De Lapide 2015 maj by Denis Kleschev

№IV (004)

www.de-lapide-philosophorum.umi.ru

философия ❧ психоанализ ❧ математика ❧ теология

В номере:

стр. 2-111

стр. 112-126

16+

Лик Сфинкса на плато Гизы (археологическая реконструкция «De Lapide»)

Космическая гармония — Дхарма

De Lapide Philosophorum Том IV, MMXV Ежеквартальное междисциплинарное издание под редакцией Д.С. Клещева Адрес редакции: www.de-lapide-philosophorum.umi.ru Почтовый адрес: de.lapide.philosophorum@gmail.com ISSN 2409-1022

Говорят, человек не способен воспринимать и осязать четвертое измерение — измерение времени. Возможно, это так, но лишь в отношении людей, чье сознание никогда не поднималось выше уровня пещерного материализма. Заметив гармонию небесных сфер, человек стал понимать расположение звезд и планет как в будущем, так в далеком прошлом, научился рассчитывать изменения элиптических орбит под воздействием гравитации. Заметив закон, по которому на ветвях деревьев появляются почки, человек научился определять, как будет выглядеть это дерево через год, через несколько лет. Выходит, всякий раз, когда мы восхищаемся соразмерностью и гармонией, мы видим и воспринимаем нечто такое, что выходит за рамки трех измерений пространства. Через гармонию мы получаем возможность краем глаза заглянуть в будущее и в прошлое. Это не просто субъективные ощущения. То, что называют отвлеченной эстетикой, на самом деле является уплотнением огромных массивов времени и непосредственным содержанием законов, определяющих эволюцию различных систем. Общность законов движения материального мира, развития жизни, человеческой культуры и духовности была известна с незапамятных времен. Эта общность и есть дхарма — принцип космической гармонии — а именно то, на чем держится всякая сущность, благодаря чему всякая сущность соединяема с другими сущностями, что ведет к исполнению непреложного закона Красоты. Как много среди нас тех, для кого Вселенная, человек, живой цветок или ракушка на песке — просто материя, хаотичные сгустки атомов. Как много тех, кто смеется над нашими предками, которые могли сострадать всему живому, одушевлять камни, лесные рощи и звездное небо над головой. Как много тех, кто не хочет замечать связь между нарастанием зверств во всем мире и ментальностью прагматичного современного человека, кто не хочет осознавать, что с тех пор, как человек решил избавиться от совести, от всех этих «глупых предрассудков» и «сказок о вечной любви», человечество утратило человечность.

А.П. Стахов

Интервью с гуру: на пути к Гармонии Эксклюзивное интервью профессора А.П.Стахова междисциплинарному изданию «De Lapide Philosophorum». По материалам корреспонденции, полученной в феврале 2015 года.

Алексей Петрович, Вы — высококлассный специалист в области Золотого сечения, чисел Фибоначчи. Когда и с чего начинался Ваш путь в большую науку? Какие люди и книги оказали на Вас наибольшее влияние? А.П.: Если говорить об истоках, то, конечно же, все мы родом из детства. Как это парадоксально ни звучит, но уже в школьные годы я почувствовал огромную тягу к знаниям, что в конечном итоге и привело меня к науке. Мои родители стали для меня самыми первыми учителями. Кстати говоря, вы знаете, что моя настоящая фамилия Стах? По правде говоря, слышу об этом впервые. Хотя однажды приходила мысль о родстве фамилии Стахов и фамилии Стаханов — основатель стахановского движения в Советском Союзе. А.П.: Стаховым я стал благодаря моему отцу — Петру Стахову, который в момент моего рождения в 1939 году учился

IN BREVI

есенний выпуск «De Lapide» приурочен одной знаменательной дате — 7 мая отмечает свой день рождения выдающийся математикфибоначчист, доктор технических наук, создатель помехоустойчивых компьютерных технологий Алексей Петрович Стахов. Мы присоединяемся к поздравлениям друзей и коллег, сподвижников профессора Стахова, живущих в самых разных странах мира (в Украине, Республике Беларусь, России, Армении, Сербии, в странах Западной Европы, Северной Африки, в Аргентине, в Чили, в США и Канаде). Научная биография Алексея Петровича наполнена яркими событиями, нелегкими испытаниями и борьбой за важное право, о котором некоторые даже не догадываются, — за право быть творцом. Каждый человек от рождения обладает этим правом, однако не каждый может им воспользоваться. Под давлением различных сил и обстоятельств многие от него добровольно отказываются. Недостаточно обладать правом — для его реализации необходимо проявить самоотверженность и мужество, суметь отстоять это право, не запятнав чести. Результатом колоссальной работы, проведенной Алексеем Петровичем и его исследовательской группой, стали 65 патентов, полученных в странах, производящих вычислительную технику, и широкое международное признание, начало которому положил отзыв австрийского математика Александра Айгнера, заметившего, что «оригинальные идеи проф. Алексея Стахова в области алгоритмической теории измерения и компьютерной арифметики представляют значительный интерес также с точки зрения теоретической арифметики и теории чисел». Каким видит будущее науки профессор Стахов? Над решением каких математических проблем он сегодня работает, какие новые задачи выдвигает? Об этом (и не только) он увлекательно рассказывает в своем интервью.

на историческом факультете Харьковского университета. По-видимому, был какой-то момент политической эйфории, заставившей отца задолго до поступления в Харьковский университет добавить к исконно украинской фамилии Стах русскоязычную приставку. Вот так благодаря отцу я стал Стаховым. Все остальные мои родственники (даже моя мама) носят фамилию Стах. Родился я на станции Партизаны Генического района Херсонской области, через эту станцию проезжают все поезда, следующие в Крым по линии Запорожье-Симферополь. В двадцати пяти километрах от станции находится небольшой городок Геническ, расположившийся на берегу Азовского моря в той его части, где Азовское море через узкий пролив, называемый «гирлом», соединяется со знаменитым Сивашом. Материковую Украину с Арабатской стрелкой соединяет железнодорожный мост, построенный на этом самом «гирле». Места, где проходит детство, безусловно, накладывают свой определенный отпечаток. Для меня, например, в названии города Магнитогорск, где я родился, до сих пор содержится что-то таинственное. А станция Партизаны — от этого названия прямо-таки веет романтикой. А.П.: Вспоминаю, что странное название станции Партизаны, доставило мне ряд осложнений в период моей первой научной командировки в Австрию (1976 год). Мне тогда для завершения научной программы нужно было продлить визу для пребывания в Австрии еще на несколько дней. Для этого в полицейском участке я должен был заполнить формуляр с указанием всех биографических деталей. Полицейский, оформлявший визу, отнесся к названию станции с большим недоверием. Слово «партизаны» ассоциировалось у него с Великой Отечественной войной 1941-1945 годов. Поэтому возникли сомнения относительно реальности существования станции с таким названием в 1939 году, за два года до начала войны. Тогда мне пришлось прочесть австрийскому офицеру небольшую лекцию по истории. Как известно, партизанское движение зародилось в России еще в период Отечественной войны

1812 года. Существовало оно и в Гражданскую войну. Именно тогда на подступах к железнодорожному переезду кто-то из жителей («партизаны») разложил бороны зубьями вверх. На эти острые зубья напоролась белогвардейская конница, преследовавшая красногвардейские отряды. В честь этого события после окончания Гражданской войны железнодорожная станция Рыково была переименована в станцию Партизаны. Азовское море... Мое детство, а затем и вся моя жизнь тесно связаны с Азовским морем. Мама не подозревала о моих поездках на море в жаркие летние дни. Летом я часто отпрашивался у мамы и сам ходил из села Ровно, где мы жили с мамой, на станцию Партизаны (это в двух километрах от Ровно) в гости к дедушке Харитону. На Партизанах у меня завелись друзья. Иногда с группой этих друзей из «партизанской братвы» я садился на подножку проходящего пассажирского или товарного поезда, который довозил нас до соседней станции Ново-Алексеевка. С Ново-Алексеевки до Геническа в тот период ходили грузовые составы, которыми вывозился песок из Арабатской стрелки на «стройки коммунизма». Слава богу, на каком-то этапе удалось приостановить это варварское уничтожение Арабатской стрелки, которое могло закончиться экологической катастрофой, если бы воды Сиваша соединились с водами Азовского моря... Возле железнодорожного моста через «гирло» поезд замедлял свой ход, и мы спрыгивали с него. Затем целый день купались в «гирле» и загорали, а вечером тем же грузовым поездом, который замедлял свой ход в Геническе, через Ново-Алексеевку возвращались на Партизаны. Иногда мы вместе с друзьями на товарном поезде переезжали через мост на Арабатскую стрелку, где наиболее опасным нашим занятием был сбор оружия, патронов, снарядов и гранат, которыми изобиловали те места (во время войны там шли очень тяжелые бои). Многие мои друзья в результате таких «экспериментов» остались калеками на всю жизнь. Благодарю судьбу, что в тот опасный юношеский период Бог хранил меня, и я вышел из своего трудного послевоенного детства целым и невредимым.

Как правило, лето я проводил в Геническе, где жил некоторый период дядя Григорий, брат моей мамы. На Арабатской стрелке когда-то находился знаменитый солевой промысел (Генсольпром), куда дядя Григорий переехал для работы главным бухгалтером. Позже, после смерти дяди Гриши в 1977 году, а вскорости и тети Оли (его жены), мы все равно продолжали ездить на Арабатскую стрелку с детьми, а позже и с внуками на моей «Волге» с прицепом. Мы везли с собой все необходимое для двухнедельного пребывания на берегу моря. Почти на границе с Крымской областью, за Чекраком (примерно в 40 километрах от Геническа), мы разбивали палаточный лагерь, отдыхали, загорали, наслаждались ласковым Азовским морем. Теперь в Геническе есть краеведческий музей, один из его стендов посвящен моей персоне. Я поддерживаю связи с этим замечательным музеем и горжусь тем, что мои земляки не забывают меня. Вы упомянули, что Вашими первыми учителями были родители. Получается, что их личный пример оказался решающим на самых первых шагах в большую науку? А.П.: Мой отец Петр Стахов родом из Черниговщины, где он родился в 1916 году в селе Жеведь, в очень бедной крестьянской семье. В 1937 году он поступил на исторический факультет Харьковского университета. Ему шел 21 год, что для студента первого курса было многовато. Но это был большой успех для него, и вся наша большая Стаховская семья как на Херсонщине, так и на Черниговщине им очень гордилась. Мне трудно сказать, почему отец, выходец из крестьян, вдруг решил стать специалистом в области истории, но тяга к истории науки, несомненно, передалась мне от отца. Все мои книги да и все мое научное направление носит исторический характер. Ведь «золотое сечение» в своих истоках восходит к древнегреческой науке и даже древнеегипетской, а числа Фибоначчи — к периоду Средневековья. Довоенный Харьков был одним из самых крупных университетских центров СССР. Двадцать высших учебных за-

ведений, в которых учились свыше 30 тысяч студентов, где готовили специалистов в различных областях науки, образования, медицины и промышленности. Самыми значительными из них были Харьковский государственный университет, политехнический, два медицинских и авиационный университеты. Но вскоре весь мир переменился — разразилась самая страшнаяя и самая кровопролитная война... А.П.: Митинг, посвященный началу Великой Отечественной войны, состоялся в Харьковском университете 23 июня 1941 года. Участники митинга заявили: «Мы готовы заменить книги на винтовки, сядем в танки, в самолеты. С оружием в руках пойдем защищать свою Родину». Одним из участников этого митинга был мой отец, студент 4-го курса исторического факультета. И он стал одним из первых студентов-добровольцев, которые были направлены в Малиновские войсковые таборы (г. Чугуев), где из них планировалось подготовить так называемых армейских политбойцов и командиров стрелковых взводов. В конце июня 1941 года в Малиновские таборы прибыло свыше 500 студентов-добровольцев из харьковских вузов. Наибольшая группа была из университета (124) и авиационного института (69). Добровольцы сразу же начали войсковые занятия: строевые, тактические, стрельба и рытье окопов. Эти войсковые подразделения уже в период их формирования стали неофициально называть «студенческими». Название сохранилось по прибытии студенческого подразделения на фронт и харьковский «студбат» вошел в историю героических подвигов советских патриотов в годы Великой Отечественной войны. Я горжусь своим отцом и когда (в который раз!) пролистываю роман Олеся Гончара «Человек и Оружие», то мне кажется, Гончар — бывший студбатовец! — писал главного героя с моего отца. Этот широко известный роман Олеся Гончара полностью посвящен подвигу «студбата», сформированного в первые дни войны из студентов харьковских университетов.

Хорошо, что память о героях-студбатовцах хранится в сердцах студенческой молодежи. Именно по инициативе студентов Харьковского университета возникла идея сооружения памятника студбатовцам. Такой памятник был установлен на площади Свободы, рядом с главным корпусом Харьковского университета. Это величественное сооружение — память студбатовцам, которые отдали свою жизнь, защищая Родину от захватчиков. Это призыв к самоотверженному служению своей Родине, символ готовности отдать все свои силы за свободу и ее независимость. Будучи уже известным ученым, я несколько раз посещал Харьков по приглашению руководства Харьковского университета и Харьковского авиационного университета. Каждый раз я с огромным волнением посещал музей Харьковского университета, где есть Мемориальная доска с именами героев-студбатовцев, на этой доске выбито имя моего отца. В одно из посещений Музея в 2003 году я узнал от работников музея историю гибели некоторых известных студбатовцев,

Рядом с памятником героям-студбатовцам у главного корпуса Харьковского университета

в том числе, моего отца. Он погиб в октябре 1941 года под Москвой (Наро-Фоминск), защищая Москву от фашистских агрессоров. Отец, которого я не знал, стал для меня некоторой путеводной звездой, моим первым учителем, своеобразным Богом (или Сверх-Я, как говорят психологи). Он оказал огромное влияние на формирование моего внутреннего мира. И я всегда стремился быть таким, как отец. Принимая какое-либо важное решение в моей жизни, всегда обращался за советом к отцу, думал, как бы он поступил в этом случае. Моя мама Дарья — педагог по профессии, учительница младших классов. Она закончила Никопольский педагогический техникум в 1937 году. Вся ее трудовая жизнь связана со школами Херсонской области. Сразу после замужества она жила в семье у деда на станции Партизаны (пока отец учился в университете) и работала там в школе. Сразу же после освобождения Херсонщины от фашистов она была направлена для работы учительницей в начальную школу села Бедняки километрах в десяти от станции Партизаны. Позже селу было присвоено оптимистичное название — Новый Мир, хотя это, конечно, мало что изменило. Мама была единственной учительницей и одновременно директором этой школы. Школа размещалась в бывшей церкви и состояла из одного класса, где одновременно учились ученики всех четырех классов. Мне было тогда четыре года, и этот класс стал для меня своеобразным «первым университетом». Дело в том, что в селе Бедняки детского сада не было, и мама брала меня в класс, где я присутствовал на всех уроках вместе с остальными учениками. Через несколько месяцев обнаружилось, что я научился свободно читать и писать, и благодаря этому сразу же превратился в пятилетнего «вундеркинда». В наши дни таких «вундеркиндов» хоть пруд пруди. Но в послевоенные годы, в той среде, в которой я рос, это было, действительно, необычно. Я стал предметом особой гордости моего деда, который не умел писать и читать. Когда в доме у деда собирались гости, то в разгар празднества дед всегда демонстрировал своего «гениального» внука гостям, которым я с упоением читал газеты, детские рассказы, декламировал стихи и прочее.

В некотором смысле символично, что «первым университетом» будущего исследователя Божественной пропорции стала церковь, которую преобразовали в школу. Что и говорить, поистине пути Господни неисповедимы. А.П.: Кроме того, надо сказать, что огромное влияние на формирование моей личности оказал мой двоюродный брат Георгий Щербаков, сын дяди Григория. Он закончил Киевский медицинсий институт, защитил докторскую диссертацию и последние годы своей жизни возглавлял кафедру в Ставропольском медицинском институте. Раннее приобщение к письменности и образованию, которое, благодаря маме, произошло помимо моей воли, несомненно, оказало решающее влияние на мое дальнейшее интеллектуальное развитие. В 1946 году маму перевели работать в школу села Ровно. Хотя к тому времени я уже освоил программу первых нескольких классов начальной школы, но мама все же решила определить меня в первый класс Ровенской, тогда еще семилетней, школы. Среднюю школу я закончил в 1956 году, и по ее окончании был награжден «золотой медалью». Событие было знаменательно тем, что я стал первым выпускником Ровенской сельской школы, получившим «золотую медаль». Вместе с блестящим окончанием школы перед Вами открылись огромные перспективы, масса заманчивых возможностей, разве не так? А.П.: В 1956 году я стал студентом горного факультета Киевского политехнического института (КПИ) (специальность «горная электромеханика»). Мое зачисление на этот факультет стало следствием стечения неблагоприятных для меня случайных обстоятельств. Дело в том, что я получил извещение о присуждении мне «золотой медали» слишком поздно, 10 июля 1956 года, когда «квоты» для медалистов (25%) на всех престижных факультетах КПИ, куда мне хотелось попасть, были заполнены. Мне предложили горный факультет. Тем не менее, на этом факультете как, впрочем, на всех факультетах, студентам давалась

солидная подготовка в области фундаментальных наук (математика, физика, теоретическая механика, теоретические основы электротехники и др.), чем я и воспользовался. Начиная со второго курса, я уже почувствовал глубокий интерес к точным наукам. Нам читали лекции великолепные преподаватели. Но с особой благодарностью и теплотой я вспоминаю своего преподавателя по курсу «Теоретическая механика» доцента Шахновского (запамятовал его имя и отчество). Этот замечательный педагог и ученый впервые заронил в мою душу идею посвятить жизнь науке. На экзамене по его курсу — а это был один из самых сложных курсов — я каким-то необычным способом решил одну из сложных задач по теоретической механике, что привело в восторг Шахновского, который поставил мне оценку «5» со многими плюсами. Заполняя зачетку, Шахновский сказал, что мое будущее — наука, наука и только наука! После экзамена он с огромным восторгом на всех консультациях рассказывал обо мне всем студентам нашего факультета. Друзья меня поздравляли, и мне было чрезвычайно приятно слышать эти восторженные отклики доцента Шахновского. Позже, когда я уже стал доцентом, а затем профессором, поступок доцента Шахновского на всю жизнь остался для меня высоким нравственным примером бережного отношения к студентам. Я всегда старался увидеть и поддержать в моих студентах те искры таланта и нетрадиционного мышления, которые являются симптомом того, что студента может ожидать большое научное будущее. В этой связи я всегда с большим удовольствием вспоминаю свою работу в Таганрогском радиотехническом институте (1971-1977 годы), где я организовал научный студенческий семинар, и большинство участников этого семинара стали затем моими аспирантами. В период работы профессором кафедры компьютерной техники Ливийского Университета Аль Фатех (Триполи, Ливия), где я проработал с 1995 до 1997 год, я также организовал научный семинар для студентов кафедры, который посещало большое число талантливых студентов. Блестящий проект «Быстродействующий троичный умножитель» выполнили студенты Hosam Al-Dean Melod Arebi

и Achmed El-khwldi El-Hamedi. По их просьбе я с огромным удовольствием написал отзыв об их научной работе над проектом, и мне очень хочется надеяться, что им удалось продолжить учебу в одном из западных университетов и что мой отзыв сыграл какую-то роль в их научной судьбе. Тем не менее, Вы не смирились со «случайным» выбором специальности в Киевском политехническом институте и окончили Харьковский авиационный? А.П.: В 1959 году я перевелся на вновь организованный радиотехнический факультет Харьковского авиационного института (ХАИ). Сбылась моя мечта: я стал студентом перспективного факультета одного из наиболее престижных высших учебных заведений Украины. Меня вдохновляла мысль о том, что в этом же городе в Харьковском университете учился мой отец. Радиотехнический факультет ХАИ я закончил с отличием в 1961 году. Мой путь в большую науку был достаточно стремительным. В 1963 году я стал аспирантом Харьковского института радиоэлектроники по специальности «Техническая кибернетика».

С любимым «шефом» А.А.Волковым на юбилее кафедры технической кибернетики в 1977 году, в центре супруга Алексея Петровича Антонина

Моим научным руководителем стал зав. кафедрой технической кибернетики профессор Волков Александр Андреевич. Александр Андреевич прославился не только своими достижениями в области технической кибернетики, но исключительно плодотворной деятельностью в области подготовки научных кадров. Он подготовил около 100 кандидатов наук и 20 докторов наук. Он отличался исключительно бережным отношением к своим аспирантам. Он определил мой научный путь и оказал мне огромную помощь при подготовке и защите не только кандидатской (1966 год), но и докторской диссертации в 1972 году. В период работы над кандидатской диссертацией логика научного поиска оптимальных алгоритмов аналогоцифрового преобразования вывела меня на числа Фибоначчи. На полках харьковских магазинов мне попалась небольшая брошюра «Числа Фибоначчи», написанная ленинградским математиком Н.Н. Воробьевым. Эта брошюра меня потрясла, и я понял, Николай Воробьев что приобщился к фундаментальной математической идее, к одной из великих тайн Мироздания. Углубляясь в эту тему, я обнаружил удивительные проявления чисел Фибоначчи в природе, искусстве, узнал, что числа Фибоначчи тесно связаны с «золотым сечением», с знаменитым иррациональным числом, которое было эстетическим каноном искусства Древней Греции и эпохи Возрождения. В 1974 году я встретился в Ленинграде с автором брошюры Н.Н. Воробьевым, рассказал ему о своих научных результатах в этой области, и он подарил мне книгу «Числа Фибоначчи» с дарственной надписью «Глубокоуважаемому Алексею Петровичу Стахову с фибоначчистским приветом».

Можно только удивляться гениальной научной интуиции проф. Воробьева, который первым среди современных математиков (задолго до книг американского математика проф. Хоггата, создателя Ассоциации Фибоначчи и английского математика проф. Вайды) опубликовал брошюру, которая стала научным бестселлером XX столетия и настольным пособием для огромного количества энтузиастов, которые именно с помощью брошюры Н.Н. Воробьева узнали о существовании «фибоначчиевого мира». Во время работы над докторской диссертацией в Таганрогском радиотехе Вы сделали ряд научных открытий. Какое из этих открытий можно было бы назвать Вашим первым математическим открытием? А.П.: В 1971 году я был избран на должность зав. кафедрой информационно-измерительной техники Таганрогского радиотехнического института. Таганрогский период своей жизни (1971-1977 годы) я считаю одним из самых плодотворных периодов моей научной карьеры. В этот период произошло много событий, определивших мою научную деятельность на многие годы. Прежде всего, это защита докторской диссертации. В момент защиты (1972 год) мне было 32 года, я был в расцвете творческих сил и полон новых научных идей. В 1974 году мне было присуждено научное звание профессора по кафедре информационно-измерительной техники. В Таганроге я познакомился с доктором философских наук профессором Георгием Васильевичем Чефрановым, который оказал огромное влияние на формирование моего философского мировоззрения. Его книга «Бесконечность и интеллект» стала моей настольной книгой и источником новых научных идей. С Георгием Васильевичем мы подружились и любили летними таганрогскими вечерами прогуляться по улице Чехова от «профессорского дома» до пляжа и обратно. Это были не просто прогулки — они сопровождались жаркими дискуссиями по проблемам науки и философии. Для меня эти прогулки стали настоящим философским университетом. Именно в одну из таких прогулок я рассказал Чефранову о своем первом математическом открытии — обнаруженном

На первомайской демонстрации в Таганроге вместе с профессором Г.В.Чефрановым

мною противоречии между аксимой Евдокса-Архимеда, основанной на использовании абстракции потенциальной осуществимости, и аксиомой Кантора, основанной на абстракции актуальной бесконечности. Поскольку эти две аксиомы относятся к разряду фундаментальных аксиом математики («аксиомы непрерывности»), то из этого открытия вытекало, что математика в своих основах является противоречивой наукой. Чефранов был в восторге от этой идеи, к которой я пришел под влиянием его книги «Бесконечность и интеллект». Позже эта идея была высоко оценена известным российским математиком и философом Александром Зенкиным, который обнаружил ошибки в теории бесконечных множеств Кантора, основанных на концепции актуальной бесконечности. Научные дискуссии с профессором Чефрановым способствовали повышению моего философского уровня. Работая над своей первой книгой по теории измерения, я вышел на ряд философских проблем науки, связанных с измерением и основаниями науки. Результаты этих моих философских размышлений, которые появились в результате дискуссий

с Георгием Васильевичем Чефрановым, изложены в главе «Проблема измерения» моей первой книги «Введение в алгоритмическую теорию измерения», которая была написана в Таганроге и затем опубликованна в издательстве «Советское Радио» (1977). Но главным событием этого периода стала моя научная командировка в Австрию, где я в течение января — марта стажировался на кафедре обработки информации Венского технического университета и посещал другие австрийские университеты, в частности, Грацкий технический университет. В Грацком техническом университете я встретился с известным австрийским математиком Александром Айгнером, директором Математического института Грацкого технического университета. С этой встречи началось международное признание моего научного направления. Дело в том, что одним из «хобби» проф. Айгнера было «золотое сечение» и числа Фибоначчи. Именно поэтому он с большим интересом отнесся к моим исследованиям в области кодов Фибоначчи и арифметики Фибоначчи и выдвинутой мною концепции «компьютеров Фибоначчи» как нового направления в компьютерной технологии. По результатам нашей длительной и плодотворной беседы, проф. Айгнер подготовил весьма позитивный отзыв на мое научное направление, который он отправил в Венский технический университет проф. Эйеру, руководителю кафедры обработки информации, где я проходил стажировку. Этот отзыв произвел такое сильное впечатление на Эйера, что по его инициативе было организовано мое выступление на объединенном заседании Компьютерного и Кибернетического обществ Австрии. Успех моего доклада в Вене 3 марта 1976 года, на котором присутствовали не только австрийские ученые, но также ученые из ФРГ и представители американской фирмы IBM, превзошел все ожидания. На следующий день я получил еще несколько отзывов на мой доклад, в том числе от проф. Эйера и Президента Кибернетического общества Австрии проф. Траппеля. Все эти отзывы я представил в Посольство СССР в Австрии.

На основании этих материалов от Посольства СССР в Австрии было направлено письмо в высшие советские научные и государственные инстанции о моем пребывании в Австрии и о моем выступлении в Вене. В этом письме был поставлен вопрос о патентовании моих изобретений в области «компьтеров Фибоначчи» за рубежом. Предложение посольства незамедлительно было принято Государственным комитетом СССР по делам изобретений и открытий и, начиная с мая 1976 года, началось беспрецедентное по масштабам зарубежное патентование моих изобретений в области «компьютеров Фибоначчи» во всех ведущих странах-продуцентах средств компьютерной техники, включая США, Японию, Англию, Францию, ФРГ, Канаду и другие страны. Таким образом, 65 зарубежных патентов подтверждают мой неоспоримый приоритет в этой области компьютерной технологии. Успех зарубежной командировки как-то повлиял на признание Вашего научного направления на Родине? А.П.: В июне 1989 года с учетом результатов зарубежного патентования и резонанса на это направление, как в СССР, так и за рубежом, по инициативе академика Бориса Патона, состоялось обсуждение моего научного направления на специальном заседании Президиума Академии наук Украины. На этом заседании присутствовал член Президиума выдающийся украинский математик, директор Института математики Академии наук Украины, действительный член Академии наук Украины и Российской академии наук академик Юрий Алексеевич Митропольский. Начиная с этой встречи, передо мной широко открылись двери всех ведущих академических журналов Украины. Согласно рекомендациям Юрия Митропольского, в «Докладах Академии наук Украины» и в «Украинском Математическом Журнале» мною был опубликован ряд важных научных статей. То есть научное признание по сути совпало с началом развала Советского Союза, с губительными для развития науки последствиями, и теперь Вы живете в Канаде.

А.П.: В Канаду я переехал вместе с моей любимой супругой Антониной в начале 2004 года по инициативе моих детей, которые к тому времени были уже гражданами Канады. Семья создала мне идеальные условия для научной работы. В Канаде я начал активно публиковаться в ведущих англоязычных журналах, таких как «Chaos, Solitons and Fractals», «Congressus Numerantium», «Applied Mathematics», «Journal of Applied Mathematics and Physics». За десять лет я опубликовал около 40 статей. Но главным моим научным достижением в Канаде стала фундаментальная книга «The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science», опубликованная в 2009 году престижным международным издательством «World Scientific». Я благодарен американским ученым математику Джею Каппраффу и философу Скотту Олсену, одному из ведущих американских ученых в области «золотого сечения». Они активно поддержали идею публикации такой книги и оказали огромную помощь. Скотт Олсен взял на себя труд англоязычного редактирования книги. На обложке книги имеется надпись: «Assisted by Scott Olsen». Так я выразил благодарСкотт Олсен ность Скотту Олсену за его огромный труд. Алексей Петрович, Ваших единомышленников и друзей можно найти во многих странах. Как Вам удается объединять столь разных людей? А.П.: Число сподвижников и поклонников моего научного направления неуклонно расширяется. Основная причина в том, что я полностью открыт для научных контактов и сотрудничества. В течение многих десятилетий я поддерживаю дружеские контакты с белорусским философом Эдуардом Сороко, украинским исследователем Олегом Боднаром, а их книги являются моими настольными книгами. В 2003 году по приглашению профессора Юрия Владимирова я выступил в Московском университете на объединен-

Титульный лист книги «The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science» (2009).

ном заседании семинара «Геометрия и Физика» (руководитель проф. Владимиров) и междисциплинарного семинара «Симметрия в науке и искусстве» (Институт машиноведения РАН, руководитель проф. Сергей Петухов). В своем докладе я представил свою новую книгу «Новый тип элементарной математики и компьютерной науки». Эта книга стала основой для моей первой англоязычной книги «The Mathematics

of Harmony». В обсуждении моего доклада выступили выдающиеся представители российской науки: Юрий Владимиров, Сергей Петухов, Геннадий Шипов, Александр Зенкин, Михаил Марутаев и другие. В 2010 году Одесский национальный университет под моим научным руководством провел Международный Конгресс по Математике Гармонии, в котором участвовали такие выдающиеся ученые как Скотт Олсен, Эдуард Сороко, Олег Боднар, Григорий Мартыненко, Сергей Абачиев и многие другие. В 2007 году я начал сотрудничество с выдающимся российским математиком Самуилом Арансоном, который сейчас проживает в США. Вместе с ним нам удалось решить 4-ю проблему Гильберта, которая считается одной из сложнейших математических проблем. В 2015 году издательство «World Scientific» приняло к публикации нашу совместную книгу «The “Golden” Non-Euclidean Geometry: Recursive “Self-similar” Hyperbolic Functions, Hilbert’s Fourth Problem, and “Golden” Dynamical Systems». Я думаю, что книга с таким интригующим названием вызовет еще больший интерес к Математике Гармонии и ее неожиданным приложениям в неевклидовой геометрии и теории динамических систем. Так что слухи о том, что проблематика «золотого сечения» себя исчерпала, являются несколько преувеличенными. Исследованием 4-й проблемы Гильберта успешно занимался академик Погорелов, хотя ему, насколько я понимаю, удалось доказать лишь то, что у этой проблемы должно существовать некоторое решение. Вы с Самуилом Арансоном нашли конкретное математическое решение, про которое уже нельзя сказать, что оно слишком неопределенное и общее: иначе говоря, речь идет о создании новой геометрии, близкой к геометрии Лобачевского. Но известно, что в истории науки математическое открытие часто предшествует изменению естественно-научной парадигмы. Так, возникновение неевклидовой геометрии в XIX веке привело к возникновению представлений о четырехмерном пространственно-временном континууме, к теории относительности Пуанкаре-Эйнштейна.

Можно ли ожидать подобного сдвига научной парадигмы? Ведь с числами Фибоначчи связаны биологические процессы, которые до сих пор исключаются физиками из «объективной» картины мира. Насколько уместно такое сравнение с открытием неевклидовой геометрии Лобачевского? А.П.: Доктор физико-математических наук профессор Самуил Арансон является специалистом в области геометрии, топологии и дифференциальных уравнений. Поэтому внимание Арансона привлекли, прежде всего, новые классы гиперболических функций Фибоначчи. Появление этих функций связано с именами многих математиков и исследователей. В моей книге «Коды золотой пропорции», вышедшей в 1984 году и ставшей по мнению журнала «Техника — молодежи» (№7, 1985) своеобразным бестселлером, я обратился к формулам французского математика Бине. Как известно, формулы Бине выражают через «золотую пропорцию» так называемые расширенные числа Фибоначчи Fn, которые на самом деле представляют бесконечную целочисленную последовательность, простирающуюся в пределах от – ∞ до + ∞. Однако в книге «Коды золотой пропорции» формулы Бине были представлены в виде, который редко используется в математической литературе:

где Fn (n = 0, ±1, ±2, ±3,...) — числа Фибоначчи, а Ф = (1+ √5) / 2 — «золотая пропорция». Формулы Бине относятся к разряду выдающихся математических формул и содержат в себе глубокую математическую истину. Ведь числа Фибоначчи Fn (n = 0, ±1, ±2, ±3,...), стоящие в левой части формул Бине, всегда являются целыми числами, в то время как «золотая пропорция» и ее степени Фn, Ф–n, а также число √5, используемые в правой части, являются иррациональными числами. Поэтому на первый взгляд кажется просто невероятным, что целые числа могут быть так просто

выражены через иррациональные числа! Но в этом и состоит могущество математики, которая допускает в компактной форме выражение сложнейших математических истин. Особенность приведенного выше представления формул Бине состоит в том, что по своей математической структуре они подобны гиперболическим функциям, которые были использованы Николаем Лобачевским при создании гиперболической геометрии.

Жак Филипп Мари Бине

Николай Лобачевский

Именно на эту математическую аналогию обратил мое внимание винницкий математик Иван Ткаченко. С использованием данной аналогии был разработан новый вариант гиперболических функций, описанный в 1988 году в препринте, а затем в статье «Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи» (авторы А. Стахов, И. Ткаченко), опубликованной в 1993 году в журнале «Доклады Академии наук Украины» по рекомендации академика Юрия Митропольского. В 2005 году вместе с моим учеником Борисом Розиным в журнале «Chaos, Solitons & Fractals» мы опубликовали статью Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321042.htm), где изложен модифицированный вариант гиперболических функций Фибоначчи, которые мы назвали симметричными гиперболическими функциями Фибоначчи: I. Симметричный гиперболический синус Фибоначчи

II. Симметричный гиперболический косинус Фибоначчи

где x — непрерывная переменная, задаваемая в пределах от – ∞ до + ∞. Изложенное выше — это краткая история небольшого математического открытия, которое сыграло определенную роль в развитии теории гиперболических функций и гиперболической геометрии. В чем же состоит отличительная особеность гиперболических функций Фибоначчи по сравнению с классическими гиперболическими функциями, основанными на математической константе е (числе Эйлера)? Для ответа на этот вопрос достаточно сравнить гиперболические функции Фибоначчи с формулами Бине. Это сравнение приводит нас еще к одному неожиданному результату: в дискретных точках непрерывной переменной x = 0, ±1, ±2, ±3,... числа Фибоначчи Fn (n = 0, ±1, ±2, ±3,...), задаваемые формулами Бине, совпадают с гиперболическими функциями Фибоначчи! Но ведь числа Фибоначчи обладают рекурсивными свойствами! Это означает, что гиперболические функции Фибоначчи также обладают рекурсивными свойствами — подобно числам Фибоначчи! Классические гиперболические функции таким свойством не обладают, и в этом состоит отличительная особенность гиперболических функций Фибоначчи. Олег Боднар На начальном этапе я с некоторой осторожностью относился к практической полезности гиперболических функций Фибоначчи. Однако, мое отношение к этому математическому результату резко изменилось, когда в 1988 году я познакомился с оригинальной геометрической теорией ботанического явления филлотаксиса, разработанной украинским исследователем Олегом Боднаром (Львов). Боднар показал, что геометрия филлотаксиса есть ни что иное, как новый вид гиперболической геометрии Лобачевского, основанный на гиперболических функциях Фибоначчи!

То есть, гиперболические функции Фибоначчи — это современное математическое открытие, которое лежит в основе геометрической теории филлотаксиса (геометрии Боднара). Здесь следует рассказать о лямбда-числах Фибоначчи и «металлических пропорциях». В конце XX века — начале XXI века группа исследователей из разных стран: аргентинский математик Вера Шпинадель, американский математик Джей Каппрафф, французский исследователь Мидхат Газале, российские исследователи Александр Татаренко и Виктор Шенягин, армянский философ и физик Грант Аракелян и другие, — начали исследовать новый класс числовых последовательностей, названных λ-числами Фибоначчи Fλ(n). Эти целочисленные последовтельности задаются следующим рекуррентным соотношением:

где λ=1, 2, 3,... — заданное целое число. Эта рекуррентная формула порождает бесконечное количество целочисленных последовательностей (каждое λ=1, 2, 3,... порождает свою последовательность). При λ=1 данное рекуррентное соотношение порождает классические числа Фибоначчи. Наибольшее влияние на меня в этой области произвели исследования Веры Шпинадель (Аргентина). Исследуя корни так называемого характеристического уравнения для λ-чисел Фибоначчи, она ввела понятие «металлических пропорций», задаваемых следующим выражением:

Заметим, что для случая λ=1 эта формула сводится к выражению для классической золотой пропорции:

Вера Шпинадель

Грант Аракелян

Джей Каппрафф

Александр Татаренко

Мидхат Газале

Виктор Шенягин

Уже этот факт должен привлечь наше внимание к формуле «металлических пропорций» Веры Шпинадель, поскольку эта формула является ни чем иным, как обобщением формулы для золотой пропорции. Вера Шпинадель назвала математические константы Фλ «металлическими пропорциями». Если в выражении для Фλ мы примем λ=1, 2, 3,..., тогда мы получим следующие математические константы, имеющие, согласно Шпинадель, следующие названия:

Ясно, что число новых математических констант («металлических пропорций») теоретически бесконечно.

Гиперболические лямбда-функции Фибоначчи и формула Бине имеют непосредственное отношение к исследованиям Газале. В своей замечательной книге «Гномон. От фараонов до фракталов» (2002) французский инженер и математик египетского происхождения Мидхат Газале дает дальнейшее развитие теории λ-чисел Фибоначчи путем введения так называемой «формулы Газале», которая выражает аналитически λ-числа Фибоначчи через «металлические пропорции»:

Оказывается, что при λ=1 формула Газале сводится к формуле Бине. Формула Газале является исходной для определения нового класса гиперболических функций — гиперболических λ-функций Фибоначчи, введенных мною в статье Stakhov A.P. Gazale formulas, a new class of the hyperbolic Fibonacci and Lucas functions, and the improved method of the “golden” cryptography (www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm). Рассмотрим эти функции: Гиперболический λ-синус и λ-косинус Фибоначчи

но несложных рассуждений я пришел к разработке общей теории рекурсивных гиперболических функций. В основе многих природных явлений лежит принцип самоподобия. Самоподобные структуры, благодаря чрезвычайно популярной книге Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» (2002), сегодня принято именовать фракталами. Фрактал — это фигура или узор, который образован повторением своих отдельных частей в различном масштабе. В математике «принцип самоподобия» выражается с помощью рекурсии и рекуррентных соотношений, которые лежат в основе λ-чисел Фибоначчи. Именно это обстоятельство дало основание Мидхату Газале высказать интересную мысль о том, что ключевую роль в исследовании самоподобия природы играют λ-числа Фибоначчи. Спиралевидные миры фракталов Мандельброта

Заметим, что λ-числа Фибоначчи совпадают с гиперболическими λ-функциями Фибоначчи в дискретных точках непрерывной переменной х = 0, ±1, ±2, ±3,... Это означает, что гиперболические λ-функции Фибоначчи обладают рекурсивными свойствами! Заметим также, что количество новых гиперболических функций теоретически бесконечно, так как каждому λ=1, 2, 3... соответствует свой класс λ-функций Фибоначчи. В результате таких относитель-

В результате моего многолетнего сотрудничества с доктором физико-математических наук проф. Самуилом Арансоном гиперболические λ-функции Фибоначчи были тщательно изучены, что и привело нас к решению 4-й математической проблемы Гильберта. Как известно, выдающийся немецкий математик Дэвид Гильберт в докладе «Математические проблемы», прочитанном на II Международном Конгрессе Математиков, Самуил Арансон проходившем в 1900 году в Париже, сформулировал знаменитые 23 математические проблемы, которые в значительной степени определили развитие математики XX века. Этот доклад, охватывающий проблемы различных разделов математики, был несколько раз опубликован в подлиннике и в переводах и является уникальным явлением в истории математики и в математической литературе. Не подлежит сомнению, что проблемы Гильберта оказали исключительное влияние на развитие современной математики. Они охватывают почти все направления математической мысли, это объясняется тем, что Дэвид Гильберт был математиком, в котором сила математической мысли соединялась с редкой широтой и разносторонностью. Вполне закономерно поэтому, что Гильберта волновали нерешенные математические проблемы, связанные с неевклидовой геометрией. В качестве геометрий, наиболее близких к евклидовой геометрии, он называет геометрию Лобачевского (гиперболическую геометрию) и геометрию Римана (эллиптическую геометрию). Саму же 4-ю проблему Дэвид Гильберт формулирует так: «Более общий вопрос, возникающий при этом, Дэвид Гильберт заключается в следующем: возможно ли еще с других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии».

Детальный анализ всех попыток решения 4-й проблемы Гильберта дан в статье Самуила Арансона «Еще раз о 4-й проблеме Гильберта», опубликованной на сайте Академии Тринитаризма (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321180. htm). Арансон подчеркивает, что решением 4-й проблемы Гильберта занимались многие математики. Первым вкладом в решение этой проблемы считается диссертация немецкого математика Гамеля, защищенная в 1901 году под руководством самого Гильберта. По мнению многих математиков, работа Гамеля отнюдь не исчерпала всего, что можно сказать о четвертой проблеме Гильберта, другие подходы к которой неоднократно предлагались и позже. По-видимому, наибольший вклад в решение 4-й проблемы Гильберта был внесен выдающимся советским математиком академиком А.В.Погореловым, автором книги «Четвертая проблема Гильберта» (1974). К сожалению, мировое математическое сообщество не восприняло решение, полученное А.В.Погореловым, в качестве окончательного решения. В этом можно убедиться в результате просмотра соотАлексей Погорелов ветствующих статей «Wikipedia», посвященных данной теме. В этих статьях нет даже упоминания о книге «Четвертая проблема Гильберта», а сама 4-я проблема Гильберта названа «нечетко сформулированной». То есть, некоторые математики вместо решения проблемы предпочли возложить всю ответственность на самого Гильберта, который ее «нечетко сформулировал». Несмотря на критическое отношение ряда математиков к 4-й проблеме Гильберта, необходимо подчеркнуть ее чрезвычайную важность для развития математики, в частности, геометрии. В предисловии к докладу «Математические проблемы» Гильберт уделяет особое внимание именно 4-й проблеме, которую он называет проблемой о кратчайшей линии. Он пишет: «Часто, однако, случается, что одна и та же специальная проблема появляется в весьма различных областях

математики. Так, проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, в теории кривых и поверхностей, в механике и в вариационном исчислении. А как убедительно демонстрирует Ф.Клейн в своей книге об икосаэдре, проблема о правильных многогранниках имеет важное значение одновременно для элементарной геометрии, теории групп, теории алгебраических и теории линейных дифференциальных уравнений!» (Проблемы Гильберта / Сборник под ред. П.С.Александрова. М., 1969. С.15). Как видим, Гильберт в этом высказывании сравнивает проблему о кратчайшей линии с проблемой о правильных многогранниках, которую поставил в XIX веке Феликс Клейн в книге «Лекции об икосаэдре» (1884). Общность между этими двумя широко известными математическими проблемами состоит в их междисциплинарном характере, поскольку они касаются различных разделов математики. ГениФеликс Клейн альность Клейна состоит в том, что он предсказал роль икосаэдра и дуального к нему додекаэдра в научных открытиях XX века (фуллерены и квазикристаллы). В конце XIX века современники Клейна (за исключением Гильберта) да и многие последующие представители математической науки не смогли по достоинству оценить его «икосаэдрическую идею». То есть получается, что Дэвид Гильберт как раз очень четко указал, в каком ключе он видит решение 4-й математической проблемы. И в наши дни общественное мнение ориентируется на искаженную информацию о якобы «нечеткой формулировке», ведь сейчас мало кому придет в голову копаться в первоисточниках, а историю и философию математики сейчас редко где преподают. А.П.: Недооценка идеи Феликса Клейна — одна из «стратегических ошибок» в развитии современной математики и всего

теоретического естествознания. Четвертая проблема Гильберта нацеливает исследователей на поиск новых неевклидовых геометрий, которые являются ближайшими геометриями к обыкновенной евклидовой геометрии. При этом многие забывают, что евклидова геометрия тоже возникла из трактата о построении правильных многогранников (Начала Евклида / Перев. и комм. Д.Д. Мордухай-Болтовского. М.-Л., ТIII, 1950. С.309). Задачи на построение правильных многогранников связаны с нахождением «золотого сечения», поэтому вполне логично, что «ближайшими» к евклидовой оказываются именно гиперболические геометрии λ-функций Фибоначчи, описанные в работах Самуила Арансона и Алексея Стахова, что можно рассматривать как существенный вклад в решение этой сложнейшей математической проблемы. Недавно на сайте «Академия Тринитаризма» была опубликована моя статья «Неевклидовы геометрии. От “игры в постулаты” к “игре в функции”» (http://www.trinitas.ru/rus/ doc/0016/001d/2125-sth.pdf). В ней я объяснил суть нашего с Арансоном подхода к решению 4-й проблемы Гильберта. Все известные попытки решения этой проблемы (в частности, подходы Гамеля и Погорелова) были основаны на «игре в постулаты», то есть, на изменении системы аксиом. В нашем решении мы не изменяем систему аксиом, то есть, мы не «играемся в постулаты», а остаемся в рамках аксиом классической геометрии Лобачевского. Но мы изменяем вид гиперболических функций, с помощью которых описываются основные соотношения геометрии Лобачевского. Поэтому наш подход можно отнести к «игре в функции», когда не в аксиомы, а новые классы гиперболических функций порождают разнообразные гиперболические геометрии. Такого подхода в гиперболической геометрии вообще не существовало вплоть до открытия в конце XX века гиперболических функций Фибоначчи (Стахов, Ткаченко, Розин, геометрия Боднара). Развивая идею метрической формы плоскости Лобачевского, которая порождает геометрию Лобачевского, Самуил Арансон вывел выражение для так называемых метрических λ-форм плоскости Лобачевского, основанных на гиперболических λ-функциях Фибоначчи:

где

— «металлическая пропорция», — гиперболический λ-синус Фибоначчи.

Полученная формула задает бесконечное количество новых («металлических») геометрий Лобачевского («золотой», «серебряной», «бронзовой», «медной» и так далее до бесконечности). В результате получилось бесконечное число новых геометрий Лобачевского, что и является оригинальным решением 4-й проблемы Гильберта. Для того, чтобы определить степень близости полученных нами новых геометрий Лобачевского к классической геометрии Лобачевского, нами было введено понятие «расстояния» между «металлическими» геометриями и классической геометрией Лобачевского. При этом было обнаружено, что наименьшим расстоянием обладает «золотая» гиперболическая геометрия (геометрия Боднара), основанная на классическом «золотом сечении» Ф1 = (1+ √5) / 2 и «серебряная» гиперболическая геометрия Лобачевского, основанная на «серебряной пропорции» Ф2 = 1+ √2. Вы спрашиваете меня: имеет ли наше с Арансоном решение 4-й проблемы Гильберта какое-либо значение для теоретического естествознания? Для ответа на этот вопрос мы должны еще раз обратиться к геометрии Боднара. Новая геометрическая теория филлотаксиса, основанная на «золотых» гиперболических функциях Фибоначчи, которая является частным случаем гиперболических λ-функций Фибоначчи, вселяет надежду, что новые классы гиперболических функций и порождаемые ими новые «геометрии Лобачевского», вытекающие из решения 4-й проблемы Гильберта, найдут практические воплощения в современной науке. Геометрия Боднара показывает, что «мир филлотаксиса» — одного из самых удивительных и распространенных явлений ботаники — является «гиперболическим миром», основанным на классической «золотой пропорции».

Не следует забывать, что к этому «гиперболическому миру» относится огромное количество ботанических объектов, с которыми мы повседневно сталкивемся в окружающей нас природе: сосновые и кедровые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнечника, корзинки цветов, кроны деревьев и так далее. То есть, в ботаническом явлении филлотаксиса «гиперболичность» проявляет себя в «золоте». Эта гипотеза, выдвинутая Боднаром, оказалась весьма плодотворной и привела к созданию новой теории филлотаксиса, имеющей огромное междисциплинарное значение. Однако «золотые» гиперболичесие функции Фибоначчи являются частным случаем гиперболических λ-функций Фибоначчи, основанных на «металлических пропорциях». В этой связи у нас есть все основания высказать предположение, что и другие типы гиперболических λ-функций Фибоначчи могут стать основой для моделирования новых «гиперболических миров». Эти миры тоже могут реально существовать в природе при различных физических условиях. И многие из этих миров наука до сих пор не обнаружила, потому что современной науке были неизвестны гиперболические λ-функции Фибоначчи. Раньше никто не ставил такой задачи. Основываясь на блестящем успехе геометрии Боднара, мы можем поставить перед теоретической физикой, астрофизикой, химией, кристаллографией, ботаникой, биологией, генетикой и другими разделами теоретического естествознания задачу поиска новых «гиперболических миров» природы, основанных на других классах гиперболических λ-функций Фибоначчи. При этом, возможно, первым кандидатом на «революцию» в естествознании может стать «серебряная пропорция» Ф2 = = 1+ √2 и основанные на ней «серебряные» гиперболические функции, которые обладают наименьшим «расстоянием» к классической геометрии Лобачевского. На этом, кстати, настаивает Александр Татаренко в своих работах. С введением гиперболических функций Фибоначчи классическая «теория чисел Фибоначчи» как бы «вырождается», так как все тождества для чисел Фибоначчи могут быть легко получены из соответствующих тождеств для гиперболических функций Фибоначчи с помощью элементарных математиче-

ских формул, связывающих эти функции с числами Фибоначчи. В работах Олега Боднара показано, что именно гиперболические функции Фибоначчи лежат в основе ботанического явления филлотаксиса, известного по меньшей мере со времен Иоганна Кеплера. Учитывая тот факт, что «золотая пропорция» Ф1 = (1+ √5) / 2 и «серебряная пропорция» Ф2 = 1+ √2 уже обнаружены в квазикристаллах и фуллеренах, удостоенных Нобелевских Премий по химии (фуллерены — 1996 и квазикристаллы — 2011), то, возможно, квазикристаллы и фуллерены также являются примерами тех объектов природы, геометрия которых является гиперболической геометрией, основаной на «золотых» и «серебряных» гиперболических функциях. Конечно, эта гипотеза требует тщательной проверки. Однако, в отличие от классической геометрии Лобачевского, которая получила наибольшее распространение в физических теориях, геометрия Боднара широко распространена в «живой природе» и имеет прямое отношение к биологическим наукам. Открытие Боднара, тесно связанное с нашим решением 4-й проблемы Гильберта, показывает, что гиперболическая геометрия значительно шире распространена в «биологических системах», чем в «физических системах». Этот факт никто не имеет права игнорировать. Хорошо известно, к чему привело игнорирование геометрии Лобачевского академиком Остроградским. К сожалению, в наши дни мы рискуем столкнуться с повторением этой неприятной для Российской академии наук ситуации. В самом деле, поводов для нападок на Российскую академию наук сейчас хватает, после пожара в главной научной библиотеке всплыли очень любопытные факты. Если Остроградский в XIX веке не смог заметить перспективное направление, то академики Пивоваровы в XXI веке доказали, что они способны физически уничтожить даже те знания, которые пока еще хранятся в наших фондах. Не знаю, о каком преобразовании парадигмы можно говорить, когда среди академиков находятся такие совершенно ничем не вдохновляющие люди.

А.П.: Тем не менее, мы просто обязаны будем включить биологические процессы в новую физическую картину мира, основанную на новых гиперболических геометриях. Рано или поздно, это обязательно произойдет. В этом, по моему убеждению, и состоит сдвиг научной парадигмы, связанный с обнаружением принципиально нового подхода к решению 4-й проблемы Гильберта. В этой связи уместно еще раз упомянуть, что в 2015 году международное издательство «World Scientific» приняло к публикации нашу с Самуилом Арансоном книгу далеко не случайно. Мы с профессором Арансоном надеемся, что эта книга с интригующим названием «“Золотая” неевклидова геометрия: рекурсивные “самоподобные” гиперболические функции, 4-я проблема Гильберта и “золотые” динамические системы» будет способствовать изменению научной парадигмы. Но ведь это не просто математическая «игра разума»: при изменении парадигмы происходит серьезное переосмысление всех знаний. Академик Арнольд, который последние годы жизни провел во Франции, считал математику такой же эмпирической наукой как физика. Открытие квазикристаллов можно рассматривать как подтверждение его слов. До этого в науке господствовало мнение, что кристаллы не могут образовывать структуры с пентагональной симметрией. Такую симметрию связывали только с биологическими системами, с их способностью воспроизводить генетическую информацию, создавать эволюционирующие системы с низкой энтропией. Академик Вернадский и другие видные ученые указывали на данный факт как на основной критерий, по которому минералы не могут быть отнесены к живой материи. Теперь выяснилось, что отличия минералов от, скажем, растений существуют, но они не связаны с пентагональной симметрией. К тому же мы давно используем кристаллы для переноса и хранения информации. В кристаллографии произошел парадигмальный сдвиг, хотя это до сих пор многие игнорируют. А какие перспективные области и направления науки, связанные с Золотым сечением и числами Фибоначчи Вы бы еще отметили?

А.П.: Высказывание Арнольда о том, что математика — эмпирическая наука, выглядит парадоксально. Но если мы обратимся к истории математики, то мы убедимся, что такая точка зрения на математику широко распространена среди выдающихся ученых. Моей настольной книгой (впрочем, не только моей) является книга «Математика. Утрата определенности», написанная выдающимся американским истори- Владимир Арнольд ком математики Морисом Клайном. Книга издана в Нью-Йорке издательством «Oxford University Press» в 1980 году. На русском языке книга опубликована в 1984 году издательством «Мир» (Москва) под редакцией доктора физико-математических наук профессора И.М. Яглома. Эта книга стала для меня источником новых и неожиданных идей. Она перевернула мои представления о математике и ее истории. Вступление к своей книге Морис Клайн начинает Морис Клайн следующими словами: «Эта книга — о глубоких изменениях, которые претерпели взгляды человека на природу и роль маптематики. Ныне мы знаем, что математика не обладает теми качествами, которые некогда снискали ей всеобщее уважение и восхищение. Наши предшественники видели в математике непревзойденный образец строгих рассуждений, свод незыблемых «истин в себе» и истин о законах природы. Главная тема этой книги — рассказ о том, как человек пришел к осознанию ложности подобных представлений и к современному пониманию природы и роли математики». Книга М. Клайна заставила задуматься математиков над плачевным состоянием современной математики, в котором она оказалась после возникновения нового кризиса в ее основаниях, который разразился в начале XX века в связи с обнаружением парадоксов в канторовской теории множеств и ко-

торый не разрешен вплоть до настоящего времени. Об этом Морис Клайн написал следующее: «В настоящий момент положение дел в математике можно обрисовать примерно так. Существует не одна, а много математик, и каждая из них по ряду причин не удовлетворяет математиков, принадлежащих к другим школам. Стало ясно, что представление о своде общепринятых, незыблемых истин — величественной математике начала XIX века, гордости человека — не более чем заблуждение. На смену уверенности и благодушию, царившим в прошлом, пришла неуверенность и сомнения в будущем математики. Разногласия по поводу оснований самой «незыблемой» из наук вызвали удивление и разочарование (чтобы не сказать больше). Нынешнее состояние математики — не более чем жалкая пародия на математику прошлого с ее глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства». Разумеется, возникает вопрос: как преодолеть кризис в современной математике? На этот вопрос Морис Клайн отвечает в заключительной главе своей книги «Авторитет природы». Суть предложений, изложенных в этой главе, сводится к тому, что для развития тех или иных направлений математикам следует «руководствоваться внешними соображениями». При этом наиболее важным соображением остается «традиционный и наиболее объяснимый довод в пользу создания новой и развития уже существующей математики — ее ценность для других наук». Клайн подчеркивает: «Приложения служат своего рода практическим критерием, которым мы проверяем математику... Почему бы и теперь не судить о правильности математики в целом по тому, насколько хорошо она продолжает описывать и предсказывать природные феномены?». По мнению британского философа Джона Стюарта Миля (1806-1873), «глубоко заблуждаются те, кто считает, что математические теоремы качественно отличаются от подтвержденных гипотез и теорий других наук». На этих же позициях находился один из выдающихся специалистов по основаниям математики поляк Анджей Мостовский. Он

утверждал, что «математика — естественная наука. Ее понятия и методы восходят к опыту, и любые попытки обосновать математику безотносительно к ее естественно научному происхождению, приложениям и даже истории обречены на провал». Эта точка зрения на математику полностью совпадает с мнением академика Арнольда. Такой же точки зрения придерживался и Герман Вейль, который, как подчеркивает Морис Клайн, «открыто выступал за то, чтобы рассматривать математику как одну из естественных наук».

Лауреат Нобелевской премии Дан Шехтман на лекции «Квазипериодические кристаллы — парадигмальный сдвиг в кристаллографии» в Томском политехническом университете

Джон Стюарт Миль

Анджей Мостовский

Герман Вейль

Морис Клайн подводит такой итог: «Правильная математика должна определяться не основаниями..., безошибочность которых можно и оспаривать, — о “правильности” математики следует судить по ее применимости к реальному миру. Математика — такая же эмпирическая наука, как и ньютоновская механика. Математика правильна, лишь покуда она действует, а если что-то не срабатывает, то в нее необходимо вводить надлежащие поправки. Математика не свод априорных знаний, каковой ее считали в течение более чем двух тысячелетий, она не абсолютна и не неизменна». Проблема правильных многогранников интересна как раз тем, что математический вывод, к которому пришел Ф.Клейн в «Лекциях об икосаэдре» («каждый уникальный геометрический объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра»), получил реальное подтверждение в кристаллографии — в области, где этого никто не мог ожидать. Поначалу это открытие даже высмеивали.

12 ноября 1984 года в небольшой статье, опубликованной в авторитетном журнале «Physical Review Letters», израильским физиком Даном Шехтманом было предъявлено экспериментальное доказательство существования металлического сплава с исключительными свойствами. При исследовании методами электронной дифракции этот сплав проявил все признаки кристалла. Его дифракционная картина была составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако эта картина характеризовалась наличием «икосаэдрической» или «пентангональной» симметрии, строго запрещенной в кристалле из геометрических соображений. Такие необычные сплавы были названы квазикристаллами. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы подобного типа. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным, чем это можно было бы представить. Понятие квазикристалла представляет фундаментальный интерес, потому что оно обобщает и завершает определение кристалла. Теория, основанная на этом понятии, заменяет извечную идею о «структурной единице, повторяемой в пространстве строго периодическим образом», ключевым понятием «дальнего порядка».

news.tpu.ru

➢

Шикарный галстук Дана Шехтмана c квазикристаллическим узором соответствует теме лекции.

Как подчеркивается в статье «Квазикристаллы» известного физика Д. Гратиа, «это понятие привело к расширению кристаллографии, вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в мире минералов можно поставить в один ряд с добавлением понятия иррациональных чисел к рациональным в математике». Статья Дана Шехтмана, опубликованная в 1984 году в журнале «Physical Review Letters», является достойным подарком к 100-летию книги Феликса Клейна «Лекции об икосаэдре», которую высоко оценил Дэвид Гильберт и в которой была предсказана выдающася роль икосаэдра в математике и теоретичском естествознании. А ведь многие математики (даже известные) не подоревают о проблеме правильных многогранников, и это не голословное утверждение. После публикации книги Феликса Клейна на русском языке, я рассказал о ней известному украинскому математику (академику), который честно признался, что ничего не слышал про «Лекции об икосаэдре». Что уж говорить о математиках рангом пониже. Открытие квазикристаллов — не единственное подтврерждение идеи Феликса Клейна. Спустя некоторое время в 1985 году были открыты фуллерены — замкнутые молекулы типа С60, С70, С76, С84, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида.

Корякский квазикристалл-метеорит и его сруктурный компонент (как установил Пол Стейнхардт, так выглядели древнейшие в Солнечной системе минералы); икосаэдр с фракталом Серпинского (треугольником Паскаля) на гранях; структура фуллерена замкнутой молекулы С60.

Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С60, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью. В этой молекуле, имеющую структуру правильного усеченного икосаэдра и напоминающей покрышку футбольного мяча, атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников, так что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками. Термин «фуллерен» берет свое начало от имени американского архитектора Бакминстера Фуллера (1995-1983), который, оказывается, использовал такие структуры при конструировании куполов зданий (еще одно применение усеченного икосаэдра!). Группа ученых (Роберт Керл, Харолд Крото, Ричард Смолли) была удостоена Нобелевской Премии в области химии за открытие фуллеренов. Открытие квазикристаллов и фуллеренов, удостоенные Нобелевских премий по химии, — это торжество античной «идеи гармонии» в современной науке. В этом отношении современное теоретическое естествознание значительно опережает современную математику, которая всеми силами сопротивляется введению в математику представления о гармонии. Но ведь факты — вещь упрямая! Преодоление кризиса в математике, о котором говорится в книге Мориса Клайна, требует обращения к истокам математической науки. Согласно мнению выдающегося советского математика академика А.Н.Колмогорова, «ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющий собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникает впервые в Древней Греции в VI-V вв. до н.э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к VI-V вв. до н.э. приурочить начало периода элементарной математики». Морис Клайн пишет об этом периоде следующее: «Подлинной целью греков было исследование природы. Этой цели служило все — даже геометрические истины вы-

соко ценились лишь постольку, поскольку они были полезны при изучении физического мира. Греки понимали, что в структуре Вселенной воплощены геометрические принципы, первичным компонентом которых является пространство. Именно поэтому исследование пространства и пространственных фигур явилось существенным вкладом в изучение природы. Геометрия входила составной частью в более широкую программу космологических исследований... Подобные факты и более полное знание того, как происходило развитие математики в последующие времена, позволяют утверждать, что у греков к постановке математических проблем приводили естественнонаучные исследования и что математика была неотъемлемой частью изучения природы». В книге Владимира Димитрова (Dimitrov Vladimir. A new kind of social science. Study of self-organization of human dynamics. Morrisville Lulu Press, 2005) эти мысли Мориса Клайна конкретизируются так: «Гармония (ΆΡΜΟΝΊΑ) была ключевой концепцией греков, с помощью которой осуществлялась связь трех значений. Его корневое значение было ΆΡΟ (aro) — «соединение», гармонией было то, что соединяет. Другое значение было пропорция, баланс вещей, который позволял простое соединение. Качество соединения и пропорции позже стали рассматриваться в музыке и других видах искусства. Предпосылка для гармонии у греков была выражена во фразе «ничего лишнего». Эта фраза содержала таинственные положительные качества, которые стали объектом исследования лучших умов. Мыслители, такие как Пифагор, стремились раскрыть тайну гармонии как нечто невыразимое и освещенное математикой. Математика гармонии, изученная древними греками, по-прежнему является вдохновляющей моделью для современных ученых. Решающее значение для этого имело открытие количественного выражение гармонии, во всем удивительном разнообразии и сложности природы, через золотое сечение Ф, что приблизительно равно 1,618. Золотое сечение описано Евклидом в Книге V его «Начал»: “Говорят, что прямая линия, может быть разделена в крайнем и среднем отношении, когда, вся

линия так относится к большей части, как большая часть к меньшей”». Таким образом, в центре созданного древними греками математического учения о природе стояла «концепция гармонии», а сама математика древних греков и была «математикой гармонии» (“the mathematics of harmony”), которая непосредственно была связана с «золотым сечением» — важнейшим математическим открытием античной науки в этой области. И если мы хотим построить новую математику, лишенную противоречий, мы должны решительно ввести в математику идею гармонии и «золотого сечения». Сдвиг парадигмы современной науки осуществляется на наших глазах (ярким примером тому являются квазикристаллы и фуллерены, хотя есть и другие результаты, может быть, не настолько популярные, но достаточно важные). Обычно изменение научной парадигмы относится к наиболее драматическим событиям в истории науки. Когда научная дисциплина меняет одну парадигму на другую. По терминологии Томаса Куна, автора всемирно известной книги «Структура научных революций», это называется «научной революцией» или «сдвигом парадигмы». Решение отказаться от парадигмы всегда одновременТомас Кун но есть решение принять другую парадигму, а приговор, приводящий к такому решению, включает как сопоставление обеих парадигм с природой, так и сравнение парадигм друг с другом. Томас Кун считал, что зачатки новой научной парадигмы всегда уже содержатся в глубинах истории, но были как бы отложены «в долгий ящик». Полным предвосхищением смены парадигмы он называл гелиоцентрическую теорию Аристарха Самосского, к которой обратились лишь во времена Николая Коперника. Исходя из этой закономерности, теория структурной гармонии систем, некоторые положения которой сформулировали еще античные мыслители, тоже может претендовать на роль новой парадигмы?

А.П.: Для начала мы должны понять, что такое «золотая» парадигма? Для этого обратимся к высказыванию гениального исследователя эстетики античной Греции и эпохи Возрождения Алексея Лосева: «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии, мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — золотого сечения (то есть, целое отноАлексей Лосев сится в нем к большей части, как большая часть к меньшей)». То есть, в центр «золотой» парадигмы Алексей Лосев поставил «золотое сечение», которое тесно связано с Платоновыми телами, в частности, с додекаэдром и икосаэдром. Обратившись к геометрической структуре мироздания и геометрическим отношениям, выражающим гармонию, античные мыслители предвосхитили «икосаэдрическую идею» Феликса Клейна и возникновение математического естествознания, которое начало стремительно развиваться в XX веке. Мысли Пифагора и Платона о всеобщей гармонии мироздания оказались бессмертными. Рассматривая историю развития математики от древних греков до настоящего времени, можно выделить два характерных процесса, тесно связанных друг с другом, несмотря на более чем двухтысячелетнее временное расстояние между ними. Эта связь осуществляется через «золотую» парадигму древних греков как фундаментальную концепцию, пронизывающую всю историю науки. Первый из них — это процесс «математизации гармонии», который начался в Древней Греции в VI-V в. до н.э. (математика Пифагора и Платона) и завершился около III в. до н.э. написанием самого знаменитого математического сочинения античной эпохи — «Начал» Евклида. Все усилия древних греков были направлены на создание математического учения о природе, в центре которого стояла «идея Гармонии», выразителями которой в античной науке и были Платоновы тела и золотое сечение.

Процесс «математизации гармонии» завершился созданием «Начал» Евклида, главной целью которых, согласно «гипотезе Прокла», было создание завершенной геометрической теория Платоновых тел (Книга XIII «Начал»). Для ее создания Евклид уже в Книге II ввел в рассмотрение задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, то есть, задачу о золотом сечении, которое он использовал при создании геометрической теории додекаэдра. Второй из них — это процесс «гармонизации математики». Осознанно и целенаправленно этот процесс стал развиваться во второй половине XX века в работах канадского геометра Гарольда Коксетера, советского математика Николая Воробьева, американского математика Вернера Хогатта, английского математика Стефана Вайды и других математиков-фибоначчистов. Создатели современной «теории чисел Фибоначчи» поступили очень мудро. Они усыпили бдительность современных ортодоксальных математиков, начав исследовать числовую последовательность Фибоначчи, не акцентируя особого внимания на том факте, что речь идет, по существу, об исследовании одной из важнейших числовых закономерностей, которая вместе с «золотым сечением» выражает «Гармонию Природы». Это позволило им создать Ассоциацию Фибоначчи, учредить математический журнал «The Fibonacci Quarterly» и, начиная с 1984 года, раз в два года проводить Международную конференцию «Числа Фибоначчи и их приложения». Благодаря активной деятельности Фибоначчи-ассоциации удалось объединить усилия огромного количества исследователей, которые обнаружили числа Фибоначчи и золотое сечение в своих предметных областях. За десятилетия работы Ассоциацией Фибоначчи было выявлено множество перспективных исследовательских направлений. Весомую роль в процессе «гармонизации математики» стала играть так называемая «Славянская “золотая” группа», которая была создана в Киеве в 1992 году во время проведения Международного семинара «Золотая пропорция и проблемы гармонии систем». В эту группу вошли ведущие в данной области ученые Украины, России, Беларуси и других стран СНГ.

Участники I Международного конгресса по Математике Гармонии. Одесский национальный университет им. И.И.Мечникова, 2010 год

Великолепно оформленная книга американского философа и историка математики Скотта Олсена «Золотое Сечение: величайшая тайна природы».

Затем в 2003 году на базе Винницкого аграрного университета состоялась Международная конференция «Проблемы гармонии, симметрии и золотого сечения в природе, науке и искусстве». Там же «Славянская “золотая” группа» была преобразована в Международный Клуб Золотого Сечения. В 2005 году при Академии Тринитаризма был создан Институт Золотого Сечения, а в 2010 году по инициативе Международного Клуба Золотого Сечения в Одесском национальном университете был проведен I Международный конгресс по Математике Гармонии. Помню, с каким волнением впервые встретился с Вами на том конгрессе, как познакомился с Григорием Мартыненко, как Скотт Олсен подарил свою книгу «The Golden Section: nature’s greatest secret». Впечатления о конгрессе остались незабываемые! Невольно ловил себя на мысли, что здесь же, в Одессе, в далеком 1883 году проходил знаменитый Съезд естествоиспыталелей под председательством Мечникова, по этим же мощеным дорожкам хаживал Николай Умов и Дмитрий Менделеев.

А.П.: Доклад Сергея Якушко на Одесском конгрессе как раз был посвящен фибоначчиевой закономерности в периодической системе Менделеева. Вообще процесс «гармонизации математики» сопровождается широким использованием таких фундаментальных понятий математики гармонии как Платоновы тела, золотая пропорция, числа Фибоначчи и их обобщений (p-числа Фибоначчи, золотые p-пропорции, «металлические пропорции» и другие), а также вытекающих из них новых понятий (матрицы Фибоначчи, «золотые» матрицы, гиперболические функции Фибоначчи и Люка и так далее) для решения тех или иных математических задач, для создания новых математических теорий и моделей. Блестящими примерами этому является решение 10-й проблемы Гильберта (Юрий Матиясевич, 1970), наше с Самуилом Арансоном решение 4-й проблемы Гильберта, основанное на использовании новых математических свойств чисел Фибоначчи и «металлических пропорций», сюда же можно отнести теорию систем счисления с иррациональными основаниями (система Бергмана и коды золотой пропорции) и вытекающую из них концепцию «золотой» теории чисел, — все это примеры оригинальных и далеко не тривиальных математических результатов, полученных в рамках математики гармонии и имеющих прямое отношение компьютерным технологиям («Компьютеры Фибоначчи»). Заслуга математиков-фибоначчистов в том, что своими исследованиями они «породили искру, из которой возгорелось пламя». Процесс «гармонизации математики» подтверждается довольно внушительным перечнем книг, опубликованных во второй половине XX — начале XXI веков. Среди них особого внимания заслуживают книги Эдуарда Сороко, Олега Боднара, книги Скотта Олсена, Гранта Аракеляна, исследования Григория Мартыненко и других авторов. Наиболее сенсационной публикацией в области «золотого сечения» за последние годы стала книга «Harmony: A New Way of Looking at Our World», написанная Принцем Чарльзом Уэльским, наследником английского престола. Математик Юрий Алексеевич Митропольский, академик двух академий наук (Украинской и Российской), акцентирует особое внимание на историческом аспекте математики гар-

монии, которая основана на необычном прочтении «Начал» Евклида как исторически первого варианта построения геометрии, связанной с Платоновыми телами и золотым сечением. Он заметил, что через «математику гармонии» осуществляется нарушенная в современной методологии связь элементарных и высших разделов математики. Историкоматематические исследования в этом наЮрий правлении весьма перспективны и могут Митропольский привести к интересным результатам. Но кроме этого существуют и другие аспекты математики гармонии — прикладной и эстетический. Прикладная направленность обнаруживается во многих явлениях природы, таких, как движение Венеры по небосводу («пентакл Венеры»), пентагональная симметрия в природе, ботанические явление филлотаксиса, «золотые» геноматрицы, свойства атомов вещества. Как показало открытие квазикристаллов, закономерности, связанные с «математикой гармонии», можно обнаружить практически в любой области, даже там, где существование таких закономерностей, порой, считается теоретически невозможным. С другой стороны, математика гармонии и ее математические результаты полностью удовлетворяют эстетическим критериям высокой математики, так называемому «принципу математической красоты» английского физика-теоретика Поля Дирака. Поскольку, согласно Дираку, «основные идеи должны выражаться в терминах прекрасной математики», то математика гармонии, возможно, и есть та математика, которая, по мнению Дирака, реализуется в глубинных структурах естества. И этот вывод подтверждается современными научными открытиями, Поль Дирак о которых я говорил выше. Сочетание прикладного аспекта математики гармонии, как истинной математики, находящей подтверждение в Природе, с эстети-

ческим совершенством создают все предпосылки для того, чтобы рассматривать ее как ядро «золотой» парадигмы современной науки, которое будет способствовать преодолению кризиса современной математики и которое уже было заложено в античной науке. Поскольку, как заметил Томас Кун, для всех кризисов характерен один признак, а именно то, что решение каждого кризиса и смена парадигмы «были, по крайней мере частично, предвосхищены в течение периода, когда в соответствующей науке не было никакого кризиса». Вам не кажется, что страшен не столько сам кризис, сколько привычка жить в состоянии «перманентного кризиса»? Эта привычка уже привела к тому, что ряд представителей академического сообщества полностью отрицает существование кризисных явлений в фундаментальной науке. Во всех своих выступлениях они повторяют, что ничего особенного в науке не происходит, что никаких изменений в парадигме не требуется. Парадокс в том, что многие ученые, занимающие высокие посты, не заинтересованы в поиске выходов из кризиса. Для них более выгодно состояние, когда возникновение новых идей тут же подавляется, потому что только так можно сохранить авторитет прежних взглядов, даже если они явно требуют переосмысления. Причем нечто подобное мы наблюдаем не только в науке: налицо глобальный кризис экономической модели, духовных и нравственных ценностей, политических систем. Но финансовая элита тоже не заинтересована в их разрешении, она интеллектуально к этому не готова и всеми средствами пытается сохранить status quo. Однажды Сергея Петровича Капицу спросили о кризисе в образовании, в науке и культуре. Он ответил, что все дело в ускоренном развитии — раньше смена взглядов происходила на протяжении нескольких поколений, затем в течение одного поколения, а теперь наступил некий информационный предел. Сколько, мол, не делай обрезание хвоста у собаки, щенки все равно будут хвостатые. Может быть, все дело в этом? Может быть, человек по своей природе не в состоянии преодолеть нынешний систем-

ный кризис? А познание космической гармонии — это удел немногочисленных мыслителей, которых никогда не поймет толпа, как она не понимала в древности математиковпифагорейцев, как она не понимает сегодня странные увлечения Принца Чарльза? Или определенные изменения в системе образования все-таки могут внутренне изменить общество, расширить взгляды каждого человека на окружающий мир? Вы приложили большие усилия для популяризации математики. Как известно, Вами был разработан уникальный спецкурс по математике гармонии. Может быть, есть пособия или учебники, где естествознание уже рассматривается в связи с теорией чисел Фибоначчи и проблемами гармонии? А.П.: По существу поставленный вопрос содержит в себе два вопроса. Первый — это кризисные явления в современной науке, в частности, в математике, и второй — роль космической гармонии в развитии современной науки. Я попытаюсь ответить на эти вопросы в пределах тех знаний в области истории математики и «космической гармонии», которыми я обладаю, не затрагивая проблему глобального кризиса экономической модели, духовных и нравственных ценностей, хотя все в мире взаимосвязано. Существует ли кризис в математике? Все доказательства в пользу того, что такой кризис существует, собраны в книге Мориса Клайна «Математика. Утрата определенности», о которой мы уже говорили. Достаточно обратиться к ее IX главе под названием «Изгнание из рая: новый кризис оснований математики», где речь идет о канторовской теории бесконечных множеств. Как подчеркивает Клайн, «новой теорией, которая привела к противоречиям и открыла многим глаза на противоречия, существовавшие в более старых областях математики, была теория бесконечных множеств». Как известно, ее создателем является немецкий математик Георг Кантор. Перед тем, как изложить суть его математической теории, следует кратко остановиться на истории вопроса. «Математика — наука о бесконечном», — так начинает свою книгу «О философии математики» выдающийся немецкий математик и физик Герман Вейль (1885–1955). И с этим нель-

зя не согласиться. Действительно, идея бесконечности пронизывает всю математику, потому что математические объекты изучаются, как правило, как члены классов или совокупностей, содержащих бесчисленное множество элементов одного и того же типа; таковы совокупности натуральных чисел, действительных чисел или треугольников на плоскости. Именно поэтому возникает необходимость в точном математическом анализе бесконечного. Хотя, согласно Вейлю, «бесконечность» — основа математики, но именно в математике нет единого определения понятия «бесконечность». В процессе развития математической науки рассматривались различные виды бесконечности: арифметическая и геометрическая, потенциальная и актуальная бесконечности. Рассмотрим эти понятия подробнее. Последовательность натурального ряда чисел 1, 2, 3,… представляет собой первый и самый важный пример бесконечного множества. Уже со времен Гегеля арифметическую бесконечность натурального ряда 1+1+1+… в силу ее бесперспективности именуют «плохой» или «дурной» бесконечностью.

Блез Паскаль

Фридрих Гегель

Геометрическая бесконечность состоит в неограниченном делении отрезка пополам. Паскаль писал по поводу геометрической бесконечности следующее: «Нет геометра, который бы не полагал, что пространство делимо до бесконечности. Без этого нельзя ему обойтись, как человеку нельзя быть без души. И, тем не менее, нет человека, который понимал бы бесконечную делимость…».

Кроме различия арифметической бесконечности натурального ряда и бесконечности геометрической, существует различие актуальной и потенциальной бесконечности. Для рассмотрения различий между этими понятиями вновь обратимся к натуральному ряду. Этот ряд можно рассматривать как «завершенный» ряд, заданный всеми своими членами одновременно, то есть, {1,2,3,…, ∞ }. Такое представление о бесконечном называется актуальной бесконечностью. Такую бесконечность называют также «завершенной» бесконечностью. Но натуральный ряд можно представить и как ряд «развивающийся», «незавершенный», «строящийся» по принципу N+1. Это означает, что каждое натуральное число может быть получено из предыдущего путем добавления к нему единицы: 1, 1+1=2, 2+1=3,… . Такое представление о бесконечном называется потенциальной бесконечностью. В этом случае речь идет о «незавершенной», «строящейся» бесконечности, когда на каждом этапе построения последовательность натуральных чисел является конечной последовательностью {1,2,3,...,N}, но на каждом шаге существует потенциальная возможность построения следующего натурального числа N+1. Немецкому математику Георгу Кантору (1845–1918) суждено было стать «возмутителем спокойствия» в математике XIX века. Главным достижением Кантора стало создание теории бесконечных множеств. И главная его идея состояла в рассмотрении бесконечных множеств в качестве актуально бесконечных. В основу исследования бесконечных множеств Кантор положил идею взаимГеорг Кантор но однозначного соответствия элементов сравниваемых множеств. Если между элементами двух множеств можно установить такое соответствие, то говорят, что множества имеют одну и ту же мощность, то есть, они являются равномощными или эквивалентными. «В случае конечных множеств, — писал Кантор, — мощность совпадает с количеством элементов». Вот почему мощность называют также кардинальным (количественным) числом данного

множества. Но как быть с бесконечными множествами, если в любом из них бесконечное число элементов? Данный подход привел Кантора ко многим парадоксальным открытиям, резко противоречащим нашей интуиции. Так, в отличие от конечных множеств, на которые распространяется Евклидова аксиома «целое больше части», оказалось, что бесконечные множества этой аксиоме не подчиняются. Легко, например, установить равномощность множества натуральных чисел и его части — множества четных чисел путем установления следующего взаимно однозначного соответствия:

Эта характерная черта любого актуально бесконечного множества была положена Кантором в основу его определения: множество называется бесконечным, если оно равномощно с одним из своих подмножеств. Конечным же называется множество, не эквивалентное ни одному из своих подмножеств. Любое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным, так как его элементы можно пронумеровать. Используя такое определение актуально бесконечного множества, Кантор получил ряд необычных, парадоксальных математичеких результатов, которые привлекли внимание многих математиков к его теории. Кульминационным пунктом в признании канторовской теории множеств можно считать конец XIX века, когда математика приняла теорию множеств в качестве своей логической базы. Официальное провозглашение теоретико-множественных представлений фундаментом математики состоялось в 1897 году. Оно содержалось в докладе Жака Адамара на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе, организатором которого был сам Георг Кантор. В лекции Адамара подчеркивалось, что основная привлекательная причина теории множеств состоит в том, что впервые в истории математики была проведена классификация множеств на основе новоизобретенного понятия «карди-

➢

На первый взгляд это определение кажется безупречным. Оно напоминает известный вывод Николая Кузанского о том, что прямая линия — это линия окружности с бесконечным радиусом. Однако в этом случае бесконечный радиус окружности тоже будет «окружностью», а не прямой. Можем ли мы утверждать, что имеем дело с окружностью, если ее радиус — окружность? Проблема в том, что в созерцании бесконечности размываются понятия, основанные на нашем земном опыте. И смысл «кардинальных чисел» тоже размывается. Так, если число «один» эквивалентно бесконечному подмножеству девяток в десятичной дроби 1,(0)=0,(9), а число «два» бесконечному подмножеству в другой десятичной дроби 2,(0)=1,(9), то оба этих числа по количеству своих элементов оказываются равномощны подмножествам, то есть при взгляде из бесконечности они неразличимы.

нального числа» и получены поразительные математические результаты, которые воодушевляли математиков на новые удивительные открытия. Канторовская теория бесконечных множеств, вводившая понятие «актуальной бесконечности», вызвала бурю протестов уже в XIX веке. Многие известные математики высказались тогда резко отрицательно по поводу этой теории. Леопольд Кронекер (1823-1891), который испытывал личную неприязнь к Георгу Кантору, даже называл его шарлатаном. Другой математик Анри Пуанкаре (1854-1912) называл теорию множеств «тяжелой болезнью» и считал ее своего рода «математической патологией». В 1908 году он заявил: «Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они излечились».

Леопольд Кронекер

Анри Пуанкаре

Сегодня, когда основы теории множеств закладываются даже в школьные программы, подобные критические высказывания выдающихся математиков об этой теории тщательно «отфильтрованы». Однако историк математики Морис Клайн приводит их в своей книге. В этом может убедиться каждый, кто сомневается в существовании кризиса. Разумеется, у теории Кантора были не только противники, но и сторонники. Бертран Рассел считал Кантора одним из величайших мыслителей XIX века. Рассела поддержал Дэвид Гильберт в своем заменитом высказывании: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором». В докладе Жака Адамара канторовская теория бесконечных множеств была возведена в ранг основополагающей математической теории.

Бертран Рассел

Жак Адамар

Но не успели математики насладиться этим «математическим раем», как спустя всего несколько лет после I Международного конгресса математиков в теории множеств Георга Кантора были обнаружены парадоксы или антиномии (от греческих слов «анти» — против и «номос» — закон). Они стали причиной очередного, третьего по счету (после открытия несоизмеримых отрезков и обоснования теории пределов) кризиса в основаниях математики, который не преодолен до настоящего времени. Один из парадоксов, обнаруженный английским философом и математиком Бертраном Расселом в 1902 году, обычно демонстрируется на примере парадокса о «деревенском парикмахере», который дал обещание брить всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Спрашивается: может ли он выполнить это обещание для самого себя? Парадокс состоит в том, что если он будет брить себя, значит, он тем самым включает себя в число тех, которые бреются сами, и тогда он не должен брить себя; если же он не будет брить себя, то он уже будет принадлежать к тем, которые сами себя не бреют, и значит, он должен брить себя. Получается логическое противоречие, недопустимое в математике! Но ведь обычно подобные парадоксы у публики вызывают восторг. Для поверхностного восприятия вся привлекательность матемаики состоит именно в прадоксах, над которыми можно посмеяться. Неужели математика из науки, которая приоткрывает тайны природы и жизни, превратилась в науку составления анекдотов?

А.П.: Логические парадоксы существовали всегда, но отношение к ним в зависимости от эпохи было различным. В последние годы в статьях академика РАН Владимира Арнольда, в работах известного российского математика и философа Александра Зенкина (1937-2006), а также в работах других авторов были предприняты радикальные попытки «очищения» математики от канторовской теории бесконечных множеств и связанных с ней методологических проблем. Непредвзятый анализ канторовской теории бесконечных множеств привел Александра Зенкина к заключению, что доказательства многих теорем Кантора о бесконечных множествах являются логически некорректными, то есть, вся «теория Кантора» в некотором смысле является «математической мистификацией». Математики XIX века века были очарованы Кантором и, приняв его необычную теорию без должного критического анализа, возвели ее в ранг величайшего математического открытия и стали выстраивать на ней здание всей математической науки. Александр Зенкин показал, что главной ошибкой Кантора было принятие абстракции актуальной бесконечности. Впервые с этой проблемой столкнулся создатель классической логики Аристотель, который предупредил о невозможности использования понятия «актуальной бесконечности» в математике. Ссылаясь на то, что, зная способы счета конечного числа объектов, нельзя эти способы распространять на бесконечные множества, Аристотель в своей «Физике» утверждал: «Остается альтернатива, согласно которой бесконечное имеет потенциальное существование... Актуально бесконечное не существует». Но без этого понятия, без абстракции актуальной бесконечности вся теория бесконечных множеств Георга Кантора оказывается несостоятельной, основанной ни на чем теорией! Именно к Аристотелю, который исследовал апории Зенона и другие известные тогда противоречия актуальной бесконечности, восходит знаменитый тезис «Infinitum Actu Non Datur», что в переводе с латыни означает невозможность существования актуально-бесконечных объектов, не приводящих при этом к парадоксам.

Алексей Стахов и Александр Зенкин в МГУ на заседании семинара «Геометрия и Физика». 29 мая, 2003 год

Обнаружение Александром Зенкиным противоречий в доказательствах Кантора, обусловленных нарушением фундаментального принципа дедукции, вызвали настоящий шок у многих профессиональных математиков, которые осознали, что современная математика не имеет непротиворечивого фундамента и может рухнуть в любой момент после обнаружения какого-либо очередного парадокса. Еще будучи заведующим кафедрой информационно-измерительной техники Таганрогского радиотехнического института я обратил внимание на проблему, связанную с математическим понятием «бесконечность». При подготовке к вводной лекции «Что такое теория измерения?» учебного курса «Теоретические основы информационно-измерительной техники» я «перелопатил» огромное количество материала и, к своему удивлению, обнаружил, что само понятие «измерение» принадлежит к числу фундаментальных понятий науки. Казалось бы, какое отношение имеет проблема бесконечности к техническим наукам и к теории измерения? Но в том-то и дело, что теоретические исследования, посвященные вопросам измерения, начались в Древней Греции

➢

См. А.А.Зенкин. Ошибка Георга Кантора // Вопросы философии. 2000, №2, С.165-168. В статье разобрано доказательство Кантора о несчетности множества всех действительных чисел при помощи диагонального метода. По условию пересчет всех действительных чисел X бесконечен и произволен. Однако в ходе доказательства условие произвольности «забывается». Как установил проф. Зенкин, в соответствии с правилами дедукции структура диагонального метода Кантора приобретает вид парадокса «Гранд Отель» Дэвида Гильберта. Так как пересчет произвольный и бесконечный, то его можно произвести сколько угодно раз, поэтому в строго математическом смысле ход рассуждений Кантора доказательством не является.

как раз после открытия «несоизмеримых отрезков», причем внимание к теории измерения с тех пор нисколько не ослабло. Наоборот, в XX веке к ней стали обращаться представители самых различных научных дисциплин: философы, физики-теоретики, математики, специалисты в области теории информации, психологи, системотехники, метрологи. И мне тогда стало понятно широко известное и очень глубокое высказывание Дмитрия Ивановича Менделеева: «Наука начинается с тех пор, как начинают измерять. Точная наука немыслима без меры». Это, действительно, так. Вводная лекция, прочитанная для студентов, была положена в основу первой главы моей книги «Введение в алгоритмическую теорию измерения» (издательство «Советское радио», 1977 год). Разумеется, в этой главе я не мог пройти мимо «теоретико-множественной теории измерения» и так называемых «аксиом непрерывности», которые включают две аксиомы — аксиому Евдокса-Архимеда (аксиому измерения) и аксиому Кантора. Как упоминалось выше, в этих аксиомах применяются разные, противоречащие друг другу подходы к понятию «бесконечность». Возможно, на этом стоит остановиться более подробно, учитывая важность проблемы. Конечно, стоит. Профессор Брайан Дэвис из Лондонского королевского колледжа считает, что в ближайшем будущем математики вообще перестанут понимать результаты и доказательства новых теорем, поскольку те будут проходить через процедуру компьютерной верификации без участия человека. Но если парадигмальный кризис в математике имеет многовековые корни, если в основаниях математики содержатся противоречия, которые мало кого волнуют, то «полностью формализованная» математика к концу XXI века превратится в одну из разновидностей компьютерных игр, где никто не будет различать истинные представления от ложных. А.П.: Первый кризис в основаниях математики возник в связи с обнаружением пифагорейцами так называемых несоизмеримых отрезков, что в конечном счете привело к введению иррациональных чисел. В этом смысле весьма показа-

телен опыт Евдокса, который для преодоления этого кризиса предложил «метод исчерпывания». С помощью данного метода он построил остроумную теорию отношений, лежащую в основе античной теории континуума. «Метод исчерпывания» сыграл выдающуюся роль в развитии математики. Будучи прообразом интегрального исчисления, он позволял античным геометрам решать задачи вычисления объема пирамиды, конуса, шара. В современной математике метод исчерпывания находит свое отражение в аксиоме Евдокса–Архимеда, называемой также аксиомой измерения. Аксиома Евдокса–Архимеда («аксиома измерения»): для любых двух отрезков A и B можно найти такое натуральное число n, чтобы было: nB > A. (1)

Аксиома Евдокса–Архимеда Аксиома Кантора (о «стягивающихся отрезках»): если задана бесконечная последовательность отрезков A0B0, A1B1, A2B2, ... , AnBn, ..., «вложенных» друг в друга (то есть, каждый отрезок являются частью предыдущего), то тогда существует, по крайней мере, одна точка C, общая для всех отрезков.

Аксиома Георга Кантора Главным результатом математической теории измерения является доказательство существования и единственности решения q «основного уравнения измерения»:

Q = qV,

(2)

где V есть единица измерения; Q — измеряемая величина и q — результат измерения. Несмотря на кажущуюся простоту сформулированных выше аксиом и всей математической теории измерения, она, тем не менее, является продуктом более чем двухтысячелетнего периода в развитии математики и содержит в себе ряд глубоких математических понятий. Так, «метод исчерпывания» и вытекающая из него аксиома измерения имеют практическое (эмпирическое) происхождение: они были позаимствованы древнегреческими математиками в практике измерений. В частности, «метод исчерпывания» является математической моделью процессов измерения объемов жидкостей и сыпучих тел путем «исчерпывания»; аксиома измерения, в свою очередь, концентрирует тысячелетний опыт человека, задолго до возникновения аксиоматического метода в математике миллиарды раз измерявшего расстояния, площади и временныые интервалы, и представляет собой сжатую формулировку алгоритма измерения отрезка А с помощью отрезка В. Суть этого алгоритма состоит в последовательном откладывании отрезка В на отрезке А и подсчете числа отрезков В, укладывающихся на отрезке А. В современной практике измерений такой метод измерения называется алгоритмом счета. В аксиоме Кантора содержится удивительное достижение математической мысли — абстракция актуальной бесконечности. Именно такое представление о бесконечном лежит в основе канторовской теории бесконечных множеств. Представление об актуальной бесконечности в качестве образца канторовского теоретико-множественного стиля мышления было подвергнуто резкой критике не только со стороны математиков XIX века, но и со стороны представителей так называемого конструктивного подхода, который сформировался в XX веке как защитная реакция на разразившийся кризис в основаниях математики. С одной стороны, как подчеркивает Н.А. Шанин, понятие актуальной бесконечности обнаруживает глубокий разрыв с «данными экспериментального исследования природы» (то есть, Шанин в своей аргументации снова обращается к ут-

верждению Аристотеля «Infinitum Actu Non Datur»). С другой стороны, по меткому выражению еще одного представителя конструктивного анализа А.А. Маркова, «мыслить себе бесконечный, т. е, никогда не завершаемый процесс как завершенный не удается без грубого насилия над разумом, отвергающим такие противоречивые фантазии». Иначе говоря, сторонники конструктивного анализа полностью исключили из математики абстракцию актуальной бесконечности как внутренне противоречивое понятие и используют более «скромную» абстракцию бесконечного, называемую абстракцией потенциальной осуществимости. Противоречие между потенциальной и актуальной бесконечностями проявляет себя именно в том, что доказательство «основного уравнения измерения» (2) по аксиоме Кантора сначала предполагает применение аксиомы измерения Евдокса–Архимеда, когда из единицы измерения V по определенным правилам, называемым алгоритмом измерения, формируется некоторая последовательность «стягивающихся» отрезков, которые сравниваются с измеряемым отрезком Q. При устремлении этого процесса в бесконечность на основании аксиомы Кантора для любого Q при заданном V всегда найдется такой измеряющий Q отрезок, сформированный из V, который «абсолютно точно» совпадет с Q. Это означает, что процесс «абсолютно точного» измерения должен занять бесконечно много времени. Таким образом, на начальном этапе доказательства мы используем понятие потенциальной бесконечности, аксиому Евдокса–Архимеда (1). Но затем мы «перепрыгиваем» через это понятие и используем понятие актуальной бесконечности, аксиому Кантора. То есть, доказательство «основного уравнения измерения» (2) ведется с использованием двух противоречивых представлений о бесконечном — как потенциальном и актуальном процессе. Иначе говоря, сначала мы утверждаем, что процесс абсолютно точного измерения не прерывается, никогда не заканчивается и продолжается вечно, а потом говорим, что абсолютный результат достигается в некоторый момент, который мы принимаем за «конечный»? Это очень напоминает философский спор о вечной жизни. То есть сначала

утверждается, что жизнь (процесс измерения или непрерывная эволюция) становится возможна только благодаря тому, что живая душа (информация) не умирает и никогда не исчезает полностью, а затем утверждается нечто обратное, что душа «абсолютно точно» умирает вместе с телом. А.П.: Суть в том, что в ходе доказательства «основного уравнения измерения» осуществляется логический «прыжок» от бесконечности потенциальной (аксиома Евдокса-Архимеда) к бесконечности актуальной (аксиома Кантора). В современной математике и логике такое «перепрыгиване» воспринимается как нечто само собой разумеющееся, хотя в методологии науки подобные «манипуляции» недопустимы. Именно к такому выводу я пришел в 1970-е годы и изложил данную идею в своей первой книге «Введение в алгоритмическую теорию измерения». Значимость этой идеи, вытекающей из теории измерения, поддержал ведущий советский специалист по теории бесконечности Георгий Чефранов, а затем академик Юрий Митропольский и доктор физико-математических наук Александр Зенкин. Надо полагать, если бы аксиома Георга Кантора с достижением «абсолютно точного» значения за конечный промежуток времени могла быть реализована на практике, то у физиков уже имелось бы решение для измерения бесконечно малых потенциалов. Видимо, абстрактная математика XX века не только не способствовала решению физических проблем, но увела физиков в ложном направлении, несовместимом с принципом относительности движения. А.П.: По поводу того, насколько абстракция актуальной бесконечности совместима с наукой, я уже писал на сайте Академии Тринитаризма в статье «Не стоит ли современная математика на «лженаучном» фундаменте? (В порядке обсуждения работы Дениса Клещева «Лженаука: болезнь, которую некому лечить»)» www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322052.htm. Приведу ключевую цитату из этой статьи: «Изучая аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора с точки зрения ‘‘актуальной’’ и ‘‘потенциальной’’ бесконечности, я об-

наружил противоречие между ними. Ход моих рассуждений сводился к следующему. Анализ этих аксиом показывает, что аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора основаны на различных представлениях о бесконечном: аксиома Евдокса-Архимеда основана на использовании понятия ‘‘потенциальной’’ бесконечности, в то время как аксиома Кантора — на использовании понятия ‘‘актуальной’’ бесконечности... Мне показалось, что, вводя свою аксиому, Кантор ‘‘слукавил’’. Действительно, в своей аксиоме он обращается к интуитивно ясному понятию ‘‘стягивающихся’’ отрезков, которое, в свою очередь, основывается на интуитивно ясном утверждении: ‘‘часть меньше целого’’ (каждый ‘‘стягивающийся’’ отрезок меньше предыдущего). Затем, с использованием своей аксиомы Кантор строит теорию бесконечных множеств, в которой он доказывает противоположное, то есть ‘‘часть равномощна к целому’’, что находится в противоречии с допущением о ‘‘стягивающихся’’ отрезков. Но если в основаниях теории действительных чисел (математическая теория измерения) заложены аксиомы, противоречащие друг другу, то и сама теория действительных чисел является противоречивой, что и является одной из причин современного кризиса в основаниях математики». В заключении статьи я написал: «Таким образом, единственной прочной основой для построения математики остается введенное еще в греческой математике понятие потенциальной бесконечности; при этом тезис Аристотеля ‘‘Infinitum Actu Non Datur’’ и должен стать основным тезисом для построения математики, лишенной противоречий!.. Канторовская теория множеств является ‘‘лженаучной теорией’’ или, по словам Пуанкаре, ‘‘тяжелой болезнью’’ и ‘‘математической патологией’’». Мне особенно приятно, что мои рассуждения по поводу актуальной и потенциальной бесконечности, не остались просто «рассуждениями ради рассуждений». Они привели меня к созданию новой алгоритмической теории измерения, которая пришла на смену классической теоретико-множественной теории измерения. В алгоритмической теории измерения я отказался от использования понятия «акутуальной беско-

нечности» и от использования «аксиомы Кантора». В результате изучения понятия бесконечности я стал приверженцем конструктивного анализа, и моя алгоритмическая теория измерения, безусловно, принадлежит к разряду конструктивных математических теорий. Одним из неожиданных результатов алгоритмической теории измерения стали те самые фибоначчиевые алгоритмы измерения, которые, по существу, перевернули всю мою научную жизнь. Именно эти алгоритмы порождают новые двоичные позиционные системы счисления, которые я назвал р-кодами Фибоначчи (р=0,1,2,3,...), и вытекающие из них арифметики Фибоначчи, которые могут быть использованы для создания новых классов компьютеров, которые я назвал компьютерами Фибоначчи. Но это направление выходит далеко за пределы алогритмической теории измерения и касается оснований информатики. В любом случае я глубоко уверен в том, что за компьютерами Фибоначчи большое будущее! Выходит, что гармония — от греческого корня «aro», соединение — полностью оправдывает свое название, объединяя основания математики, информатику, биологические, физические, философские системы. По истине всеохватная космическая гармония получается! А.П.: Не случайно предисловие к книге моего друга доктора философских наук Эдуарда Сороко «Структурная гармония систем» (1984) начинается следующими словами: «Если и существуеют «вечные» проблемы, которые постоянно держит в поле зрения исследовательская мысль, то среди них в первую очередь можно назвать проблему гармонии». Именно с этой книги Эдуарда Сороко, Эдуард Сороко которая, без всякого преувеличения, является одной из лучших научных книг в мире по данной тематике, началось мое увлечение проблемой Гармонии.

Мир гармонии бесконечно разнообразен

Как показывает история науки, познание космической гармонии, действительно, удел немногих ученых, философов, математиков и мыслителей. Но каких мыслителей! Достаточно назвать имена Пифагора, Платона, Евклида, Фибоначчи, Леонардо да Винчи, Луки Пачоли, Иоганна Кеплера, Люка, Бине, Цейзинга, Феликса Клейна, Павла Флоренского, Алексея Лосева, а также имена выдающихся математиков-мыслителей XX века — Кокстера (Канада), Воробьева (Россия), Хоггатта (США), Вайду (Англия) и многих других. В современной науке я причислил бы к разряду таких мыслителей Эдуарда Сороко, Олега Боднара, Сергея Петухова, Михаила Марутаева, Иосифа Шевелева, Николая Васютинского, Николая Семенюту, Григория Мартыненко, Гранта Аракеляна, Виктора Коробко, Олега Черепанова, Виктора Цветкова, Самуила Арансона. Все они — авторы оригинальных научных концепций и книг, основанных на использовании чисел Фибоначчи и «золотого сечения». Как подчеркивает В.П. Шестаков в своей замечательной книге «Гармония как эстетическая категория», в истории эстетических учений выдвигались самые разнообразные типы понимания гармонии. Само понятие «гармония» употреблялось чрезвычайно широко и многозначно. Оно обозначало и закономерное устройство природы и космоса, и красоту физического и нравственного мира человека и прин-

ципы строения художественного произведения, и закономерности эстетического восприятия. Шестаков выделяет три основных понимания гармонии, сложившихся в процессе развития науки и эстетики: 1. Математическое понимание гармонии или математическая гармония. В этом смысле гармония понимается как соразмерность частей с друг другом и части с целым. В «Большой советской энциклопедии» мы находим следующее определение гармонии, которое выражает математическое понимание гармонии: «Гармония — соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия». 2. Эстетическая гармония. В отличие от математического понимания эстетическое понимание является уже не просто количественным, а качественным, выражающим внутреннюю природу вещей. Эстетическая гармония связана с эстетическими переживаниями, с эстетической оценкой. Наиболее четко этот тип гармонии проявляется при восприятии красоты природы. 3. Художественная гармония. Этот тип гармонии связан с искусством. Художественная гармония — это актуализация принципа гармонии в материале самого искусства. Таким образом, Гармония, понимаемая в широком смысле этого слова, — это фундаментальное понятие, я бы сказал наддисциплинарное понятие, которое связывает между собой математику, теоретическое естествознание, природу, эстетику и искусство. Именно такое представление о Гармонии было предложено в моей книге «The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science». На самом деле истоки этой книги восходят к «Началам» Евклида. По гипотезе Прокла Диадоха (преемник Плутарха и Сириана в Афинской акадэмии) Евклид в своих «Началах» или «Элементах» изложил геометрическую теорию пяти Платоновых тел. С этой точки зрения «Начала» Евклида являются первой попыткой изложить математические основы гармонии всего Мироздания. Другим произведением, которое можно рассматривать как далекого «предшественника»

моей книги, является трактат «Divine Proportione» или «Божественная пропорция» (1509), написанный выдающимся итальянским математиком и ученым монахом Лукой Пачоли — другом и научным консультатнтом Леонардо да Винчи. Встреча Луки Пачоли с Леонардо да Винчи состоялась в Милане в 1496 году, когда в университете этого крупнейшего города Италии была открыта кафедра математики. Пачоли, знаменитый математик и профессор многих итальянских университетов, был приглашен на эту кафедру. Милан в то время был центром науки и искусства, в нем жили и творили выдающиеся ученые и художники, одним из них был Леонардо да Винчи. Под его непо- Леонардо да Винчи средственным влиянием Лука Пачоли написал свою великую книгу «Divine Proportione». Изданный ин-кварто фолиант Пачоли — образец высокого книгопечатного искусства Италии XVI века. Историческое значение этой книги состояло в том, что это было первое математическое сочинение, целиком посвященное «золотому сечению». Известно, что иллюстрации к ней были выполнены самим да Винчи. Портрет Луки Пачоли изображен на обложке Вашей книги «The Mathematics of Harmony» — историческая преемственность с его трактатом сразу бросается в глаза. А.П.: Действительно, чтобы подчеркнуть эту преемственность, дизайнер расположил на обложке известную картину «Лука Пачоли». На ней великий математик Ренессанса изображен рядом с итальянским художником Якопо де Барбари, которого Пачоли обучал математике. Как заметили читатели, между двумя книгами из разных эпох существует почти «мистическая» связь. Например, промежуток времени между их изданием составляет в точности 500 лет (500 = 2009 – 1509). Самое интересное совпадение, конечно, не в этом, а в том, что появление книги Луки Пачоли стало отражением огромного интереса к проблеме гармонии и «золотого сечения» в эпоху Возрождения. Но ведь и моя книга тоже является отра-

жением большого интереса к проблемам гармонии, «золотого сечения» и чисел Фибоначчи в современной науке. Книга «The Mathematics of Harmony» является итогом моих многолетних исследований в этой области. Волей судьбы мне посчастливилось возглавить «золотосеченское движение» в странах СНГ. При моем содействии были проведены международные симпозиумы и конференции, объединившие профессиональных исследователей «золотого сечения», а созданный по моей инициативе Институт Золотого Сечения при Академии Тринитаризма является первым в истории мировой науки специализированным институтом с таким названием. В течение многих лет я работал преподавателем и профессором многих учебных заведений и везде пропагандировал идею Гармонии и Золотого Сечения, включая в учебные дисциплины, которые я преподавал студентам, разделы курса по «Математике гармонии». Трудно сказать каких изменений в системе образования сейчас больше — положительных или отрицательных, но эти изменения, безусловно, повлияют на общество и науку в будущем. Пожалуй, самые яркие впечатления у меня остались от преподавания в Дрезденском техническом университете (1988) и Винницком педагогическом университете (2001–2002). В Дрездене, где я работал в качестве визитинг-профессора кафедры имени Генриха Баркхаузена (специальной кафедры для приглашенных профессоров), мной был прочитан курс лекций «Числа Фибоначчи и компьютеры» для студентов и аспирантов университета. По итогам работы я был награжден памятной медалью Генриха Баркхаузена. В Винницком педагогическом университете я прочитал курс лекций «Математика Гармонии и Золотого Сечения» для студентов, специализирующихся в области математики, физики и информатики. Эти студенты были наиболее подготовленной категорией слушателей для восприятия моего курса. О моей работе в Винницком педагогическом университете заведующий кафедрой математики профессор Василий Абрамчук написал такой отзыв: «В течение 2001-2002 учебного года проф. Стахов прочитал курс лекций «Математика Гармонии и Золотого Сечения»

для трех категорий студентов, которые специализировались в области математики, математики и физики, а также математики и информатики. Хотя курс лекций для различных категорий студентов имел одно и то же название, но курсы отличались своими приложениями. Для студентов-математиков эти приложения касались математических проблем чисел Фибоначчи и Золотого Сечения (Золотое Сечение и непрерывные дроби, числа Фибоначчи и треугольник Паскаля, теория фибоначчиевого поиска, и теория игр, основанная на числах Фибоначи, гиперболические функции Фибоначчи и Люка, «золотые» алгебраические уравнения и т.д.), для студентов, специализирующися в области математики и физики, основное внимание уделялось физическим и биологическим приложениям Золотого Сечения и чисел Фибоначчи (квазикристаллы Шехтмана, резонансная теория Солнечной системы, ботаническое явление филоттаксиса, фибоначчиевы резонансы генетического кода и др), для студентов, специализирующихся в области математики и информатики, основные приложения касались информатики (арифметика Фибоначчи, системы счисления с иррациональными основаниями, новая теория кодирования и криптографии, основанная на матрицах Фибоначчи и др.). Лекции проф. Стахова сопровождались демонстрацией многочисленных примеров проявлений Золотого Сечения и чисел Фибоначчи в Природе (демонстрация «Закона филллотаксиса» на примере анализа сосновых шишек, кактусов, ананасов, использование «пентагональной симметрии» и «золотой» спирали в живой природе). Другой областью приложений Золотого Сечения явилась история искусства (Пирамида Хеопса, новая гипотеза происхожения Египеткого календаря, знаменитый греческий храм Парфенон, скульптуры Аполлона и Афродиты, «Джоконда» Леонардо да Винчи, музыка Шопена и Моцарта, поэзия Пушкина и Лермонтова и др.). Эти примеры и основной математический материал, изложенный проф. Стаховым с исключительным педагогическим мастерством, стали причиной огромного интереса наших студентов к курсу проф. Стахова, что явилось причиной того, что большинство студентов записалось на курс проф. Стахова ...

Обычно после экзаменов кафедра делает анонимный опрос студентов с целью получить мнение студентов о читаемых кафедрой учебных дисциплинах. Здесь курс проф. Стахова оказался на высоте: 95% студентов оценили курс проф. Стахов на «отлично». Единственное замечание касалось объема прочитанного курса (36 часов). Большинство студентов предложили увеличить объем данного курса. Эти оценки подтвердили высокую квалификацию проф. Стахова не только как ученого и исследователя, но и как преподавателя и профессора». К этому могу добавить, что в качестве учебного пособия по курсу я использовал свою книгу «Новый тип элементарной математики и компьютерной науки, основанных на Золотом Сечении». Материал этой монографии был использован мною в дальнейшем при написании других книг, в частности книги «Код да Винчи и ряды Фибоначчи» (авторы Алексей

Обложка книги «Код да Винчи и ряды Фибоначчи» (2006)

Стахов, Анна Слученкова и Игорь Щербаков), опубликованной в известном издательстве «Питер» в 2006 году. Кстати говоря, к вопросу об учебниках: эта книга красочно оформлена и может быть использована в качестве учебного пособия по курсу «Числа Фибоначчи и Золотое сечение». Она была хорошо воспринята читательской аудиторией, оба тиража по 4000 экземпляров каждый разошлись очень быстро. Применение идей математики гармонии в школьном образовании высоко оценил руководитель Международного проекта «Математическое образование в XXI веке» профессор Алан Роджерсон, организатор международной конференции «Гуманистическое Возрождение в математическом образовании» (Палермо, Италия). В своем приглашении на конференцию профессор Роджерсон написал в мой адрес буквально следующее: «Дорогой Aлексей! Я восхищен Вашей статьей, наполненной интереснейшей информацией, часть из которой мне была неизвестна. Ваши идеи настолько глубоки, что их внедрение в школах — это следующий шаг в математическом образовании. Имеются ли преподаватели в Украине или где-либо еще, которые начали использовать ваши идеи и вашу научную программу? В наибольшей степени я был бы заинтересован в информации об их преподавательском опыте. Мы очень надеемся, что Вы сможете посетить нашу Конференцию в Сицилии. С наилучшими пожеланиями, Алан». В качестве расширенного учебного пособия может быть использована еще одна моя книга «Основы математики гармонии и ее приложения». Она была издана в трех частях в издательстве «Lambert Academic Publishing» (Германия) в 2012 году. К сожалению, издательство установило для книги непомерную для русскоязычных читателей цену. Поэтому я принял решение выложить материалы книги в свободном доступе: Часть I. Золотое сечение, числа Фибоначчи и Платоновы тела в истории науки и культуры (http://www.trinitas.ru/rus/ doc/0232/007a/02321015.htm) Часть II. Коды Фибоначчи и золотой пропорции как альтернатива классической двоичной системе счисления (http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320067.htm)

Часть III. Математика гармонии как «золотая» парадигма современной науки (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/007a/ 02321014.htm). Совершенно неожиданной для меня стала реакция Виктора Шенягина на эту книгу. Он опубликовал обращение к мировой научной общественности «О целесообразности выдвижения кандидатуры профессора Стахова на присуждение Абелевской премии в области математики в 2014 году» (http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0001/005a/00011304.htm). Конечно, это приятно удивило, хотя у меня тогда возникли большие сомнения в реализации данного предложения. Как известно, круг математиков, которые принимают решение о присуждении Абелевской премии, довольно узок. Но помечтать можно. Статья Виктора Шенягина вдохновила меня на новые «научные подвиги». В целом современное научное и педагогическое сообщество готово для введения курса «Математика Гармонии и Золотое Сечение». На эту тему в последнее время было опубликовано достаточно много литературы, как на русском, так на английском языках. На основе этих книг могут быть разработаны учебные пособия. Теперь, как говорится, «флаг в руки» тем государственным организациям, педагогическим академиям и министерствам, которые должны осознать математическое и эстетическое значение данного курса для образования подрастающего поколения. Алексей Петрович, помимо активной научной деятельности в Канаде Вы продолжаете разработку помехоустойчивых систем и «компьютеров Фибоначчи». В наши дни интерес к подобным технологиям возрастает в связи с появлением супер-компьютеров, ядро которых работает на основе традиционной двоичной системы, а в периферийных устройствах для представления цифровых данных используются альтернативные позиционные системы. Вас по праву можно назвать первопроходцем в этой области. Думаю, не ошибусь, если скажу, что Вы были первым, кто с научной точки зрения обосновал само применение в вычислительной технике альтернативных позиционных систем. Данной проблематике, собственно, и была посвя-

щена Ваша книга «Введение в алгоритмическую теорию измерения». К слову сказать, на моей книжной полке она стоит рядом с Декартовыми «Regulae ad Directionem Ingenii». А.П.: В самом деле, рядом с «Правилами для руководства ума»? Что ж, наверное, в некотором смысле вызов Декарта схоластической арифметике можно сравнить с моим вызовом компьютерной технике. Алгоритмическая теория измерения, основы которой были разработаны мною в докторской диссертации, с большим интересом была воспринята научной общественностью. Особенно специалистами в области метрологии, они восприняли ее как новое направление в теоретической метрологии. Что касается специалистов в области аналого-цифровых преобразователей и вычислительной техники, то их реакция на новые алгоритмы аналого-цифрового преобразования и вытекающие из них новые способы позиционного представления чисел была неоднозначной. Никто из них не отрицал оригинальности полученных результатов. Но когда дело доходило до практической реализации новых алгоритмов аналого-цифрового преобразования, то возникал вопрос: кому нужны преобразователи, на выходе которых информация представляется в форме, недоступной для восприятия современными «двоичными» компьютерами? Именно этот естественный вопрос и стал для меня побудительной причиной для разработки машинной арифметики в новых кодах. Если компьютеры не воспринимают такую информацию, то компьютерную технику следует научить это делать, то есть создать компьютеры, выполняющие операции в новых кодах. Таков был мой «вызов» компьютерной технике, поставленный мною сразу после защиты докторской диссертации в 1972 году. Началом реализации грандиозной, как мне тогда казалось (а может, и не казалось?), программы по исследованию новых компьютерных арифметик, вытекающих из алгоритмической теории измерения, стали р-коды Фибоначчи, представляющие собой следующий позиционный способ представления натуральных чисел:



Под «весом i-го разряда» подразумевается еще одна важная проблема, вытекающая из теории оптимальных алгоритмов измерения и p-кодов Фибоначчи, которая связывает их с задачей Баше-Менделеева: при какой системе гирь можно взвесить груз с погрешностью, не превышающей единицы измерения, накладывая гири на одну чашу весов. Решение И.Я. Депмана состоит в использованиии двоичной системы гирь. Это классическое решение соответствует варианту решения при p=0. Однако в решении Депмана не учтено, сколько времени требуется на добавление и снятие гирь в процессе измерения груза, что требует каждый раз восстановления равновесия измерительного прибора. Если учитывать такой показатель как инерция системы, оптимальные системы гирь будут другими p=n. При этом для самого малого значения инцерции оптимальным набором оказывается система p=1, состоящаая из гирь, вес которых соответствует числам Фибоначчи (Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. М., 1977. С.5255). Этот чисто математический результат объясняет, почему в эволюции любых систем возникают последовательности из чисел Фибоначчи как наиболее устойчивые и оптимальные распределения гравитационных масс.

где ai є {0, 1} — двоичная цифра i-го разряда позиционного представления (1); n — число двоичных разрядов представления (1); p є {0,1,2,3,…, } — заданное целое число, определяющее вес i-го разряда — р-число Фибоначчи Fp(i), задаваемое следующим рекуррентным соотношением: Значения чисел Fp(i), соответствующие различным значениям р, представлены в таблице (3):

(3)

Математические выражения (1), (2) содержат в себе глубокую математическую истину, которая сводится к следующему: 1. При р=0 весами разрядов в представлении (1) являются двоичные числа (Fp(i)=2 i-1, i = 1,2,3...,n), а само представление (1) сводится к хорошо известному нам двоичному коду, который лежит в основе современной информационной технологии:

Отсюда вытекает, что р-коды Фибоначчи являются обобщением двоичной системы счисления. Это означает, что р-коды Фибоначчи сохраняют все известные положительные качества двоичного кода (использование только двух битов 0 и 1 для представления чисел, позиционный харакетер, простота сравнения чисел по величине и простота арифметических операций). 2. Пусть р=1. В этом случае, как следует из таблицы (3), р-числа Фибоначчи являются ни чем иным, как классически-

ми числами Фибоначчи, введенными в математику итальянским математиком Фибоначчи в 1202 году, то есть Fp(i) = Fi : 1,1,2,3,..., Fn, (5) а само представление (1) сводится к хорошо известному коду Фибоначчи:

которое математики-фибоначчисты называют также представлением Цекендорфа в честь бельгийского любителя математики Эдуарда Цекендорфа (1901-1983). Цекендорф первым начал исследовать представление (6) и при этом еще в 1939 году доказал теорему Цекендорфа. Эта теорема утверждает, что каждое натуральное число может быть представлено единственным образом в виде суммы (6), состоящей из одного или нескольких раз- Эдуард Цекендорф личных чисел Фибоначчи таким образом, чтобы сумма (6) не включала бы два соседних числа Фибоначчи. Эта теорема является важным математическим результатом «теории кодов Фибоначчи», так как приводит к понятию «минимальной формы» (двух единиц рядом в коде Фибоначчи не встречается). 3. Пусть теперь p = ∞ . В этом случае все p-числа Фибоначчи (2) тождественно равны 1, то есть, для любого i имеем: Fp(i)=1. В этом случае сумма (1) принимает следующий вид: (7) Но ведь выражение (7) есть ни что иное, как Евклидово определение натурального числа, положенное им в основу элементарной теории чисел, описанной в «Началах». И если это так, то р-коды Фибоначчи можно трактовать как новое определение натурального числа, которое может привести к новой теории чисел. Таким образом, p-коды Фибоначчи (1) являются широким обобщением двоичного кода (4), соответствующего случаю p=0. Частными случаями p-кодов Фибоначчи является пред-

ставление Цекендорфа (6) при p=1 и Евклидово определение натурального числа (7), которое лежит в основе элементарной теории чисел. Я горжусь тем, что математический результат, задаваемый выражениями (1), (2) и таблицей (3), принадлежит мне. Думаю, для этого есть все основания, ведь выражение (1) задает бесконечное число новых двоичных позиционных представлений натуральных чисел, и оно является новым фундаментальным результатом, как для математики, так и для информатики.



Вспоминается случай, когда редактору этого выпуска «De Lapide» нужно было записать фильм размером 1,4 Гб на флэшку, объем которой равен 1,8 Гб. В результате возникшего при копировании эффекта «дежавю» на флэшке появилось сразу два фильма 1,4 Гб + 1,4 Гб = 2,8 Гб. В свойствах диска операционная система выдала буквально такой результат: «3,04 Гб свободно из 1,87 Гб»!? Если между информацией и массой существует прямая аналогия, то вполне возможно существование обратной аналогии: то есть не исключено, что при оценке физической массы материи в квантовой физике или в астрофизике могут возникать такие же эффекты «дежавю».

Алексей Петрович, когда Вы говорите, что «при р=0 весами разрядов являются двоичные числа», а при р=1 весами разрядов являются числа Фибоначчи, то под этими «весами» или «массами» подразумеваете решение задачи БашеМенделеева по нахождению оптимальной системы гирь. Выходит, что объемы информации, которые измеряются нами в мегабайтах и гигабайтах, являются математической аналогией нашего представления о физической массе вещества, и нет никакой ошибки, когда, например, скачивая фильм из Интернета, иногда говорят, что этот фильм «весит» полтора гигабайта. С этим более или менее понятно. Но все-таки что же такое «арифметика Фибоначчи»? А.П.: Код Фибоначчи или представление (6) Эдуарда Цекендорфа — важное математическое открытие, но сам Цекендорф не пытался создавать «арифметику Фибоначчи». Такая задача его просто не интересовала. А мое внимание привлекала именно «машинная арифметика Фибоначчи», на основе которой можно было бы разработать «компьютеры Фибоначчи». Арифметика Фибоначчи была разработана мною в Таганроге. Сложнее всего было придумать правило «фибоначчиевого» сложения. При его разработке я использовал следующую аналогию с двоичным кодом. Как известно, при выполнении операции сложения над двумя классическими двоичными представлениями, мы используем следующее тождество для двоичных чисел: 2n + 2n = 2n+1 (8)

Из тождества (8) вытекает широко известное правило формирования переноса единицы при сложении двух значащих разрядов 1+1: необходимо сформировать перенос единицы в старший, то есть, (n+1)-й разряд, а в n-м разряде промежуточной суммы записать цифру 0. Это правило в настоящее время знает каждый школьник. Отсюда вытекает хорошо известная нам таблица сложения в двоичной системе счисления.

А как найти «правило переносов» при сложении чисел, представленных в коде Цекендорфа (6)? Очевидно, что мы должны проанализировать сумму двух чисел Фибоначчи:

Fn + Fn = Fn + Fn–1 + Fn–2 = Fn+1 + Fn–2

(9)

Как следует из (9), сумму Fn + Fn можно представить двумя способами: (а) как сумму трех чисел Фибоначчи Fn + Fn–1 + Fn–2 или (б) как сумму двух чисел Фибоначчи Fn–1 + Fn–2 . Первый вариант дает следующее «правило переносов» в коде Цекендорфа: при сложении двух значащих разрядов 1+1 в n-м разряде нужно записать 1 в n-й разряд промежуточной суммы и сформировать единичные переносы в (n–1)-й и (n–2)-й разряды. Второе правило сложения (б) гласит следующее: при сложении значащих разрядов 1+1 в n-м разряде нужно записать 0 в n-й разряд промежуточной суммы и сформировать единичные переносы в (n+1)-й и (n–2)-й разряды. Заметим, что и в первом и во втором случае при «фибоначчиевом» сложении возникает два переноса из n-го разряда. Из проведенных рассуждений вытекает следующая таблица сложения в коде Цекендорфа.



Один из любопытных феноменов сознания, когда решение сложной абстрактной проблемы окончательно складывается во сне. Об этом феномене интересно написано у Жака Адамара в его «Исследовании психологии процесса изобретения в области математики» (Изд. «Советское радио», Москва, 1970).

Однако при сложении многоразрядных чисел такое правило формирования переноса может привести к тому, что в один и тот же разряд могут возникнуть два единичных переноса, то есть, может произойти «наложение» переносов, что существенно усложняет процесс сложения. Мучительные размышления над разрешением этой проблемы привели меня к неожиданно простому решению. Идея пришла во сне в одну из душных таганрогских ночей лета 1974 года. Я проснулся, разбудил жену, и она стала первым слушателем «арифметики Фибоначчи». Суть «фибоначчиевого» сложения состояла в том, что «фибоначчиевые» коды слагаемых чисел и все промежуточные суммы перед каждым шагом сложения должны приводиться к так называемой «минимальной форме», которая вытекает из теоремы Цекендорфа. А поскольку в «минимальной форме» двух единиц рядом не встречается, то один из переносов из n-го разряда в ближайший, то есть (n+1)-й или (n–1)-й разряды, всегда может быть помещен в соответствующий разряд промежуточный суммы, и тогда при сложении необходимо запоминать только один перенос в (n–2)-й разряд. Незамедлительно вслед за этим возникла идея вычитания «фибоначчиевых» кодов с использованием понятий «обратного» и «дополнительного» кодов, что, однако, имеет свои особенности в коде Цекендорфа. Результаты разработки новой компьютерной арифметики были изложены мною в статье «Избыточные двоичные позиционные системы счисления», опубликованной в 1974 году в одном из научных сборников Таганрогского радиотехнического института. Этой статье и суждено было стать первой в мире публикацией по арифметике Фибоначчи. Однако способы умножения и деления «фибоначчиевых» кодов, описанные в моей первой статье по арифметике Фибоначчи, оказались довольно сложными для технической реализации, и я продолжил поиск более эффективных алгоритмов выполнения арифметических операций. Здесь на помощь пришел так называемый Египетский метод удвоения. В тот период я серьезно увлекся историей математики. И однажды в одном из московских букинистических магазинов я купил замечательную книгу О. Нейгебауера «Лекции по истории античных математических наук» (1937).

Когда я дошел до египетской математики, то был просто ошарашен гениальными методами умножения и деления, которые использовали древнеегипетские математики! У древних египтян отсутствовала таблица умножения, и они сводили умножение (а также деление) к сложению с помощью хитроумной процедуры, основанной на «методе удвоения». Для того, чтобы умножить, например, число 35 на 12, египетский математик поступал следующим образом. Он составлял таблицу. В первом столбце таблицы помещались двоичные числа 2k (k=0, 1, 3, …), во втором столбце первое число являлось одним из сомножителей (в данном случае 35), а каждое последующее число равнялось удвоенному предыдущему.

Затем наклонной чертой отмечались те двоичные числа первого столбца, сумма которых равна второму сомножителю (12=8+4). Результат умножения получался путем сложения чисел второго столбца, соответствующих отмеченным числам левого столбца. Анализ такого египетского метода умножения, основанного на «принципе удвоения», приводит нас к весьма неожиданному заключению. Используемое в первом столбце разложение целого числа по степеням двойки есть ни что иное, как его представление в двоичной системе счисления (12=1100). С другой стороны, если второй сомножитель 35 представить в двоичной системе счисления (35=100011), то используемое во втором столбце «удвоение» числа 35, осуществляемое на каждом шаге умножения, может быть осуществлено путем сдвига кода числа 35 на один разряд вправо (70=1000110, 140=110001100 и т.д.). Другими словами, рассмотренный выше египетский способ умножения путем «удвоения» по существу совпадает

с основным алгоритмом умножения чисел в современных компьютерах! То же самое можно сказать и по поводу египетского способа деления чисел, основанного на «методе удвоения». Таким образом, нельзя не восхищаться гениальностью древнеегипетских математиков, которые много тысячелетий назад изобрели способы умножения и деления чисел, которые были использованы нами в современных компьютерах! Я думаю, что многие специалисты в области компьтеров с интересом воспримут этот исторический факт. Действительно, впечатляет! Обычно историки говорят о «примитивности и кропотливости» египетского счета, хотя мы сами пришли к этому счету лишь в эпоху компьютеров. Наверное, данный факт из истории науки тоже можно рассматривать как подтверждение теории Томаса Куна о структурном характере парадигмальных сдвигов. А.П.: Во всяком случае, изучив древнеегипетские методы умножения и деления, я понял, что нашел ключ для умножения и деления чисел в арифметике Фибоначчи. В качестве примера в таблице ниже рассмотрено умножение тех же чисел 35 на 12 в «фибоначчиевой» системе счисления.

Заметим, что в первом столбце записаны числа Фибоначчи, а наклонной чертой в этом столбце отмечены те числа Фибоначчи, которые в сумме (1+3+8) равны первому сомножителю 12. В первой и второй строке второго столбца записывается второй сомножитель 35, а все последующие числа

этого столбца формируются из числа 35 «по принципу Фибоначчи», то есть путем сложения двух предыдущих чисел. Если теперь из второго столбца выделить все числа (35, 105 и 280), соответствующие отмеченным числам первого столбца, то в сумме (480) они дадут значение искомого произведения 12х35. При этом любопытно отметить, что, когда на основе рассмотренного выше алгоритма умножения было разработано «Устройство умножения в р-коде Фибоначчи», и на него было подана заявка на изобретение, то патентные ведомства всех стран, где это изобретение патентовалось, признали данное устройство «пионерным изобретением», то есть, абсолютно новым устройством компьютерной техники, не имеющим аналога и прототипа! Этот пример показывает, как полезно иногда изучать историю математики, если, конечно, к этой истории подходить творчески. Точно так же, используя идею египетского метода деления, я пришел к методу деления чисел в арифметике Фибоначчи. Вспоминаю, что примерно в 1975 или 1976 годах я поделился своими результатами по разработке новой компьютерной арифметики с учеными кафедры истории математики Московского университета. И наибольший восторг у сотрудников кафедры вызвали именно методы «фибоначчиевого» умножения и деления, прообразом которых является египетский «метод удвоения». Кроме статьи 1974 года, опубликованной в сборнике Таганрогского радиотехнического института, в тот период я опубликовал ряд новых статей в этой области в ряде престижных советских компьютерных журналов и сборников: 1. Стахов А.П. Использование естественной избыточности «фибоначчиевых» систем счисления для контроля вычислительных систем. Автоматика и вычислительная техника, №6, 1975. 2. Стахов А.П. «Фибоначчиева» двоичная арифметика и ее применение для контроля вычислительных систем / В кн. Однородные вычислительные системы и среды. Материалы IV Всесоюзной конференции. Киев, «Наукова думка», 1975. Это способствовало рекламе моего научного направления в СССР.

Таким образом, к середине 1970-х годов я «созрел» к тому, чтобы представить свое научное открытие (р-коды Фибоначчи и арифметика Фибоначчи) на международном уровне. В 1976 году судьба подбросила мне «счастливый случай» — двухмесячную научную командировку в Австрию с целью научной стажировки в ведущих университетах Австрии. В тот период международная обстановка способствовала развитию научных связей между СССР и странами Западной Европы. В развитие решений исторического Хельсинского совещания глав Европейских государств, между СССР и Австрией было заключено соглашение о научном сотрудничестве и обмене научными кадрами, прежде всего, докторами наук и профессорами. Поэтому в Минвузе СССР возникла срочная необходимость найти доктора технических наук, профессора, который мог бы достойно представить советскую науку в Австрии. Обычно для таких «лакомых» командировок подыскивались профессора московских или ленинградских вузов. В данном случае особенность ситуации состояла в том, что требовался доктор наук в области вычислительной техники с хорошим знанием немецкого языка, который в то время (да и сейчас) был не очень популярен среди столичных компьютерных докторов наук. Поэтому мое неплохое (на тот период) знание немецкого языка и сыграло определяющую роль в выборе моей кандидатуры для поездки в Австрию. Здесь мне еще раз хочется с благодарностью вспомнить своего школьного учителя немецкого языка Израиля Вольфовича Киппера, а также всех своих преподавателей немецкого языка в период учебы в институте и аспирантуре. На заключительной стадии подготовки к этой командировке огромную помощь мне оказала Тамара Григорьевна Чизгоян, преподаватель кафедры иностранных языков Таганрогского радиотехнического института. 8-го января 1976 года полупустой авиалайнер доставил меня из Москвы в Вену, где в аэропорту меня встретили представители посольства СССР в Австрии. На следующий день меня представили моему австрийскому «шефу» профессору Рихарду Эйеру, директору Института обработки информации Венского технического университета.

Этот институт стал основным местом моей научной стажировки в Австрии. Жил я в студенческом общежитии Венского технического университета, которое находилось в получасе ходьбы от места моей стажировки. Я сам себе планировал научную и педагогическую работу в институте, знакомился с учебной деятельностью института, для чего посетил несколько лекций профессора Эйера. Много внимания я уделял знакомству с Веной и ее окрестностями. В целях экономии средств, все мои длительные путешествия по Вене я осуществлял пешком. Все это дало возможность в совершенстве изучить Вену, особенно ее центральную часть, и в конце своего пребывания я вполне мог давать советы, как найти ту или иную улицу или переулок в австрийской столице. Из «научных путешествий» больше всего запомнилось посещение Института обработки информации Академии наук Австрии и советско-американского Института прикладного системного анализа, который размещался в Лаксенбурге, недалеко от Вены. Там меня поразила великолепная научная библиотека, в которой я обнаружил свою последнюю публикацию по «фибоначчиевой» арифметике в одном из свежих номеров журнала «Автоматика и вычислительная техника» за 1975 год. Да, проблем со снабжением библиотек научными журналами тогда не возникало. Чувствуется, что Ваша стажировка была очень напряженной и разнообразной. А время для культурной программы и отдыха оставалось? А.П.: Как известно, 1976 год был олимпийским годом и австрийский город Инсбрук был избран местом их проведения. Конечно, мне захотелось посетить Олимпиаду, и профессор Эйер предоставил мне такую возможность (хотя это и не входило в официальную программу моего пребывания в Австрии). Меня поселили в квартире одного из студентов Инсбрукского университета. В Инсбруке меня очень хорошо принял директор Института статистики Инсбрукского университета профессор Альбрехт. Я побывал в его прекрасном доме,

познакомился с его семьей. Кроме того, я был приглашен на рождественский бал-маскарад, который ежегодно в период рождественских праздников устраивало для себя семейство профессора Альбрехта. Традиция их многочисленной семьи состояла в том, что ежегодно в начале года семья собиралась на бал-маскарад. При этом семья договаривалась о теме бал-маскарада, и затем целый год шла подготовка к этому семейному празднику. Для этого шились специальные маскарадные костюмы, соответствующие теме праздника. Так совпало, что в 1976 году праздник назывался «Ночи Москвы». Поэтому я сыграл на том маскараде роль «свадебного генерала»: выступил на празднике с приветственным словом, подарил родителям профессора Альбрехта слайды с видами Москвы и бутылку «Столичной водки». Это вызвало всеобщий восторг. На память об этом замечательном празднике я сфотографировался вместе с женой профессора Альбрехта, облаченной в маскарадный костюм, на фоне картины, изображающей храм Василия Блаженного.

Во время бал-маскарада в Инсбруке. Февраль 1976 года

Вместе с семьей профессора Альбрехта мне окольными путями удалось бесплатно (билеты были «не по карману») посетить некоторые соревнования Олимпиады в Инсбруке, в частности, присутствовать на выступлениях по прыжкам с трамплина и бобслею. Из города Инсбрука мой путь лежал в замечательный австрийский город Грац, что являлось частью программы моей научной стажировки. В Граце меня принял ректор Грацкого технического университета. Он познакомил меня с деятельностью вычислительного центра и учебного атомного реактора университета, с работой некоторых институтов радиоэлектронного профиля. Запомнился один случай, который свидетельствовал о том, что в тот период отношение к нам, советским ученым, было подозрительным и не всегда доброжелательным. В период посещения лабораторий одного из институтов университета я задавал много вопросов, детально интересовался постановкой некоторых экспериментов, и при этом шутил, рассказывал анекдоты. В этой связи у ряда сотрудников института возникли некоторые подозрения, связанные, прежде всего, с моим неплохим знанием немецкого языка. На завершающей стадии в кабинете директора института, в котором присутствовали все сотрудники, мне был задан вопрос «в лоб»: сколько раз я бывал в немецкоязычных странах и откуда у меня такое хорошее знания немецкого языка. Мой ответ, что я впервые в немецкоязычной стране, однако изучаю немецкий 14 лет (6 лет в школе, 5 лет в институте и 3 года в аспирантуре), их явно не удовлетворил, и я понял, что меня начали воспринимать как хорошо подготовленного советского шпиона. По-видимому, некоторые сомнения были развеяны только после того, как я детально рассказал им о своем научном направлении. То есть лишь тогда, когда они смогли убедиться в моей научной квалификации. Ну, вот, а говорят, что шпиономанией и подозрительностью болели только в Советском Союзе. Но, если разобраться, это нормальная реакция везде, где есть хоть какие-то секреты и технологии. Даже в Древнем Египте Вас, наверное, посчитали бы «разведчиком».

А.П.: Наиболее ярким впечатлением от посещения Грацкого технического университета было мое знакомство с выдающимся европейским математиком профессором Александром Айгнером, который в то время возглавлял Первый Математический институт Грацкого технического университета. Профессор Айгнер — один из крупнейших европейских специалистов в области теории чисел. Как оказалось, одним из его математических увлечений были числа Фибоначчи и золотое сечение. Это и определило его особый интерес к моим научным исследованиям. У нас состоялась длительная беседа с ним в его небольшом кабинете. После того, как он понял главную идею моей «фибоначчиевой арифметике», основанной на числах Фибоначчи, он вскочил с кресла и начал бегать по кабинету, многократно повторяя слово «Redundanz» (избыточность). Сразу же после беседы он предложил мне выступить на научном семинаре математических институтов двух Грацких университетов с изложением моих научных результатов. Хорошо запомнил, что мое выступление состоялось 23 февраля (в День Советской Армии). После доклада в одном из уютных грацких ресторанчиков состоялся небольшой банкет в честь этого события, на котором присутствовал ректор университета и профессора всех математических кафедр грацких университетов. Я сидел между профессором Айгнером и женой ректора университета, которая немножко говорила порусски. Мне было приятно от нее услышать комплименты в адрес моего немецкого. Профессор Айгнер в своем тосте в честь советской науки вспомнил знаменитого советского математика академика Линника, который в свое время оказал Айгнеру научную поддержку в виде отзыва на его научные работы. Сразу же после тоста я обратился к профессору Айгнеру дать отзыв на мои научные исследования. Он обещал мне сделать это с большим удовольствием и, поскольку я на следующий день выезжал рано утром в Вену, направить этот отзыв профессору Эйеру. Через день профессор Эйер вручил мне отзыв проф. Айгнера: «Глубокоуважаемый коллега господин Эйер! По поводу доклада господина профессора Стахова в Граце.

Оригинальные идеи проф. Алексея Стахова из Таганрогского университета (СССР) в области алгоритмической теории измерения и компьютерной арифметики представляют также значительный интерес с точки зрения теоретической арифметики и теории чисел. Центральная идея работы состоит в замене обычной двоичной арифметики арифметикой, образованной числами Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Представление каждого натурального числа в качестве суммы «фибоначчиевых» чисел в отличие от классического бинарного представления не является единственным. Но именно это создает отсутствующую в классической двоичной арифметике избыточность, которая весьма необходима для кодирования и кодового контроля. В «фибоначчиевом» представлении числа существует единственное «нормальное» представление, в котором после каждой 1 всегда следует 0, т.е. в таком представлении две единицы подряд никогда не встречаются. В арифметике применяются только нормальные представления. Имеется также алгоритм получения нормального представления. Ошибка, возникающая при передаче информации, ведет теперь с высокой вероятностью к ненормальному представлению и при этом легко обнаруживается. В работе также развиты «фибоначчиевы» арифметики более высокого порядка, в которых в нормальном представлении после каждой единицы следует не менее р нулей, что является еще более благоприятным с точки зрения обнаружения ошибок в компьютерных системах. Во время доклада, а также в процессе длительной личной беседы я имел возможность ближе узнать и оценить весьма ценные идеи господина Стахова. Директор Первого Математического института Грацкого университета, профессор Александр Айгнер» Хочу подчеркнуть, что отзыв проф. Айгнера стал началом международного признания моего научного направления. Этот отзыв крупнейшего математика Австрии произвел на

профессора Эйера довольно сильное впечатление, и он немедленно сообщил о нем ведущим австрийским специалистам в области кибернетики и компьютерной техники, в частности президенту кибернетического общества Австрии профессору Траппелю и президенту компьютерного общества профессору Цеманеку. Через несколько дней профессор Эйер радостно сообщил мне о том, что меня просят выступить с научным докладом на объединенном заседании компьютерного и кибернетического обществ Австрии. Я обещал подумать и дать свой ответ через несколько дней. Мой тайм-аут был связан с необходимостью проинформировать о таком предложении советское посольство. Ведь в моем докладе речь шла о принципиально новом направлении в области компьютерной техники, которое на тот период еще не было запатентовано за рубежом. Я думаю, что посольство вряд ли взяло бы на себя ответственность дать разрешение на выступление советского ученого без соответствующей научной экспертизы, если бы не одно обстоятельство. Дело в том, что 5-го марта 1976 года должен был начать свою работу «исторический» XXV Съезд КПСС. В связи с этим событием на Западе была развернута интенсивная антисоветская пропаганда. В частности, западногерманский журнал «Шпигель» опубликовал разоблачительную статью «Если б это Ленин знал!». В статье приводились примеры коррупции и казнокрадства в высших эшелонах партийной власти. Из этой статьи я впервые узнал о «деятельности» Кунаева, Рашидова, Галины Брежневой, ее многочисленных любовниках и бриллиантах и прочее. Статья меня шокировала, и я впервые задумался над тем, куда же движется наша страна и какое общество мы построим, если во главе страны стоят шарлатаны, казнокрады и государственные преступники. Однако в связи с этой пропагандистской кампанией все советские посольства получили директиву способствовать выступлениям советских представителей науки и культуры за рубежом. После длительной беседы с советником посла по науке мне удалось убедить его, что моя работа имеет чисто теоретический, фундаментальный характер и что никаких особых се-

кретов в ней не имеется. Давая «добро» на мое выступение, советник предупредил меня, что от реакции австрийских ученых на мой доклад в значительной степени будет зависеть дальнейшее развитие этого направления в СССР и вся моя научная карьера. Я понимал, чем я рискую, но поддержка профессора Айгнера уже ориентировала австрийских ученых на положительную реакцию. Кроме того, я неплохо владел немецким языком и поэтому смотрел на свой доклад с оптимизмом. Однако могли быть всякие неожиданности, и я начал интенсивную научную и языковую подготовку к докладу, для чего использовал купленный в Австрии магнитофон фирмы «Филлипс». Мой доклад назывался «Алгоритмическая теория измерения и основания компьютерной арифметики». В рекламном объявлении о докладе сообщалось следующее: «Способы представления чисел можно рассматривать как специальные способы измерения. Такая интерпретация является основной идеей рассматриваемого доклада. Основные научные результаты: 1. Новый научный принцип — «Принцип Асимметрии Сравнения»; 2. Алгоритмическая теория измерения; 3. Расширение теории чисел Фибоначчи; 4. «Фибоначчиевая» двоичная арифметика как способ повышения информационной надежности компьютерных систем». Доклад был назначен на 3 марта (а 5 марта должен был открыться XXV Съезд КПСС, как уже упоминалось, эти события были взаимосвяаны). Информация о докладе была разослана во все ведущие университеты Австрии и, как я потом узнал, Западной Германии. Именно поэтому на доклад прибыли многие ведущие ученые Австрии и других стран. На докладе присутствовали представители Австрийской лаборатории фирмы «IBM», которую возглавлял профессор Цеманек, Президент Австрийского компьютерного общества. Кроме того, по заданию посольства на докладе присутствовали все советские стажеры в Австрии, в частности директор вычислительного центра Одесского университета.

Доклад длился примерно 1 час 10 минут. Языковая подготовка оказалась достаточно хорошей, потому что я ни разу даже не взглянул в текст доклада. По реакции зала я понял, что доклад воспринят «на ура». На следующий день профессор Эйер принес мне отзыв президента кибернетического общества профессора Траппеля, в котором тот просил прислать манускрипт доклада для публикации в Трудах Австрийского кибернетического общества. Прекрасный отзыв дал на доклад профессор Адольф Адам из Линцского университета имени Иоганна Кеплера. Из этого отзыва я впервые узнал, что гениальный Кеплер увлекался числами Фибоначчи и золотым сечением и что его «спекуляции» на эту тему хранятся в Пулковской обсерватории (под Ленинградом). Но наиболее содержательный отзыв я получил от своего австрийского «шефа» профессора Эйера. Вручая свой отзыв, он сообщил мне, что ночь не спал под впечатлением от доклада. Свой отзыв он завершил такими словами: «Ваш четкий и в методическом отношении безупречный доклад вызвал у меня большой интерес к предлагаемой проблематике, и я попытаюсь в будущем провести соответствующие работы в этой области в своем институте. Я надеюсь, что после возвращения в Таганрог наши научные контакты будут продолжаться». На следующий день я был приглашен к советнику посла по науке, который передал мне благодарность посла Ефремова за достойное представление советской науки в Австрии. Он также проинформировал меня, что посольство намерено проинформировать соответствующие инстанции в СССР о реакции австрийских ученых на мой доклад. 5 марта 1976 года я вылетел из Вены в Москву, полный энергии, надежд и новых научных планов. Значение этой научной командировки в Австрию трудно переоценить. Вполне возможно, без нее Ваши идеи остались бы незамеченными. Что греха таить, известны десятки и даже сотни случаев, когда значительные открытия и изобретения игнорируются в стенах «родных» институтов.

А.П.: После возвращения в Таганрог я начал постепенно забывать об Австрии, окунулся в кафедральную работу, учебный процесс, семейные дела. Через месяц даже стал думать, что обещание советника посольства о научной поддержке является вежливым дипломатическим «трепом». И вдруг австрийские события вновь напомнили о себе. Где-то в мае 1976 года то ли к ректору, то ли к проректору последовал звонок из Москвы с грозным сообщением, что из столицы «едет ревизор» в связи с письмом посла СССР в Австрии по поводу пребывания профессора Стахова в Австрии. Из сообщения ректоратом был сделан вывод, что Стахов сотворил что-то весьма серьезное в Австрии, если уж сам посол удосужился написать какое-то письмо в соответствующие инстанции. На всякий случай о звонке из Москвы было проинформировано Таганрогское КГБ, и до приезда московского гостя началась тотальная проверка моей деятельности в ТРТИ (прежде всего научной и изобретательской деятельности). Я в это время находился в командировке, и из этого факта было сделано предположение, что, возможно, я сбежал из Таганрога, чтобы уйти от ответственности. Московским гостем оказался эксперт отдела патентования Государственного Комитета СССР по делам изобретений и открытий Агапов Виктор Михайлович, который вручил мне копию письма посла СССР в Австрии Ефремова от 2 апреля 1976 года, которое было направлено в Государственный Комитет Совета Министров СССР по науке и технике и Минвуз СССР. Вот ключевая фраза из этого письМихаил Ефремов ма: «С целью закрепления приоритета советской науки в этом направлении считаем целесообразным выступить со следующими предложениями: 1. С учетом выраженного интереса у австрийских ученых к изобретению проф. Стахова А.П. по вопросу создания новой системы исчисления на основе «фибоначчиевых» чисел (создание самоконтролирующихся ЦВМ) считали бы целесообразным ускорить процесс оформления его заявок на изобретение,

что позволит также сохранить приоритет советской науки и, возможно, получить экономический эффект. 2. Проф. Стахову А.П. (через проф. Альбрехта, Инсбрукский университет) удалось установить научные контакты с рядом ведущих ученых ФРГ в области информатики и вычислительной техники. По-видимому, целесообразно было бы способствовать дальнейшему развитию контактов проф. Стахова со специалистами Австрии и ФРГ». Конечно, письмо посла Ефремова сняло с меня все подозрения, но ректорату ТРТИ было стыдно за бурную деятельность по «раскрытию антисоветской деятельности профессора Стахова за рубежом», и у ректора института не нашлось времени, чтобы принять эксперта Госкомизобретений. Этот инцидент оставил в моей душе неприятный осадок и стал одной из причин моего последующего решения о переезде в Винницу, где в 1977 году я был избран на должность заведующего кафедрой вычислительной техники Винницкого политехнического института. Вполне оправданный шаг. Когда человеческая зависть или неприятие побуждают к распространению дискредитирующей информации, к навешиванию ярлыков, к совершению ложных доносов, то заниматься изобретательской и научной деятельностью в таких условиях невозможно. А.П.: Как известно, изобретательская деятельность является одной из форм творческой деятельности. Имена выдающихся изобретателей широко известны (Эдисон, Тесла, Зворыкин и другие). Каждое изобретение является определенным творческим шагом по сравнению с известными решениями в этой области, называемыми прототипами или аналогами. Как и во всякой области творческой деятельности, изобретение изобретению — рознь. Особую ценность представляют изобретения пионерного характера, то есть, изобретения, которые не имеют прототипа или аналога. Их появление можно считать своеобразным открытием в технической области. Еще большую ценность представляют зарубежные патенты, что свидетельствует о мировом признании научного направления.

При этом хочу открыть одну тонкость: патентное ведомство любой страны не заинтересовано в выдаче патента, потому что это ущемляет права собственных производителей, и с этой целью делается весьма тщательная патентная экспертиза, которая в большинстве случаев заканчивается отказом в выдаче патента. Необходимо также отметить, что все услуги патентования (даже в случае отрицательного решения) оплачивает страна, которая ходатайствует о выдаче патента. Вот почему решение о патентовании советских изобретений за рубежом (особенно в области электроники и вычислительной техники) принимались только в исключительных случаях. Таким исключительным случаем оказалось и мое изобретение (вернее комплекс изобретений). Основная цель патентования моих изобретений, как следовало из письма посла СССР в Австрии, состояла в том, чтобы «защитить приоритет советской науки». Предметом патентования была новая компьютерная арифметика. Однако в соответствии с патентными законами большинства стран невозможно получить патент на математическое изобретение, каким, в сущности, и была «фибоначчиева» арифметика. Поэтому возникла мысль о косвенной защите этой арифметики через компьютерные устройства, ее реализующие. Такими устройствами являются регистры, счетчики, сумматоры, множительные и делительные устройства и так далее, то есть, основные операционные устройства Фибоначчи-компьютера. При этом желательно было придумать такой оригинальный операционный элемент, который мог бы «потянуть» на пионерное изобретение, на основе которого можно было бы создать все остальные операционные элементы. В результате таких рассуждений родилась идея многозвенной формулы изобретения, первый пункт которой и защищал бы пионерное «фибоначчиевое» изобретение. Что же должно было стать пионерным «фибоначчиевым» изобретением? Анализ «фибоначчиевой» арифметики показал, что основными операциями «фибоначчиевой» арифметики являются «свертка» и «развертка» фибоначчиевых разрядов, с помощью которых код Фибоначчи может быть приведен к «минимальной» или «максимальной» формам. Вместе со своими аспирантами, которые принимали актив-

ное участие в подготовке патентных материалов, я разработал новый элемент компьютерной техники, который был назван «Устройством приведения р-кода Фибоначчи к минимальной форме». Функционирование этого элемента основано на операциях «свертки» и «развертки». Этот элемент не имел прототипов и был признан в СССР, а затем и в других странах изобретением пионерного характера. Следующим моим пионерными изобретениями стали устройства умножения и деления «фибоначчиевых» кодов. Алгоритмы умножения и деления, восходящие к египетскому «методу удвоения», были разработаны мною, а их реализация в виде технических устройств осуществлена моими аспирантами. С экономической точки зрения (стоимость патентования) выгоднее патентовать заявку на изобретение с так называемой многозвенной формулой. По существу речь шла о такой крупномасштабной заявке, которая включала бы в себя несколько десятков технических решений, объединенных общей идеей и общей формулой изобретения. Вот такой и была первая моя заявка на изобретение Фибоначчи-компьютера. Ее центральными (пионерными) техническими решениями были способ приведения кода Фибоначчи к минимальной форме и устройство для его реализации; на основе этого устройства строились все остальные операционные узлы Фибоначчи-компьютера. Первая моя заявка, принятая к патентованию, по своему объему представляла собой книгу средних размеров, так как содержала свыше 200 страниц текстового материала, около 100 рисунков (операционные устройства и их элементы), а многозвенная формула изобретения состояла из 85 пунктов. Это означало, что на патентование выдвигалось 85 технических решений, то есть 85 изобретений. Всего же к патентованию было принято 12 заявок. Патентование осуществлялось в 8 странах (США, Япония, Англия, Франция, ФРГ, Канада, Польша и ГДР). Для этого каждая из 12 заявок составлялась с учетом патентного закона каждой страны и затем переводилась на соответствующий язык. Таким образом, по каждой заявке мне приходилось работать с 8 экспертами-патентоведами (специалистами по

патентным законам соответствующих стран) и с 5 техническими переводчиками (английский, французский, немецкий, польский и японский языки). Эта грандиозная работа выполнялась мною и моими аспирантами, которые были соавторами заявок, в довольно сжатые сроки. Особенно напряженными были 1976, 1977 и 1978 годы. Новый дополнительный объем работ навалился на меня после того, как началась переписка с патентными ведомствами стран патентования. На эти письма необходимо было отвечать очень оперативно, так как задержка ответа грозила отказом в выдаче патента. У меня установились деловые отношения с Председателем Госкомизобретений СССР Иваном Семеновичем Наяшковым, который лично следил за ходом патентования и очень много помог мне в развитии моего научного направления. Каковы же были итоги патентования? Мое имя стоит первым в описании 65 зарубежных патентов, выданных патентными ведомствами США, Японии, Англии, Франции, ФРГ, Канады, Польши и ГДР. О чем это свидетельствует? Прежде всего, о том, что идея Фибоначчи-компьютера является абсолютно новой и оригинальной, а мои патенты являются официальными юридическими документами, подтверждающими мой приоритет (и приоритет несуществующего теперь государства СССР) в новом направлении в области компьютерной техники. Высокая оценка этим изобретениям была дана патентным поверенным СССР в Японии, которой в период своего приезда в Москву (1980 год) в своем выступлении в Торгово-Промышленной Палате СССР отметил их мировую новизну и перспективность. Немного позже мне совместно с аспирантами удалось разработать еще одно необычное позиционное представление чисел — коды золотой р-пропорции. Оно было расширением р-кода Фибоначчи на область действительных чисел. Было доказано, что любое действительное число А может быть представлено в виде следующей суммы: (10)

где ai є {0, 1} — бит i-го разряда, Фip — «вес» i-го разряда позиционного представления (10), Фp — «золотая р-пропорция», которая играет роль основания позиционного представления (10) и является положительным корнем следующего алгебраического уравнения: (11) где целое число р принимает значения из множества {0, 1, 2, 3, …}. В частности, при р=0 уравнение (11) вырождается в «тривиальное» уравнение x=2, а корень Фp при этом принимает значение Фp=0 = 2. При р=1 уравнение (11) вырождается в «уравнение золотой пропорции»: (12) корнем которого является золотая пропорция (13) Напомним также, что «золотая р-пропорция обладает следующим замечательным свойством, связывающим соседние степени «золотой р-пропорции» Фp: (14) Представление действительного числа А в виде (10) я назвал кодами золотой р-пропорции. Справедливости ради надо отметить, что теория кодов золотой р-пропорции разрабатывалась мною совместно с моим учеником Владимиром Лужецким, который затем защитил кандидатскую диссертацию по этим кодам и их арифметике, а позже и докторскую диссертацию. Необходимо отметить следующие важные достоинства кодов золотой р-пропорции: 1. Прежде всего заметим, что формула (10) задает бесконечное количество двоичных позиционных представлений, так как каждое р (р=0, 1, 2, 3, ...) «порождает» свое собственное позиционное представление типа (10). При этом оказывается, что для случая р=0 основание Фp=0 = 2. А это означает, что позиционное представление (10) вырождается в классическое двоичное представление:

(15) которое лежит в основе современных компьютеров. 2. А теперь рассмотрим частный случай представления (10), соответствующий значению р=1. В этом случае основанием представления (10) является классическая золотая пропорция (13), а представление (10) принимает следующий вид: (16) Оказалось, что представление (16), которое является частным случаем кодов золотой р-пропорции при р=1, было введено в 1957 году тогда еще совсем юным американским математиком Джорджем Бергманом в статье «Система счисления с иррациональным основанием», опубликованной в одном из американских математических журналов. Конечно, знакомство со статьей Дж. Бергмана сначала меня очень расстроило, поскольку оказалось, что этот результат был получен давно, и о нем мало кто упоминал, никто не пытался развить эту мысль. Но затем это меня вдохновило. Статья Бергмана еще раз подтвердила, что я нахожусь на правильном пути, что нужно более интенсивно исследовать направления практической реализации нового класса Джорж Бергман систем счисления. Коды золотой р-пропорции вызвали восторг у академика Митропольского. В своем отзыве на мое научное направление он написал: «Используя понятие золотой р-пропорции, Стахов затем вводит новое определение действительного числа в виде

(ai є {0, 1}), которое он назвал «Кодом Золотой р-пропорции». Стахов показывает, что это понятие, которое является развитием известного «Ньютоновского определения» действительного

числа, может быть положено в основу новой теории действительных чисел. Далее он показывает, что этот результат имеет важное прикладное значение и может привести к созданию принципиально новой компьютерной арифметики и новых компьютеров, компьютеров Фибоначчи. И Стахов не только провозглашает идею «компьютеров Фибоначчи», но и возглавляет и организует инженерные проекты по созданию таких компьютеров в Винницком политехническом институте (1977-1995)». Академик Митропольский в своем отзыве обратил внимание на то, что коды золотой р-пропорции могут быть положены в основу новой теории действительных чисел. В развитие этой идеи, уже находясь в Канаде, я написал статью «Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа», которая по рекомендации академика Митропольского была опубликована в «Украинском математическом журнале» (2004, том 56, № 8). Этот журнал является одним из немногих украинских академических журналов, которые переводятся на английский язык. В этом журнале я выдвинул концепцию «золотой» теории чисел. Период с 1977 по 1985 годы я вспоминаю как период колоссальной концентрации моих физических и творческих сил и сил всего моего коллектива на решении задач патентования изобретений, пропаганды научного направления и поиска путей серийного внедрения «фибоначчиевых» устройств и систем. 20 марта 1979 года по инициативе известного советского академика Бориса Николаевича Петрова, который тогда возглавлял Научный совет Академии Наук СССР по проблемам управления движением и навигации, состоялось совместное заседание этого научного совета и Секции прикладных проблем при Президиуме АН СССР, на котором я сделал доклад «О возможных путях развития цифровой техники на основе систем счисления с иррациональными основаниями». В Решении по моему докладу, подписанному академиком Б.Н.Петровым и Председателем секции прикладных проблем при Президиуме АН СССР, доктором технических наук, профессором Ю.В. Чуевым, было отмечено «перспективное значение исследований по созданию цифровой техники на основе

систем счисления с иррациональными основаниями, которые дают возможность разрабатывать цифровые системы за счет неоднозначности представления чисел и создания на этой основе методов коррекции». В Постановлении по моему выступлению было принять решение «поддержать ходатайство Винницкого политехнического института Минвуза УССР о создании проблемной лаборатоБорис Петров рии для развития исследований в области цифровой техники на основе систем счисления с иррациональными основаниями и просить ГКНТ СССР рассмотреть вопрос о возможности создания такой лаборатории». В сентябре 1985 года по инициативе Винницкого обкома партии состоялась моя встреча с Председателем Государственного Комитета СССР по науке и технике академиком Гурием Ивановичем Марчуком. Как математик, он проявил большую заинтересованность в таком неожиданном приложении чисел Фибоначчи и предложил мне выступить на его научном семинаре, участниками Гурий Марчук которого были все ведущие советские ученые в области информатики и вычис- лительной техники (Велихов, Мельников, Ершов, Наумов, Михалевич и другие). Такой семинар состоялся 14 ноября 1985 года в Москве. Семинар полностью одобрил мое научное направление, а для его экспериментальной проверки академик Марчук предложил создать на базе Винницкого политеха «временный научный коллектив» (в то время «временные научные коллективы» рассматривались как прогрессивная форма для ускорения внедрения отечественных научных разработок). Под «временный научный коллектив» Марчук обещал выделить 1 млн. рублей. В этот период мое научное направление становится предметом обсуждения не только в научном сообществе, но и в вы-

соких партийных кругах, ответственных за развитие науки и оборонной промышленности. Один из моих докладов состоялся в оборонном отделе ЦК Компартии Украины, организованном по инициативе В.П. Горбулина, который в тот период был заместителем начальника этого отдела. Кстати, результат моего выступления в оборонном отделе ЦК Компартии Украины, превзошел все ожидания. Мое научВладимир Горбулин ное направление по компьютерам Фибоначчи было включено в секретное постановление ЦК КПСС и СМ СССР от 1986 года, в результате чего мне было выделено 15 млн. рублей (что было эквиваентно 15 млн. долларов) на развитие научного направления. Это была значительная по тем временам сумма, которая в 3 раза превышала годовой бюджет Винницкого политеха. Наверное, не без участия В.П. Горбулина в 1986 году я был неожиданно назначен директором Специального конструкторско-технологического бюро «Модуль» при Винницком политехе, которое было полностью переориентировано на «фибоначчиеву» тематику. Заказчиком инженерных разработок СКТБ «Модуль» выступала головная компьютерная организация Министерства общего машиностроения (Москва). Заказчиком были сформулировано три основных направления научных и опытноконструкторских разработок: 1. Проектирование самоконтролирующегося Фибоначчипроцессора для специальных применений. 2. Проектирование самокорректирующихся «фибоначчиевых» аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей высокой точности и метрологической стабильности. 3. Проектирование самосинхронизирующихся систем цифровой магнитной записи и волоконно-оптических систем передачи информации. Для решения этих задач в КБ было создано три новых отдела: вычислительных систем, измерительных систем и информационно-регистрирующих систем. К работе над научными и опытно-конструкторскими проектами были привлечены сту-

100

денты Винницкого политехнического института, мои аспиранты и подготовленные мною кандидаты наук. Благодаря тому, что заработная плата инженера-разработчика в СКТБ «Модуль» была относительно выше, чем на других предприятиях Винницы, в КБ пришло много квалифицированных инженеров-электронщиков и инженеров-конструкторов с других винницких заводов. С учетом подключения к «фибоначчиевым» разработкам конструкторского отдела и отдела микроэлектроники к этим разработкам в КБ было подключено около 200 разработчиков. Солидная группа разработчиков — с таким коллективом за несколько лет можно горы свернуть, подготовить производственную базу для серийного выпуска. А сколько побочных изобретений, модификаций и технических решений возникает по ходу реализации таких проектов!? Ведь помехоустойчивые технологии востребованы, в том числе, и в оборонной, и в космической промышленности. А.П.: Я не буду останавливаться на всех разработках СКТБ «Модуль» по «фибоначчиевой» тематике. Остановлюсь только на одной разработке, которая превысила по техническим параметрам мировой уровень в тот период. Речь идет о самокорректирующихся «фибоначчиевых» аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей (АЦП и ЦАП). Этим разработкам предшествовала большая научная работа. По тематике «фибоначчиевых» АЦП и ЦАП в тот период было защищено наибольшее количество кандидатских диссертаций (Азаров, Марценюк, Петросюк, Моисеев, Стейскал, Крупельницкий). Эти исследования убедительно показали, что применение кодов Фибоначчи и «золотой пропорции» позволяют одновременно улучшить все технические параметры АЦП и ЦАП, в частности, точность, быстродействие и самое главное — температурную и временную метрологическую стабильность АЦП и ЦАП. Такие АЦП и ЦАП были разработаны в СКТБ «Модуль», который начал их мелкосерийное производство на своей производственной базе. Было создано несколько модификаций таких АЦП и ЦАП.

101

Аналого-цифровой «фибоначииевый» преобразователь, разработанный в СКТБ «Модуль»

Самокорректирующийся 18-разрядный аналого-цифровой преобразователь обладал очень высокими техническими характеристиками: 1. Число двоичных разрядов — 18 (17 цифровых и один знаковый). 2. Время преобразования — 15 мкс. 3. Общая погрешность — 0,006%. 4. Погрешность линейности — 0,003%. 5. Частотный диапазон — 25 кГц. 6. Широкий диапазон рабочих температур. Уникальная особенность этого АЦП состояла в том, что в нем имелась специальная система встроенного контроля, построенная на основе микропроцессора, которая позволяла периодически восстанавливать метрологические параметры АЦП. То есть, в нем была реализована концепция «вечного аналого-цифрового преобразователя», метрологические характеристики которого не зависели от технологических погрешностей, старения и температурных воздействий. О том, что данный АЦП превышал по своим техническим параметрам мировой уровень, свидетельствует такой факт. По предложению Госкомизобретений СССР эта разработка СКТБ «Модуль» была включена в Государственный план

102

экономического и социального развития СССР на 1986-1990 годы. И выполнять этот пункт Государственного плана было предписано Минэлектронпрому. Поэтому появлялась надежда, что уникальный «фибоначчиевый» микроэлектронный АЦП будет запущен в серийное производство. Но эти надежды оказались преждевременными. Поскольку это предложение было включено в Госплан СССР без согласования с Минэлетронпромом, министерство начало бороться с Госкомизобретений и авторами разработки. С этой целью были организованы всевозможные комиссии, чтобы опровергнуть разработки СКТБ «Модуль» и представить их в невыгодном свете. В конечном итоге, победила бюрократическая система. Этот пример убедительно показал бесперспективность советской системы хозяйствования, когда даже самые лучшие разработки, запатентованные за рубежом, вступали в противоречие с ведомственными интересами тех или иных министерств, что всячески тормозило реальный прогресс. В 1988 году после успешной работы визитинг-профессором в Дрезденском техническом университете и после моих докладов в Университете Карлмарксштадта и в Институте кибернетики Академии наук ГДР иформация о моих исследованиях дошла до газеты «Правда». 19 ноября 1988 года в ней было опубликовано мое интервью со следующим не очень оптимистичным названием «Вот вам и Фибоначчи! Стоит ли заганять в тупик новое научное напрвление?». В связи с публикацией этой статьи по инициативе Председателя Госкомизобретений Ивана Семеновича Наяшкова в конце 1988 года состоялась моя встреча с Президентом Академии наук УССР Борисом Евгеньевичем Патоном. Он внимательно меня выслушал и предложил выступить на заседании Президиума Академии наук УССР. Такое заседание состоялось в июне 1989 года. По Борис Патон итогам заседания было принято решение об организации в Винницком техническом университете совместной научно-исследовательской лаборатории ком-

103

пьютеров Фибоначчи. К сожалению, в этот период в СССР полным ходом шла печально знаменитая «горбачевская перестройка». Началось резкое сокращение всех научных программ по оборонной тематике. Под это сокращение попали и «компьютеры Фибоначчи». К концу 1989 года финансирование разработок в СКТБ «Модуль» прекратилось, и я вынужден был уйти с поста директора этого КБ. Вскоре после моего ухода СКТБ «Модуль» было расформировано. В Канаде основным направлением моей научной деятельности стало завершение работы над созданием «Математики Гармонии», междисциплинарного направления современной науки. Но я не забывал о «компьютерах Фибоначчи». И третья часть моей книги «The Mathematics of Harmony» посвящена приложениям чисел Фибоначчи и «золотого сечения» в области информатики. Должен сказать, что активный интерес к этой проблематике у меня возник в результате сотрудничества с моим другом и давним поклонником моего направления профессором Алексеем Борисенко из Сумского университета (Украина). С моей точки зрения Алексей Борисенко — один из лучших схемотехников в Украине (а может быть, и в мире!). Он заинтересовался кодами Фибоначчи и их приложениями Алексей Борисенко для создания счетчиков Фибоначчи. Именно ему принадлежит идея разработки оригинального счетчика Фибоначчи, на который выдан патент Украины (2014 год) под интригующим названием «Помехоустойчивый счетчик импульсов Борисенко-Стахова». Данный патент «застолбил» новый путь в развитии «компьютеров Фибоначчи» и показал, что технология использования «сверток» и «разверток» не является эффективной. Этот патент стал причиной пересмотра моих взглядов на «компьютеры Фибоначчи» и источником новых заявок на изобретения в этой области. Теперь, опираясь на достижения современной микроэлектроники, в частности, на технологию Программируемых Ло-

104

гических Интегральных Схем (ПЛИС), созданы предпосылки для быстрой и эффективной реализации микроконтроллеров Фибоначчи с обнаружением ошибок. Для решения новых задач в этой области мне удалось организовать группу канадских энтузиастов, в которую, кстати, вошли выпускники Винницкого политехнического института, которые в Канаде добились больших успехов в области информационных технологий. Результаты новых исследований вселяют уверенность, что в Канаде уже в ближайшее время будут созданы микроконтроллеры и микропроцессоры Фибоначчи для критически важных приложений. Они открывают новую эру в кибернетике — эру Фибоначчи. Очень надеюсь, что эти мои надежды сбудутся. После стольких лет испытаний и научных поисков Ваш вызов компьютерной технике не утратил актуальности. Наоборот, в мире появились новые возможности и потребности. Технологии производства микрочипов сегодня совсем другие, более совершенные, а это значит, что внедрение микропроцессоров Фибоначчи и создание на их основе планшетников или спецтехники для работы в экстремальных условиях может занять считанные годы, а не десятилетия, как было раньше. По крайней мере, именно так обстоит дело в тех странах, где никогда не вели борьбу с неевклидовой геометрией и кибернетикой... Алексей Петрович, может быть, у Вас, как человека с огромным научным и жизненным опытом, есть вопрос, который Вы бы сами хотели задать себе в этом интервью? А.П.: Так случилось в моей жизни, что я избрал нелегкий путь ученого. Вопрос, который при этом может возникнуть и на самом деле возникает у многих людей, причастных к науке: жалею ли я, что избрал этот сложный и тернистый путь? Нет, не жалею. И если бы мне пришлось выбирать свой жизненный путь снова, то я повторил бы его опять. Мне было очень трудно, особенно на начальном этапе этого пути. Я пробивался в своей жизни, как говорится, «от сохи». Испытал в ней и холод, и голод и достиг научных вершин только благодаря своему таланту и трудолюбию. Но я не мог

105

бы сделать это без тех людей, которые шли со мной рядом и в любой момент готовы были подставить мне плечо в трудные минуты. Многих из них уже нет в живых. И боль безвозвратной утраты пронзает мое сердце. В заключение я бы хотел сказать об этих людях, которые стали для меня Великими Примерами Доброты, Нравственности и Человеколюбия. Я преклоняю свою голову перед памятью моего деда, бедного черниговского крестьянина Стаха Харитона Ивановича, которого в 1920-е годы судьба забросила на Херсонщину. Мой дед научил меня добру и нравственному отношению к людям. Низкий поклон моему отцу, бойцу Харьковского студбата Стахову Петру Харитоновичу, погибшему на подступах Москвы, защищавшему Родину от фашистских захватчиков. Рассказы о нем моего деда и моей мамы с детства запали в мою юную душу, и отец навсегда остался для меня высшим нравственным критерием. Моей маме, скромной сельской учительнице Стах Дарье Харитоновне, научившей меня читать и писать в пятилетнем возрасте, я обязан ранним приобщением к письменности, образованию и науке. И я рад, что своими научными успехами оправдал ее надежды.

Мама Дарья (1916-2001) и отец Петр (1916-1941)

Мое взросление и духовное воспитание происходило под влиянием моего брата Георгия Щербакова. Я всегда стремился быть таким, как он, и поступать всегда так, как поступил

106

бы мой брат. Я склоняю свою голову перед своей женой Антониной, любящей и бесконечно преданной. Наша скромная свадьба состоялась 9 августа 1961 года. Мы прожили в любви и дружбе более 50 лет. Она родила мне двух замечательных детей, Дмитрия и Анну, взяла на свои хрупкие плечи все семейные тяготы и дала мне возможность безраздельно отдаться научному творчеству. И все величие своей души она проявила в самые сложные периоды нашей жизни, особенно в периоды наших многолетних «африканских путешествий» — и я благодарен ей за все это. Конечно, невозможно переоценить ту помощь, которую оказала мне в Канаде моя дочь Анна Слученкова, и ей моя С женой Антониной, 1961 год глубочайшая благодарность. В повести Ю. Нагибина «Пик удачи» герой книги сказал так: «Что есть у человека кроме жены? Родители всегда уходят слишком рано, а дети слишком поздно, когда отношения уже безнадежно испорчены. Друзья? Но это такая редкость! Открытие интимно, близко к тебе, пока живет в твоей голове, затем оно становится ‘‘доступной женщиной’’, которой будут пользоваться другие. Остается лишь жена, стареющая, слабеющая, надоедливая, сварливая и все же единственная, вечная. Лишь в ней одной доказательство того, что ты личность!». И лучше, наверное, не скажешь. Мне очень повезло в тот момент, когда я принял решение вступить на стезю науки. На моем пути появился Учитель. Им стал выдающийся ученый и человек большой души Александр Андреевич Волков. И я пронес сквозь всю свою жизнь чувство глубокой признательности и благодарности своему Учителю. Я всю жизнь учился. Своим учителем философии я считаю выдающегося русского философа и человека энциклопедических знаний Георгия Васильевича Чефранова. Наши

107

вечерние прогулки по улице Чехова в городе Таганроге, сопровождавшиеся жаркими дискуссиями по различным философским проблемам, стали важнейшим условием для становления моего мировоззрения. В моей бурной научной жизни я встретил много прекрасных людей, которые сумели понять и оценить мою науку и мою одержимость. С чувством глубокой признательности я вспоминаю свою встречу в австрийском городе Граце с выдающимся австрийским математиком Александром Айгнером. Именно его отзыв на мой доклад в Граце по существу стал началом международного признания моего научного направления. В этой связи я не могу не сказать слова благодарности в адрес тех высокопоставленных советских чиновников, поддержка которых оказала значительное влияние на развитие моего научного направления. Прежде всего — это посол СССР в Австрии Ефремов, направивший письмо о моем пребывании в Австрии в высшие научные инстанции СССР. Это также и Председатель Госкомизобретений СССР И.С. Наяшков, который много сделал на этапе патентования моих изобретений за рубежом и их внедрении, и начальник одного из крупнейших главков Министерства общего машиностроения О.Ф. Антуфьев, и высокопставленный партийный деятель В.П. Горбулин, благодаря которым я получил в свое время мощную финансовую поддержку для научных исследований. Огромное содейстие в развитии моего направления оказали два выдающихся ученых современности академик Юрий Алексеевич Митропольский и Президент Национальной Академии Наук Украины Борис Евгеньевич Патон, по инициативе которого было организовано мое выступление на заседании Президиума Академии наук Украины. На некотором этапе логика моих исследований вывела меня далеко за пределы технических приложений. И это стало причиной того, что на моем пути встретились выдающиеся ученые и представители искусств, так же, как и я, одержимые идеей «золотого сечения». Их научные идеи и книги оказали огромное влияние на мое научное творчество. Это, прежде всего, книга «Структурная гармония систем» белорусского философа доктора философ-

108

ских наук Эдуарда Сороко, книга «Энергетично-геометрический код природы» польского журналиста и египтолога Яна Гржездельского, книга «Золотая пропорция» украинского ученого из Запорожья кандидата химических наук Николая Васютинского, книга «Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве» львовского архитектора, доктора искусствоведения профессора Олега Боднара, книга «Золотая пропорция и проблемы гармонии систем» русского механика, доктора технических наук профессора Виктора Коробко из Ставрополя. Именно эти ученые составили костяк так называемой «Славянской ‘‘золотой’’ группы» — неформального объединения славянских ученых, созданного в 1992 году в период проведения Первого Международного Семинара «Золотое Сечение и Проблемы Гармонии Систем» в Киеве. Я горжусь дружбой с этими замечательными учеными, внесшими огромный вклад в развитие этого направления в мировой науке. Мой 10-летний «канадский период» стал одним из наиболее плодотворных периодов моей научной биографии. Главным итогом этого периода стала публикация двух книг: 1. Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony, From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. World Scientific, 2009; 2. Alexey Stakhov, Samuil Aranson. The Mathematics of Harmony and Hilbert’s Fourth Problem. The Way to the Harmonic Hyperbolic and Spherical Worlds of Nature. Lambert Academic Publishing (Germany), 2014. В этот период у меня появились новые друзья и поклонники, которые поверили в «математику гармонии» и всячески содействовали развитию этого научного направления. Это Сергей Абачиев, Григорий Мартыненко, Николай Семенюта, Сергей Петухов, Самуил Арансон, Грант Аракелян, Борис Розин, Виктор Шенягин, Виктор Цветков, Денис Клещев, Вера Шпинадель, Джей Каппрафф, Скотт Олсен, Сергей Якушко, Алексей Борисенко, Александр Постолаки, Юрий Вишняков, Иван Райлян, Юрий Цымбалист, Антон Кононов и многие другие. Но «Славянская ‘‘золотая’’ группа», «Международный Клуб Золотого Сечения» и «Институт Золотого Сечения» Акаде-

109

мии Тринитаризма, к которым я имею прямое отношение, возникли не на пустом месте. Мы стоим на мощном научном фундаменте, созданном трудами выдающихся умов человечества: великих греков Пифагора, Платона, Евклида, Фидия, великих итальянцев Фибоначчи, Леонардо да Винчи, Луки Пачоли, великого астронома Иоганна Кеплера, французских математиков Люка и Бине, немецкого ученого Цейзинга, великого геометра Феликса Клейна, выдающихся математиков Николая Воробьева, Вернера Хоггата, Стефана Вайды. И я глубоко убежден, что научные достижения членов «Славянской ‘‘золотой’’ группы» и Американской математической Ассоциации Фибоначчи будут положены в основу создания новой науки — Науки о Гармонии Систем, вокруг которой в XXI столетии объединятся до сих пор разрозненные фрагменты знаний из самых, казалось бы, отдаленных сфер жизни и областей науки. Я верю в то, что наступит время, когда грандиозные Музеи Гармонии и Золотого Сечения украсят все страны мира. Они возвестят о торжестве нового, целостного научного мышления, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения.

Восьмидневный эмбрион и морула

Набросок Метатрона на страницах дневника Леонардо да Винчи

Фрактал Мандельброта Формы жизни из книги Эрнста Хёкеля (1904)

AURUM SAECULORUM

(древние о наступлении «золотого века»)

Цветок жизни из Храма Осирион в Абидосе (Египет)

Древние камни в виде Платоновых тел, найденные в Шотландии

110

111

П.Д. Успенский

Модель Вселенной и загадка Сфинкса

***

вет некоторых идей слишком силен для глаз человека, особенно, если он видит его в первый раз. Моисей не мог смотреть на горящий куст, не мог видеть лицо Божества на горе Синай. Во всех этих аллегориях выражается одна и та же мысль о страшной силе и опасности неожиданно являющихся новых идей. То же самое выражал и Сфинкс со своей загадкой. Из подошедших к нему он пожирал тех, кто не мог разрешить его загадки. Аллегория Сфинкса значила, что человек не должен задавать себе некоторые вопросы, если он не знает ответа на них. Коснувшись однажды определенных идей, человек уже не может жить, как раньше: он должен или идти дальше, или погибнуть под тяжестью непосильного для него груза. Идея сверхчеловека непосредственно связана с проблемой времени, с загадкой Сфинкса. В этом ее привлекательность и опасность, поэтому она так сильно действует на души людей. Как было указано выше, современная психология утратила понимание опасности некоторых тем, идей и вопросов. В этом ее недостаток. Даже в самой примитивной философии, где подразделяли идеи на божественные и человеческие, лучше понималось существование разных порядков идей. Современное мышление совершенно не признает этого. Существующая психология и теория познания не учит нас

112

IN BREVI

а рубежом, как это часто случается, имя Петра Демьяновича Успенского известно больше, чем в России. На Западе философская система, возникшая из мистификаций оккультиста Г.И.Гурджиева и рационально переосмысленная П.Д.Успенским, привлекает внимание многих. В 1995 году в Амстердаме был основан Институт, а ныне — Фонд Успенского (www.ouspensky. info). Вышедший в прошлом году голливудский кинофильм «Интерстеллар» о существах, освоивших жизнь в пятимерном пространстве-времени, содержит отчетливое влияние идей Успенского. Об этом говорят использованные в кинофильме выдержки из сочинения Петра Демьяновича «Tertium Organum». Книги русского философа ежегодно переиздаются и расходятся многотысячными тиражами в Англии, Франции, США. Незаурядный писательский талант, умение выразить запредельные оттенки мысли о времени и сознании через образы и математические символы, доступные носителям западноевропейской культуры, привели к тому, что размышления П.Д.Успенского обрели в XXI веке новое звучание и развитие. Предлагаемая читателю «De Lapide» инсталляция «Модель Вселенной и загадка Сфинкса» — это лишь несколько фрагментов из трактата «Новая модель Вселенной», которые связаны с осмыслением четырехчастного деления. Сфинкс для Петра Демьяновича — не просто мифологическое существо, совместившее в себе человека, льва, быка и орла, не просто символ деления карт Таро на четыре масти, не просто средневековые спекуляции вокруг четырех элементов (земля, вода, огонь, воздух) или вокруг элементов органической химии (С, H, N, O). За этими символами, по мнению автора, должно разглядеть универсальный принцип движения идей, материи и самой жизни — невыразимую квинтэссенцию, из которой слагается все, что было, чего не было, что есть и что будет.

113

различать порядки идей, не указывает, что есть идеи очень опасные, к которым нельзя подходить без долгой и сложной подготовки. Это происходит потому, что современная психология вообще не считается с реальностью идей, не признает эту реальность. Для современного ума идеи — это отвлечения от фактов; в наших глазах самостоятельного существования идеи не имеют. Потому, коснувшись некоторых идей, мы так больно обжигаемся. Для нас реальны «факты», которые в действительности не существуют сами по себе, и совершенно нереальны «идеи», которые только и существуют. Древняя и средневековая психология лучше понимала положение человеческого ума по отношению к идеям. Она знала, что ум не может правильно относиться к идеям, пока ему не ясна их реальность. И далее, она понимала, что ум не может сразу и в беспорядке воспринимать какие угодно идеи, то есть не может без всякой подготовки переходить от идей одного порядка к идеям другого порядка; она сознавала опасность неправильного и беспорядочного подхода к идеям. Вопрос в следующем: в чем должна заключаться подготовка? О чем говорят аллегории мистерий и магических ритуалов? Прежде всего о необходимости соответствующих знаний для каждого порядка идей. Есть вещи, которых без предварительных знаний касаться нельзя. Мы это прекрасно понимаем в других областях. Нельзя, например, без соответствующих знаний обращаться со сложной машиной; нельзя без знаний и практики управлять паровозом; нельзя, не зная всех деталей, касаться мощной электрической машины. Человеку показывают электрическую машину, объясняют ее устройство и говорят: «Если дотронетесь вот до этих частей — смерть». И всякий понимает, что для знания машины нужно долго и упорно учиться. И понимает также, что машины разного рода требуют разных знаний, что, научившись обращаться с машиной одного рода, не удастся управлять всеми. Идея — это машина огромной силы. Но именно этого не сознает современная психология. Всякая идея есть сложная и тонкая машина. Чтобы обращаться с ней, нужно, прежде всего, обладать многими чисто теоретическими знаниями, а также иметь большой опыт и практическую подготовку. При

114

неумелом обращении с идеей происходит ее взрыв, начинается пожар, идея горит и сжигает все вокруг. С точки зрения современного понимания, вся опасность ограничивается неправильным выводом, на этом все кончается. В действительности, все не так. Один неправильный вывод влечет за собой целый ряд других. Некоторые идеи настолько могущественны, настолько потенциальны, что как правильный, так и неправильный вывод из них непременно даст огромные результаты. Есть идеи, которые затрагивают самые потаенные уголки нашей души и, раз затронув, навсегда оставляют в них след. И при этом, если идея воспринята неправильно, то и след от нее остается неправильный, сбивающий с прямого пути, отравляющий жизнь. Именно так действует неправильно воспринятая идея сверхчеловека. Она отрывает человека от жизни, поселяет в его душе глубокий разлад, лишает его того, что у него было, ничего не давая взамен. Но виновата в этом не идея, а неправильный подход к ней. В чем же тогда должен заключаться правильный подход? Поскольку идея сверхчеловека соприкасается с проблемой времени и с идеей бесконечного, то, не выяснив способов подхода к проблеме времени и к идее бесконечного, нельзя касаться идеи сверхчеловека. Проблема времени и идея бесконечности содержат законы действия машины. Не зная этих законов, человек не будет знать, какое действие произведет его прикосновение к машине, поворот того или иного рычага. Проблема времени — величайшая загадка, стоящая перед человечеством. Религиозное откровение, философская мысль, научное исследование и оккультное знание — все сходятся на одном, на проблеме времени, — и все приходят к ее одинаковому решению. Времени нет! Нет непрерывного и вечного возникновения и исчезновения явлений. Нет вечного фонтана являющихся и исчезающих событий. Все существует всегда! Есть только вечное настоящее — Вечное Теперь, которого не в силах ни охватить, ни представить себе слабый и ограниченный человеческий ум. Но идея «вечного теперь» вовсе не есть идея холодной и беспощадной предопределенности, точного и непременного

115

предсуществования. Совершенно неверно сказать, что раз все уже существует, раз уже существует далекое будущее, раз наши поступки, мысли и чувства существовали десятки, сотни и тысячи лет и будут существовать всегда, — то значит нет жизни, нет движения, нет роста, нет эволюции. Люди говорят так и думают, ибо они не понимают бесконечного и хотят измерить глубины вечности своим слабым, ограниченным, конечным умом. Разумеется, они получат самое безнадежное решение, какое только может быть. Все есть, ничто не может измениться, все существует заранее и извечно. Все мертво, все неподвижно в застывших формах, среди которых бьется наше сознание, создавшее себе иллюзию движения, движения, которого в действительности нет. Но даже такое слабое и относительное понимание идеи бесконечности, которое доступно ограниченному интеллекту человека (при условии, что оно развивается в правильном направлении), достаточно для того, чтобы разрушить «этот мрачный фантом безнадежной неподвижности». Мир есть мир бесконечных возможностей. Наш ум следит за развитием возможностей всего в одном направлении. Но фактически в каждом моменте есть множество возможностей, огромное их число. И все они осуществляются, только мы этого не видим и не знаем. Мы видим только одно из осуществлений; в этом и заключается бедность и ограниченность человеческого ума. Но если мы попробуем представить себе осуществление всех возможностей настоящего момента, затем следующего момента и т.д. и т.п., мы почувствуем, как мир бесконечно разрастается, непрерывно множится и делается неизмеримо богаче, совершенно не похожим на тот плоский и ограниченный мир, который мы себе нарисовали. Представив себе это бесконечное многообразие, мы ощутим на мгновение «вкус» бесконечности и поймем неправильность и невозможность подхода к проблеме времени с земными мерками. Мы поймем, какое бесконечное богатство времени, идущего во всех направлениях, необходимо для осуществления всех возможностей, возникающих в каждый момент. И поймем, что сама идея возникновения и исчезновения возможностей создается человеческим умом потому, что иначе он разорвался бы и погиб от одного соприкосно-

116

вения с бесконечным существованием. Одновременно с этим мы ощутим нереальность всех наших пессимистических выводов перед громадностью раскрывающихся горизонтов. Мы почувствуем, что мир бесконечно велик, и всякая мысль о какой-либо ограниченности, о том, что в нем чего-нибудь может не быть, покажется нам просто смешной. Где же в таком случае искать правильное понимание «времени» и «бесконечности»? Где искать это бесконечное протяжение во всех направлениях от каждого момента? Какие пути ведут к нему? Какие пути ведут к существующему-теперьбудущему? Где найти правильные методы обращения с ним? Где найти верные способы обращения с идеей сверхчеловека? Вот вопросы, на которые современная мысль не дает никакого ответа. Но человеческая мысль не всегда была так беспомощна перед этими вопросами. Существовали и существуют иные попытки разрешения загадок бытия. Идея сверхчеловека принадлежит «внутреннему кругу». В древних религиях и мифах в образе сверхчеловека рисовали высшее «я» человека, его высшее сознание. И это высшее «я», высшее сознание изображали в виде существа, почти отдельного от человека, но как бы живущего внутри него. От самого человека зависело или приблизиться к этому существу, стать им, или отдалиться от него, даже совсем с ним порвать. Очень часто образ сверхчеловека как существа далекого будущего, или золотого века, или мифического настоящего символизировал собой это внутреннее существо, высшее «я», сверхчеловека в прошлом, настоящем и будущем. Что было символом и что реальностью, зависело от характера мышления того, кто мыслил. Люди, склонные к объективному представлению, считали внутреннее символом внешнего. Люди, которые понимали по-иному и знали, что внешнее не означает объективного, считали внешний факт символом возможностей внутреннего мира. Но в действительности идея сверхчеловека не существовала отдельно от идеи высшего сознания. Древний мир не был поверхностно материалистическим. Он умел проникать в глубь идеи, находить в ней не один, а много смыслов. Наше время, конкретизировав идею человека в одном смысле, лишило ее

117



Такое прочтение идеи сверхчеловека мы находим в американской массовой псевдокультуре, изобилующей фантазиями о супермене, человеке-пауке, киборге и тому подобное. Обывательсткая культура потребления порождает столь же поверхностные штампы «сверхчеловека». Однако важно, что сама потребность в сверхчеловеке никуда не исчезла даже в бездуховном обществе, где все измеряется деньгами. В таком сообществе людей ложные чудеса, создаваемые при помощи спецэффектов, необходимы для того, чтобы человек не мог заметить истинное чудо, которое содержится в его собственном сознании и которое можно прочувствовать только в реальности, не прибегая к искусственным заменителям духовной пищи.

118

всей внутренней силы и свежести. Сверхчеловек как новый зоологический вид прежде всего скучен. Он возможен и допустим только как «высшее сознание». Что же такое высшее сознание? Здесь, однако, необходимо заметить, что всякое деление на «высшее» и «низшее» (как, например, деление математики на высшую и элементарную) искусственно. В действительности, конечно, низшее есть не что иное, как неправильное, ограниченное представление о целом, а высшее — более широкое и менее ограниченное понимание. По отношению к сознанию этот вопрос о «высшем» и «низшем» стоит так: низшее сознание есть ограниченное самосознание целого, тогда как высшее сознание есть более полное самосознание. Вы совершили путь от червя к человеку, но многое в вас еще осталось от червя. Некогда вы были обезьяной, и даже теперь еще человек — больше обезьяна, чем иная из обезьян. В этих словах Заратустры, разумеется, нет «теории Дарвина». Ницше говорил о мучительном разладе в душе человека, о борьбе прошлого с будущим. Он понимал трагедию человека, заключающуюся в том, что в его душе одновременно живут червь, обезьяна и человек. В каком же отношении стоит такое понимание идеи сверхчеловека к проблеме времени и идее бесконечности? И где искать «время» и «бесконечность»? Тоже в душе человека! — отвечают древние учения. — Все внутри человека, и ничего внешнего. Как это нужно понимать? Время — это не условие существования вселенной, а условие восприятия мира нашей психикой, налагающей на мир условия времени, потому что иначе она не может себе его представить. Западная мысль, по крайней мере ее эволюционирующая часть, та, которая не ставит себе догматических преград, также находит «дальнейшие возможности изучения проблемы времени в переходе к вопросам психологии» (Минковский). Этот «переход к вопросам психологии» в проблемах пространства и времени, о необходимости которого говорит Минковский, означает для естественных наук не что иное, как принятие положения Канта о том, что пространство и время суть формы нашего чувственного восприятия и возникают в нашей психике.

Но бесконечность невозможно представить без отношения к пространству и времени. Поэтому, раз пространство и время суть формы нашего восприятия и лежат в нашей психике, значит, и корни бесконечного нужно искать в нашей психике. Вероятно, ее можно определить как бесконечную возможность расширения нашего сознания. *** огда настоящий алхимик говорил о поиске золота, он имел в виду поиск золота в душе человека, когда говорил о жизненном эликсире, подразумевал поиск вечных принципов жизни. В этом случае золотом он называл то, что в Евангелии называется Царством Небесным, а в буддизме — нирваной. Когда настоящий астролог говорил о созвездиях и планетах, он говорил о созвездиях и планетах в душе человека, то есть о свойствах человеческой души и о ее отношениях к Богу и миру. Когда настоящий каббалист говорил об имени Божества, он искал его Имя в душе человека, а не в мертвых книгах, не в библейском тексте, как делали это каббалисты-схоласты. Каббала, алхимия, астрология, магия — это параллельные системы психологии и метафизики. Об алхимии очень интересно говорит в одной своей книге Освальд Вирт. Алхимия фактически изучала мистическую металлургию, то есть операции, которые природа производит в живых существах; глубочайшая наука о жизни скрывалась здесь под необычными символами. Но столь грандиозные идеи разорвали бы слишком узкие черепа. Не все алхимики были гениями: жадность привлекала к алхимии искателей золота, чуждых всякому эзотеризму; они понимали все буквально, и их чудачества порой не знали границ. Из этой фантастической кухни вульгарных шарлатанов, тем не менее, возникла узкоспециализированная современная химия... Но истинные философы, достойные этого имени, любители или друзья мудрости, тщательно отделяли тонкое от грубого, с осторожностью и предусмотрительностью, как этого требовала «Изумрудная Скрижаль» Гермеса Трисмегиста, т.е. отбрасывали смысл, принадлежащий мертвой букве и оставляли для себя только внутренний дух учения.

119



В иврите очередность букв идет справа налево (HVHI), что наделяет привычную для нас европейскую транслитерацию Имени Бога весьма важным дополнительным смыслом: для каббалиста, воспринимающего такие аллюзии буквально, европейское «перевернутое» написание Имени Всевышнего представляет собой совсем наоборот имя Его противника, сиречь Сатаны. Этим обстоятельством испокон веков пользуются в тайных обществах для создания и поддержания антогонистических систем.

120

В наше время мы смешиваем мудрецов с глупцами и отбрасываем все, что не получило официального патента. Основу каббалы составляет учение имени Божества в его проявлениях. «Иегова» по-еврейски пишется четырьмя буквами; «йод», «хе», «вау», «хе» — IHVH. Этим четырем буквам придано символическое значение. Первая буква выражает активное начало, инициативу, движение, энергию, Я; вторая буква — пассивное начало, инерцию, покой, не-Я; третья — равновесие противоположностей, «форму»; четвертая — результат, или скрытую энергию. Каббалисты утверждали, что всякое явление и всякая вещь состоят из этих четырех начал, т.е. каждая вещь и каждое явление состоят из Божественного Имени. Изучение этого Имени, по-гречески тетраграмматона, или «четверобуквия», его обнаружение во всем и есть главная задача каббалистической философии. В чем здесь, собственно, дело? Четыре начала, по словам каббалистов, составляют все и вся в мире. Открывая эти четыре начала в вещах и явлениях совершенно разного порядка, в которых, казалось бы, нет ничего общего, человек обнаруживает подобие этих вещей и явлений друг другу. Постепенно он убеждается, что все в мире построено по одним и тем же законам, по одному плану. С определенной точки зрения обогащение и рост интеллекта заключается в расширении его способностей находить подобия. Поэтому изучение закона четырех букв, или Имени Иеговы, представляет собой могучий способ расширения сознания. Идея совершенно ясна. Если Имя Божества пребывает во всем (если Бог присутствует во всем), то все должно быть подобно друг другу, самая мельчайшая часть подобна целому, пылинка — вселенной, и все подобно Божеству. Что вверху, то и внизу. Умозрительная философия приходит к выводу, что мир, несомненно, существует, но что наше представление о мире — ложно. Это значит, что причины, вызывающие наши ощущения, существуют вне нас, но наше представление об этих причинах ложно. Или, говоря иначе, что мир в себе, т.е. мир сам по себе, помимо нашего восприятия, существует, но мы не знаем его и никогда не сможем узнать, ибо все, что доступно нашему изучению, то есть весь мир феноменов или проявлений — это лишь наше представление о мире. Мы окружены

стеной наших представлений и не можем заглянуть через эту стену на реальный мир. Каббала ставит своей целью изучение мира, каков он есть, мира в себе. Другие «мистические» науки имеют точно такую же цель. В алхимии четыре первоначала, из которых состоит реальный мир, названы четырьмя стихиями или элементами: это огонь, вода, воздух и земля, смысл которых перекликается с четырьмя каббалистическими буквами. В магии четырем стихиям соответствуют четыре класса духов: эльфы, ундины, сильфы и гномы, то есть духи огня, воды, воздуха и земли. В астрологии им соответствуют четыре стороны света: восток, юг, запад и север, которые, в свою очередь, служат иногда для обозначения разных частей человека. В Апокалипсисе это четыре существа: с головой быка, с головой льва, с головой орла и с головой человека. Все вместе — это Сфинкс, изображение слитых воедино четырех первоначал. Таро представляет собой как бы комбинацию каббалы, алхимии, магии и астрологии. Четырем началам, или четырем буквам Имени Божества, или четырем алхимическим стихиям, или четырем классам духов, или четырем делениям человека, или четырем апокалиптическим существам в Таро соответствуют четыре масти: жезлы, чаши, мечи и пентакли. Но если говорить вообще, то изучение литературы по Таро приносит большое разочарование, как и знакомство с оккультной и специальной теософской литературой: ибо обещает она гораздо больше, чем дает. Наряду с ценным и интересным материалом имеется очень много мусора, и это характерно для всей «оккультной» литературы вообще. А именно: во-первых, для нее характерен чисто схоластический подход, когда смысл ищут в букве; вовторых, делаются слишком поспешные выводы — прикрывают словами то, что не понял сам автор, перескакивают через трудные проблемы, не доводят умозаключения до конца; в-третьих, налицо излишняя сложность и несимметричность построений. Особенно этим изобилуют книги «доктора Папюса», который в свое время был самым популярным комментатором египетского Таро.

➢

Хотя поиск «мира в себе», конечно, не является автоматическим решением проблемы Истины, которая попадает в сильную зависимость от сознания человека. Любая незамеченная ошибка сознания грозит принять за абсолютную Истину то, что ею не является. Обнаружить внутреннюю ошибку можно лишь в сравнении с чем-то внешним. Поэтому субъективные и объективные подходы лишь дополняют друг друга там, где начинает казаться, что установление Итины невозможно.

➢

В философии Петра Демьяновича Успенского область четырех первоначал — это эволюция сознания, которая позволяет измерять четыре координаты времени-пространства. Изотопой (перпендикуляром) к четырехмерному восприятию является пятое измерение вечности. Для такого сознания переход от далекого прошлого к далекому будущему, от «возможного» к «невозможному» осуществляется сиюминутно. Каждое мгновение длится вечность, а непрерывная вечность — каждое мгновение. В этом смысле образ Сфинкса предстает именно как математическая метафора сознания-вечности, то есть как слияние воедино орла либо сокола (высота), льва (добывает пищу в прыжке — длина), быка (защищается рогами — ширина) и человека (измеряет время). Все четыре сущности, воспринимаемые слитно, образуют пятую — способную во всем созерцать Предвечное.

121

*** ервое необычное чувство Египта, которое я испытал, возникло у меня по пути из Каира к пирамидам. Уже на мосту через Нил мной овладело странное, почти пугающее чувство ожидания. Вокруг что-то становилось другим. В воздухе, в красках, в линиях — во всем скрывалась какая-то магия, которой я еще не понимал. Быстро исчез европейский и арабский Каир; я почувствовал, что со всех сторон меня окружает подлинный Египет; я ощутил его в легком дуновении ветерка с Нила, в широких лодках с треугольными парусами, в группах пальм, в изумительных розовых оттенках скал Мукаттама, в силуэтах верблюдов на дальней дороге, в фигурах женщин, облаченных в длинные черные одеяния, со связками тростника на головах. И этот Египет ощущался как нечто невероятно реальное, как если бы я внезапно перенесся в другой мир, который к моему удивлению, оказался хорошо знакомым. В то же время я понимал, что этот другой мир принадлежит далекому прошлому. Но здесь он уже не был прошлым, проявляясь во всем и окружая меня как нечто настоящее. Это было очень сильное ощущение, непривычное своей определенностью. Оно тем более удивило меня, что Египет никогда особенно меня не привлекал; по книгам и музеям он казался не слишком интересным, даже скучным. Но сейчас я вдруг почувствовал нечто невероятно увлекательное, а главное — близкое и знакомое. Позднее, анализируя свои впечатления, я сумел найти им объяснения; но тогда они разве что удивили меня; и я прибыл к пирамидам, странно взволнованный всем, что встретил по пути. Едва мы переехали мост, как вдали появились пирамиды; затем они скрылись за садами — вновь возникли перед нами и стали постепенно расти. Приблизившись, мы увидели, что пирамиды стоят не на равнине, простирающейся между ними и Каиром; они высятся на огромном скалистом плато, которое резко вздымается над равниной. К плато ведет извилистая дорога; она поднимается вверх и проходит сквозь выемку, прорубленную в скале. Добравшись до конца дороги, вы оказываетесь на одном уровне с пирамидами, перед так называемой пирамидой Хеопса со стороны входа в нее. На некотором отдалении справа находится вторая пирамида, за ней — третья.

122

Поднявшись к пирамидам, вы попадаете в другой мир, совсем не тот, в котором находились десять минут назад. Там вас окружали поля, кустарники и пальмы, здесь — другая страна, другой ландшафт, царство песка и камней. Эта пустыня, и переход к ней совершается внезапно и неожиданно. Чувство, которое я испытал в пути, охватило меня с новой силой. Непостижимое прошлое стало настоящим, и я ощутил его совсем рядом, как будто его можно было коснуться; наше настоящее исчезло и сделалось странным, чуждым, далеким... Как только я взобрался на плато, где стоят пирамиды, увидел их и вдохнул окружающий воздух, я почувствовал, что они живут. Мне не было нужды анализировать свои мысли об этом — я чувствовал, что это реальная, неоспоримая истина. Одновременно я понял, почему люди, которые виднелись возле пирамид, считали их мертвыми камнями. Потому что они сами были мертвыми! Каждый человек, если он вообще живой человек, не может не почувствовать, что пирамиды живут. Поняв это, я понял и многое другое. Пирамиды похожи на нас; у них такие же чувства и мысли, но только они очень стары и очень многое знают. Так они и стоят, думают, перебирают свои воспоминания. Сколько тысячелетий прошло над ними? Это известно только им самим. *** финкс... Желтовато-серый песок, синее небо. Вдали виднеется треугольник пирамиды Хефрена, а прямо передо мной — странное, огромное лицо с устремленным в пространство взглядом. Я часто приезжал из Каира в Гизу, садился на песок перед Сфинксом и глядел на него, стараясь понять его и замысел создавших его художников. И каждый раз я испытывал один и тот же страх: страх перед уничтожением. Я как бы чувствовал себя поглощенным этим взглядом, который говорит о тайнах, превосходящих нашу способность к пониманию. Сфинкс лежит на плато Гизы, где стоят большие пирамиды и находятся другие памятники, уже открытые и еще не открытые, множество гробниц разных эпох. Сфинкс пребывает в углублении, над которым вырисовываются лишь его голова, шея и часть спины.

123

Кем возведена статуя Сфинкса, когда и зачем — об этом ничего не известно. Нынешняя археология считает Сфинкса доисторическим памятником. Это значит, что даже для древнейших египтян первых династий, существовавших в шестом-седьмом тысячелетии до Рождества Христова, Сфинкс был такой же загадкой, какой он сегодня является для нас. На основании каменной таблицы между лапами Сфинкса, испещренной рисунками и иероглифами, было высказано однажды предположение, что эта фигура представляет собой изображение египетского божества Хармакути, «солнца на горизонте». Но уже давно все согласны с тем, что это объяснение неудовлетворительно и что надпись, по всей вероятности, относится ко временам реставрации, произведенной сравнительно недавно. На самом деле, Сфинкс старше исторического Египта, старше, чем его божества, старше пирамид, которые, в свою очередь, намного старше, чем это принято считать. Бесспорно, Сфинкс — одно из самых замечательных мировых произведений искусства, если не самое замечательное. Я не знаю ни одного, которое можно поставить рядом с ним. Он принадлежит к совершенно иному искусству, не к тому, которое нам известно. Такие существа, как мы, не могли бы создать Сфинкса, наша культура не в состоянии создать ничего подобного. Без сомнения, Сфинкс являет собой реликвию другой, очень древней культуры, которая обладала знанием гораздо большим, чем наше. Существует мнение, что Сфинкс — это огромный сложный иероглиф, каменная книга, которая содержит полный объем древнего знания и открыта лишь для человека, способного прочесть необычный шифр, который воплощен в формах, соотношениях и мерах разных частей Сфинкса. Это и есть знаменитая загадка Сфинкса, которую с древних времен пытались разгадать многие мудрецы. Раньше, когда я читал о Сфинксе, мне казалось, что к нему нужно подойти в полном вооружении знания, отличного от нашего, с новым типом восприятия, с особой математической подготовкой, что без этих вспомогательных средств открыть в нем что-нибудь невозможно. Но когда я сам увидел Сфинкса, я ощутил в нем нечто такое, о чем никогда не читал, никогда не слышал, такое, что немедленно поставило его среди самых загадочных и одновременно самых фундаментальных проблем жизни и мира.

124

Лицо Сфинкса с первого взгляда поражает своей необычностью. Начать с того, что это вполне современное лицо. За исключением орнамента головы в нем нет ничего из «древней истории». По некоторым причинам я как раз боялся «древней истории»; опасался, что у Сфинкса будет весьма «чуждое» лицо. Но все оказалось иным. Его лицо просто и понятно. Странным было только то, как оно глядит. И лицо это значительно обезображено. Но если отойти в сторону и долго смотреть на Сфинкса, с его лица как бы спадет завеса, станет невидимым треугольный орнамент за ушами и перед вами явственно возникнет полное и неповрежденное лицо с глазами, которые устремлены куда-то в неизвестную даль. Помню, как я сидел на песке перед Сфинксом — на том месте, откуда стоящая за ним в отдалении вторая пирамида кажется правильным треугольником. Я старался понять, прочесть его взгляд. Сначала видел лишь одно: что Сфинкс глядит куда-то далеко, поверх меня. Но вскоре почувствовал неясную тревогу; она постепенно возрастала. Еще мгновение — и я осознал, что Сфинкс меня не видит, и не только не видит, но и не может видеть; но вовсе не потому, что я слишком мал по сравнению с ним или глуп для той мудрости, которую он вмещает и хранит. Вовсе нет. Это было бы естественно и понятно. Чувство уничтожения, страх перед исчезновением возникли во мне, когда я почувствовал себя слишком преходящим явлением, чтобы Сфинкс мог меня заметить. Я понял, что для него не существуют не только эти мимолетные часы, которые я провел перед ним, но что, если бы я стоял перед его взором от своего рождения и до смерти, вся моя жизнь промелькнула бы перед ним так быстро, что он не успел бы меня заметить. Его взор устремлен на что-то другое; это взор существа, которое мыслит веками и тысячелетиями. Я для него не существую и не могу существовать. И я не был способен ответить на собственный вопрос: существую ли я для самого себя? Действительно ли я существую в каком-либо смысле, в каком-либо отношении? И эта мысль, это чувство под странным взглядом Сфинкса овеяли меня ледяным холодом. Мы так привыкли думать, что мы есть, что мы существуем. И вдруг я почувствовал, что я не существую, что меня нет, что я не настолько велик, чтобы меня можно было заметить.

125

А Сфинкс передо мной продолжал смотреть вдаль, поверх меня; казалось, его лицо отражает нечто такое, что он видит, но чего я не в состоянии ни увидеть, ни понять. Вечность! Слово это вспыхнуло в моем сознании и пронзило меня, вызвав холодную дрожь. Все идеи времени, вещей, жизни смешались. Я чувствовал, что в те минуты, когда я стоял перед Сфинксом, он жил во всех событиях и происшествиях тысячелетий; а с другой стороны, столетия мелькают для него подобно мгновениям. Я не понял, как это могло быть. Но я чувствовал, что мое сознание улавливает тень возвышенного воображения или ясновидения художников, создавших Сфинкса. Я прикоснулся к тайне, но не смог ни определить, ни сформулировать ее. И только впоследствии, когда эти впечатления начали наслаиваться на те, которые я знал и чувствовал раньше, завеса как будто шевельнулась; я почувствовал, что медленно, очень медленно начинаю понимать.



То, что время «движется» как бы по спирали, замечено было давно, о чем свидетельствуют спиральные лабиринты древних посвящений. В переводе на современный язык мы бы сказали, что время — это спираль вероятностей. В этом контексте спираль Фибоначчи, которую так часто наблюдают в живой природе, позволяет понять принцип выбора наиболее вероятных или наиболее осуществимых событий для каждого последующего вложенного один в другой промежутка времени.



Далее говорится о фрактальной природе времени, о том, что «линии» высших измерений вложены одна вдругую: «Действительная спираль времени не похожа ни на одну из известных нам линий, потому что в каждой своей точке она имеет ответвления».

126

*** ремя есть мера движения. Если изобразить время в виде линии, тогда единственной линией, которая удовлетворит всем требованиям времени, будет спираль. Спираль — это, так сказать, «трехмерная линия», т.е. линия, которая требует для своего построения трех координат. Три измерения времени можно считать продолжением измерений пространства. Все, что мы знаем, все, что признаем существующим, лежит на линии четвертого измерения; эта линия есть «историческое время» нашего существования. Но каждое мгновение «теперь» на линии времени, т.е. на одной из параллельных линий, содержит не одну, а несколько возможностей. Таким образом, линию направления времени можно определить как линию осуществления одной возможности из числа всех возможностей, заключавшихся в предыдущей точке. Правильнее было бы представить ее в зигзагообразном виде. Вечное существование этого осуществления — линия, перпендикулярная «зигзагу» времени, будет линией пятого измерения — вечности. Фактически понятие вечности по отношению ко времени — то же самое, что понятие поверхности по отношению к линии. Шестым измерением будет координата возможностей, которые содержались в предыдущем мгновении, но не были осуществлены в четвертом измерении.

Камень наш подобен человеку, его телу, душе и духу

Междисциплинарное периодическое издание «De Lapide Philosophorum». Дата публикации 06.05.2015. Адрес редакции: www.de-lapide-philosophorum.umi.ru Почтовый адрес: de.lapide.philosophorum@gmail.com ISSN 2409-1022 Все авторские права на тексты и их содержание сохраняются за авторами. Авторские права редакции распространяются только на верстку, редакционные заметки и способ предоставления материалов в виде данного журнала.