E.CAPITULO04

ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Tabela Primitiva ou Rol Como vimos na introdução, feito a coleta de dados (da forma mais conveniente possível), vamos agora trabalhar com uma variável determinada.

No caso, escolhemos a estatura de uma turma que compõem uma amostra de alunos da Universidade A.

166 162 155 154

160 161 152 161

161 168 163 156

150 163 160 172

162 156 155 153

160 173 155 157

165 160 169 156

167 155 151 158

164 164 170 158

160 168 164 161

A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva. A maneira ais simples de organizar os dados é através de certa ordenação (crescente ou decrescente).

A tabela obtida após a ordenação dos dados recebe o nome de rol.

150 151 152 153

154 155 155 155

155 156 156 156

157 158 158 160

160 160 160 160

161 161 161 161

162 162 163 163

164 164 164 165

166 167 168 168

169 170 172 173

Agora podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150 cm) e qual a maior estatura ( 173 cm ); que a amplitude de variação foi de 173 – 150 = 23 cm; e , ainda, a ordem que um valor particular da variável ocupa no conjunto. Com um exame mais acurado, vemos que há concentração das estaturas em algum valor entre 160 e 165 cm e, mais ainda, que há poucos valores abaixo de 155 cm e acima de 170 cm.

Estatística

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ESTATÍSTICA Distribuição de Freqüência No exemplo que trabalhamos, a variável em questão, estatura, será observada e estudada muito mais facilmente quando dispusermos valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o número de vezes que aparece repetido.

Denominamos freqüência o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor de variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de freqüência.

Estatura Frequência (em cm) 150 1 151 1 152 1 153 1 154 1 155 4 156 3 157 1 158 2 160 5 161 4 162 2 163 2 164 3 165 1 166 1 167 1 168 2 169 1 170 1 172 1 173 1 total 40 Mas o processo dado é ainda inadequado, já que exige muito espaço, mesmo quando o número de valores da variável (n) é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mais aceitável, pela natureza da variável contínua, é o agrupamento dos valores em vários intervalos.

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ESTATÍSTICA Freqüência de Uma Classe Chamado de freqüência de uma classe o número de valores da variável pertencentes à classe, os dados da tabela que podem ser dispostos de forma agrupada tendo assim uma

distribuição

de freqüência com intervalo de classe.

Estatura (em cm)

Frequência

150 │─ 154

4

154 │─ 158 158 │─ 162 162 │─ 166 166 │─ 170 170 │─ 174 total

9 11 8 5 3 40

Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são comumente denominados dados agrupados.

Observamos a amplitude de variação e dividimos pela variação escolhida para cada classe, no caso, agrupamos de 4 em 4 cm, assim: 23 : 4 = 5,... então procuramos o próximo múltiplo de 6 para que a divisão seja exata: 24 : 4 = 6.

Elementos de Uma Distribuição de Freqüência Classe: classes de freqüência ou, simplesmente, classes são intervalos de variação da variável.

As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., k (onde k é o número total de classes da distribuição) Assim, em nosso exemplo, o intervalo 154 │─ 158 define a segunda classe ( i = 2 ). Como a distribuição é formada por seis classes, podemos afirmar que k = 6.

Limites de Classe: denominamos limites de classe os extremos de cada classe.

O menor número é o limite inferior da classe ( l i ) e o maior número, o limite superior da classe ( Li ).

Na segunda classe, por exemplo, temos: l 2  154 e L2  158 .

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ESTATÍSTICA Obs: Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resolução 886?66 do IBGE, em termos de desta quantidade até menos aquela, empregando, para isso o símbolo │─ ( inclusão de l i exclusão de Li . Desta forma, o indivíduo com uma estatura de 158 cm está incluído na terceira classe ( i = 3 ) e não na segunda.

Amplitude de Um Intervalo de Classe: é a medida do intervalo que define a classe. Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por hi .

 hi  Li  li No exemplo dado, temos : h2  L2  l 2 158 – 154 = 4

h2  4cm

Amplitude Total da Distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo).

 AT  Lmáx  lmin  Em nosso exemplo, temos:

AT  174  150 AT  24cm

É evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a relação : em nosso exemplo:

AT  k que, h1

24  6.

4

Amplitude Amostral (AA) é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra.

 AA  x( máx)  x( mín )

Em nosso exemplo, temos:

AA  173  150 AA  23cm

Observe que a amplitude total da distribuição jamais coincide com a amplitude amostral.

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ESTATÍSTICA Ponto Médio de Uma Classe  xi  é, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

 xi 

li  Li 2

Assim, o ponto médio da segunda classe, em nosso exemplo, é:

l 2  L2 2 154  158 x2  2 x 2  156cm x2 

O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.

Freqüência Simples ou Absoluta: freqüência simples ou freqüência absoluta de uma classe ou de um valor individual é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor.

A freqüência simples é simbolizada por f i (lemos: f é índice ou freqüência da classe i).

f1  4 f2  9 Assim, em nosso exemplo, temos:

f 3  11 f4  8 f5  5 f6  3 k

A soma de todas as freqüências é representada pelo símbolo somatório:

f i 1

i

.

k

É evidente que

f i 1

i

=n ( isso quando não temos divisão de classes).

6

Para a distribuição em estudo, temos:

f i 1

f

i

i

 40 . Não havendo possibilidade de engano, usamos

 40 .

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ESTATÍSTICA Vamos agora exercitar usando nossa tabela de distribuição de frequência já construída: i

Estatura (em cm)

fi

1

150 │─ 154

4

2 3 4 5 6

154 │─ 158 158 │─ 162 162 │─ 166 166 │─ 170 170 │─ 174

9 11 8 5 3

f

i

 40

Número de Classes – Intervalos de Classe A primeira preocupação que temos, na construção de uma distribuição de freqüência, é a determinação do número de classes e, consequentemente, da amplitude e dos limites dos intervalos de classe.

Para a determinação do número de classes de uma distribuição podemos lançar mão da regra de Sturges, que nos dá o número de classes em função do número de valores da variável:

i  1  3,3  log n i = número de classe e n = número total de dados.

Além da regra de Sturges, existem outras fórmulas empíricas que pretendem resolver o problema da determinação do número de classes que deve ter a distribuição. Entretanto, a verdade é que essas fórmulas não nos levam a uma decisão final; esta vai depender, na realidade, de um julgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados, da unidade usada para expressá-los e, ainda, do objetivo que se tem em vista, procurando, sempre que possível, evitar classe com freqüência nula ou com freqüência relativa muito exagerada, etc.

h No nosso exemplo usamos: h 

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173  150

6

23 6 h  3,8  h  4

AT i

h

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ESTATÍSTICA Freqüências Relativas ( f r ) são valores das razões entre as freqüências simples e a freqüência

fri 

total:

fi

f

i

fr3  Em nosso exemplo, temos:

fr3 

f3  fi 11 40 fr3  0,275

Freqüência Acumulada ( Fi ) é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma classe:

Fk  f1  f 2  f 3  ...  f k Assim, no exemplo apresentado no início desse estudo, a freqüência acumulada correspondente à 3

F3   f i  f1  f 2  f 3 i 1

terceira classe é:

F3  4  9  11 F3  24

O que significa existirem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm ( limite superior do intervalo da terceira classe).

Freqüência Acumulada Relativa ( Fri ) de uma classe é a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição: Fri 

Fi

f

. i

Assim, para a terceira classe, temos:

Fr3 

F3

f

i

24 40 Fr3  0,6000 Fr3 

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ESTATÍSTICA Agora... podemos montar uma tabela de distribuição de freqüências de forma mais adequada:

i

Estatura (em cm)

fi

xi

fri

Fi

Fri

1

150│─ 154

4

152

0,100

4

0,100

2 3 4 5 6

154 │─ 158 158 │─ 162 162 │─ 166 166 │─ 170 170 │─ 174

9 11 8 5 3

156 160 164 168 172

0,225 0,275 0,200 0,125 0,075

13 24 32 37 40

0,325 0,600 0,800 0,925 1,000

f

i

  1,000

 40

O conhecimento dos vários tipos de freqüência ajuda-nos a responder a muitas questões com relativa facilidade, como as seguintes:  Quantos alunos têm estatura entre 154 cm, inclusive, e 158 cm?

Esses são valores que formam a segunda classe. Como f 2  9 , a resposta é: 9 alunos. 

Qual a percentagem de alunos cujas estaturas são inferiores a 154 cm?

Esses valores são os que formam a primeira classe.

Como fr1  0,100 obtemos a reposta multiplicando a freqüência relativa por 100.



0,100 x 100 = 10. Logo, a percentagem de alunos é 10%.

Quantos alunos têm estatura abaixo de 162 cm? É evidente que as estaturas consideradas são aquelas que formam as classes de ordem 1, 2 e 3.

f1  f 2  f 3  Assim, o número de alunos é dado por:

3

f i 1

i

 F3  24

Distribuição de Freqüência sem Intervalo de Classe: Quando se trata de uma variável discreta de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe (intervalo degenerado) e, nesse caso, a distribuição é chamada distribuição sem intervalos de classe.

Exemplo: Seja x a variável “número de cômodos das casas ocupadas por vinte famílias entrevistadas”: Estatística

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ESTATÍSTICA i

xi

fi

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

4 7 5 2 1 1

f

i

 20

Completando com os vários tipos de freqüências, temos: i

xi

fi

fri

Fi

Fri

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

4 7 5 2 1 1

0,20 0,35 0,25 0,10 0,05 0,05

4 11 16 18 19 20

0,20 0,55 0,80 0,90 0,95 1,00

f

i

 20

  1,00

Obs: Como vimos em nossos estudos temos três tipos de agrupamentos dos elementos de uma pesquisa:   

Série Simples Série Agrupada Série com Intervalo de Classes

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ESTATÍSTICA Exercícios

1. Conhecidas as notas de 50 alunos: 84 68 33 52 47 73 68 61 73 77 74 71 81 91 65 55 57 35 85 88 59 80 41 50 53 65 76 85 73 60 67 41 78 56 94 35 45 55 64 74 65 94 66 48 69 89 98 42 54 61 Obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para o limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.

2. Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 52 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3 5 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 1 2 Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe.

3. A tabela abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial: 14 12 11 13 14 13 12 14 13 14 11 12 12 14 10 13 15 11 15 13 16 17 14 14 Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe.

4.

Dada a distribuição de freqüência: 3

xi

fi

4

5

6

7

8

2 5 12 10 8

3

Determine: a)

f

i

b) as freqüências relativas c) as frequências acumuladas d) as freqüências relativas acumuladas

5. A tabela abaixo representa uma distribuição de freqüência das áreas de 400 lotes: Áreas

300 │─ 400 │─ 500 │─ 600 │─ 700 │─ 800 │─ 900 │─ 1000 │─ 1100 │─ 1200

2

( m ) Nº de lotes Estatística

14

46

58

76

68

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62

48

22

6

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ESTATÍSTICA Com referência a essa tabela, determine: a) a amplitude total b) o limite superior da quinta classe c) o limite inferior da oitava classe d) o ponto médio da sétima classe e) a amplitude do intervalo da segunda classe f) a freqüência da quarta classe g) a freqüência relativa da sexta classe h) a freqüência acumulada da quinta classe i)

o número de lotes cuja área não atinge 700 m 2

j)

o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m 2

k) a percentagem dos lotes cuja área não atinge 600 m 2 l) a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m 2 m) a classe do 72º lote n) até que classe estão incluídos 60% dos lotes

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