XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ, LIÊN MÔN TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

SÁNG KIẾN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ, LIÊN MÔN TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KIM SƠN B ------o0o-----

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ, LIÊN MÔN TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10

Nhóm giáo viên: Phan Trác Lợi Nguyễn Văn Thành Ngô Thị Yến Tổ Toán: Trường THPT Kim Sơn B

Năm học 2016 - 2017 1

LỜI CAM ĐOAN Chúng tôi xin cam đoan: Sáng kiến này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân chúng tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, kiến thức kinh nghiệm và nghiên cứu khảo sát tình hình thực tiễn dạy và học tại trường THPT Kim Sơn B - Ninh Bình. Các số liệu và những kết quả trong sáng kiến là trung thực, xuất phát từ thực tiễn và kinh nghiệm của bản thân tác giả. Một lần nữa, chúng tôi xin khẳng định về sự trung thực của lời cam kết trên. Kim Sơn, ngày 12 tháng 05 năm 2017. Nhóm tác giả: Phan Trác Lợi

Nguyễn Văn Thành

Ngô Thị Yến

LỜI CẢM ƠN Chúng tôi xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Sở GD&ĐT Ninh Bình cùng Ban giám hiệu trường THPT Kim Sơn B đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình công tác và nghiên cứu. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trường THPT Kim Sơn B đã giúp đỡ chúng tôi hoàn thành sáng kiến của mình. Dù đã có nhiều cố gắng, song do hạn hẹp về thời gian, điều kiện nghiên cứu và trình độ của bản thân, sáng kiến không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để sáng kiến này sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh và các thầy cô giáo đang giảng dạy trong các trường trung học phổ thông. Kim Sơn, ngày 12 tháng 05 năm 2017. Nhóm tác giả Phan Trác Lợi

Nguyễn Văn Thành

Ngô Thị Yến

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi : Hội đồng sáng kiến: Sở GDĐT Ninh Bình. Chúng tôi ghi tên dưới đây: 1

Họ và tên: Phan Trác Lợi Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Trình độ chuyên môn: Đại học Đơn vị công tác: Trường THPT Kim Sơn B – Ninh Bình Hộp thư điện tử: Phanloiksb@gmail.com

ĐT: 0982.310.731

Phần trăm đóng góp : 30% 2

Họ và tên: Nguyễn Văn Thành Chức vụ: Tổ phó chuyên môn Trình độ chuyên môn: Đại học Đơn vị công tác: Trường THPT Kim Sơn B – Ninh Bình Hộp thư điện tử: Nguyenvanthanhksb@gmail.com ĐT: 0916.394.195 Phần trăm đóng góp : 30%

Họ và tên: Ngô Thị Yến Chức vụ: Giáo viên Trình độ chuyên môn: Đại học Đơn vị công tác: Trường THPT Kim Sơn B – Ninh Bình Hộp thư điện tử: Ngoyenksb@gmail.com ĐT: 01674.711.716 Phần trăm đóng góp : 40%

1. Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng Nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến : “Xây dựng một số bài toán thực tế, liên môn tạo hứng thú học toán cho học sinh lớp 10” Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học 2. Nội dung a. Giải pháp cũ thường làm: +, Đưa ra các ví dụ, bài tập đơn thuần là Toán: VD1: Bài toán về hàm Parabol a)Lập phương trình Parabol biết parabol đi qua A (0;1, 8), B (10;1, 8),C (2, 5; 3, 6) b) Với Parabol vừa tìm được, hãy xác định điểm cao nhất của parabol. VD2: Chứng minh rằng ∀x, y > 0 ta có:

VD3: Chứng minh rằng ∀x > 0 ta có:

1 1 4 + ≥ x y x+y

4 + 2x2 ≥ 6 x 2

VD4: Tìm giá trí lớn nhất của hàm số: f (x) = x (12 − x) , với 0 < x < 12

= 540 ;AB = 10. Tính độ dài cạnh VD5: Cho tam giác ABC vuông tại B có: A BC +, Ưu điểm: Tăng cường tư duy logic, khả năng ghi nhớ công thức. +, Nhược điểm: Học sinh học khô khan, thường chung một câu nhận xét: “Học toán để làm gì khi không còn ngồi trên ghế nhà trường thì chỉ sử dụng bốn phép toán cộng trừ nhân chia” Khi gặp bài toán yêu cầu vận dụng trong thực tế thường không giải quyết được. Chưa tạo được hướng thú, sự yêu thích môn học. Học sinh chưa thấy được vai trò của Toán học trong việc hình thành và phát triển tư duy. Chưa thấy ý nghĩa của Toán học với các môn học khác. 5

+, Cần khắc phục: Tăng cường bài tập có nội dung thực tế, liên môn vào bài tập. b. Giải pháp mới cải tiến: +, Từ những bài toán cơ bản, đơn thuần là toán, xây dựng thành bài toán thực tế, liên môn. +, Xây dựng cách giải bài tập cho mỗi ví dụ tương ứng đưa ra. +, Tạo hứng thú cho học sinh trong việc học toán, năng cao sự yêu thích môn học, từ đó dần nâng cao kết quả học tập. VD1: Bài toán về hàm Parabol a)Lập phương trình Parabol biết parabol đi qua A (0;1, 8), B (10;1, 8),C (2, 5; 3, 6) b) Với Parabol vừa tìm được, hãy xác định điểm cao nhất của parabol. Bài toán thực tế tương ứng: Mỗi buổi chiều thứ năm hàng tuần, Nam và Thượng tham gia Câu lạc bộ Bóng rổ trường THPT Kim Sơn B để thư giãn và rèn luyện thân thể. Trong trận đấu kỷ niệm ngày thành lập Đoàn, Nam thực hiện một đường chuyền bóng dài cho Thượng, biết rằng quả bóng di chuyển theo một đường parabol như hình vẽ bên dưới. Giả sử rằng trục Ox trùng với mặt đất, quả bóng rời tay Nam ở vị trí A và Thượng bắt được quả bóng ở vị trí B, khi quả bóng di chuyển từ Nam đến Thượng thì đi qua điểm C . Biết rằng

OA = BH = 1, 8 (m),OK = 2, 5 (m),OH = 10 (m) . Xác định khoảng cách lớn nhất của quả bóng so với mặt đất khi Nam chuyền cho Thượng. y

Quỹ đạo parabol

C 3, 6m

OH = 10 m

Mặt đất

1,8m O

VD2: Chứng minh rằng ∀x, y > 0 ta có:

1 1 4 + ≥ x y x+y

Bài toán thực tế tương ứng: Trên cùng quãng đường có hai người di chuyển như sau: Người thứ nhất đi nửa đoạn đường đầu với vận tốc x km/h, nửa đoạn đường sau với vận tốc y km/h. Người thứ hai đi trên cả đoạn đường đều với vận tốc km/h.

Ai đi nhanh hơn? Vì sao? VD3: Chứng minh rằng ∀x > 0 ta có:

4 + 2x2 ≥ 6 x

Bài toán thực tế tương ứng: Tập đoàn Vinamilk cần thiết kế các hộp dạng hình hộp chữ nhật đáy là hình vuông cạnh x, chiều cao h có thể tích là 1dm 3 .Hãy thiết kế các kích thước của hộp để lượng vật liệu sử dụng ít nhất?

x+y 2

VD4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f (x) = x (12 − x) , với 0 < x < 12 Bài toán thực tế tương ứng: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

= 540 ;AB = 10. Tính độ dài cạnh VD5: Cho tam giác ABC vuông tại B có: A BC Bài toán thực tế tương ứng: Cần đo chiều cao của cây trong sân trường: Biết góc θ = 540 và khoảng cách từ gốc cây tới điểm A là 10m.

3. Hiệu quả kinh tế, xã hội dự kiến đạt được - Hiệu quả kinh tế: +, Từ bài toán thực tiễn, qua phương pháp toán tìm được phương án tối ưu, từ đó làm lợi nhiều cho kinh tế. +, Giáo viên có tài liệu tham khảo, mất ít thời gian tìm tài liệu. 8

- Hiệu quả xã hội: +, Với học sinh có hứng thú trong môn học, dần dần ngày càng yêu thích môn học, từ đó học sinh dành nhiều thời gian cho học tập, sẽ hạn chế chơi điện tử, hay vào những trò chơi không lành mạnh. +, Với giáo viên: Dạy Toán dễ dàng hơn, không lúng túng trước những bài toán thực tế. +, Áp dụng trong bài toán về kinh tế. 4. Điều kiện và khả năng áp dụng - Điều kiện áp dụng: Dùng cho giáo viên giảng dạy môn Toán khối 10. - Khả năng áp dụng: Đa số đều áp dụng được Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.

Kim Sơn, ngày 12 tháng 05 năm 2017 XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ CƠ SỞ

Người nộp đơn Phan Trác Lợi

Nguyễn Văn Thành

Ngô Thị Yến

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn sáng kiến Dạy học toán ở trường phổ thông theo định hướng gắn toán học với thực tiễn, thực hiện nguyên tắc liên môn trong dạy học và tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh là xu hướng đổi mới dạy học hiện nay. Mục đích của dạy học toán nói chung, với lưu ý rằng biết mô hình hoá toán học các tình huống thực tiễn được xem là yếu tố cơ bản của năng lực hiểu biết toán – năng lực đã và đang được chương trình đánh giá quốc tế PISA khảo sát ở nhiều nước trên thế giới nhằm mục đích cải thiện chất lượng đào tạo. Hiện nay, định hướng đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là chuyển từ chương trình định hướng nội dung dạy học sang chương trình định hướng năng lực, định hướng chuẩn đầu ra về phẩm chất và năng lực của chương trình giáo dục cấp THPT. Cụ thể, các quan điểm dạy học từ trước đến nay là tập trung vào “định hướng nội dung”, hay “định hướng đầu vào”, nội dung của các môn học dựa vào khoa học chuyên ngành tương ứng, chú trọng vào trang bị cho người học hệ thống tri thức khoa học khách quan về nhiều lĩnh vực khác nhau. Quan điểm đổi mới dạy học trong tương lai (cụ thể là quan điểm của chương trình, nội dung, sách giáo khoa mới từ năm 2018) là “định hướng năng lực”, hay “định hướng kết quả đầu ra”. Với quan điểm này, chương trình dạy học không quy định chi tiết nội dung dạy học mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của giáo dục. Từ đó tạo điều kiện quản lý chất lượng theo kết quả đầu ra đã quy định, nhấn mạnh năng lực vận dụng của học sinh. Tóm lại, quan điểm giáo dục mới không chú trọng vào những nội dung học sinh “được học”, mà tập trung vào những gì học sinh “học được”. Quan điểm này không nhấn mạnh vào những nội dung khoa học bộ môn, mà chú trọng vào việc học sinh có năng lực làm được gì trong thực tiễn từ những nội dung học được. Nội dung chương trình toán lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí chuyển tiếp và hoàn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy học.

Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất, liên quan tới môn học khác còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông. Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “ Xây dựng một số bài toán thực tế, liên môn tạo hứng thú học toán cho học sinh lớp 10” để làm đề tài nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường phổ thông. Đồng thời, góp phần bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh và đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường THPT. 2. Mục đích của sáng kiến Làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn toán 10 -THPT. Đưa một số nội dung toán học thể hiện về mối liên hệ giữa toán học với các môn học khác và thực tiễn được đưa vào giảng dạy môn Toán lớp 10 phần Đại số ở THPT. Qua đó thấy được ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”. Biết vận dụng toán vào giải các bài tập thực tế và các bài tập môn học khác. 11

Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT. Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong khi giảng dạy môn Toán lớp 10 ở trường phổ thông . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về tính thực tiễn, tính ứng dụng và tính liên môn của toán học. Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán 10 và vấn đề tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn hoặc các bài tập môn học khác vào giảng dạy. Đề xuất biện pháp thiết kế, tổ chức dạy học, tiến hành trong giờ học đối với môn toán ở trường THPT,tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 4. Phương pháp nghiên cứu a) Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu về các tài liệu đề cập đến Tìm hiểu về các tài liệu đề cập đến bài toán thực tế tương ứng với chương trình lớp 10; đặc biệt là các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây. b) Nghiên cứu thực tiễn: Tìm hiểu về cách giảng dạy phần đại số 10 mà giáo viên thường làm. Phân tích và làm rõ ưu điểm, nhược điểm của từng cách dạy để từ đó xây dựng tài liệu một cách hợp lý . c) Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu quả và tính phổ dụng của sáng kiến. Đồng thời, cũng nhằm hoàn thiện về mặt nội dung và lý luận trong sáng kiến. 5. Những điểm mới và ý nghĩa thực tiễn của sáng kiến

a) Về mặt lý luận: Phân dạng một cách hợp lý một số bài toán thực tế, liên môn trong một số chương theo SGK đại số 10. Trong mỗi chương đều có VD và lời giải cụ thể từng VD. Đã có những bài toán liên quan tới thi THPT Quốc gia, tạo hứng thú, động lực cho học sinh tiếp cận dần với kì thi cuối cấp. 12

Đề xuất phương án sử dụng tài liệu nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.

b) Về mặt thực tiễn: Các dạng toán mà sáng kiến đã xây dựng bám sát chuẩn kiến thức, kỹ năng và góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán phần Đại số lớp 10. Rèn luyện tính cẩn thận, sự linh hoạt, tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong giải toán nói riêng và trong các hoạt động nói chung. Đặc biệt là góp phần bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh. Sáng kiến đã lấy ví dụ theo một số chương trong Đại số lớp 10 mà tác giả đã tiến hành trong năm học 2016 - 2017, những nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong đề thi thì bài tập có nhiều hơn. Nội dung sáng kiến này là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh. 6. Cấu trúc của sáng kiến Sáng kiến gồm 46 trang, ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung của sáng kiến gồm 2 chương Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Xây dựng một số bài toán thực tế, liên môn tạo hứng thú học toán cho học sinh lớp 10

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lý luận Luật Giáo dục năm 2005 có ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo ghi rõ về mục tiêu của giáo dục phổ thông: “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. ...”. Mục đích của dạy học toán, là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân sinh quan đúng đắn cho các em. Quan điểm này đã dẫn đến khái niệm hiểu biết toán. Theo PISA, “hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, đưa ra những phán xét có cơ sở, sử dụng gắn kết với toán học theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản ánh” Như vậy, liên hệ với mục tiêu của dạy học toán, ta thấy quan điểm này hoàn toàn phù hợp với một thực tế là đại đa số học sinh mà chúng ta đào tạo sau này sẽ là người sử dụng toán chứ không phải là người nghiên cứu toán. Do đó, 14

xu hướng đổi mới hiện nay là không nặng về mức độ nắm các nội dung có mặt trong chương trình giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường. 1.2. Cơ sở thực tiễn 1.2.1. Thực trạng dạy học của Giáo viên Một mặt do cơ sở vật chất còn nhiều khó khăn, mặt khác do hạn hẹp về thời gian đứng lớp ít lại phải hoàn thành chương trình theo đúng quy định cùng với trình độ nhận thức của học sinh còn yếu nên giáo viên chỉ dạy những nội dung trong chương trình thậm chí thiết kế như sách giáo khoa, phần mở rộng ít khi được giáo viên cung cấp thêm. Từ đó mà những nội dung trong toán học có liên quan tới thực tiễn hay liên môn không được quan tâm và giới thiệu cẩn thận. Bên cạnh những nguyên nhân khách quan đó thì còn những nguyên nhân chủ quan như: Bản thân nhiều giáo viên chưa giải tốt được những bài toán thực tế, liên môn, không nắm rõ được bẩn chất vấn đề , nên thông thường chỉ quan tâm tới những bài toán cơ bản mà SGK, hay sách bài tập đưa ra. Nhiều bài toán thực tế có thể đưa vào nội dung học như bài toán về hàm bậc hai, bất đẳng thức…. Tuy nhiên giáo viên lại thường không khai thác, vô hình làm mất đi tính hấp dẫn của Toán với học sinh. Hiện nay đứng trước yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học và đảm bảo sự phát triển toàn diện của học sinh, thì với dạy học toán việc phát triển tư duy, nâng cao năng lực giải quyết bài toán thực tế cho học sinh cần được đặc biệt quan tâm. 1.2.2. Thực trạng học của học sinh Qua thực trạng việc phát triển tư duy, nâng cao năng lực giải quyết bài toán thực tế trong môn toán ở trường phổ thông về phía giáo viên đã cho kết quả đa số học sinh lớp 10 chưa tiếp cận được. Đến lớp 12 khi các em ôn tập thi THPT Quốc gia gặp nhiều bài tập có tính thực tiễn thì giải quyết không tốt, thậm chí còn có học sinh không làm được. Chỉ có một lượng ít học sinh khá, giỏi mới xử lý được dạng toán này. 15

Nhìn chung, có hai con đường hình thành tư duy, nâng cao năng lực giải quyết bài toán thực tế trong môn toán ở trường phổ thông ở học sinh: + Giáo viên chủ động bồi dưỡng, rèn luyện thông qua bài dạy. + Học sinh thông qua quá trình tự học, tự bồi dưỡng . Qua quan sát điều tra thực trạng dạy học ở trường phổ thông thì thấy cả hai khâu này còn chưa được chú trọng đúng mức mà phần nhiều ở dạng tự phát, tùy hứng của thầy và trò. 1.2.3. Phương pháp dạy học gắn liền với thực tiễn: Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo được trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Kết quả của lời giải phải đáp ứng do nhu cầu thực tế đặt ra. Ta đã biết rằng không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán, ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Bài toán thực tiễn trong cuộc sống là rất đa dạng, phong phú xuất phát từ những nhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất của con người. Do vậy càng không thể có một thuật giải chung để giải quyết các bài toán thực tiễn. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp với những đặc thù riêng của bài toán thực tiễn, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán có nội dung thực tiễn gồm 4 bước như sau: Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta phải tuân theo. Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tuỳ theo 16

chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng. Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp. Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3. Trong phần này phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia. Tóm lược qua sơ đồ: Vấn đề thực tiễn

B1. Mô hình trung gian

B2. Mô hình toán học

B3. Giải toán trong mô hình toán

B4. Giải thích kết quả, kết luận

Giảng dạy toán hiện nay tại Việt Nam đang tập trung ở bước 3, bởi vì: - Chương trình, nội dung, sách giáo khoa chủ yếu trình bày bước 3; - Các đề thi cũng tập trung nội dung ở bước 3; - Giáo viên giỏi ở bước 3 và chưa có nhiều kinh nghiệm ở các bước còn lại.

Như vậy, cần có một sự bổ sung, trên cơ sở tiếp thu tri thức, kỹ năng liên quan đến các bước còn lại để có được một cái nhìn, quan điểm đầy đủ hơn trong việc đổi mới dạy học theo hướng tiếp cận năng lực, ứng dụng vào giải quyết vấn đề thực tiễn và tích hợp liên môn. Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm kiếm, tham khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các ứng dụng toán học để phục vụ giảng dạy và cũng đã tập hợp được một số tình huống. Phần tiếp sau sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả.

II. XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ, LIÊN MÔN TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP 2.1.1. MỆNH ĐỀ. a) Mệnh đề. VD1: Câu hỏi lý thuyết mệnh đề: 1. “London là thủ đô của nước Anh” là mệnh đề đúng. 2. “Việt Nam nằm ở Châu Mỹ” là mệnh đề sai. 3. “20 là số chẵn” là mệnh đề đúng. 4. “15 lớn hơn 30” là mệnh đề sai. Các câu sau: 5.“Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?”. 5. “Bao giờ lớp mình đi thăm quan Hà Nội?”. 6. “Hôm nay trời đẹp quá!” đều không phải là mệnh đề. VD2: Mệnh đề phủ định Nếu A = “Hôm nay kiểm tra một tiết môn Toán” thì mệnh đề phủ định của A là: A : “ Hôm nay không kiểm tra một tiết môn Toán” Nếu qua xác minh mệnh đề A đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định A sẽ sai (hoặc đúng). VD3: Mệnh đề kéo theo “Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng” là mệnh đề đúng. “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu” là mệnh đề đúng, vì ở đây hai mệnh đề A = “mặt trời quay quanh trái đất” và B = “Việt Nam nằm ở Châu Âu” đều sai. Mệnh đề kéo theo a b, người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b, không phân biệt trường hợp a có phải là nguyên nhân của b hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng sai của chúng. VD 4: Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn tả như sau: “ Bao giờ bánh đúc có xương, Bấy giờ gì ghẻ mới thương con chồng”. Hoặc “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”. 18

“Gần mực thì đen, gần đèn thì rạng ” “Ráng mỡ gà thì gió, ráng mỡ chó thì mưa” VD5: Suy luận: Trong một tiết học lớp 10b4, học sinh Hoàng Khắc Phúc chưa học bài cũ. Giáo viên bộ môn Toán đã xử phạt : Hoặc đứng góc lớp một tuần , hoặc viết bản kiểm điểm. Giáo viên cho học sinh này lựa chọn và giao hẹn: Nếu nói đúng thì viết bản kiểm điểm, nói sai thì bị đứng góc lớp. Học sinh này đã nói một câu mà giáo viên không xử phạt nữa, hỏi đó là câu gì? ĐA: Em bị đứng góc lớp. Giải thích: Nếu “Em bị đứng góc lớp ” là đúng thì giáo viên phải cho học sinh này viết bản kiểm điểm. Nhưng như vậy thì đúng ở chỗ nào? Nếu “Em bị đứng góc lớp ” là sai thì giáo viên phải cho học sinh này đứng góc lớp. Nhưng như vậy thì sai ở chỗ nào? b) Mệnh đề tương đương VD1: “Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời” là mệnh đề đúng. VD2: “12 giờ trưa hôm nay Hà có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đó Hà đang ở thành phố Hồ Chí Minh”

là mệnh đề sai

VD 3: Khi tranh luận về chiều cao của HS lớp 10A và chiều cao của HS lớp 10B, có 5 ý kiến sau : a) Người cao nhất của lớp 10B4 cao hơn người cao nhất của lớp 10B8 . b) Mỗi người trong lớp 10B4 cao hơn mỗi người trong lớp 10B8 . c) Chiều cao trung bình của lớp 10B4 cao hơn chiều cao trung bình của lớp 10B8 . d) Người thấp nhất của lớp 10B4 cao hơn người cao nhất của lớp 10B8 . e) Người thấp nhất của lớp 10B4 cao hơn người thấp nhất của lớp 10B8 .

Trong 5 ý kiến trên có hai ý kiến tương đương với nhau, đó là hai ý kiến nào? ĐA: B-D 19

2.1.2. TẬP HỢP a) Giới thiệu về các tập hợp số Hướng 1: Giáo viên giới thiệu lịch sử hình thành các tập hợp số ( tích hợp kiến thức môn lịch sử) Công xã nguyên thủy là thời mà con người còn sống theo bầy đàn trong các hang hốc, hằng ngày chỉ biết săn bắt và hái lượm. Khi đó họ đã biết dùng các con số 1, 2, 3,... để miêu tả số lượng của những vật gì đó mà họ nhìn thấy trong tự nhiên bằng cách đếm, ví dụ như: Hôm nay bắt được 5 con gà, hôm nay nhặt được 7 quả dại, hôm nay tìm được 1 cái hang,... Những con số đó là những con số đầu tiên được ra đời. Khi dân số trong các tộc người tăng lên, họ săn được bắt nhiều hơn, hái lượm được nhiều hơn, những con số đếm cũng theo đó mà tăng lên. Đó là những con số lớn hơn như 100 con chim, 200 con gà, 1000 quả táo,... Và rồi dần dần những con số đó làm thành tập hợp số đầu tiên trong lịch sử nhân loại - tập hợp số tự nhiên - gọi như vậy là vì những con số này ra đời dựa trên cách đếm của con người để ước lượng các vật trong tự nhiên. Dần dần về sau này, tập hợp đó được các nhà toán học ký hiệu là N - chữ N là viết tắt của "Natural" trong tiếng anh, nghĩa là "tự nhiên". Tập hợp này gồm những con số bình thường mà ta đã được học từ bé, đó là 0, 1, 2, 3, 4, 5,... và người ta viết nó dưới dạng tập hợp của toán học là N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Dĩ nhiên trong tập hợp này có cả số 0 - người nguyên thủy đã biết dùng nó để chỉ sự "không có" hay "không còn", ví dụ hôm nay không săn được con thú nào, hay hôm nay không còn quả táo nào,.... Dần dần xã hội lại phát triển thêm một bậc, con người nhận ra rằng chỉ những số tự nhiên thôi thì không đủ để phản ánh những gì mà mình thấy nữa. Khi họ bước vào giai đoạn đá mới, làm ra được của ăn của để, bắt đầu giữa họ có sự tranh chấp lẫn nhau, hay đi sâu hơn là thậm chí đã phân hóa cơ bản về giàu nghèo và có sự cạnh tranh giữa các bộ lạc người. Ví dụ bộ lạc A nuôi 20 con dê, bộ lạc B cũng nuôi 20 con dê; khi hai bộ lạc A và B này đánh nhau, bộ lạc A thắng và ép bộ lạc B phải nộp cho mình 10 con dê, thế là bộ lạc A có thêm được 10 con dê, còn bộ 20

lạc B mất đi 10 con dê. Vậy người ta tự hỏi chỉ với các số tự nhiên thì làm sao đánh giá được bộ lạc B đã mất 10 con dê? Thế là thêm một tập hợp mới đối lại với các số tự nhiên ra đời, đó là tập hợp các số âm! Người ta diễn tả bộ lạc B bị mất đi 10 con dê bằng cách nói bộ lạc đó tăng -10 con dê. Cứ như vậy, các số tự nhiên khác 0 (hay còn gọi là các số dương) thì chỉ sự tăng lên hay có được một số lượng cái gì đó, còn ngược lại khi bị mất đi một số lượng cái gì đó người ta dùng các số âm để biểu diễn (đó cũng là nguồn gốc của phép cộng và phép trừ). Về sau, các nhà toán học thống nhất gọp chung tập hợp số tự nhiên và số âm lại thành một tập hợp mới - đó là Z – tập hợp các số nguyên – chữ Z là viết tắt của “Zahlen” trong tiếng Đức, hiểu nôm na là “số”. Tập hợp số nguyên Z được viết dưới dạng toán học là Z = {…,-3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3,…}. Ta nhận thấy tất cả các số trong tập hợp số tự nhiên N đều thuộc tập hợp số nguyên Z, nghĩa là tập hợp Z chứa cả N trong đó, như vậy ta có thể nói N là tập hợp con của Z. Số nguyên ra đời dĩ nhiên là thuận tiện hơn cho việc phản ánh về số lượng của con người, nhưng vẫn chưa đủ, có những cái mà số nguyên vẫn không thể biểu diễn được. Ví dụ hôm đó bộ lạc A có 10 người cùng đi săn, bắt được 10 con thú, chia mỗi người 1 con thì không vấn đề gì; nhưng hôm sau họ bắt được đến 15 con thú, vậy thì phải chia mỗi người hơn một con, nhưng chưa tới hai con, vậy con số nào biểu diễn cái số lượng “hơn 1 mà chưa tới 2” đó? Dĩ nhiên ở thời đại của ta thì ai cũng biết 15 con chia cho 10 người thì mỗi người được một con rưỡi, tức là 1.5 con, nhưng thời đó thì con số 1.5 này quả là một bất ngờ! Nó xa lạ với họ, vì nó không hề nằm trong tập hợp số nguyên Z. Vậy là một loại số mới lại được sinh ra để biểu diễn những con số “không nằm trong số nguyên”, đó là số hữu tỷ. Hiểu theo khái niệm hiện đại thì số hữu tỉ là những số có thể viết được dưới dạng phân số a/b, với a và b là các số nguyên và b khác 0. Nói đơn giản số nào có thể viết thành phân số thì đều là số hữu tỉ. Con số 1.5 mà bộ lạc A chia nhau kia là số thập phân, nhưng số thập phân này có thể viết dưới dạng phân số: 1.5 = 15/10 = 3/2, như vậy nó là số hữu tỷ. Mở rộng ra ta thấy mọi số nguyên cũng đều là số hữu tỷ, vì chúng có thể viết được thành các phân số có mẫu là 1, ví dụ: 3 = 3/1, 5 = 5/1, -8 = -8/1,… Riêng số 0 chia cho mọi số đều thành chính nó, nên ta có thể viết số 0 thành vô số phân số: 0 = 0/1 = 0/2 = 0/100 = 0/-20,… tất nhiên là trừ phân số 0/0 vì . Trở lại vấn đề về số hữu tỷ, các nhà toán học sau này gọi tập hợp các số hữu tỷ là Q – chữ Q trong cụm từ “Quotient” của tiếng Anh nghĩa là số thương (kết quả phép chia). Từ đó ta nhận thấy tập hợp số hữu tỷ Q là vô cùng rộng lớn, nó bao 21

gồm cả tập hợp số nguyên Z (dĩ nhiên trong Z có cả N) và các số thập phân, phân số, hỗn số khác, cả số âm và số dương. Như vậy ta có thể nói tập hợp N là con tập hợp Z, còn tập hợp Z là con tập hợp Q. Những con số mở rộng tới mức này có lẽ đã là hoàn chỉnh và “đủ dùng” đối với người nguyên thủy. Đến khi hình học Hy Lạp cổ đại phát triển, một loại số hoàn toàn mới dần dần xuất hiện đó là số vô tỷ. Định lý vô cùng nổi tiếng là định lý Py-ta-go (Pythagoras) – do nhà toán học vĩ đại của Hy Lạp cổ là Pythagoras phát minh. Hình học cấp trung học cơ sở phát biểu nó như sau: “Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.” Người cổ đại dùng định lý này trong việc tính toán chiều dài, diện tích của các khu đất hay các thửa ruộng mà họ canh tác. Giả sử có một thửa ruộng hình chữ nhận có chiều dài là 40m, chiều rộng là 30m, người ta dễ dàng tính ra đường chéo của thửa ruộng là 50m bằng định lý Pythargoras. Nhưng rồi sau đó, chính Pythagoras đã phát hiện ra rằng giả sử có một hình vuông cạnh 1m, thì đường chéo của nó sẽ là căn bậc hai của 2 và bằng 1,41421356237309504880168872… việc này với ông có thể nói là thảm họa, bởi con số căn bậc hai của 2 này không phải là một số hữu tỷ, nó là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên không thể viết được dưới dạng phân số. Phải có đến hàng mấy trăm năm sau giới toán học mới phát hiện ra điều này, họ gọi số mới đó là số thập phân vô hạn không tuần hoàn – vì không thể viết thành phân số, nên nó được gọi với cái tên “vô tỷ” tức là không có tỷ số, đối lập với “hữu tỷ” nghĩa là có tỷ số. Và về sau nữa, rất lâu sau, khi xã hội loài người đã phát triển mạnh rồi, người ta không chỉ dùng những con số như một phương tiện để đếm, mà còn để đo đạc và thiết kế, vậy nên vai trò của số vô tỷ thậm chí có khi còn lấn át cả số hữu tỷ (những con số đo đạc tính toán trong thực tế thường là số vô tỷ được làm tròn). Vậy nên, một lần nữa, các nhà toán học lại nêu ra một tập hợp số mới thật hoàn chỉnh, đó là tập hợp số thực R, bao gồm cả số hữu tỷ và số vô tỷ. Chữ R là viết tắt của “Real” trong tiếng Anh, nghĩa là “sự thật”. Tập hợp số thực cũng là tập hợp số, nghĩa là tất cả các số thật sự tồn tại đều là số thực (để phân biệt với loại số ảo về sau này được đưa ra trong việc giải phương trình bậc 3). Như vậy, tập hợp R là tập hợp số lớn nhất, chứa cả tập hợp Q các số hữu tỷ (trong Q chứa Z và trong Z chứa N) và tập hợp các số vô tỷ (tập hợp các số vô tỷ không có ký hiệu thống nhất cho lắm, chỉ thường được viết là I). Sau cùng, giáo viên giới thiệu biểu đồ Ven về các tập hợp số.

Hướng 2: Giáo viên giới thiệu lịch các tập hợp số xuất phát từ cuộc sống xung quanh của học sinh ( quá trình học sinh tiếp cận tập hợp số từ bé tới hiện tại) +, Khi còn nhỏ các đã làm quen với số như: Một cái kẹo, hai con chim, ba ngón tay… Đó là tập hợp số tự nhiên khác không. ℕ* = {1;2; 3;....} +, Khi em không có cái kẹo nào, không có quả cam nào … thì e đã làm quen với tập hợp số tự nhiên: ℕ = {0;1;2; 3;....} ⇒ ℕ* ⊂ ℕ +, Khi đi học em cần mua vở nhưng lại hết tiền, mượn của bạn 5 nghìn để mua vở . Từ đó có tập hợp số nguyên: ℤ = {...; −3; −2; −1; 0;1;2; 3;...} ⇒ ℕ ⊂ ℤ Mẹ có một quả cam, nhưng muốn chia cho cả hai anh em, mẹ làm thao tác   a bổ đôi quả cam …Tập hợp số hữu tỉ ℚ = x = a, b ∈ ℤ, a ≠ 0 ⇒ ℤ ⊂ ℚ   b   +, Hỏi học sinh, trong các em có bạn nò có bố hoặc anh là thợ xây, thợ mộc không? Giáo viên giới thiệu cách tính cạnh huyền của một tam giác vuông khi biết hai cạnh, đó là định lý Pitago, nêu vấn đề về số vô tỷ

12 + 12 = 2 = 1, 414213562...; 12 + 22 = 5 = 2,236067977... không biểu diễn được dưới dạng số hữu tỉ, từ đó có tập hợp số mới là ℝ , ⇒ ℚ ⊂ ℝ .Sau cùng, giáo viên giới thiệu biểu đồ Ven về các tập hợp số. b) Ví dụ thực tế: VD: Trong giờ giải lao, giáo viên môn toán và giáo viên môn Tiếng Anh nói chuyện với nhau. Lớp 10b4 có 25 học sinh học khá môn Toán, 22 học sinh học khá môn Anh, có 10 học sinh học khá cả hai môn, và 3 học sinh không học khá cả hai môn. Hỏi: 23

a) Lớp 10b4 có bao nhiêu học sinh học khá môn Toán nhưng không học khá môn Anh? Có bao nhiêu học sinh học khá môn Anh nhưng không học khá môn Toán? b) Lớp 10b4 có bao nhiêu học sinh? ĐA

n ( B ) = 22

n ( A ∩ B ) = 10

n ( A ) = 25

Gọi A là tập hợp các học sinh học khá môn Toán Gọi B là tập hợp các học sinh học khá môn Anh Ta có: n (A) = 25; n (B) = 22; n (A ∩ B) = 10 Số học sinh học khá môn Toán nhưng không học khá môn Anh:

n (A \ B) = n (A) − n (A ∩ B) = 15 Số học sinh học khá môn Anh nhưng không học khá môn Toán:

n (B\ A) = n (B) − n (A ∩ B) = 12 Số học sinh học khá một trong hai môn: A ∪ B = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = 37

(1)

Số học sinh lớp 10b4: 37 + 3 = 40 NX: Từ bài toán trên công thức (1) đúng với mọi tập hợp A,B bất kỳ.

VD tương tự: VD1: Một nhóm du khách đi du lịch nước ngoài trong đó gồm có: 28 người biết tiếng Anh; 13 người biết tiếng Pháp; 10 người biết tiếng Đức; 8 người biết tiếng Anh và tiếng Pháp; 6 người biết tiếng Anh và tiếng Đức; 5 người biết tiếng Pháp và tiếng Đức; 2 người biết tất cả ba thứ tiếng Anh, Pháp, Đức. Và đặc biệt trong đoàn có 41 người không biết một thứ tiếng nào trong ba thứ tiếng ấy, Hỏi đoàn du khách có bao nhiêu người? Đáp án: 75 du khách VD2: Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã thống kê được: +) Số ngày mưa: 10 ngày; +) Số ngày có gió: 8 ngày; +) Số ngày lạnh: 6 ngày; +) Số ngày mưa và gió: 5 ngày; +) Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày; +) Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày; +) Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày. Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)?

Đáp án: 13 ngày xấu

2.2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 2.2.1. Hàm số cho bởi nhiều công thức. Giá cước của hãng Taxi Dầu Khí được niêm yết như sau:

a) Hãy biểu diễn hàm số thể hiện số tiền phải trả tính theo x là số km. b) Tính số tiền mà khách hàng phải trả khi đi 500m, 7km, 40km. c) Nếu khách phải trả 930.000đ, thì anh ta đã đi bao nhiêu km?

Lời giải.  khi 0 < x ≤ 0, 7 11.000,  a) f (x) = 15.500x, khi 0, 7 < x ≤ 30  30 × 15.000 + 12.000 (x − 30), 

, x – km khi x > 31

b) Khách đi 500m ⇒ x < 0, 7km nên khách phải trả 11.000 Khách đi 7 km ⇒ x ∈ (0, 7; 30 nên khách phải trả 15.500 × 7 = 108.500 đồng Khách đi 40km ⇒ x > 30km nên khách phải trả:

15.500 × 30 + 12.000 × (40 − 30) = 585.000 đồng c)Khách phải trả 930.000 > 15.500 × 30 nên gọi x là số km khách đi đường thì x thỏa mãn: 30 × 15.000 + 12.000 (x − 30) = 930.000 ⇔ x = 70km

2.2.2. Hàm số bậc nhất. VD: Một sinh viên đi học ngoài Hà Nội, bạn sinh viên này ở xã Cồn Thoi, Kim Sơn , Ninh Bình, bạn đi ô tô, biết ôtô chở khách đi từ bến xe Kim Sơn- Ninh Bình đến bến xe Mỹ Đình - Hà Nội, xe có vận tốc trung bình là 50km/h. Biết rằng từ nhà bạn sinh viên này tới bến xe là 15km, từ bến xe Kim Sơn- Ninh Bình đến bến xe Mỹ Đình - Hà Nội là 123km. a) Hỏi sau x giờ bạn sinh viên này cách nhà bao nhiêu kilômét? b) Sau 2h bạn sinh viên đã cách nhà bao nhiêu kilômét? c) Sau bao nhiêu thời gian thì bạn sinh viên này nên tới Hà Nội? ĐÁP ÁN: a) f (x) = 50x + 15 , x đơn vị h. b) f (2) = 50 × 2 + 15 = 115km c) 50x + 15 = 123 ⇔ x = 2,16h ≈ 2h10p thì bạn sinh viên này tới Hà Nội. 2.2.3. Hàm số bậc hai. VD1: Một học sinh lớp 10b4 chế tạo ra chiếc máy hút muỗi giá 40 nghìn một cái. Ước tính bán một máy hút muỗi giá x thì khách hàng mua (120 − x) cái. a)Biểu diễn lợi nhuận hàng tháng của học sinh này bằng một hàm theo giá bán b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm vừa nhận được; xác định giá bán tối ưu. ĐA: f (x) là hàm lợi nhuận. Lợi nhuận = (số lượng bán được ).(lợi nhuận trên cái)

f (x) = (120 − x)(x − 40) = −x 2 + 160x − 480 Đồ thị hàm số là một parabol có: Đỉnh : I (80;6880) ;Trục đối xứng : x = 80 Giao Ox: y = 0 ⇒ x ≈ 156,95; x ≈ 3, 06 Bảng biến thiên: +∞ x −∞ 80 6880

f (x)

ր −∞

ց −∞

Đồ thị: Vậy giá bán tối ưu là 80K 27

Giao Oy : x = 0 ⇒ y = −480

VD2: Đường chuyền bóng rổ. Mỗi buổi chiều thứ năm hàng tuần, Nam và Thượng tham gia Câu lạc bộ Bóng rổ trường THPT Kim Sơn B để thư giãn và rèn luyện thân thể. Trong trận đấu kỷ niệm ngày thành lập Đoàn, Nam thực hiện một đường chuyền bóng dài cho Thượng, biết rằng quả bóng di chuyển theo một đường parabol như hình vẽ bên dưới. Giả sử rằng trục Ox trùng với mặt đất, quả bóng rời tay Nam ở vị trí A và Thượng bắt được quả bóng ở vị trí B, khi quả bóng di chuyển từ Nam đến Thượng thì đi qua điểm C . Biết rằng OA = BH = 1, 8 (m),OK = 2, 5 (m),OH = 10 (m) . Xác định khoảng cách lớn nhất của quả bóng so với mặt đất khi Nam chuyền cho Thượng. y

Quỹ đạo parabol

C 3,6m

OH = 10m

Mặt đất

1,8m O

Lời giải: Phương trình parabol có dạng: y = ax 2 + bx + c . Vì :

A (0;1, 8), B (10;1, 8),C (2, 5; 3, 6) ∈ (P) nên ta có hệ phương trình:  a = − 12  c = 1, 8 125   2 24 10a + 10b + c = 1, 8 ⇔ b =  2  25 2, 5 a + 2, 5b + c = 3, 6  9  c = 5 

Khoảng cách lớn nhất của quả bóng so với mặt đất bằng tung độ của đỉnh của parabol là: y max = −

∆ 21 = = 4,2 (m) 4a 5

Thông qua VD này GV có thể giới thiệu thêm cho học sinh về bộ môn bóng rổ đối với sự phát triển thể chất, đặc biệt là chiều cao của học sinh. 28

VD3: Bài toán về cổng Ác – xơ (Asch). Khi di lịch đến thành phố XanhLu – i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ác – xơ. Giả sử ta lập một hệ toạ độ 0xy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10; 43). a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên. b) Tính chiều cao của cổng ( tính từ đỉnh cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). y

A x

Giải a/ Ta cần tìm hàm số có dạng f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(0)=c; f(10)= 100a + 10b = 43; f(126) = 1622 a + 162b = 0 hay 162a + b = 0. Từ đó suy ra Parabol cần tìm là: y = −

43 2 3483 x + x 1520 760

b/ Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol do đó: f (81) ≈ 185, 6m 29

GV có thể hướng dẫn tìm chiều cao cổng trường đại học Bách Khoa tương tự:

VD4: Lợi nhuận bán hàng. Một của hàng bán bưởi Diễn với giá bán môi quả là 50.000 đồng. Với giá bán này thì của hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu của hàng cứ giảm môi quả 5.000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm 50 quả. Ác định giá bán để của hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết giá bán nhập về ban đầu là 30.000 đồng Lời giải: Gọi x là giá bán thự tế môi quả bưởi, 30.000 ≤ x ≤ 50.000 đồng Giá 50.000 đồng thì bán được 40 quả. Giảm giá 5.000 đồng thì bán được thêm 50 quả. Giảm giá 50.000 − x thì bán thêm được: (50.000 − x)

50 1 = (50.000 − x) 5.000 100

Do đó số quả bán được tương ứng với giá bán x là:

40 +

1 1 50.000 − x) = − x + 540 ( 100 100

Gọi f (x) là hàm lợi nhuận thu được, ta có:

 1  1 2 f (x) = − x + 540(x − 30.000) = − x + 840x − 16.200.000  100  100 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = −

1 2 x + 840x − 16.200.000 với 30.000 ≤ x ≤ 50.000 100

Lập bảng biến thiên, ta có max f (x) =

max

30.000;50.000  

f (x) = f (42.000) = 1.440.000

Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán mỗi quả bưởi là 42.000 đồng. VD 5: Một tấm tôn rộng 32 cm được dùng để tạo thành máng xối bằng cách gập hai bên một góc 90° như hình vẽ. Diện tích mặt cắt ngang của máng xác định lưu lượng nước chảy. Tìm x để lưu lượng nước chảy qua máng là nhiều nhất.

Mặt cắt ngang

Lời giải Ta có diện tích mặt cắt ngang là S = f (x) = x (32 − 2x) = −2x 2 + 32x

 b vì a = −2 < 0 ⇒ maxf (x) = f −  = f (8) = 128  2a  Vậy x = 8 thì lưu lượng nước chảy qua máng là nhiều nhất. 31

2.3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.3.1. Phương trình bậc nhất, bậc hai VD1: Bài toán thực tế đi thăm quan du lịch: Trong chuyến đi tham quan, một lớp học muốn thuê một hướng dẫn viên cho chuyến tham quan, có hai công ty đã được liên hệ để lấy thông tin về giá. Công ty A có phí dịch vụ ban đầu là 375000 đồng cộng với 5000 đồng cho mỗi km hướng dẫn. Công ty B có phí dịch vụ ban đầu là 250000 đồng cộng với 7500 đồng cho mỗi km hướng dẫn. 1) Lớp học nên chọn công ty nào để thuê hướng dẫn viên nếu biết rằng chuyến đi sẽ đến một địa điểm nào đó mà có tổng khoảng cách đi lại là 40 km? 2) Khi đi với khoảng cách bao nhiêu thì chọn công ty A có lợi hơn? Để giải được bài toán này, đòi hỏi học sinh cần phải suy nghĩ tìm cách so sánh số tiền phải trả cho 2 công ty để lựa chọn công ty nào sẽ có lợi hơn về mặt kinh tế. Lời giải: Gọi x là số km lớp đó đi trong ngày ( x > 0) , khi đó: Số tiền phải trả cho công ty A là: 375.000 + 5.000x Số tiền phải trả cho công ty B là : 250.000 + 7.500x 1) Khi đó x = 40 km thì số tiền phải trả cho công ty A là 575000 đồng, số tiền phải trả cho công ty B là 550000 đồng. Vậy chọn công ty B sẽ có lợi hơn. 2) Việc chọn công ty A sẽ có lợi hơn nếu số tiền phải trả cho công ty A ít hơn số tiền

phải

trả

cho

công

tức

là:

375.000 + 5.000x < 250.000 + 7.500x ⇔ x > 50 km

Vậy thuê công ty A sẽ có lợi hơn nếu đi với khoảng cách trên 50 km. Bài toán có nội dung rất thực tế, giúp giáo dục học sinh ý thức tối ƣu trong suy nghĩ cũng như trong việc làm. Đây là những phẩm chất rất quan trọng đối với người lao động trong xã hội ngày nay

VD2: Bài toán thực tế: Mua máy bơn nước Gia đình bác Tính có ý định mua một cái máy bơm nước để phục vụ cho sinh hoạt và cho việc tưới cây. Khi đến cửa hàng thì được ông chủ giới thiệu về hai loại máy bơm có lưu lượng nước trong một giờ và chất lượng máy là như nhau. Máy thứ nhất giá 1.500.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1,2kW. Máy thứ hai giá 2.000.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1kW Xác định xem bác Tính nên chọn mua máy loại nào để đạt hiệu quả kinh tế cao nhất.

Vấn đề đặt ra: Chọn máy bơm trong hai loại để mua sao cho hiệu quả kinh tế là cao nhất. Như vậy ngoài giá cả ta phải quan tâm đến hao phí khi sử dụng máy nghĩa là chi phí cần chi trả khi sử dụng máy trong một khoảng thời gian nào đó. Phương án giải quyết: Giả sử giá tiền điện là: 1000đ/1KW. Vậy trong x giờ số tiền phải trả khi sử dụng máy thứ nhất là:

f (x) = 1500 + 1, 2x (nghìn đồng) Số tiền phải chi trả cho máy thứ 2 trong x giờ là:

g (x) = 2000 + x (nghìn đồng) 33

Ta thấy rằng chi phỉ trả cho hai máy sử dụng là như nhau sau khoảng thời gian là nghiệm phương trình

f (x) = g (x) ⇔ 1500 + 1,2x = 2000 + x ⇔ x = 2500 (giờ) Ta có đồ thị của hai hàm f( x) và g(x) như sau:

Quan sát đồ thị ta thấy rằng: ngay sau khi sử dụng 2500 giờ tức là nếu mỗi ngày dùng khoảng 2 tiếng tức là không quá 3 năm rưỡi thì máy thứ 2 chi phí sẽ thấp hơn rất nhiều nên chọn mua máy thứ hai thì hiệu quả kinh tế sẽ cao hơn. Trường hợp 1: nếu thời gian sử dụng máy ít hơn 3 năm rưỡi thì mua máy thứ nhất sẽ tiết kiệm hơn. Trường hợp 2: nếu thời gian sử dụng nhiều hơn hoặc bằng 3 năm rưỡi thì nên mua máy thứ 2. Nhưng trong thực tế một máy bơm có thể sử dụng được thời gian khá dài. Do vậy trong trường hợp này gia đình bác Tính nên mua máy thứ hai.

VD3: Vay tiền ngân hàng. Bác Tính vay 2.000.000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi xong Bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm Bác phải trả tất cả là 2420000 đồng. Hỏi lãi xuất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm ? Hướng dẫn: Gọi x(%) là lãi xuất ngân hàng cho vay trong một năm. (ĐK:x>0) Khi đó, tiền lãi sau một năm là: 2 000 000

x = 20 000x 100

Sau một năm đầu cả vốn lẫn lãi là: 2000000 + 20000x (đồng) Tiền lãi năm thứ hai sẽ là : 20000x + 200x2 (đồng) Sau hai năm Bác Tính phải trả cả vốn lẫn lãi cho ngân hàng là: 2000000 + 20000x + 20000x + 200x2 = 200x2 + 40000x + 2000000 Theo đề bài ta có phương trình:

200x2 + 40000x + 2000000 = 2420000  x = 10 ⇔ 200x 2 + 40000x − 420000 = 0 ⇔   x = −210 (l)

Vậy lãi xuất ngân hàng cho vay là 10%/ năm. VD4: Bài toán liên quan tới hình học Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác ? a/ Phân tích, tìm lời giải. Gọi một cạnh góc vuông có độ dài là x, x > 0 . Cạnh góc vuông thứ 2 là: x + 2 x = 6 Vì cạnh huyền là 10m nên ta có: x + ( x + 2) = 10 ⇔   x = −8(loai) 2

Với x = 6 ta có hai cạnh của tam giác là 6m và 8m. 35

Chú ý: 1. Giáo viên có thể thay đổi điều kiện và giữ nguyên ẩn số để có bài toán tương tự. Chẳng hạn, cho tổng hai cạnh góc vuông (bằng 14m) và cạnh huyền (bằng 10m). Tìm hai cạnh góc vuông? hoặc cho tổng hai cạnh góc vuông (bằng 14m) và diện tích tam giác (bằng 48m2). Tìm hai cạnh góc vuông ? 2. Giáo viên cũng có thể thay đổi cả ẩn và điều kiện. Chẳng hạn cho tổng hai cạnh góc vuông (bằng 14m) và cạnh huyền (bằng 10m) .Tìm diện tích tam giác ? Chú ý rằng trong các trường hợp thay đổi như vậy , việc chọn ẩn vẫn như bài toán ban đầu. VD5: Bài toán cổ: Một đàn khỉ chia thành hai nhóm Nhóm chơi bời vui vẻ ngoài trời Bằng bình phương một phần tám của đàn Mười hai con nhảy nhót trên cây. Không khí tươi vui sưởi ấm nơi này Hỏi tất cả có bao nhiêu con khỉ ? Hướng dẫn giải: Gọi số con khỉ của đàn là x, ( x > 0 ,x chia hết cho 8) 2

x Nhóm chơi đùa ngoài trời có    8  2

x Ta có phương trình x =   + 12 ⇔ x2 − 64x + 786 = 0 ⇔  8  Vậy số con khỉ của đàn là 48 con hoặc là 16 con.

  x = 48 .  x = 16 

2.3.2. Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn VD1: Bài toán cổ Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui Chia ba mỗi quả quýt rồi. Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh Trăm người trăm miếng ngọt lành Quýt, cam mỗi loại tính rành là sao? Hướng dẫn: Gọi x( quả) là số quả quýt và y là số quả cam. điều kiện: x, y < 17; x, y ∈ ℕ * Theo đề bài ta có: x + y = 17 Chia ba mỗi quả quýt và chia mười mỗi quả cam được một trăm miếng, nghĩa là:

3x + 10y = 100 x + y = 17 x = 10  Ta có hệ phương trình:  ⇔  3x + 10y = 100 y = 7

Hai số x và y tìm được thoả mãn điều kiện của bài toán. Vậy có 10 quả quýt và 7 quả cam. VD2: Bài toán cổ: Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó? Hướng dẫn Gọi số con gà và số con chó là x , y ( x > 0, y > 0) , ta có: x + y = 36 . Ta đều biết số chân của gà là 2 và số chân của chó là 4, kết hợp với giả thiết đề bài ta có: 2x + 4y = 100 .

x + y = 36 x = 22 Từ đó ta có hệ phương trình:  ⇔  2x + 4y = 100 y = 14

Vậy số gà là 22 con, số chó là 14 con. VD3: Bài toán cổ“Trăm trâu trăm cỏ” của kho tàng văn hoá dân gian Việt Nam. Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba con một bó. Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già? Lời giải Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là x, y , z,  x + y + z=100 0 < x, y, z < 100, x, y, z ∈ ℤ . Ta có hệ phương trình:  5x+3y+ 1 z=100  3

(1) ⇒ z = 100 − x − y Thay vào (2) ⇒ 7x + 4y = 100 ⇒ x =

100 − 4y 5 + 4y = 15 − 7 7

 0 < 15 − 5 + 4y < 100 Vì 0 < x, y, z < 100, x, y, z ∈ ℤ ⇒  ⇔ 7 y ∈ ℤ  Vậy có 3 khả năng: y = 18 ⇒ x = 4; z = 78 y = 11 ⇒ x = 8; z = 81 y = 4 ⇒ x = 12; z = 84

 y = 18   y = 11  y = 4 

(1) (2)

VD4: Liên môn Hóa học Cho 7,8 g hỗn hợp hai kim loại là Mg và Al tác dụng với dung dịch H2SO4 loãng dư. Khi phản ứng kết thúc, người ta thu được 8,96 lít khí ở điều kiện tiêu chuẩn. 1, Tính khối lượng mỗi kim loại trong hỗn hợp ban đầu. 2, Tính khối lượng mỗi muối tạo thành. LG Mg + H2SO4 = MgSO4 + H2 ↑ Phương trình phản ứng: x x x 2Al + 3H2SO4 = Al2 (SO4 ) + 3H2 ↑ 3

0, 5y

1, 5y

Gọi x, y lần lượt là số mol Mg, Al trong hỗn hợp. Ta có hệ phương trình:   24x + 27y = 7, 8 x = 0,1  ⇔  8, 96 x + 1, 5y = y = 0,2 = 0, 4   22, 4 1, Khối lượng các kim loại: m Mg = 24.0,1 = 2, 4 (g)

; m Al = 27.0,2 = 5, 4 (g)

2, Khối lượng mỗi muối: m MgSO = 120.0,1 = 12 (g) 4

; m Al (SO ) = 342.0, 5.0,2 = 34,2 (g) 2

4 3

VD5: Liên môn Hóa học Trong một nguyên tử X, tổng số hạt : proton, nơtron và electron là 34, trong đó tổng số hạt mang điện nhiều hơn số hạt không mang điện là 10. Tìm số lượng mỗi hạt cơ bản trong nguyên tử X. Xác định nguyên tử X. LG Gọi số hạt proton, nơtron và electron lần lượt là p, n, e . ( Điều kiện p > 0, n > 0, e > 0 ) p + n + e = 34   (p + e) − n = 10 ⇔ p = e = 11 Ta có hệ phương trình:  n = 12  p = e  Vậy số hạt proton: 11, nơtron: 12 và electron: 11. Vậy X là Na . Từ VD trên cho học sinh thấy được tầm quan trọng của Toán học trong môn học khác.

2.4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.4.1. Bất đẳng thức. VD1: Chọn độ bóng Có đội bóng rổ như hình bên. Cần chọn 4 người có chiều cao tốt nhất để lập đội hình chính. Những ai sẽ được chọn ?

Kiên

 Dũng

 Tâm

 Bảo  Lâm

 Cầu

GV cho học sinh so sánh và đưa ra đáp án về chiều cao từng bạn trong đội. Kiên: 1,75m ; Bảo: 1,775m; Dũng: 1,73m; Cầu: 1,755m; Tâm: 1,705m; Lâm: 1,7375m Với Chiều cao như trên thì chọn đội gồm 4 bạn là: Bảo; Cầu; Kiên; Lâm VD2: Một đơn vị công an hàng ngày dùng thuyền máy đi xuôi khúc sông từ A đến B rồi quay trở lại A. Hôm ấy, dòng nước chảy nhanh hơn hôm trước. Chiến sĩ Tâm vui vẻ nói: Hôm nay nước chảy nhanh, thuyền xuôi nhanh hơn nên ta sẽ về sớm hơn. Chiến sĩ Hòa không tán thành: Thuyền nhanh được bao nhiêu thì lại về chậm bấy nhiêu, như vậy thuyền vẫn đi với thời gian như hôm trước. Biết vận tốc riêng của thuyền máy không đổi trong cả hai ngày. Ý kiến của 40

bạn thế nào? Vận tốc nước như thế nào thì thuyền đi nhanh nhất? Hướng dẫn: Gọi vận tốc thuyền máy lúc im lặng là v, vận tốc dòng nước hôm chảy chậm là a, hôm chảy nhanh là b với a < b < v . Gọi S là khoảng cách giữa A và B. Thời gian đi về tương ứng của hai hôm là:

t1 =

S S 2Sv S S 2Sv + = 2 ; t2 = + = 2 2 v +a v−a v +b v−b v −a v − b2

Vì a < b < v ⇒ t1 < t2 ta có a < b < v ⇒ t1 < t2 . Vậy hôm nào nước chảy nhanh hôm đó về muộn hơn. VD3: Trên cùng quãng đường có hai người di chuyển như sau: Người thứ nhất đi nửa đoạn đường đầu với vận tốc x km/h, nửa đoạn đường sau với vận tốc y km/h. Người thứ hai đi trên cả đoạn đường đều với vận tốc km/h.

Ai đi nhanh hơn? Vì sao? Lời giải: Gọi S là quang đường hai người cùng di chuyển Thời gian người thứ nhất đi là: t1 = Thời gian người thứ hai đi là: t2 =

S S S1 1 + =  +  2x 2y 2  x y  S 1 = 2S. x+y x+y 2 41

x+y 2

Ta có:

















(x + y) x1 + y1  ≥ 4 ⇒ x1 + y1 ≥ x +4 y ⇒ S2  x1 + y1  ≥ S2 . x +4 y ⇔ t

≥ t2

Vậy người thứ 2 đi nhanh hơn người thứ nhất. VD4: Bài toán thực tế (Thiết kế hộp đựng sữa bột trẻ em ) Tập đoàn Vinamilk cần thiết kế hộp dạng hình trụ có nắp đậy để đựng sữa bột, có thể tích cho trước là 1dm 3 Hãy thiết kế các kích thước

của hộp để lượng vật liệu sử dụng ít nhất?

Gọi hình trụ có: bán kính x, chiều cao h. Ta có : V = πx2h = 1 ⇒ h =

1 πx2

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất 1 + 2πx 2 2 πx 1 1 11 = + + 2πx2 ≥ 3 3 2πx2 = 3 3 2π ≈ 5, 54 x x xx ⇒ min Stp ≈ 5, 54 Stp = Sxq + S2day = 2πxh + 2πx 2 = 2πx.

Đẳng thức xảy ra khi

1 1 = 2πx2 ⇔ x 3 = ⇒ x ≈ 0, 54dm ⇒ h ≈ 1, 08dm ⇒ h ≈ 2x x 2π Nếu làm bao bì dạng hình trụ thì nguời thiết kế phải làm hộp sao cho đường cao bằng đường kính đáy.

VD5: Bài toán thực tế (Thiết kế hộp đựng sữa tươi ) Tập đoàn Vinamilk cần thiết kế các hộp dạng hình hộp chữ nhật đáy là hình vuông cạnh x, chiều cao h có thể tích là 1dm 3 .Hãy thiết kế các kích thước của hộp để lượng vật liệu sử dụng ít nhất?

Ta có thể tích V = x 2h = 1 ⇒ h =

1 x2

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất Stp = Sxq + S2day = 4xh + 2x 2 = 4x. min Stp = 6 ⇔

1 2 2 22 2 + 2x 2 = + + 2x 2 ≥ 3 3 2x = 6 2 x x xx x

2 = 2x 2 ⇔ x = 1 ⇒ h = 1 x

Vậy nên làm theo hình lập phương có cạnh là 1dm. Nhận xét: Cùng một thể tích nhưng nếu thiết kế theo dạng hình trụ thì ít tốn vật liệu nhất. VD6: (Đề minh họa THPT môn toán 2016 - 2017 lần 1) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 43

Lời giải: Ta có cạnh đáy là : 12 − 2x 2

Thể tích: V = x (12 − 2x) =

1 .4x.(12 − 2x) .(12 − 2x) 4 3

1  4x + 12 − 2x + 12 − 2x   = 128 ≤ .   4  3 ⇒ Vmax = 128 ⇔ 4x = 12 − 2x ⇔ x = 2

VD7: (Đề thi thử THPT Quốc gia 2017 môn Toán trường THPT chuyên KHTN Hà Nội lần 3) Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72dm 3 và chiều cao là 3dm3 . Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a,b (đơn vị dm) như hình vẽ. Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể. Lời giải Ta có thể tích bể cá là: V = 3ab = 72 ⇒ b =

24 a

Tổng diện tích nguyên liệu để làm bể cá là:

S = 3.3.a + 2.3b + ab = 9a + 6. Ta có: 9a +

24 24 144 + a. = 9a + + 24 a a a

144 144 ≥ 2 9a. = 72 ⇒ S ≥ 96 a a

Dấu “=” xảy ra ⇔ 9a +

144 ⇔ a = 4, b = 6 a 44

2.4.2. Bất phương trình VD1: Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn Người ta lắp đặt một hệ thống tích nước trên mái nhà bằng hệ thống ống dẫn như sơ đồ bên. Hệ thống gồm hai ống nằm xiên để dẫn nước vào một ống thẳng đứng nối với hồ chứa. Người ta chỉ có tổng cộng 11 mét ống. Tìm những vị trí có thể đặt điểm M. H

A B

Gọi: AM = x, đơn vị x (m)

⇒ MB = x; MH = MA2 − AH2 = x2 − 9 ⇒ MC = 5 − MH = 5 − x2 − 9 Điều kiện: 0 < x < 5; x 2 − 9 > 0 ⇒ MA + MB + MC = 2x + 5 − x2 − 9 ≤ 11 2x − 6 < 0   2 x − 9 ≥ 0 2 ⇔ 2x − 6 ≤ x − 9 ⇔  ⇔ 2x − 6 ≥ 0   2x + 6 2 ≤ x2 − 9 ) (

  x ≤ −3 3 ≤ x ≤ 5 

Kết hợp với điều kiện ta có: x ∈ (3;5) . Hay MH dài khoảng từ 3m đến 5m 45

VD2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Đề thi thử ĐH lớp 10 năm 2016 – 2017 trường Kim Sơn B) Một hình chữ nhật ABCD có

AB = 8; AD = 6 . Trên đoạn AB lấy điểm E thỏa mãn: BE = 2 . Trên CD lấy điểm G sao cho CG = 6 . Người ta

cần tìm điểm F sao cho ABCD được chia làm hai phần mầu trắng và xám như hình vẽ. Tìm điều kiện của F để diện tích phần màu xám bé hơn ba lần diện

tích phần màu trắng.

Gọi BF = x, 0 < x < 6 . Khi đó: CF = 6 − x Gọi S1, S2 lần lượt là dịện tích phần màu trắng và diện tích phần màu xám. Ta có:

S1 =

1 2x + 6 (6 − x) = 18 − 2x, S2 = 48 − S1 = 30 + 2x 2

(

)

Theo đề ra ta có: 30 + 2x < 3 (18 − 2x) ⇔ x < 3 Vậy F cách B một đọan bé hơn 3 VD3: Bất phương trình bậc hai một ẩn Một viên gạch vuông nhỏ được đặt nội tiếp trong một hình vuông có cạnh bằng 20cm, tạo thành bốn tam giác xung quanh như hình vẽ.

Tìm x để tổng diện tích của bốn tam giác này trong khoảng 120 cm2 đến 160cm2 LG:

1 Diện tích của 4 ta giác này là: S = 4. .x.(20 − x) = 2 −x2 + 20x 2

(

)

⇒ 120 ≤ 2 −x2 + 20x ≤ 160 −x 2 + 20x − 60 ≥ 0  ⇔ 2 ⇔ x ∈ 10 − 2 10;10 − 2 5  cm −x + 20x − 80 ≤ 0   

2.4.3. Phương trình, bất phương trình bậc nhất hai ẩn a) Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Quãng đường

VD: Đồ thị bên biểu diễn vùng vận tốc an toàn và vùng vận tốc không an toàn

Xe chạy với vận tốc dưới 55km/giờ được xem như chạy với vận tốc an toàn, nếu vận tốc trên 55 km/giờ là chạy với vận tốc không an toàn. a) Điểm (3, 165) thuộc đường thẳng d = 55t. Cho biết ý nghĩa của số 165? b) Xe A chạy thỏa mãn tọa độ (3, 275). Vậy xe A có chạy an toàn không? c) Xe B chạy thỏa mãn tọa độ (5, 220). Vậy xe B có chạy an toàn không?

Đáp án: a)Khi đi được 165km mà trong 3 giờ thì người lái xe đang ở vận tốc an toàn. Nhưng trong 3 giờ mà đi hơn 165km thì không ở vận tốc an toàn, có thể xảy ra nguy hiểm. b) Xe A chạy thỏa mãn tọa độ (3, 275). Thì xe A không an toàn. c) Xe B chạy thỏa mãn tọa độ (5, 220). Thì xe B an toàn. 47

b) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: VD1: Người ta dự định dùng 2 nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất A và 9 kg chất B .Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá trị 4 triệu đồng , có thể chiết xuất được 20kg chất A và 0.6 kg chất B .Từ mỗi tấn nguyên liệu loại 2 giá 3 triệu đồng ta chiết xuất được 10kg chất A và 1,5 kg chất B .Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất .Biết cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II LG: Gọi x(tấn) nguyên liệu loại I và y (tấn) nguyên liệu loại II , 0 ≤ x ≤ 10;0 ≤ y ≤ 9 Số nguyên loại A chiết xuất được là 20x+10y số nguyên liệu loại B chiết xuất được là 0, 6x + 1, 5y Theo giả thiết ta có : 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ x ≤ 10   0 ≤ y ≤ 9 0 ≤ y ≤ 9  ⇔  20x + 10y ≥ 140 2x + y ≥ 14   0.6x + 1.5y ≥ 9 2x + 5y ≥ 30 Gọi d1 : 2x + y − 14 = 0 và d2 : 2x + 5y − 30 = 0

Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ , ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là đa giác lồi ABCD với A (5; 4) ; B (10;2) ;

5  C (10;9); D  ;9  2  Tiền mua nguyên liệu là: T = 4x + 3y

A(5;4)

B(10;2)

C(10;9)

D(5/2;9)

Vậy để chi phí ít nhất ta dùng 5 tấn loại I và 4 tấn loại 2 .Tổng chi phí :32 triệu đồng .

VD2: Một xí nghiệp sản xuất 2 sàn phẩm ký hiệu là I và II.Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng , mỗi tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng .Muốn hòan thành 1 tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn hoàn thành sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1g . Một máy không thể dùng đồng thời để sản xuất hai loại sản phẩm . Trong một ngày máy M1 không làm quá 6 giờ , máy M2 không làm quá 4giờ.Hãy tính sản lượng sản phẩm loại I và II để có mức lãi cao nhất . LG: Gọi x là số tấn sản phẩm loại I và y là số tấn sản phẩm loại II x ≥ 0 ;y ≥ 0 Thời gian làm việc của máy M1 : 3x + y ; thời gian làm việc của máy M2 : x + y , theo đề ta có x + y ≤ 4 và 3x + y ≤ 6 . Gọi L là tiền lãi : L = 2x + 1,6y x ≥ 0  y ≥ 0 .Ta có hệ  3x + y ≤ 6  x + y ≤ 4

Gọi d1 : 3x + y − 6 = 0; d2 : x + y − 4 = 0

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với

A (2; 0), B (1; 3),C (0; 4)

A (2; 0)

B (1; 3)

C (0; 4)

6,8

6.4

Vậy để có tổng lãi cao nhất xí nghiệp sản xuất 1 stân loại I và 3 tấn loại II

VD3: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; Giá 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 80 nghìn đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kilôgam mỗi loại để chi phí là ít nhất. LG:a)Gọi x là số kg thịt bò và y là số kg thịt lợn ta có 0 ≤ x ≤ 1, 6 và

0 ≤ y ≤ 1,1 Số prôtêin có được 800x + 600y . Số lipit có được : 200x + 400y 0 ≤ x ≤ 1, 6  0 ≤ y ≤ 1,1 Theo đề ta có hệ:  8x + 6y ≥ 9  x + 2y ≥ 2

b)số tiền mua thịt bò và thịt lợn :

T = 250x + 80y c)Gọi d1 : 8x + 6y − 9 = 0; d2 : x + 2y − 2 = 0

Vẽ d1 và d2 trên cùng hệ trục tọa độ . Miền nghiệm là tứ giác ABCD với

A (0, 6; 0, 7), B (1, 6; 0,2), C (1, 6;1,1), D (0, 3;1,1)

206

416

488

163

T có giá trị nhỏ nhất tại D . Vậy gia đình T

mua 0,3kg thịt bò và 1,1kg thit lợn với chi phí T = 163 nghìn

VD4: Một hộ nông dân dự định trồng đậu và trồng cà trên diện tích 8a . Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu được 3 triệu đồng trên mỗi a , nếu trồng cà thì cần 30 công và thu được 4 triệu đồng trên mỗi a. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180. LG: Gọi x là diện tích trồng đậu và y là diện tích trồng cà ta có x ≥ 0 và y ≥ 0 ; Diện tích sử dụng là x + y ≤ 8 . Số công là : 20x + 30y ≤ 180 ⇔ 2x + 3y ≤ 18 Theo đề ta có hệ bất phương trình: x ≥ 0  y ≥ 0  x + y ≤ 8  2x + 3y ≤ 18

Tiền thu được :

T = 3x + 4y d1 : x + y − 8 = 0 d2 : 2x + 3y − 18 = 0 Miền nghiệm của hệ là tứ giác OABC với A (0;6) ,

B (6;2) , C (8; 0)

A (0;6)

B (6;2)

C (8; 0)

Vậy hộ đó cần trồng 6a đậu và 2a cà . Với tiền thu được là 26 triệu đồng

VD5: Đề thi học kì 2 toán 10 sở Ninh Bình năm 2015 – 2016 Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê chỉ có 10 xe hiệu A và 9 xe hiệu B. Một chiếc xe hiệu A có thể chở được 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu B có thể chở được 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu A là 8 triệu đồng, một xe hiệu B là 10 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất. Gọi x, y, (x, y ∈ ℕ) lần lượt là số x loại A, B cần thuê. 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ x ≤ 10   0 ≤ y ≤ 9 0 ≤ y ≤ 9 ⇔  Từ bài toán ta được hệ bất phương trình:  20x + 10y ≥ 140 2x + y ≥ 14   0, 6x + 1, 5y ≥ 9 2x + 5y ≥ 30

Tổng chi phí là: T (x, y) = 8x + 10y . Xét d1 : 2x + y − 14 = 0; d2 : 2x + 5y − 30 = 0

5  Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD với A (5; 4) ; B (10;2),C (10;9), D  ;9  2 

A (5; 4)

B (10;2)

C (10;9)

5  D  ;9  2 

170

110

100

Đáp án: 5 xe loại A và 4 xe loại B thì chi phí là thấp nhất.

VD6: Đề thi học kì 2 toán 10 trường THPT Kim Sơn A - Ninh Bình năm 2016 – 2017 Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại A và loại B. Để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại A cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ; để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại B cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ. Xưởng hiện có 200 kg nguyên liệu và có thể hoạt động liên tục 50 ngày. Biết rằng lợi nhuận thu được của mỗi kg sản phẩm loại A là 40000 VNđồng, lợi nhuận của mỗi kg loại B là 30000 VNđồng. Hỏi phải lập kế hoạch sản xuất số kg loại A và loại B như thế nào để có lợi nhuận lớn nhất? LG: Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B mà xưởng này sản suất ( x, y ≥ 0 ). Lợi nhuận thu được là: f (x; y) = 40x + 30y (nghìn đồng). 2x + 4y ≤ 200 x + 2y ≤ 200   Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình: 30x + 15y ≤ 1200 ⇔ 2x + y ≤ 80 (*)   x, y ≥ 0 x, y ≥ 0  

Miền nghiệm của (*) miền tứ giác OABC kể cả biên. Ta có: f (0; 0) = 0 ; f (40; 0) = 1600

f (0;50) = 1500 ; f (20; 40) = 2000 Suy ra f (x; y) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của (*) khi x = 20; y = 40. Tức là để thu được lợi nhuận lớn nhất thì xưởng sản xuất này cần phải sản xuất 20 sản phẩm loại A và 40 sản phẩm loại B.

2.5. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VD1: Đo chiều cao một cây. Cần đo chiều cao của cây trong sân trường: Biết góc θ = 540 và khoảng cách từ gốc cây tới điểm A là 10m.

Lời giải: Ta có: tan θ =

h ⇒ h = OA tan θ ≈ 13, 8m OA

VD2: Đo khoảng cách Bạn Phúc và bạn Chiến đi ra khu vực bãi bồi Kim Sơn chơi. Từ xa hai bạn đã nhìn thấy Cồn Nổi. Nhưng do hai bạn không thể ra được Cồn Nổi, do không có thuyền ra. Hai bạn quyết định tìm cách đo khoảng cách từ bờ tới Cồn Nổi như sau: Chiến đứng cách Phúc 2,7 km. Hai bạn cùng đo góc như hình vẽ . Hãy xác định khoảng cách từ bờ tới cồn nổi. Ta có: 2, 7 = x cot 700 + x cot 800 ⇒x=

2, 7 ≈ 5km cot 700 + cot 800

Cồn Nổi

700

800

2,7km

Bờ VD3: Đo chiều cao Nhà Thờ Đá Phát Diệm

400 C

450

Biết CD = 4, 8m . Tính chiều cao Nhà Thờ Đá Phát Diệm Ta có: cot 400 =

CA DA ⇒ CA = AB.cot 400 ; cot 450 = ⇒ DA = AB.cot 450 AB AB

(

)

⇒ CD = CA − DA = AB cot 400 − cot 450 ⇒ AB = 55

CD ≈ 25m cot 400 − cot 45

III. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN 1. Mục đích thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của sáng kiến. 2. Nhiệm vụ thực nghiệm: Quan sát, theo dõi kết quả học sinh từng lớp thông qua các kì thi chung của nhà trường. 3. Cách tiến hành thực nghiệm: Quá trình thực nghiệm được tiến hành tại trường THPT Kim Sơn B, tỉnh Ninh Bình. Các lớp ở trường đều học theo Ban cơ bản. Lớp thực nghiệm sư phạm là lớp 10B4, có sĩ số 40; lớp 10B8 sĩ số 36. Lớp đối chứng là các lớp còn lại trong khối 10. Trong đó, các lớp: 10B1;10B2;10B3;10B4 ; 10B5 là các lớp khá. 10B6; 10B7; 10B8; 10B9; 10B10 là các lớp có lực học trung bình. 4. Kết quả thực nghiệm. Lớp

Sĩ số

10B4

Kết quả Trên TB

Tỉ lệ %

100

10B8

10b1

10b2

10b3

10b5

10b6

10b7

10b9

10b10

Ghi chú Lớp thực nghiệm

Các lớp khác

5. Đánh giá kết quả thực nghiệm. Kết quả các bài kiểm tra như đã trình bày ở trên cho thấy: Tỷ lệ học sinh ở lớp thực nghiệm đạt điểm từ trung bình trở lên cao hơn nhiều so với lớp đối chứng. Nhìn chung, các lớp được thực nghiệm đã được củng cố, khắc sâu kiến thức. Học sinh các lớp này đã bước đầu hình thành kĩ năng xử lý các bài toán thực tế cơ bản, ngày càng yêu thích nội dung bộ môn. Giáo viên đã thấy có nhiều học sinh tự tìm tòi đề bài, tự xây dựng hướng giải, sau đó nhờ giáo viên chấm. Từ đó hiệu quả giảng dạy của giáo viên cũng được nâng dần. Học sinh bước đầu làm được mốt số bài tập liên quan đến nội dung thi trung học phổ thông quốc gia. Dựa vào các kết quả thực nghiệm chúng tôi thấy rằng mặc dù thời gian thực nghiệm là không nhiều nhưng hiệu quả đạt được là tương đối rõ ràng, két quả học tập của các lớp thực nghiệm đã có sự chuyển biến tích cực, kết quả cao hơn hẳn những lớp không thực nghiệm, chứng tỏ sáng kiến chúng tôi đề xuất là có thể chấp nhận được.

IV. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. KẾT LUẬN Trong quá trình giảng dạy chúng tôi thấy việc đưa những bài toán có nội dung thực tế hay môn học khác vào cho học sinh làm là rất quan trọng. Đây là công việc cần thực hiện thường xuyên bởi khi đã rèn luyện cho học sinh phát triển tư duy theo hướng lồng ghép các bài toán có nội dung thực tế vào thì khả năng tư duy lô-gic, tư duy sáng tạo trong học Toán của các em được nâng cao; trước một bài toán hay một tình huống trong cuộc sống, các em có thể linh hoạt nhìn nhận, biến đổi bài toán, giải quyết bài toán hay tình huống ấy một cách tốt nhất sử dụng nền tảng toán học. Sáng kiến trên cung cấp cho giáo viên một số bài toán thực tế, liên môn có thể vận dụng được vào trong trương trình toán lớp 10, góp phần làm cho các giờ học toán của học sinh không phải là những tiết học khô khan, trừu tượng, mà lại gần gũi, thiết thực với cuộc sống. Những tiết dạy có lồng ghép nội dung về bài toán thực tế hay liên môn đã góp phần nâng cao năng lực tư duy nói chung và tạo hứng thú học tập cho học sinh , giúp cho việc học, định hướng, tiếp cận dần nội dung thi THPT Quốc gia đạt kết quả tốt. 2. KIẾN NGHỊ 2.1. Với Bộ giáo dục: những ứng dụng toán học trong thực tiễn trong chương trình toán 10 tập trung vào các khái niệm, công thức rất cơ bản. Tuy nhiên, chương trình hiện tại lại xuất hiện nhiều các bài tập khá hình thức và rất khó tìm được những “mô hình thực tiễn” gắn với những bài tập như vậy. Ví dụ như phần “Công thức lượng giác”, các tình huống, mô hình mà tác giả biết, hoặc các nguồn tham khảo liên quan đến lượng giác rất hiếm gặp những biểu thức lượng giác cồng kềnh, phức tạp như trong sách giáo khoa và như các đề thi hiện nay. Bộ có thể xem xét, khi xây dựng SGK nên đưa thêm nhiều bài toán thực tế lồng ghép vào chương trình.

2.2. Với Sở GD&ĐT: Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trong tỉnh. 2.3. Với BGH nhà trường: Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên còn ít, chưa đủ chủng loại. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung. 2.4. Với giáo viên giảng dạy môn Toán : Nên tăng cường tự học, tự sáng tạo. Nên tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn hay lên môn vào giảng dạy. Nên định hướng dần các nội dung từng khối liên quan tới kì thi THPT quốc gia cuối cấp. 2.5. Với PHHS: Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2014). Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực học sinh môn Toán cấp THPT, Chương trình phát triển giáo dục trung học. [2]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài, Đại số 10, Nxb Giáo dục. [3]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông, Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục. [4]. Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội. [5]. G.POLYA (1997), Sáng tạo toán học, NXB giáo dục. [6]. Các trang web: http://violet.vn http://diendantoanhoc.net http://www.toanmath.com/ http://dethithptquocgia.com/ http://k2pi.net.vn/ http://ninhbinh.edu.vn/

Kim Sơn, tháng 05 năm 2017. Nhóm tác giả Phan Trác Lợi - Nguyễn Văn Thành - Ngô Thị Yến