GP_ST2

GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 2 1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura.

A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3/4 e seny = 3/7. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE.

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2. (Uerj 2001)

A figura acima representa um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros equivalentes.

Se cada lado desses triângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD.

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3. (Ufg 2005) Em um jogo de sinuca, uma bola Ê lançada do ponto O para atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B, seguindo a trajetória indicada na figura a seguir.

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Nessas condições, calcule: a) o ângulo ’ em função do ângulo š; b) o valor de x indicado na figura.

4. (Unicamp 2003) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura adiante.

Dados: åæ = 6m åè = 1,5m èî = 4m.

a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros

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de água podem ser armazenados na caixa?

5. (Unifesp 2005) Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo š, conforme mostra a figura.

a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo š. b) Calcule tg(š), dado que a distância de P a O vale 3 metros.

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6. (Unifesp 2006) Em um dia de sol, uma esfera localizada sobre um plano horizontal projeta uma sombra de 10 metros, a partir do ponto B em que está apoiada ao solo, como indica a figura.

Sendo C o centro da esfera, T o ponto de tangência de um raio de luz, BD um segmento que passa por C, perpendicular à sombra BA, e admitindo A, B, C, D e T coplanares: a) justifique por que os triângulos ABD e CTD são semelhantes. b) calcule o raio da esfera, sabendo que a tangente do ângulo BÂD é 1/2.

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7. (Fuvest 2005) Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é 5/2, determine o valor de m.

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8. (Ufg 2006) Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0), B(0, 2), C(4, 2), D(4, 0) e E(x, 0) , onde 0 < x < 4. Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T e T‚ , destacados na figura.

Para que a área do triângulo T seja o dobro da área de T‚ , o valor de x é: a) 2 - Ë2 b) 4 - 2Ë2 c) 4 - Ë2 d) 8 - 2Ë2 e) 8 - 4Ë2

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9. (Fuvest 2003) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:

a) (bh)/(h + b)

b) (2bh)/(h + b)

c) (bh)/(h + 2b)

d) (bh)/(2h + b)

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e) (bh)/[2(h + b)]

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10. (Fuvest 2004) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:

a) 18,8m b) 19,2m c) 19,6m d) 20m e) 20,4m

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11. (Fuvest 2005) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, BC = Ë3 e BE = 2DE. Logo, a medida de AE é

a) (Ë3)/2 b) (Ë5)/2 c) (Ë7)/2 d) (Ë11)/2 e) (Ë13)/2

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12. (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB, a raz達o FG/DE vale:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 5/2 e) 7/2

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13. (Puc-rio 2005) No triângulo ABC temos AB=5, BC=9 e AC=10. Se P é o ponto médio de AB e Q é o ponto médio de BC, então o comprimento PQ é: a) 4 b) 5 c) 8 d) 3 Ë2 e) 9

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14. (Ufc 2002) Na figura a seguir, os triângulos ABC e AB'C' são semelhantes. Se AC = 4. AC' então o perímetro de AB'C' dividido pelo perímetro de ABC é igual a:

a) 1/8 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/2 e) 1

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15. (Ufg 2005) Em um terreno triangular, com 1200 m£ de área, um dos lados mede 60 m.

Deseja-se construir, nesse terreno, um galpão, cuja base retangular tem 504 m£ de área, conforme a figura a seguir.

Se os vértices da base do galpão estão sobre os lados do terreno, o menor perímetro possível da base do galpão, em metros, é a) 90 b) 92 c) 100 d) 110 e) 128

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16. (Ufg 2005) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura a seguir.

Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da esfera até a parede, em cm, é a) 23 b) 25 c) 28 d) 32 e) 35

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17. (Ufmg 2002) Em determinada hora do dia, o sol projeta a sombra de um poste de iluminação sobre o piso plano de uma quadra de vôlei. Neste instante, a sombra mede 16m.

Simultaneamente, um poste de 2,7m, que sustenta a rede, tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra. Neste momento, essa sombra mede 4,8m.

A altura do poste de iluminação é de a) 8,0 m b) 8,5 m c) 9,0 m d) 7,5 m

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18. (Ufrn 2000) Considerando-se as informações constantes no triângulo PQR (figura abaixo), pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:

Obs.: Todas as medidas se referem à mesma unidade de comprimento a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

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19. (Ufrs 2001) Na figura abaixo AB, CD e EF sĂŁo paralelos, AB e CD medem, respectivamente, 10 cm e 5 cm.

O comprimento de EF ĂŠ a) 5/3. b) 2. c) 3. d) 10/3. e) 4.

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20. (Ufrs 2004) Na figura 1, BC é paralelo a DE e, na figura 2, GH é paralelo a IJ.

Então, x e y valem, respectivamente, a) ab e a/b. b) ab e b/a. c) a/b e ab. d) b/a e ab. e) a/b e 1/b.

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21. (Ufsm 2002)

No triângulo proposto, M , M‚, Mƒ,... são os pontos médios dos segmentos AC, M C, M‚C, ... , respectivamente, e N , N‚, Nƒ,... são os pontos médios dos segmentos BC, N C, N‚C,...., respectivamente. Continuando indefinidamente esse processo de obter segmentos e sabendo que AB mede 1, a soma das medidas dos segmentos M N , M‚ N‚, Mƒ Nƒ, ... é a) 8/3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 1/2

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22. (Unesp 2004) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.

A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é: a) 30. b) 35. c) 40. d) 45. e) 50.

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GABARITO

1. a) BC = 70 km b) DE = 42 km

2. 2 (3 - Ë3) cm

3. a) ’ = 2š

b) x = 0,5 m

4. a) 1,2m b) 1468,8 litros

5. a) Para provarmos que o ponto O se encontra sobre a bissetriz do ângulo š, devemos mostrar que os ângulos OPT e OPS são congruentes.

De fato: Como PS e PT são segmentos tangentes à circunferência de centro O e raio 1, com

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origem no mesmo ponto (P), PS = PT.

Por LLL, os triângulos retângulos OTP e OSP são congruentes. Logo, ‘ = ’ = š/2 e, desse modo, OP é bissetriz do ângulo š.

b) tg š = (4Ë2)/7

6. a) Como AD é tangente à esfera no ponto T, o ângulo CTD (CTD = CTA) é reto. Temos ainda que o triângulo ABD é retângulo. Observando que os ângulos BAD e TCD são congruentes, concluímos que os triângulos ABD e CTD são semelhnates por ALA.

b) 10 [(Ë5) - 2] m

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7. m = 2 + [(5Ă&#x2039;2)/2]

8. [B]

9. [D]

10. [B]

11. [C]

12. [B]

13. [B]

14. [C]

15. [B]

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16. [A]

17. [C]

18. [B]

19. [D]

20. [A]

21. [D]

22. [E]

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