Sáng kiến Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số dạy học sinh ôn thi TN THPT Quốc gia by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

BÁO CÁO NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

Sáng kiến Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số dạy học sinh ôn thi TN THPT Quốc gia và học sinh thi học sinh giỏi môn toán 11 WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ................ TRƯỜNG THPT ................

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Tác giả sáng kiến: .................. Mã sáng kiến: .................

................., năm 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ............ TRƯỜNG THPT ...............

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Tác giả sáng kiến: ................ Mã sáng kiến: ..................

.................., năm 2021

MỤC LỤC Trang 1. Lời giới thiệu............................................................................................... 2 2. Tên sáng kiến............................................................................................... 2 3. Tác giả sáng kiến.......................................................................................... 2 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……….............................................................. 2 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến………………………………..…………....... 2 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử………….…........ 2 7. Mô tả bản chất của sáng kiến………………………………..……….….... 3 7.1 . Nội dung của sáng kiến………..…………………………........................ 3 Phần I. Đặt vấn đề…………………………………………….................. 3 Phần II. Nội dung……….………………………………………..…….... 5 I. Cơ sở lý luận…………………………………………..…............ 5 1. Cơ sở lý luận của đề tài……………………………….……... 5 2. Cơ sở thực tiễn………………………………..……….……… 5 II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu………..………………........... 5 1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu………..………………....... 5 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu……….………………….. 5 III.Biện pháp và giải pháp thực hiện……………..……………........ 5 1. Cơ sở đề suất giải pháp…………………………………......... 5 2. Giải pháp chủ yếu……….………………………………….... 6 Chương 1. Khái niệm giới hạn của dãy số………..…………........ 6 Chương 2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số………… 7 I. Dùng định nghĩa tính giới hạn của dãy 7 số…….………..... II. Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và ……….... 10 III. Phương pháp dùng nguyên lý kẹp….……..…………… 14 Chương 3. Một số bài toán liên quan đến giới hạn dãy số………. 16 IV. Kết quả sau khi thực hiện…………………………………........ 23 Phần III. Kết luận và kiến nghị…………………………..……………. 24 Tài liệu tham khảo…………………………………………………….. 26 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến......................................................... 27 8. Những thông tin cần được bảo mật……………………………….......... 27 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến………………………....... 27 10. Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy……............. 27 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp 28 dụng sáng kiến lần đầu.

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán giới hạn là vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh. Thường học sinh thấy lúng túng khi đứng trước các bài toán giới hạn, không biết lựa chọn phương án nào và bắt đầu từ đâu? Trong quá trình giảng dạy “Các bài toán tìm giới hạn dãy số ” trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tôi nhận thấy sách giáo khoa trình bày ngắn gọn và trừu tượng. Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp cận bài toán. Hơn nữa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạng được về các bài toán tìm giới hạn dãy số. Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi lại có xu hướng sử dụng các bài tập về tìm giới hạn dãy số, đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt và có sự phân dạng bài toán để giải quyết được bài toán. Vì vậy tôi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài toán tìm giới hạn dãy số và chia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán tìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài toán phù hợp. Với mong muốn cho việc dạy và học về các bài toán đếm được tốt hơn, tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm. 2. Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 3. Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: …………. - Địa chỉ tác giả sáng kiên: Giáo viên trường THPT ……… - Số điện thoại: ………………… 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Cá nhân 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng để “Tìm giới hạn của dãy số” trong chương trình toán Đại số và Giải tích 11 ở trường THPT. Dạy học sinh ôn thi TN THPT Quốc gia và học sinh thi học sinh giỏi môn toán 11. 2

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/01/2021 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1. Về nội dung của sáng kiến PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán tìm giới hạn dãy số là vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh. Thường học sinh thấy lúng túng khi đứng trước các bài toán tìm giới hạn dãy số, không biết lựa chọn cách nào và bắt đầu từ đâu? Trong quá trình giảng dạy, bài toán tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tôi nhận thấy sách giáo khoa trình bày ngắn gọn và trừu tượng. Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp cận bài toán. Hơn nữa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạng được về các bài toán tìm giới hạn dãy số. Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi lại có xu hướng sử dụng các bài tập về bài toán đếm, đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt và có sự phân dạng bài toán để giải quyết được bài toán. Vì vậy tôi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài toán tìm giới hạn dãy số và chia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán tìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài toán phù hợp. Với mong muốn cho việc dạy và học về các bài toán tìm giới hạn dãy số được tốt hơn, tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết về các bài toán tìm giới hạn dãy số để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các khái niệm về giới hạn dãy số. Xây dựng, hệ thống và phân dạng các bài tập về “bài toán tìm giới hạn dãy số” phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh. 4. Đối tượng và khách thể nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: là các bài toán tìm giới hạn dãy số trong chương trình toán THPT, các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục và Đào tạo hàng năm. Khách thể nghiên cứu: là học sinh lớp 11 trường Trung học phổ thông Yên Lạc 2, huyện Yên Lạc, tỉnh Vĩnh Phúc. 5. Phạm vi nghiên cứu Các tài liệu sách báo, sách giáo khoa cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11, các chuyên đề ôn thi TN THPT Quốc gia hàng năm về các bài toán tìm giới hạn dãy số. 6. Phương pháp nghiên cứu Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình giải bài toán tìm giới hạn dãy số. Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên lớp giảng dạy trên cùng một lớp đối tượng. 7. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm gồm các phần sau: Phần I: Đặt vấn đề Phần II: Nội dung I. Cơ sở lý luận 1. Cơ sở lý luận của đề tài 2. Cơ sở thực tiễn II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu 2. Thực trạng của vấn đê nghiên cứu III. Biện pháp và giải pháp thực hiện 1. Cơ sở đề xuất giải pháp 2. Giải pháp chủ yếu Chương 1. Khái niềm về dãy số Chương 2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số I. Dùng định nghĩa tính giới hạn của dãy số II. Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và… III. Phương pháp dùng nguyên lý kẹp IV. Kết quả sau khi thực hiện Phần III: Kết luận và kiến nghị Tài liệu tham khảo 4

PHẦN II. NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận 1. Cơ sở lý luận của đề tài Môn toán ở trường Trung học phổ thông là một môn khoa học tự nhiên, đòi hỏi sự tư duy sáng tạo và cần nhiều kiến thức về giải bài tập để tự hệ thống được kiến thức lý thuyết và hiểu thật sự được bản chất của bài toán. Từ đó hình thành hứng thú học tập cho học sinh học tập bộ môn toán ở trường Trung học phổ thông. 2. Cơ sở thực tiễn Các kiến thức trong sách giáo khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (ban cơ bản và nâng cao) do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành còn mang tính hàn lâm, lý thuyết và ít thực tế. Trong các bài kiểm tra thường xuyên về bài toán tìm giới hạn dãy số, học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của bài toán, dẫn tới hiểu sai và có nhiều sai lầm khi giải toán. Trong các đề thi học kì, thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia hàng năm có xu hướng sử dụng các bài toán tìm giới hạn dãy số. II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu Các khái niệm và các bài tập về bài toán tìm giới hạn dãy số trong chương trình môn toán ở trường Trung học phổ thông. 2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Các bài tập về bài toán tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoa và sách bài tập còn đơn điệu và chưa đưa ra được các dạng bài tập cụ thể. Học sinh khi học xong các bài toán tìm giới hạn dãy số và làm các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập một cách cẩn thận vẫn không thể tự mình phân dạng bài tập được. Vì thế khi gặp loại bài tập này học sinh thường bị lúng túng. III. Biện pháp và giải pháp thực hiện 5

1. Cơ sở đề suất giải pháp Theo yêu cầu cụ thể của việc dạy và học, phân phối chương trình bộ môn toán ở trường Trung học phổ thông (gồm các tiết dạy chính khóa và tự chọn) Theo các kiến thức về bài toán tìm giới hạn dãy số và các yêu cầu kỹ năng cần phải đạt được trong các đề kiểm tra thường xuyên, đề thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi môn toán ở trường Trung học phổ thông. 2. Giải pháp chủ yếu Hệ thống lại các kiến thức về bài toán tìm giới hạn dãy số mà học sinh cần sử dụng đến trong quá trình giải bài tập. Đưa ra các bài tập thường gặp về bài toán tìm giới hạn dãy số, các dạng và phương pháp giải bài toán tìm giới hạn dãy số để học sinh có thể tự tìm ra lời giải phù hợp với mỗi bài toán. Nội dung cụ thể của đề tài như sau: CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Trong toán học khái niệm giới hạn được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó. Trong một khoảng không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một dãy cauchy các điểm đã được xác định trước.giới hạn là khái niệm quan trọng về giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạo hàm và phép tính tích phân. Khái niệm giới hạn dãy số 1. Giới hạn hữu hạn a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu u n có thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

u n  0 hay u n  0 khi n   Kí hiệu: nlim  6

b) Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n   , nếu lim v n  a   0 n  

v n  a hay vn  a khi n   Kí hiệu: nlim  c) Một số giới hạn cơ bản 1.lim c  c n 

2.lim

n 

1 n

3.lim q n  0, với q  1 n 

2. Giới hạn vô cực a) Dãy số có giới hạn  Định nghĩa 3: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

un    hay un    khi n   Kí hiệu: nlim  b) Dãy số có giới hạn  Định nghĩa 4: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

un    hay un    khi n   Kí hiệu: nlim 

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ I. Phương pháp Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy 1. Phương pháp: ∗ lim un=0 khi và chỉ khi |un | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng n nào đó trở đi.  lim vn=a khi và chỉ khi lim (vn-a)=0 n n

 lim un=+∞ khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng n nào đó trở đi  lim un=-∞ khi và chỉ khi lim (-un ) = +∞ n n 2. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho dãy( un) thỏa mãn un> n với mọi n.chứng minh rằng lim un=+∞ n Giải: Ta có : lim n =+∞ lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. mặt khác un> n nên un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó. Vậy lim un=+∞ n Bài 2: Cho dãy số ( un) có un=

2n  1 . Tìm lim un n n

Giải: Ta biến đổi: un =

2n  1 1 =2+ 2 n

1 =0 Vậy lim un =2 vì lim n n n

2n 1 Bài 3: Biết dãy số un thỏa mãn |un | ≤ n với mọi n. Chứng minh rằng: lim un=0 n

Giải: n 1

Đặt vn= n 2 n 1

Ta có lim vn=lim n 2 =0. Do đó |vn | có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1) Mặt khác theo giả thiết ta có |un |≤ vn≤ | vn | (2) Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hàng nào đó trở đi nghĩa là lim un =0. 8

3. Bài tập áp dụng: Bài 1: Biết dãy số (un) thỏa mãn un >n2 với mọi n. Chứng minh rằng: lim un=+∞ n Giải: Vì lim n2=+ ∞ nên n2 có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Mặt khác theo giả thuyết mà un >n2 với mọi n, nên un có thể lớn hơn một số

dương

tùy ý, kể từ một số hàng nào đó trở đi. Vậy lim un=+∞ n Bài 2: Cho biết lim un=-∞ và vn<un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn n Hướng dẫn: lim un=+∞  : lim (-un )=+∞  - vn>-un  lim (-vn )=+∞ n

n

Vậy lim vn =-∞ n Bài 3: Cho dãy (un) xác định bởi un= a, Tìm số n sao cho |un-3|<

3n  2 n 1

1 1000

b, Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy un đều nằm trong khoảng (2,999;3001) Hướng dẫn: a, |un-3|=

1 1 <  n>999 n  1 1000

b, Khi n>999  |un-3|<

1 1 1  3 2,999< un< 3,001 <un<3+ 1000 1000 1000

Bài 4: Vì sao dãy (un) với (un)=(-1)n không thể có giới hạn là 0 khi n  +∞ ? Hướng dẫn: Vì |un|=|(-1)n|=1 nên |un| không thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,

kể

từ một số hàng nào đó trở đi. Chẳng hạn, un không thể < 0,5 với mọi n. Do đó dãy số (un) không thể có giới hạn là 0. Bài 5: 9

a, Cho hai dãy (un) va (vn), biết lim un=-∞ và vn≤un với mọi n. Có kết luận gì về giới n hạn của dãy (vn) khi n  +∞? b, tìm lim vn với vn=n! n Bài 6: Biết |un-2| ≤ 3n , có kết luận gì về giới hạn dãy số (un)? Bài 7: Dùng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh: a, lim n

3n  2 =3 n 1

c, lim n 

b, lim n

n2 =+∞ n 1

1  n2 = -∞ d, lim n 

sin n =0 n

II. Phương pháp sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải bài toán tìm giới hạn dãy. 1. Các giới hạn đặc biệt: c =0 ; n  n

lim

n 

c =0 ; n

lim nk=+∞ ,mọi k  N* ; n

lim c=c n

; lim n   n 

c =0 mọi k  N* n  n k

lim

lim qn=0, |q|<1 ; lim qn=+  ,|q|>1 n

lim

n 

n

A =0  lim vn=  ; lim A    lim v n=0 n n  v n  vn n

2. Định lý về giới hạn hữu hạn: Giả sử lim un=a và lim vn=b, khi đó: n n 1. lim (un  vn)=a  b n 2. lim (un .vn)=a.b n 3. lim n 

un a  ,b  0 vn b

un  a (với un>0 với mọi n  N*) 4. lim n 

3. Định lý về giới hạn  10

1, Nếu lim un=a và lim vn=  thì lim n n n 

un =0 vn

2, Nếu lim un=a>0 và lim vn=0 và vn>0 thì lim n n n 

un   vn

3, Nếu lim un=+  và lim vn=a>0 thì lim un .vn=+  n n n  Nếu giới hạn có dạng phân thức mà tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì chia cả tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất.  Nếu giới hạn là biểu thức chứa dạng căn thức (dạng a  b ; 3 a  3 b ) cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. 4. Bài tập mẫu: Bài 1: Tính lim n 

3n3  5n 2  1 2 n 3  6n 2  4 n  5

Giải: Ta có 5 1 3  3 3n  5n  1 3 n n lim 3 = lim = n  2 n  6n 2  4 n  5 n  6 4 5 2 2  2  3 n n n 3

2n 2  1  5n 1  3n 2

Bài 2: Tính lim n  Giải:

1 1 5 2 2  2n 2  1  5n n n  0 0 lim lim n = 2 n  n  1 3 1  3n 3 n2

Bài 3: Tính lim n 



n2  7 

n2  5



Giải: lim( n 2  7  n 2  5)  lim n 

n 

n 2  7  n2  5 n2  7  n2  5

 lim

n 

2 n2  7  n2  5

5. Bài tập áp dụng Bài 1: tính các giới hạn sau: 11

m a, lin

4 n2  n  1 3  2 n2

 c, lim  n 2   n  n 1 

n2  n  1 b, lnim  2n 3  5

e, lim n 



2n 4  n 2  1 d, lim n  2n  1 (3  n) n 2  2    

 2  3n  n  1 1  4n 4

Đáp số: a,2

b,0

c,+ 

d,-1

27 4

Bài 2: Tính lim  n2  n n  1  n  

Giải: lim  n2  1   n2  n n  1  = lim n  n  

1 1      n n 2 

Bài 3: Tính các giới hạn: a, lim n 

2n 2  n 2  7 2n 2  n  3

c, lim n 

b, lim n 

3n 2  1  n2  1 n

d, lim n 

Đáp số: a,

2 2

3n 2  14  n 1  2n 2 3

b, 3  1

c,0

2n 3  n n2

d, 3 2

Bài 4: Tính các giới hạn sau a, lim n 

3n  2 1  2n

b, lim n 

4.3n  7 n 1 2.5n  7 n

c, lim n 

5n  1 5n  1

Đáp số: a,+ 

b,7

c,1

Bài 5: Tính các giới hạn sau n 1  n ) a, lim( n 

n 2  3n  n  2) b, lim( n  12

3 3 n  2n 2  n c, lim n 

n2  n  n d, lim n 

4n 2  1  n  2

e, lim n 

3 n  n3  n  2 g, lim n 

n  2n  n

Đáp số: a.0

7 2

2 3

1 2

e,1

g,3

Bài 6: Tính các giới hạn sau: a, lim n 

n 1  2  3  ...  n n2  n  1

b, lim n 

1  2  3  ....n n2

1  a  a 2  ....  a n d, lim n  1  b  b 2  ....  b n

n 1  3  ...  2n  1 c, lim n  2n 2  n  1

 1 1 1 1     ......   n(n  1)   1.2 2.3 3.4

e, lim  n 

 1  1 1 1    ......   n  1.3 3.5 5.7  2n  1 2n  1  

f, lim 

2.1  3.2 2  .....   n  1 n 2 g, lim n  n4

1 2

h, lim   n 

3 5 2n  1   3  ...  n  2 2 2 2 

Hướng dẫn và đáp số:  1 n  n n  n n2  n 1 n 1  2  3  ...  n  2  = lim  lim  lim 2 2 2 n  n  n  n  n 1 n  n 1  n  n  1 2 2

a, b,

1 2

c, lim n 

n 1  3  ...  2n  1 = lim n  2n 2  n  1

1  2n  1 n 2 2n  n  1 2



1 2

1 1 a  1 b d, S= lim n  1 1 a 1 b

e, Ta có

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 ;   ;   ;....;   1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 n  n  1 n n  1  1



  suy ra: lim    ......  1   = lim   1 n  1.2 n  2.3 3.4 n(n  1)   n 1   1 1 1  f, Sn= 1  nên lim   n 2 2  2n  1 

III. Phương pháp dùng nguyên lí kẹp 1. Phương pháp: Cho 3 dãy số (un), (vn) và (wn) Nếu (un) ≤ (vn) ≤ (wn) với mọi n và lim (un)=lim (wn)= L (L  R) thì lim vn=L 2. Bài tập mẫu 1

Tính lim  2  2  ....  2  n  n  1 n 2 n n  Giaỉ: Ta thấy: 1  2  ...  n 1 2 n   1   2  ....  2  2  ≥ n2  n 2 n n  n 1 n  2

1 và  2   n 1

Vậy

2 n  n  n  1 2 n   1  2  ....  2    ....  2  ≤  2 n  1  2  n 2  1 n 2 n n  n 1 n 1 2

n  n  1 1 2 n   1   2  2  ....  2   2 n  n  2  n 2  1  n 1 n  2

Mà lim n 

n  n  1 1  2(n 2  1) 2 1

Vậy lim  2  2  ....  2  = n  n  1 2 n 2 n n  3. Bài tập áp dụng Bài 1: Tính giới hạn của các giới hạn sau: 1 2

a, lim   n  c, lim n 

1   3n 

n  sin n 3n  4

b, lim n  d, lim n 

3sin n  4 cos n n 1

sin 2n  cos2n 3n  1



e, lim  n 

2  n 1



1 n2  2

 ..... 

  n2  n  1

Đáp số: a,0

b,0

1 3

d,0

f,1

Bài 2: Cho 2 dãy số (un) và (vn). cmr nếu lim vn=0 va u ≤ vn với mọi n thì lim un=0 Hướng dẫn: lim vn=0 suy ra |vn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y, kể từ số nào đó trở đi. (1) vì |un| ≤ vn và vn ≤ |vn| với mọi n, nên |un| ≤ | vn| với mọi n. (2) Từ (1) và (2) suy ra |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y,kể từ số nào đó trở đi. Nghĩa là lim un=0 Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau: n

1 a, un= n!

 1 b, un=

d, un=(0,99)n cos n

e, un=5n-cos n

2n  1

c, un=

2  n  1

2  n   11

Đáp số: a, 0

b, 0

c, 0

d, 0

e, + 

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI GIỚI HẠN DÃY SỐ I. Chứng minh một dãy số có giới hạn: 1. Phương pháp a, Áp dụng định lý Weierstrass;  Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.  Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. b, Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số giảm và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M. c, Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:  Phương pháp 1: + Đặt lim un =a n + Từ lim un+1= lim f(un) ta được một phương trình theo ẩn a. n n + Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương trình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cần tìm, còn nếu phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.  Chú ý: Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất.  Phương pháp 2: + Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán. + Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học. + Tính giới hạn của dãy số thông qua công thức tổng quát. 2. Bài tập mẫu: Bài 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi. u1  2 , un1  2 

1 n

Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải: 16

Ta có u1= 2 và un1  un  2 , un >0 với mọi n ∈N  Ta chứng minh un <2 với mọi n∈ N (1) Với n=1 ta có u1= 2 <2 thi (1) đúng. Giá sử bất đẳng thức đúng với n=k thì uk <2. Vậy un<2,mọi n∈ N  Chứng minh dãy (un) tăng: Xét dãy un+1>un  un  2 >un  un2 -un -2<0  -1≤ un≤ 2 Ma 0<un <2 nên un+1>un .vậy un là dãy tăng. (2) Tứ (1) và (2) suy ra (un) có giới hạn.  Đặt lim un =a thi 0≤ a ≤2 un 1  un  2  lim un 1  lim un  2 n 

n 

 a  2  a  a2 –a -2=0  a=-1 hoặc a=2

Ta có vì un >0 nên lim un= a ≥0.vậy lim un =2 n n Bài 2: Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi un  2 và un+1=2-

1 un

Chứng minh dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải: 1 2

2 3

3 4

4 5

Ta có u1  ; u2  ; u3  ; u4  , từ đó ta dự đoán un=

n (1) n 1

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp: với n=1 ta có u1=

1 1  ( đúng.) 11 2

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n  k  k  1 nghĩa là uk  Khi đó ta có: uk+1=

n  k  1 . Vậy un 

k k 1

1 1 k 1 nghĩa là đẳng thưc (1) cũng đúng với   2  uk 2  k k2 k 1

n , mọi n  * n 1

Từ đó ta có lim un= lim

n =1 n 1

3. Bài tâp áp dụng: Bài 1: Chứng minh dãy (un) với un= 2  2  ....  2  2 , (n dấu căn) là dãy số có giới hạn.  Phương pháp xét dãy (un) tăng hoặc giảm) xét (un) bị chặn trên hoặc (bị chặn dưới) Chú ý: Để tìm giới hạn của dãy cho bởi công thức truy hồi ta dùng các phương pháp. 1. Tìm công thức tổng quát (dựa vào phương thức đã được nêu trên ở phần kiến thức dãy số). Sau đó tính giới hạn un. 2. Tìm lim un 1 = lim f(un). Giải pt tìm lim un=a  tìm giới hạn. n  n n Bài 2: Cho dãy truy hồi u1=0 và un 

un 1  3  n  2  . Tìm giới hạn của dãy số. 4

Hướng dẫn và đáp số: u1=0 Ta có: u1=0 u2=

3 1  1   4 4

u3=

15 1  1   16 4

. . . 1 un=1-   4

n1

1 bằng phương pháp quy nạp chứng minh un  1    4

n 1

n1

 1  vậy lim 1     =1. n  

4



Bài 3: Cho dãy truy hồi. u1=2 và un 

un 1  1  n  2  , chứng minh dãy (un) có giới hạn. 2

Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn và đáp số: 2n 1  1 + Cách 1:dự đoán un= n 2 1

2 n 1  1 ; lim un= lim =1 n n 2 n  1

+ Cách 2:  Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới. lim un=a ,tìm a n  Giả sử

lim un= lim un-1=a= n

n

a 1  a  1; lim un=1 n 2

Bài 4: a, Cho dãy truy hồi u1=2 và un 1 

un  1  n  1 .chứng minh dãy (un) có giới hạn và 2

tìm giới hạn đó. b, Cho dãy (un) xác định bởi 0 <un <1 và un+1(1-un) >

1 (n≥1) .chứng minh dãy (un) 4

có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn và đáp số: b, Chứng minh (un) là dãy tăng và bị chặn trên. Ta có:0<un <1,n N Áp dụng bất đẳng thức cauchy: un+1+(1-un)  2. un1. 1  un   2.

1  1  un1  un ; n  N* 4

Vậy (un) là dãy tăng và bị chặn trên thì dãy (un) có giới hạn. đặt lim un=a, a>0. Ta có: n un+1+(1-un) 

1 1 1 1 1   lim  un 1  1  un     a 1  a     a    0  a  n  4 4 4 2 2 

vậy lim un= n

1 2

1

2

Bài 5: Cho dãy (un) xác định bởi un+1=  un   và u1>0 2 u 



a, Chứng minh rằng un  2 với mọi n≥2. b, Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn và đáp số: 1

2

a. Ta có u1>0. un+1=  un    un>0,∀n∈N* 2 u 



Áp dụng bất đẳng thức cosi: 1

2

un+1=  un    un .  2; n  1 , n∈N* 2 un  un Suy ra un> 2, n  2, n  N b. Ta có un> 2, n  2, n  N nên (un) là dãy bị chặn dưới. 1 2 1  un 2  Xét un+1- un =  un   - un = 1    0; n  2, n  N nên un+1<un ,∀n∈N* 2 un  un  2  un  a, a  2 ta có: đặt lim n 

1

2

1

2

  2 un+1=  un    lim un+1= lim  un    a   a    a =2  a= 2 n n 2 un  2 un  2 a

hoặc a= - 2 vậy lim un  2 n  Bài 6: Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un=cosn, n∈ N*. Chứng minh dãy không có giới hạn. Hướng dẫn: cos  n  2   cos n  =0 Giả sử lim un= lim cosn =a  lim cos (n+2)=a  lim n n n n    2 lim sin(n+1)sin1=0  lim sin(n+1)=0  lim sinn=0 n

n

Mặt khác: sin(n+1)=sinn.cos1+cosn.sin1  lim cosn=0 n 20

Suy ra lim (cos2n+sin2n)=0, vô lý n Vậy dãy số (un) với un=cosn không có giới hạn. Bài 7: Chứng minh các dãy sau bị chặn (hội tụ). a. an=1+

1 1 1  2  ..........  2 ; n  N 2 2 3 n

b. bn=1+

1 1 1  3  ..........  n ; n  N 2 2 3 n

Hướng dẫn: a. Ta thấy. dãy an=1+

1 1 1  2  ..........  2 ; n  N là dãy tăng, ta cần chứng minh dãy (an 2 2 3 n

) bị chặn. 1+

1 1 1 1 1 1 1  2  ..........  2  1    ....   2  2 2 2 3 n 1.2 2.3 2  n  1 n

Vậy dãy hội tụ. b. Dãy bn=1+

1 1 1  3  ..........  n ; n  N là dãy tăng, ta cần chứng minh dãy bn bị chặn. 2 2 3 n

Thật vậy: bn=1+

1 1 1 1 1 1  3  ..........  n  1+ 2  2  ..........  2 <2 2 2 3 n 2 3 n

Vậy dãy bị chặn nên hội tụ.

II. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn. Biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số. 1. Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q, với |q|<1. + Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un): S=u1+u2+…+un+…=

u1 1 q

+ Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10.

X=N,a1a2a3…an..=N+

a a a1 a  2 2  3 3  ....  n n  ... 10 10 10 10

2. Bài tập mẫu: Bài 1: Viết số thập phân m=0,030303…(chu kỳ 0,3) dưới dạng số hữu tỉ. Giải: 3 3 3 3 3 1 100   ...   3  100  3   3  Ta có: m  3  n 1 100 10000 100 99 33 33 1 100

Bài 2: Tính tổng s=2- 2  1  Giải: xét dãy 2,- 2 ,1,2

Vậy s= 1

1 2



1 1   ... 2 2

1  2 1 1 ,…là dãy cấp số nhân q=  ;| q | 1 2 2 ( 2) 2 2

2 2  42 2 2 1

3. Bài tập áp dụng: Bài 1: Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a=34,1212….(chu kì 12) Đáp số: a=

1134 33

Bài 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 1  ...  n1  ... 4 16 4

a. s=1  

2 1 1 1    .... s t 2 1 2  2 2

b. s=

Hướng dẫn: 1 4

a. q= ; s 

4 3

b.q=

2 2 ;s  4 3 2 2

Bài 3. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn. biết tổng S=6. Tính 2 số hạng đầu u1+u2=4.

1 2

Hướng dẫn: s=

u1  6  u1  6 1  q  (1) 1 q

1 1 1 u1  u1q  4.  u1 1  q   4. (2) kết hợp (1) và (2)  q   2 2 2

Bài 4: a. Cho 0<α<

 4

. Tính tổng s=1-tanα+tan2α-tan3α+…

b. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ: a=0,272727……..

b=0,99999999……… 

b. Cho dãy (bn)=sin a=sin2a+sin3a+….+sinna với a≠  k . Tìm giới hạn dãy. 2

Hướng dẫn: a. S=

1 1  tan 

1 1 3 b. a=2. 10  7. 10  1 1 1 2 1  2 11 10 10

c. lim (bn)=

9 1 . 1 10 1  1 10

sin  1  sin 

IV. Kết quả sau khi thực hiện Sau khi áp dụng “Sáng kiến kinh nghiệm” trên vào giảng dạy, tôi đã tiến hành kiểm tra với 10 học sinh ở lớp 11A1.1 trường THPT …… 2 và thu được kết quả như sau: Điểm lần 1 là điểm kiểm tra của học sinh sau khi đã học xong chương IV và chưa được cung cấp phương pháp giải bài toán tìm giới hạn dãy số. Điểm lần 2 là điểm kiểm tra của học sinh đã được cung cấp thêm phương pháp giải bài toán tìm giới hạn dãy số. 23

Stt

Họ đệm

Tên

Điểm lần 1

Điểm lần 2

NGUYỄN LAN

ANH

NGUYỄN TUẤN

ANH

ĐẶNG VĂN

BẮC

NGUYỄN VĂN

DUY

ĐÀO THỊ THU

HÀ

PHAN THỊ THU

HÀ

ĐÀO THỊ

HẰNG

PHAN THỊ

HOÀI

NGÔ THỊ BÍCH

HỒNG

NGUYỄN CẨM

6,0

6,6

Trung bình

Kết quả trên cho ta thấy điểm trung bình lần 1 là 6,0 điểm, còn điểm trung bình lần 2 đã tăng lên được là 6,6 điểm. Đa số học sinh khi được cung cấp phương pháp tìm giới hạn dãy số đã tìm hiểu và điểm kiểm tra đều tăng so với lần 1. PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I. KẾT LUẬN Việc tìm hiểu và phân loại bài tập nói chung và phân loại bài tập về “Tìm giới hạn của dãy số” nói riêng là rất cần thiết trong quá trình dạy và học. Qua đó có thể giúp cho giáo viên và học sinh có thể hình dung được một cách cụ thể các phương án để làm một bài tập sao cho có hiệu quả nhất. Việc phân loại bài tập giúp cho học sinh củng cố và ghi nhớ được lí thuyết, hiểu sâu thêm những vấn đề trừu tượng mà trong sách giáo khoa chưa đề cập đến. Rèn được cho học sinh kĩ năng giải bài tập, nhận dạng bài tập đưa ra phương án tốt nhất, phản ứng tốt với một bài tập mới. Tiến tới tự học sinh có thể khái quát các dạng bài tập. 24

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi khi dạy bài toán tìm giới hạn của dãy số cho học sinh. Trong thời gian ngắn và với sự hiểu biết còn hạn chế của cá nhân nên đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi không tránh khỏi thiếu sót, rất mong bạn đọc và các đồng nghiệp góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn. II. KIẾN NGHỊ Hằng năm giáo viên trong ngành giáo dục làm rất nhiều đề tài sáng kiến, tham gia các cuộc thi hội giảng, chiến sĩ thi đua cấp cơ sở, chiến sĩ thi đua cấp tỉnh. Ngành có kế hoạch chọn các đề tài có chất lượng phát hành về các trường để giáo viên và học sinh tham khảo. Trên đây là đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi trong năm học 2020 – 2021. Do còn hạn chế về kinh nghiệm và thời gian nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và độc giả để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 . Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Cơ bản – Nhà xuất bản giáo dục - 2007  2 .Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục - 2007 3 . Sách chuyên đề luyện thi vào đại học - Giải tích - Đại số Tổ hợp do Trần Văn Hạo chủ biên – Nhà xuất bản giáo dục phát hành năm 2001

 4 . Đề thi THPT QG các năm 2017-2020 5 . http://baigiang.violet.vn 6 . http://tailieu.vn 7 . http://vnmath.vn

7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy tôi, thấy học sinh rất lúng túng khi gặp bài toán tìm giới hạn dãy số. Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy, tôi thấy học sinh có hứng thú trong học tập hơn và đã biết cách làm các bài tập về tìm giới hạn dãy số. Sáng kiến có khả năng áp dụng cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông, học sinh ôn thi TN THPT Quốc gia và học sinh thi học sinh giỏi môn toán 11, 12. 8. Những thông tin cần được bảo mật: không 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đối với giáo viên: Đã dạy xong bài “Giới hạn của dãy số” Đối với học sinh cần nắm được: - Khái niệm về giới hạn dãy số. - Nắm được các định lý và các quy tắc tìm giới hạn dãy số. 10. Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Sau khi áp dụng “Sáng kiến kinh nghiệm” trên vào giảng dạy, tôi đã tiến hành kiểm tra với 10 học sinh ở lớp 11A1.1 trường THPT ……………… và thu được kết quả như sau: Điểm lần 1 là điểm kiểm tra của học sinh sau khi đã học xong chương II và chưa được cung cấp phương pháp tìm giới hạn của dãy số. Điểm lần 2 là điểm kiểm tra của học sinh đã được cung cấp thêm phương pháp tìm giới hạn của dãy số. Stt

Họ đệm

Tên

Điểm lần 1

Điểm lần 2

NGUYỄN LAN

ANH

NGUYỄN TUẤN

ANH

ĐẶNG VĂN

BẮC

NGUYỄN VĂN

DUY

ĐÀO THỊ THU

HÀ

PHAN THỊ THU

HÀ

8 27

ĐÀO THỊ

HẰNG

PHAN THỊ

HOÀI

NGÔ THỊ BÍCH

HỒNG

NGUYỄN CẨM

6,0

6,6

Trung bình

Kết quả trên cho ta thấy học sinh đã biết cách giải các bài toán tìm giới hạn dãy số và điểm trung bình lần 1 là 6,0 điểm, còn điểm trung bình lần 2 đã tăng lên được là 6,6 điểm. Đa số học sinh khi được cung cấp phương pháp tìm giới hạn dãy số và điểm kiểm tra đều tăng so với lần 1. 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu Số TT

Tên tổ chức/cá nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực

Đại số và giải tích lớp 11

Học sinh lớp 11 và học sinh dự thi TN THPT QG

Đại số và giải tích lớp 11

áp dụng sáng kiến

lớp 12 ......., ngày.....tháng......năm 2021 Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu)

........, ngày.....tháng......năm 2021 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu)

………….., 25/2/2021 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên)

…………