Princípio da ação mínima Maior nome da matemática do século 18, o suíço Leonhard Euler(1707-1783) pavimentou as bases do cálculo, criado no século anterior por mentes guiadas mais por intuição física do que por um pensamento matemático rigoroso. Em 1755, escreveu um importante tratado sobre o cálculo diferencial, Instituições do cálculo diferencial, e lançou mais tarde, em três volumes, um estudo sobre o cálculo integral (Instituições do cálculo integral). Nessas obras e em todas as demais que produziu, procurou dar ao cálculo um tratamento estritamente analítico, eliminando o apelo geométrico e apoiando-se na estrutura algébrica (aritmética) dos números. Abria assim caminho para um ramo da matemática que, a partir daí, é chamado de Análise: estudo dos processos infinitos por meios aritméticos. Em 1748, havia escrito um tratado em dois volumes com essa abordagem analítica, Introdução à análise do infinito, a primeira apresentação conexa dos processos variacionais. Além disso, foi responsável pela extensão do cálculo, retratada nos estudos do princípio da ação mínima.
A invenção do cálculo é o grande acontecimento do século 17 no campo da matemática. Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (16461716) criaram métodos básicos para lidar com processos dinâmicos, uma nova maneira de abordar a mecânica (que investiga os movimentos e as forças que os provocam). Ao permitir previsibilidade e domínio sobre a natureza conhecimentos extremamente demandados pela sociedade da era moderna -, a nova abordagem dotava o homem de saberes que poderiam torná-lo senhor absoluto dos fenômenos naturais. Muita coisa ainda estava por ser feita, e o século 18 se encarregou disso. Das bases do cálculo surgiram áreas importantes do conhecimento, como equações diferenciais, séries infinitas, geometria diferencial, funções de variáveis complexas, cálculo variacional etc. Embora os rudimentos desses temas já estivessem presentes nos trabalhos de Newton e Leibniz, só no século 18 haveria uma preocupação mais intensa com o seu desenvolvimento, que constitui a área da matemática denominada Análise. Havia um esforço muito maior em aplicar os princípios do cálculo do que propriamente em entendêlos. Quantidades infinitesimais, velocidade instantânea, incrementos nulos e ao mesmo tempo quantidades positivas, tudo isso fazia parte da linguagem e do procedimento do cálculo sem um adequado fundamento. Contrariamente à epistemologia de origem grega, os resultados justificavam os princípios. Apesar do clima de insegurança racional, os cientistas do século 18 desenvolveram o cálculo e fundaram novos e importantes ramos da análise matemática. Eles conviveram com as aflições do erro e as confusões
do processo criativo, tendo alcançado um tratamento puramente formal para o cálculo e para os ramos insurgentes da análise. Guiados mais por intuição física do que por um pensamento matemático preciso, suas habilidades técnicas foram insuperáveis. Os conceitos e as técnicas de cálculo se expandiam com enorme esforço para suprir a falta de fundamentos. A abordagem mais representativa nessa direção deveuse ao suíço Leonhard Euler, o mais relevante matemático do século 18. Orientado por Jean Bernoulli (1667-1748), estudou na universidade de Basiléia e completou seus estudos aos 15 anos. Os quatro volumes das Instituições de Euler são sem dúvida o tratamento mais completo sobre o cálculo do século 18. Com as devidas adaptações, até hoje os alunos das séries iniciais dos cursos universitários de ciências exatas estudam cálculo da mesma forma apresentada por Euler em seus tratados. Sua vasta produção reúne perto de uma centena de volumes, dos quais 80 já foram publicados pelo governo suíço. A Obra completa do autor está sendo editada em quatro séries: a Série I, com 29 volumes, trata de assuntos relacionados com matemática pura; a II, com 31 volumes, abrange mecânica e astronomia; a III, com 12 volumes, aborda assuntos9 de física e temas variados. A Série IV divide-se em duas partes: a IVA, com oito volumes, reúne a correspondência de Euler; a IVB, ainda não publicada, incorpora seus manuscritos. 0 tratado de 1755, Instituições do cálculo diferencial, foi editado na Obra completa como volume 10 da Série I, em 1913, e possui 676 páginas. A principal contribuição de Euler talvez seja seu estudo sobre cálculo variacional, denominação por ele criada em trabalho apresentado na Academia de Berlim em 1756. Trata-se de uma extensão do cálculo em que se estudam taxas de variação não mais de grandezas representadas por funções dependentes de um número finito de variáveis, mas de grandezas representadas por funcionais. No estudo de funções com n variáveis independentes, é conveniente a associação geométrica em que os n números são vistos como pontos de um espaço euclidiano com n dimensões. Para isso é suficiente considerar um único e universal espaço euclidiano n-dimensional.
Denomina-se funcional uma correspondência que associa um número real a uma função (ou curva) pertencente a determinada classe de funções (ou de curvas). Desse modo, devemos considerar cada função y(x) pertencente a uma dada classe, como um ponto em algum espaço. Os domínios cujos elementos são funções chamam-se espaços funcionais. Nesse contexto, surgem várias complicações, uma das quais é o fato de não existir mais, como antes, um único e universal espaço; cada problema sob consideração determinará a escolha do espaço funcional. É nesse mundo que Euler vagueia, buscando sentido em situações nas quais pontos geométricos são substituídos por objetos como funções ou curvas. Ele cria, inventa, dá existência a uma dinâmica que ocorre em um lugar que não é lugar, perde-se contato com o mundo. Paradoxalmente tudo isso estava sendo feito para resolver problemas da física.
Antecedentes Tudo começou com o matemático grego Euclides (século 3 a.C.) em seu livro Catoptrica, onde provou que o caminho percorrido pela luz refletida em um espelho tem ângulos de incidência e reflexão iguais. Daí, o matemático e físico grego Héron de Alexandria (século 1 d.C.) demonstrou que o caminho percorrido pela luz, ao ir de um ponto P a um ponto Q com reflexão no espelho, é o menor entre todos os caminhos que saem do ponto P, refletem no espelho e atingem o ponto Q. Se o meio for homogêneo, a velocidade da luz é constante. Portanto, ela percorre o caminho que leva o menor tempo. Héron aplicou esse princípio a problemas de reflexão em espelhos esféricos côncavos e convexos. Com base nos problemas de reflexão, os filósofos do período pós-grego estenderam esse princípio de otimização e propuseram a doutrina de que a natureza age sempre da melhor maneira possível, nada fazendo de supérfluo ou desnecessariamente. Leonardo da Vinci (1452-1519) acreditava que a natureza era econômica e que sua economia era quantitativa. Na Idade Média era consensual a idéia de que a natureza assim se comportava. No século 17, o matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) postulou o Princípio do Tempo Mínimo e, a partir dele, deduziu a lei da refração da luz. No início do século 18 os matemáticos tinham muitos exemplos de que a natureza empreende a otimização de algumas quantidades importantes. Os exemplos sugeriam que deveria haver um princípio geral, segundo o qual toda dinâmica ocorre na otimização quantitativa de algo: tempo, distância, trabalho, energia etc. Restava saber se havia algo universal cuja otimização quantitativa fosse capaz de reger todas as dinâmicas. A procura desse princípio geral foi empreendida pelo matemático francês Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), que propôs em 1 744 seu famoso Princípio da Ação Mínima. Segundo esse princípio, qualquer dinâmica na natureza deve minimizar o que Maupertuis chamou de Ação: a quantidade de movimento vezes a distância percorrida. Em termos matemáticos: A = mvs, em que m é a massa do corpo, v sua velocidade e s a distância percorrida. 0 resultado desse produto Maupertuis chamou de Ação. Quando a velocidade não é constante e o caminho percorrido é uma curva, a Ação é dada pela integral A =
∫
mvds, pois se trata de uma soma
infinita de velocidades instantâneas multiplicadas por percursos infinitesimais, bem ao gosto do cálculo. Maupertuis proclamou seu princípio de Lei Universal da Natureza e o considerava a primeira prova científica da existência de Deus. Para ele, a quantidade universal a ser otimizada era a Ação. Força viva Em 1744, Euler reformulou a definição de Ação, introduzindo a variável temporal. Como ds = v d t , ao substituir a igualdade na equação que define a Ação, obteve A =
∫ mv d t . Ele percebeu então que a Ação é a 2
quantidade total de força viva durante a trajetória, isto é, a Ação é a soma da força viva da massa em cada instante do movimento ao longo de uma curva. Força viva era o termo usado na época de Euler; depois, por questão de compatibilidade com as leis de Newton e com a conservação da energia, (1/2)mv 2, metade da força viva, passou a se chamar energia cinética da massa m. A partir daí Euler fez uso de sua idéia original do cálculo das variações. Considerou o movimento de uma única partícula se movendo ao longo de curvas em um plano. Para cada curva está associada uma Ação da partícula. Vemos então que a Ação é na verdade um funcional definido no espaço funcional de todas as curvas planas que ligam dois pontos fixos do plano. A intenção de Euler era adaptar as técnicas do cálculo diferencial para obter uma medida da variação da Ação quando uma curva fosse substituída por outra. Assim, ele conseguiu definir, ainda que vagamente, a taxa de variação de um funcional. Com uma frase lapidar, ele estabeleceu a extensão do cálculo a espaços funcionais: a Ação será mínima exatamente na curva em que sua taxa de variação for nula, ou seja, na curva que faz o papel de ponto estacionário, onde não há movimento. Fazendo uma analogia, podemos dizer que nesse percurso singular a velocidade da Ação é nula. Entendase velocidade aqui como taxa de variação da quantidade denominada Ação com referência a mudanças de caminhos, que são os objetos do espaço funcional em questão.
As idéias de Euler foram aprimoradas pelo astrônomo e matemático francês Louis de Lagrange (17361813), que generalizou o princípio para que pudesse ser aplicado a um maior número de problemas dinâmicos. Ele definiu Ação como a soma da energia cinética efetiva em cada instante do percurso. Energia cinética efetiva nada mais é do que a energia cinética subtraída da energia potencial. Podemos chamar isso de energia atual de uma partícula, visto que a energia virtual (potencial) foi suprimida. Em termos mais precisos, temos: energia atual = L = ('/2)mv 2 - U, em que U é a energia potencial da partícula. Essa energia atual, denotada por L, é chamada de 'lagrangiano'. Portanto, a Ação no sentido de Lagrange é a soma do lagrangiano da partícula em cada instante do percurso: A =
∫
Ldt. É nessa forma que o Princípio da Ação Mínima
é utilizado modernamente. 0 método variacional (ou cálculo variacional, como queria Euler) é um instrumento largamente utilizado no estudo de fenômenos nãolineares, essencial para a ciência moderna. Esse é o principal legado de Euler, fruto de sua mente incansável, do Iluminismo do século 18 e da constante necessidade de problematizar o mundo. Antônio Zumpano
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais --------------------------------------------------Transcrito de “Ciência Hoje”, v36, março de 2005.