GP_AR7

GEOMETRIA PLANA: ÁREAS 7

1. (Fgv 97) No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são A (5,2), B (1,3) e C (8,-4). a) Obtenha a medida da altura do triângulo, que passa por A. b) Calcule a área do triângulo ABC.

2. (Fuvest 99) A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P=(1, 2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente, a) determine a equação de s. b) calcule a área do triângulo ABC.

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3. (Ufrj 99) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo ‘ mede 120°.

a) Determine o raio da circunferência circunscrita. b) Determine a área do polígono.

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4. (Ufrj 97) No círculo a seguir, a figura é formada a partir de semicircunferências e AC=CD=DE=EB.

Determine S /S‚ a razão entre as áreas hachuradas.

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5. (Ufrj 97) Na figura a seguir o quadrado ABCD tem lado 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16.

Determine x.

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6. (Ufrj 98) Na figura a seguir, R é um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC. Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS.

Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale pq/bc.

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7. (Ufrj 98) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir:

A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B.

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8. (Unb 96) Uma sala quadrada, de 6 m de lado, tem seu piso em madeira, feito de tábuas colocadas em faixas diagonais. A largura da tábua utilizada foi calculada de modo a dividir cada lado da sala em 60 partes iguais, conforme mostra a figura adiante. Para o preenchimento do espaço de cada faixa diagonal, utilizou-se uma tábua retangular com comprimento suficiente apenas para preencher tal espaço, desprezando-se as sobras.

Usando, para Ë2, o valor aproximado de 7/5, calcule, em decâmetros lineares, a quantidade de madeira utilizada no piso, desconsiderando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

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9. (Unb 98)

Na situação representada na figura, determine os pontos sobre a reta Ø distantes 7,5cm de A. Entre esses pontos, escolha aquele que determina com A e B o triângulo de maior área.

Considerando sen 41° = 0,6, calcule em cm£, área desse triângulo, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

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10. (Unicamp 97) O retângulo de uma Bandeira do Brasil, cuja parte externa ao losango é pintada de verde, mede 2m de comprimento por 1,40m de largura. Os vértices do losango, cuja parte externa ao círculo é pintada de amarelo, distam 17cm dos lados do retângulo, e o raio do círculo mede 35cm. Para calcular a área do círculo use a fórmula A = ™ r£ e, para facilitar os cálculos, tome ™ como 22 / 7. a) Qual é a área da região pintada de verde? b) Qual é a porcentagem de área da região pintada de amarelo, em relação à área total da Bandeira? Dê sua resposta com duas casas decimais depois da vírgula.

11. (Unicamp 98) Os lados de um triângulo medem 5, 12 e 13cm. a) Calcule a área desse triângulo. b) Encontre o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.

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12. (Ita 98) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4cm e 6cm, então, a área deste paralelogramo, em cm£, vale: a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5

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13. (Cesgranrio 90) Se, no trapézio retângulo ABCD da figura adiante, AB=BC=3 e ‘=™/3, então a sua área vale: a) 3(3 + Ë3/2). b) 3(5 - Ë3/2). c) 3(4 + Ë2/3). d) 3(5 - Ë2/3). e) 6(3 - Ë2/3).

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14. (Cesgranrio 91) O triângulo ABC está inscrito em círculo cujo diâmetro BC mede 1 e cujos ângulos satisfazem a condição ï=2ð, conforme se vê na figura. A área desse triângulo ABC vale:

a) (3Ë3)/8. b) (2Ë3)/5. c) Ë(3)/5. d) Ë(3)/6. e) Ë(3)/8.

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15. (Cesgranrio 91) Seja D o ponto médio do lado AB do triângulo ABC. Sejam E e F os pontos médios dos segmentos DB e BC, respectivamente, conforme se vê na figura. Se a área do triângulo ABC vale 96, então a área do triângulo AEF vale:

a) 42. b) 36. c) 32. d) 30. e) 28.

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16. (Cesgranrio 92) No futebol de salão, a área de meta é delimitada por dois segmentos de reta (de comprimento de 11m e 3m) e dois quadrantes de círculos (de raio 4m), conforme a figura. A superfície da área de meta mede, aproximadamente,

a) 25 m£ b) 34 m£ c) 37 m£ d) 41 m£ e) 61 m£

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17. (Cesgranrio 98) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de centro 0. Sabe-se que BC=5cm, AC=10cm e que os pontos A e B são diametralmente opostos. A área do círculo determinado por esta circunferência, em cm£, é igual a: a) 125™/8 b) 125™/4 c) 125™/2 d) 125™ e) 250™

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18. (Fatec 97) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito num triângulo retângulo ABC, reto em Â.

Se os catetos do triângulo medem 3cm e 4cm, então a área do quadrado, em centímetros quadrados, é igual a a) 169/49 b) 144/49 c) 100/49 d) 81/49 e) 25/49

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19. (Fatec 98) Na figura a seguir tem-se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm. Os pontos A e B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45° A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a a) 3/4 . (™ - Ë2/2) b) 3/2 . (™/4 - Ë3) c) 9/4 . (™/2 - Ë2) d) 9/2 . (™/4 - Ë2) e) 9/2 . (™/2 - 1)

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20. (Fei 97) Uma chapa metálica de formato triangular (triângulo retângulo) tem inicialmente as medidas indicadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao lado que corresponde à hipotenusa do triângulo) representado pela linha pontilhada, de modo que sua área seja reduzida à metade. Quais serão as novas medidas x e y?

a) x = 30 cm, y = 20 cm b) x = 40 cm, y = 30 cm c) x = 30Ë2 cm, y = 20Ë2 cm d) x = 20Ë2 cm, y = 30Ë2 cm e) x = 90Ë2 cm, y = 60Ë2 cm

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21. (Fuvest 98) Considere o quadrado ABCD inscrito na semicircunferência de centro na origem. Se (x, y) são as coordenadas do ponto A, então a área da região exterior ao quadrado ABCD e interior à semicircunferência é igual a

a) ( 5™/2 - 4 ) x£ b) x£ + y£ c) ( 5™ - 4 ) x£ d) ( 5™/2 - 2 ) x£ e) ™x£ - y£

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22. (Fuvest 99) Os quadrados da figura têm lados medindo 10cm e 20cm, respectivamente. Se C é o centro do quadrado de menor lado, o valor da área hachurada, em cm£, é: a) 25 b) 27 c) 30 d) 35 e) 40

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23. (Fuvest 99) Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e medidas:

Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a åæ. Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, deverá ser: a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

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24. (Ita 97) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2cm. Sejam ‘ e ’, respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm£) igual a a) 2sen£‘ cotg’ + sen 2‘ b) 2 sen£‘ tg ’ - sen 2‘ c) 2cos£‘ cotg ’ + sen 2‘ d) 2cos£‘ tg ’ + sen 2‘ e) 2sen£‘ tg ’ - cos 2‘

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25. (Mackenzie 97) Na figura, a circunferência de centro O tem raio 6, ‘ = arc tg 1/2 e C é ponto de tangência. Então a área do triângulo ABC é igual a:

a) 36 b) 38,4 c) 40 d) 40,5 e) 42

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26. (Mackenzie 97) O eixo das abscissas, a reta x - 2 = 0 e os pontos (x, y) do plano tais que

ýx -1 + cos t = 0 þ ÿy + 2 - 2cos t = 0;

0´ t ´™, limitam uma região de área: a) 6 b) 2 c) 5/2 d) 4 e) 8

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27. (Mackenzie 97) Na figura, tg’ = 2 - Ë3 e ‘ + ’ = 60°. Então a área do triângulo assinalado é:

a) 2 + Ë3 b) 1 + Ë3 c) (2+Ë3)/2 d) (4+Ë3)/2 e) (1+Ë3)/2

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28. (Mackenzie 97) Os pontos (x, y) do plano tais que

ýy ´ 10, ¯x þx µ 4, ¯y ÿy µ x + 2

definem uma região de área: a) 12 b) 10 c) 8 d) 14 e) 16

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29. (Mackenzie 97) O valor mais próximo da área da região assinalada a seguir é:

a) 30 b) 25 c) 20 d) 16 e) 18

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30. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, supondo ™=3, a área do círculo inscrito no triângulo isósceles é 108. Então, a área da região assinalada é: a) 72 b) 80 c) 84 d) 90 e) 96

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31. (Mackenzie 98) Na figura a seguir, A, B e C são centros de circunferências iguais. Se a área do trapézio assinalado é 3, então a área do retângulo vale: a) 4 + 4 Ë3 b) 8 + 4 Ë3 c) 8 + 8 Ë3 d) 4 + 8 Ë3 e) 8 + Ë3

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32. (Puccamp 97) Na figura a seguir tem-se um terreno retangular no qual pretende-se construir um galpão cujo lado deve medir x metros.

Se a área da parte sombreada é 684 m£, o lado do galpão mede, em metros, a) 8,5 b) 8 c) 7,5 d) 6 e) 4,5

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33. (Puccamp 98) Um tanque tem a forma de um prisma reto de base quadrada e está totalmente cheio d'água. Se a aresta de sua base mede 2m e a altura mede 0,9m, quantos litros d'água devem ser retirados do seu interior para que o líquido restante ocupe os 2/3 de sua capacidade? a) 120 b) 240 c) 1.200 d) 2.400 e) 12.000

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34. (Puccamp 98) As três paredes (duas laterais e uma no fundo) de uma banca de jornais serão pintadas com tinta esmalte. Algumas dimensões da banca aparecem na figura a seguir.

A parede do fundo é retangular e as outras duas são trapézios retângulos congruentes. Cada lata da tinta usada permite pintar 4m£. Nessas condições, a quantidade de tinta necessária para executar a tarefa é a) 4 latas e meia. b) 5 latas. c) 5 latas mais 1/4 de lata. d) 5 latas e meia. e) 5 latas mais 3/4 de lata.

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35. (Pucmg 97) A medida da área do quadrilátero ABCD, em unidades de área, é:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 18 e) 24

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36. (Pucmg 97) O comprimento de uma circunferência é o quádruplo do perímetro de um quadrado. A razão entre a área do quadrado e a área do círculo é: a) ™/64 b) ™/72 c) ™/80 d) ™/120 e) ™/128

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37. (Pucmg 97) As retas y = x + 1 e x = 2 formam, com os eixos coordenados, o trapézio OABC. A medida da área desse quadrilátero, em unidades de área, é:

a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0

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38. (Pucmg 97) Na figura, M é o ponto médio de AB, e MN é paralelo a AC. S• é a medida da área do triângulo MBN, e S‚, a do triângulo ABC. O valor da razão S /S‚ é:

a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/4 e) 1/5

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39. (Uel 98) Considere todos os triângulos que têm dois lados de medida 2cm, formando um ângulo de medida x graus. O menor valor de x para o qual a área do triângulo é igual a Ë3cm£ é a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 90

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40. (Ufmg 97) Observe a figura.

Nela, circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA congruentes. O valor da área sombreada, em função de r, é: a) r£ (™ - 2) b) 2r£ (™ - 1) c) 2r£ d) r£ (™ - 1)

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41. (Ufmg 97) Observe a figura.

Nela, a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das circunferências menores, C , C‚, Cƒ, C„, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito. Os centros de C , C‚, Cƒ e C„ estão em diâmetros de C perpendiculares a lados do quadrado. A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é: a) 8™ (3+2Ë2) b) ™ (3+2Ë2) c) ™ (3-2Ë2) d) 2™ (3-2Ë2)

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42. (Ufmg 98) Observe a figura.

Nessa figura, ABCD é um quadrado de lado 1, EF=FC=FB e DE=1/2.

A área do triângulo BCF é a) 3/16 b) 1/5 c) 1/6 d) (Ë3)/4

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43. (Ufmg 98) Observe a figura.

Nessa figura, está representando um canteiro retangular de 6 m de largura por 10 m de comprimento, cercado por um passeio de largura constante.

Se a área do passeio é de 36 m£, a medida de sua largura, em metros, é a) 1,5 b) 1 c) 2 d) 0,5

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44. (Ufrs 97) A altura de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência é 2Ë3cm. A razão entre a área desse triângulo e a área de um quadrado inscrito nessa mesma circunferência é a) Ë3/4 b) (3Ë3)/4 c) 3/8 d) Ë3/8 e) (3Ë3)/8

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45. (Unb 97) Na figura adiante, ABCD é um paralelogramo, DQ é perpendicular à reta que contém BC e o segmento CP é perpendicular a AB.

Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.

(1) A medida de AP é igual a 2 cm.

(2) O triângulo CDQ é semelhante ao triângulo BCP. (3) A medida de DQ é igual a 8 cm.

(4) A área do trapézio ABQD é igual a 144 cm£.

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46. (Unesp 97) A figura foi obtida mediante rotações de 60°, 120°, 180°, 240° e 300° aplicadas a um quadrado cujos lados medem 1dm, em torno de um mesmo vértice desse quadrado e num mesmo sentido.

A área da região escura é. a) 1 - 2tg (15°). b) tg (30°). c) 1 - 4tg (15°). d) 1 - tg (30°). e) 1 - tg (15°).

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47. (Unesp 97) A área de um triângulo isósceles é 4Ë15 dm£ e a altura desse triângulo, relativa à sua base, mede 2Ë15 dm. 0 perímetro desse triângulo é igual a a) 16 dm. b) 18 dm. c) 20 dm. d) 22 dm. e) 23 dm.

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48. (Unesp 98) Considere um quadrado ABCD cuja medida dos lados é 1dm. Seja P um ponto interior ao quadrado e eqüidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado DA.

Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é a) 2/3 dm. b) 2/5 dm. c) 3/5 dm. d) 1/2 dm. e) 4/7 dm.

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49. (Unesp 99) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando ™ = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado. a) 1244. b) 1256. c) 1422. d) 1424. e) 1444.

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50. (Unirio 96)

A área da figura hachurada é: a) 100 m£ b) 132 m£ c) 140 m£ d) 144 m£ e) 156 m£

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GABARITO

1. a) (3Ë2)/2 b) 21/2

2. a) x - 2y = -3 b) 81/20

3. a) r = Ë(3/2) b) A = 3 - Ë3

4. S /S‚ = 1

5. x = 1 ou x =2

6. Seja ‘ = BAC. Temos que Área(ABC)=(b×c×sen‘)/2 Da mesma forma, Área(ARS)=(p×q×sen‘)/2 Logo Área(ARS) / Área(ABC) = p . q / b . c

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7. d = 5m

8. 51 dm

9. 37 cm£

10. a) 19202 cm£ b) 17,67 %

11. a) 30 cm£ b) 2 cm

12. [E]

13. [A]

14. [E]

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15. [B]

16. [C]

17. [B]

18. [B]

19. [C]

20. [C]

21. [A]

22. [A]

23. [D]

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24. [A]

25. [B]

26. [D]

27. [E]

28. [C]

29. [D]

30. [C]

31. [B]

32. [D]

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33. [C]

34. [C]

35. [B]

36. [A]

37. [C]

38. [D]

39. [C]

40. [A]

41. [D]

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42. [A]

43. [B]

44. [E]

45. F V V V

46. [A]

47. [C]

48. [B]

49. [E]

50. [B]

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