FUNC_EXP

FUNÇÃO EXPONENCIAL

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Uerj 2001) Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções:

A(t) = 2.10¦(1,6)

B(t) = 4.10¦(0,4)

Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2000.

1. Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1 de janeiro de 2000.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2005) Pesquisadores da Fundação Osvaldo Cruz desenvolveram um sensor a laser capaz de detectar bactérias no ar em até 5 horas, ou seja, 14 vezes mais rápido do que o método tradicional. O equipamento, que aponta a presença de microorganismos por meio de

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uma ficha ótica, pode se tornar um grande aliado no combate às infecções hospitalares.

(Adaptado de Karine Rodrigues. http:www.estadão.com.br/ciência/notícias/2004/julho/15)

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2. Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei

na qual N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, ao fim de 8 horas o número delas era a) 3 600 b) 3 200 c) 3 000 d) 2 700 e) 1 800

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Cesgranrio 2002) A pressão atmosférica p varia com a altitude h segundo a lei h = a + b log p, onde a e b são

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constantes.

3. Assinale o gráfico que melhor representa p em função de h.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.

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4. Considerando-se as funções reais f(x)=log‚(x-1) e g(x)=2Ñ, é verdade:

(01) Para todo x real, x pertence ao domínio da função f ou à imagem da função g.

(02)Os gráficos das funções f e g interceptam-se no ponto (1, 0).

(04) O domínio de fog é R*ø (08) O valor de f(33) . g(-3) é igual a 5/8.

(16) A função inversa da função f é h(x)=2Ñ+1.

Soma (

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)

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5. (Ufpr 2004) Uma empresa de autopeças vem sofrendo sucessivas quedas em suas vendas a partir de julho de 2002. Naquele mês, ela vendeu 100.000 peças e, desde então, a cada mês tem vendido 2.000 peças a menos. Para reverter essa tendência, o departamento de marketing da empresa resolveu lançar uma campanha cuja meta é aumentar o volume de vendas à razão de 10% ao mês nos próximos seis meses, a partir de janeiro de 2004. A respeito das vendas dessa empresa, é correto afirmar: (01) Neste mês de dezembro, se for confirmada a tendência de queda, serão vendidas 66.000 peças.

(02) O total de peças vendidas nos últimos 12 meses, até novembro de 2003, inclusive, é de 900.000 peças.

(04) Se a meta da campanha for atingida, os números de peças vendidas mês a mês, a partir do seu lançamento, formarão uma progressão geométrica de razão 10.

(08) Se a meta da campanha for atingida, o número de peças a serem vendidas no mês de março de 2004 será superior a 80.000.

(16) Se a campanha não for lançada e as vendas continuarem na mesma tendência de queda, daqui a 24 meses a empresa não estará mais vendendo peça alguma.

Soma (

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)

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6. (Unirio 2000) Seja f: IR ë IR x ë y = 3 Ñ¥

Sabendo-se que f(g(x)) = x£/81, obtenha:

a) um esboço do gráfico de f;

b) a lei da função g.

7. (Mackenzie 97) A melhor representação gráfica da função real definida por y = (2£Ñ - 4 . 2Ñ + 3)/(2Ñ - 1), x · 0, é:

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8. (Mackenzie 97) Analisando os gráficos das funções de IR em IR definidas por g (x) = -x£ + x e f (x) = 2Ñ, considere as afirmações a seguir.

I) f (x) > g (x), ¯ x Æ IR. II) Não existe x Æ IR | f (x) = g (x).

III) f (x) e g (x) são inversíveis.

Então: a) somente a (I) é verdadeira. b) somente a (II) é verdadeira. c) somente (I) e (II) são verdadeiras. d) somente (I) e (III) são verdadeiras. e) somente (II) e (III) são verdadeiras.

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9. (Unicamp 99) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se: a) a expressão para p (t); b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: log 2 ¸ 0,301 e log 3¸0,477.

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10. (Enem 98) A seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m¤) e de eletricidade (em kWh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.

Companhia de Eletricidade Fornecimento: 401 kWh x 0,13276000 - Valor = R$ 53,23

Companhia de Saneamento TARIFAS DE ÁGUA / m¤

Faixas de consumo / Tarifa / Consumo / Valor

até 10 / 5,50 / tarifa mínima / R$ 5,50 11 a 20 / 0,85 / 7 / R$ 5,95

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21 a 30 / 2,13 31 a 50 / 2,13 acima de 50 / 2, 36

Total

R$ 11,45

Dos grĂĄficos a seguir, o que melhor representa o valor da conta de ĂĄgua. de acordo com o consumo, ĂŠ:

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11. (Uel 99) Considere a função de IR em IR dada por f(x)=5Ñ+3. Seu conjunto-imagem é a) ]-¶; 3[ b) ]-¶; 5[ c) [3; 5] d) ]3; +¶[ e) ]5; +¶[

12. (Uece 99) Seja f:IRëIR a função tal que f(1)=4 e f(x+1)=4.f(x) para todo x real. Nestas condições, f(10) é igual a : a) 2¢¡ b) 4¢¡ c) 2¢¡ d) 4¢¡

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13. (Unicamp 2000) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t)=a.2ö , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.

a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.

b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?

c) Esboce o gráfico da função F(t) para tÆ[0,40].

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14. (Ita 2000) Seja S=[-2, 2] e considere as afirmações:

I. 1/4 ´ (1/2)Ñ < 6, para todo x Æ S. II. 1/Ë(32-2Ñ) < 1/Ë(32), para todo x Æ S. III. 2£Ñ - 2Ñ ´ 0, para todo x Æ S.

Então, podemos dizer que a) apenas I é verdadeira. b) apenas III é verdadeira. c) somente I e II são verdadeiras. d) apenas II é falsa. e) todas as afirmações são falsas.

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15. (Unirio 2000) O conjunto-solução da inequação x£Ñ µ xÑ®¤, onde x>0 e x·1, é: a) ]0,1[ » [3,+¶[ b) {x Æ IR | 0 < x < 1} c) [ 3, +¶[ d) IR e) ¹

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16. (Unb 2000) O gráfico a seguir ilustra o número de assinantes residenciais da Internet no Brasil, em milhares, nos últimos cinco anos.

A partir desses dados, é importante obter um modelo matemático capaz de estimar o número de assinantes residenciais da Internet do Brasil em datas diferentes das fornecidas. Para isso, aproxima-se o número anual de assinantes, em milhares, por uma função exponencial do tipo mostrado abaixo do gráfico em que t é o ano, e=2,718... é a base do sistema neperiano de logaritmos, A e k são constantes a serem determinadas.

Considerando que F(1998)=1.600 e F(1999)=2.000, calcule, em centenas de milhares, a estimativa do número de assinantes no ano de 2003, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

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17. (Ufsm 2001) Considerando f(x) = aÑ a função exponencial de base a e g(x) = logx a função logarítmica de base a, numere a 1• coluna de acordo com a 2•.

(

) Domínio de f

(

) Imagem de g

(

) f(0)

(

) g(1)

1. Domínio de f 2. Domínio de g 3. 0 4. a 5. Imagem de g 6. Imagem de f 7. IR -{a} 8. g(a)

A seqüência correta é

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a) 2 - 5 - 8 - 3. b) 2 - 1 - 4 - 3. c) 5 - 7 - 8 - 4. d) 5 - 1 - 8 - 3. e) 7 - 1 - 6 - 4.

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18. (Ufsm 2001) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1.000 traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis L(t)=L³10 T(t)=T³2 , onde L³ é a população inicial de lambaris, T³, a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta a partir do ano inicial.

Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos? a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3

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19. (Unirio 2002) Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na baía de Guanabara. Foi feito um estudo para controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados.

Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y=2Ñ-1, ao custo de controle da poluição y=6(1/2)Ñ.

Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente: Considere log 2 = 0,3 log 3 = 0,4

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a) 1333 b) 2333 c) 3333 d) 4333 e) 5333

20. (Unirio 2002) Numa população de bactérias, há P(t) = 10ª . 4¤ bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 10ª bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10

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21. (Unicamp 2003) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:

onde T(t)é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TÛ é a temperatura ambiente, suposta constante, e ‘ e ’ são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de -18°C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0°C após 90 minutos e chegou a -16°C após 270 minutos.

a) Encontre os valores numéricos das constantes ‘ e ’. b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas (2/3)°C superior à temperatura ambiente.

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22. (Ufg 2003) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente

De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar que (

) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da

gripe. (

) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da

constatação da existência da gripe. (

) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.

(

) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.

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23. (Mackenzie 2003) O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas abaixo, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse número é:

a) 18.000 b) 20.000 c) 32.000 d) 14.000 e) 40.000

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24. (Mackenzie 2003)

Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = aÑ. O valor de g(g (-1))+f(g (3)) é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 3/2 e) 5/2

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25. (Pucmg 2003) Os pontos A = (1, 6) e B = (2,18) pertencem ao gráfico da função y = naÑ.

Então, o valor de a¾ é: a) 6 b) 9 c) 12 d) 16

26. (Fuvest 2004) Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráfico da função a seguir é:

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27. (Pucsp 2004) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996?

(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2001 e) 2002

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28. (Pucmg 2004) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas.

Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função

Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de: a) 1 dia e 3 horas. b) 1 dia e 9 horas. c) 1 dia e 14 horas. d) 1 dia e 19 horas.

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29. (Unicamp 2004) A função L(x) = aeöÑ fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes. b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

30. (Unesp 2004) Considere função dada por f(x)= 3£Ñ®¢ + m 3Ñ + 1. a) Quando m = - 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0. b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m + 1 não tem solução real x.

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31. (Unifesp 2004) Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada minuto, a metade da distância que o separa do ponto B, conforme figura.

Considere como sendo de 800 metros a distância entre A e B.

Deste modo, ao final do primeiro minuto (1Ž período) ele deverá se encontrar no ponto A•; ao final do segundo minuto (2Ž período), no ponto A‚; ao final do terceiro minuto (3Ž período), no ponto Aƒ, e, assim, sucessivamente.

Suponhamos que a velocidade se reduza linearmente em cada período considerado. a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10 primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua distância ao ponto B é inferior a 1 metro. b) Construa o gráfico da função definida por "f(t) = distância percorrida pelo objeto em t minutos", a partir do instante t = 0.

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32. (Cesgranrio 2004) Explosão de Bits A velocidade dos computadores cresce de forma exponencial e, por isso, dentro de alguns anos teremos uma evolução aceleradíssima. Para o inventor Ray Kurzweil, um computador de mil dólares tem hoje a mesma inteligência de um inseto. No futuro, ele se igualará à capacidade de um rato, de um homem e, finalmente, de toda a humanidade.

Revista Superinteressante, ago. 2003 (adaptado).

Considerando as informações apresentadas no gráfico acima, que estima a capacidade de processamento (por segundo) de um computador (C) em função do ano (a), de acordo com os dados do texto, pode-se afirmar que: a) C = log•³ (10a + 8)

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b) C = log•³ [(a - 1984)/2] c) a = 1992 + log•³C d) a = [(log•³C)/10] - 8 e) a = 1984 + log•³(C)£

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33. (Uerj 2004) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T³ obedece à seguinte relação:

Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas.

Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40°C. a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. b) Considerando Øn 2 = 0,7 e Øn 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

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34. (Uff 2004) A população de marlim-azul foi reduzida a 20% da existente há cinqüenta anos (em 1953).

Adaptado da Revista Veja, 09 de julho de 2003.

Newsweek, 26 de maio de 2003.

Considerando que foi constante a razão anual (razão entre a população de um ano e a do ano anterior) com que essa população decresceu durante esse período, conclui-se que a população de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e cinco anos (em 1978), ficou reduzida a aproximadamente: a) 10% da população existente em 1953 b) 20% da população existente em 1953

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c) 30% da população existente em 1953 d) 45% da população existente em 1953 e) 65% da população existente em 1953

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35. (Ufrn 2004) No programa de rádio HORA NACIONAL, o locutor informa:

"Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do País alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas.

Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis".

Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão

sendo t µ 0 e P a população do País.

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a) Calcule o percentual da população que tomou conhecimento da notícia no instante de sua divulgação. b) Calcule em quantas horas 90% da população tem acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população do país já conhecia a informação.

36. (Ufrs 2004) Analisando os gráficos das funções reais de variável real definidas por f(x) = (3/2)Ñ¢ e g(x) = x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo a) [0, 3]. b) (1/2, 4]. c) [1, 5). d) (3/2, 6]. e) (2, 6).

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37. (Fgv 2005) Os gráficos das funções exponenciais g e h são simétricos em relação à reta y = 0, como mostra a figura:

Sendo g(x) = a + b . cÑ e h(x) = d + e . fÑ, a soma a + b + c + d + e + f é igual a a) 0. b) 7/3. c) 10/3. d) 8. e) 9.

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38. (Fgv 2005) A posição de um objeto A num eixo numerado é descrita pela lei

onde t é o tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se o objeto B, de acordo com a lei 2 .

Os objetos A e B se encontrarão num certo instante tÛ½.

O valor de tÛ½, em segundos, é um divisor de a) 28. b) 26. c) 24. d) 22. e) 20.

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39. (Uel 2005) Seja f(n) uma função definida para todo n inteiro tal que ýf(2) = 2 þ ÿf(p+q) = f(p) . f(q) onde p e q são inteiros. O valor de f(0) é: a) -1 b) 0 c) 1 d) Ë2 e) 2

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40. (Uel 2005) O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) = ‘4Ñ onde t µ 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. Se, após 4 horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da colônia será: a) 6‘ b) 8‘ c) 9‘ d) 8‘ - 4 e) ‘ + 8

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41. (Pucrs 2005) Uma substância que se desintegra ao longo do tempo tem sua quantidade existente, após "t" anos, dada por

onde M³ representa a quantidade inicial. A porcentagem da quantidade existente após 1000 anos em relação à quantidade inicial M³ é, aproximadamente, a) 14% b) 28% c) 40% d) 56% e) 71%

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42. (Ueg 2005) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é

em que S³ representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se?

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43. (Ufla 2006) A tabela abaixo fornece os dados simulados do crescimento de uma árvore. A variável X é o tempo em anos e Y, a altura em dm.O esboço do gráfico que melhor representa os dados da tabela é

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44. (Ufrrj 2000) O gráfico que melhor representa a função mostrada na figura adiante, é:

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45. (Uem 2004) Sobre exponenciais, assinale o que for correto.

01) A única solução da equação e¥Ñ + 1 = 2e£Ñ é x = 0.

02) A inequação 3Ñ®¢ + 3Ñ - 3Ñ¢ > 33 tem conjunto-solução S = {x Æ R; x > 2}.

04) O sistema exponencial ýeÑ - eÒ = 0 þ ÿe£Ñ - e¤Ò = 0 tem solução S = {(0,0)}.

08) Os gráficos das funções f e g definidas por f(x) = eÑ e g(x) = x£ se interceptam apenas em dois pontos e, assim, a equação f(x) = g(x) não possui solução.

16) (eÑ + eÒ)/(eÑ - eÒ) = eÑÒ apenas quando x = -1.

32) Se as funções exponenciais A(t) = e¤ e B(t) = e¥ ®¢ descrevem o comportamento de uma colônia de bactérias submetidas às drogas A e B, respectivamente, onde o tempo t é dado em dias, então pode-se afirmar que a droga A é menos eficiente que a droga B, para eliminar a colônia.

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GABARITO

1. Candidato A = 200.000 eleitores Candidato B = 400.000 eleitores

2. [B]

3. [B]

4. 04 + 08 + 16 = 28

5. 01 + 08 = 09

6. a) Observe a figura a seguir

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b) g(x) = logƒx£, (x·0)

7. [B]

8. [C]

9. a) p(t) = F (0,81) b) 15 anos

10. [A]

11. [D]

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pag.49

12. [D]

13. a) a = 1024 e b = 1/10

b) t(min) = 30 anos

c) Observe o grรกfico a seguir:

14. [A]

15. [A]

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8:59

pag.50

16. 48

17. [D]

18. [E]

19. [A]

20. [E]

21. a) â&#x20AC;&#x2DC; = 54 e â&#x20AC;&#x2122; = -1/90 b) 360 minutos

22. F F V F

23. [D]

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pag.51

24. [C]

25. [B]

26. [C]

27. [E]

28. [A]

29. a) a = 120 e b = -Øn 2 b) 3 m

30. a) x = 0 ou x = -1 b) -12 < m ´0

31. a) A distância percorrida é 800 - (25/32) = 25575/32 m, e a distância até o ponto B é 25/32 <1

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b) Observe o grĂĄfico abaixo:

32. [E]

33. a) 22,5 °C b) aproximadamente 15 min

34. [D]

35. a) 10% b) 2 horas

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36. [C]

37. [D]

38. [C]

39. [C]

40. [C]

41. [E]

42. t = 4 anos

43. [C]

44. [B]

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45. itens corretos: 01, 02, 04 e 32 itens incorretos: 08 e 16

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8:59

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