TÀI LIỆU, CHUYÊN ĐỀ MÔN VẬT LÝ LỚP 10-11-12
vectorstock.com/21292754
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN PHYSICS PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
Toàn tập chuyên đề Dao động cơ học Nguyễn Xuân Trị - Có lời giải chi tiết PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
CHƯƠNG I
DAO ĐỘNG CƠ HỌC CHỦ ĐỀ 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN I. DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN 1. Định nghĩa: là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định. 2. Dao động tự do (dao động riêng) + Là dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực. + Là dao động có tần số (tần số góc, chu kỳ) chỉ phụ thuộc các đặc tính của hệ không phụ thuộc các yếu tố bên ngoài. Khi đó: gọi là tần số góc riêng; f gọi là tần số riêng; T gọi là chu kỳ riêng. 3. Chu kì, tần số của dao động: + Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần; đơn vị giây (s). 2π t khoaûng thôøi gian T ω N soá dao ñoäng Với N là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong thời gian t. + Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây; đơn vị héc (Hz). 1 ω N soá dao ñoäng f T 2π t khoaûng thôøi gian II. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1. Định nghĩa: là dao động mà trạng thái dao động được mô tả bởi định luật dạng cosin (hay sin) đối với thời gian. 2. Phương trình dao động: x = Acos(t + ). x Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa Mt P + Li độ x: là độ lệch của vật khỏi vị trí cân M0 bằng. + Biên độ A: là giá trị cực đại của li độ, luôn O dương. + Pha ban đầu : xác định li độ x tại thời điểm ban đầu t = 0. x’ Trang 4
+ Pha của dao động (t + ): xác định li độ x của dao động tại thời điểm t. 2π + Tần số góc : là tốc độ biến đổi góc pha. = = 2f. Đơn vị: rad/s. T + Biên độ và pha ban đầu có những giá trị khác nhau, tùy thuộc vào cách kích thích dao động. + Tần số góc có giá trị xác định (không đổi) đối với hệ vật đã cho.
x S 2
t
AĐồ thị của li độ theo thời gian Đồ thị x - t
A ω
v t
A Đồ thị của vận tốc theo thời gian ω Đồ thị v - t
3. Phương trình vận tốc: v = x’ = – Asin(t + ) = Acos(t + +
π ). 2
+ Véctơ v luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0). + Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng π sớm pha hơn so với với li độ. 2 + Vị trí biên (x = A), v = 0. Vị trí cân bằng (x = 0), |v| = vmax = A. 4. Phương trình gia tốc: a = – 2Acos(t + ) = 2Acos(t + + ) = – 2x.
+ Véctơ a luôn hướng về vị trí a cân bằng. ω2 + Gia tốc của vật dao động điều A hòa biến thiên điều hòa cùng tần số t nhưng ngược pha với li độ (sớm pha π -ω2A so với vận tốc). 2 Đồ thị của gia tốc theo thời gian + Véctơ gia tốc của vật dao động Đồ thị a - t điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng, có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ. + Một số đồ thị cơ bản.
Trang 5
a Aω2 A -A
x -Aω2
Đồ thị của gia tốc theo li độ Đồ thị a - x
v
a Aω2
Aω
-A
A
x
Aω
-Aω
v
-Aω2
-Aω
Đồ thị của vận tốc theo li độ Đồ thị của gia tốc theo vận tốc Đồ thị v - x Đồ thị a - v
v ω
2
5. Hệ thức độc lập: A 2 = x 2 + a = - 2x Hay
A2 =
a2 v2 + ω4 ω2
2
2
v a + 2 =1 ωA ω A
2 2 v2 a2 1 hay a 2 2 (v 2max v 2 ) hay v2 a2 1 2 2 2 v max v max v max a max
2
2
F v F2 v 2 1 A m4 Fmax v max Các công thức độc lập về năng lượng: Trang 6
2
2 2 F 2 W 2 F v ñ 1 1 Fmax Wñ max F v max max Wñ Wt 1 W W
Chú ý: Việc áp dụng các phương trình độc lập về thời gian sẽ giúp chúng ta giải toán vật lý rất nhanh, do đó, học sinh cần học thuộc dựa vào mối quan hệ của từng đại lượng trong các công thức với nhau và phải vận dụng thành thạo cho các bài toán xuôi ngược khác nhau. Với hai thời điểm t1, t2 vật có các cặp giá trị x1, v1 và x2, v2 thì ta có hệ thức tính ω, A và T như sau: 2
2
2
x1 v1 x 2 v 2 A Aω A Aω
2
v 22 v12 x12 x 22 T 2 ω x12 x 22 v 22 v12 x12 x 22 v 22 v12 2 2 2 A2 Aω x12 v 22 x 22 v12 v1 2 A x 1 v 22 v12 6. Vật ở VTCB: x = 0; vMax = A; aMin = 0. Vật ở biên: x = ± A; vMin = 0; aMax = 2A. 7. Sự đổi chiều và đổi dấu của các đại lượng: + x, a và F đổi chiều khi qua VTCB, v đổi chiều ở biên. + x, a, v và F biến đổi cùng T, f và ω. 8. Bốn vùng đặc biệt cần nhớ a. Vùng 1: x > 0; v < 0; a < 0 Chuyển động nhanh dần theo chiều (-) vì 2 a.v > 0 và thế năng giảm, động năng tăng. b. Vùng 2: x < 0; v < 0; a > 0 O Chuyển động nhanh dần theo chiều (-) vì a a.v < 0 và thế năng tăng, động năng giảm. a c. Vùng 3: x < 0; v > 0; a > 0 3 Chuyển động nhanh dần theo chiều (+) vì a.v > 0 và thế năng giảm, động năng tăng. d. Vùng 4: x > 0; v > 0; a < 0 Chuyển động nhanh dần theo chiều (+) vì a.v < 0 và thế năng tăng, động năng giảm.
Trang 7
1 x
x
v
4
9. Mối liên hệ về pha của li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a). Theo hình trên ta π nhận thấy mối liên hệ về pha của li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a): φ v = φ x + 2 π và φ a = φ v + = φx + π . 2 10. Chiều dài quỹ đạo: 2A 11. Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong một nữa chu kỳ luôn là 2A. T Quãng đường đi trong chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc 4 ngược lại. Thời gian vật đi được những quãng đường đặc biệt:
T 4 T 12
-A T 8
T A 2 2 24
T 2
T 12
A 2 A 3 2 2
A 2
A 2 O
T 8
T 12
T 6
A
Sơ đồ phân bố thời gian trong quá trình dao động 12. Thời gian, quãng đường, tốc độ trung bình a. Thời gian: Giải phương trình x i A cos(ωt i +φ) tìm t i Chú ý: Gọi O là trung điểm của quỹ đạo CD và M là trung điểm của OD; thời gian đi từ O đến M là t OM = C
T T , thời gian đi từ M đến D là t MD = . 6 12 D
M
O T 12
T 6
Từ vị trí cân bằng x = 0 ra vị trí x = ± A
2 mất khoảng thời gian t = T . 2 8
Từ vị trí cân bằng x = 0 ra vị trí x = ± A
3 mất khoảng thời gian t = T . 2 6
Trang 8
Chuyển động từ O đến D là chuyển động chậm dần đều( av < 0; a v ), chuyển động từ D đến O là chuyển động nhanh dần đều ( av > 0; a v ). Vận tốc cực đại khi qua vị trí cân bằng (li độ bằng không), bằng không khi ở biên (li độ cực đại).
b. Quãng đường:
T Neáu t = 4 thì s = A T thì s = 2A suy ra Neáu t = 2 Neáu t = T thì s = 4A
Neáu t = nT thì s = n4A T thì s = n4A + A Neáu t = nT + 4 T Neáu t = nT + 2 thì s = n4A + 2A Chú ý:
t = t = t =
T 8
T 6
T 12
2 2 neáu vaät ñi töø x = 0 x = ± A sM = A 2 2 s = A 1 2 neáu vaät ñi töø x = ± A 2 x = ± A m 2 2 3 3 neáu vaät ñi töø x = 0 x = ± A sM = A 2 2 A A s = neáu vaät ñi töø x = ± x=±A m 2 2 A A sM = 2 neáu vaät ñi töø x = 0 x = ± 2 s = A 1 3 neáu vaät ñi töø x = ± A 3 x = ± A m 2 2
c. + Tốc độ trung bình: v tb =
s . t
+ Tốc độ trung bình trong một chu kỳ dao động: v = 4A . T
Trang 9
VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC - GÓC QUAY VÀ THỜI GIAN QUAY Các góc quay và thời gian quay được tính từ gốc A
2 3 3 4
v min A
a max A
2
6
x max A
a0
a min A2
0
VTCB
A 2
A 3 A 2 2 2
5 6
0
Gia tốc
ω2A
O x0 v max A
A 3 A 2
A 2 2
Chuyển động theo chiều dương v > 0
tốc
A 2
a0
3 4
Vận
4
x0
x min A
3
Chuyển động theo chiều âm v < 0
5 6
A
2
(+)
v max 2
v max 2
2 3
a max 2
a max 3 2 3
v max 3 2
1
2
2
0
1 W 4 3 W 4
0
0 1 W kA 2 2
Trang 10
3
v max 3 2
a max 2
Wt W 4 W 2 W Wñ = 0 1 W 1 W 4
a max 2 1 W 4 3 W 4
6
4
v max 2
a max
0 v max 2
2
- ω2A
1 W 2 1 W 2
a max 3 2
3 W 4 1 W 4
W
0
Giá trị của các đại lượng , v, a ở các vị trí đặc biệt trong dao động điều hòa: Tên gọi của 9 vị trí x đặc biệt trên trục x’Ox Biên dương A: x=A Nửa căn ba dương:
Kí hiệu
Góc pha
Tốc độ tại li độ x
B+
00
0 rad
v=0
C3/2+
±300
6
v
HD+
±450
4
v
v max 2 2
A x= 2
NB+
±600
3
v
v max 3 2
Cân bằng O: x=0
CB
±900
NB-
±1200
2 2 3
HD-
±1350
C3/2-
±1500
B-
1800
x=
3 A 2
Hiệu dụng dương: A 2 x= 2 Nửa biên dương:
Nửa biên âm: : x=-
A 2
Hiệu dụng âm: A 2 x=2 Nửa căn ba âm: x=-
3 A 2
Biên âm: x = -A
v max 2
vmax = ωA
v
v max 3 2
3 4
v
v max 2 2
5 6
v
v max 2
v=0
Giá trị gia tốc tại li độ x - amax = - ω2A
a
a max 3 2
a max 2 2 a max a 2
a
A=0 Fhp = 0
a
a max 2
a max 2 2 a 3 a max 2
a
amax = ω2A
B. DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề 1: Dạng bài toán tìm hiểu các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa Để tìm các đại lượng đặc trưng của một dao động điều hòa khi biết phương trình dao động hoặc biết một số đại lượng khác của dao động ta sử dụng các công thức liên quan đến những đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm rồi suy ra và tính đại lượng cần tìm theo yêu cầu của bài toán. Để tìm các đại lượng của dao động điều hòa tại một thời điểm t đã cho ta thay giá trị của t vào phương trình liên quan để tính đại lượng đó. Trang 11
Chú ý: Hàm sin và hàm cos là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên khi thay t vào nếu được góc của hàm sin hoặc hàm cos là một số lớn hơn 2 thì ta bỏ đi của góc đó một số chẵn của để dễ bấm máy. Để tìm thời điểm mà x, v, a hay F có một giá trị cụ thể nào đó thì ta thay giá trị này vào phương trình liên quan và giải phương trình lượng giác để tìm t. Đừng để sót nghiệm: với hàm sin thì lấy thêm góc bù với góc đã tìm được, còn với hàm cos thì lấy thêm góc đối với nó và nhớ hàm sin và hàm cos là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 để đừng bỏ sót các họ nghiệm. Tránh để dư nghiệm: Căn cứ vào dấu của các đại lượng liên quan để loại bớt họ nghiệm không phù hợp. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 (ĐH A – A1, 2012): Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Vectơ gia tốc của chất điểm có A. độ lớn cực đại ở vị trí biên, chiều luôn hướng ra biên. B. độ lớn cực tiểu khi qua vị trí cân bằng luôn cùng chiều với vectơ vận tốc. C. độ lớn không đổi, chiều luôn hướng về vị trí cân bằng. D. độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ, chiều luôn hướng về vị trí cân bằng. Hướng dẫn giải: Ta có: a = – ω2x luôn hướng về vị trí cân bằng, độ lớn tỉ lệ với li độ x. Chọn đáp án D Câu 2 (QG – 2015): Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x 5cos πt 0,5π cm. Pha ban đầu của dao động là
A. π.
B. 0,5π.
C. 0,25π. D. 1,5π. Hướng dẫn giải: Phương trình dao động của vật có dạng x A cos t , với là pha ban đầu của dao động. So sánh với phương trình đã cho ta có φ 0,5π . Chọn đáp án B 2π Câu 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x 5cos πt cm. Số 3 dao động toàn phần mà vật thực hiện trong một phút là: A. 65 B. 120 C. 45 Hướng dẫn giải: 2π 2π Tần số dao động: f 2 Hz . ω π Số dao động toàn phần mà vật thực hiện trong một phút là: Trang 12
D. 100
f
1 ω N soá dao ñoäng N = f.t = 2.60 = 120. T 2π t khoaûng thôøi gian
Chọn đáp án B Câu 4 (Chuyên Sơn Tây lần 1 – 2015): Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 10cm. Sau 0,5s kể từ thời điểm ban đầu vật đi được 5cm mà chưa đổi chiều chuyển động và vật đến vị trí có li độ 2,5cm. Tần số dao động của vật là: A. 0,5 Hz B. 3 Hz C. 1 Hz D. 1 Hz 3 Hướng dẫn giải: Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 10cm => A = 5cm. Sau 0,5s kể từ thời điểm ban đầu vật đi được 5cm mà chưa đổi chiều chuyển động và vật đến vị trí có li độ 2,5cm => Ban đầu vật ở vị trí có li độ - 2,5cm. Suy ra: t
T 1 1 0,5s T 3s f s. 6 T 3
Chọn đáp án C π Câu 5: Phương trình dao động điều hòa của một vật là: x 6 cos 4πt cm. 6 Xác định li độ, vận tốc và gia tốc của vật khi t = 0,25 s. Hướng dẫn giải: Nhận thấy, khi t = 0,25 s thì: π 7π + Li độ của vật: x = 6cos(4.0,25 + ) = 6cos = – 3 3 cm. 6 6 π 7π + Vận tốc của vật: v = – 6.4sin(4t + ) = – 6.4sin = 37,8 cm/s. 6 6 + Gia tốc của vật : a = – 2x = – (4)2. 3 3 = – 820,5 cm/s2. Câu 6: Một chất điểm dao động theo phương trình: x = 2,5cos10t cm. Vào thời π điểm nào thì pha dao động đạt giá trị ? Lúc ấy li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng 3 bao nhiêu ? Hướng dẫn giải: π π Theo giả thuyết của bài toán ta có: 10t = t= (s). Khi đó : 3 30 π + Li độ: x = Acos = 1,25 cm. 3 π + Vận tốc: v = - Asin = - 21,65 cm/s 3 Trang 13
+ Gia tốc: a = - 2x = - 125 cm/s2. Câu 7 (Chuyên ĐHSP Hà Nội lần 3 – 2015): Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục Ox có vận tốc bằng không tại hai thời điểm liên tiếp (gần nhau nhất) là t1 1, 75s; t 2 2,50s ; tốc độ trung bình trong khoảng thời gian đó là 16 cm/s. Ở thời điểm t = 0 chất điểm ở cách gốc tọa độ một khoảng là: A. 2cm
B. 4 cm
C. 3cm
D. 1cm
Hướng dẫn giải: Vận tốc bằng không tại hai thời điểm liên tiếp (gần nhau nhất) là t1 1,75s và
t 2 2,50s . Chu kỳ dao động của vật là T 2 t 2 t1 1,5s Lại có v tb
S 2A 16 A 6cm t 0,75
*TH1: tại thời điểm t1 vật ở vị trí biên âm. Ban đầu vật ở vị trí có li độ
x
A 3cm. 2
*TH2: tại thời điểm t2 vật ở vị trí biên dương. Ban đầu vật ở vị trí có li độ
x
A 3cm. 2
Chọn đáp án C. Câu 8: Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa với phương trình: π x 20 cos 10πt cm. Xác định độ lớn và chiều của các véctơ vận tốc, gia tốc 2 và lực kéo về tại thời điểm t = 0,75T. Hướng dẫn giải: 0,75.2π Nhận thấy khi t = 0,75T = = 0,15 s thì: ω π + Li độ: x = 20cos(10.0,15 + ) = 20cos2 = 20 cm. 2 + Vận tốc: v = – Asin2 = 0. + Gia tốc: a = – 2x = – 200 m/ s2. + Lực kéo về: F = – kx = – m2x = – 10 N. Suy ra, a và F đều có giá trị âm nên gia tốc và lực kéo về đều hướng ngược với chiều dương của trục tọa độ. Trang 14
Câu 9: Một vật dao động quanh VTCB. Thời điểm ban đầu vật qua VTCB theo chiều dương. Đến thời điểm t1= bằng
1 s vật chưa đổi chiều chuyển động và có vận tốc 3
3 5 vận tốc ban đầu. Đến thời điểm t2 = s vật đã đi được quãng đường 6 2 3
cm. Tính vận tốc ban đầu. A. π cm/s B. 2 π cm/s
C. 3 π cm/s
D. 4 π cm/s
Hướng dẫn giải: Ở thời điểm ban đầu vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương nên
x 0 0 t 0 v 0 ωA Đến thời điểm t1 vật chưa đổi chiều chuyển động, nên vật tiếp tục đi ra biên dương
v12 3 A 2 2 v v A x x1 1 0 1 2 2 ω 2 T 1 t A T 4 s 0 2 12 3 t 5/3 5 1 1 T T t2 Đến thời điểm t2 vật đi được 6cm: 2 T 4 12 4 6 4 6 T Trong vật đi từ vi trí cân bằng ra biên dương (S1 = A) 4 T A A Trong vật từ biên dương trở về đến vị trí x (S2 ) 6 2 2 A Quãng đường vật đí từ lúc đầu đến thời điểm t2 : S A 6 cm A 4 cm 2 2π A 2π cm/s . Vận tốc ban đầu v 0 v max ωA T Chọn đáp án B π Câu 10: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x 20 cos 10πt cm. 2 Thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0. A. 0,190 s B. 0,194 s C. 0,192 s D. 0,198 s Hướng dẫn giải: Theo giả thuyết ta có: Trang 15
π π ) cos(10t + ) = 0,25 = cos(± 0,42). 2 2 π π Vì v = – 100sin(10t + ) < 0 nên ta chọn (10t + ) = 0,42 + 2k 2 2 Suy ra t = – 0,008 + 0,2k; với k Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này (ứng với k = 1) là 0,192 s. Chọn đáp án C Câu 11 (QG – 2016): Một chất điểm dao động điều hòa có vận tốc cực đại 60 cm/s và gia tốc cực đại là 2 (m/s 2 ) . Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Thời điểm ban đầu (t = 0), chất điểm có vận tốc 30 cm/s và thế năng đang tăng. Chất điểm có gia tốc bằng (m/s 2 ) lần đầu tiên ở thời điểm A. 0,35 s. B. 0,15 s. C. 0,10 s. D. 0,25 s. Hướng dẫn giải: x = 5 = 20cos(10t +
Ta có:
a max 2 10 v max A 0, 60 m/s v 0, 6 3 rad/s max 2 2 a A 2 m/s 2 T 0, 6 s max v max M2 Khi t = 0, v 0 30cm/s 2
x0 A2
v 02 2
A
2
A 3 2 A2 2 A 2
A O 2
A 3 x 2 A
M1
Khi đó, thế năng của vật đang tăng và vật chuyển động theo chiều dương nên
a 3 . Khi vật có gia tốc bằng π (m/s 2 ) max thì li độ của vật là x: 2 2 x a 1 A x . A a max 2 2
x 0 A
Chất điểm có gia tốc bằng (m/s 2 ) lần đầu tiên ở thời điểm:
5 5 t T 6 2 6 T T .0, 6 0, 25 s 2 2 12 12 Chọn đáp án D Trang 16
Chú ý: Nếu nhớ các khoảng thời gian đặc biệt (đã học) thì tính luôn:
t
T T T 5T . 12 4 12 12
Câu 12 (ĐH A, 2010): Một vật nhỏ có khối lượng 500 g dao động điều hòa dưới tác dụng của một lực kéo về có biểu thức F = – 0,8cos4t N. Dao động của vật có biên độ là A. 6 cm B. 12 cm C. 8 cm D. 10 cm Hướng dẫn giải: Biểu thức lực kéo về có dạng: F = – mω2x = – mω2Acos(ωt + φ). Khi đó: mω2A = 0,8. Suy ra : A =
0,8 0,8 0,1 m = 10cm. = 2 0,5.42 mω
Chọn đáp án D Câu 13 (Chuyên Sơn Tây lần 1 – 2015): Chất điểm P đang dao động điều hoà trên đoạn thẳng MN, trên đoạn thẳng đó có bảy điểm theo đúng thứ tự M, P1, P2, P3, P4, P5, N, với P3 là vị trí cân bằng. Biết rằng từ đểm M,cứ sau 0,1s chất điểm lại qua các điểm P1, P2, P3, P4, P5, N. Tốc độ của nó lúc đi qua điểm P1 là 5π cm/s. Biên độ A bằng: A. 2 2 cm B. 6 3 cm C. 2 cm D. 6cm 3 Hướng dẫn giải: Biết rằng từ đểm M, cứ sau 0,1s chất điểm lại qua các điểm P1, P2, P3, P4, P5, N
T 1, 2s
5 rad/s. 3
A 3 . 2 Áp dụng công thức độc lập với thời gian ta có: Li độ của chất điểm tại vị trí P1 là: x 2
2 2 v 3A 5 A2 x 2 2 A2 A 6cm. 4 5 3 Chọn đáp án D Vấn đề 2: Tính li độ, vận tốc, gia tốc, ... của vật dao động điều hòa dựa vào các phương trình độc lập với thời gian
v ω
Hệ thức độc lập: A 2 = x 2 +
2
A2 =
Trang 17
a2 v2 + ω4 ω2
2
2
v a + 2 =1 ωA ω A
a = - 2x
v2 a2 v2 a2 2 2 2 2 hay hay a (v v ) 1 1 max v 2max 2 v 2max v 2max a 2max Sơ đồ giải nhanh: Hay
Vận
0
tốc
Gia tốc
ω2A
v max 2
v max 2
v max 3 2
0
v max 3 2
a max 2
0
a max 2
3
1 W 4 3 W 4
1
Wt W 4 W 2 W Wñ = 0 1 W 1 W 4
a max 3 2
2
v max 2
a max 2
0 1 W kA 2 2
1 W 4 3 W 4
0 v max 2
a max 2
- ω2A
1 W 2 1 W 2
a max 3 2
3 W 4 1 W 4
W
0
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 (ĐH A - 2009): Một vật dao động điều hòa có phương trình x A cos(t ) . Gọi v và a lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là: A. C.
v2 a2 2 A2 . 4 v2 a2 4 A2 . 2
B.
v2 a2 2 A2 2
D.
2 a 2 4 A2 . 2 v
Hướng dẫn giải:
a = ω 2 A v a2 v2 Từ công thức: A = x + 2 với ta được A 2 = 4 + 2 . ω ω ω v max ωA 2
2
2
Chọn đáp án C Câu 2: Một vật dao động điều hoà, tại li độ x1 và x2 vật có tốc độ lần lượt là v1 và v2. Biên độ dao động của vật bằng: A.
v12 x 22 v 22 x12 v12 v 22
B.
v12 x12 v 22 x 22 v12 v 22
Trang 18
C.
v12 x 22 v 22 x12 v12 v 22
D.
v12 x 22 v 22 x12 v12 v 22
Hướng dẫn giải: 2 2 2 v A = x1 + 1 ω Từ hệ thức độc lập với thời gian ta có: 2 2 2 v2 A = x 2 + ω
(1) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: v12 A 2 x12 A 2 v12 v12 x 22 A 2 v 22 v 22 x12 v 22 A 2 x 22
A 2 (v12 v 22 ) v12 x 22 v 22 x12 A
v12 x 22 v 22 x12 v12 v 22 Chọn đáp án A
Câu 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x 4 cos t
cm . Vận 2
tốc của vật khi nó qua li độ x = 2 cm là: A. 2 3 cm/s
B. 2 3 cm/s
C. Cả A, B đều đúng Hướng dẫn giải:
D. Một kết quả khác
Cách giải 1: Vận dụng công thức độc lập với thời gian: A 2 = x 2 +
v2 . ω2
Vận tốc của vật là: v ω A 2 x 2 2π 3 cm/s. Chọn đáp án C Cách giải 2: Dùng sơ đồ giải nhanh: A
A 2 2
A 3 2
Khi vật đi qua vị trí
A 2 2
O
A 2
A 2
A thì: 2
Trang 19
A 3 2
A
v
v max 3 A 3 4 3 2 3 cm/s. 2 2 2
Chọn đáp án C Câu 4 (ĐH khối A, 2011): Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40 3 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm A. 5 cm. B. 4 cm. C. 10 cm. D. 8 cm. Hướng dẫn giải : Cách giải 1: Từ công thức: A 2 = x 2 +
a = ω 2 x v max ωA
ta được A 2 =
với
2 Suy ra: A v max a
1
v2 (1) ω2
a2 v2 a 2A4 v2A 2 . + = + 2 ω4 ω2 v 4max v max
v2 202 = v 2max 40 3
1
102 = 5 cm. 202
Chọn đáp án A Cách giải 2: Tại ví trí cân bằng tốc độ của vật có độ lớn cực đại: v vmax = ωA → ω = max ( 1) A Tại thời điểm chất điểm có tốc độ v, gia tốc a ta có :
a2 v + 2 = ω2 A 2 ω 2
Thay (2) vào (1) ta có : v 2 +
A=
v max a
v 2max v 2 =
(2)
a 2A2 = v 2max v 2max 20 202 102 = 5 cm . 40 3
Cách giải 3: Vì a và v vuông pha nhau nên ta có: v2 a2 v2 a2 1 1 v 2max a 2max v 2max A2 2
A=
v max a
v 2max v 2 =
Chọn đáp án A
20 202 102 = 5 cm . 40 3 Chọn đáp án A Trang 20
Nhận xét: Cả ba cách giải trên đều sử dụng các phương trình độc lập với thời gian và đều qui về một đáp án duy nhất. Tuy nhiên, cách giải thứ 3, khi sử dụng điều kiện vuông pha cho ta kết quả nhanh hơn rất nhiều. Câu 5: Một vật dao động điều hòa: khi vật có li độ x1 3cm . Thì vận tốc là
v1 4π cm/s , khi vật có li độ x 2 4cm thì vận tốc là v 2 3π cm/s . Tìm tần số góc và biên độ của vật? Hướng dẫn giải: Từ các hệ thức độc lập với thời gian ta có: 2 2 4 2 v12 2 2 A 3 A x1 2 rad/s 2 2 2 A 5cm 3 A 2 x 2 v 2 2 2 2 A 4 2 2
Câu 6 (Chuyên Nguyễn Quang Diệu – 2014): Một chất điểm dao động điều hòa. Tại thời điểm t1 li độ của chất điểm bằng x1 = 3cm và vận tốc bằng v1 = - 60 3 cm/s. Tại thời điểm t2 li độ bằng x2 = -3 2 cm và vận tốc bằng v2 = -60 2 cm/s. Biên độ và tần số góc dao động của chất điểm lần lượt bằng A. 6cm; 12rad/s. B. 12cm; 10rad/s. C. 6cm; 20rad/s. D. 12cm; 20rad/s. Hướng dẫn giải: Ta có: 2 2 v 2 v 2 x1 1 x 2 2 2 v1 2 A x1 6cm
v 22 v12 20rad/s x12 x 22
Câu 7: Một vật dao động điều hòa có v max 16π cm/s , a max a. Tính chu kỳ, tần số dao động của vật. b. Tính độ dài quỹ đạo chuyển động của vật. c. Tính tốc độ của vật khi vật qua các li độ x
A A 3 , x . 2 2
Hướng dẫn giải: Phân tích: Ở bài toán này ta sử dụng hệ thức:
v2 a2 1 v 2max a 2max
v2
A
2
a2
A
2 2
1
Trang 21
Chọn đáp án C 640 cm/s 2 .
Từ đó ta sẽ tính được , f và T, sau đó sử dụng sơ đồ về thời gian để tính tốc độ tại các vị trí đã cho. a. Ta có:
a max 640 40 4π rad/s. v max 16
2 2 T 4 0,5s Từ đó ta có chu kỳ và tần số dao động là: f 1 2Hz T v 16 4cm . b. Biên độ dao động A thỏa mãn A max 4 Độ dài quỹ đạo chuyển động là 2A = 8 cm. c. Áp dụng công thức tính tốc độ của vật ta được:
Vận 0 tốc
v max 2
A 2
A 3 2
v max 3 2
0
v max 3 2
0
v max 2
Dựa vào sơ đồ về vận tốc ta có: 2 A A 2 2 2 Khi x v A x 4 A 8π 3 cm/s 2 2 2 A 3 A 3 2 2 2 v A x 4 A 8π cm/s Khi x 2 2
Vấn đề 3: Li độ, vận tốc, gia tốc, … tại 3 thời điểm t1, t2, t3 Các đại lượng li độ, vận tốc, gia tốc, động lượng và lực kéo về biến thiên điều hòa cùng tần số. Một đại lượng x biến thiên điều hòa với biên độ A thì phân bố thời gian trên trục như sau:
t -A
-x0
T t 4
t O
x 0 A sin t
x0
A
x
Câu 1: Một vật dao động điều hòa mà 3 thời điểm liên tiếp t1, t2, t3 với t 3 t1 3(t 3 t 2 ) , li độ thỏa mãn x1 = x2 = – x3 = 6 cm. Biên độ dao động của vật là A. 12 cm. B. 8 cm. C. 16 cm. D. 10 cm. Hướng dẫngiải: Trang 22
Không làm mất tính tổng quát có thể xem ở thời điểm t1 vật có li độ x0 và đang tăng, đến thời điểm t2 vật có li độ x0 và đang giảm, đến thời điểm t3 vật có li độ – x0 và đang giảm. t3
t2
t -A
-x0
T t 4
t O
x0
A
x
x 0 A sin t
t1
T t 3 t1 2 t 2 t Theo bài ra: 4 t t 2 t 3 2 T T t 3 t1 3(t 3 t 2 ) 2 t 2 t 3.2 t t 12 4 T Thay t và x0 = 6 cm vào công thức 12 2 2 T x 0 A sin t 6 A sin . A 12cm. T T 12 Chọn đáp án A Nhận xét: Các đại lượng li độ, vận tốc, gia tốc, động lượng và lực kéo về biến thiên điều hòa cùng tần số. Đối với dạng bài toán cho hệ thức liên hệ giữa t1, t2, t3 với nhau và thỏa mãn điều kiện về li độ x, gia tốc a và vận tốc v ta thường làm theo các bước sau: + Xác định li độ (vận, tốc, gia tốc) và chiều chuyển động của chất điểm tại các thời điểm t1, t2, t3. Lưu ý bước này rất quan trọng trong quá trình giải dạng bài toán này. + Dựa vào giả thuyết bài toán vẽ thật chính xác sơ đồ thời gian. + Dựa vào các hệ thức liên hệ và sơ đồ thời gian để xác định các đại lượng mà bài toán yêu cầu. Câu 2: Một vật dao động điều hòa mà 3 thời điểm liên tiếp t1, t2, t3 với t 3 t1 3(t 3 t 2 ) = 0,1π (s), li độ thỏa mãn x1 = x2 = – x3 = 6 cm. Tốc độ cực đại của vật là A.120 cm/s. B. 180 cm/s. C. 156,79 cm/s. D. 492,56 cm/s. Hướng dẫngiải: Không làm mất tính tổng quát có thể xem ở thời điểm t1 vật có li độ x0 và đang tăng, đến thời điểm t2 vật có li độ x0 và đang giảm, đến thời điểm t3 vật có li độ – x0 và đang giảm. Trang 23
t3
t2
t -A
T t 4
t O
-x0
x0
A
x
x 0 A sin t
t1
T t 3 t1 0,5(s) t 3 t1 2 t 2 t Từ hình vẽ: nên: 4 . Theo bài ra: t t 0,025 (s) 3 2 t t 2 t 3 2 T t 0,0125(s) T 2 t 2 t 0,1 16 4 T 0,2 (s) 2 10(rad/s) 2 t 0,025 T T Thay t và x0 = 6 cm vào công thức: 16 2 2 T x 0 A sin t 6 A sin . A 15,679cm. T T 16 v max A 156,79 cm/s . Chọn đáp án A Câu 3: Một dao động điều hòa mà 3 thời điểm liên tiếp t1, t2, t3 với t 3 t1 2(t 3 t 2 ) , vận tốc có cùng độ lớn là v1 v 2 v 3 20 2 cm/s. Vật có vận tốc cực đại là A. 28,28 cm/s. B. 40 cm/s. C. 32,66 cm/s. D. 56,57 cm/s. Hướng dẫn giải: Không làm mất tính tổng quát có thể xem ở thời điểm t1 vật có vận tốc v0 và đang tăng, đến thời điểm t2 vật có vận tốc v0 và đang giảm, đến thời điểm t3 vật có vận tốc – v0 và đang giảm. t3 t2
t
A
-v0
T t 4
t O
v0 A sin t Trang 24
v0 t1
A v
T t 3 t1 2 t 2 t Theo bài ra: 4 t t 2 t 3 2 T T t 3 t1 2(t 3 t 2 ) 2 t 2 t 2.2 t t 8 4 T Thay t vào công thức 8 2 2 T v 0 v max sin t 20 2 v max sin . v max 40 cm/s. T T 8 Chọn đáp án B Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa, ba thời điểm liên tiếp t1, t2, t3 có gia tốc lần lượt là a1, a2, a3. Biết t3 – t1 = 2(t3 – t2) = 0,1 (s) , a1 = – a2 = – a3 = 1 m/s2. Tính tốc độ cực đại của dao động điều hòa. A. 0,1 2 m/s B. 0,2 2 m/s C. 0,2 m/s D. 0,1 m/s Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Không làm mất tính tổng quát có thể xem ở thời điểm t1 vật có gia tốc a0 và đang giảm, đến thời điểm t2 vật có gia tốc - a0 và đang giảm, đến thời điểm t3 vật có gia tốc - a0 và đang tăng. t1 t2
T t 4
2 A
t
-a0 t3
t O
a0
2 A a
a 0 2 A sin t
T T t 3 t1 2 t 2 t t3 t1 0,1(s) T 0,2 s Theo bài ra: 4 2 t 3 t 2 0,05 (s) t 0,025 s t 3 t 2 2 t 2 Thay a0 = 100 cm/s2, = 10 rad/s và t 0,025 rad/s và hệ thức T a 0 2 A sin t 100 102 A sin 10.0,025 A 2cm. v max A 10 2 cm/s 0,1 2 m/s. Chọn đáp án A Cách giải 2: Không làm mất tính tổng quát có thể xem ở thời điểm t1 vật ở li độ - x0 và đang theo chiều dương, đến thời điểm t2 vật có li độ x0 và đang đi theo chiều dương, đến thời điểm t3 vật có li độ x0 và đang đi theo chiều âm. Trang 25
Theo bài ra:
T 0,1(s) t 3 t1 t 3 t 2 t 2 t1 2 t ' 2 t 2(t t ') 2. 0,2 (s) 4 0,05(s) t 3 t 2 2 t ' t ' 0,025(s) 2 10 rad/s T t1
t2
t A
O
-x0
t '
t x0
x 0 A sin t A cos t ' 2 2 a 0 A sin t A cos t '
A
x
t3
Thay a0 = 100 cm/s2, = 10 rad/s và t 0,025 rad/s vào
a 0 2 A cos t ' 100 102 A cos 10.0,025 A 2cm.
v max A 10 2 cm/s 0,1 2 m/s. Chọn đáp án A Cách 3: Dựa vào đồ thị gia tốc theo thời gian:
T 0,1 t t ' T 0,2 (s) 4 2 2 2 0,1 a 0 a max cos t ' 1 a max cos a max 2 m/s2 T 0,2 4 a a v max max max T 0,1 2 m/s . 2 2 t 2 t ' t 3 t1 0,1
a (m/s2 )
amax a0
t t
t ' t '
a 0 a max sin t a max cos t ' T t t ' 4
t (s)
O -a0 -amax t1
t2
t3 Chọn đáp án A
Trang 26
Vấn đề 4: Dạng bài toán lập phương trình dao động dao động điều hoà I. Phương pháp 1: (Phương pháp truyền thống) * Viết phương trình dao động tổng quát: x = Acos(t + ). * Xác định A, , + Tính : ω =
v a 2π = 2πf = max = max . T A v max
+ Tính A : 2
v A = + x2 = ω
2W 1 2W . = k ω m
v max a l lmin chieàu daøi quyõñaïo . max max 2 ω ω 2 2 + Tính dựa vào điều kiện đầu t = 0 x = Acosφ v 0 tanφ = 0 φ x0 v 0 = ωAsinφ 2 v a 0 = ω Acosφ tanφ = ω 0 φ x0 v 0 = ωAsinφ + Tính dựa vào điều kiện đầu lúc t = t0 x = Acos(ωt 0 + φ) 0 φ v 0 = ωAsin(ωt 0 + φ)
2 a 0 = ω Acos(ωt 0 + φ) φ v 0 = ωAsin(ωt 0 + φ)
Đặc biệt: 0 A cos v0 A sin
+ x0 0, v v0 (vật qua VTCB) cos 0 2 v0 A sin 0 A v0
x 0 A cos 0 A sin
+ x x0, v 0 (vật qua VT biên )
Trang 27
x0 0 A 0; cos A x o sin 0 a1 A2 cos(t1 ) φ? v1 A sin(t1 ) Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0. + Trước khi tính cần xác định rõ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác (thường lấy - π ≤ ≤ π). + Khi 1 đại lượng biến thiên theo thời gian ở thời điểm t0 tăng thì đạo hàm bậc nhất của nó theo t sẽ dương và ngược lại. Công thức đổi sin thành cos và ngược lại: + Đổi thành cos: - cos = cos( + ) sin = cos( π ) 2 π + Đổi thành sin: cos = sin( ) - sin = sin( + ) 2 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG (Các kết quả dưới đây chỉ mang tính chất tham khảo, học sinh không nên nhớ kiểu máy móc) Chọn gốc thời gian t = 0: x0 = ? v0 = ? x1 A cos(t1 ) φ ? hoặc v1 A sin(t1 )
Nếu t t1:
Vị trí vật lúc t = 0: x0 =? VTCB x0 = 0
VTCB x0 = 0
CĐ theo chiều trục tọa độ; dấu của v0? Chiều dương: v0 > 0 Chiều âm:v0 < 0
biên dương v0 = 0 x0 =A biên âm x0 = -A x0 =
A 2
v0 = 0 Chiều dương: v0 > 0
Pha ban đầu φ? φ= – . 2 φ= 2 . φ=0 φ = π. φ= – 3
Vị trí vật lúc t = 0: x0 =? A 2 x0 = 2
Chiều dương: v0 >0
A 2 2
Chiều dương: v0 >0
x0 = –
A 2 2 A 2 x0 = – 2 A 3 x0 = 2 x0 =
Trang 28
CĐ theo chiều trục tọa độ; dấu của v0?
Chiều âm: v0 < 0 Chiều âm: v0 > 0 Chiều dương: v0 >0
Pha ban đầu φ?
φ=–
4
φ= 3 – 4 φ= 4 3 φ= 4 φ= – 6
x0 = –
x0 =
A 2
A 2
x0 = –
φ= 2 – 3
x0 = – Chiều dương:v0 A 3 >0 2 A 3 Chiều âm: φ= x0 = v0 < 0 3 2 φ = x0 = Chiều âm: 2 A 3 v0 > 0 – 3 2
Chiều dương: v0 > 0 Chiều âm: v0 < 0
A 2
Chiều âm: v0 > 0
φ= 5 – 6 φ=
6
φ=
5 6
II. Phương pháp 2: Dùng số phức biểu diễn hàm điều hòa (Nhờ máy tính cầm tay FX 570ES; 570ES Plus; VINACAL 570Es Plus) 1. Cơ sở lý thuyết: x (0) Acosφ a x (0) Acosφ x A cos(ωt φ) t 0 v (0) Asinφ b v ωA sin(ωt φ) v (0) ωAsinφ ω
a x (0) Vậy x A cos(ωt φ) x a bi. Với v (0) b ω t 0
2. Phương pháp số phức: t = 0 có:
a x (0) v(0) i A φ x A cos(ωt φ) v(0) x x (0) ω b ω 3. Thao tác máy tính (FX 570ES; 570ES Plus): Mode 2, R (Radian), Bấm nhập :
x (0)
v (0) ω
i = kết quả, bấm tiếp SHIFT, 2 , 3, = máy sẽ hiện A φ , đó là biên
độ A và pha ban đầu . 4. Chú ý các vị trí đặc biệt: Vị trí của vật lúc đầu t = 0 Biên dương (I): x0 = A; v0 = 0 Theo chiều âm (II): x0 = 0 ;
Phần thực: a a=A
Phần ảo: bi 0
a=0
bi = Ai
Kết quả: A + bi = A A 0
A Trang 29
2
Phương trình: x = Acos(t + ) x = Acost
x = Acos(t +
) 2
v0 < 0 Biên âm (III): x0 = – A; v0 = 0 Theo chiều dương (IV): x0 = 0; v0 > 0 Vị trí bất kỳ:
A
a=–A
0
a=0
bi = – Ai
a = x0
bi
v0 i ω
A–
x = Acos(t + )
2
A
x = Acos(t –
) 2
x = Acos(t + )
5. Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO FX–570ES, 570ES Plus Các bước Chọn chế độ Chỉ định dạng nhập / xuất toán Thực hiện phép tính về số phức Hiển thị dạng toạ độ cực: r Hiển thị dạng đề các: a + ib. Chọn đơn vị đo góc là độ (D) Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) Nhập ký hiệu góc
Nút lệnh Bấm: SHIFT MODE 1
Ý nghĩa- Kết quả Màn hình xuất hiện Math.
Bấm: MODE 2
Màn hình xuất hiện CMPLX Hiển thị số phức dạng r
Bấm: SHIFT MODE 32 Bấm: SHIFT MODE 31 Bấm: SHIFT MODE 3
Hiển thị số phức dạng a + bi Màn hình hiển thị chữ D
Bấm: SHIFT MODE 4
Màn hình hiển thị chữ R
Bấm SHIFT (-).
Màn hình hiển thị
Thao tác trên máy tính (FX 570ES; 570ES Plus) : Mode 2, và dùng đơn vị R (radian). Bấm nhập: x (0)
v (0) ω
i.
Với máy FX 570ES; 570ES Plus: Muốn xuất hiện biên độ A và pha ban đầu : Làm như sau: Bấm SHIFT 2 . Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng tọa độ cực (r ). Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a + bi ). Trang 30
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 (Chuyên Sơn Tây lần 1 - 2015): Một chất điểm dao động điều hòa theo phương nằm ngang trên đoạn MN = 2a . Thời gian ngắn nhất để nó đi từ M sang N là 1s. Tại thời điểm ban đầu chất điểm có li độ a theo chiều dương. Phương trình 2
dao động của chất điểm có dạng:
π B. x a cos πt cm 3 π D. x a cos πt cm 3 Hướng dẫn giải: Thời gian ngắn nhất để nó đi từ M sang N là 1s T 2s π rad/s. a Tại thời điểm ban đầu chất điểm có li độ a : a cos . 3 2 2 Do chất điểm đi theo chiều dương . 3 π Phương trình dao động của chất điểm là: x a cos πt cm . 3 Chọn đáp án D 1 Câu 2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20cm. Sau s kể từ thời 12 điểm ban đầu vật đi được 10cm mà chưa đổi chiều chuyển động vật đến vị trí có li độ 5cm theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật. Hướng dẫn giải: π A. x 2a cos πt cm 3 2π C. x a cos πt cm 3
Ứng với thời gian vật từ N đến M với góc quay
. 3
Hay thời gian đi là T 1 . 6
12
-A
1 Suy ra T s , f = 2 Hz 2
x1
Suy ra = 2f = 4 rad/s. Vật theo chiều dương nên: góc pha ban đầu dễ thấy là
-A/2
3Ox 2 NO3 3 6 2 Trang 31
A/2 x2
O
N
M 3
A x
2π Vậy phương trình dao động: x 10 cos 4πt cm. 3 Câu 3 (ĐH khối A – A1, 2013): Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 5 cm, chu kì 2 s. Tại thời điểm t = 0, vật đi qua cân bằng O theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là
2 C. x 5cos(2t ) cm 2 A. x 5cos(t ) cm
2 D. x 5cos(t ) cm 2
B. x 5cos(2t ) cm
Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Ta có: A= 5cm;
2 rad/s. T
Khi t = 0 vật đi qua cân bằng O theo chiều dương:
2
x = 0 và v > 0 => cosφ = 0 => .
π Vậy phương trình dao động của vật là x 5cos πt cm. 2 Chọn đáp án A Cách giải 2: Dùng máy tính Fx 570ES Chọn chế độ máy: Mode 2 ; SHIFT mode 4:
2
Nhập: - 5i = SHIFT 2 3 = 5 .
π Vậy phương trình dao động của vật là x 5cos πt cm. 2 Chọn đáp án A Câu 3: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O. Trong thời gian 20s vật thực hiện được 40 lần dao động. Tại thời điểm ban đầu vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo chiều âm của trục toạ độ với vận tốc 20π cm/s. Phương trình dao động của vật là
π A. x 20 cos 4πt cm. 2
π B. x 5cos 4πt cm. 2
π C. x 5cos 4πt cm. 2
π D. x 20 cos 4πt cm. 2 Hướng dẫn giải: Trang 32
Vật dao động điều hoà theo phương trình tổng quát x = Acos(ωt + φ), trong khoảng thời gian 20s vật thực hiện được 40 lần dao động suy ra chu kì dao động T = 0,5s, tần số góc ω = 4π rad/s. Tại thời điểm ban đầu t = 0 có x0 = 0, v0 = 20π cm/s. Vận tốc của vật khi vật chuyển động qua vị trí cân bằng là vận tốc cực đại vmax = ωA suy ra A = 5 cm. Tại thời điểm ban đầu vật chuyển động theo chiều âm của trục toạ độ nên φ =
. 2
π Vậy phương trình dao động của vật là x 5cos 4πt cm. 2 Chọn đáp án B Câu 5: Một vật dao động điều hòa với tần số f = 0,5 Hz, biên độ A = 2 cm. Viết phương trình dao động của vật trong các trường hợp sau : a. Chọn gốc thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. b. Chọn gốc thời gian khi vật đi qua vị trí có li độ x = – 1 cm theo chiều dương. Hướng dẫn giải: Phương trình dao động tổng quát là x A cos(ωt φ) . Với A = 2cm, ω 2πf π rad/s. Như vậy phương trình dao động cả câu a và b đều có dạng: x 2 cos(πt φ) cm. Ta cần phải tìm cho mỗi trường hợp.
π φ 2 x 0 cos φ 0 a. Tại thời điểm t = 0, ta có : φ π v 0 2 sin φ 0 kết quả chọn là: φ
π 2
Phương trình dao động:
π x 2 cos πt cm. 2
2π φ 3 1 x 1 cos φ b. Tại thời điểm t = 0 , có : 2 φ 2π v 0 3 sin φ 0 kết quả chọn : φ
2π 3 Trang 33
2π Phương trình dao động: x 2 cos πt cm. 3 Câu 6 (ĐH khối A, 2011): Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là 40 3 cm/s. Lấy = 3,14. Phương trình dao động của chất điểm là π π A. x 6 cos 20t cm. B. x 4 cos 20t cm. 6 3
π C. x 4 cos 20t cm. 3
π D. x 6 cos 20t cm. 6 Hướng dẫn giải:
t 31, 4 2 2 1,314 s . Suy ra 20 rad/s . N 100 T 1,314 Áp dụng phương trình độc lập với thời gian ta có: Ta có: T
2
2 40 3 v A x 0 22 4 cm . ω 20 2 0
Từ điều kiện ban đầu tại t = 0 ta có x0 = Acosφ = 2cm ; v0 = – ωAsinφ < 0. Nên cos φ
1 ; sinφ > 0 đo đó φ π . 2 3
π Vậy phương trình dao động của vật là x 4 cos 20t cm. 3 Chọn đáp án B Câu 7: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4 cm với f = 10 Hz. Lúc t = 0 vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là : π π A. x 2 cos 20t cm. B. x 2 cos 20t cm. 2 2
π π C. x 4 cos 20t cm. D. x 4 cos 20t cm. 2 2 Hướng dẫn giải: MN Cách giải 1: Ta có: = 2πf = 20π. Và A 2 cm. 2
Trang 34
π 0 cos 2 chọn φ = 2 v0 A sin 0 sin 0
Khi t = 0 : x0 = 0, v0 < 0 :
π Vậy phương trình dao động của vật là x 2 cos 20t cm. 2 Chọn đáp án B Cách giải 2: Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R: Radian). Nhập: 2 i = Shift 2 3 = 2
π . 2
π Vậy phương trình dao động của vật là x 2 cos 20t cm. 2 Chọn đáp án B Câu 8: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Lúc vật qua vị trí có li độ
x 2 cm thì có vận tốc v π 2 cm/s và gia tốc a π 2 2 cm/s2. Chọn gốc toạ độ ở vị trí trên. Phương trình dao động của vật dưới dạng hàm số sin.
A. x 2sin πt
3π cm. 4
π 3π C. x 2sin t cm. 4 2
3π π t cm. 4 2 3π D. x 2sin πt cm. 4
B. x 2sin
Hướng dẫn giải: Phương trình có dạng : x = Acos( ωt φ ). Phương trình vận tốc : v = – A ωsin(ωt φ) . Phương trình gia tốc : a = – A ω2 cos(ωt φ) . Khi t = 0 ; thay các giá trị x, v, a vào 3 phương trình đó ta có:
x 2 Acosφ v π 2 Aωsinφ 2 2 a π 2 ω Acosφ Lấy a chia cho x ta được: ω = π rad/s . Lấy v chia cho a ta được : 3π tan φ 1 φ rad (vì cosφ < 0) A = 2 cm . 4 3π Vậy : x 2sin πt cm. 4 Chọn đáp án A Trang 35
Câu 9: Vật m dao động điều hòa với tần số 0,5 Hz, tại gốc thời gian nó có li độ x(0) = 4 cm, vận tốc v(0) = 12,56 cm/s, lấy π 3,14 . Hãy viết phương trình dao động. Hướng dẫn giải: Tính = 2f = 2.0,5 = rad/s.
a x (0) 4 x 4 4i . Bấm Mode 2, Shift Mode 4. Khi t 0 : v (0) 4 b ω π π Nhập Shift 2 3 4 2 . Vậy : x 4 2 cos πt cm . 4 4 Câu 10: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T = 2s. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là:
π π t cm . 2 2 π π C. x 4 cos t cm . 2 2 A. x 4 cos
π cm . 2 π D. x 4 cos πt cm . 2 B. x 4 cos πt
Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Ta có: = 2πf = π. Và A = 4cm loại A và C. 0 cos Khi t = 0: x0 = 0, v0 > 0: 2 chọn 2 v0 A sin 0 sin 0 Cách giải 2: Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian), π π π Nhập: 4i, SHIFT 2 3 4 x 4 cos t cm . 2 2 2 Chọn đáp án A Vấn đề 5: Xác định khoảng thời gian độ lớn li độ, vận tốc, gia tốc không vượt quá một giá trị nhất định trong một chu kì. + Tính tần số góc (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ T có khoảng thời gian t để vận tốc có độ lớn không nhỏ hơn một giá trị v nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí cân bằng khoảng thời gian để vận có vận tốc không nhỏ hơn v là: t =
t 2 t ; ; = 4 T
Trang 36
2t vật có độ lớn vận tốc nhỏ nhất là v khi li độ |x| = Asin. Khi đó:
v A x 2
2
.
-A
-x
(Xem hình vòng tròn lượng giác ) + Tính tần số góc (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để vận tốc có độ lớn không lớn hơn một giá trị v nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí biên khoảng thời gian
x
A
2t
t 2 t ; vật có độ lớn vận tốc ; = 4 T v lớn nhất là v khi li độ |x| = Acos. Khi đó: . 2 A x2 để vận có vận tốc không lớn hơn v là: t =
+ Tính tần số góc (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để gia tốc có độ lớn không nhỏ hơn một giá trị a nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí biên khoảng thời gian để vận có gia tốc không nhỏ hơn a là: t =
t 2 t ; vật có độ lớn gia tốc nhỏ nhất là a khi li độ |x| = ; = 4 T
Acos. Khi đó:
a . x
+ Tính tần số góc (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để gia tốc có độ lớn không lớn hơn một giá trị a nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí cân bằng khoảng thời gian để vận có gia tốc không lớn hơn a là: t =
t 2 t ; vật có độ lớn gia tốc lớn nhất là a khi li độ |x| = ; = 4 T
Asin. Khi đó:
a . x
a. Khoảng thời gian trong một chu kì vật cách VTCB một khoảng lớn hơn, nhỏ hơn:
A A 2 A 3 , , 2 2 2
Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì vật cách VTCB một khoảng nhỏ hơn A.
T 4
B.
3T 4
C.
A là 2
5T 6
Trang 37
D.
T 3
Hướng dẫn giải:
T 12
A 2
T 12
A 2
VTCB Vì khoảng thời gian từ các điểm khác đến vị trí cân bằng nhỏ hơn
A nên tọa độ 2
A A x . 2 2 T T Dựa vào sơ đồ trên ta có: t 4.t 4. . 12 3 của chất điểm có giá trị thỏa mãn
Chọn đáp án D Nhận xét: Thực ra đây là bài toán cho chu kì, tìm khoảng thời gian để vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2. Đối với dạng bài tập này chúng ta nên vẽ trục phân bố thời gian, dựa vào điều kiện bài toán để tìm ra khoảng thời gian thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Chú ý đến các cụm tử, lớn hơn, nhỏ hơn, không lớn hơn, không nhỏ hơn, phải hiểu cho chính xác. Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì vật cách VTCB một khoảng lớn hơn A.
T 4
B.
2T 3
C.
A là 2
5T 6
D.
T 3
Hướng dẫn giải:
A
T 6 T 6
A 2
A 2
A
VTCB
Vì khoảng thời gian từ các điểm khác đến vị trí cân bằng lớn hơn chất điểm có giá trị thỏa mãn
A A x . 2 2
Trang 38
A nên tọa độ của 2
Dựa vào sơ đồ trên ta có: t 4.t 4.
T 2T . 6 3
Chọn đáp án B Câu 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn li độ không
1 . Lấy 2 = 10. Xác định chu kì dao động của vật 3 1 B. s C. 0,5 s D. 1.25 s 3
vượt quá 2,5 cm là A. 1 s
Hướng dẫn giải: Khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn li độ không vượt quá 2,5 cm là
1 s. 3
α -5 - 2,5
Dựa vào hình vẽ, suy ra (α = 600): 2α 1 3.2α t T T 1 s 360 3 360
5
O 2,5
x
α
Chọn đáp án A b. Khoảng thời gian trong một chu kì vật có tốc độ lớn hơn, nhỏ hơn:
v max , 2
v max 2 v max 3 , 2 2 Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để có tốc độ nhỏ hơn A.
T 4
B.
T 6
v max 3 là 2 2T C. 3
D.
T 3
Hướng dẫn giải: Phân tích: Thực chất đây là dạng bài toán cho chu kì, tìm khoảng thời gian vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2. Đối với dạng này chúng ta chỉ cần áp dụng công thức độc lập về thời gian để tìm ra li độ x tương ứng. Cần chú ý thêm, trong một chu kì, vật có vmax khi qua vị trí cân bằng, vmin khi qua vị trí biên.
Trang 39
2 v x A A Ta có: x . 2 v 3 A 3 v max 2 2 2
2
Đây chính là bài toán tìm khoản thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB một khoảng lớn hơn
A . 2
A
T 6 T 6
A 2
A 2
A
VTCB
Vì khoảng thời gian từ các điểm khác đến vị trí cân bằng lớn hơn
A nên tọa độ của 2
A A x . 2 2 T 2T Dựa vào sơ đồ trên ta có: t 4.t 4. . 6 3 chất điểm có giá trị thỏa mãn
Chọn đáp án C Câu 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 2cm, biết rằng trong 1 chu kì, khoảng thời gian mà vận tốc của vật có giá trị biến thiên trên đoạn từ T 2π 3 cm/s đến 2π cm/s là . Tần số dao động của vật là: 2 A. 0,5 Hz. B. 1 Hz. C. 0,25 Hz. D. 2 Hz. Hướng dẫn giải: Nhận thấy vận tốc của vật có giá trị biến thiên trên đoạn từ 2π 3 cm/s đến 2π cm/s T nên M chuyển động 2 cung tròn M1M2 và M3M4. Thời gian trên là và do tính 2 chất đối xứng nên: π. M 1OM 2 M 3OM 4 2 M1 Hay α1 α 2
π 2
(1)
M2
α1 2π 3
ωA
Trang 40M3
v
O 2π
α2 M4
ωA
2π 3 sinα1 ωA sinα1 3 Từ hình vẽ, ta tính được: sinα 2 sinα 2π 1 ωA Từ (1) và (2) ta có :
Vậy: sinα1
sinα1 sinα 2
(2)
sinα1 sinα1 π tan α1 3 α1 . 3 π cosα1 sin α1 2
2π 3 3 f 1 Hz. 2πf .2 2
Chọn đáp án B c. Khoảng thời gian trong một chu kì vật có độ lớn gia tốc lớn hơn, nhỏ hơn:
a max a max 2 a max 3 , , 2 2 2 Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để có tốc độ nhỏ hơn A.
2T 3
B.
a max là 2
T 6
C.
T 4
D.
T 3
Hướng dẫn giải: Phân tích: Thực chất đây là dạng bài toán cho chu kì, tìm khoảng thời gian vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2. Đối với dạng này chúng ta chỉ cần áp dụng công thức độc lập về thời gian để tìm ra li độ x tương ứng. Cần chú ý thêm, trong một chu kì, vật có amin khi qua vị trí cân bằng, amax khi qua vị trí biên. 2 v x A x A . Ta có: 2 a max A 2 v 2 2 2
2
Đây chính là bài toán tìm khoản thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB một khoảng lớn hơn
A . 2
A
T 6 T 6
A 2
A 2 VTCB
Trang 41
A
Vì khoảng thời gian từ các điểm khác đến vị trí cân bằng lớn hơn
A nên tọa độ của 2
A A x . 2 2 T 2T Dựa vào sơ đồ trên ta có: t 4.t 4. . 6 3 chất điểm có giá trị thỏa mãn
Chọn đáp án A Câu 2 (ĐH khối A, 2010): Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ 5 cm. Biết trong một chu kỳ, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ T lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là . Lấy 2 = 10. Tần số dao động của vật: 3 A. 4 Hz B. 3 Hz C. 1 Hz D. 2 Hz Hướng dẫn giải: Cách giải 1 : Phương pháp đại số Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí biên. Trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn T gia tốc không nhỏ hơn 100 cm/s2 là thì trong một phần tư chu kì tính từ vị trí biên, 3 khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 100 cm/s2 là
π A T T . Sau khoảng thời gian kể từ vị trí biên vật có |x| = Acos = = 2,5 cm. 3 2 6 6 Khi đó |a| = 2|x| = 100 =
ω |a| 100 = 2 f = = 1 Hz. 2π | x| 2,5
Chọn đáp án C Cách giải 2 : Sử dụng mối liên hệ dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Vì gia tốc cũng biến thiên điều hòa cùng chu kỳ, tần số với li độ. Sử dụng mối liên hệ dao động điều hòa và chuyển động tròn đều. Khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn T 100 cm/s2 là . Khi đó: 3 2 - A 2A O 2α T 0 t T α 60 100 a (cm/s2) -100 360 3
Trang 42
100 1 . ω2 A 2 ω 2 10 2π f 1 Hz cos α
Chọn đáp án C Chú ý: Ngoài 2 phương pháp giải trên, ta cũng có thể giải nhanh bài toán này như sau: “Biết khoảng thời gian t, độ lớn vận tốc hoặc độ lớn gia tốc không vượt quá một giá trị nhất định”. + Để vận tốc (hay gia tốc) không vượt quá giá trị a1 (hay v1) thì vật phải nằm trong khoảng từ x = – x1 đến x = x1. + Khi đó, ta có: x1 ? A T 4t t t a1 2 ? a 1 ω x1 ω x ? 1 Áp dụng vào bài toán trên ta có: A x1 2 2,5 cm T T 4t t 3 12 a ω2 x ω 100 2π f ω 1 Hz 1 1 2,5 2π Vấn đề 6: Dạng bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < t < M2
T . 2
M1
M2
P
2 A
-A P2
O
P 1
x
-A O
2
A
P
x
M1
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều. Góc quét = t. Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin Trang 43
Δφ ωΔt . 2Asin 2 2 Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos Δφ ωΔt SMin 2A 1 cos 2A 1 cos . 2 2 Lưu ý: T Trong trường hợp t > . 2 T T Tách Δt = n + Δt' trong đó n N* ; 0 < Δt' < . 2 2 T Trong thời gian n quãng đường luôn là 2nA. 2 Trong thời gian t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên. SMax 2Asin
Smax n2A 2A sin
Δφ ' ωΔt ' n2A 2Asin 2 2
Δφ ' ωΔt ' SMin n2A 2A 1 cos n2A 2A 1 cos 2 2 Nếu bài toán nói thời gian nhỏ nhất đi được quãng đường S thì ta vẫn dùng các công thức trên để làm với S = Smax. Nếu bài toán nói thời gian lớn nhất đi được quãng đường S thì ta vẫn dùng các công thức trên để làm với S = Smin; nếu muốn S tìm n thì dùng công thức n, p (n 0, p) . 2A Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian t:
v tbMax =
SMax S và v tbMin = Min với SMax; SMin tính như trên. Δt Δt
Trong dao động điều hòa: + Quãng đường dài nhất vật đi được trong khoảng t (với 0 < t < N: Smax = MO + ON. Chọn gốc thời gian lúc vật qua Nhanh E
M
0
Chậm N
Trang 44
J F
x
T ) từ M đến 2
VTCB theo chiều dương thì : x A cos t
= Asint. 2
t Smax 2ON 2A sin 2 + Quãng đường ngắn nhất vật đi được trong khoảng t (với 0 < t <
T ) 2
từ J đến F rồi đến J: Smin = JF + FJ. Chọn gốc thời gian lúc vật biên dương thì :
t 2
x = Acost Smin 2JF 2A 2A cos
Thế t vào 2 công thức trên ta có: A 3 A 3 SMax 3A: Khi x T 2 2 ; Δt 3 S A: Khi: x A A A Min 2 2 A 2 A 2 S 2A. Khi: x T Max 2 2 Δt 4 A 2 A 2 SMin A(2 2). Khi : x 2 A 2
A A SMax A; Khi : x T 2 2 Δt 6 A 3 A 3 SMin A(2 3); Khi : x A 2 2 Δt
SMax ........ : x .......... T : Dùng máy tính cầm tay. 8 SMin ......... : x ..........
BÀI TẬP VẬN DỤNG
π Câu 1: Vật dao động điều hòa theo phương trình: x 12 cos 10πt cm. Tính 3 1 quãng đường dài nhất và ngắn nhất mà vật đi được trong chu kỳ. 4 Hướng dẫn giải:
Trang 45
t Smax 2A sin 2 Phân tích: Dựa vào sơ đồ đường đi và các công thức S 2A 2A cos t min 2 để tính quãng đường dài nhất và ngắn nhất mà vật đi được trong
A
A 2 2
A 3 2
A 2 2
O
A 2
A 2
1 chu kỳ. 4 A A 3 2
Vật có độ lớn vận tốc lớn nhất khi ở vị trí cân bằng nên quãng đường dài nhất vật đi 1 π được trong chu kỳ là: Smax = 2Asin = 16,97 cm. 4 4 Vật có độ lớn vận tốc nhỏ nhất khi ở vị trí biên nên quãng đường ngắn nhất vật đi được trong 1 chu kỳ là: Smin = 2A(1 – cos π ) = 7,03 cm. 4 4 Câu 2: Một vật vật nhỏ dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Tính vận tốc 2T trung bình lớn nhất và nhỏ nhất trong khoảng thời gian . 3 Hướng dẫn giải:
t Smax 2A sin 2 Phân tích: Dựa vào sơ đồ đường đi và các công thức S 2A 2A cos t min 2 để tính quãng đường dài nhất và ngắn nhất mà vật đi được trong trong khoảng thời SMax v tbMax Δt 2T gian tính vận tốc trung bình lớn . Sau đóvận dụng công thức 3 SMin v tbMin Δt 2T nhất và nhỏ nhất trong khoảng thời gian . 3 2T T T Ta phân tích: t . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 2 6
T là 2A. 2 Trang 46
T . Ta có góc quét 6
Ta sẽ tính quãng đường Smax và Smin trong khoảng thời gian
2π.T π . 6.T 3 Δφ π SMax T = 2Asin 2 2A sin 2.3 A 6 Như vậy: Δφ π S 2A(1 - cos ) = 2A 1 cos 2 3 A M in T6 2 2.3 2T Suy ra quãng đường Smax và Smin trong khoảng thời gian : 3 SMax S T + S T 3A Max 2 6 SMin = S T + SMin T 4 3 A 2 6 = t =
4 3 A 3 4 3 A S SMax 3A 9A và Vậy: v . v tbMin Min tbMax 2T 2T 2T Δt 2T Δt 3 3 Câu 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ trung bình lớn nhất của vật trong Hướng dẫn giải: Góc quét: φ ωΔt
2π T 2π . Suy ra T 3 3
A 3 A 3 S 3A : Khi x T Max 2 2 Δt 3 A A SMin A : Khi x A 2 2 SMax 3A 3 3A v Max 1 Δt T T T 3 Δt 3 v SMin A 3A Min 1 Δt T T 3 Trang 47
T . 3
Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox với biên độ A, chu kì T. Tính tỉ số giữa tốc độ trung bình lớn nhất và tốc độ nhỏ nhất của chất điểm trong thời gian
T ? 4 Hướng dẫn giải:
T véctơ quay biễu diễn dao động 4 π điều hòa quét được 1 góc α rad . 2 Trong t
M N
Trường hợp vật đi từ N đến M
S x1 x 2 Smax MN A 2
x2
x3
x1
Trường hợp vật đi từ K đến N
K
S A x 3 A x1 2A (x 3 x1 ) Smin (x 3 x1 ) min x1 x 3 A cos
α 2 A 2 2
2 A(2 2) 2 A 2 2 2(2 2) . 2 A(2 2) 2 2
Smin 2A 2A v tbmax Smax v tbmin Smin
Chú ý: Có thể dùng công thức để tính cho nhanh khi t
T : 2
α (α ωt) Smax 2A sin 2 S 2A(1 cos α ) min 2 Vấn đề 7: Dạng bài toán tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2 Chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục Ox với li độ có dạng x = Acos(t + ). Tìm quãng đường mà vật đi được từ thời điểm t = t1 đến thời điểm t = t2. Phương pháp 1: Phương pháp đại số a. Phân tích: t2 – t1 = nT + t (n N; 0 ≤ t < T) Trang 48
Tính số chu kỳ dao động từ thời điểm t1 đến t2 : m 2 t t N 2 1n+ với T T T Trong một chu kỳ : + vật đi được quãng đường 4A + Vật đi qua ly độ bất kỳ 2 lần * Nếu m 0 thì:
+ Quãng đường đi được: ST n.4A
* Nếu m 0 thì : + Khi t t1 ta tính x1 = Acos(t1 + φ)cm và v1 dương hay âm (không tính v1). + Khi t t2 ta tính x2 = Acos(t2 + φ)cm và v2 dương hay âm (không tính v2). Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẻ
m chu kỳ rồi dựa vào hình vẽ để tính Slẽ và số T
lần Mlẽ vật đi qua x0 tương ứng. Khi đó: Quãng đường vật đi được là: S ST +Slẽ Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA, trong thời gian t là S2. Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2 Xác định: x1 = Acos(ωt1 + φ) x 2 = Acos(ωt 2 + φ) và >0 >0 v = ωAsin(ωt + φ) ? 1 <0 1 v 2 = ωAsin(ωt 2 + φ) < 0 ? (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu). Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2 : T t 2 S2 x 2 x1 * Nếu v1v2 ≥ 0 t T S 2A 2 2 t T S2 4A x 2 x1 2
v1 0 S2 2A x1 x 2 * Nếu v1v2 < 0 v1 0 S2 2A x1 x 2 T b. Phân tích: t2 – t1 = nT + + t (n N; 0 ≤ t < T) 2 Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δt là: S = S1 + S2 Quãng đường S1 là quãng đường đi được trong thời gian: T nT + là: S1 = n.4A+ 2A 2
Trang 49
Quãng đường S2 là quãng đường đi được trong thời gian t0 (0 ≤ t0 <) '
' + Xác định li độ x1 và dấu của vận tốc v1 tại thời điểm: t1 + nT +
T 2
+ Xác định li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2 '
+ Nếu v1v 2 0 ( v1 và v2 cùng dấu – vật không đổi chiều chuyển động) '
thì : S2 = |x2 – x1' | '
+ Nếu v1v 2 0 ( v1 và v2 trái dấu – vật đổi chiều chuyển động) thì : '
v1' > 0, v2 < 0 : S2 = 2A – x1' – x2
v1' < 0, v2 > 0 : S2 = 2A + x1' + x2
T như sau: 2 Tại thời điểm t1 ta tìm dấu x1 và v1, tại thời điểm t1 + t’ ta tìm dấu của x2 và v2.
Ta cũng có thể tính S2 đi trong thời gian t’ < Nếu: '
+ v1v 2 0 ( v1 và v2 cùng dấu – vật không đổi chiều chuyển động) thì : '
S2 = |x1 – x2| '
+ v1v 2 0 ( v1 và v2 trái dấu – vật đổi chiều chuyển động) thì : '
v1' > 0, v2 < 0 : S2 = 2A – x1 x 2
(x1 cùng dấu x2)
v1' < 0, v2 > 0 : S2 = 2A – x1 x 2
(x1 trái dấu x2)
Mô tả tính S2: Dựa vào hình chiếu của chuyển động tròn đều. Tính x1 = Acos(t1+ ); x2 = Acos(t2+). Xác định vị trí điểm M trên đường tròn ở thời điểm t1 và t2. Nhận xét: Khi vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên (tức là = 0; ;
) thì 2
T là : S = A 4 T + Quãng đường đi được từ thời điểm t1= 0 đến thời điểm t2 = n là: S = nA 4 T T + Quãng đường đi được từ t1 = 0 đến t2 = n + t (với 0 < t < ) là: 4 4 T T S = nA +x(n + t) - x(n ) 4 4 + Quãng đường đi được từ thời điểm t1= 0 đến thời điểm t2 =
Trang 50
T thì S2 = 2A 2 + Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox S2 = x 2 - x1 .
Lưu ý: + Nếu t =
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn. S + Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: v tb = với S là t 2 - t1 quãng đường tính như trên. Phương pháp 2: Dùng máy tính FX 570 ES hoặc FX 570 ES Plus Ngoài ra, ta có thể dùng tích phân để tìm quãng đường trong dạng toán này. Cụ thể, ta xét một vật dao động điều hòa với phương trình x Acos(ωt φ) . Xác định quãng đường mà vật đi từ thời điểm t1 đến t2. Ta làm như sau: + Ta chia những khoảng thời gian dt rất nhỏ thành những phần diện tích thể hiện những quãng đường rất nhỏ mà vật đi được, trong những khoảng thời gian dt đó ta xem như vận tốc của vật không thay đổi: v x' ωAsin(ωt φ) (1) + Quãng đường ds mà vật đi được trong khoảng thời gian dt được tính theo công thức: ds v dt ωAcos(ωt φ) dt
(2)
+ Vậy quãng đường mà vật đi từ thời điểm t1 đến t2 được tính theo công thức: t2
t2
t2
t1
t1
t1
S ds v dt ωAcos(ωt φ) dt
(3)
+ Tuy nhiên, việc tính (3) ta phải nhờ máy tính FX 570 ES hoặc FX 570 ES Plus (nhưng thường cho kết quả rất lâu, tùy thuộc vào biểu thức vận tốc và pha ban đầu của dao động). Vì thế, ta có thể phân tích như sau:
t 2 t1 nT Δt hoặc t 2 t1 m
T Δt' 2
Nếu Δt 0 khi đó t 2 t1 nT thì quãng đường là: S = n.4A Nếu Δt 0 khi đó t 2 t1 m
T thì quãng đường là: S = m.2A 2
Nếu Δt 0 hoặc Δt' 0 , khi đó ta dùng tích phân để tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian Δt và Δt' nhờ máy tính FX 570 ES hoặc FX 570 ES Plus: S = S1 + S2 = n4A + S2 với S2
t2
t1 nT
Trang 51
ds
t2
t1 nT
ωAcos(ωt φ) dt
S S1' S'2 m2A S'2 với S'2
t2
t2
ds
T t1 m 2
ωAcos(ωt φ) dt
T t1 m 2
Ta chọn chế độ tính tích phân cho máy tính FX 570 ES hoặc FX 570 ES Plus như sau: Chọn chế độ máy Nút lệnh trong máy Kết quả hiển thị Chỉ định dạng nhập (xuất) Math SHIFT MODE 1 của phép toán Chọn đơn vị đo góc là Rad R SHIFT MODE 4 (R) Phép tính tích phân Phím dx
Hàm trị tuyệt đối
SHIFT Hyp
dx
Với biến t thay bằng biến x Nhập hàm
v ωAsin(ωt φ) Nhập các cận tích phân
v ωAsin(ωt φ)
ωAsin(ωt φ) dx
t2
t1 nT
Bấm dấu bằng (=)
X
ALPHA )
t2
ωAsin(ωt φ) dx
t1 nT
Hiển thị kết quả: ......
=
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một vật chuyển động theo quy luật: x 2 cos 2t
cm . Tính quãng 2
đường của nó sau thời gian t 2,875 s kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Hướng dẫn giải :
2 1 s . cm / s . Chu kì dao động T 2 2,875 5, 75 5 (chỉ lấy phần nguyên). Số bán chu kì: m 1 2 Vận tốc x 4sin 2t
Quãng đường trong 5 bán chu kỳ: S1' 2mA 2.5.2 20 cm . Trang 52
Quãng đường vật đi được trong t’: S'2 t mT t 2 . 1
Với t1
2
mT 5 0 2,5 s . 2 2 t2
2,875
Ta có: S ' 2
ds
t1 mT/2
2,5
4 sin 2t dt 2
Với máy tính Fx570ES: Bấm: SHIFT MODE 1 Bấm: SHIFT MODE 4 2,875
Nhập máy:
2,5
4 sin 2x dx = 2
Chờ vài phút...màn hình hiển thị: 2,585786438 = 2,6. Quãng đường S = 2mA + S’2 = 20 + 2,6 = 22,6 cm. Câu 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình:
π x 12 cos 50πt cm. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 2 π t s, kể từ thời điểm gốc là (t = 0): 12 A. 6 cm.
B. 90 cm.
C. 102 cm. D. 54 cm. Hướng dẫn giải : Phân tích: Ở bài toán này chúng ta phải dựa vào phương trình dao động để xác định vị trí ban đầu của vật, sau đó vận dụng phương pháp tính toán đại số hoặc dựa vào mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để giải. 2 2 Cách giải 1: Chu kì dao động: T = = = s. 50 25 x 0 0 Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương. v0 0
Tại t = 0:
Tại thời điểm t
x 6cm π s: Vật đi qua vị trí có x = 6c m theo chiều dương. 12 v 0
Số chu kì dao động: N =
t t 0 t .25 1 = = = 2 + Thời gian vật dao động là: 12 T T 12.
T = 2T + s. 12 300 Quãng đường tổng cộng vật đi được là: St = SnT + SΔt. Với: S2T = 4A.2 = 4.12.2 = 96 m. t = 2T +
Trang 53
B
x0 O
x
B
x
v1v 2 0 Vì SΔt = x x 0 = 6 - 0 = 6cm T t < 2 Vậy: St = SnT + SΔt = 96 + 6 = 102 cm.
Chọn đáp án C
Cách giải 2: Ứng dụng mối liên hệ giữa CĐTĐ và DĐĐH x 0 0 Vật bắt đầu dao động từ VTCB v0 0
Tại t = 0:
theo chiều dương t t 0 t .25 1 Số chu kì dao động: N = = = =2+ 12 T T 12. T t = 2T + = 2T + s. 12 300 2 2 Với: T = = = s 50 25
B
B x
O
6
Góc quay được trong khoảng thời gian t: α = t = (2T + Vậy vật quay được 2 vòng + góc
x
x0
T ) = 2π.2 + 12 6
quãng đường vật đi được là: 6
St = 4A.2 + A/2 = 102 cm.
Chọn đáp án C
Câu 3: Một chất điểm dao động với phương trình x 4 cos 5πt
π cm. Tính 2
quãng đường mà chất điểm đi được sau thời gian t = 2,15 s kể từ lúc t = 0. Hướng dẫn giải : 2π t T T Ta có: T = = 0,4 s ; = 5,375 = 5 + 0,25 + 0,125 t = 5T + + . ω T 4 8 Lúc t = 0 vật ở vị trí cân bằng; sau 5 chu kì vật đi được quãng đường 20A và trở về 1 vị trí cân bằng, sau chu kì kể từ vị trí cân bằng vật đi được quãng đường A và đến 4 1 vị trí biên, sau chu kì kể từ vị trí biên vật đi được quãng đường: 8 A – Acos
2 π =A–A . 2 4
Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian t là S = A 22
Trang 54
2 = 85,17 cm. 2
Câu 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 5cos 2πt
π cm. 4
Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t1 = 1 s đến t2 = 4,625 s. Hướng dẫn giải : Phân tích : Muốn tính được vận tốc trung bình của vật, trước hết ta phải đi tính quãng đường S mà vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 1 s đến t2 = 4,625 s. Ta tính S theo hai cách dưới đây. Cách giải 1: Phương pháp đại số 2π Chu kì dao động của vật : T = = 1 s. ω Ta có : t = t2 – t1 = 3,625 = 3T + T + 0,125. 2
Suy ra quãng đường vật đi được từ t1 = 1 s đến t’ = 4,5 s là: S1 = 3.4A + 2A = 14A = 14.5 = 70 cm
π x1 5cos 2π.4,5 4 2,5 2 cm Tại thời điểm 4,5 s : v 10π sin 2π.4,5 π 0 1 4 π x 2 5cos 2π.4, 625 4 5 cm Tại thời điểm 4,625 s : v 10π sin 2π.4, 625 π 0 2 4 Suy ra trong khoảng thời gian từ 4,5 s đến 4,625 s, vật không đổi chiều chuyển động. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 4,5s đến 4,625s là:
S 2 x 2 x1 5 2,5 2 cm . Suy ra, quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 1s đến t2 = 4,625s là: S S1 S2 75 2,5 2 cm . Cách giải 2: Sử dụng phép tính tích phân Nhận thấy: t2 – t1 = 3,625 = 3T + T + 0,125. Vì Δt 0,125 0 và n = 3 khi đó ta 2
dùng tích phân để tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian Δt nhờ máy tính FX 570 ES hoặc FX 570 ES Plus: 4,625
S = S1 + S2 = 3.4.5 + S2 = 60 + S2 với S2
4,5
Trang 55
4,625
ds
4,5
π 10π sin 2π.t dt . 4
Nhập máy tính FX 570 ES: bấm , bấm SHIFT Hyp dùng hàm trị tuyệt đối Abs.
Với biểu thức dưới dấu tích phân là phương tình vận tốc, cận trên là t2, cận dưới là 4,625
t1, biến là t, ta được: S2
4,625
ds
4,5
4,5
π 10π sin 2π.t dt . Bấm = , màn hình 4
hiển thị kết quả. Suy ra S2 = 1,4645 cm. Suy ra: S = 70 + 1,4645 = 71,4645 cm S 75 2,5 2 19, 7 cm/s . Δt 3, 625 Nhận xét: Trên đây là 2 cách tính quãng đường S, tùy thuộc vào cách hiểu và vận dụng của từng học sinh để chọn cho mình một phương pháp phù hợp khi làm trắc nghiệm. Ngoài ra, chúng ta còn có thể dựa vào sơ đồ thời gian để tính S, như ví dụ dưới đây.
Từ 2 cách giải trên, ta có: v
π cm. Độ 2 13 dài quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 1,5s đến t2 = s là 3 Câu 5: Một vật dao động điều hoà với phương trình x 10 cos πt
A. 50 + 5 3 cm
B. 40 + 5 3 cm
C. 50 + 5 2 cm
D. 60 - 5 3 cm Hướng dẫn giải :
Cách giải 1: A = 10cm, ω = π rad/s; T = 2s, bằng theo chiều dương.
-A
0
t = 0, vật qua vị trí cân 2
5 3
A
Khi t = 1,5s x = 10cos(1,5π – 0,5π) = – 10 cm 13 Khi t = s thì: 3 13 23 x = 10cos = 10cos 2 = 10cos = 5 3 cm. 2 3 6 6 Suy ra, trong khoảng thời gian t
13 26 9 17 1,5 s T < Δt < 1,5T. 3 6 6 6
Vậy quãng đường đi được: s = 5A + |x| = 50 + 5 3 cm. Chọn đáp án A Trang 56
Cách giải 2: Ứng dụng mối liên hệ giữa CĐTĐ và DĐĐH Khi t1 = 1,5s x = 10cos(1,5π – 0,5π) = -10cm = -A 13 3 t 3 2 17 17 5 Ta có: 1 T 2 6.2 12 12 Quãng đường đi trong 1T là s1 = 4A 5 T ứng với góc Quãng đường đi trong 12 5 .360o 150o là: = 12 s2 = A + x = A + Acos30o = A + Vậy: s = s1 + s2 = 5A +
x 150o
A 3 2
A 3 = 50 + 5 3 cm. 2
Chọn đáp án A Cách giải 3: Sử dụng phép tính tích phân Nhận thấy: t2 – t1 =
13 - 1,5 = 2,83 = 2T + T + 0,33. Vì Δt' 0,33 0 và m = 2 3 4
khi đó ta dùng tích phân để tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian Δt nhờ máy tính FX 570 ES hoặc FX 570 ES Plus:
S S1' S'2 m2A S'2 2.4.10 10 S'2 với S' 2
t2
t1 m
Biểu thức của v: v 10π sin πt Nhập máy tính FX 570 ES: bấm
t2
ds T 2
t1 m
ωAcos(ωt φ) dt T 2
π cm. 2
, bấm SHIFT Hyp dùng hàm trị tuyệt đối Abs.
Với biểu thức dưới dấu tích phân là phương tình vận tốc, cận trên là t2, cận dưới là 2,83
2.83
t1, biến là t, ta được: S2
2,5
ds
2,5
π 10π sin π.t dt . Bấm = , màn hình hiển 2
thị kết quả. Suy ra S2 = 8,7 cm. Vậy: S = 50 + 8,7 = 58,7 cm. Chọn đáp án A
Trang 57
Câu 6 (ĐH khối A, 2010): Một chất điểm dao động điều hòa có chu kỳ T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = chất điểm có tốc độ trung bình là: 3A 6A 4A A. B. C. 2T T T Hướng dẫn giải : -A
D.
A , 2
9A 2T
A
A 2
O
Từ công thức tính tốc độ trung bình v tb =
s 3A T ; với s = ; t= . t 2 3
3A s Khi đó: v tb = 2 9A . T t 2T 3 Chọn đáp án D
Câu 7: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4 cos πt
π cm . Tính 2
quãng đường vật đi được trong 2,25 s đầu tiên. Hướng dẫn giải : Cách giải 1: Ta có : T
2π 2π 2 s . Phân tích: t = 2,25s = T + 0,25 s. ω π
Quãng đường vật đi được trong 2 s đầu tiên là S1 = 4A = 16 cm.
π x 0 4 cos 2π 2 x 0 0 Tại thời điểm t = 2s : v 4π sin 2π π v 0 0 0 2 π x 0 4 cos 2, 25π 2 x 2 2 cm Tại thời điểm t = 2,25s : v 4π sin 2, 25π π v 0 0 2 Từ đó ta thấy trong 0,25 s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được trong 0,25 s cuối là S2 2 2 0 2 2 cm . Trang 58
Vậy quãng đường vật đi được trong 2,25 s là: S = S1 +S2 16 2 2 cm. Cách giải 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều). Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25 s = T + 0,25 s. Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16 cm. Xét quãng đường vật đi được trong 0,25 s cuối. Trong 0,25 s cuối thì góc mà vật quét được trên đường tròn (bán kính A = 4 cm) là:
α ωt π.0, 25
M
() A
α
A
O
A 2 2
O
M
A x
A x
A 2 2
π rad . 4
Độ dài hình chiếu là quãng đường đi được: S2 Acosα 4
2 2 2 cm. 2
Từ đó ta tìm được quãng đường mà vật đi được là: S = S1 +S2 16 2 2 cm. Câu 8 (ĐH khối A, 2009): Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì 2 s. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Tốc độ trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian ngắn nhất khi chất điểm đi từ vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng đến vị trí có động năng bằng A. 26,12 cm/s.
1 thế năng là: 3
B. 7,32 cm/s.
C. 14,64 cm/s. Hướng dẫn giải: A Vị trí động năng bằng 3 lần thế năng: x = ± . 2
A
A
O A 2
Vị trí động năng bằng
1 A 3 thế năng: x = ± . 3 2
Thời gian ngắn nhất giữa hai vị trí bằng thời gian đi từ
A T 1 A 3 đến và bằng t = = s. 2 12 6 2 Trang 59
D. 21,96 cm/s.
A 3 2
x
s A 3 A – = 5( 3 1 ) vtb = 21,96 cm/s . Δt 2 2 Chọn đáp án D Câu 9 (ĐH khối A, 2009): Một vật dao động điều hòa có độ lớn vận tốc cực đại là 31,4 cm/s. Lấy π 3,14 . Tốc độ trung bình của vật trong một chu kì dao động là Quãng đường tương ứng: s =
A. 20 cm/s. Ta có: v =
B. 10 cm/s.
C. 0 cm/s. Hướng dẫn giải :
D. 15 cm/s.
2v max 4A 4A 2Aω = = = = 20 cm/s . 2π T π π ω
Chọn đáp án A Câu 10 (Nguyễn Khuyến lần 3 - 2015): Một vật dao động điều hòa với phương
trình x 6 cos 20t
t
π cm . Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian 3
13 s, kể từ khi bắt đầu dao động. là : 60
A. 71,37m/s.
B. 77,37m/s. C. 79,33m/s. Hướng dẫn giải : Vật xuất phát từ M (theo chiều âm).
D. 75,37m/s.
13 2.2 . 60 3 Với 1 2.2 thì s1 2.4A 48cm. Với 2 thì vật đi từ M đến N: 3 s2 = 3 + 3 = 6 cm. Vậy: s = s1 + s2 = 48 + 6 = 54 cm. s 54 79,33m/s. Vận tốc trung bình: v t 13 60 Góc quét t 20.
Chọn đáp án C Câu 11 (ĐH – 2014): Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một quỹ đạo thẳng dài 14 cm với chu kì 1 s. Từ thời điểm vật qua vị trí có li độ 3,5 cm theo chiều dương đến khi gia tốc của vật đạt giá trị cực tiểu lần thứ hai, vật có tốc độ trung bình là A. 27,0 cm/s. B. 26,7 cm/s. C. 28,0 cm/s. D. 27,3 cm/s. Hướng dẫn giải : Để tính tốc độ trung bình của vật, ta cần tính tổng quãng đường mà vật đi được và thời gian đi hết quãng đường đó. Chiều dài quỹ đạo của vật là 14 cm, nên bên độ dao động là A = 7 cm. Trang 60
Gia tốc của vật a ω2 x , ma A x A , suy ra ω2 A a ω2 A , nên gia tốc đạt gia trị cực tiểu khi x = A, (rất nhiều học sinh nhầm rằng gia tốc đạt giá trị cực tiểu là bằng 0, điều này sai, nhưng nếu nói độ lớn của gia tốc đạt giá trị cực tiểu là bằng 0 thi đúng). Từ đó ta hình dung được quỹ đạo đường đi của vật như sau: thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ 3,5 cm theo chiều dương, đến biên dương lần thứ nhất (gia tốc cực tiểu lần thứ nhất), đi tiếp 1 chu kì sẽ đến biên dương lần thứ hai (gia tốc cực tiểu lần thứ hai). Tổng quang đường vật đi được là : 3,5 + 4. 7 = 31,5 cm. Tổng thời gian vật đi hết quãng đường đó: Tốc độ trung bình: v tb
T 7T 7 T s. 6 6 6
31,5 27cm/s. 7
Chọn đáp án A Câu 12: Một chất điểm dao động theo phương trình x = 2,5cos10t cm. Tính vận tốc trung bình của dao động trong thời gian 1 chu kì kể từ lúc vật có li độ x = 0 và kể 8 từ lúc vật có li độ x = A. Hướng dẫn giải:
2π T 0,2π 1 chu kỳ, 0,2π s. Suy ra : Δt 0, 0785 s. Trong ω 8 8 8 π góc quay trên giãn đồ là . 4 π Quãng đường đi được từ lúc x = 0 là s = Acos = 1,7678 cm, nên trong trường 4 Ta có: T
hợp này: v tb
Δs 22,5 cm/s. Δt
Quãng đường đi được từ lúc x = A là s = A - Acos
π = 0,7232 cm, nên trong 4
Δs 9,3 cm/s. Δt Chú ý : Ngoài ra ta còn có thể dùng phương pháp sau : trường hợp này: v tb
- Quãng đường đi được ‘trung bình’: S
t 2 t1 .2A . Quãng đường đi được thỏa 0,5T
mãn : S 0, 4A S S 0, 4A
Trang 61
-
soá nguyeân t 2 t1 S q.2A Căn cứ vào: q soá baùn nguyeân vaø x(t1 ) 0 A 0,5T q.2A 0, 4A S q.2A 0, 4A
- Đây là phương pháp tính quãng đường S cực nhanh và hiệu quả. - Ta đi xét các ví dụ sau Câu 13 (QG – 2016): Một thấu kính hội tụ có tiêu cự 15 cm. M là một điểm nằm trên trục chính của thấu kính, P là một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng trùng với M. Gọi P’ là ảnh của P qua thấu kính. Khi P dao động theo phương vuông góc với trục chính, biên độ 5 cm thì P’ là ảnh ảo dao động với biên độ 10 cm. Nếu P dao động dọc theo trục chính với tần số 5 Hz, biên độ 2,5 cm thì P’ có tốc độ trung bình trong khoảng thời gian 0,2 s bằng A. 1,5 m/s B. 1,25 m/s C. 2,25 m/s D. 1,0 m/s Hướng dẫn giải: Khi P dao động vuông góc với trục chính, ảnh của P (và M) qua thấu kính là ảnh ảo, số phóng đại dương k = 2.
k
f f 1 d 1 f 7,5 cm . f d 2 k
Vậy M cách thấu kính 7,5 cm. Khi P dao động dọc theo trục chính với biên độ 2,5 cm: P ở biên phải M thì d1 = 5 cm
df 5.15 d1 1 7,5 cm . d1 f 5 15
P’ P M’
O d
d’
P ở biên trái M thì d2 = 10 cm
d1
M
d1f 10.15 30 cm . d1 f 10 15
Độ dài quỹ đạo của ảnh P’ là 2A = 30 – 7,5 = 22,5 (cm). Tần số dao động là 5 Hz, chu kì dao động là T = 0,2 s. Tốc độ trung bình của ảnh P’ trong khoảng thời gian 0,2 s là
v TB
4A 2.22,5 225 cm / s 2, 25 m / s . T 0, 2
Chọn đáp án C π Câu 14: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x 1, 25cos 2πt cm 12 (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được sau thời gian t = 2,5 s kể từ lúc bắt đầu dao động là A. 7,9 cm. B. 22,5 cm. C. 7,5 cm. D. 12,5 cm. Trang 62
Hướng dẫn giải:
2π T 1 s ω soá nguyeân Ta có: S q.2A 10A 12,5 cm. q t 2 t1 2,5 5 0,5T 0,5.1 Chọn đáp án D Câu 15: Một vật dao động với phương trình: x = 4cos4t cm (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được trong thời gian 2,875 s kể từ lúc t = 0 là: A. 92 cm. B. 16 cm. C. 32 cm. D. 64 cm. Hướng dẫn giải: Ta có:
2π 1 T s ω 2 soá baùn nguyeân S q.2A 23A 92 cm. nhöng x(t1 ) 4cos 4π 0 t t 2,875 q 2 1 11,5 0,5T 0,5.0,5 Chọn đáp án A Câu 16: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình
π x 4 cos 4πt cm. Trong 1,125 s đầu tiên vật đã đi được một quãng đường: 2 A. 32 cm.
B. 36 cm.
C. 48 cm. Hướng dẫn giải:
D. 24 cm.
Ta có: 2π 1 T s ω 2 soá baùn nguyeân S q2A 9A 36 cm. π nhöng x t t 1,125 0 (t1 ) 4cos 4π.0 0 2 1 2 q 4,5 0,5T 0,5.0,5 Chọn đáp án B Câu 17: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox (O là vị trí cân bằng) có
π cm (t đo bằng giây). Xác định quãng đường vật 6 13 đi được từ thời điểm t = 1 (s) đến thời điểm t s. 6 phương trình: x 5sin 2πt
A. 32,5 cm
B. 25 cm
C. 23,3 cm Hướng dẫn giải:
Trang 63
D. 17,5 cm
2π T ω 1 s 13 Ta có: 70 1 23,3 cm t t 7 S q2A q 2 1 6 3 0,5T 0,5.1 3 ΔA max 0,4A 2 cm Chọn đáp án C Câu 18: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình:
π x 6 cos 4πt cm (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm 3 8 ban đầu đến thời điểm t s là 3 A. 134,5 cm.
B. 128 cm.
C. 69 cm. Hướng dẫn giải:
D. 21 cm.
2π T ω 0,5 s 8 0 Ta có: t t 64 64 .4A A 6 128 cm S 2 1 .2 A 3 0,5T 0,5 3 3 ΔA 0, 4A 2,4 cm max Chọn đáp án B Nhận xét: Tóm lại, ở dạng bài tập này, chúng tôi đã trình bày cách tính quãng đường S theo phương pháp đại số, ứng dụng giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa, phương pháp tích phân, công thức tính nhanh, sơ đồ thời gian, … Các em học sinh tùy thuộc vào kiến thức và năng lực tiếp thu của mình để chọn cho mình phương pháp giải nhanh cho phù hợp với yêu cầu bài thi trắc nghiệm. Vấn đề 8: Dạng bài toán biết tại thời điểm t vật qua li độ x = xt theo một chiều nào đó. Tìm li độ dao động tại thời điểm sau hoặc trước thời điểm t một khoảng thời gian t. Với dạng bài toán này, trước hết ta đi kiểm tra xem ωΔt φ nhận giá trị nào: - Nếu 2k thì x 2 x1 và v 2 v1 , a1 a 2 . - Nếu 2k 1 thì x 2 x1 và v 2 v1 , a 2 a1 . - Nếu 2k 1
thì x12 x 22 A 2 và v12 v 22 v 2max , a12 a 22 a 2max . 2 Trang 64
Nếu rơi vào các trường hợp có giá trị như trên ta nên sử dụng các hệ quả của các trường hợp đặt biệt đó vận dụng để gải nhanh, còn nếu không rơi vào những trường hợp trên thì chúng ta có thể dùng pháp biến đổi toán học thuần túy thông qua biến đổi phương trình lượng giác hoặc sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải. 1. Biến đổi toán học. Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(t + ) cho x = xt, căn cứ vào chiều chuyển động để chọn nghiệm (t + ) duy nhất. Từ đó tính được li độ sau hoặc trước thời điểm t đó t giây là:
x t ± Δt A cos ω t ± Δt φ A cos ωt φ ωΔt Nếu thời điểm sau thì lấy dấu (+), trước thì lấy dấu (-). Lấy nghiệm t + = với 0 α π ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc (t + ) = - ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương). 2. Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa. Đánh dấu vị trí xt trên trục qua tâm Ox. Kẻ đường thẳng qua xt vuông góc với Ox cắt đường tròn tại hai điểm. Căn cứ vào chiều chuyển động để chọn vị trí của M duy nhất trên vòng tròn. Vẽ bán kính OM. Trong khoảng thời gian t, góc ở tâm mà OM quét được là α = ωΔt . Vẽ OM’ lệch với OM một góc , từ M’ kẻ vuông góc với Ox cắt ở đâu thì đó là li độ cần xác định. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một chất điểm dao động theo trục Ox có phương trình dao động là π x 5cos 2πt cm . Tại thời điểm t vật có li độ x = 4cm và tại thời điểm 4
t 2 t1 4,5s vật có li độ là: A. 5 cm
B. 2,5 cm
C. – 4 cm Hướng dẫn giải :
D. – 2,5 cm
Ta nhận thấy t 2.4,5 9 2.4 1 . Đây là trường hợp đặt biệt 2k 1 , nên x 2 x1 4cm. Chọn đáp án C Nhận xét: Những bài toán thuộc dạng này nếu chúng ta chú ý các trường hợp đặt biệt sẽ cho ta kết quả rất nhanh. Ở bài toán này ta thấy rằng tại hai thời điểm t1 và t2 là hai thời điểm ngược pha, ta đi vận dụng công thức 2k 1 và từ đó suy ra x 2 x1 một cách nhanh chóng. Trang 65
Chú ý: a. Nếu khoảng cách giữa hai thời điểm là t 2 t1 nT (hai thời điểm cùng pha) thì
x 2 x1 và v 2 v1 , a1 a 2 .
b. Nếu khoảng cách giữa hai thời điểm là t 2 t1 2n 1 T (hai thời điểm ngược pha) thì x 2 x1 và v 2 v1 , a 2 a1 . c. Nếu khoảng cách giữa hai thời điểm là t 2 t1 2n 1
T (hai thời điểm vuông 4
2 2 pha) thì x12 x 22 A 2 và v12 v 22 v max . , a12 a 22 a max
(với v1 x 2 , v 2 x1 ; lấy dấu " " khi n lẻ và dấu " " khi n chẵn) Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa có chu kì T = 1s. Tại thời điểm t = t1 vật có li độ x = – 4cm và sau đó 2,75s vật có vận tốc là: A. 8π cm/s B. 9π cm/s C. 10π cm/s D. 11π cm/s Hướng dẫn giải : Ta có:
2 2π rad/s. T
T T 2n 1 n 5 (hai thời điểm vuông 4 4 pha và với n là số lẻ) nên v 2 x1 2π. 4 8π cm/s. Nhận thấy t 2 t1 2, 75 2.5 1
Chọn đáp án A Nhận xét: Ta cũng làm tương tự cho trường hợp hai thời điểm cùng pha và ngược pha. π Câu 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 3cos 2πt cm , trong 3 đó x tính bằng cm, t tính bằng giây. Gốc thời gian đã được chọn lúc vật có trạng thái chuyển động như thế nào? A. Đi qua Vị trí có li độ x = - 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox B. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox C. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox D. Đi qua vị trí có li độ x = - 1,5cm và đang chuyển động theo chiều âm trục Ox Hướng dẫn giải :
Trang 66
π x 3cos 2π.0 3 1,5 cm Ta có: v 6πcos 2π.0 π 3 3π cm/s 0 3 Chọn đáp án C Câu 4: Một chất điểm dao động theo trục Ox có phương trình dao động là π x 5cos 10πt cm . Tại thời điểm t vật có li độ x = 2,5 cm và đang có xu 6 hướng tăng, thì tại thời điểm t’ = t + 0,1 s vật có li độ là: A. 5 cm B. 2,5 cm C. – 5 cm Hướng dẫn giải : Cách giải 1: Phương pháp đại số Tại thởi điểm t ta có:
D. – 2,5 cm
π π 10πt π π 1 6 3 5cos 10πt 2,5 cos 10πt 6 6 2 10πt π π 6 3 Theo phương trình dao động trên ta nhận thấy vật đang ở tọa độ dương trên trục tọa độ và tọa độ đang có xu hướng tăng nên vật chuyển động theo chiều âm, hay v > 0. π π π Suy ra: v 50π sin 10πt > 0 nên chỉ có nghiệm 10πt thỏa mãn 6 3 6 yêu cầu bài toán. Tại thởi điểm t’ = t + 0,1 ta có: π π x' 5cos 10πt' 5cos 10π t 0,1 6 6 π π π 5cos 10π t 0,1 5cos 10πt π 5cos π 2,5 cm . 6 6 3 Chọn đáp án D Cách giải 2: Dùng đường tròn lượng giác Tại thời điểm t do vật đang ở vị trí x = 2,5 cm và đang có xu hướng tăng nên vật sẽ đi cùng với chiều dương của trục tọa độ. Khi đó, vật quét 1 góc ở tâm là α1: x 2,5 1 π cosα1 t α1 A 5 2 3
Trang 67
Sau thời gian t’ = t + 0,1 vật sẽ quét thêm 1 góc α như hình vẽ. Khi đó: α ωt 10π.0,1 π
α
Suy ra:
π π α 2 π α α1 π π 3 3 Xét tam giác vuông OIM1 ta có: x t' OI OM1.cosα 2
M0
M1
-5
I α2 2,5 O
α1
K
2,5
5 x
π 5.cos 2,5 cm. 3 Chọn đáp án D π Câu 5: Vật dao động điều hòa với phương trình x 8cos 10πt cm. Quãng 3 đường vật đi được trong thời gian 4,25 s kể từ thời điểm t = 0: A. 690,93 cm. B. 680,93 cm C. 690,39 cm. D. 680,39 cm. Hướng dẫn giải: Chu kì dao động: 2 2 T 0, 2 s . 10 M Theo giả thuyết: t 4, 25 21T T . -8 8 O 4 I Suy ra: S = S1 + S2 π K H x Với 6 π S1 = 21T = 21.4A = 21.4.8 = 672 cm. 6 Tại thời điểm t = 0 vật đang ở vị trí x = M0 4 cm, sau 21T vật sẽ quay lại vị trí cũ. Ta sẽ tính quãng đường mà vật đi trong T : 4
3 1 S2 IH HK A 1 cos A 1 cos 8 1 8 1 18,93 cm . 3 6 2 2 Quãng đường vật đi được trong thời gian 4,25 s kể từ thời điểm t = 0: S = S1 + S2 = 672 + 18,93 = 690,93 cm. Chọn đáp án A Vấn đề 9: Dạng bài toán tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2 Trang 68
Phương pháp 1: Phương pháp đường tròn lượng giác (khi x có giá trị đặc biệt) Ta dùng mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ đều để tính. Khi vật dao động điều hoà từ x1 đến x2 thì tương ứng với vật chuyển động tròn đều từ M đến N (chú ý x1 và x2 là hình chiếu vuông góc của M và N lên trục Ox. Thời gian ngắn nhất vật dao động đi từ x1 đến x2 bằng thời gian vật chuyển động tròn đều từ M đến N M Ta vận dụng: φ φ1 N Δφ φ 2 φ1 t MN Δt 2 .T 2 1 ω ω 2π A A x MON MON x x 1 2 T T O 360 2π x1 N' cosφ1 = A M' với và ( 0 φ1 , φ 2 π ) x cosφ = 2 2 A Ta làm theo các bước sau: N M * Bước 1 : Vẽ đường tròn có bán kính R A (biên độ) và trục Ox nằm ngang * Bước 2 : – Xác định vị trí vật lúc t 0 thì x 0 ? v0 ?
-A
x2
O
x1
N X
– Xác định vị trí vật lúc t (xt đã biết) * Bước 3 : Xác định góc quét Δφ ? * Bước 4 : t
T. 2 3600
Phương pháp 2: Ta có dùng phương pháp sau để làm nhanh bài toán trắc nghiệm về dạng này. Trong trường hợp bài toán cho phương trình dao động x A cos ωt φ . Ta nhận thấy rằng thời gian ngắn nhất mà vật đi từ x1 đến x2 chỉ có thể là thời gian vật đi theo một chiều duy nhất (không lặp đi lặp lại hay quay vòng). Nếu ta chọn t = 0 tại vị trí : + Biên dương thì vật dao động có phương trình x A cos ωt. + Biên âm thì vật dao động có phương trình x A cos ωt. + Cân bằng (v > 0) thì vật dao động có phương trình x Asinωt. + Cân bằng (v > 0) thì vật dao động có phương trình x Asinωt. Trang 69
x 2= Acosα
x 1= Asinα -A
0 π/2-α
X1
A
-A
0 α
α
X2
A
N
π/2-α N
M
M
x Asinωt
x Asinωt
O
-A
x1
A
x Acosωt
-A
x
x Acosωt
x1
O
A x
t
x 1 arcsin 1 ω A
t
x 1 arccos 1 ω A
Theo tọa độ x: + Nếu từ VTCB đến li độ x hoặc ngược lại thì: x x x 1 T T t1 arcsin 1 arcsin 1 arcsin 1 ω A 2π A 360 A + Nếu từ vị trí biên đến li độ x hoặc ngược lại thì: x x x 1 T T t 2 arccos 1 arccos 1 arccos 1 ω A 2π A 360 A Theo vận tốc v: + Nếu vật giảm tốc từ vmax đến v hoặc ngược lại thì:
t1
v v v 1 T T arccos 1 arccos 1 arccos 1 ω v Max 2π v Max 360 v Max
+ Nếu vật tăng tốc từ 0 đến v hoặc ngược lại thì:
t2
v1 v1 v1 1 T T arcsin arcsin arcsin ω v Max 2π v Max 360 v Max
Theo gia tốc a: + Nếu gia tốc tăng từ 0 đến a hoặc ngược lại thì:
Trang 70
t1
a a a 1 T T arcsin 1 arcsin 1 arcsin 1 ω a Max 2π a Max 360 a Max
+ Nếu gia tốc giảm từ amax đến a hoặc ngược lại thì:
t2
a a a 1 T T arccos 1 arccos 1 arccos 1 ω a Max 2π a Max 360 a Max
Lưu ý: Bấm máy tính hàm arcsin: Phím SHIFT sin Màn hình xuất hiện: sin-1( Bấm máy tính hàm arccos: Phím SHIFT cos Màn hình xuất hiện: cos-1( Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 đến x2 là t :
x2 x 1 x x 1 arccos 1 arcsin 2 arcsin 1 arccos ω A A ω A A Trong 1 chu kì T: t
– Vùng vận tốc (tốc độ) v nằm trong đoạn x1 x1 (vật cách VTCB
một khoảng nhỏ hơn x1) thì khoảng thời gian là t 4t1 . – Vùng vận tốc (tốc độ) v (không vượt quá v) nằm ngoài đoạn
x1 x1 thì khoảng thời gian là t 4t 2 .
v A 3 đến vị trí v Max : 2 2 v 2T – Vùng tốc độ Max thì khoảng thời gian là t 4t1 . 2 3 v T – Vùng tốc độ Max thì khoảng thời gian là t 4t 2 . 2 3
Ở vị trí x
Phương pháp 3:
-A
T 12
A 3 2
T 24
T 4
T 4
A 2 A 2 2
A 2
T 12
T 8 T 6
O T 12
T 12 T 2
Sơ đồ thời gian Trang 71
A 2 A 3 2 2
T 12
T 8 T 6
T 24
A T 12
x
Ngoài ra, nếu vị trí x* là những vị trí đặc biệt, ví dụ như A 3 , A 2 , A , A , 2 2 2 2 A 2 A 3 , , … thì ta phải ghi nhớ bảng phân bố thời gian và những thời gian đặc 2 2 biệt nó sẽ giúp chúng ta giải bài toán trắc nghiệm rất nhanh chóng và chính xác. Các khoảng thời gian ngắn nhất đặc biệt: Từ 0 đến x = A A 2 A 3 A 2 2 2
tmin
T 12 A 2
Từ A đến x = tmin
T 6 A 2
Từ – A đến x = tmin
T 6
Vật 2 lần liên tiếp đi qua x = ±
T 8
T 6
A 2 2 T 8
A 3 2 T 12
A 2 2 T 8
T 4
0 T 4
A 3 2 T 12
0 T 4
A 2 T thì Δt = . 2 4
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x A cos ωt φ và có chu kỳ T. Tính khoảng thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí biên có li độ x = A 2 đến vị trí x = A 2 ? 2 2T A. 21
5T 5T D. 12 24 Hướng dẫn giải : Cách giải 1: Sử dụng mối liên hệ giữa đường tròn lượng giác và dao động điều hòa. Ta có: x1 cosφ1 A M’ M cosφ x 2 A φ 2 A Suy ra:
B.
5T 21
C.
φ2
–A Trang 72
A 2
O
φ1 A 2 2
A
φ φ1 φ φ1 Δφ = 2 = 2 .T ω ω 2π 2π π 5π 5T 3 4 . .T 12 .T 2π 2π 24
Δt =
Chọn đáp án D Lưu ý: Cách giải này rất quen thuộc với các em học sinh, nhưng trong một số trường hợp nếu dùng cách này để làm bài thi trắc nghiệm sẽ lâu hơn vì phải mất thời gian vẽ hình để tính góc. Vậy cần phải biết những cách giải khác đơn giản hơn, ngắn gọn hơn để đi đến đáp số một cách nhanh nhất ! Và cách nhanh nhất là dùng sơ đồ phân bố thời gian như cách giả 2 dưới đây. Cách giải 2: Ta nhận thấy vị trí x = A và x = A 2 là những vị trí đặc biệt nên: 2 2 T T 5T . Δt t A t A 2 0 0 12 8 24 2 2 T 4 T 12
-A T 8
T A 2 2 24
T 2
T 12
A 2 A 3 2 2
A 2
A 2 O
T 6
T 8
T 12
A
Chọn đáp án D π Câu 2: Một vật dao động trên trục ox với phương trình x 5cos 4πt cm . 3 Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 2,5 cm đến li độ
x 2 2,5 3 cm ? A.
1 s 8
B.
1 s 4
C.
1 s 6
D.
1 s 2
Hướng dẫn giải : Cách giải 1: Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Trang 73
Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = A = 5 cm, kẻ trục Ox nằm ngang và đánh dấu vị trí các điểm x1 2,5 cm ,
x 2 2,5 3 cm . Xác định cung M 1M 2
O
5
5
2,5
tương ứng như hình vẽ.
Ta cần tìm góc α ở tâm do cung M 1M 2
1
chắn. Trong trường hợp này, góc α có
2
M2
M1
thể tính α α1 α 2 .
x
2,5 3
2,5 3 3 π 2,5 1 π α2 α1 và sinα 2 5 2 3 5 2 6 π π π π α 1 Nên: α α1 α 2 . Vậy t 2 s. 6 3 2 ω 4π 8 Với sinα1
Chọn đáp án A Cách giải 2: Ta dùng các công thức sau Nếu từ VTCB đến li độ x hoặc ngược lại thì: t
x 1 arcsin ω A
Nếu từ vị trí biên đến li độ x hoặc ngược lại thì: t x1
-A
A 2
t1
t
x 1 arcsin 1 ω A
x 1 arccos ω A
t 2
O t
x 1 arcsin 2 ω A
x2
A x
A 3 2
Ở bài toán trên, do x1 2,5 cm và x 2 2,5 3 cm nằm ở 2 bên so với VTCB nên thời gian cần tìm gồm tổng của 2 phần: thời gian t1 để đi từ x1 2,5 cm đến VTCB và thời gian t 2 để đi từ VTCB đến x 2 2,5 3 cm . Ta có:
t t1 t 2
x x x x 1 1 1 arcsin 1 arcsin 2 arcsin 1 arcsin 2 ω A ω A ω A A
2,5 3 1 2,5 1 s. arcsin arcsin 4π 5 5 8 Chọn đáp án D Trang 74
Chú ý, nếu x1 và x2 nằm cùng bên với vị trí cân bằng thì
x x x x 1 1 1 arcsin 2 arcsin 1 arcsin 2 arcsin 1 ω A ω A ω A A Cách giải 3: Nhớ các trường hợp đặc biệt (xem sơ đồ phân bố thời gian) t t 2 t1
T 4 T 12
-A T 8
T A 2 2 24
T 2
T 12
A 2 A 3 2 2
A 2
A 2 O
T 12
T 6
T 8
A
Ta nhận thấy vị trí x = A và x = A 3 là những vị trí đặc biệt nên: 2 2 T T T 1 Δt t A t A 3 s. 0 0 12 6 4 8 2 2 Chọn đáp án D Câu 3: Vật dao động điều hòa có phương trình: x Acost. Thời gian ngắn nhất kể từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật có li độ x A.
T s 6
B.
T s 8
C.
A là: 2
T s 3
D.
T s 4
Hướng dẫn giải : Tại t 0: x0 A, v0 0: Trên đường tròn ứng với vị trí M. Tại t: x
A . Trên đường tròn ứng với vị trí N. 2
Vật đi ngược chiều + quay được góc Δφ 1200 Tại t
N A
x
O
x0 M x A
2 . 3
T 2 T T = s. 2 3.2 3
Chọn đáp án C π Câu 4: Vật dao động điều hòa theo phương trình: x 4 cos 8πt cm . Thời 6 gian ngắn nhất vật đi từ x1 –2 3 cm theo chiều dương đến vị trí có li độ x1 2 3 cm theo chiều dương là: Trang 75
1 s 10 Hướng dẫn giải : Vật dao động điều hòa từ x1 đến x2 theo chiều dương tương ứng vật CĐTĐ từ M đến N. Trong thời gian t vật quay được góc A.
1 s 16
Δφ 1200
B.
1 s 12
C.
2 . 3
x1
A
1 s 20
2 1
x2
A x
O
Vậy: 2 T 1 1 T T= s. 2 3.2 3 4.3 12
t
D.
M
N
Chọn đáp án B Câu 5: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T với tốc độ cực đại vMax. Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm mà tốc độ của vật bằng 0 đến điểm mà tốc độ của vật bằng A.
3 v Max là : 2
T 8
B.
T 16
C.
T 6
D.
T 12
Hướng dẫn giải :
02 Khi v 0 x A 1 A 1 1 v 2Max 2 Cách giải 1: Ta có: 3 v Max 2 3 A Khi v 2 2 v Max x 2 A 1 2 v Max 2 x1 A x 2
A
2 t
T T T . 4 12 6
Chọn đáp án C Nhận xét: Đây là cách giải rất hay, cho kết quả rất nhanh, chúng ta cần hiểu rỏ sơ đồ phân bố thời gian, vận tốc, gia tốc để giải nhanh những bài toán này. Cách giải 2: v v max max 2 Vận tốc 2 0 v max 2
v max 3 2
O Trang 76
v max 3 2
v max 0 2
x
Ta nhận thấy v = 0 ở vị trí biên và vật đi đến vị trí v
t
v 1 arccos 1 ω v Max
3 v Max nên ta có: 2
3 v Max T T π T arcsin 2 . 2π v Max 2π 3 6
Chọn đáp án C Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T với tốc độ cực đại vmax. Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm mà tốc độ của vật bằng 0 đến điểm mà tốc độ của vật 2 bằng v max là: 2 A.
T 8
B.
T 16
C.
T 6
D.
T 12
Hướng dẫn giải : Khi v1 0 x1 A A x1 A x 2 T T T 2 Ta có: t . 2 A 4 8 8 v max x 2 Khi v 2 2 2
Chọn đáp án A Câu 7: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T với tốc độ cực đại là vmax. Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm mà tốc độ của vật bằng 0,5vmax đến điểm mà tốc 2 độ của vật bằng v max là: 2 A.
T 24
B.
T 16
C.
T 6
D.
T 12
Hướng dẫn giải : Ta có: 2 A v max x 2 Khi v 2 2 2 A 3 A x x T T T 2 2 2 t 1 6 8 24 v max A 3 Khi v1 1 v max x1 A 1 2 2 v 2max 2 Chọn đáp án A Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có tốc độ nhỏ hơn một nửa tốc độ cực đại là: 1
A.
T 3
B.
2T 3
C.
T 6
2
D.
Hướng dẫn giải : Trang 77
T 12
-A
3 A 2
O
O
3 A 2 O
T 12 O Khi v1 0 x1 A 2 1 Ta có: v max A 3 Khi v 1 v x A 1 2 2 max 2 2 2 v max 2 x1 A x 2
A 3 2
t
A
T 12 O
T T T T 4t . 4 6 12 3
Chọn đáp án A Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T với tốc độ cực đại là amax. a Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm mà vật có gia tốc a Max đến điểm mà vật có 2 A 3 li độ x là : 2 T T T T A. B. C. D. 8 4 6 2 Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Ta nhận thấy tại li độ thì gia tốc a
3 a Max và 2 vị trí này nằm về 2
2 phía so với vị trí cân bằng nên ta có: a a 1 1 t t1 t 2 arcsin 2 arcsin 1 ω a Max ω a Max
a2 a 1 arcsin 1 arcsin ω a Max a Max
a Max 3 a Max T 2 arcsin 2 arcsin 2π a Max a Max a max a max 2 t 2 ω2A 1 O Gia tốc a max 3 2
T π π T . 2π 6 3 4 a a max max 2 2 t 2 - ω2A
Trang 78
a max 3 2
a
Chọn đáp án B
Cách giải 2: Tại vị trí a Khi đó ta có: Δt t
A 0 2
a Max A thì x . 2 2
t
0
A 3 2
T T T . 12 6 4
Chọn đáp án B Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có độ lớn gia tốc lớn hơn một nửa gia tốc cực đại là T 2T T T A. B. C. D. 3 3 6 2 Hướng dẫn giải : Ta có: Khi a1 a max x1 A A x1 A x 2 T T T 2T . 2 t 4t 1 1 2 A 4 2 6 3 Khi a 2 2 a max 2 A x 2 2 Chọn đáp án B Câu 11: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có độ lớn gia tốc lớn hơn A.
T 3
B.
1 2
gia tốc cực đại là
2T T C. 3 6 Hướng dẫn giải :
D.
T 2
Ta có: Khi a1 a max x1 A A x1 A x 2 T T T T 2 2 a max A A t 4t . 4 8 8 2 x2 Khi a 2 2 2 2 Chọn đáp án D Vấn đề 10: Dạng bài toán cho quãng đường S < 2A, tìm khoảng thời gian nhỏ nhất và lớn nhất Vật có vmax khi qua VTCB, vmin khi qua vị trí biên nên trong cùng một quãng đường, khoảng thời gian sẽ dài khi vật ở gần vị trí biên, khoảng thời gian sẽ ngắn khi di xung quanh gần VTCB. Vẽ quãng đường bài toán cho ở các vị trí có vmax, vmin. Từ quãng đường suy ra các vị trí đầu x1 và vị trí cuối x2. Sau đó sử dung cách giải như dạng toán 2. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Trang 79
Câu 1: Một vật dao động điều hoà trên trục Ox theo phương trình 2π x 4 cos 5πt cm. Tính thời gian dài nhất và ngắn nhất mà vật đi được 3 quãng đường bằng nhau và bằng 4 2 cm. Hướng dẫn giải: Ta nhận thấy đây là dạng bài toán ngược lại so với bài toán trên cho trường hợp S < 2A. Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. Và từ các công thức tính: Δφ + Quãng đường lớn nhất SMax = 2Asin (1) 2 Δφ + Quãng đường nhỏ nhất SMin = 2A(1 - cos (2) ) 2 ta thay = t, Smax = Smin = S = A (t tương ứng là tMax và tmin ứng với SMax và Smin) vào (1) và (2) ta được:
ωt Min ωt S 4 2 2 sin Min 2 2 2A 2.4 2 π 2ω t Min 10 s . 4 π
+ S 2Asin
ωt Min 2
ω.t + S 2A 1 cos Max 2
ω.t Max S 4 2 2 2 1 1 cos 2 2A 2.4 2
2 2 2 2 ωt Max 1 arccos t Max arccos 7, 29 s . 2 2 10 2 Chú ý: Nếu gặp dạng bài toán này ta có thể áp dụng ngay công thức dưới đây: ω.t Max ωt S 2Asin Min và S 2A 1 cos . 2 2 Từ dạng bài toán này, chúng ta cũng có thể mở rộng cho bài toàn tính
tần số góc ω , tần số f hoặc chu kì T. Câu 2: Một vật dao động điều hoà trên trục Ox theo phương trình π x 3cos ωt cm. So sánh những quãng đường bằng nhau và bằng 3 3 cm thì 3 khoảng thời gian dài nhất là
3 s. Hãy tìm tần số f của dao động? 4 Hướng dẫn giải: Trang 80
Theo bài toán trên, từ công thức: ω.t S 2A 1 cos Max 2
ω.t Max S 3 3 2 3 1 1 cos 2 2A 2.3 2
2 3 2 3 ω.t Max 2πf.t Max 1 arccos arccos f 35 Hz . 2 2 π.t Max 2 2 Câu 3: Một vật dao động điều hoà trên trục Ox. Gọi tMax và tmin là thời gian dài nhất
và ngắn nhất mà vật đi được quãng đường bằng biên độ. Tỉ số t Max là t min A.
1 2
B. 2
C.
1 12
D.
1 3
Hướng dẫn giải: Cùng một quãng đường A, vật đi thời gian ngắn nhất (tmin) là xung quanh gốc tọa độ và đi hết thời gian dài nhất (tmax) là quanh biên. Thời gian ngắn nhất: SMax 2A sin Δφ , suy ra: 2 Δφ Δφ π T . A 2A sin t min 2 2 12 24 Δφ Thời gian dài nhất: SMin 2A 1 cos , suy ra: 2
t Δφ Δφ π T A 2A 1 cos t max . Suy ra: Max 2 . 2 2 3 12 t min Chọn đáp án B Vấn đề 11: Dạng bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt , Wđ , F) lần thứ n - Phương trình dao động có dạng: x Acos(t + φ) cm. - Phương trình vận tốc có dạng: v -Asin(t + φ) cm/s. Phương pháp chung: a. Khi vật qua li độ x0 thì : x0 Acos(t + φ) cos(t + φ)
t1
x0 cosb t + φ ±b + k2π A
b k2 + (s) với k N khi b – φ > 0 (v < 0) vật qua x0 theo chiều
âm. Trang 81
b k2 + (s) với k N* khi –b – φ < 0 (v > 0) vật qua x0 theo chiều dương. Kết hợp với điều kiện của bai toán ta loại bớt đi một nghiệm. Lưu ý : Ta có thể dựa vào “ mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ ”. Thông qua các bước sau Bước 1 : Vẽ đường tròn có bán kính M’ , t R A (biên độ) và trục Ox nằm ngang. v<0 Bước 2 : – Xác định vị trí vật lúc t = 0 x00 x O x 0 ? thì v0 ? v>0 Xác định vị trí vật lúc t (xt đã biết) M, t = 0
t2
Bước 3 : Xác định góc quét Δφ ' ? MOM
0 T 360 Bước 4 : t T. 3600 t ? b. Khi vật đạt vận tốc v0 thì : v v0 -Asin(t + φ) sin(t + φ) - 0 sinb A
b k2 d k2 t 2
t b k2 t ( b) k2
t1
b 0 b 0 với k N khi và k N* khi b 0 b 0 Lưu ý: + Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n. + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều. + Dùng sơ đồ này có thể giải nhanh về thời gian chuyển động, quãng đường đi được trong thời gian t, quãng đường đi tối đa, tối thiểu…. + Có thể áp dụng được cho dao động điện, dao động điện từ.
Trang 82
+ Khi áp dụng cần có kỹ năng biến đổi thời gian đề cho t liên hệ với chu kỳ T. và chú ý chúng đối xứng nhau qua gốc tọa độ. BÀI TẬP VẬN DỤNG
π Câu 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 20 cos 10πt cm. Xác 2 định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0. Hướng dẫn giải :
π π 5 cos 10πt 0, 25 cos 0,42π . 2 2 π Vì v < 0 nên ta chọn nghiệm: 10t + = 0,42 + 2k t = - 0,008 + 0,2k; với k 2 Ta có: x 20 cos 10πt
Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này (ứng với k = 1) là t = 0,192 s. Chọn đáp án A π Câu 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 4 cos 10πt cm. Xác 3 định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20 3 cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0. 1 1 1 1 A. s B. s C. s D. s 6 7 8 9 Hướng dẫn giải :
Ta có: v x' 40π sin 10πt
Suy ra: cos 10πt 10t +
π π 40π cos 10πt 20π 3 cm/s. 3 6
π π 3 = cos . Vì v đang tăng nên: = 6 2 6
π π 1 = – + 2k t = – + 0,2k. 6 6 30
1 s, ứng với k = 1. 6 Chọn đáp án A Câu 3 (ĐH khối A, 2011): Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 2π 4 cos t (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li 3 độ x = – 2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm ? Với k Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t =
Trang 83
A. 3015 s.
B. 6030 s.
C. 3016 s D. 6031 s. Hướng dẫn giải : 2π Cách giải 1: Từ phương trình x = 4 cos t ta nhận thấy lúc t = 0, x0 = 4 cm, vo = 3 0. Vật qua x = – 2 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng qua x = – 2 là 2 lần, qua lần thứ 2011 thì phải quay 1005 vòng rồi đi từ M0 đến M1. Khi đó, góc quét: M1 2π 6032π . Δφ = 1005.2π + 3 3 -A M0 x 6032π A O Δφ 3 Vậy: t = 3016 s . M2 2π ω
3 Chọn đáp án C Cách giải 2: Ta có: T = 3 s.
A lần thứ 2011 chính là 2 khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động đến khi qua vị trí có li độ x = – 2cm lần thứ 2011. Tại t0 = 0 ta có x0 = Acosφ = 4cos0 = 4 → vật ở vị trí biên dương sau đó vật đi về phía biên âm, trước khi đến biên âm, lần thứ nhất vật đi qua vị trí có li độ x = – T 2cm theo chiều âm (t = ), lần thứ hai vật qua vị trí x = – 2 cm theo chiều dương, 3 lần thứ ba qua vị trí có li độ x = – 2cm theo chiều âm. Vậy cứ lần lẻ vật qua vị trí có li độ x = - 2cm theo chiều âm. Cứ 1 T vật đi qua li độ x = – 2 cm 2 lần. Nên 2011 lần = 2010 lần + 1 lần = 1005T + t1 T T T Vậy thời gian chuyển động của vật là : t1 = tPO + tOM = + = = 1005T + 4 12 3 T = 1005.3 + 1 = 3016 s. 3 Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = – 2cm = –
Lần thứ 2011
-4
-2
O ●
●
4
x
Chọn đáp án C 2π Cách giải 3: Giải phương trình lượng giác x = 4 cos t . Theo đề bài ta có: 3 Trang 84
2π 2π 3 t = 3 m2π 2π 2π 1 4 cos t = 2 cos t 3 3 2 2π t = 2π n2π 3 3
t = 1 + 3m cho v < 0 (*) t = 1 + 3n cho v > 0 Từ (*) ta nhận thấy: + Lần thứ 1 ứng với m = 0. + Lần thứ 2 ứng với n = 1. + Lần thứ 3 ứng với m = 1. …………………………… + Lần thứ 2011 ứng với m = 1005. Khi đó, ta có: t = 1 + 3m = 1 + 3.1005 = 3016 s.
Chọn đáp án C Cách giải 4: Ta nhận thấy vật đi qua vị trí có li độ x = - 2 cm lần thứ 2011 (n = 2011) nên n lẻ, n 1 khi đó ta có: t n t1 + .T 2 Với t1 =
T 3 = s là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = - 2 lần 4 4
thứ nhất. Vậy: t 2011
3 2011 1 + .3 = 3016 s. 4 2
Chọn đáp án C Chú ý: Dạng bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) lần thứ n ta có thể tính theo các công thức sau: n 1 t n t1 + .T nếu n là lẻ. Với t1 là khoảng thời gian vật đi từ vị trí 2 cân bằng đến vị trí x lần thứ nhất. n 2 tn t2 + .T nếu n là chẵn. Với t2 là khoảng thời gian vật đi từ vị 2 trí cân bằng đến vị trí x lần thứ hai. π Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 6sin 5πt + (x 2 tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = 3 cm lần thứ 2018 tại thời điểm Trang 85
24201 24201 s . D. s. 60 50 Hướng dẫn giải : Ta nhận thấy vật đi qua vị trí có li độ x = 3 cm lần thứ 2018, với n = 2018 là số 2018 2 chẳn nên t 2018 t 2 + .T 2 Với t2 là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = 3 cm lần thứ hai, T T T 11 t2 = + + = T. 4 8 12 24 11 2018 2 24203 24203 2π 24203 Vậy: t 2018 T+ .T = .T = . = s. 24 2 24 24 5π 60 Chọn đáp án A
A.
24203 s. 60
B.
24203 s. 50
C.
Câu 5: Một vật dao động với phương trình x 4 cos 2πt
π cm. Thời điểm vật 6
có tốc độ 4 3 cm/s lần thứ 2020 kể từ lúc dao động là: A.
12071 s. 12
B.
6036 s. 12
12072 s. 12 Hướng dẫn giải : C.
D.
6059 s. 12
Ở bài này trong một chu kỳ có 4 lần vật có tốc độ 4 3 cm/s. Khi t = 0 vật ở M0 x0 = 2 3 cm , v0 > 0. Ta có:
π v x' 8π sin 2πt 4 3 6 π 3 sin 2πt 6 2
M1
M2
-4
4
Trong một chu kì 4 lần vật có tốc độ 4
α
3 cm/s ở các vị trí M1.2.3.4. Lần thứ 2020 = 505.4 vật ở M4: t 2020 505T t M4 M0 với T = 1 s.
M3
M0 M4
T 0 Góc M t M 4 M0 4 OM 0 30
12
Thời điểm vật có tốc độ 4 3 cm/s lần thứ 2020 kể từ lúc dao động là:
t 2020 505T
T 6059 s. 12 12 Trang 86
Chọn đáp án D Câu 6 (ĐH Khối A – A1, 2012): Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi vtb là tốc độ trung bình của chất điểm trong một chu kì, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà v A. T 6
B. 2T C. T 3 3 Hướng dẫn giải : Vận tốc trung bình trong một chu kì là:
π v tb là: 4 D. T 2 N
ω 2v max vtb= 4Af = 4A = 2π π v π π 2v Mà v v tb = . max = max tương ứng với li 4 4 π 2 A A độ: x . 2 2
300 x = 600
M
Vậy góc quay trong một chu kì mà khoảng thời gian
π v tb là: 4 2π 2π 4π 2T ωt = t = 2π = . t= T 3 3 3 v
Chọn đáp án B Câu 7: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos2t cm. Thời điểm thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng là: 1 1 1 1 A. s B. s C. s D. s 4 8 6 10 Hướng dẫn giải : Cách giải 1: Vật qua VTCB: x = 0 2t = Thời điểm thứ nhất ứng với k = 0 t
π 1 k k N. + k t 2 4 2
1 s. 4
Cách giải 2: Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều. Vật đi qua VTCB, ứng với vật chuyển động tròn đều qua -A M1 hoặc M2. Vì = 0, vật xuất phát từ M0 nên thời điểm thứ nhất vật qua VTCB ứng với vật qua M1. Khi đó bán kính quét góc: Trang 87
M1
M0 O
M2
A
x
=
π Δφ 1 s. t 2 ω 4 Chọn đáp án A
π cm. Thời 6
Câu 8: Một vật dao động điều hoà với phương trình x 4cos 4πt điểm thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương. A.
9 s 8
B.
11 s 8
C.
5 s 6
D.
7 s 10
Hướng dẫn giải : Cách giải 1:
π x 4cos 4πt 2 6 x 2 π π Ta có: 4πt k2π 6 3 v 0 v 16πsin 4πt π 0 6 1 k 11 k N* . Thời điểm thứ 3 ứng với k = 3 t s . t 8 2 8 Cách giải 2: Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.Vật qua x = 2 theo chiều dương là qua M2. Qua M2 lần thứ 3 ứng với vật quay được 2 vòng (qua 2 lần) và lần -A cuối cùng đi từ M0 đến M2. 3π Δφ 11 Góc quét : = 2.2 + t s. 2 ω 8
M1 M0 x
O
A
M2 Chọn đáp án B
Câu 9: Một vật dao động điều hoà với phương trình x 4cos 4πt
π cm. Thời 6
điểm thứ 2018 vật qua vị trí x = 2 cm. A.
12097 s 24
B.
12061 s 24
C.
24157 s 24
Hướng dẫn giải : Cách giải 1:
π π 1 k 4πt 6 3 k2π t 24 2 , k N Ta có : x 2 4πt π π k2π t 1 k , k N* 8 2 6 3 Trang 88
D.
24347 s 24
Vật qua lần thứ 2018 (lẻ) ứng với nghiệm trên
2017 1 1008 2 1 12097 504 = s. t 24 24
M1
k
M0
Δφ 1008.2π
x
O
-A Cách giải 2: Vật qua x = 2 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2 là 2 lần. Qua lần thứ 2018 thì phải quay 1008 vòng rồi đi từ M0 đến M1. Góc quét :
A
M2
π Δφ 1 12097 t 504 s. 6 ω 24 24 Chọn đáp án A
π Câu 10: Một vật dao động điều hoà với x 8cos 2πt cm. Thời điểm thứ 6 2018 vật qua vị trí có v = - 8 cm/s. A. 1008,5 s B. 1005 s C. 1012 s D. 1005,5 s Hướng dẫn giải :
π 8π 6 π π 1 2πt 6 6 k2π t 6 k kN 2πt π 5π k2π t 1 k 2 6 6
Cách giải 1: Ta có v 16sin 2πt
Thời điểm thứ 2018 ứng với nghiệm dưới
k
2018 1 1 1008 t 1008 1008,5 s . 2 2
Cách giải 2:
4 3
4 3
2
v 4 3 cm . ω
Ta có x A 2
Vì v < 0 nên vật qua M1 và M2; Qua lần thứ 2018 thì phải quay 1008 vòng rồi đi từ M0 đến M2. Góc quét = 1008.2 + t = 1008,5 s. Chọn đáp án A Câu 11: Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hòa theo phương trình
π x 5cos 4πt cm . Tìm thời điểm: 3 Trang 89
a. Vật qua tọa độ x* 2,5 2 cm lần thứ 2017. b.Vật qua tọa độ x* 2,5 2 cm theo chiều dương lần thứ 2018. Hướng dẫn giải : a. Vật qua tọa độ x* 2,5 2 cm lần thứ 2019.
2017 1 T . Với t1 là khoảng thời gian từ vị 2 trí ban đầu đến tọa độ x* 2,5 2 cm lần thứ nhất. Vì 2017 là số lẻ nên ta có: t 2017 t1
(lần 1)
5
2,5 2
x O
2,5
5
T T T 7T . Vậy 6 4 6 12 7T 12103T 12103 t 2017 1008T s. 12 12 24 b. vật qua x* 2,5 2 cm theo chiều dương lần thứ 2018 Ta có: t 2018 t1 (2018 1)T với t1 là khoảng thời gian từ vị trí ban đầu đến Theo hình vẽ ta có: t1
tọa độ x* 2,5 2 cm vật đang chuyển động theo chiều dương lần thứ nhất. (lần 1) 5
2,5 2
x O
2,5
5
T T T 3T . 6 2 12 4 3T 8071 8071 2017T T s. 4 4 8
Theo hình vẽ ta có t1 Vậy t 2018
Vấn đề 12: Dạng bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt , Wđ , F) từ thời điểm t1 đến t2. * Giải phương trình lượng giác được các nghiệm * Từ t1 < t ≤ t2 Phạm vi giá trị của (Với k Z) * Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó. Lưu ý: + Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.
Trang 90
+ Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Vật dao động điều hòa với phương trình : x 6 cos 5t
cm (1). 6
a. Trong khoảng thời gian 2,5 s vật qua vị trí x = 3 cm mấy lần. b. Trong khoảng thời gian 2 s vật qua vị trí x = 4 cm theo chiều dương mấy lần. c. Trong khoảng thời gian 2,5 s vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương mấy lần. d. Trong khoảng thời gian 2 s vật qua vị trí cân bằng mấy lần. Hướng dẫn giải : Trước tiên ta biểu diễn pt (1) trên vòng tròn, với φ = theo chiều âm. a. Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s
rad. Vật xuất phát từ M, 6 N
=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π +
2
M
300 -6
Từ vòng tròn ta thấy: Trong một chu kỳ vật qua x = 3cm được 2 lần tại P(chiều âm ) và Q(chiều dương ) Trong Δφ1 = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua x = 3cm được 6.2 = 12 lần Còn lại Δφ2 =
P
0
3
+6
Q
từ M →N vật qua x = 3cm một lần tại 2
M
P(chiều âm ). 0 +4 +6 Vậy: Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s vật qua x = 3cm -6 được 13 lần. N b. Trong khoảng thời gian Δt = 2 s => góc quét Δφ = Δt.ω = 2.5π = 10π = 5.2π Vật thực hiện được 5 chu kỳ (quay được 5 vòng) Từ vòng tròn ta thấy: Trong một chu kỳ vật qua vị trí x = +4cm theo chiều dương được một lần , tại N Vậy : trong 5 chu kỳ thì vật qua vị trí x = 4cm theo chiều dương được 5 lần c. Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s => góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π +
2
Từ vòng tròn ta thấy: Trong một chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 1 lần tại N. Trong Δφ1 = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần tại N.
Trang 91
P M -6
0
Q
+6
Còn lại Δφ2 =
từ M →P vật qua không qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần 2
nào. Vậy trong khoảng thời gian Δt = 2,5s vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần. d. Trong khoảng thời gian Δt = 2s => góc quét Δφ = Δt.ω = 2.5π = 10π = 5.2π Vật thực hiện được 5 chu kỳ (quay được 5 vòng) Từ vòng tròn ta thấy: Trong một chu kỳ vật qua vị trí vị trí cân bằng 2 lần tại P(chiều âm ) và Q(chiều dương ). Vậy trong khoảng thời gian Δt = 2s vật qua vị trí vị trí cân bằng 10 lần. Câu 2 (ĐH khối A, 2008): Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình
x 3sin 5t (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên 6 từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = + 1 cm. A. 7 lần. B. 6 lần. C. 4 lần. D. 5 lần. Hướng dẫn giải : Theo giả thuyết ta có:
1 x 3sin 5t 1 sin 5t 6 6 3 5t 6 0,11 k2 t 0, 01 0, 4k t 0,14 0, 4n 5t 0,89 n2 6
k 1; 2 Từ yêu cầu bài toán ta chi có thể nhận:
n 0;1; 2
(vì 0 t 1 )
Như vậy, có cả 5 lần chất điểm đi qua vị trí có li độ x = + 1 cm. Chọn đáp án D Câu 3 (Chuyên Nguyễn Huệ lần 1 – 2015): Một chất điểm có khối lượng m = 400 g dao động điều hòa trên đường kính của một đường tròn. Cho biết vị trí của chất điểm trên đường kính cũng là hình chiếu của điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O, bán kính 15cm và gia tốc hướng tâm của nó bằng 9,6 m/s2. Khi đi qua tâm điểm giữa của bán kính đường tròn thì động năng của vật bằng A. 288mJ. B. 576mJ. C. 0,216J. D. 0,072J. Hướng dẫn giải:
Biểu thức gia tốc hướng tâm: a 2 r 2 Khi đi qua điểm giữa thì x = 7,5cm = 0,075m.
Trang 92
a 9, 6 . r 0,15
1 Có động năng của vật: Wđ W Wt m2 A 2 x 2 0, 216J. 2 Chọn đáp án C
Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x 6 cos 2t (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Từ thời điểm t1
v max . 2 C. 4 lần. Hướng dẫn giải :
3
1 s đến thời điểm 12
t 2 1,5 s , chất điểm đi qua vị trí có vận tốc v A. 7 lần. Ta có: T
B. 5 lần.
D. 6 lần.
2 2 1 s. 2
Chất điểm đi qua vị trí có vận tốc: v -6
M1
v max 6.2 6 cm/s . 2 2 O
M2
6
-3 3 3 3 Theo hình vẽ, nhận thấy có 2 vị trí M1 và M2 vật có vận tốc v = 6π cm/s. Suy ra, từ 1 thời điểm t1 s đến thời điểm t 2 1,5 s , chất điểm đi qua vị trí có vận tốc 12 v v max tất cả 5 lần. 2 Chọn đáp án B Chú ý: Trên đây là 2 bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) từ thời điểm t1 đến t2. Ta sẽ đi giải bài toán cho S và tìm thời gian t như ví dụ dưới đây.
Câu 5: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x 8cos 4t
3 4
(x tính bằng cm và t tính bằng giây). Tính thời gian mà vật đi được quãng đường
S 4 4 3 cm kể từ lúc dao động ? Hướng dẫn giải : 2 2 Ta có: T 0,5 s . 4
Trang 93
3 3 x 8cos 4t 4 8cos 4 4 2 Tại thời điểm t = 0: 3 3 v 32 sin 4t 32 sin 0 4 4 8
-8
4 2
O
4 3
Suy ra, ban đầu vật vật qua vị trí x 0 = 4 2 theo chiều dương v 0 > 0 .
A A 3 . Tương ứng với khoảng thời gian vật đi từ vị trí 2 2 T T 7 x1 = 4 2 cm đến vị trí x1 4 3 cm. Khi đó: t 4 2 4 3 s. 2 12 24
Mặt khác: S 4 4 3
Vấn đề 13: Dạng các bài toán liên quan đến thế năng, động năng và cơ năng trong dao động điều hòa 1 1 1. Cơ năng: W = Wđ + Wt = mω2 A 2 = kA 2 2 2
1 1 mv 2 = mω2 A 2sin 2 (ωt + φ) = Wsin 2 (ωt + φ) 2 2 1 1 Wt = mω2 x 2 = mω2 A 2 cos 2 (ωt + φ) = Wcos 2 (ωt + φ) 2 2 Chú ý: + Tìm x hoặc v khi Wđ = n Wt ta làm như sau: Với Wđ =
Tọa độ x :
Vận tốc v :
1 2 1 A kA = (n + 1) kx 2 x = ± 2 2 n+1
1 2 n + 1 mv 2 n + 1 kv 2 n kA = . kA 2 = . 2 v = ± ωA 2 n 2 n ω n+1 + Tìm x hoặc v khi Wđ = n Wt ta làm như sau:
Tọa độ x :
Vận tốc v :
1 2 n+1 1 2 n kA = . .kx x = ± A 2 n 2 n+1
1 2 mv 2 kv 2 ωA kA = (n + 1). kA 2 = (n + 1). 2 v = ± 2 2 ω n+1 Trang 94
+ Ta có: Wđ = W Wt = 1 k A 2 x 2 , biểu thức này sẽ giúp tính 2 nhanh động năng của vật khi đi qua li độ x bất kì nào đó. 2. Dao động điều hòa có tần số góc là , tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế T năng biến thiên với tần số góc 2, tần số 2f, chu kỳ . Động năng và thế năng biến 2 thiên cùng biên độ, cùng tần số nhưng ngược pha nhau. T 3. Động năng và thế năng trung bình trong thời gian n (n N*, T là chu kỳ dao 2 W 1 động) là: = mω2 A 2 . 2 4 4. Với : x = Acost : Một số giá trị đặc biệt của x, v, a , Wt và Wđ như sau: t
0
T 12
T 8
T 6
T 4
T 3
3T 8
5T 12
T 2
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
A
A 3 2
A 2 2
A 2
0
Vận tốc
0
1 ωA 2
2 ωA 2
Gia tốc
ω A
3 2 ωA 2
2 2 ωA 2
1 ω2 A 2
ω
2πt T
Li độ
2
3 ωA 2
–ωA
A 2
A 3 2
–A
0
0
0
1 2 1 kA . 2 4
1 2 1 kA . 2 2
1 2 3 kA . 2 4
kA 2 2
1 2 3 kA . 2 4
1 2 1 kA . 2 2
1 2 1 kA . 2 4
0
Wt Wđ
Wt 3Wđ
1 2 1 kA . 2 2
1 2 1 kA . 2 4
Động năng
1 2 1 kA . 2 4
1 2 1 kA . 2 2
1 2 3 kA . 2 4
1 2 2 mω A 2
Wđ 3Wt
Wđ max Wđ 3Wt
Wt max Wt 3Wđ Wt Wđ
1 2 ωA 2
1 2 1 kA 2 . 3 kA 2 4 2
So sánh
A 2 2
1 3 2 ωA ωA ωA 2 2 2
Thế năng
0
Trang 95
2 2 ωA 2
3 2 ω A ω2 A 2
Wt max
- Khi xét mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều ta thấy dao động điều hoà theo chiều dương ứng với góc pha âm (nửa đường tròn lượng giác phía dưới), và dao động theo chiều âm ứng với góc pha dương (nửa đường tròn lượng giác phía trên). Khi ωt + φ > 0 thì v < 0 Khi ωt + φ < 0 thì v > 0 - Xét dấu riêng góc pha ban đầu φ cho ta kết quả chiều dao động tại thời điểm chọn mốc thời gian. Khi φ > 0 thì v < 0 Khi φ < 0 thì v > 0 BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 (ĐH khối A, 2009): Một vật dao động điều hòa theo một trục cố định (mốc thế năng ở vị trí cân bằng) thì A. động năng của vật cực đại khi gia tốc của vật có độ lớn cực đại. B. khi vật đi từ vị trí cân bằng ra biên, vận tốc và gia tốc của vật luôn cùng dấu. C. khi ở vị trí cân bằng, thế năng của vật bằng cơ năng. D. thế năng của vật cực đại khi vật ở vị trí biên. Hướng dẫn giải: Thế năng của vật cực đại thì vật ở vị trí biên hay xmax = A. Chọn đáp án D π Câu 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x 10 cos 4πt cm. 3 Xác định vị trí và vận tốc của vật khi động năng bằng 3 lần thế năng. Hướng dẫn giải: Vận dụng công thức tìm x hoặc v khi Wđ = n Wt : Tọa độ x :
1 2 n+1 1 2 n kA = . .kx x = ± A 2 n 2 n+1
(1)
Vận tốc v:
1 2 mv 2 kv 2 ωA kA = (n + 1). kA 2 = (n + 1). 2 v = ± 2 2 ω n+1 Thay số vào (1) và (2) ứng với n = 3, ta được:
n 3 10 5 3 cm. n+1 3+1 ωA 4π.10 5π cm/s. + Vận tốc: v n+1 3+1 + Li độ: x A
Trang 96
(2)
Câu 3 (ĐH khối A – A1, 2012): Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là A.
4 . 3
B.
3 . 4
C.
9 . 16
D.
16 . 9
Hướng dẫn giải : Cách giải 1: Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm. Trong quá trình dao động, khoảng N cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox π là 10 cm, mà: 62 + 82 = 102 ; suy ra hai dao 4 động vuông pha nhau. O Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng thì x
M
π 4
x
A1 A2
A . 2
Khi đó, động năng của vật khi đi qua li độ
1 2 k A 2 x 2M 6 ( A Wđ M 2 1 x được tính theo biểu thức: 2 Wđ N 1 k A 2 x 2 2 N 82 ( 2
6 2 ) 2 9 . 8 2 16 ) 2 Chọn đáp án C
Cách giải 2: Khoảng cách giữa hai chất điểm M, N:
d MN x M x N 6 cos ωt φ M 8cos ωt φ N 6 cos ωt φ M 8cos ωt φ N π A cos ωt φ 2
2
x M và x N vuông pha, do đó x M x N 1 . A1
A2
2
Mặt khác: Wđ M Wt M
x 1 A A x M M , do đó N x N N . 2 2 2 AN
Trang 97
2
Khi đó Wđ M Wđ N
A A12 1 62 ( 2 2 2 v M A1 x M 2 2 = 2 2 v N A 2 x 2N A 82 ( A 22 2 2
6 2 ) 2 9. 8 2 16 ) 2
Chọn đáp án C Câu 4 (CĐ khối A, 2010): Một vật dao động đều hòa dọc theo trục Ox. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Ở thời điểm độ lớn vận tốc của vật bằng 50% vận tốc cực đại thì tỉ số giữa động năng và cơ năng của vật là A.
3 . 4
B.
1 . 4
C.
4 . 3
D.
1 . 2
Hướng dẫn giải: Ta có: v =
1 v max và 2
1 1 2 W 3 1 Wđ = mv = W 2 4 Wt = W đ = 4 Wt 4 W = Wđ + Wt
Chọn đáp án B Câu 5 (ĐH Khối A – A1, 2013): Một vật nhỏ khối lượng 100g dao động điều hòa với chu kì 0,2 s và cơ năng là 0,18 J (mốc thế năng tại vị trí cân bằng). Lấy 2 10 . Tại li độ 3 2 cm, tỉ số động năng và thế năng là A. 3 B. 4 C. 2 D.1 Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Ta có: ω
2π 10π . T
mω2 A 2 A 0,06 m 6 cm. 2 W Wt A 2 x 2 1. Wt x2
Cơ năng: W Tỉ số:
Wđ Wt
Chọn đáp án D Cách giải 2: Ta có:
1 A mω2 A 2 A 0,06 m 6 cm x 3 2 cm . 2 2 W Mà tại vị trí này thì đ 1. Wt W
Chọn đáp án D
Trang 98
Câu 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình x 8cos πt
π cm. Thời 4
điểm thứ 2014 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng? Hướng dẫn giải : Cách giải 1:
π 4
π 4
π 2
2 2 Ta có: Wđ = 3Wt sin πt 3cos πt cos 2πt
1 2
π 2π 7 2πt 2 3 k2π t 12 k (k N* ) 2πt π 2π k2π t 1 k 2 3 12 Qua lần thứ 2014 ứng với nghiệm dưới k = 1007 t
12083 s. 12
Cách giải 2: Ta có: Wđ = 3Wt Wt
1 A Wx 4 2
Suy ra có 4 vị trí trên đường tròn M1, M2, M3, M4. Qua lần thứ 2014 thì phải quay 503 vòng (mỗi vòng qua 4 lần) rồi đi từ M0 đến M2. Góc quét:
11π π π . φ 503.2π π 1006π 12 3 4 Δφ 11 12083 1006 s. Suy ra: t ω 12 12
Câu 7: Một vật dao động điều hòa với phương trình x A cos 4πt
π cm . 6
Thời điểm chất điểm đi qua vị trí có động năng bằng thế năng lần 2014 và 2015 lần lượt là bao nhiêu?
12079 12085 s; t 2015 s 48 48 12084 12090 s; t 2015 s C. t 2014 48 48
12073 12079 s; t 2015 s 48 48 12085 12079 s; t 2015 s D. t 2014 48 48
A. t 2014
B. t 2014
Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Cách giải theo vòng tròn: Trang 99
A 3 x + Tại t = 0 thì 0 2 tương ứng với v 0 0
2014
2013
M2
M2
M0
điểm M0 trên vòng tròn. (với T = 0,5s)
O
A
+ Khi Wđ Wt thì
Wđ Wt
1 2 1 2 kA 2 kx W Wđ Wt 2Wt 2 2 x
A 2 2
x A
A 2 2
2015
M2
2016
M2
A 2 2
Do có 2 tọa độ nên trong một chu kỳ sẽ có 4 lần động năng bằng thế năng. Vì vậy ở phương pháp giải vòng tròn ta sẽ tách số lần đề bài thành số liền kề, nhỏ hơn nó nhưng chia hết cho 4 (bội của 4) với mục đích tìm số chu kỳ dao động đầu tiên và lượng dư còn lại rồi tìm nốt khoảng thời gian tương ứng. Cụ thể ta làm như sau: + Đối với lần thứ 2014 ta viết tách thành 2012 (vì 2012 là số chia hết cho 4, liền kề và nhỏ hơn 2014) để thời điểm động năng bằng thế năng lần thứ 2014 được tính là
t 2014
2012 T t 2 , trong đó t2 là khoảng thời gian để dịch chuyển trên cung 4
M0M2.
T T 7 T. 6 8 24 2012 7T 12079T 12079 T s. 4 24 24 48
Ta có: t 2 t M0 M 2 Vậy: t 2014
+ Đối với lần thứ 2015 thì ta lại viết tách thành 2012 + 3 để thời điểm động năng bằng thế năng lần thứ 2015 được tính là t 2015
2012 T t 3 , trong đó t3 là khoảng 4
thời gian để dịch chuyển trên cung M0M2(2015). Ta có t 3 t M0 M 2 (2015)
t 2015
T T T 13 T 6 4 8 24
Nên
2012 13 12085T 12085 T T s 4 24 24 48
Cách giải 2: Cách giải theo công thức tính nhanh: Vị trí ở đó:
Wđ Wt
1 2 1 2 A 2 . kA 2 kx x W Wđ Wt 2Wt 2 2 2 Trang 100
Do 2 vị trí này đối xứng nhau qua VTCB nên ta có thể quan niệm bài toán này là tìm thời điểm lần thứ 2014 và 2015 vật cách VTCB một khoảng L + Đối với lần thứ 2014 thì :
A 2 . 2
2014 T 503T dư 2 nên ta có: t 2014 t 2 503T 4
Theo hình vẽ thì: (lần 1)
(lần 2)
x A
A 2 2
O
(lần 3)
A 2 A 3 2 2
A
(lần 4)
T T 7 7T 12079T 12079 T t 2014 503T s. 6 8 24 24 24 48 2015 T 503T dư 3 nên ta có: t 2015 t 3 503T + Đối với lần thứ 2015 thì: 4 T T T 13 13 12085T 12085 T t 2015 T 503T s. Dễ dàng có t 3 6 4 8 24 24 24 48 Dễ dàng có t 2
Chọn đáp án A Câu 8 (Chuyên Thăng Long lần 1 - 2015): Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Biết rằng trong quá trình khảo sát chất điểm chưa đổi chiều chuyển động. Khi vừa rời khỏi vị trí cân bằng một đoạn s thì động năng của chất điểm là 13,95mJ. Đi tiếp một đoạn s nữa thì động năng của chất điểm chỉ còn 12,60mJ. Nếu chất điểm đi thêm một đoạn s nữa thì động năng của nó khi đó là: A. 10,35mJ B. 13,95mJ C. 14,4mJ D. 12,3mJ Hướng dẫn giải: Vì vật chưa đổi chiều chuyển động trong khi khảo sát nên thế năng của vật khi
vật đi được quãng đường S, 2S, 3S lần lượt là:
1 2 1 1 kS , .4kS2 , .9kS2 . 2 2 2
Động năng của vật:
1 1 2 2 2 2 k A S 13,95mJ 2 kA 14, 4mJ Wđ W Wt 1 2 2 k A 4S 12, 6mJ 1 kS2 0, 45mJ 2 2 1 Khi đi thêm 1 đoạn S nữa thì Wđ k A 2 9S2 10,35mJ. 2 Chọn đáp án A Trang 101
Vấn đề 14: Dạng bài toán liên quan đến thời điểm và số lần hai vật gặp nhau, hai vật cách nhau một khoảng d cho trước I . Hai vật dao động điều hòa cùng tần số (khác biên độ) a. Cách nhớ nhanh số lần hai vật gặp nhau của 2 vật dao động điều hòa có cùng tần số góc nhưng không cùng biên độ. Hai vật phải cùng vị trí cân bằng O, biểu diễn bằng hai đường tròn đồng tâm (hình vẽ). Khi gặp nhau thì hình chiếu của chúng trên trục hoành trùng nhau.
M
N
x’
-A
Phần chứng minh dưới đây sẽ cho thấy: Chúng gặp nhau hai lần liên tiếp cách
A O
x
x
N’
nhau. Giả sử lần gặp nhau ban đầu hai chất điểm ở vị trí M, N. Do chúng chuyển M’ động ngược chiều nhau, nên giả sử M chuyển động ngược chiều kim đồng hồ, còn N chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Nhận xét: + Lúc đầu MN ở bên phải và vuông góc với trục hoành ( hình chiếu của chúng trên trục hoành trùng nhau). + Do M,N chuyển động ngược chiều nhau nên chúng gặp nhau ở bên trái đường tròn. + Khi gặp nhau tại vị trí mới M’ và N’ thì M’N’ vẫn phải vuông góc với trục hoành. + Nhận thấy tam giác OMN và OM’N bằng nhau, và chúng hoàn toàn đối xứng qua trục tung. T + Vậy thời gian để chúng gặp nhau lần 1 là . 2 * Công thức tính số lần hai vật gặp nhau: T Gọi thời gian đề bài cho là t, i . Số lần chúng gặp nhau sau thời gian t: 2
n
t bằng phần nguyên của t chia nửa chu kì. i
Chú ý: Xem lúc t = 0 chúng có cùng vị trí hay không, nếu cùng vị trí và tính cả lần đó thì số lần sẽ là n + 1. b. Các trường hợp sự gặp nhau của hai vật dao động cùng tần số, khác biên độ. Có hai vật dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song, sát nhau, với cùng một chu kì. Vị trí cân bằng của chúng sát nhau. Trang 102
Biên độ dao động tương ứng của chúng là A1 và A2 (giả sử A1 > A2). A 2 x 2 A2 Tại thời điểm t = 0, chất điểm thứ nhất có li độ x1 chuyển động theo O x1 A1 A1 chiều dương, chất điểm thứ hai có li độ x2 chuyển động theo chiều dương. 1. Hỏi sau bao lâu thì hai chất điểm gặp nhau? Chúng gặp nhau tại li độ nào? 2. Với điều kiện nào thì khi gặp nhau, hai vật chuyển động cùng chiều? Ngược chiều? Tại biên?
, C là độ dài của cạnh MN): Có thể xảy ra các khả năng sau (với Δφ = MON Trường Gặp nhau khi đang Gặp nhau khi đang Gặp nhau hợp chuyển động chuyển động ở biên ngược chiều cùng chiều Đk A A A cos 2 cos 2 cos 2 xảy A1 A1 A1 ra Hình vẽ
Công h12 x 2 A12 thức 2 2 2 C h1 x A 2 cần nhớ c. Các trường hợp đặc biệt:
x 2 h 2 A 22 2 2 x h C A1
Hai vật dao động cùng tần số, vuông pha nhau (độ lệch pha 2k 1
) 2
- Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc giữa chúng có dạng elip.
A1 v1 A x 2 2 - Kết hợp với: v1 A12 x12 , suy ra : v A 2 x 1 2 A1 Đặc biệt: Khi A = A1 = A2 (hai vật có cùng biên độ hoặc một vật ở hai thời điểm
x12 x 22 A 2 khác nhau), ta có: v1 x 2 (lấy dấu + khi k lẻ và dấu – khi k chẵn) v x 1 2 Trang 103
d. Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để 2 vật cùng trở lại trạng thái lúc đầu: Gọi n1 và n2 là số dao động toàn phần mà 2 vật thực hiện được cho đến lúc trở lại trạng thái đầu. Thời gian từ lúc xuất phát đến lúc trở lại trạng thái đầu là: t = n1T1 = n2T2. (n1, n2 N*). Tìm n1min, n2min thoả mãn biểu thức trên giá trị tmin cần tìm. e. Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để 2 vật vị trí có cùng li độ. Xác định pha ban đầu của hai vật từ điều kiện đầu x0 và v. Giả sử T1 > T2 nên vật 2 đi nhanh hơn vật 1, chúng gặp nhau tại x1 M0 M1
M2
-A
x0 0
x1 A x
0
x1
-A
A x0
x
M2
M1 M0
Hình b: Với > 0
Hình a: Với < 0
+ Với < 0 (Hình a):
Từ M 1OA M 2 OA
φ ω1t ω2 t φ t
2φ . ω1 ω2
+ Với > 0 (Hình b): (π φ) ω1t ω2 t (π φ)
t
2(π φ) . ω1 ω2
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Hai chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ T, lệch pha nhau
với 3
biên độ lần lượt là A và 2A, trên hai trục tọa độ song song cùng chiều, gốc tọa độ nằm trên đường vuông góc chung. Khoảng thời gian nhỏ nhất giữa hai lần chúng gặp nhau là: A. T
B.
T 2
C.
T 3
Hướng dẫn giải: Trang 104
D.
T 4
Do hai dao động cùng chu kì, nên tần số góc bằng nhau. Giả sử tai thời điểm t hai chất điểm đi ngang qua vị trí M0, thì sau nửa chu kì hai chất điểm lại đi qua trục thẳng đứng tại vị trí M như hình T vẽ. Vậy: t . 2
M0 O
x
A
2A
M
Chọn đáp án B Câu 2: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục Ox theo phương trình: π π x1 4 cos 4t cm và x 2 4 2 cos 4t cm. Coi rằng trong quá trình 12 3 dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Hỏi trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai chất điểm là bao nhiêu ? Hướng dẫn giải: Độ lệch pha dao động của 2 chất điểm là
π . Biểu diễn 2 dao động 4
bằng 2 chuyển động tròn đều có bán
4 2
4
kính 4 cm và 4 2 cm như hình.
4
O
π Góc φ = không đổi. 4
4 2
x
Q
M P Khoảng cách giữa 2 chất điểm là khoảng cách giữa 2 hình chiếu đầu 2 vectơ trên trục Ox. Dễ thấy khoảng cách ngắn nhất ứng với 2 vectơ ở vị trí M, N : dmin = 0. Khoảng cách xa nhất ứng với 2 vectơ ở vị trí P, Q : d max = 4 cm. Câu 3: Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau cùng vị trí cân bằng. Phương trình dao động của các vật lần lượt là x1 = A1cost cm và x2 = A2cos(t –
π ) cm. Biết 32 x12 + 18 x 22 = 1152 cm2. Tại thời điểm t, vật thứ hai đi 2
qua vị trí có li độ x2 = 4 3 cm với vận tốc v2 = 8 3 cm/s. Khi đó vật thứ nhất có tốc độ bằng A. 24 3 cm/s.
B. 24 cm/s. C. 18 cm/s. Hướng dẫn giải:
Ta có 32 x12 + 18 x 22 = 1152
(1). Trang 105
D. 18 3 cm/s.
Khi x2 = A2cos(t –
π π ) = 4 3 cm thì v1 = – A1sin(t – ) = 8 3 cm/s. 2 2
Thay vào (1) 32x12 = 1152 – 18.(4 3 )2 = 288 x12 = 9 x1 = ± 3 cm. Lấy đạo hàm hai vế (1) theo thời gian t ( x’1 = v1; x’2 = v2). Ta được: 64x1v1 + 36x2v2 = 0 (2). Thay vào (2) ta được: 64x1v1 + 36x2v2 = 0 v1 = –
36x 2 v 2 36.4 3.8 3 = ± 18 cm/s. 64x1 64.(3)
Nên khi đó vật thứ hai có tốc độ bằng 18 cm/s. Chọn đáp án C Nhận xét: Một cách tổng quát: Nếu bài toán cho biết mx nx k (k hằng số) Lấy đạo hàm 2 vế và chú ý x’ = v; ta có: 2mx1v1 + 2nx2v2 = 0 hay mx1v1 + nx2v2 = 0 Thay m = 32; n = 18; x1 = ± 3cm; x2 = 4 3 cm; v2 = 8 3 cm/s tính được độ lớn vận tốc của vật hai v1 = ± 18 cm/s. Câu 4: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần x(cm) số trên hai đường thẳng song song kề nhau cách nhau 5 cm và song song với Ox có đồ thị li độ như hình vẽ. Vị trí cân bằng của hai chất điểm 5 đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và t t1 vuông góc với Ox. Biết t2 - t1 = 1,08 s. Kể từ lúc t O t2 = 0, hai chất điểm cách nhau 5 3 cm lần thứ 2016 là A. 362,73 s. B. 362,85 s. C. 362,67 s. D. 362,70 s. Hướng dẫn giải: 2 1
2 2
x1 5cost Phương trình dao động của 2 vật: x 2 5 3cos t 2
.
x1
t=0
5 -10
5 2
5 2 10
d
.x
2
x2 – x1 VTCB Trang 106
Khi đồ thị cắt nhau, tức là 2 vật cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với ox, khi đó x2 – x1 = 0.
5 t1 (k 1) 3 6 t k 6 1, 08 t 23 (k 4) 2 6 Gọi d là khoảng cách giữa 2 vật: d2 = (x2 – x1)2 + 52 x 2 x1 5 2
Bấm máy x2 – x1 = 10cos ωt
2π . 3
Nhận thấy lần thứ 2016 = lần thứ 4 + Thời gian cần tính là: t
2012 . 4
19T 503T 362, 73s . 24
Chọn đáp án A Câu 5: Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình
dao
động
của
các
vật
lần
lượt
là
π x1 3cos 5πt 3
và
π x 2 3 cos 5πt (x tính bằng cm; t tính bằng s). Trong khoảng thời gian 1 s 6 đầu tiên thì hai vật gặp nhau mấy lần? Hướng dẫn giải: Ta thấy hai vật gặp nhau tại thời điểm ban đầu t1 = 0 :
π 3 x1 3cos 3 2 3 x1 x 2 2 x 3 cos π 3 2 6 2 T 0,4 2π Chu kì: T 1 n 6. 0,4 s . Trong 1s có t (n 1) t1 (n 1) 2 2 ω Vậy trong khoảng thời gian 1s đầu tiên thì hai vật gặp nhau 6 lần. Câu 6: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Phương trình dao động của chúng lần lượt là x1 = 10cos2πt cm và x2 = 10 3 cos(2πt +
Trang 107
) cm . Hai chất điểm 2
gặp nhau khi chúng đi qua nhau trên đường thẳng vuông góc với trục Ox. Thời điểm lần thứ 2017 hai chất điểm gặp nhau là: A. 16 phút 46,42s B. 16 phút 46,92s C. 16 phút 48,25s D. 16 phút 45,92s Hướng dẫn giải: Ta có x2 = 10 3 cos(2πt +
π ) cm = – 10 3 sin2πt . 2
Hai chất điểm gặp nhau: x1 = x2 10cos2πt = – 10 3 sin2πt tan2πt = –
t=–
1 3
2πt = –
π + kπ 6
1 k 5 k + s với k = 1; 2; 3.... hay t = + với k = 0, 1,2 ... 12 2 12 2
Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm gặp nhau ứng với k = 0: t1 = 5 s. 12 Lần thứ 2017 chúng gặp nhau ứng với k = 2016. Suy ra t2017 = 1008 +
5 = 16phút 48,25s. 12
Chọn đáp án C Câu 7: Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình
dao
động
của
các
vật
lần
lượt
là
x1 3cos 5t cm và 3
x 2 2 3 cos 5t cm (x tính bằng cm; t tính bằng s). Xác định thời điểm 2 gặp nhau của hai vật. Hướng dẫn giải: Tại thời điểm t = 0, hai vật không gặp nhau. Ta không thể giải bằng các phương pháp giải như trên được. Khi gặp nhau thì:
x1 x 2 3cos 5t 2 3 cos 5t 3 2 3cos 5t 2 3 cos 5t 3 3 6 Đặt 5t . Ta có phương trình: 3 3cos 2 3 cos 3cos 2 3 cos cos sin sin 6 6 6 Trang 108
3cos 3cos 3 sin sin 0 1 k k 5t k t với k 0,1, 2,3,... 3 15 5 Câu 8: Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Phương trình
dao động của M và N lần lượt là x M 3 2 cos t (cm) và x N 6 cos t
12
(cm). Kể từ t = 0, thời điểm M và N có vị trí ngang nhau lần thứ 3 là A. T
B.
9T 8
C.
T 2
D.
5T 8
Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Khoảng cách giữa M và N : x = xN – xM = Acos(t + )
M
6sin 3 2 sin 0 12 Với: tan 1 6 cos 3 2 cos 0 12
x A cos t cm 4 4
x ’
π/12
N
π/4 x
N’ M’
Khi M, N có VT ngang nhau:
T T T x 0 cos t 0 t k t k k 4 4 2 2 4 2 8 9T M và N có vị trí ngang nhau lần thứ 3 khi k = 2 t . 8 Cách giải 2: Nhìn trên hình vẽ; chúng lệch pha . Véctơ ON biểu diễn x1: góc 12 4 T T ứng . Lúc t = 0 đến t = thì 2 điểm M và N cùng tọa độ x. 8 8 Dễ thấy khi 2 vật quay 1 vòng (thời gian T) thì chúng có cùng tọa x’ lần đối xứng
T 9T . 8 8 Câu 9: Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số 4 rad/s dọc theo nhau qua O vậy khi găp nhau lần 3 thì ứng với thời gian là: t T
hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Trang 109
Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 3 cm. Tại thời điểm t1 hai vật cách nhau 15cm, hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời điểm t1 khoảng cách giữa chúng bằng 15cm. A.
1 s 12
B.
1 s 10
C.
1 s 24
D.
1 s 20
Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Theo đề ta có:
M 2
-10 3
P
O
x1 - x 2
M 1
x x1 x 2 10 3 cos(4t )(cm) Giải sử chọn = 0, nghĩa là lúc t = 0: x x 0 10 3cm tại t1: x 10 3 cos 4πt1 15
cos 4πt1
3 2
A 3 π 1 t1 s (Từ biên A đến vị trí ) 2 6 24 π 1 s. Vẽ hình : Thời điểm t1 : 4πt1 t1 6 24
4πt1
Từ hình vẽ : Dễ thấy 2 thời điểm gần nhất là 2 lần t1 : Từ M1 đến M2 : t 2 t1 2t1
2 1 s. 24 12
Chọn đáp án A Cách giải 2: Trên hình vẽ đường tròn lượng giác: Giả sử tại M, N, P và Q là các lần mà hai vật cách nhau 15cm. khoảng thời gian
P
ngắn nhất là
M
2 kể từ thời điểm t1 6 3
o
a A
khoảng cách giữa chúng bằng 15cm. Hay về
T 1 s. thời gian là 6 12
N
Q
3 2
A O π/6 /2 A π/6 30
3 2 M
A x1 x 2
Chọn đáp án A Trang 110
Câu 10: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox theo các
phương trình lần lượt là x1 4 cos 4t cm và x1 4 3 cos 4t
cm. Thời 2
điểm lần đầu tiên hai chất điểm gặp nhau là A.
1 s 16
B.
1 s 4
C.
1 s 12
Hướng dẫn giải: Biểu diễn các dao động x1, x2 bằng các véctơ A1 và A 2 tương ứng. Chú ý: Ban đầu hai véctơ này lần lượt trùng với trục ox và oy và chúng cùng quay theo A1 chiều dương của đường tròn lượng giác. Hai dao động này vuông pha nhau và cùng tần số góc nên góc hợp bởi hai véc tơ này không đổi theo thời gian. Để hai chất điểm gặp nhau (chúng có cùng li độ). Khi đó đoạn thẳng nối hai đầu mút của hai véctơ (cạnh huyền của tam giác vuông) phải song song A2 với trục thẳng đứng (Oy).
D.
y
5 s 24
A2
α β
O
A 1
x
A 3 Ta có: tan 2 3 A1 6 Do đó góc quét của hai véctơ là: điểm gặp nhau là: t
5 5 s. 6.4 24
5 . Thời điểm lần đầu tiên hai chất 6 6
Chọn đáp án D II. Hai dao động điều hòa khác tần số Lưu ý : + Hai vật gặp nhau x1= x2 + Hai vật gặp nhau tại li độ x, chuyển động ngược chiều đối pha. Câu 1 (THPT Chuyên ĐH Vinh – 2016): Hai điểm sáng 1 và 2 cùng dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình dao động lần lượt : x1 = A1 cos(ω1t + φ)
). Tại thời điểm 2 ban đầu t = 0 khoảng cách giữa hai điểm sáng là a 3 . Tại thời điểm t = Δt hai điểm sáng cách nhau là 2a, đồng thời chúng vuông pha. Đến thời điểm t = 2Δt cm, x2 = A2 cos( ω2t + φ) cm (với A1 < A2, ω1 < ω2 và 0 < φ <
Trang 111
thì điểm sáng 1 trở lại vị trí đầu tiên và khi đó hai điểm sáng cách nhau 3a 3 . Tỉ số 1 bằng: 2 A. 4,0 B. 3,5 C. 3,0 D. 2,5 Hướng dẫn giải: Vật 2: Sau Δt
2Δφ1 Vật 1: Sau 2Δt
Vật 2: tại t = 0
Δφ -A1
Vật 1: Sau Δt
1
Δφ
φ
2
Vật 1: tại t = 0
φ
x0
A1
A 2
Sau 2Δt – Vật 1 trở lại vị trí cũ lần đâu tiên
+ Tại t = 0 (2 dao động biểu diễn bằng 2 vecto quay màu đỏ). Khoảng cách trên Ox là A2cosφ – A1cosφ = a 3 (1) + Sau Δt: (2 dao động biểu diễn bằng 2 vecto quay màu xanh): Vật 1 quay góc Δφ1, vật 2 quay góc Δφ2 (vì vật 1, sau 2Δt góc 2Δφ1 thì nó trở lại vị trí cũ x0 lần đầu nên sau Δt (góc quay Δφ1) nó phải ở -A1 như hình vẽ. Vật 2 chuyển động chậm hơn, vai vuông pha với vật 1 nên ở vị trí như hình vẽ) Khoảng cách 2 vật lúc này là A1 = 2a (2) + Sau 2Δt, Vật 1 quay thêm góc Δφ1 nữa, vật 2 quay góc Δφ2 nữa. Chúng biểu diễn bằng các vecto màu nâu. Khoảng cách của chúng A2cosφ + A1cosφ = 3a 3 (3)
. 6 1 5 2,5. Theo hình vẽ : Δφ1 = π - φ = , Δφ2= - φ = . Vậy 1 2 2 6 2 3 + Giải hệ (1) (2)và (3) φ =
Chọn đáp án D
Trang 112
Câu 2: Cho 2 vật dao động điều hoà cùng biên độ A. Biết f1 3 Hz và f 2 6 Hz . Ở thời điểm ban đâu 2 vật đều có li độ x 0
A . Hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là 2
bao nhiêu 2 vật lại có cùng li độ? Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Đây không phải hiện tượng trùng phùng. Xét 4 trường hợp:
A theo 2 π chiều dương Ox. Phương trình dao động của hai vật : x1 Acos 2πf1t ; 3
Trường hợp 1: Thời điểm ban đầu, cả 2 vật đi qua vị trí x 0
π x 2 Acos 2πf 2 t 3 Theo giả thuyết ta có: π π t min 0 s 2πf1t 3 2πf 2 t 3 2π 1 x1 x 2 t min s. 1 t min 27 s 2πf t π 2πf t π 0π 27 2 1 3 3 A Trường hợp 2: Thời điểm ban đầu, cả 2 vật đi qua vị trí x 0 theo chiều 2 π âm Ox. Phương trình dao động của hai vật : x1 Acos 2πf1t ; 3
π x 2 Acos 2πf 2 t 3 . Theo giả thuyết ta có: π π t min 0 s 2πf1t 3 2πf 2 t 3 0π 2 x1 x 2 t min s. 2 π π 27 t min s 2πf t 2πf t 2π 27 2 1 3 3 A Trường hợp 3: Thời điểm ban đầu, vật 1 đi qua vị trí x 0 theo chiều 2 A âm Ox, vật 2 đi qua vị trí x 0 theo chiều dương Ox. Phương trình dao động của 2 π π hai vật : x1 Acos 2πf1t ; x 2 Acos 2πf 2 t 3 3
Trang 113
Theo giả thuyết ta có: π π 4 2πf1t 3 2πf 2 t 3 2π t min 9 s 1 x1 x 2 t min s. π π 1 9 2πf t 2πf t 2π t s 2 min 1 3 3 9 A Trường hợp 4: Thời điểm ban đầu, vật 2 đi qua vị trí x 0 theo chiều 2 A âm Ox, vật 1 đi qua vị trí x 0 theo chiều dương Ox. Phương trình dao động 2 π π của hai vật : x1 Acos 2πf1t ; x 2 Acos 2πf 2 t 3 3 Theo giả thuyết ta có: π π 2 2πf1t 3 2πf 2 t 3 2π t min 9 s 1 x1 x 2 t min s. 9 2πf t π 2πf t π 2π t 1 s 2 min 1 3 3 9 Chọn đáp án B Câu 3: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ A, với tần số góc 3 Hz và 6 Hz. Lúc đầu hai vật đồng thời xuất phát từ vị trí có li độ A 2 . Khoảng thời gian 2 ngắn nhất để hai vật gặp nhau là : A.
1 s. 18
B.
1 s. 27
C.
1 s. 36
D.
1 s. 72
Hướng dẫn giải : Cách giải 1: Để có khoảng thời gian ngắn nhất hai vật chuyển động cùng chiều và theo chiều dương.
A 2 A cos 1 A 2 2 Xuất phát tại x với t = 0 : 1 2 4 2 A cos A 2 2 x1 A cos 1 4 Phương trình dao động: x A cos 2 2 4
Trang 114
Khi gặp nhau: x1 x 2 cos 1
cos 2 1 2 4 4 4 4
Hai đao động gặp nhau lần đầu nên ngược pha:
1
2 2 1 2 t s. 4 4 4 1 2 4 6 12 36 Chọn đáp án C.
Cách giải 2: Vì cùng xuất phát từ x nên pha ban đầu của chúng
. 4
A 2 và chuyển động theo chiều dương 2
x1 A cos 1 4 Do đó phương trình của chúng lần lượt là: x A cos 2 2 4 Khi gặp nhau: x1 x 2 cos 1 cos 2 1 2 4 4 4 4 Hai đao động gặp nhau lần đầu nên ngược pha:
1
2 2 1 2 t s. 4 4 4 1 2 4 6 12 36
Chọn đáp án C. Câu 4: Cho hai vật dao động điều hoà trên cùng một trục toạ độ Ox, có cùng vị trí cân bằng là gốc O và có cùng biên độ và với chu kì lần lượt là T1 = 1 s và T2 = 2 s. Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều ở miền có gia tốc âm, cùng đi qua vị trí có động năng gấp 3 lần thế năng và cùng đi theo chiều âm của trục Ox. Thời điểm gần nhất ngay sau đó mà hai vật lại gặp nhau là A.
2 s 9
B.
4 s 9
C.
2 s 3
D.
1 s 3
Hướng dẫn giải: Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều ở miền có gia tốc âm nên x > 0, cùng đi qua vị trí
A và cùng đi theo chiều âm của trục Ox. 2 π Phương trình dao động vật 1 là x1 A cos 2πt . 3 π Phương trình dao động vật 2 là x 2 A cos πt . 3 có động năng gấp 3 lần thế năng x
Trang 115
Khi hai vật gặp nhau thì: x1 x 2 A cos 2πt
π π A cos πt 3 3
π π πt k2π t 2k 2πt 3 πt 3 k2π 2π t 2 2 k π π 3πt k2π 2πt πt k2π 3 9 3 3 3 4 4 Khi k = 1 thì t = 2 và t s. Vậy t s. 9 9
k Z
Chọn đáp án B Câu 5: Hai chất điểm m1 và m2 cùng bắt đầu chuyển động từ điểm A dọc theo vòng tròn bán kính R lần lượt với các vận tốc góc 1
và 2 . Gọi P1 và P2 là 3 6
hai điểm chiếu của m1 và m2 trên trục Ox nằm ngang đi qua tâm vòng tròn. Khoảng thời gian ngắn nhất mà hai điểm P1, P2 gặp lại nhau sau đó bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải: Giả sử phương trình dao động của hình chiếu P1 và P2: x1 R cos t cm; T = 6 s. m1 3 x 2 R cos t cm; T = 12 s. 6 Khi P1 và P2 gặp nhau thì: x1 = x2 Có thể xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1: x1 và x2 vuông pha. Lúc này P1 và P2 chuyển động cùng chiều và gặp nhau:
x’
P
O
m1, m2 Vị trí gặp nhau
x
P1 P2 m2
t t k2 t 12k. 3 6 Với k = 0; 1; 2; … Suy ta tmin = 12 s (ứng với k = 1), không phụ thuộc vào vị trí ban đầu của m1 và m2 hay nó không phụ thuộc vào pha ban đầu . Trường hợp 2: x1 và x2 ngược pha. Lúc này P1 và P2 chuyển động ngược chiều và gặp nhau: 4 t t k2 t 4k . (*) 3 6
Trang 116
Từ (*) nhận thấy, thời gian P1 và P2 gặp nhau phụ thuộc vào pha ban đầu . Trong trường hợp này, tùy thuộc vào pha ban đầu và chiều dương mà ta chọn giá trị của tmin cho phù hợp. Cụ thể: + Nếu chọn chiều chuyển động ban đầu là chiều dương thì - π ≤ ≤ 0 thì P1 gặp 4 P2 lần đầu tiên ứng với k = 0. Suy ra: t . Ví dụ khi: = - π t = 4 s; = -
t = 2 s; = - t = 1 s. 2 4
Cho tăng từ - π đến 0 giá trị của t giảm từ t = 4 s ( = - π) và giảm dần đến 0. + Nếu chọn chiều chuyển động ban đầu là chiều âm thì 0 ≤ ≤ π thì P1 gặp P2 4 lần đầu tiên ứng với k = 1. Suy ra: t 4 . Ví dụ khi: = 0 t = 4 s; =
t = 2 s; = t = 1 s. 2 4
Cho tăng từ 0 đến π giá trị của t giảm từ t = 4 s ( = 0) dần đến 0. Vấn đề 15: Dạng bài toán về dao động có phương trình đặc biệt * x = a Acos(t + ) với a = const. Biên độ là A, tần số góc là , pha ban đầu , x là toạ độ, x0 = Acos(t + ) là li độ. Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a A Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0” 2
a2 v2 v A =x + A2 = 4 + 2 ω ω ω A * x = a Acos2(t + ) (ta hạ bậc). Biên độ ; tần số góc 2, pha ban 2
Hệ thức độc lập: a = -2x0
2
2 0
đầu 2. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một chất điểm dao động phương trình: x 1 5cos πt cm. a. Chứng minh rằng vật dao động điều hòa? Vẽ đồ thị? b. Xác định vị trí cân bằng, biên độ, chu kỳ và pha ban đầu của dao động? Hướng dẫn giải:
Trang 117
a. Từ phương trình : x 1 5cos πt. Ta đặt y = x – 1, khi đó ta có: y 5cos πt. Suy ra vật dao động điều hòa với li độ mới là y. Chu kỳ của dao động: 2π 2π T 2 s. ω π Đồ thị : x, y (cm) 6 5 1 0
t (s)
-4 -5
b. Ở vị trí cân bằng y = 0 và x = 1 cm. Biên độ A = 5 cm. Pha ban đầu = 0, tần số góc = rad/s và chu kỳ T = 2 s. Câu
2:
Một
chất
điểm
dao
động
điều
hòa
theo
phương
trình:
x 20 10sin 10πt cos 10πt . Tính li độ cực đại của chất điểm ?
Hướng dẫn giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng ta thu được phương trình: 1 x 20 10sin 10πt cos 10πt 20 10. sin 10πt 10πt sin 10πt 10πt 2 1 20 10. sin 10πt 10πt sin 10πt 10πt 20 5sin 20πt 2 Suy ra biên độ cực đại của dao động là A = 5 cm. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Vật tốc của chất điểm dao động điều hoà có độ lớn cực đại khi nào? A. Khi li độ có độ lớn cực đại. B. Khi li độ bằng không. C. Khi pha cực đại. D. Khi gia tốc có độ lớn cực đại. Câu 2: Gia tốc của chất điểm dao động điều hoà bằng không khi nào? A. Khi li độ lớn cực đại. B. Khi vận tốc cực đại. C. Khi li độ cực tiểu. D. Khi vận tốc bằng không. Câu 3: Trong dao động điều hoà, vận tốc biến đổi như thế nào? A. Cùng pha với li độ. B. Ngược pha với li độ. C. Sớm pha
so với li độ. 2
D. Trễ pha Trang 118
so với li độ. 2
Câu 4: Trong dao động điều hoà, gia tốc biến đổi như thế nào? A. Cùng pha với li độ. B. Ngược pha với li độ. C. Sớm pha
so với li độ. 2
D. Trễ pha
so với li độ. 2
Câu 5: Trong dao động điều hoà, gia tốc biến đổi: A. Cùng pha với vận tốc. B. Ngược pha với vận tốc. C. Sớm pha
so với vận tốc. 2
D. Trễ pha
so với vận tốc. 2
Câu 6: Động năng trong dao động điều hoà biển đổi theo thời gian: A. Tuần hoàn với chu kỳ T. B. Như một hàm cosin. T C. Không đổi. D. Tuần hoàn với chu kỳ . 2 Câu 7: Tìm đáp án sai: Cơ năng của dao động điều hoà bằng: A. Tổng động năng và thế năng vào thời điểm bất kỳ. B. Động năng vào thời điểm ban đầu. C. Thế năng ở vị trí biên. D. Động năng ở vị trí cân bằng. Câu 8: Dao động duy trì là dao động tắt dần mà người ta đã: A. Làm mất lực cản của môi trường đối với vật chuyển động. B. Tác dụng ngoại lực biến đổi điều hoà theo thời gian vào dao động. C. Tác dụng ngoại lực vào vật dao động cùng chiều với chuyển động trong một phần của từng chu kỳ. D. Kích thích lại dao động sau khi dao động bị tắt dần. Câu 9: Biên độ của dao động cưỡng bức không phụ thuộc: A. Pha ban đầu của ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên vật. B. Biên độ của ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên vật. C. Tần số của ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên vật. D. Hệ số lực cản (của ma sát nhớt) tác dụng lên vật. Câu 10: Đối với cùng một hệ dao động thì ngoại lực trong dao động duy trì và trong dao động cưỡng bức cộng hưởng khác nhau vì: A. Tần số khác nhau. B. Biên độ khác nhau. C. Pha ban đầu khác nhau. D. Ngoại lực trong dao động cưỡng bức độc lập với hệ dao động, ngoại lực trong dao động duy trì được điều khiển bởi một cơ cấu liên kết với hệ dao động. Câu 11: Xét dao động tổng hợp của hai dao động hợp thành có cùng tần số. Biên độ của dao động tổng hợp không phụ thuộc: A. Biên độ của dao động hợp thành thứ nhất. Trang 119
B. Biên độ của dao động hợp thành thứ hai. C. Tần số chung của hai dao động hợp thành. D. Độ lệch pha của hai dao động hợp thành. Câu 12: Người đánh đu là: A. Dao động tụ do. B. dao động duy trì. C. dao động cưỡng bức cộng hưởng. D. không phải là một trong 3 loại dao động trên. Câu 13: Dao động cơ học là A. chuyển động tuần hoàn quanh một vị trí cân bằng. B. chuyển động lặp lại nhiều lần quanh vị trí cân bằng. C. chuyển động đung đưa nhiều lần quanh vị trí cân bằng. D. chuyển động thẳng biến đổi quanh một vị trí cân bằng. Câu 14: Phương trình tổng quát của dao động điều hoà là A. x = Acotg(ωt + φ). B. x = Atg(ωt + φ). C. x = Acos(ωt + φ). D. x = Acos(ω + φ). Câu 15: Trong phương trình dao động điều hoà x = Acos(ωt + φ), mét (m) là thứ nguyên của đại lượng A. Biên độ A. B. Tần số góc ω. C. Pha dao động (ωt + φ). D. Chu kỳ dao động T. Câu 16: Trong phương trình dao động điều hoà x = Acos(ωt + φ), radian trên giây (rad/s) là thứ nguyên của đại lượng A. Biên độ A. B. Tần số góc ω. C. Pha dao động (ωt + φ). D. Chu kỳ dao động T. Câu 17: Trong phương trình dao động điều hoà x = Acos(ωt + φ), radian (rad) là thứ nguyên của đại lượng A. Biên độ A. B. Tần số góc ω. C. Pha dao động (ωt + φ). D. Chu kỳ dao động T. Câu 18: Trong các lựa chọn sau, lựa chọn nào không phải là nghiệm của phương trình x” + ω2x = 0? A. x = Asin(ωt + φ). B. x = Acos(ωt + φ). C. x = A1sinωt + A2cosωt. D. x = Atsin(ωt + φ). Câu 19: Trong dao động điều hoà x = Acos(ωt + φ), vận tốc biến đổi điều hoà theo phương trình A. v = Acos(ωt + φ). B. v = Aωcos(ωt + φ). C. v = - Asin(ωt + φ). D. v = - Aωsin(ωt + φ). Câu 20: Trong dao động điều hoà x = Acos(ωt + φ), gia tốc biến đổi điều hoà theo phương trình A. a = Acos(ωt + φ). B. a = Aω2cos(ωt + φ). Trang 120
C. a = - Aω2cos(ωt + φ). D. a = - Aωcos(ωt + φ). Câu 21: Trong dao động điều hoà, phát biểu nào sau đây là không đúng? A. Cứ sau một khoảng thời gian T thì vật lại trở về vị trí ban đầu. B. Cứ sau một khoảng thời gian T thì vận tốc của vật lại trở về giá trị ban đầu. C. Cứ sau một khoảng thời gian T thì gia tốc của vật lại trở về giá trị ban đầu. D. Cứ sau một khoảng thời gian T thì biên độ vật lại trở về giá trị ban đầu. Câu 22: Trong dao động điều hòa, giá trị cực đại của vận tốc là A. vmax = ωA. B. vmax = ω2A. C. vmax = - ωA. D. vmax = - ω2A. Câu 23: Trong dao động điều hòa, giá trị cực đại của gia tốc là A. amax = ωA. B. amax = ω2A. C. amax = - ωA. D. amax = - ω2A. Câu 24: Trong dao động điều hòa, giá trị cực tiểu của vận tốc là A. vmin = ωA. B. vmin = 0. C. vmin = - ωA. D. vmin = - ω2A. Câu 25: Trong dao động điều hòa, giá trị cực tiểu của gia tốc là A. amin = ωA. B. amin = 0. C. amin = - ωA. D. amin = - ω2A. Câu 26: Trong dao động điều hoà, phát biểu nào sau đây là không đúng? A. Vận tốc của vật đạt giá trị cực đại khi vật chuyển động qua vị trí cân bằng. B. Gia tốc của vật đạt giá trị cực đại khi vật chuyển động qua vị trí cân bằng. C. Vận tốc của vật đạt giá trị cực tiểu khi vật ở một trong hai vị trí biên. D. Gia tốc của vật đạt giá trị cực tiểu khi vật chuyển động qua vị trí cân bằng. Câu 27: Trong dao động điều hoà của chất điểm, chất điểm đổi chiều chuyển động khi A. lực tác dụng đổi chiều. B. lực tác dụng bằng không. C. lực tác dụng có độ lớn cực đại. D. lực tác dụng có độ lớn cực tiểu. Câu 28: Vận tốc của vật dao động điều hoà có độ lớn cực đại khi A. vật ở vị trí có li độ cực đại. B. gia tốc của vật đạt cực đại. C. vật ở vị trí có li độ bằng không. D. vật ở vị trí có pha dao động cực đại. Câu 29: Gia tốc của vật dao động điều hoà bằng không khi A. vật ở vị trí có li độ cực đại. B. vận tốc của vật đạt cực tiểu. C. vật ở vị trí có li độ bằng không. D. vật ở vị trí có pha dao động cực đại. Câu 30: Trong dao động điều hoà Trang 121
A. vận tốc biến đổi điều hoà cùng pha so với li độ. B. vận tốc biến đổi điều hoà ngược pha so với li độ.
so với li độ. 2 D. vận tốc biến đổi điều hoà chậm pha so với li độ. 2 C. vận tốc biến đổi điều hoà sớm pha
Câu 31: Trong dao động điều hoà A. gia tốc biến đổi điều hoà cùng pha so với li độ. B. gia tốc biến đổi điều hoà ngược pha so với li độ.
so với li độ. 2 D. gia tốc biến đổi điều hoà chậm pha so với li độ. 2 C. gia tốc biến đổi điều hoà sớm pha
Câu 32: Trong dao động điều hoà A. gia tốc biến đổi điều hoà cùng pha so với vận tốc. B. gia tốc biến đổi điều hoà ngược pha so với vận tốc.
so với vận tốc. 2 D. gia tốc biến đổi điều hoà chậm pha so với vận tốc. 2 C. gia tốc biến đổi điều hoà sớm pha
Câu 33: Phát biểu nào sau đây là không đúng? Cơ năng của dao động tử điều hoà luôn bằng A. tổng động năng và thế năng ở thời điểm bất kỳ. B. động năng ở thời điểm ban đầu. C. thế năng ở vị trí li độ cực đại. D. động năng ở vị trí cân bằng. Câu 34: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos4πt (cm), biên độ dao động của vật là A. A = 4cm. B. A = 6cm. C. A = 4m. D. A = 6m. Câu 35: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình: 2π x 4cos( t π) (cm) , biên độ dao động của chất điểm là: 3 A. A = 4m. B. A = 4cm. C. A = 2π m. D. A = 2π cm. 3 3 Câu 36: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos4πt (cm), chu kỳ dao động của vật là A. T = 6s. B. T = 4s. C. T = 2s. D. T = 0,5s. Trang 122
Câu 37: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x = 5cos2πt (cm), chu kỳ dao động của chất điểm là A. T = 1s. B. T = 2s. C. T = 0,5s. D. T = 1Hz. Câu 38: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos4πt (cm), tần số dao động của vật là A. f = 6 Hz. B. f = 4 Hz. C. f = 2 Hz. D. f = 0,5 Hz. Câu 39: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình: π x 3cos πt (cm) , pha dao động của chất điểm tại thời điểm t = 1s là 2 A. -3 cm. B. 2 s. C. 1,5π rad. D. 0,5 Hz. Câu 40: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos4πt (cm), toạ độ của vật tại thời điểm t = 10s là: A. x = 3 cm. B. x = 6 cm. C. x = - 3 cm. D. x = - 6 cm. Câu 41: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x = 5cos2πt (cm), toạ độ của chất điểm tại thời điểm t = 1,5s là A. x = 1,5 cm. B. x = - 5 cm. C. x = + 5 cm. D. x = 0 cm. Câu 42: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos4πt (cm), vận tốc của vật tại thời điểm t = 7,5s là: A. v = 0 cm/s. B. v = 75,4 cm/s. C. v = - 75,4 cm/s. D. v = 6 cm/s. Câu 43: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos4πt (cm), gia tốc của vật tại thời điểm t = 5s là: A. a = 0 cm/s2. B. a = 947,5 cm/s2. 2 C. a = - 947,5 cm/s . D. a = 947,5 cm/s2. Câu 44: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình x = 2cos10πt (cm). Khi động năng bằng ba lần thế năng thì chất điểm ở vị trí A. x = 2 cm. B. x = 1,4 cm. C. x = 1 cm. D. x = 0,67 cm. Câu 45: Một vật dao động điều hoà với biên độ A = 4 cm và chu kỳ T = 2s, chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là
) cm. 2 C. x = 4cos(2πt + ) cm. 2 A. x = 4cos(2πt -
) cm. 2 D. x = 4cos(πt + ) cm. 2 B. x = 4cos(πt -
Câu 46: Một vật dao động điều hòa với tốc độ ban đầu là 1 m/s và gia tốc là
10 3 m/s 2 . Khi đi qua vị trí cân bằng thì vật có vận tốc là 2 m/s. Phương trình dao động của vật là: Trang 123
π cm. 3
B. x 20 cos 10t
π cm. 6
D. x 20 cos 20t
A. x 10 cos 20t C. x 10 cos 10t
π cm. 6
π cm. 3
Câu 47: Phát biểu nào sau đây về động năng và thế năng trong dao động điều hoà là không đúng? A. Động năng và thế năng biến đổi điều hoà cùng chu kỳ. B. Động năng biến đổi điều hoà cùng chu kỳ với vận tốc. C. Thế năng biến đổi điều hoà với tần số gấp 2 lần tần số của li độ. D. Tổng động năng và thế năng không phụ thuộc vào thời gian. Câu 48: Phát biểu nào sau đây về động năng và thế năng trong dao động điều hoà là không đúng? A. Động năng đạt giá trị cực đại khi vật chuyển động qua VTCB. B. Động năng đạt giá trị cực tiểu khi vật ở một trong hai vị trí biên. C. Thế năng đạt giá trị cực đại khi vận tốc của vật đạt giá trị cực tiểu. D. Thế năng đạt giá trị cực tiểu khi gia tốc của vật đạt giá trị cực tiểu. Câu 49: Phát nào biểu sau đây là không đúng? 1 A. Công thức E kA 2 cho thấy cơ năng bằng thế năng khi vật có li độ cực 2 đại. 1 B. Công thức E mv 2max cho thấy cơ năng bằng động năng khi vật qua 2 VTCB. 1 C. Công thức E m2 A 2 cho thấy cơ năng không thay đổi theo thời gian. 2 1 1 D. Công thức E t kx 2 kA 2 cho thấy thế năng không thay đổi theo 2 2 thời gian. Câu 50: Động năng của dao động điều hoà A. biến đổi theo thời gian dưới dạng hàm số sin. T B. biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ . 2 C. biến đổi tuần hoàn với chu kỳ T. D. không biến đổi theo thời gian. Câu 51: Một vật khối lượng 750g dao động điều hoà với biên độ 4 cm, chu kỳ 2s. Lấy π2 = 10. Năng lượng dao động của vật là A. E = 60 kJ. B. E = 60 J. C. E = 6 mJ. D. E = 6 J. Trang 124
Câu 52: Phát biểu nào sau đây với con lắc đơn dao động điều hoà là không đúng? A. Động năng tỉ lệ với bình phương tốc độ góc của vật. B. Thế năng tỉ lệ với bình phương tốc độ góc của vật. C. Thế năng tỉ lệ với bình phương li độ góc của vật. D. Cơ năng không đổi theo thời gian và tỉ lệ với bình phương biên độ góc. Câu 53: Phát biểu nào sau đây về sự so sánh li độ, vận tốc và gia tốc là đúng? Trong dao động điều hoà, li độ, vận tốc và gia tốc là ba đại lượng biến đổi điều hoà theo thời gian và có A. cùng biên độ. B. cùng pha. C. cùng tần số góc. D. cùng pha ban đầu. Câu 54: Phát biểu nào sau đây về mối quan hệ giữa li độ, vận tốc, gia tốc là đúng? A. Trong dao động điều hoà vận tốc và li độ luôn cùng chiều. B. Trong dao động điều hoà vận tốc và gia tốc luôn ngược chiều. C. Trong dao động điều hoà gia tốc và li độ luôn ngược chiều. D. Trong dao động điều hoà gia tốc và li độ luôn cùng chiều.
Câu 57: Một vật dao động điều hòa có phương trình là x 10 cos 2πt
π (cm) . 8
Biết ở thời điểm t vật có li độ là -8cm . Li độ của vật ở thời điểm sau đó 13s là: A. -8cm B. 4cm C. -4cm D. 8cm
Câu 58: Một vật dao động có phương trình là x 3cos 5πt
2π 1 (cm) . 3
Trong giây đầu tiên vật đi qua vị trí có tọa độ là x = 1cm mấy lần? A. 2 lần B. 3 lần C. 4 lần D. 5 lần Câu 59: Tốc độ và li độ của một chất điểm dao động điều hoà có hệ thức v2 x2 1 , trong đó x tính bằng cm, v tính bằng cm/s. Chu kì dao động của 640 16 chất điểm là: A. 1 s B. 2 s C. 1,5 s D. 2,1 s Câu 60: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acosωt. Tỉ số giữa tốc độ 3T trung bình và vận tốc trung bình khi vật đi được sau thời gian đầu tiên kể từ lúc 4 bắt đầu dao động là 1 1 A. B. 3 C. 2 D. 2 2 Câu 61: Cho một vật dao động điều hoà với phương trình x = 10cos10t cm. Vận tốc của vật có độ lớn 50 cm/s lần thứ 2012 tại thời điểm:
Trang 125
6031 s 60 π Câu 62: Một vật dao động điều hoà với phương trình x 8cos 2πt cm. Thời 6 A.
6209 s 60
B.
1207 s 12
C.
1205 s 12
D.
điểm thứ 2010 vật qua vị trí có vận tốc v = - 8 cm/s là: A. 1005,5 s B. 1004,5 s C. 1005 s D. 1004 s Câu 63: (CĐ khối A, 2010) Một vật dao động điều hòa với chu kì T. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng, vận tốc của vật bằng 0 lần đầu tiên ở thời điểm T T T T A. . B. . C. . D. . 2 8 6 4 Câu 64 (ĐH khối A, 2008): Cơ năng của một vật dao động điều hòa A. biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ bằng một nửa chu kỳ dao động của vật. B. tăng gấp đôi khi biên độ dao động của vật tăng gấp đôi. C. bằng động năng của vật khi vật tới vị trí cân bằng. D. biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ bằng chu kỳ dao động của vật. π Câu 65: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x 4 cos 10πt cm. Xác 3 định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20 3 cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0. 1 11 7 5 A. s. B. s. C. s. D. s. 6 6 6 6 Câu 66: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 10 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để chất điểm có vận tốc không vượt quá 20 3 cm/s là
2T . Xác định chu kì dao động của chất điểm. 3
A. 0,15 s. B. 0,35 s. C. 0,25 s. D. 0,5 s. Câu 67 (CĐ khối A, 2010): Một vật dao động điều hòa với biên độ 6 cm. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi vật có động năng bằng cân bằng một đoạn. A. 6 cm. B. 4,5 cm.
C. 4 cm.
3 lần cơ năng thì vật cách vị trí 4 D. 3 cm.
Câu 68: Một chất điểm dao động phương trình: x 1 3cos 5πt
2π cm. 3
Trong giây đầu tiên kể từ lúc bắt đầu dao động, vật đi qua vị trí có li độ x = + 1 cm bao nhiêu lần ? Trang 126
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Câu 69: Phương trình dao động của một vật có dạng x Acost. Gốc thời gian là lúc vật : A. có li độ x + A.
B. có li độ x -A.
C. đi qua VTCB theo chiều dương.
D. đi qua VTCB theo chiều âm.
Câu 70: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x 3cos 2πt
π , trong 3
đó x tính bằng cm, t tính bằng giây. Gốc thời gian đã được chọn lúc vật có trạng thái chuyển động như thế nào? A. Đi qua Vị trí có li độ x =-1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox. B. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox. C. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox. D. Đi qua vị trí có li độ x = -1,5cm và đang chuyển động theo chiều âm trục Ox. Câu 71: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình
π x 4 cos 17t cm, (t đo bằng giây). Người ta đã chọn mốc thời gian là lúc vật 3 có: A. tọa độ -2 cm và đang đi theo chiều âm B. tọa độ -2 cm và đang đi theo chiều dương C. tọa độ + 2 cm và đang đi theo chiều dương D. tọa độ + 2 cm và đang đi theo chiều âm Câu 72: Một vật dao động điều hòa phải mất 0,025 s để đi từ điểm có vận tốc bằng không tới điểm tiếp theo cũng có vận tốc bằng không, hai điểm ấy cách nhau 10 cm. Chọn đáp án đúng A. chu kì dao động là 0,025 s B.tần số dao động là 10 Hz C. biên độ dao động là 10 cm D.vận tốc cực đại của vật là 2 cm/s. Câu 73: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 = 1 cm, và có vận tốc v1= 20 cm/s. Đến thời điểm t2 vật có li độ x2 = 2 cm và có vận tốc v2 = 10 cm/s. Hãy xác định biên độ, vận tốc cực đại của vật? A. ω 10 rad/s và v max 10 5 cm/s. B. ω 15 rad/s và v max 10 cm/s. C. ω 15 rad/s và v max 10 cm/s. Trang 127
D. ω 10 rad/s và v max 10 5 cm/s. Câu 74: Một vật dao động điều hòa với biên độ A 4 cm và T 2 s. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là :
π cm. 2
B. x 4 cos πt
π cm. 2
D. x 4 cos πt
A. x 4 cos 2πt C. x 4 cos 2πt
π cm. 2
π c m. 2
Câu 75: Một vật dao động điều hoà trên trục Ox với tần số f = 4 Hz, biết toạ độ ban đầu của vật là x = 3 cm và sau đó
1 s thì vật lại trở về toạ độ ban đầu. Phương 24
trình dao động của vật là
A. x 3 3 cos 8πt
C. x 6 cos 8πt
π cm. 6
π cm. 6
π cm. 3
B. x 2 3 cos 8πt
π cm. 6
D. x 2 3 cos 8πt
Câu 76: Một vật dao động điều hòa có phương trình x 2 cos 2t
cm. Li 6
độ và vận tốc của vật lúc t 0,25 s là : A. 1 cm ; ± 2 3 π cm/s.
B. 1,5 cm ; ± π 3 cm/s.
C. 0,5 cm ; ± 3 cm/s.
D. 1 cm ; ± π cm/s.
Câu 77: Một vật dao động điều hòa có phương trình : x 5cos 20t
cm. 2
Vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật là : A. 10 m/s ; 200 m/s2. B. 10 m/s ; 2 m/s2. 2 C. 100 m/s ; 200 m/s . D. 1 m/s ; 20 m/s2. Câu 78: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm, chu kì T. Vào một thời điểm t, vật đi qua li độ x = 5 cm theo chiều âm. Vào thời điểm t + A. 5 3 cm
B. 5 cm
C. – 5 3 cm
Trang 128
T , li độ của vật 6
D. –5 cm
Câu 79: Một chất điểm dao động dọc theo trục Ox. Phương trình dao động là x = 10 cos (2t +
) cm. Tại thời điểm t vật có li độ x = 6 cm và đang chuyển động 6
theo chiều dương sau đó 0,25 s thì vật có li độ là : A. 6 cm B. 8 cm C. – 6 cm D. – 8 cm Câu 80: Một chất điểm M chuyển động với tốc độ 0,75 m/s trên đường tròn có đường kính bằng 0,5 m. Hình chiếu M’ của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều hoà. Tại t = 0 s, M’ đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Khi t = 8 s hình chiếu M’ qua li độ A. - 10,17 cm theo chiều dương B. - 10,17 cm theo chiều âm C. 22,64 cm theo chiều dương D. 22.64 cm theo chiều âm Câu 81: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình:
5 x 20 cos t cm. Tại thời điểm t1 gia tốc của chất điểm có giá trị cực 6 tiểu. Tại thời điểm t 2 t1 t (trong đó t 2 2013T ) thì tốc độ của chất điểm là 10π 2 cm/s. Giá trị lớn nhất của Δt là A. 4024,75 s.
B. 4024,25 s.
C. 4025,25 s.
D. 4025,75 s.
Câu 82: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình: x 6 cos 20t cm. Ở thời điểm t
2
s vật có: 15
A. Vận tốc 60 3 cm/s, gia tốc 12 m/s2 và đang chuyển động theo chiều dương quĩ đạo. B. Vận tốc 60 3 cm/s, gia tốc – 12 m/s2 và đang chuyển động theo chiều âm quĩ đạo. C. Vận tốc 60 cm/s, gia tốc 12 3 m/s2 và đang chuyển động theo chiều dương quĩ đạo. D. Vận tốc – 60 cm/s, gia tốc 12 3 m/s2 và đang chuyển động theo chiều âm quĩ đạo. Câu 83: Một vật nhỏ dao động điều hòa với chu kỳ T = 1 s. Tại thời điểm t1 nào đó, li độ của vật là – 2 cm. Tại thời điểm t2 = t1 + 0,25 s,vận tốc của vật có giá trị: A. 4 cm/s B. – 2 m/s C. 2 cm/s D. – 4 m/s.
Trang 129
Câu 84: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4t + điểm thứ 2011 vật đi qua vị trí x 2 cm .
12025 12041 s s D. 24 24 Câu 85: Một dao động điều hoà với x 8cos 2t cm. Thời điểm thứ 2014 6 vật qua vị trí có vận tốc v 8 cm/s. A.
12061 s 24
B.
12049 s 24
π ) cm. Thời 6
C.
A. 1006,5 s B. 1005,5 s C. 2014 s D. 1007 s Câu 86: Một chất điểm dao động điều hoà trên trục Ox có vận tốc bằng 0 tại hai thời điểm liên tiếp t1 1,75s và t 2 2,5s , tốc độ trung bình trong khoảng thời gian đó là 16 cm/s. Toạ độ chất điểm tại thời điểm t = 0 là A. – 8 cm B. – 4 cm C. 0 cm
D. – 3 cm
Câu 87: Một vật dao động có phương trình là x 3cos 5t
2 1 cm. Trong 3
giây đầu tiên vật đi qua vị trí có tọa độ là x = 1 cm mấy lần? A. 2 lần B. 3 lần C. 4 lần
D. 5 lần
Câu 88: Một vật dao động điều hoà với phương trình x 8cos 2t
cm. 3
Thời điểm thứ nhất vật qua vị trí có động năng bằng thế năng. A.
1 s 8
B.
1 s 24
C.
5 s 8
D. 1,5s
Câu 89: Hai chất điểm dao động điều hoà cùng trên trục Ox với cùng gốc tọa độ và cùng mốc thời gian với phương trình lần lượt là x1 = 4cos( 4πt – 4cos(2 t +
) cm và x2 = 3
) cm. Thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm gặp nhau là: 6
18019 12073 4025 8653 s. B. s C. s D. s 36 36 4 4 Câu 90: Vật dao động điều hòa có vận tốc cực đại bằng 3 m/s và gia tốc cực đại bằng 30 m/s2. Thời điểm ban đầu vật có vận tốc 1,5 m/s và thế năng đang tăng. Hỏi vào thời điểm nào sau đây vật có gia tốc bằng 15 m/s2: A. 0,10 s B. 0,15 s C. 0,20 s D. 0,05 s A.
Trang 130
Câu 91: Vật dao động điều hòa có phương trình x Acost. Thời gian ngắn nhất kể từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật có li độ x A.
T s 6
B.
T s 8
C.
A là : 2
T s 3
D.
Câu 92: Vật dao động điều hòa theo phương trình x 4cos(8πt –
T s 4
) cm. Thời 6
gian ngắn nhất vật đi từ x1 –2 3 cm theo chiều dương đến vị trí có li độ x2 2 3 cm theo chiều dương là: 1 1 1 1 A. B. C. D. s s s s 16 12 10 20 Câu 93: Một dao động điều hòa có chu kì dao động là T và biên độ là A. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ x1 (mà x1 0; A) bất kể vật đi theo hướng nào thì cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất t nhất định thì vật lại có li độ cách vị trí cân bằng như cũ. Chọn phương án đúng A. x1
A 4
B. x1
A 3 2
A A 2 D. B. x1 2 2 Câu 94: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ 10 cm và tần số góc 10 rad/s. Khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ vị trí có li độ + 3,5 cm đến vị trí cân bằng là A. 0,036 s B. 0,121 s C. 2,049 s D. 6,951 s Câu 95: Vật dao động điều hòa, thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = + A đến vị A trí x = là 0,1 s. Chu kì dao động của vật là 3 A. 1,85 s B. 1,2 s C. 0,51 s D. 0,4s Câu 96: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB một khoảng nhỏ hơn một nửa biên độ là C. x1
A.
T 3
B.
2T 3
C.
T 6
D.
T 2
Câu 97: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB một khoảng nhỏ hơn 0,5 2 biên độ là A.
T 3
B.
2T 3
C.
T 6
Trang 131
D.
T 2
Câu 98: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB một khoảng nhỏ hơn 0,5 3 biên độ là A.
T 3
B.
2T 3
C.
T 6
D.
T 2
Câu 99: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có tốc độ nhỏ hơn một nửa tốc độ cực đại là : A.
T 3
B.
2T 3
C.
T 6
D.
T 2
Câu 100: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có tốc độ nhỏ hơn
A.
T 8
B.
T 16
1 2
tốc độ cực đại là
C.
T 6
D.
T 2
Câu 101: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có độ lớn gia tốc lớn hơn một nửa gia tốc cực đại là A.
T 3
B.
2T 3
T 6
C.
D.
T 12
Câu 102: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật có độ lớn gia tốc lớn hơn
A.
T 3
B.
2T 3
1 2 C.
gia tốc cực đại là
T 6
D.
Câu 103: Cho phương trình dao động điều hoà x 4 cos 4t
T 2
cm . Tìm tổng 3
quãng đường vật đi được trong khoảng 0,25 s kể từ lúc đầu. A. 8 cm
B. 9 cm
C. 10 cm
Trang 132
D. 11 cm
Câu 104: Một vật chuyển động theo quy luật x 2 cos 2t
cm. Quãng 2
đường của nó sau thời gian t =2,875 s kể từ lúc bắt đầu chuyển động . A. 26 cm. B. 30 cm. C. 22,6 cm. D. 54 cm.
cm. 3
cm. 3
Câu 105: Một vật dao động đều hoà có phương trình x 2 cos 4t Quãng đường vật đi được từ lúc t1 A. 31 cm.
B. 90 cm.
1 s đến lúc t2 = 2 s. 12
C. 102 cm.
D. 54 cm.
Câu 106: Một vật dao động điều hòa với phương trình x 2 cos 10t
Tính quãng đường vật đi được trong thời gian 1,1s đầu tiên. A. 24 cm. B. 34 cm. C. 44 cm. D. 54 cm. Câu 107: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình
x 12 cos 50t cm. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 2 t s , kể từ thời điểm gốc là (t = 0): 12 A. 6 cm. B. 90 cm. C. 102 cm. D. 54 cm. Câu 108: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình:
13 x 6 cos 20t cm. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t 3 60 s, kể từ khi bắt đầu dao động là : A. 6 cm. B. 90 cm. C.102 cm.
D. 54 cm.
Câu 109: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên độ A và chu kỳ T. Trong khoảng thời gian
T , quãng đường lớn nhất mà vật có 4
thể đi được là : A. A B. 2 A. C. 3 A. D. 1,5A. Câu 110: Một chất điểm M dao động điều hòa theo phương trình:
x 2,5cos 10t cm. Tìm tốc độ trung bình của M trong 1 chu kỳ dao động 2 A. 50m/s
B. 50cm/s
C. 5m/s
Trang 133
D. 5cm/s
Câu 111: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Tốc độ trung bình của chất điểm tương ứng với khoảng thời gian thế năng không vượt quá ba lần động năng trong một nửa chu kỳ là 300 3 cm/s. Tốc độ cực đại của dao động là A. 400 cm/s. B. 200 cm/s. C. 2π m/s. D. 4π m/s. Câu 112: Một chất điểm dao động điều hòa không ma sát. Khi vừa qua khỏi vị trí cân bằng một đoạn S động năng của chất điểm là 1,8 J. Đi tiếp một đoạn S nữa thì động năng chỉ còn 1,5 J và nếu đi thêm đoạn S nữa thì động năng bây giờ là A. 0,9 J B. 1,0 J C. 0,8 J D. 1,2 J Câu 113: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 2 cm, biết rằng trong 1 chu kì, khoảng thời gian mà vận tốc của vật có giá trị biến thiên trên đoạn từ
2π 3 cm/s đến 2π cm/s là
T . Tần số dao động của vật là 2
A. 0,5 Hz. B. 1 Hz. C. 0,25 Hz. D. 2 Hz. Câu 114: Một vật dao động quanh VTCB . Thời điểm ban đầu vật qua VTCB theo chiều dương. Đến thời điểm t1 bằng
1 s vật chưa đổi chiều chuyển động và có vận tốc 3
3 5 vận tốc ban đầu. Đến thời điểm t 2 s vật đã đi được quãng đường 6 2 3
cm . Tính vận tốc ban đầu. A. π cm/s B. 2 π cm/s
C. 3 π cm/s
D. 4 π cm/s
Câu 115: Hai vật dao động điều hòa quanh gốc tọa độ O (không va chạm nhau)
theo các phương trình x1 2 cos 4t cm và x 2 2 3 cos 4t
cm. Tìm số 6
lần hai vật gặp nhau trong 2,013 s kể từ thời điểm ban đầu. A. 11 lần B. 7 lần C. 8 lần D. 9 lần
Câu 116: Vật dao động điều hòa với phương trình x 8cos t
cm. Sau thời 2
gian t1 = 0,5 s kể từ thời điểm ban đầu vật đi được quãng đường S1 = 4 cm. Sau khoảng thời gian t2 = 12,5 s (kể từ thời điểm ban đầu) vật đi được quãng đường: A. 160 cm. B. 68 cm. C. 50 cm. D. 36 cm.
5 t cm. Kể từ lúc 6 3
Câu 117: Một vật dao động theo phương trình x 20 cos
t = 0 đến lúc vật qua li độ – 10 cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì lực hồi phục sinh công âm trong khoảng thời gian là A. 2013,08 s B. 1207,88 s C. 1207,4 s D. 2415,8 s Trang 134
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Chọn B. Hướng dẫn: Vật dao động điều hoà ở vị trí li độ bằng không thì động năng cực đại. Câu 2: Chọn C. Hướng dẫn: ở vị trí li độ bằng không lực tác dụng bằng không nên gia tốc nhỏ nhất. Câu 3: Chọn C. Hướng dẫn: Biến đổi vận tốc về hàm số cos thì được kết quả. Câu 4: Chọn B. Hướng dẫn: Tương tự cách làm câu 3. Câu 5: Chọn C. Hướng dẫn: Tương tự cách làm câu 3. Câu 6: Chọn D. Hướng dẫn: Như phần tóm tắt lí thuyết. Câu 7: Chọn B. Hướng dẫn: Thời điểm ban đầu có thể động năng bằng không. Câu 8: Chọn C. Hướng dẫn: Dao động tắt dần mà được cung cấp năng lượng theo nhịp mất đi sẽ dao động duy trì Câu 9: Chọn A. Hướng dẫn: Biên độ dao động cường bức phụ thuộc đáp án B, C, D. Câu 10: Chọn D. Hướng dẫn: Dao động duy trì, cơ cấu tác dụng ngoại lực gắn với hệ dao động. Câu 11: Chọn C. Hướng dẫn: Biên độ dao động tổng hợp phụ thuộc biên độ 2 dao động thành phần và độ lệch pha của 2 dao động. Câu 12: Chọn D. Hướng dẫn: Có lúc ở một trong 3 đáp án A, B, C. Nên chọn D. Câu 13: Chọn A. Hướng dẫn: Theo định nghĩa SGK. Câu 14: Chọn C. Hướng dẫn: Hai lựa chọn A và B không phải là nghiệm của phương trình vi phân x” + ω2x = 0. Lựa chọn D trong phương trình không có đại lượng thời gian. Câu 15: Chọn A. Hướng dẫn: Thứ nguyên của tần số góc ω là rad/s (radian trên giây). Thứ nguyên của pha dao động (ωt + φ) là rad (radian). Thứ nguyên của chu kỳ T là s (giây). Thứ nguyên của biên độ là m (mét). Câu 16: Chọn B. Hướng dẫn: Xem câu 15 Câu 17: Chọn C. Hướng dẫn: Xem câu 15 Câu 18: Chọn D Hướng dẫn: Tính đạo hàm bậc hai của toạ độ x theo thời gian rồi thay vào phương trình vi phân x” + ω2x = 0 thấy lựa chọn D không thoả mãn. Câu 19: Chọn D. Hướng dẫn: Lấy đạo hàm bậc nhất của phương trình dao động x = Acos(ωt + φ) theo thời gian ta được vận tốc v = - Aωsin(ωt + φ). Câu 20: Chọn C. Hướng dẫn: Lấy đạo hàm bậc nhất của phương trình dao động x = Acos(ωt + φ) theo thời gian ta được vận tốc v = - Aωsin(ωt + φ). Sau đó lấy đạo hàm của vận tốc theo thời gian ta được gia tốc a = - Aω2cos(ωt + φ). Câu 21: Chọn D. Hướng dẫn: Biên độ dao động của vật luôn không đổi.
Trang 135
Câu 22: Chọn A. Hướng dẫn: Từ phương trình vận tốc v = - Aωsin(ωt + φ) ta suy ra độ lớn của vận tốc là v =│Aωsin(ωt + φ)│ vận tốc của vật đạt cực đại khi│sin(ωt + φ)│= 1 khi đó giá trị cực đại của vận tốc là vmax = ωA. Câu 23: Chọn B. Hướng dẫn: gia tốc cực đại của vật là amax = ω2A, đạt được khi vật ở hai vị trí biên. Câu 24: Chọn B. Hướng dẫn: Trong dao động điều hoà vận tốc cực tiểu của vật bằng không khi vật ở hai vị trí biên. Vận tốc có giá trị âm, khi đó dấu âm chỉ thể hiện chiều chuyển động của vật ngược với chiều trục toạ độ. Câu 25: Chọn B. Hướng dẫn: Trong dao động điều hoà gia tốc cực tiểu của vật bằng không khi chuyển động qua VTCB. Gia tốc có giá trị âm, khi đó dấu âm chỉ thể hiện chiều của gia tốc ngược với chiều trục toạ độ. Câu 26: Chọn B. Hướng dẫn: Gia tốc của vật đạt giá trị cực đại khi vật ở hai vị trí biên, gia tốc của vật ở VTCB có giá trị bằng không. Câu 27: Chọn C. Hướng dẫn: Vật đổi chiều chuyển động khi vật chuyển động qua vị trí biên độ, ở vị trí đó lực phục hồi tác dụng lên vật đạt giá trị cực đại. Câu 28: Chọn C. Hướng dẫn: Áp dụng công thức độc lập với thời gian
v A 2 x 2 ta thấy vận tốc của vật đạt cực đại khi vật chuyển động qua vị trí x = 0. Câu 29: Chọn C. Hướng dẫn: Áp dụng công thức độc lập với thời gian a = -ω2x, ta suy ra độ lớn của gia tốc bằng không khi vật chuyển động qua vị trí x = 0(VTCB). Câu 30: Chọn C. Hướng dẫn: Phương trình dao động x = Acos(ωt + φ) và phương trình vận tốc v = x’ = -ωAsin(ωt + φ) = ωAcos(ωt + φ + π/2). Như vậy vận tốc biến đổi điều hoà sớm pha hơn li độ một góc π/2. Câu 31: Chọn B. Hướng dẫn: Phương trình dao động x = Acos(ωt + φ) và phương trình gia tốc a = x” = -ωAcos(ωt + φ) = ωAcos(ωt + φ + π). Như vậy vận tốc biến đổi điều hoà ngược pha với li độ. Câu 32: Chọn C. Hướng dẫn: Phương trình dao động x = Acos(ωt + φ), phương trình vận tốc v = x’ = -ωAsin(ωt + φ) = ωAcos(ωt + φ + π/2), và phương trình gia tốc a = x” = -ωAcos(ωt + φ) = ωAcos(ωt + φ + π). Như vậy gia tốc biến đổi điều hoà sớm pha hơn vận tốc một góc π/2. Câu 33: Chọn B. Hướng dẫn: Thời điểm ban đầu có thể vật vừa có động năng và thế năng do đó kết luận cơ năng luôn bằng động năng ở thời điểm ban đầu là không đúng. Câu 34: Chọn B. Hướng dẫn: So sánh phương trình dao động x = 6cos(4πt)cm với phương trình tổng quát của dao động điều hoà x = Acos(ωt + φ) ta thấy biên độ dao động của vật là A = 6cm.
Trang 136
Câu
35:
x 4 cos(
Chọn
B.
Hướng
dẫn:
So
sánh
phương
trình
dao
động
2 t π)cm với phương trình tổng quát của dao động điều hoà x = 3
Acos(ωt + φ) ta thấy biên độ dao động của vật là A = 4cm. Câu 36: Chọn D. Hướng dẫn: So sánh phương trình dao động x = 6cos(4πt)cm với phương trình tổng quát của dao động điều hoà x = Acos(ωt + φ) ta thấy tần số góc 2 của dao động là ω = 4πrad/s. Suy ra chu kỳ dao động của vật là T 0,5s . Câu 37: Chọn A. Hướng dẫn: Tương tự câu 36. Câu 38: Chọn C. Hướng dẫn: So sánh phương trình dao động x = 6cos(4πt)cm với phương trình tổng quát của dao động điều hoà x = Acos(ωt + φ) ta thấy tần số góc của dao động là ω = 4πrad/s. Suy ra tần số dao động của vật là f Câu
39:
Chọn
x 3 cos(t
2
C.
Hướng
2 Hz . 2 dẫn:
So
sánh
phương
trình
dao
động
)cm với phương trình tổng quát của dao động điều hoà x =
Acos(ωt + φ) ta thấy pha dao động của vật là (ωt + φ) = t
, thay t = 1s ta được 2
kết quả 1,5π(rad). Câu 40: Chọn B. Hướng dẫn: Thay t = 10s vào phương trình x = 6cos(4πt)cm, ta được toạ độ của vật là x = 6cm. Câu 41: Chọn B. Hướng dẫn: Xem câu 40. Câu 42: Chọn A. Hướng dẫn: Từ phương trình dao động x = 6cos(4πt)cm ta suy ra phương trình vận tốc v = x’ = - 24πsin(4πt)cm/s. Thay t = 7,5s vào phương trình v = - 24πsin(4πt)cm/s ta được kết quả v = 0. Câu 43: Chọn C. Hướng dẫn: Từ phương trình dao động x = 6cos(4πt)cm ta suy ra phương trình gia tốc a = x” = - 96π2cos(4πt) cm/s2. Thay t = 5s vào phương trình a = - 96π2cos(4πt) cm/s2 ta được kết quả a = - 947,5cm/s2. Câu 44: Chọn C. Hướng dẫn: Từ phương trình x = 2cos10πt(cm) ta suy ra biên độ A = 2cm. Cơ năng trong dao động điều hoà E = Eđ + Et, theo bài ra Eđ = 3Et suy ra 1 E = 4Et, áp dụng công thức tính thế năng E t kx 2 và công thức tính cơ năng 2 1 E kA 2 → x = ± A/2 = ± 1cm. 2
Trang 137
Câu 45: Chọn B. Hướng dẫn: Vật dao động theo phương trình tổng quát x =
2 = π(rad/s), chọn gốc thời gian là T
Acos(ωt + φ), A = 4cm, chu kỳ T = 2s →
lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương → pha ban đầu φ = -π/2. Vậy phương trình dao động là x = 4cos(πt -
2
)cm.
Câu 46: Chọn A. Phương trình li độ : x = Acos( ωt φ ). Phương trình vận tốc : v = - A ωsin(ωt φ) . Phương trình gia tốc : a = - A ω2 cos(ωt φ) . Áp dụng phương trình độc lập với thời gian ta có:
a 2 2 v 2max v 2
Ta lại có: A 2 =
2
a v
2 max
2
v
2
2
10 3 22 12 2
a v a v + 2 A + 2 4 4 ω ω ω ω
10 rad/s.
10 3
2
104
+
12 2 0, 2 m 2 10 10
. Suy ra A = 20 cm. Từ điều kiện ban đầu tại t = 0 ta có:
1 π v 10.20sin φ 100 sin φ φ 2 6 2 a 10 .20 cos φ 10 3 cos φ 0
Vậy phương trình dao động của vật là x 20 cos 10t
π cm. 6
Câu 46: Chọn B. Hướng dẫn: Động năng và thế năng trong dao động điều hoà biến đổi tuần hoàn với chu kỳ bằng
1 chu kỳ của vận tốc, gia tốc và li độ. 2
Câu 48: Chọn D. Hướng dẫn: Gia tốc của vật đạt cực đại khi vật ở vị trí biên, ở vị trí biên thế năng của vật đạt cực đại, động năng của vật đạt cực tiểu. Câu 49: Chọn D. Hướng dẫn: Thế năng của vật dao động điều hoà biến đổi tuần hoàn theo thời gian. Câu 50: Chọn B. Hướng dẫn: Động năng của vật dao động điều hoà biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ
T . 2 Trang 138
Câu 51: Chọn C. Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính cơ năng
E
1 1 2 m2 A 2 m( )2 A 2 , đổi đơn vị của khối lượng và biên độ: 750g = 2 2 T
0,75kg, 4cm = 0,04m, thay vào công thức tính cơ năng ta được E = 6.10-3J. Câu 52: Chọn B. Hướng dẫn: Chú ý cần phân biệt khái niệm tần số góc ω trong dao động điều hoà với tốc độ góc là đạo hàm bậc nhất của li độ góc theo thời gian α’ = v’/R trong chuyển động tròn của vật. Câu 53: Chọn C. Hướng dẫn: Trong dao động điều hoà, li độ, vận tốc và gia tốc là ba đại lượng biến đổi điều hoà theo thời gian và có cùng tần số góc, cùng chu kỳ, tần số. Câu 54: Chọn C. Hướng dẫn: Áp dụng công thức độc lập với thời gian a = - ω2x dấu (-) chứng tỏ x và a luôn ngược chiều nhau. Câu 58: Chọn C. Hướng dẫn: Vật dao động hòa quanh vị trí x = 1cm. Khi đó:
Δt 1 5 T 5π Δt 2,5T 2T T 2π 2 2 1 x cm Ở thời điểm t = 0 (1) 2 v 0 Trong 2 chu kì vật qua vị trí x = 14 lần (mỗi chu kì qua 2 lần). Trong nửa chu kì tiếp theo vật qua x = 1 thêm 1 lần nữa. v2 x2 v2 Câu 59: Chọn B. Hướng dẫn: Ta có: A 2 x 2 2 2 2 2 2 1 , so sánh A A 2 2 v x với 1 A 2 16 và 2 A 2 640 640 16 640 640 2 2 2 40 2 10 2 rad / s T 1 s . A 16 Câu 60: Chọn B. Hướng dẫn: Vận tốc trung bình: v tb =
x 2 x1 , Δx = x 2 x1 là t 2 t1
độ dời. Vận tốc trung bình trong một chu kỳ luôn bằng không. Tốc độ trung bình luôn khác 0: v tb =
S trong đó S là quãng đường vật đi được t 2 t1
từ t1 đến t2.
Trang 139
Tốc độ trung bình: v toác ñoä =
3T S 3A 4A (1); chu kỳ đầu vật đi từ x1 = + A (t1 = = 4 t 3T T 4
3T ) (VTCB theo chiều dương). 4 x x1 0 A 4A Vận tốc trung bình: v vaän toác tb = 2 (2). = = 3T t 2 t1 3T 0 4 Từ (1) và (2) suy ra kết quả bằng 3. 2π 2π 1 Câu 61: Chọn B. Hướng dẫn: Ta có: T s ω 10π 5 Tại thời điểm t = 0 thì v = 0 và đang chuyển động theo chiều âm. Thời điểm vận tốc 2012 2 của vật có độ lớn 50 cm/s lần thứ 2012 là: t = .T t 2 . 4 Với t2 là thời gian vật có vận tốc có độ lớn 50 cm/s lần thứ 2 là: = 0) đến x2 = 0 (t2 =
5π 5 1 t2 = 6 .T .T s . 2π 12 12 1 502 1 6029 Vậy t = 502T + = s. 12 5 12 60 Câu 62: Chọn B. Hướng dẫn: Khi t = 0,
x 0 4 3 cm Ứng với điểm v 0 0
ta có:
M0 trên vòng tròn. 2
M2
M1
-8
8
v 4 3 cm ω
Ta có: x A 2
M’2 Vì v < 0 nên vật qua M1 và M2. Qua lần thứ 2010 thì phải quay 1004 vòng rồi đi từ M0 đến M2. Góc quét = 1004.2 + t = 1004,5 s. Câu 63: Chọn B. Hướng dẫn: Nhận thấy, vật đạt vmax tại vị trí cân bằng và vmin tại vị trí biên. Theo giả thuyết bài toán, vật qua vị trí cân bằng và vận tốc của vật bằng 0 lần O Trang 140
x
O M0
T 4
x A
đầu tiên ứng với thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí biên ở thời điểm t T . 4 Câu 64: Chọn B. Hướng dẫn: Cơ năng của một vật dao động điều hòa = động năng cực đại = bằng động năng của vật khi vật tới vị trí cân bằng. Câu 65: Chọn B. Hướng dẫn: π π π Ta có: v = x’ = - 40sin(10t - ) = 40cos(10t + ) = 20 3 . 3 2 3
π π π π 3 )= = cos(± ). Vì v đang tăng nên: 10t + = - + 2k. 3 6 6 6 2 1 Suy ra: t = + 0,2k. Với k Z. Nghiệm dương nhỏ nhất (ứng với k = 1) trong 30 1 họ nghiệm này là t = s. 6 Câu 66: Chọn B. Hướng dẫn: Trong quá trình dao động điều hòa, vận tốc có độ lớn càng nhỏ khi càng gần vị trí biên, nên trong 1 chu kì vật có vận tốc không vượt quá 1 2T 20 3 cm/s là thì trong chu kỳ kể từ vị trí biên vật có vận tốc không vượt 4 3 T quá 20 3 cm/s là . 6 cos(10t +
π T kể từ vị trí biên vật có |x| = Acos = 5 cm = 3 6 2π = 4 rad/s. Suy ra : T = = 0,5 s. ω
Sau khoảng thời gian
v A x2 2
W = Wđ + Wt Câu 67: Chọn B. Hướng dẫn: Từ công thức 3 Wđ = 4 Wt
1 2 3 1 2 1 2 A 6 kA = . kA + kx . Suy ra x = = = 3 cm 2 4 2 2 2 2 Câu 68: Chọn B. M Hướng dẫn: Tại thời điểm ban đầu t = 0 vật 3 α có li độ x 1 cm. 2 3 Xét trên đường tròn lượng giác đối với O 2 2π phương trình x' 3cos 5πt ta 3 ta có
Trang 141
x
thấy chất điểm như trên hình vẽ x’ = và vận tốc v > 0. Khi vật có li độ x = 1 thì chất điểm biểu diễn trên đường tròn ở vị trí cân bằng x’ = 0 chu kỳ dao động của vật T = 0,4s . nên trong thời gian 1s M đi được 2 chu kỳ và
1 chu kỳ. 2 Vậy tổng số lần đi qua vị trí x = + 1 cm là 5 lần. Câu 69: Chọn A. Hướng dẫn: Thay t 0 vào x Acost ta được : x +A Câu 70: Chọn C. Hướng dẫn:
π x 0 3cos 2π.0 3 1,5 cm Ta có: v x ' 6π sin 2π.0 π 3 3π cm/s 0 0 3 Vật đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox. Câu 71: Chọn D. Hướng dẫn:
π x 0 4 cos 17.0 3 2 cm Ta có: x x ' 4.17 sin 17.0 π 34 3 cm/s 0 0 3 Câu 72: Chọn D. Hướng dẫn: Ta có:
T 2 0, 025 T 2.0, 025 0, 05 10 l A A 2 0,05 m 2 2π 2π v max ωA A .0,05 2π m/s 2 . T 0,05 Câu 73: Chọn A. Hướng dẫn: Tại thời điểm t ta có : x A cos ωt φ và
v x' ωA sin ωt φ . Suy ra: A 2 x 2 v12 ω2 v 22 2 2 Khi t = t2 thì : A x 2 2 ω Khi t = t1 thì: A 2 x12
(1) (2)
Từ (1) và (2) ta được: Trang 142
v2 ω2
x12
v12 v 22 v 22 v12 102 202 2 2 x ω 2 100 ω 10 rad/s. 2 ω2 ω2 x12 x 22 1 22
Chu kỳ: T
2π 2π 2π 1 0, 625 s. Tần số: f 1,59 Hz. ω 10 ω T 2
Biên
độ:
v12 20 A x 2 12 5 cm. ω 10 2 1
Vận
tốc
cực
đại:
v max Aω 10 5 cm/s. Câu 74: Chọn A. Hướng dẫn: Ta có: 2πf π rad/s và A 4 cm.
π 0 cos 2 , chọn φ Khi: t 0 : x0 0, v0 > 0 : 2 v0 A sin 0 sin 0
π x 4 cos 2πt cm. 2 Câu 75: Chọn B. Hướng dẫn: Vẽ vòng lượng giác so sánh thời gian đề cho với chu kì T sẽ xác định được vị trí ban đầu của vật ở thời điểm t = 0 và thời điểm
1 sau s. 24 Ta có: T
M1
-A O
A
1 1 = 0,25 s t f 24
M2
suy ra vật chưa quay hết được một vòng Dễ dàng suy ra góc quay: = 2 = t =
8 . 24 3
Vì đề cho x = 3cm => góc quay ban đầu là = –
. 6
Câu 76: Chọn A. Hướng dẫn: Từ phương trình x 2cos(2πt –
) cm v - 4πsin(2πt – ) cm/s. 6 6
Thay t 0,25 s vào phương trình x và v, ta được : x 1 cm, v ±2 3 cm/s. Câu 77: Chọn D. Hướng dẫn: Áp dụng : v max A và a max 2A. Trang 143
Câu 78: Chọn D.Hướng dẫn: Ở thời điểm t: x1 = 5 cm, v < 0
t
T π : α x 2 5 cm. 6 3
Câu 79: Chọn B. Hướng dẫn: Ở thời điểm t1 : x1 = 6cm, v > 0
-10
T T = 1s 0,25s = 4 ở thời điểm t2 = t1 + 0,25s : = 1 + 2 =
2
sin1 = cos2 x2 = 8 cm. Câu 80: Chọn D. Hướng dẫn: Với chất điểm M : v = R = A => = 3 rad/s (A = 25 cm) Với M’ : x = 25cos( 3t +
-5
O
5
x 10
2 O -10
x
6 8 10
1
). 2
+ ở thời điểm t = 8 s x = 22,64 cm và v < 0. Câu 81: Chọn A. Hướng dẫn: Tại thời điểm t1 : amin = – 202 cm/s2
cos(πt
khi
5 5π ) 1 t1 = s và v = 0. 6 6 T/8
t1 -vmax
t1
t2
0
-vm 2
vm
2
Ở thời điểm t2 : v = 10π 2 = vmax
2 2
v
2 T kT T T kT t1 = và t2 = 2 8 2 4 8 2
Giá trị lớn nhất của t1 ứng với t2
5 T T kT 2013T k < 4024,4 kmax = 4024 t2 = 6 4 8 2 T T T 4024 40245, 75 s. 4 8 2 t2
Câu 82: Chọn D. Hướng dẫn:
Biểu thức vận tốc: v x ' 120sin 20t
cm/s. 2
Trang 144
Khi t
5 s : v x ' 120sin 20 120sin 60 cm/s. 6 15 15 2
v 0 chuyển động theo chiều âm quĩ đạo. Biểu thức gia tốc:
a v ' 2400 cos 20t cm/s 2 24 cos 20t m/s 2 . 2 2 Khi t
5 12 3m/s 2 . s : a 24 cos 20. 24 cos 6 15 15 2
Câu 83: Chọn A. Hướng dẫn: Giả sử phương trình dao động của vật có dạng x =
2 t cm. T 2 x1 = Acos t1 (cm). T 2 2 T 2 2 x2 = Acos t2 = Acos (t1+ ) = Acos( t1 + ) (cm) = – Asin t1 T T 4 T 2 T 2 2 2 2 v2 = x’2 = – Asin( t1 + ) = – Acos t1 = 4 cm/s. T T 2 T T Acos
Câu 84: Chọn A. Hướng dẫn: Cách giải 1:
1 k 4 t k2 t kN 6 3 24 2 x 2 4t k2 t 1 k k N* 8 2 6 3 Vật qua lần thứ 2011(lẻ) ứng với nghiệm trên 2011 1 k 1005 2 t
1 12061 502,5 s. 24 24
M1 M0 -A
Cách giải 2: Vật qua x = 2 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2 là 2 lần. Qua lần thứ 2011 thì phải quay 1005 vòng rồi đi từ M0 đến M1. Góc quét φ 1005.2
1 12061 t 502,5 s . 6 24 24
Câu 85: Chọn A. Hướng dẫn: g – k Trang 145
x
O A
M2
Cách giải 1: Ta có v = –16sin(2t –
π ) = – 8 6
1 2t 6 6 k2 t 6 k kN 2t 5 k2 t 1 k 2 6 6
4 3
4 3
Thời điểm thứ 2012 ứng với nghiệm
k
2014 1 1 1006 t 1006 1006,5 s. 2 2
Cách giải 2: 2
v Ta có x A 4 3 cm. .Vì v < 0 2
nên vật qua M1 và M2; Qua lần thứ 2014 thì phải quay 1006 vòng rồi đi từ M0 đến M2. Góc quét = 1006.2 + t = 1006,5 s . Câu 86: Chọn D. Hướng dẫn: Giả sử tại thời điểm t0 = 0;, t1 và t2 chất điểm ở các vị trí M0; M1 và M2; từ thời điểm t1 đến t2 chất điểm CĐ theo chiều dương. M0 O Chất điểm có vận tốc bằng 0 tại các vị trí M1 M2 biên. Chu kì T = 2(t2 – t1 ) = 1,5 s. vtb = 16 cm/s. Suy ra M1M2 = 2A = vtb (t2 – t1) = 12 cm. Do đó A = 6 cm. Từ t0 = 0 đến t1: t1 = 1,5 s + 0,25 s = T +
T . 6
Vì vậy khi chất điểm ở M0, chất điểm CĐ theo chiều âm, đến vị trí biên âm, trong t =
T A đi được quãng đường . 6 2
Do vậy tọa độ chất điểm ơt thời điểm t = 0 là x0 = –
A = – 3 cm. 2
Câu 87: Chọn D. Hướng dẫn: Vật dao động hòa quanh vị trí x = 1cm Ta có:
Δt 1 5 T 5 t 2,5T 2T . T 2 2 2
Trang 146
1 x cm Ở thời điểm t = 0 2 v 0 Trong 2 chu kì vật qua vị trí x = 1cm được 4 lần( mỗi chu kì qua 2 lần) Trong nửa chu kì tiếp theo vật qua x = 1cm thêm 1 lần nữa. Câu 88: Chọn B. Hướng dẫn: Cách giải 1:
1 2 2 2 1 m A sin (2t ) m2 A 2 cos 2 (2t ) 2 3 2 3 2 2 cos(4t ) 0 4t k 3 3 2 7 k t k [ 1;) 24 4
Wđ = Wt
Thời điểm thứ nhất ứng với k = – 1 t
1 s. 24
Cách giải 2: Wđ = Wt Wt
1 A W x= 2 2
có 4 vị trí M1, M2, M3, M4 trên đường tròn. Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí Wđ = Wt ứng với vật đi từ M0 đến M4 . Góc quét:
1 t s. 3 4 12 24
Câu 89: Chọn B. Hướng dẫn: Hai chất điểm gặp nhau: x1 = x2. Có hai nghiệm:
1 1 k k (k = 0; 1; ...), t 2 (k = 0; 1; ...). 4 36 3 1 k 12073 Gặp nhau lần thứ 2013: t 2 s. với k = 1006. Tính được t 36 3 36 Câu 90: Chọn B. Hướng dẫn: t1
vmax = ωA= 3 m/s, amax = ω2A= 30π m/s2 ω = 10π T = 0,2 s. Khi t = 0 v = 1,5 m/s =
v max W . Wđ = 2 4 Trang 147
Tức là tế năng Wt =
3W 4
kx 02 3 kA 2 A 3 x0 . 2 4 2 2
O
A
Do thế năng đang tăng, vật chuyển động theo chiều dương nên vị trí ban đầu x0 = ở M0 góc φ =
A 3 . Vật 2
M0
M
6
a max A x = ± . Do a > 0 vật chuyển động nhanh dần về 2 2 3T VTCB nên vật ở điểm M ứng với thời điểm t = = 0,15s ( Góc M ). 0 OM 4 2 Thời điểm a = 15 m/s2 =
Câu 91: Chọn C. Hướng dẫn: Tại t 0 : x0 A, v0 0 : Trên đường tròn ứng với vị trí M. Tại t : x -
A : Trên đường tròn ứng với vị trí N. 2
N x0 M x A
A
x
O
Vật đi ngược chiều + quay được góc Δφ 1200
2 2 T . Tại t T . T= 2 3.2 3 3 Câu 92: Chọn B. Hướng dẫn: Tiến hành theo các bước ta có : Vật dao động điều hòa từ x1 đến x2 theo chiều dương tương ứng vật CĐTĐ từ M đến N. Trong thời gian t vật quay được góc Δφ 1200
2 3
A
x1
2 1
x2
A x
O
M
N
2 T 1 1 Vậy : t T T= s. 2 3.2 3 4.3 12 Câu 93: Chọn B. Hướng dẫn: Theo giả thuyết, cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất t nhất định thì vật lại có li độ cách vị trí cân bằng như cũ.
Trang 148
t 2t1 2t 2 x1 A cos t 2 Khi đó: (1). Nếu ta chọn x1 có dạng (2) T t1 t 2 x1 A sin t1 4 T A 2 , thay vào (2) suy ra: x1 8 2 Câu 94: Chọn A. Hướng dẫn: Từ (1) ta có: t1 t 2
Bấm máy tính: t1
1
arcsin
.
3,5 x1 1 = 0,0357571 s. arcsin A 10 10
Câu 95: Chọn C. Hướng dẫn: Bấm máy tính: x 1 2t 2.0,1 t1 arccos 1 T 0, 51s x A 1, 2309 arccos A Câu 96: Chọn A. Hướng dẫn: T/12
T/12
-A/2 T/12
A/2
T/12
x1 0 A x1 0 x 2 T T 2 t 4t Ta có : A 12 3 x 2 2 Câu 97: Chọn D. Hướng dẫn:
A 2
T/8
T/8
T/8
+A 2 T/8
x1 0 A 2 x1 0 x 2 T T 2 Ta có : A 2 t 8 4t 2 x 2 2
Trang 149
Câu 98: Chọn C. Hướng dẫn:
0,5A 3
T/6
T/6
0,5A 3
T/6
T/6
x1 0 A 3 x1 0 x 2 T 2T 2 Ta có : A 3 t 6 4t 3 x 2 2 Câu 99: Chọn A. Hướng dẫn: T/12
T/12
0,5A 3
-A
O
+A
0,5A 3
T/12
T/12
v1 0 x1 A 2 v v max A 3 v2 x2 A 1 Ta có : 2 2 v max x1 A x 2
A 3
2
T T T T t 4t . 4 6 12 3
Câu 100: Chọn D. Hướng dẫn: T/8 -A
A 2
T/8 O
T/8
A 2
+A
T/8
Ta
có :
v1 0 x1 A A x1 A x 2 T T T T 2 T/6 t T/6 4t 101: . Chọn B. v max A 4 8 8 2Hướng dẫn: v2 2 x 2 2 +A
Câu
-A
-A/2 T/6
+A/2 Trang 150 O T/6
Ta có :
a1 a max x1 A A x1 A x 2 T T T 2T 2 t 4t . a max 1 2 A 4 2 6 3 a 2 2 2 A x 2 2 Câu 102: Chọn D. Hướng dẫn: Ta có :
a1 a max x1 A A x1 A x 2 T T T T 2 t 4t . a max 1 2 A 4 8 8 2 a 2 2 2 A x 2 2 Câu 103: Chọn A. Hướng dẫn: Cách giải 1: Chu kỳ T
2 0,5s . Do đó thời gian đi được là 0,25 s bằng 1 nửa
chu kỳ nên quãng đường tương ứng là 2A. Quãng đường S = 2A = 2.4 = 8 cm (một nửa chu kỳ: m = 1). Cách giải 2: Từ phương trình li độ, ta có phương trình vận tốc :
v 16 sin 4t cm/s. 3 Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đã cho là: t2
0,25
t1
0
S ds
16 sin 4t dt. 3
Với máy tính Fx570ES : Bấm: SHIFT MODE 1 Bấm: SHIFT MODE 4 Bấm
, bấm: SHIFT hyp Dùng hàm trị tuyệt đối (Abs).Với biểu thức trong
dấu tích phân là phương trình vận tốc, cận trên là thời gian cuối, cận dưới là thời gian đầu,.biến t là x, ta được :
Trang 151
0,25
0
16 sin 4t dx Bấm = chờ khá lâu... màn hình hiển thị: 8 => Quãng 3
đường S = 8 cm.
Câu 104: Chọn C. Hướng dẫn: Vận tốc v 4 sin 2t
cm/s. 2
2,875 2 5, 75 5 (chỉ 1 s . Số bán chu kì: m Chu kì dao động T 1 2 lấy phần nguyên). Quãng đường trong 5 bán chu kỳ: S1' 2mA 2.5.2 20 cm.
Quãng đường vật đi được trong t’ : S'2 t
Với t1
mT t1 2
t2 .
mT 5 0 2,5 s. 2 2 t2
Ta có: S ' 2
t1
2,875
ds
mT 2
2,5
4 sin 2t dt. 2
Với máy tính Fx570ES : Bấm: SHIFT MODE 1 Bấm: SHIFT MODE 4 2,875
Nhập máy:
2,5
4 sin 2t dt = Chờ vài phút ...màn hình hiển thị: 2
2,585786438 = 2,6 Quãng đường S = 2mA + S’2 = 20 + 2,6 = 22,6 cm.
Câu 105: Chọn A. Hướng dẫn: Vận tốc v 8 sin 4t động : T
2 1 s. 2
Trang 152
cm/s. Chu kì dao 3
1 2 12 23 7 Số bán chu kì vật thực hiện được: m 1 3 4 1 2 12 23 m 7 (lấy phần nguyên) 1 3 4
Quãng đường vật đi được trong m nửa chu kỳ: S1' t1 t mT 2mA 28 cm. 1
2
Quãng đường vật đi được trong t’ : S'2 t mT t 2 . t
Với t1
1
mT 1 7 11 s. Ta có: S'2 2 12 4 6
2
t2
t1
2
ds
mT 2
8 sin 4t 3 dt.
11 6
Với máy tính Fx570ES : Bấm: SHIFT MODE 1 Bấm: SHIFT MODE 4 2
Nhập máy tinh Fx570ES:
8 sin 4t 3 dt =
Chờ vài giây ...màn hình hiển
11 6
thị : 3 Quãng đường S = S’1+ S’2 = 2mA + S’2 = 28 + 3 = 31 cm. Câu 106: Chọn C. Hướng dẫn: Ta có chu kỳ: T Phân tích: t 1,1 s nT t ' 5.0, 2 gian: nT +
2 T 0, 2 s 0,1 s. 2
0, 2 . Quãng đường đi được trong thời 2
T là: S1 = n.4A+ 2A. 2
Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44 cm. T 11T Lưu ý: Vì : t 5T S2 11.2A 22A nên ta không cần xét lúc 2 2 t = 0 để tìm x0 và dấu của v0 :
x 2 cos 10t cm v 20 cos 10t cm/s . 3 3 Trang 153
x 2 cos 3 x 1 cm Tại t = 0 : v 20 cos v 0 3 Vật bắt đầu đi từ vị trí x0 = 1cm theo chiều dương. Câu 107: Chọn C. Hướng dẫn: Cách giải 1: Chu kì dao động : T =
2 2 = = s 50 25
x 0 0 Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương. v0 0
tại t = 0 :
Tại thời điểm t =
x 6cm s: . Vật đi qua vị trí có x = 6 cm theo chiều dương. 12 v 0
t t 0 t .25 1 = = =2+ 12 T T 12. T Thời gian vật dao động là: t = 2T + = 2T + s. 12 300 Quãng đường tổng cộng vật đi được là : St = SnT + SΔt Với : S2T = 4A.2 = 4.12.2 = 96 m.
Số chu kì dao động : N =
v1v 2 0 Vì T SΔt = x x 0 = 6 - 0 = 6 cm t < 2
B
x
x0
B
x
O
- Vậy : St = SnT + SΔt = 96 + 6 = 102 cm. Cách giải 2: Ứng dụng mối liên hệ giữa CĐTĐ và DĐĐH x 0 0 Vật bắt đầu dao động từ v0 0
Tại t = 0 :
B
VTCB theo chiều dương Số chu kì dao động : t t 0 t .25 1 N= = = =2+ 12 T T 12. T 2 2 t = 2T + = 2T + s. Với : T = = = s 12 300 50 25
x
x0 O
6
T ) = 2π.2 + 12 6 Vậy vật quay được 2 vòng +góc π/6 quãng đường vật đi được là : Góc quay được trong khoảng thời gian t : α = t = (2T +
Trang 154
B x
St = 4A.2 +
A = 102 cm. 2
Câu 108: Chọn D. Hướng dẫn: Vật xuất phát từ M (theo chiều âm).
13 13 = .20 = 2.2π + . 3 60 60 Trong Δφ1 = 2.2π thì s1 = 2.4A = 48 cm, (quay 2 vòng quanh M) Góc quét Δφ = Δt.ω =
Trong Δφ2 = vật đi từ M →N thì 3
N
M 60
0
s2 = 3 + 3 = 6 cm. Vậy s = s1 + s2 = 48 + 6 = 54 cm. Câu 109: Chọn B. Hướng dẫn: Lập luận như trên ta có :
-6
600
-3
3
6
2 T Smax 2Asin 2Asin 2 A. T 4 2 4 2 Câu 110: Chọn B. Hướng dẫn: Trong một chu kỳ : - Δφ Δt
s = 4A = 10 cm => v tb
S S 10 50 cm/s. t T 0, 2
Câu 111: Chọn C. Hướng dẫn: Khi Wt = 3Wđ x
A 3 khoảng thời gian thế 2
năng không vượt quá ba lần động năng trong một nửa chu kỳ là là khoảng thời gian
T A 3 A 3 A 3 . Dựa vào VTLG ta có: t S A 3. 3 2 2 2 S 2 Vận tốc: v A 100T v max A. 100T. 200 cm/s 2π m/s. t T x
Câu 112: Chọn B. Hướng dẫn: Gọi A là biên độ của dao động: W =
mv 2 mω2 x 2 Khi vật ở li độ x vật có Wđ = và Wt = 2 2 2 2 2 2 m A mω S Wđ1 = – = 1,8 J (1) 2 2 mω2 A 2 mω2S2 Wđ2 = –4 = 1,5 J (2) 2 2
Trang 155
mω2 A 2 . 2
mω2S2 mω2S2 = 0,3 J => = 0,1 J (3) 2 2 mω2 A 2 mω2S2 mω2S2 Wđ3 = –9 = Wđ1 – 8 = 1 J. 2 2 2 Lấy (1) – (2) suy ra 3
Câu 113: Chọn B. Hướng dẫn: Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều. Biên độ của vận tốc là Vmax =A. Trong một chu kỳ, vận tốc có giá trị biến thiên từ: v1 = 2π 3 cm/s đến v2 = 2π cm/s ứng với góc quét là: 2 1 2
1 2
T . 2
V2
V1
VMax
V
Suy ra
1 2 2 cos 1 sin 2
v 2max 2 3
2
v max
2 Kết quả = 2 rad/s và f = 1 Hz. v max
Câu 114: Chọn B. Hướng dẫn: Ở thời điểm ban đầu vật qua vị trí cân bằng theo
x 0 0 v 0 A
chiều dương nên t 0
v
Đến thời điểm t1 vật chưa đổi chiều chuyển động, nên vật tiếp tục đi ra biên dương
-V0
-2 3
2
V 0
v12 3 A 2 2 v 0 A x1 2 x1 v1 2 2 t A T 1 T 4 s. 0 2 12 3 Đến thời điểm t2 vật đi được 6 cm, ta có:
t2 5 / 3 5 1 1 T T t2 T 4 12 4 6 4 6
T vật đi từ vị trí cân bằng ra biên dương (S1 = A). 4 T A A Trong vật từ biên dương trở về đến vị trí x (S2 ) 6 2 2 Trong
Trang 156
Quãng đường vật đi từ lúc đầu đến thời điểm t2 S A Vận tốc ban đầu v 0 v max A
A 6 cm A 4 cm. 2
2 A 2π cm/s. T
Câu 115: Chọn C. Hướng dẫn: Khi 2 vật gặp nhau : 2cos4t = 2 3 cos(4t + cos4t =
3 (cos4t.
tan4t =
) 6
3 3 1 1 – sin4t. ) sin4t = cos4t 2 2 2 2
1 1 k 4t = + k t = 6 24 4 3
Chọn 0 < t < 2,013 0 <
1 k < 2,013 – 0,17 < k < 7,9 k = 0, 1,…, 7 24 4
có 8 lần gặp nhau. Câu 116: Chọn B. Hướng dẫn:
t1 0 x 0 A T T 0 t1 T 6 s t 2 2T A 2 12 12 t 2 0,5 S 4 2 x1 A T Sau 2T vật lại trở về VTCB và đi được quãng đường với . Do đó S = 68 cm. 2 12 Câu 117: Chọn C. Hướng dẫn: T/12
T/12 -A
-10
0
A 3
x A
2
3 và v > 0 ; T = 1,2 s. Thời gian từ t = 0 đến khi vật qua VT 2 T T x = – 10 cm theo chiều âm lần 1 là: t0 = 2. + . 12 4 Khi t = 0 x = A
Trong 1 chu kỳ vật qua vị trí x = – 10 cm theo chiều âm 1 lần. Thời gian kể từ lúc t = 0 đến lúc vật qua li độ –10 cm theo chiều âm lần thứ 2013: t = 2012T + t0 Trang 157
Lực hồi phục sinh công âm khi vật chuyển động từ VTCB ra biên (lực cản) Trong 1 chu kỳ thời gian lực hồi phục sinh công âm là sinh công âm là : = 2012.
T T + 2. = 1207,4 s. 2 12
Trang 158
T . Thời gian lực hồi phục 2
CHỦ ĐỀ 2
CON LẮC LÒ XO A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cấu tạo con lắc lò xo a. Nằm ngang : k
m
b. Thẳng đứng :
k
m
c. Trên mặt phẳng nghiêng :
m
m k
k
k
m
k
m
2. Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản, bỏ qua khối lượng của lò xo (coi lò xo rất nhẹ), xét trong giới hạn đàn hồi của lò xo. Thường thì vật nặng được coi là chất điểm. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề 1: Dạng bài toán tính biên độ, chu kì, tần số, độ cứng và khối lượng của con lắc lò xo dao động đều hòa - Tần số góc: ω = - Chu kỳ: T
k m
t 2π m 2π N ω k
- Con lắc lò xo thẳng đứng: T = 2π
Δl g
- Con lắc lò xo treo ở mặt phẳng nghiêng: T = 2π
Trang 158
Δl gsinα
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1 (THPT Chuyên SP Hà Nội lần 3 – 2016): Dụng cụ đo khối lượng trong một con tàu vũ trụ có cấu tạo gồm một chiếc ghế có khối lượng m được gắn vào đầu một chiếc lò xo có độ cứng k = 480 N/m. Để đo khối lượng của nha du hành thì nhà du hành phải ngồi vào ghế rồi cho chiếc ghế dao động. Chu kì dao động của ghế khi không có người là T0 = 1,0 s; còn khi có nhà du hành ngồi vào ghế là T = 2,5 s. Khối lượng nhà du hành là A. 75 kg. B. 60 kg. C. 72 kg. D. 64 kg. Hướng dẫn giải: T' m' m ' 6, 25m T m Ta có: m m ' m 64kg. m T 2 m 12kg k Chọn đáp án D Câu 2: Một con lắc lò xo có biên độ dao động 5 cm, có vận tốc cực đại 1 m/s và có cơ năng 1 J. Tính độ cứng của lò xo, khối lượng của vật nặng và tần số dao động của con lắc. Hướng dẫn giải: Từ công thức tính cơ năng: W = 1 kA2 . 2 2W Độ cứng lò xo: k = 2 = 800 N/m. A
1 2W mv 2max m = 2 = 2 kg. 2 v max ω k Tần số: ω = = 20 rad/s. Suy ra: f = = 3,2 Hz. 2π m Khối lượng lò xo: W =
Câu 3: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 40 cm. Khi ở vị trí x = 10 cm vật có vận tốc 20π 3 cm/s. Chu kì dao động của vật là: A. 1s B. 0,5 C. 0,1s D. 5s Hướng dẫn giải: L 40 Biên độ dao động: A 20 cm. 2 2 Từ công thức độc lập với thời gian:
v 2 ω2 A 2 x 2 ω Suy ra: T
v A x 2
2
20π 3 202 102
2π rad/s .
2π 2π 1 s. ω 2π
Chọn đáp án A Trang 159
Câu 4: Một con lắc lò xo gồm quả cầu khối lượng 100 g gắn vào lò xo khối lượng không đáng kể có độ cứng 50 N/m và có độ dài tự nhiên 12 cm. Con lắc được đặt trên mặt phẵng nghiêng một góc so với mặt phẵng ngang khi đó lò xo dài 11 cm. Bỏ qua ma sát. Lấy g = 10 m/s2. Tính góc . Hướng dẫn giải: l
l0
l F ñh
P'
P
Ta có: l0 = l0 – l = 1 cm = 0,01 m Theo hình vẽ ta có: Psin = Fđh => mgsin = kl => sin α
kl 50.0, 01 1 mg 0,1.10 2
Suy ra: = 300. Chọn đáp án A Câu 5: Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m và lò xo có độ cứng k, dao động điều hoà. Nếu giảm độ cứng k đi 2 lần và tăng khối lượng m lên 8 lần, thì tần số dao động của con lắc sẽ: A. tăng 4 lần. B. giảm 2 lần. C. tăng 2 lần. D. giảm 4 lần. Hướng dẫn giải:
k k 1 k ω k Từ công thức ω ta có: ω' 2 . 8m 16m 4 m 4 m ω ω' ω f Suy ra: f ' 4 . 2π 2π 4.2π 4 Chọn đáp án D Câu 6: Gọi M, N, I là các điểm trên một lò xo nhẹ, được treo thẳng đứng ở điểm O cố định. Khi lò xo có chiều dài tự nhiên thì OM = MN = NI = 10cm. Gắn vật nhỏ vào đầu dưới I của lò xo và kích thích để vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Trong quá trình dao động, tỉ số độ lớn lực kéo lớn nhất và độ lớn lực kéo nhỏ nhất tác dụng lên O bằng 3; lò xo giãn đều; khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm M và N là 12 cm. Lấy 2 = 10. Vật dao động với tần số là A. 2,9 Hz. B. 3,5 Hz. C. 1,7 Hz. D. 2,5 Hz. Hướng dẫn giải: Gọi độ giãn lò xo ở VTCB là l0 . Biên độ dao động vật là A, khi đó có: Trang 160
Fmax k(A l0 ) F max 3 2A l0 Fmin Fmin k(l0 A) Mà MN cách nhau xa nhất khi lò xo giãn nhiều nhất khi: OI l0 A l0 3MN 36 cm A 6 cm . g 1 π2 Suy ra: f 1 2,5 Hz . 2π l0 2π 4.102
Chọn đáp án D Câu 7: Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ va vật nhỏ khối lượng 100g đang dao động điều hòa theo phương ngang, mốc tính thế năng tại vị trí can bằng. Từ thời điểm
t1 0 đến t 2
s , động năng của con lắc tăng từ 0,096 J đến gia trị cực đại rồi 48
giảm về 0,064 J. Ở thời điểm t2, thế năng của con lắc bằng 0,064 J. Biên độ dao động của con lắc la A. 5,7 cm. B. 7,0 cm. C. 8,0 cm. D. 3,6 cm. Hướng dẫn giải: Ở thời điểm t2 ta thấy, con lắc có động năng là 0,064 J và thế năng là 0,064 J. Suy ra cơ năng của con lắc là: 0,064 + 0,064 = 0,128J.
1 m2 A 2 0,128J (1) 2 Tại thời điểm t1 = 0, ta có Wđ 0, 096J suy ra Wt 0,128 0, 096 0, 032J. Cơ năng: W
2
Wt x Wt A , nên x1 . x A 2 W A W A . s ta có Wt 0, 064J , nên x 2 Tại thời điểm t 2 48 2 Mà
Theo bài ra, từ thời điểm t1 đến thời điểm t2, động năng của con lắc tăng đến giá trị cực đại rồi giảm, tức la thế năng của con lắc giảm đến 0 rồi tăng, tương ứng với vật A A đi từ vị tri có li độ x1 , qua vị trí cân bằng, rồi đến x 2 hoặc ngược 2 2 lại. Cả hai trường hợp đều cho ta góc quét được trên đường tròn là thời gian
5T 5T 20rad/s. . Vậy ta có: 24 48 24
5 , ứng với 12
Thay vào (1), ta được A = 8cm. Chọn đáp án C Câu 8: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 4 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ T hơn 500 2 cm/s2 là . Lấy π2 = 10. Xác định tần số dao động của vật. 2 Trang 161
Hướng dẫn giải: Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí biên. Trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn T gia tốc không nhỏ hơn 500 2 cm/s2 là thì trong một phần tư chu kì tính từ vị trí 2 biên, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500 2 cm/s2 là T . Sau khoảng thời gian T kể từ vị trí biên vật có 8 8 |x| = Acos
π A = = 2 2 cm. 4 2
Khi đó |a| = 2|x| = 500 2 cm/s2 =
ω |a| = 5 10 = 5 f = = 2,5 Hz. 2π |x|
Câu 9: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Tốc độ trung bình của chất điểm tương ứng với khoảng thời gian thế năng không vượt quá 3 lần động năng trong một nửa chu kỳ là 300 3 cm/s. Tốc độ cực đại của dao động là A. 400 cm/s. B. 200 cm/s. C. 2π m/s. D. 4π m/s. Hướng dẫn giải: A 3 Khi Wt = 3Wđ x . 2 Quãng đường vật đi được khi thế năng α không vượt quá ba lần động năng trong A A O A 3 một nửa chu kỳ là x . A 3 A 3 x 2 2 2 α T Dựa vào VTLG ta có: t . 3 Quãng đường vật đi được trong thời gian A 3 A 3 t : St A 3 2 2 S A 3 3A 3 Vận tốc của vật khi đó: v Δt Δt 300 3 A 100T. T Δt T 3 Tốc độ cực đại của dao động là: v max A.ω 100T.
2π 200π cm/s 2π m/s. T
Chọn đáp án C Câu 10: Một con lắc lò xo vật nhỏ có khối lượng 50 g. Con lắc dao động điều hòa trên trục nằm ngang với phương trình x = Acost. cứ sau những khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau. Lấy 2 = 10 m/s2. Lò xo của con lắc có độ cứng bằng: A. 40 N/m B. 45 N/m C. 50 N/m D. 55 N/m Trang 162
Hướng dẫn giải:
M
-A
T 8
T 8
O
A 2 2
N A 2 2
A x
T T T vật sẽ đi đến vị trí 8 8 4 mà có động năng bằng thế năng, hai vị trí tương ứng là M, N và có li
Theo hình vẽ thì cứ sau những khoảng thời gian Δt
tương ứng là x
T A 2 . Vậy = 0,05s T = 0,2 s. 4 2
Suy ra:
2π k k 2π ω T m m T
2
2
2
2π 2π k m. 0,05. 50 N/m. T 0,2
Chọn đáp án C Câu 11 (ĐH khối A, 2008): Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20 N/m và viên bi có khối lượng 0,2 kg dao động điều hòa. Tại thời điểm t, vận tốc và gia tốc của viên bi lần lượt là 20 cm/s và 2 3 m/s2. Biên độ dao động của viên bi là C. 4 3 cm. Hướng dẫn giải: Từ hệ thức độc lập với thời gian ta có: A. 16cm.
A
x2 +
B. 4 cm.
v2 ω2
a2 v2 + ω4 ω2
D. 10 3 cm.
m2a 2 mv 2 + k2 k
0, 04.12 0, 2.0, 04 + 0, 04 m. 400 20
Chọn đáp án B Câu 12 (ĐH Khối A - A1, 2012): Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m và vật nhỏ khối lượng m. Con lắc dao động điều hòa theo phương ngang với chu kì T. Biết ở thời điểm t vật có li độ 5 cm, ở thời điểm t cm/s. Giá trị của m bằng: A. 0,5 kg B. 1,2 kg
C.0,8 kg Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Phương pháp đại số Trang 163
T vật có tốc độ 50 4
D.1,0 kg
Giả sử phương trình dao động của vật x Acos
2π t (cm). Khi đó phương trình T
2π 2π Asin t (cm/s). T T 2π 2π 5 Khi x Acos t 5 cos t . (1) T T A T Tại thời gian t thì: 4 2π 2π T 2π π 2π 2π 2π v Asin t Asin t Acos t. T T 4 T 2 T T T vận tốc v
Từ (1) và (2) ta có:
2π 5 π m .A. 50 T 2π T A 5 k
m
(2)
k 1 kg. 100
Chọn đáp án D Cách giải 2: Dùng đường tròn lượng giác Từ hình vẽ ta nhận thấy thời điểm t đến t
Δφ
Mt T
T vật quét thêm một góc là 4
4
π . 2
x 5
T Ở thời điểm t ta có: 4 x OM
T t 4
-A
O
x
Mt
.sinβ Asinβ
A 2 52 A 2 52 A Hệ thức độc lập với thời gian: v2 v A2 x 2 2 ω ω A2 x 2
A
A
Suy ra: ω 10
50 A 2 A 2 52
10 rad/s.
m k m 1 kg. k 100
Chọn đáp án D Câu 13 (ĐH Khối A – A1, 2013): Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng 100g và lò xo có độ cứng 40 N/m được đặt trên mặt phẳng ngang không ma sát. Vật nhỏ đang nằm yên ở vị
Trang 164
m
F
trí cân bằng, tại t = 0, tác dụng lực F = 2 N lên vật nhỏ (hình vẽ) cho con lắc dao động điều hòa đến thời điểm t
s thì ngừng tác 3
dụng lực F. Dao động điều hòa của con lắc sau khi không còn lực F tác dụng có giá trị biên độ gần giá trị nào nhất sau đây? A. 9 cm. B. 11 cm. C. 5 cm. D. 7 cm. Hướng dẫn giải: k 40 Tần số góc: 20 rad / s O x m 0,1 O’ 2 + T s. 10 Tại thời điểm ban đầu vật m nằm tại vị trí cân bằng O (lò xo không biến dạng) Chia làm 2 quá trình: Khi chịu tác dụng của lực F: Vật sẽ dao động điều hoà xung quanh VTCB F 2 mới O’ cách VTCB cũ một đoạn OO ' 5 cm . Tại vị trí này vật có vận tốc k 40 cực đại. Theo định luật bảo toàn năng lượng: 1 1 1 1 2 F.OO ' kOO '2 mv max 2.0, 05 40.(0, 05) 2 0,1.v 2max 2 2 2 2 v max 1 m / s 100 cm/s. v Mà v max A A max 5 cm. 10T A T Đến thời điểm t = x 2,5cm . 3T 3 2 3 3 Và nó vận tốc: 2
3 A v A 2 x 2 A 2 A 18, 75 50 3cm / s 2 2 Sau khi ngừng tác dụng lực F: Vật lại dao động điều hoà quanh vị trí cân
v12 bằng O với biên độ dao động là A’ là A ' x 2 với x1 = 5 + 2,5 = 7,5 cm; 2 1
v1 A 2 x 2 18, 75 50 3cm / s . Suy ra: A ' 7,52 18, 75 5 3 8, 66cm Gần giá trị 9 cm nhất. Chọn đáp án D Câu 14: Lò xo nhẹ có độ cứng k, một đầu treo vào điểm cố định, đầu còn lại gắn với quả nặng có khối lượng m. Khi m ở vị trí cân bằng thì lò xo bị dãn một đoạn Δl. Kích thích cho quả nặng dao động điều hòa theo phương thẳng đứng xung quanh vị trí cân bằng của nó với chu kì T. Xét trong một chu kì dao động thì thời gian mà độ Trang 165
lớn gia tốc của quả nặng lớn hơn gia tốc rơi tự do g tại nơi treo con lắc là độ dao động A của quả nặng m là l A. . B. 2l . C. 2l . 2 Hướng dẫn giải: Theo giả thuyết ta có:
a ω2 x g x
2T . Biên 3
3l .
D.
mg l k
Vậy thời gian mà độ lớn gia tốc lớn hơn g là thời gian vật đi từ biên A đến Δl và ngược lại và từ l đến – A và ngược lại. Δφ Thời gian vật đi từ biên A đến Δl: Δt . Suy ω ra thời gian vật đi trong một chu kì: Δφ 2T ωT π t 4Δt 4 Δφ ω 3 6 3 Mặt khác ta có: π l cosΔφ cos A 2l 3 A
l0
g
l
F ñh
l
P
Chọn đáp án C Câu 15: Một con lắc lò xo nằm ngang, vật nhỏ có khối lượng m, dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật đang ở vị trí x
A , người ta thả nhẹ nhàng lên m một vật 2
có cùng khối lượng và hai vật dính chặt vào nhau. Biên độ dao động mới của con lắc? A.
A 3 2
B.
A 7 2
C.
A 2 2
D.
A 5 2
Hướng dẫn giải: Tại vị trí x, ta có:
v2 A 2 v2 (1) ω2 4 ω2 k với ω2 . Khi đặt thêm vật: m k ω ω' 2 . 2m 2 v2 A 2 v2 2 2 Tại vị trí x: A ' 2 x 2 ' 2 ω 4 ω A2 x 2
Trang 166
m x -A
(2)
O
A 2
A
(+)
Từ (1) suy ra
A' 2
v 2 3A 2 thay vào (2), ta được ω2 4
A2 3A 2 7A 2 A 2. A' 7. 4 4 4 2
Chọn đáp án B Câu 16: Một lò xo có độ cứng k = 20 N/m được treo thẳng đứng, vật nặng có khối lượng m = 100g được treo vào sợi dây không dãn và treo vào đầu dưới của lò xo. Lấy g = 10 m/s2. Để vật dao động điều hoà thì biên độ dao động của vật phải thoả mãn điều kiện: A. A 5 cm. B. A ≤ 5 cm. C. 5 ≤ A ≤ 10 cm. D. A 10 cm. Hướng dẫn giải: Ta bố trí hệ vật như hình vẽ. Ban đầu vật được treo ở B’ B giá B, khi treo hệ lò xo và vật vào dây treo l thì hệ có l điểm treo mới là B’. Điều kiện để vật dao động điều hòa là dây luôn bị F ñh căng. Suy ra: mg kl Vì vậy, biên độ của vật phải thỏa mãn: A ≤ l F ñh mg 0,1.10 0, 05 m 5 cm. Hay: A l P
k
20
P
Chọn đáp án B Câu 17: Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc lò xo giãn nhiều nhất thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo khi đó con lắc dao động với biên độ A’. Tính tỉ số A’/A? Hướng dẫn giải: Ta bố trí hệ như hình vẽ. Gọi l0 là độ dài tự nhiên của lò xo. l0 Vị trí cân bằng mới của con lắc lò xo là O’. Lò xo sau khi bị giữ cách điểm giữ một đoạn O l0 .
2
Do đó O’M = A’ = Suy ra: A’ =
l0 A l 0 A = . 2 2 2
- A’
O’
A’
A . 2
Câu 18: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc con lắc qua vị trí có động năng bằng thế năng và đang giãn thì người ta cố định Trang 167
một điểm chính giữa của lò xo, kết quả làm con lắc dao động điều hòa với biên độ A’. Hãy lập tỉ lệ giữa biên độ A và biên độ A’. Hướng dẫn giải: Theo giả thuyết: Wđ = Wt
A 2 kx 2 1 kA 2 = x= 2 2 2 2
Khi đó độ dài của lò xo (vật ở A’) l = l0 +
A 2 với l0 là độ dài tự nhiên của lò xo. 2
Vị trí cân bằng mới O’ cách điểm giữ một đoạn
l0 . 2
l0
Tọa độ của điểm A’ (so với VTCB mới O’):
A 2 A 2 l0 = . l0 4 2 2 1 kA 2 Tại A’ vật có động năng Wđ = . 2 2 x0 =
O
1 2
O’
- A’
A’
Con lắc lò xo mới có độ cứng k’ = 2k.
k'.A'2 k'.x 02 1 kA 2 kA 2 A2 A2 A2 2 2 Ta có: = + = + =3 . A’ = x 0 + 2 2 2k' 8 4 8 2 2 A 6 Suy ra: A’ = . 4 Câu 19: Một vật có khối lượng M = 250 g, đang cân bằng khi treo dưới một lò xo có độ cứng k = 50 N/m. Người ta đặt nhẹ nhàng lên vật M một vật có khối lượng m thì cả hai bắt đầu dao động điều hòa trên phương thẳng đứng và khi cách vị trí ban đầu 2 cm thì chúng có tốc độ 40 cm/s. Lấy g 10 m/s 2 . Khối lượng m bằng: A. 100 g. B. 150 g. C. 200 g. D. 250 g. Hướng dẫn giải: Ban đầu vật cân bằng ở O, lúc này lò xo giãn:
l
Mg 0,05 m 5 cm k
l0
O’ là VTCB của hệ (M+m):
l '
l
M m g
F ñh
k
Khi đặt vật m nhẹ nhàng lên M, biên độ dao động của hệ lúc này là:
A OO' l ' l
0,25 m .10 0, 05 m 50
5
(m). Trang 168
O
l l’
P
M
O’
F'ñh m M
P'
Trong quá trình dao động, bảo toàn cơ năng cho hai vị trí O và M:
1 2 1 1 2 kA M m v 2M k O'M 2 2 2 m 0,1 (với O'M A OM m ) 5 WO WM
2
1 1 m 1 m 0,1 Khi đó: .50. 0, 25 m 0, 42 .50. 2 2 2 5 5 Suy ra: m 0, 25 kg 250 g.
2
Chọn đáp án D Vấn đề 2: Dạng bài toán liên quan đến sự thay đổi khối lượng của con lắc - Theo định nghĩa về tần số và chu kì của dao động điều hòa ta có: f N . Gọi m1, t
m2, N1 và N2 lần lượt là khối lượng và số dao động của vật 1 và vật 2. Khi đó, trong cùng một khoảng thời gian t ta có: 2
-
k k 2 2πN m 2 N1 ω= ω2 2πf m m m1 N 2 t Tăng, giảm khối lượng của lò xo một lượng Δm : 2
2
2
ω1 f1 m 2 m1 m m1 m1 ω2 f 2 - Gọi T1 và T2 lần lượt là chu kì của con lắc khi lần lượt treo vật m1 và m2 vào lò xo có độ cứng k. Chu kì của con lắc lò xo khi treo cả m1 và m2 :
m = m1 + m2 là T 2 = T12 + T22 T =
m = m1 - m2 là T 2 = T12 T22 T =
T12 + T22 T12 T22
(với m1 > m2)
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Bốn vật m1, m2, m3 và m4 với m3 = m1 + m2 và m4 = m1 – m2. Gắn lần lượt các vật m3 và m4 vào lò xo có độ cứng k thì chu kì dao động của hai con lắc là T3 và T4. Khi gắn lần lượt các vật m1 và m2 vào lò xo này thì chu kì T1 và T2 của hai con lắc là: A. T1
T32 T42 T 2 T42 ; T2 3 2 2
B. T1 T32 T42 ; T2 T32 T42
Trang 169
C. T1
T32 T42 T 2 T42 D. T1 T32 T42 ; T2 T32 T42 ; T2 3 2 2 Hướng dẫn giải: 2
k 2π kT 2 Tần số dao động của con lắc lò xo: ω m 2 m T 4π m3 m 4 m1 m3 m1 m 2 2 Theo giả thuyết ta có: (2) m m 3 4 m 4 m1 m 2 m 2 2 2 2 kT 2 k T3 T4 12 T1 T32 T42 4π 4π 2 Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 kT22 k T3 T4 T2 T32 T42 2 2 4π 4π 2
(1)
Chọn đáp án D Câu 2: Hai con lắc lò xo dao động điều hòa. Độ cứng của các lò xo bằng nhau, nhưng khối lượng các vật hơn kém nhau 90g. Trong cùng 1 khoảng thời gian con lắc 1 thực hiện được 12 dao động, con lắc 2 thực hiện được 15 dao động. Khối lượng các vật của 2 con lắc là A. 450 g và 360 g B. 210 g và 120 g C. 250 g và 160 g D. 270 g và 180 g Hướng dẫn giải:
m N 2 2 1 N m Theo giả thuyết ta có: 1 2 m 2 m1 m m m 1 1
(1) (2)
Từ (1) và (2) ta có: 2
N1 m1 m N 22 .m 152.90 m 250 g . 1 2 2 2 2 N m N N 15 12 2 1 2 1 2
2
N 12 Thay vào (1) ta thu được: m 2 m1. 1 250 160 g . 15 N2 Chọn đáp án C Câu 3: Gắn một vật nhỏ khối lượng m1 vào một lò xo nhẹ treo thẳng đứng thì chu kỳ dao động riêng của hệ là T1 = 0,8 s. Thay m1 bằng một vật nhỏ khác có khối lượng m2 thì chu kỳ là T2 = 0,6 s. Nếu gắn cả hai vật thì dao động riêng của hệ là có chu kỳ là: A. 0,1s B. 0,7s C. 1s D. 1,2s Trang 170
Hướng dẫn giải: Chu kì của con lắc lò xo khi treo cả m1 và m2: m = m1 + m2 là
T 2 T12 + T22 T T12 + T22 T
0,8 0, 6 2
2
1 s.
Chọn đáp án C Câu 4: Gắn một vật nhỏ khối lượng m1 vào một lò xo nhẹ treo thẳng đứng thì chu kỳ dao động riêng của hệ là T1 = 0,8 s. Thay m1 bằng một vật nhỏ khác có khối lượng m2 thì chu kỳ là T2 = 0,6 s. Nếu gắn vật có khối lượng m = m1 – m2 vào lò xo nói trên thì nó dao động với chu kỳ là bao nhiêu: A. 0,53s B. 0,2s C. 1,4s D. 0,4s. Hướng dẫn giải: Chu kì của con lắc lò xo khi treo cả m1 và m2: m = m1 - m2 là
T 2 T12 T22 T T12 T22 T
0,8 0, 6 2
2
0,53 s .
Chọn đáp án A Câu 5: Một vật có khối lượng m treo vào lò xo thẳng đứng. Vật dao động điều hoà với tần số f1 = 6 Hz. Khi treo thêm 1 gia trọng m = 44 g thì tần số dao động là f2 = 5 Hz. Tính khối lượng m và độ cứng k của lò xo. Hướng dẫn giải:
2 1 k f1 2π . m f 2 m m Ta có: 12 f2 m f 2 1 . k 2 2π m m m 44 Khối lượng: m 2 2 100 g . f1 6 1 1 52 f 22 Độ cứng của lò xo: ω2 2πf1 2 k k m. 2πf1 2 0,1. 2π.6 2 144 N/m . m Vấn đề 3: Dạng bài toán lập phương trình dao động của con lắc lò xo * Viết phương trình dao động tổng quát: x = Acos(t + ). * Xác định A, , v a 2π + Tính : ω = = 2πf = max = max . T A v max + Tính A : 2
v a 2W 1 2W v 2 = = max = max +x = k ω m ω ω2 ω chieàu daøi quyõñaïo lmax lmin = 2 2
A
Trang 171
+ Tính dựa vào điều kiện đầu t = 0 x = Acosφ v 0 tanφ = 0 φ x0 v 0 = ωAsinφ a 0 = ω2 Acosφ v tanφ = ω 0 φ x v 0 = ωAsinφ 0 + Tính dựa vào điều kiện đầu lúc t = t0 x = Acos(ωt 0 + φ) 0 φ v 0 = ωAsin(ωt 0 + φ) a 0 = ω2 Acos(ωt 0 + φ) φ v 0 = ωAsin(ωt 0 + φ) Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0. + Trước khi tính cần xác định rõ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác (thường lấy - π ≤ ≤ π). + Khi 1 đại lượng biến thiên theo thời gian ở thời điểm t0 tăng thì đạo hàm bậc nhất của nó theo t sẽ dương và ngược lại. Công thức đổi sin thành cos và ngược lại: + Đổi thành cos: - cos = cos( + ) + Đổi thành sin: cos = sin( π ) 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG
sin = cos( π ) 2
- sin = sin( + )
Câu 1: Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng m = 100 g, được treo thẳng đứng vào một giá cố định. Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5 cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 3 cm/s theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chọn trục toạ độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10 m/s2. Phương trình dao động của vật nặng.
2π cm. 3 π C. x 4 cos 20t cm. 3
π cm. 3 2π D. x 4 cos 20t cm. 3
A. x 4 cos 20t
B. x 4 cos 20t
Hướng dẫn giải: Ta có: =
g 10 = 20 rad/s. l 0, 025
Trang 172
Biên độ dao động: A x 02
2 0 2
v ω
2
2
40 3
2
202
4 cm
Pha ban đầu của dao động:
x A cos φ 4 cos φ 2 1 2π 2π cos φ cos φ 2 3 3 v ωA sin φ 0 2π Vậy phương trình dao động của vật: x 4 cos 20t cm. 3 Chọn đáp án D Câu 2: Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là L = 40 cm. Chọn gốc thời gian lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Phương trình dao động của con lắc. π π A. x 20 cos 10πt cm. B. x 20 cos 10πt cm. 2 2 π π C. x 20 cos 10πt cm. D. x 20 cos 10πt cm. 4 4 Hướng dẫn giải: Chu kỳ dao động của vật: ω Biên độ dao động: A
2π 2π 10π rad/s . T 0, 2
L 20 cm . 2
Pha ban đầu của dao động:
x A cos φ 20 cos φ 0 π π cos φ 0 cos φ . 2 2 v 20.10π sin φ 0 π Vậy phương trình dao động của vật: x 20 cos 10πt cm. 2 Chọn đáp án B Câu 3: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc = 300 so với mặt phẳng nằm ngang. Ở vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn 5 cm. Kích thích cho vật dao động thì nó sẽ dao động điều hòa với vận tốc cực đại 40 cm/s. Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy g = 10 m/s2. Phương trình dao động của vật. π π A. x 4 cos 10t cm. B. x 4 cos 10t cm. 2 3 π π C. x 4 cos 10t cm. D. x 4 cos 10t cm. 3 2 Hướng dẫn giải: Trang 173
Tần số góc của dao động: =
g sin α = 10 rad/s. l0
Chu kỳ dao dao động: A=
v max = 4 cm ω
F ñh
Pha ban đầu của dao động:
x A cos φ 4 cos φ 0 v 4.10sin φ 0
P
P
π π cos φ 0 cos φ rad 2 2
π Vậy phương trình dao động của vật: x 4 cos 10t cm. 2 Chọn đáp án A Câu 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng m = 1 kg, lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m. Đặt giá B nằm ngang đỡ vật m để lò xo có chiều dài tự nhiên. Cho giá B chuyển động đi xuống với gia tốc a = 2 m/s2 không vận tốc đầu. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương trên xuống, gốc tọa độ ở VTCB của vật, gốc thời gian lúc vật rời giá B. Phương trình dao động của vật là: 2π A. x 4 cos 10t 1,91 cm. B. x 6 cos 10t cm. 3 2π C. x 6 cos 10t 1,91 cm. D. x 4 cos 10t cm. 3 Hướng dẫn giải: Khi ở VTCB lò xo giản: N mg 1.10 l 0,1 m 10 cm. B k 100 Tần số dao động: l0 k 100 l ω 10 rad/s. a m 1
Vật m: P N Fñh ma (1). Chiếu (1) lên trục Ox đã chọn ta có:
l
mg N k.l ma.
Khi vật rời giá N = 0, gia tốc của vật a = 2 m/s2. Suy ra: l
m(g a) k
F ñh (+) P
(1)
Trong khoảng thời gian đó vật đi được quãng đường l được tính l Trang 174
at 2 . (2) 2
Từ (1) và (2) ta có:
m(g a) at 2 2m(g a) 2.1.(10 2) t 0, 283 s . k 2 ak 2.100 at 2 2. 0, 283 Quãng đường vật đi được đến khi rời giá: S 0, 08 m 8 cm . 2 2 Tọa độ ban đầu của vật: x0 = 0,08 - 0,1 = - 0,02 m = - 2 cm. Vận tốc của vật khi rời giá có giá trị: v0 = at = 40 2 cm/s. 2
v2 Biên độ dao động là: A = x 2 = 6cm. ω Tại t = 0 thì 6 cos φ = - 2 φ 1,91 rad . 2
Vậy phương trình dao động của vật: x = 6cos(10t - 1,91) cm. Chọn đáp án C Câu 5: Ba con lắc lò xo 1, 2, 3 đặt thẳng đứng cách đều nhau theo thứ tự 1, 2, 3. Ở vị trí cân bằng ba vật có cùng độ cao. Con lắc thứ nhất dao động có phương trình
π x1 3cos 20πt cm, con lắc thứ hai dao động có phương trình x2 = 2 1,5cos(20t) cm. Hỏi con lắc thứ ba dao động có phương trình nào thì ba vật luôn luôn nằm trên một đường thẳng?
π cm. 4
B. x 3 2 cos 20πt
π cm. 2
D. x 3 3 2 cos 20πt
A. x 3 3 2 cos 20πt C. x 3 3 2 cos 20πt
Hướng dẫn giải: Để ba vật luôn nằm trên một đường thẳng thì
x x3 x2 1 hay x3 = 2x2 – x1 2
Dễ thấy φ3
(2A 2 ) 2 A12 = 3 2 cm.
π rad . 4
π cm. 4
A1 A2
Suy ra dao động của m3 là tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen: A 3 2A 2 ( A1 ) Từ giản đồ suy ra: A3 =
π cm. 4
A1
A3
π Vậy phương trình dao động của vật: x 3 3 2 cos 20πt cm. 4 Chọn đáp án A Trang 175
Vấn đề 4: Dạng bài toán tính thời gian t hoặc thời điểm t0 nào đó để vận tốc, gia tốc, li độ đạt cực đại, cực tiểu; hoặc thỏa mãn một tính chất nào đó của con lắc lò xo. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật m = 250 g. Ở vị trí cân bằng lò xo dãn 2,5 cm. Cho con lắc dao động điều hòa. Thế năng của nó khi có vận tốc 40 3 cm/s là 0,02 J. Lấy g = 10 m/s2 và π 2 = 10. Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ x = – 2 cm và đang chuyển động theo chiều dương. Thời điểm lớn nhất vật có vận tốc cực đại trong 2 chu kỳ đầu. A. 0,497 s B. 0,026 s C. 0,183 s D. 0,597 s Hướng dẫn giải: mg 0, 25.10 Ta có: k 100 N/m . l 2,5.102 Suy ra: ω
k 100 π 20 rad/s T s. m 0, 25 10
Khi v = 40 3 cm/s Wñ 0, 06 J W Wt Wñ 0, 08 J. 2W 0, 04 m 4 cm. k Pha ban đầu của dao động (t = 0):
Suy ra: A
x A cos φ 4 cos φ 2 1 4π 4π cos φ cos φ rad . 2 3 3 v 4.20sin φ < 0 4π Phương trình dao động của vật: x 4 cos 20t cm. 3 4π π π mπ 4π Khi vmax sin 20t và 1 20t 3 2 mπ t 24 20 3 11π mπ . t 120 20 Vì 0 t 2T 2 n 4 n = 2, 3, 4 t = 0,026 s; 0,183 s; 0,34 s; 0,497 s. Chọn đáp án A Câu 2: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10 N/m, khối lượng vật nặng m = 200 g, dao động trên mặt phẳng ngang, được thả nhẹ từ vị trí lò xo dãn 6 cm. Hệ số ma sát trượt giữa con lắc và mặt bàn là 0,1. Thời gian chuyển động thẳng của vật m từ lúc thả tay đến lúc m đi qua vị trí lực đàn hồi của lò xo nhỏ nhất lần thứ 1? Hướng dẫn giải: Chu kì dao động của con lắc: T = 2
m = 0,888 s. k
Trang 176
OM = ∆x = 6 cm. Lực đàn hồi nhỏ nhất bằng 0 khi vật ở O. O Sau khi thả vật tại A vật có vận tốc lớn nhất tại O’ là vị trí Fđh = Fms. mg kx mg x 0,02 m 2 cm OM 4 cm. k
M
O’
Thời gian vật chuyển động thẳng từ M đến O : t T T T 0,296 s. 4 12
3
Câu 3 (CĐ Khối A - A1, 2012): Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng 250 g và lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 4 cm. Khoảng thời gian ngắn nhất để vận tốc của vật có giá trị từ - 40 cm/s đến 40 3 cm/s là A.
π s. 40
B.
π s. 120
C.
π s. 20
D.
π s. 60
Hướng dẫn giải: Tần số góc của con lắc =
k = 20 rad/s; vmax = 80 cm/s. m
Khoảng thời gian ngắn nhất để vận tốc của vật có giá trị từ v1 = - 40 cm/s = đến v2 = 40 3 cm/s =
v max 2
v max 3 T T T 1 2π π . s. là: t 2 12 6 4 4 ω 40
Chọn đáp án A Câu 4: Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 10 g, k = 100π2 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song liền kề nhau (vị trí cân bằng hai vật chung gốc tọa độ). Biên độ con lắc 1 gấp 2 lần con lắc 2. Biết 2 vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng thời gian giữa 2018 lần 2 vật gặp nhau liên tiếp ? Hướng dẫn giải: Chu kì của hai dao động: T = 2
m 0,01 = 2 = 0,02 s. k 100π 2
Giả sử hai vật chuyển đông tròn đều với cùng chu kì trên hai đường tròn bán kính R1 = 2 R2. Hai vật gặp nhau khi hình chiếu lên phương ngang trùng nhau và một vật ở phía trên, một vật ở phía dưới.Giả sử lần đầu tiên chúng gặp nhau khi vật 1 ở M1; vật 2 ở N1. Khi đó M1N1 vuông góc với Ox. Lần gặp nhau sau đó ở M2 và N2. Khi đó M2N2 cũng
vuông góc với Ox. Và N 1OM1 N 2 OM 2 . Suy ra M1N1 và M2N2 đối xứng nhau qua O Trang 177
M1 N2
x
O N1 M2
là sau nữa chu kì hai vật lại gặp nhau. Do đó khoảng thời gian giữa 2018 lần 2 vật T gặp nhau liên tiếp là: t 2018 1 20,17 s. 2 Câu 5: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 100 g và lò xo nhẹ có độ cứng 0,01 N/cm. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo dãn 10 cm rồi buông nhẹ cho vật dao động. Trong quá trình dao động lực cản tác dụng lên vật có độ lớn không đổi 10-3 N. Lấy π2 = 10. Sau 21,4 s dao động, tốc độ lớn nhất của vật chỉ có thể là A. 50π mm/s. B. 57π mm/s. C. 56π mm/s. D. 54π mm/s. Hướng dẫn giải: Chu kỳ dao động: T = 2s. Độ giảm biện độ sau mỗi chu kỳ là: A
4Fc = 4.10-3 m = 4 mm. k
Biên độ còn lại của dao động sau 21,4 s dao động là 57 mm. Như vậy vận tốc lớn nhất mà vật nhận được lúc này là v = A' . = 57π mm/s. Chọn đáp án B Câu 6: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ, độ cứng k 50 N/m , một đầu cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ khối lượng m1 100 g . Ban đầu giữ vật m1 tại vị trí lò xo bị nén 10 cm, đặt một vật nhỏ khác khối lượng m 2 400 g sát vật m1 rồi thả nhẹ cho hai vật bắt đầu chuyển động dọc theo phương của trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa các vật với mặt phẳng ngang μ 0,05. Lấy g 10 m/s 2 . Thời gian từ khi thả đến khi vật m 2 dừng lại là: A. 2,16 s. B. 0,31 s. C. 2,21 s. D. 2,06 s. Hướng dẫn giải:
T π s 4 20
Vật m2 sẽ rời khỏi m1 khi chúng đi qua vị trí mà lò xo không biến dạng .
mv 2 kA 2 μmgA v 0,9 . 2 2 Tiếp sau đó m2 chuyển động chậm dần đều với gia tốc a μg 0,5 m/s 2 . T v Vậy thời gian cần tìm: t 2,06 s. 4 a Chọn đáp án B Khi đó m2 có vận tốc thỏa mãn phường trình:
Vấn đề 5: Dạng bài toán liên quan đến: 1. Dạng bài toán tính chiều dài của con lắc lò xo trong quá trình dao động điều hòa Gọi : l là độ biến dạng của lò xo khi treo vật ở vị trí cân bằng. l0 là chiều dài tự nhiên của lò xo. lCB là chiều dài của lò xo khi treo vật ở vị trí cân bằng. a. Con lắc lò xo nằm ngang: l = 0, lCB = l0 Trang 178
- Chiều dài cực đại của lò xo khi dao động: lmax lCB A - Chiều dài cực tiểu của lò xo khi dao động: lmin lCB A b. Con lắc lò xo thẳng đứng: Ở VTCB lò xo biến dạng một đoạn l. P = Fđh => mg = kl lCB = l0 + l - Chiều dài cực đại của lò xo khi dao động: lmax lCB A l0 l A - Chiều dài cực tiểu của lò xo khi dao động: lmin lCB A l0 l A - Chiều dài của lò xo ở li độ x bất kì: l lCB x l0 l x c. Con lắc lò xo treo vào mặt phẳng nghiêng một góc . Ở VTCB lò xo biến dạng một đoạn l: Psin = Fđh => mgsin = kl => l
mg sin α k
2. Dạng toán liên quan đến lực hồi phục. Lực đàn hồi cực đại và cực tiểu -A l
-A giãn
O
l
nén -A
O
l
o Giãn
A x
giãn
A A
x
Nén
Hình vẽ thể hiện thời gian lò xo nén và giãn trong 1 chu kỳ (Ox hướng xuống)
x Hình a (A < Hình b (A > l) l) - Trong một dao động (một chu kỳ) lò xo nén 2 lần và giãn 2 lần. - Chiều dài lò xo tại VTCB: lCB = l0 + l (l0 là chiều dài tự nhiên). - Khi A > l (Với Ox hướng xuống): + Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 = l đến x2 = - A. + Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 = l đến x2 = A. - Khi A < l thời gian lò xo giản một lần là thời gian ngắn nhất để lò xo đi từ vị trí x1 = - (l – A) đến x2 = A. - Lực tổng hợp tác dụng lên vật (Lực kéo về hay lực hồi phục) + Công thức: Fhp = ma = - kx = - mω2 x + Độ lớn: Fhp = m a = - k x
Ở vị trí biên : Fhp = mω2 A = kA
Ở VTCB : Fhp = 0 Trang 179
+ Đặc điểm: * Là lực gây dao động cho vật. * Luôn hướng về VTCB. * Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ. - Lực đàn hồi (là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng), cũng là lực mà lò xo tác dụng lên giá đỡ, điểm treo, lên vật. Có độ lớn Fđh = kx* (x* là độ biến dạng của lò xo) - Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại VTCB lò xo không biến dạng) - Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng + Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức: * Fđh = kl + x với chiều dương hướng xuống * Fđh = kl - x với chiều dương hướng lên + Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): FMax = k(l + A) = F kéo max (lúc vật ở vị trí thấp nhất) + Lực đàn hồi cực tiểu: * Nếu A < l FMin = k(l - A) = Fkéo min * Nếu A ≥ l FMin = 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng) + Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: Fđẩy max = k(A - l) (lúc vật ở vị trí cao nhất). BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hòa với phương trình x 2 cos 20t cm. Chiều dài tự nhiên của lò xo là l0 = 30 cm, lấy g = 10m/s2. Chiều dài nhỏ nhất và lớn nhất của lò xo trong quá trình dao động lần lượt là A. 28,5 cm và 33 cm. B. 31 cm và 36 cm. C. 30,5 cm và 34,5 cm. D. 32 cm và 34 cm. Hướng dẫn giải: Ta có: A 2 cm 0,02 m g lmax = l0 + Δl + A l 2 0,025 m l0 0,3 m lmax = l0 + Δl + A = 0,3 + 0,025 + 0,02 = 0,345 m = 34,5 cm. lmin = l0 + Δl – A = 0,3 + 0,025 – 0,02 = 0,305 m = 30,5 cm.
Chọn đáp án C Câu 2: Một vật m = 1 kg treo vào lò xo có độ cứng k = 400 N/m, có chiều dài ban đầu là 30 cm. Quả cầu dao động điều hòa với cơ năng W = 0,5 J theo phương thẳng đứng. Lấy g = 10 m/s2. Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là: A. lmax 35,25 cm; lmin 24,75 cm B. lmax 37,5 cm; lmin 27,5 cm C. lmax 35 cm; lmin 25 cm
D. lmax 37 cm; lmin 27 cm Trang 180
Hướng dẫn giải: Tại vị trí cân bằng ta có:
l
mg 1.10 0, 025 m 2,5 cm. k 400
Biên độ dao động :
1 2 kA 2 2W 2.0,5 A 0, 05 m 5 cm. k 400 W
Chiều dài cực đại của lò xo khi dao động:
lmax lCB A 30 2,5 5 37,5 cm. Chiều dài cực tiểu của lò xo khi dao động: lmin lCB A 30 2,5 5 27,5 cm.
lmin lmax
l
F ñh P
Chọn đáp án B Câu 3: Hai vật AB dán liền nhau mB = 2mA = 200 g (vật A ở trên vật B). Treo vật vào 1 lò xo có độ cứng k = 50 N/m. Nâng vật đến vị trí có chiều dài tự nhiên l0 = 30 cm thì buông nhẹ. Vật dao động điều hòa đến vị trí lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực đại, vật B bị tách ra. Lấy g = 10 m/s2. Chiều dài ngắn nhất của lò xo trong quá trình dao động: A. 28 cm B. 32,5 cm C. 22 cm D. 20,5 cm Hướng dẫn giải: Độ biến dạng của lò xo khi 2 vật ở vị trí cân bằng: mA mB g lmin l0 k Fñh lmax 0,1 0, 2 .10 0,06 m 6 cm. mA O 50 mB Nâng vật đến vị trí có chiều dài tự nhiên l0 = 30 F ñh P AB cm thì buông nhẹ thì 2 vật sẽ dao động điều hòa với biên độ A = 6 cm. O’ mA Vật dao động điều hòa đến vị trí lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực đại, tức là tại vị trí biên P dương vật B bị tách ra. Lúc này chiều dài của lò xo: lmax = 30 + 6 + 6 = 42 cm. Vật B bị tách ra vật A tiếp tục dao dộng điều hòa với vận tốc ban đầu bằng không quanh VTCB mới O’. Độ biến dạng của lò xo khi vật A ở VTCB mới: m g 0,1.10 l0' A 0,02 m 2 cm. k 50 Chiều dài của lò xo khi vật A ở VTCB mới: lcb = l0 + l0' = 30 + 2 = 32 cm. Trang 181
Suy ra, biên độ dao động mới: A’ = lmax – lcb = 42 – 32 = 10 cm. Chiều dài ngắn nhất của lò xo trong quá trình dao động là khi vật ở vị trí biên âm: lmin = lcb – A’ = 32 – 10 = 22 cm. Chọn đáp án C Câu 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có vật nặng có khối lượng 100 g. Kích thích cho con lắc dao động theo phương thẳng đứng thì thấy con lắc dao động điều hòa với tần số 2,5 Hz và trong quá trình vật dao động, chiều dài của lò xo thay đổi từ l1 = 20 cm đến l2 = 24 cm. Lấy 2 = 10 và g = 10 m/s2. Xác định chiều dài tự nhiên của lò xo và tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động. Hướng dẫn giải: Biên độ dao động: 2A = l2 – l1 A =
l2 l1 24 20 = 2 cm. 2 2
Tần số góc: = 2f = 2.2,5 = 5 rad/s. Độ cứng lò xo: k = m2 = 25 N/m.
mg g 2 = 0,04 m = 4 cm. k ω Chiều dài ban đầu của lò xo: l1 = lmin = l0 + l – A l0 = l1 – l + A = 18 cm. Tại vị trí cân bằng: l =
Lực đàn hồi cực đại của lò xo: Fmax = k(l + A) = 25.(0,04 + 0,02) = 1,5 N. Lực đàn hồi cực tiểu của lò xo: Vì l > A nên Fmin = k(l – A) = 25.(0,04 – 0,02) = 0,5 N. Câu 5: Một lò xo nhẹ có độ cứng k, một đầu treo vào một điểm cố định, đầu dưới treo vật nặng 100g. Kéo vật nặng xuống dưới theo phương thẳng đứng rồi buông nhẹ. Vật dao động điều hòa theo phương trình x = 5cos4πt cm. Lấy g = 10 m/s2 và π 2 10 . Lực dùng để kéo vật trước khi dao động có độ lớn. A. 0,8 N. B. 1,6 N. C. 6,4 N D. 3,2 N Hướng dẫn giải: Độ cứng của lò xo: k mω2 0,1. 4π 16 N/m. 2
Lực kéo vật trước khi dao động: Fk = kx = kA = 16.0,05 = 0,6 N. Chọn đáp án A Câu 6 (Chuyên KHTN Hà Nội lần 1 – 2016): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có khối lượng không đáng kể. Khi vật nằm cân bằng, lò xo gian một F đoạn Δℓ. Tỉ số giữa lực đàn hồi cực tiểu trong quá trình vật dao động là đh max a . Fđh min Biên độ dao động của vật được tính bởi biểu thức nào dưới đây? A. A
a 1 . l a 1
C. A l a 2 1 .
B. A
l a 1 . a 1
D. A
l a 1 . a 1
Hướng dẫn giải: Trang 182
Sử dụng công thức lực đàn hồi cực đại và lực đàn hồi cực tiểu: k l A a 1 l . Fđh max a a a 1 A a 1 l A Fđh min k l A a 1 Chọn đáp án D Câu 7: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có chiều dài tự nhiên 20 cm, độ cứng 100 N/m, vật nặng khối lượng 400 g. Kéo vật nặng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng 6 cm rồi thả nhẹ cho con lắc dao động điều hòa. Lấy g = 2 m/s2. Xác định độ lớn của lực đàn hồi của lò xo khi vật ở các vị trí cao nhất và thấp nhất của quỹ đạo. Hướng dẫn giải: g k Ta có: = = 5 rad/s. Độ giản của lò xo: l0 = 2 = 0,04 m = 4 cm. ω m Biên độ: A = 6 cm = 0,06 m. Khi ở vị trí cao nhất lò xo có chiều dài: lmin = l0 + l0 – A = 18 cm. Nên có độ biến dạng |l| = |lmin – l0| = 2 cm = 0,02 m. Khi ở vị trí cao nhất lực đàn hồi đạt giá trị cực tiểu: |Fcn| = Fmin = k|l| = 2 N. Khi ở vị trí thấp nhất lực đàn hồi đạt giá trị cực đại: |Ftn| = Fmax = k(l0 + A) = 10 N. Câu 8: Một con lắc lò xo gồm một quả nặng khối lượng 100 g, lò xo có độ cứng 100 N/m, khối lượng không đáng kể treo thẳng đứng. Cho con lắc dao động với biên độ 5 cm. Lấy g = 10 m/s2 và 2 = 10. Xác định tần số và tính lực đàn hồi cực đại, lực đàn hồi cực tiểu của lò xo trong quá trình quả nặng dao động. Hướng dẫn giải: 2π 1 1 k Ta có: = = 10 rad/s; T = = 0,2 s; f = = 5 Hz; W = kA2 = 0,125 J. ω T 2 m mg Độ biến dạng: l0 = = 0,01 m = 1 cm. k Lực đàn hồi cực đại: Fmax = k(l0 + A) = 6 N. Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin = 0 vì A > l0. Câu 9 (ĐH Khối A 2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm. Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2 và 2 = 10. Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là 4 7 3 1 A. B. C. D. s. s. s s. 15 30 10 30 Hướng dẫn giải: Tại vị trí cân bằng ta có:
Trang 183
l
mg gT 2 2 k 4π
0, 4 .10
A 2
2
4π
2
O
-A
0, 04 m 4 cm.
A x
Theo giả thuyết, thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là khoảng thời gian vật đi từ vị trí có li độ từ A x 0 x A x x 0 . 2 Khi đó: t min t x 0 x A t x A x 0 t . A x 0 x
Suy ra: t min
2
T T T 7T 7.0,4 7 s. 4 4 12 12 12 30
Chọn đáp án A Câu 10: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới có một vật m dao động với biên độ 10 cm và tần số 1 Hz. Lấy g = 10 m/s2. Tính tỉ số giữa lực đàn hồi cực tiểu và lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động. Hướng dẫn giải: g Độ biến dạng của lò xo: = 2f = g l0 = = 0,25 m = 25 cm. 4π 2 f 2 l Lực đàn hồi cực đại của lò xo: Fmax = k(l0 + A). (1) Lực đàn hồi cực tiểu của lò xo: Vì l0 > A suy ra Fmin = k(l0 – A) (2) k l A l A 25 10 3 F Từ (1) và (2) ta có: min . Fmax k l A l A 25 10 7 Câu 11 (ĐH Khối A, 2011): Một con lắc lò xo đạt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có một đầu cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ có khối lượng m1. Ban đầu vật m được giữ ở vị trí để lò xo bị nén 8 cm. Vật m2 có khối lượng bằng khối lượng vật m1 nằm sát m1. Thả nhẹ m để hai vật chuyển động theo phương của trục lò xo. Bỏ qua mọi ma sát. Ở thời điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu tiên, khoảng cách giữa hai vật m1 và m2 là: A. 4,6 cm. B. 2,3 cm. C. 5,7 cm. D. 3,2 cm. Hướng dẫn giải: Bố trí hệ lò xo như hình vẽ. Ta có: m1 = m2 = m. Khi qua vị trí cân bằng, vận tốc 2 vật là v. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quá trình hai vật chuyển động từ vị trí lò xo bị nén l đến khi hai vật qua vị trí cân 2 1 1 k (1) k Δl m1 + m 2 v 2 mv 2 v .Δl 2 2 2m Đến vị trí cân bằng, vật m chuyển động chậm dần, m2 chuyển động thẳng đều, hai vật tách ra, hệ con lắc lò xo chỉ còn m gắn với lò xo.
bằng:
Trang 184
Khi lò xo có độ dài cực đại thì m đang ở vị trí biên, thời gian chuyển động từ vị trí cân bằng đến vị trí biên là
m1
T . 4
l
Khoảng cách của hai vật lúc này:
Δx x 2 x1 v.
T A 4
O
v
Fñh max
(2)
x m2
m l m với T 2π ; Av k k 2 . Từ (1) và (2) ta được:
Δx
k 2π m Δl Δl π 0,08 π .Δl. 1 1 3, 2 cm . 2m 4 k 2 22 2 2 Chọn đáp án D
Vấn đề 6: Dạng bài toán tính thời gian lò xo nén hay giãn trong một chu kì khi vật treo ở dưới và A > l0 Chuyển về bài toán tìm thời gian vật đi từ li độ x1 đến x2. + Khoảng thời gian lò xo nén: Δt = 2. + Khoảng thời gian lò xo giãn: T t
l α α = .T với cos α 0 ω π A
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 (QG – 2016): Một con lắc lò xo treo vào một điểm cố định, dao động điều hòa theo phuơng thẳng đứng. Tại thời điểm lò xo dãn 2 cm, tốc độ của vật là 4 5v (cm/s); tại thời điểm lò xo dãn 4 cm, tốc độ của vật là 6 2v (cm/s); tại thời điểm lò xo dãn 6 cm, tốc độ của vật là 3 6v (cm/s). Lấy g = 9,8 m/s2. Trong một chu kì, tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian lò xo bị dãn có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây ? A. 1,26 m/s. B. 1,43 m/s. C. 1,21 m/s. D. 1,52 m/s. Hướng dẫn giải: Chọn chiều dương hướng xuống, gốc o tại VTCB. Gọi a là độ dãn của lò xo khi vật cân bằng, li độ của vật khi lò xo dãn l là l a (cm) ; là tần số góc và A là biên độ của vật. Ta có :
Trang 185
A2 2 a
2
4 a 6 a
2
4 a
2
2
2
2
2
Từ 2 a
4 5v 6 2v
2
8, 022
P2
2
3 6v 2
2
6 2v 2
8,022 O
P1
x
2
2
4 5v
1, 4
4 a
2
6 a
2
2
6 2v
2
2
3 6v 2
v2 3 a 1 2 2
2
v 2 10 2a 2 9
2
7 a 5 1, 4 cm Giải hệ (1) và (2) ta tìm được 2 v 4 0,8 cm 2 . 2 5 Từ đó tính được A = 8,022 cm.
2 2 g 9,8 0, 2375 s . 10 7 24, 46 (rad/s) T T 10 7 a 0, 014
Thời gian lò xo dãn trong một chu kì ứng với vật chuyển động giữa hai li độ -1,4 cm và 8,022cm. Ta chỉ cần tính tốc độ trung bình khi vật đi từ điểm có li độ -1,4 cm đến biên có li độ 8,022 cm với thời gian chuyển động
T T a .arcsin 0, 066 s và quãng đường s = A + a = 9,422 (cm). 4 2 A s 9, 422 v TB 142, 75 cm / s 1, 43 m / s . t 0, 066 t
Chọn đáp án B Câu 2: Một con lắc lò xo bố trí dao động trên phương ngang với tần số góc ω = 10π rad/s. Đưa con lắc đến vị trí lò xo dãn 5 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Kể từ lúc thả vật thì sau A.
1 s 12
1 s tổng thời gian lò xo bị nén là: 6 1 1 B. C. s s 16 8 Hướng dẫn giải:
Trang 186
D.
1 s 10
T/4
T/2 0
-5
x -A 5 l
nén
1 1 5T T T T Ta có: T = s . Với t s 5 6 6 2 4 12 T T T 1 s. Thời gian giãn là . Thời gian nén là 4 12 2 10
nén
O
giãn
A x (A > l)
Chọn đáp án D Câu 3: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động với phương trình
5 π cos 20t cm . Chọn Ox hướng lên, O tại vị trí cân bằng. Thời gian 3 3 π lò xo bị dãn trong khoảng thời gian s tính từ lúc t = 0 là: 12 π 3π 5π 7π A. B. C. D. s s s s 40 40 40 40 x
Hướng dẫn giải:
s Ta có: T = 10 5
A và v < 0 2 3 2 1 5T T T T Khi t s 6 6 2 4 12 T T T 3T 3 s. Thờì gian giãn là : 12 2 6 4 40 Khi t = 0 suy ra x =
=
A 3 /2
A l A/2
T/12
T/6
O T/2 -A
Chọn đáp án B Câu 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, khi vật ở vị trí cân bằng lò xo giãn 6 cm. Kích thích cho vật dao động điều hòa thì thấy thời gian lò xo giãn trong một chu kì là 2T (T là chu kì dao động của vật). Độ giãn lớn nhất của lò xo trong quá trình vật dao 3 động là A. 12 cm. B. 18cm C. 9 cm. D. 24 cm. Trang 187
Hướng dẫn giải: Thời gian lò xo nén là
T . 3
Thời gian khi lò xo bắt đàu bị nén đến lúc
T nén tối đa là . 6 Độ nén của lò xo là
Nén
-A
o
Giãn
A
x
l
A , bằng độ giãn của lò 2
xo khi vật ở vị trí cân bằng. Suy ra A = 12 cm. Do đó đọ giãn lớn nhất của lò xo: 6 cm + 12 cm = 18 cm.
Hình vẽ thể hiện thời gian lò xo nén và giãn trong 1 chu kỳ (Ox hướng xuống)
Chọn đáp án B Câu 5: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, khi vật ở vị trí cân bằng lò xo giãn 6 cm. Kích thích cho vật dao động điều hòa thì thấy thời gian lò xo giãn trong một chu kì là 2T (T là chu kì dao động của vật). Độ giãn lớn nhất của lò xo trong quá trình vật dao 3 động là A. 12 cm. B. 18cm C. 9 cm. D. 24 cm. Hướng dẫn giải: T Thời gian lò xo nén là . Thời gian khi lò xo bắt đầu bị nén đến lúc nén tối đa là 3 T A . Độ nén của lò xo là , bằng độ giãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng. Suy ra 6 2 A = 12 cm. Do đó, độ giãn lớn nhất của lò xo: x l A 6 12 18 cm. Chọn đáp án B Câu 6: Một con lắc lò xo được treo thẳng đứng, ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Từ vị trí cân bằng, tác dụng vào vật một lực theo phương thẳng đứng xuống dưới, khi đó lò xo dãn một đoạn 10 cm. Ngừng tác dụng lực, để vật dao động điều hoà. Biết k = 40 N/m, vật m = 200 g. Thời gian lò xo bị dãn trong một chu kỳ dao động của vật là: A.
π 5 3
s
B.
π 5 2
s
C.
π 2 3
s
D.
π s 2,5 2
Hướng dẫn giải:
mg 0, 2.10 0,05 m 5 cm. Tại vị trí cân bằng ta có: l k 40 Biên độ A = 5 cm theo đề vì lò xo dãn 10 cm = A + l nên thời gian lò xo bị dãn m 0, 2 2 2 π chính là: T 2π 2π 2π π s. k 40 400 10 5 2 Chọn đáp án B Trang 188
Vấn đề 7: Dạng toán tính động năng, thế năng và cơ năng của con lắc dao động đều hòa
1 1 mv2 mω2 A 2 sin 2 (ωt + φ) 2 2 1 1 kA 2 + kA 2 cos(2ωt + 2φ) 4 4 1 1 - Thế năng: Wt = kx 2 mω2 A 2 cos 2 (ωt + φ) 2 2 1 1 kA 2 + kA 2 sin(2ωt + 2φ); k = mω2 4 4 - Cơ năng: W = Wñ + Wt - Động năng: Wñ =
Chú ý: 1 1 2 2 2 W = 2 mω A = 2 kA const + W = 1 mv 2 cos(2ωt + 2φ) 2 1 1 2 2 2 W = 2 m A = 2 kA const 1 1 2 2 2 Wñ Max mvMax mw A : Vaät qua vò trí caân baèng 2 2 1 2 Wt Max 2 kA : Vaät ôû bieân
+ Động năng và thế năng biến thiên điều hòa cùng chu kì T' = T , cùng 2
tần số f ' = 2f và tần số góc ω' = 2ω . + Trong một chu kì có 4 lần động năng bằng thế năng. Khoảng thời gian giữa 2 lần động năng bằng thế năng là T và khi đó vật có li độ x A . 4
2
+ Tìm x hoặc v khi Wđ = n Wt ta làm như sau:
Tọa độ x :
1 2 1 A kA = (n + 1) kx 2 x = ± 2 2 n+1
Vận tốc v : 1 n + 1 mv 2 n + 1 kv 2 n kA 2 = . kA 2 = . 2 v = ± ωA 2 n 2 n ω n+1 + Tìm x hoặc v khi Wđ = n Wt ta làm như sau:
Tọa độ x :
1 2 n+1 1 2 n kA = . .kx x = ± A 2 n 2 n+1 Trang 189
Vận tốc v : 1 2 mv 2 kv 2 ωA kA = (n + 1). kA 2 = (n + 1). 2 v = ± 2 2 ω n+1
+ Ta có: Wđ = W Wt = 1 k A 2 x 2 , biểu thức này sẽ giúp tính nhanh 2
động năng của vật khi đi qua li độ x bất kì nào đó. + Cơ năng có thể tính theo tốc độ trung bình trong một chu kì: 2
m 2 v T . W= 8 BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 100 N/m dao động điều hòa phương trình x A cos t . Biểu thức thế năng là: E t 0,1cos 4t 0,1 J. Phương 2 trình li độ là: A. x 2 cos 2t cm B. x 4 cos 2t cm 2 4 C. x 2 10 cos 2t cm D. x 2 2 cos 2t cm 4 2 Hướng dẫn giải: Ta có: Wt
1 cos 2 t 1 2 1 2 1 2 1 2 1 kx kA cos2 t kA 2 kA kA cos 2 t 2 2 2 2 4 4
Và E t 0,1cos 4t 0,1 . 2
t t 2 4 1 2 2 rad/s ; kA 0,1 A 2 10 cm x 2 10 cos 2t cm. 4 4 Chọn đáp án C Câu 2 (CĐ Khối A, 2010): Một con lắc lò xo dao động đều hòa với tần số 2f1. Động năng của con lắc biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số f2 bằng f A. 2f1. B. 1 . C. f1. D. 4f1. 2 Hướng dẫn giải: Con lắc lò xo dao động đều hòa với tần số f = 2f1. Động năng của vật biến thiên tuần hoàn tần số 2f = 4f1. Đồng nhất 2 vế 2 phương trình: 2 t 4t
Trang 190
Chọn đáp án D Câu 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật nhỏ có khối lượng 100 g. Lấy 2 = 10. Động năng của con lắc biến thiên theo thời gian với tần số. A. 6 Hz. B. 3 Hz. C. 12 Hz. D. 1 Hz. Hướng dẫn giải: Theo giả thuyết ta có: f
1 k 3 Hz f ' 2f 6 Hz . 2π m
Chọn đáp án D Câu 4: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với tần số góc = 10 rad/s và biên độ A = 6 cm. Xác định vị trí và tính độ lớn của vận tốc khi thế năng bằng 2 lần động năng? Hướng dẫn giải: Ta có: W = Wt + Wđ = Wt + Suy ra: x =
1 3 1 3 1 Wt = Wt kA2 = . kx2 2 2 2 2 2
2 A = 4,9 cm và |v| = A 2 x 2 = 34,6 cm/s. 3
Câu 5 (CĐ Khối A, 2010): Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ và lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m. Con lắc dao động đều hòa theo phương ngang với phương trình x Acos ωt φ . Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp con lắc có động năng bằng thế năng là 0,1 s. Lấy 2 10 . Khối lượng vật nhỏ bằng: A. 400 g. B. 40 g. C. 200 g. D. 100 g. Hướng dẫn giải: Theo giả thuyết ta có khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp con lắc có động năng T bằng thế năng là 0,1 s: 0,1 T 0, 4 s. 4 2 2 2π .m kT 2 Suy ra: T 2 2π m 0, 4 kg 400 g. 2 k ω 2π Chọn đáp án A Câu 6 (QG – 2016): Hai con lắc lò xo giống hệt nhau đặt trên cùng mặt phẳng nằm ngang. Con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai dao động điều hòa cùng pha với biên độ lần lượt là 3A và A. Chọn mốc thế năng của mỗi con lắc tại vị trí cân bằng của nó. Khi động năng của con lắc thứ nhất là 0,72 J thì thế năng của con lắc thứ hai là 0,24 J. Khi thế năng của con lắc thứ nhất là 0,09 J thì động năng của con lắc thứ hai là A. 0,31 J. B. 0,01 J. C. 0,08 J. D. 0,32 J. Hướng dẫn giải: Hai con lắc lò xo giống hệt nhau nên chúng có cùng khối lượng m và độ cứng k. Cơ năng của hai con lắc lần lượt là
Trang 191
1 1 1 1 (1) kA12 k.9A 2 ; E 2 kA 22 k.A 2 E1 9E 2 2 2 2 2 1 1 Thế năng của hai con lắc lần lượt là: Wt1 kx12 ; Wt 2 kx 22 . 2 2 E1
Do hai dao động cùng chu kì và cùng pha nên
Wt1 x12 A12 9 Wt1 9Wt 2 Wt 2 x 22 A 22
2
Khi Wđ1 = 0,72 J thì Wt2 = 0,24J
Wt1 9Wt 2 9.0, 24 2,16 J E1 Wđ1 Wt1 2,88 J E Từ (1) tính được E 2 1 0,32 J. 9 Khi Wt1 0, 09J Wt2 0, 01 J Wđ2 E 2 Wt2 0,32 0, 01 0,31 J . Câu 7: Vật dao động điều hòa có v max
Chọn đáp án A 3 m/s và gia tốc cực đại bằng a max 30
m/s2. Thời điểm ban đầu vật có vận tốc v 1,5 m/s và thế năng đang tăng. Trong các thời điểm sau, thời điểm vật có gia tốc bằng a 15 m/s2 là A. 0,15 s B. 0,20 s C. 0,183 s D. 0,05 s Hướng dẫn giải: a -am Ta có: =
-am 3
a max = 10 ; T = 0,2s v max
Vì a và v vuông pha :
0
am/2
2
am
v2 a2 3 1 => a = a max 2 2 2 v max a max
Thời điểm ban đầu : v > 0 và thế năng tăng => x tăng. Ta có x> 0 => a <0 => a = - a max
3 và a tăng. 2
Thời điểm vật có a 15 m/s2 lần 1 : t1 = T T T => không có đáp án. 12 4 12 2 Thời điểm vật có a 15 m/s lần 2 : t1 = T T T = 0,15s. 12 12 6 Chọn đáp án A Câu 8 (Chuyên KHTN Hà Nội lần 1 – 2016): Cho hai con lắc lò xo giống nhau. Kích thích cho hai con lắc dao động điều hòa với biên độ lần lượt là nA, A (với n nguyên dương) dao động cùng pha. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng của hai con lắc. Khi động năng của con lắc thứ nhất là a thì thế năng của con lắc thứ hai là Trang 192
b. Khi thế năng của con lắc thứ nhất là b thì động năng của con lắc thứ hai được tính bởi biểu thức
b a n 1 A. n2 b a n 2 1 C.
B. D.
n2
a b n 2 1
n2 a b n 2 1 n2
Hướng dẫn giải: Vì 2 con lắc lò xo dao động cùng pha, nên ta có:
W x1 x 2 x1 nx 2 t1 n 2 nA A Wt 2 Khi động năng của con lắc thứ nhất là a, thế năng của con lắc thứ 2 là b thì thế năng của con lắc thứ nhất là n2b.
1 2 2 kn A a bn 2 (1) 2 1 b Tương tự, theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: kA 2 2 Wđ 2 n 2 a b n 1 a bn 2 Lập tỉ lệ (1) và (2) ta được: n 2 Wđ . 2 b n Wđ n2 Theo định luật bảo toàn năng lượng:
(2)
Chọn đáp án D Câu 9 (CĐ Khối A, 2010): Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ và lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, dao động điều hòa với biên độ 0,1 m. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi viên bi cách vị trí cân bằng 6 cm thì động năng của con lắc bằng A. 0,64 J. B. 3,2 mJ. C. 6,4 mJ. D. 0,32 J. Hướng dẫn giải: Động năng của vật khi đi qua li độ x bất kì: 1 1 2 2 Wđ W Wt k A 2 x 2 .100. 0,1 0, 06 0,32 J 2 2 Chọn đáp án D Câu 10: Một con lắc lò xo gồm quả cầu nhỏ khối lượng 500 g và lò xo có độ cứng 50 N/m. Cho con lắc dao động điều hòa trên phương nằm ngang. Tại thời điểm vận tốc của quả cầu là 0,1 m/s thì gia tốc của nó là – 3 m/s2. Cơ năng của con lắc là: A. 0,04 J B. 0,02 J C. 0,01 J D. 0,05 J Hướng dẫn giải: Tần số góc của con lắc lò xo: ω
k 50 10 rad/s . m 0,5
Trang 193
3
2
0,1 0, 02 m. v a v Biên độ: A x 2 2 4 4 ω ω ω 10 102 1 1 2 Cơ năng của con lắc là: W kA 2 .50. 0, 02 0,01 J. 2 2 2
2
2
2
2
Chọn đáp án C Câu 11 (ĐH Khối A, 2009): Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g. Con lắc dao động điều hòa theo một trục cố định nằm ngang với phương trình x A cos t . Cứ sau những khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau. Lấy 2 = 10. Lò xo của con lắc có độ cứng bằng: A. 50 N/m. B. 100 N/m. C. 25 N/m. D. 200 N/m. Hướng dẫn giải: Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có động năng bằng thế năng tại vị trí M1, M2, M3 và M4 có tọa độ tương ứng x
A . 2
Vẽ chuyển động tròn đều tương ứng với dao động điều hòa trên đường tròn có 4 vị trí cách nhau bởi cung 900 ứng với thời gian: T Δt T 4.Δt 4.0, 05 2 s. 4 4π 2 4π 2 Suy ra: k m. 2 0, 05. 2 50 N/m. T 2
M1
M2 A
A
O
x M4
M3
Chọn đáp án C Câu 12: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 400 g và lò xo có độ cứng k. Kích thích cho vật dao động điều hòa với cơ năng W = 25 mJ. Khi vật đi qua li độ – 1 cm thì vật có vận tốc – 25 cm/s. Xác định độ cứng của lò xo và biên độ của dao động. Hướng dẫn giải: Cơ năng của con lắc lò xo:
1 2 1 2 v 2 1 2 mv 2 1 2 2 W kA k x 2 k x kx mv . 2 2 ω 2 k 2 3 2 2W mv 2 2.25.10 0, 4. 25.10 Suy ra: k 250 N/m. 2 2 x2 1.10 2
Câu 13: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình: x 10 cos 4πt cm. Xác định vị trí và vận tốc của vật khi động năng bằng 3 lần thế năng. Hướng dẫn giải: Theo giả thuyết: Wđ 3 Wt , ta có: Trang 194
π 3
Tọa độ x :
1 2 3 1 1 2 3 kA . .kx x 10 5 cm. 2 3 2 3 1
Vận tốc v : 1 2 mv2 kv2 4 π.101 kA = (3 + 1). kA 2 = (3 + 1). 2 v m/s 20 cm/s. 2 2 5 ω 3+1
Câu 14: Vật nhỏ của một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang, mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Khi gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại thì tỉ số giữa động năng và thế năng của vật là: A.
1 2
B. 3.
C. 2.
D.
1 3
Hướng dẫn giải:
1 A Vị trí x mà tại đó a a max x . 2 2 2 Suy ra: W 1 kA 2 Wđ 1 k A 2 2 4
3 Wđ kA 2 8
Wđ 3. Wt
Chọn đáp án B Câu 15 (Chuyên Hà Tĩnh lần 5 – 2016): Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật nặng vừa đi khỏi vị trí cân bằng một đoạn S thì động năng của chất điểm là 0,091 J. Đi tiếp một đoạn 2S thì động năng chỉ còn 0,019J và nếu đi thêm một đoạn S nữa (A > 3S) thì động năng của vật là A. 96 mJ B. 48 mJ C. 36 mJ D. 32 mJ Hướng dẫn giải: 1 2 1 2 (1) W WđS WtS 2 kS 0, 091 2 kA Bảo toàn cơ năng ta có: W W W 1 k 3S2 0, 019 1 kA 2 (2) đ3S t3S 2 2 2 kS 0, 018 Từ (1) (2) suy ra 2 kA 0, 2 Giả sử A bằng n lần quãng đường : A kA 2 0, 2 10 A nS n . 2 S kS 0, 018 3 Khi vật đi được 3S +
1 S thì đến biên, sau đó vật quay lại đi về vị trí cân bằng. 3
Theo bài, vật đi thêm quãng đường S sau khi đã đi được quãng đường 3S => vật đi
2 S nữa => khoảng cách từ vị trí cân bằng đến vị 3 2 10 2 8 trí của vật lúc này là: A S S S S. 3 3 3 3 đến biên sau đó quay lại đi thêm
Trang 195
2
1 8 1 Bảo toàn cơ năng ta có: W Wđ Wt Wđ k kA 2 2 3S 2 1 64 1 Wđ . .0, 018 .0, 2 Wđ 0, 036J 36mJ. 2 9 2
Chọn đáp án C Vấn đề 8: Dạng bài toán liên quan đến cắt ghép lò xo Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k1, k2, … và chiều dài tương ứng là l1, l2, … thì có: kl = k1l1 = k2l2 = …
l l1 l2 ...;
kl k1l1 k2l2 ...
a. Ghép lò xo: Nối tiếp
1 1 1 = + + ... cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: k k1 k2 1 1 1 T 2 = T12 + T22 + ... 2 = 2 + 2 + ... f f1 f2
Song song: k = k1 + k2 + … cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
1 1 1 = 2 + 2 + ... f 2 = f12 + f 22 + ... 2 T T1 T2 Chú ý: Lò xo có độ cứng k0 cắt làm hai phần bằng nhau thì k1 k 2 k 2k 0 BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Cho 2 lò xo (hai lò xo có cùng độ dãn)có độ cứng lần lượt là k1 và k2. a. Tính độ cứng k của hai lò xo khi chúng được mắc nối tiếp. b. Tính độ cứng k của hai lò xo khi chúng được mắc song song. Hướng dẫn giải: a. Hai lò xo mắc nối tiếp Bố trí hệ lò xo như hình vẽ. Lực tác dụng lên mỗi lò xo và hệ 2 lò xo là F . Gọi k1, k2, ∆l1, ∆l2 là độ cứng và dãn của lò 1 và 2; k và ∆l là độ cứng và độ dãn của hệ lò xo.
Trang 196
F k1 F + Lò xo 2: F k 2 l2 l2 k2 + Hệ 2 lò xo: F kl + Lò xo 1: F k1l1 l1
(1) l1 M
(2)
∆l1
(3)
1 1 F k l1 l2 kF k1 k 2 kk 1 1 1 Suy ra: hay k 1 2 . k1 k 2 k k1 k 2 b. Hai lò xo mắc song song Bố trí hệ lò xo như hình vẽ. Lực tác dụng lên mỗi lò xo F1 và F1 và hệ 2 lò xo là F . Gọi k1, k2 là độ cứng của lò 1 và 2. + Lò xo 1: F1 k1l (1) + Lò xo 2: F2 k 2 l
(2)
+ Hệ 2 lò xo: F F1 F2 kl Từ (1), (2) và (3) ta có: F kl l k1 k 2 .
(3)
M
l2
Từ (1), (2) và (3) ta có:
l2 ∆l
∆l2
F l1
l2
∆l
F1
F2
Suy ra: k k1 k 2 F Câu 2: Một lò xo nhẹ L, chiều dài lo có độ cứng k được cắt thành hai lò xo L1 và L2 có độ dài bằng nhau. a. Dùng một trong hai lò xo đó gắn với một viên bi có khối lượng m để tạo thành một con lắc. Tìm chu kì dao động điều hòa của con lắc này? b. Chập hai đầu của hai lò xo L1 và L2 lại với nhau để tạo thành một lò xo duy nhất có chiều dài
l0 . Gắn vật m vào lò xo này để tạo thành một con lắc. Tìm chu kì 2
dao động điều hòa của con lắc này? c. Lấy hai lò xo L nối tiếp lại với nhau rồi gắn vật m vào một đầu của một lò xo để tạo thành một con lắc. Tìm chu kì dao động điều hòa của con lắc này? Hướng dẫn giải: Để giải quyết dạng bài tập này, điều đầu tiên các em phải chú ý là độ cứng của lò xo tỉ lệ nghịch với chiều dài và chu kì dao động của các con lắc trong các trường hợp này vẫn là T 2π
m . Chỉ có sự khác biệt nhau về độ cứng của lò xo trong các k
trường hợp đề bài đã cho. Trang 197
a. Trường hợp này có k1 2k , suy ra: T1 2π
m . 2k
b. Trường hợp này ta có hai lò xo ghép song song, mỗi lò xo có độ cứng là 2k nên k2 = 4k, suy ra: T2 2π
m m π . 4k k
c. Trường hợp này ta có hai lò xo ghép nối tiếp, mỗi lò xo có độ cứng là k nên
k3
2m k , suy ra: T3 2π . k 2
Câu 3: Hai lò xo có độ cứng là k1, k2 và một vật nặng m = 1 kg. Khi mắc hai lò xo song song thì tạo ra một con lắc dao động điều hoà với ω 1 = 10 5 rad/s, khi mắc nối tiếp hai lò xo thì con lắc dao động với ω 2 = 2 30 rad/s. Giá trị của k1, k2 là: A. 100 N/m, 200 N/m B. 200 N/m, 300 N/m C. 100 N/m, 400 N/m D. 200 N/m, 400 N/m Hướng dẫn giải: Mắc song song: k = k1 + k2 + … Ta có: ω2
Suy ra: k / / k1 k 2 mω12 1. 10 5
2
1 1 1 = + + ... k k1 k2 1 1 1 1 1 Suy ra: 2 k nt k1 k 2 mω2 1. 2 30
k k mω2 . m
500 N/m
(1)
Mắc nối tiếp
2
1 N/m 120
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: k1 = 200 N/m và k2 = 300 N/m.
Chọn đáp án B Câu 4: Khi mắc vật m vào lò xo k1 thì vật dao động điều hòa với chu kỳ T1 = 0,6 s, khi mắc vật m vào lò xo k2 thì vật dao động điều hòa với chu kỳ T2 = 0,8 s. Khi mắc m vào hệ hai lò xo k1, k2 song song thì chu kỳ dao động của m là: A. 0,48s B. 0,70s C. 1,0s D. 1,40s Hướng dẫn giải: Khi mắc m vào hệ hai lò xo k1, k2 song song thì chu kỳ dao động của m
T1T2 1 1 1 2 2 T 2 T T1 T2 T12 T22
0, 6.0,8
0, 6 0, 6 2
2
0, 48 s Chọn đáp án A
Vấn đề 9: Dạng toán con lắc lò xo dao động trong hệ quy chiếu có gia tốc 1. Con lắc lò xo trong điện trường a. Lực điện trường: F = qE . Nếu q > 0 thì F cùng chiều với E. Trang 198
Nếu q < 0 thì F ngược chiều với E. b. Chú ý: Ta phải biết chiều của Lực điện trường liên hệ với trục của lò xo. Suy ra biểu thức xác định đại lượng tìm theo các đại lượng cho và các dữ kiện. Thực hiện tính toán để xác định giá trị đại lượng tìm và lựa chọn câu trả lời đúng B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 (Chuyên Hà Tĩnh lần 5 – 2016): Hai vật nhỏ A và B có cùng khối lượng 1 kg, được nối với nhau bằng sợi dây mảnh, nhẹ, không dẫn điện dài 10 cm. Vật B được tích điện q = 10−6 C. Vật A không nhiễm điện được gắn vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 10N/m. Hệ được đặt nằm ngang trên mặt bàn nhẵn trong điện trường đều có cường độ điện trường 105 V/m hướng dọc theo trục lò xo. Ban đầu hệ nằm yên, lò xo bị giãn. Lấy π2 = 10. Cắt dây nối hai vật, khi lò xo có chiều dài ngắn nhất lần đầu tiên thì A và B cách nhau một khoảng là A. 24 cm B. 4 cm C. 17 cm D. 19 cm Hướng dẫn giải: Xét tại vị trí cân bằng của hệ. Các ngoại lực tác dụng vào hệ bao gồm lực đàn hồi
của lò xo tác dụng vào vật A thì Fđh có chiều từ B đến A; lực điện Fđ tác dụng vào vật B có chiều từ A đến B.
Hệ vật cân bằng: Fđh Fđ 0 Fđh Fđ kl qE l 1cm. Sau khi cắt dây nối hai vật, vật A sẽ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng với A = 1 cm; vật B sẽ chuyển động nhanh dần đều theo hướng AB với
a
qE 0,1m/s 2 . m
Chu kì dao động của vật A là T
2 m 2 2s. k
Khi lò xo có chiều dài ngắn nhất => vật A ở biên âm, cách vị trí ban đầu 2 cm => thời gian từ khi cắt đứt dây đến khi lò xo có chiều dài ngắn nhất là
T 1s. . 2
Quãng đường vật B đi được trong t = 1s là s = 0,5at2 = 5 cm. Vậy khoảng cách giữa A và B khi lò xo có chiều dài ngắn nhất lần đầu tiên là:
2 5 10 17cm. Chọn đáp án C Câu 2: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nặng tích điện q = 20 µC và lò xo có độ cứng k = 10 N/m. Khi vật đang nằm cân bằng, cách điện, trên mặt bàn nhẵn thì Trang 199
xuất hiện tức thời một điện trường đều trong không gian bao quanh có hướng dọc theo trục lò xo. Sau đó con lắc dao động trên một đoạn thẳng dài 4 cm. Độ lớn cường độ điện trường E là: A. 2.104 V/m. B. 2,5.104 V/m. C. 1,5.104 V/m. D. 104 V/m. Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Vì chiều dài đoạn thẳng dao động là 4 cm suy ra biên độ A = 2 cm. Khi vật m dao động hợp của lực điện trường và lực đàn hồi gây gia tốc a cho vật. Tại vị trí biên, vật có gia tốc lớn nhất. Khi đó ta có: Fđ – Fđh = mamax qE – kA = m ω2 A = m k A qE = 2kA. m Suy ra: E 2kA 2.100.0,602 2.104 V/m. q 20.10 Cách giải 2: Ta tưởng tượng đây là con lắc treo thẳng đứng với lực điện đóng vai trò như trọng lực. Ban đầu đưa vật lên vị trí lò xo không biến dạng rồi buông nhẹ, như vậy Δl = A = 2 cm. Tại vị trí cân bằng ta có: Fđh = Fđ kΔl = qE. Suy ra: E 2kA 2.100.0,602 2.104 V/m. q 20.10 Chọn đáp án D 5 Câu 3: Một vật nặng có khối lượng m, điện tích q 5.10 C được gắn vào lò xo có độ cứng k = 10 N/m tạo thành con lắc lò xo nằm ngang. Điện tích trên vật nặng không thay đổi khi con lắc dao động và bỏ qua mọi ma sát. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ 5 cm. Tại thời điểm vật nặng đi qua vị trí cân bằng và có vận tốc hướng ra xa điểm treo lò xo, người ta bật một điện trường đều có cường độ E = 104 V/m, cùng hướng với vận tốc của vật. Khi đó biên độ dao động mới của con lắc lò xo là: A. 10cm. B. 7,07cm. C. 5cm. D. 8,66cm. Hướng dẫn giải: Động năng của vật khi đi qua vị trí cân bằng (khi chưa có điện trường):
mv 02 kA12 . 2 2
Vị trí cân bằng mới (khi có thêm điện trường) lò xo biến dạng một đoạn: l
qE 0,05 m 5 cm. k
Ở thời điểm bắt đầu có điện trường có thể xem đưa vật đến vị trí lò xo có độ biến dạng Δl và truyền cho vật vận tốc v0. Vậy năng lượng mới của hệ là:
kA 22 k l mv02 kA 2 W 2 1 A 2 A1 2 7,07 cm. 2 2 2 2 2 2 k l kA1 (Vì Δl = A1 = 5 cm nên ). 2 2 Chọn đáp án B 2
Trang 200
Câu 4: Treo con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 200 g vào lò xo có độ cứng k = 80 N/m và chiều dài tự nhiên l0 = 24 cm trong thang máy. Cho thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc a = 2 m/s2. Lấy g 10 m/s 2 . a. Tính độ biến dạng của lò xo khi vật nặng ở vị trí cân bằng. b. Kích thích cho con lắc lò xo dao động với biên độ nhỏ theo phương thẳng đứng. Chứng minh dao động của con lắc là điều hoà. Tính chu kì dao động của con lắc và nhận xét kết quả. Hướng dẫn giải: a. Trong HQC có gia tốc, con lắc chịu thêm lực quán tính Fqt ma . Thang máy đi lên nhanh dần đều suy ra: a v Fqt hướng xuống ( Fqt P ). Tại vị trí cân bằng: P Fñh Fqt 0 mg kΔl0 ma 0
a
m(g a) 0, 2. 10 2 l0 0,03 m 3 cm. k 80
O: VTCB b. Chọn trục Ox ( ) Tại vị trí x: lò xo dãn l0 + x ; Theo ĐL II Newton:
F P Fñh Fqt ma x'' ω2 x' 0 với ω2
v
F ñh m
Fqt
O
P
k . m
Vậy con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì : T 2π
m = 0,314 s. k
Câu 5: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 250 g gắn vào lò xo có độ cứng k = 100 N/m và chiều dài tự nhiên là l0 = 30 cm. Treo con lắc trong một thang máy. Cho thang máy chuyển động đi lên nhanh dần đều với vận tốc ban đầu bằng không và gia tốc là a thì thấy rằng lò xo có chiều dài l1 = 33 cm. Lấy g 10 m/s 2 . a. Tính gia tốc a của thang máy. b. Kéo vật nặng thẳng đứng xuống dưới đến vị trí sao cho lò xo có chiều dài l2 = 36 cm rồi thả nhẹ cho dao động điều hoà. Tính chu kì và biên độ dao động của con lắc. Hướng dẫn giải: a. Ta có: l0 l1 l0 = 33 – 30 = 3 cm.
kΔl0 g = thay số = 2 m/s2. m m b. Chu kì: T 2π = thay số = 0,314 s. k
Suy ra: a
Trang 201
Biên độ: A A l2 l1 = 36 – 33 = 3 cm. Câu 6: Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương thẳng đứng tại nơi có gia tốc trọng trường g. Đưa con lắc này lên thang máy đang chuyển động nhanh dần đều hướng lên với gia tốc a
g . So với thang máy khi đứng yên, độ dãn của lò xo 10
ở vị trí cân bằng sẽ: A. tăng 10%. B. giảm 20%. C. tăng 1%. Hướng dẫn giải:
D. không thay đổi.
Độ dãn của con lắc lò xo tại nơi có gia tốc trọng trường g: l
mg k
(1)
Độ dãn của con lắc này lên thang máy đang chuyển động nhanh dần đều hướng lên
g mg m g a g 10 11 mg . với gia tốc a : l ' 10 k k 10 k mg l 1 Từ (1) và (2) suy ra: k 0,9 . l ' 11 . mg 11 10 k
(2)
Vậy so với thang máy khi đứng yên, độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng sẽ tăng 1%. Chọn đáp án B Câu 7: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật m = 100 g nối với lò xo có độ cứng k = 100 N/m, đầu kia lò xo gắn vào điểm cố định. Từ vị trí cân bằng đẩy vật sao cho lò xo nén 2 3 cm rồi buông nhẹ. Khi vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên thì tác
dụng lên vật lực F không đổi cùng chiều vận tốc có độ lớn F = 2N. Khi đó vật dao động điều hòa với biên độ A1. Sau thời gian
1 s kể từ khi tác dụng lực F , ngừng 30
tác dụng lực F . Khi đó vật dao động điều hòa với biên độ A2. Biết trong quá trình sau đó lò xo luôn nằm trong giới hạn đàn hồi. Bỏ qua ma sát giữa vật và sàn. Tỉ số
A2 bằng A1 A.
7 2
B. 2
C. 14 .
D. 2 7
Hướng dẫn giải: Fđh F
-2 3
0
O’
Trang 202
4
x
T/6 -2 Ta có: =
O’
2
A1
x’
k 1 = 10 ; T = s 5 m
Sau khi buông vật, vật qua VTCB với vận tốc : V0 = A = 10.2 3 = 20 3 cm/s
Tác dụng lên vật lực F , VTCB mới của vật là O’ (là nơi F và Fđh cân bằng): kx0 = F => x0 = 0,02 m = 2 cm = OO’ x 0 2 cm Với trục toa độ Ox’, gốc tọa độ O’, vật ở VT O có: v 0 20 3 cm / s
v 02 = 16 => A1 = 4cm 2 A 1 T + Sau thời gian s => vật tới li độ x’ = 1 = 2 cm và có vận tốc : 30 6 2 + Biên độ A1 : A12 = x02 +
v12 = 2(A12 - x’2) => v1 = 20 3 cm/s
Khi ngừng tác dụng lực F , vật lại có VTCB: O x1 4 cm 1 T + Ngay tại thời điểm s vật có 30 6 v1 20 3 cm / s + Biên độ A2 : A22 = x12 +
v12 = 28 => A1 = 2 7 cm. 2 Chọn đáp án D
Vấn đề 10: Dạng bài toán va chạm của hệ vật, hệ lò xo có liên quan đến lực ma sát BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k = 2 N/m, vật nhỏ khối lượng m = 80 g, dao động trên mặt phẳng nằm ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là μ = 0,1. Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10 cm rồi thả nhẹ. Cho gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Tốc độ lớn nhất mà vật đạt được bằng: A. 0,36 m/s B. 0,25 m/s C. 0,50 m/s D. 0,30 m/s Hướng dẫn giải: Trang 203
Vật có tốc độ cực đại khi gia tốc bằng 0; tức là lúc Fhl Fñh Fms 0 lần đầu tiên tại N:ON = x kx = mg x = mg/k = 0,04 m = 4 cm. Khi đó vật đã đi được quãng đường S = MN = 10 – 4 = 6 cm = 0,06 m. Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có: N mv 2max kx 2 kA 2 x F ñh + = μmgS
2
2
2
Fms
(Công của lực ma sát Fms = mgS)
mv 2max kA 2 kx 2 = μmgS 2 2 2
-A
O
N
x
A A 2 P
(+)
0, 08v 2max 2.0,12 2.0, 042 0,1.0, 08.10.0, 06 = 0,0036 2 2 2 v 2max = 0, 09 vmax = 0,3 m/s = 30 cm/s.
Chọn đáp án D Câu 2 (ĐH Khối A, 2010): Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt của giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là A. 40 3 cm/s
B. 20 6 cm/s
C. 10 30 cm/s
D. 40 2 cm/s Hướng dẫn giải: Vì cơ năng của con lắc giảm dần nên vận tốc của vật sẽ có giá trị lớn nhất tại vị trí nằm trong đoạn đường từ lúc thả vật đến lúc vật qua VTCB lần thứ nhất ( 0 x A ): 1 Tính từ lúc thả vật (cơ năng kA 2 ) đến vị trí bất kỳ có li độ x ( 0 x A ) và có 2 1 1 vận tốc v (cơ năng mv 2 kx 2 ) thì quãng đường đi được là (A – x). 2 2 Độ giảm cơ năng của con lắc:
1 2 1 1 kA mv 2 kx 2 μmg(A x) 2 2 2 2 2 2 (1) mv kx 2μmgx kA 2μmgA 2 2 2 Xét hàm số: y f(x) mv kx 2μmgx kA 2μmgA ΔW A ms
Dễ thấy rằng đồ thị hàm số y = f(x) có dạng là parabol, bề lõm quay xuống dưới (a b μmg = – k < 0), như vậy y = mv2 có giá trị cực đại tại vị trí x 0,02 m. 2a k Trang 204
Thay x = 0,02 m vào (1) ta tính được vmax = 40 2 cm/s. Chọn đáp án D Câu 3: Cho hai vật nhỏ A và B có khối lượng A lần lượt là m1 = 900 g, m2 = 4 kg đặt trên mặt phẳng C v B k nằm ngang. Hệ số ma sát trượt giữa A, B và mặt phẳng ngang đều là = 0,1; coi hệ số ma sát nghỉ cực đại bằng hệ số ma sát trượt. Hai vật được nối với nhau bằng một lò xo nhẹ có độ cứng k = 15 N/m; B tựa vào tường thẳng đứng. Ban đầu hai vật nằm yên và lò xo không biến dạng. Vật nhỏ C có khối lượng m = 100 g bay dọc theo trục của lò xo với vận tốc v đến va chạm hoàn toàn mềm với A (sau va chạm C dính liền với A). Bỏ qua thời gian va chạm. Lấy g = 10 m/s2. Giá trị nhỏ nhất của v để B có thể dịch chuyển sang trái là A. 1,8 m/s B. 18 m/s C. 9 m/s D. 18 cm/s Hướng dẫn giải: Để B có thể dịch sang trái thì lò xo phải giãn một đoạn ít nhất là xo sao cho: Fđh = Fms kxo = m2g 150xo = 40 x 0
4 m. 15
Như thế, vận tốc vo mà hệ (m1 + m) có khi bắt đầu chuyển động phải làm cho lò xo có độ co tối đa x sao cho khi nó dãn ra thì độ dãn tối thiểu phải là xo. Suy ra:
1 2 1 kx (m1 m)g(x x o ) kx o2 75x 2 10x 8 0 x 0, 4 m. 2 2 1 1 Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: (m1 m)v o2 kx 2 (m1 m)gx. 2 2 Từ đó tính được: vo min 1,8 m/s vmin 18 m/s. Chọn đáp án B Câu 4: Con lắc lò xo gồm vật nặng M = 300 g, lò xo có độ cứng k = 2 00N/m lồng vào một trục thẳng đứng như hình bên. Khi M đang ở vị trí cân bằng, thả vật m = 200 g từ độ cao h = 3,75 cm so với M. Lấy g = 10 m/s2. Bỏ qua ma sát. Va chạm là mềm. Sau va chạm cả hai vật cùng dao động điều hòa. Chọn trục tọa độ thẳng đứng hướng lên, gốc tọa độ là vị trí cân bằng của M trước khi va chạm, gốc thời gian là lúc va chạm. Phương trình dao động của hai vật là :
π 1 cm 3 π C. x 2 cos 2πt cm 3 A. x 2 cos 2πt
π 1 cm 3 π D. x 2 cos 2πt cm 3 B. x 2 cos 2πt
Hướng dẫn giải: Chọn mốc thế năng tại O (Vị trí cân bằng của M trước va chạm) Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m ta có :
mgh
1 mv 2 v 2gh 0,866 m/s 2
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: Trang 205
mv m M V V
mv 0,3464 m/s mM
Khi có thêm vật m vị trí cân bằng mới O’ cách O một đoạn : l
mg 1 cm k
Như vậy hệ (m + M ) sẽ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O’ cách O một đoạn 1 cm. Phương trình dao động của hệ (m + M) khi gốc tọa độ tại O có dạng là: x A cos(t ) 1 cm.
k 20 rad/s Mm x 0 0 Acosφ 1 0 Khi t = 0 : ωAsinφ 34, 64 v0 V Tần số góc : ω
Giải hệ phương trình trên ta được: A = 2cm ; φ
+ Phương trình dao động là : x 2 cos 2πt
π . 3
π 1 (cm) . 3
Chọn đáp án A Câu 5: Cho cơ hệ như hình bên. Biết M = 1,8 kg, lò xo nhẹ độ cứng k = 100 N/m. Một vật khối M m lượng m = 200g chuyển động với tốc độ v0 = 5 m/s đến va vào M (ban đầu đứng yên) theo trục của lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa M và mặt phẳng ngang là μ = 0,2. Coi va chạm hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm. Tốc độ cực đại của M sau khi lò xo bị nén cực đại là: A. 1 m/s B. 0,8862 m/s C. 0,4994 m/s D. 0,4212 m/s Hướng dẫn giải: Chọn gốc tọa độ là vị trí lò xo bị nén cực đại, chiều dương sang phải
ĐL bảo toàn động lượng: mv 0 mv1 Mv 2 mv 0 mv1 Mv 2 (1) 2
Động năng bảo toàn:
mv 0
2 2mv 0
2
mv1 2
2
Mv 2 2
(2)
1 m/s mM Định luật bảo toàn năng lượng: Từ (1), (2) có: v2 =
Mv 22 k lmax μMglmax lmax 0,103 m 2 2 2
Tốc độ của M đạt cực đại tại vị trí có:
Fms Fđh μMg kx x
μMg 0,036 m k Trang 206
Định luật bảo toàn năng lượng:
k lmax Mv 2max kx 22 μMg lmax x v max 0,4994 m/s. 2 2 2 2
Chọn đáp án C Câu 6: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật M có khối lượng 500 g dao động điều hòa với biên độ 8 cm. Khi M qua vị trí cân bằng người ta thả nhẹ vật m có khối lượng 300 g lên M (m dính chặt ngay vào M), sau đó hệ m và M dao động với biên độ A. 2 5 cm. B. 2 6 cm. C. 3 6 cm. D. 2 10 cm. Hướng dẫn giải: Do khi M qua vị trí cân bằng thì thả vật m dính lên nên để tìm biên độ của hệ M và m thì ta tìm vận tốc ngay sau khi thả của hệ. Từ đó ta tìm được biên độ của hệ. Cụ thể: Áp dụng định luật bảo toàn động lượng (va chạm mềm), ta có: MωA m M ω'A' B’ A O A B ’ k Mv max m M v'max ω M ' k ω M m k k M M A m M A' A' A 2 10 cm. M mM mM Chọn đáp án D Lưu ý: - Khi chưa thả M thì ω
k . M
- Khi thả m dính vào M thì ω'
k . Mm
Câu 7: Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có độ cứng k = 100 N/m, m1 = 100 g, m2 = 150 g. Bỏ qua ma sát giữa m1 và mặt sàn nằm ngang, ma sát giữa m1 và m2 là µ12 = 0,8. Biên độ dao động của vật m1 bằng bao nhiêu để hai vật không trượt lên nhau: A. A ≤ 0,8 cm. B. A ≤ 2 cm C. A ≤ 7,5 cm D. A ≤ 5cm Hướng dẫn giải: Để không trượt: Lực quán tính cực đại nhỏ hơn lực m2 ma sát: k m1 Trang 207
m 2 22 A m 2 g A
g 2 cm . k m1 m 2
Chọn đáp án C Câu 8: Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k = 50 N/m. vật m1 = 200 g vật m2 = 300 g. Khi m2 đang cân bằngta thả m1 từ độ cao h (so với m2). Sau va chạm m2 dính chặt với m1, cả hai cùng dao động với biên độ A = 10 cm. Độ cao h là: A. h = 0,2625 m B. h = 25 cm C. h = 0,2526 m D. h = 2,5 cm Hướng dẫn giải: Trước va chạm lò xo lén 6 cm. Sau va chạm lò xo nén 10 cm (VTCB), vậy tọa độ va chạm x = 4 cm. Vận tốc của hệ ngay lúc va chạm:
m1 v2 2 2 v 2gh A x 2 h 0, 2625 cm. m1 m 2 Chọn đáp án A Câu 9: Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có khối lượng không đáng kể m1 có độ cứng k = 100 N/m. vật m1 = 150 g vật m2 = 100 g. Bỏ qua lực m2 cản của không khí, lấy g = 10 m/s2. m1 và m2 cùng dao động. Hỏi biên độ của hai vật bằng bao nhiêu thì m1 không rời khỏi m2? k A. A bất kì. B. A ≤ 2 cm C. A ≤ 2,5 cm D. A ≤ 5cm Hướng dẫn giải: Ta có: A
g 2,5 cm. 2
Chọn đáp án C Câu 10: Hai vật A và B có cùng khối lượng 1 kg và có kích thước nhỏ được nối với nhau bởi sợi dây mảnh nhẹ dài 10 cm, hai vật được treo vào lò xo có độ cứng k = 100 N/m tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Lấy π2 = 10. Khi hệ vật và lò xo đang ở vị trí cân bằng đủ cao so với mặt đất, người ta đốt sợi dây nối hai vật và vật B sẽ rơi tự do còn vật A sẽ dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Lần đầu tiên vật A lên đến vị trí cao nhất thì khoảng cách giữa hai vật bằng: A. 80cm B. 20cm. C. 70cm D. 50cm Hướng dẫn giải: Tại vị trí cân bằng trọng lực tác dụng lên vật A cân bằng với lực đàn hồi. PA + PB = Fđh m A m B g Fđh Fđh 2mg (coi mA = mB = m) Khi người ta đốt dây vật A chỉ còn chịu tác dụng của lực đàn hồi và trọng lực của vật A. Lực tác dụng lên vật A lúc này là: F = Fđh – PA = 2mg – mg = mg Lực này gây ra cho vật gia tốc a. Vật đang ở vị trí biên nên a chính là gia tốc cực đại: Trang 208
F mg g g Aω2 A 2 0,1 m m m ω Khi đốt dây vật A đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhât mất nửa chu kì: T 1 t s 2 10 Cũng trong khoảng thời gian ấy vật B rơi tự do được quãng đường: F ma a
g t S 0,5 m 2 Vậy khoảng cách giữa A và B lúc này là : D 2A l S 80 cm . 2
Chọn đáp án A CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Phát biểu nào sau đây là không đúng với con lắc lò xo ngang? A. Chuyển động của vật là chuyển động thẳng. B. Chuyển động của vật là chuyển động biến đổi đều. C. Chuyển động của vật là chuyển động tuần hoàn. D. Chuyển động của vật là một dao động điều hoà. Câu 2: Con lắc lò xo ngang dao động điều hoà, vận tốc của vật bằng không khi vật chuyển động qua A. vị trí cân bằng. B. vị trí vật có li độ cực đại. C. vị trí mà lò xo không bị biến dạng. D. vị trí mà lực đàn hồi của lò xo bằng không. Câu 3: Một vật nặng treo vào một lò xo làm lò xo giãn ra 0,8 cm. Lấy g = 10 m/s2. Chu kỳ dao động của vật là: A. T = 0,178 s. B. T = 0,057 s. C. T = 222 s. D. T = 1,777 s Câu 4: Trong dao động điều hoà của con lắc lò xo, phát biểu nào sau đây là không đúng? A. Lực kéo về phụ thuộc vào độ cứng của lò xo. B. Lực kéo về phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng. C. Gia tốc của vật phụ thuộc vào khối lượng của vật. D. Tần số góc của vật phụ thuộc vào khối lượng của vật. Câu 5: Con lắc lò xo gồm vật khối lượng m và lò xo có độ cứng k, dao động điều hoà với chu kỳ A. T 2
m k
C. T 2
l g
B. T 2
k m
D. T 2
Trang 209
g l
Câu 6: Con lắc lò xo dao động điều hoà, khi tăng khối lượng của vật lên 4 lần thì tần số dao động của vật A. tăng lên 4 lần. B. giảm đi 4 lần. C. tăng lên 2 lần. D. giảm đi 2 lần. Câu 7: Con lắc lò xo gồm vật m = 100g và lò xo k = 100 N/m. Lấy π2 = 10. Dao động điều hoà với chu kỳ là: A. T = 0,1 s. B. T = 0,2 s. C. T = 0,3s. D. T = 0,4s. Câu 8: Con lắc lò xo gồm vật m = 200g và lò xo k = 50N/m. Lấy π2 = 10. Dao động điều hoà với chu kỳ là A. T = 0,2s. B. T = 0,4s. C. T = 50s. D. T = 100s. Câu 9: Một con lắc lò xo dao động điều hoà với chu kỳ T = 0,5s, khối lượng của quả nặng là m = 400g. Lấy π2 = 10. Độ cứng của lò xo là A. k = 0,156 N/m. B. k = 32 N/m. C. k = 64 N/m. D. k = 6400 N/m. Câu 10: Con lắc lò xo ngang dao động với biên độ A = 8cm, chu kỳ T = 0,5s, khối lượng của vật là m = 0,4kg. Lấy π2 = 10. Giá trị cực đại của lực đàn hồi tác dụng vào vật là A. Fmax = 525 N. B. Fmax = 5,12 N. C. Fmax = 256 N. D. Fmax = 2,56 N. Câu 11: Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng 0,4 kg gắn vào đầu lò xo có độ cứng 40 N/m. Người ta kéo quả nặng ra khỏi VTCB một đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho nó dao động. Phương trình dao động của vật nặng là A. x = 4cos(10t)cm. C. x = 4cos(10πt -
)cm. 2
)cm. 2 D. x = 4cos(10πt + )cm. 2 B. x = 4cos(10t -
Câu 12: Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng 0,4kg gắn vào đầu lò xo có độ cứng 40N/m. Người ta kéo quả nặng ra khỏi VTCB một đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho nó dao động. Vận tốc cực đại của vật nặng là: A. vmax = 160cm/s. B. vmax = 80cm/s. C. vmax = 40cm/s. D. vmax = 20cm/s. Câu 13: Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng 0,4kg gắn vào đầu lò xo có độ cứng 40N/m. Người ta kéo quả nặng ra khỏi VTCB một đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho nó dao động. Cơ năng dao động của con lắc là: A. E = 320J. B. E = 6,4.10-2J. C. E = 3,2.10-2J. D. E = 3,2J. Câu 14: Con lắc lò xo gồm lò xo k và vật m, dao động điều hoà với chu kỳ T = 1s. Muốn tần số dao động của con lắc là f’ = 0,5Hz, thì khối lượng của vật m phải là A. m’ = 2m. B. m’ = 3m. C. m’ = 4m. D. m’ = 5m. Câu 15: Một con lắc lò xo gồm một quả nặng có khối lượng m = 400g và một lò xo có độ cứng k = 40N/m. Người ta kéo quả nặng ra khỏi VTCB một đoạn bằng 8cm và thả cho nó dao động. Phương trình dao động của quả nặng là A. x = 8cos0,1t (cm). B. x = 8cos0,1πt (cm). C. x = 8cos10πt (cm). D. x = 8cos10t (cm).
Trang 210
Câu 16: Một con lắc lò xo gồm quả nặng khối lượng 1kg và một lò xo có độ cứng 1600N/m. Khi quả nặng ở VTCB, người ta truyền cho nó vận tốc ban đầu bằng 2m/s. Biên độ dao động của quả nặng là A. A = 5m. B. A = 5cm. C. A = 0,125m. D. A = 0,125cm. Câu 17: Một con lắc lò xo gồm quả nặng khối lượng 1kg và một lò xo có độ cứng 1600N/m. Khi quả nặng ở VTCB, người ta truyền cho nó vận tốc ban đầu bằng 2m/s theo chiều dương trục toạ độ. Phương trình li độ dao động của quả nặng là
)m. 2 C. x = 5cos(40t - )cm. 2 A. x = 5cos(40t -
B. x = 0,5cos(40t +
)m. 2
D. x = 0,5cos(40t)cm.
Câu 18: Khi gắn quả nặng m1 vào một lò xo, nó dao động với chu kỳ T1 = 1,2s. Khi gắn quả nặng m2 vào một lò xo, nó dao động với chu kỳ T2 = 1,6s. Khi gắn đồng thời m1 và m2 vào lò xo đó thì chu kỳ dao động của chúng là A. T = 1,4s. B. T = 2,0s. C. T = 2,8s. D. T = 4,0s. Câu 19: Khi mắc vật m vào lò xo k1 thì vật m dao động với chu kỳ T1 = 0,6s, khi mắc vật m vào lò xo k2 thì vật m dao động với chu kỳ T2 =0,8s. Khi mắc vật m vào hệ hai lò xo k1 nối tiếp với k2 thì chu kỳ dao động của m là A. T = 0,48s. B. T = 0,70s. C. T = 1,00s. D. T = 1,40s. Câu 20: Khi mắc vật m vào lò xo k1 thì vật m dao động với chu kỳ T1 = 0,6s, khi mắc vật m vào lò xo k2 thì vật m dao động với chu kỳ T2 =0,8s. Khi mắc vật m vào hệ hai lò xo k1 song song với k2 thì chu kỳ dao động của m là A. T = 0,48s. B. T = 0,70s. C. T = 1,00s. D. T = 1,40s. Câu 21: Con lắc lò xo gồm vật m và lò xo k dao động điều hòa, khi mắc thêm vào vật m một vật khác có khối lượng gấp 3 lần vật m thì chu kì dao động của chúng A. tăng lên 3 lần B. giảm đi 3 lần C. tăng lên 2 lần D. giảm đi 2 lần Câu 22: Khi treo vật m vào lò xo k thì lò xo giãn ra 2,5cm, kích thích cho m dao động. Chu kì dao động tự do của vật là : A. 1 s. B. 0,5 s. C. 0,32 s. D. 0,28 s. Câu 23: Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Vật có khối lượng m = 0,2 kg. Trong 20 s con lắc thực hiện được 50 dao động. Tính độ cứng của lò xo. A. 60 N/m B. 40 N/m C. 50 N/m D. 55 N/m Câu 24: Hai lò xo có chiều dài bằng nhau độ cứng tương ứng là k1, k2. Khi mắc vật m vào một lò xo k1, thì vật m dao động với chu kì T1 0,6 s. Khi mắc vật m vào lò xo k2, thì vật m dao động với chu kì T2 0,8 s. Khi mắc vật m vào hệ hai lò xo k1 song song với k2 thì chu kì dao động của m là. A. 0,48 s B. 0,7 s C. 1,00 s D. 1,4 Câu 25: Vật có khối lượng m = 160 g được gắn vào lò xo có độ cứng k = 64 N/m đặt thẳng đứng, vật ở trên. Từ vị trí cân bằng, ấn vật xuống theo phương thẳng đứng đoạn 2,5 cm và buông nhẹ. Chọn trục Ox hướng lên, gốc tại vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc buông vật. Lực tác dụng lớn nhất và nhỏ nhất lên giá đỡ là (g = 10 m/s2) Trang 211
A. 3,2 N; 0 N B. 1,6 N; 0 N C. 3,2 N; 1,6 N D. 1,760 N; 1,44 N Câu 26: Trên mặt phẳng nghiêng = 300 đặt con lắc lò xo. Vật có độ cứng 64 N/m, khối lượng vật là 160 g, vật ở dưới. Bỏ qua mọi ma sát. Từ vị trí cân bằng, kéo vật xuống theo phương trục lò xuống 1 đoạn 1 cm và buông nhẹ. Lực tác dụng lớn nhất và nhỏ nhất lên giá đỡ là (g = 10 m/s2) A. 1,6N; 0N B. 1,44N; 0,16N C. 3,2N; 1,6N D. 1,760N; 1,44N Câu 27: Vật có khối lượng m = 160 g được gắn vào lò xo có độ cứng k = 64 N/m đặt thẳng đứng, vật ở dưới. Từ vị trí cân bằng, ấn vật xuống theo phương thẳng đứng đoạn 2,5 cm và buông nhẹ. Chọn trục Ox hướng lên, gốc tại vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc buông vật. Phương trình dao động của vật là :
cm 2 D. x 5cos 20t cm
A. x 2,5cos 20t mm
B. x 2,5cos 20t
C. x 2,5cos 20t cm
Câu 28: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. kick thích dao động đều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm . Chọn trục x’x phương thẳng đứng. Chiều dương hướng lên trên, gốc tọa độ tại VTCB, gốc thời gian t = 0 khi lực đàn hồi của lò xo cực tiểu và cđ theo chiều trục tọa độ. Lấy g = π2 = 10 m/s2. Thời gian ngắn nhất kể từ t = 0 đến khi lực đàn hồi cực đại là A.
4 s. 15
B.
2 s. 15
C.
7 s. 15
D.
11 s. 15
Câu 29: Con lắc lò xo treo vào giá cố định, khối lượng vật nặng là m 100g. Con lắc dao động điều hoà theo phương trình x cos(10 5 t) cm. Lấy g 10 m/s2. Lực đàn hồi cực đại và cực tiểu tác dụng lên giá treo có giá trị là A. Fmax 1,5 N; Fmin = 0,5 N B. Fmax = 1,5 N; Fmin= 0 N C. Fmax = 2 N; Fmin = 0,5 N D. Fmax= 1 N; Fmin= 0 N. Câu 30: Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hòa với phương trình x 2 cos 20t (cm). Chiều dài tự nhiên của lò xo là l0 30 cm, lấy g 10 m/s2. Chiều dài nhỏ nhất và lớn nhất của lò xo trong quá trình dao động lần lượt là A. 28,5 cm và 33 cm. B. 31cm và 36cm. C. 30,5 cm và 34,5 cm. D. 32 cm và 34 cm. Câu 31: Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với năng lượng dao dộng là 1 J và lực đàn hồi cực đại là 10 N. I là đầu cố định của lò xo. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp điểm I chịu tác dụng của lực kéo là 5 3 N là 0,1s. Quãng đường dài nhất mà vật đi được trong 0,4 s là : A. 60 cm B. 64 cm C.115 cm D. 84 cm Câu 32: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng được kích thích cho dao động điều hòa. Thời gian quả cầu đi từ vị trí cao nhất đến vị trí thấp nhất là 1,5 s và tỉ số giữa độ lớn của lực đàn hồi lò xo và trọng lượng quả cầu gắn ở đầu con lắc khi nó ở vị trí thấp nhất là 76 . Lấy gia tốc rơi tự do là g = 2 m/s2. Biên độ dao động là: 75 Trang 212
A. 5 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 2 cm Câu 33: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 100 N/m dao động điều hòa phương
trình x A cos t . Biểu thức thế năng là: E t 0,1cos 4t
1 J . 2
Phương trình li độ là:
A. x 2 cos 2t
cm 2
C. x 2 10 cos 2t
cm 4
B. x 4 cos 2t
cm 4
D. x 2 2 cos 2t
cm 2
Câu 34: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có độ cứng 10 N/m, vật có khối lượng 25 g, lấy g = 10 m/s2. Ban đầu người ta nâng vật lên sao cho lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ cho vật dao động, chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động, trục ox thẳng đứng chiều dương hướng xuống. Động năng và thế năng của vật bằng nhau vào những thời điểm là: A. t
3π kπ s. 80 40
C. t
π kπ s. 80 40
B. t
3π kπ s. 80 20
D. t
3π kπ s. 80 10
Câu 35: Con lắc lò xo nằm ngang, gồm lò xo có độ cứng k = 100 N/m, vật nặng khối lượng 100 g, được tích điện q 2.105 C (cách điện với lò xo, lò xo không tích
điện). Hệ được đặt trong điện trường đều có E nằm ngang (E = 105 V/m). Bỏ qua mọi ma sát, lấy 2 = 10. Ban đầu kéo lò xo đến vị trí dãn 6 cm rồi buông cho nó dao động điều hòa (t = 0). Xác định thời điểm vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ 2013? A. 201,30 s. B. 402,46 s. C. 201,27 s. D. 402,50 s. Câu 36: Một con lắc lò xo gồm quả cầu nhỏ m mang điện tích q = + 5. 10-5 C và lò xo có độ cứng k = 10 N/m, dao động điều hòa với biên độ 5cm trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát. Tại thời điểm quả cầu đi qua vị trí cân bằng và có vận tốc hướng ra xa điểm gắn lò xo với giá nằm ngang, người ta bật một điện trường đều có cường độ E = 104 V/m, cùng hướng với vận tốc của vật. Tỉ số tốc độ dao động cực đại của quả cầu sau khi có điện trường và tốc độ dao động cực đại của quả cầu trước khi có điện trường bằng A. 2.
B. 3 .
C. Trang 213
2.
D. 3 .
Câu 37: Một con lắc lò xo nằm ngang trên mặt bàn nhẵn cách điện gồm vật nặng tích điện q = 100 µC, lò xo có độ cứng k = 100 N/m. trong một điện trường đều E có hướng dọc theo trục lò xo theo chiều lò xo giãn Từ VTCB kéo vật một đoạn 6cm rồi thả nhẹ, vật dao động điều hòa, Tốc độ khi qua VTCN là 1,2 m/s. Độ lớn cường độ điện trường E là 2,5.104 V/m. Thời điểm vật qua vị trí có Fđh = 0,5 N lần thứ 2 A.
s 10
B.
s 30
C.
s 20
D.
s 5
Câu 38: Lò xo nhẹ có độ cứng k, một đầu treo vào điểm cố định, đầu còn lại gắn với quả nặng có khối lượng m. Khi m ở vị trí cân bằng thì lò xo bị dãn một đoạn Δl. Kích thích cho quả nặng dao động điều hòa theo phương thẳng đứng xung quanh vị trí cân bằng của nó với chu kì T. Xét trong một chu kì dao động thì thời gian mà độ lớn gia tốc của quả nặng lớn hơn gia tốc rơi tự do g tại nơi treo con lắc là
2T . Biên 3
độ dao động A của quả nặng m là A.
l . 2
B.
2l .
C. 2l .
D.
3l .
Câu 39: Một con lắc lò xo nằm ngang có vật nhỏ khối lượng m, dao động điều hoà với biên độ A. Khi vật đến vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng thì một vật khác m' (cùng khối lượng với vật m) rơi thẳng đứng và dính chặt vào vật m thì khi đó 2 vật tiếp tục dao động điều hoà với biên độ 5 7 5 2 A A A A A. B. C. D. 2 2 2 4 2 Câu 40: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 40 N/m đầu trên được giữ cố định còn phia dưới gắn vật m. Nâng m lên đến vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ 2,5 cm. Lấy g 10 m/s 2 .Trong quá trình dao động, trọng lực của m có công suất tức thời cực đại bằng A. 0,41 W B. 0,64 W C. 0,5 W D. 0,32 W Câu 41: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng đang dao động tự do. Biết khoảng thời gian mỗi lần diễn ra lò xo bị nén và véc tơ vận tốc, gia tốc cùng chiều bằng 0,05π s. Lấy g = π2 = 10. Vận tốc cực đại bằng A. 20 cm/s B. 2 m/s C. 10 cm/s D. 10 2 cm/s Câu 42: Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m và lò xo có độ cứng k dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số góc 5 rad/s ở nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2; lấy 2 = 10. Biết gia tốc cực đại của vật nặng amax > g. Trong thời gian một chu kì dao động, thời gian lực đàn hồi của lò xo và lực kéo về tác dụng vào vật cùng hướng là t1, thời gian 2 lực đó ngược hướng là t2. Cho t1 = 5t2. Trong một chu kì dao động, thời gian lò xo bị nén là : A.
1 s 15
B.
2 s 3
C.
2 s 15
Trang 214
D.
1 s 30
Câu 43: Một con lắc lò xo có khối lượng quả nặng là m, lò xo có độ cứng k, đang cân bằng trên mặt phẳng nghiêng một góc 370 so với mặt phẳng ngang(sin70 = 0,6). Gọi l là độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng. Tăng góc nghiệng thêm 160, khi vật ở vị trí cân bằng thì lò xo dài thêm 2cm. Bỏ qua ma sát, lấy g = 10 m/s2. Tần số dao động riêng của con lắc là: A. 12,5 rad/s B. 10 rad/s C. 15 rad/s D. 5 rad/s Câu 44: Một lò xo nhẹ, dài tự nhiên 20 cm, dãn ra 1 cm dưới tác dụng của lực kéo 0,1 N. Đầu trên của lò xo gắn vào điểm O, đầu dưới treo vật nặng 10 g. Hệ đang đứng yên. Quay lò xo quanh trục thẳng đứng qua O với một tốc độ góc không đổi, thì thấy trục lò xo làm với phương thẳng đứng góc 600. Lấy g = 10 m/s2. Chiều dài của lò xo và tốc độ quay xấp xỉ bằng A. 20 cm; 15 vòng/s B. 22 cm; 15 vòng/s C. 20 cm; 1,5 vòng/s D. 22 cm; 1,5 vòng/s Câu 45: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với chu kỳ T = 2π s, quả cầu nhỏ có khối lượng m1. Khi lò xo có độ dài cực đại và vật m1 có gia tốc là – 2 cm/s2 thì một vật có khối lượng m2 (m1 = 2m2) chuyển động dọc theo trục của lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với vật m1, có hướng làm lò xo nén lại. Biết tốc độ chuyển động của vật m2 ngay trước lúc va chạm là 3 3 cm/s. Quãng đường mà vật m1 đi được từ lúc va chạm đến khi vật m1 đổi chiều chuyển động là A. 6 cm. B. 6,5 cm. C. 2 cm. D. 4 cm. Câu 46 Một lò xo nhẹ có độ cứng k, một đầu treo vào một vào một điểm cố định, đầu dưới treo vật nặng 100g. Kéo vật nặng xuống dưới theo phương thẳng đứng rồi thả nhẹ. Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 5coss4πt cm lấy g = 10 m/s2 và π 2=10. Lực dùng để kéo vật trước khi dao động có độ lớn A 0,8 N B 1,6 N C 6,4 N D 3,2 N Câu 47: Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 10g, độ cứng lò xo là 100 π 2 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở gốc tọa độ). Biên độ của con lắc dao động thứ nhất lớn gấp đôi con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều nhau, Khoảng thời gian giữa ba lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp là: A. 0,03 s B. 0,02 s C. 0,04 s D. 0,01 s Câu 48: Hai con lắc lò xo nằm ngang có chu kì T1
T2 . Kéo lệch các vật nặng tới 2
vị trí cách các vị trí cân bằng của chúng một đoạn A như nhau và đồng thời thả cho chuyển động không vận tốc đầu. Khi khoảng cách từ vật nặng của con lắc đến vị trí cân bằng của chúng đều là b (0 < b < A) thì tỉ số độ lớn vận tốc của các vật nặng là: A.
v1 1 v2 2
B.
v1 2 v2 2
C.
v1 2 v2
Trang 215
D.
v1 2 v2
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Chọn B. Hướng dẫn: Với con lắc lò xo ngang vật chuyển động thẳng, dao động điều hoà. Câu 2: Chọn B. Hướng dẫn: Khi vật ở vị trí có li độ cực đại thì vận tốc của vật bằng không. Ba phương án còn lại đều là VTCB, ở VTCB vận tốc của vật đạt cực đại. Câu 3: Chọn A. Hướng dẫn: Chu kỳ dao động của con lắc lò xo dọc được tính theo công thức T 2
m l 2 (*). Đổi đơn vị 0,8cm = 0,008m rồi thay vào công k g
thức(*) ta được T = 0,178s. Câu 4: Chọn B. Hướng dẫn: Lực kéo về (lực phục hồi) có biểu thức F = - kx không phụ thuộc vào khối lượng của vật. Câu 5: Chọn A. Hướng dẫn: Con lắc lò xo gồm vật khối lượng m và lò xo có độ cứng k, dao động điều hoà với chu kỳ T 2
m . k
Câu 6: Chọn D. Hướng dẫn: Tần số dao động của con lắc là f
1 k khi tăng 2 m
khối lượng của vật lên 4 lần thì tần số của con lắc giảm 2 lần. Câu 7: Chọn B. Hướng dẫn: Con lắc lò xo gồm vật khối lượng m và lò xo có độ cứng k, dao động điều hoà với chu kỳ T 2
m , thay m = 100g = 0,1kg; k = k
100N/m và π2 = 10 ta được T = 0,2s. Câu 8: Chọn B. Hướng dẫn: Tương tự câu 5. Câu 9: Chọn C. Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính chu kỳ T 2
m ta suy ra k
k = 64N/m. (Chú ý đổi đơn vị) Câu 10: Chọn B. Hướng dẫn: Trong con lắc lò xo ngang lực đàn hồi tác dụng lên vật khi vật ở vị trí x là F = -kx, lực đàn hồi cực đại có độ lớn Fmax = kA, với k
4 2 m , thay A = 8cm = 0,8m; T = T2
0,5s; m = 0,4kg; π2 = 10 ta được Fmax = 5,12N. Câu 11: Chọn A. Hướng dẫn: Vật dao động theo phương trình tổng quát x = Acos(ωt + φ). Tần số góc
k = 10rad/s. Từ cách kích thích ban đầu để tạo m
nên dao động ta có Acosφ = 4cm và Asinφ = 0, từ đó tính được A = 4cm, φ = 0. Thay vào phương trình tổng quát ta được x = 4cos(10t)cm.
Trang 216
Câu 12: Chọn B. Hướng dẫn: Vận tốc cực đại trong dao động điều hoà được tính theo định luật bảo toàn cơ năng vmax =
k 2 x 0 v 20 = 0,8m/s = 80cm/s. (Chú ý đổi m
đơn vị của x0 = 4cm = 0,04m). Câu 13: Chọn C. Hướng dẫn: Công thức tính cơ năng của con lắc lò xo
E
1 2 1 kx 0 mv 20 , đổi đơn vị và thay số ta được E = 3,2.10-2J. 2 2
Câu 14: Chọn C. Hướng dẫn: Con lắc gồm lò xo k và vật m dao động với chu kỳ
T 2
m 1 k , con lắc gồm lò xo k và vật m’ dao động với tần số f ' , kết k 2 m'
hợp với giả thiết T = 1s, f’ = 0,5Hz suy ra m’ = 4m. Câu 15: Chọn D. Hướng dẫn: Xem hướng dẫn và làm tương tự câu 10. Câu 16: Chọn B. Hướng dẫn: Theo bảo toàn cơ năng trong dao động điều hoà ta có biểu thức tính biên độ dao động A
x 20
m 2 v 0 = 0,05m = 5cm. k
Câu 17: Chọn C. Hướng dẫn: Vật dao động theo phương trình tổng quát x = Acos(ωt + φ). Tần số góc
k = 40rad/s. Từ cách kích thích ban đầu để tạo m
nên dao động ta có Acosφ = 0cm và - Asinφ = 200cm/s, từ đó tính được A = 5cm, φ =-
. Thay vào phương trình tổng quát ta được x = 5cos(40t - )cm. 2 2
Câu 18: Chọn B. Hướng dẫn: Khi con lắc có khối lượng m1 nó dao động với chu kỳ
T1 2
m1 , khi con lắc có khối lượng m2 nó dao động với chu kỳ k
T2 2
m2 , khi gắn đồng thời m1 và m2 vào lò xo đó thì chu kỳ dao động của k
chúng là T 2
m1 m 2 , suy ra T T12 T22 = 2s. k
Câu 19: Chọn C. Hướng dẫn: Khi độ cứng của lò xo là k1 thì chu kỳ dao động của con lắc là T1 2
m , khi độ cứng của lò xo là k2 thì chu kỳ dao động của con k1
Trang 217
lắc là T2 2 lắc là T 2
m , khi hai lò xo k1 và k2 mắc nối tiếp thì chu kỳ dao động của con k2 1 1 1 m với , suy ra T T12 T22 = 1s. k k1 k 2 k
Câu 20: Chọn A. Hướng dẫn: Khi độ cứng của lò xo là k1 thì chu kỳ dao động của con lắc là T1 2 lắc là T2 2
m , khi độ cứng của lò xo là k2 thì chu kỳ dao động của con k1
m , khi hai lò xo k1 và k2 mắc song song thì chu kỳ dao động của k2
con lắc là T 2
m với k = k1 + k2, suy ra T k
T1 .T2 T12 T22
= 0,48s.
Câu 21: Chọn C. Hướng dẫn: Chu kì dao động của hai con lắc : T 1 m m 3m 4m T 2 ; T ' 2 2 T' 2 k k k Câu 22: Chọn C. Hướng dẫn: Tại vị trí cân bằng trọng lực tác dụng vào vật cân bằng với lực đàn hồi của là xo l0 2 m 0,025 m l 2 2 2 0,32s mg kl0 0 T k g 10 k g Câu 23: Chọn C. Hướng dẫn: Trong 20s con lắc thực hiện được 50 dao động , ta t phải có : T 0,4s . N 42 m 4.2 .0, 2 m k 50 N/m . Mặt khác: T 2 k T2 0, 42 Câu 24: Chọn A. Hướng dẫn: Chu kì T1, T2 xác định từ phương trình: 42 m m k T 2 1 1 T12 T22 T12 k1 2 k1 k 2 4 m 2 2 2 T1 T2 k 4 m T 2 m 2 2 2 T2 k2 k1, k2 ghép song song, độ cứng của hệ ghép xác định từ công thức : k k1 + k2. Chu kì dao động của con lắc lò xo ghép T 2
T 2T 2 m m 2 2 m. 2 1 22 2 k k1 k 2 4 m T1 T2
Trang 218
T12 T22
T
2 1
T22
0,62.0,82 0, 48s. 0,62 0,82
Câu 25: Chọn A. Hướng dẫn: Ta có:
ω
k g mg l 0,025 m 2,5 cm. m l k
Từ vị trí cân bằng, ấn vật xuống theo phương thẳng đứng đoạn 2,5 cm và buông l A 2,5 cm.
, khi l A Fmax k l A 3,2 N Fñh min 0 vì Fmin 0 Fñh min k l A , khi l A
Suy ra:
Câu 26: Chọn B. Hướng dẫn: l
l0
l F ñh
P'
P
Ta có: ω
k g sin mg sin 0,0125 m 1,25 cm. l m l k
Từ vị trí cân bằng, ấn vật xuống theo phương thẳng đứng đoạn 1cm và buông A = 1 cm.
Fñh min k l A 1, 44 N và Fñh min k l A 0,16 N, khi l A Câu 27: Chọn C. Hướng dẫn: Phương trình dao động: x A cos t ; với
k 20 rad/s. Từ VTCB x = A và buông nhẹ A = 2,5 cm. m x x 0 A Khi t = 0 shift cos t=0 shift cos(1) rad A v0 0
x 2,5cos 20t cm . Trang 219
Câu 28: Chọn A. Hướng dẫn:
8
x
x
A
A
nén
1 4 Góc quay
O
0
l
O giãn
A
-A (A > l)
2 T = 0,4 s = 5 rad/s. Tại VTCB: kl = mg
k g g ω2 . m l l
Tính được l = 4 cm. Góc quay hình vẽ (từ lúc t = 0 thì x0 = 4 cm đến lúc lực đàn hồi cực đại x = – A):
π
π 4π . 3 3
Suy ra thời gian quay: t
4T 2T 2T 2.0, 4 4 s. . Hay t 6 3 3 3 15
Đó là thời gian ngắn nhất kể từ t = 0 đến khi lực đàn hồi cực đại là
Câu 29: Chọn A. Hướng dẫn: Ta có: Fmax k(Δl + A) với
A 1 cm 0,01 m g l 2 0,02 m ω k mω2 50 N/m
Fmax 50.0,03 1,5 N. Câu 30: Chọn C. Hướng dẫn: A 2 cm 0,02 m g lmax = l0 + l + A. l 2 0,025 m ω l0 0,3 m lmax = l0 + l + A = 0,3 + 0,025 + 0,02 0,345 m 34,5 cm. Trang 220
4 s. 15
lmin = l0 + l – A 0,3 + 0,025 0,02 0,305 m 30,5 cm. Câu 31: Chọn A. Hướng dẫn: Cách giải 1: Cơ năng : W = W
1 2 kA . Lực đàn hồi cực đại của con lắc dđ trên 2
mặt phẳng ngang: F = kA. Suy ra: k = 50 N/m, A = 0,2 m. Lực kéo: F = kx x
F 5 3 3 A 3 . k 50 10 2
Đây là vị trí đặc biệt suy ra khoảng thời gian điểm I bị kéo là
T = 0,1 s T = 0,6 s. 6 2T T T .Quãng đường đi được lớn nhất là Suy ra 0, 4s 3 2 6 2A + A = 3A = 60 cm.
kA 2 = 1 J ; kA = 10 N A = 0,2 m = 20 cm. 2 A 3 x 5 3 Khi lực kéo bằng F = kx = 5 3 N = khoảng thời x= 2 A 10 A 3 gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp vật qua li độ x = là 2 T t= = 0,1 s T = 0,6 s. 6 2T Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong 0, 4s bằng quãng đường vật đi 3 Cách giải 2:
được trong một chu kỳ trừ đi quãng nhỏ nhất vật đi được trong một phần ba chu kì là A =
A A + . Suy ra Smax = 4A – A = 3A = 60 cm. 2 2
Câu 32: Chọn D. Hướng dẫn: Dễ thấy T = 2t = 2.1,5 = 3s, ω
2π 2π rad/s, k mω2 , mg = kl T 3
Theo bài ta có:
k(l A) 76 mg kA 76 m2 A 76 2 A 1 1 mg 75 mg 75 mg 75 g 75 2 g π Suy ra: A 0,02 m 2 cm. 2 2 75ω 2π 75 3 Câu 33: Chọn C. Hướng dẫn: Trang 221
Wt
1 cos 2 t 1 1 2 1 1 1 kx kA 2 cos2 t kA 2 kA 2 kA 2 cos 2 t 2 2 2 2 4 4
E t 0,1cos 4t 1 . Đồng nhất 2 vế 2 phương trình: 2 2 t 4t t 2t . 2 4 2π rad/s 1 2 A 2 10 cm x 2 10 cos 2t cm. 4 4 kA 0,1 Câu 34: Chọn C. Hướng dẫn:
m s T 2 k 10 A l mg 2,5 cm k
-A
Khi t = 0 : x = – A , W 2Wt x Vị trí thứ nhất : x Các thời điểm : t
A 2
O
A 2 T tt . 4 T 8 2
T T k k t s. 8 4 80 40 E
Fñh O
khi bằng
F ñh F ñ 0 .
ở
x
A 2
Câu 35: Chọn C. Hướng dẫn: Chu kỳ T = 0,2 s. Vật m tích điện q > 0 dao động ngang trong điện trường chịu thêm Fñ không đổi giống trường hợp treo thẳng đứng. Phương trình ĐL II Newton cho vật m cân
A
VTCB
mới
Fñ O’
O’:
Chiếu lên chiều + ta có: – Fđh + Fđ = 0
Fđ = Fđh qE = kOO’ OO’=
qE 2.105.105 = = 0,02 m = 2 cm. 100 k
Trang 222
A
Ta có OA = 6 cm O’A = 6 – 2 = 4 cm. Biên độ dao động của vật trên trục O’x là A’ = O’A = 4 cm (vì buông v = 0). Thời điểm vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ nhất là vị trí O(có li độ – 2 cm) so với O’ là t1
T T T 2 s. Thời điểm vật qua vị trí lò xo không biến dạng 4 12 3 30
lần thứ 2013 là t 2013 1006T
T 2 1006.0, 2 201, 27s. 3 30
Câu 36: Chọn C. Hướng dẫn: Tốc độ tại vị trí cân bằng cũ là: v ωA . Vị trí cân
qE 5.105.104 bằng mới cách VTCB cũ một đoạn: x = = = 5 cm. 10 k Biên độ mới: A'
x2
v' A' v2 5 2 cm. Tỉ số cần tính: 2 . 2 v A
Câu 37: Chọn B. Hướng dẫn: Tại VTCB lò xo giãn lo
qE 2,5.102 m 2,5 cm. k
Vậy khi Fñh 0,5 N l 0,5.102 m 0,5 cm. khi đó vật có li độ là x = – 3 cm và x = – 2 cm. Thời điểm ban đầu của vât là t = 0 khi ở VTCB x = A = 6 cm nên vật qua VT lò xo giãn lần 2 tại VT x = – 3 cm. Khi đó góc quét là
t
2 và thời điểm là 3
φ 2π π s. ω 3.20 30
Câu 38: Chọn C. Hướng dẫn:
a ω2 x g x
mg l . Vậy thời gian mà độ lớn gia tốc lớn hơn g là thời k
gian vật đi từ biên A đến Δl và ngược lại và từ – Δl đến – A và ngược lại. Thời gian
Δφ suy ra thời gian vật đi trong một chu kì ω 4Δφ 2T ωT π l t 4Δt φ . Vậy cos φ A 2l . ω 3 6 3 A
vật đi từ biên A đến Δl: Δt
Câu 39: Chọn B. Hướng dẫn: Khi vật đến vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng tức x
k A 3 A . . Lúc này vận tốc của vật v A 2 x 2 thì va chạm m 2 2
Trang 223
mềm với vật m’. Áp dụng đinh luật bảo toàn động lượng theo phương ngang
mv m m ' v ' v '
mv v k A 3 . m m' 2 m 4
Áp dụng công thức độc lập
v '2 v '2 2 '2 x A A ' x2 2 2
k 3A 2 2 m 16 A 10 A 5 A. k 4 4 2 2 2m
Câu 40: Chọn C. Hướng dẫn: Công suất tức thời của trọng lực P = mgv với v là vận tốc của vật m: Pmax = mgvmax = mg
kA kA 2 = gA mk = gA k g m
Suy ra: Pmax = kA Ag = 40.2,5.10-2
(vì A = l)
2,5.10 2.10 = 0,5W.
Câu 41: Chọn B. Hướng dẫn: Trong dao động điều hòa khoảng thời gian t diễn ra vec tơ vận tốc và gia tốc cùng chiều ứng với khoảng thời gian vật chuyển động từ biên đến VTCB tức là từ biện âm (– A) đến gốc O hoặc từ biên dương A đến gốc O
T T . Do vậy ta có = 0,05π T = 0,2π = 10 rad/s. Khoảng thời 4 4 T gian lò xo bị nén bằng t = nên thời gian vật chuyển động từ li độ x = – ∆l đến 4 t T T biên x = – A là t1 = = , Thời gian vật đi từ gốc tọa độ đến li độ x = – ∆l là 2 8 4 A 2 T T – = nên ∆l = với A là biên độ của dao động 2 8 8 mg g Mặt khác ∆l = = 2 = 0,1 m = 10 cm . k 2l 20 = = 10 2 cm. Biên độ dao động A = 2 2 Vận tốc cực đại của vật treo v = A = 100 2 cm/s = 1,414 m/s. và t =
Câu 42: Chọn C. Hướng dẫn: Chu kì dao động của con lắc: T = 0,4 s. Xét trong một chu kì dao động: Thời gian lực đàn hồi của lò xo và lực kéo về tác dụng vào vật cùng hướng là tổng thời gia lò xo bị nén tn và thời gian lò xo bị giãn ở dưới VTCB
Trang 224
T 2
T T T T và t2 = T – t1 = – tnén t1 = 5t2 tnén + = 5( – tnén ) 2 2 2 2 T 2 = s. tnén = 2 15 t1 = tnén +
Câu 43: Chọn B. Hướng dẫn:
Fñh kl 0,6 = . mg P k l 0, 02 kl 0,02k 0,8 Tăng góc nghiêng: sin(370 + 160) = = + mg mg 10m k Từ (1) và (2): = 100 ω = 10 rad/s. m Mặt phẳng nghiêng: sinα = sin370 =
Câu 44: Chọn D. Hướng dẫn: 0,1 P Ta có : k 10 N, F' 0,2 N . 0, 01 cos60 Và F’ = Fđh = kl l = 0,02 m = 2 cm. l = l0 + l = 22 cm. Vì F là lực ly tâm : F = m2R = Ptan600 m2l.cos600 = Ptan600 = 9,53 rad/s = 1,5 vòng/s. Câu 45: Chọn D. Hướng dẫn: Tần số góc = 1 rad/s. Tại vị trí va chạm thì li độ bằng biên cũ: x = A =
(1) (2)
l F ñh
F F'
600 R
P
a max = 2 cm. ω2
Trước va chạm vật m1 có vận tốc bằng không. Bảo toàn động lượng cho ta: m2v = m1v1 – m2v2 (1) 1 1 1 Bảo toàn năng lượng theo phương ngang ta có: m 2 v 2 m1v12 m 2 v 22 2 2 2 Từ (1) và (2) và m1 = 2m2 ta có v1 = 2 3 cm/. 2
v Biên mới: A ' x 2 1 22 (2 3) 2 = 4 cm. Câu 46: Chọn A. Hướng dẫn: Thay t = 0 vào PT dao động của vật có x = 5 cm Tức là người ta đã kéo vật đến vị trí x = 5cm (Xuống dưới VTCB 5cm) rồi thả nhẹ.
mg g 2 0,0625 m. Tại vị trí mà người k ω ta giữ vật (x = 5 cm) lò xo giãn l l0 x 0, 0625 0, 05 0,1125 m Lực Mặt khác tại VTCB lò xo giãn l mà người ta giữ bằng Fđh của lò xo. Trang 225
Trọng lực P kl mω2 l 0,8 N. (Vì trọng lực góp phần kéo vật xuống) Câu 47: Chọn B. Hướng dẫn: Chu kỳ của mỗi con lắc là T 2
m 0,02 s. k
Nhận xét: Giả sử 2 vật lúc đầu gặp nhau tại li độ x0 tức là x1 = x2 = x0, sao đó nửa chu kỳ thì x1 = – x0 và x2 = – x0 x1 = x2 = – x0 chúng lại gặp nhau ở vị trí đối
T chúng lại gặp nhau. Khoảng thời gian giữa 3 2 T lần liên tiếp gặp nhau = 2 khoảng thời gian trên = 2. = 0,02 s. 2 xứng qua gốc O Cứ sau mỗi
Câu 48: Chọn D. Hướng dẫn: Biên độ của cả 2 con lắc là A1 = A2 = A vì cùng kéo lệch các vật nặng tới vị trí cách các vị trí cân bằng của chúng một đoạn A như nhau và đồng thời thả nhẹ. Khoảng cách đến vị trí cân bằng là |x|. Khi khoảng cách từ vật nặng của con lắc đến vị trí cân bằng của chúng đều là b (0 < b < A) tức là |x1| = |x2| = b. Từ công thức độc lập thời gian có
v1 1 A12 x12 1 T2 v A x 2. v 2 2 A 22 x 22 2 T1 2
2
Trang 226
CHỦ ĐỀ 3 CON LẮC ĐƠN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cấu tạo của con lắc đơn: Vật nặng m gắn vào sợi dây có chiều dài l. Điều kiện để con lắc đơn dao động điều hòa: Bỏ qua ma sát, lực cản, dây không giãn và rất nhẹ, C vật coi là chất điểm và 0 << 1 rad hay s0 << l. 2. Tần số, chu kì của con lắc đơn dao động điều hòa T g 0 + Tần số góc: ω
l
Pt
2π l + Chu kỳ: T 2π ω g + Tần số: f
O
1 ω 1 g T 2π 2π l
M
Pn
(+) P
s 3. Lực kéo về (hồi phục): F mgsinα mgα mg mω2s l Lưu ý: + Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng. + Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng. 4. Phương trình dao động: s = s0cos(t + ) (m; cm) hoặc α = α0cos(t + ) (rad) với s = αl, s0 = α0l. v = s’ = – s0sin(t + ) = – lα0sin(t + ) a = v’ = s’’ = – 2s0cos(t + ) = – 2lα0cos(t + ) = – 2s = – 2αl Lưu ý: s0 đóng vai trò như A, còn s đóng vai trò như x. 2
v2 v s s α 02 α 2 gl ω 9. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1 , con lắc đơn chiều dài l2 có chu kỳ T2 , con lắc đơn chiều dài l1 + l2 có chu kỳ T2 ,con lắc đơn chiều dài l1 - l2 (l1 > l2) có chu kỳ T4. Thì ta có: T32 T12 T22 và T42 T12 T22 5. Hệ thức độc lập: a = – 2s = – 2αl
2 0
2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Vấn đề 1: Dạng bài toán tính chu kỳ, tần số, tần số góc + Chu kỳ T =
2π 1 l = 2π ω f g
+ Tần số góc ω
Trang 227
g l
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 (ĐH Khối A, 2008): Phát biểu nào sau đây là sai khi nói về dao động của con lắc đơn (bỏ qua lực cản của môi trường)? A. Khi vật nặng ở vị trí biên, cơ năng của con lắc bằng thế năng của nó. B. Chuyển động của con lắc từ vị trí biên về vị trí cân bằng là nhanh dần. C. Khi vật nặng đi qua vị trí cân bằng, thì trọng lực tác dụng lên nó cân bằng với lực căng của dây. D. Với dao động nhỏ thì dao động của con lắc là dao động điều hòa. Hướng dẫn giải: mv 2 Tại vị trí cân bằng: T mg 0 T mg . Suy ra, khi vật nặng đi qua vị l trí cân bằng, thì trọng lực tác dụng lên nó cân bằng với lực căng của dây. Chọn đáp án C Câu 2: Một con lắc đơn quay tròn theo một hình nón và quả cầu chuyển động theo đường tròn có bán kính r. Chứng minh rằng chuyển động của con lắc là một dao động điều hòa với biên độ là r, biết chiều dài sợi dây là l . Hướng dẫn giải: Khi quả cầu chuyển động theo vòng tròn bán kính r thì hợp lực của trọng lực và lực căng dây treo sẽ tạo ra gia tốc hướng tâm cho nó. Ta có:
mv 2 mgtanα v g.r.tanα r
l
Chu kì quay của quả cầu theo quỹ đạo tròn là:
T
2πr r 2π v gtanα
T
r
Vì góc rất nhỏ (do r rất nhỏ so với l ) nên ta có:
r tan sin . Thay kết quả vào biểu thức trên ta l
mg
nhận được biểu thức chu kì dao động điều hòa của con lắc đơn
T 2π
l . g
Chú ý: Nếu chiếu một chùm sáng song song nằm ngang lên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của hình nón ta sẽ nhận được bóng của quả cầu dao động điều hòa như con lắc đơn với biên độ bằng bán kính của đường tròn. Câu 3: Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, con lắc đơn dao động điều hoà với 2π chu kì s. Tính chiều dài, tần số và tần số góc của dao động của con lắc. 7 Hướng dẫn giải:
Trang 228
2
2π 9,8. 2 l gT 7 0,2 m. Chiều dài của con lắc: T 2π l 2 g 4π 4π 2
2π 1 7 = 7 rad/s. 1,1 Hz . Tần số góc của con lắc = T T 2π Câu 4 (Chuyên Nguyễn Tất Thành lần 4 – 2016): Một con lắc đơn đang dao động nhỏ được chiếu sáng bằng những chớp sáng ngắn cách đều nhau 2s. Quan sát chuyển động biểu kiến của con lắc, người ta thấy con lắc dao động rất chậm. Tại mỗi thời điểm, dao động biểu kiến luôn cùng chiều với dao động thật. Sau 31 chớp sáng, con lắc đã dịch chuyển biểu kiến được 2,355mm, kể từ vị trí cân bằng. Biết biên độ dao động là 1cm. Chu kì dao động của con lắc gần giá trị nào nhất sau đây? A. 2,15s. B. 1,57s. C. 1,86s. D. 1,95s. Hướng dẫn giải: Tần số của con lắc: f
2 t mm (chọn gốc thời 2 T
Phương trình dao động của con lắc là x 10 cos
gian lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm). Chu kì của chớp sáng là T0 = 2s, chu kì của con lắc là T. Vì chiều dao động biểu kiến trùng với chiều dao động thực nên trong khoảng thời gian giữa hai chớp sáng, con lắc đã về vị trí cũ và đi thêm một đoạn nhỏ, do đó T < T0. Độ dịch chuyển biểu kiến của con lắc giữa hai lần chớp sáng là độ dịch chuyển thực trong thời gian T0 – T. Thời gian dịch chuyển biểu kiến của con lắc sau 31 chớp sáng (30T0) là t = 30(T0 – T). Thế vào phương trình dao động:
2 2 x 10 cos .30 T0 T 10sin .30 T0 T mm 2 T T 2 Theo đề ta có 10sin .30 T0 T 2,355mm T Áp dụng với góc nhỏ có α nhỏ có sin (rad): T T 0, 2355 60 0, 00125 T0 T 0, 2355 0 T T 60 T T0 0 1, 00125 T 1,9975s. T 1, 00125 Chọn đáp án D Câu 5: Tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2, một con lắc đơn và một con lắc lò xo dao động điều hòa với cùng tần số. Biết con lắc đơn có chiều dài 49 cm, lò xo có độ cứng 10 N/m. Tính khối lượng vật nhỏ của con lắc lò xo. Hướng dẫn giải: Theo giả thuyết, con lắc đơn và con lắc lò xo dao động cùng tần số nên ta có: Trang 229
g k l.k 0, 49.10 m 0,5 kg 500 g. l m g 9,8 Câu 6 (ĐH Khối A, 2009): Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng thời gian t, con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần. Thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian t ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Chiều dài ban đầu của con lắc là: A. 144 cm. B. 60 cm. C. 80 cm. D. 100 cm. Hướng dẫn giải: Theo giả thuyết, trong cùng một thời gian t thì: (1) l 1, 44l0 l0 T l t 60T0 50T 1, 2 (2) T0 l0 l l0 44 cm Từ (1) và (2) suy ra: l0 100 cm. Chọn đáp án D Câu 7: Một con lắc đơn gồm 1 vật nhỏ được treo vào đầu dưới của 1 sợi dây không dãn, đầu trên của sợi dây được buộc cố định. Bỏ qua ma sát của lực cản của không khí. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ. Tỉ số độ lớn gia tốc của vật tại VTCB và độ lớn gia tốc tại vị trí biên bằng: A. 0,1. B. 0. C. 10. D. 1. Hướng dẫn giải: Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là . C Vận tốc của vật tại M: v2 = 2gl( cos – cos0) v = 2gl (cosα cos α 0 ) a ht 0 Gia tốc của con lắc: a = a a 2ht a 2tt a M tt v2 Với: aht = = 2g(cos – cos0); l O Ftt Psinα a (+) att = = = g m m α0 Tại VTCB: = 0 att = 0 nên a0 = aht = 2g(1 – cos0) = 2g.2sin2 = g α 02 2 Tại biên: = 0 nên aht = 0 aB = att = g0
a0 gα 02 Suy ra: = = 0 = 0,1. aB gα 0 Chọn đáp án A Câu 8: Một con lắc đơn có chu kì 2 s. Nếu tăng chiều dài con lắc thêm 20,5 cm thì chu kì dao động là 2,2 s. Tìm gia tốc trọng trường nơi làm thí nghiệm. Hướng dẫn giải:
Trang 230
Con lắc có chiều dài l1 dao động với chu kì
l1 T12 g g T1 2π 0, 2 s l1 2 2 g 4π π Con lắc có chiều dài l 2 dao động với chu kì l2 T 2 g 1,21g 2, 2 s l2 2 2 2 g 4π π 1,21g g Mà l2 l1 0, 205 2 0, 205 π2 π T2 2π
(1)
(2) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: g 9, 625 m/s 2 . Câu 9: Một con lắc đơn chiều dài 99 cm có chu kì dao động 2 s tại A. a. Tính gia tốc trọng trường tại A. b. Đem con lắc đến B, ta thấy con lắc thực hiện 100 dao động mất 199 s. Hỏi gia tốc trọng trường tại B tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với gia tốc trọng trường tại A. c. Muốn con lắc dao động tại B với chu kì 2 s thì ta phải làm như thế nào? Hướng dẫn giải: a. l 0,99 m; TA 2 s; g A ?
4π 2l 4π 2 .0,99 gA 2 9,76 m/s 2 2 TA 4 t 199 b. Chu kì con lắc tại B: TB 1,99 s . Khi đó: n 100 4π 2l 4π 2 .0,99 gB 2 9,86 m/s 2 2 TB 1,99 Δg g B g A 0, 01 . Vậy gia tốc trọng trường tại B tăng 1% so với gia Suy ra: gA gA Ta có: TA 2π
l gA
tốc trọng trường tại A.
lg l' l 0,99.9,86 l' B 1 m. gB gA gA 9, 76 Vậy cần tăng chiều dây thêm đoạn: l l ' l 1 0,99 0,01 m 1 cm. c. Để TB' TA
Vấn đề 2: Dạng bài toán liên quan đến sự thay đổi chiều dài l, chu kỳ và tần số của con lắc đơn Theo định nghĩa về tần số và chu kì của dao động điều hòa ta có: f N . Gọi l1, t l2, N1 và N2 lần lượt là chiều dài và số dao động của vật 1 và vật 2. Khi đó, trong cùng một khoảng thời gian t ta có: Trang 231
2
g g 2 l2 N1 2πN ω2 2πf l l l1 N 2 t
ω=
2
2
2
ω f l l l Tăng, giảm khối lượng của lò xo một lượng Δm : 1 1 2 1 l1 l1 ω2 f 2 Gọi T1 và T2 lần lượt là chu kì của con lắc đơn có chiều dài dây treo lần lượt là l1 và l2. Chu kì của con lắc đơn khi thêm hoặc bớt chiều dài dây treo: l = l1 + l2 là T 2 = T12 + T22 T = l = l1 - l2 là T 2 = T12 - T22 T =
T12 + T22 T12 - T22
(với l1 > l2)
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 (CĐ Khối A, 2010): Tại một nơi trên mặt đất, con lắc đơn có chiều dài l đang dao động điều hòa với chu kì 2 s. Khi tăng chiều dài của con lắc thêm 21 cm thì chu kì dao động điều hòa của nó là 2,2 s. Chiều dài l bằng: A. 2 m. B. 1 m. C. 2,5 m. D. 1,5 m. Hướng dẫn giải: l l T22 l 0, 21 2, 22 Ta có: 2 2 l 1 m. l T1 l 2 Chọn đáp án B Câu 2: Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc đơn thực hiện được 60 dao động. Tăng chiều dài của nó thêm 44 cm thì trong khoảng thời gian đó, con lắc thực hiện được 50 dao động. Tính chiều dài và chu kỳ dao động ban đầu của con lắc. Hướng dẫn giải: Ta có: t = 60.2 Chu kì: T = 2
l l 0, 44 = 50.2 36l = 25(l + 0,44) l = 1 m. g g
l = 2 s. g
Câu 3 (Chuyên ĐHSP Hà Nội lần 4 – 2016): Hai con lắc đơn được treo ở trần một căn phòng, dao động điều hòa với chu kì 1,6 s và 1,8 s, trong hai mặt phẳng song song với nhau. Tại thời điểm t = 0, hai con lắc đi qua vị trí cân bằng theo cùng chiều. Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ t = 0 đến thời điểm hai con lắc cùng đi qua vị trí cân bằng lần kế tiếp là A. 12,8 s. B. 7,2 s. C. 14,4 s. D. 6,4 s. Hướng dẫn giải: Vì lúc t = 0 hai con lắc cùng đi qua VTCB theo cùng một chiều nên ta có thể chọn đi theo chiều dương nên phương trình dao động của các con lắc là:
Trang 232
2 cm x1 A1 cos T 1 2 x A cos 2 cm 2 2 T2 2 Khi chúng qua VTCB thì: x1 x 2 0
2 x1 0 T 2 2 k1 2 t 0,8 0,8k1 1 1 x 0 2 k 2 t 2 0,9 0,9k 2 2 2 T2 2 2 Thay các đáp án, giá trị nào đồng thời cho k1 và k2 nguyên và min thì chọn. Chọn đáp án B Câu 4: Con lắc lò xo có chiều dài l1 dao động điều hòa với chu kì T1 = 1,5 s, con
lắc có chiều dài l 2 dao động điều hòa với chu kì T2 = 0,9 s.. Tính chu kì của con lắc chiều dài l 2 l1 tại nơi đó. Hướng dẫn giải: Con lắc chiều dài l1 có: T1 2π
l1 g
l Con lắc chiều dài l 2 có: T2 2π 2 g Con lắc có chiều dài l có: T 2π
T12 g l1 2 . 4π T22 g l2 2 . 4π T 2g l l 2 . g 4π
Mà l l1 l2 . Suy ra:
T 2 g T12 g T22 g 2 2 T T12 T22 1,52 0,92 1,2 s. 2 4π 4π 4π Câu 5 (CĐ Khối A – A1, 2012): Tại một vị trí trên Trái Đất, con lắc đơn có chiều dài l1 dao động điều hòa với chu kì T1; con lắc đơn có chiều dài l2 ( l2 < l1 ) dao động điều hòa với chu kì T2. Cũng tại vị trí đó, con lắc đơn có chiều dài l1 – l2 dao động điều hòa với chu kì là A.
T1T2 . T1 T2
B.
T12 T22 .
C.
T1T2 T1 T2
Hướng dẫn giải: l gT 2 Áp dụng công thức: T 2π l 2 g 4π Trang 233
D.
T12 T22 .
gT12 l 1 4π 2 Suy ra: 2 l gT2 1 4π 2
l ' l1 l2
g T12 T22 4π
T' T12 T22
2
Chọn đáp án B Câu 6: Khi con lắc đơn có chiều dài l1, l2 (l1 > l2) có chu kỳ dao động tương ứng là T1, T2 tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Biết tại nơi đó, con lắc đơn có chiều dài l1 + l2 có chu kỳ dao động là 2,7; con lắc đơn có chiều dài l1 – l2 có chu kỳ dao động là 0,9 s. Tính T1, T2 và l1, l2. Hướng dẫn giải:
l1 l2 = T 12 + T 22 g l l T 2 = 42 1 2 = T 12 – T 22 g
Ta có: T 2 = 42
(1) (2)
T2 T2 T2 T2 = 2 s; T2 = = 1,8 s; 2 2 gT 2 gT 2 l1 = 12 = 1 m; l2 = 22 = 0,81 m. 4 4
Từ (1) và (2) T1 =
Câu 7: Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng thời gian t, con lắc thực hiện được 60 dao động toàn phần, thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian t, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Tìm chiều dài ban đầu của con lắc. Hướng dẫn giải: Chu kì con lắc đơn ban đầu: T1 2π
l1 Δt g N1
(1)
Chu kì con lắc khi thay đổi: T2 2π
l2 Δt g N2
(2) 2
2
l N 50 (1) 25 (3) 1 2 (2) l2 N1 60 36 Từ (3) l2 l1 l2 l1 44 (4) Giải hệ (3) và (4) ta được l1 100 cm và l2 144 cm . Câu 8: Sợi dây chiều dài l ,được cắt ra làm hai đoạn l1 = l2 = 20 cm dùng làm hai con lắc đơn. Biết li độ con lắc đơn có chiều dài l1 khi động năng bằng thế năng bằng li độ của con lắc có chiều dài l2 khi động năng bằng hai lần thế năng. Vận tốc cực đại của con lắc l1 bằng hai lần vận tốc cực đại của con lắc l2. Tìm chiều dài l ban đầu. Hướng dẫn giải: Lấy (1) chia (2) theo từng vế
Trang 234
Giả sử phương trình dao động của con lắc đơn có dạng: = 0cost. Cơ năng của con lắc tại thời điểm có li độ : mv 2 W= + mgl(1 – cos) = mgl(1 – cos0). 2 α2 α2 α2 Với Wt = mgl(1– cos) = mgl.2sin2 α mgl.2 = mgl ; W = W0 = mgl . 4 2 2 2 2 2 α α 2 2 Khi Wđ = Wt α1 = 01 . Khi Wđ = 2Wt α 2 = 02 . 3 2 α α Ta có: 1 = 2 01 = 02 (*) 2 3 Vận tốc cực đại của con lắc đơn: vmax = l0 = 0 gl . 2 2 2 2 l1 α 01 Suy ra: v1max = 2v2max gl1 α 01 = 4gl2 α 02 = 4l2 α 02 (**) Từ (*) và (**) suy ra: l1 = 4l2 3 l1 = 2 6 l2 l = (1 + 2 6 ) l2 = 20.(1 + 2 6 ) cm. 2 Câu 9 (CĐ Khối A – A1, 2012): Hai con lắc đơn dao động điều hòa tại cùng một vị trí trên Trái Đất. Chiều dài và chu kì dao động của con lắc đơn lần lượt là l1, l2 và T1, T2. Biết T1 1 . Hệ thức đúng là: T2 2
A.
l1 2 l2
Ta có: T1 = 2
B.
l1 l 1 C. 1 4 l2 l2 4 Hướng dẫn giải:
D.
l1 1 l2 2
T2 l 1 l1 l và T2 = 2 2 . Suy ra: 1 = 12 = l2 T2 4 g g
Chọn đáp án C Câu 10: Hai con lắc đơn dao động trên cùng mặt phẳng có hiệu chiều dài là 14 cm. Trong cùng một khoảng thời gian: khi con lắc I thực hiện được 15 dao động thì con lắc II thực hiện được 20 dao động. a. Tính chiều dài và chu kì của hai con lắc. Lấy g 9,86 m/s 2 . b. Giả sử tại thời điểm t hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều thì sau đó bao lâu cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều như trên. Hướng dẫn giải: a. Ta có:
t 15T1 20T2 3.2π
l1 l 16 4.2π 2 9l1 16l2 l1 l2 g g 9
Mặt khác ta có: l1 l2 14 l1 32 cm. Suy ra: l2 18 cm.
Trang 235
l 0,18 l1 0,32 0,85 s . 2π 1,13 s và T2 2π 2 2π g 9,86 g 9,86 b. Gọi thời gian cả hai con lắc cùng qua vị trí cân bằng theo cùng chiều (còn gọi là khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp), ta có: t N1T1 N 2 T2 (với N1 và N2 số dao động con lắc I và II thực hiện trong thời gian t). Mà Suy ra: T1 2π
4 4 T2 N 2 N1 . Ta thấy khi con lắc I thực hiện được 4 dao động thì con 3 3 lắc 2 thực hiện được 3 dao động. Suy ra: t 4T1 4.1,13 4,52 s. T1
Câu 11 (ĐH Khối A – A1, 2013): Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và 64 cm được treo ở trần một căn phòng. Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song với nhau. Gọi t là khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song nhau. Giá trị t gần giá trị nào nhất sau đây? A. 8,12s. B. 2,36s. C.7,20s. D. 0,45s. Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Phương trình dao động của 2 con lắc so với điều kiện đầu: π π t cm α1 α 0 cos 2 0,9 α α cos π t π cm 0 0,8 2 2 π π π π Khi hai dây song song nhau khi x1 = x2 : cos t cos t 2 2 0,8 0,9
π π π π t k2π t min 1, 27 s 2 0,8 0,9 2 π t π π t π k2π t 0, 42 s min 0,9 0,8 2 2 Chọn đáp án D Cách giải 2:
l l1 1,8 s và T2 2π 2 1, 2 s . g g Con lắc 1 chuyển động từ vị trí cân bằng đến vị trí biên lần đầu mất thời gian T T t1 0, 45 s , còn con lắc thứ 2 mất thời gian t 2 0,3 s . Như vậy, con 4 4 lắc 2 đến vị trí biên trước và quay lại gặp con lắc 1 (hai sợi dây song song) khí con lắc 1 chưa đến vị trí biên lần thứ nhất. Vậy, thời gian cần tìm t 0, 45 s . Chọn đáp án D Chu kì dao động của 2 con lắc: T1 2π
Trang 236
Vấn đề 3: Dạng bài toán tính vận tốc, lực căng dây của con lắc đơn 1. Vận tốc của con lắc đơn a. Khi biên độ góc bất kì + Khi qua li độ góc bất kì: v 2 gl cos – cos 0 + Khi qua vị trí cân bằng: 0 => cos 1 vVTCB vmax 2 gl 1 – cos 0 + Khi qua vị trí biên: 0 b. Nếu 0 100 ta có thể dùng:
cos cos 0 => vbiên = 0 1 cos 0 2sin 2
0 2
v gl 02 – 2
vmax 0 gl s0
v s ' s0 sin(t )
02 2
2. Lực căng dây của con lắc đơn a. Khi biên độ góc 0 bất kì
+ Khi biên độ góc bất kì: mg 3cos – 2cos 0 + Khi qua vị trí cân bằng: 0 => cos 1
VTCB max mg 3 – 2cos 0
+ Khi qua vị trí biên: 0 cos cos 0 => biên min mg cos 0
b. Nếu 0 100 ta có thể dùng:
max mg (1 02 ) 1 cos 0 2sin 02 2 2 min mg (1 ) 2 2 0
02
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một con lắc đơn có chiều dài 1m, đầu trên cố định đầu dưới gắn với vật nặng có khối lượng m. Điểm cố định cách mặt đất 2,5 m. Ở thời điểm ban đầu đưa con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc ( = 0,09 rad (góc nhỏ) rồi thả nhẹ khi con lắc vừa qua vị trí cân bằng thì sợi dây bị đứt. Bỏ qua mọi sức cản, lấy g = 2 = 10 m/s2. Tốc độ của vật nặng ở thời điểm t = 0,55 s có giá trị gần bằng: A. 5,5 m/s B. 0,5743 m/s C. 0,2826 m/s D. 1 m/s Hướng dẫn giải:
Trang 237
Chu kì dao động của con lắc đơn T = 2 l = 2 s. Thời gian từ lúc thả đến vị trí g T cân bằng là 0,5 s. 4 Khi qua vị trí cân bằng sợi dây đứt, chuyển động của vật là chuyển động ném ngang từ độ cao h0 = 1,5 m với vận tốc ban đầu xác định theo công thức: α2 mv 02 v0 = . = mgl(1 – cos) = mgl2sin2 = mgl 2 2 Thời gian vật chuyển động sau khi dây đứt là t = 0,05 s. Khi đó vật ở độ cao: gt 2 gt 2 h0 h h h0 2 2 Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có: mv 02 mv 2 gt 2 mgh 0 mgh v 2 v 02 2 g h 0 h v 02 2 g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra: v v 0 g t π α g t 0,5753 m/s.
Chọn đáp án B Câu 2: Một con lắc đơn treo một vật nặng có khối lượng 100 g, chiều dài dây treo là 1 m, treo tại nơi có g 9,86 m/s 2 . Bỏ qua mọi ma sát. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α 0 rồi thả không vận tốc đầu. Biết con lắc dao động điều hòa với năng lượng W 8.104 J. Lực căng dây khi vật nặng qua vị trí cân bằng: A. 2,70 N B. 2,72 N C. 2,74 N D. 2,76 N Hướng dẫn giải: Lực căng dây: T mg 3cosα 2cosα 0 Ở vị trí cân bằng: α 0 Tmax mg 3 2cosα 0 ,
S0 0, 04 0, 04 rad 2,3 . Biên độ dao động S0 : l 1 mω2S02 2W 2.8.104 Từ: W S0 0,04 m 4 cm 2 mω2 0,1. 2 Suy ra: Tmax 3.0,1.9,86 2.0,1.cos 2,3 2,76 N. với α 0
Chọn đáp án D Câu 3 (ĐH Khối A, 2011): Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc α 0 , tại nơi có gia tốc trọng trường g, Biết lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu. Khi đó góc α 0 có giá trị: A. 6,50 B. 6,60 C. 6,80 D. 6,70 Hướng dẫn giải: Lực căng dây cực đại: Tmax 3mg 2mgcosα 0 mg 3 2cosα 0 Trang 238
(1)
Lực căng dây cực tiểu: Tmin mgcosα 0 (2) Lực căng dây cực đại bằng 1,02 lần lực căng dây cực tiểu, suy ra: (3) Tmax 1, 02Tmin Từ (1), (2) và (3) ta có:
mg 3 2cosα 0 1, 02mgcosα 0 3 2 cos α 0 1, 02 cos α 0 α 0 6, 6
Chọn đáp án B Câu 4: Một con lắc đơn chiều dài l , vật nặng có khối lượng m . Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng góc 0 rồi thả không vận tốc đầu. Bỏ qua ma sát. a. Thiết lập biểu thức tính lực căng dây ứng với góc lệch α . b. Với α 0 60 , hãy tìm tỉ số của lực căng dây lớn nhất và nhỏ nhất của dây treo. Hướng dẫn giải: a. Thiết lập biểu thức tính lực căng dây: C T 3mgcosα 2mgcosα 0 . Ta bố trí hệ như hình vẽ. b. Ở vị trí cân bằng: T α 0 Tmax 3mg 2mgcosα 0 . 0
α α 0 Tmin mgcosα 0 Ở vị trí biên:
. T 3 2cosα 0 max 4 Tmin cosα 0
O
A (+)
Pt
B
P
Pn
Câu 5: Treo một vật trong lượng 10 N vào một đầu sợi dây nhẹ, không co dãn rồi kéo vật khỏi phương thẳng đứng một góc 0 và thả nhẹ cho vật dao động. Biết dây treo chỉ chịu được lực căng lớn nhất là 20 N. Để dây không bị đứt, góc 0 không thể vượt quá: A. 150. B.300. C. 450. D. 600. Hướng dẫn giải: Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là Vận tốc của vật tại M: v2 = 2gl( cos - cos0). 0 Lực căng của dây treo khi vật ở M 2 mv T = mgcos + = mg(3cos - 2cos0). T l A’ A T = Tmax khi = 0 Tmax = P(3 – 2cos0) = 10(3 – 2cos0) ≤ 20 M O Suy ra: 2cos0 ≥ 1 cos0 ≥ 0,5 0 ≤ 600 . P Chọn đáp án D Trang 239
Câu 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình li độ dài s = 2cos7t cm, tại nơi có gia tốc trọng trường g 9,8 m/s 2 . Tỷ số giữa lực căng dây và trọng lực tác dụng lên quả cầu ở vị trí cân bằng là A. 1,08 B. 0,95 C. 1,01 D. 1,05 Hướng dẫn giải: Smax ω2Smax α 0,1 rad F Ta có: max l g c 3 2 cos(0,1) 1,01. mg F mg 3cos α 2 cos α max c Chọn đáp án C Vấn đề 4: Dạng bài toán viết phương trình dao động s s0 cos(t ) hay
0 cos(t ) + Tính s 0 =
s2
v2 ω2
+ Thường chọn gốc thời gian khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì
0
+ Tìm từ điều kiện ban đầu:
s 0 A cos và v 0 A sin tan φ
v0 s0ω
Thường dùng s0 và v0 > 0 (hay v0 < 0) Phương trình dao động của con lắc đơn: s = S0cos(t + ). 2
2
2
s v a v g Trong đó: = ; S0 = s 2 = . 4 ; cos = 2 S0 ω ω l ω (lấy nghiệm " – " khi v > 0; lấy nghiệm "+" khi v < 0); với s = l ( tính ra rad); v là li độ; vận tốc tại thời điểm t = 0. + Phương trình dao động của con lắc đơn có thể viết dưới dạng li độ góc: = 0cos(t + ); với s = l; S0 = 0l ( và 0 tính ra rad). * Phương pháp giải: Dựa vào các điều kiện bài toán cho và các công thức liên quan để tìm ra các giá trị cụ thể của tần số góc, biên độ và pha ban đầu rồi thay vào phương trình dao động. Lưu ý: Sau khi giải một số bài toán cơ bản về dạng này ta rút ra một số kết luận dùng để giải nhanh một số câu trắc nghiệm dạng viết phương trình dao động: + Nếu kéo vật ra cách vị trí cân bằng một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì khoảng cách đó chính là biên độ dao động. Nếu chọn gốc thời gian lúc thả vật thì: = 0 nếu kéo vật ra theo chiều dương; = nếu kéo vật ra theo chiều âm. + Nếu từ vị trí cân bằng truyền cho vật một vận tốc để nó dao động điều hòa thì vận tốc đó chính là vận tốc cực đại, khi đó: A = Trang 240
v max v , (con lắc đơn S0 = max ). ω ω
Chọn gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật thì: = – tốc cùng chiều với chiều dương; =
π nếu chiều truyền vận 2
π nếu chiều truyền vận tốc ngược chiều 2
dương. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 90 rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2, 2 = 10. Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad. Hướng dẫn giải: g Ta có: = = 2,5 rad/s; 0 = 90 = 0,157 rad. l cos =
0 = - 1 = cos = . 0 0
Vậy: = 0,157cos(2,5 + ) rad. Câu 2: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 m/s2, 2 = 10. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc = 0,05 rad và vận tốc v = - 15,7 cm/s. Hướng dẫn giải:
2π g v2 2 Ta có: = = ; l = 2 = 1 m = 100 cm; S0 = (l) 2 = 5 2 cm; T ω ω π π 1 αl cos = = = cos( ); vì v < 0 nên = . 4 4 S0 2 π Vậy: s = 5 2 cos(t + ) cm. 4 Câu 3: Một con lắc đơn treo một vật nặng có khối lượng 100 g, chiều dài dây treo là 1 m, treo tại nơi có g 9,86 m/s 2 . Bỏ qua mọi ma sát. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc 0 rồi thả không vận tốc đầu. Biết con lắc dao động điều hòa với năng lượng W 8.104 J. Lập phương trình dao động điều hòa của con lắc, chọn gốc thời gian lức vật nặng có li độ cực đại dương. Lấy π 2 10 Hướng dẫn giải: Phương trình dao động: s S0 cos t . Tần số góc: ω
g 9,86 rad . l Trang 241
Từ W S0
mω2S02 suy ra biên độ dao động S0 : 2
2W 2.8.104 0, 04 m 4 cm m2 0,1.2
Tìm : t 0 , s S0 cos 1 0 . Vậy s 4cosπt cm. Câu 4: Một con lắc đơn dài l = 20 cm treo tại một điểm có định. Kéo con lắc khỏi phương thẳng đứng một góc bằn 0,1 rad về phía bên phải rồi chuyền cho một vận tốc 14 cm/s theo phương vuông góc với dây về phía vi trí cân bằng. Coi con lắc dao động điều hòa, viết phương trình dao động đối với li độ dài của con lắc. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng từ vị trí cân bằng sang phía bên phải, gốc thời gian là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất. Cho gia tốc trọng trường g 9,8 m / s 2 . Hướng dẫn giải: Phương trình dao động: s S0 cos t . Tần số góc: ω
g l
Từ W Wđ Wt
9,8 7 rad/s . 0, 2
m2S02 m2s 2 mv 2 v2 S02 s 2 2 2 2 2
Với s αl , v 14 cm/s S0 2 2 cm . Tại thời điểm t 0 lúc con lắc qua vị trí cân bằng lần thứ nhất nên s 0, v 0 :
s S0 cos 0 cos 0 2 sin 0 v S0 sin 0
Vậy phương trình dao động của con lắc là: s 2 2 cos 7t
π cm . 2
Câu 5: Một con lắc đơn đang nằm yên tại vị trí cân bằng, truyền cho nó một vận tốc v0 = 40 cm/s theo phương ngang thì con lắc đơn dao động điều hòa. Biết rằng tại vị trí có li độ góc = 0,1 3 rad thì nó có vận tốc v = 20 cm/s. Lấy g 10 m/s 2 . Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, chiều dương cùng chiều với vận tốc ban đầu. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. Hướng dẫn giải: Ta có:
S 02
=
v 02 2 v 2 v2 α 2g 2 v2 2 2 = 2 =s + 2 =l + 2 = + 2 ω ω ω ω4 ω v s π αg = 5 rad/s; S0 = 0 = 8 cm; cos = = 0 = cos( ); 2 2 S0 ω 2 v0 v
Trang 242
vì v > 0 nên = -
π π . Vậy: s = 8cos(5t - ) cm. 2 2
Câu 6: Con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T =
π s. Biết rằng ở thời điểm 5
ban đầu con lắc ở vị trí biên, có biên độ góc 0 với cos0 = 0,98. Lấy g = 10 m/s2. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ góc. Hướng dẫn giải:
2π Ta có: = = 10 rad/s; cos0 = 0,98 = cos11,480 0 = 11,480 = 0,2 rad; T cos =
= 0 = 1 = cos0 = 0. Vậy: = 0,2cos10t rad. 0 0
Câu 7: Một con lắc đơn gồm quả cầu nặng 200 g, treo vào đầu sợi dây dài l . Tại nơi có g 9,86 m/s 2 con lắc dao động với biên độ nhỏ và khi qua vị trí cân bằng có vận tốc v 0 6,28 cm/s và khi vật nặng đi từ vị trí cân bằng đến li độ
1 s . Viết phương trình dao động của con lắc, 6 biết tại t = 0 thì 0 , đồng thời quả cầu đang chuyển động ra xa vị trí cân bằng. Bỏ qua ma sát và sức cản không khí Hướng dẫn giải: Dùng liên hệ chuyển động tròn đều và dao động điều hòa ta tính được thời gian vật nặng đi từ vị trí câng bằng đến li độ 0,5 0 (hay s 0,5S0 ) mất hời gian ngắn T 1 nhất là T2 s. 12 6
0,5 0 mất thời gian ngắn nhất là
T 2 g 22.9,86 1 m. 42 2.3,142 Phương trình dao động của con lắc là s S0 cos t . Tần số góc: ω rad/s . Vận tốc con lắc khi qua vị trí cân bằng v max S0 6, 28 S0 2 cm. Tại thời điểm t = 0, 0,5 0 s 0,5S0 , quả cầu đang chuyển động ra xa vị trí 1 s 2 cos 0,5S0 1 cos cân bằng: v 0 2 3 v S0 sin 0 sin 0 Vậy phương trình dao động của con lắc s 2 cos t cm 3 Chiều dài của con lắc l
Trang 243
Vấn đề 5: Dạng bài toán tính thế năng, động năng và năng lượng của con lắc đơn a. Khi biên độ góc 0 bất kì
1 mv α2 mgl (cos cos 0 ) 2 + Thế năng: Wt mgh mgl (1 cos ) + Động năng: Wđα
W Wđα Wtα mgl (1 cos 0 ) Wđmax Wtmax . h α l (1 cos )
+ Cơ năng: Với
b. Nếu 0 100 ta có thể dùng:
W
1 cos 0 2 cos 2
0 2
02 2
mgl 2 mg 2 1 0 s 0 mω2l 2 02 const 2 2l 2
Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi 0 có giá trị lớn - Khi con lắc đơn dao động điều hoà (0 << 1 rad) thì: 1 3 W mgl 02 ; v 2 gl ( 02 2 ); C mg(1 2 02 ) (đã có ở trên) 2 2 Chú ý: Năng lượng Wđ và Wt có tần số góc dao động là 2 ω chu kì
T . Trong 1 2
1 mω2 A 2 hai lần (dùng đồ thị xác định thời điểm gặp nhau). 4 T Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp mà động năng bằng thế năng là . 4 chu kì Wđ Wt
* Phương pháp giải: Để tìm các đại lượng liên quan đến năng lượng của con lắc ta viết biểu thức liên quan đến các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0 nhỏ (α0 < 100). Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Xác định vị trí (li độ góc α) mà ở đó thế năng bằng động năng khi: a. Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương về vị trí cân bằng. b. Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương về phía vị trí biên. Hướng dẫn giải: Khi Wđ = Wt thì W = 2Wt
1 1 ml 02 = 2 ml2 = 0 . 2 2 2
Trang 244
a. Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương từ vị trí biên = - 0 đến vị trí cân bằng = 0: = -
0
2
.
b. Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương từ vị trí cân bằng = 0 đến vị trí biên = 0: =
0
2
.
Câu 2: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m = 100 g, treo vào đầu sợi dây dài l = 50 cm, ở một nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Con lắc dao động điều hòa với biên độ góc 0 = 100 = 0,1745 rad. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Tính thế năng, động năng, vận tốc và sức căng của sợi dây tại: a. Vị trí biên. b. Vị trí cân bằng. Hướng dẫn giải: a. Tại vị trí biên: Wt = W =
2 1 mgl 02 = 0,0076 J; Wđ = 0; v = 0; T = mg(1 - o ) = 0,985 N. 2 2
b. Tại vị trí cân bằng:
Wđ = 0,39 m/s; T = mg(1 + 02 ) = 1,03 N. m
Wt = 0; Wđ = W = 0,0076 J; v =
Câu 3 (ĐH Khối A, 2010): Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 0 nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc của con lắc bằng A.
0
3
B.
0
C.
2
0
D.
2
0
3
Hướng dẫn giải: Ta có: Wđ = Wt s
S0 2 l 2 l 0 0 2 2 2
Chọn đáp án B Câu 4: Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng 200 g treo tại nơi có g 9,86 m/s 2 2 m/s 2 . Bỏ qua mọi ma sát. Con lắc dao động điều hòa theo
phương trình 0, 05cos 2t
rad 3
a. Tính chiều dài dây treo và năng lượng dao động của con lắc. b. Tại t = 0 vật có vận tốc và li độ bằng bao nhiêu. c. Tính vận tốc và gia tốc vật khi dây treo có góc lệch Trang 245
0
3
rad .
d. Tìm thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí mà tại đó động năng cực đại đến vị trí mà tại đó động năng bằng 3 thế năng. Hướng dẫn giải:
a. Từ phương trình 0, 05cos 2t và 2π rad/s Chu kì dao động
T
rad 0 0,05 rad 3
2π l l 2 2π 2π 1 l m , S0 0l 0.035 m 35 cm ω g g 2
Năng lượng dao động điều hòa của con lắc đơn: 2 2 0, 2.2 . 0,05 mω2S02 mgl 02 2 W 1, 47.103 J. 2 2 2
b. Phương trình dao động của con lắc s 3,5cos 2πt
cm . 3
s 3,5cos 3 1,75 cm Tại t 0 v 3,5.2.sin 19 cm/s 3 S c. Vận tốc và gia tốc khi 0 rad s 0 ; 3 3 2 v 2 Từ S02 s 2 2 v S02 s 2 v ωS0 10,36 cm/s . ω 3 S 3,5 Gia tốc a 2s 2 0 (2) 2 79.78 cm/s 2 . 3 3 d. Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí Wđmax đến vị trí Wđ 3Wt .
M2
Khi Wđmax thì vật ở vị trí cân bằng
s0 Khi Wđ 3Wt W 4Wt
S0 2
O S0
mω2S02 S mω2s 2 4 s 0 2 2 2 Thời gian ngắn nhất để vật đi rừ vị trí cân
S S bằng đến vị trí có s 0 hoặc s 0 2 2 là như nhau. Trang 246
M0
M1
S0 s
cos 0 2 sin 0
Chọn t 0 khi s 0, v 0
Phương trình dao động: s S0 cos t
2
S0 1 cos t t min 2 2 2 3 2 T 1 (do 0 t ) t min s. 4 6
Khi s
Chú ý: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa tìm khoảng thời gian ngắn nhất của con lắc khi đi từ vị trí cân bằng đến s Khoảng thời gian ngắn nhất khi vật đi từ M 0 đến M1 . Góc quét
đó t min
S0 . 2
π rad. Khi 6
6 1 s. (hoặc có thể dùng phương trình đề cho để tìm thời gian 6
ngắn nhất). Câu 5: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m = 200 g, chiều dài dây l 0,25 m treo tại nơi có g 10 m/s 2 . Bỏ qua ma sát. a. Tính cơ năng của con lắc. b. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc 0 90 rồi thả không vận tốc đầu. Tính vận tốc vật khi vật qua vị trí cân bằng và khi góc lệch dây treo là 60 . c. Tính góc lệch khi động năng bằng 3 thế năng. d. Giả sử khi con lắc đi đến vị trí có góc lệch 60 thì dây treo tuột ra. Lập phương trình quỹ đạo của vật. Hướng dẫn giải: a. Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng. C Cơ năng:
T
E mgl 1 cos 0
600
0, 2.10.0, 25. 1 cos 90 0,5 J b. Chứng minh để có:
v 2gl cos cos 0 Ở vị trí cân bằng:
0 cos cos 0 1
O
Trang 247
(+)
M
Pt
P
Pn
v 0 2gl 1 cos 0 2.10.0, 25 1 cos 90 5 m/s Khi góc 60 ta có:
1 v 2gl cos cos 0 2.10.0, 25 0 2,5 m/s 2 c. Khi động năng bằng ba lần thế năng: Wđ 3Wt
W Wđ Wt W 4Wt mgl 1 cos 0 4mgl 1 cos cos
3 cos 0 0, 75 41, 4 4
d. Khi con lắc đi lên vị trí có góc lệch 60 thì lúc này vận tốc của vật là
v 2,5 m/s ; dây treo tuột ra; chuyển động tiếp theo của vật là chuyển động của vật được coi như ném xiên góc 60 so với phương ngang. Chọn gốc tọa độ O'xy với O'x nằm ngang, O'y thẳng đứng hướng lên. Chuyển động của vật là tổng hợp của hai chuyển động:
v O'x v cos (1) x v O'x t vt cos
Thẳng đều theo phương ngang O'x , với:
v O'y v sin Biến đổi đều theo phương thẳng đứng O'y , với a g với: gt 2 y vt sin 2 (2)
x ; thế vào (3) ta được: v cos g 10 y tan 2 2 x 2 3 x 2 3 8x 2 (3) 2 2v cos α 2.2,5.cos 60
Từ (1) t
Phương trình (3) là phương trình quỹ đạo chuyển động của vật. Vấn đề 6: Dạng bài toán tính số lần con lắc đi qua vị trí đã biết x* (hoặc v, a, Wt , Wđ ) BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trình li độ góc = 0,1cos(2t +
) rad. Trong khoảng thời gian 5,25 s tính từ thời điểm con lắc bắt 4
Trang 248
đầu dao động, có bao nhiêu lần con lắc có độ lớn vận tốc bằng của nó? A. 11 lần.
B. 21 lần.
C. 20 lần. Hướng dẫn giải:
Trong một chu kì dao động có 4 lần v =
1 vận tốc cực đại 2
D. 22 lần.
v max 2
1 3 0 W Wt = Wtmax tức là lúc 4 4 3 li độ = ± max . A 2 2π Chu kì của con lắc đơn đã cho T = = 1 s. O M0 ω T Suy ra t = 5,25 s = 5T + 4 2 Khi t = 0 : 0 0,1cos = max , vật chuyển động theo chiều âm về 2 4 T VTCB. Sau 5 chu kì vật trở lại vị trí ban đầu, sau tiếp vật chưa qua được vị trí 4 3 = - max . Do đó: Trong khoảng thời gian 5,25 s tính từ thời điểm con lắc bắt 2 1 đầu dao động, con lắc có độ lớn vận tốc bằng vận tốc cực đại của nó 20 lần. 2 tại vị trí Wđ =
Chọn đáp án C Câu 2: Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí. Kéo con lắc lệch phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ.biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật. Coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ.số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là: A. 25 B. 50 C. 100 D. 200 Hướng dẫn giải: Gọi ∆ là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB. (∆ < 0,1) Cơ năng ban đầu: W0 = mgl(1 - cos) = 2mglsin2
2
mgl
2 2
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB: ∆W =
mgl 2 mgl [ ( ) 2 ] [2 . ( ) 2 ] (1) 2 2
Công của lực cản trong thời gian trên: Acản = Fc s = 0,001mg(2 - ∆)l Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng: Trang 249
(2)
mgl [2 . ( ) 2 ] = 0,001.mg(2 - ∆)l 2 Suy ra (∆)2 – 0,202∆ + 0,0004 = 0 ∆ = 0,101 0,099. Loại nghiệm 0,2 ta 0,1 có ∆ = 0,002. Số lần vật qua VTCB N = 50 . 0,002 ∆W = Ac
Chọn đáp án B. Vấn đề 7: Dạng bài toán về con lắc vướng đinh, liên kết con lắc đơn và con lắc lò xo
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ bằng thép, khối lượng m treo vào đầu một sợi dây mềm, nhẹ, không giãn, chiều dài l 1 m. Phía dưới điểm treo O, trên phương thẳng đứng có một chiếc đinh được đóng chắc vào điểm O' cách O một đoạn OO' 40 cm sao cho con lắc vấp vào đinh khi dao động. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 5 rồi thả ra. Bỏ qua mọi ma sát. a. Tính chu kì dao động của quả cầu. Lấy g 10 m/s 2 . b. Tìm tỉ số biên độ dao động của quả cầu hai bên vị trí cân bằng. Hướng dẫn giải: a. Gọi l OA 1 m là chiều dài của dây treo, l ' O'A OA OO' 1 0, 4 0, 6 m O là phần chiều dài phần dây tính từ đinh đến quả cầu. Dao động của con lắc gồm hai giai đoạn: Nửa dao động với chu kì
T 2π
l 1 2.3,14. 1,986 s g 10
O'
Nửa dao động với chu kì
l' 0, 6 T' 2π 2.3,14. 1,538 s g 10 Chu kì con lắc:
B' A
B
1 1 T T' 1,986 1,538 1,762 s b. Ta có WB WB' 2 2 2 mglα 0 mgl 'β 02 β β l 1 lα 02 l 'β 02 0 0 1, 29. 2 2 α0 l' α0 0, 6
T0
Câu 2: Một con lắc đơn có chiều dài 1m, đầu trên cố định đầu dưới gắn với vật nặng có khối lượng m. Điểm cố định cách mặt đất 2,5m. Ở thời điểm ban đầu đưa con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc ( = 0,09 rad (góc nhỏ) rồi thả nhẹ khi con Trang 250
lắc vừa qua vị trí cân bằng thì sợi dây bị đứt. Bỏ qua mọi sức cản, lấy g = 2 = 10 m/s2. Tốc độ của vật nặng ở thời điểm t = 0,55s có giá trị gần bằng: A. 5,5 m/s B. 0,5743 m/s C. 0,2826 m/s D. 1 m/s Hướng dẫn giải: Chu kì dao động của con lắc đơn T = 2
l = 2 s. g
Khi qua VTCB sợi dây đứt chuyển động của vật là CĐ ném ngang từ độ cao h0 = 1,5m với vận tốc ban đầu xác định theo công thức:
mv 02 v0 = = mgl(1 – cos) = mgl2sin2 = mgl 2 2 2 2
Thời gian vật CĐ sau khi dây đứt là t = 0,05s. Khi đó vật ở độ cao: 2 gt 2 h0 – h = gt h = h0 – 2 2 2 2 gt 2 mv 0 mgh0 + = mgh + mv v2 = v02 + 2g(h0 – h) = v02 + 2g 2 2 2 v2 = v02 + (gt)2 v2 = ()2 + (gt)2 v = 0,5753 m/s.
Chọn đáp án B. Câu 3: Một con lắc đơn: có khối lượng m1 = 400 g, có chiều dài 160 cm. Ban đầu người ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 600 rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật đi qua VTCB vật va chạm mềm với vật m2 = 100 g đang đứng yên, lấy g = 10 m/s2. Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm là A. 53,130. B. 47,160. C. 77,360. D.530 . Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Gọi v0 vận tốc của m1 trước khi va chạm với m2; v vận tốc của hai vật ngay au va chạm O Theo định luật bảo toàn động lượng ta có: m1v0 = (m1 + m2)v v =
m1 4 v0 = v0 m1 m 2 5
Theo ĐL bảo toàn cơ năng cho hai trường hợp:
m1v 02 = m1gl(1 – cos0) (2) 2 (m1 m 2 )v 2 = (m1 + m2)gl(1 – cos) 2
(1)
O'
0 l
0'
(3)
Từ (2) và (3):
1 cos 16 16 1 8 v 2 16 = 2 = (1 – cos0) = = = 0,32. (1 – cos) = 1 cos 0 25 25 25 2 25 v0 Suy ra : cos = 0,68 = 47,1560 = 47,160. Chọn đáp án B Trang 251
Cách giải 2: Vận tốc m1 khi qua VTCB là v1 2gl (1 cos600 ) 4 m/s. Vận tốc 2 vật sau va chạm mềm v
m1v1 3,2 m/s. m1 m 2
Biên độ góc: Áp dụng ĐL bảo toàn cơ năng ta có :
1 (m1 m 2 )v 2 (m1 m 2 )gl (1 cosα max ) α max 47,160 . 2 Chọn đáp án B Câu 4: Một con lắc đơn gồm một quả cầu m1 = 200 g treo vào một sợi dây không giãn và có khối lượng không đáng kể. Con lắc đang nằm yên tại vị trí cân bằng thì một vật khối lượng m2 = 300 g bay ngang với vận tốc 400 cm/s đến va chạm mềm với vật treo m1. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng chuyển động. Lấy g = 10 m/s2. Độ cao cực đại mà con lắc mới đạt được là A. 28,8 cm B. 20 cm C. 32,5 cm D. 25,6 cm Hướng dẫn giải: Gọi v là vận tốc hai vật sau va chạm. Va chạm mềm dùng định luật bảo toàn động m2 v2 0,3.400 lượng: m2v2 = (m1 + m2)v v 240 cm/s. m1 m 2 0,3 0, 2 Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí: Vị trí va chạm và vị trí cao nhất
1 v 2 2, 42 2 (m1 m 2 )v (m1 m 2 )gh h 0,288 m 28,8 cm. 2 2g 2.10 Chọn đáp án A Câu 5: Cho một cơ hệ như hình vẽ. Quả cầu A có khối O lượng 500g, Thanh treo OA có khối lượng không đáng kể, dài l = 25 cm. Lò xo nằm ngang có khối lượng không đáng kể, độ cúng k = 25 N/m. Ban đầu quả cầu A nằm cân bằng lò xo chưa biến dạng và thanh OA l nằm thẳng đứng. Từ vị trí cân bằng, kéo quả cầu A để k thanh OA nghiêng góc ( góc nhỏ) so với phương A thẳng đứng rồi buông nhẹ. Hệ dao động điều hoà với m chu kì là bao nhiêu, lấy g = 2 = 10 m/s2 3 5 2 1 A. s B. 1 s C. s D. s 5 3 3 Hướng dẫn giải: Thế năng con lắc tại vị trí có li độ x (sử dụng gần đúng góc nhỏ) 1 1 1 Wt kx 2 mgl (1 cos α) kx 2 mglα 2 2 2 2 x
2
1 1 mg 2 x 1 kx 2 mgl k x 2 2 2 l l Trang 252
1 mv 2 . Cơ năng: W Wt Wđ 2 Đạo hàm hai vế theo thời gian thì vế trái bằng 0 do cơ năng bảo toàn mg mg k x.x mv.v 0 x k x mv 0 l l Vì x’ = v, v’ = a. Vì x’ = v không phải lúc nào cũng bằng không nên mg k g k g 2 2 mx k x 0 x x 0 x ω x 0 (ω ) l m l m l Động năng Wđ
Từ đó ta tính được chu kì dao động T
3 5 s. 5 Chọn đáp án A
Vấn đề 8: Dạng toán con lắc đơn phụ thuộc vào các yếu tố độ cao, độ sâu, … và
các ngoại lực tác dụng Ta có thể sử dụng công thức thu gọn sau đây để tính nhanh các bài tập liên quan đến sự thay đổi chu kì của con lắc:
ΔT Δg l Δh sâu Δh cao αΔt T 2g 2l 2R R 2
(Học sinh cần học thuộc công thức trên để vận dụng làm nhanh bài tập trắc nghiệm) Lưu ý: * Nếu T > 0 thì đồng hồ chạy chậm (đồng hồ đếm giây sử dụng con lắc đơn). * Nếu T < 0 thì đồng hồ chạy nhanh. * Nếu T = 0 thì đồng hồ chạy đúng. T * Thời gian chạy sai mỗi ngày (24h = 86400s): 86400 . T Khi con lắc đơn chịu thêm tác dụng của lực phụ khác không đổi ngoài trọng lực: Nếu ngoài trọng lực ra, con lắc đơn còn chịu thêm một lực F không đổi khác (lực đ iện trư ờng, lực quán tính, lực đ ẩy Acsimet, ...), thì trọng lực biểu kiến tác
F dụng lên vật sẽ là: P' P F , gia tốc rơi tự do biểu kiến là: g' g . Khi đó m l chu kì dao động của con lắc đơn là: T’ = 2 . g' Lực phụ không đổi thường là: a. Lực quán tính: F ma , độ lớn F = ma
( F a )
+ Chuyển động chậm dần đều a v
Lưu ý: + Chuyển động nhanh dần đều a v ( v có hướng chuyển động)
Trang 253
b. Lực điện trường: F qE , độ lớn F = qE (Nếu q > 0 F E ;
còn nếu q < 0 F E )
c. Lực đẩy Ácsimét: FA = DVg ( F luông thẳng đứng hướng lên) Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí. g là gia tốc rơi tự do. Vlà thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay chất khí đó. Khi đó: P' P F gọi là trọng lực hiệu dụng hay trong lực biểu kiến (có vai trò như trọng lực P )
F g' g gọi là gia tốc trọng trường hiệu dụng hay gia tốc trọng trường m
biểu kiến. Chu kỳ dao động của con lắc đơn khi đó: T' 2π
l g'
Các trường hợp đặc biệt: + F có phương ngang: * Tại VTCB dây treo lệch với phương thẳng đứng một góc có: F tan P
F * g ' g2 m
2
F m F * Nếu F hướng xuống thì g ' g m F * Nếu F hướng lên thì g ' g m 2 F F + F có phương F, P g ' g 2 2 gcosα m m + F có phương thẳng đứng thì g ' g
Ứng dụng: Xác định gia tốc rơi tự do nhờ đo chu kì và chiều dài của con lắc đơn:
g
4π 2l . T2
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1 (Chuyên Vĩnh Phúc lần 1 – 2016): Một đồng hồ quả lắc đặt trong thang máy. Đồng hồ chạy đúng giờ khi thang máy đứng yên. Cho thang máy chuyển động nhanh dần đều lên trên với gia tốc 2 m/s2 đến độ cao 20 m thì thang máy bắt đầu Trang 254
chuyển động chậm dần đều với gia tốc có độ lớn vẫn bằng 2 m/s2. Sau bao lâu kể từ lúc thang máy bắt đầu chuyển động thì đồng hồ lại chỉ đúng giờ ? Lấy g = 10 m/s2. A. 9,54 s B. 7,56 s C. 8,52 s D. 10,32 s Hướng dẫn giải:
Thời gian đồng hồ chạy sai là: t
Ts Td t Td
gs 1 t gd
(1)
Thời gian thang máy chuyển động nhanh dần đều đến độ cao 20 m là: 2h 2.20 t 2 5s (2) a a Từ (1) và (2), ta được: t 2 5 Khi thang máy đi lên chậm: t
10 2 1 10 10 2 1 t2 10
Vậy để con lắc trở lại đúng giờ như lúc đầu thì:
2 5
10 2 1 10
10 2 1 t 2 t 2 4, 04s. 10
Vậy thời gian từ khi thang máy chuyển động đến khi con lắc chỉ đúng giờ là: t t1 t 2 2 5 4, 04 8,52s. Chọn đáp án C Câu 2: Con lắc đơn dài l = 1m, vật nặng khối lượng m = 50g mang điện tích q 2.105 C , g 9,86 m/s 2 . Đặt con lắc vào vùng điện trường E có độ lớn E 25 V/cm . Tính chu kì con lắc khi: a. b. c.
E có hướng thẳng đứng hướng xuống. E có hướng thẳng đứng hướng lên. E có hướng nằm ngang.
Hướng dẫn giải: Lực điện trường tác dụng lên quả cầu tích điện q có độ lớn: F q E 2.105.2500 0,05 N.
a. E có hướng thẳng đứng hướng xuống: do q 0 nên
lực điện trường F có hướng thẳng đứng hướng lên trên nên E ngược chiều P . Ta có gia tốc hiệu dụng: F 0, 05 g ' g 9,86 8,86 m/s 2 . m 0, 05 Trang 255
O
T
P
E F
Chu kì của con lắc: T ' 2π
l 1 2π 2,11 s. g' 8,86
b. E có hướng thẳng đứng hướng lên: do q 0 nên lực điện trường F có hướng
thẳng đứng hướng lên trên nên E cùng chiều P . Ta có gia tốc hiệu dụng:
F 0, 05 9,86 10,86 cm. m 0, 05
g' g
Chu kì của con lắc: T ' 2π
T
l 1 2π 1,91 s. g' 10,86
E
O
c. Khi E có hướng nằm ngang F P Ta có gia tốc hiệu dụng:
F2 g ' g 2 9,862 1 9,91 m/s 2 . m l 1 Chu kì của con lắc: T ' 2π 2π 1,995 s . g' 9,91
F
P
2
Câu 3: Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy tại nơi có g 9,86 m/s 2 . Khi thang máy đứng yên thì chu kì con lắc là 2 s. Tìm chu kì con lắc khi: a. Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc 1,14 m/s 2 . b. Thang máy đi lên đều. c. Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc 0,86 m/s 2 . Hướng dẫn giải: Chu kì con lắc khi thang máy đứng yên: T 2π
l g
(1)
Con lắc đặt trong thang máy chuyển động với gia tốc a sẽ chịu thêm lực quán tính có độ lớn: Fqt ma . a. Khi thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc 1,14 m/s 2 : Do thang máy chuyển động nhanh dần đều nên gia tốc a cùng chiều chuyển động (hướng lên),
mà Fqt ngược chiều a Fqt hướng xuống Fqt
O
T
a
cùng chiều P / Ta có, gia tốc hiệu dụng:
g' g
Fqt m
g a 9,86 1,14 11 m/s 2
Trang 256
P
F
Chu kì của con lắc: T ' 2π
l g'
(2)
(2) T' g 9,86 ta được T ' 2. 1,89 s. (1) T g' 11 b. Khi thang máy chuyển động đều: a 0 T 2 s. Lập tỉ số
c. Khi thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc 0,86 m/s 2 : Do thang máy chuyển động chậm dần đều nên gia tốc a cùng ngược chuyển động
(hướng xuống), mà Fqt ngược chiều a Fqt hướng lên Fqt ngược chiều P . Ta có gia tốc hiệu dụng: g" g Chu kì của con lắc: T'' 2π
l g ''
Fqt m
g a 9,86 0,86 9 m/s 2 . (3)
(3) T'' g 9,86 ta được T'' 2. 2,093 s. (1) T g'' 9 Câu 4: Một con lắc đơn dài l 1 m , quả nặng khối lượng m = 400 g mang điện tích q 4.106 C . a. Khi vật ở vị trí cân bằng bền, người ta truyền cho nó vận tốc v0 , vật dao động Lập tỉ số
điều hoà quanh vị trí cân bằng này. Tìm chu kì dao động của con lắc, lấy g 10 m/s 2 . b. Đặt con lắc vào vùng không gian có điện trường đều (có phương trùng với phương của trọng lực) thì chu kì dao động của con lắc là 2,04 s . Xác định hướng và độ lớn của điện trường. Hướng dẫn giải:
l 1 2π 1,986 s. g 10 b. Khi con lắc đặt vào điện truờng đều E , con lắc chịu tắc dụng của lực điện trường F qE Ở vị trí cân bằng: P T F 0 T ' P F O Đặt P ' P F mg' (1) F Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng: P' mg' , với g ' E a. Chu kì: T 2π
là gia tốc trọng trường hiệu dụng
P Trang 257
l g' qE Do T' T nên g' g g' g (2) m F ngược chiều P mà q 0 nên E ngược chiều F . Vậy E cùng chiều P (hay E có hướng thẳng đứng hướng xuống).
Chu kì của con lắc là: T' 2π
Từ (2) suy ra: qE 4π 2 l 4π 2 l m 42 .1 0, 4 g E g 10 5,14.104 V/m. 2 2 6 T'2 m T' q 2,04 4.10 Câu 5: Có ba con lắc cùng chiều dài dây treo, cùng khối lượng. Con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai mang điện tích q1 và q 2 , con lắc thứ ba không mang điện tích. Chu kì dao động điều hoà của chúng trong điện trường có phương thẳng đứng lần lượt là
1 2 T1 , T2 và T3 với T1 T3 , T2 T3 . Tính q1 và q 2 biết rằng 3 3 q1 q 2 7, 4.108 C. Hướng dẫn giải: Khi đặt con lắc vào điện trường đều E , con lắc chịu tác dụng của lực điện trường
F qE
Ở vị trí cân bằng: P T F 0 T ' P F . Đặt P ' P F mg ' (1) Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng: P' mg' , với g' là gia tốc trọng trường hiệu dụng Chu kì của con lắc là: T' 2π
qE . P nên: g' g m
l . Do E cùng phương với g'
Con lắc thứ nhất mang điện tích q1 có chu kì: T1 2π
qE l với g1 g 1 g. g1 m
Con lắc thứ nhất mang điện tích q 2 có chu kì: T2 2π
qE l với g 2 g 2 g. g2 m
Con lắc thứ ba không mang điện tích có chu kì: T3 2π Theo đề ta có T1
l . g
qE 1 8gm T3 g1 9g g 1 9g q1 . 3 m E Trang 258
q E 2 5gm T2 T3 4g 2 9g 4 g 2 9g q 2 . 3 m 4E Suy ra
q1 6, 4 , mặt khác ta lại có: q2
q1 q 2 7, 4.108 C q1 6, 4.108 C , q 2 108 C . Câu 6: Một con lắc đơn khi dao động nhỏ chu kì là 2 s. Cho con lắc ở ngay mặt đất, quả cầu mang điện tích q. Đặt con lắc vào vùng điện trường đều E , hướng xuống, E 9810 V m . Khi đó chu kì con lắc ở độ cao 6,4 km. Tìm giá trị và dấu của q. Cho g 9,81 m/s 2 (ở mặt đất), R 6400 km , m 100 g . Hướng dẫn giải: Khi đặt con lắc vào điện trường đều E , con lắc chịu tác dụng của lực điện trường F qE .
Ở vị trí cân bằng: P T F 0 T P F Đặt P ' P F mg ' (*)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng P ' mg' , với g' là gia tốc trọng trường hiệu dụng.
l Chu kì con lắc là: T' 2π g' qE Do E cùng phương với P nên: g' g m GM GM Khi ở độ cao h: g'' , ở mặt đất: g 2 2 R R h
O F
E
P
g'' R2 2h 2h 1 g'' g 1 2 g R h R R Để ở mặt đất khi con lắc đặt trong điện trường E có chu kì bằng chu kì khi ở độ 2hgm 2.6, 4.9,81.0,1 cao h thì g ' g'' : q 2.107 C. RE 6400.9810 Suy ra :
Câu 7: Một con lắc đơn có chiều dài 1 m treo vào điểm O cố định. Khi dao động con lắc luôn chịu tác dụng của lực F không đổi, có phương vuông góc với trọng lực
P . Tìm vị trí cân bằng và chu kì con lắc. Lấy g 10 m/s 2 . P và có độ lớn bằng 3 Hướng dẫn giải:
Trang 259
+ Khi chưa có lực F Ở vị trí cân bằng: P T 0 T P mg Chu kì con lắc là: T 2π
l g
+ Khi có lực F
Ở vị trí cân bằng: P T F 0 T P F Đặt P ' P F mg'
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng P ' mg ' , với g' là gia tốc trọng trường hiệu dụng. Ta có chu kì con lắc là: T ' 2π
T
P
F P'
l . g'
P P 2 2P nên: P' P 2 F2 P 2 3 3 3 2 2 1 g' g 10 11,547 m/s 2 T ' 2π 1,849 s. 11,547 3 3
Do F P và F
Ở vị trí cân bằng, góc giữa dây treo và phương thẳng đứng là
tan
1 3
với
30 .
Câu 8: Một con lắc đơn có chiều dài 0,64 m dao động ở nơi có g 9,8 m/s 2 . Quả nặng của con lắc là quả cầu nhỏ bằng sắt non, khối lượng 10 g. Con lắc dao động trong từ trường đều, lực từ tác dụng vào quả cầu có cường độ 0,002 N và có phương thẳng đứng. Tính chu kì con lắc. Hướng dẫn giải: Lực từ tác dụng vào quả cầu F 0,002 N .
Ở vị trí cân bằng: P T F 0 T P F Đặt P ' P F mg ' (*) Khi con lắc chịu tác dụng của lực từ F .
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng: P ' mg ' , với g ' là gia tốc trọng trường hiệu dụng
l Chu kì của con lắc là: T ' 2π g' Khi lực F cùng chiều với P : (Hình a) Trang 260
T
F P Hình a
T F P Hình b
Từ (*) P ' P F g ' g
g' g
F m
F 0, 002 9,8 10 m/s 2 . m 0, 01
0, 64 1,59 s 10 Khi lực F ngược chiều với P : (Hình b) F 0, 002 9,6 m/s 2 . Từ (*) P ' P F g ' g g ' 9,8 m 0, 01 Chu kì con lắc: T ' 2π
Chu kì con lắc : T ' 2π
0, 64 1,62 s. 9, 6
Câu 9: Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy. Khi thang máy chuyển động thẳng đứng đi lên nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2,52 s. Khi thang máy chuyển động thẳng đứng đi lên chậm dần đều với gia tốc cũng có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 3,15 s. Khi thang máy đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là A. 2,96 s. B. 2,84 s. C. 2,61 s. D. 2,78 s. Hướng dẫn giải: Cách giải 1:
T0 2π Ta có: T1 2π T2 2π
l g
T 2 g a 2,52 2 9 1 a g 41 T2 g a 3,15 l 2 ga T0 g a 50 50 T0 .2,52 2,78 s l g 41 41 T1 ga Chọn đáp án D
Cách giải 2:Ta có:
1 ga 1 T 2 4π 2 l 1 1 1 g 1 1 2 2 2. 2 2 2 T1 T2 4π l T 1 1 ga 2 2 T2 4π l TT 2 2,52.3,15 2 T 1 2 2,78 s. 2 2 T1 T2 2,522 3,152 Chọn đáp án D Trang 261
Câu 10: Một con lắc đơn mang điện tích dương khi không có điện trường nó dao động điều hòa với chu kỳ T. Khi có điện trường hướng thẳng đứng xuống thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là T1 = 3 s. Khi có điện trường hướng thẳng đứng lên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là T2 = 4 s . Chu kỳ T dao động điều hòa của con lắc khi không có điện trường là: A. 5s B. 2,4s C.7s. D. 2,4 2 s Hướng dẫn giải:
1 ga 1 2 2 T 1 1 1 g 1 1 4π l Ta có: 2 2 2. 2 2 2 T1 T2 4π l T 1 1 ga 2 2 T2 4π l T
T1 T2 2 T T 2 1
2 2
3.4 2 32 42
2,4 2 s.
Chọn đáp án D Câu 11: Con lắc đơn có chiều dài l = 1 m dao động điều hoà được treo trong một xe chạy trên mặt phẳng nghiêng góc 30 so với mặt ngang. Khối lượng quả cầu là m 100 3 g . Tìm vị trí cân bằng, lực căng dây và chu kì dao động nhỏ của con lắc khi xe trượt không ma sát xuống mặt phẳng nghiêng. Hướng dẫn giải: Khi xe trượt không ma sát xuống mặt phẳng nghiêng thì xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a g sin .
Ở vị trí cân bằng: P T Fqt 0
(*)
Chiếu (*) lên Ox :
T sin Fqt cos 0
Fqt
(1)
Chiếu (*) lên Oy :
T cos Fqt sin P 0
y
(2)
a cos a sin g g sin cos sin cos tan 2 g sin g cos 2 tan tan .
I
T
O x P
Từ (1) và (2) tan
a
Vậy khi con lắc ở vị trí cân bằng phương sợi dây hợp với phương thẳng đứng gớc 30 , hay phương sợi dây vuông góc với mặt phẳng nghiêng. Lực căng dây:
Trang 262
Fqt cos
mg sin cos 3 mg cos 0,1. 3.10. 1,5 N. 2 sin sin Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng T 1,5 P ' mg ' T g ' 8,66 m/s 2 . m 0,1. 3 Từ (1) T
Chu kì con lắc là: T ' 2π
l 1 2π 2,13 s. g' 8, 66
Câu 12: Con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất, khi đưa con lắc lên độ cao h = 1,6 km thì một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh chậm bao nhiêu? Biết bán kính trái đất R = 6400 km. Hướng dẫn giải: ΔT h 1, 6 Ta có: 0 T 0 . Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm. T R 6400 Thời gian đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là:
θ
ΔT h 1, 6 24.3600 86400 86400 21,6 s. T1 R 6400
Câu 13: Con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất, khi đưa con lắc xuống độ sâu h = 640 m so với mặt nước biển thì sau một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết bán kính trái đất R = 6400 km. Hướng dẫn giải: Ta có:
ΔT h 0, 64 0 T 0 . Chu kì tăng, đồng hồ chạy chậm. T 2R 2.6400
Thời gian đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là:
θ
ΔT h 0, 64 24.3600 86400 86400 4,32 s. T 2R 2.6400
Câu 14: Ở mặt đất một con lắc đơn có chu kì T = 2 s. Biết khối lượng Trái đất gấp 81 lần khối lượng Mặt trăng và bán kính Trái đất gấp 3,7 lần bán kính Mặt Trăng. Tìm chu kì con lắc khi đưa con lắc lên Mặt trăng. Hướng dẫn giải: Chu kì con lắc khi ở Trái đất: T 2π
l GM với g 2 . g R
Chu kì con lắc khi ở Mặt trăng: T ' 2π
l g' GM.3, 7 2 g' 81.R 2
với
T' g 81 2, 43 T ' 2, 43T 2, 43.2 4,86 s. T g' 3, 7 2 Trang 263
Vậy chu kì con lắc khi ở mặt trăng là 4,86 s. Câu 15: Một đồng hồ quả lắc chỉ đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32°C . Con lắc của đồng hồ có thể xem là con lắc đơn và có chiều dài ở 0°C là l0 1 m . Hệ số nở dài của con lắc λ 2.105 K 1 . Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 17°C . Hỏi đồng hồ sẽ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu sau 12h? Hướng dẫn giải:
ΔT 1 1 λΔt λ t 2 t1 0 . Chu kì giảm nên đồng hồ chạy nhanh. T1 2 2 ΔT Thời gian đồng hồ chạy nhanh trong 12h là: θ 12.3600 do T2 T1 nên T1 ΔT 1 θ 12.3600 λ t 2 t1 .12.3600 6,48 s. T1 2 Ta có:
Câu 16: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại một nơi ngang mặt biển, có g 9,86 m/s 2 và nhiệt độ t1 30°C . Thanh treo quả lắc nhẹ, làm bằng kim loại có hệ số nở dài λ 2.105 K 1 . Đưa đồng hồ lên cao 640 m so với mặt nước biển, đồng hồ lại chạy đúng. Hãy giải thích hiện tượng và tính nhiệt độ ở độ cao ấy. Coi trái đất hình cầu, bán kính R = 6400 km. Hướng dẫn giải: Đưa đồng hồ lên cao 0,64 km so với mặt nước biển, đồng hồ lại chạy đúng vì: khi đưa đồng hồ lên cao gia tốc trọng trường giảm nên chu kì tăng nhưng ở trên cao nhiệt độ giảm. Sự tăng chu kì do độ cao được bù trừ với sự giảm chu kì do nhiệt độ nên chu kì con lắc không thay đổi nên đồng hồ vẫn chạy đúng. Ở mặt đất, nhiệt độ t1 : T 2π Ở độ cao h, nhiệt độ t 2 : T ' 2π
GM l với g 2 ; l l0 1 λt1 R g
l' GM với g ' ; l ' l0 1 λt 2 2 g' R h
Để đồng hồ chạy đúng khi ở độ cao h thì
T' T
l' l l ' g' l' R2 g' g l g l R h 2 2
1 λt 2 h 2h 1 1 1 λt 2 1 λt1 1 1 λt1 R R 2h 2h 1 λ t 2 t1 1 1 λ t 2 t1 1 R R 2h 2.0, 64 t 2 t1 30 20C. λR 2.105.6400 Trang 264
Câu 17: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T = 2 s), ở nhiệt độ trung bình bằng 20C gồm vật nặng m và thanh treo mảnh, nhẹ bằng kim loại có hệ số nở dài λ 2.105 K 1 . Đưa đồng hồ vào thành phố Hồ Chí Minh có nhiệt độ trung bình 30°C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm so với Hà Nội và nhanh chậm mỗi ngày bao nhiêu? Biết gia tốc trọng trường ở thành phố Hồ Chí Minh là g ' 9,787 m/s 2 và ở Hà nội là g 9,793 m/s 2 . Hướng dẫn giải: Đưa đồng hồ từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh do nhiệt độ và gia tốc trọng trường g thay đổi nên đồng hồ sẽ chạy sai. Xét sự thay đổi chu kì theo nhiệt độ: Ở Hà Nội nhiệt độ t1 : T 2π
l1 g
Ở TP Hồ Chí Minh nhiệt độ t 2 : T 2π
l2 l1 1 λΔt
l2 với g
1 T2 l 2 1 λΔt 1 λΔt 2 T1 l1
Áp dụng công thức gần đúng: 1 ε 1 nε n
T2 1 ΔT 1 1 λΔt λΔt T1 2 T1 2
. Xét sự thay đổi chu kì theo gia tốc trọng trường g: Ở Hà Nội: T 2π
l g
Ở TP Hồ Chí Minh: T ' 2π
l với g ' g g g'
T' g 1 1 Δg ΔT 1 Δg 1 Δg T g' 2 g T 2 g 1 g
Vậy độ biến đổi chu kì của con lắc khi đưa từ Hà Nội vào thành phố Hồ Chí Minh là: ΔT 1 1 Δg 1 1 9, 787 9, 793 λΔt 2.105. 30 20 4, 06.104 0 T 2 2 g 2 2 9, 793 Chu kì tăng, nên đồng hồ chạy chậm trong một ngày đêm là:
θ
ΔT ΔT 86400 86400 35 s. T2 T1
Trang 265
Câu 18: Con lắc của một đồng hồ coi như một con lắc đơn. Đồng hồ chạy đúng khi ở mặt đất. Ở độ cao 3,2 km nếu muốn đồng hồ vẫn chạy đúng thì phải thay đổi chiều dài con lắc như thế nào? Biết bán kính trái đất R = 6400 km. Hướng dẫn giải:
GM l với g 2 R g
Ở mặt đất: T 2π Ở độ cao h: T ' 2π
l GM với g ' 2 g' R h
Để đồng hồ chạy đúng khi ở độ cao h thì T ' T
l' l l ' g' g' g l g
2
l' R2 h 2h l 2h 2.3, 2 1 1 1 . 2 l R h R R l R 6400 1000 1 chiều dài ban đầu. 1000 Câu 19: Một con lắc đơn có chiều dài không đổi, gọi ΔT1 là độ biến thiên chu kì dao động điều hòa khi đưa con lắc từ mặt đất lên độ cao h ( h R , với R là bán kính Trái Đất), ΔT2 là độ biến thiên chu kì dao động điều hòa khi đưa con lắc từ mặt đất xuống độ sâu h. Liên hệ giữa ΔT1 và ΔT2 là: A. ΔT1 = 2ΔT2. B. ΔT1 = 4ΔT2. C. 2ΔT1 = ΔT2. D. ΔT1 = ΔT2. Hướng dẫn giải: Tại nơi có độ cao h thì gia tốc trong trường giảm:
Vậy cần phải giảm chiều dài dây một đoạn bằng
g h+ G
2
M
R h
2
h R h g0 Th + T0 1 T1 T0 . R Rh R
Tại nơi có độ sâu h so với mặt đất, gia tốc con lắc là: g h được xác định như sau:
mM R h R h (R h) 2 R 3 h g0 g 0 1 m R R 3
Fhd mg h g h
Fhd m
G
h Th T0 T0 1 h R 1 R 1
1 2
h h T0 1 T1 2T2 T2 T0 . 2R 2R Chọn đáp án A
Vấn đề 9: Con lắc trùng phùng Phương pháp: Trang 266
Khoảng thời gian giữa 2 lần trùng phùng liên tiếp: θ
TT0 θT0 T . T T0 θ T0
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Dùng các chớp sáng tuần hoàn chu kỳ 2 s để chiếu sáng một con lắc đơn đang dao động. Ta thấy, con lắc dao động biểu kiến với chu kỳ 30 phút với chiều dao động biểu kiến cùng chiều dao động thật. Chu kỳ dao động thật của con lắc là: A. 2,005 s B. 1,978 s C. 2,001 s D. 1,998 s Hướng dẫn giải: Chu kì dao đông biểu kiến chính là thời gian “trùng phùng” của hai dao động: t = nT = (n + 1) Tthật 1800 60 Với n = 30. = 900 Tthật = = 1,99778 1,998 s . 901 2 Chọn đáp án D Câu 2: Một con lắc đơn có chu kì dao động T chưa biết dao động trước mặt một con lắc đồng hồ có chu kì T0 = 2 s. Con lắc đơn dao động chậm hơn con lắc đồng hồ một chút nên có những lần hai con lắc chuyển động cùng chiều và trùng nhau tại vị trí cân bằng của chúng (gọi là những lần trùng phùng). Quan sát cho thấy khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp bằng 7 phút 30 giây. Hãy tính chu kì T của con lắc đơn và độ dài con lắc đơn. Lấy g = 9,8 m/s2. A. 1,98 s và 1 m B. 2,009 s và 1 m C. 2,009 s và 2 m D. 1,98 s và 2 m Hướng dẫn giải: Đối với bài toán con lắc trùng phùng ta có khoảng thời gian giữa 2 lần trùng phùng liên tiếp: θ
TT0 θT0 T = 2,009 s, suy ra chiều dài l = 1 m. T T0 θ T0
Chọn đáp án B Câu 3: Con lắc đơn chu kì T hơi lớn hơn 2s dao động song song trước 1 con lắc đơn gõ giây chu kỳ T0 = 2s. Thời gian giữa 2 lần trùng phùng thứ nhất và thứ 5 là 28 phút 40 giây. Chu kì T là: A.2,015 s. B.2,009 s. C.1,995 s. D.1,002 s. Hướng dẫn giải: Cách giải 1:
1 1 (28 phút 40s) = .1720s = 430 s. 4 4 TT0 θT0 430.2 215 T 2, 009 s . Suy ra: θ T T0 θ T0 430 2 107 Thời gian trùng phùng của hai con lắc t =
Chọn đáp án B Cách giải 2: Ta có: Trang 267
(n + 1)T0 = nT = 430 n =
430 430 430 – 1 = 214 T = = = 2,009 s. 2 n 214 Chọn đáp án B
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m treo vào sợi dây l tại nơi có gia tốc trọng trường g, dao động điều hoà với chu kỳ T phụ thuộc vào A. l và g. B. m và l. C. m và g. D. m, l và g. Câu 2: Con lắc đơn chiều dài l dao động điều hoà với chu kỳ A. T 2
m k
B. T 2
k m
C. T 2π
l g
D. T 2π
g l
Câu 3: Con lắc đơn dao động điều hoà, khi tăng chiều dài của con lắc lên 4 lần thì tần số dao động của con lắc: A. tăng lên 2 lần. B. giảm đi 2 lần. C. tăng lên 4 lần. D. giảm đi 4 lần. Câu 4: Trong dao động điều hoà của con lắc đơn, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Lực kéo về phụ thuộc vào chiều dài của con lắc. B. Lực kéo về phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng. C. Gia tốc của vật phụ thuộc vào khối lượng của vật. D. Tần số góc của vật phụ thuộc vào khối lượng của vật. Câu 5: Con lắc đơn (chiều dài không đổi), dao động với biên độ nhỏ có chu kỳ phụ thuộc vào A. khối lượng của con lắc. B. trọng lượng của con lắc. C. tỉ số giữa khối lượng và trọng lượng của con lắc. D. khối lượng riêng của con lắc. Câu 6: Con lắc đơn dao động điều hoà với chu kỳ 1s tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, chiều dài của con lắc là A. l = 24,8 m. B. l = 24,8 cm. C. l = 1,56 m. D. l = 2,45 m. Câu 7: Con lắc đơn dao động điều hoà tại nơi có gia tốc trọng trường 9,81 m/s2, với chu kỳ T = 2s. Chiều dài của con lắc là A. l = 3,120 m. B. l = 96,60 cm. C. l = 0,993 m. D. l = 0,040 m. Câu 8: Ở nơi mà con lắc đơn đếm giây (chu kỳ 2s) có độ dài 1 m, thì con lắc đơn có độ dài 3 m sẽ dao động với chu kỳ là A. T = 6 s. B. T = 4,24 s. C. T = 3,46 s. D. T = 1,5 s. Câu 9: Một con lắc đơn có độ dài l1 dao động với chu kỳ T1 = 0,8 s. Một con lắc đơn khác có độ dài l2 dao động với chu kỳ T1 = 0,6 s. Chu kỳ của con lắc đơn có độ dài l1 + l2 là Trang 268
A. T = 0,7 s. B. T = 0,8 s. C. T = 1,0 s. D. T = 1,4 s. Câu 10: Một con lắc đơn có độ dài l, trong khoảng thời gian Δt nó thực hiện được 6 dao động. Người ta giảm bớt độ dài của nó đi 16 cm, cũng trong khoảng thời gian Δt như trước nó thực hiện được 10 dao động. Chiều dài của con lắc ban đầu là A. l = 25 m. B. l = 25 cm. C. l = 9 m. D. l = 9 cm. Câu 11: Tại một nơi có hai con lắc đơn đang dao động với các biên độ nhỏ. Trong cùng một khoảng thời gian, người ta thấy con lắc thứ nhất thực hiện được 4 dao động, con lắc thứ hai thực hiện được 5 dao động. Tổng chiều dài của hai con lắc là 164 cm. Chiều dài của mỗi con lắc lần lượt là A. l1 = 100 m, l2 = 6,4 m. B. l1 = 64 cm, l2 = 100 cm. C. l1 = 1,00 m, l2 = 64 cm. D. l1 = 6,4 cm, l2 = 100 cm. Câu 12: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng tại một nơi trên mặt đất. Người ta đưa đồng hồ từ mặt đất lên độ cao h = 5 km, bán kính Trái đất là R = 6400 km (coi nhiệt độ không đổi). Mỗi ngày đêm đồng hồ đó chạy A. nhanh 68s. B. chậm 68s. C. nhanh 34s. D. chậm 34s. Câu 13: Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s, thời gian để con lắc đi từ VTCB đến vị trí có li độ cực đại là: A. t = 0,5s. B. t = 1,0s. C. t = 1,5s. D. t = 2,0s. Câu 14: Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 3s, thời gian để con lắc đi từ VTCB đến vị trí có li độ x =
A là 2
A. t = 0,250s. B. t = 0,375s. C. t = 0,750s. D. t = 1,50s. Câu 15: Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 3s, thời gian để con lắc đi từ vị trí có li độ x =
A đến vị trí có li độ cực đại x = A là 2
A. t = 0,250s. B. t = 0,375s. C. t = 0,500s. D. t = 0,750s. Câu 16: Một con lắc đơn dao động với biên độ góc là 600 ở nơi có gia tốc trọng lực bằng 10 m/s2. Vận tốc của con lắc khi qua vị trí cân bằng là 4 m/s. Tính độ dài của dây treo con lắc. A. 0,8 m B. 1 m C. 1,6 m D. 3,2 m Câu 17: Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng m treo vào sợi dây có chiều dài l = 40 cm. Bỏ qua sức cản không khí. Đưa con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng góc α0 = 0,15 rad rồi thả nhẹ, quả cầu dao động điều hòa. Quãng đường cực 2T đại mà quả cầu đi được trong khoảng thời gian là 3 A. 18 cm. B. 16 cm. C. 20 cm. D. 8 cm. Câu 18: Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ bằng kim loại được tích điện q > 0. Khi đặt con lắc vào trong điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường nằm ngang thì tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc với tan = 3/4, lúc này con lắc dao động nhỏ với chu kỳ T1. Nếu đổi chiều điện trường này sao cho véctơ cường độ diện trường có phương thẳng đứng hướng lên và cường độ không đổi thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc lúc này là: Trang 269
A. T1
5 . 7
T1 . 5
B.
C. T1
7 . 5
D. T1 5 .
Câu 19: Một con lắc đơn có khối lượng 50g đặt trong một điện trường đều có vecto cường độ điện trường E hướng thẳng đứng lên trên và có độ lớn 5.103 V/m. Khi chưa tích điện cho vật, chu kì dao động của con lắc là 2s. Khi tích điện cho vật thì chu kì dao động của con lắc là
s. Lấy g = 10 m/s2 và 2 = 10. Điện tích của vật là 2
A. 4.10-5C B. – 4.10-5C C. 6.10-5C D. – 6.10-5C Câu 20: Trong khoảng thời gian t, con lắc đơn có chiều dài l1 thực hiện 40 dao động. Vẫn cho con lắc dao động ở vị trí đó nhưng tăng chiều dài sợi dây thêm một đoạn bằng 7,9 cm thì trong khoảng thời gian t nó thực hiện được 39 dao động. Chiều dài của con lắc đơn sau khi tăng thêm là A. 152,1 cm. B. 160 cm. C. 144,2 cm. D. 167,9 cm. Câu 21: Có hai con lắc đơn mà độ dài của chúng khác nhau 22 cm, dao động ở cùng một nơi. Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc thứ nhất thực hiện được 30 dao động toàn phần, con lắc thứ hai thực hiện được 36 dao động toàn phần. Độ dài của các con lắc nhận giá trị nào sau đây: A. l1= 88 cm ; l2 = 110 cm. B. l1= 78 cm ; l2 = 110 cm. C. l1= 72 cm ; l2 = 50 cm. D. l1=50 cm ; l2 = 72 cm. Câu 22: Một con lắc đơn mang điện tích dương khi không có điện trường nó dao động điều hòa với chu kỳ T. Khi có điện trường hướng thẳng đứng xuống thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là T1. Khi có điện trường hướng thẳng đứng lên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là T2. Chu kỳ T dao động điều hòa của con lắc khi không có điện trường liên hệ với T1. và T2 là: A. T C. T
T1 T2
B. T
T T 2 1
2 2
T1 T2 2 T T 2 1
2 2
.
D. T
2.T1 T2 T12 T22
T1 T2 2 T12 T22
Câu 23: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn, cách điện gồm vật nặng khối lượng 50g, tích điện q = 20 μC và lò xo có độ cứng k = 20 N/m. Khi vật đang nằm cân bằng thì người ta tạo một điện trường đều E = 105 V/m trong không gian bao quanh con lắc có hướng dọc theo trục lò xo trong khoảng thời gian nhỏ Δt = 0,01 s và coi rằng trong thời gian này vật chưa kịp dịch chuyển. Sau đó con lắc dao động với biên độ là A. 10 cm. B. 1 cm. C. 2 cm. D. 20 cm. Câu 24: Con lắc đơn có vật nhỏ tích điện âm dao động điều hòa trong điện trường đều có véctơ cường độ điện trường thẳng đứng. Độ lớn lực điện tác dụng lên vật nhỏ bằng một phần tư trọng lượng của nó. Khi điện trường hướng xuống chu kỳ dao động bé của con lắc là T1. Khi điện trường hướng lên thì chu kỳ dao động bé của con lắc là T2. Liên hệ đúng là Trang 270
A. 2T1 3T2 .
B.
3T1 5T2 .
C. 3T2 5T1 . D. 2T1 5T2 . Câu 25: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m treo ở trần một thang máy, khi thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a
g (g = 2 m/s2 ) thì chu kỳ dao động 2
bé của con lắc là A. 4 s. B. 2,83 s. C. 1,64 s. D. 2 s. Câu 26: Một con lắc đơn có chu kỳ T = 2s khi đặt trong chân không. Quả lắc làm bằng một hợp kim khối lượng riêng D = 8,67 g/cm3. Tính chu kỳ T' của con lắc khi đặt con lắc trong không khí; sức cản của không khí xem như không đáng kể, quả lắc chịu tác dụng của sức đẩy Archimède, khối lượng riêng của không khí là D0 = 1,3 g/lít. A. 2,00024 s. B. 2,00015 s. C. 1,99993 s. D. 1,99985 s. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Chọn A. Hướng dẫn: Chu kỳ của con lắc đơn là T 2π
l , do đó T chỉ g
phụ thuộc vào l và g. Câu 2: Chọn C. Hướng dẫn: Chu kỳ của con lắc đơn là T 2π
l . g
Câu 3: Chọn B. Hướng dẫn: Tần số dao động của con lắc đơn là f
1 g , khi 2π l
tăng chiều dài lên 4 lần thì tần số giảm đi 2 lần. Câu 4: Chọn B. Hướng dẫn: Lực kéo về (lực hồi phục) trong con lắc đơn là thành phần trọng lực tác dụng lên vật được chiếu lên phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động, và có giá trị P2 = Psinα = mgsinα do đó lực kéo về phụ thuộc vào khối lượng của vật. Câu 5: Chọn C. Hướng dẫn: Tỉ số giữa trọng lượng và khối lượng của con lắc chính là gia tốc trọng trường tại nơi vật dao động. Câu 6: Chọn B. Hướng dẫn: Chu kỳ của con lắc đơn T 2π
l , suy ra chiều dài g
của con lắc là l = T2g/(4π2) = 0,248 m = 24,8 cm. Câu 7: Chọn C. Hướng dẫn: Xem hướng dẫn và làm tương tự câu 6.
Trang 271
Câu 8: Chọn C. Hướng dẫn: Con lắc đơn khi chiều dài là l1 = 1 m dao động với chu kỳ T1 2π
T2 2π
l1 = 2s. Con lắc đơn khi chiều dài là l2 = 3 m dao động với chu kỳ g
l2 T l → 2 2 → T2 = 4,46s. g T1 l1
Câu 9: Chọn C. Hướng dẫn: Con lắc đơn khi chiều dài là l1 dao động với chu kỳ
T1 2π
l1 l . Con lắc đơn khi chiều dài là l2 dao động với chu kỳ T2 2π 2 . g g
Con lắc đơn khi chiều dài là l1 + l2 dao động với chu kỳ T 2π
l1 l2 . g
Suy ra T T12 T22 = 1s. Câu 10: Chọn B. Hướng dẫn: Khi con lắc đơn có độ dài l, trong khoảng thời gian Δt nó thực hiện được 6 dao động. Người ta giảm bớt độ dài của nó đi 16cm = 0,16m, cũng trong khoảng thời gian Δt như trước nó thực hiện được 10 dao động. Ta có biểu thức sau: t 6T1 10T2 6.2π
l l 0,16 , giải phương 10.2π g g
trình ta được l = 0,25 m = 25 cm. Câu 11: Chọn C. Hướng dẫn: Con lắc đơn có độ dài l1, trong khoảng thời gian Δt nó thực hiện được 4 dao động. Con lắc đơn có độ dài l2 = 1,6 – l1 cũng trong khoảng thời gian Δt như trước nó thực hiện được 5 dao động. Ta có biểu thức sau:
Δt 4T1 5T2 4.2π
l1 1, 6 l1 , giải phương trình ta được l1= 1,00 5.2π g g
m, và suy ra l2 = 0,64 m = 64 cm. Câu 12: Chọn B. Hướng dẫn: Chu kỳ của con lắc khi ở mặt đất là T 2π con lắc ở độ cao h = 5 km thì chu kỳ dao động là T' 2π
l , khi g
l R2 với g’ = g , ( R h )2 g'
suy ra g’ < g → T’ > T → đồng hồ chạy chậm. Trong mỗi ngày đêm đồng hồ chạy
T 1 , thay số ta được Δt = 68s. T'
chậm một lượng là t 24.3600
Câu 13: Chọn B. Hướng dẫn: Thời gian con lắc đi từ VTCB đến vị trí có li độ cực đại là
T . 4
Trang 272
Câu 14: Chọn A. Hướng dẫn: Vận dụng quan hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà, ta có thời gian vật chuyển động từ VTCB đến vị trí có li độ
x A/2
π A T x= là t 6 = 0,250s. 2 ω 12
π/6 Δ -A
Câu 15: Chọn C. Hướng dẫn: Xem hướng dẫn và làm tương tự câu 15. Câu 16: Chọn C. Hướng dẫn: Dùng bảo toàn cơ năng
mv 2 mgh . 2
0
Với biên độ góc là 600 em vẽ hình sẽ thấy độ
l . 2 mv 2 l v 2 42 mg l 1,6 m . Nên: 2 2 g 10 cao h
Câu 17: Chọn A. Hướng dẫn: Ta có: s0 = l.α0 = 40.0,15 = 6 cm. Quãng đường cực đại mà quả cầu đi được là khi vật qua vùng có tốc độ cực đại qua VTCB. Coi vật dao động theo hàm cos. Ta lấy đối xứng qua trục Oy. Góc quét: t
2T 2 4 . 3 T 3 3
M0
h O
N
M π 3
-6
O
3
6
Trong góc quét: Δφ1 = π thì quãng đường lớn nhất vật đi được là: Smax1 = 2A = 12 cm. Trong góc quét: Δφ1 = π/3 từ M đến N: thì Smax2 = 2.3 = 6 cm. Vậy Smax = Smax1 + Smax2 = 18 cm. Câu 18: Chọn D. Hướng dẫn: Ta có gia tốc do lực điện trường gây ra cho vật a =
F Eq (E là độ lớn cường độ điện trường). m m Khi điện trường nằm ngang: T1 = 2π
l Với g1 = g1
g 2 a 2 . tanα =
F a 3 3 5 = = → a = g , g1 = g. P g 4 4 4
Khi điện trường hướng thẳng đứng lên trên T2 = 2π Với g2 = g – a = g –
3 1 g= g 4 4 Trang 273
l . g2
Suy ra
T2 g1 = T1 g2
5 g 4 = 1 g 4
5 T2 = T1 5 .
Câu 19: Chọn D. Hướng dẫn:
L 2(s) (g1 g) g1 L Sau khi tích điện chu kỳ: T2 2 (víi g2 g1 a vµ ma q.E) g2 T1 g2 4 g 16 2 1 Nªn qE cïng dÊu víi g1 q 0 T2 g1 g1 10
Khi chưa tích điên chu kỳ: T1 2
8 3 g1 a g1 a g1 0,05.0,6.10=q.5.10 3 q 6.105 (C) 5 5 Câu 20: Chọn B. Hướng dẫn: Cách giải 1: Ta có:
l1 T1 f2 39 l2 T2 f1 40
l1 l 7,9 22 0,1 l2 160 cm. 2 39 40 79
Cách giải 2: Chiều dài của con lắc đơn sau khi tăng thêm là l2: Ta có:
l2 7,9 T1 f2 39 l2 T2 f1 40 1600l2 402.7,9 392 l2 l2
402.7,9 160 cm l2 160 cm. 79
30 1 t1 t 2 Câu 21: Chọn C. Hướng dẫn: Ta cã: t 36 1 2 t 2 30
36
l2 l1
g l1 , g l2
l1 22 l1 72 cm l2 50 cm. l1
Trang 274
1 ga 1 T 2 4π 2 l 1 1 1 g 1 1 Câu 22: Chọn D. Hướng dẫn: 2 2 2. 2 2 2 T1 T2 4π l T 1 1 ga 2 2 T2 4π l T
T1 T2 2 T12 T22
.
Câu 23: Chọn C. Hướng dẫn: Khi có điện trường vật chịu tác dụng của lực điện trường: F = Eq. Lực F gây ra xung của lực trong thời gian Δt: FΔt = ΔP = mv là độ biến thiên động lượng của vật (vì coi rằng trong thời gian này vật chưa kịp dịch chuyển.) v =
FΔt EqΔt = . m m
Sau đó con lắc dao động với biên độ A;
EqΔt Suy ra A = v m = m k
kA 2 mv 2 = 2 2
5
6
m = 10 20.10 .10 5.10 2 k
2
Câu 24: Chọn B. Hướng dẫn: Ta có lực điện F
5.10 2 = 2.10-2 m = 2 cm. 20
P mg . 4 4
Gia tốc biểu kiến: F g 3g g m 4 4 F g 5g + khi điện trường hướng lên: g 2 g g m 4 4
+ khi điện trường hướng xuống: g1 g
Suy ra
T1 g2 5 T1 3 T2 5 . T2 g1 3
Câu 25: Chọn B. Hướng dẫn: Khi thang máy chuyển động nhanh dần đều thì a cùng chiều chuyển động (hướng xuống) mà F®h ngược chiều a F®h hướng lên F®h P
g 2 T' 2 l 2 2 2,83 s. 2 2 g' 2 Câu 26: Chọn B. Hướng dẫn: Lực đẩy Acsimet: FP Vg ( = D0 là khối Gia tốc hiệu dụng g' g a
lượng riêng của chất lỏng hoặc chất khí (ở đây là không khí), V là thể tích bị vật chiếm chỗ ), lực đẩy Acsimet luôn có phương thẳng đứng, hướng lên trên
Vg D g g' g g’ = g – = g(1 – 0 ). m D D
Trang 275
Ta có:
T' g D T 1 0 T g' T' D
T’ = T.
D 8,67 =2 . = 2,000149959s hay T = 2,00015s. D D0 8,67 1,3.10 3
Trang 276
CHỦ ĐỀ 4 TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Tổng hợp dao dộng đều hòa bằng giản đồ véctơ a. Độ lệch pha trong hai dao động cùng tần số Cho hai dao động x1 = A1cos(t + 1) và (x) x2 = A2cos(t + 2) ta được x = x1 + x2 là P một dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x = Acos (t + ). Trong đó: P2 Biên độ: 2 2 2 A = A 2 + A1 2A 2 A1cos(φ 2 φ1 ) ;
A1 sin φ1 A 2sinφ 2 A1cosφ1 A 2 cosφ 2 với 1 ≤ ≤ 2 (nếu 1 ≤ 2 ) Pha ban đầu: tan φ =
P1
A
A2
2 1
O
- Độ lệch pha giữa hai dao động x1 và x2 : φ = φ1 - φ 2
A1
() P’
+ Nếu φ > 0 φ1 φ 2 thì x1 nhanh pha hơn x2 + Nếu φ < 0 φ1 < φ 2 thì x1 chậm pha hơn x2 - Các giá trị đặt biệt của độ lệch pha: + φ = k2π với k Z : hai dao động cùng pha. + φ = (2k + 1)π với k Z : hai dao động ngược pha. π + φ = (2k + 1) với k Z : hai dao động vuông pha. 2 b. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2) được một dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số x = Acos(t + ). Trong đó: A 2 = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(φ 2 - φ1 )
A1sinφ1 + A 2sinφ 2 với 1 ≤ ≤ 2 (nếu 1 ≤ 2) A1cosφ1 + A 2 cosφ 2 * Nếu = 2kπ (x1, x2 cùng pha) AMax = A1 + A2 * Nếu = (2k + 1)π (x1, x2 ngược pha) AMin = A1 - A2 A1 - A2 ≤ A ≤ A1 + A2 A 2A1 cos 2 * Nếu A1 = A2 thì 1 2 2 tanφ =
`
Trang 276
Chú ý: Khi viết được phương trình dao động x = Acos(t + ) thì việc xác định vận tốc, gia tốc của vật như với một vật dao động điều hòa bình thường. c. Khi biết một dao động thành phần x1 = A1cos(t + 1) và dao động tổng hợp x = Acos(t + ) thì dao động thành phần còn lại là x2 = A2cos(t + 2). Trong đó: A 22 = A 2 + A12 2AA1cos(φ φ1 )
tanφ 2 =
Asinφ - A1sinφ1 với 1 ≤ ≤ 2 ( nếu 1 ≤ 2 ) Acosφ - A1cosφ1
d. Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình x1 = A1cos(t + 1); x2 = A2cos(t + 2); … thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x = Acos(t + ). Chiếu lên trục Ox và trục Oy Ox . Ta được: A x = Acosφ = A1cosφ1 + A 2 cosφ 2 + ...
A y = Asinφ = A1sinφ1 + A 2sinφ 2 + ... Ay
với φ φ min ; φ Max Ax e. Trường hợp tổng hợp nhiều dao động điều cùng phương, cùng tần số: x1; x2; …; xn thì x = x1 + x2 + … + xn = Acos(t + ) - Tìm biên độ A: Chiếu xuống trục Ox : A x = Acosφ = A1cosφ1 + A 2 cosφ 2 + ... A = A 2x + A 2y và tanφ =
Chiếu xuống trục Oy : A y = Asinφ = A1sinφ1 + A 2sinφ 2 + ... Biên độ tổng hợp : A =
A 2x + A 2y
- Pha ban đầu của dao động: tanφ =
Ay Ax
φ
Nhưng phải lưu ý đến dấu của A x và A y để lấy nghiệm đúng của . A + Nếu x A y phần tư thứ nhất. A + Nếu x A y phần tư thứ hai. A + Nếu x A y phần tư thứ ba.
0 0 0 0 0 0
thì thuộc góc A x 0 A y 0
thì thuộc góc
thì thuộc góc
Trang 277
-A A x 0 A y 0
I
II O
III
IV
A x 0 A y 0
A x
A x 0 A y 0
A 0 + Nếu x thì thuộc góc phần tư thứ tư. A 0 y Chú ý : + Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có thể áp dụng trường hợp tổng quát nói trên. + Ngoài phương pháp nói trên, nếu A1 = A2 = A, thì ta có thể cộng lượng giác và tìm được phương trình dao động tổng hợp: φ - φ2 φ + φ2 . x = x1 + x 2 = A1cos(ωt + φ1 ) + A 2 cos(ωt + φ 2 ) = 2Acos 1 cos ωt 1 2 2 Tùy theo từng bài toán và sở trường của từng người, ta có thể dùng giãn đồ véctơ hoặc công thức lượng giác để giải các bài tập loại này. Lưu ý: Nếu có một phương trình dao động thành phần dạng sin thì phải đổi phương trình này sang dạng cos rồi mới tính toán hoặc vẽ giãn đồ véctơ. 2. Tổng hợp hai dao động nhờ số phức: 2.1. Cơ sở lý thuyết: Dao động điều hoà x = Acos(t + ) có thể được biểu diễn bằng vectơ quay A có độ dài tỉ lệ với biên độ A và tạo với trục hoành một góc bằng góc pha ban đầu . Hoặc cũng có thể biểu diễn bằng số phức dưới dạng: z = a + bi.
Trong tọa độ cực: z = A(sin + icos) (với môđun: A = a 2 b 2 ) hay Z = Aej(t + ). Vì các dao động có cùng tần số góc nên thường viết quy ước z = AeJ. Trong các máy tính CASIO FX - 570ES, 570ES Plus kí hiệu dưới dạng là: r (ta hiểu là: A ). Đặc biệt giác số trong phạm vi : - 1800 < < 1800 hay - < < rất phù hợp với bài toán tổng hợp dao động trên. Vậy tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp Frexnen đồng nghĩa với việc cộng các số phức biểu diễn của các dao động đó. 2.2. Giải pháp thực hiện phép công và trừ số phức: Cộng các số phức: A1φ1 A 2 φ 2 Aφ Trừ các số phức: Aφ A 2 φ 2 A1φ1 và Aφ A1φ1 A 2 φ 2 2.3. Các dạng bài tập liên quan máy tính CASIO FX - 570ES, 570ES Plus: Các bài toán liên quan tới biên độ dao động tổng hợp, pha ban đầu : + Bước đầu tiên hãy tính nhanh + Dựa vào để áp dụng tính toán nhanh cho phù hợp với các trường hợp đặc biệt, cuối cùng mới sử dụng công thức tổng quát khi mà không lọt vào trường hợp đặc biệt nào. 2.3.1 Tìm dao động tổng hợp xác định A và bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng: a.Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO FX – 570ES, 570ES Plus Các bước Chọn chế độ
Nút lệnh Trang 278
Ý nghĩa- Kết quả
Chỉ định dạng nhập / xuất toán
Bấm: SHIFT MODE 1
Màn hình xuất hiện Math
Thực hiện phép tính về số phức
Bấm: MODE 2
Màn hình xuất hiện CMPLX
Dạng tọa độ cực: r (ta hiểu: A )
Bấm: SHIFT MODE 3 2
Hiển thị số phức kiểu r
Chọn đơn vị đo góc là độ (D)
Bấm: SHIFT MODE 3
Màn hình hiển thị chữ D
Chọn đơn vị đo góc là Rad (R)
Bấm: SHIFT MODE 4
Màn hình hiển thị chữ R
Để nhập ký hiệu góc
Bấm SHIFT (-)
Màn hình hiển thị ký hiệu
Kinh nghiệm: Nhập với đơn vị độ nhanh hơn đơn vị rad nhưng kết quả sau cùng cần phải chuyển sang đơn vị rad cho những bài toán theo đơn vị rad. (Vì nhập theo đơn vị rad phải có dấu ngoặc đơn ‘(‘‘)’ nên thao tác nhập lâu hơn, ví dụ: Nhập 900 thì nhanh hơn nhập ( π ), lời khuyên là nên nhập đơn vị rad. 2 Bảng chuyển đổi đơn vị góc: φ (Rad) α(D).π 180 Đơ 15 30 45 60 75 90 105 12 135 15 165 18 36 n vị 0 0 0 0 góc (Độ ) Đơ 1 1 1 1 5 1 7 2 9 5 11 2 n vị 12 π 6 π 4 π 3 π 12 π 2 π 12 π 3 π 12 π 6 π 12 π góc (Ra d) Lưu ý : Khi thực hiện phép tính kết quả được hiển thị dạng đại số: a + bi (hoặc dạng tọa độ cực: A ). Chuyển từ dạng : a + bi sang dạng: A , bấm SHIFT 2 3 = Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) π Nếu hiển thị: 4 + 4 3 i . Ta bấm SHIFT 2 3 = . 3 Kết quả: 8 π 3 Chuyển từ dạng A sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 =
Trang 279
Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) π Nếu hiển thị: 8 π . Ta bấm SHIFT 2 4 = . Kết 3 3 quả: 4 + 4 3 i Bấm SHIFT 2 . Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ). Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a + bi). b. Tìm dao động tổng hợp xác định A và bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng: Với máy FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX. Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D (hoặc Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R). Thực hiện phép cộng số phức: A1φ1 A 2 φ 2 Aφ . Ta làm như sau: Nhập A1 SHIFT (-) φ1 + A2 SHIFT (-) φ2 = hiển thị kết quả ... (Nếu hiển thị số phức dạng: a + bi thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả: A) Lưu ý Chế độ hiển thị màn hình kết quả: Sau khi nhập ta ấn dấu = có thể hiển thị kết quả dưới dạng số vô tỉ, muốn kết quả dưới dạng thập phân ta ấn SHIFT = (hoặc dùng phím SD ) để chuyển đổi kết quả Hiển thị. 2.3.2. Tìm dao động thành phần( xác định A2 và 2 ) bằng cách dùng máy tính thực hiện phép trừ: + Trừ các véctơ: A1 A A 2 và A 2 A A1 + Trừ các số phức: Aφ A 2 φ 2 A1φ1 và Aφ A1φ1 A 2 φ 2 Ví dụ tìm dao động thành phần x2: x2 = x - x1 với: x2 = A2cos(t + 2). Xác định A2 và 2? Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện : CMPLX Chọn đơn vị đo góc là Độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị D (hoặc Chọn đơn vị đo góc là Radian ta bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R ) Thực hiện phép trừ số phức: Aφ A1φ1 A 2 φ 2 hoặc Aφ A 2 φ 2 A1φ1 Nhập A SHIFT (-) φ - (chú ý dấu trừ). Nhập A1 SHIFT (-) φ1 = kết quả. (Nếu hiển thị số phức thì bấm SHIFT 2 3 = kết quả trên màn hình: A2 2 B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Nhận xét nào sau đây về biên độ dao động tổng hợp là không đúng? Dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số A. có biên độ phụ thuộc vào biên độ của dao động hợp thành thứ nhất. B. có biên độ phụ thuộc vào biên độ của dao động hợp thành thứ hai. C. có biên độ phụ thuộc vào tần số chung của hai dao động hợp thành. D. có biên độ phụ thuộc vào độ lệch pha giữa hai dao động hợp thành. Trang 280
Hướng dẫn giải: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có biên độ không phụ thuộc vào tần số chung của hai dao động hợp thành. Chọn đáp án C Câu 2 (CĐ khối A, 2011): Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình là x1 A1cosωt và
π x 2 A 2 cos ωt . Gọi E là cơ năng của vật. Khối lượng của vật bằng: 2 2E E A. B. ω2 A12 + A 22 ω2 A12 + A 22 2E E C. D. 2 2 2 2 ω A12 + A 22 ω A1 +A 2 Hướng dẫn giải: Hai dao động vuông pha nên:
A A12 +A 22
E
1 1 mω2 A 2 mω2 A12 +A 22 2 2
m
2E ω A12 + A 22 2
Chọn đáp án D Câu 3: Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc 5 rad/s với π các biên độ A1 = 3 cm; A2 = 4 cm, các pha ban đầu tương ứng là 1 0 và 2 . 2 Hãy biểu diễn hai dao động bằng giản đồ véctơ và tìm phương trình của dao động tổng hợp. Hướng dẫn giải: Biểu diễn dao động như trên hình vẽ. Từ hình vẽ ta có: A2 = A12 + A 22 + 2A1A2 cos( 2 1 )
y A2
A
= 3 4 = 25 => A = 5 cm. 2
2
Pha ban đầu: tan
A1 sin 1 A 2 sin 2 4 A1cos1 A 2 cos2 3
=> 0,29 . x = 5cos(5 t + 0,29 ) cm.
Trang 281
O
A1
x
Câu 4 (ĐH Khối A – A1, 2013): Hai dao động đều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ lần lượt là A1 = 8cm, A2 = 15 cm và lệch pha nhau
. Dao động tổng 2
hợp của hai dao động này có biên độ bằng A. 7 cm. B. 11 cm. C. 17 cm.
D. 23 cm.
Hướng dẫn giải: Vì 2 dao động vuông pha nên: A A12 A 22 82 152 17 cm. Chọn đáp án D Câu 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần π số có phương trình lần lượt là: x1 5cos πt cm và x 2 5cosπt cm. Dao động 3 tổng hợp của vật có phương trình π π A. x 5 3cos πt cm B. x 5 3cos πt cm 4 6 π π C. x 5cos πt cm D. x 5 3cos πt cm 4 6 Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Phương pháp giản đồ Fresnel Giản đồ véctơ của bài toán như hình vẽ bên. Vì x1 và x2 là 2 dao động cùng tần số x và cùng biên độ, nhận thấy tứ giác OA1AA2 là hình thoi. Xét ΔOA1A2 cân tại O và OI là đường cao. Suy ra pha ban đầu: IOA1 π φ IOA 2 2 6 Biên độ dao động: A = 2OI. O 5 3 Ta có : OI OA 2 .tanφ cm. Biên 2 độ: A 5 3 cm.
A1
A I
1
A2
Chọn đáp án B Cách giải 2: Phương pháp đại số Biên độ:
A 2 A 22 + A12 2A 2 A1cos(φ 2 φ1 ) A A 22 + A12 2A 2 A1cos(φ 2 φ1 )
A 52 + 52 2.5.5cos
π 5 3 cm . 3
Trang 282
π 5sin 5sin0 π π 3 Pha ban đầu φ : tan φ tan φ . π 6 6 5cos 5cos0 3 π Dao động tổng hợp của vật có phương trình x 5 3cos πt cm. 6 Chọn đáp án B Cách giải 3: Phương pháp số phức – Dùng máy tính CASIO FX - 570ES, 570ES Plus Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2 . Đơn vị đo góc là độ (D) bấm: SHIFT MODE 3 . Nhập: 5 SHIFT (-) (60) + 5 SHIFT (-) 0 = . Hiển thị kết quả: 5 330 . (Nếu Hiển thị dạng Đềcác:
15 5 3 i thì bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị 5 330 ). 2 2
π Dao động tổng hợp của vật có phương trình x 5 3cos πt cm. 6
Dùng đơn vị đo góc là Rad (R): SHIFT MODE 4 . Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX. Tìm dao động tổng hợp: π Nhập: 5 SHIFT (-) π + 5 SHIFT (-) 0 = Hiển thị: 5 3 . 6 3 π Dao động tổng hợp của vật có phương trình x 5 3cos πt cm. 6
Chọn đáp án B Chú ý: Nhược điểm của phương pháp Fresnel khi làm trắc nghiệm: Mất nhiều thời gian để biểu diễn giản đồ véctơ, đôi khi khó biểu diễn được với những bài toán tổng hợp từ 3 dao động trở lên, hay đi tìm dao động thành phần. Nên việc xác định biên độ A và pha ban đầu của dao động tổng hợp theo phương pháp Fresnel là phức tạp, mất thời gian và dễ nhầm lẫn cho học sinh, thậm chí ngay cả với giáo viên. Việc xác định góc hay 2 thật sự khó khăn đối với học sinh bởi vì cùng một giá trị tan luôn tồn tại hai giá trị của (ví dụ: tan = 1 thì = π hoặc 3π ), 4 4 vậy chọn giá trị nào cho phù hợp với bài toán. Ví thế, tùy vào kiến thức và hiểu biết của bản thân mình để lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Trang 283
Câu 6 (Chuyên Hà Tĩnh lần 5 – 2016): Hai vật dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt +φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2). Gọi x(+) = x1 + x2 và x(−) = x1 – x2. Biết rằng biên độ dao động của x(+) gấp 3 lần biên độ dao động của x(−). Độ lệch pha cực đại giữa x1 và x2 gần nhất với giá trị nào sau đây ? A. 500 B. 400 C. 300 D. 600 Hướng dẫn giải: Biên độ dao động của x(+) là A ( ) A12 A 22 2A1A 2 cos Biên độ dao động của x(-) là A ( ) A12 A 22 2A1A 2 cos Theo bài ta có A ( ) 3A ( )
A12 A 22 2A1A 2 cos 9 A12 A 22 2A1A 2 cos
cos
2 A12 A 22 5A1A 2
.
A1 2x 2 2 x , suy ra cos . Đặt A2 5x
2x 2 2 ' 0 5x
Khi đó: cos min
2 2 2 0 x 1 cos min 0,8. 5 5x max 36,80.
Chọn đáp án B Câu 7: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình dao π π động: x1 2 3cos 5πt cm, x 2 4cos 5πt cm và x 3 8cos 5πt π 6 3 cm. Giá trị vận tốc cực đại của vật và pha ban đầu của dao động là:
π rad. 6 π C. - 15 cm/s và rad. 6 A. 15π cm/s và
B. - 30π cm/s và
2π rad. 3
D. 30π cm/s và rad.
Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Phương pháp đại số Tìm biên độ A: + Chiếu xuống trục Ox :
Trang 284
π π A x A1cosφ1 A 2 cosφ 2 A 3cosφ3 2 3cos 4cos 8cos π 6 3
3 1 4. 8. 1 3 2 2 + Chiếu xuống trục Oy : 2 3.
π π A y A1sinφ1 A 2sinφ 2 A 2sinφ 2 2 3 sin 4sin 8sin π 6 3 3 1 2 3. 4. 8.0 3 3 2 2 Suy ra biên độ tổng hợp: A A 2x + A 2y
3
2
3 3
2
6 cm.
A x 3 0 Pha ban đầu của dao động: Vì thì thuộc góc phần tư thứ ba. A y 3 3 0 A 3 3 2π Ta có: tanφ y . 3 φ Ax 3 3
2π Dao động tổng hợp của vật có phương trình x 6cos 5πt cm. 3 Vận tốc cực đại của vật: v max ωA 5π.6 30π cm/s.
Chọn đáp án D Chú ý: Với cách giải 1 ta cũng có thể tìm dao động tổng hợp của hai trong ba dao động trước, sau đó tổng hợp với dao động còn lại thi cũng cho ta kết quả tương tự. Cách giải 2: Phương pháp số phức – Dùng máy tính CASIO FX - 570ES, 570ES Plus Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2 . Đơn vị đo góc là độ (D) bấm: SHIFT MODE 3 Nhập: 2
3 SHIFT (-) - 30 + 4 SHIFT (-) - 60 + 8 SHIFT (-) -
180 = Hiển thị kết quả: 3 3 3i Ta bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 6 - 120. Suy ra φ Vận tốc cực đại của vật: v max ωA 5π.6 30π cm/s.
2π . 3
Chọn đáp án D Câu 8: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có π π phương trình dao động: x1 2 3cos 10πt cm, x 2 4cos 10πt cm và 3 6 Trang 285
x 3 A 3cos 10πt φ3 cm.
Phương
trình
dao
động
tổng
hợp
có
dạng
π x 6cos πt cm. Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành 6 phần thứ 3:
π . 2 π C. 8cm và . 2
B. 6cm và
A. 8cm và
D. 8cm và
π . 3
π . 3
Hướng dẫn giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần thứ 3: x3 = x – (x1 + x2) Nhập máy: 6 SHIFT(-) π 2 3 SHIFT(-) π 4 SHIFT(-) π = 6 3 6 Hiển thị: 8 π . 2 Chọn đáp án C Câu 9 (ĐH khối A, 2011): Dao động của một chất điểm có khối lượng 100 g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x1 = 5cos10t và x2 = 10cos10t (x1 và x2 tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng của chất điểm bằng A. 0,1125 J.
B. 225 J.
C. 112,5 J.
D. 0,225 J.
Hướng dẫn giải: Vì 2 dao động cùng pha nên A = A1 + A2 = 15 cm = 0,15 m. Cơ năng của chất điểm là : W
1 1 mω2 A 2 .0,1.102.0,152 0,1125 J . 2 2
Chọn đáp án A Câu 10 (ĐH khối A, 2010): Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng 5π phương, cùng tần số có phương trình li độ x 3cos πt (cm). Biết dao động 6 π thứ nhất có phương trình li độ x1 5cos πt (cm). Dao động thứ hai có 6 phương trình li độ là π π A. x 2 8cos πt (cm). B. x 2 2 cos πt (cm). 6 6
Trang 286
5π D. x 2 8cos πt (cm). 6
5π C. x 2 2 cos πt (cm). 6
Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Ta có dao động thành phần x2 có biểu thức: x2 = x - x1 => x 2 A 2 cos πt + φ 2 . Trong đó: 5π π Biên độ: A 22 = 32 + 52 2.3.5.cos suy ra A = 8 cm. 6 6
5π π 3sin 5sin 6 6 φ 5π Pha dao động: tanφ 2 = 2 6 5π π Acos 5cos 6 6 5π Vậy dao động thành phần x2 có phương trình: x 2 8cos πt (cm). 6 Chọn đáp án D Cách giải 2: Xác định A2 và 2 nhờ bấm máy tính FX 570ES Bấm chọn MODE 2 trên màn hình xuất hiện chữ: CMPLX + Nếu chọn đơn vị đo góc là R (radian): SHIFT MODE 4 Nhập máy: 3 SHIFT (-). (-5/6) - 5 SHIFT (-). (/6 = Hiển thị: 8 + Nếu chọn đơn vị đo góc là độ D (Degre): SHIFT MODE 3 Nhập máy: 3 SHIFT (-). (-5/6) - 5 SHIFT (-). (/6 4 3 4i . 5π Sau đó bấm tiếp SHIFT 2 3 = thì cho kết quả: 8 6
=
5π 6
Hiển thị:
Chọn đáp án D Câu 11: Hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng cạnh nhau, song song với nhau, cùng một vị trí cân bằng trùng với gốc tọa độ, cùng một trục tọa độ song song với hai đoạn thẳng đó, với các phương trình li độ lần lượt là 5π 2π 5π 20π x1 3cos t cm và x 2 5cos t cm . Thời điểm đầu tiên (kể 6 3 3 3 từ thời điểm t = 0) khoảng cách giữa hai vật lớn nhất là A. 0,1s. B. 0,05s. C. 0,5s. D. 2s. Hướng dẫn giải: Khoảng cách giữa hai chất điểm sẽ là x x1 x 2 nếu chúng ở hai bên đường tròn hoặc x x1 x 2 nếu chúng ở cùng bên đường tròn. Vì li độ cực đại bằng biên độ nên có thể suy đoán xmax = A1 + A2. Điều này xảy ra trong hai trường hợp: Trang 287
+ Vật 1 ở biên dương, ứng với pha của nó bằng 0, vật 2 ở biên âm ứng với pha bằng π. + Vật 2 ở biên dương, ứng với pha của nó bằng 0, vật 1 ở biên âm ứng với pha bằng π. 5π 5π Pha của vật 1 ở thời điểm t là: t , pha vật 2 ở thời điểm t là 6 3 2π 20π t . 3 3 Xét vật 1 ở biên dương, ứng với pha của nó bằng 0, vật 2 ở biên âm ứng với pha 5π 5πt 3 0 bằng π: 6 hệ này ra vô nghiệm. 20πt 2π π 3 3 Xét vật 2 ở biên dương, ứng với pha của nó bằng 0, vật 1 ở biên âm ứng với pha 5π 5πt 6 3 π bằng π: hệ có nghiệm t = 0,1 s. 20πt 2π 0 3 3 Vậy sau 0,1s thì khoảng cách giữa chúng lớn nhất và bằng 8cm. Câu 12 (ĐH – 2014): Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt + 0,35) (cm) và x2 = A2cos(ωt – 1,57) (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình là x = 20cos(ωt + φ) (cm). Giá trị cực đại của (A1 + A2) gần giá trị nào nhất sau đây? A. 40 cm. B. 20 cm. C. 25 cm. D. 35 cm. Hướng dẫn giải: Biên độ tổng hợp của dao động: 202 A12 A 22 2A1A 2 cos(0,35 1,57) . Sử dụng bất đẳng thức
x y xy 4
2
, ta có:
202 A12 A 22 2A1A 2 cos(0,35 1,57) 202 A1 A 2 2, 68A1A 2 2
A1 A 2
2
A A2 2, 68 1 4
2
0,329. A1 A 2
2
A1 A 2 34,87cm A1 A 2 max 34,87cm . Chọn đáp án D
Trang 288
Câu 13: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng 2π π phương, có phương trình li độ lần lượt là x1 3cos t cm và 2 3 2π x1 3 3 cos t cm . Tại các thời điểm x1 = x2, li độ của dao động tổng hợp là 3 A. ± 5,79 cm. B. ± 5,19 cm C. ± 6 cm. D. ± 3 cm. Hướng dẫn giải: 2π π 2π Ta có x1 3cos t 3sin t . Tại thời điểm x1 = x2 thì: 2 3 3
3sin
2π 2π 2π t 3 3cos t tan t 3 3 3 3
2π π 1 3k t kπ t (k Z) 3 3 2 2 Phương trình dao động tổng hợp x1 vuông pha với x2 nên ta có:
A A 2 A 2 6 cm 1 2 A1 1 π φ tan φ A2 6 3
π 2π t cm. 6 3
Phương trình dao động tổng hợp: x 6 cos Thay t vào ta được x = ± 5,19 cm.
Chọn đáp án D Câu 14: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ và pha ban đầu là A1 = 10 cm, 1 =
π π , A2 (thay đổi được), 2 = . 6 2
Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là A. 10 cm. B.5 3 cm. C. 0. Hướng dẫn giải: Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ. Theo định lí hàm số sin ta có: A A A π 1 A 1 .sin π sinα sinα 3 sin 3 Ta nhận thấy A = Amin khi sin = 1.
π Khi đó: Amin = A1sin = 5 3 cm. 3
D. 5 cm A1 π 3
O
φ
x A
A2
Chọn đáp án B Trang 289
Câu 15: Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao π động x1 A1cos ωt cm và x 2 A 2 cos ωt π cm . Phương trình dao động 3 2 tổng hợp của hai dao động này là: x 6cos ωt α cm . Biên độ A1 thay đổi được. Thay đổi A1 để A2 có giá trị lớn nhất. Biên độ A2max có giá trị là A. 16 cm. B. 14 cm. C. 18 cm. D. 12 cm. Hướng dẫn giải: Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ. A 2 Áp dụng định lí hàm số sin: π A2 A A 2 2Asinα 6 sinα sin300 α Ta có A2max khi sinα = 1 O Khi đó: A2 = 2A = 12 cm.
A2
x
A A
Chọn đáp án B Câu 16 (ĐH khối A, 2009): Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là 3 x1 4 cos 10t cm và x 2 3cos 10t cm. Độ lớn vận tốc của vật ở vị 4 4 trí cân bằng là A. 10 cm/s. B. 80 cm/s. C. 50 cm/s. D. 100 cm/s. Hướng dẫn giải: Độ lệch pha giữa hai dao động x1 và x2 : 1 2
3 . 4 4
Suy ra 2 dao động ngược pha nhau nên biên độ tổng hợp
A min A1 A 2 1 cm v max ωA 10 cm/s. Chọn đáp án A Câu 17: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là: x1 A1 cos(ωt φ1 ) và x 2 A 2 cos(ωt φ 2 ) . Cho biết: 4 x12 x 22 = 13 cm2. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x1 = 1 cm thì tốc độ của nó bằng 6 cm/s. Khi đó tốc độ của chất điểm thứ hai là A. 9 cm/s. B. 6 cm/s. C. 8 cm/s. D. 12 cm/s. Hướng dẫn giải:
Trang 290
Từ biểu thức 4 x12 x 22 = 13 cm2, đạo hàm hai vế theo thời gian ta có:
8x1v1 2x 2 v 2 0 v 2
4x1v1 x2
Khi x1 = 1 cm thì x2 = ± 3 cm. Vậy v2 = ± 8 cm/s. Tốc độ của chất điểm thứ hai là 8 cm/s. Chọn đáp án C Chú ý : - Xuất phát từ giả thuyết αx12 βx 22 γ , ta sử dụng kĩ thuật đạo hàm làm xuất hiện các mối liên hệ mới và suy ra các đại lượng cần tìm: αx12 βx 22 γ x2 ? cho x1 , v1 ' ' v2 ? 2αx1x1 2βx 2 x 2 0 αx1v1 βx 2 v 2 0 ' ' a2 ? 2αx1 x1 ' 2βx 2 x 2 ' 0 αx1a1 βx 2 a 2 0 Từ đó sử dụng các phương trình độc lập theo thời gian tìm các đại lượng còn lại: , A, f, T. - Phương pháp giải trên chúng ta cũng có thể áp dụng cho dạng bài tập tương tự ở chương ‘‘Dao Động Điện Từ’’. Câu 18: Cho ba chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng biên độ A, với tần số khác nhau, vị trí cân bằng là gốc tọa độ. Biết rằng, tại mọi thời điểm li độ và vận
tốc của các vật liên hệ với nhau qua biểu thức
x1 x 2 x 3 . Tại thời điểm t, khi v1 v 2 v3
chất điểm 3 cách vị trí cân bằng một đoạn x 0 3 thì đúng lúc này hai chất điểm còn 2 lại nằm đối xứng nhau qua gốc tọa độ và chúng cách nhau một đoạn x 0 . Khi đó 2 biểu thức biên độ A được xác định bởi :
17x 0 . 2 17x 0 C. A . 3
17x 0 . 5 17x 0 D. A . 7
A. A
B. A
Hướng dẫn giải:
x x x Từ biểu thức 1 2 3 , đạo hàm hai vế theo thời gian ta có: v1 v 2 v3
x1' v1 x1v1' x '2 v 2 x 2 v '2 x 3' v3 x 3 v3' v12 v 22 v32
v12 x1a1 v 22 x 2 a 2 v32 x 3a 3 v12 v 22 v32 Trang 291
x ' v v 2 ω2 A 2 x 2 Thay , khi đó: 2 2 xv ' xa ω x ω12 A 2 x12 ω12 x12 ω22 A 2 x 22 ω22 x 22 ω32 A 2 x 32 ω32 x 32 ω12 A 2 x12 ω22 A 2 x 22 ω32 A 2 x 32
A
2
x12 x12
A 2 x12
A
2
x 22 x 22
A 2 x 22
A
2
x 32 x 32
A 2 x 32
1 1 1 A2 A2 A2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A x1 A x 2 A x 32 A x1 A x 2 A x 3 2
x 3 9x 02 x 32 0 2 4 2 x 02 2 2 x0 x1 x 2 4 2
1
1
x 4
A2
2 0
1
x 9x 2 A2 0 4 4 2 9x 0 x 02 2 1 2 2 2A A x 02 9x 02 2 4 2 2 A A 4 4 2 17x 0 17x 0 A2 A . 4 2 A2
2 0
Chọn đáp án A Câu 19: Cho ba con lắc lò xo giống nhau dao động điều hòa với biên độ A, và cơ năng W. Tại thời điểm t, li độ và động năng của ba con lắc lò xo thỏa mãn các hệ thức:
2 n 2 2 2 x1 x 2 x3 4 A W + W W = 1 W ñ2 ñ3 ñ1 2 Gọi nmax và nmin lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của n. Khi đó biểu thức
1 3 n max n min có giá trị: 2 4
A.
17 . 2
B.
17 . 2
C.
17 . 4
Hướng dẫn giải: Ta có:
Trang 292
D.
17 . 4
2 n 2 n 2 2 x1 x 2 x3 4 A Wt1 Wt2 Wt3 4 W 1 W + W W = W W + W W = 1 W ñ2 ñ3 ñ2 ñ3 ñ1 2 ñ1 2
n6 n2 W Wt1 Wñ1 Wt2 + Wñ2 Wt3 Wñ3 W Wt3 Wñ3 4 4 W
W
W W W W
t3 ñ3 1
Khi đó:
n 10 n6 . 1 2 n 10 max 4 n min 2
1 1 3 3 17 n max n min 10 .2 . 2 4 4 4 2
Chọn đáp án D Câu 20 (CĐ khối A, 2010): Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x1 = 3cos10t π cm và x 2 4sin 10t cm. Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng 2 A. 7 m/s2. B. 1 m/s2. C. 0,7 m/s2. D. 5 m/s2. Hướng dẫn giải:
Ta có: x 2 4sin 10t
π 4 cos10t . 2
Hai dao động cùng pha khi: A = A1 + A2 = 7 cm. Khi đó gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng ω 10 rad/s 2 2 2 2 a max ω A 10 .7 700 cm/s 7 m/s Chọn đáp án A Câu 21: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa. x1 = A1cos ω t cm và x2 = 2,5 2 cos ( ω t + 2). Biên độ dao động tổng hợp là 2,5 cm. Biết A2 đạt giá trị cực đại. Tìm 2. Hướng dẫn giải: Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ. Khi A2 đạt giá trị cực đại, theo ĐL hàm số A1 O A2 A sin ta có: x
sin
π 2
sin
A 2,5 2 sin A 2 2,5 2 2
2
A2
A
Trang 293
, suy ra tam giác OAA2 vuông cân tại A nên ta có: 4 3 2 . 4 2 4
Hay
Câu 22: Hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương π trình x1 A1sin t cm và x 2 A 2sin t π cm. Dao động tổng hợp có 6 phương trình x 9sin t cm. Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có giá trị là: A. 15 3 cm
B. 9 3 cm C. 7 cm D. 18 3 cm Hướng dẫn giải: Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ. y Khi A2 đạt giá trị cực đại, x theo ĐL hàm số sin ta có: O A2 A2 A /3 /6 1 /6
sin
π 2
A2
sin
π 3
2 A1 3
A1
A
(1)
Tam giác OAA2 vuông tại A nên ta có: A12 92 A 22
(2)
4 3
Thế (1) vào (2) Ta có: A12 92 A12 => A1 = 9 3 cm. Chọn đáp án A Câu 23: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x1 = 2 3 cos(2πt +
) cm, x2 = 4cos(2πt + ) cm và 3 6
x 3 A 3 cos(t 3 ) cm. Phương trình dao động tổng hợp có dạng x 6 cos(2t ) cm. Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành 6 phần thứ 3: A. 8cm và C. 8cm và
. 2
. 6
. 3 D. 8cm và . 2 B. 6cm và
Hướng dẫn giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Trang 294
Tìm dao động thành phần thứ 3: x3 = x – x1 – x2 Nhập: 6 SHIFT(-) (-/6) - 2 3 SHIFT(-) (/3) - 4 SHIFT(-) (/6 = Hiển thị: 8
. 2
Chọn đáp án A Câu 24: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 3cos(ωt + động tổng hợp:
) cm 3 5 C. x = 2cos(ωt + ) cm 6 A. x = 2cos(ωt -
) cm, x2 = cos(ωt + ) cm. Phương trình dao 2 2 ) cm 3 D. x = 2cos(ωt - ) cm 6 B. x = 2cos(ωt +
Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Ta có:
A A 2 A 2 2A A cos 2 cm 1 2 1 2 2 1 3 sin 1.sin 3 A1 sin 1 A 2 sin 2 2 tan A cos A cos 1 1 2 2 3 cos 1.cos 2 2 3 2 . 2 3 3 Chọn đáp án B Cách giải 2: Dùng máy tính: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn chế độ máy tính theo độ: SHIFT MODE 3 Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy: 3 SHIFT (-). (90) + 1 SHIFT (-). 180 = Hiển thị:2120 Chọn đáp án B Câu 25: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
số x1= cos(2t + ) cm, x 2 3 cos 2t tổng hợp A. x = 2cos(2t -
2 ) cm 3
cm. Phương trình của dao động 2
B. x = 4cos(2t + Trang 295
) cm 3
) cm 3
C. x = 2cos(2t +
D. x = 4cos(2t +
4 ) cm 3
Hướng dẫn giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4 Nhập máy: 1 SHIFT(-) +
3 SHIFT(-) (-/2 = Hiển thị 2-
2 . 3
Chọn đáp án A Câu 26: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục x’Ox
4 4 cos 2t cos 2t cm. Biên độ và pha ban đầu 6 2 3 3
có li độ x 2
của dao động là:
rad 3 rad C. 4 3 cm, 3 A. 4 cm,
rad 6 8 cm, rad D. 6 3 B. 2 cm,
Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn đơn vị đo góc là radian(R): SHIFT MODE 4 Nhập máy:
4
3 Hiển thị: 4 . 3
4
SHIFT (-). (/6) +
3
SHIFT (-). (/2 =
Chọn đáp án A Cách giải 2: Với máy FX570ES : Chọn đơn vị đo góc là độ Degre(D): SHIFT MODE 3 Nhập máy:
4 3
SHIFT (-). 30 +
Hiển thị: 4 60
4 3
SHIFT (-). 90 =
Chọn đáp án A Câu 27: Ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt
là x1 4 cos t
cm, x 2 6 cos t cm và x3 = 2cost cm. Dao động 2 2
tổng hợp của 3 dao động này có biên độ và pha ban đầu là A. 2 2 cm,
rad 4
B. 2 3 cm,
Trang 296
rad 4
C. 12 cm,
rad 2
D. 8 cm,
rad 2
Hướng dẫn giải: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn đơn vị góc tính rad (R). SHIFT MODE 4 Tìm dao động tổng hợp, nhập máy: 4 SHIFT(-) (- /2) + 6 SHIFT(-) (/2) + 2 SHIFT(-) 0 = Hiển thị: 2 2
. 4
Chọn đáp án A Câu 28: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
x1 a 2 cos t cm và x 2 a cos t cm có phương trình dao động 4 tổng hợp là
A. x a 2 cos t C. x
2 cm 3
3a cos t cm 2 4
cm 2 2a cos t cm D. x 3 6
B. x a cos t
Hướng dẫn giải: Với máy FX570ES : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX chọn đơn vị góc tính theo độ (D) Bấm : SHIFT MODE 3 (Lưu ý: Không nhập a) Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy : 2 SHIFT(-)45 + 1 SHIFT(-)180 = Hiển thị: 1 90, Chọn đáp án B Câu 29: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp
5 x 5 2 cos t cm với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số 12 là x1 = A1 cos(t + 1) và x2 = 5cos(t + ) cm, Biên độ và pha ban đầu của dao 6 động 1 là:
2 3 C.5 2 cm; 1 = 4 A. 5 cm; 1 =
2 D. 5 cm; 1 = 3 B.10 cm; 1=
Hướng dẫn giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần: Nhập máy : 5 2 SHIFT(-) (5/12) – 5 SHIFT(-) (/6 = Trang 297
Hiển thị: 5
2 . 3
Chọn đáp án A Câu 30: Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số: x1 = 2 cos (4t + 1 ) cm và x2 = 2 cos( 4t + 2 ) cm. Với 0 2 1 . Biết phương trình dao động
π ) cm. Pha ban đầu 1 là : 6 π π B. C. 3 6
tổng hợp x = 2 cos (4t + A.
π 2
D. -
π 6
Hướng dẫn giải:
φ φ2 φ Ta có: x x1 x 2 2.2 cos cos 4t 1 2 cos 4t cm. 2 2 6 2 φ 1 Vì 0 2 1 . Nên φ 2 φ1 . Suy ra cos cos và 1 2 6 2 2 3 2 1 1 2 π và . Giải ra φ1 . 2 3 2 6 6 Chọn đáp án D Câu 31: Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x12 = 2cos(2πt +
π 5π ) cm, x23 = 2 3 cos(2πt + ) cm, x31 = 2cos(2πt + π) cm. 3 6
Biên độ dao động của thành phần thứ 2? Hướng dẫn giải:
A23
2A
A2
1
A 600
300 A3
A12
O
A31
A1
Chọn trục Ox như hình vẽ. Vẽ các giản đồ véctơ A12 =2; A23 = 2 3 , A31 = 2. Vẽ véctơ A
A A12 A 31 . Ta thấy A = A12 = 2 A A12 A 31 A1 A 2 A1 A 3 A 2A1 A 2 A 3 2A1 A 23
Từ giản đồ ta tính được A1 = 1.
Trang 298
x
Véctơ A1 trùng với trục Ox. Từ đó suy ra A2 = A3 = 3, ta có thể viết được biểu thức x1, x2, x3.
2 . Mặt khác ta có thể tính được
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa
x1 10 cos t 1 và x 2 A 2 cos t , phương trình dao động tổng hợp 2 của vật là x A cos t . Để vật dao động với biên độ bằng một nửa giá trị 3 cực đại của biên độ thì A2 bằng bao nhiêu? A. 10 3 cm
B. 20cm
C.
20 cm 3
D.
10 cm 3
Câu 2: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương trình: x1 2 3 sin t cm và x 2 A 2 cos t 2 cm. Phương trình dao động tổng hợp x 2 cos t cm. Biết 2 của A2 và 2 sau đây là đúng? A. 4cm và
3
C. 4 3 cm và
B. 2 3 cm và
2
D. 6 cm và
6
. Cặp giá trị nào 3
4
Câu 3: Hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
cm và x 2 A 2 cos t cm. Dao động tổng hợp 6 có phương trình x 9 cos t cm. Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có trình x1 A1 cos t
giá trị là: A. 15 3 cm B. 9 3 cm C. 7 cm D. 18 3 cm Câu 4: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có biên độ A1 = 10 cm, pha ban đầu
và dao động 2 có biên độ A2, pha ban đầu . Biên độ 6 2
A2 thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. A = 2 3 cm B. A= 5 3 cm C. A = 2,5 3 cm
D. A=
3 cm
Trang 299
Câu 5: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cung phương:
x1 A1 cos t cm và x 2 A 2 cos t cm. Phương trình dao động 3 2 tổng hợp là: x = 5cos(t + ) cm. Biên dộ dao động A2 có giá trị lớn nhất khi bằng bao nhiêu? Tính A2max? A.
; 8 cm 3
B.
; 10 cm 6
C.
; 10 cm 6
D. B hoặc C
Câu 6: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ Ox, coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là: x1 = 4cos(4t +
) cm và x2 = 4 2 cos(4t + ) 3 12
cm. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là: A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. (4 2 – 4) cm Câu 7: Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động x1 A1 cos t cm và x 2 A 2 cos t cm. Phương trình dao động 3 2 tổng hợp của hai dao động này là: x = 6cos(t + ) cm. Biên độ A1 thay đổi được. Thay đổi A1 để A2 có giá trị lớn nhất. Tìm A2max? A. 16 cm. B. 14 cm. C. 18 cm. D. 12 cm Câu 8: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x1 = A1cos10t và x 2 A 2 cos 10t 2 . Phương trình dao động tổng hợp x = A1 3 cos(10t + ), trong đó có 2
3 1 hoặc 2 4 3 2 C. hoặc 4 5 A.
. Tỉ số bằng 2 6
1 2 hoặc 3 3 2 4 D. hoặc 3 3
B.
Câu 9: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các phương trình: x1 4 cos(10t ) cm và 4 3 x 2 3cos 10t . Xác định vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật. 4 A. 50 cm/s; 10 m/s2. B. 7 cm/s; 5 m/s2. 2 C. 20 cm/s; 10 m/s . D. 50 cm/s; 5 m/s2. Câu 10: Dao động của một chất điểm có khối lượng 10g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình li độ lần lượt là x1 = 5cos(10 t) cm, x2=10cos(10 t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc thế năng ở VTCB. Lấy 2 = 10. Cơ năng của chất điểm bằng: Trang 300
A. 1125 J B. 0,1125 J C. 0,225 J D. 1,125 J Câu 11: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số f = 10 Hz. Có biên độ A1 = 7 cm; A2 = 8 cm độ lệch pha của hai dao động là
. Vận tốc 3
của vật ứng với li độ tổng hợp x = 12 cm bằng A. 10 m/s B. 10 cm/s C. m/s D. cm/s Câu 12: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương,
3 ) cm; x2 = 3cos(10t – ) cm. Độ 4 4
cùng tần số có phương trình là: x1 = 4cos(10t+
lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là A. 10 cm/s B. 7 cm/s C. 20 cm/s D. 5 cm/s Câu 13: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình là: x1 = 4cos(10t+
3 ) cm; x2 = 3cos(10t – ) cm. Gia 4 4
tốc khi nó qua vị trí biên bằng A. 10 cm/s2 B. 1 cm/s2 C. 10 m/s2 D. 1 m/s2 Câu 14: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1 = 2cos(5 t+
) cm, x2 = 2cos5 t cm. Vận tốc của vật lớn nhất 2
bằng A. 10 2 cm/s B. 10 2 cm/s C. 10 cm/s D. 10 cm/s Câu 15: Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắc một là A1 = 4 cm, của con lắc hai là A2 = 4 3 cm, con lắc hai dao động sớm pha hơn con lắc một. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là a = 4 cm. Khi động năng của con lắc một cực đại là W thì động năng của con lắc hai là: 3W 2W 9W 3W A. . B. . C. . D. . 4 3 4 2 Câu 16: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng 2 phương, có phương trình li độ lần lượt là x1 3cos t cm và 2 3 2 x 2 3 3 cos t cm (x1 và x2 tính bằng cm, t tính bằng s). Tại các thời điểm x1 = 3 x2 li độ của dao động tổng hợp là: A. ± 5,79 cm. B. ± 5,19cm. C. ± 6 cm. D. ± 3 cm. Câu 17: Hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng cạnh nhau, song song với nhau, cùng một vị trí cân bằng trùng với gốc tọa độ, cùng một trục tọa độ song song với hai đoạn thẳng đó, với các phương trình li độ lần lượt là
Trang 301
2 5 5 20 x1 3cos t cm và x 2 5cos t cm . Thời điểm đầu tiên 6 3 3 3 (kể từ thời điểm t = 0) khoảng cách giữa hai vật lớn nhất là A. 0,1s. B. 0,05s. C. 0,5s. D. 2s. Câu 18: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương có các phương trình lần lượt là x1 6 cos 10t cm và x 2 6 3 cos 10t cm . 3 6 Khi dao động thứ nhất có ly độ 3 cm và đang tăng thì dao động tổng hợp có: A. ly độ – 6 3 cm va đang tăng B. li độ – 6 cm và đang giảm C. ly độ bằng không và đang tăng D. ly độ – 6 cm và đang tăng Câu 19: Hai chất điểm M, N có cùng khối lượng dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M, N đều trên cùng một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6cm, của N là 6cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất của M và N theo phương Ox là 6cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm M có động năng gấp 3 lần thế năng tỉ số động năng của M và thế năng của N là: A. 4 hoặc
3 4
B. 3 hoặc
4 3
C. 3 hoặc
3 4
D. 4 hoặc
4 3
Câu 20: Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là. Lúc li độ dao động của vật là x = – 8 cm và đang tăng thì li độ của thành phần x1 lúc đó A. bằng 6 và đang tăng. B. bằng 6 và đang giảm. C. bằng 0 và đang giảm. D. bằng 0 và đang tăng. Câu 21: Cho hai dao động điều hoà cùng phương x1 = 2cos (4t + 1) cm và
x 2 2 cos(4t ) cm. Với 0 2 1 . Biết phương trình dao động tổng hợp 6 x = 2cos (4t + ) cm. Pha ban đầu 1 là 6 A. B. C. D. 2 3 6 6
Câu 22: Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 100 g, độ cứng lò xo 102 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở gốc tọa độ) theo các phương trình
x1 6 cos t cm và x 2 6 cos t cm . Xác định thời điểm đầu tiên 2 khoảng cách giữa hai vật đạt giá trị cực đại? A.
3 s. 40
B.
1 s. 40
C.
1 s. 60
Trang 302
D.
1 s. 30
Câu 23: Cho 3 dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là 5 x1 2A cos 10t cm , x 2 2A cos 10t cm và x 3 A cos 10t 6 2 6 cm (với x tính bằng m, t tính bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên là.
cm 2 5 C. x A cos 10t cm 2 A. x A cos 10t
cm 2 5 D. x A cos 10t cm 2 B. x A cos 10t
Câu 24: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình dao động lần lượt là x1 A1 cos t cm ; x 2 A 2 cos t cm 2 và x 3 A 3 cos t cm . Tại thời điểm t1 các giá trị li độ x1 10 3 cm, 2 x 2 15 cm, x 3 30 3 cm. Tại thời điểm t2 các giá trị li độ x1 20 cm, x 2 0 cm,
x 3 60 cm. Biên độ dao động tổng hợp là A. 50cm. B. 60cm. C. 40 3 cm. D. 40cm. Câu 25: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số. 3 Biết x12 4 2 cos 5t cm ; x 23 3cos 5t cm và x13 5cos 5t cm . 2 4 Phương trình của x2 là A. x 2 2 2 cos 5t cm . B. x 2 2 2 cos 5t cm . 4 4 C. x 2 4 2 cos 5t cm . C. x 2 4 2 cos 5t cm . 4 4 Câu 26: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số. Biết x12 6cos( t )cm ; x 23 6cos( t )cm ; x13 6 2 cos( t )cm . 4 6 3 Khi li độ của dao động x1 đạt giá trị cực đại thì li độ của dao động x3 là: A. 0cm B. 3cm C. 3 2 cm D. 3 6 cm Câu 27: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng pha, cùng tần số có 2 phương trình lần lượt là: x1 A1 cos 2t cm ; x 2 A 2 cos 2t cm và 3 2 x 3 A 3 cos 2t cm .Tại thời điểm t1 các giá trị ly độ x1 = - 20cm, x2 = 3
Trang 303
T các giá trị ly độ x1 = - 20 3 cm, x2 = 0cm, 4 x3 = 40 3 cm. Tìm phương trình của dao động tổng hợp. A. x 2 40 cos 2t cm . B. x 2 40 2 cos 2t cm . 3 4 C. x 2 4 cos 2t cm . C. x 2 4 2 cos 2t cm . 3 4 Câu 28: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số x1, x2, x3. Với x12 = x1 + x2; x23 = x2 + x3; x13 = x1 + x3; x = x1 + x2 + x3. Biết: 2 5 x12 6 cos t cm ; x 23 6 cos t cm và x13 6 2 cos t cm . 3 6 12 2 2 2 Tìm x biết rằng x x1 x 3 .
80cm, x3 = - 40cm, thời điểm t2 = t1 +
A. 6 2 cm
B. 6cm
D. 6 3 cm
C. 24cm
HƯỚNG DẪN GIẢI
A1
Câu 1: Chọn A. Hướng dẫn: Cách giải 1:
A1 A sin A Ta có: A 1 sin sin sin 6 6 A max A1 A 2 2 A1 Amax = = 20. cos 3 A Để A = max = 10 2 thì A 2 2A1 sin 10 3cm . 6
/3
A A2
A1 10 cm
O
∆
φ
/6
/3 /6
A2
Cáchgiải 2: Ta có: A A1 A 2 A1 A A 2 A12 A 2 A 22 2AA 2 cos 2
102 A 2 A 22 AA 2 3 A 22 AA 2 3 A 2 102 0 * Phương trình trên luôn có nghiệm nên:
3A 2 4A 2 4.102 0 A 20 cm
Khi A = 10 cm từ (*) suy ra: A 2 10 3cm . Trang 304
α
A
Cách giải 3: * Định lý hàm số sin trong tam giác OA1A
A1 sin suy ra Amax = 20 cm khi α = 900. sin 6 A * Khi A = max = 10 . 2 Dùng định lý hàm số cos trong OA1A A
suy ra A 2 10 3cm . Câu 2: Chọn A. Hướng dẫn:
x1 = 2 3 sint = 2 3 cos(t ) 2 Vẽ giãn đồ vectơ: A A1 A 2 Góc giữa vectơ A và A 2 là , A = 2 cm, A1 2 3 cm. 3 A12 = A2 + A22 – 2AA2cos = A2 + A22 – AA2 3 A22 – AA2 + A2 – A12 = 0 A22 – 2.A2 + 22 – 4.3 = 0 A22 – 2A2 – 8 = 0 A2 = 4 cm.
A2
A
A1 A1
Ta thấy: A22 = A12 + A2 A vuông góc với A1 . Suy ra = 0 2 = Câu 3: Chọn B. Hướng dẫn: Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ. Theo ĐL hàm số sin ta có:
A sin
3
A1 A1 A= sin 3 sin sin
A1 3
O A
A = Amin khi sin = 1 Amin = A1sin
= 5 3 cm. 3
A2
Câu 4: Chọn B. Hướng dẫn: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đ ồ véctơ quay như hình vẽ bên: Hình vẽ dễ dàng ta thấy: A min khi Biên độ dao động tổng hợp A trùng với OM. A = A1cos
. 3
3 =10 = 5 3 cm. 2 6 Trang 305
A1
/6
O A2
A
M
Và A2 = A1sin
1 =10. = 5 cm. 6 2
Câu 5: Chọn B. Hướng dẫn: Biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ quay như hình vẽ bên: A2max khi góc đối diện với nó trong tam giác tạo bởi A1, A2, A là góc vuông (tam giác vuông tại góc mà A2 là cạnh huyền). Theo định lý hàm số sin ta có
sin sin A A2 sin . A2 A sin Theo đề ta có A = 5 cm, = . Nên A2 phụ thuộc 6 vào sin. Trên hình vẽ: A2max khi góc đối diện = A 2 max
A1
2
A2
A
5 1. 10 cm . 1 sin 6 2
A
Hình vẽ dễ dàng ta thấy:
1
.Vì < 0 = . 2 3 6 6
Câu 6: Chọn A. Hướng dẫn: Cáh giải 1: (Xem hình vẽ 2 véctơ biểu diễn 2 dao động thành phần) Vì 2 dao động thành phần cùng tần số góc nên trong quá trình các. Véc tơ quay tròn đều thì tam giác OA1A2 có độ lớn không đổi. Độ lệch pha giữa 2 dao động thành phần:
. 3 12 4
Cạnh OA1 = 4 cm, OA2 = 4 2 cm, và góc
II
A1 A2
III x’
O
/4
I x
IV
A . 1OA 2 4 Dễ thấy góc OA và tam giác OA1A2 vuông cân tại A1. 1A 2 2 Suy ra đoạn OA1 = A1A2 = 4 cm (không đổi trong quá trình dao động) A1A2 là khoảng cách giữa 2 vật. Khi đoạn A1A2 song song với x’Ox thi lúc đó khoảng cách giữa hai vật chiếu xuống trục x’ox là lớn nhất và bằng 4cm. Cáh giải 2: Gọi hai chất điểm là M1 (toạ độ x1) và M2 (toạ độ x2). Trang 306
Độ dài đại số đoạn M2M1 là x = x1 – x2 = 4cos(4t +
5 ) cm. 6
Suy ra khoảng cách lớn nhất giữa M1 và M2 là xmax = 4 cm (bằng biên độ của x). Câu 7: Chọn D. Hướng dẫn: Độ lệch pha giữa 2 dao động: đổi. Biên độ của dao động tổng hợp A = 6 cm cho trước. Biểu diễn bằng giản đồ vectơ như hình vẽ Ta có:
A1
A A sin 2 A2 A sin sin sin
Vì , A không đổi nên A2 sẽ lớn nhất khi sinβ lớn nhất tức là góc β = 900. Khi đó A 2 max
A 6 12 cm. sin sin 6
5 rad không 6
α β
A2
A
Câu 8: Chọn A. Hướng dẫn: Xét tam giác OA1A
A1
A2 A A 1 sin 2 sin sin 2A1 6 A22 = A12 + A2 – 2AA1cos = 4A12 – 2 3 A12cos
A sin 2 = 2A1
4 2 3 cos 4sin2 = 4 – 2 3 cos 2
300
A2
A
2 3 cos = 4(1 – sin2) = 4cos2 2cos (2cos – 3 ) =0 cos = 0 hoặc cos =
3 2
2 2 = + = 2 2 6 3 hoặc = 2 = + = 6 6 6 3 =
3 = . 2 4 1 = . 2 2
Câu 9: Chọn D. Hướng dẫn: Cách giải 1: Ta có: A A12 A 22 2A1A 2 cos 900 5 cm.
vmax = A = 50 cm/s = 0,5 m/s; amax = A = 500 cm/s2 = 5 m/s2. Trang 307
5π 6
Cách giải 2: Với máy FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX, chọn đơn vị góc tính theo độ (D Bấm: SHIFT MODE 3 ). Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy: 4 SHIFT(-)45 + 3 SHIFT(-)135 = Hiển thị: 5 81,869. Suy ra A = 5 cm vmax = A = 50 cm/s = 0,5 m/s; amax = A = 500 cm/s2 = 5 m/s2. Câu 10: Chọn B. Hướng dẫn: Cách giải 1: Dễ thấy A = 5 + 10 = 15 cm. Cơ năng: W
m2 A 2 0,1125 J. 2
kA 2 m2 A 2 . Do = 0 nên 2 dao động cùng pha 2 2 suy ra A = 15 cm = 0,15 m. Từ đó dễ dàng tính được W = 0,1125 J. Câu 11: Chọn C. Hướng dẫn: Cách giải 2: Cơ năng W
v A x A 13 cm Ta có: 2f 20 v π m/s 2 2 2 A A1 A 2 2A1A 2 cos 2 Câu 12: Chọn A. Hướng dẫn: Qua VTCB thì v v max A . Do độ lệch pha 2
2
của hai dao động là:
3 , nên 2 dao động ngược pha. 4 4
Suy ra A = 1cm. Dễ dàng tính được v = 10cm/s. Câu 13: Chọn B. Hướng dẫn: Qua VTB thì a a max 2 A . Do độ lệch pha của hai dao động là:
3 , nên 2 dao động ngược pha. 4 4
Suy ra A = 1cm. Dễ dàng tính được a = 100 cm/s2 = 1 m/s2. Câu 14: Chọn A. Hướng dẫn: Ta có: v v max A . Do độ lệch pha của hai dao động là:
, nên 2 dao động vuông pha. Suy ra A A12 A 22 2 2cm . 2
Dễ dàng tính được v 10 2 cm/s . Câu 15: Chọn C. Hướng dẫn: Giả sử phương trình dao động của
x1 4 cos t (cm) x 2 4 cos t (cm)
hai con lắc lò xo:
Trang 308
A2
O
A ’
A1
x
Vẽ giãn đồ véctơ A1 , A 2 và vecto A A 2 A1 Vecto A biểu diễn khoảng cách giữa hai vật x = x2 – x1 = Acos(t + ’). Biên độ của x: A 2 A12 A 22 2A1A 2 cos 64 32 3 cos . Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox khi: cos(t + ’) = ± 1 A = a = 4cm A2 = 16. Và 64 32 3 cos 16 cos
3 . 2 6
Do đó x2 = 4 3 cos(t + ) = x2 = 4 3 cos(t +
). 6
Khi Wđ1 Wđ max 1 kA12 W thì vật thứ nhất qua gốc tọa độ:
2 cos t 0 x1 0 sin t 1
Khi đó:
) = 4 3 cost cos – 4 3 sint sin 6 6 6 A2 = ± 2 3 cm = ± 2 1 Suy ra: Wđ2 kA 22 1 kx 22 3 . 1 kA 22 2 2 4 2 3 1 2 . kA 2 3 A 2 9 W W 9 đ2 đ2 4 2 . 22 Wđ2 W . 1 2 Wđ1 W 4 A1 4 4 kA1 2 x2 = 4 3 cos(t +
Câu 16: Chọn B. Hướng dẫn: Cách giải 1: Phương trình dao động tổng hợp
2 x 6 cos t cm 6 3 2 2 x1 3cos t cm 3sin t cm 2 3 3 Ta có: x1 = x2
A2
6 A1
2 2 2 t 3sin t 3 3 cos t 2 3 3 3 2 2 1 3k tan t 3 tan t k t (k Z) 3 6 3 6 4 2
3cos
Khi đó: Trang 309
A
2 1 3k x 6 cos 6 cos k 3 3cm 5,19cm 6 3 4 2 6 Cách giải 2: Dùng giản đồ véctơ: – x2
xhiệu = x1 – x2
6
O
6
x1
x2
xtổng = x1 + x2
2 5 x hieäu x1 x 2 6 cos 3 t 6 cm Ta dễ dàng có: x x x 6 cos 2 t cm 1 2 toång 6 3 Nhận xét khi x1 = x2 thi x1 – x2 = 0 khi véctơ biểu điễn xhiệu = x1 – x2 vuông góc với trục ngang, lúc đó xtổng = x1 + x2 lệch với trục ngang một góc
5 hoặc . 6 6
x 6 cos 6 3 3cm 5,19cm Nên ta có x 6 cos 5 3 3cm 5,19cm 6 Cách giải 3: Dùng số phức với máy tính Fx570Es:
2 5 x hieäu x1 x 2 6 cos 3 t 6 cm Bấm máy ta có x x x 6 cos 2 t cm 1 2 toång 6 3 2 5 t 2s 2 5 Khi xhiệu = 0 thì cos t 0 t 6 3 6 2 3 t 0,5s 7 2 .2 6 cos 3 3 5,19cm . 6 6 3 2 6 cos .0,5 6 cos 3 3 5,19cm . 6 6 3
Thế t = 2s vào xtổng: x toång 6 cos Thế t = 0,5s vào xtổng: x toång
Trang 310
2 2 t cm 3sin t cm 2 3 3 2 2 2 t 3sin t 3 3 cos t Ta lại có: x1 = x2 3cos 2 3 3 3 2 2 1 3k tan t 3 tan t k t (k Z) 3 6 3 6 4 2 Cách giải 4: Ta có: x1 3cos
Phương trình dao động tổng hợp: x1 vuông pha với x2 nên ta có:
A A 2 A 2 6cm 1 2 A1 1 tan A2 6 3
2 t cm . Khi đó: 6 3 2 1 3k x 6 cos 6 cos k 3 3cm 5,19cm . 6 3 4 2 6 15 9 t Câu 17: Chọn A. Hướng dẫn: Độ lệch pha: . 3 6 15 9 9 3 t 2k 1 t 2k 1 Ta có: x max 3 6 6 15 9 3 1 t min 2. 1 1 s 0,1s . 6 15 10 T T 1 Hoặc t 1 2 s 0,1s . Vật thứ nhất đến biên âm. Vật thứ hai đến biên 12 3 10 Phương trình dao động tổng hợp: x 6 cos
dương nên khoảng cách giữa hai vật lớn nhất. Câu 18: Chọn D Hướng dẫn:
x1 6 cos 10t 3 cm Ta có: x 6 3 cos 10t cm 2 6 Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 = 12cos10t (cm). Vẽ giãn đồ ta có OA1AA2 là hình chữ nhật. Khi x1 = 3 cm và đang tăng cho hình chữ nhật quay ngược chiều kim đồng hồ góc
2 véc tơ A cũng 3 Trang 311
A1
A
O
A2
quay góc
2 2 . Khi đó x = 12cos = – 6 cm sau đó li độ x tăng. 3 3
Câu 19: Chọn C. Hướng dẫn: Phương trình dao động của M là x1 A1 cos( t 1 ) ; x 2 A 2 cos( t 2 ) . Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương Ox là
của
N
là
d | x1 x 2 || A1cos(t )1 )+A 2 cos(t 2 ) || A cos( t ) |
d max A A12 A12 2A1A 2 cos(2 1 ) x và x lệch nhau góc . Theo giả thiết A = A1 = A2 = 6cm 2 1 1 2 3 3 Ta thấy khi M có động năng bằng 3 lần thế năng thì x1 = 3cm dựa vào giản đồ N có 2 vị trí – 3cm và – 6cm. Câu 20: Chọn D. Hướng dẫn: A1 A /3
-10
x
0
-8
10
A2 Dao động tổng hợp có A = 10cm.
A2 = 53,130 , suy ra = ( A , A1 ) không đổi. A1 8 Khi x = – 8cm và đang tăng (như hình vẽ): cos = = 36,870. 10 Vậy + = 900 A1 như hình vẽ x1 = 0 và đang tăng. Ta có: tan =
Câu 21: Chọn D. Hướng dẫn: Do A1 = A2 = 2 nên A th 2A cos Vì 0 2 1
1 cos 2 2 2
2 2 1 (1) 2 2 2 3 3 2 1 2 Do A1 = A2 pha ban đầu tổng hợp 1 2 6 3
0
Trang 312
(2)
Từ (1) và (2) ta được: 1
và 1 . 6 2
Câu 22: Chọn B. Hướng dẫn: Khoảng cách: x = x1 – x2 = Acos( t + ) x1 = x2 + x vẽ giản đồ vecto. A2 A = 6 2 cm ; = 4 x = 6 2 cos(t ). A1 4 Khoảng cách giữa 2 vật cực đại khi xmax 1 k cos(t ) = 1 10t = k t . 4 4 40 10 1 Thời điểm đầu tiên: k = 0 t s . 40 Câu 23: Chọn A. Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp giản đồ vectơ ta có A x A1 sin 1 A 2 sin 2 A 3 sin 3 A A y A1 cos 1 A 2 cos 2 A 3 cos 3 0 A A 2 A 2 A x y Từ đó suy ra: . Ax 2 tan Ay Câu 24: Chọn A. Hướng dẫn: 2
2
x x Cách giải 1: Vì x1 và x2 vuông pha nên: 1 2 1 A1 A 2
A1 A2
2
2
x x Và x2 và x3 vuông pha nên: 2 3 1 A 2 A3 2
2
20 0 Tại t2 : 1 A1 20cm . A1 A 2 Tại t1 : 2
2
2
2
10 3 15 x1 x 2 1 1 A 2 30cm. A1 A 2 20 A 2 2
A
2
2
2 x 2 x3 15 30 3 1 A 3 60cm. 1 30 A 2 A 2 A3
Vậy: A A 22 A 3 A1 50cm. 2
Cách giải 2: Trang 313
A3
A
2
2
2
2
2
2
2
x x x Tại thời điểm t2: 1 2 1 1 1 A1 = 20cm. A1 A 2 A1 Tương tự A3 = 60cm. 2
2
10 3 15 x x Tại thời điểm t1: 1 2 1 20 A 1 A 2 30cm. A1 A 2 2 2
2 x 2 x3 15 30 3 1 A 3 60cm. 1 30 A 2 A 2 A3
Vẽ giản đồ A A 22 A 3 A1 50cm. 2
Câu 25: Chọn A. Hướng dẫn: Cách giải 1: Ta có: 3 x12 x1 x 2 4 2 cos 5t 4 cm x x x 3cos 5t cm 23 2 3 x13 x1 x 3 5cos 5t 5cos 5t cm 2 3 2x 2 5cos 5t 3cos 5t 4 2 cos 5t x 2 2 2 cos 5t cm 4 4 Cách giải 2: x x 23 x13 Ta có: x 2 x x13 12 x13 2 2 cos 5t cm . 2 4 Câu 26: Chọn A. Hướng dẫn: x12 x13 x 23 3 6 x1 2 12 Ta có: x x13 x 23 x12 3 2 7 3 2 12 - Ta thấy x3 sớm pha hơn x1 góc x1max thì x3 = 0. 2 Câu 27: Chọn A. Hướng dẫn: Dùng máy tính FX 570ES T Sau khoảng thời gian thì góc quét của mỗi dao động là nên x1 và x’1 vuông 4 2 pha nhau. Do đó A12 x12 x 22 (20) 2 (20 3) 2 A1 40cm . Tương tự có: A2 = 80cm ; A3 = 80cm Dùng máy tính tính dao động tổng hợp : x = x1 + x2 + x3 Thao tác bấm máy: 40 120 + 80 0 + 80 -120 = 40 – 60 Trang 314
Kết quả cho ta có: A = 40cm và φ =
. 3
Vậy phương trình tổng hợp là: x = 40cos(2πt
) cm. 3
Câu 28: Chọn A. Hướng dẫn: Phương trình của dao động tổng hợp là: x x 23 x13 x 2 x1 x 2 x 3 12 2 2 5 6 6 6 2 6 3 12 6 2 5 x 6 2 cos t 5 cm. 2 12 12
x1 x x 23 6 cos t 6 cm Tương tự ta có: x x x 2 13 x 3 x x12 6 cos t 2 cm 3 Theo bài ta có: x 2 x12 x 32 x1 0 x1 x 3 0 x 2 x1 x 2 x 3 x1 x 3 x3 0
5 3 t 6 2 k t 12 4 k 5 x 6 2 cos t 6cm . 12 t 2 k t 5 k 3 2 12 4
Trang 315
CHỦ ĐỀ 5 ĐỒ THỊ DAO ĐỘNG CƠ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đồ thị dao động cơ Xét phương trình dao động x A cos(t ) , chọn góc thời gian và chiều dương trục tọa độ thích hợp sao cho φ = 0. Lập bảng biến thiên của li độ x theo thời gian và đồ thị biểu diễn x theo t như sau: t 0
2 3 2 2
ωt 0
2
3 2 2
x A 0
A 0 A
Đồ thị biểu diễn li độ x A cos(t ) với φ =0
2. Đồ thị và sự so sánh pha của các dao động điều hòa: x, v, a. Vẽ đồ thị của dao động x A cos(t ) trong trường hợp φ = 0. t 0
x A
v 0
T 4 T 2 3T 4 T
0
A
A
0
0
A
A
0
a Nhận xét: A2 + Nếu dịch chuyển đồ thị v về phía chiều dương của trục Ot một đoạn thì đồ thị của v và x cùng pha nhau. 0 Nghĩa là, v nhanh pha hơn x một góc hay về 2 2 A T thời gian là . 4 0 + Nếu dịch chuyển đồ thị a về phía chiều dương của trục Ot một đoạn thì đồ thị của a và v A2 cùng pha nhau. x
A
O
-A v Aω316 Trang O
-A a 2
T 4
T 2
3T 4
T
t
t
Nghĩa là, a nhanh pha hơn v một góc
T hay về thời gian là . 2 4
+ Nhận thấy a và x luôn ngược pha nhau (trái dấu nhau). 3. Đồ thị x, v và a dao động điều hòa vẽ chung trên một hệ trục tọa độ Vẽ đồ thị trong trường hợp φ = 0. t 0
x A
v 0
a A2
T 4 T 2 3T 4 T
0
A
0
A
0
A2
0
A
0
A
0
A2
4. Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa a. Sự bảo toàn cơ năng Dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo dưới lực thế (trọng lực và lực đàn hồi, …) và không có ma sát nên cơ năng của nó được bảo toàn. Vậy cơ năng của vật dao động được bảo toàn. b. Biểu thức thế năng Xét con lắc lò xo. Tại thời điểm bất kỳ vật có li độ x A cos(t ) và thế năng của con lắc lò xo có dạng:
Et
1 2 1 2 kx kA cos 2 (t ) 2 2
1 m2 A 2 cos 2 (t ) 2
Ta có đồ thị Et trong trường hợp φ = 0.
c. Biểu thức động năng
Trang 317
Ở thời điểm t bất kì vật có vận tốc v A sin(t ) và có động năng
1 1 mv2 mω2 A 2 sin 2 (ωt + φ) 2 2 Ta có đồ thị Wñ trong trường hợp φ = 0. Wñ =
d. Biểu thức cơ năng Cơ năng tại thời điểm t:
W = Wñ + Wt
1 m2 A 2 2
Ta có đồ thị Wñ và Et vẽ trên cùng một hệ trục. 5. Phương pháp xác định phương trình từ đồ thị a. Xác định biên độ Nếu tại VTCB, x = 0, thì: + x x max A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được A). + v v max A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được v max ). + a a max 2 A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được a max ). b. Xác định pha ban đầu φ Nếu là hàm cos thì dùng các công thức:
cos
v a x0 , cos v 0 , cos a 0 . v max a max A
c. Xác định chu kì T (Suy ra tần số f hoặc tần số góc ω): Nhận dạng thời điểm trạng thái lặp lại, hay chu kì T là khoảng thời gian giữa hai điểm cùng pha gần nhất. Rồi suy ra tần số f (hoặc tần số góc ω). Dựa vào thời gian ghi trên đồ thị và pha ban đầu, vẽ lại đường tròn Fresnel để xác định góc quét tương ứng với thời gian sau đó áp dụng công thức tìm ω:
. t
Lưu ý: - Các đồ thị dao động điều hòa của li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a) biến thiên điều hòa theo hàm số sin và cos với chu kì T. - Các đồ thị đồng năng và thế năng biến thiên tuần hoàn theo hàm số sin và cos với chu kì
T . 2
⋇ Vận dụng giải các bài tập về đồ thị, chúng ta quan sát đồ thị tìm ra các đại lượng dựa quy luật sau: + Tìm biên độ dao động dựa vào trục giới hạn cắt điểm nào đó trên trục tung (tìm biên độ A, ωA hoặc 2 A ). Trang 318
+ Tìm chu kì dao động dựa vào sự lặp lại trên trục thời gian, hoặc dựa vào khoảng thời gian gần nhất cùng pha để vật nhận giá trị nào đó. + Tại thời điểm t thì x = ?, v = ?, a = ? nhằm tìm được pha ban đầu φ và chu kì T. Suy ra tần số góc ω. + Dựa vào đường tròn và vận dụng các công thức của dao động tìm các đại lượng và các yếu tố cần tìm. Xác định chu kì T, rồi suy ra tần số f (hoặc tần số góc ω): Thường căn cứ vào số liệu trên trục thời gian. x
x
A
A
T 2
0
t 3T 4
T 4
0
T
A
T 4
x A
T 4
0
T 2
t 3T 4
0
T
T 4
3T 4
T 2
T
t
A
A
t = 0; x0= 0; v0 < 0; = π/2 x
t = 0; x0= -A; = π
x
A A 3 2
7T 12
A A 2 2
t
T 12
0
13T 12
A
5T 8
t
T 8
9T 8
A
t = 0; x0 A 3 ; = - π/6 2
t = 0; x0 A 2 ; = - π/4 2
A
A
A 2
0
T
t = 0; x0 = 0; v0 > 0; = -π/2
t = 0; x0= A; =0
A
x
t
A
x
0
3T 4
T 2
2T 3
t
T 6
7T 6
0
A 2 A
A
t = 0; x0 A ; = - π/3 2
5T 6
T T/3 12
t = 0; x0= -A/2; v0 > 0; = - 2π/3
A
7T
Trang 319 8
0
A 2 2
t 4T 3
T 3T/8 8
t 11T 8
A
t = 0; x = - A 2 ; v > 0; = - 3π/4
(Mô hình mối liên hệ giá trị của các đại lượng x, v, a, F tại các điểm đặc biệt: x = 0; x = - A; x = A)
a max 2 A
a max 2 A
Fmax kA
Fmax kA v min 0 Vận tốc đổi chiều khi qua biên. Gia tốc có giá trị cực đại.
v min 0
A
O
A
v max A
Vận tốc đổi chiều khi qua biên. Gia tốc có giá trị cực tiểu.
Fmin 0 a min 0
A va F đổi chiều khi qua VTCB B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Cho đồ thị của một dao động điều hòa. x(cm) a. Tính biên độ, tần số góc, chu kỳ, tần số. b. Tính pha ban đầu của dao động. 10 11 5 c. Viết phương trình dao động. 12 d. Phương trình vận tốc. 1 t(s) e. Phương trình gia tốc. 6 f. Sau những khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau và bằng bao nhiêu thì động năng lại bằng thế năng. Hướng dẫn giải: a. Dựa vào đồ thị ta có: A = 10cm. Tại thời điểm t = 0; x = 5cm; x đang tăng: x = Acosφ => cos φ
x 1 π => φ . A 2 3
Vận dụng mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều: Trang 320
•
5
π 3
10 x
Ta nhận xét vì x đang tăng nên ta chọn φ
π 3
Thời gian đi từ vậy thời gian đi từ x = 5 đến x = 10 là: t Vậy: ω 2π;f 1Hz b. Theo câu a ta có: φ
T 1 s T 1s . 6 6
π . 3
π )cm. 3 π d. Phương trình vận tốc: v = x ' = 20π sin( 2π t )cm/s. 3 π e. Phương trình gia tốc: a = 40π 2 cos( 2π t ) cm/s2. 3 c. Phương trình dao động: x = 10cos( 2π t
f. Động năng bằng thế năng tại các vị trí: W = Wđ + Wt = 2Wt
1 2 1 A kA 2 kx 2 x 2 2 2
Thời gian để vật đi từ
x2
α
x1
A 2
đến
A 2
π 2
A 2
A T 1 là: t s 0, 25s . 4 4 2
Câu 2: Một vật thực hiện đồng thời dao động điều hòa cùng phương, li độ x1 và x2 phụ thuộc vào thời gian như hình vẽ. Phương trình dao động tổng hợp là
cm 3 2 B. x 2 cos 2ft cm 3 5 C. x 2 cos 2ft cm 6 D. x 2 cos 2ft cm 6 A. x 2 cos 2ft
x(cm)
3 1
x2
0
x1
-1
3 Hướng dẫn giải:
Trang 321
0,1 0,15
t(ms)
x1 3 cos 2ft cm 2 Từ đồ thị ta có: x cos 2ft cm 2 Phương trình dao động tổng hợp ở dạng phức:
2 2 x 3 1 2 x 2 cos 2ft cm 2 3 3 Chọn đáp án B
Câu 3: Một vật dao động điều hòa có phương trình x 4 cos 2t
cm. Đồ thị 2
tọa độ - thời gian của vật là hình nào dưới đây? x(cm) x(cm) 4 4 A.
0,5
1
t(s) 1,5
t(s)
B.
-4
1
3
-4 x(cm)
x(cm)
4
4 0,5
C.
2
1
t(s) 1,5
D.
-4
1 2
t(s) 3
-4
Hướng dẫn giải: Khi t = 0, vật đang đi qua VTCB theo chiều dương. Chu kì dao động: T
2 1s . Biên độ: A = 4 cm. Chọn đáp án A
Câu 4: Cho hai dao động điều hoà, có li độ x1 và x2 như hình vẽ. Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất là: A. 140π cm/s. B. 100π cm/s. C. 200π cm/s. D. 280π cm/s. Hướng dẫn giải: Trang 322
Cách giải 1: Chu kỳ dao động T = 0,1s. Tần số góc = 20π rad/s.
x1 8cos 20t cm 2 Phương trình dao động của hai vật: x 6 cos 20t cm 2 Hai dao động vuông pha nhau nên vận tốc của hai vật cũng vuông pha nhau:
v1 160 cos 20t cm/s 2 v 120 cos 2t cm/s 2 Khi đó:v = v1 + v2 = 200πcos(20πt + ) cm/s. Suy ra: vmax = 200π cm/s. Chọn đáp án C Cách giải 2: Ta có: T 1.101 0,1s
2 20π rad/s . T
cm 2 Dao động 2 đang ở vị trí biên âm và đang tăng nên: x 2 6 cos 20t cm Dao động 1 đang ở vị trí cân bằng và có li độ đang tăng: x1 8cos 20t
Nhận xét 2 dao động vuông pha nên:
A12 A12 A 22 10cm v12max A12 200π cm/s. Câu 5 (QG – 2015): Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là 4π cm/s. Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ lần thứ 5. A. 4s. B. 3,25s. C. 3,75. D. 3,5s. Hướng dẫn giải:
v 2max 4 2 rad/s A 6 3 T 2 2 .3 3s . Chu kì chất điểm 1: T1 2 1,5s Chu kì chất điểm 2: T2 2 2 2 Cách giải 1: Ta có: 2
4 x1 6 cos 3 t 2 cm Phương trình dao động của hai chất điểm: x 6 cos 2 t cm 2 2 3 Trang 323
Hai chất điểm có cùng li độ khi:
4 2 4 2 x1 x 2 cos t cos t t t k2 2 2 3 2 3 2 3 3 Có hai họ nghiệm t1 3k1 (s) với k1 = 1, 2, 3…. Và t 2 k 2 0,5 (s) với k2 = 0, 1, 2… Các thời điểm x1 x 2 : Lần gặp nhau Thời điểm t(s)
Lúc đầu 0
1 0,5
2 1,5
3 2,5
4 3
5 6 3,5 4,5 Chọn đáp án D
Cách giải 2: Từ hình vẽ ta có: T2 2T1 1 22
2 1,5s v 2max 4 2 4 T1 1 rad/s 1 rad/s Mặt khác: 2 A 6 3 3 T 3s 2 Từ hình vẽ, lần thứ 5 (không kể thời điểm t = 0): 2, 25T1 t 2,5T2 3,375s t 3, 75s . Chọn đáp án D Cách giải 3: Tốc độ cực đại của chất điểm 2: v 2
max
2 A 2 2 .6 4 2
Từ hình vẽ ta có: T2 2T1 1 22
2 rad/s . 3
4 rad/s 3
4 x1 6 cos 3 t 2 cm Phương trình dao động của hai chất điểm: x 6 cos 2 t cm 2 2 3 Hai chất điểm có cùng li độ khi:
4 2 4 2 x1 x 2 cos t cos t t t k2 2 2 3 2 3 2 3 3 Có hai họ nghiệm t1 3k1 (s) với k1 = 1, 2, 3…. Và t 2 k 2 0,5 (s) với k2 = 0, 1, 2…Các thời điểm x1 x 2 : Lần t1 3k1
1
2
3
4 3s
Trang 324
5
6
7
…
t 2 k 2 0,5
0,5s
1,5s
2,5s
3.5s
4,5s
5,5s
Vậy, hai chất điểm gặp nhau lần thứ 5 ở thời điểm t = 3,5s. Chọn đáp án D Câu 6: Một vật có khối lượng m =100g, đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa được mô tả bởi đồ thị hình vẽ. Lực hồi phục cực đại tác dụng lên vật có giá trị là: A. 10N B. 8N C. 6N D. 4N Hướng dẫn giải: T 2 Từ đồ thị ta có: 5.102 s T 20.102 s 10π rad/s . 4 T Phương trình dao động của vật có đồ thị x - t (1) và vật có đồ thị x - t (2) là: x1 8cos10 cm x 2 6 cos 10t 2 cm Vì x1 vuông pha x2 nên ta có dao động tổng hợp có biên độ:
A A12 A 22 82 62 10cm 0,1m. Lực hồi phục cực đại tác dụng lên vật là: Fhoài phuïc m2 A 2 0,1.(10) 2 (0,1) 2 10N. Chọn đáp án A Câu 7: Có hai dao động điều hòa (1) và (2) được biểu diễn bằng hai đồ thị như hình vẽ. Đường nét đứt là của dao động (1) và đường nét liền của dao động (2). Hãy xác định độ lệch pha giữa dao động (2) với dao động (1) và chu kì của hai dao động. A.
và 1s 2
B.
và 1s 3
C.
và 0,5s 6
D.
và 2s 3
Hướng dẫn giải: Lúc t = 0 dao động (1) đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương nên: 1 Lúc t = 0 dao động (2) đang đi qua vị trí x 0 2,5 3cm theo chiều dương nên:
2,5 3 5cos 2 cos 2
3 2 . 2 6 Trang 325
. 2
Độ lệch pha của hai dao động: 2 1 Chu kì:
. 6 2 3
T 0,5s T 1s. 2 Chọn đáp án B
Câu 8: Cho ba vật dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt x1 A1 cos t 1 ; x 2 A 2 cos t 2 và
x 3 A 3 cos t 3 . Biết 3 dao động cùng phương và A1 = 3A3; φ3 – φ1 π . Gọi
x(cm) 8 4 0 -4
t(s)
1/2 5/6
3/2
x23
x12 x1 x 2 là dao động tổng hợp của dao x12 -8 động thứ nhất và dao động thứ hai; x 23 x 2 x 3 là dao động tổng hợp của dao động thứ hai và dao động thứ ba. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ hai dao động tổng hợp trên là như hình vẽ. Giá trị của A2 gần giá trị nào nhất sau đây? A. 4,36 cm B. 4,87 cm C. 4,18 cm D. 6,93 cm Hướng dẫn giải:
π 5 1 1 (vì ) 3 6 2 3 x12 8cos t 6 Phương trình của x12 và x23 là: x 4cos t 23 2 2 4 2 1 3 Ngoài ra: x12 x 23 2x 2 x13 2x 2 x1 x 2 x12 x 2 x12 x 23 3 3 3 4 4 (Vì x1 ngược pha với x3 và A1 > A3) Bấm máy tính ta được A 2 19 4,36 cm. Từ đồ thị ta có: T = 2s và x12 trễ hơn x23 một góc
Chọn đáp án B Câu 9 (QG – 2016): Cho hai vật dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song với trục ox. Vị trí cân bằng của mỗi vật nằm trên đường thẳng vuông góc với ox tại O. Trong hệ trục vuông góc xov, đường (1) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 1, đường (2) là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 2 (hình vẽ). Biết các lực kéo về cực đại tác dụng lên hai vật
Trang 326
v (1) x
O (2)
trong quá trình dao động là bằng nhau. Tỉ số giữa khối lượng của vật 2 với khối lượng của vật 1 là 1 1 A. B. 3 C. 27 D. 3 27 Hướng dẫn giải: Cách giải 1: Nhìn vào đồ thị ta thấy: A2 = 3A1
A 2 v1max A11 A2 1 22 2 A1 A1 v 2max A 2 2
(1)
Theo giả thiết
k1A1 k 2 A 2 m112 A1 m 2 22 A 2
m 2 12 A1 . m1 22 A 2
(2)
3
m A Từ (1) và (2), ta thu được: 2 1 27. m1 A 2 Chọn đáp án C Cách giải 2:
x1max A1 (1) x 2max A 2 3A Từ đồ thị ta có: v1max 3v max A11 3 A11 (1) 9 1 v A 2 2 2 2max v max A 2 2
(2)
Mặc khác:
F1hp max F2hp max m112 A1 m 2 22 A 2 (1) (2)
m 2 12 A1 m1 22 A 2
m2 1 92. 27. m1 3 Chọn đáp án C
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Đồ thị biểu diễn thế năng của một vật m = 200 g dao động điều hòa ở hình vẽ bên ứng với phương trình dao động nào sau đây?
3 A. x 5cos 4t cm 4
40
Wt (mJ)
20 1 16
Trang 327
t (s)
cm 4 3 C. x 4 cos 4t cm 4 D. x 4 cos 4t cm 4 B. x 5cos 4t
Câu 2: Một vật có khối lượng 400g dao động điều hòa có đồ thị động năng như hình vẽ. Tại thời điểm t = 0 vật đang chuyển Wđ (mJ) động theo chiều dương, lấy 2 10 . Phương 20 trình dao động của vật là
cm 6 B. x 5cos 2t cm 3 C. x 10 cos t cm 3 D. x 5cos 2t cm 3
15
A. x 10 cos t
1 6
Câu 3: Điểm sáng A đặt trên trục chính của một thấu kính, cách thấu kính 30 cm. Chọn trục tọa độ Ox vuông góc với trục chính, gốc O nằm trên trục chính của thấu kính. Cho A dao động điều hòa theo phương của trục Ox. Biết phương trình dao động của A là x và ảnh A’ là x’ của nó qua thấu kính được biểu diễn như hình vẽ. Tính tiêu cự của thấu kính. A. 10 cm. B. -10 cm. Câu 4: Điểm sáng A đặt trên trục chính của một thấu kính, cách thấu kính 30 cm. Chọn trục tọa độ Ox vuông góc với trục chính, gốc O nằm trên trục chính của thấu kính. Cho A dao động điều hòa theo phương của trục Ox. Biết phương trình dao động của A là x và ảnh A’ là x’ của nó qua thấu kính được biểu diễn như hình vẽ. Tính tiêu cự của thấu kính. A. 120 cm. B. -120 cm.
8 6 0
t (s)
x, x’ (cm) t (s) 0,25
0,125 x’
C. -90 cm. 8 6 0
Trang 328
x
D. 90 cm.
x, x’ (cm) t (s) 0,25
0,125 x
x’
C. -90 cm.
D. 90 cm.
Câu 5: Một vật có khối lượng 0,01 kg dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng x = 0, có đồ thị sự phụ thuộc hợp lực tác dụng lên vật vào li độ như hình vẽ. Chu kì dao động là A. 0,256 s. B. 0,152 s. C. 0,314 s. D. 0,363 s. Câu 6: Vật dao động điều hòa có đồ thị tọa độ như hình bên. Phương trình dao động là: A. x 2 cos 5t cm
0,6
F (N) x (m) 0,2
-0,2 -0,6
cm 2 C. x 2 cos 5t cm D. x 2 cos 5t cm 2 B. x 2 cos 5t
Câu 7: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox, với O trùng với vị trí cân bằng của chất điểm. Đường biểu diễn sự phụ thuộc li độ x chất điểm theo thời gian t cho ở hình vẽ. Phương trình vận tốc của chất điểm là
cm/s 3 B. v 60 cos 10t cm/s 6 C. v 60 cos 10t cm/s 3 D. v 60 cos 10t cm/s 6 A. v 60 cos 10t
Câu 8: Xét các đồ thị sau đây theo thời gian. Các đồ thị này biểu diễn y (x; v; a) sự biến thiên của x, v, a của một vật dao động điều hòa. Chỉ để ý dạng của đồ thị. Tỉ xích trên trục Oy thay đổi tùy đại lượng biểu diễn trên đó. Nếu đồ thị (1) biểu diễn li độ x thì đồ thị biểu diễn gia tốc dao động là đồ thị nào? A. (3) B. (1) C. (3) hoặc (1)
Trang 329
D. Một đồ thị khác
Câu 9: Cho đồ thị li độ của một dao động điều hòa như hình vẽ. Lấy 2 10 . Phương trình gia tốc có dạng:
3 2 m/s 4 B. a 1, 6 cos 2t m/s 2 4 3 2 C. a 1, 6 cos t m/s 4 D. a 1, 6 cos 2t m/s 2 4 A. a 1, 6 cos t
x (cm) 4
2 2 0
1 8
3 8 5 8
t (s)
-4
Câu 10: Có hai con lắc lò xo giống x (cm) nhau đều có khối lượng vật nhỏ là 10 x1 m. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng 5 và X1, X2 lần lượt là đồ thị ly độ x2 0 theo thời gian của con lắc thứ nhất 0,5 1 t (s) -5 và thứ hai như hình vẽ. Tại thời điểm t con lắc thứ nhất có động -10 năng 0,06J và con lắc thứ hai có thế năng 0,005J. Lấy 2 10 . Giá trị của khối lượng m là: A.100g B.200g C.500g D.400g Câu 11: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng chu kỳ T mà đồ thị x1 và x2 phụ thuộc vào thời gia như hình vẽ. Biết x2 = v1T, tốc độ cực đại của chất điểm là 53,4 cm/s. x(cm) x2 0 -3,95
2,5
x1
Giá trị T gần giá trị nào nhất: A.2,56s B.2,99s C.2,75s Câu 12: Hai chất điểm dao động điều hòa x(cm) có đồ thị li độ theo thời gian như hình vẽ. 4 Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm 0 trong quá trình dao động là A. 8 cm. B. 4 cm. -4
Trang 330
t(s)
D.2,64s (1) (2) t(s) 2,5 3,0
C. 4 2 cm
D. 2 3 cm.
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Chọn B, C. Hướng dẫn: Từ đồ thị nhận thấy: W = Wt max = 40.10-3 J.
1 Wt max đến Wt = Wtmax chính là thời gian ngắn nhất 2 T 1 s. từ x A 2 đến x = ±A và bằng 8 16 2 4π rad/s . Suy ra: T = 0,5 s và T Thời gian ngắn nhất từ Wt
2W 2.40.103 A 0, 05m 5cm. m2 0, 2.(4) 2 1 Lúc t = 0, Wt Wt max và thế năng đang tăng, tức là vật có li độ x A 2 và 2 đang chuyển động về vị trí biên. Do đó, phương trình dao động có dạng:
x 4 cos 4t 4 cm 3 x 4 cos 4t cm 4 Câu 2: Chọn D. Hướng dẫn: Từ đồ thị nhận thấy: W = Wđ max = 20.10-3 J 1 3 Thời gian ngắn nhất từ Wđ 15mJ Wđ max (thế năng lúc này Wt Wt max ) đến 4 4 Wđ = 0 (thế năng lúc này Wt = Wtmax) chính là thời gian ngắn nhất từ x x = ±A và bằng
A đến 2
T 1 s. 6 6
Suy ra:
2 2W 2.20.103 2π rad/s . A T = 1 s và 0, 05m 5cm. T m2 0, 4.(2) 2
Trang 331
A và đang chuyển động theo chiều dương nên phương trình dao 2 động có dạng: x 5cos 2t cm . 3 Lúc t = 0, x
Câu 3: Chọn C. Hướng dẫn: Từ đồ thị ta nhận thấy: Vật thật cho ảnh cùng chiều với vật và nhỏ hơn vật nên ảnh phải là ảnh ảo và đây là thấu kính phân kì. Độ phóng đại ảnh: k
d' f f 6 f 90cm. d d f 30 f 8
Câu 4: Chọn A. Hướng dẫn: Từ đồ thị ta nhận thấy: Vật thật cho ảnh cùng chiều với vật và lớn hơn vật nên ảnh phải là ảnh ảo và đây là thấu kính hội tụ. Độ phóng đại ảnh: k
d' f f 8 f 120cm. d d f 30 f 6
Câu 5: Chọn D. Hướng dẫn: 2
2 Với vật dao động điều hòa thì F kx m x m x. T 2
Từ đồ thị ta thay x = 0,2 m, F = – 0,6 N và m = 0,01 kg ta được: 2
2 0, 6 0, 01 .0, 2 T 0,363s. T Câu 6: Chọn B. Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có T = 0,4s, A = 2cm.
2 Khi t = 0, x = 0, v < 0 (t tăng có x giảm) 2 2 5π rad/s T 0, 4 Câu 7: Chọn D. Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có A = 2cm. Khi t = 0 thì x 0 3cm
2 . 3
A và vật đang đi theo chiều dương nên pha ban đầu 2
Từ đồ thị ta lại có T = 0,2s. Trang 332
2 2 2 5π rad/s x 6 cos 10t cm. T 0, 4 3 Biên độ vận tốc: v max A 10.6 60π cm/s. Vận tốc nhanh pha hơn li độ nên: 2 2 v 60 cos 10t cm/s 60 cos 10t cm/s. 3 2 6 Suy ra:
Câu 8: Chọn D. Hướng dẫn: Xét về pha ta có nhận xét:
và ngược pha với đồ thị (3). 2 Đồ thị (2) cũng chậm pha hơn đồ thị (3) góc . 2 Đồ thị biểu diễn li độ của vật dao động là một đồ thị khác với các đồ thị đã cho. Câu 9: Chọn C. Hướng dẫn: Đồ thị (1) chậm pha hơn đồ thị (2) góc
Chu kì dao động: Khi vật đi từ vị trí x 0 2 2 gian
4 A đến x = A mất thời 2 2
T T 1 s T 1s 2π rad/s. . Suy ra: 8 8 8
Biên độ A = 4cm. Ở vị trí ban đầu: t = 0 thì x 0 2 2 giảm, suy ra pha ban đầu
x 4 A 1 cos 0 , và x đang A 2 2 2
. 4
Phương trình li độ: x A cos(t ) 4 cos 2t
cm . 4
Khi đó, phương trình gia tốc có dạng:
a 2 A cos(t ) 2 A cos(t ) 3 a (2) 2 .4 cos 2t cm/s 2 1, 6 cos 2t cm/s 2 . 4 4 Câu 10: Chọn D. Hướng dẫn: Đồ thị cho ta hai dao động cùng pha cùng tần số, nhưng biên độ khác nhau: A1 =10cm; A2 =5cm. Ta có tần số góc:
2 2π rad/s T
Do hai dao động cùng pha cùng tần số nên ta luôn có: Trang 333
cos(t ) A1 2A 2
x1 x 2 A1 A 2 x1 2x 2
1 m2 x12 2 1 Tại thời điểm t2 con lắc thứ hai có thế năng : Wt 2 m2 x 22 2 Do x1 2x 2 nên Wt1 Wt 2 4.0, 05 0, 02J Tại thời điểm t1 con lắc thứ nhất có thế năng: Wt1
Năng lượng con lắc thứ nhất : W Wt1 Wđ1 0, 02 0, 06 0, 08J . Suy ra: W1
2W 1 2.0, 08 m2 A12 m 2 12 0, 4kg 400g. 2 A1 (2) 2 .(101 ) 2
Câu 11: Chọn C. Hướng dẫn:
2 t cm T 2 2 2 2 sin t 3,95. cos t cm/s Khi đó: v1 3,95. T T 2 T T 2 t cm Do vậy: x 2 v1T 3,95.2 cos 2 T Ta có: x1 3,95cos
Ta thấy x1 và x2 vuông pha nhau. Do đó biên độ dao động tổng hợp:
A A12 A 22 3,952 1 42 3,95 1 42 cm
Tốc độ cực đại của chất điểm v max A Vậy: T
2 .3,95 1 42 53,4 cm/s T
2.3,95 1 42 2, 795s. 53, 4
Câu 12: Chọn B. Hướng dẫn:
2π rad/s 3 2 x1 4 cos 3 t 1 cm Phương trình dao động của 2 chất điểm: x 4 cos 2 t cm 2 2 3 Khi t = 0: x01 = x02 và v01> 0; v02 < 0 cosφ1 = cosφ2 và sinφ1 = - sinφ2 < 0 Theo đồ thi ta có chu kỳ dao động T1 = T2 = 3s ω1 = ω2 =
Do đó φ1 = - φ2 . Trang 334
2 2 t 1 0 φ1 = 3 3
Mặt khác khi t = 2,5s thì x1 = 0 4 cos
2π 3 2 2 x1 4 cos 3 t 3 cm Suy ra: x 4 cos 2 t 2 cm 2 3 3 Do vậy φ1 = - φ2 = -
Khoảng cách giữa hai chất điểm: x = |x2 – x1| = |8sin
2π 2π 2π sin t| cm = |4sin t| cm xmax = 4 cm. 3 3 3
Trang 335
CHỦ ĐỀ 6 CÁC LOẠI DAO ĐỘNG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Dao động tự do: Là dao động mà chu kỳ dao động của vật chỉ phụ thuộc vào các đặc tính của hệ. 2. Dao động tắt dần: a. Khái niệm: Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian. b. Đặc điểm: - Dao động tắt dần xảy ra khi có ma sát hoặc lực cản của môi trường. Ma sát càng lớn thì dao động tắt dần càng nhanh. - Biên độ dao động giảm nên năng lượng của dao động cũng giảm theo. 3. Dao động duy trì Nếu cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động tắt dần (bằng cách tác dụng ngoại lực cùng chiều với chiều chuyển động của vật dao động trong từng phần của chu kì) để bù lại phần năng lượng tiêu hao do ma sát mà không làm thay đổi chu kì dao động riêng của nó, khi đó vật dao động mải mải với chu kì bằng chu kì dao động riêng của nó, dao động này gọi là dao động duy trì. Ngoại lực tác dụng lên vật dao động thường được điều khiển bởi chính dao động đó. 4. Dao động cưỡng bức: a. Khái niệm: Dao động cưỡng bức là dao động mà hệ chịu thêm tác dụng của một ngoại lực biến thiên tuần hoàn có biểu thức F=F0sin(ωt). b. Đặc điểm - Ban đầu khi tác dụng ngoại lực thì hệ dao động với tần số dao động riêng f0 của vật. - Sau khi dao động của hệ được ổn định (thời gian từ lúc tác dụng lực đến khi hệ có dao động ổn định gọi là giai đoạn chuyển tiếp) thì dao động của hệ là dao động điều hoà có tần số bằng tần số ngoại lực. - Biên độ dao động của hệ phụ thuộc vào biên độ dao động của ngoại lực (tỉ lệ với biên độ của ngoại lực. và mối quan hệ giữa tần số dao động riêng của vật f0 và tần số f dao động của ngoại lực (hay |f - f0|). Đồ thị dao động như hình vẽ: x
t
O Giai đoạn ổn định
Trang 336
5. Hiện tượng cộng hưởng: Nếu tần số ngoại lực (f) bằng với tần số riêng (f0) của vật thì biên độ dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại, hiện tượng này gọi là hiện tượng cộng hưởng. 6. Phân biệt Dao động cưỡng bức và dao động duy trì a. Dao động cưỡng bức với dao động duy trì: • Giống nhau: - Đều xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực. - Dao động cưỡng bức khi cộng hưởng cũng có tần số bằng tần số riêng của vật. • Khác nhau: * Dao động cưỡng bức - Ngoại lực là bất kỳ, độc lập với vật - Sau giai đoạn chuyển tiếp thì dao động cưỡng bức có tần số bằng tần số f của ngoại lực - Biên độ của hệ phụ thuộc vào F0 và |f – f0| * Dao động duy trì - Lực được điều khiển bởi chính dao động ấy qua một cơ cấu nào đó - Dao động với tần số đúng bằng tần số dao động riêng f0 của vật - Biên độ không thay đổi b. Cộng hưởng với dao động duy trì: • Giống nhau: Cả hai đều được điều chỉnh để tần số ngoại lực bằng với tần số dao động tự do của hệ. • Khác nhau: * Cộng hưởng - Ngoại lực độc lập bên ngoài. - Năng lượng hệ nhận được trong mỗi chu kì dao động do công ngoại lực truyền cho lớn hơn năng lượng mà hệ tiêu hao do ma sát trong chu kì đó. * Dao động duy trì - Ngoại lực được điều khiển bởi chính dao động ấy qua một cơ cấu nào đó. - Năng lượng hệ nhận được trong mỗi chu kì dao động do công ngoại lực truyền cho đúng bằng năng lượng mà hệ tiêu hao do ma sát trong chu kì đó. 7. Các công thức tính toán trong dao động tắt dần a. Định lý động năng: Độ biến thiên năng lượng của vật trong quá trình chuyển động từ (1) đến (2) bằng công của quá trình đó. W2 - W1 = A, với A là công. W2 > W1 thì A > 0, (quá trình chuyển động sinh công) W2 < W1 thì A < 0, (A là công cản) b. Một con lắc lò xo dao động tắt dần với biên độ A, hệ số ma sát µ. * Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là:
S
kA 2 2 A 2 2mg 2g
* Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là: A
4mg 4g 2 k
Trang 337
x A
t
O
T * Số dao động thực hiện được: N
A Ak 2 A A 4mg 4g
* Thời gian vật dao động đến lúc dừng lại:
t NT
AkT A 4mg 2g
(Nếu coi dao động tắt dần có tính tuần hoàn với chu kỳ T
2 )
C. Đặc điểm: -Cơ năng của vật giảm dần chuyển hóa thành nhiệt. -Tùy theo lực cản của môi trường lớn hay nhỏ mà dao động tắt dần xảy ra nhanh hay chậm.
Trong không khí
Trong nước
Trong dầu nhớt
d. Tác dụng - Dao động tắt dần có lợi: Bộ phận giảm sóc trên xe ôtô, xe máy… kiểm tra, thay dầu nhớt. - Dao động tắt dần có hại: Dao động ở quả lắc đồng hồ, phải lên dây cót hoặc thay pin. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Vấn đề 1: Dao động cưỡng bức - Cộng hưởng: Câu 1 (Chuyên Hà Tĩnh lần 5 – 2016): Một con lắc lò xo gồm một viên bi khối lượng nhỏ 100 g và lò xo nhẹ có độ cứng 10 N/m. Con lắc dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn có tần số góc ω. Biết biên độ của ngoại lực Trang 338
cưỡng bức không thay đổi. Khi thay đổi ω tăng dần từ 9 rad/s đến 12 rad/s thì bên độ dao động của viên bi
3 lần 4 4 C. tăng lên lần 3 A. giảm đi
B. tăng lên sau đó lại giảm D. giảm rồi sau đó tăng Hướng dẫn giải:
k 10 10rad/s. m 0,1 Xảy ra cộng hưởng khi 0 10rad/s => khi tăng dần tần số góc của ngoại lực cưỡng bức từ 9 rad/s đến 12 rad/s thì tại 0 10rad/s hệ xảy ra cộng Tần số góc riêng của hệ: 0
hưởng, biên độ dao động của viên bi lớn nhất => biên độ dao động viên bi tăng đến cực đại rồi giảm khi thay đổi . Chọn đáp án A Câu 2: Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ khối lượng m và lò xo khối lượng không đáng kể có độ cứng 160 N/m. Con lắc dao động cưởng bức dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn có tần số f. Biết biên độ của ngoại lực tuần hoàn không đổi. Khi thay đổi f thì biên độ dao động của viên bi thay đổi và khi f = 2 Hz thì biên độ dao động của viên bi đạt cực đại. Tính khối lượng của viên bi. Hướng dẫn giải: Biên độ của dao động cưởng bức đạt cực đại khi tần số của lực cưởng bức bằng tần số riêng của con lắc: f = f0 =
1 k k m= = 0,1 kg = 100 g. 2 m 4 2 f 2
Câu 3: Một tàu hỏa chạy trên một đường ray, cứ cách khoảng 6,4 m trên đường ray lại có một rãnh nhỏ giữa chổ nối các thanh ray. Chu kì dao động riêng của khung tàu trên các lò xo giảm xóc là 1,6 s. Tàu bị xóc mạnh nhất khi chạy với tốc độ bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải: Tàu bị xóc mạnh nhất khi chu kì kích thích của ngoại lực bằng chu kỳ riêng của khung tàu: T = T0 =
L L = 4 m/s = 14,4 km/h. v= T0 v
Câu 4: Một người xách một xô nước đi trên đường, mỗi bước đi được 50cm. Chu kỳ dao động riêng của nước trong xô là 1s. Nước trong xô bị sóng sánh mạnh nhất khi người đó đi với tốc độ là bao nhiêu? Hướng dẫn giải:
Trang 339
Nước trong xô bị sóng sánh mạnh nhất khi xảy ra hiện tượng cộng hưởng, khi đó chu kỳ của dao động của người bằng với chu kỳ dao động riêng của nước trong xô T = 1 s. Tốc độ đi của người là: v
s 0,5 0,5 m/s. T 1
Câu 5 (Chuyên Vĩnh Phúc lần 1 – 2016): Một hệ cơ học có tần số dao động f0. Tác dụng vào hệ một ngoại lực cưỡng bức F = F0cos2πft, F0 không đổi, f thay đổi được. Khi thay đổi tần số f của lực cưỡng bức đến các giá trị f1 = 2f0, f2 = 3f0 và f3 = 4f0 thì biên độ dao động cưỡng bức của hệ lần lượt là A1, A2 và A3. Xếp theo thứ tự tăng dần của biên độ dao động cưỡng bức là A. A2, A1, A3 B. A3, A2, A1 C. A3, A1, A2 D. A1, A2, A3
Hướng dẫn giải: Khi tần số xa tần số cộng hưởng của hệ cơ học thì biên độ càng giảm mà f3 > f2 > f1 → A3 < A2 < A1.
Chọn đáp án B Câu 6: Con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m = 100g và lò xo nhẹ có độ cứng k = 1N/cm. Tác dụng một ngoại lực cưỡng bức biến thiên điều hòa biên độ F0 và tần số f1 = 6 Hz thì biên độ dao động A1. Nếu giữ nguyên biên độ F0 mà tăng tần số ngoại lực đến f2 = 7 Hz thì biên độ dao động là A2. So sánh A1 và A2: A. A1 > A2 B. A2 > A1 C. A1 = A2 D. Chưa đủ điều kiện để kết luận. Hướng dẫn giải: Tần số dao động riêng của con lắc: f0 =
1 k 5 Hz. ta có: 2 m
Giữ nguyên biên độ F0 Biên độ dao động cưỡng bức phụ thuộc vào f – f0: f1 – f0 =1< f2 – f0 =2 f1 gần f0 nên A1 > A2 Chọn đáp án A Vấn đề 2: Dao động tắt dần 1. Công thức tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kì A’ -A’
x0 O
A
Xét nửa chu kỳ:
1 2 1 '2 kA kA mg A A ' 2 2
k A 2 A '2 2mg A A ' A
2mg k
Trang 340
4mg k 4g Biên độ dao động giảm đều sau mỗi chu kỳ.: A 2 A Ak 2 A 2. Số dao động vật thực hiện cho tới khi dừng: N A 4mg 4g AkT A 3. Thời gian dao động cho tới khi dừng lại: t NT 4mg 2g Vậy trong một chu kỳ độ giảm biên độ: A 2A '
4. Cho độ giảm biên độ sau mỗi chu kì là A (%) Độ giảm năng lượng mỗi chu kì: E 1 1 A%
2
5. Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng: Cơ năng ban đầu W0
1 1 m2 A 2 kA 2 (J) 2 2
Dao động tắt dần là do cơ năng biến thành công lực ma sát: Ams = Fms; S = NS = mgS Đến khi vật dừng lại thì toàn bộ W0 biến thành AmsW0 = Ams
1 2 2 1 2 A kA W0 S 2 2 mg g mg 6. Vật dao động với vận tốc cực đại trong nửa chu kỳ đầu tiên khi qua vị trí x0. Mặt khác để đạt vận tốc lớn nhất khi hợp lực: phục hồi và lực cản phải cân bằng nhau: kx 0 mg x 0
mg . k
7. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng khi vật đạt vận tốc cực đại lần đầu tiên: 1 2 1 2 1 kA kx 0 mv 02 mg A x 0 mv 02 k A 2 x 02 2mg A x 0 2 2 2 Mặt khác
mg mg kx 0 mv 2 k A 2 x 02 2kx 0 A x 0 k v A x0 x0
BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng là µ. Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bẳng (lò xo không biến dạng) một đoạn A0 rồi buông nhẹ. Tính quãng đường vật đi được từ lúc thả vật đến lúc dừng lại. Hướng dẫn giải: Trang 341
Gọi xo là vị trí tại đó lực đàn hồi có độ lớn bằng lực ma sát trượt, ta có:
kx 0 mg x 0
mg . k
Gọi A là độ giảm biên độ trong được: A
mg 2x 0 . k
1 chu kì (mỗi khi qua VTCB), ta chứng minh 2
Vật chỉ có thể dừng lại trong đoạn từ –xo đến xo. Ta chứng minh rằng nếu vật dừng
A 02 x 2 lại tại vị trí có tọa độ là x thì đường đi tổng cộng là: s . A 1 k(Ao2 – x2) Ta có: k(Ao2 – x2) = mgs s = . 2 2mg Ao Xét tỉ số = n + q (q < 1). Ta có các trường hợp sau: ∆A
A 02 1. q = 0 (Ao chia hết cho ∆A): vật chắc chắn dừng lại ở VTCB, khi đó s A 2. q = 0,5 (Ao là số ban nguyên lần ∆A): vật dừng lại ở vị trí có |x| = xo, khi đó
s
A 02 x 2 A
3. 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là An = q.∆A = xo + rΔA (r = q – 0,5). Vật sẽ dừng trước khi qua VTCB. Ta có 1 k(An2 – x2) = mg(An – x) An + x = = 2xo 2 xo + rΔA + x = 2xo x = xo – rΔA = (1 – 2r)xo. x = ΔA(1 – q)
A 02 x 2 với x tính được theo công thức trên. A 1 Khi 0 < q < 0,5: Trước đó chu kì, biên độ của vật là: An = ∆A + p. Vật dừng lại 2 s
sau khi qua VTCB 1 đoạn x. 1 Ta có: k(An2 – x2) = mg(An + x) An – x = ∆A x = p 2 Vậy s
A 02 p 2 . A
Câu 2: Con lắc lò xo nằm ngang có = 100 s2, hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và cùng bằng 0,1. Kéo vật ra khỏi VTCB 1 đoạn Ao rồi buông. Cho g = 10 m/s2. Tìm quãng đường tổng cộng vật đi được trong các trường hợp sau: 1. Ao = 12cm 2. Ao = 13cm Trang 342
3. Ao = 13,2cm 4. Ao = 12,2cm Áp dụng cụ thể cho bài toán trên: ∆A = 2cm ; xo = 1cm. Hướng dẫn giải: 1. Ao = 12 cm, chia hết cho A nên s = = 72 cm 2. Ao = 13 cm, chia cho A ra số bán nguyên, vật dừng cách VTCB một đoạn xo nên s = = 84 cm. 3. Ao = 13,2 cm: = 6,6. Biên độ cuối cùng là An = 0,6.A = 1,2 cm. Vật dừng lại trước khi qua VTCB k(An2 x2) = mg(An x) An + x = A x = 2 1,2 = 0,8cm s = = 86,8 cm 4. Ao = 12,2 cm. Biên độ cuối cùng là An1 = 2,2 cm vật dừng cách VTCB một đoạn x = 0,2 cm s = = 74,4 cm Câu 3: Một con lắc lò xo có k = 100 N/m, có m = 100 g dao động với biên độ ban đầu là A = 10 cm. Trong quá trình dao động vật chịu một lực cản không đổi, sau 20 s vật dừng lại, (lấy 2 =10 ). Lực cản có độ lớn là? Hướng dẫn giải: Ta có: T 2
m 0,1 2 0, 2 s. k 100
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ: A 2A ' Và t TN T
4mg 4F . k k
A . A
Từ (1) và (2) suy ra F
(1) (2)
TAk 0, 2.0,1.100 0, 025 N. 4t 4.20
Câu 4: Gắn một vật có khối lượng m = 200 g vào lò xo có độ cứng k = 80 N/m. Một đầu lò xo được giữ cố định. Kéo m khỏi VTCB một đoạn 10 cm dọc theo trục của lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt nằm ngang là µ = 0,1. Lấy g = 10 m/s2. a. Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho đến khi dừng lại. b. Chứng minh rằng độ giảm biên độ dao động sau mỗi một chu kì là một số không đổi. c. Tìm thời gian dao động của vật. Hướng dẫn giải: a. Khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến khi dừng lại. Cơ năng bị triệt tiêu bởi công của lực ma sát.
1 2 kA 2 80.0,12 2 m. Ta có: kA Fms s mgs s 2 2mg 2.0,1.0, 2.10 Trang 343
b. Giả sử tại thời điểm vật đang ở vị trí có biên độ A1. Sau nửa chu kì, vật đến vị trí có biên độ A2. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường (A1 + A2) đã làm giảm cơ năng của vật. Ta có:
1 2 1 2 2mg kA1 kA 2 mg A1 A 2 A1 A 2 . 2 2 k
Tương tự, khi vật đi từ vị trí biên độ A2 đến vị trí có biên độ A3, tức là nửa chu kì tiếp theo thì: A 2 A 3
2mg . k
Độ giảm biên độ sau mỗi một chu kì là:
A A1 A 2 A 2 A 3
4mg const. k
c. Độ giảm biên độ sau mỗi một chu kì là: A 0, 01 m 1 cm. Số chu kì thực hiện là: n
A 10 chu kì. Vậy thời gian dao động là: A
t = nT = 3,14 s. Câu 5: Cho cơ hệ gồm 1 lò xo nằm ngang 1 đầu cố định gắn vào tường, đầu còn lại gắn vào 1 vật có khối lượng M = 1,8 kg, lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m. Một vật khối lượng m = 200g chuyển động với vận tốc v = 5 m/s đến va vào M (ban đầu đứng yên) theo hướng trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giãn M và mặt phẳng ngang là = 0,2. Xác định tốc độ cực đại của M sau khi lò xo bị nén cực đại, coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm. Hướng dẫn giải: Gọi v0 và v’là vận tốc của M và m sau va chạm, chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của m Mv0 + mv’ = mv (1)
Mv 02 m ' v '2 mv 2 + = 2 2 2 Từ (1) và (2) ta có v0 =
(2)
v = 1 m/s, v’ = – 4m/s. Sau va chạm vật m chuyển động 5
ngược trở lai, Còn vật M dao động tắt dần. Độ nén lớn nhất A0 được xác định theo công thức:
Mv 02 kA 02 = + Mg A0 A0 = 0,1029 m = 10,3 cm. 2 2
Sau khi lò xo bị nén cực đại tốc độ cực đại vật đạt được khi Fhl = 0 hay a = 0, lò xo bị nén x: kx = Mg x
Mg = 3,6 cm. k
Khi đó:
2 2 kA 02 Mv 2max kx 2 Mv 2max k A 0 x = + + Mg(A0 – x) = – Mg(A0 – x). 2 2 2 2 2
Trang 344
Do đó
v
2 max
=
k A 02 x 2 M
– 2g(A0 – x) = 0,2494 vmax = 0,4994 m/s = 0,5 m/s.
Câu 6: Con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang, khối lượng m=100g. k=10N/m hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. kéo vật đến vị trí lò xo dãn 10cm, thả không vận tôc đầu. tổng quãng đường đi được trong 3 chu kỳ đầu tiên? Hướng dẫn giải: Độ giảm biên độ sau 1 chu kỳ: A
4mg 4 cm. k
Vậy, sau 3 chu kỳ, vật tắt hẳn.
1 2 Wc 2 kA Vậy, quãng đường đi được: s 0,5 m. Fms mg Câu 7: Con lắc lo xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang, khối lượng m = 100 g, k = 10 N/m hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Kéo vật đến vị trí lò xo dãn 10 cm, thả không vận tôc đầu. Vị trí vật có động năng bằng thế năng lần đầu tiên là. Hướng dẫn giải:
2Wt Wc A ms Ta có: Wñ = Wt Wc W A ms Wt x 0,06588 m 6,588 cm. W W + W ñ t Vậy, lúc đó lo xo dãn 3,412 cm. Câu 8: Một con lắc lò xo dao động tắt dần. Cứ sau mỗi chu kì, biên độ của nó giảm 0,5%. Hỏi năng lượng dao động của con lắc bị mất đi sau mỗi dao động toàn phần là bao nhiêu % ? Hướng dẫn giải: A A' A' A' Ta có: 1 0, 005 0,995. A A A 2
Suy ra:
W' A' 0,9952 0,99 99% , do đó phần năng lượng của con lắc W A
mất đi sau mỗi dao động toàn phần là 1%. Câu 9: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3%. Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu? Hướng dẫn giải:
Trang 345
Gọi A0 là biên độ dao động ban đầu của vật. Sau mỗi chu kỳ biên độ của nó giảm 3% nên biên độ còn lại là A = 0,97A0. Khi đó năng lượng của vật giảm một lượng 2 1 2 1 kA 0 k 0,97A 0 2 là: W 2 1 0,972 0,06 6%. 1 2 kA 0 2
Câu 10: Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300 N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,15 kg. Quả cầu có thể trượt trên dây kim loại căng ngang trùng với trục lò xo và xuyên tâm quả cầu. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 2 cm rồi thả cho quả cầu dao động. Do ma sát quả cầu dao động tắt dần chậm. Sau 200 dao động thì quả cầu dừng lại. Lấy g = 10 m/s2 a. Độ giảm biên độ trong mỗi dao động tính bằng công thức nào. b. Tính hệ số ma sát μ. Hướng dẫn giải: a. Độ giảm biên độ trong mỗi chu kỳ dao động là: A
4mg . k
b. Sau 200 dao động thì vật dừng lại nên ta có N = 200. Áp dụng công thức kA 0 kA 0 N , 4F 4mg với k = 300 N/m và A0 = 2 cm, m = 0,15 kg, g = 10 m/s2 ta được:
200
300.0,02 0,005. 4.0,15.10
Vấn đề 3: Hiện tượng cộng hưởng
Tr 2 Chu kì dao động riêng: T 2 r
m k l g
Chu kì chuyển động tuần hoàn: Tth
S v
Hệ dao động mạnh nhất khi xẩy ra hiện tượng cộng hưởng. Lúc đó: Tr Tth BÁI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một hành khách dùng dây cao su treo một chiếc ba lô lên trần toa tàu, ngay phía trên một trục bánh xe của toa tàu. Khối lượng của ba lô là m = 16 kg, hệ số cứng của dây cao su là k = 900 N/m, chiều dài mỗi thanh ray là S 12,5 m , ở chỗ Trang 346
nối hai thanh ray có một khe nhỏ. Hỏi tàu chạy với vận tốc bao nhiêu thì ba lô dao động mạnh nhất? Hướng dẫn giải: Chu kì dao động riêng của ba lô: Tr 2
m k
Chu kì chuyển động tuần hoàn của tầu: Tth
S v
Để ba lô dao động mạnh nhất thì xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Lúc đó: Tr Tth Suy ra v
S k 12,5 900 15 m/s. 2 m 2 16
Câu 2: Một người đi bộ với vận tốc v = 3 m/s. Mỗi bước đi dài S 0,6 m . a. Xác định chu kì và tần số của hiện tượng tuần hoàn của người đi bộ. b. Nếu người đó xách một xô nước mà nước trong xô dao động với tần số fr 2 Hz . Người đó đi với vận tốc bao nhiêu thì nước trong xô bắn toé ra ngoài mạnh nhất? Hướng dẫn giải: a. Chu kì của hiện tượng tuần hoàn của người đi bộ là thời gian để bước đi một S 0,6 bước: Tth 0,2 s. . Tần số của hiện tượng này là: fth 1 5 Hz. v 3 Tth b. Để nước trong xô bắn toé ra ngoài mạnh nhất thì chu kì dao động của bước đi phải bằng chu kì dao động của nước trong xô (hiện tượng cộng hưởng), tức là: S 1 Tth Tr v Sfr . v fr Suy ra, vận tốc của người đi bộ: v = 12 m/s. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Câu 1: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt của giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là A. 40 3 cm/s B. 20 6 cm/s C. 10 30 cm/s D. 40 2 cm/s Câu 2: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang, lò xo có độ cứng 10 N/m, vật nặng có khối lượng m = 100 g. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang Trang 347
là μ = 0,2. Lấy g = 10 m/s2; π = 3,14. Ban đầu vật nặng được thả nhẹ tại vị trí lò xo dãn 6 cm. Tốc độ trung bình của vật nặng trong thời gian kể từ thời điểm thả đến thời điểm vật qua vị trí lò xo không bị biến dạng lần đầu tiên là: A. 22,93cm/s B. 25,48 cm/s C. 38,22 cm/s D. 28,66 cm/s Câu 3: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật có khối lượng m = 400g, hệ số ma sát giữa vật và giá đỡ là = 0,1. Từ vị trí cân bằng vật đang nằm yên và lò xo không biến dạng người ta truyền cho vật vận tốc v = 100cm/s theo chiều làm cho lò xo giảm độ dài và dao động tắt dần. Biên độ dao động cực đại của vật là bao nhiêu? A. 5,94cm B. 6,32cm C. 4,83cm D. 5,12cm Câu 4: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10 N/m, khối lượng vật nặng m = 100 g, dao động trên mặt phẳng ngang, được thả nhẹ từ vị trí lò xo giãn 6 cm so với vị trí cân bằng. Hệ số ma sát trượt giữa con lắc và mặt bàn bằng μ = 0,2. Thời gian chuyển động thẳng của vật m từ lúc ban đầu đến vị trí lò xo không biến dạng là: A.
π s. 25 5
B.
π s. 20
C.
π s. 15
D.
π s. 30
Câu 5: Con lắc lò xo đặt nằm ngang, ban đầu là xo chưa bị biến dạng, vật có khối lượng m1 = 0,5 kg lò xo có độ cứng k = 20 N/m. Một vật có khối lượng m2 = 0,5 kg chuyển động dọc theo trục của lò xo với tốc độ 0, 4 10 m/s đến va chạm mềm với vật m1, sau va chạm lò xo bị nén lại. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,1 lấy g = 10 m/s2. Tốc độ cực đại của vật sau lần nén thứ nhất là A. 0, 2 10 m/s. B. 10 5 cm/s. C. 10 3 cm/s. D. 30 cm/s. Câu 6: Một con lắc lò xo dao động tắt dần trên mạt phẳng nằm ngang với các thông số như sau: m = 0,1 kg, vmax= 1 m/s, μ = 0,05. Độ lớn vận tốc của vật khi vật đi được 10 cm. A. 0,95 cm/s B.0,3cm/s C.0,95 m/s D. 0,3 m/s Câu 7: Một lò xo nằm ngang, k = 40 N/m, chiều dài tự nhiên l = 50 cm, đầu B cố định, đầu O gắn vật có m = 0,5 kg. Vật dao động trên mặt phẳng nằm ngang hệ số ma sát µ = 0,1. Ban đầu vật ở vị trí lò xo có độ dài tự nhiên kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 5cm và thả tự do, chọn câu đúng: A. điểm dừng lại cuối cùng của vật là O. B. khoảng cách ngắn nhất của vật và B là 45 cm. C. điểm dừng cuối cùng cách O xa nhất là 1,25 cm. D. khoảng cách giữa vật và B biến thiên tuần hoàn và tăng dần Câu 8: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm 1 vật có khối lượng m = 100 g gắn vào 1 lò xo có độ cứng k = 10 N/m. Hệ số ma sát giữa vật và sàn là 0,1. Đưa vật đến vị trí lò xo bị nén một đoạn rồi thả ra. Vật đạt vận tốc cực đại lần thứ nhất tại O1 và vmax1 = 60 cm/s. Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là: A. 24,5 cm. B 24 cm. C. 21 cm. D. 25 cm. Câu 9: Con lắc lò xo nằm ngang có k = 100 N/m, vật m = 400 g. Kéo vật ra khỏi VTCB một đoạn 4 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa vật và sàn là μ = 5.10-3. Xem chu kỳ dao động không thay đổi, lấy g = 10 m/s2. Quãng đường vật đi được trong 1,5 chu kỳ đầu tiên là: Trang 348
A. 24 cm B. 23,64 cm C. 20,4 cm D. 23,28 cm Câu 10: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm 1 vật có khối lượng m = 100 g gắn vào 1 lò xo có độ cứng k = 10 N/m. Hệ số ma sát giữa vật và sàn là 0,1. Đưa vật đến vị trí lò xo bị nén một đoạn rồi thả ra. Vật đạt vận tốc cực đại lần thứ nhất tại O và vmax = 60 cm/s. Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là: A. 24,5 cm. B. 24 cm. C. 21 cm. D. 25 cm. Câu 11: Một con lắc lò xo nằm ngang k = 20 N/m, m = 40 g. Hệ số ma sát giữa mặt bàn và vật là 0,1, g = 10m/s2. đưa con lắc tới vị trí lò xo nén 10 cm rồi thả nhẹ. Tính quãng đường đi được từ lúc thả đến lúc vectơ gia tốc đổi chiều lần thứ 2: A. 29 cm B. 28cm C. 30cm D. 31cm Câu 12: Một con lắc lò xo gồm vật m1 (mỏng, phẳng) có khối lượng 2 kg và lò xo có độ cứng k = 100 N/m đang dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát với biên độ A = 5 cm. Khi vật m1 đến vị trí biên thì người ta đặt nhẹ lên nó một vật có khối lượng m2. Cho hệ số ma sát giữa m2 và m1 là 0,2, g = 10m/s2. Giá trị của m2 để nó không bị trượt trên m1là A. m2 0,5 kg B. m2 0,4 kg C. m2 0,5 kg D. m2 0,4 kg Câu 13: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có độ cứng k = 20 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01. Từ vị trí lò xo không bị biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu 1m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò xo. Lấy g = 10 m/s2. Độ lớn lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động bằng A. 1,98 N. B. 2 N. C. 1,5 N. D. 2,98 N Câu 14: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 40 N/m và quả cầu nhỏ A có khối lượng 100 g đang đứng yên, lò xo không biến dạng. Dùng quả cầu B giống hệt quả cầu A bắn vào quả cầu A dọc theo trục lò xo với vận tốc có độ lớn 1 m/s; va chạm giữa hai quả cầu là đàn hồi xuyên tâm. Hệ số ma sát giữa A và mặt phẳng đỡ là = 0,1, lấy g = 10m/s2. Sau va chạm thì quả cầu A có biên độ lớn nhất là: A. 5 cm. B. 4,756 cm. C. 4,525 cm. D. 3,759 cm. Câu 15: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 2 N/m, khối lượng m = 80 g dao động tắt dần trên mặt phẳng nằm ngang do có ma sát, hệ số ma sát = 0,1. Ban đầu vật kéo ra khỏi VTCB một đoạn 10 cm rồi thả ra. Cho gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Thế năng của vật ở vị trí mà tại đó vật có tốc độ lớn nhất là: A. 0,16 mJ B. 0,16 J C. 1,6 J D. 1,6 mJ. Câu 16: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng 200 gam, lò xo có độ cứng 10 N/m, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Ban đầu vật được giữ ở vị trí lò xo giãn 10 cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần, lấy g = 10m/s2. Trong khoảng thời gian kể từ lúc thả cho đến khi tốc độ của vật bắt đầu giảm thì độ giảm thế năng của con lắc là: A. 2 mJ. B. 20 mJ. C. 50 mJ. D. 48 mJ. Câu 17: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật có khối lượng 600 g, lò xo có độ cứng 100 N/m. Người ta đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 6 cm rồi thả nhẹ Trang 349
cho nó dao động, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,005. Lấy g = 10 m/s2. Khi đó số dao động vật thực hiện cho đến lúc dừng lại là A. 500 B. 50 C. 200 D. 100 Câu 18: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m, 1 đầu cố định, 1 đầu gắn vật nặng khối lượng m = 0,5 kg. Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi VTCB 5 cm rồi buông nhẹ cho dao động. Trong quá trình 1 dao động vật luôn chịu tác dụng của lực cản có độ lớn bằng trọng lực tác dụng 100 lên vật. Coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ, lấy g = 10 m/s2. Số lần vât qua VTCB kể từ khi thả vật đến khi nó dừng hẳn A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 Câu 19: Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí. Kéo con lắc lệch phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ. biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật. Coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ. Số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là: A. 25 B. 50 C. 100 D. 200 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Chọn D. Hướng dẫn: Cách giải 1: Vị trí của vật có vận tốc cực đại: x 0
μmg = 0,02 m. k
Vận tốc cực đại khi dao động đạt được tại vị trí x0:
v (A x 0 )
k = vmax = 40 2 cm/s m
Cách giải 2: Nguyên tắc chung: Dùng định luật bảo toàn năng lượng: Vật đạt vận tốc cực đại khi vật ở vị trí: Lực hồi phục = Lực ma sát. (ở vị trí biên thì lực hồi phục lớn nhất, nên vật càng về gần VTCB thì lực hồi phục giảm, lực ma sát không đổi. Đến một vị trí x = x0 thì: Lực hồi phục = Lực ma sát). Vậy Khi vật đạt vận tốc cực đại
Lực hồi phục = Lực ma sát mg = kx x
mg . k
Thế số x= 0,02 m = 2 cm. Quãng đường đi được là (A – x). Dùng bảo toàn năng lượng:
1 2 1 1 k k kA = mv 2 kx 2 +mg(A – x) v 2 = A 2 – x 2 – 2g(A – x) 2 2 2 m m 1 2 1 Thế số: v2 = 2 – 0,1.2.1000(10 – 2) = 3200. 10 2 – 0,02 0,02 Suy ra: v= 40 2 cm/s > 10 30 cm/s.
Trang 350
Cách giải 3: Vì cơ năng của con lắc giảm dần nên vận tốc của vật sẽ có giá trị lớn nhất tại vị trí nằm trong đoạn đường từ lúc thả vật đến lúc vật qua VTCB lần thứ nhất (0 x A):
1 2 kA ) đến vị trí bất kỳ có li độ x (0 x A.) và có 2 1 1 vận tốc v (cơ năng mv 2 kx 2 ) thì quãng đường đi được là (A – x). 2 2 Tính từ lúc thả vật (cơ năng
Độ giảm cơ năng của con lắc = |Ams|, ta có:
1 2 1 1 kA = mv 2 kx 2 + mg(A – x) 2 2 2 2 2 mv kx 2mgx kA 2 2mgA
Xét hàm số: y = mv2 = f(x) = kx 2 2mgx kA 2 2mgA (*) Dễ thấy đồ thị hàm số y = f(x) có dạng là parabol, bề lõm quay xuống dưới (a = – k < 0), như vậy y = mv2 có giá trị cực đại tại vị trí x
b mg = 0,02 m. 2a k
Thay x = 0,02 (m) vào (*) ta tính được vmax = 40 2 cm/s. Câu 2: Chọn D. Hướng dẫn: Chọn Ox trục lò xo, O vị trí của vật khi lò xo không biến dạng, chiều dương là chiều dãn của lò xo. Khi vật chuyển động theo chiều âm: mg mg kx mg ma mx" k x m x " k k với
mg k
= 0,02 m = 2 cm; ω
k = 10 rad/s. m
x – 2 = acos(ωt + φ) v = – asin(ωt + φ) Lúc t0 = 0 x0 = 6 cm 4 = acos φ v0 = 0 0 = – 10asin φ φ = 0; a = 4 cm x – 2 = 4cos10t cm. Khi lò xo không biến dạng khi x = 0 cos10t = Suy ra vtb =
1 2 = cos t= s. 2 3 15
6 90 28,66 cm/s. π 3,14 15
Câu 3: Chọn A. Hướng dẫn: Gọi A là biên độ dao động cực đại là A. Ta có:
mv 2 kA 2 = + mgA. 2 2
Khi đó: 50A2+ 0,4A – 0,2 = 0 A = 0,05937 m = 5,94 cm.
Trang 351
Câu 4: Chọn C. Hướng dẫn: Vị trí cân bằng của con lắc lò xo cách vị trí lò xo không biến dạng x: kx = μmg x Chu kì dao động T = 2
mg = 2 cm. k
m = 0,2 s. k
Thời gia chuyển động thẳng của vật m từ lúc ban đầu đến vị trí lò xo không biến dạng là: t
T T A s . (vật chuyển động từ biên A đên li độ x = ). 4 12 15 2
Câu 5: Chọn B. Hướng dẫn: Sau khi va chạm mềm vận tốc của hệ vật tại VTCB tuân theo định luật bảo toàn động lượng:
m 2 v 2 m1 m 2 v 0 v 0
m2 v2 0,5.0, 4 10 m1 m 2 0,5 0,5
0,2 10 m/s 200 10 cm/s (tại VTCB) (đặt m m1 m 2 1 kg ) Chọn gốc tọa độ tại VTCB lò xo không biến dạng Ox có chiều dương từ trái sang phải. Dùng định luật bảo toàn năng lượng. Với A là quãng đường (biên độ ban đầu) hệ vật đi được từ lúc va chạm đến lúc lò xo bị nén cực đại lần đầu tiên:
1 1 mv 02 kA 2 mgA 2 2
(1)
Với đơn vị vận tốc là (cm/s) và đơn vị A là (cm ): Thế số:
1 20 10 2
2
1 20A 2 0,1.1000.A 10A 2 100A 2000 2
(2)
Lấy nghiệm dương A = 10 cm. Ta xét phía x > 0. Sau lần nén thứ nhất ta có nhận xét: Tại vị trí biên lực hồi phục lớn nhất càng về gần VTCB thì lực hồi phục giảm, lực ma sát không đổi. Đến một vị trí x= x0 thì: Độ lớn lực hồi phục = Độ lớn lực ma sát) Vật đạt vận tốc cực đại khi vật ở vị trí (sau lần nén thứ nhất): Độ lớn Lực hồi phục = Độ lớn Lực ma sát. Ta có: mg kx 0 x 0
mg 0, 05 m . k
Ta có quãng đường đi được là (A – x0). Dùng bảo toàn năng lượng:
1 2 1 1 k k kA = mv 2 kx 2 + mg (A – x) v 2 A 2 x 2 2g A x . 2 2 2 m m Với đơn vị vận tốc là (cm/s)và đơn vị A là (cm ): 20 2 20 2 Thế số: v2 = 10 – 5 – 0,1.2.1000(10 – 5) = 500. Suy ra: v = 10 5 cm/s. 1 1 Chú ý: Để tránh nhầm lẫn về các giá trị ta dùng hệ đơn vị SI. Trang 352
Dùng định luật bảo toàn năng lượng:
1 1 mv 02 kA 2 mgA (1). 2 2
2 1 1 0, 2 10 20A 2 0,1.10.A 10A 2 A 0, 2 (1’) 2 2 Lấy nghiệm dương A = 0,1 m. Như trên ta có: Vật đạt vận tốc cực đại khi vật ở vị trí (sau lần nén thứ nhất): Độ lớn lực hồi phục = Độ lớn lực ma sát.
Thế số:
Ta có: mg kx 0 x 0
mg 0, 05 m . k
Ta có quãng đường đi được là (A – x0). Dùng bảo toàn năng lượng:
1 2 1 1 k k kA = mv 2 kx 2 + mg (A – x) v 2 A 2 x 2 2g A x . 2 2 2 m m Với đơn vị vận tốc là (cm/s)và đơn vị A là (cm ):
20 20 .0,12 – .52 – 0,1.2.10 (0,1 – 5) = 0,05. 1 1 Suy ra: v = 10 5 cm/s. Thế số: v2 =
Câu 6: Chọn C. Hướng dẫn: Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
1 1 1 mv 2max mv 2 A Fms mv 2 mgS v 2 v 2max gS 2 2 2 v v 2max gS 1 2.0, 05.9,8.0,1 0,95 m/s. Câu 7: Chọn C. Hướng dẫn: Có thể dễ dàng loại bỏ các đáp án A, B, D. C đúng vì vật dừng lại ở bất kì vị trí nào thỏa mãn lực đàn hồi không thắng nổi lực ma sát:
kx mg x
mg x max 1, 25 cm. k
Câu 8: Chọn B. Hướng dẫn: Áp dụng: ωx = v → x =
v
=
60 = 6 cm. 10
1 2 1 2 kA = mv + μmgx 2 2 2 0,6 2.0,1.10.0,06 = 6,928203 cm 10 2
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
A =
v 2 2gx = 2
Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là:
kA 2 2 A 2 10 2.(6,928203.10 2 ) 2 S = = 0,24 m = 24 cm. 2mg 2g 2.0,1.10 Câu 9: Chọn B. Hướng dẫn: Sau mỗi nửa chu kì A giảm :
Trang 353
A
2mg 0, 04 cm S 4 2.3,96 2.3,92 3,88 23, 64 cm. k
Câu 10: Chọn B. Hướng dẫn:
M
O
O’ N
Giả sử lò xo bị nén vật ở M, O’ là VTCB. A0 = O’M Sau khi thả ra vật, vật đạt vận tốc cực đại lần thứ nhất tại O khi đó Fđh = Fms OO’ = x kx = mg x
mg = 0,01 m = 1 cm. k
Xác định A0 = O’M:
kA 2 mv 2max kx 2 + mg (A0 – x). Thay số vào ta tính được A0 = 7 cm. 2 2 2 Dao động của vật là dao động tắt dần. Độ giảm biên độ sau mỗi lần qua VTCB:
kA 02 A '2 2mg = AFms = mg (A0 + A’) A = A0 – A’ = = 2 cm. 2 k Do đó vật sẽ dừng lại ở điểm N sau 3 lần qua VTCB với ON = x = 1 cm, tại N: Fđh = Fms. Tổng quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại; s = 7 + 5.2 + 3.2 + 1 = 24 cm. Khi đến N: Fđh = Fms nên vật dùng lại không quay về VTCB O' được nữa. Thời gian từ khi thả đến khi dùng lại ở N là 1,5 T. Câu 11: Chọn A. Hướng dẫn: Ban đầu buông vật thì vật chuyển động nhanh dần, trong giai đoạn đó thì vận tốc và gia tốc cùng l0 chiều, tức là hướng sang phải, tới vị trí mà vận tốc của vật đạt cực đại thì gia tốc đổi chiều lần O’ 1, khi đóvật chưa đến vị trí cân bằng và cách Fms VTCB một đoạn được xác định từ phương trình Fñh Fms 0 (vì khi vận tốc cực đại gia O tốc bằng không). Từ đó x
mg 0, 2 cm vật đi được 9,8 cm thì vận tốc cực đại và gia tốc đổi k
chiểu lần 1 và vận tiếp tục sang vị trí biên dương, lúc này gia tốc hướng từ phải sang trái. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì là A
4Fms 0,8 cm , nên sang đến vị trí biên k
dương vật cách VTCB 9,6 cm (vì sau nửa chu kì) và gia tốc vận không đổi chiều. Vật tiếp tục tới vị trí cách VTCB 0,2 cm về phía biên dương thì khi đó vận tốc lại cục đại và gia tôc đổi chiều lần 2. Trang 354
Vậy quãng đường đi dực cho tới khi gia tốc đổi chiều lần 2 là: S = 10+ 9.6 + 9,4 = 29 cm. Câu 12: Chọn C. Hướng dẫn: Cách giải 1: Sau khi đặt m2 lên m1 hệ dao động với tần số góc Fms 2 =
k . m1 m 2
m2
Fqt
m1
A O Trong quá trình dao động, xét trong hệ qui chiếu phi quán tính (gắn với vật M) chuyển động với gia tốc a , vật m0 luôn chịu tác dụng của lực quán tính ( F ma ) và lực ma sát nghỉ Fmsn. Để vật không trượt: Fqt max Fmsn max . Để vật m2 không trượt trên m1 thì lực quán tính cực đại tác dụng lên m2 có độ lớn không vượt quá lực ma sát nghỉ giữa m1 và m2 tức là Fqt max Fmsn max m 2 g m 2 a max
k A m 2 0,5 kg. m1 m 2 Cách giải 2: Để m2 không trượt trên m1 thì gia tốc chuyển động của m2 có độ lớn lớn hơn hoặc bằng độ lớn gia tốc của hệ (m1 + m2): a = – 2x. Lực ma sát giữa m2 và m1 gây ra gia tốc của m2 có độ lớn a 2 = g = 2 m/s2. Điều kiện để m2 không bị trượt trong quá trình dao động là kA amax = 2A a2 suy ra g g(m1 + m2) k A 2(2 + m2) 5 m1 m 2 m2 0,5 kg. Tổng quát: g 2 A g
m 0 a max n N m 0 2 A n m 0 g m 0 v max n m 0 g n g . k M m0 Câu 13: Chọn A. Hướng dẫn: Cách giải 1: Lực đàn hồi cực đại khi lò xo ở vị trí biên lần đầu. Ta có Wđ sau – Wđ = A cản Công = lực x (quãng đường) 1 1 v max
n g
mgA kA 2 mv 2 A 0, 09 m. 2 2
Độ lớn lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động: Fđh max= kA = 1,98 N. Cách giải 2: Gọi A là biên độ cực đại của dao động. Khi đó lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao đông: Fđh max = kA. Để tìm A tạ dựa vào ĐL bảo toàn năng lượng:
Trang 355
1 1 1 1 Fms A kA 2 mv 2 mgA kA 2 mv 2 2 2 2 2 Thay số, lấy g = 10 m/s2 ta được phương trình: 0,1 = 10A2 + 0,02A hay 1000A2 +2A + 10 = 0. A=
1 10001 , loại nghiệm âm ta có A = 0,099 m. 1000
Do đó Fđhmax = kA = 1,98N. Câu 14: Chọn B. Hướng dẫn: Theo ĐL bảo toàn động lượng vận tốc của quả cầu A sau va chạm v = 1 m/s. Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có:
1 1 1 1 Fms A kA 2 mv 2 mgA kA 2 mv 2 2 2 2 2 20A2 + 0,1A – 0,05 = 0 200A2 + A – 0,5 = 0 A=
401 1 0,04756 m = 4,756 cm. 400
Câu 15: Chọn D. Hướng dẫn: Chọn gốc tính thế năng ở VTCB. Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có Wt max = Wđ + Wt + Ams. Wt max: là thế năng ban đầu của con lắc. Wđ, Wt: là động năng và thế năng của con lắc tại vị trí có li độ x. Ams: là công của lực ma sát kể từ khi thả đến khi li con lắc có độ x. Ams = µmg(x0 – x) với x0 = 10 cm = 0,1m.
1 2 1 kx 0 = Wđ + kx 2 + µmg(x0 – x) 2 2 1 2 1 2 Suy ra Wđ = kx 0 – kx – µmg(x0 – x) (đây là hàm bậc hai của động năng với 2 2 Khi đó ta có:
biến x). Vận tốc của vật lớn nhất thì động năng của vật lớn nhất. Động năng của vật lớn nhất khi x
mg = 0,04 m. Vậy thế năng tại vị trí đó là 1,6 mJ. k
Câu 16: Chọn D. Hướng dẫn: Vật đạt vận tốc cực đại khi
mg = 2 cm. k 1 Do dó độ giảm thế năng là: Wt = k A 2 x 2 = 0,048 J = 48 mJ. 2
Fđh = Fms kx = mg x
Câu 17: Chọn B. Hướng dẫn: Độ giảm biên độ sau một chu kỳ:
l0 O Trang 356
A
Fms
A
4mg . k
Số dao động thực hiện được:
A kA A 4mg 100.0, 06 50. 4.0, 005.0, 06.10
N
Câu 18: Chọn B. Hướng dẫn: Gọi A là độ giảm biên độ mỗi lần vật qua VTCB.
l0
g
l
1 2 1 kA kA '2 Fc A A ' 2 2 1 kA '2 0, 01mg A A ' 2 1 1 kA 2 kA '2 Fc A A ' 2 2 0, 01mg A A '
F ñh
l
P
1 k A A ' 0, 01mg 2 0, 02mg 0, 02.0,5.10 A A A ' 103 m 1 mm. k 100 A 50. Vậy số lần vật qua VTCB là: N A
Câu 19: Chọn B. Hướng dẫn: Gọi ∆ là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB. (∆ < 0,1) Cơ năng ban đầu W0 = mgl(1 – cos) = 2mglsin2
2
mgl
2 2
C 0
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB:
mgl 2 2 2 mgl 2 2 2
Pt
T
W
O (1)
Công của lực cản trong thời gian trên: Acản = Fc s = 0,001mg(2 – ∆)l (2) Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng: Trang 357
P (+)
M
Pn
∆W = Ac
mgl 2 2 0, 001mg 2 l 2
(∆)2 – 0,202∆ + 0,0004 = 0 ∆ = 0,101 0,099. Loại nghiệm 0,2 ta có ∆ = 0,002. Số lần vật qua VTCB N =
Trang 358
0,1 50 . 0,002