GE_S_I_C

GEOMETRIA ESPACIAL: SÓLIDOS INCRITOS E CIRCUNSCRITOS

1. (Unicamp 92) Dado um cubo de aresta Ø, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo?

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2. (Uerj 2001) O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi construído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo:

A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita, é: a) Ë3 b) (Ë3)/2 c) (Ë3)/3 d) (Ë3)/4 3. (Unicamp 94) Em uma pirâmide de base quadrada, as faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito arestas são iguais a 1. a) Calcule a altura e o volume da pirâmide.

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b) Mostre que a esfera centrada no centro da base da pirâmide, e que tangencia as arestas da base, também tangencia as arestas laterais. c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada face lateral da pirâmide.

4. (Fuvest 95) Na figura a seguir, X e Y são, respectivamente, os pontos médios das arestas AB e CD do cubo. A razão entre o volume do prisma AXFEDYGH e o do cubo é: a) 3/8. b) 1/2. c) 2/3. d) 3/4. e) 5/6.

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5. (Ita 95) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm: a) 10/3 b) 7/4 c) 12/5 d) 3 e) 2

6. (Unicamp 95) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem altura igual a 20cm. Sobre a base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a 5cm. Faça uma figura representativa dessa situação e calcule o volume do cubo.

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7. (Ita 96) Numa pirâmide triangular regular, a área da base é igual ao quadrado da altura H. Seja R o raio da esfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão H/R é igual a: a) Ë(Ë3 + 1) b) Ë(Ë3 - 1) c) 1 + Ë(3Ë3 + 1) d) 1 + Ë(3Ë3 - 1) e) Ë3 +1

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8. (Ufmg 94) Observe a figura.

Nessa figura, um cone reto e um cilindro de bases comuns estão inscritos em uma esfera. O volume do cilindro é igual ao volume do cone.

A distância do centro da esfera à base comum, em função da altura H do cone, é a) H/2 b) H/3 c) H/4 d) H/5 e) H/6

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9. (Ufmg 95) Dois cones circulares retos de mesma base estão inscritos numa mesma esfera de volume 36™. A razão entre os volumes desses cones é 2.

A medida do raio da base comum dos cones é a) 1 b) Ë2 c) Ë3 d) 2 e) 2Ë2

10. (Mackenzie 96) Num cone reto de altura 12 inscreve-se um cilindro de área lateral máxima.

Então a altura do cilindro é: a) 3. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.

11. (Ufba 96) O apótema da base de um prisma reto hexagonal regular P mede 6Ë3cm, e a

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altura de P mede 8Ë3cm. Nesse prisma inscreve-se um cone reto, e a esse mesmo prisma circunscreve-se um cilindro reto; o cone e o cilindro têm a mesma altura de P. A área total do cilindro é 8(3+2Ë3)x™cm£, a área lateral do cone é 90y™cm£, e o volume do prisma é 648zcm¤.

Determine a medida do volume de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são, em cm, x, y e z, indicando, de modo completo, toda a resolução do problema.

12. (Udesc 96) Um cubo de lado h é inscrito num cilindro de mesma altura. A área lateral desse cilindro é: a) ™.h£/4 b) ™.h£ Ë2/4 c) ™.h£ Ë2/2 d) ™.h£ Ë2 e) 2.™.h£

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13. (Fuvest 97) Um cubo de aresta m está inscrito em uma semi-esfera de raio R de tal modo que os vértices de uma das faces pertencem ao plano equatorial da semi-esfera e os demais vértices pertencem à superfície da semi-esfera. Então, m é igual a a) R Ë2/3 b) R Ë2/2 c) R Ë3/3 d) R e) RË3/2

14. (Mackenzie 96) Seja 36™ o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é: a) Ë3 . ™/2 b) 8™/3 c) 2™/3 d) Ë3 . ™/4 e) Ë3 . ™

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15. (Mackenzie 96) A razão entre os volumes dos cilindros inscrito e circunscrito num prisma triangular regular é: a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/3 e) 2/3

16. (Puccamp 97) Uma pirâmide reta, cuja base é um quadrado de lado Ø e cuja altura é h, está inscrita num cilindro reto com raio da base r e altura H. Nessas condições, é verdade que a) Ø = r b) Ø = Ë(2r) c) Ø = 2r d) 2H = h e) H = 2h

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17. (Fuvest 98) Numa caixa em forma de paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 26cm, 17cm e 8cm, que deve ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O maior número de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa é a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

18. (Mackenzie 97) A área da superfície lateral de um cone eqüilátero inscrito numa esfera de raio R é: a) ( ™ R£ Ë3) / 2 b) ( ™ R£ Ë3) / 3 c) (3 ™ R£) / 4 d) (3 ™ R£) / 2 e) 3 ™ R£

19. (Ufrrj 99) Determine o volume da região compreendida por uma esfera de raio ¤Ë(3/4) e por

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um cubo circunscrito à esfera.

20. (Ufsm 2000) Bolas de tênis são vendidas, normalmente, em embalagens cilíndricas contendo 3 unidades.

Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e tangenciam as paredes internas da embalagem, o espaço interno dessa embalagem que NÃO é ocupado pelas bolas é, em cm¤ a) 2™a¤ b) (4™a¤)/3 c) (™a¤)/3 d) a¤ e) (2™a¤)/3

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21. (Ufsc 2000) O volume, em cm¤, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16™cm£ de superfície é:

22. (Ufrs 2001) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera.

Se V é o volume da esfera e V‚ é o volume do cilindro, então a razão V / V‚ - V• é a) 1/3. b) 1/2. c) 1. d) 2. e) 3.

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23. (Ufrs 2001) Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um cubo de aresta 2.

O volume do octaedro é a) 2/3. b) 4/3. c) 2. d) 8/3. e) 10/3.)

24. (Ufrj 2002) Considere uma esfera E•, inscrita, e outra esfera E‚ circunscrita a um cubo de aresta igual a 1cm. Calcule a razão entre o volume de E‚ e o volume de E .

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25. (Uerj 2001) Observe a figura abaixo, que representa um cilindro circular reto inscrito em uma semi-esfera, cujo raio OA forma um ângulo š com a base do cilindro.

Se š varia no intervalo ]0, ™/2[ e o raio da semi-esfera mede r, calcule a área lateral máxima deste cilindro.

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26. (Ufpe 2003) Um cubo está inscrito em um cone circular reto, como ilustrado a seguir (uma base do cubo está contida na base do cone e os vértices da base oposta estão na superfície do cone). Se o cone tem raio da base medindo 4 e altura 8, assinale o inteiro mais próximo da medida do volume do cubo.

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27. (Fatec 2003) A intersecção de um plano ‘ com uma esfera de raio R é a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada da figura abaixo.

Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano ‘ ao centro O é igual a a) R/5 b) R/4 c) R/3 d) 2R/5 e) 2R/3

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28. (Uel 2003) Seja g a geratriz de um cone circular reto inscrito num cilindro circular reto de mesma area lateral, base e altura. O volume V desse cone é: a) V = ™g¤/24 b) V = ™g¤/8 c) V = ™g¤/12 d) V = 2™g¤/3 e) V = 3™g¤/2

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29. (Ufrn 2004) Um artista esculpiu a metade de uma esfera de pedra-sabão, transformando-a num cone, ilustrado na figura abaixo.

Supondo que a esfera tem raio R e a altura do cone esculpido também é R, calcule: a) o volume do cone esculpido; b) o volume do material retirado da metade da esfera para formar o cone.

30. (Ufg 2005) Considere um cone circular reto de altura h e raio r, h > r, inscrito em uma esfera de raio R. Determine a altura do cone quando r = 3/5 R.

31. (Ufrrj 2005) Em uma caixa d'água cúbica vazia de lado 2m, é colocada, cheia de água, uma esfera inscrita, com espessura da parede desprezível. Estoura-se a esfera e retiram-se seus resíduos. Qual a altura de água que permanecerá dentro da caixa?

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32. (Unifesp 2005) A figura representa um lápis novo e sua parte apontada, sendo que D, o diâmetro do lápis, mede 10 mm; d, o diâmetro da grafite, mede 2 mm e h, a altura do cilindro reto que representa a parte apontada, mede 15 mm. A altura do cone reto, representando a parte da grafite que foi apontada, mede s mm.

a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) retirado do lápis. b) Calcule o volume da grafite retirada.

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33. (Pucpr 2005) A área total de um octaedro regular inscrito numa esfera de àrea 36™ cm£ é: a) 18Ë3 cm £ b) 24Ë3 cm£ c) 36Ë3 cm£ d) 48Ë3 cm£ e) 54Ë3 cm£

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34. (Fuvest 2006) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é ™.

Então, o comprimento g da geratriz do cone é

a) Ë5 b) Ë6 c) Ë7 d) Ë10 e) Ë11

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35. (Uel 2006) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jóia exclusiva. Para isto, imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir.

Se a aresta do octaedro regular tem 2cm de comprimento, o volume da pérola, em cm¤, e: a) (Ë2)™/3 b) 8™/3 c) 8(Ë2)™/9 d) 4(Ë6)™/9 e) 8(Ë6)™/27

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GABARITO

1. V = ؤ/6

2. [C]

3. a) h = (Ë2)/2, v = (Ë2)/6

b) Sendo r o raio da esfera de centro O, que tangencia as arestas da base e r' o raio da esfera de centro O, que tangencia as arestas laterais da pirâmide, tem-se:

1Ž) r é o apótema de um quadrado de lado 1.

Assim: 2r = 1 ë r = 1/2 (I)

2Ž) r' é a altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos são a altura da pirâmide e metade da diagonal da base e a hipotenusa e a aresta lateral da pirâmide. Assim:

hip. OH = cat . cat

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1 . r' = Ë2/2 . Ë2/2 ë r' = 1/2 (II)

De (I) e (II) conclui-se que a esfera centrada em O, que tangencia as arestas da base da pirâmide, também tangencia as arestas laterais dessa pirâmide.

c) (Ë3)/6

4. [D]

5. [A]

6. O volume do cubo é de 1000 cm¤

7. [C]

8. [E]

9. [E]

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10. [C]

11. 192 cm造

12. [D]

13. [A]

14. [A]

15. [B]

16. [B]

17. [D]

18. [D]

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19. V = 6 - ™

20. [A]

21. 64

22. [D]

23. [B]

24. 3Ë3

25. ™r£

26. 36

27. [C]

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28. [B]

29. a) ™R¤/3 b) ™R¤/3

30. h = (9/5) R.

31. h = ™/3 m

32. a) 250™ mm¤

b) 2™ mm¤

33. [C]

34. [D]

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35. [E]

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