GP_AR6

GEOMETRIA PLANA: ÁREAS 6

1. (Uerj 97) Observe as regiões hachuradas do plano cartesiano, que correspondem aos pontos que satisfazem o sistema de inequações a seguir:

Calcule: a) o ângulo formado entre as retas r e s. b) a área total das regiões hachuradas.

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2. (Ufes 99) No triângulo ABC da figura, temos AD=CF=BE=2cm e DC=FB=EA=(1+Ë3)cm.

Calcule a medida, em graus, do ângulo AÊD e a área do triângulo DEF.

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3. (Uerj 97) Observe a figura I, onde ABC é um triângulo retângulo e {r,s,t,u} é um feixe de retas paralelas equidistantes.

A figura I foi dobrada na reta (t), conforme ilustra a figura II.

Calcule: a) a área do triângulo A'BM, hachurado. b) o seno do ângulo š = BPA'.

4. (Uff 99) Determine a área da região limitada do plano que está compreendida entre as retas y=x e y=0 e é exterior ao círculo de centro em (1, 1) e raio 1.

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5. (Uff 99) Deseja-se construir uma janela com a forma de um retângulo encimado por uma semicircunferência de raio x como indica a figura.

Sabendo que o perímetro da janela deve ser igual a 4m:

a) Expresse a área da janela em função de x.

b) Encontre o valor de x para o qual a área da janela é a maior possível.

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6. (Uff 99) Determine a área do retângulo MNPQ, representado na figura abaixo, sabendo que a diagonal MP é o diâmetro da circunferência C cujo raio mede 10cm.

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7. (Uff 2000) Num terreno retangular com 104m£ de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9m por 4m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura.

Calcule o valor de L.

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8. (Uff 2000) Paulo deve colorir um painel quadrado, com um círculo centrado, usando as cores azul, verde e cinza, conforme indica a figura.

Sabe-se que a medida do lado do quadrado é 2m e que a do segmento åæ é 1m.

Determine:

a) o raio do círculo;

b) a área, em m£, a ser colorida de azul.

9. (Ufrj 2000) Existe um único b Æ IR para o qual a reta de equação y=2x+b divide o triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(0,1) em dois polígonos de áreas iguais. Determine b.

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10. (Ufu 99) Na figura a seguir, temos que o quadrilátero ABCD é um quadrado e o triângulo AEF é retângulo isósceles. Se AH=AB/2, HE=HB e AB=1m, determine a razão entre as áreas do triângulo AEF e do retângulo FBCG.

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11. (Unb 98) A Geometria Fractal é uma linguagem criada pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot, no começo da década de 50. Mandelbrot criou essa geometria após observar padrões surgidos em diversas áreas, tais como na estrutura do ruído das comunicações telefônicas, na flutuação dos preços em operações do mercado financeiro e no estudo empírico da geometria dos litorais.

As figuras abaixo ilustram os três primeiros passos da construção de um fractal a partir de um quadrado de lado Ø, sendo que a figura II representa o padrão desse fractal.

O procedimento pode ser escrito da seguinte maneira:

Passo 1: Considere o quadro representado na figura I. Passo 2: Dividindo-se três lados desse quadrado em três partes iguais, constroem-se três outros quadrados, conforme ilustra a figura II.

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Passo 3: Repetindo-se o processo com os três quadrados obtidos no passo 2, obtêm-se nove outros quadrados, conforme ilustra a figura III.

O processo pode ser repetido um número qualquer de vezes.

Considerando Ø = 5 cm, determine, em cm£, a área total da figura obtida no oitavo passo.

Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

12. (Unicamp 2000) As diagonais D e d de um quadrilátero convexo, não necessariamente regular, formam um ângulo agudo ‘.

a) Mostre que a área desse quadrilátero é [(D.d)/2]sen‘.

b) Calcule a área de um quadrilátero convexo para o qual D = 8cm d = 6cm e ‘= 30°.

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13. (Unicamp 2001) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimensões: åæ=25m, æè=24m, èî=15m.

a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$50,00, qual é o valor total do terreno?

b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos PARALELOS AO LADO BC. Faça uma figura para ilustrar sua resposta, indicando nela as dimensões das divisões no lado AB.

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14. (Ufrs 98) Um círculo com centro C=(2,-5) tangencia a reta de equação x-2y-7=0. O valor numérico da área da região limitada pelo círculo é a) 4™ b) 5™ c) 6™ d) 7™ e) 8™

15. (Ufrs 98) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área cresce a) 14 % b) 14,4 % c) 40 % d) 44 % e) 144 %

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16. (Uff 2000) Na figura, MNPQ é um retângulo, MNUV é um paralelogramo, as medidas de MQ e MV são iguais e 0°<‘<45°

.

Indicando-se por S a área de MNPQ e por S' a área de MNUV, conclui-se que: a) S = S' sen ‘ b) S'= S c) S' = S cos ‘ d) S = S' cos ‘ e) S'= S sen ‘

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17. (Ufu 99) A área da região do primeiro quadrante delimitada pelas retas, que são soluções da equação cos(x+y)=0, com 0´x+y´2™, é igual a a) ™£ unidades de área. b) 4™£ unidades de área. c) 3™£ unidades de área. d) 8™£ unidades de área. e) 2™£ unidades de área.

18. (Puc-rio 99) A área máxima de um paralelogramo com lados a, b, a, b é: a) a£ + b£. b) 2 ab. c) ab. d) a + b. e) a/b.

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19. (Fatec 99) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1cm. Se a medida de um dos catetos é igual a 3/4 da medida do outro, então a medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é a) 0,05 cm b) 0,10 cm c) 0,15 cm d) 0,20 cm e) 0,25 cm

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20. (Fuvest 2000) Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e š é o ângulo agudo BÊC. Se EA=1, EB=4, EC=3 e ED=2, então a área do quadrilátero ABCD será: a) 12 sen š b) 8 sen š c) 6 sen š d) 10 cos š e) 8 cos š

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21. (Fuvest 2000) Na figura, ABC é um triângulo retângulo de catetos AB=4 e AC=5. O segmento DE é paralelo a AB, F é um ponto de AB e o segmento CF intercepta DE no ponto G, com CG=4 e GF=2. Assim, a área do triângulo CDE é: a) 16/3 b) 35/6 c) 39/8 d) 40/9 e) 70/9

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22. (Fuvest 2000) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é: a) (™/2) + 2 b) ™ + 2 c) ™ + 3 d) ™ + 4 e) 2™ + 1

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23. (Fuvest 2001) Na figura abaixo, a reta r é paralela ao segmento åè, sendo E o ponto de intersecção de r com a reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 21, então a área do triângulo BCE é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

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24. (Ita 99) Duas circunferências de raios iguais a 9m e 3m são tangentes externamente num ponto C. Uma reta tangencia estas duas circunferências nos pontos distintos A e B. A área, em m£, do triângulo ABC é: a) 27Ë3 b) (27Ë3) / 2 c) 9Ë3 d) 27Ë2 e) (27Ë2) / 2

25. (Ita 99) Duas circunferências C e C‚, ambas com 1m de raio, são tangentes. Seja Cƒ outra circunferência cujo raio mede (Ë2-1)m e que tangencia externamente C e C‚. A área, em m£, da região limitada e exterior às três circunferências dadas, é:

a) 1 - ™(1 - Ë2/2) b) (1/Ë2) - (™/6) c) (Ë2 - 1)£ d) (™/16) (Ë2 - 1/2) e) ™(Ë2 - 1) - 1

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26. (Ita 2000) Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em A. Seja D a intersecção da bissetriz do ângulo  com o lado BC e E um ponto da reta suporte do cateto AC de tal modo que os segmentos de reta BE e AD sejam paralelos. Sabendo que AD mede Ë2cm, então a área do círculo inscrito no triângulo EBC é a) ™ (4 - 2Ë3) cm£. b) 2™ (3 - 2Ë2) cm£. c) 3™ (4 - 2Ë3) cm£. d) 4™ (3 - 2Ë2) cm£. e) ™ (4 - 2Ë2) cm£.

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27. (Mackenzie 99) Na figura, se a área do quadrilátero assinalado é 16Ë3, então a distância do vértice A do hexágono regular à diagonal BC é: a) 4,5 b) 5,0 c) 5,5 d) 6,0 e) 6,5

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28. (Mackenzie 99) Num losango, a diagonal maior é o dobro da diagonal menor e a distância enter os lados paralelos é 4. A área desse losango é: a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24

29. (Mackenzie 99) Unindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular H•, obtém-se um hexágono regular H‚. A razão entre as áreas de H e H‚ é: a) 3/2 b) 5/4 c) 4/3 d) 2 e) 6/5

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30. (Puc-rio 99) Triplicando-se o raio de uma circunferência, a) a área é multiplicada por 9™. b) o comprimento é multiplicado por 3™. c) a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3. d) a área e o comprimento são ambos multiplicados por 3. e) a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9.

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31. (Puccamp 99) Considere o trapézio representado na figura a seguir, cujas medidas dos lados são dadas em centímetros.

A área desse trapézio, em centímetros quadrados, é a) 18 b) 24 c) 30 d) 32 e) 36

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32. (Puccamp 2000) Na figura 1, tem-se uma vista superior de dois jardins de uma praça.

Na figura 2, têm-se esboços dos projetos desses jardins. Um dos jardins é formado a partir de dois círculos, de centros em A e em B. O outro tem a forma de um polígono regular.

Em seus cálculos, use ™ = 3,1 e Ë3 = 1,7.

De acordo com o projeto, qual é, aproximadamente, a área do jardim reservado às rosas? a) 3,4 m£ b) 4 m£ c) 4,2 m£ d) 4,8 m£ e) 5,8 m£

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33. (Uece 99) Sejam H e H‚ dois hexágonos regulares de lados iguais a 4m e 6m, respectivamente. Se C e C‚ são, respectivamente, os círculos circunscritos a H e a H‚, então a razão entre as áreas de C e C‚ é igual a: a) 3/2 b) 9/4 c) 4/9 d) 2/3

34. (Uece 99) Num triângulo ABC, AB=3cm, AC=4cm e sua área é 3cm£. Nestas condições, o ângulo A é igual a: a) 90° b) 60° c) 45° d) 30°

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35. (Uel 98) Na figura a seguir, ABCD representa um jardim com รกrea de 150mยฃ que deve ser ampliado para EFGD, de maneira que o novo jardim tenha forma geometricamente semelhante ao anterior

Se DC =15m e CG = 7,5m, a รกrea do novo jardim, em metros quadrados, deverรก ser a) 225 b) 337,5 c) 350 d) 355,5 e) 425

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36. (Uel 98) Na figura a seguir, o triângulo ABC é eqüilátero, o triângulo ABD é retângulo em A e BC=CD.

Nessas condições, se S, S e S‚ são, respectivamente, as áreas dos triângulos ABD, ABC e ACD, então a) S‚ = (1/3) S b) S• = (2/3) S c) S‚ = (1/2) S d) S• = (3/4) S e) S‚ = (4/5) S

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37. (Uel 98) Oito amigos compram uma pizza gigante circular com 40cm de diâmetro e pretendem dividi-la em oito pedaços iguais. A área da superfície de cada pedaço de pizza, em centímetros quadrados, é a) 50™ b) 60™ c) 75™ d) 100™ e) 120™

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38. (Uel 99) O hexágono ABCDEF da figura a seguir é eqüilátero com lados de 5cm e seus ângulos internos de vértices A, B, D, E medem 135° cada um.

A área desse hexágono, em centímetros quadrados, é igual a a) [25(Ë2 + 1)]/2 b) 75/2 c) 50 d) 50Ë2 e) 25(Ë2 + 1)

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39. (Uerj 97)

O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e a sua diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}. A área do triângulo FBG é uma fração da área do paralelogramo (ABCD).

A sequência de operações que representa essa fração está indicada na seguinte alternativa: a) 1/2 . 1/3 . 1/3 b) 1/2 + 1/3 . 1/3 c) 1/2 . (1/3 + 1/3) d) 1/2 + 1/3 + 1/3

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40. (Uerj 97) A superfície de uma esfera pode ser calculada através da fórmula: 4.™.R£, onde R é o raio da esfera. Sabe-se que 3/4 da superfície do planeta Terra são cobertos por água e 1/3 da superfície restante é coberto por desertos. Considere o planeta Terra esférico, com seu raio de 6.400km e use ™ igual a 3.

A área dos desertos, em milhões de quilômetros quadrados, é igual a: a) 122,88 b) 81,92 c) 61,44 d) 40,96

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41. (Uerj 98)

O decágono da figura anterior foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos.

Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: a) 14 T + 3 Q b) 14 T + 2 Q c) 18 T + 3 Q d) 18 T + 2 Q

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42. (Ufes 99) Num triângulo ABC, M é o ponto médio do lado æè. Sabendo-se que AB=4cm, BC=6cm e AM=3cm, a área do triângulo ABC é a) 2Ë2 cm£ b) 3Ë2 cm£ c) 6 cm£ d) 4Ë5 cm£ e) 9 cm£

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43. (Ufg 2000) A figura a seguir contém um quadrado e um círculo, ambos de área igual a 4cm£. O ponto E indica o centro do círculo e a interseção das diagonais do quadrado.

Observe a figura e julgue as afirmações a seguir.

(

) O círculo e o quadrado têm o mesmo perímetro.

(

) A área do polígono ACDE mede 1cm£.

(

) A área das partes do círculo, externas ao quadrado, é a mesma que a das partes do

quadrado, externas ao círculo. (

) O ângulo AÊB mede 60°.

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44. (Ufpr 2000) Considerando o triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto tem vértice A, é correto afirmar:

(01) Se a medida do lado æè for igual a 2, então o círculo circunscrito ao triângulo tem área igual a ™ unidades de área.

(02) O maior valor possível para a razão AC/AB é 1.

(04) Se a medida do lado æè for igual a 1 e a soma das medidas dos outros dois lados for 4/3, então sen2ï=7/9.

(08) Se AB · AC, o cone de revolução gerado pelo triângulo, por rotação em torno do lado åæ, tem volume igual a ™(AB)£(AC)/3 unidades de volume.

(16) O sólido de revolução gerado pelo triângulo, por rotação em torno da reta que contém A e que é paralela ao lado æè, é um cilindro no qual a medida da altura é BC e a medida do raio da base é AB.

Soma (

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)

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45. (Ufrrj 99) Sendo S e S‚ as áreas das figuras I e II, respectivamente,

podemos afirmar que

a) S = S‚. b) S = 3 S‚ / 4. c) S = 3 S‚. d) S = 2S‚. e) S = 4 S‚ / 3.

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46. (Ufrs 98) No triângulo ABC desenhado a seguir, P, Q e R são os pontos médios dos lados.

Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a medida da área do triângulo ABC é a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

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47. (Ufv 99) Na figura a seguir, os pontos P , P‚,...,P ‚ são pontos médios dos lados dos quadrados. Sabendo-se que a área do círculo é ™b£, é CORRETO afirmar que a área total da figura é: a) 32b£ b) 36b£ c) 30b£ d) 34b£ e) 16b£

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48. (Unb 98) Um trapézio é desenhado sobre uma folha de cartolina, como ilustra a figura abaixo, em que O é o ponto médio do lado NP. Recorta-se, então, o triângulo OMN, girando-o, no plano, 180° em torno do ponto O; assim, o vértice N coincidirá com o vértice P. Desse modo, obtém-se uma nova figura geométrica.

Considerando MO=10cm, LM=8cm e o ângulo LMO=90°, julgue os seguintes itens.

(1) A nova figura geométrica é um quadrilátero.

(2) A área da nova figura é igual a 80 cm£.

(3) A soma dos comprimentos LP e MN é maior que 21 cm.

(4) Considerando o ponto Q obtido pela interseção do seguimento LP com a reta paralela a LM passando por O, para se completar o retângulo de lados LM e MO é necessário recortar um triângulo de cartolina cuja área seja igual à soma das áreas dos triângulos OMN e OPQ.

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49. (Unioeste 99) Na figura ABCDE abaixo, tem-se: AB=1 unidade, BC=6 unidades, AE=3 unidades e DE=2 unidades. Sabendo-se, ainda, que o segmento AB é paralelo ao segmento DE e perpendicular aos segmentos BC e AE, é correto afirmar que:

01. O polígono ABCDE é um pentágono convexo.

02. O ângulo C mede 60°.

04. A área do polígono ABCDE é 7,5 unidades de área.

08. A área da superfície total do sólido gerado pela rotação do polígono ABCDE em torno de BC é (15+9Ë2)™ unidades de área.

16. O perímetro da figura formada pelo polígono ABCDE e seu simétrico em relação em relação ao eixo que passa por AB é 20+6Ë2 unidades.

32. O volume do sólido gerado pela rotação de ABCDE em torno de BC é 12™ unidades de volume.

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64. O volume do sólido gerado pela rotação do polígono ABCDE em torno do segmento BC é igual ao volume do sólido gerado pela rotação do polígono ABCDE em torno do segmento AB.

50. (Unioeste 99) Considere um triângulo isósceles de base variável, cujos lados congruentes medem 10 unidades cada. Seja ‘ a medida do ângulo da base. A respeito da área desse triângulo, pode-se afirmar que:

01. Pode ser expressa por A=100 sen‘.

02. Pode ser expressa por A=100 sen‘ cos‘.

04. Pode ser expressa por A=50 sen2‘.

08. É máxima quando ‘ é igual a 45°.

16. É máxima quando ‘ é igual a 60°.

32. É máxima quando a altura do triângulo é igual a 5Ë3 unidades.

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GABARITO

1. a) 90° b) A = (1 + 2™) u.a./4

2. AÊD = 45°, área = 3Ë(3)/2 cm£

3. a) 12 u.a. b) sen š = 24/25

4. S = (1/2 - ™/8) cm£

5. a) A(x) = - [(™/2) + 2] x£ + 4x = - [(™+4)/2] x£ + 4x

b) x = 4/(™+4) m

6. Área = 100Ë3 cm£

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7. L = 2m

8. a) r = (Ë2 - 1) m

b) Sa = 2 - ™(Ë2 - 1)/2 m£

9. b = Ë3 - 2

10. 1/2

11. 37 cm£

12. a)

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A área do quadrilátero MNPQ é igual a soma das áreas dos triângulos MON, NOP, POQ, QOM.

S = [x.y.sen(180°-‘)]/2 + [y(D-x)-sen‘]/2 + + [(D-x).(d-y).sen(180°-‘)]/2 + [x.(d-y).sen‘]/2

S = 1/2.[D.sen‘.(y+d-y)]

S = [(D.d)/2]sen‘

b) 12 cm£

13. a) R$ 24.000,00

b) Observe a figura a seguir:

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14. [B]

15. [D]

16. [E]

17. [A]

18. [C]

19. [D]

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20. [A]

21. [D]

22. [B]

23. [B]

24. [B]

25. [A]

26. [D]

27. [D]

28. [D]

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29. [C]

30. [C]

31. [A]

32. [A]

33. [C]

34. [D]

35. [B]

36. [C]

37. [A]

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38. [E]

39. [A]

40. [D]

41. [A]

42. [D]

43. F V V F

44. 01 + 04 = 05

45. [A]

46. [E]

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47. [E]

48. F V V V

49. F F V V F V F

50. F V V V F F

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