https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề 13:KHỐI TỨ DIỆN VÀ KHỐI CHÓP
Hình chóp đều: đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Trung đoạn của
N
-
hình chóp đều là đoạn nối đỉnh với trung điểm của cạnh đáy. Hình chóp đều thì
S ( ABC )
=
AB ' AC ' V ( S . AB ' C ') SA ' SB ' SC ' . ; = . . AB AC V ( S . ABC ) SA SB SC
TR ẦN
S ( AB ' C ' )
G
Tỉ số thể tích 2 khối chóp tam giác:
Đ
)
Ư N
(
Chú ý:
00
B
1) Tứ diện hay hình chóp tam giác có 4 cách chọn đỉnh chóp.
10
2) Tứ diện nội tiếp hình hộp, tứ diện gần đều (có 3 cặp cạnh đối bằng nhau) nội tiếp
3
hình hộp chữ nhật và tứ diện đều nội tiếp hình lập phương.
2+
3) Khi tính toán các đại lượng, nếu cần thì đặt ẩn rồi tìm phương trình để hướng dẫn
ẤP
giải ra ẩn đó. Để tính diện tích, thể tích có khi ta tính gián tiếp bằng cách chia nhỏ các
C
phần hoặc lấy phần lớn hơn trừ đi các phần dư hoặc dùng tỉ số.
H
2. CÁC BÀI TOÁN
Ó
A
4) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h.
TO
ÁN
-L
Í-
Bài toán 13. 1: Tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một và có OA = a, OB = b, OC= c. Gọi α , β , γ lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với (ABC). a) Chứng minh rằng cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 b) Tính diện tích tam giác HAB, HBC và HCA.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
1 S1 + S1S 2 + S 2 h 3
H
Thể tích hình chóp cụt: V =
ẠO
1 Thể tích khối chóp: V = B.h 3
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
hình chiếu của đỉnh chóp là tâm của đáy.
Y
Hình chóp tam giác , tứ giác,...
U
-
H Ơ
N
1.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh O xuống mặt phẳng (ABC) thì H là trực tâm
của tam giác ABC với 3 đường cao AA', BB', C C'.
Trang 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
^
a) Ta có α = O A' A, β = OB 'B
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Y U ẠO
1 1 1 1 OH 2 OH 2 OH 2 = + + ⇒ + 2 + 2 =1 OH 2 a 2 b 2 c 2 a2 b c
Từ hệ thức
2 a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
2 a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
; S HAC =
G
c2a2
2 a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
B
a 2b 2
. Tương tự:
TR ẦN
b 2c 2
và S HBC = SOBC .cos α
Ư N
a b + b2c 2 + c 2 a 2
00
S HAB =
2 2
H
abc
b) Ta có: OH = nên: S HBC =
Đ
Vậy cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
∧
∧
∧
10
Bài toán 13. 2: Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và AO B = AO C = 60°, B O C = 90°
3
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông và OA ⊥ BC.
2+
b) Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hướng dẫn giải
A
C
ẤP
Chứng minh (ABC) vuông góc (OBC). ^
^
H
Ó
a) Vì A O B = A O C = 60°,
Í-
OA = OB = OC = a nên AB = AC = a.
-L
Suy ra ∆ ABC = ∆ OBC.
ÁN
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi J là trung điểm cùa BC thì OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
OH OH , cos γ = . b c
TP .Q
Tương tự cos β =
OH a
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
^
N
^
cos α = cos O A' A = sin O A A ' =
H Ơ
N
' C nên γ = OC
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
nên OA ⊥ BC. b) Gọi I là trung điểm của OA, vì OJ = AJ nên IJ ⊥ OA, do đó IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC 2
a 2 a 2 a 2 a ⇒ IJ = . IJ = OJ − OI = − = 4 2 2 2 Trang 2 2
2
2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ta có OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC, IJ =
1 OA nên tam giác OAJ vuông tại I. Do đó góc giữa 2
N
mp(OBC) và mp(ABC) là góc OJA= 90°. Vậy mp(OBC) ⊥ mp(ABC). a, AC = BD = b, AD = BC = c.
N U
Y
Hướng dẫn giải
TP .Q
Dựng tứ diện APQR sao cho B, C, D lần lượt là
ẠO
1 PQ mà D là trung điểm của PQ 2
Chứng minh tương tự, ta cũng có AQ ⊥ AR,
00
1 1 1 Ta có: VABCD = VAPQR = . AP. AQ.AR 4 4 6
B
AR ⊥ AP.
TR ẦN
H
⇒ AQ ⊥ AP.
10
Xét các tam giác vuông APQ, AQR, ARP ta có:
2+
3
AP 2 + AQ 2 = 4c 2 , AQ 2 + AR 2 = 4a 2 , AR 2 + AP 2 = 4b 2
A
C
AR = 2 a 2 + b 2 − c 2
ẤP
Suy ra: AP = 2 −a 2 + b 2 + c 2 , AQ = 2 a 2 − b 2 + c 2
Ó
2 12
( −a
2
+ b 2 + c 2 )( a 2 − b 2 + c 2 )( a 2 + b 2 − c 2 )
Í-
H
Vậy: VABCD =
-L
Bài toán 13. 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng a.
ÁN
Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích
Ỡ N
G
TO
tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
ID Ư
BỒ
G
⇒ AQ =
1 PQ 2
Đ
Ta có AD = BC =
Ư N
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
trung điểm các cạnh QR, RP, PQ.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
AB = CD =
H Ơ
Bài toán 13. 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau:
Hướng dẫn giải:
Gọi K là trung điểm của BC và I = SK ∩ MN . Từ giả thiết suy ra MN =
1 a BC = , MN / / BC , suy 2 2
Ra I là trung điểm của SK và MN. Trang 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ta có ∆SAB = ∆SAC nên hai trung tuyến tương ứng AM = AN, do đó ∆ AMN cân tại A, suy ra AI ⊥ MN.
H Ơ N U
3a 2 a 2 a 2 − = nên: 4 4 2
ẠO Đ
1 a 2 10 MN . AI = (đvđt) 2 16
G
Vậy: S AMN =
Ư N
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
H
Bài toán 13.5: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh bên OA = a, OB = b, OC = c và chúng
TR ẦN
vuông góc với nhau từng đôi một: a) Tính thể tích hình chóp O.ABC.
B
b) Tính chiều cao OH và diện tích tam giác ABC.
00
Hướng dẫn giải
10
a) Ta có AO ⊥ OB và AO ⊥ OC do đó OA ⊥ (OBC)
2+
3
nên hình chóp O.ABC có thể coi là hình chóp A.OBC với đáy là OBC và đường cao là AO
C
ẤP
abc 1 Do đó: V = SOBC .OA = (đvtt) 3 6
Ó
A
b) Hạ OH ⊥ (ABC) thì H là trực tâm của đáy.
Í-
H
1 1 1 1 1 1 b 2 c 2 + a 2 c 2 + a 2b 2 = 2+ = + + = OH a OA '2 a 2 b 2 c 2 a 2b 2 c 2
-L
Ta có:
ÁN
Do đó: OH =
abc 2 2
a b + b2c 2 + a 2c 2
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
2
3a 2 a 2 a 10 SK AI = SA2 − SI 2 = SA2 − = − = 4 8 4 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Ta có SK 2 = SB 2 − BK 2 =
a 3 2
Y
Do đó ∆SAK cân tại A, suy ra SA = AK =
N
Mà (SBC) ⊥ (AMN) ⇒ AI ⊥ (SBC) => AI ⊥ SK.
a 2b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 1 3V Và V = S ABC .OH ⇒ S ABC = = (đvtt) 3 OH 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Bài toán 13. 6: Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của s qua E; I là giao điềm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN) Trang 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với SI. b) Tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.
H Ơ
N
Hướng dẫn giải a) Ta có SA ⊥ (SBC) => SA ⊥ BD.
Y
N
Mà BD ⊥ SB ⇒ BD ⊥ (SAB) ⇒ BD ⊥ SM.
⟹SM ⊥ (ABD) => SM ⊥ AD. Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ẠO
SN ⊥ AD => AD ⊥ (SMIN) => AD ⊥ SI.
G TR ẦN
AB a 2 = 2 2
SM = MB =
Ư N
SD 2 2a 3 = DA 3
H
SD 2 = DI .DA ⇒ DI =
Đ
b) Ta có AD = SA2 + SD 2 = a 3
B
Hạ IH ⊥ AB thì IH//BD
00
IH AI AD − DI 1 a 1 = = = ⇒ IH = DB = DB AD AD 3 3 3
10
Do đó:
2+
1 1 1 a 2 a 2 a a3 SM .S MBI = SM .BM .IH = . . . = 2 6 6 2 2 3 36
ẤP
VMBSI =
3
Mặt khác SM ⊥ (ABD) nên
C
Bài toán 13. 7: Một hình chóp P.ABC có hai mặt bên (PAB) và (PAC) cùng vuông góc với
Ó
A
đáy. Đáy ABC là một tam giác cân đỉnh A có trung tuyến AD = m, PB tạo với đáy
Í-
H
một góc α và tạo với mặt phẳng (PAD) một góc β
-L
a) Chứng minh PB 2 = PA2 + AD 2 + BD 2
ÁN
b) Tính thể tích của hình chóp.
Hướng dẫn giải
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Chứng minh tương tự ta có:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
Mà SM ⊥ AD (do tam giác SAB vuông cân)
a) Hai mặt bên (PAB), (PAC) cùng vuông góc với đáy, nên giao tuyến PA vuông góc
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
với đáy.
=α . Do đó AB là hình chiếu của PB trên đáy nên PAD Tam giác ABC cân đỉnh A, nên trung tuyến AD ⊥ BC, mà PA ⊥ BC nên BC ⊥ mp(PAD). Do đó PD là hình chiếu
=β của PB trên mp(PAD) nên PBD
Trang 5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Trong tam giác vuông PBD ta có: PB 2 = PD 2 + BD 2 Trong tam giác vuông PAD ta có: PD 2 = PA2 + AD 2 Vậy: PB 2 = PA2 + AD 2 + BD 2
H Ơ
N
b) Đặt PB = x thì PA = xsin α và PD = xcos β ,
U
Y
m2 cos 2 β − sin 2 α
ẠO Đ
H
m 2 sin α sin β 3 ( cos 2 β − sin 2 α )
Bài toán 13. 8: Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, p lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC
B
sao cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ
10
00
AQ và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng AD
2+
3
(MNP).
ẤP
Hướng dân giải
C
Gọi E = MN ∩ CD. Khi đó Q = PE ∩ AD
A
Gọi F là trung điểm của BC và G là điểm trên AC
H
Ó
sao cho DG // PQ.
Í-
Ta có FD//MN.
ÁN
-L
AG PG 2 PG 2 ED = 1+ = 1+ = 1+ AP AP PC EC
Ỡ N
G
TO
= 1+
ID Ư
BỒ
V=
TR ẦN
Vậy
Ư N
m 2 sin α sin β 1 1 1 V = .S ABC .PA = BD. AD.PA = x sin β .m.x sin α = 3 3 3 3 ( cos 2 β − sin 2 α )
G
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Thể tích hình chóp
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
hay x 2 ( cos 2 β − sin 2 α ) = m 2 ⇒ x 2 =
N
BD = xsin. Trong tam giác vuông PAD ta có: PD 2 − PA2 = AD 2
2 MF 2 5 = 1+ = MC 3 3
Suy ra
AQ AP 3 = = AD AG 5
Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, V1 là thể tích khối đa diện ABMNQP, V2 là thể tích khối đa diện CDNMPQ.
Trang 6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Khi đó V2 = V − V1
H Ơ
S 1 S 8 S 1 BM 1 BN 1 = , = nên BMN = , MNC = , DNC = BC 4 BD 2 S BCD 8 S BCD 3 S BCD 2
N TP .Q
U
Y
1 1 1 Suy ra VABMN = V , VAMNP = , VAMNC = V 8 3 8
Ư N
= 45°, Bài toán 13. 9: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, và ASB = 30°, BSC
H
= 60°. Tính thể tích hình chóp S.ABC. CSA
TR ẦN
Hướng dẫn giải
Trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao
B
cho SM = SN = SP Gọi H là hình chiếu của S lên (MNP)
00
ta có: SM = SN = SP
10
HM = HN = HP
2+
3
=> H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ MNP.
ẤP
Theo định lý hàm số côsin ta có:
C
MN = 2 − 3 , NP = 2 − 2 , MP = 1
)
A
)(
2 −1
H
Ó
(
3 −1
2 2
Í-
nên S MNP =
ÁN
-L
Vì MH là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ MNP nên:
MN .NP.PM = 4 S MNP
Ỡ N
G
TO
MH =
ID Ư
BỒ
ẠO
7 V 7 V , suy ra 1 = 20 V2 13
G
Do đó V1 =
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
1 3 1 VAPQN = . VADNC = V 3 5 10
2
2
SH= SM − MH =
4
2 − 3. 2 − 2 2.
(
)(
1 1 VSMNP = S MNP .SH = 4 3 12 2
(
2.
3 −1 2
)
2 −1
4− 2
=
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Vì
N
Ta có: V1 = VABMN + VAMPN + VAPQN
3 −1
)
3 −1
2
(2
)(
2 − 3 +1
)(
2 −1
)
3 −1
Trang 7
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
abc VS . ABC SA SB SC = . . = abc ⇒ VSABC = VS .MNP SM SN SP
(2
)(
)(
2 − 3 +1
2 −1
)
3 −1
12 4 2
H Ơ
Bài toán 13. 10: Cho hai tia Ax và By tạo với nhau góc α , đường thẳng AB vuông góc với
U
Y
BN = n. Tính:
TP .Q
a) Thể tích khối tứ diện ABMN.
1 1 AM .BN .d sin α = m.n.d sin α 3 6 b) Vẽ BM = AM thì ABM ' M là hình chữ nhật có
ẠO
Hướng dẫn giải
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
khoảng cách từ AB tới mp(MNM') hay bằng
G Ư N
TR ẦN
Khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và MN bằng
H
AB//(MN M ' )
Đ
a) VABMN =
B
khoảng cách từ B tới mặt phảng đó. Hạ BH ⊥ NM' thì
10 3
2+
mn sin α
ẤP
h=
1 NM '.BH nên 2
00
BH ⊥ mp(MNM'), vậy h = BH.
m 2 + n 2 − 2mn cos α
A
C
Bài tọán 13. 11: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a có tâm là O. Trên các
H
Ó
nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) ta lần
-L
Í-
lượt lấy hai điểm M, N. Đặt AM = X, CN = y.
a2 2
ÁN
a) Tìm điều kiện cần và đủ để tam giác OMN vuông tại O là xy =
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho tam giác OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và MN.
Ta có S BMN =
N
cả Ax và By; AB = d. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai tia Ax và By, AM = m,
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Ta có
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
N
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
diện BDMN.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Hướng dẫn giải a) Trong mp(AM, CN) hạ MP ⊥ CN ta có tam giác MNP vuông tại P. Do đó: MN 2 = NP 2 + MP 2
Trang 8
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
2
= AC 2 + ( CN − CP ) = 2a 2 + ( y − x )
2
N
MN= MN = 2a 2 + ( x − y ) 2
H Ơ
Điều kiện cần và đủ để tam giác OMN vuông tại O là:
Y
N
MN 2 = OM 2 + ON 2
a2 2
ẠO
b)BD ⊥ AM , BD ⊥ AC => BD ⊥ (ACM) ⇒ BD ⊥ MO.
Đ
Nếu MO ⊥ ON thì MO ⊥ (ONB), tức MO là một đường cao của tứ diện BDMN. Do
a4 a2 2 a 2 + ( x + y2 ) + x2 y2 = 4 2 6
H
a2 2 a2 ( x + y) 2 x + y = (đvtt) ( ) 2 6
B
a 2 6
TR ẦN
2 1 a 2 a2 2 a 2 VBDMN = MO; S BDN = x + + y 3 6 2 2
Ư N
G
đó:
00
Bài toán 13. 12: Cho khối lăng trụ ABC.A' B'C' và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng
2+
3
Hướng dẫn giải
10
(B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
N là giao điểm của IC' và AC. Thiết diện của khối lăng
C
AA',
ẤP
Gọi I là giao điểm của đường thẳng MB' và đường thẳng
A
trụ khi cắt bởi mp(B'C'M) là hình thang B'C'NM. Mặt phẳng
H
Ó
(B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần, gọi V1 là thể tích của
Í-
phần chứa cạnh AA' và V2 là thể tích phần còn lại.
-L
Giả sử khối lăng trụ ABC.A'B'C' có diện tích đáy là S và
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ÁN
chiều cao AA' = h. Ta có:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
⇔ 2a 2 + ( x − y ) = x 2 + y 2 + a 2 ⇔ xy =
TP .Q
2
U
⇔ MN 2 = MA2 + AO 2 + OC 2 + CN 2
1 1 V1 = VAMNA ' B 'C ' = VIA ' B 'C ' − VIAMN = S A ' B ' C ' .IA '− S AMNIA 3 3 1 1S 7 7 7 h = Sh = VABC . A ' B 'C ' = (V1 + V2 ) = S .2h − 3 34 12 12 12
Trang 9
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Suy ra: 12V1 = 7(V1 + V2 ) hay
V1 7 = V2 5
H Ơ
N
Bài toán 13.13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA' = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A'C', I là giao điểm của
Y
N
AM và A'C. Tính thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt
U
phẳng (IBC).
TP .Q
Hướng dẫn giải
H
BC = AC 2 − AB 2 = 2a
TR ẦN
Diện tích tam giác ABC:
B
1 AB.BC = a 2 2
10
00
1 4a 3 Thể tích khối đa diện IABC: V = IH .S ABC = 3 9
2+
3
b) Hạ AK ⊥ A ' B( K ∈ A ' B) . Vì BC ⊥ ( ABB ' A ')
ẤP
Nên AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ ( IBC )
C
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) là AK.
A
AA '. AB
Ó
2 S AA ' B = A' B
A ' A2 + AB 2
H
AK =
=
2a 5 5
-L
Í-
Bài toán 13. 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có mặt đáy là tam giác ABC
ÁN
vuông tại B và AB = a, BC = 2a, AA' = 3a. Một mặt phẵng (P) đi qua A và vuông góc
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Ư N
AC = A ' C 2 − A ' A2 = a 5
S ABC =
ẠO
IH CI 2 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = AA ' CA ' 3 3 3
Đ
⇒ IH / AA ' =
G
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
a) Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) nên IH là đường cao của tứ diện IABC
với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' và BB' tại M và N.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB. b) Chứng minh rằng AN ⊥ A'B và tính diện tích tam giác AMN.
Hướng dẫn giải
1 1 a) VCA'AB = VA'ABC = SABCAA' = a.2a.3a = a 3 3 6 Trang 10
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
b) Ta có: CB ⊥ AB, CB ⊥ AA '
N
(do AA ' ⊥ ( ABC )), suy ra CB ⊥ ( A ' AB )
H Ơ
Mặt khác AN ⊥ CA ' suy ra AN ⊥ A ' B
Y
N
1 Ta có: VA ' AMN = S AMN . A ' I 3
ẠO Đ
2
9a 14
=
G
a 2 + (2a ) 2 + ( 3a )
Vậy: S AMN =
3.VA ' AMN a 2 14 = A' I 3
TR ẦN
Bài toán 13.15: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng S và AA' = h. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB', CC' lần lượt tại A1 B1 và C1
00
B
Biết AA1 = a, BB1 = b, CC1 = c . Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích hai phần của
10
khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng (P) bằng nhau.
3
Hướng dẫn giải
2+
Ta có: VABCA1B1C1 = VA1 ABC + VA1BCB1 AC
C
ẤP
1 1 = aS + S BCC1B1 d ( A1 ( BCC1 B1 ) ) 3 3
H
Ó
A
1 1 1 = aS + . ( b + c ) .BC.d ( A1 BC ) 3 3 2
-L
Í-
1 1 1 = aS + ( b + c ) S = ( a + b + c ) S 3 3 3
TO
ÁN
VA1B1C1 A ' B 'C ' = VA1B1C1 A ' B 'C − VABCA1B1C1
ID Ư
Ỡ N
G
= Sh −
BỒ
(3a )2
Ư N
⇒ A' I =
H
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Và A ' I . A ' C = A ' A2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
1 Vì NB//AA’,MC//(AA’B) ⇒ VA ' AMN = S MAA ' N = VMAA ' B = VCAA ' B = a 3 3
1 1 ( a + b + c ) S = ( 3h − a − b − c ) S 3 3
Điều kiện V VABCA1B1C1 = VA1B1CA ' B 'C ' ⇔
1 1 ( a + b + c ) S = Sh ⇔ 2 ( a + b + c ) = 3h 3 2
Trang 11
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 13. 16: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C có BB' = a, góc giữa BB' và mp(ABC) bằng 60°; tam giác ABC vuông tại C và BÂC - 60°. Hình chiếu vuông góc của B' lên
H Ơ
N
mp(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích tứ diện A'ABC.
Hướng dẫn giải
Y
N
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm
3 2 1 2 9 2 3a 13 x + x = x ⇒x= = AB 4 16 16 13
00
B
1 3a 3 3a 13 9a 2 3 , do đó S ABC = Và VA ' ABC = VA ' ABC = S ABC BG ' = 26 104 3 208
10
Và AC
TR ẦN
BC 2 + CD 2 = BD 2 ⇒
H
Tam giác BCD vuông tại C nên:
3
Bài toán 13.17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong
2+
đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
ẤP
SA = a 6 .
C
a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
Ó
A
b) Tính khoảng cách giữa AD và mặt phẵng song song (SBC).
H
Hướng dẫn giải
-L
Í-
a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn
ÁN
đường kính AD = 3a nên ta có: AD // BC và AB = BC = CD = a, đồng thời AC ⊥ CD,
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
x 3 x x , AC = , CD = 2 2 4
G
Thì BC =
3a . Đặt AB=x 4
Đ
Do đó BD =
a a 3 ,BG = 4 2
Ư N
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
AB ⊥ BD, AC = BD = a 3 .
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
B'BG = 60° nên BG ' =
TP .Q
U
AC thì B'G ⊥ (ABC),
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Do đó CD ⊥ (SAC) Hạ AH ⊥ SC mà AH ⊥ CD nên
AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A, (SCD)) = AH Tam giác SAC vuông tại A:
1 1 1 1 = 2+ = 2 2 AH SA AC a 6
(
2
+
1
) (a 3 )
2
=
1 2a 2
Trang 12
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
⇒ AH 2 = 2a 2 ⇒ AH = a 2 Gọi I là trung điểm của AD ta có BI // CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD).
H Ơ N
1 1 a 2 d ( A; ( SCD ) ) = .a 2 = 2 2 2
Y
=
N
Từ đó suy ra d(B; (SCD)) = d(I; (SCD))
TP .Q
U
b) Ta có AD // BC nên AD // (SBC). Hạ AE ⊥ BC => SE ⊥ BC => BC ⊥ (SAE) => (SAE) ⊥ (SBC).
TR ẦN
Bài toán 13. 18: Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác đều ABCD có AB = BC = CD
B
= a, cạnh bên SA= a 3 vuông gồc với đáy và M và I là hai điểm sao cho 3MB + MS = 0, 4 IS + 3DI = 0 . Mặt phẳng (AMI) cắt SC tại N.
00
a) Chứng minh N là trung điểm sc, SD vuông góc với (AMI).
10
b) Chứng minh ANI = 90° ; AMI = 90°. Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt
2+
3
phẳng (AMI) và hình chóp SABCD.
C
ẤP
Hướng dẫn giải Chọn hệ vecto cơ sở AB = a, AD = b, AS = c
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
1 1 Thì BC = AD = b 2 2 1 a.b = a . b cos 600 = a.2a. = a 2 2 a.c = 0; b.c = 0
Ỡ N
G
TO
1 1 a) Ta có BM = BS = 4 4 3 3 SI = SD = AD − AS 7 7 1 AM = AB + BM = a + 4
(
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO H
Ư N
1 1 1 9 a 6 = 2+ = 2 ⇒ AF = 2 2 AF SA AE 6a 3
ID Ư
BỒ
a 3 2
G
Xét tam giác vuông AEB, SAE: AE = asin60°=
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Hạ AF ⊥ SE thì AF ⊥ (SBC). Ta có: d(AD; (SBC)) = d(A; (SBC)) = d(A; SE) = AF.
( AS − AB ) = 14 ( c − a )
) = 73 (b − c )
( c − a ) = 34 a + 14 c
Trang 13
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
3 3 4 AI = AS + SI = c + b − c = b + c 7 7 7 Vì N thuộc SC nên có số a sao cho SN = α SC = α AC − AS
)
N Y U TP .Q ẠO
Ư N
G
Đ
α = α a + b + (1 − α ) c 2 Ta có: AN = x AM + y AI
TR ẦN
α 3 1 3 4 ⇔ α a + b + (1 − α ) c = x a + c + y b + c 2 4 7 4 7
H
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
00
B
α 3 3 1 4 ⇔ α a + b + (1 − α ) c = xa + yb + x + y c 2 4 7 7 4
A
C
ẤP
2+
3
10
3 1 α = 4 x α = 2 2 α 3 ⇔ = y ⇔ x = 3 2 7 1 4 7 1 − α = 4 x + 7 y y = 12
-L
Í-
H
Ó
2 7 1 1 1 Vậy AN = AM + AI = a + b + c 3 12 2 4 2 1 Nên SN = SC do đó N là trung điểm của SC 2
ÁN
3 4 3 2 4 3 4 2 Ta có SD = b − c nên : SD. AI = b − c b + c = b + bc − b − c = 0 7 7 7 7 7 7
(
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
b SN = α AB + BC + AS = α a + − c 2 Vì AM , AN , AI đồng phẳng nên có số x,y sao cho AN = x AM + y AI b Mặt khác AN = AS + SN = c + α a + − c 2
(
BỒ
)
N
(
H Ơ
(
)
3 1 Do đó SD ⊥ AI, và SD. AM = b − c a + c = 0 4 4
(
)
Do đó SD ⊥ AM. Vậy SD ⊥ mp(AMI)
1 5 1 Ta có NI = AI − AN = − a + b + c 2 28 14 Trang 14
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
1 1 1 1 5 1 AN .NI = a + b + c − a + b + c 4 2 2 28 14 2
N H Ơ N Y U TP .Q
00
1 6a 2 7 3a 2 7 a 42 Nên S ANI = AN .NI = = 14 2 56 28
10
⇒ NI =
2
2 1 5 1 1 42a = − a + b + c = . 28 14 4 49 2
B
( )
2
2+
3
3 1 1 1 1 Ta có: AM . AN = a + c a + b + c 4 2 4 2 4
ẤP
1 2 2 15a 2 6a + 3ab + 6ac + 2ac + bc + 2c = 16 16 5 14 AM . AN Nên cos AM , AN = = ⇒ sin ( AM ; AN ) = 8 AM . AN 4 2
Ó
1 3a 2 7 45a 2 7 AN .M . AN .sin ( AM ; AN ) = = 2 32 224
ÁN
-L
S MAN =
)
Í-
(
)
A
C
(
H
=
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
IN = NI 2
H
6 2 a 6 a ⇒ AN = 4 2
TR ẦN
⇒
Ư N
G
Đ
2 1 2 1 2 1 2 1 6 1 1 1 AN = a + b + c = a + b + c + ab + 0 + 0 = a 2 4 2 4 16 4 4 4 2
2
ẠO
2 a 3 3 1 12a AM 2 = a + c = ⇒ AM = 4 16 2 4
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Bàì tòán 13. 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cậnh bằng a, SA =
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
5 2 1 2 5 1 2 = − a + a.b + 0.a.b + b +0−0+0+ c = 0 4 56 112 28 3 3 9 ⇒ AN ⊥ NI và MI = AI − AM = a + b + c 4 7 28 Tương tự AM .MI = 0 ⇒ AM ⊥ MI
tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
Ỡ N
G
a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD vấ
BỒ
ID Ư
Hướng dẫn giải
Trang 15
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Thể tích của khối tứ diện SACD là:
H Ơ
N
1 1 a3 3 VSACD = . DA.DC.SA = 3 2 6 Gọi M là trung điểm của SD.
Y
N
Ta có OM// SB nên g(SB; AC) = g(OM, OC) Tam giác
ẠO
Tương tự, SD = 2a => MD = a => CM = a 2
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ư N
2 2 OM 2 + OC 2 − MC 2 = ⇒ cos ( SB. AC ) = 2OM .OC 4 4
G
^
cos C O M =
Đ
Xét tam giác OMC, ta có
H
Bài toán 13. 20: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng (a) đi qua A, B và
TR ẦN
trung điểm M của cạnh SC. Tính tỉ số thề tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
B
Hướng dẫn giải
00
Vẽ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi
10
mp(ABM). Ta có:
ẤP
2+
3
VSANB SN 1 1 1 = = ⇒ VSABD = VSADB = VSABCD VSABD SD 2 2 4
A
C
VSBMN SM SN 1 1 1 = = . = . VSBCD SC SD 2 2 4
Í-
H
Ó
1 1 ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD Vậy : 4 8
ÁN
-L
3 VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD 8 Do đó
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
SB = SA2 + AB 2 = 3a 2 + a 2 = 2a nên OM=a.
VSABMN VABMN . ABCD
=
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
vuông SAB có:
3 5
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Bài toán 13. 21: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC. Chứng minh mặt phẳng (MNP)) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Hướng dẫn giải Trang 16
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Đường thẳng MN cắt CD, BC tại K, I. Pl cắt SB tại E, PK cắt SD tại F. và V2 là phần còn
N
chia thể tích ra hai phần, gọi V1 là thể tích phần chứa đỉnh S
H Ơ
N
Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo thiết diện MNFPE,
Y
lại.
= VEMBC + VFNDC
SAMN
TP .Q
TR ẦN
H
Vậy V1 = V2
Bài toán 13. 22: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, 0 < x< a. Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường chéo A'C' của
00
B
hình vuông A'B'C'D'.
10
a) Tình diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẵng (P).
3
b) Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa của một trong hai khối đa diện đó
2+
diện, hãy tìm x để thể tích
ẤP
gấp đôi thể tích khối đa diện kia.
C
Hướng dẫn giải
Ó
A
a) Mặt phẳng (P) cắt mặt ABCD theo giao tuyến
H
MN // A' C'. Với N ∈ BC. Thiết diện là hình thang A'C'NM
-L
Í-
có A'M = C'N. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và O' là
ÁN
tâm của hình vuông A'B'C'D' thì OI là đường cao của hình
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Và S MBC = S NDC = 2 S AMN nên V
1 d ( S , ( ABCD ) ) 4
Đ
d ( E , ( ABCD ) ) = d ( F , ( ABCD) ) =
ẠO
= VCMNFDE Ta có: SO = 2 PL = 4 HO nên
G
SMNFPE
Vì P là trung điểm SC nên:
Ư N
V
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
thang A'C'NM. Ta có:
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
V2 = VCMNFPE + VEMBC + VFNDC
U
Ta có V1 = VSMNFPE + VSAMN
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
MN = BM 2 = ( a − x ) 2, OI = 2
Do đó: O ' I = OO '2 + OI 2 = a 2 +
x2 2
Gọi S là diện tích của hình thiết diện ta có:
Trang 17
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
x2 1 2 ( A ' C '+ MN ) O ' I = ( 2a − x ) a 2 + 2 2 2
H Ơ
N
b) Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện
N
nhỏ là hình chóp cụt tam giác có đáy nhỏ là tam giác BMN và đáy lớn là tam giác
TP .Q
U
a2 là diện tích tam giác BMN, ta có 2
2
. Từ đó:
ẠO
2
Đ
(a − x) S'=
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
1 a V1 = h S + S '+ SS ' = ( x 2 − 3ax + 3a 2 ) 3 6
G
)
Ư N
(
TR ẦN
H
3− 5 1 a a3 ⇔ x = Ta có V1 = 2 (V − V1 ) ⇔ V1 = V ⇔ ( x 2 − 3ax + 3a 2 ) = a 3 6 3 2
Bài toán 13. 23: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong một hình
B
lăng trụ đều đến các mặt của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong hình
00
lăng trụ đó.
10
Hướng dẫn giải
2+
3
Gọi hình lăng trụ đều đã cho là H có diện tích đáy S, cạnh đáy a và chiều cao h. Khi
ẤP
đó tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong H đến hai mặt đáy của nó luôn bằng
C
chiều cao h của H.
A
Giả sử I là một điểm trong nào đó của H. Dựng qua I một mặt phẳng (P) vuông góc
Í-
đáy.
H
Ó
với cạnh bên của H ta được thiết diện thẳng A1 A2 ... An là một đa giác đều bằng đa giác
-L
Từ I ta hạ đường IH1 ⊥ A1 A2 , IH 2 ⊥ A2 A 3 ,..., IH n ⊥ An A1 . Do thiết diện thẳng vuông góc với các mặt bên, nên IH1 , IH 2 , .... IH n lần lượt vuông
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
B'A C', ta có S =
Y
B'A'C'. Gọi V1 là thể tích khối chóp cụt có chiều cao h = a, gọi S là diện tích tam giác
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
S=
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ta có S =
1 1 1 1 aIH1 + aIH 2 + .... + aIH n = a ( IH1 + IH 2 + ... + IH n ) 2 2 2 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
góc với các mặt bên của hình lăng trụ.
Trang 18
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
N
2S không đổi. a
H Ơ
bằng: h +
2S . Vậy tổng các khoảng cách từ I đến các mặt của lăng trụ a
Y
Đ G Ư N H
SK SL SM SK SM SM SK SL SN SM SL SN . . . . . . . . + = + SA SB SC SA SD SC SA SB SD SC SB SD Nhân 2 vế với
SA SB SC SD . . . thì được đpcm. SK SL SM SN
3
2+
Gọi M là trung điểm của BB'.
10
Hướng dẫn giải
00
Tính khoảng cách giữa CK và A'D.
B
Bài toán 13. 25: Khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. K là trung điểm của DD'.
ẤP
Ta có A'M // KC nên d(CK, A'D) =
C
d(CK, (A'MD)) = d(K, (AMD))
A
Đặt d(CK, A'D) = x. Ta có:
Í-
H
Ó
1 VA ' MDK = VKA' MD = S A ' MD .x 3
ÁN
-L
1 Mặt khác VA ' MDK = VMA ' DK = S A ' DK .d ( M , ( A ' DK ) ) = 3
Ỡ N
G
TO
Do đó S A ' MD .x =
ID Ư
BỒ
S SKLM VSKNM VSKLN VSMLN + = + S ABBC VSADC VSABD VSCBD
TR ẦN
⇒
ẠO
Ta có VSKLM + VSKNM = VSKLN + VSMLN
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Hướng dẫn giải
⇒
U
SA SC SB SD + = + SK SM SL SN
TP .Q
SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại K, L, M,N. Chứng minh:
N
Bài toán 13. 24: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt
a3 11 1 a . a a = 2 2 2 12
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
⇒ IH1 + IH 2 + ... + IH n =
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
a3 . Hạ DI ⊥ A ' M ⇒ AI ⊥ A ' M 4
⇒ AI . A ' M = AA '.d ( M , AA ' ) = a 2 ⇒ AI = DI 2 = DA2 + AI 2 = a 2 +
2a nên 5
4a 2 9a 2 3a = ⇒ DI = 5 5 5
Trang 19
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 1 3a a 5 3a 2 DI . A ' M = . . = 2 2 5 2 4 a 3
N
Vậy d ( CK , A ' D ) = x =
H Ơ
Nên S A ' MD =
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Y TP .Q
U
cạnh đáy, chia hình chóp làm 2 phần tương đương. Tính chu vi thiết diện.
Hướng dẫn giải
N
Bài toán 13. 26: Cho hình chóp tứ giác có tất cả các cạnh bằng 1. Một mặt phẳng qua một
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
đều.
Ư N
G
Mặt phẳng qua cạnh AB cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang cân ABEF.
H
Đặt EF = X thì SE = SF = x
TR ẦN
AF 2 = BE 2 = x 2 + 1 − 2 x cos 600 = x 2 − x + 1
5 −1 2
2+
3
Nên x 2 + x + 1 = 0, chọn x =
00
VSABF SF V SE SF = = x, SBEF = = x2 . VSABD SD VSBCD SC SD
10
Mà
B
Theo giả thiết: VS . ABCD = 2VS . ABEF = 2 (VSABF + VSBEF )
1 1 + 5 + 2 10 − 2 2 2
(
)
C
2BE=
ẤP
Chu vi thiết diện: C = AB + EF +
Ó
A
Bài toán 13 27: Cho điểm M nằm trong tứ diện ABCD.
ÁN
-L
Í-
H
Đặt Va = VMBCD ,Vb = VMACD ,Vc = VMABD ,Vd = VMABC Chứng minh: Va .MA + Vb MB + Vc MC + Vd MD = 0 Đặt V = Va .MA + Vb MB + Vc MC + Vd MD
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
cách đều A, B, C, D do đó hình thoi ABCD là hình vuông nên hình chóp là hình chóp
Gọi A ' là giao điểm của AM và (BCD). Ta có: S A 'CD ' . A ' B + S A ' BD A ' C + S A ' BC A ' D = 0 ⇒ S A 'CD A ' B + S A ' BD MC + S A ' BC MD = ( S A 'CD + S A ' BD + S A ' BC ) MA '
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Hình chóp S.ABCD có các cạnh bằng 1 nên hình chiếu của S lên đáy là H
Mặt khác:
VMA 'CD MA ' VMA ' BD V V S = = ⇒ MA' CD = AA 'CD = A ' DC VAA ' DC AA ' VAA ' BD VMA ' CD VAA ' BD S A ' BD
Trang 20
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
N
S A ' BC Nên suy ra Vb MB + Vc MC + Vd MD = k MA ' Vd MA ' Tương tự V cùng phương MB ' , Do đó V = 0
H Ơ TP .Q
Hướng dẫn giải Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ẠO
AD = a tuỳ ý.
Ư N
G
Đ
1 8
Thật vậy, hạ AH vuông góc với (BCD), AK vuông góc BC
1 3 1 3 1 3 3 1 = V1 = . . AH ≤ . AK = . . 3 4 3 4 3 4 2 8
TR ẦN
H
thì:
00
B
Ta có tứ diện thoả đề bài có thể tích nhỏ hơn V1 => đpcm.
3
S3 > 288 V2
2+
Chứng minh rằng
10
Bài toán 13. 29: Gọi V và S lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của một tứ diện.
ẤP
Hướng dẫn giải
C
Gọi tứ diện đã cho là ABCD. Gọi diện tích các mặt
Ó
A
ABC, ACD, ADB, BCD lần lượt là: S D , S B , SC , S A
Í-
H
Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng
-L
(ACD) và C' là hình chiếu vuông góc của C lên mặt
ÁN
phẳng (ABD). Ta có:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Xét tứ diện ABCD có 5 cạnh bằng 1 và cạnh còn lại
Ta chứng minh thể tích của tứ diện này là V1 <
Y
1 8
U
có độ dài nhỏ hơn 1, còn cạnh thứ sáu có độ dài tuỳ ý thì thê tích V <
N
Bài toán 13. 28: Chứng minh rằng một tứ diện thoả hai điều kiện: năm cạnh
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
S A ' DC S A ' BD = = Vb Vc ⇒ V cùng phương
⇒
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
1 1 1 V = S B .BB ' = Sc .CC ' ⇒ V 2 = S B SC BB ' CC ' 3 3 9
Hạ BH ⊥ AB. Ta có BB' ≤ BH và ≤ AC. Từ đó suy ra V 2 ≤
2 1 2 S B SC . AC.BH = S B .SC .S D 9 2 9
Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi BÂC = CÂD = DÂB = 90°. Trang 21
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Lập luận tương tự ta được V 2 ≤
2 2 2 SC .S B .S A , V 2 ≤ S D .S B .S A và V 2 ≤ S A .S B .SC . Do 9 9 9
4
N
3 2 đó V ≤ . ( S A .S B .SC .S D ) Vì đẳng thức không đồng thời xảy ra nên 9
H Ơ
8
TP .Q
Bài toán 13. 30: Cho tứ diện SABC và G là trọng tâm của tứ diện. Một mp( α ) quay quanh
U
Y
N
S3 S3 ⇒ 2 > 288 288 V
V2 <
4 V1 1 ≤ ≤ 9 V 2
Ư N
G
Hướng dẫn giải
Gọi A' là trọng tâm ∆ SBC, I là trung điểm BC Ta có A,G, A' thẳng hàng, S, A', I
TR ẦN
SM SN = x, = y, với 0 ≤ x, y ≤ 1 SB SC
B
V1 SM SN = = xy . V SB SC
00
Ta có:
10
Đặt
H
thẳng hàng
S SMA ' SM SA ' 2S 2x = . ⇒ SMA ' = 3 S SIB SB SI S SCB
Tương tự:
+ S SNA x + y S SNA ' 2 y S = ⇒ SMA ' = 3 3 S SCB S SCB
C
ẤP
2+
3
Mặt khác:
A
S SMN SM SN x+ y x = . = xy = ⇒y= S SCB SB SC 3 3x − 1
H
Ó
Hay
-L
Í-
Kết hợp ta có điều kiện
1 1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1 2 2
ÁN
Ta có :
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
thể tích tứ diện SAMN. Chứng minh
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
x2 V1 x2 1 , ≤ x ≤1 = xy = . Xét f ( x) = V 3x − 1 3x − 1 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M và N. Gọi V là thể tích tứ diện SABC, V1 là
f '( x) =
3x 2 − 2 x
( 3x − 1)
2
, f '( x) = 0 ⇔ x =
2 3
BBT:
Trang 22
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
2/3
f’(x)
-
f(x)
1/2
1
0
+
4/9
ր
N
ց
N
1/2
H Ơ
x
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
U
Y
4 V1 1 ≤ ≤ 9 V 2
TP .Q
Vậy
Đ
thức sau: MA.S BCD + MB.S ACD + MC.S ABD + MD.S ABC ≥ 9V
Ư N
G
Hướng dẫn giải
H
Hạ AA1 , MA2 vuông góc với mp(BCD)
TR ẦN
Ta có: AM + MA2 ≥ AA2 ≥ AA1 ⇒ AM ≥ AA1 − MA2
B
Dâu băng trong xảy ra khi M thuộc đường cao AA1 của
10
00
tứ diện.
3
Do đó AM .S BCD ≥ AA1S BCD − MA2 S BCD ≥ 3V − 3VBCD
2+
Lý luận tương tự ta có
ẤP
BM .S ACD ≥ 3V − 3VMACD ; MC.S ABD ≥ 3V − 3VMABD
A
C
MD.S AEC + MB.S ACD + MC.S ABD + MD.S ABC
H
Ó
≥ 12V − 3 (VMBCD + VMACD + VMABD + VMABC ) = 9V
Í-
Dấu “=” xảy ra khi M đồng thời thuộc 4 đường cao của tứ diện ABCD nên M = trực
-L
tâm H của tứ diện ABCD.
ÁN
Bài toán 13. 32: Cho hình chóp cụt có chiều cao h, diện tích của thiết diện song song và cách
TO
đều 2 đáy là S. Chứng minh thể tích V thoả mãn: Sh < V ≤
4 Sh 3
G
Hướng dẫn giải Gọi S1 , S 2 là diện tích 2 đáy hình chóp cụt.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
vuông góc với nhau). Chứng minh rằng với mọi điểm trong tứ diện ta có bất đẳng
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Bài toán 13. 31: Cho tứ diện trực tâm ABCD có thể tích V (tứ diện có các cạnh đối đôi một
Trang 23
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
2
N
S + S2 Ta chứng minh : S = 1 2
H Ơ
Gọi S là đỉnh hình chóp và k là chiều cao của hình
U
Y
h S1 = 1+ S2 k
(
S2 + S2
)
2
+
ẠO Đ G Ư N
TR ẦN
4 − S1S 2 h ≤ Sh 3
B
2
)
1 ( S1 + S2 ) h 2
2+
)
4 Sh 3
Ó
A
Vậy Sh ≤ V ≤
2 1 S1 + 2 h = 3Sh = Sh 3
ẤP
(
C
1 1 ≥ 2S + 3 4
H
Bài toán 13. 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của
-L
Í-
SC. Mặt phẳng qua AK cắt SB,SD tại M, N. Đặt V1 = VSAMNK và V = VSABCD .Chứng
1 V1 3 ≤ ≤ 3 V 8
Ỡ N
G
TO
ÁN
minh:
ID Ư
BỒ
(
2
3
1 1 Và V = 3 2
)
)
00
S2 + S2
S1 + S 2
1 S1 + S1S 2 + S 2 h 3
Thể tích hình chóp cụt: V =
(
(
H
S S − 1 = 2 1 − 1 ⇒ 4 S = S2 S2
Do đó
1 = 3
S h = 1+ S2 2k
10
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
2
h 2 k+ S 2 = 1 + h ⇒ = S 2 k 2k
Đặt x =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
2
S1 k + h h = = 1 + ⇒ S2 k k
TP .Q
2
N
chóp nhỏ, ta có tỉ diện tích:
Hướng dẫn giải SM SN ;y= SB SD
Ta có V1 = VSAMK + VSANK VSAMK SM SK xV = . ⇒ VSANK = 4 VSABC SB SC Trang 24
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
yV V ⇒ V1 = ( x + y ) 4 4
H Ơ N
Ta có f '( x) =
4 ( 3 x − 1)
, f '( x) = 0 ⇔ x =
2
BBT: 1/2
2/3
Đ 1
f’
|
-
0
f
3/8
ց
1/3
00
B
x
2 3
Ư N
3x ( 3x − 2 )
G
3x 2 1 với ≤ x ≤ 1 4(3 x − 1) 2
H
Xét hàm số f ( x) =
ẠO
3x 2 V1 3 = xy = V 4 4 ( 3 x − 1)
10
+
3/8
2+
3
ր
|
ẤP
1 V1 3 ≤ ≤ 3 V 8
C
Vậy
Ó
A
Bài toán 13. 34: Cho góc vuông xÔy. Trên các tia Ox và Oy, lần lượt lấy hai điểm M và N
H
sao cho MN = a, với a là một độ dài cho trước.
-L
Í-
a) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN. b) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O, lấy một điểm A cố định.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
1 SN x 1 ≤1⇒ ≤ 1 ⇒ x ≥ nên ≤ x ≤ 1 SD 3x − 1 2 2
TR ẦN
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Hãy xác định vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
Ta có
1 x ,x > 3x − 1 3
Y
Do đó x+y=3xy ⇒ y =
N
xyV xyV 3 xyV + = 2 4 4
Mà V1 = VSAMN + VSMNK =
U
Tương tự VS . ANK =
Vì y =
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
AMN đạt giá trị lớn nhất.
a) OI =
Hướng dẫn giải
MN a = ) và I thuộc góc vuông xÔy nên: Tập hợp các 2 2
điểm I là phần của đường tròn tâm O bán kính nằm trong góc xÔy. Trang 25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
b) Dựng AH ⊥ MN thì theo định lí ba đường vuông góc OH ⊥ MN
1 1 AH .MN = a. AH 2 2
N
Ta có: S ∆AMN =
H Ơ
Diện tích tam giác AMN lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn
N
nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi OH lớn nhất.
U TP .Q
G
a 2 2
Ư N
Vậy diện tích lớn nhất khi: OM = ON =
H
Bài toán 13. 35: Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD
TR ẦN
bằng α . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD. Xác định vị trí điểm M
B
để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(P) ,đạt giá trị lớn nhất.
10
00
Hướng dẫn giải
3
Thiết diện là hình bình hành MNQR.
2+
S MNQR = NM.NQ.sinMNQ. Do MN // AB, NQ H CD
Ó
A
MN AC − x AB = ⇒ MN = ( AC − x ) AB AC AC
H
Ta có
C
sinMNQ = sin α .
ẤP
nên góc giữa MN và NQ bằng góc giữa AB và CD nê.n
Í-
MR AM x CD x = = ⇒ MR = CD AC AC AC
ÁN
-L
NQ=MR,
Ỡ N
G
TO
Nên S MNQR =
AB.CD 1 AC − x ) x sin α ≤ AB.CD sin α 2 ( AC 4
Từ đó S MNQR max ⇔ AC − x = x ⇔ x =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Đ
OMN là tam giác vuông cân.
ID Ư
BỒ
a 2
Giá trị lớn nhất của OH là giá trị này đạt được khi và chỉ khi H trùng với I, khi đó
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
OH ≤ OI ⇒ OH ≤
Y
Trong tam giác vuông OHI ta luôn luôn có:
AC 2
Vậy khi M là trung điểm của AC thì diện tích lớn nhất
Bài toán 13. 36: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt đáy trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy, SO = h. Trang 26
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Một lăng trụ tam giác đều có đáy dưới nằm trên đáy hình chóp, ba đỉnh của đáy nằm trên ba cạnh bên hình chóp.
H Ơ
N
a) Tính cạnh đáy làng trụ khi mặt bên là hình vuông. b) Tính thể tích iớn nhất của lăng trụ khi a, h không đổi
Y
N
Hướng dẫn giải
U
a) Gọi MNP.M'N'P' là lăng trụ, x là chiều dài cạnh
ẠO
a 3 x 3 ,P'I ' = 2 2
Đ
Ta có IC =
G
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
H
SO − SO ' a − x h = ⇒ OO ' = ( a − x ) SO a a
Khi lăng trụ có mặt bên là hình vuông ta có:
TR ẦN
⇒
Ư N
I ' P ' SO ' SO ' x = ⇒ = IC SO SO a
B
h ah ( a − x ) = x ⇔ ah − hx = ax ⇔ x = a a+h
10
00
OO ' = x ⇔
x2 3 h h 3 2 x (a − x) . (a − x) = 4 a 4a
2+
3
b) Thể tích lăng trụ: V = B.h =
ẤP
Áp dụng bất đẳng thức BCS:
Ó
A
C
x x + +a−x x x 4a 3 x 2 ( a − x ) = 4. . ( a − x ) ≤ 4. 2 2 = 2 2 3 27
H
a2h 3 2 khi x = a 27 3
-L
Í-
Vậy Vmax =
Bài toán 13. 37: Cho tam giác ABC, AB = AC. Một điểm M thay đỗi trên đường thẳng
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
AB, SI ∩ M ' N ' = I '
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
đáy.I trung điểm của:
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
a) Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC. b) Gọi O là trực tâm của tam giác ABC, hãy xác định vị trí của M để thể tích tứ diện
OHBC đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải a) Gọi D là trung điểm của BC.
Trang 27
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ta có: MB = MC. Do đó MD ⊥ BC và trọng tâm G của tam giác MBC nằm trên MD thoả mãn hệ thức
H Ơ
N
1 DG = DM . Vậy G là ảnh của M trong phép vị tự 2
U
Y
N
1 tâm D. Vậy quỹ tích các trọng tâm G của tam giác 3
tâm của tam giác MBC, O = DA
Đ
∩ CE là trực tâm của tam giác ABC. Do CE ⊥
G
AB và CE ⊥ MA nên CE ⊥ (MAB). Vì CF ⊥ MB nên EF ⊥ MB. Do đó MB ⊥
Ư N
(CEF), ta suy ra MB ⊥ OH.
H
Chứng minh tương tự ta có MC ⊥ OH. Từ đó ta suy ra OH ⊥ (MBC) và DHO = 90°.
TR ẦN
Vậy quỹ tích trực tâm H của tam giác MBC là đường tròn đường kính DO nằm trong mặt phẳng (D, d).
00
B
b) Gọi HH' là chiều cao của tứ diện OHBC, ta có H' thuộc DO.
10
Hình chóp này có đáy OBC cố định nên VOHBC lớn nhất khi và chỉ khi HH' lớn nhất.
2+
3
Điểm H chạy trên đường tròn đường kính OD nên HH' lớn nhất khi HH' =
1 DO 2
ẤP
nghĩa là DHH' là tam giác vuông cân tại H', suy ra tam giác DMA lúc đó vuông cân
C
tại A.
Ó
A
Vậy tử diện OHBC có thể tích đạt giá trị lớn nhất, cần chọn M trên d (về hai phía của
H
A) sao cho AM = AD.
Í-
Bài toán 13. 38: Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một tạo tam diện Oxyz.
-L
Điểm M cố định năm trong góc tam diện. Một mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz lần
ÁN
lượt tại A, B, C. Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần
Ỡ N
G
TO
lượt là a, b, c. Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.
ID Ư
BỒ
ẠO
Hạ CD ⊥ AB, CF ⊥ MB ta có H = DM ∩ CF là trực
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
(ABC) tại trọng tâm G' của tam giác ABC.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
MBC là đường thẳng d' vuông góc với mặt phẳng
Hướng dẫn giải:
Ta có: VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA Nên
1 1 1 1 OA.OB.OC = OA.OB.c + OB.OC.a + OC.OA.b 6 6 6 6
Trang 28
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
a b c + + OA OB OC
H Ơ
N
1 Ta có: V = OA.OB.OC . Điểm M cố định tức là các số 6
N
a,b,c không đổi.
U
Y
Do đó V nhỏ ⇔ OA.OB.OC nhỏ nhất. Áp dụng bất
TP .Q
đẳng thức BC.
a b c abc + + ≥ 33 ⇔ OA.OB.OC ≥ 27abc. OA OB OC OA.OB.OC a b c OA.OB.OC nhỏ nhất ⇔ = = OA OB OC
ẠO Đ G
Vậy: V nhỏ nhất ⇔ OA = 3a, OB = 3b, OC = 3c.
Ư N
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
H
Bài toán 13. 39: Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Một mặt phẵng đi qua trọng tâm M của tứ
TR ẦN
diện cắt DA, DB, DC tại A', B', C' . Tìm giá trị nhỏ nhất của: T = VAA ' B 'C ' + VBA ' B ' C ' + VCA ' B ' C '
B
Hướng dẫn giải
10
00
Gọi DA1 = ( DAM ) ∩ ( DBC ) , DB1 = ( DBM ) ∩ ( DAC )
2+
3
DC1 = ( DCM ) ∩ ( DAB ) .DM ∩ ( ABC ) = H là trọng tâm ∆ABC nên DA + DB + DC = 3DH
ẤP
DA DB DC 4 DA '+ ⇒ DB '+ ⇒ DC ' = 3. DM = 4 DM DA ' DB ' DC ' 3
C
⇒
Ó
A
Do A', B', C' ,M đồng phẳng nên
H
DA DB DC DA '+ AA ' DB '+ BB ' DC '+ CC ' + + = + + DA ' DB ' DC ' DA ' DB ' DC '
=
AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' + + +3⇒ + + =1 DA ' DB ' DC ' DA ' DB ' DC '
ÁN
`
-L
Í-
4=
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
1=
Vậy minT=
27 VDABC 64
27 AA ' BB ' CC ' 1 VDABC khi = = = ⇔ ( A ' B ' C ' ) / / ( ABC ) 64 DA ' DB ' DC ' 3
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Do đó T= VDA ' B 'C ' ≥
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Do đó: 1=
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Trang 29
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 13. 40: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì
H Ơ
N
thể tích của khối chóp nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Y U
hình vuông ABCD.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
Ta có BC ⊥ SH, SB ⊥ OH => SHO là góc giữa mặt bên
Ư N
G
(SBC) và mặt phẳng đáy.
H
Đặt SHO = x. Khi đó:
TR ẦN
a a a 2a , OH = , SO = tan x = sin x sin x sinx cos x
00
B
1 4a 3 Vậy SSABCD = S ABCD .SO = 3 3cos x sin 2 x
10
Do đó V S.ABCD nhỏ nhất <=> y = cos x sin 2 x đạt giá trị lớn nhất.
2+
3
Ta có: y ' = − sin 3 x + 2sin x cos 2 x = s inx ( cos 2 x − sin 2 x )
C
ẤP
2 = s inx ( 2 − 3sin 2 x ) = 3sin x + s inx 3
A
2 π = cos α , 0 < α < ⇔ x = α 3 2
ÁN
Í-
-L
BBT:
H
Ó
y ' = 0 ⇔ cos x =
G
x
0
y’ y
Ỡ N ID Ư
BỒ
ẠO
d(A, (SBC)) = 2a.
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
d(E, (SBC)).Hạ EK ⊥ SH, ta có: EK ⊥ (SBC) => EK =
π
α +
0 ր
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Vì A D / / BC => A D // (SBC) => d(A, (SBC)) =
EH =
N
Hạ SO ⊥ (ABCD) thì O là tâm hình vuông ABCD. Gọi EH là đường trung bình của
2 ց
Vậy S SABC đạt giá trị lớn nhất khi x = α Trang 30
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Bài toán 13. 41: Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a, lấy điểm M sao cho: AM = x(0 < x < a). Trên nửa đường thẳng Az vuông góc với mặt phẳng chứa
H Ơ
N
hình vuông tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0). a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SBC) và tính khoảng cách từ điểm M đến
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Do đó (SAB) ⊥ (SBC).
G
Đ
Vì (SAC) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AC nên hạ MH ⊥ AC
Ư N
thì MH ⊥ (SAC).
H
Vậy MH là khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAC).
TR ẦN
Trong tam giác vuông AMH có:
B
2x 2
3
10
1 a (a + x) 2
2+
đáy là S =
00
Hình chóp S.ABCM có đường cao SA=y và có đáy là hình thang vuông nên diện tích
ẤP
Thể tích khối chóp S.ABCM là: V =
1 1 1 y. a ( a + x ) = ya ( a + x ) 3 2 6 2
Ó
1 2 2 1 2 3 a ( a − x 2 ) ( x + a ) = a 2 ( a − x )( a + x ) . 36 36
H
V2 =
A
C
b) Theo giả thiết: x 2 + y 2 = a 2 ⇒ y 2 = a − x 2 nên
-L
Í-
Đặt f ( x) = V 2 với 0 ≤ x ≤ a , ta có 2
ÁN
2 a 2 ( a + x ) ( 2a − 4 ) a2 a3 3 f ' ( x ) = − ( a + x ) + 3 ( a − x )( a + x ) = 36 36 36
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
a) Ta có BC ⊥ AB, SA nên BC ⊥ (SAB).
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Hướng dẫn giải.
MH = x sin 450 =
U
TP .Q
b) Biết rằng x 2 + y 2 = a 2 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.
Y
N
mp(SAC).Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
a 2
BTT:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
f '( x) = 0 ⇔ x =
Trang 31
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
a 2
0 +
f
ր
0
ց
U
Y
N
f’
a
N
x
H Ơ
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
G
Bài toán 13. 42: Cho hình chóp S.ABCD có bảy cạnh bằng 1 và cạnh bên SC = x.
Ư N
Định x để thể tích khối chóp là lớn nhất.
H
Hướng dẫn giải
TR ẦN
Đáy ABCD có 4 cạnh bằng 1 nên là 1 hình thoi =>AC ⊥ BC.
B
Ba tam giác ABD, CBD, BSD có chung cạnh
00
BD, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1 nên bằng
10
nhau, các trung tuyến AO.SO và CO bằng nhau.
x2 + 1
ẤP
AC =
2+
3
Suy ra tam giác ASC vuông tại S ta được
C
Gọi H là hình chiếu đỉnh S trên đáy (ABCD).
Ó
A
Do SA = SB = SD = 1 nên HA = HB = HD => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
H
giác ABD => H ∈ AC => SH là đường cao của tam giác vuông ASC.
-L
Í-
Ta có SH.AC = SA.SC => SH =
x x2 + 1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Đ
ẠO
a3 3 lớn nhất: V = max f ( x) = 8
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ÁN
x2 + 1 3 − x2 1 OB 2 = AB 2 − OA2 = 1 − ⇒ OB = 3 − x2 = 2 4 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
a Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x= ,khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị 2
Điều kiện x 2 < 3 ⇔ 0 < x < 3 Ta có S ABCD = AC.OB =
1 2 1 x + 1. 3 − x 2 = 2 2
(x
2
+ 1)( 3 − X 2 )
1 1 Vậy VSABCD = S ABCD .SH = x 3 − x 2 3 6 Trang 32
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ta có thể dùng đạo hàm hay bất đẵng thức Côsi:
H Ơ
N
1 2 1 x2 + 3 − x2 1 x ( 3 − x2 ) ≤ . = 6 6 2 4
N
6 2
U
Bài toán 13. 43: Cho điểm M trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt
TP .Q
MA MB MC MD + + + MA ' MB ' MC ' MD '
ẠO
T=
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
Hướng dẫn giải
Ư N
G
Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của A, M lên mặt phẳng (BCD). Ta có H, I, A' thẳng
TR ẦN
các đáy là các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Ta có:
00
2+
3
10
MA V − V1 V = = −1 MA ' V1 V1
B
1 AH .S BCD AA ' AH 3 V = = = 1 MA ' MI ML.S BCD V1 3
⇒
H
hàng. Gọi V1,V2,V3,V4 lần lượt là thể tích của tứ diện ABCD và 4 hình chóp đỉnh M với
ẤP
Tương tự
Ó
≥ 16 − 4 = 12
A
C
MB V MC V MD V = − 1, = − 1, = −1 MB ' V2 MC ' V3 MD ' V4
Í-
H
Vậy minT = 12⟺M là trọng tâm tứ diện ABCD.
-L
3. BÀI LUYỆN TẬP
ÁN
Bài tập 13. 1: Tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A, lất điểm S sao cho
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
mặt đối diện tại A', B',C' D' tương ứng. Tìm GTNN của
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Dấu “=” khi x 2 = 3 − x 2 ⇔ 2 x 2 = 3 ⇔ x =
Y
V=
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
SA = a 2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB và SC.
a) Gọi H là hình chiếu của A trên È. Chứng minh AH nằm trên (SAD). Hãy cho biết vị trí của điểm H đối với hai điểm S và D. b) Tính diện tích của tam giác AEF.
Hướng dẫn Trang 33
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
a) Chứng minh BC vuông góc với (SAD) Kết quả H là trung điểm của SD.
N
a2 3 2
H Ơ Y
TP .Q
U
Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o.
ẠO
Gọi tâm O là tâm hình vuông ABCD, hạ OH vuông góc với SC.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
Kết quả x = a.
G
Bài 13. 3: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối
Ư N H
Hướng dẫn
a 2 a3 2 và VABCD = . 2 12
B
điểm. Kết quả
TR ẦN
Khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện của tứ diện đều là độ dài đoạn nối 2 trung
00
Bài 13. 4: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Tính thể tích khối đa diện có 6 đỉnh là 6
10
trung điểm của 6 cạnh của tứ diện ABCD.
1 V. 2
ẤP
So sánh thể tích. Kết quả
2+
3
Hướng dẫn
C
Bài 13. 5: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AB = b
Ó
A
Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm S sao cho SA = h
Í-
H
(h > 0). M là một điểm di động trên cạnh SB. Gọi I,J lần lượt là các trung điểm của
-L
BC và AB.
ÁN
a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SI và AB. b) Tính tỉ số giữa thể tích các hình chóp BMIJ và BSCA khi độ dài đoạn vuông góc
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Hướng dẫn
diện và thể tích của hình tứ diện đều đó.
N
Bài 13. 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ ( ABCD ) , SA= x
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
b) Kết quả SAEF =
BỒ
Hướng dẫn
a) Dùng AC song song với (SIJ). Kết quả
ID Ư
Ỡ N
G
chung của hai đường AC và MJ đạt giá trị lớn nhất.
bh b 2 +42
Trang 34
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
VBMIJ 1 = VBSCA 8
H Ơ
N
Bài 13. 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng φ, tính thể tích của khối chóp.
Y
N
Hướng dẫn
( 2tan φ+1) 2
3
ẠO
3
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
TP .Q
4 2d 3 tan φ
Kết quả
Đ
Bài 13. 7 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Hãy tính thể tích tứ diện ACA’B’ biết tam giác ABC
G
là tam giác đều cạnh bằng a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o.
Ư N
Hướng dẫn
TR ẦN
H
1 Xác định hình chiếu của A’ lên mp(ABC). Kết quả VACA'B' = a 2 b 8
Bài 13. 8 : Cho hình chóp tam giác SABC có SA= x, BC = y , các cạnh còn lại đều bằng 1.
B
Tính thể tích hình chóp theo x,y. Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn nhất?
10
00
Hướng dẫn
3
Gọi M trung điểm BC thì thể tích hình chóp chia đôi bằng nhau bởi mp(SAM).
2+
xy x 2 +y 2 2 1− , thể tích hình chóp lớn nhất khi x = y = 6 4 3
ẤP
Kết quả V=
C
Bài 13. 9 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B,
Ó
A
AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc
-L
Í-
H
với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK.
Hướng dẫn
ÁN
Dùng tỉ số thể tích. Kết quả VSAHK =
8a 3 45
ˆ = 90o , CAD ˆ = ACB = 60o , và AB = AC = AD = a . Bài 13. 10: Cho tứ diện ABCD có BAD
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
U
Tính cạnh đáy a bằng cách lập phương trình.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
b) Kết quả
Tính thể tích tứ diện ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Hướng dẫn Xác định dạng tam giác BCD suy ra hình chiếu lên (BCD).
Trang 35
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
a3 2 a và d ( AC;BD ) = 12 2
BỒ
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Kết quả VABCD =
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Trang 36
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial