GP_AR4

GEOMETRIA PLANA: ÁREAS 4

1. (Uerj 2001) Um triângulo acutângulo ABC tem 4cm£ de área e seus lados åæ e åè medem, respectivamente, 2cm e 5cm.

Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área.

2. (Fuvest 2003) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10.

Calcule AB.

3. (Puc-rio 2000) Considere um hexágono regular H inscrito em um círculo de raio 1 com seus

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vértices numerados consecutivamente. Unindo os vértices ímpares, formamos um triângulo eqüilátero T. Calcule a área da região interna a H e externa a T, sabendo que a área do polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio 1 é igual a n/2 sen(2™/n)

4. (Uerj 2001) Uma piscina, cujas dimensões são 4 metros de largura por 8 metros de comprimento, está localizada no centro de um terreno ABCD, retangular, conforme indica a figura abaixo.

Calcule a razão entre a área ocupada pela piscina e a área ABCD.

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5. (Uerj 2001) Um atleta está treinando em uma pista retilínea e o gráfico abaixo apresenta dados sobre seu movimento.

A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado.

Calcule essa distância.

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6. (Uerj 2003) Uma praça, em forma de círculo de raio 12 m, tem sua área aumentada e ganha forma triangular. Três postes de luz, localizados nos pontos A, B e C, são os únicos pontos comuns ao contorno antigo e ao contorno novo, conforme mostra o gráfico a seguir. Nele, O é o centro do círculo e P tem, como coordenadas, (0, 20).

Calcule, em m£, a área da praça com sua nova forma.

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7. (Ufal 2000) Na figura, tem-se a planta de um terreno com forma de trapézio e área de 240m£.

Determine o perímetro do terreno.

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8. (Uff 2002) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, distando 30 cm uma da outra e a reta t é perpendicular às duas, distando 25 cm do ponto M.

Determine a área do retângulo MNPQ em função de ‘ (0<‘<45°).

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9. (Uff 2002) Na figura a seguir, o quadrado MNPQ, com 20 m de lado, representa o terreno reservado à área de lazer da chácara de João. A região limitada pelo quadrado MRST, com 10m de lado, está destinada ao salão de jogos e à churrasqueira. O círculo, contendo o ponto S e tangente ao quadrado MNPQ nos pontos U e V, representa a região destinada à construção da piscina.

Determine a área da região que será ocupada pela piscina.

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10. (Uff 2002) Os lados MQ e NP do quadrado MQPN estão divididos em três partes iguais, medindo 1cm cada um dos segmentos MU, UT, TQ, NR, RS e SP. Unindo-se os pontos N e T, R e Q, S e M, P e U por segmentos de reta, obtém-se a figura:

Calcule a área da região sombreada na figura acima.

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11. (Uflavras 2000) Um triângulo é cortado por dois segmentos paralelos à base, determinando 2 trapézios de áreas iguais (S e S‚). Sabendo-se que a base mede 3cm e o segmento superior 1cm, determinar a medida do segmento x.

Sugestão: - Em figuras semelhantes, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança.

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12. (Ufpe 2000) O hexágono regular ABCDEF tem área 60. Qual a área do hexágono GHIJKL que tem vértices nos pontos médios dos lados de ABCDEF?

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13. (Ufpe 2000) Quatro tonéis cilíndricos idênticos de raio da base 1m e altura 3m devem ser transportados juntos num "container" da mesma altura dos cilindros conforme a ilustração abaixo. Qual o inteiro mais próximo da área lateral (em m£) do "container"?

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14. (Ufrj 2002) A figura a seguir é formada por dois quadrados ABCD e A'B'C'D', cujos lados medem 1 cm, inscritos numa circunferência. A diagonal AC forma com a diagonal A'C' um ângulo de 45°.

Determine a área da região sombreada da figura.

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15. (Ufrj 2003) Na figura a seguir, os círculos C , C‚ e Cƒ estão inscritos nos quadrados ABCD, DEFG e GHIA, respectivamente. Sabendo-se que o ângulo AGD é reto e que a área de C• é igual a 1, calcule a soma das áreas de C‚ e de Cƒ. Justifique.

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16. (Ufrn 99) Considerando o triângulo equilátero ABC, de lado Ø, representado na figura adiante.

a) marque um ponto P no interior do triângulo. Esboce segmentos representativos das distâncias de P aos lados AB, BC e AC. Represente essas distâncias, respectivamente, por x, y e z. b) calcule a soma das áreas dos triângulos APB, BPC e APC em função de Ø, x, y e z. c) prove, utilizando os resultados do subitem B, que x+y+z=h, sendo h a altura do triângulo ABC.

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17. (Enem 2002) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área.

Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.

Dos esquemas a seguir, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:

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18. (Fatec 2000) Na figura a seguir, os lados do quadrado ABCD medem 6cm e os lados åî e æè estão divididos em 6 partes iguais.

Se os pontos G e J são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos CD e EI, então a razão entre as áreas do losango FGHJ e do triângulo ABJ, nessa ordem, é a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/2 e) 2/5

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19. (Fgv 2001) Tem-se um quadrado cujo lado tem medida x. Se aumentarmos suas dimensões até que a área do novo quadrado seja o dobro da área do original, obteremos um lado de medida y. Podemos afirmar que: a) y = 2 x b) y = [(Ë3)/2] x c) y = 1,5 x d) y = (Ë2 ) . x e) y = 1,33 x

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20. (Mackenzie 2001)

Se o hexágono regular da figura tem área 2, a área do pentágono assinalado é: a) 7/2 b) 7/3 c) 5/6 d) 4/3 e) 5/3

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21. (Mackenzie 2001)

Os lados do retângulo da figura, de área 48, foram divididos em partes iguais pelos pontos assinalados. A área do quadrilátero destacado é: a) 32 b) 24 c) 20 d) 16 e) 22

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22. (Puc-rio 2000) A área delimitada pelos eixos x=0, y=0 e pelas duas retas x+y=1 e 2x+y=4 é: a) 3/4. b) 2. c) 5/3. d) 7/2. e) 3.

23. (Uel 2000) Considere um quadrado ABCD e os pontos E, F e G, sobre o lado îè, tais que DE=EF=FG=GC. Sejam S , S‚ e Sƒ as áreas, em centímetros quadrados, dos triângulos ABE, ABF e ABC, respectivamente. É verdade que

a) S = 2 Sƒ b) S = S‚ = Sƒ c) S‚ = 2 S /3 d) Sƒ = S /4 e) Sƒ = 3 S‚/4

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24. (Uerj 2003) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm × 14 cm, é dobrada como indicado na figura 2.

Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm£, é igual a: a) 112 b) 88 c) 64 d) 24

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25. (Ufal 99) Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo.

Se o raio de cada semicírculo é 4cm, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é (Use: ™=3,1) a) 24,8 b) 25,4 c) 26,2 d) 28,8 e) 32,4

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26. (Ufal 99) Na figura abaixo tem-se um círculo inscrito em um triângulo retângulo cujos lados medem 9cm, 12cm e 15cm.

A medida do raio do círculo, em centímetros, é a) 2,4 b) 2,5 c) 3 d) 3,2 e) 4

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27. (Ufal 2000) Na figura abaixo tem-se a planta de uma quadra de um loteamento, com contorno retangular. Nessa planta, são paralelos entre si os segmentos AB, EF, RM, QN, PO e DC. Também são paralelos entre si os segmentos: AD, GJ, KL, HI, e BC. Sabe-se que o segmento FC está dividido em 4 partes iguais e que o ponto médio de AB é G, o de GB é H, o de GH é K e o de BC é F. Se essa quadra mede 40m por 60m, então a área do lote

a) AGED é 900m£ b) GKLE é 300m£ c) RMNQ é 120m£ d) DJE é 50m£ e) HBFS é 20m£

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28. (Ufc 99) A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1:50. Então a área real, em m£, de uma sala retangular cujas medidas na planta, são 12cm e 14cm é: a) 24. b) 26. c) 28. d) 42. e) 54.

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29. (Ufc 2002) Considere a figura a seguir, na qual:

- o segmento de reta åæ é tangente à circunferência ‘ em A; - o segmento de reta åè é um diâmetro da circunferência ‘; - o comprimento do segmento de reta åæ é igual à metade do comprimento da circunferência ‘.

Então a área do triângulo ABC dividida pela área de ‘ é igual a: a) 1/2 b) 2/3 c) 1 d) 4/3 e) 5/3

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30. (Ufes 2000) Um hexágono regular ABCDEF está inscrito em uma circunferência de raio r.

Se M é o ponto médio do lado åæ, qual é área do quadrilátero MBCD?

a) Ë3r£/2 b) Ë3r£/3 c) Ë2r£/2 d) 2Ë2r£/3 e) 3Ë2r£/4

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31. (Ufjf 2002) Uma janela foi construída com a parte inferior retangular e a parte superior no formato de um semicírculo, como mostra a figura a seguir. Se a base da janela mede 1,2 metros e a altura total 1,5 metros, dentre os valores adiante, o que melhor aproxima a área total da janela, em metros quadrados, é:

a) 1,40. b) 1,65. c) 1,85. d) 2,21. e) 2,62.

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32. (Uflavras 2000) Uma das mais belas fórmulas da geometria plana é a fórmula de Heron de Alexandria, que descreve a relação entre a área A de um triângulo qualquer com os valores a, b e c de seus lados e seu semiperímetro p

A = Ë[p (p - a) (p - b) (p - c)]

Portanto, a área de um triângulo eqüilátero de lado Ø é:

a) Ø£ Ë(3/4) b) Ë(ؤ/2) c) Ø£/2 d) (Ø£Ë3)/4 e) (ØËØ)/2

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33. (Ufmg 2002) Nos triângulos isósceles T e T‚, as bases medem, respectivamente, 30cm e 40cm, e os demais lados medem 25cm. Sejam A• a área do triângulo T e A‚ a área do triângulo T‚.

A relação entre essas áreas é

a) A = 3A‚/4 b) A = A‚ c) A = 4A‚/3 d) A = A‚/2

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34. (Ufmg 2003) Nesta figura, o triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2:

Então, a área da região hachurada é

a) (4™ - 3Ë3)/3. b) (2™ - 3Ë3)/3. c) (3™ - 4Ë3)/3. d) (3™ - 2Ë3)/3.

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35. (Ufpe 2000) Seja ABCD um paralelogramo de área 60, E o ponto médio de BC e F a interseção da diagonal BD com AE. Sobre as áreas das regiões em que fica dividido o paralelogramo, é incorreto afirmar que: a) A área de ABF é 12. b) A área de ABE é 15. c) A área de BEF é 5. d) A área de AED é 30. e) A área de FECD é 25.

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36. (Ufpe 2000) Dois círculos se tangenciam externamente e tangenciam internamente a um terceiro círculo (veja a ilustração). Se os centros dos três círculos são colineares, e a corda do terceiro círculo, que é tangente aos outros dois em seu ponto de tangência, mede 20, qual a área da região interna ao terceiro círculo e externa aos outros dois?

a) 50™ b) 49™ c) 51™ d) 52™ e) 55™

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37. (Ufpe 2003) A razão entre a área do triângulo e a área do círculo inscrito, ilustrados na figura a seguir, é:

a) 12/™ b) 6/™ c) 18/™ d) 4/™ e) 1/™

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38. (Ufpe 2003) Qual a área do triângulo hachurado na figura, sabendo-se que o lado do quadrado ABCD vale 2cm?

a) 1/2 cm£ b) [(1/3)+(1/2)] cm£ c) 1/2 cm£ d) 1/6 cm£ e) 1/16 cm£

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39. (Ufpel 2000) Em um dos jogos da Copa América, em 1999, foi colocado, numa praça de forma semicircular, com perímetro igual a (10™+20) metros, um telão. Nessa praça, 785 pessoas assistiam ao jogo. Supondo que houvesse o mesmo número de pessoas por metro quadrado da praça, em cada metro haveria (usar ™=3,14) a) 9 pessoas. b) 7 pessoas. c) 5 pessoas. d) 10 pessoas. e) 12 pessoas.

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40. (Ufpel 2000) Para a fabricação de 150 medalhas circulares, foi utilizada uma lâmina retangular metálica de área X metros quadrados. Cada medalha contém registros num triângulo eqüilátero inscrito, cujo apótema tem medida em cm igual à distância do ponto (3/2, 2) ao ponto de intersecção das retas 2x+3y-12=0 e 2x-3y=0. A figura abaixo mostra a terça parte da lâmina metálica - com as perfurações - de onde foi retirado 1/3 das medalhas fabricadas.

Observando que as perfurações são tangentes entre si e com os extremos da lâmina, a área X é

a) 0,18 m£ b) 0,54 m£ c) 0,135 m£ d) 0,42 m£ e) 0,14 m£

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41. (Ufrn 99) A figura a seguir representa o retângulo ABCD, de lados ‘ e ’ (a · ’), e o triângulo ADE, cuja hipotenusa forma um ângulo š (0 < š < ™/2) com o eixo X.

A área do triângulo ADE é igual a:

a) (‘’ cos š sen š)/2 b) (’£ cos š sen š)/2 c) (‘£ cos š sen š)/2 d) [(‘ + ’) cos š sen š]/2

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42. (Ufrn 2000) No triângulo PQR, representado na figura abaixo, o lado PQ mede 10cm. A área desse triângulo mede, em cm£:

a) (25Ë3)/2 b) 12Ë3 c) 15Ë2 d) (35Ë2)/2

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43. (Ufrn 2000) Para se pintar uma parede com o formato e as dimensões de acordo com a figura abaixo, gasta-se 1 litro de tinta para cada 9m£ de área.

Sabendo-se que cada lata contém 2 litros de tinta, a menor quantidade de latas que deve ser comprada para se pintar toda a parede é: a) 2 b) 3 c) 5 d) 6

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44. (Ufrs 2001) Um cubo e um hexágono regular estão representados na figura abaixo. Os vértices do hexágono são pontos médios de arestas do cubo.

Se o volume do cubo é 64 cm¤, então a área da região sombreada é a) 6 Ë2. b) 4 Ë10. c) 6 Ë8. d) 6 Ë10 . e) 12 Ë3.

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45. (Ufrs 2001) Na figura abaixo, ASB é arco do círculo de raio 2 com centro na origem, e PQRS é quadrado de área 1.

A área da região sombreada é

a) Ë3/2 - ™/4 b) ™/3 - Ë3/2 c) Ë3 - ™/4 d) Ë3 - ™/3 e) 4™/3 - Ë3/2

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46. (Ufv 2000) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos do círculo de centro O. Sabe-se que åæ=èî=4 e que a área do triângulo AOB é 6.

Então a área da região sombreada é igual a:

a) 6™ - 12 b) 13™ - 12 c) 13™ - 4 d) 11™ - 12 e) 6™ - 6

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47. (Ufv 2000) Une-se um dos vértices de um quadrado aos pontos médios dos lados que não contêm esse vértice, obtendo-se um triângulo isósceles (veja a figura a seguir). A área deste triângulo, em relação à área do quadrado, representa percentagem de:

a) 38,5 % b) 37,5 % c) 36,5 % d) 35,5 % e) 39,5 %

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48. (Ufv 2002) A figura abaixo ilustra um terreno em forma de trapézio, com as medidas, em quilômetros (km), de três de seus lados.

A área do terreno, em km£, é igual a: a) 215 b) 210 c) 200 d) 220 e) 205

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49. (Unifesp 2003) Considere a malha quadriculada exibida pela figura, composta por 6 quadrículas de 1 cm de lado cada.

A soma das áreas de todos os possíveis retângulos determinados por esta malha é, em cm£, a) 6. b) 18. c) 20. d) 34. e) 40.

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50. (Unirio 2002) Considere um tablado para a Escola de Teatro da UNIRIO com a forma trapezoidal a seguir

Quantos metros quadrados de madeira serão necessários para cobrir a área delimitada por esse trapézio? a) 75 m£ b) 36 m£ c) 96 m£ d) 48 m£ e) 60 m£

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GABARITO

1. 20 %

2. AB = 20

3. 3Ë(3/4)

4. 1/5

5. 12,5 m

6. área = 768 m£

7. 64 m

8. [25 (30 - 25tg ‘)]/cos 2‘

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9. 200™ (3 - 2Ë2 ) m£

10. 4,5 cm£.

11. x = Ë5 cm

12. 45

13. 43

14. (6 - 4Ë2) cm£

15. Sejam r , r‚, rƒ os raios de C ,C‚,Cƒ respectivamente. Como AD = 2r , DG = 2r‚ e AG = 2rƒ, temos, pelo Teorema de Pitágoras, 4r£ = 4r£‚ + 4r£ƒ.

Multiplicando ambos os lados da igualdade acima por ™/4, obtemos ™r£ = ™r£‚ + ™r£ƒ.

Portanto, a soma das áreas de C‚ e Cƒ é igual à área de C : área(C‚) + área(Cƒ) = área(C ) = 1.

16. a) Observe a figura a seguir

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b) A = Ø(x + y + z)/2

c) A(APB) + A(BPC) + A(APC) = A(ABC) Ø(x + y + z)/2 = Ø . h/2. x+y+z=h

17. [E]

18. [D]

19. [D]

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20. [E]

21. [E]

22. [D]

23. [B]

24. [C]

25. [D]

26. [C]

27. [A]

28. [D]

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pag.51

29. [C]

30. [A]

31. [B]

32. [D]

33. [B]

34. [A]

35. [A]

36. [A]

37. [B]

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38. [E]

39. [C]

40. [B]

41. [C]

42. [A]

43. [B]

44. [E]

45. [B]

46. [B]

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47. [B]

48. [B]

49. [E]

50. [D]

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