TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12 CẤP TỈNH TRÊN TOÀN QUỐC NĂM HỌC 2020-2021 by DẠY KÈM QUY NHƠN OLYMPIC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12 CẤP TỈNH TRÊN TOÀN QUỐC NĂM HỌC 2020-2021 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

A. PHẦN ĐỀ

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

1. HSG 12 CẤP TỈNH TP HÀ NỘI NĂM 2020-2021

2. HSG 12 CẤP TỈNH TP HCM NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 12

FI CI A

NĂM HỌC 2020-2021

TP. HỒ CHÍ MINH

(Thời gian làm bài 180 phút)

(

)

Câu 1. (4 điểm) Giải phương trình 4 x = x 2 x + 1 + 2 x − x .

Câu 2. (4 điểm)

Cho hàm số y = x 2 + x + 2021,5 có đồ thị ( P ) . Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng mà từ M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến ( P ) . (5.0 điểm)

ƠN

Câu 3.

Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn ( O ) . Trong hình nón, người ta đặt một hình = 120° chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , nội tiếp đường tròn ( O ) và BAC

đáy một góc bằng nhau.

. Đỉnh D nằm trên mặt xung quanh của hình nón, các mặt bên của hình chóp tạo với

a) Chứng minh rằng D thuộc đường thẳng SA .

Câu 4:

QU Y

b) Tính thể tích khối nón khi thể tích khối chóp bằng 3 . (4 điểm)

Cho X = {n ∈ ℤ / −5 ≤ n ≤ 5} và Π là tập hợp các hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c a, b, c ∈ X và

f ( x ) có 3 điểm cực trị. Chọn ngẫu nhiên f ( x ) từ Π , tính xác suất để gốc tọa độ O nằm

KÈ

Câu 5. ( 3 điểm)

hoàn toàn trong tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị của đồ thị f ( x ) .

Chứng minh rằng họ đường cong ( Cm )

y = x3 − 3 ( m − 2 ) x 2 + 3 ( m2 − 4m + 3) x − m3 + 6m 2 − 9m + 2 luôn tiếp xúc với hai đường

DẠ

thẳng cố định. HẾT

3. HSG 12 CẤP TỈNH TP HẢI PHÒNG NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI

CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 BẢNG

FI CI A

HẢI PHÒNG

NĂM HỌC 2020 - 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Đề thi gồm 08 câu; 01 trang)

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = mx3 + mx 2 + ( m + 1) x − 3. Tìm tất cả

ƠN

các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên

Ngày thi: 03/12/2020

ℝ.

b) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị được biểu thị

1 O

trong Hình 1. Tìm số giá trị nguyên của tham số m trong

f(x)

Hình 1

đoạn [ −2020;2020] để hàm số h ( x ) = f 2 ( x ) + 4 f ( x ) − m có đúng 3 điểm cực trị. Câu 2. (1,0 điểm) Cho log7 12 = x,log12 24 = y và log54 168 =

axy + 1 , trong đó a , b , c là các số bxy + cx

QU Y

nguyên. Tính giá trị biểu thức S = a + 2b + 3c. Câu 3. (1,0 điểm) Giải phương trình

4 + cos 2 x + sin 2 x − sin x − 7 cos x =0. 2sin x + 3

Câu 4. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có đúng ba nghiệm

phân biệt:

x3 − 5 x + 3 + 2 3 2 x3 − 3x 2 + m + m = 0.

KÈ

Câu 5. (1,0 điểm) Một bài thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó chỉ có một phương án đúng. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 0, 2 điểm và mỗi câu trả lời sai được 0 điểm. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi

câu một phương án trả lời. Hỏi điểm số nào có xác suất xuất hiện lớn nhất?

DẠ

Câu 6. (2,0 điểm) Cho khối tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD;

P là điểm nằm trong đoạn BC sao cho BP = k.PC ( k > 1) . a) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD trong trường hợp tam giác ACD vuông tại A, tam

giác BCD vuông cân tại B và AB = AC = AD = a.

b) Mặt phẳng đi qua ba điểm M , N , P chia tứ diện thành hai khối đa diện có thể tích lần

V2 . V1

lượt là V1 ,V2 (trong đó V1 là thể tích của phần chứa điểm A ). Tính

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ACB = 750 , B ( −4; −2 ) ; D là

ADC = 600. Tìm tọa độ của điểm A biết A có hoành độ âm.

FI CI A

điểm thuộc cạnh BC sao cho DC = 2DB. Biết đường cao kẻ từ A có phương trình 2 x + y = 0 và

Câu 8. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a , b , c thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2 − . 2 2 2 2ab + 8bc 2a + 2b + 2c 2 + 4ac + 1 --------- Hết ---------

ƠN

(Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm)

DẠ

KÈ

QU Y

4. HSG 12 CẤP TỈNH TP ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021-KHÔNG THI

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

5. HSG 12 CẤP TỈNH HÀ GIANG NĂM 2020-2021-KHÔNG TÌM THẤY 6. HSG 12 CẤP HUYỆN CAO BẰNGNĂM 2020-2021

LÀO CAI

NĂM HỌC 2020 - 2021

FI CI A

MÔN: TOÁN (THPT)

7. HSG 12 CẤP TỈNH LAI CHÂU NĂM 2020-2021-KHÔNG TÌM THẤY 8. HSG 12 CẤP TỈNH LÀO CAI NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

Ngày thi: 18/01/2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 180 (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm) 2

a) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ , biết f ' ( x ) = − ( x + 2 )( x − 4 ) , ∀x ∈ ℝ . Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x 2 − 3 x ) . 2

hàm số y = f 2 ( x ) − 2 f ( x ) − m có 9 điểm cực trị. Câu 2 (4,0 điểm)

)

(

)

(

ƠN

b) Cho hàm số y = f ( x ) = ( x + 2)( x −1) , ∀x ∈ℝ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị

a) Giải bất phương trình 2 + 3 − 2. 2 − 3

> 1.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trìn log 2 ( 2 x + m ) − 2 log 2 x = x 2 − 4 x − 2 m − 1 có

QU Y

hai nghiệm thực phân biệt.

Câu 3 (5,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết AB = a , góc giữa hai mặt phẳng

( SBC )

và ( ABCD ) bằng 60 0 .

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC . AM 1 SP 3 b) Lấy các điểm M , P lần lượt thuộc cạnh AD , SC sao cho = , = . Gọi N là giao điểm AD 2 SC 5 của SD với mặt phẳng ( BMP ) . Tính thể tích của khối đa diện SABMNP .

KÈ

Câu 4 (4,0 điểm) Cho tập S = {1; 2;3,..., 2016} . a) Hỏi có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử khác nhau chọn từ tập S, sao cho 3 số được chọn là độ dài 3 cạnh của một tam giác mà cạnh lớn nhất độ dài là 1000.

b) Chọn ngẫu nhiên 3 số khác nhau từ tập S. Tính xác suất sao cho 3 số được chọn là độ dài 3

DẠ

cạnh của một tam giác mà cạnh lớn nhất độ dài là số chẵn. Câu 5 (2,0 điểm) . a) Cho x, y > 0 và thỏa mãn xy ≥ 1 . Chứng minh rằng

1 1 2 + ≥ . 1 + x 1 + y 1 + xy

b) Cho a, b, c là các số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a ≥ b ≥ c > 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

1 b c  3a + thức M =  . + 2 a+b c+b a+c

…………………..HẾT…………………..

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

9. HSG 12 CẤP TỈNH TUYÊN QUANG NĂM 2020-2021-KHÔNG TÌM THẤY 10. HSG 12 CẤP TỈNH LẠNG SƠN NĂM 2020-2021

PHÚ THỌ

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

FI CI A

Môn: TOÁN

11. HSG 12 CẤP TỈNH BẮC KAN NĂM 2020-2021 – KHÔNG TÌM THẤY 12. HSG 12 CẤP TỈNH PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 05 trang)

I. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Bài 1 (2,0 điểm).

1 1 1 y = x 3 − 2 x 2 + 3x − có đồ thị ( C ) . Tìm m để đường thẳng ∆ : y = mx − cắt 3 3 3

( C ) tại ba điểm phân biệt

ƠN

1) Cho hàm số

A, B, C (trong đó A cố định) và S∆OBC = 2S∆OAB .

x +1 có đồ thị ( C ) . Giả sử A, B là hai điểm thuộc ( C ) và đối xứng với nhau x −1 qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF . Tính diện tích nhỏ nhất của

2) Cho hàm số y =

hình vuông đó.

x2 + 3x + 2 = x 2 − 4 x + 3. 2 3x − 5x + 8

QU Y

Bài 2 (1,0 điểm). Giải phương trình log 2 Bài 3 (3,0 điểm).

1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, tam giác SCD

chóp S.MBC.

vuông cân tại S . Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho CM vuông góc với SB. Tính thể tích khối

KÈ

= 120°. Gọi M , N 2) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = 1, AC = 2, AA′ = 3 và BAC lần lượt là các điểm trên cạnh BB′, CC ′ sao cho 2 BM = 3B′M , CN = 2C ′N . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( A′BN ) . Câu 4 (2,0 điểm).

DẠ

Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng

a1a2 a3a4a5a6 . Tính xác suất để chọn được số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 .

II. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm) Câu 1: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình log 2 ( x 2 + x + 1) = 2 . Giá trị của x1 x2 bằng

A. −1.

B. −5.

1 D. − . 2

C. −3.

FI CI A

Câu 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu của f ′( x ) như sau

Hàm số y = f (2020 − x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 3 . B. 1. C. 4 .

D. 2 .

Câu 3: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó ? A. 10.125.000 đồng. B. 52.500.000 đồng. C. 52.500.000 đồng. D. 4.000.000 đồng. Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD đều có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp S . ABCD bằng 4 6a 3 . 3

4 6a 3 . 9

A. ( −3;0 ) .

B. ( 0;3) .

x là 3− x

Câu 5: Tập xác định của hàm số y = log

2 6a 3 . 3

ƠN

C. ( −∞;0 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

Câu 6: Số đường chéo của đa giác lồi 20 cạnh bằng A. 190. B. 170. C. 200.

2a3 . 3

D. ( 0; +∞ ) .

D. 210.

QU Y

Câu 7: Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 3; S7 = 129. Công bội của cấp số nhân đó bằng A. −2.

B. −1.

C. 1.

D. 2.

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2020;2020] để hàm số

y = mx4 − ( m + 1) x 2 + 2m − 1 có 3 điểm cực trị ? B. 2021.

C. 2038.

D. 4039.

A. 4038.

2x −1 + 1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng ? x2 − 2x B. 2 . C. 1 . D. 0 .

KÈ

Câu 9: Đồ thị hàm số y = A. 3 .

Câu 10: Đạo hàm của hàm số y = e 2 x −3 là

A. 2e 2 x − 3 .

B. e 2 x − 3 ln 2.

C. e 2 x −3 .

DẠ

Câu 11: Cho hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ

1 2 x −3 e . 2

L FI CI A

Khẳng định nào dưới đây sai ? A. ad < 0. B. ac = 0.

C. bd < 0.

D. ab < 0.

Câu 12: Bất phương trình 32 x +1 − 4.3x + 1 < 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên ? A. 2. B. vô số. C. 0. D. 1.

a 6 . 3

a 2 . 2

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CB′ bằng a 3 . 3

= 120°. Biết thể tích khối chóp bằng AB = 2a, BAC A. 60°.

B. 45°.

ABC cân tại A và

6a 3 . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và 12

( ABC ) bằng

ƠN

Câu 14: Cho hình chóp S. ABC có đường cao SA, tam giác

2a 3 . 3

C. 90°.

D. 30°.

QU Y

Câu 15: Biết rằng đồ thị hàm số y = x4 − 2 x2 + 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác. Diện tích tam giác đó bằng 1 A. S = 1 . B. S = 4 . C. S = . D. S = 2 . 2 Câu 16: Xét các số thực a và b thỏa mãn log 2 ( 2a ⋅ 64b ) = log 4 ? A. 3a + 18b = 2 .

B. a + 6b = 5.

2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng

C. 3a + 18b = 4 .

D. 5a + 30b = 2.

KÈ

Câu 17: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60°. Mặt phẳng qua trục của hình nón là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Thể tích khối nón bằng A. V = 4 3π . B. V = 3 3π . C. V = 3π . D. V = 6π . Câu 18: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

− 2x). 1− x

( x − 3) .  f 2 ( x ) + 3 f ( x ) 

DẠ

g ( x) =

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

A. 5 .

B. 3 .

C. 6 .

D. 4 .

Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ. Bảng biến thiên của hàm số f ′ ( x ) như hình

FI CI A

dưới

Giá trị của tham số m để bất phương trình m + 2sin x ≤ f ( x ) nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0; +∞ ) là B. m ≥ f (0) .

ax + b , ( ad − cb ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ. cx + d

D. m ≥ f (1) − 2 sin1 .

ƠN

Câu 20: Cho hàm số y =

C. m ≤ f (1) − 2 sin1 .

A. m ≤ f (0) .

Trong các số a , b, c, d có bao nhiêu số cùng dấu ? A. 3 . B. 2 . C. 1 .

D. 4 .

Câu 21: Trong không gian cho hai đường thẳng song song ∆1 , ∆ 2 . Trên ∆1 lấy 5 điểm cách đều

QU Y

nhau một khoảng bằng a, trên ∆ 2 cũng lấy 5 điểm cách đều nhau một khoảng bằng a. Số hình bình hành tạo thành từ 10 điểm nói trên bằng A. 40. B. 25.

C. 28.

D. 30.

Câu 22: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SC . Biết rằng BM vuông góc với AN . Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng ( ABC ) bằng 3a . 6

14a . 8

42a . 6

3a . 4

DẠ

KÈ

Câu 23: Một người lần đầu gửi ngân hàng 200 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 4% / quý và lãi từng quý sẽ được nhập vào vốn. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 150 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Hỏi sau ba năm kể từ khi gửi thêm lần hai người đó nhận số tiền cả gốc và lãi gần nhất với giá trị nào dưới đây ? A. 586, 05 triệu đồng. B. 586, 49 triệu đồng. C. 587 triệu đồng. D. 568, 51 triệu đồng.

Câu 24: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2 a. Góc giữa mặt phẳng ( AB ′C ) và mặt phẳng ( BB ′C ) bằng 60 0. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

3a 3

B. 2 a 3

2a 3 .

6a 3 .

FI CI A

1 Câu 25: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 + ( m + 1) x 2 + 4 x + 7 nghịch 3 biến trên một đoạn có độ dài bằng 2 5. Tích tất cả các phần tử của S bằng B. −2. C. 12. D. −8. A. 4. Câu 26: Cho hai số thực dương a , b nhỏ hơn 1. Giả sử giá trị nhỏ nhất của biểu thức

m+n n  4ab  P = log a  , ( m, n ∈ ℤ*+ , ( m, n ) = 1) . Giá trị biểu thức m + 3n bằng  + logb ( ab ) bằng 2  a + 4b  A. 7. B. 9. C. 11. D. 17.

x 4 mx3 x 2 − + − mx + 2020 ( m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá 4 3 2 trị nguyên của tham số m ( m ≤ 2020 ) để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 6; +∞ ) . Số phần B. 4041.

C. 2015.

D. 2026.

ƠN

tử của S bằng A. 2027.

Câu 27: Cho hàm số y =

Câu 28: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh DD′, BC ; α là góc giữa hai đường thẳng AC và MN . Giá trị của cos α bằng 5 . 4

5 . 2

5 . 3

3 . 6

(

)

A. 8π 3 2 + 2 .

QU Y

Câu 29: Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 2cm. Một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy hình trụ theo hai dây cung song song AB , A′B ′ sao cho AB = A′B ′ = 6 cm và diện tích tứ giác ABB ′A′ bằng 60 cm2 . Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho bằng

(

)

B. 16π 3 2 + 2 .

C. 16 2π .

2020a − 2020b bằng A. 2019.

Câu 30: Cho hai số a, b dương thỏa mãn điều kiện a − b = B. 0.

C. −1.

D. 48 2π .

a.2b − b.2a . Giá trị của biểu thức 2 a + 2b

D. 2020.

KÈ

a a 2x −1 = 3 x 2 − 8 x + 5 có hai nghiệm là a và (với a, b ∈ ℕ* , là phân 2 ( x − 1) b b 2 2 số tối giản). Giá trị của 2 a + b bằng A. 13. B. 22. C. 17. D. 4.

Câu 31: Phương trình log 3

DẠ

= 60°, SA vuông Câu 32: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi tâm O , cạnh bằng a 3, BAD góc với mặt phẳng đáy, SA = 3a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AD bằng A.

17 a . 17

5a . 5

3 5a . 5

3 17 a . 17

Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =

ex − m − 2 đồng biến e x − m2

B. 3.

D. 2.

C. 4.

FI CI A

 1  khoảng  ln ; 0  ?  4  A. 1.

trên

Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AB = 2a , BC = CD = DA = a và SA ⊥ ( ABCD ) . Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB cắt SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNP bằng

4π a 2 . 3

4a 2π 3 . 3

C. 4π a 2 .

32π a 2 . 3

Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi S là tập hợp

A. 4.

B. 3.

ƠN

tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình f (sin x) = 2sin x + m có nghiệm thuộc khoảng (0; π ). Số các phần tử của S bằng

C. 2.

D. 1.

QU Y

Câu 36: Chọn ngẫu nghiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tích các chữ số là số chia hết cho 6 bằng 49 23 55 13 A. B. C. D. . . . . 108 54 108 27

Câu 37: Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, AA′ = A′D, hình chiếu vuông góc của A′ thuộc hình vuông ABCD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và AB ′ bằng

KÈ

3 10 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh CD, CC ′, DD′. Thể tích khối chóp A′.MNP 5 bằng A. 2a 3 . B. 3a3 . C. a 3 . D. 12a3 .

DẠ

Câu 38: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ. Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

L B. 3.

C. 7.

1 4 ( x − 2 ) bằng 2 D. 6.

A. 4.

FI CI A

Số điểm cực đại của hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 4 x + 3) − 3 ( x − 2 ) +

Câu 39: Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x ) , biết hàm số có ba điểm cực trị x = −3, x = 3, x = 5. Gọi m1 , m2 là giá trị nguyên dương lớn nhất và nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số 3

+3 x2

)

− m có đúng 7 điểm cực trị. Giá trị biểu thức m1 + m2 bằng

A. 108.

C. 107.

B. 110.

ƠN

(

g ( x ) = f ex

D. 109.

Câu 40: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O ′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O′ lấy điểm B. Gọi α là góc giữa AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy. Khi thể tích khối tứ diện OO′AB đạt giá trị lớn nhất, giá trị cos α bằng 6 . 2

2 . 3

QU Y

2 . 2

DẠ

KÈ

------Hết------

6 . 3

NĂM HỌC 2020 - 2021

FI CI A

Môn thi: TOÁN

13. HSG 12 CẤP TỈNH YÊN BÁI NĂM 2020-2021 KHÔNG TÌM THẤY 14. HSG 12 CẤP TỈNH SƠN LA NĂM 2020-2021 SỞ GD&ĐT SƠN LA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi: 07/3/2021 (Đề thi có 03 trang)

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm) 1 Câu 1: Hàm số y = x 3 − x 2 − 3 x + 2021 nghịch biến trên khoảng 3

B. ( −1;3) .

C. ( −3;1) .

ƠN

A. ( −∞;1) .

D. ( 3; +∞) .

Câu 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x(1 − x ) 2 ( 3 − x ) ( x − 2 ) với mọi x ∈ ℝ . Số điểm cực trị

B. 3.

A. 2. Câu 3: Hàm số y =

C. 4.

của hàm số là

D. 5.

1 4 1 3 5 2 x − x − x − 3 x đạt cực tiểu tại điểm 4 3 2

B. x = −3.

QU Y

A. x = 3.

C. x = 1.

D. x = −1.

Câu 4: Tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 5 có ba cực trị là A. m > 0.

B. m < 0.

C. m = 0.

D. m > 2.

KÈ

A. 3.

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 9 trên đoạn [ −2;3] là B. 9.

C. 54.

Câu 6: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 0.

B. 1.

x−2 là x − 6x + 8 2

C. 2.

Câu 7: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào trong các hàm số sau:

DẠ

D. 5.

D. 3.

A. y = x 4 − 3x + 2.

B. y = − x 4 + 2 x 2 + 2.

C. y = − x 4 + x 2 + 2.

D. y = − x 4 − 3x + 2.

Câu 8: Số giao điểm của đường cong y = x 3 − 2 x 2 + 2 x + 1 và đường thẳng y = 1 − x là D. 0.

QU Y

Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 2 là

ƠN

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

C. 3.

B. 2.

FI CI A

A. 1.

B. 3.

A. 4.

C. 2.

D. 1.

Câu 10: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

A. m ≤ 1.

B. m ≥ −3.

C. m < −3.

xác định là

x+2−m đồng biến trên từng khoảng x +1

D. m > 1.

A. 4 .

KÈ

Câu 11: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a3b2 = 32. Giá trị của 3log 2 a + 2log 2 b bằng B. 5 .

Câu 12: Tập xác định của hàm số y = e

DẠ

A. ( 0;1) ∪ ( 2; +∞) .

+ log 2

x−2 là 1− x

B. ( 0; +∞) .

Câu 13: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình A. −

π 2

B. −

5π . 6

D. 32 .

C. 2 .

C. (1;2) . 3 sin 2 x

D. ℝ \ {1} .

= 3cot x + 3 là

C. −

π 6

D. −

2π . 6

Câu 14: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau? B. 240.

C. 720.

D. 625.

A. 600.

A. 33 C93 .

B. 34 C95 .

C. 33 C94 .

FI CI A

1  Câu 15: Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển  3x 2 +  là x 

D. 32 C95 .

1 Câu 16: Cho cấp số nhân ( un ) có u2 = 4; u5 = . Công bội của cấp số nhân đó là 2 2 . 3

1 . 3

1 . 2

3 . 2

Câu 17: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′. Góc giữa A′C và BD là B. 30 0.

C. 60 0.

ƠN

A. 90 0.

D. 450.

Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD)

A. a3 3.

a3 . 3

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, biết SA = a 3. Thể tích của khối chóp S . ABCD là C.

a3 3 . 4

a3 3 . 3

Câu 19: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B ′C ′ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a và

QU Y

A′B = 4a . Thể tích khối lăng trụ ABC. A′B ′C ′ là a3 3 . 3

a 3 15 . 3

C. a 3 3.

D. a 3 15.

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên SA = 2a và vuông

2a 3 . 3

KÈ

góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) là 3a . 2

2a . 3

a . 6

5 . 6

4 Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x +1 − .8 x trên đoạn [ −1;0] là 3

2 . 3

2 2 . 3

4 . 9

DẠ

1 Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = − x 3 + x 2 + mx + 2023 nghịch biến trên ℝ ? 3

1 A. m ≤ − . 4

1 B. m ≤ . 4

C. m ≤ −1.

D. m > −1.

Câu 23: Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT gồm 15 học sinh, trong đó khối 12 có 4 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 10 có 6 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh đi sinh? 1167 . 5005

31 . 5005

151 . 1001

180 . 1001

FI CI A

thực hiện nhiệm vụ. Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn mỗi khối có đúng 2 học

Câu 24: Một cửa hàng bán khẩu trang, mỗi hộp khẩu trang mua vào với giá 45 nghìn đồng và

bán ra với giá 50 nghìn đồng; với giá bán này thì mỗi ngày cửa hàng bán được 200 hộp. Sau khi phát hiện dịch covid-19, để hạn chế sự lây nhiễm trong cộng đồng, bộ y tế khuyến cáo

người dân đeo khẩu trang. Cửa hàng dự định giảm giá bán để chung tay cùng cả nước đẩy

lùi dịch bệnh. Ước tính rằng nếu cứ giảm 1 nghìn đồng một hộp thì mỗi ngày số lượng bán

ra của cửa hàng tăng thêm 200 hộp. Vậy cửa hàng phải bán với giá là bao nhiêu nghìn đồng một hộp để sau khi đã thực hiện giảm giá lợi nhuận thu được của một ngày là cao nhất? C. 49.

D. 47.

ƠN

B. 46.

A. 48.

II. PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm): Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB vuông tại O.

(

)

QU Y

Câu 2 (2,0 điểm): Tính tổng các nghiệm của phương trình log 4 3.2 x − 1 = x − 1. Câu 3 (3,0 điểm): Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; AD = a 3. Gọi H là trung điểm của AB , SH vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt

phẳng đáy góc 60 0. Tính thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HD và SC.

Câu 4 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I). Đường trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình 3 x + 5 y − 8 = 0 và x − y − 4 = 0.

KÈ

Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là D ( 4; −2) . Tính diện tích tam giác ABC, biết hoành độ điểm B lớn hơn 3.

DẠ

Câu 5 (2,0 điểm): Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:   x + 3 ( x − y )( y + 1) = 5 y + 4 .  2  4 y − x − 2 + y − 1 = x − 1

Câu 6 (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2

a + b − abc

a + c − abc

1 2

b + c 2 − abc

Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) I. PHẦN TỰ LUẬN

1. Cho hàm số y =

Bài 1. (2 điểm)

FI CI A

NĂM HỌC 2020 – 2021

15. HSG 12 CẤP TỈNH PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – SỞ PHÚ THỌ

−x + m có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : 2 x + 2 y − 1 = 0 và điểm I ( 3; − 2 ) . x+2

(

ƠN

Tìm m để d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho diện tích tam giác IAB bằng

)

1 . 8

2. Cho hàm số y = x 4 − 2 m 2 + 4m + 5 x 2 + m 2 − 3 có đồ thị ( C ) . Tìm m để ( C ) có ba điểm cực trị

và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu nhỏ nhất.

Bài 2. (1,0 điểm). Giải phương trình 25 x.5 x = 5 x +1 + 53 x + 47 . Bài 3. (3,0 điểm).

1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu của

bằng

QU Y

điểm A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là trọng tâm G của tam giác ABC và diện tích tam giác A′AB

a2 . 4

a. Tính góc giữa đường thẳng BB′ và mặt phẳng ( A′GC ) .

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC ′ và AB′ . 2. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh bên SA vuông góc với mặt

KÈ

phảng đáy và SA = 4 BC . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ; M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC ; V , V ' lần lượt là thể tích khối chóp S . AMN và A.MNG . Tính tỷ số

V . V'

DẠ

Bài 4. (2,0 điểm). Tô ngẫu nhiên 8 đỉnh của một hình lập phương bằng 4 màu khác nhau và mỗi đỉnh chỉ

tô một màu. Tính xác suất để không có 2 đỉnh nào thuộc một cạnh của hình lập phương được tô cùng một màu.

II. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1.

Cho hàm số bậc ba

y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình

A. 9 .

B. 8 .

C. 7 .

D. 6 .

Một lớp có 40 học sinh trong đó có 21 bạn nam và 19 bạn nữ. Có tất cả bao nhiêu cách

Câu 2.

ƠN

FI CI A

2 f 2 ( x ) − 5 f ( x ) + 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

chọn một học sinh nam và một học sinh nữ? B. A402 .

A. 399 .

A. − Câu 4.

1 +C . 2x −1

( 2 x − 1)

1 +C . 4x − 2

D. 40 .

là

C. −

1 +C . 4x − 2

1 +C. 2x −1

1 là 1 − log x

B. ( 0;+∞) .

C. (10;+∞ ) .

D. ( 0;10 ) .

KÈ

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

DẠ

Câu 5.

Tập xác định của hàm số y = A. (1; +∞ ) .

QU Y

Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Câu 3.

C. C402 .

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( f ( x ) − 2 ) là: A. 9 .

B. 7 .

C. 5 .

D. 4 .

Câu 6.

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và I là trung điểm đoạn AB . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của CI , góc giữa SA và đáy

a 21 a 133 a 7 . B. . C. . 5 19 4 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

a 70 . 10

Câu 7.

FI CI A

bằng 300 . Khoảng cách giữa SA và CI bằng:

B. 4 .

A. 5.

D. 3 .

Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 1 ( x − 1) + log 4 (14 − 2 x ) ≥ 0 là A. 5.

B. 6.

D. 3.

C. 4.

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

QU Y

Câu 9.

1 là 2 f ( x) + 4

C. 1 .

Câu 8.

ƠN

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

KÈ

Hàm số y = f ( 2021 − x ) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 4 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 10. Cho hình hộp đứng ABCD. A′B ′C ′D′ có đáy là hình thoi, AC = 2a , BD = AA′ = 3a . Thể

DẠ

tích khối hộp đã cho bằng A. 2 a 3 .

B. 3a 3 .

C. a 3 .

1 Câu 11. Tổng nghịch đảo các nghiệm thực của phương trình   5

A. 2 .

1 . 2

C. 4 .

3a 3 . 2

x−2

= 5x

−5 x + 4

bằng 1 . 4

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + ( m − 2021) x + 1 đạt cực tiếu tại x = 0 ? A. 2 .

D. 1.

C. 2021 .

B. 0 .

Câu 13. Người ta trồng 4095 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể

FI CI A

từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? B. 90 .

C. 91 .

Câu 14. Cho cấp số nhân ( un ) có công bội âm thỏa mãn u1 = 3, A. −3072 .

B. −1536 .

Câu 15. Đạo hàm của hàm số y = 2 A. 23 x ln 2 .

u3 1 = . Giá trị của u10 bằng u7 16

C. 3072 .

là C. 23 x ln 8 .

D. 1536 .

Câu 16. Đặt a = log 2 3, b = log 5 3. Nếu biểu diễn log 6 45 = B. 3 .

1 3x .2 ln 8 . 3

a ( m + nb ) thì mn bằng b ( a + 1)

ƠN

B. 3.23 x−1 .

A. 4 .

D. 89 .

A. 92 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 17. Trong không gian cho hai đường thẳng song song ∆1 , ∆ 2 . Trên ∆1 lấy 5 điểm cách đều nhau một khoảng bằng 2 , trên ∆ 2 cũng lấy 5 điểm cách đều nhau một khoảng bằng 2 . Số hình bình hành tạo thành từ 10 điểm trên bằng. B. 30.

QU Y

A. 25.

C. 10.

D. 40.

Câu 18. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 2m + 1 trên đoạn [ 2; 4] bằng 2020 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. m ∈ ( −8; 26 ) .

B. m ∈ ( 27;63) .

C. m ∈ ( 2020; +∞ ) .

D. m ∈ ( 63; 2020 ) .

Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = 3a và SA vuông góc

KÈ

với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp đã cho bằng

2 6a 3 . Gọi α là góc giữa SC 3

và mặt phẳng ( SAB ) , giá trị của tan α bằng

1 . 3

x+9 −3 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? x 2 + 10 x

Câu 20. Đồ thị hàm số y =

DẠ

A. 4 .

B. 2 . 3

C. 3 .

D. 1 .

Câu 21. Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

L FI CI A

B. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0.

C. a < 0, b < 0, c < 0, d < 0.

D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0.

A. a < 0, b < 0, c = 0, d < 0.

 −1  Câu 22. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa f   = 1 , f ( 6 ) = 2 và  8 

23 3 . 3

43 3 . 3

ƠN

2 f '( x ). f 2 ( x ) = f '(2 x + 1) f 2 (2 x + 1) . Tính f ( −1)

3 . 3

D. 2 3 3.

Câu 23. Cho hình nón ( N ) đỉnh S có thiết diện qua trục là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 2 . Gọi A, B là hai điểm nằm trên đường tròn đáy của ( N ) sao cho góc giữa mặt

QU Y

phẳng ( SAB ) và mặt phẳng đáy bằng 6 0 ° . Diện tích tam giác SAB bằng A. 8 .

C. 2 2 .

4 2 . 3

Câu 24. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =

x+m x2 + 6

đồng

A. 6 .

biến trên khoảng (1; 2) Tổng các phần tử của S bằng B. 9 .

D. 15 .

C. 21 .

Câu 25. Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 2 . Một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt

KÈ

hai mặt phẳng đáy hình trụ theo hai dây cung song song AB, A ' B ' sao cho AB = A ' B ' = 6 và diện tích tứ giác ABB ' A ' bằng 60 . Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho bằng:

(

)

B. 48 2π .

(

)

C. 16π 3 2 + 2 .

D. 16 2π .

A. 8π 3 2 + 2 .

DẠ

Câu 26. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có chiều cao bằng 3 3 và hai đường thẳng

AB ', BC ' vuông góc với nhau. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

243 . 2

B. 243 .

C. 27 3 .

D. 81 3 .

Câu 27. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn f ( 2 ) = 16 ,

 f ( x ) dx = 4 . 0

 xf ′ ( 2 x ) dx bằng 0

C. 7 .

D. 20

FI CI A

B. 13 .

A. 12 .

Giá trị của

x 2 − mx + m có đồ thị ( C ) . Điểm K ( 2;5 ) thuộc đường thẳng đi qua hai x −1 điểm cực trị của ( C ) khi m thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 28. Cho hàm số y =

B. ( 0; 2 ) .

C. ( 2; 4 ) .

D. ( 4;8)

A. ( −2;0 ) .

Câu 29. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC = 2a . Góc giữa đường thẳng AB ′ và mặt phẳng ( BB′C ) bằng 300 . Thể tích khối lăng

ƠN

trụ đã cho bằng

2a 3 . C. 6a 3 . D. 2 a 3 . 3 Câu 30. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 2a . Biết AC ′ = 8a và tạo với mặt phẳng đáy một góc 450 . Thể tích khối đa diện ACC ′B′ bằng

2a3 .

8 3a3 16 3a 3 16 6a 3 . C. . D. . 3 3 3 Câu 31. Trung tâm y tế dự phòng của huyện A có 3 bác sĩ, 4 kĩ thuật viên và 12 y tá. Để đảm A. 8 6a 3 .

QU Y

bảo công tác phòng chống dịch Covid-19, lãnh đạo cấp trên yêu cầu trung tâm A phải đảm bảo trong một ngày có 3 ca trực sao cho ca 1 có 7 người và hai ca còn lại mỗi ca có 6 người. Xác suất để mỗi ca có một bác sĩ và ít nhất một kĩ thuật viên bằng: A.

45 . 323

5085 . 58786

3 y +1

+ 33 y +

4 z +1

KÈ

32 x +

Câu 32. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn

A. 288 .

+ 34 z +

2 x +1

870 . 4199

873 . 4199

2 x + 1 + 3 y + 1 + 4 z + 1 = 15 và

= 330 . Giá trị của xyz bằng:

B. 864 .

C. 1152 .

D. 576 .

 4a + 2b + 5  Câu 33. Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn log 5   = a + 3b − 4 . Giá trị nhỏ nhất  a+b 

DẠ

của biểu thức a 2 + b 2 + 15 bằng

33 . 2

35 . 2

Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {0} 3

 f ( x ) dx bằng 1

31 . 2 1  1  x +1 và 2 f ( x ) + 3 f   = 2 . Giá trị của x  x x

C. 18 .

1 2 2 ln 3 − . D. ln 26 − . 3 9 9 Câu 35. Cho hàm số f ( x ) = 2 x + 3 với x ∈ [ −2; 2] và f ( x ) = f ( x + 4 ) với mọi x ∈ ℝ . Gọi m0 là A.

2 B. ln 26 + . 9

1 2 ln 3 + . 3 9

Mệnh đề nào dưới đây đúng?  7 A. m0 ∈  1;  .  5

 2 3 B. m0 ∈  ;  . 5 5

3  C. m0 ∈  ;1 . 5 

FI CI A

giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) = mx + 4 có đúng 6 nghiệm phân biệt.

 2 D. m0 ∈  0;   5

Câu 36. Cho tứ diện ABCD có AB = 6a , CD = 8a và các cạnh còn lại bằng a 74 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho bằng

100π a 2 . 3 Câu 37. Cho hình chóp đều S . ABC có góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60o . Biết khoảng C. 25π a 2 .

3a 7 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 14

a3 3 a3 3 a3 3 . C. . D. . 24 16 18 Câu 38. Cho khối nón ( N ) đỉnh S , bán kính đáy bằng 1 và độ dài đường sinh bằng 4. Một vật

a3 3 . 12

ƠN

cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

B. 100π a 2 .

A. 96π a 2 .

chuyển động trên bề mặt của ( N ) từ điểm A đến điểm D với quãng đường đi ngắn

A. 1, 5 .

QU Y

4 3 nhất. Khi góc AOB = 60o và SD = thì quãng đường vật chuyển động từ điểm A 3 đến điểm C gần nhất với giá trị nào dưới đây? (tham khảo hình vẽ bên)

B. 1, 6 .

C. 1, 7 .

D. 1, 3 .

Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3 x 2 + m trên đoạn [ 0;3] không lớn hơn 8?

B. 12 .

C. 13 .

D. 14 .

A. 11 .

Câu 40. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để

KÈ

phương trình f ( sin x ) = 2sin x + m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) ?

DẠ

A. 2 .

B. 3 .

C. 4 . -----------Hết----------

D. 5 .

16. HSG 12 CẤP TỈNH VĨNH PHÚC NĂM 2020-2021 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

1 3 x − ( m − 1) x 2 − 4mx đồng biến 3

FI CI A

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

ĐỀ THI MÔN: TOÁN – THPT

trên đoạn [1;4].

2x − 4 có đồ thị là ( C ) , đường thẳng d có phương trình y = − x + m và x +1 điểm A ( −5;5 ) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt M , N sao cho bốn điểm O, A, M , N là bốn đỉnh của một hình bình hành (với điểm O là gốc tọa độ).  

Câu 3. Giải phương trình tan x − sin 2 x − cos 2 x + 2  2cos x −

1   = 0. cos x 

x2 − 2 x + 3 − x2 − 6 x + 11 > 3 − x − x − 1.

ƠN

Câu 4. Giải bất phương trình

Câu 2. Cho hàm số y =

Câu 5. Đặt log 7 12 = a và log12 24 = b. Tính log 54 168 theo a và b.

Câu 6. Cho tập hợp X gồm tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số, các chữ số đôi một khác nhau. Từ tập hợp X lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được lấy ra là số lẻ có dạng abcdef và thỏa mãn a < b < c < d < e < f .

QU Y

Câu 7. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = 2 a , tam giác SAB o

đều, góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 60 . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABCD ) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC .

Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = a, SA =

a 6 . 2

Gọi các điểm E , F , G, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA. Tính theo

KÈ

a thể tích khối đa diện có các đỉnh là A, C , E, F , G, H . Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD và đường thẳng ∆ có phương trình x − 2 y + 6 = 0. Biết điểm C thuộc đường thẳng ∆ , điểm M ( 6; 4 ) thuộc cạnh BC.

Đường tròn đường kính AM cắt đoạn BD tại điểm N (1;5 ) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông

DẠ

ABCD , biết rằng đỉnh C có tọa độ nguyên và đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 1. 2

Câu 10. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a ≤ b ≤ c và a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3abc − 2021a − b − c. ---------------Hết---------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

17. HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG NINH NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2021

TỈNH QUẢNG NINH

Ngày thi: 20/03/2021

Môn thi: TOÁN – Bảng A

FI CI A

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi này có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm). Cho biểu thức A =

5 x −1 2 x −1 2 x +1 với x ≥ 0 và x ≠ 1 . + − x +2 x −1 x + x − 2

b. Tìm giá trị của x để

A nhận giá trị nguyên. 2

Câu 2: (5,0 điểm).

 x 2 + y 2 = 10 . 2 2  x y + xy + 5 x + 5 y = 32

ƠN

1. Giải hệ phương trình: 

a. Rút gọn biểu thức A;

2. Giải phương trình: x 2 − 5 x − 4 x + 1 + 14 = 0 .

a. Chứng minh

Câu 3: (3,0 điểm). Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn: x 3 − 9 y 2 + 9 x − 6 y = 1 .

x là phân số tối giản; x +9 2

b. Tìm tất cả các cặp số ( x; y ) .

QU Y

Câu 4: (7,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tia tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm C bất kì (C khác A), đường thẳng BC cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác B). Gọi H là hình chiếu của A trên OC, đường thẳng DH cắt AB ở E. a. Chứng minh tứ giác OBDH nội tiếp; 2

b. Chứng minh EA = EO.EB ;

HE . HB

c. Tính tỉ số

KÈ

Câu 5: (2,0 điểm). Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + thức P =

1 ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu y

x 2 − 2 xy + 2 y 2 . xy + y 2

DẠ

………………… Hết ………………..

18. HSG 12 CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH

BẮC GIANG

FI CI A

NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi: 06/03/2021

(Đề thi có 05 trang)

Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

104

ƠN

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (14 điểm).

Mã đề thi

Câu 1: Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 − m , ( với m là tham số) và điểm I ( 2; −2 ) . Gọi S nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 14 . 17

Câu 2: Cho hàm số y = A. 2y′ + xy′′ =

1 . x2

5 . Tích các phần tử của tập S là

4 . 17

20 . 17

QU Y

là tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB

3 . 17

ln x , mệnh đề nào dưới đây đúng ? x B. 2 y′ + xy′′ = −

1 . x2

C. 2 y′ + xy′′ = −

4 . x2

D. 2 y′ + xy′′ =

2 . x2

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và không âm trên ℝ thỏa mãn f ( x ) . f ' ( x ) = 2 x f 2 ( x ) + 1 và f ( 0 ) = 0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên

KÈ

đoạn [1;3] . Biết rằng giá trị của biểu thức P = 2M − m có dạng a 11 − b 3 + c , ( a, b, c ∈ ℤ ) . Giá trị của a + b + c là

B. 5.

C. 4 .

D. 6 .

A. 7 .

DẠ

Câu 4: Tìm tất cả tham số m để hàm số y = ( m + 1) x3 − ( 2m − 1) x 2 + x − 1 đồng biến trên tập ℝ . A. −1 < m < 1 .

B. m ≤ −

5 . 2

−1 ≤ m≤ 2. 4

−1 ≤m<2 . 4

( S1 ) : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu

1  + z 2 = 4 và các điểm A ( 4;0;0 ) , B  ;0;0  , C (1; 4;0 ) , D ( 4; 4; 0 ) . Gọi M là điểm 4  

( S1 ) ,

thay đổi trên

( S2 ) .

N là điểm thay đổi trên

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( S2 ) : x 2 + ( y − 4 )

5 265 . 2

B. 3 265 .

FI CI A

Q = MA + 2 ND + 4 MN + 4 BC là

7 265 . 2

D. 2 265 .

Câu 6: Hàm số y = − x 4 − 2 (1 + m ) x 2 + 1 (với m là tham số) đạt cực tiểu tại x = 0 khi B. m > 0 .

C. −1 ≤ m < 0 .

D. m ≥ 0 .

A. m < −1 .

Câu 7: Cho tập hợp A gồm 6 phần tử, lấy ngẫu nhiên một tập con của A. Xác suất để chọn được tập con có đúng 3 phần tử của tập A là 5 . 16

11 . 16

2− 3 8− x . x →0 x

13 . 12



−2

(

)

1 . 12

C. I =

x 2 + 5 − x dx = 1, 

A. −13 .

11 . 12

f ( x) dx = 3. Giá trị của x2

QU Y

Câu 9: Cho

B. I =

Câu 8: Tính I = lim A. I =

2 . 3

ƠN

B. 12 .

3 . 16

D. I =

25 . 12

 f ( x ) dx bằng 1

C. 16 .

D. −17 .

Câu 10: Bất phương trình log3 ( 3x − 1) < log3 ( x + 7 ) có bao nhiêu nghiệm nguyên ? A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

KÈ

Câu 11: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 có đồ thị ở hình dưới đây.

DẠ

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 3 − 3 x − m = 0 có ba nghiệm thực

phân biệt. A. 0 < m < 4.

B. −2 ≤ m ≤ 2.

C. −2 < m < 2.

D. −1 < m < 1.

Câu 12: Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ. Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ lấy được là số chia hết cho 3. B.

681 . 1225

Câu 13: Tập xác định của hàm số y = log 2 B. ( 0;2].

A. ( 0; 2 ) .

8 . 25

2− x là x

801 . 1225

409 . 1225

FI CI A

C. ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

D. ( −∞;0 ) ∪ [ 2; +∞ ) .

nhỏ nhất của biểu thức T = a2 + b2 .

Câu 15: Cho

B. Tmin = x

 f  2  dx = x

1 . 2

C. Tmin =

5 2

 f ( cos x ) dx = 3cos 2 x − 8 x + C .

 f ( cos x ) dx = 3sin 2 x − 8 x + C .

 f ( cos x ) dx = 8sin x + 3x + C .

 f ( cos x ) dx = 3sin 2 x + 8 x + C .

)

A. m ≤ −2 hoặc m = 1. C. m < −2.

QU Y

Câu 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

(

3 . 2

+ 2 x + C , ( C ∈ ℝ ) . Họ các nguyên hàm của hàm số f ( cos x ) là

khoảng 4; +∞ .

. D. Tmin =

ƠN

9 2

A. Tmin =

 4a + 2b + 5  Câu 14: Cho a ; b là hai số thực dương thỏa mãn log5   = a + 3b − 4 . Tìm Tmin là giá trị  a+b 

m log2 x − 2 log2 x − m − 1

nghịch biến trên

B. m < −2 hoặc m > 1.

D. m < −2 hoặc m = 1. 2

Câu 17: Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn ( a − 2b ) = 8ab . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 ( log 2 a + log 2 b ) . 2

B. log 2 ( a + 2b ) − 2 =

1 ( log 2 a + log 2 b ) . 2

C. log 2 ( a + 2b ) − 1 =

1 ( log 2 a + log 2 b ) . 2

D. log 2 ( a + 2b ) + 1 =

1 1 log 2 a + log 2 b . 2 2

KÈ

A. log 2 ( a + 2b ) + 2 =

DẠ

Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K , M lần lượt là các điểm SK 2 SM 3 thuộc các đoạn thẳng SB , SD sao cho = ; = . Mặt phẳng ( AKM ) chia khối chóp SB 3 SD 5 S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi V1 là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số

V1 . V2

V1 19 = . V2 46

V1 5 = . V2 11

V1 17 = . V2 47

V1 9 . = V2 23

a 2 . Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình 2 nón đã cho và tạo với đáy của nó một góc 600 . Diện tích thiết diện của mặt phẳng (P) và hình nón

FI CI A

Câu 19: Cho hình nón có bán kính đáy và chiều cao là

đó bằng A.

a2 2 . 4

a2 2 . 2

C. 2a 2 .

a2 2 . 3

Câu 20: Trong tọa độ không gian Oxyz, cho điểm M ( 3; −2; 4 ) . Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + 3 = 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. abc = −6 .

9 . 4

9 C. abc = − . 8

D. abc = 6 .

ƠN

B. abc =

đi qua M và cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành.

Câu 21: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có AB = 6 cm , BC = BB′ = 2 cm . Gọi E là trung điểm cạnh BC . Một tứ diện đều MNPQ có hai đỉnh M và N nằm trên đường thẳng EC ′ , hai đỉnh P và Q nằm trên đường thẳng đi qua điểm B ′ và cắt đường thẳng AD tại điểm F . Độ dài

A. 3 5 cm.

đoạn thẳng A ' F bằng B. 2 cm.

D. 2 5 cm.

C. 1cm.

Câu 22: Có bao nhiêu cách xếp 3 nam và 6 nữ thành một hàng dọc sao cho 3 nam luôn đứng đầu

QU Y

? A. 3450 .

B. 4320 .

C. 6720 .

D. 432 .

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị ở hình bên dưới. Có bao nhiêu giá trị 4m 3 + m

của tham số m để phương trình

( x) + 5

= f 2 ( x ) + 3 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt ?

KÈ

4 3 2 1 −1

Y DẠ

A. 1 .

B. 0 .

O 1

C. 3 .

D. 2 .

Câu 24: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) và tam giác ABC vuông tại B. Góc giữa cạnh SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60° ; AC = 3a, BC = a . Thể tích khối chóp S . ABC

B. 2

2 3a 3 . 3

4 3a 3 . 3

a3 6 . 3

FI CI A

A. a 3 3 .

bằng

 x ( ln x + 1) dx = ln ( ln a + b ) với a, b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào dưới đây

Câu 25: Biết

đúng ? B. a 2 + b2 + ab = 8 .

C. a 2 + b2 + ab = 10 .

D. a 2 + b 2 + ab = 6 .

2 2 A. a + b + ab = 7 .

Câu 26: Cho hàm số y = ( x − 1) ( x 2 − 2mx + 3m − 2 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn −2021 ≤ m ≤ 2021 để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ? B. 4040 .

C. 2018 .

D. 4041 .

ƠN

A. 2019 .

Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn

[ −10;10] để

hàm số

A. 6.

y = ax 4 + 3 x 2 + bx đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0; 4] tại x = 1 ? B.

C. 5.

D. 11.

Câu 28: Cộng vào số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba và thứ tư của một cấp số cộng tăng lần lượt các số 1; 2; 7 và 25 ta được bốn số lập thành cấp số nhân. Tìm công sai d của cấp số cộng đó. 11 . 15

5 B. d = . 3

Câu 29: Đồ thị hàm số y =

C. d =

7 . 9

1 D. d = . 3

1+ x − 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang x2 − 4 x + 3

C. 0 .

B. 1 .

A. 2 .

QU Y

A. d =

D. 3 .

KÈ

Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u và v tạo với nhau một góc 120° và u = 2 , v = 4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? B. 2u + v = 39 .

C. 2u + v = 7 .

D. 2u + v = 4 .

A. 2u + v = 19 .

DẠ

Câu 31: Cho hình lăng trụ đều ABC . A ′ B ′C ′ có cạnh đáy bằng 2 , góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ′) và ( ABC ) bằng α với tan α =

6 . 2

1 2 3

3 . 2

. Thể tích của khối lăng trụ ABC . A ′ B ′C ′ là

D. 3 2 .

Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ thỏa mãn f ' ( x ) = x3 + 2 x 2 − m 2 + 2m, ∀x ∈ ℝ . Có bao

B. 4.

C. 2.

D. 3.

FI CI A

A. 1.

π  nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f ( sin x ) nghịch biến trên khoảng  ; π  ? 2 

1 3 1 , ∀x ∈ ℝ \   và f ( 0 ) = 1 Câu 33: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \   thỏa mãn f ' ( x ) = 3x − 1 3 3 2 , f   = 2 . Giá trị của biểu thức T = f ( −1) + f ( 3) bằng 3

B. 4 + 5ln 2 .

C. 3 + 5ln 2 .

D. 2 + 5ln 2 .

A. −2 + 5ln 2 .

Câu 34: Cho hình trụ có tâm hai đáy là O, O’ và có chiều cao 2a. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy tâm O và O’ sao cho AB = 3a ; Thể tích tứ diện OO’AB bằng

5π a 3 . 2

ƠN

khối trụ giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng B. π a 3 .

20π a 3 . 3

a3 5 . Thể tích 3

9π a 3 . 2

> 90o ; tam giác BCD vuông tại D, BC = 2a Câu 35: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD, BAC

A. V =

a3 3 ⋅ 36

QU Y

= 30o. Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 5a . Tính thể tích V của khối và CBD 4 tứ diện ABCD. B. V = a 3 3.

C. V =

a3 3 ⋅ 3

D. V =

a3 3 ⋅ 12

x −1 x

Câu 36: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình 625 .3x = 10125 . Khẳng định nào sau đây

A. S ∈ ( 5;6 ) .

B. S ∈ ( 0;1) .

đúng?

C. S ∈ ( 2;3) .

D. S ∈ ( 3; 4 ) .

KÈ

Câu 37: Cho hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O , bán kính

R thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khoảng cách h giữa hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) khi diện tích

xung quanh của hình nón lớn nhất là

DẠ

A. h = R .

Câu 38: Cho A. 2 .

B. h = 1

 0

2R 3 . 3

C. 2R 3 .

D. h = R 2 .

2x + 1 a dx = −a + b ln trong đó a , b, c ∈ ℤ; a, c > 0 . Giá trị của biểu thức a + b + c là 3−x c B. 12 .

C. −2 .

D. −6 .

Câu

39:

Có

bao

nhiêu

giá

trị

nguyên

của

tham

số

để

phương

trình

B. 13 .

C. 19 .

D. 8 .

FI CI A

A. 14 .

 x 2 − mx + m 2  2 2 log 2   = − x + ( m + 4 ) x − m + 8m + 2 có hai nghiệm phân biệt ?  x + 2m 

Câu 40: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = a, AD = 2a , A ' C = 3a . Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là B. 4a 3 .

D. a 3 5 .

C. 6a 3 .

-II. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm) . Câu 1. (2 điểm) Giải phương trình 2.3

x2 − 4

+ 3x + 2 = 3x

+ x−2

+2.

A. 2a 3 .

Câu 2. ( 3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a và nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt

ƠN

phẳng (ABCD) . Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có AB = a 2, AD = a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SB, mặt phẳng ( P ) đi qua DM và cắt mặt phẳng ( SAC ) theo giao tuyến là đường

thẳng vuông góc với DM. Gọi E là giao điểm của mặt phẳng ( P ) và SA. a. Tính AE .

b. Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện

QU Y

chứa đỉnh S.

Câu 3. (1 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

)(

(

)(

)

S = cos A + cos 2 A + 2 . cos B + cos 2 B + 2 . cos C + cos 2 C + 2 .

------ HẾT ------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

KÈ

-------------------------------------

DẠ

19. HSG 12 CẤP TỈNH BẮC NINH NĂM 2020-2021 UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2020 - 2021

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Môn thi: Toán 12

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mã đề 950

FI CI A

Họ và tên học sinh :..................................................... Số báo danh : ...................

(Đề thi gồm 06 trang, 50 câu trắc nghiệm)

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình bên có diện tích là c

A. −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a

ƠN

B.  f ( x ) dx −  f ( x ) dx

C.  f ( x ) dx +  f ( x ) dx

D.  f ( x ) dx +  f ( x ) dx

Câu 2. Cho điểm M ( 2; −6; 4 ) và đường thẳng d :

x −1 y + 3 z = = . Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng 2 1 −2

QU Y

với điểm M qua d . A. M ' ( 3; −6;5 )

B. M ' ( 4; 2; −8 )

Câu 3. Giả sử

x 0

C. M ' ( −4; 2;8 )

D. M ' ( −4; −2;0 )

x −1 dx = a ln 5 + b ln 3; a, b ∈ ℚ. Tính P = a.b. + 4x + 3

A. P = −6.

B. P = −5.

C. P = 8.

D. P = −4.

Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi

KÈ

D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox. Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V được xác định theo công thức 3

DẠ

2 1 A. V =  f ( x )  dx 31

C. V = π2  f ( x )  dx 1

B. V =  f ( x )  dx 1

D. V = π f ( x )  dx 1

Câu 5. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( α ) . Giả sử a / / ( α ) và b / / ( α ) . Mệnh

đề nào sau đây đúng? A. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

B. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau. C. a và b không có điểm chung.

D. a và b chéo nhau.

B. m > 2

A. m ≤ 2

FI CI A

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = − x 4 + ( m − 2 ) x 2 + 4 có ba điểm cực trị. C. m < 2

D. m ≥ 2

Câu 7. Cho số dương a và hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = a ∀x ∈ ℝ . Giá a

 f ( x ) dx bằng

trị của biểu thức

−a

C. a 2

B. 2a

D. a

A. 2a 2

lần lượt tại H, K. Tính tỉ số thể tích A.

8 35

VS.AHMK ? VS.ABCD

1 5

với đồ thị hàm số trên tại điểm M là A. 3y + x − 1 = 0

1 7

B. 3y − x + 1 = 0

6 35

x +1 với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến x−2

Câu 9. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y =

ƠN

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho 5SM = 2SC, mặt phẳng ( α ) qua A, M và song song với đường thẳng BD cắt hai cạnh SB, SD

C. 3y + x + 1 = 0

D. 3y − x − 1 = 0

QU Y

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

)

(

f 3 − 4 − x 2 = m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − 2; 3  . Tìm tập S.

A. S = [ −1;3] .

(

B. S = ∅ .

C. S = −1; f 3 − 2  . 

)

KÈ

(

( (

D. S = f 3 − 2 ;3 . 

)

DẠ

Câu 11. Tổng S = −1 + A. −

10 11

( −1) 1 1 − 2 + ... + n −1 + ... bằng: 10 10 10 B. 0

C. +∞

10 11

Câu 12. Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số g ( x )

(x =

− 3x + 2 ) x − 1

x f 2 ( x ) − f ( x ) 

có bao nhiêu

đường tiệm cận đứng?

FI CI A

A. 5 B. 4 C. 3 D. 6

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) = x 5 − 5 x − 22 . Số nghiệm của phương trình x − 2 . ứng là B. 3 .

A. 4 .

f ( x)

x−2

= 20 tương

D. 2 .

C. 1 .

m = 4 A.  . m = 2 

π . 4

m = 2 B.  . m = − 2 2 

m = 1 C.  . m = − 2 

phẳng (P) tạo với (Q) một góc

ƠN

Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x − 2y + 2z − 5 = 0. Xét mặt phẳng ( Q ) : x + ( 2m − 1) z + 7 = 0, với m là tham số thực . Tìm tất cả các giá trị của m để mặt

m = 1 D.  . m = 4 10

Câu 15. Tìm hệ số chứa x 9 trong khai triển của P ( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) . B. 12.

QU Y

A. 13.

C. 10.

D. 11.

Câu 16. Cho hình lăng trụ ABCD.A 'B'C'D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O và góc ABC = 120° . Các cạnh AA', A'B, A' D cùng tạo với đáy một góc 60° .Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 3 6

a3 3 2

3a 3 2

Câu 17. Cho hai dãy ghế được xếp như sau : Dãy 1 Ghế số 1 Ghế số 2 Dãy 2 Ghế số 1 Ghế số 2

D. a 3 3

KÈ

Ghế số 3 Ghế số 3

Ghế số 4 Ghế số 4

Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện với nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ bằng

DẠ

A. 4!.2

B. 4!4!2 4

C. 4!4!

D. 4!4!.2

Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R thỏa mãn lim f ( x ) = 0; lim f ( x ) = 1. Tổng số đường x →−∞

x →+∞

tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Câu 19. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích là V. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên ba lần và giảm độ dài đường cao xuống hai lần thì ta được khối chóp mới có thể tích là B. 3V

C. 2

Câu 20. Cho hai số thực x , y thỏa mãn 3( x + y ) − 316x

2 2

9 V 2

D. 9V

− 4 = 2 log 2 ( xy ) − log

Tổng các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = A.

32 71

B. −

113 432

C. −

49 432

3 V 2

( x + y ) và x , y ≤ 1 .

FI CI A

1 3 x + y3 ) − xy là ( 4 1 D. 72

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1; 0;l), B ( l;1; −l ) , C ( 5; 0; −2 ) . Tìm

A. H ( 3; −1;0 )

B. H ( −1; −3; 4 )

C. H (1; −2; 2 )

(

A. −∞; − 2  ∪  2; +∞

)

(

2; 2

)

(

D. − 2; 2

(

C. − 2; 2

)

D. H ( 7;1; −4 )

ƠN

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 2 ( cos x ) − m log ( cos 2 x ) − m 2 + 4 = 0 vô nghiệm?

tọa độ điểm H sao cho tứ giác ABCH theo thứ tự đó lập thành hình thang cân với hai đáy AB, CH .

)

QU Y

Câu 23. Một khối gỗ hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8 . Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A , B sao cho cung AB có số đo 120o . Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A , B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Biết diện tích S của thiết diện thu được có dạng S = aπ + b 3. Tính P = a + b . B. P = 30 .

A. P = 50 .

(

Câu 24. Cho f ( x ) = a ln x + x 2 + 1

)

2021

C. P = 45 .

D. P = 60 .

+ b sin 3 x + 18 với a, b ∈ ℝ. Biết rằng f ( log ( log e ) ) = 2.

A. 18

KÈ

Tính giá trị của f ( log ( ln10 ) ) B. 2

C. 34

Câu 25. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 3 f ′ ( x ) .e

DẠ

f ( 0 ) = 1 . Tích phân A.

45 . 8

D. 36 f 3 ( x ) − x 2 −1

−

2x = 0 và f ( x) 2

 x. f ( x ) dx

bằng

2 7 3

5 7 . 4

15 . 4

 1 17  Câu 26. Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c đạt cực đại tại A ( 0; −2 ) và cực tiểu tại B  ; −  . Tính 8 2 a+b+c

B. a + b + c = −1

C. a + b + c = 0

D. a + b + c = −3

A. a + b + c =2

FI CI A

Câu 27. Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m (m là tham số) có đồ thị ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C ) cắt trục

hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x 2 , x 3 , x 4 thỏa mãn x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 30 khi m = m0 . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? A. 0 < m0 < 4

B. 4 < m 0 ≤ 7

C. m 0 > 7

D. m0 ≤ −2

Câu 28. Cho hình lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt phẳng ( α ) mặt phẳng ( ABCD ) là 60 . Diện tích tứ giác MNPQ là : A.

1 2 a 2

3 2 a 2

C. 2a 2

lần lượt cắt các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ tại 4 điểm M, N, P, Q. Góc giữa mặt phẳng ( α ) và

2 2 a 3

A. 2

1 4

1 2

D. 1

ƠN

Câu 29. Cho số dương a thỏa mãn điều kiện hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol y = ax 2 − 2 và y = 4 − 2ax 2 có diện tích bằng 16. Giá trị của a bằng

Câu 30. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Đồ thị hàm số y = ln ( − x ) không có đường tiệm cận ngang

QU Y

B. Hàm số y = ln x 2 có một điểm cực tiểu

C. Hàm số y = ln x 2 nghịch biến trên khoảng ( −∞;0 ) D. Hàm số y = ln x 2 không có cực trị x

Câu 31. Cho phương trình 4 − ( m + 1) 2 + m = 0. Điều kiện của m để phương trình có đúng 3 A. m > 1

nghiệm phân biệt là:

B. m > 0 và m ≠ 1

C. m > 0

D. m ≥ 1

KÈ

4 Câu 32. Cho hàm số F ( x ) =  x x 2 + 1 dx. Biết F ( 0 ) = , khi đó F 2 2 bằng 3 85 A. B. 10 C. 19 D. 3 4

)

(

Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập X = {0;1; 2;3; 4;5;6;7} .

DẠ

Rút ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong số đó, chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước . A.

3 32

11 64

3 16

2 7

Câu 34. Cho đa giác đều 16 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đó? A. 121.

B. 112.

C. 128.

D. 560.

B. S = 2018 + 3.4 2020

C. S = 2018 − 3.4 2020

FI CI A

A. S = 2019 + 3.4 2021

u1 = 2 Câu 35. Cho dãy số ( u n ) được xác định như sau:  . Tính tổng u n +1 + 4u n = 4 − 5n ( n ≥ 1) S = u 2021 − 2u 2020 .

D. S = 2019 − 3.4 2021

Câu 36. Số tiền mà My để dành hằng ngày là x (đơn vị nghìn đồng, với x > 0, x ∈ ℤ ) biết x là nghiệm của phương trình log

( x − 2 ) + log3 ( x − 4 )

= 0. Tính tổng số tiền My để dành được

A. 35 nghìn đồng.

trong một tuần (7 ngày). B. 28 nghìn đồng.

C. 14 nghìn đồng.

D. 21 nghìn đồng.

Câu 37. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC đều, I là trung điểm của BC . Góc giữa hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) là B. 30 0.

C. 450.

ƠN

A. 90 0.

D. 60 0.

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân. C. m = −1.

B. m = 1.

A. m ∈ {−1;1} .

D. m ∈ {−1;0;1} .

QU Y

Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi V1 là V thể tích khối chóp S.AMPN. Giá trị lớn nhất của 1 thuộc khoảng nào sau đây? V  1 A.  0;  .  5

1  B.  ;1 . 2 

1 1 C.  ;  . 5 3

1 1 D.  ;  . 3 2

a 2

2a 2

KÈ

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh 2a, mặt bên (SAB) là tam giác cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc ASB = 120°. Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp. C.

21 a 3

D. Kết quả khác

Câu 41. Cho 0 < a ≠ 1, α, β ∈ ℝ. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a =

( a)

aα B. β = a β a

C. a α = ( a α ) β

D. a

( a)

( a > 0)

Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 = 3. Một mặt phẳng

(α)

DẠ

tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và thỏa mãn

OA + OB2 + OC 2 = 27. Diện tích của tam giác ABC bằng

A. 3 3

3 3 2

C. 9 3

9 3 2

Câu 43. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a 3, AD = a, SA vuông góc với mặt đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . B. V =

5 10 3 πa 3

C. V =

Câu 44. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =

m ≤ 0 A.  1 ≤ m < 2

B. m ≤ 0

5 5 3 πa 6

D. V =

13 13 3 πa 24

13 13 3 πa 6

FI CI A

A. V =

cotx − 2 π π nghịch biến trên  ;  . cotx − m 4 2

C. m > 2

D. 1 ≤ m < 2

B. 0,13.

C. 0,7.

D. 0,9.

ƠN

A. 0,11.

Câu 45. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , góc giữa mặt 1 bên và mặt phẳng đáy là α thoả mãn cosα = . Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt 3 phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

Câu 46. Cho tứ diện ABCD cạnh 2a . Tính thể tích của khối bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD . B.

a3 2 6

2a 3 2 9

A. a 3 2

a3 2 3

Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) đạo hàm f ' ( x ) = − x 2 − 1. Với các số thực dương a, b thỏa mãn

a < b . Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ a; b] bằng a+b A. f    2 

QU Y

B. f ( b )

C. f

(

)

D. f ( a )

Câu 48. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = 2a, AA' = 3a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, A’C, AC . Tính theo a thể tích V của khối tứ diện B.MNP. 3 3 a 12

B. V =

3 3 a 4

C. V =

a 3 3 a 2

D. V =

3 3 a 8

KÈ

A. V =

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;1;1) , B ( 2;0;1) và mặt phẳng

( P ) : x + y + 2z + 2 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất. x −1 y −1 z −1 = = . 3 1 −2

B. d :

x −1 y −1 z −1 = = . 3 −1 −1

x−2 y−2 z = = . 1 1 −1

D. d :

x y z+2 = = . 2 2 −2

DẠ

A. d :

C. d :

Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng là ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 và

( Q ) : − x + 2 y − 2 z − 11 = 0 và điểm A = ( −2;1;1) . Một mặt cầu di động ( S ) đi qua A đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) có tâm I của nó nằm trên đường cong có độ dài bằng

B. 2π 2 .

A. 2π .

D. 4π .

C. 2π 3 .

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

------ HẾT ------

20. HSG 12 CẤP TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài 180 phút)

FI CI A

Câu 1 (6,0 điểm).

THÁI NGUYÊN

a) Tìm cực trị của hàm số y = x + 2 x 2 + x + 1 .

b) Cho hàm số y = − x 7 + m ( 2m − 3) x 4 + m ( 2m 2 − 5m + 3) x 2 + 2020 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên ℝ .

a) Giải bất phương trình

2x + 4 − 2 2 − x ≥

6x − 4 5 x2 + 1

x b) Giải phương trình 32 cos6   + sin 3 x = 3sin x . 2

Câu 2 (6,0 điểm).

ƠN

Câu 3 (3.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a , AD = 3a 2 SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 4a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và AD .

a) Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ( BMN ) .

b) Mặt phẳng (α ) đi qua hai điểm B , M và song song với AC . Biết mặt phẳng (α ) cắt các cạnh SA , SC lần lượt tại hai điểm E , F . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

( BEMF ) .

Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC (tam giác ABC không cân ).

QU Y

Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC. AD ( D ∈ BC ) là đường

. Đường thẳng AD cắt đường tròn ( O ) tại điểm E ( E ≠ A). Đường thẳng phân giác trong của BAC

d đi qua điểm I và vuông góc với AE cắt đường thẳng BC tại điểm K . Đường thẳng KA, KE cắt đường tròn ( O ) lần lượt tại các điểm M , N ( M ≠ A; N ≠ E ). Đường thẳng ND, NI cắt đường tròn ( O ) lần lượt tại các điểm P, Q( P ≠ N ; Q ≠ N ). Chứng minh rằng EQ là đường trung trực của

đoạn thẳng MP.

KÈ

 u = 2020 . Câu 5 (2,0 điểm). Cho dãy số (un ) với  1 2021 2020 un +1 = un + 2020un + un (*) a) Chứng minh lim un = +∞ .

 u12020  u22020 un2020 + +⋯ + b) Tính lim   un +1 + 2020   u2 + 2020 u3 + 2020

Câu 6 (1,0 điểm). Cho x , y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: x + y + z = 3 . Chứng minh

DẠ

rằng:

3( x2 + y2 + z2 ) ≥ 2 ( x2 y2 + y2 z 2 + z2 x2 ) + 3

21. HSG 12 CẤP TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 HẢI DƯƠNG Môn thi: TOÁN. Ngày thi: 21/10/2020 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

FI CI A

Câu I (2,0 điểm) 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − ( m + 1) x 2 + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có ba góc nhọn.

1 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − ( m − 1) x 2 − ( m + 3) x + m 2 − 1 nghịch 3 biến trên khoảng ( −1;0 ) . Câu II (2,0 điểm)  xy ( xy − 1) 2 + x 2 y 2 = ( x + 1) ( x 2 + x + 1)  1. Giải hệ phương trình sau:  . 2 x + xy x 2 y 2 + 2 + ( xy + 1) x 2 + 4 x + 6 + 3 = 0 2. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

ƠN

5 x − 1 + m x + 1 − 2 4 x2 − 1 = 0 . Câu III (2,0 điểm) 1. Kết thúc đợt Hội học chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam, lớp 12A có 10 bạn được trao thưởng trong đó có An và Bình. Phần thưởng để trao cho 10 bạn gồm 5 quyển sách Hóa, 7 quyển sách Toán, 8 quyển sách Tiếng Anh (trong đó các quyển sách cùng môn là giống nhau). Mỗi bạn sẽ được nhận 2 quyển sách khác loại. Tìm xác suất để An và Bình có phần thưởng giống nhau. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B ( −1 ; 4 ) . Gọi D , E ( −1; 2 ) lần lượt là

QU Y

 3 7 chân đường cao kẻ từ A, B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Biết I  − ;  là tâm  2 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM . Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC . Câu IV (3,0 điểm) = 120° . 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD a) Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết SA = SB = SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 3a ( SCD) bằng . 4 b) Tính thể tích khối chóp S . ABC biết góc giữa 2 mặt phẳng ( ABC ) , ( SBC ) bằng 45° và tam

KÈ

giác SAB vuông cân tại A . 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B′C ′D′ , đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Gọi N là trung điểm của DD′ , M nằm trên cạnh BB′ sao cho MB′ = 2 MB , P là giao điểm của CC ′ và ( AMN ) . Biết rằng góc ABC = ϕ và AA′ = a . Tìm cos ϕ để góc giữa hai đường thẳng A′P và AN bằng

DẠ

45° . Câu V (1,0 điểm) Cho x, y , z là các số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn 4 ( 3x + 1) + 6 ( y + z ) − x ( y + z ) = x 2 + yz .  2 ( x + y ) + x + z + 1  2 ( x + z ) + x + y + 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

2( x + 3) 2 + y 2 + z 2 − 16 . 2 x2 + y 2 + z 2

--------------Hết--------------

( d ) : y = 1 − x cắt đồ thị ( Cm )

FI CI A

Câu I (6,0 điểm). 1. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 1 có đồ thị ( Cm ) . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng

22. HSG 12 CẤP TỈNH HƯNG YÊN NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề)

tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị ( Cm ) tại hai trong ba

điểm đó vuông góc với nhau. 2 ( x + 1) có đồ thị C . Gọi A x ; y , B x ; y là các điểm cực trị của C với 2. Cho hàm số y = ( ) ( 1 1) ( 2 2 ) ( ) x+2 x1 < x2 . Tìm điểm M trên trục tung sao cho T = 2 MA2 − MB 2 + 2MA − MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II (4,0 điểm).

1 log ( 2 x + 2 ) = log 3+2 3 ( 2 x + 1) . 2 1+ 3 2. Cho các số thực a, b, c ∈ [ 2;8] và thỏa mãn điều kiện abc = 64 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1. Giải phương trình:

ƠN

P = log 22 a + log 22 b + log 22 c . Câu III (5,0 điểm). 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với AD = 2 a, AB = BC = CD = a , cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho NS = 2 ND . Biết khoảng 6a 43 cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng , tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 43 = 60o . Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại I. Trên nửa 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC

tỉ s ố

V1 V2

QU Y

mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC. Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V1,V2 . Tính .

Câu IV (1,0 điểm). Tìm họ nguyên hàm I = 

ln x + 1 dx . x ln x + 1 + 1

DẠ

KÈ

 x + 2 + y + 2 = 7 y − 3x + 8 Câu V (2,0 điểm). Giải hệ phương trình  . 2 2  3 3xy − 8 x + 5 = xy − 6 x + 12 y + 7 a1 = 1  Câu VI (2,0 điểm). Cho dãy ( an ) xác định  . Tìm số hạng tổng quát an và tính n +1 2 an +1 = an + n , ∀n ≥ 1 2  lim an . ............HẾT............

Câu 1.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài 180 phút)

( 4 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 2mx 2 + mx ( m là tham số).

FI CI A

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÒA BÌNH

23. HSG 12 CẤP TỈNH HÒA BÌNH NĂM 2020-2021

a) Tìm các điểm cực trị của hàm số khi m = 1 . b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung. ( 6 điểm) a) Giải phương trình sin 2 x − cos 2 x + 2sin x + 1 = 0 . 1 1 8 b) Giải phương trình log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 ( 4 x ) . 2 4  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 c) Giải hệ phương trình:  .  x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

( 4 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a, AC = a 3

ƠN

Câu 3.

Câu 2.

a. Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo a .

b. Tính khoảng cách giữa AB và SC theo a .

c. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , mặt phẳng ( ABG ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích V1 (phần có chứa đỉnh S ) và phần còn lại V2 . Tính tỉ số

( 2 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC . Đường phân giác trong AD có phương

QU Y

Câu 4.

V1 . V2

trình x + y − 2 = 0 , đường cao CH có phương trình x − 2 y + 5 = 0 . Điểm M ( 3;0 ) thuộc đường thẳng AC thỏa mãn AB = 2 AM . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác.

( 2 điểm) a) Một hộp gồm 7 viên bi đỏ khác nhau và 5 viên bi xanh khác nhau trong đó có một viên bi đỏ khắc chữ P và một viên bi xanh khắc chữ Q. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất để sao cho có 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và nhất thiết phải có bi khắc chữ P hoặc bi khắc chữ Q nhưng không có cùng cả hai viên bi.

Câu 5.

Câu 6.

KÈ

3 b) Tìm hệ số của x trong khai triển  + 2 x 2  , biết An2 − 2Cnn+1 = 5n + 18 ( n ∈ ℕ ) . x  8

( 2 điểm) a. Giải phương trình 4 x 3 + x − ( x + 1) 2 x + 1 = 0 .

b. Cho 3 số thực thỏa mãn a, b, c thỏa mãn a, b, c > 1 và a + b + c = abc . Tìm giá trị

DẠ

nhỏ nhất của biểu thức : P =

a−2 b−2 c−2 + 2 + 2 . c2 a b

HẾT

NĂM HỌC 2020 – 2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN – Lớp 12

(Đề thi có 01 trang)

Thời gian làm bài: 180 phút

FI CI A

HÀ NAM

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho hàm số y =

24. HSG 12 CẤP TỈNH HÀ NAM NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT

2x − 3 có đồ thị ( H ) . Tìm tọa độ của điểm M thuộc đồ thị hàm số đã cho x−2

biết M có hoành độ lớn hơn 2 và tiếp tuyến đồ thị ( H ) tại M cắt hai đường tiệm cận tại P và Q sao

cho diện tích tam giác OPQ có giá trị nhỏ nhất với O là gốc của hệ trục tọa độ. 1 2

2. Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + 2021 − m3 có đồ thị ( C ) , với m là tham số thực. Tìm các giá trị

kính đường tròn ngoại tiếp bằng

ƠN

của m để đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có bán 3 . 2

Câu 2. (4,0 điểm)

QU Y

1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình: 3   log 3  1 − ( x 2 − x + m − 2 )  + x 2 − x − 1 + m 2 1+ x − x + m − 2   = x2 − x+ m −2 3 − m + x − x2 3 1  có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  ; 2  . 4 

( x, y ∈ ℝ ) .

2. Giải hệ phương trình: ( x 2 + 2 ) x + 7 − 3 ( x 2 − y 2 − 4 y − 3) = ( y 2 + 4 y + 5 ) y + 6    x2 − 2 x + 2  2 x y log + +   = 2 + log 4 ( 4 y − 32 y + 68 ) 4 16   

KÈ

4 3 2 x+  3   Câu 3. (2,0 điểm) Tính tích phân I =   2 x − + 1 1 + e x  dx . x   2

Câu 4. (5,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M , N , P theo thứ tự thuộc các

DẠ

cạnh BC , AD , SA sao cho MC = 2 MB, NA = 2 ND , AP = 2 SP . Mặt phẳng S.ABCD thành hai khối đa diện ( H1 ) , ( H 2 ) có thể tích lần lượt là V1 ,V2

đỉnh A . Tính tỉ số

V1 . V2

( MNP ) chia khối chóp với ( H 2 ) là khối đa diện chứa

= CAD = DAB = 60o và AB + AC + AD = BC + BD + CD = 2021 . 2. Cho tứ diện ABCD có BAC

Tính bán kính và thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .

=3.

a) Tìm E thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho A, B, E thẳng hàng.

FI CI A

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1)

Câu 5. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 2; 4;3) , B ( 3;3; 2 ) và mặt cầu

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MA + 3 MB + 22 OB với M là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu ( S ) . Câu 6. (2,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 + 2 = 2 x 2 + 3 y 2 .

−6 x 2 − 5 y 2 − 4 x 2 y 2 − 7 . x2 + y2 + 1

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =

25. HSG 12 CẤP TỈNH NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đề thi gồm: 05 trang.

FI CI A

NAM ĐỊNH MÃ ĐỀ

Phần I: Trắc nghiệm một lựa chọn (Thí sinh ghi đáp án vào ô tương ứng của tờ giấy thi). Câu 1: Có bao nhiêu cặp điểm phân biệt nằm trên đồ thị hàm số y = x3 + 3 x 2 − 2021x và đối xứng nhau qua gốc toạ độ O ? B. 2. C. vô số . D. 0. A. 1. Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A ( 5;3;1) B ( 4; −1;3) , C ( −6; 2; 4 ) , D ( 2;1;7 ) . Biết rằng tập hợp các điểm M thoả mãn MC + MD = MA − MB là mặt cầu ( S ) . Tính bán kính R 21 C. 21. . 2 2x +1 Câu 3: Cho hàm số y = . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2− x A. Hàm số đồng biến trên ℝ \ {2} .

21 . 8

21 . 4

ƠN

của ( S ).

QU Y

B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ ) . C. Hàm số đồng biến trên ( −∞; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ ) . 3

3 7

1 2

Câu 4: Cho hai số thực a , b > 0; a ≠ 1; b ≠ 1 thoả mãn a 7 < a 2 và log b > log b . Chọn mệnh đề

đúng. A. a > 1; 0 < b < 1. B. 0 < a < 1; b > 1. C. a > 1; b > 1. D. 0 < a < 1; 0 < b < 1. Câu 5: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ có cạnh bằng 2a . Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A′B′C ′D′. A. S = 4 2π a 2 . B. S = π a 2 . C. S = π a 2 2. D. 4π a 2 .

KÈ

Câu 6: Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) =

x2 − x + 1 . x −1

x2 1 C. x 2 + ln x − 1 + C. D. + ln x − 1 + C. + C. 2 x −1 Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 4a , tam giác BCD đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy nằm trong hình thoi ABCD , các mặt bên của hình chóp cùng tạo với mặt phẳng đáy góc bằng 450 . Tính thể tích của khối nón tạo bởi hình nón có đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp hình thoi. 3 3 3 3 A. B. 3 3π a3 . C. 3π a 3 . D. πa . πa . 64 8 Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số f ′( x ) như hình vẽ sau: 1 + C. ( x − 1) 2

DẠ

A. 1 +

B. x +

L 1



f ( x) dx = 2 và



f (2 x) dx = 4 . Tính giá trị của I =  f ( x)dx.

B. 8.

C. 4.

D. 6. log 2 x Câu 10: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2 là x − 5x + 6 A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S. ABCD. a3 A. 9a 3 . B. . C. a 3 . D. 3a 3 . 3 Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( a; b; c ) . Gọi A, B, C theo thứ tự là các điểm

ƠN

A. 10.

Câu 9: Cho

FI CI A

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2. B. Hàm số có hai điểm cực trị . C. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu . D. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.

đối xứng với M qua các mặt phẳng ( Oyz ) , ( Ozx ) , ( Oxy ) . Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là −a + b + c a − b + c a + b − c  ; ; . 3 3 3   2a 2b 2c C. G  ; ;  .  3 3 3 

QU Y

A. G 

B. G  ; ;  .  3 3 3 a b c

D. G 

a+b+c a+b+c a+b+c ; ; . 3 3 3   Câu 13: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x3 + 2 x 2 + 4 x − 3 trên đoạn [1;3] bằng

KÈ

A. −3. B. 2. C. 5. D. 0. Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên ℝ \ {±2} . Hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Tính tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

1 . 2 f ( x) − 4

DẠ

A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. 2 2 2 Câu 15: Hàm số f ( x ) = ( x − 1) + ( x − 2 ) + ... + ( x − n ) đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng A.

n . 2

n +1 . 2

n −1 . 2

n ( n + 1) . 2

Câu 16: Giả sử a, b là các số thực sao cho x3 + y 3 = a.1000 z + b.100 z đúng với mọi số thực dương x, y , z thoả mãn log ( x + y ) = z và log ( x 2 + y 2 ) = z + 1 . Tính giá trị biểu thức của T = 2000a + 2021b.

C. T = 29315.

D. T =

FI CI A

B. T = 1932021.

29 . 2 Câu 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2020; 2021] để bất phương

A. T = 29305.

trình m( x − 1) < ( x + 1)2 nghiệm đúng với mọi x thuộc (1; 2021] ? B. 2029. C. 2021. A. 2020.

D. 2028.

Câu 18: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ. Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [ 0; 2021] để hàm số y = f ( 3 x − m ) + 2 f ( x 2 − 2 x ) đạt giá trị lớn

ƠN

nhất. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc tập S bằng

QU Y

A. 6. B. 3. C. 0. D. 2. Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông; biết khoảng cách từ đỉnh S đến AB và CD lần lượt là 377 và 5 ; khoảng cách từ S đến mặt đáy bằng 4 . Hình chiếu vuông góc H của S xuống mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD . Đặt V là thể tích khối chóp S . ABCD . Chọn mệnh đề đúng. A. V ∈ (645; 646). B. V ∈ (644; 645). C. V ∈ (646; 647). D. V ∈ (647; 648). Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết 3

 ( f ( x ) + 2 ) dx là 1

 1

(

f ln x x

) dx = 6, f ( cos x ) sin 2 xdx = 2 . Giá trị  2

A. 16 . B. 10 . C. 5 . D. 9 . Câu 21: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f ( x + 1) + f ( x + 2 ) = e x ( x 2 − 1) . Giá trị 3

KÈ

của tích phân I = 1 f ( x ) dx bằng

DẠ

A. I = 0. B. I = 2. C. I = −1. D. I = −3. 3 2 Câu 22: Cho hàm số y = ax + 3bx − 2cx + d ( a, b, c, d là các hằng số, a ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ:

L FI CI A

a 4

A. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên (1; 2 ) . C. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( 0; 2 ) .

Xét hàm số g ( x ) = x 4 + ( a + b ) x 3 + ( 3b − c ) x 2 + ( d − 2c ) x + d − 2021 . Chọn mệnh đề đúng. B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( −∞;0 ) . D. Hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 2; +∞ ) . 2

24 15 D. . . 4 73 Câu 24: Cho hàm số f ( x ) = 3m2 x 4 − 8mx3 + 6 x 2 + 12 ( 2m − 1) x + 1 với m là tham số. Biết rằng với

12 . 13

ƠN

Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3) = 25 và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 2 z + 3 = 0. Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn (T ) ; CD là một đường kính cố định của (T ) , A là điểm thay đổi trên (T ) ( A khác C và D ). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P ) cắt ( S ) tại B. Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) bằng B. 13.

QU Y

mọi tham số m thì hàm số luôn đồng biến trên [ a; b] (với a, b là các số thực). Giá trị lớn nhất của biểu thức ( 4b − a ) bằng A. 2 5 + 1. B. 2 5 + 2. C. 5. D. 2 5. Phần II: Thi sinh ghi câu trả lời vào giấy thi theo hàng dọc. Câu 25: Điểm cực tiểu của hàm số y = − x 4 + 5 x 2 + 4 là Câu 26: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 6 x 2 < log 6 (2 x + 3).

Câu 27: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên ℝ , thoả mãn

 xf '( x)dx. 0

 f (2 x)dx = 10

và f (8) = 2 . Tính

KÈ

DẠ

Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD, đáy là tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc , AC = BD = 2a , SA tạo với mặt phẳng ( ABCD ) góc 60 0 , SA = 2a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD. Câu 29: Gọi r là bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện đều ABCD cạnh bằng 4a . Tính r . Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;1) , B ( 3; −1;5) . Mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng AB và cắt các trục Ox, Oy , Oz tại các điểm D, E , F . Biết thể tích của khối tứ diện ODEF bằng

3 . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) . 2

FI CI A

1 Câu 31: Số hạng không chứa x trong khai triển 1 + x + x 2 +  bằng x  Câu 32: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là 60 0 . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAD ) và ( ABCD ). Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x 4 + 2mx3 + (m + 2) x 2 + 2020m + 2021 chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại? 2x +1 Câu 34: Cho hàm số y = có đồ thị (C ) . Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C ) và đối xứng x −1 với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận của (C ) . Dựng hình vuông AEBF , tính diện

tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF . Câu 35: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: 4 x 2 + 6 x.2 x + 20 ≥ x 2 .2 x + 5.2 x + 24 x. Câu 36: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 19 chữ số lấy từ tập X = {6;8} sao cho mỗi số trong tập hợp S phải chứa ít nhất một chữ số 8 và không có bất kì hai chữ số 8 nào đứng cạnh nhau.Tính số phần tử của tập hợp S. Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 81x − 6.27 x + 8.9 x − 2m.3x − m 2 = 0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Câu 38: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [1;e] thỏa mãn 2

xf ' ( x ) = xf 2 ( x ) + 3 f ( x ) +

ƠN

4 2 và f ( x) ≠ − với mọi x ∈ [1; e] . Giá trị của f ( e ) bằng bao nhiêu x x

QU Y

biết rằng f (1) = −3? Câu 39: Cho khối lập phương ABCD. A′B′C′D′ cạnh a và M là một điểm nằm trong khối lập phương đó. Gọi V1 ,V2 và V3 lần lượt là thể tích của khối tứ diện MA′B′C ′, MACD và MABB ′ . Biết rằng V1 = 2V2 = 2V3 , tính thể tích khối tứ diện MA′CD . Câu 40: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định và liên tục trên ℝ , đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ bên dưới (trong đó hàm số f ( x ) đồng biến trên ( −∞; −2 ) và nghịch biến trên ( 7; +∞ ) ). Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −19; −3] để hàm số 2

DẠ

KÈ

y = ( f ( x) + m ) có đúng 5 điểm cực trị. Số phần tử của tập S là

26. HSG 12 CẤP TỈNH THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI BÌNH

MÔN TOÁN LỚP 12

B. ( −∞; 4 ) .

A. ( −∞; 3) .

FI CI A

Câu 1. Hàm số y = − x4 + 4 x3 − 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? C. ( 3; + ∞ ) .

D. ( 4; + ∞ ) .

Câu 2. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m2 − 2 (1) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số (1) có hai điểm cực trị. A. m ≠ 0 .

B. m > −1 .

3x − 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2x − 3

hàm số trên đoạn [−2;1] . Khi đó M + m là: 1 . 7

15 . 7

1 C. − . 7

Câu 4. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

x − 2 −1 là: 2x + 3 C. 4 .

D. −

15 . 7

D. 1 .

B. 2 .

A. 3 .

ƠN

D. −1 < m < 1 .

Câu 3. Cho hàm số y =

C. m < 1 .

Câu 5. Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b, c, d

QU Y

có bao nhiêu giá trị dương?

A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 1 .

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 3 − 3 x + m + 1 = 0 có ba

KÈ

nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm dương? A. −1 < m < 1 .

B. −1 ≤ m < 1 .

C. 0 < m < 1 .

D. −2 < m < 1 .

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn điều kiện f (2 + x ) + f (8 − 2 x ) = 3 x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có

hoành độ x = 4 .

DẠ

A. y = −3 x + 15 .

B. y = −3 x + 9 .

C. y = −3 x − 9 .

D. y = 3 x − 15 .

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m + 2020

đồng biến trên khoảng ( −3; − 1) . A. m ≥ 10 .

B. m > 10 .

C. m < 10 .

D. m ≤ 10 .

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − ( 2m + 1) x 2 + ( 2m 2 + 2m − 4 ) x − 2m 2 + 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

C. 4 .

B. 5 .

D. 6 .

A. 3 .

Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số A. 4 .

B. 0 .

FI CI A

y = x 4 − 4 x 2 + m trên đoạn [−2;1] bằng 2020. Tính tổng các phần tử của S .

C. 2020 .

D. 5 .

Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y =

A. 9 .

B. 8 .

C. 7 .

D. 10 .

ba đường tiệm cận?

1− x có đúng x + 4x + m 2

2x +1 có đồ thị ( C ) . Gọi M ( a; b ) là điểm trên ( C ) có khoảng cách đến x+2 đường thẳng d : y = 3 x + 6 nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 12. Cho hàm số y =

B. a + b = 2 .

C. a − b = −2 .

ƠN

A. a + b = −2 .

D. a − b = 2 .

Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị 2 x −1 tại hai điểm phân biệt A, B và AB ≤ 4 . x +1

A. 1.

B. 2 .

hàm số y =

C. 3 .

D. 0 .

Câu 14. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m, m ∈ [ −50;50 ) sao cho bất phương

QU Y

trình mx 4 − 2 x + m ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ . A. 1224 .

B. 1272 .

C. 1274 .

D. 1200 .

KÈ

Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình f ( x) = m ( m ∈ ℝ ) có bốn nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn điều kiện

x1 < x2 < x3 <

1 < x4 khi: 2

DẠ

A. 0 < m ≤ 1 .

1 ≤ m <1. 2

1 < m <1. 2

D. 0 < m < 1 .

Câu 16. Cho hàm số y = x3 + 3mx + 1 (1) ( m là tham số thực, m ∈ ( −∞;0 ) ). Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Đường thẳng d cắt đường tròn tâm I ( −1;0 ) bán

kính R = 3 tại hai điểm phân biệt A, B . Diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất là:

9 . 2

D. 6 .

C. 2 7 .

1 3 x + ax 2 + bx + c ( a, b, c ∈ ℝ ) thỏa mãn điều kiện f (0) = f (1) = f (2). 6

Câu 17. Cho hàm số f ( x ) =

(

A. 14 .

)

khoảng ( 0;1) là: A. 1 .

B. 1 − 3 .

FI CI A

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số g ( x ) = f f ( x 2 + 2 ) nghịch biến trên

D. 1 +

Câu 18. Cho hàm số f ( x) = 2 x 4 − 8 x3 − 16 x 2 + 1 − m ( m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc c . Giá trị a + b + c bằng: B. 16 .

C. 15 .

D. 13 .

A. 12 .

−2

1  4 1  4   A. D =  −1; −  ∪  0;  B. D =  −1; −  ∪  0;  2  3 2  3  

1 4 4   C. D = ℝ \  −1; − ;0;  D. D =  −1;  2 3 3  

ƠN

 4 x − 3x 2  3 Câu 19. Tập xác định của hàm số y =  2  là:  2 x + 3x + 1 

Câu 20. Hàm số y = log 0,5 ( − x 2 + 2 x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (1; 2 )

B. ( −∞;1) 2

−x

A. 2 .

B. 1 .

D. (1; +∞ )

− 22+ x − x = 3 là:

QU Y

Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2 x

C. ( 0;1)

D. 4

C. 3 .

Câu 22. Cho ba số dương a , b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y = log a x, y = log b x, y = log c x như

hình vẽ dưới đây. Tìm khẳng định đúng y y = log a x

KÈ

y = log b x

y = log c x

A. c < a < b .

B. c < b < a .

C. a < c < b .

D. b < a < c .

DẠ

Câu 23. Cho phương trình 8 x − m.22 x +1 + (2m 2 −1).2 x + m − m3 = 0 . Biết tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình trên có ba nghiệm phân biệt là (a; b) . Tính a.b ? A. a.b =

2 . 3

B. a.b =

4 . 3

C. a.b =

3 . 2

D. a.b =

3 . 4

Câu 24. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình log m (2 x 2 + x + 3) ≤ log m (3 x 2 − x) . Biết rằng bất phương trình có một nghiệm là x = 1 .

B. S = [ −1;3] .

1  C. S = ( −1;0 ) ∪  ;3 . 3 

D. S = ( −1;0 ) ∪ (1;3] .

FI CI A

1  A. S = [ −1; 0 ) ∪  ;3 . 3 

Câu 25. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất 0,8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng? B. 47 .

C. 48 .

D. 50 .

A. 49 .

T = logb c − 2 log a b . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. T ∈ ( −3; − 1) .

B. T ∈ ( −1; 2 ) .

ƠN

Câu 26. Cho các số thực a , b, c thỏa mãn c > b > a > 1 và 6 log 2a b − log b2 c = log a

C. T ∈ ( 2;5 ) .

c c − 2 log b − 1 . Đặt b b

D. T ∈ ( 5;10 ) .

9 x 2 − 4 y 2 = 5 Câu 27. Cho hệ phương trình  (tham số m ∈ ℝ ) có nghiệm log m ( 3x + 2 y ) − log3 ( 3x − 2 y ) = 1

( x; y ) thỏa mãn 3 x + 2 y ≤ 5. Khi đó giá trị lớn nhất của A. log5 3.

B. log3 5.

m là: D. 4 .

C. 5 .

bằng: A. 600 .

QU Y

Câu 28. Cho cấp số cộng ( un ) có u3 + u13 = 80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó B. 800 .

C. 570 .

D. 630 .

Câu 29. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa 1 lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp đôi bình I và trong bình III gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r1 , r2 , r3

của ba bình I, II, III.

1 . 2

KÈ

A. r1 , r2 , r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội

B. r1 , r2 , r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội 2.

1 . 2

C. r1 , r2 , r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội

DẠ

D. r1 , r2 , r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội

Câu 30. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà có số phần

tử chẵn? A. 219 − 1 .

B. 220 + 1 .

C. 220 .

D. 219 .

3n 1  Câu 31. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển f ( x ) =  x 2 + x + 1 ( x + 2 ) thành đa 4  10

B. 26 C1910 .

C. 25 C1910 x10 .

D. 29 C1910 .

FI CI A

A. 25 C1910 .

thức, với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức An3 + Cnn − 2 = 14n.

Câu 32. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố. 2045 . 13608

409 . 90000

Câu 33. Cho khối chóp S. ABC có thể tích là

409 . 3402

a . 2

B. d =

409 . 11250

a3 . Tam giác SAB có diện tích là 2a 2 . Tính khoảng 3

cách d từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) . A. d =

2a . 3

C. d = a .

D. d = 2a .

ƠN

Câu 34. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 60° .

B. 30° .

C. 90° .

D. 45° .

Câu 35. Cho lăng trụ tam giác ABC . A′B′C ′ có AB = AC = 2a và BC = 2a 3 . Tam giác A′BC vuông cân tại A′ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ( ABC ) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA′ và BC .

a 3 . 2

B. a 3 .

QU Y

a 2 . 2

a 5 . 2

Câu 36. Cho khối lăng trụ ABCD. A′B ′C ′D ′ có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích khối chóp A′.BCO bằng: A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 37. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′ B ′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a , độ dài cạnh bên ′BC = 30° . Thể tích khối chóp bằng 4a . Mặt phẳng ( BCC ′B ′) vuông góc với mặt đáy và B

a3 3 . 6

KÈ

A.CC ′B là:

a3 3 . 2

a3 3 . 3

a3 3 . 12

Câu 38. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với mặt đáy góc

a3 3 . 72

DẠ

30° . Thể tích khối chóp S. ABC bằng: B.

a3 3 . 36

a3 3 . 48

a3 3 . 24

Câu 39. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , 1 AB = BC = AD = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể 2 tích của khối chóp S. ACD được:

A. VS . ACD =

a3 3 . 6

B. VS . ACD =

a3 3 . 4

C. VS . ACD =

a3 3 . 3

D. VS . ACD =

a3 2 . 6

Câu 40. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC = a . Biết SA = a và

SA ⊥ ( ABC ) . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC . Tính thể tích khối chóp

a3 . 18

a3 . 12

FI CI A

S . AEF . a3 . 36

a3 . 24

Câu 41. Cho hình chóp S. ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7 a . Các mặt bên ( SAB ) , ( SBC ) và

a3 3 . 2

B. 8a3 3 .

S lên mặt phẳng

( SCA) cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60° . Hình chiếu vuông góc của ( ABC ) thuộc miền trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S. ABC . 8a 3 3 . 3

D. 4a3 3 .

ƠN

Câu 42. Cho lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh

BC = a 6 . Góc giữa mặt phẳng ( AB′C ) và mặt phẳng ( BCC ′B′ ) bằng 60° . Tính thể tích khối đa

a3 3 . 3

3a 3 3 . 2

diện AA′B′C ′C .

a3 3 . 2

D. a 3 3

= CBD = 90°; Câu 43. Cho tứ diện ABCD có AB = a; AC = a 5; DAB ABC = 135° . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABD ) và ( BCD ) bằng 30° . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng.

a3 . 2 3

a3 . 2

QU Y

a3 . 3 2

a3 . 6

Câu 44. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R , chiều cao bằng h . Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. h = 2 R .

C. h = R .

D. h =

R . 2

B. h = 2 R .

Câu 45. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60° và diện tích xung quanh bằng 6π a 2 . Tính thể tích

KÈ

V của khối nón đã cho. 3π a 3 2 . 4

π a3 2 . 4

C. V = 3π a 3 .

D. V = π a 3 .

Câu 46. Cho mặt cầu ( S ) tâm O . Các điểm A, B , C nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho AB = 3, AC = 4, BC = 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC ) bằng 1. Thể tích của khối

DẠ

cầu ( S ) bằng: A.

7 21π . 2

13 3π . 6

20 5π . 3

29 29π . 6

Câu 47. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Mặt cầu đi qua bốn điểm S , A, B , E a 41 . 16

a 2 . 16

a 41 . 24

a 41 . 8

FI CI A

có bán kính là:

Câu 48. Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào

trong một chiếc phễu hình nón chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm

trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt đáy hình nón), các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón, tâm của viên gạch nằm trên trục hình nón (như hình vẽ). Tính thể tích nước còn lại trong

A. V = 22, 27 .

B. V = 22,30 .

ƠN

phễu (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

C. V = 22,10 .

D. V = 20, 64 .

QU Y

Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình 9 x − 2 ( x + 5 ) 3x + 9 ( 2 x + 1) ≥ 0 là S = [ a; b] ∪ [c; +∞ ) . Khi đó a + b + c bằng: A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 5.

Câu 50. Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 3a − 4 > b > 0 . Tính tổng S = a + 2b khi biểu 2

DẠ

KÈ

  a3  3  thức P = log a   +  log 3a a  đạt giá trị nhỏ nhất.  4b  16  4+b 

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

27. HSG 12 CẤP TỈNH NINH BÌNH NĂM 2020-2021

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài 180 phút)

FI CI A

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

28. HSG 12 CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM 2020-2021

(

)

ƠN

  2  2   xln 1 +  = ln  1 +  x    y 2. Giải hệ phương trình  .  1 + 2 = 2 y + 3xy  x xy 5y + 6 

Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x 2 − 4 có đồ thị ( C ) . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. b. Tìm m để đường thẳng y = m ( x + 2 ) cắt đồ thị ( C ) tại ba điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại ba điểm đó tạo thành tam giác vuông. Câu 2. (4 điểm) 1. Giải phương trình sinx 2 3cosx + 3 + 2 ( sinx + 1) = 3cosx − cos2x .

(6 điểm) 1. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi luôn song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q (không trùng với các đỉnh của hình chóp S . ABCD ). Gọi M’, N’, P’, Q’ lần lượt là SM hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng ( ABCD ) . Tính tỉ số để thể tích khối SA đa diện MNPQM’N’P’Q’ đạt giá trị lớn nhất. 2. Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = 1 . Từ một điểm S trên mặt cầu kẻ ba đường thẳng cắt mặt cầu tại ba điểm phân biệt A, B, C khác điểm S sao cho SA = SB = SC = CSA = α . Khi α thay đổi tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp và ASB = BSC

KÈ

Câu 4.

QU Y

Câu 3. (4 điểm) 1. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X . Tính xác suất để số được chọn là số chẵn, có mặt hai chữ số 1 và 2, đồng thời 1 và 2 không đứng cạnh nhau. 2. Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lãi suất 0,85% /tháng. Sau mỗi tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng? (tháng cuối có thể trả dưới 10 triệu đồng)

S. ABC .

DẠ

3. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , D là trung điểm của cạnh BC. Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) . Câu 5. (2 điểm) Cho các số thực không âm x, y , z thoả mãn x + y + z = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 3 + y 3 + z 3 + 8 ( xy 2 + yz 2 + zx 2 ) .

HẾT

29. HSG 12 CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM 2020-2021 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 CẤP THPT NĂM HỌC 2020 – 2021

Đề chính thức

Câu 1(7,0 điểm). a) Cho phương trình: sin x = (cot x + 2 3 ) cos x. Hỏi phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2020π )?

FI CI A

Môn thi: TOÁN HỌC - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

(4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0  b) Cho hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ; m là tham số thực). Tìm tất cả các 4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = m 

ƠN

giá trị nguyên của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm. Câu 2(3,5 điểm). (HSG 12 NGHỆ AN BẢNG A NĂM 2020-2021) a) Một hộp đựng 30 quả cầu được đánh số là các số tự nhiên từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên đồng thời từ hộp ra 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu được chọn có các số ghi trên đó lập thành một cấp số cộng. 2 b) Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 3, un+1 = un2 − 2, ∀n ∈ ℕ *. Chứng minh rằng: 5(u1.u2 ...un−1 ) + 4 là một số chính phương. Câu 3(1,5 điểm). Cho x, y , z là các số thực dương thỏa mãn 2 x + 4 y + 7 z = 2 xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z. Câu 4(6,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC . A1 B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và

BA1 = BB1 = BC1 = a 3.

QU Y

a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB1 A1 ) . b) Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABB1 , ACC1 , CBB1 . Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm G1 , G2 , G3 , A1 , B1 và C1. Câu 5(2,0 điểm). Cho hình chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = 1, SB = SC = 2 2. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Một mặt phẳng (α ) thay đổi đi qua I lần lượt cắt các tia SA, SB, SC tại M , N , P. Chứng minh rằng

1 1 1 5 + + 2≥ . 2 2 SM SN SP 8

DẠ

KÈ

……………Hết…………… Họ và tên thí sinh…………………………………… Số báo danh……………………

30. HSG 12 CẤP TỈNH HÀ TĨNH 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021

FI CI A

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

−2 x + 1 có đồ thị là đường cong ( C ) và đường thẳng d : y = 2 x + m . x +1 Tìm m để d cắt ( C ) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 7 (với O là gốc tọa độ).

Câu 1.(2,5 điểm) Cho hàm số y =

Câu 2. (HSG 12 HÀ TĨNH NĂM 2020-2021) (2,5 điểm) Một hộp đựng 20 tấm thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 20 . Một người rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 tấm thẻ. Tính xác suất để bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị. Câu 3. (HSG 12 HÀ TĨNH NĂM 2020-2021) (2,5 điểm) Cho hàm số bậc ba f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c với a, b, c ∈ R , biết 4a + c > 2b + 8 và 2a + 4b + 8c + 1 < 0 . Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) .

ƠN

Câu 4. (HSG 12 HÀ TĨNH NĂM 2020-2021) (2,5 điểm) Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là = 120°. Cạnh SA vuông góc tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và BCD với mặt phẳng ( ABCD ) và SA = 2a . Mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P. Tính thể tích khối chóp S. AMNP . Câu 5. (HSG 12 HÀ TĨNH NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm

1  f ′ ( x ) = 4 − x 2 . Tìm m để hàm số y = f ( x 2 + x ) + m  2 ln x −  nghịch biến x  trên khoảng (1; +∞ ) .

QU Y

Câu 6. (HSG 12 HÀ TĨNH NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Phần trên của một cây thông Noel có dạng hình nón, đỉnh S , độ dài đường sinh l = 2m và bán kính đáy r = 1m. Biết rằng AB là một đường kính đáy của hình nón và I là trung điểm đoạn thẳng SB (tham khảo hình vẽ). Để trang trí, người ta lắp một dây bóng nháy trên mặt ngoài của cây thông từ vị trí A đến I. Tính độ dài ngắn nhất của dây bóng nháy. Câu 7. (HSG 12 HÀ TĨNH NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Cho phương trình

I A

r B

x 2 + (m + 2) x + 4 = (m − 1) x3 + 4 x với m là tham số thực. Tìm m để phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt.

KÈ

Câu 8. (HSG 12 HÀ TĨNH NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = 1 + x 2 + x . Tìm m để bất phương trình 1 + 1 − x2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −1;1] . ( x − m) f ( x − m) + f 1 + 1 − x2

(

)

DẠ

Câu 9. (HSG 12 HÀ TĨNH NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c ∈ [ 4;8] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 F = a 2 + b 2 + c 2 − log 32 (abc). 4 -------HẾT ------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .........................................................Số báo danh:…………….

31. HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2020-2021

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang và 05 câu.

SỐ BÁO DANH:……………

FI CI A

ĐỀ CHÍNH THỨC

x+2 có đồ thị x −1 (C ) . Gọi A, B là các giao điểm của (C ) với các trục tọa độ. Tìm trên (C ) các điểm M có tọa độ

Câu 1(HSG 12 QUẢNG BÌNH NĂM 2020-2021) (2,0 điểma. Cho hàm số y =

nguyên sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 8 (đvdt).

1 1 sin 3 x + cos 2 x − s inx − m bằng 1. 12 4 Câu 2 ). (HSG 12 QUẢNG BÌNH NĂM 2020-2021) 3

log u19 − log u1 + log u19 − log u1 + 3 = 3 và un+1 = un + 2,

với mọi n ∈ ℕ * . Tìm n sao cho ( 2)un = 4 2020. f ( x) =

ƠN

(2,0 điểm). a. Cho dãy số (un ) thỏa mãn

b. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y =

2020x S= 2020x + 2020 . Tính tổng

 1  f +  2021 

b. Cho Câu 3 ). (HSG 12 QUẢNG BÌNH NĂM 2020-2021)

 2  f  +…+  2021 

 2020  f .  2021 

(2,0 điểm). a. Cho đa giác đều A1A 2 ... A 2020 nội tiếp đường tròn (O), chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của

QU Y

đa giác đó. Tính xác suất để nhận được một tam giác tù. 2

1 2 3 2020 2019 b. Chứng minh rằng (C 2020 . ) + (2C 2020 ) + (3C 2020 ) + ... + (2020C 2020 ) = 20202 C 4038

Câu 4 ). (HSG 12 QUẢNG BÌNH NĂM 2020-2021) (3,0 điểm). Cho tứ diện ABCD và hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB , AC sao cho 2 AM = BM ,

2CN = AN . Mặt phẳng ( P ) đi qua hai điểm M, N và song song với cạnh AD, cắt các cạnh BD

KÈ

và CD lần lượt tại K và L. a. Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD . Tính thể tích khối đa diện BCMNLK theo V . b. Giả sử tứ diện ABCD có BC = x (0 < x < 3 ), tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5 ). (HSG 12 QUẢNG BÌNH NĂM 2020-2021)

DẠ

(1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1, ta luôn có

n +1 1 1 1 n +1 < + + ....... + < log 2 . 2 2 3 n 2 -------------HẾT-------------

FI CI A

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

32. HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2020-2021 UBND TỈNH QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020

Câu 1. (HSG 12 QUẢNG TRỊ NĂM 2020-2021) ( 5,0 điểm) 1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y = cos x − sin x.

2. Tìm m để phương trình 2 x 4 − 4 x 2 + 1 − 2m = 0 có đúng 5 nghiệm phân biệt.

(x − y)

Câu 2. (HSG 12 QUẢNG TRỊ NĂM 2020-2021) ( 5,0 điểm) 1 2 1010 1. Chứng minh rằng C2020 + 2C2020 + ... + 1010C2020 = 1010.22019. 2. Tìm tất cả các cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn xy ≤ 4 và + 20 = ( x + y )( xy − 8 ) .

ƠN

Câu 3. (HSG 12 QUẢNG TRỊ NĂM 2020-2021) ( 6,0 điểm) 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S . ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a. 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ). Gọi M , D, E lần lượt là trung điểm của BC , IB, IC ; F , G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACE . Chứng minh rằng AM vuông góc FG. Câu 4. (HSG 12 QUẢNG TRỊ NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi x1 = 2 và xn+1 = 2 − xn , ∀n ≥ 1. Chứng minh dãy

KÈ

QU Y

số ( xn ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Câu 5. (HSG 12 QUẢNG TRỊ NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Xét các số thực dương a , b, c có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2b + c 2c + a 2a + b 18abc P= + + + . a b c ab + bc + ca ----Hết----

DẠ

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

33. HSG 12 CẤP TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020THỪA THIÊN HUẾ 2021 Môn : TOÁN LỚP 12 THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề )

FI CI A

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1. (HSG 12 THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2020-2021) (4,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 + 3x 2 + mx − 3 (1) có đồ thị ( Cm ) , m là tham số.

a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x ) (1) có hai điểm cực trị âm. b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = x − m cắt đồ thị (Cm ) tại ba điểm phân biệt

có hoành độ lần lượt là x1 , x2 , x3 sao cho biểu thức T = x12 + x22 + x32 + 4 x12 x22 x32 − 7 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2. (HSG 12 THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2020-2021) (4,0 điểm) 1. Giải phương trình lượng giác 2

− 2sin 2 x 2  π  π  = sin  − x  − sin  − 3x   2  1 + cot x 2  4  4 

( sin x + cos x )

(

)

QU Y

ƠN

4 1 + 1 + 4x  1 x  2. Giải phương trình  . −  = x + x 2 + 3x + 2 + 1  x x +1 Bài 3. (HSG 12 THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2020-2021) (4,0 điểm) 9 y 3 + y = x 3x − 1 (1) 1. Giải hệ phương trình  2  9 y + 7 + 3x + 6 = 8 (2) 2. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất đê số được chọn là một số chẵn. Bài 4. (HSG 12 THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2020-2021) (3,0 điểm) Cho phương trình ( 2m + 3) 16 x − ( 4m − 2 ) 4 x + 3m − 8 = 0 (1) , m là tham số thực.

KÈ

a) Giải phương trình khi m = 3 b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. Bài 5. (HSG 12 THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2020-2021) (3,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có cạnh SA = x , tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy ABCD a) Chứng minh rằng SA ⊥ SC . b) Tính diện tích đáy ABCD theo x của hình chóp S. ABCD . c) Xác định x để khối chóp S. ABCD có thể tích lớn nhất. Tính giá trị thể tích lớn nhất đó. Bài 6. (HSG 12 THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Cho 2 x 2 + y 2 − 2 xy = 1.

DẠ

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f ( x, y ) = 4 x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 + 2018.

--------------------------------HẾT-------------------------------

Hàm số y = ( x 2 − 2 x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. ( 0;1) .

Câu 3: Câu 4:

Số điểm cực trị của hàm số y = x +

D. (1; +∞ ) .

4 là: x

A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . 3 Giá trị cực đại của hàm số y = x − 3x + 2 bằng A. −1. B. 0 . C. 4 . D. 1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2 x − 1 trên đoạn [1;10 ] bằng A. 3 .

Câu 5:

C. ( 0; 2 ) .

B. 6 . 3

D. 4 .

C. 5 .

Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d

( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 4 f ( x) + 3

QU Y

Đồ thị hàm số y =

Câu 2:

B. ( −∞;1) .

ƠN

Câu 1:

FI CI A

34. HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2020-2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THPT QG NĂM 2021 . MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã Đề: 103 (Đề thi gồm 08 trang) Họ và tên: ……………………………………………………….SBD:……………………….

A. 3 . Câu 6:

Biết rằng phương trình tích x1x2 bằng

log 22

− x +4 x

D. 4 .

) − 2021 = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 . Giá trị của C. 4 .

D. log 2 2020

x + 20

KÈ

3  25  Bất phương trình   <  có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên? 5  9  A. 14 . B. 13 . C. 10 . D. 12 . Biết phương trình 9 x − 4.15 x = 52 x+1 có nghiệm x0 = log a b ( a, b là các số nguyên dương), tính 5

2a + b ? A. 2a + b = 11 . B. 2a + b = 13 . C. 2a + b = 10 . Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 1 ( 3 x − 2 ) ≥ −3 là

Câu 8:

(

x − log 2 2020 x

B. 2 .

A. 2log 2 2020 . Câu 7:

C. 1 .

B. 2 .

DẠ

Câu 9:

B. 9 .

A. 11 .

Câu 10: Cho

D. 2a + b = 8 .

C. 10 .

D. 3 .

π 2

 0

A. 2 .

f ( x ) dx = 2,  f ( x ) dx = 3 . Tích phân 1

 f ( sin x ) cos xdx bằng 0

B. 4 .

C. 5 .

D. −1 .

f ( x ) dx = 2 . Tích phân

 ( x + 2 f ( x ) ) dx bằng

11 . 2

7 . 2

Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

(

)

A. ln 2e x + 1 + C . C.

1 ln 2e x + 1 + C . 2

(

)

Câu 13: Biết

 x ln ( x

5 D. − . 2

C. 5 . ex 2e x + 1

(

là

)

B. 2 ln 2e x + 1 + C . D.

1 1 x − ln 2e x + 1 + C . 2 2

(

)

+ 1) dx = a ln 5 + b ln 2 + c với a, b, c là các số hữu tỉ, tính P = a + b + c .

Câu 17:

Câu 18: Câu 19:

ƠN

Câu 16:

Câu 15:

A. P = 3 . B. P = 0 . C. P = 5 . D. P = 2 . Cho khối trụ có chiều cao bằng 2 và thể tích bằng 18π . Diện tích xung quanh của khối trụ đã cho bằng A. 12 3π . B. 4π . C. 12π . D. 4 3π . Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 6 , thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông. Thể tích của khối nón đã cho bằng A. 54 2π . B. 72 2π . C. 24 2π . D. 18 2π . 3π Tính bán kính R của khối cầu có thể tích bằng . 2 3 3 A. R = . B. R = . C. R = 2 3 . D. R = 3 . 6 2 Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng a , đáy là hình thoi cạnh a và có một góc bằng 1200 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng a3 3 a3 3 a3 3 . . A. a3 3 . B. . C. D. 3 2 6 x −1 y −1 z + 1 Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d : = = ? −1 1 2 A. M (−1; −1;3) . B. N (−1;3;1) . C. P ( −1;3; 3) . D. Q ( −1; −1;1) . Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) . Ba điểm A , B , C lần lượt là hình chiếu vuông

QU Y

Câu 14:

FI CI A



Câu 11: Cho tích phân

góc của M lên 3 trục toạ độ. Mặt phẳng đi qua 3 điểm A , B , C có một véc-tơ pháp tuyến là A. n1 = (1; 2;3) . B. n2 = (3; 2;1) . C. n3 = ( 2;3; 6) . D. n4 = (6;3; 2) .

KÈ

Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 3 z = 0 , (Q ) : x + 4 z − 1 = 0 . Giao tuyến của hai mặt phẳng trên có một véc-tơ chỉ phương là A. u1 = (8;1; −2) . B. u2 = (−5; 2;3) . C. u3 = (−4;1; 2) . D. u4 = (8; −1; −2) . Câu 21: Một mặt cầu có diện tích bằng 24π cm 2 , thể tích khối lập phương nội tiếp trong mặt cầu đó bằng

DẠ

A. 8cm3 . B. 48 6cm3 . C. 16 2cm3 . D. 8 2cm3 . Câu 22: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 2005 song song với đường thẳng y = 9 x + 2021 là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . Câu 23: Biết rằng hàm số y = ( x − m)( x −1)( x + m − 2) ( m là tham số khác 1) có hai điểm cực trị. Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số này bằng 3  m + 1  A.  . B. 0 . C. 1.  2 

m  D.  + 1 .  2 

Câu 24: Cho phương trình sin x.cos x − (m + 1).sin x − (m − 3).cos x = −m2 + 2m + 3 , với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 6 . B. 4 . C. 2 . D. 5 . Câu 25: Tính tổng S của tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( −7; 7 ) để phương trình

FI CI A

10 ? 3 D. 14 . thỏa mãn

2 x ⋅ log 2 x + m = 2 x + m ⋅ log 2 x có hai nghiệm phân biệt. A. S = −4 . B. S = 20 . C. S = 17 . D. S = 16 . Câu 26: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( −12;12 ) để phương trình

log32 x − m log 3 3 x + 2m2 + m − 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 < A. 11 . Câu 27: Cho hàm

số

B. 12 . f ( x ) có đạo

hàm

C. 23 . trên đoạn

[1;e]

và

 f / ( x ) − 1 x = f ( x ) , ∀x ∈ [1; e ] . Tích phân

 f ( x ) dx bằng 1

f (1) = 0 ;

e −1 e +1 e2 + 1 e2 − 1 . B. . C. . D. . 4 2 4 2 Câu 28: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y = x2 và y = − x 2 + x . Thể tích của khối tròn

xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) quanh trục hoành bằng

7 π π 7π . B. . C. . D. . 96 24 96 96 Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên ( SCD ) là tam giác vuông cân tại S . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng a 21 a 21 A. . B. . C. a . D. a 2 . 14 7 Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD có chiều cao bằng 2 . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , BCD, ACD, ABD . Thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng

ƠN

2 6 6 6 2 6 . B. . C. . D. . 27 108 36 9 Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R. Hàm số y = f '( x ) có bảng biến thiên như sau

QU Y

Bất phương trình f ( x) ≥ 1 + x − 1 − x + m có nghiệm khi và chỉ khi

KÈ

A. m ≤ f (1) − 2 .

B. m < f (1) − 2 .

C. m ≤ f (−1) + 2 .

D. m < f (−1) + 2 .

DẠ

Câu 32: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O ' , bán kính hai đáy bằng 2a và chiều cao bằng 4a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O ' lấy điểm B sao cho AB = 5a . Tính thể tích của khối tứ diện ABOO ' . 8a 3 A. V = 3a 3 7 . B. V = . C. V = 8a 3 . D. V = a 3 7 . 3 x +1 y − 3 z + 2 x −1 y − 2 z + 2 Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : , d2 : = = = = 2 −1 1 −1 1 2 . Mặt cầu ( S ) tiếp xúc với d1 tại điểm có hoành độ bằng 1 và có tâm nằm trên đường thẳng d 2 . Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu ( S ) ?

A. M 1 ( −1; 2 ;3 ) .

B. M 2 (1; − 2 ;1) .

C. M 3 (1; − 2 ; − 3 ) .

D. M 4 ( 3; 2 ;1) .

ABC đều. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( P ) ? B. N 2 (1; 2;3) .

C. N3 ( 2;1;3) .

Câu 36: Cho hàm số f ( x ) = ( m − 1) 3 − 2.3 + 2m + 1 ( x − 3

1− x

−x

D. N 4 ( 3;3;1) .

) ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị

A. N1 (1;3;3) .

FI CI A

Câu 34: Có 6 học sinh gồm 1 học sinh lớp 10 , 2 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 . Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh đó thành một hàng ngang. Xác suất để học sinh lớp 10 đứng xen kẽ giữa 2 học sinh lớp 12 bằng 3 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 10 x −1 y + 1 z −1 x y −1 z + 1 Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho ba đường thẳng d1 : ; d2 : = ; d3 = = = 2 2 1 1 2 −2 x − 3 y + 2 z +1 : . Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − 1 = 0 (với a ; b là các số nguyên dương) = = 2 −1 −2 đi qua M ( 2;0;1) và cắt ba đường thẳng trên lần lượt tại ba điểm A ; B ; C sao cho tam giác

nguyên của m trong khoảng ( −5;5) để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ 0;1] bằng

số

f ( x)

B. 6 . có đạo

hàm

C. 5 . liên tục

f ( x ) = xe x +   f ( x ) + f ′ ( x )  e − x dx . Biết tích phân 0

trên

ƠN

0? A. 4 . Câu 37: Cho hàm

đoạn

D. 1 . [ 0;1] và

thỏa

mãn

 f ( x ) e dx = ae x

+ be + c ( a, b, c ∈ ℚ ) .

B. M =

1 . 2

Tính M = a − b + c 9 A. M = . 2

C. M =

3 . 2

D. M =

7 . 2

Câu 38: Biết bất phương trình 315 x 2 − 432 x + 180 + 36 log 2 ( 3 x − 2 ) + 4.27 x ≤ 36.log 2 x + 4.3

x+4 2

có tập

nghiệm là nữa khoảng ( a; b ] , tính a + b .

QU Y

34 5 8 22 B. a + b = . C. a + b = . D. a + b = . . 15 3 3 15 Câu 39: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt là trung

A. a + b =

điểm các cạnh AB , SC . Hai đường thẳng AN , MN lần lượt cắt mặt phẳng ( SBD ) tại I và K V′ . Gọi V là thể tích khối chóp S . ABCD và V ′ là thể tích khối tứ diện CNIK . Tỉ số bằng V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 24 48 36 18 Câu 40: Cho hàm đa thức bậc bốn y = f ( x ) , đồ thị hàm số f ′ ( x ) y

KÈ

là đường cong ở hình bên. Điều kiện cần và đủ để đồ thị 1 hàm số g ( x ) = f ( 2 x − 1) + 2 x 2 − 2 x + cắt trục hoành tại 2 4 điểm phân biệt là

DẠ

A. g ( −2 ) > 0 và g ( 0 ) < 0 .

1 B. g   < 0 và g (1) > 0 . 2 C. g ( 0 ) < 0 và g (1) > 0 .  1 1 D. g  −  > 0 và g   < 0 .  2 2

-2

1 x

-1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2020-2021 Ngày thi: 04/12/2020 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

FI CI A

ĐỀ CHÍNH

35. HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM 2020-2021

1 − 12 1 − 12 9 x − m.3 x + 2 = 0.

Bài 1: (HSG 12 QUẢNG NGÃI NĂM 2020-2021) (5 điểm) 2x −1 a) Giải phương trình: log3 = 3x 2 − 8 x + 5. 2 ( x − 1) b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có 2 nghiệm dương phân biệt:

ƠN

Bài 2: (HSG 12 QUẢNG NGÃI NĂM 2020-2021) (5 điểm) a) Cho hàm số y = x3 − 3 x + 2 có đồ thị (C ) . Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) , sao cho tiếp

QU Y

tuyến của (C ) tại M cắt (C ) tại điểm thứ hai là N và MN = 6 5 . b) Theo thống kê đầu năm 2019, tổng diện tích rừng ở nước ta vào khoảng 14,5 triệu ha. Ước tính những năm gần đây, nạn chặt phá rừng trái phép làm giảm 10% tổng diện tích rừng mỗi năm. Nhằm đẩy mạnh công tác bảo vệ và phát triển rừng, Chính phủ yêu cầu bắt đầu từ năm 2019, cả nước mỗi năm phải trồng được thêm 1 triệu ha rừng. Giả sử cả nước thực hiện đúng chỉ tiêu đề ra và nạn chặt phá rừng vẫn giữ mức như trên trong 30 năm tiếp theo, dự đoán sau 30 năm kể từ đầu năm 2019, tổng diện tích rừng của nước ta là bao nhiêu? Bài 3: (HSG 12 QUẢNG NGÃI NĂM 2020-2021) (5 điểm) = SCB = 900 biết a) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 , SAB , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

a 30 với M là trung điểm của AC . Tính 8

KÈ

khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( ABC ) . b) Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V . Gọi M là trung điểm cạnh SA , N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2 NB ; mặt phẳng (α ) di động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại P, Q . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp S .MNPQ . Bài 4: (HSG 12 QUẢNG NGÃI NĂM 2020-2021) (3 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 40 chữ số được lấy từ các chữ số 1, 2,3 đồng thời tổng các chữ số trong số tự nhiên đó là chẵn. Bài 5: (HSG 12 QUẢNG NGÃI NĂM 2020-2021) (2 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn 9 x.3 y ≤ 40 x + 20 y + 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

DẠ

P = 8 x3 + y 3 + 3(2 xy − 1)(2 x + y − 2) . == HẾT ==

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

36. HSG 12 CẤP TỈNH KUM TUM NĂM 2020-2021

37. HSG 12 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 BÌNH ĐỊNH

KHÓA NGÀY: 22 – 10 - 2020

Thời gian: 180 phút

Câu 1. (HSG 12 BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021) (4,0 điểm) 1. Giải phương trình x9 + 3 x 6 + 4 x3 − 16 x + 10 = 2 3 2 x − 1 .

FI CI A

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

x 2 + 2m 2 x + m 4 + 81 + x 4 + 2 x 2 + 2 =

2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực trái dấu: 2

+ x + m 2 + 1) + 100 .

Câu 2. (HSG 12 BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021) (2,0 điểm)

ƠN

u1 = 1; u2 = 2  Cho dãy số ( un ) , biết:  2 1 1 với n ≥ 1 . Tìm lim un . u = u + u n +1 n  n+ 2

Tìm

tất

cả

các

p ( x) − q ( x) = r ( x).

(

các

đa

thức

)

Câu 3. (HSG 12 BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021) (3,5 điểm) v ới

hệ

số

thực

p ( x); q ( x); r ( x)

thỏa

mãn

p ( x ) + q ( x ) với mọi số thực x .

QU Y

Câu 4. (HSG 12 BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021) (3,5 điểm)

x ≥ 3y > 3 Cho các số thực x , y , z thỏa mãn:  2  x − 2 y + z − y − yz + 1 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ( x, y , z ) = x 2 + 9 y 2 − 2 ( 3x − 1) y + z .

Câu 5. (HSG 12 BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021) (7,0 điểm)

1. Cho hình chóp S . ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA = SB = 2 ,

SC = 7 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Mặt phẳng ( P ) thay

KÈ

đổi, đi qua I , cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại các điểm M , N , P . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.MNP . , góc đối 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn ( O; R ) . Giả sử các tia phân giác của góc BAD

cắt nhau tại I và đường tròn I ; r tiếp xúc với các tia đối của các tia BA, DA, CB, CD . Chứng đỉnh BCD ( )

DẠ

minh rằng:

1 2

(d + R) (d − R)

1 (với d = OI ) r2

FI CI A

38. HSG 12 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (HSG 12 GIA LAI NĂM 2020-2021) (4 điểm) Cho hàm số y = x 3 − ( 2m − 1) x 2 + (1 − m ) x (

m là tham số thực) có đồ thị ( C ) . Tìm m để đường thẳng d : y = x − m cắt đồ thị ( C ) tại

ba điểm phân biệt A , B và C sao cho tổng hệ số góc của ba tiếp tuyến với ( C ) tại các Câu 2:

điểm A , B và C nhỏ hơn 9 . (HSG 12 GIA LAI NĂM 2020-2021) (4 điểm) a/ Giải phương trình sau trên tập số thực: 5x 2 − 10 x = 4 ( x − 1) x 2 − 2 x + 2 .

(

)

b/ Cho 3 số thực x > 1, y > 1, z > 1 thỏa mãn:

log ( xy + yz + zx) 5x2 + 16 y 2 + 27 z 2 + log12 4 xy + yz + zx = 2 . Tính M = x + y + z . Câu 3.

(HSG 12 GIA LAI NĂM 2020-2021) (2 điểm) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong n

Câu 5:

n ∈ ℕ*

thỏa mãn

QU Y

1 1 1 + + ⋯ + . Tính lim vn . u1 u2 un

(HSG 12 GIA LAI NĂM 2020-2021) (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H là trung điểm của đoạn BC , K là hình chiếu vuông góc 7 5 của H lên AC . Biết M  ;  là trung điểm của đoạn HK , đường thẳng 4 4 BK : x + 7 y − 13 = 0 . Gọi N là giao điểm của BK và AM . Tìm tọa độ điểm A , biết 1 5 I  ;  là trung điểm của đoạn AB . 2 2 (HSG 12 GIA LAI NĂM 2020-2021) (2 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng ( BCD ) và O là trung điểm

KÈ

Câu 7:

và

(HSG 12 GIA LAI NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thõa mãn A B C 2019 sin A + 2020 sin B + 2021sin C = 2022 cos( ) + 2020 cos( ) + 2018 cos( ) (1) . Chứng 2 2 2 minh rằng tam giác ABC đều. (HSG 12 GIA LAI NĂM 2020-2021) (3 điểm) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn: u1 = 2021 và un +1 = un2 − un + 1, ∀n ∈ ℕ* , đặt vn =

Câu 6:

x>0

Câu 4.

ƠN

  1 1 khai triển  − − 4 x  , với x +1   ( x + 1) x − x x + 1 2 2 An − nCn + 55n = 0 .

của đoạn AH . Gọi (α ) là mặt phẳng qua O và không đi qua các điểm A, B, C và D. Mặt phẳng (α ) cắt các đoạn AB, AC và AD lần lượt tại M , N và P. Tìm giá trị nhỏ nhất

của AM . AN . AP theo a.

DẠ

Câu 8:

(

)

(HSG 12 GIA LAI NĂM 2020-2021) (2 điểm) Cho hàm số f ( x ) = ln x + x 2 + 1 + 2021x

, gọi a , b, c là các số thực dương sao cho phương trình f ( a + b + c ) x  + f ( 2020 − 3 x ) = 0 vô nghiệm. Tìm GTNN của biểu thức M =

a+ b+ c . ab + bc + ac

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài 180 phút)

FI CI A

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN

39. HSG 12 CẤP TỈNH PHÚ YÊN NĂM 2020-2021

Câu 1. (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) (4 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2   x + 1 − y − 1 = 2 (1) .  x − y2 +1 = 0 ( 2) 

Câu 4.

Câu 3.

(HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) (3,0 điểm) Cho x , y , z là các số thực không âm thoả mãn x2 + y 2 + z 2 = 3 . x y z + + Tìm giá trị lớn nhất S = . 3 − yz 3 − zx 3 − xy (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AM , trực tâm H . Đường thẳng BH cắt đường tròn đường kính AC tại D , E ( BD < BE ). Đường thẳng CH cắt đường tròn đường kính AB tại F , G ( CF < CG ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMF cắt BC tại điểm thứ hai là N . a) Chứng minh rằng các điểm G , M , N , E cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng các đường thẳng BF , CD , HN đồng quy. (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) (4 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi:

ƠN

Câu 2.

b) Đặt Sn =  i =1

2020 i

QU Y

u1 = 2021  un2021 − un + 16 với n = 1, 2,3,...  u = n + 1  un2020 − un + 7  a) Chứng minh rằng dãy số ( un ) không tồn tại giới hạn hữu hạn.

. Tính lim Sn .

Câu 5. (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) (3.0 điểm) Cho P ( x ) , Q ( x ) là các đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 và các hệ số đều là số thực và deg P ( x ) = deg Q ( x ) = 2020 . Chứng minh rằng nếu phương trình P ( x ) = Q ( x )

(HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) (2 điểm) Cho p là số nguyên khác 2 và a, b là 2 số tự

KÈ

Câu 6.

không có nghiệm thực thì phương trình P ( x + 2021) = Q ( x − 2021) có nghiệm thực.

DẠ

nhiên lẻ sao cho a + b ⋮ p và a − b ⋮ p − 1 . Chứng minh rằng: ( a b + b a )⋮ 2 p .

NĂM HỌC 2020 - 2021 THỜI GIAN : 180 PHÚT

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 PHÚ YÊN

biểu thức P =

( a − b )( 2a − b ) . a (a − b + c)

a b c 9 3 abc + + + ≥ 6. b c a a+b+c

ƠN

b. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

FI CI A

Câu 1. (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) Giải phương trình x + 4 x + 3 + 2 3 − 2 x = 11 .  xyz + z = a (1)  2 Câu 2. (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) Cho hệ phương trình  xyz + z = b ( 2 ) vớ i  2 2 2  x + y + z = 4 ( 3) a, b ∈ ℝ. Tìm tất cả các giá trị của a , b đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Câu 3. (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) a. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 0;1] . Tìm giá trị lớn nhất của

Câu 4. (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) a. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol ( P ) : y = x 2 + px + q, ( q ≠ 0 ) . Biết rằng ( P ) cắt trục Ox

tại hai điểm phân biệt A, B và cắt trục Oy tại C . Chứng minh rằng khi p và q thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua một điểm cố định. b. Cho điểm M tùy ý nằm bên trong tam giác ABC. Gọi Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích của các

QU Y

tam giác MBC , MAC , MAB . Chứng minh rằng : Sa .MA + Sb .MB + Sc .MC = 0 . u1 = 2  Câu 5. (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) Cho dãy số (un ) xác định bởi  .  un2 un+1 = , ( n ∈ ℕ* )  2un −1 a) Chứng minh rằng dãy số (un ) giảm và bị chặn. b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) .

DẠ

KÈ

Câu 6. (HSG 12 PHÚ YÊN NĂM 2020-2021) Tìm tất cả các hàm số f : ℝ + → ℝ thỏa mãn điều kiện  x + y  f ( x) + f ( y) f , ∀x, y ∈ ℝ + = 2019  2020 

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

40. HSG 12 CẤP TỈNH ĐĂK LĂK NĂM 2020-2021

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

41. HSG 12 CẤP TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2020-2021

42. HSG 12 CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM 2020-2021 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2020 -2021 Thời gian 180 phút, không tính thời gian phát đề

x2 − x − 2 + x − 2 = x2 − 2 x .

FI CI A

a) Giải phương trình :

PHẦN CHUNG Câu 1 (4,0 điểm).

 x4 + y3  b) Cho hai số thực x , y thỏa 1 < x < y và log x y 3 + log y x 4 = 7 . Tính log xy  .  2    1 Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 − mx 2 + m . Tìm tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị 2 A , B , C thỏa đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1 . Câu 3 (2,0 điểm). Một con robot được thiết kế có hình dạng gồm một khối trụ (T ) và khối cầu

( )

( S ) có cùng bán kính 2 (dm) được xếp chồng lên nhau (tham khảo hình minh

x +1 x + 2 x + 3 + + + x + 4 = x + m có đúng ba x x +1 x + 2

Câu 4 (2,0 điểm). Tìm tất cả giá trị m để phương trình

ƠN

họa bên). Biết thể tích của toàn bộ khối robot đó bằng 32π (dm3). Tính chi phí để làm bề mặt toàn phần con robot biết chi phí chế tạo mỗi dm2 bề mặt đó là 30.000 đồng. (Lấy π ≈ 3,14 )

QU Y

nghiệm phân biệt. Câu 5 (2,0 điểm). Trong đợt cắm trại, trường THPT X tổ chức trờ chơi chọn “Số may mắn” qua phần mềm máy tính. Mỗi học sinh tham gia chơi được bấm một lần để chọn ngẫu nhiên một bộ có bốn chữ số. “Số may mắn” là bộ số có bốn chữ số khác nhau, chữ số đầu khác 0 và gồm hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ sao cho tổng các chữ số chẵn bằng tổng các chữ số lẻ. Học sinh A tham gia trò chơi, tính xác suất để A bấm chọn được “Số may mắn”. PHẦN RIÊNG CHO THÍ SINH Câu 6A (2điểm). Tìm tất cả các cặp số ( x; y ) với x, y là số nguyên dương thỏa mãn 2 x + y.4 x + y −3 ≤ 7 .

Câu 7A (2điểm). Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = 3a. Biết SA ⊥ AB , SB = SC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC bằng 2a. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABC .

DẠ

KÈ

Câu 8A (2điểm). Trong đợt quyên góp ủng hộ đồng bào bị lũ lụt năm 2020, có 25 học sinh lớp 12A đã tham gia ủng hộ, mỗi học sinh ủng hộ nhiều nhất 2 tờ tiền khác nhau trong ba loại tờ tiền mệnh giá 5.000 đồng, 10.000 đồng, và 20.000 đồng. Biết rằng số học sinh đã tham gia ủng hộ thỏa đồng thời ba kết quả sau: (1) Số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 5.000 đồng bằng tổng số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 10.000 đồng và số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 20.000 đồng. (2) Trong số học sinh không ủng hộ tờ 5.000 đồng thì số học sinh có ủng hộ tờ 10.000 đồng nhiều gấp hai lần số học sinh có ủng hộ tờ 20.000 đồng. (3) Số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 5.000 đồng nhiều hơn số học sinh ủng hộ tờ 5.000 đồng và một tờ khác là một học sinh. Hỏi có bao nhiêu học sinh lớp 12A chỉ ủng hộ một tờ 10.000 đồng? Câu 9A (2,0 điểm).

Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0, a 2 + b 2 + c 2 = 1 và hàm số f (x ) = mx 3 + nx 2 + px + q (m, n, p, q ∈ ℝ) có đồ thị như hình bên.

  5



FI CI A



35 5 5 5 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = f  (a + b + c ) .

Câu 6B (2,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số ( x, y ) với x , y là số nguyên thỏa log 2 ( x 2 + y 2 ) ≤ 1 + log 2 ( x + y ) Câu 7B (2,0 điểm). Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa SC và mặt đáy bằng

450 .Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) .

ƠN

Câu 8B (2,0 điểm). Trong đợt quyên góp ủng hộ đồng bào lũ lụt năm 2020 , học sinh lớp 12 B đã đóng góp được 1.800.000 đồng, bao gồm ba loại tờ tiền mệnh giá là 5.000 đồng, 10.000 đồng và 20.000 đồng. Biết tổng số tiền mệnh giá 5.000 đồng và 10.000 đồng nhiều hơn tổng số tiền mệnh giá 20.000 đồng là 200.000 đồng và tổng số tiền mệnh giá 5.000 đồng nhiều hơn tổng số tiền mệnh giá 10.000 đồng là 100.000 đồng. Hỏi lớp 12 B đã đóng góp bao nhiêu tờ tiền mỗi loại.

QU Y

Câu 9B (2,0 điểm). Cho hàm số f ( t ) = at 4 + bt 2 + c có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = f (1 + sin x ) .

DẠ

KÈ

………………………….HẾT……………………………

FI CI A

43. HSG 12 CẤP TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12THPT NĂM 2020 ĐỀCHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 180 phút(không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15/10/2020 x−m Câu 1. (HSG 12 BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) (4.0 điểm).Cho hàm số y = f ( x ) = ,( x −1 m là tham số thực) ( Cm )

1. Tìm tất cả các giá trị của m để max f ( x ) + min f ( x ) = 3 [ −1,0]

[ −1,0]

2. Với m = 0 , tìm tất cả các điểm M trên ( C0 ) sao cho tiếp tuyến tại M với ( C0 ) cắt 2 đường tiệm cận của ( C0 ) tại A và B thỏa mãn ∆IAB cân, với I là giao điểmcủa 2 đường tiệm cận. Câu 2. (HSG 12 BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) (6.0 điểm) π 1. Giải phương trình 2 cos 3 x.cos x − cos 4 x + sin 2 x + 1 = 2 2 sin  x +  

4

ƠN

x  2  x + x + 1 = ( y + 2 ) ( x + 1)( y + 1)  2. Giải hệ phương trình  2  x + ( x + 1)( y + 1) + 5 x + 6 = x 2 + 4 x + 9  y + 1 3. Cho tập T = {1, 2,3, 4,5} . Gọi H là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất ba chữ số đôi

)

(

một khác nhau thuộc T . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc H . Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 . Câu 3. (HSG 12 BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) (3.0 điểm).Cho hình vuông ABCD có A ( −1, 2 )

QU Y

. Gọi M , N lầnlượtlà trung điểm BC và CD Gọi H là giao điểm của BN và AM . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HDN biết phương trình đường thẳng BN :2 x + y − 8 = 0 và

điểm B có hoành độ lớn hơn 2. Câu 4. (HSG 12 BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) (4.0 điểm).Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , ∆SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ) . Gọi H là trung điểm AB . Tính thể tích khối chóp S . ABCD và tan ( SH , ( SCD ) ) .

Câu 5.(2.0 điểm). Cho hai đathức P ( x ) = ax 3 + bx 2 − cx − b và Q ( x ) = x 3 + cx 2 − bx − a với a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 .Chứng minh rằngnếu G ( x ) = P ( x ) − Q ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ thì a ≥ b ≥ c

KÈ

Câu 6.(1.0 điểm).Giả sử phương trình x3 − 3x 2 + ax − b = 0 (với a, b ∈ ℝ ) có 3 nghiệm thực dương, gọi các nghiệm này là x1 , x2 , x3 . Đặt un = 1 1 1 + + ... + < n 2 + 2021 u1 u2 un

DẠ

Tìm a, b để

x1n + x2n + x3n , ∀n ∈ ℕ* x1n +1 + x2n +1 + x3n +1

HẾT

HSG 12 CẤP TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM 2020-2021 - KHÔNG TÌM THẤY HSG 12 CẤP TỈNH NINH THUẬN NĂM 2020-2021 - KHÔNG TÌM THẤY HSG 12 CẤP TỈNH TÂY NINH NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY HSG 12 CẤP TỈNH BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài 180 phút)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN

FI CI A

44. 45. 46. 47.

ƠN

Bài 1 (6,0 điểm). a. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x − 11) x 2 + 9 trên đoạn [ 0; 4] . b. Cho hàm số đa thức y = f ( x) có đồ thị như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x 2 − 2 x + 2 ) . u1 = a + b, un +1 = u1 −

Bài 2. (HSG 12 BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021) (5,0 điểm). Xét dãy số ( un ) thỏa ab , ∀n ∈ ℕ* ; trong đó a , b là hai số thực dương. un

QU Y

a. Chứng minh ( un ) là dãy số giảm khi a = b; b. Tính lim un . Bài 3. (HSG 12 BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021) (3,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị thực  x + xy = 1 của tham số m để hệ phương trình  2

3 x + y − m = 0

có ba nghiệm phân biệt.

DẠ

KÈ

Bài 4. (HSG 12 BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021) (2,0 điểm). Cho hai số nguyên dương k và n sao cho k ≤ n. Xét tất cả các tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp {1, 2,..., n} . Trong mỗi tập hợp con ta chọn ra phần tử nhỏ nhất. Chứng minh tổng tất cả các phần tử được chọn bằng Cnk++11 . Bài 5 (4,0 điểm). Cho đường tròn ( O ) có đường kính AB cố định, M là điểm di động trên ( O ) sao cho M khác với các điểm A, B và OM không vuông góc với AB. Các tiếp tuyến của ( O ) tại A và M cắt nhau tại C. Gọi ( I ) là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C. Đường thẳng OC cắt lại ( I ) tại điểm thứ hai là E. a. Chứng minh E là trung điểm của OC ; b. Gọi CD là đường kính của ( I ) . Chứng minh đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên ( O ) . ----------HẾT---------Họ và tên thí sinh:……………………………..Số báo danh:…………. (Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm)

48. HSG 12 CẤP TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2020-2021 ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – SỞ ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2020 – 2021 3 2 Câu 1.(5 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x − 9 x có đồ thị là ( C ) .

FI CI A

1) Tìm tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị ( C ) . 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm có hoành độ x = 3 .

3) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x ) + m có đúng 5 điểm cực trị.

 1  a) Giải phương trình log 3 ( x 2 − 4 x + 1) + log 3   =1 .  1− x 

Câu 2. (HSG 12 ĐỒNG NAI 2020-2021) (3 điểm)

ƠN

b) Giải phương trình 4 sin x + 4 sin x.cos 2 x + 2 sin 2 x − 6 cos x − 3 = 0 . Câu 3.(2 điểm) Bạn An làm hai cái bánh là hai khối trụ bằng nhau có tổng thể tích bằng 144π cm 3 và dùng giấy carton làm một cái hộp hình hộp chữ nhật (có đủ 6 mặt) để đựng vừa khít hai cái bánh như hình vẽ.

QU Y

Tính diện tích nhỏ nhất của giấy carton dùng trong việc nêu trên. Câu 4.(3,5 điểm) Cho hình chóp S . ABC có AB = AC = 10a , BC = 12a (với 0 < a ∈ ℝ ), hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 60 . 1) Tính theo a diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC . 2) Gọi hai điểm D , E lần lượt thuộc hai cạnh AB , BC thỏa mãn AD.BE = 60a 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S . ADE .

KÈ

Câu 5. (HSG 12 ĐỒNG NAI 2020-2021) (3 điểm) 1) Một chiếc hộp đựng 20 viên bi giống nhau, mỗi viên bi được ghi một trong các số tự nhiên từ 1 đến 20 (không có hai viên bi ghi cùng một số). Bốc ngẫu nhiên 4 viên bi từ chiếc hộp nói trên, tính xác suất để tổng các số ghi trên các viên bi chia hết cho 3 . 10

thành đa thức (với

2) Tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển 1 − x 3 (1 + x )  x ∈ ℝ ). Câu 6.(3,5 điểm)

DẠ

3 3 2  x − y − 3 x + 6 x − 3 y = 4 1) Giải hệ phương trình  2  3 x − 2 − 2 x = y + 2 − y − 4

2) Cho các số thực a; b; c thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c − abc

------------------------HẾT------------------------

FI CI A

49. HSG 12 CẤP TỈNH LONG AN NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY 50. HSG 12 CẤP TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021 ĐỀ THI HSG TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN - Lớp: 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) a+b Câu 1. Cho a, b là các số thức dương thỏa mãn log 9 a = log 6 b = log 4 . Tính tỉ số 6 a a a a A. = 2 . B. = 4 . C. = 3 . D. = 5 . b b b b  π Câu 2. Phương trình 2 cos 3 x + 1 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm trong đoạn 0;  ?  2 A. Một nghiệm. B. Vô nghiệm. C. Ba nghiệm. D. Hai nghiệm. 2x +1 Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = trên khoảng ( −2; + ∞ ) là 2 ( x + 2)

1 +C . x+2 3 +C . C. 2 ln ( x + 2 ) − x+2

3 +C . x+2 1 +C . D. 2 ln ( x + 2 ) + x+2

)

= a0 + a1 3 2 + a2 3 4 . Tính a2

(

Câu 4. Biết 1 + 3 2

B. 2 ln ( x + 2 ) +

ƠN

A. 2 ln ( x + 2 ) −

A. a2 = 210 .

B. a2 = 342 .

C. a2 = 45 .

( −∞;1) .

QU Y

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

A. −2 < m ≤ −1 .

B. −2 < m < 2 .

D. a2 = 729 .

mx + 4 nghịch biến trên khoảng x+m

C. −2 ≤ m ≤ 2 .

D. −2 ≤ m ≤ 1 .

1 Câu 6. Biết sin x + cos x = . Giá trị của sin 2x bằng 3 8 8 4 4 A. . B. − . C. − . D. . 9 9 9 9 Câu 7. Cho tam giác ABC . Gọi ma , mb , mc tương ứng là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các

đỉnh A, B, C . Biết 5ma 2 = mb 2 + mc 2 , mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

KÈ

B. ∆ABC là tam giác vuông. A. ∆ABC có ba góc nhọn. C. ∆ABC có một góc tù. D. ∆ABC là tam giác đều. Câu 8. Cho khối chóp tứ giác S . ABCD , mặt phẳng (α ) đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC

, SAD chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là V1 và V2 (V1 < V2 ) . Tính tỉ lệ

V1 V2

DẠ

8 8 16 16 . B. . C. . D. . 27 19 81 75 Câu 9. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 và đường thẳng y = mx với m ≠ 0 . A.

Có bao nhiêu số nguyên dương m để diện tích hình phẳng ( H ) là số nhỏ hơn 20 (đơn vị diện tích). A. 3 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 5 .

Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; −2;3) , B ( −2; 2; 2 ) . Gọi

I ( a, b, c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . Tính T = a 2 + b 2 + c 2 . 13 29 . B. T = 6 . C. T = 2 . D. T = . 2 4 Câu 11. Cho đa giác đều có 12 đỉnh được đặt tên bằng 12 chữ cái khác nhau, chọn ngẫu nhiên 4 chữ cái trong 12 chữ cái đó. Xác suất của biến cố: “bốn chữ cái được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật”. 1 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 33 33 15 3 2 2 x + y = −1 Câu 12. Hệ phương trình  có tất cả bao nhiêu nghiệm? 2 2 y + x = −1

FI CI A

A. T =

A. Một nghiệm. B. Vô số nghiệm. C. Vô nghiệm. D. Hai nghiệm. Câu 13. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 0 ≤ y ≤ 2020 và log 2 ( 4 y + 4 ) − x = 1 + 2 x − y ?

B. 1 2 . C. 2 0 2 1 . D. 1 0 . A. 11 . Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương

+ 9m = m.3 f ( x ) + 3 f ( x ) + 2 có đúng 5 nghiệm thực phân

ƠN

f ( x)

của tham số m để phương trình 9 biệt.

QU Y

A. 8 . B. 9 . C. 7 . D. 10 . Câu 15. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ACB = 600 . Đường thẳng BC ' tạo với ( ACC ' A ' ) một góc 300 . Tính thể tích V của khối trụ ABC. A ' B ' C ' .

B. 3a 3 .

A. a 3 6 .

C. a 3 3 .

a3 3 . 3

a 17 , hình chiếu 2 vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của đoạn AB . Tính chiều

Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD =

KÈ

cao hạ từ đỉnh H của khối chóp H .SBD theo a .

3a . 5

a 21 . 5

a 3 . 5

a 3 . 7

Câu 17. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ( x ) = 3 x + 4 1 − x 2

DẠ

. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 32 A. M + m = . B. M + m = 2 . C. M + m = 5 . D. M + m = 0 . 5 Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ a = (1; −1;0 ) và hai điểm A ( −4; 7;3) , B ( 4; 4;5 ) . Hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho MN cùng hướng với a và MN = 5 2 . Giá trị lớn nhất của AM − BN bằng

A. 17 .

77 .

C. 7 2 − 3 .

82 − 5 .

FI CI A

π  Câu 19. Gọi S là tập hợp các nghiệm ∈ [ 0, π ] của phương trình 1 + tan x = 2 2 sin  x +  . 4  Tổng các phần tử của S bằng π 7π 3π 13π A. . B. . C. . D. . 12 4 4 12 Câu 20. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x) = x 3 + 3 x 2 + m 2 − 5 có giá trị lớn nhất trên [ −1, 2] bằng 19 . Tính tổng tất cả các phần tử của S .

B. 2 .

A. − 2 .

D. 0 .

C. 4 .

(

Câu 21. Phương trình 2.12 + 16 = 9 có một nghiệm x = log a b + 2 x

dương), Tính a + 2b A. 4 .

B. 3 .

C. 5 .

)

( a , b là các số nguyên

D. 2 .

x x Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m.9 + m.4 ≤ ( 2m + 1) 6 có

nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0;1)

B. m ∈ ( −∞;0] .

A. m ∈ ( 0;6) .

C. m ∈ ( −∞;6] .

D. m ∈ ( 6; +∞ ) .

ƠN

Câu 23. Từ một tấm tôn hình quạt OAB có OA = 2; AOB = 120o , người ta xác định 2 điểm M , N lần lượt là trung điểm của OA, OB rồi cắt tấm tôn theo hình chữ nhật MNPQ (như hình vẽ). Dùng hình chữ nhật đó tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ với đường sinh MQ, NP trùng khít nhau. Khối trụ tương ứng được tạo thành có thể tích là

(

A. 3 3π .

13 − 1

3 3 . 2π 3

(

13 − 1

QU Y

4π 8π Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi I ( a; b; c ) là tâm mặt cầu đi qua điểm A (1; −1; 4)

và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P = a − b + c có tập nghiệm là B. P = 0 . A. P = 6 . C. P = 9 . D. P = 3 . −x f ( x) f ( x) + f '( x) = e f (0) = 2 Câu 25. Cho hàm số thỏa mã và . Họ nguyên hàm của hàm số 2x f ( x ) .e là.

A. ( x − 2 ) e 2 x + e x + C

B. ( x + 2 ) e 2 x + e x + C C. ( x − 1) e x + C

D. ( x + 1) e x + C

KÈ

Câu 26. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' , đáy ABCD là một hình bình hành có diện tích 18 là góc nhọn, AA ' = 1 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng , AB = 2, AD = 3, BAD 5 ( A ' BD ) , ( CB ' D ) bằng

6 7

18 3 2 3 C. D. 7 2 409 Câu 27. Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền là 2 3 .Thể tích của khối nón đã cho bằng B.

DẠ

A. 3π 3 B. 3π 2 C. π 3 D. 3π 3 2 Câu 28. Cho hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình bên. Trong các giá trị

a, b, c, d có bao nhiêu giá trị âm?

L FI CI A

A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Câu 29. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tam giác SAC đều cạnh a . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là a 2 a 3 . B. R = a . C. R = . 2 2 Câu 30. Tập xác định của hàm số y = log 2 ( x 2 − 3 x ) là

A. ( −∞; 0] ∪ [3; +∞ ) .

D. R =

a 3 . 3

A. R =

C. ( −∞;0 ) ∪ ( 3; +∞ ) . D. [ 0;3] .

B. ( 0;3) .

ƠN

Câu 31. Cho hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình bên.

Số điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) là

QU Y

B. 3 . C. 2 . D. 1 . A. 0 . Câu 32. Với V là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? e

A. V =  x 2 ln 2 xdx . 1

B. V = π  x 2 ln 2 xdx . C. V = π  x ln xdx .

D. V = π  x ln x 2 dx . 1

KÈ

u1 + u4 = 28 Câu 33. Cấp số nhân ( un ) là một dãy số tăng và thỏa mãn  . Công bội q của ( un ) là u3 + u6 = 252 A. q = ±3 . B. q = 2 . C. q = 3 . D. q = −3 . 1 Câu 34. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ \ {0} thỏa mãn f (1) = −2 , f ( x ) ≠ − x 4

và x 2 f 2 ( x ) + ( 2 x − 1) f ( x ) = xf ′ ( x ) − 1 ∀x ∈ ℝ \ {0} . Tính

 f ( x ) dx . 1

DẠ

3 1 3 1 A. −2 ln 2 − . B. −2 ln 2 − . C. − ln 2 − . D. − ln 2 − . 4 4 4 4 Câu 35. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1 m y = x 3 − x 2 − ( 3m 2 − 1) x + m đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn 3 2 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4 = 0 . Số phần tử của S là

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 0 .

Câu 36. Gọi m0 là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương trình

(1 − m) log32 x + ( m − 5) log3 x + 1 − m = 0

1  có nghiệm thuộc đoạn  ;9  . Mệnh đề nào sau 3 

Câu 37. Cho dãy số ( an )

7 5   C. m0 ∈  −2;  . D. m0 ∈  −4; −  . 3 3   1 có số hạng tổng quát là an = ( ∀n ∈ ℕ* ) . Gọi Sn = a1 + a2 + ... + an n ( n + 1)

B. m0 ∈ ( −5; − 3) .

, tính lim S n . 1

 x (x 3

Câu 38. Xét

B. lim S n = 1 .

+ 2020 )

2021

C. lim S n = +∞ . 1

dx , nếu đặt u = x 2 + 2020 thì

1 ( u − 2020 ) u 2021du . 2 0

B. 2

 ( u − 2020 ) u

+ 2020 )

2021

dx bằng

 ( u − 2020 ) u

2021

du .

2020 2021

0 2021

 x (x

D. lim S n = 2 .

A. lim S n = 0 .

FI CI A

 5  A. m0 ∈  − ; 0  .  3 

đây là mệnh đề đúng?

2021

du .

ƠN

1 ( u − 2020 ) u 2021du .  2 2020

Câu 39. Cho ba số thực dương a , b, c thỏa mãn bc + 2ca + 3ab − abc = 0 . Giá trị nhỏ nhất của P = abc bằng: A. 54 . B. 27 . C. 162 . D. 6 . Câu 40. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + 4 x − 5 trên đoạn [ −3;0] . Tính M + m .

QU Y

B. 9 . C. 14 . D. 8 . A. 5 . Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( 2; 2; 2 ) ; B ( −2; 2;0 ) và C ( 4;1; − 1) . Trên mặt phẳng ( Oxz ) , điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A ; B ; C ?

1 1 1 1 3 3  3  3 B. M  ;0;  . C. Q  − ;0;  . D. N  − ; 0; −  . A. P  ; 0; −  . 2 2 2 2 4 4  4  4 Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1;1; 2 ) ; B ( −1; 0; 4 ) ; C ( 0; − 1;3) và 2

điểm M thuộc mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + ( z − 1) = 1 . Nếu biểu thức MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AM bằng:

B. 6 .

D. 6 . Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, BAD = 60° , tam giác SBD là tam giác đều, SA = 2 SC . Tính cô-sin của góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABCD ) .

KÈ

A. 2 .

1 13 3 . B. . C. . 2 5 3 Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

DẠ

2 3 . 5

L FI CI A

Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đô thị hàm số đã cho là A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 45. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số

(

)

ƠN

g ( x ) = f x 2 − 2 x trên khoảng ( 0; +∞ ) .

A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1 . 2 Câu 46. Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x − x , ∀x → ℝ . Hàm số g ( x ) = −2 f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (1; +∞ ) . B. ( 0;1) .

C. ( −∞;1) .

D. ( 0; +∞ ) .

QU Y

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 + x + 1 − x = m + 1 − x 2 − 2 x có nghiệm thực. A. m ∈ [ 0;7 ] . B. m ∈ [ 2; +∞ ) . C. m ∈ [ 6;7 ] . D. m ∈ ( −∞;7 ] . Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có ba đỉnh A ( 2;1; −3) , B ( 4; 2;1) , C ( 3; 0;5 ) và G ( a; b; c ) là trọng tâm của tam giác ABC . Tính giá trị P = a.b.c

A. P = 5 .

C. P = 0 .

D. P = 3 .

B. P = 4 .

Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi MNPQ có tâm I ( 3;1) , đỉnh M thuộc

KÈ

đường thẳng x − 4 y + 1 = 0 , đỉnh N thuộc đường thẳng x − y + 8 = 0 . Xác định tọa độ đỉnh Q .

A. Q ( −11; −3) . Câu 50. Trong

gian

C. Q ( −5;7 ) .

B. Q (16; 4 ) .

với

không

gian

với

hệ

tọa

độ

D. Q ( 5; −7 ) .

Oxyz ,

cho

M ( −3; 4; 2 ) , N ( −5;6; 2 ) , I ( −10;17; −7 ) .

DẠ

Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm I bán kính MN . 2

B. ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z − 7 ) = 12

D. ( x + 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + 7 ) = 8

A. ( x + 10 ) + ( y + 17 ) + ( z + 7 ) = 8 . 2

.C. ( x − 10 ) + ( y − 17 ) + ( z + 7 ) = 12 .

-------------------------------------- HẾT --------------------------------------

điểm

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

51. HSG 12 CẤP TỈNH AN GIANG NĂM 2020-2021

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

52. HSG 12 CẤP TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2020-2021

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

53. HSG 12 CẤP TỈNH TIỀN GIANG NĂM 2020-2021

DẠ M

KÈ QU Y ƠN

FI CI A

54. HSG 12 CẤP TỈNH KIÊN GIANG NĂM 2020-2021 - KHÔNG TÌM THẤY 55. HSG 12 CẤP TỈNH TP CẦN THƠ NĂM 2020-2021 - KHÔNG TÌM THẤY

FI CI A

56. HSG 12 CẤP TỈNH BẾN TRE NĂM 2020-2021 ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – SỞ BẾN TRE –NĂM 2021 Môn: Toán Lớp 12 Thời gian: 1800 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (HSG 12 BẾN TRE NĂM 2020-2021) (3,0 điểm) x +1 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ) . Tìm các số 3− x thực m để đường thẳng d : y = x + m cắt ( C ) tại hai điểm M , N tạo thành tam giác MNI có trọng tâm nằm trên ( C ) .

phần tử đó chia hết cho 3. (HSG 12 BẾN TRE NĂM 2020-2021) (3,0 điểm)

Câu 3.

(HSG 12 BẾN TRE NĂM 2020-2021) (2,5 điểm) Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ tập X = {0;1; 2;3; 4;5} . Lấy ngẫu nhiên 2 phần tử của M . Tính xác suất để có ít nhất một trong hai

ƠN

Câu 2.

Giải phương trình ( x + 2 ) x + 1 − ( 4 x + 5 ) 2 x + 3 = −6 x − 23 (với x ∈ ℝ ).

Câu 6.

Câu 7.

Câu 5.

(HSG 12 BẾN TRE NĂM 2020-2021) (3,0 điểm)  x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y Giải hệ phương trình  , ∀x, y ∈ ℝ . 2 2  y ( x + y ) = 2 x + 7 y + 2 (HSG 12 BẾN TRE NĂM 2020-2021) (2,5 điểm) 2sin 2 x + 12sin x cos x Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = . 1 + 2sin x cos x + 2cos 2 x (HSG 12 BẾN TRE NĂM 2020-2021) (2,0 điểm) Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Các điểm M , N ần lượt thuộc đoạn AD , A′C sao cho AM 1 CN = và MN ( BC ′D ) . Tìm AD 5 CA′ (HSG 12 BẾN TRE NĂM 2020-2021) (4,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể V tích của khối chóp S . AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 . V

QU Y

Câu 4.

KÈ

------------------------HẾT-----------------------HSG 12 CẤP TỈNH VĨNH LONG NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY HSG 12 CẤP TỈNH TRÀ VINH NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY HSG 12 CẤP TỈNH SÓC TRĂNG NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY HSG 12 CẤP TỈNH BẠC LIÊU NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY

DẠ

57. 58. 59. 60.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài 180 phút)

FI CI A

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÀ MAU

61. HSG 12 CẤP TỈNH CÀ MAU NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY

Câu 1.

(HSG 12 CÀ MAU 2020-2021) (3 điểm) Giải các phương trình sau: a) cos 2 x − 5sin x + 3 sin 2 x − 5 3 cos x + 8 = 0 b) ( x − 3) 1 + x − x 4 − x = 2 x 2 − 6 x − 3

Câu 2:

(HSG 12 CÀ MAU 2020-2021) (3,0 điểm) a) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu của f ′ ( x ) như sau: −∞

f ′( x)

−3 0

−1

−

Tìm các điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 x ) .

8 0

+∞

x2 − 3x đồng biến trên x+m

ƠN

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =

−

[1; +∞ ) .

Câu 4:

Câu 3. (HSG 12 CÀ MAU 2020-2021) (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 2 ) , đường trung tuyến và đường phân giác trong hạ từ đỉnh B lần lượt có phương trình d : 2 x − 3 y = 2 , d1 : 9 x − 3 y = 16 . Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC (HSG 12 CÀ MAU 2020-2021) (3,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a . Biết SA = SB = SC = a . Đặt SD = x 0 < x < a 3 .

QU Y

(

)

a) Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABCD ) khi x = a . b) Tính x theo a sao cho tích AC .SD lớn nhất.

Câu 5: (HSG 12 CÀ MAU 2020-2021) ( 3,0 điểm) a. Cho đa giác đều có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của ( H ) . Tính xác suất để 4 đỉnh chọn được tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông. 13 b. Cho P ( x ) = (1 + 4 x + 3 x 2 ) . Xác định hệ số của x 3 trong khai triển P ( x ) theo lũy

KÈ

thừa của x . Câu 6: (HSG 12 CÀ MAU 2020-2021) (3 điểm) Cho dãy số ( un ) được xác định bởi u1 = 1 và un+1 = 3un2 + 2 , ∀n ∈ ℕ∗ .

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) .

DẠ

2 b) Tính tổng S = u12 + u22 + ... + u2020 . Câu 7. (HSG 12 CÀ MAU 2020-2021) (2,0 điểm: Cho hai số thực thay đổi x, y với x > 0.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

xy 2 ( x 2 + 3 y 2 )( x + x 2 + 12 y 2 )

62. HSG 12 CẤP TỈNH ĐIỆN BIÊN NĂM 2020-2021 – KHÔNG TÌM THẤY 63. HSG 12 CẤP TỈNH ĐĂK NÔNG NĂM 2020-2021 – KHÔNG TÌM THẤY 64. HSG 12 CẤP TỈNH HẬU GIANG NĂM 2020-2021 – KHÔNG TÌM THẤY

FI CI A

B. PHẦN ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

1. HSG 12 TP HÀ NỘI NĂM 2020-2021

DẠ M

KÈ QU Y ƠN

FI CI A

DẠ M

KÈ QU Y ƠN

FI CI A

TUYỂN TẬP 50 ĐỀ HSG 12 CẤP TỈNH TRÊN TOÀN QUỐC NĂM HỌC 2020-2021

FI CI A

Quảng Ngãi, ngày 06/10/2021

A. PHẦN ĐỀ ............................................................................................................................................... 1

QU Y

ƠN

HSG 12 CẤP TỈNH TP HÀ NỘI NĂM 2020-2021 ................................................................... 1 HSG 12 CẤP TỈNH TP HCM NĂM 2020-2021......................................................................... 2 HSG 12 CẤP TỈNH TP HẢI PHÒNG NĂM 2020-2021 .......................................................... 3 HSG 12 CẤP TỈNH TP ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021-KHÔNG THI .................................... 4 HSG 12 CẤP TỈNH HÀ GIANG NĂM 2020-2021-KHÔNG TÌM THẤY ........................... 5 HSG 12 CẤP HUYỆN CAO BẰNGNĂM 2020-2021 .............................................................. 5 HSG 12 CẤP TỈNH LAI CHÂU NĂM 2020-2021-KHÔNG TÌM THẤY............................. 6 HSG 12 CẤP TỈNH LÀO CAI NĂM 2020-2021 ....................................................................... 6 HSG 12 CẤP TỈNH TUYÊN QUANG NĂM 2020-2021-KHÔNG TÌM THẤY .................. 7 HSG 12 CẤP TỈNH LẠNG SƠN NĂM 2020-2021................................................................... 7 HSG 12 CẤP TỈNH BẮC KAN NĂM 2020-2021 – KHÔNG TÌM THẤY ......................... 8 HSG 12 CẤP TỈNH PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 ..................................................................... 8 HSG 12 CẤP TỈNH YÊN BÁI NĂM 2020-2021 KHÔNG TÌM THẤY .............................. 15 HSG 12 CẤP TỈNH SƠN LA NĂM 2020-2021 ....................................................................... 15 HSG 12 CẤP TỈNH PHÚ THỌ NĂM 2020-2021 ................................................................... 19 HSG 12 CẤP TỈNH VĨNH PHÚC NĂM 2020-2021 .............................................................. 26 HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG NINH NĂM 2020-2021 ......................................................... 27 HSG 12 CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM 2020-2021............................................................... 28 HSG 12 CẤP TỈNH BẮC NINH NĂM 2020-2021 ................................................................. 34 HSG 12 CẤP TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM 2020-2021 ........................................................ 43 HSG 12 CẤP TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021 ............................................................ 44 HSG 12 CẤP TỈNH HƯNG YÊN NĂM 2020-2021 ................................................................ 45 HSG 12 CẤP TỈNH HÒA BÌNH NĂM 2020-2021 ................................................................ 46 HSG 12 CẤP TỈNH HÀ NAM NĂM 2020-2021 .................................................................... 47 HSG 12 CẤP TỈNH NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021 ............................................................... 49

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

. ............................................................................................................................................................ 49

KÈ

HSG 12 CẤP TỈNH THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 ............................................................... 54 HSG 12 CẤP TỈNH NINH BÌNH NĂM 2020-2021 ............................................................... 61 HSG 12 CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM 2020-2021 ........................................................... 62 HSG 12 CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM 2020-2021 ................................................................... 63 HSG 12 CẤP TỈNH HÀ TĨNH 2020-2021 ............................................................................... 64 HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2020-2021 ........................................................... 65 HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2020-2021.............................................................. 66 HSG 12 CẤP TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2020-2021 ................................................. 67 HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2020-2021 .......................................................... 68 HSG 12 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM 2020-2021 .......................................................... 72 HSG 12 CẤP TỈNH KUM TUM NĂM 2020-2021 ................................................................. 73 HSG 12 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2020-2021 .............................................................. 74 HSG 12 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM 2020-2021 ...................................................................... 75

DẠ

26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.

ƠN

FI CI A

HSG 12 CẤP TỈNH PHÚ YÊN NĂM 2020-2021 .................................................................... 76 HSG 12 CẤP TỈNH ĐĂK LĂK NĂM 2020-2021 .................................................................. 78 HSG 12 CẤP TỈNH KHÁNH HÒA NĂM 2020-2021 .......................................................... 79 HSG 12 CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM 2020-2021.............................................................. 80 HSG 12 CẤP TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 ........................................................... 82 HSG 12 CẤP TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM 2020-2021 - KHÔNG TÌM THẤY ............... 83 HSG 12 CẤP TỈNH NINH THUẬN NĂM 2020-2021 - KHÔNG TÌM THẤY................ 83 HSG 12 CẤP TỈNH TÂY NINH NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY ........................ 83 HSG 12 CẤP TỈNH BÌNH THUẬN NĂM 2020-2021 ........................................................... 83 HSG 12 CẤP TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2020-2021 ............................................................... 84 HSG 12 CẤP TỈNH LONG AN NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY ......................... 85 HSG 12 CẤP TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2020-2021............................................................ 85 HSG 12 CẤP TỈNH AN GIANG NĂM 2020-2021 ................................................................ 91 HSG 12 CẤP TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2020-2021 ............................................... 92 HSG 12 CẤP TỈNH TIỀN GIANG NĂM 2020-2021 ............................................................ 93 HSG 12 CẤP TỈNH KIÊN GIANG NĂM 2020-2021 - KHÔNG TÌM THẤY.................. 95 HSG 12 CẤP TỈNH TP CẦN THƠ NĂM 2020-2021 - KHÔNG TÌM THẤY ................... 95 HSG 12 CẤP TỈNH BẾN TRE NĂM 2020-2021 .................................................................... 95 HSG 12 CẤP TỈNH VĨNH LONG NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY .................... 95 HSG 12 CẤP TỈNH TRÀ VINH NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY ........................ 95 HSG 12 CẤP TỈNH SÓC TRĂNG NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY ..................... 95 HSG 12 CẤP TỈNH BẠC LIÊU NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY.......................... 95 HSG 12 CẤP TỈNH CÀ MAU NĂM 2020-2021- KHÔNG TÌM THẤY ........................... 96 HSG 12 CẤP TỈNH ĐIỆN BIÊN NĂM 2020-2021 – KHÔNG TÌM THẤY ..................... 97 HSG 12 CẤP TỈNH ĐĂK NÔNG NĂM 2020-2021 – KHÔNG TÌM THẤY .................... 97 HSG 12 CẤP TỈNH HẬU GIANG NĂM 2020-2021 – KHÔNG TÌM THẤY .................. 97

39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64.

HSG 12 TP HÀ NỘI NĂM 2020-2021 ...................................................................................... 97

DẠ

KÈ

QU Y

B. PHẦN ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT ..................................................................................... 97