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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Arquitetura e Urbanismo de São Paulo

PRIMEIRO EXERCÍCIO EM GRUPO PEF 2603 - ESTRUTURAS NA ARQUITETURA 3

Augusto Corrêa Denise Jankovic João Guilherme Marcelo Paiva ABRIL 2015

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ÍNDICE

EQUIPE pag. 05

EXERCÍCIO 1 pag. 06

EXERCÍCIO 2 pag. 14

EXERCÍCIO 3 pag. 18

EXERCÍCIO 4 pag. 22

EXERCÍCIO 5 pag. 26

2

3

GRUPO 6

Augusto CORRÊA NUSP 6451620

Denise JANKOVIC NUSP 7598111

João ASSIS NUSP 6781073

Marcelo PEREIRA NUSP 6386603

4

5

Este relatório apresenta, para o conjunto dos 5 exercícios propostos, os cálculos e diagramas elaborados manualmente de forma comparada aos resultados obtidos através do programa FTool.

Seccionando a estrutura , obtemos: A

B

EXERCÍCIO 1

Va 1. Determine a equação da linha elástica, a flecha e máxima rotação para as vigas da figura abaixo. Primeiramente, resolva os dois casos de forma literal, e emseguida substitua as grandezas envolvidas por valores numéricos, e compare os resultados do cálculo manual com aqueles obtidos pelo Ftool. Admita que as vigas sejam constituídas de concreto armado e tenha seção transversal 20 x 40.

Mx

x

Calculando o momento fletor , obtemos: Mx = -Ma +Va x Mx = - Ma + Ma x l

Substituindo a equação de momento fletor encontrada na equação da linha elástica , temos:

Item a.

EIVx’’ = Mx EIVx’’ = - Ma + Ma x l

EIVx’ = - Ma x + Ma x2 + C 2l

Atribuindo parâmetros literais para os elementos da viga , temos:

θx = V’x = 1 ( -Ma x + Ma x2 + C )

Vb

Va

EI

l

2l

Vx = 1 ( - Ma x2 + Ma x3 + Cx + D) EI

2

6l

Equação da flecha da viga

Considerando a estrutura estática , temos: ∑ Fy = 0 Va - Vb = 0 Va = Vb

∑M=0 -V b l + M a = 0 V b = M a e Va = M a

Obtemos, portanto, a equação da flecha que contém alguns termos “ ocultos”; Para identificá-los vamos supor duas condições de contorno.

l

1a. condição : V(0) = 0 2a. condição : V(l ) = 0

6

7

-> 1a. condição : V(0) = 0

Item 1 a

- ATRIBUINDO VALORES NUMÉRICOS PARA OS PARÂMETROS, TEMOS:

Vx = 1 ( - Ma x2 + Ma x3 + Cx + D)

EI 2 6 Substituindo na equação da flecha da viga, temos: V(0)

Diagrama de Força Cortante

= 1 ( 0 + 0 +0 + D)

Então D = 0

-> 2a. condição : V(l ) = 0 Vx = 1 ( - Ma x2 + Ma x3 + Cx + D) EI

2

Diagrama de momento fletor

6

Substituindo na equação da flecha da viga, temos: Vl = 1 ( - Ma l2 + Ma l 3 + C + D) EI

então c

2

= Ma l 3

8

6

Diagrama da deformada

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Item 1 b .

10

RESOLUÇÃO LITERAL

11

Item 1 b .

ATRIBUINDO PARÂMETROS NUMÉRICOS TEMOS:

EQUAÇÂO DA LINHA ELÁSTICA

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EXERCÍCIO 2

2. Determinar as reações de apoio e os diagramas de força cortante e momento fletor, para a viga da figura abaixo, cujo módulo de rigidez vale EI = 200 + 10√6 ( em 105 Nm2).

Diagrama de corpo livre da estrutura:

Diagrama de corpo livre da estrutura:

A

B a=4

b=2

Em escala, definiu-se o valor de “a” (a = 4) e “b” (b = 2)

Calculando o valor de EI, temos: EI = (200 + 10√6 ) x 105 = 225, 5 x 105 Nm2

Cálculo dos valores de V(a) e V(b)

Para encontrar V(b) , aplicamos:

Para encontrar V(a) , aplicamos:

∑ M(a) = 0 M(a) - (3 x 150) - (a x 120) + 6Vb = 0 M(a) = 930 - 6Vb

M(a) = 930 - 6Vb Substituindo o M(a) encontrado anteriormente: 6 V(b) = 930 - 219, 16 V(b) = 118, 47 kN

V(a) + V(b) - 120 - ( 6 x 25) = 0 V(a) = 270 - 118, 47 V(a) = 151, 53 kN

Em seguida , foram somadas as equações de compatibilidade , em relação a θ(a):

Para encontrar V(q)’, aplicamos:

Para encontrar V(q)’’, aplicamos:

V(q)’ = V(a) - qA V(q)’ = 151, 53 - 100 V(q)’ = 51, 53 kN

V(q)’’ = V(q)’ - P V(q)’’ = 51, 53 -120 V(q)’’ = 68, 47 kN

Primeiramente definiu-se M(a) em função de V(b).

∑ θ(a) = [Pb (62 - b2)] + [6M(a)] - 5400 = 0 3 24 b2 ∑ θ(a) = - 240 (36 - 4) + 2 M(a) - 225 = 0 36

Cálculo dos valor de M(q)

2 M(a) = 225 + 213, 3

Seja A1 a área do gráfico de V , temos:

M(a) = 219,6 kNm

A1 = [ V(a) + V(q)’] x (a) 2 A1 = ( 51, 53 + 151, 53) x (4) 2 A1 = 406, 11 kNm x m

14

M(q) = A1 - M(a) M(q) = 406, 11 - 219, 16 M(q) = 186, 95 kNm

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GRÁFICOS OBTIDOS ATRAVÉS DO FTOOL

Diagrama de corpo livre da estrutura:

a=4

b=2

Diagrama de força cortante da estrutura:

Diagrama de momento fletor da estrutura:

Diagrama da deformada da estrutura:

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EXERCÍCIO 3

VIGA I

3. Determinar as reações de apoio e os diagramas de força cortante e momento fletor, para a viga da figura abaixo, cujo módulo de rigidez vale EI = 200 + 10√6 ( em 105 Nm2). Calcule as flechas dos dois vãos da estrutura e compare os resultados com aqueles obtidos no Ftool.

VIGA II

Mb

Calculando o valor de EI, temos: EI = (200 + 10√6 ) x 105 = 225, 5 x 105 Nm2

80kN θ(bc),P

+

θ(bc)

θ(ba),Mb

θ(ba),q

Diagrama de corpo livre da estrutura:

Mb

Por se tratar de uma estrutura hiperestática, aplicou-se uma equação de compatibilidade.

θ(ba) = θ(bc) =

( p l 3) + (-Mb l ) 3EI 24EI

=

Digramas da estrutura

=

(15x 43) 24EI

40 EI

Mb4 3EI (4/3)Mb EI

=

(-Pb l 2 - b2) + (l Mb )

= (-80 x 2,5) (62 - 2,5) +

36EI

= - 165, 28

EI

-

Mb6 3EI

2 Mb EI

Cancelando os parâmetros EI ( comuns a todos os termos da equação) , temos que :

-4/3 Mb - 6/3 Mb = - 165,28 - 40 = 205,28 (-10/3) Mb Mb = 61,584 kNm

VIGA I ( entre A e B) Diagrama de Força Cortante (V)

Diagrama de Momento Fletor (M)

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Equação de equilíbrio no trecho I

VIGA II ( entre B e C) Equação de equilíbrio no trecho II

∑ V = Va + Vba - p l = 0

∑ V = Vbc + Vc + 80 = 0

∑ Ma= -4Vab +Mb+ 2( l p ) = 0 -4Vab + 2( p ) l= - Mb 4 Vab =Mb+ 2( p l )

Vab = 45, 396

∑ Mc = Vb + 6Vc - (3,5 p ) = 0

Va = -Vba x p l Va = 14, 604 kN

l

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Cálculo das Flechas

GRÁFICOS OBTIDOS ATRAVÉS DO FTOOL

VIGA I

VIGA II Mb

80kN

Mb

Vc,Mb

Diagrama de corpo livre da estrutura:

+ V

Vb,Mb

Vb,q

3,50

2,50

b

6,00

A flecha máxima é dada por:

A flecha máxima é dada por:

Fl máxima = Vb, q + Vb, Mb

Fl máxima = Vc, P + Vc, Mb

Fl máxima = 5p l4 + Mb l2

Fl máxima = P x b (l2 - b2)3/2 +Mb x l2

9✓3 x EI x l 9✓3 x EI x l

384EI

9✓3EI

Fl máxima = (5 x 15 x 44) + 61,684 x 42

384 EI 15,59EI Fl máxima

(ab)

= 0,63 mm

Fl máxima = 80 x 2,5 x 162,267 + 61,584 x 42

15,59 x 6 x EI 15,59 xEI Fl máxima

(bc)

Diagrama de força cortante da estrutura:

= 0,16 mm

Diagrama de momento fletor da estrutura:

Diagrama da deformada da estrutura:

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EXERCÍCIO 4

4. A viga da figura abaixo é constituída de um material homogêneo, com E = 20GP.

Seja q = (5 + √6 )kN/m, q = 7,45 kN/m

A

B

C

D

θ(ba) = θ(bc)

Mb = Mc

-M x L1 = (q x L23 ) + (M x L2) + (M x L2) 3EI2 24EI1 3EI1 6EI1 - 4, 295 x 2 = (- 7,64 x 33) + (4,295 x 3) + (4,295 x 3) 3EI2 24EI1 3EI1 6EI1

Equilíbrio trechos BC

- 2, 863 I1 = - 2, 152 I2

Fy = 0

Portanto a relação entre I1 e I2 :

Item a. Determinar os diagramas de esforços solicitantes atuantes na viga, considerando uma seção transversal uniforme para os três trechos; Supondo a deformada da estrutura tal como a figura a seguir:

I1 = 0,752 I2

Vbc + Vcb - ql = 0

Vbc = 11, 175 kN Vcb = -11, 175 kN

Diagrama de força cortante para a estrutura

θcd

θba B

A

Equilíbrio trechos AB e CD M(A) = 0 MA = VBA x 2 – MB = 0

θbc

θcb

Para realiza cálculos para esta estrutura hiperestática, configuração:

C

D

transformou-se a estrutura para a seguinte

Diagrama de momento fletor para a estrutura

Diagrama deformada da estrutura Por se tratar de uma estrutura hiperestática, aplicou-se uma equação de compatibilidade.

θ(ba) = θ(bc) θ(ba) = θ(bc)

e

Mb = Mc Mb = Mc

Mb =Ma = 3,96 kNM

22

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Item b. Admitindo que a seção transversal do trecho intermediário possa ser diferente da seção transversal dos trechos de extremidade, determine a relação entre o Momento de inércia I1 do trecho central e o momento de inércia I2 dos trechos de extremidade, para que os máximos momentos negativos sejam iguais aos máximos momentos positivos experimentados pela viga, sob o que carregamento indicado.

M = Mmax positivo

+

Mmax negativo

2

M = 3,96 + 4,63 2

M = 4, 295 kNm

24

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EXERCÍCIO 5

5. Determinar os diagramas de esforços solicitantes para a viga da figura abaixo, identificando os pontos de momentos máximos (positivos e negativos). A caga distribuída vale q = (5 + √6 )kN/m.

VIGA I

VIGA II

=

(q0 l 3) + (-Mb l ) 3EI 45EI

Diagrama de corpo livre da estrutura:

=

A

B

C

=

(7, 45 x 33) 45EI

4,47 EI

-

=

(-q0 l 3) + (Mb l ) 3EI 24EI

=

Mb3 3EI

Mb EI

=

(7, 45 x 33) + 24EI

Mb3 3EI

- 8,38 EI

Mb EI

Cancelando os parâmetros EI ( comuns a todos os termos da equação, temos que :

2Mb Mb Deformada da estrutura

através da deformada observou-se a existência dos ângulos θ(ba) e θ(bc) θ(ba)

VIGA I ( entre A e B) Equação de equilíbrio no trecho I

θ(ba) = θ(bc)

Equação de equilíbrio no trecho II

∑ V = Vb + Vc - p l = 0

∑ Mb = Mb + Va - 1 (p l ) = 0

∑ Mb = Mb + 3Vc - [1,5 (p l )] = 0

2

Por se tratar de uma estrutura hiperestática, aplicou-se uma equação de compatibilidade.

VIGA II ( entre B e C)

∑ V = Va + Vb - pl = 0

2

θ(bc)

= 12,85 = 6,425 kNm

- 3Vc = 1,5 x 7,45 x 3 - Mb = 0 3Vc = 27,1 Vc = 9,03 kN Vbc = 13,32 kN Diagramas construídos a manualmente a partir dos cálculos acima:

VIGA I

VIGA II Mb

Mb

+ θ(ba),q

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+ θ(ba),Mb

as distâncias foram encontradas

θ(bc),q

θ(bc),Mb

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GRÁFICOS OBTIDOS ATRAVÉS DO FTOOL

Diagrama de corpo livre da estrutura:

Diagrama de força cortante da estrutura:

Diagrama de momento fletor da estrutura:

Diagrama da deformada da estrutura:

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