UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Arquitetura e Urbanismo de São Paulo
PRIMEIRO EXERCÍCIO EM GRUPO PEF 2603 - ESTRUTURAS NA ARQUITETURA 3
Augusto Corrêa Denise Jankovic João Guilherme Marcelo Paiva ABRIL 2015
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ÍNDICE
EQUIPE pag. 05
EXERCÍCIO 1 pag. 06
EXERCÍCIO 2 pag. 14
EXERCÍCIO 3 pag. 18
EXERCÍCIO 4 pag. 22
EXERCÍCIO 5 pag. 26
2
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GRUPO 6
Augusto CORRÊA NUSP 6451620
Denise JANKOVIC NUSP 7598111
João ASSIS NUSP 6781073
Marcelo PEREIRA NUSP 6386603
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5
Este relatório apresenta, para o conjunto dos 5 exercícios propostos, os cálculos e diagramas elaborados manualmente de forma comparada aos resultados obtidos através do programa FTool.
Seccionando a estrutura , obtemos: A
B
EXERCÍCIO 1
Va 1. Determine a equação da linha elástica, a flecha e máxima rotação para as vigas da figura abaixo. Primeiramente, resolva os dois casos de forma literal, e emseguida substitua as grandezas envolvidas por valores numéricos, e compare os resultados do cálculo manual com aqueles obtidos pelo Ftool. Admita que as vigas sejam constituídas de concreto armado e tenha seção transversal 20 x 40.
Mx
x
Calculando o momento fletor , obtemos: Mx = -Ma +Va x Mx = - Ma + Ma x l
Substituindo a equação de momento fletor encontrada na equação da linha elástica , temos:
Item a.
EIVx’’ = Mx EIVx’’ = - Ma + Ma x l
EIVx’ = - Ma x + Ma x2 + C 2l
Atribuindo parâmetros literais para os elementos da viga , temos:
θx = V’x = 1 ( -Ma x + Ma x2 + C )
Vb
Va
EI
l
2l
Vx = 1 ( - Ma x2 + Ma x3 + Cx + D) EI
2
6l
Equação da flecha da viga
Considerando a estrutura estática , temos: ∑ Fy = 0 Va - Vb = 0 Va = Vb
∑M=0 -V b l + M a = 0 V b = M a e Va = M a
Obtemos, portanto, a equação da flecha que contém alguns termos “ ocultos”; Para identificá-los vamos supor duas condições de contorno.
l
1a. condição : V(0) = 0 2a. condição : V(l ) = 0
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7
-> 1a. condição : V(0) = 0
Item 1 a
- ATRIBUINDO VALORES NUMÉRICOS PARA OS PARÂMETROS, TEMOS:
Vx = 1 ( - Ma x2 + Ma x3 + Cx + D) EI 2 6 Substituindo na equação da flecha da viga, temos: V(0)
Diagrama de Força Cortante
= 1 ( 0 + 0 +0 + D)
Então D = 0
-> 2a. condição : V(l ) = 0 Vx = 1 ( - Ma x2 + Ma x3 + Cx + D) EI
2
Diagrama de momento fletor
6
Substituindo na equação da flecha da viga, temos: Vl = 1 ( - Ma l2 + Ma l 3 + C + D) EI
então c
2
= Ma l 3
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6
Diagrama da deformada
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Item 1 b .
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RESOLUÇÃO LITERAL
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Item 1 b .
ATRIBUINDO PARÂMETROS NUMÉRICOS TEMOS:
EQUAÇÂO DA LINHA ELÁSTICA
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EXERCÍCIO 2
2. Determinar as reações de apoio e os diagramas de força cortante e momento fletor, para a viga da figura abaixo, cujo módulo de rigidez vale EI = 200 + 10√6 ( em 105 Nm2).
Diagrama de corpo livre da estrutura:
Diagrama de corpo livre da estrutura:
A
B a=4
b=2
Em escala, definiu-se o valor de “a” (a = 4) e “b” (b = 2)
Calculando o valor de EI, temos: EI = (200 + 10√6 ) x 105 = 225, 5 x 105 Nm2
Cálculo dos valores de V(a) e V(b)
Para encontrar V(b) , aplicamos:
Para encontrar V(a) , aplicamos:
∑ M(a) = 0 M(a) - (3 x 150) - (a x 120) + 6Vb = 0 M(a) = 930 - 6Vb
M(a) = 930 - 6Vb Substituindo o M(a) encontrado anteriormente: 6 V(b) = 930 - 219, 16 V(b) = 118, 47 kN
V(a) + V(b) - 120 - ( 6 x 25) = 0 V(a) = 270 - 118, 47 V(a) = 151, 53 kN
Em seguida , foram somadas as equações de compatibilidade , em relação a θ(a):
Para encontrar V(q)’, aplicamos:
Para encontrar V(q)’’, aplicamos:
V(q)’ = V(a) - qA V(q)’ = 151, 53 - 100 V(q)’ = 51, 53 kN
V(q)’’ = V(q)’ - P V(q)’’ = 51, 53 -120 V(q)’’ = 68, 47 kN
Primeiramente definiu-se M(a) em função de V(b).
∑ θ(a) = [Pb (62 - b2)] + [6M(a)] - 5400 = 0 3 24 b2 ∑ θ(a) = - 240 (36 - 4) + 2 M(a) - 225 = 0 36
Cálculo dos valor de M(q)
2 M(a) = 225 + 213, 3
Seja A1 a área do gráfico de V , temos:
M(a) = 219,6 kNm
A1 = [ V(a) + V(q)’] x (a) 2 A1 = ( 51, 53 + 151, 53) x (4) 2 A1 = 406, 11 kNm x m
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M(q) = A1 - M(a) M(q) = 406, 11 - 219, 16 M(q) = 186, 95 kNm
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GRÁFICOS OBTIDOS ATRAVÉS DO FTOOL
Diagrama de corpo livre da estrutura:
a=4
b=2
Diagrama de força cortante da estrutura:
Diagrama de momento fletor da estrutura:
Diagrama da deformada da estrutura:
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EXERCÍCIO 3
VIGA I
3. Determinar as reações de apoio e os diagramas de força cortante e momento fletor, para a viga da figura abaixo, cujo módulo de rigidez vale EI = 200 + 10√6 ( em 105 Nm2). Calcule as flechas dos dois vãos da estrutura e compare os resultados com aqueles obtidos no Ftool.
VIGA II
Mb
Calculando o valor de EI, temos: EI = (200 + 10√6 ) x 105 = 225, 5 x 105 Nm2
80kN θ(bc),P
+
θ(bc)
θ(ba),Mb
θ(ba),q
Diagrama de corpo livre da estrutura:
Mb
Por se tratar de uma estrutura hiperestática, aplicou-se uma equação de compatibilidade.
θ(ba) = θ(bc) =
( p l 3) + (-Mb l ) 3EI 24EI
=
Digramas da estrutura
=
(15x 43) 24EI
40 EI
Mb4 3EI (4/3)Mb EI
=
(-Pb l 2 - b2) + (l Mb )
= (-80 x 2,5) (62 - 2,5) +
36EI
= - 165, 28 EI
-
Mb6 3EI
2 Mb EI
Cancelando os parâmetros EI ( comuns a todos os termos da equação) , temos que :
-4/3 Mb - 6/3 Mb = - 165,28 - 40 = 205,28 (-10/3) Mb Mb = 61,584 kNm
VIGA I ( entre A e B) Diagrama de Força Cortante (V)
Diagrama de Momento Fletor (M)
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Equação de equilíbrio no trecho I
VIGA II ( entre B e C) Equação de equilíbrio no trecho II
∑ V = Va + Vba - p l = 0
∑ V = Vbc + Vc + 80 = 0
∑ Ma= -4Vab +Mb+ 2( l p ) = 0 -4Vab + 2( p ) l= - Mb 4 Vab =Mb+ 2( p l ) Vab = 45, 396
∑ Mc = Vb + 6Vc - (3,5 p ) = 0
Va = -Vba x p l Va = 14, 604 kN
l
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Cálculo das Flechas
GRÁFICOS OBTIDOS ATRAVÉS DO FTOOL
VIGA I
VIGA II Mb
80kN
Mb
Vc,Mb
Diagrama de corpo livre da estrutura:
+ V
Vb,Mb
Vb,q
3,50
2,50
b
6,00
A flecha máxima é dada por:
A flecha máxima é dada por:
Fl máxima = Vb, q + Vb, Mb
Fl máxima = Vc, P + Vc, Mb
Fl máxima = 5p l4 + Mb l2
Fl máxima = P x b (l2 - b2)3/2 +Mb x l2 9✓3 x EI x l 9✓3 x EI x l
384EI
9✓3EI
Fl máxima = (5 x 15 x 44) + 61,684 x 42 384 EI 15,59EI Fl máxima
(ab)
= 0,63 mm
Fl máxima = 80 x 2,5 x 162,267 + 61,584 x 42 15,59 x 6 x EI 15,59 xEI Fl máxima
(bc)
Diagrama de força cortante da estrutura:
= 0,16 mm
Diagrama de momento fletor da estrutura:
Diagrama da deformada da estrutura:
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EXERCÍCIO 4
4. A viga da figura abaixo é constituída de um material homogêneo, com E = 20GP. Seja q = (5 + √6 )kN/m, q = 7,45 kN/m
A
B
C
D
θ(ba) = θ(bc)
Mb = Mc
-M x L1 = (q x L23 ) + (M x L2) + (M x L2) 3EI2 24EI1 3EI1 6EI1 - 4, 295 x 2 = (- 7,64 x 33) + (4,295 x 3) + (4,295 x 3) 3EI2 24EI1 3EI1 6EI1
Equilíbrio trechos BC
- 2, 863 I1 = - 2, 152 I2
Fy = 0
Portanto a relação entre I1 e I2 :
Item a. Determinar os diagramas de esforços solicitantes atuantes na viga, considerando uma seção transversal uniforme para os três trechos; Supondo a deformada da estrutura tal como a figura a seguir:
I1 = 0,752 I2
Vbc + Vcb - ql = 0
Vbc = 11, 175 kN Vcb = -11, 175 kN
Diagrama de força cortante para a estrutura
θcd
θba B
A
Equilíbrio trechos AB e CD M(A) = 0 MA = VBA x 2 – MB = 0
θbc
θcb
Para realiza cálculos para esta estrutura hiperestática, configuração:
C
D
transformou-se a estrutura para a seguinte
Diagrama de momento fletor para a estrutura
Diagrama deformada da estrutura Por se tratar de uma estrutura hiperestática, aplicou-se uma equação de compatibilidade.
θ(ba) = θ(bc) θ(ba) = θ(bc)
e
Mb = Mc Mb = Mc
Mb =Ma = 3,96 kNM
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Item b. Admitindo que a seção transversal do trecho intermediário possa ser diferente da seção transversal dos trechos de extremidade, determine a relação entre o Momento de inércia I1 do trecho central e o momento de inércia I2 dos trechos de extremidade, para que os máximos momentos negativos sejam iguais aos máximos momentos positivos experimentados pela viga, sob o que carregamento indicado. M = Mmax positivo
+
Mmax negativo
2
M = 3,96 + 4,63 2
M = 4, 295 kNm
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EXERCÍCIO 5
5. Determinar os diagramas de esforços solicitantes para a viga da figura abaixo, identificando os pontos de momentos máximos (positivos e negativos). A caga distribuída vale q = (5 + √6 )kN/m.
VIGA I
VIGA II
=
(q0 l 3) + (-Mb l ) 3EI 45EI
Diagrama de corpo livre da estrutura:
=
A
B
C
=
(7, 45 x 33) 45EI
4,47 EI
-
=
(-q0 l 3) + (Mb l ) 3EI 24EI
=
Mb3 3EI
Mb EI
=
(7, 45 x 33) + 24EI
Mb3 3EI
- 8,38 EI
Mb EI
Cancelando os parâmetros EI ( comuns a todos os termos da equação, temos que :
2Mb Mb Deformada da estrutura
através da deformada observou-se a existência dos ângulos θ(ba) e θ(bc) θ(ba)
VIGA I ( entre A e B) Equação de equilíbrio no trecho I
θ(ba) = θ(bc)
Equação de equilíbrio no trecho II
∑ V = Vb + Vc - p l = 0
∑ Mb = Mb + Va - 1 (p l ) = 0
∑ Mb = Mb + 3Vc - [1,5 (p l )] = 0
2
Por se tratar de uma estrutura hiperestática, aplicou-se uma equação de compatibilidade.
VIGA II ( entre B e C)
∑ V = Va + Vb - pl = 0
2
θ(bc)
= 12,85 = 6,425 kNm
- 3Vc = 1,5 x 7,45 x 3 - Mb = 0 3Vc = 27,1 Vc = 9,03 kN Vbc = 13,32 kN Diagramas construídos a manualmente a partir dos cálculos acima:
VIGA I
VIGA II Mb
Mb
+ θ(ba),q
26
+ θ(ba),Mb
as distâncias foram encontradas
θ(bc),q
θ(bc),Mb
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GRÁFICOS OBTIDOS ATRAVÉS DO FTOOL
Diagrama de corpo livre da estrutura:
Diagrama de força cortante da estrutura:
Diagrama de momento fletor da estrutura:
Diagrama da deformada da estrutura:
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