BINÔMIO
1. (Ufsm 99) Dadas as matrizes M e N mostradas na figura adiante
onde m é o termo independente do desenvolvimento do binômio [(1/x)+x£]§, então o determinante da matriz Q=M.N é igual a a) 15 b) 126 c) 374 d) -126 e) -156
2. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) A solução da equação (x+3)!+(x+2)!=8.(x+1)! é 0 (zero).
(02) A solução da equação A(x, 3) = 4 . A(x, 2) é 6.
(04) No desenvolvimento do binômio (2x - 1)§, o termo independente de x é 1.
(08) O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra BRASIL, que começam com B e terminam com L, é 24.
(16) Um time de futebol de salão é formado por 5 jogadores. Dispondo de 8 jogadores, podemos formar 64 times de futebol de salão.
Soma (
)
3. (Ita 95) Para cada n Æ N temos que:
é igual a: a) (-1)¾.2£¾ b) 2£¾ c) (-1)¾ .2¾ d) (-1)¾®¢.2£¾ e) (-1)¾®¢.2¾
4. (Fuvest 95) Lembrando que:
5. (Unitau 95) Sendo n 路 0, o(s) valor(es) de n tal que [(n+1)!-n!]/(n-1)! =7n s茫o: a) 7. b) 0 e 7. c) 0 e 10. d) 1. e) 0 e 2.
6. (Unitau 95) O termo independente de x no desenvolvimento de [x+(1/x)]§ é: a) 10. b) 30. c) 40. d) 16. e) 20.
7. (Unicamp 92) A desigualdade (1+x)¾µ1+nx é válida para xµ-1 e n inteiro positivo. Faça a demonstração dessa desigualdade, apenas no caso mais simples em que xµ0 e n é um número inteiro positivo.
8. (Fei 94) A soma de todos os coeficientes do desenvolvimento de (14x - 13y)£¤¨ é: a) 0 b) 1 c) -1 d) 331.237 e) 1.973.747
9. (Ita 96) Dadas as afirmações a seguir:
Conclui-se que: a) todas são verdadeiras. b) apenas (I) e (II) são verdadeiras. c) apenas (I) é verdadeira. d) apenas (II) é verdadeira. e) apenas (II) e (III) são verdadeiras.
10. (Uel 94) Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x+a)¦, com a Æ IR, é 80x£, então o valor de a é a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
11. (Uel 96) A solução n da equação a seguir é um número inteiro múltiplo de
a) 11 b) 9 c) 7 d) 5 e) 3
12. (Unirio 95) No desenvolvimento de (x+y)¾, a diferença entre os coeficientes do 3Ž e do 2Ž termos é igual a 54. Podemos afirmar que o termo médio é o: a) 3Ž b) 4Ž c) 5Ž d) 6Ž e) 7Ž
13. (Unaerp 96) Se x!(x+1)!/(x-1)!x! = 20, então x vale: a) - 6 b) - 5 c) 4 d) 5 e) 6
14. (Uece 96) Se m e q são, respectivamente, os coeficientes de x¦ e x ¨ no desenvolvimento de [x+(1/Ë3)]ª, então m+q é igual a: a) 23 b) 24 c) 25 d) 26
15. (Uel 95) Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (2x + y)¾ é igual a 243, então o número n é a) 12 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3
16. (Mackenzie 96) Lembrando o desenvolvimento do binĂ´mio de Newton, o valor da expressĂŁo mostrado a seguir, ĂŠ:
a) 8 b) 6 c) 3 d) 5 e) 4
17. (Fei 96) Se (n+4)! + (n+3)! = 15(n+2)!, então: a) n = 4 b) n = 3 c) n = 2 d) n = 1 e) n = 0
18. (Fei 96) A expressão n!3¾®¢/[3¾£(n+2)!] é equivalente a: a) 27/(n£+3n+2) b) (n-1)/(9n+18) c) n + 1 d) 27n£ + 81n + 54 e) 27n + 54
19. (Unicamp 97) Considere o enunciado a seguir:
20. (Mackenzie 97) No desenvolvimento [x£ + (3/x)] , t Æ IN, os coeficientes binominais do quarto e do décimo-terceiro termos são iguais. Então o termo independente de x é o: a) décimo. b) décimo-primeiro. c) nono. d) décimo-segundo. e) oitavo.
21. (Uece 97) O coeficiente de x§ no desenvolvimento de (Ë2 . x£ + 2)¦ é: a) 40Ë2 b) 48Ë2 c) 60Ë2 d) 80Ë2
22. (Pucmg 97) No desenvolvimento de [x + (a/x)]¨, com a > 0, o coeficiente do termo em x¤ é 84. O valor de a é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
23. (Uel 97) No desenvolvimento do binômio [¥Ëx + (1/Ëx)]¢¡, segundo as potências decrescentes de x, o sétimo termo é:
24. (Mackenzie 98) Considere a equação mostrada na figura adiante,
então (x-2)§ vale: a) 2§ b) 0 c) 5§ d) 6§ e) 4§
25. (Uel 98) Considere o desenvolvimento do binômio [2x+(1/2)]¢¡ segundo as potências decrescentes de x. A razão entre os coeficientes do terceiro e do quinto termos, nessa ordem, é igual a a) 20/11 b) 21/10 c) 22/9 d) 23/8 e) 24/7
26. (Unirio 99) Calcule o valor da expressão a seguir
, onde n é ímpar, justificando a sua resposta.
27. (Uff 99) O produto 20. 18. 16. 14. ... 6. 4. 2 é equivalente a:
a) 20!/2 b) 2 . 10! c) 20!/2¢¡ d) 2¢¡ . 10! e) 20!/10!
28. (Uepg 2001) Considerando o Binômio [x£ + (1/x)]¾, assinale o que for correto.
01) Se n é um número par, o desenvolvimento desse Binômio tem um número ímpar de termos. 02) Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento desse Binômio é 256, então (n/2)!=24 04) Se o desenvolvimento desse Binômio possui seis termos, a soma de seus coeficientes é 32 08) Se n = 4, o termo médio desse Binômio é independente de x 16) O produto do primeiro termo do desenvolvimento desse Binômio pelo seu último termo é x¾, para qualquer valor de nÆN*
29. (Ita 2001) Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio (x+y)¾, temos que o número de arranjos sem repetição de n elementos, tomados 2 a 2, é: a) 80 b) 90 c) 70 d) 100 e) 60
30. (Ita 2001) A respeito das combinações mostradas na figura adiante, temos que, para cada n = 1, 2, 3, ..., a diferença aŠ - bŠ é igual a:
31. (Pucmg 2001) O número natural que torna verdadeira a igualdade [(n+2)!(n£)!]/[n(n+1)!(n£-1)!]=35 é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 8
32. (Pucpr 2001) O valor da expressão
103¥ - 4 . 103¤ . 3 + 6 . 103£ . 3£ - 4. 103 . 3¤ + 3¥
é igual a:
a) 10¢¥ b) 10¢£ c) 10¢¡ d) 10© e) 10§
33. (Pucpr) Sabendo que o desenvolvimento de {2x£-[2/(3x)]}¾ possui 7 termos e que um deles é 240ax§, acharemos para "a" o valor: a) 4/9 b) 2/9 c) 1/9 d) 2/3 e) 5/3
34. (Ufc 99) Sejam ‘ e ’ números reais. Suponha que ao desenvolvermos (‘x+’y)¦, os coeficientes dos monômios x¥y e x¤y£ sejam iguais a 240 e 720, respectivamente. Nestas condições, assinale a opção que contém o valor de ‘/’. a) 1/2. b) 3/2. c) 1/3. d) 3. e) 2/3.
35. (Ufpi 2000) Se a e b são números reais tais que (a+b)¢¡=1024 e se o 6Ž termo do desenvolvimento binomial é igual a 252, então: a) a = 1/2 e b = 3/2 b) a = 3 e b = -1 c) a = 2/3 e b = 4/3 d) a = 1/3 e b = 5/3 e) a = 1 e b = 1
36. (Puc-rio 2000) O coeficiente de a¢¤ no binômio (a+2)¢¦ é: a) 105. b) 210. c) 360. d) 420. e) 480.
37. (Puc-rio 2000) A soma alternada
de coeficientes binomiais vale: a) 2¢¥ b) 20. c) 10. d) 10!. e) 0.
38. (Ufes 2001) Uma agência bancária cadastra as contas de seus clientes usando um número N de quatro algarismos, seguido de um dígito de controle, o qual é definido como o resto da divisão de N¢¢ por 7. Por exemplo, na conta 2001-6, o algarismo de controle 6 é o resto da divisão de (2001)¢¢ por 7; isso pode ser comprovado escrevendo-se
2001 = 7 x 286 - 1
e, a seguir, utilizando o binômio de Newton para desenvolver a potência (7x286-1)¢¢. Por esse raciocínio, ou equivalente, calcule o algarismo de controle da conta número 2000.
39. (Uerj 2001)
Na potência acima, n é um número natural menor do que 100. Determine o maior valor de n, de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um termo
independente de x.
40. (Fgv 2002) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x+y)¦ é igual a: a) 81 b) 128 c) 243 d) 512 e) 729
41. (Ufc 2003) O coeficiente de x¤ no polinômio p(x) = (x - 1).(x + 3)¦ é: a) 30 b) 50 c) 100 d) 120 e) 180
42. (Ita 2003) Considere o conjunto S = {(a, b) Æ N x N: a + b = 18}. A soma de todos os números da forma , (18!)/(a!b!), ¯(a,b) Æ S, é:
a) 8§ b) 9! c) 9§ d) 12§ e) 12!
43. (Fgv 2003) Sabendo que:
x e y são números positivos x-y=1e x¥ + 4x¤y + 6x£y£ + 4xy¤ + y¥ = 16
podemos concluir que: a) x = 7/6 b) x = 6/5 c) x = 5/4 d) x = 4/3 e) x = 3/2
44. (Ufsm 2003) O coeficiente de x¦ no desenvolvimento de [x + (1/x£)]© é dado por a) 0 b) 1 c) 8 d) 28 e) 56
45. (Pucpr 2004) Sabendo que TŠø‚/TŠøƒ = 3x/12y no desenvolvimento do binômio (x + 3y)£¾®¦. Calcular n: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
46. (Ita 2004) O termo independente de x no desenvolvimento do binômio
é a) 729 ¤Ë45 b) 972 ¤Ë15 c) 891 ¤Ë(3/5) d) 376 ¤Ë(5/3) e) 165 ¤Ë75
47. (Ita 2005) No desenvolvimento de (ax£ - 2bx + c + 1)¦ obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e -1 são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a a) -1/2. b) -1/4. c) 1/2. d) 1. e) 3/2.
48. (Fgv 2005) Se
então n é igual a: a) 4 b) 6 c) 9 d) 5 e) 8
49. (Pucrs 2005) No triângulo de Pascal
n=0
1
n=1
11
n=2
121
n=3
1331
n=4
14641 .........
a soma dos elementos da linha n com os da linha n + 1 é a) n ( n + 1 ) b) 2¾ . 2¾®¢ c) 3 . 2¾ d) 2 . 2¾®¢ e) 3¾ . 2¾®¢
50. (Ita 2006) Determine o coeficiente de x¥ no desenvolvimento de (1 + x + x£)ª.
51. (Uerj 2006) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração abaixo.
52. (Mackenzie 99) Em [0, 2™], se ‘ é a maior raiz da equação mostrada na figura adiante
, então sen(3‘/4) vale: a) -1 b) 1 c) 0 d) 1/2 e) - 1/2
53. (Ufpr 2004) Sabendo-se que i, 3 e { (1/2) + i . [(Ë3)/2] }¢¥ são raízes de p(x) = x § - 6x¦ + 7x¥ - x¤ + 18x £ + ax + 12, onde i é a unidade imaginária e a é número real, é correto afirmar: (01) 1 também é raiz de p(x). (02) 4 também é raiz de p(x). (04) O produto das raízes de p(x) é 14. (08) p(x) é divisível por x£ + x + 1.
Soma (
)
GABARITO
1. [E]
2. 01 + 02 + 04 + 08 = 15
3. [A]
4.
c) n = 14 e p = 4
5. [A]
6. [E]
7. 1) n = 0 ë (1 + x)¡ = 1 + 0.x ë 1 = 1 2) n = 1 ë (1 + x)¢ = 1 + 1.x ë 1 + x = 1 + x
8. [B]
9. [B]
10. [E]
11. [E]
12. [E]
13. [C]
14. [D]
15. [D]
16. [C]
17. [E]
18. [A]
19. a) Observe a demonstração adiante:
b) n
20. [B]
21. [D]
22. [A]
23. [C]
24. [B]
25. [E]
26. Zero, pois os termos binomiais eqĂźidistantes dos extremos sĂŁo complementares e, portanto, iguais, e possuem sinais contrĂĄrios, anulando-se dois a dois.
27. [D]
28. 23
29. [B]
30. [E]
31. [C]
32. [D]
33. [A]
34. [E]
35. [E]
36. [D]
37. [E]
38. Algarismo de controle 3 (2000-3)
39. 96
40. [C]
41. [E]
42. [A]
43. [E]
44. [C]
45. [D]
46. [E]
47. [A]
48. [E]
49. [C]
50. 414
51. a) 969
b) 1.360 laranjas
52. [A]
53. 02 + 08 = 10