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GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Faap 96)

"Fernando Henrique inaugura mostra da FAAP no Palácio do Itamaraty"

O Presidente Fernando Henrique Cardoso abriu a exposição "Modernistas, Modernismo", na noite de 4 de setembro, no Palácio do Itamaraty, em Brasília. A mostra é composta por 36 quadros do acervo da Fundação Armando Álvares Penteado (FAAP) e ficará no Ministério das Relações Exteriores até o próximo dia 26. Mais de 80 O pessoas foram à solenidade, que inaugurou as comemorações oficiais da Semana da Pátria. (...)

Em seu discurso, a presidente do Conselho de Curadores da FAAP, dimensionou o Modernismo num contexto abrangente: "Por detrás do encontro com a brasilidade nas telas, nas formas, nas letras, havia um grito dos modernistas, num clamor por um projeto nacional".

Estão expostos quadros de Anita Malfatti, Di Cavalcanti, Tarsila do Amaral e outros artistas, selecionados entre as mais de duas mil obras do Museu de Arte Brasileira (MAB) da FAAP. ("O Estado de São Paulo", 17/9/95)

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1. Um crítico de arte, olha, através de uma câmara escura que tem 50cm de comprimento, para um quadro pendurado de 3 metros de altura, cuja base está a 1,20 metros acima do solo, conforme a figura a seguir:

Sabendo-se que o quadro fornece uma imagem de 15cm. A distância "x" da câmara ao quadro (em metros) é: a) 15 b) 3 c) 8 d) 12 e) 10

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

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(Ufpe 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa.

2. Na figura a seguir os triângulos ÐABC e ÐA'B'C' são simétricos em relação à reta r, todos num mesmo plano. Analise as seguintes afirmativas:

(

) Os triângulos ÐABC e ÐA'B'C' não são semelhantes.

(

) Os triângulos ÐABC e ÐA'B'C' são congruentes.

(

) Os triângulos ÐABC e ÐA'B'C' têm áreas diferentes.

(

) O ângulo A tem medida diferente da do ângulo A'.

(

) A medida do lado AB é maior que a medida do lado A'B'.

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3. (Ufg 2006) Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0), B(0, 2), C(4, 2), D(4, 0) e E(x, 0) , onde 0 < x < 4. Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T• e T‚ , destacados na figura.

Para que a área do triângulo T seja o dobro da área de T‚ , o valor de x é: a) 2 - Ë2 b) 4 - 2Ë2 c) 4 - Ë2 d) 8 - 2Ë2 e) 8 - 4Ë2

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4. (Unesp 2004) Considere a circunferência x£ + (y - 2)£ = 4 e o ponto P(0, -3). a) Encontre uma equação da reta que passe por P e tangencie a circunferência num ponto Q de abscissa positiva. b) Determine as coordenadas do ponto Q.

5. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura.

A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3/4 e seny = 3/7. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE.

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6. (Fuvest 94) ABCD é um trapézio; BC=2, BD=4 e o ângulo AïC é reto.

a) Calcule a área do triângulo ACD. b) Determine AB sabendo que BV = 3VD.

7. (Unicamp 94) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.

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8. (Unesp 95) Um obelisco de 12m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.

9. (Fuvest 92) Na figura a seguir, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. Calcule a razão DE/BC.

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10. (Fuvest 92) Considere um cubo ABCDEFGH de lado 1 unidade de comprimento, como mostra a figura a seguir M e N são os pontos médios de åæ e èî, respectivamente. Para cada ponto P da reta AE seja Q o ponto de intersecção das retas PM e BF. a) Prove que ÐPQN é isósceles. b) A que distância do ponto A deve estar o ponto P para que o ÐPQN seja retângulo?

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11. (Fuvest 92) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante. a) Exprima y em função de x. b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?

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12. (Fuvest 92) Considere uma circunferência de centro O e raio 2cm tangente à reta t no ponto T. Seja x a medida do ângulo AÔT, onde A é um ponto da circunferência e 0<x<™/2.

Calcule, em função de x, a área do trapézio OABT sendo B o ponto da reta t tal que åæ é paralelo a OT.

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13. (Unicamp 92) Na figura adiante, åæ=åè=Ø é o lado do decágono regular inscrito em uma circunferência de raio 1 e centro O. a) Calcule o valor de Ø. b) Mostre que cos 36° = (1+Ë5)/4.

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14. (Fuvest 96) No triangulo ABC, AB = 20cm, BC= 5cm e o ângulo AïC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango, de área 8cm£. A medida, em graus do ângulo BNP é:

a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 75

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15. (Ufpe 96) Qual o n煤mero inteiro mais pr贸ximo do comprimento do segmento AB indicado na figura a seguir?

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16. (Unesp 89) Um homem sobe numa escada de 5 metros de comprimento, encostada em um muro vertical. Quando ele está num degrau que dista 3 metros do pé da escada, esta escorrega, de modo que a extremidade A se desloca para a direita, conforme a seta da figura a seguir e a extremidade B desliza para baixo, mantendo-se aderente ao muro.

Encontre a fórmula que expressa a distância h, do degrau em que está o homem até o chão em função da distância x, do pé da escada ao muro.

17. (Unesp 89) No triângulo retângulo ABC, o ponto médio da hipotenusa AC é P e o pé da perpendicular baixada de B sobre AC é Q. Mostre que: QP/BP=(BC/AC)£ - (AB/AC)£ BQ/BP=2(AB/AC).(BC/AC)

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18. (Unesp 89) Uma escada tem 25 degraus iguais. A altura, h, de cada degrau está para sua largura Ø, assim como 2 está para 5. O desnível entre o 5Ž degrau e o pé da escada, A, é 1 metro. Qual é a distância entre o pé da escada, A, e o topo da escada, B?

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19. (Unesp 90) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB, apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, como na figura. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:

a) Ë3 m b) 3/Ë3 m c) (6Ë3)/5 m d) (5Ë3)/6 m e) 2Ë2 m

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20. (Unesp 96) A área do quadrado ABCD da figura adiante é 1. Nos lados æè e îè tomam-se, respectivamente, os pontos M e N de modo que MN seja paralelo à diagonal îæ.

Se as áreas do triângulo CMN, do trapézio MNDB e do triângulo ABD formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, calcule a medida do MC.

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21. (Faap 96) Um arquiteto projetou uma pequena ponte sobre um lago circular. Sua projeção vertical coincide com um diâmetro cujos extremos distam 8m e 12m de um caminho reto tangente ao lago. O diâmetro (em metros) do lago mede:

a) 22 b) 4 c) 12 d) 8 e) 20

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22. (Faap 96) Uma escada de 10 metros de comprimento forma ângulo de 60° com a horizontal quando encostada ao edifício de um dos lados da rua, e ângulo de 45° se for encostada ao edifício do outro lado, apoiada no mesmo ponto do chão. A largura da rua (em metros) é:

a) 10Ë2 b) 10 + 3Ë2 c) (10Ë5) - 5 d) 5 + 5Ë2 e) 5 + 10Ë2

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23. (Faap 96) Um publicitário, ao desenvolver um logotipo para uma empresa, inscreve um quadrado num círculo. Em seguida, outro quadrado é circunscrito ao mesmo círculo.

Então, a razão entre as áreas dos quadrados é: a) 1,5 b) 4 c) 2 d) ™/2 e) ™

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24. (Fuvest 97) No papel quadriculado da figura a seguir, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado hachurado.

DE é palalelo e BC. Para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC, a medida de AD, na unidade adotada, é a) 4Ë2 b) 4 c) 3Ë3 d) 8Ë3/3 e) 7Ë3/2

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25. (G1) Na figura a seguir, ê = Ê, BC = 2 cm, AB = 4 cm, DE = 6 cm e AE = 9 cm Calcule AC = x e AD = y

26. (G1) Na figura, sabe-se que ð e ï são congruentes, AR = 7cm, AS = 5 cm, SR = 4 cm e AB = 10 cm. Determine AD = x e BD = y

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27. (G1) Num triângulo ABC os lados medem AB = 9 cm, AC = 11 cm e BC = 15 cm, Um triângulo MNP, semelhante ao triângulo ABC, tem 105 cm de perímetro. Determine as medidas dos lados do triângulo MNP.

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28. (G1) Na figura a seguir, æå || èî. Então x e y valem, respectivamente:

a) 25 cm e 13 cm b) 4/3 e 16/3 c) 20 cm e 12 cm d) 40 cm e 24 cm

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29. (G1) A alternativa verdadeira é: a) Todos os triângulos são semelhantes b) Todos os triângulos retângulos são semelhantes c) Todos os triângulos isósceles são semelhantes d) Todos os triângulos equiláteros são semelhantes

30. (G1) Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 7cm, 9cm e 14cm. Qual é o perímetro do triângulo semelhante ao dado cujo lado maior é de 21cm? a) 45 cm b) 55 cm c) 60 cm d) 75 cm

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31. (G1) Na figura a seguir, o valor de x ĂŠ:

a) 18 cm b) 20 cm c) 22 cm d) 24 cm

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32. (G1) Na figura a seguir, AB e CD s達o paralelas.

AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto mede o segmento AE?

a) 136 b) 306 c) 204 d) 163

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33. (G1) Na figura a seguir AB = 15, AD = 12 e CD = 4. Sendo o segmento EC paralelo ao segmento ĂĽĂŚ, qual o valor do segmento EC?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

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34. (G1) Num triângulo ABC, AB = 15m, AC = 20m. Sabendo-se que AM = 6m (sobre o lado åæ), o valor do segmento AN sobre o lado åè, de modo que o segmento MN seja paralelo ao lado æè, é: a) 2 b) 3 c) 5 d) 8

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35. (G1) Na figura a seguir, os triângulos são semelhantes. Então, o valor de x é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

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36. (G1) Na figura a seguir, o valor de x ĂŠ:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

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37. (G1) (Mack - 97) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro. Então a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 3/2 e) Ë5

38. (Cesgranrio 92) Certa noite, uma moça, de 1,50m de altura, estava a dois metros de distância de um poste de luz de 4m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de: a) 0,75 m b) 1,20 m c) 1,80 m d) 2,40 m e) 3,20 m

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39. (Unesp 97) Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.

Se o segmento AD=6dm, o segmento AC=11dm e o segmento EC=3dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são: a) 4,5 e 6,5. b) 7,5 e 3,5. c) 8 e 3. d) 7 e 4. e) 9 e 2.

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40. (Uff 97) Um prédio com a forma de um paralelepípedo retângulo tem 48 m de altura. No centro da cobertura desse prédio e perpendicularmente a essa cobertura, está instalado um pára-raios. No ponto Q sobre a reta r - que passa pelo centro da base do prédio e é perpendicular ao seguimento MN - está um observador que avista somente uma parte do pára-raios (ver a figura).

A distância do chão aos olhos do observador é 1,8 m e o segmento PQ=61,6m.

O comprimento da parte do pára-raios que o observador NÃO consegue avistar é: a) 16 m b) 12 m c) 8 m d) 6 m e) 3 m

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41. (Fuvest 98) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4cm e a altura relativa a essa base também mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é

a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16

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42. (Ufmg 97) Observe a figura:

Nela, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no triângulo ABC. A medida do lado do losango é: a) 4 b) 4,8 c) 5 d) 5,2

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43. (Uel 97) Na figura a seguir, são dados: ângulo ABC= ângulo EDC=2,5 cm, AB=6 cm, BC=9 cm e AC=12 cm.

Se os triângulos da figura são semelhantes, o perímetro do triângulo EDC é, em centímetros, a) 11,25 b) 11,50 c) 11,75 d) 12,25 e) 12,50

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44. (Fuvest 99) Na figura adiante, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 a 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento èî, para que CÊA=DÊB? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

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45. (Ufmg 98) Observe a figura.

Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD=8, AB=3 e BC=7.

Sendo P o ponto de interseção das retas AB e DC, a medida do segmento BP é a) 23 b) 22 c) 24 d) 21

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46. (Unirio 98)

Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente: a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0

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47. (Unirio 98) Consideremos um ponto de luz no chão a 12m de um edifício. Numa posição entre a luz e o edifício, encontra-se um homem de 2m de altura, cuja sombra projetada no edifício, pela mesma luz, mede 8m.

Diante do exposto, calcule: a) a distância entre o homem e o edifício; b) o valor da cossecante do ângulo formado pelo facho de luz que atinge o homem.

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48. (Unb 98) Cada estrutura lateral de uma torre metálica, em forma de uma pirâmide regular de base quadrada, consiste de um triângulo isósceles ABC, de base BC, conforme representado na figura adiante. Para minimizar o número de peças de tamanhos distintos na fabricação da torre, as barras metálicas BC, CD, DE, EF e FA têm comprimentos iguais.

Sabendo que AB mede 50m, e representando por x o comprimento de BC e por ‘ a medida do ângulo BÂC, julgue os itens seguintes.

(1) A altura da torre, em metros, é igual a Ë(2.500-x£).

(2) O ângulo DFE tem medida igual a 2‘.

(3) Os triângulos ABC e CDB são semelhantes.

(4) O ângulo ‘ mede mais de 30°.

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49. (Ufrs 96) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10 m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60 m do chão posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura.

Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço é a) 2,82 m b) 3,00 m c) 3,30 m d) 3,52 m e) 3,85 m

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50. (Unirio 99)

Observe os dois triângulos anteriormente representados, onde os ângulos assinalados são congruentes. O perímetro do menor triângulo é: a) 3 b) 15/4 c) 5 d) 15/2 e) 15

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51. (Puccamp 99) Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo o ângulo ADE congruente ao ângulo ACB.

Se BC=16cm, AC=20cm, AD=10cm e AE=10,4cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é a) 32,6 b) 36,4 c) 40,8 d) 42,6 e) 44,4

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52. (Ufrj 2000) Na figura a seguir, o círculo de raio 1cm rola da posição I para a posição F, sempre tangenciando o cateto AC do triângulo retângulo ABC.

Na posição I o círculo também tangencia AB e na posição F ele é tangente a BC. Os lados do triângulo valem AB=6cm, AC=8cm e BC=10cm.

Determine a distância percorrida pelo centro do círculo.

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53. (Ita 2000) Considere a circunferência inscrita num triângulo isósceles com base de 6cm e altura de 4cm. Seja t a reta tangente a esta circunferência e paralela à base do triângulo. O segmento de t compreendido entre os lados do triângulo mede a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm d) 2,5 cm e) 3 cm

54. (Uff 2000) A figura representa um cone de volume 36™ cm¤ contendo três cilindros cujos volumes V , V‚ e Vƒ estão, nesta ordem, em progressão geométrica de razão 1/27.

Sabe-se que cada um dos cilindros tem a altura igual ao raio de sua base. Determine o raio da

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base do cone.

55. (Unirio 2000)

Dois homens H e H‚, com 2m e 1,5m de altura, respectivamente, estão em pé numa calçada, em lados opostos de um poste de 5m de comprimento, iluminados por uma lâmpada deste poste, como mostra a figura anterior. A distância entre os dois homens, em m, é igual a: a) 5Ë3 +10 b) 14 c) 3Ë3 + 7 d) 8Ë3 - 3 e) 6Ë3

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56. (Enem 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60cm e a 30cm, conforme a figura:

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: a) 144. b) 180. c) 210. d) 225. e) 240.

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57. (Ufmg 2001) Observe esta figura:

Nessa figura, o círculo tem centro O e raio 6 e OP=16. A reta PT é tangente ao círculo em T e o segmento TQ é perpendicular à reta OP. Assim sendo, o comprimento do segmento QP é a) 13,75 b) 13,85 c) 14,25 d) 14,5

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58. (Unesp 2002) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5m mede 3m.

A altura do prédio, em metros, é a) 25. b) 29. c) 30. d) 45. e) 75.

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59. (Unifesp 2002) No triângulo ABC da figura, que não está desenhada em escala, temos:

a) Mostre que os triângulos ABC e BEC são semelhantes e, em seguida, calcule AB e EC.

b) Calcule AD e FD.

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60. (Fuvest 2002) Na figura a seguir, os triângulos ABC e DCE são eqüiláteros de lado Ø, com B, C e E colineares. Seja F a intersecção de æî com åè. Então, a área do triângulo BCF é:

a) (Ø£ Ë3)/8 b) (Ø£ Ë3)/6 c) (Ø£ Ë3)/3 d) (5Ø£ Ë3)/6 e) (2Ø£ Ë3)/3

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GABARITO

1. [E]

2. F V F F F

3. [B]

4. a) (Ë21)x - 2y - 6 =0 b) Q = ( 2Ë(21)/5; 6/5)

5. a) BC = 70 km b) DE = 42 km

6. a) 2Ë3 U. área b) 6Ë3 U. comprimento

7. Observe a figura a seguir:

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b) 20,5 m

8. 4,08 m

9. 2/3

10. a) ângulo PMA é congruente ao ângulo QMB (OPV) ângulo A é congruente ao ângulo B (RETOS) AM = MB = 1/2. Pelo postulado ALA ë Ð PAM é congruente ao Ð QBM. Como o segmento MN é paralelo ao segmento AD e o segmento AD é perpendicular ao plano contendo os pontos A,P, M e Q, conclui-se que o segmento MN é perpendicular ao segmento

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PQ. Como PM = MQ, MN é a mediatriz do segmento PQ, de onde PN = QN, ou seja, o triângulo PQN é isóceles.

b) Ë3/2

11. a) y = 2/3(30-x) b) Para x = 15 metros, y = 10 metros.

12. 2 senx (2 - cos x)

13. a) Ø = (Ë5-1)/2

b) Pela lei dos cossenos temos: Ø£ = 1£ + 1£ - 2.1.1. cos 36°Ì cos 36° = (1+Ë5)/4

14. [B]

15. 24

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16. h = (3/5) Ë25-x£

17. Observe a figura a seguir:

18. 12 m

19. [D]

20. MC = Ë3/3

21. [E]

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22. [D]

23. [C]

24. [A]

25. x = 3 y = 12

26. x = 14 y=8

27. As medidas dos lados do tri창ngulo s찾o 27cm; 33cm e 45cm.

28. [D]

29. [D]

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pag.58

30. [A]

31. [D]

32. [C]

33. [D]

34. [D]

35. [A]

36. [B]

37. [C]

38. [B]

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pag.59

39. [E]

40. [D]

41. [B]

42. [B]

43. [A]

44. [A]

45. [D]

46. [A]

47. a) 9 m

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b) (Ë13)/2

48. F V V F

49. [D]

50. [D]

51. [E]

52. 4 cm

53. [B]

54. R=6cm

55. [C]

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pag.61

56. [D]

57. [A]

58. [A]

59. a) Os triângulos ABC e BEC são semelhantes pois BÂC¸CïE e BðA¸EðB

AB = 24 EC = 3

b) AD = 15 e FD = 9

60. [A]

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