OBMEP 2009 - 2ª fase nível 3

Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.

Nível

Ensino Médio 2ª FASE – 24 de outubro de 2009

3

Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.

Um abraço da Equipe da OBMEP!

INSTRUÇÕES 1. Verifique se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso as infor­ ma­ções não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente.

6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na folha de rascunho.

2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro abaixo.

Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre cada palavra.

7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas as questões.

3. Lembre-se de assinar o quadro abaixo e a lista de presença.

8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.

4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.

9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer fonte de consulta.

5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova, entregue-a ao aplicador.

10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador.

11. Não escreva nos espaços sombreados.

“Espera, espera, tive uma idéia e uma idéia não se deixa fugir.”

Homenagem da OBMEP ao grande escritor brasileiro Euclides da Cunha, por ocasião do centenário de sua morte.

Nome completo do aluno Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº) Complemento

Bairro

Cidade

UF

CEP

Endereço eletrônico (email)

DDD

Telefone

DDD

Telefone (outro)

Assinatura ha Preenc e confira s os dad o om acima c ão! tenç muita a

Correção Regional

Correção Nacional

1

2

3

4

5

6

Total

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

1

2

3

4

5

6

Total

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

2

NÍVEL 3

Respostas sem justificativa não serão consideradas

(1) Em uma caixa foram colocados um cartão no qual está escrito o número 1, dois cartões nos quais está escrito o número 2, três cartões com o número 3 e assim por diante, até dez cartões com o número 10.

(a) Quantos cartões foram colocados na caixa?

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

(b) Explique como escolher 19 cartões da caixa sem que três deles tenham o mesmo número.

(c) Qual é o menor número de cartões que pode ser retirado da caixa, ao acaso, para que se tenha certeza que cinco deles têm o mesmo número? Justifique sua resposta.

total

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

NÍVEL 3

Respostas sem justificativa não serão consideradas

3

(2) Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos a, b e c tais que a b c e n = a 2 + b 2 − c 2 .

Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 1 = 4 2 + 7 2 − 8 2 e 2 = 5 2 + 11 2 − 12 2 .

(a) Verifique que (3 x 1) 2 (4 x 2) 2 (5 x 2) 2 é igual a 2 x 1, qualquer que seja x.

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

(b) Encontre números inteiros m e n tais que (3 x m ) 2 (4 x n ) 2 (5 x 5) 2 2 x , qualquer que seja x.

(c) Mostre que o número 4 é simpático.

(d) Mostre que todos os números inteiros positivos são simpáticos.

total

eros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): 1e6 casas que têm um lado comum

as

as

4

NÍVEL 3

Partida completa

Respostas sem justificativa não serão consideradas.

NÍVEL 1

Respostas sem justificativaJogadas não serão consideradas

7

1, 2, 4 e 3 1e6

(3) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, (6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem (a)podem Escreva as jogadas de uma partida completa tabuleiros ao cujas casas mudar da cor branca para cinza enos vice-versa.

Aslado. casas da 1a linha são numeradas a a mudar da cor branca para cinza e vice-versa.

As casas da linha daas 2 1, 12, 4 e 3 são numeradas com os números ímpares e asCas a com os números ímpares e as da 2 linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas adjacentes vizin mudam de has sãο e,cor. então, casa e as casas vizinhas mudam cor.brancas Uma partida completa com cinzas. todas as partida completa começa com todas as de casas e termina quandocomeça todas ficam Veja dois exemplos Umaessa casas que têm casas brancas e termina ficam cinzas.indicam Veja dois exemplos desem partidas completas (osconsideradas.

Respostas justificativa não serão de partidas completas (osquando númerostodas acima das flechas a casa apertada em cada jogada): lado comum. um números das flechas indicam aque casa apertada cada jogada): (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado. post-it: acima casas adjacentes sãο casas têm um ladoem comum Tabuleiro

artida completa no tabuleiro 2 × 100 .

2×3

Partida completa

Jogadas

6

1

1 e quantas 6 (6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com colunas quisermos, c 1e6 a

mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1 linha são numeradas com os números linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas ad cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinza 1 2 4 3 casa em cada jogada): 1, 4ee33 2 . de partidas completas (os números acima das flechas indicam a 1, artida completa no tabuleiro 22××100 2,2,4apertada post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum Tabuleiro

Jogadas

Partida Jog (a) EscrevaTabuleiro as jogadas de uma partida completa noscompleta tabuleiros ao lado.não serão considerad Respostas sem justificativa (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.

artida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.

2×3

1

(6) No101 jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colun artida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × a 1, 2,c 2 ×da 2 .cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1Correção mudar linha sãoCorreção numeradas Regional linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, Nacional então, essa ca cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando t Expliquecomo comojogar jogaruma umapartida partidacompleta completa de no partidas tabuleirocompletas (b)(b) Explique no tabuleiro 22 × 100 100.. (os números acima das flechas indicam a casa apertada em Tabuleiro Jogadas (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabu post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum

sível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro Tabuleiro 2 × 101.

Partida completa

2×3 Correção Regional

sível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.

Correção Nacional

..

Expliquecomo comojogar jogaruma umapartida partida completa com exatamente 51 jogadas no (b) Explique como jogar uma partida notabuleiro tabuleiro 222××101 100 (c)(c) Explique completa com exatamente 51completa jogadas no tabuleiro 101.

2×2 TOTAL Tabuleiro

Jogadas

(a) Escreva as jogadas de uma partida

TOTAL

(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.

Correção

(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2Regional × 101.

Correção Nacional

(b) Explique comocom jogar uma partida no tabuleiro tabuleiro 22 × 100 (d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa menos que 51completa jogadas no 101..

Correção Regional

Correção Nacional

TOTAL (d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabule total

Correção Regional

Correção Nacional

(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabul

NÍVEL 3

Respostas sem justificativa não serão consideradas

5

(4) Quatro times, entre os quais o Quixajuba, disputam um torneio de vôlei em que: • • • •

cada time joga contra cada um dos outros uma única vez; qualquer partida termina com a vitória de um dos times; em qualquer partida os times têm a mesma probabilidade de ganhar; ao final do torneio, os times são classificados em ordem pelo número de vitórias.

(a) É possível que, ao final do torneio, todos os times tenham o mesmo número de vitórias? Por quê?

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

(b) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com o Quixajuba isolado em primeiro lugar?

(c) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com três times empatados em primeiro lugar?

total

6

NÍVEL 3

Respostas sem justificativa não serão consideradas

(5) Dois triângulos retângulos isósceles com catetos de medida 2 são posicionados como mostra a figura 1. A seguir,

o triângulo da esquerda é deslocado para a direita. Nas figuras 2 e 3, x indica a distância entre os vértices A e B dos dois triângulos.

2

2 2

2 Figura 1

B

A

x Figura 2

B

A x Figura 3

Para cada x no intervalo [0,4], seja f ( x ) a área da região comum aos dois triângulos (em cinza nas figuras). (a) Calcule f (1) e f (3) .

Correção Regional

Correção Nacional

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(b) Encontre as expressões de f nos intervalos [0,2] e [2,4] e esboce o seu gráfico.

(c) Qual é a área máxima da região comum aos dois triângulos?

total

NÍVEL 3

Respostas sem justificativa não serão consideradas

7

(6) Uma folha de papel retangular ABCD de 12 cm por 16 cm (figura 1) é cortada ao longo da diagonal AC (figura 2).

O triângulo ABC é dobrado pelo segmento BM (figura 3), sendo M o ponto de encontro das diagonais do retângulo ABCD. Finalmente, é feita uma dobra ao longo de MP, onde P é escolhido de modo que CM coincida com AM (figura 4).

A

A=C

16 cm

12 cm

B

C

B

C

M

M D

A Figura 1

P

B

C

B

P

M

M

A Figura 2

Figura 3

Figura 4

na figura 4 é reto. (a) Explique porque o ângulo BMP

Correção Regional

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Correção Nacional

Correção Regional

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Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

(b) Mostre que o triângulo BMP da figura 4 é semelhante ao triângulo ABC da figura 2.

(c) Calcule a área do triângulo BMP da figura 4.

(d) Calcule a área do quadrilátero ABMP da figura 4.

total

rascunho Operacionalização: