MATEMATICA_CP_1s_Vol2reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino médio a

1 - SÉRiE

volume 2 – 2009

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matEmática

PROFESSOR

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Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNiCA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOiO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1ª- série, volume 2 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-296-0 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério Ferreira da. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título. CDU: 373.5:51

Prezado(a) professor(a), Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças nesta área a partir da ação do poder público. Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção. O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas para cada disciplina. Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um mundo de melhores oportunidades por meio da educação.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

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SuMário São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Funções como relações de interdependência: múltiplos exemplos 11 Situação de Aprendizagem 2 – Funções de 1o grau: significado, gráficos, crescimento, decrescimento, taxas 20 Situação de Aprendizagem 3 – Funções de 2o grau: significado, gráficos, intersecções com os eixos, vértices, sinais 28 Situação de Aprendizagem 4 – Problemas envolvendo funções de 2o grau em múltiplos contextos problemas de máximos e mínimos 51 Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 59 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

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FiCHA do CAdErno Funções como relações de interdepêndencia: proporcionalidade, funções de 1o e 2o graus, aplicações

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Médio 1a 2o bimestre de 2009 Funções de 1o grau: significado, gráficos, crescimento, decrescimento, taxas Funções de 2o grau: significado, gráficos, interseções com eixos, vértices, sinais Problemas envolvendo funções de 2o grau em diferentes contextos; problemas de máximos e mínimos Funções como relações de interdepêndencia: múltiplos exemplos

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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Nessa abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do mesmo. Em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana ou tratado de modo mais simplificado, conforme a decisão do professor. É desejável que o professor tente contemplar as oito unidades, pois, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, que

somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, ao longo dos Cadernos são apresentadas quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação na sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. Sempre que possível são apresentados em cada Caderno materiais (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. O Caderno também apresenta algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

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Matemática - 1a série - Volume 2

Conteúdos básicos do bimestre Neste bimestre, o conteúdo básico é uma retomada da noção de função, que traduz uma relação de interdependência entre duas grandezas, explorando-se especialmente as funções de 1o grau e do 2o grau, bem como suas aplicações em diferentes contextos. Tais assuntos já foram apresentados aos alunos em séries anteriores. Na 6a série do Ensino Fundamental foram exploradas situações envolvendo a proporcionalidade direta e inversa entre grandezas, e que conduzem a relações do tipo y = kx, ou então, y = k , sendo k uma constante não x nula. Na 8a série, foram estudadas as funções y = ax + b e y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, tendo sido construídos seus gráficos. Agora, o estudo dessas funções será apresentado de modo mais sistematizado. Tudo será feito, no entanto, de tal forma que, mesmo se o professor estiver tratando desse assunto pela primeira vez, o aluno não terá grandes dificuldades em acompanhar as atividades propostas. Como já foi dito anteriormente, as funções referidas são capazes de traduzir matematicamente todos os processos que envolvem relações de proporcionalidade direta (gráficos lineares), ou relações em que uma grandeza é proporcional ao quadrado de outra (gráficos com a forma de uma parábola). Muitos exercícios envolvendo situações concretas em que a consideração das grandezas envolvidas conduz a uma função de 1o grau ou de 2o grau serão contemplados, com especial destaque para problemas de otimização, ou seja, problemas que envolvem a obtenção

do máximo ou do mínimo de uma função, em determinado contexto. De modo geral, os conteúdos estudados neste bimestre são meios para o desenvolvimento das competências básicas, na medida em que: f o recurso à linguagem das funções para representar interdependências conduz a um aumento na capacidade de expressão, favorecendo a construção de um discurso mais eficaz para enfrentar problemas em diferentes contextos; f a capacidade de compreensão de uma variada gama de fenômenos é ampliada, uma vez que muitas situações de interdependência estão naturalmente associadas a modelagens que conduzem a explicações dos referidos fenômenos; f o reconhecimento das funções envolvidas em um fenômeno possibilita uma ação organizada sobre o mesmo, enfrentando-se situações problemáticas e fazendo-se propostas de intervenção consciente sobre a realidade representada.

Para a organização dos trabalhos do bimestre, dividimos o conteúdo em oito unidades, mais ou menos correspondentes às oito semanas de aulas. Sugerimos a seguinte estruturação: Na Unidade 1, reapresentaremos a ideia de função por meio de múltiplos exemplos de

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situações de interdependência entre grandezas. As atividades propostas estão organizadas na Situação de Aprendizagem 1 – Funções como relações de interdependência: múltiplos exemplos. Na Unidade 2, destacaremos as funções de 1 grau, com suas qualidades características. As atividades propostas compõem a Situação de Aprendizagem 2 – Funções de 1o grau: significado, gráficos, crescimento, decrescimento, taxas. Nas Unidades 3, 4 e 5, serão sistematizados os fatos fundamentais relativos às funções de 2o grau (gráficos, simetria, interseção com os eixos, coordenadas do vértice, estudo dos sinais). As atividades sugeridas constituem a Situação de Aprendizagem 3 – Funções de 2o grau: significado, gráficos, interseções com os eixos, vértices, sinais. o

Nas Unidades 6, 7 e 8, serão apresentados diversos problemas envolvendo funções de 2o grau, incluindo situações de otimização (máximos e mínimos): Situação de Aprendizagem 4 – Problemas envolvendo funções de 2o grau em diferentes contextos; problemas de máximos e mínimos.

Quadro geral de conteúdos do 2o bimestre da 1a série do Ensino Médio unidade 1 – Funções como relações de interdependência. unidade 2 – Funções de 1o grau – Significado, gráficos, crescimento, decrescimento, taxas. unidades 3, 4, 5 – Funções de 2o grau – Significado, gráficos, interseções com os eixos, vértice, sinais. unidades 6, 7 e 8 – Problemas envolvendo funções de 2o grau – Problemas de máximos e mínimos.

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Matemática - 1a série - Volume 2

SituAçõES dE APrEndizAGEM SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 FUNÇÕES COMO RELAÇÕES DE INTERDEPENDÊNCIA: MÚLTIPLOS EXEMPLOS tempo previsto: 1 semana e meia. Conteúdos e temas: interdependência entre grandezas; proporcionalidade direta e inversa; funções: variável dependente e variável independente; exemplos diversos. Competências e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade direta e inversa como relações de interdependência; expressar a interdependência entre grandezas por meio de funções; contextualizar a ideia de função e enfrentar situações-problema relativas ao tema. Estratégias: utilização de diversas linguagens para traduzir a ideia de função (gráficos, tabelas, expressões algébricas, etc.); exercícios referentes a situações-problema em diferentes contextos, envolvendo a ideia de função.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 O texto a seguir constitui apenas um roteiro para a apresentação inicial da ideia de função, ou seja, uma organização dos fatos já conhecidos sobre o tema. Cabe ao professor apresentá-lo detalhadamente ou não, ou passar diretamente à exploração das atividades propostas.

Grandezas e Funções Uma grandeza é tudo aquilo que pode variar, seja aumentando ou diminuindo. A altura de uma árvore ao longo do tempo, o peso de uma pessoa ao longo de sua vida, o preço do barril de petróleo a cada dia, a produção de automóveis de um país ano após ano, a temperatura de um refrigerante colocado em uma geladeira, o preço a pagar

por uma corrida de táxi são alguns exemplos de grandezas. Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma que seus valores assumem valores interrelacionados. Quando, deixando variar livremente os valores de uma grandeza x, notamos que os valores de outra grandeza y também variam, de tal forma que a cada valor de x corresponde um e somente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x; dizemos ainda que x é a variável independente e y é a variável dependente. Por exemplo, a) a área A de um quadrado é uma função de seu lado x; deixando os valores de x variar livremente (naturalmente, x não pode assumir valores negativos), então os valores de A variarão em função de x, e escrevemos A = f(x). No caso, temos: A = f(x) = x2.

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b) o comprimento C de uma circunferência é uma função de seu raio r; no caso, temos C = f(r) = 2πr. c) a altura H de uma pessoa é uma função de sua idade t; podemos escrever H = f(t), sendo certo que a cada valor de t corresponde um único valor de H. No caso, não sabemos exprimir a relação de interdependência f(t) por meio de uma fórmula. Um caso simples de relação de interdependência ocorre quando temos duas grandezas proporcionais, estudadas desde a 6a série do Ensino Fundamental. Quando x e y são duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou diminuem simultaneamente, e na mesma y é constante, proporção, ou seja, a razão x e resulta que y = kx (k é uma constante). Quando x e y são duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa, de modo que o produto das duas permanece constante: x . y = k, ou seja, y = k onde k é uma constante não nula. x Quando observamos os valores de duas grandezas interdependentes x e y, e notamos que um aumento no valor de x acarreta um aumento no valor de y, ou então, um aumento no valor de x provoca uma diminuição no valor de y, então somos tentados a dizer que x e y variam de modo diretamente proporcional, no primeiro caso, ou inversamente proporcio-

nal, no segundo. Entretanto, tais afirmações nem sempre são corretas, uma vez que, como já foi visto anteriormente, a proporcionalidade direta exige mais do que um aumento simultâneo nos valores de x e y; além disso, é y preciso que a razão seja constante. Analox gamente, a proporcionalidade inversa é mais do que uma diminuição nos valores de uma das grandezas, quando aumentam os valores da outra grandeza; é necessário que o produto dos valores de x e y permaneça constante.

Atividade 1 Em cada um dos casos a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade. Se existir, expresse tal fato algebricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade. a) A altura a de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade t? b) A massa m de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade t? c) O perímetro p de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado a? d) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado a? e) O comprimento C de uma circunferência é diretamente proporcional ao seu diâmetro d? Trata-se de verificar se há proporcionalidade direta ou não entre vários pares de grandezas, expressando algebricamente tal fato e indicando o valor da constante de proporcionalidade, quando possível.

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a) A altura a de uma pessoa é uma função de sua idade t, mas não é diretamente proporcional a t. De fato, não é verdade que sempre que a idade de uma pessoa duplica, então sua altura também duplica; não é verdade que se a idade triplica, então a altura aumenta proporcionalmente, triplicando. Se houvesse proporcionalidade entre a e t, imaginem a altura de uma pessoa aos 10 anos, sabendo que aos 2 anos ela tinha 90 cm de altura... b) A massa m de uma pessoa é uma função de sua idade t, mas não é diretamente proporcional a t. Se houvesse proporcionalidade direta, uma criança com 1 ano e 10 kg teria quantos quilos aos 15 anos?... c) O perímetro p de um quadrado é uma função de seu lado a. No caso, p = f(a) = 4a. Se o lado a aumenta, o perímetro p aumenta proporcionalmente. O perímetro p é diretamente proporcional ao lado a, sendo a constante de proporcionalidade igual a 4. d) A diagonal d de um quadrado é uma função do lado a; ela é diretamente proporcional ao lado a. Temos, neste caso, d = a 2. A constante de proporcionalidade é k = 2. e) O comprimento C de uma circunferência é uma função do diâmetro d; no caso, C é diretamente proporcional a d, e temos C = f(d) = πd, ou seja, a constante de proporcionalidade é k = π. Também podemos escrever C = 2πr, onde r é o raio da circunferência.

Atividade 2 As tabelas a seguir relacionam pares de grandezas. Indique se existe ou não proporcionalidade (direta ou inversa). a) Produção de automóveis e produção de tratores (anual, em milhares) País

Automóveis

tratores

100

150

200

225

250

300

350

400

450

b) Área destinada à agricultura e área destinada à pecuária (em 1 000 km2) País

Agricultura

Pecuária

100

110

120

150

100

160

124

180

128

200

132

250

136

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c) Produto Interno Bruto (PIB, em milhões de dólares) e Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) País

Pib

idH

300

0,90

400

0,92

510

0,80

620

0,88

750

0,78

760

0,89

880

0,91

1 000

0,80

1 100

0,86

d) Expectativa de vida (em anos) e índice de analfabetismo (% da população) País

Expectativa de vida

Índice de analfabetismo

O objetivo das tabelas é apenas o de consolidar o fato de que duas grandezas podem crescer ou decrescer conjuntamente, ou então podem variar em sentidos opostos (quando uma cresce,

a outra decresce) sem que haja proporcionalidade direta ou inversa. Apenas no exemplo do item a a grandeza da 1a coluna é diretamente proporcional à grandeza da 2a coluna, sendo a constante de proporcionalidade igual a 12,5; nos outros casos, nem a razão entre as grandezas é constante, nem o produto delas o é, ou seja, em cada um dos pares, não há proporcionalidade direta, nem inversa. De acordo com as tabelas, podemos afirmar, então, que: a) a produção de automóveis cresce simultaneamente com a produção de tratores; ela é diretamente proporcional à produção de tratores; b) a área destinada à agricultura cresce juntamente com a área destinada à pecuária; c) não é verdade que se o PIB aumenta, então o IDH aumenta; também não é verdade que se o PIB diminui, então o IDH diminui. d) mesmo sem haver proporcionalidade, quando o índice de analfabetismo diminui, a expectativa de vida aumenta.

Atividade 3 Um prêmio P da loteria deve ser dividido em partes iguais, cabendo um valor x a cada um dos n ganhadores. Considerando um prêmio P de R$ 400 000,00 preencha a tabela abaixo e expresse a relação de interdependência entre x e n. n

x A partir do fato de que os R$ 400 000,00 serão divididos em partes iguais entre os

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n ganhadores, concluímos que a cada um deles corresponderá um valor x, sendo n . x = 400 000, ou seja, n e x são inversamente proporcionais: x = f(n) = 400 000 n n

400 000

200 000

100 000

80 000

50 000

40 000

20 000

Atividade 4 Para cortar a grama de um canteiro quadrado de 5 m de lado, um jardineiro cobrou R$ 20,00. Mantida a proporção, para cortar a grama de um canteiro quadrado de 15 m de lado, quanto o jardineiro deverá cobrar? A quantia a cobrar C é diretamente proporcional à medida x do lado do canteiro quadrado? Afirma-se que para cortar a grama de um canteiro quadrado de 5 m de lado, ou seja, de área 25 m2, um jardineiro cobrou R$ 20,00, ou seja, ele cobrou R$ 0,80 por m2. Mantida esta proporção, para cortar a grama de um canteiro com 15 m de lado, ou seja, com área 225 m2, ele deverá cobrar 225 . 0,80, ou seja, R$ 180,00. Outra maneira de encaminhar a solução é a seguinte: a quantia a ser cobrada é diretamente proporcional à área do canteiro, e não ao seu lado; se o lado triplicou, a área tornou-se 9 vezes maior, e a quantia a ser paga deverá

ser 9 vezes maior. Faça uma figura de um quadrado com lado x (e área x2) e de outro com lado 3x, para mostrar que a área do maior é 9x2.

Atividade 5 Quando uma pedra é abandonada em queda livre (sem considerar a resistência do ar ao movimento), a distância vertical d que ela percorre em queda é diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = kt². Observando-se que após 1 segundo de queda a pedra caiu 4,9 metros, pergunta-se: a) qual é o valor da constante de proporcionalidade k? b) qual é a distância vertical percorrida após 5 segundos? c) quanto tempo a pedra levará para cair 49 m? Notamos que a distância vertical d que a pedra percorre não é diretamente proporcional ao tempo t de queda, mas sim ao quadrado de t: d = kt². a) É dado que para t = 1, então d = 4,9 m, ou seja, substituindo os valores de t e de d, temos, k = 4,9. b) Para calcular a distância vertical percorrida após 5 s, basta substituir t por 5, obtendo-se d = 4,9 . 52, ou seja, d = 122,5 m. c) Substituindo-se d por 49, obtemos o tempo que a pedra levará para cair 49 m: 49 = 4,9t2, ou seja, t = 10 ≅ 3,16 s.

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Gráficos de funções Dada uma função y = f(x), o conjunto de pontos (x; y) do plano cartesiano tal que y = f(x) constitui o gráfico da função. No caso das grandezas diretamente proporcionais, sendo y = constante = k, ou seja, y = f(x) = kx, x então o gráfico correspondente é uma reta passando pela origem do sistema de coordenadas:

No caso da proporcionalidade inversa, temos a relação xy = k, ou seja, f(x) = k , x quanto mais aumenta o valor de x, menor é o valor correspondente de y, e vice-versa; o gráfico correspondente é uma curva chamada hipérbole (ver figura a seguir). y

y f(x) =

y = f(x) = kx y1 y2 y3 = = = const. = k x1 x2 x3

k x

Quando duas grandezas x e y variam de tal forma que y = kx + h, ou seja, f(x) = kx + h (k e h constantes), existe uma proporcionalidade direta entre os valores de y – h e os de x. A representação gráfica correspondente é uma reta com inclinação k; h é o valor inicial a partir do qual a variação em y é diretamente proporcional a x. (No caso particular de termos h = 0, então a reta passa pela origem.)

Atividade 6 O preço P a cobrar em uma corrida de táxi é composto por uma quantia a fixada, igual para todas as corridas, mais uma parcela variável, que é diretamente proporcional ao número x de quilômetros rodados: P = a + b . x (b é o custo de cada quilômetro rodado). Em certa cidade, temos P = 15 + 0,8 . x (P em reais e x em km)

a) Qual é o preço a cobrar por uma corrida de 12 km?

0 x1

y1 – h y2 – h y3 – h = = = const. = k x1 x2 x3

b) Calcule a diferença entre os preços de duas corridas, uma de 20 km, outra de 21 km. c) Esboce o gráfico de P em função de x.

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Este é mais um exemplo de uma situação em que a proporcionalidade direta existe apenas no cálculo da parcela variável da corrida de táxi, existindo outra parcela fixa, independentemente dos quilômetros rodados. Temos, no caso, P = 15 + 0,8 . x (P em reais e x em km; 0,8 reais é o custo de cada quilômetro rodado). a) Em uma corrida de 12 km, ou seja, para x = 12, resulta P = 15 + 0,8 . 12 = 24,6 reais. b) A diferença entre os custos de uma corrida de 20 km e outra de 21 km é o custo de 1 km rodado, ou seja, 0,8 reais. c) O gráfico de P em função de x é uma reta com inclinação 0,8, cortando o eixo vertical (OP) no ponto de ordenada 15. P P = 15 + 0,8x 1

0,8

15 0

Atividade 7

a) Calcule o número de dias necessários para consumir-se 6 kg de gás. b) Calcule a massa de gás que resta em um botijão após 10 dias de uso. c) Esboce o gráfico de m em função de t. Neste caso, temos uma variação proporcional em uma grandeza decrescente: se o consumo diário é sempre 0,5 kg por dia, então a massa do gás consumido é diretamente proporcional ao número de dias, e a massa restante no botijão é a diferença entre o valor inicial, 13 kg, e a massa consumida, ou seja, m = 13 – 0,5 t (t em dias). a) O número x de dias necessários para consumir-se 6 kg de gás é tal que 0,5.x = 6, ou seja, x = 12 dias. b) A massa de gás que resta em um botijão após 10 dias de uso é m = 13 – 0,5 . 10 = 8 kg. c) O gráfico de m em função de t é uma reta cortando o eixo Om no ponto de ordenada 13 e decrescendo a uma taxa de –0,5 kg por dia:

m 13

Na casa de uma família que gasta sempre cerca de 0,5 kg de gás de cozinha por dia, a massa de gás contido em um botijão doméstico de 13 kg varia com o tempo de acordo com a fórmula, m = 13 – 0,5 t, onde t é o tempo em dias.

1 – 0,5

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Atividade 8

Atividade 9

O número n de dias necessários para esvaziar um reservatório de água de 20 000 ℓ depende do consumo diário de água. Se o consumo for de x litros por dia, então os valores de n e x devem satisfazer à condição N.x = 20 000.

Fixada a temperatura t, a pressão P e o volume V de um gás variam segundo a expressão P.V = k (k é uma constante). Esboce o gráfico de P em função de V.

a) Calcule os valores de n para x1 = 500 ℓ por dia e para x2 = 800 ℓ por dia. b) Esboce o gráfico de n em função de x.

Fixada a temperatura T, a pressão P e o volume V de um gás variam segundo a expressão P.V = k (k é uma constante). O gráfico de P em função de V é um ramo de hipérbole, e é muito fácil de se encontrar em livros de Química: P

Para esvaziar um reservatório de 20 000 ℓ, se o consumo diário for x litros por dia, serão necessários N dias, sendo N.x = 20 000, ou seja, N e x são inversamente proporcionais. a) Para x1 = 500, o número de dias N1 é tal que N1 . 500 = 20 000, ou seja, N1 = 40 dias; analogamente, para x2 = 800, o número de dias N2 é tal que N2 . 800 = 20 000, ou seja, N2 = 25 dias. b) O gráfico de N em função de x é uma curva que representa o fato de que, quanto maior o valor de N, menor o de x, mantendo-se a proporção inversa (N . x = 20 000); é o ramo de hipérbole mostrado a seguir: N

P.V = k (T constante)

P1 P2 V1

Atividade 10 O gráfico a seguir mostra o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de um ano. Analise atentamente o gráfico e responda: nível (m)

N.x = 20 000

100 90 80

20 000 N = f(x) = x 40 25

500

800

tempo

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a) Qual foi o menor nível de água armazenada na barragem? E o maior? Da observação direta do gráfico concluímos que o nível mínimo da água armazenada foi de 10 m; o máximo foi de 100 m. b) Quantas vezes no ano a barragem atingiu o nível de 40 m? E o nível de 95 m? Analogamente, observamos que o nível de 40 m foi atingido duas vezes no ano; já o nível de 95 m foi atingido seis vezes ao longo do ano.

Considerações sobre a avaliação Somente o professor, em sua circunstância específica, poderá avaliar em que medida a apresentação da ideia de função aqui realizada constitui uma revisão de conteúdos que já foram tratados anteriormente ou uma abordagem inicial do tema. Tanto no caso de uma abordagem inicial, quanto no caso de o professor notar que os alunos já conhecem os temas que estão sendo apresentados, seria interessante o recurso a tabelas e gráficos extraídos de jornais ou revistas; tal recurso

tanto pode servir como uma porta de entrada suave para o tema, quanto para um aprofundamento no mesmo. A escolha dos materiais em sintonia com a real condição de sua turma é um desafio interessante para o discernimento do professor. Ao final desta primeira Situação de Aprendizagem, é fundamental que a ideia de função como interdependência entre duas grandezas tenha se consolidado, com a assimilação da nomenclatura “variável independente” (aquela à qual atribuímos valores livremente) e “variável dependente”, ou a variável que é considerada, no contexto, como uma função da outra. Um aprofundamento da ideia de proporcionalidade deverá ser deixado para as Situações de Aprendizagem seguintes, em que serão explorados dois tipos particulares de interdependência especialmente considerados: as funções de 1o grau, associadas à proporcionalidade direta, e as funções de 2o grau, associadas à proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra.

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Situação de aprendizagem 2 FunçÕeS de 1o- grau: SigniFiCado, grÁFiCoS, CreSCimento, deCreSCimento, taXaS

Tempo previsto: 1 semana e meia. Conteúdos e temas: funções de 1o grau: significado dos coeficientes, crescimento, decrescimento, taxas de variação, gráficos, inequações. Competências e habilidades: compreender a função de 1o grau como expressão de uma proporcionalidade direta entre grandezas; expressar essa proporcionalidade por meio de gráficos. Estratégias: apresentação de uma síntese dos fatos já apresentados anteriormente sobre proporcionalidade e funções de 1o grau; exploração desses fatos em situações problema em diferentes contextos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 o texto a seguir constitui um roteiro para a apresentação da ideia de função de 1o grau, que pode já ser conhecida dos alunos, bem como para uma organização de alguns fatos já conhecidos sobre o tema. Cabe ao professor apresentar o assunto com mais ou menos pormenores ou passar diretamente à exploração das atividades, de acordo com o nível de conhecimentos dos alunos.

Funções de 1-o grau: significado Sempre que expressamos por meio de variáveis uma situação de interdependência envolvendo duas grandezas diretamente

proporcionais, chegamos a uma função de 1o grau. de modo geral, uma função de 1o grau é expressa por uma fórmula do tipo f(x) = ax + b, em que a e b são constantes, sendo a ≠ 0. Quando a = 0, a função se reduz a f(x) = b, ou seja, a uma função constante. a proporcionalidade expressa por uma função desse tipo é explicitada quando notamos que a diferença f(x) – b = ax, ou seja, que a razão entre f(x) – b e x é constante e f(x) – b = const. = a. igual a a: x em consequência, o gráfico de f(x) = ax + b é uma reta, quaisquer que sejam os valores de a e b, pois a constância da razão acima garante o ângulo de inclinação constante para o segmento formado por dois pontos quaisquer do gráfico:

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f(x) = ax + b

– √3

f(x)

f(x) – b

1 – √3

f(x) – b = const. = a x

b 1

Podemos observar que o coeficiente b representa o valor de f(x) para x = 0; quando a = 0, a função assume valores constantes, qualquer que seja o valor da variável independente x: f(x) = constante = b. Também notamos que o coeficiente a representa a inclinação da reta que é o gráfico, uma vez que para x = 1, temos f(1) = a + b, e então f(1) – b = a = f(x) – b para todo x. 1 x De modo equivalente, podemos notar que f(x + 1) – f(x) = a(x + 1) + b – ax – b = a, ou seja, a variação de f(x) para cada unidade a mais de x é igual a a: f se f(x) = ax + b, então f(x + 1) – f(x) = a. Por exemplo, sendo f(x) = ( 3 )x + 27, então temos: f(13) – f(12) =

– √3

x 0

Resumindo os fatos apresentados sobre a função f(x) = ax + b em um gráfico, temos: y

f(x) = ax + b

f(x) f(x) – b = const. = a x

a+b

f(x) – b

1 0

x x

Podemos afirmar, então, que: f quando a > 0, a função é crescente; f quando a < 0, a função é decrescente; f nos dois casos, o valor de a representa a variação de f(x) por unidade a mais de x, o que representa um aumento quando a > 0, ou uma diminuição, quando a < 0. f(x) = ax + b

f(29) – f(28) =

f(1 347) – f(1 346) = f(k + 1) – f(k) =

– f(x) = (√3)x + 27

f(x)

a+b

Graficamente, isso significa que a inclinação do gráfico de f(x) é sempre a mesma, no caso, igual a 3 (veja o gráfico da função):

a (a>0) b

1 a (a<0)

a=0 x

0 1

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Naturalmente, quando b = 0, a função reduz-se a f(x) = ax e seu gráfico passa pela origem do sistema de coordenadas.

(há proporcionalidade direta entre y e x).

Notamos ainda que se duas funções de 1 grau f(x) e g(x) são tais que o coeficiente de x é o mesmo em ambas, então seus gráficos são retas paralelas, uma vez que a inclinação das retas é a mesma nos dois casos.

Reta B

Segue, portanto, que f(x) = 2x (a = 2 e b = 0).

f(x) = ax + b

g(x) = ax + c b

m(x) = dx + b

h(x) = dx gráficos de f(x) e de g(x) são paralelos: mesma inclinação a gráficos de m(x) e de h(x) são paralelos: mesma inclinação d

Atividade 1 As retas A, b, C, d e E são os gráficos de funções do tipo f(x) = ax + b. Determine os valores de a e b em cada um dos cinco casos. C

2 –2 –1

2 3

Reta C Observando as retas A e C percebemos que elas são paralelas, ou seja, a inclinação é a mesma, igual a 2 em ambas. Como a reta C corta o eixo y no ponto de ordenada 4, o valor de b é 4 e temos f(x) = 2x + 4 para a reta C. Reta D Trata-se do caso em que o coeficiente a é igual a zero; como o valor de b é 4, então temos a função constante e igual a 4: f(x) = 4. Reta E

B A

Observando as retas A e B percebemos que elas são paralelas, ou seja, o coeficiente a é comum a ambas. Como B corta o eixo y no ponto de ordenada 2, temos b = 2, ou seja, f(x) = 2x + 2, no caso da reta B.

A reta E corta o eixo y no ponto de ordenada 4; logo, b = 4. Temos, então, f(x) = ax + 4. Como a reta passa pelo ponto (3; 0), temos f(3) = 0, ou seja, 0 = a . 3 + 4. Daí obtemos –4 –4 . Logo, f(x) = x + 4. a= 3 3

Reta A

Atividade 2

Como a reta A passa pela origem, o coeficiente b é igual a zero. Todos os seus pontos (x; y) são tais que y é igual a 2 x

O gráfico a seguir mostra a relação entre a quantidade x litros de xampu produzida e o custo C(x), em R$, da produção caseira.

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tão grande quanto quisermos. Naturalmente, as condições reais de produção podem impor outros limites ao valor de x.

C(x)

520 500

c) Qual é o gasto para se produzir 1 500 litros de xampu? 10

a) Qual é o possível motivo de um gasto de R$ 500,00 quando não se está produzindo xampu? O custo quando a empresa não está produzindo é chamado pelos economistas de custo fixo. Mesmo sem produzir e vender, uma empresa tem custos fixos de aluguel e impostos. No caso da empresa analisada no problema, seu custo fixo é de R$ 500,00. b) Qual é a função C(x) = ax + b representada no gráfico? Essa expressão da interdependência entre o custo C e a quantidade produzida x é válida para qualquer valor de x? O gráfico intersecta o eixo y no ponto de ordenada 500, o que significa dizer que b = 500, ou seja, C(x) = ax + 500. Usando o fato de que para x = 10 o valor de C é 520, temos: 520 = a . 10 + 500

C(1500) = 2 . 1 500 + 500; logo, C(1 500)= 3 500 reais d) Quantos litros de xampu podem ser produzidos com R$ 10 000,00? Para C = 10 000, temos: 10 000 = 2x + 500, de onde segue que x = 4 750 litros. e) Qual é a variação no gasto para a produção de cada litro adicional de xampu? Pelo gráfico vemos que a cada 10 ℓ gasta-se R$ 20,00 a mais; portanto, a cada 1 ℓ gasta-se R$ 2,00 a mais (esse valor é a inclinação da reta que é o gráfico).

Atividade 3 As retas A, B e C são representações gráficas da função f(x) = mx, que é um caso particular da função f(x) = mx + n, quando n = 0. Determine o valor de m em cada um dos três casos. y A

Logo, a = 2, e a função é C(x) = 2x + 500. Como x é o total de litros de xampu produzido pela empresa, essa função só faz sentido para x ≥ 0. Matematicamente, o valor de x pode ser

–3

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Como as funções são do tipo f(x) = mx, basta substituir um par de valores de x e de y = f(x) nessa equação para determinar o valor de m: Em A, temos: 4 = m .(−3), ou seja, m = – 4 3 Em B, temos: 4 = m . 2, ou seja, m = 2 Em C, temos: 4 = m . 5, ou seja, m = 4 5

Atividade 4 Analisando as funções obtidas na atividade anterior, responda: a) As funções f(x) = mx que têm como gráficos as retas b e C possuem m > 0. Em casos assim, quanto maior o valor de m, a reta estará mais “em pé” ou mais “deitada”?

correspondem aos gastos com serviços, e mais uma taxa fixa de R$ 10,00 de couvert artístico para os músicos. a) Chamando de x os gastos com comida e bebida (em R$), e y o valor total da conta (em R$), determine uma expressão do tipo y = mx + n que represente a relação entre x e y. Sendo x o valor gasto com comida e bebida, e observando-se que acrescentar 10% a um valor equivale a multiplicá-lo por 1,1, o valor y a ser pago será: y = 1,1x + 10. b) Faça um gráfico no plano cartesiano para representar a função encontrada no item anterior. O gráfico será uma reta que corta o eixo y no ponto de ordenada 10 e que tem inclinação igual a 1,1; para x = 10, o valor de y correspondente será 21: y 21 20

Quando m > 0, quanto maior o seu valor mais “em pé” estará a reta. b) Como podemos saber se uma reta está inclinada para a direita ou para a esquerda apenas observando o valor de m na sua equação? Se m > 0 a reta está inclinada para a direita (função crescente), se m < 0 a reta está inclinada para a esquerda (função decrescente).

Atividade 5 A conta de certo restaurante é composta pelo valor total das despesas com comida e bebida, mais 10% sobre esse valor, que

Atividade 6 Celsius, Fahrenheit e Kelvin são as três escalas de temperatura mais utilizadas. Sendo C o valor da temperatura em graus Celsius, F a mesma temperatura medida em graus Fahrenheit e K a medida da mesma em graus Kelvin, para converter uma temperatura de uma para outra escala, temos os seguintes fatos fundamentais:

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f nas escalas Celsius e Kelvin o tamanho do grau é o mesmo, havendo apenas um deslocamento da origem, que na escala Celsius é no 0, e na escala Kelvin é no 273;

Os segmentos que determinam as temperaturas nas diferentes escalas representam a mesma parte do intervalo entre a temperatura de fusão do gelo e a de ebulição da água, ou seja, temos a proporção:

f na escala Celsius, a temperatura de fusão do gelo é 0o e a de ebulição da água é 100º; na escala Fahrenheit, a temperatura de fusão do gelo é 32º e a de ebulição da água é de 212º.

K – 273 C–0 F – 32 = = 373 – 273 100 – 0 212 – 32

Com base nessas informações,

De tal proporção, concluímos que: K – 273 C F – 32 = = 100 100 180

a) mostre que, para transformar uma temperatura dada em graus Celsius para graus Kelvin, a regra é K = C + 273;

Ou seja,

b) mostre que, para transformar uma temperatura dada em graus Celsius para graus Fahrenheit, a regra é F = 1,8C + 32;

F = 1,8C + 32

c) calcule a quantos graus Celsius corresponde uma temperatura de 95º F; d) calcule a quantos graus correspondem 300º K na escala Fahrenheit. a) e b) Temos o seguinte esquema:

212 ebulição da água

100

373

K = C + 273

c) Sendo F = 95, temos: 95 = 1,8C + 32, e então, C = 35 d) Uma temperatura de K = 300, corresponde a C = 27. Calculando em Fahrenheit, obtemos: F = 1,8 . 27 + 32, ou seja, F = 80,6.

Atividade 7 O gráfico a seguir indica a produção brasileira de petróleo, em milhões de barris, nos anos de 2004 e 2005. Produção (milhões de barris)

596

273 Kelvin

0 Celsius

32 Fahrenheit

fusão do gelo

535 04

Ano

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Admitindo que a taxa de crescimento do período 2004-2005 se manteve no período 2005-2006, calcule o valor aproximado da produção média anual, em milhões de barris, no ano 2006. A taxa de crescimento é a razão entre a variação na produção e a variação no tempo, o que representa o aumento da produção por ano. Portanto, a taxa m entre 2004 e 2005 foi 596 – 535 = 61 milhões de barris. igual a m = 5–4 Se essa taxa permanecer constante, ou seja, se o gráfico continuar sendo a mesma reta desenhada anteriormente, no período 2005-2006 o aumento da produção seria de 61 milhões de barris, e a produção estimada seria de 596 + 61 = 657 milhões de barris.

Atividade 8 O gráfico a seguir indica o valor de um determinado tributo territorial em função da área de uma propriedade. Tributo (em R$)

(em m²) cujo imposto cobrado seja exatamente R$ 500,00? Não, porque para 3 800 m² o imposto é de R$ 800,00. c) Determine uma função do tipo y = mx + n, com y sendo o tributo em R$, e x a área em m², válida para o intervalo 800 ≤ x ≤ 3 800. Entre os pontos (800; 200) e (3 800; 500), temos: y = mx + n Para x = 800, temos y = 200, ou seja, 200 = m . 800 + n Para x = 3 800, calculemos como se tivéssemos y = 500 (mesmo sabendo que o intervalo é aberto), apenas para ter a equação da reta: 500 = 3 800 . m + n Resolvendo o sistema, temos: m = 0,1 e n = 120. A equação procurada é y = 0,1x + 120 (para 800 ≤ x < 3 800).

1 000 800 500 200 4 000 3 800

800

Área da propriedade (em m2)

a) Qual é o valor do imposto a pagar de uma propriedade de 800 m² ? A leitura imediata no gráfico fornece o valor do tributo y = 200 reais. b) Existe algum tamanho de propriedade

Havendo tempo disponível, o professor poderá pedir aos alunos que determinem a função do tipo y = mx + n para o intervalo x ≥ 3 800. Comparando o valor de m dessa função com a determinada no item anterior, percebe-se que a intenção subjacente é a de cobrar mais imposto por m2 para propriedades maiores do que 3 800 m2.

Atividade 9 A figura indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça:

Matemática - 1a série - Volume 2

x + 10 x

x 2x + 4

2x + 4

Considerações sobre a avaliação

a) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que o perímetro da folha seja maior ou igual a 64 m. Sendo o perímetro igual à soma dos comprimentos de todos os lados da folha, temos; 2(2x + 4) + 2x + 2x + 2(x +10) + 2x ≥ 64 Daí segue que: 4x + 8 + 2x + 2x + 2x + 20 + 2x ≥ 64, ou seja, 12x ≥ 64 − 28, o que acarreta que x ≥ 3. Portanto, x deve ser maior ou igual a 3 metros. b) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que a soma dos comprimentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimentos que completam o perímetro da folha. Analogamente, temos: 2(x + 2x + 4 + x )< 2x + 2(x +10) 2x + 4x + 8 + 2x < 2x + 2x +20 4x < 12, ou seja, x < 3. Portanto, x deve ser maior que 0 e menor que 3 metros.

Ao final desta Situação de Aprendizagem, o reconhecimento de relações de proporcionalidade direta em diferentes contextos e a representação das mesmas por meio de uma função de 1o grau é o objetivo primordial que deverá ter sido atingido. É fundamental que os alunos tenham feito a associação direta entre a ideia de variação diretamente proporcional e a de função de 1o grau, tendo aprendido que: f quando y é diretamente proporcional a x e ambos os valores, de x e y, começam a ser medidos a partir do valor inicial zero, então y = ax, sendo a uma constante não nula; f quando há a proporcionalidade direta entre a variação de y medida a partir de certo valor inicial b e os valores de x, então y – b = ax, ou seja, y = ax + b; f de modo geral, em qualquer situação em que as variações de duas grandezas interdependentes são diretamente proporcionais, chegamos a uma expressão do tipo f(x) = ax + b, ou seja, a uma função do primeiro grau; f sendo f(x) = ax + b, então o coeficiente a sempre representa a variação no valor da função por unidade a mais de x, ou, em outras palavras, a taxa de variação de f(x) em relação a x. Na Situação de Aprendizagem seguinte, as funções do segundo grau serão apresentadas também a partir da ideia de proporcionalidade direta, agora de y em relação ao quadrado de x.

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Situação de aprendizagem 3 FunçÕeS de 2o- grau: SigniFiCado, grÁFiCoS, interSeCçÕeS Com oS eiXoS, VÉrtiCeS, SinaiS Tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: proporcionalidade direta com o quadrado da variável independente; função de 2o grau; gráficos de funções de 2o grau – Vértice, raízes, sinais. Competências e habilidades: compreender a função de 2º- grau como expressão de uma proporcionalidade direta com o quadrado da variável independente; expressar por meio de gráficos tal proporcionalidade. Estratégias: apresentação construtiva do significado e das propriedades da função de 2o grau; exploração de exemplos ilustrativos e de exercícios exemplares envolvendo funções de 2o grau para serem explorados pelo professor.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 o texto a seguir constitui um roteiro para a apresentação da ideia de função de 2º- grau. desde o primeiro momento, tal função é apresentada como a representação de uma proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra. na 8ª- série do ensino Fundamental é possível que os alunos já tenham tido um contato inicial com tal função, ao estudarem as equações de 2º- grau. abordaremos o tema, no entanto, sem pressupor que ele já tenha sido estudado anteriormente. Cabe ao professor, em sua realidade específica, acelerar mais ou menos a apresentação feita aqui. a abordagem adotada é construtiva: todos os resultados são justificados, sempre com base na ideia de proporcionalidade anteriormente referida. assim, mesmo que os

alunos já tenham visto tais assuntos, é quase certo que não o viram da forma como são aqui apresentados. apostamos na forma de tratamento escolhida, que consideramos a menos técnica possível, ou a que mais permanece aderente ao significado da relação de proporcionalidade envolvida e esperamos que o professor avalie com carinho o percurso sugerido na Situação de aprendizagem, mesmo não constituindo o caminho mais usual. torcemos para que, no final, o professor venha a concordar conosco.

Grandeza proporcional ao quadrado de outra: a função do 2º- grau f(x) = ax2 Quando a relação de interdependência entre duas grandezas x e y é tal que y é diretamente proporcional ao quadrado de x, então

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Matemática - 1a série - Volume 2

Para explicitar tal fato, inicialmente, vamos examinar o gráfico da função y = x2, ou seja, f(x) = x2.

Reunindo tais informações, temos o gráfico esboçado a seguir. A curva correspondente é uma parábola. y = x2

De modo geral, assim como uma relação do tipo y = kx encontra-se na origem de cada função de 1º- grau f(x) = ax + b, a relação y = kx2 serve de base para a caracterização das funções de 2º- grau, cuja forma geral é f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0).

f é possível mostrar que o gráfico de y = x2 encosta “suavemente” no eixo x, sem formar um “bico” (isso será feito na Atividade 2).

y = constante = k, ou seja, x2 y = kx2. Um exemplo de tal situação ocorre quando uma pedra é abandonada em queda livre: a distância vertical d que ela percorre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo de queda, ou seja, temos d = kt2; neste caso, o valor de k é 4,9 (metade da aceleração da gravidade do local). escrevemos que

x2 0

x x 1

Sabemos que o gráfico de y = x é uma reta com inclinação igual a 1. Para construir o gráfico de y = x2, basta notarmos que: f o quadrado de um número situado entre 0 e 1 é menor do que o próprio número, ou seja, x2 < x para 0 < x < 1; f o quadrado de um número maior do que 1 é maior do que o próprio número, ou seja, x2 > x para x > 1; f o gráfico de y = x2 é simétrico em relação ao eixo y, uma vez que f(x) = f(–x) para todo x;

Partindo do gráfico de f(x) = x2, é fácil construir o gráfico de f(x) = ax2, com a ≠ 0: Para tanto, a cada valor de x, devemos fazer corresponder o produto ax2, que é maior de que x2, quando a > 1, e é menor do que x2, quando 0 < a < 1. Assim, as parábolas ficam tanto mais “fechadas” quanto maior o valor de a; tanto mais “abertas” quanto menor (mais próximo de zero) encontra-se o valor de a. Alguns gráficos desse tipo são representados a seguir:

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24 22 y = 0,3x2 y = 0,7x2 y = x2 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –2

y y = 5x2

x 1

Resumindo, então, vemos que quanto maior o valor absoluto do coeficiente a, mais “fechada” é a parábola; quanto menor o valor absoluto de a, mais “aberta” ela é. O sinal

forma, mas os valores de y tornam-se negativos. Observe a figura a seguir:

De maneira análoga, para os valores negativos de a, os gráficos mantêm a mesma

6 4 2 0 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –2 –4 –6 y = – 0,1x2 y = – 0,5x2 y = – x2 –8 – 10 – 11 – 12 – 14 – 16 – 18 – 20 – 22 – 24

y = 3x2

x 1

y = – 3x2

y = – 5x2

de a indica se a concavidade (a abertura) da parábola está voltada para cima (a > 0), ou para baixo (a < 0).

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16 14 12 10 8 6 4 2 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 –4 –6 –8 – 10 – 12 – 14 – 16

a>0 x 1

a<0

Algumas atividades, para a exploração do que até aqui foi estudado, serão apresentadas a seguir.

3 2

Atividade 1

Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das seguintes funções: a) f(x) = x2

b) f(x) = 2x2

c) f(x) = 10x2

d) f(x) =

1 2 x 10 f) f(x) = –2x2

e) f(x) = –x2

1 2 g) f(x) = –10x h) f(x) = – x 10 Procure esboçar os gráficos comparando-os com os outros, sem necessariamente recorrer a tabelas com valores de x e de y; em vez disso, leve em consideração os valores relativos dos coeficientes de x2.

-4

-3

-2

-1

-1 y = x2 y = 2x2 y = 10x2 y = 1 x2 10

-2 -3 -4

e), f), g), h)

y = – x2 y = – 2x2 y = – 10x2 y = – 1 x2 10

3 2 1 x

-4

-3

-2

-1

a), b), c), d)

-2 -3 -4

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observação: uma sutileza sobre o gráfico de f(x) = x2

Para construir o gráfico de f(x) = x2, notamos que: 1º-) x2 ≥ 0 para todo número real x, ou seja, o gráfico situa-se acima do eixo x ; 2º-) f(x) = f(–x) para todo real x, ou seja, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y; 3º-) como x2 ≤ x para valores de x no intervalo de 0 a 1, então o gráfico de f(x) = x2 situa-se abaixo do gráfico de y = x no intervalo entre 0 e 1; 4º-) como x2 > x para x > 1, o gráfico de f(x) = x 2 situa-se acima do gráfico de y = x para x > 1. Seguindo todas as conclusões anteriores, o gráfico poderia ser como o indicado a seguir, tendo um “bico” na origem:

f(x) = x2

Se o professor se interessar pela explicação desse fato, basta acompanhar a solução da Atividade 2, apresentada a seguir.

Atividade 2 Mostre que a curva que é o gráfico de f(x) = x2 não tem um “bico” na origem do sistema de coordenadas, ou seja, ela tangencia o eixo x. Afirmar que o gráfico apresentaria um “bico” na origem significaria dizer que existe uma reta inclinada em relação ao eixo dos x tal que o gráfico de f(x) = x2 estaria situado acima de tal reta para todos os valores de x, mesmo os mais próximos de 0, conforme podemos verificar na figura a seguir. y

y f(x) = x2

f(x) = x2 y = mx

x O

Ocorre, no entanto, que o gráfico de f(x) = x2 não tem “bico” na origem, encostando suavemente no eixo x.

Tal reta tangente seria o gráfico de uma função do tipo y = mx, m > 0.

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Matemática - 1a série - Volume 2

Teríamos, então: x2 ≥ mx para todo x ≥ 0.

f(x) = x2

Ocorre, no entanto, que, se x2 ≥ mx, então x2 – mx ≥ 0, ou seja, x .(x – m) ≥ 0 para todo x.

y = mx

Mas notamos que para valores de x entre 0 e m, os valores do produto x .(x – m) são negativos, ou seja, x2 < mx, o que significa dizer que o gráfico de f(x) = x2 situa-se abaixo do gráfico de y = mx.

O m

x < mx, ou seja, x – mx < 0 para x entre 0em 2

deslocamentos verticais: a função f(x) = ax2 + v

Em outras palavras, para cada valor de m > 0, por menor que seja, o gráfico de f(x) = x2 situa-se abaixo do gráfico de y = mx, para valores de x entre 0 e m. Por exemplo, mesmo que consideremos a reta y = 0,001x, para valores de x entre 0 e 0,001 o gráfico de f(x) = x2 situa-se abaixo dessa reta. Concluímos, então, que não existe reta y = mx tal que, para todo x, o gráfico de f(x) = x2 situe-se acima da reta; e é exatamente isso que significa dizer que o gráfico não tem um “bico” na origem.

Quando a proporcionalidade entre y e x2 ocorre a partir de um valor inicial v, então y – v = kx2, ou seja, y = kx2 + v. Em casos como esse, o gráfico de f(x) = kx2 + v continua a ser uma parábola, mas seus pontos são deslocados, em relação ao conhecido gráfico de y = k.x2, na direção do eixo y de um valor v: para cima, se v > 0, ou para baixo, se v < 0. y f(x) = kx2 + v

y = kx2

v x

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Uma situação como essa ocorre, por exemplo, quando calculamos a distância d de uma pedra abandonada a certa altura h até o solo:

4,9t2

Neste caso temos, então, d = h – 4,9t 2, ou seja, h – d = 4,9t 2. Podemos observar, a seguir, alguns gráficos de funções desse tipo.

22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 –4

–3

–2

–1

0 –2 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –16

Atividade 3 Construa os gráficos das seguintes funções e indique as coordenadas do vértice em cada caso.

d = h – 4,9t2

y = 3x2 + 7 y = 3x2 y = 3x2 – 5 x 1

y = –3x2 + 5

y = –3x2 – 4

a) f(x) = x2 + 1 c) f(x) = x2 – 1 e) f(x) = –2x2 + 1 g) f(x) = – 0,5x2 + 7

b) f(x) = x2 + 3 d) f(x) = x2 – 3 f) f(x) = –3x2 – 5

Matemática - 1a série - Volume 2

a) vértice: (0; 1)

b) vértice: (0; 3)

c) vértice: (0; –1)

d) vértice: (0; –3)

y = x2 + 1 y = x2 + 3 y = x2 – 1 y = x2 – 3

4 3 2 1 x

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3

e) vértice: (0; 1)

f) vértice: (0; –5)

g) vértice: (0; 7)

y 8 6 4 2 –5

–4

–3

–2

– 1 –2 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –16

x 1

deslocamentos horizontais: a função f(x) = a(x – h)2 Outra proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra ocorre quando temos y diretamente proporcional

não a x2, mas a (x – h)2: nesse caso, temos y = k(x – h)2, e o gráfico correspondente é análogo ao de y = kx2, deslocado horizontalmente de h unidades, para a direita, se h > 0, ou para a esquerda, se h < 0.

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19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y = (x + 3)2

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

– 1 –1

y = (x – 3)2

y = x2

–2 –3 –4

Um exemplo de uma situação análoga à sugerida acima ocorre quando a grandeza y é diretamente proporcional ao quadrado da variação no valor de x a partir de certo valor inicial h. Por exemplo, sendo E a energia elástica armazenada em uma mola distendida de x unidades a partir de seu comprimento

normal, então E = k.x2. Naturalmente, se x = 0, então E = 0. Entretanto, se a escala para medir o quanto a mola está distendida é tal que temos E = 0 para x = h, então quando a mola estiver distendida de (x – h), sua energia E será tal que E = k(x – h)2.

E E=0 0

E = k(x – h)

x x 0

0 E=0

h E

E = kx2 x 0

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Matemática - 1a série - Volume 2

Atividade 4

a) vértice: (–1; 0) c) vértice: (1; 0) b) vértice: (–3; 0) d) vértice: (3; 0)

Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das seguintes funções e indique as coordenadas do vértice de cada uma delas.

4 3 2

b) f(x) = (x + 3)2

a) f(x) = (x + 1)2 c) f(x) = (x – 1)2

d) f(x) = (x – 3)2

e) f(x) = – (x – 5)2

f) f(x) = –2(x + 3)2

1 -4

-3

-2

-1

-1 -2

y = (x+1)2 y = (x+3)2 y = (x–1)2 y = (x–3)2

g) f(x) = –3(x – 1)2

-3 -4

y 4 2 –5

–4

–3

–2

–1

–2

–4 –6 –8 –10 –12 –14 –16 –18

e) vértice: (5; 0)

f) vértice: (–3; 0)

deslocamentos verticais e/ou horizontais: a função f(x) = a(x – h)2 + v No caso mais geral possível, podemos ter a variação nos valores de uma grandeza y, a partir de certo valor v, diretamente proporcional ao quadrado da variação

g) vértice: (1; 0)

nos valores de x, a partir de certo valor h: em outras palavras, y – v = k(x – h) 2. Uma função deste tipo é tal que f(x) = k(x – h)2 + v, e tem como gráfico também uma parábola, deslocada horizontalmente de um valor h em relação à parábola y = kx 2 e deslocada verticalmente de um

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valor v em relação à parábola y = k(x – h) 2. O vértice da parábola é o ponto de

coordenadas (h; v). O gráfico a seguir traduz o que anteriormente se afirmou.

f(x) = k(x – h)2 + v v f(x) = kx

f(x) = k(x – h)2 x 0

Alguns exemplos de gráficos de funções desse tipo são apresentados a seguir.

16 14 12 10 8 6 4 2

y = 3x2 – 7

–5

–4

–3

y = –3 (x + 1)2 + 9

–2

– 1 –2 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –16

y y = 5(x – 3)2 + 8

y = –3 x2 + 7

y = –5 (x – 6)2 + 3 x

y = –5 (x – 3)2 – 8

Atividade 5 Construa os gráficos das seguintes funções e indique as coordenadas do vértice de cada uma delas:

a) f(x) = (x + 1)2 + 1

b) f(x) = – (x + 3)2 – 1

c) f(x) = –(x – 1)2 – 1

d) f(x) = (x – 3)2 + 2

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Matemática - 1a série - Volume 2

c) f(x) = (x – 1)2 + 2

3 y = (x+1)2+1 y = – (x+3)2 –1 y = – (x–1)2 –1 y = (x–3)2+2 -4

-3

coordenadas do vértice: (1; 2) ponto de mínimo: 1 mínimo valor da função: 2

2 1 x -2

-1

-1 -2

∙

f(x) = x –

1 2

∙– 2

3 4

coordenadas do vértice:

-3

ponto de mínimo:

-4

a) vértice: (–1; 1) b) vértice: (–3; –1) c) vértice: (1; –1) d) vértice; (3; 2)

1 2

∙ 2 ;– 4 ∙

mínimo valor da função: –

3 4

e) f(x) = (x – 4)2

Atividade 6 Determine as coordenadas do vértice dos gráficos das seguintes funções e verifique se a função assume um valor máximo ou um valor mínimo. a) f(x) = (x + 3)2 –

1 2

∙

coordenadas do vértice: –3; –

∙

ponto de mínimo : x = –3 mínimo valor da função: (–3) = –

b) f(x) = –(x – 2)2 –

5 2

∙

coordenadas do vértice: 2; – ponto de máximo: x = 2 máximo valor da função: –

5 2

∙

1 2

coordenadas do vértice: (4; 0) ponto de mínimo: 4 mínimo valor da função: 0 f) f(x) = –x2 + 2 coordenadas do vértice: (0; 2) ponto de máximo: 0 máximo valor da função: 2

Forma geral de uma função de 2º- grau: f(x) = ax2 + bx + c De modo geral, uma função tal que f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c constantes, sendo a ≠ 0, sempre expressa uma situação de interdependência em que uma grandeza é diretamente proporcional ao quadrado de outra, ou seja, sempre podemos escrever o trinômio de 2º- grau ax² + bx + c na forma a(x – h)² + v.

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De fato, se o trinômio ax² + bx + c for um quadrado perfeito, então podemos escrever ax² + bx + c = a(x – h)², e facilmente encontramos o valor de h, explicitando o quadrado do primeiro membro. Alguns exemplos são apresentados a seguir: f x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 f x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 49 7 f x2 + 7x + = x+ 4 2

∙

eixo de simetria vertical. Isso significa que pontos de mesma ordenada possuem abscissas equidistantes a esse eixo. Se o eixo de simetria for o próprio eixo y, então para cada valor de y correspondem dois valores de x com sinais opostos: (a, y) e (–a, y). Se o eixo de simetria estiver deslocado horizontalmente de h unidades, então os pontos equidistantes terão coordenadas (a + h; y) e (–a + h; y). As figuras a seguir ilustram o que se afirmou:

∙

f 5x2 + 30x + 45 = 5(x2 + 6x + 9) = 5(x + 3)2 Se o trinômio ax² + bx + c não for um quadrado perfeito, então ele será maior do que um quadrado perfeito, ou menor do que um quadrado perfeito; significa dizer que ax² + bx + c = a(x – h)² + v, sendo v um número positivo ou negativo, dependendo de o trinômio ser maior ou menor do que um quadrado perfeito. Assim, sempre será possível escrever f(x) = ax² + bx + c na forma a(x – h)² + v, o que é equivalente a afirmar que todo trinômio de 2º- grau pode ser interpretado como a expressão da proporcionalidade direta entre y – v e o quadrado de (x – h), para determinados valores de h e v. Encontrar os valores de h e v é encontrar as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico de f(x).

Simetria do gráfico de f(x) = ax2 + bx + c A parábola que é o gráfico da função de 2º- grau é uma curva que possui um

–a Eixo de simetria x=0

–a+h

a+h

Eixo de simetria x=h

O vértice da parábola situa-se no eixo de simetria. Se as raízes de f(x) = 0 forem conhecidas, a abscissa do vértice será o ponto médio do segmento determinado pelas raízes; se a equação f(x) = 0 tiver apenas uma raiz real, a abscissa do vértice será a própria raiz.

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Matemática - 1a série - Volume 2

Atividade 7 Sabemos que o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma parábola. A reta vertical que passa pelo vértice da parábola é seu eixo de simetria. Observe, por exemplo, os gráficos seguintes das funções: (i) f(x) = x2 – 4

f(x) = ax2 + bx + c c yv

y 0

–b a

5 4

Mesmo no caso de a equação de 2º- grau f(x) = 0 não ter raízes, podemos determinar o vértice da parábola da seguinte maneira: f sabemos que f(0) = c;

3 2 1 0 –3 –2 –1

–3 –4 Eixo de simetria em x = 0

(ii) f(x) = x2 + 2x = (x+1)2 – 1 y

f a abscissa do xv do vértice é, pois, igual à –b média entre os valores 0 e , ou seja, a –b 0+ a –b = ; xv = 2 2a

8 7 6

∙ ∙

f para obtermos o valor da ordenada yv do vértice, calculamos o valor de f(xv): yv = f(xv). Nas atividades seguintes, os fatos anteriormente referidos serão explorados.

–2

f sabemos que existe outro valor de x para o qual a função também assume o valor c; f(x) = c para ax2 + bx + c = c; f logo, f(x) = c para ax2 + bx = 0, ou seja, –b para x = 0 ou x = a

1 –1

5 4 3 2 1 0 – 4 –3 –2 –1 Eixo de simetria em x = –1

1 –1

–2

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a) Na função (I), quando x = 1 qual é o valor correspondente de y?

b) Na função (II), quando x = 3, qual é o valor correspondente de y?

No gráfico (I), para x = 1, temos y = f(1) = – 3

No gráfico (II), para x = 3, temos y = f(3) = 15

c) Complete a tabela com o valor correspondente de x ou de y. x

Função I

–2

–5

Função II

–3

–5

Usando as expressões algébricas das funções, obtemos os seguintes valores: Função 1 y = x2 – 4

Função 2 y = x2 + 2x

–2

–4 ou 4

–5

5 ou –5

–3

– 1 ± ∙∙∙ 17

–5

– 1 ± 2∙∙∙ 7

Vale a pena comentar com os alunos os resultados obtidos que refletem a ideia de simetria na parábola.

Atividade 8 Ao lado está representado o gráfico da função f(x) = –x2 + 4x = –(x – 2)2 + 4.

a) Quais são as coordenadas do ponto V, vértice da parábola? Em razão da simetria do gráfico, concluímos que o vértice é o ponto médio do segmento do eixo x entre 0 e 4, ou seja, no vértice temos x = 2. O valor de y correspondente é f(2) = –22 + 4 . 2 = 4. Logo, o vértice é o ponto V de coordenadas (2; 4).

x 0

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b) Quais são os valores de m e n indicados na figura? Para x = 1, temos f(1) = 3, ou seja, m = 3. Como vemos que o valor de f(n) também é igual a 3, então n é o simétrico do ponto x = 1 em relação ao vértice x = 2, ou seja, a distância de n até o 2 é igual à distância de 1 até o 2, ou seja, n = 3. De fato, podemos verificar que f(3) = 3.

Atividade 9 Determine a expressão algébrica da função de 2º- grau representada pelos seguintes gráficos:

y 8 7 6 5 4 3

5 4 3 2 1 0 – 4 –3 –2 –1

1 –1

f No gráfico 1, podemos identificar os pontos (0; 0), (2; –4) e (4; 0) pertencentes à parábola. Temos que a é positivo e c vale 0, pois o ponto (0; 0) pertence ao gráfico. Substituindo os valores de x e y na forma geral y = ax2 + bx, obtemos: –4 = a . 22 + b . 2 e 0 = a . 42 + b . 4.

123

2 1 0

–2

f No gráfico 2, podemos identificar os pontos (–4,0), (0, 8) e (2,0) pertencentes à parábola. Além disso, podemos concluir que a é negativo e que o valor de y para x = 0 é 8, ou seja, c = 8. Substituindo os outros valores de x e y correspondentes aos pontos (–4; 0) e (2; 0) na expressão geral, y = ax2 + bx + 8 obtemos as seguintes equações: 0 = a . (–4)2 + b.(–4) + 8 0 = a . 22 + b . 2 + 8 4a + 2b = –8 Resolvendo o sistema 16a – 4b = –8

–4

1 –1

Daí segue, resolvendo o sistema 2a + b = –2 e 4a + b = 0, encontramos a = 1 e b = –4. Portanto, a função que corresponde ao gráfico 1 é : f(x) = x2 – 4x

– 4 –3 –2 –1

2 3

obtemos a = –1 e b = –2 Portanto, a função que corresponde ao gráfico 2 é : f(x) = –x2 – 2x + 8

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123

f No gráfico 3, podemos identificar os pontos (–3; 8), (0, 2) e (1; 4) pertencentes à parábola. Pelo gráfico, podemos concluir que a é positivo e c vale 2, pois o ponto (0; 2) pertence ao gráfico. Substituindo os valores de x e y correspondentes aos outros dois pontos na expressão geral, y = ax2 + bx + 2, obtemos as seguintes equações: 8 = a .(–3)2 + b .(–3) + 2 4 = a . 12 + b . 1 + 2 9a – 3b = 6 Resolvendo o sistema a+b=2 obtemos: a = 1 e b = 1. Portanto, a função que corresponde ao gráfico 3 é : f(x) = x2 + x + 2

a) Qual é a expressão algébrica da função R(q)? Para determinar a expressão algébrica da função R(q), sabendo-se que a curva é uma parábola, escrevemos: R(q) = aq2 + bq, pois o valor correspondente de c é zero, uma vez que a curva corta o eixo vertical na origem. Como R(16) = 0, concluímos que a.162 + b.16 = 0, ou seja, que 16a + b = 0. Em razão da simetria da parábola, concluímos que o valor de q no vértice é o ponto médio do segmento de 0 a 16, ou seja, é igual a 8. Como vemos que R(8) = 64, temos: a . 82 + b . 8 = 64, ou seja, 8a + b = 8.

Atividade 10 O gráfico a seguir representa o Rendimento bruto R(q) de uma empresa em uma função da quantidade q de produtos fabricados mensalmente. Os valores de r são expressos em milhares de reais e a quantidade produzida q em milhares de unidades, e sabe-se que a curva representada é uma parábola.

Resolvendo o sistema formado pelas equações 16a + b = 0 e 8a + b = 8, obtemos: a = –1 e b = 16, ou seja, R(q) = –q2 + 16q b) Qual é o rendimento bruto máximo? A observação direta do gráfico nos mostra que o rendimento máximo é igual a R$ 64 mil. c) Qual é a quantidade produzida que maximiza o rendimento bruto da empresa?

R (q)

O valor de q que conduz ao rendimento máximo é q = 8, ou seja, é a produção de 8 mil unidades.

q 0

A partir das informações contidas no gráfico, responda:

d) Qual é o rendimento bruto que a empresa obtém para a produção de 15 000 unidades? E de 20 000 unidades? Como interpretar este último resultado?

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O rendimento para q = 15 é igual a R(15) = – (15)2 + 16 . 15 = 15, ou seja, é R$ 15 mil. Para q = 20, no entanto, temos R(20) = –202 + 16 . 20 = – 80, ou seja, é negativa, o que significa que a produção estará dando prejuízo de R$ 80 mil. Esse resultado pode surpreender os alunos, pois não é intuitivo supor que para uma produção maior se obtenha lucro negativo. Contudo, isso se deve a uma questão de ordem econômica. Se a empresa possui uma estrutura produtiva montada para um determinado nível de produção, a partir de certo ponto, passa a haver ineficiência produtiva devido a alguns fatores: alto custo de horas extras pagas, espaço físico limitado para um número de trabalhadores, desgaste excessivo de máquinas etc. Por essa razão, a função que representa o lucro é decrescente a partir de um determinado nível de produção, correspondente ao vértice da parábola, no caso.

c) f(x) = x2 + 6x + 9 Podemos verificar que f(x) = (x + 3)2; logo, o valor mínimo da função é 0 e o ponto de mínimo é x = – 3. d) f(x) = 3x2 + 30x + 75 Podemos escrever f(x) = 3(x2 + 10x + 25) = = 3(x + 5)2; logo, o valor mínimo é 0 e o ponto de mínimo é x = –5. e) f(x) = –x2 + 10x Podemos escrever f(x) = –x2 + 10x –25 + 25, ou seja, f(x) = – (x – 5)2 + 25; logo, o valor máximo é 25 e o ponto de máximo é x = 5. f) f(x) = x2 + 8x + 21 Podemos escrever f(x) = x2 + 8x + 16 + 5, ou seja, f(x) = (x + 4)2 + 5; logo, o valor mínimo é 5 e o ponto de mínimo é x = –4.

Funções de 2º- grau e raízes da equação de 2º- grau: discussão

Atividade 11 Determine, para as funções a seguir representadas, os valores máximo ou mínimo que são atingidos em cada caso, indicando o valor de x para o qual tais extremos ocorrem. a) f(x) = 3(x – 12) + 100 2

Valor mínimo é 100; ponto de mínimo é x = 12

O estudo das raízes da equação de 2º- grau ax + bx + c = 0, que já foi feito na 8ª- série do Ensino Fundamental, será aqui retomado sob outra perspectiva. 2

Já vimos que o gráfico de uma função de 2º- grau f(x) = ax2 + bx + c é uma parábola, que tem um vértice (xv; yv) e um eixo de simetria vertical (paralelo ao eixo y).

b) f(x) = –x2 + 10 Valor máximo é 10; ponto de máximo é x = 0

Para determinar as coordenadas do vértice da parábola, podemos proceder do seguinte modo:

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yv = f(xv) = a

f sabemos que f(0) = c; f em razão da simetria do gráfico, existe outro valor de x tal que f(x) = c; calculando, obtemos: ax2 + bx + c = c acarreta ax2 + bx = 0, –b de onde tiramos x = 0 ou x = ; a f a abscissa xv do vértice é a média aritmética dos dois valores obtidos, ou seja, –b 0+ a –b xv = , ou seja, xv = 2 2a

∙ ∙

f para determinar o valor de yv, calculamos f(xv) e obtemos:

yv =

–b 2a

–b

∙ ∙ + b ∙ 2a ∙ + c, ou seja, 2

4ac – b2 . 4a

Naturalmente, sabendo o valor de xv, não precisamos de fórmula alguma para determinar yv, mas sim de simplesmente substituir o valor de xv na função f(x). Calculando-se as coordenadas do vértice da parábola yv, podemos determinar se a equação do segundo grau correspondente tem ou não tem raízes. Para isso, basta observar os sinais de a e de yv, conforme mostram as figuras a seguir:

DUAS RAÍZES DISTINTAS (os sinais de a e de yv são opostos) y

a>0

a<0 yv > 0 x x yv < 0 DUAS RAÍZES IGUAIS (UMA RAIZ REAL) (yv é igual a zero) x y

y yv = 0

a>0

a<0

yv = 0

NÃO EXISTEM RAÍZES REAIS (os sinais de a e de yv são iguais)

a>0

x yv < 0 yv > 0 a<0

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A atividade seguinte visa a uma exploração numérica do que foi dito anteriormente.

d) f(x) = – 2x2 + 10x – 13 Temos xv =

5 e yv = f 2

–1

∙ 2 ∙ = 2 < 0; como

a = – 2 < 0 , segue que a e yv têm sinais

Atividade 12

iguais, e a equação não tem raízes reais. Considere as funções de 2º- grau f(x) = ax + + bx + c, indicadas a seguir. Descubra se as equações de 2º- grau correspondentes têm duas, uma ou nenhuma raiz real calculando o valor da ordenada yv do vértice da parábola que é o gráfico da função, sem resolver as equações. 2

1 2 5 5 –3 = e yv = f < 0; Temos xv = 22 22 44 como a = 11 > 0 , segue que a e yv têm sinais contrários e a equação tem duas raízes reais distintas.

e) f(x) = 11x2 – 5x +

∙ ∙

a) f(x) = 3x2 + 12x + 11 Já vimos que a abscissa x v do vértice –b da parábola é igual a . 2a –12 = –2: calculando yv , Temos xv = 2.3 obtemos: yv = f(xv) = f(– 2) = –1 < 0. Como a = 3 > 0 e yv < 0, então a equação tem duas raízes reais distintas (faça uma figura para convencer-se disso.) b) f(x) = 3x2 –12x + 15 12 = 2; calculando yv , obtemos: 2.3 yv = f(xv) = f(2) = 3 > 0.

Temos xv =

Como a = 3 > 0 e yv > 0, então a equação não tem raízes reais (faça uma figura para ajudar na conclusão). c) f(x) = – 2x2 – 16x + 5 Temos xv = – 4 e yv = f(–4) = 37 > 0; como a = – 2 < 0 , segue que a e yv têm sinais contrários e a equação tem duas raízes reais distintas.

f) f(x) = – 4x2 + 12x – 9 3 3 = 0; como e yv = f 2 2 yv = 0, segue que a equação tem duas raízes iguais. Temos xv =

∙ ∙

observação para o professor: Neste ponto, podem ser apresentados aos alunos outros exercícios do mesmo tipo, para praticar a possibilidade de tirar conclusões sobre o número de raízes de uma equação de 2º- grau apenas calculando-se a ordenada do vértice e comparando com o sinal de a. Naturalmente, a observação da ordenada 4 ac –b2 –∆ yv = = , leva às mesmas 4a 4a conclusões sobre as raízes, discutindo-se o sinal de Δ = b2 – 4ac, pois temos yv . 4a = – Δ. Quando, por exemplo, yv e a têm o mesmo sinal, significa que o valor de Δ é negativo, e a equação não tem raízes reais. No presente Caderno, optou-se pela observação direta dos sinais de a e de yv em razão do significado geométrico mais imediato da existência

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–yv , ou seja, a –yv –yv e então, x = xv ± ; a a

de onde obtemos (x – xv)² =

ou inexistência das raízes. A escolha final do caminho para a apresentação do tema, no entanto, fica a critério do professor.

x – xv = ±

∙∙∙

f as duas raízes da equação dada, quando

raízes da equação e sinais da função de 2º- grau

existem, são iguais a: x1 = xv –

Já vimos como descobrir as informações sobre as raízes de uma equação de 2º- grau sem ter que resolvê-la, comparando os sinais do coeficiente a e da ordenada do vértice yv , –b obtida a partir da abscissa do vértice xv = . 2a Para obter as raízes da equação, podemos proceder da seguinte forma: f dispondo das coordenadas xv e yv do vértice da parábola que é o gráfico de f(x) = ax² + bx + c, podemos escrever que, para todo valor de x: ax² + bx + c = a(x – xv)² + yv; f assim, para resolver a equação f(x) = 0, basta resolver a equação a(x – xv)² + yv = 0

x2= xv +

. ∙∙∙ a –yv

e ∙∙∙ a –yv

Como já vimos, a existência ou não está associada aos sinais diferentes ou iguais de a e de yv; quando yv = 0, as duas raízes são iguais a xv. Sobre os sinais de f(x), notamos que: f f(x) tem o mesmo sinal de a para valores de x fora do intervalo das raízes; f f(x) tem o sinal contrário ao de a no intervalo aberto que tem as raízes como extremidades; f naturalmente, quando yv = 0, a função tem sempre o sinal de a, exceto apenas para x = xv , quando assume o valor zero.

Observando as figuras a seguir, compreende-se o significado disso: f(x) tem sinal contrário ao de a no intervalo das raízes y

a>0

a<0 yv > 0 x x x1

yv < 0

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f(x) tem o mesmo sinal de a; é zero apenas no vértice a>0

yv = 0

a<0 yv = 0 f(x) tem sempre o mesmo sinal de a, para todo x real

a>0

yv < 0

a<0

yv > 0 x

Atividade 13 Determine as raízes da equação de 2º- grau ax + bx + c = 0 e o sinal da função f(x) = ax2 + + bx + c para todos os valores possíveis de x, em cada um dos casos abaixo: 2

a) 3x2 + 12x + 11 = 0 Calculando os valores de xv e yv , temos: –b –12 xv = = = –2; 2a 6 yv = f(–2) = 3 . (–2)2 + 12 . ( –2) + 11 = –1 Como a = 3 > 0 e yv = –1 < 0, concluímos que a equação tem duas raízes distintas (pense na figura!). –yv e As raízes são x1 = xv – a –yv ; substituindo os valores de x2= xv + a

∙∙∙

yv e a, obtemos: x1 = – 2 – x2 = – 2 +

. ∙∙∙ 3 1

e ∙∙∙ 3 1

O sinal de f(x) = 3x 2 + 12x + 11 é positivo (igual ao de a) para valores de x fora do intervalo das raízes, ou seja, para x > –2 +

ou para x < –2 – ∙∙∙; ∙∙∙ 3 3 1

é negativo (contrário ao de a) para valores de x no intervalo das raízes, ou seja, para 1 1 <x<–2+ . –2 – 3 3

∙∙∙

b) –4x2 + 12x – 9 = 0 Analogamente, temos xv =

∙∙∙

3 3 = 0; e yv = f 2 2

∙ ∙

logo, as duas raízes são iguais a xv =

3 . 2

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Sobre o sinal, f(x) = – 4x2 + 12x – 9 é sempre menor ou igual a zero, pois a < 0; somente 3 temos f(x) = 0 para x = xv = . 2 c) – 2x2 + 10x – 13 = 0 Calculando xv e yv, obtemos: xv = yv = f

∙ 2 ∙=

–1 < 0. 2

5 2

–yv é negativa e a a equação não tem raízes reais. Como a = –2, a razão

Como a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, a função f(x) = –2x2 + 10x –13 tem sempre o mesmo sinal, que é o sinal de a (negativo), qualquer que seja o valor de x. observação para o professor: Neste ponto, outras atividades semelhantes podem ser apresentadas aos alunos, para praticar a possibilidade de tirar conclusões sobre o valor das raízes e o sinal da função de 2o grau, sempre com base nas coordenadas do vértice. Naturalmente, a fórmula para as

∙

raízes aqui encontradas x = xv ±

é ∙∙∙ a ∙

–yv

a conhecida fórmula de Bhaskara, quando se substituem os valores de xv e yv). No presente Caderno, optou-se pela apresentação da fórmula que explicita diretamente a simetria das raízes em relação ao valor de xv, mas a escolha final do caminho para a apresentação do tema fica a critério do professor.

Considerações sobre a avaliação A forma de apresentação dos conteúdos não foi a usualmente presente nos materiais

didáticos disponíveis. O objetivo fundamental foi a apresentação da função y = ax2 + bx + c como a expressão de uma relação de proporcionalidade direta entre as variações de y (a partir de um valor inicial yv) e o quadrado dos valores de x (a partir de um valor inicial xv), ou seja, y – yv = a(x – xv)2. Todos os resultados que os alunos precisam conhecer (coordenadas do vértice da parábola, raízes da equação do segundo grau, sinais da função f(x), etc.) foram deduzidos a partir dessa forma de apresentação, que consideramos mais significativa. Entretanto, na avaliação final da aprendizagem desses conteúdos, o que importa é o conhecimento dos fatos fundamentais sobre a função do segundo grau, sobre equações e inequações do segundo grau, e não o modo como foram explicados. Assim, mesmo sem seguir literalmente as explicações apresentadas, o professor deverá avaliar se os alunos compreendem efetivamente que: f o gráfico de uma função f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) é uma parábola com a concavidade para cima, se a > 0, e com a concavidade para baixo, se a < 0; f quanto maior o valor absoluto de a, mais “fechada” é a parábola; quando mais próximo de 0, mais “aberta” ela é; f o vértice (xv , yv) da parábola pode ser determinado a partir dos coeficientes a, b e c, –b sendo xv = e yv = f(xv); 2a f as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 são –yv –yv x1 = xv – e x2= xv + ; a a

∙∙∙

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f os resultados anteriores traduzem a conhecida fórmula de Bhaskara para as raízes; f o estudo do sinal da função pode ser feito a partir do conhecimento das raízes

(dentro do intervalo das raízes, a função tem sempre sinal contrário ao de a; fora dele, tem sempre o sinal de a; quando não existem raízes, a função tem sempre o mesmo sinal).

Situação de aprendizagem 4 proBLemaS enVoLVendo FunçÕeS de 2º- grau em mÚLtipLoS ConteXtoS; proBLemaS de mÁXimoS e mÍnimoS Tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: problemas envolvendo equações, inequações e funções de 2º- grau em diferentes contextos; problemas envolvendo máximos ou mínimos de funções de 2º- grau. Competências e habilidades: compreender fenômenos que envolvem a proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra, traduzindo tal relação na linguagem matemática das funções; equacionar e resolver problemas que envolvem funções de 2º- grau, particularmente os que envolvem otimizações (máximos ou mínimos). Estratégias: apresentação de exemplos ilustrativos e de exercícios exemplares envolvendo grande parte dos conteúdos estudados na Situação de aprendizagem 3, sobre equações, inequações e funções de 2º- grau, para serem explorados pelo professor.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 nesta Situação de aprendizagem, vamos abordar diversos problemas que envolvem equações, funções e inequações de 2º- grau. praticamente todos os conteúdos sobre tais temas foram estudados na Situação de aprendizagem 3 e serão aqui retomados. os exercícios e problemas apresentados são apenas exemplares de uma classe de problemas que pode ser explorada pelo professor em sua sala, em sintonia com o tempo disponível e o interesse de seus alunos.

Atividade 1 na administração de uma empresa, procura-se estabelecer relações matemáticas entre as grandezas variáveis envolvidas, tendo em vista a otimização da produção, ou seja, a busca de um custo mínimo ou de um rendimento máximo. naturalmente, as relações obtidas decorrem de certas hipóteses sobre o modo de produção, que envolvem tanto a proporcionalidade direta, quanto a inversa, a proporcionalidade ao quadrado, o crescimento exponencial, entre outras possibilidades. uma disciplina que trata da formulação de modelos

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matemáticos (fórmulas) para representar tais relações de interdependência chama-se Pesquisa Operacional. Suponha que em certa empresa de produtos eletrônicos, a organização da produção é tal que o custo total C para produzir uma quantidade q de um determinado produto seja dado pela função C(q) = q2 – 1 000q + 800 000 (C em reais, q em unidades do produto.)

c) Para q = 0, o custo é igual a R$ 800 000,00; como se interpreta tal fato?

a) Determine o nível de produção (valor de q) que minimiza o custo total C e calcule o valor do custo mínimo.

No modelo de produção suposto, o custo de R$ 800 mil corresponde a dois níveis de produção. Para determiná-los, basta resolver a equação C(q) = 800 000, ou seja:

A pergunta é qual o valor de q que corresponde ao mínimo valor da função C(q). A função C(q) é de 2º- grau, traduzindo algum tipo de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra. Seu gráfico é uma parábola cujo vértice – (– 1000) encontra-se no ponto qv = = 500. 2 O nível de produção que corresponde ao custo mínimo é, pois, q = 500; o valor do custo mínimo é C(500) = 5002 – 1 000 . 500 + + 800 000 = 550 000 reais. b) Faça o gráfico de C(q) O gráfico de C(q) é uma parábola com a concavidade para cima, cortando o eixo C no ponto de ordenada 800 000, e com vértice no ponto (500; 550 000): C

C(q) = q 2 – 1 000q + 800 000

q 300

500

700

d) Qual é o nível de produção que corresponde a um custo de R$ 800 mil?

q2 – 1 000q + 800 000 = 800 000 de onde obtemos q = 0 ou q = 1 000. e) Do ponto de vista do custo, tanto faz um nível de produção q = 300 ou um nível de produção q = 700. E do ponto de vista do rendimento bruto (faturamento da empresa)? De fato, do ponto de vista do custo, dois níveis de produção simétricos em relação ao vértice da parábola, como são R$ 300 e R$ 700 mil, correspondem ao mesmo custo; no caso, C(300) = C(700) = 590 000. Entretanto, do ponto de vista do rendimento bruto, certamente é preferível o nível de produção maior.

Atividade 2

800 000

550 000

O custo inicial C(0) = 800 000 corresponde ao custo fixo, independentemente de se iniciar a produção (aluguéis, equipamentos, salários etc.).

1 000

Para delimitar um galinheiro em um amplo quintal, dispõe-se de 80 m (lineares) de tela. Deseja-se usar completamente a tela disponível, e a região cercada deve ser um retângulo.

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Fixado o perímetro desse modo, são inúmeras as possibilidades para os lados do retângulo, como podemos perceber nos exemplos a seguir:

15 m

17 m

25 m

23 m 10 m

O vértice da parábola é o ponto onde xv = 20, ponto médio do segmento determinado pelas raízes (o vértice também poderia ter sido obtido por meio da expressão –b –40 = 20). Os lados do retângulo = xv = –2 2a de área máxima serão, portanto, 20 e 40 – 20, ou seja, o retângulo de área máxima é um quadrado de lado 20. b) qual é o valor da área máxima?

30 m

A área A do retângulo é uma função do comprimento dos lados do mesmo. Entre todas as possibilidades para os lados, procura-se, naturalmente, aquela que corresponde à maior área possível para o retângulo.

O valor máximo de A(x) é: A(xv) = – (20)2 + 40 . 20 = 400 m2.

Atividade 3

40 – x x

Dessa forma, a) quais devem ser as medidas dos lados do retângulo para que sua área seja a maior possível? Chamando um dos lados de x, o outro será 40 – x, e a área do retângulo será igual a A(x) = x.(40 – x). Buscamos o valor de x para que a área A(x) atinja o valor máximo. A(x) é uma função de 2º- grau: A(x) = x . (40 – x) = –x2 + 40x. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

Deseja-se murar (cercar com muros) um terreno retangular utilizando-se de uma parede já existente no terreno. Sabe-se que o comprimento de muro correspondente aos outros três lados do terreno é 36 metros. Parede x

a) Expresse a área A desse terreno em função de x (medida de um dos lados do retângulo). Sendo o comprimento dos 3 lados do muro igual a 36 m, se um dos lados é x, o outro será 36 – 2x, e a área do retângulo será: A(x) = x .(36 – 2x).

As raízes da equação de 2º- grau A(x) = 0 são x = 0 ou x = 40.

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b) Construa o gráfico de A em função do lado x. O gráfico de A(x) é uma parábola com a concavidade para baixo, tendo como raízes da equação de 2º- grau correspondente os valores 0 e 18. A A(x) = 36x – 2x2

162

preços pagos por kg. Com base nas informações fornecidas, mantida a situação atual, pede-se: a) determinar a melhor data para vender o bezerro, contada a partir de hoje. Nossa incógnita é o valor x de dias, contados a partir de hoje, após os quais o bezerro deve ser vendido, de modo a gerar o maior retorno y possível, em R$. Para encontrar o valor de y, devemos multiplicar o peso p (massa) em kg do bezerro pelo valor v pago por kg: y = p . v.

c) Calcule a área máxima que o terreno cercado pode ter e as respectivas dimensões.

O enunciado informa que o peso p aumenta 2 kg por dia, a partir do valor inicial 200 kg, ou seja, p = 200 + 2x, onde x é o número de dias decorridos até a venda.

O valor máximo da área A ocorre para x = 9 (ponto médio do segmento entre as raízes); a área máxima é igual a A(9) = 36 . 9 – 2 . 92 = 162 m2.

O valor v de cada kg, no entanto, decresce à razão de 0,40 reais por dia, a partir do valor inicial 50 reais; temos, então, que v = 50 – 0,40x.

Logo, o valor arrecadado será igual a y = p . v , ou seja,

Atividade 4 Um criador de gado tem um bezerro de determinada raça para vender. Esse bezerro pesa atualmente 200 kg e engorda 2 kg por dia. Inicialmente, o criador acha que, quanto mais tempo esperar para vender o bezerro, melhor será, pois o bezerro ganhará mais peso. Entretanto, um de seus funcionários lembra ao criador de que o preço de venda, que hoje é R$ 50,00 por kg, está caindo R$ 0,40 por dia. A escolha da melhor data para vender o bezerro depende, então, de duas variáveis: a engorda diária e a queda nos

y = (200 + 2x ) . (50 – 0,40x) = –0,80x2 + + 20x + 10 000 O valor a ser arrecadado é, portanto, uma função do 2o grau: f(x) = – 0,80x2 + 20x + 10 000 Determinar a melhor data para vender o bezerro corresponde a buscar o valor de x para o qual f(x) assume seu valor máximo. De fato, a função tem o coeficiente a negativo (a = – 0,80), e, portanto apresenta um valor máximo. Tal valor máximo ocorre exatamente no vértice do gráfico de

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f(x). Calculando o valor de xv , obtemos: –b –20 xv = = = 12,5 . Concluímos, então, 2a –1,60 que, mantidas as condições atuais, a melhor data para vender o bezerro é daqui a 12,5 dias, ou seja, entre o 12o e o 13o dia. b) calcular o valor em R$ que será arrecadado em tal venda. O valor a ser arrecadado com a venda é: f(12,5) = – 0,80. 12,52 + 20. 12,5 + 10 000, ou seja, é igual a R$10 125,00. c) fazer um gráfico que represente o valor y a ser arrecadado pelo criador na venda do bezerro (em R$) em função do tempo x de espera (em dias). O gráfico de f(x) é mostrado abaixo: trata-se de uma parábola com a concavidade para baixo, tendo como vértice o ponto (12,5; 10 125) y

10 125 10 000 12,5

d) determinar quantos dias levará para que o total arrecadado pelo criador seja zero. O valor arrecadado pelo criador será zero quando tivermos – 0,80x2 + 20x + 10 000 = 0

∙∙∙

∙∙∙ ∙∙∙

Uma das raízes é negativa e não faz sentido para o problema; a outra, a positiva, é igual a 12,5 + 112,5 = 125 dias. Uma maneira mais simples de responder essa questão teria sido aproveitar a forma fatorada da equação de 2o grau, pois sabíamos, desde o início, que (200 + 2x) . (50 – 0,40x) = – 0,80x2 + 20x + + 10 000 Logo, para obter as raízes, bastaria igualar a zero os fatores do primeiro membro, obtendo x = –100, que não faz sentido no 50 = 125, que é a solução problema, e x = 0,40 anteriormente encontrada.

Atividade 5

f(x) = – 0,80x2 + 20x + 10 000

Procurando as raízes desta equação, encontramos: –yv –10125 = 12,5 ± = x = xv ± a –0,80 ∙∙∙∙ 12656,25 = 12,5 ± 112,5. = 12,5 ± ∙∙∙

Em um determinado país ocorreu uma epidemia provocada por certa espécie de vírus. Inicialmente, foram detectadas 2 000 pessoas infectadas. A estimativa de médicos especialistas é a de que o número n de doentes cresça até um valor máximo l, que deverá ocorrer após terem decorrido 6 semanas desde o aparecimento do vírus, devendo decrescer a partir daí. Supõe-se que a diferença n(t) – l seja diretamente proporcional ao quadrado da diferença entre t e 6, ou seja, quando dobra a distância entre t e 6 (que será o pico da doença), a queda no número de infectados torna-se 4 vezes maior:

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n(t) = k.(t – 6)2 + l (k é uma constante). Com base nesse modelo, e sabendo que duas semanas após o início da epidemia havia 2 100 pessoas infectadas, responda:

d) Depois de quantas semanas o número de infectados cairá a zero? O número de doentes cairá a zero quando tivermos N(t) = 0, ou seja, quando –5(t – 6)2 + 2 180 = 0.

a) Quais são os valores de k e l? Sabemos que o valor de N para t = 0 é 2 000, e para t = 2 é 2 100; a partir dessas informações, podemos calcular os coeficientes k e L:

Calculando o valor de t, obtemos: (t – 6)2 = 436 t – 6 ≅ 20,9

t ≅ 26,9 semanas

N(2) = k.(2 – 6)2 + L = 2 100

(O outro valor possível para t é negativo e não faz sentido para o problema em questão.)

Concluímos, então, que 36k + L = 2 000 e 16k + L = 2 100.

Atividade 6

N(0) = k.(0 – 6)2 + L = 2 000

Daí segue que k = –5 e L = 2 180. Temos, portanto: N(t) = –5.(t – 6)2 + 2 180 b) Como é o gráfico de N(t)? O gráfico de N(t) é o mostrado abaixo: N(t) = – 5.(t – 6)2 + 2 180 N

2 180 2 100 2 000 t 0

c) Qual será o número pessoas infectadas?

máximo

Como se pode depreender da expressão N(t) e do gráfico, o valor máximo para N é 2 180.

Em certo ambiente, a velocidade V de crescimento de uma população n é, em cada instante, diretamente proporcional ao valor de n, e também à diferença entre um valor limite l, estimado como o máximo admissível para uma vida sustentável no ambiente em questão, e o valor de N em cada instante: V = k . n . (l – n), sendo k uma constante positiva. Podemos dizer, então, que a velocidade V é uma função de n, expressa pela fórmula V = f(n) = k . n . (l – n), ou seja, V = f(n) = – kn2 + kl.n Supondo L = 100 000 habitantes, e sabendo que para N = 10 000 a velocidade de crescimento é igual 900 habitantes por ano, determine: a) o valor da constante k. Para L = 100 000 habitantes, a função que expressa a velocidade de crescimento populacional é:

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V = f(N) = k.N. (100 000 – N). Como se sabe que V = 900 para N = 10 000, resulta que: 900 = k. 10 000.(100 000 – 10 000), ou seja, k = 10–6 Temos, então, para a função V = f(N): V = f(N) = 10–6 . N . (100 000 – N), ou ainda, V = f(N) = –10–6 . N2 + 10–1 . N b) para quais valores de n a velocidade de crescimento é igual a zero.

d) para qual valor de n a velocidade de crescimento é máxima. A velocidade de crescimento é máxima no vértice da parábola que é o gráfico de f(N); temos –10 –1 = 50 000. Nv = –2 . 10 –6 e) o gráfico de V em função de n. O gráfico de V = f(N) é apresentado a seguir.

Para responder a pergunta, basta determinar as raízes da equação f(N) = 0.

V = f(N) = 10 –6 . N(100 000 – N) V

Encontramos, então, N = 0 ou N = 100 000. c) para quais valores de n a velocidade de crescimento da população é positiva, ou seja, a população cresce, e para quais valores de n a velocidade de crescimento é negativa, ou seja, a população decresce. Como f(N) é uma função de 2º- grau com o coeficiente de N2 negativo, a parábola que é o gráfico de f(N) tem a concavidade voltada para baixo. Segue que o sinal de f(N) é positivo (contrário ao do coeficiente de N2) no intervalo entre as raízes (0 < N < 100 000) e é negativo para N > 100 000 (N < 0 não faz sentido no problema). Portanto, a velocidade V de crescimento será positiva (a população cresce) para uma população menor que 100 000 habitantes. A partir desse limite, a velocidade de crescimento passará a ser negativa (a população decresce).

N 0

50 000

100 000

Considerações sobre a avaliação Consideramos que os objetivos da presente Situação de Aprendizagem terão sido atingidos se os alunos tiverem sido sensibilizados sobre a presença das funções de segundo grau em diversos contextos práticos, sendo capazes de identificar as interdependências envolvidas, e reconhecer as situações de máximo ou de mínimo presentes, sabendo calcular as coordenadas dos pontos críticos (máximos ou mínimos) correspondentes. Especialmente nesta Situação de Aprendizagem, as atividades devem ter um caráter

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essencialmente qualitativo, não podendo ser associadas a imensas listas de exercícios meramente repetitivos. Muitos outros exercícios ou problemas poderiam ser aqui apresentados, e o professor que dispuser de tempo para continuar, não terá dificuldades em encontrá-los ou mesmo “fabricá-los” com base nos que foram resolvidos. Consideramos, no entanto, que não é exatamente a quantidade de questões

examinadas que é decisiva para uma compreensão adequada dos temas, mas, sim, o modo como elas são exploradas em classe, garantindo-se um tratamento das mesmas que favoreça um aprendizado consciente e efetivo. Sobretudo quando envolvem modelos matemáticos utilizados em outras áreas do conhecimento, é muito importante conversar sobre a plausibilidade dos mesmos, não bastando apenas receber fórmulas prontas e fazer cálculos aparentemente arbitrários.

OriENtAçõES pArA rECupErAçãO Caso considere que os alunos não tenham atingido as metas mínimas prefiguradas em cada uma das Situações de Aprendizagem, o professor pode optar por uma das estratégias seguintes:

professor tente despertar tal interesse, mas o imprescindível é que os alunos aprendam os fatos fundamentais do tema, mesmo que tenham chegado até eles por vias distintas das aqui propostas;

f apresentar inicialmente os conteúdos básicos sobre funções de 1o e de 2o grau do modo esquemático como costuma ser apresentado na maioria dos materiais didáticos disponíveis, portanto, sem destacar a ideia de proporcionalidade direta de y em relação a x, ou a x², introduzindo paulatinamente as explicações ou as justificativas dos resultados fundamentais como foram apresentadas no presente Caderno, na medida em que tais justificativas despertem efetivamente o interesse dos alunos. Naturalmente, consideramos importante que o

f uma vez que, de uma forma ou de outra, os conteúdos apresentados no presente Caderno já estiveram presentes na 8ª- série do Ensino Fundamental, iniciar os conteúdos referentes às funções de 1º- e de 2º- graus como se fosse uma recordação, por meio das atividades envolvendo problemas, invertendo a ordem em que tais temas foram expostos. Assim, a apresentação mais sofisticada, mais apropriada para o Ensino Médio, pode ser mais nitidamente apoiada em abordagens mais simples, à guisa de revisão.

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RECURSOS PARA AmPLiAR A PERSPECtivA dO PROfESSOR E dO ALUNO PARA A COmPREENSAO dO tEmA Alguns materiais podem ser utilizados pa ra complementação e enriquecimento do que aqui se apresentou: SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Edu cação. Programa de Educação Continuada (PEC). Material sobre funções. São Paulo: SE/CENP, 2001.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Curricular para o ensino de Matemática: 2º- grau. 3. ed. São Paulo: SE/CENP, 1992.

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Considerações Finais Chegamos ao final deste percurso em que revimos a ideia básica de função como relação de interdependência, as relações de proporcionalidade direta como característica das funções de 1º- grau, e as relações de proporcionalidade direta com o quadrado, que são suficientes para caracterizar as funções de 2º- grau. Ao final da Situação de Aprendizagem 1, pressupõe-se que os alunos consolidaram a ideia de função; se o professor considerar que o desempenho dos mesmos ainda não é satisfatório, sugerimos uma exploração bem direta das relações de interdependência com base em tabelas ou gráficos de diversos tipos, extraídos de jornais ou revistas. O recurso a diferentes linguagens para a apresentação da interdependência pode contribuir decisivamente para a compreensão da ideia central: uma grandeza que tem os seus valores determinados a partir dos valores atribuídos a outra é uma função dessa outra, em sentido próprio. Na Situação de Aprendizagem 2, o foco foi colocado em uma particular relação de interdependência: a proporcionalidade direta, que não pode ser confundida com a mera associação com duas grandezas que crescem simultaneamente, ou decrescem simultaneamente: a manutenção das proporções nesse crescimento ou decrescimento conjunto é absolutamente fundamental para garantir a proporcionali dade. Assim como os temas da primeira Situação

de Aprendizagem, é provável que estes também já tenham sido apresentados aos alunos anteriormente. Cabe ao professor decidir se as atividades constituem uma apresentação inicial ou uma consolidação das ideias já vistas. Na Situação de Aprendizagem 3, a função de 2º- grau é completamente apresentada. Ainda que alguns aspectos da mesma tenham sido abordados na 8ª- série, como a solução das equações de 2º- grau, este é o momento mais adequado para um estudo sistematizado do tema. Apesar de termos feito tal estudo, buscamos constantemente, ao longo do mesmo, dar ênfase ao significado das noções apresentadas, minimizando o tempo dedicado às técnicas de cálculo. Todas as técnicas necessárias foram contempladas: gráficos, vértices, raízes, inequações, etc., porém, sempre procurando um modo compreensivo de abordagem além da mera apresentação de fórmulas a serem memorizadas, nem mesmo a tradicional e amplamente conhecida fórmula de Bhaskara. Ainda que alguns dos caminhos sugeridos na apresentação dos temas não sejam os mais conhecidos, convidamos o colega professor para viajar conosco e temos a certeza de que ele vai apreciar a alternativa proposta. Qualquer que seja o caminho, no entanto, os fatos fundamentais sobre a função de 2º- grau – tais como: as características do gráfico, o significado dos coeficientes, a determinação das raízes da equação correspondente, o estudo dos sinais da função –

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devem ser conhecidos dos alunos ao final dessa Situação de Aprendizagem. Na Situação de Aprendizagem 4, reservamos o espaço para a solução de alguns problemas clássicos envolvendo funções de 2º- grau,

sobretudo os que dizem respeito a questões de otimização ou a problemas de máximos e mínimos. Naturalmente, as atividades apresentadas têm apenas o caráter de exemplificar: muitas outras poderão ser propostas, com finalidades análogas.

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Conteúdos de matemátiCa por série/bimestre

4o- bimestre

3o- bimestre

2o- bimestre

1o- bimestre

do ensino médio 1a- série

2a- série

3a- série

NÚMEROS E SEquêNciaS - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de matemática financeira.

TRigONOMETRia - Arcos e ângulos; graus e radianos. - Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente. - Funções trigonométricas e fenômenos periódicos. - Equações e inequações trigonométricas. - Adição de arcos.

gEOMETRia aNalíTica - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares. - Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

FuNçõES - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função de 1º- grau, função de 2º- grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

MaTRizES, dETERMiNaNTES E SiSTEMaS liNEaRES - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

EquaçõES algébRicaS, pOliNôMiOS, cOMplExOS - Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa. - Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial. - Polinômios: identidade, divisão por x – k e redução no grau de uma equação. - Números complexos: significado geométrico das operações.

FuNçõES ExpONENcial E lOgaRíTMica - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - Logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes contextos. - Função logarítmica: equações e inequações simples.

aNáliSE cOMbiNaTóRia E pRObabilidadE - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Arranjos, combinações e permutações. - Probabilidades; probabilidade condicional. - Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.

ESTudO daS FuNçõES - Panorama das funções já estudadas: principais propriedades. - Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação. - Composição: translações, reflexões, inversões.

gEOMETRia-TRigONOMETRia - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

gEOMETRia MéTRica ESpacial - Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas. - Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas - Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas. - A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

ESTaTíSTica - Cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão. - Elementos de amostragem.

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