EQUAPOL

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Ufpe 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa.

1. Considerando-se a função polinomial p:IRëIR definida por p(x)=x¤+x+21 podemos afirmar que: (

) A equação p(x)=0 não tem solução inteira.

(

) O gráfico da função p(x) intercepta o eixo ox em um ponto de abcissa inteira.

(

) A equação p(x) =0 possui uma solução real.

(

) O gráfico da função p(x) intercepta o eixo ox num ponto de abcissa negativa.

(

) A equação p(x) -21 =0 possui exatamente três soluções reais.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.

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2. A respeito dos números reais, é verdade que:

(01) A fração geratriz de 0,39191... é 194/495.

(02) Se x = 1, então (x - 1)(x - 4)(x + 5) = 0.

(04) Se x + y = 10 e x - y = 2, então x = 8 e y = 2.

(08) Se | x - 1 | = 8, então x = -7 ou x = 9.

(16) Se x£ + 81 = 0, então x = -9 ou x = 9.

Soma (

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)

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3. (Uerj 2004) Numa auto-estrada verificou-se que a velocidade média do tráfego, V, entre meio-dia e seis horas da tarde, pode ser expressa pela seguinte função: V(t) = at¤ + bt£ + ct + 40 Nesta função, V é medida em quilômetros por hora, t é o número de horas transcorridas após o meio-dia e a, b e c são constantes a serem determinadas. Verificou-se, ainda, que à 1 hora, às 5 horas e às 6 horas da tarde, as velocidades médias eram, respectivamente, 81 km/h, 65 km/h e 76 km/h.

O número de vezes, em um determinado dia, em que a velocidade média do tráfego atinge 92 km/h, entre meio-dia e seis horas da tarde, é exatamente igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

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4. (Uerj 2004) Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura por 30 cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo foram retirados quadrados de área idêntica e, depois, foram dobradas para cima as abas resultantes.

Determine a medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão, para que a caixa formada tenha: a) área lateral de 204 cm£; b) volume de 600 cm¤.

5. (Unesp 2004) A expressão V(x) = x(16 - 2 x)(24 - 2 x) representa o volume em cm¤ de uma caixa na forma de um paralelepípedo retângulo reto, em que x é a altura e os lados da base são 16 - 2x e 24 - 2x. a) Se nenhuma das arestas da caixa pode ser menor que 1 cm, determine os valores possíveis da variável x. b) Quando x = 5 cm, o volume da caixa é 420 cm¤. Investigue se existem outros valores de x para os quais o volume é 420 cm¤. Em caso afirmativo, dê esses valores.

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6. (Fuvest 94) As três raízes de 9x¤-31x-10=0 são p, q e 2. O valor de p£+q£ é: a) 5/9 b) 10/9 c) 20/9 d) 26/9 e) 31/9

7. (Fuvest 95) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x¤-x£+kx+4=0 é igual a 1.

Então o valor de k é: a) - 8. b) - 4. c) 0. d) 4. e) 8.

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8. (Ita 95) Sabendo-se que 4+iË2 e Ë5 são raízes do polinômio 2x¦-22x¥+74x¤+2x£-420x+540, então a soma dos quadrados de todas as raízes reais é: a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25

9. (Pucsp 95) Sabe-se que -1 é raiz do polinômio f=x¤+x£-2x-2.

As demais raízes desse polinômio são números. a) irracionais. b) não reais. c) racionais não inteiros. d) inteiros positivos. e) inteiros e opostos entre si.

10. (Unicamp 95) Ache todas as raízes (reais e complexas) da equação x§-7x¤-8=0.

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11. (Fuvest-gv 91) A equação

x¦ - cx¥ + x¤ + (3a - 4b)x£ + (a-2b-1)x + (ab-3) = 0

admite x=1 como raiz, x=0 como raiz dupla e duas outras raízes diferentes de zero. Os valores de a, b, c são respectivamente iguais a:

a) - 2, - 3/2, 2 b) - 1, - 3, 15 c) 2, 3/2, 0 d) 3, 1, 7 e) 3, - 3/2, 17

12. (Unicamp 92) Mostre que as raízes de x¦+x¥+x¤+x£+1=0 são também raízes de x§-1=0.

Calcule essas raízes.

13. (Unicamp 92) Sabendo que a equação x¤-2x£+7x-4=0 tem raízes a, b e c, escreva, com seus coeficientes numéricos, uma equação cúbica que tem como raízes a+1, b+1 e c+1.

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14. (Unesp 92) O gráfico da figura adiante representa o polinômio real f(x)=-2x¤+ax£+bx+c. Se o produto das raízes de f(x)=0 é igual a soma dessas raízes, então a+b+c é igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 9/2

15. (Unicamp 93) Ache todas as raízes (inclusive as complexas) da equação x¦-x¥+x¤-x£+x-1=0

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16. (Fuvest 96) O número de pontos de intersecção dos gráficos das funções reais f(x)= (x£+1)/(x£+2) e g(x) = (x£+4)/(x£+3) é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

17. (Fuvest 96) O número de raízes complexas, que não são reais, do polinômio:

p(x) = x + x¤ + x¦+... + x£¾®¢ (n >1)

é: a) 2n + 1 b) 2n c) n + 1 d) n e) 1

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18. (Ita 96) Considere o polinômio p(z) = z§ + 2z¦ + 6z¥ + 12z¤ + 8z£ + 16z.

Sobre as raízes da equação p(z) = 0, podemos afirmar que: a) apenas uma é real. b) apenas duas raízes são reais e distintas. c) apenas duas raízes são reais e iguais. d) quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas. e) quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais.

19. (Ufmg 94) Os números -1 e 1 são duas raízes do polinômio P(x) = cx¤ + ax£ + bx + 2c.

A terceira raiz de P(x) é a) - 3 b) - 2 c) 0 d) 1/2 e) 2

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20. (Fgv 95) Sobre as raízes da equação 2x¤ - x£ - 2x + 1 = 0, é verdade que a) nenhuma delas é real. b) exatamente duas delas são negativas. c) somente uma delas é irracional. d) as três são números inteiros. e) pertencem ao intervalo [-1, 1].

21. (Ufpe 95) Qual a maior raiz inteira da equação x¥ - 20x¤ + 90x£ + 20x - 91 = 0?

22. (Cesgranrio 91) Se x¤ - 2x£ + 5x - 4 = 0 tem uma raiz x• = 1, então as outras duas raízes da equação são: a) complexas não reais. b) racionais. c) positivas. d) negativas. e) reais de sinais opostos.

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23. (Fgv 97) Dada a equação polinomial x¤ - 5x£ + 8x - m = 0, onde m é um parâmetro real: a) Mostre que tal equação tem ao menos uma raiz real. b) Obtenha m de modo que 3 seja raiz, e encontre as outras raízes.

24. (Ita 97) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x§-4x¦+4x-2=0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que a) todos são números reais. b) 4 são números reais positivos. c) 4 não são números reais. d) 3 são números reais positivos e 2 não são reais. e) 3 são números reais negativos.

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25. (Ita 97) Sejam a , a‚, aƒ e a„ números reais formando, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente com a ·0. Sejam x , x‚ e xƒ as raízes da equação a x¤+a‚x£+aƒx+a„=0.

Se x•=2i, então a) x + x‚ + xƒ = -2 b) x + x‚ + xƒ = 1 c) x £ + x‚£ + xƒ£ = 4 d) x . x‚ . xƒ = 8 e) x . x‚ + x . xƒ + x‚ . xƒ = 5

26. (Fgv 99) Considere o polinômio P(x) = x¤ - 4x£ + 6x + m. a) Para m = - 4, o polinômio tem uma raiz racional. Encontre-a. b) Para m = - 24, resolva a inequação P(x) µ 0.

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27. (Pucpr) Calcular a soma das duas maiores raízes da equação x¤+7x£+14x+8=0, sabendo-se que estão em progressão geométrica: a) -2 b) -3 c) -4 d) -5 e) -6

28. (Ufc 99) As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo são dadas pelos números que são raízes da equação 4x¤-24x£+47x-30=0. Então, a área desse triângulo, em cm£, é: a) 1,5. b) 0,5. c) 7,5. d) 6. e) 3.

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29. (Ufmg 2002) Considere a equação

(x-1) (x¤+x£+x+1) + (1-x£) (x£+1) = 50 x + 15.

Essa equação admite EXATAMENTE a) duas soluções. b) três soluções. c) quatro soluções. d) uma solução.

30. (Ufg 2003) Considere o polinômio P(x) = x§ - 1 e julgue os itens abaixo: (

) O número - 1 é raiz de P(x).

(

) As raízes complexas do polinômio Q(x) = x¥ + x£ + 1 são também raízes de P(x).

(

) A soma de todas as raízes (reais e complexas) de P(x) é igual a zero.

(

) P(x) > 0 para todo número real x, com |x| < 1.

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31. (Fgv 2003) A equação polinomial (x - 1) (x£ + 1) + (x + 1) (x£ - 1) = 0 apresenta: a) 3 raízes inteiras. b) uma raiz igual a - 1. c) duas raízes complexas conjugadas. d) duas raízes irracionais. e) 3 raízes irracionais.

32. (Mackenzie 2003) Se a equação x¤ - 2bx£ - x + b£ = 0 tem duas raízes opostas, então um possível valor de b é: a) -2 b) 1/2 c) -1 d) -3 e) 2

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33. (Mackenzie 2003) No polinômio p(x) = x¤ + ax£ + bx + c, sabe-se que p(i) = 0 (i£ = -1) e que os coeficientes reais a, b e c são tais que 1 + a + b + c = 0. Então o resto da divisão de p(x) por x é: a) 2 b) -2 c) -1 d) 1 e) 0

34. (Pucrs 2003) O conjunto das raízes do polinômio p(x) = (x - a)£ (x - b) (x + c)¦, onde a · b, a · c e b · c, é a) {a£, b, c¦}. b) {a£, b, (- c)¦}. c) ¦}.c) {a, a£, b, b£, - c, (- c)¦}. d) {a, b, c}. e) {a, b, - c}.

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35. (Uel 2003) Sobre a equação x¤ - x£ + x - 1 = 0, é correto afirmar que: a) Possui três raízes imaginárias puras. b) Possui três raízes reais cuja soma é 1. c) Possui três raízes reais cuja soma é 3. d) Possui duas raízes reais e uma imaginária pura. e) Possui uma raiz real e duas imaginárias puras.

36. (Ufscar 2003) Considere a equação x£ + kx + 36 = 0, onde x' e x'' representam suas raízes.

Para que exista a relação (1/x')+(1/x'') = 5/12, o valor de k na equação deverá ser a) - 15 b) - 10 c) + 12 d) + 15 e) + 36

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37. (Ufpr 2004) Sabendo-se que i, 3 e { (1/2) + i . [(Ë3)/2] }¢¥ são raízes de p(x) = x § - 6x¦ + 7x¥ - x¤ + 18x £ + ax + 12, onde i é a unidade imaginária e a é número real, é correto afirmar: (01) 1 também é raiz de p(x).

(02) 4 também é raiz de p(x).

(04) O produto das raízes de p(x) é 14.

(08) p(x) é divisível por x£ + x + 1.

Soma (

)

38. (Fuvest 2004) O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x¤ - mx£ + 4x + 3 é igual a -1. Determinar a) o valor de m. b) as raízes de p.

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39. (Pucmg 2004) Uma das raízes da equação x¤ - 2x£ + ax + 6 = 0 é 1. As outras raízes são: a) -2 e 2 b) 2 e 4 c) -2 e 3 d) 3 e 4

40. (Pucpr 2004) Sejam a, b e c três números reais não nulos. O polinômio p(x) = x¤ - ax£ + bx - c pode ser fatorado como (x - a) (x - b) (x - c).

O valor de p(2) será: a) - 3 b) 0 c) 4 d) 7 e) 9

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41. (Pucpr 2004) Se 3 + 2 i é raiz da equação x£ + ax + b = 0 com a e b números reais, então a + b vale: a) 7 b) - 4 c) - 6 d) 19 e) 2

42. (Unicamp 2004) Dada a equação polinomial com coeficientes reais x¤ - 5x£ + 9x - a = 0: a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação. b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação.

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43. (Uerj 2004) Os zeros do polinômio a seguir formam uma P.A. p(x) = x¤ - 12x£ + 44x - 48 O conjunto solução da equação p(x) = 0 pode ser descrito por: a) {0, 4, 8} b) {2, 4, 6} c) {-1, 4, 9} d) {-2,- 4,- 6}

44. (Uff 2004) Determine todos os valores possíveis de m Æ IR, de modo que o polinômio p(x) = x¤ + (m - 1) x£ + (4 - m) x - 4 tenha três raízes distintas, sendo x = 1 a única raiz real.

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45. (Ita 2005) O número complexo 2 + i é raiz do polinômio f(x) = x¥ + x¤ + px£ + x + q, com p, q Æ R. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de f é a) 4. b) -4. c) 6. d) 5. e) -5.

46. (Ita 2005) a) Mostre que o número real ‘ = [¤Ë(2+Ë5)] + [¤Ë(2-Ë5)] é raiz da equação x¤ + 3x - 4 = 0 b) Conclua de (a) que ‘ é um número racional

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47. (Uerj 2005) O retângulo de ouro é utilizado em Arquitetura desde a Grécia Antiga.

A razão entre as medidas do maior e do menor lado desse retângulo é o número de ouro, representado por •. a) Sabendo que • é uma das raízes da equação x£ = x + 1, calcule o valor de •. b) Observe as implicações a seguir.

Determine todas as raízes complexas da equação x¥ = 3x+2.

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48. (Ufg 2005) Sabe-se que todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais admite pelo menos uma raiz real. Dado o polinômio p(x) = [(m - 1)(m£+1)]x¦ + x£ + kx + 1, com m, k Æ R, as condições sobre m e k, para que o polinômio p(x) não admita raiz real, são a) m = 0 e k < -2 b) m = -1 e -2 < k < 2 c) m = 1 e k < -2 d) m = 1 e -2 < k < 2 e) m = 0 e k > 2

49. (Unicamp 2005) Para resolver equações do tipo x¥ + ax¤ + bx£ + ax +1 = 0, podemos proceder do seguinte modo: como x = 0 não é uma raiz, divide-se a equação por x£ e, após fazer a mudança de variáveis u = x + 1/x, resolve-se a equação obtida [na variável u]. Observe que, se x Æ IR e x > 0, então u µ 2 .

a) Ache as 4 raízes da equação x¥ - 3x¤ + 4x£ - 3x + 1 = 0. b) Encontre os valores de b Æ IR para os quais a equação x¥ - 3x¤ + bx£ - 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz real positiva.

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50. (Fgv 2005) Seja I a matriz identidade de ordem 3 e M a matriz quadrada

Se o determinante da matriz (M + xI) é uma função polinomial na variável x, a soma de suas raízes é igual a a) -1. b) 0. c) 1. d) 2. e) 3.

51. (Fgv 2005) Dado o polinômio P(x) = x¥ + x¤ - 6x£ - 4x + k: a) Resolva a equação P(x) = 0, para k = 8. b) Determine o valor de k de modo que as raízes estejam em progressão aritmética de razão

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igual a 3.

52. (Unesp 2005) Considere a matriz

O determinante de A é um polinômio p(x). a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x). b) Determine todas as raízes de p(x).

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53. (Pucpr 2005) Considere a equação 3x¤ - 2x£ + 12x - 8 = 0, que admite uma raiz igual a 2i, em que i é a unidade imaginária.

Então, podemos afirmar que a equação dada admite: a) uma raiz racional no intervalo [1/2, 3/4]. b) duas raízes reais no intervalo [1/2, 3/4]. c) uma raiz real irracional no intervalo [1/2, 3/4]. d) duas raízes reais irracionais no intervalo [1/2, 3/4]. e) uma raiz real irracional no intervalo [3/4, 1].

54. (Pucrs 2005) A soma das raízes da equação ax¤ + bx£ + cx = 0, onde a, b , c Æ IR e a·0, tendo 4i como raiz é a) 0 b) 1 c) 2 d) 8i e) -8i

55. (Ufc 2006) Encontre as raízes complexas da equação polinomial x¥ - 10x¤ + 11x£ - 10x + 1

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= 0.

56. (Ita 2006) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 - i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e - 40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são a) (3/2) - [(Ë193)/6], 3, (3/2) + [(Ë193)/6] b) 2 - 4Ë13, 2, 2 + 4Ë13 c) - 4, 2, 8 d) - 2, 3, 8 e) - 1, 2, 5

57. (Ita 2006) Sobre o polinômio p(x) = x¦ - 5x¤ + 4x£ - 3x - 2 podemos afirmar que a) x = 2 não é raiz de p b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais

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58. (Ita 2006) Considere o polinômio p(x) = x¤ - (a + 1)x + a, onde a Æ Z.. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é a) {2n, n Æ N} b) {4n£, n Æ N} c) {6n£ - 4n, n Æ N} d) {n(n + 1), n Æ N} e) N

59. (Ita 2006) Considere o polinômio p(x) = x¤ + ax£ + x + 1, com raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira: "Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais."

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60. (Uerj 2006) As figuras abaixo representam as formas e as dimensões, em decímetros, de duas embalagens: um cubo com aresta x e um paralelepípedo retângulo com arestas x, x e 5.

A diferença entre as capacidades de armazenamento dessas embalagens, em dm¤, é expressa por x¤ - 5x£ = 36.

Considerando essa equação, a) determine que 6 é uma das suas raízes; b) calcule as suas raízes complexas.

61. (Unesp 2006) Seja z = 1 + i um número complexo. a) Escreva z e z¤ na forma trigonométrica. b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor grau, que tem z e | z |£ como raízes e

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coeficiente dominante igual a 1.

62. (Unifesp 2006) Considere a equação x¤ - Ax£ + Bx - C = 0, onde A, B e C são constantes reais. Admita essas constantes escolhidas de modo que as três raízes da equação são as três dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto-retângulo. Dado que o volume desse paralelepípedo é 9 cm¤, que a soma das áreas de todas as faces é 27 cm£ e que a soma dos comprimentos de todas as arestas é 26 cm, pede-se: a) os valores de A, B e C. b) a medida de uma diagonal (interna) do paralelepípedo.

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63. (Ufrrj 2004) Resolvendo a equação

encontramos 3 raízes reais.

Determine-as, sabendo que a soma de duas dessas raízes é igual a 4.

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64. (Fatec 2005) O polinômio

admite: a) três raízes reais. b) uma raiz de multiplicidade 2. c) nenhuma raiz real. d) uma única raiz real. e) uma raiz de multiplicidade 3.

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GABARITO

1. V F V V F

2. 01 + 02 + 08 = 11

3. [A]

4. a) 3 cm b) 5 cm

5. a) 1 ´ x ´ 7,5 b) [15 - Ë(141)]/2

6. [D]

7. [A]

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8. [B]

9. [A]

10. V = {2, -1 • iË3, -1, 1/2 • iË3/2}

11. [D]

12. As raízes de x¦ + x¥ + x¤ + x£ + 1 = 0 não são raízes de x§ - 1 = 0.

13. x¤ - 5x£ + 14x - 14 = 0

14. [A]

15. V={1, (-1+Ë3i)/2, (-1-Ë3i)/2, (1+Ë3i)/2, (1-Ë3i)/2}

16. [A]

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17. [B]

18. [B]

19. [E]

20. [E]

21. 13

22. [A]

23. a) Como m é um número real, trata-se de uma equação polinomial de coeficientes todos reais. Sendo assim, pode-se afirmar, pelo teorema das raízes imaginárias, que o número de raízes imaginárias é PAR. Como a equação admite, ao todo, três raízes, porque ela é de grau 3, conclui-se que o número de raízes reais é ÍMPAR. Portanto a equação admite pelo menos uma raiz real.

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b) m = 6 As outras raízes são 1 + i e 1 - i.

24. [D]

25. [A]

26. a) 2

b) [4; + ¶ [

27. [B]

28. [A]

29. [D]

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30. V V V F

31. [C]

32. [E]

33. [C]

34. [E]

35. [E]

36. [A]

37. 02 + 08 = 10

38. a) m = 7 b) 3/2; 1 - Ă&#x2039;2 e 1 + Ă&#x2039;2

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39. [C]

40. [E]

41. [A]

42. a) a = 5 b) 2 - i e 1

43. [B]

44. { m Æ R | -4 < m < 4 }

45. [E]

46. a) ‘ é raiz da equação

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b) ‘ =1, logo ‘ é racional.

47. a) • = (1 + Ë5)/2.

b) (1 • Ë5)/2 e (-1 • i Ë7)/2

48. [D]

49. a) 1; 1; (1/2) - i [Ë3)/2]; (1/2) + i [(Ë3)/2]

b) b ´ 4

50. [B]

51. a) S = {- 2, 1, 2} Obs.: -2 é rais dupla

b) Não existe valor de k para o qual as raízes estejam em P.A. de razão 3.

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52. a) Sim, 2 é raiz.

b) - 1; 1 e 2.

53. [A]

54. [A]

55. (1/2) • (i(Ë3)/2)

56. [E]

57. [E]

58. [D]

59. Sejam ‘, ’ e – as raízes de p(x).

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Sabendo que a é racional e supondo que ‘ - ’ é racional, temos: Pelas relações de Girard: ‘+’+–=-a Se ‘ é racional e ‘ - ’ é racional => ’ é racional e – é racional, pois – = - a - ‘ - ’.

Se ’ é racional e ‘ - ’ é racional => ‘ é racional e – é racional, pois – = - a - ‘ - ’.

Se – é racional e ‘ - ’ é racional => ‘ e ’ são racionais, pois ‘ + ’ = - – - a.

Portanto, a afirmação é verdadeira.

60. a) 6¤ - 5 . 6£ = 36 216 - 180 = 36 36 = 36 => 6 é raiz.

b) x• = -(1/2) + [i(Ë23)/2] e x‚ = -(1/2) - [ i(Ë23)/2]

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61. a) z = Ë2 [cos(™/4) + i sen(™/4)] e z¤ = 2Ë2 [cos(3™/4) + i sen(3™/4)]

b) x¤ - 4x£ + 6x - 4

62. a) A = 13/2, B = 27/2 e C = 9

b) d = (Ë61)/2 cm

63. 2; 2 + Ë7 e 2 - Ë7

64. [D]

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