1. (Fuvest 96) Na figura a seguir são dadas duas semi-retas r e s de mesma origem A e um ponto P. a) Utilize essa figura para construir, usando régua e compasso, os pontos B em r e C em s de tal forma que o ponto P pertença ao segmento BC e que AB seja igual a AC. b) Descreva e justifique o processo utilizado na construção.
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2. (Fuvest 97) a) Dados åæ e um segmento de medida r, construa, usando régua e compasso, um triângulo isósceles sabendo que sua base é åæ e o raio da circunferência inscrita nesse triângulo é r. b) Descreva as construções feitas. c) Justifique o porquê de cada construção.
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3. (Fuvest 98) a) Dadas as retas paralelas r e s a um ponto A em r, construa um triângulo equilátero com um vértice em A, outro vértice em r e o terceiro vértice em s.
b) Descreva e justifique as construções feitas.
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4. (Fuvest 99) a) Construa, com régua e compasso, um trapézio ABCD, onde åæ seja paralelo a èî, conhecendo-se os pontos A, M, N e I, que satisfazem as seguintes condições: M é o ponto médio do lado åî, N é o ponto médio de æè e I é o ponto de intersecção do segmento MN com a reta que passa por B e é paralela a åî. b) Descreva e justifique a construção feita.
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5. (Fuvest 2000) São dados os pontos A e B. Usando régua e compasso, construa a circunferência circunscrita a um polígono regular de 12 lados, que tem o segmento åæ como um de seus lados. Descreva e justifique as construções utilizadas.
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6. (Fuvest 2001) São dados os pontos A e B e um segmento contendo os pontos G, H e I. Sabe-se que A e B pertencem, respectivamente, às diagonais CE e DF de um quadrado CDEF, cujo centro é O. A distância de A a O é igual a GH e a medida do lado do quadrado é igual a GI. Construa, usando régua e compasso, um quadrado CDEF, satisfazendo as condições acima. Descreva e justifique as construções utilizadas.
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7. (Fuvest 2002) São dados, na figura adiante, os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A é vértice de um paralelogramo ABCD; o lado åæ está na reta s; M é o ponto médio do lado æè e o ângulo CÂB tem medida 30°. Usando régua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construção.
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8. (Ufsm 2001)
Na construção proposta, o ponto A representa o número zero e o ponto B, o número 1. Ao construir BC de forma perpendicular a AB e de comprimento 1, obtém-se AC. Após, ao construir CD, também de comprimento 1 e perpendicular a AC, obtém-se AD. Marcando, na reta r, AE de mesmo comprimento que AD, o ponto E representará o número a) 1,0 b) Ë2 c) Ë3 d) 1,8 e) 2,0
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GABARITO
1. a)
b) 1) Traçamos a bissetriz t do ângulo Â. 2) Conduzimos, por P, a reta u perpendicular a t. 3) Os pontos de intersecção da reta u com as retas r e s são os pontos B e C. Justificativa: Se a bissetriz e a altura são coincidentes em um triângulo, ele é isósceles. Como AM é altura e bissetriz relativa ao lado BC, o triângulo ABC é isósceles e sua base é o lado BC. Portanto, AB=AC e como P pertence a BC, os pontos B e C são os pontos pedidos.
2. a) Observe a figura a seguir:
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b) Descrição: 1Ž) Traçamos a mediatriz de AB. 2Ž) Com centro no ponto médio (M) de AB, traçamos um arco de circunferência de raio r (dado) intersectando a mediatriz de AB no ponto O. 3Ž) Traçamos a circunferência C, de centro O e raio r. 4Ž) Com centro em A e raio AM, traçamos um arco que intersecta a circunferência C em um ponto P distinto de M. 5Ž) Traçamos a semi-reta AP. Esta semi-reta intersecta a mediatriz OM no ponto D. 6Ž) Traçamos o segmento de reta DB. O triângulo isósceles ADB é o triângulo procurado.
c) Justificativas: 1Ž) Chamemos de D o vértice incógnito do triângulo procurado. Como o triângulo ADB é
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isósceles, D pertence à mediatriz de AB. 2Ž) Como o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo, e o triângulo ADB é isósceles (a bissetriz, a mediatriz, a mediana e a altura relativas à base AB são coincidentes), o centro O da circunferência inscrita no triângulo ADB pertence à mediatriz DM. 3Ž) A circunferência C, de centro O e raio r, inscrita no triângulo ADB, tangencia o lado AB no ponto M. 4Ž) Dois segmentos tangentes a uma circunferência traçados a partir de um mesmo ponto (A) são congruentes, logo AM = AP. 5Ž) A semi-reta suporte do segmento AP também é tangente à circunferência C. Portanto, esta semi-reta suporta um dos lados congruentes do triângulo procurado (AD). 6Ž) Como BD é tangente à circunferência C, e, utilizando o preceito contido em (4), podemos afirmar que AD = DB. Por conseguinte, o triângulo ADB, circunscrito à circunferência C de raio r, é isósceles.
3. a) Observe a construção mostrada na figura a seguir:
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b) Descrição:
1) Obter o ponto R no encontro da reta r com um arco de circunferência de centro no ponto A e raio arbitrário.
2) Obter o ponto P no encontro desse arco já traçado com o arco de circunferência de centro no ponto R e mesmo raio anterior.
3) Obter o ponto B no encontro da reta AP com a reta s.
4) Obter o ponto C no encontro da reta r com o arco de circunferência de centro no ponto A e raio de medida AB.
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5) O triângulo ABC é um triângulo equilátero.
Justificação 1. O ângulo BAC = 60°, por construção. 2. AB = AC, por construção. 3. ângulo ABC = ângulo ACB = xportanto, x = 60°. Daí o triângulo ABC é equilátero.
4. a) Observe a figura a seguir
b) Usando régua e compasso vamos evitar o traçado de paralelas.
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Obteremos os vértices B, C e D do trapézio. 1. O vértice D é a intersecção da reta AM com a circunferência de centro no ponto M e raio MA (M é ponto médio do segmento AD). 2. O vértice B é a intersecção da circunferência de centro no ponto I e raio MA com a circunferência de centro no ponto A e raio MI (o quadrilátero ABIM e paralelogramo). 3. O vértice C é a intersecção da reta BN com a circunferência de centro no ponto N e raio NB (N é ponto médio do segmento BC). 4. Basta, agora, desenhar o trapézio ABCD.
5. Observe a construção:
Descrição e justificação O polígono regular de doze lados tem ângulo central medindo 360°/12, ou seja, 30°.
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Sendo C o centro da circunferência circunscrita ao polígono, temos que o triângulo ABC é isósceles, com ð=30° e Â=ï=75°. O ponto C pode ser obtido no encontro das semi-retas AC e BC, construindo-se CÂB=75° e CïA=75°. Logo, a circunferência pedida é traçada com centro no ponto C e raio de medida AC=BC. O problema admite duas respostas simétricas em relação ao lado åæ. Vale observar que 75°=60°+15°. Então, obtém-se 60° (triângulo eqüilátero), 30° (bissetriz de 60°) e 15° (bissetriz de 30°).
6. Observe a figura a seguir:
As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si e interceptam-se nos respectivos pontos médios. Assim:
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1. O centro O vê o segmento åæ sob 90°, logo está na circunferência de diâmetro åæ. Como ele dista GH de A, está na circunferência de centro em A e raio GH. Há, portanto, duas respostas: O e O'.
2. Obtemos o comprimento d/2 da metade da diagonal do quadrado, construindo o triângulo GMJ, retângulo e isósceles, de catetos GI/2 (Teorema de Pitágoras).
3. C e E estão na reta OA, e D e F estão na reta OB. E, ainda, estão todos eles na circunferência de centro em O e raio d/2.
7. Observe a construção a seguir:
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1) Traçar a semi-reta r, tal que rÂs = 30° 2) Traçar a reta t, tal que M e t Æ t // s 3) Obtém-se C em r, tal que AG = GC, onde G é o ponto médio das diagonais 4) CM º s = {B} 5) Na reta BG obtém-se D, tal que BG = GD
8. [C]
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