Curso Colegial Moderno
MATEMĂ TICA
2
Luiz Mauro Rocha Ruy Madsen Barbosa Scipione Di Pierro Neto
Luiz Mauro Rocha Ruy Madsen Barbosa Scipione Di Pierro Neto
Curso Colegial Moderno
MATEMĂ TICA
volume 2
APRESENTAÇÃO Neste segundo volume do nosso curso, damos prosseguimento ao plano didátido de acordo com as modernas técnicas e tendencias observadas em países e autorres pioneiros na renovação no ensino da matemática. Inicialmente é apresentado um estudo bastante completo de sequências, incluindo as porgressoes e noções sobre séries numericas, com o emprego do símbolo somatório e do princípio de indução matemática. O estudo das matrizes no curso secundário constitui novidade nos nossos programas, sendo no entanto justificável a sua introdução, em nível elementar dada as suas amplas aplicações, principalmente nos sistemas lineares. Na parte de geometria, introduzimos as primeiras nições de transformações goemétricas e na parte métrica, usamos o princípio de Cavalieri. No terceiro volume, completaremos o curso com os capítulos sobre combinatória, Binômio de Newton, estruturas, numeros reais e complexos, polinômios e equações ALgébricas, noçõpes de caulculo infitesimal e geometria Analítica. Esperamos dos estudantes e professores a mesma acolhida que dedicaram ao 1º volume. As crítica favoráveis ou contrárias, nos serão igualmente valiosas para futura orientação.
Os autores São Paulo, janeiro de 1968.
A. Introdução de Sequências. 1) Conceito de Sequências O aluno aprendeu na série anterior o conceito de função; assim, lembra-se que uma função é um conjunto de pares ordenados, tais que ao primeiro elemento do par associa ou põe em correspondência o segundo elemento, e somente esse elemento. Estudou também que o domínio da função é o conjunto dos primeiros elementos dos pares, e contradomínio da função é o conjunto dos segundos elementos.
Recordando, dados os conjuntos: A= {1, 0, -1} B= {2, 1 ½, 1, ½}
a função ou aplicação f de A em B, que associa aos valores x ∈ A o valor (x² + ½ ) B, possui por domínio o próprio conjunto A e por contradomínio o conjunto C = {1 ½ , ½}, e indicaríamos: f: A B x x² + ½ ou dada por y = x² + ½ Dentre as funções , um tipo merece especial atenção pelas suas grandes aplicações, São aquelas em que o domínio é o próprio conjunto dos naturais* e o contradomínio é contido no conjunto dos números reais, às vezes num conjunto mais amplo, o dos complexos estudaremos mais tarde.
*
Uma função nessas condições é Sequência ou Sucessão.
Neste capítulo, quando nos referimos aos naturais, em geral trata-se do conjunto ℕ* (sem o zero).
Exemplos: Ex.1:
A função que associa aos números naturais os seus dobros 1 2 3 4 5 .......... 2 4 6 8 10
é sequência bastante conhecida, a sequência dos números pares (excluindo o zero). Ex.2:
A função que associa aos números naturais os seus dobros menos uma unidade 1 2 3 4 5 6 .......... 1 3 5 7 9 11 ..........
é também usual, é a sequência dos ímpares.
2) Definição Uma sequencia real é uma função cujo domínio é o conjunto dos naturais e cujo contradomínio é o contido no conjunto dos reais.
Os valores do contradomínio dão em geral indicados por uma letra com índices numéricos indicativos dos números naturais a que correspondem. Dessa maneira, o correspondente do natural 1 poderá ser a1, o do natural 2 poderá ser a2 ; e, de uma maneira geral, o correspondente do natural n será indicado por an, ou com outra letra qualquer, afetada do índice n. O contradomínio será então o conjunto: {a 1 , a 2 , a 3 , ......a n , ... } Costuma-se dizer qua a sequencia é o próprio contradomínio, mas os seus elementeos sevem ser considerados a ordem da correspondência. Indicamos com: <a n > = ( a 1 , a 2 , a 3 , ......a n , ... ) Observação: As vezes usa-se no domínio também o zero, e nesse caso o primeiro termo da sequência será a 0 .
3) Formas de se dar uma Sequência Da definição, resulta que uma sequencia é um conjunto ordenado, pois sabemos qual é o primeiro, o segundo etc, por isso quando fornecemos valores de uma sequencia (do contradomínio) devemos dispô-los na ordem dessa correspondência. Três são as formas de se dar uma sequência, dizemos Formas de Definir uma Sequência. FORMA I – PELA LISTAGEM Dispondo alguns elementos na ordem da correspondência, desde que a regra de formação seja evidente. A essa ordem, denominamos ordem natural de sequência. É o caso da sequência: 2, 4, 6, 8, ..... em que só com esses elementos é evidente a lei de formação, e conseguiríamos continuála. Essa forma não é rigorosa. FORMA II – PELO TERMO GERAL Dar uma fórmula que para qualquer valor natural n forneça o correspondente, essa formula é denominada expressão do termogera, da sequencia, ou expressão do enésimo termo. É o caso, por exemplo, da sequência <a n >, com a n =3 n , onde fazendo: n = 1 obtemos a 1 = 3.1 = 3 n = 2 obtemos a 2 = 3.2 = 6, etc. Isto é: <a n > = <3 n > = (3, 6, 9, 12, ...) FORMA III – FORMA INDUTIVA Indicando o primeiro elemento e um método (ou fórmula) para se obter qualquer termo conhecendo-se o anterior. Para esta forma é necessário: a) O valor de a1; b) Uma relação de recorrência, que possibilite determinar-se qualquer termo recorrendo-se ao anterior (ou as vezes dois ou mais anteriores).
Exemplos: Ex 1. a) a 1 =3 b) a n+1 = 2a n + 1
para n ≥ 1
Fazendo na relação recorrente: n = 1, temos a 2 = 2a 1 + 1 = 2.3 + 1 = 7 n = 2, temos a 3 = 2a 2 + 1 = 2.7 + 1 = 15 n = 3, temos a 4 = 2a 3 + 1 = 2.15 + 1 = 31, etc <a n > = (3, 7, 15, 31, .....) Ex 2. O exemplo de sequencia dado na Forma I, na indutiva seria dado por: a) a 1 = 2 b) a n+1 = a n + 2, n≥ 1 Ex 3. Complete a lei de recorrência abaixo, para o explo dado para a Forma II: a) a 1 = 3 b) a n+1 = ........+........, n ≥ 1 Ex 4. a) a 1 = 1 b) a n+1 = a n + 1, n ≥ 1, que fornece a sequencia <a n > = (1, 2, 3, 4, 5, 6, ....n...) isto é, o conjunto dos naturais, quando ordenado, é uma sequencia denominada sequencia ou sucessão dos naturais.
4) Crescimento de uma sequencia Uma sequencia <an> na qual cada termo é menos ou igual ao sucessor, é chamada monótona não-decrescente; portanto, devemos ter: a n ≤ a n+1 , para todo n ≥ 1
Caso se verifique somente a desigualdade:
a n < a n+1 , para todo n ≥ 1
diremos que a sequencia é monótona crescente, ou estritamente crescente. Analogamente quando cada termo é maior ou igual ao sucessor, chamamos sequencia monótona não crescente. Da mesma maneira se verificarmos a desigualdade a n > a n+1 , para n ≥ 1 diremos que a sequencia é monótona decrescente ou estritamente decrescente. Quando a n+1 = a n , para todo n ≥ 1, a sequencia é dita estacionária ou constante. Existem ainda sequencias interessantes nas quais cada termo é maior alternadamente e menor que o sucessor, são oscilantes. Nas sequências oscilantes, que possuem várias vezes um mesmo valor, diz-se que esse valor é ponto de repercussão. Nos exemplos seguintes indicamos o tipo, e deixamos para o leitor verificar a definição: monótona não decrescente < 2n + (-1)n > < 4 > estacionária oscilante < ( - 1) n/n > < 3n > monótona crescente.
5) Operações com Sequências As operações com sequencias se obtém operando com os termos de mesmos índices. Ilustração: <a n > = (1, 3, 5, 7, 9, ...) <b n > = (1, ½, ¼,1/8, ....) teremos: <a n > <a n > <a n > <a n > —1 <a n >
+ – . : =
<b n > = (2, 3 ½, 5 ¼, 7 1/8, ........) <b n > = (0, 2 ½, 4 ¾ , 6 7/8, ........) <b n > = (1, 3/2, 5/4, 7/8, ........) <b n > = (1, 6, 20, 56, ........) —<b n > = (—1,— ½ ,—¼, — 1/8, ........)
6. Convergência 1. Algumas sucessões <a n > gozam de uma importante particularidade: os valores de an, conforme aumentamos o natural n, aproximam-se de um determinado valor finito, o que podemos ver por exemplo na sequência abaixo:
n+2 5 6 7 <——> = (3, 2, —, —, —, .....) n 3 4 5
O leitor observa que os termos dessa sequência são números racionais dados por frações em que o numerador e o denominador vão aumentando, mas cujo número vai diminuindo, aproximando-se da unidade, conforme aumentamos o natural n, o que mostram os cálculos seguintes, e que nunca será menor que 1 pois 0 numerador é maior que o denominador. 5 — = 1,666.... 3
10 — = 1,25 8
6 — = 1,5 4
11 — = 1,222.... 9
7 — = 1,4 5
12 — = 1,2 10
8 — = 1,333.... 6
......... 1002 n = 1000 [ ——— = 1,002 1000 .. .. .. 10002 n = 10000 [ ——— = 1,0002 10000
Dizemos que a seqüência é convergente e que converge ao limite 1.
É importante ainda verificarmos que essa aproximação ao limite 1 é tal que a diferença entre o limite e o termo considerado é pequena e cada vez menor. De fato: n+2 n+2-n 2 a -1 = —— = ——— [ an - 1 = — n n n n 2 e aumentando n, a fração — é cada vez menor. n Em outros exemplos o limite é maior que a n ; ou ainda nos casos de oscilantes, an é ora menor ora maior que o limite. Usamos portanto para a convergência a seguinte
7. Definição Uma sequência < an > é convergente e possui limite L se a diferença em valor absoluto entre o limite L e o têrmo an, se aproxima de zero, ou se toma igual a zero, quando aumentamos o número natural n.
A definição diz que para uma sequência convergir a um limite L é necessário que |L - a n | seja bem pequeno, quando n é grande; dizemos que a diferença se possa tornar menor que um número ∈ arbitrariamente pequeno, isto é: |L - a n | < ∈ a partir de certo índice n0
Indicamos: lim n ∞
an = L
e lemos “limite de an quando n tende ao infinito é igual a L".
2. Outras seqüências <a n >, conforme aumentamos o natural n, os valores an aumentam indefinidamente, ultrapassando qualquer número escolhido, como é o caso da seqüência: <3n 2 > = (3,12, 27, 48, ...)
Dizemos que a sequência é divergente, e que tem por limite o infinito positivo.
Indicamos: lim an = + ∞ n +∞
3. Analogamente, algumas sequências <a n >, possuem valores negativos e aumentam indefinidamente em valor absoluto, conferme aumentamos o natural n, como é o exemplo da sequência: <2-n 3 > = (1, -6, -25, -62, ...) Dizemos que a sequnência é divergente e tem por limite o infinito negativo. Indicamos: lim an = - ∞ n +∞
Outro caso bastante interessante é o de algumas sequências oscilantes, cujos valores podem se aproximar alternativamente de dois valores L e L´, como é o caso da sequência: 2n < 6 + (-1) n ——— > n+1 = (5, 7 1/3, 4 1/2, 7 3/5, 4 1/3, 7 5/7, 4 1/4,...) cujos valores oscilam, e se os separássemos nas sequências: (5, 4 1/2, 4 1/4, ...) e (7 1/3, 7 3/5, 7 5/7, 7 7/9, ....) observaríamos que os valores da primeira vão diminuindo aproximando-se de 4, e os da segunda vão aumentando aproximando-se de 8. Dizemos que os valores 4 e 8 são pontos-limites da sequência. Algumas sequências oscilantes ainda apresentam outra particulariedade iteressante; elas podem assumir um mesmo valor uma infinidade de vezes; diz-se que esse valor é ponto de repercussão, que é também um ponto-limite da sequência. Quando duas sequências <an> e <bn> convergem aos limites A e B, então fazendose a soma (ou a diferença, ou o produto, etc) a sequência obtida também converge, e o limite
é a soma A+B dos limites (ou a diferença, etc) *; esse resultado vale em alguns casos para sequências divergentes. Sejam as sequências: n+1 2n+1 <———> e <———> 3n n a)
n+1 n 1 1 1 a n = —— = — + — = — + —– 3n 3n 3n 3 3n Fazendo n assumir os valores do conjunto dos naturais, teremos:
1 1 1 1 1 1 1 1 ( — + —, — + —, — + —, — + —–, ... ) 3 3 3 6 3 9 3 12 que nos indica que o valor de qualquer termo é igual a 1/3, adicionado com uma parcela que diminui indefinidamente tendendo a zero; ou de 1 a n = 1/3 + — 3n podems escrever: 1 a n - 1/3 = —– 3n portanto |a n - 1/3| fica menor que uma quantidade ∈ arbritariamente pequena, bastando para isso escolher um n suficiente grande. Portanto: lim an = 1/3 n ∞ b)
2n+1 2n 1 1 b n = —— = —– + — = 2 + — n n n n
<b n > = (2+1, 2+1/2, 2+1/3, 2+1/4, 2+1/5, ....) e com o mesmo raciocínio: lim bn = 2 n ∞
* As provas serão tratadas na terceira série com teoremas mais gerais para funções quasiquer e não só sequências.
c) Cálculo da sequência soma n+1 2n+1 7n+4 <c n > = ——– + ——– = ——— 3n n 3n 7n+4 7n 4 7 4 c n = ——— = —— + —– = —– + —– 3n 3n 3n 3 3n <c n > = (7/3+4/3, 7/3+4/6, 7/3+4/9, 7/3+4/12, ....) lim C n = 7/3 = 2+1/3 = lim a n + lim bn n ∞ n ∞ n ∞
8. Representação Gráfica Como se fez na primeira série, sendo as sequências particulares funções, podemos fazer o gráfico de uma sequência usando a representação cartesiana, bastando para isso marcar os pares (n;a n ). Por ser n um número natural, os pares possuem por imagem pontos isolados, portanto não se ligam os pontos com um traço contínuo, mas é costume utilizar uma linha interrompida, o que auxilia para se observar o crescimento e a convergência da seqüência. Daremos alguns exemplos: Fig. 1: <2n + (-1) n >
Fig. 2: <4>
(-1) n Fig. 3: <——–> n
Fig. 4: <3n>
2n n+2 <——–> Fig. 5: Fig. 6: <6+(-1) n —––> n n+1
Exercícios – Sequência 1 1. Dar mais quatro elementos das sequências abaixo: <a n > = (1, 5, 9, 13, 17, .........................) <b n > = (1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, ..................) 3 4 5 <c n > = (2, —, —, —, .............. ... ) 2 3 4
2. Dê as sequências-finitas de 5 termos das sequências: 1 a) <4n> b) <2n+3> c) <4 - —–> 2n d) <2+(-1)n>
e) <2n + (-1/2)n>
3. Calcule o quinto, o sexto e o décimo termos das sequências: 2 n -1 a) <2n> b) <——–> 2 4. Dê as sequências finitas de quatro termos, definidas por: a) a1 = 3 c) a1 = 1 an+1 + 3an = 0, n ≥ 1 an+1 = 4an + 2, n ≥ 1
{ {
b) a1 = 1/2 d) an+1 = 4a + 2, n ≥ 1
{ {
a1 = 1 an+1 + an = 0, n ≥ 1
5. Indique com (V) para verdadeiro ou com (F) para falso. a) ( ) a sequência <3i+2> é convergente. 3n 1 b) ( ) a sequência —— - –— é divergente. 2 2 n+3 c) ( ) a sequência ——– é convergente. 2n 6. Indique nos quadros a letra correspondente do termo geral (teste de associação): a) <2i -3> a´) (-1, 0, 1/3, 1/2, 3,5, .......) b) <i(i-2)> b´) (-1, 0, 3, 8, ....................) n c) <——–> n+1 n-2 d) <——–> n 3n 1 e) <—–– + —> n+2 n
c´)
(-1, 1, 3, 5, ....................)
d´)
(2, 2, 32/15, ..................)
e´)
(1/2, 2/3, 3/4, ................)
7. Indicar quanto ao crescimento os tipos das sequências: n+1 n-1 a) d) <4n + (-1) n 2> <—— + (-1) n ——> 2 2 3n 3 (-1) n <—— + ——> <—— + 3> b) e) n+1 n+1 n+1 c) <5n + 1>
n+2 f) <——> 3n
8. Dadas as sequências: 3n+1 n+3 , <an> = <3n + 2>, <bn> = <——>, <cn> = <——–> n n dê as sequências finitas de seis termos, dadas por: a) <an> + <bn> d) 3 <bn> b) <an> - <bn> e) <bn> : <an> c) <bn> x <an> f ) <cn> : 2 9. Verifique a convergência das sequências seguintes: 3n+2 2n+1 <——–> a) <an> = f) <fn> = <——–> n 5n 2 1 n +1 <3 - —–> b) <bn> = g) <——–> n2 n 3n n 2 -9 <5 + (-1)n —–—> c) <cn> = h) <——–> n+2 n n+3 d) <dn> = i ) <(-1)n 8 + 2> <——–> n2 e) <an> = <5n + 2> 10. Faça as representações cartesianas das sequências dos exercícios 7, 8 e 9 (use de preferência papel quadriculado).
11. Indique qual das recorrências propostas fornece a sequência dada (teste de múltipla escolha): II a1 = 3 III a1 = 4 I a1 = 3 an+1 = an+ 3 an+1 = an + 6 a) <3n> an+1 = 3an
{
{ {
{ { {
{ { {
I a1 = 5 b) <2i +4> an+1 = an+ 2
II a1 = 6 an+1 = an+ 4
III a1 = 6 an+1 = an + 2
I a1 = 1 1 c) <2i +4> an+1 = - —–—– n(n+1)
II a1 = 3 n an+1. an = —–– n+1
III a1 = 1 n an+1 = —–– an n+1
B. Séries e Somatórios. 9) Introdução do Conceito de Série
Consideremos uma sequência qualquer, por exemplo a dos ímpares: <a n > = <2n-1> = (1, 3, 5, 7, 9, ......) e fornecemos uma outra sequência <sn>, obtida utilizando o seguinte processo: s1 = a1 = 1 s2 = a1 + a2 = 1 + 3 = 4 s3 = a1 + a2 + a3 = 1 + 3 + 5 = 9 s4 = a1 +a2 + a3 + a4 = 1 + 3 + 5 + 9 = 16 A essa nova sequência <sn>, denominamos série da sequência <an>; portanto, uma série possui para termos as somas das sequências finitas de uma outra sequência. Os valores an são os termos da série e as somas parciais sn são as reduzidas da série.
10) Definição Recorrente de Série Dada uma sequência <an>, chama-se série da sequência à sequência <sn>, definida pela recorrência: s1 = a1 sn+1 = sn + an+1 , n ≥ 1
{
Quando consideramos somente uma sequência finita, dizemos que temos uma série finita. Para as séries, como são sequências, valem todas definições e explicações dadas para as sequências em geral, assim pode-se estudar o crescimento, convergência, representação grafica etc. Quando a série <sn > converge ao limite s , dizemos que o s é a soma da série. Entretanto, como para as séries usamos sempre adições, e que em geral possuem uma lei de formação, é conveniente o estudo de uma notação simbólica mas adequada.
11) Somatórios Para facilitar os estudos das séries, e também para outras adições, introduz-se a notação simbólica denominada "somatório". ∑ (letra grega sigma maíuscula). Assim, a adição a1 +a2 + a3 + a4 + ...........a20 indicamos com i = 20 20 ∑ ai ou ∑ ai ou ∑ ai (i = 1, 2, ... 20) i = 1 i = 1 i e lemos: "o somatório de ai, i variando de 1 a 20". Os indíces 1 e 20 do somatório são denominados rescpectivamente limite inferior e superior do índice. Mais precisamente, o somatório é dado pela definição recorrente: i=1 ∑ ai = a1 i=1 i = n+1 i=n ∑ ai = ∑ ai + an+1 i = 1 i=1 Com a notação ∑, uma série é uma sequência em que cada termo é um somatório, e em que os limites superiores vão aumentando sucessivamente. Para a soma da série escreve-se ∞ para limitesuperior do índice de somação.