Exercicios sobre matrizes e sistemas lineares

MATEMÁTICA – Exercícios sobre Matrizes e Sistemas Lineares Prof .Carlos Roberto da Silva

1) Escreva na forma explícita as matrizes: a) {aij} de ordem 3 x 5 b) {aij} de ordem 5 x 3 2) Escreva explicitamente a matriz A=(aij) nos seguintes casos: a) A é de ordem 3 x 2 com aij = i – j + 3 b) A é quadrada de ordem 3 com aij = 2i + j para i = j e 2i – j para i ≠ j 3) Determine a matriz (aij)3x3, tal que aij = (2)2i+j 4) Determine a de modo que:

 x   3  x 3 − a  =  2     5) Determine a, b, x e y tais que:  x + y a + b  5 − 3  x − y a − b  = 1 − 1     6) Calcule as seguintes operações: 1 2 5 6 a)  +  3 4 7 8

 0 2 3  7 − 3 0  b)  1 5 − 2 + 8 − 4 2 − 1 1 4  9 1 7 c) [2 0 − 1] − [5 − 3 − 1]

7) Dadas as matrizes:

2 3 − 1 A= , 0 − 2 4 

− 3 4 − 2  1 2 3 B= e C=    3 −5 1  − 1 4 3

Mostre que a adição matricial possui as seguintes propriedades: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento Neutro: A + 0 = A d) Elemento Simétrico para a adição: A + (–A) = 0 8) Considerando as matrizes: − 3 4 0 3  1 0  A= , B= e C=   ,  5 6 1 2 0 1 

Calcule: a) A + B – C b) A – (B + C) c) A matriz X, quadrada de segunda ordem, tal que X – (A – B) = C. 0 2 3  2 0 1   9) Dada as matrizes A =  1 5 − 2 , B = 5 − 1 3 e a = 3 e b = 2: − 1 1 4  1 − 2 0 a) Calcule a matriz a.A. b) 2 . A – 3 . B 10) Considerando as matrizes do exercício anterior, mostre que: a) a . (b . A) = (ab) . A b) a. (A + B) = a. A + a. B c) (a + b) . A = a. A + b. A d) 1.A = A 0 2 3  2 0 1   11) Dadas as matrizes A =  1 5 − 2 e B = 5 − 1 3 calcule: − 1 1 4  1 − 2 0 a) A.B b) B.A

4 1 1 2    12) Dadas as matrizes A =   e B = 0 , mostre que: 2 3 1   5 a) Existe A.B b) Explique porque não é possível calcular B .A. 1 0 0 0  13) Dadas as matrizes A =  eB=   , mostre que A.B = 0 não implica que A = 0 1 0 1 1  ou B = 0.  3 4  2 − 1 3 1  14) Dadas as matrizes A =  ,B= , C=    e k = 3, mostre as − 2 3 − 5 3  5 2 seguintes propriedades: a) Associativa: (AB)C = A(BC) b) Distributiva à direita: (A + B)C = AC + BC c) Distributiva à esquerda: C(A + B) = CA + CB d) k(AB) = (kA)B = A(kB) 15) Calcule a matriz transposta de: 3 2  a) − 1 4   5 − 2

1 4 7  b) 4 3 2 9 6 8 

2 16) Dada a matriz transposta de A, A t =  − 1

3  , calcule a matriz A. 1

 3 4  2 − 1 17) Dadas as matrizes A =  , B=   e k = 2 , mostre que as seguintes − 2 3 − 5 3  propriedades para a transposta são válidas: a) (A + B)t = At + Bt b) (k. A)t = k. At c) (A . B)t = Bt. At d) (At)t = A 18) Calcule o determinante de :  2 3 a) A =    − 1 1

2 5 1  b) B = − 3 − 2 1  (Pela regra de Sarrus)  0 4 − 3

19) Resolver os sistemas: 2 x + 3 y = 7 a)  x − y = 1 2 x − 9 y = −47 b)  − x + 20 y = 101 20) Resolver os sistemas: 13  10 x + 3 y = c)  2  x + 5 y = 3

2 4  3 x − 9 y = 2 d)   1 x − 3 y = − 129  5 2 10 x − y + z = 4  21) A solução do sistema 2 x + 3 y − 5 z = −11 é: 3x − 2 y + z = 7  a) (1,-1,1) b) (1,-1,2) c) (0,1,2) d) (1,-1,0) e) (1,1,1) 22) Um comerciante vende os produtos A e B que juntos custam R$70,00. Duas unidades do produto A mais uma do produto C custam R$105,00 e a diferença de preço entre os produtos B e C, nesta ordem, é R$5,00, então calcule o preço do produto C. 23) Comprei um caderno de R$1,50 com moedas de 10 e 25 centavos de real. Se o número total de moedas é 9, quantas moedas de 10 centavos e de 25 dei em pagamento ?

24) Num parque de diversões há uma barraca de tiro ao alvo onde o freguês atira de graça.

Se acertar na mosca, ganha 30 reais; e , se errar, paga 3 reais. Uma pessoa deu 50 tiros e saiu da barraca com 213 reais a mais do que quando chegou. Quantos tiros acertou na mosca ? E quantos tiros errou ?

25) Pretende-se pagar a quantia de 1150 unidades monetárias com 35 notas, umas de 50 e outras de 20 unidades monetárias. Quantas notas de 20 e quantas notas de 50 se devem usar?

26) Uma matriz quadrada A é dita ser inversível, ou não singular, se existe uma matriz B com a propriedade que AB = BA= I, onde I é a matriz identidade. A matriz B é única e é chamada inversa de A e denotada por A-1. B é inversa de A se e somente se A é inversa de B. Dadas as matrizes A e B abaixo mostre que são inversas. 2 5  3 − 5 A= , B=   1 3 − 1 2  0 27) Dadas as matrizes A =  1 que seja inversa de A , B ou C.

1 1 2 − 4 1 , B= eC=    , verifique se há alguma 4 3 4  1 0

28) Dadas as matrizes booleanas: 1 0 0 A = 1 1 0 0 1 1

e

1 0 1 B = 0 1 1 1 1 1

Calcule: a) A ∧ B b) A ∨ B 29) Dadas as matrizes booleanas: 1 0 0 A = 0 0 1 1 1 0

e

0 1 1 B = 1 0 1 1 1 1

Calcule os seguintes produtos booleanos: a) AB b) BA 30) Calcule o produto booleano A2 considerando a matriz A do exercício anterior.