MATEMATICA_CP_2s_Vol1reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino médio

2ª- SÉRIE

volume 1 - 2009

matemática

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretária da Educação Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-187-1 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

Prezado(a) professor(a),

Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009. As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado. Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos. O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas. Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho. Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo! Contamos com você.

Maria Helena Guimarães de Castro Secretária da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – O reconhecimento da periodicidade

Situação de Aprendizagem 2 – A periodicidade e o modelo da circunferência trigonométrica 20 Situação de Aprendizagem 3 – Gráficos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos 35 Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 58 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiCHA do CAdErno trigonometria

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Médio 2ª1º- bimestre de 2009 O modelo da circunferência trigonométrica e os fenômenos periódicos Arcos e ângulos: graus e radianos; as funções seno e cosseno: gráficos e elementos Equações e inequações trigonométricas: resolução gráfica e resolução algébrica

oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de enfoque destes temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor vai poder explorar cada assunto com mais ou menos profundidade, ou seja, escolherá uma escala adequada para tratar do tema. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor contemple todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem o panorama dos conteúdos do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, entretanto, no fato de que somente o professor,

com base nas particularidades que conhece, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar com adequação o tempo ideal a ser dedicado a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, conforme seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. O Caderno é ainda composto de algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

Conteúdos básicos do bimestre A Trigonometria, conteúdo proposto para ser desenvolvido no 1º- bimestre da 2ª- série, apresenta a importante

Geometria e Medidas

característica de estabelecer ligação entre o eixo Geometria e Medidas e o eixo Número e Funções.

Trigonometria

O estudo da Trigonometria, ao relacionar esses eixos, permite que sejam associadas entre si relevantes ideias matemáticas. No caso da Geometria e Medidas, o elemento norteador de todo o trabalho é a proporcionalidade, enquanto os conceitos pertinentes ao segundo eixo, Números e Funções, têm por detrás de si a ideia fundamental da periodicidade de determinados fenômenos, e a possibilidade de modelá-los, isto é, representá-los por intermédio de uma equação matemática. A ideia da proporcionalidade está presente no estudo das relações métricas entre lados do triângulo retângulo e a noção de semelhança, base para a aplicação das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente. Assim, o início dos trabalhos do bimestre inclui a avaliação do conhecimento que os alunos desenvolveram anteriormente sobre tais conceitos. Caso o professor identifique que as razões trigonométricas não foram apresentadas aos alunos na 8ª- série do Ensino Fundamental e na 1ª- série do Ensino Médio, conforme previsto na presente Proposta Curricular, será determinante que esse trabalho inicial não se restrinja à retomada de conceitos demandando, dessa forma, maior atenção do professor. É fundamental que, para o início do

Números e Funções

estudo das funções trigonométricas, a base conceitual da proporcionalidade esteja razoavelmente consolidada. Para estudar a periodicidade observada em enorme gama de fenômenos naturais foi preciso criar um modelo matemático. O que melhor se aplica, nesse caso, é o modelo em que um ponto gira em torno de uma circunferência. A percepção de que um modelo tão simples como esse permite traduzir por equações matemáticas o comportamento de diversos tipos de grandezas, amplia e dá movimento à ideia da regularidade, da repetição de um determinado padrão. As funções trigonométricas, nesse contexto, podem ser apresentadas aos alunos a partir de experimentos reais ou de pensamento, para que eles, além da motivação intrínseca e desejada, percebam a necessidade do estudo que ora se inicia. A Situação de Aprendizagem 1 – o reconhecimento da periodicidade contém proposta de duas situações – O movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras, e As sombras longas –, nas quais os alunos são convidados, inicialmente, a reconhecer a regularidade dos fenômenos envolvidos e, em uma etapa posterior, a representar a variação periódica observada por intermédio de um gráfico cartesiano.

Um ponto girando em torno de uma circunferência é o modelo ideal para analisar a periodicidade de determinados fenômenos e para expressá-la por intermédio de equações matemáticas. Esse modelo, portanto, precisa ser compreendido com clareza pelos alunos a fim de que eles possam ser apresentados, sem sobressaltos, às funções trigonométricas. Uma das possibilidades para a introdução do modelo consiste em associar o movimento do ponto que gira em torno da circunferência a algum fenômeno periódico de fácil identificação, como, por exemplo, o movimento aparente do Sol durante a passagem dos dias. Essa foi a associação escolhida para a proposição da Situação de Aprendizagem 2 – A periodicidade e o modelo da circunferência trigonométrica, cuja realização, espera-se, permitirá que o aluno, por um lado, relacione as razões trigonométricas do triângulo retângulo às medidas das projeções do ponto sobre os eixos coordenados, e, por outro, que perceba a possibilidade de esboçar situações reais por meio de equações que envolvam senos ou cossenos. Ainda na Situação de Aprendizagem 2, destacamos a importância de os alunos navegarem com desenvoltura pela circunferência trigonométrica, ao identificarem extremidades finais de arcos com medidas entre 0º e 360º, exprimindo-as inicialmente em graus e posteriormente em radianos e que, além disso, associem arcos de medidas maiores que 360º aos côngruos na primeira determinação positiva. Uma das formas de tratamento dos conteúdos da trigonometria, normalmente adotado, envolve a apresentação dos gráficos das funções y = senx e y = cosx apenas após o estudo

das equações, inequações e das relações entre as funções. Entendemos que essa maneira de conduzir o estudo restringe a possibilidade de se agregar significados conceituais, uma vez que as equações e as inequações são apresentadas e resolvidas de forma descontextualizada, não associadas a grandezas de natureza conhecida dos alunos. A proposta de se realizar o estudo das funções concomitantemente ao dos demais conceitos permite associações explícitas entre a periodicidade observada e o modelo matemático escolhido, de maneira que o estudo pode desenvolver-se sobre contextos significativos para os alunos. Por isso, já na Situação de Aprendizagem 2 propomos que, simultaneamente à apresentação do seno e do cosseno de arcos medidos sobre a circunferência trigonométrica, os alunos sejam convidados a construir os gráficos cartesianos das funções y = senx e y = cosx. Não se trata, porém, de se deter em demasia sobre a análise dos gráficos neste momento, visto que o objetivo principal é que os alunos percebam que o formato da “onda” desenhada reflete a periodicidade de diversos fenômenos. A Situação de Aprendizagem 3 – Gráficos das funções periódicas envolvendo senos e cossenos vai permitir aos alunos que reconheçam as características dos gráficos das funções y = senx e y = cosx e também que avaliem as transformações sofridas pelos gráficos com a inclusão de constantes nas equações. Em outras palavras, após a aplicação da atividade, espera-se que os alunos identifiquem as principais características dos gráficos de funções do tipo y = C + A.senb.x ou y = C + A.cosb.x.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

A resolução de equações do tipo sen(ax) = m ou cos(bx) = n é um procedimento esperado dos alunos, uma vez que exige conhecimentos que devem ser construídos nesta etapa de estudo. A importância dos conceitos trigonométricos justifica a sua abordagem em diferentes contextos, com distintos significados. Alguns desses contextos foram adotados na elaboração da Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas, na qual os alunos vão entrar em contato com situações reais que implicam a resolução de equações trigonométricas. Para uma determinada função f(x), pode ou não ser possível estabelecer a relação f(x + b) = f(x) + f(b). As funções de 1º- grau, por exemplo, obedecem a essa relação, enquanto as de 2º- grau, não. Nas funções trigonométricas, especialmente, essa relação não pode ser aplicada, embora os alunos normalmente o façam. Dessa forma, é necessário dedicar períodos de aula para a apresentação do cálculo de senos e/ou de cossenos de soma de arcos, o que fica a cargo do professor definir a escala que julgar adequada à condução dessa atividade. A organização do trabalho com os conteúdos de trigonometria, sob o foco da periodicidade descrito anteriormente, pode ser realizada com base nas seguintes oito unidades, correspondendo, aproximadamente, a oito semanas de aula.

Quadro geral de conteúdos do 1o- bimestre da 2a- série do Ensino Médio unidade 1 – Reconhecimento e registro da periodicidade. unidade 2 – O modelo da circunferência trigonométrica com as medições de senos e de cossenos de arcos de 0º a 360º; arcos côngruos; arcos notáveis e simetrias na circunferência. unidade 3 – Funções trigonométricas: os gráficos das funções y = senx e y = cosx; graus e radianos; senos e cossenos de arcos medidos em radianos. unidade 4 – Equações e inequações do tipo senx = m ou cosx = k. unidade 5 – Funções trigonométricas: gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx. unidade 6 – Equações e inequações do tipo C + AsenBx = m ou C + AcosBx = k. unidade 7 – Funções trigonométricas: tangente e cotangente na circunferência. Gráficos de y = tgx e de y = cotgx. Equações do tipo tgx = m ou cotgx = k. unidade 8 – Adição de arcos e algumas relações entre as funções trigonométricas.

SituAçõES dE APrEndizAGEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos de funções periódicas. Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais; representar a periodicidade identificada em situações-problema por intermédio de um gráfico cartesiano. Estratégias: resolução de situações-problema.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Funções são, em qualquer instância, maneiras que encontramos para demonstrar a dependência entre grandezas. No Ensino Médio o eixo de conteúdos que engloba Números e Funções é um dos mais importantes e amplia, sobremaneira, os estudos realizados nas etapas anteriores da escolaridade dos alunos. A partir dessa premissa, vale refletir sobre quais são os tipos de funções estudados no Ensino Médio, além de identificar os significados que normalmente lhes são associados. O primeiro grupo de funções com o qual os alunos tomam contato no Ensino Médio é o das funções polinomiais. Ao começar pelas funções de 1º- grau, o estudo prossegue, ainda nas séries iniciais, com a função do 2º- grau, para, ao fim da 3ª- série do Ensino Médio, complementar-se com a apresentação das funções polinomiais de grau qualquer. Há uma série infindável de situações

possíveis de serem modeladas com funções polinomiais de diferentes graus. São comuns, no início do trabalho com funções, a proposição de situações aos alunos que exijam, por exemplo, a análise de como o preço da corrida de táxi depende da quilometragem, ou da verificação de que a quantidade de calor que um corpo absorve é em função do aumento de sua temperatura ou, ainda, o fato de que um corpo em queda livre ao acelerar aumenta cada vez mais a distância que percorre a cada segundo sucessivo. Outro grupo de funções analisado no Ensino Médio é aquele que discute o crescimento exponencial de uma grandeza em função da variação de outra. Nesse grupo incluem-se, além das funções exponenciais propriamente ditas, as funções logarítmicas. Enquanto as funções exponenciais tratam dos processos de crescimento ou decrescimentos rápidos, as funções logarítmicas modelam fenômenos que crescem ou decrescem de modo mais lento. Processos de crescimento populacional e também de

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

acumulação financeira constituem contextos fecundos para a significação de funções desse grupo, e são, normalmente, apresentados em inúmeros materiais didáticos. Além disso, os logaritmos e as exponenciais estão presentes ainda na determinação da intensidade dos terremotos, no nível de intensidade sonora, e também no cálculo da capacidade de armazenagem de informação. As funções trigonométricas, que constituem o terceiro grupo das funções estudadas no Ensino Médio, caracterizam-se por permitir a modelagem de fenômenos periódicos, isto é, fenômenos que se repetem, de tempos em tempos, que mantêm as características de dependência entre as grandezas envolvidas. A existência de uma enorme gama de fenômenos dessa natureza contrasta com a baixa frequência com que as funções trigonométricas são contextualizadas nos materiais didáticos. Na maioria das vezes o tratamento dado aos senos, cossenos e tangentes fica restrito ao cálculo de valores para arcos notáveis e seus côngruos, e para a relação algébrica entre estas funções, sem que a periodicidade, foco principal do estudo, seja analisada com a importância merecida. Ao partir do princípio de que as funções constituem ferramenta fundamental na análise da dependência entre grandezas e considerando a importância que o grupo das funções trigonométricas desempenha nessa análise, propomos, neste Caderno, algumas Situações de Aprendizagem que priorizam, por um lado, o reconhecimento da periodicidade em uma série de fenômenos naturais e, por outro, a possibilidade de que equações que envolvam senos, cossenos e tangentes possam ser

utilizadas para expressar matematicamente a relação entre as grandezas envolvidas. Para concluir, a maior motivação pelo estudo das funções trigonométricas deve ser o reconhecimento de que são necessárias para a modelagem de fenômenos periódicos. Nesse sentido, antes da apresentação dos conceitos propriamente dita, os alunos precisam ser sensibilizados para a observação – real, virtual ou imaginativa – de uma série de manifestações naturais de caráter periódico. As etapas propostas a seguir para esta Situação de Aprendizagem têm por objetivo possibilitar aos alunos o reconhecimento da periodicidade em diferentes contextos não exigindo, desse modo, nenhum conhecimento prévio acerca das funções trigonométricas.

o movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras Talvez o mais elementar fenômeno periódico que podemos observar é o movimento aparente do Sol, do nascente ao poente, durante a passagem dos dias do ano. O registro dessa periodicidade pode ser realizado por intermédio da medição do comprimento da sombra de uma estaca fixada verticalmente no solo. Essa situação pode ter estimulado os seres humanos a elaborar os primeiros calendários e a reconhecer as estações do ano. O professor poderá estimular os alunos a se imaginarem realizando uma experiência na qual mediriam o comprimento da sombra da estaca durante a passagem de um determinado período de tempo, como, por exemplo, dois anos. A figura a seguir ilustra aproximadamente esta situação.

(22 de dezembro), denominados solstícios. A proposta a ser feita aos alunos é a seguinte:

zênite

Atividade 1 VERÃO caminho do Sol no inverno

caminho do Sol no verão

sombra mínima (solstício de verão) ima sombra máx inverno) (solstício de

Sabemos que o percurso do Sol durante o inverno é mais inclinado em relação à linha zenital1 que o percurso similar realizado durante o verão. O comprimento da sombra da estaca em um determinado horário do dia, ao meiodia, por exemplo, varia durante o ano desde um valor mínimo até um máximo, correspondendo às datas que marcam, respectivamente, o início do inverno (21 de junho) e o do verão

Imagine o acompanhar do comprimento da sombra da estaca durante dois anos, e que tais comprimentos tenham sido registrados em uma tabela. A tarefa agora será imaginar como seria o formato de um gráfico que representasse o comprimento da estaca em função da passagem dos dias do ano, e desenhar o que se pensou sobre essa situação. A discussão sobre os resultados da atividade deverá servir para que os alunos reconheçam que a periodicidade pode ser traduzida por um gráfico cujo formato é, por enquanto, aproximadamente o de uma onda. Assim, estudar movimentos periódicos pode significar estudar as ondas e as funções matemáticas a elas associadas. A seguir, são apresentadas algumas soluções propostas por alunos da 2ª- série do Ensino Médio para esta atividade:

Gráfico do tamanho da sombra da estação em função das estações do ano

tamanho da sombra (cm)

verão (1º- ano) 1

outono (1º- ano)

inverno (1º- ano)

primavera (1º- ano)

verão (2º- ano)

outono (2º- ano)

inverno (2º- ano)

zênite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.

primavera (2º- ano)

tamanho (cm)

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

processo completo de modelagem de um fenômeno natural, conforme discutiremos na Situação de Aprendizagem 4.

O D

F A

mês

A observação dos gráficos desenhados pode ser acompanhada pela seguinte questão, talvez a principal de todo o estudo sobre fenômenos periódicos, a ser proposta pelo professor: Como podemos traduzir este tipo de gráfico por uma equação matemática? A busca da resposta a essa questão norteará todo o estudo da trigonométrica. Espera-se que as questões apresentadas nessa primeira atividade sejam desafiadoras aos alunos e motivadoras no estudo dos conceitos trigonométricos de forma que, no futuro, os alunos possam se envolver com um

O professor pode comentar com os alunos que as “ondas” desenhadas são formas de gráficos que podem estar associadas tanto a função denominada seno como a função chamada cosseno. Além disso, tais funções estão respectivamente relacionadas com as razões trigonométricas seno ou cosseno que foram estudadas nas séries anteriores, e estas poderão ser reconhecidas por meio do estudo que se inicia. O professor vai poder aproveitar os gráficos desenhados pelos alunos para iniciar a identificação de conceitos importantes, associados à periodicidade da onda. Trata-se dos conceitos de período (ou comprimento de onda) e de amplitude. O professor poderá solicitar a cada aluno que os identifique no gráfico que desenhou, como destacamos no exemplo a seguir.

Gráfico do tamanho da sombra da estação em função das estações do ano

tamanho da sombra (cm)

Amplitude Período 1 ano

verão (1º- ano)

outono (1º- ano)

inverno (1º- ano)

primavera (1º- ano)

verão (2º- ano)

outono (2º- ano)

inverno (2º- ano)

primavera (2º- ano)

Vale observar que todos os gráficos produzidos pelos alunos deverão ter o mesmo período de um ano, uma vez que registram a mudança das estações do ano. A amplitude, todavia, pode variar de um gráfico para outro, uma vez que a escala escolhida para a suposta tomada de medidas não precisou ser uniformizada. Assim, mais do que determinar um valor para a amplitude e outro para o período, a importância do trabalho está no reconhecimento de que é possível associar parâmetros matemáticos para a descrição da periodicidade observada nos fenômenos.

As sombras longas Outra situação utilizada para salientar a maneira pela qual podemos representar graficamente a periodicidade de um fenômeno consiste em imaginar a observação da sombra da estaca vertical durante alguns dias, e o registro do comprimento da sombra em função das horas do dia. Quando o Sol nasce e lentamente vai se elevando no horizonte, o comprimento da sombra da estaca, inicialmente maior, passa a diminuir até um valor mínimo, atingido, provavelmente, por volta do meio-dia.

Comprimento da sombra diminuindo

No período da tarde a sombra da estaca muda de lado, e, à medida que o Sol inicia sua “descida”,

Comprimento da sombra aumentado no sentido oposto ao inicial

o comprimento da sombra aumenta cada vez mais, até tornar-se novamente incomensurável.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

Após comentar com os alunos a situação descrita, o professor pode solicitar a seguinte atividade:

Atividade 2 Representem em um gráfico cartesiano a evolução do comprimento da sombra da estaca durante a passagem de, por exemplo, 3 dias.

Os gráficos produzidos pelos alunos poderão variar (ver exemplos a seguir), e caberá ao professor valorizar e comentar cada um deles, tendo em vista o objetivo principal da atividade que é o reconhecimento da possibilidade de representação cartesiana de fenômenos periódicos. Em todo caso, vale comentar o fato de que alguns gráficos apresentarão descontinuidade, aspecto esse que de fato ocorre em alguns fenômenos periódicos.

Após a análise dos gráficos dos alunos, o professor poderá destacar que o fenômeno imaginado, da evolução do comprimento da sombra durante vários dias, é normalmente modelado por uma função denominada tangente (que pode ser também pela cotangente), que está relacionada à razão trigonométrica tangente (ou cotangente), estudada anteriormente a partir da proporcionalidade observada entre as medidas de triângulos retângulos semelhantes.

algum tipo de gráfico mais representativo da atividade, mas, sim, que se perceba a presença da periodicidade em todos eles. Assim, como dissemos inicialmente, as atividades componentes desta Situação de Aprendizagem têm por objetivo introduzir a ideia de que é possível modelar matematicamente fenômenos periódicos com um tipo especial de função, denominadas funções trigonométricas, que serão estudadas a seguir. Caso o professor julgue apropriado deter-se um pouco mais na identificação do período e da imagem de uma função trigonométrica, sugerimos que peça a seus alunos que o façam nos seguintes gráficos:

Insistimos para que o professor valorize os gráficos dos alunos e solicite, em cada caso, que sejam justificados os motivos pelos quais o gráfico foi desenhado de uma forma e não de outra. Não haverá necessidade de se escolher y 4 3 2 1 0 –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4 –5

Período = 2; Imagem = {y ∈ R/ –1 ≤ y ≤ 1}; Amplitude = 1

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

y 4 3 2 1 0 –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4 –5

Período = 4; Imagem = {y ∈ R / –4 ≤ y ≤ 4}; Amplitude = 4 y 8 6 4 2 0 –14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

–2 –4 –6 –8 –10

Período = 2; Imagem = {y ∈ R / –3 ≤ y ≤ 3}; Amplitude = 3

Completadas as etapas de reconhecimento da periodicidade, construção dos gráficos, e identificação de alguns elementos importantes, encerra-se esta Situação de Aprendizagem. Ao dar sequência aos objetivos traçados para todo o Caderno, a próxima Situação de Aprendizagem vai apresentar aos alunos o modelo matemático que permitirá estudar matematicamente a periodicidade. Trata-se da circunferência trigonométrica e das medidas das projeções sobre os sistemas de eixos coordenados. Acreditamos que a compreensão das características dos arcos e dos valores de suas funções trigonométricas, que os alunos vão encontrar a partir da circunferência trigonométrica, tornar-se-á eficaz quando tiver sido cumprida com qualidade a etapa de reconhecimento da periodicidade, que ora se encerra.

Considerações sobre a avaliação Esta Situação de Aprendizagem focou sobre dois objetivos principais. O primeiro deles diz respeito à sensibilização dos alunos quanto à observação de fenômenos periódicos próximos de sua realidade; o segundo refere-se à possibilidade de que fenômenos periódicos sejam representados por gráficos cartesianos que possuem, em muitos casos, o formato de uma onda. Com relação à avaliação, sugerimos que o professor considere a realização das atividades de construção dos gráficos e de reconhecimento de períodos e amplitudes, evidenciando principalmente a organização da tarefa apresentada.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 A PERIODICIDADE E O MODElO DA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos das funções y = senx e y = cosx; medidas de arcos em radianos; correspondência entre radianos e graus; arcos côngruos e menor determinação positiva; equações trigonométricas; inequações trigonométricas. Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais; representar graficamente fenômenos periódicos por intermédio de gráficos cartesianos; identificar as simetrias presentes na circunferência trigonométrica, utilizando-as para a resolução de situações-problema; localizar na circunferência trigonométrica a extremidade final de arcos dados em graus ou em radianos; resolver equações trigonométricas simples. Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Nesta Situação de Aprendizagem continuaremos a explorar a ideia do reconhecimento da periodicidade de alguns fenômenos e a possibilidade de representá-los graficamente. A diferença, em relação à Situação de Aprendizagem anterior, é que agora serão introduzidos os elementos matemáticos que permitirão o estudo completo da periodicidade. Para tanto, vamos propor uma espécie de transposição dos experimentos de pensamento realizados nas atividades anteriores, com o objetivo de fazer com que os alunos visualizem mais claramente o modelo da “onda” como uma das formas possíveis para a representação cartesiana desejada. A periodicidade de determinado fenômeno pode ser associada ao movimento de um ponto girando sobre uma circunferência. As medidas das projeções desse ponto sobre determinados eixos são, como sabemos, valores de funções trigonométricas associados a arcos percorridos pelo ponto. É preciso, em nossa avaliação, que os alunos compreendam claramente os motivos pelos quais apresentamos a eles a circunferência trigonométrica. Isso pode ser conseguido se valorizarmos o reconhecimento da periodicidade, em detrimento da justificativa de podermos calcular senos e cossenos de ângulos maiores do que 180º. Afinal, a obtenção de valores de funções trigonométricas para ângulos maiores do que 2

180º, mais do que ter aplicações na resolução de triângulos não retângulos, é uma das exigências do estudo da periodicidade. Por essa razão, propomos nesta Situação de Aprendizagem um processo de construção do modelo da circunferência trigonométrica que parte da necessidade de sua criação, por conta do reconhecimento da periodicidade, e que prossegue para a identificação das simetrias e das características mais importantes das funções seno e cosseno de arcos de quaisquer medidas.

Construção do modelo O modelo do ponto girando em torno de uma circunferência centrada na origem do sistema cartesiano e a observação das projeções desse ponto sobre os eixos, como sabemos, constitui a base do estudo das funções trigonométricas seno e cosseno. A fim de que os alunos formem uma imagem de proximidade entre a Matemática e o cotidiano, no nível em que se encontram, pode-se apresentar a eles uma alegoria que transporta a ideia de acompanhar o comprimento da sombra de uma estaca vertical, discutido anteriormente, e o modelo da circunferência, conforme descrito a seguir. Imaginemos a sobreposição de um sistema de eixos cartesianos sobre a linha em que a sombra da estaca “caminha”, de maneira que a origem do sistema coincida com a extremidade final do comprimento da sombra nos equinócios.2

Equinócio é o nome que se dá ao dia que marca o início da primavera ou ao dia que marca o início do outono. Segundo o dicionário Michaelis, equinócio refere-se a Cada uma das duas épocas em que o Sol passa pelo Equador, fazendo os dias iguais às noites em todos os países do mundo.

Sentido do movimento aparente do Sol

zênite VERÃO

caminho do Sol no inverno

o ra od b çã som a i a r va o d de ent a ix im Fa mpr co

o l d ra na mb e fi so ad da ios id m nto nóc tre e ui Ex prim s eq m no co

sombra mínima (solstício de verão) bra máxima

som

(solstício de

caminho do Sol no verão

inverno)

O comprimento da sombra nos equinócios é considerado nulo.

Faixa de variação do comprimento da sombra

O comprimento da sombra é máximo no solstício de inverno.

Comprimento da sombra em um dia entre o equinócio de outono e o solstício de inverno

Sentido do movimento aparente do Sol Comprimento da sombra no solstício de inverno

Sentido do movimento aparente do Sol Comprimento nulo da sombra no equinócio de primavera O comprimento da sombra é mínimo no solstício de verão.

Faixa de variação do comprimento da sombra, observado ao meiodia durante um ano.

Em seguida, a fim de acompanhar a evolução do comprimento da sombra de um solstício a outro, pode-se associar o movimento do Sol ao movimento de um ponto sobre uma circunferência centrada no sistema de eixos cartesianos, de maneira que o comprimento da sombra seja definido pela distância entre a origem e a projeção do ponto sobre o eixo vertical.

Comprimento da sombra em um dia entre o equinócio de primavera e o solstício de verão

Sentido do movimento aparente do Sol

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

vertical, medida em frações do raio da circunferência (R), como nesta atividade:

Sentido do movimento aparente do Sol

Comprimento da sombra no solstício de verão

0,75R 0,5R 0,25R –0,25R

Sentido do movimento aparente do Sol

–0,5R –0,75R

Comprimento da sombra em um dia entre o solstício de verão e o equinócio de outono

–R

Atividade 1 Imaginem uma volta completa do Sol sobre a circunferência. Preencham a tabela a seguir associando o ângulo de elevação do Sol (β) em relação ao eixo horizontal com a medida aproximada da projeção no eixo vertical.

Assim, uma volta completa do Sol em torno da circunferência corresponderá ao período de um ano, e ao desenhar uma escala sobre o eixo vertical será possível associar ângulos de giro do Sol a medidas de segmentos. Realizada a identificação entre a projeção sobre o eixo vertical e o comprimento da sombra da estaca, o professor poderá pedir que os alunos desenhem novamente o gráfico que desenharam na Situação de Aprendizagem anterior, implementando agora uma escala simplificada no eixo

R 0,75R 0,5R 0,25R

–0,25R –0,5R –0,75R –R

Ângulo (°)

0°

30°

45°

60°

90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

Projeção (kr)

0,5

0,7

0,9

1,0

0,9

0,7

A segunda linha dessa tabela contém os valores da projeção do ponto sobre o eixo orientado e dividido em frações de raio, isto é, um número real (k) entre –1 e +1, multiplicado pela medida do raio (R).

0,5

–0,5 –0,7 –0,9 –1,0 –0,9 –0,7 –0,5

Chamamos a atenção do professor para o fato de que os ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, não precisam ainda ser assinalados com precisão na circunferência, mas será importante que os alunos percebam especialmente os seguintes aspectos:

f as medidas das projeções verticais serão escritas em frações de raio, como, por exemplo, 0,5 R ou 0,85 R.

135º

0,25R

f os valores das medidas das projeções serão aproximados a décimos. Assim, para 45º os alunos vão poder registrar o valor correspondente de 0,7, e para 60º, o valor de 0,9. f a medida do ângulo não é diretamente proporcional à medida da projeção, como alguns alunos poderiam supor. A fim de esclarecer, basta chamar a atenção para o fato de que a projeção para 60º não mede o dobro da projeção para 30º. f há ângulos que permitem medidas iguais para a projeção vertical, como, por exemplo, 30º e 150º, ou 45º e 135º, e o professor, ao destacar tal fato, estará inserindo a caracterização das simetrias na circunferência, como se pode perceber nos desenhos a seguir:

–0,75R –R

f há pares de ângulos que permitem medidas simétricas para os valores da projeção vertical, como, por exemplo, 30º e 330º, ou 60º e 300º. R 0,75R 0,5R 0,25R

330º

0,25R –0,25R –0,5R –0,75R –R

30º

–0,25R –0,5R –0,75R –R R 0,75R 0,5R 0,25R

0,75R 0,5R

45º

–0,25R –0,5R

150º

0,75R 0,5R

300º

60º

–0,25R –0,5R –0,75R

30º –R

Salientamos ainda a importância de que os alunos reconheçam a simetria das projeções apresentada por determinados pares de ângulos, pois esse ponto, mais adiante, será

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

fundamental na resolução de equações e de inequações trigonométricas.

de ângulos no eixo horizontal e as medidas de projeção no eixo vertical.

Preenchida a tabela, o professor pode solicitar que os alunos representem a dependência entre as variáveis da tabela por intermédio de um gráfico cartesiano.

O gráfico seguinte é apenas uma possibilidade, já que as escalas podem variar. No entanto, o professor deve salientar o fato de o gráfico apresentar o formato de uma onda, agora mais preciso do que aquele que os alunos idealizaram na Situação de Aprendizagem anterior para a variação do comprimento da sombra com o passar dos dias do ano.

Atividade 2 Desenhem um gráfico para representar os valores registrados na tabela lançando as medidas

y R 0,75R 0,5R 0,25R 0

60º

120º

180º

240º

300º

360º

–0,25R –0,5R –0,75R –R

A construção e a análise do gráfico permitirá que os alunos identifiquem o formato da onda, confrontando-a com as formas por eles obtidas nos gráficos desenhados na Situação de Aprendizagem 1.

Reconhecida a periodicidade envolvida na obtenção da medida da projeção vertical, o professor pode solicitar que seus alunos reproduzam, de forma semelhante, a representação da evolução da medida da projeção no eixo horizontal, de acordo com o ângulo de elevação do Sol.

Atividade 3 Completem a tabela a seguir associando a medida do ângulo de elevação do Sol com a medida da projeção sobre o eixo horizontal. Depois, desenhem um gráfico cartesiano para representar os dados tabelados.

Ângulo (°)

0°

30°

45°

60°

Projeção (kr)

0,9

0,7

0,5

–R

R 0,5R

–0,5R

–0,75R –0,25R 0,25R 0,75R

90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 0

–0,5 –0,7 –0,9

A segunda linha dessa tabela contém os valores da projeção do ponto sobre o eixo orientado e dividido em frações de raio, isto é, um número real (m) entre –1 e +1, multiplicado pela medida do raio (R). O gráfico a seguir é apenas uma possibilidade, já vez que as escalas podem variar.

–1

–0,9 –0,7 –0,5

0,5

0,7

0,9

O professor pode discutir com seus alunos sobre as diferenças e as semelhanças entre os gráficos das duas projeções, horizontal e vertical, não deixando de salientar o fato de que os gráficos são idênticos, se considerarmos a “defasagem de 90º” de um para o outro.

y R 0,75R 0,5R 0,25R 0 60º –0,25R –0,5R –0,75R –R

120º

180º

240º

300º

360º

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

é de mesma natureza da onda desenhada na atividade anterior.

f há pares de ângulos que alternam os valores das medidas das projeções horizontal e vertical, como é o caso, por exemplo, da projeção vertical do ângulo de 60º que é igual à medida da projeção horizontal do ângulo de 30º.

Identificada a correspondência que a periodicidade provoca entre a medida do segmento, horizontal ou vertical, e o ângulo de giro do ponto sobre a circunferência, o passo seguinte pode ser o de desenhar, em escala, o modelo apresentado, com o objetivo de construir o gráfico cartesiano das funções trigonométricas seno e cosseno. Vale notar que, até então, a medida do segmento sobre o eixo vertical não foi ainda denominada seno, pois, para que isso possa ser feito com significado, será importante relacionar o conhecimento anterior dos alunos sobre as razões trigonométricas no triângulo retângulo com o modelo que ora lhes é apresentado, o que pode ser feito neste momento, antecedendo à construção efetiva dos gráficos, da seguinte forma:

f há ângulos que apresentam valores iguais para projeções horizontal e vertical, como é o caso, por exemplo, do ângulo de 45º. f não existe ângulo que apresente, simultaneamente, medidas nulas para as duas projeções. f o formato de onda apresentado no gráfico

Raio (R) kr

123

Medida da projeção vertical

123

1442443

Em seguida à atividade, o professor pode chamar a atenção de seus alunos para o fato de que:

Fração do raio (kR)

144424443

m.r Fração do raio (mR) Medida da projeção horizontal

Será necessário que os alunos conheçam os valores dos senos e dos cossenos dos ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º. Caso não tenham tal conhecimento, o professor pode apresentar a eles a

k.R sen  = R = k

m.R cos  = R = m

dedução desses valores a partir de um triângulo retângulo isósceles, no caso do ângulo de 45º, e de um triângulo equilátero, no caso dos ângulos de 30º e de 60º, conforme descrito a seguir.

Ângulo de 45º

sen 45º =

√ 2 1 m = = √ 2 2 2 m.√

cos 45º =

√ 2 1 m = = √ 2 2 2 m.√

2 m.√ m

45º m

Ângulos de 30º e de 60º

3 m.√ √ 3 2 = sen 60º = 2 m

30º m

m 3 m.√ 2

60º

Discutida a igualdade entre a medida do segmento projetado no eixo vertical e o valor do seno do ângulo de giro, e a medida do segmento projetado no eixo horizontal e o cosseno do ângulo de giro convém, em seguida, denominar circunferência trigonométrica, sistema formado pelo conjunto circunferência-sistema de eixos cartesianos. Feito isso, com o objetivo

cos 60º =

m 2 1 = m 2

m 2 1 sen 30º = = m 2

3 m.√ √ 3 2 = cos 30º = 2 m

de reunir todas as informações anteriores, o professor pode pedir que os alunos desenhem uma circunferência trigonométrica, para que os valores de senos e cossenos dos ângulos notáveis e também dos ângulos que dividem os quadrantes sejam associados aos valores aproximados, utilizados anteriormente. Toda essa etapa pode ser proposta da seguinte maneira:

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

Atividade 4

60º, bem como os simétricos em relação aos eixos nos demais quadrantes. Para essa tarefa, utilize compasso ou transferidor.

Em uma folha de caderno ou em papel milimetrado, desenhem uma circunferência trigonométrica de raio 10 centímetros.

c) Desenhem uma tabela como a seguinte, relacionando todos os arcos assinalados às medidas de seus senos e cossenos, 1 √ 2 ≅ 0,7 e que = 0,5; lembrando que 2 2 √ 3 ≅ 0,87. 2

a) Adotando a escala 1:10 centímetros, dividam os eixos cartesianos em subunidades, como, por exemplo, de 0,1 em 0,1. b) Assinalem sobre a circunferência a extremidade final dos arcos de 30º, 45º e Ângulo (°)

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

Seno Cosseno

d) Desenhem os gráficos das funções y = senx e de y = cosx em um mesmo sistema de eixos cartesianos. Chamamos a atenção do professor para que a tabela deste exercício seja completada com os valores exatos dos senos e cossenos dos ângulos notáveis, em vez de

aproximações, já utilizadas no momento de completar a tabela do exercício anterior. No entanto, será importante que os alunos associem os valores exatos a suas devidas aproximações no momento de assinalarem os senos e cossenos na circunferência trigonométrica que constroem.

y 1

y = cosx

√ 3

√ 2

2 1 2

y = senx

60º

120º

180º

240º

300º

360º

– 1 2 2 – √ 2 3 – √ 2 –1

Ressaltamos mais uma vez o fato de que não se trata ainda de aprofundar o estudo dos gráficos das funções trigonométricas, aspecto esse que será explorado na Situação de Aprendizagem seguinte, quando os alunos já tiverem tomado contato com a identificação de arcos côngruos, quando já souberem calcular a menor determinação positiva de qualquer ângulo de medida maior do que 360º, quando conseguirem determinar a solução de algumas equações trigonométricas simples e, por fim, trabalharem com facilidade com medidas de ângulos expressas não apenas em graus, mas também em radianos. Destacamos que nesta primeira etapa os arcos foram medidos em graus e não em radianos. Isso é aconselhável pelo fato de o grau ser a unidade de medida de arco familiar aos alunos nesse momento, uma vez que convivem com a ideia de ângulo de giro desde a 7ª- série do Ensino Fundamental. No entanto, completada a primeira etapa, é aconselhável apresentar aos alunos a unidade radiano, bem como a relação de conversão entre as unidades de medida nesse caso. Para tanto, será necessário retomar alguns conceitos e apresentar outros, de maneira similar ao que se segue.

C = 3,14159... = π D

A razão entre as medidas do comprimento e do diâmetro de qualquer circunferência resulta sempre no mesmo valor: o número irracional π ≅ 3,14 Um radiano é a medida de um arco de comprimento igual ao do raio da circunferência. Em uma circunferência de centro O e raio R, podemos assinalar cerca de 3,14 radianos em sua meia-volta, ou, em outras palavras, um arco de semicircunferência mede sempre π radianos, conforme representado na figura a seguir: 3,14 RAD 1RAD 1RAD

1RAD

Apresentando os radianos Um arco de circunferência pode ser medido em graus e também em radiano (rad). Para apresentar os radianos a seus alunos, propomos que o professor retome com eles o conteúdo, que, em princípio, deve fazer parte dos prévios conhecimentos deles:

Com base nesses dados, o professor pode pedir a seus alunos que resolvam as seguintes situações-problema, com o objetivo de que venham a identificar com destreza arcos de medidas iguais a frações inteiras de π radianos.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

Atividade 5 O arco AB representado na figura mede 1,5 rad, e as 3 circunferências têm centro no ponto O. Quanto mede o arco: a) CD? b) EF? F D B

b) O arco MQ é “enxergado” pelo ângulo central de 60º, que corresponde à terça parte de 180º. Assim, o arco MQ mede a terça π radianos. parte de π, ou 3 c) O arco MN é “enxergado” pelo ângulo central de 120º, que é igual ao dobro de 60º. 2π radianos. Portanto, o arco MN mede 3

Atividade 7

Os arcos assinalados nas circunferências têm, em radianos, medidas iguais, visto que são “enxergados” por um único ângulo central. Assim, os arcos CD e EF medem, cada um, 1,5 radiano.

Atividade 6

A circunferência do desenho apresenta-se dividida em 8 partes iguais pelos pontos A, B, C, D, E, F, G e H. C D

Na circunferência da figura estão assinalados dois ângulos centrais: um de medida 60º e outro de medida 120º. Quanto mede, em radianos e no sentido indicado, o arco: a) MP?

F G

a) Quanto mede, em graus, o ângulo central β?

b) MQ? c) MN?

b) Quanto mede, no sentido indicado no desenho, os arcos AB, AC, AD, AF e AH? N

Q 120º

a) O arco MP mede aproximadamente 3,14 radianos, ou, precisamente, π radianos.

60º

Como a circunferência foi dividida em 8 partes iguais, cada arco correspondente a 1 de 2π rad, isto é, mede uma parte mede 8 π rad. 4 a) O ângulo central β mede a oitava parte de 360º, isto é, mede 45º.

b) Os arcos medem: π π 2π = rad AC = rad AB = 4 2 4 AD =

3π rad 4

AH =

7π rad 4

AF =

5π rad 4

Atividade 8 Observe a circunferência do desenho. A medida do arco AB é igual à medida do raio da circunferência.

Um arco de comprimento igual à circunferência mede 2π rad, ou, aproximadamente, 6,28 rad. Assim, são necessários cerca de 6,28 arcos de medida igual à do arco AB para completar uma volta da circunferência. Depois da resolução dessas atividades, em que os alunos tomaram contato com a definição de radianos, o professor pode ajudá-los a estabelecer a relação entre 180º e π radianos para que sejam capazes, na atividade a seguir, de assinalar as extremidades finais dos arcos correspondentes aos valores notáveis e seus correspondentes nos demais quadrantes.

Atividade 9 C

A r

levando-se em conta giros no sentido antihorário, assinale nas circunferências a medida em radianos do arco que tem extremidade final em cada ponto, de A a R.

Responda: a) quantas vezes o arco AC é maior que o arco AB?

F 45º

A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes maior do que a medida do arco AB. b) quantas vezes o arco AD é maior que o arco AB? 3π radianos, medida essa O arco AD mede 2 que é, aproximadamente, 4,7 radianos. Portanto, o arco AD é cerca de 4,7 vezes maior que o arco AB. c) quantos arcos de medida igual a AB podem ser justapostos, um ao lado do outro, sobre a circunferência a fim de completar uma volta?

30º

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

60º

P: π –

R: 2π

P 36º

π 6

11π 4

5π 4

5π 6 π E: 4 B:

7π 4

2π 3

7π 6

3π 4 π I: 3

4π 3

π 4π = 5 5

5π 3

Q: π +

π 5

6π π = 5 5

π 11π = 5 5

Ao completar a Situação de Aprendizagem, após a apresentação dos senos e cossenos dos arcos notáveis e de seus correspondentes nos demais quadrantes, o professor pode pedir que seus alunos resolvam algumas equações trigonométricas, do tipo senx = k ou cosx = m, definidas em R e também em intervalos definidos, como, por exemplo, [0, 2π], [0,4π], [2π, 6π], etc. Para não ressaltar apenas o aspecto algébrico envolvido na resolução de equações dessa natureza, o professor pode pedir que, algumas vezes, os alunos as resolvam graficamente, como, por exemplo, neste caso: 1 Qual é a solução da equação senx = – 2 no intervalo [0, 4π]?

y 1 1 2

7π 6 0

–

11π 6

19π 6 2π

3π

23π 6 4π

1 2 –1

Há 4 soluções para essa equação no in7π 11π 19π 23π tervalo considerado: , , e , 6 6 6 6 conforme representado no gráfico da função y = senx. Apesar de não propormos nesta Situação de Aprendizagem que os alunos sejam apresentados a arcos com extremidades finais negativas, produzidos a partir de giros no sentido horário na circunferência trigonométrica, julgamos importante que eles saibam da existência desses tipos de arco e que, ao menos, desenhem uma circunferência e nela assinalem os arcos com extremidade final na primeira volta negativa.

Considerações sobre a avaliação O modelo da circunferência trigonométrica precisa ser bem compreendido para que o estudo de conceitos relacionados a ela possa ser realizado com qualidade. Ao fim desta Situação de Aprendizagem é importante que o professor avalie se os alunos são capazes de: f identificar a posição da extremidade final de um arco medido em graus; f identificar a posição da extremidade final de um arco medido em radianos; f converter para radianos uma medida de arco expressa em graus;

f obter a menor determinação positiva de um arco qualquer; f reconhecer as diferenças e as semelhanças entre os gráficos das funções y = senx e y = cosx; f resolver equações trigonométricas simples. As diversas propostas de atividades apresentadas neste Caderno podem servir de exemplo para a elaboração de questões a fim de avaliar os alunos. Nesse sentido, destacamos a importância de o professor priorizar questões de caráter conceitual, em detrimento daquelas que exigem passagens algébricas ou formalizações além do necessário. De qualquer maneira, será importante que todos os itens de conteúdo listados anteriormente sejam contemplados de uma maneira ou de outra nas avaliações do período, sejam elas individuais ou em grupos, com consulta ou não, etc. Finalizada essa etapa de apresentação do modelo da circunferência trigonométrica e da construção dos gráficos das funções seno e cosseno, o passo a seguir, que será discutido na próxima Situação de Aprendizagem, envolve a mobilização de todos esses conteúdos na representação da periodicidade de um fenômeno por meio de um gráfico cartesiano.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 GRÁFICOS DE FUNçÕES PERIÓDICAS ENVOlVENDO SENOS E COSSENOS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx; período e amplitude de uma função trigonométrica; gráficos de funções seno ou cosseno em dependência com o tempo. Competências e habilidades: construir o gráfico de uma função trigonométrica dada a equação que a representa; identificar alguns parâmetros importantes do modelo ondulatório para a descrição matemática de fenômenos periódicos; determinar a equação da função representada por um gráfico dado. Estratégias: construção de gráficos e identificação das constantes, avaliando significados; utilização de software auxiliar para a construção de gráficos.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Fenômenos periódicos ocorrem regularmente mantendo suas características básicas, isto é, se repetem sempre da mesma maneira. Há uma enorme gama de fenômenos dessa natureza, e alguns deles serão analisados na Situação de Aprendizagem 4, que, assim como esta, tem como objetivo o estudo das funções matemáticas que modelam a periodicidade. Um processo completo de modelagem de determinado fenômeno envolve a observação da ocorrência deste, a tomada de dados, que normalmente exige a representação cartesiana dos dados obtidos, e, finalmente, exige a obtenção de uma equação matemática que se ajusta aos dados experimentais. Por consequência, a equação obtida poderá ser aplicada a novas situações, que venham a ocorrer em condições semelhantes às observadas durante o experimento realizado.

Vários fenômenos periódicos podem ser modelados por intermédio de uma função trigonométrica cuja equação é composta de senos e/ou cossenos. Para que seja possível aos alunos compreender em profundidade o significado da modelação de um fenômeno por meio de uma equação que envolva senos ou cossenos, é necessário que saibam, de um lado, desenhar gráficos de funções desse tipo a partir de suas equações, e, de outro, que consigam escrever a equação de um gráfico dado. Com esse objetivo, propomos nesta Situação de Aprendizagem que os alunos construam os gráficos e reconheçam as propriedades de funções do tipo y = C + A.senb.x e y = C + A.cosb.x, comparando-as com as funções elementares y = senx e y = cosx, com que já tiveram contato anterior. Nesse percurso, poderão avaliar as transformações que as constantes A, b e C impõem aos gráficos das funções elementares.

Para compreender a importância do estudo que ora propomos, podemos analisar o processo que normalmente desenvolvemos ao apresentar as funções de 2º- grau para nossos alunos. O gráfico cartesiano que tem formato de uma parábola com o eixo de simetria na vertical, como sabemos, é a representação de uma função do tipo y = a.x2 + b.x + c, com a ≠ 0. Ao observarmos uma equação desse tipo, com coeficientes numéricos, identificamos se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo, somos capazes de avaliar se a parábola tem ou não raízes reais, e prevemos a posição do vértice da parábola. A partir daí, conseguimos não apenas desenhar o gráfico da função, como também analisar todas suas propriedades (simetrias, imagem, domínio, sinal, etc.). Assim como fazemos com as parábolas, identificando e significando os coeficientes da equação da função e representando-a cartesianamente, também devemos ser capazes de fazer com os demais grupos de funções que estudamos no Ensino Médio, ou seja, relacionar a variação de seus coeficientes com as mudanças gráficas correspondentes. Com as funções trigonométricas não poderia ser diferente, dada a enorme quantidade de situações contextualizadas em que se detecta sua presença. Discutiremos nesta Situação de Aprendizagem apenas os gráficos das funções seno ou cosseno, deixando para segundo plano os gráficos das demais funções (tangente, cotangente, secante e cossecante). Acreditamos que o professor, decerto, vai avaliar a pertinência de apresentar a seus alunos também os demais

gráficos, dependendo das condições de sua turma e do tempo disponível. A Situação de Aprendizagem será desenvolvida sobre três percursos, que o professor poderá trilhar totalmente ou parcialmente, a seu critério. No primeiro percurso, propomos a construção dos gráficos a partir de uma tabela de valores especialmente escolhidos. No segundo percurso, sugerimos que o professor utilize um software de construção de gráficos para auxiliar a compreensão dos alunos e imprimir maior velocidade às conclusões. Por fim, no terceiro percurso, sugerimos que o professor discuta com os alunos sobre gráficos trigonométricos em que o seno e o cosseno variam em função do tempo, isto é, gráficos expressos por equações do tipo y = C + A.senb.t, com t escrito em segundos, ou em minutos, ou em horas, etc.

Percurso 1 – Construção do gráfico a partir de tabela de valores Para motivar os alunos a se envolver com a construção e análise de gráficos trigonométricos o professor pode comentar sobre o fato de que o modelo ondulatório está presente na explicação de uma série de fenômenos próximos ao dia-a-dia dos alunos, como, por exemplo, as transmissões radiofônicas ou televisivas. Para tanto, o professor pode comentar que a frequência de transmissão de rádios em FM é da ordem de megahertz, isto é, ondas que passam por um ponto “carregando” cerca de 1 milhão de períodos (ou comprimentos de onda) por segundo. De outra forma, as estações AM transmitem na faixa dos quilohertz, isto é, uma onda de rádio dessa faixa “carrega” cerca de mil períodos ou comprimentos de onda) por segundo.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

Essas variações de período e de frequência são visíveis no desenho da onda e também na escrita de sua equação, e isso será feito a partir da construção dos gráficos, que ora iniciamos.

a divisão entre os quadrantes da circunferência π 3π , π, trigonométrica, isto é, 0, , 2π. Para 2 2 começar, podem ser desenhados, em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos de y = senx e de y = 2senx. Para tanto, pode ser elaborada a seguinte tabela de valores:

Comentaremos alguns exemplos de gráficos construídos a partir de tabela de valores, introduzindo valores de uma constante a cada vez. O professor pode utilizar-se desses mesmos exemplos ou recorrer a outros, que julgar mais apropriados ao desenvolvimento de suas turmas de trabalho. Todavia, sugerimos que, em qualquer caso, os alunos possam, inicialmente, utilizar papel quadriculado para desenhar os gráficos das tabelas que elaboram.

Exemplo 1: y = Asenx ou y = Acosx A elaboração da tabela para a construção do gráfico vai levar em conta os valores que marcam

x 0 π 2

y = senx 0

y = 2senx 0

3π 2

–1

–2

Os dados tabelados permitem que sejam desenhados os seguintes gráficos:

y = 2.senx 1 y = senx x 0

π 2

3π 2

2π

–1

–2

Em seguida, o professor pode pedir que seus alunos desenhem mais dois pares de gráficos, um em cada sistema de eixos cartesianos, a fim de que seja possível intuir

a conclusão a respeito da interferência da constante A na forma do gráfico. Para tanto, propomos que sejam aplicadas as seguintes atividades:

Atividade 1

gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para cada tabela.

Completem as tabelas e construam os

tabela 2

tabela 1 x

y = senx

y = 1,5.senx

y = cosx

y = 3.cosx

π 2

+1,5

π 2

–1

–3

3π 2

–1

–1,5

3π 2

2π

y y = 1,5.senx

1,5

3 2

1 y = senx 0

π 2

3π 2

2π

y = cosx 0

–1

–2

–1,5

–3

Atividade 2 Qual é a diferença entre os gráficos das funções y = senx e y = Asenx? Isto vale também para os gráficos das funções y = cosx e y = A.cosx?

y = 3.cosx

π 2

3π 2

2π

A constante A está relacionada à amplitude da onda, isto é, à distância entre o eixo horizontal e o valor máximo da função. A imagem da função, nesse caso, será o intervalo [–A, +A], se A > 0.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

y = sen2x

y = 2 sen2x

π 2

π 4

π 2

3π 2

3π 4

–1

–2

2π

Exemplo 2: y = Asenbx ou y = Acosbx O professor pode apresentar aos alunos o seguinte exemplo, formado pela tabela e gráfico correspondente: Vale a pena destacar aos alunos que a primeira coluna da tabela, à esquerda, contém os valores divisórios dos quadrantes, que são adotados para facilitar a construção. Para melhor demonstrar a importância do fator 2, introduzido na equação, o professor pode desenhar os gráficos de y = senx e de y = 2sen2x em um único sistema de eixos cartesianos, conforme representado a seguir:

y 2

y = 2.sen2x 1 y = senx x 0

π 2

3π 2

2π

–1

–2

A partir da análise e discussão desse gráfico o professor pode pedir aos alunos que construam mais alguns a fim de estabelecerem conclusões a respeito do significado das alterações introduzidas no gráfico de y = senx ou de y = cosx quando acrescentamos a suas equações as constantes A e b, de maneira a

formar equações do tipo y = A.senBx ou y = A.cosBx.

Atividade 3 Complete a tabela e desenhe em um mesmo sistema de eixos cartesianos os gráficos de x , no intervalo [0, 4π]. y = cosx e de y = cos 2

 

x 2

Exemplo 3: y = C + A.senbx ou y = C + A.cosbx

x 2

 

y = cos

π 2

2π

–1

3π 2

3π

2π

4π

Para discutir a variação que a constante C causa ao ser incluída na equação da função elementar, sugerimos que o professor construa com os alunos o gráfico da função y = 1 + 2sen4x a partir de uma tabela de valores. Salientamos novamente que pelo fato de os alunos conhecerem a forma do gráfico y = senx e os valores dos senos dos arcos 0, π , 2 π, 3π , 2π é interessante que estes sejam os 2 valores atribuídos ao que se quer calcular o seno, isto é, a 4x. Assim, pode-se construir a seguinte tabela:

y y = cosx

1 3π 2 0

π 2

x 2π

3π

–1

y= sen4x

y= 2.sen4x

y=1+ 2.sen4x

π 2

π 8

π 4

3π 2

3π 8

–1

–2

–1

2π

π 2

2

Atividade 4 Qual é a diferença entre os gráficos das funções y = senx e y = senBx? Isto vale também para os gráficos das funções y = cosx e y = cosBx? Espera-se que os alunos percebam que o gráfico de y = cosx completa um período em 2π, x completa enquanto o gráfico de y = cos 2 apenas meio período em 2π, o que significa que o período desta última função é 4π.

4π

y = cos

 

O desenho dos gráficos de y = senx e de y = 1 + 2.sen4x em um único sistema de eixos coordenados permite que sejam discutidas as modificações que as constantes introduzidas na equação causam ao gráfico elementar.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

y = 1 + 2 sen4x

y = senx

π 2

3π 2

2π

–1

Atividade 5

Comparação entre os dois gráficos y = senx

y = 1 + 2sen4x

2π

2π π = 4 2

Período Imagem

[–1, +1]

[–1, 3]

Amplitude

Complete a tabela e desenhe os gráficos das x funções y = –1 + 2sen e de y = senx em um 2 mesmo sistema de eixos cartesianos.

 

Observa-se que em relação ao gráfico de y = senx o gráfico de y = 1 + 2sen4x foi deslocado verticalmente 1 unidade para cima, teve seu período diminuído 4 vezes e sua amplitude dobrada, efeitos estes causados, respectivamente, pelas constantes 1, 4 e 2. 3

x 2

–1

π 2

2π

–1

3π 2

3π

–2

–3

2π

4π

–1

2sen

x 2

 

y = –1 + 2sen

2

2 y = senx

1 0 –1 –2

π 2

3π 2

2π

3π

4π

x y = –1 + 2sen x

–3

Atividade 6 Qual é a diferença entre os gráficos das funções y = senx e y = C + senx? Espera-se que os alunos percebam que o gráfico de y = senx desloca-se verticalmente C unidades, sem alterar seu período ou amplitude. Para encerrar esta etapa, o professor pode pedir aos alunos que generalizem suas conclusões em um exercício como o seguinte:

Atividade 7 Quais são as variações introduzidas nos gráficos das funções y = senx ou y = cosx pelas constantes A, b e C, formando funções de equações y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx? O professor pode auxiliar os alunos a generalizarem as seguintes conclusões:

Em relação às funções y = senx e y = cosx, as funções y = C + AsenBx e y = C + AcosBx apresentam: f Deslocamento vertical de C unidades; f Amplitude igual a A; f Período igual a 2π . B Por fim, pode ser proposto um exercício que, no sentido oposto ao realizado anteriormente, exija dos alunos a obtenção de equações de gráficos já desenhados, como na atividade a seguir.

Atividade 8 Quais são as equações das funções que podem ser associadas aos gráficos representados abaixo?

y y = 2 + senx

y = 1 + 2cos

3 2

x 4

4π 0

2π

6π

8π

–1

Percurso 2 – Construção de gráficos com o auxílio de um software Caso haja possibilidade de se utilizar um software como ferramenta para a construção

de gráficos, o professor vai poder elaborar fichas de acompanhamento da atividade. Nesse caso, o fato de que cada constante acrescentada à função elementar produz alguma modificação importante

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

em seu gráfico deve nortear a sequência de comandos. Assim, podem ser construídos inicialmente gráficos do tipo y = Asenx ou y = Acosx para, em seguida, serem solicitados os gráficos do tipo y = AsenBx ou y = AcosBx. Depois de analisadas as transformações causadas nos gráficos das funções elementares pelas inclusões das constantes A e b, o próximo passo pode ser a inclusão da constante C, sendo, então, gerados os gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx.

Apresentamos a seguir algumas possibilidades para esse trabalho.

Atividade 9 1º- tipo – Gráficos y = A.senx 1. Desenhe em um mesmo sistema de eixos os gráficos: ( I ) y = senx ( II ) y = 2senx ( III ) y = 3senx

y 5 4 3

y = 3senx

y = 2senx

y = senx

0 –2,5π

–2π

–1,5π

–1π

–0,5π

0,5π

1π

1,5π

x 2π

2,5π

–1 –2 –3 –4 –5

2. Apague da tela os gráficos ( II ) e ( III ) e desenhe mais dois gráficos:

( IV ) y = 5senx ( V ) y = – 3senx

y 10 8 6

y = 5senx

y = –3senx

y = senx

0 –5π

–4π

–3π

–2π

–1π

1π

2π

3π

4π

5π

–2 –4 –6 –8 –10

Qual é a alteração produzida no gráfico de y = senx quando multiplicamos toda a função por um valor constante A? Varia a amplitude do gráfico e, portanto, também a imagem da função. 3. Observe todos os gráficos desenhados até agora e responda: a) Qual é o domínio de uma função do tipo y = Asenx? R. b) Qual é a imagem de uma função do tipo y = Asenx?

[–A, +A], A>0. c) Qual é o período de uma função do tipo y = Asenx? 2π.

2º- tipo – Gráficos y = Asen(bx) ou y = Acos(bx) 4. Desenhe em um único sistema de eixos os gráficos: ( I ) y = senx ( VI ) y = sen2x ( VII ) y = sen4x

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

y 5 4 3 y = sen2x

y = senx

y = 4 senx

1 x

0 –2,5π

–2π

–1,5π

–1π

–0,5π

0,5π

1π

1,5π

2π

2,5π

–1 –2 –3 –4 –5

5. Você deve ter percebido diferença entre as formas “senoidais” dos 3 gráficos que acabou de desenhar. Explique a diferença.

6. Desenhe em um único sistema de eixos: x (I) y = senx (VIII) y = sen 2 x (IX) y = sen 4

A diferença está no período das funções. y 10 8 6 4 2

4

y = sen

y = senx

0 –5π

–4π

–3π

–2π

–1π

1π

2π

3π

4π

5π

–2 –4

2

y = sen

–6 –8 –10

7. Desenhe os gráficos: ( X ) y = cosx

( XI ) y = cos2x

( XII) y = cos y

x 2

10 8 6 4 2

y = cosx

2

y = cos

y = cos(2x)

0 –4π

–5π

–3π

–2π

–1π

1π

2π

3π

4π

5π

–2 –4 –6 –8 –10

8. Em funções do tipo y = Asenbx ou do tipo y = Acosbx, qual é: a) O domínio? R. b) A imagem? [–A, +A] para A>0. c) O período? 2π . B 9. Responda: a) Qual é o domínio da função y = – 4sen4x? R.

b) Qual é a imagem da função y = 5sen

x ? 5

–5 ≤ x ≤ 5. c) Quais são os períodos das funções dos itens a e b? π e 10π. 2 Não estamos apresentando aqui uma sequência de trabalho para a discussão do 3º- tipo de gráfico, y = C + AsenBx ou y = C +AcosBx, e muito menos para gráficos gerados por deslocamentos horizontais, do tipo y = sen(x + D). Propomos que o professor avalie a pertinência de incluir ou não gráficos desses tipos em algumas rotinas de trabalho com a ajuda de software.

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Percurso 3 – Gráficos trigonométricos em função do tempo Fenômenos periódicos são aqueles que se repetem a cada intervalo determinado de tempo, mantendo suas características básicas. Se quisermos analisar os fenômenos periódicos e, se possível modelá-los, não podemos deixar de considerar as funções nas quais uma grandeza varia periodicamente em função do tempo. Depois da realização das etapas anteriores, o professor pode questionar os alunos sobre o período de gráficos de funções do tipo y = senBx quando b for da forma kπ, com k ∈ Q. Consideremos, por exemplo, o gráfico da função y = sen(πx), para o qual vamos ter as seguintes condições:

f Imagem: [–1, +1]. 2π = 2. f Período: π Nessas condições, teremos o seguinte gráfico:

1 y = senπx x

0 1

Atividade 10 Escreva o domínio, a imagem e o período das seguintes funções: a) y = 2sen (2πx) Domínio: R; Imagem: [–2, + 2]; 2π Período: = 1. 2π πx b) y = cos 2

 

Domínio: R; Imagem: [–1, +1]; π Período: 2π ÷ = 4. 2 πx c) y = 1 + 3sen 4 Domínio: R; Imagem: [–2, +4]; Período: π 2π ÷ = 8. 4

 

f Domínio: R.

0,5

gráficos e, se desejável, que eles os desenhem. Para tanto sugerimos a seguinte atividade:

1,5

–1

De forma semelhante, o professor pode pedir que os alunos avaliem as condições de alguns

Compreendido o fato de que o período do gráfico da função será igual a um número racional quando a constante B for igual ao produto entre π e um número racional, o próximo passo pode ser pedir aos alunos que reflitam sobre o seguinte exercício, em que um movimento periódico é claramente identificado e representado em função do tempo.

Atividade 11 Um pequeno corpo gira em torno de uma circunferência de raio 4 cm, no sentido indicado, completando uma volta a cada 2 segundos. Considerando que o corpo parte do ponto o assinalado na figura, determine a equação matemática que permite calcular a medida da projeção do ponto sobre o eixo vertical, e, em

seguida, desenhe o gráfico cartesiano representativo da equação obtida.

circunferência. O período, isto é, o tempo para o corpo completar uma volta na circunferência, é igual a 2 segundos, o que permite concluir que o valor da constante b é, nesse caso, igual a π. Associando a medida da projeção (P) sobre o eixo vertical ao valor do seno do arco, podemos escrever a seguinte equação:

P = 4sen(πt) na qual t é dado em segundos e P em centímetros. A amplitude da projeção vertical é igual a 4 cm, correspondente à medida do raio da

O gráfico da situação, para 3 períodos do movimento, é este: P 8 6 P = 4sen(πt) 4 2 t

0 –10

–8

–6

–4

–2

–2 –4 –6 –8 –10

Considerações sobre a avaliação A construção e o reconhecimento de gráficos de funções trigonométricas é uma importante etapa do estudo deste conteúdo, sobretudo se considerarmos a possibilidade de contextualizar os conceitos em situações do cotidiano, que envolva periodicidade.

Sabemos, entretanto, que, assim como o tratamento dos gráficos dos demais grupos de funções, também as trigonométricas costumam acarretar dificuldades aos alunos, e por isso, recomendamos que o processo de avaliação considere a maior variedade possível de instrumentos, e não apenas avaliações individuais.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

Os diversos exercícios que compõem esta Situação de Aprendizagem podem ser utilizados em avaliações realizadas em duplas de alunos. Tal estratégia estimula o diálogo e aumenta a possibilidade de busca de significados conceituais. Caso o professor opte por trabalhar com o auxílio do computador para a construção dos gráficos, poderá utilizar as fichas de acompanhamento como outro elemento de avaliação. De qualquer modo, ao fim do período de trabalho com esta Situação de Aprendizagem espera-se que os alunos consigam:

f completar uma tabela com valores de arcos e de funções. f construir o gráfico de uma função trigonométrica dada a equação que a representa. f determinar a equação da função representada por um gráfico dado. f escrever a equação de uma função trigonométrica que envolva um par de grandezas do qual uma delas é o tempo.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 EQUAçÕES TRIGONOMÉTRICAS tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: arcos côngruos; equações trigonométricas envolvendo senos e cossenos. Competências e habilidades: relacionar situações-problema, apresentadas em língua materna, com os significados associados aos fenômenos periódicos; resolver equações trigonométricas envolvendo senos e cossenos; interpretar resultados e fazer inferências. Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Uma equação trigonométrica envolvendo seno ou cosseno exige a determinação de uma medida de arco para o qual o seno ou cosseno assume determinado valor, como, por exemplo, determinar x para que 1 , ou cosx = –1. Casos como esses, senx = 2 frequentemente apresentados e resolvidos em cursos de Ensino Médio, se forem

compreendidos à luz da modelagem de funções trigonométricas, podem ampliar sobremaneira os significados associados a esse tipo de função. Entre os diversos fenômenos periódicos possíveis de serem modelados por equações trigonométricas envolvendo senos ou cossenos, foram selecionados quatro, apresentados a seguir, com a proposta de resolução de algumas equações.

A Situação de Aprendizagem consiste em fornecer aos alunos o texto descritivo de cada fenômeno, solicitar a leitura, eliminar eventuais dúvidas e, finalmente, a resolução de algumas questões.

Atividade 1 Cálculo do período de claridade de uma cidade A inclinação do eixo de rotação da Terra é o fator responsável pela alteração da quantidade de insolação que uma cidade recebe durante o ano. Essa alteração da quantidade de horas de luz solar marca as estações, primavera, verão, outono e inverno. Em cidades próximas à linha do Equador quase não se percebe a passagem das estações, pois o índice de claridade é praticamente o mesmo durante todo o ano, cerca de 12 horas por dia, o mesmo dado vale para a temperatura média mensal. Já em regiões mais afastadas do Equador a inclinação do eixo terrestre faz com que o verão tenha dias bem longos, com alto índice de insolação, enquanto no inverno a situação se inverte, observando-se dias bem curtos, com poucas horas de claridade. Em uma região um pouco afastada do Equador como, por exemplo, no Sul de nosso país, se registrarmos durante um ano o número de horas de claridade diária perceberemos que os dados obtidos podem ser ajustados por uma função trigonométrica, isto é, que a quantidade de horas de claridade diária varia periodicamente em função

do tempo. A equação a seguir traduz essa situação para determinada localidade, que chamaremos cidade b. N=

2πx 35 7 + ∙ sen 365 3 3

 

A variável x dessa equação corresponde ao número de dias contados a partir do dia 23 de setembro, dia que marca o início da primavera no Hemisfério Sul, dia esse chamado equinó2πx é medido em cio de primavera. O arco 365 radianos e N é a quantidade de horas de claridade diária. Assim, no dia 23 de setembro, x = 0 e o valor de n pode ser assim obtido: N=



2πx . 0 35 7 + ∙ sen 365 3 3

=

35 7 35 + ∙ sen0 = ≅ 11,7 horas 3 3 3 Como era de se esperar, nos dias de equinócio o número de horas de claridade é próximo da metade da duração de um dia. a) Qual é o número aproximado de horas diárias de insolação da cidade b no dia 21 de dezembro, dia de solstício, que marca a entrada do verão no Hemisfério Sul? Adotando x = 90 correspondente ao número de dias do período, têm-se:





2π . 90 35 7 N = 3 + 3 ∙ sen 365 . Aproximando 35 7 π 365 ≅ 4 . 90, têm-se:N = 3 + 3 ∙ sen . 2 Portanto, N ≅ 14 horas.

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b) Qual é o número de horas diárias de insolação da cidade b no dia 21 de junho, solstício de inverno no Hemisfério Sul? Adotando x = – 90, visto que junho antecede setembro em três meses, e adotando a simplificação realizada no item anterior, têm-se: N=

π 35 7 + ∙ sen – = 2 3 3

 

35 7 28 + ∙ (–1) = ≅ 9,3 horas 3 3 3 c) De posse de uma tabela trigonométrica, ou de uma calculadora científica, determine os dias do ano em que o número de horas de claridade na cidade b seja igual a 13 horas. 35 7 13 = 3 + 3 ∙ sen sen



2πx 365



2π  365 ⇒

4 = 7 ≅ 0,6

Precisamos responder: qual é o arco, em radianos, cujo seno é igual a 0,6? A resposta, de acordo com a calculadora cien2πx ≅ 0,64 ⇒ 365 x ≅ 37,2 dias. Para encontrar o dia desejado precisamos contar 37 dias a partir de 23 de setembro. Feito isso, obteremos 30 de outubro.

tífica, é 0,64. Assim,

Atividade 2 A periodicidade da pressão sanguínea O gráfico a seguir representa a variação da pressão (P, em milímetros de mercúrio, mmHg) nas paredes dos vasos sanguíneos em função do instante (t, em segundos) em que a medida da pressão foi realizada.

P 120 100 80 t

0,375 0,75 1,125 1,5 1,875 2,25

Ao observar que a imagem da função é o intervalo [80, 120], que a amplitude é 20 e 3 que o período é 0,75 = , podemos escrever a 4 equação da função: 8πt P(t) = 100 – 20 . cos 3





a) Calcule a medida da pressão no instante 2 segundos. Aproximadamente 110 mmHg. b) Quais são os instantes de tempo entre 0 e 1 segundo em que a pressão sanguínea é igual a 100 mmHg? P(t) = 100 – 20 . cos



8πt 3

 = 100 ⇒

8πt 8π =0⇒ = π = kπ ⇒ 3 3 2 3 + 6.k t = 16 , k ∈ Z. Os possíveis valores de k, neste caso, são 0, 1 e 2, de modo que os valores de t serão: 3 9 15 , e segundos. 16 16 16 cos





Atividade 3 A temperatura pode ser periódica? A temperatura de determinada localidade varia periodicamente, como, em geral, ocorre em muitos lugares durante certas épocas do ano. Ao observar e anotar os valores de

temperatura dia a dia nesse local, percebe-se que é possível modelar a variação por meio da seguinte função trigonométrica: T = 50 . sen



2π (t – 101) 360



A temperatura do dia 11 de maio, por exemplo, 131 dias após 1º- de janeiro, pode ser assim prevista: T = 50 . sen 2π (131 – 101) + 7 360



π 2π . 30 + 7 = 50 . sen + 7. 6 360 1 π Uma vez que sen = , temos que 2 6 1 T = 50 . + 7 = 32 ºF. 2 T = 50 . sen





lembrando que a conversão entre ºC e ºF é feita de acordo com a expressão: T(ºF) = 1,8.T(ºC) + 32 32 = 1,8.T(ºC) + 32 ⇒ T(ºC) = 0º A cidade em que a temperatura diária obedece a essa equação deve estar bem afastada da linha do Equador, uma vez que 11 de maio é dia de outono no Hemisfério Sul e de primavera no hemisfério Norte, não sendo comuns, nessa época, temperaturas tão baixas em cidades próximas ao Equador. a) Qual é a temperatura da referida cidade, em ºC, em 26 de maio, 15 dias adiante da data do exemplo comentado anteriormente?

T = 50. sen

Nessa equação, o tempo t é dado em dias, t = 0 corresponde ao 1º- dia de janeiro, e a temperatura t é medida na escala Fahrenheit.



(lembre-se que sen45º =



T = 50 . sen T (ºC) =

2 ≅ 0,7). 2



2π(146 – 101) +7 360 π 4 + 7 ⇒ T ≅ 42 ºF e

 

10 ≅ 5,5 ºC 1,8

b) Qual é a máxima temperatura dessa cidade? Em qual dia do ano ela ocorre? A temperatura máxima ocorrerá quando o valor do seno for máximo, isto é, for igual a 1. Portanto, a temperatura máxima será 57 ºF, 25 ou ≅ 14 ºC. Para que o valor do seno seja 1,8 igual a 1 é preciso que o arco seja igual a π rad. 2 π ⇒ t = 191 dias. Assim, 2π(t – 101) = 2 360 Portanto, a temperatura máxima da cidade será de 14 ºC, 191 dias após 1º- de janeiro, isto é, por volta de 10 de julho. Esses dados nos mostram que a cidade está localizada em um país do Hemisfério Norte, em latitude alta, como, por exemplo, Finlândia ou Noruega.

Atividade 4 o fenômeno das marés A conjugação da atração gravitacional entre os corpos do sistema Terra-lua-Sol e a rotação da Terra em torno de seu eixo são os principais fatores responsáveis pela ocorrência do fenômeno das marés, no qual as águas do mar atingem limites máximos e mínimos com determinada regularidade.

As atrações gravitacionais do Sol e da lua sobre a Terra causam, em geral, duas marés altas por dia em cada ponto da Terra, separadas por cerca de 12 horas. De fato, se for observada uma maré alta às 10 horas da manhã, por exemplo, a próxima maré alta, no mesmo ponto, ocorrerá por volta de 22h12, ou seja, cerca de 12 minutos além das 12 horas de diferença. A lua, por estar muito mais perto da Terra que o Sol, tem a maior influência sobre as marés, como representado na figura a seguir:

Lua

Sol Atração lunar Atração solar

No entanto, quando o Sol e a lua se alinham com a Terra, nas condições de lua cheia ou de lua nova, as atrações dos dois astros se somam e são observadas as marés mais altas entre todas. O subir e o descer das marés é registrado por uma medida de comprimento, relativa às alturas, máxima e mínima, que a água atinge em relação a um valor médio. Em um intervalo aproximado de 12 horas, a altura máxima corresponde à maré cheia e a altura mínima à maré baixa. Vários sites divulgam dados das alturas das marés baixa e alta a cada dia e em cada porto, como neste exemplo:

data dom 02/03/08

Seg 03/03/08

ter 04/03/08

Horário 00:21 08:15 12:56 18:02 00:56 07:45 13:23 18:47 01:30 07:45 13:54 19:26

Altura (m) 1,1 0,7 1,1 0,4 1,3 0,7 1,2 0,3 1,4 0,6 1,4 0,1

Trecho da tábua de marés do porto de Santos, em março de 2008.

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

"Esta publicação não substitui as "TÁBUAS DAS MARÉS:, editadas pela DHN." "As tábuas de previsão de marés constantes desta publicação foram cedidas pela Diretoria de Hidrografia e Navegação e reproduzidas mediante autorização"; "Esta publicação não substitui as "TÁBUAS DAS MARÉS", editadas pela DHN, mencionada no item 0240 das Normas para Embarcações Empregadas na Navegação de Mar Aberto (NORMAN-01/DPC)". Publicação para distribuição gratuita. Não pode ser vendida.

Observa-se, por exemplo, que no dia 02 as marés altas alcançaram 1,1 m enquanto as marés baixas mediram 0,7 m e 0,4 m. Notase também que a maré alta do dia 03 (1,3 m) foi de maior amplitude que a do dia anterior (1,1 m), e de menor amplitude que a maré alta do dia seguinte. (1,4 m). Assim, a amplitude da maré alta aumenta com a passagem dos dias representados na tábua. Escolhido um porto e um período, e selecionadas as alturas, em metros, das marés altas, e apenas delas, organizadamente e de acordo com a ordem de observação, é possível

desenhar um gráfico que reflita a periodicidade e que possa ser modelado por uma função trigonométrica. Observe, por exemplo, o gráfico do porto do Recife durante um período de dois meses. No eixo horizontal estão assinalados os números de observações, cujo valor máximo chega próximo de 120, o que é razoável visto que ocorrem, em média, duas marés altas por dia, e o período do gráfico compreende 2 meses.

igual a 13 dias. Assim, a constante 2π . B= 13 Tábua de marés - Recife agosto/setembro 2004

altura (m) 2,5 2 1,5

Tábua de marés - Recife agosto/setembro 2004

altura (m) 2,5

Como, em média, são duas observações por dia, o período do gráfico, em dias, é aproximadamente

51 – 25

0,5 0

1 11

71 81

91 101 111

1,5 1 0,5 0

1 11

71 81

91 101 111

Podemos obter a equação desse gráfico, do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas simplificações:

b) Qual será a altura da maré no 39º- dia de observação?

f adotar que o gráfico é uma senoide.

1,8 m.

f traçar uma linha horizontal para identificar a constante C da equação. No caso, C ≅ 1,8.

c) Quais serão os dias em que a maré alta atingirá 2,05 m de altura?

f identificar o valor da amplitude A ≅ 0,5.

2,05 = 1,8 + 0,5sen

f deslocar a origem do sistema para o ponto de observação nº- 25, de maneira que todos os demais valores de observação passem a ser subtraídos de 25. f identificar o período do gráfico, correspondente, nesse caso, a 26 observações.

a) De acordo com as simplificações realizadas, qual é a equação da função que pode ser representada por esse gráfico? 2π t, com t em dias e y em y = 1,8 + 0,5sen 13 metros.

2π 2π t ⇒ sen t = 0,5 13 13

⇒

2π π t= + 2kπ 13 6

2π 5π t= + 2kπ . (Isolando t, tem-se: 13 6

13 65 + 13k, ou t = + 13k. Atribuindo 12 12

Matemática – 2ª- série, 1o bimestre

valores naturais para k, obtém-se os valores de t no intervalo que se desejar.)

Considerações sobre a avaliação A escala apropriada para o desenvolvimento de cada conteúdo só pode ser devidamente indicada pelo professor na articulação entre o conhecimento que tem sobre sua turma de alunos e o respeito a seu projeto de ensino. De forma semelhante, entendemos que, nas diferentes etapas de avaliação, deve ser levada em conta a pertinência de instrumentos, o percurso estabelecido e os conteúdos abordados. Vale destacar que, dada a relevância de determinados conceitos é importante que estes tenham sua compreensão avaliada em vários momentos. No entanto, apesar da variedade de formas e conteúdos, algumas premissas precisam ser adotadas. Como ponto de partida, convém buscar resposta a duas questões de suma importância: f Quais as principais habilidades que devem ser avaliadas? f Quais instrumentos podem avaliar as habilidades selecionadas? Com relação à primeira questão, referente às principais habilidades que os alunos precisam mobilizar para serem avaliados, é necessário que eles consigam: f Identificar a posição da extremidade final dos arcos notáveis na circunferência, associando-os aos correspondentes valores de senos, cossenos, tangentes e cotangentes.

f Obter a menor determinação positiva de arcos medidos em radianos ou em graus. f Representar os gráficos das funções trigonométricas e reconhecer suas propriedades. f Determinar o conjunto solução de equações ou de inequações trigonométricas, mesmo daquelas envolvidas por contextos não apenas matemáticos. No processo de avaliação sugere-se que o professor utilize diferentes instrumentos de forma que o quadro final da avaliação retrate tanto as características do trabalho realizado como as diversas competências que cada um de seus alunos consegue ou não mobilizar no enfrentamento de situações-problema de trigonometria. Dessa forma, é possível considerar que: a) uma atividade avaliativa individual deve ser realizada com o objetivo de permitir que os alunos busquem e discorram sobre situações do cotidiano em que se observa claramente a periodicidade. b) as atividades desenvolvidas em sala de aula, cumpridas em grupos ou individualmente, devem ser avaliadas continuamente, a fim de compor um quadro que considere todos os passos do processo de construção conceitual. Algumas vezes, portanto, avalia-se não só o que foi “feito” pelo aluno mas, com maior ênfase, seu processo de trabalho. c) todas as atividades aplicadas para os alunos poderão ser resolvidas em duplas ou trios, cabendo ao professor acompanhar

as equipes durante a realização, sanando dúvidas e eliminando dificuldades. Ao final, todos os alunos podem entregar sua produção para que o professor as comente e avalie. d) Resolver equações trigonométricas é uma habilidade esperada dos alunos ao fim do estudo. Cabe ao professor definir quais tipos de equações vão exigir resolução, de acordo com aquilo que apresentou e discutiu anteriormente. No entanto, vale salientar a importância de que algumas dessas equações sejam apresentadas e

resolvidas com base em situações do cotidiano, como é o caso das equações que compõem esta Situação de Aprendizagem, e que, posteriormente, passem a compor instrumentos de avaliação objetiva. livros didáticos contêm, via de regra, uma série de equações trigonométricas para os alunos resolverem. Estas séries são indicadas especialmente para os alunos que, por algum motivo, não tenham conseguido se apropriar do conhecimento desejado durante a realização da Situação de Aprendizagem.

ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO Acreditamos que a quase totalidade dos alunos conseguirá atingir os objetivos traçados na Situação de Aprendizagem 1, dispensando, dessa forma, a necessidade de elaboração de um longo processo de recuperação. Todavia, se alguns alunos anunciarem qualquer dificuldade na compreensão esperada, o professor poderá estimulá-los com a observação de outros experimentos periódicos como, por exemplo, a distensão de uma mola em que foi pendurada determinada massa, de acordo com a ilustração seguinte.

posição "mínima" posição "neutra" posição "máxima"

Para os alunos que, por algum motivo, não atinjam o nível de desempenho esperado nas avaliações propostas na Situação de Aprendizagem 2, o professor, a fim de auxiliá-los em sua recuperação, poderá adotar a seguinte rotina: f orientar os alunos para a construção de nova circunferência trigonométrica, na qual as extremidades finais dos arcos sejam assinaladas em graus e também em radianos. f construir, mais uma vez, os gráficos das funções y = senx e y = cosx, os dois em um único sistema de eixos cartesianos. f discutir novamente com os alunos sobre a conversão de medidas de arcos de graus para radianos e vice-versa.

f preparar lista de exercícios para que os alunos calculem a menor determinação de alguns arcos. f solicitar que os alunos resolvam algumas equações trigonométricas simples, do tipo senx = k ou cosx = m, e que as resoluções algumas vezes envolvam apenas o observar da posição dos arcos na circunferência, e, em outras, que sejam representadas nos gráficos cartesianos das funções.

Com relação às duas últimas Situações de Aprendizagem, sugerimos que o professor oriente os alunos que não tenham desenvolvido o conhecimento desejado, e que necessitem se recuperar, a resolver novamente alguns dos exercícios propostos de forma a mostrarem respostas diferentes das apresentadas anteriormente, sobretudo nos casos de respostas redigidas em língua materna. Além disso, havendo possibilidade, os alunos poderão destinar algum tempo extra para desenhar gráficos com o auxílio de um software.

RecuRsos paRa ampliaR a peRspectiva do pRoFessoR e do aluno paRa a compReensão do tema Caso o professor julgue necessário aprofundar o estudo de alguns dos temas apresentados neste Caderno, sugerimos a leitura dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM), da Sociedade Brasileira de Matemática: Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas, de Elon lages lima, RPM, nº- 6. Nesse artigo, o professor Elon discorre sobre abordagens conceituais para alguns tópicos de conteúdo do Ensino Médio, entre eles, a Trigonometria e a periodicidade. Ensinando Trigonometria através da imagem, de Abdala Gannam, RPM, nº- 9.

Funções Trigonométricas e leis da Trigonometria, de Wu-yi-Hsiang, RPM, nº- 23. Seno de 30 é um meio?, de Renate G. Watanabe, RPM, nº- 30. Além desses artigos, sugerimos ainda a leitura das publicações do professor Elon lages lima, pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), dentre os quais destacamos: f Coordenadas no Plano. f Meu professor de Matemática.

consideRações Finais Apresentamos neste Caderno uma proposta de desenvolvimento para os conteúdos de trigonometria que prioriza o reconhecimento da periodicidade. De fato, como comentado na apresentação inicial das Situações de Aprendizagem, o grupo das funções trigonométricas é um dos mais importantes entre aqueles que mostramos aos alunos no Ensino Médio, embora muitas vezes não seja contextualizado com a devida atenção. Afinal, há uma série bastante grande de fenômenos naturais modelados por funções trigonométricas, e apesar de apresentarmos algumas delas durante os diversos exercícios, de forma alguma esgotamos o rol possível (batimento cardíaco, movimentos eletrônicos, etc.). Enfatizamos a possibilidade real de abordar o estudo da trigonometria do ponto de vista que aqui apresentamos, dada a variedade

surpreendente de significados que podemos, com essa postura, agregar aos conceitos tratados. Não abordamos neste Caderno, por exclusiva escolha de prioridades, alguns aspectos que merecem também destaque no planejamento didático-pedagógico do professor, como, por exemplo, os gráficos e as equações envolvendo tangente e cotangente, e algumas transformações trigonométricas, especialmente a adição de arcos. Para que se tenha uma ideia mais nítida das múltiplas inter-relações entre os diversos conteúdos aqui tratados, apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática de todas as séries do Ensino Médio, destacando-se com um sombreado os conteúdos de outras séries e de outros bimestres diretamente relacionados com os conteúdos apresentados neste bimestre da 2ª- série.

conteúdos de matemática poR séRie/bimestRe do

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

ensino médio 1a série

2a série

3a série

NÚMEROS E SEQUÊNCIAS - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.

TRIGONOMETRIA - Arcos e ângulos; graus e radianos. - Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente. - Funções trigonométricas e fenômenos periódicos. - Equações e inequações trigonométricas. - Adição de arcos.

GEOMETRIA ANAlÍTICA - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares. - Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

FUNçÕES - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função do 1o grau, função do 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

MATRIzES, DETERMINANTES E SISTEMAS lINEARES - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

EQUAçÕES AlGÉBRICAS, POlINÔMIOS, COMPlEXOS - Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa. - Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial. - Polinômios: identidade, divisão por x - k e redução no grau de uma equação. - Números complexos: significado geométrico das operações.

FUNçÕES EXPONENCIAl E lOGARÍTMICA - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes contextos. - Função logarítmica: equações e inequações simples.

ANÁlISE COMBINATÓRIA E PROBABIlIDADE - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Arranjos, combinações e permutações. - Probabilidades; probabilidade condicional. - Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.

ESTUDO DAS FUNçÕES - Panorama das funções já estudadas: principais propriedades. - Gráficos: funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação. - Composição: translações, reflexões, inversões.

GEOMETRIATRIGONOMETRIA - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação de superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAl - Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas. - Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas. - Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas. - A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

ESTATÍSTICA - Cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio-padrão. - Elementos de amostragem.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.