MATEMATICA_CP_2s_Vol4reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino médio a

2 SÉRIE

volume 4 - 2009

matEmátIca

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-441-4 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

Caras professoras e caros professores,

Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5-a a 8-a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula. O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos. A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as aprendizagens de todos os alunos.

Bom trabalho! Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Prismas: uma forma de ocupar o espaço Situação de Aprendizagem 2 – Cilindros: uma mudança de base

Situação de Aprendizagem 3 – O movimento de ascensão: pirâmides e cones Situação de Aprendizagem 4 – Esfera: conhecendo a forma do mundo Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 54 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA

CURRiCUlAR PARA O EStAdO

Caros(as) professores(as), Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos professores em 2009. Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento coletivo e a cooperação entre eles. A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada, significativa e motivadora de ensinar aos alunos. Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos. Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA dO CAdERnO Geometria: linguagem, formas, medidas e representações do espaço nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Médio

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

Prismas Cilindros Pirâmides e cones Esfera

ORiEntAçãO GERAl SObRE OS CAdERnOS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses materiais, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do conteúdo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma das unidades

contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

Matemática – 2a série – Volume 4

Conteúdos básicos do bimestre Andamos, brincamos, pensamos e vivemos no espaço. Olhamos para todos os lados e observamos diferentes formatos espaciais. Embalagens, monumentos, brinquedos e dados de jogos de tabuleiro são alguns exemplos disso. No 4o bimestre da 2a série, o foco da aprendizagem é a geometria espacial métrica. Nela, algumas das formas mais comuns presentes na natureza e na produção humana são estudadas. Para isso, é necessário que sejam relembradas as propriedades fundamentais das figuras planas, afinal são elas que compõem as bases, as faces e as seções das figuras espaciais. Embora a linguagem geométrica perpasse por vários conteúdos do Ensino Médio, neste bimestre ela ganha evidência e tratamento especial. Sabemos que uma das dificuldades que os alunos enfrentam no estudo da geometria espacial é a representação e a interpretação de figuras tridimensionais desenhadas no plano. Neste sentido, propomos, no início de cada Situação de Aprendizagem, atividades de manipulação e exploração dos sólidos geométricos. Algumas relações métricas são construídas em meio à solução de problemas que julgamos exemplares. O professor pode combinar esses exercícios com aqueles que já fazem parte de sua experiência no ensino desse tema. Reconhecemos que o prisma e alguns de seus fatos fundamentais já são conhecidos pelos alunos, pois já foi tema de estudos no Ensino Fundamental. O que pretendemos é consolidar esse conhecimento e elaborar um raciocínio que seja aplicado e ampliado à medida que avançamos no estudo dos outros sólidos, como o cilindro, a pirâmide e o cone.

Nas Situações de Aprendizagem, buscamos situações-problema que, de forma crescente, combinassem vários conceitos matemáticos, sendo, em alguns casos, apresentados projetos e propostas interdisciplinares. Para a organização do trabalho neste bimestre, propomos a seguinte estrutura: f Situação de Aprendizagem 1 – “Prismas: uma forma de ocupar o espaço”. São apresentados a conceituação de prisma, suas relações métricas e o cálculo de seu volume. Aqui iniciaremos a abordagem das figuras espaciais. Serão desenvolvidas as duas primeiras unidades. Caso perceba que os alunos apresentam um conhecimento apropriado sobre o tema, o professor pode abreviar o tempo previsto. f Situação de Aprendizagem 2 – “Cilindros: uma mudança de base”. Equivale à terceira unidade, em que exploramos o formato e as relações no cilindro. Aqui, embora exploremos uma analogia em relação ao prisma, apresentamos o conceito de sólido de revolução, que, depois, é aplicado no cone e na esfera. Nas atividades, tratamos do contexto que permite explorar outros conhecimentos matemáticos, como a construção de gráficos de função linear e trigonométrica. Propomos algumas possibilidades de realização de um trabalho interdisciplinar. f Situação de Aprendizagem 3 – “O movimento de ascensão: pirâmides e cones”. São desenvolvidas a quarta e a quinta unidade. Primeiro, estudamos as pirâmides. Aparece uma nova qualidade em um sólido: ele

“afunila”. Dessa forma, agrupamos o estudo das pirâmides e dos cones. Com as pirâmides, as relações métricas tornam-se mais complexas, exigindo uma boa visualização da situação-problema. Em seguida, o sólido estudado é o cone. Aqui, ganha significado o estudo de setores circulares que podem ser determinados com a aplicação da proporcionalidade.

f Situação de Aprendizagem 4 – “Esfera: conhecendo a forma do nosso mundo”. Para finalizar o bimestre, estudamos as esferas, com as três últimas unidades. Apresentamos algumas situações motivadoras, como o trabalho com fusos horários e com as coordenadas geográficas, que pode ser uma oportunidade de trabalho interdisciplinar com a Geografia.

Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre da 2a série do Ensino Médio

Unidade 1 – Noções e fatos fundamentais dos prismas – relações métricas, diagonais e planificação. Unidade 2 – Superfície e volume de prismas – Princípio de Cavalieri. Unidade 3 – Cilindro: identificação e conceituação. Sólidos de revolução. Volume do cilindro. Unidade 4 – Pirâmides: o movimento de elevação – conceituação e relações métricas. Unidade 5 – Cones: setores circulares preenchendo o espaço – superfície e volume. Unidade 6 – Estudo da esfera. Unidade 7 – A Terra como objeto de estudo. Fusos horários, coordenadas geográficas: latitude e longitude. Unidade 8 – Volume e superfície de uma esfera.

Matemática – 2a série – Volume 4

SitUAçõES dE APREndizAGEM SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 PRISMAS: UMA FORMA DE OCUPAR O ESPAÇO tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: prismas; identificação, noções e fatos essenciais; relações métricas, áreas e volume. Competências e habilidades: reconhecer e nomear um prisma; relacionar elementos geométricos e algébricos; visualizar figuras espaciais no plano; síntezar e generalizar fatos obtidos de forma concreta. Estratégias: manipulação de sólidos geométricos; identificação dos seus elementos essenciais e suas relações métricas; leitura e interpretação de enunciados e dados; representação plana e planificação de prismas; resolução de situações-problema; trabalhos em grupo. Recursos: uso de materiais concretos, como embalagens e sólidos construídos a partir de sua planificação.

Roteiro para a aplicação da Situação de Aprendizagem 1

dos outros sólidos que serão estudados, como o cilindro, a pirâmide, o cone e a esfera.

O trabalho com a geometria métrica, neste Caderno, começa com o estudo sobre prismas. O conceito de prisma e alguns fatos a ele relacionados já devem ser de conhecimento dos alunos. Caso isso não ocorra, esta Situação de Aprendizagem é oportuna e precisa ser desenvolvida com um tempo maior. Assim, devem-se trabalhar a identificação da forma de um prisma, a representação no plano, o reconhecimento de seus elementos (vértices, faces e arestas) e a construção de sua planificação.

O prisma é um sólido geométrico muito presente no nosso dia a dia. A maioria das embalagens e dos objetos que utilizamos possui essa forma. Propomos que o professor apresente aos alunos uma série desses objetos (caixa de fósforos, embalagens de pizza, caixas de sapatos e de perfumes, entre outras) e que discuta alguns fatos como:

O objetivo desta Situação de Aprendizagem é consolidar esses conhecimentos, sistematizá-los e torná-los referência para a construção

f o nome do prisma é dado pela forma de sua base, podendo ser triangular, quadrangular, hexagonal, etc;

f as bases dos prismas são polígonos de mesma forma e tamanho e suas faces laterais são paralelogramos;

f se a aresta lateral for perpendicular às bases, o prisma é reto; caso contrário, é oblíquo; f o paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos; f se todas as faces do paralelepípedo são retângulos, ele é chamado de paralelepípedo retângulo;

12 cm

6 cm 120º

f um prisma reto cuja base é um polígono regular chama-se prisma regular;

Figura A

6 cm

f se o prisma tiver todas as faces quadradas, ele é um cubo, também chamado de hexaedro regular (do grego hexa – seis e hedros – apoiar-se, faces). A seguir, propomos algumas atividades que podem ser combinadas àquelas que o professor costuma utilizar ao abordar este tema. O objetivo, na proposição destas situações-problema, é explorar o cálculo de áreas e relações métricas nos prismas em contextos que exijam análises e tomada de decisões. É importante que o professor fique atento às dificuldades dos alunos quanto à visualização e à representação plana dos prismas. Sugere-se que, diante delas, o professor proponha o uso de malhas quadriculadas para as representações.

Atividade 1 Para o empacotamento de presentes, uma loja dispõe de dois tipos de embalagem de papelão: uma no formato de um paralelepípedo oblíquo (Figura A), outra no de um paralelepípedo reto-retângulo (Figura B). Considerando os valores indicados nas figuras a seguir, calcule qual das duas formas geométricas exigirá menos papelão para ser confeccionada.

12 cm

6 cm

Figura B

Ao observar os dados da atividade, uma primeira impressão pode sugerir que a área total seja a mesma, pois o paralelepípedo oblíquo poderia ser obtido pela inclinação do paralelepípedo reto. Contudo, na prática, isso não se verifica, pois a face frontal e a de fundo da Figura B (quadrados), uma vez fechada a caixa, não permitem tal movimento por fixarem o ângulo reto. Após essa discussão, pode-se destacar que os dois prismas possuem bases iguais e duas faces laterais iguais, sendo suas diferenças dadas pelas faces frontal e de fundo (losango

Matemática – 2a série – Volume 4

e quadrado). Dessa forma, a decisão sobre o menor consumo de papelão pode recair somente sobre o cálculo da área do quadrado e do losango. Caso os alunos saibam que entre os paralelogramos de mesmo perímetro, o quadrado é o que determina a maior área, a solução fica possível sem a realização de cálculos. Agora apresentamos a resolução do problema efetuando todos os cálculos:

6 cm 120º

60º

Segundo os dados do problema, o formato do paralelepípedo oblíquo representa uma economia de, aproximadamente, 3% em relação ao paralelepípedo reto. Vale ainda observar que nessa atividade não apareceu a discussão sobre a capacidade de cada caixa. Esse tema será abordado mais à frente, quando tratarmos de volume de prismas.

Atividade 2 Uma caixa de lápis tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo com 3 cm de comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm de altura. Qual a medida do maior lápis que você pode guardar nessa caixa sem que a ponta fique para fora da borda? A figura a seguir ilustra a situação e as possíveis triangulações.

Figura A Para a área do losango, vamos interpretá-lo como um paralelogramo. A altura corresH ___ pondente __ à base será: sen 60° = 6 H = 3®3 ≅ 5,2 cm. Como o prisma oblíquo é formado por dois losangos de base 6 cm e altura 5,2 cm e quatro retângulos de dimensões 12 cm por 6 cm: Atotal = 2 . 6 . 5,2 + 4 . 12 . 6 = 62,4 + 288, logo, Atotal ≅ 350,4 cm2. Figura B O prisma é formado por quatro retângulos de 6 cm por 12 cm e 2 quadrados de lado 6 cm. Atotal = 2 . 6 . 6 + 4 . 12 . 6 = 72 + 288, logo Atotal = 360 cm2.

D 12

d 4

Observamos que o cálculo do tamanho do lápis está associado ao cálculo das diagonais da base e do prisma. Em ambos, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Diagonal da base: d 2 = 16 + 9 = 25 ⇒ d = 5. Diagonal do prisma: D2 = 144 + 25 = 169 ⇒ D = 13, portanto, o maior lápis deve ter 13 cm de comprimento.

O professor também pode discutir com os alunos uma solução prática para este problema: sobre o tampo de uma mesa, posicione a caixa, registrando, com lápis, a superfície da base e a posição do vértice A. Faça uma translação da caixa, deslocando-a em uma medida igual à aresta da base, como mostra a figura abaixo, e, com o auxílio de uma régua, meça a distância AE. E

D h b

d a

Diante dessa expressão, o professor pode ainda levar a turma a investigar o que aconteceria se o formato da caixa de lápis fosse um cubo. Neste caso, teríamos: __ a = b = h ⇒ d 2 = a 2 + a 2 = d = a®2 . _______ ____ __ D = ®2a2 + a2 = ®3a 2 ⇒ D = a®3 .

B E

Atividade 3 Com base na atividade anterior, investigue a mesma situação para um porta-lápis nos seguintes formatos: a) prisma regular triangular de aresta da base 12 cm e altura 16 cm.

C A

No caso do prisma regular triangular, o lápis terá o tamanho da diagonal da face lateral. É interessante observar que esse prisma não tem diagonal.

Se julgar oportuno, generalize a situação-problema proposta e desenvolva, com a turma, as expressões gerais que relacionam a diagonal de um prisma reto-retangular com suas dimensões. Para isso, basta considerar uma caixa de dimensões da base a e b e altura h e proceder como propomos a seguir: d2 = a2 + b2. Diagonal do prisma: D2 = d2 + h2 __________ D2 = a2 + b2 + h2 ⇒ D = ®a2 + b2 + h2

L2 = 162 + 122, L2 = 400, logo L = 20. O maior lápis terá 20 cm.

Matemática – 2a série – Volume 4

b) prisma regular hexagonal, com aresta de base 6 cm e altura 8 cm. O prisma regular hexagonal é particularmente interessante porque possui duas medidas de diagonais, cada uma relativa às medidas das diagonais da base.

L2 L1

Cálculo de L1 (diagonal menor): O lápis L1 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal menor da base e a aresta lateral. A diagonal menor da base equivale a duas alturas de um triângulo equilátero de lado igual __ ao do hexá® gono regular. Portanto, d = 6 3 cm, uma vez que a altura de um triângulo __ equilátero pode ® l 3 ser calculada por: d = ____. __ 2 2 Portanto, L1 = (6®3 )2 + 82 2 L1 = 172 → L1 ≈ 13,11 cm. Cálculo de L2 (diagonal maior): O lápis L2 é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetos a diagonal maior da base e a aresta lateral. A diagonal

maior da base equivale ao dobro da medida do lado do hexágono regular. Portanto, D = 12. Portanto, L22 =122 + 82, logo L2 ≈ 14,42 cm. O maior lápis terá, então, aproximadamente, 14,42 cm. Geralmente, a planificação de prismas está associada a problemas que envolvem cálculos de superfícies totais. A atividade proposta a seguir exige a planificação como meio de chegar à solução do problema, visualizando o menor itinerário feito pela formiga.

Atividade 4 A luminária de uma lanchonete tem a forma de um cubo. Contudo, ela só possui faces laterais. As bases foram subtraídas para iluminar melhor o ambiente. Uma mosca e uma formiga estão sobre um mesmo vértice do cubo, como indicado na figura pelas letras M (mosca) e F (formiga). No vértice oposto da outra base, está uma gota de mel, que interessa a ambos os insetos. A mosca tem a vantagem de ter asas e poder voar. A formiga só pode andar pela superfície e pelas arestas da luminária.

Gota de mel

Indique qual o menor percurso que cada inseto deve fazer para alcançar a gota de mel. Admitindo que a aresta da base da luminária meça 3 dm, qual é o tamanho do percurso feito por cada inseto?

A mosca, voando, percorre a diagonal do cubo. Assim, seu caminho medirá: Mosca

___________ M = ®32 + 32 + 32 __ M = 3®3 ≅ 5,19 dm

No caso da formiga, temos de estudar algumas possibilidades. Uma delas é imaginar que ela percorre uma diagonal da face e depois uma aresta do cubo. Esquematicamente, temos: Formiga

Nesse itinerário, a formiga percorre: __ F = 3® 2 + 3 F ≅ 7,24 dm

Contudo, planificando-se a figura, encontramos outra situação, melhor que a primeira: F 3 cm

d mel 6 cm

Calculando-se o comprimento d teremos: Formiga

d 2 = 9 + 36 d 2 = 45 __ d = 3®5 ≅ 6,71 dm

Portanto, a formiga chegou depois. O menor caminho para ela chegar ao pingo de mel é passando pelo ponto médio de uma aresta.

O volume do prisma e o Princípio de Cavalieri O desenvolvimento das embalagens de produtos tornou-se um tema relevante nos dias de hoje, particularmente quando o assunto é preservação do meio ambiente. Além do tipo de material com que são fabricadas, elas devem ser bem dimensionadas, isto é, devem ter a melhor relação entre o volume interno e a quantidade de material utilizado. Além disso, na escolha do seu formato, deve-se considerar que, quando embaladas coletivamente, o espaço vazio entre elas seja o menor possível. Na natureza, encontramos uma situação similar: a construção dos alvéolos das abelhas. Observando-se a forma prismática dos alvéolos, percebe-se que eles respeitam uma exigência: a de permitir que, com uma mesma quantidade de cera, se construa um recipiente com maior volume para acondicionar o mel. O fato de as paredes dos alvéolos serem comuns, permitindo que não haja espaços vazios entre elas, remete-nos ao problema da pavimentação do plano, solucionado quando usamos triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Como a nossa situação é espacial, podemos imaginar a “pavimentação do espaço” com poliedros, particularmente com os prismas regulares retos de base triangular, quadrangular e hexagonal. O mote para a entrada na discussão sobre o volume dos prismas é saber qual deles

Matemática – 2a série – Volume 4

comporta o maior volume, supondo que tenham a mesma área lateral.

Com isso, conclui-se que a quantidade de cubinhos no paralelepípedo reto é igual ao produto da área da base (Abase), que corresponde à quantidade de cubos apoiados na base, pela altura (H), que corresponde à quantidade de camadas de cubos que preenchem completamente o sólido. Dessa forma, temos que o volume do paralelepípedo é: V = Abase . H Embora a generalização para o cálculo do volume de qualquer prisma possa ser uma passagem simples para os alunos, observamos a importância de, neste momento, apresentarmos e aplicarmos o Princípio de Cavalieri. O objetivo é a caracterização dos prismas como uma sobreposição de placas idênticas, o que será também explorado nos cilindros e na comparação entre o volume de diferentes sólidos.

Essa investigação exige que se aborde o cálculo do volume dos prismas. É isso que propomos agora. De maneira geral, a abordagem inicial sobre volume de prismas é aquela em que se toma um paralelepípedo reto e se determina quantos cubinhos de aresta de uma unidade de comprimento cabem no sólido.

Cálculo do volume do prisma pela decomposição e contagem de cubinhos

Para iniciar a discussão, o professor pode comentar com os alunos que na Geometria é mais simples calcular o comprimento de uma linha reta do que obter o comprimento de uma curva. Da mesma forma, é mais fácil calcular a área de um polígono convexo do que obter a área de uma região não poligonal, ou calcular o volume de um paralelepípedo do que de um sólido geométrico com outro formato. A busca de métodos generalizados para se calcular volumes levou matemáticos, como o geômetra italiano Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647), a imaginarem os sólidos como se fossem formados por camadas infinitamente finas (os indivisíveis).

Para Cavalieri, seguindo uma linha de raciocínio análoga à de Arquimedes, Galileu e Kepler, a linha era formada por pontos sem comprimento, a superfície por infinitas linhas sem largura e os sólidos eram interpretados por uma reunião de superfícies sem profundidade. No seu entendimento, era evidente concebermos as figuras planas como tecidos compostos de fios paralelos e os sólidos como livros, que são pilhas de folhas paralelas. Para apresentar o Princípio de Cavalieri, o professor pode utilizar cartas de baralho. Dispondo as cartas, uma a uma, em um formato como na Figura 1, o professor discute que o sólido final foi construído pela sobreposição de figuras planas. Peça, então, aos alunos que levantem hipóteses sobre o modo de calcular o volume do sólido construído. Em meio à discussão, as cartas devem ser arranjadas, deslizando-se uma sobre a outra e formando um paralelepípedo oblíquo (Figura 2). A discussão, então, deve ter foco na alteração ou não do volume do sólido. Ocorre que a forma muda, mas não o seu volume, pois o volume do sólido corresponde ao total de cartas, e este não muda quando as cartas deslizam uma sobre as outras. Fica, contudo, ainda a dificuldade de encontrar a forma de expressão do volume do sólido. Concluída essa etapa, deslizam-se as cartas novamente, criando a forma de um paralelepípedo reto (Figura 3), cuja expressão do volume é conhecida.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Por fim, o professor pode apresentar três montes de cartas com a mesma altura e com os três formatos diferentes e conduzir uma discussão em que se conclui que, de forma geral, tomados dois sólidos com bases de mesma área e sobre um mesmo plano, se todas as seções paralelas à base dos dois sólidos têm a mesma área, então, os dois sólidos têm o mesmo volume (Figura 4).

Figura 4

Matemática – 2a série – Volume 4

Retomando o problema das abelhas Para retomar o problema da relação entre volume interno e quantidade de material utilizado, propomos ao professor que siga na investigação sobre os alvéolos das abelhas a partir de uma atividade. A sugestão é que o professor divida a turma em grupos de três alunos. O professor distribui tarefas diferentes para cada grupo: alguns grupos construirão os alvéolos na forma de um prisma triangular regular, outros na forma quadrangular regular e o restante na forma hexagonal regular. Cada grupo trabalhará com duas folhas de papel sulfite. A primeira será utilizada para a construção da lateral do alvéolo. Deve-se apoiar o maior lado dessa folha sobre a mesa. A segunda folha será utilizada para formar a base do alvéolo; no momento não nos preocupamos como são fechados os alvéolos. Para alcançar a forma desejada, os alunos podem utilizar dobraduras. O aluno deverá considerar que os prismas regulares têm faces laterais retangulares e, assim, a folha destinada à construção das faces laterais pode ser dobrada para formar retângulos em quantidade correspondente ao número de lados do polígono da base do alvéolo. Terminada essa etapa, os alunos calculam o volume de um alvéolo a partir das medidas aproximadas, obtidas com régua, das arestas da base e da altura. Quando os grupos tiverem concluído a tarefa, o professor pode abrir o debate coletivo recolhendo os dados dos grupos e

comparando-os, de modo a concluir qual dos formatos estudados possui o maior volume. O professor pode aproveitar e comentar com os alunos que a finalidade das abelhas, quando constroem seus alvéolos de cera, é apenas fazer o recipiente para o mel que elas fabricam, e que isso não é produto do pensamento, mas de seu instinto. Nessa atividade, as abelhas utilizam-se de importantes fatos naturais que o homem elabora de forma consciente na forma de conceitos geométricos. De qualquer maneira, é interessante perceber que, no instinto animal, podemos identificar soluções para problemas humanos. Essa é, sem dúvida, uma forma instigante de promover a investigação científica. Caso o professor julgue interessante, pode explorar o mesmo problema de forma algébrica, supondo para a base triangular a medida de aresta x, para a base quadrada y, e para a base hexagonal z.

Perímetro do triângulo

Perímetro do quadrado

Perímetro do hexágono

Como o perímetro das bases é o mesmo (que corresponde ao lado maior da folha de papel sulfite), podemos escrever: 4y = 3x ⇒ y =

3x 4

6z = 3x ⇒ z =

x 2

3x = 4y = 6z ⇒

Portanto, as arestas da base dos três prismas são, respectivamente, x, 3x , x . 4 2 Os três prismas têm a mesma altura h (lado menor da folha de papel sulfite) e sabendo que o volume do prisma, já estudado anteriormente, é igual ao produto da área da base pela altura temos: Prisma triangular regular __ x2 . ®3 _______ Área da base A = 4 Volume V =

x . ®3 . _______ h 2

Prisma quadrangular regular 9x2 Área da base A = ____ 16 9x2 Volume V = ____ . h 16 Prisma hexagonal regular __ 3x2 . ®3 ________ Área da base A = 8 __ 3x2 . ®3 ________ .h Volume V = 8

Desse __ modo, tomando o valor aproximado ® para 3 = 1,7320, obtemos uma comparação entre os seguintes valores de volumes: Prisma triangular regular 0,4330 . x2 . h Prisma quadrangular regular 0,5625 . x2 . h Prisma hexagonal regular 0,6495 . x2 . h Esses dados nos permitem concluir que, entre os três prismas, o que maximiza o volume, com uma justaposição de lados, é o prisma hexagonal regular. O professor pode encontrar outros problemas de comparação entre área e volume nos livros didáticos e nos exercícios de vestibular. Vale ressaltar que, com os estudos dos cilindros, essa comparação pode ser mais bem explorada, pois a maioria das embalagens apresenta essas duas formas.

Considerações sobre a avaliação Na Situação de Aprendizagem 1, identificamos o formato dos prismas, as noções associadas a eles, seus elementos, suas relações métricas, o cálculo de áreas e volumes. Como dissemos anteriormente, a estrutura com que abordamos o prisma será retomada na caracterização dos outros sólidos que serão discutidos ao longo do bimestre. A aprendizagem dos alunos pode ser avaliada, inicialmente, a partir de situações que envolvam aspectos qualitativos dos prismas,

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como identificação da base e da altura e nomenclatura dos prismas, além de suas representações planas. Em seguida, sugerimos que a avaliação explore a determinação das diagonais, das áreas laterais e totais dos prismas, além do cálculo de seu volume. Uma sugestão é combinar dois prismas de bases diferentes, comparando suas superfícies e volumes.

Como os sólidos a serem tratados nas próximas Situações de Aprendizagem resgatam algumas especificidades do trabalho com prismas, o professor deve estar atento à capacidade do aluno em perceber as semelhanças e as diferenças entre as estruturas estudadas. Desse modo, a avaliação sobre prismas permanece de forma contínua a cada novo sólido estudado.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 CILINDROS: UMA MUDANÇA DE BASE tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: cilindros: conceituação, relações métricas, áreas e volume. Competências e habilidades: estabelecer analogias entre prismas e cilindros; visualizar sólidos formados por rotação; generalizar fatos observados em situações concretas; analisar dados e tomada de decisões. Estratégias: exploração de materiais concretos; exploração de situações que envolvem interpretação e análise de dados; resolução de situações-problema contextualizadas; leitura e interpretação de dados. Recursos: materiais concretos; situações-problema contextualizadas.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Nesta Situação de Aprendizagem, estudaremos outro tipo de sólido muito frequente no nosso cotidiano: os cilindros. Os cilindros podem ser imaginados como uma generalização dos prismas. De fato, podemos imaginar um cilindro como se fosse um prisma regular cuja base teve o número de lados sucessivamente aumentado, aproximando-se

de um círculo. A apresentação dos cilindros pode ser feita como a sugerida na apresentação dos prismas: recorre-se novamente à identificação desse formato em embalagens e estruturas do cotidiano. Exploradas as analogias entre cilindros e prismas, o professor pode abordar o cilindro como um sólido de revolução, apresentando, assim, uma nova estrutura de formação de sólidos.

Em diferentes contextos ao longo das séries do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, trabalhamos dois tipos de movimentos especiais: a translação e a rotação. Agora, vamos imaginar um tipo especial de movimento: a revolução. O movimento de revolução caracteriza-se pela fixação de um eixo e pelo movimento de rotacão completa da figura em torno deste eixo. Para apresentar o cilindro de revolução, o professor pode recortar um retângulo em um papelão, fixar, com fita adesiva, um barbante, passando-o de modo a dividir o retângulo em duas regiões, conforme a figura. Fazendo a figura girar em torno do barbante, observa-se que o movimento de revolução do retângulo em torno de um eixo gerou o cilindro. Desse modo, dizemos que o cilindro é um sólido de revolução. O mesmo acontece se, em vez de colocarmos o eixo passando pelo meio do retângulo, utilizarmos um de seus lados como eixo. O lado do retângulo recebe o nome de geratriz do cilindro.

A exploração dos sólidos gerados por revolução pode se tornar um pequeno projeto para os alunos. Com o uso de cartolina e palitos de churrasco, os alunos podem produzir modelos desses sólidos, identificando a sua geratriz e o eixo de rotação. Como exemplo, apresentamos o seguinte modelo: geratriz

eixo de rotação sólido de revolução

Das apresentações dos trabalhos, podem surgir discussões, como a da impossibilidade de construir prismas por rotações, ou da possibilidade de se estabelecerem outros eixos de rotação nas figuras. As atividades a seguir têm por objetivo explorar a visualização plana dos sólidos formados por revolução.

Atividade 1

eixo

Quais dos sólidos a seguir podem ser considerados sólidos de revolução?

geratriz do cilindro

eixo

a), c), d) e f).

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Atividade 2

O volume do cilindro

(Enem, 1999) – Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que estão apresentados na coluna da direita.

Uma estrutura atualmente muito comum e significativa para a exploração da ideia do volume do cilindro pode ser encontrada em um porta-CDs. De maneira intuitiva, podemos considerar o cilindro como uma figura espacial formada pela sobreposição ou empilhamento, em uma mesma direção, de círculos iguais uns sobre os outros.

B 2

A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.

Essa forma de ver pode ser explorada como análoga ao volume dos prismas, concluindo-se que o volume de um cilindro é produto da área da sua base pela altura: V = Ab . h. Aqui também pode ser aplicado o Princípio de Cavalieri. Considerando um prisma e

um cilindro de mesmas áreas de base, apoiados sobre um mesmo plano, qualquer plano que passar paralelo à base deve interceptar os dois sólidos, formando duas superfícies, S1 e S2, paralelas às bases do prisma e do cilindro, de mesma área. Dessa discussão, o aluno pode concluir que o volume de um cilindro, como no prisma, determina-se pelo produto da área de sua base pela altura. Nesse caso, a base é um círculo, cuja expressão da área será Ab = π . r2 logo, o volume será dado por: V = π r2 h.

Sabendo que a primeira custa R$ 2,30 e a segunda R$ 3,40, qual será a compra mais econômica? Marca A

Marca b 2h h

d O cilindro A tem raio da base igual a 2 e altura igual a 2h.

Logo,

ª º

As atividades a seguir têm por objetivo explorar situações que envolvem áreas e volumes de cilindros, procurando ainda uma combinação entre conteúdos tratados em outros bimestres.

Atividade 3 Latas de molho de tomate têm, geralmente, forma cilíndrica. Um consumidor encontrou duas marcas de seu interesse e observou os seguintes fatos: f a embalagem da marca A possuía o dobro da altura da embalagem da marca b; f a embalagem da marca b possuía o dobro do diâmetro da embalagem da marca A.

d d2 ___ 2h = π VA = π r 2 . 2h = π __ 4 2h ⇒ 2 d 2hπ ⇒ VA =_____ . 2 f

O cilindro B tem raio da base igual a d e altura igual a h.

Logo, VB = Ab . h = π d 2h. O volume da marca B tem o dobro do volume da marca A. Como o preço da marca A é maior que a metade do preço da marca B, é mais vantajoso comprar a marca B.

Atividade 4 Os reservatórios de gasolina dos postos geralmente são tanques no formato de um cilindro reto. Para avaliar o volume de combustível que ainda resta no cilindro enterrado no solo, o funcionário do posto utiliza uma

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régua, que é colocada verticalmente na boca do tanque até atingir o nível do combustível. Ao retirar a régua do tanque, o funcionário lê a graduação e determina a altura do nível do combustível consumido. Admitindo que o tanque tenha sido enterrado no sentido vertical, como ilustra a figura, e que tenha raio da base R = 1 m e altura H = 2 m, qual é o volume de combustível do tanque quando a régua registra altura d = 40 cm? 1m

Atividade 5 Com base na atividade anterior: a) Encontre a expressão que relaciona o volume V do combustível contido no tanque com a medida d da régua. V = π . R2 . H – π . R2 . d V = π . R2 (H – d). Sendo R = 1 m e H = 2 m, temos: V = 2π – d π, logo, V = π . (2 – d). b) Construa e analise o gráfico da função V(d). V (litros) 6 280

d = 40 cm

Apoiados na figura, observamos que o volume do combustível no tanque é igual à diferença entre o volume total e o volume do cilindro de altura d (volume de combustível consumido) e que suas bases são iguais. Podemos chegar à seguinte expressão: V = π . R2 . H – π . R2 . d. Substituindo os valores de R = 1 m, H = 2 m e d = 0,4 m, temos: V = π . 12 . 2 – π . 12 . 0,4, portanto, V = 2π – 0,4π. V = 1,6π ≅ 5,024 m3, isto é, aproximadamente, 5 024 litros. Terminado o problema, o professor pode continuar explorando outros fatos interessantes do mesmo problema.

d (metros) –1

c) É possível graduar uma régua para que sua leitura converta a medida em centímetros para o volume de litros armazenados no tanque? Se afirmativo, explique como fazê-lo. Sim, é possível. Observando o gráfico, a taxa de variação do volume em relação à medida d é constante. Tomando-se π = 3,14, essa taxa será de 314 litros a cada 10 cm.

314

628

942

Portanto, a régua poderá ser graduada aferindo a cada 10 cm da régua o volume de 314 litros. 1 256 ...

O próximo problema, embora contenha a mesma estrutura do anterior, difere na direção da instalação do cilindro, que agora é horizontal. Nos postos de gasolina, geralmente é essa a posição adotada para ser enterrado o cilindro. Essa nova situação vai exigir dos alunos alguns conhecimentos sobre fatos referentes ao círculo e sobre razões trigonométricas. Isso será uma boa situação para o professor rever o conteúdo do 1o bimestre (funções trigonométricas) e iniciar a exploração de áreas de setores circulares, necessários na planificação do cone.

Tanque de armazenamento

O professor pode, inicialmente, deixar os alunos buscarem seus próprios meios para resolver esta atividade. Algum tempo depois, pode auxiliá-los na interpretação do problema, discutindo semelhanças com relação à situação da atividade anterior. Uma primeira ideia que deve surgir é que, como lá, o volume do combustível será igual à diferença entre o volume total e o volume consumido. O cálculo do volume total é simples. O problema recairá sobre o cálculo do volume de álcool consumido.

Atividade 6 Vamos, agora, considerar um tanque de armazenamento de álcool com o mesmo formato indicado na atividade anterior. Contudo, agora ele está colocado na posição horizontal, como indica a figura. Do mesmo modo, para medir a quantidade de álcool do tanque, utiliza-se uma régua e o procedimento é o mesmo da atividade anterior. Suponha que o tanque tenha o formato de um cilindro com 1 m de raio de base e 4 m de altura. Qual é o volume de álcool consumido quando a régua registra a marca d = 30 cm?

0,3 m

Como estamos acostumados a ver os sólidos com a base na horizontal, uma ideia é mudarmos a direção do tanque de horizontal para vertical (figura a seguir).

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A área do segmento circular pode ser calculada pela diferença entre a área do setor circular e a área do triânguo isósceles AOB. Vamos dividir a resolução em etapas: a) Área do setor circular:

R H

Setor circular é a porção do círculo limitada por dois raios e um arco do círculo. Para determinar a área do setor circular, precisamos da medida do ângulo central a ele correspondente, que indicaremos por θ. régua d = 0,3 m

Crie um debate na sala, de modo que os alunos concluam sobre a necessidade de calcular o volume do sólido destacado, que representa o volume do álcool consumido. Explorando a ideia relativa ao Princípio de Cavalieri, os alunos devem chegar à conclusão de que o volume do sólido é igual ao produto da área de sua base pela altura. A altura é igual ao comprimento do cilindro. O problema, portanto, reside em determinar a área da base. Essa região do círculo recebe o nome de segmento circular, que é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo.

R =1

0,3 m

0,7 m

A 1m

segmento circular

O valor deste ângulo θ pode ser determinado se dividirmos o triângulo isósceles AOB, a partir da altura relativa ao vértice O. Assim, o ângulo θ também será dividido ao meio e o novo triângulo será retângulo.

θ pode ser encontrada a 2 t 0,7 partir de seu cosseno: cos __ = ____ = 0,7. 2 1

c) Área do segmento circular (A): A = Asetor – Atriângulo = 0,785 – 0,5 A = 0,285 m2.

Desse modo, devemos determinar qual o arco cujo cosseno seja igual a 0,7.

Retomando o volume do combustível consumido (V1):

A medida do ângulo

0,7 m 1m

θ 2

V1 = A . H = 0,285 . 4 V1 = 1,14 m3, isto é, V1 = 1140 litros. 1m

Consultando uma tabela trigonométrica ou __ ®2 por estimativa, admitindo que ____ ≅ 0,7, 2 θ __ teremos que cos ≅ 0,7 e, portanto, o valor 2 θ __ de ≅ 45°. O ângulo do setor circular pode 2 ser considerado, então, próximo de 90º, e sua 1 área equivalerá a da área total do círculo. 4 Como a área do círculo é Acírculo = π . 12 = π, π a área do setor será Asetor = __m2. 4 Adotando π = 3,14, temos que; 3,14 Asetor = _____ = 0,785 m2. 4 b) Cálculo da área do triângulo: Uma vez que o ângulo do setor é de 90º, o triângulo AOB é retângulo em O e, portanto, 1.1 1 sua área será: Atriângulo = ____ = __ = 0,5 m2. 2 2

Então, a resposta do problema proposto é que foram consumidos 1 140 litros de álcool. Terminada essa atividade, o professor pode pedir aos alunos que investiguem, em postos de gasolina, como é medido o estoque de combustível nos tanques. Atualmente, há processos sofisticados de medições desses volumes. Dispositivos são instalados no interior dos tanques e fornecem em tempo real, em um painel, a conversão da altura ao volume do combustível disponível. Nos postos mais antigos, o estoque é calculado pela combinação da “régua de medição” com uma tabela específica de conversão. O professor também pode, julgando o tempo suficiente, distribuir para diferentes grupos de alunos valores diferentes de d e, agrupando-os em uma tabela, propor a construção do gráfico do volume armazenado no tanque em função de d − V(d), e de θ − V(θ). Neste último, dado θ em radianos, a interseção com os eixos coordenados será em (2π,0), quando o ângulo θ assume seu maior valor e o volume do tanque é zero, e em (0,4π), situação que representa o tanque totalmente cheio.

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V (l) 4 π ≅ 12,56 12 10 8 6

2 –2

2 π ≅ 6,28 0

θ (rad) 10 8

A situação que propomos a seguir pode tornar-se um tema interdisciplinar entre as áreas de Matemática, Física e Química. O problema propõe um modelo bastante aproximado para o cálculo do volume de ar contido em um pneu, pela interpretação dos dados nele impressos. Uma situação como essa envolve muitas outras considerações, como as referentes à pressão e à temperatura, que não são consideradas no problema, mas que podem ganhar significado quando tratadas juntamente com professores de Física e Química.

Atividade 7 – O volume de ar de um pneu Todo pneu de automóvel possui um código alfanumérico que traz especificações sobre suas dimensões e características. Vamos explorá-lo:

P 245 / 45 R19 1 –P 2 – 245 3 – 45 4 –R 5 – 19

1. A letra P, que não aparece em todos os pneus, indica que se trata de um pneu para veículos de passeio. 2. A largura do pneu ou da sua banda de rodagem é dada em milímetros. 3. A altura lateral do pneu é indicada pelo porcentual da largura da banda de rodagem. Também recebe o nome de série. 4. A letra R significa que o pneu é de construção radial. Sua estrutura é formada por camadas de lonas dispostas paralelamente e em sentido radial. A ausência dessa letra significa que o pneu é de construção diagonal, sendo as lonas cruzadas uma em relação às outras. 5. Refere-se à medida do diâmetro do aro da roda. Ele é dado em polegadas (1 pol ≅ 2,54 cm).

Considerando um pneu como um modelo de um cilindro vazado, podemos propor o cálculo aproximado do volume de ar que ele comporta. Para o cálculo do volume aproximado do ar contido no pneu, com as especificações acima, temos que encontrar o diâmetro total da roda do carro, para então podermos calcular o seu volume. Esse diâmetro pode ser obtido somando-se o diâmetro da roda interna com o dobro da altura do pneu.

V = π . (35,16)2 . 24,5 – π . (24,13)2 . 24,5 V = 50 309,81 cm3. Portanto, o volume de ar contido neste pneu é de, aproximadamente, V ≅ 50,31 litros.

Atividade 8 A recauchutagem de pneus é uma importante alternativa ambiental na reciclagem da borracha. De forma simples, recauchutar um pneu significa aproveitar sua estrutura resistente (correspondente a 75% do pneu) e incorporar uma nova camada de borracha em “seu piso”. © Conexão Editorial

O pneu da figura, por exemplo, está identificado com o código P245/45 R19. Portanto, ele é um pneu de carro de passeio, possui uma largura de 245 mm; como a altura do pneu é 45% da largura, ela mede 245 . 0,45 = 110,25 mm ou 11,025 cm; e o diâmetro da roda interna mede 19 polegadas, ou 19 . 2,54 = 48,26 cm.

24,5 cm 35,16 cm

X XX

M +S

diâmetro da roda

RA D

L IA

O raio do cilindro interior será de 24,13 cm e o do exterior 35,16 cm. O volume do cilindro vazado, que corresponde ao valor aproximado do volume do ar será:

altura do pneu

205/65R15

24,13 cm

Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = = 48,26 cm + 2 . 11,025 cm = 70,31 cm.

O pneu da figura está identificado com o código 205/65 R15.

11,025 cm

Supondo que seu piso esteja liso e que se decida recauchutá-lo, qual área da superfície do pneu a nova camada vai sobrepor?

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Os dados do pneu permitem-nos concluir que sua largura é de 205 mm, sua altura é 65% da largura, o que corresponde ao seguinte cálculo: 205 . 0,65 = 133,25 mm, isto é, 13,325 cm, e o diâmetro da roda interna mede 15 polegadas que, convertidas em centímetros, correspondem a 15 . 2,54 = 38,1 cm. Dessa forma, é possível determinar o diâmetro da roda do carro acrescentando à medida do diâmetro interno da roda o dobro da altura do pneu: altura do pneu diâmetro interno da roda

Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = = 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm Tomando novamente o cilindro como modelo do pneu, o problema resume-se em achar a área da sua superfície lateral, que é um retângulo, de altura 20,5 cm e medida da base

igual ao comprimento da circunferência do pneu. Lembrando que a relação entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro é dada pela fórmula C = π . D, o comprimento da circunferência do pneu é de, aproximadamente, Cpneu = 3,14 . 64,75 = 203,32 cm. Assim, a área da superfície do pneu, na qual vai ser inserida a nova camada de borracha, será: A = 203,32 . 20,5 = 4 168,1 cm2, isto é, A = 0,417 m2.

Considerações sobre a avaliação Após as primeiras Situações de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos tenham adquirido um método de exploração de figuras no espaço com as características de prismas e cilindros. A seleção das atividades foi feita considerando-se um contexto e uma possibilidade de articulação com outros conceitos geométricos. O trabalho com o círculo e a circunferência, iniciado com os cilindros, aprofunda-se no estudo dos cones. Portanto, alguns aspectos tratados nesta Situação de Aprendizagem retornarão mais à frente, o que merecerá a atenção do professor.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 O MOVIMENTO DE ASCENSÃO: PIRÂMIDES E CONES tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: pirâmides e cones: significados, relações métricas, áreas e volume. Competências e habilidades: visualizar e representar pirâmides e cones; enfrentar situações-problema que envolvem a identificação e os cálculos de áreas e volumes de figuras na forma de pirâmide ou cone; fazer generalizações a partir de experiências. Estratégias: trabalhos em grupos; atividades sobre pirâmides e cones; proposição de situações-problema contextualizadas; atividades de demonstração. fantasia e representou o movimento de ascensão na Geometria, criando, assim, a pirâmide.

Talvez a manifestação mais contundente do interesse humano pela ascensão possa ser encontrada no Egito. A pirâmide de Quéops representa esse sonho do ser humano de alcançar o céu e as estrelas. Vendo de perto, observa-se que as pirâmides são construídas como uma enorme escadaria, que tem no conhecimento da forma prismática sua estrutura. Foi apoiado nesse conhecimento que o ser humano realizou sua

Não é sem motivo que, em muitas definições etimológicas da palavra pirâmide, destaca-se o prefixo pira, cujo significado é “fogo”, igualmente alusivo à ascensão.

Roteiro para a aplicação da Situação de Aprendizagem 3

De forma geral, com os conhecimentos e métodos discutidos nas outras Situações de Aprendizagem, os alunos estão preparados para intuir muitas noções envolvidas no estudo de pirâmides.

Matemática – 2a série – Volume 4

A apresentação e a manipulação da pirâmide, a partir de embalagens, pode ser interessante. Aqui, surge uma boa oportunidade para o professor trabalhar a confecção de pirâmides com diversos recursos: f utilizando a sua planificação, o que pode ser encontrado em vários livros didáticos que tratam sobre o tema; f utilizando linhas e canudos. Um tetraedro regular, por exemplo, pode ser confeccionado com seis canudos e um pedaço suficiente de linha de costura. Detalhes e outras construções são encontrados na RPM, nº- 28, 1995, p. 29; f usando modelos formados por bolinhas de isopor e palitos de churrasco. As bolinhas são os vértices e os palitos as arestas.

Discutidas as semelhanças, podemos destacar a diferença: a pirâmide é um sólido que se “afunila”. Essa característica será retomada no estudo dos cones. A seguir, propomos algumas atividades com o objetivo de explorar os fatos fundamentais das pirâmides relativos às suas relações métricas.

Atividade 1 Dado um cubo, quando unimos, por segmentos de reta, os centros de suas faces, obtemos um novo poliedro: o octaedro regular (do grego octo – oito – e edro – face). Ao proceder do mesmo modo com um octaedro, obtemos, no seu interior, um cubo. O octaedro regular e o cubo são chamados, em razão disso, de poliedros duais.

Aqui, como nas outras Situações de Aprendizagem, o aluno deve estar consciente de que, embora esteja visualizando a “carcaça” das pirâmides, devemos considerá-las como sólidos maciços.

que forma sua base e elas podem ser retas ou oblíquas, dependendo da posição entre a altura e a base.

Com a visualização e a manipulação das pirâmides, podemos discutir alguns fatos semelhantes aos prismas: suas faces também são polígonos, seus nomes dependem do polígono

A figura representa o dual cubo-octaedro. O octaedro representado é uma figura espacial que pode ser obtida reunindo-se, pela base, duas pirâmides idênticas de base quadrada.

Todas as arestas desse octaedro têm o mesmo comprimento, logo, suas faces são triângulos equiláteros. Considerando o octaedro regular de aresta 20 cm, determine: a) a altura das faces laterais do octaedro; b) a área da superfície do octaedro; c) a altura do octaedro; d) a área da superfície do cubo. Antes de resolver a atividade, pode-se propor aos alunos a confecção do octaedro com bolinhas de isopor e palitos. a) As faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros de lado 20 cm. Para calcular a altura h (apótema da pirâmide regular) de uma das faces, podemos observar que ela é o cateto de um triângulo retângulo de hipotenusa 20 cm e com o outro cateto de 10 cm.

b) Cada face do octaedro é um triângulo __ de ® medida de base 20 cm e altura h = 10 3 cm; sua área será: __ __ 1 Aface = __ . 20 . 10® 3 ⇒ Aface = 100® 3 ≅ 173 cm2. 2 Logo, a área da superfície do octaedro será A = 8 . 173 = 1 384 cm2. c) Observando somente uma das pirâmides que compõem o octaedro, percebemos que a sua altura h’ é um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a altura da face lateral e o outro cateto tem medida igual à metade do lado do quadrado da base. h’ 2 + 102 = h2 h’ 2 = 300 – 100 = 200 __ h’ = 10®2 Logo, a altura do octaedro é H = 2h’, ou seja, __ ® H = 20 2 , H 7 28,2 cm.

A 10 cm H

h2 + 102 = 202

__ h2 = 300, logo, h = 10®3 cm

10 cm C

d) Observamos que a aresta do cubo é igual __ à altura do octaedro, ou seja, ® 20 2 cm. Logo,__a área de uma face do cubo é Af = (20® 2 )2 = 800 cm2 e a área da superfície total do cubo é A = 4 800 cm2.

Matemática – 2a série – Volume 4

Volume da pirâmide A discussão sobre o volume da pirâmide é um momento interessante do curso. A analogia aplicada entre o volume do prisma e do cilindro não faz sentido, no caso da pirâmide.

Para iniciar a discussão, o professor pode propor um levantamento de hipóteses sobre como calcular o volume da pirâmide. Em uma comparação com um prisma de mesma base e altura, pode-se concluir que seu volume será menor. Mas a questão é: quanto? No debate, o professor pode registrar na lousa as hipóteses dos alunos para, depois, compará-las com o fato de o volume desta pirâmide ser um terço do volume do prisma. A partir desse momento, o importante é encontrarmos um meio de significar o fa-

tor 1 que caracteriza o cálculo do volume 3 dos sólidos com afunilamento, como as pirâmides e os cones.

bases com áreas iguais

A seguir, propomos uma experiência que tem por objetivo facilitar a compreensão do cálculo do volume da pirâmide. Nessa experiência, os alunos, em duplas, trabalharão com cortes em um pedaço de sabão. Para isso, necessitamos de pedras de sabão em formato de um paralelepípedo reto-retângulo e de uma faca ou estilete. É importante que o professor, antes de aplicar esta atividade, tenha construído o seu modelo. Ele será útil para acompanhar o trabalho dos alunos, podendo ser apresentado em caso de dúvidas. Para esta experiência, é importante que o professor tenha discutido com os alunos o fato de duas pirâmides de mesma base e mesma altura terem o mesmo volume.

Encontrando o volume da pirâmide em uma barra de sabão Gravura/instrução

1. Tomamos por base uma barra de sabão no formato de um paralelepípedo retoretângulo. Fazemos um corte na diagonal das bases, obtendo, assim, dois prismas de bases triangulares. Cada aluno deve ficar com um desses prismas.

2. Seccionamos o prisma de base triangular com uma faca, segundo o plano que passa por um vértice da base e pela diagonal das faces laterais.

3. Separando as partes, o pedaço menor será uma pirâmide de base triangular (P1) e o pedaço maior uma pirâmide de base quadrangular (P2). Indicamos pela letra x as faces obtidas na seção. Isso nos ajudará a compor o prisma novamente.

4. Apoiando a pirâmide (P2) sobre sua base (que é um retângulo), fazemos um corte que parte do seu vértice e encontra a diagonal da base.

5. As duas pirâmides obtidas por esse corte terão o mesmo volume, pois elas têm a mesma altura (vértice comum) e área da base igual (metade da área do retângulo). Indicamos as faces obtidas pela seção pela letra y. Observe que uma delas terá as indicações x e y e a outra somente a y.

6. Comparando a pirâmide de base triangular obtida no primeiro corte (P1) com a pirâmide que só possui a etiqueta y, verificamos que elas têm a mesma altura e área da base igual. Seus volumes, portanto, também são iguais.

Fotos: © Fernando Favoretto

Gravura/instrução

Matemática – 2a série – Volume 4

Por meio dessa atividade, observamos que o prisma de base triangular, cujo volume é o produto da área da base pela altura, foi decomposto em três pirâmides de base triangular de mesmo volume. Assim, cada uma das pirâmides terá, por volume, um terço do volume do prisma. Dessa forma, chegamos à expressão: 1 Vpirâmide = ___ Abase . h 3 Para generalizar essa situação para o cálculo do volume de uma pirâmide cuja base não seja triangular, podemos mostrar que toda pirâmide pode ser decomposta em pirâmides de bases triangulares justapostas:

A seguir, apresentamos algumas atividades que pretendem explorar o cálculo do volume das pirâmides articulados a outros conceitos geométricos.

Atividade 2 Uma pirâmide de base triangular é um sólido de 4 faces, chamado de tetraedro. Um tetraedro regular (faces são triângulos equilá__ 2 ® teros) tem área total igual a 8 3 cm . a) Desenhe o tetraedro e o seu dual, ou seja, o poliedro cujos vértices são os centros das faces do poliedro dado.

A3 A2 A1

1 1 1 Vpirâmide = __A1 . H + __ A2 . H + __ A3 . H 3 3 3 1 Vpirâmide = __ H (A1 + A2 + A3) 3 1 Vpirâmide = __Abase . H 3 Aqui, temos generalizada a expressão. Tratando-se de uma experiência, é oportuno que o professor peça a redação de um relatório. Nele, podem constar os detalhes da execução da tarefa, as interpretações de cada passo, as representações planas dos sólidos criados e uma análise sobre as hipóteses levantadas e o resultado alcançado.

b) Encontre o volume do tetraedro maior. Como são quatro faces de mesma área (triângulos equiláteros), temos que __ a área de um __ A ® 3 8 T triângulo equilátero é ___ = _____ = 2 ®3 cm. 4 4 A área de um triângulo equilátero pode ser calculada por: __ __ __ l 2®3 ®3 _____ 2 ____ ⇒ 2®3 = ⇒ l 2= 8 ⇒ A=l 4 __ 4 l = 2®2 cm Para o cálculo do volume, precisamos da medida da altura da pirâmide. A partir do desenho a seguir, observamos que ela é um dos catetos de um triângulo retângulo em que a hipotenusa é a altura de uma das faces, e o 1 outro cateto mede da medida da altura da 3 face, pois corresponde ao apótema do triângulo equilátero.

O cone h = 6 cm h

6 cm 3

A altura da face é encontrada aplicando-se a expressão: __ __ __ __ 2®2 . ®3 l ®3 ____ ________ ⇒h= ⇒ h = ®6 h= 2 2 Por Pitágoras, escrevemos que: __ 2 __ 2 ®6 ____ ª ®6 º = + H2 3

ª º

6 48 H2 = 6 – __ = ___ 9 9__ ___ ® 48 4 3 H = ___ = _____ cm 9 3 Portanto: __ __ 4 ®3 8 1 ® _____ 1 __ __ = __ ≅ 2,67 cm3 V = Ab . h = . 2 3 . 3 3 3 3

Observação: Podemos calcular o apótema da pirâmide usando semelhança de triângulos (ver figura a seguir):

2®2

®6

®2

__ ®__ a__ 2 ____ = ____ ®2 __ ®6 __ ®2 .__®2 ________ Logo: a = ®6 __ ®6 a = ____ cm. 3

®2

A noção de cone é sugerida, na prática, por diversos objetos do nosso cotidiano: chapéu de aniversário, cone de sorvete e cones de sinalização são alguns exemplos. A discussão inicial sobre os cones pode ser feita como foi proposta para as pirâmides e os prismas. Aqui, podemos destacar as suas semelhanças e diferenças com relação aos cilindros e também às pirâmides. A apresentação do cone também pode ser feita como um sólido de revolução, tomando-se um triângulo retângulo e fazendo-o girar em torno de um de seus catetos. A hipotenusa torna-se a geratriz do cone. V

h r

O trabalho com setores circulares que apareceu na Situação de Aprendizagem 2 agora é aprofundado, pois se trata das superfícies laterais dos cones circulares retos. Esse momento é oportuno para explorarmos fatos básicos da circunferência e do círculo, dando preferência para noções que envolvem proporcionalidade. O tratamento do volume do cone pode ser feito aplicando-se o Princípio de Cavalieri, em uma comparação entre o volume da pirâmide e do cone, de forma análoga ao que fizemos com o cilindro e o prisma. Outra abordagem é imaginar pirâmides de mesma altura, inscritas no cone, com número de lados cada vez maiores, aproximando a área da base à área do círculo.

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As atividades que propomos a seguir têm a finalidade de destacar fatos fundamentais do cone e aplicá-los em atividades contextualizadas.

Atividade 3 – A construção dos cones Vamos construir setores circulares a partir de círculos de 10 cm de raio desenhados em uma folha de papel sulfite. Observe que, para cada setor, construímos também o setor do seu replementar, isto é, cuja soma é igual a 360º. a) 60º

b) 120º

c) 90º

d) 270º

Terminada a construção, recorte os setores. a)

60º

120º

90º

d) 270º

Atividade 4 Tomando os setores da atividade anterior, use fita adesiva para unir os raios, de modo a formar figuras parecidas com chapéus de festa de aniversário. Cada uma dessas figuras corresponde à superfície lateral de um cone, e os raios desses setores constituem a sua geratriz.

Observando cada um dos modelos criados, procure completar os dados da tabela a seguir: Ângulo central α

área do setor circular A

Raio da base r

Altura do cone h

60º 90º 120º 270º Aqui, professor, o aluno é levado a investigar as relações entre a geratriz, o raio da base e o comprimento do setor circular. Todos os cálculos são obtidos com o uso de proporcionalidade. Vamos detalhar os cálculos para o setor de 120º: A área do círculo original é: A = 100 π e seu comprimento é C = 20 π logo, a área 1 do setor será __ deste valor, portanto 3 1 __ Asetor = . 100π cm2 e seu comprimento será 3 1 __ Csetor = . 20π cm. 3 Como o comprimento do arco representará o comprimento da base, podemos concluir que 1 Cbase = Csetor = __ . 20π logo, se r é o raio da 3 10 1 base, 2πr = __ . 20π e, portanto, r = ___ cm. 3 3 Observando a figura, observamos que a altura, o raio da base e a geratriz são lados de um triângulo retângulo em que a geratriz é a hipotenusa. Aplicando o teorema de 2 10 Pitágoras, teremos 10 2 =__h 2 + ___ , do que 3 20®2 ______ 2 se conclui que: h = cm . 3

ª º

Ângulo central α (graus)

Área do setor circular A (cm2)

Raio da base r (cm)

60º

50π 3

5 3

90º

25π

5 2

120º

100π 3

10 3

270º

75π

15 2

Professor, ao final da atividade, podese sugerir aos alunos que generalizem essa situação, como apresentada a seguir. Devemos destacar, contudo, que não há necessidade de memorização das fórmulas. Todo o cuidado com a atividade é que o aluno construa as relações de forma visual e que as determine pelo uso da proporcionalidade. 2πr g

g r g

{

______ 2 2 2 2 ® r = g – h ⇒ r = g______ – h2 g2 = h2 + r2 ⇒ 2 h = g2 – r2 ⇒ h = ®g2 – r2 Sendo a o ângulo central do setor circular, os alunos podem identificar a expressão: ag 360° . r a 2πr = _____ 2πg ⇒ r = _____ ⇒ a = _______ g 360° 360°

Altura do cone h (cm) ________ ____ ___ 25 875 ______ 5®35 ___ ____ 100 – = = 9 9 3 ___ ________ ____ 25 375 ______ 5®15 ___ ____ 100 – = = 4 4 2 _________ ____ __ 100 800 ______ 20®2 ____ ____ 100 – = = 9 9 3 ____ _________ __ 225 175 _____ 5®7 ____ ____ 100 – = = 4 4 2

Atividade 5 Os para-raios foram inventados pelo político e cientista norte-americano Benjamin Franklin (1706 - 1790). Eles são constituídos por uma haste condutora fixada verticalmente na parte mais alta de uma estrutura, seja ela um edifício, um poste ou uma antena. Segundo estudos experimentais da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), o campo de proteção oferecido por um para-raios é aquele abrangido por um cone, tendo por vértice o ponto mais alto da haste vertical, cuja geratriz forma um ângulo de 60º com essa haste. Geralmente, a medida das hastes é de, aproximadamente, 1 m. Com base nessas informações, faça a representação e determine a área aproximada da base do “campo de proteção” oferecido por um para-raios disposto sobre uma antena de 79 m de altura. A base do campo de proteção é um círculo de raio R, que pode ser determinado por __ R tg 60º = , logo, R = 80 . ®3 ≅ 138,56 m. 80

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Dessa forma, a área de proteção será determinada pela seguinte expressão: A = π . R2 ≅ 3,14 . 19198,87 A = 60 284,46 m2. 60º

79 m

base do campo de proteção

A atividade a seguir foi selecionada do vestibular da Unesp por propor uma situação-problema de contexto social e por abordar o tronco de cone, o que remete à semelhança de triângulos e proporcionalidade.

Atividade 6

Por outro lado, em uma praça de uma certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação π = 3, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual. Dado: 1 000 cm3 = 1 litro. Inicialmente, devemos analisar os dados da atividade. O trabalho com troncos de cone sugere que completemos o desenho, reconstruindo o cone que o gerou. Esse procedimento permite aplicar a proporcionalidade nas semelhanças de triângulos observadas.

30 cm

(Unesp, 2007) – Em uma região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de 30 cm de altura e base com 12 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto, cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura.

O’ 12 cm

B’ 10 cm 10 cm

O 6 cm A’

A V

Os triângulos VOA e VO’B são semelhantes pelo caso AA, com razão de semelhança OA 6 1 k = ____ = ___ = __ . O’B 12 2

12 cm

Assim, os cones VAA’ e VBB’, de volumes v e V, respectivamente, são semelhantes, com razão entre os volumes 3 v v 1 1 __ __ __ 3 ⇒ ⇒ v = __ V = k = V V 2 8

6 cm

1 Como V = __ π . 122 . 20 = 960π cm3, temos 3 1 v = __ . 960π = 120π cm3. 8

30 cm

10 cm

ª º

Assim, o volume do tronco é 960π – 120π = 840π cm3.

a observar figuras tridimensionais e abstrair

Finalmente, o volume do chuveiro é igual ao volume do cilindro de raio da base 12 cm e altura 30 cm mais o volume do tronco, ou seja, π . 122 . 30 + 840π = 5 160π cm3. Adotando π = 3, obtemos 5 160 . 3 = 15 480 cm3 = 15,48 litros.

nais, alturas, arestas, vértices, geratrizes, etc.

Logo, o número de dias de gotejamento necessários para se desperdiçar o volume de 6 chuveiros é 6 . 15,48 = 2 dias. 46,44

delas seus elementos estruturais, como diagoAs formas estudadas e suas combinações fazem parte de muitas estruturas espaciais que observamos no nosso entorno. Caixas-d’água, monumentos, embalagens e dados de jogos de tabuleiros são alguns exemplos disso. Também se espera, neste momento, que o aluno apresente domínio sobre as relações métricas aprendidas até aqui. Insistimos na necessidade de representação das situações

No Caderno do Aluno são apresentadas duas atividades (Enem e Fuvest) envolvendo o tema abordado nesta Situação de Aprendizagem.

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos tenham aprendido

apresentadas no problema como caminho para sua resolução. Em muitas das situações apresentadas, foram necessárias aproximações e estimativas de valores, além do trabalho com várias unidades de medidas. A avaliação dos resultados é também um passo importante no processo de resolução da atividade.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 ESFERA: CONHECENDO A FORMA DO MUNDO tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: esfera: noções fundamentais, hemisfério, fuso, cunha, coordenadas geográficas, volume da esfera e área da superfície esférica. Competências e habilidades: interpretar e localizar pontos na esfera; enfrentar situações-problema; interpretar dados para tomada de decisões; aplicar conhecimentos sobre esfera em situações de contexto. Estratégias: manipulação de objetos; articulação entre conhecimentos adquiridos; comparação entre sólidos; resolução de problema; localização na esfera.

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Roteiro para a aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Já havendo construído várias formas básicas da geometria espacial métrica, os alunos agora estarão diante de um formato muito familiar: a esfera. Em sua forma simples e regular, sem bases, sem arestas, sem apótema, encontramos dificuldades em sua planificação e nas demonstrações das expressões do cálculo da área de sua superfície e volume. O trabalho com a esfera, contudo, permite uma série de associações relativas ao nosso planeta. Temas como latitude, longitude e fusos horários, presentes em outras áreas do conhecimento, como a Geografia, tornam-se motivadores e permitem uma construção significativa de conceitos relativos à esfera e a nossa vida. A aprendizagem da esfera permite criar uma oposição entre a geometria plana euclidiana e a esférica, não euclidiana. Essa oposição pode auxiliar, como a régua e o compasso, para a compreensão do espaço real.

Esfera Professor, como feito anteriormente, é recomendável levar aos alunos objetos em forma de esferas, como uma bola, esferas de isopor, globo terrestre, limões e laranjas. Embora as três últimas não tenham exatamente a forma de uma esfera, elas servem como interessantes modelos a serem explorados em sala de aula.

Instigue seus alunos a criar uma definição para a esfera. Será possível fazê-la com o processo de sobreposição? E com o de revolução? Como sugestão, o professor pode recortar um círculo de papelão e fixar, com fita adesiva, um barbante, passando por um diâmetro. Faça a figura girar em torno do barbante e estimule os alunos a observar que o movimento de rotação do círculo em torno de um eixo gerou uma figura espacial: seu nome é esfera. Haverá outra forma de gerar uma esfera por revolução? Aqui, o professor pode apresentar a ideia da revolução de um semicírculo. O professor pode pedir aos alunos que registrem no caderno suas definições individuais para depois serem debatidas no grupo. O professor pode abrir um debate para construir a definição junto ao grupo, observando a adequação dos termos empregados.

Uma esfera é o resultado da revolução de um círculo ou semicírculo em torno de um eixo que passa pelo seu diâmetro. A superfície esférica pode ser interpretada do mesmo modo que entendemos a circunferência, ela é o conjunto de todos os pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo, chamado centro da esfera.

Como a área do fuso é proporcional ao ângulo α, as atividades podem ser resolvidas por proporcionalidade, tomando-se a área da superfície esférica como a correspondente a 360º.

Cunha esférica é uma parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno do eixo que contém o seu diâmetro de um ângulo de 0º a 360º.

Fusos e cunhas Uma vez definida a esfera como um movimento de revolução completa de um semicírculo, podemos sugerir aos estudantes uma investigação sobre o que aconteceria se ela não completasse uma volta. O trabalho com fusos e cunhas é particularmente interessante por permitir a interpretação de várias situações contextualizadas, como os fusos horários. Um fuso esférico é a superfície que se obtém quando giramos uma semicircunferência em torno do eixo que contém seu diâmetro em um ângulo de 0º a 360º. Esse ângulo será denotado pela letra grega α.

Observe, com os alunos, que a área da superfície da cunha esférica é composta por dois semicírculos de raios iguais ao da esfera, o que resulta em um círculo completo, mais a área do fuso. Já seu volume é proporcional ao ângulo α.

Como o volume da cunha é proporcional ao ângulo α, as atividades podem ser resolvidas também por proporcionalidade, tomando-se o volume da esfera como o correspondente a 360º.

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A seguir, propomos algumas atividades que podem ser resolvidas recorrendo à proporcionalidade, evitando formalizações e memorizações de fórmulas.

Atividade 1 Uma semicircunferência faz uma rotação de 30º em torno do eixo que passa sobre seu diâmetro. Qual fração o fuso representa em relação à superfície da esfera gerada pela rotação completa dessa semicircunferência? 30º representa

1 da superfície total da esfera. 12

Atividade 2 Hemisfério (hemi significa “meio”) ou semiesfera é cada uma das partes de uma esfera dividida por um plano que passa pelo seu centro. a) Qual é a porcentagem do volume do hemisfério em relação ao volume da esfera? 50% b) Qual é a porcentagem de um quarto da superfície do hemisfério terrestre em relação à superfície total da Terra? 12,5%

Atividade 3 Em 1884, 25 países estabeleceram uma divisão da superfície terrestre em 24 fusos de mesmo tamanho. A divisão tomou por base o movimento de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo, isto é, um giro de 360º, que dura, aproximadamente, 24 horas.

a) Encontre a medida do ângulo correspondente a cada fuso. Dividindo-se 360º por 24, temos 15º. b) Se cada fuso corresponde a uma hora, qual é a porcentagem da superfície terrestre correspondente a 6 horas? Seis horas são seis fusos, que correspondem a 1 90º, o que equivale a da superfície terres4 tre. Portanto, sua porcentagem será de 25%. Cada fuso é determinado por dois meridianos. Meridiano é a interseção de um plano com a superfície esférica, passando pelo centro da esfera. Os pontos de encontro do eixo com a superfície da esfera são chamados de polos. Todas as localidades que estão no interior do mesmo fuso têm a mesma hora local. O fuso referencial para a determinação das horas é o Meridiano de Greenwich, que pode ser indicado pela sigla GMT (Greenwich Meridian Time). Greenwich é uma cidade da Inglaterra onde se localiza o Observatório Real. Como a Terra gira de Oeste para Leste, as horas são adiantadas em uma hora a cada fuso, se caminharmos no sentido Leste, e diminuídas em uma hora, no sentido Oeste. A longitude é a medida, em graus, do ângulo entre o meridiano que passa pelo local e o Meridiano de Greenwich. A longitude varia de 0º a 180º, tanto para Leste como para Oeste. Todos os pontos situados no mesmo meridiano têm a mesma longitude.

Polo Norte Meridiano de Greenwich P

A latitude é a medida, em graus, do ângulo entre o paralelo que passa no local e o Equador. Essa medida varia de 0º a 90º, tanto para o Norte quanto para o Sul. No globo, a localidade A está na latitude 45º Norte. 90º N

45º N

Polo Sul

Quando cortamos uma laranja no sentido transversal (perpendicular ao eixo), o formato que observamos como produto desse corte é um círculo. Dependendo da posição onde efetuamos o corte, esse círculo será maior ou menor. O raio do círculo será tanto maior quanto mais próximo do centro está “o plano do corte”. Quando passamos pelo centro da esfera, ele será maior e receberá o nome de círculo máximo.

45º N Paralelo

45º 45º

45º S

Equador

45º S

Paralelo

90º S

Por meio da longitude e da latitude, podemos localizar qualquer ponto na superfície da Terra. Elas são conhecidas por coordenadas geográficas do ponto.

Atividade 4 Um corte que passa pelo centro da laranja sugere a ideia de círculo máximo.

Localize em um globo ou em um mapa a latitude e a longitude da sua cidade. Depende da localidade. A cidade de São Paulo tem as seguintes coordenadas: 23º30’ Sul e 46º33’ Oeste.

O volume da esfera A interseção de um plano perpendicular ao eixo com a superfície esférica, passando pelo centro da esfera, chama-se Equador. Quando esse plano não passa pelo centro da esfera recebe o nome de paralelo. O Equador é a circunferência do círculo máximo perpendicular ao eixo.

Muitas vezes, a expressão do volume da esfera é apresentada sem demonstração. Julgamos, contudo, que esta possa ser uma boa oportunidade para os alunos levantarem hipóteses, construírem argumentos e significarem a expressão que depois é aplicada para determinação da área da superfície esférica.

Matemática – 2a série – Volume 4

A riqueza da demonstração da expressão do volume da esfera está também na articulação de ideias que ela permite: estimativas, inscrição e circunscrição de sólidos, seção de sólidos, comparação de volumes e a aplicação do Princípio de Cavalieri. Inicialmente, o professor pode pedir aos alunos que levantem hipóteses sobre a forma da expressão que dá o volume da esfera.

inscrição no cilindro

circunscrição no cone

Para preparar esta atividade, o professor pode usar transparências ou cartazes com:

R R

f um cilindro de raio da base R e altura também R; f um cone de raio da base R e altura R; f um desenho de um hemisfério de raio R. À medida que o professor for apresentando os dois primeiros desenhos, ele pode ir sugerindo que seus alunos calculem: a) o volume do cilindro de raio R e altura R; Vcilindro = π R3 b) o volume do cone de raio da base R e altura R. Vcone = 1 π R3 3

Em seguida, comente que essa expressão é conseguida pela comparação entre o volume de três sólidos: um hemisfério de raio R, um cone e um cilindro de raio e altura R.

Preparando cartazes ou transparências, o professor pode montar as situações a seguir de inscrição e circunscrição do hemisfério no cilindro e no cone de modo que se conclua que: 1 __ 3

πR3 < Vsemiesfera < πR3

A exploração da comparação entre o volume dos três sólidos sugere outras formas de composição, decomposição e disposição das figuras. Nos estudos dessas possíveis situações, percebemos que particularmente uma (a do hemisfério e a inscrição do cone no cilindro) revela uma regularidade entre áreas de suas seções planas.

Inicialmente, fazemos como mostra a Figura 1, uma composição das três figuras, de modo que o hemisfério fique inscrito no cilindro e o cone circular fique invertido.

45º

Figura 2

Figura 1 R

Fazendo uma seção paralela à base do hemisfério e do cilindro, observamos que a área formada no hemisfério, que é desconhecida, pode ser calculada pela diferença das áreas das seções formadas no cilindro (Figura 3) e no cone (Figura 2). Supondo que a seção foi feita a uma altura d da base do hemisfério, como temos na Figura 3 ao lado.

d d

45º

Figura 3

Vamos propor aos alunos o cálculo da área de cada seção determinada por um plano, conforme a Figura 4, em que cada seção foi individualizada: a

Figura 4

Vamos ampliar o hemisfério para observar melhor as relações entre as medidas de a, d e R.

a d

Matemática – 2a série – Volume 4

Seção no hemisfério

Seção no cone

Seção no cilindro

A1 = π . a2

A3 = π . b2

A2 = π . R2

R2 = d2 + a2

b=d

a2 = R2 – d2

triângulo retângulo isósceles

A1 = π . (R2 – d2)

A3 = π . d2

A1 = π . R – π . d 2

Comparando essas grandezas, percebemos que há uma relação entre as áreas: A1 = A2 – A3 Aseção no hemisfério = π . R – π . d 2

A2 = π . R2

De maneira geral, como a distância d é arbitrária, podemos concluir que toda a área da seção do hemisfério é igual à diferença entre as áreas das seções do cilindro e do cone. Desse modo, podemos considerar que o hemisfério é formado pela sobreposição de círculos com raios cada vez menores, enquanto o sólido, resultante da diferença cilindro-cone, é formado pela sobreposição de coroas circulares com “furos” cada vez maiores, isto é, com coroas cada vez mais finas. Pela expressão que encontramos, podemos deduzir que a área de cada círculo no primeiro sólido é igual à área de cada coroa circular do segundo.

Dessa forma, temos que Vesfera = 2 . Vhemisfério 4 Vesfera = __ π . R3 3 Um aspecto interessante a ser discutido, após a demonstração, é retomar os três sólidos inicialmente estudados, utilizados para comparação, e observar a relação que existe entre seus volumes: Sólido

R R

Volume

1 V = __ π . R3 3

2 V = __ π . R3 3

Aplicando-se o Princípio de Cavalieri, podemos concluir que, completando a altura R, o volume dos dois sólidos será equivalente. Logo: Vhemisfério = Vcilindro – Vcone 1 Vhemisfério = π . R3 – __ π . R3 3 2 Vhemisfério = __ π . R3 3

3 V = __ π . R3 = π . R3 3

Agora, vamos imaginar que cada uma dessas regiões seja a base de uma pirâmide com vértice no centro da esfera. R S1 S2 S3 S5

Área da superfície esférica Até aqui, professor, acumulamos um grande número de métodos. Eles são recorrentes por todo esse material. Na dedução da fórmula da área da superfície esférica, aplicaremos novamente o método da decomposição em pirâmides. Anteriormente, esse método foi aplicado para o cálculo do volume das pirâmides. Decompomos o prisma para achar o volume de sua terça parte: a pirâmide. Nessa demonstração, exploramos a soma de partes infinitas, que é um raciocínio empregado nos estudos das integrais.

A composição de todas essas pequenas pirâmides constituirá o volume da esfera.

Assim, podemos escrever:

Agora, para encontrar a expressão da área V = V1 + V2 + V3 +... da superfície esférica, vamos decompor a es1 1 1 1 V = S1 . R + S2 . R + S3 . R + ... ⇒ V = R(S1 + S2 + S3 ....) fera em pirâmides com vértice no seu centro. 3 3 3 3 As bases das pirâmides comporão 1 1a superfície 1 1 V = o par S1 . Rcomposição/de+ S2 + R S3 . R + ... ⇒ V = R(S1 + S2 + S3 ...)) esférica. Mais uma vez, 3 3 3 3 composição é aplicado e novas expressões são Já sabemos que o volume da esfera é 4 aprendidas das anteriores. V = π . R3 e que S = S1 + S2 + S3 + S4 + ... 3 Vamos tomar a superfície esférica e decom4 1 Assim, π . R3 = R . S. Simplificando, pô-la em pequenas regiões (S1, S2, S3, S4, ...) 3 3 aproximadamente planas. A área da superfície 4 1 π . R3 = R . S S = 4.p R2 3 3 da esfera será igual à soma total dessas super2

fícies: S = S1 + S2 + S3 + S4 + ...

Agora, vamos propor exercícios exemplares sobre o tema. O professor deve estar atento

Matemática – 2a série – Volume 4

a algumas situações comuns neste momento. Por exemplo: Os alunos entendem os enunciados? Identificam os dados e o que se pede? Fazem uma ilustração para apoio da compreensão do problema? Utilizam a unidade de medidas corretamente?

Atividade 5 Considerando a Terra uma esfera com raio de 6 370 km, encontre o que se pede.

Atividade 6 O sistema de coordenadas geográficas é utilizado não só para localizações, mas também para o cálculo da distância entre duas localidades sobre o globo terrestre. Essa distância, no caso, refere-se ao tamanho do percurso a ser feito sobre a superfície da Terra para ir de uma localidade a outra. Não se trata, portanto, de um percurso linear, mas sim da forma de um arco de circunferência.

Polo Norte P1

θ R

O V

Polo Sul

a) O comprimento do Equador. C = 2π · RTerra = 2π . 6 370 = 12 740π km, ou seja, aproximadamente, 40 000 km. b) O comprimento de um paralelo que passa pelos pontos P1 e P2, sendo sua latitude θ = 60º. Observando a figura e sendo a latitude igual a 60º, θ = 60º, logo temos: 1 r r __ _____ cos 60° = _____ Rterra ⇒ 2 = 6 370 ⇒ 6 370 ⇒ r = _____ = 3 185 km. 2 Assim, o comprimento do paralelo de raio r será: C = 2π . r = 2π . 3 185 = 6 370π km.

Suponha que o ponto P represente a cidade de Nova Iorque – latitude 41º N (L = 41º) e longitude 74º W (θ = 74º). Admita o raio da Terra como sendo 6 000 km. Encontre a medida da distância entre Nova Iorque e a linha do Equador. A medida do arco PV está, em relação ao comprimento da linha do Equador, na mesma razão que o ângulo central L está em relação à circunferência terrestre, que repre41 · 2πr senta 360º, portanto PV = 360 41 PV = · 2π · 6 000 PV ≅ 4 292 km. 360

Atividade 7 Outra cidade, com mesma latitude (L = 41º N), está situada sobre o Meridiano de Greenwich (longitude θ = 0º). Ela está indicada no globo pela letra Q. Qual é a distância entre as duas cidades? O' P

θ R

d L

L O V

A distância PQ é igual ao arco de circunferência com ângulo central igual a θ. Para sabermos o valor do arco, precisamos da medida do raio do círculo pequeno que passa por PQ. Com base na figura, observamos uma relação métrica entre a distância d, do paralelo ao Equador, o raio R da Terra e o raio r do paralelo. Como se trata de um triângulo retângulo, temos: R2 = d 2 + r2. Outra relação que podemos extrair é a seguinte: como a latitude L = 41º, o ângulo em OPO’ é alterno interno a L, portanto, também mede 41º. r . r _____ Aplicando-se cos 41° = __ R = 6 000 r = 6 000 . 0,75, portanto, r = 4 500 km.

74 partes 360 do comprimento da circunferência de raio 74 4 500, temos que PQ = ____ . 2 π . 4 500. 360 PQ = 5 809 km.

Como a medida do arco PQ é

Atividade 8 Considerando a Terra uma esfera, o arco de 1’ (um minuto) de seu círculo máximo denomina-se milha marítima. Portanto, cada grau corresponde a um arco de 60 milhas marítimas. Supondo que a medida de um meridiano da Terra é, aproximadamente, 40 000 km, qual é a medida de um arco referente a uma milha marítima? 1 parte de Uma milha marítima equivale a 60 um grau. Um grau equivale a 1 partes do 360 comprimento da circunferência máxima, o meridiano. Portanto, 1’ = 1 . 1 . C, sendo 60 360 C = 40 000 km. Logo, 1’ equivale a 1,852 km ou 1 852 m. Observação: esta atividade está proposta no Caderno do Aluno como uma lição de casa.

A atividade a seguir explora a comparação entre porções da superfície do cilindro e da esfera. É interessante observar, ao final, que eles possuem a mesma área. Esse fato é fundamental na construção de mapas planos da superfície terrestre. Ele é a base do que se chama projeção cilíndrica. Mais uma vez, o tema pode ser explorado em uma perspectiva transdisciplinar com o professor de Geografia.

Matemática – 2a série – Volume 4

Atividade 9 Considere duas superfícies S = ABCD e S’ = E’B’C’ obtidas, respectivamente, pelas interseções de um cilindro circular reto e de uma semiesfera com semiplanos que formam um ângulo diedro de 60°, conforme as figuras a seguir.

E’ D A S

O’

C B

60º

B’

1 . 4 . π .(OB)2 12

1 de A’ logo, 12

π . (OB)2 3 Logo, a razão áreaS = 1. áreaS’ O professor pode ainda explorar áreas de fusos e de superfícies de cunhas, sempre privilegiando o uso de proporcionalidade. áreaS’ =

Sendo área(S) a área da superfície S e área(S’) a área da superfície S’, calcule o valor de área(S)/área(S’).

A área da região S’ equivale a áreaS’ =

Tem-se: O – centro da base do cilindro; OE – altura do cilindro; OB – raio da base do cilindro; O’E’ – raio da semiesfera; OE = OB = O’E’ = AB.

2 área S = π . (OB) . 3 Esfera: Na esfera, a superfície total será A’ = 4 . π . (O’E’)2. Como O’E’ = OB, temos A’ = 4 . π .(OB)2.

S’ C’ 60º

Cilindro: A superfície lateral do cilindro é um retângulo de dimensões: 2 . π . OB

Sua área lateral A será, portanto: A = 2 . π . OB . AB. Como AB = OB, A = 2 . π . OB2. A área da região S corresponde a 1 da 6 superfície lateral do cilindro logo,

Considerações sobre a avaliação Neste momento do processo de aprendizagem da geometria espacial métrica, a expectativa é que os problemas propostos tenham permitido um bom nível de discussão, em que os argumentos, as análises de situações, os levantamentos de hipóteses e as comparações das soluções tenham fortificado o grupo de alunos como um coletivo gerador de conhecimento. A finalização do curso com o estudo da esfera permite um apanhado geral sobre muitos fatos construídos durante o curso. Além disso, esta Situação de Aprendizagem é uma oportunidade de significarmos a forma de nosso planeta e de muitos conceitos a ele associados. Particularmente, o trabalho com as coordenadas geográficas abre uma possibilidade de trabalho transdisciplinar com a Geografia. O tratamento feito para o cálculo do volume e da área da superfície da esfera também merece destaque no curso.

ORIENTAÇõES PARA RECUPERAÇÃO Na Situação de Aprendizagem 1, caso os objetivos não tenham sido plenamente alcançados, sugerimos que as atividades de recuperação explorem: f uma retomada do trabalho com figuras planas, particularmente com o triângulo equilátero, o retângulo, o paralelogramo, o quadrado e o hexágono regular, enfatizando, de forma esquemática, suas propriedades e relações métricas; f a manipulação dos objetos sólidos em forma de prismas e identificação de seus elementos, particularmente daqueles relacionados às figuras planas vistas anteriormente; f as relações métricas nos prismas regulares. Caso as metas iniciais não tenham sido alcançadas na Situação de Aprendizagem 2, sugerimos que as atividades de recuperação explorem: f uma retomada esquemática dos fatos essenciais relativos à circunferência e ao círculo, como: comprimento da circunferência, relações entre medidas do ângulo central e inscrito, área do círculo e área de seus setores e segmentos circulares;

f problemas contextualizados, semelhantes a atividade 3; f a necessidade da representação plana do sólido para melhor interpretação do enunciado e dos elementos essenciais à sua solução. Pensando na Situação de Aprendizagem 3, caso não tenham sido alcançadas as metas traçadas, sugira problemas que o aluno resolva apoiado no que aprendeu sobre planificação ou sobre sólido construído. Caso as metas propostas na Situação de Aprendizagem 4 não sejam atingidas plenamente, propomos retomar as atividades em que se aplica a proporcionalidade, como aquelas de cálculos de fusos e cunhas, e investigue se a dificuldade está na visualização dos elementos da esfera. Caso isso se confirme, use bolas grandes de isopor para indicar as condições do problema e os caminhos para sua solução. Os livros didáticos trazem um grande número de exercícios. Escolha aqueles que permitem maior conexão com fatos reais ou com outros conceitos matemáticos, como aqueles que envolvem distância entre dois pontos sobre a superfície da esfera.

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA Para o desenvolvimento dos conteúdos de geometria métrica, abordados neste Caderno, vários livros didáticos de Ensino Médio apresentam uma série de situações-problema.

O professor poderá selecionar alguns desses problemas e agregá-los àqueles que já fazem parte de sua experiência no tratamento deste tema. Propomos que seja dada preferência aos problemas

Matemática – 2a série – Volume 4

que envolvem comparação entre elementos de dois sólidos. São mais interessantes os problemas que exijam interpretação, representação e identificação dos elementos dados e necessários à solução. Outra fonte interessante de problemas são alguns testes ou exercícios dos vestibulares. RPM no

Para os professores que queiram se aprofundar nas discussões sobre os temas tratados, sugerimos alguns artigos da Revista do Professor de Matemática, publicação quadrimestral da Sociedade Brasileira de Matemática, com apoio da USP (<http://www.rpm.org.br/cms>). Assunto abordado

Relação dos poliedros com as formas na natureza.

Geodésica em prismas.

Tratamento formalizado do problema do tanque horizontal. Nesse artigo, faz-se a dedução da expressão da variação do volume em função da distância d. A exploração desse problema levará a uma função que relaciona o ângulo θ à altura d.

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Nesses volumes você encontrará interessantes artigos sobre pirâmides e cones.

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Método da alavanca aplicado por Arquimedes na determinação do volume da esfera.

Matemática do GPS. São exploradas as coordenadas geográficas de um ponto no espaço, em uma abordagem analítica, isto é, aplicando o sistema de eixos tridimensionais.

livro

Site

LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1996.

Wikimedia. Disponível em: <http://upload. wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/ Timezones.png>. Acesso em: 10 ago. 2009.

O livro apresenta relatos e análises de experiências no ensino de Geometria. No capítulo 13, por exemplo, discute-se a importância da manipulação e da visualização dos poliedros e propõe-se algumas formas de suas construções com o uso de canudos.

Nele você encontrará uma série de mapas que permitem explorar a conexão dos conceitos matemáticos com a Geografia.

COntEúdOS dE MAtEMátiCA POR SéRiE/biMEStRE

dO EnSinO MédiO

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

1a série

2a série

3a série

núMEROS E SEQUÊnCiAS - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas; progressões geométricas.

tRiGOnOMEtRiA - Fenômenos periódicos. - Funções trigonométricas. - Equações e inequações. - Adição de arcos.

GEOMEtRiA AnAlÍtiCA - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, problemas lineares. - Ponto e reta: distância. - Circunferência: equação. - Reta e circunferência: posições relativas. - Cônicas: noções e aplicações.

FUnçõES - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função de 1o grau. - Função de 2o grau.

MAtRizES, dEtERMinAntES E SiStEMAS linEARES - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

EQUAçõES AlGébRiCAS E núMEROS COMPlEXOS - Equações polinomiais. - Números complexos: operações e representação geométrica. - Teorema sobre as raízes de uma equação polinomial. - Relações de Girard.

FUnçõES EXPOnEnCiAl E lOGARÍtMiCA - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - Logaritmos: definição e propriedades. - Função logarítmica: equações e inequações.

AnáliSE COMbinAtÓRiA E PRObAbilidAdE - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Casos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações. - Probabilidade da reunião e/ou da intersecção de eventos. - Probabilidade condicional. - Distribuição Binomial de probabilidades: o Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton.

EStUdO dAS FUnçõES - Qualidades das funções. - Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação. - Composição: translações e reflexões. - Inversão.

GEOMEtRiA/ tRiGOnOMEtRiA - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição e pavimentação de superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.

GEOMEtRiA MétRiCA ESPACiAl - Elementos de geometria de posição. - Poliedros, prismas e pirâmides. - Cilindros, cones e esferas.

EStAtÍStiCA - Gráficos estatísticos: cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão. - Elementos de amostragem.