RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN, ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “ RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN”.

BỘ MÔN: TOÁN HỌC

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

Thực nghiệm

Giáo viên

Học sinh

HSG

Học sinh giỏi.

Phương pháp.

YCBT

Yêu cầu bài toán.

Loại.

Thỏa mãn.

THPT

Trung học phổ thông.

THPTQG

Trung học phổ thông Quốc gia.

TNSP

Thực nghiệm sư phạm.

SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm

Phương trình

NXB

Nhà xuất bản.

GD&ĐT

Giáo dục và Đào tạo.

BBT

Bảng biến thiên

GTLN, GTNN

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.

1.1. Lý do chọn đề tài

1.2. Mục đích nghiên cứu.

1.3. Đối tượng nghiên cứu.

1.4. Phạm vi nghiên cứu

1.5. Kế hoạch nghiên .

1.6. Phương pháp nghiên cứu.

1.7. Điểm mới của đề tài.

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.

2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.

2.1.1. Tư duy.

2.1.2. Tư duy sáng tạo.

2.2. Cơ sở thực tiễn.

2.2.1. Khảo sát thực trạng của học sinh với môn Toán.

2.2.2. Khảo sát quan điểm của một số giáo viên về rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT.

2.2.3. Kế hoạch giảng dạy phương trình mũ.

2.3. Thực trạng của đề tài.

2.4. Các sáng kiến của đề tài

2.4.1. Một số phương pháp giải phương trình mũ đơn giản.

2.4.1.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.

2.4.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.

2.4.1.3. Phương pháp logarit hóa.

2.4.2. Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ.

2.4.2.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

2.4.2.2. Phương pháp đánh giá.

2.4.2.3. Phương pháp phân tích thành tích.

2.4.2.4. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn và kết hợp tìm nghiệm của phương trình bậc hai. 2.4.3. Một số bài toán liên quan đến phương trình mũ.

26 29

2.4.3.1.Tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

2.4.3.2. Một số bài toán thực tiễn, liên môn liên quan đến toán học.

2.5. Hiệu quả của sáng kiến.

2.5.1. Chọn bài thực nghiệm.

2.5.2. Cách thức tiến hành, giáo án thực nghiệm sư phạm, một số hình ảnh thực nghiệm, phiếu khảo sát học sinh, hướng dẫn một số bài tập.

2.5.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm.

2.5.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phụ lục 1: Một số công thức tính đạo hàm của hàm số Phụ lục 2: Các giáo án thực nghiệm, minh họa bài làm của học sinh. Phụ lục 3: Một số hình ảnh minh họa cho các tiết dạy thực nghiệm. Phụ lục 4: Phiếu khảo sát học sinh sau khi học một số nội dung trong đề tài. Phụ lục 5: Hướng dẫn một số câu trong phần bài tập.

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ. 1.1. Lý do chọn đề tài. Trước đây, từng có những quan niệm môn Toán là một môn học trừu tượng và ít có tính thực tiễn. Những quan niệm đó đã dần thay đổi trong giai đoạn hiện nay khi khoa học công nghệ ngày càng phát triển mà nền tảng của sự phát triển đó chính là khoa học cơ bản, trong đó phải kể đến vai trò của toán học. Toán hoc là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong nghiên cứu khoa học, trong thực tế cuộc sống của chúng ta. Toán học cũng được nhìn nhận rộng hơn trong nhiều mặt của đời sống xã hội hiện nay. Đối với môn toán lớp 12 trong những năm gần đây hình thức thi thay đổi, kiến thức trong mỗi đề thi đều rộng và sâu, có nhiều câu liên quan đến tính ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống mà học sinh đã dùng kiến thức toán học để giải nó. Do vậy, qúa trình dạy học nhiều giáo viên đã sử dụng phương pháp dạy học tích cực nhằm phát huy năng lực cho học sinh, qua đó học sinh được tự mình khám phá, tự mình tìm ra lời giải của bài toán mới, từ đó hình thành năng lực, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh nhằm đáp ứng xu hướng giáo dục của thời đại mới. Trong chương trình toán THPT, phương trình mũ là một trong những kiến thức quan trọng của chương II sách Giải tích 12, nó có nhiều bài toán nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh cũng như tính ứng dụng của nó trong thực tiễn cuộc sống. Đây cũng là một nội dung thường được đề cập ở một số câu của đề thi chính thức THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử THPT Quốc gia, đề thi thử tốt nghiệp THPT của một số trường THPT hoặc đề của Sở GD&ĐT, một số đề thi HSG của một số tỉnh, đặc biệt hơn nữa nội dung của nó có ứng dụng để giải một số bài toán trong thực tiễn. Trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia, ôn thi tốt nghiệp THPT tôi nhận thấy tâm lý chung của học sinh là rất ngại và lúng túng khi gặp phải một số bài toán về phương trình mũ chưa có dạng quen thuộc và một số bài tập liên quan đến phương trình mũ có chứa tham số, cũng như có một số câu trong đề thi liên quan đến ứng dụng của toán học vào thực tiễn có sử dụng phương trình mũ, hàm số mũ để giải nó. Vì vậy, tôi viết SKKN ''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan'' để phần nào đó giúp các em học sinh lớp 12 có cái nhìn từ cụ thể, hệ thống, hình thành năng lực, rèn luyện tư duy sáng tạo và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này. 1.2. Mục đích nghiên cứu. Giúp các em học sinh lớp 12 tiếp cận một số phương pháp giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan. Đồng thời rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo khi giải và trình bày dạng toán này, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT. 1

1.3. Đối tượng nghiên cứu. Một số phương pháp giải và giải một số bài tập cơ bản, nâng cao, một số bài tập về ứng dụng của toán học vào bài toán thực tiễn liên quan đến PT mũ, hàm số mũ hoặc bài toán liên quan đến phương trình mũ có chứa tham số, nhằm giúp học sinh lớp 12 rèn luyện tư duy sáng tạo. 1.4. Phạm vi nghiên cứu. Đề tài chủ yếu tập trung rèn luyện tính tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan thông qua hệ thống bài tập cơ bản đến nâng cao. 1.5. Kế hoạch nghiên cứu. TT

Thời gian

Nội dung công việc

Sản phẩm

- Chọn đề tài SKKN.

- Bản đề cương chi tiết.

Tháng 8/2020 đến - Đăng ký với tổ chuyên - Tập hợp tài liệu. tháng 10/2020 môn. - Số liệu khảo sát đã xử - Khảo sát thực trạng. lý. - Tham khảo tài liệu, mạng - Đề cương sáng kiến internet, lựa chọn bài tập .. kinh nghiệm gửi sở. Từ tháng 11/2020 . - Tập hợp ý kiến đóng đến tháng - Trao đổi với đồng nghiệp. góp của đồng nghiệp. 01 /2021 - Soạn giáo án, áp dụng - Thực nghiệm. thực nghiệm. - Tham khảo các tài liệu, - Bản nháp báo cáo. mạng internet, chọn bài tập - Bản chính thức. mới.

Từ tháng 02/2021 đến hết tháng - Viết báo cáo. 3/2021. - Tham khảo ý kiến của đồng nghiệp. - Hoàn thiện SKKN.

1.6. Phương pháp nghiên cứu. + Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tư duy, tư duy sáng tạo, một số phương pháp giải phương trình mũt, một số bài toán liên quan và bài toán thực tế liên quan. + Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: - Phương pháp thu thập các nguồn tài liệu. 2

- Phương pháp phân tích, tổng hợp các nguồn tài liệu đã thu thập. + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Điều tra thực trạng của học sinh khi học toán, toán với thực tế, qua ôn thi năm học trước khi học sinh giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan. - Điều tra tính cần thiết của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua kênh của giáo viên. Trao đổi với giáo viên trong nhóm. + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số tiết dạy theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài. + Phương pháp thống kê toán học: Xử lý phân tích các kết quả thực nghiệm sư phạm. 1.7. Điểm mới của đề tài. ''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan'' đã được một số tác giả nghiên cứu nhưng đề tài của tôi đã cập nhật một số bài tập mới nhất, sắp xếp các dạng bài tập từ đơn giản đến phức tạp, bài tập dạng cụ thể ứng dụng để giải cho bài tập sau liên quan, phù hợp với nhiều đối tượng, một số bài tập tôi đưa ra một số phương pháp giải khác nhau, đồng thời bài tập chủ yếu tôi tham khảo ở một số đề thi chính thức THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử THPT Quốc gia, đề thi thử tốt nghiệp THPT của một số trường THPT hoặc đề của Sở GD&ĐT, một số đề thi HSG của một số tỉnh trong những năm gần đây để các em thấy hứng thú hơn khi giải được dạng phương trình mũ hoặc một số bài toán liên quan trong đề thi. Qua đó phát huy được tính tự học, tự rèn luyện, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân tôi, đồng nghiệp đã áp dụng đề tài này vào giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, học sinh hứng thứ hơn, tích cực, chủ động, sáng tạo hơn khi gặp dạng toán này. Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học ở dạng toán này.

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1. Cơ sở lý luận của đề tài. 2.1.1. Tư duy. 2.1.1.1. Khái niệm về tư duy. Theo từ điển triết học: Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hóa, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm...Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó. Theo tâm lý học tư duy là thuộc tính đặc biệt của vật chất có tổ chức cao, chính là bộ não người. tư duy phản ánh thế giới vật chất dưới dạng các hình ảnh lý tưởng: “Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”. Theo cách hiểu đơn giản, tư duy là một loạt những hoạt động của bộ não diễn ra khi có sự kích thích. Những kích thích này được não bộ tiếp nhận thông qua bất kỳ giác quan nào trong năm giác quan: Xúc giác, thính giác, thị giác, khứu giác, vị giác. Tư duy toán học được hiểu thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học, toán học hay trong quá trình áp dụng toán học vào các khoa học khác như: Kỹ thuật, kinh tế quốc dân... Thứ hai tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực cũng như chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng. 2.1.1.2.Các thao tác tư duy. Phân tích và tổng hợp. So sánh và tương tự. Khái quát hoá và đặc biệt hóa. Trừu tượng hoá và cụ thể hóa. Các thao tác tư duy cơ bản được xem như quy luật bên trong của mỗi hành động tư duy. Trong thực tế các thao tác tư duy đan chéo vào nhau mà không theo 4

trình tự máy móc. Tuy nhiên, tùy theo từng nhiệm vụ tư duy, điều kiện tư duy, không phải mọi hành động tư duy cũng nhất thiết phải thực hiện tất cả các thao tác trên. Trong môn toán, thao tác phân tích và tổng hợp thường được sử dụng để tìm hiểu bài toán, để nhận diện bài toán thuộc loại nào, sau đó phân tích tìm mối quan hệ giữa các yếu tố của bài toán (các yếu tố đã biết và các yếu tố cần tìm...) từ đó sẽ tổng hợp các yếu tố, điều kiện vừa phân tích để đưa ra các bước giải hoàn thiện. Hơn nữa, nhờ phân tích và tổng hợp ta có thể tổng hợp các bài toán tương tự thành một vài dạng toán mẫu cùng với cách giải tương ứng của chúng. 2.1.1.3. Các giai đoạn hoạt động của tư duy. Tư duy là một hoạt động trí tuệ có các giai đoạn sau: Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề. Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm. Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết. Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết. Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra. 2.1.1.4. Phân loại tư duy Theo đặc trưng của tư duy, có các loại tư duy sau: Tư duy độc lập; Tư duy logic; Tư duy trừu tượng; Tư duy biện chứng; Tư duy phê phán; Tư duy sáng tạo. 2.1.2. Tư duy duy sáng tạo. 2.1.2.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo. Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy linh hoạt và hiệu quả”. Theo từ điển Giáo dục học: “Tư duy sáng tạo là tư duy tạo ra những hình ảnh, ý tưởng, sự vật mới và chưa có từ trước”. Các nhà nghiên cứu đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo: Theo J.DanTon: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: Sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thử nghiệm, sự thám hiểm” . Theo Bùi Văn Nghị: “Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị”. 5

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán: “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết”. Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là tư duy tạo ra cái mới. Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới về các phương thức hoạt động. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước. Các quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya: Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. Bước 2: Tìm cách giải. Bước 3: Trình bày bài giải. Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải. 2.1.2.2. Mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo. Bàn về mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo thì mối quan hệ đó là các mức độ tư duy khác nhau mà tư duy tích cực có vai trò là tiền đề. Quá trình từ tư duy tích cực đến tư duy sáng tạo thông qua tư duy độc lập. Như vậy trong tư duy sáng tạo luôn có tư duy tích cực và tư duy độc lập. Ông Bùi Văn Nghị cho rằng: Tư duy tích cực: Khi một HS chăm chú theo dõi việc giải bài tập và cố gắng hiểu được các bước giải. Tư duy độc lập: Thể hiện ở việc HS tự mình phát hiện ra vấn đề tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tư duy sáng tạo: Trên các kết quả đó HS tự khám phá tìm ra cách chứng minh, lời giải mà HS chưa biết. 2.1.2.3. Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo. Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề, tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa là một số đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo. Các yếu tố cơ bản nói trên chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ xung cho nhau và không tách rời nhau. Khả năng linh hoạt chuyển từ hoạt động 6

trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được ra nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và qua đó phát hiện, đề xuất được nhiều phương án khác nhau, cũng như có thể tìm được phương án ấn tượng, khác lạ (tính độc đáo). Tất cả các yếu tố cơ bản này lại quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính nhạy cảm vấn đề, tính chính xác, tính hoàn thiện. 2.2. Cơ sở thực tiễn. 2.2.1. Khảo sát thực trạng của học sinh với môn Toán. Để tìm hiểu vấn đề này, tôi đã tiến hành khảo sát về phía học sinh và đã phát 200 phiếu khảo sát cho HS lớp 12 trong đó có 49 học sinh của trường THPT Cát Ngạn, 74 học sinh của trường THPT Thanh Chương III, 77 em học sinh trường THPT Nguyễn Cảnh Chân để các em phát biểu những ý kiến của mình khi học môn Toán. Nội dung khảo sát như sau: Phiếu khảo sát. Họ và tên học sinh.................................................................Lớp Trường THPT ............................................................................................. Em hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống trong bảng có câu trả lời phù hợp với em? Nội dung

Có

Không/ chưa

(1) Em có thích khi học môn Toán không?. (2) Em có thấy rằng kiến thức Toán THPT có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống không?. (3) Mỗi bài tập toán em có thường làm theo cách của thầy cô đã dạy không?. (4) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Toán học THPT vào thực tế chưa?. 2.2.2. Khảo sát quan điểm của một số giáo viên về rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT. Tổng số giáo viên dạy môn tự nhiên được khảo sát 50 giáo viên (10 giáo viên trường THPT Cát Ngạn, 22 giáo trườngTHPT Thanh Chương III, 18 giáo viên trường Nguyễn Cảnh Chân). Kính đề nghị Thầy/Cô vui lòng dành thời gian đọc kỹ và trả lời khách quan các nội dung câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô của phương án (phiếu 7

1) và khoanh tròn vào chữ cái đứng trước phương án (phiếu 2) cho câu trả lời của mình. Phiếu 1: Khảo sát tính cần thiết trong dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT Các câu hỏi khảo sát

Rất cần thiết

Cần thiết

Không cần thiết

1. Thầy (cô) có cho rằng dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh có cần thiết hay không?. 2. Theo thầy (cô) rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua việc giải bài tập có cần thiết không?. Phiếu 2: Khó khăn nhất trong dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh THPT. 3. Khó khăn nhất khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT. Với học sinh.

A. Trình độ của học sinh không đồng đều. B. Không hứng thú với môn học. C. Chưa làm quen với hướng tiếp cận này.

Với giáo viên.

A. Chưa có kinh nghiệm, phương pháp. B. Trình độ của giáo viên còn hạn chế. C. Chưa có tài liệu hướng dẫn.

2.2.3. Kế hoạch giảng dạy phương trình mũ. 2.2.3.1.Khung phân phối chương trình chính khóa và đại trà. Dựa vào sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2008 của nhà xuất bản giáo dục và kế hoạch giảng dạy của nhóm chuyên môn năm học 2020-2021 bài ''Phương trình mũ và phương trình logarit'' (Giải tích 12) được tách thành hai bài ''Phương trình mũ'' bài ''phương trình lôgarit'', thời lượng học chính khóa cả 2 bài là 4 tiết, ôn tập chương 2 tiết, học đại trà 6 tiết (trong đó học kỳ 1 có 3 tiết), ôn thi tốt nghiệp.

Bảng 1. Khung phân phối chương trình''phương trình mũ'' trường THPT Cát Ngạn.

Dạy

Tên bài

Tiết PPCT

Phương trình mũ.

36 37

chính khóa Ôn thi tốt nghiệp Ôn tập PT mũ và PT lôgarit

Thiết bị, học liệu

Hình thức

Phương trình mũ cơ Máy chiếu, Trên lớp bản + Bài tập. SGK, bảng phụ, phiếu PP giải phương trình học tập,... mũ đơn giản + bài tập Phương trình mũ.

37, 38 Ôn tập PT mũ.

Phiếu học Tìm điều kiện của tập, SGK, tham số để PT mũ có máy tính, nghiệm thỏa mãn điều bảng phụ, kiện nào đó. ...

Dạy đại trà (dạy thêm)

Nội dung dạy học

Ôn tập hàm số, PT mũ và lôgarit

Ứng dụng của toán học vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn

Ôn thi tốt nghiệp

Phương trình mũ.

Trên lớp

2.2.3.2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài. Kiến thức - Nắm được định nghĩa nêu được cách giải phương trình mũ cơ bản. - Hiểu rõ được các phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ đơn giản, một số phương pháp khác để giải phương trình mũ - Tìm điều kiện để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó. - Biết giải bài toán liên quan gắn với thực tiễn và nắm ý nghĩa của nó. Kỹ năng - Giải chính xác được các phương trình mũ cơ bản và một số dạng thường gặp. - Sử dụng thành thạo các công thức để biến đổi PT đã cho về dạng quen thuộc. Tư duy và thái độ - Rèn luyện tư duy logic, tư duy thuật toán, tư duy trìu tượng và đặc biệt là rèn luyện tư duy sáng tạo, khả năng nhạy bén và năng động trong các tình huống. 9

- Giáo dục cho học sinh tính cần cù, cẩn thận, chính xác, kỷ luật, không ngại khó và tích cực tìm ra cái mới. Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm. - Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu kiến thức liên quan. Phát triển năng lực: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động. - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống, tự liên hệ thực tế. - Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. - Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: HS sử dụng máy tính, mạng internet. - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. Năng lực tính toán. 2.3. Thực trạng của đề tài. Bảng 2: Kết quả khảo sát thực trạng của học sinh với môn toán

Nội dung

Tỉ lệ Có

Không/chưa

(1) Em có thích khi học môn Toán không?.

57,5%

42,5%

(2) Em có thấy rằng kiến thức Toán THPT có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống không?.

41,5%

58,5%

(3) Mỗi bài tập toán em có thường làm theo cách của thầy cô đã dạy không?.

69%

(4) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Toán học THPT vào thực tế chưa?.

22,5%

31%

77,5%

Bảng 3. Kết quả khảo sát tính cần thiết trong dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT. Các câu hỏi khảo sát

Tỉ lệ Cần

Rất cần thiết

thiết

Không cần thiết

1. Thầy (cô) có cho rằng dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh có cần thiết hay không?.

66,0%

34,0%

0,0%

2. Theo thầy (cô) rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua việc giải bài tập có cần thiết hay không?.

80,0%

18,0%

2,0%

Bảng 4. Khó khăn nhất trong dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh THPT. Khó khăn nhất khi sử khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT Với học sinh

Với giáo viên

Tỉ lệ

A. Trình độ chưa cao, không đồng đều.

40%

B. Không hứng thú với môn học.

46%

C. Chưa làm quen với hướng tiếp cận này.

14 %

A. Chưa có kinh nghiệm, phương pháp.

44%

B. Trình độ của giáo viên còn hạn chế.

36%

C. Chưa có tài liệu hướng dẫn.

20%

Qua các bảng kết quả khảo sát trên, ta rút ra một số nhận xét sau: Về phía học sinh: 57,5% học sinh có thích học toán, thấy toán không có ứng dụng trong thực tế (58,5%), phần lớn (69%) học sinh làm theo cách của giáo viên đã hướng dẫn, phần lớn học sinh chưa áp dụng toán học THPT vào bài toán thực tế. Về phía giáo viên: Đa số GV cho rằng dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là rất cần thiết (66%). Đa số giáo viên thấy rằng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua việc giải bài tập rất cần thiết (80%). Tìm hiểu khó khăn nhất khi sử khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT: Với HS không hứng thú với môn học (46%), GV chưa có kinh nghiệm và phương pháp (44%), trình độ giáo viên còn hạn chế (36%), Nhận xét: Từ các số liệu nghiên cứu, ta thấy phần lớn học sinh làm theo cách mà giáo viên đã dạy, thấy toán THPT ít có ứng dụng trong thực tế, phần lớn giáo 11

viên đã chú trọng hơn trong việc sử dụng phương pháp dạy rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2008 của nhà xuất bản giáo dục, nhìn chung, nội dung phương trình mũ được bố trí và sắp xếp rất hợp lý, hệ thống bài tập phù hợp với đa số học sinh. Song số bài tập nâng cao để rèn luyện tư duy sáng tạo học sinh học tốt thì chưa nhiều và chưa phong phú, ở một số bài tập đưa ra không đề cập đến các phương trình đòi hỏi phải biến đổi các biểu thức phức tạp. Sách giáo khoa cũng không xét đến các phương trình có chứa tham số, vì thế phần lớn mà học sinh không giải được một số câu hỏi trong một số đề thi THPT trong những năm gần đây nếu như các em không được rèn luyện dạng toán này. Cụ thể: Trong đề thi THPT Quốc gia năm 2018 mã đề 102 có câu: Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 25 − m.2x+1 + 7m2 − 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử. x

A. 7

B. 1

C. 2

D. 3

Qua quá trình ôn thi THPT và tìm hiểu từ phía học sinh lớp 12 trường tôi trong năm học 2019-2020, tôi nhận thấy rằng số học sinh giải được câu trên là rất ít thậm chí là không. Nguyên nhân là do các em chưa biết quy lạ về quen, các em còn gại suy nghĩ, chưa linh động khi gặp dạng bài toán mới. Cụ thể Trường THPT Cát Ngạn

Năm học 2019-2020

Sĩ số khối 12

Biết rõ

110

5/110

28/110

77/110

(4,5%)

(25,5 %)

70 %)

Biết sơ sài Không biết

Từ các thực trạng trên đã thôi thúc tôi nghiên cứu đề tài ''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan'' và áp dụng nội dung dạy học này trong năm học 2020 – 2021 để góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT và là tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 cũng như giáo viên bộ môn toán. 2.4. Các sáng kiến của đề tài. Việc giải phương trình mũ đã có một số cách giải cụ thể, song người học cần lựa chọn ra những phương pháp giải phù hợp cho mỗi loại phương trình, mỗi loại bài toán. Chính vì vậy khi dạy phần này giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa, đặc biệt hóa... Trong phần này tôi trình bày một số phương pháp giải phương trình mũ cùng với một số ví dụ minh họa kết hợp, giải một số bài toán về tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó và ứng dụng 12

của nó trong một số bài toán thực tế, liên môn dựa trên việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh, tôi không đề cập phần hướng dẫn nhanh thử đáp án bằng máy tính (nếu được) để tìm đáp án của bài toán trắc nghiệm. 2.4.1. Một số phương pháp giải phương trình mũ đơn giản. * Một số kiến thức liên quan. +) Một số tính chất của lũy thừa. Với các số thực a > 0, b > 0, α và β tùy ý, ta có α

a ⋅a = a

α +β

aα = aα −β ; β a

;

(aα )β = aα .β ;

aα a   = α; b b

(ab) = a ⋅ b ;

a   b

−α

b =  ⋅ a

+) Định nghĩa lôgarit Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b . Ta viết: α = loga b ⇔ aα = b. α

+) Các tính chất của lôgarit: Cho a, b > 0, a ≠ 1 , ta có

log a a = 1

log a 1 = 0

a loga b = b

log a ( aα ) = α

+) Quy tắc tính lôgarit - Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có log a (b1.b2 ) = log a b1 + log a b2 . - Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có log a Đặc biệt: với a, b > 0, a ≠ 1 ta có log a

b1 = log a b1 − log a b2 . b2

1 = − loga b. b

α - Lôgarit của một lũy thừa: Cho a, b > 0, a ≠ 1 , ∀ α , ta có loga b = α .loga b.

1 Đặc biệt: log a n b = log a b, n ∈ ℕ, n ≥ 2. n +) Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1, ta có logc b log a b = . log c a Đặc biệt: log a c =

1 1 và log aα b = log a b với α ≠ 0 . logc a α 13

+) Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên. Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết log10 b = log b = lg b. Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Viết loge b = ln b. +) Định nghĩa phương trình mũ: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số ở số mũ của lũy thừa. +) Phương trình mũ cơ bản. Định nghĩa: Phương trình mũ cơ bản có dạng a x = b ( a > 0, a ≠ 1) . Cách giải: Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = log a b . Tổng quát: Cách giải phương trình mũ dạng a f ( x ) = b ( a > 0, a ≠ 1) . Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu b > 0 thì ta có f ( x) = log a b , giải PT tìm x , kết luận nghiệm. * Phương pháp chung: Quan sát các cơ số, số mũ, các biểu thức có trong PT rồi dùng các công thức biến đổi hoặc đặt ẩn phụ để đưa PT về dạng quen thuộc giải được. 2.4.1.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số. Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình a 4 x+ 2 = 4x. Ví dụ 1. Giải các phương trình a) 2

(

)

2 −1

x2 −2 x

f ( x)

g( x)

= ( 2 + 1) −2 x −5 .

Phân tích: + Yêu cầu bài toán giải phương trình mũ. + Xem mối quan hệ chung của các cơ số hoặc số mũ, linh động trong sử dụng công thức?. β

α a.β + Với câu a ta có 4 = 2 2 , sau đó sử dụng công thức ( a ) = a để đưa về cùng cơ số hoặc suy nghĩ theo hướng giải khác.

+ Với câu b nhận thấy hai cơ số có mối quan hệ. Giải. 4 x+2 = 4x ⇔ 24 x+2 = 22 x ⇔ 4x + 2 = 2x ⇔ x = −1. Cách 1. 2

Cách 2. 24 x+ 2 = 4 x ⇔ 24 x.4 = 4 x ⇔ 16 x.4 = 4 x ⇔ 4 x = b) Nhận xét:

(

)(

2 −1 .

)

2 +1 =1⇔

1 ⇔ 4 x = 4−1 ⇔ x = −1. 4 −1

2 + 1 = ( 2 − 1) . Khi đó ta có 14

(

)

2 −1

x2 −2 x

= ( 2 + 1)

−2 x −5

⇔

(

)

2 −1

x2 −2 x

= ( 2 − 1) 2 x +5 ⇔ x 2 − 2 x = 2 x + 5

 x = −1 ⇔ x2 − 4 x − 5 = 0 ⇔  . Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = −1, x = 5. x = 5 Ví dụ 2. Giải các phương trình 2

a) 4x = 8x+1

1 b) 3.274 x+2 = .3x. 9

c) ( x − 3 )

2 x2 − x+

1 2

= ( x − 3)

2 x+

1 2

Phân tích- hướng dẫn. + Câu a: Tư duy đưa về cơ số 2 . + Câu b: Tư duy đưa về cơ số 3. + Câu c: Cơ số chứa ẩn. Tổng quát: Giải phương trình a

f ( x)

+) Nếu a ∈ ℝ, a > 0, a ≠ 1 thì a số)

=a f ( x)

g( x)

g( x )

⇔ f ( x ) = g ( x ) (là phương trình đại

a = 1 +) Nếu a chứa ẩn thì a f ( x ) = a g ( x )   . Tìm x , thử lại và kết luận. f x = g x ( ) ( ) 

2.4.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ. Để sử dụng phương pháp này học sinh cần quan sát và phân tích kỹ các yếu tố của PT để tìm mối quan hệ của chúng, rồi chọn ẩn phụ thích hợp để đặt và đưa về PT đại số hay hệ phương trình tương đương đơn giản giải được. * Dấu hiệu: Cơ số có mối quan hệ, số mũ có dạng k. f ( x), h + kf ( x), k , h ∈ℝ. 2x x Ví dụ 3. Giải phương trình 5 − 4.5 − 5 = 0

(1) bằng cách đặt ẩn phụ

t = 5 , t > 0. x

Giải.

t = −1 ( L) 2 x . Đặt t = 5 ( t > 0) , phương trình (1) trở thành t − 4t − 5 = 0 ⇔  t = 5 ( TM )  x Với t = 5, ta có 5 = 5 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

Chú ý: Nếu không yêu cầu đặt ẩn phụ thì học sinh có thể trình bày theo cách đơn  5 x = −1 2x x giản như sau: 5 − 4.5 − 5 = 0 ⇔  x ⇔ x = 1. 5 = 5 x+1 1−x Ví dụ 4. Giải phương trình 3 + 3 −10 = 0.

Phân tích. 15

+ Quan sát cơ số và biểu thức ở số mũ của PT, HS linh động sử dụng công thức

aα ⋅ a β = aα +β , a −α =

1 đã học và biến đổi về dạng PT giải được. aα

+ Cho học sinh giải theo suy nghĩ. Ví dụ 5. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai năm học 2018-2019). x x 2 x+1 Giải phương trình 8.25 − 8.10 − 15.2 = 0.

Phân tích- Hướng dẫn giải. + Biến đổi phương trình đã cho để thấy một mối quan hệ của các cơ số, số mũ?

8.25x − 8.10x − 15.22 x+1 = 0 ⇔ 8.52 x − 8.(2.5) x − 30.22 x = 0. + Các cơ số có mối quan hệ, PT không có hệ số tự do. 2x Chia cả hai vế cho 5 hoặc 22 x hoặc ( 2.5 ) rồi đặt ẩn phụ. x

*Tổng quát: Một số dạng đặt ẩn phụ thường gặp của phương trình mũ: Dạng 1. A.a

2 f ( x)

+ B.a

f ( x)

+C =0

(Nhìn ra phương trình tương tự dạng phương trình bậc hai,...). f ( x) Đặt t = a , đặt điều kiện cho ẩn phụ t.

Dạng 2. A.a

f ( x)

+ B.b

f ( x)

+ C = 0 , với a.b = 1

(Số mũ giống nhau, cơ số có mối quan hệ).

1 f ( x) f ( x) Đặt t = a , đặt điều kiện cho ẩn phụ t. Khi đó b = . t Dạng 3. A.a

2 f ( x)

+ B.( ab )

Chia hai vế cho a

2 f ( x)

f ( x)

+ C .b

2 f ( x)

hoặc ( ab )

hoặc b

= 0. f ( x)

rồi đặt ẩn phụ.

Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên và những gợi ý hướng dẫn giải phương trình mũ đơn giản, giáo viên nên khuyến khích học sinh tìm tòi nhiều cách giải khác nhau từ bài toán đơn giản để tạo sự linh hoạt, khéo léo trong tư duy. Dù học sinh giải cách nào ngắn hay dài thì giáo viên cũng luôn động viên, kích lệ các em. Như vậy việc giải phương trình mũ đơn giản ở trên đã góp phần rèn luyện cho học sinh những thao tác phân tích và tổng hợp, so sánh và tương tự, ...của tư duy, đồng thời rèn luyện tư duy thuật toán, tư duy trừu tượng.... Ví dụ 6. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 20182019). Giải phương trình 41+ x + 41− x = 2 ( 2 2+ x − 2 2− x ) + 8 (*) Giải. Cách 1: Ta có (*) 16

⇔ 4.4 x + 4.4− x = 2 ( 22.2 x − 2 2.2− x ) + 8 ⇔ 4 x + 4 − x = 2(2 x − 2− x ) + 2. x −x 2 x −x Đặt t = 2 − 2  t = 4 + 4 − 2 .

t = 0 2 2 PT (*) trở thành t = 2t ⇔ t − 2t = 0 ⇔  t = 2 x = 0 x −x x −x x = 0 2 − 2 = 0 2 = 2  x VN ⇔ 2 = 1 − 2 ( ) ⇔ .  x ⇔   2x  −x x x = log (1 + 2) 2 − 2 = 2 2 − 2.2 − 1 = 0  2    x 2 = 1 + 2 Vậy PT đã cho có nghiệm x = 0, x = log 2 ( 2 + 1). Hướng dẫn cách 2. 41+ x + 41− x = 2 ( 22+ x − 2 2− x ) + 8 ⇔ 41+ x + 41− x = 4 ( 21+ x − 21− x ) + 8. 1+ x 1−x 2 1+ x 1− x Đặt t = 2 − 2  t = 4 + 4 − 8.

Chú ý: HS hay sai khi giải PT cơ bản 2 x = 1 − 2. Hướng dẫn cách 3. Phân tích thành nhân tử tương tự như các ví dụ ở mục 2.4.2.3. Ví dụ 7. (Trích đề thi thử Trường THPT Phan Chu Trinh Đà Nẵng- 2020-2021). x

Biết phương trình ( 3 + 5 ) + 15 ( 3 − 5 ) = 2 x +3 có hai nghiệm x1, x2 và x1 = log a b > 1 , trong đó a, b nguyên tố cùng nhau, giá trị biểu thức 2a + b là: x2 A. 11.

B. 17.

C. 13.

D. 19.

Phân tích: Biến đổi PT được về cùng số mũ x , vế phải của PT chưa phải một số và 3+ 5  3− 5  5 ) .( 3 − 5 ) = 4,   .  = 1 , suy ra chia cả hai vế của phương  2  2  x trình cho 2 .

(3 +

3+ 5  3− 5  Giải. Nhận xét: ( 3 + 5 ).( 3 − 5 ) = 4 ⇔   .  =1  2  2  x

Ta có ( 3 + 5 ) + 15( 3 − 5 ) x

−x

 3+ 5  3− 5  = 2 x+3 ⇔   + 15  −8 = 0  2   2  2x

 3+ 5  3+ 5  3+ 5  3+ 5    + 15  −8 = 0 ⇔   − 8  + 15 = 0 (*).  2   2   2   2  17

 3 + 5  x   = 5  x = log 3+ 5 5   2  2 ⇔  ⇔ .  x x = log 3 3+ 5  3 + 5  = 3  2    2  Do

x1 > 1 nên x1 = log 3+ 5 5 , x2 = log 3+ 5 3 x2 2 2



x1 = log3 5  a = 3, b = 5  2a + b = 11. Vậy chọn A. x2 2

x −3 x+2 + 4x +6 x+5 = 42 x +3x+7 + 1 (1). Ví dụ 8. Giải phương trình 4

Phân tích: 2 2 2 + Ta có ( x2 − 3x + 2) + ( x2 + 6 x + 5) = 2x2 + 3x + 7  42 x +3 x+7 = 4 x −3 x+2.4 x +6 x+5 x2 −3 x+2

, v=4 + Nếu đặt u = 4 nào và có giải được không?. Giải:

x2 +6 x+5

 42 x +3x+7 = u.v thì PT đã cho trở thành PT

Cách 1. 2 2 2 2 2 2 Ta có ( x − 3x + 2) + ( x + 6 x + 5) = 2x + 3x + 7  42 x +3 x +7 = 4 x −3 x +2.4 x +6 x+5 2

x −3 x+2 , v = 4x +6 x+5 , u, v > 0  42 x +3x+7 = u.v Đặt u = 4

u = 1 . PT (1) trở thành u + v = u.v + 1 ⇔ u − 1 + v(1 − u) = 0 ⇔ (u − 1)(1 − v) = 0 ⇔  v = 1 

x =1 x2 −3 x+ 2 = 1 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔  . Với u = 1, ta có 4 x = 2 x Với v = 1 , ta có 4

+6 x +5

 x = −1 = 1 ⇔ x2 + 6 x + 5 = 0 ⇔  .  x = −5

Vậy PT đã cho có nghiệm: x = 1, x = 2, x = −1, x = −5 Cách 2. Phương pháp phân tích thành nhân tử được trình bày ở mục 2.4.2.3. Ví dụ 9. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An năm học 2010-2011). Giải phương trình 20102 x + 2010 x + 12 = 12. Phân tích: Nếu ta suy nghĩ: Đặt t = 2020 , t > 0. PT trở thành t 2 + t + 12 = 12 thì việc giải PT này không đơn giản, vậy có phương pháp nào đơn giản hơn không? x

Giải. 18

2 2x 2 x Đặt u = 2010 x , v = 2010 x + 12 , u > 0, v > 0  u = 2010 , v = 2010 + 12

Khi

đó

theo

bài

u 2 + v = 12 u 2 + v = 12 ⇔ ⇔  2 ( u + v )( u − v + 1) = 0 v − u = 12  

có 

3 5 −1

u 2 + v = 12 u 2 + u − 11 = 0 u = 2 ⇔ . ⇔  3 5 + 1 u − v + 1 = 0 v = u + 1  v =

2010x =

đó

3 5 −1 3 5 −1 ⇔ x = log2010 . 2 2

3 5 −1 . 2 Chú ý: Như vậy, việc đặt ẩn phụ có thể chuyển PT mũ về PT hoặc hệ phương trình đơn giản giải được. Từ ví dụ 9 ta có thể tổng quát dạng phương trình mũ tương tự và nêu được cách giải nó.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = log 2010

2.4.1.3. Phương pháp lôgarit hóa. 0 < a ≠ 1, b > 0 * Dạng1. Phương trình a f ( x ) = b ⇔  .  f ( x ) = log a b

Từ phương pháp giải dạng 1 ở trên, ta có thể đặt ra câu hỏi: Nếu lấy lôgarit hai vế với một cơ số c bất kỳ (c > 0, c ≠ 1) liệu có được không ? và câu trả lời là hoàn toàn được. Như vậy ta có thể giải quyết các phương trình phức tạp hơn, f x g x dạng a ( ) = b ( ) (a, b > 0; a, b ≠ 1) bằng cách lấy lôgarit hai vế với cơ số nào đó. 2

Ví dụ 10. Giải các phương trình a) 2 x = 3x .

b) 3x +x.4x+1 = 1 (*).

Phân tích: + Quan sát PT thấy các cơ số không thể biểu thị qua cơ số chung và biểu thức ẩn ở số mũ của lũy thừa không có quan hệ chung dạng k. f ( x), h + kf ( x), k , h ∈ℝ. . + Lấy lôgarit hóa theo một cơ số nào đó cả hai vế. Giải. 2 2 x = 0 a) 2x = 3x ⇔ log3 2x = log3 3x ⇔ x.log3 2 − x2 = 0 ⇔ x(log3 2 − x) = 0 ⇔  .  x = log3 2

b) (*) ⇔ 3 (

(

x x +1)

.4 x+1 = 1 ⇔ log 3 (

)

x x +1)

.4 x+1 = 0 ⇔ log3 (

x x +1)

+ log 4 x +1 = 0

 x = −1 ⇔ x ( x + 1) log3 + ( x + 1) log 4 = 0 ⇔ ( x + 1)( x log3 + log 4 ) = 0 ⇔  .  x = − log3 4 Chú ý: Ví dụ trên có thể lấy theo cơ số khác nhưng nên chọn cơ số thích hợp để PT dễ giải, ta có thể tổng quát dạng câu a, b và nêu được PP giải chúng. * Dạng 2. PT a ( ) = b kỳ (c > 0, c ≠ 1). f x

g( x)

(a, b > 0; a, b ≠ 1) : Lấy lôgarit hai vế theo cơ số c bất

* Dạng 3. Phương trình dạng a

f ( x)

g( x)

= c (a, b > 0; a, b ≠ 1).

+) Nếu c ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm. +) Nếu c > 0 thì lấy logarit hai vế theo cơ số c bất kỳ (c > 0, c ≠ 1) . Nhận xét: Như vậy từ việc giải PT mũ đơn giản đến dạng PT mũ phức tạp hơn, ta thấy việc giải PT mũ đã giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, quan sát, tính độc lập trong tìm tòi lời giải ....cũng như kỹ năng mềm dẻo, nhuần nhuyễn, hoàn thiện....Qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy sáng tạo. Bài tập. Câu 1. Giải các phương trình x2

x+1

a) 4 = 8

3.27

4 x+ 2

1 = .3x. 9

c) ( x − 3 )

2 x2 − x+

1 2

= ( x − 3)

2 x+

1 2

Câu 2. Giải các phương trình x x a) 3.9 − 2.3 − 5 = 0

2 2 8 2 c) 4x + x − 7.6x + x − .9 x + x+1 = 0 9

x x x b) 2.4 − 6 = 9

Câu 3. Giải các phương trình a) 3

x −2

−2

x 2 −3 x + 2

= 0 b) 3 .2 = 1 c) 5 .8 x

x −1 x

= 500

Câu 4. (Trích đề thi thử trường THPT Cao Bá Quát 2017- 2018) 28

x+ 4

Cho phương trình 2 3 = 16 x −1 . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ. B. Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên. C. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. D. Phương trình vô nghiệm. Câu 5. (Trích mã đề 101 THPTQG năm 2017). Cho phương trình 4x + 2x+1 − 3 = 0. Khi đặt t = 2 x , ta có được phương trình nào dưới đây? 2 A. 2t − 3 = 0.

2 B. t + t − 3 = 0.

C. 4t − 3 = 0 .

2 D. t + 2t − 3 = 0.

Câu 6. ( Đề thi thử THPT Thạch Thành 1 Thanh Hóa năm học 2020-2021)

(

Gọi x1 , x2 ( x1 < x2 ) là nghiệm của phương trình 2 − 3

) + (2 + 3 )

= 4. Khi đó

2019 x1 + 2020 x2 bằng: A. 4039. B. 1. C. − 1. D. 2020. Câu 7. (Trích đề thi thử THPT Gia Viễn A Ninh Bình năm học 2020-2021) 2 Cho hai số thực a > 1, b > 1. Biết phương trình a x .b x −1 = 1 có hai nghiệm phân 2

 x .x  biệt x1, x2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =  1 2  − 4( x1 + x2 ) bằng:  x1 + x2  A. 3 3 4 .

B. 4 .

C. 3 4.

D. 3 3 2

2.4.2. Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ. 2.4.2.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. * Kiến thức liên quan. x +) Tính đơn điệu của hàm số mũ: y = a (a > 0, a ≠ 1). Khi a > 1 thì hàm số đồng biến trên ℝ . Khi 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến ℝ

+) Định lý về tính đơn điệu của hàm số: Với K là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K. - Nếu f '( x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên K. - Nếu f '( x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K. Định lý mở rộng Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K. Nếu f '( x) ≥ 0 ( f '( x) ≤ 0) , ∀x ∈ K và f '( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên K. +) Một số tính chất liên quan đến tính đơn điệu của hàm số. Tính chất 1: Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K thì: Phương trình f ( x ) = k ( k là hằng số) có không quá một nghiệm trên K. Với x, y ∈ K , f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y . Tính chất 2: Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến trên K và hàm số y = g(x) nghịch biến trên K thì phương trình f ( x) = g ( x ) có không quá một nghiệm trên K. +) Một số công thức tính đạo hàm của hàm số (Xem phụ lục 1). * Dấu hiệu nhận biết: Những phương trình mũ không giải được bằng phương pháp đưa về phương trình mũ cơ bản, phương trình mũ cùng cơ số hoặc phương 21

pháp đặt ẩn phụ, ....thì ta có thể sử dụng phương pháp dựa vào tính đơn điệu của hàm số nhờ việc biến đổi PT đã cho về được một trong các dạng sau: * Các dạng bài tập thường gặp. Dạng 1. Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f ( x ) = k ( k là hằng số) trong đó hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định K. Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu cần). Bước 2: Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng f ( x ) = k . Bước 3: Xét hàm số y = f ( x ) trên K. + Xét tính đơn điệu của hàm số đó trên K. + Nhẩm số xo sao cho f ( xo ) = k Bước 4: Kết luận về nghiệm của phương trình. x x x Ví dụ 1. Giải phương trình 6 + 8 = 10

Phân tích: Phương trình đã cho là phương trình mũ, các số hạng có chung số mũ, tiến hành x

chia a biến đổi đưa về phương trình giải được. Giải. x

3  4 6 + 8 = 10 ⇔   +   = 1. 5 5 x

3  4 Xét hàm số f ( x) =   +   trên ℝ . 5  5 x

3  4 Nhận thấy hàm số f ( x) =   +   là một hàm số nghịch biến trên ℝ và 5  5 f (2) = 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. Dạng 2. PT đã cho biến đổi được về dạng f ( x ) = g ( x ) (hoặc f ( u ) = g ( u ) với u = u ( x ) ). Trong đó hai hàm số f ( x ) và g ( x ) đơn điệu ngược nhau. Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Tìm cách biến đổi PT đã cho về dạng f ( x ) = g ( x ) (hoặc f ( u ) = g ( u ) ). Bước 3: Xét hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) trên K. Xét tính đơn điệu của hai hàm số đó trên K. 22

Kết luận hai hàm số đó đơn điệu ngược nhau. Tìm số xo sao cho f ( xo ) = g ( xo ) ( hoặc tìm uo sao cho f ( uo ) = g ( uo ) ). Bước 4: Kết luận khi đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi x = xo (hoặc u = uo , giải phương trình u = uo để tìm xo ). Ví dụ 2. (Trích đề thi thử SGD&ĐT Nam Định năm học 2018-2019) x x+1 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15x.5 = 5 + 27x + 23 bằng.

A. − 1 . Phân tích:

B. 2 .

C. 1 .

D. 0 .

+ PT đã cho là phương trình mũ, có giải được theo cách chúng ta đã biết không?. + PT có biến đổi được về dạng PT f ( x ) = g ( x ) (trong đó hai hàm số f ( x ) và g ( x ) đơn điệu ngược nhau hay không)? Giải. Ta có 15 x.5x = 5x +1 + 27 x + 23 ⇔ 5x+1 ( 3x − 1) = 27 x + 23 (*) 1 27 x + 23 Dễ thấy x = không thỏa mãn PT (*) nên ta có PT (*) ⇔ 5x+1 = (**) 3 3x − 1 Hàm số f ( x ) = 5x+1 = 5.5x đồng biến trên ℝ . 27 x + 23 1 , x≠ . Xét hàm số g ( x ) = 3x − 1 3 1 96  < 0 nên g(x) nghịch biến trên mỗi khoảng  −∞;  và Ta có g ′ ( x ) = − 2 3  ( 3x − 1)

1 1   1   ; +∞  . Do đó trên mỗi khoảng  −∞;  và  ; +∞  , phương trình (**) có 3 3   3  nhiều nhất một nghiệm. 1  Ta thấy x = −1 và x = 1 là các nghiệm lần lượt thuộc các khoảng  −∞;  và 3  1   ; +∞  . Khi đó tổng các nghiệm của PT là: −1 + 1 = 0 . Vậy chọn D 3  Dạng 3. PT biến đổi được về dạng f ( u ) = f ( v ) trong đó u = u ( x ) , v = v ( x ) . Dấu hiệu nhận biết dạng 3. Phương trình chứa hai đại lượng có kết cấu tương đối giống nhau. Phương pháp: Xét hàm đặc trưng

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Tìm cách biến đổi phương trình đã cho về dạng f ( u ) = f ( v ). Dựa vào vế đơn giản của phương trình để tìm ra hàm đặc trưng, sau đó biến đổi vế phức tạp hơn sao cho giống với dạng của hàm đặc trưng đó. 23

Bước 3: Xét hàm số đặc trưng y = f ( x ) trên K. Xét tính đơn điệu của hàm số đó trên K. Bước 4: Kết luận khi đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u ( x ) = v ( x ) Giải phương trình u ( x ) = v ( x ) tìm x . Từ đó kết luận nghiệm của PT đã cho. Ví dụ 3. ( Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Quảng Ninh năm học 2016 – 2017). 1− x 2 x2

Giải phương trình 2

1−2 x x2

−2

1 1 − (*), ( x ∈ℝ ) 2 x

Giải. ĐKXĐ: x ≠ 0 . 1 − 2x 1 − x2 x2 − 2 x 2 1 1 Nhận xét − 2 = = 1 − = 2 − . 2 2 x x x x 2 x

PT (*) ⇔ 2 1− x 2 x2

⇔2

1− x 2 x2

−2

1− 2 x x2

1  1 − 2 x 1 − x2  =  2 − 2  x  2 x 1−2 x x2

1 1 − x2 + . 2 =2 2 x

1 1 − 2x + . 2 **. 2 x

1 1 Xét hàm số f ( t ) = 2t + t , ∀t ∈ ℝ . Ta có f ' ( t ) = 2t ln 2 + > 0, ∀t. 2 2

Do đó hàm số f (t ) đồng biến trên ℝ. Khi đó từ (**) ta có:

 1 − x2  f  2 =  x 

2 x = 0  1 − 2x  1 − x 1 − 2x f  2  ⇔ 2 = 2  x2 − 2 x = 0   . x x  x  x = 2

Kết hợp ĐKXĐ, nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 . Nhận xét: Ở dạng 3 ta thấy khó hơn dạng 1 và dạng 2 bởi vì việc biến đổi PT đã cho làm xuất hiện dạng hàm số để áp dụng 3 không phải học sinh nào cũng dễ dàng làm được, đòi hỏi học sinh phải thực hiện thêm, bớt, tách, nhóm, phân tích, tổng hợp, trìu tượng hóa và cụ thể hóa, ....thể hiện tính nhuần nhuyễn, hoàn thiện, độc đáo, năng lực định giá, phán đoán của tư duy sáng tạo. 2.4.2.2.Phương pháp đánh giá. Phương pháp: Giải phương trình f ( x) = g ( x).

 f ( x) = m . Nếu đánh giá được f ( x) ≥ m, g ( x) ≤ m ∀x ∈ D thì f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) = m x x x Cách 2. Ví dụ 1 ở mục 2.4.2.1. Giải phương trình 6 + 8 = 10 x

 3  4 Ta có 6 + 8 = 10 ⇔   +   = 1 (1). 5  5 x

Ta thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình (1). 2

 3  3  4  3 3  4 Với x > 2, ta có   <   ,   <      +   < 1. Vậy phương trình 5 5  5 5 5 5 (1) không có nghiệm với x > 2. 2

3  3  4  3 3  4 Với x < 2, ta có   >   ,   >      +   > 1. Vậy phương 5 5  5 5 5 5 trình (1) không có nghiệm với x < 2. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. 2.4.2.3. Phương pháp phân tích thành tích. *Phương pháp: Sử dụng các tính chất, tách, nhóm các số hạng, đặt nhân tử chung, ... biến đổi để đưa PT đã cho về phương trình tích và giải PT tích đó. Cách 2 ví dụ 8 mục 2.4.1.2. Giải phương trình 4x

−3 x +2

+ 4x +6 x+5 = 42 x +3 x+7 + 1 .

Giải. 2

+3 x+7

+ 6 x +5

2 2 2 2x Ta có ( x − 3x + 2) + ( x + 6x + 5) = 2x + 3x + 7  4

= 4x −3x+2.4x +6 x+5

Khi đó

−3 x + 2

⇔ (4 x

+ 4x

−3 x + 2

+ 6 x +5

= 42 x

− 1)(1 − 4 x

2 +3 x + 7

+ 6 x +5

+ 1 ⇔ (4 x

−3 x + 2

− 1) − 4 x

( −1 + 4 x

−3 x + 2

)=0

 4 x 2 −3 x + 2 − 1 = 0  4 x 2 −3 x + 2 = 1  x2 − 3x + 2 = 0  x = 1, x = 2 ⇔  . ⇔ ⇔ ⇔   2 2 2 1 − 4 x +6 x +5 = 0  4 x +6 x +5 = 1  x + 6 x + 5 = 0  x = −1, x = −5

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2; −1; −5} Tổng quát: Phương trình dạng

m.a m.a

u( x )

+ n.a + n.a

v( x )

= m.a − m.a

u ( x )+ v( x )

u ( x )+ v ( x )

+ n, (a > 0, a ≠ 1, m, n ∈ ℝ, m, n ≠ 0). − n = 0 ⇔ ma u ( x ) (1 − a v ( x ) ) + n.(a v ( x ) − 1) = 0

a v ( x ) = 1 ⇔ (1 − a v ( x ) ).(m.au ( x ) − n) = 0 ⇔  u ( x ) n . Từ đó giải tìm nghiệm và kết luận a =  m Ví dụ 4. Giải phương trình 32 x + 2 x(3x + 1) − 4.3x − 5 = 0. Giải. Cách 1. Ta có 25

32 x + 2 x ( 3x + 1) − 4.3x − 5 = 0 ⇔ ( 32 x − 1) + 2 x ( 3x + 1) − (4.3x + 4) = 0 ⇔ ( 3x − 1)( 3x + 1) + ( 2 x − 4 ) ( 3x + 1) = 0 ⇔ ( 3x + 2 x − 5 ) (3x + 1) = 0 ⇔ 3x + 2 x − 5 = 0

Xét hàm số f ( x) = 3x + 2x − 5 trên ℝ. Ta có f '( x) = 3x ln3 + 2 > 0, ∀x ∈ℝ . Do đó hàm số f (x) đồng biến trên ℝ. Mặt khác f (1) = 0 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 . Cách 2. Theo phương pháp ở mục 2.4.2.4 2.4.2.4. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn và kết hợp tìm nghiệm của phương trình bậc hai. * Dấu hiệu: PT biến đổi được về dạng A( x).a2 f ( x) + B( x).a f ( x) + C( x) = 0. 2x x x Cách 2 ví dụ 5 mục 2.4.2.3 Giải phương trình 3 + 2x(3 + 1) − 4.3 − 5 = 0

Phân tích: x + Xuất hiện 3x , 32 x  Đặt ẩn phụ t = 3 .

+ Quan điểm phương trình mới là PT bậc 2 ẩn t tham số x (ta gọi PP này là phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn). Giải. 32 x + 2 x ( 3 x + 1) − 4.3 x − 5 = 0 ⇔ 32 x + 2 x.3 x + 2 x − 4.3 x − 5 = 0 ⇔ 32 x + (2 x − 4).3 x + 2 x − 5 = 0 (1).

t = −1 ( L) x 2 Đặt t = 3 , t > 0. PT (1) trở thành t + (2x − 4)t + 2x − 5 = 0 ⇔  t = −2 x + 5 x x Với t = −2 x + 5 , ta có 3 = −2x + 5 ⇔ 3 + 2x − 5 = 0.

(theo cách 1 ở trên). Ta có nghiệm của phương trình đã cho là x = 1. Hoặc: x Nhận thấy hàm số f ( x) = 3 đồng biến trên ℝ , g( x) = −2x + 5 nghịch biến trên ℝ.

Mặt khác f (1) = g (1) . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1. Chú ý: Với phương trình ở ví dụ trên thì việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t ta có thể sử dụng công thức ∆ hoặc dựa vào trường hợp đặc biệt a − b + c = 0 để tìm nghiệm t theo x. Ví dụ 5. (Trích Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Hưng Yên năm học 2020-2021).

Giải phương trình 9x + ( x2 − 2 x − 1).3x − 2.x3 − x2 = 0 . Giải. 26

x 2 2 3 2 Đặt t = 3 , t > 0. PT đã cho trở thành t + ( x − 2 x − 1)t − 2.x − x = 0 (*)

t = − x 2

PT (*) có ∆ = ( x2 + 2x + 1)2  Phương trình (*) có nghiệm 

t = 2 x + 1

x 2 Với t = − x 2 , ta có 3 = −x (phương trình này vô nghiệm). x x Với t = 2 x + 1 , ta có 3 = 2x + 1 ⇔ 3 − 2x −1 = 0 x Xét hàm số g ( x) = 3 − 2x − 1 trên ℝ.

 2  x Ta có g '( x) = 3 .ln3 − 2, g '( x) = 0 ⇔ x = log3  .  ln3  Bảng biến thiên của hàm số g(x)

−∞

log3 (

g′ ( x )

2 ) ln3

+∞

−

+∞

g ( x)

2 2 − 2.log3 ( ) − 1 ln3 ln3

Ta thấy g (0) = 0; g (1) = 0 . Khi đó dựa vào bảng biến thiên ta có PT đã cho có nghiệm x = 0; x = 1.

Nhận xét: Trong ví dụ 2 ta thấy hàm số không đồng biến (nghịch biến) với mọi x ∈ K nhưng ta vẫn sử dụng được phương pháp hàm số để giải bài toán. Trong trường hợp đó ta lập BBT của hàm số trên K hoặc từng khoảng chứa trong K và từ BBT kết luận về nghiệm của phương trình. Tóm lại, mỗi loại phương trình có thể có cách giải riêng bởi đặc trưng của nó (hoặc biến đổi, đặt ẩn phụ, kết hợp nhiều phương pháp ) đưa PT đã cho về phương trình, hệ phương trình mới mà giải được. Bài tập Câu 1. Giải các phương trình sau:

a) 2x + 3x + 4x + ... + 2020x + 2021x = 2020 − x . b)

(

2021 − 2020

) +(

2021 + 2020

) =(

8082

Câu 2. Giải các phương trình sau: a) 5 x

+ 4 x −5

+ 5−2 x

−3 x −1

= 5− x

+ x−6 2

b) 4 x

+ 1. 2

−2 x2 + 2

+ 4 x + 6 x +5 = 42 x

+4 x 2 +7

Câu 3. Giải phương trình 9 x + 101− x = 11.10 x . 27

Câu 4. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bắc Giang năm học 2020-2021). Giải phương trình 2.3 x

−4

+ 3x + 2 = 3x

+ x−2

+ 2.

2x x x Câu 5. Giải phương trình 5 + 3x(5 − 1) − 32.5 + 31 = 0

Câu 6. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 cấp TPHCM năm học 2020-2021). Giải phương trình 4 x = x(2 x + 1) + 2 x − x .

Câu 7. (Trích đề thi thử THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Tích tất cả các 2

giá trị của x thỏa mãn phương trình ( 3 x − 3 ) − ( 4 x − 4 ) = ( 3 x + 4 x − 7 ) bằng:

A. 2.

B. 1 .

C. 4.

D. 3.

Câu 8. Phương trình 3.25x −2 + ( 3x − 10 ) 5x−2 + 3 − x = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 9.(Trích đề thi thử THPT Yên Phong - Bắc Ninh năm học 2020-2021).

1 Số nghiệm của phương trình    16  A. 1932

cos3 x

1 −  8

cos x

= cos3x trên [ 0; 2021] là:

B. 1930 .

C. 1925

D. 1927 .

Câu 10. (Trích đề thi thử THPT Hàn Thuyên- Bắc Ninh năm học 2020-2021) 2 1 3( x+2) 1 + x + 1 = x2 +4 x + 9.3x+6 + ( x + 4)(2 − x) Tổng các nghiệm của PT x+8 + 5 27 5.5

37.

B. − 6.

C. 3.

D. − 3.

Câu 11. Số nghiệm của phương trình 2

2 x2 + 2 x − 9 = ( x2 − x − 3) .2021x +3 x−6 + ( x2 + 3x − 6 ).2021x − x−3 A. 4 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 12. (Đề thi thử trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm học 2018-2019). 2 2 3 x −5 x2 −8 x +3 Số nghiệm của PT x − 5 x − 2 = x − 8x + 3 .8 + ( 3x − 5) .8 là:

(

A. 4 .

)

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

2.4.3. Một số bài toán liên quan đến phương trình mũ. 2.4.3.1.Tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó. * Kiến thức liên quan +) Phương pháp giải phương trình mũ đơn giản. Cách giải: Phương trình a x = b ( a > 0, a ≠ 1) . 28

Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = log a b .

+) Tính chất. Tính chất 1: Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K thì: + Phương trình f ( x ) = k ( k là hằng số) có không quá một nghiệm trên K. + Với x, y ∈ K , f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y .

y = f ( x) liên tục trên K và max f ( x ) = M , min f ( x ) = m thì phương trình f ( x ) = k ( k là hằng số) có nghiệm

Tính

chất

Nếu

hàm

số

trên K khi m ≤ k ≤ M .

*Bài toán. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình h( x, m) = 0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D? Cách 1. Bước 1. Cô lập m , biến đổi phương trình về dạng f ( x) = g (m) Bước 2. Lập BBT của hàm số f (x) trên D (hoặc tìm GTLN, GTNN của hàm số f (x) trên D). Bước 3. Dựa vào BBT (hoặc GTLN, GTNN của f (x) ) trên D và YCBT để xác định điều kiện của g(m). Bước 4. Giải điều kiện của g (m) thỏa mãn bước 3 để phương trình f ( x) = g (m) có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D.

Cách 2. Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, bậc ba, trùng phương, phương trình mũ, .... thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 2 x−1

Ví dụ 1. Cho phương trình 2 + m − m = 0 ( m là tham số).Tìm các giá trị của m thỏa mãn một trong các trường hợp sau: a) Phương trình (1) có nghiệm. b) Phương trình (1) vô nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 1.

Phân tích: 2 x−1 + PT mũ chỉ có biểu thức chứa ẩn là 22 x−1 và biến đổi được về dạng 2 = g (m) x + Quan sát số mũ, PT biến đổi được về dạng a = b (a > 0, a ≠ 1) hoặc suy nghĩ theo hướng khác.

Giải. 2 x −1 2 2 x−1 2 x 2 Ta có 2 + m − m = 0 ⇔ 2 = −m + m ⇔ 4 = −2m + 2m (1)

2 a) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ −2m + 2m > 0 ⇔ 0 < m < 1.

m ≤ 0 2 . b) Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ −2m + 2m ≤ 0 ⇔  m ≥ 1 x c) Vì x > 1 , cơ số a = 4 > 1 nên 4 > 4, ∀x > 1. Do đó PT (1) có nghiệm lớn hơn 1

2 2 khi −2m + 2m > 4 ⇔ −m + m − 2 > 0 (bất PT này vô nghiệm). Vậy không có giá

trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2 câu a) Vì 2 x − 1 có tập giá trị ℝ nên 22 x−1 có tập giá trị là ( 0;+∞ ) , do đó 2 phương trình có nghiệm ⇔ −m + m > 0 ⇔ 0 < m < 1. Hướng dẫn cách 3: Sử dụng bài toán trên để giải. Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2 x

= m có nghiệm.

Phân tích: f ( x) = b (a > 0, a ≠ 1)). + PT có dạng f ( x) = g (m) (hoặc a

f ( x) = b (a > 0, a ≠ 1) có + Dựa vào bài toán trên để giải hoặc PT có dạng a nghiệm khi nào?

Giải. 2

x +3 2 Cách 1. Vì x + 3 ≥ 3, ∀x ∈ ℝ nên 2 ≥ 8, ∀x ∈ℝ .

Vậy PT 2 x

= m có nghiệm khi m ≥ 8 .

Hướng dẫn cách 2. Sử dụng bài toán trên để giải u ( x) Chú ý: Cho a > 0, a ≠ 1. Phương trình a = b có nghiệm .

Bước 1: Tìm tập giá trị của u(x) u ( x) Bước 2: Suy ra tập giá trị a .

Bước 3: Tìm điều kiện của b để PT có nghiệm dựa vào bước 2 và cơ số a .

Nhận xét: Qua việc giải cụ thể 2 ví dụ trên, ta dựa vào phương pháp giải phương trình mũ cơ bản, phương pháp đánh giá để tìm điều kiện của tham số. x +1 x +2 Ví dụ 3. Cho phương trình 4 − 2 + m = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực m để:

a) Phương trình (1) có nghiệm. b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3.

Phân tích: Cơ số, số mũ có mối quan hệ, học sinh cần linh động sử dụng công thức β

aα + β = aα .a β , ( aα ) = aα .β , nhìn thấy dạng tương tự phương trình bậc hai.

Giải. 30

Ta có 4 x +1 − 2 x + 2 + m = 0 ⇔ 4.( 2 x ) − 4.2 x + m = 0 . (1) x 2 Đặt 2 = t > 0 . Phương trình (1) trở thành 4t − 4t + m = 0 (2) . 2 2 Cách 1. Ta có 4t − 4t + m = 0 ⇔ 4t − 4t = −m (*).

PT (1) có nghiệm ⇔ PT (*) có nghiệm t > 0. Xét hàm số f ( t ) = 4t 2 − 4t với t > 0 . Ta có f '(t ) = 8t − 4, f '(t ) = 0 ⇔ t =

1 . 2

Bảng biến thiên của hàm số f (t) với t > 0 t

1 2

–

f '( t ) f (t )

+∞ +

+∞ −1

Dựa vào bảng biến thiên và yêu cầu bài toán ta có − m ≥ −1 ⇔ m ≤ 1.

Cách 2. Để PT (1) có nghiệm ⇔ PT ( 2 ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn:

0 < t1 ≤ t2 ∆ ' ≥ 0, P > 0, S > 0 0 < m ≤ 1 ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ 1. t ≤ 0 < t P ≤ 0 m ≤ 0   1 2 b) PT (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3 + ) PT (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ PT (2) có hai nghiệm có hai nghiệm phân biệt t1, t2 > 0. Dựa vào BBT câu a ta có điều kiện của m là: −1 < m < 0. (**)

t1 + t2 = 1  Áp dụng hệ thức Vi-et cho PT (2) ta có  m t1.t2 = 4 x +x x x 3 Ta có x1 + x2 = 3 ⇔ 2 1 2 = 2 ⇔ 2 1.2 2 = 8  t1.t2 = 8 . Do đó

m = 8 ⇔ m = 32. 4

Kết hợp điều kiện (**), suy ra không có giá trị nào của m để thỏa mãn YCBT. x +1

x +2

2( x+1)

x +1

− 2.2 + m = 0. Ta có Chú ý: Ở ví dụ 3 ta có 4 − 2 + m = 0 ⇔ 2 x +1 thể đặt t = 2 , t > 0 , rồi giải bài toán. Đối với câu c: Ta có thể tìm m sau đó thay m vào PT để thử lại và học sinh hay quên tìm điều kiện để PT có hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 4. (Trích đề thi THPT QG mã 102 năm 2018). 31

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 25x − m.5x+1 + 7m2 − 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

B. 1

A. 7

C. 2

D. 3

Giải. Ta có: 25x − m.5 x+1 + 7m2 − 7 = 0 ⇔ 52 x − 5m.5 x + 7m2 − 7 = 0 (1) . Đặt t = 5 x ( t > 0 ) . PT (1) trở thành t 2 − 5mt + 7m 2 − 7 = 0 ( 2 ) . PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ PT ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 > 0

 2 21 2 21 − <m<  25 m − 4 7 m − 7 > 0 ( ) ∆ > 0 3 3  2 21    ⇔1< m < ⇔  S > 0 ⇔ 5m > 0 ⇔ m > 0 . 3  P > 0 7 m 2 − 7 > 0  m >1      m < −1 2

Mặt khác m ∈ ℤ , do đó m∈{2; 3} . Vậy chọn C.

Ví dụ 5. ( Đề thi thử Trường THPT Nguyễn Du Hà Nội năm học 2020-2021). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [ −25; 25] của tham số m để phương 3x 2 x+ln3 + ex+ln9 + m = 0 có nghiệm duy nhất?. trình e − 2.e

A. 41.

B. 22.

C. 21.

D. 25.

Phân tích: Trong phương trình các số hạng chứa ẩn có chung cơ số e , số mũ có dạng k. f ( x), h + kf ( x), k , h ∈ℝ. . Từ đó suy nghĩ cách biến đổi, rồi đặt ẩn phụ. Giải. 3x 2 x +ln3 + ex+ln9 + m = 0 ⇔ e3x − 6.e2 x + 9.ex + m = 0 (1). Ta có e − 2.e x 3 2 3 2 Đặt t = e , t > 0. PT (1) trở thành t − 6t + 9t + m = 0 ⇔ t − 6t + 9t = −m (2). Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ Phương trình (2) có nghiệm duy nhất t >0 3 2 Xét hàm số f (t ) = t − 6t + 9t , t > 0.

t = 1 2 . Ta có f '(t ) = 3t − 12t + 9, f '(t ) = 0 ⇔  t = 3  BBTcủa hàm số f (t ), t > 0. t

f '(t)

−

+∞ + +∞

f (t) 0

0 32

Dựa vào BBT và YCBT, PT (2) có nghiệm duy nhất t > 0 khi −m > 4 m < −4 m = 0 ⇔ m = 0   Mặt khác m là số nguyên thuộc [ − 25; 25] nên m∈{−25; −24; ...; −6; −5; 0} −5 − ( −25) Vậy số các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: + 1 + 1 = 22. 1 Vậy chọn B.

Chú ý: Sai lầm học sinh hay mắc phải ở ví dụ 5 là dựa vào bảng biến thiên thiếu trường hợp m = 0 . Với ví dụ 4 phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 > 0 nếu chúng ta giải theo phương pháp cô lập m(coi m là ẩn của phương trình bậc hai) thì cách giải này rất phức tạp nên chọn theo cách giải ở trên. Với ví dụ 5, tìm m để phương trình (2) có nghiệm duy nhất ta thấy cách cô lập mlà phương pháp tối ưu.

Ví dụ 6. (Trích đề thi thử THPT Gia Viễn A - Ninh Bình năm học 2020-2021). Tập

hợp

(7 − 3 5 )

tất 2

cả

các

giá x

+ m.( 7 + 3 5 ) = 2 x

 1 A. 0; .  16 

trị 2

−1

của

tham

số

để

phương

trình

có đúng hai nghiệm phân biệt là:

1  B.  −∞; . 16  

 1  1 C. − ; 0  ∪    2  16 

 1 1 D.  − ; .  2 16 

Hướng dẫn giải: Ta có

(7 − 3 5 )

+ m.( 7 + 3 5 )

7−3 5  7+3 5  = 2 x −1 ⇔ 2.  + 2m.  − 1 = 0 (1).  2   2  2

7 −3 5  7−3 5 < 1, x2 ≥ 0) Đặt t =   , 0 < t ≤ 1 (do 0 < 2  2  2 PT (1) trở thành 2t − t + 2m = 0 (2).

PT (1) có đúng hai nghiệm phân biệt ⇔ PT (2) có đúng một nghiệm t sao cho 0 < t < 1. Giải tương tự ví dụ trên. Từ đó chọn C.

Chú ý: Ở ví dụ 6 học sinh hay sai là đặt điều kiện cho t không quan tâm 2 cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1 và nếu trường hợp t = 1 thì x = 0 ⇔ x = 0 (PT có một nghiệm). Nhận xét: Qua các ví dụ 3, 4, 5, 6 ta đã dựa vào phương pháp đặt ẩn phụ kết hợp bài toán trên để tìm điều kiện của tham số.

Ví dụ 7. Có bao nhiêu số nguyên m∈( 0; 2021) để phương trình m + 2020x = m.ex có hai nghiệm phân biệt. Phân tích: x + Phương trình mũ, biểu thức chứa ẩn là 2020 x, m.e . + Phương trình chứa tham số, bậc của tham số là bậc nhất. Suy nghĩ cách giải? Giải. x x Ta có m + 2020.x = m.e ⇔ 2020 x = m.(e − 1) x Nhận thấy phương trình 2020x = m.(e − 1) có nghiệm x = 0 với mọi m (1). e x − 1 2020 x = Khi x ≠ 0 ta có 2020x = m.(e − 1) ⇔ , x ≠ 0. x m e x ( x − 1) + 1 ex − 1 Xét hàm số f ( x ) = , x ≠ 0 . Ta có f ' ( x ) = (*) x x2 Đặt g ( x ) = e x ( x − 1) + 1,  g ′ ( x ) = xe x , g′( x ) = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên của g ( x)

–

g′ ( x ) g ( x)

−∞

+∞

+∞ 0

f ' x > 0 ∀x ≠ 0 Từ BBT ta suy ra g ( x) > 0, ∀x ≠ 0 . Khi đó từ (*) ta có ( ) ,

Bảng biến thiên của f (x)

f '(x) f '(x)

−∞

+∞

+ 1

+∞

x Từ bảng biến thiên của f (x) và nhận xét (1) ta có PT m + 2020.x = m.e có hai m > 0  nghiệm phân biệt ⇔  2020 ⇔ 0 < m ≠ 2020 . ≠ 1  m

Mặt khác m∈( 0; 2021) và m ∈ ℤ nên m∈{1; 2; ...; 2018; 2019} Vậy số các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2019 giá trị.

Chú ý: Sai lầm của học sinh từ BBT quên điều kiện

2020 ≠ 1. m 34

Ví dụ 8 . (Trích đề thi thử THPT Liễn Sơn- Vĩnh Phúc năm học 2020– 2021). Cho phương trình 27 x + 3 x.9 x + ( 3 x 2 + 1) .3x = ( m 3 − 1) x 3 + ( m − 1) x với m là tham số. Biết rằng giá trị của m nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng (0; +∞) là a + e ln b với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 17 a + 3b bằng: A. 26 . Giải.

B. 48 .

C. 54 .

D. 18. 3

27 x + 3 x.9 x + ( 3 x 2 + 1) .3 x = ( m 3 − 1) x 3 + ( m − 1) x ⇔ ( 3 x + x ) + ( 3 x + x ) = ( mx ) + mx (*)

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t Ta có f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t hay f ( t ) = t 3 + t đồng biến trên ℝ.

3x + x = m, x > 0. Khi đó ta có (*) ⇔ f (3 + x) = f (mx) ⇔ 3 + x = mx ⇔ x 3x g x = + 1, x > 0. Xét hàm số ( ) x x 1 x.3x ln 3 − 3x 3 ( x.ln 3 − 1) = log3 e = , g′ ( x ) = 0 ⇔ x = Ta có g ′ ( x ) = 2 2 x x ln3 BBT của g(x) trên khoảng (0; +∞) x

log3 e –

g′ ( x )

+∞

g ( x)

+∞

e.ln3 + 1 Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán, để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0; +∞) điều kiện của m là: m ≥ 1 + e ln 3. Giá trị của m nhỏ nhất là: m = 1 + e ln3 = a + e ln b  a = 1, b = 3. Khi đó 17 a + 3b = 17.1 + 3.3 = 26. Vậy chọn A

Nhận xét: Với ví dụ 7, 8 để tìm được tham số ta đã sử dụng phương pháp tính đơn điệu để giải PT số mũ kết hợp với bài toán trên. Ví dụ 9. (Trích đề thi thử SGD& ĐT tỉnh Thái Nguyên năm học 2020-2021) 1+

− 2 x +1

1 1+ − 4 x

Cho phương trình 3 x − 3.3 x + ( m + 2).3 x − m.31−6 x = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2020; 2021] để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1346 .

B. 2126 .

C. 1420 .

D. 1944 .

Phân tích: 35

+ PT đã cho là PT mũ có chứa tham số, bậc cao nhất của tham số là bậc nhất, biểu thức ở số mũ cồng kềnh khó nhìn thấy điểm chung. Nhóm và đặt m nhân tử chung, sử dụng PP phân tích thành nhân tử. + Chia cả hai vế cho 31−6 x , biến đổi ta nhìn thấy dạng của PT bậc 3  đặt ẩn phụ. Giải: ĐKXĐ: x > 0 1+

Cách 1. Ta có 3 1+

⇔3

3 x

− 3.3 x

3 x

⇔ 3 − 3.3

− 2 x +1

2 −2 x x

⇔ 3 (1 − 3.3 3 x

⇔3

2 +4 x x

3 x

1 1+ − 4 x x

+ 2.3

1 −2 x x

−

− 3.3

2 − 2 x +1 x

( 2.3

1 − −2 x x

1 −4 x x

1 1+ − 4 x x

+ (m + 2).3

(

= m. 31−6

= m.( 3

−6 x

 1  2 − − 2 x   x 

+ 2.3

)(

1 − −2 x x

−1 . 3

1 1+ − 4 x x

−3

1 −4 x x

−3

− m.31−6

) = m.3

1 −4 x x

)

(

) (3

−

− 1 = m. 3

)

1 −2 x x

1 − −2 x x

)

−1

 − 1x −2 x − 1 = 0 (1) 3 −1 ⇔  1 2 +2 x +4  m = 2.3 x − 3x

)

. x

(2)

1 Phương trình (1) ⇔ − − 2 x = 0 PT này vô nghiệm do x > 0. x Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm. 1

Đặt f ( x) = 2.3 x

+2 x

+4 x

1 2( + 2 x )

+2 x

− 3x = 2.3 x −3 x (*). 1 1 1 , h '( x) = 0 ⇔ x = 1. Xét hàm số h( x) = + 2 x , x > 0 . Ta có h '( x) = − 2 + x x x BBT của h( x), x > 0

–

h '( x) h ( x)

+∞

+∞ +

+∞

h( x ) Vậy h( x) ≥ 3, ∀x ∈ (0; +∞) nên 3 ≥ 27, ∀x ∈ (0; +∞) 1

Đặt t = 3 x

+2 x

, t ≥ 27. Khi đó từ (*)

2 Xét hàm số g (t ) = 2t − t , t ≥ 27 . Ta có g '(t ) = 2 − 2t , g '(t ) = 0 ⇔ t = 1. BBT của g (t ) với t ≥ 27.

+∞

g′ ( t )

−

-675

g (t )

−∞

Từ BBT ta có suy ra g (t ) ≤ −675, ∀t ≥ 27 (**) Vậy từ (*) và (**) ta suy ra f ( x) ≤ −675, ∀x > 0 . Phương trình (2) có nghiệm khi m ≤ −675, mặt khác m là số nguyên thuộc

[ − 2020; 2021] Phương trình (2) có nghiệm khi m ≤ −675, mặt khác m là số nguyên thuộc [ − 2020; 2021] nên m∈{−2020; −2019; ...; −675} −675 − ( −2020) Vậy số các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: + 1 = 1346 . 1 Vậy chọn A. Cách 2. 1+

Ta có 3

3 x

1  3 + 2 x  

⇔ 3 x

Đặt t = 3

− 3.3

2 − 2 x +1 x

1   +2 x  x 

+ ( m + 2).3

1  2 + 2 x  

− 3.3  x

1 1+ − 4 x x

− m.31−6

1   +2 x  

+ (m + 2).3 x

− m = 0 (*). 1   +2 x  x 

, tương tự cách 1 ta có t = 3

≥ 27, ∀x > 0.

3 2 PT (*) trở thành t − 3t + (m + 2)t − m = 0 (**) PT (*) có nghiệm ⇔ PT (**) có nghiệm t ≥ 27.

 ∆ ' = 1 − m > 0 PT (**) ⇔ (t − 1)(t 2 − 2t + m) = 0 ⇔ t 2 − 2t + m = 0 ⇔  t = 1 ± 1 − m 1 − m > 0 m ≤ 1 PT (**) có nghiệm t ≥ 27 ⇔  ⇔ ⇔ m ≤ −675. 1 + 1 − m ≥ 27 1 − m ≥ 676

Tương tự cách 1 ở trên, vậy chọn A. x x Ví dụ 10. Cho phương trình 25 + 2.( x − m).5 + 2 x − 2m − 1 = 0. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để PT có nghiệm dương. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. T là một khoảng. B. T là một đoạn. C. T là một nửa khoảng. D. T = ℝ. Phân tích: PT giống với dạng PT giải theo phương pháp phân tích thành tích hoặc sử dụng đặt ẩn phụ không hoàn toàn kết hợp nghiệm của phương trình bậc hai trong bài giải phương trình cụ thể ở mục 2.3.2. 37

Giải. x Đặt t = 5 , t > 0.

t = −1 ( L) 2 PT (1) trở thành t + 2( x − m)t + 2x − 2m − 1 = 0 ⇔  t = −2 x + 2m + 1 Với t = −2 x + 2m + 1 , ta có 5x = −2 x + 2m + 1 ⇔ 5x + 2 x = 2m + 1 (*). Xét hàm số f ( x) = 5x + 2 x, có f '( x) = 5x ln5 + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ. Vậy hàm số f (x) đồng biến trên ℝ . Khi đó ∀x > 0 , ta có f ( x) > f (0) +) PT đã cho có có nghiệm dương ⇔ PT (*) có nghiệm dương ⇔ 2m + 1 > f (0) ⇔ 2m + 1 > 1 ⇔ m > 0 ⇔ m ∈ (0; +∞). Vậy chọn A.

Chú ý: Với ví dụ 8, 9 ta sử dụng PP phân tích thành nhân tử hoặc đặt ẩn phụ, dựa vào nghiệm của PT bậc hai, sử dụng tính đơn điệu... để giải bài toán. Nhận xét: Từ các ví dụ trên ta thấy việc tìm m để PT mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó ta phải linh động tùy từng bài, linh động trong cách biến đổi, lựa chọn phương pháp có thể kết hợp nhiều phương pháp... Qua đó giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, quan sát, tính độc lập, tích cực trong tìm tòi lời giải....cũng như kỹ năng mềm dẻo, nhuần nhuyễn, hoàn thiện....Từ đó giúp học sinh rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo. Bài tập. Câu 1.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm.

a) 32 x−1 + 2m2 − m − 3 = 0

b) 3x + m2 − m + 3 = 0 2 d)   3

c) 3x −2 x+3 + m2 − m − 9 = 0

x4 −2 x 2 −5

−m−3=0

Câu 2. (Trích đề thi THPTQG mã 104 năm 2018). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

9x − m.3x+1 + 3m2 − 75 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 5

B. 8

C. 4

D. 19

Câu 3. (Đề thi thử trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội năm học 2020-2021). Có bao nhiêu giá nguyên dương của tham số m không vượt quá 2021 để phương x−1 x−2 trình 4 − m.2 + 1 = 0 có nghiệm?

A. 2019

B. 2018

C. 2021

D. 2017

Câu 4. ( Đề thi thử THPT Yên Định 1 Thanh Hóa năm học 2020-2021). x x +1 Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình 4 − m.2 + 3m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu là:

A. (0; 2) .

B. (−∞; 2) .

C. (1; +∞).

D. (1; 2). .

Câu 5. (Trích đề thi thử Trường THPT Gang Thép Thái Nguyên 2018- 2019). Số các giá trị nguyên của tham số m để ( m +1).16x − 2 ( 2m − 3).4x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu là:

A. 4 .

B. 8 .

C. 1 .

phương

trình

D. 2 .

Câu 6. (Trích đề tham khảo THPTQG năm 2018) Cho phương trình 16 − 2.12 + (m − 2).9 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình có nghiệm dương? x

A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 7. (Trích đề thi THPTQG mã 104 năm 2017) x x+1 Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 − 2.3 + m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt x1 + x2 = 1.

A. m = 6.

B. m = −3.

C. m = 3.

D. m = 1.

Câu 8. (Trích đề thi thử Trường THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2018- 2019). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x − 2m.2x − m + 6 = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 sao cho x1 < x2 < 3 . Tập hợp S có bao nhiêu phần tử?

A. Vô số.

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 9. (Trích đề thi thử Trường THPT Minh Khai-Hà Nội - 2018– 2019) Giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x − ( 2m + 3) .2 x + 64 = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn ( x1 + 2)( x2 + 2) = 24 thuộc khoảng nào sau đây?

 3 A.  0;  .  2

 3  B.  − ;0   2 

 21 29  C.  ;  .  2 2 

 11 19  D.  ;  . 2 2

Câu 10. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2019-2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 8 x + 3 x.4 x + ( 3 x 2 + 1) .2 x = ( m3 − 1) x 3 + ( m − 1) x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc ( 0;10 ) . A. 101.

B. 100.

C. 102.

D. 103. 39

Câu 11. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2020-2021). Cho phương trình 8x − m.22 x+1 + (2m2 − 1).2x + m − m2 = 0. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt là (a; b). Tính a.b bằng?

A. a.b =

2 . 3

B. a.b =

3 . 2

4 C. a.b = . 3

3 D. a.b = . 4

2.4.3.2. Một số bài toán thực tiễn, liên môn liên quan đến toán học. Theo khảo sát thì một số học sinh cho rằng môn toán THPT ít có ứng dụng trong thực tiễn, vì vậy tôi đưa ra một số ví dụ nhờ áp dụng kiến thức toán như hàm số mũ, quy tắc lôgarit, phương trình mũ,...thuộc chương trình toán THPT để giải nó, đồng thời khẳng định một số môn học trong chương trình THPT có liên quan với nhau và để học sinh thấy ý nghĩa của một số bài toán đó đối với thực tiễn.

* Kiến thức liên quan: x +) Hàm số mũ cơ số a là hàm số cho bởi công thức y = a (a > 0, a ≠ 1) .

+) Bài toán lãi kép: Một người gửi ngân hàng số tiền gốc ban đầu P , với Lãi kép r/năm. n Số tiền người đó nhận được sau n năm là: Pn = P.(1 + r )

0 < a ≠ 1, b > 0 f ( x) . =b ⇔  +) Phương trình a f ( x ) = log b a  +) Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1 công bội q ≠ 1 là: S n = u1.

qn − 1 q −1

Ví dụ 1. (Ứng dụng của toán học trong hoạt động cuộc sống). Một người gửi tiết kiệm với số tiền ban đầu là P = 10000000 đồng, lãi suất r = 5% / năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn (lãi kép). Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền 11025000 đồng?

Giải. Áp dụng công thức ở bài toán lãi kép ta có: n Số tiền người đó nhận được sau n năm là Pn = P.(1 + r ) n hay 11025000 = 10000000.(1 + 5%) ⇔ (1,05)n =

11025 11025 ⇔ n = log1,05 = 2. 10000 10000

Vậy sau hai năm người đó nhận được số tiền là 11025000. 40

Nhận xét: Bài toán cho biết số tiền lãi sau hai năm là 1025000 đồng, đồng thời người đó sau hai năm thì mình sẽ có tổng tiền gốc và tiền lãi đó để lên kế hoạch cho mục tiêu sử dụng số tiền đó. Ví dụ 2.(Ứng dụng toán học trong môn sinh học- Lĩnh vực khoa học đời sống) Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức S = A.et .r trong đó A là số vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng 6 lần thì thời gian tăng trưởng t gần với kết quả nào sau đây nhất?

A. 9 giờ 2 phút.

B. 8 giờ 9 phút. C. 3 giờ 18 phút.

D. 10 giờ 30 phút

Phân tích. + Đề bài cho công thức tính số lượng vi khuẩn là S = A.et .r , nói rõ các đại lượng trong công thức. + Số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con, tức cho A = 100 con, t = 5 giờ, S = 300 con, từ đó ta tìm được r. + Số lượng vi khuẩn ban đầu tăng 6 lần tức S = 6 A. Tìm t = ?

Giải. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con, tức cho A = 100 con, t = 5 giờ, S = 300 con hay

300 = 100.e5r ⇔ e5r = 3 ⇔ 5r = ln3 ⇔ r =

ln3 5

Vì vi khuẩn ban đầu tăng lên 6 lần nên A.et .r = 6 A ⇔ et .r = 6 ⇔ t.r = ln 6 ln 6 5ln 6 ⇔t = ⇔t = ⇔ t ≈ 8,15 giờ = 8 giờ 9 phút .Vậy chọn B. r ln3

Nhận xét: Đây là bài toán liên quan đến môn sinh học, ứng dụng cho lĩnh vực khoa học và đời sống, các nhà nghiên cứu về lĩnh vực này đã nghiên cứu, tính toán tạo ra số lượng vi khuẩn có lợi phục vụ cuộc sống hoặc lĩnh vực nghiên cứu khác và cũng có thể để ngăn chặn được sự phát triển của vi khuẩn có hại. Ví dụ 3. (Ứng dụng của toán học trong môn vật lí- Lĩnh vực khoa học kỹ thuật). Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn theo công thức hàm số mũ ln 2 m(t ) = m0e−λt , λ = , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại T thời điểm t = 0 ), m(t ) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t , T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà 14 khoa học thấy rằng khối lượng cacbon phóng xạ 6 C trong mẫu gỗ đó đã mất 41

45% so với lượng

14 6

C ban đầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng bao nhiêu năm? Cho biết chu kỳ bán rã của 146C là khoảng 5730 năm. Giải. Khối lượng ban đầu của chất phóng xạ là m0 Khối lượng đã mất của chất phóng xạ là m0 .45% Khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t là: m(t ) = m0 − m0 .45% = 0,55m0 − λt Từ công thức m(t ) = m0e , λ =

ln 2 và m ( t ) = 0,55m0 T

Ta suy ra:

−

ln 2 t 5730

= 0,55 ⇔ −

ln 2 5730.ln 0,55 t = ln 0,55 ⇔ t = − ≈ 4942 (năm). 5730 ln 2

Vậy công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng 4942 năm.

Nhận xét: Đây là nội dung liên quan đến môn vật lý, ứng dụng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Qua bài toán cho ta tính được công trình kiến trúc đó khoảng bao nhiêu tuổi. Ví dụ 4. (Ứng dụng toán học trong hoạt động cuộc sống). (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa năm học 2020-2021 thi ngày 15/12/2020). Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lãi suất là 0,85% / tháng. Sau khi vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. Biết lãi suất, không thay đổi trong suất quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả nợ hết ngân hàng? (tháng cuối có thể trả dưới 10 triệu đồng). Phân tích. + Nếu gọi N là số tiền vay ban đầu, r lãi suất /tháng, n là số tháng phải trả, A là số tiền trả vào hàng tháng thì số tiền anh An nợ ngân hàng sau một tháng? ( N + Nr ). + Số tiền anh An nợ ngân hàng còn lại sau khi anh hoàn nợ tháng thứ nhất ? + Số tiền anh An nợ ngân hàng còn lại sau khi anh hoàn nợ tháng thứ nhất n? + Trả hết nợ thì sau n tháng, số tiền sẽ bằng bao nhiêu? Từ đó tìm n. Giải. Gọi N là số tiền vay ban đầu, r lãi suất /tháng, n là số tháng phải trả, A là số tiền trả vào hàng tháng. Khi đó: Số tiền anh An nợ ngân hàng còn lại sau khi anh hoàn nợ tháng thứ nhất: N + N .r − A = N ( r + 1) − A Số tiền anh An nợ ngân hàng còn lại sau khi anh hoàn nợ tháng thứ 2: 2  N ( r + 1) − A +  N ( r + 1) − A r − A = N ( r + 1) − A ( r + 1) + 1 Số tiền anh An nợ ngân hàng còn lại sau khi anh hoàn nợ thứ 3: 42

 N ( r + 1)2 − A  ( r + 1) + 1  (1 + r ) − A = N ( r + 1)3 − A  ( r + 1)2 + ( r + 1) + 1     

Số tiền anh An nợ ngân hàng còn lại sau khi anh hoàn nợ n tháng: N ( r + 1) − A  ( r + 1)  n

n −1

+ ( r + 1)

n−2

 (1 + r )n − 1 + ... + ( r + 1) + 1 = N ( r + 1) − A    r   n

Trả hết nợ thì sau n tháng, số tiền sẽ bằng 0 (1 + r )n − 1 A A n N ( r + 1) − A. = 0 ⇔ (1 + r )n = ⇔ n = log(1+r ) r A − r.N A − r.N 10 ⇔ n = log 0,85 ≈ 65,38 . Khi đó theo thực tế ta có n = 66 . (1+ ) 0,85 100 10 − .500 100 Vậy sau 66 tháng thì anh An trả hết nợ ngân hàng.

Chú ý: Ta có ( r + 1)

n −1

+ ( r + 1)

n −2

+ ⋯ + ( r + 1) + 1 là tổng của n số hạng

đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = r + 1. Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên ta thấy toán học có nhiều ứng dụng vào hoạt động cuộc sống, ứng dụng trong lĩnh vực khoa học ...Đổi mới trong dạy , học nhằm tạo ra những con người năng động,sáng tạo, có tư duy khoa học, tạo ra nguồn nhân lực có chất lượng đáp án nhu cầu của xã hội Bài tập. Câu 1. Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,5 0 0 mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, ông hoàn nợ cho ngân hàng số tiền cố định 5,6 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau gần khoảng bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay? Câu 2. (Đề thi thử THPT Chuyên Quang Trung –Bình Phước- 2020-2021) Để lắp đặt hệ thống điện năng lượng mặt trời 50 KWP, gia đình bạn A vay ngân hàng số tiền là 600 triệu đồng với lãi suất 0,6% / tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày lắp đặt, gia đình bạn A bắt đầu đưa vào vận hành hòa lưới thì mỗi tháng công ty điện lực trả gia đình bạn A 16 triệu đồng. Nên sau đúng một tháng kể từ ngày vay, gia đình bạn A bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng hoàn nợ số tiền là 16 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng, gia đình bạn A sẽ trả hết nợ.

A. 43 .

B. 42 .

C. 41 .

D. 44 .

Câu 3. Số lượng vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công t thức S (t ) = S (0).2 , trong đó S (0) là số lượng vi khuẩn ban đầu, S (t ) là số

lượng vi khuẩn sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lương vi khuẩn A là 10 triệu con.

Câu 4.Các nhóm làm vào phiếu học tập, thời gian 1 tuần- Nộp. Các em hãy tìm hiểu và lấy một ví dụ thực tế có áp dụng kiến thức toán học (hàm số mũ hoặc lôgarit, phương trình mũ...) để giải bài toán đó. Nêu bài toán và giải bài toán đó.

2.5. Hiệu quả của sáng kiến. Tôi và đồng nghiệp đã sử dụng và chọn lọc một số bài tập đơn giản trong hệ thống bài tập đã nêu để dạy cho học sinh trong tiết dạy chính khóa cũng như dạy học đại trà hoặc ra bài tập về nhà. Đồng thời tài liệu này tôi cũng đã chuyển cho đồng nghiệp dạy ở trường THPT Nguyễn Cảnh Chân, THPT Thanh Chương 3 để các đồng chí tham khảo phù hợp cho đối tượng và kế hoạch dạy học của từng trường. Tên trường

Lớp thực nghiệm

Lớp đối chứng

Trường THPT Cát Ngạn

12A,C, D

12E, B

2.5.1. Chọn bài thực nghiệm. Dựa vào kế hoạch giáo dục môn toán của nhóm Toán trường THPT Cát Ngạn năm học 2020-2021, tôi lựa chọn kết hợp dạy trong các tiết học chính khóa, dạy đại trà, ôn thi THPT năm 2021 như sau. Tiết 1. Dạy chính khóa. Bài 13. ''Phương trình mũ'' (PPCT: 37). Tiết 2. Dạy đại trà. Bài 11. Ôn tập phương trình mũ và phương trình lôgarit. ''Tìm điều kiện của tham số để PT mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó'' Tiết 3. Dạy đại trà. Bài. Ôn tập hàm số, phương trình mũ và lôgarit. ''Ứng dụng của toán học vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn'' (PPCT 45).

2.5.2. Cách thức tiến hành, giáo án thực nghiệm sư phạm, một số hình ảnh thực nghiệm, phiếu khảo sát học sinh, hướng dẫn một số bài tự luyện. 2.5.2.1. Cách thức tiến hành Chuẩn bị giáo án giảng dạy và các hoạt động trong giờ dạy thực nghiệm. Bản thân, đồng nghiệp dạy song song các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.

Ở lớp thực nghiệm tôi đã dạy cho HS rèn luyện bài tập dạng này và đã cho học sinh phát biểu nhiều cách giải khác nhau, phân tích, có thể cho học sinh về nhà tìm hiểu thêm cách giải. Ở lớp đối chứng giáo viên dạy học theo cách thức thông thường nêu phương pháp cho ví dụ và giải. Sau đó tôi, đồng nghiệp sẽ tiến hành 44

kiểm tra 6 phút, 15 phút để đánh giá mức độ nắm bài của học sinh đối với dạng toán này sau đó chấm bài.

2.5.2.2. Giáo án thực nghiệm sư phạm. 3 giáo án (xem phụ lục 2).

2.5.2.3. Minh họa bài tập học sinh nộp, một số hình ảnh thực nghiệm (Xem phụ lục 3).

2.5.2.4. Minh họa phiếu khảo sát học sinh sau khi học một số tiết trong đề tài (Xem phụ lục 4)

2.5.2.4. Hướng dẫn giải một số bài tập (Xem phụ lục 5)

2.5.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm. Đề kiểm tra, khảo sát học sinh khi học xong một số tiết trong đề tài (Xem Phụ lục 2) Bảng 5: Bảng tổng hợp mức độ nắm bài qua bài kiểm tra 6 phút nội dung'' Tìm điều kiện của tham số để PT mũ thỏa mãn yêu cầu nào đó'' . Trường

N ă m h ọc

THPT Cát Ngạn

2019-2020

THPT Cát Ngạn

2020-2021

Sĩ số khối 12

Biết rõ

110

5/110

28/110

77/110

(4,5%)

(25,5 %)

70 %)

25/112

53/112

31/112

(22,3%)

( 47,3%)

(27,7 %)

112

Biết sơ sài Không biết

Bảng 6: Bảng tổng hợp điểm kiểm tra của học sinh các lớp ĐC và TN:

Điểm

Sĩ Số 0

Trường

Lớp

THPT

12 B, E (ĐC)

12A, C, D (TN)

Cát Ngạn

Bảng 7: Bảng tổng hợp số học sinh đạt từ điểm xi trở xuống Trường

Lớp

Sĩ

Điểm từ xi trở xuống 45

Số

THPT Cát Ngạn

12B, E (ĐC)

12A, C, D (TN)

Bảng 8: Bảng tỷ lệ % số học sinh đạt từ điểm xi trở xuống Trường

Lớp

12 B, E THPT Cát Ngạn

(ĐC) 12A,C, D (TN)

Sĩ số

Điểm từ xi trở xuống 0

1 2 3

0 0 0

8,1

21,6 48,7 78,3

94,6 100

100

0 0 0

73,3 97,3

100

53,3

Bảng 9: Kết quả khảo sát thực trạng của học sinh với môn toán sau tác động.

Có

Không

(1) Em có thích khi học môn Toán không?.

57,5%

65%

42,5%

35%

(2) Em có thấy rằng kiến thức Toán THPT có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống không?.

41,5%

88,5%

58,5%

11,5%

(3) Mỗi bài tập toán em có thường làm theo cách của thầy cô đã dạy không?.

69%

45%

31%

55%

(4) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Toán học THPT vào thực tế chưa?.

22,5%

65,5%

77,5%

34,5%

Nội dung

2.5.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. Từ bảng 5 tổng hợp mức độ nắm bài kiểm tra 6 phút sau khi học nội dung ''Tìm điều kiện của tham số để PT mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó''. Nhìn 46

chung các em đã biết cách giải, nhiều em nắm chắc kiến thức, tỉ lệ biết giải, biết sơ sài nâng lên rõ rệt. Từ kết quả xử lý số liệu TNSP qua bài kiểm tra 15 phút cho thấy: Kết quả bài làm của học sinh các lớp TN cao hơn HS lớp ĐC, thể hiện: - Dựa vào bảng 8 ta thấy tỷ lệ % HS đạt điểm xi trở xuống ở lớp TN luôn thấp hơn lớp ĐC, tỉ lệ điểm giỏi cao hơn. - Dựa vào bảng 6 và bảng 7: Lớp TN số học sinh đạt điểm giỏi cao hơn, đặc biệt có điểm 9 trở lên, ở lớp đối chứng không có điểm 9 trở lên. - Dựa vào bảng 9 nhiều học sinh đã thấy toán học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, mỗi bài tập toán học sinh có thể giải theo nhiều cách, học sinh đã được tự mình tìm hiểu kiến thức liên quan đến thực tiễn mà có sử dụng toán học ở bậc THPT để giải nó.

Đánh giá: Khảo sát lại thực trạng của học sinh đối với môn toán và từ kết quả trên, tôi nhận thấy rõ hiệu quả của việc áp dụng dạy học ''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan''đạt được một số kết quả như sau: Về phía học sinh: Qua quá trình học tập và rèn luyện cho học sinh tôi thấy học sinh lớp thực nghiệm đã giải thành thạo, linh động trong việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan đơn giản. Nhiều em hứng thú hơn với các bài tập ứng dụng thực tiễn, hứng thú khi giải được một số câu trong đề thi THPTQG, thi tốt nghiệp THPT, đề minh họa của Bộ và đề thi thử của các trường trong những năm gần đây. Các em tích cực, chủ động, độc lập học tập ở nhà và hợp tác trong hoạt động nhóm. Các em được phát huy năng lực của mình qua tìm tòi lời giải cho một bài toán, hợp tác khi hoạt động nhóm. Về phía giáo viên: Củng cố thêm kiến thức cho GV. Tìm được hứng thú trong quá trình dạy, yêu nghề hơn. Nâng cao năng lực chuyên môn, tìm hiểu cập nhật một số đề thi thử của một số trường cũng như đề tham khảo, chính thức của Bộ. Trong quá dạy giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về toán học với thực tiễn.

Đối với đồng nghiệp:Tạo mối quan hệ gần gũi, đoàn kết với đồng nghiệp. Trong quá trình trao đổi, thảo luận thì tôi và đồng nghiệp được học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau, có tài liệu tham khảo phù phù hợp với nhiều đối tượng. Đối với nhà trường: HS được rèn luyện tư duy sáng tạo trong giải toán sẽ giúp các em làm bài thi THPT tốt hơn, từ đó nâng cao chất lượng dạy học của nhà trường. Như vậy, đề tài có thể áp dụng để giảng dạy phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh từ học sinh yếu, trung bình đặc biệt là một số em khá giỏi. Có thể vận dụng cho cả việc dạy chính khóa và đại trà, trong các tiết luyện tập,ôn thi tốt 47

nghiệp THP, đề tài cũng có thể sử dụng để dạy và làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, đó chính là tính ứng dụng thực tiễn của đề tài.

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. 3.1. Kết luận: ''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan'' đã góp phần giải rèn luyện cho học sinh tính tư duy sáng tạo khi giải bài tập toán, giải một số bài toán trong các đề thi trong những năm gần đây biết toán học có nhiều ứng dụng trong thực tế hơn. Đề tài đã đạt được: Đã nêu được các khái niệm về tư duy, tư duy sáng tạo cùng với các thao tác của tư duy, các thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo, đã nêu rõ thực trạng của đề tài. Đề tài đã tập hợp được một số dạng bài tập về phương trình mũ từ đơn giản đến phức tạp, sử dụng phương pháp giải phương trình mũ đơn giản và một số phương pháp khác giải PT mũ.Thông qua đề tài đã giúp học sinh thấy được sự liên hệ giữa cách giải PT mũ cụ thể và PT mũ còn chứa tham số để từ đó tìm được điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu nào đó, việc áp dụng kiến thức toán học với bài toán thực tế hoặc liên quan đến môn học khác. Thiết kế giáo án minh họa về PT mũ nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS.

Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm và có những đánh giá cụ thể: Mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành. HS được rèn luyện tư duy sáng tạo khi giải dạng toán này và đã đánh giá sau khi học xong kiến thức cơ bản. Đề tài phù hợp với nhiều đối tượng, đây tài liệu tham khảo cho cả GV và HS.

3.2. Kiến nghị. 48

Đối với nhà trường: Cần quan tâm chỉ đạo cho giáo viên thường xuyên sử dụng phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh hết tiết này sang tiết học khác, từ năm học này sang năm học khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như các hoạt động ngoại khóa. Đối với giáo viên: Cần không ngừng học tập, luôn ý thức được cần phải đổi mới dạy học để đáp ứng được yêu cầu đổi mới của chương trình GDPT hiện hành cũng như chương trình mới sắp tới, giáo viên cần tích cực sử dụng các phương pháp dạy học tích cực, cần rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt, mềm dẻo và khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề trong thực tế. Khi sử dụng các phương pháp dạy học tích cực, giáo viên cần chú ý tạo điều kiện để học sinh tự phát huy hết khả năng của mình qua đó giúp học sinh tự tin hơn khi trình bày ý kiến. Đối với HS: Luôn tích cực trong các hoạt động giáo dục, luôn có thói quen vận dụng các kiến thức, kỹ năng của môn học vào thực tiễn cuộc sống. Đồng thời cần rèn luyện các kỹ năng cần thiết trong quá trình học tập như làm việc nhóm. Đề tài này còn tiếp tục thực nghiệm sư phạm cho năm học này để ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2021 và sử dụng cho các năm kế tiếp. Đề tài có thể đưa thêm một số dạng toán khác có liên quan đến phương trình mũ và một số bài toán ở dạng phức tạp hơn như PT nhiều ẩn, phương trình mũ và phương trình lôgarit kết hợp,.... Trên đây là những kinh nghiệm của tôi nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và bài toán liên quan. Việc áp dụng đề tài thực sự đã mang lại những hiệu quả rất thiết thực, góp phần tích cực vào phong trào đổi mới dạy và học hiện nay trong nhà trường.

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]

G. Polya (1995), Toán học và những suy luận có lí, Nhà xuất bản Giáo dục.

[2]

G. Polya (1997), Sáng tạo Toán học, Nhà xuất bản giáo dục

[3] Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT, Nhà xuất bản Giáo dục. [4] Ngô Viết Diễn (2004), Phương pháp chọn lọc giải toán hàm số mũ và loogarit, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [5] Phan Dũng (2010), Giới thiệu: Phương pháp luận sáng tạo và đổi mới (quyển một của bộ sách”Sáng tạo và đổi mới”), Nhà xuất bản Trẻ, TPHCM. [6] Trần Thị Mỹ Lộc (2009), Tâm lý học đại cương, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [7]. Sách giáo khoa Giải tích, NXB Giáo dục, năm 2008. [8]. Sách Bài tập Giải tích 12, NXB Giáo dục, năm 2008. [9]. Sách Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008 NXB Giáo dục. [10]. Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008. [11]. Một số tài liệu trên mạng Internet, một số đề thử, đề thi chính thức THPT Quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT. [12]. https://diendangiaovientoan.vn/ [13]. https://www.mathvn.com/

PHỤ LỤC 1 (Một số công thức tính đạo hàm của hàm số). +) Đạo hàm của tổng hiệu, tích thương các hàm số. Cho các hàm số u = u( x), v = v( x) có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định,  u  u '.v − u.v ' ta có: ( u ± v ) ' = u '± v '; ( u.v ) ' = u '.v + u.v ';   ' = ( v = v ( x ) ≠ 0) v2 v

+) Các công thức đạo hàm cơ bản Đạo hàm hàm số cơ bản

Đạo hàm của hàm số hợp (với u = u( x)).

c′ = 0 ( c là hằng số)

x' =1

( x )′ = α .x (α ∈ ℝ )

( u )′ = α .u

( x )′ = 2 1 x , ∀x > 0

( u )′ = 2u′u , ∀u > 0

( k .x )′ = k

( k .u )′ = k .u′

( cos x )′ = − sin x

( cos u )′ = −u′ sin u

( sin x )′ = cos x

( sin u )′ = u′.cos u

( tan x )′ =

α −1

1 cos2 x

( tan u )′ =

α −1

.u ′ (α ∈ ℝ )

u′ cos2 u 51

( cot x )′ = −

1 sin 2 x

( cot u )′ = −

(a x )' = a x .ln a (ln x)' =

(au )' = au .u '.ln a

1 x

(log a x)' =

u′ sin 2 u

(ln u)' = 1 x ln a

u' u

(log a u)' =

u' u.ln a

PHỤ LỤC 2 (Các giáo án thực nghiệm) Ngày soạn: 19/11/2020.

Phương trình mũ. PPCT: 37.

I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức: Học sinh nắm được phương pháp giải một số phương trình mũ đơn giản.

2. Kỹ năng: Giải thành thạo PT mũ cơ bản, một số PT mũ đơn giản, vận dụng thành thạo linh động các kiến thức liên quan, biết quy lạ về quen.

3. Thái độ/Phẩm chất: - Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm - Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

4. Năng lực: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động. - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống. - Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. Năng lực tính toán.

II. CHUẨN BỊ: 1. Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập, bảng phụ, máy chiếu.

2. Học sinh: Sách giáo khoa, đồ dùng học tập. III. Bảng tham chiếu các mức yêu cầu cần đạt của câu hỏi, bài tập, kiểm tra, đánh giá Nhận biết (M1)

Thông hiểu (M2)

Vận dụng (M3)

Phương pháp Biến đổi để đưa đưa về cùng về được phương cơ số. trình mũ cơ bản dạng cơ số là số thực

Giải được phương trình mũ đưa về cơ số đơn giản.

Nêu được hướng giải phương trình mũ đưa về cùng cơ số còn chứa ẩn dạng đơn giản.

Phương pháp Nhận dạng được phương trình mũ đặt ẩn phụ dạng đặt được ẩn phụ.

Giải được phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ.

Giải được phương trình mũ, tổng quát được dạng đặt ẩn phụ và chọn được biểu thức để đặt ẩn phụ.

Phương pháp Nhận dạng được lôgarit hóa phương trình mũ giải theo PP lôgarit hóa

Giải được phương trình mũ theo phương pháp logarit hóa đơn giản

Giải được phương trình mũ theo phương pháp logarit hóa phức tạp hơn.

Nội dung

Vận dụng cao (M4)

IV. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: 1. Hoạt động khởi động. ( 3 phút) Mục tiêu : Củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá. +) Chuyển giao:

Dự kiến sản phẩm, nội dung. Cách giải: a f ( x ) = b ( a > 0, a ≠ 1) .

Nêu phương pháp giải phương trình Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm. mũ a f ( x) = b (a > 0, a ≠ 1). Nếu b > 0 thì ta có f ( x) = loga b , giải x−1 Giải phương trình 3 = 9 phương trình tìm nghiệm x. . +) Phương thức: Cá nhân

Cách 1:

+) Thực hiện:

3x−1 = 9 ⇔ x − 1 = log3 9 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 3.

Học sinh suy nghĩ trả lời. Gọi 2 học sinh bất kỳ trình bày

Cách 2: 3x−1 = 9 ⇔ 3x−1 = 32 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 3.

+ Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức: Cách giải khác nếu có

Hoạt động 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số (10 phút) 2.1. Hình thành kiến thức 1:Phương pháp đưa về cùng cơ số. Mục tiêu: Giải được phương trình mũ đưa về cùng cơ số đơn giản. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá hoạt động

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

Từ cách 2 ở bài cũ cho ta một PP đưa về cùng cơ số để giải PT mũ. +) Chuyển giao 4 x+2 = 4x. Ví dụ 1: Giải phương trình. 2

+) Phương thức: Cá nhân

24 x+2 = 4 x

+) Thực hiện: HS suy nghĩ và giải toán

⇔ 2 4 x + 2 = 22 x ⇔ 4x + 2 = 2x

Gọi học sinh trình bày

⇔ x = −1.

GV hướng dẫn: Cơ số 2 và 4 có mối quan hệ gì? HS: 4 = 22 +) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức. Nhấn mạnh: Cơ số có mối quan hệ Gọi học sinh khác nêu cách giải khác

Phương pháp đưa về cùng cơ số.

+) Phương pháp: Phương pháp gọi là PP *) Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình đưa về cùng cơ số f x g x a ( ) = a ( ) , a > 0, a ≠ 1 ⇔ f ( x ) = g ( x ).

3.1. Hoạt động luyện tập kiến thức 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số Mục tiêu: Tạo sự phấn khởi cho học sinh khi giải toán, rèn luyện tư duy cho học sinh khi tìm tòi lời giải. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá. +) Chuyển giao:

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

Ví dụ 2. Giải các phương trình a)

(

)

2 −1 2

x2 −2 x

= ( 2 + 1) −2 x −5 .

b) 4x = 8x+1 +) Phương thức: Cá nhân. +) Thực hiện:

Nhận xét:

-HS suy nghĩ tìm tòi lời giải câu a

(

GV: cơ số hệ gì?

2 − 1 và

2 + 1 có mối quan

HS: ( 2 +1).( 2 −1) = 1 Gọi học sinh lên bảng giải câu a HS nhận xét.

)(

)

2 −1 .

2 +1 =1

⇔ 2 + 1 = ( 2 − 1)

−1

Khi đó ta có:

(

2 −1

)

⇔

(

x2 −2 x

)

2 −1

= ( 2 + 1) −2 x−5

x2 −2 x

= ( 2 − 1) 2 x +5

⇔ x2 − 2 x = 2 x + 5  x = −1 ⇔ x2 − 4 x − 5 = 0 ⇔  . x = 5

- Câu b: Hướng dẫn

Vậy phương trình có nghiệm

GV : Cơ số 4, 8 có thể biểu thị qua cơ số x = −1, x = 5. chung nào? HS đưa về cơ số 2. +) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức.

Hoạt động 2: Phương pháp đặt ẩn phụ. (20 phút) 2.2. Hoạt động hình thành kiến thức 2: Phương pháp đặt ẩn phụ. Mục tiêu: Tạo hứng thú cho học sinh và học sinh biết được các bước giải phương trình mũ đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

+) Chuyển giao Ví dụ 4. Giải phương trình

52 x − 4.5x − 5 = 0 (1) bằng cách đặt x ẩn phụ t = 5 , t > 0. . +) Phương thức: Cá nhân +) Thực hiện:

52 x − 4.5x − 5 = 0

Suy nghĩ và tìm tòi lời giải theo yêu Đặt t = 5x ( t > 0 ) , c ầu Phương trình (1) trở thành: Gọi học sinh lên bảng trình bày  t = −1 ( L ) . GV: Viết một biểu thức thể hiện t 2 − 4t − 5 = 0 ⇔  2x x = t 5 ( TM )  quan hệ giữa 5 và 5 ? x Với t = 5 , ta có 5 = 5 ⇔ x = 1.

2x x HS: 5 =( 5 ) 2

GV quan sát bao quát và hướng dẫn Vậy phương trình đã cho có nghiệm học sinh khác giải x = 1. +) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức. Chốt kiến thức, theo từng bước, liên hệ kiến thức PT cơ bản. Nếu không yêu cầu đặt ẩn phụ thì Chú ý: Nếu ko yêu cầu đặt ẩn phụ ta có GV nêu cách trình bày gọn hơn thể giải nhanh:  5 x = −1 5 − 4.5 − 5 = 0 ⇔  x ⇔ x = 1. 5 = 5 2x

3.2. Hoạt động luyện tập kiến thức 2 phương pháp đặt ẩn phụ Mục tiêu: Tạo sự phấn khởi và rèn luyện tư duy trong tìm tòi lời giải và giải được phương trình mũ dạng đặt ẩn phụ theo nhiều cách . Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá

Cách 1. Ta có :

+) Chuyển giao

Ví dụ 5. Giải phương trình x+1

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

1−x

3 + 3 −10 = 0. +) Phương thức: Hoạt động nhóm

3x+1 + 31− x − 10 = 0 ⇔ 3.3x +

3 − 10 = 0 3x

x Đặt t = 3 ( t > 0) , PT trở thành:

+) Thực hiện:

t = 3 3 2 = a .a . 3t + − 10 = 0  3t − 10t + 3 = 0 ⇔  1 GV: a t = t  3 Các nhóm thảo luận và tìm tòi lời giải x Với t = 3 , ta có 3 = 3 ⇔ x = 1. Gọi đại diện báo cáo α+β

1 1 Với t = , ta có 3x = ⇔ x = −1. 3 3 +) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức. Chỉnh sửa hoàn thiện bài làm các Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1, x = −1 nhóm Cách 2. Ta có: Các nhóm khác nhận xét chỉnh sửa

Trình chiếu nếu cần

3x+1 + 31− x − 10 = 0 ⇔ 3.3x +

3 − 10 = 0 3x

⇔ 3.32 x − 10.3x + 3 = 0

Cách 3: (Hướng dẫn) x+1 1−x Nhận xét: 3 .3 = 9 .

9 x+1 Nếu đặt 3 = t , t > 0 thì 31−x = ) t

 3x = 3 x =1 ⇔ x 1⇔ . 3 = x = −1   3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1, x = −1

4.2. Hoạt động tìm tòi mở rộng cho kiến thức 2 phương pháp đặt ẩn phụ. Mục tiêu: Tạo sự phấn khởi và rèn luyện tư duy sáng tạo trong tìm câu trả lời. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá, nhận xét.

Dự kiến sản phẩm

Chuyển giao

Ví dụ 6: (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai năm học 2018-2019). Giải phương trình

8.25x − 8.10x − 15.22 x+1 = 0. +) Phương thức: Cá nhân

8.25x − 8.10 x − 15.22 x+1 = 0

+) Thực hiện: Nêu hướng giải.

⇔ 8.52 x − 8.(2.5) x − 30.22 x = 0.

2x x HS suy nghĩ nêu cách giải đưa về 5 5 ⇔ 8.  − 8.  − 30 = 0 phương trình giải được  2 2 GV: Biến đổi phương trình đã cho để 2x thấy một mối quan hệ của các cơ số, HS- GV: Chia cxả hai vế cho 5 hoặc 22 x hoặc ( 2.5 ) rồi đặt ẩn phụ số mũ?.

+) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức +) Chuyển giao

Dạng 1: A.a

Hãy tổng quát các dạng của phương trình đã nêu và nêu cách giải bằng PP đặt ẩn phụ?

(Đặt t = a phụ t.

52 x − 4.5x − 5 = 0

Dạng 2:

2 f ( x)

f ( x)

+ B.a

f ( x)

+C =0

, đặt điều kiện cho ẩn

3.3x + 3.(3−1 ) x − 10 = 0

A.a

f ( x)

+ C = 0 , với a.b = 1 (Số mũ giống nhau, cơ số có mối quan hệ).

8.52 x − 8.(2.5) x − 30.22 x = 0. +) Phương thức: Cá nhân

+ B.b

f ( x) Đặt t = a , đặt điều kiện cho ẩn 1 f ( x) phụ t. Khi đó b = . t

+) Thực hiện: HS suy nghĩ tìm tòi câu trả lời GV theo dõi và hướng dẫn học sinh. +) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức. GV tổng quát

Dạng 3: A.a

2 f ( x)

+ B.( ab )

f ( x)

+ C .b 2f x

2 f ( x)

= 0.

Chia hai vế cho a ( ) hoặc b f ( x) hoặc ( ab ) rồi đặt ẩn phụ.

2 f ( x)

Hoạt động 3: Phương pháp logarit hóa ( 9 phút) 2.3. Hoạt động hình thành kiến thức 3: Phương pháp logarit hóa. Mục tiêu: Tạo sự hứng thú cho học sinh trong tìm tòi lời giải và giải được phương trình bằng phương pháp logarit hóa phức tạp hơn ở tiết trước. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá.

*)Dạng 1: Phương trình: a

f ( x)

0 < a ≠ 1, b > 0 =b⇔ .  f ( x ) = log a b

Từ phương pháp giải dạng 1 ở trên, ta có thể đặt ra câu hỏi: Nếu lấy logarit hai vế với một cơ số c bất kỳ (c > 0, c ≠ 1) liệu có được không ? và câu trả lời là hoàn toàn được. Như vậy ta có thể giải quyết các phương trình phức tạp hơn, f x g x dạng a ( ) = b ( ) (a, b > 0; a, b ≠ 1) bằng cách lấy logarit hai vế với cơ số nào đó. +) Chuyển giao 2

Ví dụ 6a Giải phương trình 2 x = 3x . +) Phương thức: Hoạt động nhóm. +) Thực hiện: Các nhóm suy nghĩ và tìm tòi lời giải. Báo cáo kết quả

Dự kiến sản phẩm, nội dung

Nhận xét bài làm của nhóm khác

2 x = 3x ⇔ log 3 2 x = log 3 3x

+) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức.

⇔ x.log3 2 − x 2 = 0

Học sinh có thể trình bày theo hướng khác.

⇔ x(log3 2 − x) = 0

x = 0 ⇔  x = log3 2 3.3. Hoạt động luyện tập phương pháp logarit hóa Mục tiêu: Tạo sự phấn khởi và rèn luyện tư duy trong tìm tòi lời giải bài toán cho HS. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá. +) Chuyển giao

(1) ⇔ 3 (

x x +1)

Ví dụ 6b) Giải phương trình:

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

(

.4 x +1 = 1

⇔ log 3 (

x +x

x+1

= 1 (1).

x x +1)

)

.4 x+1 = 0

+) Phương thức: Cá nhân

⇔ log 3 ( ) + log 4 x +1 = 0 ⇔ x ( x + 1) log 3 + ( x + 1) log 4 = 0

+) Thực hiện:

⇔ ( x + 1)( x log3 + log 4 ) = 0

Học sinh suy nghĩ và lựa chọn cách giải.

 x = −1 . ⇔  x = − log 3 4

Gọi học sinh lên bảng trình bày

x x +1

+) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức. GV nhấn mạnh lại một số bước, PP khác.

4.3. Hoạt động vận dụng- mở rộng kiến thức 3 phương pháp lôgarit Mục tiêu: Tạo sự phấn khởi và rèn luyện tư duy sáng tạo trong tìm tòi lời giải phương pháp logarit hóa cho học sinh. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá.

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

+) Chuyển giao

Dạng 2: PT

Nêu dạng tổng quát cho các ví dụ đã giải và nêu PP giải chung

a ( ) = b ( ) (a, b > 0; a, b ≠ 1) (lấy lôgarit hai vế theo cơ số a (hoặc b hoặc cơ số bất kỳ nào đó)).

+) Phương thức: Cá nhân +) Thực hiện: HS suy nghĩ tìm tòi câu trả lời GV theo dõi và hướng dẫn học sinh.

f x

g x

Dạng 3: Phương trình dạng: f x g x a ( ) .b ( ) = c

+) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức.

( về nhà)

V.Củng cố dặn dò: ( 4 phút) Nắm các dạng bài tập đã nêu và phương pháp giải chúng

Câu 1. Giải các phương trình x2

a) 4 = 8

x +1

3.27

4 x+ 2

1 = .3x. 9

c) ( x − 3 )

x x Câu 2. Giải các phương trình a) 3.9 − 2.3 − 5 = 0

2 x2 − x+

1 2

= ( x − 3)

2 x+

1 2

x x x b) 2.4 − 6 = 9

Câu 3. Giải các phương trình a) 3

x −2

−2

x 2 −3 x + 2

b ) 3 .2 = 1 x

c) 5 .8 x

x −1 x

= 500

Câu 4. (Trích đề thi thử trường THPT Cao Bá Quát 2017- 2018) 28 x+ 4 3

Cho phương trình 2 = 16 x −1 . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ.

B. Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên. C. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. D. Phương trình vô nghiệm. Ngày soạn: 04/12/2020. Dạy đại trà: PPCT 37: Ôn tập phương trình mũ và phương trình lôgarit Nội dung ''Tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó''. I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức: - Nắm cách giải phương trình mũ cơ bản, nắm bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình h( x, m) = 0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D, nắm bài toán liên quan đến phương trình bậc hai có nghiệm

- Nắm phương pháp giải phương trình mũ đơn giản. 2. Kỹ năng: - Thành thạo việc lập bảng biến thiên của hàm số, nắm chắc phương pháp giải PT mũ và các kiến thức liên quan, biết quy lạ về quen. - Giải được các điều kiện để PT quen thuộc có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó ở bài tập đơn giản. Viết và trình bày trước đám đông. 3. Thái độ/Phẩm chất: - Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm

- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu kiến thức liên quan.

II. CHUẨN BỊ: 1. Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập, bảng phụ... 2. Học sinh: Sách giáo khoa, đồ dùng học tập... III. Bảng tham chiếu các mức yêu cầu cần đạt của câu hỏi, bài tập, kiểm tra, đánh giá. Nội dung Tìm điều kiện của tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó

Nhận biết (M1) Nắ m phương pháp giải phương trình mũ đơn giản, PP giải bài toán liên quan

Thông hiểu (M2)

Vận dụng (M3)

Vận dụng cao (M4)

Tìm được điều kiện của tham số để PT mũ có nghiệm trong baiftoans đơn giản.

Sử dụng phương pháp giải phương trình mũ đơn giản, bài toán tìm điều kiện của PT nói chng có nghiệm, để tìm tham số thỏa mãn yêu cầu nào đó.

Sử dụng được phương pháp giải phương trình mũ khác để tìm tham số thỏa mãn yêu cầu nào đó.

IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC 1. Hoạt động khởi động: (3 phút) Mục tiêu Học sinh nắm kiến thức cơ bản điều kiện của tham số để phương trình cơ bản có nghiệm. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

Nêu phương pháp giải phương trình Cách giải: a x = b ( a > 0, a ≠ 1) .

mũ a x = b ( a > 0, a ≠ 1).

Nếu b ≤ 0 , phương trình vô nghiệm.

Áp dụng: Tìm m để phương trình Nếu b > 0 , phương trình có nghiệm duy 2021x = m có nghiệm. nhất x = log a b . +) Phương thức: Cá nhân Phương trình 2021x = m có nghiệm khi m>0 +) Thực hiện Gọi học sinh lên bảng giải +) Đánh giá: Cho điểm

2. Hoạt động hình thành kiến thức. ( 7 phút) Mục tiêu: Tạo sự hứng khởi và nêu được phương tìm điều kiện của tham số để PT có nghiệm. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá.

Dự kiến sản phẩm

+) Chuyển giao: Tìm điều kiện của tham số m để PT

x2 − 2 x − m = 0 có nghiệm 2 nghiệm dương phân biệt?

Cách 1: Cô lập m được

x2 − 2 x − m = 0 ⇔ x2 − 2 x = m

+) Phương thức: Hoạt động cá nhân +) Thực hiện: Nêu hướng giải

Xét hàm số y = x 2 − 2 x , x > 0.

Học sinh suy nghĩ và tìm PP.

Lập BBT của hàm số, dựa vào bảng biến thiên và yêu cầu bài toán để tìm tham số.

Gọi học sinh nêu + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức:

Cách 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của PT bậc hai

Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo 2 viên chuẩn hóa kiến thức, từ đó nêu phương PT x − 2x − m = 0 có hai nghiệm ∆ ' > 0 pháp giải bài toán sau:  dương phân biệt khi  S > 0 P > 0 

+) Chuyển giao:

Học sinh nắm được phương pháp

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số Cách 1 m để PT h( x, m) = 0 có nghiệm Bước 1. Cô lập m , biến đổi PT về dạng (hoặc có k nghiệm) trên D ? f ( x) = g(m) Nêu phương pháp giải? Bước 2. Lập BBT của hàm số f (x) (hoặc

Phương thức: Hoạt động cặp đôi, ba tìm GTLN, GTNN của hàm số f (x) ) trên D. Thực hiện : Bước 3. Dựa vào BBT (hoặc GTLN, Nhóm cặp đôi, ba thảo luận GTNN của f (x) ) trên D và YCBT để xác Đại diện đứng trình bày phương định điều kiện của g(m). pháp Bước 4.Giải điều kiện của g (m) thỏa mãn + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt bước 3 để phương trình f ( x) = g(m) có kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D. học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến Cách 2: Dựa vào điều kiện có nghiệm thức, từ đó nêu phương pháp giải bài của phương trình bậc hai, PT bậc ba, hệ toán (ghi bảng). thức Viet, PT trùng phương, phương trình mũ cơ bản, .... thỏa mãn điều kiện nào đó.

3. Hoạt động luyện tập. (22 phút) - Mục tiêu: Học sinh phấn khởi và vận dụng phương pháp giải phương trình mũ cơ bản, phương trình mũ vào bài toán tìm tham số để phương trình có nghiệm.

+) Chuyển giao: Ví dụ 1 : 2 x−1 2 Cho phương trình: 2 + m − m = 0.

Tìm điều kiện của tham số m để: a) Phương trình (1) có nghiệm. b) Phương trình (1) vô nghiệm

Ta có

c) Phương trình (1) có nghiệm x > 1.

2 2 x −1 + m 2 − m = 0

+) Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp.

⇔ 4 x = −2m 2 + 2m (1)

+) Thực hiện: HS quan sát số mũ PT biến đổi được về dạng a x = b ( a > 0, a ≠ 1)

a) Phương trình (1) có nghiệm

-HS tìm tòi lời giải -Gv có thể gợi ý nếu HS không giải được

b) Phương trình (1) vô nghiệm m ≤ 0 ⇔ −2 m 2 + 2 m ≤ 0 ⇔  . m ≥ 1

GV?: PT a x = b ( a > 0, a ≠ 1) có nghiệm khi nào?

c) Vì x > 1 , cơ số a = 4 > 1 nên 4 x > 4, ∀ x > 1 .

HS: a x = b ( a > 0, a ≠ 1) có nghiệm khi b > 0.

PT (1) có nghiệm lớn hơn 1 khi

- Gọi học sinh lên bảng giải a, b, c

(bất phương trình này vô nghiệm). Vậy không có giá trị

Gọi học sinh lên bảng thực hiện.

⇔ −2m2 + 2m > 0 ⇔ 0 < m < 1.

−2m2 + 2m > 4 ⇔ −m2 + m − 2 > 0

+) Đánh giá nhận xét, chỉnh sửa, cho học nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. sinh đề xuất cách mới.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

+) Chuyển giao

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham 2 số m để phương trình 2 x +3 = m có nghiệm.

+) Phương thức: Hoạt động cá nhân

Vì x 2 + 3 ≥ 3, ∀x ∈ ℝ  2 x +3 ≥ 8, ∀x ∈ ℝ . 2 Vậy phương trình 2 x +3 = m khi m ≥ 8

+) Thực hiện:

Chú ý:

Học sinh suy nghĩ tìm tòi lời giải: Gọi học sinh đứng tại chỗ trả lời

+)Phương ⇔b>0

+) Đánh giá nhận xét hoàn thiện

u +)Phương trình a = b có nghiệm

Tổng quát:

Bước 1: Ta phải tìm tập giá trị của u( x)

trình

ax = b

có

nghiệm

Chú ý: Khi giải toán phương trình Bước 2: Tìm tập giá trị của a au = b có nghiệm Bước 3: Tìm điều kiện của b từ bước 2. +) Chuyển giao:

Giải.

Ví dụ 3: Cho phương trình:

4x+1 − 2x+2 + m = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để: a) Phương trình (1) có nghiệm. b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3 +) Phương thức tổ chức: - Hướng dẫn -Các nhóm thảo luận nhóm câu a và Ta có tìm tòi lời giải x +1 x+2 x 2 4 − 2 + m = 0 ⇔ 4. 2 ( ) − 4.2 x + m = 0 - Hoạt động cá nhân câu b sau khi đã

(1)

chữa xong câu a. +) Thực hiện: GV: Biến đổi PT đã cho về dạng

x Đặt 2 = t > 0 .

quen thuộc?

PT (1) trở thành 4t 2 − 4t + m = 0 (2) .

HS:

Cách 1: Ta có

x +1

−2

x+2

+m=0

4t 2 − 4t + m = 0 ⇔ 4t 2 − 4t = − m (*).

⇔ 4.( 2 x ) − 4.2 x + m = 0

PT (1) có nghiệm ⇔ PT (* ) có nghiệm Các nhóm thảo luận trình bày dạng t > 0. toán. Xét hàm số f ( t ) = 4t 2 − 4t với t > 0 . Gọi đại diện trình bày kết quả Các nhóm khác nhận xét .

Ta có f '(t ) = 8t − 4, f '(t ) = 0 ⇔ t =

1 . 2

+) Đánh giá, nhận xét, khắc sâu, Bảng biến thiên của hàm số f (t ) với t > 0 chỉnh sửa đề xuất cách khác. 0 t 1 +∞ Cho học sinh phát biểu cách giải 2 khác nếu có. – 0 f '(t ) + GV hướng dẫn thêm cách đặt

Ở ví dụ 3 ta có thể biến đổi: 4 x+1 − 2 x+2 + m = 0

⇔ 22( x+1) − 2.2 x+1 + m = 0. Đặt t = 2 x +1 , t > 0

f (t )

+∞

−1

Dựa vào bảng biến thiên và yêu cầu bài toán ta có − m ≥ −1 ⇔ m ≤ 1.

Chốt phương pháp nên sử dụng đối Cách 2. Yêu cầu bài toán ⇔ phương với câu a. trình ( 2 ) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn  0 < t1 ≤ t2  ∆ ' ≥ 0, P > 0, S > 0 t ≤ 0 < t ⇔  P ≤ 0 1 2 0 < m ≤ 1 ⇔ ⇔ m ≤ 1. m ≤ 0 

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3 Câu b) Gọi học sinh nêu hướng giải?

+ ) PT (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ PT (2) có hai nghiệm có hai nghiệm phân biệt t > 0 .

Dựa vào BBT câu a ta có điều kiện của m Gọi học sinh nêu điều kiện để là: −1 < m < 0. (**) phương trình (2) có hai nghiệm phân Áp dụng hệ thức Vi-et cho PT (2) ta có biệt dương?

GV chỉnh sửa hoàn thiện

Sử dụng hệ thức Viet cho phương

trình (2)

t1 + t2 = 1   m t . t = 1 2  4

Tìm mối liên hệ giữa x1 + x2 = 3 Và hệ thức Viet đã nêu.

x +x = 23 + GV nhận xét và hoàn thiện bài Theo bài ra: x1 + x2 = 3 ⇔ 2 giải. ⇔ 2 x .2 x = 8  t1.t 2 = 8 1

Do đó

m = 8 ⇔ m = 32. . 4

Kết hợp điều kiện (**), suy ra không có giá trị nào của m để thỏa mãn YCBT.

4. Hoạt động tìm tòi mở rộng. (5 phút) - Mục tiêu : Giải quyết một số bài toán về tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó ở mức cao hơn. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

+) Chuyển giao: Ví dụ 4: Có bao nhiêu số nguyên m ∈ ( 0;2021) để PT

m + 2020x = m.ex có hai nghiệm phân biệt. +) Phương thức: Hướng dẫn về nhà +) Thực hiện: Học sinh suy nghĩ tìm tòi lời giải, dưới sự hướng dẫn của giáo viên nếu c ần ?? Hãy cô lập m ?? Nhẩm nghiệm đặc biệt c ủa phương trình? ?? Em hãy lập bảng biến thiên của ex − 1 hàm số f ( x ) = , x≠0 x (Bài tập về nhà).

Ta có: m + 2020 x = m.e x ⇔ (e x − 1) m = 2020 x

Nhận thấy phương trình m + 2020 x = m.e x ⇔ (e x − 1) m = 2020 x

có nghiệm x = 0 với mọi m . x Khi x ≠ 0 ta có m + 2020x = m.e e x − 1 2020 ⇔ = x m ex − 1 Xét hàm số f ( x ) = , x≠0 x (Bài tập về nhà Lập bảng biến thiên của hàm số f ( x ) và kết luận)

V. Củng cố dặn dò: Nắm các dạng toán đã giải Bài tập.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm.

a ) 32 x −1 + 2 m 2 − m − 3 = 0

b) 3 x + m 2 − m + 3 = 0

Đánh giá mức độ nắm bài của các em để đối chiếu kết quả năm trước. Nắm chắc: 9-10 điểm

Biết sơ sài: 5-8,5 điểm

Không biết: Dưới 5 điểm

Kiểm tra 6 phút. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m sao cho x x+1 2 phương trình 4 − m.2 + 2m − 5 = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử. A. 7 B. 1 C. 2 D. 3

Thang điểm đáp án. +) (1đ) Đặt t = 2 x ( t > 0 ) . Phương trình (1) trở thành t 2 − 2mt + 2m2 − 5 = 0 ( 2 ) . +) (3đ) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt dương. m 2 − ( 2m 2 − 5 ) > 0 ∆ ' > 0  10  (1,5đ +1,5đ + 2đ) ⇔  S > 0 ⇔  2m > 0 ⇔ <m< 5. 2 P > 0 2m 2 − 5 > 0  

( 1 đ) Mặt khác m ∈ ℤ , do đó m ∈ {2} . Vậy chọn B.

Ngày soạn: 08/12/2020. Dạy đại trà PPCT: 45. Ôn tập hàm số, phương trình mũ và lôgarit Nội dung: Ứng dụng của toán học vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức: - Nắm cách giải phương trình mũ cơ bản. - Nắm được một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình mũ, hàm số mũ. Biết liên hệ thực tế qua các bài toán. - Đánh giá mức độ nắm bài của học sinh qua một số tiết trong đề tài.

2. Kỹ năng: - Giải thành thạo phương trình mũ cơ bản, nắm kiến thức liên quan. - Biết suy luận từ thực tế để giải quyết bài toán. Kỹ năng liên hệ thực tế cuộc sống. 3. Thái độ/Phẩm chất: - Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm

- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu kiến thức liên quan. - Thái độ trung thực, nghiêm túc, nhanh nhạy khi làm bài kiểm tra 15 phút.

4. Năng lực: - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động. - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống. - Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. - Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, mang internet - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. - Năng lực tính toán.

II. CHUẨN BỊ: 1. Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập, bảng phụ, máy chiếu. 2. Học sinh: Sách giáo khoa, đồ dùng học tập. III. Bảng tham chiếu các mức yêu cầu cần đạt của câu hỏi, bài tập, kiểm tra, đánh giá Nội dung Ứng dụng của phương trình mũ trong một số bài toán thực tế

Nhận biết (M1)

Thông hiểu (M2)

Nắm được công thức nghiệm trong phương trình mũ cơ bản

Hiểu được bài toán thực tế liên quan đơn giản.

Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

Kiểm tra 15 Nắm được phút cách giải phương trình mũ cơ bản.

Vận dụng được kiến thức vào giải bài toán liên quan đến môn học khác Giải được phương trình mũ đơn giản

Vận dụng (M3)

Vận dụng cao (M4)

Tự tìm hiểu hoạt động thực tế liên quan đến sử dụng hàm số mũ, PT mũ nêu và giải được bài toán liên quan Giải được phương trình mũ phức tạp hơn. Tìm điều kiện của tham số để PT mũ có

Bài toán ứng dụng thực tế phức tạp hơn.

nghiệm...

IV. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC 1. Hoạt động khởi động. (2 phút) - Mục tiêu: Tạo sự hứng khởi và củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá +) Chuyển giao

Dự kiến sản phẩm, nội dung. +) Phương trình: a f ( x ) = b 0 < a ≠ 1, b > 0 ⇔ .  f ( x ) = log a b

Phương trình: a f ( x ) = b , a > 0, a ≠ 1 Có nghiệm khi nào? Công thức nghiệm? +) Phương thức: Cá nhân +) Thực hiện:Gọi học sinh bất kỳ trả lời câu hỏi. +) Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức.

2. Hoạt động hình thành kiến thức. ( 5 phút) - Mục tiêu: Học sinh áp dụng bài toán lãi kép để giải bài toán và biết ý nghĩa của nó. Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

Chiếu

Hình ảnh (nguồn Internet): Người dân đi gửi tiết kiệm tiền ở ngân hàng- Sổ tiết kiệm có kỳ hạn.

+) Chuyển giao:

Bài toán lãi kép:

Nêu nội dung bài toán lãi kép đã học

Một người gửi ngân hàng số tiền gốc ban đầu P, với Lãi kép: r/năm.

+) Phương thức: Cá nhân

Số tiền người đó nhận được sau n

+) Thực hiện:

năm là: Pn = P.(1 + r ) n

Gọi học sinh nêu + Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức. GV nhận xét khắc sâu kiến thức Giải thích lại cách xây dựng công thức Chuyển giao:

Ví dụ 1: (Ứng dụng toán học trong hoạt động cuộc sống). Một người gửi tiết kiệm với số tiền ban đầu là P = 10000000 đồng, lãi suất r = 5% / năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn (lãi kép). Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền 11025000 đồng? +) Phương thức: Cá nhân

Giải:

+) Thực hiện:

Số tiền người đó nhận được sau n năm là

HS suy nghĩ và tìm tòi lời giải.

n GV: Bài toán là bài toán nào ta đã biết các ADCT lãi kép Pn = P.(1 + r ) tiết trước? 11025000 = 10000000.(1 + 5%) n HS: Bài toán lãi kép. 11025 ⇔ (1,05) n = Gọi học sinh lên bảng giải. 10000 GV theo dõi hoạt động 11025 ⇔ n = log1,05 10000 + Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức.

GV nhận xét khắc sâu kiến thức.

⇔ n = 2.

Em hãy nêu một ý nghĩa của bài toán trên?

Vậy sau hai năm người đó nhận được số tiền là 11025000.

Nhận xét: -Tính được tiền lãi sau hai năm - Dự kiến được thời gian bao nhiêu lâu thì mình sẽ có tổng tiền gốc và tiền lãi đó để lên kế hoạch cho mục đích sử dụng nó.

Học sinh trả lời theo cách hiều của mình.

3.Hoạt động luyện tập 20 phút - Mục tiêu : Tạo sự phấn khởi cho học sinh và rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải bài toán, liên hệ ý nghĩa của bài toán với thực tế, thấy một số môn học có liên quan Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá GV: Vi khuẩn có lợi hay có hại??

Dự kiến sản phẩm

Hình ảnh (nguồn Internet) Vi khuẩn có lợi và có hại ở ruột người, nghiên cứu vi khuẩn.

Khi nhắc đến vi khuẩn, chúng ta thường nghĩ đến những vi sinh vật gây hại, tuy nhiên nhiều loại vi khuẩn lại rất hữu ích đối với con người. Chúng ta sẽ không thể tồn tại mà không có sự hiện diện của vi khuẩn. Chuyển giao: Trình chiếu, Phát phiếu học tập cho học sinh.

Ví dụ 2. (Ứng dụng toán học trong môn sinh học - Lĩnh vực khoa học đời sống) r.t

. trong đó A Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức S = Ae là số vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng 6 lần thì thời gian tăng trưởng t gần với kết quả nào sau đây nhất? A. 9 giờ 2 phút.

B. 8 giờ 9 phút.

C. 3 giờ 18 phút. D. 10 giờ 30 phút

+) Phương thức: Hoạt động nhóm

Sau 5 giờ có 300 con, khi đó theo bài ra ta có:

-Các nhóm thảo luận

300 = 100.e5r ⇔ e5r = 3 ln 3 ⇔ 5r = ln 3 ⇔ r = 5

-Đại diện của một nhóm trình bày kết quả

Ae . tr = 6 A ⇔ et.r = 6 ⇔ t.r = ln6

HS nhận xét các nhóm khác

⇔t =

GV nhận xét khắc sâu kiến thức .

giờ

+) Thực hiện: -Giải bài toán vào bảng phụ

GV: Đề bài cho gì (có những giả thiết Vì vi khuẩn ban đầu tăng lên 6 lần nên nào) và hỏi gì?

+ Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức.

ln 6 5ln 6 ⇔t = ⇔ t ≈ 8,15 r ln3

= 8 giờ 9 phút .

GV chốt và khắc sâu kiến thức và ý nghĩa Vậy chọn B của bài toán trong thực tiễn.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh, đánh giá

Dự kiến sản phẩm, nội dung.

Chuyển giao: Trình chiếu bài toán Ví dụ 3. (Ứng dụng toán học trong môn vật lí- Lĩnh vực khoa học kỹ thuật). Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn theo công thức hàm số mũ ln 2 , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ m ( t ) = m0 e − λ t , λ = T (tại thời điểm t = 0 ), m(t ) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t , T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy rằng khối lượng cacbon phóng xạ 146C trong mẫu gỗ đó đã mất 45% so với lượng 146C ban đầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng bao nhiêu năm? Cho biết chu kỳ bán rã của 146C là khoảng 5730 năm. +) Phương thức: Cá nhân. +) Thực hiện:

Giải: Khối lượng ban đầu của chất Bài toán liên quan đến môn học nào? ứng phóng xạ là m0 dụng trong lĩnh vực nào? Khối lượng đã mất của chất phóng xạ là m0 .45% Giải bài toán. GV: Khối lượng đã mất của chất phóng x ạ? HS: m0 .45%

Khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t là: m(t ) = m0 − m0 .45% = 0,55m0

Khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t ?

Từ

HS: m(t ) = m0 − m0 .45% = 0,55m0 GV: Từ đó tìm t = ? Nêu 1 ý nghĩa của bài toán?

công thức m (t ) = m0 e − λt , ln 2 và m ( t ) = 0,55 m0 λ= T

Ta suy ra:

HS suy nghĩ tìm tòi ý nghĩa

ln 2 t 5730

ln 2 t = ln 0,55 GV chốt kiến thức liên quan và nêu ý 5730 nghĩa của bài toán 5730.ln 0,55 ⇔t=− ≈ 4942 ln 2 e

−

= 0,55 ⇔ −

Vậy công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng 4942 năm. Ý nghĩa: Tính được công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng bao

nhiêu năm (tuổi của công trình) Chuyển giao

Ví dụ 4: (Ứng dụng của toán học trong đời sống xã hội)

(nguồn Internet)

Chiếu hình ảnh. Cho HS nêu ý nghĩa của hình ảnh? GV chỉnh sửa và nêu ý nghĩa. Chiếu nội dung ví dụ 4.

+) Chuyển giao:

Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức S = Ae . nr trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ gia dân số hằng năm. Năm 2019 dân số Việt Nam là 96208984 người, tỉ lệ tăng dân số hằng không đổi là 1,07% . Khi dân số Việt Nam ở mức khoảng 120 triệu người, hỏi năm đó gần với năm nào sau đây nhất? (giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng không đổi là 1,07% ) A. 2040.

B. 2035.

C. 2050.

D. 2045.

Bài tập về nhà.

+) Phương thức: Cá nhân. +) Thực hiện: Bài tập về nhà. Ý nghĩa? Học sinh suy nghĩ, trả lời.

Đáng giá, nhận xét, chốt kiến thức. Nêu một vài ý nghĩa của bài toán?

4. Hoạt động vận dụng, tìm tòi: ( 3 phút) - Mục tiêu : Tạo sự phấn khởi và giúp học sinh tìm hiểu được kiến thức về dân số Nghệ An và lập được bài toán liên quan tương tự theo yêu cầu của giáo viên, đặc biệt là học sinh được tìm hiểu kiến thức thực tế có áp dụng phương trình mũ để giải quyết

Bài tập về nhà: Phát phiếu học tập cho các nhóm Các nhóm làm vào giấy thời gian 1 tuần- Nộp. Yêu cầu học sinh Các em hãy tìm hiểu và lấy một ví dụ thực tế có áp dụng kiến thức toán học (hàm số mũ, lôgarit, phương trình mũ...) để giải bài toán đó. Nêu bài toán và giải bài toán đó.

V. Củng cố dặn dò: -Nắm các dạng bài toán liên quan đã nêu.

Hoạt động kiểm tra 15 phút Mục tiêu: GV: Nắm bắt tình hình nắm bài của học sinh qua nội dung đã học, để điều chỉnh phương pháp dạy học cho phù hợp với từng đối tượng. HS: Tích cực khi làm bài, cận thận, chính xác

BÀI KIỂM TRA 15 PHÚT (Đề gốc- đảo thành 8 mã đề) x−1 Câu 1. Nghiệm của phương trình 3 = 9 là:

A. x = −2 .

B. x = 3 .

1 Câu 2. Tập nghiệm của phương trình   7 B. {2} . A. {−1} .

C. x = 2 .

D. x = −3 .

x −2 x −3

= 7 x +1 là: C. {− 1;4} .

D. {− 1; 2} .

2+ x 2− x Câu 3.Tập nghiệm của phương trình 3 + 3 = 30 là:

1 A. S = 3;   3

B. S = {−1}

C. S = {1; − 1}

D. S = {3;1}.

Câu 4. Tính tích các nghiệm thực của phương trình 2 x = 3x A. − 3 .

C. −1.

B. 0 .

D. 1 − log 2 3

x Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 3 = m có nghiệm thực.

A. m ≥ 1

B. m ≥ 0

C. m > 0

D. m ≠ 0

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x + 2m2 − m − 3 = 0 có nghiệm?. 3 A. m ∈  −1;  . 2



1 2

B. m ∈  ; + ∞  . 

C. m ∈ ( 0; + ∞ ) . 2x

D. m ∈  −1;  2 

x+2

Câu 7. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3 − 2.3 + 27 = 0 bằng A. 0 . B. 18 . C. 3 . D. 27 . Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

(

)

2 +1 − m

A. 15.

(

)

2 − 1 = 8 có hai nghiệm dương phân biệt. Số phần tử của S bằng

B. 17.

C. 10.

D. 9.

Câu 9. Một người gửi tiết kiệm với số tiền ban đầu là P = 15 triệu đồng, lãi suất r = 5% / năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn (lãi kép). Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó thu được số tiền 16537500 đồng?

A. 2 (tháng).

B. 24 (tháng)

C. 36 (tháng)

D. 285,1617969 .

Câu 10. Ông Bình mua một chiếc xe máy với giá 60 triệu đồng tại một cửa hàng theo hình thức trả góp với lãi suất 8 % một năm. Biết rằng lãi suất được chia đều cho 12 tháng và không thay đổi trong suốt thời gian ông Bình trả nợ. Theo quy định của cửa hàng, mỗi tháng ông Bình phải trả một số tiền cố định là 2 triệu đồng (bao gồm tiền nợ gốc và tiền lãi). Hỏi ông Bình trả hết nợ ít nhất là trong bao nhiêu tháng? A. 35 .

B. 34 .

C. 33 .

D. 32 .

Đáp án : Câu

Đáp án

Minh họa bài làm của học sinh trong nội dung '' Tìm điều kiện của tham số để phương trình mũ thỏa mãn yêu cầu nào đó''

Minh họa Bài làm của nhóm học sinh trong phần bài tập về nhà ở nội dung '' Ứng dụng của toán học vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn''

Phụ lục 3 (Một số hình ảnh minh họa cho các tiết dạy thực nghiệm).

Hình ảnh GV quan sát học sinh thảo luận nhóm, đại diện HS báo cáo kết quả hoạt động nhóm, GV nêu thêm cách khác ở ví dụ 5 bài ''Phương trình mũ''. PPCT 37

Hình ảnh học sinh lên bảng giải ví dụ b, c trong ví dụ 1 nội dung''Tìm điều kiện của tham số để PT mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó''

Hình ảnh học sinh thảo luận, trình bày kết quả hoạt động nhóm giải ví dụ 2 nội dung '' Ứng dụng của toán học vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn''

Minh họa: Phiếu trả lời khảo sát của HS sau khi học một số nội dung trong đề tài

PHỤ LỤC 5. (Hướng dẫn một số bài tập). 5.1. Hướng dẫn một số bài tập mục 2.4.1. Câu 4C. Câu 5D. Câu 6B. Câu 7. (Trích đề thi thử THPT Gia Viễn A Ninh Bình năm học 2020-2021). 2 Cho hai số thực a > 1, b > 1. Biết phương trình a x .b x −1 = 1 có hai nghiệm phân 2

 x .x  biệt x1, x2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =  1 2  − 4( x1 + x2 ) bằng:  x1 + x2  B. 4 .

A. 3 3 4 .

C. 3 4.

D. 3 3 2

Hướng dẫn. 2

Ta có: a x .b x −1 = 1 ⇔ x 2 + x log b a − 1 = 0 . Nhận thấy PT luôn có hai nghiệm trái dấu và theo Vi-et: x1 + x2 = − logb a ; x1.x2 = −1 . 2

 x .x  1 4 Khi đó S =  1 2  − 4( x1 + x2 ) = . + 4 log b a = log a2 b + 2 log b a log a b  x1 + x2  Đặt loga b = t , t > 0 ( Vì a > 1, b > 1).

4 4 2t 3 − 4 Khi đó S = t 2 + ; S ' = 2t − 2 = ;S'=0⇔t = 3 2 2 t t t BBT của S

–

+∞

+ +∞

3. 4

Dựa vào BBT ta suy ra giá trị nhỏ nhất của S bằng 3 3 4 . Vậy chọn A

2. Hướng dẫn một số bài tập mục 2.4.2. Câu 1 b. Giải phương trình

(

2021 − 2020

) +(

2021 + 2020 x

) =(

8082

Hướng dẫn. Chia cả hai vế của PT cho ( 8082 ) được PT có về trái là hàm số nghịch biến, từ đó lập luận tìm được nghiệm là x = 2. 2

Câu 3: Giải phương trình 9 x + 101− x = 11.10 x . Giải. 2

Ta có 9 x + 101− x = 11.10 x ⇔ 9 x +

10 10

= 11.10 x (1).

2 Đặt x = t với t ≥ 0. t

10 9  1  PT (1) trở thành 9 + t = 11.10t ⇔   + 10.  = 11 (2). 10  10   100  t

9  1  Xét hàm số f ( t ) =   + 10.  , t ≥ 0.  10   100  t

9  1  Nhận thấy f ( t ) =   + 10.  nghịch biến trên [0; +∞) và f (0) = 11.  10   100  2 Khi đó PT (2) có nghiệm duy nhất t = 0 . Do đó x = 0 ⇔ x = 0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0.

Câu 4. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bắc Giang năm học 2020-2021). Giải phương trình 2.3x

−4

+ 3 x + 2 = 3x

+ x −2

+ 2.

Hướng dẫn. Nhận xét ( x 2 − 4) + ( x + 2) = x 2 + x − 2 , giải theo phương pháp đặt ẩn phụ hoặc phân tích thành nhân tử, giải ra ta được các nghiệm là x = −2, x = 2, x = −2 + log3 2. Câu 6. (Trích đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp TPHCM năm học 2020-2021). Giải phương trình 4x = x(2x + 1) + 2 x − x .

Hướng dẫn. 4 x = x(2 x + 1) + 2 x − x ⇔ 2 x (2 x − x) − x − 2 x − x = 0.

⇔ 2x (2x − x) − 2x + 2x − x − 2x − x = 0 Đặt u = 2 x , v = 2 x − x , u > 0, v ≥ 0. PT trở thành u.v − u + v − v = 0 ⇔ ( v − 1)(u v + u + v ) = 0 ⇔ v − 1 = 0

⇔ v = 1  2x − x − 1 = 0 (giải phương trình dựa vào PP tính đơn điệu của hàm số) Nghiệm của PT đã cho là: x = 0, x = 1.

Câu 7. (Trích đề thi thử THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018). Tích tất cả các 2

giá trị của x thỏa mãn phương trình ( 3 x − 3 ) − ( 4 x − 4 ) = ( 3 x + 4 x − 7 ) bằng:

B. 1.

A. 2. Hướng dẫn.

C. 4.

D. 3.

Cách 1. Đặt u = 3 x − 3, v = 4 x − 4  4x − 4 = 0 v = 0 PT trở thành u − v = (u + v) ⇔ 2v + 2uv = 0 ⇔   x x u = − v   3 − 3 = −4 + 4 2

giải các PT ta tìm nghiệm được nghiệm kép x = 1. Vậy chọn B

Cách 2. Phân tích thành nhân tử. Câu 8B. Câu 9.(Trích đề thi thử THPT Yên Phong - Bắc Ninh năm học 2020-2021). cos3 x

 1  1 Số nghiệm của phương trình   −   16  8 A. 1932 B. 1930 .

cos x

= cos3 x trên [ 0; 2021] là:

C. 1925

D. 1927 .

3 Hướng dẫn. Áp dụng công thức cos3x = 4cos x − 3.cos x.

 1  Ta có    16 

cos3 x

1 −  8

cos x

1 = cos3 x ⇔ 3.cos x −   2

3cos x

1 = 4.cos 3 x −   2

4 cos3 x

(*)

1 Xét hàm số: f (t ) = t −   trên ℝ , hàm số f (t ) đồng biến trên ℝ. 2

Khi đó từ (*) : f (3cos x ) = f (4 cos 3 x ) ⇔ 3cos x = 4 cos 3 x ⇔ x = Vì x ∈ [ 0; 2021] nên 0 ≤

π 6

+ k , k ∈ℤ. 6 3

1 2063 1 ≤ 2021 ⇔ − ≤ k ≤ − ≈ 1929,4 3 2 π 2

Vậy có 1930 số k ∈ {0; 1; 2;...; 1929} hay phương trình có 1930 nghiệm thỏa mãn YCBT. Vậy chọn B.

Câu 10. (Trích đề thi thử THPT Hàn Thuyên- Bắc Ninh năm học 2020-2021). Tổng các nghiệm của phương trình 2

1 3( x+2) 1 + + x + 1 = x2 +4 x + 9.3x+6 + ( x + 4)(2 − x) (*) x +8 5 27 5.5 A. 37. Hướng dẫn. PT (*) ⇔

1 5

x +8

B. −6. .

− 3x +8 − ( x + 8) =

Xét hàm số f (t ) =

1 5

x + 4 x +1

C. 3.

− 3x

+ 4 x +1

D. −3. .

− ( x 2 + 4 x + 1) (**).

1 t − 3 − t , hàm số nghịch biến trên ℝ. 5t

Khi đó từ (**) ta có f ( x + 8) = f ( x 2 + 4 x + 1) ⇔ x + 8 = x 2 + 4 x + 1 Giải tìm nghiệm, theo YCBT chọn D.

Câu 11. Số nghiệm của phương trình 2

2 x2 + 2 x − 9 = ( x2 − x − 3) .2021x +3 x−6 + ( x2 + 3x − 6 ).2021x − x−3 A. 4 .

B. 3 .

C. 1.

D. 2 .

Giải. Cách 1 2 2 v u + Đặt x − x − 3 = u , x + 3x − 6 = v . PT (1) trở thành u + v = u.2021 + v.2021

(* ) + Khi u = 0 , phương trình (* ) có dạng v = v (đúng). Khi đó ta có u = 0  x 2 + 3 x − 6 = 0 ⇔ x =

−3 ± 33 . 2

+ Khi v = 0 , phương trình (* ) có dạng u = u (đúng). 2 Khi đó ta có v = 0  x − x − 3 = 0 ⇔ x =

1 ± 13 . 2

+ Khi u.v ≠ 0 , không mất tính tổng quát, giả sử u ≥ v. Trường hợp 1: u > v > 0 .  2021v > 1 u.2021v > u Có  ⇔  u + v < u.2021v + v.2021u. u u  2021 > 1 v.2021 > v

Trường hợp 2 : u > 0 > v . v v  2021 < 1 u.2021 < u Có  ⇔  u.2021v + v.2021u < u + v. u v  2021 > 1 v.2021 < v

Trường hợp 3 : u < v < 0 . u u  2021 < 1 v.2021 > v Có  ⇔  v.2021u + u.2021v > u + v . v v  2021 < 1 u.2021 > u

Từ ba trường hợp trên suy ra u = v , phương trình (* ) có dạng u = u.2021 ⇔ u = 0 = v (loại vì phương trình đã cho không có nghiệm x chung).

Từ đó ta kết luận phương trình (* ) chỉ có nghiệm khi u = 0 hoặc v = 0 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x =

−3 ± 33 1 ± 13 ; x= . 2 2

Cách 2. PT (1) 2

⇔ ( x2 + 3x − 6) + ( x2 − x − 3) = ( x2 − x − 3) .2021x +3 x−6 + ( x2 + 3x − 6) .2021x − x−3 Đặt: u = x 2 + 3 x − 6; v = x 2 − x − 3 PT (1) trở thành u + v = u.2021v + v.2021u ⇔ ( 2021u − 1) v + ( 2021v − 1) u = 0 (*)

Trường hợp 1: Nếu u = 0 thì (*) ⇔ 0.v = 0  PT (*) luôn đúng. Vậy PT (*) có −3 ± 33 nghiệm u = 0  x 2 + 3 x − 6 = 0 ⇔ x = 2 Trường hợp 2. Nếu v = 0, tương tự trường hợp 1, ta có nghiệm x = Trường hợp 3. Nếu u > 0; v > 0 thì

( 2021

1 ± 13 . 2

− 1) v + ( 2021v − 1) u > 0  (*) vô

nghiệm. Trường hợp 4. Nếu u < 0; v < 0 (tương tự trường hợp 3). Trường hợp 5. Nếu u > 0; v < 0 thì: 2021u − 1 > 0; 2021v − 1 < 0  ( 2021u − 1) v + ( 2021v − 1) u < 0  (*) vô nghiệm.

Trường hợp 6: Nếu u > 0; v < 0 (tương tự trường hợp 5) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x =

−3 ± 33 1 ± 13 ; x= . 2 2

Vậy chọn A.

Câu 12. Chọn B. 3 5.3. Hướng dẫn một số bài tập mục 2.4.3.1. Câu 2. Chọn C. 4 Câu 3. Chọn B. 2018. Câu 4.( Đề thử Trường THPT Yên Định 1 Thanh Hóa năm học 2020-2021). Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình: 4 x − m.2 x +1 + 3m − 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu là:

A. (0; 2) .

B. (−∞; 2) .

C. (1; +∞).

D. (1; 2).

Hướng dẫn. Đặt t = 2 x , t > 0. PT trở thành t 2 − 2 mt + 3m − 3 = 0 (*) PT đã cho có hai nghiệm trái dấu ⇔ PT (*) có 2 nghiệm t1 , t2 sao cho 0 < t1 < 1 < t2 . Dựa vào bài toán mục 2.4.3.1 để giải, ta chọn D.

Câu 5. Chọn D. 2 . Câu 6. Chọn D. 3 Câu 7. Chọn D m = 1. Câu 8.(Đề thi thử Trường THPT Hai Bà Trưng - Huế năm học 2018- 2019). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4x − 2m.2x − m + 6 = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 sao cho x1 < x2 < 3 . Tập hợp S có bao nhiêu phần tử?.

A. Vô số. B. 3 . C. 2 . Hướng dẫn. x Đặt t = 2 , t > 0 ta được phương trình t 2 − 2mt − m + 6 = 0 (1) . Ta có x1 < x2 < 3 ⇔ 2 x < 2 x < 2 3 = 8 . 1

D. 1.

YCBT ⇔ PT (1) có hai nghiệm thỏa mãn 0 < t1 < t2 < 8 , tìm được 2 < m <

70 . 17

Vậy có hai giá trị nguyên của m là m = 3 và m = 4 . Chọn C. Câu 9.(Trích đề thi thử Trường THPT Minh Khai-Hà Nội - 2018– 2019). Giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x − ( 2m + 3) .2 x + 64 = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn ( x1 + 2 )( x2 + 2 ) = 24 thuộc khoảng nào sau đây? 3 A.  0;  . 

2

3 B.  − ;0  .  2



21 29 C.  ;  .  2

11 19 D.  ;  .

2 

 2

2 

Hướng dẫn. x Đặt t = 2 , điều kiện t > 0 . PT đã cho trở thành t 2 − ( 2m + 3) .t + 64 = 0 (*) .

Cách 1. Để PT đã cho có hai nghiệm thực x1 và x2 thì PT (* ) phải có hai nghiệm 13 t1 , t2 dương  m > . 2 x x x +x Theo định lý Vi-ét, ta có t1.t2 = 64 ⇔ 2 1.2 2 = 64 ⇔ 2 1 2 = 64  x1 + x2 = 6 .

Ta có ( x1 + 2 )( x2 + 2 ) = 24 ⇔ x1.x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4 = 24 ⇔ x1.x2 = 8 .

  x1 = 2  x + x = 6  x2 = 4  Từ  1 2 . Khi đó, ta có t1 + t 2 = 2 x + 2 x = 20  x = 4  x1.x2 = 8  1   x2 = 2 1

Theo hệ thức Viet ta có t1 + t2 = 2m + 3 . Do đó 2m + 3 = 20 ⇔ m =

17 . Chọn D 2

Cách 2. Giả sử PT (* ) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa YCBT, ta tìm được m =

17 . 2

Quan sát đáp án trắc nghiệm chọn D hoặc thử lại m vừa tìm được và kết luận

Câu 10. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2019-2020). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 8 x + 3 x.4 x + ( 3 x 2 + 1) .2 x = ( m3 − 1) x 3 + ( m − 1) x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc ( 0;10 ) . A. 101.

B. 100.

C. 102.

D. 103.

Giải. 3

8 x + 3 x.4 x + ( 3 x 2 + 1) .2 x = ( m 3 − 1) x 3 + ( m − 1) x ⇔ ( 2 x + x ) + ( 2 x + x ) = ( mx ) + mx (*)

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t 1 < 2 x < 1024 Ta có t = 2 + x , 0 < x < 10    1 < 2 x + x < 1034  1 < t < 1034 0 < x < 10 x

f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ (1; 1034 ) hay f ( t ) = t 3 + t đồng biến trên (1; 1034 ) 2x + x Khi đó ta có (*) ⇔ f (2 + x ) = f ( mx ) ⇔ 2 + x = mx ⇔ =m x 2x Xét hàm số g ( x ) = + 1, t ∈ ( 0; 10 ) x x x 1 x.2 ln 2 − 2 x 2 ( x.ln 2 − 1) , g′ ( x ) = 0 ⇔ x = = log 2 e  g′( x ) = = 2 2 ln 2 x x BBT của g ( x) trên khoảng (0; 10). x

log2 e

–

g′( x ) g (x)

+ 104,4

+∞

e.ln 2 + 1 Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán, ta có điều kiện của m là: e.ln 2 + 1 < m < 104,4 . Mặt khác m là số nguyên nên m ∈ {3; 4; ...; 103; 104} 104 − 3 Vậy số các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: + 1 = 102. Vậy chọn C. 1 Câu 11. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2020-2021).

Cho phương trình 8 x − m.2 2 x +1 + (2 m 2 − 1).2 x + m − m 2 = 0. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt là (a; b). Tính a.b bằng?

A. a.b =

2 . 3

B. a.b =

3 . 2

4 C. a.b = . 3

3 D. a.b = . 4

Giải. PT đã cho ⇔ 2 3 x − 2 m.2 2 x + (2 m 2 − 1).2 x + m − m 3 = 0 (*)

Đặt t = 2 x , t > 0. PT (*) trở thành t 3 − 2 m.t 2 + (2 m 2 − 1).t + m − m 3 = 0 t = m (t − m)(t 2 − mt + m 2 − 1) = 0 ⇔  2 2 t − mt + m − 1 = 0 (**).

Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 và phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt dương khác m

 m 2 − 4m 2 + 4 > 0  2 2 2 m > 0 ⇔ 2 ⇔1< m < ⇔ m ∈ (1; )  a.b = . Vậy chọn A. m − 1 > 0 3 3 3  m 2 − 1 ≠ 0  5.4. Hướng dẫn một số bài tập mục 2.4.3.2. Câu 1. Đáp số 63 tháng. Câu 2. Đáp án A. 43 . Câu 3. Đáp số t = 7 phút.