Lógica Matemática

MATEMÁTICA – CURSO : Análise de Sistemas e Tec. Processamento de Dados Prof . Carlos Roberto

Lógica? O que será isso?

Acho que não vou entender!!!!!!!

"Lógica: Coerência de raciocínio, de idéias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Seqüência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica é a ciência do raciocínio.

Proposição ou sentença.

Definição: É toda oração declarativa, de sentido completo, para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso.

São exemplos de proposições: - Quatro é maior que cinco.

- Ana é inteligente.

- São Paulo é uma cidade da região sudeste.

- O computador foi criado por Albert Einstein.

Exemplos de não proposições: - Como vai você?

- Como isso pode acontecer!

- Bom dia!

Valor lógico de uma proposição O valor lógico de uma proposição é a verdaderia (V) se for verdade e a falsidade (F) se for falsa.

Exercícios: 1) Quais das sentenças abaixo são proposições?

A lua é feita de Queijo verde (É uma proposição) Dois é um número primo (É uma proposição) O jogo vai acabar logo? (Não é uma proposição)

x 2 − 4 = 0 (não é uma proposição) 2 3 é raiz de x − 4 x + 3 = 0 (é uma proposição) 2) Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) O número 11 é um número primo {V(a) = V} b) Todo número divisível por 5 termina em 0 {V(b) = F} c) -2 < 0 {V(c) = V} d) log1010 = 3 {V(d) = F} 3) Descreva 10 proposições e de o valor lógico de cada uma.

(Atividade)

Tipos de Proposições Proposição Simples: não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.

Exemplos: Paulo é médico

2 <1 A impressora é um periférico.

Proposição Composta: é formada por duas ou mais proposições simples unidas por conectivos: "e", "ou", "se...então", "se e somente se", etc.

Exemplos:

2 < 1 ou 7 ≠ 4 Se Pedro é estudante, então lê livros.

Pedro é inteligente se e somente se estuda.

O sol é quadrado e a neve é branca.

Exercício.

1) Descreva 10 proposições compostas.

Operações lógicas sobre proposições ou cálculo proposicional VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições simples.

Exemplos: A taxa de juros é baixa: p O computador é barato: q

Conectivos ou operadores lógicos I : negação (não) “~” A taxa de juros não é baixa: ~p O computador não é barato: ~q II: conjunção (e) “ ∧ ” A taxa de juros é baixa e o computador é barato: p ∧ q III: disjunção (ou) “ ∨ ” A taxa de juros é baixa ou o computador é barato: p ∨ q IV: condicional (se, então) “ → ” Se a taxa de juros é baixa, então o computador é barato: p → q IV: bicondicional (se, e somente se) “ ↔ ” O computador é barato se, e somente se a taxa de juros é baixa: q ↔ p Exercícios: Sejam as proposições: t: Paulo joga futebol

u: Ana estuda Sistemas de Informação. z: A prova foi fácil.

1) Escreva na linguagem usual: a) b) c) d) e)

t ∧u u ∨ ~z u→t ~t ↔ u u → (t ∨ z)

2) Escreva na linguagem simbólica: a) A prova foi fácil ou Paulo não joga futebol. b) Paulo joga futebol se, e somente se Ana não estuda Sistemas de Informação. c) Se a prova não foi fácil, então Ana estuda Sistemas de Informação. d) Paulo joga futebol e a prova foi fácil se, e somente se Ana não estuda Sistemas de Informação.

3) Escreva simbolicamente cada frase: a) O ônibus demorou e Carlos chegou atrasado. b) A impressora não está quebrada se, e somente se o cartucho é legítimo. c) Se a máquina funciona, então a produção cresce. d) João estuda e trabalha se, e somente se não joga futebol.

TABELA-VERDADE NEGAÇÃO Seja p uma proposição simples tem-se que: p ~p V F F V CONJUNÇÃO A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quando V ( p) = V (q) = V, e falsa nos demais casos, isto é, só será verdadeira quando ambas forem verdadeiras.

Exemplo Para imprimir um texto é necessário que se tenha papel e cartucho.

Sejam as proposições simples: p: Alexandre tem papel q: Alexandre tem cartucho p V V F F

q p∧q V V F F V F F F

DISJUNÇÃO A disjunção de duas proposições p e q é falsa quando V ( p) =V (q) = F, e verdadeira nos demais casos, isto é, só será falsa quando ambas forem falsas.

Exemplo Para escrever um texto é necessário que se tenha caneta ou lápis.

Sejam as proposições simples: p: Alexandre tem caneta. q: Alexandre tem lápis. p V V F F

q p∨q V V F V V V F F

CONDICIONAL O condicional de duas proposições p e q é falso quando V ( p) = V e V (q) = F, e verdadeiro nos demais casos. A proposição p é chamada antecedente e a proposição q é o conseqüente do condicional, isto é, será falso se o antecedente for verdadeiro e o conseqüente falso.

Exemplo Se navegar na internet, então deverá comprar um produto.

Sejam as proposições simples: p: Maria navegou na internet. q: Maria comprou um produto. p V V F F

q p→q V V F F V V F V

BICONDICIONAL O bicondicional de duas proposições p e q é verdadeira quando V( p) = V(q) e falsa quando V(p) ≠ V(q).

Exemplo A nota será máxima se, e somente se todos os trabalhos forem entregues.

Sejam as proposições simples: p: Joaquim tirou nota máxima. q: Joaquim entregou todos os trabalhos. p V V F F

q p↔q V V F F V F F V

Como construir uma tabela-verdade?

Exemplo: 1) p ∨ (~ q) p V V F F

q ~q V F F V V F F V

p ∨ (~ q)

V V F V

2) (w ∧ t) ↔ ~u w V V V V F F F F

t V V F F V V F F

u ~u w ∧ t (w ∧ t) ↔ ~u V F V F F V V V V F F V F V F F V F F V F V F F V F F V F V F F

Exercícios.

1) Sabendo que V(p)=F e V(q)=V, determinar o valor lógico de cada uma das proposições: a) b) c) d)

p ∧ ~q (~p → q) ∨ p ~ q ∨ (~ p ↔ q )

~ ( p ∧ q ) →~ q

2) Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: a) p ∧ ~ q b)( p →~ w) ∨ w c)t ∧ (~ q ↔~ t ) d )(t ∧ ~ q) ↔~ t e) p ∨ q ↔ q ∨ p f )(t ∧ ~ q) →~ t g) p ∨ q → q ∨ p h) q ∨ p → p ∨ q i)( p ∨ q)∧ ~ p → q j ) [ q → ( p ∨ q)] ∧ ~ p k ) w → (~ t ∧ s ) l ) ~ t ∧ ( s → w) m)(~ a ↔ b)∨ ~ c n) ~ [ ( p → ~ w ) ∨ w ]

TAUTOLOGIA, CONTINGÊNCIA OU CONTRADIÇÃO TAUTOLOGIA: é a proposição composta que em sua tabela-verdade resulta em valores lógicos todos verdadeiros, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes.

CONTINGÊNCIA: é a proposição composta que em sua tabelaverdade resulta em valores lógicos verdadeiros e falsos.

CONTRADIÇÃO: é a proposição composta que em sua tabelaverdade resulta em valores lógicos todos falsos, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes.

Exercício.

Classifique as composições compostas abaixo em tautologia, contingência ou contradição.

a) p ∧ ~ q b)( p →~ w) ∨ w c)t ∧ (~ q ↔ ~ t ) d )(t ∧ ~ q) ↔ ~ t e) p ∨ q ↔ q ∨ p f )(t ∧ ~ q ) →~ t g) p ∨ q → q ∨ p h) q ∨ p → p ∨ q i )( p ∨ q)∧ ~ p → q j )q → ( p ∨ q)∧ ~ p k ) w → (~ t ∧ s) l ) ~ t ∧ ( s → w) m)(~ a ↔ b)∨ ~ c

IMPLICAÇÃO Diz-se que uma proposição p implica uma proposição q (indica-se por p ⇒ q) quando, o condicional p → q for tautologia.

Exemplo: Verificar se p ⇒ q → p .

Tabela-verdade:

p V V F F

q V F V F

q→ p

p → (q → p)

V V F V

V V V V

Conclusão: p ⇒ q → p pois o condicional p → (q → p) é tautologia.

EQUIVALÊNCIA Diz-se que uma proposição p equivale a uma proposição q (indica-se por p ⇔ q) quando, o bicondicional p ↔ q for tautologia.

Exemplo: Verificar se p ∧ q ⇔ q ∧ p .

Tabela-verdade: p V V F F

q V F V F

p∧q

V F F F

q∧ p

p∧q ↔ q∧ p.

V F F F

V V V V

Conclusão: p ∧ q ⇔ q ∧ p pois o bicondicional p ∧ q ↔ q ∧ p é tautologia.

Exercício 1) Verificar mediante tabelas-verdade as seguintes relações.

a)q ⇒ t → q b)( p ∧ q ) ↔ p ⇒ q c) p ∧ (q ∨ p ) ⇔ p d ) p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p e) ~ r ∧ ~ r ⇔ ~ r f )t ⇒ w ∧ t g )a ∨ b ⇒ a h) p ∨ (~ q ∧ r ) ⇔ (r ∧ ~ q ) ∨ p i) p ∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )