MATEMÁTICA – Exercícios sobre Matrizes e Sistemas Lineares Prof .Carlos Roberto da Silva
1) Escreva na forma explícita as matrizes: a) {aij} de ordem 3 x 5 b) {aij} de ordem 5 x 3 2) Escreva explicitamente a matriz A=(aij) nos seguintes casos: a) A é de ordem 3 x 2 com aij = i – j + 3 b) A é quadrada de ordem 3 com aij = 2i + j para i = j e 2i – j para i ≠ j 3) Determine a matriz (aij)3x3, tal que aij = (2)2i+j 4) Determine a de modo que:
x 3 x 3 − a = 2 5) Determine a, b, x e y tais que: x + y a + b 5 − 3 x − y a − b = 1 − 1 6) Calcule as seguintes operações: 1 2 5 6 a) + 3 4 7 8
0 2 3 7 − 3 0 b) 1 5 − 2 + 8 − 4 2 − 1 1 4 9 1 7 c) [2 0 − 1] − [5 − 3 − 1]
7) Dadas as matrizes:
2 3 − 1 A= , 0 − 2 4
− 3 4 − 2 1 2 3 B= e C= 3 −5 1 − 1 4 3
Mostre que a adição matricial possui as seguintes propriedades: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento Neutro: A + 0 = A d) Elemento Simétrico para a adição: A + (–A) = 0 8) Considerando as matrizes: − 3 4 0 3 1 0 A= , B= e C= , 5 6 1 2 0 1
Calcule: a) A + B – C b) A – (B + C) c) A matriz X, quadrada de segunda ordem, tal que X – (A – B) = C. 0 2 3 2 0 1 9) Dada as matrizes A = 1 5 − 2 , B = 5 − 1 3 e a = 3 e b = 2: − 1 1 4 1 − 2 0 a) Calcule a matriz a.A. b) 2 . A – 3 . B 10) Considerando as matrizes do exercício anterior, mostre que: a) a . (b . A) = (ab) . A b) a. (A + B) = a. A + a. B c) (a + b) . A = a. A + b. A d) 1.A = A 0 2 3 2 0 1 11) Dadas as matrizes A = 1 5 − 2 e B = 5 − 1 3 calcule: − 1 1 4 1 − 2 0 a) A.B b) B.A
4 1 1 2 12) Dadas as matrizes A = e B = 0 , mostre que: 2 3 1 5 a) Existe A.B b) Explique porque não é possível calcular B .A. 1 0 0 0 13) Dadas as matrizes A = eB= , mostre que A.B = 0 não implica que A = 0 1 0 1 1 ou B = 0. 3 4 2 − 1 3 1 14) Dadas as matrizes A = ,B= , C= e k = 3, mostre as − 2 3 − 5 3 5 2 seguintes propriedades: a) Associativa: (AB)C = A(BC) b) Distributiva à direita: (A + B)C = AC + BC c) Distributiva à esquerda: C(A + B) = CA + CB d) k(AB) = (kA)B = A(kB) 15) Calcule a matriz transposta de: 3 2 a) − 1 4 5 − 2
1 4 7 b) 4 3 2 9 6 8
2 16) Dada a matriz transposta de A, A t = − 1
3 , calcule a matriz A. 1
3 4 2 − 1 17) Dadas as matrizes A = , B= e k = 2 , mostre que as seguintes − 2 3 − 5 3 propriedades para a transposta são válidas: a) (A + B)t = At + Bt b) (k. A)t = k. At c) (A . B)t = Bt. At d) (At)t = A 18) Calcule o determinante de : 2 3 a) A = − 1 1
2 5 1 b) B = − 3 − 2 1 (Pela regra de Sarrus) 0 4 − 3
19) Resolver os sistemas: 2 x + 3 y = 7 a) x − y = 1 2 x − 9 y = −47 b) − x + 20 y = 101 20) Resolver os sistemas: 13 10 x + 3 y = c) 2 x + 5 y = 3
2 4 3 x − 9 y = 2 d) 1 x − 3 y = − 129 5 2 10 x − y + z = 4 21) A solução do sistema 2 x + 3 y − 5 z = −11 é: 3x − 2 y + z = 7 a) (1,-1,1) b) (1,-1,2) c) (0,1,2) d) (1,-1,0) e) (1,1,1) 22) Um comerciante vende os produtos A e B que juntos custam R$70,00. Duas unidades do produto A mais uma do produto C custam R$105,00 e a diferença de preço entre os produtos B e C, nesta ordem, é R$5,00, então calcule o preço do produto C. 23) Comprei um caderno de R$1,50 com moedas de 10 e 25 centavos de real. Se o número total de moedas é 9, quantas moedas de 10 centavos e de 25 dei em pagamento ?
24) Num parque de diversões há uma barraca de tiro ao alvo onde o freguês atira de graça. Se acertar na mosca, ganha 30 reais; e , se errar, paga 3 reais. Uma pessoa deu 50 tiros e saiu da barraca com 213 reais a mais do que quando chegou. Quantos tiros acertou na mosca ? E quantos tiros errou ? 25) Pretende-se pagar a quantia de 1150 unidades monetárias com 35 notas, umas de 50 e outras de 20 unidades monetárias. Quantas notas de 20 e quantas notas de 50 se devem usar? 26) Uma matriz quadrada A é dita ser inversível, ou não singular, se existe uma matriz B com a propriedade que AB = BA= I, onde I é a matriz identidade. A matriz B é única e é chamada inversa de A e denotada por A-1. B é inversa de A se e somente se A é inversa de B. Dadas as matrizes A e B abaixo mostre que são inversas. 2 5 3 − 5 A= , B= 1 3 − 1 2 0 27) Dadas as matrizes A = 1 que seja inversa de A , B ou C.
1 1 2 − 4 1 , B= eC= , verifique se há alguma 4 3 4 1 0
28) Dadas as matrizes booleanas: 1 0 0 A = 1 1 0 0 1 1
e
1 0 1 B = 0 1 1 1 1 1
Calcule: a) A ∧ B b) A ∨ B 29) Dadas as matrizes booleanas: 1 0 0 A = 0 0 1 1 1 0
e
0 1 1 B = 1 0 1 1 1 1
Calcule os seguintes produtos booleanos: a) AB b) BA 30) Calcule o produto booleano A2 considerando a matriz A do exercício anterior.