Estatísitca by Carlos Silva

ESTATÍSTICA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO

Uma distribuição de freqüência pode ser representada graficamente pelo histograma, pelo polígono de freqüência e pelo polígono de freqüência acumulada (ogiva de Galton). Construímos qualquer um dos gráficos mencionados utilizando o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da variável e na linha vertical (eixo das ordenadas), as freqüências. O Histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. As larguras dos retângulos são iguais às amplitudes dos intervalos de classe. As alturas dos retângulos devem ser proporcionais às freqüências das classes, sendo a amplitude dos intervalos iguais. Isso nos permite tomar as alturas numericamente iguais às freqüências. Exemplo: i

Estatura

1 2 3 4 5 6

150 │─ 154 154 │─ 158 158 │─ 162 162 │─ 166 166 │─ 170 170 │─ 174

4 9 11 8 5 3

f

Estatística

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 40

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ESTATÍSTICA O polígono de freqüência é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.

Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição.

Exemplo,

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ESTATÍSTICA

Polígono de freqüência acumulada é o traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal. Levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. Exemplo,

Uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe é representada graficamente por um diagrama onde cada valor da variável é representado por um segmento de reta vertical e de comprimento proporcional à respectiva freqüência. Exemplo, Valores aleatórios ilustrativos:

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ESTATÍSTICA

Exercícios – Lista 7 1. Um grau de nebulosidade, registrado em décimos, ocorre de acordo com a distribuição abaixo: Nebulosidade

1 │─ 2 │─ 3 │─ 4 │─ 5 │─ 6 │─ 7 │─ 8 │─ 9 │─ 10 │─ 11 │─ 12

320

125

145

676

Faça a tabela de distribuição de freqüência completa e construa o histograma.

2. Considerando a distribuição abaixo classes

1 │─ 2 │─ 3 │─ 4 │─ 5 │─ 6 │─ 7 │─ 8 │─ 9 │─ 10

Construa a tabela de distribuição de freqüência completa e construa o polígono de freqüência.

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ESTATÍSTICA

MEDIDAS DE POSIÇÃO O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüência, até agora, permite-nos descrever, de modo geral, os grupos dos valores que uma variável pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior concentração de valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou ainda, se há uma distribuição por igual. Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números, que nos permitam traduzir essas tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos da distribuição.

Medidas de Tendência Central: recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medias de tendência central, destacamos: 

A média aritmética;

 

A mediana; A moda

As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam:  A própria mediana;  

Os quartis; Os decis;



Os percentis.

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ESTATÍSTICA

x  MÉDIA ARITMÉTICA É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:

x

x n



x f f i

Onde:

x  média aritmética n = o número de valores

xi  os valores da variável

x f

f i  somatória dos valores da variável vezes as respectivas freqüências

 somatória das freqüências da variável

Exemplos:

As notas obtidas na matéria de Estatística pelo aluno K, durante o semestre, são: 7,0 no trabalho, 3,0 na avaliação individual, 6,5 na construção gráfica e 4,5 na AD Como sua média semestral é feita através da média aritmética simples, temos:

x

7,0  3,0  6,5  4,5 21   5,25  5,5 4 4

Usando a tabela de distribuição de freqüências: i

1 2 3 4

7,0 3,0 6,5 4,5

x

 21

2. As notas obtidas na matéria de Estatística pelo aluno K, durante o semestre, são: 7,0 no trabalho com peso 2, 3,0 na avaliação individual peso 3, 6,5 na construção gráfica com peso 2 e 4,5 na AD com peso 3. Estatística

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ESTATÍSTICA Como sua média semestral é feita através da média aritmética ponderada, temos:

x

7,0  2  3,0  3  6,5  2  4,5  3 49,5   4,95  5,0 10 10

Usando a tabela de distribuição de freqüências: i

xi f i

1 2 3 4

7,0 3,0 6,5 4,5

2 3 2 3

14 9 13 13,5

x

 21

f

 10

x

f i  49,5

(Mo) MODA Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Exemplos: 

Na série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13 e 15 temos a Mo = 10.



Na série de dados: 3, 4, 5, 10, 12, 13 não temos moda, dizemos amodal.



Na série 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 9 3 9 temos duas modas, dizemos bimodal.

Em dados agrupados temos a classe modal, isto é, a classe que apresenta a maior freqüência. Neste caso, o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta:

Mo 

li  Li  xi 2

Exemplo:

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ESTATÍSTICA i

Estatura (em cm)

150│─ 154

152

2 3

154 │─ 158 158 │─ 162

9 11

156

4 5 6

162 │─ 166 166 │─ 170 170 │─ 174

8 5 3

f

160

 Mo 164 168 172

 40

(Md) MEDIANA È o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. Exemplos:  No caso dos dados : 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16 e 18 a mediana é o valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda. Logo, Md = 10, porque temos 4 elementos antes do 10 e quatro elementos depois do 10. 

No caso dos dados: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 a mediana é o valor central mas, não temos esse respectivo valor. Desta forma, convencionou-se utilizar o ponto médio entre os dois valores centrais. Logo, Md 



10  12 22   11 2 2

No caso de existir freqüência acumulada Fi , temos: Exemplo de uma pesquisa qualquer: Nº de meninos

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ESTATÍSTICA xi

0 1 2 3 4

2 6 10 12 4

2 8 18 30 34

f f

 34

34  17 , isto significa que a mediana é o décimo sério elemento. Logo, localiza-se na 2 2 variável  xi  = 2. Portanto, nesse caso a Md = 2 meninos.





 fi   Fi ( ant)  hi   2  No caso de existir distribuição de intervalos: Md  l i  , vejamos: fi

Estatura (em cm)

150│─ 154

152

2 3

154 │─ 158 158 │─ 162

156 160

9 11

13 24  classe mediana

4 5 6

162 │─ 166 166 │─ 170 170 │─ 174

164 168 172

8 5 3

32 37 40

f f



 40

40  20 , descobrimos a classe mediana, 3ª classe, i = 3. 2

Mas, existem 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4, devemos tomar, a partir do limite inferior, a distância:

20  13 7 X 4  X 4 , ou seja, o número de ordem que procuramos subtraindo a freqüência 11 11 acumulada anterior, dividido pela freqüência absoluta da classe desejada, multiplicando pela sua amplitude.

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ESTATÍSTICA Assim, a mediana será dada por: Md  158 

7 28 x4  158   158  2,54  160,54 11 11

Exercícios – Lista 8

1. Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são: R$ 75,00, R$ 90,00, R$ 83,00, R$ 142,00 e R$ 88,00. Determine: a) a média dos salários-hora; b) o salário-hora mediano.

2. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram 8,4 ; 9,1 ; 7,2 ; 6,8 ; 8,7 ; e 7,2. Determine: a) a nota média b) a nota mediana c) a nota modal

3. Considerando os conjuntos de dados: a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7 c) 51,6 ; 48,7 ; 50,3 ; 49,5 ; 48,9 d) 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 Calcule: a) a média b) a mediana c) a moda 4. Considerando a distribuição abaixo:

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11 10 8

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ESTATÍSTICA Determine: a) construa a tabela de distribuição de freqüência completa b) a média c) a moda d) a mediana

5. Calcule a média aritmética, a mediana e a moda das distribuições de freqüência abaixo: a) notas 0 2 4 6 8

│─ 2 │─ 4 │─ 6 │─ 8 │─ 10

fi 5 8 14 10 7

f

 44

b) Estaturas em cm 150 │─ 158 158 │─ 166 166 │─ 174 174 │─ 182 182 │─ 190

fi 5 12 18 27 8

f

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 70

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