LIMITES

LIMITES

1. (Cesgranrio 95) O valor de lim (1/x£) é: xë0 a) - ¶ b) - 1 c) 0 d) 1 e) ¶

2. (Cesgranrio 94) O valor de lim (1 + 1/n)¾, é: në¶ a) 0 b) 1 c) 2 d) e e) ¶

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3. (Uel 94) Considere a função real com domínio IR - {2}, dada por f(x)=1/(x-2). É verdade que a) se x tende para +¶, f(x) tende para zero. b) se x tende para +¶, f(x) tende para -¶. c) para qualquer valor de x, f(x) é um número negativo. d) se x é um número muito próximo de 2, f(x) é um número muito próximo de 1/2. e) f(2)=0.

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4. (Cesgranrio 93) Na poligonal da figura a seguir, de lados

P³P , P P‚, P‚Pƒ, ...

cada lado é perpendicular ao anterior e tem comprimento igual à metade do comprimento do lado anterior. Se P³P•=1, então, quando n tende para infinito, o limite da distância entre os vértices P³ e PŠ vale:

a) 1 b) 2Ë5/3 c) 2Ë3/5 d) 4/5 e) 2Ë5/5

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5. (Ufrj 2002) Para cada número natural n µ 1, seja FŠ a figura plana composta de quadradinhos de lados iguais a 1/n, dispostos da seguinte forma:

FŠ é formada por uma fila de n quadradinhos, mais uma fila de (n - 1) quadradinhos, mais uma fila de (n - 2) quadradinhos e assim sucessivamente, sendo a última fila composta de um só quadradinho (a figura ilustra o caso n=7).

Calcule o limite da área de FŠ quando n tende a infinito.

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6. (Ufrj 2003) Considere o triângulo T, de vértices A, B e C, tal que os ângulos  e ï são agudos. Seja H a altura relativa ao lado AB. Para cada número natural n, seja Fn a figura formada pela união de n retângulos justapostos contidos em T (veja na figura o caso n = 4).

Cada retângulo tem dois lados perpendiculares a AB medindo H/(n + 1) e um lado ligando AC a BC (o maior dos retângulos tem um lado contido em AB).

Sabendo que a área de T é a, calcule, em função de a e de n, a diferença entre a área de T e a área de Fn . Qual o limite da área de Fn , quando n tende a infinito? Justifique.

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GABARITO

1. [E]

2. [D]

3. [A]

4. [E]

5. 1/2

6. Seja Њ o triângulo de A'B'C' de vértice em C e altura H/(n+1). Como Њ e T são semelhantes, temos AB = (n + 1)A'B'. Portanto, a área de Њ mede área(Њ) = [H/2(n + 1)] A'B' = [a/(n + 1)£].

A diferença entre a área de T e a área de FŠ é igual à soma das áreas dos triângulos sombreados da figura. Como a soma das áreas dos dois triângulos laterais ao retângulo Rk, k = 1, 2, ..., n, é igual à área do triângulo Њ, temos área(T / FŠ) = (n + 1) área(Њ) = a/(n + 1).

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Portanto, podemos escrever a área de FŠ em função de a e de n pela expressão área(FŠ) = a [a/(n + 1)] = (n/n + 1)a.

Passando ao limite quando n tende ao infinito, concluímos que o limite da área (FŠ), com n tendendo a +¶ = a.

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