TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2005) O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de óleo vegetal (soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal é empregar uma mistura do biodiesel com diesel de petróleo, cuja proporção ideal ainda será definida. Quantidades exageradas de biodiesel fazem decair o desempenho do combustível. 1. Considerando-se que f(p) = 12 p - p£ e g(p) = p¤ - 24p£ + 144p, o valor do determinante da matriz
é igual a a) 4 620 b) 2 420 c) 2 200 d) 400 e) 220
15/01/2010
9:11
pag.1
2. (Uff 2000) Numa progressão aritmética, de termo geral aŠ e razão r, tem-se a•=r=1/2. Calcule o determinante da matriz mostrada na figura adiante.
15/01/2010
9:11
pag.2
3. (Ufrj 2003) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o determinante da matriz
Justifique.
15/01/2010
9:11
pag.3
4. (Ufpr 95) Considere a matriz A = [a‹Œ], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir. a‹Œ=
ý1, se i · j þ ÿ0, se i = j
É correto afirmar que:
01) Na matriz A, o elemento a‚ƒ é igual ao elemento aƒ‚. 02) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. 04) O determinante da matriz A é igual a - 4. 08) Se a matriz B é [1 -1 1 -1], então o produto B.A é a matriz -B. 16) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1.
15/01/2010
9:11
pag.4
5. (Ufpr 2000) Dadas as matrizes A e B mostradas na figura adiante.
É correto afirmar:
(01) B . A = B (02) Todos os elementos da matriz A + B são números ímpares. (04) O conjunto formado pelos elementos da matriz A.B é igual ao conjunto formado pelos elementos da matriz B. (08) det(3 . A) = det(B) (16) A matriz inversa de A é a própria matriz A.
Soma (
15/01/2010
)
9:11
pag.5
6. (Fgv 2003) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 e O a matriz nula também de ordem 3. Assinale a alternativa correta: a) Se A . B = O, então: A = O ou B = O b) det(2 . A) = 2 det(A) c) Se A . B = A . C, então B = C d) A. (B . C) = (A . B) . C e) det(A + B) = det(A) + det(B)
7. (Ita 2005) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A£ + 2AB - B = 0. Se B é inversível, mostre que (a) AB¢ = B¢A e que (b) A é inversível
15/01/2010
9:11
pag.6
8. (Ufsc 2005) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema da figura 1. (02) A matriz A = (a‹Œ) Öƒ, tal que a‹Œ = i -3j é A = [-2 -5 -8]. (04) A soma dos elementos da inversa da matriz da figura 2 é igual a 2. (08) Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se A = -A, sendo A a transposta da matriz A. Nessas condições pode-se afirmar que a matriz da figura 3 é anti-simétrica. (16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas na figura 4, para que PQ - R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2. (32) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det(A) = 5 det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.
15/01/2010
9:11
pag.7
9. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S). (01) Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses consecutivos são os dados na tabela abaixo. Então, os preços dos produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00. (figura 1) (02) Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para ele. (04) A solução da equação (figura 2) é x = 1. (08) A matriz (figura 3) não possui inversa.
15/01/2010
9:11
pag.8
10. (Pucpr) O determinante a) 1 b) cos£‘ cos£’ cos£– c) (cos‘ cos’ cos–)£ d) tg£‘ sec£‘ + tg£’ sec£’ + tg£– sec£– e) 0
15/01/2010
9:11
pag.9
11. (Unitau 95) O valor do determinante
como produto de 3 fatores ĂŠ: a) abc. b) a (b+c) c. c) a (a-b) (b-c). d) (a+c) (a-b) c. e) (a+b) (b+c) (a+c).
15/01/2010
9:11
pag.10
12. (Unitau 95) Sendo B=(b‹Œ)‚Ö‚, onde,
ý1, se i=j b‹Œ=
þ -2ij, se i<j ÿ3j, se i>j
Calcule o det B : a) 13. b) - 25. c) 25. d) 20. e) - 10.
15/01/2010
9:11
pag.11
13. (Unesp 91) Se a e b são s raízes da equação a seguir:
onde x>0, então a+b é igual a: a) 2/3 b) 3/4 c) 3/2 d) 4/3 e) 4/5
15/01/2010
9:11
pag.12
14. (Fuvest-gv 91) Determinar o número real —·0 de modo que a equação a seguir, admita duas raízes reais simétricas.
15/01/2010
9:11
pag.13
15. (Fei 94) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversĂveis:
podemos afirmar que x/y vale: a) -12 b) 12 c) 36 d) -36 e) -1/6
15/01/2010
9:11
pag.14
16. (Ita 96) Considere A e B matrizes reais 2 × 2, arbitrárias. Das afirmações a seguir assinale a verdadeira. Justifique a afirmação verdadeira e dê exemplo para mostrar que cada uma das demais é falsa. a) Se A é não nula então A possui inversa. b) (AB) = A B c) det (AB) = det (BA) d) det A£ = 2 det A e) (A + B)(A - B) = A£ - B£
15/01/2010
9:11
pag.15
17. (Ufpe 96) Qualquer que seja š o log do determinante
é igual a: a) 1 b) š c) cos£š - sin£š d) 0 e) cos£š
15/01/2010
9:11
pag.16
18. (Puccamp 95) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e tais que det A·0 e det B·0, então é correto afirmar que a) B = A¢ ë det B = det A b) B = A ë det B = det A c) det A£ = det B£ ë det A = det B d) det (A+B) = det A + det B e) det (3A) = 3.det A
15/01/2010
9:11
pag.17
19. (Uel 94) A soma dos determinantes indicados a seguir ĂŠ igual a zero
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b b) se e somente se a = b c) se e somente se a = - b d) se e somente se a = 0 e) se e somente se a = b = 1
15/01/2010
9:11
pag.18
20. (Ufmg 94) Sabe-se que Ax£+2Bxy+Cy£+2DX+2Ey+F, com A, B, C, D, E e F reais, fatora-se, no conjunto dos reais, em dois fatores de primeiro grau em x e y se, e somente se, B£ - ACµ0 e o determinante da matriz, representada a seguir, for nulo.
Com base nessas informações, DETERMINE m para que o polinômio x£+2mxy-y£+x+y seja um produto de dois fatores de primeiro grau em x e y.
15/01/2010
9:11
pag.19
21. (Ufsc 96) Considere as matrizes A e B a seguir e n=det(AB). Calcule 7他.
15/01/2010
9:11
pag.20
22. (Uece 96) Se o determinante da matriz A, mostrada na figura adiante, é igual a 34 e o determinante da matriz B é igual a -34, então n•-n‚ é igual a:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
15/01/2010
9:11
pag.21
23. (Mackenzie 96) Se A é uma matriz quadrada de ordem n µ 2 com elementos
ýcos (i + j)™, se i = j a‹Œ=
þ ÿsen ™ i, se i · j
então, qualquer que seja n, detA é sempre igual a: a) n/2. b) 1. c) 0. d) n£. e) 2n£.
15/01/2010
9:11
pag.22
24. (Mackenzie 96) Na igualdade:
log ƒ [det ( 2.A¢)] = log ‚‡ [det (2A)¢],
A é uma matriz quadrada de quinta ordem com determinante não nulo. Então det A vale: a) 2¦. b) 2¢¡. c) 3¦. d) 3¢¡. e) 6¦.
15/01/2010
9:11
pag.23
25. (Fgv 95)
a) 0 b) bc c) 2bc d) 3bc e) b£c£
15/01/2010
9:11
pag.24
26. (Mackenzie 96) Considere a matriz A a seguir e 0´x´2™, sabe-se que det(2A)=8. Então a soma dos possíveis valores de x é:
a) 0 b) ™/2 c) ™ d) 3™/2 e) 2™
15/01/2010
9:11
pag.25
27. (Fei 96) Para que o determinante da matriz
seja nulo, o valor de a deve ser: a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 d) -5 ou 3 e) 4 ou -4
15/01/2010
9:11
pag.26
28. (Fatec 97) Seja M a matriz
e I a matriz identidade de segunda ordem. Os valores reais de k que anulam o determinante da matriz M+k.I s達o a) um positivo e outro negativo. b) inteiros e positivos. c) inteiros e negativos. d) irracionais e positivos. e) irracionais e negativos.
15/01/2010
9:11
pag.27
29. (Unesp 97) Considere as matrizes reais 3 Ă&#x2014; 3 na figura a seguir:
a) -2A - 2B. b) 2A + 2B + 1. c) 2A + 2B. d) - 2A - 2B - 1. e) 2A - 2B - 1.
15/01/2010
9:11
pag.28
30. (Mackenzie 97) Na função real definida na figura a seguir,
f (0,001) vale: a) 0,02 b) 1000¢ c) 10£ d) 500¢ e) 0,5
15/01/2010
9:11
pag.29
31. (Mackenzie 97) Considere a matriz A representada na figura adiante
entĂŁo det. [(1/4) . AÂŚ] vale: a) 2 det A b) det A/4 c) det A d) det A/8 e) 4 det A
15/01/2010
9:11
pag.30
32. (Puccamp 97) São dadas as matrizes A=(a‹Œ)‚Ö‚, onde a‹Œ=2i-3j, e B=(b‹Œ)‚Ö‚, onde
ýi + j se i = j b‹Œ=
þ ÿi - j se i · j
Nessas condições, se X = (B - A)£, o determinante da matriz X é igual a a) 224 b) 286 c) 294 d) 306 e) 324
15/01/2010
9:11
pag.31
33. (Ita 97) Considere as matrizes
Sejam —³, —• e —‚ as raízes da equação det(A-—Iƒ)=0 com —³´—•´—‚. Considere as afirmações
(I) B = A - —³Iƒ (II) B = (A - —•Iƒ) A (III) B = A (A - —‚Iƒ)
Então a) todas as afirmações são falsas. b) todas as afirmações são verdadeiras. c) apenas (I) é falsa.
15/01/2010
9:11
pag.32
d) apenas (II) é falsa. e) apenas (III) é verdadeira.
34. (Uece 97) Sejam m e m‚ números reais positivos. Se o determinante da matriz A na figura adiante é Ë2/2, então o determinante da matriz B é:
a) 9/4 b) 9/2 c) 25/4 d) 25/2
15/01/2010
9:11
pag.33
35. (Pucmg 97) O termo geral da matriz M‚Ö ‚ é a‹Œ = 3i - 2j. O valor do determinante de M é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
36. (Pucmg 97) M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det(M)=2. O valor da expressão det(M)+det(2M)+det(3M) é: a) 12 b) 15 c) 36 d) 54 e) 72
15/01/2010
9:11
pag.34
37. (Unesp 98) Considere as matrizes reais
a) -1. b) 0. c) 1. d) 2. e) 3.
15/01/2010
9:11
pag.35
38. (Unirio 97) O valor de
ĂŠ igual a: a) 0 b) 4(y+3z) c) 4(3x+y+3z) d) 4x+2y+3z e) 12(x+z)
15/01/2010
9:11
pag.36
39. (Ufrs 97) Sendo A = (a‹Œ)ŠÖŠ uma matriz onde n é igual a 2 e a‹Œ = i£-j, o determinante da matriz A é a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3
15/01/2010
9:11
pag.37
40. (Ufrs 97) O determinante da matriz mostrada na figura a seguir
ĂŠ nulo a) para quaisquer valores de a e b. b) apenas se a = 0 c) apenas se b = 0 d) somente se a = b e) somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0
15/01/2010
9:11
pag.38
41. (Uel 97) Seja o determinante (D) na figura adiante:
15/01/2010
9:11
pag.39
42. (Mackenzie 98) Se o determinante mostrado na figura ĂŠ igual a zero, entĂŁo 2Ă&#x2018; pode ser: a) 1/2 b) 1/4 c) 1 d) 4 e) 2
15/01/2010
9:11
pag.40
43. (Uel 98) Seja a matriz A=(a‹Œ)ƒÖƒ, tal que
ýlog‚x se i = j a‹Œ=þ ÿ 0
se i · j
Se o determinante de A é igual a -27, o valor de x é a) 1/8 b) 1/4 c) 1/2 d) 4 e) 8
15/01/2010
9:11
pag.41
44. (Puccamp 96) São dadas as matrizes A e B na figura adiante.
Se A.B¢=C, o determinante de A-B+C é igual a a) 24 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12
15/01/2010
9:11
pag.42
45. (Ufrs 96) Na equação mostrada na figura seguinte
um possível valor para x é a) 0 b) ™/6 c) ™/4 d) ™/3 e) ™/2
15/01/2010
9:11
pag.43
46. (Fatec 99) Sejam as matrizes A e B adiante.
A equação det(A-xB)=0, com xÆIR, admite a) uma raiz de multiplicidade 2. b) uma raiz negativa. c) duas raízes negativas. d) uma raiz positiva e outra negativa. e) uma raiz nula.
15/01/2010
9:11
pag.44
47. (Puccamp 99) Sejam as matrizes mostradas na figura a seguir
.O determinante da matriz A+B.C ĂŠ a) -4 b) -2 c) 0 d) 1 e) 5
15/01/2010
9:11
pag.45
48. (Uff 99) Considere a matriz.
Os valores de k que tornam nulo o determinante da matriz M - kI, sendo I a matriz identidade, s達o: a) 0 e 4 b) 4 e 5 c) -3 e 5 d) -3 e 4 e) 0 e 5
15/01/2010
9:11
pag.46
49. (Ufrrj 99) Dadas as matrizes
O valor de x tal que det A = det B ĂŠ a) 0. b) 5. c) 1. d) -1. e) 2.
15/01/2010
9:11
pag.47
50. (Ufsm 99) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n e 0 a matriz nula de ordem n. Então, a afirmativa correta é a seguinte:
a) Se A é a matriz transposta de A, então detA ·det A. b) Se det A·0, existe a matriz inversa A¢ e A¢=1/(detA).(cofA) , onde cof A é a matriz dos cofatores de A. c) Se A . B = 0, então A = 0 ou B = 0. d) (A - B)£ = A£ - 2AB + B£. e) Se k Æ R, então det (k A)=k det A, para todo k.
15/01/2010
9:11
pag.48
51. (Mackenzie 99) As raízes não nulas da equação mostrada na figura a seguir
são as medidas dos lados de um triângulo de área: a) 2Ë21 b) Ë3 c) Ë2 d) Ë7 e) Ë21
15/01/2010
9:11
pag.49
52. (Mackenzie 99) Dada a matriz mostrada na figura a seguir
, ent達o o determinante da inversa de M vale: a) 1/6 b) 1/3 c) 1/54 d) 1/15 e) 1/30
15/01/2010
9:11
pag.50
53. (Unioeste 99) O valor de "a" para o qual o determinante adiante se anula é:
54. (Fuvest 2000) Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz A£=2A, então o determinante de A será: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
15/01/2010
9:11
pag.51
55. (Unicamp 2000) Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear a seguir:
ý—x + y + z = — + 2 þ x + —y + z = — + 2 ÿ x + y + —z = — + 2
a) Ache as raízes da equação: detA=0.
b) Ache a solução geral desse sistema para —=-2.
15/01/2010
9:11
pag.52
56. (Unesp 2000) Dadas as matrizes mostradas na figura adiante
o determinante da matriz A . B ĂŠ a) -1. b) 6. c) 10. d) 12. e) 14.
15/01/2010
9:11
pag.53
57. (Ita 2000) Considere as matrizes reais mostradas na figura adiante
em que a·0 e a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q>0. Sejam —•, —‚ e —ƒ as raízes da equação det(M-—I)=0. Se
—•—‚—ƒ = a
e
—• + —‚ + —ƒ = 7a,
então a£ + b£ + c£ é igual a a) 21/8. b) 91/9. c) 36/9. d) 21/16. e) 91/36.
15/01/2010
9:11
pag.54
58. (Ufsm 2000) Sejam A, B e C matrizes reais 3 × 3, tais que A.B=C¢ , B=2A e det C= 8. Então o valor do |det A| é a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) 16
15/01/2010
9:11
pag.55
59. (Ufsm 2000) Seja a matriz A mostrada na figura adiante
onde a·0 e i=Ë-1. Pode-se, então, afirmar que a) det A é um número complexo imaginário. b) det A é um número ímpar, se a for um número ímpar c) det A é um número negativo, porque a segunda coluna da matriz só tem números negativos. d) det A é zero, pois existem duas filas paralelas proporcionais. e) det A é 2a¤.
15/01/2010
9:11
pag.56
60. (Unirio 2000) O valor de
ĂŠ: a) 4 (cos a + sen a) b) 4 c) 2 (cosÂŁ a - sen a) d) 2 e) 0
15/01/2010
9:11
pag.57
GABARITO
1. [E]
2. det M = 11.
3.
Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + n, c = a + 2n, d = a + 3n. Portanto, detA = e£ò®¤¾ - e£ò®¤¾ = 0.
4. 01 + 02 + 08 + 16 = 27
15/01/2010
9:11
pag.58
5. 02 + 04 + 08 + 16 = 30
6. [D]
7. a) Se B é inversível, temos: AB = BA Ì AB . B¢ = BA . B¢ Ì A = BA . B¢ Ì B¢ . A = B¢. BA . B¢ Ì B¢ . A = A . B¢ c.q.d.
b) Como A e B comutam, tem-se: A£ + 2AB - B = 0 Ì B = A(A +2B) Aplicando determinantes em ambos os membros, obtemos: det B = det [ A (A+2B) ] Ì det B = det A . det (A+2B) Como B é inversível, det B = k, k · 0. Supondo que A não é inversível, isto é, det A = 0, temos: k = 0 . det (A+2B) Ì k = 0
15/01/2010
9:11
pag.59
O que é uma contradição, pois k· 0. Portanto, A é inversível. c.q.d.
8. 02 + 16 = 18
9. proposições corretas: 04 e 08 proposições incorretas: 01 e 02
10. [E]
11. [C]
12. [A]
13. [C]
14. - 12
15/01/2010
9:11
pag.60
15. [E]
16. [C]
17. [D]
18. [B]
19. [A]
20. m = 0
21. 01
22. [A]
23. [B]
15/01/2010
9:11
pag.61
24. [B]
25. [D]
26. [B]
27. [A]
28. [C]
29. [A]
30. [D]
31. [C]
32. [E]
15/01/2010
9:11
pag.62
33. [E]
34. [D]
35. [E]
36. [E]
37. [B]
38. [A]
39. [E]
40. [A]
41. [D]
15/01/2010
9:11
pag.63
42. [E]
43. [A]
44. [B]
45. [A]
46. [E]
47. [A]
48. [C]
49. [B]
50. [B]
15/01/2010
9:11
pag.64
51. [B]
52. [C]
53. 64
54. [E]
55. a) 1 e - 2
b) V = {(‘; ‘; ‘)} ¯ ‘ Æ R
56. [E]
57. [A]
58. [B]
15/01/2010
9:11
pag.65
59. [D]
60. [D]
15/01/2010
9:11
pag.66