Funciones Reales en una Variable
Contenidos
Concepto función Grafica de una función Dominio y Recorrido de una función Clasificación de la funciones Función Inversa Paridad de las Funciones Operaciones con funciones Ejemplos
Concepto de función La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva
Definición de Función Una función de un conjunto A no vacío en un conjunto B no vacío, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B . En símbolos matemáticos
x A IR ! y B IR
y f x
En forma de esquema
f : A IR Donde
x
x : Variable Independiente y f x : Variable Dependiente
B IR
y f x f x es la imagen de x x : es la preimagen de f x
¿ Cuál es Función ?
A
B
A
B
A
B
A
B
¿ Cuál es Función ?
Menú
Representación Grafica
Método de Óvalos
Plano Cartesiano
B IR
y f x
P x; f x
x
A IR
Menú
Dominio y Recorrido
Dominio
Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto A se llama Dominio de la función a
x A y B f ( x ) y Y lo denotaremos por
Dom f
Dominio y Recorrido
Recorrido
Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la función a
y B x A f ( x) y Y lo denotaremos por
Re c f
Dominio y Recorrido en el plano cartesiano
Dominio y Recorrido usando MĂŠtodo de Ă“valos
¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?
f x 4 x 2 Recorrido
Dominio
y 4 x2 y4 x2
x20
x 2 Dom f 2;
y 4 2 x 2 y 4 2 2 x
Re c f 4; Buscar condiciones para la variable
x
Buscar condiciones para la variable
y
Tabla de Evaluaci贸n
Y su grafica es Men煤
Clasificación de las funciones Función Lineal
Función Cuadráticas
f x mx b
f x ax 2 bx c
Función Cúbica
f x ax3
Función Potencia
f x xc
Función Raíz
Función Reciproca
f x x
f x
1 x
donde
x0
donde
x0
Función Valor Absoluto
f x x x si x 0 si x si
donde
p x
Funciones Racionales
Funciones Irracionales
x0 x0 x0
an x n an1 x n 1 a1 x a0 f x q x bm x m bm1 x m1 b1 x b0
f x mx b
Función Exponenciales
Función Logarítmicas
f x bx f x l o gb x
Funciones Trigonométricas
f x Sen x f x Cos x
f x Tang x
Funciones Hiperbólicas
e x e x f x Senh x 2 e x e x f x Cosh x 2 e x e x f x Tangh x x x e e Ver Graficas
Menú
Propiedades de las funciones Función Inyectiva (1-1)
Se dice que
f
: A IR B IR
es una Función Inyectiva si
f a f b a b
a, b Dom f
Función Epiyectiva (sobre)
Se dice que f
: A IR B IR
es una Función Sobre si Re c f B
Función Biyectiva
Se dice que
f
: A IR B IR
es inyectiva y sobre a la vez
es una Función Biyectiva si
Función Inversa
Sea
f : A B una función biyectiva, entonces la función inversa
f 1 de f
es una función biyectiva tal que
f 1 : B A
y
f 1 y x y f x
Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:
Función inversa
f 1 Menú
Ejemplo Hallar la inversa y grafica de la siguiente función
f x 2x 1
Solución Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable
y 2x 1 y 1 2x y 1 x 2
Por lo tanto
f
1
x 1 x 2
x
Y ambas grafica en el mismo plano cartesiano son
x 1 f x 2
Menú
f x 2 x 1
Paridad de una función Funciones pares Decimos que una función es par siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que:
f x f x
Ejemplo 2 4 Dada la función f x 3x 4 x
a) ¿es par o impar?. b) Utilizando Winplot grafique Solución
Analizaremos si la función es par, para ello debe cumplir que Para este caso
f x 3 x 4 x 2
3x 2 4 x 4 f x
Por lo tanto esta función es par
4
f x f x
Función Impar Decimos que una función es impar siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que:
f x f x
Función sin paridad El carácter par o impar de una función es lo que conocemos como su paridad. Las funciones que no son ni pares, ni impares, carecen de paridad.
Ejemplo Dada la función a) b)
1 g x x x 2 3
¿es par o impar?. Utilizando Winplot grafique
Solución Analizaremos si la función es impar, para ello debe cumplir que
f x f x
Para este caso
1 3 g x x x 2 1 x3 x 2 3 1 x x 2
g x
Por lo tanto esta función es impar
Menú
Operaciones con funciones A C y g : B D dos funciones tal que Dom f Dom g
Sean f :
Suma de f y g
f g x f x g x
Resta de f y g
f g x f x g x
Producto de f y g
f g x f x g x
Cociente de f y g
f x f x g x g
g x 0
Función Compuesta Sean
f : A C y g : B D funciones tales que f A B ,
Entonces se llama función compuesta de g y f y lo denotamos por A la función definida por
g f x g f x para cada valor de A,
tal que su imagen este en el conjunto B
Gráficamente podemos expresar la función compuesta de g y f de la siguiente manera
Composición de de f y g
g f x g f x
Composición de una Función con su Inversa
De la representación anterior se puede notar que:
ff x x 1
o
1 f f x x
Ejemplo Considere las siguientes funciones reales definidas por
g x x2 1
f x 5 3x Determine
g f x 1
Solución
Por hallar la inversa de
f x 5 3x
Para este caso la función es biyectiva por lo tanto existe su inversa, la cual es
y 5 3x 5 y x 3
f
1
5 x x 3
En donde su Dominio es los números reales Además el dominio d la función Por lo tanto
Por lo tanto
g x
También son los números reales
Dom g f 1 IR 1 1 g f x g f x
5 x 5 x g 1 3 3 2
Por lo tanto
5 x 1 g f x 3 1 2
Ejemplos 1.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio, Recorrido para que sea función a)
f x x2 1
b)
f x 2 x 1
c)
x 1 f x x 1
2.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio para que sea función a)
b)
f x
x 1 x 1x 2
f x
x2 x 1
3.- Trace la grafica de la siguiente función a)
b)
x 3 si 5 x 1 f ( x) 2 si 1 x 1 x 3 si 1 x 3 x 5 si f ( x) 2 si 2 x 8 si
6 x 0 0 x2 x2
4.- Considere las siguientes funciones reales definidas por
1 f x x 1
x 1 g x x 1
Determine g f x , f g x , f f x , y g g x Además explicite sus dominio
5.- Usando alguna aplicación grafica determine Dominio, Recorrido
a) b)
c)
f x 3x 2
d)
1 f x x 1 3 2x
4 h x 2 x 4
e)
f x log x 1
f)
x h x 2 x 4
1 f x Sen x
6.- Sean la funciones definidas por
f x x 1
g x x 2
Hallar dominio de cada una de las siguientes funciones.
f g x f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f x f x g x g
Además presente su grafica en caso que sea posible
g x 0
7.- Para cada uno de los pares de funciones determine
g f x a)
f x x 2 2
g x x 2
b)
f x 2x2 6
g x 7x 2
c)
f x x2 x 1
g x x 1
d)
2 f x x 1
g x 2x 3
e)
x 1 f x x 1
x 1 g x x 1
Menú Terminar
Función Lineal
Función Cuadráticas
Función Potencia
Función Raíz
Función Cúbica
Función Reciproca
Función Valor Absoluto
Función Exponenciales
Función Logarítmicas
Funciones Trigonométricas
f x Sen x
f x Cos x
f x Tang x
Funciones Hiperbólicas
f x Senh x
f x Cosh x
f x Tangh x
Menú