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GEOMETRIA PLANA: ÁREAS E PERÍMETROS

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 4 QUESTÕES. (Faap 96) Uma folha de papel quadrada tem área igual a 1 metro quadrado. Um canto do papel deverá ser dobrado sobre si mesmo, conforme a figura adiante:

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1. Nessas condições, podemos expressar a área do triângulo APQ em função de AP:

a) A = - (AP)£ + AP + 1 b) A = - (AP)£ + AP c) A = - (AP)£/2 + AP/2 d) A = (AP)£ - (AP)/2 e) A = (AP)£/2 + (AP)

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2. Nessas condições o valor de AP (em metros) que dá o maior valor da área do triângulo APQ é:

a) 1/2 b) 3/4 c) 3/2 d) 1/3 e) 2/3

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3. Nessas condições, o maior valor da área (em m£) do triângulo APQ é:

a) 3/8 b) 5/8 c) 7/8 d) 9/8 e) 1/8

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4. Nessas condições, determine o valor de PQ.

a) 1/2 b) Ë3 c) Ë3/2 d) Ë2/2 e) 3/2

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Faap 97) Uma chapa de metal circular, com 1m de raio, ficou exposta ao sol. Em consequência, sofreu uma dilatação de 1% na dimensão do raio. (Considerar ™=3,14)

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5. A área dessa chapa após a dilatação (em m£) é: a) 3,14 b) 3,32 c) 3,10 d) 3,20 e) 3,45

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2001)

1.

Visões do multimundo

Agora que assinei a TV a cabo, pressionado pelos filhos adolescentes (e pela

curiosidade minha, que não lhes confessei), posso "ampliar o mundo sem sair da poltrona". Foi mais ou menos isso o que me disse, em tom triunfal, a prestativa atendente da empresa, com aquela vozinha treinada que imita à perfeição uma secretária eletrônica. Não é maravilhoso você aprender a fazer um suflê de tubérculos tropicais ou empadinhas e em seguida saltar para um documentário sobre o tribunal de Nuremberg? Se Copérnico (ou foi Galileu?) estivesse vivo, reformularia sua tese: o sol e a terra giram em torno da TV a cabo.

2.

Aprendo num programa que elipses e hipérboles (além de serem figuras de linguagem)

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têm a ver com equações reduzidas... Num outro me garante um economista que o nacionalismo é uma aberração no mundo globalizado (será que isso vale também para as nações do Primeiro Mundo?). Tenho que ir mais devagar com este controle remoto (que, aliás, nunca saberei exatamente como funciona: nem fio tem!).

3.

Um filme do meu tempo de jovem: "Spartacus", com Kirk Douglas. Roma já não era,

àquela época, um centro imperial de globalização? Escravos do mundo, uni-vos! - conclamaria algum Marx daqueles tempos, convocação que viria a ecoar também em nosso Palmares, tantos séculos depois. Não deixo de me lembrar que, em nossos dias, multidões de expatriados em marcha, buscando sobreviver, continuam a refazer o itinerário dos vencidos.

4.

Para as horas de insônia, aconselho assistir a uma partida de golfe. Um verde hipnótico

preenche a tela, os movimentos são invariavelmente lentos, cada jogador avalia cuidadosamente a direção do vento, a topografia, os detalhes do terreno, só então escolhendo um tipo de taco. Tudo tão devagarzinho que a gente dorme antes da tacada. Se a insônia persistir, apele para um debate entre especialistas nada didáticos em torno de um tema que você desconheça. Tudo o que sei de genética, por exemplo, e que se resume às velhas leis de Mendel, em nada me serviu para entender o que sejam DNA, doença molecular e citogenética - conceitos que dançaram na boca de dois cientistas que desenvolvem projeto acerca do genoma humano, entrevistados por um repórter que parecia tão perplexo quanto eu.

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Igualmente obscura foi uma outra matéria, colhida numa mesa-redonda da SBPC: o tema era a unificação da Física quântica com a teoria da relatividade (!) - o que foi feito do pobre Newton que aprendi no meu colegial?

5.

Um canal de São Paulo mostra que no centro do "campus" da USP, numa grande área

até então descuidada, desenvolve-se um projeto de amostragem da vegetação típica de várias partes do Brasil, de modo que um passante transite de um trechinho de mata atlântica para um cerrado, deste para um recorte de pampa gaúcho ou de caatinga. A idéia me pareceu interessante, deixando-me a vaga impressão de estar ali um "museu da natureza", já que o homem vem se aplicando, por razões ou interesses de toda ordem, em desfigurar ou alterar inteiramente os traços fisionômicos da paisagem original. Que nenhuma "chuva ácida" ou lixo químico venha a comprometer esse projeto.

6.

Aprendo também que a TV a cabo e a aberta têm algo em comum: ambas me incitam à

geladeira. O correto seria parar no armário e me contentar com o insosso tabletinho de fibras que o médico me recomendou; mas como resistir ao restinho do pudim, que meu filho ainda não viu? Quero acreditar que os alimentos gelados perdem toda a caloria, e que aquela costeletinha de porco no "freezer", depois de passar pelo microondas, torna-se tão inofensiva quanto uma folha de alface... Com tais ilusões, organizo meu lanchinho e o levo para a sala, pronto para fazer uma refeição tão segura quanto a prescrita pela NASA aos astronautas.

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7.

Confesso que a variedade de opções vai me atordoando. Para mim, que gosto de

poesia, é um prazer poder estacionar na BBC: ninguém menos que o saudoso Lawrence Olivier está lendo e comentando alguns poemas ingleses. Que expressão deu o grande ator a um poema de William Blake, que tanto admiro. Mas há quem ache haver tanta poesia em versos quanto numa bem bolada frase de propaganda.

8.

Já muito tarde da noite, o Multishow apresenta uma série sobre os grandes

compositores. Um maestro alemão expõe suas idéias acerca da música de Bach, discorrendo sobre as supostas bases matemáticas de suas composições, nas quais figuram as seqüências, os arranjos e as combinações. Para alívio meu, no entanto, o maestro também lembrou que a música de Bach se produziu em meio a injunções históricas do final do século XVII e a primeira metade do século XVIII, época na qual o mecenato e a religião eram determinantes, senão para o conteúdo mesmo, ao menos para os modos de produção e divulgação das artes - antes que as revoluções da segunda metade do século viessem a estabelecer novos eixos para a política, para a economia e para a cultura do Ocidente.

9.

Finda a bela execução de uma sonata de Bach, passeei por desenhos animados quase

inanimados, leilões de tapetes, liquidação de camisas, corrida de cavalos, um professor de cursinho falando sobre eletrólise e anunciando que no segmento seguinte trataria de cadeias carbônicas... Dei uma paradinha no que imaginei ser uma descontraída e inocente reportagem

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sobre o mundo animal e que era, no entanto, uma aula sobre a digestão dos insetos, em cujo conhecimento pesquisadores se apoiaram para criar plantas transgênicas que resistem ao ataque de espécies indesejadas... Ufa! Corri a buscar repouso num seriado cômico norte-americano, desses com risadas enlatadas e pessimamente traduzidos: sabem qual era a legenda para a frase entre duas pessoas se despedindo, "Give me a ring"? Nada mais, nada menos que: "Dê-me um anel"! Sem falar no espanto de encontrar a Xica da Silva falando em espanhol na TV americana!

10.

Morto de tantas peregrinações, desliguei a TV, reduzindo o mundo à minha sala de

visitas. Na minha idade, até as viagens virtuais são cansativas.

(Cândido de Castro, inédito)

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6. Um especialista explicou que, em um campo de golfe, cada buraco está localizado em um "green", um trecho com formato ovalado ou circular, com diâmetro de aproximadamente 18m, coberto de grama especial cuidadosamente aparada. Supondo que o formato seja circular e o terreno seja plano, a área de um "green" é de, aproximadamente,

Use: ™=3,14

a) 240 m£ b) 245 m£ c) 250 m£ d) 255 m£ e) 260 m£

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7. (Unifesp 2004) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm£ e 600 cm£, respectivamente.

A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 - x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B.

a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A. b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.

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8. (Ufpe 2005) A função f(x) com domínio no intervalo [0,3] tem seu gráfico esboçado a seguir.

O gráfico é composto do segmento com extremos nos pontos (0,1) e (1,2) e da semicircunferência passando pelos pontos (1,2), (2,1) e (3,2).

Considerando esses dados, analise as afirmações abaixo. (

) A imagem da função f é o intervalo [0,2].

(

) O valor máximo de f é 3.

(

) O comprimento do gráfico de f é (Ë2) + ™.

(

) Para x no intervalo [1, 3] temos f(x) = 2 + Ë[1 - (x - 2)£].

(

) A área da região limitada pelo gráfico de f, os eixos coordenados e a reta x = 3 é (11-™)/2.

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9. (Fuvest 2005) Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = logŠx, com n > 1 (figura a seguir). Suponha que B = (x, 0), C = (x + 1, 0) e A = (x - 1, 0). Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é----- split ---> a) (1/2) + [(Ë5)/2] b) 1 + [(Ë5) /2] c) (1/2) + Ë5 d) 1 + Ë5 e) (1/2) + 2Ë5

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10. (Pucsp 2004) Pretende-se dividir um salão de forma retangular em quatro salas, também retangulares, como mostra a figura abaixo.

Se A , A‚, Aƒ e A„ são as áreas das salas pretendidas e considerando que A + A‚ + Aƒ = 36 m£, A• - A‚ = 12 m£ e Aƒ = 2 . A‚, a área da quarta sala, em metros quadrados, é a) 4 b) 4,5 c) 4,8 d) 5 e) 5,5

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11. (Fgv 97) No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são A (5,2), B (1,3) e C (8,-4). a) Obtenha a medida da altura do triângulo, que passa por A. b) Calcule a área do triângulo ABC.

12. (Ita 98) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4cm e 6cm, então, a área deste paralelogramo, em cm£, vale: a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5

13. (Fuvest 99) A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P=(1, 2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente, a) determine a equação de s. b) calcule a área do triângulo ABC.

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14. (Ufrs 98) Um círculo com centro C=(2,-5) tangencia a reta de equação x-2y-7=0. O valor numérico da área da região limitada pelo círculo é a) 4™ b) 5™ c) 6™ d) 7™ e) 8™

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15. (Fuvest 2004) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:

a) Ë5 - 1 b) 5 - 2Ë2 c) 5 - Ë2 d) 2 + Ë5 e) 5 + 2Ë2

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16. (Ufrrj 2004) Esboce graficamente as retas y = x - 1, y = x - 3, y = - x + 1 e y = 1 e determine a ĂĄrea da regiĂŁo delimitada por estas retas.

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17. (Uerj 97) Observe as regiões hachuradas do plano cartesiano, que correspondem aos pontos que satisfazem o sistema de inequações a seguir:

Calcule: a) o ângulo formado entre as retas r e s. b) a área total das regiões hachuradas.

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18. (Ufpr 2001) Na figura abaixo está representada uma circunferência de raio 6 e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Dados A(6, 0), M(3, 0) e B(0, 6) e sendo P o ponto de interseção da circunferência com a reta que contém M e é perpendicular ao segmento OA, é correto afirmar:

(01) A equação da reta que contém A e B é x+y+6=0.

(02) A equação da circunferência é x£+y£=36.

(04) A área do triângulo OMP é igual a 9Ë3.

(08) A área da região hachurada é igual a (12™-9Ë3)/2.

(16) A distância de P a M é menor que 6.

(32) Os segmentos OA e OP formam ângulo de 45°.

Soma (

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)

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19. (Uem 2004) Considere o paralelogramo MNPQ. Os vértices M e N desse paralelogramo são determinados pelas interseções entre a reta r de equação y = -x -1 e a circunferência C de equação (x - 1)£ + (y + 1)£ = 1, sendo que o ponto M está sobre o eixo das ordenadas e o vértice Q tem coordenadas (2,1).

Nessas condições, é correto afirmar que 01) o outro vértice do paralelogramo está sobre o eixo OX. 02) o paralelogramo é um retângulo.

04) as diagonais do paralelogramo se interceptam nos seus pontos médios.

08) a área do paralelogramo é maior que a área do círculo de circunferência C dada.

16) a medida da diagonal desse paralelogramo é maior que 3 unidades de comprimento.

32) o centro da circunferência está no exterior do paralelogramo.

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20. (Unicamp 2005) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A(0,0), B(100,0), C(60,40) e D(0,40), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo de cada antena é de 20 km, pergunta-se: a) O ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários. b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora?

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21. (Unifesp 2004) Na figura, estão representados, no plano cartesiano xOy, a reta de equação y = 2kx, 0 ´ k ´ 3/2, a parábola de equação y = - x£ + 3x e os pontos O, P e Q de intersecções da parábola com o eixo Ox e da reta com a parábola.

Nestas condições, o valor de k para que a área do triângulo OPQ seja a maior possível é: a) 1/2. b) 3/4. c) 9/8. d) 11/8. e) 3/2.

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22. (Ufrs 98) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área cresce a) 14 % b) 14,4 % c) 40 % d) 44 % e) 144 %

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23. (Uff 2000) Na figura, MNPQ é um retângulo, MNUV é um paralelogramo, as medidas de MQ e MV são iguais e 0°<‘<45°

.

Indicando-se por S a área de MNPQ e por S' a área de MNUV, conclui-se que: a) S = S' sen ‘ b) S'= S c) S' = S cos ‘ d) S = S' cos ‘ e) S'= S sen ‘

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24. (Ufscar 2001) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir.

a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo A (formado pelos lados AC e AB).

b) Deduza a fórmula que dá a área SÛ½Ý do triângulo, em função de b e c (comprimentos, respectivamente, dos lados AC e AB) e do ângulo A.

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25. (Ufv 2001) Seja AB o diâmetro de uma circunferência de raio r, e seja C um ponto da mesma, distinto de A e B, conforme figura a seguir.

a) Sendo o ângulo AïC=’, determine a área do triângulo ABC, em função de ’ e r.

b) Esta área é máxima para qual valor de ’.

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26. (Ufv 2004) Duas placas metálicas, medindo 4 cm de largura e 6 cm de comprimento, estão sobrepostas e fixadas no ponto médio M. Com um giro de 45° em uma das placas, obtém-se uma região poligonal comum às duas placas, conforme ilustra a figura a seguir.

A área dessa região poligonal, em cm£, é: a) 1 + 4Ë2 b) 4 + 4Ë2 c) 5 + 4Ë2 d) 2 + 4Ë2 e) 3 + 4Ë2

27. (Fuvest 94) a) Calcule sen15°. b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1.

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28. (Ufrj 99) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo ‘ mede 120°.

a) Determine o raio da circunferência circunscrita. b) Determine a área do polígono.

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29. (Ufes 99) No triângulo ABC da figura, temos AD=CF=BE=2cm e DC=FB=EA=(1+Ë3)cm.

Calcule a medida, em graus, do ângulo AÊD e a área do triângulo DEF.

30. (Uerj 2001) Um triângulo acutângulo ABC tem 4cm£ de área e seus lados åæ e åè medem, respectivamente, 2cm e 5cm.

Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área.

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31. (Ufu 99) A área da região do primeiro quadrante delimitada pelas retas, que são soluções da equação cos(x+y)=0, com 0´x+y´2™, é igual a a) ™£ unidades de área. b) 4™£ unidades de área. c) 3™£ unidades de área. d) 8™£ unidades de área. e) 2™£ unidades de área.

32. (G1) (FAAP) As bases de um trapézio são 80cm e 60cm e sua altura 40cm. A 10cm da base maior, traça-se uma paralela às bases, que determina dois trapézios. Qual é a área de cada um?

33. (Puc-rio 99) A área máxima de um paralelogramo com lados a, b, a, b é: a) a£ + b£. b) 2 ab. c) ab. d) a + b. e) a/b.

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34. (Unicamp 2002) Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:

a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.

b) Calcular a área do triângulo ABC.

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35. (Ufg 2005) Em um terreno triangular, com 1200 m£ de área, um dos lados mede 60 m.

Deseja-se construir, nesse terreno, um galpão, cuja base retangular tem 504 m£ de área, conforme a figura a seguir.

Se os vértices da base do galpão estão sobre os lados do terreno, o menor perímetro possível da base do galpão, em metros, é a) 90 b) 92 c) 100 d) 110 e) 128

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36. (Udesc 96) DETERMINE as áreas dos triângulos ABM e BCM. COMENTE estes resultados comparados com a área total.

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37. (Uel 2003) Tome uma folha de papel em forma de quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme a Figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o "lado" AB (Figura 2). Seja D' esta nova posição do vértice D e x a distância de A a D'.

A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é: a) A = (- x¤ + 441x) / 42 b) A = (x¤ - 441x) / 84 c) A = (- x¤ + 441x) / 84 d) A = (441 - x£) / 84 e) A = (441 - x£) / 42

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38. (Uerj 2004) No triângulo ABC abaixo, os lados BC, AC e AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonalmente no ponto G.

Conhecidos a e b, determine: a) o valor de c em função de a e b; b) a razão entre as áreas dos triângulos ADG e BEG.

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39. (Uerj 2004) Unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo ABC, obtém-se um novo triângulo A'B'C', como mostra a figura.

Se S e S' são, respectivamente, as áreas de ABC e A'B'C', a razão S/S' equivale a: a) 4 b) 2 c) Ë3 d) 3/2

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40. (Fuvest 94) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6cm. Então a área do triângulo ABC, em cm£, vale: a) 24 b) 12 c) 5Ë3 /2 d) 6Ë2 e) 2Ë3

41. (Unesp 94) O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km£. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre: a) 200 m e 201 m. b) 220 m e 221 m. c) 401 m e 402 m. d) 632 m e 633 m. e) 802 m e 803 m.

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42. (Unicamp 94) Em um quadrilátero convexo ABCD, a diagonal AC mede 12cm e os vértices B e D distam, respectivamente, 3cm e 5cm da diagonal AC. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a área do quadrilátero.

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43. (Fuvest 95) No quadrilátero ABCD a seguir, AïC=150°, AD=AB=4cm, BC=10cm, MN=2cm, sendo M e N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm£, da área do triângulo BCD é: a) 10. b) 15. c) 20. d) 30. e) 40.

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44. (Ita 95) Considere C uma circunferência centrada em O e raio 2r, e t a reta tangente a C num ponto T. Considere também A um ponto de C tal que o ângulo AOT = š é um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que o segmento AB é paralelo ao segmento OT, então a área do trapézio OABT é igual a a) r£(2 cosš-cos 2š) b) 2r£(4 cosš-sen 2š) c) r£(4 senš-sen 2š) d) r£(2 senš+ cosš) e) 2r£(2 sen 2š- cos 2š)

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45. (Pucsp 95) Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é: a) 98. b) 102. c) 108. d) 112. e) 120.

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46. (Unesp 95) Na figura adiante, ABCD é um quadrado de lado a. Tomando-se E e G nos prolongamentos da diagonal åè e F e H nos prolongamentos da diagonal æî, com EA=AC=CG e FB=BD=DH, determine a área do octógono AFBGCHDE em função de a.

47. (Fuvest 95) A, B e C são pontos de uma circunferência de raio 3cm, AB=BC e o ângulo AïC mede 30°. a) Calcule, em cm, o comprimento do segmento AC. b) Calcule, em cm£, a área do triângulo ABC.

48. (Unicamp 95) Um triângulo escaleno ABC tem área igual a 96m£. Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Faça uma figura e calcule a área do quadrilátero BMNC.

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49. (Unesp 95) A figura adiante mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento.

Sabe-se que duas paredes contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB=2,5m, BC=1,2m, EF=4,0m, FG=0,8m, HG=3,5m e AH=6,0m.

Qual a área dessa sala em metros quadrados? a) 37,2. b) 38,2. c) 40,2. d) 41,2. e) 42,2.

50. (Unesp 94) A área de um triângulo retângulo é 12dm£. Se um dos catetos é 2/3 do outro,

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calcule a medida da hipotenusa desse triângulo.

51. (Unesp 94) Corta-se um pedaço de arame de 12dm em duas partes e constrói-se, com cada uma delas, um quadrado. Se a soma das áreas é 5dm£, determine a que distância de uma das extremidades do arame foi feito o corte.

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52. (Unitau 95) No triângulo eqüilátero ABC indicado na figura a seguir, o segmento åî é 60cm. Calcule a área da coroa circular formada pelas duas circunferências.

a) 2¦ × 10£™ cm£. b) 3¤ × 10£™ cm£. c) 2¤ × 10¤™ cm£. d) 3£ × 10£™ cm£. e) 2 × 3 × 10£™ cm£.

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53. (Unitau 95) Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a รกrea da parte preenchida?

a) 100. b) 20. c) 5. d) 10. e) 14.

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54. (Unitau 95) A área de uma elipse de semi-eixos a e b é dada pela fórmula: a) S = a£ + b£. b) S = (a£ + b£) ™. c) S = a£b£ d) S = ™a/b. e) S = ™ab.

55. (Unitau 95) Os raios da base de um tronco de cone são R e r(com R>r). Se a área lateral do mesmo é igual à soma das áreas das bases, então a sua altura h é: a) (R£ + r£)/(R - r). b) (R£ - r£)/(R - r). c) (R£ + r£)/(R + r). d) (R£)/(R + r). e) (3r£)/(R - r).

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56. (Fuvest 91) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total do terreno? a) 30 %. b) 36 %. c) 40 %. d) 45 %. e) 50 %.

57. (Unicamp 91) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1:50, as dimensões de uma sala retangular são 10cm e 8cm. Calcule a área real da sala projetada.

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58. (Unicamp 91) Considere dois quadrados congruentes de lado 4cm. O vértice de um dos quadrados está no centro do outro quadrado, de modo que esse quadrado possa girar em torno de seu centro. Determine a variação da área obtida pela intersecção das áreas dos quadrados durante a rotação.

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59. (Unesp 91) Na figura adiante, VABC é um tetraedro tal que os três ângulos das faces em V são retos e as arestas VA, VB e VC têm a mesma medida 2a. Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que pertencem: a) Provar que MNPQ é um retângulo. b) Determinar a área de MNPQ.

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60. (Unesp 92) O ângulo central AÔB referente ao circulo da figura adiante mede 60° e OX é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC e OC=Ë5cm, calcular a área da figura hachurada.

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61. (Unesp 92) A figura adiante mostra um triângulo equilátero ABC. Se AM=MP=PB, AN=NQ=QC e BH=HC, prove que os triângulos HMN e HPQ têm a mesma área.

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62. (Unesp 92) A curva da figura a seguir representa o gráfico da função y=log‹x(i>1). Dos pontos B=(2,0) e C=(4,0) saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em D e E, respectivamente. Se a área do trapézio retangular BCED vale 3, provar que a área do triângulo ABD, onde A=(1,0), vale 1/2.

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63. (Fuvest 93) a) Calcule a área do quadrilátero inscrito numa circunferência de raio unitário, como indicado na figura a seguir. b) Expresse essa área em função de m = cos 18°.

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64. (Unicamp 93) No canto A de uma casa de forma quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-se um contorno no chão, em volta da casa, até que a extremidade livre toque a parede CD. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada pelo traçado da estaca.

65. (Unicamp 93) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo.

Mostre que a área do retângulo é o dobro da área do losango.

66. (Unicamp 93) Prove que a soma das distâncias de um ponto qualquer do interior de um triângulo eqüilátero a seus três lados é igual à altura desse triângulo.

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67. (Unesp 93) Considere o triângulo retângulo isósceles ABC (reto em B) e o trapézio retângulo EFCD cujos ângulos internos retos são os dos vértices F e C, conforme a figura a seguir. Sabe-se que a medida do segmento BF é igual a 8cm, do segmento DC é 4cm e que a área do trapézio EFCD é 30cm£.

A medida de åæ é: a) 12 cm b) 14 cm c) 16 cm d) 18 cm e) 20 cm

68. (Unesp 93) Certos registros históricos babilônicos indicam o uso de uma regra para o

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cálculo da área do círculo equivalente à fórmula (em notação atual) A=c£/12, onde c representa o comprimento da circunferência correspondente. Determine o valor de ™ ocultos nesses registros.

69. (Unicamp 96) A área A de um triângulo pode ser calculada pela fórmula:

A = Ë[p(p-a)(p-b)(p-c)]

onde a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o semi-perímetro. a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros. b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede 21 centímetros.

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70. (Cesgranrio 95) ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio do lado AB. As retas CM e BD dividem o paralelogramo em quatro partes. Se a área do paralelogramo é 24, as áreas de I, II, III e IV são, respectivamente, iguais a:

a) 10, 8, 4 e 2. b) 10, 9, 3 e 2. c) 12, 6, 4 e 2. d) 16, 4, 3 e 1. e) 17, 4, 2 e 1.

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GABARITO

1. [C]

2. [A]

3. [E]

4. [D]

5. [D]

6. [D]

7. a) f(x) = -x£ + 50x, com 0 < x < 50. b) 625 cm£

8. F F V F V

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9. [A]

10. [A]

11. a) (3Ă&#x2039;2)/2 b) 21/2

12. [E]

13. a) x - 2y = -3 b) 81/20

14. [B]

15. [B]

16. Observe a figura abaixo:

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A = A + A ‚ = 3 u.a.

17. a) 90° b) A = (1 + 2™) u.a./4

18. 02 + 08 + 16 = 26

19. itens corretos: 01, 02, 04, 08 e 16

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itens incorretos: 32

20. a) Não

b) 400 (8 - ™) km£

21. [B]

22. [D]

23. [E]

24. a) h = c . sen Â

b) SÛ½Ý = 1/2 . b . c . sen Â

25. a) A = r£ . sen (2’)

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b) ’ = 45°

26. [B]

27. a) sen 15° = (Ë6-Ë2)/4 b) A = 3 (Ë6 - Ë2) U. de área.

28. a) r = Ë(3/2) b) A = 3 - Ë3

29. AÊD = 45°, área = 3Ë(3)/2 cm£

30. 20 %

31. [A]

32. 2025 cm£ e 775 cm£

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33. [C]

34. a) 2,25 m

b) 7,8125 Ă&#x2039;3 mÂŁ

35. [B]

36. Observe a figura a seguir:

37. [C]

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38. a) c = Ë [ (a£ + b£)/5 ] b) S /S‚ =1, onde S e S‚ são, respectivamente, as áreas dos triângulos ADG e BEG.

39. [A]

40. [A]

41. [D]

42. a) Observe a figura adiante:

b) S = 48 cm£

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43. [C]

44. [C]

45. [D]

46. 3a£

47. a) AC = 3cm b) S = 9(2 + Ë3)/4 cm£

48. 72 m£

49. [E]

50. 2Ë13 dm

51. 4 dm de distância de uma das extremidades e 8dm da outra.

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52. [D]

53. [E]

54. [E]

55. [A]

56. [B]

57. 20 m£

58. Não há variação da área da intersecção, tem valor igual a 4cm£.

59. a)

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b) a£Ë2

60. 5(2™ - 3)/12

61. O ÐABC é equilátero e Ð ABC ~ Ð APQ ~ ÐAMN. AM = MN = x, AP = PQ = 2x.

Se 3y é a altura do triângulo ABC, então a altura do triângulo MNH é 3y - y = 2y e a altura do triângulo PQH é 3y - 2y = y. Portanto: área do triângulo HMN = 1/2.x.2y = xy e área do triângulo HPQ = 1/2.2x.y = xy, ou seja, a área do Ð HMN = área do Ð HPQ

62. Do gráfico, temos: D = (2; log‹ 2) e E = (4; log‹ 4)

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A área do trapézio BCDE é 3 , logo (BD+CE).BC/2=3Ì (log‹ 2 + log‹ 4)/2 = 3 Ì log‹2+log‹4 = 3 Ì log‹(2.4) = 3 Ì log‹ 8 = 3 Ì a¤=8Ì a = 2

Deste modo A = (1; log‹ 1) = (1,0) e D = (2;log‹ 2) = (2; 1).

A área do Ð ABD, retângulo em B, é (AB.BD)/2=1/2

63. a) S = cos 18° + sen 36° b) S = m [1+2Ë(1-m£)]

64. a) Observe a figura a seguir:

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b) A = 29 ™m£

65. Obseve a figura a seguir:

Sendo M, N, P, Q pontos médios dos lados do retângulo ABCD, os triângulos AMQ, BMN, CPN, DPQ, OQM, OQP, ONM e ONP são congruentes pelo critério LAL. Assim Soma de ABCD = 8 × Soma de OMQ Soma de MNPQ = 4 × Soma de OMQ logo Soma de ABCD = 2 × Soma de MNPQ

66. Observe a figura adiante:

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A soma das áreas dos triângulos PAB, PBC e CPA é igual a área do triângulo ABC. Assim: Øx/2 + Øy/2 + Øz = Ø.h/2 Ø/2(x + y + z) = Ø/2.hÌ x + y + z = h

67. [B]

68. ™ = 3

69. a) A = 84 cm£ b) h = 8 cm

70. [A]

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