KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI HỆ THỐNG, PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TẬP VẬT LÝ CHẤT RẮN

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TẬP VẬT LÝ CHẤT RẮN

vectorstock.com/28062424

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI HỆ THỐNG, PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TẬP VẬT LÝ CHẤT RẮN WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

IC IA L

KHOA VẬT LÝ

O

FF

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

N

Đề tài:

Ơ

HỆ THỐNG, PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TẬP

Y

N

H

VẬT LÝ CHẤT RẮN

: LÊ TỰ THÚY QUỲNH

Lớp

: 11CVL

Khóa

: 2011 – 2015

Ngành

: CỬ NHÂN VẬT LÝ

Giáo viên hướng dẫn

: TS. LÊ HỒNG SƠN

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Sinh viên thực hiện

Đà Nẵng, 4/2015

Lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Hồng Sơn, giáo viên hướng dẫn, người đã tạo mọi điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi

FF

hoàn hành tốt luận văn này.

IC IA L

Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn

O

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý

N

trường ĐHSP – Đà Nẵng đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá

Ơ

trình học tập và rèn luyện.

N

H

Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ và động viên những lúc tôi khó khăn để có thể vượt qua và hoàn thành tốt luận văn

U

Y

tốt nghiệp này!

D

ẠY

KÈ

M

Q

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Lê Tự Thúy Quỳnh

MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1 B. NỘI DUNG .................................................................................................................... 3

IC IA L

CHƯƠNG I: TÓM TẮT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT VÀ CÁC CÔNG THỨC CHÍNH .................................................................................................. 3

§1: CẤU TRÚC TINH THỂ. MẠNG ĐẢO................................................................ 3 1.1. Cấu trúc tinh thể: .............................................................................................. 3 1.2. Mạng đảo: ......................................................................................................... 9

FF

1.3. Nhiễu xạ trên tinh thể: .................................................................................... 10 §2: THUYẾT NHIỆT DUNG DEBYE ..................................................................... 12

O

2.1. Hàm mật độ dao động: ................................................................................... 12

N

2.2. Thuyết nhiệt dung Debye: .............................................................................. 13

Ơ

§3: BÁN DẪN ........................................................................................................... 15 3.1. Một số khái niệm: ........................................................................................... 15

H

3.2. Bán dẫn riêng:................................................................................................. 16

N

3.3. Bán dẫn tạp chất: ............................................................................................ 19

Y

3.4. Bán dẫn bù: ..................................................................................................... 20

U

CHƯƠNG II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP................................................................. 22

Q

§1: CẤU TRÚC TINH THỂ. MẠNG ĐẢO.............................................................. 22 1.1. Một số ví dụ: ................................................................................................... 22

M

1.2. Bài tập áp dụng công thức: ............................................................................. 24

KÈ

1.3. Bài tập suy luận: ............................................................................................. 27 §2: THUYẾT NHIỆT DUNG DEBYE ..................................................................... 32

ẠY

2.1. Bài tập áp dụng công thức: ............................................................................. 32

2.2. Bài tập suy luận: ............................................................................................. 35

D

§3: BÁN DẪN ........................................................................................................... 38 3.1. Một số ví dụ: ................................................................................................... 38 3.2. Bài tập áp dụng công thức: ............................................................................. 40 3.3. Bài tập suy luận: ............................................................................................. 42

C. KẾT LUẬN.................................................................................................................. 47 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 49

PHỤ LỤC A ..................................................................................................................... 50

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

IC IA L

PHỤ LỤC B ...................................................................................................................... 51

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: “Vật lý chất rắn” là một ngành khoa học quan trọng trong vật lý học chuyên nghiên cứu các tính chất vật lý của tinh thể và các dạng khác của vật rắn. Đây cũng là

IC IA L

một bộ môn hết sức quan trọng trong chương trình đào tạo Đại học, Cao đẳng của các ngành học có liên quan đến khoa học Vật lý.

Hiện nay, các sách giáo khoa bằng tiếng Việt cho môn học này đã được xuất bản khá nhiều, tuy nhiên chủ yếu vẫn là sách lý thuyết và rất ít tài liệu về bài tập.

O

FF

Việc xây dựng hệ thống bài tập cho môn học là một vấn đề quan trọng vì kỹ năng vận dụng lý thuyết vào bài tập là một trong những thước đo mức độ hiểu biết kiến thức của sinh viên. Thông qua việc giải bài tập, sinh viên sẽ hiểu sâu sắc và hoàn

N

thiện hơn kiến thức đã được giảng viên trình bày trên lớp hay trong giáo trình.

Với những lý do đó, tôi quyết định nghiên cứu đề tài “Hệ thống, phân loại và giải bài tập Vật lý chất rắn”.

Y

3. Đối tượng nghiên cứu: - Lý thuyết vật lý chất rắn.

N

H

Ơ

2. Mục đích của đề tài: Mục đích của đề tài nhằm phân loại và nâng cao khả năng giải một số dạng bài tập Vật lý chất rắn.

U

- Các dạng bài tập vật lý chất rắn.

M

Q

4. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Thu thập, tổng hợp tài liệu về lý thuyết và bài tập vật lý chất rắn.

- Phân loại bài tập.

- Đúc kết các phương pháp giải đặc trưng cho từng loại bài tập.

D

ẠY

KÈ

5. Phương pháp nghiên cứu: Để đạt được các mục tiêu đề ra, tôi chọn các phương pháp nghiên cứu sau: - Chọn lọc và đọc các sách giáo khoa trong và ngoài nước.

- Tham khảo website về vật lý chất rắn.

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn và các giáo viên khác.

6. Cấu trúc nội dung của đề tài:  Phần A: Mở đầu  Phần B: Nội dung o Chương I: Tóm tắt một số vấn đề về lý thuyết và các công thức chính §1: Cấu trúc tinh thể. Mạng đảo §2: Thuyết nhiệt dung Debye SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 1

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

§3: Bán dẫn o Chương II: Một số ví dụ và dạng bài tập áp dụng

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

IC IA L

 Phần C: Kết luận

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 2

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp B. NỘI DUNG

CHƯƠNG I: TÓM TẮT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT VÀ CÁC CÔNG THỨC CHÍNH §1: CẤU TRÚC TINH THỂ. MẠNG ĐẢO

IC IA L

1.1. Cấu trúc tinh thể: 1.1.1. Thế nào là tinh thể?

Tinh thể là dãy tuần hoàn trong không gian ba chiều của các nguyên tử.

FF

Tinh thể được hình thành khi các nguyên tử hay các nhóm nguyên tử tiến lại

1.1.2. Mạng không gian và cấu trúc tinh thể:

O

gần nhau và sắp xếp có trật tự và tuần hoàn trong không gian.

N

Mạng không gian là sự sắp xếp tuần hoàn các điểm trong không gian.

Ơ

Một tinh thể lý tưởng được cấu tạo từ các nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử đặt

H

ở các điểm.

N

Nhóm nguyên tử gọi là cơ sở, các điểm tuần hoàn gọi là nút mạng, tập hợp các nút mạng gọi là mạng không gian (Gọi tắt là Mạng).

U

Y

Mạng + Cơ sở = Cấu trúc tinh thể

Q

Mạng có thể được tạo ra nhờ tịnh tiến của các vector đơn vị 𝑎⃗, 𝑏⃗​⃗, 𝑐⃗ dọc theo 3

𝑟⃗ = 𝑚𝑎⃗ + 𝑛𝑏⃗​⃗ + 𝑝𝑐⃗

KÈ

M

trục. Vị trí của bất kì nút mạng nào cũng được xác định bởi vector:

Với m, n, p là các số nguyên.

ẠY

Hình hộp nhỏ nhất được xây dựng bằng sự kết hợp 3 vector 𝑎⃗, 𝑏⃗​⃗, 𝑐⃗ gọi là ô cơ

sở, và có thể tích: (1.1)

D

𝑉 = |𝑎⃗ × 𝑏⃗​⃗. 𝑐⃗|

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 3

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 1.1.3. Mạng Bravai:

Dựa trên thông số của mạng là độ dài của các vector 𝑎⃗, 𝑏⃗​⃗, 𝑐⃗ và các góc 𝛼, 𝛽, 𝛾 giữa chúng, người ta phân ra làm 14 loại mạng khác nhau gọi là mạng Bravai, được chia làm 7 hệ: vector cơ sở a  b  c

IC IA L

 Hệ tam tà (Triclinic):

   

 Hệ đơn tà (Monoclinic): a  b  c

- Đơn tà (P)

Ơ

Có hai loại mạng Bravai:

N

 =  = 90o ;   90o

O

FF

Triclinic

Monoclinic P

Monoclinic C

Y

N

H

- Đơn tà tâm đáy (C)

Q

U

 Hệ thoi (Orthorhombic): a  b  c

- Thoi (P) - Thoi tâm đáy (C)

(thể tâm)

- Thoi tâm khối (I)

(diện tâm)

- Thoi tâm mặt (F)

D

ẠY

M

Có 4 loại mạng Bravai

KÈ

Ô cơ sở dạng hình hộp chữ nhật  =  =  = 90o

Orthorhombic P Orthorhombic C

Orthorhombic I

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Orthorhombic F

Trang 4

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp  Hệ tứ giác: (Tetragonal) a = b  c  =  =  = 90o Ô cơ sở có dạng lăng trụ đứng đáy vuông

Tetragonal I

Tetragonal P

- Tứ giác (P)

IC IA L

Có 2 loại mạng Bravai

- Tứ giác tâm khối (I)  Hệ tam giác (lăng trụ thoi) (Trigonal):

FF

a=b=c  =  =  < 120o và  90o

O

Trigonal R

Ơ

N

 Hệ lục giác (Hexagonal): a = b  c

H

 =  = 90o ;  = 120o

N

Ô cơ sở dạng lăng trụ đứng đáy thoi góc 60o

Y

Trigonal and Hexagonal P

U

 Hệ lập phương (Cubic): a = b = c

Q

 =  =  = 90o

Cubic P - Lập phương - Lập phương thể tâm

ẠY

Có 3 loại mạng Bravai:

KÈ

M

Ô cơ sở là hình lập phương

- Lập phương diện tâm

1.1.4 Mạng lập phương:

D

Cubic I

Cubic F

Mạng lập phương là một hệ tinh thể có các ô cơ sở là hình lập phương. Đây là một trong những dạng tinh thể đơn giản và phổ biến nhất.

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 5

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp Các mạng Bravai:

- Lập phương đơn giản (Simple Cubic): là một hình lập phương, mỗi nút mạng là một nguyên tử nằm ở đỉnh của hình lập phương, có cạnh là hằng số mạng. Cấu trúc lập phương đơn giản chỉ chứa một nguyên tử trong một

IC IA L

ô nguyên tố.

- Lập phương tâm mặt (FaceCentered Cubic): là cấu trúc lập phương với 8 nguyên tử

FF

nằm ở các đỉnh hình lập phương và 6 nguyên tử khác nằm ở tâm của các mặt của

O

hình lập phương. Cấu trúc này chứa 4 nguyên tử trong một ô nguyên tố.

N

- Lập phương tâm khối (Body-

H N

Y

các đỉnh của hình lập phương và 1 nguyên tử nằm ở tâm của hình lập phương. Cấu trúc này

Ơ

Centered Cubic): là cấu trúc lập phương với 8 nguyên tử nằm ở

U

chứa 2 nguyên tử trong một ô nguyên tố.

Q

1.1.5. Các chỉ số Miller:

a) Chỉ số nút: Vị trí của một nút bất kì đối với gốc tọa độ đã chọn được xác định qua

KÈ

M

3 tọa độ 𝑥, 𝑦, 𝑧. Ví dụ nút A trên hình 1 được kí hiệu là [111].

D

ẠY

Trong đó:

𝑥 = 𝑚𝑎; 𝑦 = 𝑛𝑏; 𝑧 = 𝑝𝑐

𝑎, 𝑏, 𝑐: là thông số mạng. 𝑚, 𝑛, 𝑝: là các số nguyên và gọi là chỉ số nút, kí hiệu [𝑚 𝑛 𝑝].

b) Chỉ số hướng: Hướng tinh thể được xác định nhờ đường thẳng nối từ gốc tọa độ đến nút đầu tiên có kí hiệu [𝑚 𝑛 𝑝], như vậy chỉ số hướng là chỉ số nút có 3 số nguyên nhỏ nhất. Trên hình 1 nêu một số hướng: [111], [110].

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 6

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp A

IC IA L

Hình 1 c) Chỉ số mặt: Vị trí và hướng của mặt phẳng được xác định từ 3 điểm cắt của mặt

N

H

Ơ

N

O

FF

phẳng với 3 trục tọa độ.

Y

d) Khoảng cách giữa các mặt trong một họ:

Q

Hệ tinh thể

U

Bảng 1: Khoảng cách dhkl giữa các mặt mạng trong các hệ tinh thể đơn giản.

M

Lập phương

1

𝑎 (ℎ 2 + 𝑘 2 + 𝑙 2 ) − 2 −

ℎ2 + 𝑘 2 𝑙 2 [ + 2] 𝑎2 𝑐

1 2

1 2

Trực giao

ℎ2 𝑘 2 𝑙 2 [ 2 + 2 + 2] 𝑎 𝑏 𝑐

Lục giác

4 (ℎ2 + ℎ𝑘 + 𝑘 2 ) 𝑙2 [ + 2] 3 𝑎2 𝑐

D

ẠY

KÈ

Tứ giác

Bán kính nguyên tử r

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

−

−

1 2

Trang 7

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

1.1.6. Cách tính số nguyên tử và kích thước nguyên tử trong ô cơ sở:  Tính số nguyên tử: Đối với hệ lập phương: - Nếu hạt nằm ở đỉnh của ô cơ sở thì nó chung cho 8 ô lân cận, vì vậy, trong 1 ô, nó

IC IA L

chỉ được tính bằng 1/8.

- Nếu hạt nằm trên cạnh của ô cơ sở thì nó chung cho 4 ô lân cận nên được tính bằng 1/4.

FF

- Nếu hạt nằm trên mặt của ô cơ sở (trường hợp ô cơ sở tâm mặt) thì nó chung cho 2 ô

O

lân cận nên được tính bằng 1/2.

- Nếu hạt nằm hoàn toàn bên trong ô cơ sở (trường hợp ô cơ sở tâm khối) thì nó được

 Tính khối lượng riêng:

𝑀𝑁 𝑀𝑁 = 𝑁𝐴 𝑉 𝑁𝐴 𝑎3

𝑛=

U

Y

 Tính mật độ nguyên tử:

𝑁 𝑉

(1.3)

Q

Với:

(1.2)

N

H

𝜌=

Ơ

N

tính bằng 1.

M

𝑉 = 𝑎3 là thể tích ô cơ sở N là số nguyên tử trong ô cơ sở

M là khối lượng nguyên tử của chất

KÈ

𝑁𝐴 = 6,022. 1026 là số Avogadro

ẠY

 Tính kích thước nguyên tử: Bán kính nguyên tử được đo bằng 1/2 lần khoảng cách giữa hai nguyên tử gần

D

nhau nhất trong mạng tinh thể.

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 8

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp Bảng 2: Bán kính nguyên tử trong các hệ tinh thể đơn giản

Bán kính nguyên tử r

Lập phương tâm khối

𝑎

Lập phương tâm mặt

𝑎

Lục giác

√3 4 √2 4 𝑎 2

IC IA L

Hệ tinh thể

O

FF

1.2. Mạng đảo: 1.2.1. Định nghĩa mạng đảo: Mạng đảo là hình ảnh tinh thể qua nhiễu xạ.

1.2.2. Các vector mạng đảo: Các vector cơ sở của ba trục tọa độ trong mạng đảo

N

được xác định:

Ơ

⃗​⃗​⃗​⃗ × 𝑐⃗​⃗​⃗] ⃗​⃗​⃗​⃗] [𝑐⃗​⃗​⃗ × 𝑎 [𝑏 [𝑎 ⃗​⃗​⃗​⃗ × 𝑏 ⃗​⃗​⃗​⃗] ⃗​⃗​⃗​⃗ = 2𝜋 ; ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵 = 2𝜋 ;𝐶 𝑎⃗. 𝑏⃗​⃗ × 𝑐⃗ 𝑎⃗. 𝑏⃗​⃗ × 𝑐⃗ 𝑎⃗. 𝑏⃗​⃗ × 𝑐⃗

(1.4)

H

⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴 = 2𝜋

N

Với 𝑎 ⃗​⃗​⃗​⃗, ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑏 , 𝑐⃗​⃗​⃗ là các vector cơ sở của mạng thuận.

Y

⃗​⃗​⃗​⃗ có tính chất: ⃗​⃗​⃗​⃗, 𝐶 Các vector ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴 ,𝐵

U

⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴𝑎 ⃗​⃗​⃗​⃗ = 2𝜋 ; 𝐵 𝑎 =0 ; 𝐶 𝑎 =0

Q

⃗​⃗​⃗​⃗ = 0 ; 𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗ = 2𝜋 ; 𝐶 ⃗​⃗​⃗​⃗ = 0 ⃗​⃗​⃗​⃗𝑏 ⃗​⃗​⃗​⃗𝑏 ⃗​⃗​⃗​⃗𝑏 𝐴

M

⃗​⃗​⃗​⃗𝑐⃗​⃗​⃗ = 0 ; 𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴 𝑐 =0 ; 𝐶 𝑐 = 2𝜋

- Mỗi nút có tọa độ h k l trong mạng đảo tương ứng một mặt phẳng (ℎ𝑘𝑙) trong mạng

KÈ

thuận.

- Mạng đảo có tính tuần hoàn, nghĩa là bất kỳ nút mạng nào cũng có thể thu được qua

ẠY

⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑘𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗. Với ℎ, 𝑘, 𝑙 nguyên hoặc bằng 0. ⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑙𝐶 phép tịnh tiến ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐺 = ℎ𝐴

D

⃗​⃗​⃗​⃗ = ℎ𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑘𝐵 ⃗​⃗​⃗​⃗ vuông góc với mặt phẳng (ℎ𝑘𝑙) trong mạng ⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑙𝐶 - Vector mạng đảo 𝐺 thuận.

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 9

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 1.2.3. Một số mạng đảo của tinh thể:

1.2.3.1. Mạng đảo của tinh thể lập phương đơn giản: Mạng đảo của tinh thể lập phương đơn giản cũng là lập phương đơn giản với hằng số 2𝜋 𝑎

2𝜋 3

, thể tích ô cơ sở là ( ) 𝑎

1.2.3.2. Mạng đảo của tinh thể lập phương tâm khối: Mạng đảo của tinh thể lập phương thể tâm là lập phương diện 𝑎

2𝜋 3

, thể tích ô cơ sở là 2 ( ) . 𝑎

FF

2𝜋

O

tâm với hằng số mạng

IC IA L

mạng là

1.2.3.3. Mạng đảo của tinh thể lập phương tâm mặt:

Ơ

𝑎

2𝜋 3

, thể tích ô cơ sở là 4 ( ) . 𝑎

1.3. Nhiễu xạ trên tinh thể: 1.3.1. Định luật Bragg

H

2𝜋

N

với hằng số mạng

N

Mạng đảo của tinh thể lập phương diện tâm là lập phương thể tâm

M

Q

U

Y

Chùm tia Rơnghen song song đập lên tinh thể, do bước sóng của nó có cùng độ dài cỡ khoảng cách giữa các mặt phẳng nguyên tử, cho nên các nút mạng trở thành các tâm nhiễu xạ. (Hình 2).

Tuy nhiên chỉ có các chùm tia nhiễu xạ theo

D

ẠY

KÈ

phương phản xạ gương (góc phản xạ bằng góc tới) mới có cường độ lớn. Mỗi mặt phẳng nguyên tử phản xạ chỉ một phần nhỏ chùm tia X. Các chùm tia này giao thoa với nhau và cho các cực đại nhiễu xạ theo công thức: 2𝑑 sin 𝜃 = 𝑛𝜆

Hình 2

(1.5)

Với n=1, 2, 3,…

Nhiễu xạ chỉ quan sát được với 𝜆 ≤ 2𝑑

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 10

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 1.3.2. Các yếu tố ảnh hưởng đến cường độ nhiễu xạ: Cường độ nhiễu xạ phụ thuộc vào 2 yếu tố:

 Sự tán xạ từ các electron trong một nguyên tử (đặc trưng bởi thừa số dạng nguyên tử 𝑓𝑗 ).  Tổng hợp tán xạ từ các nguyên tử trong một ô cơ sở (đặc trưng bởi thừa số cấu

IC IA L

trúc hình học 𝑆(ℎ𝑘𝑙)). a) Thừa số dạng nguyên tử: ⃗​⃗​⃗​⃗𝑟⃗) 𝑓𝑗 = ∫ 𝑑𝑉. 𝑛𝑗 (𝑟)𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝐺

(1.6)

FF

⃗​⃗​⃗​⃗ là vector mạng đảo.

Trong đó 𝐺

Nếu sự phân bố của electron trong nguyên tử có tính đối xứng cầu thì:

𝑒 𝑖𝐺𝑟 − 𝑒 −𝑖𝐺𝑟 𝑓𝑗 = ∫ 𝑛𝑗 (𝑟)2𝜋𝑟 𝑑𝑟. 𝑑 (cos 𝛼)𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝐺𝑟 cos 𝛼) = 2𝜋 ∫ 𝑛𝑗 (𝑟)𝑟 𝑑𝑟 𝑖𝐺𝑟 sin 𝐺𝑟 (1.7) 𝑓𝑗 = 4𝜋 ∫ 𝑟 2 𝑛𝑗 (𝑟) 𝑑𝑟 𝐺𝑟 2

Ơ

N

O

2

H

b) Thừa số cấu trúc hình học: 𝑁

𝑆(ℎ𝑘𝑙) = ∑ 𝑓𝑗 𝑒𝑥𝑝[−𝑖2𝜋(ℎ𝑥𝑗 + 𝑘𝑦𝑗 + 𝑙𝑧𝑗 )]

N

𝑗=1

(1.8)

Y

Trong đó: 𝑥𝑗 , 𝑦𝑗 , 𝑧𝑗 là vị trí của nguyên tử trong ô cơ sở.

U

 Thừa số cấu trúc của mạng bcc:

Q

Ô cơ sở của mạng bcc gồm 2 nguyên tử cùng loại có vị trí: 𝑥1 = 𝑦1 = 𝑧1 = 0 và 𝑥2 = 𝑦2 = 𝑧2 = 1/2. Thay vào biểu thức trên, ta được: 𝑆(ℎ𝑘𝑙) = 𝑓𝑗 {1 + 𝑒𝑥𝑝[−𝑖𝜋(ℎ + 𝑘 + 𝑙)]}

M

(1.9)

KÈ

Với 𝑓𝑗 là thừa số cấu trúc dạng nguyên tử.  Thừa số cấu trúc của mạng fcc: Ô cơ sở của mạng fcc gồm

ẠY

(000), (0

11

1

1

11

22

2

2

22

),( 0 ),(

4

nguyên

tử

loại

có

vị

trí:

0). Thay vào biểu thức trên, ta được:

𝑆(ℎ𝑘𝑙) = 𝑓𝑗 {1 + 𝑒𝑥𝑝[−𝑖𝜋(ℎ + 𝑘 )] + 𝑒𝑥𝑝[−𝑖𝜋(𝑘 + 𝑙)]

D

cùng

+ 𝑒𝑥𝑝[−𝑖𝜋(ℎ + 𝑙)]}

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

(1.10)

Trang 11

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp §2: THUYẾT NHIỆT DUNG DEBYE 2.1. Hàm mật độ dao động:

Xét trường hợp mạng một chiều có N nguyên tử sắp xếp tuần hoàn. Các nguyên tử có thể dao động đàn hồi quanh vị trí

IC IA L

cân bằng. Độ dịch chuyển của nguyên tử thứ s: 𝑢𝑆 = 𝑒 𝑖𝑠𝑘𝑎 𝑒 −𝑖𝜔𝑡

𝑢𝑆+𝑁 = 𝑢𝑆 ⟹ 𝑒 𝑖𝑁𝑘𝑎 = 1

Do tính chất tuần hoàn:

FF

Do vậy, các giá trị của véc tơ sóng 𝑘 được xác định 𝑁𝑘𝑎 = 2𝜋𝑛. 𝐿 = 𝑁𝑎 là kích thước mạng.

O

Trong mạng một chiều số dao động chuẩn đúng bằng số nguyên tử N. Như vậy

N

mỗi khoảng ∆𝑘 = 2𝜋/𝐿 ứng với 1 dao động chuẩn có một giá trị của 𝑘.

Ơ

Mở rộng cho mạng không gian 3 chiều có N ô cơ sở, mỗi ô có 1 nguyên tử ứng

H

với N dao động chuẩn.

Y

2𝜋 4𝜋 𝑁𝜋 2𝜋 𝑁𝜋 2𝜋 𝑁𝜋 ± …± ; 𝑘𝑦 = 0 ± …± ; 𝑘𝑧 = 0 ± …± 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿

U

𝑘𝑥 = 0 ±

N

Trong mỗi thể tích (2𝜋/𝐿)3 sẽ có một giá trị 𝑘⃗​⃗ ứng với:

Q

Gọi 𝐿3 = 𝑉 là thể tích của tinh thể.

KÈ

là:

M

Trong không gian của mạng đảo số dao động chuẩn có véc tơ sóng bé hơn 𝑘 sẽ

D

ẠY

Mặt khác:

4 3 2𝜋 −3 𝐿3 𝑘 3 𝑉𝑘 3 𝒩 = 𝜋𝑘 . ( ) = = 3 𝐿 6𝜋 2 6𝜋 2 𝜔 = 𝑣𝑘 𝑣 𝜔3 𝑉𝜔3 𝒩= 2 3= 2 3 2𝜋 3𝑣 6𝜋 𝑣 với 𝑣 là vận tốc truyền sóng trong tinh thể.

(2.11)

(2.12)

Mật độ dao động chuẩn: là số dao động chuẩn có trong một khoảng tần số 𝑑 ứng với tần số  là:

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 12

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 𝑑𝒩 𝑉𝜔2 𝒟 (𝜔 ) = = 𝑑𝜔 𝑑𝜔 2𝜋 2 𝑣 3 Tần số Debye được xác định: 𝜔𝒟

𝜔𝒟

0

0

(2.13)

⟹

IC IA L

𝑉𝜔2 ∫ 𝒟(𝜔)𝑑𝜔 = 𝑁 ⟺ ∫ 𝑑𝜔 = 𝑁 6𝜋 2 𝑣 3 𝑉𝜔𝒟 3 =𝑁 6𝜋 2 𝑣 3

𝑁 𝑉 𝑁 1/3 2 3 ⟹ 𝜔𝒟 = (6𝜋 𝑣 ) 𝑉 ⟹ 𝜔𝒟 3 = 6𝜋 2 𝑣 3

(2.15)

O

FF

(2.14)

Ơ

N

2.2. Thuyết nhiệt dung Debye: Cho rằng tinh thể có 𝒟(𝜔)𝑑𝜔 dao động chuẩn trong khoảng tần số từ 𝜔 đến

1  exp( ) 1 K BT

và

Y

mỗi phonon có năng lượng ℏ𝜔.

N

H

𝜔 + 𝑑𝜔. Mỗi dao động chuẩn có số phonon trung bình là n =

U

Tổng năng lượng chuyển động nhiệt tương đương với năng lượng của dao động mạng: 𝜔𝒟

(2.16)

KÈ

M

Q

𝑉𝜔2 ℏ𝜔𝑑𝜔 𝑈 = 3 ∫ 𝒟(𝜔)𝑛̅ℏ𝜔𝑑𝜔 = 3 ∫ ( 2 3 ) 2𝜋 𝑣 𝑒𝑥𝑝 ( ℏ𝜔 ) − 1 0 𝑘𝐵 𝑇 Thừa số 3 tính đến dao động theo 3 phương trong không gian 3 chiều.

D

ẠY

Đặt:

𝑥 = ℏ𝜔/𝑘𝐵 𝑇 và

𝑥𝒟 = 𝑇𝒟 /𝑇

ℏ𝜔𝒟 ℏ𝑣 𝑁 1/3 2 (6𝜋 ) 𝑇𝒟 = = 𝑘𝐵 𝑘𝐵 𝑉 𝑥𝒟

𝑥𝒟

3𝑉 (𝑘𝐵 𝑇)4 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑇 3 𝑥 3 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝑈= = 9𝑁𝑘𝐵 𝑇 ( ) ∫ 𝑥 2𝜋 2 𝑣 3 ℏ3 𝑒 −1 𝑇𝒟 𝑒 −1 0

(2.17)

0

𝑇𝒟 gọi là nhiệt độ đặc trưng Debye có giá trị khác nhau với các chất rắn khác nhau.

Thí dụ: 𝑇𝒟 của kim cương = 2000𝐾, Cu = 339𝐾, Ge = 366𝐾

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 13

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp Ta xét hai trường hợp riêng: 𝑇 > 𝑇𝒟

* Vùng nhiệt độ cao:

Nghĩa là:

𝑥 < 𝑥𝒟 =

𝑇𝒟 𝑇

<1

𝑇𝒟 /𝑇

0

Do đó nhiệt dung riêng tinh thể:

(2.18)

IC IA L

𝑇 3 𝑈 = 9𝑁𝑘𝐵 𝑇 ( ) ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3𝑁𝑘𝐵 𝑇 𝑇𝒟

𝑑𝑈 (2.19) = 3𝑁𝑘𝐵 = 3𝑅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑑𝑇 * Vùng nhiệt độ thấp: 𝑇 ≪ 𝑇𝒟 nghĩa là 𝑇𝒟 /𝑇 rất lớn có thể thay cận trên của

FF

𝐶𝑉 =

tích phân 𝑥𝒟 ⟶ ∞

O

Ta được: ∞

Ơ

N

𝑥 3 𝑑𝑥 𝜋4 ∫ 𝑥 = 𝑒 − 1 15 0

N

H

Năng lượng chuyển động nhiệt của tinh thể có dạng: (2.20)

U

Y

𝑇 3 𝜋 4 3𝜋 4 𝑇 3 𝑈 = 9𝑁𝑘𝐵 𝑇 ( ) = 𝑁𝑘𝐵 𝑇 ( ) 𝑇𝒟 15 5 𝑇𝒟 Nhiệt dung mạng:

M

Q

𝑑𝑈 12𝜋 4 𝑇 3 (2.20) 𝐶𝑉 = = 𝑁𝑘𝐵 ( ) 𝑑𝑇 5 𝑇𝒟 Chứng tỏ ở vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung của mang tỉ lệ với 𝑇 3 . Quy luật này

D

ẠY

KÈ

gọi là định luật Debye.

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 14

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp §3: BÁN DẪN 3.1. Một số khái niệm chính: 3.1.1. Hàm phân bố:

a) Hàm mật độ trạng thái: Là số trạng thái có trong một đơn vị năng lượng của hạt

IC IA L

vi mô (đã tính đến spin của vi hạt).

4𝜋𝑉 (2𝑚)3/2 𝐸1/2 ℎ3 b) Hàm phân bố: 𝑓(𝐸) là xác suất lấp đầy trạng thái của hạt vi mô. 𝒟 (𝐸 ) =

𝐸𝐹 − 𝐸 ) 𝑓 (𝐸 ) = 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 Đây là phân bố Maxwell – Boltzmann.

O

1 + 𝑒𝑥𝑝 (

𝐸 − 𝐸𝐹 ) 𝑘𝐵 𝑇

(3.3)

H

Đây là phân bố Fermi – Dirac.

(3.2)

1

Ơ

𝑓 (𝐸 ) =

N

 Đối với khí suy biến:

FF

 Đối với khí không suy biến:

(3.1)

N

c) Số hạt có trong khoảng năng lượng từ 𝑬 ⟶ 𝑬 + 𝒅𝑬: 𝑑𝑁 = 𝑓(𝐸)𝒟(𝐸 )𝑑𝐸

Y

∞

∞

𝑁 = ∫ 𝑑𝑁 = ∫ 𝑓(𝐸)𝒟(𝐸 )𝑑𝐸

U

Số hạt toàn phần:

(3.5)

0

Q

0

(3.4)

3.1.2. Hệ suy biến và không suy biến:

M

Giả sử có 𝑁 hạt như nhau (hệ hạt vi mô) ứng với 𝒟 trạng thái khác nhau, tỉ số

KÈ

𝑁/𝒟 là số hạt trung bình có trong một trạng thái. a. Nếu 𝑁/𝒟 ≪ 1 thì số hạt nhỏ hơn rất nhiều so với số trạng thái: hệ không suy biến.

ẠY

b. Nếu 𝑁/𝒟 ≥ 1 thì số hạt hớn hơn số trạng thái: hệ suy biến.

D

3.1.3. Khái niệm lỗ trống: Xét bán dẫn thuần, dải hóa trị có vài trạng thái trống. Dưới tác dụng của điện

trường ngoài, các electron hóa trị chuyển vào trạng thái trống tạo ra dòng điện.

Dòng điện gây ra bởi electron có vận tốc ⃗​⃗​⃗​⃗: 𝑣𝑆

⃗​⃗​⃗ 𝑖𝑆 = −𝑒𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗𝑆

Dòng điện gây ra bởi tất cả các electron:

𝑖𝑆 = −𝑒 ∑𝑆 ⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑆

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 15

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

Dải đầy: nghĩa là không có sự dịch chuyển electron: ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑆 = 0 ⟹ 𝑖⃗ = 0 Dải không đầy: nghĩa là có sự dịch chuyển electron: 𝑖⃗ ≠ 0 Giả sử có 1 trạng thái trống thứ 𝑖⃗ = −𝑒 ∑ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑆 = −𝑒 ∑ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑣𝑆 + 𝑒𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗𝑘 𝑘: 𝑆≠𝑘 𝑆

(3.6)

IC IA L

(3.7) 𝑖⃗ = 𝑒𝑣 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗𝑘 Như vậy dòng điện gây ra do các electron dịch chuyển tương đương với dòng

điện do một hạt điện mang điện tích +𝑒 dịch chuyển với vận tốc 𝑣𝑘 . Đây là hạt điện giả định gọi là lỗ trống.

O

FF

3.2. Bán dẫn tinh khiết: 3.2.1. Định nghĩa:

Bán dẫn riêng là các chất bán dẫn sạch, không có hoặc có rất ít tạp chất.

N

Tại 𝑇 = 0𝐾, vùng hóa trị bị chiếm đầy hoàn toàn, vùng dẫn bị trống hoàn toàn.

Ơ

Khi 𝑇 > 0, các electron ở vùng hóa trị bị kích thích, nhận đủ năng lượng

H

chuyển lên vùng dẫn và bán dẫn trở thành dẫn điện.

N

Trạng thái trống ở vùng hóa trị có thể nhận electron tạo ra lỗ trống khác và do

Y

đó lỗ trống cũng tham gia dẫn điện.

Q

a) Mật độ electron:

U

3.2.2. Mật độ hạt tải điện:

KÈ

M

Mật độ electron vùng dẫn:

D

ẠY

Trong đó:

𝑓 (𝐸 ) =

𝑛=∫

𝐸𝑚𝑎𝑥

𝑓(𝐸 )𝒟(𝐸 )𝑑𝐸

(3.8)

𝐸𝐶

1

𝐸 − 𝐸𝐹 ) 1 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇

: hàm phân bố Fermi – Dirac

(3.9)

𝒟 (𝐸 )

(3.10) 1 2𝑚 3/2 1/2 = 2 ( 2 ) 𝐸 : mật độ trạng thái electron ở vùng dẫn 2𝜋 ℏ Đối với bán dẫn tinh khiết không suy biến, các electron nằm trong vùng dẫn, 𝐸 > 𝐸𝐶 .

Và nếu 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ≫ 𝑘𝐵 𝑇 thì phân bố Fermi trở thành phân bố Boltzmann, nghĩa là: 𝐸 − 𝐸𝐹 ) 𝑓(𝐸 ) = 𝑒𝑥𝑝 (− (3.11) 𝑘𝐵 𝑇 Thay vào biểu thức (3.8), ta có: SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 16

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

𝐸𝑚𝑎𝑥 4𝜋 𝐸 − 𝐸𝐹 3/2 (2𝑚𝑛 ) ∫ ) (𝐸 − 𝐸𝐶 )1/2 𝑑𝐸 𝑛= 𝑒𝑥𝑝 (− ℎ 𝑘 𝑇 𝐵 𝐸𝑐

Khi nhiệt độ xác định > 0, 𝑒𝑥𝑝 (−

𝐸 𝑘𝐵 𝑇

(3.12)

) giảm nhanh khi E tăng cho nên ta lấy cận trên

IC IA L

𝐸𝑚𝑎𝑥 → ∞ Thay (𝐸 − 𝐸𝐶 )/𝑘𝐵 𝑇 = 𝑥 vào (3.12), ta có:

𝑁𝐶 =

2 (2𝜋𝑚𝑛 𝑘𝐵 𝑇)3/2 là mật độ trạng thái hiệu dụng của vùng dẫn (3.14) 3 ℎ

Ơ

N

Với:

(3.13)

O

FF

∞ 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 4𝜋 3/2 ) ∫ 𝑒 −𝑥 𝑥 1/2 𝑑𝑥 𝑛 = 3 (2𝑚𝑛 𝑘𝐵 𝑇) 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 ℎ 0 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 2 ) = 3 (2𝜋𝑚𝑛 𝑘𝐵 𝑇)3/2 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 ℎ 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ) 𝑛 = 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇

𝐸𝑉

𝑝 = ∫ 𝑓𝑝 (𝐸 )𝒟(𝐸 )𝑑𝐸

N

Mật độ lỗ trống trong vùng hóa trị:

H

b) Mật độ lỗ trống:

(3.15)

Y

−∞

Q

U

Để tiện việc tìm mật độ lỗ trống, ta tìm hàm phân bố nồng độ lỗ trống trong vùng hóa trị từ hàm phân bố điện tử, nghĩa là tìm xác suất trạng thái điện tử trong vùng hóa trị không được điền đầy. Gọi hàm phân bố lỗ trống là 𝑓𝑝 (𝐸 ), ta có: 𝑓𝑝 (𝐸 ) = 1 − 𝑓(𝐸 ) =

1

KÈ

M

(3.16a) 𝐸𝐹 − 𝐸 ) 𝑘𝐵 𝑇 Với các trạng thái năng lượng ở vùng hóa trị, 𝐸 < 𝐸𝑉 . Nếu 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 ≫ 𝐾𝑇 thì 1 + 𝑒𝑥𝑝 (

D

ẠY

ta sử dụng hàm phân bố Boltzmann thay cho phân bố Fermi. Khi đó (3.16a) được viết lại: 1 𝐸𝐹 − 𝐸 ) 𝑓𝑝 (𝐸 ) = 1 − 𝑓 (𝐸 ) = ≈ 𝑒𝑥𝑝 (− (3.16b) 𝐸𝐹 − 𝐸 𝑘 𝑇 𝐵 ) 1 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 Thay (3.16b) vào (3.15), ta có: 𝐸𝑉 4𝜋 𝐸 −𝐸 3/2 (𝐸𝑉 − 𝐸 )1/2 𝑒𝑥𝑝 (− 𝐹 (2𝑚 ) ∫ ) 𝑑𝐸 𝑝= 3 𝑝 ℎ 𝑘 𝑇 𝐵 −∞`

(3.17)

Thay (𝐸𝑉 − 𝐸 )/𝐾𝐵 𝑇 = 𝑥 vào (3.17), ta được:

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 17

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

𝑁𝑉

Với: =

(3.18)

IC IA L

0 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 4𝜋 3/2 ) ∫ 𝑥 1/2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑝 = 3 (2𝑚𝑝 𝑘𝐵 𝑇) 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 ℎ ∞` 2 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 3/2 ) = 3 (2𝜋𝑚𝑝 𝑘𝐵 𝑇) 𝑒𝑥𝑝 (− ℎ 𝑘𝐵 𝑇 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 ) 𝑝 = 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇

2 3/2 (2𝜋𝑚𝑝 𝑘𝐵 𝑇) : mật độ trạng thái hiệu dụng của vùng hóa trị 3 ℎ

(3.19)

O

FF

c) Mật độ hạt tải điện riêng: Trong bán dẫn tinh khiết, tất cả các điện tử ở vùng dẫn đều được chuyển lên từ vùng hóa trị, vì thế số điện tử n trong vùng dẫn bằng số lỗ trống p trong vùng hóa trị, 𝑛 = 𝑝 = 𝑛𝑖 .Với 𝑛𝑖 được gọi là mật độ hạt tải điện riêng.

Ơ

N

Nhân vế với vế các biểu thức (3.13) và (3.18), ta được: 𝐸𝑔 𝐸𝐶 − 𝐸𝑉 ) = 𝑁𝐶 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (− ) 𝑛𝑖 2 = 𝑁𝐶 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇

H

2𝜋𝑘𝐵 𝑇 3 𝐸𝐶 − 𝐸𝑉 3/2 ) = 4 ( 2 ) (𝑚𝑛 𝑚𝑝 ) 𝑒𝑥𝑝 (− ℎ 𝑘𝐵 𝑇

(3.21)

N

𝑛𝑖

2

(3.20)

U

Y

d) Vị trí mức Fermi: Đối với bán dẫn tinh khiết khí electron không suy biến, mức Fermi là mức

D

ẠY

KÈ

M

Q

năng lượng cao nhất bị chiếm, do 𝑛 = 𝑝 = 𝑛𝑖 , nên: 2 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 2 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 3/2 3/2 ( ) (− ) (2𝜋𝑚 (− ) 2𝜋𝑚 𝑘 𝑇 𝑒𝑥𝑝 = 𝑘 𝑇) 𝑒𝑥𝑝 𝑛 𝐵 𝑝 𝐵 ℎ3 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 ℎ3 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 3/2 ) = (𝑚𝑝 ) 𝑒𝑥𝑝 (− ) ⟺ (𝑚𝑛 )3/2 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 𝑚𝑝 3/2 −(𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ) (𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 ) ]=( ) ⟺ 𝑒𝑥𝑝 [ + 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 𝑚𝑛 𝑚𝑝 3/2 2𝐸𝐹 − (𝐸𝐶 + 𝐸𝑉 ) ]=( ) ⟺ 𝑒𝑥𝑝 [ 𝑘𝐵 𝑇 𝑚𝑛 2𝐸𝐹 − (𝐸𝐶 + 𝐸𝑉 ) 3 𝑚𝑝 ⟺ = ln 𝑘𝐵 𝑇 2 𝑚𝑛 𝑚𝑝 1 3 ⟺ 𝐸𝐹 = − (𝐸𝐶 + 𝐸𝑉 ) + 𝑘𝐵 𝑇 ln 2 4 𝑚𝑛 𝑚𝑝 3 (3.22) ⟺ 𝐸𝐹 = −𝐸𝑔 + 𝑘𝐵 𝑇 ln 4 𝑚𝑛 SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 18

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 3.3. Bán dẫn tạp chất: 3.3.1. Năng lượng ion hóa:

 Năng

𝑚𝑝 𝑍 2 𝑒 4 𝐸𝑎 = 2(4𝜋𝜀𝑜 𝜀ℏ)2

lượng

ion

IC IA L

Năng lượng ion là năng lượng để bứt electron ra khỏi nguyên tử sau khi pha tạp.  Năng lượng 𝑚𝑛 𝑍 2 𝑒 4 𝐸𝑑 = 2(4𝜋𝜀𝑜 𝜀ℏ)2 ion hóa donor: (3.23)

hóa

(3.24)

acceptor:

FF

Với: 𝜀 là hằng số điện môi của tinh thể bán dẫn.

(3.25) (3.26)

N

H

Ơ

N

O

3.3.2. Vị trí mức Fermi và mật độ hạt tải điện: a) Vùng nhiệt độ thấp: Đối với vùng nhiệt độ thấp chỉ có các tạp chất bị kích hoạt: 𝐸𝑑 + 𝐸𝐶 𝐾𝑇 𝑁𝑑 𝐸𝐹𝑛 = + ln 2 2 𝑁𝐶 𝐸𝑎 + 𝐸𝑉 𝐾𝑇 𝑁𝑎 𝐸𝐹𝑝 = + ln 2 2 𝑁𝑉 Với 𝑁𝑑 , 𝑁𝑎 là mật độ các trạng thái donor và acceptor.

U

Y

Khi 𝑇 = 0𝐾, mức Fermi nằm giữa đáy vùng dẫn và mức donor. Khi nhiệt độ tăng lên, mức Fermi tăng lên, đạt đến cực đại sau đó giảm xuống vì khi nhiệt độ tăng mức 𝐸𝑑 .

Q

thì 𝑁𝐶 tăng lên. Tại nhiệt độ mà 𝑁𝐶 = 𝑁𝑑 /2 mức Fermi lại nằm giữa đáy vùng dẫn và

M

Thay các biểu thức 𝐸𝐹𝑛 , 𝐸𝐹𝑝 vào biểu thức 𝑛, 𝑝. Ta có: 𝑛 = √𝑁𝑑 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 (−

𝐸𝐶 − 𝐸𝑑 ) 2𝑘𝐵 𝑇

𝑝 = √𝑁𝑎 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (−

𝐸𝑎 − 𝐸𝑉 ) 2𝑘𝐵 𝑇

(3.27)

(3.28)

D

ẠY

KÈ

 Nồng độ electron trong bán dẫn loại N:  Nồng độ lỗ trống trong bán dẫn loại P:

b) Vùng nhiệt độ ion hóa tạp chất: Khi nhiệt độ tăng lên, các nguyên tử tạp chất bị ion hóa nhiều lên, đến một nhiệt độ nào đó tất cả các nguyên tử tạp chất bị ion hóa hết.  Nồng độ electron trong bán dẫn loại N: 𝑛 = 𝑁𝑑 = 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 (−

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ) 𝑘𝐵 𝑇

(3.29)

Trang 19

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp ⟹ 𝐸𝐹𝑛 = 𝐸𝐶 + 𝑘𝐵 𝑇 ln

𝑁𝑑 𝑁𝐶

(3.30)

 Nồng độ lỗ trống trong bán dẫn loại P: 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 ) 𝑘𝐵 𝑇 𝑁𝑎 = 𝐸𝑉 − 𝑘𝐵 𝑇 ln 𝑁𝑉

𝑝 = 𝑁𝑎 = 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (−

(3.32)

IC IA L

⟹ 𝐸𝐹𝑝

(3.31)

c) Vùng nhiệt độ cao: Tại nhiệt độ cao xác định, tùy thuộc vào bán dẫn và nồng độ tạp chất, nồng độ lỗ trống lớn đến mức không thể bỏ qua, vì giá trị 𝑛𝑖 tăng theo nhiệt độ với hàm

H

Ơ

N

O

FF

exponent.

Khi nhiệt độ tăng cao nữa, vai trò của tập chất lu mờ dần và bán dẫn giống như một bán dẫn riêng: 𝐸𝑔 (3.33) ) 𝑛 = 𝑝 = 𝑛𝑖 = √𝑁𝐶 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 𝐸𝐶 + 𝐸𝑉 𝑘𝐵 𝑇 𝑁𝑉 Mức Fermi: 𝐸𝐹 = + ln (3.34) 2 2 𝑁𝐶

N

3.4. Bán dẫn bù: Bán dẫn bù là bán dẫn có chứa cả donor và acceptor.

Y

 Nếu 𝑁𝑑 = 𝑁𝑎 : gọi là bán dẫn bù toàn phần. Ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối

Q

𝑁𝑑+ = 𝑁𝑎−

U

các điện tử ở mức 𝐸𝑑 sẽ chiếm tất cả các trạng thái ở mức 𝐸𝑎 . Nghĩa là  Nếu 𝑁𝑑 ≠ 𝑁𝑎 : gọi là bán dẫn bù một phần. Ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối,

M

𝑛=𝑝=0

ẠY

KÈ

3.4.1. Mật độ electron và lỗ trống:  Khi khối bán dẫn trung hòa, ta 𝑛 + 𝑁𝑎− = 𝑝 + 𝑁𝑑+ có: Hay: 𝑛 + (𝑁𝑎 − 𝑝𝑎 ) = 𝑝 + (𝑁𝑑 − 𝑛𝑑 )

D

Với:

(3.35) (3.36)

𝑛, 𝑝 là mật độ electron và lỗ trống ở trạng thái cân bằng điện.

𝑛𝑑 , 𝑝𝑎 là nồng độ electron và lỗ trống tương ứng ở mức năng lượng donor và acceptor (chưa bị ion hóa).  Khi tất cả tạp chất bị ion hóa hết: 𝑛 + 𝑁𝑎 = 𝑝 + 𝑁𝑑 (3.37)  Thay 𝑝 = 𝑛𝑖2 /𝑛 vào biểu thức (3.37), ta có: 𝑛𝑖2 𝑛 + 𝑁𝑎 = + 𝑁𝑑 𝑛

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

(3.38a)

Trang 20

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

⟺ 𝑛2 − (𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 )𝑛 − 𝑛𝑖2 = 0 Giải phương trình bậc hai ta (𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 ) 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 2 được: ) + 𝑛𝑖2 𝑛= + √( 2 2

(3.38b) (3.39)

 Thay 𝑛 = 𝑛𝑖2 /𝑝 vào biểu thức (3.37), ta có: (3.40)

IC IA L

𝑛𝑖2 + 𝑁𝑎 = 𝑝 + 𝑁𝑑 𝑝 ⟺ 𝑝2 − (𝑁𝑎 − 𝑁𝑑 )𝑝 − 𝑛𝑖2 = 0 Giải phương trình bậc hai ta (𝑁𝑎 − 𝑁𝑑 ) 𝑁𝑎 − 𝑁𝑑 2 √ được: ) + 𝑛𝑖2 𝑝= + ( 2 2

FF

(3.41)

O

3.4.2. Vị trí mức Fermi: Nếu bán dẫn bù với 𝑁𝑑 ≫ 𝑁𝑎 ,đối với vùng nhiệt độ ion hóa tạp chất hoàn toàn, thì 𝑛 ≈ 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 . Khi đó ta có thể viết:

N

𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ) 𝑘𝐵 𝑇 𝑛 ⟹ 𝐸𝐹 = 𝐸𝐶 + 𝑘𝐵 𝑇 ln 𝑁𝐶 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 ⟺ 𝐸𝐹 = 𝐸𝐶 + 𝑘𝐵 𝑇 ln 𝑁𝐶 Nhiệt độ cao hơn nữa bán dẫn trở thành bán dẫn riêng.

(3.42)

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

𝑛 = 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 = 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 (−

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 21

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP §1: CẤU TRÚC TINH THỂ. MẠNG ĐẢO 1.1. Một số ví dụ: 1.1.1. Tính khối lượng riêng của tinh thể Ni, biết Ni kết tinh theo mạng tinh thể

IC IA L

lập phương tâm mặt và hằng số mạng của Ni là 3,507 Å Giải:

1

1

8

2

Số nguyên tử trong ô cơ sở của mạng lập phương tâm mặt là 𝑁 = 4 (vì 8. + 6. = 4)

𝑀𝑁 14,01 × 4 = = 2157,5 𝑘𝑔/𝑚3 3 6 −10 3 𝑁𝐴 𝑎 6,022. 10 × (3,507. 10 )

O

𝜌=

FF

Khối lượng riêng của Ni là:

Ơ

N

1.1.2. Đồng kết tinh theo kiểu lập phương tâm diện. a. Tính cạnh của hình lập phương và khoảng cách ngắn nhất giữa hai tâm của hai nguyên tử đồng trong mạng, biết nguyên tử đồng có bán kính bằng 1,28 Å.

H

b. Tính khối lượng riêng của đồng theo g/ cm3. Cho Cu = 64.

N

Giải:

Y

a. Bán kính nguyên tử Cu là: 𝑟 = 1,28. 10−8 𝑐𝑚 Từ công thức:

Q

U

𝑟=𝑎

4𝑟 (4.1,28. 10−8 ) √2 ⟹𝑎= = 4 √2 √2 = 3,62. 10−8 𝑐𝑚

2𝑟 = 7,26. 10−8 𝑐𝑚

KÈ

M

Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 tâm của hai nguyên tử đồng trong mạng:

ẠY

b. Khối lượng riêng: 𝑀𝑁 𝑀𝑁 64.4 𝜌= = = = 8,96 𝑔/𝑐𝑚3 3 23 −8 3 𝑁𝐴 . 𝑉1 ô 𝑁𝐴 . 𝑎 6,022. 10 . (3,62. 10 )

D

1.1.3. Khoảng cách 𝒅 giữa hai mặt (111) kế tiếp trong một tinh thể lập phương được xác định bằng phổ nhiễu xạ tia X là 𝟐, 𝟑𝟎𝟒𝟓 Å. Tính hằng số mạng, thể tích ô cơ sở.

Giải: Mặt (111) suy ra ℎ = 𝑘 = 𝑙 = 1

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 22

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 𝑑=

𝑎 √ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙2

=

𝑎 √3

⇒ 𝑎 = 𝑑√3 = 2,3045. 10−10 . √3 = 4. 10−10 𝑚

IC IA L

𝑉 = 𝑎3 = 64. 10−10 𝑚3

Thể tích ô cơ sở:

1.1.4. Một mặt phẳng, được mô tả như hình bên, cắt 3 trục x,y,z ở các đoạn tương ứng 3a, 2b, 1c. Tìm chỉ số Miller của mặt phẳng trên.

FF

Giải: Ta có: 𝑚 = 3, 𝑛 = 2, 𝑝 = 1

O

1 1 1 1 1 1 2 3 6 : : )=( : : )=( : : ) 𝑚 𝑛 𝑝 3 2 1 6 6 6

N

(

Ơ

Vậy chỉ số Miller của mặt phẳng này là: (2,3,6)

H

1.1.5. Biểu diễn các góc giữa các vector mạng đảo qua các góc của các vector

N

mạng thuận.

Giải:

U

Y

𝛼 = (𝑎⃗, 𝑏⃗​⃗); 𝛽 = (𝑏⃗​⃗, 𝑐⃗); 𝛾 = (𝑎⃗, 𝑐⃗) Các vector mạng đảo:

Q

(𝑏⃗​⃗ × 𝑐⃗) 𝑏𝑐 . sin 𝛽 ⇒𝐴= 𝑉 𝑉 (𝑐⃗ × 𝑎⃗) 𝑎𝑐 . sin 𝛾 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵 = 2𝜋 ⇒𝐴= 𝑉 𝑉 (𝑎⃗ × 𝑏⃗​⃗) 𝑎𝑏 . sin 𝛼 ⃗​⃗​⃗​⃗ = 2𝜋 𝐶 ⇒𝐴= 𝑉 𝑉 ⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴 .𝐵 cos 𝛼1 = 𝐴𝐵 1 1 ⃗​⃗​⃗​⃗. ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴 𝐵 = 2 (𝑏⃗​⃗ × 𝑐⃗)(𝑐⃗ × 𝑎⃗) = 2 [(𝑏⃗​⃗𝑐⃗)(𝑐⃗𝑎⃗) − (𝑏⃗​⃗𝑎⃗)𝑐 2 ] 𝑉 𝑉 1 = 2 (𝑏𝑐 cos 𝛽. 𝑐𝑎 cos 𝛾 − 𝑏𝑎 cos 𝛼. 𝑐 2 ) 𝑉 1 = 2 (𝑎𝑏𝑐 2 cos 𝛽 cos 𝛾 − 𝑎𝑏𝑐 2 cos 𝛼 ) 𝑉

D

ẠY

KÈ

M

⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴 = 2𝜋

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 23

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

⇒ cos 𝛼1 =

cos 𝛽 cos 𝛾 − cos 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾

Tương tự, ta có: cos 𝛼 cos 𝛾 − cos 𝛽 sin 𝛼 sin 𝛾 cos 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛾 cos 𝛾1 = sin 𝛼 sin 𝛽

FF

cos 𝛽1 =

IC IA L

𝑎𝑏𝑐 2 = 2 (cos 𝛽 cos 𝛾 − cos 𝛼 ) 𝑉 𝑎𝑏𝑐 2 𝐴𝐵 = 2 sin 𝛽 sin 𝛾 ⇒ ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐴 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝐵 = 𝐴𝐵 cos 𝛼1 𝑉

N

𝒂 = 𝟏Å. Các giá trị m, q, h, c cho trước.

O

1.1.6. Một chùm tia electron với động năng 1keV bị nhiễu xạ khi xuyên qua một lá kim loại đa tinh thể. Kim loại có cấu trúc lập phương với hằng số mạng

Ơ

a. Tính bước sóng của electron. b. Tính góc nhiễu xạ Bragg ứng với cực thứ nhất. 𝜆=

N

a. Bước sóng của electron là:

H

Giải:

ℎ 𝑝

U

Y

Với p là động lượng của electron, ta 𝑝2 = 𝐸đ có: 2𝑚 Suy ra:

M

Q

ℎ ℎ 6,625. 10−34 𝜆= = = = 0,39. 10−10 𝑚 = 0,39Å 𝑝 √2𝑚𝐸đ √2.9,1. 10−31 . 1,6. 10−19 . 1000

KÈ

b. Điều kiện nhiễu xạ Bragg:

2𝑑 sin 𝜃 = 𝑛𝜆

D

ẠY

Đối với cực đại nhiễu xạ thứ nhất, ta có: 𝑛𝜆 1 × 0,39 sin 𝜃 = = = 0,195 2𝑑 2×1 Suy ra: 𝜃 = 11,18𝑜

1.2. Bài tập áp dụng công thức: 1.2.1. Mật độ khối của nguyên tử có cấu trúc lập phương đơn giản là 3.1022 nguyên tử/cm3. Giả sử nguyên tử có dạng là quả cầu đặc. Xác định hằng số mạng và bán kính của nguyên tử.

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 24

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp Giải: Tính hằng số mạng: 𝑛=

3 1 3 𝑁 1 1 = 3 = 3. 1022 ⇒ 𝑎 = √ = √ = 3,22. 10−8 𝑐𝑚 = 3,22 Å 22 𝑉 𝑎 𝑛 3. 10

𝑉 = 𝑎3 =

IC IA L

Tính bán kính: 3 3𝑎 3 3 3. 3,223 4 3 𝜋𝑟 ⇒ 𝑟 = √ =√ = 1,99 Å 3 4𝜋 4𝜋

FF

1.2.2. Tìm số nguyên tử Al trong một đơn vị thể tích. Khối lượng riêng của Al 𝝆 = 𝟐, 𝟕. 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒈/𝒎𝟑 .

O

Giải:

Ơ

N

Một gam nguyên tử Al chứa: 𝑁 = 6,022. 1023 nguyên tử 𝐴 Với thể tích: 𝑉= 𝜌 Số nguyên tử trong một đơn vị thể tích là:

N

H

𝑁 𝑁𝜌 6,022. 1023 . 103 . 2,7. 103 𝑛= = = = 6,022. 1028 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡ử/𝑚3 𝑉 𝐴 27

Y

1.2.3. Xác định những đoạn thẳng do mặt (𝟏𝟐𝟓) cắt trên trục.

Giải:

Q

U

Ta có: 𝑚 = 1, 𝑛 = 2, 𝑝 = 5

M

1 1 1 1 1 1 10 5 2 ( : : )=( : : )=( : : ) 𝑚 𝑛 𝑝 1 2 5 10 10 10

KÈ

Suy ra: 𝐴 = 10; 𝐵 = 5; 𝐶 = 2 1.2.4. Hằng số mạng của một cấu trúc lập phương đơn giản là 𝒂 = 𝟓, 𝟔𝟑 Å. Tính

D

ẠY

khoảng cách giữa các mặt gần nhất: a. Mặt (100) b. Mặt (110)

a. b.

c. Mặt (111) Giải:

𝑑= 𝑑=

𝑎 √ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙2 𝑎 √ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙2

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

= 5,63 Å =

5,63 √2

= 3,98 Å

Trang 25

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp c.

𝑑=

𝑎 √ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙2

=

5,63 √3

= 3,25 Å

1.2.5. Xét một mạng lập phương tâm mặt. Giả sử nguyên tử có dạng là quả cầu đặc. Bán kính nguyên tử là 𝟐, 𝟐𝟓 Å.

IC IA L

a. Tính mật độ nguyên tử trong tinh thể.

O

FF

b. Tính khoảng cách giữa các mặt (100) gần nhất.

Giải: a. Bán kính nguyên tử: √2 𝑟=𝑎 4 4𝑟 4.2,25 Suy ra hằng số mạng: 𝑎= = = 6,36 Å √2 √2 4 4 Mật độ nguyên tử: 𝑛= 3= = 0,016 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡ử/𝑐𝑚3 3 𝑎 6,36

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

b. Khoảng cách giữa các mặt (100) gần nhất: 𝑎 𝑑= = 6,36 Å √ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙2 1.2.6. Một mạng thực có các vector cơ sở sau: 𝒂 𝒂 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗𝟏 = √𝟑𝒙 ⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝒚 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝒂 𝟐 𝟐 𝒂 𝒂 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝒚 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝒂𝟐 = − √𝟑𝒙 𝟐 𝟐 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝒂𝟑 = 𝒄𝒛 ⃗​⃗​⃗ a. Tính thể tích ô cơ sở. b. Tìm các vector cơ sở mạng đảo.

Giải:

M

a. Thể tích ô cơ sở:

D

ẠY

KÈ

𝑎 √3 2 ⃗​⃗​⃗​⃗ × 𝑐⃗​⃗​⃗ = || 𝑎 𝑉=𝑎 ⃗​⃗​⃗​⃗𝑏 − √3 2 0 b. Các vector mạng đảo:

𝑎 2 𝑎 2 0

0

𝑎 𝑎 𝑎𝑎 𝑎2 𝑐 || = √3 𝑐 + √3𝑐 = √3 0 2 2 22 2 𝑐

⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑥 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑦 (𝑎 4𝜋 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗2 × ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗) 𝑎3 𝑎 𝑎 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑏1 = 2𝜋 = |− √3 𝑉 𝑎2 𝑐√3 2 2 0 0 2𝜋 2𝜋 = ⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑥 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑦 𝑎 𝑎√3

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

𝑧⃗​⃗​⃗ 0| = 𝑐

4𝜋

𝑐𝑎 𝑎𝑐√3 ( 𝑥 ⃗​⃗​⃗​⃗ + ⃗​⃗​⃗​⃗) 𝑦 2 𝑎2 𝑐√3 2

Trang 26

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp Tương tự ta tính được các vector ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑏2 , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑏3 :

(𝑎 4𝜋 𝑐𝑎 𝑎𝑐√3 2𝜋 2𝜋 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗3 × ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗) 𝑎1 = (− 𝑥 ⃗​⃗​⃗​⃗ + ⃗​⃗​⃗​⃗) = − 𝑦 ⃗​⃗​⃗​⃗ + 𝑥 ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑦 𝑉 2 2 𝑎 𝑎2 𝑐√3 𝑎√3

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑏3 = 2𝜋

(𝑎 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗1 × ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗) 𝑎2 4𝜋 𝑎2 √3 2𝜋 ⃗​⃗​⃗​⃗ = = 𝑧 𝑧⃗​⃗​⃗ 𝑉 𝑐 𝑎2 𝑐√3 2

IC IA L

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑏2 = 2𝜋

1.2.7. Tìm thừa số cấu trúc của kim cương (kim cương có cấu trúc mạng lập phương tâm mặt).

Giải:

FF

𝑆(ℎ𝑘𝑙) = 𝑓 ∑ 𝑒𝑥𝑝[−2𝜋𝑖(𝑥𝑗 ℎ + 𝑦𝑗 𝑘 + 𝑧𝑗 𝑙)] 𝑗

1 1 1

O

Đối với mạng fcc, cơ sở gồm 2 nguyên tử giống nhau ở vị trí (000) và ( , , ). Do đó:

4 4 4

Ơ

N

1 1 1 1 𝑆(ℎ𝑘𝑙) = 𝑓 [1 + 𝑒𝑥𝑝 (−2𝜋𝑖 ( ℎ + 𝑘 + 𝑙))] = 𝑓 [1 + 𝑒𝑥𝑝 [− 𝜋𝑖 (ℎ + 𝑘𝑙)]] 4 4 4 2

Y

N

H

1.2.8. Kim loại Natri có cấu trúc bcc. Trong phổ nhiễu xạ của Natri có thể quan sát và không quan sát được các vạch nhiễu xạ nào?

Giải: Vì Natri có cấu trúc bcc nên trong phổ nhiễu xạ của Natri có thể:

U

 Quan sát các vạch nhiễu xạ như: (100), (300), (111), (221)

M

Q

 Không quan sát các vạch nhiễu xạ như: (200), (110), (222)

KÈ

1.3. Bài tập suy luận: 1.3.1. Na là kim loại hóa trị I có cấu trúc bcc, khối lượng riêng 𝝆 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟏𝟐 𝒈/ 𝒄𝒎𝟑 , nguyên tử khối 𝑴 = 𝟐𝟐, 𝟗𝟗 𝒈/𝒎𝒐𝒍.

D

ẠY

a. Nếu mối nguyên tử Na cho 1 electron dẫn điện và các electron phân bố đều trong tinh thể. Tính khoảng cách giữa các electron. b. Tính khoảng cách trung bình giữa ion Na+ và electron dẫn điện, cho rằng electron dẫn điện nằm giữa 2 ion Na+.

Giải: a. Mật độ nguyên tử Na trong khối kim loại: 𝜌𝑁𝐴 0,9712. 103 . 6,022. 1023 = = 2,544. 1028 𝑚−3 −3 22,99. 10 𝑀 Mỗi nguyên tử Na cho 1 e dẫn nên mật độ Na bằng mật độ e. 𝑛=

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 27

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp Khoảng cách giữa các e:

𝑑=

1 3

√𝑛

=

1 3

√2,544. 1028

= 3,4 Å

b. Khoảng cách trung bình giữa e và Na vào cỡ bán kính nguyên tử.

Từ công thứ tính khối lượng nguyên tử Na, ta suy ra hằng số mạng a:

= 0,43 Å Đối với cấu trúc bcc, ta có:

𝑟=

𝑎√3 0,43√3 = = 0.37 Å 2 2

IC IA L

3 3 2𝑀 2𝑀 𝑚 2.22,99 3 𝑚 ⇒ 𝑉 = = 𝑎3 ⇒ 𝑎 = √ = √ =√ 𝑁𝐴 6,022. 1023 . 0,9712. 103 𝜌 𝜌 𝑁𝐴 𝜌

FF

𝑚=

Giải:

N

O

1.3.2. Chứng minh mạng nghịch của lập phương tâm khối là lập phương tâm mặt.

Ơ

⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑐⃗ là các vector cơ sở của mạng tinh thể lập phương tâm khối. ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑏, 𝑎,

H

𝑎 𝑎 𝑎 (𝑖⃗ + 𝑗⃗ − 𝑘⃗​⃗ ) ; ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑏 = (−𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘⃗​⃗ ) ; 𝑐⃗​⃗​⃗ = (𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 𝑘⃗​⃗ ) 2 2 2

N

⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑎

2𝜋 2𝜋 𝑎2 [𝑏⃗​⃗ × 𝑐⃗] = 2(𝑖⃗ + 𝑗⃗) 𝑉 𝑉 4 2𝜋 2𝜋 𝑎2 ⃗​⃗​⃗​⃗ [𝑐⃗ × 𝑎⃗] = 𝑏1 = 2(𝑗⃗ + 𝑘⃗​⃗ ) 𝑉 𝑉 4 2𝜋 2𝜋 𝑎2 [𝑎⃗ × 𝑏⃗​⃗] = 𝑐1 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 2(𝑖⃗ + 𝑘⃗​⃗ ) 𝑉 𝑉 4 Thể tích ô cơ sở:

KÈ

M

Q

U

Y

𝑎1 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗ × 𝑐⃗​⃗​⃗] = 𝑉=𝑎 ⃗​⃗​⃗​⃗. [𝑏

2𝑎2 𝑎3 𝑎 ⃗​⃗ (𝑖⃗ + 𝑗⃗) = (𝑖⃗ + 𝑗⃗ − 𝑘 ) 2 4 2

D

ẠY

Suy ra, các vector mạng đảo: 2𝜋 (𝑖⃗ + 𝑗⃗) 𝑎 2𝜋 ⃗​⃗​⃗​⃗ (𝑗⃗ + 𝑘⃗​⃗ ) 𝑏1 = 𝑎 2𝜋 (𝑘⃗​⃗ + 𝑖⃗) 𝑐1 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑎 Đây chính là các vector cơ sở của mạng tinh thể lập phương tâm mặt. Hằng số mạng 𝑎1 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

2𝜋/𝑎.

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 28

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

𝑎3 𝑎3 𝑎3 (𝑖⃗ + 𝑗⃗)(−𝑘⃗​⃗ + 𝑖⃗ + 𝑗⃗) = 2 = 8 8 4

N

𝑉 = 𝑎⃗[𝑏⃗​⃗ × 𝑐⃗] =

O

FF

IC IA L

1.3.3. Chứng minh mạng nghịch của lập phương tâm mặt là lập phương tâm khối.

Giải: Trong hệ tọa độ 𝑥𝑦𝑧 với các vector đơn vị 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗​⃗ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎⃗ = (𝑖⃗ + 𝑗⃗); 𝑏⃗​⃗ = (𝑗⃗ + 𝑘⃗​⃗ ); 𝑐⃗ = (𝑖⃗ + 𝑘⃗​⃗ ) 2 2 2 2 2𝜋 2𝜋 𝑎 [𝑏⃗​⃗ × 𝑐⃗] = (−𝑘⃗​⃗ + 𝑖⃗ + 𝑗⃗) 𝑎1 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑉 𝑉 4 2𝜋 2𝜋 𝑎2 ⃗​⃗​⃗​⃗ [ ] (𝑘⃗​⃗ + 𝑗⃗ − 𝑖⃗) 𝑏1 = 𝑐⃗ × 𝑎⃗ = 𝑉 𝑉 4 2𝜋 2𝜋 𝑎2 ⃗​⃗ [𝑎⃗ × 𝑏] = (𝑘⃗​⃗ − 𝑗⃗ + 𝑖⃗) 𝑐1 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑉 𝑉 4 Thể tích ô cơ sở:

Suy ra, các vector mạng đảo:

U

Y

N

H

Ơ

2𝜋 (−𝑘⃗​⃗ + 𝑖⃗ + 𝑗⃗) 𝑎 2𝜋 ⃗​⃗​⃗​⃗ (𝑘⃗​⃗ + 𝑗⃗ − 𝑖⃗) 𝑏1 = 𝑎 2𝜋 (𝑘⃗​⃗ − 𝑗⃗ + 𝑖⃗) 𝑐1 = ⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑎 Đây chính là các vector cơ sở của mạng tinh thể lập phương tâm khối. Hằng số mạng 𝑎1 = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Q

2𝜋/𝑎. là:

M

1.3.4. Chứng minh rằng, khoảng cách giữa hai mặt (𝒉𝒌𝒍) 𝒅=

𝒂

D

ẠY

KÈ

√𝒉𝟐 + 𝒌𝟐 + 𝒍𝟐 Giải: Mặt (ℎ𝑘𝑙) cắt trục tọa độ vuông góc tại các điểm: 𝑎 𝑏 𝑐 , , ℎ 𝑘 𝑙 Phương trình mặt phẳng: 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎+𝑏+𝑐 =1 ℎ 𝑘 𝑙 Đặt: 𝑎/ℎ = 𝐴, 𝑏/𝑘 = 𝐵, 𝑐/𝑙 = 𝐶 ⟶ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 1 Phương trình đường thẳng vuông góc với mặt trên: SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 29

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 𝑥 = 𝑚𝐴 𝑥 𝑦 𝑧 = = = 𝑚 ⟶ {𝑦 = 𝑚𝐵 𝐴 𝐵 𝐶 𝑧 = 𝑚𝐶 2 2 2 𝑚(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ) = 1

Như vậy: Tọa độ điểm H:

𝑑 = √𝑥𝐻2 + 𝑦𝐻2 + 𝑧𝐻2 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2 1 = = 2 2 2 2 (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ) √𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2

2 2 2 √ℎ 2 + 𝑘 2 + 𝑙 2 𝑎 𝑏 𝑐

Ơ

N

Nếu mạng lập phương, ta có: 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 𝑎 Suy ra: 𝑑= √ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙2

1

FF

𝑑=√

O

Độ dài OH =

𝐴 𝐵 𝐶 ; 𝑦 = ; 𝑧 = 𝐻 𝐻 𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2 𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2

IC IA L

𝑥𝐻 =

1.3.5. Khi ta ngồi trước màn hình TV màu với đèn hình 25 kV, chúng ta có thể bị

Y

N

H

chiếu xạ bởi chùm tia X. a. Quá trình tạo ra chùm tia X như thế nào? b. Tính bước sóng ngắn nhất của chùm tia X này. c. Đặt một tinh thể NaCl trước chùm tia X, tính góc nhiễu xạ Bragg ứng với cực

U

đại nhiễu xạ thứ nhất ở bước sóng 𝝀 = 𝟎, 𝟓 Å . Cho biết 𝝆𝑵𝒂𝑪𝒍 = 𝟐, 𝟏𝟔𝟓 𝒈/𝒄𝒎𝟑 .

M

Q

Giải: a. Khi ta đặt vào hai đầu ống đèn hình một hiệu điện thế lớn, các electron thoát ra từ cực âm sẽ được gia tốc bởi điện trường và đập vào màn hình. Nếu năng lượng của

KÈ

electron đủ lớn, chúng có thể làm bật các electron ở lớp bên trong nguyên tử và tạo ra các lỗ trống. Sau đó, các electron ở lớp ngoài sẽ dịch chuyển xuống, lấp vào các lỗ trống đó và phát ra chùm tia X.

D

ẠY

b. Năng lượng cực đại để tạo ra chùm tia X, ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥 , bằng với năng lượng của chùm electron tới. Do đó, bước sóng nhỏ nhất của chùm tia X là:

𝜆𝑚𝑖𝑛

ℎ𝑐 6,625. 10−34 . 3. 108 = = = 0.49. 10−10 𝑚 3 −19 𝐸 25. 10 . 1,6. 10

c. Theo định luật Bragg:

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

2𝑑 sin 𝜃 = 𝑛 𝜆

Trang 30

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 𝜆 Với cực đại nhiễu xạ thứ nhất, sin 𝜃 = 𝑛 = 1: 2𝑑

Tinh thể NaCl có cấu trúc lập phương đơn giản, các ion Na+ và Cl- sắp xếp xen kẽ nhau, có N0 ion Na+ và N0 ion Cl- trong 1 mol NaCl, N0 là số Avogadro. NaCl có khối 𝑀 58,45 3 √ 2,165. 106 √ 𝜌 𝑑= = 2,82 Å = 2𝑁𝐴 2.6,022. 1023 sin 𝜃 =

0,5 = 0,088 2.2,82 𝜃 = 5𝑜

Suy ra:

O

Do đó:

FF

3

IC IA L

lượng mol M=58,45 g/mol và khối lượng riêng 𝜌 = 2,165 g/cm3.

N

1.3.6. Tính gần đúng năng lượng tới của chùm photon, neutron nhiễu xạ tốt trên

Ơ

tinh thể. Với 𝒎𝒏 𝒄𝟐 = 𝟗𝟑𝟗 𝑴𝒆𝑽.

Y

N

H

Giải: Khi khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể vào cỡ 10-10 m, nhiễu xạ xảy ra khi bước sóng thích hợp nhỏ hơn.

Nếu photon tới bị nhiễu xạ, bước sóng của chúng phải gần bằng 10-10 m. Do đó, năng lượng của photon tới là:

M

Q

U

ℎ𝑐 6,625. 10−34 . 3. 108 𝐸= = = 1,98. 10−15 𝐽 = 12420 𝑒𝑉 𝜆 10−10 Nếu neutron tới bị nhiễu xạ, khi đó bước sóng của chúng vào khoảng 10-10 m, tương ứng với động năng: ℎ 2 2 ( ) 𝑝 ℎ2 𝑐 2 1 6,625. 10−34 . 3. 108 1 𝜆 ( ) 𝐸= = = . = .

2𝑚𝑛 2𝑚𝑛 2𝜆2 𝑚𝑛 𝑐 2 10−10 . 1,6. 10−19 2.939. 106 = 8,2. 10−2 𝑒𝑉

D

ẠY

KÈ

2

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 31

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp §2: THUYẾT NHIỆT DUNG DEBYE

2.1. Bài tập áp dụng công thức: 2.1.1. Tính nhiệt dung riêng của một chất rắn kết tinh đơn nguyên tử.

Giải: Xét một mol chất rắn kết tinh đơn nguyên tử có thể tích V và gồm N (số Avogadro)

IC IA L

nguyên tử. Khi có 3N dao động chuẩn, hàm mật độ dao động trong vùng từ 𝜔 → 𝜔 + 𝑑𝜔 là: 𝒟(𝜔)𝑑𝜔 =

3𝑉𝜔2 𝑑𝜔 2𝜋 2 𝑣0 3 1

Tần số lớn nhất:

N

3𝑉ℏ 𝜔𝒟 𝜔3 𝑑𝜔 ∫ ℏ𝜔 2𝜋 2 𝑣 3 0 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 − 1

Ơ

𝑈=

O

Ta có: Tổng năng lượng của dao động mạng:

FF

6𝜋 2 𝑁 3 ) 𝑣0 𝜔𝑚 = ( 𝑉

H

Và nhiệt dung riêng của mạng:

N

𝑑𝑈 3𝑉𝑘𝐵 𝑇𝑘𝐵 3 𝑥𝑚 𝑒 𝑥 𝑥 3 𝑑𝑥 ( ) ∫ 𝐶𝑣 = ( ) = (𝑒 𝑥 − 1) 2 𝑑𝑇 𝑣 2𝜋 2 ℏ𝑣0 0 ℏ𝜔 𝑥𝑚 = 𝑘𝐵 𝑇 𝑇𝒟 ℏ𝜔𝑚 𝑥𝒟 = ; 𝑇𝒟 = 𝑇 𝑘𝐵

Y

Với:

Q

KÈ

M

Suy ra:

U

Đặt:

𝑇 3 𝑇𝒟 /𝑇 𝑒 𝑥 𝑥 4 𝑑𝑥 𝐶𝑣 = 9𝑁𝑘𝐵 ( ) ∫ (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑇𝒟 0 𝑇 = 9𝑁𝑘𝐵 𝐹 𝑇𝒟

D

ẠY

Khi 𝑇 ≫ 𝑇𝒟 , 𝑥 ≪ 𝑇𝒟 /𝑇 thì:

Và:

Suy ra:

𝑥4 𝑒 𝑥 𝑥 4 𝑑𝑥 ≈ = 𝑥2 (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑥 2 𝑇 1 𝑇 3 𝑇𝒟 3 1 𝐹 ≃ ( ) ( ) = 𝑇𝒟 3 𝑇𝒟 𝑇 3 𝐶𝑣 ≈ 3𝑁𝑘𝐵 = 3𝑅

Như vậy 𝐶𝑣 không phụ thuộc vào nhiệt độ ở nhiệt độ cao.

Khi 𝑇 ≪ 𝑇𝒟 , 𝑇𝒟 /𝑇 rất lớn và có thể tiến đến ∞. Do đó, SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 32

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 𝑇 3 ∞ 𝑒 𝑥 𝑥 4 𝑑𝑥 𝐶𝑣 ≈ 9𝑁𝑘𝐵 ( ) ∫ 𝑥 2 𝑇𝒟 0 (𝑒 − 1) Mà ở vùng nhiệt độ thấp, 𝐶𝑣 ∝ 𝑇 3 , ta có thể viết: ∞

∞

IC IA L

1 𝜋4 𝑥 3 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 = 6∑ 4 = 𝑛 15 0 𝑒 −1 1 4

3 4 𝑇 𝜋 𝑁𝑘𝐵 3 5 𝑇𝒟 𝑑𝑈 12 4 𝑇 3 𝑇 3 𝐶𝑣 = ( ) = 𝜋 𝑁𝑘𝐵 ( ) = 234𝑘𝐵 ( ) 𝑑𝑇 𝑣 5 𝑇𝒟 𝑇𝒟

Suy ra:

𝑈=

FF

Suy ra:

2.1.2. Kim cương là vật rắn điện môi đơn nguyên tử có mật độ nguyên tử

O

𝒏 = 𝟏𝟎𝟐𝟏 nguyên tử/cm3. Tính giá trị tần số Debye. Cho biết vận tốc sóng ở tần

Với mạng 3 chiều, mật độ trạng thái là:

Ơ

Giải:

N

số thấp là 𝟓. 𝟏𝟎𝟓 𝒄𝒎/𝒔.

3𝑉𝜔2 2𝜋 2 𝑣 3

H

𝒟 (𝜔 ) =

N

𝜔𝒟

∫

𝒟(𝜔)𝑑𝜔 = 3𝑁

Y

0

U

Với: 𝑛 = 1027 𝑚−3 , 𝑣 = 5. 103 𝑚/𝑠 Giá trị tần số Debye: 1

M

Q

1 1 6𝜋 2 𝑁 3 ) 𝑣 = (6𝜋 2 𝑛)3 𝑣 = (6. 3,142 . 1027 )3 . 5. 103 = 1,95. 1013 𝑠 −1 𝜔𝒟 = ( 𝑉

2.1.3. Sử dụng thuyết Debye để tính nhiệt dung của một mạng tinh thể đơn

KÈ

nguyên tử một chiều ở nhiệt độ nhỏ hơn so với nhiệt dộ Debye 𝑻𝓓 = ℏ𝝅𝒗/𝒌𝑩 𝒂. (a là khoảng cách giữa các nút mạng).

D

ẠY

Giải: Theo thuyết Debye, mật độ trạng thái của mạng đơn nguyên tử một chiều là: 𝐿 𝒟 (𝜔 ) = 𝜋𝑣 Mỗi dao động với tần số 𝜔 có năng lượng trung bình: ℏ𝜔 𝑒 ℏ𝜔/𝑘𝐵 𝑇 − 1 Tổng năng lượng của dao động mạng là:

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 33

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 𝜔𝒟

𝑈=∫

0

𝐿 ℏ𝜔 𝑑𝜔 𝜋𝑣 𝑒 ℏ𝜔/𝑘𝐵 𝑇 − 1

𝜔𝒟

𝐿 𝑑𝜔 = 𝑁 𝜋𝑣 0 𝜋𝑁𝑣 𝜋𝑁𝑣 𝑘𝐵 𝑇𝒟 𝜔𝒟 = = = 𝐿 𝑎 ℏ 𝑇𝒟 𝑑𝑈 𝑇 𝑒 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝐶𝑣 = = 𝑁𝑘𝐵 ( ) ∫ 𝑑𝑇 𝑇𝒟 0 (𝑒 𝑥 − 1)2

Khi 𝑇 ≪ 𝑇𝒟 , 𝑇𝒟 /𝑇 ≈ ∞,

𝑇𝒟

∫

0

∞ 𝑒 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝜋2 ≈∫ = 𝑥 2 (𝑒 𝑥 − 1)2 3 0 (𝑒 − 1)

FF

Do đó:

IC IA L

∫

O

𝜋2 𝑇 𝜋𝑘𝐵 2 𝑁𝑎 𝐶𝑣 = 𝑁𝑘𝐵 ( ) = 𝑇 3 𝑇𝒟 3ℏ𝑣

H

Ơ

N

2.1.4. Graphic có cấu trúc tinh thể xếp lớp. Các nguyên tử C tạo thành từng lớp 2 chiều được sắp xếp sao cho mỗi nguyên tử lớp này liên kết với 3 nguyên tử gần nhất. Lực liên kết giữa các nguyên tử C ở các lớp khác nhau thì yếu hơn so với lực liên kết trong cùng lớp. Bằng thực nghiệm đã tìm ra được ở nhiệt độ thấp,

N

nhiệt dung riêng của mạng tỉ lệ với 𝑻𝟐 . Thuyết Debye giải thích điều này như thế nào?

Q

U

Y

Giải: Theo thuyết Debye, mật độ trạng thái 𝒟(𝜔) của mạng 2 chiều tỉ lệ với 𝜔. Nếu sự tương tác giữa các nguyên tử ở các lớp khác nhau rất yếu, thì 𝒟(𝜔) được xem như

KÈ

M

xấp xỉ tổng mật độ trạng thái và cũng tỉ lệ với 𝜔. Do đó, đối với một tinh thể xếp lớp thì: 𝒟(𝜔) = 𝐴𝜔

ẠY

Với A là hằng số. 𝜔𝒟

∫

𝒟(𝜔)𝑑 𝜔 = 3𝑁

0

D

N là số nguyên tử, 𝜔𝒟 là tần số Debye. 𝜔𝒟

∫

0

𝐴𝜔𝒟 2 3𝑁 𝐴𝜔𝑑 𝜔 = 3𝑁 ⇔ = 3𝑁 ⇔ 𝐴 = 2 𝜔𝒟 2

Tổng năng lượng mạng: 𝑈=∫

𝜔𝒟

0

ℏ𝜔 𝑒 ℏ𝜔/𝑘𝐵 𝑇 − 1

𝜔𝒟

𝒟 (𝜔 ) 𝑑 𝜔 = 𝐴 ∫

0

ℏ𝜔2 𝑒 ℏ𝜔/𝑘𝐵 𝑇 − 1

𝑑𝜔

Nhiệt dung riêng:

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 34

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

𝑑𝑈 𝑘𝐵 𝑇 2 𝑇𝒟 /𝑇 𝑥 3 𝑒 𝑥 ) ∫ 𝐶𝑣 = ( ) = 𝐴𝑘𝐵 ( 𝑑𝑥 (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑑𝑇 𝑣 ℏ 0 Với 𝑥 =

ℏ𝜔 𝑘𝐵 𝑇

, 𝑇𝒟 = ℏ𝜔𝒟 /𝑘𝐵

Khi 𝑇 ≪ 𝑇𝒟 , 𝑇𝒟 /𝑇 ≈ ∞, 𝑇𝒟 /𝑇

0 2

∞ 𝑥3𝑒 𝑥 𝑥3𝑒 𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ≈ 𝑑𝑥 ≈ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑥 2 (𝑒 𝑥 − 1)2 0 (𝑒 − 1)

2.2. Bài tập suy luận: 2.2.1. Xét 1 mạng tinh thể dao động d chiều tại 𝑻 = 𝟎.

FF

Do đó 𝐶𝑣 tỉ lệ với 𝑇 ở nhiệt độ thấp trong mạng tinh thể 3 chiều.

IC IA L

∫

a. Tìm giá trị trung bình bình phương độ dời |𝑹𝟐 | với 𝒅 = 𝟑.

O

b. Tính |𝑹𝟐 | với 𝒅 = 𝟏.

N

Giải:

Ơ

Xét một nguyên tử dao động với tần số góc 𝜔𝑗 và biên độ 𝑦0𝑗 . Vị trí của nguyên tử tại vị trí cân bằng:

H

𝑦𝑗 = 𝑦0𝑗 cos(𝑞𝑗 𝑥 − 𝜔𝑗 𝑡) 1 1 𝑚𝑦𝑗̇ 2 = 𝑚𝜔𝑗 2 𝑦𝑗 2 2 2 1 1 | 𝑚𝑦𝑗̇ 2 | = 𝑚𝜔𝑗 2 |𝑦𝑗 2 | 2 2 1 = 𝑚𝜔𝑗 2 𝑦0𝑗 2 4

N

Động năng:

Q

U

Y

Động năng trung bình:

D

ẠY

KÈ

M

Nguyên tử dao động được xem như là các dao động tử điều hòa với cùng tần số, do đó nó có năng lượng: 1 (𝑛 + ) ℏ𝜔𝑗 2 Khi động năng của 1 dao động bằng 1/2 năng lượng toàn phần, 1 1 1 𝑚𝜔𝑗 2 𝑦0𝑗 2 = (𝑛 + ) ℏ𝜔𝑗 4 2 2 (2𝑛 + 1)ℏ ⇒ 𝑦0𝑗 2 = 𝑚𝜔𝑗 Tại 𝑇 = 0, ở trạng thái cơ bản có số lượng tử 𝑛 = 0. Trung bình bình phương độ dời: 1 2 ℏ |𝑦𝑗 | = 𝑦0𝑗 = 2 2𝑚𝜔𝑗 2

Suy ra, trung bình bình phương độ dời đối với N nguyên tử:

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 35

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 𝑁

ℏ ℏ 1 |𝑅 2 | = ∑|𝑦𝑗 2 | = ∑ 𝜔𝑗 −1 = ∑ 𝜔𝑗 −1 2𝑁𝑚 2𝜌𝑉 𝑁 𝑗

a. 𝑑 = 3 Số dao động chuẩn có vector sóng bé hơn k:

Mặt khác:

IC IA L

4 3 2𝜋 −3 𝑉𝑘 3 𝒩 = 3 𝜋𝑘 . ( ) = 3 𝐿 2𝜋 2 𝑉𝜔3 𝜔 = 𝑣𝑘 ⇒ 𝒩 = 2 3 2𝜋 𝑣

𝑑𝒩 3𝑉𝜔2 𝒟 (𝜔 ) = = 𝑑𝜔 2𝜋 2 𝑣 3

O

Mật độ dao động chuẩn:

FF

Giả sử các dao động đều có cùng vận tốc truyền sóng v

𝜔𝒟

∫

N

Hơn nữa, 𝒩 = 3𝑁, tần số góc Debye là: 𝒟(𝜔)𝑑𝜔 = 𝒩

Ơ

0 𝜔𝒟

KÈ

Do đó:

M

Q

U

Y

N

H

𝑉𝜔2 ∫ 𝑑𝜔 = 𝒩 = 3𝑁 6𝜋 2 𝑣 3 0 𝜔𝒟 𝑉𝜔2 ∫ 𝑑𝜔 = 𝑁 2𝜋 2 𝑣 3 0 𝑉𝜔𝒟 3 ⇒ 2 3=𝑁 6𝜋 𝑣 𝑁 ⇒ 𝜔𝒟 3 = 6𝜋 2 𝑣 3 𝑉

D

ẠY

b. 𝑑 = 1,

|𝑅 2 |

|𝑅 2 | =

1

6𝜋 2 𝑁 3 ) 𝑣 ⇒ 𝜔𝒟 = ( 𝑉

𝜔𝒟 ℏ 3ℏ𝜔𝒟 2 ∫ 𝜔−1 𝒟(𝜔)𝑑𝜔 = 2 2𝜌𝑉 0 8𝜋 𝑚𝑛𝑣 3

2𝜋 −1 𝐿𝑘 𝐿𝜔 𝒩 = 𝑁 = 2𝑘. ( ) = = 𝐿 𝜋 𝜋𝑣 𝐿 𝒟 (𝜔 ) = 𝜋𝑣 𝜋𝑁𝑣 𝜔𝒟 = 𝐿 𝜔

ℏ ℏ = ∑ 𝜔𝑗 −1 = ∫ 2𝜌𝐿 2𝜌𝐿 0

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

𝒟

𝜔𝒟 ℏ 𝑑𝜔 ℏ 𝜔 𝜔 𝒟(𝜔)𝑑𝜔 = ∫ = ln 𝜔| 𝒟 = ∞ 0 2𝜋𝑚𝑛𝑣 2𝜋𝜌𝑣 0 𝜔 −1

Trang 36

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

2.2.2. Theo xấp xỉ Debye, chứng minh rằng trung bình bình phương độ dời của 1 nguyên tử ở 𝑻 = 𝟎𝑲 là 𝟑ℏ𝝎𝓓 𝟐 |𝑹 = 𝟖𝝅𝟐 𝝆𝒗𝟑 ℏ |𝑹𝟐 | = ∑ 𝝎𝒋 −𝟏 𝟐𝝆𝑽 Giải: ℏ |𝑅 2 | = ∑ 𝜔𝑗 −1 2𝜌𝑉

Ta có: Tính

∑ 𝜔𝑗

−1

=∫

𝜔𝒟

0

Suy ra:

𝜔−1 𝒟(𝜔)𝑑𝜔 = 3𝑉𝜔𝒟 2 /4𝜋 2 𝑣 3 3ℏ𝜔𝒟 2 8𝜋 2 𝜌𝑣 3

O

|𝑅2 | =

FF

Với:

IC IA L

𝟐|

Ơ

Cho biết 𝝎𝒌 = √(𝟒𝝅/𝒎) 𝐬𝐢𝐧(𝒌𝒂/𝟐).

N

2.2.3. Xét mạng tinh thể lập phương 2 chiều, nguyên tử có khối lượng m. Tại nút mạng chúng chỉ tương tác với các nguyên tử lân cận gần nhất bởi hằng số lực K.

H

a. Trong giới hạn của bước sóng dài, ta có hàm mật độ dao động 𝓓(𝝎) =

N

𝒅𝓝/𝒅𝝎 (số dao động trên khoảng 𝒅𝝎). b. Ở nhiệt độ cao (𝒌𝑩 𝑻 ≫ ℏ𝝎), tìm trung bình bình phương độ dời của 1 nguyên

Y

tử từ vị trí cân bằng của nó.

Q

U

Giải: a. Trong giới hạn bước sóng dài, 𝑞 → 0 và:

M

𝜔𝑘 = √

𝑘 𝑘𝑎 4𝜋 sin ( ) ≈ √ 𝑞𝑎 𝑚 2 𝑚

Vận tốc âm:

D

ẠY

KÈ

𝜔𝑞 𝑘 =√ 𝑎 𝑞 𝑚 Số dao động với số sóng bé hơn 𝑞 được cho bởi diện tích (2𝜋/𝐿)2 . 𝑣=

2𝜋 −2 𝐿2 𝑞2 𝑆 𝜔2 𝒩 = 2𝜋𝑞 ( ) = = 𝐿 2𝜋 2𝜋 𝑣 2 2

Với S là diện tích mạng.

Mật độ trạng thái phonon: 𝒟 (𝜔 ) =

𝑑𝒩 𝑆𝜔 𝑆𝑚𝜔 = 2= 2 𝑑𝜔 𝜋𝑣 𝜋𝑎 𝐾

b. Năng lượng toàn phần của mạng:

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 37

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp 𝜔𝑚

𝑈=∫

ℏ𝜔 𝑒 ℏ𝜔/𝑘𝐵 𝑇

0

𝒟(𝜔)𝑑𝜔

Ở nhiệt độ cao, (𝑘𝐵 𝑇 ≫ ℏ𝜔): ℏ𝜔 𝑘𝐵 𝑇

Do đó: 𝜔𝒟

𝑈≈∫

0

𝑘𝐵 𝑇𝒟(𝜔)𝑑𝜔 =

𝑆𝑘𝐵 𝑇 2 𝜔 2𝜋𝑣 2 𝒟

IC IA L

𝑒 ℏ𝜔/𝑘𝐵 𝑇 ≈ 1 +

𝑆 𝜔𝒟 2 𝒩 = 2𝑁 = 2𝜋 𝑣 2 4𝜋𝑁𝑣 2 2 𝜔𝒟 = 𝑆 𝑈 = 2𝑁𝑘𝐵 𝑇 Ở giới hạn nhiệt độ cao, thế năng trung bình bằng động năng trung bình và bằng 1/2 năng lượng toàn phần. Nếu |𝑅2 | là trung bình bình phương độ dời của 1 nguyên tử,

N

O

FF

Nếu có N nguyên tử thì:

Ơ

thì:

H

𝑁 𝐾 |𝑅2 | = 𝑁𝑘𝐵 𝑇 2 2𝑘𝐵 𝑇 |𝑅2 | = 𝐾

N

Suy ra:

U

Y

Với 𝐾 là hằng số lực.

Q

§3: BÁN DẪN

M

3.1. Một số ví dụ: 3.1.1. Bán dẫn tinh khiết: Tính xác suất của trạng thái ở đáy vùng dẫn bị chiếm

KÈ

bởi electron và tính mật độ electron của Si ở nhiệt độ 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎𝑲. Cho rằng mức Fermi thấp hơn đáy vùng dẫn 𝟎, 𝟐𝟓𝒆𝑽 và 𝑵𝑪 = 𝟐, 𝟖. 𝟏𝟎𝟏𝟗 𝒄𝒎−𝟑.

D

ẠY

Giải: Xác suất của trạng thái ở đáy vùng dẫn bị chiếm bởi electron: 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 −0,25 ) = 𝑒𝑥𝑝 ( ) = 6,43. 10−5 𝑐𝑚−3 𝑓 (𝐸𝐶 ) = 𝑒𝑥𝑝 (− −23 𝑘𝐵 𝑇 1,38. 10 . 300.1,6. 10−19 Mật độ electron: 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 −0,25 ) = 2,8. 1019 . 𝑒𝑥𝑝 ( ) = 1,8. 1015 𝑐𝑚−3 𝑛 = 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 0,0259

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 38

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

3.1.2. Bán dẫn tinh khiết: Tính mật độ lỗ trống trong bán dẫn Silic ở nhiệt độ 400K. Biết rằng mức Fermi cao hơn đáy vùng hóa trị 0,27eV. Giá trị 𝑵𝑽 của Si tại 300K là 𝑵𝑽 = 𝟏, 𝟎𝟒. 𝟏𝟎𝟏𝟗 𝒄𝒎−𝟑 .

Giải: 400 3/2 ) = 1,6. 1019 𝑐𝑚−3 𝑁𝑉 = 1,04. 10 . ( 300

Tại 𝑇 = 400𝐾:

IC IA L

19

Mật độ lỗ trống:

−0,27 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 ) = 1,6. 1019 . 𝑒𝑥𝑝 ( ) = 6,43. 1015 𝑐𝑚−3 400 𝑘𝐵 𝑇 0,0259.

300

FF

𝑝 = 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (−

3.1.3. Bán dẫn tinh khiết: Tính mật độ hạt tải điện riêng của Ge ở 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎𝑲 và

O

𝑻 = 𝟒𝟓𝟎𝑲. Biết độ rộng vùng cấm của Ge là 1,08eV. Giải:

Ơ

𝐸𝐶 − 𝐸𝑉 −1,08 ) = 1,04. 1019 . 6,0. 1018 . 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝑘𝐵 𝑇 0,0259

= 4,85. 1019

N

⟹ 𝑛𝑖 = 6,96. 109 𝑐𝑚−3

H

𝑛𝑖 2 = 𝑁𝐶 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (−

N

Tại 𝑇 = 300𝐾:

U

450 3 −1,08 ) 𝑒𝑥𝑝 ( ) = 1,78. 1026 = 1,04. 10 . 6,0. 10 . ( 450 300 0,0259.

300 13 −3 ⟹ 𝑛𝑖 = 1,33. 10 𝑐𝑚 18

Q

19

M

𝑛𝑖

2

Y

Tại 𝑇 = 450𝐾:

KÈ

3.1.4. Bán dẫn tinh khiết: Tìm vị trí mức Fermi theo mức năng lượng giữa vùng cấm của Si ở 𝑻 = 𝟐𝟕𝟎 𝑪, 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝑪.

Giải:

D

ẠY

Tại 𝑇 = 270 𝐶 ⟺ 𝑇 = 3000 𝐾: 𝑚𝑝 3 3 0,56 𝐸𝐹 = −𝐸𝑔 + 𝑘𝐵 𝑇 ln = . 0,0259. ln = −0,013 𝑒𝑉 4 𝑚𝑛 4 1,08 Tại 𝑇 = 3000 𝐶 ⟺ 𝑇 = 5730 𝐾: 𝑚𝑝 3 1,38. 10−23 . 573 3 0,56 𝐸𝐹 = −𝐸𝑔 + 𝑘𝐵 𝑇 ln = . . ln −19 4 𝑚𝑛 4 1,6. 10 1,08 = −0,024 𝑒𝑉

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 39

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

3.1.5. Bán dẫn tạp chất: Tính mật độ electron và lỗ trống trong bán dẫn Si ở 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝑲, biết độ rộng vùng cấm 𝑬𝒈 = 𝟏, 𝟏𝟐 𝒆𝑽 và vị trí mức Fermi thấp hơn đáy vùng dẫn 𝟎, 𝟐𝟓 𝒆𝑽.

Giải: độ

Mật p:

độ

𝑛 = 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 (−

𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 −0,25 ) = 2,8. 1019 . 𝑒𝑥𝑝 ( ) = 1,8. 1015 𝑐𝑚−3 𝑘𝐵 𝑇 0,0259

𝑝 = 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 (−

𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 −0,87 ) = 1,04. 1019 . 𝑒𝑥𝑝 ( ) = 2,7. 104 𝑐𝑚−3 𝑘𝐵 𝑇 0,0259

IC IA L

Mật e:

FF

3.1.6. Bán dẫn tạp chất: Tính mật độ electron và lỗ trống trong bán dẫn Si chứa

𝟏, 𝟏. 𝟏𝟎𝟏𝟔 nguyên tử B trên 𝒄𝒎𝟑 và 𝟗. 𝟏𝟎𝟏𝟓 nguyên tử P trên 𝒄𝒎𝟑 ở 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝑲,

O

với 𝒏𝒊 = 𝟏, 𝟓. 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝒄𝒎−𝟑.

N

Giải:

H

Ơ

(𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 ) 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 2 ) + 𝑛𝑖2 𝑛= + √( 2 2

2

N

1,1. 1016 − 9. 1015 1,1. 1016 − 9. 1015 √ ) + (1,5. 1010 )2 = + ( 2 2

Q

U

Y

= 4. 1015 𝑐𝑚−3 Mật độ lỗ trống: 𝑛𝑖2 (1,5. 1010 )2 𝑝= = = 5,62. 104 𝑐𝑚−3 15 𝑛 4. 10 3.1.7. Bán dẫn tạp chất: Bán dẫn Si được pha thêm tạp chất acceptor mật độ

M

𝑵𝒂 = 𝟏, 𝟏. 𝟏𝟎𝟏𝟔 𝒄𝒎−𝟑. Tính mật độ tạp chất donor để có được bán dẫn loại n và

KÈ

vị trí mức Fermi thấp hơn đáy vùng dẫn 𝟎, 𝟐𝟎𝐞𝐕.

Giải:

𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 𝑁𝐶 𝐸𝐹 − 𝐸𝐶 −0,20 ) = 2,8. 1019 𝑒𝑥𝑝 ( ) = 1,24. 1016 𝑐𝑚−3 ⟹ 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 = 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 0,0259

D

ẠY

𝐸𝐹 = 𝐸𝐶 + 𝑘𝐵 𝑇 ln

⟹ 𝑁𝑑 = 1,24. 1016 + 1,1. 1016 = 2,34. 1016 𝑐𝑚−3

3.2. Bài tập áp dụng công thức: 3.2.1. Tính mật độ electron và lỗ trống trong bán dẫn Ge ở 𝑻 = 𝟐𝟕𝒐 𝑪. Biết mức Fermi thấp hơn đáy vùng dẫn 𝟎, 𝟐𝟕𝒆𝑽 và độ rộng vùng cấm 𝑬𝒈 = 𝟎, 𝟔𝟔𝒆𝑽.

Giải: SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 40

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 −0,27 Mật độ 19 (− ) ( ) = 3,09. 1014 𝑐𝑚−3 𝑛 = 𝑁 𝑒𝑥𝑝 = 1,04.

10 𝑒𝑥𝑝 𝐶 e: 𝑘𝐵 𝑇 0,0259 Ta có: 𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 = (𝐸𝐶 − 𝐸𝑉 ) − (𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ) = 𝐸𝑔 − (𝐸𝑐 − 𝐸𝐹 ) = 0,66 − 0,27 = 0,39 𝑒𝑉 độ

𝑝 = 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (−

𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 −0,39 ) = 6,0. 1018 𝑒𝑥𝑝 ( ) = 1,73. 1012 𝑐𝑚−3 𝑘𝐵 𝑇 0,0259

IC IA L

Mật p:

3.2.2. Bán dẫn Si được pha tạp với mật độ 𝑵𝒅 = 𝟗. 𝟏𝟎𝟏𝟓 𝒄𝒎−𝟑 và 𝑵𝒂 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟏𝟑.

Tính mật độ electron và lỗ trống. độ

Mật electron:

(𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 ) 𝑁𝑑 − 𝑁𝑎 2 √ ) + 𝑛𝑖2 𝑛= + ( 2 2

FF

Giải:

O

2

N

9. 1015 − 3. 1013 9. 1015 − 3. 1013 ) + (1,5. 1010 )2 = + √( 2 2 ≈ 9. 1015 𝑐𝑚−3 lỗ 𝑛𝑖2 (1,5. 1010 )2 𝑝= = = 2,5. 104 𝑐𝑚−3 15 𝑛 9. 10

H

Ơ

Mật độ trống:

N

3.2.3. Tìm vị trí mức Fermi theo mức năng lượng giữa vùng cấm của Ge ở

Tại 𝑇 = 400 𝐾:

Giải:

U

0

Y

𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑲.

M

Q

𝑚𝑝 3 1,38. 10−23 . 400 3 0,37 𝐸𝐹 = −𝐸𝑚𝑔 + 𝑘𝐵 𝑇 ln = . . ln = −0,01 𝑒𝑉 4 𝑚𝑛 4 1,6. 10−19 0,55

KÈ

3.2.4. Tìm vị trí mức Fermi so với đỉnh vùng hóa trị của bán dẫn GaAs tại 𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑲. Biết mật độ tạp chất 𝑵𝒂 = 𝟏𝟎𝟏𝟔 𝒄𝒎−𝟑 và 𝑵𝒅 = 𝟏, 𝟐𝟏. 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝒄𝒎−𝟑.

Giải:

D

ẠY

Mật độ lỗ trống:

(𝑁𝑎 − 𝑁𝑑 ) 𝑁𝑎 − 𝑁𝑑 2 ) + 𝑛𝑖2 𝑝= + √( 2 2 2

1016 − 1,21. 1013 1016 − 1,21. 1017 √ ) + (1,8. 106 )2 = + ( 2 2 ≈ 1016 𝑐𝑚−3

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 41

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

𝐸𝐹 − 𝐸𝑣 ) 𝑘𝐵 𝑇 𝑁𝑉 7. 1018 ) = 0,17 𝑒𝑉 𝐸𝐹 − 𝐸𝑣 = 𝑘𝐵 𝑇 ln = 0,0259. ln ( 𝑝 1016

Từ công thức:

𝑝 = 𝑁𝑣 𝑒𝑥𝑝 (−

Suy ra:

3.2.5. Tìm xác suất mà mức năng lượng cao hơn mức Fermi 3KT bị chiếm bởi

IC IA L

electron tại 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎𝑲 Giải: Ta có: 1 1 + 𝑒𝑥𝑝 (

𝐸 − 𝐸𝐹 ) 𝑘𝐵 𝑇

=

1 1 + 𝑒𝑥𝑝 (

3𝑘𝐵 𝑇 ) 𝑘𝐵 𝑇

=

1 ≈ 0,0474 = 4,74% 1 + 𝑒3

FF

𝑓 (𝐸 ) =

O

3.2.6. Cho 𝑬𝑭 = 𝟔, 𝟐𝟓𝒆𝑽, tìm nhiệt độ mà tại đó, xác suất của một trạng thái ở

N

mức 𝑬 = 𝑬𝑭 − 𝟎, 𝟑𝒆𝑽 không bị chiếm bởi điện tử là 1%

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

Giải: Xác suất của trạng thái ở mức năng lượng E bị chiếm là 99% Như vậy: 1 = 0,99 𝐸 − 𝐸𝐹 ) 1 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 1 ⟺ = 0,99 −0,3 ) 1 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 −0,3 1 1 )= ⟺ 𝑒𝑥𝑝 ( −1= 𝑘𝐵 𝑇 99 0,99 0,3 0,3 ⟹𝑇= = = 7,57. 10−3 𝐾 𝑘𝐵 ln 99 8,62 ln 99 3.3. Bài tập suy luận: 3.3.1. Mật độ hạt tải điện riêng trong bán dẫn Si không vượt quá giá trị 𝒏𝒎 =

D

ẠY

𝟏𝟎𝟏𝟐 𝒄𝒎−𝟑. Tính nhiệt độ cao nhất cho phép đối với Si. Ta có: Với:

Giải: 𝐸𝑔 𝐸𝐶 − 𝐸𝑉 ) = 𝑁𝐶 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (− ) 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 𝐸𝑔 2 ) ≤ 𝑛𝑚 𝑛𝑖 ≤ 𝑛𝑚 ⟹ 𝑁𝐶 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 𝐸𝑔 𝑁𝐶 𝑁𝑉 )≥ 2 ⟹ 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 𝑛𝑚 𝑛𝑖2 = 𝑁𝐶 𝑁𝑉 𝑒𝑥𝑝 (−

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 42

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp ⟺𝑇≤

1,12.1,6. 10−19 = 390𝐾 2,8. 1019 . 1,04. 1019 −23 ) 1,38. 10 ln ( 1024

IC IA L

⟺𝑇≤

𝐸𝑔 𝑁 𝑁 𝑘𝐵 ln 𝐶 2 𝑉 𝑛𝑚

O

FF

3.3.2. Chứng minh rằng đối với bán dẫn pha tạp ở nhiệt độ thấp, vị trí mức Fermi của bán dẫn loại n là: 𝑬𝒅 + 𝑬𝑪 𝑲𝑻 𝑵𝒅 𝑬𝑭𝒏 = + 𝐥𝐧 𝟐 𝟐 𝑵𝑪 Giải: Ở nhiệt độ không tuyệt đối, điện tử trong vùng hóa trị cũng như trên mức donor không thể chuyển mức lên vùng dẫn, vì thế mật độ điện tử trong vùng dẫn bằng

không. Khi nhiệt độ tăng dần lên, đầu tiên chỉ có điện tử ở mức donor có thể chuyển

N

lên vùng dẫn, vì ∆𝐸𝑔 ≫ ∆𝐸𝑑 nên trong vùng nhiệt độ thấp này ta có thể giả thiết chưa

H

hòa có dạng: 𝑛 = 𝑁𝑑+ = 𝑁𝑑 − 𝑛𝑑 .

Vì: 𝑛𝑑 =

Ơ

có quá trình chuyển mức từ vùng hóa trị lên vùng dẫn, nên 𝑝 = 0. Phương trình trung

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

𝑁𝑑 𝐸 − 𝐸𝐹 1 )+1 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑑 2 𝑘𝐵 𝑇 Nên ta có phương trình trung hòa sau: 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 𝑁𝑑 𝑁𝑑 ) = 𝑁𝑑 − 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 (− = 𝐸 − 𝐸𝐹 𝐸 − 𝐸𝑑 1 𝑘𝐵 𝑇 )+1 ) + 1 2𝑒𝑥𝑝 ( 𝐹 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑑 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 2 Đặt 𝑒𝑥𝑝(𝐸𝐹 /𝑘𝐵 𝑇) = 𝑥, ta có: 𝐸𝐷 𝐸𝐶 ) 𝑥 [1 + 2𝑥. 𝑒𝑥𝑝 (− )] = 𝑁𝑑 𝑁𝐶 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 Hay: 1 𝐸𝑑 𝐸𝐶 + 𝐸𝑑 𝑁𝑑 ).𝑥 − )=0 𝑥 2 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑒𝑥𝑝 ( 2 𝑘𝐵 𝑇 2𝑁𝐶 𝑘𝐵 𝑇 Giải phương trình trên ta có nghiệm: 𝑥=

1 𝐸𝑑 8𝑁𝑑 ∆𝐸𝑑 ) [√1 + ) − 1] 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑒𝑥𝑝 ( 4 𝑘𝐵 𝑇 𝑁𝐶 𝑘𝐵 𝑇

Giả thiết nhiệt độ thấp nên: 8𝑁𝑑 ∆𝐸𝑑 8𝑁𝑑 𝐸𝐶 − 𝐸𝑑 )= )≫1 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑁𝐶 𝑘𝐵 𝑇 𝑁𝐶 𝑘𝐵 𝑇

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 43

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

⟹𝑥≅

1 𝐸𝑑 𝐸𝐶 − 𝐸𝑑 8𝑁𝑑 )√ ) 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 2𝑘𝐵 𝑇 4 𝑁𝐶

𝑁𝑑 𝐸𝐹 𝐸𝐶 + 𝐸𝑑 )=√ ) 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑒𝑥𝑝 ( 2𝑁𝐶 𝑘𝐵 𝑇 2𝑘𝐵 𝑇 𝐸𝐹 =

𝐸𝐶 + 𝐸𝑑 𝑘𝐵 𝑇 𝑁𝑑 + ln 2 2 𝑁𝐶

IC IA L

Từ đây ta có:

3.3.3. Từ 3.3.2, suy ra công thức tính mật độ electron.

Suy ra: 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ) 𝑘𝐵 𝑇

N

𝑛 = 𝑁𝐶 . 𝑒𝑥𝑝 (−

O

Ta có:

FF

Giải: 𝐸𝐶 + 𝐸𝑑 𝑘𝐵 𝑇 𝑁𝑑 𝐸𝐹 = + ln 2 2 𝑁𝐶

Ơ 2𝑘𝐵 𝑇

𝑁𝑑 𝑁𝐶

)

H

= 𝑁𝐶 . 𝑒𝑥𝑝 (−

𝐸𝐶 − 𝐸𝑑 − 𝑘𝐵 𝑇 ln

N

𝐸𝐶 − 𝐸𝑑 1 𝑁𝑑 ) 𝑒𝑥𝑝 ( ln ) 2𝑘𝐵 𝑇 2 𝑁𝐶 𝐸𝐶 − 𝐸𝑑 ) = √𝑁𝐶 𝑁𝑑 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝑘𝐵 𝑇

Q

U

Y

= 𝑁𝐶 . 𝑒𝑥𝑝 (−

M

3.3.4. Xét một bán dẫn riêng có hàm mật độ trạng thái được mô tả ở hình sau: a. Tìm vị trí mức Fermi đối với vùng hóa trị và vùng dẫn.

D

ẠY

KÈ

b. Tính mật độ electron vùng dẫn ở nhiệt độ phòng.

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 44

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp Giải: a. Số electron trong vùng dẫn:

∞

𝑛 = ∫ 𝑁(𝐸 )𝑓 (𝐸 )𝑑𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝑉

−∞

Với:

IC IA L

Số lỗ trống trong vùng hóa trị: 𝑝 = ∫ 𝑁(𝐸 )[1 − 𝑓 (𝐸 )]𝑑𝐸 1

𝑓 (𝐸 ) =

𝐸𝐶

𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ) 𝑘𝐵 𝑇

Ơ

= 𝑛0 𝑘𝐵 𝑇𝑒𝑥𝑝 (−

N

O

FF

Là hàm phân bố Fermi 𝐸 − 𝐸𝐹 – Dirac. ) 1 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 Xét một bán dẫn tinh khiết, 𝑛 = 𝑝 và trong trường hợp 𝐸 − 𝐸𝐹 ≫ 𝑘𝐵 𝑇 thì phân bố Fermi có thể thay bằng phân bố Boltzman: 𝐸 − 𝐸𝐹 ) 𝑓 (𝐸 ) = 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 ∞ Do đó: 𝐸 − 𝐸𝐹 ) 𝑑𝐸 𝑛 ≈ ∫ 𝑛0 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇

H

𝐸𝐹 − 𝐸𝑉 ) 𝑘𝐵 𝑇

N

𝑝 ≈ 𝑛0 𝑘𝐵 𝑇𝑒𝑥𝑝 (−

𝐸𝐶 + 𝐸𝑉 2 b. Dựa vào hình vẽ ta thấy: 𝐸𝑔 = 1,5𝑒𝑉 𝐸𝑔 Vì: 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ≈ = 0,75 𝑒𝑉 2 Ở nhiệt độ phòng 𝑇 = 300𝐾, mật độ electron vùng dẫn: 𝐸𝐶 − 𝐸𝐹 ) = 4,68. 106 𝑐𝑚−3 𝑛 ≈ 𝑛0 𝐾𝑇𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 Vì 𝑛 = 𝑝, suy ra:

KÈ

M

Q

U

Y

𝐸𝐹 =

D

ẠY

3.3.5. Tìm năng lượng mà để có sự sai khác giữa phép gần đúng Boltzman và hàm Fermi là 5% của hàm Fermi.

Giải: Ta có: 𝐸 − 𝐸𝐹 1 )− 𝑒𝑥𝑝 (− 𝐸 − 𝐸𝐹 𝑘𝐵 𝑇 ) 1 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 = 0,05 1 𝐸 − 𝐸𝐹 ) 1 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 45

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

𝐸 − 𝐸𝐹 𝐸 − 𝐸𝐹 ) . [1 + 𝑒𝑥𝑝 ( )] − 1 𝐸 − 𝐸𝐹 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 )] = 0,05 ⟺ . [1 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝐸 − 𝐸𝐹 𝑘 𝑇 𝐵 ) 1 + 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐵 𝑇 𝐸 − 𝐸𝐹 𝐸 − 𝐸𝐹 ) . [1 + 𝑒𝑥𝑝 ( )] − 1 = 0,05 ⟺ 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 𝐸 − 𝐸𝐹 𝐸 − 𝐸𝐹 𝐸 − 𝐸𝐹 ) + 𝑒𝑥𝑝 (− ) 𝑒𝑥𝑝 ( ) − 1 = 0,05 ⟺ 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 𝐸 − 𝐸𝐹 ) = 0,05 ⟺ 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑘𝐵 𝑇 𝐸 − 𝐸𝐹 1 ⟺ = ln 𝑘𝐵 𝑇 0,05 1 ⟺ 𝐸 − 𝐸𝐹 = 𝑘𝐵 𝑇 ln 0,05 ⟺ 𝐸 − 𝐸𝐹 ≈ 3𝑘𝐵 𝑇

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

IC IA L

𝑒𝑥𝑝 (−

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 46

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

KẾT LUẬN Ngành vật lý chất rắn đã được phát triển nhanh trong nhiều năm qua. Sự phát triển của vật lý chất rắn gắn liền với sự phát triển và sử dụng các vật liệu mới và những tính năng đặc biệt của nó. Việc nghiên cứu bộ môn Vật lý chất rắn phải luôn được thực hiện về cả kiến thức lý thuyết và thực nghiệm. Vì vậy, để hiểu rõ hơn về Vật lý chất

IC IA L

rắn thì việc làm bài tập là rất quan trọng.

Bài tập là chính là phương tiện để người học có thể củng cố các kiến thức lý thuyết đã được học tại trường. Ngoài ra, việc làm bài tập còn giúp người học sáng tạo, tư duy và rèn tính kiên trì, cẩn thận.

FF

Với tầm quan trọng đó, chúng tôi đã hệ thống, phân loại và đưa ra cách giải cho 13

O

dạng bài tập chất rắn liên quan đến các chương Cấu trúc tinh thể, Mạng đảo, Thuyết nhiệt dung Debye và Chất bán dẫn:

H

- Khoảng cách giữa hai mặt (ℎ𝑘𝑙)

Ơ

N

- Xác định hằng số mạng.

- Tìm mật độ nguyên tử.

- Mạng đảo.

U

Y

N

- Chỉ số Miller.

- Thừa số cấu trúc nguyên tử, thừa số dạng nguyên tử.

- Nhiễu xạ trên tinh thể.

- Xác định tần số Debye.

- Xác định nhiệt dung riêng tinh thể.

M

Q

- Tính mật độ hạt tải điện.

- Tìm vị trí mức Fermi.

- Tìm nhiệt độ khi biết mật độ hạt tải.

D

ẠY

KÈ

- Bài toán với đồ thị. Đề tài cũng đã đưa ra các ví dụ tiêu biểu cho mỗi dạng toán, sưu tầm được 45 bài toán với bài giải cụ thể. Đối với mỗi dạng bài tập, chúng tôi thực hiện giải theo các bước sau:  Phương pháp giải  Ví dụ minh họa  Bài tập áp dụng công thức  Bài tập suy luận Trong quá trình thực hiện đề tài này, chúng tôi đã ngày càng hiểu rõ hơn về Vật lý chất rắn, đặc biệt là cách giải bài tập, việc mà trong quá trình học không có đủ điều

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 47

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

kiện để thực hiện. Bên cạnh đó, việc tìm tòi và tra cứu tài liệu tiếng Anh đã góp phần nâng cao thêm trình độ ngoại ngữ.

Khi thực hiện đề tài này, chúng tôi mong muốn sau này đề tài sẽ trở thành một nguồn tài liệu tuy nhỏ nhưng thật hữu ích đối với các bạn sinh viên khác, góp phần

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

FF

IC IA L

nhỏ giúp các bạn tự tin hơn khi học bộ môn này. Chúng tôi cũng hy vọng đề tài sẽ được phát triển và bổ sung hơn dưới sự giúp đỡ của thầy cô và các bạn để ngày một hoàn thiện hơn.

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 48

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Văn Hùng, Giáo trình Lý thuyết chất rắn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội – 1999.

IC IA L

2. Phùng Hồ & Phan Quốc Phô, Giáo trình Vật lý bán dẫn, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, NXB Khoa học và kỹ thuật – 2001.

3. Lim Yung – Kuo, Problems and Solution on Solid State Physics.

4. Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics 8th edition Solution Manual.

5. Donald Neamen, Semiconductor Physics and Devices.

FF

6. https://archive.org/stream/IntroductionToSolidStatePhysics/81060415Introduction-to-Solid-State-Physics-8th-Edition-by-Charles-

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

Kittel#page/n67/mode/1up

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 49

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp PHỤ LỤC A

Bảng 1: Giá trị của mật độ trạng thái hiệu dụng 𝑁𝐶 , 𝑁𝑣 đối với một số chất bán dẫn 𝑵𝒗 ( 𝒄𝒎−𝟑 )

𝒎𝒏 /𝒎𝒐

𝒎𝒑 /𝒎𝒐

Si

2,8. 1019

1,04. 1019

1,08

0,56

GaAs

4,7. 1017

7,0. 1017

0,067

0,48

Ge

1,04. 1019

6,0. 1018

0,55

0,37

IC IA L

𝑵𝑪 ( 𝒄𝒎−𝟑 )

𝜺

Tinh thể

Tinh thể

FF

Bảng 2: Hằng số điện môi của một số chất:

𝜺

Kim cương

5,5

GaSb

Si

11,7

GaAs

Ge

15,8

AlAs

InSb

17,88

AlSb

10,3

InAs

14,55

SiC

10,2

InP

12,37

Cu2O

7,2

13,13 10,1

H

Ơ

N

O

15,69

N

Bảng 3: Năng lượng ion hóa donor của một số tạp chất hóa trị V trong bán dẫn Si và

Y

Ge (meV)

As

Sb

Si

45,0

49,0

39,0

Ge

Q

U

P

12,7

9,6

M

12,0

KÈ

Bảng 4: Năng lượng ion hóa acceptor của một số tạp chất hóa trị III trong bán dẫn Si và Ge (meV)

ẠY

Si

Al

Ga

45,0

57,0

65.0

10,4

10,2

10,8

D

Ge

B

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 50

GVHD: Ts. Lê Hồng Sơn

Khóa luận tốt nghiệp

PHỤ LỤC B GIÁ TRỊ CÁC HẰNG SỐ THÔNG DỤNG

Hăng số Boltzmann

𝑘𝐵 = 1,38. 10−23

Điện tích nguyên tố

𝑒 = 1,60. 10−19

Khối lượng electron tự do

𝑚0 = 9,1. 10−31

J/K C

kg

O

Hằng số điện môi trong chân 𝜀0 = 8,85. 10−12 không Hằng số Planck ℎ = 6,625. 10−34

Nguyên tử/mol

IC IA L

𝑁𝐴 = 6,02. 1023

FF

Số Avogadro

ℎ = 1,054. 10−34 2𝜋

J.s J.s

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

ℏ=

N

Hằng số Planck rút gọn

F/m

SVTH: Lê Tự Thúy Quỳnh

Trang 51