữa quá trình dạy học và quá trình đánh giá, bảo đảm mục tiêu đánh giá vì sự tiến bộ trong học tập của học sinh. Đánh giá định kì (hay đánh giá tổng kết) có mục đích chính là đánh giá việc thực hiện các mục tiêu học tập. Kết quả đánh giá định kì và đánh giá tổng kết được sử dụng để chứng nhận cấp độ học tập, công nhận thành tích của học sinh. Đánh giá định kì do cơ sở giáo dục tổ chức hoặc thông qua các kì kiểm tra, đánh giá quốc gia. 4.3. Phương pháp đánh giá. Quan sát, ghi lại quá trình thực hiện; Vấn đáp, trắc nghiệm khách quan; Tự luận, kiểm tra viết; Bài tập thực hành; Các dự án/ sản phẩn học tập; Thực hiện nhiệm vụ thực tiễn, … 4.4. Mức độ đánh giá. Bốn mức độ đánh giá đường phát triển năng lực môn toán. Mức 1: Nhận biết, nhắc lại. Mức 2: Hiểu, trình bày, giải thích được theo cách hiểu cá nhân. Mức 3: Vận dụng giải quyết những vấn đề quen thuộc, tương tự trong học tập, trong cuộc sống. Mức 4: Vận dụng giải quyết vấn đề mới hoặc đưa ra những phản hồi hợp lý trong học tập, cuộc sống một cách linh hoạt. 5. Một số kiến thức cơ sở trong đề tài: I. Kiến thức cơ sở: 1. Phép tịnh tiến đồ thị hàm số.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị (G) của hàm số y = f ( x ) ; p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó: 1) Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x) + q . 2) Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x) − q . 3) Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x + p). 4) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x − p). 5) Đồ thị hàm số y = f ( x + b ) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang trái b đơn vị khi b > 0 , sang phải b đơn vị khi b < 0 . 6) Đường thẳng y = m luôn song song hoặc trùng với trục hoành Ox và cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng m. 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là ( C1 ) ; hàm số y = g ( x ) có đồ thị là ( C2 ) Số giao điểm của 2 đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f ( x ) = g ( x )

3. Cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . Xét giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( u ( x ) ) với đường thẳng d . Định hướng: + Đặt u ( x ) = t , xác định điều kiện của t . Dựa và đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xác định các giao điểm của đồ thị y = f ( t ) với đường thẳng d . + Với mỗi giao điểm có hoành độ ti , thay vào u ( x ) = t để xác định các giá trị của x tương ứng. Từ các giá trị x này đánh giá được giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( u ( x ) ) với đường thẳng d .

V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong thi thử THPT quốc gia có nhiều đề thi toán có nội dung liên quan đến xác định số nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của đồ thị các hàm số với các mức độ đánh giá năng lực toán học (nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao). Ví dụ 1. ( Câu 23- Đề minh hoạ 2020)

Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) − 2 = 0 là A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Ví dụ 2. ( Câu 31- Đề thi thử THPTQG lần 1 Đại học Vinh) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi phương trình f ( x ) = 1 có bao nhiêu nghiệm?

B. 7 . A. 3 . Ví dụ 3. ( Câu 45- Đề minh hoạ 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

D. 4 .

C. 6 .

Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ;2π ] của phương trình 2 f ( sin x ) + 3 = 0 là A. 4.

B. 6.

C. 3.

D. 8

Ví dụ 4. (Câu 49-Đề thi thử THPTQG chuyên Phan Bội Châu lần 2 năm 2020) Cho hàm số f ( x ) = ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 ) ...( x − 2020 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ −2020;2020 ] để phương trình f ′ ( x ) = mf ( x ) có

2020 nghiệm phân biệt ?

A. 2021 .

B. 4040 .

C. 4041 .

D. 2020 .

Ví dụ 5. (Câu 50- Đề thi tốt nghiệp THPTQG mã 103-2020) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( x 2 f ( x ) ) + 2 = 0 là y

x O

-2

A. 8 .

B. 12 .

C. 6 .

D. 9 .

Trong quá trình giảng dạy, với nội dung xác định số nghiệm của phương trình dựa vào tương giao của đồ thị các hàm số, học sinh gặp khó khăn khi diễn đạt, lập luận, giải thích ; phần lớn học sinh lớp 12 không biết định hướng cách làm và thụ động trong tiếp thu kiến thức từ giải thích của giáo viên. Trong đề tài này việc phát triển năng lực toán học dựa trên nguyên tắc của quá trình nhận thức qua các giai đoạn từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, từ cụ thể đến trừu tượng, từ hình thức bên ngoài đến bản chất bên trong. Sau đây là một số dạng bài toán được phân tích, suy luận, tương tự hóa, đặc biệt hóa và tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển được năng lực toán học. 1.Bài toán 1. Bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = a , f (u ( x )) = a .

Ta xét với các bài toán a là hằng số hoặc a = g ( m ) là tham số. Kiến thức cơ sở:

 f ( x ) = m là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = f ( x ) , y = m . Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f ( x ) , y = m .  f ( x ) = g ( x ) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = f ( x ) , y = g ( x ) . Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f ( x ) , y = g ( x ).

Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) − 2 = 0 là A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải: 2 . Số nghiệm của phương trình chính là số 3 2 hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thằng y = (song 3 song với trục hoành). Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

Ta có 3 f ( x ) − 2 = 0 ⇔ f ( x ) =

Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ;2π ] của phương trình 2 f ( sin x ) + 3 = 0 là

A. 4 . HƯỚNG GIẢI:

B. 6 .

C. 3 .

D. 8 .

B1: Từ phương trình 2 f ( sin x ) + 3 = 0 chuyển về phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = f ( u ) , y = C . B2:Dựa vào đồ thị y = f ( x )  giá trị của u = sin x  giá trị của x . B3: Chọn đáp án. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải

 sin x = a1 ∈ ( −∞; −1)  sin x = a2 ∈ ( −1;0 ) 3 Ta có 2 f ( sin x ) + 3 = 0 ⇔ f ( sin x ) = − ⇔   sin x = a3 ∈ ( 0;1) 2   sin x = a4 ∈ (1; +∞ )

(1) ( 2) ( 3) ( 4)

Các phương trình (1) và ( 4 ) đều vô nghiệm. Xét đồ thị hàm số y = sin x trên [ −π ;2π ]

Ta thấy phương trình ( 2 ) có 4 nghiệm phân biệt và phương trình ( 3 ) có 2 nghiệm phân biệt đồng thời trong số chúng không có 2 nghiệm nào trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π ;2π ] .

Trình bày theo hướng khác: Phân tích hướng giải Đây là dạng toán dùng bảng biến thiên của hàm số f ( x ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [ a ; b ] của phương trình c. f ( u ( x ) ) + d = m .

HƯỚNG GIẢI: B1: Đặt ẩn phụ t = u ( x ) . Với x ∈ [ a ; b ]  t ∈ [ a′ ; b′] B2: Với c. f ( u ( x ) ) + d = m  f ( t ) = k

B3: Sử dụng BBT của hàm số y = f ( t ) để giải bài toán số nghiệm thuộc đoạn

[ a′; b′] của PT f ( t ) = k Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Đặt t = sin x, t ∈ [ −1;1] thì PT 2 f ( sin x ) + 3 = 0 (1) trở thành

2 f (t ) + 3 = 0 ⇔ f (t ) = −

3 ( 2) . 2

BBT hàm số y = f ( t ) , t ∈ [ −1;1] :

Dựa vào BBT, số nghiệm t ∈ [ −1;1] của PT (1) là 2 nghiệm phân biệt t1 ∈ ( −1;0 ) , t2 ∈ ( 0;1) .

BBT hàm số f ( x ) = sin x , x ∈ [ −π ;2π ]

+ Với t1 ∈ ( −1;0 )  sin x = t1 ∈ ( −1;0 )  PT có 4 nghiệm x ∈ [ −π ;2π ] . + Với t2 ∈ ( 0;1)  sin x = t2 ∈ ( 0;1)  PT có 2 nghiệm x ∈ [ −π ;2π ] . Vậy số nghiệm thuộc đoạn [ −π ;2π ] của phương trình 2 f ( sin x ) + 3 = 0 là

2 + 4 = 6 . Đáp án: chọn B Sau đây là một số bài tập liên quan đến các dạng hàm khác nhau. Học sinh cần thực hiện được các hành động như: Phân tích được vấn đề; nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết; biết đặt câu hỏi, lựa chọn giải pháp; biết

lập luận và đánh giá được giải pháp. Từ đó học sinh hình thành và phát triển được các năng lực toán học. Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi m là số nghiệm của phương trình f ( f ( x ) ) = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. m = 6 .

B. m = 7 .

C. m = 5 .

D. m = 9 .

Lời giải

 x = x1 ∈ ( −1;0 )  Ta có: f ( x ) = 1 ⇔  x = x2 ∈ ( 0;1) .   x = x3 > 2  f ( x ) = x1 (1)  Suy ra: f ( f ( x ) ) = 1 ⇔  f ( x ) = x2 ( 2 ) . f x =x 3  ( ) 3( ) +) Xét (1): f ( x ) = x1 ∈ ( −1;0 ) , ta có đường thẳng y = x1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+) Xét ( 2 ) : f ( x ) = x2 ∈ ( 0;1) , ta có đường thẳng y = x2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình ( 2 ) có 3 nghiệm phân biệt.

+) Xét ( 3 ) : f ( x ) = x3 > 2 , ta có đường thẳng y = x3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 1 điểm nên phương trình ( 3 ) có 1 nghiệm. Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: m = 3 + 3 + 1 = 7 .

Đáp án: Chọn B Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình f  f ( cos 2 x )  = 0 ?

Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy khi x ∈ [ −1;1] thì y ∈ [ 0;1]. Do đó nếu đặt t = cos 2 x thì t ∈ [ −1;1] , khi đó f ( cos 2 x ) ∈ [ 0;1].

 f ( cos 2 x ) = 0  Dựa vào đồ thị, ta có f  f ( cos 2 x )  = 0 ⇔  f ( cos 2 x ) = a ( a < −1) ( l ) .  f cos 2 x = b b > 1 l ) ( )()  ( cos 2 x = 0  Phương trình f ( cos 2 x ) = 0 ⇔ cos 2 x = a ( a < −1) ( l ) cos 2 x = b b > 1 l ( )() 

⇔ cos2 x = 0 ⇔ x =

π 4

π 2

( k ∈ℤ ).

Vậy phương trình đã cho có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau.

Số nghiệm thuộc đoạn [ 0;2π ] của phương trình 2 f ( cos 2 x − cos x + 1) + 1 = 0 là bao nhiêu biết rằng f ( 2 ) = 0 . Hướng dẫn giải : Ta xét phương trình  x = α1 ∈ ( −∞; −1) −1 2 f ( x) +1 = 0 ⇔ f ( x) = ⇔  x = α ∈ (1;2 ) do f ( 0 ) < −1 < f ( 2 ) 2 2  2

Từ đó ta có. 2 f ( cos 2 x − cos x + 1) + 1 = 0 cos 2 x − cos x + 1 = α1 ∈ ( −∞; −1) (*) ⇔ 2 cos x − cos x + 1 = α ∈ (1;2 ) do f ( 0 ) < −1 < f ( 2 ) 2  2

(**)

Ta lập BBT của hàm số g ( t ) = t 2 − t + 1 với t ∈ [ −1;1]

Nhìn BBT ta thấy phương trình (*) vô nghiệm Phương trình (**) có nghiệm duy nhất 1   cos x = β ∈  −1;   x = ± arccos β + k 2π ( k ∈ ℤ ) 2 

Xét trên khoảng [ 0;2π ] , ta có phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6. (Câu 50- Đề thi THPTQG mã 103-2020)

Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( x 2 f ( x ) ) + 2 = 0 là y

x O

-2

A. 8 .

B. 12 .

C. 6 .

D. 9 .

Lời giải Hướng giải 1: y

c a

-2

e b

y= 2

 x2 f ( x ) = 0  2  x f ( x ) = c ∈ ( 0;1) f ( x 2 f ( x ) ) + 2 = 0 ⇔ f ( x 2 f ( x ) ) = −2 ⇔  2  x f ( x ) = d ∈ ( 2;3 )  x 2 f ( x ) = e ∈ ( 3;4 ) 

x = 0 x = 0  ⇔  x = a ∈ ( −1;0 ) . (1) ⇔  f x = 0 ( )   x = b ∈ e ;4 ( )  Do c ∈ ( 0;1) nên từ phương trình x2 f ( x ) = c suy ra x ≠ 0 . Từ đó

( 2) ⇔ f ( x ) =

c , c ∈ ( 0;1) . x2

(1) ( 2) . 3 ( ) ( 4)

c cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại hai điểm phân x2 biệt nên phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt.

Đồ thị hàm số y =

Tương tự, mỗi phương trình ( 3) , ( 4 ) đều có hai nghiệm phân biệt. Do các số 0, c, d , e đôi một khác nhau nên các phương trình (1) , ( 2 ) ,

( 3) , ( 4 ) đôi một không có nghiệm chung. Vậy phương trình f ( x 2 f ( x ) ) + 2 = 0 có 9 nghiệm phân biệt.

Hướng giải 2: +) Phương trình đã cho ⇔ f ( x 2 . f ( x ) ) = −2

(1)

 x2. f ( x ) = 0 ( 2)  2  x . f ( x ) = a ( 3) +) Dựa và đồ thị ta được phương trình (1) ⇔  2 ,với a, b, c là các x . f x = b 4 ( ) ( )   x2. f ( x ) = c ( 5)  số dương phân biệt

x = 0 +) Ta có ( 2 ) ⇔   f ( x ) = 0 (6) +) Dựa vào đồ thị ta có phương trình ( 6 ) có hai nghiệm phân biệt x = d < 0 và

x=e>0 +) Với các phương trình ( 3) , ( 4 ) và ( 5 ) , ta xét phương trình ( 3) đại diện. Ta có: ( 3) ⇔ f ( x ) =

a ( 3′) với a > 0. x2

Do vế phải của phương trình ( 3′ ) dương nên vế phải của phương trình ( 3′ ) cũng phải dương nên ta xét phương trình ( 3′ ) trên tập D = ( −∞; d ) ∪ ( e; +∞ ) . Ta có ( 3′ ) ⇔ f ( x ) −

a =0 x2

Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) +

a trên tập D = ( −∞; d ) ∪ ( e; +∞ ) với a > 0 x2

2a x3

Bảng biến thiên của hàm số g ( x )

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt. +) Tương tự các phương trình ( 4 ) và ( 5 ) , mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt đồng thời các nghiệm của phương trình ( 2 ) , ( 3) , ( 4 ) và ( 5 ) là khác nhau. Vậy phương trình f ( x 2 f ( x ) ) + 2 = 0 có 9 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 7. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn điều kiện lim f ( x ) = −∞ lim f ( x ) = −∞ và có đồ thị như hình dưới đây

x →−∞

x →+∞

(

)

Với giả thiết, phương trình f 1 − x 3 + x = a có nghiệm. Giả sử khi tham số a thay đổi, phương trình đã cho có nhiều nhất m nghiệm và có ít nhất n nghiệm. Giá trị của m + n bằng

A. 4 .

B. 6 .

C. 3 . Lời giải

Dễ thấy điều kiện của phương trình đã cho là x ≥ 0 .

Đặt t = 1 − x 3 + x

(1)  t ∈ (−∞;1] .

Dễ thấy phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất ∀t ∈ (−∞;1] . Phương trình đã cho có dạng: f ( t ) = a (2), t ≤ 1 . Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số nghiệm của (2).

Đồ thị hàm số y = f ( t ) , t ≤ 1 có dạng:

Do đó:

D. 5 .

(2) vô nghiệm khi a > 1. (2) có hai nghiệm khi −3 ≤ a < 1. (2) có nghiệm duy nhất khi a = 1 hoặc a < −3 . Vậy m = 2, n = 1  m + n = 3 .

Đáp án: chọn C Ví dụ 8. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 f ( 2 sin x + 1) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0;π ) là y 4

−3 −1 O

A. [ 0; 4 ) .

B. ( 0;4 ) .

C. (1;3) .

D. [ 0;8 ) .

Lời giải Đặt t = 2 sin x + 1 . Với x ∈ ( 0;π ) thì t ∈ (1;3] . Do đó phương trình 2 f ( 2 sin x + 1) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0;π ) khi và chỉ khi phương trình f ( t ) =

m có nghiệm thuộc nửa khoảng (1;3] . 2

Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là

m ∈ [ 0;4 ) ⇔ m ∈ [ 0;8) . 2

Đáp án: Chọn D. Ví dụ 9. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên R , có đồ thị như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

(

)

408 − x + 392 + x − 34 = m có đúng 6 nghiệm phân biệt?

y 7 2 5 2

-6

-3

2 O

-5

7 2 -2

-3

Lời giải ĐK. −392 ≤ x ≤ 408 . Đặt t = 408 − x + 392 + x − 34 .

t' =

−1 1 408 − x − 392 + x + = . 2 408 − x 2 392 + x 2 ( 408 − x )( 392 + x )

t′ = 0 ⇔

408 − x − 392 + x = 0 ⇔ x = 8 .

t ( −392 ) = t ( 408 ) = 20 2 − 34 ≃ −5,71 ;

t (8) = 6 .

 −5,71 ≤ t ≤ 6 . Phương trình đã cho trở thành f ( t ) = m (*) với t ∈ [ −5,71;6] . Với mỗi t ∈ [ −5,71;6 ) cho 2 giá trị x . Với t = 6 cho 1 giá trị x . Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt ⇔ (*) có 3 nghiệm phân biệt t ∈ [ −5,71;6 ) ⇔ −2 < m <

1 . 2

Mà m ∈ Z nên m = −1∨ m = 0 . Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m

Ví dụ 10. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình sau.

( ) 2

Tìm m để phương trình f e x = m 2 + 5m có hai nghiệm thực phân biệt. Hướng giải. 2

Đặt t = e x ≥ e 0 = 1 . Khi đó ứng với mỗi nghiệm t > 1, ta được hai nghiệm x . Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta thấy phương trình f ( t ) = m2 + 5m có đúng

 m < −4 một nghiệm t > 1 khi và chỉ khi m 2 + 5m > −4 ⇔   m > −1 - Nhận xét: Các bài toán có được bằng cách thay đổi f ( x ) bởi f ( u ( x ) ) và linh hoạt trong cách giải , từ đó hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. * Với các bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = f ( m ) , f ( u ( x ) ) = f ( m ) . Học sinh cần nắm vững tính chất của hàm số y = f ( x )

Ví dụ 11. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (1 − 2sin x ) = f ( m ) có nghiệm thực?

Lời giải

Ta có: −1 ≤ 1 − 2sin x ≤ 3, ∀x ∈ ℝ . Do đó: f (1 − 2sin x ) = f ( m ) có nghiệm −2 ≤ f ( m ) ≤ 2 ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 ⇔ m ≤ 3

⇔ −3 ≤ m ≤ 3 . Mà m ∈ ℤ  m ∈ {−3; −2; −1;0;1;2;3}  có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 12. Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ. Để phương trình f

(

)

1 − x 2 = f ( m ) có nghiệm thì điều kiện của tham số m là m ∈ [ a; b ] . Hỏi

điểm A ( a; b ) thuộc đường tròn nào sau đây?

A. ( x − 3) + ( y − 1) = 2 .

B. ( x − 1) + ( y − 1) = 1.

C. x2 + ( y − 1) = 1 .

D. ( x − 3) + ( y + 1) = 20 Lời giải

Đặt t = 6 1 − x 2 . Vì x ∈ [ −1;1]  t ∈ [ 0;1] . Khi đó f

(

)

1 − x 2 = f ( m )  f ( t ) = f ( m )(*)

Dựa vào đồ thị thấy hàm số f ( t ) nghịch biến với t ∈ [ 0;1] . Do đó phương trình (*) ⇔ t = m  0 ≤ m ≤ 1 vì t ∈ [ 0;1] .

Để phương trình f

(

)

1 − x 2 = f ( m ) có nghiệm thì điều kiện của tham

số m là m ∈ [ 0;1] . 2

Tọa độ điểm A ( 0;1) , ta có: ( 0 − 1) + (1 − 1) = 1 2

 A ∈ ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1

Đáp án: Chọn B Ví dụ 13. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên:

Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để phương trình f ( x −1 + 2) = f

(

)

3 − m + 2 có nghiệm.

Lời giải Đặt t = x − 1 + 2 ≥ 2 thì phương trình f ( x −1 + 2) = f

(

3−m + 2

) (1) trở thành

f (t ) = f

(

3− m + 2

) ( 2)

với t ≥ 2 .

Để phương trình ( 2 ) có nghiệm thì đường thẳng có phương trình y= f

(

)

3 − m + 2 phải cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) tại ít nhất một điểm

với mọi t ≥ 2 ⇔ −1 < f

(

)

3 − m + 2 ≤ 2 ⇔ m ≤ 3 . Vì m nguyên dương

nên m ∈ {1; 2; 3}  tổng các giá trị nguyên dương của m thỏa mãn bài toán là 1 + 2 + 3 = 6 .

2.Bài toán 2. Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = a ; f ( x ) = a ;

(

)

f u ( x ) = a ; f (u ( x )) = a .

Ta xét với các bài toán a là hằng số hoặc a = g ( m ) là tham số.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x) =

ax + b có đồ thị như hình vẽ bên. cx + d

Tìm các giá trị của m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m .

Hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số y = f ( x ) gồm 2 phần: + Phần 1: Đồ thị hàm số y = f ( x) với x ≥ 0 . + Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f ( x) với x ≥ 0 qua trục Oy .

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì đường thảng y = m cắt đồ thị y = f ( x ) tại 2 điểm phân biệt. Từ đồ thị ta có m > 2; m < 1

Ví dụ 2. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm

(

)

thực của phương trình f x3 − 3x =

3 là 2

B. 4 .

A. 8 .

C. 7 .

D. 3 .

Lời giải

3  f ( x3 − 3 x ) =  3 2 Phương trình f ( x3 − 3x ) = ⇔  . 2  f ( x3 − 3 x ) = − 3  2 y

3 y=

-2 a1

O a2

-1 -3 y=

 x 3 − 3 x = a1 , ( −2 < a1 < 0 )  3 * Phương trình f ( x 3 − 3 x ) = ⇔  x 3 − 3 x = a2 , ( 0 < a2 < 2 ) . 2  3  x − 3 x = a3 , ( a3 > 2 )

3 * Phương trình f x3 − 3x = − ⇔ x3 − 3x = a4 , ( a4 < −2 ) . 2

(

)

Đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x có dạng như hình vẽ sau:

y y = a3

y = a2

-1

x y = a1

-2

y = a4

Dựa vào đồ thị trên ta có: - Phương trình x 3 − 3 x = a1 có 3 nghiệm phân biệt. - Phương trình x 3 − 3 x = a2 có 3 nghiệm phân biệt. - Phương trình x 3 − 3 x = a3 có 1 nghiệm. - Phương trình x 3 − 3 x = a4 có 1 nghiệm.

(

)

Vậy phương trình f x3 − 3x =

3 có 8 nghiệm phân biệt. 2

Đáp án: Chọn A Ví dụ 3. Cho hàm số trùng phương y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thuộc [ 0;2π ) của phương trình f ( cos 2 x ) = 1 bằng

A. 4 .

B. 6 .

C. 3 .

Lời giải

D. 8 .

 f ( cos 2 x ) = 1 Ta có f ( cos 2 x ) = 1 ⇔   f ( cos 2 x ) = −1 cos 2 x = 0  cos 2 x = a > 1 (VN ) cos 2 x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ sin 4 x = 0 cos 2 x = b < −1 (VN ) sin 2 x = 0  cos 2 x = ±1 Phương trình sin 4 x = 0 có 8 nghiệm thuộc [ 0;2π ) .

Đáp án: Chọn D Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình f ( x − 2 ) = −

1 có bao nhiêu nghiệm? 2 y 3 x

1 -1 O -1

Lời giải + Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) . ( C1 ) + Tiếp theo xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng x = 2 . + Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị còn lại ở trên qua đường thẳng x = 2 . Ta được toàn bộ phần đồ thị của hàm số y = f ( x − 2 ) (hình vẽ bên dưới) ( C2 ) y

y = f ( x − 2)

y = f ( x −2 )

1 O 2

1 -1

-1

y =−

1 2

1 cắt đồ thị 2 1 → phương trình f ( x − 2 ) = − tại 4 điểm phân biệt  2

+ Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) , ta thấy đường thẳng y = − hàm số y = f ( x − 2 )

có 4 nghiệm phân biệt. Với bài toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng

(

)

f ( x ) = g ( m ) ; f ( x ) = g ( m ) ; f u ( x ) = g ( m ) ; f ( u ( x ) ) = g ( m ) . Với g ( m )

là tham số

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình m f ( 2 sin x ) = f   có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π ;2π ] ? 2

Lời giải Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) = 2 sin x trên đoạn [ −π ;2π ]

m Phương trình f ( 2 sin x ) = f   có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 2 [ −π ;2π ] khi và chỉ khi phương trình f ( t ) = f  m  có 2 nghiệm phân biệt 2 t ∈ ( 0;2 ) .

m Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra phương trình f ( t ) = f   có 2 2 27 m nghiệm phân biệt t ∈ ( 0;2 ) khi và chỉ khi − < f  <0 16 2 m  0 < <2  0 < m < 4 2 ⇔ ⇔ . m ≠ 3 m ≠ 3  2 2

Do m nguyên nên m ∈ {1;2} . Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn bài toán.

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

 3x 2 + 2 x + 3  Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f   = m có nghiệm. 2  2x + 2  Lời giải Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thi của hàm y = f ( x ) là

Đặt t =

 x = −1 3x 2 + 2 x + 3 −4 x 2 + 4 ′  t = ; t′ = 0 ⇔  . 2 2 2 x = 1 2x + 2  ( 2x + 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x ∈ ℝ ⇔ t ∈ [1;2] .

 3x 2 + 2 x + 3  Vậy phương trhhh f   = m có nghiệm khi và chỉ khi 2  2x + 2  phương trình f ( t ) = m có nghiệm t ∈ [1;2] ⇔ 2 ≤ m ≤ 4 .

3.Bài toán 3. Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = g ( x ) ; f ( u ( x ) ) = g ( v ( x ) ) .

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f ( x ) − x 2 + 2 x − 1 = 0 là A. vô số. B. 0 . C. 2 .

D. 1.

Lời giải 2

f ( x ) − x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ f ( x ) = ( x − 1) . Với x > 1 thì f ( x ) < 0 nên phương trình vô nghiệm. Với x < 1 ta có g ( x ) = f ( x ) − x 2 + 2 x − 1 . Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 2 x + 2 > 0 nên hàm số g ( x ) đồng biến và liên tục trên ( −∞;1) .

Lại có: lim g ( x ) = −∞; lim− g ( x ) = +∞ nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất x →−∞

x →1

trên ( −∞;1) .

Đáp án: Chọn D Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên [ 0;+∞ ) và có bảng biến thiên như hình vẽ

x 0 y' y

+∞ + +∞

2 3

Hỏi phương trình f ( x ) = f ( 3)

(

)

5 − x + 4 − x có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 4 Phương trình ban đầu ⇔

f ( x) 5− x + 4− x

= f ( 3) . Đặt g ( x ) =

f ( x) 5− x + 4− x

Ta có

f '( x ) g '( x ) =

(

1 1   5 − x + 4 − x + f ( x ) . +   2 5 − x 2 4 − x  > 0, ∀x ∈ 0;4 ( ) 2 5− x + 4− x

)

(

)

Sau đây là BBT của hàm số g ( x ) trên đoạn [ 0;4] x g'(x) g(x)

0 +

f(4) 2( 15- 12 )

Vậy phương trình g ( x ) = f ( 3) có đúng một nghiệm.

Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Đặt g ( x) = f ( f ( x) − 1) . Tìm số nghiệm của g '( x) = 0 .

Lời giải Xét g '( x) = f '( x). f '( f ( x) − 1)

(1)  f '( x) = 0 Ta có: g '( x) = 0 ⇔   f '( f ( x) − 1) = 0 (2)  x = a, a ∈ (−1,0) Từ (1): f '( x ) = 0 ⇔  x = 1   x = b, b ∈ (1,2)  f ( x) − 1 = a, a ∈ (−1,0) Từ (2): f '( f ( x) − 1) = 0   f ( x) − 1 = 1   f ( x) − 1 = b, b ∈ (1,2)  f ( x) = a + 1, a + 1 > 0   f ( x) = 2   f ( x) = b + 1, 1 < b + 1 < 3

Dựa vào đồ thị suy ra: (1) có 3 nghiệm phân biệt (2) Ta xét lần lượt đường thẳng: y = a + 1 cắt đồ thị f ( x) tại 2 điểm phân biệt

y = 2 cắt đồ thị f ( x) tại 2 điểm phân biệt y = b + 1 cắt đồ thị f ( x) tại 2 điểm phân biệt Nên (2) có 6 nghiệm phân biệt Vậy phương trình g '( x) = 0 có 9 nghiệm phân biệt.

4. Bài toán 4. Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) ...

Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị là hình vẽ dưới đây.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng ( −2020;2020 ) để bất phương trình f ' ( x ) −2 x − x 2 < m có nghiệm?

Lời giải Đặt g ( x ) = f ' ( x ) −2 x − x 2 Ta có tập xác định của hàm số y = g ( x ) là D = [ −2;0]

Từ đồ thị ta thấy trên khoảng ( −2;0 ) hàm số y = f ( x ) đồng biến và hàm số đạt cực đại tại x = 0 , đạt cực tiểu tại x = −2 .

 f ' ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ [ −2;0]  g ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ [ −2;0]  Suy ra   f ' ( −2 ) = f ' ( 0 ) = 0  g ( −2 ) = g (0) = 0  min g ( x ) = 0 [ −2;0]

Vậy bất phương trình f ' ( x ) −2 x − x 2 < m có nghiệm ⇔ m > min g ( x ) ⇔ m > 0 [ −2;0]

Kết hợp m ∈ ( −2020;2020 ) suy ra có 2019 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên

1  Đặt g ( x ) = f  x +  . Bất phương trình g ' ( x ) < 0 có tập nghiệm là x  A. ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) B. ( −2;0 ) . C. ( 0; 2 ) .D. ( −1;0 ) ∪ (1; +∞ )

Lời giải

1   1  Ta có g ′ ( x ) =  1 − 2  f ′  x +  . x   x 

1   x = ±1 1 − x 2 = 0  g′( x ) = 0 ⇔  ⇔ 1  x + ∈ {−2;0;2} 1   f′ x+ x  =0   x

Với x +

1 2 = −2  ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1 ( nghiệm bội chẵn). x

Với x +

1 2 = 2  ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ( nghiệm bội chẵn). x

Với x +

1 = 0  phương trình vô nghiệm. ( −1;0 ) ∪ (1; +∞ ) x

Nhận xét với x > 0  x + Với x < 0  x +

1 1  ≥ 2  f ′ x +  < 0 . x x 

1 1  ≤ −2  f ′  x +  > 0. x x 

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu suy ra bất phương trình g ' ( x ) < 0 có tập nghiệm là

( −1;0 ) ∪ (1; +∞ ) . Đáp án: Chọn D Ví dụ 3. Cho hàm đa thức bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi phương trình f ′ ( f ( x ) ) = 0 có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải Đặt f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d .

f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Dựa vào đồ thị ta có:

 f ( −1) = 3 −a + b − c + d = 3 a = 1     f (1) = −1 a + b + c + d = −1 b = 0 . ⇔ ⇔   f ′ ( −1) = 0 3a − 2b + c = 0  c = −3  3a + 2b + c = 0 d = 1  f ′ (1) = 0 Suy ra f ( x ) = x3 − 3x + 1 . Ta có

 f ( x ) = −1  x3 − 3x + 1 = −1 f ′( f ( x )) = 0 ⇔  ⇔ 3  x − 3x + 1 = 1  f ( x ) = 1

(1) . ( 2)

Dựa vào độ thị hàm số ta suy ra phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình

( 2 ) có 3 nghiệm. Các nghiệm của 2 phương trình này không trùng nhau. Do đó phương trình f ′ ( f ( x ) ) = 0 có 5 nghiệm. Ví dụ 4. (Câu 49-Đề thi thử THPTQG chuyên Phan Bội Châu lần 2 năm 2020)

Cho hàm số f ( x ) = ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) ...( x − 2020 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m tham số thuộc đoạn [ −2020;2020] để phương trình f ′ ( x ) = mf ( x ) có 2020 nghiệm phân biệt ?

A. 2021 .

B. 4040 .

C. 4041 .

D. 2020 .

Lời giải

Ta có: f ′ ( x ) = ( x − 2)( x − 3) ...( x − 2020) + ( x − 1)( x − 3) ...( x − 2020) + ... + ( x − 1)( x − 2) ...( x − 2019) Dễ thấy phương trình f ′ ( x ) = mf ( x ) (1) không có nghiệm x ∈ {1;2;3;...;2020} .

f ′( x ) 1 1 1 1 = + + + ... + f ( x) x −1 x − 2 x − 3 x − 2020

Xét hàm số g ( x ) =

∀x ∉ {1;2;3;...;2020} g′( x ) = −

( x − 1)

−

( x − 2)

−

( x − 3)

− ... −

( x − 2020 )

< 0∀x ∉ {1;2;3;...;2020}

Bảng biến thiên:

−∞

g′( x )

−

2 −

2020

−

+∞ g ( x)

3…

+∞ −

+∞

+∞ 0

−∞

Để phương trình (1) đã cho có 2020 nghiệm thì đường thẳng y = m cắt đồ thị

hàm số y = g ( x ) tại 2020 điểm phân biệt. Nhìn vào BBT ta thấy : m > 0 hoặc m < 0 tức là m ≠ 0 . Vậy có 4040 giá nguyên của m thuộc đoạn [ −2020;2020] để phương trình f ′ ( x ) = mf ( x ) có 2020 nghiệm phân biệt.

Đáp án: Chọn B 5. Bài toán 5. Cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ' ( x ) , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = 0; f ( u ( x ) ) = 0; f ( x ) = g ( x ) ; f ( u ( x ) ) = g ( v ( x ) ) ... Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ , f ( 3 ) < 0 và đồ thị

hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên dưới

Phương trình f ( x ) = 0 có bao nhiêu nghiệm? B. 1.

A. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

Từ đồ thị hàm số đã cho, ta có bảng biết thiên của hàm số y = f ( x ) :

Qua BBT và f ( 3 ) < 0 ta thấy phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm. Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ,

biết f ( a ) = 0 . Phương trình f ( x ) = 0 có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải b

Xét S1 =  f ′ ( x ) dx = f ( x ) ba = f ( b ) − f ( a ) . a c

S 2 = −  f ′ ( x ) dx = − f ( x ) bc = f ( b ) − f ( c ) . b

Vì S1 < S 2  f ( b ) − f ( a ) < f ( b ) − f ( c )  f ( a ) > f ( c ) .

Dựa vào đồ thị của hàm số f ′ ( x ) , ta có bảng biến thiên của hàm f ( x ) như sau:

f ′( x )

−

b 0

−

f (b) f (a)

f ( x)

f (c )

Vì f ( a ) = 0 do đó từ bảng biến thiên ta có phương trình f ( x ) = 0 có đúng 3 nghiệm. Ví dụ 3. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) thỏa mãn f ( −1) = f ( 3) = 0 , f (1) = −1

và đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) có dạng như hình dưới đây. Phương trình

( f ( x ))

= f (1) có bao nhiêu nghiệm thực?

Lời giải

Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của y = f ( x ) :

x f ′( x)

−1

−∞

f ( x)

−

+∞

−

f (1)

Xét hàm số y = ( f ( x ) ) ta có y′ =

(( f ( x )) )′ = 3  f ( x ) . f ′ ( x ) . 3

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = ( f ( x ) ) :

−1

−∞

f ′( x)

f ( x)

−

− −

−

2.  f ( x )  . f ′ ( x )

y = ( f ( x ))

+∞

− +

− − −

( f (1) )

Do ( f (1) ) = f (1) = −1 3

Vậy phương trình ( f ( x ) ) = f (1) có 3 nghiệm phân biệt. Ta xét với các bài toán vế phải là tham số có dạng: f ( x ) = m ; f (u ( x )) = m , f ( x ) = g ( m ); f (u ( x )) = g ( m )

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e với (a, b, c, d , e∈ℝ) . Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm O ( 0;0 ) và cắt truc hoành tại A ( 3;0 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên [ −5;5] để

phương trình f ( − x 2 + 2 x + m ) = e có bốn nghiệm phân biệt. y 1

3 O

Lời giải Quan sát đồ thị f ' ( x ) như hình vẽ. Ta thấy rằng đây là hàm bậc 3 qua 0 không đổi dấu và qua 3 đổi dấu 1 lần. Nên suy ra f ' ( x ) = k.x 2 ( x − 3) ( k < 0 ) (vì lim f ( x ) = −∞ nên k < 0 ) x →+∞

Do f ' ( 2 ) = 1  −4k = 1 ⇔ k =

−1 1 3 → f ' ( x ) = − x3 + x 2 . 4 4 4

−1 4 1 3 1 1  x + x + e = − x 3  x − 1 + e. 16 4 4 4  Mà theo đề ta có phương trình 2 3  −x + 2x + m  f − x2 + 2 x + m = e ⇔ − x2 + 2 x + m  − 1 = 0 4  

Suy ra f ( x ) =

(

)

(

)

 −x2 + 2x + m = 0 (1) ⇔ 2 − x + 2 x + m − 4 = 0 ( 2) Để phương trình f ( − x 2 + 2 x + m ) = e có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình

 ∆1 = 1 + m > 0 ⇔ m > 3. (1) và (2) lần lượt có 2 nghiệm phân biệt   ∆ = 1 + m − 4 > 0  2  m∈ℤ  m ∈{4;5}. Vậy có 2 giá trị nguyên m thoả mãn bài toán. Mà  m ∈ − 5;5 [ ]  Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Tìm điều kiện của m đề phương trình f ( x) = m có nghiệm x ∈ [ −2;6] ? y 4 2 − 3 − 2 −1 O

6 7

2 3 4 5 S4 6 7

2 3 4 5

−2

Lời giải y 4 S1

−3 −2 −1 O

−2

Gọi S1 , S 2 , S3 , S 4 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) với và trục hoành. Quan sát hình vẽ, ta có 0

 −2

f ′ ( x ) dx >  − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) −2 > f ( x ) 2 0

⇔ f ( 0 ) − f ( −2 ) > f ( 0 ) − f ( 2 ) ⇔ f ( −2 ) < f ( 2 ) 2

 − f ′ ( x ) dx <  f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) 2 < f ( x ) 2 ⇔ f ( 0 ) − f ( 2 ) < f ( 5) − f ( 2 ) 0 5

 f ′ ( x ) dx >  − f ′ ( x ) dx 2

⇔ f ( x) 2 > f ( x) 6

⇔ f ( 5) − f ( 2 ) > f (5) − f ( 6 ) ⇔ f ( 2) < f ( 6) Ta có bảng biến thiên x

−2

f ′( x)

0 +

2 −

f ( 0)

6 −

f ( 5) f ( 2)

f ( 6)

f ( x) f ( −2 )

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán ⇔ f ( −2 ) ≤ m ≤ f ( 5 ) . 6. Bài toán 6. Cho biết số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 , xét các bài toán liên quan đến phương trình có chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) ... . Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị là đường cong trơn

(không bị gãy khúc), hình vẽ bên. Gọi hàm g ( x ) = f  f ( x )  . Hỏi phương trình g ′ ( x ) = 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Lờigiải

g ( x ) = f  f ( x )   g ′( x ) = f ′( x). f ′  f ( x )  . g ′( x) = 0 ⇔ f ′( x). f ′  f ( x )  = 0

 f ′( x) = 0 ⇔  f ′  f ( x )  = 0  x = x1 ∈ ( −2; − 1)  x = 0  x = x ∈ (1;2 ) 2  x = 2 . ⇔ f x = x ∈ − 2; − 1 ⇔ x = x < − 2 ( ) ( ) 1 3   f ( x) = 0 ⇔ x ∈ {−2;0;2}   f ( x) = x2 ∈ (1;2 ) ⇔ x ∈ { x4 ; x5 ; x6 } , x3 < x4 < x5 < 0 < 2 < x6   f ( x) = 2 ⇔ x ∈ { x7 ; x8 ; x9 } , x4 < x7 < x8 < x5 < x6 < x9 Kết luận phương trình g ′ ( x ) = 0 có 12 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên.

Đặt g ( x ) = f  f ( x )  . Tìm số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 . Lời giải Ta có: g ′( x ) = f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  .

(1)  f ′( x) = 0 . g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  = 0 ⇔   f ′[ f ( x)] = 0 (2) Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị nên f ′( x) = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = 0 ; x2 với 2 < x2 < 3 .  f ( x) = x1 = 0 PT (2) : f ′[ f ( x)] = 0 ⇔  .  f ( x) = x2 ; 2 < x2 < 3  Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x) thì f ( x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.  Kẻ đường thẳng y = x2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại ba diểm phân biệt nên phương trình f ( x) = x2 có ba nghiệm phân biệt.

Nên phương trình (2) có 6 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình g ′ ( x ) = 0 có tất cả 8 nghiệm phân biệt. Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

Tìm số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 , biết g ( x ) = f 3 ( x ) − f 2 ( x ) + 8 . Lời giải 2 Ta có g ′ ( x ) = 3. f ′ ( x ) . f ( x ) − 2. f ′ ( x ) . f ( x ) =0

  f ′( x ) = 0  ⇔  f ( x) = 0  2  f ( x) = 3  Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta được + Phương trình f ′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là −1;0;1 + Phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt 2 + Phương trình f ( x ) = có 8 nghiệm phân biệt (để tìm nghiệm 3 2 2 phương trình f ( x ) = ta kẻ đường thẳng y = , thấy đường thẳng 3 3 2 y = cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 8 điểm phân biệt ) 3 Vậy phương trình có tất cả 15 nghiệm phân biệt. ax + b , ( ac ≠ 0; ad − bc ≠ 0; a, b, c, d ∈ ℚ ) . Tìm số cx + d f x 3f x nghiệm của phương trình g ' ( x ) = 0 , biết g ( x ) = e ( ) − e ( ) . Lời giải:  −d  Tập xác định g ( x ) : D = ℝ \    c  f x 3f x  −d  Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) e ( ) − 3 f ' ( x ) e ( ) có TXĐ: D = ℝ \    c  Phương trình  f ' ( x ) = 0 (1) f x 3f x g '( x ) = 0 ⇔ f '( x ) e ( ) − 3 f '( x ) e ( ) = 0 ⇔  f ( x) 3 f ( x) = 0 ( 2) e − 3e +) Giải (1) vô nghiệm  e f ( x ) = 0 ( 3) +) Giải (2): ( 2 ) ⇔  1 − 3e2 f ( x ) = 0 ( 4 ) 1  f ( x) e = (5)  3 Ta có (3) vô nghiệm. PT(4)    e f ( x ) = − 1 (VN )  3 1 Từ (5) ta có f ( x ) = ln Dựa vào dạng đồ thị của f ( x ) ta có PT chỉ 3 có 1 nghiệm

Ví dụ 4. Cho hàm số f ( x ) =

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ và thỏa mãn đẳng thức sau: f ( x + 1) − f ( x ) = 2 x ( 2 x + 1)( x + 1) . Cho hàm số

g ( x ) = mx2 + nx + p và f ( x ) = g ( x 2 − 1) . Tìm nghiệm của phương trình g′( x ) = 0 .

Lời giải Với x = 0 thì f (1) = f ( 0 ) . Vì f (1) = f ( 0 ) và đồ thị hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c đi qua ( 0; −1) , ( 2;11) nên ta có hệ phương trình:

 f (1) = f ( 0 ) a + b + c = c a = 1    ⇔ b = −1 .  f ( 0 ) = −1 ⇔ c = −1  16a + 4b + c = 11 c = −1    f ( 2 ) = 11 Vậy f ( x ) = x 4 − x 2 − 1 .

(

)

(

)

(

)

Ta có f ( x ) = g x 2 − 1 ⇔ x 4 − x 2 − 1 = m x 2 − 1 + n x 2 − 1 + p ⇔ x 4 − x 2 − 1 = mx 4 + ( −2m + n ) x 2 + ( m − n + p )

m = 1 m = 1   ⇔  −2 m + n = −1 ⇔  n = 1  m − n + p = −1  p = −1   Do đó g ( x ) = x 2 + x − 1 .

1 g′ ( x ) = 0 ⇔ 2 x + 1 = 0 ⇔ x = − . 2 1 Vậy x = − . 2 Ví dụ 6. Cho hàm số f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c . Nếu phương trình f ( x ) = 0 có 3 2

nghiệm phân biệt thi phương trình 2 f ( x ) . f "( x ) =  f ′ ( x )  có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Lời giải Giả sử f ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x1 , x2 , x3 . Xét g ( x ) = 2 f ( x ) . f "( x ) −  f ′ ( x ) 

 g ′ ( x ) = 2  f ′ ( x ) . f "( x ) + f ( x ) . f ''' ( x )  − 2 f ′ ( x ) f "( x ) = 2 f ( x ) . f ''' ( x ) = 6 f ( x ) .

 x = x1  Khi đó g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = x2  x = x3 Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g ( x ) = 0 có nhiều nhất 4 nghiệm. 7. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau.

Số nghiệm thuộc đoạn [ 0;2π ] của phương trình f ( cos x ) = −2 là.

A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 1.

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau.

1 1  Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ;π ] của phương trình f  sin x − cos x  = −2 là. 4 3 

A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 1.

Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( x 3 f ( x ) ) + 1 = 0 là

A. 6 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 8 .

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau.

Số nghiệm dương của phương trình  f 2 ( x ) ′ = 0 là.

A. 3 .

C. 2 .

B. 0 .

D. 1.

Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau.

Số nghiệm của phương trình e

A. 3 .

B. 5 .

( )

f x2

= 4 là.

C. 4 .

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

D. 6 .

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

1 3

x  f  + 1 + x = m có nghiệm 2 

thuộc đoạn [ −2;2]

A. 11

B. 9

C. 8

D. 10

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu f

(

giá

trị

2 f ( cos x )

A. 5 .

)

nguyên

tham số π  = m có nghiệm x ∈  ;π  . 2 

B. 3 .

củ a

m để phương trình

C. 2 .

D. 4 .

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như sau. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm dương phân biệt.

A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Câu 9. Cho hàm hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x 2 + 1) = m có 6 nghiệm phân biệt.

A. 12 .

B. 198 .

C. 6 .

D. 190 .

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi

(

)

phương trình f x 2 − 2 x = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm? y 3

−2

−1 O −1

2 x

A. 9 . B. 7 . C. 6 . D. 8 . Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) có liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Tìm

(

)

(

)

số nghiệm của phương trình f x3 − 3x + 3x3 − 3x − 13 = x 2 − 2 − 3( x − 1) .

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [1;3] và có bảng biến thiên như hình dưới

Hỏi phương trình f ( x − 1) =

−5 có bao nhiêu nghiệm trên [ 2;4] ? x 2 − 6 x + 12

A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ, biết f ( a ) = 0 . Phương trình f ( x ) = 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4 .

C. 2 .

B. 3 .

D. 1.

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây.

1 Phương trình f ( 4 x − x 2 ) = − x 3 + 3 x 2 − 8 x + 3 có bao nhiêu nghiệm thực trên 3 khoảng ( 0; 4 ) ?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Câu 15. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đạo hàm là hàm số y = f ′ ( x ) với đồ thị như hình vẽ sau đây: y

−1 −2

−3

Biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Hỏi phương trình f ( x − 3) = 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 16. Cho hàm số h ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx y = h′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên

( m, n, p, q ∈ ℝ ). Hàm

số

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình h ( x ) = m2 + m có hai nghiệm phân biệt?

A. 2 .

B. 10 .

C. 71.

D. 2022 .

Đáp án. 1 A

2 B

3 A

4 C

5 D

6 C

7 D

8 C

9 C

10 11 12 13 14 15 B C C B A A

16 B

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Sách giáo khoa,sách bài tập 12(cơ bản và nâng cao), NXB Giáo Dục Năm 2007 [2]. Phan huy Khải- Nguyễn Đạo Phương .Các phương pháp giải toán sơ cấp Hình học không gian. Nhà xuất bản Hà Nội Năm 2000. [3]. IF.Sharygin. Tuyển tập 340 bài toán hình học không gian. Nhà xuất bản tổng hợp Nghĩa Bình Năm 1988. [4]. Phan Huy Khải .Toán nâng cao hình học lớp 11. Nhà xuất bản Hà Nội Năm 2002. [5]. Đỗ Thanh Sơn .Phương pháp giải toán hình học 12 theo chủ đề .Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2008 [6].Tuyển trọn theo chuyên đề chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT và thi vào ĐHCĐ môn toán,Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2017 [7]. http://www. diễn dàn toán học.net [8]http://www.thuvientailieu… [9]. http://www.thuvienbaigiang.