Distribuição Binomial de Probabilidade

Material de Apoio para as aulas de Estatística: ASPD Tatuapé (2º ano) 1. Distribuição de Bernoulli Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório. Podemos ter sucesso ou fracasso nessa tentativa.

Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1.

Seja X: número de sucessos em única tentativa do experimento. X assume o valor 0 que corresponde ao fracasso, com probabilidade q, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com probabilidade q.

0 fracasso X=  1 sucesso

com

P(X = 0) = q

e

P(X = 1) = p.

Nessas condições a variável X tem distribuição de Bernoulli, e sua função de probabilidade é dada por: P(X = x) = px



q1 – x

Este experimento recebe este nome porque os primeiros estudos a esse respeito devem-se a Jacques Bernoulli, matemático do século XVII. Exemplo 1: Uma moeda é lançada 5 vezes. Cada lançamento é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: cara ou coroa. Chamemos de sucesso o resultado cara e de fracasso o resultado coroa.

1 1 Em cada ensaio, p = e q = .

2 2 Exemplo 2: Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna; este procedimento é repetido 8 vezes. Cada extração é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: bola vermelha ou bola branca. Chamemos de sucesso o resultado bola 4 6 vermelha e fracasso o resultado bola branca. Em cada caso p = eq= .

10 10

1.1. Esperança e Variância Calculemos a média e a variância da variável com distribuição de Bernoulli.

X 0 1

P(X) Q p

X



P(X) 0 p E(X) =p

 E(X) = p

Var(X) = pq

Exemplo 3: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: número de bolas verdes. Calcule E(X) e Var(x) e determine P(X).

Resolução:

 0  q = X=  1  p = 

30 3 = 50 5 20 2 = 50 5



1 x

x

 2  3  P(X = x) =      5 5 2 e E(X) = 5

Var(X) = pq =

2 5



3 6 = 5 25

Resumo: X tem distribuição de Bernoulli.

0  q X=  1  p

→

P(X = x) = px  q1 x E(X) = p e Var(X) = pq = p(1  p)

2. Distribuição binomial Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p, com p + q = 1. As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada tentativa.

Seja X: número de sucessos em n tentativas.

Determinaremos a função de probabilidade da variável X, isto é, P(X = k).

Um resultado particular (RP):

SSS...SFFF...F , n k

k

Logo, P(RP) = P(SSS … SFFF … F) = = p  p ... p  q  q ... q = pk qn – k k

n k

Considerando todas as n-úplas com k sucessos, temos: n P(X = k) =   pk qn – k k Esta fórmula, semelhante à expressão do termo geral do Binômio de Newton, é chamada fórmula da distribuição binomial.

A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e indicaremos pela notação: X: B(n, p)

2.1. Esperança de uma distribuição Binomial E(X) = np, onde: n representa o número de repetições do experimento; p representa a probabilidade associada ao evento sucesso.

2.2. Variância de uma distribuição Binomial Var(X) = npq, onde: n representa o número de repetições do experimento; p representa a probabilidade associada ao evento sucesso; q representa a probabilidade associada ao evento fracasso.

Exemplo 4: Uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. O experimento é repetido 5 vezes. a) Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha? b) Determine a média e o desvio padrão.

Resolução:  2 a) X: número de sucessos (bolas vermelhas)  X: B  5,   5 4 2 6 3 n = 5, p = = , q= = , k=3 10 5 10 5

5  2   3  P(X = 3) =          3  5   5  P(X = 3) = 10  0,064  0,36 P(X = 3) = 0,2304 = 23,04% 3

b) E(X) = np = 5



Var(X) = npq = 5 E(X) = 2 σ(X) = 1,10

2

2 5 

2 5



3 6 = = 1,2 5 5

Exemplo 5: Uma moeda é lançada 20 vezes. a) Qual a probabilidade de saírem 8 caras? b) Determine a média e o desvio padrão.

Resolução: 1  a) X: número de sucessos (caras)  X: B  20,  2  1 1 n = 20, p = , q = , k = 8 2 2

 20   1   1  P(X=8)=          8  2 2 P(X = 8) = 125 970 . (0,5)20 P(X = 8) = 0,1201 = 21,01% 8

b) E(X) = np = 20



12

1 2

Var(X) = npq = 20



1 2



1 =5 2

E(X) = 10 σ(X) = 2,24

Resumo: n Se X: B(n, p) → P(X = k) =   pk qn – k k E(X) = np

e

Var(X) = npq

Exercícios 1) No lançamento de um dado, a variável aleatória X anota o número de faces 4 obtidas. Determine a média e o desvio padrão de X. 2) Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bolas vermelhas. Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória X anota o número de bolas brancas obtidas. Calcule a média e o desvio padrão de X. 3) Uma caixa contém 12 canetas das quais 5 são defeituosas. Uma caneta é selecionada ao acaso e a variável aleatória X anota o número de canetas defeituosas obtidas. Determine a média e o desvio padrão de X. 4) Um lote contém 50 peças boas e 5 defeituosas. Uma peça é selecionada deste lote e a variável aleatória X anota o número de peças defeituosas obtidas. Calcule a média e a variância de X.

5) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas caras?

6) Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o “4” apareça exatamente 3 vezes?

7) Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Supondo que as vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros?

8) A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de 5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos?

9) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara?

3 de vencer todas as vezes que joga. Se disputar 5 5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma?

10) Um time de futebol tem probabilidade p =

11) A probabilidade de um voo1 da companhia PARA CIMA sair no horário previsto é de 90%. Se, durante um dia, a companhia programar oito voos, qual é a probabilidade de que cinco saiam com atraso?

12) Uma prova consta de 5 testes com 4 alternativas casa um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria da prova, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade desse aluno: a) acertar os 5 testes? b) acertar apenas 4 testes? c) acertar apenas 3 testes? d) acertar apenas 2 testes? e) acertar apenas 1 teste? f) errar todos os testes propostos? g) qual o resultado mais provável obtido pelo aluno?

13) Uma amostra de 15 peças, com reposição de um lote que contém 10% de peças defeituosas.

Calcule a probabilidade de que: a) o lote não contenha peça defeituosa; b) o lote contenha exatamente três peças defeituosas; c) o lote contenha pelo menos uma peça defeituosa.

14) Calcule o valor esperado e o desvio padrão para o número de peças defeituosas na amostra do problema anterior.

1

De acordo a nova Reforma Ortográfica 2009, não se usa mais o acento das palavras terminadas em êem e ôo(s).

Exemplos: abençoo, creem (verbo crer), deem (verbo dar), doo (verbo doar), enjoo, leem (verbo ler), magoo (verbo magoar), perdoo (verbo perdoar), povoo (verbo povoar), veem (verbo ver), zoo.

Respostas: 1) E(X) = 0,167 e σ(X) = 0,37 2) E(X) = 0,375 e σ(X) = 0,484 3) E(X) = 0,4167 e σ(X) = 0,4930 4) E(X) = 0,0909 e σ(X) = 0,08264 5) 0,2344 6) 0,0322 6) 0,0459 7) 0,2592 8) 0,98439 9) 0,9898 10)  0,04% 1 1024 15 b) 1024 90 c) 1024 470 d) 1024 405 e) 1024 243 f) 1024

11) a)

g) O resultado mais provável é que o aluno acerte apenas 1 teste.

12) a) 20,59%

b) 12,85%

c) 79,41%