História do Infinito

Uma Historia do In nito Uma Historia do In nito O s mbolo Ato e Pot^ encia O in nito na Grecia Paradoxos Por que o paradoxo da re exividade e um paradoxo?

A soluc~ ao atual para o in nito atual O que fez Cantor Di culdades Hipotese do cont nuo Novos caminhos Re ex~ oes Refer^ encias

Uma Historia do In nito Rodrigo Luiz de Souza

Jornada na Historia da Matematica Programa de Educac~ao Tutorial - Matematica Universidade Federal de Santa Catarina

Outubro de 2008

O s mbolo

Uma Historia do In nito Uma Historia do In nito O s mbolo Ato e Pot^ encia O in nito na Grecia Paradoxos Por que o paradoxo da re exividade e um paradoxo?

A soluc~ ao atual para o in nito atual O que fez Cantor Di culdades Hipotese do cont nuo Novos caminhos Re ex~ oes Refer^ encias

Atribui-se a John Wallis (1616-1703), matematico ingl^es, a introduc~ao do s mbolo ∞;

O s mbolo

Uma Historia do In nito Uma Historia do In nito O s mbolo Ato e Pot^ encia O in nito na Grecia Paradoxos Por que o paradoxo da re exividade e um paradoxo?

A soluc~ ao atual para o in nito atual O que fez Cantor Di culdades Hipotese do cont nuo Novos caminhos Re ex~ oes Refer^ encias

Atribui-se a John Wallis (1616-1703), matematico ingl^es, a introduc~ao do s mbolo ∞;

Alfabeto etrusco;

O s mbolo

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Atribui-se a John Wallis (1616-1703), matematico ingl^es, a introduc~ao do s mbolo ∞;

Alfabeto etrusco; Numerais romanos;

O s mbolo

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Atribui-se a John Wallis (1616-1703), matematico ingl^es, a introduc~ao do s mbolo ∞;

Alfabeto etrusco; Numerais romanos; Lemniscata de Bernoulli;

O s mbolo

Uma Historia do In nito Uma Historia do In nito O s mbolo Ato e Pot^ encia O in nito na Grecia Paradoxos Por que o paradoxo da re exividade e um paradoxo?

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Atribui-se a John Wallis (1616-1703), matematico ingl^es, a introduc~ao do s mbolo ∞;

Alfabeto etrusco; Numerais romanos; Lemniscata de Bernoulli; Semelhancas com ω;

O s mbolo

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Atribui-se a John Wallis (1616-1703), matematico ingl^es, a introduc~ao do s mbolo ∞;

Alfabeto etrusco; Numerais romanos; Lemniscata de Bernoulli; Semelhancas com ω; Ampulheta deitada;

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Ato e pot^encia

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Para a ci^encia o in nito existe sob duas formas: em pot^encia (in nito potencial) e em ato (in nito atual);

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Ato e pot^encia

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Para a ci^encia o in nito existe sob duas formas: em pot^encia (in nito potencial) e em ato (in nito atual); In nito Potencial: e usado para processos que podem continuar inde nidamente;

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Ato e pot^encia

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Para a ci^encia o in nito existe sob duas formas: em pot^encia (in nito potencial) e em ato (in nito atual); In nito Potencial: e usado para processos que podem continuar inde nidamente; A seq• u^encia (0, 1, 2, 3, 4, ...) e potencialmente in nita;

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Ato e pot^encia

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Para a ci^encia o in nito existe sob duas formas: em pot^encia (in nito potencial) e em ato (in nito atual); In nito Potencial: e usado para processos que podem continuar inde nidamente; A seq• u^encia (0, 1, 2, 3, 4, ...) e potencialmente in nita; As retas para Euclides tambem eram in nitas em pot^encia;

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Ato e pot^encia

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Para a ci^encia o in nito existe sob duas formas: em pot^encia (in nito potencial) e em ato (in nito atual); In nito Potencial: e usado para processos que podem continuar inde nidamente; A seq• u^encia (0, 1, 2, 3, 4, ...) e potencialmente in nita; As retas para Euclides tambem eram in nitas em pot^encia;

In nito Atual: admitido como uma entidade matematica completa.

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O In nito na Grecia

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O in nito nunca foi aceito com facilidade e demorou um longo tempo para ser admitido;

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O In nito na Grecia

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O in nito nunca foi aceito com facilidade e demorou um longo tempo para ser admitido; Aristoteles negava a exist^encia do in nito em ato, ou seja, negava a exist^encia f sica do in nito, no entanto lhe atribu a uma exist^encia potencial na Matematica;

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O In nito na Grecia

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O in nito nunca foi aceito com facilidade e demorou um longo tempo para ser admitido; Aristoteles negava a exist^encia do in nito em ato, ou seja, negava a exist^encia f sica do in nito, no entanto lhe atribu a uma exist^encia potencial na Matematica; Euclides diz que os numeros primos existem em uma quantidade maior do que qualquer quantidade de numeros primos proposta;

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O In nito na Grecia

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A soluc~ ao atual para o in nito atual O que fez Cantor Di culdades Hipotese do cont nuo Novos caminhos Re ex~ oes Refer^ encias

O in nito nunca foi aceito com facilidade e demorou um longo tempo para ser admitido; Aristoteles negava a exist^encia do in nito em ato, ou seja, negava a exist^encia f sica do in nito, no entanto lhe atribu a uma exist^encia potencial na Matematica; Euclides diz que os numeros primos existem em uma quantidade maior do que qualquer quantidade de numeros primos proposta;

O in nito potencial parecia su ciente mas n~ao permitia resolver todos os problemas.

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Paradoxos O Paradoxo de Zen~ ao

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Zen~ao de Eleia (cerca de 495 a.C. - 430 a.C.) era disc pulo de Parm^enides de Eleia. Seu metodo consistia na elaborac~ao de paradoxos;

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Paradoxos O Paradoxo de Zen~ ao

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Zen~ao de Eleia (cerca de 495 a.C. - 430 a.C.) era disc pulo de Parm^enides de Eleia. Seu metodo consistia na elaborac~ao de paradoxos; Imagine uma corrida entre um Aquiles e uma tartaruga.

Suponhamos que e dada para a tartaruga uma vantagem inicial em dist^ancia. Aquiles jamais a alcancara, porque quando ele chegar ao ponto de onde a tartaruga partiu, ela ja tera percorrido uma nova dist^ancia; e quando ele atingir essa nova dist^ancia, a tartaruga ja tera percorrido uma outra nova dist^ancia, e assim, ao in nito.

Paradoxos

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O paradoxo da re exividade

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Um conjunto e dito in nito se e poss vel coloca-lo em bijec~ao com uma de suas partes proprias; 1 # 1

2 # 4

3 # 9

4 # 16

5 # 25

Pode-se associar cada numero natural ao seu quadrado.

...

B

A

A’

B’

O conjunto dos pontos de um segmento de reta AB e t~ao grande quanto um segmento A'B' que tem a metade do comprimento de AB .

Paradoxos

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O paradoxo do Grand Hotel de Hilbert

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David Hilbert (1862-1943), matematico alem~ao prop^os a seguinte situac~ao: Suponha um hotel in nito com in nitos quartos, todos lotados, onde os quartos s~ao numerados pelos numeros naturais . O que se deve fazer quando:

Paradoxos

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O paradoxo do Grand Hotel de Hilbert

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David Hilbert (1862-1943), matematico alem~ao prop^os a seguinte situac~ao: Suponha um hotel in nito com in nitos quartos, todos lotados, onde os quartos s~ao numerados pelos numeros naturais . O que se deve fazer quando: 1

Chegar mais um hospede?

Paradoxos

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O paradoxo do Grand Hotel de Hilbert

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David Hilbert (1862-1943), matematico alem~ao prop^os a seguinte situac~ao: Suponha um hotel in nito com in nitos quartos, todos lotados, onde os quartos s~ao numerados pelos numeros naturais . O que se deve fazer quando: 1 2

Chegar mais um hospede?

Chegarem 20 hospedes?

Paradoxos

Uma Historia do In nito

O paradoxo do Grand Hotel de Hilbert

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David Hilbert (1862-1943), matematico alem~ao prop^os a seguinte situac~ao: Suponha um hotel in nito com in nitos quartos, todos lotados, onde os quartos s~ao numerados pelos numeros naturais . O que se deve fazer quando: 1 2 3

Chegar mais um hospede?

Chegarem 20 hospedes?

Chegarem in nitos hospedes?

Paradoxos

Uma Historia do In nito

O paradoxo do Grand Hotel de Hilbert

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David Hilbert (1862-1943), matematico alem~ao prop^os a seguinte situac~ao: Suponha um hotel in nito com in nitos quartos, todos lotados, onde os quartos s~ao numerados pelos numeros naturais . O que se deve fazer quando: 1 2 3

Chegar mais um hospede?

Chegarem 20 hospedes?

Chegarem in nitos hospedes?

O paradoxo acontece quando in nitos hospedes deixarem o hotel. ∞

∞ =???

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Por que o paradoxo da re exividade e um paradoxo?

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O paradoxo da re exividade e um paradoxo no sentido que neste contexto n~ao vale o princ pio aristotelico de que \o todo e maior que a parte";

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Por que o paradoxo da re exividade e um paradoxo?

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O paradoxo da re exividade e um paradoxo no sentido que neste contexto n~ao vale o princ pio aristotelico de que \o todo e maior que a parte"; O tcheco Bernhard Bolzano (1781-1848) em Os paradoxos do in nito (1851) foi o primeiro a admitir as bijec~oes entre uma totalidade e suas partes;

Uma Historia do In nito

A soluc~ao atual para o in nito atual

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As ideias de Bolzano abriram um per odo de controversia na matematica;

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A soluc~ao atual para o in nito atual

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As ideias de Bolzano abriram um per odo de controversia na matematica; As noc~oes de \estar contido em" e \possuir um tamanho menor que";

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A soluc~ao atual para o in nito atual

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As ideias de Bolzano abriram um per odo de controversia na matematica; As noc~oes de \estar contido em" e \possuir um tamanho menor que"; Bolzano n~ao levou adiante o desenvolvimento a que ele mesmo dera in cio;

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A soluc~ao atual para o in nito atual

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As ideias de Bolzano abriram um per odo de controversia na matematica; As noc~oes de \estar contido em" e \possuir um tamanho menor que"; Bolzano n~ao levou adiante o desenvolvimento a que ele mesmo dera in cio; O principal trabalho sobre as propriedades do in nito foi feito por Georg Cantor (1845-1912);

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O que fez Cantor Descobriu varias propriedades aritmeticas dos conjuntos in nitos;

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O que fez Cantor Descobriu varias propriedades aritmeticas dos conjuntos in nitos; Substituiu o conceito de tamanho de um conjunto por cardinalidade;

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O que fez Cantor Descobriu varias propriedades aritmeticas dos conjuntos in nitos; Substituiu o conceito de tamanho de um conjunto por cardinalidade; Introduziu a notac~ao para cardinalidade, @ (alefe), primeira letra do alfabeto hebraico;

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O que fez Cantor Descobriu varias propriedades aritmeticas dos conjuntos in nitos; Substituiu o conceito de tamanho de um conjunto por cardinalidade; Introduziu a notac~ao para cardinalidade, @ (alefe), primeira letra do alfabeto hebraico; Estabeleceu uma hierarquia (in nita) dos conjuntos in nitos;

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O que fez Cantor Descobriu varias propriedades aritmeticas dos conjuntos in nitos; Substituiu o conceito de tamanho de um conjunto por cardinalidade; Introduziu a notac~ao para cardinalidade, @ (alefe), primeira letra do alfabeto hebraico; Estabeleceu uma hierarquia (in nita) dos conjuntos in nitos; Conjuntos \mais in nitos" que outros;

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O que fez Cantor Descobriu varias propriedades aritmeticas dos conjuntos in nitos; Substituiu o conceito de tamanho de um conjunto por cardinalidade; Introduziu a notac~ao para cardinalidade, @ (alefe), primeira letra do alfabeto hebraico; Estabeleceu uma hierarquia (in nita) dos conjuntos in nitos; Conjuntos \mais in nitos" que outros; Na tentativa de mostrar que um quadrado tem mais pontos que um de seus lados descobriu justamente o contrario. \Vejo que e assim, mas n~ao acredito." disse Cantor por carta a Richard Dedekind, um dos poucos que o apoiaram em suas ideias.

Uma Historia do In nito

Di culdades Ideias pouco aceitas

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Cantor sofreu varias represalias por causa da teoria que criou;

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Di culdades Ideias pouco aceitas

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Cantor sofreu varias represalias por causa da teoria que criou; Leopold Kronecker (1823-1891) negou a Cantor a publicac~ao do artigo que provava que um quadrado tem a mesma quantidade de pontos que um de seus lados.

Uma Historia do In nito

Di culdades Ideias pouco aceitas

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Cantor sofreu varias represalias por causa da teoria que criou; Leopold Kronecker (1823-1891) negou a Cantor a publicac~ao do artigo que provava que um quadrado tem a mesma quantidade de pontos que um de seus lados.

Henri Poincare (1854-1912) dizia que o in nito de Cantor seria visto no futuro como uma doenca que se curou;

Di culdades

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Problemas de saude e pessoais

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Doenca mental;

Di culdades

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Problemas de saude e pessoais

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Doenca mental; Colapso nervoso;

Di culdades

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Problemas de saude e pessoais

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Doenca mental; Colapso nervoso; Recusou qualquer ligac~ao com a unica revista que acolhera suas ideias;

Di culdades

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Problemas de saude e pessoais

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Doenca mental; Colapso nervoso; Recusou qualquer ligac~ao com a unica revista que acolhera suas ideias; Foi dispensado da func~ao de professor em Halle, universidade em que trabalhava;

Di culdades

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Problemas de saude e pessoais

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Doenca mental; Colapso nervoso; Recusou qualquer ligac~ao com a unica revista que acolhera suas ideias; Foi dispensado da func~ao de professor em Halle, universidade em que trabalhava; Faleceu em 1926 num hospital psiquiatrico.

Uma Historia do In nito

Hipotese do cont nuo

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N~ao existe nenhum conjunto com cardinalidade maior do que o conjunto dos numeros naturais, cuja cardinalidade e @0 , e menor do que o conjunto dos numeros reais, que possui cardinalidade 2@0 .

Hipotese do cont nuo

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N~ao existe nenhum conjunto com cardinalidade maior do que o conjunto dos numeros naturais, cuja cardinalidade e @0 , e menor do que o conjunto dos numeros reais, que possui cardinalidade 2@0 .

1

N~ao existem tamanhos in nitos entre o N e R;

Hipotese do cont nuo

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N~ao existe nenhum conjunto com cardinalidade maior do que o conjunto dos numeros naturais, cuja cardinalidade e @0 , e menor do que o conjunto dos numeros reais, que possui cardinalidade 2@0 .

1

N~ao existem tamanhos in nitos entre o N e R;

2

Se existem precisam ser determinados;

Hipotese do cont nuo

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N~ao existe nenhum conjunto com cardinalidade maior do que o conjunto dos numeros naturais, cuja cardinalidade e @0 , e menor do que o conjunto dos numeros reais, que possui cardinalidade 2@0 .

1

N~ao existem tamanhos in nitos entre o N e R;

2

Se existem precisam ser determinados; Cantor tentou responder a este questionamento varias vezes, embora n~ao tenha conseguido.

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Hipotese do cont nuo

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Em 1938 Kurt G•odel (1906-1978), matematico alem~ao, prova a teoria da incompletude. Assim, a teoria de conjuntos complementada com a hipotese do cont nuo n~ao e contraditoria.

Uma Historia do In nito

Hipotese do cont nuo

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Em 1938 Kurt G•odel (1906-1978), matematico alem~ao, prova a teoria da incompletude. Assim, a teoria de conjuntos complementada com a hipotese do cont nuo n~ao e contraditoria.

Em 1963 Paul Cohen (1934-2007) mostra que a teoria de conjuntos complementada da negac~ao da hipotese do cont nuo n~ao e contraditoria.

Hipotese do cont nuo

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Em 1938 Kurt G•odel (1906-1978), matematico alem~ao, prova a teoria da incompletude. Assim, a teoria de conjuntos complementada com a hipotese do cont nuo n~ao e contraditoria.

Em 1963 Paul Cohen (1934-2007) mostra que a teoria de conjuntos complementada da negac~ao da hipotese do cont nuo n~ao e contraditoria.

A teoria ca calada.

Uma Historia do In nito

Novos caminhos

Uma Historia do In nito O s mbolo Ato e Pot^ encia O in nito na Grecia Paradoxos Por que o paradoxo da re exividade e um paradoxo?

A soluc~ ao atual para o in nito atual O que fez Cantor Di culdades Hipotese do cont nuo Novos caminhos Re ex~ oes Refer^ encias

A indecidibilidade da hipotese do cont nuo mostra que a teoria usual de conjuntos e insatisfatoria em alguns aspectos;

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A indecidibilidade da hipotese do cont nuo mostra que a teoria usual de conjuntos e insatisfatoria em alguns aspectos; Por outro lado, a teoria pode ser vista como satisfatoria, mas incompleta;

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A soluc~ ao atual para o in nito atual O que fez Cantor Di culdades Hipotese do cont nuo Novos caminhos Re ex~ oes Refer^ encias

A indecidibilidade da hipotese do cont nuo mostra que a teoria usual de conjuntos e insatisfatoria em alguns aspectos; Por outro lado, a teoria pode ser vista como satisfatoria, mas incompleta; Os grandes cardinais, soluc~ao para a hipotese do cont nuo?

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A soluc~ ao atual para o in nito atual O que fez Cantor Di culdades Hipotese do cont nuo Novos caminhos Re ex~ oes Refer^ encias

A indecidibilidade da hipotese do cont nuo mostra que a teoria usual de conjuntos e insatisfatoria em alguns aspectos; Por outro lado, a teoria pode ser vista como satisfatoria, mas incompleta; Os grandes cardinais, soluc~ao para a hipotese do cont nuo?

Para a teoria usual de conjuntos, os grandes cardinais s~ao como a hipotese do cont nuo, podem ser inclu dos sem que causem contradic~ao.

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Re ex~oes

Uma Historia do In nito O s mbolo Ato e Pot^ encia O in nito na Grecia Paradoxos Por que o paradoxo da re exividade e um paradoxo?

A soluc~ ao atual para o in nito atual O que fez Cantor Di culdades Hipotese do cont nuo Novos caminhos Re ex~ oes Refer^ encias

\O in nito atual n~ao e logicamente insatisfatorio e nem paradoxal, mas, ao contrario, e coerente e veross mil. Como na f sica, em que nossa concepc~ao de espaco e tempo teve de ser revista a luz da teoria da relatividade, na matematica a concepc~ao de in nito real nos forca a reconstruir nossas ideias acerca dos objetos e a rever nossa concepc~ao da realidade matematica" Jean-Paul Delahaye, Professor da Universidade de Lille, Franca.

Uma Historia do In nito Uma Historia do In nito O s mbolo Ato e Pot^ encia O in nito na Grecia Paradoxos Por que o paradoxo da re exividade e um paradoxo?

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Refer^encias DELAHAYE, Jean-Paul. O in nito e um paradoxo na matematica? Scienti c American: As varias faces do in nito, S~ao Paulo, n. 15, p.14-23, 2006.

VILELA, Denise Silva. Dos gregos a modernidade, o medo do in nito. Scienti c American: Os grandes erros da ci^encia, S~ao Paulo, n. 6, p.74-79, 2006.

COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O que e Matematica?: Uma abordagem elementar de metodos e conceitos. Rio de Janeiro: Editora Ci^encia Moderna, 2000.

BOYER, Carl B.. Historia da Matematica. S~ao Paulo: Editora Edgard Bl• ucher, 1974.

MORRIS, Richard. Uma Breve Historia do In nito: dos paradoxos de Zen~ao ao universo qu^antico. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Edior, 1998.