Estatística: capítulo 6

ESTATÍSTICA SEPARATRIZES Como vimos, a mediana caracteriza uma séria de valores devido à sua posição central. No entanto, ela apresenta outra característica, tão importante quanto a primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.

Dela, se origina outras medidas que se baseiam na posição dos elementos da série de valores estudada, denominam-se, separatrizes: os quartis, os percentis e os decis.

Os Quartis Denominamos os quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.

Exemplos: 1. Dada a tabela de distribuição de freqüências: Estaturas (cm) 150 │─ 154 154 │─ 158 158 │─ 162 162 │─ 166 166 │─ 170 170 │─ 174

fi 4 9 11 8 5 3



fi

Fi 4 13 24 32 37 40

 40

Primeiro Quartil:

Terceiro Quartil:



3 fi

fi

4



40  10 4

4



3  40  30 4

Q1  154 

(10  4) *4 9

Q3  162 

(30  24) 4 8

Q1  154 

24 9

Q3  162 

24 8

Q1  154  2,66

Q3  162  3

Q1  156,66cm

Q3  165cm

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ESTATÍSTICA Há, portanto, três quartis: 

Q1  valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25 %) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75 %) são maiores.



Q2  evidentemente, coincide com a mediana, ou seja, Q2  Md .



Q3  valor situado de tal modo que as três quartas partes (75 %) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25 %) é maior.

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ESTATÍSTICA Exercícios – Lista 9 1. Na série de valores: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 temos que a mediana é 10.

Primeiro Quartil:

Segundo Quartil:

Terceiro Quartil:

2. Complete os esquemas para o calculo do primeiro e do terceiro quartis da distribuição de freqüência: Custos (R$)

450 │─ 550 │─ 650 │─ 750 │─ 850 │─ 950 │─ 1050 │─ 1150

fi

8

10

11

16

13

5

1

3. Complete os esquemas para o cálculo do primeiro e do terceiro quartis da distribuição de freqüência: Estaturas ( cm ) 156 │─ 161 161 │─ 166 166 │─ 171 171 │─ 176 176 │─ 181

fi 9 12 15 8 6

4. Encontre os quartis na série : 21 25 30 33 38

Fi 9 21 36 44 50

41 44

49 51 54 58.

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ESTATÍSTICA Os Percentis Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais.

Vejamos: 8. Dada a tabela: Estaturas (cm) 150 │─ 154 154 │─ 158 158 │─ 162 162 │─ 166 166 │─ 170 170 │─ 174

fi 4 9 11 8 5 3



fi

Fi 4 13 24 32 37 40

 40

Vamos calcular o 8º percentil:

8 fi 100



8  40 320   3,2 100 100

Como 3,2 encontra-se na primeira classe temos:

P8  150 

P8  150 

3,2  0 * 4 4

12,8  150  3,2  153,2 4

P8  153,2cm

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ESTATÍSTICA Exercícios – Lista 9A 1. Complete o esquema para o cálculo do vigésimo percentil da distribuição: Custos (R$)

450 │─ 550 │─ 650 │─ 750 │─ 850 │─ 950 │─ 1050 │─ 1150

fi

8

10

11

16

13

5

1

2. Agora encontre o 45º percentil.

3. E o 74º percentil.

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ESTATÍSTICA Os Decis Denominamos decis os nove valores que separam uma série em 10 partes iguais Vejamos: 1. Dada a tabela: Estaturas (cm) 150 │─ 154 154 │─ 158 158 │─ 162 162 │─ 166 166 │─ 170 170 │─ 174

fi 4 9 11 8 5 3

Fi 4 13 24 32 37 40

Vamos calcular o 3º decil:

3 fi 10



3  40 120   12 10 10

Como 12 encontra-se na segunda classe temos:

D3  154 

12  4  4 9

D3  154  3,6 D3  157,6 cm

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ESTATÍSTICA Exercícios – Lista 9B

1. Usando a tabela anterior encontre o 5º decil, 0 7º decil e o 8º decil.

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ESTATÍSTICA Medidas de Dispersão ou de Variabilidade Muitas vezes apenas os cálculos ou apresentações de um valor específico para um conjunto qualquer não são suficientes para caracterizar uma distribuição ou um conjunto de valores.

A tabela abaixo mostra o desempenho de 2 candidatos nas provas a que se submeteram: A

B

Conhecimentos de informática Língua portuguesa Língua inglesa Conhecimentos de economia

8,5

9,5

9,5

9,0

8,0

8,5

7,0

5,0

Matemática

7,0

8,0

Média

8,0

8,0

Os dois candidatos obtiveram a mesma média. Como proceder, cientificamente, para determinar qual dos dois teve o melhor desempenho nessa avaliação?

Torna-se evidente a necessidade de obtermos maiores informações sobre o relacionamento existentes entre as variáveis. Estas informações podem ser obtidas pelo estudo das medidas de dispersão, que nos oferecem condições para analisarmos até que ponto estes valores apresentam oscilações para mais ou para menos, em relação a uma medida fixada, e que vêm expressas na mesma unidade de medida dos valores.

1. Amplitude Total ou Intervalo Total (AT) É a diferença entre o maior e o menor dos valores de uma distribuição.

At = X máx – X mín

Exemplos: 1a) Seja X = {3, 5, 9, 15, 16, 12, 8, 4} AT = 16 – 3 = 13

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ESTATÍSTICA 1b) Dada à distribuição de freqüências: Pesos (kg)

fi 2 5 9 6 4

40 I--- 44 44 I--- 48 48 I--- 52 52 I--- 56 56 I---60 At = 60 – 40 = 20

A amplitude total tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários, o que quase sempre invalida a idoneidade do resultado.

2. ESTUDO DOS DESVIOS Desvio absoluto: módulo da diferença entre cada elemento do conjunto e a média Desvio médio: média aritmética dos desvios absolutos.

Dm =

x

i

x

n

No exemplo das notas dos candidatos A e B temos: Candidato A:

Candidato B:

- desvios absolutos: 8,5 – 8,0 = 0,5

- desvios absolutos: 9,5 – 8,0 = 1,5

9,5 – 8,0 = 1,5

9,0 – 8,0 = 1,0

8,0 – 8,0 = 0

8,5 – 8,0 = 0,5

7,0 – 8,0 = 1,0

5,0 – 8,0 = 3,0

7,0 – 8,0 = 1,0

8,0 – 8,0 = 0

- desvio médio =

0,5  1,5  0  1,0  1,0 = 0,8 5

- desvio médio =

1,5  1,0  0,5  3,0  0 = 1,2 5

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ESTATÍSTICA Verificamos que o candidato A teve um desempenho mais regular que o candidato B, pois suas notas estão em média 0,8 acima ou abaixo da média aritmética 8,0 enquanto as notas do candidato B estão em média 1,2 acima ou abaixo da média 8,0.

No caso de dados agrupados procedemos da seguinte maneira: Dada a tabela: xi

fi

Fi

xi fi

5 6 8 10 11

2 5 13 3 7

2 7 20 23 30

10 30 104 30 77

Total

251

Calculamos a média da distribuição: X =

251  8,37 30

Em seguida calculamos os desvios absolutos e multiplicamos o resultado pelas freqüências: xi

fi

xi fi

| xi - X |

| xi - X | . fi

5 6 8 10 11

2 5 13 3 7

10 30 104 30 77

| 5 - 8,37 | = 3,37 | 6 - 8,37 | = 2,37 | 8 - 8,37 | = 0,37 | 10 - 8,37 | = 1,63 | 11 - 8,37 | = 2,63

3,37 . 2 = 6,74 2,37 . 5 = 11,85 0,37 . 13 = 4,81 1,63 . 3 = 4,89 2,63 . 7 = 18,41

Total

Dm =

x

i

 X . fi n

251

=

46,7

46,7  1,56 30

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ESTATÍSTICA No caso de dados agrupados com intervalos de classe o procedimento é o mesmo considerando para xi o ponto médio de cada classe.

X=

Classe

fi

xi

xi fi

| xi - X |

| xi - X | .fi

5 ।— 10

5

7,5

37,5

| 7,5 - 17,5 | = 10

50

10 ।— 15

10

12,5

125,0

| 12,5 - 17,5 | = 5

50

15 ।— 20

15

17,5

262,5

| 17,5 - 17,5 | = 0

0

20 ।— 25

10

22,5

225,0

| 22,5 - 17,5 | = 5

50

25 ।— 30

5

27,5

137,5

| 27,5 - 17,5 | = 10

50

Total

45

787,5

200

787,5  17,5 45

Dm =

x

i

 X . fi

=

n

200  4,44 45

3. Variância (s²) - Desvio Padrão (s) De todas as medidas apresentadas até aqui, a variância e o desvio padrão são as mais utilizadas, pois levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais empregados.

A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios absolutos.

s² =

x

 X  fi 2

i

f

 s² =

x

X

i

2

n

i

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

s=

x

 X  fi 2

i

 fi

 s=

x

i

x

2

n

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ESTATÍSTICA 3a) Dados não agrupados: Exemplo: Calcular o desvio padrão do conjunto X = { 5, 8, 10, 12, 15}. xi 5 8 10 12 15 50 X=

s=

x

i

=

n

x

i

| xi - X | = di | 5 - 10 | = 5 | 8 - 10 | = 2 | 10 - 10 | = 0 | 12 - 10 | = 2 | 15 - 10 | = 5

di² 25 4 0 4 25 58

50 = 10 5

X n

xi² 25 64 100 144 225 558

2

58 = 11,6 = 3,4 , 5

=

b) Dados agrupados sem intervalos de classe

s=

fx i

n

2 i

  f i xi   n 

   

2



fx  fi i

  f i xi    fi 

2 i

   

2

Exemplo: Calcular o desvio padrão para a distribuição:

s= xi 3 5 8 10 12 15 Total

fi 8 10 10 20 15 4 67

fixi 24 50 80 200 180 60 594

xi² 9 25 64 100 144 225

fixi² 72 250 640 2 000 2 160 900 6 022

fx i

2 i

n

  f i xi   n 

   

2

=

2

6022  594   =  = 89,88  78,5 = 11,38 = 3,38 67  67  ou s=

fx i

2 i

n

  f i xi   n 

   

2

=

2

6022  594   =  = 67  67 

89,88  78,5 = 11,38 = 3,38

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ESTATÍSTICA 3c) Dados agrupados com intervalos de classe No caso de dados agrupados com intervalos de classe o procedimento é o mesmo considerando para xi o ponto médio de cada classe.

Exemplo: Calcular o desvio padrão para a distribuição:

s=

Classe

fi

xi

fixi

xi²

fixi²

39,5 ।— 44,5

3

42

126

1 764

5 292

44,5 ।— 49,5

8

47

376

2 209

17 672

49,5 ।— 54,5

16

52

832

2 704

43 264

54,5 ।— 59,5

12

57

684

3 249

38 988

59,5 ।— 64,5

7

62

434

3 844

26 908

64,5 ।— 69,5

3

67

201

4 489

13 467

69,5 ।— 74,5

1

72

72

5 184

5 184

Total

50

fx  fi i

2 i

  f i xi    fi 

2

  =  

2 725

150 775 2

150775  2725    = 50  50 

3015,5  2970,25 = 45,25

s = 6,73

Finalizando: COEFICIENTE DE VARIAÇÃO A característica da dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada coeficiente de variação ( CV )

CV 

s *100 X

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ESTATÍSTICA Exercícios – Lista 10 1. Um grupo de 5 estudantes obteve as seguintes notas de exame, numa escala de 10 pontos: 7, 5, 3, 2,e 1. Relativamente a esse conjunto de dados, calcule: a) a média b) a amplitude total c) o desvio médio d) o desvio padrão 2. Para a seguinte distribuição de freqüências, calcule:

xi

fi

5 4 3 2 1

3 5 6 2 2

a) a mediana e a moda b) a média c) o desvio padrão 3. Calcule para à seguinte tabela de dados agrupados por freqüências: a) média, moda e mediana b) amplitude total c) o desvio médio d) O desvio padrão. i 1 2 3 4 5

idades [5, 8[ [8, 11[ [11, 14[ [14, 17[ [17, 20[

fi 1 5 6 3 3

4. Calcule o desvio padrão relativo à i classe 1 [5, 10[ 2 [10, 15[ 3 [15, 20[ 4 [20, 25[ 5 [25, 30[

seguinte distribuição de freqüências: fi 5 10 20 10 5

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