Conjuntos 2

2 MATERIAL DE APOIO MATEMÁTICA – Turmas 1º AS e 1º PD – Profº Carlos Roberto da Silva

Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.

2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.

3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.

Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø . b) {2} ∩ {3, 5} = Ø c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} ∩ {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z Número de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).

Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A ∩ B por n(A ∩ B) e o número de elementos da união A U B por n(A U B) ,

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podemos escrever a seguinte fórmula: n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) Exemplo : Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:

Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. AxB = { (x,y): x A e y B } Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB. Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.

Exemplo: Dados A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por: AxB={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

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EXERCÍCIOS

1) Considere o diagrama acima onde o retângulo representa o conjunto universo S e os círculos representam os conjuntos A e B. Agora determine: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

o conjunto A o conjunto B o número de elementos de A o número de elementos de B o número de subconjuntos de A o número de subconjuntos de B AU B A∩ B A–B B-A

2) Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e determine: a) o número de subconjuntos de A b) Part( A ) 3) Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos.

Quantos músicos desta Filarmônica tocam: a) instrumentos de sopro ou de corda ? b) somente um dos dois tipos de instrumento ? c) instrumentos diferentes dos dois citados ?

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4) Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em três concursos A, B, e C, obteve-se os resultados tabelados a seguir: Concursos

N. de aprovados

A

150

B

140

C

100

AeB

45

AeC

30

BeC

35

A, B e C

10

Pergunta-se: a) quantas pessoas fizeram os três concursos? b) quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos? c) quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos? d) quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C? 5) Represente na reta real , os intervalos : a) b) c) d) e) f) g) h)

[ 2, 8[ [- ∞ , 2 ] ] 1, 5 [ [ -6 , -1 [ {x ∈ ℜ / 2 ≤ x≤5 } { x ∈ ℜ / -2 ≤ x ≤ 2 } { x ∈ ℜ / 3< x ≤ 7 } { x ∈ ℜ / x <1 }

6) Dados A = [ 2 , 7 ], B = [ -1, 5 ] e E = [3, 9[, calcule: a) b) c) d) e) f) g)

A–B B–A A–E E–B A∪ B B ∩E A ∪E∩B

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