GP_AR5

GEOMETRIA PLANA: ÁREAS 5

1. (Ufscar 2001) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir.

a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo A (formado pelos lados AC e AB).

b) Deduza a fórmula que dá a área SÛ½Ý do triângulo, em função de b e c (comprimentos, respectivamente, dos lados AC e AB) e do ângulo A.

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2. (Ufv 2001) Seja AB o diâmetro de uma circunferência de raio r, e seja C um ponto da mesma, distinto de A e B, conforme figura a seguir.

a) Sendo o ângulo AïC=’, determine a área do triângulo ABC, em função de ’ e r.

b) Esta área é máxima para qual valor de ’.

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3. (Unicamp 2002) Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:

a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.

b) Calcular a área do triângulo ABC.

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4. (Fuvest 2001) Um agricultor irriga uma de suas plantações utilizando duas máquinas de irrigação. A primeira irriga uma região retangular, de base 100m e altura 20m, e a segunda irriga uma região compreendida entre duas circunferências de centro O, e de raios 10m e 30m.

A posição relativa dessas duas regiões é dada na figura

onde A e B são os pontos médios das alturas do retângulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O está alinhados e que BO=20m, determine

a) a área da intersecção das regiões irrigadas pelas máquinas;

b) a área total irrigada.

Utilize as seguintes aproximações: Ë2=1,41, ™=3,14 e arcsen1/3 = 0,340 rad.

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5. (Fuvest 2002) Na figura a seguir, as circunferências C e C‚, de centros O e O‚, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r é tangente a C e C‚; a reta s passa por O e O‚ e ’ é o ângulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C é 4, o de C‚ é 3 e que sen’ = 1/5, calcule:

a) a área do quadrilátero O QO‚P;

b) sen‘, onde ‘ = QÔ‚P.

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6. (Fuvest 2002) O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC e AB medem 1 e Ë3, respectivamente, é dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB. Seja MN o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que o ângulo NDB é reto, determine

a) o comprimento dos segmentos CN e CM;

b) a área do triângulo CMN.

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7. (Ufg 2001) Considere uma circunferência de raio R e quatro circunferência de raio r, todas tangentes entre si, conforme a figura abaixo.

a) Obtenha uma expressão que relacione os raios r e R.

b) Para R = 2 cm, calcule o valor da área sombreada na figura.

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8. (Ufrj 2001) As cinco circunferências da figura são tais que a interior tangencia as outras quatro e cada uma das exteriores também tangencia duas das demais exteriores.

Sabendo que as circunferências exteriores têm todas raio 1, calcule a área da região sombreada situada entre as cinco circunferências.

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9. (Ufrj 2002) O triângulo ACF tem vértices coincidindo com três dos vértices de um cubo de aresta a, como mostra a figura a seguir.

Determine a área de ACF em função de a. Justifique.

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10. (Ufrn 2002) O triângulo isósceles ABC a seguir foi construído a partir de seis quadrados congruentes e de sete triângulos.

a) Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a medida dos lados de cada quadrado é Ø.

b) O triângulo ADE é eqüilátero? Por quê?

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11. (Ufrrj 2001) Na figura abaixo, o ponto "A" dista 4cm do centro da circunferência e as semi-retas AB e AC formam um ângulo de 60° e são tangentes à circunferência. Calcule a área do triângulo ABC.

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12. (Ufsc 2001) A figura abaixo representa um campo de beisebol.

Sabe-se que: 1) AB = AC = 99m; 2) AD = 3m; 3) HI = DF/6; 4) o arremessador fica no círculo localizado no centro do quadrado.

Se a área hachurada mede 1458m£, então a medida, em METROS, do raio do círculo onde fica o arremessador é:

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13. (Ufscar 2001) Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4cm.

Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1cm, pede-se:

a) a área da região interna ao quadrado, complementar à região R;

b) a área da região R.

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14. (Unesp 2001) Para ladrilhar uma sala são necessárias exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala é 36m£, determine

a) a área de cada peça, em metros quadrados;

b) o perímetro de cada peça, em metros.

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15. (Unesp 2002) A figura representa um canteiro de forma circular com 5 metros de raio.

O canteiro tem uma região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região, sombreada na figura, na qual se plantará grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros.

a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores.

b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$3,00, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação ™ = 3,2).

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16. (Unicamp 2001) Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio r=2cm e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6cm. Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três circunferências.

a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências.

b) Calcule o comprimento da curva C.

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17. (Unicamp 2002) Seis círculos, todos de raio 1cm, são dispostos no plano conforme mostram as figuras a seguir:

a) Calcule a área do triângulo ABC.

b) Calcule a área do paralelogramo MNPQ e compare-a com a área do triângulo ABC.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2001)

1.

Visões do multimundo

Agora que assinei a TV a cabo, pressionado pelos filhos adolescentes (e pela

curiosidade minha, que não lhes confessei), posso "ampliar o mundo sem sair da poltrona". Foi mais ou menos isso o que me disse, em tom triunfal, a prestativa atendente da empresa, com

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aquela vozinha treinada que imita à perfeição uma secretária eletrônica. Não é maravilhoso você aprender a fazer um suflê de tubérculos tropicais ou empadinhas e em seguida saltar para um documentário sobre o tribunal de Nuremberg? Se Copérnico (ou foi Galileu?) estivesse vivo, reformularia sua tese: o sol e a terra giram em torno da TV a cabo.

2.

Aprendo num programa que elipses e hipérboles (além de serem figuras de linguagem)

têm a ver com equações reduzidas... Num outro me garante um economista que o nacionalismo é uma aberração no mundo globalizado (será que isso vale também para as nações do Primeiro Mundo?). Tenho que ir mais devagar com este controle remoto (que, aliás, nunca saberei exatamente como funciona: nem fio tem!).

3.

Um filme do meu tempo de jovem: "Spartacus", com Kirk Douglas. Roma já não era,

àquela época, um centro imperial de globalização? Escravos do mundo, uni-vos! - conclamaria algum Marx daqueles tempos, convocação que viria a ecoar também em nosso Palmares, tantos séculos depois. Não deixo de me lembrar que, em nossos dias, multidões de expatriados em marcha, buscando sobreviver, continuam a refazer o itinerário dos vencidos.

4.

Para as horas de insônia, aconselho assistir a uma partida de golfe. Um verde hipnótico

preenche a tela, os movimentos são invariavelmente lentos, cada jogador avalia cuidadosamente a direção do vento, a topografia, os detalhes do terreno, só então escolhendo um tipo de taco. Tudo tão devagarzinho que a gente dorme antes da tacada. Se a insônia

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persistir, apele para um debate entre especialistas nada didáticos em torno de um tema que você desconheça. Tudo o que sei de genética, por exemplo, e que se resume às velhas leis de Mendel, em nada me serviu para entender o que sejam DNA, doença molecular e citogenética - conceitos que dançaram na boca de dois cientistas que desenvolvem projeto acerca do genoma humano, entrevistados por um repórter que parecia tão perplexo quanto eu.

Igualmente obscura foi uma outra matéria, colhida numa mesa-redonda da SBPC: o tema era a unificação da Física quântica com a teoria da relatividade (!) - o que foi feito do pobre Newton que aprendi no meu colegial?

5.

Um canal de São Paulo mostra que no centro do "campus" da USP, numa grande área

até então descuidada, desenvolve-se um projeto de amostragem da vegetação típica de várias partes do Brasil, de modo que um passante transite de um trechinho de mata atlântica para um cerrado, deste para um recorte de pampa gaúcho ou de caatinga. A idéia me pareceu interessante, deixando-me a vaga impressão de estar ali um "museu da natureza", já que o homem vem se aplicando, por razões ou interesses de toda ordem, em desfigurar ou alterar inteiramente os traços fisionômicos da paisagem original. Que nenhuma "chuva ácida" ou lixo químico venha a comprometer esse projeto.

6.

Aprendo também que a TV a cabo e a aberta têm algo em comum: ambas me incitam à

geladeira. O correto seria parar no armário e me contentar com o insosso tabletinho de fibras

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que o médico me recomendou; mas como resistir ao restinho do pudim, que meu filho ainda não viu? Quero acreditar que os alimentos gelados perdem toda a caloria, e que aquela costeletinha de porco no "freezer", depois de passar pelo microondas, torna-se tão inofensiva quanto uma folha de alface... Com tais ilusões, organizo meu lanchinho e o levo para a sala, pronto para fazer uma refeição tão segura quanto a prescrita pela NASA aos astronautas.

7.

Confesso que a variedade de opções vai me atordoando. Para mim, que gosto de

poesia, é um prazer poder estacionar na BBC: ninguém menos que o saudoso Lawrence Olivier está lendo e comentando alguns poemas ingleses. Que expressão deu o grande ator a um poema de William Blake, que tanto admiro. Mas há quem ache haver tanta poesia em versos quanto numa bem bolada frase de propaganda.

8.

Já muito tarde da noite, o Multishow apresenta uma série sobre os grandes

compositores. Um maestro alemão expõe suas idéias acerca da música de Bach, discorrendo sobre as supostas bases matemáticas de suas composições, nas quais figuram as seqüências, os arranjos e as combinações. Para alívio meu, no entanto, o maestro também lembrou que a música de Bach se produziu em meio a injunções históricas do final do século XVII e a primeira metade do século XVIII, época na qual o mecenato e a religião eram determinantes, senão para o conteúdo mesmo, ao menos para os modos de produção e divulgação das artes - antes que as revoluções da segunda metade do século viessem a

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estabelecer novos eixos para a política, para a economia e para a cultura do Ocidente.

9.

Finda a bela execução de uma sonata de Bach, passeei por desenhos animados quase

inanimados, leilões de tapetes, liquidação de camisas, corrida de cavalos, um professor de cursinho falando sobre eletrólise e anunciando que no segmento seguinte trataria de cadeias carbônicas... Dei uma paradinha no que imaginei ser uma descontraída e inocente reportagem sobre o mundo animal e que era, no entanto, uma aula sobre a digestão dos insetos, em cujo conhecimento pesquisadores se apoiaram para criar plantas transgênicas que resistem ao ataque de espécies indesejadas... Ufa! Corri a buscar repouso num seriado cômico norte-americano, desses com risadas enlatadas e pessimamente traduzidos: sabem qual era a legenda para a frase entre duas pessoas se despedindo, "Give me a ring"? Nada mais, nada menos que: "Dê-me um anel"! Sem falar no espanto de encontrar a Xica da Silva falando em espanhol na TV americana!

10.

Morto de tantas peregrinações, desliguei a TV, reduzindo o mundo à minha sala de

visitas. Na minha idade, até as viagens virtuais são cansativas.

(Cândido de Castro, inédito)

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18. Um especialista explicou que, em um campo de golfe, cada buraco está localizado em um "green", um trecho com formato ovalado ou circular, com diâmetro de aproximadamente 18m, coberto de grama especial cuidadosamente aparada. Supondo que o formato seja circular e o terreno seja plano, a área de um "green" é de, aproximadamente,

Use: ™=3,14

a) 240 m£ b) 245 m£ c) 250 m£ d) 255 m£ e) 260 m£

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19. (Ufpr 2001) Na figura abaixo está representada uma circunferência de raio 6 e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Dados A(6, 0), M(3, 0) e B(0, 6) e sendo P o ponto de interseção da circunferência com a reta que contém M e é perpendicular ao segmento OA, é correto afirmar:

(01) A equação da reta que contém A e B é x+y+6=0.

(02) A equação da circunferência é x£+y£=36.

(04) A área do triângulo OMP é igual a 9Ë3.

(08) A área da região hachurada é igual a (12™-9Ë3)/2.

(16) A distância de P a M é menor que 6.

(32) Os segmentos OA e OP formam ângulo de 45°.

Soma (

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20. (Fei 99) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm£) não aproveitada da chapa? a) 40 - 20 ™ b) 400 - 20 ™ c) 100 - 100 ™ d) 20 - 20 ™ e) 400 - 100 ™

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21. (Fgv 2002) Um terreno tem o formato de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura adiante:

O lado AB tem a mesma medida que AD e vale 6m. O ângulo BðD mede 30°. A área do terreno é igual a: a) 18 (2 + Ë3) b) 18 (3 + Ë3) c) 18 (4 + Ë3) d) 18 (5 + Ë3) e) 18 (6 + Ë3)

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22. (Fuvest 2002) Na figura adiante, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semi-circunferência de centro A e raio AB=AC=AD=R.

A diagonal åè forma com os lados æè e åî ângulos ‘ e ’, respectivamente: Logo, a área do quadrilátero ABCD é:

a) [R£ (sen2‘ + sen’)]/2 b) [R£ (sen‘ + sen2’)]/2 c) [R£ (cos2‘ + sen2’)]/2 d) [R£ (sen‘ + cos’)]/2 e) [R£ (sen2‘ + cos’)]/2

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23. (Pucmg 2001) Na figura, o lado do quadrado ABCD mede uma unidade. O arco BED pertence à circunferência de centro em A e raio unitário; o arco BFD pertence à circunferência de centro em C e raio unitário. A medida da área da região sombreada é: a) ™ - 2 b) (™ - 2)/2 c) (™ - 2)/3 d) (™ - 2)/4

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24. (Pucmg 2001) Na figura, o lado do quadrado ABCD é variável, e sua medida é x. No retângulo AEGB, o lado AE=4, e o quadrilátero GHIF é um quadrado de lado unitário. A função que relaciona a medida da área sombreada, S, com o valor de x, é: a) S(x) = - x£ - 4x - 1 b) S(x) = - x£ + 4x + 1 c) S(x) = - x£ + 4x - 1 d) S(x) = - x£ - 4x + 1

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25. (Pucmg 2001) A medida da área da sala representada na figura, em m£ é: a) 28 b) 32 c) 42 d) 48

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26. (Pucpr 2001) Os "Nove Capítulos sobre a Arte Matemática" é um compêndio chinês de Matemática, com mais de 2300 anos de idade. Nele, encontramos este problema: determine o diâmetro do círculo inscrito no triângulo de lados 6, 8 e 10.

Esse diâmetro vale: a) 3Ë2 b) 3 c) 4 d) (3Ë3)/2 e) 2 + Ë3

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27. (Uel 2001) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede a. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio a, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro a. A área da região hachurada é: a) Um quarto da área do círculo de raio a. b) Um oitavo da área do círculo de raio a. c) O dobro da área do círculo de raio a/2. d) Igual à área do círculo de raio a/2. e) A metade da área do quadrado.

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28. (Uel 2001) O Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa. É formado por cinco triângulos retângulos isósceles (T , T‚, Tƒ, T„ e T…), um paralelogramo (P) e um quadrado (Q) que, juntos, formam um quadrado, conforme a figura a seguir.

Em relação às áreas das figuras, é correto afirmar: a) Se a área de Q é 1, então a área do quadrado maior é 4. b) A área de T é o dobro da área de Tƒ. c) A área de T„ é igual à área de T…. d) A área de T… é um quarto da área do quadrado maior. e) A área de P é igual à área de Q.

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29. (Ufc 2001) No plano cartesiano abaixo, temos representado o gráfico da função f(x)=1/x, para x>0. A área hachurada é a da região limitada: acima pelo gráfico de 1/x, abaixo pelo eixo x e nos lados pelas retas verticais x=2 e x=4. Se S representa o valor desta área, em unidades de área, é correto afirmar que: a) 0 < S < 1/2 b) 1/2 < S < 3/4 c) 3/4 < S < 1 d) 1 < S < 5/4 e) 5/4 < S < 3/2

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30. (Uff 2001) Para a encenação de uma peça teatral, os patrocinadores financiaram a construção de uma arena circular com 10m de raio. O palco ocupará a região representada pela parte hachurada na figura a seguir:

Se O indica o centro da arena e se h mede 5m, então, a área do palco, em m£, vale: a) (75Ë3+50™)/3 b) (25Ë3™)/2 c) (50Ë2+™)/2 d) (5Ë2+10™)/3 e) 100™

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31. (Ufg 2001) Um sítio de 40 hectares de área tem a forma de um triângulo, conforme mostrado na figura abaixo. O triângulo ACD representa uma reserva florestal, cuja área é 20% da área total do sítio.

Sabendo que M é o ponto médio do segmento DC (observe que os triângulos BDM e BMC têm a mesma altura, em relação às bases DM e MC, respectivamente), julgue os itens a seguir.

(

) A área do triângulo BDM é igual à área do triângulo BCM.

(

) A área do triângulo ACM é igual a 20% da área do triângulo BCM.

(

) Sabendo-se que na região representada pelo triângulo BDM existe um rebanho bovino de

80 cabeças, então, nessa região, a média é de 5 cabeças por hectare. ( ) Para corrigir a acidez do solo na área representada pelo triângulo BCM, foram espalhadas 30 toneladas de calcário. Sabendo-se que o preço da tonelada de calcário é de R$15,00, o custo médio, por hectare, do calcário utilizado, foi superior a R$30,00.

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32. (Ufg 2001) Considere um triângulo ABC, inscrito em uma circunferência de centro O e raio r, conforme a figura abaixo.

Sabendo que o ângulo mede 150° e o segmento AC mede 4cm, julgue os itens abaixo.

(

) sen(ABC) = sen(ADC)

(

) A área do triângulo ACD é 8Ë3cm£.

(

) O raio da circunferência é r=4cm.

(

) O triângulo ACO é eqüilátero.

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33. (Ufmg 2001) Observe estas figuras:

Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral de uma casa de madeira para um cachorrinho, com todas as medidas indicadas em centímetros. Observe que o telhado avança 12cm na parte da frente da casa.

Considerando-se os dados dessas figuras, a área total do telhado dessa casa é de a) 1,44 m£ b) 0,72 m£ c) 0,96 m£ d) 1,22 m£

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34. (Ufpe 2002) O paralelogramo ABCD está dividido em quatro paralelogramos, como ilustrado na figura a seguir. As áreas de EBFI, IFCG e HIGD são dadas por 15x, 10x£ e 14x para algum real positivo x, respectivamente. Qual a área de AEIH? a) 15 b) 21 c) 24 d) 25 e) 28

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35. (Ufpr 2001) Um retângulo de 6m por 12m está dividido em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e um terço da de C.

Com base nessas informações, é correto afirmar:

(01) A soma das áreas de A, B e C é 72 m£.

(02) A área de A é 1/6 da área de C. (04) A área de A é 24 m£.

(08) Um dos lados de A mede 2 m.

(16) Um dos lados de C mede 8 m.

Soma (

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36. (Ufrn 2001) Um terreno de 72mÂŁ de ĂĄrea ĂŠ formado por 8 quadrados congruentes (veja figura a seguir).

A cerca que delimita o terreno (em negrito na figura) mede: a) 51m b) 36m c) 48m d) 27m

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37. (Ufrn 2002) Na figura a seguir, r, s, t e u são retas PARALELAS e EQÜIDISTANTES. Os segmentos EF, GH, IJ e KL são congruentes.

Se S(Ri) representa a área da região Ri, i = 1,2,3, então a) S(R ) = S(R‚) < S(Rƒ) b) S(R•) = S(R‚) = S(Rƒ) c) S(R‚) > S(Rƒ) > S(R•) d) S(R•) < S(R‚) < S(Rƒ)

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38. (Ufrrj 2001) Na figura adiante, sabendo-se que os ângulos  e Ê são ângulos retos, a área do quadrilátero ACDE vale a) 25,2 cm£. b) 30,5 cm£. c) 40,5 cm£. d) 52,5 cm£. e) 65,5 cm£.

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39. (Ufrs 2000) Na figura abaixo, OP=2, AB=8, O é o centro dos círculos e åæ é tangente em P ao círculo menor.

A área do disco maior é a) Ë20™. b) 10™. c) 20™. d) 64™. e) 68™.

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40. (Ufrs 2000) Na figura abaixo, AC=5, BC=6 e DE=3.

A área do triângulo ADE é a) 15/8. b) 15/4. c) 15/2. d) 10. e) 15.

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41. (Ufscar 2001) A "Folha de S. Paulo", na sua edição de 11/10/2000, revela que o buraco que se abre na camada de ozônio sobre a Antártida a cada primavera no Hemisfério Sul formou-se mais cedo neste ano. É o maior buraco já monitorado por satélites, com o tamanho recorde de (2,85)×10¨km£. Em números aproximados, a área de (2,85)×10¨km£ equivale à área de um quadrado cujo lado mede: a) (5,338) × 10£ km. b) (5,338) × 10¤ km. c) (5,338) × 10¥ km. d) (5,338) × 10¦ km. e) (5,338) × 10§ km.

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42. (Ufscar 2002) Seja um triângulo ABC eqüilátero de lado 2. No interior desse triângulo, cuja área é Ë3, foi escolhido arbitrariamente um ponto P. A soma das distâncias de P a cada um dos lados do triângulo vale a) Ë2. b) Ë3. c) 2. d) 3. e) 2Ë3.

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43. (Ufsm 2001)

Observe o sólido representado na figura, formado por cubos de aresta a. Considerando que ele é simétrico ao plano definido pelas retas r e s e que o bloco central é um paralelepípedo retângulo, pode-se afirmar que a área total da peça é a) 46a£ b) 58a£ c) 24a£ d) 60a£ e) 42a£

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44. (Ufu 2001) Considerando que na figura abaixo BC=2cm, a área do triângulo eqüilátero ABD é igual a a) Ë3 cm£/3 b) 3Ë3 cm£ c) Ë3 cm£ d) Ë3 cm£/2

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45. (Ufv 2001) Na figura a seguir, ABC é um triângulo retângulo com catetos de medidas æè=3 e æå=4; a circunferência de centro O, inscrita no triângulo, tangencia os lados do mesmo nos pontos E e D. A área do polígono ABEOD é igual a: a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5

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46. (Ufv 2001) A área máxima de um retângulo que tem 24m de perímetro é: a) 35 m£ b) 27 m£ c) 49 m£ d) 32 m£ e) 36 m£

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47. (Unesp 2001) Uma região R a ser cultivada está representada na malha quadriculada seguinte.

Se a malha é quadriculada com quadrados de lados iguais a 1km, então a área, em km£, da região a ser cultivada é a) 54. b) 40. c) 34. d) 31. e) 29.

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48. (Unesp 2002) Uma piscina retangular, de 6m de largura por 12m de comprimento, é contornada por uma superfície ladrilhada de 2m de largura, porém tendo os cantos formando triângulos, como mostra a figura.

A área (em m£) dessa região ladrilhada, que está marcada na figura, é a) 72. b) 80. c) 88. d) 120. e) 152.

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49. (Unifesp 2002) A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C• , que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C‚. Sabe-se que A e B são pontos da circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C e C‚.

A área da região hachurada é: a) 9™. b) 12™. c) 15™. d) 18™. e) 21™.

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50. (Unifesp 2002) No triângulo QPP' do plano cartesiano, temos Q=(a,0), com a < 0, P=(4, 2) e P' o simétrico de P em relação ao eixo x.

Sabendo que a área desse triângulo é 16, o valor de a é: a) - 5. b) - 4. c) - 3. d) - 2. e) - 1.

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GABARITO

1. a) h = c . sen Â

b) SÛ½Ý = 1/2 . b . c . sen Â

2. a) A = r£ . sen (2’)

b) ’ = 45°

3. a) 2,25 m

b) 7,8125 Ë3 m£

4. a) 188 m£

b) 4 324 m£

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5. a) 12

b) 24/25

6. a) CN = CM = 2/3

b) Ë3/9

7. a) R = ( 1 + Ë2) r

b) A = 4 (4 -™) (3 - 2Ë2)

8. A = 4 - 4™ + 2(Ë2)™

9. Os segmentos AF, FC e CA coincidem com as diagonais dos quadrados de lado a. Logo, têm o mesmo comprimento Ø.

Pelo Teorema de Pitágoras:

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Ø£ = 2a£ Ø = Ë2a

O triângulo AFC é eqüilátero e, portanto, sua área é:

Ë(3Ø£)/4 = Ë(3a£)/2

10. a) A = (6 + Ë3).Ø£

b) Sim, pois AïC = 60°, AðB = 60° e BÂC = 60° assim o triângulo ABC é equilátero, então o triângulo ADE também é equilátero.

11. S = 3Ë3 cm£

12. 05

13. a) (8 + ™) cm£

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b) (8 - ™) cm£

14. a) 0,09 m£

b) 1,2 m

15. a) BD = 6m e a área = 48m£.

b) R$ 96,00.

16. a) (9Ë3-2™) cm£

b) (18+4™) cm

17. a) 7Ë3 + 12 cm£

b) (20Ë3 + 36)/3 cm£ A área do triângulo ABC é maior do que a área do paralelogramo MNPQ.

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18. [D]

19. 02 + 08 + 16 = 26

20. [E]

21. [A]

22. [A]

23. [B]

24. [C]

25. [C]

26. [C]

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27. [B]

28. [E]

29. [B]

30. [A]

31. V F V F

32. V V V V

33. [D]

34. [B]

35. 01 + 04 + 08 = 13

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36. [C]

37. [B]

38. [D]

39. [C]

40. [B]

41. [B]

42. [B]

43. [A]

44. [C]

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pag.61

45. [A]

46. [E]

47. [D]

48. [B]

49. [A]

50. [B]

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