MATEMATICA_CP_2s_Vol3reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino médio

2ª- SÉRIE

volume 3 – 2009

matemática

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design (projeto gráfico) APOIO

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-361-5 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

Caras professoras e caros professores,

Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor. Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno. Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para promover mais aprendizagem aos alunos. A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho. Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Probabilidade e proporcionalidade: no início era o jogo... 12 Situação de Aprendizagem 2 – Análise combinatória: raciocínios aditivo e multiplicativo 23 Situação de Aprendizagem 3 – Probabilidades e raciocínio combinatório Situação de Aprendizagem 4 – Probabilidades e raciocínio combinatório: o Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal 43 Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 52 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA

CURRiCUlAR PARA O EStAdO

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas após a implantação da Proposta. É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado. Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, professor! O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com bons resultados. Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.

Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA dO CAdERnO Análise combinatória e probabilidades

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Médio

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

Probabilidades – aplicações do cálculo proporcional Raciocínio combinatório: princípios aditivo e multiplicativo Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal

ORiEntAÇãO gERAl SObRE OS CAdERnOS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordá-los, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemáticas, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma delas contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor,

em sua circunstância particular, levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação na sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas pelo professor com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é a de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas que foram oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais de apoio (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem ainda o Caderno algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

Matemática – 2ª- série – Volume 3

Conteúdos básicos do bimestre Os conteúdos pertinentes à análise combinatória e ao cálculo de probabilidades, selecionados para serem desenvolvidos no 3o bimestre da 2a série do Ensino Médio, costumam trazer desconforto não apenas aos estudantes, mas também aos professores. Parece difícil justificar esse fenômeno se pensarmos que o conjunto de ferramentas matemáticas necessárias para a resolução de praticamente 100% dos problemas é composto apenas das quatro operações com números naturais e de uma das principais ideias da fração: a da comparação entre a parte e o todo. O tratamento tradicional do tema parte da classificação dos problemas em grupos – permutação, arranjos, combinações – de acordo com determinado critério, na tentativa de facilitar a resolução a partir da aplicação de algumas fórmulas de cálculo. Se, por um lado, tal formalização permite agilizar a resolução de situações-padrão, por outro, dificulta o enfrentamento de situações-problema reais, com contextos e dificuldades inéditas. Dessa forma, um curso de Matemática que priorize a resolução de problemas como principal metodologia de aprendizado não pode se basear unicamente na classificação das situações em grupos determinados, sob pena de limitar por demais as estratégias de raciocínio que o estudante pode e deve mobilizar ao se confrontar com uma dificuldade real. Assim, como será explicitado nas Situações de Aprendizagem apresentadas para o tratamento do tema, propomos que a classificação e o formalismo

tradicional sejam, inicialmente, relegados a um segundo plano e, apenas ao final, sejam, conforme a vontade do professor, realizados nos moldes conhecidos. O raciocínio combinatório e o cálculo de probabilidades são conceitos apresentados aos alunos desde as séries iniciais do segundo ciclo do Ensino Fundamental, etapa em que tais conceitos não costumam gerar qualquer dificuldade além das habituais para esse segmento de ensino. Dessa maneira, trata-se agora, no Ensino Médio, de partir dos conhecimentos e das habilidades anteriormente construídos e promover os aprofundamentos necessários. Com base nessa hipótese, propomos que a apresentação dos conteúdos do bimestre inicie-se com as probabilidades desprovidas de cálculo combinatório. Apresentar o cálculo de probabilidades sem a exigência de raciocínio combinatório significa priorizar o fato de que podemos expressar a chance de ocorrência de um evento por intermédio de uma razão entre dois valores, a parte e o todo. O numerador dessa razão coincide com o número de resultados esperados para o experimento, enquanto o denominador coincide com o número de resultados possíveis, todos eles considerados igualmente prováveis. Em uma classe de 40 alunos, se qualquer um tem uma chance em quarenta de ser sorteado, e todos sabem disso, precisamos apenas formalizar essa condição, que expressamos na língua materna por intermédio de uma fração, 1 , por uma porcentagem (2,5%), e também 40 por um número real maior que 0 e menor

que 1, nesse caso, 0,025. Nada disso, de fato, acarreta maiores dificuldades, visto se tratar de conhecimento que se incorporou ao senso comum. Cremos, portanto, que os alunos trazem na 2a série do Ensino Médio o terreno preparado para o estudo formalizado das probabilidades, desde que os casos a eles apresentados não envolvam, inicialmente, raciocínio combinatório. Diante dessas premissas, propomos a Situação de Aprendizagem 1 – Probabilidade e proporcionalidade: no início era o jogo..., na qual exploramos a noção teórica de probabilidade por intermédio de jogos pedagógicos, conforme a descrição apresentada mais adiante. Uma adição de n parcelas iguais a p pode ser representada pelo produto n . p. Muitas são as situações-problema que são resolvidas por intermédio de uma adição desse tipo. Outras adições, não formadas por parcelas iguais, também podem ser expressas por intermédio de um produto, como é o caso, por exemplo, de 5 + 4 + 3 + 2 + 1 que é igual a (6 . 5) ÷ 2 ou 15. Expressões desse tipo também podem explicitar a solução de uma situação-problema, nesse caso, por exemplo, o cálculo de número de grupos diferentes de duas pessoas formados a partir de 6 indivíduos. Problemas envolvendo raciocínio combinatório são, na maioria das vezes, resolvidos por intermédio de uma adição ou de uma multiplicação, embora quase sempre a escolha pela multiplicação seja a mais aconselhável, já que envolve raciocínio mais elaborado e eficiente. Perceber a existência das duas possibilidades apontadas para resolver um problema de análise combinatória e as vantagens de uma sobre a outra é, em suma, o objetivo principal da Situação de Aprendizagem 2 – Análise combinatória:

raciocínios aditivo e multiplicativo, na qual apresentamos e discutimos alguns encaminhamentos possíveis para um trabalho pedagógico nessa perspectiva. A solução de situações-problema envolvendo simultaneamente raciocínio combinatório e cálculo de probabilidades costuma acarretar dificuldades maiores do que aquelas em que se aplicam esses conteúdos de maneira independente. Dentre as diversas justificativas possíveis, podemos enunciar o fato de que as características conjuntas desses conteúdos impedem que os problemas sejam facilmente agrupados em tipos-padrão, de maneira que resolver um deles sempre passe pela mobilização da estratégia de raciocínio que o associa a algum anteriormente resolvido e compreendido, como ocorre, mais facilmente, com problemas de outros grupos de conteúdos matemáticos. Essa impossibilidade de padronização exige, mais do que em outros casos, que os alunos mobilizem diversas estratégias de raciocínio. Cabe, portanto, ao professor estimular a resolução de diversos problemas de análise combinatória e probabilidades com o foco voltado para o tipo de raciocínio exigido, em vez da clássica separação em problemas típicos, baseada no tipo de operação matemática envolvida. Na Situação de Aprendizagem 3 – Probabilidades e raciocínio combinatório, apresentamos uma possibilidade de abordagem desse tipo de problema com base no raciocínio que considera unicamente dois aspectos: a independência de dois ou mais eventos para os quais se quer calcular a probabilidade e as diferentes possibilidades de ordenação para sua ocorrência simultânea.

Matemática – 2ª- série – Volume 3

Um cálculo de probabilidades sempre está associado a um “sim” e a um “não”, ou a um “sucesso” e a um “fracasso”, sem, todavia, que esses aspectos sejam expressos por probabilidades iguais. Em outras palavras, nem sempre há 50% de chance para o “sim” e 50% para o “não”, como no caso da face observada no lançamento de uma moeda em que o “sim” pode ser coroa e o “não” pode ser cara. Para o comprador de um número de uma rifa, em um total de 200, o “sim” é 0,5% e o “não” é 99,5%. O que ocorre com o cálculo de probabilidades de eventos que se repetem n vezes sob as mesmas condições, isto é, situações em que “sim” ou “não” são esperados cada um, mais de uma vez, como no caso do lançamento de quatro dados com o objetivo de se conseguir duas vezes o número seis na face superior? A resolução desse tipo de

problema pode ser associada ao desenvolvimento de um binômio do tipo [(sim) + (não)]n, de modo que, assim procedendo, estamos atribuindo significado real à busca do termo geral do Binômio de Newton, bem como aos elementos das linhas do Triângulo de Pascal. Na Situação de Aprendizagem 4 – Probabilidades e raciocínio combinatório: o binômio de newton e o triângulo de Pascal, apresentamos uma proposta em que reforçamos a importância dos problemas de probabilidades que envolvem distribuição binomial como elemento fundamental para a compreensão dos demais casos. O bimestre, com base nas considerações anteriores, pode ser organizado nas seguintes oito unidades, correspondendo, aproximadamente, a oito semanas:

Quadro geral de conteúdos do 3o bimestre da 2a série do Ensino Médio Unidade 1 – Probabilidades em situações que não exigem raciocínio combinatório – reunião e interseção de eventos; probabilidade condicional. Unidade 2 – Combinatória: raciocínios aditivo e multiplicativo. Unidade 3 – Combinatória: agrupamentos ordenados – Arranjos simples. Unidade 4 – Combinatória: agrupamentos não ordenados – Combinações. Unidades 5 e 6 – Probabilidades em situações que exigem aplicação do raciocínio combinatório. Unidades 7 e 8 – Distribuição binomial de probabilidades: o Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal.

SitUAÇõES dE APREndizAgEM SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 1 PROBABIlIDADE E PROPORCIONAlIDADE: NO INíCIO ERA O jOgO... A origem organizada do estudo das probabilidades remonta à correspondência trocada entre os matemáticos Blaise Pascal e Pierre de Fermat, que viveram no século XVII, na qual discutiam as chances associadas aos jogos de azar, notadamente aos jogos envolvendo baralhos. Pode-se afirmar que, por muitos anos anteriores ao século XIX, o cálculo das probabilidades foi utilizado apenas para prever as chances de determinada aposta sair vencedora em algum jogo. As descobertas da Física,

notadamente da Mecânica Quântica, conduziram o estudo das probabilidades a um novo patamar, no qual algumas ocorrências, no mundo do muito pequeno, podem apenas ser previstas com determinada margem de segurança. Todavia, apesar das inúmeras aplicações atuais do cálculo de probabilidades nos mais diversos ramos do conhecimento, como na Economia e na Medicina, não há exagero em associá-lo diretamente aos eventos de um jogo de azar, se queremos, de fato, respeitar suas origens.

tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: probabilidade simples, sem necessidade de raciocínio combinatório. Competências e habilidades: interpretar informações fornecidas por intermédio de diferentes linguagens, com o objetivo de calcular e associar um valor de probabilidade a uma situação-problema. Estratégias: proposição de jogos pedagógicos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 A proposta da Situação de Aprendizagem 1 parte das seguintes premissas: f o desenvolvimento da teoria sobre o cálculo de probabilidades esteve diretamente associado aos jogos de azar;

f quando os eventos para os quais se deseja calcular a probabilidade de ocorrência não envolvem raciocínio combinatório, a fração que expressa a probabilidade pode ser entendida como uma razão entre a parte e o todo, ideia essa com a qual os alunos convivem desde os primeiros anos do segundo ciclo do Ensino Fundamental;

Matemática – 2ª- série – Volume 3

f a probabilidade de ocorrência de dois ou mais eventos pode ser calculada, em vários casos, pela multiplicação das probabilidades de ocorrência de cada um dos eventos; f convém desvincular, inicialmente, os conceitos associados ao cálculo das probabilidades daqueles associados aos problemas de contagem envolvendo raciocínio combinatório; f o cálculo das probabilidades associadas à ocorrência de eventos em jogos pedagógicos é quase intuitivamente realizado por crianças e adolescentes, tratando-se, dessa maneira, de processo de formalização de conhecimentos pré-adquiridos, com vistas à posterior extrapolação. Para contemplar essas premissas, propomos, nesta Situação de Aprendizagem, duas atividades com características bem diferentes. A primeira delas consiste em uma reconstituição “infiel” de um momento da história, em que um determinado problema tomou a atenção dos matemáticos, e a segunda atividade é de fato um jogo pedagógico, descrito adiante, que não exige fundamentação teórica anterior por parte dos alunos e que, de certa forma, prepara o terreno para a formalização conceitual necessária, nesse caso, posterior à realização do jogo. Sugerimos ao professor que utilize uma semana de seu curso para a discussão do cálculo de probabilidades que não exigem raciocínio combinatório. Não é aconselhável, nesse momento, que os alunos se dediquem

à resolução de problemas com maior grau de dificuldade do que os tipos que compõem esta Situação de Aprendizagem.

Atividade 1 – Uma narrativa e um problema de probabilidades Um dos problemas apresentados e discutidos na correspondência entre os matemáticos do século XVII foi o “problema do jogo interrompido”, no qual se questionava sobre a divisão justa de um prêmio, no caso de um determinado jogo não chegar ao fim. Como dividir com justiça, por exemplo, um prêmio X entre dois competidores A e b que disputam uma partida interrompida quando o placar apontava 2 × 0 para o competidor A, se de acordo com a regra inicial, levaria o prêmio total o competidor que vencesse primeiro 3 partidas? Quanto de X deve, nesse caso, caber a cada jogador? A fica com tudo? 1 b fica com de X e A com 2 de X? 3 3 Para introduzir o cálculo das probabilidades, o professor pode propor a seus alunos, durante uma aula de 50 minutos, situação semelhante à histórica, aproveitando o momento para compor uma narrativa interessante sobre o tema. Nesse sentido, o professor poderá contar aos alunos sobre um amigo que presenciou uma partida de tênis programada para cinco sets, em que o vencedor ganharia 40 pontos no ranking da confederação. Um dos jogadores precisaria vencer primeiro três sets para ganhar o jogo. Entretanto, relatou o amigo, a partida foi interrompida pela chuva no momento em que terminava o terceiro set, com o placar apontando dois sets para o jogador A e um

set para o jogador b. Para piorar a situação, o tal jogo estava sendo disputado no último dia possível daquele ano, por volta de 30 de dezembro. O que fazer se um ou outro jogador pudesse vir a se consagrar o número 1 do mundo dependendo do número de pontos que conseguisse naquele último jogo do ano? Os organizadores do torneio se reuniram às pressas e decidiram que os

40 pontos seriam divididos entre os dois jogadores proporcionalmente à probabilidade que cada um teria de sair vencedor, caso a partida chegasse ao final. Feito o relato, o professor propõe que os alunos opinem sobre o destino dos 40 pontos e, depois de algum tempo, apresenta a seguinte solução:

1o set

2o set

3o set

4o set (não ocorreu)

A vence: (1 × 0)

b vence: (1 × 1)

A vence: (2 × 1)

50% de chance de A vencer; o jogo acaba em 3 × 1

50% de b vencer; o jogo empata em 2 × 2 e continua

A análise da tabela mostra que as chances de A vencer são iguais a 75%, sendo 50% de chance no quarto set e 25% no quinto set. já o jogador b tem apenas 25% de chance de ganhar a partida no quinto set. Assim, os 40 pontos devem ser divididos: 30 pontos para A e 10 pontos para b, respeitando-se, dessa forma, a probabilidade de vitória de cada jogador. No Caderno do Aluno, há uma proposta de leitura e análise de texto em que se discutem alguns aspectos com o objetivo de facilitar o desenvolvimento dessa atividade.

5o set (não ocorreu)

Se A vencer, 3 × 2. Chance de 50% de 50%, ou 25% para A Se b vencer, 2 × 3. Chance de 50% de 50%, ou 25% para b

Ao final da discussão sobre esse “acontecimento”, o professor pode propor que os alunos reflitam sobre uma situação semelhante de um jogo programado para “melhor de 7”, isto é, um jogo que termina quando um dos participantes ganha primeiro quatro rodadas. Nesse caso, supondo dois participantes, A e b, qual será a probabilidade de vitória para cada um deles se o jogo for interrompido quando o placar apontar: a) 3 × 1 a favor de A? Observe a tabela a seguir:

Matemática – 2ª- série – Volume 3

5o set (não ocorreu)

1o set

2o set

3o set

4o set

A vence (1× 0)

A vence (2× 0)

B vence (2× 1)

A vence (3× 1)

6o set (não ocorreu)

7o set (não ocorreu)

50% de chance de A vencer (4× 1) Acaba o jogo 50% de chance de B vencer (3× 2)

25% de chance de A vencer (4× 2) Acaba o jogo 25% de chance de B vencer (3× 3)

Pela análise da tabela, A tem: 50% + 25% + 12,5% de chance de vencer, isto é, 87,5% de chance. b) 2 × 1 a favor de A? Representando a resolução de outra maneira, partindo do resultado até o momento, 2× 1 para A em três sets disputados:

12,5% de chance de A vencer 12,5% de chance de B vencer

A observação do esquema indica que as chances de A vencer são: 25% + 2 . (12,5%) + 3 . (6,25%) = 68,75% As chances de B são: 100% – 68,75% = 31,25% ou, pela adição das chances representadas no esquema, 12,5% + 3 . (6,25%) = 31,25%

Atividade 2 – lançando dois dados: um jogo e alguns cálculos de probabilidade

4×1

3×1 4×2 4×3

3×2 3×3

3×4 4×2 4×3

3×2 3×3

3×4

2×2 3×3

4×3

2×3 2×4

3×4

Nesta Situação de Aprendizagem, que deve abranger duas aulas consecutivas, propomos aproveitar a casualidade envolvida no lançamento de dois dados para motivar o estudo de alguns casos de probabilidade, por intermédio de um jogo pedagógico. 1 de 6 chance de ocorrência em um lançamento. lançando-se dois dados, são 36 as possibilidades de ocorrência de resultados nas duas Cada face de um dado comum tem

faces (dois lançamentos sucessivos ou dois dados diferentes); assim, cada par de faces tem 1 probabilidade de ocorrência de . Há uma 36 grande variedade de problemas associados ao lançamento de dados que podem ser explorados pelo professor para introduzir a definição teórica de que a probabilidade, em situações em que todas as ocorrências são igualmente prováveis, é a razão entre a parte e o todo, ou entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral:  n (E )   P ( E ) = n ( S )   No caso de dois dados diferentes, como no jogo sugerido a seguir, o número de elementos do espaço amostral é sempre igual a 36. Esse fato deve estimular o professor a postergar para o final do jogo qualquer teorização, visto que os alunos conseguem calcular a probabilidade

apenas a partir do raciocínio proporcional que trazem dos anos anteriores. No entanto, tal formalização precisa ser realizada a fim de que outros casos, além do lançamento de dados, possam ser analisados na sequência dos estudos.

Descrição do jogo e instruções para a aplicação 1) Material do jogo (para cada grupo de 4 alunos). f Dois dados; um deles com as faces contendo os números ímpares pintados de azul, e os pares de vermelho; e o outro com as faces contendo os números pares pintados de azul, e os ímpares de vermelho. f Duas fichas de acompanhamento, uma para cada dupla de alunos, semelhante ao modelo seguinte, que poderá ser reproduzido pelos alunos em seu caderno.

Ficha de acompanhamento Rodada

Apostas

Probabilidade

Resultado

débito/Crédito

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 total ...................................

Matemática – 2ª- série – Volume 3

f Um tabuleiro, semelhante ao modelo seguinte, que pode ser produzido pelos alunos ou disponibilizado pelo professor.

AnEXO – nível 2 Número par e outro ímpar

JOgO báSiCO – nível 1

Números iguais nos dois dados

Números pares Número primo nos 2 dados nos dois dados

Números cujo produto é par

Números cuja soma é 6

Números cuja soma é 5

Números que estão em Q1

Número par em um dado

Números cuja soma é maior que 8

VERMElhO

Número 6 em um dos dados

Números cujo produto é ímpar

VERdE

Um número é o dobro do outro

Números primos entre si

AzUl

2) instruções para o jogo – nível 1 A classe deve estar dividida em grupos de quatro alunos cada. A competição, em cada grupo, ocorrerá na forma de dupla contra dupla. Cada dupla recebe uma ficha de acompanhamento para o registro das apostas. Neste nível, as duplas podem apostar apenas nos

eventos relacionados no tabuleiro na parte “jogo Básico”. Antes que algum participante lance os dados, cada dupla escolhe um evento, apenas um, registra sua aposta na ficha de acompanhamento e, o mais importante, registra a probabilidade de ocorrência do evento escolhido. Veja o exemplo a seguir:

Rodada

Aposta

Probabilidade

2 . Q2

9 1 = 36 4

Aposta de 2 fichas em Q2.

Resultado

débito/Crédito

Há 9 resultados possíveis em Q2 entre o total de 36 resultados possíveis.

Não tendo sido sorteado o evento escolhido, a dupla perde as fichas apostadas. Em caso de acerto, a probabilidade determina o número de fichas a serem recebidas. Veja os exemplos:

Feitos os registros, são lançados os dados e observados os resultados das faces superiores. O passo seguinte é o cálculo do crédito ou do débito, dependendo, respectivamente, de ter ocorrido ou não o evento escolhido.

Exemplo de derrota Rodada

Aposta

Probabilidade

Resultado

débito/Crédito

2 . Q2

9 1 = 36 4

(2; 5)

–2

O par (2; 5) pertence a Q1. Portanto, o evento selecionado não ocorreu.

A dupla perde as 2 fichas que apostou.

Exemplo de vitória Rodada

Aposta

Probabilidade

Resultado

débito/Crédito

2 . Q2

9 1 = 36 4

(1; 3)

O par (1; 3) pertence a Q2. Portanto, ocorreu o evento selecionado.

A dupla ganha 8 fichas no total, pois apostou 2 e a probabilidade foi de 1 para 4. Isto é, para cada ficha apostada obtêm-se 4 fichas.

Matemática – 2ª- série – Volume 3

Outro exemplo de vitória Rodada

Aposta

Probabilidade

Resultado

débito/Crédito

2 . Q2

9 1 = 36 4

(1; 3)

3 . (verde)

8 2 = 36 9

(6; 3)

+ 13,5

O par (6; 3) está associado a uma quadrícula de cor verde do tabuleiro. Portanto, ocorreu o evento selecionado.

As fichas obtidas por uma dupla, em cada rodada, precisam ser validadas pela dupla oponente, que somente o fará no caso de julgar correto o cálculo da probabilidade. Não é permitido à dupla escolher mais de uma vez cada evento. Após um determinado número de rodadas, combinado previamente pelas duplas, ou um prazo estabelecido pelo professor, contam-se as fichas. A dupla com maior número de fichas é a vencedora. 3) instruções para o jogo – nível 2 Repetem-se as instruções do nível 1, levando-se em conta, nessa fase, os eventos do Anexo – nível 2, que ampliam a diversidade dos cálculos das probabilidades. Nesse nível é permitido que as duplas criem eventos além daqueles do tabuleiro, como “pares da linha superior do tabuleiro” ou “apenas números azuis”.

A dupla ganha 13,5 fichas no total, pois apostou 3, e a probabilidade foi de 2 para 9. Isto é, para cada 2 fichas apostadas obtêm-se 9 fichas.

Vale repetir que após a realização dos dois jogos, será importante que o professor formalize a definição teórica de probabilidade em situações simples em que os eventos constituintes básicos ocorrem com chances iguais, como a razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. Além disso, o professor poderá propor aos alunos alguns exercícios sobre o tema, envolvendo outros contextos que não o dos jogos, com duplo objetivo. Por um lado, fixar o conceito que acabam de vivenciar no jogo e, por outro, preparar o terreno para a apresentação de problemas que exijam raciocínio combinatório. Problema 1 – Observe a tabela com as quantidades de peças de formatos e cores diferentes que foram colocadas em uma caixa.

triangulares

Circulares

Retangulares

total

brancas

Pretas

Amarelas

total

Sorteando uma das peças dessa caixa, qual é a probabilidade de que ocorra uma peça: a) triangular? 35 = 43,75% 80

19 = 23,75% 80 f) não circular e não preta? 28 = 35% 80

b) amarela retangular? 2 = 2,5% 80

Problema 2 – Os 200 alunos das seis classes da 2a série do Ensino Médio de uma escola fizeram um teste na aula de Educação Física e foram classificados em quatro níveis, de acordo com a resistência física maior ou menor. Alunos de nível 4 são mais resistentes do que alunos de nível 3, que, por sua vez, são mais resistentes que alunos de nível 2 e assim por diante. Os resultados desse teste estão representados na tabela seguinte:

c) não circular? 50 = 62,5% 80 d) não preta? 47 = 58,75% 80

e) circular não preta?

2ª- A

2ª- b

2ª- C

2ª- d

2ª- E

2ª- F

nível 1

nível 2

nível 3

nível 4

total de alunos

Matemática – 2ª- série – Volume 3

Um dos alunos da 2a série dessa escola será sorteado. Qual é a probabilidade de o aluno sorteado: a) estudar na 2 D?

Podemos organizar os dados em uma tabela: Idade

Meninos

Meninas

Total

Acima de 16 anos

(40%) 66

(20%) 27

16 anos ou menos

(60%) 99

(80%) 108

207

Total

(55%) 165

(45%) 135

300

32 = 16% 200 b) não estudar na 2a A nem na 2a B? 134 = 67 % 200 c) ter conseguido nível 3 no teste? 47 = 23,5% 200 d) ter conseguido nível abaixo de 3 no teste? 131 = 65,5% 200 Problema 3 – Em relação à tabela apresentada no problema anterior, se for sorteado um aluno da 2a série C e outro da 2a série E, de qual dessas classes é mais provável ocorrer um aluno com nível superior a 2 no teste? A probabilidade de que um aluno da 2a C tenha 10 nível superior a 2 é , enquanto a probabili33 dade correspondente para um aluno da 2a E é igual a 11 . Assim, é maior a chance de sortear 34 na 2a E um aluno com nível superior a 2. Problema 4 – Dos 300 alunos de uma escola, 45% são meninas, sendo que apenas 20% delas têm idade acima de 16 anos. Dentre os meninos, 40% têm idade acima de 16 anos. Sorteando um dos alunos dessa escola, qual é a probabilidade de que seja sorteado um menino com idade igual ou menor que 16 anos?

Há nessa escola 99 meninos com idade menor ou igual a 16 anos. Assim, a probabilida99 = 33%. de procurada é 300 Problema 5 – Em relação aos dados do problema anterior, considere agora o caso do sorteio de uma pessoa que, se sabe de antemão, terá idade acima de 16 anos. Nessa condição, qual é a probabilidade de que seja sorteada uma menina? Trata-se de um problema envolvendo o cálculo de uma probabilidade condicional. Cabe ao professor chamar a atenção dos alunos para o fato de que o conhecimento prévio de uma condição – ter idade acima de 16 anos – determina um novo espaço amostral. Para o cálculo da probabilidade desejada, devemos considerar o sorteio de uma menina dentre as pessoas com idade superior a 16 anos. Quantidade de pessoas com idade superior a 16 anos: 93. Meninas com idade superior a 16 anos: 27. P(menina com idade superior a 16 anos) = 27 ≅ 29% . = 93

Sugerimos que o professor aborde outros problemas envolvendo probabilidade condicional, mantendo inicialmente o contexto dos dois últimos problemas, como:

Por fim, o professor poderá solicitar que seus alunos criem problemas, enunciando-os corretamente, para serem trocados, resolvidos e corrigidos por eles mesmos.

f Qual é a probabilidade de sortear um menino e ele ter 16 anos ou menos de idade?

Considerações sobre a avaliação

99 165 f Sorteada uma pessoa, verifica-se que tem idade superior a 16 anos. Qual é a probabilidade de ser um menino? 66 93 Em seguida, o professor poderá recuperar o contexto dos Problemas 1 e 2, elaborando outros problemas envolvendo probabilidade condicional, como estes: f (No Problema 1) – Sorteando uma das peças retangulares, qual é a probabilidade de ela ser amarela? 2 15 f (No Problema 2) – Um aluno foi sorteado e sabe-se que ele está no nível 2. Qual é a probabilidade de que ele estude na 2a C? 11 57

Os objetivos traçados inicialmente para esta Situação de Aprendizagem consistem no reconhecimento da probabilidade enquanto o resultado de uma relação entre quantidade de resultados esperados e quantidade de resultados possíveis, isto é, em uma relação do tipo parte-todo, representada por um número racional escrito na forma de uma razão, de um decimal ou de uma porcentagem. A aprendizagem dos alunos nessa etapa pode ser avaliada a partir de situações-problema semelhantes àquelas propostas na Situação de Aprendizagem (Problemas 1 a 5), que envolvem não apenas a escrita de uma razão, mas também a leitura e a compreensão de condições expressas por intermédio de enunciados mais elaborados ou por intermédio de dados registrados em tabelas de dupla entrada. Busca-se, dessa maneira, avaliar competências relacionadas à leitura e à escrita, utilizando-se, para tanto, contextos relativos à realização de experimentos aleatórios.

Matemática – 2ª- série – Volume 3

SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 2 ANálISE COMBINATóRIA: RACIOCíNIOS ADITIVO E MUlTIPlICATIVO tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: casos de agrupamento. Competências e habilidades: identificar em diferentes agrupamentos a necessidade ou não da ordenação entre seus elementos; interpretar informações fornecidas por intermédio de diferentes linguagens, com o objetivo de calcular e associar um valor de probabilidade a uma situação-problema. Estratégias: resolução de situações-problema exemplares.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 A análise combinatória trata dos problemas que envolvem a contagem de casos em situações de agrupamentos de determinado número de elementos, como calcular, por exemplo, quantos grupos diferentes de 3 pessoas podem ser formados a partir de 6 indivíduos disponíveis; quantos gabaritos diferentes podem ser feitos em uma prova do tipo teste com 10 questões e 5 alternativas cada, ou quantas filas diferentes podem ser formadas permutando a ordem entre 7 pessoas. Há infinitas possibilidades de agrupamentos, dependendo das condições a serem respeitadas pelos elementos do grupo formado. A infinidade de problemas envolvendo agrupamentos se contrapõe aos pouquíssimos recursos algébricos e aritméticos necessários

para sua resolução. De fato, 100% desses casos são resolvidos por intermédio de uma ou mais operações elementares entre números naturais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Elas exigem a mobilização de estratégias de raciocínio semelhantes, quase sempre envolvendo uma das principais ideias da operação de multiplicação, a saber, o raciocínio combinatório. Para calcular, por exemplo, quantos conjuntos de saia e blusa uma menina pode formar se ela dispõe de 4 saias e de 5 blusas, imaginamos que cada saia pode combinar-se com 5 blusas diferentes. Como são 4 saias, fazemos 4 . 5 = 20. Quando, no Ensino Fundamental, as crianças deparam com problemas dessa natureza, são convidadas a representar a solução por meio de uma árvore de possibilidades, que, de certa forma, faz transparecer a estratégia de raciocínio que mobilizam.

Blusa 1

Blusa 2 Saia 1 ou 2 ou 3 ou 4

Blusa 3

Blusa 4

Blusa 5 No Ensino Médio, no entanto, muitos cursos abandonam a ideia da representação da solução por meio das árvores e passam a priorizar a classificação dos problemas em alguns tipos – permutações, arranjos e combinações – que, segundo essa opção didática, podem ser resolvidos a partir da aplicação de fórmulas matemáticas. Consideramos que o ensino de análise combinatória e probabilidades a partir desse enfoque deixa de favorecer a diversidade de estratégias de resolução e, consequentemente, de percursos de aprendizagem uma vez que a representação da solução do problema por intermédio de desenhos e/ou diagramas e/ou tabelas é um dos comportamentos heurísticos reconhecidos como um dos mais importantes a serem mobilizados pelos estudantes quando enfrentam situações que são de fato problemas. Representar por desenhos a solução de um problema de Física ou de Química é algo tão corriqueiro que alunos e professores quase não se dão conta de que o estão fazendo todo o tempo.

Em Matemática, excetuando-se em alguns casos a geometria, poucos são os momentos em que os alunos são exigidos a mobilizar tais estratégias de raciocínio, sendo mais comum aplicar em novas situações os modelos anteriormente utilizados e que trazem à lembrança naquele momento. Se o resultado dessa busca por “problemas análogos anteriormente resolvidos” costuma dar bons resultados em vários tópicos de conteúdos matemáticos, é bastante inócuo para a resolução de problemas de análise combinatória, uma vez que, como citado anteriormente, a diversidade de critérios de agrupamento é tão grande que muitas vezes é impossível associar uma situação-problema atual a alguma categoria anteriormente construída. Com base nessas premissas, consideramos fundamental que os alunos encarem cada situação-problema desse conteúdo como se a estivessem fazendo pela primeira vez, de maneira que explicitem o raciocínio que adotam por intermédio de desenhos, diagramas, etc. Nesse contexto, a representação das árvores de possibilidades é prioridade, se não em 100% dos problemas, mas sempre que sentirem uma nova dificuldade. No Caderno do Aluno são propostos alguns problemas e exercícios para que os alunos possam utilizar diversos procedimentos e registros, sobretudo os diagramas de árvores para favorecer a consolidação de noções envolvidas na contagem e/ou cálculo de números de agrupamentos solicitados.

A adoção da representação das resoluções por intermédio das árvores ilustra os dois principais tipos de raciocínio envolvidos na totalidade dos

Matemática – 2ª- série – Volume 3

CAbO, CAOb, CbAO CbOA, CObA e COAb

problemas de análise combinatória: o raciocínio aditivo e o raciocínio multiplicativo. Consideremos o exemplo clássico da contagem do número de anagramas (agrupamentos formados pelas mesmas letras em diferentes ordens), de uma palavra sem letras repetidas.

Em seguida, imagina que o mesmo número de anagramas, 6 nesse caso, seria obtido para qualquer uma das demais 3 letras no início. Daí, pode-se fazer 6 + 6 + 6 + 6 ou, já em uma primeira aproximação ao raciocínio multiplicativo, fazer 4 . 6 = 24 anagramas.

CAbO A contagem individual dos casos é, de fato, o embrião do raciocínio aditivo, semelhante ao que um estudante realiza no processo de contagem que denominamos vulgarmente de “mais um”, em que ele adiciona uma unidade a um numeral com o objetivo de obter o próximo. Nessa situação, o aluno escreve todos os anagramas começando por uma das letras, C, por exemplo.

letra 1

É importante respeitar resoluções que utilizam prioritariamente o raciocínio aditivo, valorizando-as e, ao mesmo tempo, apresentar outra possibilidade que considera o raciocínio multiplicativo com a representação da árvore de possibilidades.

letra 2

letra 3

letra 4

Em resumo, julgamos importante valorizar resoluções que mobilizam apenas raciocínio aditivo e, partindo delas, extrapolar para resoluções que mobilizem o raciocínio multiplicativo. Nessa condição, a árvore de possibilidades é importante recurso a ser adotado durante o tempo que o professor e cada aluno julgarem necessário. A Situação de Aprendizagem 2, que ora propomos, parte dos princípios apontados anteriormente a respeito da importância da representação das resoluções com a utilização da árvore de possibilidades e, ainda, sobre a ineficácia da aplicação de fórmulas de cálculo para um grande número de problemas de agrupamentos. Assim, o que apresentamos nesta Situação de Aprendizagem é uma possibilidade de abordagem da análise combinatória que considera essas premissas, e que pode priorizar a principal metodologia para o tratamento de conteúdos matemáticos: a da resolução de problemas. O principal critério adotado para a apresentação dos conceitos será, nesta proposta, o fato de que há agrupamentos em que a ordem entre os elementos deve ser respeitada, e há agrupamentos em que a ordem dos elementos pode ser alterada, sem que isso conduza a um novo agrupamento. Classicamente, esses dois tipos correspondem, respectivamente, aos casos de arranjos e de combinações simples. Não julgamos importante que os alunos conheçam, de início, essa nomenclatura, mas que, em algum momento, a critério do professor, isso lhes seja apresentado.

Com base nesse critério, os dois primeiros tipos de problemas a serem apresentados aos alunos envolvem os modelos dos anagramas sem e com letras repetidas.

Atividade 1 – Formação de filas sem e com elementos repetidos A apresentação de problemas da categoria que denominamos “formação de filas”, ou seja, problemas que envolvem agrupamentos ordenados de elementos, tem duplo objetivo. Por um lado, reforçar a mobilização do raciocínio multiplicativo e, por outro, apresentar o número fatorial (n!) como o fator que nos dá a quantidade das diferentes ordenações em um agrupamento de n elementos. Para atingir esses objetivos, propomos que o professor apresente e discuta com seus alunos os seguintes problemas, utilizando a árvore de possibilidades quando julgar necessário. Problema 1 – Quantos anagramas diferentes podemos formar com as letras das palavras: a) BIA

b) NICO

c) lUCIA

d) CAMIlO

a) 3 . 2 . 1 = 6 b) 4 . 3 . 2 . 1 = 24 c) 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 d) 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 A apresentação de palavras com número crescente de letras estimula a indução de que o número de ordens de um agrupamento de n elementos é n!.

Matemática – 2ª- série – Volume 3

Problema 2 – Sete pessoas formarão ao acaso uma fila indiana. Em quantas ordenações diferentes poderá ser formada a fila? 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7! = 5 040 ordenações.

repetidos. Assim, por exemplo, no caso da palavra BANANA, o número de anagramas pode ser generalizado para a divisão entre 6!, correspondendo ao total de anagramas no caso de 6 letras não repetidas, dividido por

Nesse momento, será possível generalizar

2! devido à troca, que não deve ser contada,

que o número de ordenações em uma fila de

entre os “2Ns”, e ainda por 3! devido à tro-

n elementos é n!. Sugerimos que o professor,

ca, que não deve ser contada, entre os “3As”.

nesse mesmo exercício, proponha problemas

Discutidos esse e outros exemplos envolven-

com algumas características especiais de alguns

do anagramas que o professor julgar neces-

elementos, como, que Fulano ocupe sempre o

sário, propomos que o contexto seja alterado

primeiro lugar, que Fulano e Beltrano sempre

para a contagem de ordenações possíveis en-

estejam juntos, etc. Em seguida, feitas as gene-

volvendo pessoas em filas, como sugerido no

ralizações pertinentes, o caminho estará aberto

próximo exercício.

para que sejam discutidos os casos de ordenações contendo elementos repetidos, conforme propostas nos exercícios seguintes.

Problema 3 – Quantos anagramas podem ser formados com as letras das palavras: a) ANA

b) CASA

c) CABANA

d) BANANA

a) (3 . 2 . 1) ÷ 2 = 3 b) (4 . 3 . 2 . 1) ÷ 2 = 12 c) (6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) ÷ 6 = 120 d) [(6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) ÷ 2] ÷ 6 = = (6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1) ÷ 12 = 60 O professor deverá discutir com seus alu-

Problema 4 – Sete pessoas, sendo três meninas e quatro meninos, formarão uma fila. Desconsiderando a individualidade e considerando apenas o sexo dessas pessoas, quantas ordenações diferentes poderá ter a fila formada? Considerando a individualidade teremos 7! ordenações diferentes para filas formadas. No entanto, considerando a fila formada apenas por homens (H) e mulheres (M), teremos um caso semelhante ao do cálculo do total de anagramas de uma palavra de 7 letras com algumas repetidas, do tipo HHHHMMM, cujo total é o resultado da divisão de 7! pelo produto entre 4! e 3!. Assim o total de ordenações possíveis 7! = 35 . é 4! 3!

nos que o fatorial pode ser usado para generalizar a contagem das ordens e também para

A compreensão desse tipo de exercício é

descontar a troca de ordem entre elementos

fundamental para que, no futuro, o cálculo das

combinações de n elementos tomados p a cada vez possa ser apresentado sem sobressaltos. Assim, antes de evoluir nos conceitos, sugerimos que o professor apresente a seus alunos mais alguns problemas desse tipo, como os que se seguem.

Problema 5 – Um jogo de futebol entre duas equipes, A e B, terminou empatado em 3 × 3. Alguém que não assistiu ao jogo pretende descobrir a ordem em que ocorreram os gols. Será que A começou ganhando e B empatou? Será que B fez 3 × 0 e depois A tentou reverter a situação? Enfim, como foram saindo os gols nessa partida? Quantas ordenações possíveis existem para os gols que ocorreram nessa partida? Trata-se de um problema semelhante aos anteriores, em que devem ser contadas todas as ordenações diferentes de uma sequência do tipo AAABBB. O resultado pode assim 6! ser obtido: = 20. 3! 3! Problema 6 – Aplicando a propriedade distributiva e desenvolvendo o binômio (A + B)5, isto é, fazendo (A + B).(A + B).(A + B).(A + B). (A + B), aparecerá um termo igual a A5 e um termo igual a B5. No entanto, aparecerão vários termos com parte literal igual a A3B2, decorrentes da multiplicação entre 3 “As” de

qualquer dos 5 binômios por 2 “Bs”, também de qualquer dos 5 binômios. Quantos termos iguais com parte literal igual a A3B2 aparecerão? Temos de considerar todas as trocas de ordem entre os elementos de um agrupamento do tipo AAABB, o que pode ser obtido por: 5! = 10 . 3! 2!

Atividade 2 – Formação de grupos com elementos de uma ou mais categorias Estamos considerando “grupo de elementos” o tipo de agrupamento em que a troca de ordem entre seus elementos não conduz à formação de um agrupamento diferente. Em outras palavras, um grupo, nessa definição, é uma combinação de n elementos, tomados p a cada vez. Assim, distinguimos os dois grupos básicos de agrupamentos a partir do critério de serem ou não ordenáveis. Uma fila é um conjunto ordenado, enquanto um grupo normalmente não é. Estudado o caso do cálculo da quantidade de ordenações diferentes em uma fila com a introdução do fatorial, trataremos agora de analisar o caso da formação dos grupos não ordenáveis, partindo do cálculo da quantidade de grupos ordenáveis. Um problema clássico pode nos ajudar a pensar sobre o assunto: Quantos grupos diferentes de 3 pessoas podem ser formados a partir de um grupo de 7 pessoas?

Matemática – 2ª- série – Volume 3

1º- lugar

2º- lugar

3º- lugar 3 4

5 6 7 2 4

5 6 7 2 3

4 6 7 2 3

4 5 7 2 3

4 5 6

Para resolver esse problema, partimos do cálculo já conhecido dos alunos do número de filas de 3 elementos (conjuntos ordenáveis) que poderiam ser construídas a partir de 7 elementos disponíveis. Para tanto, representamos a resolução pela árvore seguinte, em que os elementos são identificáveis pelos algarismos de 1 a 7.

cada agrupamento. Assim procedendo, estaremos, ainda sem maiores formalizações algébricas, induzindo o raciocínio dos alunos para a relação entre os arranjos simples e as combinaA n ,p . Esta questão será esções, isto é, C n,p = p! pecialmente contemplada nos Problemas 7 e 8 desta Situação de Aprendizagem.

Espera-se que, nesse estágio, os alunos compreendam que o trecho da árvore apresenta 6 . 5 = 30 ordenações possíveis, todas iniciadas pelo elemento (1), e que outras tantas seriam obtidas se a ordenação começasse por qualquer dos demais 6 elementos. Assim, o total de ordenações, nesse caso, é igual a 7 . 6 . 5 = 210.

Com base nesses argumentos, apresentamos sugestões de algumas situações-problema para o professor trabalhar com seus alunos.

Calculada a quantidade de ordenações, as questões que se propõem são: Quantas dessas ordenações são formadas pelos mesmos 3 elementos? Considerando uma dessas ordenações, como (1), (2) e (3), quantas outras contêm esses mesmos elementos? Para responder, retomamos os problemas anteriormente resolvidos, mostrando que haverá 3! = 6 ordenações possíveis. Portanto, quaisquer 3 elementos que considerarmos dentre 7, permitirão 3! = 6 ordenações possíveis. Assim, se temos 7 . 6 . 5 conjuntos ordenáveis, temos (7 . 6 . 5) ÷ 3! conjuntos não ordenáveis, e a resposta do problema é 210 ÷ 6 = 35 grupos diferentes de 3 pessoas.

a) Quantos agrupamentos ordenáveis diferentes (filas) de 5 pessoas podem ser formados com essas 5 pessoas?

De acordo com a linha de raciocínio exposta, trata-se de abordar os problemas envolvendo as combinações segundo a lógica de primeiro calcular o número de arranjos – conjuntos ordenados – para em seguida descontar do valor obtido a troca de ordem entre os elementos de

Considerando um conjunto ordenável de elementos, teríamos 5 . 4 = 20 agrupamentos. Descontando a não ordenação implícita na formação de um grupo de pessoas, fazemos 5⋅4 = 10 grupos. 2

Problema 1 – Cinco pessoas, Arnaldo, Benedito, Carla, Débora e Eliane, estão juntas em uma sala.

5! = 120 agrupamentos. b) Quantos agrupamentos não ordenáveis diferentes (grupos) de 5 pessoas podem ser formados com essas 5 pessoas? Apenas 1 grupo, que pode ser entendido como o resultado obtido da divisão de 5!, da contagem da ordenação, por 5!, do desconto da não ordenação. c) Quantos grupos diferentes de 2 pessoas podem ser formados com as pessoas presentes na sala?

Matemática – 2ª- série – Volume 3

Convém discutir com os alunos o fato de que questões como essa, do item c, podem ser resolvidas também pela mobilização do raciocínio aditivo, muito embora essa não seja a forma mais recomendável. Nesse caso, o processo seria este: 3 1

2 4

f Conjuntos ordenáveis de 2 bolas brancas: 4 . 3 = 12 f Conjuntos não ordenáveis de 2 bolas brancas: 4 . 3 ÷ 2 = 6 f Conjuntos ordenáveis de 2 bolas pretas: 6 . 5 = 30 f Conjuntos não ordenáveis de 2 bolas pretas: 6 . 5 ÷ 2 = 15 f Conjuntos não ordenáveis de 2 bolas brancas e 2 bolas pretas: 6 . 15 = 90 conjuntos.

4 + 3 + 2 + 1 = 10

lembrando que a soma dos termos de uma progressão aritmética, semelhante à obtida pela aplicação do raciocínio aditivo nes( a + a n ) ⋅ n, te caso, pode ser calculada por 1 2 podemos mostrar aos alunos que a adição 4 + 3 + 2 + 1 = 5 . 4 é igual à expressão obtida 2 pela aplicação do raciocínio multiplicativo. Problema 2 – Há 10 bolas em uma caixa, todas iguais com exceção da cor, sendo 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Quantos conjuntos de 4 bolas podem ser formados sendo: a) todas brancas? Apenas 1, que pode ser entendido como o resultado da divisão de 4! por 4!.

Nesse tipo de problema, em que mais de uma categoria está presente no grupo (homem/mulher, bola branca/bola preta, etc.) é importante calcular a quantidade de agrupamentos de cada categoria para, depois, mostrar aos alunos que a quantidade total, envolvendo todas as categorias, pode ser obtida pelo produto das quantidades parciais. Nesses casos, para eliminar dúvidas, sugerimos que o professor recorra novamente à árvore. No caso anterior, dos grupos de 4 bolas, sendo 2 brancas e 2 pretas, depois de calculada a quantidade de grupos de cada cor, poderia ser feita a seguinte árvore: grupos de bolas brancas

grupos de bolas pretas P1 P2

b) 2 brancas e 2 pretas? Podemos calcular, de forma independente, o número de grupos contendo 2 bolas brancas e o número de grupos contendo 2 bolas pretas, para, ao final, multiplicá-los.

P3 B1

P4 . . . P15

Notamos pela árvore simplificada que o grupo B1 de bolas brancas pode ser associado a qualquer 1 dos 15 grupos diferentes de bolas pretas. Assim, como são 6 grupos de bolas brancas, teremos 6 . 15 = 90 grupos no total. Dentre a extensa série de situações-problema que o professor pode utilizar para completar a aprendizagem, sugerimos os seguintes problemas, que podem ser preferencialmente resolvidos apenas com a mobilização dos raciocínios aditivo ou multiplicativo em detrimento do uso de fórmulas ou algoritmos: Problema 3 – Sobre a prateleira de um laboratório repousam 8 substâncias diferentes. Quantas misturas diferentes com iguais quantidades de 2 dessas substâncias podem ser feitas se: a) não houver qualquer restrição?

Um time de basquete é, claramente, um agrupamento não ordenável. Como temos duas categorias envolvidas, atletas da equipe A e atletas da equipe B, trata-se de calcular individualmente a quantidade de grupos formados a partir de cada equipe para, no final, multiplicá-los e obter a quantidade total. Grupos de 2 atletas obtidos a partir dos 12 da equipe A: 12 . 11 ÷ 2 = 66 grupos.

Trata-se de formar um conjunto não ordenado de dois elementos a partir de 8 disponíveis, o que pode ser calculado da seguinte maneira: 8 . 7 ÷ 2 = 28 misturas diferentes.

Grupos de 3 atletas obtidos a partir dos 10 da equipe B: 10 . 9 . 8 ÷ 3! = 120 grupos.

b) entre elas há 3 substâncias que não podem ser misturadas duas a duas por formarem composto que exala gás tóxico?

Problema 5 – A partir de um conjunto de 15 bolas iguais, a não ser pela cor, sendo 8 brancas, 4 pretas e 3 amarelas, serão formados grupos de 3 bolas. De quantas maneiras diferentes poderão ser formados esses grupos se não são desejáveis grupos contendo bolas de uma única cor?

Podemos calcular o total de grupos de 2 elementos, como no item anterior, e dele retirar o número de agrupamentos não ordenados de 2 elementos que podem ser formados a partir das 3 substâncias “perigosas”: 3 . 2 ÷ 2 = 3 grupos. Assim, a resposta procurada é 28 – 3 = 25 misturas diferentes.

Problema 4 – Uma seleção de basquete com 5 jogadores será formada considerando-se atletas de apenas duas equipes: A e b. Da equipe A, que possui 12 atletas, serão selecionados 2, enquanto a equipe b, que possui 10 atletas, cederá 3 para a seleção. Se todos os atletas têm igual potencial de jogo, quantas seleções diferentes poderão ser formadas?

Grupos de 5 atletas, sendo 2 de A e 3 de B: 66 . 120 = 7 920 grupos.

Podemos calcular, inicialmente, a quantidade de grupos indesejáveis, isto é, formados apenas por bolas pretas, apenas por bolas brancas ou apenas por bolas amarelas.

Matemática – 2ª- série – Volume 3

Em seguida, calculamos o total de grupos de 3 bolas obtidos a partir das 15 bolas disponíveis. Por fim, subtraímos do total de grupos a quantidade de grupos indesejáveis. Grupos não ordenáveis de 3 bolas brancas: 8 . 7 . 6 ÷ 3! = 56 grupos. Grupos não ordenáveis de 3 bolas pretas: 4 . 3 . 2 ÷ 3! = 4 grupos. Grupos não ordenáveis de 3 bolas amarelas: 3 . 2 . 1 ÷ 3! = 1 grupo. Total de grupos indesejáveis: 56 + 4 + 1 = = 61 grupos. Total de grupos de 3 bolas obtidos a partir do total de 15 bolas: 15 . 14 . 13 ÷ 3! = 455 grupos. Total de grupos de 3 bolas de 2 ou 3 cores: 455 – 61 = 394 grupos. Problema 6 – Na classe de luiza e Roberta estudam, contando com elas, 34 alunos. De quantas maneiras diferentes podem ser formados grupos de trabalho de 4 alunos se Roberta e luiza não podem participar juntas de um mesmo grupo? Podemos calcular a quantidade total de grupos de 4 alunos formados a partir dos 34 disponíveis, para em seguida calcular a quantidade de grupos de 4 alunos em que Luiza e Roberta participam juntas. Por fim, subtraímos um resultado do outro para obter o resultado desejado.

Grupos não ordenáveis de 4 alunos: 34 . 33 . 32 . 31 ÷ 4! = 46 376 grupos. Grupos não ordenáveis de 4 alunos, divididos em dois subgrupos de 2 alunos: um com Luiza e Roberta e outro com 2 dos demais 32 alunos: (1 . 1) . (32 . 31 ÷ 2!) = 496 grupos. Resultado procurado: 46 376 – 496 = 45 880 maneiras diferentes. Problema 7 – Dispomos de 8 pessoas para formar grupos de trabalho. De quantas maneiras diferentes o grupo poderá ser formado se dele participar(em): a) apenas uma das 8 pessoas? Com apenas 1 elemento no grupo poderemos formar 8 grupos diferentes. b) duas das 8 pessoas? Com duas pessoas por grupo, teremos a seguinte quantidade de maneiras diferentes: 8.7 = 28. 2! c) três das 8 pessoas? Com três pessoas por grupo, teremos a seguinte quantidade de maneiras diferentes: 8.7.6 = 56 . 3! d) quatro das 8 pessoas? Com quatro pessoas por grupo, teremos a seguinte quantidade de maneiras diferentes: 8.7.6.5 = 70 . 4!

Durante a resolução, o professor poderá mostrar aos alunos, em cada momento, a relação entre o número de grupos ordenáveis e o de não ordenáveis. Por exemplo, no caso de serem formados grupos de 5 pessoas a partir das 8 disponíveis, teremos:

Com base nessa estratégia será possível induzir que o número de agrupamentos diferentes de p elementos formados a partir de n disponíveis é igual a: f

grupos ordenáveis de 5 pessoas: 8.7.6.5.4 f

grupos não ordenáveis de 5 pessoas:

n! quando os agrupamentos forem n ( − p )! ordenáveis. n! quando os agrupamentos fo( n − p ) !⋅ p !

rem não ordenáveis.

8 . 7. 6 . 5 . 4 5!

Outro aspecto importante a ser explorado

Além disso, poderá mostrar como exprimir

nesse problema é o fato de que 0! = 1, o que

cada resultado utilizando apenas números em

poderá ser feito analisando-se o caso da for-

fatorial, acrescentando fatores ao numerador

mação de grupos com n elementos, isto é, o

e ao denominador de cada fração.

caso em que n = p.

grupos ordenáveis de 5 pessoas: 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . (3 . 2 . 1) ÷ (3 . 2 . 1) =

8! 3!

grupos não ordenáveis de 5 pessoas:

8 . 7 . 6 . 5 . 4 . ( 3 . 2 .1

)

5 ! . ( 3 . 2 .1

8! 5 ! . 3 !

Poderá, então, pedir que escrevam cada uma das frações obtidas nos itens de b a d, utilizando apenas números em fatorial.

) )

b) 8 . 7 = 8 . 7 . ( 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 8 ! 2! 6 ! .2! 2 !. ( 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1

)

8 . 7 . 6 . (5 . 4 . 3 . 2 .1 8! c) 8 . 7 . 6 = = 3! 3!. 5 ! 3 !. (5 . 4 . 3 . 2 .1

)

d) 8 . 7 . 6 . 5 8 . 7 . 6 . 5 . ( 4 . 3 . 2 .1) 8! = = 4! 4 !. 4 ! 4 !. ( 4 . 3 . 2 .1)

O enunciado do problema a seguir não fornece o valor n, que corresponde ao número total de pessoas, tal como acontece nos exemplos anteriores que estão em destaque nesta página, trata-se de um recurso para a utilização do fatorial neste processo, caso o professor julgue necessário. Problema 8 – Em uma sala há n pessoas, com as quais formaremos grupos, ordenáveis ou não. De quantas maneiras diferentes poderemos formar o grupo se ele tiver: a) apenas 1 elemento? Serão n maneiras diferentes de formar grupo com 1 único elemento. b) 2 elementos? Grupos ordenáveis de 2 elementos, dispondo de n: n . (n _ 1)

Matemática – 2ª- série – Volume 3

Quantidade de grupos não ordenáveis nessa n .( n − 1) condição: 2! c) 3 elementos?

Grupos ordenáveis de 3 elementos, dispondo de n: n . (n – 1) . (n – 2) Quantidade de grupos não ordenáveis nessa condição:

)

n .( n − 1 .( n − 2

)

d) 4 elementos? Grupos ordenáveis de 4 elementos, dispondo de n:n . (n _ 1) . (n _ 2) . (n _ 3) Quantidade de grupos não ordenáveis nessa n. ( n − 1 . (n − 2 . ( n − 3 condição: 4!

)

e) p elementos, p < n? Grupos ordenáveis de p elementos, dispondo de n: n . (n _ 1) . (n _ 2) . (n _ 3) ...[n _ (p _ 1)] Quantidade de grupos não ordenáveis nessa condição: n. ( n − 1 . ( n − 2 . ( n − 3 … ⎣⎡n − ( p − 1 ⎦⎤

)

p! Caberá ao professor durante a resolução de cada item, de forma semelhante ao proposto no problema anterior, acompanhar as resoluções dos alunos e, simultaneamente, solicitar que escrevam cada resposta utilizando apenas números em fatorial. Esperam-se, nesse caso, as seguintes expressões para o caso dos grupos não ordenáveis, isto é, para as combinações:

n! ( n − 1) !1!

n! ( n − 2 )! 2 !

( n − 3) ! 3 !

n! n − ( 4 )! 4 !

n! ( n − p )! p !

Considerações sobre a avaliação A partir da metodologia adotada para abordar os conteúdos básicos da análise combinatória e da probabilidade, espera-se que ao final desta etapa do trabalho previsto para a 2a série do Ensino Médio, os alunos sejam capazes de aplicar o raciocínio multiplicativo à resolução de situações-problema envolvendo agrupamentos. Nesse sentido, enfatizamos que o estímulo à clássica categorização dos problemas em tipos – permutações, arranjos e combinações – e, consequentemente, o uso de fórmulas matemáticas, não deve ser tomado como preocupação central nesse momento da resolução de problemas. O principal é que, ao enfrentar situações-problema envolvendo análise combinatória, os alunos sejam inicialmente estimulados a mobilizar as mais diferentes estratégias de raciocínio para que, a seu tempo, escolham aquelas que consideram eficientes e apropriadas a cada nova situação. As estratégias didáticas propostas para esta Situação de Aprendizagem, ao priorizar o raciocínio combinatório em detrimento da formalização precoce, propiciam a diversidade de etapas de avaliação. Uma dessas etapas pode ser realizada em duplas ou trios de alunos, uma vez que a comparação entre diferentes estratégias de raciocínio permitindo compreender a situação-problema sob o ponto

de vista mais amplo, estimulando-se tanto a escolha de estratégias mais eficientes, quanto

a recuperação de estratégias anteriormente mobilizadas em situações semelhantes.

SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 3 PROBABIlIDADES E RACIOCíNIO COMBINATóRIO Uma vez discutidos o cálculo de probabilidades de ocorrência de eventos que dispensam o raciocínio combinatório, e também os casos de formação de grupos ordenáveis e

não ordenáveis, esta Situação de Aprendizagem trata de apresentar aos alunos o cálculo de probabilidades de eventos que exigem a mobilização do raciocínio combinatório.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: probabilidades condicionais; reunião e/ou inserção de probabilidade; probabilidade de eventos mutuamente exclusivos; probabilidades de eventos independentes. Competências e habilidades: interpretar informações contidas em enunciados de situações-problema, com o objetivo de caracterizar a necessidade de mobilizar raciocínio combinatório; identificar as semelhanças e as diferenças entre os diversos casos de probabilidade, no que diz respeito à ordenação ou não dos elementos que compõem os eventos. Estratégias: resolução de problemas exemplares contextualizados.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Os casos mais comuns de probabilidade envolvendo raciocínio combinatório estão associados à formação de grupos não ordenáveis, sendo esse o principal aspecto que merece atenção no desenvolvimento metodológico que ora será proposto. Para exemplificar, consideremos a situação-problema em que 2 pessoas serão sorteadas de um grupo formado por 8 pessoas, sendo 3 homens e 5 mulheres. Nessa situação, não são poucos os alunos que efetuam os seguintes cálculos: f Probabilidade de ocorrência de 2 homens: 3 2 6 ⋅ = 8 7 56

f Probabilidade de ocorrência de 2 mulheres: 5 4 20 ⋅ = 8 7 56 f Probabilidade de ocorrência de 1 pessoa de cada sexo: 3 5 15 ⋅ = 8 7 56 A simples soma dos três resultados obti41 dos, , revela que algum elemento não foi 56 considerado nos cálculos realizados, visto a soma das três probabilidades não igualar 100%. O que está faltando? O que é mais provável ocorrer numa situação como essa: duas pessoas de mesmo sexo ou pessoas de sexos diferentes?

Matemática – 2ª- série – Volume 3

A intuição dos alunos, em concordância com a nossa, confirma que é mais provável ocorrer pessoas de sexos diferentes, embora os resultados não estejam corroborando essa intuição. Tal constatação pode ser o pontapé inicial para a discussão sobre o fato de estarmos diante de um problema que exige não ordenação. Nesse caso, avaliamos que o valor da probabilidade calculada de ocorrência de uma 15 pessoa de cada sexo, , deve ser multiplica56 da por 2, pois, afinal, podemos ter como resultado do sorteio “um homem e uma mulher” ou “uma mulher e um homem”. Assim, a pro30 babilidade, nesse caso, é igual a , e a soma 56 56 = 100%. de todos os casos é igual a 56 Ainda no contexto desse problema, como poderíamos calcular a probabilidade de sortear 3 pessoas e ocorrerem 2 homens e 1 mulher? A estratégia de cálculo que pretendemos valorizar nesta Situação de Aprendizagem consiste em estabelecer uma ordem para os resultados sorteados e, em seguida, contar todas as sequências possíveis de resultados iguais a este. Para tanto, precisaremos do raciocínio combinatório abordado anteriormente. f Probabilidade de ocorrer “Homem-Homem-Mulher”, nessa ordem: 3 2 5 5 ⋅ ⋅ = 8 7 6 56 f Cada agrupamento com dois homens e uma 3! mulher pode ser associado a sequências, 2! que diferem pela ordem de seus elementos. f Probabilidade de 2 homens e 1 mulher, em 3 2 5 3! 5 15 qualquer ordem: ⋅ ⋅ ⋅3 = 8 7 6 2 ! 56 56

Tradicionalmente esse tipo de problema é resolvido utilizando-se a fórmula das combinações: f Número de elementos do espaço amostral = 8! = 56 = n(S) = C8,3 = 5 !3 ! f Número de elementos do evento desejado = 3! 5 ! ⋅ = 3 5 15 = n(E) = C3,2 . C5,1 = 1! 2 ! 4 !1! f Probabilidade procurada =

n (E ) n (S )

15 56

No entanto, o primeiro procedimento, que exige refletir sobre a ordenação ou não dos resultados do sorteio, atribui significados conceituais ao cálculo das probabilidades que o segundo procedimento, usando equações, não consegue atribuir. Além disso, a procura de soluções com base no primeiro procedimento acarretará aos alunos maior desenvoltura ao enfrentarem novas situações, em contextos diferentes daqueles que normalmente permeiam as listas de exercícios de probabilidades. Não se trata, entretanto, de vetar completamente a apresentação das fórmulas de cálculo das combinações, mas sim de retardá-las até o momento em que o professor avalie que os alunos construíram o conhecimento acerca da aplicação do raciocínio combinatório ao cálculo de probabilidades. Com base nessas premissas, propomos que o professor apresente à turma alguns problemas típicos, e que na discussão sobre o “como resolver”, chame a atenção dos alunos para a questão da ordenação dos sorteios e para a importância dos fatoriais nessas situações. Apresentamos, em seguida, algumas

dessas situações-problema, acompanhadas de resolução e eventuais comentários que julgamos importante salientar. São propostas, a seguir, seis situações-problema com a finalidade de articular probabilidades e análise combinatória. No Caderno do Aluno são apresentados dez problemas, com a finalidade de oferecer mais situações para que o aluno consolide as noções aqui desenvolvidas. Problema 1 – Sorteando 4 alunos de uma classe com 15 meninos e 13 meninas, qual é a probabilidade de que sejam sorteados 2 meninos e 2 meninas? Supomos uma ordem para o sorteio, como esta: P(Menino, Menino, Menina, Menina) = =

15 14 13 12 ⋅ ⋅ ⋅ 28 27 26 25

Em seguida, consideramos todas as diferentes ordenações dos 4 elementos, introduzindo no 4! . cálculo anterior o fator 2! 2! Assim, temos: P(2 meninos e 2 meninas) = 15 14 13 12 4 ! 2 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ou 40% 28 27 26 25 2 ! 2 ! 5 Problema 2 – No jogo de loteria oficial Mega-Sena, um apostador escolhe no mínimo 6 dezenas dentre 60. São sorteadas 6 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve ter escolhido todas as sorteadas. Qual é a probabilidade de ganho do prêmio maior para um apostador que escolheu 8 dezenas? Supondo que o apostador acertou todas as dezenas, como pede o enunciado da questão, não será necessário considerar a troca de

ordem dos sorteios, uma vez que há apenas uma categoria envolvida: acertos. P(6 acertos em 6 sorteios tendo escolhido 8 dezenas) = =

8 7 6 5 4 3 ≅ 0, 000056 % ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 60 59 58 57 56 55 6 sorteios

Problema 3 – Qual é a probabilidade de o apostador descrito no enunciado do problema anterior acertar 4 das 6 dezenas sorteadas? Fixaremos uma ordem para os resultados do sorteio. Calcularemos a probabilidade dessa ordenação e, em seguida, introduziremos o fator que considera a troca de ordem. A ordem fixada será esta: Acerto, Acerto, Acerto, Acerto, Erro, Erro. P(A,A,A,A,E,E) = =

8 7 6 5 52 51 6 ! ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅≅ 0,012% ≅ 0 ,18% 60 59 58 57 56 55 4 ! 2 !

É preciso atentar para os dois últimos fatores dessa multiplicação, que correspondem à chance de erros. Nesse caso, devemos lembrar que são 60 dezenas no total e que o apostador escolheu 8 delas. Assim, há 52 dezenas não escolhidas e que poderão ser sorteadas no caso de o apostador não ter sucesso em suas escolhas. O fator que considera todas as ordenações possíveis entre os 6 elementos AAAAEE 6! . Assim, a probabilidade de é este: 4! 2! 4 acertos, portanto de 2 erros, em 6 sorteios consecutivos é esta: P(4 acertos e 2 erros em 6 sorteios) = 8 7 6 5 52 51 6 ! ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≅ 0 ,18% = 60 59 58 57 56 55 4 ! 2 ! 6 sorteios

Matemática – 2ª- série – Volume 3

Uma possibilidade interessante de trabalho com probabilidades, e a questão da não ordenação, consiste em analisar as chances em alguns jogos oficiais de loterias. Nos últimos problemas analisamos apenas dois desses casos, mas há outros que também mereceriam nossa atenção. Podemos, nesse sentido, pedir que os alunos consigam volantes de alguns jogos, normalmente expostos em casas lotéricas, pois neles estão registradas algumas das chances nos sorteios. Realizando seus próprios cálculos, com a ajuda de uma calculadora, os alunos poderão conferir a correção das probabilidades registradas nos volantes. Não é objetivo de um trabalho pedagógico desse tipo, de forma alguma, estimular a prática em jogos de loterias. Pelo contrário, a correta orientação do trabalho por parte do professor poderá servir para ressaltar alguns aspectos que visam desestimular tais práticas. O primeiro aspecto importante, de natureza estritamente matemática, diz respeito, por um lado, às pouquíssimas chances de vitória em jogos com prêmios elevados e, no sentido inverso, as “boas” chances em jogos de prêmios bem reduzidos. Esse aspecto serve para constatar o fato de que em todo jogo de azar, de qualquer natureza, a relação entre a probabilidade de vitória e o montante do prêmio ao ganhador é sempre inversa. Isto é, quanto maiores as chances, menores os prêmios e vice-versa. Outro aspecto envolvido nos jogos de loterias diz respeito ao fato de que esses jogos são mais um elemento que promove a concentração de renda, já tão mal distribuída, em nosso

país. Afinal, não são arrecadados pequenos valores de uma grande parcela da população para, ao final, destinar todo o montante auferido a apenas uma ou duas pessoas? Por fim, esse tipo de trabalho permite discutir o destino das quantias arrecadadas semanalmente. O apostador, na maior parte das vezes, desconhece o fato de que mais da metade dos valores arrecadados não cai nas mãos de algum ganhador, e que a prestação de contas sobre o destino dessa parte que não volta não está acessível ao cidadão comum. Se, de fato, por trás da criação de um jogo de loteria existe a intenção de utilizar parte da arrecadação em projetos sociais, de melhoria das condições da população menos favorecida, parece lógico que a prestação de contas sobre o uso desse dinheiro seja o mais transparente possível. Problema 4 – Em um determinado jogo lotérico, um apostador pode escolher de 5 a 10 dezenas de um total de 50. São sorteadas 5 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se uma aposta em 5 dezenas custa R$ 2,00, quanto deve custar uma aposta em 10 dezenas? O preço de uma aposta é relacionado à probabilidade de essa aposta ser sorteada, de maneira que quanto maior a probabilidade, maior também o valor a ser pago. No caso de uma aposta em 5 números, a probabilidade de que todos sejam sorteados é: P(acerto de 5 dezenas tendo apostado em 5 dezenas) =

5 4 3 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 50 49 48 47 46

No caso de uma aposta em 10 dezenas, a probabilidade de que 5 delas sejam sorteadas é: P(acerto em 5 dezenas tendo apostado em 10 9 8 7 6 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 50 49 48 47 46 A pergunta que resume a questão é esta: quantas vezes a segunda probabilidade é maior do que a primeira? Podemos obter a resposta dividindo os dois resultados anteriores.

10) =

1010 99 88 77 66 55 44 33 22 11 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ÷ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 252. 5050 4949 4848 4747 4646 5050 4949 4848 4747 4646

Portanto, se a aposta em 5 dezenas custa R$ 2,00, a aposta em 10 dezenas deve custar 252 vezes mais, isto é, R$ 504,00. Problema 5 – Em uma caixa há 20 bolas que diferem apenas pela cor. Dessas bolas, 1 são verdes, 2 são amarelas e o grupo restante 5 4 é formado apenas por bolas da cor rosa. Serão realizados três sorteios com reposição de uma bola a cada vez. Nessa condição, uma mesma bola pode ser sorteada mais de uma vez. Qual é a chance de serem sorteadas: a) bolas de uma única cor? 1

As frações 4 e 5 determinam as proporções na caixa de bolas, respectivamente, das cores verde e amarela. A proporção de bolas cor-de-rosa é:  1 2  7  1 –  +  =   4 5   20 

Essas frações correspondem, portanto, à probabilidade de cada cor em um sorteio. No caso de sorteios de bolas de uma única cor,

podemos ter bolas verdes, bolas amarelas ou bolas cor-de-rosa. Assim, trata-se de calcular a chance de cada cor e apenas somar os três resultados, visto não haver qualquer interseção entre eles.  1 P(3 verdes) =  4 

 2 P(3 amarelas) =    5  7  P(3 rosa) =    20 

 1  2 P(3 bolas de única cor) =   +    4  5

7 +   20 

Vale ressaltar dois aspectos da resolução desse problema. Em primeiro lugar, o fato de que não foi necessário considerar a não ordenação do conjunto, visto que cada um deles é formado por elementos de mesma categoria: todos são verdes, ou todos são amarelos, ou todos são rosa. Em segundo lugar, é preciso notar que nos sorteios “com reposição” a probabilidade de ocorrência de cada evento é constante, visto não se alterarem as condições entre um sorteio e outro.

b) apenas bolas verdes ou amarelas? O fato de que apenas bolas verdes ou amarelas sejam sorteadas implica que não sejam sorteadas bolas cor-de-rosa. Há duas maneiras aparentemente diferentes de resolver esse problema. Analisemos cada uma delas. Primeira maneira: podemos analisar as possibilidades de que sejam sorteadas 3 bolas divididas entre verdes (V) e amarelas (A).

Matemática – 2ª- série – Volume 3

São estes os casos e suas probabilidades: 3

 1 P(VVV) =    4 2  1  2 3! P(VVA) =   ⋅   ⋅  4  5 2!

segunda maneira. Com essa ação o professor estará preparando o terreno para a discussão proposta na Situação de Aprendizagem 4, acerca da probabilidade binomial.

(Atenção ao fator de não ordenação.) 2

 1  2 3! P(VAA) =   ⋅   ⋅  4  5 2!  2 P(AAA) =    5

A probabilidade procurada é a soma desses casos. Assim: P(não cor-de-rosa) = = Segunda maneira: visto que as bolas cor-de-rosa não podem ser sorteadas, podemos adicionar a probabilidade de bolas de cor verde com a de bolas de cor amarela, para ter a probabilidade desejada em cada sorteio.  1 2 P(não rosa em cada sorteio) = +   4 5 P(não rosa em 3 sorteios consecutivos com  1 2 reposição) =  +   4 5 Chamamos a atenção do professor para o fato de que as duas respostas são idênticas e

Problema 6 – lucia e jair estão, com outras 8 pessoas, esperando o sorteio de 4 pessoas para a formação de um grupo de trabalho. Qual é a probabilidade de jair e lucia não fazerem parte, os dois, do grupo sorteado? Podemos resolver esse problema de duas maneiras. Primeira maneira: calculamos a probabilidade de que Jair e Lucia façam parte do grupo sorteado e, em seguida, consideramos o complemento para 100% do valor obtido. P(Jair, Lucia e outras duas pessoas) =  1   1  8  7  4! 2 = =   ⋅  ⋅  ⋅  ⋅  10   9   8   7  2 ! 15 Devemos observar o fator contendo os fatoriais, que considera a não ordenação da sequência (Jair, Lucia, Pessoa, Pessoa). Se a probabilidade de os dois serem sorteados 2 , a probabilidade de que 15 não sejam sorteados juntos é 13 . 15

juntos é igual a

Segunda maneira: vamos analisar os casos possíveis, que são estes: apenas Jair sem Lucia, apenas Lucia sem Jair, nem Lucia nem Jair.

que, talvez, valha a pena mostrar aos alunos que a adição apresentada na primeira maneira de resolver o problema coincide com o

1 é a chance de jair; 8 corresponde à chance 10 9

desenvolvimento do binômio que representa a

das 8 pessoas, excluídos jair e lucia.

P(apenas Jair sem Lucia) =  1   8  7   6 4! =   ⋅  ⋅  ⋅  ⋅  10   9   8   7  3 ! P(apenas Lucia sem Jair) =  1   8  7   6 4! =   ⋅  ⋅  ⋅  ⋅  10   9   8   7  3 ! P(nem Lucia nem Jair) =  8   7   6  5 =   ⋅  ⋅  ⋅   10   9   8   7  A probabilidade desejada é o resultado da adição desses três casos, isto é:

cada situação como se fosse a primeira vez. Visto que o objetivo principal no estudo das probabilidades é o estímulo ao raciocínio proporcional e multiplicativo, este deve ser o principal aspecto a ser avaliado da aprendizagem dos alunos. Praticamente, essa valorização do raciocínio do aluno configura-se em dois aspectos. O primeiro aspecto diz respeito à constituição das avaliações, e o segundo, à forma como elas são corrigidas.

As questões de uma prova, que pretende  alunos  tema  1   8   7   6  4 !  1   8   avaliar 7   6 o conhecimento 4 !  8   7dos 6   5no 4 4 5 13 ⋅ semelhan= + + = ⋅   ⋅ +  não ⋅  podem ⋅  ser P =   ⋅   ⋅   ⋅   ⋅ +   ⋅   ⋅  “probabilidades”,       10   9   8   7  3 !  10   9   8   7  3 !  10   9   8   7  15 15 15 15 tes às situações-problema trabalhadas em  5de  aula.  8   7   6  4 !  1   8   7   6  4 !  8   7   6 sala 4 Tal 4 semelhança, 5 13 se indesejável ⋅ ⋅ ⋅ = + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅   9   8   7  3 !  10   9   8   7  3 !  10   9   8 noque refere conceitos 7  se15 15aos15 15 matemáticos, deve ser evitada no que diz respeito à con 8  7   6 4!  8   7   6  5 4 4 5 13 textualização das situações-problema. Nessa  9  ⋅  8  ⋅  7  ⋅ 3 ! +  10  ⋅  9  ⋅  8  ⋅  7  = 15 + 15 + 15 = 15 situação, os alunos enfrentam situações-problema para as quais não formaram padrões   7   6  5 4 4 5 13 anteriores de resolução, assim, são avaliados + = = + ⋅ ⋅ ⋅ 0   9   8   7  15 15 15 15 no que diz respeito, de fato, à mobilização de estratégias de raciocínio. Confirmamos então, que a probabilidade 13 O segundo aspecto importante a consideprocurada é igual a . 15 rar no caso das avaliações individuais refere-se

Considerações sobre a avaliação Situações-problema que exigem, conjuntamente, cálculo de probabilidades e raciocínio combinatório costumam ser um dos temas de maior dificuldade para alunos de Ensino Médio. De fato, a impossibilidade de tipificação dos problemas exige enfrentar

à maneira como elas são corrigidas. Uma vez que não se estará exigindo dos alunos que repitam padrões preestabelecidos, mas sim que registrem o raciocínio que utilizam a cada instante. Dessa forma, o professor precisará estar atento para valorizar registros de raciocínios interessantes, mesmo que não conduzam à resolução esperada do problema.

Matemática – 2ª- série – Volume 3

SITUAçãO DE APRENDIzAgEM 4 PROBABIlIDADES E RACIOCíNIO COMBINATóRIO: O BINôMIO DE NEwTON E O TRIâNgUlO DE PASCAl

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: expansão binomial de probabilidades; o Triângulo de Pascal e os coeficientes binomiais. Competências e habilidades: interpretar o resultado da probabilidade de ocorrência de um evento em n repetições de um mesmo experimento; relacionar o cálculo da probabilidade de n repetições de um evento, mantendo-se as condições, com o desenvolvimento de um binômio de expoente n. Estratégias: resolução de problemas exemplares contextualizados.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Se um evento é repetido n vezes nas mesmas condições e de modo independente, e queremos a probabilidade da ocorrência do resultado esperado em p dessas n vezes, estamos diante de um caso binomial, isto é, um caso em que devemos considerar, a cada repetição do experimento, apenas duas possibilidades, sucesso ou fracasso. Daí o termo binômio, que tem como um dos exemplos mais comuns o lançamento de uma moeda certo número de vezes. Se uma moeda comum é lançada, temos 1 para cada uma de suas a probabilidade 2 faces, cara ou coroa. lançando-se, por exemplo, 8 vezes uma moeda, o cálculo da probabilidade de ocorrência de 3 caras nos três

primeiros lançamentos e de 5 coroas nos outros 5 pode ser escrito da seguinte forma: P(3 caras e 5 coroas, nessa ordem) =  1   1   1   1   1   1   1   1   1 =   .  .  .  .  .  .  .  =    2   2   2   2   2   2   2   2   2

14243 144424443 3 caras

5 coroas

Se nesse problema a ordenação dos eventos não for definida, isto é, se forem esperadas 3 caras e 5 coroas em qualquer ordem, então precisaremos incluir no cálculo o fator que conta a quantidade de permutações entre caras e coroas. Com base no raciocínio combinatório discutido nas Situações de Aprendizagem anteriores, podemos escrever: P(3 caras e 5 coroas, em qualquer ordem) =  1   1   1   1   1   1   1   1  8!            2   2   2  5 ! 3!

8!  1  5 ! 3!  2 

=  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅  2  ⋅ 5 ! 3! = 5 ! 3! ⋅  2 

O experimento “lançamento de moedas” é um problema particular em que a probabilidade de “sucesso” é igual à de “fracasso”, 50% para cada um. O lançamento sucessivo de um dado, por exemplo, pode ser diferente. Vamos supor o caso em que um dado é lançado seis vezes, e é desejado que a face 4 esteja voltada para cima ao final de dois desses lançamentos. Supondo que o esperado ocorra nos dois primeiros lançamentos, teremos a seguinte probabilidade: P(face 4 apenas nos dois primeiros lançamentos) = 22

1 1 5 5 5 5 1 5 =  1⋅ ⋅ 1⋅ ⋅ 5⋅ ⋅ 5⋅ ⋅ 5⋅ ⋅ 5=== 1 ⋅ ⋅ 5 66 66 66 66 66 66 66 66

Para contar as diferentes ordens possíveis entre os resultados desejados e não desejados, devemos introduzir os fatoriais. P(face 4 duas vezes, em quaisquer dos 1 6 lançamentos) =   6

6! 5 ⋅  .  6  2!4!

ter o resultado esperado em nenhuma das vezes, em uma das vezes, em duas, até, no máximo, em todas as vezes. Em cada um desses casos a probabilidade pode ser assim calculada: P(nenhum resultado esperado em 5 lança2 mentos) =   3

P(1 resultado esperado em 5 lançamentos) = 4

 1   2  5! =  ⋅  ⋅  3   3  1! 4 ! P(2 resultados esperados em 5 lançamentos) = 2

 1  2  5! =   ⋅  ⋅  3   3  2 ! 3! P(3 resultados esperados em 5 lançamentos) =  1 =    3

 2 5! ⋅  ⋅  3  3! 2 !

P(4 resultados esperados em 5 lançamentos) = 4  1   2  5! =  3  ⋅  3  ⋅ 4 !1!

Os casos de probabilidade desse tipo, binomial, são importantes para que se entenda a necessidade dos fatoriais, mas também para que se compreenda um importante significado associado ao desenvolvimento de um binômio do tipo (a + b)n. Consideremos, por exemplo, o caso de 5 lançamentos de um dado com o objetivo de verificar em quantas dessas vezes a face voltada para cima contém um número maior do que 4, isto é, contém 5 ou 6. A proba-

A soma de todas essas probabilidades deve ser igual a 100%, visto que aí estão todos os casos possíveis. 5 4  2   1   2  5! + 100% =   +   ⋅   ⋅ 3  3   3  1! 4 !

bilidade de que isso ocorra em um lançamento 2 1 é = , e de que isso não ocorra em um lança6 3 mento é 2 . Em 5 lançamentos poderemos 3

 1  2  5!  1  + +   ⋅  ⋅  3   3  2 ! 3 !  3  4 5  1   2  5!  1 +  3  ⋅  3  ⋅ 4 !1! +  3 

P(5 resultados esperados em 5 lançamentos) =

 1 =   3

 2 5! ⋅  ⋅ +  3  3! 2 !

Matemática – 2ª- série – Volume 3

2 1 Ocorre que a adição  +  das duas pro3 3 babilidades envolvidas também é igual a 1 ou 100%. Assim, vamos igualar: 5

 1   2  5!  2 1   2  +  =  3  +   ⋅   ⋅ ! ! + 3 3 1 4 3 3 5

 1  1  2  5! +   ⋅  ⋅ +    3   3  2 ! 3!  3  4

 1   2  5!  1 +  ⋅ ⋅ +   3  3   3  4 !1!

 2 5! ⋅  ⋅ +  3  3! 2 !

Dessa maneira, temos à esquerda da igualdade um binômio do tipo (a + b)n e, à direita, seu desenvolvimento, de forma que cada termo desse desenvolvimento corresponde à probabilidade de ocorrência de um determinado número de resultados esperados e de não esperados em n repetições de determinado evento, sempre nas mesmas condições. Propomos que o professor apresente o desenvolvimento do Binômio de Newton por intermédio das probabilidades, em vez de, como é mais comum, fazê-lo algebricamente. Dessa maneira, os coeficientes binomiais, da forma ⎛ n⎞ n! ⎜⎝ p ⎟⎠ = p ! n − p ! , passam a significar a quan(

)

tidade de ordenações possíveis entre o número de resultados esperados (p) e o de não esperados (n – p), e podem, assim, ser apresentados sem sobressaltos. Para cumprir esse objetivo, o professor poderá retomar o exemplo discutido há pouco sobre o lançamento do dado, pedindo que os alunos calculem todas as possibilidades envolvidas, ou então propor outra situação-problema, como esta, por exemplo:

Estatisticamente, 1 em cada 10 televisores de determinada marca apresenta problemas de funcionamento. Uma loja de eletrodomésticos acaba de comprar 6 desses televisores para revender. Supondo que todos sejam vendidos, qual é a probabilidade de a loja receber reclamações de: a) nenhum comprador? b) apenas de 1 comprador? c) apenas de 2 compradores? d) de 3 compradores? e) de 4 compradores? f) de 5 compradores? g) de todos os compradores? A probabilidade de “sucesso”, nesse caso, pode ser a de o televisor apresentar proble1 , enquanto a probabilidade de ma, ou seja, 10 “fracasso” é a de o televisor não apresentar 9 . Dessa maneira, a resoproblema, isto é, 10 lução esperada dos alunos deve apresentar os seguintes resultados: 9 a)    10 

⎛6⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 1⎞ b) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝10⎠ 6 9 c) ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝10⎠

⎛ 6⎞ ⎛ 9 ⎞ d) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝10⎠

⎛ 1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ 10⎠ ⎛ 1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ 10⎠

6  9  e)   ⋅    4   10 

 1  ⋅   10 

6 9 1 f)   ⋅   ⋅    5   10   10   1  g)    10 

de eventos e do cálculo de probabilidades. Consideremos, por exemplo, o caso de 5 sorteios, com reposição, de uma bola dentre 20, em que 4 são vermelhas. A chance de sair uma 4 1 vermelha em cada sorteio é = . Para 20 5 3 vermelhas (V) e 2 não vermelhas (NV), nes-

sa ordem, temos a seguinte probabilidade:

Depois de comentar alguns problemas desse tipo, o professor poderá generalizar a expressão do termo geral do binômio, sem todavia amarrá-la diretamente à resolução dos problemas.  n  Binômio: (a + b)n  Termo geral: Tk+1 =   a n−k⋅b k  k

Outro aspecto que merece destaque, a partir do tipo de abordagem metodológica sugerida, é o estudo das propriedades do Triângulo de Pascal. n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

Duas propriedades importantes, da soma dos elementos de uma linha e dos complementares em cada linha, tornam-se explícitas quando pensadas sob o prisma da ordenação

 1 P(V,V,V, NV, NV) =    5

 4 ⋅   5

No caso de a frequência dos eventos se inverter, isto é, para ocorrer 2 vermelhas (V) e 3 não vermelhas (NV), nessa ordem, teremos: 1 P(V, V, NV, NV, NV) =   5

4 ⋅  5

Todavia, em um caso ou noutro, considerando todas as ordens possíveis entre os 5 resultados dos sorteios, precisaremos incluir no cálculo o fator 5 ! . Assim, fica claro 2 !3 ! 5  5 que   e   são coeficientes binomiais que  2 3 calculam a mesma coisa, ou seja, a quantidade de ordenações possíveis entre 5 elementos, sendo 3 de um tipo e 2 do outro. O clássico problema do nascimento de n crianças pode ser analisado para que os alunos relacionem o raciocínio combinatório aos binômios e ao Triângulo de Pascal. Analisemos, por exemplo, o nascimento de 6 crianças. Aplicando o raciocínio combinatório nesse caso, calculamos a quantidade de sequências diferentes para o sexo, homem (H) ou mulher (M), das 6 crianças.

Matemática – 2ª- série – Volume 3

1ª- criança

2ª- criança

aplicado a qualquer outra linha do Triângulo de Pascal, de forma que é possível induzir que a soma dos elementos da linha n é igual a 2n.

Homem Homem Mulher Homem Mulher Mulher

A árvore acima, referente às 22 = 4 possibilidades no nascimento de 2 crianças, serve para mostrar que, no caso de 6 crianças, serão 26 = 64 sequências diferentes. 6

1 1 O desenvolvimento do binômio  +  2 2 fornece, em cada termo, a probabilidade de uma determinada sequência de sexos. O terceiro termo, por exemplo, é 6 1  4 ⋅ 2     

 1  15 ⋅  =  2  64

e corresponde à chance de nascimento de 2 homens e 4 mulheres, ou de 4 homens e 2 mulheres. Outros termos desse binômio também terão denominador igual a 64, que é o total de sequências possíveis do nascimento das 6 crianças. Os numeradores das probabilidades, ou dos termos do binômio, serão os termos da linha 6 do Triângulo de Pascal (1 6 15 20 15 6 1). Assim, se a soma das probabilidades de todos os casos possíveis deve ser igual a 100%, fica claro que a soma 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 deve ser igual a 64, ou 26. O mesmo raciocínio pode ser

A abordagem metodológica sugerida nesta Situação de Aprendizagem, conforme as descrições anteriores, está calcada totalmente na resolução de problemas e no estabelecimento de conclusões a partir de induções. Nessa medida, é preciso que o professor adote uma rotina de aula em que proponha problemas especialmente escolhidos aos seus alunos, que destine tempo para que reflitam sobre os possíveis procedimentos de resolução e que, explorando o raciocínio que mobilizam em cada caso, estabeleça, em conjunto com a classe, as necessárias generalizações. Para auxiliar o professor nessa tarefa, propomos a seguinte lista de situações-problema. Problema 1 – O que é mais provável: duas caras no lançamento de 4 moedas ou uma face 6 no lançamento de dois dados? Chamamos P1 a probabilidade de 2 caras, portanto 2 coroas, no lançamento de 4 moedas, e de P2 a probabilidade de apenas uma face 6 no lançamento de dois dados. 2

4! 3  1  1 P1 =   ⋅   ⋅ = = 37 ,5%  2  2 2 ! 2 ! 8 1 5 5 P2 = ⋅ ⋅ 2 = ≅ 27 ,8% 6 6 18 Portanto, P1 > P2. Problema 2 – Uma prova é formada por 10 testes com 5 alternativas cada um, sendo correta apenas uma delas. Qual é a probabilidade de um aluno acertar, “chutando”, 4 testes nessa prova?

Em cada teste a chance de acerto é igual a 1 4 e a chance de erro é de . Para acertar, 5 5 “chutando”, 4 testes, e portanto errar 6 testes, a chance é: 4

 1  4 6! 12 288 = ≅ 0 , 66% % P=   ⋅  ⋅  5   5  4 ! 2 ! 1 953 125 Problema 3 – Quatro prêmios iguais serão sorteados entre os 20 alunos de uma classe, sendo possível a qualquer aluno ser sorteado mais de uma vez. Qual é a probabilidade de Haroldo ser sorteado apenas no 2o sorteio? A chance de Haroldo ser sorteado é igual a 19 1 , e de não ser sorteado é de . Como ele 20 20 será sorteado apenas na segunda vez, não há necessidade, nesse caso, de considerar a não ordenação. Assim, a probabilidade procurada é:  19   1   19   19  19 3 P =   ⋅   ⋅   ⋅   = 4 ≅ 4 , 3%  20   20   20   20  20 É recomendável, nesse problema, chamar a atenção dos alunos para o fato de que no caso de Haroldo poder ser sorteado uma vez em qualquer dos sorteios, deve ser introduzido no cálculo anterior o fator 4 ou 4 ! , que resulta 3 !1! na probabilidade aproximada de 17,2%.

Problema 4 – O controle de qualidade de uma empresa fabricante de pneus aponta que é igual a 0,2% a probabilidade de que uma determinada máquina envolvida no processo apresente problemas durante a fabricação do

produto, implicando a ida para o mercado de um pneu defeituoso. Alberto vai a uma loja para trocar os 4 pneus de seu carro por novos, fabricados pela empresa descrita anteriormente. Qual é a chance de o automóvel de Alberto sair da loja rodando com dois pneus defeituosos? Se a chance de o pneu apresentar defeito é igual a 0,2%, a chance de não apresentar defeito é igual a 99,8%. A probabilidade de que existam 2 defeituosos em 4 pneus comprados é: P = (0,2 %)2.(99,8 %)2.

4! ≅ 0,0024% 2! 2!

Problema 5 – Um “dado” especial tem o formato de um tetraedro regular com uma figura diferente em cada uma de suas faces. Em uma delas, há um palhaço. Se lançarmos 4 vezes esse dado, quais são as probabilidades de a face com o palhaço ficar voltada para baixo: nenhuma, uma, duas, três ou quatro vezes? Calcule cada uma delas independentemente e mostre que a soma de todas é igual a 100%.

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1 de chance de estar 4 voltada para baixo em cada lançamento.

A face com o palhaço tem

3 P(palhaço nenhuma vez) = 4

P(palhaço apenas uma vez) =

1 3 ⋅ ⋅4 4 4

P(palhaço apenas duas vezes) = 2

por exemplo, a probabilidade de que cara apareça em 5 dos 8 lançamentos é: P(5 caras em 8 lançamentos) =

 1  3 =   ⋅  ⋅6  4  4

 1   1   8  56 =   ⋅  ⋅  =  2   2   5  256 Dividindo por 256 cada um dos termos da linha 8 do Triângulo de Pascal, teremos todas as probabilidades possíveis para esse experimento. Assim, o gráfico representativo da situação pode ser este:

P(palhaço em três lançamentos) = 80

 1  3 =   ⋅  ⋅4  4  4

75 4

 1 P(palhaço nos 4 lançamentos) =    4 A soma de todas essas probabilidades pode ser assim indicada: 2

(P. 256)

3 4

+ 3

1 3 ⋅ ⋅4+ 4 4 4

 1  3  1  3  1 +   ⋅  ⋅6 +   ⋅  ⋅4 +   =  4  4  4  4  4 4

 3 1 =  +  = 14 = 100 %.  4 4 Problema 6 – Utilize um gráfico de barras para representar todas as probabilidades envolvidas em 8 lançamentos seguidos de uma moeda, com a observação da ocorrência do evento cara na face superior. As frequências do número de caras, que poderão ser observadas em 8 lançamentos de uma moeda, coincidem com os números da linha 8 do Triângulo de Pascal. Assim,

65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

7 8 número de caras

A análise desse gráfico pode mostrar a complementaridade dos coeficientes bino-

n  n  miais, isto é, que   =   . Além disso, p  n−p podemos, em uma aproximação, apresentar a ideia da curva Normal, que será discutida, na 3a série do Ensino Médio, com maiores detalhes.

Considerações sobre a avaliação Reforçamos aqui os comentários da Situação de Aprendizagem anterior acerca dos problemas que exigem, conjuntamente, cálculo de probabilidades e raciocínio combinatório, como é o caso dos problemas que envolvem distribuição binomial. O importante, nesses casos, será valorizar o raciocínio que os alunos registram nas resoluções dos problemas, minimizando a exatidão da resposta final.

Salientamos ainda que a importância de utilizar diferentes instrumentos de avaliação torna-se ainda maior no estudo de assuntos como “probabilidades”, em que a ausência de padrões exclusivos estimula o uso de múltiplas formas de raciocínio. Assim, sugerimos que avaliações em grupo venham a ser utilizadas na composição do quadro geral, bem como avaliações de trabalhos e de criação de problemas por parte dos alunos.

ORIENTAçõES PARA RECUPERAçãO Caso os objetivos propostos na Situação de Aprendizagem 1 não tenham sido plenamente atingidos, sugerimos que as atividades de recuperação contemplem: f retomada da ideia de razão entre grandezas de mesma natureza, ou de naturezas diferentes, em contextos próximos do cotidiano dos alunos, como na questão das escalas dos mapas, ou na velocidade média de um automóvel, ou no preço pago por m2 de terreno, ou da quantidade de pisos vitrificados necessários para cobrir determinada área, etc.; f aplicação de um novo conjunto de situações-problema contextualizadas; f solicitação para que os alunos elaborem situações-problema envolvendo o cálculo de probabilidades com base em contextos livres ou determinados pelo professor. Essas situações

poderão ser trocadas entre os alunos para que um resolva o problema proposto pelo colega e, ao final, as resoluções possam ser avaliadas pelo criador. De qualquer maneira, não há motivos para esgotar por completo o estudo dos casos de probabilidade neste momento, visto que serão retomados adiante no curso, com a inclusão do raciocínio combinatório. O processo de recuperação de alunos que, porventura, não tenham atingido plenamente os objetivos traçados na Situação de Aprendizagem 2 deve levar em conta a maneira com que eles lidam com situações-problema: inicialmente, eles enfrentam problemas de análise combinatória com a representação explícita da situação, por intermédio de árvores de possibilidades ou de aplicação de raciocínio aditivo. À medida que incorporam a necessidade de aplicação do raciocínio multiplicativo e o dominam, os alunos passam a evitar a representação

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e a contagem, recorrendo a isso apenas em situações novas com maior grau de dificuldade. Alunos com maiores dificuldades na aplicação do raciocínio multiplicativo podem ter sido estimulados precocemente a não representar de forma explícita a resolução dos problemas. O professor deve estar atento a essa possibilidade para, durante a recuperação, estimular os alunos a representarem a resolução com mais cuidado. Consideremos, por exemplo, uma situação-problema clássica, a fim de analisar os diferentes encaminhamentos para cada tipo de aluno: Cinco carros de cores diferentes chegam a um pedágio. Apenas três desses carros passarão pelo pedágio antes de começar a chover. De quantas maneiras diferentes eles podem formar uma fila para transpor o pedágio antes de começar a chover se: a) a fila for formada ao acaso? b) se o carro amarelo não ficar em primeiro lugar da fila? Um aluno que tenha criado desenvoltura na resolução desse tipo de problema, provavelmente fará a multiplicação 5 . 4 . 3 para resolver o item a, e 4 . 4 . 3 para resolver o item b. Esse aluno, de certo, não precisará passar por recuperação, visto já ter construído o conhecimento necessário. Alunos que apresentam como resposta 3 . 5 demonstram não ter construído completamente o conhecimento exigido. Sabem

eles que a resolução do problema exige uma multiplicação e a escrevem com os primeiros numerais que identificam no enunciado. Nesses casos, é fundamental recomendar que “montem” a árvore de possibilidades, pois será essa a maneira que encontrarão para tornar concreto seu raciocínio. Dessa forma, caberá ao professor, a partir dos resultados nas avaliações que tiver proposto no período, identificar os alunos que deverão merecer especial atenção no processo de recuperação e, nesses casos, a reprodução simples de listas de exercícios-modelo não trará os resultados desejados. O mesmo se aplica à recuperação de alunos que porventura não tenham atingido plenamente os objetivos das Situações de Aprendizagem 3 e 4. Será interessante reforçar que eles detenham sua atenção sobre a representação explícita do problema, desenhando árvores e/ou diagramas, impedindo, dessa forma, que venham a formalizar precocemente algum tipo de procedimento algébrico ou aritmético. Para atender a esse objetivo, o professor poderá preparar listas de situações-problema contextualizadas, conforme os modelos apresentados em todas as Situações de Aprendizagem aqui comentadas, mas também considerar, acima de tudo, que a tentativa de resolução desses problemas pelos alunos deve ser acompanhada pela orientação, bastante enfática, de que priorizem o caminho da representação explícita da solução com a montagem das árvores de possibilidades.

RECURSOS PARA AMPlIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO AlUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA Em princípio, qualquer livro didático de conteúdos do Ensino Médio apresenta uma série de situações-problema envolvendo o cálculo de probabilidades. De posse de alguns desses livros, caberá ao professor selecionar problemas que julgar mais interessante para a complementação dos trabalhos realizados com seus alunos. Sugerimos, nesse sentido, que o professor priorize problemas com enunciados mais elaborados, a fim de exigir leitura e compreensão de condições, elaboração de estratégias de abordagem do problema, métodos de resolução e, por fim, validação dos resultados obtidos. Por se tratar de conteúdo totalmente calcado na resolução de problemas, vale, para

a análise combinatória, a máxima “quanto mais, melhor”, ou seja, quanto maior for o rol de problemas apresentados aos alunos, maior será a capacidade de relacionarem novas situações a outra anteriormente enfrentada. Assim, sugerimos que o professor explore ao máximo as situações-pro blema do livro didático adotado e também de outros que porventura possua. No site do projeto Rived (Rede Interativa Virtual de Educação) disponível em <http://www.rived.mec.gov.br>, da Secretaria de Educação à Distância do MEC, podem ser encontrados jogos pedagógicos especialmente produzidos para a aprendizagem de conceitos de probabilidade.

Matemática – 2ª- série – Volume 3

COnSidERAÇõES FinAiS Os conteúdos/temas abordados no 3o bimestre da 2a série, que foram contemplados nas propostas das Situações de Aprendizagem aqui descritas, fazem parte do bloco denominado Tratamento da Informação. Compõem ainda esse bloco os conteúdos de Estatística, abordados em mais de um bimestre de estudo do Ensino Fundamental e no 4o bimestre da 3a série do Ensino Médio. Em outros bimestres de outros anos do Ensino Médio detectam-se, explicitamente, conceitos que mantêm relações de proximidade com os conceitos analisados nas Situações de Aprendizagem deste Caderno. No 1o bimestre da 1a série, por exemplo, o estudo das sequências e das progressões aritméticas e geométricas apresenta regularidades que também são detectadas nas aplicações de análise combinatória e de probabilidade, notadamente o fato de que esses conteúdos são praticamente os únicos do Ensino Médio desenvolvidos sobre domínio natural. A proximidade da probabilidade com a estatística deverá ser mais claramente notada na 3a série, quando a definição formal de

probabilidade, como a relação entre número de casos esperados e casos totais, ganhar a devida ampliação com o estudo da lei dos grandes números. Nesse momento, os alunos tomarão contato com a definição frequentista de probabilidade, essa sim, de extrema importância para a Estatística. Consideramos ainda que alguns problemas propostos nas Situações de Aprendizagem apresentavam dados em tabelas de dupla entrada, que são o embrião do estudo das matrizes, conteúdo apresentado aos alunos no 2o bimestre da 2a série. Analisando os demais tópicos de planejamento, de outros bimestres, o professor, atento às ligações conceituais pertinentes a cada momento, poderá estimular seus alunos na construção individual da rede de significados matemáticos. Apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática de todas as séries do Ensino Médio, destacando com um sombreado os conteúdos de outros bimestres e de outras séries diretamente relacionados com os conteúdos do 3o bimestre.

COntEúdOS dE MAtEMátiCA POR SéRiE/biMEStRE

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

dO EnSinO MédiO

1a série

2a série

3a série

NÚMEROS E SEQUÊNCIAS - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.

TRIgONOMETRIA - Arcos e ângulos; graus e radianos. - Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente. - Funções trigonométricas e fenômenos periódicos. - Equações e inequações trigonométricas. - Adição de arcos.

gEOMETRIA ANAlíTICA - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares. - Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

FUNçõES - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função de 1o grau, função de 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

MATRIzES, DETERMINANTES E SISTEMAS lINEARES - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

EQUAçõES AlgÉBRICAS, POlINôMIOS E NÚMEROS COMPlEXOS - Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa. - Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial. - Polinômios: identidade, divisão por x – k e redução no grau de uma equação. - Números complexos: significado geométrico das operações.

FUNçõES EXPONENCIAl E lOgARíTMICA - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes contextos. - Função logarítmica: equações e inequações simples.

ANálISE COMBINATóRIA E PROBABIlIDADE - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Arranjos, combinações e permutações. - Probabilidades; probabilidade condicional. - Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.

ESTUDO DAS FUNçõES - Panorama das funções já estudadas: principais propriedades. - gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais. - gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação. - Composição: translações, reflexões, inversões.

gEOMETRIA – TRIgONOMETRIA - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

gEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAl - Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas. - Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas. - Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas. - A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

ESTATíSTICA - Cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão. - Elementos de amostragem.