GEOMETRIA PLANA: ÁREAS 3
1. (Unifesp 2004) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm£ e 600 cm£, respectivamente. A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 - x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B.
a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A. b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.
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2. (Ufrrj 2004) Esboce graficamente as retas y = x - 1, y = x - 3, y = - x + 1 e y = 1 e determine a área da região delimitada por estas retas.
3. (Unicamp 2005) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A(0,0), B(100,0), C(60,40) e D(0,40), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo de cada antena é de 20 km, pergunta-se: a) O ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários. b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora?
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4. (Fuvest 2004) Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferências externas tem mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras duas e à circunferência interna C.
Se o raio de C é igual a 2, determinar a) o valor de r. b) a área da região hachurada.
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5. (Ufpe 2004) Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero de lado 12, os arcos DE, EF, FD estão contidos em circunferências de raio 6, e a circunferência de menor raio é tangente aos três arcos. Qual o inteiro mais próximo da área da região hachurada? (Dados: use as aproximações ™ ¸ 3,14 e Ë3 ¸ 1,73).
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6. (Unesp 2003) Em um acidente automobilístico, foi isolada uma região retangular, como mostrado na figura.
Se 17 m de corda (esticada e sem sobras) foram suficientes para cercar 3 lados da região, a saber, os dois lados menores de medida x e um lado maior de medida y, dados em metros, determine:
a) a área (em m£) da região isolada, em função do lado menor;
b) a medida dos lados x e y da região retangular, sabendo-se que a área da região era de 36 m£ e a medida do lado menor era um número inteiro.
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7. (Unesp 2004) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é ‘ = 30°, a medida do ângulo AED é ’ e x = BE. Determine:
a) a área do triângulo BDE, em função de x. b) o valor de x, quando ’ = 75°.
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8. (Unesp 2004) A figura mostra um sistema rotativo de irrigação sobre uma região plana, que gira em torno de um eixo vertical perpendicular à região. Se denotarmos a medida em radianos do ângulo AÔB por š, a área irrigada, representada pela parte cinza do setor circular, será uma função A, que dependerá do valor de š, com 0 ´ š ´ 2™.
Se OA= 1 m e AC= 3 m, determine: a) a expressão matemática para a função A(š). b) o valor de š, em graus, se a área irrigada for de 8 m£. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação ™ = 3.)
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9. (Unicamp 2004) Entre todos os triângulos cujos lados têm como medidas números inteiros e perímetro igual a 24 cm, apenas um deles é eqüilátero e apenas um deles é retângulo. Sabe-se que um dos catetos do triângulo retângulo mede 8 cm. a) Calcule a área do triângulo eqüilátero. b) Encontre o raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo.
10. (Unicamp 2004) Supondo que a área média ocupada por uma pessoa em um comício seja de 2.500 cm£, pergunta-se: a) Quantas pessoas poderão se reunir em uma praça retangular que mede 150 metros de comprimento por 50 metros de largura? b) Se 3/56 da população de uma cidade lota a praça, qual é, então, a população da cidade?
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11. (Unifesp 2004) Considere a região sombreada na figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações y = 2x e x = k, k > 0.
Nestas condições, expresse, em função de k: a) a área A(k) da região sombreada. b) o perímetro do triângulo que delimita a região sombreada.
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12. (Unifesp 2004) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.
Nestas condições, calcule: a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita. b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada.
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13. (Ufscar 2003) Para fins beneficentes, foi organizado um desfile de modas num salão em forma de círculo, com 20 metros de raio. A passarela foi montada de acordo com a figura abaixo, sendo que as passarelas CA e CB são lados que corresponderiam a um triângulo eqüilátero inscrito na circunferência. No espaço sombreado, ocupado pela platéia, foram colocadas cadeiras, sendo uma cadeira por m£ e um ingresso para cada cadeira.
Adotando Ë3 = 1,73 e ™ = 3,14, a) determine quantos metros cada modelo desfilou, seguindo uma única vez o roteiro BC, CA, AO e OB. b) sabendo-se que todas as cadeiras foram ocupadas, calcule quantos ingressos foram vendidos para este evento.
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14. (Unicamp 2004) Um triângulo eqüilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 cm. Calcule: a) O comprimento de cada lado do triângulo. b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo.
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15. (Ufpe 2005) A função f(x) com domínio no intervalo [0,3] tem seu gráfico esboçado a seguir. O gráfico é composto do segmento com extremos nos pontos (0,1) e (1,2) e da semicircunferência passando pelos pontos (1,2), (2,1) e (3,2).
Considerando esses dados, analise as afirmações abaixo. (
) A imagem da função f é o intervalo [0,2].
(
) O valor máximo de f é 3.
(
) O comprimento do gráfico de f é (Ë2) + ™.
(
) Para x no intervalo [1, 3] temos f(x) = 2 + Ë[1 - (x - 2)£].
(
) A área da região limitada pelo gráfico de f, os eixos coordenados e a reta x = 3 é (11-™)/2.
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16. (Fuvest 2005) Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = logŠx, com n > 1 (figura a seguir). Suponha que B = (x, 0), C = (x + 1, 0) e A = (x - 1, 0). Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é----- split ---> a) (1/2) + [(Ë5)/2] b) 1 + [(Ë5) /2] c) (1/2) + Ë5 d) 1 + Ë5 e) (1/2) + 2Ë5
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17. (Pucsp 2004) Pretende-se dividir um salão de forma retangular em quatro salas, também retangulares, como mostra a figura abaixo.
Se A , A‚, Aƒ e A„ são as áreas das salas pretendidas e considerando que A + A‚ + Aƒ = 36 m£, A• - A‚ = 12 m£ e Aƒ = 2 . A‚, a área da quarta sala, em metros quadrados, é a) 4 b) 4,5 c) 4,8 d) 5 e) 5,5
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18. (Fuvest 2004) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:
a) Ë5 - 1 b) 5 - 2Ë2 c) 5 - Ë2 d) 2 + Ë5 e) 5 + 2Ë2
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19. (Uem 2004) Considere o paralelogramo MNPQ. Os vértices M e N desse paralelogramo são determinados pelas interseções entre a reta r de equação y = -x -1 e a circunferência C de equação (x - 1)£ + (y + 1)£ = 1, sendo que o ponto M está sobre o eixo das ordenadas e o vértice Q tem coordenadas (2,1). Nessas condições, é correto afirmar que 01) o outro vértice do paralelogramo está sobre o eixo OX. 02) o paralelogramo é um retângulo. 04) as diagonais do paralelogramo se interceptam nos seus pontos médios. 08) a área do paralelogramo é maior que a área do círculo de circunferência C dada. 16) a medida da diagonal desse paralelogramo é maior que 3 unidades de comprimento. 32) o centro da circunferência está no exterior do paralelogramo.
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20. (Unifesp 2004) Na figura, estão representados, no plano cartesiano xOy, a reta de equação y = 2kx, 0 ´ k ´ 3/2, a parábola de equação y = - x£ + 3x e os pontos O, P e Q de intersecções da parábola com o eixo Ox e da reta com a parábola.
Nestas condições, o valor de k para que a área do triângulo OPQ seja a maior possível é: a) 1/2. b) 3/4. c) 9/8. d) 11/8. e) 3/2.
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21. (Uel 2003) Tome uma folha de papel em forma de quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme a Figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o "lado" AB (Figura 2). Seja D' esta nova posição do vértice D e x a distância de A a D'.
A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é: a) A = (- x¤ + 441x) / 42 b) A = (x¤ - 441x) / 84 c) A = (- x¤ + 441x) / 84 d) A = (441 - x£) / 84 e) A = (441 - x£) / 42
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22. (Fatec 2003) As medidas dos lados de um triângulo retângulo, em centímetros, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 4. Se a área desse triângulo é de 96 cm£, o perímetro desse triângulo, em centímetros, é a) 52 b) 48 c) 42 d) 38 e) 36
23. (Fgv 2003) Um círculo de área 16™ está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a: a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) 16
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24. (Ita 2003) Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando 4 cm de r. A área do triângulo equilátero PQR, cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, é igual, em cm£, a:
a) 3Ë15 b) 7Ë3 c) 5Ë6 d) (15/2)Ë3 e) (7/2)Ë15
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25. (Mackenzie 2003) Na figura, se a área do quadrilátero ABCD é (3Ë3/8), o perímetro do triângulo eqüilátero ABC é:
a) 3 b) 3/2 c) 3/8 d) 6 e) 3/4
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26. (Mackenzie 2003) No setor circular da figura, ‘ = 60° e M, N e P são pontos de tangência. Se o raio do setor é 12, a área do círculo de centro O é:
a) 18™ b) 16™ c) 9™ d) 4™ e) 12™
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27. (Mackenzie 2003) Um quadrado de ĂĄrea
tem, em metros, um perĂmetro igual a: a) 20/3 b) 10/3 c) 20/9 d) 40/3 e) 40/9
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28. (Mackenzie 2003) Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 100 %, a área do círculo ficará aumentada de: a) 300 % b) 400 % c) 250 % d) 100 % e) 200 %
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29. (Mackenzie 2003)
Na figura, a diferença entre as áreas dos quadrados ABCD e EFGC é 56. Se BE = 4 , a área do triângulo CDE vale: a) 18,5 b) 20,5 c) 22,5 d) 24,5 e) 26,5
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30. (Puc-rio 2003) Um retângulo de base 6cm está inscrito num círculo de diâmetro 10cm. Indique a opção que apresenta a área do retângulo (em cm£). a) 34. b) 28. c) 16. d) 48. e) 60.
31. (Pucmg 2003) No triângulo eqüilátero T•, cada lado mede 20cm e A• é a medida da área; no triângulo eqüilátero T‚, cada lado mede 30cm e A‚ é a medida da área. A relação entre as medidas dessas áreas é: a) A = 2/3A‚ b) A = 3/2A‚ c) A = 4/9A‚ d) A = 9/4A‚
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32. (Pucmg 2003) Em um mapa no qual 1 cm corresponde a 10 m, um terreno é representado por um paralelogramo cujos lados medem, respectivamente, Ë3 cm e 4 cm. Sabendo-se que o menor dos ângulos desse paralelogramo mede 60° e que sen 60°=Ë3/2, pode-se afirmar que a medida real da área desse terreno, em metros quadrados, é: a) 200 b) 400 c) 600 d) 800
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33. (Pucmg 2004) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, e a medida de sua área é 12™m£; o comprimento do cateto BC é igual ao comprimento da circunferência que tem AC como diâmetro. A medida do raio dessa circunferência, em metros, é:
a) Ë5 b) Ë6 c) Ë7 d) Ë8
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34. (Pucmg 2004) Com quatro palitos de mesmo comprimento, forma-se um quadrado com A cm£ de área e Pcm de perímetro. Se A+P=21, pode-se afirmar que o comprimento de cada palito, em centímetros, é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
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35. (Uel 2003) A bandeira de um time de futebol tem o formato de um retângulo MNPQ. Os pontos A, B e C dividem o lado MN em quatro partes iguais. Os triângulos PMA e PCB são coloridos com uma determinada cor C•, o triângulo PAB com a cor C‚ e o restante da bandeira com a cor Cƒ. Sabe-se que as cores C , C‚ e Cƒ são diferentes entre si. Que porcentagem da bandeira é ocupada pela cor C•?
a) 12,5% b) 15% c) 22,5% d) 25% e) 28,5%
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36. (Uerj 2004) Na tirinha a seguir, considere A• a área inscrita na circunferência que representa o acelerador americano e A‚ a área inscrita naquela que representa o suíço. Observe que A é menor do que A‚.
(Adaptado de CARUSO, F. & DAOU, L. Tirinhas de física, vol. 6. Rio de Janeiro, 2002.) De acordo com os dados da tirinha, a razão A /A‚ corresponde, aproximadamente, a: a) 0,167 b) 0,060 c) 0,046 d) 0,023
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37. (Ufc 2004) Na figura ao lado, cada quadradinho da malha tem lado 1. A área do quadrilátero ABCD é:
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
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38. (Ufg 2003) A figura a seguir representa duas cartolinas retangulares, a maior medindo 30 cm por 40 cm e a menor medindo 20 cm por 40 cm.
A respeito dessas cartolinas, julgue os itens abaixo: (
) Uma caixa sem tampa, construída utilizando como fundo a cartolina menor e cuja
superfície lateral é obtida cortando-se a outra cartolina, poderá ter 12 cm de altura. (
) Tomando um ponto P, no lado EF, é possível construir um trapézio ADCQ, com Q no lado
BC, com a mesma área do triângulo HEP. (
) É possível cortar a cartolina maior em dois retângulos, com a área de um deles igual ao
dobro da área do outro. (
) Fazendo um corte reto, que ligue o vértice D ao ponto médio do lado BC, a cartolina maior
é dividida em um trapézio e um triângulo, os quais podem ser agrupados de modo a formar um
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paralelogramo.
39. (Ufmg 2004) O comprimento de uma mesa retangular é o dobro de sua largura. Se a mesa tivesse 45 cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura, seria quadrada. Assim sendo, a área da mesa é de a) 1,62 m£. b) 1,45 m£. c) 1,58 m£. d) 1,82 m£.
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40. (Ufpr 2004) A figura abaixo representa um esquema de 17 cm por 21 cm, elaborado como modelo para a confecção de uma colcha de retalhos de tecidos. As regiões indicadas na figura por A, B, C e D correspondem às cores dos tecidos a serem utilizados: A-verde; B-azul; C-amarela; D-branca. As demais regiões serão feitas com tecido de cor bege
Sobre esse esquema, é correto afirmar: (01) A área que corresponde ao tecido de cor verde é 128 cm£. (02) O comprimento de um fio dourado a ser colocado no contorno externo do tecido de cor amarela é menor que 18Ë2cm. (04) A área correspondente ao tecido de cor branca é menor do que 20 cm£. (08) Se o tamanho da colcha for de 1,70 m por 2,10 m e ela for confeccionada mediante uma ampliação do esquema, então, nessa ampliação, a área do tecido de cor azul será de 800 cm£.
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(16) Para alterar a distribuição de cores no esquema, existem 16 possibilidades de troca daquelas mesmas 4 cores nas regiþes A, B, C e D.
Soma (
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41. (Ufrn 2003) Miguel pintará um painel retangular com motivos geométricos. As duas regiões destacadas, a região 1 (FGKM), contida no quadrado FGLM, e a região 2 (HILK), contida no paralelogramo HILM, conforme figura abaixo, serão pintadas de vermelho. Sabe-se que a tinta utilizada para pintar uma região qualquer depende proporcionalmente de sua área.
Se Miguel gastasse na pintura da região 1, 3/7 da tinta vermelha de que dispõe, poderíamos afirmar que a) o restante de tinta vermelha daria , exatamente, para a pintura da região 2. b) o restante de tinta vermelha seria insuficiente para a pintura da região 2. c) a região 2 seria pintada e ainda sobrariam 3/7 de tinta vermelha. d) a região 2 seria pintada e ainda sobraria 1/7 de tinta vermelha.
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42. (Ufrn 2003) Duas regiões, uma com a forma de um quadrado e a outra com a forma de um hexágono regular, têm os lados construídos utilizando-se dois pedaços de arame de comprimentos iguais. Veja as figuras abaixo:
A razão entre a área da região hexagonal e a área da região quadrada é a) (2/3)Ë3 b) (3/2)Ë3 c) Ë3 d) (Ë3)/3
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43. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S). (01) Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto dividir a hipotenusa em segmentos de 3 cm e 12cm, então a área desse triângulo é de 45 cm£. (02) A única maneira de provar que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é SŠ = (n - 2).180° consiste em traçar todas as diagonais desse polígono que tenham origem num vértice fixado, o que dividirá o polígono em n - 2 triângulos. (04) Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um mesmo vértice formam entre si um ângulo de 40°. (08) Se o perímetro do quadrado inscrito numa circunferência é de 8 cm então a área do quadrado circunscrito a essa circunferência é de 8 cm£.
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44. (Ufscar 2003) A figura mostra um círculo de centro O e raio R = 18 cm. O segmento AB é o lado de um hexágono regular inscrito e ACE, um triângulo eqüilátero inscrito.
Nessas condições, a área do paralelogramo EFBG é a) 216 Ë3 cm£ b) 180 Ë3 cm£ c) 116 Ë3 cm£ d) 120 Ë3 cm£ e) 108 Ë3 cm£
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45. (Unesp 2003) Considere um envelope aberto, disposto como um triângulo isósceles sobre um retângulo, conforme a figura, onde h•=(1/3)h.
As áreas do triângulo ABC e do retângulo BCDE, denotadas respectivamente por AÖ e AÙ, podem ser calculadas em termos de a e de h. Seja a razão p = AÖ/AÙ. Se o valor de a for multiplicado por 2, qual será a alteração que ocorrerá na razão p? a) p é multiplicada por 1/4. b) p é multiplicada por 2. c) p é multiplicada por 4. d) p é multiplicada por ah. e) p é invariante, pois independe de a.
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46. (Unesp 2003) Uma empresa tem o seguinte logotipo:
Se a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado é 3 cm, a área, em cm£, de toda a região pintada de preto é a) 9 - (9™/4). b) 18 - (9™/4). c) 18 - (9™/2). d) 36 - (9™/4). e) 36 (9™/2).
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47. (Unesp 2004) Um salão de festas na forma de um hexágono regular, com 10 m de lado, tem ao centro uma pista de dança na forma de um círculo, com 5 m de raio.
A área, em metros quadrados, da região do salão de festas que não é ocupada pela pista de dança é: a) 25 [30(Ë3) - ™]. b) 25 [12(Ë3) - ™]. c) 25 [6(Ë3) - ™]. d) 10 [30(Ë3) - ™]. e) 10 [15(Ë3) - ™).
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48. (Unifesp 2003) Um comício deverá ocorrer num ginásio de esportes, cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado na figura.
Por segurança, a coordenação do evento limitou a concentração, no local, a 5 pessoas para cada 2 m£ de área disponível. Excluindo-se a área ocupada pelo palanque, com a forma de um trapézio (veja as dimensões da parte hachurada na figura), quantas pessoas, no máximo, poderão participar do evento? a) 2 700. b) 1 620. c) 1 350. d) 1 125. e) 1 050.
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49. (Unifesp 2004) A primeira figura representa um retângulo de 100 cm por 50 cm, com uma escada E• contendo 50 degraus de 1 cm de largura por 1 cm de altura. O ponto A indica a extremidade inferior da escada E•. Pretende-se ampliar a largura dos degraus de E•, de forma a obter uma nova escada, E‚, contendo também 50 degraus, todos de mesma largura e tendo como extremidade inferior o ponto B, conforme figura. Na nova escada, E‚, a altura dos degraus será mantida, igual a 1 cm.
A área da região sombreada, sob a escada E‚, conforme a segunda figura, será: a) 2.050 cm£. b) 2.500 cm£. c) 2.550 cm£.
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d) 2.750 cm£. e) 5.000 cm£.
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50. (Unirio 2003) Hoje em dia, não basta ser verde! Eram exatamente 19h59 horas do dia 20 de março e toda a equipe do Instituto Sea Shepherd Brasil, uma ONG nacional, criada por brasileiros, para agir em prol dos ambientes marinhos do Brasil, estava mobilizada para ajudar a combater um dos maiores desastres das companhias de petróleo no mundo - o afundamento da plataforma P36.
Na medida em que nenhum derramamento de óleo no mar é ecologicamente insignificante, analise a situação de uma mancha de óleo sobre a superfície da água em forma de um círculo de raio r (em m) e área S (em m£). Considerando que a área é uma função do raio dada por A(r) = ™ r£, e que o raio r aumenta em função do tempo t (em min), de acordo com a relação r(t) = 5 + 5t, qual é a área (em m£) da mancha de óleo no instante t = 2min? Considere o valor de ™ = 3,14.
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a) 47,10 b) 706,50 c) 70,65 d) 57,10 e) 38,10
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GABARITO
1. a) f(x) = -x£ + 50x, com 0 < x < 50. b) 625 cm£
2. Observe a figura abaixo:
A = A + A ‚ = 3 u.a.
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3. a) Não
b) 400 (8 - ™) km£
4. a) 2(1 + Ë2) unidades de comprimento b) 8[6+ 4(Ë2) - 2™ - (Ë2)™] unidades de área
5. 3
6. a) S = x(17 - 2x) com 0 < x < 8,5 b) x = 4m e y = 9m
7. a) 3x/2 cm£ b) 6[(Ë3) -1] cm
8. a) A(š) = 15š/2 b) š = 64°
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9. a) 16Ë3 cm£ b) 5 cm
10. a) 30.000 pessoas b) 560.000 pessoas
11. a) A(k) = k£ b) k(3 + Ë5) u.c.
12. a) 6(Ë3) - 2™ unidades de área b) 4™ unidades de comprimento
13. a) 109,2 metros b) 910 ingressos
14. a) 3 cm b) 3/2
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15. F F V F V
16. [A]
17. [A]
18. [B]
19. itens corretos: 01, 02, 04, 08 e 16 itens incorretos: 32
20. [B]
21. [C]
22. [B]
23. [A]
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24. [B]
25. [A]
26. [B]
27. [D]
28. [A]
29. [C]
30. [D]
31. [C]
32. [C]
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33. [B]
34. [C]
35. [D]
36. [C]
37. [A]
38. F F V V
39. [A]
40. 01 + 04 + 08 = 13
41. [D]
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42. [A]
43. proposições corretas: 01 e 08 proposições incorretas: 02 e 04
44. [A]
45. [E]
46. [B]
47. [C]
48. [D]
49. [C]
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50. [B]
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