E.CAPITULO7

ESTATÍSTICA CONTAGEM A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitem contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes elementos agrupamentos formados sob certas condições. À primeira vista pode parecer desnecessária a existência desses métodos. Isto de fato é verdade, se o número de elementos que queremos contar for pequeno. Entretanto, se o número de elementos a serem contados for grande, esse trabalho torna-se quase impossível sem o uso de métodos especiais.

Princípio Fundamental da Contagem Uma forma de visualisarmos os agrupamentos é através de um diagrama conhecido como diagrama sequência ou diagrama da árvore.

Vejamos: Uma pessoa tem 5 camisetas de cores diferentes e duas calças também de cores diferentes.

Como agrupar calça e camisa sem repetição.

Camiseta a Camiseta b Camiseta c Calça A Camiseta d Camiseta e

Camiseta a Camiseta b Camiseta c Calça B Camiseta d Camiseta e Portanto, podemos ter 10 maneiras de agrupamentos, contagem de elementos de um conjunto.

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ESTATÍSTICA Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa?

K K

C

K

K C C

K K

C

C

K C C

Portanto, podemos ter 8 maneiras de agrupamentos, contagem de elementos de um conjunto.

Dentro desse princípio percebemos que, se multiplicarmos as possibilidades, encontramos os resultados procurados. Desta forma, temos o PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DA CONTAGEM Aproveitando os exemplos anteriores, temos: No caso da roupa : 2 calças e 5 camisetas  2  5  10 No caso da moeda: 2 moedas, 2 moedas e 2 moedas:  2  2  2  8

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ESTATÍSTICA Exercícios – Lista 12

1. Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?

2. Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?

3. Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

4. Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?

5. Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?

6. De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim e não?

7. Uma prova consta de 20 testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder aos 20 itens?

8. Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20 sobrenomes. Quantas pessoas podem receber um nome e um sobrenome, com esses elementos?

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ESTATÍSTICA Lembrete Importante: Fatorial ( ! ) Ferramenta da Análise Combinatório que é definido dentro do conjunto dos números naturais e que refere-se a uma multiplicação do elemento que está sendo indicado por todos que vêm antes dele (até o número 1).

Por definição, 0! = 1 e 1! = 1 Exemplo: 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1. = 6 4! – 4.3.2.1 = 24 n! = n.(n-1).(n-2)...!

Obs. Esta ferramenta não possui nenhuma propriedade específica, sendo assim, não podemos fazer nenhum tipo de operação com ela (somar, subtrair, multiplicar ou dividir).

Podemos apenas utilizar a simplificação quando temos em uma fração numerador e denominador iguais.

Exemplo:

n! n  (n  1)  (n  2)!  = n  (n  1)  n 2  n (n  2)! (n  2)!

Conseqüências do Princípio Fundamental da Contagem O princípio fundamental da contagem nos fornece o instrumento básico para a Análise Combinatória; entretanto, sua aplicação direta na resolução de problemas pode às vezes tornar-se trabalhosa. Iremos então definir os vários modos de formar agrupamentos e, usando símbolos simplificativos , deduzir fórmulas que permitam a contagem dos mesmos, em cada caso particular a ser estudado.

Dado o conjunto das vogas: A E I O U AEIOU AEIUO AEOIU AEOUI AEUIO AEUOI ....

Permuta Simples

AE AI AO AU EA EI EO EU IA IE IO IU OA OE OI OU UA UE UI UO Arranjo Simples

AE AI AO AU EI EO EU IO IU OU Combinação Simples

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ESTATÍSTICA Essas são as três maneiras de agrupamentos possíveis.

Permuta Simples: Sem Repetição

Pn  n! , onde n é o número de elementos

Os elementos são agrupados, mudando apenas de ordem, mas todos devem ser agrupados, não deixando nenhum elemento de fora.

Quando esse tipo de agrupamento é empregado em palavras dizemos que são formados anagramas.

Exemplos: a) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CAFÉ Temos 4 elementos, logo: n = 4

P4  4!

P4  4.3.2.1 P4  24 Então, podemos montar 24 anagramas. b) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CAFÉ que começam por C ?

Temos 4 elementos, porém um será fixo, o C. Portanto, para permutar temos disponíveis 3 elementos.

P3  3! 3.2.1  6 Portanto, conseguimos formar 6 anagramas com a palavra CAFÉ que comecem com a letra C. c) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CAFÉ que começam com C e terminam com F? Temos 4 elementos, porém dois serão fixos, o C e o T. Portanto, para permutar temos disponíveis 2 elementos.

P2  2! 2.1  2 Portanto, conseguimos formar 2anagramas com a palavra CAFÉ que comecem com a letra C e terminam com a letra T.

d) Quantos agrupamentos conseguimos formar com os algarismos 2, 5, 7 , 8 e 9?

Temos 5 elementos disponíveis para fazer a permuta.

P5  5! 5.4.3.2.1  120 Portanto, conseguimos formar 120 agrupamentos com esses cinco algarismos.

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ESTATÍSTICA Permuta Simples: Com Repetição

Pn 

n! ,  !  ! !

onde n é o número de elementos e  ,  ,  são as quantidades de letras que repetem Exemplo, Quantos anagramas podemos formar com a palavra CANETA? Temos 6 elementos, porém a letra A aparece duas vezes.

P6 

6! 6.5.4.3.2!   360 2!

2!

Quantos anagramas podemos formar com a palavra TAPETE ?

Temos 6 elementos, porém a letra T aparece duas vezes, bem como a letra E

P6 

6!

6.5.4.3.2! 6.5.4.3.    180 2!.2!

2.1.2!

2

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ESTATÍSTICA Execícios – Lista 13 1. Quantos são os anagramas da palavra SABER ?

2. Quantos números de cinco algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

3. Dos anagramas da palavra CORAGEM, quantos começam por A? 4. Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?

5. Oito clientes de um banco, dos quais 3 são mulheres, estão na filha única dos caixas. De quantas maneiras as pessoas dessa fila podem se posicionar de modo que as mulheres fiquem juntas?

6. Com as letras da palavra PROVA, quantos são os anagramas que começam e terminam por consoante?

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ESTATÍSTICA Arranjo Simples

An, p 

n! (n  p)!

onde n representa o total de elementos e p a maneira de agrupar esses elementos.

O arranjo simples, como vimos no conjunto das vogais, não distingue a ordem dos elementos, ou seja, no arranjo AE é diferente de EA. Portanto, se faz necessário saber o que estamos agrupando e se a ordem é importante ou não em nosso resultado.

Lemos: Arranjo de n elementos tomados p a p.

Exemplos: a) Quantos números de 3 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 6 e 7?

Temos 5 elementos que queremos agrupar de 3 em 3.

A5,3 

5!

5.4.3.2!   5.4.3  60 (5  3)!

2!

b) Numa sala existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas 2 pessoas podem se sentar, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?

Temos 10 elementos que queremos agrupar de 2 em 2.

A10, 2 

10!

10.9.8!   10.9  90 (10  2)!

8!

Os pares ordenados cujos elementos são consecutivos são: (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10) Ou (2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9) Portanto, devemos excluir 9 + 9 = 18 pares.

Logo, o número de maneiras de as pessoas se sentarem, com ao menos uma cadeira entre elas é 90 – 18 = 72.

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ESTATÍSTICA Exercícios – Lista 14 1.

Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isso pode ser feito?

2.

De quantas formas 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares?

3.

Cinco cavalos disputam um páreo. Qual é o número de possíveis resultados para as 3 primeiras colocações?

4.

O campeonato de futebol vai ser disputado por 20 equipes. Quantas são as possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares ( campeão e vice-campeão)?

5.

Numa empresa, 10 de seus diretores são candidatos aos cargos de presidente e vicepresidente. Quantos são os possíveis resultados da eleição?

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ESTATÍSTICA Combinação Simples

C n, p 

n! p!(n  p)!

onde n representa o total de elementos e p a maneira de agrupar esses elementos.

A combinação simples, como vimos no conjunto das vogais, distingue a ordem dos elementos, ou seja, na combinação AE e EA entende-se como sendo iguais.Desta forma, a combinação cancela a segunda opção. Portanto, se faz necessário saber o que estamos agrupando e se a ordem é importante ou não em nosso resultado.

Lemos: Combinação de n elementos tomados p a p.

Exemplos,

a) Os 30 alunos de uma classe devem fazer um trabalho em equipe de 4 pessoas. Há 20 garotas e 10 garotos. Quantas equipes podem ser formadas:  Se não houver restrições quanto ao sexo?  Com 2 garotas e 2 garotos?

1º Caso: Temos 30 alunos que vamos agrupar de 4 em 4:

C30, 4 

30!

30! 30.29.28.27.26! 30.29.28.27     27405 4!(30  4)! 4!26!

4.3.2.1.26!

4.3.2.1

2º Caso: Temos 20 garotas que vamos agrupar de 2 em 2 e 10 garotos que vamos agrupar de 2 em 2.

C 20, 2 

20!

20! 20.19.18! 20.19     190 2!(20  2)! 2!18!

2.1.18!

2.1

C10, 2 

10!

10! 10.9.8! 10.9     45 2!(10  2)! 2!8! 2.1.8!

2.1

Portanto, temos que 190 . 45 = 8550 possibilidades.

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ESTATÍSTICA Exercícios – Lista 15

1. Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

2. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 7 pessoas?

3. Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade para 6 doces cada uma.

Sabendo-se que ele fabrica 15 tipos diferentes de doces, quantos tipos de embalagens, com 6 doces distintos, ele poderá organizar?

4. Em um congresso de Educação, há 6 professores de Física e 6 de Matemática. Quantas comissões de 5 professoras podem ser formadas, havendo em cada uma 2 professores de Matemática e 3 de Física?

5. Quantos times de futebol podem ser formados com 20 atletas?

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