MATEMATICA_CP_1s_Vol3reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino médio

1ª- SÉRIE

volume 3 – 2009

MATEMÁTICA

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design (projeto gráfico) APOIO

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1ª- série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-360-8 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

Caras professoras e caros professores,

Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor. Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno. Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para promover mais aprendizagem aos alunos. A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho. Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma proposta curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – As potências e o crescimento/decrescimento exponencial: a função exponencial 11 Situação de Aprendizagem 2 – Quando o expoente é a questão, o logaritmo é a solução: a força da ideia de logaritmo 19 Situação de Aprendizagem 3 – As funções com variável no expoente: a exponencial e sua inversa, a logarítmica 36 Situação de Aprendizagem 4 – As múltiplas faces das potências e dos logaritmos: problemas envolvendo equações e inequações em diferentes contextos 43 Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 54 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA

CURRiCUlAR PARA O EStAdO

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas após a implantação da Proposta. É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado. Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, professor! O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com bons resultados. Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.

Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA dO CAdERnO Expoentes e logaritmos: uma linguagem adequada para a compreensão do crescimento ou decrescimento exponencial

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Médio

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

As potências e o crescimento/decrescimento exponencial: a função exponencial Quando o expoente é a questão, o logaritmo é a solução: a força da ideia de logaritmo As funções com variável no expoente: a exponencial e sua inversa, a logarítmica Problemas envolvendo expoentes e logaritmos em diferentes contextos: equações e inequações

ORiEntAÇãO gERAl SObRE OS CAdERnOS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensão aproximadamente igual, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento. A critério do professor, em cada Situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente

o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu interesse e o de seus alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas pelo professor com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas que foram oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais de apoio (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre em cada Situação de Aprendizagem apresentada.

Matemática – 1ª- série – Volume 3

Conteúdos básicos do bimestre O conteúdo básico do 3o bimestre da 1a série é a ideia de crescimento ou decrescimento exponencial, com a consolidação da linguagem das potências e a introdução da ideia de logaritmo. As potências já foram apresentadas aos alunos no Ensino Fundamental (na 5a série, as primeiras noções; na 7a série, as potências com expoentes inteiros; na 8a série, expoentes racionais e reais). Trata-se, agora, de consolidar seu significado, sintetizando os fatos conhecidos na apresentação da função exponencial, com destaque para sua forma peculiar de crescimento ou decrescimento. Já os logaritmos, uma invenção genial do início do século XVII, cuja motivação primeira era a simplificação dos cálculos em uma época de limitados instrumentos para tal, a despeito da abundância de recursos atuais, permanecem como um tema especialmente relevante, não em razão de tais simplificações, mas pela sua adequação para a descrição de fenômenos em que as variáveis aparecem no expoente. Apresentar seu significado mais profundo, o que contribuiu para que sua importância se conservasse, juntamente com as propriedades mais relevantes para seu uso em diferentes contextos, é um dos objetivos do bimestre. De modo análogo ao utilizado com a função exponencial, a apresentação da função logarítmica significará o coroamento das informações amealhadas sobre logaritmos.

Naturalmente, buscaremos uma articulação entre as funções exponencial e logarítmica, uma vez que o que as distingue é apenas uma troca de posição entre as variáveis: f se y = ax, considerando x a variável independente, escrevemos y = f(x) = ax, e temos uma função exponencial; f quando y é a variável independente, escrevemos x = g(y) = loga y, e temos uma função logarítmica. Ou seja, as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. Ao longo de todo o bimestre, serão apresentadas diversas situações concretas envolvendo exponenciais e logaritmos, incluindo escalas logarítmicas (papéis logarítmicos) para a construção de gráficos, o que possibilita a linearização de gráficos de funções não lineares. É muito importante que o professor conheça as diversas contextualizações dos logaritmos (graus de terremotos, acidez de líquidos, intensidade sonora, magnitude de estrelas, cálculo de juros, etc.) como possibilidades de enriquecimento de seu curso, e não como uma obrigação de tratar todas elas em suas aulas, o que provavelmente não será possível, em razão do tempo disponível. Para a organização dos trabalhos ao longo do bimestre, as atividades são distribuídas em oito unidades, associadas à proposta de quatro Situações de Aprendizagem, conforme a sugestão a seguir:

Quadro geral de conteúdos do 3º– bimestre da 1ª– série do Ensino Médio Unidade 1 – Consolidação da ideia de potência – significado e operações com expoentes inteiros, racionais e reais. Unidade 2 – A função exponencial – crescimento, decrescimento e gráficos. Unidade 3 – A ideia de logaritmo – uma ideia brilhante do século XVII cada vez mais importante no século XXI. Unidade 4 – Propriedades dos logaritmos – logaritmos em diferentes bases. Unidade 5 – Logaritmos em diferentes contextos: acidez, escala Richter e decibéis. Unidade 6 – As funções com variável no expoente: a exponencial e sua inversa, a logarítmica. Unidade 7 – Problemas envolvendo expoentes e logaritmos em diferentes contextos – equações e inequações. Unidade 8 – Uma aplicação importante: o uso de gráficos com escala logarítmica.

Matemática – 1ª- série – Volume 3

SitUAÇõES dE APREndizAgEM SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 AS POTÊNCIAS E O CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: A FUNÇÃO EXPONENCIAL A ideia de potenciação como um recurso para representar um produto em que os fatores são iguais já é conhecida pelos alunos desde o Ensino Fundamental, assim como as extensões de tal noção para o caso em que os expoentes são negativos, racionais, ou mesmo irracionais. O objetivo desta Situação de Aprendizagem é consolidar tais noções, na apresentação da função exponencial y = ax, ou f(x) = ax, sendo a base a um número positivo e diferente de 1. Assim como as funções f(x) = ax + b constituem um padrão para o estudo dos fenômenos lineares, em que o

crescimento ou decrescimento acontece a taxas constantes, as funções exponenciais constituirão um novo padrão para a descrição e a compreensão de uma nova classe de fenômenos, de natureza não linear. Ao estudar tais funções, os alunos estarão ampliando consideravelmente sua capacidade de expressão e de modelagem de diversos fenômenos naturais, o que favorecerá uma compreensão mais ampla nos diversos contextos em que eles surgem. Sugere-se que o professor utilize duas semanas na consolidação dessa ideia de potência e apresentação da função exponencial.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: significado da potenciação com expoentes naturais, inteiros, racionais e reais; função exponencial, com a construção de seu gráfico e o destaque para suas propriedades relativas ao crescimento e decrescimento; funções exponenciais em diferentes contextos. Competências e habilidades: expressar e modelar diversos fenômenos naturais envolvendo potências, compreendendo-os nos diversos contextos em que eles surgem; enfrentar e resolver situações-problema envolvendo expoentes e funções exponenciais. Estratégias: articulação das noções sobre potências já estudadas em séries anteriores; destaque de alguns fatos fundamentais, considerados especialmente importantes para a compreen são da natureza da função exponencial; apresentação de exemplos ilustrativos e proposição de exercícios exemplares.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Antes de iniciar o estudo das funções exponenciais, é importante que o professor proponha uma revisão dos conhecimentos sobre potências já apresentados no Ensino Fundamental. Nesta Situação de Aprendizagem, partindo-se de uma situação concreta, serão destacados apenas fatos fundamentais para a compreensão da natureza da função exponencial.

Alguns fatos fundamentais sobre potências Suponhamos que no país X a produção de determinado alimento foi igual a 1 tonelada no final do ano 2000 e, em razão de incentivos econômicos, passou a triplicar anualmente a partir daí. Conforme ilustra a tabela a seguir: Ano

Produção P (em toneladas)

Potência correspondente

2000

2001

2002

2003

2004

2005

243

2006

729

2007

2 187

2008

6 561

2009

19 683

...

2015

14 348 907

2000 + n

A regularidade da multiplicação pelo fator 3, a cada ano, conduz naturalmente à representação da produção correspondente de modo simplificado, por meio de uma potência de 3: n anos após o ano 2000, o valor da produção P será 3n toneladas. Ao iniciarmos o estudo das potências, os valores atribuídos ao expoente n somente podiam ser números naturais: em an, n representava o número de fatores a, presentes no cálculo indicado. A partir daí, propriedades como am . an = am + n e am ÷ an = am – n pareciam naturais, contando-se o número de fatores resultantes ao efetuar as operações indicadas. Posteriormente, observou-se que, excluindo-se o caso em que a = 0, a notação an poderia ser estendida para o expoente 0 e para os expoentes negativos, uma vez que:

a0 =

1 a0 an −n 0−n e a = a = = n, = 1 n n a a a

para todo n natural. Mais adiante, ao tratar dos números racionais, as potências de expoente racional também foram consideradas: no caso da tabela inicialmente apresentada, calcular 30,5, por exemplo, significaria estimar a produção do alimento na metade do ano de 2001, ou seja, 0,5 ano após o momento em que a produção começou a triplicar ano a ano. Uma interpretação natural para 30,5, portanto, foi a seguinte: 0,5

0,5

0,5 + 0,5

f como se espera que 3 . 3 seja igual a 3 1

0,5

ou seja, 3 , segue daí que 3 é uma nova ma1

neira de escrever

3 , ou seja, 30 ,5 = 32 = 3 .

Matemática – 1ª- série – Volume 3

Dessa maneira, 31,5 representaria a produção no meio do ano, entre 2001 e 2002, e 3

1,5 1 0 ,5 teríamos: 3 = 3 2 = 3 . 3 = 3 3 .

De forma análoga ao procedimento realiza1

Naturalmente, qualquer número irracional, como 2, pode ser aproximado, por falta ou por excesso, a um número racional, sendo que a aproximação sempre pode ser melhorada, se desejarmos:

do para a n , sendo n natural e a > 0, resulta que: 1 n

1 n

a . a . a . ... a = a

1 n

= a , ou seja, a = a 1

Aproximação por falta

Raiz quadrada de 2

Aproximação por excesso

1,4

1,5

1,41

1,42

1,414

1,415

1,4142

1,4143

1,41421

1,41422

1,414213

1,414214

1,4142135

1,4142136

n fatores iguais

A restrição a > 0 é necessária para nos resguardar dos casos em que o índice n da raiz é par, uma vez que, como sabemos, no conjunto dos números reais não existem raízes quadradas, ou quartas, ou sextas, etc. de números negativos. De modo geral, portanto, para m e n natum n

rais, sendo a potência a , temos a convenção: mm

(( ))

mm  1 1 aa == aan n == n naa == n naamm mm nn

(a > 0)

Na tabela apresentada anteriormente, por exemplo, para calcular o valor da produção em 4,25 anos (ou seja, quatro anos e três meses) após o início do processo, teríamos: 17

P = 34,25 = 3 4 = 4 317 ≅ 106, 60 toneladas (usando-se uma calculadora científica). Para complementar esse percurso com as potências, registremos que é possível calcular os valores de 3x mesmo que x não seja um número racional. Consideremos, por exemplo, o caso em que x = 2 . Como se pode interpretar a potência 3 2 ?

Cada um dos números nas colunas da esquerda ou da direita é racional, podendo m ser escrito na forma , com m e n inteiros. n Logo, podemos calcular a potência 3 2 por meio de aproximações sucessivas em que os expoentes sejam números racionais. O número 3 2 representa o valor do qual as sum

cessivas aproximações 3 n , com expoentes racionais, aproximam-se, quando aproximamos 2 por m . n

Em consequência, sendo a > 0, podemos

outro real ax, ou seja, podemos definir a função

atribuir significado para ax, para a > 0 e para

y = ax, ou seja, f(x) = ax. Construímos, a seguir,

todo número real x. Quando a = 1, as potên-

algumas tabelas com diversos valores de x

cias são todas iguais a 1; sendo a > 0 e a ≠ 1,

e os correspondentes valores de f(x), para al-

então, a cada número real x corresponde um

guns valores de a:

1 2

1 3

1 2 2

2 =4

3 =9

1 1   = 2 4

1 1   = 3 9

2 =8

3 = 27

1 1   = 2 8

1 1   = 3 27

2 =1

3 =1

1   =1 2

1   =1 3

2 −3 =

1 1 = 23 8

3−3 =

1   2

1 1 = 3 3 27 1

1 2

2 = 2 ≅ 1, 41 3 = 3 ≅ 1, 73

−3

= 23 = 8

1 1 ⎛1⎞2 = ≅ 0, 71 ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝2⎠

Podemos observar que: f quando x aumenta uma unidade, a partir de qualquer valor, ax é multiplicado por a. De fato, ax + 1 = ax . a, ou seja, para cada unidade a mais no valor de x, o valor de ax crescerá ou decrescerá, dependendo apenas do valor de a;

1 3 2

1   3

−3

= 33 = 27

1 1 ⎛1⎞ 2 = ≅ 0, 58 ⎜ ⎟ = 3 3 ⎝3⎠

f sendo a > 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax também aumenta, ou seja, a função f(x) = ax é crescente; f sendo 0 < a < 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax diminui, ou seja, a função f(x) = ax é decrescente.

Matemática – 1ª- série – Volume 3

Exemplos ilustrativos Representaremos adiante o gráfico de f(x) = ax para diversos valores de a. Os problemas e exercícios apresentados a seguir são exemplares, pois envolvem conceitos e procedimentos importantes referentes à função exponencial. No entanto, nem todos constam no Caderno do Aluno. Logo, cabe ao professor analisar as possibilidades de tempo e o grau de interesse dos seus alunos para propô-los à classe. Exemplo 1 – Vamos esboçar os gráficos das funções exponenciais a seguir, observando o crescimento ou o decrescimento em cada caso: 1 b) y =   2

a) y = 2x

1 y=  2

Exemplo 3 – Considerando a função exponenx 1 1 cial f(x) =   e notando que = 2 −1 , podemos 2   x 2 1 (–1)x escrever: f(x) =  2  = 2 = 2–x. De modo ge  1 ral, sendo 0 < a < 1, então > 1 , ou seja, toda a função exponencial f(x) = ax decrescente pode −x 1 ser representada na forma f(x) =   . Obsera vemos tal fato no gráfico a seguir: y = 2–x

y = 3–x y = 5–x

y = 5x y = 3x

y = 2x

Exercícios exemplares

Exercício 1

y = 2x

Uma população n de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 . 3t (t em horas). Exemplo 2 – Esbocemos, no mesmo sistema de eixos, os gráficos de: x 1 x b) y =   a) y = 3 3 Observando o crescimento ou o decrescimento em cada caso. 1 y=  3

a) Indique e calcule o valor de n para os seguintes valores de t: I) t = 2 h

II) t = 0,5 h

 2 III) t =   h 3

IV) t = 1,25 h

Calculando os valores de N, temos: I) N = 5 000 . 32 = 5 000 . 9 = = 45 000 micróbios;

y = 3x

II) N = 5 000 . 30,5 = 5 000 . 3 ≅ ≅ 5 000 . 1,732 = 8 660 micróbios; 2

3 2 III) N = 5 000 . 3 3 = 5 000 . 3 ≅

≅ 5 000 . 2,080 = 10 400 micróbios; 5

IV) N = 5 000 . 31,25 = 5 000 . 3 4 ≅ ≅ 5 000 . 3,948 = 19 740 micróbios.

b) Esboce o gráfico de n como função de t: N = f(t). O gráfico de N = f(t) = 5 000 . 3t é como o gráfico de y = 3t, sendo cada ordenada y multiplicada por 5 000: N = 5 000 . 3t

Calculando a potência 1,504, obtemos: 4

4  3 3 81 1,50 =   = 4 = 16 2  2 4

Segue que P0 = 162 000 .

16 = 32 000. 81

b) Qual é a produção estimada para o ano de 2010? A produção estimada para o ano de 2010 é P(10) = 32 000 . 1,5010 = 32 000 . ≅ 1 845 281 automóveis.

Exercício 2 Em determinado país X, a produção de automóveis cresce em progressão geométrica, ano após ano, a partir do início do ano 2000, tendo aumentado 50% ao ano, desde então. Sabendo-se que em 2004 foram produzidos 162 000 automóveis, pergunta-se: a) Qual foi a quantidade produzida no ano 2000? Chamando a quantidade produzida em 2000 de P0 , se a cada ano a produção aumenta em 50%, então, a cada ano, o valor inicial fica multiplicado por 1,50. Após t anos, o valor da quantidade produzida P(t) será igual a: P(t) = P0 .(1,5)t Sabendo-se que, em 2004, ou seja, que para t = 4, o valor da produção foi de 162 000 automóveis, resulta que: 162 000 = P0 . 1,504, ou seja, P0 = 162 000 4 1,50

310 ≅ 210

Exercício 3 É possível construir o gráfico de uma função do tipo f(x) = 2kx de modo análogo ao de y = 2x, quando k é positivo, ou ao de y = 2–x, quando k é negativo. Nos dois casos, ocorrerá apenas uma mudança na escala no eixo x. Para compreender tal fato, construa o gráfico de cada par de funções abaixo no mesmo sistema de coordenadas: a) y = 2x

y = 23x

Para construir o gráfico de y = 2x e de y = 23x, podemos escrever y = (23)x = 8x. Os valores da seguinte tabela ajudam-nos a relacionar os dois gráficos a seguir: x

–1

–2

1 2

1 4

23x = 8x

64 512 4 096

1 8

1 64

Matemática – 1ª- série – Volume 3

y = 23x

y = 2x

 3  5 

( )

b) y = 3−x

d) y = 7x

y = 3−0,5x

De maneira análoga, para construir o gráfico

1 2

 y == 

(

125

)

y = 5x

y = 7– 0,1x

Finalmente, para y = 7x e y = 7– 0,1x, temos: x

de y = 3 e y = 3 −x

, podemos escrever:

−0,5x

 1

y=7

– 0,1x

x  1  –1 1  10 = (7 )  =  10  , ou seja, é    7

um gráfico do tipo y = ax com 0 < a < 1:

y = 3−x = (3−1)x =   e  3

y = 7– 0,1x

 1 

y = 7x

y = 3−0,5x = ((30,5)−1)x =   .  3 Os gráficos dessas funções são representados desta forma:  1 y = 3–x =    3  1  y = 3–0,5x =   3 

c) y = 5x

y = 51,5x

Para y = 5x e y = 51,5x, temos y = 51,5x =  3 = 5 

(

)

x   = 125 . Este último gráfico é  x x  x 3 12  do tipo y = a ,5com a = 125 ≅ 11,2.   Observe os gráficos a seguir:

( )

1 2

( )

(

)

De modo geral, dada uma constante k, o gráfico de uma função do tipo f(x) = akx, com a > 0 e a ≠ 1, pode ser obtido imaginando-se o gráfico de y = (ak)x. Dependendo do valor de k, a função poderá ser crescente ou decrescente. Sendo a > 1, quando k é positivo, a função é crescente; quando k é negativo, a função é decrescente. Exercício 4 A população n de determinado município cresce exponencialmente, desde a sua fundação há 20 anos, de acordo com a expressão N = 3 000 .100,1t, sendo t em anos. Calcule:

a) O valor de n quando o município foi fundado (t = 0). Quando foi fundado, o município tinha uma população N0 = 3 000 . 100 = 3 000. b) O valor de n dez anos após a fundação. Dez anos após a fundação, a população era igual a: N10 = 3 000 . 100,1.10 = 3 000 . 10 = 30 000. c) O valor de n nos dias atuais. O valor de N nos dias atuais (t = 20) é igual a N20 = 3 000 . 100,1.20 = 3 000 . 102 = 300 000 de habitantes. d) Depois de quanto tempo, após a fundação, a população atingirá a marca de 3 000 000 de habitantes, se o ritmo de crescimento continuar assim. Para termos N = 3 000 000, devemos ter: 3 000 000 = 3 000 . 100,1t, ou seja, 100,1t = 1 000, de onde obtemos 0,1 t = 3, portanto, t = 30 anos. e) Depois de quanto tempo, após a fundação, o valor de n atingirá 600 000. Para calcular depois de quantos anos a população atingirá 600 000, devemos ter: 600 000 = 3 000 . 100,1t, ou seja, 100,1t = 200. Precisamos saber, então, qual o expoente da potência de 10 que seria igual a 200. Sabemos que 102 = 100 e que 103 = 1 000.

Deve haver um número n, entre 2 e 3, tal que 10 n = 200. Somente descobrindo que número é esse podemos completar os cálculos, pois igualando o expoente de 10 a esse número n, teremos: 0,1t = n, e então, t = 10 n. O número n tal que 10n = 200 é aproximadamente igual a 2,30 e o valor de t correspondente é 23 anos. Para calcular números como esses, estudaremos os logaritmos nas próximas unidades.

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos tenham consolidado a noção e o cálculo de potências de expoente real, sintetizando tal conhecimento por meio da construção do gráfico da função exponencial y = ax, com a > 0 e a ≠ 1, reconhecendo tratar-se de uma função crescente quando a > 1, ou decrescente quando 0 < a < 1. Também se espera que os alunos tenham certa familiaridade com os gráficos de funções da forma y = y0.akx, em que y0 e k são constantes, bem como com cálculos envolvendo potências em situações práticas, em diferentes contextos. Como foi explicitado inicialmente, as primeiras noções sobre potências foram apresentadas aos alunos já na 5a série do Ensino Fundamental. O que aqui se almeja é a consolidação de tais noções em contextos significativos, ao mesmo tempo que se abrem as portas para o tema da próxima Situação de Aprendizagem: os logaritmos.

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 QUANDO O EXPOENTE É A QUESTÃO, O LOGARITMO É A SOLUÇÃO: A FORÇA DA IDEIA DE LOGARITMO Na Situação de Aprendizagem anterior, foram exploradas as ideias de potências e de expoentes em situações concretas nas quais o crescimento ou decrescimento nada tinha de linear ou uniforme. Vimos que, quando uma grandeza y varia exponencialmente com outra grandeza x, ou seja, quando y = ax, o crescimento ou decrescimento de y, quando x aumenta, ocorre de modo muito mais acentuado: para cada unidade a mais no expoente, o valor final de y é multiplicado por a. Isso significa, em outras palavras, que a cada unidade a mais no expoente, o resultado final das potências é multiplicado por a. Em outras palavras, se os expoentes constituem uma progressão aritmética de razão 1, as potências constituem uma progressão geométrica de razão igual a a. Atribuindo arbitrariamente valores ao expoente x, podemos determinar os valores da potência y = ax. Nesta Situação, continuaremos a explorar tal vertente, com uma simples e fundamental diferença: agora, estaremos interessados em

determinar o valor do expoente x para valores arbitrariamente atribuídos à potência y = ax. Trata-se de um prolongamento natural do estudo das potências, e os expoentes a serem determinados serão chamados de logaritmos. Aprender a operar com tais expoentes quando eles constituem a variável dependente é o tema que agora se apresenta. Compreender e explorar as propriedades dos logaritmos, como veremos, não passa de seu reconhecimento como expoentes de potências, nos cálculos já conhecidos. Sem dúvida, a linguagem dos logaritmos amplifica muito a competência leitora: trata-se da leitura e da compreensão de uma extensa classe de fenômenos, associados ao crescimento ou ao decrescimento exponencial. Sugere-se que o professor utilize três semanas de atividades na apresentação inicial dos logaritmos. Posteriormente, nas Situações de Aprendizagem 3 e 4, os alunos terão contato mais específico com a temática.

tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: logaritmo como expoente, sua importância na representação de números muito grandes ou muito pequenos, bem como na realização dos cálculos inversos aos da potenciação; as propriedades dos logaritmos, correspondentes às propriedades similares da potenciação; noção de logaritmo em diferentes contextos. Competências e habilidades: ler e compreender a classe de fenômenos associados ao crescimento ou decrescimento exponencial; enfrentar e resolver situações-problema contextualizadas envolvendo logaritmos. Estratégias: apresentação das propriedades dos logaritmos e da função logarítmica; proposição de exemplos ilustrativos e exercícios exemplares.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Como na atividade anterior, partiremos de uma situação concreta em que os logaritmos surgirão de modo natural. A partir daí, serão apresentadas paulatinamente suas propriedades, que serão enfeixadas, ao final, por meio da função logarítmica. Exemplos ilustrativos e exercícios exemplares servirão de indicadores da natureza das atividades a serem desenvolvidas em classe.

A ideia de logaritmo: mais viva e importante do que nunca Os logaritmos foram criados no início do século XVII, com o objetivo de simplificar cálculos. Comparada com o período atual, aquela era uma época com poucos recursos tecnológicos, em que os cálculos eram realizados com instrumentos parcos e muito trabalhosos, sobretudo os referentes à navegação. Quando surgiram, essa era a principal característica e a grande vantagem dos logaritmos era simplificar os cálculos, de um modo facilmente compreensível. Hoje, no entanto, existem muitos instrumentos disponíveis para efetuar os mais intrincados cálculos: das calculadoras eletrônicas aos computadores com preços cada vez mais acessíveis. Para que, então, estudar logaritmos? A história da Matemática, no entanto, revela-nos uma especial surpresa quando o assunto é logaritmo. A despeito de seu enorme sucesso no século XVII, hoje, em pleno século XXI, os logaritmos são mais importantes

do que o foram no momento de sua criação. Já não precisamos mais deles para simplificar os cálculos, mas seu significado e a força de sua linguagem tornaram-se fundamentais para a expressão e a compreensão de fenômenos em diferentes contextos, alguns deles surgidos em pleno século XX: nas medidas da intensidade sonora, da energia destruidora dos terremotos, do índice de acidez de um líquido, da rapidez com que uma substância radioativa se desintegra, etc. Sem dúvida, hoje, mais do que ontem, é fundamental aprender logaritmos. Para iniciar nosso percurso na aprendizagem dos logaritmos, retornaremos, no entanto, à problemática inicial: a simplificação dos cálculos.

Simplificação de cálculos: uma ideia brilhante do século XVii Para compreender o significado dos logaritmos quando surgiram, imaginemos a seguinte situação: temos que calcular o valor de E indicado na expressão a seguir: E = 5

)

381,5 ⋅ ( 20,87 ⋅ ( 4 182 3

(7, 935)

)

Para realizar as operações indicadas sem dispor de uma calculadora, o trabalho braçal é imenso. Uma simplificação muito interessante foi elaborada por alguns matemáticos no início do século XVII, entre os quais o inglês Henry Briggs (1561-1630) e o escocês John Napier (1550-1617). Cada um propôs uma alternativa a seu modo, mas a ideia central subjacente era a seguinte:

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f é possível escrever qualquer número positin vo n como uma potência de 10: n = 10 ; f assim procedendo, o cálculo de uma multiplicação se transforma no cálculo de uma adição (dos expoentes); o cálculo de uma divisão se transforma no cálculo de uma subtração (dos expoentes); o cálculo de uma raiz se transforma no cálculo de uma divisão (do expoente pelo índice da raiz), e assim por diante. Na expressão E apresentada anteriormente, se pudermos escrever:

Pois bem, quando escrevemos N = 10 e nos preparamos para simplificar, daqui para frente, os cálculos envolvendo tal número, estamos entrando na seara dos logaritmos. n

Se N = 10 , então o expoente n é chamado “logaritmo de N”: n = log N.

Exemplo ilustrativo Para uma familiarização com a linguagem, calculemos os logaritmos de alguns números. a) Sendo N = 100 = 102, então o logaritmo de n é 2: log 100 = 2. b) Sendo N = 1 000 = 103, então o logaritmo de n é 3: log 1 000 = 3.

381,5 = 10a 20,87 = 10b 4182 = 10c 7,935 = 10d Então, conhecendo os valores de a, b, c e d, e usando apenas propriedades da potenciação, podemos afirmar que o valor da expressão E será: (a + 3b + 4c – 2d )

E = 10

A chave da questão é a representação de n qualquer número positivo n como 10 , o que é fácil quando se tem n igual a 10, 100, 1 000, 10 000, etc., mas já não parece tão simples para valores de n como 2, 17, 537 , 30, 200 ou 1 932,5, por exemplo. Não é simples, mas é possível, e esse é o grande mérito dos matemáticos que investiram nesse terreno. A possibilidade de se esn crever n como 10 é equivalente à afirmação de que é possível calcular o valor da potência x 10 para qualquer número real x, e não apenas para os valores inteiros de x.

c) Sendo N = 10 = 101, então o logaritmo de n é 1: log 10 = 1. d) Sendo N = 1 = 100, então o logaritmo de n é igual a 0: log 1 = 0. 1 2

e) Sendo N = 10 = 10 , 1 então o logaritmo de n é : 2 1 log 10 = . 2 f) Sendo N = 0,01 = 10−2, então o logaritmo de n é –2: log 0,01 = –2. g) Sendo N = 13, como 101 < 13 < 102, então o logaritmo de n é um número n tal que 1 < n < 2: 1 < log 13 < 2. h) Sendo N = 751, como 102 < 751 < 103, então o logaritmo de n é um número n tal que 2 < n < 3: 2 < log 751 < 3.

i) Sendo N = 3,22, como 100 < 3,22 < 101, então o logaritmo de n é um número n tal que 0 < n < 1 : 0 < log 3,22 < 1. j) Sendo n menor ou igual a zero, então n n não tem logaritmo, pois 10 é sempre positivo, para todo n.

tabelas de logaritmos Para facilitar os cálculos, tal como era sugerido pelos criadores dos logaritmos, foram criadas longas tabelas contendo uma lista dos valores de n e do logaritmo correspondente, representado por log n. Tais tabelas (tábuas de logaritmos) eram disponibilizadas para os calculadores e constituíram algo que se assemelha aos modernos softwares de hoje.

n (n = 10n)

n (n = log n)

10 000

6 000

3,77815

3 000

3,47712

2 000

3,30103

1 000

600

2,77815

300

2,47712

200

2,30103

100

1,77815

1,47712

1,30103

0,77815

0,47712

0,30103

Os valores apresentados foram escolhidos como exemplos, mas são sugestivos de certas regularidades existentes em uma tabela de logaritmos. 3 000 Por exemplo, como a razão é igual a 10, 300 a diferença entre seus logaritmos deve ser igual a 1, ou seja, eles têm a mesma parte decimal, diferindo apenas na parte inteira. O mesmo acontece com os logaritmos de 300, de 30 e de 3. Também notamos que, como 6 = 2 . 3, então: log 6 = log 2 + log 3 = 0,30103 + 0,47712 = = 0,77815. Outras regularidades podem ser ainda observadas na tabela. Fatos assim constituem indícios de que não é necessário colocar na tabela os logaritmos de todos os números, o que seria impossível. Tabelando-se os logaritmos de alguns números, como os naturais de 1 a 10 000, os demais podem ser calculados aproximadamente a partir deles. Dispondo de uma tabela como a indicada anteriormente, para calcular o valor da expressão E já citada, o procedimento poderia ser o seguinte: f localizamos os números 381,5; 20,87; 4 182 e 7,935 na coluna n da tabela e determinamos os valores de a, b, c e d na coluna dos logaritmos; f efetuamos os cálculos sobre os valores de a, b, c e d, obtendo o valor do expoente, que é o logaritmo de E; f localizamos tal expoente de E na coluna dos logaritmos e identificamos o número E que lhe corresponde na coluna n.

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Observações sobre a tabela de logaritmos, (ou tábua de logaritmos):

f assim, com paciência, as lacunas entre as potências inteiras podem ser preenchidas.

1. Naturalmente, se na tabela aparecem apenas os números naturais de 1 a 10 000, não vamos encontrar 381,5. Entretanto, sabemos que seu logaritmo situa-se entre 2 e 3 e que sua parte decimal é a mesma de 3 815, assim, determinamos o logaritmo de 381,5.

Reiteramos, no entanto, que as tábuas de logaritmos são um instrumento de importância histórica, mas sem interesse no presente, uma vez que dispomos de muitos outros instrumentos para calcular logaritmos.

2. A construção de uma tabela é um processo longo e trabalhoso. Os logaritmos dos números que não são potências inteiras da base são números irracionais e, na prática, são expressos em termos aproximados, com um número fixo de casas decimais. Apenas para se ter uma ideia inicial de como os cálculos poderiam ser feitos, sugerimos que o professor mostre aos alunos algumas estratégias de cálculo aproximado, no caso dos logaritmos decimais. Uma delas pode ser a seguinte: f o logaritmo de 1 é 0; f o logaritmo de 10 é 1; f para preencher as lacunas entre 1 e 10, podemos extrair a raiz quadrada de 10; 1

f como 10 = 10 2 , segue que log 10 = 0,5; f extraindo a raiz quadrada da raiz quadrada de 10, temos o log 4 10 = 0,25; f de modo geral, sendo A e b dois números cujos logaritmos conhecemos, extraindo a raiz quadrada de A.b, temos: log AB =

1 . (log A + log B); 2

Exercícios exemplares A seguir, serão propostos alguns exercícios que podem servir de base para o professor explorar a ideia de logaritmo anteriormente exposta, propiciando um tempo para sua assimilação. Ao mesmo tempo, servem de pretexto para que sejam apresentadas as propriedades dos logaritmos, que não passam das propriedades das potências “vestidas em outra roupa”. Nesse primeiro momento, tratamos apenas dos logaritmos de base 10, os logaritmos decimais. Mais adiante, tais noções serão generalizadas para qualquer base. Exercício 1 Existem métodos de cálculo para os logaritmos dos números que não são potências inteiras de 10. Tais valores (aproximados, pois são números irracionais) podem ser obtidos por meio de calculadoras, ou encontrados em tabelas de logaritmos, e estão disponíveis para o uso de todos. Como sabemos, os números entre 1 e 10 têm logaritmos entre 0 e 1. Em uma calculadora científica, obtemos: log 2 ≅ 0,30 (ou seja, 2 ≅ 100,30) e log 3 ≅ 0,47 (ou seja, 3 ≅ 100,47). Com base nesses valores aproximados, calcule:

a) log 6 b) log 9

c) log 4 d) log 12

e) log 72 f) log 3 600

d) log 12 = log (2 . 2 . 3) = = log (100,30 . 100,30 . 100,47) = log 101,07 = 1,07.

Os itens desse exercício constituem os primeiros usos da linguagem dos logaritmos para expressar fatos sobre potências. A partir dos logaritmos de alguns números, podemos obter os logaritmos de outros, efetuando cálculos com potências. Dados os valores dos logaritmos de 2 e de 3, podemos calcular os logaritmos dos números indicados. Se log 2 ≅ 0,30 (ou seja, 2 ≅ 100,30) e log 3 ≅ 0,47 (ou seja, 3 ≅ 100,47), então: a) log 6 = log (2 . 3) = log (100,30 . 100,47) = = log 100,30 + 0,47 = log 100,77 = 0,77. (Relembre: log N = n significa que N = 10n, ou seja, log 10n = n). b) log 9 = log (3 . 3) = log (10 = log 100,94 = 0,94.

.10

0,47

c) log 4 = log (2 . 2) = log (100,30 . 10 0,30) = = log 100,60 = 0,60. De modo geral, repetindo procedimentos realizados nos itens a, b e c do exercício 1, sendo A = 10a e B = 10b, podemos escrever: log A.B = log (10a . 10b) = log 10 a + b = = a + b = log A + log B; no caso de A = B, podemos escrever: log A2 = log A + log A = 2 . log A; analogamente, sendo n um número natural qualquer, podemos concluir que log A = n . log A n

Usando a observação do item anterior, poderíamos escrever: log 12 = log (2 . 2 . 3) = = log 2 + log 2 + log 3 = 0,30 + 0,30 + + 0,47 = 1,07. e) log 72 = log (2 . 2 . 2 . 3 . 3) = 3 . log 2 + + 2 . log3 = 3 . 0,30 + 2 . 0,47 = 1,84. f) log 3 600 = log (2 . 2 . 3 . 3 . 10 . 10)= = 2 . log 2 + 2 . log 3 + 2 . log 10 = = 2 . 0,30 + 2 . 0,47 + 2 . 1 = 3,54. (Lembrar que 10 = 101; logo, temos log 10 = 1. Notar que 103 < 3 600 < 104; logo, o logaritmo de 3 600 na base 10 é um número entre 3 e 4). Exercício 2 A população de certa região A cresce exponencialmente de acordo com a expressão NA = 6 000 . 100,1t (t em anos). Em outra região b, verifica-se que o crescimento da população ocorre de acordo com a fórmula NB = 600 . 100,2t (t em anos). De acordo com esses modelos de crescimento, responda às questões a seguir: Nesse exercício, continuamos a praticar cálculos envolvendo potências e logaritmos. O contexto é o da análise do crescimento da população de duas cidades A e B, segundo os modelos de crescimento NA = 6 000 . 100,1t e NB = 600 . 100,2t (t em anos). a) Qual é a população inicial de cada uma das regiões? A população inicial de cada região é obtida fazendo-se t = 0: NA = 6 000 e NB = 600.

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b) Depois de quantos anos, a partir do instante inicial, as duas regiões terão a mesma população? As populações de A e B serão iguais quando t for tal que 6 000 . 100,1t = 600 . 100,2t; daí concluímos 6 000 10 0 ,2t que = 0 ,1t , ou seja, 100,1t = 10; logo, 600 10 0,1t = 1 e t = 10 anos. c) Qual é a população de cada uma das regiões 15 anos após o instante inicial? 3 2

(Dado: 10 ≅ 31,62) 15 anos após o instante inicial, teremos: NA = 6 000 . 100,1.15 = 6 000 . 101,5; usando o  3  valor aproximado fornecido 10 2 ≅ 31, 62  ,   resulta que NA = 189 720 habitantes; NB = 600 . 100,2.15 = 600 . 103 = 600 000 habitantes.

logaritmos em qualquer base: significado e aplicações Já vimos que é possível escrever cada número positivo n como uma potência de 10: se n = 10n, então n = log n. Na verdade, pode-se escrever cada número positivo n como uma potência de uma base a (a > 0 e a ≠ 1) que não necessita ser igual a 10. De modo geral, se n = an, então dizemos que n é o logaritmo de n na base a, e escrevemos: n = loga n. Por exemplo, como 16 = 2 , dizemos que 4 é o logaritmo de 16 na base 2, e escrevemos: 4 = log2 16. 4

Quando a base escolhida para expressar um número n como uma potência é igual a 10, convenciona-se que ela pode ficar subentendida;

se optarmos por outra base a, diferente de 10, somos obrigados a registrá-la. Assim, log n representa o logaritmo de n na base 10, também chamado de logaritmo decimal de n; já o logaritmo de n em qualquer outra base a deverá ser escrito: loga n. Potência

logaritmo

8 = 23

3 = log2 8

243 = 35

5 = log3 243

625 = 54

4 = log5 625

81 = 92

2 = log9 81

1 2

9 = 81

3 = 814 1

11 = 1212 1 =2−5 32  1 27 =    3

−3

1  1 = 32  2 

 1 −5 = log 2    32 

−3 = log 1 27 3

1 = log81 9 2 1 = log 3 81 4 1 = log121 11 2

7 = 73

1 – 1 =5 2 5

 1 5 = log 1   2  32 

1 = log 7 3 7 3 −

1 1 = log5 2 5

N = N1

1 = logN N

1 = 170

0 = log17 1

N = a7

7 = loga N

N = 13a

a = log13 N

x = 3n

n = log3 x

x = yz

z = logy x

Exemplo ilustrativo Na tabela anterior são apresentados alguns logaritmos em bases diferentes da base 10. Observe com atenção, registrando o que muda quando a base não é mais 10 e o que permanece invariável. Apenas para ilustrar: o logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero, e o logaritmo da base é sempre igual a 1. Note que, quando a base é maior do que 1, os números maiores que a base têm logaritmos maiores que 1, e os menores que a base têm logaritmos menores que 1. Por outro lado, quando a base é menor que 1 (positiva, sempre), os números maiores que a base têm logaritmos menores que 1 e números menores que a base têm logaritmos maiores que 1. Note ainda que, quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos positivos, e os menores que 1 têm logaritmos negativos. Quando a base é menor que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos e os menores que 1 têm logaritmos positivos. A exploração da tabela deve ser feita com atenção e pode levar bastante tempo. As informações dela extraídas, registradas na tabela da página anterior, são fundamentais para a construção dos gráficos da função logarítmica, que será apresentada na Situação de Aprendizagem 3.

dos logaritmos, agora em diferentes bases. Vamos praticar? Exercício 3 Calcule os logaritmos indicados a seguir: 1  a) log2128 e) log 2    256  1  f) log3  b) log3 81   243  c) log13169 g) log16913 d) log5 3 125

h) log125 25

Os diversos itens exploram apenas o significado direto dos logaritmos em diferentes bases, conforme a definição: N = an significa que n = loga N, ou seja, loga an = n (com a > 0 e a ≠ 1). a) log2 128 = log2 27 = 7; b) log3 81 = log3 34 = 4; c) log13 169 = log13 132 = 2; d) log5 3 125 = log5 55 = 5;  1  = log 2 2 – 8 = -8 –8; e)log 2    256   1  f) log3  = log3 3 –5 = – 5;  243   1 1 g) logg169 113 = log169 169 2 = 2 (Poderíamos também escrever: log169 13 = n, o que significa que 169 n = 13, ou seja, 132n = 131, de onde sairia n = 1 ); 2

h) se log125 25 = n, então 125n = 25, e segue

Exercícios exemplares Potências e logaritmos misturam-se naturalmente em contextos práticos: afinal, o logaritmo nada mais é que um expoente. Seguem alguns exercícios que podem servir de base para a assimilação da linguagem

que 53n = 52, ou seja, n =

2 . 3

Exercício 4 Se um número n situa-se entre an e an + 1, então loga N situa-se entre os inteiros n e n + 1. Com base neste fato, indique dois inteiros consecutivos entre os quais se situam os logaritmos a seguir:

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a) log2 52 b) log3 300

c) log7 400 d) log5 813

Você pode indicar a resposta usando a notação dos logaritmos, sem precisar calculá-los; indique dois inteiros consecutivos entre os quais o logaritmo se encontra. A ideia de logaritmo, em qualquer base, traduz o fato de que se um número N situa-se entre an e an + 1, então loga N situa-se entre os inteiros n e n + 1, ou seja, é sempre possível encontrar dois inteiros que aproximam o logaritmo de qualquer número dado, um por falta, outro por excesso. Os exercícios apenas destacam tal fato. a) Como 25 < 52 < 26, então 5 < log2 52 < 6. b) Como 35 < 300 < 36, então 5 < log3 300 < 6. c) Como 73 < 400 < 74, então 3 < log7 400 < 4. d) Como 54 < 813 < 55, então 4 < log5 813 < 5. Exercício 5 Uma população n de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 . 3t, t em horas. Indique o valor de t para o qual se tem: a) N = 15 000 b) N = 25 000 c) N = 250 000

d) N = 350 000 e) N = 470 000

Nesse exercício, a ideia é expressar as respostas às perguntas formuladas na forma de logaritmos, sem precisar calculá-los, apenas reforçando a ideia de que, ao resolver equações, os logaritmos surgem quando temos incógnitas nos expoentes. Se a população N de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 . 3t (t em horas), temos: a) Para N = 15 000, resulta 5 000 . 3t = 15 000, ou seja, 3t = 3; logo, t = 1 hora.

b) Para N = 25 000, resulta 5 000 . 3t = 25 000, ou seja, 3t = 5; logo, t = log3 5 horas. c) Para N = 250 000, resulta 5 000 . 3t = 250 000, ou seja, 3t = 50; logo, t = log3 50 horas (podemos dizer que 3 < t < 4). d) Para N = 350 000, resulta 5 000 . 3t = 350 000, ou seja, 3t = 70; logo, t = log3 70 horas (podemos dizer que 3 < t < 4). e) Para N = 470 000, resulta 5 000 . 3t = 470 000, ou seja, 3t = 94; logo, t = log3 94 horas (podemos dizer que 4 < t < 5).

Exercício 6 A partir de um valor inicial igual a 1 000, certa população P1 de bactérias dobra a cada meia hora, ou seja, P1 = 1 000 . 22t (t em horas). Simultaneamente, partindo de um valor inicial 8 vezes maior, outra população P2 de bactérias cresce mais lentamente que P1, dobrando de valor a cada duas horas, ou seja, P2 = 8 000 . 20,5t (t em horas). Trata-se de exercício similar ao 2, já apresentado, envolvendo agora o número de bactérias de duas colônias, que dobram de tamanho em períodos distintos. A população P1 dobra a cada 0,5 hora; logo, seu valor inicial é multiplicado por 4 a cada hora, e temos: P1 = 1 000 . 4t = 1 000 . 22t. De modo análogo, P2 dobra a cada duas horas, ou seja, seu valor inicial é multiplicado por 2 a cada 2 horas, ou seja, é multiplicado por 2 a cada hora, e temos: P2 = 8 000 .

( 2 ) = 8 000 . 2 t

0,5t

Pergunta-se: a) Em que instante t as duas populações terão o mesmo valor? As populações terão o mesmo valor quando 1 000 . 22t = 8 000 . 20,5t, ou seja, quando 21,5t = 8 = 23; teremos, então: 1,5t = 3 e, portanto, t = 2 horas. b) Em que instante t a população P1 será oito vezes maior que P2? Teremos P1 oito vezes maior que P2 quando 1 000 . 22t = 8 . 8 000 . 20,5t. Efetuando os cálculos, temos: 21,5t = 64 = 26; segue que 1,5t = 6 e, portanto, t = 4 horas. c) Quais serão os valores de P1 e P2 quando t = 3? 3

(Use o valor aproximado 2 2 = 2,83.) Quando t = 3, teremos: P 1 = 1 000 . 2 bactérias.

1 a cada 2 horas, ou, 2 1 = 4 1 = 2–0,25 ainda, é multiplicada por 2 2 a cada hora; daí a expressão m = mo . 2–0,25t. Se multiplicada por

2.3

= 1 000 . 2 = 64 000 6

P2 = 8 000 . 20,5 . 3 = 8 000 . 21,5 = 8 000 . 2,83 = = 22 640 bactérias

a massa inicial era 60 g, então m = 60 . 2–0,25t. a) Qual será a massa restante após 8 horas? A massa restante após 8 horas será m8 = 60 . 2 –0,25 . 8 = 60 . 2–2 =

60 = 15 g. 4

b) Após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g? (Utilize o valor aproximado 5 ≅ 22,32.) A massa restante será igual a 12 g quando tivermos 60 . 2–0,25t = 12, ou seja, 5 = 20,25.t Utilizando o valor aproximado 5 ≅ 22,32, temos: 2,32 = 0,25t e, portanto, t = 9,28 horas. (Poderíamos escrever a parte final da solução da seguinte maneira: 5 = 20,25t equivale a dizer que 0,25t = log2 5, ou seja, t = 4 . log2 5. O valor aproximado fornecido é justamente o logaritmo de 5 na base 2.)

(usando a aproximação 2 2 ≅ 2,83.) Exercício 7 Certa substância radioativa decompõe-se de tal forma que sua massa m reduz-se à metade do valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo . 2–0,25t, sendo mo o valor inicial da massa. Partindo-se de 60 g da substância, pergunta-se: Nesse exercício, com cálculos análogos aos anteriores, há um decrescimento na massa m de uma substância radioativa. Se ela reduz-se à metade a cada 4 horas, então ela é mul1 a cada 4 horas, ou seja, é tiplicada por 2

logaritmos: as propriedades fundamentais, em qualquer base Já vimos que os logaritmos nada mais são que expoentes; suas propriedades mais fundamentais decorrem das correspondentes propriedades das potências. Quem afirma, por exemplo, que para multiplicar potências de mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes, ou seja, que am . an = am + n está simultaneamente afirmando que o expoente a que se deve elevar a base a para se obter o produto (am . an) é igual a

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(m + n), o que significa dizer que o logaritmo de (am . an) é igual a (m + n). Em outras palavras, o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

Podemos observar a relação entre as propriedades das potências e dos logaritmos na tabela a seguir: (a > 0, a ≠ 1; m, n e k naturais quaisquer)

Propriedade

Potências M = am n = an

logaritmos n = loga n m = loga M

Produto

M . N = am + n

loga (M . N) = loga M + loga N

Quociente

M = am − n N

 M log a   = log a M − log a N  N

Potência

Mk = amk

loga (Mk) = k .loga M

Raiz

M = Mk = a k

Tais propriedades são válidas, portanto, qualquer que seja a base a em que estamos calculando os logaritmos. As propriedades relativas a potências também podem ser estendidas para qualquer expoente real k. Para a determinação dos logaritmos na base 10, ou seja, dos logaritmos decimais, existem tabelas construídas desde o século XVII, por meio de aproximações sucessivas. Atualmente, podemos obter os logaritmos utilizando calculadoras eletrônicas científicas. Uma vez construída uma tabela de logaritmos para uma determinada base, por exemplo, a base 10, podemos determinar o logaritmo de um número n em qualquer outra base por meio de um procedimento simples, descrito a seguir:

f temos o logaritmo de n na base 10, que é n igual a n, ou seja, N = 10 ; f queremos o logaritmo de n em outra base a, ou seja, queremos saber o valor de m tal que N = am; n

f como N = 10 = am, conhecendo o logaritmo da nova base a, ou seja, sabendo o vak lor de k tal que a = 10 , podemos escrever: n

N = 10 = am = (10 )m, de onde segue que km

10n = 10 , e, então, m =

n ; k

f ou seja, em palavras: logaritmo de n logaritmo de n na base 10 = na base a logaritmo de a na base 10

f em notação simbólica, temos: log N log a N = log a f com um procedimento análogo, poderíamos obter a expressão que permite a mudança de uma base conhecida a para uma nova base b: logaritmo de n na base a

logaritmo de n = na base b logaritmo de b na base a log b N =

log a N log a b

Exemplo ilustrativo Dispondo-se de uma tabela de logaritmos decimais (base 10), para se obter uma tabela de logaritmos na base 7, basta encontrar na própria tabela o logaritmo decimal de 7 (que é aproximadamente 0,845) e dividir todos os valores tabelados por esse valor. Por exemplo: log10 1 = = 1,183 log 7 0, 845

log 7 10 = log 7 100 = log 7 N =

log100 2 = = 2, 367 log7 0, 845

log N log N = log 7 0, 845

Exercícios exemplares Exercício 8 Estabelecendo-se que log 2 = 0,30103, calcule: a) o logaritmo de 10 na base 2; Temos: log2 10 =

log 10 1 = = 3 , 322. log 2 0 , 30103

b) o logaritmo de 5 na base 10; Como 5 = 10 , segue que log 5 = 2 = log 10 – log 2 = 1 – 0,30103 = 0,69897. c) o logaritmo de 5 na base 2; Temos, analogamente ao item a: log 5 0 , 69897 log2 5 = = = 2 , 322 log 2 0 , 30103 (Observar a resposta do item a) e notar que, em razão de termos 10 = 5 . 2, resulta que log2 10 = log2 5 + log2 2, ou seja, log2 10 = = log2 5 + 1.) d) o logaritmo de 64 na base 5. Como queremos calcular log5 64, podemos log 2 64 6 = = 2 , 584 escrever: log5 64 = log 2 5 2 ,322

logaritmos: uma linguagem sugestiva em diferentes contextos O contexto em que surgiram os logaritmos era o de simplificação de cálculos, no início do século XVII. Tal significado prático não é, hoje, especialmente relevante diante dos inúmeros recursos tecnológicos disponíveis para isso. No entanto, a relevância dos logaritmos permaneceu e é possível afirmar que ela aumentou. Como explicar tal fato? A força da ideia de logaritmo provém do fato de que os logaritmos são expoentes, que podem ser utilizados para simplificar cálculos, mas que também são especialmente adequados para representar de modo sugestivo grandezas de valores muito grandes,

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como as energias liberadas por ocasião dos terremotos, ou muito pequenas, como as quantidades de íons de hidrogênio livres em um líquido, que são responsáveis pela acidez, por exemplo. A expressão das grandezas correspondentes a esses fenômenos por meio de potências de 10 torna os números envolvidos menores (de 0 até por volta de 9 graus na escala Richter, e de 0 a 14 na indicação do pH). Como se sabe, a água tem pH igual a 7, a acidez de um líquido é tanto maior quanto menor é seu pH, entre 0 e 7, e o caráter básico, que se opõe ao ácido, significando menos H+ por litro, aumenta quanto mais o pH se aproxima de 14.

Exercícios exemplares Nos exercícios seguintes, serão apresentados os elementos fundamentais para a compreensão dos fatos citados, ilustrando a importância da ideia de logaritmo em diferentes contextos. Exercício 9 A energia liberada por ocasião de um terremoto pode ser muito grande, sendo frequentemente expressa por uma potência de 10. Para medir o potencial destrutivo de um terremoto, utiliza-se a escala Richter, que leva em consideração apenas o expoente da potência considerada em cada caso. Esse expoente indica a magnitude do terremoto. Existem aparelhos apropriados para medir tal magnitude: são os sismógrafos. A tabela a seguir registra o local, o ano de ocorrência e a magnitude de alguns terremotos que ficaram famosos pelos estragos produzidos.

Ano de ocorrência

Magnitude

Los Angeles

1994

6,6

Japão

1993

7,8

Irã

1990

7,7

São Francisco

1989

7,1

Armênia

1988

6,9

Cidade do México

1985

8,1

Grã-Bretanha

1984

5,5

Alasca

1964

8,4

Chile

1960

8,3

Ex-União Soviética

1952

8,5

São Francisco

1906

8,3

Colômbia

1906

8,6

Ilha de Krakatoa

1883

9,9

local

Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões: A competência específica mais mobilizada no presente exercício é a competência leitora. Além da compreensão da ideia de logaritmo como expoente, todas as informações necessárias para a solução encontram-se no texto.

a) Um terremoto de 8 graus na escala Richter é potencialmente quantas vezes mais destrutivo que um terremoto de 4 graus? Um terremoto de 8 graus na escala Richter é potencialmente 10 vezes mais destrutivo do que um terremoto de 7 graus, uma vez que o grau representa o expoente de uma potência de 10 que é usada para expressar a energia liberada, que produz os estragos. Analogamente, um terremoto de 8 graus é 100 vezes mais destrutivo do que um de

6 graus, 1 000 vezes mais destrutivo que um de 5 graus e 10 000 vezes mais destrutivo que um de 4 graus. b) Um caminhão muito pesado passou pela rua e produziu um pequeno tremor. Um sismógrafo registrou 2,5 graus na escala Richter. Se 4 caminhões passarem juntos pela rua, podemos afirmar que o tremor correspondente será de 10 graus? Para aumentar 1 grau na escala Richter, seja de 1 para 2 graus, de 2 para 3, de 2,5 para 3,5, etc., será necessária uma energia destrutiva 10 vezes maior, uma vez que o grau é o expoente de uma potência de 10. Se 4 caminhões passarem juntos pela rua, podemos afirmar que o tremor correspondente será de pouco mais de 2,5 graus, uma vez que a energia correspondente será apenas 4 vezes maior. Se fosse possível termos simultaneamente 10 000 caminhões passando pela rua, então o sismógrafo registraria 4 graus a mais, ou seja, 6,5 graus. É possível calcular que, para atingir 10 graus (nunca existiu um terremoto desse nível), seriam necessários cerca de 316 . 10 5 caminhões. (Para fazer esse cálculo, sabemos que a energia destrutiva é diretamente proporcional a 10n, ou seja, E En = K . 10n. Calculando a razão 10 , obteE 2,5 10 10 5 mos 2,5 , ou seja, 316 . 10 (aproximada10 mente). Basta descobrir por quanto é necessário multiplicar E2,5 para se obter E10 .) Exercício 10 Para caracterizar a acidez de um líquido, usa-se um indicador chamado de pH (potencial hidrogeniônico). O pH dá uma ideia da

quantidade de íons H+ que se encontram livres, no líquido, indicando a concentração (quantidade por unidade de volume) de tais íons. A própria água (H2O) tem íons H+ livres: são relativamente poucos, mas existem. Há, na água, cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 107 litros. Em uma limonada existem mais íons H+ livres: digamos, 1 íon-grama para cada 102 litros. Em alguns líquidos, há menos íons H+ do que na água: no leite de magnésia, por exemplo, cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 1010 litros. Dizemos que o pH da água é 7, o pH da limonada é 2, e o pH do leite de magnésia é 10. A escala do pH varia de 0 a 14, situando a água bem no meio. Os líquidos com pH entre 0 e 7 têm um caráter ácido; os que têm pH entre 7 e 14 têm um caráter básico. Para combater a acidez estomacal, por exemplo, costuma-se ingerir uma colher de leite de magnésia. A tabela a seguir representa os valores aproximados do pH de alguns líquidos. líquido

Ácido sulfúrico

0,1

Suco de laranja

3,0

Vinho

3,4

Suco de tomate

4,2

Café

5,0

Leite

6,9

Água

7,0

Sangue humano

7,4

Água do mar

8,2

Leite de magnésia

10,0

Amônia

13,0

Hidróxido de potássio

14,0

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Com base nessas informações, responda às seguintes questões:

f a água tem 1 íon-grama de H+ para 107 litros, ou seja, a razão é

a) O que significa dizer que determinado líquido tem pH igual a 6? Dizer que determinado líquido tem pH igual a 6 significa dizer que existe 1 íon-grama de H+ para cada 106 litros. b) Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para cada 100 litros, qual é o seu pH? Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para cada 100 litros, seu pH é igual a 2. c) Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem mais ou menos íons de hidrogênio livres do que a água? Quantas vezes? Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem 10 vezes menos H+ do que a água (a razão de 1 para 108 é 10 vezes menor do que a razão 1 para 107). d) Qual é a diferença entre os valores do pH de dois líquidos, um deles com mil vezes mais íons H+ livres do que o outro? A diferença entre os valores do pH de dois líquidos, um deles com mil vezes mais íons H+ livres do que o outro é igual a 3; o de maior pH tem mil vezes menos íons H+.

Como no exercício anterior, o que se exige aqui, além da ideia de logaritmo como expoente, é a competência leitora. A escala de pH também é logarítmica, ou seja, os valores são expoentes. Porém, como se trata de números pequenos, uma vez que a quantidade de íons H+ por litro é pequena, os expoentes encontram-se no denominador:

1 e dizemos 10 7

que seu pH é 7; f um ácido tem mais íons-grama de H+. Por exemplo, se tem 1 para 103 litros, ou seja,

1 , dizemos que seu pH é 3; 10 3

a razão é

f já um líquido básico, tem menos H+. Por exemplo, se tem 1 para 1012 litros, ou seja, a razão é

1 , dizemos que seu pH é 12. 1012

A escala de pH varia de 0 a 14, situando-se a água em seu ponto médio.

Exercício 11 O ouvido humano é muito versátil e percebe sons de uma gama de intensidades muito ampla. A intensidade sonora é a medida da energia transportada pelas ondas sonoras por segundo e por unidade de área (perpendicular à direção da propagação). Entre o som de baixa intensidade, quase inaudível, e o ruído que produz dor nos ouvidos, a intensidade varia em uma escala que vai de 1 a 1012. Para medir a intensidade sonora, utiliza-se apenas o expoente correspondente a cada intensidade. Ele corresponde ao número de “béis” (plural de bel, unidade escolhida em homenagem ao físico Alexandre Graham Bell). Assim, se ao som fracamente audível corresponde 0 bel, ao som que produz dor corresponderá 12 béis. Como o bel se revelou uma unidade muito grande para distinguir os diversos níveis de som, em situações práticas, costuma-se usar o decibel, que corresponde à décima parte do bel. A tabela a seguir registra as intensidades sonoras correspondentes a algumas situações cotidianas:

intensidade (watts/m2)

números proporcionais

Medida em bel

Medida em decibel

Som fracamente audível

10−12

Ruído das folhas de uma árvore

10−11

Sussurro humano

10−10

102

Conversa comum

10−6

106

Barulho dos carros no tráfego pesado

10−5

107

Britadeira manual usada na rua

10−2

1010

100

1012

120

tipo de som

Som que produz dor e dano

Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões: a) Um som de intensidade de 90 decibéis é quantas vezes mais intenso que outro de intensidade de 80 decibéis? Um som de 90 decibéis, ou seja, 9 béis, é 10 vezes mais intenso do que um de 8 béis, ou seja, 80 decibéis, uma vez que o número de béis corresponde ao expoente de uma potência de 10 que representa a intensidade.

Logo, o valor de n será o logaritmo de 2 . 1010 na base 10, ou seja: n = log (2 . 1010) = = log 2 + 10 = 10,30 (usando o valor aproximado log 2 ≅ 0,30).

b) Quantos decibéis correspondem a uma britadeira defeituosa, que emite um som com intensidade 100% maior do que o normal (tabela)?

c) Qual fórmula relaciona o número n de béis de um som com sua intensidade sonora i?

O som emitido por uma britadeira é de 10 béis, que corresponde à intensidade 1010 vezes maior do que a do som fracamente

audível. Se a intensidade se tornar 100% maior, será igual a 2 . 1010 vezes maior do que a do som fracamente audível. Para saber a quantos béis tal intensidade corresponde, será necessário escrever tal número como uma potência de 10: 2 . 1010 = 10n

O som terá, portanto, 10,3 béis, ou seja, 103 decibéis.

Para calcular o número n de béis, expressamos a razão entre a intensidade I e a intensidade do som fracamente audível por meio de uma potência de 10:

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I = 10 n . −12 10

 I  Daí segue que: n = log  −12   10  (n em béis). d) Qual fórmula relaciona o número n de decibéis de um som com sua intensidade sonora I?  I  Segue que n = 10 .log  −12   10  (n em decibéis).

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos tenham compreen dido a importância da ideia de logaritmo. A despeito de não se ter mais a simplificação dos cálculos no centro das atenções, a linguagem dos logaritmos é fundamental, como foi visto, em diferentes contextos em que os expoentes das grandezas envolvidas estão em questão. Espera-se que o professor tenha levado os alunos a perceber que a mudança do olhar da potência para o expoente, que caracteriza a ideia de logaritmo, é um recurso muito poderoso para a apreensão do significado de grandes números, escrevendo-os como potências de uma base conveniente e reduzindo-os aos seus expoentes. As operações com logaritmos, bem como suas propriedades fundamentais, correspondem a propriedades similares já conhecidas sobre potências, e tal paralelismo merece destaque. Talvez a única relação específica a ser mencionada seja a relativa à mudança de base:

log a N . A plena compreensão deslog a b sa relação, qual seja, o fato de que conhelogb N =

cendo os logaritmos de todos os números em uma base a, para termos todos os logaritmos em outra base b, basta dividir os logaritmos conhecidos pelo logaritmo da nova base b, pode ser muito útil, inclusive na utilização de calculadoras ou softwares. As observações de tabelas de valores de potências e logaritmos, levadas a efeito ao longo da atividade, podem constituir momentos especialmente importantes para o professor recordar e praticar cálculos, ao mesmo tempo que prepara o terreno para o estudo das funções logarítmicas, que será realizado na Situação de Aprendizagem seguinte. Considera-se imprescindível que, ao concluir esta Situação de Aprendizagem, os alunos tenham: f incorporado a linguagem dos logaritmos como expoentes, aprendendo a utilizá-la em diferentes contextos; f aprendido as propriedades básicas dos logaritmos, associando-as às propriedades correspondentes das potências, sabendo utilizá-las para realizar cálculos envolvendo incógnitas nos expoentes; f compreendido que é possível expressar os logaritmos em diferentes bases, sabendo efetuar os cálculos necessários para a mudança de uma base para outra, quando isso for conveniente.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 AS FUNÇÕES COM VARIÁVEL NO EXPOENTE: A EXPONENCIAL E SUA INVERSA, A LOGARÍTMICA As ideias sobre potências, que já vinham sendo apresentadas desde o Ensino Fundamental, foram enfeixadas na Situação de Aprendizagem 1, na qual a função exponencial foi apresentada aos alunos. Agora, tendo sido apresentados aos logaritmos e suas propriedades, aprendendo a reconhecê-los em diferentes contextos, vamos procurar, de modo análogo ao que foi feito com as potências, enfeixar tais ideias por meio da apresentação da função logarítmica. Ao mesmo tempo, buscaremos explicitar a aproximação entre tais funções, uma vez que uma delas remete imediatamente à outra, examinada de um ponto de vista invertido: se y = ax, então x = loga y. Tais funções serão exploradas mais detidamente, sobretudo na perspectiva do crescimento/decrescimento.

Se, na Situação de Aprendizagem anterior, a compreensão leitora e a aprendizagem de uma escrita expressiva para descrever fenômenos envolvendo expoentes estavam no centro das atenções, agora mantemos os mesmos interesses anteriores, mas voltamos as atenções mais especificamente para o tratamento matemático das funções envolvidas. Afinal, queremos o instrumental dos logaritmos para utilizá-los em contextos práticos, mas precisamos cuidar bem de nosso instrumento, o que significa, às vezes, ter que limpá-lo e lubrificá-lo, preparando-o para futuros usos. Sugerimos ao professor que utilize uma semana para o estudo das funções exponenciais já realizado na Situação de Aprendizagem 1, e aqui apenas retomado, e logarítmica, aqui apresentada aos alunos.

tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: função logarítmica: fixada uma base a (a > 0, a ≠ 1), qualquer número real positivo x tem um logaritmo y, representado por y = loga x; a relação direta entre a função logarítmica e a função exponencial; gráfico da função logarítmica, com o reconhecimento de sua relação com o já conhecido gráfico da função exponencial. Competências e habilidades: descrever matematicamente fenômenos referentes a crescimento ou decrescimento de grandezas com variáveis nos expoentes, utilizando-se para isso da compreensão leitora e de uma escrita expressiva das funções logarítmicas e exponenciais. Estratégias: estabelecimento das relações entre as funções exponencial e logarítmica, bem como de seus gráficos por meio do paralelismo entre as propriedades das potências e dos logaritmos; proposição de exemplos ilustrativos e exercícios exemplares envolvendo tais funções em diferentes contextos.

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Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Como já se destacou, o contexto inicial será interno à própria Matemática, uma vez que estaremos, aqui, apenas limpando, afiando e lubrificando o instrumental dos logaritmos para ampliar seu significado e seu uso. O paralelismo entre as propriedades das potências e as dos logaritmos servirá de base para o estabelecimento das relações entre as funções exponencial e logarítmica, bem como de seus gráficos. Exemplos ilustrativos e exercícios exemplares servirão de indicadores da natureza das atividades que são sugeridas para a realização em classe.

Potências e logaritmos: das tabelas às funções Já sabemos que, ao calcular os valores da potência ax, se tivermos a < 0, algumas potências não poderão ser calculadas: não pode1 mos, por exemplo, calcular a potência (–3) 2 , uma vez que não existe um número real que seja a raiz quadrada de um número negativo. Também não interessa muito o caso em que a = 1, uma vez que 1x = 1 para todo x. Portanto, sendo a > 0 e a ≠ 1, podemos calcular a potência ax para todo x real. Isto significa que a função y = ax, ou seja, f(x) = ax está definida para todo número real x, assumindo valores sempre positivos, uma vez que ax > 0 para todo x real. Sabemos ainda que, sempre que aumentamos os valores de x: os valores de ax aumentam

correspondentemente, quando a > 1; os valores de ax diminuem correspondentemente, quando 0 < a < 1. Esses fatos podem ser comprovados construindo-se tabelas de valores para x e ax para diferentes valores de a, maiores ou menores do que 1, como foi feito na Situação de Aprendizagem 1, e podem ser sintetizados nos gráficos da função exponencial, apresentados a seguir, para diferentes valores de a:

 1 y=   3

 1 y=   5

y = 5x y = 3x y = 2x

 1 y=   2

funções crescentes (a > 1)

funções decrescentes (0 < a < 1)

De modo análogo, sabemos que a igualdade y = ax equivale a x = loga y. Observemos tal fato no gráfico da função exponencial (caso a > 1):

x = loga y

y = ax

Portanto, a cada número positivo y corresponde um número real x, que é o seu logaritmo na base a. É possível, então, estabelecer uma correspondência entre cada número positivo e seu logaritmo em uma determinada base a, ou seja, é possível definir uma função que,

a cada número positivo, associa seu logaritmo. Essa função será chamada de função logarítmica e representada por f(x) = loga x.

f(x) = loga x

a>1

Observando o nome das variáveis: x

f na função exponencial, x é a variável independente, à qual atribuímos qualquer valor real, positivo, nulo ou negativo, e y = ax é a variável dependente do valor de x, que será, no caso em questão, sempre positiva; f na função logarítmica, a variável independente é um número positivo y, que escolhemos livremente, e a variável dependente é o logaritmo x desse número, que poderá assumir qualquer valor real, positivo, nulo ou negativo.

Notamos, no caso a > 1, que a função exponencial f(x) = ax é crescente, bem como a correspondente função logarítmica. Representando os dois gráficos em um mesmo sistema de coordenadas, obtemos: y

a>1 y = ax y = logax

Temos, portanto, a função logarítmica x = loga y. Construindo o gráfico de x como função de y, situando o eixo y na horizontal, como fazemos para a variável independente, e representando os valores de x na vertical, temos o gráfico abaixo (caso a > 1): x

Analogamente, no caso em que 0 < a < 1, a função exponencial de base a será decrescente, assim como a correspondente função logarítmica. Os gráficos são representados a seguir:

y = ax x = loga y y

y = ax

Naturalmente, se nomearmos a variável independente de x, como é usual, então a variável dependente y será tal que y = loga x, ou seja, a função logarítmica é representada por f(x) = loga x. Nessas condições, seu gráfico, no caso a > 1, é esboçado a seguir:

y = loga x

0<a<1

Matemática – 1ª- série – Volume 3

Tanto no caso em que a base a é maior que 1, quanto no caso em que é menor, existe uma relação interessante entre os gráficos de y = ax e y = loga x, quando representados no mesmo sistema de coordenadas. De fato, consideremos o caso concreto em que y = 3x e y = log3 x. Os pontos (2; 9) e (5; 243), por exemplo, pertencem ao gráfico de y = 3x, ao mesmo tempo que os pontos (9; 2) e (243; 5) pertencem ao gráfico de y = log3 x. De modo geral, a cada par (m; n) do primeiro gráfico corresponde um par (n; m) do segundo gráfico.

a>1

y = ax x

y = loga x y=x

y = ax

Observe a figura a seguir e note que pontos como (m; n) e (n; m) são simétricos em relação à reta y = x, que é bissetriz dos quadrantes ímpares:

0<a<1 n

y=x

(m; n)

y = loga x y=x

(n; m)

Funções como y = ax e x = loga y são chamadas funções inversas uma da outra. m

Podemos concluir, então, que a cada ponto do gráfico de y = ax corresponde um ponto do gráfico de y = loga x que é simétrico ao primeiro em relação à reta y = x. Em outras palavras, os gráficos das funções y = ax e y = loga x são simétricos em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares). Podemos observar tal fato nos gráficos a seguir:

De fato, se substituirmos em x = loga y o valor de y calculado em y = ax, obtemos: x = loga (ax) = x Simetricamente, se substituirmos em y = ax, o valor x = loga y, obtemos: x

y = aloga y = alogaa = ax = y ou seja, acontece algo similar ao que ocorre quando multiplicamos um número por k, e, em seguida, dividimos o resultado por k: a segunda

operação desfaz o que a primeira fez e retornamos ao valor inicial. Em outras palavras, as funções f(x) = ax e g(x) = loga x são chamadas inversas uma da outra, e é verdade que g(f(x)) = x, e que f(g(x)) = x.

Exemplos ilustrativos

b) y = x (x ≥ 0) e x = 2

1 y 3 y +8 d) y = 5x 8 e x = 5 1 1 (y ≠ 0) e) y = (x ≠ 0) e x = y x 3

x – 11 e x = 4y + 11 4 3x − 1 7y + 1 h) y = e x= 7 3 Observe que, em cada caso, as operações indicadas em uma delas são as inversas das que aparecem na outra, na ordem inversa em que surgem. Por exemplo, a função y = 5x 8 estabelece que partimos de x, multiplicamos seu valor por 5 e depois subtraímos 8 do resultado; na inversa, partimos de y, somamos 8, e depois dividimos por 5 o resultado. g) y =

Exemplo 2 – As funções f(x) e g(x), representadas abaixo, são inversas uma da outra: a) f(x) = x

g(x)

f(g(x)) = x f(x)

f(x) e g(x) são funções inversas uma da outra

Exercícios exemplares y (y ≥ 0)

c) y = 3x e x =

f) y = x3 e x =

g(x) x

Exemplo 1 – As funções y = f(x) e x = g(y), representadas adiante, são inversas uma da outra: a) y = x + 7 e x = y

Observe, em cada exemplo, que f(g(x)) = x, ou seja, partindo-se de x, chegamos ao valor g(x); partindo-se de g(x) e calculando o valor de f(x) em g(x), obtemos x. O esquema abaixo traduz o que foi dito:

g(x) = x + 5

b) f(x) = x3 + 1

3 g(x) = x – 1

c) f(x) = 7x

g(x) = log7 x

d) f(x) = log3 x

g(x) = 3x

Alguns exercícios são oferecidos para que o professor explore o que foi anteriormente apresentado. Exercício 1 Considere as funções f(x) = 10x e g(x) = log x. a) Esboce seus gráficos no mesmo sistema de coordenadas. Os gráficos de f(x) e g(x) são representados abaixo: 11 y D 10 9 8 7 f(x) = 10x 6 5 4 3 2 A 1 B

g(x) = log x

x –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 –1

b) Determine os pontos A, B, C e D dos gráficos, tais que A = (0; f(0)), B = (1; g(1)), C = (10; g(10)) e D = (1; f(1)). Para determinar os pontos A, B, C e D, basta notar que: f(0) = 1, f(1) = 10, g(1) = 0 e g(10)= 1.

Matemática – 1ª- série – Volume 3

Segue que: A = (0; 1), B = (1; 0), C = (10; 1) e D = (1; 10). Tais pontos são simétricos em relação à reta y = x. c) Use o teorema de Pitágoras e calcule o perímetro do quadrilátero ABCD. d) Mostre que o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles. c e d Para calcular o perímetro de ABCD, temos: f o lado AB é a diagonal de um quadrado de lado 1, ou seja, mede 2; f os lados BC e AD são hipotenusas de um triângulo retângulo de catetos 1 e 9; logo, temos BC = AD (trapézio isósceles) e cada um desses lados mede =

12 + 9 2 = 82 ;

f o lado CD é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 9, ou seja, é 9 2; f logo, o perímetro do trapézio é p= 2

9 2

A função exponencial f(x) = ax é crescente se a > 1 e é decrescente se 0 < a < 1; o mesmo ocorre com a função logarítmica. A inspeção direta mostra, então, que temos funções crescentes em a, b e e, e funções decrescentes em c, d e f. Note que, em f, a função j(x) = 5–x pode x  1 ser escrita assim: j(x) = (5–1)x =   .  5 Logo, ela é decrescente. Exercício 3 As funções exponencial e logarítmica representam padrões de crescimento/decrescimento muito distintos. Sendo a > 1, a função f(x) = ax cresce cada vez mais rapidamente, enquanto a função g(x) = loga x cresce cada vez mais lentamente. É possível compreender tal fato observando os gráficos das duas funções: comparando com o padrão de crescimento da função linear y = x, vemos que a exponencial cresce mais depressa e a logarítmica cresce mais devagar. Para caracterizar tal fato matematicamente, responda às questões seguintes:

2 82 ≅ 32, 25 . f(x) = ax

Exercício 2 – Quais das seguintes funções são crescentes? Quais são decrescentes? 1 d) m( x ) =   3

a) f(x) = log11 x b) g( x ) =

( 11 )

c) h( x ) = log 1 x

e) n( x ) = log 3 x 2

g(x) = loga x

f) j(x) = 5−x

a) Quando o valor da variável independente x aumenta em 1 unidade, a partir de um valor qualquer x0 , qual o aumento E no valor da função f(x) = ax? Calculando E, temos: E = f(x0+1) – f(x0) = ax0+1 – a x0 = ax0.(a – 1) b) Quando o valor da variável independente x aumenta em 1 unidade, a partir de um valor qualquer x0, qual o aumento l no valor da função g(x) = loga x? Calculando L, temos: L = g(x0 + 1) – g(x0) = loga (x0 + 1) – loga x0 =  x + 1



1

= loga  0  = loga  1 +  . x0    x0 

Depois de apresentada a ideia de logaritmo com toda a sua força e riqueza de linguagem, buscamos, na Situação de Aprendizagem 3, consolidar tal noção, apresentando a função logarítmica y = loga x. O paralelismo com a função exponencial y = ax é destacado desde o início. A expectativa é que, tal como as noções de potência e logaritmo não podem ser apreendidas senão de maneira interconectada, as funções exponencial e logarítmica sejam sempre consideradas de maneira conjunta e numa perspectiva complementar: em y = ax, quando a variável independente é o expoente, temos a função exponencial; quando a variável dependente é o expoente, escrevemos x = loga y e temos a função logarítmica.

d) O que acontece com o valor de l quando x0 se torna cada vez maior? Explique.

Os gráficos de tais funções devem ter sido compreendidos e assimilados, com destaque para a característica básica de cada um deles: quando a > 1, a exponencial y = ax é crescente, e cresce cada vez mais rapidamente, tendo o gráfico encurvado para cima; já a função logarítmica y = loga x, cresce cada vez mais lentamente, tendo o gráfico a concavidade voltada para baixo. Observações similares devem ser feitas para 0 < a < 1.

Quando x0 se torna cada vez maior, os valores de L aumentam cada vez menos, aproximando-se de zero, uma vez que 1 aproxima-se cada vez mais de 1, e o 1+ x0 logaritmo de 1 em qualquer base é zero.

A construção dos gráficos das funções y = ax e y = loga x em um mesmo sistema de coordenadas, tendo em vista a percepção da relação de simetria em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, também é um fato notável, que deve ser bem compreendido.

c) O que acontece com o valor de E quando x0 se torna cada vez maior? Explique. Quando x0 se torna cada vez maior, os valores de E aumentam cada vez mais, uma vez que os valores de ax0 tornam-se cada vez maiores.

Considerações sobre a avaliação

Matemática – 1ª- série – Volume 3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 AS MÚLTIPLAS FACES DAS POTÊNCIAS E DOS LOGARITMOS: PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM DIFERENTES CONTEXTOS Após a consolidação das ideias de potências e logaritmos, com suas propriedades permanentemente entrelaçadas, por meio da definição das funções exponencial e logarítmica e da construção de seus gráficos, com destaque para as propriedades fundamentais dos mesmos, a expectativa agora é a da apresentação de um panorama de contextos em que tais ideias encontram-se presentes. As situações práticas envolverão cálculos em que equações e inequações deverão ser resolvidas em contextos significativos.

articular os conhecimentos já estudados, tendo em vista a intervenção direta na realidade.

Nesta quarta Situação de Aprendizagem do bimestre, a ênfase será dada, portanto, à contextualização dos conteúdos e temas já estudados ao longo das situações anteriores. A competência maior a ser desenvolvida é a capacidade de

Sugerimos que o professor utilize duas semanas na apresentação e na exploração de tal panorama de contextos práticos em que as potências e os logaritmos são um instrumental importante.

Como sempre, os exercícios apresentados são apenas exemplares do que o professor pode abordar em suas aulas. Não existem exercícios de fixação, nem múltiplas reiterações de situações já estudadas. É muito importante que o professor explore as ideias apresentadas nos exercícios e crie novos exercícios, ou então utilize aqueles que são usualmente apresentados em livros didáticos para promover a fixação dos conteúdos.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: significado e relevância das noções de expoentes e logaritmos em diferentes contextos. Competências e habilidades: expressar e compreender fenômenos naturais de diversos tipos; enfrentar e resolver situações-problema envolvendo expoentes e logaritmos em diferentes contextos. Estratégias: proposição de exercícios exemplares sobre o tema.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4

inteiro maior do que 1 seguido de 19 zeros e menor do que 1 seguido de 20 zeros.

Em razão do que foi anteriormente registrado, os conteúdos/temas da presente Situação de Aprendizagem serão apresentados diretamente, na forma de exercícios exemplares. Os enunciados são, algumas vezes, longos, tendo em vista fornecer todas as informações necessárias para o enfrentamento das situações-problema. Mais do que nunca, a competência leitora é imprescindível e deverá ser explorada pelo professor, em cada exercício.

Calculando com um instrumento adequado, obtemos, de fato:

Exercícios exemplares Exercício 1 É muito conhecida a lenda do tabuleiro de xadrez: para retribuir o jovem inventor pela criação do jogo, o rei concede-lhe qualquer coisa que desejasse, e o jovem pede “apenas” um grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta, e assim por diante, até chegar a 263 grãos pela sexagésima quarta casa. Como se sabe, a soma de todos os grãos (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263) é igual a 264 – 1 grãos, e esse número, apesar de não parecer, é tão grande que seria impossível atender ao inocente pedido. Quantos algarismos tem o número 264 ? (Dado: log 2 ≅ 0,30) Para determinar o número de algarismos de 264, basta calcular seu logaritmo decimal. Como log 264 = 64 . log 2 ≅ 64 . 0,30 = 19,2, deduzimos que 264 situa-se entre 1019 e 1020, pois: 1019 < 1019,2 < 1020. Logo, concluímos que 264 é um número com 20 algarismos, uma vez que é um número

264 = 18 446 744 073 709 551 616 Exercício 2 Qual dos dois números é maior: 107 ou 710 ? (Dado: log 7 ≅ 0,845) Para comparar os dois números citados, basta comparar seus logaritmos decimais: o maior será o que tiver maior logaritmo. Imediatamente, vemos que log 107 = 7; calculando log 710, obtemos: log 710 = 10 . log 7 = 10 . 0,845 = 8,45. Logo, concluímos que 710 > 107. Exercício 3 Considere uma folha de papel comum, com espessura de cerca de 0,08 mm. a) Suponha que a folha é dobrada ao meio dez vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura do papel dobrado? A espessura do papel será 8 . 10−2 mm. A cada dobradura, o papel duplica a espessura. Após 10 dobraduras, sua espessura será: E10 = 210. 23. 10−2 mm = 213 . 10−2 mm = 81,92 mm. b) Suponha agora que a folha tivesse tamanho suficiente para ser dobrada ao meio 50 vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura do papel dobrado?

Matemática – 1ª- série – Volume 3

Analogamente, a espessura do papel dobrado após 50 dobraduras será: E50 = 250 . 23 . 10-2 mm = 253 . 10-2 mm = = 9,0071992 . 1013 mm ≅ 90 milhões de km. Trata-se, sem dúvida, de um resultado surpreendente, tão inesperado quanto o do tabuleiro de xadrez do exercício 1. c) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel dobrado ultrapassaria a distância da Terra à Lua? (Dados: a distância aproximada da Terra à Lua é de 384 000 km; log 2 ≅ 0,30; log 3 ≅ 0,48.) Podemos generalizar e escrever que (se fosse possível realizar na prática) após n dobraduras, a espessura do papel seria En = 2n . 23 . 10−2 mm = 2n+3 . 10−2 mm Sabendo que a distância da Terra à Lua é aproximadamente 384 000 km, ou seja, 384 . 109 mm, temos a seguinte inequação para resolver: 2n . 23 . 10−2 > 384 . 109.  384   . 1011, ou seja, Temos, então: 2n >   8  2n > 48 . 1011 Calculando os logaritmos de ambos os membros na base 10, temos: log 2n > log (48 . 1011) n . log 2 > (log 48) + 11 n . log 2 > 11 + log (24 . 3) = 11 + 4 log 2 + log 3 n . 0,30 > 11 + 1,20 + 0,48 = 12,68 n>

12, 68 = 42,3 0, 30

Logo, a partir da 43a dobradura, a espessura do papel dobrado ultrapassaria a distância da Terra à Lua. d) Nas condições do item b, após quantas dobraduras a espessura do papel dobrado ultrapassaria a distância da Terra ao Sol? (Dados: a distância aproximada da Terra ao Sol é de 150 000 000 km.) Analogamente, sendo a distância da Terra ao Sol aproximadamente igual a 150 . 106 km, ou seja, 150 . 1012 mm, teríamos a inequação: 2n . 23 . 10−2 > 150 . 1012 Podemos escrevê-la na forma: 2n+3 > 15 . 1015. Calculando os logaritmos dos dois membros na base 10, obtemos: (n + 3) . log 2 > log (3 . 5) + 15, (log 3 + log 5 + 15)

, log 2 Usando o fato de que  10  log 5 = log   = log 10 – log 2 ≅ 0,70,  2 resulta: (n + 3) >

n+3>

(0,48 + 0,70 + 15)

n + 3 > 53,9

0,30

n > 50,9. Logo, a partir da 51a dobradura, seria ultrapassada a distância da Terra ao Sol. Exercício 4 Algumas estimativas sugerem que a população máxima que o planeta Terra pode acolher, em função das terras cultiváveis disponíveis, seja

da ordem de 45 bilhões de pessoas. Atualmente, a população da Terra é de cerca de 6,7 bilhões, e os censos revelam que a população tem dobrado a cada 30 anos. Com base nessas suposições, calcule em quantos anos, a partir de agora, a população da Terra atingiria o limite suportável. Sendo N a população da Terra, sabendo que ela dobra a cada 30 anos, podemos t 30

escrever: N(t) = No . 2 , (N em bilhões de habitantes, t em anos, No = 6,7). (Observe que, para t = 30 temos N(30) = 2 No ; para t = 60, temos N(60) = 4No )

O valor C2 do capital ao final do segundo ano será: C2 = C1 . (1 + 0,12) = Co . (1,12)2. O valor C(t) do capital ao final de t anos será: C(t) = Co . (1,12)t. O capital dobrará de valor C(t) = 2Co, ou seja, quando

Calculando o logaritmo dos dois membros dessa igualdade, temos: t . log 1,12 = log 2, ou seja, t = Calculando log 1,12, obtemos:

6,7 . 230 = 45.

log

t 30

45 = 6 ,72 e, porIsso significa que 2 = 6 ,7 t = log2 6,72 ≅ 2,75. tanto, 30 Logo, t ≅ 30 . 2,75 ≅ 82,5 anos, ou seja, a população da Terra atingirá o limite máximo suportável daqui a 82 anos e meio, aproximadamente, segundo as estimativas*. *Certamente há controvérsias sobre o fato de que a população dobraria a cada 30 anos. Exercício 5 Um capital Co é aplicado a uma taxa de juros simples de 12% ao ano (os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano). Calcule em quantos anos o capital dobrará seu valor inicial (dados: log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845). O valor C1 do capital ao final do primeiro ano será: C1 = Co + 12% de Co , ou seja,

quando

Co . 1,12t = 2 Co, o que significa que 1,12t = 2.

A questão a ser respondida é para qual valor de t temos N(t) = 45; temos, portanto: t

C1 = Co (1 + 0,12) = 1,12 Co.

112

log2 log1,12

= log112 – log100 = log(24.7)– 2 =

100 = 4 . log2 + log7 – 2 ≅ 0,049

0,301 = O valor de t, portanto, será: t = 0,049 = 6,14 anos ≅ 6 anos e 2 meses. Como os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, somente após sete anos será possível dispor do capital dobrado. Exercício 6 Um capital Co é aplicado a uma taxa de juros de 1% ao mês (os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada mês). Calcule em quantos anos o capital dobrará seu valor inicial e compare com o resultado do exercício anterior. (Dados: log 2 = 0,301 e log 101 ≅ 2,004) O valor C1 do capital ao final do primeiro mês C1 = Co + 1% de Co , ou seja, C1 = Co (1 + 0,01) = 1,01Co.

Matemática – 1ª- série – Volume 3

O valor C2 do capital ao final do segundo mês será: C2 = C1 . (1 + 0,01) = Co . (1,01)2. O valor C(t) do capital ao final de t meses será: C(t) = Co . (1,01)t. O capital dobrará de valor quando C(t) = 2 Co , ou seja, quando Co . 1,01t = 2Co, o que significa que 1,01t = 2. Calculando o logaritmo dos dois membros dessa igualdade, temos: log2 = t . log 1,01 = log 2, ou seja, t = log1,01 log2 0,301 = = = 75,25 meses ≅ log101 – log100 0,004 ≅ 6 anos, 3 meses e 1 semana. O capital dobrará após aproximadamente 6 anos, 3 meses e 1 semana; como os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada mês, isso significa que o capital dobrado estará disponível apenas após 6 anos e 4 meses; antes, portanto, dos 7 anos do exercício anterior. Exercício 7 Para estimar a idade de um fóssil, o químico norte-americano W. F. Libby criou o chamado Método do carbono 14, pelo qual recebeu o Prêmio Nobel de Química de 1960. O método consiste no seguinte: f o elemento químico carbono 14 forma-se nas camadas superiores da atmosfera, por efeito da radiação cósmica sobre o nitrogênio, e admite-se que sua presença na superfície da Terra ocorre numa proporção constante relativamente ao carbono 12, que é o carbono comum;

f os animais e as plantas absorvem o carbono 14 pela respiração e pela alimentação e, enquanto estão vivos, mantêm uma proporção fixa do mesmo. Depois de mortos, a absorção do carbono 14 deixa de existir e a quantidade que possuíam começa a se desintegrar, transformando-se no carbono comum; f o carbono 14 desintegra-se em uma proporção constante em relação ao valor inicial: a cada 5 730 anos, a massa inicial reduz-se à metade (em outras palavras, a meia-vida do carbono 14 é igual a 5 730 anos); f em consequência, se determinarmos a proporção do carbono 14 em relação ao carbono normal em um fóssil (um peixe incrustado em uma pedra, um osso, uma planta ressecada, um pedaço de madeira, etc.), podemos estimar há quanto tempo tal fóssil existe, ou seja, há quanto tempo a vida deixou de existir nele. Fóssil

idade estimada

Carvão da caverna de Lascaux, França

15 516 ± 900 anos

Carvão nos monumentos de Stonehenge, Inglaterra

3 789 ± 275 anos

Linho encontrado em uma caverna do Mar Morto

1 917 ± 200 anos

Pinturas rupestres em São Raimundo Nonato, no Piauí

cerca de 60 000 anos

Suponhamos, então, que um fóssil foi encontrado e que desejamos estimar sua idade. a) Se a análise laboratorial determinou que 50% do carbono 14 inicial já se desintegrou, qual a idade estimada do fóssil?

Se a quantidade desintegrada de carbono 14 foi de 50%, isso significa que sua massa se reduziu à metade da massa inicial. Portanto, o tempo decorrido desde que deixou de viver é justamente a sua meia-vida, ou seja, 5 730 anos. b) Se o laboratório indicar que a porcentagem do carbono 14 que se desintegrou foi de 75%, qual a idade estimada do fóssil? Se a quantidade desintegrada foi de 75%, ou seja, se restou apenas 25% da massa inicial, isso significa que se passaram duas meias-vidas desde que deixou de viver: na primeira, sua massa reduziu-se a 50% da inicial, e, na segunda, reduziu-se novamente à metade, atingindo 25% da massa inicial. A idade estimada do fóssil é, portanto, 2 . 5 730 anos, ou seja, 11 460 anos.

–t

= log2 0,1, ou seja, 5 730  log 0 ,1  . – t = 5 730 . log2 0,1 = 5 730 .   log 2  Concluímos, portanto, que: Logo:

t = – 5 730 .

–1 0,301

f a massa m de carbono 14 varia com o tempo de acordo com a expressão t  1  5 730 m(t) = mo .    2 (cada vez que t assume um valor múltiplo de 5 730, a massa reduz-se à metade); f sendo m(t) = 10% de mo , ou seja, m(t) = 0,1 mo, segue que  1 0,1 mo = mo .    2 –t 5 730 0,1 = 2

t 5 730

5 730 0,301

≅ 19 036 anos.

Crescimento exponencial e papéis logarítmicos Já vimos que, para a > 1, o gráfico de y = ax cresce cada vez mais rapidamente, enquanto o gráfico de y = loga x cresce cada vez mais lentamente. y

y = ax

c) Se for constatada que a massa de carbono 14 restante no fóssil é apenas 10% da massa inicial, qual a idade estimada do fóssil? (Dado: log 2 ≅ 0,301) Se a massa restante de carbono 14 é apenas 10% da massa inicial, temos o seguinte raciocínio:

y = loga x x

Tal fato pode dificultar, em alguns casos, a construção do gráfico, devido à grande diferença na ordem de grandeza dos valores representados nos dois eixos. Por exemplo, vamos fazer o gráfico de y = 10x com base na tabela seguinte: x y = 10x

1 101

2 102

3 103

4 104

5 105

6 106

7 107

A escala a ser escolhida no eixo x deve ser suficiente para representar valores de 1 a 7; já a escala no eixo y deve ser suficiente para representar valores até 10 milhões.

Matemática – 1ª- série – Volume 3

Uma maneira de contornar tal dificuldade prática é a seguinte: vamos “comprimir” a escala no eixo y representando os valores dos expoentes das potências de 10, em vez de representá-los usando intervalos de mesmo tamanho para representar as variações nas potências. Assim, cada unidade no eixo y significa 10 vezes a anterior, e não o sucessor da anterior, como no eixo x. Começamos na vertical com 1, depois 10, depois 100, depois 1 000; para baixo, temos 0,1, 0,01, 0,001 (...) e assim por diante. Em outras palavras, vamos escrever no eixo y o valor da potência 10x, mas cada quadrinho representa, na verdade, uma unidade a mais no expoente. É como se estivéssemos fazendo o gráfico de y = X, com X = 10x. Assim, o gráfico obtido para y = 10x será a reta y = X. Observando o gráfico é possível compreender o que foi dito:

Exemplo ilustrativo

1000

valores de 10x

100

y = 10x

y=X

(sendo X = 10x)

0,1 0,01 0,001 –2

–1

a construção de gráficos em situações como a descrita. Tais papéis são chamados de monolog . A figura ilustra uma folha de um papel monolog:

Existem papéis impressos com as escalas assim transformadas na vertical, para facilitar

O gráfico a seguir representa a produção industrial do Brasil, Estado por Estado. Devido à grande diferença nos níveis de produção, a escala adotada no eixo y é logarítmica. Note que na base do eixo y está assinalado “MONOLOG”. Um segmento do mesmo tamanho representa, no eixo y, tanto o intervalo de 0 a 1 quanto o intervalo de 1 a 10 e o intervalo de 10 a 100. No eixo y são representadas, portanto, as potências de 10 em segmentos proporcionais aos seus expoentes.

Produção industrial por Estado

No caso, a escala a ser comprimida é a do eixo x, onde representamos as potências, mas cada unidade representa a passagem de uma potência de 10 a outra potência de 10, ou seja, representa o logaritmo de x. Assim, o gráfico de y = log x torna-se o gráfico da reta y = X, onde X = log x. Naturalmente, poderíamos utilizar, para o gráfico anterior, o mesmo papel monolog, apenas trocando as posições dos eixos x e y.

Escalas logarítmicas nos dois eixos É possível ainda que desejemos comprimir as escalas nos dois eixos. Isso pode ser especialmente conveniente quando queremos representar funções em que tanto os valores de x quanto os de y variam em intervalos muito amplos e queremos concentrar as atenções nos expoentes de x e de y. Existem papéis que já trazem a representação de tal “contração” nos dois eixos, sendo apropriados para uma representação proporcional dos expoentes de x e de y, em vez de uma representação proporcional aos valores de x e y.

Fonte: IBGE, 2000.

Escala logarítmica no eixo x Algo análogo poderia ser feito para a função y = log x, se tivéssemos que fazer o gráfico a partir de uma tabela como a apresentada a seguir: x y = log x

101 102 103 104 105 106 107 1

Exemplo ilustrativo Para fazer o gráfico de y = x7, calculando os logaritmos dos dois membros da igualdade, temos: log y = 7 . log x. Usando um papel que represente o logaritmo nos dois eixos, é como se fizéssemos o gráfico de Y = 7 X, onde Y = log y e X = log x. Uma folha de papel desse tipo, chamado de papel dilog, é mostrada a seguir:

Matemática – 1ª- série – Volume 3

1000

y = 5x

100

valores de 10x

10 1

Y = (log5).x

0,1 0,01

(sendo Y = log y)

0,001 –5

–4

–3

–2

–1

b) Como fica o gráfico da função y = log5 x se usarmos o papel monolog descrito anteriormente, sendo as unidades do eixo x representativas não dos valores de x, mas dos logaritmos de x? Sendo y = log5 x, então  1  log x X. log x =   log 5  log 5 Se o papel for tal que, no eixo x, em vez de x, as unidades representarem log x, então

y =

Exercícios exemplares Exercício 8 Tendo por base as informações anteriores sobre papéis monolog e dilog, pergunta-se: a) Como fica o gráfico da função y = 5x se usarmos o papel monolog descrito anteriormente, sendo as unidades do eixo y representativas não dos valores de x, mas dos logaritmos de x? Sendo y = 5x, calculando o logaritmo de ambos os membros, obtemos: log y = x . log 5. Se os valores representados no eixo y são os de log y, então é como se estivéssemos fazendo o gráfico de Y = (log 5) . x, onde Y = log y. Tal gráfico é, pois, o de uma reta com inclinação igual a log 5:

 1  teremos o gráfico da função y =  X,  log 5  onde X = log x.

O gráfico será uma reta de inclinação igual a 1 . log 5 c) Como fica o gráfico da função y = x5 se usarmos um papel dilog, cuja escala, tanto no eixo x quanto no eixo y, representa os logaritmos de x e de y, e não os valores de x e de y? Para fazer o gráfico da função y = x5 calculando o logaritmo de ambos os membros da igualdade, temos: log y = 5 . log x Se utilizarmos um papel dilog, nos dois eixos serão representados os logaritmos dos valores de x e de y; logo, teremos o gráfico da relação:

Y = 5 . X, onde Y = log y

e X = log x

Tal gráfico será uma reta de inclinação igual a 5. 100

y = x5 ou Y = 5.X sendo Y = log y X = log x

1 1

100

Considerações sobre a avaliação Esperamos que, ao final deste percurso, a linguagem dos expoentes e dos logaritmos tenha sido incorporada pelos alunos para a expressão e a compreensão de diversos tipos de fenômenos naturais, aumentando, assim, os instrumentos disponíveis para a contextualização dos conhecimentos escolares e a intervenção consciente na realidade.

A sensibilização para a importância do que foi aprendido e o conhecimento de propriedades básicas das potências e dos logaritmos, fundamentais para operar com eles em situações concretas como as que foram apresentadas na presente Situação de Aprendizagem foram os objetivos principais. Ao operar com expoentes e com logaritmos, os alunos devem ser capazes de compreender plenamente as ações realizadas, tendo o discernimento de recorrer a tábuas de logaritmos ou a calculadoras com a consciência de estar delegando a tais recursos uma tarefa técnica, importante, mas subsidiária, conhecendo suficientemente e conscientemente o significado daquilo que realizam. Esta quarta Situação de Aprendizagem não trouxe conhecimentos novos sobre o tema, mas apenas novas articulações entre o que já havia sido aprendido nas situações anteriores e os contextos práticos. Assim, os conteúdos esperados coincidem com os referidos nas situações anteriores.

ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO A aprendizagem da linguagem das potências e dos expoentes, explorada na Situação de Aprendizagem 1, é fundamental para a contextualização de conhecimentos sobre potências, bem como para o desenvolvimento de competências, como a compreensão de fenômenos que envolvem crescimento ou decrescimento exponencial. Caso sinta que as metas não tenham sido plenamente atingidas, o professor deve

buscar caminhos alternativos para complementar o desenvolvimento de tais competências por meio de uma das seguintes estratégias: f explorar mais profundamente os cálculos com potências de expoentes naturais, inteiros e racionais antes de tratar das funções exponenciais, buscando maior assimilação das técnicas, em diferentes contextos;

Matemática – 1ª- série – Volume 3

f procurar construir os gráficos das funções exponenciais recorrendo mais frequentemente às tabelas com os valores das variáveis antes de buscar uma assimilação mais global da sua compreensão, em decorrência das características das funções envolvidas. Caso sinta que as metas propostas na Situação de Aprendizagem 2 não tenham sido plenamente atingidas, o professor deve buscar rotas alternativas para a apresentação dos temas, como: f concentrar-se mais detidamente na exploração das tabelas com os valores das potências e dos expoentes, fazendo com que os alunos aumentem significativamente seu número de linhas, inserindo novos valores e verbalizando o significado das operações representadas; f apresentar mais explicíta e permanentemente ao longo da Situação de Aprendizagem o paralelismo existente entre as operações e as propriedades das potências e as correspondentes dos expoentes, que são os logaritmos. Da mesma forma, sugerem-se duas estratégias alternativas para a retomada dos conteúdos/temas da Situação de Aprendizagem 3: f a apresentação de modo independente da função exponencial y = ax e da função logarítmica y = loga x, a partir de tabelas com os valores de x e de y calculados para diferentes valores da base a, destacando-se o crescimento, se a > 1, e o decrescimento, se 0 < a < 1. Somente após a reiteração

independente das características das duas funções, seria feita a apresentação conjunta das duas, explorando-se as mútuas relações de interdependência; f a concentração das atenções no fato de que, dada uma base a (a > 0 e a ≠ 1), sempre é possível calcular ax, seja x natural, inteiro, racional ou irracional, sendo ax > 0 para todo x real. Isso é que significa a possibilidade de definição de uma função f(x) = ax para todo x real. Da mesma forma, todo número real positivo x pode ser escrito como uma potência de base a, ou seja, tem um logaritmo y, e isso é que significa a possibilidade de definição de uma função g (x) = loga x. Por fim, se o aproveitamento dos conteúdos tratados na Situação de Aprendizagem 4 não for o esperado, sugerimos as seguintes estratégias, tendo em vista a recuperação dos alunos: f concentrar-se em um número menor de tipos de exercícios exemplares, explorando mais detidamente os tipos escolhidos por meio da formulação de exercícios similares, usando ainda como degrau os numerosos exercícios de fixação encontrados em livros didáticos sobre o tema; f deixar de lado alguns dos exercícios que exigem mais maturidade no conteúdo/tema, como os referentes aos gráficos em papéis monolog e dilog, que podem ser deixados para outro momento, possivelmente na 3a série do Ensino Médio, quando se buscarão novos olhares para a construção de gráficos de funções.

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994. Esse livro é especialmente útil pela riqueza das ideias apresentadas em cada página. Apesar de o título sugerir tratar-se de conteúdo avançado para o Ensino Médio, a maneira como os temas são abordados é extremamente estimulante, parecendo-nos adequada para a formação cultural do professor. Graphmatica. Disponível em: <http:// graphmatica.apoioamatematica.net>. Acesso em: 12 maio 2009. O software Graphmatica, que pode ser baixado gratuitamente no site indicado, pode ser de grande valia para a construção de gráficos, como o das funções exponenciais, ajudando a sua visualização por meio da escolha de uma escala adequada. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, v. 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1999. (Coleção do Professor de Matemática.)

Esse livro, apesar de não ser muito simples, traz uma abordagem interessante das funções exponenciais, destacando seu papel juntamente às funções do primeiro grau, como definidoras de padrões de crescimento ou de crescimento. Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1982. Os artigos dessa revista são um permanente material de apoio ao trabalho do professor em sala de aula. Trata-se de uma revista inicialmente semestral, hoje quadrimestral, que sempre traz contribuições interessantes e instigantes, tanto do ponto de vista do conteúdo matemático, quanto da abordagem didática sugerida. Os números 4 e 18 contêm artigos sobre a ideia de logaritmo que podem alimentar algumas pesquisas a serem realizadas pelos alunos. Alguns momentos de investigação sobre o índice de tal revista podem alimentar substancialmente o trabalho do professor, em praticamente todos os conteúdos. Existe um número-índice, que traz os temas e os autores dos artigos dos 44 volumes iniciais da RPM. O índice também pode ser consultado pelo site <http://www.rpm.org.br>.

Matemática – 1ª- série – Volume 3

COnSidERAÇõES FinAiS No presente bimestre, buscamos uma retomada de um tema que vem sendo apresentado aos poucos aos alunos desde a 5a série do Ensino Fundamental, quando foram estudadas as primeiras ideias sobre potências de expoente natural. Depois, nas séries seguintes, a noção foi ampliada para os expoentes inteiros e racionais. Aqui, vimos que a noção de potência pode ser estendida para qualquer expoente real, guardadas certas restrições sobre a base. Daí à definição da função exponencial foi um passo. Em seguida, foi apresentada a noção de logaritmo, uma ideia nova para os alunos, mas inteiramente articulada com os conhecimentos sobre potências e expoentes, como se procurou demonstrar, a cada etapa. A despeito do contexto histórico em que surgiram os logaritmos conduzir a uma associação destes com a simplificação de cálculos, pretendemos ter demonstrado amplamente que, hoje, os logaritmos são mais importantes do que quando surgiram, em novos contextos, que pouco ou nada têm a ver com a ideia original. É muito importante para o professor destacar tal fato, uma vez que ele é revelador `da fecundidade e da riqueza do pensamento e da linguagem matemática.

É importante reiterar aqui que, como já se anunciou nas considerações iniciais, a extensão do material apresentado deve ser considerada como uma possibilidade de enriquecimento do trabalho do professor e não um motivo de preocupação, no sentido de fazê-lo sentir-se obrigado a procurar ensinar tudo o que foi posto à sua disposição. Foram apresentadas aplicações dos logaritmos em múltiplos contextos: escala Richter, potencial hidrogeniônico (pH), decibéis, cálculo de juros, entre outros. Não se pode esperar que o professor tenha disponibilidade de tempo para todas essas ilustrações: o mais razoável é que ele escolha uma ou duas delas (o cálculo de juros costuma ser muito atraente para alguns docentes) e explore-as da maneira que achar mais conveniente, estendendo-se em exemplos e exercícios, a seu gosto, deixando as outras para um eventual interesse dos alunos em pequenos trabalhos de pesquisa. Para que se tenha uma ideia mais nítida das múltiplas inter-relações entre os diversos conteúdos, apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática de todas as séries do Ensino Médio, destacando com um sombreado os conteúdos de outros bimestres e de outras séries diretamente relacionados aos conteúdos apresentados no presente bimestre.

COntEúdOS dE MAtEMátiCA POR SéRiE/biMEStRE

dO EnSinO MédiO

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

1a série

2a série

3a série

NÚMEROS E SEQUÊNCIAS - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas; progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.

TRIGONOMETRIA - Arcos e ângulos; graus e radianos - Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente. - Funções trigonométricas e fenômenos periódicos. - Equações e inequações trigonométricas. - Adição de arcos.

GEOMETRIA ANALÍTICA - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares. - Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

FUNÇÕES - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função de 1o grau, função de 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS, POLINÔMIOS E NÚMEROS COMPLEXOS - Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa. - Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial. - Polinômios: identidade, divisão por x − k e redução no grau de uma equação. - Números complexos: significado geométrico das operações.

FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - Logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes contextos. - Função logarítmica: equações e inequações simples.

ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Arranjos, combinações e permutações. - Probabilidades; probabilidade condicional. - Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.

ESTUDO DAS FUNÇÕES - Panorama das funções já estudadas: principais propriedades. - Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação. - Composição: translações, reflexões, inversões.

GEOMETRIA– TRIGONOMETRIA - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação de superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL - Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas. - Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas. - Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas. - Esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

ESTATÍSTICA - Cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão. - Elementos de amostragem.