FUNC_QU2

FUNÇÕES QUADRÁTICAS 2 1. (Unirio 2002) Mostre que, dentre esses retângulos, o que tem área máxima é um quadrado.

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. (Unirio 2002) Um retângulo, cuja base é de 16 cm, sofre alteração em suas medidas de forma que a cada redução de x cm em sua base, sendo x µ 0, obtém-se um novo retângulo de área dada por A(x) = -x£ + 8x + 128.

2. Determine a e b em h(x) = ax + b, onde h(x) denota a altura desses retângulos.

15/01/2010

8:55

pag.1

3. A tabela indica as projeções do PIB de um país, em bilhões de dólares, daqui a n anos:

Admitindo que no intervalo 1 ´ n ´ 6 (n Æ IR) as projeções do PIB possam ser estabelecidas por um modelo quadrático, pede-se: a) a função que relaciona a projeção do PIB (em bilhões de dólares) com n, no intervalo 1 ´ n ´ 6 (n Æ IR); b) sendo PŠ o PIB daqui a n anos, esboce o gráfico que relaciona n com a diferença PŠø - PŠ para 1 ´ n ´ 5 (n Æ IN)

4. (Fuvest 2005) Seja f(x) = ax£ + (1 - a) x + 1, onde a é um número real diferente de zero.

Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x)=0 são reais e o número x=3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.

15/01/2010

8:55

pag.2

5. (Uerj 2005) Considere as seguintes funções, relativas a uma ninhada de pássaros: C = 5 + 10n; C = custo mensal, em reais, para a manutenção de n pássaros.

V = 5n£ + 100n - 320; V = valor arrecadado, em reais, com a venda de n pássaros, 4 ´ n ´ 16.

Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela diferença entre os valores de venda V e custo C. a) Determine os possíveis valores de n, para que haja lucro nas vendas. b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucro possível e o valor, em reais, desse lucro.

6. (Ufal 2000) Um polinômio p, do segundo grau, é tal que

ýp(-1) = -3 þp(1) = 3 ÿp(2) = 12

Após determinar p, encontre o valor de p(3).

7. (Ufal 2000) Uma empresa de turismo promove um passeio para n pessoas, com 10 ´ n ´ 70,

15/01/2010

8:55

pag.3

no qual cada pessoa paga uma taxa de (100 - n) reais. Nessas condições, o dinheiro total arrecadado pela empresa varia em função do número n. Qual é a maior quantia que a empresa pode arrecadar?

8. (Ufes 2000) Um comerciante compra peças diretamente do fabricante ao preço de R$ 720,00 a caixa com 12 unidades. O preço de revenda sugerido pelo fabricante é de R$ 160,00 a unidade. A esse preço o comerciante costuma vender 30 caixas por mês. Contudo, a experiência tem mostrado que a cada R$ 5,00 que dá de desconto no preço sugerido, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada peça para que seu lucro mensal seja máximo?

9. (Uff 2002) Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como PARTE de um dos lados do cercado retangular que certo criador precisa construir. Para completar o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca.

Determine as dimensões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá construir.

15/01/2010

8:55

pag.4

10. (Ufla 2006) Uma loja vende diariamente 40 unidades de um produto a R$ 50,00 cada uma.

Quando esse produto entra em promoção, observa-se que para cada R$ 1,00 de desconto no preço do produto, as vendas aumentam 10 unidades. a) Calcule o valor do desconto que faz com que o faturamento seja máximo. b) Calcule o faturamento máximo que a loja pode obter com essa promoção.

11. (Ufpe 2000) Um jornaleiro compra os jornais FS e FP por R$1,20 e R$0,40, respectivamente, e os comercializa por R$2,00 e R$0,80, respectivamente. Analisando a venda mensal destes jornais sabe-se que o número de cópias de FS não excede 1.500 e o número de cópias de FP não excede 3.000. Supondo que todos os jornais comprados serão vendidos e que o dono da banca dispõe de R$1.999,20 por mês para a compra dos dois jornais, determine o número N de cópias de FS que devem ser compradas por mês de forma a se maximizar o lucro. Indique a soma dos dígitos de N.

12. (Ufpe 2003) Quando o preço do pão francês era de R$0,12 a unidade, uma padaria vendia 1000 unidades diariamente. A cada aumento de R$0,01 no preço de cada pão, o número de pães vendidos por dia diminui de 50 unidades. Reajustando adequadamente o preço do pão, qual a quantia máxima (em reais) que pode ser arrecadada diariamente pela padaria com a

15/01/2010

8:55

pag.5

venda dos pães? Assinale metade do valor correspondente à quantia obtida.

13. (Ufpe 2004) Uma pesquisa sobre a relação entre o preço e a demanda de certo produto revelou que: a cada desconto de R$ 50,00 no preço do produto, o número de unidades vendidas aumentava de 10. Se, quando o preço do produto era R$ 1.800,00 o número de unidades vendidas era de 240, calcule o valor máximo, em reais, que pode ser obtido com a venda das unidades do produto.

14. (Ufrj 2003) Seja f a função real dada por f(x) = ax£ + bx + c, com a > 0. Determine a, b e c sabendo que as raízes da equação | f (x) | = 12 são -2, 1, 2 e 5. Justifique.

15. (Ufrj 2004) Para quantos números reais x, o número y, onde y = - x£ + 6x -1, é um número pertencente ao conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...}?

15/01/2010

8:55

pag.6

16. (Ufrj 2004) Cíntia, Paulo e Paula leram a seguinte informação numa revista: "conhece-se, há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em função da altura: P = (a - 100) - [(a - 150)/k] onde P é o peso, em quilos, a é a altura, em centímetros, k = 4, para homens, e k = 2, para mulheres" a) Cíntia, que pesa 54 quilos, fez rapidamente as contas com k = 2 e constatou que, segundo a fórmula, estava 3 quilos abaixo do seu peso ideal. Calcule a altura de Cíntia. b) Paulo e Paula têm a mesma altura e ficaram felizes em saber que estavam ambos exatamente com seu peso ideal; segundo a informação da revista.

Sabendo que Paulo pesa 2 quilos a mais do que Paula, determine o peso de cada um deles.

15/01/2010

8:55

pag.7

17. (Ufrn 2000) Após uma análise de mercado, concluiu-se que um produto seria vendido de conformidade com a fórmula Q=2000-100P, na qual Q representa a quantidade que será vendida ao preço unitário P.

Sabendo que o lucro por unidade vendida é P-10, encontre

a) uma fórmula que determine o lucro total, em função de P;

b) o valor de P, para que o lucro total seja o maior possível.

15/01/2010

8:55

pag.8

18. (Ufrrj 2000) Em um jogo de futebol foi cometida uma falta frontal ao gol a uma distância de 36m.

Para a cobrança da falta o juiz montou uma barreira de cinco jogadores, todos com 1,80m de altura, e posicionou-os a 9m da bola. Entretanto, logo após o apito do árbitro para a cobrança da falta, a barreira deslocou-se em direção à bola a uma velocidade de 10cm/s, e o jogador que cobrou a falta só chutou a bola 10s depois de o árbitro ter apitado.

Sabendo-se que a baliza mede 2,44m de altura e que a falta foi cobrada segundo a trajetória de uma parábola representada pela função y=(61/5400).(-x£+42x), pergunta-se:

Qual dentre as narrações a seguir melhor representa a situação, após a cobrança da falta?

Justifique sua resposta com cálculos.

Situação I ë Vai ser cobrada a falta, começa a vibrar a torcida, correu o jogador, chutou e é gol. Golaço!

Situação II ë Tudo pronto para a cobrança, autoriza o juiz, a torcida está impaciente...

Chutou o jogador. No pau! Que susto! Sensacional a batida no travessão!

15/01/2010

8:55

pag.9

Situação III ë O estádio é uma só emoção! Corre o jogador, atira e a bola encobre o goleiro.

Por cima do travessão... e a torcida faz huum...

Situação IV ë Tudo pronto para a cobrança, autoriza o juiz, que demora... Chutou mal: direto na barreira!

19. (Unesp 2003) Suponha que um projétil de ataque partiu da origem do sistema de coordenadas cartesianas descrevendo uma parábola, conforme a figura.

a) Sabendo-se que o vértice da parábola do projétil de ataque é dado pelas coordenadas (15,45) e baseado nos dados da figura, calcule a equação da parábola do projétil de ataque. b) Um projétil de defesa é lançado a partir das coordenadas (6,0) e sua trajetória também descreve uma parábola segundo a equação y = - 0,25x£ + 9x - 45. Considerando-se que o

15/01/2010

8:55

pag.10

projétil de defesa atingirá o projétil de ataque, calcule as coordenadas onde isto ocorrerá e diga se o alvo estará a salvo do ataque.

20. (Unicamp 2005) A função y = ax£ + bx + c, com a · 0, é chamada função quadrática. a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0, 2), B(-1, 1) e C(1, 1). b) Dados os pontos A(x³, y³), B(x•, y ) e C(x‚, y‚), mostre que, se x³ < x• < x‚ e se os pontos A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C.

15/01/2010

8:55

pag.11

21. (Unifesp 2004) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm£ e 600 cm£, respectivamente.

A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 - x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B.

a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A. b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.

15/01/2010

8:55

pag.12

22. (Unifesp 2006) A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica exposta à radiação ultravioleta, segundo a relação

p(t) = 100 - 15t + 0,5t£.

a) Considerando que p deve ser uma função decrescente variando de 0 a 100, determine a variação correspondente do tempo t (domínio da função). b) A cultura não é segura para ser usada se tiver mais de 28% de bactérias. Obtenha o tempo mínimo de exposição que resulta em uma cultura segura.

15/01/2010

8:55

pag.13

23. (Unesp 2005) O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água.

a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água.

Em que instante o golfinho saiu da água? b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por: f(t) = (- 3/4) t£ + 6t - 9.

Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em metros, atingida no salto.

15/01/2010

8:55

pag.14

24. (Uff 2005) A relação entre o preço p de determinado produto e a quantidade q disponível no mercado obedece à seguinte lei: 5q = p£ + 2p - 3 , sendo p e q quantidades positivas e q Æ [1, 9]. a) Determine uma expressão que defina p em função de q; b) Na figura a seguir, faça um esboço da parte do gráfico de p em função de q que está contida na região quadriculada.

25. (Ufpe 2004) Segundo o regulamento de uma companhia de transporte, a bagagem de mão de um passageiro, na forma de um paralelepípedo reto, deve ter altura de no máximo 45cm e a soma da largura e do comprimento não pode ultrapassar 80cm. Para qual valor da largura, medida em cm, o volume da bagagem de mão será máximo?

15/01/2010

8:55

pag.15

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Ufsm 2004)

Recomendações

Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas recomendações. Transformadas em políticas públicas, poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do trânsito.

A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes.

A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos correspondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada.

O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trânsito e necessita de maior proteção, diz a terceira recomendação da pesquisa. Entre a 0h e as 18h da quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do Resgate recolheram 16 atropelados nas ruas de São Paulo.

Fonte: "Folha de São Paulo", 1Ž.06.03, p. C1 (adaptado).

15/01/2010

8:55

pag.16

26. A 100 m de um semáforo, o motorista de um automóvel aplica os freios de modo suave e constante, a fim de imprimir uma força de frenagem constante até o repouso. Após a freada, foram coletados os seguintes dados:

Considerando que a distância do automóvel ao semáforo, no instante de tempo t, é dada pela função quadrática s(t) = (1/2)at£ - vt + 100, onde a é a aceleração constante imprimida no instante da freada e v, a velocidade no instante da freada, o tempo necessário para o automóvel atingir a posição onde está localizado o semáforo é, em segundos, a) 4,5 b) 4,6 c) 4,8 d) 4,9 e) 5

15/01/2010

8:55

pag.17

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2005) O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de óleo vegetal (soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal é empregar uma mistura do biodiesel com diesel de petróleo, cuja proporção ideal ainda será definida.

Quantidades exageradas de biodiesel fazem decair o desempenho do combustível.

27. Seja f a função desempenho do combustível obtido pela mistura de biodiesel com combustível de petróleo, dada por f(p) = 12p - p£, em que p é a porcentagem de biodiesel na mistura, 0 ´ p ´ 12. O valor de p que gera o melhor desempenho é tal que a) p < 0,06 b) 0,06 ´ p < 0,6 c) 0,6 ´ p ´ 5,8 d) 5,8 < p ´ 6,2 e) p > 6,2

15/01/2010

8:55

pag.18

28. (Fatec 2003) A função f do 2Ž grau, definida por f(x) = 3x£ + mx + 1, não admite raízes reais se, e somente se, o número real m for tal que a) - 12 < m < 12 b) - 3Ë2 < m < 3Ë2 c) - 2Ë3 < m < 2Ë3 d) m < - 3Ë2 ou m > 3Ë2 e) m < - 2Ë3 ou m > 2Ë3

15/01/2010

8:55

pag.19

29. (Fgv 2005) Sejam f e g funções quadráticas, com f(x) = ax£ + bx + c. Sabe-se que o gráfico de g é simétrico ao de f em relação ao eixo y, como mostra a figura.

Os pontos P e Q localizam-se nos maiores zeros das funções f e g, e o ponto R é o intercepto de f e g com o eixo y. Portanto, a área do triângulo PQR, em função dos parâmetros a, b e c da função f, é a) [(a - b) . c] / 2 b) [(a + b) . c] / 2 c) - (a . b . c)/2 d) - (b . c)/(2 . a) e) c£/(2 . a)

15/01/2010

8:55

pag.20

30. (Fuvest 2005) Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h, situadas à distância d (ver figura), assuma a forma de uma parábola.

Suponha também que (i) a altura mínima do fio ao solo seja igual a 2; (ii) a altura do fio sobre um ponto no solo que dista d/4 de uma das colunas seja igual a h/2.

Se h = 3 (d/8) , então d vale ----- split ---> a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

15/01/2010

8:55

pag.21

31. (Mackenzie 2001) Se 2x£ - ax + 2a > 0, qualquer que seja x Æ IR, o maior valor inteiro que a pode assumir é: a) 15 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

15/01/2010

8:55

pag.22

32. (Mackenzie 2001)

Na figura temos os gráficos das funções f e g. Se f(x)=2x£, então g(3) vale: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

15/01/2010

8:55

pag.23

33. (Mackenzie 2003) Se a figura mostra o esboço do gráfico de f(x)= ax£ + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são:

a) nessa ordem, termos de uma progressão aritmética. b) nessa ordem, termos de uma progressão geométrica. c) números inteiros. d) tais que a < b < c. e) tais que a > b > c.

15/01/2010

8:55

pag.24

34. (Pucmg 2003) No gráfico, está representada a função f(x) = ax£ + bx + c. Sobre os coeficientes a, b e c, é CORRETO afirmar:

a) a + c > 0 b) b + c > 0 c) ab > 0 d) ac > 0

15/01/2010

8:55

pag.25

35. (Pucmg 2004) Uma pedra é atirada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela função h(t) = at£ + 12t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no instante t = 2, pode-se afirmar que o valor de a é: a) - 3 b) - 2 c) 2 d) 3

36. (Pucmg 2004) O intervalo no qual a função f(x) = x£ - 6x + 5 é crescente é: a) x < 5 b) 1 < x < 5 c) x > 1 d) x > 3

15/01/2010

8:55

pag.26

37. (Pucpr 2004) O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, então seu conjunto imagem é: a) [-20, ¶[ b) [20, ¶[ c) ]-¶, -20] d) ]-¶, 20] e) ]-¶, 25]

38. (Pucrs 2005) Se x e y são números reais tais que x - y = 2, então o valor mínimo de z = x£ + y£ é a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4

15/01/2010

8:55

pag.27

39. (Pucsp 2003) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$2 760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser a) R$ 15,00 b) R$ 24,50 c) R$ 32,75 d) R$ 37,50 e) R$ 42,50

15/01/2010

8:55

pag.28

40. (Uel 2000) Para todo x real, uma função f do 2Ž grau pode ser escrita na forma fatorada f(x)=a.(x-x•).(x-x‚), na qual a é uma constante real não nula e x , x‚ são as raízes de f. Se uma função f, do 2Ž grau, admite as raízes -2 e 3 e seu gráfico contém o ponto (-1;8), então f(x)>0 se, e somente se, a) x < -2 ou x > 3 b) -2 < x < 3 c) x > -2 e x · 3 d) x < 3 e x · -2 e) x · -2 e x · 3

15/01/2010

8:55

pag.29

41. (Uel 2005) Um terreno retangular tem 84 m de perímetro. O gráfico que descreve a área y do terreno como função de um lado x é:

15/01/2010

8:55

pag.30

42. (Uel 2006) Para um certo produto comercializado, a função receita e a função custo estão representadas a seguir em um mesmo sistema de eixos, onde q indica a quantidade desse produto.

Com base nessas informações e considerando que a função lucro pode ser obtida por L(q) = R(q) - C(q), assinale a alternativa que indica essa função lucro. a) L(q) = - 2q£ + 800q - 35000 b) L(q) = - 2q£ + 1000q + 35000 c) L(q) = - 2q£ + 1200q - 35000 d) L(q) = 200q + 35000 e) L(q) = 200q - 35000

15/01/2010

8:55

pag.31

43. (Uerj 2004) Três corredores - A, B e C - treinam sobre uma pista retilínea. As posições ocupadas por eles, medidas a partir de um mesmo referencial fixo, são descritas pelas funções SÛ = 5t + 3, S½ = 2t + 9 e SÝ = t£ - 2t + 9.

Nestas funções, a posição S é medida em metros e o tempo t é medido em segundos.

Durante a corrida, o número de vezes em que a distância entre os corredores A e B é igual à distância entre os corredores B e C corresponde a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

15/01/2010

8:55

pag.32

44. (Ufal 2000) O gráfico da função f, de IR em IR definida por f(x)=ax+b, contém o ponto (0;0) e o vértice V da parábola de equação y=x£-6x+7. Os valores de a e b são tais que a) aö = -1 b) bò = 1 c) a . b = -2/3 d) a + b = 2/3 e) b - a = 2/3

45. (Ufc 2002) Seja f uma função real de variável real definida por f(x)=x£+c, c > 0 e c Æ IR, cujo gráfico é mostrado na figura adiante.

Então o gráfico que melhor representa f(x + 1) é:

15/01/2010

8:55

pag.33

46. (Ufes 2000) O gráfico da função y = x£ - 1 é transladado de 3 unidades na direção e sentido do eixo x e de 1 unidade na direção e sentido do eixo y. Em seguida, é refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o gráfico da função

a) y = -(x + 3)£ b) y = -(x - 3)£ c) y = -(x + 3)£ - 2 d) y = (x - 3)£ - 2 e) y = (x + 3)£

47. (Ufes 2000) Sendo x•=3-Ë2 um zero (ou raiz) da função f(x)=(x-2)£+h, onde h é uma constante real, então podemos dizer que a) x‚ = 3 + Ë2 é outro zero da função f(x). b) x‚ = 1 + Ë2 é outro zero da função f(x). c) a função f(x) possui um único zero. d) h é um número real positivo. e) o gráfico da função f(x) é um arco de circunferência.

15/01/2010

8:55

pag.34

48. (Ufes 2001) A função f é periódica de período 1, isto é, f(x+1)=f(x) para todo x real. No intervalo [-1,0] temos f(x)=x£+x+1. Qual é a expressão de f(x) no intervalo [1,2]?

a) x£ - 3x + 3 b) x£ - 3x - 3 c) x£ + 3x + 3 d) x£ - x + 1 e) x£ - x - 1

15/01/2010

8:55

pag.35

49. (Ufg 2003) O Banco A oferece a quem investe quantias de até R$ 50.000,00, um rendimento que é calculado pela fórmula RÛ=[(2C£) / (10¥)] + [(6C) / (10¤)]. O Banco B oferece aos investidores um rendimento de 0,8% para quantias até R$ 15.000,00; para quantias acima de R$ 15.000,00, o rendimento é dado pela fórmula R½ = [(16C)/(10¤)] - [12/(10£)]. Em ambos os casos, C é o valor investido e R é o rendimento. Sabendo que C e R estão expressos em milhares de reais, julgue os itens abaixo: (

) Para uma quantia de R$ 50.000,00, o Banco A oferece maior rendimento que o Banco B.

(

) Se a quantia a ser investida é inferior a R$ 10.000,00, o Banco A oferece maior rendimento

que o Banco B. (

) No Banco B, o rendimento obtido ao aplicar

R$ 40.000,00 é o dobro do rendimento obtido ao aplicar R$ 20.000,00. (

) Para que o rendimento seja de R$ 275,00, o valor a ser investido no Banco A é maior que

o valor a ser investido no Banco B.

15/01/2010

8:55

pag.36

50. (Ufjf 2002) Considere uma função f: IR ë IR dada pela expressão f(x) = -x£ + bx + c, onde b e c são reais, e cujo gráfico tem eixo de simetria na reta x=1 e módulo da diferença entre as raízes igual a 4. Um esboço que pode representar o gráfico de tal função é:

51. (Ufjf 2003) Um ônibus de 54 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa cobrou de cada passageiro a quantia de R$ 55,00 e mais R$ 2,50 por lugar vago. O número de passageiros que dá à empresa rentabilidade máxima é: a) 16. b) 24. c) 38. d) 49. e) 54.

15/01/2010

8:55

pag.37

52. (Ufla 2006) Uma bolinha de tênis, após se chocar com o solo, no ponto O, segue uma trajetória ao longo de quatro parábolas, como pode ser observado no gráfico. A altura máxima atingida em cada uma das parábolas é 3/4 do valor da altura máxima da parábola anterior.

Sabendo-se que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais e que a equação da primeira parábola é y = - 4x£ + 8x, a equação da quarta parábola é

a) y = x£ - 14x + 48 b) y = - x£ - 14x + 48 c) y = - (27/16)(x - 6)(x - 8) d) y = - (3/4)¤(x - 6)(x - 8) e) y = - 8x£ + 16x

15/01/2010

8:55

pag.38

53. (Ufmg 2004) Seja f(x) = ax£ + bx + c uma função real com duas raízes reais e distintas.

Sabendo-se que f(1) > 0, é CORRETO afirmar que, a) se a > 0, então as raízes são maiores que 1. b) se a > 0, então x = 1 está entre as raízes de f(x). c) se a < 0, então x = 1 está entre as raízes de f(x). d) se a > 0, então as raízes são menores que 1.

15/01/2010

8:55

pag.39

54. (Ufmg 2005) Observe esta figura:

Nessa figura, os pontos A e B estão sobre o gráfico da função de segundo grau y = ax£ + bx + c. O ponto A situa-se no eixo das ordenadas e o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.

Assim sendo, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento AB é a) c. b) -c/a. c) b/a. d) -b/a.

15/01/2010

8:55

pag.40

55. (Ufpe 2000) Uma companhia telefônica possui 10.000 usuários que pagam uma taxa básica de R$15,00 por mês. A companhia resolveu fazer uma promoção durante alguns meses diminuindo R$0,25 do valor da taxa a cada mês. Observou-se que a cada desconto de R$0,25 no preço de taxa, 200 novos usuários utilizaram os serviços da telefônica. Denote por M(x) o valor arrecadado pela telefônica após x meses da promoção. Analise as afirmações seguintes:

(

) M(x) = 50 (3.000 + 10x - x£)

(

) O gráfico do valor arrecadado em reais versus centenas de usuários é a parábola ilustrada

abaixo

(

) O valor de M(x) será máximo quando o número de usuários for 11.000

(

) O valor máximo de M(x) é R$ 150.000,00

(

) O valor de M(x) será máximo quando houver 6 reduções sucessivas na taxa básica.

15/01/2010

8:55

pag.41

56. (Ufpe 2000) Um caminhoneiro transporta caixas de uvas de 15kg e caixas de maçãs de 20kg. Pelo transporte, ele recebe R$2,00 por caixa de uvas e R$2,50 por caixa de maçãs.

O caminhão utilizado tem capacidade para transportar cargas de até 2.500kg. Se são disponíveis 80 caixas de uvas e 80 caixas de maçãs, quantas caixas de maçãs ele deve transportar de forma a receber o máximo possível pela carga transportada? a) 80 b) 75 c) 70 d) 65 e) 60

15/01/2010

8:55

pag.42

57. (Ufpe 2004) A figura abaixo ilustra parte do gráfico de um polinômio quadrático p(x) = ax£ + bx + c com coeficientes a, b e c reais.

Analise a veracidade das afirmações seguintes: (

) p(x) admite duas raízes reais.

(

)b>0

(

) p(x) define uma função decrescente para todo real x.

(

) p(x) < 30 para todo real x.

(

) c > 0.

15/01/2010

8:55

pag.43

58. (Ufpe 2005) Quando o preço do sanduíche é de R$ 4,00, uma lanchonete vende 150 unidades por dia. O número de sanduíches vendidos diariamente aumenta de 5 unidades, a cada diminuição de R$ 0,10 no preço de cada sanduíche. Para qual preço do sanduíche, a lanchonete arrecadará o maior valor possível com a venda diária dos sanduíches? a) R$ 3,10 b) R$ 3,20 c) R$ 3,30 d) R$ 3,40 e) R$ 3,50

15/01/2010

8:55

pag.44

59. (Ufpr 2006) O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x - x£ e C(x) = 10(x+40), sendo x o número de itens produzidos no dia.

Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas:

I. O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10.

II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25].

III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia.

IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo.

Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

15/01/2010

8:55

pag.45

60. (Ufrn 2000) Sendo ‘ um parâmetro real, tem-se que ‘/(x£+x+1)´1 para todo x real, se, e somente se: a) ‘ ´ 1 b) ‘ µ 0,75 c) ‘ µ 1 d) ‘ ´ 0,75

15/01/2010

8:55

pag.46

61. (Ufrrj 2003) José pergunta ao Valdir: - Aquela bola que o jogador do Flamengo chutou, naquela falta contra o São Paulo na final da Copa dos Campeões, seguiu uma trajetória com forma de parábola? - Não, respondeu Valdir, pois a bola foi batida com muito efeito. Um exemplo de parábola seria uma bola chutada para frente e para cima, sem efeito e desprezando-se a resistência do ar.

Considerando o comentário de Valdir, se uma bola fosse chutada para frente e para cima, sem efeito e desprezando-se a resistência do ar, atingindo altura máxima no ponto (2, 4), como representado no gráfico a seguir, a distância (d), em metros, a partir da origem, do ponto em que a bola toca o chão pela primeira vez depois de ser chutada, equivale a

a) 3 m. b) 3, 5 m. c) 4 m.

15/01/2010

8:55

pag.47

d) 5 m. e) 6, 5 m.

62. (Ufrs 2001) O maior valor da função definida na figura a seguir é 16.

A soma dos valores possíveis para k é a) -1. b) 0. c) 1. d) 2. e) 4.

15/01/2010

8:55

pag.48

63. (Ufscar 2005) A figura representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f(x) = x£ e g(x) = x.

Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 120, o número real k é a) 0,5. b) 1. c) Ë2. d) 1,5. e) 2.

15/01/2010

8:55

pag.49

64. (Ufsm 2003) A parábola P representada na figura é o gráfico de uma função quadrática f.

Se y = g(x) for outra função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de f e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo 0x, então g(-1) vale

a) - 8 b) - 6 c) 0 d) 6 e) 8

15/01/2010

8:55

pag.50

65. (Ufsm 2004)

Algumas placas de advertência para o trânsito têm a forma de um quadrado de lado 1 m, que possui, no seu interior, retângulos destinados a mensagens, conforme exemplifica a figura.

Dentre esses possíveis retângulos, o de área máxima terá área, em m£, igual a a) (Ë3)/2 b) (Ë2)/2 c) 1/2 d) (Ë3)/4 e) (Ë2)/4

15/01/2010

8:55

pag.51

66. (Ufv 2002) Seja a função real dada por f(x) = (x£ - x - 2)¢¤, para todo xÆlR. É CORRETO afirmar que:

a) f(-1/25) . f(1/25) > 0 b) f(-10/11) . f(11/10) < 0 c) f(1/25) . f(25) > 0 d) f(-8) . f(8) < 0 e) f(1/13) . f(13) > 0

15/01/2010

8:55

pag.52

67. (Unifesp 2003) A figura representa, na escala 1:50, os trechos de dois rios: um descrito pela parábola y=x£ e o outro pela reta y=2x-5.

De todos os possíveis canais retilíneos ligando os dois rios e construídos paralelamente ao eixo Oy, o de menor comprimento real, considerando a escala da figura, mede a) 200 m. b) 250 m. c) 300 m. d) 350 m. e) 400 m.

15/01/2010

8:55

pag.53

68. (Ufsc 2005) Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 300 m/s (suponhamos que não haja nenhuma outra força, além da gravidade, agindo sobre ele). A distância d (em metros) do ponto de partida, sua velocidade v (em m/s) no instante t (em segundos contados a partir do lançamento) e aceleração a (em m/s£) são dadas pelas fórmulas: d = 300t - (1/2).10 t£, v = 300 - 10t, a = -10 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) O projétil atinge o ponto culminante no instante t = 30s.

(02) A velocidade do projétil no ponto culminante é nula.

(04) A aceleração do projétil em qualquer ponto da sua trajetória é a = -10m/s£.

(08) O projétil repassa o ponto de partida com velocidade v = 300m/s.

(16) A distância do ponto culminante, medida a partir do ponto de lançamento, é de 4 500m.

(32) O projétil repassa o ponto de lançamento no instante t = 60s.

15/01/2010

8:55

pag.54

69. (Fatec 2005) Sejam as funções f e g, de R em R, definidas, respectivamente, por f(x) = 2 x e g(x) = x£ - 1.

Com relação à função gof, definida por (gof) (x) = g(f(x)), é verdade que a) a soma dos quadrados de suas raízes é igual a 16. b) o eixo de simetria de seu gráfico é y = 2. c) o seu valor mínimo é -1. d) o seu conjunto imagem está contido em [0, + ¶[. e) (gof) (x) < 0 se, e somente se, 0 < x < 3.

70. (Ufv 2000) Na figura a seguir, a reta r:y=ax+b tem coeficiente angular positivo, e a reta s:y=cx+d tem coeficiente angular negativo.

A alternativa que melhor representa o gráfico do trinômio y=(ax+b)(cx+d) é:

15/01/2010

8:55

pag.55

15/01/2010

8:55

pag.56

GABARITO

1. A(x) = -x£ + 8x + 128. Logo, a função A tem valor máximo para x = -8/-2 = 4. Assim, a altura do retângulo de área máxima é h(4) = 4.1 + 8 = 12 e a base deste mesmo retângulo é dada por 16.1 - 4 = 12. Altura 12cm e Base 12 cm. Portanto, é um quadrado.

2. a = 1 e b = 8

3. a) P(n) = n£ + 2n + 50, 1 ´ n ´ 6 (n Æ IR)

b) Observe o gráfico a seguir:

15/01/2010

8:55

pag.57

4. - 2/3 ´ a < 0

5. a) n Æ Z tal que 5 < n < 13

b) 9 filhotes gerando 80 reais de lucro.

6. p(3) = 25

7. R$ 2500,00

8. R$ 135,00

9. 10 m.

10. a) o desconto de 23 reais produz faturamento máximo.

b) 7.290 reais.

15/01/2010

8:55

pag.58

11. 18

12. 64

13. 450.000 reais.

14. 9. Temos duas equações: (i) ax£ + bx + c = 12 e (ii) ax£ + bx + c = - 12. Em ambos os casos, a soma das raízes é - b/a. Na equação ( i ), o produto das raízes é (c - 12)/a; na ( ii ), o produto é (c + 12)/a > (c - 12)/a. Logo, a equação ( i ) tem raízes - 2 e 5 e a ( ii ) tem raízes 1 e 2.

Portanto: -b/a = 3, (c - 12)/a = -10, (c + 12)/a = 2.

R.: a = 2, b = - 6, c = - 8

15. 15 valores reais

16. a) A altura de Cintia é 164 cm. b) Paulo pesa 56 quilos e Paula 54 quilos.

17. a) LT = - 100 P£ + 300 P - 20000

15/01/2010

8:55

pag.59

b) P = 15

18. Situação II

19. a) y = -0,2 x£ + 6x. b) (30; 0) e o alvo não estará a salvo do ataque.

20. a) y = - x£ + 2

b) Temos o seguinte sistema linear nas variáveis a, b e c: f(x³) = ax³£ + bx³ + c = y³ f(x•) = ax•¢ + bx• + c = y• f(x‚) = ax‚£ + bx‚ + c = y‚

Tomando a matriz incompleta do sistema, encontramos o determinante localizado na figura1.

Como x³ < x• < x‚, podemos afirmar que Ð · 0. Logo, o sistema linear acima é um sistema de

15/01/2010

8:55

pag.60

Cramer e, sendo assim, a = Ða/Ð. Sabendo ainda que os pontos A, B e C não estão alinhados, obtemos o determinante da figura 2.

Portanto, a · 0 e a função quadrática y = ax£ + bx + c é única.

c.q.d.

21. a) f(x) = -x£ + 50x, com 0 < x < 50. b) 625 cm£

22. a) 0 ´ t ´ 10

15/01/2010

8:55

pag.61

b) t = 6

23. a) f(t) = 2t - 4 para 0 ´ t ´ 2; 2 s

b) 4 s; 3 m

24. a) p = - 1 + Ë(4 + 5q), com q Æ [1, 9]

b) Observe o gráfico a seguir:

25. 40 cm

15/01/2010

8:55

pag.62

26. [E]

27. [D]

28. [C]

29. [D]

30. [B]

31. [A]

32. [A]

33. [B]

34. [A]

15/01/2010

8:55

pag.63

35. [A]

36. [D]

37. [A]

38. [D]

39. [D]

40. [B]

41. [A]

42. [A]

43. [C]

15/01/2010

8:55

pag.64

44. [E]

45. [B]

46. [B]

47. [B]

48. [A]

49. V F F V

50. [E]

51. [C]

52. [C]

15/01/2010

8:55

pag.65

53. [C]

54. [D]

55. V V V F F

56. [D]

57. V F F F V

58. [E]

59. [C]

60. [D]

61. [C]

15/01/2010

8:55

pag.66

62. [B]

63. [E]

64. [A]

65. [C]

66. [A]

67. [A]

68. 01 + 02 + 04 + 16 + 32 = 55

69. [C]

70. [E]

15/01/2010

8:55

pag.67

15/01/2010

8:55

pag.68

15/01/2010

8:55

pag.69